دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني جذع مشترك علوم و تكنولوجيا سنة اولى ثانوي

‫‪−π‬‬ ‫ﻟﻠﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ﻫﻭ‬ ‫‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫≤‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪1‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -‬ﻋﺩﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬‫‪x1 , x2‬‬ ‫ﻓﻴﻘﻁﻊ )‪ (c‬ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﻤﺎ) (‬‫‪y‬‬‫=‬‫‪1‬‬ ‫∆‬ ‫ﻨﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪:‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫=‬ ‫‪5π‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x1 ≅ 2 ,617‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪, x2 ≅ 0,523 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻫﻲ ‪{ }x1 , x2 :‬‬

‫ﺍﻷﺸﻌـﺔ – ﺍﻟﻤﻌﺎﻟـﻡ – ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴـﻡ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﺍﻷﺸﻌـﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫• ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫• ﺘـﻤـﺎﺭﻴـﻥ ﻭ ﻤﺸـﻜـﻼﺕ‬ ‫• ﺍﻟـﺤـﻠــــﻭل‬

‫• ﺍﻷﺸﻌـﺔ‪:‬‬ ‫‪ – 1‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ‪ :‬ﻴﺘﺴﺎﻭﻯ ﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻟﻬﻤﺎ ‪:‬‬ ‫ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻭ ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﻭ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﻭﻴﻠﺔ ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﺘﻭﺍﺯﻱ ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ‪ :‬ﻴﺘﻭﺍﺯﻯ ﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪.‬‬ ‫‪ – 3‬ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﻴﺔ ﺜﻼﺜﺔ ﻨﻘﻁ ‪ :‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ A , B , C‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪. AB // AC :‬‬ ‫‪ – 4‬ﺠﺩﺍﺀ ﺸﻌﺎﻉ ﺒﻌﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ u :‬ﺸﻌﺎﻉ ‪ k .‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪.‬‬ ‫ﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ u‬ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ‪ k‬ﻫﻭ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ k u‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻘﻕ ‪:‬‬ ‫* ‪ k u‬ﻭ ‪ u‬ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪k u = k . u .‬‬‫* ‪ k u‬ﻭ ‪ u‬ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻹﺘﺠﺎﻩ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ k > 0 :‬ﻭﻟﻬﻤﺎ ﺍﺘﺠﺎﻫﺎﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺎﻥ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻜﺎﻥ ‪. k < 0 :‬‬ ‫ﺧﻮاص ‪:‬‬ ‫* ﻴﺘﻭﺍﺯﻯ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ G‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪k‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪. G = k u :‬‬ ‫‪ k × u = 0‬ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪ k = 0‬ﺃﻭ ‪. u = 0‬‬‫‪( )* k + k' u = k u + k’ u ; * k ( u + G ) = k u + k G‬‬ ‫‪( )* k ( k’ u ) = k . k' u ; * 1 × u = u‬‬

‫• ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪:‬‬ ‫) ‪ ( o , i , j‬ﻤﻌﻠﻡ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ‪.‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬ ‫'‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫'‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫;‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫– ﻴﺘﻭﺍﺯﻯ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫'‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x y' - x' y = 0‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﺜﻼﺜﺔ ﻨﻘﻁ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺃﻋﻁﻴﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁ ) ‪A ( x1 , y1 ) ; B ( x2 , y2 ) ; C ( x3 , y3‬‬‫ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ A ; B ; C‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪AB // AC‬‬‫‪. AC‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪- x1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪; AB‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪- x1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪y3‬‬ ‫‪- y1‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪- y1‬‬ ‫ﻭﻨﻘﻭﻡ ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺸﺭﻁ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻱ ‪.‬‬

‫• ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ‪:‬‬‫)‪ (D‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ M , N‬ﺃﻭ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ N‬ﻭ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪V‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻨﻘﻁﺔ ) ‪ P(x , y‬ﻤﻥ)‪ (D‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ PN // MN :‬ﺃﻭ ‪PN // V‬‬ ‫ﻭ ﺤﺴﺏ ﺸﺭﻁ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻱ ﻨﺠﺩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪ a x + b y + c = 0‬ﺤﻴﺙ ‪(a, b) ≠ (0,0) :‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−b‬‬ ‫‪‬‬ ‫* ﺸﻌﺎﻉ ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪b ≠ 0 :‬‬ ‫=‪K‬‬ ‫‪−a‬‬ ‫* ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a = 0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪.‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ b = 0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ c = 0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪.‬‬‫* ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل ‪:‬‬‫ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ‬ ‫ﺸﻌﺎﻉ‬ ‫‪V‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ α‬ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ‬ ‫‪y=αx+β‬‬ ‫‪α‬‬ ‫ﺃﻭ ‪ x = α‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫* ﻴﺘﻭﺍﺯﻯ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ ‪.‬‬ ‫* ﻴﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺠﺩﺍﺀ ﻤﻌﺎﻤﻠﻲ ﺘﻭﺠﻴﻬﻬﻤﺎ ﻫﻭ – ‪. 1‬‬ ‫* ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ ﻫﻭ ﻤﻴل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪.‬‬

