دروس مادة الرياضيات للفصل الثالث تسيير و اقتصاد سنة ثالثة ثانوي

‫ﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‬ ‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺴﻼﺴل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ‬ ‫‪ -‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬

‫ﺍﻟﺴﻼﺴل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ‬ ‫‪ -‬ﺘﻤﺜﻴل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ ﺒﺴﺤﺎﺒﺔ ﻨﻘﻁ‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ‬ ‫‪ -‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺘﻌﺩﻴل ﺨﻁﻲ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﻨﺸﻁﺎﻥ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺎﻥ‬ ‫‪(1‬ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‪ :‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬ ‫‪(2‬ﺘﺒﺎﻴﻥ )‪ (Covariance‬ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ‬ ‫‪ (3‬ﺘﺴﻭﻴﺔ ﺴﺤﺎﺒﺔ ﻨﻘﻁ ﺒﺎﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﺩﻨﻴﺎ‪:‬‬ ‫‪ (4‬ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﺭﺍﺒﻁ ﺍﻟﺨﻁﻲ‪:‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺴﻼﺴل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ‬‫ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪TI-83PLUS‬ﻓﻲ ﻤﺠﺎل ﺍﻟﺴﻼﺴل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬ ‫ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ‬

‫ﻨﺸﻁﺎﻥ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺎﻥ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪:1‬ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ‬ ‫*ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ ﻴﺒﻴﻥ ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ‪ 12‬ﻁﺎﻟﺒﺎ ﻓﻲ ﻤﺎﺩﺓ ﻭ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻭ ﻓﻲ ﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‪:‬‬‫ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ) ‪(xi‬‬ ‫‪24677 8‬‬‫ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ) ‪( yi‬‬ ‫‪77957 8‬‬‫ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ) ‪(xi‬‬ ‫‪8 9 9 10 11 12‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ) ‪( yi‬‬ ‫‪9 10 12 9 8 11‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﻟﻜل ﺘﻠﻤﻴﺫ ﺘﺤﺕ ﻋﻼﻤﺘﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‪.‬‬‫‪ -1-‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ x‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻌﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻭ ‪ y‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻌﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‪.‬‬‫‪ -2-‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ )‪ ، (O;i, j‬ﻤﺜل ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﻘﻁ ) ‪ M i (xi ; yi‬ﻭ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪. G(x; y‬‬ ‫* ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -1-‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2  4  6  7  7 88 9  9 101112‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪x 7,75‬‬ ‫‪y 8,5‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬‫‪y‬‬ ‫‪7  7  9  5  7  8  9  10  12  9  8  11‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪12‬‬‫‪-2-‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪M1 (2;7) ، M 2 (4;7) ، M 3 (6;9) ، M 4 (7;5) ، M 5 (7;7) :‬‬

‫)‪، M 6 (8;8) ، M 7 (8;9) ، M 8 (9;10) M 9 (9;12) ، M10 (10;9) ، M11 (11;8‬‬ ‫)‪. M12 (12;11‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ )‪. G(7,75;8,5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪M9‬‬‫‪12‬‬‫‪11‬‬ ‫‪M12‬‬‫‪10‬‬ ‫‪M8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪M7‬‬ ‫‪M10‬‬ ‫‪M11‬‬ ‫‪M1 M2‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪M6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪M5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪M4‬‬‫‪4‬‬ ‫‪M3‬‬‫‪3‬‬‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪→j‬‬‫‪-1 0 i→ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x‬‬ ‫* ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻫﺘﻤﻴﻨﺎ ﺒﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ ﻤﺘﻘﻁﻌﺘﻴﻥ ) ﺍﻷﻭل ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ( ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺫﺍﺕ ‪ 12‬ﻓﺭﺩﺍ ) ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻁﻠﺒﺔ( ‪ ،‬ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺘﻤﺜل‬ ‫ﺒﺎﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ‪:‬‬‫)‪، (6;9) ، (7;5) ، (7;7) ، (8;8) ، (8;9) ، (9;10) ، (9;12) ، (10;12) ، (11;8) ، (12;11‬‬ ‫)‪. (2;7) ، (4;7‬‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺘﺸﻜل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ ﻭ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﻁﺎﺭ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪M 4 ، M 5 ، M 6 ، M 7 ، M 8 ، M 9 ، M 10 ، M 11 ، M 12‬‬ ‫‪. M1، M 2 ، M 3‬‬ ‫ﺴﺤﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ G‬ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ‪.‬‬

‫‪ -‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (M1M12‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺼل ﺒﻴﻥ ﺃﻭل ﻨﻘﻁﺔ ﻭ ﺁﺨﺭ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺴﺤﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ :‬ﻴﺴﻤﻰ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫ﺍﻷﻁﺭﺍﻑ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪:2‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺒﺎﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﺩﻨﻴﺎ‬ ‫* ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺠﺩﻭل‪:‬‬ ‫‪xi 4 6 8 10‬‬ ‫‪yi 2,25 2,5 3,25 7‬‬ ‫‪-1-‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ x‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﻘﻴﻡ ‪ xi‬ﻭ ‪ y‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﻘﻴﻡ ‪yi‬‬ ‫ﻭ ‪ xy‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﺠﺩﺍﺀﺍﺕ ‪. xi yi‬‬ ‫‪-2-‬ﺃﺤﺴﺏ )‪ V (x‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ‪. xi‬‬ ‫‪ -3-‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ )‪. (O; i, j‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪، M1 (4;2,25) ، M 2 (6;2,5) ، M 3 (8;3,25) ، M 4 (10;7‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺸﻜل ﺴﺤﺎﺒﺔ‬‫ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ‪ ،‬ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ G‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﺔ‬ ‫ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‪.‬‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ )‪ (D‬ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ G‬ﻭ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻬﻪ ‪ a‬ﻭ ﻨﺴﻤﻲ ‪ P1 ، P2 ، P3 ، P4‬ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻤﻥ )‪(D‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﻓﻭﺍﺼﻠﻬﺎ ‪ 10،8،6،4‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫‪-‬ﺃ‪ -‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﻫﻲ ‪y=a(x-7)+3,75‬‬ ‫‪-‬ﺏ‪-‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ P1 ، P2 ، P3 ، P4‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪. a‬‬‫‪-‬ﺠـ‪-‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ S‬ﺤﻴﺙ ‪S M1P12  M2P22 M3P32 M4P42‬‬ ‫ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪. a‬‬ ‫‪-‬ﺩ‪-‬ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ a‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ S‬ﺃﺼﻐﺭ ﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ) ﺃﺼﻐﺭﻴﺎ(‬ ‫* ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪:‬‬‫‪y‬‬ ‫‪2,252,53,257‬‬ ‫‪x‬ﻭ‬ ‫‪46810‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫‪-1-‬ﺤﺴﺏ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪. xy‬‬ ‫‪4u2,256u2,58u3,2510u7‬‬ ‫ﻭ‪4‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ x 7‬ﻭ ‪ y 3,75‬ﻭ ‪. xy 30‬‬‫)‪V(x‬‬ ‫‪(4x)2 (6x)2 (8x)2 (10x)2‬‬ ‫‪-2-‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭ ﺒﻌﺩ ﺘﻌﻭﻴﺽ ‪ x‬ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ‪ 7‬ﻭ ﺇﻨﺠﺎﺯ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ‪.V(x) 5 :‬‬

‫‪-3-‬‬ ‫‪-‬ﺃ‪-‬ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ )‪ (D‬ﻫﻭ ‪ a‬ﻤﻨﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪. y axb‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ G‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ )‪ (D‬ﻓﺈﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ‪ G‬ﻴﺤﻘﻘﺎﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪. D‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ )‪ G(7 ;3,75‬ﻤﻨﻪ ‪ 3,75= a x+b:‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪.b=3,75-7a‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (D‬ﺘﺼﺒﺢ ‪y=a x+3,75-7a‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﻫﻲ ‪y=a (x-7)+3,75:‬‬ ‫‪-‬ﺏ‪-‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ P1 ، P2 ، P3 ، P4‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪.!5D-‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺘﺤﻘﻘﺎﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪(D‬‬ ‫ﻓﺎﺼﻠﺔ ‪ P1‬ﻫﻲ ‪ 4‬ﻤﻨﻪ ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ P1‬ﻫﻭ ‪a(4-7)+3,75‬‬ ‫ﻓﺎﺼﻠﺔ ‪ P2‬ﻫﻲ ‪ 6‬ﻤﻨﻪ ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ P2‬ﻫﻭ ‪a(6-7)+3,75.‬‬ ‫ﻓﺎﺼﻠﺔ ‪ P3‬ﻫﻲ ‪ 8‬ﻤﻨﻪ ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ P3‬ﻫﻭ ‪a(8-7)+3,75.‬‬ ‫ﻓﺎﺼﻠﺔ ‪ P4‬ﻫﻲ ‪ 10‬ﻤﻨﻪ ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ P4‬ﻫﻭ ‪a(10-7)+3,75..‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬‫)‪P1(4;3a3,75) ، P2 (6;a  3,75) ، P3 (8; a  3,75) ، P4 (10;3a  3,75‬‬ ‫‪-‬ﺠـ‪-‬ﺸﻜل ﻟﻠﺘﺤﻠﻴل‪:‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪M4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪P3 P4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪P2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪P1 G‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪M3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪M1 M2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬‫‪(D) : y=a(x-7)+3.75 2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪ M 1P12‬ﻫﻭ ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ P1‬ﻭ ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ M 1‬ﻤﻨﻪ‬ ‫‪M1P12 [(3a  3,75)  2,25]2‬‬ ‫‪ M 2 P22‬ﻫﻭ ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ P2‬ﻭ ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ M 2‬ﻤﻨﻪ‬ ‫‪M 2P22 [(a  3,75)  2,5]2‬‬ ‫‪ M 3 P32‬ﻫﻭ ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ P3‬ﻭ ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ M 3‬ﻤﻨﻪ‬ ‫‪M 3 P32 [(a  3,75)  3,25]2‬‬ ‫‪ M 4 P42‬ﻫﻭ ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ P4‬ﻭ ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ M 4‬ﻤﻨﻪ‬ ‫‪M 4 P42 [(3a  3,75)  7]2‬‬ ‫ﻭ ﺒﻌﺩﺩ ﺇﻨﺠﺎﺯ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﻨﺠﺩ ‪S 20a 2  30a  16,3125 :‬‬‫‪-‬ﺩ‪-‬ﻤﻥ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪ ،‬ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ‪g‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪g(x) Ax 2  Bx  C‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ C ، B ، A‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ A>0‬ﺘﺒﻠﻎ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ﻋﻠﻰ ƒ ﻤﻥ ﺃﺠل‬‫‪a‬‬ ‫)‪ (30‬‬ ‫ﻴﻜﻔﻲ‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻴﻠﺯﻡ‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ(‬ ‫ﻤﺎ‬ ‫ﺃﺼﻐﺭ‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫ﺃﺼﻐﺭﻴﺎ)‬ ‫‪S‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﺤﺘﻰ‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ‬ ‫‪B‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫‪2 u 20‬‬ ‫‪2A‬‬ ‫‪.a‬‬ ‫‪30‬‬ ‫ﺃﻱ ‪40‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ :‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ S‬ﺃﺼﻐﺭﻴﺎ ﻴﻠﺯﻡ ﻭ ﻴﻜﻔﻲ ﺃﺨﺫ ‪. a 0,75‬‬ ‫* ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻌﻤل ﺍﻟﺫﻱ ﻗﻤﻨﺎ ﺒﻪ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻟﻬﺎ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ‪ y ax  b‬ﻭ ﺘﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ G‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ \" ﺍﻷﻜﺜﺭ ﻗﺭﺒﺎ\" ﻤﻥ ﺴﺤﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‬ ‫ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )'( ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻬﻪ‪ 0,75‬ﻭ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﻁﺎﺭ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )'(ﻴﺴﻤﻰ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺒﺎﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﺩﻨﻴﺎ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ y‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪x‬‬ ‫‪xy  x.y 30  7 u 3,75‬‬ ‫‪-‬ﻨﻼﺤﻅ ‪5 :‬‬ ‫)‪V (x‬‬ ‫‪0,75‬‬ ‫ﺃﻱ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺒﺎﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﺩﻨﻴﺎ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ‪ y‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ‪ x‬ﻴﺴﺎﻭﻱ‬ ‫‪xy  x.y‬‬ ‫)‪. V (x‬‬

‫‪(1‬ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‪ :‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬‫ﻋﻨﺩ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺘﻬﺘﻡ ﺒﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ ﻤﺘﻘﻁﻌﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺠﺘﻤﻊ) ﺃﻭ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ(‬ ‫ﺫﻱ ‪ n‬ﻓﺭﺩﺍ‪ ،‬ﻨﺴﺠل ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ‪ x1,x2,....xn‬ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻷﻭل ﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ‪y1,y2,…..,yn‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻷﻓﺭﺍﺩ ‪ u1,u2,….,un‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ ،‬ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ‬ ‫)‪ (x1 ;y1),(x2 ;y2)…… ;(xn ;yn‬ﺘﺸﻜل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‬ ‫‪.(xi ;yi)1didn‬‬ ‫)ﺃﻭ ﻟﻠﺘﺒﺴﻴﻁ ‪ :‬ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪.((xi ;yi‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﺃﺤﺴﻥ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭﻩ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M 1 ، M 2 ،.....، M n‬ﺤﻴﺙ‬ ‫) ‪ M 1 (x1; y1 ) ، M 2 (x2 ; y2 ) ،....، M n (xn ; yn‬ﺘﺴﻤﻰ ﺴﺤﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‬ ‫)‪.(xi ;yi‬‬ ‫‪-‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ G‬ﺤﻴﺙ )‪ ، G(x, y‬ﺃﻴﻥ ‪ x‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ‪ x1,x2,....xn‬ﻭ ‪ y‬ﺍﻟﻭﺴﻁ‬ ‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ‪ y1,y2,…..,yn‬ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ )‪.(xi ;yi‬‬ ‫)ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﺴﺤﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪.( M 1 ، M 2 ،.....، M n‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻘﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﻠﺨﺹ ﺘﻁﻭﺭ ﺇﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻌﺴل ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺯﺍﺌﺭ ﺒﻴﻥ ﻋﺎﻡ ‪1985‬‬‫ﺍﻟﻌﺎﻡ)‪(xi‬‬ ‫‪1985 1990‬‬ ‫‪1995‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫ﻭ ﻋﺎﻡ ‪.2002‬‬ ‫‪2001 2002‬‬‫ﺍﻹﻨﺘﺎﺝ ﺒﺎﻷﻁﻨﺎﻥ‬ ‫)‪(yi‬‬ ‫‪1110 1500 1800 1100 1600 1950‬‬‫‪-1-‬ﺃﻨﺸﺊ ﺴﺤﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﺴﻠﺴﻠﺔ)‪ (xi ;yi‬ﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺒﺩﺃﻩ )‪ O(1985 ;1100‬ﻭ ﺍﻟﺴﻠﻡ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪ 1cm‬ﻴﻤﺜل ﺴﻨﺘﻴﻥ‪ K‬ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ‬ ‫‪yi‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ; ‪ 1cm‬ﻴﻤﺜل ‪ 50‬ﻁﻨﺎ‪.‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪. vi‬‬ ‫‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪zi‬‬ ‫ﻭ‪=yi-1100‬‬ ‫‪ti=xi-1985‬‬ ‫ﻨﻀﻊ‬ ‫‪-2-‬‬‫‪-‬ﺃ‪ -‬ﺃﻨﺠﺯ ﺠﺩﻭﻻ ﻴﻠﺨﺹ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ )‪ (ti ;zi‬ﻭ ﺠﺩﻭﻻ ﻴﻠﺨﺹ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ )‪.(ti ;vi‬‬

