دروس مادة الرياضيات للفصل الثالث شعب علمية سنة ثانية ثانوي

. 11‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ Z A , B , C ‫ ﺘﻌﻠﻴﻡ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬-1 AB C O : ‫ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ‬-2X uuur  -Y3 uuur  -1 - 2  AB   AB    2  : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬  2 - 1  -1 1 - 3 uuur  -1 uuur 1 - 2 AC  -21 AC    : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬  3 - 1  2 - 3 uuur 2 uuur 1 + 1 BC   BC    1  : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬  3 - 2  1 2 - 1 : C ‫ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ‬-3xI = xA + xB , yI = yA + yB , zI = zA + zB 2 2 2 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬xI = 2 -1 = 1 , yI = 1 +2 = 3 , zI = 3+1 =2 2 2 2 2 2 I 1 ; 3 ; 2  : ‫ﺇﺫﻥ‬  2 2  : D ‫ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ‬-4 D ( x , y , z ) ‫ﻨﻔﺭﺽ‬

‫ﻴﻜﻭ‪r‬ﻥ‪ u‬ﺍ‪u‬ﻟ‪u‬ﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ ABuCuDur‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪AB = DC‬‬ ‫‪uuur‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪- x‬‬ ‫‪uuur‬‬ ‫‪ -3 ‬‬ ‫‪DC‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-+21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪x = 4‬‬ ‫‪1 - x = -3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 3 - y = 1 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 - z = -2‬‬ ‫‪z = 4‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪D (4 ; 2 ; 4) :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬ ‫‪ (1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ‪: I‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ A‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ O‬ﻓﺈﻥ ‪ O‬ﻤﻨﺘﺼﻑ )‪(AI‬‬‫‪‬‬ ‫‪xI‬‬ ‫=‬ ‫‪-xA‬‬ ‫= ‪0‬‬ ‫‪xA + xI‬‬‫‪‬‬ ‫‪yI‬‬ ‫=‬ ‫‪-yA‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬‫‪‬‬ ‫= ‪0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yA + yI‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬‫‪zI = -zA‬‬ ‫= ‪0‬‬ ‫‪zA + zI‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪I (-2 ; -1 ; -3) :‬‬ ‫‪ (2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ‪: J‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ J‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ A‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ B‬ﻓﺈﻥ ‪ B :‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪[ ]JA‬‬

 −1 = xJ + 2  2= 2  xJ + 2 = -2    yJ + 1  yJ +1 = 4 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬  2 : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬   z J + 3= 2 1 zJ + 3  2 =  xJ = -4  J (-4 ; 3 ; -1) : ‫ﺇﺫﻥ‬  yJ = 3 :‫ﺃﻱ‬ uur uuurzJ = -1 IJ = 2OB : ‫( ﺍﻟﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﻥ‬3uur  -2 uur  -4 + 2IJ   IJ  -31++13   4  : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬  : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 2 uuur  -2 uuur  -12OB   OB  12uuur  4  : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ uur  : ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 2 uuur uuur uurIJ = 2OB : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ AC = 3AB + IJ : ‫ ﺤﻴﺙ‬C ‫( ﺘﻌﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ‬4 uur  -2 uuur 1  IJ   AB    4  ,  -2  : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 2 3 uur uuur 1  uuur 3  IJ + 3AB   3AB    -2  ,  -6  11 9

‫‪uuur‬‬ ‫‪x -‬‬ ‫‪1‬‬‫‪AC‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ) ‪C ( x , y , z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬‫‪x - 1 = 1‬‬ ‫‪uuur uuur uur‬‬‫‪‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ AC = 3AB + IJ :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪-2‬‬‫‪z + 2 = 11‬‬ ‫‪x = 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪C ( 2 ; 1 ; 9 ) :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪z = 9‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬ ‫‪ (1‬ﺘﻌﻠﻴﻡ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪A , B , C :‬‬ ‫‪Z‬‬‫‪A‬‬ ‫‪BY‬‬ ‫‪O‬‬‫‪ (2‬ﺘﺒﻴﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ Au, uBur, C‬ﻟﻴ‪ur‬ﺴ‪u‬ﺕ‪u‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪X C :‬‬ ‫ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ‪ AB‬و ‪ AC‬ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ ‪.‬‬

AuuCurur 0  uuur  -2 0  AB r-22 uuur -2  , r  ur uuurAC = -2k ‫ ﻭ‬uAuurB =u-r2i +uu2urj - 2k ur ABr= Vr+ ACur : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ uuur uVuur= 2i + 2j + 0.k : ‫ﺤﻴﺙ‬ AB = λ AC : ‫ﻴﺙ‬u‫ﺤ‬u‫ ﺒ‬urλ ‫ ﻋﺩﺩ‬u‫ﺠﺩ‬u‫ﻭ‬ur‫ﻭﻤﻨﻪ ﻻ ﻴ‬ . ‫ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ‬AC ‫ و‬AB : ‫ﺇﺫﻥ‬ . ‫ ﻟﻴﺴﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬A , B , C ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ . 14‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬A , B , C ‫ ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ‬-uuur  -8 uuur  -4AC u-2u2ur AB  1-1  ,  : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ r ur r AB = -4i - j + krr( )uuurur uuur r r : ‫ﻤﻨﻪ‬ur‫ﻭ‬AC = 2 -4i - j + k AC = -8i - 2j + 2k : ‫ﺃﻱ‬ uuur uuur uuuAr C =uu2urAB : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ . ‫ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ‬AC ‫ و‬AB ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ‬ . ‫ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬A , B , C : ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ r r ur. 15‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬‫ ﻋﺩﺩﺍﻥ‬u‫ﺩ‬r‫ﺘﻭﻱ ﺇﺫﺍ ﻭﺠ‬r‫ﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴ‬r‫ ﻤ‬u , v , w ‫( ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻷﺸﻌﺔ‬1 w = α u + β v : ‫ ﺒﺤﻴﺙ‬β , α ‫ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ‬

( )r r  α + 3β  r  3β  r α    v   u   α u+β v  -2α -β  , β  -β  , α  -2α  α+ 2β 2β α α + 3β = -5 ur r r -2α - β = 0 : ‫ ﻓﺈﻥ‬w = α u + β v ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‬ α + 2β = -3 α - 6α = -5 α + 3β = -5 β = -2α : ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬β = -2α : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ α - 4α = -3 α + 2β = -3 α = 1 -5α = -5 β = -2 β = -2α : ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬ : ‫ﺇﺫﻥ‬ -u3rα =r-3 r w =r u -r 2vur : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ . ‫ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬u , v , w : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ uuur r r : ‫( ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‬2 AB = x u + y v : ‫ ﺒﺤﻴﺙ‬y ‫ ﻭ‬x ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻋﺩﺩﺍﻥ‬ r  3y  r x  uuur 7  v   u   AB  5-4 y  -y  ; x  -2x  ;  : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 2y x x+ 3y = 7 r r  x+ 3y -2x - y = -4 xu yv    x + 2 y = 5 : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ +  -2 x - y  x+ 2 y  x - 6x + 12 = 7 x+ 3y = 7    y = -2 x + 4 : ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬  y = -2 x + 4 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬  x - 4x + 8 = 5  x + 2 y = 5

x = 1 −5x = -5   y = 2 : ‫ﺃﻱ‬  y = -2 x + 4 : ‫ﺇﺫﻥ‬  uuur-3x =r -3 r AB =uuuur +r2v r : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ‬B ‫ﻱ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬r‫ﻤﺴﺘﻭ‬r‫ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟ‬AB , u , v ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻷﺸﻌﺔ‬ . u , v ‫ ﻭ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﻴﻥ‬A ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل‬ . 16‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ ﻫﻲ ﺭﺅﻭﺱ ﻤﻌﻴﻥ ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ‬A , B , C , D ‫ﻟﻜﻲ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ‬ AB = AC = BC = CDuuur 1 uuur 0  uuur 0  uuur 1 CD   BC  1-1 AD   AB  -01  1  ,  ,  1  ,  0 -1CD = 2 , BC = 2 , AD = 2 , AB = 2 : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ AB = AC = BC = uAuuDr = uu2ur : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬‫ ﻓﻴﻪ ﻀﻠﻌﺎﻥ ﻤﺘﻘﺎﺒﻼﻥ ﻭﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ﻭ ﺃﻀﻼﻋﻪ ﺍﻷﺭﺒﻌﺔ‬ABCD ‫ ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ‬AD = DC : ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬ . ‫ﻤﺘﻘﺎﻴﺴﺔ ﻓﻬﻭ ﺇﺫﻥ ﻤﻌﻴﻥ‬ . 17‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ ‫ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬A , B , C , E ‫ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ DA = DB = DC = DE = Ruuur 1  uuur 1  uuur  2 uuur 0DE   DC   DB DA  0  ,  -1  ,  0  ,  0   0   2   3   2  DB = 2 , DA = 2 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ DC = (1)2 + (-1)2 + ( 2)2 = 4 = 2 DE = (1)2 + ( 0 )2 + ( 3)2 = 4 = 2 DA = DB = DC = DE = 2 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬

‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ :‬ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ A , B , C , E‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ‪D‬‬ ‫ﻭﻨﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﺭ ‪. R = 2‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 18‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ )‪x2 + y2 + z2 = R2 : (S‬‬‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ A ∈ (S) :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪( )(3)2 + (4)2 + 2 6 2 = R2 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ R 2 = 49 :‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪R = 7 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪(S) : x2 + y2 + z2 = 49 :‬‬‫‪ -‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ‪ C‬ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ‪( ) ( )x2 + y2 = R′2 : z z′‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪( )(C) : x2 + y2 = 24 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪x2 + y2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﻫﻲ ‪x2 + y2 = 24 :‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (S‬ﻭ )‪: (C‬‬ ‫‪ x2 + y2 + z2 = 49‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫و‬ ‫ﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫=‬ ‫‪24‬‬ ‫‪‬‬‫‪ x2 + y2 = 24‬‬ ‫‪ x2 + y2 = 24‬‬‫‪‬‬ ‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫و‬ ‫‪ ‬ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫و‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪25‬‬ ‫‪24 + z2 = 49‬‬‫‪‬‬ ‫‪ x2 + y2 = 24‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ z = 5 :‬أو ‪z = -5‬‬‫‪ x2 + y2 = 24‬‬ ‫‪ x2 + y2 = 24‬‬‫‪‬‬ ‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫و‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪‬‬ ‫و‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬‫‪z = -5‬‬ ‫‪z = 5‬‬

‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻊ ﻫﻤﺎ ﺩﺍﺌﺭﺘﻴﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ) ‪ I ( 0 ; 0 ; 5‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪2 6‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ) ‪ J ( 0 ; 0 ; -5‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪2 6‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 19‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ )‪x2 + z2 - α y2 = 0 : (C‬‬‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ A ∈ (S) :‬ﻓﺈﻥ ‪(1)2 + (3)2 - α (-1)2 = 0 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 10 - α = 0 :‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪α = 10 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪(C) : x2 + z2 - 10 y2 = 0 :‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (P‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪y = β :‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ )‪ B ∈ (p‬ﻓﺈﻥ ‪y = 3 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪(p) : y = 3 :‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (C‬ﻭ )‪: (P‬‬‫‪ x2 + z2 - 10 y2 = 0‬‬‫‪‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﺒﺎﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬‫‪ x2 + z2 - 10 (3)2 = 0‬‬‫‪‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ x2 + z2 = 90‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻫﻲ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ ω 0 ;0 ; 3‬ﻭﻨﺼﻑ) (‬ ‫ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪. R = 90‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 20‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪: (S‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ M ( x ; y ; z‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ‪S‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ AM = R‬ﻭﻤﻨﻪ ‪AM2 = R2‬‬

‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ ( x + 1)2 +(y - 2)2 +(z - 4)2 = 16 :‬ﻭﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪. (S‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪: (BC‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ Muu(uxr ; yu;uuzr‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪. (BC‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪BM // BC :‬‬ ‫‪uuur uuur‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ λ‬ﺒﺤﻴﺙ ‪BM = λ BC :‬‬‫‪uur‬‬ ‫‪ -3λ ‬‬ ‫‪uuur‬‬ ‫‪ -3‬‬ ‫‪uuur‬‬ ‫‪ x - 5‬‬‫‪λB‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪BM‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4λ‬‬ ‫‪‬‬ ‫;‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫;‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪:‬‬ ‫‪-3λ‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪-2‬‬‫‪x -5‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪z-2‬‬ ‫‪ x - 5 = -3λ‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪4λ‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪z - 2 = -3λ‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (S‬ﻭ )‪: (BC‬‬ ‫‪ x - 5 = -3λ‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(BC‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫=‬ ‫‪4λ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪z - 2 = -3λ‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪(S) : (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 4)2 = 16 :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪(5 - 3λ + 1)2 +(-1 + 4λ - 2)2 +(2 - 3λ - 4)2 = 16 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪(−3λ + 6)2 + (4λ - 3)2 + (-3λ - 2)2 = 16 :‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪34λ 2 - 48λ + 33 = 0 :‬‬ ‫ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪34λ 2 - 48λ + 33 = 0 ٍ:‬‬ ‫‪ ∆′ = (-24)2 - 33 × 34‬ﻭﻤﻨﻪ ‪∆′ = -546 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪∆ < 0 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻟﻴﺱ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﻠﻭل ‪.‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪(S) ∩ (BC) = φ :‬‬

‫ﺍﻹﺤـﺼـﺎﺀ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺓ ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺳﻠﺴﻠﺔ إﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ‬ ‫ﺗﻠﺨﻴﺺ ﺳﻠﺴﻠﺔ إﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻡﺆﺷﺮات‬ ‫اﻝﺘﻤﻮﻗﻊ و ﻡﺆﺷﺮات اﻝﺘﺸﺘﺖ و ﺗﻔﺴﻴﺮ ذﻝﻚ‬ ‫ﺗﻠﺨﻴﺺ ﺳﻠﺴﻠﺔ إﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻡﺨﻄﻂ ﺑﻌﻠﺒﺔ‬‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‬‫‪ - I‬ﺍﻟ ُﺭﺒﻌﻴﺎﺕ ‪:‬‬ ‫ﺃ ـ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻗﻴﻡ ﻤﻨﻔﺼﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ) ‪ ( x1 , x2 , . . . , xn‬ﺍﻟﺘﻲ ﻁﻭﻟﻬﺎ ‪n‬‬ ‫ﻭ ﻗﻴﻤﻬﺎ ﻤﺭﺘﺒﺔ ﺘﺭﺘﻴﺒﺎ ﺘﺼﺎﻋﺩﻴﺎ ‪. x1 < x2 < . . . < xn :‬‬ ‫ﺍﻟ ُﺭﺒﻌﻴﺎﺕ ﺘﻘﺴﻡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﻟﻰ ﺃﺭﺒﻌﺔ ﺃﻗﺴﺎﻡ ‪.‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻊ ﺍﻷﻭل ‪: Q 1‬‬‫ﻭﻫﻲ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ‪ xi‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﺭﺒﻊ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪.Q1‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻊ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪ :‬ﻫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪. Med‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪: Q3‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ‪ xi‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﺜﻼﺙ ﺃﺭﺒﺎﻉ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺃﺼﻐﺭ‬ ‫ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪. Q3‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻲ ﻫﻭ ‪Q1 , Q3  :‬‬‫‪ (4‬ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻊ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ‪ :‬ﻫﻭ ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ‪.‬‬ ‫ﺏ ـ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪-S‬‬ ‫‪4‬‬‫‪Q1 = ai +‬‬ ‫‪× hi‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻊ ﺍﻷﻭل ‪:‬‬ ‫‪Ei‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ n :‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ‪.‬‬‫ﻨﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﺫﻟﻙ ﺒﺠﻤﻊ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻟﻠﻔﺌﺎﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ﺤﺘﻰ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺃﻜﺒﺭ‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ 4‬ﻓﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒﻠﺔ ﻟﺫﻟﻙ ﻫﻲ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ‪.‬‬

‫‪ : ai‬ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﺩﻨﻰ ﻟﻠﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬‫‪ : S‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻟﻠﻔﺌﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻟﻠﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫‪ : hi‬ﺴﻌﺔ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫‪ : Ei‬ﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﻫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪. Med‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻊ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪:‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪-S‬‬ ‫‪4‬‬‫‪Q3 = ai +‬‬ ‫‪× hi‬‬ ‫‪Ei‬‬ ‫‪ : n‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ‪.‬‬‫ﻨﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻭﺫﻟﻙ ﺒﺠﻤﻊ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻟﻠﻔﺌﺎﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ﺤﺘﻰ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺃﻜﺒﺭ ﺃﻭ‬ ‫‪3n‬‬ ‫ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ 4‬ﻓﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒﻠﺔ ﻟﺫﻟﻙ ﻫﻲ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ‪.‬‬ ‫‪ : ai‬ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﺩﻨﻰ ﻟﻠﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ‪.‬‬‫‪ : S‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻟﻠﻔﺌﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻟﻠﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ‪.‬‬ ‫‪ : hi‬ﺴﻌﺔ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ‪.‬‬ ‫‪ : Ei‬ﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ‪.‬‬‫‪ (4‬ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻊ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ‪ :‬ﻫﻭ ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ‪.‬‬

‫‪ - II‬ﺍﻟ ُﻌﺸﺭﻴــﺎﺕ‬ ‫ﺃ ـ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻗﻴﻡ ﻤﻨﻔﺼﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟ ُﻌﺸﻴﺭ ﺍﻷﻭل ‪: D1‬‬‫ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪. D1‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺃﺼﻐﺭ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‬ ‫‪xi‬‬ ‫ﻫﻲ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟ ُﻌﺸﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ ‪: D9‬‬‫‪.‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪D9‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺃﺼﻐﺭ‬ ‫‪9‬‬ ‫ﺒﺤﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‬ ‫‪xi‬‬ ‫ﻫﻲ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪n -S‬‬ ‫ﺏ ـ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟ ُﻌﺸﻴﺭ ﺍﻷﻭل ‪: D1‬‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪= ai‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪Ei‬‬ ‫‪× hi‬‬ ‫‪9n‬‬ ‫‪-S‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪D9 = ai +‬‬ ‫×‬ ‫‪hi‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟ ُﻌﺸﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ ‪: D9‬‬ ‫‪Ei‬‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﻌﺸﺭﻴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭ ﺍﻟﺘﺎﺴﻌﺔ ﻜﻤﺎ ﺴﺒﻕ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪.‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪: 1‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﻗﺴﻡ ﺩﺭﺍﺴﻲ ﻓﻲ ﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9 12 14 16 18‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪8 10 10 6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﻜل ﻤﻥ ‪ Q3 , Q1‬ﺜﻡ ‪ D1‬ﻭ ‪. D9‬‬