‫• ﺘـﻤـﺎﺭﻴـﻥ ﻭ ﻤﺸـﻜـﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 1‬‬ ‫‪ ADC‬ﻤﺜـﻠﺙ ‪.‬‬ ‫‪ – 1‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﺒﺤﻴﺙ ‪DB = DA + DC :‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻭﺍﺯﻱ ) ‪ ( AC‬ﻭﻴﺸﻤل ‪ B‬ﻴﻘﻁﻊ ) ‪ ( AD‬ﻓﻲ ‪ E‬ﻭ ) ‪( CD‬‬ ‫ﻓﻲ ‪. F‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ AC = BF :‬و ‪ AC = EB‬ﻭﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ B‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ] ‪. [ EF‬‬‫‪ – 3‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ O‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ‪ . ABCD‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ’‪ O‬ﻫﻲ ﻨﻅﻴﺭﺘﻬﺎ‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ . B‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪EO’ = OF :‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 2‬‬ ‫‪ ( 1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪. B , A , O‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪. OB – OA = AB :‬‬ ‫‪ A , B , C ( 2‬ﺜﻼﺜﺔ ﻨﻘﻁ ‪ I .‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ] ‪. [ BC‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪2 AI = AB + AC :‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 3‬‬‫‪ A , B , C‬ﺜﻼﺜﺔ ﻨﻘﻁ ﻟﻴﺴﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪ .‬ﻨﻀﻊ ‪ U = AB‬ﻭ ‪V = AC‬‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ E , F , G‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪* AF = U – V ; AE = U + V‬‬ ‫‪* AH = - U + V ; AG = - U - V‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 4‬‬ ‫‪ ABCD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪. O‬‬ ‫‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ] ‪ . [ AB‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻭﺍﺯﻱ ) ‪ ( AC‬ﻭﻴﺸﻤل ‪D‬‬ ‫ﻴﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻭﺍﺯﻱ ) ‪ ( BD‬ﻭﻴﺸﻤل ‪ C‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪. J‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ J , I , O‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪.‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ABC‬ﻤﺜﻠﺙ ‪ I .‬ﻭ ‪ J‬ﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ﺒﺤﻴﺙ ‪. AJ = 3 AC ; AI = 3 AB :‬‬ ‫‪ ( 1‬ﺃﻜﺘﺏ ‪ IC‬ﻭ ‪ BJ‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ AB‬ﻭ ‪. AC‬‬

‫‪ ( 2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ) ‪ ( IC‬ﻭ ) ‪ ( BJ‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ‪.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 6‬‬ ‫‪ ABCD‬ﺸﺒﻪ ﻤﻨﺤﺭﻑ ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻥ ﺃﻱ ‪. AB = DC :‬‬ ‫ـ ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M , N , P‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪AM = AB + AC ; AN = 2 AD + AC ; AP = AB – AD‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 7‬‬ ‫‪ A , B , C‬ﺜﻼﺙ ﻨﻘﻁ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻟﻴﺴﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪:‬‬ ‫‪ – 1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ V = NA – 2 NB + NC‬ﺜﺎﺒﺕ ‪.‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ N‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ O‬ﺤﻴﺙ ‪. AO = V :‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 8‬‬ ‫‪ ABCD‬ﻤﻌﻴﻥ ‪ M , N , O , P .‬ﻤﻨﺘﺼﻔﺎﺕ ﺍﻷﻀﻼﻉ ‪:‬‬ ‫] ‪ [ AB ] , [ BC ] , [ CD ] , [ DA‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫ـ ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ‪. MA + NO + PO + MP = AC + BD :‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 9‬‬‫‪ ABC‬ﻤﺜﻠﺙ ‪ (AA ') , (BB') , (CC') .‬ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻷﻀﻼﻉ ‪:‬‬ ‫] ‪ [ BC ] , [ AC ] , [ AB‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫‪ M‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻼﻗﻲ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪. ABC‬‬ ‫‪ – 1‬ﻤﺎﺫﺍ ﻨﺴﻤﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪. ABC‬‬ ‫‪ – 2‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ‪ M‬ﻤﺭﻜﺯ ﺜﻘل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ' ‪. A 'B'C‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 10‬‬ ‫ﺃﺫﻜﺭ ﺼﺤﺔ ﺃﻡ ﺨﻁﺄ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ ( 1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ABC‬ﻤﺜﻠﺙ ﻤﺘﻘﺎﻴﺱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ﻓﺈﻥ ‪AB = AC = BC :‬‬ ‫‪ ( 2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ABCD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ ﻓﺈﻥ ‪AB + AD = AC :‬‬ ‫‪ ( 3‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ] ‪ [ BC‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ABC‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪AB + AC = 2AI :‬‬ ‫‪ ( 4‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ABC‬ﻤﺜﻠﺙ ﻤﺘﻘﺎﻴﺱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻥ ] ‪ [ AB‬ﻭ ] ‪[ AC‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪AB = AC :‬‬

‫) ‪ ( O , ri , rj‬ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪.‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 11‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,3‬‬ ‫‪),B‬‬ ‫(‬ ‫‪-ri2Buu,,Du1rrj )),,‬‬ ‫) ‪C ( -3 , -2‬‬ ‫(‪, D‬‬ ‫) ‪2 , -3‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪B,C‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪, D‬‬ ‫– ﻋﻠﻡ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪(AuuOBur‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ﺍﻟ‪ur‬ﻤ‪A‬ﻌ‪u‬ﻠﻡ‪Cu‬‬ ‫‪ A ,‬ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺴﻠﻤﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺎﺕ‬ ‫– ﻋﻴﻥ‬ ‫‪s‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ﻟﻸﺸﻌﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ – 3‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻤﻨﺘﺼﻔﺎﺕ ﺍﻟﻘﻁﻊ ] ‪. [ BC ] ، [ AD ] ، [ AC‬‬ ‫‪.‬‬ ‫(‬ ‫‪O‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ri‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫)‬ ‫ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 12‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ‬‫ﺤﻴﺙ ‪ α‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪B α‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪-3 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ ) ‪C ( 3 , -2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪ – 1‬ﻋﻴﻥ ‪ α‬ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ‪ B‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ] ‪. [ AC‬‬ ‫‪2DuuAur‬‬ ‫‪.+Vur3Duu02Cur‬‬ ‫ﻟﻠﺸﻌﺎﻉ‬ ‫‪ AuuBur‬ﻤﻭﺍﺯﻴﺎ‬ ‫‪ α‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﻋﻴﻥ‬ ‫–‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺘﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻋﻴﻥ‬ ‫–‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 0r‬‬ ‫‪ D‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ Arj‬ﺜ‪5‬ﻼ‪+‬ﺙ‪ri‬ﻨﻘﻁ‪-3‬ﻤﻌﺭ=ﻓﺔ‪r‬ﻜ‪Au‬ﻤﺎ‪ u‬ﻴ‪Ou‬ﻠﻲ‪:‬ﺤﻴﺙ‬ ‫‪,‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪,‬‬ ‫(‪OuCuBu.r‬‬ ‫‪O,‬‬ ‫‪rrii‬‬ ‫‪, rj‬‬ ‫‪)rj‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 13‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪+6‬‬‫ﻋﺩﺩ‬ ‫‪m‬‬ ‫;‬ ‫ﺍﻟ‪rj‬ﻤ‪-‬ﺴﺘ‪i‬ﻭ‪r‬ﻱ ﻤ‪m‬ﻨﺴ=ﻭﺏ‪r‬ﺇ‪Cu‬ﻟ‪u‬ﻰ‪Ou‬ﻤﻌ;ﻠﻡ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ – 1‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪. A , B , C‬‬ ‫‪ – 2‬ﻋﻴﻥ ‪ m‬ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ A , B , C‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪.‬‬ ‫‪ – 3‬ﻨﻔﺭﺽ ‪ : m = 4‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺘﻲ ﻨﻘﻁﺔ ‪ D‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪ABCD‬‬ ‫ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ ‪.‬‬ ‫‪ – 4‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺘﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ' ‪ A‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ A‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪. O‬‬ ‫ﺜﻼﺙ ﻨﻘﻁ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪A,B,C‬‬ ‫ﻤﻌﻠﻡ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ‪.‬‬ ‫(‬ ‫‪O‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ri‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻴﻤﻜﺭﻥﻴﻥ)‪1rj4‬‬ ‫‪,‬‬ ‫) ‪A , ri , rj‬‬ ‫) ‪A ( -1 , 3 ) ; B ( 4 , 1 ) ; C ( 2 , -3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫(‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫‪ A‬ﻓﻲ‬ ‫‪,,BAuu, BCur‬‬ ‫ﺒﻴﻋﻴﻥﻥﺃﺇﻥﺤﺩﺍ)ﺜﻴﺎ‪r‬ﺕ‪ Cu‬ﺍ‪u‬ﻟﻨ‪Au‬ﻘﻁ‪,‬‬ ‫–‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻌﻠﻤﺎ‬ ‫–‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(A‬‬

