دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني جذع مشترك علوم و تكنولوجيا سنة اولى ثانوي

‫• ﺘـﻤـﺎﺭﻴـﻥ ﻭ ﻤﺸـﻜـﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 1‬‬ ‫ﻴﻌﻁﻰ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪X -2 0 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ – a‬ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻋﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ( 1‬ﻤﺠﺎل ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪ ( 2‬ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ( 3‬ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻴﻤﺜل‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ‬ ‫ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ) (‬ ‫ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‬ ‫ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫–‬ ‫ﺍﻟ‪,‬ﺠ‪i‬ﺩ‪r‬ﻭ‪,‬ل ﺃ‪o‬ﻨﺸﺊ‪.‬ﺘﻤﺜﻴﻼ‬ ‫ﻫﺫ‪j‬ﺍ‪r‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 2‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪j . f‬‬ ‫ﹶﺍﻜﺘﺏ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﻴﻨﺎ ﺍﻟﻘﻴﻡ ‪O i‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭﺍﺘﻬﺎ ‪.‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 3‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ‪ .‬ﺃﺫﻜﺭ ﺼﺤﺔ ﺃﻡ ﺨﻁﺄ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ( 1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ f ( 1 ) < f ( 5 ) :‬ﻓﺈﻥ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. 1 , 5‬‬ ‫‪ ( 2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﻏﻴﺭ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻓﻬﻲ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪.‬‬ ‫‪ ( 3‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﻓﺈﻨﻬﺎ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﺠﺎل ‪ D‬ﻤﻥ ‪R‬‬ ‫‪ (4‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻲ ﻤﺠﺎل ‪ D‬ﻤﻥ ‪ R‬ﻓﻬﻲ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻲ ‪. R‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 4‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬ ‫ﺃﺫﻜﺭ ﺼﺤﺔ ﺃﻡ ﺨﻁﺄ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪f(0)=5 ( 1‬‬ ‫‪ ( 2‬ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 3‬ﻟﻬﺎ ﺴﺎﺒﻘﺘﻴﻥ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬‫‪j‬‬ ‫‪ ( 3‬ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f ( x ) = 2 :‬ﺃﺭﺒﻌﺔ ﺤﻠﻭل ‪.‬‬‫‪Oi‬‬ ‫‪ ( 4‬ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f ( x ) = 1 :‬ﺃﺭﺒﻌﺔ ﺤﻠﻭل ‪.‬‬

‫‪ ( 5‬ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 5‬ﻫﻲ ‪. 0‬‬ ‫‪ ( 6‬ﻟﻴﺱ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. 0 , 10‬‬ ‫‪ ( 7‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﻫﻭ ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﻜﺒﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. 2 , 5‬‬ ‫‪ ( 8‬ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ - 2‬ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. 0 , 10‬‬ ‫‪ ( 9‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. 0 , 10‬‬ ‫‪ ( 10‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. 0 , 2‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 5‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ) ‪ ( C‬ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬‫‪j‬‬‫‪O‬‬ ‫ﻫل ) ‪ ( C‬ﻴﻤﺜل ﺘﻤﺜﻴﻼ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻟﺩﺍﻟﺔ ؟ ﻋﻠل ‪.‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 6‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ) ‪ ( C‬ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.‬‬ ‫ﹶﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( C‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 7‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪1) f(x)=x3–1‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫=)‪f(x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬‫‪3 ) f ( x ) = 2x – x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4 ) f ( x ) = x2 - 5‬‬