‫‪ -‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻲ ؟‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫* ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻴﻡ ‪ n = 40‬ﻷﻥ ‪n = 2 + 4 + 6 + 10 + 10 +8 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺭﺘﺒﺔ ‪ Q1‬ﻫﻲ ‪10 :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪= 10‬‬ ‫*‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪Q1 = 9 :‬‬ ‫‪30‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺭﺘﺒﺔ ‪ Q3‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪= 30‬‬ ‫*‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪Q3 = 14 :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫*‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺭﺘﺒﺔ ‪ D1‬ﻫﻲ ‪4 :‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪D1 = 6 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺭﺘﺒﺔ ‪ D9‬ﻫﻲ ‪36‬‬ ‫‪9n‬‬ ‫=‬ ‫‪36‬‬ ‫*‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪D9 = 16 :‬‬ ‫* ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﺭﺒﻴﻌﻲ ﻫﻭ ‪[ 9 ; 14] :‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪: 2‬‬ ‫ﻗﻴﺴﺕ ﺃﻁﻭﺍل ‪ 80‬ﺸﺨﺼﺎ ﻓﻜﺎﻨﺕ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ‬ ‫[‪[ 120 ; 130‬‬ ‫[‪[130 ; 140‬‬ ‫[‪[140 ; 150‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪12‬‬ ‫[‪[150 ; 160‬‬ ‫[‪[160 ; 170‬‬ ‫]‪[170 ; 180‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪13 20‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﻜل ﻤﻥ ‪. D9 , D1 , Q3 , Q1‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﺭﺒﻴﻌﻲ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪-S‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪Q1 = ai +‬‬ ‫‪× hi‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ‪: Q1‬‬ ‫‪Ei‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻫﻲ ‪[130 ; 140[ :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪= 20‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ ai = 130 :‬؛ ‪Ei = 15‬‬ ‫ﻭ ‪ hi = 140 – 130 = 10‬؛ ‪. S = 10‬‬‫‪. Q1 ≈ 137‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪Q1‬‬ ‫‪= 130 +‬‬ ‫‪20 -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪-S‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪Q3 = ai +‬‬ ‫×‬ ‫‪hi‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ‪: Q3‬‬ ‫‪Ei‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻫﻲ ‪[160 ; 170[ :‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪= 60‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪hi = 170 - 160 = 10 ; Ei = 13 ; ai = 160 :‬‬ ‫‪S = 10 + 12 + 15 + 10 = 47‬‬‫ﺃﻱ ‪Q3 = 170‬‬ ‫‪Q3‬‬ ‫‪= 160 +‬‬ ‫‪60 - 47‬‬ ‫×‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪-S‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪= ai‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪× hi‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ‪: D1‬‬ ‫‪Ei‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﻌﺸﻴﺭﻴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪=8‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫[‪ [120 ; 130‬ﻭﻤﻨﻪ ‪h i = 130-120=10 :‬‬ ‫ﻭ ‪S=O ; Ei =10 ; ai =120‬‬‫ﺃﻱ ‪D1 = 128 :‬‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪= 120 +‬‬ ‫‪8-0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫× ‪10‬‬

‫‪9n‬‬ ‫‪-S‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪D9 = ai +‬‬ ‫‪× hi‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ‪: D9‬‬ ‫‪Ei‬‬‫‪[ [170;180‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﻌﺸﻴﺭﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﺴﻌﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪9n‬‬ ‫‪= 72‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪10‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪hi = 180 – 170 = 10 ; Ei = 20 ; ai = 170 :‬‬‫‪S = 13 + 10 + 12 + 15 + 10 = 60‬‬‫ﺃﻱ ‪D9 = 179 :‬‬ ‫‪D9‬‬ ‫=‬ ‫‪170‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪72 - 60‬‬ ‫‪× 10‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪20‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﺭﺒﻴﻌﻲ ﻫﻭ ‪ Q1 , Q3  :‬ﺃﻱ ‪[137 ; 170] :‬‬

‫‪ - III‬ﺍﻟﻤﺨﻁﻁﺎﺕ ﺒﺎﻟﻌﻠﺏ ‪:‬‬ ‫ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﻤﺨﻁﻁﺎﺕ ﺒﺎﻟﻌـﻠﺏ ﻟﺘﻤﺜﻴل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻁﻭﻟﻬﺎ ﻜﺒﻴﺭ ﻭ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺘﻁﺭﻓﺔ ﻗﻠﻴﻠﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌـﻠﺒﺔ ﻴﺘﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﻋﻠﺒﺔ ﻤﺴﺘﻁﻴﻠﻪ ﻁـﺭﻓﻴﻬﺎ ‪ Q1 :‬ﻭ ‪. Q3‬‬‫ﻓﻲ ﻁﺭﻑ ﺍﻟﻌﻠﺒﺔ ﻴﻭﺠﺩ ﺨﻁ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻠﺒﺔ ﻭ ﻴﻨﺘﻬﻲ ﺒﻘﻁﻌﺔ ﺘﺭﺒﻁ ‪ Q1‬ﻭ ‪ D1‬ﻭ ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺭﻑ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬ ‫ﻟﻠﻌﻠﺒﺔ ﻴﻭﺠﺩ ﺨﻁ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻠﺒﺔ‬ ‫ﻭ ﻴﻨﺘﻬﻲ ﺒﻘﻁﻌﺔ ﺘﺭﺒﻁ ‪ Q3‬ﻭ ‪. D9‬‬‫ﻴﻭﺠﺩ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﻌﻠﺒﺔ ﺨﻁ ﺃﻓﻘﻲ ﻴﻤﺜل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ Med‬ﻭﺘﻭﺠﺩ ﺩﻭﺍﺌﺭ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﺒﻴﻥ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻭ ‪ D1‬ﻭ‬ ‫ﺃﺨﺭﻯ ﺒﻴﻥ ‪ D9‬ﻭ ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ ‪.‬‬ ‫ﻫﻨﺎﻙ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺘﺘﻌﺩﻯ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﺭﺴﻡ ﻭ ﻟﻬﺫﺍ ﻨﺒﻴﻥ ﻗﻴﻤﻬﺎ ﺒﺠﺎﻨﺒﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﺇﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺒﺎﻟﻌـﻠﺏ ُﻴﻤ ﹼﻜﻨﻨﺎ ﻤﻥ ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﺴﻼﺴل ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﺴﺭﻴﻌﺔ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ﻷﻭﺯﺍﻥ ﺘﻼﻤﻴﺫ ﺃﺤﺩ ﺃﻗﺴﺎﻡ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺜﺎﻨﻭﻱ ﻋﻠﻭﻡ ﺘﺠﺭﻴﺒﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪Med‬‬ ‫‪D1 D9‬‬ ‫‪Q1 Q3‬‬ ‫ﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ‪30 40 50 60 70 80 90 :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ Q1 = 45 :‬ﻭ ‪ Q3 = 70‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻲ ﻫﻭ ]‪[45 ; 70‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻫﻨﺎﻙ ‪ 50%‬ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﺘﺘﺭﺍﻭﺡ ﺃﻭﺯﺍﻨﻬﻡ ﺒﻴﻥ ‪ 45kg‬ﻭ ‪. 70kg‬‬ ‫ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻲ ﻫﻭ ‪70 – 45 = 25‬‬ ‫ﺍﻟﻭﺯﻥ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ﻫﻭ ‪50kg :‬‬ ‫ﺍﻟ ُﻌﺸﻴﺭ ﺍﻷﻭل ‪D1 = 40 :‬‬ ‫ﺍﻟ ُﻌﺸﻴﺭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪D9 = 75 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻫﻨﺎﻙ ‪ 10%‬ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﺃﻭﺯﺍﻨﻬﻡ ﺘﻘل ﻋﻥ ‪40kg‬‬ ‫ﻭﻫﻨﺎﻙ ‪ 90%‬ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﺃﻭﺯﺍﻨﻬﻡ ﺘﻘل ﻋﻥ ‪75kg‬‬

‫‪ - IV‬ﻤﺅﺸﺭﺍﺕ ﻟﻠﺘﺸﺘﺕ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ) ‪( x1 , x2 , . . . , xn‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻤﺘﻭﺴﻁﻬﺎ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ‪.‬‬ ‫ﻴﻌﻁﻰ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪Sm = x1 - x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x2 - x + . . . +‬‬ ‫‪xn - x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻭﻫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻼﻨﺤﺭﺍﻓﺎﺕ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻓﺌﺎﺕ ﻨﻌﻭﺽ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺒﻤﺭﺍﻜﺯ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﻷﻁﻭﺍل ‪ 10‬ﺃﺸﺨﺎﺹ ﻤﻌﻁﺎﺓ ﺒﺎﻟﻜﻴﻠﻭﻏﺭﺍﻡ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪130 ; 130 ; 140 ; 150 ; 150 ; 150‬‬‫‪160 ; 165 ; 165 ; 170 .‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫* ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫× ‪130‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪150 × 3 +‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪165 × 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪170‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪x = 151 :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1510‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫* ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪:‬‬ ‫‪Sm‬‬ ‫=‬ ‫‪2 130 - 151 + 140 - 151 +3 150 - 151 + 160 - 151‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪2 165 - 151 + 170 - 151‬‬ ‫‪14 + 19‬‬ ‫‪+ 10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪21 + 11 + 3‬‬ ‫‪× 1+9+2‬‬ ‫‪Sm‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫‪10‬‬ ‫×‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪Sm = 11,2‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪:‬‬ ‫* ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ) ‪ ( x1 , x2 , . . . , xn‬ﻴﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪V = ( x1 - x)2 + ( x2 - x)2 + . . . + ( xn - x)2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬ ‫* ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪Sx :‬‬ ‫‪Sx = V‬‬ ‫ﻭﻴﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻷﻭﺯﺍﻥ ﺍﻟﻌﺸﺭﺓ ﺃﺸﺨﺎﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫* ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪:‬‬‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪2(130 -151)2 +(140 -151)2 +3(150 - 151)2 +(160 -151)2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2(165 - 151)2 + (170 - 151)2‬‬ ‫‪+ 10‬‬‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪2(21)2‬‬ ‫‪+ (11)2‬‬ ‫‪+ 3 (1)2 + 92‬‬ ‫‪+ 2 (14)2‬‬ ‫‪+ (19)2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2 (441) + 121 + 3 81 + 2 (196) + 361‬‬ ‫‪1840‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪. V = 184 :‬‬ ‫‪Sx = V‬‬ ‫* ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪:‬‬