‫‪.‬‬ ‫(‬ ‫‪A‬‬ ‫‪.‬‬ ‫––ﻋﻋﻟﻟﻴﻴﺘﺘﻜﻜﻥﻥﻥﻥﺇﺇﺤﺤﺩﺩ‪N‬ﺍﺍ‪M‬ﺜﺜﻨﻴﻴﻨﻘﺎﺎﻘ ﺍﻁﻁﺕﻟﺔﻨﺔﻘﺍﺍﻟﺍﻨﻁﻘﺤﺤﺔﺩﺩﺍﻁﺍﺜﺔﺜﻴﻴ‪N‬ﺎﺎﻫﻓﻫﺎﺎ‪M‬ﻲ)ﻓ)ﺍﻟﻲ‪3‬ﻤ‪-3‬ﺍﻌﻟ‪,‬ﻠ‪,‬ﻤﻡ‪2‬ﻌ‪7‬ﻠ‪-‬ﻡ)((ﻓ‪j‬ﻓ)‪r‬ﻲﻲ‪,‬ﺍ‪r‬ﻟﺍ‪u‬ﻟ‪C‬ﻤ‪ri‬ﻤ‪u‬ﻌﻠﻌﻠ‪Au,‬ﻡﻡ ‪.(Au(uOBurA,,,riAuAu,.uuCur(rBujrO)),‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪uUruUr,‬‬ ‫‪Vur‬‬ ‫‪rrij ,‬‬ ‫) ‪rj‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 15‬‬ ‫‪=-‬‬ ‫;‬ ‫ﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫(‪ri‬‬ ‫‪O,‬‬ ‫ﻤﻌ‪r‬ﻠ‪u‬ﻡ‪V‬‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻤ‪-‬ﻨﺴ‪ri‬ﻭﺏ‪4‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭ‪rj‬ﻱ‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪ – 1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ) ‪ ( O , uUr , Vur‬ﻤﻌﻠﻤﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ‪.‬‬‫ﻭ ﺍﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻫﺎ‬ ‫(‬ ‫‪O‬‬ ‫‪, ri ,‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ) ‪rj‬‬ ‫( ﻓﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪y‬‬ ‫ﺇ‪,‬ﺤﺩﺍﺜ‪r‬ﻴﺎ‪uU‬ﻫﺎ‪,‬‬ ‫ﺍﻓﻟﻤﻲﻌﻠﺍﻡﻟﻤﺴ)ﺘﻭ‪r‬ﻱ‪Vu‬‬ ‫‪ N‬ﻨﻘﻁﺔ‬ ‫–‬ ‫‪2‬‬ ‫'‪x ', y‬‬ ‫ﺃﻜﺘﺏ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,y‬‬ ‫ﺒﺩﻻﻟﺔ‬ ‫(‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ (x‬ﻓﻲ‬ ‫‪',‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)'‬ ‫‪ – 3‬ﻫل ﺘﻭﺠﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻤﻴﻥ ‪.‬‬ ‫ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪O‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ri‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫)‬ ‫ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 16‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ‬ ‫) ‪A ( -1 , 3 ) ; B ( 4 , - 5 ) ; C ( 0 , - 2 ) ; D ( 1 , - 5‬‬ ‫‪ 1‬ـ ﺍﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ) ‪.( CD ) ، ( AB‬‬ ‫‪ 2‬ـ ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ) ‪َ ( A B‬ﻭ ) ‪.( C D‬‬ ‫ﻴﻌﻁﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ‪:‬‬ ‫) ‪( O , ri , rj‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 17‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬‫‪(∆): m x + ( m -1) y - 2 = 0‬‬‫‪(D) : (m +1) x + ( 7m - 5 ) y + 3 = 0‬‬ ‫‪ 1‬ـ ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ m‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ) ∆ ( ﻭ ) ‪ ( D‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ‪.‬‬ ‫‪ 2‬ـ ﻨﺎﻗﺵ ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ m‬ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ) ∆ ( ﻭ ) ‪. ( D‬‬ ‫ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻨﻘـﻁ ‪:‬‬ ‫) ‪( O , ri , rj‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 18‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫)‪A(2,-3‬‬ ‫;‬ ‫‪B‬‬ ‫(‬ ‫‪-1,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫;‬ ‫)‪C(m,2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 1‬ـ ﺍﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪. ( AC‬‬ ‫‪ 2‬ـ ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﺒﺤﻴﺙ ‪. B ∈ (AC) :‬‬‫‪ 3‬ـ ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ) ‪ ( AC‬ﻤﻭﺍﺯﻴﺎ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫‪ 4‬ـ ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ) ‪ ( AC‬ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﺇﻟﻰ ‪. 1‬‬‫‪ 5‬ـ ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )∆( ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ]‪[AB‬‬ ‫ﻭﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪. V −52‬‬‫‪ -6‬ﻨﺎﻗﺵ ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ) ∆ ( َﻭ ) ‪. ( AC‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ) ‪ (Dm‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ ‫(‬ ‫‪O‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ri‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫)‬ ‫ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 19‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ‬ ‫)‪ N(x, y‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫‪(m2 + 2m − 3) x + ( m2 + 5 m + 6 ) y + m - 4 = 0‬‬ ‫ﻤﻊ ‪ m‬ﻭﺴﻴﻁ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.‬‬ ‫‪ 1‬ـ ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ) ‪ (Dm‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ‪.‬‬ ‫‪ 2‬ـ ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﺒﺤﻴﺙ ) ‪ (Dm‬ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪.‬‬ ‫‪ 3‬ـ ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﺒﺤﻴﺙ ) ‪ (Dm‬ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪.‬‬‫‪ 4‬ـ ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﺒﺤﻴﺙ ) ‪ (Dm‬ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ∆ ( ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪. y = x + 4 :‬‬ ‫‪ 5‬ـ ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﺒﺤﻴﺙ ) ‪ (Dm‬ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪. O‬‬ ‫‪ 6‬ـ ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﺒﺤﻴﺙ ) ‪ (Dm‬ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) ‪. I ( 1 , 1‬‬