‫‪5) f ( x ) = x -1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪x‬‬‫=)‪7) f (x‬‬ ‫‪x-2‬‬ ‫= )‪8) f(x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x-4‬‬ ‫‪x2 − 8x + 16‬‬‫)‪9‬‬ ‫‪f‬‬ ‫=)‪(x‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪10 ) f ( x ) = x 2 -16‬‬ ‫‪x2 +1‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 8‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻔﺭﺩﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﺯﻭﺠﻴﺔ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪f(x) = - 7 x ; g(x) = 5 x + 3 ; h(x) = x2 - 16‬‬ ‫; ‪j(x) = - x2 + 3 x‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪L(x) = x‬‬ ‫‪; V(x) = x2 + 4‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 9‬‬ ‫; ‪f(x) = 3 x – 5‬‬ ‫ﹶﺍﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪g(x) = 3 x2 ; h(x) = x‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 10‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪f( x ) = - x2 + 4 x :‬‬ ‫‪ -1‬ﹶﺍﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ -2‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬ ‫‪x 4 3 2 0 -1‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪ -3‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( )o , ri , rj‬‬ ‫*‪a ∈R‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 11‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪. f‬‬ ‫‪ -2‬ﻋﻴﻥ ‪ a‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ‪. f ( 1 ) = - 3 :‬‬ ‫‪ -3‬ﹶﺍﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ a‬ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ‪.‬‬ ‫‪ -4‬ﹶﺍﺤﺴﺏ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪of,(ri1‬‬ ‫)‬ ‫;‪rj‬‬ ‫) ‪f ( 3 ) ; f ( 6 ) ; f ( -1 ) ; f ( -3 ) ; f ( -6‬‬ ‫‪( ).‬‬ ‫‪ -5‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ) ‪ ( C‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪ f‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫‪,‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 12‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ f ( x ) = a x2 + b x + c‬ﺤﻴﺙ ‪ a , b , c :‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ‪ a , b , c‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻭ ﺘﺤﻘﻕ ‪. f (1) = 2 , f (-2) = 5:‬‬ ‫ﻋ‪ri‬ﻠﻴ‪,‬ﻬﺎ‪o‬‬ ‫ﻤ‪b‬ﺘ ‪,‬ﺠﺎﻨ‪ a‬ﺍﻟﺱﻤﺤ ‪j‬ﺼ‪r‬ل‪,‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﺍﻟﻘﻴﻡ ‪, c‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﹶﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪( ).‬‬ ‫ﻓـﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫(‬ ‫)‪C‬‬ ‫ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ﺒﻴﺎﻨﻬﺎ‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 13‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪. f ( x ) = x :‬‬ ‫‪ -1‬ﹶﺍﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ -2‬ﺃﻜﻤل ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬‫)‪f(x‬‬ ‫‪03‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪ -3‬ﺃﻨﺸﺊ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( )o , ri , rj‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 14‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪ f ( x ) = a x + b :‬ﺤﻴﺙ‪a , b :‬‬ ‫ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻊ ‪. a ≠ 0‬‬ ‫‪ -1‬ﺃﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ -2‬ﺃﻨﺸﺊ ) ‪ ( C‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ a = - 2 :‬ﻭ ‪. b = 1‬‬ ‫‪ -3‬ﺤل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪. f ( x ) < 2 :‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 15‬‬ ‫‪ -1‬ﹶﺍﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪f ( x ) = Cos x :‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. 0 , π‬‬ ‫‪ -2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪. R‬‬ ‫ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ) ( ] [‬ ‫‪-π,π‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻟﻠ‪ri‬ﺩﺍﻟ‪,‬ﺔ‪fo‬‬ ‫ﺒﻴ‪j‬ﺎ‪r‬ﻨﻴﺎ‪,‬‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ ﺘﻤﺜﻴﻼ‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬

‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 16‬‬ ‫‪ -1‬ﹶﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪g ( x ) = Sin x :‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. 0 , π‬‬ ‫‪ -2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪. R‬‬ ‫ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ) ( ] [‬ ‫‪-π,π‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫‪g‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪(C‬‬ ‫ﺒ‪j‬ﻴ‪r‬ﺎﻨﻴ‪,‬ﺎ ‪)ri‬‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ ﺘﻤﺜﻴﻼ‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫‪o,‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 17‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪. f ( x ) = x :‬‬ ‫‪ -1‬ﹶﺍﻜﺘﺏ ) ‪ f ( x‬ﺩﻭﻥ ﺭﻤﺯ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ‪.‬‬ ‫ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ) ‪ ( C‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ) (‬‫‪f‬‬‫ﺍ‪ri‬ﻟﺩﺍ‪,‬ﻟﺔ‪o‬‬‫ﺘ‪rj‬ﻐﻴ‪,‬ﺭ‬‫ﹶﺍﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 18‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬ ‫‪ -‬ﹶﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪(Γ‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﺜـل ﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪. R‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪Oi‬‬ ‫‪o , ri , rj‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 19‬‬‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻟﻠﺩﻭﺍل ‪( ) ( ):‬‬‫∆‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ) ‪, ( D ) , ( C‬‬ ‫ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫‪h,g,f‬‬‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪; g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪h‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ( 1‬ﺃﻨﺸﺊ ) ‪ ∆ ; ( D ) ; ( C‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻗﻴﻡ ﻤﺴﺎﻋﺩﺓ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪( ).‬‬ ‫‪ ( 2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪− 2)2‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫ﺤل ﺤﺴﺎﺒﻴﺎ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪f ( x ) ≥ g ( x ) :‬‬ ‫‪ ( 3‬ﺤل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪f ( x ) ≥ g ( x ) :‬‬