‫‪Sx = 184 , Sx ≈ 13,56‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻲ ‪: IQ‬‬‫ﻫﻭ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻭ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻊ ﺍﻷﻭل ﺃﻱ ‪IQ = Q3 – Q1 :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ‪.‬‬‫‪10‬‬ ‫‪= 2,5‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬‫‪4‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 10‬ﻗﻴﻡ ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺭﺘﺒﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻊ ﺍﻷﻭل ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫ﺃﻱ ﺭﺘﺒﺔ ‪ Q1‬ﻫﻲ ‪ 3‬ﻭﻤﻨﻪ ‪Q1 = 140 :‬‬ ‫‪10‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 7,5‬‬ ‫ﺃﻤﺎ ﺭﺘﺒﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻓﻬﻲ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺃﻱ ﺭﺘﺒﺔ ‪ Q3‬ﻫﻲ ‪ 8‬ﻭﻤﻨﻪ ‪Q3 = 165 :‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻲ ﻫﻭ ‪IQ = Q3 – Q1 = 165 – 140 = 25 :‬‬ ‫ﺨﻭﺍﺹ ‪ a , b :‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ‪.‬‬‫‪ (1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ Sx :‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ) ‪( x1 , x2 , . . . , xn‬‬‫ﻭ ‪ Sy‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ) ‪( y1 , y2 , . . . . , yn‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ yi = a xi + b :‬ﻤﻊ ‪1 ≤ i ≤ n‬‬ ‫‪. Sy = a × Sx‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪ (2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ Sm :‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ) ‪( x1 , x2 , . . . , xn‬‬‫‪ S′m‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ) ‪( y1 , y2 , . . . , yn‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ yi = a xi + b :‬ﻤﻊ ‪1 ≤ i ≤ n‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪S′m = a . Sm :‬‬‫‪ (3‬ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ) ‪ ( x1 , x2 , . . . , xn‬ﻭ ‪ x‬ﻤﺘﻭﺴﻁﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻭ ‪ Sx‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪.‬‬ ‫ﺘﻤﺜل ‪ Sx‬ﺘﺒﺎﻋﺩ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪.‬‬

‫ﻭﻫﻲ ﺘﻌﻁﻲ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﻟﻠﻘﻴﻡ ﺍﻟﺒﻌﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﻭﺘﺄﺨﺫ ﺒﻌﻴﻥ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ‬ ‫ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪.‬‬

‫ﺗﻤـﺎریـﻦ و ﻡﺸﻜﻼت‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻵﺘﻴﺔ ‪50 ، 48 ، 36 ، 31 ، 30 ، 25 ، 20 ، 16 ، 15 ، 14 ، 13 ، 8 ، 5 ، 4 ، 3 :‬‬ ‫‪. 110 ، 100 ، 98 ، 96 ، 90 ، 80 ، 78 ، 70 ، 64 ، 60 ،‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻊ ‪ Q1‬ﻭ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻊ ‪ . Q3‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻲ ؟‬ ‫‪ (2‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻲ ‪. IQ‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟ ُﻌﺸﻴﺭ ‪ D1‬ﻭ ﺍﻟ ُﻌﺸﻴﺭ ‪. D9‬‬ ‫‪ (4‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪. Med‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﻋﻼﻤﺎﺕ ‪ 3‬ﺘﻼﻤﻴﺫ ﻓﻲ ﻗﺴﻡ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ‬ ‫ﺍﺠﺘﻤﺎﻋﻴﺔ ﺍﻨﺠﻠﻴﺯﻴﺔ ﻓﺭﻨﺴﻴﺔ ﻋﺭﺒﻴﺔ ﻋﻠﻭﻡ ﻓﻴﺯﻴﺎﺀ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﻤﻼﺕ‬‫ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺃﺤﻤﺩ‬ ‫‪05‬‬ ‫‪05 06 02 02‬‬ ‫‪02‬‬ ‫‪02‬‬‫ﻋﻼﻤﺎﺕ ﻋﻠﻲ‬‫ﻋﻼﻤﺎﺕ ﻋﻤﺭ‬ ‫‪15‬‬ ‫‪12 08 10 06‬‬ ‫‪07‬‬ ‫‪05‬‬ ‫‪08‬‬ ‫‪12 13 16 12‬‬ ‫‪06‬‬ ‫‪05‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪18 14 07 05‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪09‬‬ ‫‪15 + 12 + 8 + 10 + 6 + 7 + 5‬‬ ‫‪=9‬‬ ‫‪ (1‬ﻗﺎﻡ ﺃﺤﻤﺩ ﺒﺎﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﺈﻥ ﻤﻌﺩﻟﻪ ‪ 9‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻻ ﻴﻨﺘﻘل ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ‪ .‬ﻫل ﻫﺫﺍ ﺼﺤﻴﺢ؟‬ ‫‪ (2‬ﺃﻤﺎ ﻋﻠﻲ ﻓﻘﺎﻡ ﺒﺎﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫)‪5(-2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪5(2)+6(3)+2(6)+2(2)+2(-4)+2(-5‬‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫;‬ ‫‪2,28‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻌﺩﻟﻪ ﻫﻭ ‪ 8 + 2,28 :‬ﺃﻱ ‪10,28‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﻬﻭ ﻤﻨﺘﻘل ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺍﺴﺘﻌﻤﻠﻬﺎ ﻋﻠﻲ ﻭﻫل ﻫﻲ ﺼﺤﻴﺤﺔ ؟‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﻤﻌﺩل ﻋﻤﺭ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺇﻥ ﻜﺎﻨﺕ ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺃﻁﻭﺍل ﻤﺎﺌﺔ ﺸﺨﺹ ﺒﺎﻟﺴﻨﺘﻤﺘﺭ ‪:‬‬ ‫‪ 150 155 160 165 170 180 185 190‬ﺍﻟﻁﻭل‬ ‫‪ 10 15 30 05 12 10 08 10‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪ -1‬ﺍﺤﺴﺏ ﻤﻘﺎﻴﻴﺱ ﺍﻟﻨﺯﻋﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪ ،‬ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻨﻭﺍل‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺤﺴﺏ ﻤﻘﺎﻴﻴﺱ ﺍﻟﺘﺸﺘﺕ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺩﻯ ؛ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ؛‬ ‫ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﺃ( ﻨﻅﻡ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬‫[‪ [145;155[ [155;165[ [165;175[ [175;185[ [185;195‬ﺍﻷﻁﻭﺍل‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬‫ﻤﺭﺍﻜﺯ‬‫ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‬ ‫ﺏ( ﺃ ِﻋﺩ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪ ،‬ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻨﻭﺍل ‪.‬‬ ‫ﺠـ( ﺃ ِﻋﺩ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺩﻯ ؛ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ؛ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺇﻁﺎﺭﺍﺕ ﺸﺭﻜﺔ ﻭﻁﻨﻴﺔ ﻫﻭ ‪ 80‬ﻭ ﺃﺠﺭﻫﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﻫﻭ ‪85000 DA‬‬‫ﺃﻤﺎ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﺅﻫﻠﻴﻥ ﻓﻬﻭ ﻤﺎﺌﺔ ﻭ ﺃﺠﺭﻫﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪ 55000 DA‬ﻭ ﺃﻤﺎ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﺴﺎﻋﺩﻴﻥ‬ ‫ﻓﻬﻭ‪ 220‬ﻋﺎﻤﻼ ﻭ ﺃﺠﺭﻫﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ‬ ‫ﻫﻭ‪ . 25000 DA‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻷﺠﺭ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﻟﻌﻤﺎل ﺍﻟﺸﺭﻜﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﻋﻼﻤﺎﺕ ‪ 100‬ﺘﻠﻤﻴﺫ ﻓﻲ ﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ‪:‬‬‫‪ 4 6 8 9 10 12 13 16 17‬ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪10 15 10 5 35 5 10 5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪.‬‬

‫‪ (4‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺭﺒﻴﻌﻲ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻠﻴﻥ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺭﻭﺍﺘﺏ ﺍﻟﺸﻬﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﺩﻴﻨﺎﺭ ﻟﻌﻤﺎل ﺸﺭﻜﺘﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻥ ‪:‬‬‫‪22000‬‬ ‫اﻝﺸﺮآﺔ‪A‬‬ ‫اﻝﺸﺮآﺔ‪B‬‬‫‪20000‬‬‫‪18000‬‬ ‫‪D9‬‬ ‫‪D9‬‬‫‪16000‬‬ ‫‪Q3‬‬ ‫‪Q3‬‬‫‪14000‬‬ ‫‪Med Med‬‬‫‪12000‬‬ ‫‪Q1‬‬ ‫‪Q1‬‬ ‫‪D1‬‬‫‪10000‬‬ ‫‪8000‬‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪6000‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺸﺭﻜﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻨﺎﺤﻴﺔ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺃﺠﻭﺭ ﺍﻟﻌﻤﺎل ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬ ‫ﻗﻴﺴﺕ ﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺤﺭﺍﺭﺓ ﻓﻲ ﺃﻭﻗﺎﺕ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻓﻲ ﺃﺤﺩ ﺃﻴﺎﻡ ﺍﻟﺸﺘﺎﺀ ﻓﻜﺎﻨﺕ ﺤﺴﺏ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﻗﻴﺎﺴﻬﺎ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪. 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 8 ، 8 ، 8 ، 8 ، 10 ، 10 ، 12 ، 12 ، 12 ، 12 ، 8 ، 6 ، 4 ، 2 ، 2 ، 2‬‬‫ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﻭﺍﻟﻨﺎﺯل ‪.‬‬ ‫)ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺒﺎﻟﺩﺭﺠﺔ(‬ ‫‪ -1‬ﺍﻜﺘﺏ ﺠﺩﻭﻻ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺎ ﺘﺒﻴﻥ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‪ ،‬ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ‪ ،‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻤﺘﺠﻤﻊ‬ ‫‪ -2‬ﻤﺜل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺭﺠﺎﺕ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺍﻷﻋﻤﺩﺓ ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﺤﺴﺏ ﻤﻘﺎﻴﻴﺱ ﺍﻟﺘﻤﻭﻗﻊ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪ ،‬ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻨﻭﺍل ‪.‬‬ ‫ﺜﻡ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻊ ﺍﻷﻭل ﻭ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪.‬‬ ‫‪ -4‬ﺍﺤﺴﺏ ﻤﻘﺎﻴﻴﺱ ﺍﻟﺘﺸﺘﺕ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺩﻯ ‪ ،‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪ ،‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪ ،‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻲ ‪.‬‬