‫• ﺍﻟـﺤـﻠــــﻭل‪:‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪O' : 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ‪: B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ ACFB‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ﻷﻥ ‪:‬‬‫‪D‬‬ ‫‪F‬‬ ‫) ‪ ( BF ) // ( AC‬ﻭ ) ‪( AB ) // ( CF‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ AC = BF :‬ﻭﻜﺫﻟﻙ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ‬ ‫‪ ACBE‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫) ‪ ( CB ) // ( AE‬ﻭ ) ‪ ( AC ) // ( BE‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪C AC = EB :‬‬ ‫ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ ‪ BF = EB :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ B :‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ] ‪. [ EF‬‬ ‫‪ (3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ) BO = BO’ :‬ﻷﻥ ’‪ O‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ O‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪( B‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪. BF = BE :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻗﻁﺭﺍ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ OFO’E‬ﻤﺘﻨﺎﺼﻔﺎﻥ ﻓﻬﻭ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ‪.‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪. EO’ = OF :‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 2‬‬ ‫* ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪: OB – OA = AB :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪. OB – OA = OA + AB – OA = AB :‬‬ ‫* ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪: 2AI = AB + AC :‬‬ ‫‪AB + AC = AI + IB + AI + IC‬‬ ‫‪= 2AI + IB + IC‬‬ ‫‪= 2AI‬‬ ‫) ‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ] ‪( [ BC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 3‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ -‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ‪: E , F , G‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪* AE = U + V = AB + AC‬‬ ‫‪* AF = U – V = AB – AC‬‬ ‫‪L‬‬‫‪G‬‬ ‫) ‪= AB + ( - AC‬‬ ‫‪= AB + AL‬‬ ‫‪* AG = - U – V = - ( U + V ) = - AE‬‬ ‫‪* AH = - U + V = - ( U – V ) = - AF‬‬

‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪J : 4‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪ O , I , J :‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪C :‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ABC‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪AI‬‬ ‫‪ O‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ] ‪ [ AC‬ﻭ ‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ] ‪. [ AB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪(1)...‬‬ ‫= ‪OI‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 BC‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ OI = 2 CB :‬ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫* ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ OCJD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪OJ = OC + OD :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ OJ = OC + BO :‬ﺃﻱ ‪OJ = BO + OC :‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫ﺃﻱ ‪( 2 ) . . . OJ = BC :‬‬ ‫‪OI = 2 OJ‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪ (2‬ﻴﻨﺘﺞ ‪:‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ OI // OJ‬ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ O , I , J‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪.‬‬‫‪* IC = IA + AC‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 5‬‬ ‫‪ ( 1‬ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ BJ ; IC‬ﺒ‪J‬ﺩﻻﻟﺔ ‪ AB‬ﻭ ‪: AC‬‬ ‫‪.‬‬ ‫= ‪IC‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AB + AC‬‬ ‫‪3‬‬‫‪* BJ = BA + AJ‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪. BJ = - AB + 3AC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ ( 2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺃﻥ ) ‪ ( IC‬ﻭ ) ‪ ( BJ‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪ BJ = - AB + 3AC‬ﻭ ‪IC = 3 AB + AC‬‬ ‫‪1 - AB + 3AC‬‬ ‫= ‪ IC‬ﺃﻱ ‪IC = 3 BJ :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪. ( IC ) // ( BJ ) :‬‬

: 6 ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ ﺤﻴﺙ‬M , N , P ‫ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ AM = AB + AC ; AN = 2 AD + AC ; AP = AB – AD DA N C BP M : 7 ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ‬ 2:(‫ﺕ‬uN‫ﺒ‬u‫ﺜﺎ‬uA‫ﻉ‬r‫ﺸﻌﺎ‬+ AuVuruBur= )uNu+AuruNu-uA2r +uNuBuAuruCu+r uNuuCr Vur = uNuNuuAuAurr - 2 uNuAur - 2 AuuBur +Vu.ruNuAuAu=ruOu+r- =2AuuVuCAuurruBur:+‫ﻴﺙ‬Au‫ﺤ‬uCuOr : ‫ ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ‬- 1 = A - : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ . ‫ﻭ ﻫﻭ ﺸﻌﺎﻉ ﺜﺎﺒﺕ‬B : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫ ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬- 2C O s MuuuNur + uNuOur + PuuOur + MuuuPr = AuuCur + BuuDur : 8 ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ‬ MuuuNur + uNuOur + PuuOur + MuuuPr = MuuuNur + PuuOur + uNuOur + :Muu‫ﻴﻨﺎ‬uP‫ﺩ‬r‫ﻟ‬= MuuuBur + BuuNur + PuuDur + DuuOur + uNuuCr + CuuOur + uMuuAur + AuuPur= 1 ( AuuBur + BuuCur + AuuDur + DuuCur + uBuCur + CuuDur +ABuuAur + uAuDur ) 2 1 AuuCur AuuCur BuuDur BuuDur= 2 ( + + + ) P M DB ON C