‫‪ ( 4‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ) ‪ ( D‬ﻭ ∆ ‪( ).‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ A‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ) ‪. ( C‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f ( x ) = h ( x ) :‬ﺘﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪( x + 1 ) ( x – 2 ) = 0 :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪ G‬ﻟﺘﻘﺎﻁﻊ ) ‪ ( C‬ﻭ ∆ ‪( ).‬‬‫‪ ( 5‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( D‬ﻴﻘﻁﻊ ﻤﺤﻭﺭﻱ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ B‬ﻭ ‪ C‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆) (‬ ‫ﻴﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ﻓﻲ ‪ E‬ﻭ ‪. F‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺍﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ‪. E , F , C , B‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ A‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ‪[ ]. BC‬‬ ‫ﻭﺃﻥ ﻟﻠﻘﻁﻌﺘﻴﻥ ‪ EF‬ﻭ ‪ AG‬ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﺘﺼﻑ ‪[ ] [ ].‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 20‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪f( x) = 2 ( x – 1 )2 :‬‬ ‫‪ – 1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪[ [. 1 , +‬‬ ‫ﻭﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] ]. −∞ , 1‬‬ ‫‪ – 2‬ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ – 3‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬‫)‪f(x‬‬ ‫‪0 123‬‬ ‫‪2‬‬‫ﺃﻨﺸﺊ ) ‪ ( C‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( ). o , ri , rj‬‬

‫• ﺍﻟـﺤـﻠــــﻭل‪:‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 1‬‬ ‫‪Df = [ - 2 , 3 ] ( 1 ( a‬‬ ‫‪ ( 2‬ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ﻫﻲ ‪. 3 ، 1 ، 0 ، - 2 :‬‬ ‫‪ ( 3‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ‪ - 2 , 0‬ﻭ ‪[ ] [ ]. 1, 3‬‬ ‫ﻭﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. 0 , 1 :‬‬ ‫‪ ( b‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪Oi‬‬‫‪X - 3 -1 0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 2‬‬‫‪f‬‬ ‫‪ -‬ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪:‬‬ ‫‪-1 -2‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫* ‪ 1‬ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﻜﺒﺭﻯ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. - 3 , 4‬‬ ‫* ‪ -2‬ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. - 3 , 4‬‬ ‫* ‪ 0‬ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﻜﺒﺭﻯ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. -1, 4‬‬ ‫* ‪ 1‬ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. - 3 , -1‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ‪ - 3 ,1 :‬ﻭ ‪[ ] [ ]. 0 , 4‬‬ ‫ﻭﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. -1, 0‬‬

‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 3‬‬ ‫‪ (4‬ﺥ‬ ‫‪ (3‬ﺹ‬ ‫‪ (2‬ﺥ‬ ‫‪ (1‬ﺥ‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 4‬‬ ‫‪(5‬ﺹ‬ ‫‪(4‬ﺹ‬ ‫‪(3‬ﺹ‬ ‫‪(2‬ﺥ‬ ‫‪(1‬ﺹ‬ ‫‪ ( 10‬ﺹ‬ ‫‪(9‬ﺥ‬ ‫‪(8‬ﺹ‬ ‫‪(7‬ﺹ‬ ‫‪(6‬ﺥ‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 5‬‬ ‫) ‪ ( C‬ﻟﻴﺱ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻷﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﻤﺜﻼ ﻴـﺭﺘﺒﻁ ﺒﻌﻨﺼﺭﻴﻥ ﻫﻤﺎ ‪. - 2 ، 2‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 6‬‬ ‫) ‪ ( C‬ﻫﻲ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻥ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻬﻤﺎ ‪f ( x ) = ax + b :‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ) ‪ M 2 ( 2 , 1 ) ; M 1 ( 0 , - 2‬ﺘﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ ) ‪. ( C‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ f ( 0 ) = - 2 :‬ﻭ ‪. f ( 2 ) = 1‬‬‫‪ b=-2‬‬ ‫‪a(0)+b=-2‬‬‫‪‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪:‬‬‫‪‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a×2+ b =1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪=-2‬‬ ‫)‪. f(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 7‬‬ ‫‪Df = R ( 1‬‬ ‫‪Df = R ( 2‬‬ ‫‪Df = R *( 3‬‬ ‫‪ ( 4‬ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪x 2 - 5 ≠ 0 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ x 2 ≠ 5 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪َ x ≠ 5 :‬ﻭ ‪x ≠ - 5‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪{ }Df = - - 5 , 5 :‬‬ ‫‪ ( 5‬ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪x -1 ≥ 0 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ x ≥ 1 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪[ [Df = 1, + ∞ :‬‬ ‫‪ ( 6‬ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x ≠ 0 :‬ﻭ ‪x + 2 ≥ 0‬‬‫ﺃﻱ ‪ x ≠ 0 :‬ﻭ ‪ x ≥ - 2‬ﻭﻤﻨﻪ ‪Df = [ - 2 , 0 [ U ] 0 , + ∞ [ :‬‬ ‫‪ ( 7‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x - 4 > 0 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪x > 4 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪Df = ] 4 , + ∞ [ :‬‬

‫‪ ( 8‬ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪x 2 - 8x + 16 ≠ 0 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ ( x - 4 )2 ≠ 0 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪x - 4 ≠ 0 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪Df = - { 4 } :‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪x ≠ 4 :‬‬ ‫‪ ( 9‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻷﻥ ‪ x 2 + 1 ≠ 0 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪Df = :‬‬ ‫‪ ( 10‬ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x 2 -16 ≥ 0 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬‫‪x -∞ - 4‬‬ ‫∞‪4 +‬‬‫‪x 2 - 16‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ـــ‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪Df = ] - ∞ , - 4 ]U [ 4 , + ∞ [ :‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 8‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﺯﻭﺠﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻔﺭﺩﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ( 1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪] [. D = −∞ , +∞ . f( x ) = - 7 x :‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪َ −x ∈ D : x ∈ D‬ﻭ ) ‪f( -x ) = - 7 ( -x ) = 7 x = - f( x‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻓﺭﺩﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ ( 2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪] [. D = −∞ , +∞ . g( x ) = 5 x + 3 :‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪َ −x ∈ D : x ∈ D‬ﻭ ‪g( -x ) = 5 ( -x ) + 3 = - 5 x + 3‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ g(−x) ≠ −g(x) :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ g‬ﻟﻴﺴﺕ ﻓﺭﺩﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ g(−x) ≠ g(x) :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ g‬ﻟﻴﺴﺕ ﺯﻭﺠﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ ( 3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪] [. D = −∞ , +∞ . h( x ) = x2 - 16 :‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪َ −x ∈ D : x ∈ D‬ﻭ ) ‪h( -x ) = (-x)2 -16 = x2 – 16 = h( x‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪h‬‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﺯﻭﺠﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ ( 4‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪] [. D = −∞ , +∞ . j( x ) = - x2 +3x :‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪َ −x ∈ D : x ∈ D‬ﻭ ‪j( -x ) = -(-x)2 +3x = -x2 +3x‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ j(−x) ≠ − j(x) :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ j‬ﻟﻴﺴﺕ ﻓﺭﺩﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ j(−x) ≠ j(x) :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ j‬ﻟﻴﺴﺕ ﺯﻭﺠﻴﺔ ‪.‬‬ ‫[∞‪D = ]-∞ , 0 [ U ]0 , +‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪L(x‬‬ ‫=‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪ ( 5‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫)‪L(−x‬‬ ‫=‬ ‫‪−5‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫=‬ ‫)‪−L(x‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪َ −x ∈ D : x ∈ D‬ﻭ‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ L :‬ﺩﺍﻟﺔ ﻓﺭﺩﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪D = ]−∞ , +∞ [ .‬‬ ‫)‪V(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ( 6‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪x2 +‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪َ −x ∈ D : x ∈ D‬ﻭ‬ ‫)‪V(−x‬‬ ‫=‬ ‫‪(−x)2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫)‪V(x‬‬ ‫‪(−x)2 +‬‬ ‫‪x2 +‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ V‬ﺩﺍﻟﺔ ﺯﻭﺠﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 9‬‬ ‫‪ ( 1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪] [. D = −∞ , +∞ . f( x ) = 3 x - 5 :‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪َ x1 ∈ D , x2 ∈ D :‬ﻭ ‪ x1 ≠ x2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪ϑ‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪f (x2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪3x1‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3x 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪3(x1 − x2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1 − x2‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ ϑ > 0 :‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ f :‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﹰﺎ ﻋﻠﻰ ‪. D‬‬ ‫‪ ( 2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪] [. D = −∞ , +∞ . g( x ) = 3 x2 :‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪َ x1 ∈ D , x2 ∈ D :‬ﻭ ‪ x1 ≠ x2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫=‬ ‫)‪g(x1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫) ‪g(x 2‬‬ ‫=‬ ‫‪3(x1)2‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3( x 2‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪3(x1‬‬ ‫‪− x2 )(x1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪3(x1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪x2‬‬ ‫‪x1 − x2‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪َ x1 ≥ 0‬ﻭ ‪ ϑ > 0 : x2 ≥ 0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ g‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪َ x1 ≤ 0‬ﻭ ‪ ϑ < 0 : x2 ≤ 0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ g‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ∞‪َ 0 , +‬ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪] ] [ [. -∞ , 0‬‬