‫اﻝﺘﻜﺮار‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 8‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺒﺎﻷﻋﻤﺩﺓ ﻷﻭﺯﺍﻥ ‪ 200‬ﺸﺨﺹ ‪.‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪40‬‬ ‫اﻷوزان ‪40 50 60 70 80 90‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻭﺯﻥ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺭﺒﻴﻌﺎﻥ ‪ Q1‬ﻭ ‪. Q3‬‬ ‫‪ -4‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺭﺒﻴﻌﻲ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 9‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺒﺎﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﻷﻁﻭﺍل ‪ 150‬ﺘﻠﻤﻴﺫﺍ ﻓﻲ ﺇﺤﺩﻯ ﺍﻟﺜﺎﻨﻭﻴﺎﺕ‪.‬‬‫اﻝﺘﻜﺮار‬ ‫‪50‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫اﻝﻄﻮل ‪125 135 145 155 165 175 Cm‬‬ ‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻁﻭل ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪.‬‬ ‫‪ -4‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ‪ Q1‬ﻭ ‪. Q3‬‬ ‫‪ -5‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻲ ‪.‬‬

‫‪ -6‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟ ُﻌﺸﺭﻴﺎﻥ ‪ D9‬ﻭ ‪. D1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 10‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﺍﻟﻤﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭ‪.‬‬‫تمص‬ ‫‪60‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪05‬‬ ‫‪20 40 60 80 100 120 140 160 180‬‬ ‫اﻝﻘﻴﻢ‬ ‫‪ -1‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺭﺒﻴﻊ ‪ Q1‬ﻭ ﺍﻟﺭﺒﻴﻊ ‪. Q3‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻌﺸﻴﺭ ‪ D1‬ﻭ ‪. D9‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 11‬‬‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﻤﺩﺓ ﺒﺎﻟﺩﻗﺎﺌﻕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻘﻀﻴﻬﺎ ﺘﻼﻤﻴﺫ ﺇﺤﺩﻯ ﺍﻷﻗﺴﺎﻡ ﻴﻭﻤﻴﺎ ﻓﻲ ﻤﺭﺍﺠﻌﺔ ﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ‪:‬‬‫‪ 10 20 30 40 50 60‬ﺍﻟﻤﺩﺓ‬‫‪ 15 5‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪5 10 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻜﺘﺏ ﺠﺩﻭﻻ ﺘﺒﻴﻥ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ ﺜﻡ ﺕ ﻡ ﺹ ﻭ ﺕ ﻡ ﻥ ﺜﻡ ﺕ ﻥ ﺹ‬ ‫ﻭﺕﻥﻥ‬‫‪ (2‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪ ،‬ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻨﻭﺍل‪ ،‬ﺍﻟﺭﺒﻴﻌﺎﻥ ‪ Q1‬ﻭ ‪ Q3‬ﺜﻡ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺎﻥ ‪ D1‬ﻭ ‪. D9‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺩﻯ‪ ،‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ‪ ،‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ‪ ،‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺭﺒﻴﻌﻲ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬ ‫ﺴﺅل ‪ 1100‬ﺘﻠﻤﻴﺫ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺩﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻘﻀﻭﻫﺎ ﻴﻭﻤﻴﺎ ﻤﻊ ﺍﻟﺤﺎﺴﻭﺏ ﻓﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﺩﺓ )‪( h‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1,5 2 2,5 3‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪100 50‬‬ ‫‪200 100 150 500‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ﻭ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ) ﺍﻷﻭل ﻭ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ (‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻲ ‪ - .‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪.‬‬

‫اﻝﺤﻠــﻮل‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫‪ - (1‬ﺤﺴﺎﺏ ‪ : Q1‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻫﻭ ‪ 25‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺭﺘﺒﺔ ‪ Q1‬ﺘﻜﻭﻥ ﺃﻜﺒﺭ ﺃﻭ‬ ‫‪25‬‬ ‫ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ 4‬ﺃﻱ ﺭﺘﺒﺔ ‪ Q1‬ﻫﻲ ‪7‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ Q1‬ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻌﺔ ﻭﻫﻲ ‪ . 15‬ﺇﺫﻥ ‪.Q1 = 15 :‬‬ ‫‪25‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺭﺘﺒﺔ ‪ Q3‬ﺘﻜﻭﻥ ﺃﻜﺒﺭ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ‪: Q3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺃﻱ ﺭﺘﺒﺔ ‪ Q3‬ﻫﻲ ‪ 19‬ﻭﻤﻨﻪ ‪Q3 = 78 :‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﺭﺒﻴﻌﻲ ﻫﻭ ‪[ ]15 ; 78 :‬‬ ‫ﺃﻱ ﺭﺘﺒﺔ ‪D1‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺭﺒﻴﻌﻲ ‪IQ = Q3 - Q1 = 78 – 15 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪IQ = 63 :‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪ - (3‬ﺤﺴﺎﺏ ‪ : D1‬ﺭﺘﺒﺔ ‪ D1‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪10‬‬ ‫ﻫﻲ ‪ 3‬ﻭﻤﻨﻪ ‪D1 = 5 :‬‬ ‫‪25‬‬ ‫×‬ ‫‪9‬‬ ‫ﺭﺘﺒﺔ ‪ D9‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ‪: D9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺃﻱ ﺭﺘﺒﺔ ‪ D9‬ﻫﻲ ‪ 23 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪. D9 = 98 :‬‬ ‫‪ (4‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ : Med‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻴﻡ ‪ 25‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺭﺘﺒﺔ ‪ Med‬ﺃﻜﺒﺭ ﺃﻭ‬ ‫ﻫﻲ ‪. 13‬‬ ‫‪Med‬‬ ‫ﺃﻱ ﺭﺘﺒﺔ‬ ‫‪25‬‬ ‫ﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪Med = 36 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫‪ (1‬ﻤﻌﺩل ﺃﺤﻤﺩ ﻏﻴﺭ ﺼﺤﻴﺢ ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﻤﻌﺩﻟﻪ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪5×15‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5×12‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6×8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6×10 + 2×10‬‬ ‫‪+ 2×6‬‬ ‫‪+ 2×7‬‬ ‫‪+ 2×5‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪299‬‬ ‫ﺃﻱ ‪x ≈ 12,46 :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪24‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﺈﻥ ﺃﺤﻤﺩ ﻴﻨﺘﻘل ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ‪.‬‬

‫‪ (2‬ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺍﺴﺘﻌﻤﻠﻬﺎ ﻋﻠﻲ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻻﻥ ﻜل ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ‪yi = xi + 10 :‬‬ ‫‪ 13 = 3 + 10‬؛ ‪ 12 = 2 + 10‬؛ ‪8 = -2 + 10‬‬ ‫‪ 5 = -5 + 10‬؛ ‪ 6 = -4 + 10‬؛ ‪16 = 6 + 10‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪y = x + 10 :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫× ‪(-2) × 5+2‬‬ ‫× ‪5+3‬‬ ‫× ‪6+6 × 2+2‬‬ ‫× )‪2+(-4‬‬ ‫× )‪2+(-5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪x ≈ 2,28 + 10‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪y = 2,28 + 10 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ y ≈ 12,28 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﺈﻥ ﻋﻠﻲ ﻴﻨﺘﻘل ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﺤﺴﺎﺏ ﻤﻌﺩل ﻋﻤﺭ ‪:‬‬ ‫‪yi = xi + 10‬‬ ‫ﻋﻼﻤﺎﺕ ﻋﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫‪ 7 = (-3) + 10‬؛ ‪ 14 = 4 + 10‬؛ ‪ 18 = 8 + 10‬؛‬ ‫‪10 = 0 + 10‬‬ ‫‪ 9 = (-1) + 10‬؛ ‪ 14 = (-4) + 10‬؛ ‪5 = (-5) + 10‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪y = x + 10 :‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪5×0‬‬ ‫‪+ 5×8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6×4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪2(-3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2(5) +‬‬ ‫‪2×4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪2(-1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪40‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪6+‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪74‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪x ≈ 3,01‬‬ ‫ﺃﻱ ‪y = 13,01 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪y = 3,01 + 10 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﻌﺩل ﻋﻤﺭ ﻫﻭ ‪13, 01‬‬ ‫ﻓﻬﻭ ﻴﻨﺘﻘل ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬ ‫‪ -1‬ﺤﺴﺎﺏ ﻤﻘﺎﻴﻴﺱ ﺍﻟﺘﻤﻭﻗﻊ ‪:‬‬ ‫ﺃ( ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪150 × 10‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪155 × 15‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪160 × 30‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪165 × 5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪170 × 12‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪180 × 10‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪175 × 8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪190 × 10‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪x = 165,9 :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪16590‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﺏ( ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ :‬ﺭﺘﺒﺔ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ﺃﻜﺒﺭ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ 2‬ﺃﻱ ‪50‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪. Med = 160 :‬‬ ‫ﺠـ( ﺍﻟﻤﻨﻭﺍل ‪ :‬ﻫﻭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻟﻬﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪Mod = 160 :‬‬ ‫‪ (2‬ﺤﺴﺎﺏ ﻤﻘﺎﻴﻴﺱ ﺍﻟﺘﺸﺘﺕ ‪:‬‬ ‫ﺃ( ﺍﻟﻤﺩﻯ ‪E = 190 – 140 = 50 :‬‬ ‫ﺏ( ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪:‬‬‫‪Sm‬‬ ‫=‬ ‫‪10 150‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪165,9‬‬ ‫‪+15 155 - 165,9‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪30 160‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪165,9‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪5 165 - 165,9 +12 170 - 165,9 +10 180 - 165,9‬‬ ‫‪+ 100‬‬ ‫‪8 185 - 165,9 + 10 190 - 165,9‬‬ ‫‪+ 100‬‬ ‫‪10×15,9‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪15×10,9‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪30 × 5,9‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪12 × 4,1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪10×14,1‬‬‫‪Sm‬‬ ‫=‬ ‫‪100‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8 × 19,1 + 10 × 24,1‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪159+163,5+177+4,5+49,2+141+152,8+241‬‬ ‫‪Sm‬‬ ‫=‬ ‫‪100‬‬ ‫‪Sm = 10,88‬‬ ‫ﺠـ( ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪:‬‬ ‫* ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪:‬‬