= 1 ( 2AuuCur + 2BuuDur ) = AuuCur + BuuDur 2 : 9 ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ‬. ABC ‫ ﻭ ﺘﺴﻤﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﺜﻘل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬ABC ‫ ﻤﻠﺘﻘﻰ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬M ‫ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬- 1 A '0rB ' C ' MuuuAur' + MuuuBur' : ‫ﻥ‬Mu‫ ﺃ‬u‫ﻥ‬u‫ﻴ‬C‫ﺒ‬u‫ﻨ‬r' = ‫ ﻤﺭﻜﺯ ﺜﻘل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬M ‫ ﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ‬- 2 +MuuuAur' + MuuuBur' + MuuuCur' = MuuuAur + AuuAuur' + MuuuBur + BuuBuur' + MuuuCur + Cu:uCu‫ﻨﺎ‬u‫ﻴ‬r‫ﻟ'ﺩ‬ ==MuAuuuuABu=urr=0+r+Au+BuuMuAuuuAuuAuurBuuu'rrA'u+u++r'Bu+MBuuuBuuuCuuurBurCu'ruB++u+ur'CuCuAu+uuuBuCuAuururCuu'r'u'+Cu+ur'CuBuuAuurBuur+' +AuuCuCuuurCu'ur' AuuBur 1 BuuCur BuuCur + 1 CuuAur CuuAur 1 AuuBur = + 2 + 2 + + 2 = 3 ( AuuBur + BuuCur + CuuAur ) 2 3 AuuAur = 3 0r 0r = 2 2 × = . A 'B'C ' ‫ﻤﺭﻜﺯ ﺜﻘل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬sM ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ : 10 ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ‬ . ‫ ( ﺨﻁﺄ‬4 . ‫ ( ﺼﺤﻴﺢ‬3 . ‫ ( ﺼﺤﻴﺢ‬2 . ‫ ( ﺨﻁﺄ‬1

A : 11 ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ‬ B : A , B , C , D ‫ ﺘﻌﻠﻴﻡ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬- 1 j : ‫ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﺴﻠﻤﻴﺔ‬- 2 Oi AuuBur  xB − xA  : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬CD  yB − yA   AuuBur  −3  : ‫ﺃﻱ‬ AuuBur  −2 −1 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬  −2      1−3 BuuDur  4  : ‫ﺃﻱ‬ BuuDur  2+2  : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ BuuDur  xD − xB  : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬  −4   −3 −1  yD − yB      CuuAur  4  : ‫ﺃﻱ‬ CuuAur  1 + 3  : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ CuuAur  xA − xC  : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬  5   3 + 2   yA − yC        : ‫ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻨﺘﺼﻔﺎﺕ‬- 3 .‫ [ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬AC ] , [ AD ] , [ BC ] ‫ ﻤﻨﺘﺼﻔﺎﺕ ﺍﻟﻘﻁﻊ‬P1 , P2 , P3 ‫ﻟﺘﻜﻥ‬  x = xA + xC = 1 − 3 = −1  2 2 P1  -1 , 1 P1  2 . : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬  yA + yC 3−2 1 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 2 2 2  y P1 = = =   x = xA + xD = 1 + 2 = 3  2 2 2 P2  3 , 0  P2  2 . : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬  yA + yD 3−3 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 2 2  y P2 = = =0 

 x P3 = xB + xC = −2 − 3 = −5  2 2 2. P3  -5 , -1  : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬  : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬  2 2   yB + yC 1 − 2 −1  yP3 = 2 = 2 = 2 : 12 ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : [ AC ] ‫ ﻤﻨﺘﺼﻑ‬B ‫ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻥ‬α ‫ ﺘﻌﻴﻴﻥ‬- 1 α= -2 α = -5 + 3  x B = xA + xC 2 2 2  : ‫وﻣﻨﻪ‬  : ‫أي أن‬  : ‫ﺃﻱ‬  -3 − 3  -3 1 -2 yA + yC  4 = 2  4 = 2 2  yB = 2  2 . α = −1 : ‫ﺇﺫﻥ‬ Auuα-B4u3r=/=/-Vu1r-43 : ‫ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫ﻭ‬ ‫ ﺒﺤﻴﺙ‬α ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ‬ : - 2 AuuBur  α + 5  : ‫ﺃﻱ‬ AuuBur  α +5 : ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭ‬ AuuBur  xB − xA  : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬     yB − yA   −5  −3 − 1   4 4 2  (α + 5) × 2 − 0 ×  −5  = 0 : ‫ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺸﺭﻁ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻱ ﻨﺠﺩ‬  4  . α = −5 : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ α+ 5Ou2u=DuDur20uOuAu)ruAu:++r‫ﻱ‬33-‫( ﺃ‬Du5uOu2OuCuruu×DuCurr=(-α+0rOuu3+DuOur:5u‫ﺙ‬C)u)r‫=ﺒ==ﺤﻴ‬D00r0r‫ﻴﻥ‬::‫ﻌﻴ‬:‫ﻤﻤﻱﻨﻨﺘﻪﻪ‬-‫ﺃﻭﻭ‬ OuuAur - 2( 3 OuuDur = 2 OuuAur + 3 OuuCur : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ 5 5

