دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني سنة ثالثة متوسط

‫ﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬ ‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫™ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺫﺍﺕ ﺃﺴﺱ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫™ ﺍﻟﺘﻨﺎﺴﺒﻴﺔ‬ ‫™ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ ﻭ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻤﺤﻴﻁﺔ‬ ‫™ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻭﺭﺱ ﻭ ﻋﻜﺴﻬﺎ‬ ‫™ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺤﺭﻓﻲ ‪:‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺘﺒﺴﻴﻁ ‪ ،‬ﺍﻟﻨﺸﺭ ‪ ،‬ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺫﺍﺕ ﺃﺴﺱ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪ n‬ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪.10‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻗﻭﺍﻋﺩ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﻋﻠﻰ ﻗﻭﻯ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪.10‬‬ ‫‪ -‬ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻋﺩﺩ ﻋﺸﺭﻱ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻗﻭﻯ ‪.10‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻟﻌﺩﺩ ﻋﺸﺭﻱ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻟﺤﺼﺭ ﻋﺩﺩ ﻋﺸﺭﻱ ﻭﻹﻴﺠﺎﺩ ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻋﺩﺩ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﻗﻭﺓ ﻋﺩﺩ ﻨﺴﺒﻲ‪.‬‬‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻗﻭﺍﻋﺩ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﻋﻠﻰ ﻗﻭﺓ ﻋﺩﺩ ﻨﺴﺒﻲ ﻭﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻟﻬﺎ ﻓﻲ ﻭﻀﻌﻴﺎﺕ ﺒﺴﻴﻁﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺠﺭﺍﺀ ﺤﺴﺎﺏ ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻗﻭﻯ‪.‬‬ ‫ﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﺪرس‬ ‫• ﻗﻮى ‪) 10‬اﻷس ﻧﺴﺒﻲ(‬ ‫• اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ ﻗﻮى اﻟﻌﺪد ‪10‬‬ ‫• آﺘﺎﺏﺔ ﻋﺪد ﻋﺸﺮي ﺏﺎﺱﺘﻌﻤﺎل ﻗﻮى ‪10‬‬ ‫• اﻟﻜﺘﺎﺏﺔ اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻟﻸﻋﺪاد اﻟﻌﺸﺮیﺔ‬ ‫• ﻗﻮى ﻋﺪد )اﻷ ّس ﻋﺪد ﺹﺤﻴﺢ ﻡﻮﺟﺐ(‬ ‫• ﺗﻤﺎریﻦ وﻡﺸﻜﻼت‬ ‫• ﺗﺼﺤﻴﺢ اﻟﺘﻤﺎریﻦ واﻟﻤﺸﻜﻼت‬

‫‪ .1‬ﻗﻮى ‪) 10‬اﻷس ﻧﺴﺒﻲ( ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‬ ‫‪ n‬ﻋﺪد ﺹﺤﻴﺢ أآﺒﺮ ﻡﻦ ‪.1‬‬‫ﻧﺴ ّﻤﻲ اﻟﻘﻮة ﻡﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ ‪ n‬ﻟﻠﻌﺪد ‪ 10‬اﻟﻌﺪد ‪ 10n‬اﻟﺬي هﻮ ﺟﺪاء ‪ n‬ﻋﺎﻡﻼ‪ ،‬آ ّﻞ ﻋﺎﻡﻞ یﺴﺎوي ‪، 10‬‬ ‫ﻧﻜﺘﺐ‪:‬‬‫‪10n = 1104× 1402×4...×4310 = 1 0{0...0‬‬ ‫‪ n‬ﻋﺎﻤﻼ‬ ‫‪ n‬ﺹﻔﺮا‬ ‫ﺡﺎﻻت ﺧﺎﺹﺔ‪:‬‬‫‪ 10− n‬ﻫﻭ ﻤﻘﻠﻭﺏ ‪10n‬‬ ‫• ‪ 101 = 10‬؛ ‪100 = 1‬‬ ‫‪10− n‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ n‬ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻮﺟﺐ‪،‬‬ ‫•‬ ‫‪10n‬‬ ‫ﻡﻼﺡﻈﺔ‬ ‫ﻓﻲ آ ّﻞ اﻟﺤﺎﻻت‪ُ 10n ،‬یﻘﺮأ \" ‪ 10‬أ ّس ‪ \" n‬أو \" ‪ 10‬ﻗ ّﻮة ‪.\" n‬‬‫ﻓﻲ ﺡﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ‪ ،‬ﻧﻘﺮأ ‪ 10 \" : 10²‬ﻣﺮﺑﻊ\" وﻧﻘﺮأ ‪ 10 \" : 103‬ﻣﻜﻌﺐ\"‪.‬‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬‫‪1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001‬‬ ‫اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﺸﺮیﺔ‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻜﺴﺮیﺔ‬ ‫‪10 100 1000‬‬‫‪103 102 101 100 10−1 10− 2 10− 3‬‬ ‫اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ ﺑﺎﻷ ّس‬ ‫ﺕﻮﺿﻴﺢ‬ ‫• ‪103 = 10 × 10 × 10 = 1 000‬‬‫ﺍﻷ ّﺱ ‪3‬‬ ‫‪ 3‬ﻋﻮاﻣﻞ‬ ‫‪ 3‬ﺃﺼﻔﺎﺭ‬ ‫ﻣﺴﺎویﺔ ‪10‬‬ ‫‪10− 3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 0,001‬‬ ‫•‬ ‫‪103‬‬ ‫ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 1‬ﻤﻭﺠﻭﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ‪ 3‬ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ‬

‫‪ .2‬اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ ﻗﻮى اﻟﻌﺪد ‪: 10‬‬‫• ‪( )10 m n = 10 m×n‬‬ ‫‪10m‬‬ ‫‪= 10 m−n‬‬ ‫•‬ ‫ﻗﻮاﻋﺪ‬ ‫‪10n‬‬ ‫• ‪10m × 10n = 10m+n‬‬ ‫‪ n ، m‬ﻋﺪدان ﺻﺤﻴﺤﺎن ﻧﺴﺒﻴﺎن‪.‬‬ ‫‪102 × 103 = 10 2+3 = 105‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‬ ‫•‬ ‫‪103‬‬ ‫‪= 10 3−5 = 10 −2‬‬ ‫•‬ ‫‪105‬‬ ‫•‬ ‫‪(10² )3 = 10 2×3= 106‬‬ ‫ﺗﻨﺒﻴﻪ‬ ‫ﻻ ﺕﻮﺟﺪ ﻗﺎﻋﺪة ﺧﺎﺻﺔ ﺑﺠﻤﻊ ﻗﻮﺕﻴﻦ ﻟﻠﻌﺪد ‪!!! 10‬‬ ‫‪ 102 + 103 ≠ 105‬ﻟﻜﻦ ‪100 + 1000 = 1100‬‬

‫‪ .3‬آﺘﺎﺏﺔ ﻋﺪد ﻋﺸﺮي ﺏﺎﺱﺘﻌﻤﺎل ﻗﻮى ‪:10‬‬‫ﻃﺮیﻘﺔ‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫• ﻧﻜﺘﺐ ﻣﺜﻼ‪:‬‬ ‫‪ .1‬اآﺘﺐ اﻟﻌﺪد ‪ 25 000 000‬ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ ‪. a × 10 n‬‬‫‪25000 000 = 25 × 1000 000‬‬ ‫‪ .1‬اآﺘﺐ اﻟﻌﺪد ‪0,0015‬‬‫• ﻧﻜﺘﺐ ‪ 1000 000‬ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪10 n‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪. a × 10 n‬‬‫' ﻧﺠﺪ‪25000 000 = 25 × 10 6 :‬‬ ‫‪ .3‬ﻋّﻴﻦ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﺸﺮیﺔ ﻟﻠﻌﺪد‬ ‫• ﻧﻜﺘﺐ ﻣﺜﻼ‪:‬‬ ‫‪.75 × 10 −5‬‬ ‫‪0,0015‬‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10 000‬‬‫ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪. 10 n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻧﻜﺘﺐ‬ ‫•‬ ‫‪10 000‬‬ ‫' ﻧﺠﺪ‪15 × 10 −4 :‬‬ ‫• ﻧﺤ ّﻮل آﺘﺎﺑﺔ ‪: 10 − 5‬‬ ‫‪10−5 = 0,00001‬‬ ‫• ﻧﺠﺮي اﻟﺤﺴﺎب‪:‬‬ ‫‪75 × 0,00001 = 0,00075‬‬‫' ﻧﺠﺪ‪75 × 10 −5 = 0,00075 :‬‬‫• ﻧﻜﺘﺐ‪548,5 = 5,485 × 10² :‬‬ ‫‪ .4‬أآﻤﻞ اﻟﺤﺴﺎب‪:‬‬‫‪ • 548,5 × 10² = 5,485 × 10 ...‬ﻧﻌ ّﻮض ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺎواة وﻧﺠﺮي اﻟﺤﺴﺎﺑﺎت‪:‬‬‫‪548,5 × 102 = (5,485 × 10² ) × 10²‬‬‫) ‪= 5,485 × (10² × 10²‬‬‫‪= 5,485 × 104‬‬‫'ﻧﺠﺪ‪548,5 × 10² = 5,485 × 10 4 :‬‬‫• ﻧﻜﺘﺐ‪10 − 4 = 10 3 × 10 −7 :‬‬ ‫‪ .5‬أآﻤﻞ اﻟﺤﺴﺎب‪:‬‬‫‪ • 658,28 × 10 −4 = .....× 10 −7‬ﻧﻌ ّﻮض ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺎواة وﻧﺠﺮي اﻟﺤﺴﺎﺑﺎت‪:‬‬‫‪( )658,28 × 10 −4 = 658,28 × 10 3 × 10 −7‬‬‫‪( )= 658,28 × 10 3 × 10 −7‬‬ ‫‪= 658280 × 10 −7‬‬‫' ﻧﺠﺪ‪658,28 × 10 −4 = 658280 × 10 −7 :‬‬

‫‪ .4‬اﻟﻜﺘﺎﺏﺔ اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻟﻸﻋﺪاد اﻟﻌﺸﺮیﺔ ‪:‬‬ ‫• ﺧﺎﺹﻴﺔ وﺗﻌﺮیﻒ‬‫یﻤﻜﻦ آﺘﺎﺏﺔ ﻋﺪد ﻋﺸﺮي ﺏﻜﻴﻔﻴﺎت ﻋﺪیﺪة ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪ a × 10 n‬ﺡﻴﺚ ‪ a‬ﻋﺪد ﻋﺸﺮي و ‪ n‬ﻋﺪد ﺹﺤﻴﺢ‬ ‫ﻧﺴﺒﻲ‪.‬‬ ‫اﻟﻜﺘﺎﺏﺔ اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ هﻲ ﺗﻠﻚ اﻟﻜﺘﺎﺏﺔ اﻟﺘﻲ ُیﻜﺘﺐ ﻓﻴﻬﺎ ‪ a‬ﺏﺮﻗﻢ واﺡﺪ )ﻏﻴﺮ اﻟﺼﻔﺮ( ﻗﺒﻞ اﻟﻔﺎﺹﻠﺔ‪.‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‬ ‫اﻟﻜﺘﺎﺏﺔ اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ‬ ‫اﻟﻜﺘﺎﺏﺔ اﻟﻌﺸﺮیﺔ‬ ‫‪1,25 × 10 5‬‬ ‫‪125 000‬‬‫‪−6 ,58 × 10 4‬‬ ‫‪−65 800‬‬ ‫‪1,5 × 10 −5‬‬ ‫‪0,000015‬‬ ‫ﻡﻼﺡﻈﺔ‬‫یﻤﻜﻦ اﺱﺘﻐﻼل اﻟﺤﺎﺱﺒﺔ ﻟﺘﻌﻴﻴﻦ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻟﻌﺪد ﻋﺸﺮي ﺑﺎﺱﺘﻌﻤﺎل اﻟﻠﻤﺴﺔُ‪ EE‬اﻟﺘﻲ ﺕﻌﻨﻲ ‪×10x‬‬ ‫أو ‪ SCI/ENG‬ﺡﺴﺐ ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻵﻟﺔ‪.‬‬ ‫ﻡﺜﺎل‬ ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد ‪ ،25 000‬ﻧﻜﺘﺐ اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ‪:‬‬ ‫‪2 5 EE 3 ENTER‬‬ ‫ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ‪. 2,5 × 10 4‬‬

‫• اﺱﺘﻐﻼل اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻟﺤﺼﺮ ﻋﺪد ﻋﺸﺮي ﺑﻘﻮﺕﻴﻦ ﻟﻠﻌﺪد ‪ 10‬ﻟﻬﻤﺎ أ ّﺱﺎن ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺎن أو ﻹیﺠﺎد رﺕﺒﺔ‬ ‫ﻣﻘﺪار ﻋﺪد‬ ‫ﺗﻤﺮیﻦ ‪:1‬‬‫‪ (°1‬ﻋّﻴﻦ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد ‪ A = 245 000‬ﺙ ّﻢ اﺡﺼﺮﻩ ﺑﻘﻮﺕﻴﻦ ﻟﻠﻌﺪد ‪ 10‬ﻟﻬﻤﺎ أ ّﺱﺎن ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺎن‪.‬‬ ‫‪ (°2‬ﻧﻔﺲ اﻟﻌﻤﻞ ﻣﻊ اﻟﻌﺪد ‪B = 0,000765‬‬ ‫اﻟﺤ ّﻞ‬‫‪ (°1‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪A = 245000 = 2,45 × 10 5‬‬‫ﻣﻨﻪ ‪1× 10 5 < A < 10 × 10 5‬‬‫‪10 5 < A < 10 6‬‬ ‫أي أ ّن‬‫‪ (°2‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪B = 0,000765 = 7 ,65 × 10 −4‬‬‫ﻣﻨﻪ ‪1× 10 −4 < B < 10 × 10 −4‬‬‫‪10 − 4 < B < 10 − 3‬‬ ‫أي أ ّن‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‬‫رﺗﺒﺔ ﻡﻘﺪار ﻋﺪد ﻋﺸﺮي ﻡﻜﺘﻮب ﻋﻠﻰ ﺵﻜﻠﻪ اﻟﻌﻠﻤﻲ ‪ k ×10n‬هﻲ اﻟﻌﺪد ‪ k'×10n‬ﺡﻴﺚ ' ‪ k‬هﻮ اﻟﻤﺪور‬ ‫إﻟﻰ اﻟﻮﺡﺪة ﻟﻠﻌﺪد ‪. k‬‬ ‫ﻡﺜﺎل‪:‬‬ ‫رﺕﺒﺔ ﻣﻘﺪار اﻟﻌﺪد ‪ 7 ,65 × 10 −4‬هﻲ ‪ 8 × 10 −4‬أي ‪) 0,0008‬ﺙﻤﺎﻧﻴﺔ أﺟﺰاء ﻣﻦ ﻋﺸﺮة أﻻف(‪.‬‬