‫[∞‪D = ]-∞ , 0 [ U ]0 , +‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ( 3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪َ x1 ∈ D , x2 ∈ D :‬ﻭ ‪ x1 ≠ x2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫) ‪h(x1) − h(x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2 − x1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪x1 − x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1 × x2‬‬ ‫‪x1 × x2‬‬ ‫=‪ϑ‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪x1 − x2‬‬ ‫=‬ ‫‪x1 − x2‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪َ x1 > 0‬ﻭ ‪ ϑ < 0 : x2 > 0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ h‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪َ x1 < 0‬ﻭ ‪ ϑ < 0 : x2 < 0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ h‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ‪] [ ] [. -∞ , 0 ; 0 , +∞ :‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 10‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f( x ) = - x2 + 4 x :‬‬ ‫‪ ( 1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪] [D = −∞ , +∞ * :‬‬ ‫ƒ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪َ x1 ∈ D , x2 ∈ D :‬ﻭ ‪ x1 ≠ x2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪f (x2‬‬ ‫=‬ ‫‪(−x12‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪4x1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(−x22‬‬ ‫‪+‬‬ ‫) ‪4x 2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2‬‬‫‪ϑ‬‬ ‫=‬ ‫‪−x12‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4x1 + x22‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4x2‬‬ ‫=‬ ‫‪−(x12‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x22 ) + 4(x1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪x2‬‬ ‫‪x1 − x2‬‬ ‫‪x1 − x2‬‬ ‫=‬ ‫‪(x1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪)[−(x1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫]‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪−(x1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x1 − x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ϑ = (−x1 + 2) + (−x2 + 2) :‬‬‫‪x2 ≤ 2‬‬ ‫‪ -‬ﻟﻤﺎ ‪ −x1 + 2 ≥ 0‬ﺃﻱ ‪َ x1 ≤ 2‬ﻭ ‪ −x2 + 2 ≥ 0‬ﺃﻱ‬‫‪x2 ≥ 2‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ ϑ ≥ 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] ]. -∞ , 2‬‬ ‫‪ -‬ﻟﻤﺎ ‪ −x1 + 2 ≤ 0‬ﺃﻱ ‪َ x1 ≥ 2‬ﻭ ‪ −x2 + 2 ≤ 0‬ﺃﻱ‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ ϑ ≤ 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪[ [. 2 , +‬‬