‫‪-‬ﺏ‪ -‬ﺃﻨﺸﺊ ﺴﺤﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﺴﻠﺴﻠﺔ )‪ (ti ;zi‬ﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻴﺘﺭﻙ ﻟﻙ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭﻩ‪.‬‬‫‪-‬ﺠـ‪ -‬ﺃﻨﺸﺊ ﺴﺤﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﺴﻠﺴﺔ)‪ (ti ;vi‬ﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻴﺘﺭﻙ ﻟﻙ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭﻩ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‪:‬‬‫‪-1-‬ﻋﻠﻴﻨﺎ ﺃﻭﻻ ﺃﻥ ﻨﻌﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ G‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ )‪.(xi ;yi‬‬‫‪x‬‬ ‫‪1985  1990  1995  2000  2001  2002‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪6 :‬‬‫‪y‬‬ ‫‪1110  1500  1800  1100  1600  1950‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ x 1995,5 :‬ﻭ ‪ y 1510‬ﻤﻨﻪ )‪G(19995,5 ;1510‬‬ ‫‪ti 0‬‬ ‫‪5 10 15‬‬ ‫‪ -2-‬ﺃ‪ -‬ﺍﻟﺠﺩﻭﻻﻥ‬ ‫‪16 17‬‬ ‫‪zi 10 400 700 0‬‬ ‫‪500 85‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ti 0‬‬ ‫‪5 10 15 16 17‬‬ ‫‪vi 2,1‬‬ ‫‪6 9 2 7 10,5‬‬‫‪-‬ﺏ‪-‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ Gc‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ )‪ (ti ;zi‬ﻋﻲ ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫)‪ Gc(t; z‬ﻭ ﻟﻜﻥ ‪ti=xi-1985.‬‬ ‫ﻭ‪ zi=yi-1100‬ﻤﻨﻪ ﻭ ﺤﺴﺏ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ‪t x  1985‬‬ ‫ﻭ ‪ z y  1100‬ﻤﻨﻪ )‪. Gc(10,5;410‬‬‫ﻨﻅﺭﺍ ﻟﻠﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻨﺄﺨﺫ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ)‪ (O ;O‬ﻭ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪ 0 ,5cm‬ﻭ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪. 0,5mm‬‬‫‪-‬ﺠـ‪-‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﻋﻠﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ‪ Gcc‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ )‪.(ti ;vi‬‬‫‪. vi‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪yi‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻭﻟﻨﺎ‬ ‫‪t‬‬ ‫ﻫﻲ ﺒﺤﻴﺙ )‪ Gcc(t; v‬ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ ‪0,05‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪ v‬ﻤﻨﻪ‪6,1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y9‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‬ ‫ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻭﺴﻁ‬ ‫ﻭ ﻤﻥ‬ ‫‪100‬‬‫ﻤﻨﻪ )‪ Gcc(10,5;6,1‬ﻨﻅﺭﺍ ﻟﻠﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻨﺄﺨﺫ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ)‪ (O ;O‬ﻭ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻫﻲ‬ ‫‪ 0,5cm‬ﻭ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻫﻲ ‪. 1cm‬‬ ‫ﺍﻷﺸﻜﺎل‬

‫‪(2‬ﺘﺒﺎﻴﻥ )‪ (Covariance‬ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ‬ ‫‪-‬ﺃ‪-‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ (xi ;yi)1didn‬ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ‪.‬‬‫ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ )‪ – (xi ;yi‬ﺃﻭ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ‪ x‬ﻭ ‪ – y‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ)‪ cov(x ;y‬ﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫)‪cov(x; y) (x1  x)(y1  y)  (x2  x)(y2  y)  .... (xn  x)(yn  y‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1i n‬‬‫)‪¦  cov(x; y‬‬‫‪xi‬‬‫)‪ y‬‬ ‫‪ni1‬‬ ‫‪ x (yi‬‬ ‫ﺃﻭ ﺒﻜﺘﺎﺒﺔ ﻤﻜﺜﻔﺔ‪:‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﻤﺩﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‪ ،‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫)‪(x1  x) u ( y1  y) (1985  1995,5) u (1110  1510‬‬ ‫)‪(x2  x) u ( y2  y) (1990  1995,5) u (1500  1510‬‬ ‫)‪(x3  x) u ( y3  y) (1995  1995,5) u (1800  1510‬‬ ‫)‪(x4  x) u ( y4  y) (2000  1995,5) u (1100  1510‬‬ ‫)‪(x5  x) u ( y5  y) (2001  1995,5) u (1600  1510‬‬ ‫)‪(x6  x) u ( y6  y) (2002  1995,5) u (1950  1510‬‬ ‫ﻭ ﺒﻌﺩ ﺇﻨﺠﺎﺯ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻭ ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ‪:‬‬‫)‪covx(; y‬‬ ‫)‪(6,5)(440) (5,5)(90) (4,5)(410) (0,5)(290) (5,5)(10) (10,5)(400‬‬ ‫‪6‬‬ ‫) ‪cov( x; y‬‬ ‫‪5620‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻤﺩﻭﺭﺓ ﺇﻟﻰ ‪. cov(x; y) | 936,67 : 10-2‬‬ ‫‪-‬ﺏ‪-‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻜﻭﻨﻴﻎ)‪(théorème de Koenig‬‬ ‫*ﻨﺹ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻜﻭﻨﻴﻎ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ )‪ (xi ;yi‬ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ ﻓﺈﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪cov(x; y) x.y  x u y‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ x :‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﻘﻴﻡ ‪ xi‬ﻭ ‪ y‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﻘﻴﻡ ‪yi‬‬ ‫‪ x.y‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﺠﺩﺍﺀﺍﺕ ‪xiyi.‬‬

‫* ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻜﻭﻨﻴﻎ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﺹ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬‫)‪cov(x; y) (x1  x)( y1  y)  (x2  x)( y2  y)  .......  (xn  x)( yn  y‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪x1y1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪y2 .....‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪yn‬‬ ‫‬ ‫‪x.y...‬‬ ‫‪x.y‬‬ ‫‬ ‫‪x(y1‬‬ ‫‬ ‫‪y2 ...‬‬ ‫)‪yn‬‬ ‫‬ ‫‪y(x1‬‬ ‫‬ ‫)‪x2 ...xn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪xy  x.y  x.y  y.x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪cov(x; y) x.y  x.y‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﻤﺩﻨﺎ‬ ‫ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻜﻭﻨﻴﻎ‪cov(t; v) t.v  t.v :‬‬‫‪t.v‬‬ ‫‪0 u 2,1  5 u 6  10 u 9  15 u 2  16 u 7  17 u10,5‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪6 :‬‬‫ﻭ ﻟﻘﺩ ﻭﺠﺩﻨﺎ ‪t 10,5‬‬ ‫‪440,5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭ ‪v 6,1‬‬ ‫)‪cov(t; v‬‬ ‫‪440,5‬‬ ‫‪ 6,1u10,5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪cov(t; v‬‬ ‫‪440,5  6 u 6,1u10,5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪cov(t; v) 56,2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪) cov(t; v) | 9,37‬ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻤﺩﻭﺭﺓ ﺇﻟﻰ ‪(10-2‬‬

‫‪ (3‬ﺘﺴﻭﻴﺔ ﺴﺤﺎﺒﺔ ﻨﻘﻁ ﺒﺎﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﺩﻨﻴﺎ‪:‬‬ ‫‪-‬ﺃ‪-‬ﺘﺴﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ y‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪: x‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ (xi ;yi)1didn‬ﺴﻠﺴﻠﺔ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﺇﻨﺠﺎﺯ ﺘﺴﻭﻴﺔ ) ﺃﻭ ﺘﻌﺩﻴل( ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ y‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ x‬ﻴﻌﻨﻲ‪:‬‬‫ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺒﺤﻴﺙ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ \" g‬ﻴﻤﺭ ﺃﻗﺭﺏ ﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﻤﻥ‬‫ﺠﻤﻴﻊ ﻨﻘﻁ ﺍﻟﺴﺤﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﺴﻠﺴﻠﺔ )‪ ،(xi ;yi‬ﻭ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﻁﺎﺭ ‪،‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﺍﻟﺘﺴﻭﻴﺔ ﺘﺴﻤﻰ‬ ‫ﺘﺴﻭﻴﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺘﺎﻥ‪:‬‬‫‪-‬ﻨﺤﻜﻡ ﻋﻥ ﺘﺴﻭﻴﺔ ﺴﺤﺎﺒﺔ ﻨﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﻼﺌﻤﺔ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﺤﺎﺒﺔ ‪.‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻭ ﻜﺫﻟﻙ ﺒﺭﻤﺠﻴﺎﺕ ) ﻤﺜل ‪ (SINEQUANON‬ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﺴﻭﻴﺔ ﺴﺤﺎﺒﺔ ﻨﻘﻁ‬ ‫ﺒﻤﻨﺤﻨﻴﺎﺕ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ‪.‬‬ ‫‪-‬ﺏ‪ -‬ﺘﺴﻭﻴﺔ ﺴﺤﺎﺒﺔ ﻨﻘﻁ ﺒﺎﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﺩﻨﻴﺎ‪:‬‬ ‫*ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ‪ (xi ;yi)1didn‬ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ M 1 ، M 2 ،.....، M n‬ﺍﻟﻨﻘﻁ‬‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺸﻜل ﺴﺤﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﺴﻠﺴﻠﺔ)‪ (xi ;yi‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ‪ ،‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﺇﺫﻥ‪:‬‬‫) ‪ M 1 (x1; y1 ) ، M 2 (x2 ; y2 ) ،....، M n (xn ; yn‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺒﺎﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﺩﻨﻴﺎ‬ ‫ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ‪ y‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ ،‬ﻭ ﻟﻴﻜﻥ )‪(D‬ﺍﻟﻤﺤﻘﻕ ﻟﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ‬‫‪ P1 ، P2 ،.....، Pn‬ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻤﻥ)‪ (D‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﻭﺍﺼﻠﻬﺎ ‪ x1 ، x2 ،.....، xn‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ M1P12  M2P22 ........ MnPn2‬ﺃﺼﻐﺭﻴﺎ‪.‬‬

‫‪11y‬‬ ‫)‪(D‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪P4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪P3 M5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪P2 M3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪M2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪P1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪M1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-1 0‬‬ ‫‪-1‬‬‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ‪ M1P12  M2P22 ......... MnPn2‬ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﺃﻋﻼﻩ ﻴﺴﻤﻰ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﺭﻭﺍﺼﺏ‬ ‫ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪. y‬‬ ‫*ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ) ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ(‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ (xi ;yi)1didn‬ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ ‪ ،‬ﺒﺤﻴﺙ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪x1 ، x2 ،.....، xn‬‬ ‫ﻟﻴﺴﺕ ﻜﻠﻬﺎ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ‪.‬‬‫ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ‪ ،‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺒﺎﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﺩﻨﻴﺎ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺒﺩﻻﻟﺔ‬‫ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ‪ y‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ )‪ G(x; y‬ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ )‪(xi ;yi‬ﻭ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻬﻪ‬ ‫‪ a‬ﺤﻴﺙ )‪ cov(x; y‬ﺘﺒﺎﻴﻥ‪.‬‬ ‫)‪cov(x; y‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ a‬ﺤﻴﺙ‬ ‫)‪V (x‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺃﻱ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ‪ x‬ﻭ‪ y‬ﻭ )‪ V(x‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ‪ x1 ، x2 ،.....، xn‬ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪xy  x u y‬‬ ‫)‪V (x‬‬ ‫‪¦¦a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪yi‬‬ ‫‬ ‫‪xu‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(xi‬‬ ‫‬ ‫‪x)2‬‬