‫ﺕﻤﺮیﻦ ‪:1‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺪدیﻦ ‪ 3,75 × 106‬؛ ‪. 5,24 × 10 − 4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫وﺡﺎﺻﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫‪A× B‬‬ ‫أﻋﻂ رﺕﺒﺔ ﻣﻘﺪار اﻟﺠﺪاء‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻟﺤ ّﻞ‬ ‫ﻟﺪیﻨﺎ رﺕﺒﺔ ﻣﻘﺪار اﻟﻌﺪدیﻦ‪ A ≈ 4 × 10 6 :‬؛ ‪B ≈ 5 × 10 −4‬‬ ‫‪A‬‬ ‫رﺕﺒﺔ ﻣﻘﺪار‬ ‫•‬ ‫• رﺕﺒﺔ ﻣﻘﺪار ‪A × B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻟﺪیﻨﺎ‬ ‫ﻟﺪیﻨﺎ‬ ‫‪A × B ≈ 4 × 10 6 × 5 × 10 −4‬‬‫‪A‬‬ ‫≈‬ ‫‪4 × 10 6‬‬ ‫‪≈ 4 × 5 × 10 6× 10 −4‬‬‫‪B‬‬ ‫‪5 × 10−3‬‬ ‫‪≈ 20 × 102‬‬ ‫‪≈ 2 × 103‬‬ ‫≈‬ ‫‪4‬‬ ‫(‪× 10 6 −‬‬ ‫) ‪−3‬‬ ‫اﻟﻌﺪد ‪ A × B‬ﻣﻦ رﺕﺒﺔ أﻟﻔﻴﻦ‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪≈ 0,8 × 10 9‬‬ ‫‪≈ 8 × 108‬‬‫ﻣﻦ رﺕﺒﺔ ﺙﻤﺎﻧﻲ ﻣﺎﺋﺔ ﻣﻠﻴﻮن‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫اﻟﻌﺪد‬ ‫‪B‬‬

‫‪ .5‬ﻗﻮى ﻋﺪد )اﻷ ّس ﻋﺪد ﺹﺤﻴﺢ ﻡﻮﺟﺐ( ‪:‬‬ ‫• ﺗﻌﺮیﻒ‬‫‪ a‬ﻋﺪد ﻧﺴﺒﻲ ‪ n ،‬ﻋﺪد ﺹﺤﻴﺢ ﻡﻮﺟﺐ ﻏﻴﺮ ﻡﻌﺪوم‪.‬‬‫ﻧﺴ ّﻤﻲ ﻗﻮة ﻟﻠﻌﺪد ‪ ، a‬اﻟﻌﺪد ‪ ، an‬ﺟﺪاء ‪ n‬ﻋﺎﻡﻼ ﻡﺴﺎویﺔ ‪ a‬وﻧﻜﺘﺐ‪:‬‬‫‪a n = a1 ×44a 2× 4... ×43a‬‬‫‪ n‬ﻋﺎﻤﻼ‬ ‫ﺡﻴﺚ ‪ n‬هﻮ اﻷ ّس‪.‬‬ ‫‪ُ an‬یﻘﺮأ‪ a \" :‬أ ّس ‪. n‬‬‫‪ُ a²‬یﻘﺮأ‪ a \" :‬ﻣﺮﺑﻊ\" ‪ُ a3 ،‬یﻘﺮأ‪ a \" :‬ﻣﻜﻌﺐ\"‪.‬‬ ‫اﺻﻄﻼﺡﺎ‪a0 = 1 ، a1 = a ،‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‬‫‪ 0,52 = 0,5 × 0,5 = 0,25‬؛ ‪84 = 8 × 8 × 8 × 8 = 4 096‬‬ ‫ﺗﻨﺒﻴﻪ ! ﻡّﻴﺰ ﺏﻴﻦ‪:‬‬‫• \" ‪ 2‬أ ّس ‪ \" 3‬و \" ‪ 3‬أ ّس ‪ \" 2‬أي أ ّن ‪23 ≠ 32‬‬ ‫• ‪(−3)² ≠ −3²‬‬‫‪23 = 2 × 2 × 2 = 8‬‬ ‫ﻡﻼﺡﻈﺔ‬ ‫اﻟﻘﻮة اﻟﺰوﺟﻴﺔ ﻟﻌﺪد ﻧﺴﺒﻲ ﻡﻮﺟﺒﺔ داﺋﻤﺎ‪.‬‬ ‫اﻟﻘﻮة اﻟﻔﺮدیﺔ ﻟﻌﺪد ﻧﺴﺒﻲ ﺱﺎﻟﺐ ﺱﺎﻟﺒﺔ‪.‬‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫‪ (−3)2 = (−3) × (− 3) = +9‬؛‬‫• ﻟﺤﺴﺎب ﻗ ّﻮة ﻋﺪد ﺑﺤﺎﺱﺒﺔ‪ ،‬ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﻠﻤﺴﺔ ‪) y x‬أو ↑ أو ^ (‪.‬‬ ‫ﻡﺜﺎل‬ ‫ﻟﺤﺴﺎب ‪ ، 0,56‬ﻧﻜﺘﺐ اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ‪0,5 y x 6 = :‬‬ ‫ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‪. 0,15625 :‬‬ ‫• ﺧﻮاص‬‫‪ b ، a‬ﻋﺪدان ﻧﺴﺒﻴﺎن )‪ (a ≠ 0‬و ‪ n ، m‬ﻋﺪدان ﺹﺤﻴﺤﺎن ﻧﺴﺒﻴﺎن‪.‬‬‫؛ ‪( )ab n = an × bn‬‬ ‫‪am‬‬ ‫‪= a m−n‬‬ ‫؛‬ ‫‪am × an = a m+n‬‬ ‫‪an‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‬‫‪(−6 )² × (−6 )3 = (−6 )2+3 = (−6 )5 = −7776‬‬

‫‪54‬‬ ‫‪= 54−3‬‬ ‫‪= 51‬‬ ‫‪=5‬‬ ‫‪53‬‬‫‪23 × 53 = (2 × 5)3 = 103 = 1000‬‬ ‫• أوﻟﻮیﺔ اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة‬‫ﻓﻲ ﻏﻴﺎب اﻷﻗﻮاس‪ ،‬ﺗﻜﻮن اﻷوﻟﻮیﺔ ﻓﻲ اﻟﺤﺴﺎب ﻟﻠﻘﻮى ﻋﻠﻰ ﻋﻤﻠﻴﺎت اﻟﻀﺮب واﻟﻘﺴﻤﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻖ‬ ‫‪A = −3 + 4 × 5²‬‬ ‫اﻟﺤ ّﻞ‬ ‫ﻓﻲ ﻏﻴﺎب اﻷﻗﻮاس‪ ،‬اﻷوﻟﻮیﺔ ﻟﻠﻘﻮى‪:‬‬‫‪A = −3 + 4 × 5²‬‬‫‪= −3 + 4 × 25‬‬‫ﻧﺠﺮي ﻋﻤﻠﻴﺔ اﻟﻀﺮب أوﻻ ﺙ ّﻢ ﻋﻤﻠﻴﺎت اﻟﺠﻤﻊ واﻟﻄﺮح ﺡﺴﺐ ورودهﺎ ﻓﻲ اﻟﺤﺴﺎب\"‬‫‪A = −3 + 4 × 25‬‬ ‫‪= −3 + 100‬‬ ‫‪= 97‬‬

‫• ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫‪ .1‬آﻴﻒ ﻧﺴ ّﻤﻲ اﻟﻌﺪد ‪ 3‬ﻓﻲ اﻟﻜﺘﺎﺑﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺤ( ‪10 3‬‬ ‫ﺑ( ‪3 × 10‬‬ ‫أ( ‪10 + 3‬‬ ‫‪ .2‬ﻣﺎ هﻮ ﻋﺪد اﻷﺻﻔﺎر اﻟﺘﻲ ﺕﺘﻀ ّﻤﻨﻬﺎ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﺸﺮیﺔ ﻟﻸﻋﺪاد‪:‬‬ ‫‪ 10 3‬؛ ‪ 10 1‬؛ ‪ 10 0‬؛ ‪10 −5‬‬ ‫‪ .3‬اآﺘﺐ اﻷﻋﺪاد اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪ 10 n‬ﺡﻴﺚ ‪ n‬ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺴﺒﻲ‪:‬‬ ‫‪ a = 100 000‬؛ ﻣﻠﻴﻮن = ‪ b‬؛ ﻣﻠﻴﺎر = ‪ c‬؛ ‪d = 0,000 1‬‬ ‫ﺤ( ‪1dL = ... hL‬‬ ‫‪ .4‬أآﻤﻞ ﺑﺎﻟﻘﻮة اﻟﻤﻨﺎﺱﺒﺔ ﻟﻠﻌﺪد ‪ 10‬ﻣﺎ یﻠﻲ‪:‬‬ ‫أ( ‪ 1km = ... m‬ﺑ( ‪1 t = ... g‬‬ ‫‪ .5‬اآﺘﺐ ﻣﻘﻠﻮب اﻷﻋﺪاد اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪ 10 n‬ﺡﻴﺚ ‪ n‬ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺴﺒﻲ‪:‬‬ ‫‪ 1000‬؛ ‪ 10‬؛ ‪ 0,01‬؛ ‪ 10 5‬؛ ‪. 10 −5‬‬ ‫‪ .6‬اآﺘﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪ 10 n‬ﺡﻴﺚ ‪ n‬ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺴﺒﻲ‪:‬‬ ‫أ( ‪ 10 3 × 10 2‬؛ ‪ 10 −2 × 10 −5‬؛ ‪10 3 × 10 −3‬‬ ‫‪10 −5 10 5‬‬ ‫‪10 −8‬‬ ‫‪10 6‬‬ ‫؛ ‪ 10 −4‬؛ ‪10‬‬ ‫؛ ‪10 −5‬‬ ‫ﺑ( ‪10 2‬‬ ‫؛ ‪10 2 − 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫؛ ‪ 10 −2 2‬؛ ‪( ) ( ) ( ) ( )10 −3 −4‬‬ ‫‪10 3‬‬ ‫ﺤ(‬ ‫‪ .7‬ﻋّﻴﻦ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻐﺮیﺒﺔ ﻓﻴﻤﺎ یﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪10 9‬‬ ‫‪10 6‬‬ ‫‪10 2 3‬‬ ‫‪( )10 3‬‬ ‫؛ ‪ 10 2 × 10 3‬؛ ‪ 10−1 × 109 × 10−2‬؛‬ ‫؛‬ ‫‪ .8‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ آ ّﻞ ﺡﺎﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪ ،‬اﻧﻘﻞ ﺙ ّﻢ أآﻤﻞ اﻟﺠﻤﻠﺔ‪:‬‬ ‫\" ﻟﺘﺤﻮیﻞ اﻟﻌﺪد ‪ A‬إﻟﻰ اﻟﻌﺪد ‪ ، B‬ﻧﻨﻘﻞ اﻟﻔﺎﺻﻠﺔ ﺑـ ‪ ...‬ﻣﺮاﺕﺐ ﻧﺤﻮ ‪\"...‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﻧﻨﻘﻞ اﻟﻔﺎﺻﻠﺔ ﺑـ ‪ ...‬ﻣﺮاﺕﺐ ﻧﺤﻮ ‪B . ...‬‬‫‪15 000‬‬ ‫‪1,5‬‬ ‫‪25,4‬‬ ‫‪25 400 000‬‬ ‫‪2,8‬‬ ‫‪0,000 28‬‬