‫‪x -∞ 2‬‬ ‫‪ -‬ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬ ‫‪4‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪f(x‬‬ ‫‪ ( 2‬ﺇﻜﻤﺎل ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪:‬‬‫‪x -1 0 2 3‬‬ ‫‪4‬‬‫‪f(x) - 5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ( 3‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ) ‪: ( C‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪Oi‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 11‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ (1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪] [ ] [. D = -∞ , 0 U 0 , +∞ :‬‬ ‫‪ (2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ a‬ﺒﺤﻴﺙ ‪f (1) = −3 :‬‬‫‪.‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪−3‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪a = −3 :‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (3‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪:‬‬ ‫ƒ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪َ x1 ∈ D , x2 ∈ D :‬ﻭ ‪ x1 ≠ x2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫)‪f (x1‬‬ ‫)‪− f (x2‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪−3x2 + 3x1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪− x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1 × x2‬‬ ‫‪× x2‬‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪x1 − x2‬‬ ‫=‬ ‫‪x1 − x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪َ x1 > 0‬ﻭ ‪ ϑ > 0 : x2 > 0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪َ x1 < 0‬ﻭ ‪ ϑ > 0 : x2 < 0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ƒ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪:‬‬‫∞‪X -∞ 0 +‬‬‫)‪f(x‬‬ ‫‪f(1) = - 3‬‬ ‫;‬ ‫‪f(3) = - 1‬‬ ‫;‬ ‫= )‪f(6‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪ ( 4‬ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f(-1) = 3‬‬ ‫;‬ ‫= ) ‪f(- 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (5‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪Oi‬‬

‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 12‬‬ ‫‪ ( 1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪: a , b , c‬‬ ‫* ‪ f‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﺘﻌﻨﻲ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪َ −x ∈ D : x ∈ D‬ﻭ ) ‪f ( - x ) = f ( x‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪َ D = −∞ , +∞ :‬ﻭ ‪] [f(-x) = a(-x)2 + b(-x) + c‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ f(-x) = a x2 - b x + c :‬ﺇﺫﻥ ‪ f ( - x ) = f ( x ) :‬ﺘﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪ a x2 – b x + c = a x2 + b x + c‬ﺃﻱ ‪- b x = b x :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪f(x) = a x2 + c :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪b = 0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪2bx = 0 :‬‬ ‫* ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ f ( 1 ) = 2 :‬ﻓﺈﻥ ‪ a(1)2 + c = 2 :‬ﺃﻱ ‪(1) ... a + c = 2 :‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ f ( -2 ) = 5 :‬ﻓﺈﻥ ‪ (-2)2 + c = 5 :‬ﺃﻱ ‪(2) ... 4a + c = 5:‬‬ ‫ﻨﻁﺭﺡ )‪ (1‬ﻤﻥ )‪ (2‬ﻨﺠﺩ ‪ 3 a = 3 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪. a = 1 :‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ )‪ (1‬ﻨﺠﺩ ‪ 1 + c = 2 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪. c = 1 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪. f ( x ) = x2 + 1 :‬‬ ‫‪ ( 2‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪: f‬‬ ‫ƒ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪َ x1 ∈ D , x2 ∈ D :‬ﻭ ‪ x1 ≠ x2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪ϑ‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪f (x2‬‬ ‫=‬ ‫‪(x12‬‬ ‫)‪+ 1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(x22‬‬ ‫)‪+ 1‬‬ ‫=‬ ‫‪x12‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪(x1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2 )(x1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1 − x2‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪َ x1 ≥ 0‬ﻭ ‪ ϑ > 0 : x2 ≥ 0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪َ x1 ≤ 0‬ﻭ ‪ ϑ < 0 : x2 ≤ 0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ∞‪َ 0 , +‬ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪] ] [ [. -∞ , 0‬‬ ‫ƒ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪:‬‬‫∞‪x -∞ 0 +‬‬‫)‪f(x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x -2 -1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ƒ ﻗﻴﻡ ﻤﺴﺎﻋﺩﺓ ﻟﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ‪:‬‬‫‪F(x) 5 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫ƒ ﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪Oi‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 13‬‬ ‫‪ ( 1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬ ‫* ∞ ‪ Df = 0 , +‬ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪[ [. x ≥ 0‬‬ ‫* ﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﺃﻱ ﻋﺩﺩﻴﻥ ‪ x 1 , x 2‬ﺤﻴﺙ ‪x1 ≠ x 2 :‬‬‫=‪ϑ‬‬ ‫‪x1 - x 2‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫=‬ ‫) ‪f ( x1 ) - f ( x2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪x1 - x2‬‬ ‫‪x1 - x2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪( ) ( )ϑ = x1 - x2‬‬ ‫= ‪x1 + x2‬‬ ‫‪x1 - x2‬‬ ‫‪( ) ( )(x1 - x2) x1 + x2 (x1- x2 ) x1 + x2‬‬ ‫= ‪ ϑ‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ϑ > 0 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪x2 :‬‬ ‫‪x1 +‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪. D f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫* ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪:‬‬‫)‪f(x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ( 2‬ﺇﻜﻤﺎل ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪:‬‬ ‫‪x 04‬‬ ‫‪31‬‬‫‪f(x) 0 2‬‬ ‫‪31‬‬