‫‪V = 10(150 -165,9)2 +15(155 -165,9)2 + 30(160 -165,9)2‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪5(16-165,9)2 +12(170-165,9)2 +10(180-165,9)2‬‬ ‫‪+ 100‬‬ ‫‪8 (185 - 165,9)2 + 10 (190 - 165,9)2‬‬ ‫‪+ 100‬‬‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪10 × 252,81‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪15 × 118,81 +‬‬ ‫‪30 × 34,81‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5 × 0,81‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪12 × 16,81+10 × 198,81+8 × 364,81+10 × 580,81‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪100‬‬‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪2528,1 + 1782,15 + 1044,3 + 4,05‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪201,72 + 2918,48 + 5808,1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪V ≈ 136,9 :‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪13686,9‬‬ ‫‪100‬‬ ‫* ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪Sx = v :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪Sx ≈ 11,7 :‬‬ ‫‪ (3‬ﺃ( ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪:‬‬‫[‪ [145;155[ [155;165[ [165;175[ [175;185[ [185;195‬ﺍﻷﻁﻭﺍل‬‫‪ 10 45 17 10 18‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪ 150 160 170 180 190‬ﻤﺭﺍﻜﺯ‬ ‫ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‬ ‫ﺏ( * ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪150‬‬ ‫‪× 10‬‬ ‫‪+‬‬ ‫× ‪160‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪170 × 17‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪180 × 10‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪190‬‬ ‫‪× 18‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪16810‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪x ≈ 168 :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪100‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Med‬‬ ‫‪= ai‬‬ ‫‪+‬‬ ‫×‬ ‫‪h‬‬ ‫‪i‬‬ ‫* ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪:‬‬ ‫‪Ei‬‬ ‫‪[ [155 ; 165‬‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻴﺔ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪=50‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪n = 100 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ai = 155 ; hi = 165 – 155 = 10 ; S = 10 ; Ei = 45 :‬‬ ‫‪Med‬‬ ‫=‬ ‫‪155‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪50 - 10‬‬ ‫×‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪45‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪Med ≈ 163,9 :‬‬ ‫‪Mod = ai‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪D1‬‬ ‫×‬ ‫‪hi‬‬ ‫* ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﻨﻭﺍل ‪:‬‬ ‫‪+ D2‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﻤﻨﻭﺍﻟﻴﺔ ﻫﻲ ‪[ [155 ; 165 :‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ai = 155 ; hi = 165 - 155 = 10 ; D2 = 45 - 17 = 28 :‬‬ ‫‪D1 = 45 - 10 = 35‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪Mod ≈ 160,5 :‬‬ ‫‪Mod‬‬ ‫=‬ ‫‪155‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪× 10‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪35+28‬‬ ‫‪E = 195 – 145 = 50‬‬ ‫ﺠـ( ‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺩﻯ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪:‬‬‫‪Sm‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫‪150 - 168‬‬ ‫‪+ 45‬‬ ‫‪160 - 168‬‬ ‫‪+ 17‬‬ ‫‪170 - 168‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪10 180 - 168 + 18 190 - 168‬‬ ‫‪+ 100‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪34 +‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪396‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪Sm ≈ 10,9 :‬‬ ‫‪Sm‬‬ ‫=‬ ‫‪100‬‬

‫‪ -‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪:‬‬ ‫* ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪:‬‬‫‪V = 10 (150 - 168)2 + 45 (160 - 168)2 + 17 (170 - 168)2‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪10 (180 - 160)2 + 18 (190 - 168)2‬‬ ‫‪+ 100‬‬ ‫‪3240 + 2880 + 68 + 1440 + 8712‬‬ ‫=‪V‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪V = 163,4 :‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪16340‬‬ ‫‪100‬‬ ‫* ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪Sx = V = 163,4 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪Sx ≈ 12,8 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫‪x = 80 x1 + 100 x2 + 220 x3‬‬ ‫* ﺍﻷﺠﺭ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪:‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪80 × 85000‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪100 × 55000‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪220 × 25000‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪6800000‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5500000‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5500000‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪400‬‬ ‫‪x = 44500‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻷﺠﺭ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﻫﻭ ‪44500 DA‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪4 × 10‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6 × 15‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8 × 10‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪9×5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪10 × 35‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪12 × 5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪13 × 10 + 16 × 5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪17 × 5‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪+ 80‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪350 + 60‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪130‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪+ 85‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪100‬‬ ‫‪x = 9,6‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪960‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪ -2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪:‬‬‫= ‪Sm‬‬ ‫‪10 4 - 9,6‬‬ ‫‪+ 15 6 - 9,6 + 10 8 - 9,6‬‬ ‫‪+ 5 9 - 9,6‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪35 10 - 9,6 + 5 13 - 9,6 + 5 16 - 9,6 + 5 17 - 9,6‬‬ ‫‪+ 100‬‬ ‫‪10 × 5,6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪15 × 3,6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪10 × 1,6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5 × 0,6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪35 × 0,4‬‬‫= ‪Sm‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5 × 2,4 + 10 × 3,4 + 5 × 6,4 + 5 × 7,4‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪56 + 54 + 16 + 3 + 14 + 12 + 34 + 32 + 37‬‬‫‪Sm‬‬ ‫=‬ ‫‪100‬‬ ‫‪Sm‬‬ ‫=‬ ‫‪258‬‬ ‫‪= 2,58‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪ -3‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪:‬‬ ‫* ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪:‬‬‫‪V= 10(4 - 9,6)2 + 15(6 - 9,6)2 + 10(8 - 9,6)2 + 5(9 - 9,6)2‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪35(10 - 9,6)2 + 5(12 - 9,6)2 + 10(13 - 9,6)2‬‬ ‫‪+ 100‬‬ ‫‪5(16 - 9,6)2 + 5(17 - 9,6)2‬‬ ‫‪+ 100‬‬

‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪10 × 31,36‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪15 × 12,96 +‬‬ ‫× ‪10‬‬ ‫‪2,56‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5 × 0,36‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪5 × 5,76 + 10 × 31,36 + 15 × 12,96 + 10 × 2,56‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪+‬‬ ‫×‪5‬‬ ‫‪0,36‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪5,76‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪10×10,56‬‬ ‫‪+‬‬ ‫×‪5‬‬ ‫‪40,96‬‬ ‫‪+‬‬ ‫×‪5‬‬ ‫‪54,76‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪313,6 + 195,4 + 25,6 + 1,8 + 28,8 + 115,6‬‬‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪100‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪204,8 + 273,8‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪1158,4‬‬ ‫‪V ≈ 11,6‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪100‬‬ ‫* ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪:‬‬ ‫‪Sx = v ; Sx ≈ 3,4‬‬ ‫‪ -4‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺭﺒﻴﻌﻲ ‪IQ = Q3 – Q1 :‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪= 25‬‬ ‫* ﺤﺴﺎﺏ ‪ : Q1‬ﺭﺘﺒﺔ ‪ Q1‬ﻫﻲ‬ ‫‪ 4‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺭﺘﺒﺔ ‪ Q1‬ﻫﻲ ‪25‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪Q1 = 6 :‬‬ ‫ﻫﻲ‪75‬‬ ‫‪Q3‬‬ ‫ﺭﺘﺒﺔ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫× ‪100‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪75‬‬ ‫* ﺤﺴﺎﺏ ‪ : Q3‬ﺭﺘﺒﺔ ‪ Q3‬ﻫﻲ‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ Q3 = 10 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ IQ = 10 – 6 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪IQ = 4 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺭﺍﺘﺏ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﺭﻜﺘﻴﻥ ﻫﻭ ‪. 12000 DA‬‬

‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﺭﻜﺔ ‪ 50% : B‬ﻤﻥ ﺍﻟﺭﻭﺍﺘﺏ ﻤﺘﺸﺘﺘﺔ ﻓﻲ ﻤﺠﺎل ﻁﻭﻟﻪ ‪ . 1000‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﺭﻜﺔ ‪50 % : A‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺭﻭﺍﺘﺏ ﻤﺘﺸﺘﺘﺔ ﻓﻲ ﻤﺠﺎل ﻁﻭﻟﻪ ‪ 6000‬ﻓﻘﻁ ‪.‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﺭﻜﺔ ‪ 25 % : B‬ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻤﺎل ﺘﻘل ﺭﻭﺍﺘﺒﻬﻡ ﻋﻥ ‪9000 DA‬‬ ‫ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﺭﻜﺔ ‪ 25 % : A‬ﺘﻘل ﺭﻭﺍﺘﺒﻬﻡ ﻋﻥ ‪1000‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﺭﻜﺔ ‪ 10 % : B‬ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻤﺎل ﺘﻘل ﺭﻭﺍﺘﺒﻬﻡ ﻋﻥ ‪7000 DA‬‬ ‫ﻭ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﺭﻜﺔ ‪ 10 % : A‬ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻤﺎل ﺘﻘل ﺭﻭﺍﺘﺒﻬﻡ ﻋﻥ ‪7000 DA‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﺭﻜﺔ ‪ 10 % : B‬ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻤﺎل ﺘﺯﻴﺩ ﺭﻭﺍﺘﺒﻬﻡ ﻋﻥ ‪21000 DA‬‬ ‫ﻭ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﺭﻜﺔ ‪ 10 % : A‬ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻤﺎل ﺘﺯﻴﺩ ﺭﻭﺍﺘﺒﻬﻡ ﻋﻥ ‪19000 DA‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺩﺭﺠﺎﺕ‬ ‫‪2 4 6 8 10 12‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪422624‬‬‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ‬ ‫‪0,2 0,1 0,1 0,3 0,1 0,2‬‬‫‪ 0 4 6 8 14 16 20‬ﺕ ﻡ ﺹ‬‫ﺕﻡﻥ‬ ‫‪20 16 14 12 6 4 0‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺒﺎﻷﻋﻤﺩﺓ ‪:‬‬ ‫اﻝﺘﻜﺮار‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻝﺪرﺟﺎت ‪2 4 6 8 10 12‬‬ ‫‪ (3‬ﺤﺴﺎﺏ ﻤﻘﺎﻴﻴﺱ ﺍﻟﺘﻤﻭﻗﻊ ‪:‬‬ ‫ﺃ( ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪2×4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4×2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6×2‬‬ ‫‪+ 8×6‬‬ ‫‪+ 10 × 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪12 × 4‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪144‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪+ 48‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫‪x = 7,2‬‬ ‫‪Med‬‬ ‫=‬ ‫‪an‬‬ ‫‪+ an‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺏ( ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ :‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺯﻭﺠﻲ ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 10‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪n = 20 :‬‬ ‫‪ an‬ﻫﻭ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺭﺘﺒﺘﻪ ‪ 10‬ﺃﻱ ‪an = 8 :‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪11‬‬ ‫ﺭﺘﺒﺘﻪ‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﺍﻟﺤﺩ‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪an‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪Med = 8 :‬‬ ‫‪Mod = 8‬‬ ‫ﺟـ( ﺍﻟﻤﻨﻭﺍل ‪:‬‬ ‫)ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻟﻬﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﺘﻜﺭﺍﺭ(‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺩ( ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﺎﻥ ‪ - :‬ﺭﺘﺒﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻊ ﺍﻷﻭل ‪ Q1‬ﻫﻲ ‪ 4‬ﺃﻱ ‪5‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪Q1 = 4‬‬ ‫‪ 4‬ﺃﻱ ‪15‬‬ ‫‪ -‬ﺭﺘﺒﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪ Q3‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪Q3 = 10 :‬‬ ‫‪ (4‬ﻤﻘﺎﻴﻴﺱ ﺍﻟﺘﺸﺘﺕ ‪:‬‬ ‫‪E = 12 – 2 = 10‬‬ ‫ﺃ( ﺍﻟﻤﺩﻯ ‪:‬‬ ‫ﺏ( ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪:‬‬‫= ‪Sm‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 - 7,2‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪4 - 7,2‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪6 - 7,2‬‬ ‫‪+6‬‬ ‫‪8 - 7,2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪2 10 - 7,2 + 4 12 - 7,2‬‬ ‫‪+ 20‬‬