‫‪ .9‬أآﺘﺐ آ ّﻞ ﻋﺪد ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪ a × 10 n‬ﺑﺜﻼث آﻴﻔﻴﺎت ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ‪:‬‬ ‫‪ 100 200‬؛ ‪ 0,000 12‬؛ ‪−1002‬‬ ‫‪ .10‬ﻋّﻴﻦ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﺸﺮیﺔ ﻟﻸﻋﺪاد‪:‬‬ ‫‪2 × 10 6‬‬ ‫‪8,75 × 104‬‬ ‫‪3,8 × 10 3‬‬ ‫‪2 × 10 −6‬‬ ‫‪8,75 × 10 −4‬‬ ‫‪3,8 × 10 −3‬‬ ‫‪ .11‬ﻋّﻴﻦ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻟﻸﻋﺪاد‪:‬‬‫‪−45,7 × 10 −4‬‬ ‫‪−50 300 25,3 × 103‬‬ ‫‪22 000‬‬‫‪ .12‬ﻣﻦ ﺑﻴﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪ ،‬ﺕﻮﺟﺪ أﻋﺪاد ﻣﻜﺘﻮﺑﺔ ﻋﻠﻰ ﺵﻜﻞ ﻏﻴﺮ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ‪ .‬اﻟﻤﻄﻠﻮب ﺕﻌﻴﻴﻨﻬﺎ ﺙ ّﻢ‬ ‫آﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻌﻠﻤﻲ ؟‬ ‫‪ a = 2,74 × 10−8‬؛ ‪ b = 0,2 × 10 6‬؛ ‪ c = 65,5 × 10−2‬؛ ‪d = 2 005‬‬ ‫‪ .13‬اﺡﺼﺮ آ ّﻞ ﻋﺪد ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد اﻵﺕﻴﺔ ﺑﻘﻮﺕﻴﻦ ﻟﻠﻌﺪد ﻋﺸﺮة ﻟﻬﻤﺎ أﺱﺎن ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺎن‪:‬‬ ‫‪1,5 × 10−2‬‬ ‫؛‬ ‫‪ 5 × 10 3‬؛ ‪6 ,87 × 10 4‬‬ ‫‪ .14‬أﺟﺮ اﻟﺤﺴﺎﺑﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪240 000‬‬ ‫؛‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪15 × 10²‬‬ ‫؛‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪28 × 103‬‬ ‫‪0,000 02‬‬ ‫‪0,3 × 105‬‬ ‫‪0,4 × 104‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫وﺡﺎﺻﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫‪ .15‬أﻋﻂ رﺕﺒﺔ ﻣﻘﺪار اﻟﺠﺪاء ‪A × B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ A = 7 ,9 × 109‬؛ ‪B = 2,04 × 106‬‬ ‫ﺕﻌﻄﻰ اﻟﻨﺘﻴﺠﺘﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻌﻠﻤﻲ‪.‬‬‫‪ .16‬إذا ﻋﻠﻤﺖ أ ّن آﺘﻠﺔ اﻷرض هﻲ ‪ 6 × 1024 kg‬وأ ّن آﺘﻠﺔ اﻟﺸﻤﺲ هﻲ ‪. 2 × 1030 kg‬‬ ‫هﻞ ی ّﺼﺢ اﻟﻘﻮل أ ّن آﺘﻠﺔ اﻟﺸﻤﺲ ُﺕﻘ ّﺪر ﺑﺤﻮاﻟﻲ ‪ 333000‬ﻣ ّﺮة آﺘﻠﺔ اﻷرض ؟ ﻋّﻠﻞ‪.‬‬ ‫‪ .17‬اﺡﺴﺐ ﻣﺎ یﻠﻲ‪:‬‬‫‪ A = 5 × 23 − 4 × 6‬؛ ‪ B = 2 × (5 − 4)²‬؛ ) ‪C = (20 + 5 × 4² ) × (10² − 5²‬‬ ‫‪ (°1 .18‬ﻣﺎ هﻲ إﺵﺎرات اﻷﻋﺪاد‪ (−5)3 :‬؛ ‪ −5²‬؛ ‪(−5)4‬‬ ‫‪ (°2‬ﻃﻠﺐ ﻣﻦ ﺙﻼﺙﺔ ﺕﻼﻣﻴﺬ ﺡﺴﺎب ‪ ، 3 5‬ﻓﻜﺎﻧﺖ إﺟﺎﺑﺎﺕﻬﻢ آﻤﺎ یﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﻋﻤﺮ‪ 15 :‬؛ ﺱﻌﺎد‪ 243 :‬؛ إیﻤﺎن‪125 :‬‬ ‫ﻣﻦ أﻋﻄﻰ اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪ .‬ﻓ ّﺴﺮ أﺧﻄﺎء اﻵﺧﺮیﻦ‪.‬‬

‫‪( ) ( ) ( ) ( )2,5²‬‬‫‪2,53‬‬‫‪ 73 × 7²‬؛ ‪ 6 −5 × 6 7‬؛‬ ‫‪ .19‬أﺟﺮ اﻟﺤﺴﺎﺑﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫ﺕﻌﻄﻰ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﻋﻠﻰ ﺵﻜﻞ ﻗﻮة ﻋﺪد ﻧﺴﺒﻲ‪.‬‬ ‫‪.20‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‪ ABCD ،‬ﻣﺮﺑﻊ‪،‬‬ ‫‪ BEC‬ﻣﺜﻠﺚ ارﺕﻔﺎﻋﻪ ] ‪ [EH‬ﺡﻴﺚ‪:‬‬ ‫‪ AB = 15 cm‬؛ ‪EH = 10,5 cm‬‬‫أآﺘﺐ ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ ﺡﺴﺎب ﻣﺴﺎﺡﺔ اﻟﺠﺰء اﻟﻤﻠ ّﻮن‪ .‬أﺟﺮ‬ ‫اﻟﺤﺴﺎﺑﺎت‪.‬‬

‫• ﺗﺼﺤﻴﺢ اﻟﺘﻤﺎریﻦ واﻟﻤﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫ﺤ( أ ّس ﻗ ّﻮة‬ ‫ﺑ( ﻋﺎﻣﻞ ﺟﺪاء‬ ‫‪.1‬‬ ‫أ( ﺡ ّﺪ ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫‪100 = 1‬‬ ‫‪103 = 1000 .2‬‬ ‫‪10 −5 = 0,00001‬‬ ‫‪101 = 10‬‬ ‫‪ a = 105 .3‬؛ ‪ b = 106‬؛ ‪ c = 109‬؛ ‪d = 10 −4‬‬ ‫‪ .4‬أ( ‪ 1km = 103 m‬ﺑ( ‪ 1 t = 106 g‬ﺤ( ‪1dL = 10 − 2 hL‬‬ ‫‪ 10 − 3 .5‬؛ ‪ 10 −1‬؛ ‪ 102‬؛ ‪ 10 −5‬؛ ‪. 105‬‬ ‫‪ .6‬أ( ‪ 105‬؛ ‪ 10−7‬؛ ‪. 100‬‬ ‫؛ ‪ 10−3‬؛ ‪ 109‬؛ ‪. 106‬‬ ‫ﺑ( ‪104‬‬ ‫ﺤ( ‪ 106‬؛ ‪ 10−6‬؛ ‪ 10− 4‬؛ ‪. 1012‬‬ ‫‪10 9‬‬ ‫‪10 2 3 .7‬‬ ‫‪( )10 3‬‬ ‫؛ ‪ 10 2 × 10 3‬؛ ‪ 10−1 × 109 × 10−2‬؛‬ ‫‪10 6‬‬ ‫؛‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪.8‬‬‫‪15 000‬‬ ‫‪1,5‬‬ ‫ﻟﻼﻧﺘﻘﺎل ﻣﻦ ‪ A‬إﻟﻰ ‪: B‬‬ ‫‪25,4‬‬ ‫‪25 400 000‬‬ ‫‪2,8‬‬ ‫‪0,000 28‬‬ ‫ﻧﻨﻘﻞ اﻟﻔﺎﺻﻠﺔ ﺑـ ‪ 4‬ﻣﺮاﺕﺐ ﻧﺤﻮ اﻟﻴﺴﺎر ‪.‬‬ ‫ﻧﻨﻘﻞ اﻟﻔﺎﺻﻠﺔ ﺑـ ‪ 6‬ﻣﺮاﺕﺐ ﻧﺤﻮ اﻟﻴﻤﻴﻦ ‪.‬‬ ‫ﻧﻨﻘﻞ اﻟﻔﺎﺻﻠﺔ ﺑـ ‪ 4‬ﻣﺮاﺕﺐ ﺡﻮ اﻟﻴﺴﺎر ‪.‬‬ ‫‪100 200 = 1002 × 102 = 100,2 × 103 = 1,002 × 105 .9‬‬ ‫‪0,000 12 = 1,2 × 10−4 = 12 × 10−5 = 0,012 × 10−2‬‬ ‫‪−1002 = −1,002 × 103 = −10,02 × 102 = −0,1002 × 104‬‬ ‫‪2000 000‬‬ ‫‪ 3800 .10‬؛ ‪ 87500‬؛‬ ‫‪ 0,0038‬؛ ‪ 0,000875‬؛ ‪0,000002‬‬

‫‪ 22000 = 2,2 × 104 .11‬؛ ‪25,3 × 103 = 2,53 × 104‬‬ ‫‪ −50 300 = −5,03 × 104‬؛ ‪−45,7 × 10 −4 = −4,57 × 10−3‬‬ ‫‪ c = 65,5 × 10−2 = 6 ,55 × 10−1 .12‬؛ ‪d = 2 005 = 2,005 × 103‬‬ ‫‪ 104 < 0,5 × 104 < 105 .13‬؛ ‪ 104 < 6 ,87 × 104 < 105‬؛‬ ‫‪10−2 < 1,5 × 10−2 < 10−1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪28 × 103‬‬ ‫=‬ ‫‪28‬‬ ‫×‬ ‫‪10−1‬‬ ‫‪= 70 × 10−1‬‬ ‫‪= 7 × 101 × 10−1‬‬ ‫‪= 7 .14‬‬ ‫‪0,4 × 104‬‬ ‫‪0,4‬‬‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪15 × 10²‬‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫×‬ ‫‪10 −3‬‬ ‫‪= 50 × 10−3‬‬ ‫‪= 5 × 101 × 10−3‬‬ ‫‪= 5 × 10−2‬‬ ‫‪0,3 × 105‬‬ ‫‪0,3‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪240 000‬‬ ‫=‬ ‫‪24 × 104‬‬ ‫=‬ ‫‪24‬‬ ‫×‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪= 12 × 109‬‬ ‫‪0,000 02‬‬ ‫‪2 × 10−5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫≈‬ ‫‪4‬‬ ‫‪× 103‬‬ ‫؛‬ ‫‪A × B ≈ 2 × 1015 .15‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ .16‬ﻧﻌﻢ‪ .‬ﻷ ّن رﺕﺒﺔ ﻣﻘﺪار اﻟﻌﺪد ‪ 333000 × 6 × 1024‬هﻲ ‪. 2 × 1030‬‬ ‫‪ A = 16 .17‬؛ ‪ B = 1‬؛ ‪C = 7500‬‬ ‫‪ (°1 .18‬إﺵﺎرات اﻷﻋﺪاد‪ (−5)3 = −125 :‬؛ ‪ −5² = −25‬؛ ‪(−5)4 = 625‬‬ ‫‪ (°2‬اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻟﺴﻌﺎد‪243 :‬‬ ‫ﺕﻔﺴﻴﺮ اﻷﺧﻄﺎء‪:‬‬ ‫ﻋﻤﺮ‪ ) 15 :‬اﻋﺘﺒﺮ ‪( 35 = 3 × 5‬‬ ‫إیﻤﺎن‪ ) 125 :‬اﻋﺘﺒﺮت ‪( 35 = 5 × 5 × 5‬‬ ‫‪( ) ( ) ( )2,5²‬‬ ‫‪2,53‬‬ ‫‪= (2,5)−1‬‬ ‫؛‬ ‫‪6 −5‬‬ ‫‪× 67‬‬ ‫‪ 73‬؛ ‪= 62‬‬ ‫‪× (7² ) = 75 .19‬‬

‫‪ .20‬ﻟﺘﻜﻦ ﻣﺴﺎﺡﺔ اﻟﺠﺰء اﻟﻤﻠ ّﻮن ‪ ، A‬ﻧﺠﺪ ‪. A = 146 ,25 cm²‬‬‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪152‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(15‬‬ ‫×‬ ‫)‪10,5‬‬ ‫=‬ ‫‪225‬‬ ‫‪− 78,75‬‬ ‫=‬ ‫‪146 ,25‬‬ ‫ﻷ ّن‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺍﻟﺘﻨﺎﺴﺒﻴﺔ‬‫ﻭﺍﻟﺴﺭﻋﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌ ّﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻭﻀﻌﻴﺔ ﺘﻨﺎﺴﺒﻴﺔ ﻓﻲ ﺘﻤﺜﻴل ﺒﻴﺎﻨﻲ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌ ّﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻭﻅﻴﻑ ﺍﻟﺘﻨﺎﺴﺒﻴﺔ ﻻﺴﺘﻌﻤﺎل ﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﺯﻤﻥ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ‪ d = v × t‬ﻓﻲ ﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻘﻁﻭﻋﺔ‬ ‫ﻭﺍﻟﺯﻤﻥ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﺤﻭﻴل ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺘﻨﺎﺴﺒﻴﺔ ﻓﻲ ﻭﻀﻌﻴﺎﺕ ﺘﺩﺨل ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﺪرس‬ ‫• اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ واﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ‬ ‫• اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ واﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ‬ ‫• اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ واﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻤﺌﻮیﺔ‬ ‫• ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت‬ ‫• ﺣﻠﻮل اﻟﺘﻤﺎریﻦ واﻟﻤﺸﻜﻼت‬