‫‪2‬‬ ‫‪OuuAur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪OuuAur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪OuuCur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪OuuCur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ ﻜﺫﻟﻙ ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬‫‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪, -1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪OuuDur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪OuuDur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 13‬‬ ‫‪ - 1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ‪: A , B , C‬‬ ‫)‪A(-3,5) ; B(4,6) ; C(m,-1‬‬ ‫‪AuuBur‬‬ ‫ﺍﺃﺴﻥﺘﻘﺎ‪:‬ﻤﺔ‪r‬ﻭ‪Cu‬ﺍ‪u‬ﺤﺩ‪Au‬ﺓ‪/./‬‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫‪A,B,‬‬ ‫‪ m‬ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ‪C‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺘﻌﻨﻲ‬ ‫ﻭﺍﺤﺩﺓ‬ ‫‪ A ,‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ‬ ‫‪B,C‬‬ ‫‪AuuBur 17‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪AuuCur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m + 3‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺸﺭﻁ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻱ ﻨﺠﺩ ‪7 ( - 6 ) – 1 ( m + 3 ) = 0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ - m - 45 = 0 :‬ﺇﺫﻥ ‪. m = - 45 :‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺃﻀﻼﻉ‬ ‫ﻤ‪r‬ﺘ‪Bu‬ﻭﺍ‪u‬ﺯ‪Au‬ﻱ‬ ‫ﺃ‪D‬ﻀﻼﺒﻉﺤﻴ ﺃﺙﻱﻴﻜ‪:‬ﻭﻥ ‪A=BDuCuDCur‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺘﻲ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ABCD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ‬ ‫‪DuuCur ‬‬ ‫‪4-‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪C ( 4 , -1 ) :‬‬ ‫)‪D(x,y‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-1-‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4-x=7‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫ﺘﻌﻨﻲ‬ ‫‪AuuBur‬‬ ‫=‬ ‫‪DuuCur‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪AuuBur‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪- 1 - y = 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ x = - 3 , y = - 2 :‬ﺇﺫﻥ ‪. D ( - 3 , - 2 ) :‬‬ ‫‪ - 4‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺘﻲ ' ‪ A‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ A‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪: O‬‬ ‫' ‪ A‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ A‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ O‬ﺃﻱ ‪ O :‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ] ' ‪. [ AA‬‬

‫‪0 = -3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫'‪x A‬‬ ‫‪xO‬‬ ‫=‬ ‫‪xA‬‬ ‫‪+‬‬ ‫'‪xA‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫'‪+ yA‬‬ ‫‪yA‬‬ ‫‪+‬‬ ‫'‪yA‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yO‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪. A ' ( 3 , -5 ) :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪xA‬‬ ‫‪' =3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪‬‬ ‫'‪yA‬‬ ‫‪= −5‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 14‬‬ ‫‪:riA,‬‬ ‫‪,rjB),‬‬ ‫ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪C‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ A ( 0 ,‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫* )‪0‬‬‫‪.‬‬ ‫‪ A‬ﻫﻲ ﻤﺒﺩﺃ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻷﻥ‬ ‫‪(A‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪s‬‬‫‪AuuBur = 5ri - 2rj‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪AuuBur ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪AuuBur 14‬‬ ‫‪+ 1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫*‬ ‫‪‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ) ‪. (A , ri , rj‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪B ( 5 , -2 ) :‬‬‫‪AuuCur = 3ri - 6rj‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪AuuCur ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪AuuCur ‬‬ ‫‪2+1 ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫*‬ ‫‪‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-3 - 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫) ‪(A , ri , rj‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫))‪uBurC,(Au3u,Cur-6‬ﻓ‪Au‬ﻲ‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪ - 2‬ﺘﺒﻴﻴﻥ ﺃﻥ‬ ‫ﻤﻌﻠﻤﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ‪:‬‬ ‫‪(A ,‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪. AuuBur ≠ 0r ; AuuCur ≠ 0r :‬‬ ‫‪AuuCur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫َﻭ‬ ‫‪AuuBur ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬ﻨ)‪,‬ﻻﺠ‪M‬ﻴﺩ‪ruBurr‬ﻭ‪:uC‬ﺍ‪B‬ﻓ‪uu‬ﺯ‪Auu‬ﻲ‪AuA4u‬ﻱ(ﺍ‪2‬ﻟ‪,‬ﻤﻏ‪-‬ﻟ‪r‬ﻌﻴﻠﻠ‪rCu‬ﺭﻡ‪u‬ﻤ‪uu=B‬ﺴﻤ‪Au‬ﺘ‪Au)6‬ﻌﻭﺩ‪+‬ﻭ‪,‬ﻱ‪r‬ﻤ‪Cu‬ﻴ‪u0.‬ﻥ‪AuA3‬ﻭ(‪,-‬ﻏﻤ=ﻴﻌ‪r‬ﻠﺭ‪3Bu‬ﻤ‪u‬ﺎﻤﺘ‪Au‬ﻟ×ﻠﻭ)ﺍﻤ‪2,‬ﺯﺴﻴﺘ‪-‬ﻴ(ﻭﻥ‪A‬ﻱ–ﻓ(ﻬ‪).‬ﻤ‪:‬ﺎ‪ 6‬ﻴ‪(-‬ﺸ×ﻜﻼ‪5‬ﻥ‬ ‫ﺍﻟﺘ‪rr‬ﻭ‪BurCu‬ﺍ‪uuCu‬ﺯ‪AuAuu‬ﻱ‪Au‬‬ ‫ﻤﻥ ﺸﺭﻁ‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ‬ ‫ﺃﺴﺎﺴﺎ )‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﺜﻼﺜﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺘﻲ‬ ‫‪3‬‬