‫)ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ‪ y ، x1 ، x2 ،.....، xn‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‬‫ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ‪ y1 ، y2 ،.....، yn‬ﻭ ‪ xy‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﺠﺩﺍﺀﺍﺕ ‪( x1 y1 ، x2 y2 ،.....، xn yn‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻫﻲ‪y a(x  x)  y :‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﻭ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﺹ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺫﻟﻙ ﺇﻨﺠﺎﺯ ﺘﻌﺩﻴل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ y‬ﻭ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‬‫ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺒﺎﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﺩﻨﻴﺎ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ y‬ﻫﻲ ‪: x a( y  y)  x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)‪cov(x; y‬‬ ‫ﺤﻴﺙ )‪V ( y‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﺒﻴﻥ ﺍﻟﻭﺯﻥ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺒﺎﻟﻜﻴﻠﻭﻏﺭﺍﻡ ﻟﻁﻔل ﺤﺴﺏ ﻋﻤﺭ ﺍﻟﻁﻔل ﺒﺎﻟﺴﻨﻭﺍﺕ ‪.‬‬ ‫‪ 1 2 4 7 11‬ﺍﻟﻌﻤﺭ) ‪(xi‬‬ ‫‪ 7 10,5 14,5 20,5 33‬ﺍﻟﻭﺯﻥ)‪(yi‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1  2  4  7  11‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪y 17,1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪7  10,5  14,5  20,5  33‬‬ ‫‪5‬‬‫‪. xy‬‬ ‫‪ xy‬ﻤﻨﻪ ‪118,5‬‬ ‫‪1u 7  2 u10,5  4 u14,5  7 u 20,5 11u 33‬‬ ‫‪5‬‬‫)‪V (x‬‬ ‫)‪ V(x‬ﻤﻨﻪ ‪13,2‬‬ ‫‪(15)2 (25)2 (45)2 (75)2 (115)2‬‬ ‫‪5‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ )‪ (D‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺒﺎﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﺩﻨﻴﺎ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ y‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪xy  x.y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﻫﻲ ‪a(x  x)  y :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ )‪V (x‬‬ ‫‪(D) : y‬‬ ‫‪ a‬ﺃﻱ ‪a 2,5‬‬ ‫)ﻭ ﻫﺫﺍ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ(‬ ‫‪ (D) : y‬ﺃﻱ ‪2,5x  4,5‬‬ ‫‪118,5  5 u17,1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪13,2 :‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪2,5(x  5)  17,1‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل ﻭ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل‬‫‪y‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(D‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪30‬‬‫‪20‬‬‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ +‬ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺴﺤﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﺴﻠﺴﻠﺔ )‪.(xi ;yi‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ)‪.(xi ;yi‬‬ ‫)‪ (D‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺒﺎﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﺩﻨﻴﺎ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ y‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ‪. x‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﻟﺘﻘﺩﻴﺭ‪،‬ﻤﺜﻼ ‪:‬‬ ‫ƒ ﺒﺎﺴﺘﻜﻤﺎل ﺩﺍﺨﻠﻲ )‪ (intrapolation‬ﺍﻟﻭﺯﻥ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﻟﻁﻔل ﻋﻤﺭﻩ ‪ 3‬ﺴﻨﻭﺍﺕ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ y=2,5x+4,5‬ﻟﻤﺎ ‪. y=2,5×3+4,5 ، x=3‬‬ ‫ﻫﻜﺫﺍ ﺍﻟﻭﺯﻥ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﻟﻁﻔل ﻋﻤﺭﻩ ﺜﻼﺙ ﺴﻨﻭﺍﺕ ﻴﻜﻭﻥ ﺤﻭﺍﻟﻲ ‪. 12kg‬‬ ‫ƒ ﺒﺎﺴﺘﻜﻤﺎل ﺨﺎﺭﺠﻲ )‪ (extrapolation‬ﺍﻟﻭﺯﻥ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﻟﻁﻔل ﻋﻤﺭﻩ ‪ 12‬ﺴﻨﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪ y=2,5x+4,5‬ﻟﻤﺎ ‪. y=34,5 ، x=12‬‬ ‫ﻫﻜﺫﺍ ﺍﻟﻭﺯﻥ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﻟﻁﻔل ﻋﻤﺭ ‪ 12‬ﺴﻨﻭﺍﺕ ﻴﻜﻭﻥ ﺤﻭﺍﻟﻲ ‪. 34,5kg‬‬‫‪ -‬ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ \" ﺍﺴﺘﻜﻤﺎل ﺩﺍﺨﻠﻲ\" ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻗﻴﻡ ﺩﺍﺨل \" ﻤﻨﻁﻘﺔ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ\" ﻭ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ \" ﺍﺴﺘﻜﻤﺎل‬ ‫ﺨﺎﺭﺠﻲ\" ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻗﻴﻡ ﺨﺎﺭﺝ \" ﻤﻨﻁﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ\"‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﺴﻤﺢ ﺍﻻﺴﺘﻜﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻭ ﺍﻻﺴﺘﻜﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺒﺎﻟﻘﻴﺎﻡ ﺒﺘﻘﺩﻴﺭﺍﺕ‬ ‫ﻭ ﺒﺘﻨﺒﺅﺍﺕ ﻭ ﻨﺴﺘﺜﻤﺭ ﻨﺘﺎﺌﺠﻬﺎ ﺒﺤﺫﺭ‪.‬‬

‫‪ (4‬ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﺭﺍﺒﻁ ﺍﻟﺨﻁﻲ‪:‬‬ ‫‪-‬ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ (xi ;yi)1didn‬ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ x1 ، x2 ،.....، xn‬ﻟﻴﺴﺕ ﻜﻠﻬﺎ‬ ‫ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻭ ﻜﺫﻟﻙ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪. y1 ، y2 ،.....، yn‬‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﺭﺍﺒﻁ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ‪ x‬ﻭ‪ y‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ r‬ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒﻤﺎ‬ ‫ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫)‪r cov(x; y‬‬ ‫‪δ x .δ y‬‬ ‫ﺃﻴﻥ ‪ δ x‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ‪. x1 ، x2 ،.....، xn‬‬ ‫‪ δ y‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ‪. y1 ، y2 ،.....، yn‬‬ ‫‪-‬ﺏ‪-‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪ ،‬ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ )‪(xi ;yi‬ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ x1 ، x2 ،.....، xn‬ﻟﻴﺴﺕ ﻜﻠﻬﺎ‬ ‫ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻭ ﻜﺫﻟﻙ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪. y1 ، y2 ،.....، yn‬‬‫ﻭ ﻟﻴﻜﻥ‪ r‬ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﺭﺍﺒﻁ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ‪ x‬ﺓ ‪ y‬ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ‬ ‫ﺒﺎﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﺩﻨﻴﺎ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ y‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪x‬‬‫ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺒﺎﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﺩﻨﻴﺎ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ y‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ ) x‬ﻓﻲ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ( ‪.‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ r‬ﻫﻲ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ a‬ﻭ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪. ac‬‬ ‫‪. r 2 a u ac (2‬‬ ‫‪.  1 d r d 1 (3‬‬‫‪(4‬ﺘﻜﻭﻥ ﻨﻘﻁ ﺍﻟﺴﺤﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ r=1‬ﺃﻭ ‪. r=-1‬‬‫)‪ cov(x;y‬ﻭ‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﻭﺍﺭﺩ ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪33 :‬‬ ‫‪.V(x)=13,2‬‬

‫ﻤﻨﻪ ‪ ) δ x 13,2‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ ( δ x V‬ﺃﻱ ‪δ x 3,63‬‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ )‪ V(y‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ‪. y1 ، y2 ،.....، yn‬‬‫‪1‬‬‫)‪V(y‬ﻤﻤ@ >‬‫‪5‬‬ ‫(‬ ‫‪7 17,1)2‬‬ ‫‪(10,517,1)2‬‬ ‫‪(14,517,1)2‬‬ ‫‪( 2017,1)2‬‬ ‫‪(3317,1)2‬‬ ‫ﻨﻪ ‪ V ( y) 83,34‬ﻤﻨﻪ ‪ δ y 83,34‬ﺃﻱ ‪δ y 9,13‬‬ ‫‪ r‬ﺃﻱ ‪. r | 0,99‬‬ ‫‪33‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪13,2 u 3,34‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫‪ r‬ﻗﺭﻴﺏ ﻤﻥ ‪ 1‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﻨﻘﻁ ﺍﻟﺴﺤﺎﺒﺔ \" ﻗﺭﻴﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ\" ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺘﺴﻭﻴﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ) ﺃﻭ ﺘﻌﺩﻴل ﺘﺂﻟﻔﻲ(‬ ‫ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ )‪(xi ;yi‬ﻤﻼﺌﻡ‪.‬‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺴﻼﺴل‬ ‫ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 01‬‬‫‪ (xi ;yi)1did8‬ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ ﻫﻲ ‪ ،‬ﺒﺤﻴﺙ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻬﺎ – ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬‫ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‪ -‬ﻫﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ G(7 ;25‬ﻭ ﻗﻴﻡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻭﻓﻕ ﺍﻟﺠﺩﻭل )‪ (T‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫‪xi 5,7 6,25‬‬ ‫‪7,75 8,25 8,25‬‬ ‫‪9 9,3‬‬‫‪yi 16,5 20 24,5 22 26,25‬‬ ‫‪29,75 32,5‬‬ ‫‪-1-‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل )‪. (T‬‬ ‫‪ -2-‬ﺃﻨﺸﺊ ﺴﺤﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ )‪. (xi ;yi‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 02‬‬ ‫‪ (xi ;yi)1did8‬ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ‪ ¦xi‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻘﻴﻡ ‪xi‬‬ ‫ﻭ ‪¦yi‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻘﻴﻡ ‪ yi‬ﻭ‪¦xi 2‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ ‪xi‬‬ ‫ﻭ‪¦yi 2‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ ‪ yi‬ﻭ ‪¦xiyi‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀﺍﺕ ‪ yixi‬ﺒﺤﻴﺙ‪.‬‬ ‫‪.¦xiyi=1950،¦y2=190،¦x2=285،¦yi=38،¦xi=45‬‬ ‫‪-1-‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ )‪.(xi ;yi‬‬‫‪ -2-‬ﺃﺤﺴﺏ )‪ cov(x ;y)،V(y) ، V(x‬ﻭ ‪ : r‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ‪ ، xi‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ‪، yi‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ‪x‬ﻭ‪، y‬‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﺭﺍﺒﻁ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 03‬‬ ‫)‪( xi ;yi‬ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪xi 10 11 13 15 17 18‬‬ ‫‪yi 51 60 135 149 160 171‬‬ ‫‪ -1-‬ﺃﺤﺴﺏ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ‪ x‬ﻭ ‪. y‬‬ ‫‪-2-‬ﺃﺤﺴﺏ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﺭﺍﺒﻁ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ‪ x‬ﻭ‪. y‬‬‫‪-3-‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺒﺎﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﺩﻨﻴﺎ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ y‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ x‬ﻭ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)´‪ (D‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺒﺎﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﺩﻨﻴﺎ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪. y‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 04‬‬

‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﺒﻴﻥ ﺍﻻﺴﺘﻬﻼﻙ ﺍﻟﺴﻨﻭﻱ ﺍﻟﻤﻘﺩﺭ ﺒﺎﻷﻁﻨﺎﻥ ﻟﻤﻨﺘﻭﺝ ﺃ ﻓﻲ ﺒﻠﺩ‪، A‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻤﻥ ﺴﻨﺔ ‪ 1998‬ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺴﻨﺔ ‪.2005‬‬ ‫‪ 1998 1999 2000 2001‬ﺍﻟﺴﻨﺔ)‪(ai‬‬ ‫‪ 5250 5410 5500 5590‬ﺍﻻﺴﺘﻬﻼﻙ)‪(yi‬‬ ‫ﺍﻟﺴﻨﺔ)‪(ai‬‬ ‫‪2002‬‬ ‫‪2003‬‬ ‫‪2004‬‬ ‫‪2005‬‬‫ﺍﻻﺴﺘﻬﻼﻙ)‪(yi‬‬ ‫‪5600‬‬ ‫‪5650‬‬ ‫‪5720‬‬ ‫‪5800‬‬‫‪-1-‬ﺃﻨﺸﺊ ﺴﺤﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﺴﻠﺴﻠﺔ )‪ (xi ;yi‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻤﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪ 2cm‬ﺘﻤﺜل ﺴﻨﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪ 1cm‬ﻴﻤﺜل ‪50‬ﻁﻨﺎ ﻭ ﺤﻴﺙ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎ‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ)‪. (0 ;5200‬‬‫‪ -2-‬ﻗﺼﺩ ﺍﻟﺘﻨﺒﺅ ﺒﺎﺴﺘﻬﻼﻙ ﺍﻟﻤﻨﺘﻭﺝ ﺃ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻠﺩ ‪ A‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺴﻨﻭﺍﺕ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ ‪ ،‬ﻨﻘﻭﻡ ﺒﺘﻌﺩﻴل ﺘﺂﻟﻔﻲ ) ﺃﻭ‬‫ﺘﺴﻭﻴﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ( ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ )‪ (xi ;yi‬ﻟﺫﺍ ﻨﺴﻤﻲ ‪ G1‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﺴﺤﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺠﺯﺌﺔ ﺍﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﻓﻭﺍﺼﻠﻬﺎ ‪ ،4،3،2،1‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭ ﻨﺴﻤﻲ ‪ G2‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﺴﺤﺎﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺠﺯﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﻭﺍﺼﻠﻬﺎ ‪ 8،7،6،5‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫‪-‬ﺃ‪-‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ‪.‬‬ ‫‪-‬ﺏ‪ -‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ ) (G1G2‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ ( (G1G2‬ﻴﺴﻤﻰ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﺎﻴﺭ ‪« le droite de‬‬ ‫» ‪ Mayer‬ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ )‪.( (xi ;yi‬‬ ‫‪-‬ﺠـ‪-‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (G1G2‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﺴﺘﻌﻤل ﺴﺎﺒﻘﺎ‪.‬‬ ‫‪-‬ﺩ‪ -‬ﻨﻘﺒل ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (G1G2‬ﻴﺸﻜل ﺘﺴﻭﻴﺔ \"ﻤﻌﻘﻭﻟﺔ\" ﻟﺴﺤﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﺴﻼﺴل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬‫)‪ (xi ;yi‬ﻭ ﺃﻥ ﺘﻁﻭﺭ ﺍﻻﺴﺘﻬﻼﻙ ﻴﺒﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ‪ ،‬ﺃﻋﻁ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺩﻭﺭﺓ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ) ﺃﻱ ﺇﻟﻰ ‪10-‬‬ ‫‪ (0‬ﻻﺴﺘﻬﻼﻙ‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺘﻭﺝ ﺃ ) ﺍﻟﻤﻘﺩﺭ ﺒﺎﻷﻁﻨﺎﻥ( ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻠﺩ ‪ A‬ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﺭ ﻓﻲ ﺴﻨﺔ ‪.2020‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 05‬‬ ‫ﻋﺭﺽ ﺘﺎﺠﺭ ﻨﻭﻋﺎ ﻤﻥ ﺃﺠﻬﺯﺓ ﺍﻟﻬﺎﺘﻑ ﺍﻟﻤﺤﻤﻭل ﻭ ﺴﺠل ﻴﻭﻤﻴﺎ‪ ،‬ﻋﺩﺩ‬ ‫ﺍﻟﺯﻭﺍﺭ ﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ﺍﻟﻤﺒﺎﻋﺔ ﻭ ﻫﺫﺍ ﺨﻼل ﻋﺸﺭﺓ ﺃﻴﺎﻡ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻓﻜﺎﻨﺕ‬

‫ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻭﻓﻕ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪ 1 2 3 4 5‬ﻤﺭﺘﺒﺔ ﺍﻟﻴﻭﻡ‬ ‫‪ 80 89 103 72 113‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺯﻭﺍﺭ)‪(xi‬‬‫‪ 39 57 62 26 65‬ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ﺍﻟﻤﺒﺎﻋﺔ )‪(yi‬‬ ‫‪ 6 7‬ﻤﺭﺘﺒﺔ ﺍﻟﻴﻭﻡ‬ ‫‪8 9 10‬‬ ‫‪ 95 87‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺯﻭﺍﺭ)‪(xi‬‬ ‫‪78 100 83‬‬‫‪ 59 56‬ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ﺍﻟﻤﺒﺎﻋﺔ )‪(yi‬‬ ‫‪50 45 41‬‬ ‫‪-1-‬ﺃﻨﺸﺊ ﺴﺤﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﺴﻠﺴﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ )‪. (xi ;yi‬‬‫‪-2-‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ )‪ (xi ;yi‬ﻭ ﻤﺜﻠﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل‪.‬‬‫‪ -3-‬ﻋﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﺩﻨﻴﺎ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ y‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪.x‬‬ ‫‪ -4-‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 06‬‬‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﺒﻴﻥ ﺘﻁﻭﺭ ﺍﻟﺴﻌﺭ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻘﺩﺭ ﺒﺎﻟﺩﻨﺎﻨﻴﺭ‪ ،‬ﻟﻠﻘﻨﻁﺎﺭ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﻤﺎﺩﺓ ﻟﻠﺒﻨﺎﺀ ﺒﻴﻥ ﺴﻨﺔ ‪ 1983‬ﻭ‬ ‫ﺍﻟﺴﻨﺔ)‪(ai‬‬ ‫‪1983‬‬ ‫‪1984‬‬ ‫ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪.1990‬‬ ‫‪1985‬‬‫‪ 1 2 3‬ﻤﺭﺘﺒﺔ ﺍﻟﺴﻨﺔ)‪(xi‬‬ ‫ﺍﻟﺴﻌﺭ)‪(pi‬‬ ‫‪1400‬‬ ‫‪1800‬‬ ‫‪2750‬‬ ‫ﺍﻟﺴﻨﺔ)‪(ai‬‬ ‫‪1986‬‬ ‫‪1987‬‬ ‫‪1988‬‬ ‫‪1989‬‬ ‫‪1990‬‬‫ﻤﺭﺘﺒﺔ ﺍﻟﺴﻨﺔ)‪(xi‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺍﻟﺴﻌﺭ)‪(pi‬‬ ‫‪3250‬‬ ‫‪4900‬‬ ‫‪6000‬‬ ‫‪7250‬‬ ‫‪9000‬‬‫‪-1-‬ﺃﻨﺸﺊ ﺴﺤﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ )‪ (xi ;yi‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﺤﻴﺙ‬‫ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪ 1cm‬ﻴﻤﺜل ﺴﻨﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪ 1cm‬ﻴﻤﺜل ‪.1000DA‬‬‫‪ -2-‬ﺍﻟﻬﺩﻑ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﻫﻭ ﻨﻤﺫﺠﺔ ﺘﻁﻭﺭ ﺍﻟﺴﻌﺭ ﺒﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻬﺎ \" ﻗﺭﻴﺏ\" ﻤﻥ ﺴﺤﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ‪.‬‬ ‫‪yi=ln pi‬‬ ‫‪-‬ﺃ‪-‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ‪ ،‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪xi 1 2 3 4 5 6 7 8‬‬

‫‪ Yi‬ﻤﺩﻭﺭ ﺇﻟﻰ ‪10-3‬‬‫‪-‬ﺏ‪ -‬ﺃﻨﺸﺊ ﺴﺤﺎﺒﺔ ﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ) ﺴﻴﺴﺘﻌﻤل ﺸﻜﻼ ﻤﺨﺘﻠﻔﺎ ﻋﻥ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ(‪.‬‬‫‪-‬ﺠـ‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺒﺎﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﺩﻨﻴﺎ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ y‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪. x‬‬ ‫‪-‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺩﺍﻟﺔ ﺘﻤﻜﻨﻙ ﻤﻥ ﻨﻤﺫﺠﺔ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ )‪. (xi ;pi‬‬ ‫‪-‬ﺩ‪ -‬ﺃﻋﻁ ﺘﻘﺩﻴﺭﺍ ﻟﺴﻌﺭ ﺍﻟﻘﻨﻁﺎﺭ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ﻓﻲ ﺴﻨﺔ ‪.1996‬‬‫‪ -3-‬ﻨﻘﺒل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [1 ;8‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ g(x) 1122 u E 0,26x‬ﻫﻲ ﻨﻤﺫﺠﺔ‬ ‫ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ ﻟﺘﻁﻭﺭ ﺴﻌﺭ ﺍﻟﻘﻨﻁﺎﺭ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ‪ ،‬ﻤﻥ ‪1983‬ﺇﻟﻰ ‪.1990‬‬ ‫‪8‬‬‫‪-‬ﺃ‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ‪ ، g(x)dx‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺘﻘﺩﻴﺭﺍ ﻟﻠﺴﻌﺭ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﻟﻠﻘﻨﻁﺎﺭ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ‪³‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ 1983‬ﺇﻟﻰ ‪.1990‬‬‫ﺜﻡ ﺃﻋﻁ ﺘﻔﺴﻴﺭﺍ ﻟﻬﺎ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ‪.‬‬ ‫)‪g(x  1)  g(x‬‬ ‫‪-‬ﺏ‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫)‪g(x‬‬

‫ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪TI-83PLUS‬‬ ‫ﻓﻲ ﻤﺠﺎل ﺍﻟﺴﻼﺴل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ‬‫ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪،‬ﻨﺸﺭﺡ –ﻋﻠﻰ ﻀﻭﺀ ﻤﺜﺎل‪-‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﺴﺘﻐﻼل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ‪ TI-83PLUS‬ﻓﻲ‬ ‫ﻤﺠﺎل ﺍﻟﺴﻼﺴل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺜﺎل‪:‬‬‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﺒﻴﻥ ﺘﻁﻭﺭ ﻟﻠﻤﺅﺸﺭ )‪ (ISF‬ﻟﻠﻨﺴﺎﺀ ﺍﻟﺘﻲ ﺃﻋﻤﺎﺭﻫﺎ ﺒﻴﻥ ‪ 15‬ﺴﻨﺔ ﻭ ‪49‬ﺴﻨﺔ –ﻓﻲ ﺒﻠﺩ ‪)– A‬‬ ‫ﺍﻟﺴﻨﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺅﺸﺭ ‪– ISF‬ﻓﻲ ﺴﻨﺔ ﻤﺎ –ﻫﻭ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻁﻔﺎل ﻋﻠﻰ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ(‬ ‫)‪(xi‬‬ ‫‪1970 1977 1980 1981 1982 1983 1984 1985‬‬‫ﺍﻟﻤﺅﺸﺭ‬ ‫‪7,9 7,4 7,1 6,95 6,40 6,37 6,26 6,24‬‬ ‫‪ISF‬‬ ‫)‪(yi‬‬ ‫ﻓﻲ ﻜل ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫ƒ ﻧﺮﻣﺰ ﺑﺎﳊﺮﻑ ‪ A‬ﺇﱃ ﺯﺍﻟﻖ ﺍﻟﻮﻇﻴﻔﺔ ﻭ ﻫﻮ ﻣﺮﺑﻊ ﺃﻭ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻣﻈﻠﻞ ﳝﻜﻦ ﲢﺮﻳﻜﻪ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ‬ ‫‪WX‬‬ ‫ﺍﻟﺴﻬﻤﲔ ﻭ‬ ‫ﻭ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ B‬ﺇﱃ ﺯﺍﻟﻖ ﺍﻟﻄﻠﺒﻴﺔ ﻭ ﻫﻮ ﻣﺮﺑﻊ ﻣﻈﻠﻞ ﳝﻜﻦ ﲢﺮﻳﻜﻪ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ‬ ‫ﺍﻟﺴﻬﻤﲔ ‪ T‬ﻭ ‪ ) S‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ ‪ B‬ﻳﻘﻊ ﺃﺳﻔﻞ ‪( A‬ﻭ ﺩﺍﺋﻤﺎ‬ ‫\"‪ENTER .‬‬ ‫\"ﻧﺸﻐﻞ\" ‪A‬ﻗﺒﻞ ‪.B‬‬ ‫ƒ \"ﻧﺼﺎﺩﻕ\" ﻳﻌﲏ \" ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ‬ ‫‪ -I‬ﺣﺠﺰ ﺍﳌﻌﻄﻴﺎﺕ‪:‬‬‫‪EDIT‬‬ ‫‪ STAT‬ﰒ ﻧﺼﺎﺩﻕ ﻋﻠﻰ ‪ A‬ﰲ‬ ‫ƒ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ‬ ‫ƒ ﻭ ‪ B‬ﰲ ‪.1 :‬‬

‫ƒ ﳓﺠﺰ ﻗﻴﻢ ‪ xi‬ﺍﻟﻮﺍﺣﺪﺓ ﺗﻠﻮ ﺍﻷﺧﺮﻯ ﰲ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ‪ L1‬ﻣﻊ ﺍﳌﺼﺎﺩﻗﺔ ﺑﻌﺪ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻛﻞ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﺃﺳﻔﻞ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ‪.‬‬‫ƒ ﻧﻨﻘﻞ ﺍﻟﺰﺍﻟﻖ ﰲ ﺍﻟﻮﺿﻌﻴﺔ )‪ L2(1‬ﰒ ﳓﺠﺰ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﳑﺎﺛﻠﺔ ﻟﻠﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻟﻠﻘﻴﻢ )‪ (yi‬ﰲ‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ‪. L2‬‬ ‫ﳓﺼﻞ ﻋﻨﺪﺋﺬ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ )‪.(1‬‬‫‪CALC‬‬ ‫‪ STAT‬ﰒ ﻧﺼﺎﺩﻕ ﻋﻠﻰ ‪ A‬ﰲ‬ ‫‪-II‬ﺍﳊﺎﺳﺒﺎﺕ‪:‬‬ ‫ƒ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ‬ ‫ƒ ﻭ ‪ B‬ﰲ ‪ :2‬ﻳﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ ‪ 2-var stats‬ﻧﺼﺎﺩﻕ ﺛﺎﻧﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ )‪(2‬‬ ‫‪T‬ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ )‪(3‬‬ ‫ﻭ ﻧﱰﻝ ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪-III‬ﺍﻟﺘﻌﺪﻳﻞ)ﺃﻭ ﺍﻟﺘﺴﻮﻳﺔ(‪:‬‬‫‪CALC‬‬ ‫‪ STAT‬ﰒ ﻧﺼﺎﺩﻕ ﻋﻠﻰ ‪ A‬ﰲ‬ ‫ƒ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ‬ ‫ﻭ ‪ B‬ﰲ ‪:4‬‬‫ﻳﻈﻬﺮﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ )‪ linReg(ax+b‬ﻓﻨﺼﺎﺩﻕ ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺵ)‪.(4‬‬‫ﻭ ‪VARS‬‬ ‫ƒ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ‪VARS‬ﰒ ﻧﺼﺎﺩﻕ ﻋﻠﻰ ‪ A‬ﰲ ﺍﻟﻮﺿﻊ‬ ‫‪EQ :5‬‬

‫ﻭ‪B‬ﰲ‬ ‫ﰒ ﻧﺼﺎﺩﻕ ﻋﻠﻰ ‪ A‬ﰲ ﺍﻟﻮﺿﻊ‬ ‫ﻭ‪ B‬ﰲ ﺍﻟﻮﺿﻊ‬‫‪ 2 :a‬ﰒ ﻧﺼﺎﺩﻕ ﺛﺎﻧﻴﺔ ﰒ ﻧﻌﻴﺪ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻛﺎﻣﻠﺔ ﺑﺘﺒﺪﻳﻞ ‪ 2 :a‬ﺑـ‪. 3 :b‬‬ ‫ƒ ﰒ ﻧﻌﻴﺪ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﻛﺎﻣﻠﺔ ﺑﺘﺒﺪﻳﻞ ‪ 2 :a‬ﺑـ‪. 7~r‬ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ)‪.(5‬‬ ‫‪-IV‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ‪:‬‬ ‫ƒ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ‪indow‬ﻻ‪W‬ﺧﺘﻴﺎﺭ ﻧﺎﻓﺬﺓ ﻣﻼﺋﻤﺔ ﻣﺜﻞ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ )‪.(6‬‬ ‫‪-‬ﻟﻠﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺳﺤﺎﺑﺔ ﺍﻟﻨﻘﻂ‪:‬‬ ‫‪=Y‬‬ ‫‪ 2nd‬ﰒ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﰒ ﻧﺼﺎﺩﻕ ﻋﻠﻰ ‪ B‬ﰲ ‪1 :‬‬ ‫‪type :‬‬ ‫‪on plot1‬‬ ‫ﰒ ﻧﺼﺎﺩﻕ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﰒ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ‪GRAPH‬‬‫‪-‬ﻟﻠﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻻﳓﺪﺍﺭ ﺑﺎﳌﺮﺑﻌﺎﺕ ﺍﻟﺪﻧﻴﺎ ﻭ ﺍﳌﺘﻐﲑ ‪ y‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺍﳌﺘﻐﲑ ‪: x‬‬ ‫ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ =‪Y‬‬

‫‪:5‬‬ ‫‪RS‬ﻭ‪ BVA‬ﰲ‬ ‫ﰒ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ‪VARS‬ﻓﻨﺼﺎﺩﻕ ﻋﻠﻰ ‪ A‬ﰲ‬ ‫‪1:‬‬ ‫ﻭ‪ BEQ‬ﰲ‬ ‫ﰒ ﻧﺼﺎﺩﻕ ﻋﻠﻰ ‪ A‬ﰲ‬ ‫ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ )‪(7‬‬ ‫ﰒ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ‪GRAPH‬‬ ‫ﻭ ﰲ ﺍﻟﺸﺎﺷﺔ )‪(8‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻨﻘﻂ ﻭ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻻﳓﺪﺍﺭ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ‪ y‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺍﳌﺘﻐﲑ ‪.x‬‬ ‫‪– V‬ﻗﺮﺍﺀﺓ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ‪:‬‬ ‫ﻟﻘﺪ ﺟﻬﺰﻧﺎ ﻗﻴﻢ ‪ xi‬ﰲ ‪ L1‬ﻭ ﻗﻴﻢ ‪ yi‬ﰲ ‪ L2‬ﺇﺫﻥ ﺍﻵﻟﺔ \"ﻓﻬﻤﺖ\"‬ ‫‪ xi‬ﻫﻮ ﺍﻷﻭﻝ ‪X‬ﻭ ‪ yi‬ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪ Y‬ﻭ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﳌﺪﺭﻭﺳﺔ ﻫﻲ )‪(xi ;yi‬‬ ‫ﻫﻜﺬﺍ‪:‬‬ ‫‪ X‬ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪﺍﺕ ‪x1 ; x2;.........; xn‬‬ ‫‪ Y‬ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪﺍﺕ ‪y1 ; y2;.........; yn‬‬ ‫‪ ¦ X‬ﳎﻤﻮﻉ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪﺍﺕ ‪x1 ; x2;.........; xn‬‬ ‫‪ ¦ Y‬ﳎﻤﻮﻉ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪﺍﺕ ‪y1 ; y2;.........; yn‬‬ ‫‪ ¦ X 2‬ﳎﻤﻮﻉ ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪﺍﺕ ‪x1 ; x2;.........; xn‬‬ ‫‪ ¦ Y 2‬ﳎﻤﻮﻉ ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪﺍﺕ ‪y1 ; y2;.........; yn‬‬

‫‪ ¦ XY‬ﳎﻤﻮﻉ ﺍﳉﺪﺍﺀﺍﺕ ‪x1 y1 ; x2 y2;.........; xn yn‬‬ ‫‪ σX‬ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ‪x1 ; x2;.........; xn‬‬ ‫‪ σY‬ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ‪y1 ; y2;.........; yn‬‬ ‫‪ : n‬ﻋﺪﺩ ﺍﳌﺸﺎﻫﺪﺍﺕ‪.‬‬ ‫‪ : r‬ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺘﺮﺍﺑﻂ ﺍﳋﻄﻲ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑﻳﻦ ‪ x‬ﻭ‪. y‬‬‫‪ Y=aX+b‬ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻻﳓﺪﺍﺭ ﺑﺎﳌﺮﺑﻌﺎﺕ ﺍﻟﺪﻧﻴﺎ ﻭ ﺍﳌﺘﻐﲑ ‪ y‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺍﳌﺘﻐﲑ ‪. x‬‬ ‫ﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺸﺎﺸﺎﺕ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﺴﺎﺒﻘﺎ‬



‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻤﺭﻓﻕ ﺒﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻟﻬﺎ ﻋﺩﺩ ﻤﻨﺘﻪ ﻤﻥ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻋﻠﻤﺎ ﺤﺩﻭﺙ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺃﺨﺭﻯ‬ ‫‪ -‬ﺒﻨﺎﺀ ﺸﺠﺭﺓ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ‬‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺃﺸﺠﺎﺭ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ ﺃﻭ ﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل‬ ‫ﺃﻭ ﺤل ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ﻤﺴﺘﻘﻠﺘﻴﻥ‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ﻭ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﺍﻟﺭﻓﻘﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﺩﺩﻱ‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺒﺭﻭﻨﻠﻲ ﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺤﺩ ﻭ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻟﻬﺎ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺤﻭﺍﺩﺙ‬ ‫‪ -‬ﺇﻨﺠﺎﺯ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻟﺘﺒﻴﺎﻥ ﺘﻼﺌﻡ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺘﺠﺭﻴﺒﻴﺔ ﻤﻊ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪-I‬ﺘﺫﻜﻴﺭ ﻟﺒﻌﺽ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ II‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺸﺭﻁﻴﺔ ‪ ،‬ﺸﺠﺎﺭﺍﺕ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‪:‬‬ ‫‪ III‬ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ﻭ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭ ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﺩﺩﻱ‪:‬‬ ‫‪ IV‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ‪ ،‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺤﺩ‪:‬‬ ‫‪ V‬ﺘﻼﺅﻡ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺘﺠﺭﻴﺒﻴﺔ ﻤﻊ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪:‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻹﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺤﻭل ﺍﻹﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬

‫‪-I‬ﺘﺫﻜﻴﺭ ﻟﺒﻌﺽ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ ‪:‬‬‫‪ x‬ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻫﻲ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﺘﻌﺭﻑ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻬﺎ ﻭ ﻟﻜﻥ ﻻ ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺃﻥ ﻨﺘﻨﺒﺄ‬ ‫ﺒﺼﻔﺔ ﻤﺅﻜﺩﺓ ﺃﻱ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺴﺘﺤﻘﻕ ﻓﻌﻼ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﻭﻡ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ‪.‬‬ ‫‪ x‬ﻨﺴﻤﻲ ﻤﺨﺭﺠﺎ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ) ﺃﻭ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ( ﻜل ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ‪.‬‬‫‪ x‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺘﺴﻤﻰ ‪،‬ﻜﺫﻟﻙ‪ ،‬ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺸﺎﻤﻠﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻭ ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ‪ ،‬ﻋﺎﺩﺓ‪ ،‬ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪.:‬‬ ‫‪ x‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺸﺎﻤﻠﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻜل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﺯﺌﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪.:‬‬ ‫‪ : -‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﺯﺌﻴﺔ ﻤﻥ ‪ :‬ﺇﺫﻥ ‪ :‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺯ ﻫﻲ ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻷﻜﻴﺩﺓ‪.‬‬ ‫‪ ‡ -‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﺯﺌﻴﺔ ﻤﻥ ‪ :‬ﺇﺫﻥ ‡ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻭ ﻫﻲ ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﺤﻴﻠﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻭ ﻜﺎﻥ ‪ Z‬ﻤﺨﺭ ًﺠﺎ‪ ،‬ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ \"‪ \" ZA‬ﻨﻘﻭل ‪:‬‬ ‫\" ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ ‪ Z‬ﻴﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪.\"A‬‬ ‫‪-‬ﻨﺴﻤﻲ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺒﺴﻴﻁﺔ ) ﺃﻭ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﺃﻭ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺃﻭﻟﻴﺔ( ﻜل ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻴﺤﻘﻘﻬﺎ ﻤﺨﺭﺝ ﻭﺍﺤﺩ ﻭ ﻭﺍﺤﺩ‬ ‫ﻓﻘﻁ‪.‬‬

‫ﻭ ﻫﻲ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﻤﻥ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺸﻜل ﻤﻥ‬ ‫ﻫﻲ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ B،A‬ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ‪:‬‬ ‫ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ‬ ‫ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‬‫ﻻ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻀﺎﺩﺓ ﻟﻠﺤﺎﺩﺜﺔ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ ) A‬ﺃﻭ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ‬ ‫ﻟﻠﺤﺎﺩﺜﺔ ‪(A‬‬ ‫ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪B‬‬ ‫\" ‪A‬ﻭ ‪\"B‬‬ ‫‪$ˆ%‬‬ ‫\"‪ A‬ﺃﻭ‪\" B‬‬ ‫‪$‰%‬‬‫ﺘﺤﻘﻕ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪A‬‬ ‫ﻭ‪.B‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻭل »‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻼﺌﻤﺘﻴﻥ « ﻴﻌﻨﻲ ‡ ‪$ˆ%‬‬‫‪ -‬ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺤﻭﺍﺩﺙ ‪ An .................. A2،A1‬ﺃﻨﻬﺎ ﺘﺸﻜل ﺘﺠﺯﺌﺔ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ\"‬ ‫‪ x‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ‪ An .................. A2،A1‬ﻏﻴﺭ ﻤﺴﺘﺤﻴﻠﺔ ‪.‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ‪ An .................. A2،A1‬ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻼﺌﻤﺔ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ‪.‬‬ ‫‪.A1‰ A2‰…….An=: x‬‬ ‫*ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺩﺭﺱ ‪،‬ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﺍﻟﺸﺎﻤﻠﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﺨﺎﻟﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻭ ﺨﻭﺍﺼﻬﺎ ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺸﺎﻤﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺘﺭﻤﻴﺯ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺸﺎﻤﻠﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪: ^ Z1 ;Z2 ;…… ;Zn}:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل‪ p‬ﻋﻠﻰ ‪ :‬ﻴﻌﻨﻲ ﺇﺭﻓﺎﻕ ﺒﻜل ﻤﺨﺭﺝ ‪ Zi‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ‪) pi‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻤﻥ‬ ‫‪ i=1‬ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ‪ .(i=n‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪. p1+p2+………..pn=1‬‬ ‫ﻭ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ i‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ ، ntit1‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ‪ pi‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﺤﺘﻤﺎل‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ ‪ Zi‬ﻭ ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‬ ‫)‪.p( Zi‬‬

‫ﺏ‪ -‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺤﺎﺩﺜﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺸﺎﻤﻠﺔ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ p‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ‪ :‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﺤﺎﺩﺜﺔ‪.‬‬ ‫» ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ « A‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ)‪ p(A‬ﻭ ﺍﻟﻤﻌ ّﺭﻑ ﻜﻤﺎ‬ ‫ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ }‪ A={a1 ;a2 ;…..ak‬ﺤﻴﺙ ‪ ak........، a2، a1‬ﻤﺨﺎﺭﺝ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ‪.‬‬ ‫)‪P(A)=p(a1)+p(a2)+…+p(ak‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ ‪ p({a})=p(a) : a‬ﻭ ‪.p(‡)=0‬‬ ‫ﺠـ‪ -‬ﺨﻭﺍﺹ ) ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ(‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺸﺎﻤﻠﺔ ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ p‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ‪::‬‬ ‫‪ x‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪. 1 t p(A)t 0 :A‬‬ ‫‪ x‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪.p( A ) =1-p(A): A‬‬ ‫‪. p(:)=1 x‬‬ ‫‪ x‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﺎﻥ ‪A‬ﻭ‪.p(A‰B)=p(A)+p(B)-p(AˆB) : B‬‬ ‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻼﺌﻤﺘﻴﻥ ‪. p(A‰B)=p(A)+p(B) :‬‬ ‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ Am......، A2، A1‬ﺤﻭﺍﺩﺙ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻼﺌﻤﺔ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ ‪:‬‬ ‫)‪p(A1‰A2‰…….‰Am)=p(A1)+p(A2)+…….+p(Am‬‬ ‫ﺩ‪-‬ﺤﺎﻻﺕ ﺨﺎﺼﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺸﺎﻤﺔ ﺒﺤﻴﺙ }‪.: {Z1 ; Z2 ,…… ;Zn‬‬ ‫‪ x‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ p‬ﻋﻠﻰ ‪ :‬ﺍﻟﻤﻌ ّﺭﻑ ﺒـ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ i‬ﺒﺤﻴﺙ ‪. nt i t 1‬‬ ‫‪1‬‬‫)‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ‬ ‫ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل‬ ‫ﻗﺎﻨﻭﻥ‬ ‫ﻴﺴﻤﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ(‬ ‫ﺠﻤﻴﻊ‬ ‫ﻋﺩﺩ‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪n‬‬ ‫)‬ ‫=)‪p(Zi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻓﺈ ّﻥ‬ ‫ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻡ ﻋﻠﻰ ‪.(:‬‬ ‫‪ x‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ p‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﻋﻠﻰ ‪. :‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻘﻭل ﺃ ّﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪.‬‬

‫= )‪p(A‬‬ ‫‪ x‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪: A‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A‬‬ ‫=)‪p(A‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ‬ ‫ﻴﻘﺎل ﻜﺫﻟﻙ ‪:‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﺘﺤﻘﻴﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ‬ ‫‪ II‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺸﺭﻁﻴﺔ ‪ ،‬ﺸﺠﺎﺭﺍﺕ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺘﻤﺭﻴﻥ ﺘﻤﻬﻴﺩﻱ‪:‬‬ ‫*ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﻴﺘﻜﻭﻥ ﻓﺭﻴﻕ ﻁﺒﻲ ﻤﻥ ‪ 240‬ﺸﺨﺼﺎ ﻴﻨﻘﺴﻤﻭﻥ ﺇﻟﻰ ﻓﺌﺘﻴﻥ ‪ :‬ﺃﻁﺒﺎﺀ ﻭ ﻤﻤﺭﻀﻭﻥ ‪ ،‬ﻭ ﻓﻲ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻨﻬﺘﻡ‬ ‫ﺒﻌﻨﺎﺼﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ‪.‬‬ ‫‪ %60‬ﻤﻥ ﺍﻷﺸﺨﺎﺹ ﻨﺴﺎﺀ ﻤﻤﺭﻀﺎﺕ ﻭ ‪ %12,5‬ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺠﺎل ﻤﻤﺭﻀﻭﻥ‪.‬‬‫‪ -1‬ﺃﻜﻤل \" ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ\" ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪ -‬ﺤﻴﺙ ‪ F‬ﻴﻤﺜل ﺍﻤﺭﺃﺓ ‪ H ،‬ﻴﻤﺜل ﺭﺠل ‪ I ،‬ﻴﻤﺜل ﻤﻤﺭﺽ)ﺓ( ‪ M ،‬ﻴﻤﺜل‬ ‫ﻁﺒﻴﺏ)ﺓ( ﺒﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺒﺔ ﺩﺍﺨل ﺍﻹﻁﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺭﻏﺔ‪.‬‬ ‫‪12,5%‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪75%‬‬‫‪60%‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪ -2‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ؟ ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﺍﻟﻤﻤﺭﻀﺎﺕ؟‬ ‫‪-3‬ﻴﺭﺍﺩ ﺍﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ‪ ،‬ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﺩﻓﺔ ﺍﻟﻜﺎﻤﻠﺔ ‪ ،‬ﻟﺸﺨﺹ ﻜﻲ ﻴﻘﻭﻡ ﺒﻤﻬﻤﺔ‪.‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل )‪ p(F‬ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻤﺭﺃﺓ ؟‬ ‫‪ x‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل )‪ p(FˆI‬ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻤﺭﺃﺓ ﻤﻤﺭﻀﺔ ؟‬ ‫‪-4‬ﻴﺭﺍﺩ ﺍﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ‪ ،‬ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﺩﻓﺔ ﺍﻟﻜﺎﻤﻠﺔ ‪ ،‬ﻻﻤﺭﺃﺓ ﻜﻲ ﺘﻘﻭﻡ ﺒﻤﻬﻤﺔ‪.‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل )‪ pF(I‬ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻹﻤﺭﺃﺓ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭﺓ ﻤﻤﺭﻀﺔ ؟‬ ‫* ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫‪ %60 -1-‬ﻤﻥ ﺍﻷﺸﺨﺎﺹ ﻨﺴﺎﺀ ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ %40‬ﻤﻥ ﺍﻷﺸﺨﺎﺹ ﺭﺠﺎل‬ ‫) ﻷﻥ ‪.( 100%-60%=40%‬‬ ‫‪ 75%‬ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﻤﻤﺭﻀﺎﺕ ﻤﻨﻪ ‪ 25%‬ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﻁﺒﻴﺒﺎﺕ ) ﻷﻥ‬ ‫‪.( 100%-75%=25%‬‬‫‪ 12,5%‬ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺠﺎل ﻤﻤﺭﻀﻭﻥ ﻤﻨﻪ ‪ 87,5%‬ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺠﺎل ﺃﻁﺒﺎﺀ ) ﻷﻥ ‪( 100%-12,5%=87,5%‬‬ ‫ﻭ ﻴﻜﻤل \" ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ\" ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪12,5%‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪H‬‬‫‪40%‬‬ ‫‪87,5%‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪75%‬‬‫‪60%‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪25%‬‬ ‫‪ -2-‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﻫﻭ ‪ 60%‬ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﺸﺨﺎﺹ‪.‬‬‫ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﻫﻭ ‪.144‬‬ ‫‪240‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪60‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﻫﻭ‬ ‫‪100‬‬ ‫ﻋﺩ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﺍﻟﻤﻤﺭﻀﺎﺕ ﻫﻭ ‪ 75%‬ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ‪.‬‬

‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﺍﻟﻤﻤﺭﻀﺎﺕ ﻫﻭ ‪.108‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪144‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪75‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﺍﻟﻤﻤﺭﻀﺎﺕ ﻫﻭ‬ ‫‪100‬‬‫‪ \" -3-‬ﺍﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﺩﻓﺔ ﺍﻟﻜﺎﻤﻠﺔ\" ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺘﻨﺹ ﻋﻠﻰ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل‪.‬‬ ‫‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻫﻭ ‪.240‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ \" F‬ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻤﺭﺃﺓ\" ﻫﻭ ‪.144‬‬ ‫ﺃﻱ ‪. p(F)=0,6‬‬ ‫‪144‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪p(F)= 240‬‬ ‫‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ )‪ \" (FˆI‬ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻤﺭﺃﺓ ﻤﻤﺭﻀﺔ\" ﻫﻭ ‪.108‬‬ ‫‪108‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ p(FˆI)= 240‬ﺃﻱ ‪. p(FˆI) =0,45‬‬‫‪ -4-‬ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻫﻭ ‪ 144‬ﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ\" ﺍﻻﻤﺭﺃﺓ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭﺓ ﻤﻤﺭﻀﺔ\" ﻫﻭ‬ ‫‪.108‬‬ ‫‪108‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ pF(I)= 240‬ﺃﻱ ‪. pF(I) =0,45‬‬ ‫*ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬‫‪ \" -1-‬ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ\" ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺡ ﻴﺴﻤﻰ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ\" ﺸﺠﺭﺓ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ\" ﺃﻭ\" ﺸﺠﺭﺓ ﺍﺤﺘﻤﺎﻻﺕ\" ﺃﻭ \" ﺸﺠﺭﺓ ﻤﺭﺠﺤﺔ\"‬ ‫ﻭ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁﺎﺕ‬‫) ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻅﻬﺭ ﻓﻴﻬﺎ ﺤﻭﺍﺩﺙ ﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎﻻﺕ( ﻴﺨﻀﻊ ﺇﻟﻰ ﻗﻭﺍﻋﺩ ﺩﻗﻴﻘﺔ ﺴﺘﺸﺭﺡ ﻓﻲ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﺩﺭﺱ‪.‬‬ ‫‪ -2-‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ p(F)=0,6 :‬ﻭ ‪ p(FˆI)=0,45‬ﻭ ‪. pF(I)=0,75‬‬ ‫)‪p(F ˆ I‬‬ ‫=)‪pF(I‬‬ ‫ﻭ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ )‪p(F‬‬‫)‪ pF(I‬ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﻤﻤﺭﻀﺎ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻤﺭﺃﺓ ‪.‬‬ ‫‪(2‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺘﺭﻤﻴﺯ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺸﺎﻤﻠﺔ ﻤﺯﻭﺩﺓ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ p‬ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪. p(A)z0‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ \" B‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ B‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ‪ A‬ﻤﺤﻘﻘﺔ\" ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ‬ ‫)‪p(A ˆ B‬‬‫= )‪pA(B‬‬ ‫)‪p(B‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‬ ‫ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪ ) pA(B‬ﺃﻭ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪(p(B/A‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬

‫ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ )‪ pA(B‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﺤﺘﻤﺎﻻ ﺸﺭﻁﻴﺎ ﻭ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﺘﺘﺤﻘﻕ ‪ B‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻜﻭﻥ ﻤﺘﺄﻜﺩﻴﻥ‬ ‫ﺃﻥ ‪ A‬ﻤﺤﻘﻘﺔ‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ) ﺃﻭ ﺍﻟﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺭﺠﺤﺔ(‪.‬‬ ‫ﺃ‪-‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻫﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﻓﻲ ﻨﺹ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺘﻤﻬﻴﺩﻱ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ \" ﺍﻻﺨﺘﻴﺎﺭ – ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻔﺔ ﺍﻟﻜﺎﻤﻠﺔ‬ ‫ﻟﺸﺨﺹ\" ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻠﺨﻴﺹ ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ ﺒﺎﻟﻤﺨﻁﻁ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪0,125‬‬ ‫‪H‬‬‫‪0,4‬‬ ‫‪0,875‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪I‬‬‫‪0,6 0,75 M‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪0,25 M‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪1‬‬‫ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﻴﺴﻤﻰ ﺸﺠﺭﺓ ﺍﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ) ﺃﻭ ﺸﺠﺭﺓ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ ﺃﻭ ﺸﺠﺭﺓ ﻤﺭﺠﺤﺔ( ﻭ ﻫﻭ ﻴﻘﺭﺃ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﻜل ﻗﻁﻌﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻤﻤﺜﻠﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺘﺴﻤﻰ ﻏﺼﻨﺎ‪.‬‬ ‫* ﺭﺴﻡ ﺍﻷﻏﺼﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪ :1‬ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺇﻤﺎ ﺭﺠﻼ )‪ (H‬ﻭ ﺇﻤﺎ ﺍﻤﺭﺃﺓ )‪. (F‬‬‫ﻭ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺭﺠل\" ﺒﺎﻟﺤﺭﻑ ‪ H‬ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻏﺼﻥ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻤﺭﺃﺓ\" ﺒﺎﻟﺤﺭﻑ ‪ F‬ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻏﺼﻥ ‪.‬‬‫ﻭ ﻴﻜﻭﻥ ﻟﻬﺫﻴﻥ ﺍﻟﻐﺼﻨﻴﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪) x‬ﺘﺴﻤﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‪ x‬ﺠﺫﺭ ﺍﻟﺸﺠﺭﺓ( ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪:2‬‬

‫‪-‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺭﺠﻼ ﻓﺈﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺭﺠل ﻫﻭ ﺇﻤﺎ ﻤﻤﺭﺽ )‪(I‬‬‫ﻭ ﺇﻤﺎ ﻁﺒﻴﺏ )‪ (M‬ﻭ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻟﺭﺠل ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﻫﻭ ﻤﻤﺭﺽ\" ﺒﺎﻟﺤﺭﻑ ‪ I‬ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻏﺼﻥ ﻤﺒﺩﺃﻩ‬ ‫ﺍﻟﻌﻘﺩﺓ ‪.F‬‬‫ﻭ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻟﺭﺠل ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﻫﻭ ﻁﺒﻴﺏ \" ﺒﺎﻟﺤﺭﻑ ‪ M‬ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻏﺼﻥ ﻤﺒﺩﺃﻩ ﺍﻟﻌﻘﺩﺓ ‪.F‬‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻤﺭﺃﺓ ﻓﺈﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻻﻤﺭﺃﺓ ﻫﻲ ﻏﻤﺎ ﻤﻤﺭﻀﺔ )‪ (I‬ﻭ ﺇﻤﺎ ﻁﺒﻴﺒﺔ )‪. (M‬‬‫ﻭ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻻﻤﺭﺃﺓ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭﺓ ﻫﻲ ﻤﻤﺭﻀﺔ\" ﺒﺎﻟﺤﺭﻑ ‪ I‬ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻏﺼﻥ ﻤﺒﺩﺃﻩ ﺍﻟﻌﻘﺩﺓ ‪. F‬‬‫ﻭ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻻﻤﺭﺃﺓ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭﺓ ﻫﻲ ﻁﺒﻴﺒﺔ\" ﺒﺎﻟﺤﺭﻑ ‪ M‬ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻏﺼﻥ ﻤﺒﺩﺃﻩ ﺍﻟﻌﻘﺩﺓ ‪. F‬‬ ‫*ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻷﻏﺼﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪-‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻷﻭل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 0,6‬ﻭ )‪.0,6 = p(F‬‬ ‫ﻟﻘﺩ ﺃﺭﻓﻘﻨﺎ ﺒﺎﻟﻐﺼﻥ ‪F‬‬ ‫ﺤﻴﺙ )‪ p(F‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻤﺭﺃﺓ\" ‪.‬‬‫ﻭ ﺃﺭﻓﻘﻨﺎ ﺒﺎﻟﻐﺼﻥ ‪ H‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 0,4‬ﻭ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ ‪4,‬ﻫﻭ )‪p(H‬‬ ‫ﺤﻴﺙ )‪ p(H‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺭﺠل\"‪.‬‬ ‫‪-‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‪:‬‬ ‫ﻟﻘﺩ ﺃﺭﻓﻘﻨﺎ ﺒﺎﻟﻐﺼﻥ ‪ F I‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 0,75‬ﻭ )‪0,75= (I‬‬‫ﺤﻴﺙ )‪ pF(I‬ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﻤﻤﺭﺽ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻤﺭﺃﺓ\"‪.‬‬‫ﻭﺃﺭﻓﻘﻨﺎ ﺒﺎﻟﻐﺼﻥ ‪ F M‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪0,25‬ﻭ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ‪.pF(M) =0,25‬‬‫‪ H‬ﺍﻟﻌﺩﺩ‪0,125‬ﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ‪. pH(I)=0,125‬‬ ‫ﻭﺃﺭﻓﻘﻨﺎ ﺒﺎﻟﻐﺼﻥ ‪I‬‬ ‫ﻭﺃﺭﻓﻘﻨﺎ ﺒﺎﻟﻐﺼﻥ ‪ H M‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪0,875‬ﻭ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ‬ ‫‪.pH(M) =0,875‬‬‫ﺤﻴﺙ)‪ pF(M‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﻁﺒﻴﺒﺎ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻤﺭﺃﺓ ‪.‬‬‫)‪ pH(I‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﻤﻤﺭﻀﺎ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺭﺠل ‪.‬‬‫)‪ pH(M‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﻁﺒﻴﺒﺎ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺭﺠل ‪.‬‬‫ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ) ﻋﻠﻰ ﺴﺒﻴل ﺍﻟﻤﺜﺎل(‬ ‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ ﺍﻟﺠﺯﺀ‪H I :‬‬‫ˆ ‪p(H‬‬ ‫)‪I‬‬ ‫)‪p(H‬‬ ‫‪=0,125‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪pH(I)=0,125‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪p(H)=0,4‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪p(HˆI)=0,125‬‬ ‫)‪p(H ˆ I‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫)‪0,4‬‬‫ﺇﺫﻥ )‪ \" p(HˆI‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺭﺠﻼ ﻭ ﻤﻤﺭﻀﺎ\" ﻫﻭ ‪.0,05‬‬‫ﻓﻲ ﺸﺠﺭﺓ ﺍﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﻐﺼﻥ ﻴﺴﻤﻰ ﻭﺯﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻐﺼﻥ ﻭ ﻤﻥ‬

‫ﻫﻨﺎ ﺘﺄﺘﻲ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ \" ﺸﺠﺭﺓ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ\" ﺃﻭ \" ﺸﺠﺭﺓ ﻤﺭﺠﺤﺔ\" ‪.‬‬ ‫ﺏ‪-‬ﻭﺼﻑ ﻟﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻭ ﻗﻭﺍﻋﺩ ﺇﻨﺸﺎﺌﻬﺎ‪:‬‬‫ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻫﻲ ﻤﺨﻁﻁ ﻤﻭﺠﻪ ﻭ ﻤﺘﻭﺍﺯﻥ ﻴﻤ ﱢﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﻠﺨﻴﺹ ﻭﻀﻌﻴﺔ ﻓﻲ ﻤﻴﺩﺍﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﺒﺴﻴﻁﺔ ‪.‬‬‫ﻭﺼﻑ ﻭ ﻤﻔﺭﺩﺍﺕ ‪ :‬ﻣﺴﺎﺭ‬ ‫ﻨﺸﺄ ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻭ ﺘﻘﺭﺃ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﻴﺴﻤﻰ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺸﺠﺭﺓ ﺠﺫﺭ ﺍﻟﺸﺠﺭﺓ ‪.‬‬ ‫ﺘﺴﻤﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻭﺼل ﺒﻴﻥ ﻏﺼﻨﻴﻥ ﻋﻘﺩﺓ‪.‬‬ ‫ﺍﻷﻏﺼﺎﻥ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﻁﻠﻕ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺫﺭ ﺘﺴﻤﻰ ﺃﻏﺼﺎﻥ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻷﻏﺼﺎﻥ ﺍﻟﻭﺍﺼﻠﺔ ﺒﻴﻥ ﻋﻘﺩﺘﻴﻥ ﺘﺴﻤﻰ ﺃﻏﺼﺎﻥ ﺜﺎﻨﻭﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻏﺼﻦ‬ ‫ﻋﻘﺪﺓ‬ ‫ﻜل ﻁﺭﻴﻕ ﻭﺍﺼل ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺠﺫﺭ ﻭ ﻋﻘﺩﺓ ﻴﺴﻤﻰ ﻤﺴﺎﺭﺍ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﻮﻱ‬ ‫ﺍﻟﻤﺼﺎﺩﺭ ‪ _A1_A2_..........._An‬ﻴﻤﺜل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ‪.A1ˆ A2ˆ…ˆAn.‬‬‫ﺍﺑﻏﺘﺪﺼﺍﺋﻦﻲﺟﺬﺭ‬ ‫ƒ ﻗﻭﺍﻋﺩ ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ‪:‬‬ ‫‪ -1-‬ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻷﻏﺼﺎﻥ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﺘﺸﻜل ﺘﺠﺯﺌﺔ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺸﺎﻤﻠﺔ‪.:‬‬ ‫‪ -2-‬ﻭﺯﻥ ﻏﺼﻥ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻲ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺘﻪ ‪.‬‬‫‪ -3-‬ﻭﺯﻥ ﻏﺼﻥ ﺜﺎﻨﻭﻱ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺸﺭﻁﻲ ﻟﻠﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺘﻪ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﻴﺘﺼل ﺇﻟﻰ ﻤﺒﺩﺃﻩ ﻤﺤﻘﻕ‪.‬‬ ‫‪ -4-‬ﻭﺯﻥ ) ﺃﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل( ﻤﺴﺎﺭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺠﺩﺍﺀ ﺃﻭﺯﺍﻥ ﺍﻷﻏﺼﺎﻥ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺸﻜل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ‪.‬‬ ‫‪ -5-‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﻌﺩﺓ ﻤﺴﺎﺭﺍﺕ ﻜﺎﻤﻠﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭﺍﺕ‬ ‫‪.‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‪:‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺃﻭﺯﺍﻥ ﺍﻷﻏﺼﺎﻥ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ‪.1‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺃﻭﺯﺍﻥ ﺍﻷﻏﺼﺎﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻭﻴﺔ ﺍﻟﻨﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﻘﺩﺓ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪.1‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ﺘﻁﺒﻴﻘﻲ‪:‬‬ ‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻜﻴﺱ ﻋﻠﻰ ﺜﻼﺜﺔ ﻜﺭﺍﺕ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻭ ﻜﺭﺘﻴﻥ ﺴﻭﺩﻭﺘﻴﻥ‪.‬‬‫ﻨﺴﺤﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﻭ ﺒﺩﻭﻥ ﺇﺭﺠﺎﻉ ‪3‬ﻜﺭﺍﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻭ ﻫﺫﺍ ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﺩﻓﺔ ﺍﻟﻜﺎﻤﻠﺔ ‪.‬‬