‫• اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ واﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ‪:‬‬ ‫• ذآﻴﺮ‬‫ﻧﻘﻮل ﻋﻦ ﺟﺪول أﻋﺪاد أّﻧﻪ ﺟﺪول ﺗﻨﺎﺳﺒﻴﺔ ﻋﻨﺪﻡﺎ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺣﺪود ﺳﻄﺮ ﺏﻀﺮب آ ّﻞ ﺣﺪود اﻟﺴﻄﺮ اﻵﺧﺮ‬ ‫ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻌﺪد‪.‬‬ ‫ﻡﺜﺎل‬‫‪x 2 468‬‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل‬‫‪y 3 6 9 12 ×1,5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻨﺎﺴﺒﻴﺔ‬ ‫• اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ واﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ‬‫ﻧﺘﻌ ّﺮف ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺏﻴﺎﻧﻲ ﻋﻨﺪﻡﺎ ﺗﻜﻮن آ ّﻞ اﻟﻨﻘﺎط ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻻﺳﺘﻘﺎﻡﻴﺔ ﻡﻊ اﻟﻤﺒﺪأ‪.‬‬ ‫ﻡﺜﺎل ‪1‬‬ ‫‪x 10 15 20‬‬ ‫‪y 3 4,5 6‬‬ ‫آ ّﻞ ﺣﻮاﺻﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪4,5‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪= 0,3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪20‬‬ ‫ﻓﻬﻨﺎك ﺕﻨﺎﺱﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻥﻼﺣﻆ أ ّن اﻟﻨﻘﺎط ﻋﻠﻰ ﻥﻔﺲ‬ ‫اﻻﺱﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﺒﺪأ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬‫‪x246‬‬‫‪y 3 6 12‬‬ ‫ﻗﻴﻢ ‪ y‬ﻟﻴﺴﺖ ﻣﺘﻨﺎﺱﺒﺔ ﻣﻊ ﻗﻴﻢ ‪. x‬‬ ‫اﻟﺠﺪول ﻟﻴﺲ ﺝﺪول ﺕﻨﺎﺱﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻥﻼﺣﻆ أ ّن اﻟﻨﻘﺎط ﻟﻴﺴﺖ ﻋﻠﻰ ﻥﻔﺲ‬ ‫اﻻﺱﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﺒﺪأ‪.‬‬

‫• اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ واﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‬‫اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ‪) v‬اﻟﻮﺣﺪة ‪ ( km.h −1‬ﻟﻤﺘﺤ ّﺮك یﻘﻄﻊ ﻡﺴﺎﻓﺔ ‪) d‬اﻟﻮﺣﺪة ‪( km‬ﺧﻼل ﻡﺪة زﻡﻨﻴﺔ‬ ‫‪) t‬اﻟﻮﺣﺪة ‪ ( h‬هﻲ ﺣﺎﺹﻞ ﻗﺴﻤﺔ ‪ d‬ﻋﻠﻰ ‪: t‬‬ ‫‪v‬‬ ‫=‬ ‫‪d‬‬ ‫‪t‬‬‫ﻥﻼﺣﻆ أ ّن اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ )اﻟﻮﺣﺪة ‪ ( km‬ﻣﻦ ﻃﺮف اﻟﻤﺘﺤ ّﺮك ﻣﺘﻨﺎﺱﺒﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﺪة اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﻐﺮﻗﺔ‬ ‫)اﻟﻮﺣﺪة ‪ ( h‬وأ ّن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﺘﻨﺎﺱﺒﻴﺔ هﻮ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺱﻄﺔ )اﻟﻮﺣﺪة ‪ ( km.h −1‬ﻟﻬﺬا اﻟﻤﺘﺤ ّﺮك‪.‬‬ ‫ﻡﺜﺎل‬ ‫ﻗﻄﻌﺖ دراﺝﺔ ﻥﺎرﻳﺔ ﻣﺴﺎﻓﺔ ‪ 75 km‬ﺧﻼل ‪. 1 h 30 min‬‬ ‫اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺱﻄﺔ ﻟﻬﺎ هﻲ ‪ 75‬أي ‪. 50 km.h−1‬‬ ‫‪1,5‬‬‫‪t‬‬ ‫اﻟﻤﺪة اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ )‪(h‬‬ ‫‪1,5 1‬‬ ‫‪v‬‬‫‪ 75 50‬اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ )‪d (km‬‬ ‫هﺬا ﻳﻌﻨﻲ أ ّن اﻟﺪراﺝﺔ اﻟﻨﺎرﻳﺔ ﺕﻘﻄﻊ ﻣﻌﺪل ‪ 50 km‬آ ّﻞ ﺱﺎﻋﺔ‪.‬‬ ‫وﻥﻤﺜﻞ ﺣﺮآﺔ اﻟﺪرﺝﺔ اﻟﻨﺎرﻳﺔ ﺏﻴﺎﻥﻴﺎ آﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫وﺣﺪة اﻟﺴﺮﻋﺔ ﻣﺘﻌﻠﻘﺔ ﺏﻮﺣﺪﺕﻲ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ واﻟﺰﻣﻦ‪:‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺕﻜﻮن اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺏﺎﻟﻜﻴﻠﻮﻣﺘﺮ واﻟﺰﻣﻦ ﺏﺎﻟﺴﺎﻋﺔ‪ ،‬ﺕﻜﻮن وﺣﺪة اﻟﺴﺮﻋﺔ ‪ km.h−1‬وﻥﻜﺘﺐ أﻳﻀﺎ‬ ‫‪. km / h‬‬‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺕﻜﻮن اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺏﺎﻟﻤﺘﺮ واﻟﺰﻣﻦ ﺏﺎﻟﺜﺎﻥﻴﺔ‪ ،‬ﺕﻜﻮن وﺣﺪة اﻟﺴﺮﻋﺔ ‪ m.s−1‬وﻥﻜﺘﺐ أﻳﻀﺎ ‪. m / s‬‬ ‫• ﺗﺤﻮیﻞ وﺣﺪات ﻗﻴﺎس اﻟﺴﺮﻋﺔ‬ ‫ﺗﻤﺮیﻦ‬ ‫ﺕﺘﻨﻘﻞ دراﺝﺔ ﺏﺴﺮﻋﺔ ‪ ،72 km / h‬اﺣﺴﺐ ﺱﺮﻋﺘﻬﺎ ﺏـ ‪. m / s‬‬ ‫اﻟﺤ ّﻞ‬ ‫ﻥﺤ ّﻮل وﺣﺪات اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ واﻟﺰﻣﻦ‪:‬‬‫‪72 km = 72000 m‬؛ ‪1h = 3600 s‬‬ ‫‪72 000‬‬ ‫=‬ ‫وﻥﺠ ّﺪ‪20 :‬‬ ‫‪v(m /‬‬ ‫)‪s‬‬ ‫=‬ ‫‪d‬‬ ‫(‬ ‫)‪m‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪s‬‬ ‫ﻥﺤﺴﺐ اﻟﺴﺮﻋﺔ ﺏﺎﻟﻮﺣﺪة‬‫‪. 3600‬‬ ‫‪t‬‬ ‫(‬ ‫)‪s‬‬ ‫ﺱﺮﻋﺔ اﻟﺪراﺝﺔ ‪. 20m / s‬‬ ‫• ﺣﺴﺎب اﻟﺴﺮﻋﺔ أو اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ أو اﻟﺰﻡﻦ‬ ‫ﺕﺴﻤﺢ اﻟﻌﻼﻗﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺏﺤﺴﺎب ﺱﺮﻋﺔ أو ﻣﺴﺎﻓﺔ أو زﻣﻦ‪.‬‬

‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت‬‫‪ .1‬ﻳﺴﺘﻐﺮق ﻗﻄﺎر ﺱﺎﻋﺘﻴﻦ ورﺏﻊ ﻟﻘﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺔ ‪ . 360 km‬ﻣﺎ هﻲ ﺱﺮﻋﺘﻪ اﻟﻤﺘﻮﺱﻄﺔ )اﻟﻮﺣﺪة ‪( km.h−1‬‬ ‫؟‬ ‫اﻟﺤ ّﻞ‬ ‫‪.v‬‬ ‫=‬ ‫‪d‬‬ ‫ﻥﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﻤﺴﺎواة‬ ‫‪t‬‬‫‪.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪= 0,25‬‬ ‫ﺏﺤﻴﺚ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪15 min‬‬ ‫=‬ ‫‪2,25 h‬‬ ‫‪d‬؛‬ ‫=‬ ‫‪360 km‬‬ ‫ﻥﻌﻠﻢ أ ّن‬ ‫‪60‬‬ ‫‪.v‬‬ ‫=‬ ‫‪360‬‬ ‫=‬ ‫‪160‬‬ ‫ﻣﻨﻪ‬ ‫‪2,25‬‬ ‫أي أ ّن اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺱﻄﺔ ﻟﻠﻘﻄﺎر هﻲ ‪. 160 km.h−1‬‬‫‪ .2‬ﺱﺎﺋﻖ ﻳﺴﻴﺮ ﺏﺎﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺱﻄﺔ ‪ .72 km / h‬ﻣﺎ هﻲ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻲ ﻣﺪة ‪ 45 min‬؟‬ ‫اﻟﺤ ّﻞ‬ ‫ﻥﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﻤﺴﺎواة ‪. d = v × t‬‬ ‫ﻥﻌﻠﻢ أ ّن ‪ v = 72 km / h‬؛ ‪. 45 min = 0,75 h‬‬ ‫ﻣﻨﻪ ‪d = 72 × 0,75 = 54‬‬ ‫أي أ ّن اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ هﻲ ‪. 54 km‬‬ ‫‪ 540 km‬؟‬ ‫‪ .3‬ﺏﻨﻔﺲ ﻣﻌﻄﻴﺎت اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪ ، 2‬ﻣﺎ هﻲ اﻟﻤ ّﺪة اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﻟﻘﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺔ‬ ‫اﻟﺤ ّﻞ‬ ‫‪.t‬‬ ‫=‬ ‫‪d‬‬ ‫ﻥﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﻤﺴﺎواة‬ ‫‪v‬‬ ‫ﻥﻌﻠﻢ أ ّن ‪ d = 540 km‬؛ ‪. v = 72 km / h‬‬ ‫‪t‬‬ ‫=‬ ‫‪540‬‬ ‫‪= 7,5‬‬ ‫ﻣﻨﻪ‬ ‫‪72‬‬ ‫أي أ ّن اﻟﻤﺪة اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ هﻲ ‪.7h 30 min‬‬

‫• اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ واﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻤﺌﻮیﺔ ‪:‬‬ ‫• ﺗﺬآﻴﺮ‬ ‫ﻧﻌﻨﻲ ﺏﺤﺴﺎب أو ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻧﺴﺒﺔ ﻡﺌﻮیﺔ‪ ،‬اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﺘﻨﺎﺳﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮیﻦ ‪1‬‬‫ﻓﻲ ﻗﺴﻢ ﻣﻦ ‪ 36‬ﺕﻠﻤﻴﺬا‪ 27 ،‬ﺕﻠﻤﻴﺬا ﻳﻤﻠﻜﻮن ﺣﺎﺱﺒﺔ‪ .‬ﻣﺎ هﻲ اﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻤﺌﻮﻳﺔ ﻟﺘﻼﻣﻴﺬ اﻟﻘﺴﻢ اﻟﺬﻳﻦ ﻳﻤﻠﻜﻮن‬ ‫ﺣﺎﺱﺒﺔ ؟‬ ‫اﻟﺤ ّﻞ‬ ‫ﻣﻦ ﺏﻴﻦ ‪ 36‬ﺕﻠﻤﻴﺬا‪ 27 ،‬ﺕﻠﻤﻴﺬا ﻳﻤﻠﻜﻮن ﺣﺎﺱﺒﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﻨﻪ اﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻤﺌﻮﻳﺔ ﻟﺘﻼﻣﻴﺬ اﻟﻘﺴﻢ اﻟﺬﻳﻦ ﻳﻤﻠﻜﻮن ﺣﺎﺱﺒﺔ‪:‬‬ ‫‪. 75 %‬‬ ‫أي‬ ‫‪27‬‬ ‫‪× 100‬‬ ‫=‬ ‫‪75‬‬ ‫أي‬ ‫‪27‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﺗﻤﺮیﻦ ‪2‬‬‫ﻗﻄﻊ ﺱﺎﺋﻖ ‪ 45 km‬وهﻮ ﻣﺎ ﻳﻤﺜﻞ ‪ 12%‬ﻣﻦ ﻣﺸﻮارﻩ‪ .‬ﻣﺎ هﻮ ﻋﺪد آﻴﻠﻮﻣﺘﺮات هﺬا اﻟﻤﺸﻮار ؟‬ ‫اﻟﺤ ّﻞ‬ ‫ﻥﻌﻠﻢ أ ّن ﻥﺴﺒﺔ ‪ 12%‬ﻣﻦ اﻟﻤﺸﻮار ﻳﻘﺎﺏﻠﻬﺎ ‪. 45 km‬‬ ‫‪.x‬‬ ‫=‬ ‫‪45‬‬ ‫=‬ ‫‪375‬‬ ‫أي أ ّن‬ ‫‪0,12 × x‬‬ ‫=‬ ‫‪45‬‬ ‫ﻣﻌﻨﻰ ذﻟﻚ‬ ‫‪0,12‬‬ ‫ﻣﻨﻪ ﻃﻮل اﻟﻤﺸﻮار ‪. 375 km‬‬ ‫• ﺣﺴﺎب ﻣﺆﺵﺮ ﺕﻄﻮر ﻇﺎهﺮة ﻣﻌﻴﻨﺔ‬ ‫‪1995 2005‬‬ ‫ﻳﺒّﻴﻦ اﻟﺠﺪول اﻟﻤﻘﺎﺏﻞ ﺕﻄ ّﻮر ﺱﻌﺮ ﻣﺎدة ﺏﻴﻦ ‪1995‬‬‫ﺱﻌﺮ اﻟﻤﺎدة‬ ‫و ‪. 2005‬‬‫)‪( DA‬‬ ‫‪350 434‬‬ ‫ﺏﻔﺮض أ ّن ﻗﻴﻤﺔ هﺬﻩ اﻟﻤﺎدة هﻲ ‪ ، 100 DA‬ﺱﻨﺔ‬ ‫‪ ، 1995‬ﻣﺎ هﻲ ﺱﻌﺮهﺎ‪ ،‬ﺱﻨﺔ ‪ ، 2005‬ﺏﺎﺣﺘﺮام ﻥﻔﺲ‬ ‫ﺣﺼﺺ اﻟﺘﻄ ّﻮر اﻟﻤﺒّﻴﻨﺔ ﻓﻲ اﻟﺠﺪول ؟‬ ‫ﻥﺴ ّﻤﻲ هﺬا اﻟﺴﻌﺮ ﻣﺆﺵﺮ ‪ 2005‬أﺱﺎﺱﻪ ‪ ، 100‬ﺱﻨﺔ ‪. 1995‬‬ ‫اﻟﺤ ّﻞ‬ ‫ﺱﻌﺮ اﻟﻤﺎدة‬ ‫‪1995‬‬ ‫‪2005‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪100‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ‫‪350‬‬ ‫‪434‬‬ ‫‪434‬‬ ‫‪350‬‬ ‫)‪( DA‬‬ ‫‪100 x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪434 × 100‬‬ ‫=‬ ‫‪124‬‬ ‫ﻣﻨﻪ‬ ‫اﻟﻤﺆﺵﺮ‬ ‫‪350‬‬‫)أﺱﺎس ‪ ،100‬ﺱﻨﺔ ‪(1995‬‬