‫= ‪Sm‬‬ ‫‪4 × 5,2 + 2 × 3,2 + 2 × 1,2 + 6 × 0,8 + 2 × 2,8 + 4 × 4,8‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20,8 + 6,4 + 2,4 + 4,8 + 5,6 + 19,2‬‬ ‫‪59,2‬‬ ‫‪Sm‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫‪. Sm = 2,96‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﺟـ( ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪:‬‬ ‫• ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪:‬‬‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪4 (2 - 7,2)2‬‬ ‫‪+ 2 (4 - 7,2)2‬‬ ‫‪+ 2 (6 - 7,2)2‬‬ ‫‪+ 6 (8 - 7,2)2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪2 (10 - 7,2)2 + 4 (12 - 7,2)2‬‬ ‫‪+ 20‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(5,2)2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(3,2)2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(1,2)2‬‬ ‫‪+6‬‬ ‫‪(0,8)2‬‬ ‫‪+4‬‬ ‫‪(4,8)2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪108,16 + 20,48 + 2,88 +‬‬ ‫‪3,84‬‬ ‫‪+ 15,68‬‬ ‫‪+ 92,16‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫‪V = 12,16‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪243,2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪20‬‬ ‫• ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ Sx = v :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪Sx ≈ 3,5 :‬‬ ‫ﺩ( ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻲ ‪IQ = Q3 - Q1 :‬‬ ‫‪IQ = 6‬‬ ‫‪IQ = 10 – 4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 8‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺒﺎﻷﻋﻤﺩﺓ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ‪:‬‬ ‫‪ 40 50 60 70 80 90‬ﺍﻷﻭﺯﺍﻥ‬ ‫‪ 30 40 50 30 30 20‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪ (1‬ﺍﻷﻭﺯﺍﻥ ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫×‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪50 × 40‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪60×50 + 70× 30‬‬ ‫‪+‬‬ ‫×‪80‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪90× 20‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪1200‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪+ 3000 + 2100‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2400‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1800‬‬ ‫=‬ ‫‪200‬‬ ‫‪. x = 62,5‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪12500‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪ (2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪:‬‬ ‫• ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪:‬‬‫‪V = 30 (40 - 62,5)2 + 40 (50 - 62,5)2 + 50 (60 - 62,5)2‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪30 (70 - 62,5)2 + 30 (80 - 62,5)2 + 20 (90 - 62,5)2‬‬ ‫‪+ 200‬‬ ‫‪15187,5‬‬ ‫‪+ 6250‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪312,5 + 1687,5‬‬ ‫‪+ 9187,5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪15125‬‬‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪200‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪. V = 238,75 :‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪47750‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪200‬‬ ‫• ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ S = v = 238,75 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪. S ≈ 15,5 :‬‬ ‫‪ -3‬ﺤﺴﺎﺏ ‪ Q1‬ﻭ ‪: Q3‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪Q1 = 50 :‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪= 50‬‬ ‫• ﺭﺘﺒﺔ ‪ Q1‬ﻫﻲ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪× 200‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪Q3 = 70 :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪150‬‬ ‫• ﺭﺘﺒﺔ ‪ Q3‬ﻫﻲ‬ ‫‪ -4‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺭﺒﻴﻌﻲ ‪IQ = Q3 – Q1 = 70 – 50 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪. IQ = 20 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 9‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺭﺍﻜﺯ‬

‫[‪[125 ; 135‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪130‬‬ ‫[‪[135 ; 145‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪140‬‬ ‫[‪[145 ; 155‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪150‬‬ ‫[‪[155 ; 165‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪160‬‬ ‫[‪[165 ; 175‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪170‬‬ ‫‪ (2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪10 ×130 + 20×140‬‬ ‫‪+ 30 ×150‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪50 ×160‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪40 × 170‬‬ ‫‪150‬‬ ‫=‬ ‫‪1300‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2800‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4500‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8000‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6800‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪23400‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪. x = 156 :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪150‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪:‬‬ ‫• ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪:‬‬‫‪V = 10 (130 - 156)2 + 20 (140 - 156)2 + 30 (150 - 156)2‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪50 (160 - 156)2 + 40 (170 - 156)2‬‬ ‫‪+ 150‬‬ ‫‪6760 + 5120 + 1080 + 800 + 7840‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪150‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪. V = 144 :‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪21600‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪150‬‬ ‫• ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ Sx = V = 144 :‬ﺇﺫﻥ ‪. Sx = 12 :‬‬

‫‪ (4‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ‪:‬‬‫‪n‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪-S‬‬‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫َﻭ‬ ‫‪Q1 = ai +‬‬ ‫‪× hi‬‬ ‫* ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪Ei‬‬ ‫‪[ [145 ; 155‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ :‬ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻴﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪= 37,5‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪S = 20 + 10 = 30 , Ei = 30 ; ai = 145 :‬‬ ‫‪ hi = 155 – 145 = 10‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬‫ﺃﻱ ‪. Q1 = 147,5 :‬‬ ‫‪Q1 = 145 +‬‬ ‫‪37,5 - 30‬‬ ‫×‬ ‫‪10‬‬ ‫‪30‬‬‫‪3n‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪-S‬‬‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= 112,5‬‬ ‫َﻭ‬ ‫‪Q3‬‬ ‫=‬ ‫‪ai‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪× hi‬‬ ‫* ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪Ei‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻴﺔ ﻫﻲ ‪ 165 ; 175 :‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪[ [:‬‬ ‫‪S = 50 + 30 + 20 + 10 ; Ei = 40 ; ai = 165‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ hi = 175 – 165 = 10 ; S = 110 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪Q3 = 165,625 :‬‬ ‫‪Q3‬‬ ‫‪= 165 +‬‬ ‫‪112,5 -‬‬ ‫‪110‬‬ ‫×‬ ‫‪10‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪ -5‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟ ُﺭﺒﻴﻌﻲ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ IQ = Q3 – Q1 :‬ﺃﻱ ‪IQ = 165,625 – 147,5 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪. IQ = 18,125 :‬‬ ‫‪ -6‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟ ُﻌﺸﺭﻴﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫َﻭ‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪= ai‬‬ ‫‪+‬‬ ‫×‬ ‫‪hi‬‬ ‫• ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪Ei‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟ ُﻌﺸﺭﻴﺔ ﻫﻲ ‪ 135 ; 145 :‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪[ [:‬‬ ‫‪hi = 145 – 135 = 10 ; S = 10 ; Ei = 20 ; ai = 135‬‬‫ﺃﻱ ‪D1 = 137,5 :‬‬ ‫‪D1‬‬ ‫=‬ ‫‪135‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪15 - 10‬‬ ‫×‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪9n‬‬ ‫‪9n‬‬ ‫‪-S‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪= 135‬‬ ‫َﻭ‬ ‫‪D9 = ai +‬‬ ‫• ‪× hi‬‬ ‫‪Ei‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺔ ﻫﻲ ‪ 165 ; 175 :‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪[ [:‬‬ ‫‪hi = 175 – 165 = 10 , S = 110 ; Ei = 40 , ai = 165‬‬ ‫ﺃﻱ ‪. D9 = 171,25 :‬‬ ‫‪D9 = 165 +‬‬ ‫‪135 - 110‬‬ ‫×‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪40‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 10‬‬ ‫‪ (1‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪. Me = 90 :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪= 30‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪n = 60 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (2‬ﺤﺴﺎﺏ ‪ Q1‬ﻭ ‪: Q3‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪. Q1 = 40 :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪= 15‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪. Q3 = 120 :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= 45‬‬ ‫‪ (3‬ﺤﺴﺎﺏ ‪ D1‬ﻭ ‪: D9‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪D1 = 12 :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪D9 = 168 :‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9n‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪= 54‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 11‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺠﺩﻭل‬‫‪ 10 20 30 40 50 60‬ﺍﻟﻤﺩﺓ‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪15 5 5 10 3 2‬‬‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ‬ ‫‪0,375 0,125 0,125 0,25 0,075 0,05‬‬‫‪ 0‬ﺕﻡﺹ‬ ‫‪15‬‬ ‫‪20 25 35 38 40‬‬