(2) . . .OuuOuMuuuMruur==(-1()ri-(1.+A.+3.,rOujOu5AuuOuu+MxuuuMuuBurMururx+ur-(,=3=O5uAuyuruOiuAu-ACuuuur)2r-AMuurrirui2r)=+r++j=x‫)ﻡ‬3‫(ﻠ‬x‫ﻌ‬xr.‫ﻤ‬j3+‫ﺍﻟ‬.Au.‫ﻲ‬u:-AuyAu‫ﻓ‬Buu‫ﻥ‬r2uBu(‫ﺈ‬MBru‫ﻓ‬r+x3(M+ri+xy-(-y,6y-.y62.Au).yrj,uAuAu3Cu))ur:uCu)Crru‫ﻥ‬jr‫ﺃ‬::‫ﺽ‬:‫ﻥ‬:‫ﻪ‬::‫ﺃﺃﺃﺒﻨﻭﻭﻔﻤﻤﻱﻱﺎﺭﻨﻤﻱﻨﺃﻪ‬5x + 3y + 1 = 0 -1 + 5x + 3y = -2 : ‫( ﻨﺠﺩ‬2) ‫( ﻭ‬1) ‫ﻤﻥ‬ : ‫ﺃﻱ‬  - 2x - 6y = 0  3 - 2x - 6y = 3 5x + 3y + 1 = 0 5 ( -3y ) + 3 y + 1 = 0 : ‫ ﻭ ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻨﺠﺩ‬ : ‫ﺃﻱ‬  x = - 3y x = −1 : ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ y = 1 : ‫ﺇﺫﻥ‬ - 12 y = - 1 : ‫ﺃﻱ‬ 4 12  -1 , 1 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻟﻠﺠﻤﻠﺔ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ﻫﻭ‬  4 12  . (A , riAuu+Bur.3(,O(rjAuAu+,CurOrui,Ou7:uu),AuNu(Nur(urrj5O‫ﻡ‬Bur‫ﻠ‬-‫ﻤ=)ﻌ‬ri‫ﻟ‬,Ou,‫ﻡﺍ‬-‫ﻠ‬uOu‫ﻲ‬rA‫ﻌ‬uiAuAuu‫ﻓﻤ‬2uur‫ﻟ‬A,uC‫ﺍ‬uONuurr=r‫ﻲ‬rrujjMN‫ﻓ‬u+)7)r)=+‫ﻡ‬7‫ﻡ‬N=Au7‫ﻌﻌﻠﻠ‬-3u‫ﻤ‬4‫(ﻤ‬A1uBu4‫ﻟﻟ‬Au(r‫ﺍﺍ‬4uu3‫ﻲﻲ‬B3u3,Bru+‫ﻓ‬r‫ﻓ‬,rirNi-+13+N-12-2‫ﻲ‬9(32Au3‫ﺘ‬67‫ﻴ‬)u9‫ﺍﺜ‬AuC,u‫ﺩ‬rAur‫ﺤ‬ju3ru::jC‫ﺇ‬u)Cru)‫ﻥﻲﻲ‬r:‫ﻟﻟﻴ‬:‫ﺎﺎﻴ‬:‫ﻪ‬:‫ﻌﺘﺘ‬::‫ﻴﻤﻱﻱﺒﺒﻨﻥﻨﻤﺎﺎﺎﺘﻨﻟﻟﻪ‬-‫ﺃﺃﻟﺇﻭﻭﻭﻭﺫﺩ‬ 4 s OuuNur = - s

‫‪:‬‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫‪ (O‬ﻤﻌﻠﻤﺎ‬ ‫‪,‬‬ ‫‪Uur‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪Vur‬‬ ‫)‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 15‬‬ ‫‪ - 1‬ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ‬ ‫‪uUr ≠ 0r ; Vur ≠ 0r‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪Uur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪‬‬ ‫;‬ ‫‪Vur ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫ﻤﻥ ﺸﺭﻁ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻱ ﻨﺠﺩ ‪(-2)(-1) – 3 (4) = 2 – 12 = - 10 :‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫ﺃﺴﺎﺴﺎ‬ ‫(‬ ‫‪Uur‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪Vur‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪) :‬‬ ‫‪Vur‬‬ ‫)ﻻ‪r‬ﻴ‪Vu‬ﻭﺍ ‪,‬ﺯﻱ‪Uur‬‬ ‫‪Uur‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪.‬‬ ‫ﻤﻌﻠﻤﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫‪(O‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪OuOuuNuurNur==xx' 'uU(r-2+‬‬ ‫'‪riy‬‬ ‫‪Vur‬‬ ‫‪َrj‬ﻭ‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪4xOuriu,Nuyr-‬‬ ‫‪ri‬ﺒﺩ‪x‬ﻻﻟﺔ=‬ ‫'‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫'‪yrj‬‬ ‫‪ - 2‬ﻜﺘﺎﺒﺔ‬ ‫‪+3‬‬ ‫) ‪rj‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪...‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫)‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫( '‪y‬‬ ‫‪(2) . . . OuuNur = ( -2 x' + 4 y' ) ri + ( 3 x' - y' ) rj‬‬‫'‪x = - 2 x' + 4 y' x = - 2 x' + 4 y‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪ (2‬ﻨﺠﺩ ‪:‬‬‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﺃﻱ ‪:‬‬‫‪‬‬ ‫‪y' = 3 x' - y‬‬ ‫‪‬‬ ‫'‪y = 3 x' - y‬‬‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻨﺠﺩ ‪ x = - 2 x' + 4 ( 3 x' - y ) :‬ﺃﻱ ‪x + 4 y = 10 x' :‬‬‫‪.‬‬ ‫= '‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫= '‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ - 3‬ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﻭﺠﻭﺩ ﻨﻘﻁ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻤﻴﻥ ‪:‬‬ ‫= ‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫'‪x = x‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫'‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9x-4y=0‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪x-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‪-3 x + 8 y = 0‬‬ ‫‪ 10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‪10 5‬‬

‫ﺒﻀﺭﺏ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻓﻲ ‪ 3‬ﻭ ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻁﺭﻓﺎ ﻟﻁﺭﻑ ﻨﺠﺩ ‪20 y = 0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪( x , y ) = ( 0 , 0 ) :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻭﺤﻴﺩﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻤﻴﻥ ﻫﻲ ‪. O ( 0 , 0 ) :‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 16‬‬ ‫‪ 1‬ـ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪: ( AB‬‬ ‫)‪ N(x , y‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( AB‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ‪AN // AB :‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪AB -58 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪AN‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+- 31‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪:‬‬ ‫‪y-3‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ - 8 ( x + 1 ) - 5 ( y - 3 ) = 0 :‬ﺃﻱ ‪- 8 x - 5 y + 7 = 0 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( AB‬ﻫﻲ ‪. 8 x + 5 y - 7 = 0 :‬‬ ‫ـ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪: ( CD‬‬ ‫)‪ N(x , y‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( CD‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ‪. CN // CD :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪CD -13‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪CN‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪:‬‬ ‫‪y+2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ - 3 x - 1 ( y + 2 ) = 0 :‬ﺃﻱ ‪- 3 x - y - 2 = 0 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( CD‬ﻫﻲ ‪. 3 x + y + 2 = 0 :‬‬ ‫‪ 2‬ـ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ) ‪: ( CD ) , ( AB‬‬‫‪d‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪8 - 15‬‬ ‫=‬ ‫‪-7‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪8 x + 5 y - 7 = 0‬‬ ‫ﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 x + y + 2 = 0‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻟﻠﺠﻤﻠﺔ ﺤل ﻭ ﺤﻴﺩ )‪ (x , y‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪5 -7‬‬ ‫‪-7 8‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪17‬‬ ‫=‪; y‬‬ ‫‪23‬‬ ‫=‬ ‫‪−37‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪−7‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪−7‬‬