‫وﺏﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻳﻜﻮن ﻣﺆﺵﺮ ‪ 2005‬اﻟﺬي أﺱﺎﺱﻪ‬ ‫‪ ، 100‬ﺱﻨﺔ ‪ 1995‬هﻮ ‪. 124‬‬ ‫وﻥﺮﺝﻢ هﺬا اﻟﻤﺆﺵﺮ ﺏﺎﻟﻘﻮل أ ّن ﺏﻴﻦ‬‫‪ 1995‬و ‪ُ 2005‬ﺱﺠﻠﺖ زﻳﺎدة ‪24%‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺱﻌﺮ هﺬﻩ اﻟﻤﺎدة‪.‬‬

‫• ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت‪:‬‬ ‫ﻋّﻴﻦ‪ ،‬ﻣﻦ ﺏﻴﻦ هﺬﻩ اﻟﺠﺪاول‪ ،‬ﺕﻠﻚ اﻟﺘﻲ ﺕﻤّﺜﻞ ﺕﻨﺎﺱﺒﻴﺔ‪:‬‬ ‫أ( ﺏ(‬‫‪6 9 12‬‬ ‫‪4 12 24‬‬‫‪9 13 18‬‬ ‫‪5 15 30‬‬ ‫د(‬ ‫ﺤ(‬ ‫‪5 12 18‬‬‫‪3,75 9 13,5‬‬ ‫‪24 16‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪27 18 10‬‬ ‫‪ (1 .2‬اﻥﻘﻞ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ ﺙ ّﻢ أآﻤﻠﻪ‪ .‬اﻋﺘﺒﺮ ‪π = 3,14‬‬ ‫اﻟﻘﺮص‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪D2‬‬ ‫‪D3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1,5‬‬ ‫‪3‬‬‫ﻥﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ )‪(cm‬‬ ‫اﻟﻤﺤﻴﻂ )‪(cm‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ) ‪(cm²‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪(2‬هﻞ اﻟﻤﺤﻴﻄﺎت ﻣﺘﻨﺎﺱﺒﺔ ﻣﻊ أﻥﺼﺎف اﻷﻗﻄﺎر ؟‬ ‫‪ (3‬هﻞ اﻟﻤﺴﺎﺣﺎات ﻣﺘﻨﺎﺱﺒﺔ ﻣﻊ أﻥﺼﺎف اﻷﻗﻄﺎر ؟‬‫‪ (4‬ﺏﺎﺱﺘﻌﻤﺎل ورق ﻣﻴﻠﻴﻤﺘﺮي وﻟﻮﻥﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ‪ ،‬ﻣّﺜﻞ ﻓﻲ ﻥﻔﺲ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺤﻴﻄﺎت واﻟﻤﺴﺎﺣﺎت ﺏﺪﻻﻟﺔ أﻥﺼﺎف‬ ‫اﻷﻗﻄﺎر‪.‬‬ ‫‪ (5‬آﻴﻒ ﻥﺘﺤﻘﻖ ﻥﺘﻴﺠﺔ اﻟﺴﺆال اﻷ ّول ﺏﺎﺱﺘﻌﻤﺎل اﻟﺘﻤﺜﻴﻠﻴﻦ اﻟﺒﻴﺎﻥﻴﻴﻦ ؟‬ ‫‪ .3‬ﺕﺴﺘﻬﻠﻚ ﺱﻴﺎرة ﻣﻌﺪل ‪ 5‬ﻟﺘﺮات ﻣﻦ اﻟﺒﻨﺰﻳﻦ آ ّﻞ ‪. 100 km‬‬ ‫‪ (1‬ﻣﺎ هﻮ ﻣﻌﺪل اﺱﺘﻬﻼآﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﻜﻴﻠﻮﻣﺘﺮ اﻟﻮاﺣﺪ ؟‬ ‫‪ (2‬ﻣﺎ هﻲ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻲ ﺕﻘﻄﻌﻬﺎ اﻟﺴﻴﺎرة ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺕﺴﺘﻬﻠﻚ ﻟﺘﺮا ﻣﻦ اﻟﺒﻨﺰﻳﻦ ؟‬ ‫‪ (1 .4‬اﻥﻘﻞ ﺙ ّﻢ أآﻤﻞ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y ...‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (2‬ﺕﺤﻘﻖ ﺏﻴﺎﻥﻴﺎ ﻣﻦ اﻟﺘﻨﺎﺱﺒﻴﺔ ﺏﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻨﻘﺎط ذات اﻹﺣﺪاﺙﻴﺎت ‪( ). x ; y‬‬

‫‪ .5‬ﺣ ّﻮل ﻓﻲ اﻟﻨﻈﺎم اﻟﻌﺸﺮي ﻣﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬‫‪ 30 min = ... h‬؛ ‪ 36 min = ... h‬؛ ‪3 h 20 min = ... h‬‬ ‫‪ .6‬ﺏﺎﻋﺘﺒﺎر اﻟﺴﺎﻋﺔ آﻮﺣﺪة‪ ،‬ﻋّﺒﺮ ﻋﻦ اﻟﻤﺪد اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺏﻜﺘﺎﺏﺔ ﻋﺸﺮﻳﺔ‪:‬‬ ‫أ( ‪ 2 h 30 min‬ﺏ( ‪1 h 12 min‬‬ ‫‪ .7‬ﺏﺎﻋﺘﺒﺎر اﻟﺴﺎﻋﺔ آﻮﺣﺪة‪ ،‬ﻋّﺒﺮ ﻋﻦ اﻟﻤﺪد اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺏﻜﺘﺎﺏﺔ آﺴﺮﻳﺔ‪:‬‬ ‫أ( ‪ 15 min‬ﺏ( ‪ 30 min‬ﺤ( ‪2 h 45 min‬‬ ‫‪ .8‬ﻳﺠﺮي ﻣﺤﻤﺪ ﻣﺴﺎﻓﺔ ‪ 200 m‬ﻓﻲ ﻣﺪة ‪. 25 s‬‬ ‫‪ (1‬اﺣﺴﺐ ﺱﺮﻋﺘﻪ اﻟﻤﺘﻮﺱﻄﺔ ﺏﺎﻟﻤﺘﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﺜﺎﻥﻴﺔ ‪( ). m / s‬‬ ‫‪ (2‬ﻋّﺒﺮ ﻋﻦ هﺬﻩ اﻟﺴﺮﻋﺔ ﺏﺎﻟﻜﻴﻠﻮﻣﺘﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺎﻋﺔ ‪( ). km / h‬‬‫‪ .9‬ﺵﺨﺼﺎن ﻳﺘﻨﻘﻼن‪ ،‬اﻷ ّول ﺏﺎﻟﺴﺮﻋﺔ ‪ 7 ,5 m / s‬واﻵﺧﺮ ﺏﺎﻟﺴﺮﻋﺔ ‪. 25 km / h‬‬ ‫أﻳﻬﻤﺎ أﺱﺮع ؟‬ ‫‪ .10‬اﻥﻘﻞ ﺙ ّﻢ أآﻤﻞ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬ ‫‪180 km‬‬ ‫‪...km‬‬ ‫‪3 km‬‬‫اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ‬ ‫‪3h‬‬ ‫‪2,5 h‬‬ ‫‪...min‬‬ ‫‪540 km.h−1‬‬ ‫‪9 km.h−1‬‬ ‫اﻟﺰﻣﻦ‬ ‫‪...km.h−1‬‬‫اﻟﻤﺴﺘﻐﺮق‬ ‫اﻟﺴﺮﻋﺔ‬‫اﻟﻤﺘﻮﺱﻄﺔ‬ ‫‪ .11‬ﻗﻄﻌﺖ ﺱﻴﺎرة ﻣﺴﺎﻓﺔ ‪ 140 km‬ﻓﻲ ﻣﺪة ‪. 1h 45 min‬‬ ‫اﺣﺴﺐ ﺱﺮﻋﺘﻬﺎ اﻟﻤﺘﻮﺱﻄﺔ‪.‬‬‫‪ .12‬ﻳﻄﻴﺮ ﻋﺼﻔﻮر ﺏﺴﺮﻋﺔ ﻣﺘﻮﺱﻄﺔ ‪ 36 km.h−1‬ﻣﺪة ‪. 10 min‬‬ ‫ﻣﺎ هﻲ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ؟‬

‫‪ .13‬ﻳﻤّﺜﻞ اﻟﺒﻴﺎن اﻟﺘﺎﻟﻲ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﻃﺮف ﺱﺎﺋﻖ ﺏﺪﻻﻟﺔ اﻟﺰﻣﻦ‪:‬‬ ‫‪ (1‬اﺣﺴﺐ ﺱﺮﻋﺔ اﻟﺴﺎﺋﻖ ﻓﻲ اﻟﺸﻄﺮ اﻷ ّول ﻣﻦ اﻟﻤﺸﻮار ﺏـ ‪( ). km / h‬‬ ‫‪ (2‬اﺣﺴﺐ ﺱﺮﻋﺘﻪ ﻓﻲ اﻟﺸﻄﺮ اﻟﺜﺎﻥﻲ ﻣﻦ اﻟﻤﺸﻮار‪.‬‬ ‫‪ (3‬اﺣﺴﺐ ﺱﺮﻋﺘﻪ ﻋﻠﻰ آ ّﻞ اﻟﻤﺸﻮار‪.‬‬ ‫‪ .14‬ﺧﺮج ﺱﺎﺋﺢ ﺏﺪراﺝﺘﻪ ﻓﻲ ﻥﺰهﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺎﻋﺔ ‪ 7 h 45 min‬و ُﺱﺠﻞ ﻋﻠﻰ ﻋ ّﺪاد دراﺝﺘﻪ‬ ‫‪ 12 353 km‬ورﺝﻊ ﻋﻠﻰ ‪ 11h 15 min‬وﻳﺒّﻴﻦ اﻟﻌ ّﺪاد ‪. 12 430 km‬‬ ‫‪ (1‬ﻣﺎ هﻲ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻲ ﻗﻄﻌﻬﺎ ؟‬ ‫‪ (2‬ﻣﺎ هﻲ اﻟﻤﺪة اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ اﻟﺘﻲ اﺱﺘﻐﺮﻗﻬﺎ ؟‬ ‫‪ (3‬ﻣﺎ هﻲ ﺱﺮﻋﺘﻪ اﻟﻤﺘﻮﺱﻄﺔ ﺏـ )‪ (km / h‬؟‬ ‫‪ .15‬اﺣﺴﺐ‪ 50 % :‬ﻣﻦ ‪ 68,5‬؛ ‪ 0,2%‬ﻣﻦ ‪ 730‬؛ ‪ 125%‬ﻣﻦ ‪40‬‬ ‫‪ .16‬ﻣﻦ ﺏﻴﻦ ‪ 485‬ﺕﻠﻤﻴﺬا ﻟﻤﺪرﺱﺔ‪ُ ،‬ﺱ ّﺠﻞ ‪ 50‬ﻏﺎﺋﺒﺎ‪.‬‬ ‫هﻞ ﻳﻮﺝﺪ أﻗﻞ ﻣﻦ ‪ 10%‬ﻣﻦ اﻟﺘﻼﻣﻴﺬ اﻟﻐﺎﺋﺒﻴﻦ أو أآﺜﺮ ؟‬‫‪ .17‬ﻋﺪد اﻟﻤﺴﺠﻠﻴﻦ اﻟﺒﺎﻟﻐﻴﻦ ﻓﻲ ﺏﻠﺪﻳﺔ هﻮ ‪ . 1600‬اﻥﺘﺨﺐ ‪ 1020‬ﻣﻨﻬﻢ‪ ،‬وﻣﻦ ﺏﻴﻦ هﺆﻻء ﻥﻌ ّﺪ ‪ 51‬ورﻗﺔ‬ ‫ﻣﻠﻐﺎة‪.‬‬ ‫‪ (1‬ﻣﺎ هﻲ ﻥﺴﺒﺔ اﻷوراق اﻟﻤﻠﻐﺎة ؟‬ ‫‪ (2‬ﻣﺎ هﻲ ﻥﺴﺒﺔ اﻟﻤﻤﺘﻨﻌﻴﻦ ؟‬ ‫‪ .18‬ﻗ ّﺮر ﺻﺎﺣﺐ ﻣﺤ ّﻞ ﺕﺠﺎري ﺕﺨﻔﻴﺾ ‪ 20%‬ﻋﻦ آ ّﻞ اﻟﻤﻮاد اﻟﺘﻲ ﻳﺒﻴﻌﻬﺎ‪ .‬زﻳﺎدة ﻋﻠﻰ ذﻟﻚ‪ ،‬ﻳﻤﻨﺢ زﺏﺎﺋﻨﻪ‬ ‫اﻟﻤﺘﻤﺪرﺱﻴﻦ ﺕﺨﻔﻴﺾ ‪ . 5%‬اﺵﺘﺮى اﻟﺘﻠﻤﻴﺬ \"ﻋﻤﺮ\" ﺣﺎﺱﺒﺔ ﺏﺜﻤﻦ ‪ . 180 DA‬ﻣﺎ هﻮ اﻟﺴﻌﺮ اﻷﺻﻠﻲ‬ ‫ﻟﻠﺤﺎﺱﺒﺔ ؟‬