‫ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻤﺜﻴل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﺎﻟﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫) ﺤﻴﺙ ‪ B‬ﻴﻌﻴﻥ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻭ ‪ N‬ﻴﻌﻨﻲ ﺴﻭﺩﺍﺀ(‪.‬‬ ‫‪1/3 B‬‬ ‫‪2/4‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2/3 N‬‬ ‫‪B N 2/3 B‬‬ ‫‪3/5 2/4 1/3 N‬‬ ‫‪2/3 B‬‬ ‫‪2/5‬‬ ‫‪3/4‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪1/3‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪3/3 B‬‬ ‫‪1/4 N‬‬ ‫‪0/3 N‬‬ ‫) ﻗﺎﻋﺩﺓ ‪.(2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﺒﻴﻀﺎﺀ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ‬ ‫ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﻜﺭﺓ‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫ﻜﻲ‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل‬ ‫ƒ‬ ‫‪5‬‬ ‫ƒ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻭﺍﻟﻜﺭﺘﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺴﻭﺩﻭﺘﻴﻥ ﻫﻭ‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺘﻴﻥ‬ ‫ƒ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ﻗﺎﻋﺩﺓ ‪ 4‬ﻭﺼﻑ * (‬ ‫ƒ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺴﻭﺩﺍﺀ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫*‬ ‫ﻭﺼﻑ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺩﺓ‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺒﻴﻀﻭﺘﺎﻥ ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﻭ‬ ‫ƒ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻫﻭ‬‫‪3‬‬ ‫‪(5‬ﻭ ﻫﻭ‬ ‫) ﻗﺎﻋﺩﺓ‬ ‫¨§‬ ‫‪3‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫‬ ‫§¨‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫‬ ‫¨§‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪3‬‬ ‫¸·‬ ‫©‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¹‬‬

‫‪(3‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺘﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ :‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺸﺎﻤﻠﺔ ﻤﺯﻭﺩﺓ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪. p‬‬‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺃﻨﻬﻤﺎ ﻤﺴﺘﻘﻠﺘﻴﻥ ﺇﺫﺍﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬‫)‪P(AˆB)=p(A) up(B‬‬ ‫* ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﻴﺠﺏ ﺍﻟﺘﻤﻴﻴﺯ ﺒﻴﻥ \" ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺘﻴﻥ\" ﻭ \" ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﺘﻼﺌﻤﺘﻴﻥ\" ‪.‬‬ ‫*ﺨﺎﺼﻴﺔ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺸﺎﻤﻠﺔ ﻤﺯﻭﺩﺓ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ p‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ ‪ P(A)z0:‬ﻭ‬ ‫‪.P(B)z0‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻭل \" ‪ A‬ﻭ ‪B‬ﻤﺴﺘﻘﻠﺘﺎﻥ\" ﻴﻜﺎﻓﺊ\" )‪ \" pA(B)=p(B‬ﻭ ﻴﻜﺎﻓﺊ \" )‪.\"pB(A)=p(A‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ﺘﻁﺒﻴﻘﻲ ‪:‬‬ ‫ﺘﺤﺘﻭﻱ ﻋﻠﺒﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 4‬ﺒﻁﺎﻗﺎﺕ ﺼﻔﺭﺍﺀ ﻭ ‪ 6‬ﺒﻁﺎﻗﺎﺕ ﺒﻴﻀﺎﺀ ‪ ،‬ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺎﺕ ﻤﺭﻗﻤﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺎﺕ ﺍﻟﺼﻔﺭﺍﺀ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ‪ 1،2،3،3 :‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺎﺕ ﺍﻟﺒﻴﻀﺎﺀ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ‪ 1،2،3،3،3،4 :‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﺩﻓﺔ ﺍﻟﻜﺎﻤﻠﺔ ﻨﺴﺤﺏ ﺒﻁﺎﻗﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻠﺒﺔ ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ‪ J‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺼﻔﺭﺍﺀ\" ‪.‬‬ ‫‪ B‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺒﻴﻀﺎﺀ\" ‪.‬‬ ‫‪ T‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪.\"3‬‬ ‫‪ D‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪.\"2‬‬‫=)‪p(J‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪P(J‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺼﻔﺭﺍﺀ ﻫﻭ ‪10‬‬ ‫) (‬ ‫=)‪p(J‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪5‬‬‫=)‪p(B‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪P(B‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻫﻭ ‪10‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=)‪p(B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪5‬‬

‫)‪ P(T‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 3‬ﻫﻭ‬ ‫=)‪p(T‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫) (‬ ‫=)‪p(T‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ P(D‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 2‬ﻫﻭ‬ ‫=)‪p(D‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=)‪p(D‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪5‬‬‫ﺃﻱ‬ ‫=)‪P(JˆT‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ P(JˆT‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺼﻔﺭﺍﺀ ﻭ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 3‬ﻫﻭ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) (‬ ‫=)‪P(JˆT‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭ ﻟﻨﺎ ‪ ( )..... P(JˆT) =p(J)up(T):‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﺎﻥ ‪ J‬ﻭ ‪ T‬ﻤﺴﺘﻘﻠﺘﺎﻥ ‪.‬‬ ‫‪1‬‬‫)‪ P(BˆD‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻭ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪2‬ﻫﻭ ‪(x ) P(BˆD)= 10‬‬ ‫ﻭ ﻟﻨﺎ‪ ( )..... P(BˆD) =p(B)up(D): :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﺎﻥ ‪ B‬ﻭ ‪ D‬ﻟﻴﺴﺘﺎ ﻤﺴﺘﻘﻠﺘﻴﻥ ‪.‬‬

‫‪A1‬‬ ‫‪(5‬ﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ‪:‬‬‫‪A5 B‬‬ ‫ƒ ﺘﻤﻬﻴﺩ‬ ‫‪A4‬‬ ‫‪A2 :‬‬ ‫‪A3‬‬‫‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺸﺎﻤﻠﺔ ‪ A5 ،A4 ، A3 ، A2 ، A1 :‬ﺤﻭﺍﺩﺙ ﺘﺸﻜل ﺘﺠﺯﺌﺔ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ :‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻜﻴﻔﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ BˆA1‬ﻭ ‪ BˆA2‬ﻭ ‪ BˆA3‬ﻭ ‪ BˆA4‬ﻭ ‪ BˆA5‬ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻼﺌﻤﺔ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ‬‫ﻭ ‪ (BˆA1)‰( BˆA2) ‰( BˆA3) ‰( BˆA4) ‰( BˆA5)=B‬ﻤﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ p‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪. :‬‬‫)‪p(BˆA3)+ p(BˆA4)+ (BˆA5)+P(B)=p(BˆA1)+ p(BˆA2‬‬ ‫ﻭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪) p(A1)z0‬ﻤﺜﻼ(‬‫ﻤﻨﻪ )‪p (A1 ˆB)=pA1(B)up(A1‬‬ ‫=)‪PA1(B‬‬ ‫)‪p(A1 ˆ B‬‬ ‫) ‪p(A1‬‬ ‫ﻭ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﻋﺎﻤﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ) ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ ( ‪ :‬ﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺸﺎﻤﻠﺔ ﻤﺯﻭﺩﺓ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ p‬ﻭﻟﺘﻜﻥ‪ An ،...... ، A2 ، A1‬ﺤﻭﺍﺩﺙ ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫‪ An ،...A2 ، A1‬ﺘﺸﻜل ﺘﺠﺯﺌﺔ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ :‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪i‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‪. p(A1) z0 ، nt i t 1‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ B‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫) ‪p(B)= pA1 u p(A1 )  pA2 u p(A 2 )  ..........  pAn u p(A n‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ﺘﻁﺒﻴﻘﻲ‪:‬‬

‫ﺃﺠﺭﻴﺕ ﻓﺤﻭﺼﺎﺕ ﺒﻴﻁﺭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻗﻁﻴﻊ ﻤﻥ ﺍﻷﻏﻨﺎﻡ ‪ %20‬ﻤﻨﻪ ﻤﺴﺘﻭﺭﺩﺓ ﻤﻥ ﺒﻠﺩ ‪A‬ﻭ ‪ %70‬ﻤﻨﻪ ﻤﺴﺘﻭﺭﺩﺓ‬ ‫ﻤﻥ ﺒﻠﺩ ‪ B‬ﻭ ‪ %10‬ﻤﺴﺘﻭﺭﺩﺓ ﻤﻥ ﺒﻠﺩ ‪ C‬ﻓﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫‪ %90‬ﻤﻥ ﺍﻷﻏﻨﺎﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﺭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻠﺩ ‪ A‬ﺴﻠﻴﻤﺔ ‪ 60% ،‬ﻤﻥ ﺍﻷﻏﻨﺎﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﺭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻠﺩ ‪ B‬ﺴﻠﻴﻤﺔ ﻭ‬ ‫‪ %55‬ﻤﻥ ﺍﻷﻏﻨﺎﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﺭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻠﺩ ‪ C‬ﺴﻠﻴﻤﺔ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺃﺨﺫﻨﺎ ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﺩﻓﺔ ﺍﻟﻜﺎﻤﻠﺔ ‪ ،‬ﺤﻴﻭﺍﻨﺎ ﻭﺍﺤﺩﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻁﻴﻊ ‪.‬‬ ‫‪20‬‬ ‫)‪p(A‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل )‪ p(A‬ﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤﻴﻭﺍﻥ ﻤﺴﺘﻭﺭﺩﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻠﺩ ‪ A‬ﻫﻲ‬ ‫)‪p(B‬‬ ‫‪70‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل )‪ p(B‬ﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤﻴﻭﺍﻥ ﻤﺴﺘﻭﺭﺩﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻠﺩ ‪ B‬ﻫﻲ‬ ‫‪100‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪p(C‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل )‪ p(C‬ﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤﻴﻭﺍﻥ ﻤﺴﺘﻭﺭﺩﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻠﺩ ‪ C‬ﻫﻲ‬‫‪.‬‬ ‫=)‪pA(S‬‬ ‫‪90‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل )‪ pA(S‬ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤﻴﻭﺍﻥ ﺴﻠﻴﻤﺎ ﻋﻠﻤﺎ ﺍﻨﻪ ﻤﺴﺘﻭﺭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻠﺩ ‪ A‬ﻫﻭ‬ ‫‪100‬‬ ‫‪60‬‬‫‪.‬‬ ‫=)‪pB(S‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل )‪ pB(S‬ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤﻴﻭﺍﻥ ﺴﻠﻴﻤﺎ ﻋﻠﻤﺎ ﺍﻨﻪ ﻤﺴﺘﻭﺭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻠﺩ ‪ B‬ﻫﻭ‬ ‫‪.‬‬ ‫=)‪pc(S‬‬ ‫‪55‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل )‪ pC(S‬ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤﻴﻭﺍﻥ ﺴﻠﻴﻤﺎ ﻋﻠﻤﺎ ﺍﻨﻪ ﻤﺴﺘﻭﺭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻠﺩ ‪ c‬ﻫﻭ‬ ‫‪100‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ‪ C ، B ،A‬ﺘﺸﻜل ﺘﺠﺯﺌﺔ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺸﺎﻜﻠﺔ ) ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻏﻨﺎﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﻁﻴﻊ( ‪.‬‬ ‫‪ P(A)z0‬ﻭ ‪ p(B)z0‬ﻭ ‪ p(C)z0‬ﻤﻨﻪ ﻭ ﺤﺴﺏ ﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ‬ ‫)‪ P(S‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤﻴﻭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺄﺨﻭﺫ ﺴﻠﻴﻤﺎ ﻫﻲ ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪90‬‬ ‫)‪P(S)=pA(S)up(A) + pB(S)up(B)+ pC(S)up(C‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪55‬‬ ‫=‬ ‫‪u‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‬ ‫‪100‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‬ ‫‪100‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﺒﻌﺩ ﺍﻻﺨﺘﺯﺍﻻﺕ ﻭ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ‪p(S)= 0 ,655‬‬

‫‪ III‬ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ﻭ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭ ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﺩﺩﻱ‪:‬‬ ‫‪(1‬ﻤﺜﺎل ﺘﻤﻬﻴﺩﻱ‪:‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻨﺭﺩﺍﻥ ﻤﻜﻌﺒﺎﻥ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺎﻥ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ﺃﺯﺭﻕ )‪ (B‬ﺃﻭﺠﻬﻪ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ‪ 3،3،3،2،1،1‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭ‬ ‫ﺍﻵﺨﺭ ﺃﺤﻤﺭ )‪ (R‬ﺃﻭﺠﻬﻪ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ‪ 2،2،2 ،1،1،1‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺘﻜﻤﻥ ﻓﻲ ﺭﻤﻲ ﺍﻟﻨﺭﺩﻴﻥ ‪ B‬ﻭ ‪ R‬ﻭ ﺘﺴﺠﻴل ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺭﻗﻤﻴﻥ ﺍﻟﻤﺴﺠﻠﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻭﺠﻬﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﻌﻠﻭﻴﻴﻥ ﻟﻠﻨﺭﺩﻴﻥ ‪ B‬ﻭ ‪.R‬‬ ‫‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ)ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ( ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻫﻲ‪.:={2,3,4,5} :‬‬ ‫• ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻟﺘﺠﺭﻴﺒﻲ‪:‬‬ ‫ﻗﻤﻨﺎ ﺒﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ‪ ،‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻤﺠﺩﻭل ‪ 1000 ،‬ﻤﺭﺓ ﻓﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪xi 2 3 4 5‬‬ ‫ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺠﻤﻭﻉ‬ ‫‪fi 158 243 344 255‬‬ ‫‪ 1000 1000 1000 1000‬ﺘﻭﺍﺘﺭ ‪xi‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪x =f1x1+f2x2+ f3x3+f4x4‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪158‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪243‬‬ ‫‬ ‫‪4‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪344‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪255‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪x =3,696‬‬ ‫‪ V‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫(‪x)2 V=f1x21+f2x22+ f3x23+f4x24-‬‬‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪158‬‬ ‫‬ ‫‪9‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪243‬‬ ‫‬ ‫‪16‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪344‬‬ ‫‬ ‫‪25‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪255‬‬ ‫‬ ‫)‪(3,696‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪V=14,698-13,660416‬‬ ‫‪V=1,037584‬‬

‫ﻭ ‪ V‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪V= V‬‬‫‪V=1,01861867‬‬ ‫‪ xx‬ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ ‪:‬‬‫‪ B‬ﺃﻭﺠﻪ ﺍﻟﻨﺭﺩ‬‫‪333211‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻠﺨﻴﺹ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﺭﻤﻲ ﺍﻟﻨﺭﺩﻴﻥ ‪B‬‬‫‪4443221‬‬ ‫ﺃﻭﺠﻪ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪R‬‬ ‫ﻭ ‪ R‬ﻭ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺭﻗﻤﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺠﻠﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﻭﺠﻬﻴﻬﻤﺎ‬‫‪4443221‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻠﻭﻴﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل‬‫‪4443221‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‪:‬‬‫‪5554332‬‬‫‪5554332‬‬‫‪5554332‬‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺎ ‪ :‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 6‬ﺤﻅﻭﻅ ﻤﻥ ‪ 36‬ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪.2‬‬ ‫‪ 9‬ﺤﻅﻭﻅ ﻤﻥ ‪ 36‬ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪.3‬‬ ‫‪ 12‬ﺤﻅﻭﻅ ﻤﻥ ‪ 36‬ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪.4‬‬ ‫‪ 96‬ﺤﻅﻭﻅ ﻤﻥ ‪ 36‬ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪.5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪p‬ﻋﻠﻰ ‪ :‬ﻴﻜﻭﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪ 2 3 4 5‬ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ‪xi‬‬ ‫‪P(xi)=pi 6 9 12 9‬‬ ‫‪36 36 36 36‬‬ ‫ﻭ ﻟﻘﺩ ﺭﺃﻴﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﻤﺎﻀﻴﺔ ﺃﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻫﻲ \" ﺘﻭﺘﺭﺕ ﻨﻅﺭﻴﺔ\"‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ E‬ﺤﻴﺙ ‪E=x1p1+ x2p2+ x3p3+ x4p4‬‬‫ﺍﻟﺫﻱ ﺤﺴﺎﺒﻪ \"ﻴﺸﺒﻪ\" ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﺴﻤﻲ ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪. p‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ V‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ ﺤﺴﺎﺒﻪ\" ﻴﺸﺒﻪ\" ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻴﺴﻤﻰ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪. p‬‬