‫ﺕﻡﻥ‬ ‫‪40‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5 20‬‬ ‫‪0,50‬‬ ‫‪0,625‬‬ ‫‪0,875‬‬ ‫‪0,95 1‬‬ ‫‪ 0 0,375‬ﺕ ﻥ ﺹ‬ ‫‪0,625‬‬ ‫‪0,375‬‬ ‫‪0,125 0,05 0‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫ﺕﻥﻥ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ – (2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪10 × 15‬‬ ‫‪+‬‬ ‫× ‪20‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪30 × 5 + 40 × 10‬‬ ‫‪+‬‬ ‫× ‪50‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫× ‪60‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪150 + 400‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪+ 120‬‬ ‫=‬ ‫‪40‬‬ ‫‪. x = 26,75‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1070‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪:‬‬ ‫‪Med‬‬ ‫=‬ ‫‪an‬‬ ‫‪+ an‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺯﻭﺠﻲ ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪n = 40 :‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺩ ‪ an‬ﺭﺘﺒﺘﻪ ‪ 20‬ﻭﻤﻨﻪ ‪an = 20 :‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫=‬ ‫‪21‬‬ ‫ﺭﺘﺒﺘﻪ ‪ 21‬ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺩ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Med = 25‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫= ‪Med‬‬ ‫‪20 + 30‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪2‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﻨﻭﺍل ‪Mod = 10 :‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻟﻬﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺭﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ‪ Q1‬ﻭ ‪: Q3‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪Q3 = 40 :‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪= 30‬‬ ‫;‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪Q1 = 10‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪= 10‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺎﻥ ‪ D1‬ﻭ ‪: D9‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ‪D1 = 10 :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪40‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪D9 = 50 :‬‬ ‫‪9n‬‬ ‫‪= 36‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ * (3‬ﺍﻟﻤﺩﻯ ‪E = 60 – 10 = 50 :‬‬ ‫* ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ‪:‬‬‫‪Sm‬‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10 - 26,75‬‬ ‫‪+5‬‬ ‫‪20 - 26,75‬‬ ‫‪+5‬‬ ‫‪30 - 26,75‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪10 40 - 26,75 + 3 50 - 26,75 + 2 60 - 26,75‬‬ ‫‪+ 40‬‬ ‫‪251,25 + 33,75 + 16,25 + 132,5 +69,75+ 66,5‬‬‫‪Sm‬‬ ‫=‬ ‫‪40‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪Sm = 14,25 :‬‬ ‫‪Sm‬‬ ‫=‬ ‫‪570‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪:‬‬‫‪V = 15(10 - 26,75)2 + 5(20 - 26,75)2 + 5(30 - 26,75)2‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪10(40 - 26,75)2 + 3(50 - 26,75)2 + 2(60 - 26,75)2‬‬ ‫‪+ 40‬‬ ‫‪4208,4375 + 227,8125 + 52,8125 + 1755,625‬‬‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪40‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1621,6875 + 2211,125‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪10077,5‬‬ ‫‪V ≈ 251,9‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪40‬‬ ‫‪Sx = V‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪Sx ≈ 15,9 :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺭﺒﻴﻌﻲ ‪IQ = Q3 – Q1 :‬‬

‫‪ IQ = 40 – 10‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪IQ = 30 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪:‬‬‫‪Med‬‬ ‫=‬ ‫‪an‬‬ ‫‪+ an‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺯﻭﺠﻲ ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 550‬‬ ‫‪ N = 1100‬ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺭﺘﺒﺔ ‪ an‬ﻫﻲ ‪ 550‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪an = 2,5 :‬‬ ‫‪22‬‬‫‪an‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫=‬ ‫‪2,5‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﺭﺘﺒﺔ ‪ an‬ﻫﻲ ‪550‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪Med = 2,5 :‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺭﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ‪:‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺭﺘﺒﺔ ‪ Q1‬ﻫﻲ ‪ 275‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪Q1 = 1,5 :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪275‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3n‬‬‫‪ Q3‬ﻫﻲ ‪ 825‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪Q3 = 3 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺭﺘﺒﺔ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= 825‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺭﺒﻴﻌﻲ ‪IQ = Q3 – Q1 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪IQ = 1,5 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪IQ = 3 – 1,5‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪:‬‬ ‫ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ﻓﻲ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪: V‬‬‫‪V = 100(0,5 - 2,5)2 + 50(1 - 2,5)2 + 200(1,5 - 2,5)2‬‬ ‫‪1100‬‬ ‫‪100(2 - 2,5)2 + 150(2,5 - 2,5)2 + 500(3 - 2,5)2‬‬ ‫‪+ 1100‬‬

‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪400‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪112,5‬‬ ‫‪+ 200 +‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪1100‬‬ ‫‪862,5‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪1100‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪V ≈ 0,8 :‬‬ ‫‪Sx = V‬‬ ‫* ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪:‬‬ ‫‪Sx ≈ 9‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬

‫ﺍﻻﺤﺘﻤــﺎﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺓ ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻭﻨﻤﻭﺫﺠﻬﺎ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻟﻲ‪.‬‬‫ﺇﺩﺭﺍﻙ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻭﻤﻤﺎﺭﺴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻟﻲ ﻋﻠﻰ ﻓﻀﺎﺀ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻤﻨﺘﻪ‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ﻭﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ‬‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‬ ‫‪ - 1‬ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻫﻲ ﻜل ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻻ ﻨﻌﺭﻑ ﻨﺘﺎﺌﺠﻬﺎ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺘﺴﻤﻰ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺩﻭﺙ ؛ ﺃﻱ ﻜل ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺘﺴﻤﻰ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﺤﺩﻭﺙ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻜل ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺩﻭﺙ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﺤﺎﺩﺙ ﻫﻭ ﻜل ﺠﺯﺀ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﺃﻨﻬﺎ ﻭﻗﻌﺕ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻫﻲ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﻤﻥ‪. A‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﺒﺴﻴﻁﺔ ﻫﻲ ﻜل ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﻜﻭﻨﺔ ﻤﻥ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺯﻫﺭﺓ ﻨﺭﺩ ﻏﻴﺭ ﻤﺯﻴﻔﺔ ﺃﻱ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ ‪ ،‬ﺃﻭﺠﻬﻬﺎ ﻤﺭﻗﻤﺔ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪. 6‬‬‫ﻨﻘﺫﻑ ﺍﻟﻨﺭﺩ ﻨﺤﻭ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻭﻨﺭﺍﻗﺏ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﻌﻠﻭﻱ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻅﻬﺭ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺴﻘﻭﻁ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺘﺴﻤﻰ ﺘﺠﺭﺒﺔ‬ ‫ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻷﻨﻨﺎ ﻻ ﻨﻌﺭﻑ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻤﺴﺒﻘﺎ ‪.‬‬‫ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ‪ 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﺃﻭﺠﻪ ﺍﻟﻨﺭﺩ ﺘﺴﻤﻰ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﺤﺩﻭﺙ ﻷﻨﻪ ﻋﻨﺩ‬ ‫ﺭﻤﻲ ﺍﻟﻨﺭﺩ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﺭﻯ ﺃﺤﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻭﺠﻪ‪.‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻜل ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﻫﻲ ‪{ }E = 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 :‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻨﺴﻤﻴﻬﺎ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﺎﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ‪.‬‬ ‫* ﺍﻟﺠﺯﺀ ‪ 2 ، 6‬ﻴﺴﻤﻰ ﺤﺎﺩﺜﺔ ‪{ }.‬‬ ‫ﻓﺈﺫﺍ ﺭﺃﻴﻨﺎ ‪ 2‬ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ 2 ، 6‬ﻭﻗﻌﺕ ﻭﻜﺫﻟﻙ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪{ }. 6‬‬ ‫* ‪ 2‬ﻫﻲ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺒﺴﻴﻁﺔ ‪{ }.‬‬ ‫ﻭ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻫﻨﺎﻙ ‪ 6‬ﺤﻭﺍﺩﺙ ﺒﺴﻴﻁﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫}‪. {6} ، {5} ،{4} ،{3} ،{2} ،{1‬‬ ‫‪ - 2‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪{ }E = x1 , x2 , . . . , xn :‬‬ ‫ﻨﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ xi‬ﻤﻥ ‪ E‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ Pi‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪P1 + P2 + . . . + Pn = 1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻨﻜﻭﻥ ﻗﺩ ﻋﺭﻓﻨﺎ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪ E‬ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﺒﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬

‫‪x1 x2‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪P1 P2 . . . Pn‬‬ ‫ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻴﺴﻤﻰ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪p1 = p2 = .............. = pn = α :‬‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪n α = 1 :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p1‬‬ ‫=‬ ‫‪p2‬‬ ‫=‬ ‫= ‪...............‬‬ ‫‪pn‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺤﻅﻭﻅ ﻓﻲ ﺍﻟﻅﻬﻭﺭ ﻓﺈﻥ‪:‬‬‫‪P‬‬ ‫)}‪({1‬‬ ‫=‬ ‫‪P‬‬ ‫)}‪({2‬‬ ‫=‬ ‫‪P‬‬ ‫)}‪({3‬‬ ‫=‬ ‫‪P‬‬ ‫)}‪({4‬‬ ‫=‬ ‫)}‪P({5‬‬ ‫=‬ ‫‪P‬‬ ‫)}‪({6‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭﻴﻜﻭﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪xi 1 2 3 4 5 6‬‬ ‫‪Pi‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ - 3‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺤﺎﺩﺙ ‪:‬‬ ‫‪ E‬ﻓﻀﺎﺀ ﺤﻴﺙ ‪{ }E = x1 , x2 , . . . , xn :‬‬ ‫ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪x1 x2‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪P1 P2 . . . Pn‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻕ ‪ P‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﻤﺤﺘﻭﺍﺓ ﻓﻲ ‪ ، E‬ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ )‪ P(A‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪P (φ) = 0 (1‬‬