‫‪ .19‬ﺙﻤﻦ آﺮاء ﻣﺴﻜﻦ هﻮ ‪ 495 DA‬ﻓﻲ ﺝﺎﻥﻔﻲ ‪ . 1999‬ارﺕﻔﻊ ﺙﻤﻦ هﺬا اﻟﻜﺮاء ﻓﻲ ﺝﺎﻥﻔﻲ ‪ 2002‬إﻟﻰ‬‫‪ 544,50 DA‬وزاد ﻓﻲ ﺝﺎﻥﻔﻲ ‪ 2005‬ﺏﻨﺴﺒﺔ ‪ . 10 %‬اﻥﻘﻞ ﺙ ّﻢ أآﻤﻞ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫ﺙﻤﻦ اﻟﻜﺮاء‬ ‫‪1999‬‬ ‫‪2002‬‬ ‫‪2005‬‬‫)‪( DA‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫اﻟﻤﺆﺵﺮ‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬‫)اﻷﺱﺎس ‪ 100‬ﻓﻲ ‪( 1999‬‬

‫• ﺣﻠﻮل اﻟﺘﻤﺎریﻦ واﻟﻤﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫‪.‬‬‫‪6 9 12‬‬ ‫‪4 12 24‬‬‫‪9 13 18‬‬ ‫‪5 15 30‬‬‫اﻟﺠﺪول ﻻ ﻳﻤّﺜﻞ ﺕﻨﺎﺱﺒﻴﺔ‪ ،‬ﻷ ّن ﺣﻮاﺻﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫اﻟﺠﺪول هﻮ ﺝﺪول ﺕﻨﺎﺱﺒﻴﺔ‪ ،‬ﻷ ّن ﺣﻮاﺻﻞ‬ ‫ﻟﻴﺴﺖ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ آّﻠﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ وﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﺘﻨﺎﺱﺒﻴﺔ‬ ‫‪24‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫‪30‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬‫‪9‬‬ ‫و ‪= 0,692‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪0,667‬‬‫‪13‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪18‬‬ ‫هﻮ ‪. 0,8‬‬ ‫‪5 12 18‬‬ ‫‪24 16‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3,75 9 13,5‬‬ ‫‪27 18 10‬‬‫اﻟﺠﺪول هﻮ ﺝﺪول ﺕﻨﺎﺱﺒﻴﺔ‪ ،‬ﻷ ّن ﺣﻮاﺻﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫ﺏﺎﻟﻤﺜﻞ‪ ،‬ﻥﺒّﻴﻦ أ ّن اﻟﺠﺪول ﻻ ﻳﻤّﺜﻞ ﺕﻨﺎﺱﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ وﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﺘﻨﺎﺱﺒﻴﺔ هﻮ ‪. 1,333‬‬ ‫اﻟﻘﺮص‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪D2‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1,5‬‬ ‫‪(1‬‬‫ﻥﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ )‪(cm‬‬ ‫‪6 ,28‬‬ ‫‪9,42‬‬ ‫اﻟﻤﺤﻴﻂ )‪(cm‬‬ ‫‪6 ,28‬‬ ‫‪14,13‬‬ ‫‪D3‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ) ‪(cm²‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪18,84‬‬ ‫‪56 ,52‬‬ ‫‪ (2‬اﻟﻤﺤﻴﻄﺎت ﻣﺘﻨﺎﺱﺒﺔ ﻣﻊ أﻥﺼﺎف اﻷﻗﻄﺎر‪.‬‬ ‫‪ (3‬اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻨﺎﺱﺒﺔ ﻣﻊ أﻥﺼﺎف اﻷﻗﻄﺎر‪.‬‬‫‪ (4‬ﺏﺎﺱﺘﻌﻤﺎل ورق ﻣﻴﻠﻴﻤﺘﺮي‪ ،‬ﻥﻤّﺜﻞ ﺏﺎﻟﻠﻮن اﻷﺣﻤﺮ ﻗﻴﻢ اﻟﻤﺤﻴﻄﺎت ﺏﺪﻻﻟﺔ أﻥﺼﺎف اﻷﻗﻄﺎر وﺏﺎﻷﺧﻀﺮ‬ ‫ﻗﻴﻢ اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت ﺏﺪﻻﻟﺔ أﻥﺼﺎف اﻷﻗﻄﺎر‪.‬‬

‫‪ (5‬ﻥﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻥﺘﻴﺠﺔ اﻟﺴﺆال اﻷ ّول‬ ‫ﺏﺎﺱﺘﻌﻤﺎل اﻟﺘﻤﺜﻴﻠﻴﻦ اﻟﺒﻴﺎﻥﻴﻴﻦ‬ ‫ﺏﻤﻼﺣﻈﺔ أ ّن اﻟﻨﻘﺎط )‪، A(1 ; 6 ,28‬‬ ‫)‪C (3 ; 18,84) ، B (1,5 ; 9,42‬‬ ‫واﻗﻌﺔ ﻋﻠﻰ ﻥﻔﺲ اﻻﺱﺘﻘﺎﻣﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﺒﺪأ‪.‬‬ ‫وهﻮ ﻣﺎ ﻳﺆآﺪ ﺕﻨﺎﺱﺐ اﻟﻤﺤﻴﻄﺎت ﻣﻊ أﻥﺼﺎف‬ ‫اﻷﻗﻄﺎر‪.‬‬ ‫ﺏﻴﻨﻤﺎ اﻟﻨﻘﺎط )‪، A' (1 ; 6 ,28‬‬ ‫)‪C' (3 ; 56 ,52) ، B' (1,5 ; 14,13‬‬ ‫ﻟﻴﺴﺖ ﻋﻠﻰ ﻥﻔﺲ اﻻﺱﺘﻘﺎﻣﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﺒﺪأ ‪.‬‬ ‫وهﻮ ﻣﺎ ﻳﺆآﺪ ﻋﺪم ﺕﻨﺎﺱﺐ اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت ﻣﻊ أﻥﺼﺎف اﻷﻗﻄﺎر‪.‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪ (1‬ﻣﻌﺪل اﺱﺘﻬﻼك اﻟﺴﻴﺎرة ﻓﻲ اﻟﻜﻴﻠﻮﻣﺘﺮ اﻟﻮاﺣﺪ هﻮ‪. 0,05 l :‬‬ ‫‪ (2‬اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻲ ﺕﻘﻄﻌﻬﺎ اﻟﺴﻴﺎرة ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺕﺴﺘﻬﻠﻚ ﻟﺘﺮا ﻣﻦ اﻟﺒﻨﺰﻳﻦ هﻲ‪. 20 km :‬‬ ‫‪(1 .4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y 2,5 1,2 0,438 3‬‬ ‫‪ (2‬ﻥﺘﺤﻘﻖ ﺏﻴﺎﻥﻴﺎ ﻣﻦ اﻟﺘﻨﺎﺱﺒﻴﺔ ﺏﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻨﻘﺎط ذات اﻹﺣﺪاﺙﻴﺎت ‪( )، x ; y‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ﻥﺠﺪ اﻟﻨﻘﺎط ﻋﻠﻰ ﻥﻔﺲ اﻻﺱﺘﻘﺎﻣﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﺒﺪأ‪.‬‬‫‪3‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪min‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ 36 min = 0,6 h‬؛ ‪h‬‬ ‫؛‬ ‫‪30 min = 0,5 h .5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .6‬ﺏﺎﻋﺘﺒﺎر اﻟﺴﺎﻋﺔ آﻮﺣﺪة‪ ،‬ﻥﻌّﺒﺮ ﻋﻦ اﻟﻤﺪد اﻟﻤﻌﻄﺎة ﺏﻜﺘﺎﺏﺔ ﻋﺸﺮﻳﺔ‪:‬‬ ‫أ( ‪ 2 h 30 min = 2,5h‬ﺏ( ‪1 h 12 min = 1,2 h‬‬ ‫‪ .7‬ﺏﺎﻋﺘﺒﺎر اﻟﺴﺎﻋﺔ آﻮﺣﺪة‪ ،‬ﻥﻌّﺒﺮ ﻋﻦ اﻟﻤﺪد اﻟﻤﻌﻄﺎة ﺏﻜﺘﺎﺏﺔ آﺴﺮﻳﺔ‪:‬‬‫‪2‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪min‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫‪h‬‬ ‫ﺤ(‬ ‫‪30‬‬ ‫‪min‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪h‬‬ ‫ﺏ(‬ ‫‪15‬‬ ‫‪min‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪h‬‬ ‫أ(‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ (1 .8‬اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺱﻄﺔ هﻲ ‪. 8m / s‬‬ ‫‪(2‬ﻥﺤﺴﺐ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ ﻓﻲ ﺱﺎﻋﺔ واﺣﺪة ) ‪:( 1h = 3600s‬‬ ‫‪8 × 3600 = 28800‬‬ ‫هﺬﻩ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻣﻘﺎﺱﺔ ﺏﺎﻟﻤﺘﺮ‪ ،‬ﻥﺤﻮﻟﻬﺎ إﻟﻰ اﻟﻜﻴﻠﻮﻣﺘﺮ‪28800 m = 28,8 km :‬‬

‫ﻓﺘﻜﻮن اﻟﺴﺮﻋﺔ‪. 28,8 km.h−1 :‬‬ ‫‪ .9‬ﻟﻤﻘﺎرﻥﺔ اﻟﺴﺮﻋﺘﻴﻦ‪ ،‬ﻥﻜﺘﺒﻬﻤﺎ ﺏﻨﻔﺲ اﻟﻮﺣﺪة‪25 km / h = 6 ,944 m / s :‬‬ ‫اﻷﺱﺮع هﻮ اﻟﺬي ﻳﺘﻨﻘﻞ ﺏﺎﻟﺴﺮﻋﺔ ‪.7 ,5 m / s‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬ ‫‪180 km‬‬ ‫‪1350 km‬‬ ‫‪.10‬‬ ‫اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ‬ ‫‪3h‬‬ ‫‪2,5 h‬‬ ‫‪3 km‬‬ ‫اﻟﺰﻣﻦ‬ ‫‪60 km.h−1‬‬ ‫‪540 km.h−1‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻐﺮق‬ ‫‪20 min‬‬ ‫اﻟﺴﺮﻋﺔ‬ ‫‪9 km.h−1‬‬ ‫اﻟﻤﺘﻮﺱﻄﺔ‬ ‫‪v‬‬ ‫=‬ ‫‪140‬‬ ‫=‬ ‫‪80 km‬‬ ‫‪/‬‬ ‫هﻲ‪h :‬‬ ‫اﻟﻤﺘﻮﺱﻄﺔ‬ ‫اﻟﺴﺮﻋﺔ‬ ‫‪.11‬‬ ‫‪1,75‬‬ ‫‪ .12‬اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ‪d = 36 × 0,167 ≈ 6 km :‬‬‫‪ (2‬اﻟﺴﺮﻋﺔ ﻓﻲ‬ ‫‪v1‬‬ ‫=‬ ‫‪40‬‬ ‫≈‬ ‫‪96 km /‬‬ ‫ﻣﻦ اﻟﻤﺸﻮار‪h :‬‬ ‫اﻟﺸﻄﺮ اﻷ ّول‬ ‫‪ (1‬اﻟﺴﺮﻋﺔ ﻓﻲ‬ ‫‪.13‬‬ ‫‪0,147‬‬ ‫اﻟﺸﻄﺮ اﻟﺜﺎﻥﻲ ﻣﻦ اﻟﻤﺸﻮار‪. v2 = 0 km / h :‬‬ ‫‪.v‬‬ ‫=‬ ‫‪120‬‬ ‫=‬ ‫‪60 km /‬‬ ‫‪h‬‬ ‫اﻟﻤﺸﻮار‪:‬‬ ‫آ ّﻞ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺴﺮﻋﺔ‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (1 .14‬اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ‪d = 12430 − 12353 = 77 km :‬‬ ‫‪ (2‬اﻟﻤﺪة اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﻐﺮﻗﺔ‪t = 3,5 h :‬‬ ‫‪v‬‬ ‫=‬ ‫‪77‬‬ ‫=‬ ‫‪22 km‬‬ ‫‪/‬‬ ‫اﻟﻤﺘﻮﺱﻄﺔ‪h :‬‬ ‫اﻟﺴﺮﻋﺔ‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪3,5‬‬ ‫‪ 34,25 .15‬؛ ‪ 1,46‬؛ ‪50‬‬ ‫‪ .16‬ﻳﻮﺝﺪ أآﺜﺮ ﻣﻦ ‪ 10%‬ﻣﻦ اﻟﺘﻼﻣﻴﺬ اﻟﻐﺎﺋﺒﻴﻦ‪.‬‬ ‫‪ (1 .17‬ﻥﺴﺒﺔ اﻷوراق اﻟﻤﻠﻐﺎة‪. 5% :‬‬ ‫‪ (2‬ﻥﺴﺒﺔ اﻟﻤﻤﺘﻨﻌﻴﻦ‪. 36 ,25% :‬‬ ‫‪ .18‬اﻟﺴﻌﺮ اﻷﺻﻠﻲ ﻟﻠﺤﺎﺱﺒﺔ‪. 240 DA :‬‬