‫ﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ V‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ V= V‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪.p‬‬‫ﺃﻨﺠﺯﻨﺎ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ ﻓﻭﺠﺩﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ E= 3‬ﺃﻱ ‪E|3,6667‬‬‫‪V |1,0556‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪V= 18‬‬‫‪V |1,0274‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪V= 18‬‬‫‪ xxx‬ﻨﻼﺤﻅ ﺘﻘﺎﺭﺏ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻟﺘﺠﺭﻴﺒﻲ ﻭ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ p‬ﺍﻟﺫﻱ ﻋﺭﻑ‬‫ﺍﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﻜﻭﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺃﻭﺠﻪ‪B‬ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺤﻅ ﻟﻠﻅﻬﻭﺭ ‪ ،‬ﻭ ﻜﺫﻟﻙ ﺠﻤﻴﻊ ﺃﻭﺠﻪ ‪ R‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﺅﻜﺩ ) ﺸﻴﺌﺎ ﻤﺎ(‬ ‫ﺍﻟﻘﻭل‬ ‫\" ﺍﻟﻨﺭﺩﺍﻥ ‪ B‬ﻭ ‪ R‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺎﻥ\"‪.‬‬ ‫‪(2‬ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺸﺎﻤﻠﺔ ﺒﺤﻴﺙ }‪ :={x1,x2,……..,xn‬ﺃﻴﻥ ‪ xn......... ، x2 ، x1‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬‫) ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ(‬ ‫ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ p‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ‪ :‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪p(x1)=p1,p(x2)=p2,………,p(xn)= pn‬‬ ‫ƒ ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ p‬ﻫﻭ ﺒﺎﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ E‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪E=x1.p1+ x2.p2+………………+ xn.pn‬‬ ‫ƒ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ p‬ﻫﻭ ﺒﺎﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ ،‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ V‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫‪V=(x1)2.p1+(x2)2.p2+………………+(xn)2.pn-E2‬‬ ‫)ﺃﻴﻥ ‪ E‬ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪( p‬‬‫ƒ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ p‬ﻫﻭ ‪ ،‬ﺒﺎﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪V‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ ) V= V‬ﺃﻴﻥ ‪ V‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪.(p‬‬

‫‪ IV‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ‪ ،‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺤﺩ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ƒ ﻨﺴﻤﻲ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻟﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﻜل ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻟﻬﺎ ﻤﺨﺭﺠﺎﻥ ﻭ ﻤﺨﺭﺠﺎﻥ ﻓﻘﻁ ‪:‬‬ ‫ﻤﺨﺭﺝ\" ﻨﺠﺎﺡ\" )‪ (S‬ﻭ ﻤﺨﺭﺝ \"ﻓﺸل\") ‪.( S‬‬‫ƒ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﺫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ ) p‬ﺤﻴﺙ ‪ p‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺒﺤﻴﺙ ‪( 0<p<1‬ﻫﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ } ﻓﺸل ‪ ،‬ﻨﺠﺎﺡ{ ‪ ،‬ﺒﺤﻴﺙ‪:‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﻨﺠﺎﺡ ﻫﻭ ‪ p‬ﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﻔﺸل ﻫﻭ )‪. (1-p‬‬‫ﻤﺜﻼ ‪:‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻫﻲ \" ﺭﻤﻲ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ\" ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ \" ﺍﻟﻨﺠﺎﺡ\" ﻫﻭ \"‬‫ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻭﺠﻪ\" ﻓﺈﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻫﻲ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻟﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﻤﺨﺭﺠﺎﻫﺎ \" ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ \"ﻭﺠﻪ\"\"‬ ‫‪.S‬‬ ‫‪1‬‬ ‫\" ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ \" ﻅﻬﺭ\" \" ‪S‬‬‫{ﻫﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﺫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ 2‬ﻷﻥ‬ ‫ﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ p‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺸﺎﻤﻠﺔ } ‪S ، S‬‬ ‫‪p( S‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ P(S)= 2‬ﻭ ‪)= 2‬‬ ‫‪ (2‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺤﺩ )ﺃﻭ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻲ(‬ ‫ﺃ‪-‬ﻤﺜﺎل ﺘﻤﻬﻴﺩﻱ ‪:‬‬ ‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻜﻴﺱ ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻜﺭﺍﺕ ﺤﻤﺭﺍﺀ ﻭ ‪ 3‬ﻜﺭﺍﺕ ﺨﻀﺭﺍﺀ‪.‬‬ ‫ﺘﺠﺭﺒﺔ ﺘﺘﻡ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺭﺍﺤل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ \"-1‬ﺴﺤﺏ ﻜﺭﺓ ﺃﻭﻟﻰ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ\"‪.‬‬‫ﺇﺭﺠﺎﻉ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﻜﻴﺱ ﺜﻡ ﺨﻠﻁ ﻤﺤﺘﻭﺍﻩ‬ ‫‪ \"-2‬ﺴﺤﺏ ﻜﺭﺓ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ\"‬‫ﺇﺭﺠﺎﻉ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﻜﻴﺱ ﺜﻡ ﺨﻠﻁ ﻤﺤﺘﻭﺍﻩ‬ ‫‪ \"-3‬ﺴﺤﺏ ﻜﺭﺓ ﺜﺎﻟﺜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ\"‬‫ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﺩﻓﺔ ﺍﻟﻜﺎﻤﻠﺔ ‪ ،‬ﻨﻘﻭﻡ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻭ ﻨﻬﺘﻡ ﺒﺄﻟﻭﺍﻥ ﺍﻟﻜﺭﺍﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﺴﺤﺒﺕ ﻓﻴﻪ ‪.‬‬‫ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻠﺨﻴﺹ ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﺒﺎﻟﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ) ﺤﻴﺙ ‪ R‬ﻴﻤﺜل \"ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺤﻤﺭﺍﺀ\"‬ ‫ﻭ ‪ V‬ﻴﻤﺜل\" ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺨﻀﺭﺍﺀ\"(‪.‬‬ ‫‪V‬‬

‫‪3/8‬‬ ‫‪3/8‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪5/8 R‬‬ ‫‪V R 3/8 V‬‬ ‫‪3/8 5/8 5/8 R‬‬ ‫‪3/8 V‬‬ ‫‪5/8‬‬ ‫‪3/8‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪5/8‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪3/8 V‬‬ ‫‪5/8 R‬‬ ‫‪5/8 R‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺇﺫﺍ ﺃﺭﺩﻨﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﻡ ﺒﺎﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺼﻭﻓﺔ ﺃﻋﻼﻩ ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)*( ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ‪ 0‬ﻜﺭﺓ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﻫﻭ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬‫‪3‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻜﺭﺓ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﻫﻭ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪1‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل‬ ‫)‪(x‬‬‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫)ƒ( ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ‪ 2‬ﻜﺭﺓ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﻫﻭ‬ ‫‪335 3533 533‬‬ ‫‪.8u8u8  8u8u8u8  8u8u8‬‬ ‫‪333‬‬ ‫) ﺍ( ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ‪3‬ﻜﺭﺍﺕ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﻫﻭ ‪8 u 8 u 8‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺇﺫﺍ ﺃﺭﺩﻨﺎ ﺍﻟﺘﻘﻴﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ ﻟﺤﻅﻭﻅ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ﺍﻟﻜﺭﺍﺕ ﺍﻟﺨﻀﺭﺍﺀ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻜﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺇﻤﺎ ‪ x=0‬ﻭ ﺇﻤﺎ ‪ x=1‬ﻭ ﺇﻤﺎ ‪ x=2‬ﻭ ﺇﻤﺎ ‪ x=3‬ﻭﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ p‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ }‪ {0,1,2,3‬ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪x0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬‫)‪P(x‬‬ ‫¨§‬ ‫‪5‬‬ ‫¸·‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ª‬‬ ‫‪3‬‬ ‫§¨‬ ‫‪5‬‬ ‫·¸‬ ‫‪2‬‬ ‫‪º‬‬ ‫¨©§¬‪«ª‬‬ ‫‪3‬‬ ‫·¸‬ ‫‪2‬‬ ‫¨§‬ ‫‪5‬‬ ‫‪¸¹·»¼º‬‬ ‫§¨‬ ‫‪3‬‬ ‫¸·‬ ‫‪3‬‬ ‫©‬ ‫‪8‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫«‬ ‫‪8‬‬ ‫©‬ ‫‪8‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫»‬ ‫‪8‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪8‬‬ ‫©‬ ‫‪8‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪u‬‬ ‫¬‬ ‫¼‬ ‫‪3‬‬ ‫‪u‬‬ ‫ﻭ ﺒﻌﺩ ﺇﻨﺠﺎﺯ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ‬ ‫‪x0 1 2 3‬‬ ‫‪P(x) 125 225 135 27‬‬ ‫‪512 512 512 512‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺼﻭﻓﺔ ﺃﻋﻼﻩ ﺘﺴﻤﻰ\" ﺍﻟﺴﺤﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ‬ ‫ﻭ ﺒﺈﺭﺠﺎﻉ ﻟﺜﻼﺙ ﻜﺭﺍﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ\"‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﻭﻡ \" ﺒﺎﻟﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺍﻟﻤﻭﺼﻭﻓﺔ ﺃﻋﻼﻩ ﻜﺄﻨﻨﺎ ﻜﺭﺭﻨﺎ ‪ 3‬ﻤﺭﺍ ) ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ( ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ \" ﺴﺤﺏ ﻜﺭﺓ‬‫ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ\" ﻭ ﻜﻭﻨﻨﺎ ﺍﻫﺘﻤﻴﻨﺎ ﺒﻠﻭﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻓﺈﻥ ﻫﺫﻩ \" ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ\" ﻟﻬﺎ ﻤﺨﺭﺠﺎﻥ ‪ V‬ﻭ ‪ R‬ﺇﺫﻥ‬‫ﻫﻲ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻟﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﻭ ﺇﺫﺍ ﻗﺭﺭﻨﺎ ‪ ،‬ﻤﺜﻼ‪ ،‬ﺃﻥ ﻨﺠﺎﺡ ﻫﻭ ‪ ) V‬ﺃﻱ ﺴﺤﺏ ﻜﺭﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻜﺭﺓ‬ ‫ﺨﻀﺭﺍﺀ (‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ }‪{V,R‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ V‬ﻫﻭ ‪8‬‬ ‫‪53‬‬ ‫ﻫﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﺫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ p= 8‬ﻤﻨﻪ ‪1-p= 8‬‬ ‫ﻭ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﻘﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺭﺭﻨﺎ ‪3‬ﻤﺭﺍﺕ ) ﻭ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻅﺭﻭﻑ( ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻟﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﺤﻴﺙ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻨﺠﺎﺡ‬ ‫‪3‬‬‫ﻫﻭ ‪ p= 5‬ﻓﺈﻥ ) ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺒﺤﻴﺙ )‪ ( 0d x d3‬ﻓﺈﻥ )‪ p(x‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ‪x‬‬ ‫ﻨﺠﺎﺤﺎ ‪ ،‬ﺇﺜﺭﻯ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ‪ ،‬ﻴﻜﻭﻥ ﻭﻓﻕ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪x0 1‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪P(x) P(x) (1-p)3 3 p 1u(1-p)2 P3‬‬

‫ﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ p‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ }‪ {0,1,2,3‬ﺒﺎﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻴﺴﻤﻰ ‪ :‬ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻲ ﺫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻭﺴﻁﻴﻥ ‪ 3‬ﻭ ‪ p‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭ ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ‪ ،‬ﻋﺎﺩﺓ ‪ ،‬ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪E(3 ;p‬‬‫) ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ‪ 3‬ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﻤﺭﺍﺕ ﺇﻨﺠﺎﺯ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻟﺒﺭﻨﺯﻟﻲ ﻭ ‪ p‬ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻨﺠﺎﺡ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻘﻴﺎﻡ‬ ‫ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ(‪.‬‬ ‫ﺏ‪-‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪p‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﺒﺤﻴﺙ ‪0<P<1‬‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻲ ) ﺃﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺤﺩ( ﺫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻁﻴﻥ ‪ n‬ﻭ‪ p‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪{0,1,…………,n-‬‬ ‫}‪ 1,n‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺒﺤﻴﺙ ‪. 0d x d n‬‬ ‫)‪ P(x‬ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ‪ x‬ﻨﺠﺎﺤﺎ ﻋﻨﺩ ﺘﻜﺭﺍﺭ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻟﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﺤﻴﺙ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﻨﺠﺎﺡ ﻫﻭ ‪، p‬‬ ‫‪ n‬ﻤﺭﺓ ﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﻋﻥ ﺒﻌﻀﻬﺎ ﺍﻟﺒﻌﺽ ﻭ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻅﺭﻭﻑ‪.‬‬ ‫ﻴﺭﻤﺯ ﻋﺎﺩﺓ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻲ ﺫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻁﻴﻥ ‪ n‬ﻭ ‪ p‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪. E(n ;p‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﺘﻁﺒﻴﻘﻲ ‪:‬‬ ‫‪11‬‬‫ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ﻭ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻟﻠﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻲ) ‪E(3 ; 2‬ﺫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻁﻴﻥ ‪ 3‬ﻭ ‪ 2‬ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪ :‬ﻟﻜﻲ ﻨﻁﺒﻕ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‪ ،‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺸﺠﺭﺓ ﻤﺭﺠﺤﺔ ﺘﻜﺭﺍﺭ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻟﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ‪ ،‬ﺤﻴﺙ ﺍﺤﺘﻤﺎل‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺠﺎﺡ ﻫﻭ ‪ 3 ، 2‬ﻤﺭﺍﺕ ‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪1/2 S‬‬ ‫‪1/2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪1/2‬‬ ‫‪S‬‬‫‪1/2 S‬‬ ‫‪1/2‬‬‫‪S S1/2 1/2‬‬ ‫‪1/2 S‬‬‫‪1/2‬‬ ‫‪1/2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪1/2‬‬ ‫‪S S1/2 S‬‬ ‫‪1/2 S 1/2 S‬‬