‫‪ ( 3‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ) ‪: ( C‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪Oi‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 14‬‬ ‫* ‪Df = R‬‬ ‫‪ ( 1‬ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬ ‫* ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ‪ x 2 , x 1‬ﻤﻥ ‪ R‬ﺒﺤﻴﺙ ‪x1 ≠ x 2 :‬‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫=‬ ‫) ‪f ( x1 ) - f ( x2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪x1 - x2‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬‫‪ϑ‬‬ ‫=‬ ‫‪( ax1‬‬ ‫‪+ b ) - ( ax2‬‬ ‫)‪+ b‬‬ ‫=‬ ‫) ‪a ( x1 - x2‬‬ ‫‪=a‬‬ ‫‪x1 - x2‬‬ ‫‪x1 - x2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a > 0‬ﻓﺈﻥ ‪ ϑ > 0‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a < 0‬ﻓﺈﻥ ‪ ϑ < 0‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪a < 0 :‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪a > 0 :‬‬ ‫∞‪x -∞ +‬‬ ‫∞‪x -∞ +‬‬‫)‪f(x‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪ ( 2‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ) ‪ ( C‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪f ( x ) = - 2x + 1 : b = 1 ; a = - 2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ a < 0‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻴﻜﻭﻥ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫∞‪x -∞ +‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0 -1‬‬ ‫ﻗﻴﻡ ﻤﺴﺎﻋﺩﺓ ﻟﺭﺴﻡ ) ‪: ( C‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪13‬‬

‫ﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ) ‪: ( C‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪Oi‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 15‬‬ ‫* ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪f ( x ) = Cos x : f‬‬ ‫ﻤﻥ ﺨﻼل ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺃﻱ ﻋﺩﺩﻴﻥ ‪ x 2 , x 1‬ﻤﻥ ‪[ ]0 , π‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ x 1 < x 2 :‬ﻓﺈﻥ ‪f ( x 1 ) > f ( x 2 ) :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪[ ]0 π . 0 , π‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬‫)‪f(x‬‬ ‫‪ -‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ f‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪: R‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ R‬ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪x‬‬‫‪Cos x‬‬ ‫‪َ - x ∈ R‬ﻭ ‪. Cos ( - x ) = Cos x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪f ( - x ) = f ( x ) :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ f :‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫* ﻗﻴﻡ ﻤﺴﺎﻋﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫]‪. [0,π‬‬ ‫* ﺍﻹﻨﺸﺎﺀ ﻋﻠﻰ ‪[ ]. 0 , π‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻓﺈﻥ ) ‪ ( C‬ﻤﺘﻨﺎﻅﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ) ‪ ( C‬ﻋﻠﻰ ‪[ ]. - π , π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪j‬‬‫‪O i- - -‬‬ ‫‪123‬‬‫‪321‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪05‬‬

‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 16‬‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪ g‬ﺤﻴﺙ ‪g ( x ) = Sin x :‬‬ ‫ﻤﻥ ﺨﻼل ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪x1 < x2‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﻋﻨﺼﺭﺍﻥ‬ ‫‪x2 , x1‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‬ ‫‪g‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪Sin x 1 < Sin x 2‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x1 < x2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫‪‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x 2 , x 1‬ﻋﻨﺼﺭﺍﻥ ﻤﻥ‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪,π‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫‪g‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪Sin x 1 > Sin x 2‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻫﻭ ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬‫)‪f(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ -‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ g‬ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪: R‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ ‪R‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ‪َ - x ∈ R :‬ﻭ ‪. Sin ( - x ) = - Sin x‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ f ( - x ) = - f ( x ) :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ f‬ﻓﺭﺩﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫* ﻗﻴﻡ ﻤﺴﺎﻋﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]: 0 , π‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪π π 3π π‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪Sin x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻹﻨﺸﺎﺀ ﻋﻠﻰ ‪[ ]: 0 , π‬‬

‫) ‪ ( C‬ﻤﺘﻨﺎﻅﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ O‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ) ‪ ( C‬ﻋﻠﻰ ‪[ ]- π , π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪j‬‬‫‪O i-3 -2 -1‬‬ ‫‪123‬‬ ‫‪-0.5‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 17‬‬ ‫‪Df = R‬‬‫‪ f (x) = x , x ≥ 0‬‬‫‪ ( 1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f (x) = - x , x ≤ 0 :‬‬ ‫‪ ( 2‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ : x ≥ 0‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ : x ≤ 0‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬‫∞‪x −‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∞‪+‬‬‫‪f‬‬ ‫ﻗﻴﻡ ﻤﺴﺎﻋﺩﺓ ‪:‬‬ ‫‪0 12‬‬ ‫‪x - 2 -1‬‬ ‫‪0 12‬‬‫‪f(x) +2 1‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪Oi‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 18‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ) ‪( Γ‬‬ ‫* ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] ]( Γ ) : − ∞ , 0‬‬ ‫ﻓﺭﻉ ﻤﻥ ﻗﻁﻊ ﻤﻜﺎﻓﺊ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪f( x ) = a x2 :‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f (−3) = 9 ; f ( -2 ) = 4 ; f ( 0 ) = 0 :‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ a = 1 :‬ﺇﺫﻥ ‪f ( x ) = x2 :‬‬ ‫* ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ ( Γ ) : 0 , 3 :‬ﻫﻲ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ] [‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻬﺎ ‪َ f( x ) = ax + b :‬ﻭ ‪[ ]. x ∈ 0 , 3‬‬ ‫= ‪.a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫َﻭ‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪b = 0 :‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪َ f ( 0 ) = 0 :‬ﻭ ‪f ( 3 ) = 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫* ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞ ‪ ( Γ ) : 3 , +‬ﻫﻲ ﻨﺼﻑ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ[ [‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ f ( x ) = α x + β :‬ﻤﻊ ‪[ [x ∈ 3 , + ∞ :‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪َ f ( 3 ) = 1 :‬ﻭ ‪f ( 5 ) = - 2‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪َ 3α + β = 1 :‬ﻭ ‪ 5α + β = - 2‬ﻭﺒﺎﻟﻁﺭﺡ ﻨﺠﺩ ‪2α = - 3 :‬‬‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪β‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫‪-3‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫]‪, x ∈ ]-∞,0‬‬ ‫‪ f ( x ) = x2‬‬ ‫]‪, x ∈ [0,3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫[∞ ‪, x ∈ [3, +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Df = R‬‬ ‫؛‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 19‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ ( 1‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ) ‪( ): ∆ , ( D ) , ( C‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬‫)‪f(x‬‬ ‫* ﺠﺩﻭل ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺴﺎﻋﺩﺓ ﻹﻨﺸﺎﺀ ) ‪: ( C‬‬ ‫‪-2 -1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-1 -2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫* ﺠﺩﻭل ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺴﺎﻋﺩﺓ ﻹﻨﺸﺎﺀ ) ‪: ( D‬‬‫)‪g(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Dg = R‬‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫؛‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫* ﺠﺩﻭل ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺴﺎﻋﺩﺓ ﻹﻨﺸﺎﺀ ∆ ‪( ):‬‬ ‫‪x 02‬‬ ‫‪Dh = R‬‬ ‫؛‬ ‫‪h‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-1 1‬‬ ‫)‪4 ( C‬‬‫)‪h(x‬‬ ‫‪22‬‬ ‫)∆( ‪( D) 2‬‬ ‫‪- -j‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