‫ﺙﻤﻦ اﻟﻜﺮاء‬ ‫‪1999‬‬ ‫‪2002‬‬ ‫‪.19‬‬ ‫‪495‬‬ ‫‪544,50‬‬ ‫)‪( DA‬‬ ‫‪2005‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪598,95‬‬ ‫اﻟﻤﺆﺵﺮ‬ ‫‪121‬‬‫)اﻷﺱﺎس ‪ 100‬ﻓﻲ ‪( 1999‬‬

‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ ﻭﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻤﺤﻴﻁﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻤﺤﻴﻁﺔ ﺒﺎﻟﻤﺜﻠﺙ ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ‪.‬‬‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻕ ﺒﺎﻟﻭﺘﺭ ﻓﻲ ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ‪.‬‬ ‫ﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﺪرس‬ ‫• ﺗﺬآﻴﺮ‬ ‫• اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ واﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﻴﻄﺔ‬ ‫• اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ واﻟﻤﺘﻮﺳﻂ اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻮﺗﺮ‬ ‫• ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت‬ ‫• ﺡﻠﻮل اﻟﺘﻤﺎریﻦ و اﻟﻤﺸﻜﻼت‬

‫• ﺗﺬآﻴﺮ‪:‬‬ ‫• ﻡﺤﻮر ﻗﻄﻌﺔ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‬ ‫ﻡﺤﻮر ﻗﻄﻌﺔ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ هﻮ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي یﻌﺎﻡﺪ هﺬﻩ اﻟﻘﻄﻌﺔ ﻓﻲ ﻡﻨﺘﺼﻔﻬﺎ‪.‬‬ ‫اﻟﺨﺎﺹﻴﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة‬ ‫‪ -‬اﻟﺨﺎﺹﻴﺔ‬ ‫إذا آﺎﻥﺖ ﻥﻘﻄﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻡﺤﻮر ﻗﻄﻌﺔ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﺈﻥﻬﺎ ﻡﺘﺴﺎویﺔ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬ ‫ﻋﻦ ﻃﺮﻓﻲ هﺬﻩ اﻟﻘﻄﻌﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬اﻟﺨﺎﺹﻴﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ‬ ‫إذا آﺎﻥﺖ ﻥﻘﻄﺔ ﻡﺘﺴﺎویﺔ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻦ ﻃﺮﻓﻲ ﻗﻄﻌﺔ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ‪ ،‬ﻓﺄﻥﻬﺎ ﺗﻨﺘﻤﻲ‬ ‫إﻟﻰ ﻡﺤﻮر هﺬﻩ اﻟﻘﻄﻌﺔ‪.‬‬ ‫‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﻣﺤﻮر ]‪[ AB‬‬ ‫‪MA = MB‬‬ ‫ﻡﻼﺡﻈﺔ‪ :‬یﻤﻜﻦ ﺗﻠﺨﻴﺺ اﻟﺨﺎﺹﺘﻴﻦ اﻟﺴﺎﺑﻘﺘﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﺨﺎﺹﻴﺔ اﻟﻤﻤّﻴﺰة اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻣﺤﻮر ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ هﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ اﻟﻤﺘﺴﺎویﺔ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻦ ﻃﺮﻓﻲ‬ ‫هﺬﻩ اﻟﻘﻄﻌﺔ‪.‬‬ ‫• اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﻴﻄﺔ ﺑﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‪:‬‬‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ‪ ،‬اﻟﻤﺤﺎور اﻟﺜﻼﺙﺔ ﺕﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ‪ .‬هﺬﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻣﺘﺴﺎویﺔ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻦ رؤوس اﻟﻤﺜﻠﺚ وهﻲ‬ ‫ﻣﺮآﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﻴﻄﺔ ﺑﻬﺬا اﻟﻤﺜﻠﺚ‪.‬‬

‫اﻟﻤﺤﺎور اﻟﺜﻼﺙﺔ )‪ (d’’) ،(d’) ،(d‬ﺕﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ ،O‬ﻣﺮآﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﻴﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺜﻠﺚ ‪..ABC‬‬

‫‪ .2‬اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ واﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﻴﻄﺔ ‪:‬‬ ‫ﺥﺎﺹﻴﺔ‪:‬‬ ‫إذا آﺎن ﻡﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻤﺎ‪ ،‬ﻓﺈ ّن وﺗﺮﻩ یﻜﻮن ﻗﻄﺮا ﻟﻠﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﻴﻄﺔ ﺑﻪ‪.‬‬ ‫‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ . A‬إذن ‪ BC‬ﻗﻄﺮ ﻟﻠﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﻴﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺜﻠﺚ ‪[ ]. ABC‬‬ ‫إﺳﺘﻨﺘﺎج‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻡﻨﺘﺼﻒ اﻟﻮﺗﺮ هﻮ ﻡﺮآﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﻴﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺜﻠﺚ‪.‬‬‫‪ -‬ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻟﺬي یﺼﻞ ﺑﻴﻦ رأس اﻟﺰاویﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ وﻡﻨﺘﺼﻒ اﻟﻮﺗﺮ یﺴﺎوي ﻥﺼﻒ اﻟﻮﺗﺮ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺥﺎﺹﻴﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ‬‫إذا آﺎن ﻡﺜﻠﺚ ﻡﺮﺳﻮﻡﺎ ﻓﻲ داﺋﺮة ﻗﻄﺮهﺎ هﻮ أﺡﺪ أﺽﻼع اﻟﻤﺜﻠﺚ‪ ،‬ﻓﻬﺬا اﻟﻤﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ووﺗﺮﻩ هﻮ ﻗﻄﺮ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‪.‬‬

‫‪ EF‬ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﻴﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺜﻠﺚ ‪، DEF‬ﻓﺈ ّن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ DEF‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪[ ]. D‬‬ ‫‪ .3‬اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ واﻟﻤﺘﻮﺳﻂ اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻮﺗﺮ ‪:‬‬ ‫ﺥﺎﺹﻴﺔ‪:‬‬ ‫إذا آﺎن ﻡﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻤﺎ‪ ،‬ﻓﺈ ّن اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﻮﺗﺮﻩ یﺴﺎوي ﻥﺼﻒ هﺬا اﻟﻮﺗﺮ‪.‬‬‫‪. BM‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫اﻟﻤﺘﻮﺱﻂ اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻮﺕﺮ ‪ ، AC‬إذن‪[ ]:‬‬ ‫و ] ‪[BM‬‬ ‫ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪B‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺥﺎﺹﻴﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ‪:‬‬‫إذا آﺎن اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺄﺡﺪ أﺽﻼع ﻡﺜﻠﺚ یﺴﺎوي ﻥﺼﻒ ﻃﻮل هﺬا اﻟﻀﻠﻊ‪ ،‬ﻓﺈ ّن اﻟﻤﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ووﺗﺮﻩ هﻮ‬ ‫هﺬا اﻟﻀﻠﻊ‪.‬‬‫‪.E‬‬ ‫ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ‬ ‫‪EFG‬‬ ‫‪ ، EI‬إذن اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪FG‬‬ ‫و‬ ‫] ‪[ FG‬‬ ‫هﻮ اﻟﻤﺘﻮﺱﻂ اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻀﻠﻊ‬ ‫] ‪[EI‬‬ ‫‪2‬‬

‫• ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫‪ .1‬أرﺱﻢ ﻗﻄﻌﺔ ‪ AB‬ﻃﻮﻟﻬﺎ ‪ 6 cm‬ﺙ ّﻢ اﻟﺪاﺋﺮﺕﻴﻦ‪ (C) :‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪[ ]A‬‬ ‫وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ ‪ 5 cm‬و )' ‪ (C‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ B‬وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ ‪. 3cm‬‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮﺕﺎن ﺕﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ M‬و ‪. N‬‬ ‫أﺕﻤﻢ اﻟﻨ ّﺺ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أ ّن اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن ‪ M‬و ‪ N‬ﺕﻨﺘﻤﻴﺎن إﻟﻰ ‪ ، A ......... (C) .......‬ﻓﺈ ّن‬ ‫‪. AM = AN‬‬ ‫‪ ، BM = BN‬ﻷ ّن ‪ M‬و ‪ N‬ﻧﻘﻄﺘﺎن ﻣﻦ‪.........‬‬ ‫إذن اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﺘﺴﺎویﺘﺎ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ M‬و ‪. N‬‬ ‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أ ّن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ ( AB‬هﻮ ‪ ......‬اﻟﻘﻄﻌﺔ ‪[ ]. MN‬‬‫‪ .1‬أرﺱﻢ ﻣﺜﻠﺜﺎ ‪ ABC‬ﺑﺤﻴﺚ ‪. BC = 4 cm ، AC = 5 cm ، AB = 7 cm‬‬ ‫أرﺱﻢ اﻻرﺕﻔﺎع ) ‪ (CH‬واﻟﻤﺤﻮر ) ‪ (d‬ﻟﻠﻘﻄﻌﺔ ‪[ ]. AB‬‬ ‫ﺑﺮهﻦ أ ّن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ) ‪ (CH‬و ) ‪ (d‬ﻣﺘﻮازیﺎن‪.‬‬ ‫‪ .2‬أرﺱﻢ داﺋﺮة ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ O‬ﺙ ّﻢ وﺕﺮا ‪ AB‬ﻓﻲ هﺬﻩ اﻟﺪاﺋﺮة‪[ ].‬‬ ‫أرﺱﻢ اﻟﻤﺤﻮر ) ‪ (d‬ﻟﻠﻘﻄﻌﺔ ]‪.[ AB‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺮهﻦ أ ّن ) ‪ (d‬یﺸﻤﻞ اﻟﻤﺮآﺰ ‪ . O‬ﻣﺎذا ﺕﺴﺘﻨﺘﺞ ﺑﺼﻔﺔ ﻋﺎﻣﺔ؟‬‫‪ .3‬ﻓﻲ أیﺔ ﺡﺎﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺕﻜﻮن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬هﻲ ﻣﺮآﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﻴﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺜﻠﺚ ؟‬

‫‪--4‬ﻓﻲ أیﺔ ﺡﺎﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ یﻜﻮن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ ABCD‬ﻣﺮﺱﻮﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻗﻄﺮهﺎ‬ ‫] ‪ [ BD‬؟‬ ‫‪_5‬ﻓﻲ أیﺔ ﺡﺎﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ یﻜﻮن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻗﺎﺋﻤﺎ ﻓﻲ ‪ B‬؟‬ ‫‪ .4‬ﻋﻴﻦ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ آ ّﻞ ﺡﺎﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬

‫‪ .5‬ﻻﺡﻆ اﻟ ّﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ﺑﺮهﻦ أ ّن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ AMD‬ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ ‪. M‬‬ ‫‪ .6‬إﻟﻴﻚ اﻟ ّﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫أﺡﺴﺐ اﻟﺰاویﺔ ‪ . FEG‬ﻋّﻠﻞ‪.‬‬‫‪ .10‬ﻻﺡﻆ اﻟ ّﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪ .‬اﻟﻨﻘﻂ ‪ E ، C ، B‬ﻋﻠﻰ اﺱﺘﻘﺎﻣﺔ واﺡﺪة‪.‬‬

‫ﻋّﻴﻦ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻓﻴﻪ‪ .‬ﺑ ّﺮر إﺝﺎﺑﺘﻚ‪.‬‬ ‫‪ .11‬أرﺱﻢ داﺋﺮة )‪ (C‬ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ O‬وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ ‪ . 3cm‬ﻋّﻴﻦ ﻧﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻣﻦ هﺬﻩ اﻟﺪاﺋﺮة ﺙﻢ ارﺱﻢ‬‫اﻟﺪاﺋﺮة )' ‪ (C‬اﻟﺘﻲ ﻗﻄﺮهﺎ ‪ . OA‬أرﺱﻢ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ یﺸﻤﻞ ‪ A‬ویﻘﻄﻊ اﻟﺪاﺋﺮة )‪ (C‬ﻓﻲ ‪ M‬واﻟﺪاﺋﺮة] [‬ ‫)' ‪ (C‬ﻓﻲ ‪. N‬‬ ‫‪ (1‬ﺑﺮهﻦ أ ّن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ (ON‬ﻣﺤﻮر اﻟﻘﻄﻌﺔ ‪[ ]. AM‬‬ ‫‪ (2‬ﻣﺎذا ﺕﺴﺘﻨﺘﺞ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ N‬؟‬ ‫‪ .12‬ﻧﻌﺘﺒﺮ داﺋﺮة )‪ (C‬ﻗﻄﺮهﺎ ‪ M ، AB‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ )‪[ ]. (C‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ D‬ﻧﻈﻴﺮة ‪ B‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ ‪ A‬و ‪ E‬ﻧﻈﻴﺮة ‪ B‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ ‪. M‬‬ ‫‪ (1‬أﻧﺠﺰ اﻟﺸﻜﻞ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﻣﺎ ﻧﻮع اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ AMB‬؟ ﻋّﻠﻞ‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﻣﺎذا ُیﻤﺜﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( AM‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ اﻟﻀﻠﻊ ‪ BE‬؟] [‬ ‫‪ (4‬ﻣﺎ ﻧﻮع اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ EAD‬؟ ﻋّﻠﻞ‪.‬‬ ‫‪ (5‬ﻣﺎ ﻧﻮع اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ EBD‬؟ ﻋّﻠﻞ‪.‬‬

‫• ﺡﻠﻮل اﻟﺘﻤﺎریﻦ و اﻟﻤﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫‪.1‬‬‫ﺑﻤﺎ أ ّن اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن ‪ M‬و ‪ N‬ﺕﻨﺘﻤﻴﺎن إﻟﻰ اﻟﺪاﺋﺮة )‪ (C‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ ، A‬ﻓﺈ ّن‬ ‫‪. AM = AN‬‬ ‫‪ ، BM = BN‬ﻷ ّن ‪ M‬و ‪ N‬ﻧﻘﻄﺘﺎن ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة )' ‪. (C‬‬ ‫إذن اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﺘﺴﺎویﺘﺎ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ M‬و ‪. N‬‬ ‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ ( AB‬هﻮ ﻣﺤﻮر اﻟﻘﻄﻌﺔ ‪[ ]. MN‬‬ ‫‪.2‬‬

‫ﺑﻤﺎ أ ّن ) ‪ (CH‬هﻮ اﻻرﺕﻔﺎع اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻀﻠﻊ ‪ AB‬ﻓﺈن ) ‪[ ]. ( AB) (CH‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أ ّن ) ‪ (d‬هﻮ ﻣﺤﻮر اﻟﻀﻠﻊ ]‪ [ AB‬ﻓﺈ ّن ) ‪. ( AB) (d‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أ ّن ) ‪ ( AB) (CH‬و ) ‪ ( AB) (d‬ﻓﺈ ّن ) ‪. (d ) (CH‬‬ ‫‪.3‬‬‫‪ -‬ﺑﻤﺎ أ ّن ‪) OA = OB‬ﻧﺼﻔﺎ ﻗﻄﺮ ﻓﻲ اﻟﺪاﺋﺮة(‪ ،‬ﻓﺈ ّن ‪ O‬ﻣﺘﺴﺎویﺔ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻦ ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻘﻄﻌﺔ ‪[ ]. AB‬‬ ‫إذن ‪ O‬یﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﻤﺤﻮر ) ‪ (d‬ﻟﻠﻘﻄﻌﺔ ‪[ ]. AB‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺼﻔﺔ ﻋﺎﻣﺔ‪ :‬ﻣﺤﻮر وﺕﺮ ﻓﻲ اﻟﺪاﺋﺮة یﺸﻤﻞ ﻣﺮآﺰ هﺬﻩ اﻟﺪاﺋﺮة‪.‬‬ ‫‪ .4‬اﻟﺤﺎﻟﺔ )‪.(2‬‬ ‫‪ .5‬اﻟﺤﺎﻟﺔ )‪.(1‬‬ ‫‪ .6‬اﻟﺤﺎﻟﺔ )‪.(2‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪7 cm‬‬ ‫وﻣﻨﻪ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ .7‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺔ )‪ ،(1‬ﻟﺪیﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪2‬‬‫‪x‬‬ ‫‪= 8cm‬‬ ‫= ‪ . 5‬وﻣﻨﻪ‬ ‫‪x+2‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺔ )‪ ،(2‬ﻟﺪیﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.8‬‬‫‪ ABC‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ A‬و ‪ AM‬هﻮ اﻟﻤﺘﻮﺱﻂ اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻮﺕﺮ ‪ ، BC‬إذن‪[ ] [ ]:‬‬ ‫‪(1) ...‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫=‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ BDC‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ D‬و ] ‪ [DM‬هﻮ اﻟﻤﺘﻮﺱﻂ اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻮﺕﺮ ‪ ، BC‬إذن‪[ ]:‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪DM‬‬ ‫=‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﻦ )‪ (1‬و )‪ (2‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أ ّن ‪. AM = DM‬‬ ‫إذن‪ :‬اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ AMD‬ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ ‪. M‬‬‫‪ FEG‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ‬ ‫‪.9‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أ ّن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ FEG‬ﻣﺮﺱﻮم ﻓﻲ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻗﻄﺮهﺎ ‪ ، EG‬ﻓﺈ ّن اﻟﻤﺜﻠﺚ] [‬ ‫‪.F‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ FEG‬اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ F‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪. FEG + FGE = 90°‬‬ ‫ﻟﻜﻦ ‪ ، FEG = 58°‬إذن ‪FGE = 32°‬‬ ‫‪ .10‬اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ هﻲ‪. DBE ، ABE ، ACD :‬‬ ‫اﻟﺘﻌﻠﻴﻞ‪:‬‬ ‫‪ -‬اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ DCE‬ﻣﺘﻘﺎیﺲ اﻷﺽﻼع‪ ،‬إذن ‪. DCE = 60°‬‬ ‫‪-‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻂ ‪ E ، C ، B‬ﻋﻠﻰ اﺱﺘﻘﺎﻣﺔ واﺡﺪة‪ ،‬إذن ‪. BCE = 180°‬‬‫ﻟﺪیﻨﺎ ‪ BCE = BCA + ACD + DCE‬أي ‪ ،180 = 30 + ACD + 60‬إذن‬ ‫‪ . ACD = 90°‬وﻣﻨﻪ اﻟﺜﻠﺚ ‪ ACD‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪. C‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ AC ، ABE‬هﻮ اﻟﻤﺘﻮﺱﻂ اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻀﻠﻊ ‪ BE‬و ﻟﺪیﻨﺎ] [ ] [‬ ‫‪.A‬‬ ‫ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ‬ ‫‪ABE‬‬ ‫‪ .‬إذن اﻟﺜﻠﺚ‬ ‫‪AC‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪BE‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ DC ، DBE‬هﻮ اﻟﻤﺘﻮﺱﻂ اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻀﻠﻊ ‪ BE‬و ﻟﺪیﻨﺎ] [ ] [‬ ‫ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪. D‬‬ ‫‪DBE‬‬ ‫‪ . DC‬إذن اﻟﺜﻠﺚ‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪BE‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪.11‬‬ ‫‪(1‬‬‫‪ (2‬ﺑﻤﺎ أن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ONA‬ﻣﺮﺱﻮم ﻓﻲ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻗﻄﺮهﺎ ‪ ، OA‬ﻓﺈ ّن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ONA‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪[ ]، N‬‬ ‫إذن ) ‪(1) ... (ON ) ⊥ ( AM‬‬ ‫ﻟﺪیﻨﺎ ‪، OM = OA = 3cm‬‬ ‫إذن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﺕﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﻘﻄﻌﺔ ‪[ ](2) ... AM‬‬ ‫ﻣﻦ )‪ (1‬و )‪ (2‬یﻨﺘﺞ أ ّن ) ‪ (ON‬ﻣﺤﻮر اﻟﻘﻄﻌﺔ ‪[ ]. AM‬‬ ‫‪ (3‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أ ّن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ N‬ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ‪[ ]. AM‬‬ ‫‪.12‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪ (2‬اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ AMB‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ ، M‬ﻷّﻧﻪ ﻣﺮﺱﻮم ﻓﻲ اﻟﺪاﺋﺮة )‪ (C‬اﻟﺘﻲ ﻗﻄﺮهﺎ ‪[ ]. AB‬‬

‫‪ (3‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( AM‬ﻣﺤﻮر اﻟﻀﻠﻊ ]‪ ، [BE‬ﻷ ّن ) ‪ ( AM‬ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ]‪ [BE‬و ‪ M‬ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫] ‪. [ BE‬‬‫‪ (4‬ﺑﻤﺎ أ ّن ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﻣﺤﻮر ‪ ، BE‬ﻓﺈ ّن ‪[ ]. AE = AB‬‬ ‫إذن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ EAB‬ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ‪.‬‬‫‪ (5‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ EA ، EBD‬هﻮ اﻟﻤﺘﻮﺱﻂ اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻀﻠﻊ ‪ BD‬وﻟﺪیﻨﺎ] [ ] [‬‫‪.E‬‬ ‫ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ‬ ‫‪EBD‬‬ ‫‪ .‬إذن اﻟﺜﻠﺚ‬ ‫= ‪EA‬‬ ‫= ‪AB‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪BD‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻨﻅﺭﻴﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻭﺭﺱ‬ ‫• ‪ .‬ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺓ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﺎﺼﻴﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻭﺭﺙ‬‫ﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﺪرس‬ ‫• ﻨﻅﺭﻴﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻭﺭﺱ‬ ‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬

‫• ﻧﻈﺮیﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ‪:‬‬ ‫• ﻧﻈﺮیﺔ‬‫إذا آﻦ ﻡﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻤﺎ‪ ،‬ﻓﺈ ّن ﻡﺮﺑﻊ ﻃﻮل وﺗﺮﻩ یﺴﺎوي ﻡﺠﻤﻮع ﻡﺮﺑﻌﻲ ﻃﻮﻟﻲ اﻟﻀﻠﻌﻴﻦ اﻟﻘﺎﺋﻤﻴﻦ‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ . A‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪. BC 2 = AB2 + AC 2‬‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻖ‪ :‬ﺣﺴﺎب ﻃﻮل ﺿﻠﻊ ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ‬ ‫ﻡﺜﺎل‪ DEF :‬ﻡﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ E‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ DE = 3cm‬و ‪. DF = 5 cm‬‬ ‫أﺣﺴﺐ اﻟﻄﻮل ‪) EF‬ﺗﻌﻄﻰ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻤﻀﺒﻮﻃﺔ ﺙﻢ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻤﺪورة إﻟﻰ اﻟﻤﻴﻠﻴﻤﺘﺮ(‪.‬‬ ‫اﻟﺤ ّﻞ‪:‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أ ّن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ DEF‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ ، E‬ﻓﻴﻜﻮن‪ ،‬ﺣﺴﺐ ﻥﻈﺮﻳﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس‪،‬‬ ‫‪. EF 2 = DE2 + DF 2‬‬ ‫إذن ‪EF 2 = 32 + 52 = 9 + 25 = 34‬‬ ‫ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أ ّن ‪) EF = 34‬اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻤﻀﺒﻮﻃﺔ ﺑـ ‪.( cm‬‬ ‫ﻡﻼﺣﻈﺔ‪ 34 :‬هﻮ اﻟﻌﺪد اﻟﻤﻮﺟﺐ اﻟﺬي ﻡﺮﺑﻌﻪ ‪. 34‬‬ ‫ﻥﺤﺴﺐ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻤﻘﺮﺑﺔ ﻟﻬﺬا اﻟﻌﺪد ﺑﺎﺱﺘﻌﻤﺎل اﻟﺤﺎﺱﺒﺔ‪.‬‬ ‫ﺿﻐﻂ ﻋﻠﻰ = ‪) √ 34‬أو ﻋﻠﻰ = √ ‪ 34‬ﺣﺴﺐ اﻵﻟﺔ(‪.‬‬ ‫ﻳﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﺎﺷﺔ اﻟﻌﺪد ‪ 5,830951895‬وﻡﺪ ّور هﺬا اﻟﻌﺪد إﻟﻰ ‪0,1‬‬ ‫هﻮ ‪ . 5,8‬ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ ‪) EF ≈ 5,8 cm :‬اﻟﻤﺪ ّور إﻟﻰ اﻟﻤﻴﻠﻴﻤﺘﺮ(‪.‬‬

‫• ﻧﻈﺮیﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ‬ ‫إذا آﺎن ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ‪ ،‬ﻡﺮﺑﻊ ﻃﻮل أآﺒﺮ ﺿﻠﻊ ﻓﻴﻪ ﻳﺴﺎوي ﻡﺠﻮع ﻡﺮﺑﻌﻲ ﻃﻮﻟﻲ اﻟﻀﻠﻌﻴﻦ اﻵﺧﺮﻳﻦ‪ ،‬ﻓﺈ ّن هﺬا‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ‪ .‬وﺗﺮ اﻟﻤﺜﻠﺚ هﻮ اﻟﻀﻠﻊ اﻷآﺒﺮ‪.‬‬ ‫إذا آﺎن ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ ‪BC2 = AB2 + AC 2‬‬ ‫ﻓﺈن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪. A‬‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻖ‪ :‬إﺙﺒﺎت آﻮن ﻡﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﻡﺜﺎل‪:‬‬ ‫‪ KLM‬ﻡﺜﻠﺚ ﺑﺤﻴﺚ ‪. LM = 10 cm ، KM = 8cm ، KL = 6 cm‬‬ ‫ﺑﺮهﻦ أ ّن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ KLM‬ﻗﺎﺋﻢ‪.‬‬ ‫اﻟﺤ ّﻞ‪:‬‬ ‫‪ LM‬هﻮ أآﺒﺮ ﺿﻠﻊ‪ ،‬ﻥﺤﺴﺐ ﻡﺮﺑﻊ ﻃﻮﻟﻪ ‪[ ]. LM 2 = 102 = 100 :‬‬ ‫ﻥﺤﺴﺐ ﻡﺠﻤﻮع ﻡﺮﺑﻌﻲ ﻃﻮﻟﻲ اﻟﻀﻠﻌﻴﻦ اﻵﺧﺮﻳﻦ‪:‬‬ ‫‪KM 2 + KL2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100‬‬ ‫ﻥﻘﺎرن اﻟﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻦ وﻥﻼﺣﻆ أ ّن ‪. LM 2 = KL2 + KM 2‬‬ ‫وﺣﺴﺐ ﻋﻜﺲ ﻥﻈﺮﻳﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس‪ ،‬ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أ ّن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ KLM‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪. K‬‬ ‫ﻡﻼﺡﻈﺔ هﺎﻡﺔ‪:‬‬ ‫ﻹﺙﺒﺎت آﻮن ﻡﺜﻠﺚ ﻟﻴﺲ ﻗﺎﺋﻤﺎ ﻥﻄﺒﻖ اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫إذا آﺎن ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ‪ ،‬ﻡﺮﺑﻊ ﻃﻮل أآﺒﺮ ﺽﻠﻊ ﻓﻴﻪ ﻻ یﺴﺎوي ﻡﺠﻮع ﻡﺮﺑﻌﻲ ﻃﻮﻟﻲ اﻟﻀﻠﻌﻴﻦ اﻵﺧﺮیﻦ‪ ،‬ﻓﺈ ّن هﺬا‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺚ ﻟﻴﺲ ﻗﺎﺋﻤﺎ‪.‬‬