‫‪I‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪(AB) ∩ (CD) = { I } :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 17‬‬ ‫‪ 1‬ـ ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ m‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ) ∆ ( َﻭ ) ‪ ( D‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﺸﺭﻁ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻱ ﻨﺠﺩ ‪m(7m - 5 ) - (m - 1)(m + 1) = 0 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ 7m2 - 5m - m2 + 1 = 0 :‬ﺃﻱ ‪6 m2 - 5 m + 1 = 0 :‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ∆ = (-5)2 - 4 × 6 ×1 = 1 :‬ﻭﻤﻨﻪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﻠﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﻴﻥ ‪m1 , m2‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫=‬ ‫‪5 -1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫=‬ ‫‪5+1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪2×6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2×6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬ـ ﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ) ∆ ( َﻭ ) ‪: ( D‬‬ ‫‪ m x + ( m -1) y - 2 = 0‬‬ ‫ﺃﻱ ﻨﻨﺎﻗﺵ ﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪( m + 1 ) x + ( 7 m - 5 ) y + 3 = 0 :‬‬‫=‪d‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m-1‬‬ ‫)‪= m(7m-5) - (m + 1)(m-1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪m +1‬‬ ‫‪7m-5‬‬‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻋﻨﺩ‬ ‫‪ d‬ﻭﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ ﻴﻨﻌﺩﻡ‬ ‫=‬ ‫‪6 m2‬‬ ‫‪-5m‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪1:‬‬ ‫‪3,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x-2y-6=0‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺘﻜﺘﺏ ‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﻤﺎ‬ ‫*‬ ‫‪4x - 8 y + 9 = 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭﺒﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻲ ‪ 4 -‬ﻭ ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻤﻊ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻨﺠﺩ ‪ 0 = 33 :‬ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫ﻤﺴﺘﺤﻴل ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﻟﻴﺱ ﻟﻬﺎ ﺤل ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪َ ( ∆ ) :‬ﻭ ) ‪ ( D‬ﻤﻨﻔﺼﻼﻥ ‪.‬‬ ‫‪ x- y-4=0‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺘﻜﺘﺏ‬ ‫=‪m‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﻤﺎ‬ ‫*‬ ‫‪3x - 3 y + 6 = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﺒﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻲ ‪ 3 -‬ﻭ ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻤﻊ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻨﺠﺩ ‪ 0 = 18 :‬ﻭﻫﺫﺍ‬

‫ﻤﺴﺘﺤﻴل ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﻟﻴﺱ ﻟﻬﺎ ﺤل ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪َ ( ∆ ) :‬ﻭ ) ‪ ( D‬ﻤﻨﻔﺼﻼﻥ ‪.‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫)‪(x , y‬‬ ‫ﻭﺤﻴﺩ‬ ‫ﺤل‬ ‫ﻟﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪m‬‬ ‫≠‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪m‬‬ ‫≠‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﻤﺎ‬ ‫*‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪m-1 -2‬‬‫=‪x‬‬ ‫‪7m-5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪17m-13‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪= 6m2 -5m + 1‬‬ ‫‪-2 m‬‬‫=‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪m +1‬‬ ‫‪-5m-2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪= 6m2 -5m + 1‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ (∆) ∩ (D) = {L} :‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪17m -13‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪- 5m - 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6m2 - 5m +1‬‬ ‫‪6m2 - 5m +‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 18‬‬ ‫‪ 1‬ـ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪: ( AC‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ) ‪ N( x , y‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( AC‬ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ‪. AN // AC :‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪m-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪AN‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪x-2‬‬ ‫‪m-2‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y+3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪5( x - 2 ) - ( y + 3 )( m - 2 ) = 0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (AC‬ﻫﻲ ‪. 5 x - ( m - 2 ) y - 3 m - 4 = 0 :‬‬ ‫‪ 2‬ـ ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ m‬ﺒﺤﻴﺙ ‪B ∈ (AC) :‬‬ ‫)‪5(-1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫(‬ ‫‪m‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬ـ ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ m‬ﺒﺤﻴﺙ )‪ (AC‬ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪:‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ m – 2 = 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪. m = 2 :‬‬

‫‪ 4‬ـ ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ m‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ )‪ (AC‬ﻫﻭ ‪: 1‬‬‫‪.‬‬ ‫ﺃﻱ ‪m = 7 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪m - 2 = 5 :‬‬ ‫ﻤﻊ ‪m ≠ 2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪(m -‬‬ ‫‪ 5‬ـ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ∆ ( ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪xI‬‬ ‫=‬ ‫‪xA +‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫=‬ ‫‪2 -1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ] ‪ [ AB‬ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪yA‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪yB‬‬ ‫‪-3+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪I‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫؛ ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ N( x , y‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪.‬‬ ‫‪I ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬‫ﻭﻤﻥ ﺸﺭﻁ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻱ‬ ‫‪IN‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫)∆( ∈ ‪ N‬ﺘﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪IN // V :‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬‫‪x‬‬‫‪( ) ( )5‬‬‫‪-‬‬‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪-(-2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )∆( ﻫﻲ ‪. 5 x + 2 y - 1 = 0 :‬‬ ‫‪ 6‬ـ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ )∆( َﻭ )‪: (AC‬‬ ‫‪ 5x + 2 y - 1=0‬‬ ‫ﺃﻱ ﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬ ‫)‪5x - (m - 2) y - 3m - 4 = 0 . . . (1‬‬ ‫‪d‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 5(- m + 2) - 5× 2 = - 5 m‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-m + 2‬‬ ‫‪5 x + 2 y - 1 = 0‬‬ ‫* ﻟﻤﺎ ‪ : m = 0‬ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (1‬ﺘﻜﺘﺏ ‪5 x + 2 y - 4 = 0 :‬‬ ‫ﺒﻁﺭﺡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﻨﺠﺩ ‪ 3 = 0 :‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻤﺴﺘﺤﻴل ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﻟﻴﺱ ﻟﻬﺎ ﺤل‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪َ (∆) :‬ﻭ ) ‪ (AC‬ﻤﻨﻔﺼﻼﻥ ‪.‬‬

‫* ﻟﻤﺎ ‪ d ≠ 0 : m ≠ 0‬ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (1‬ﻟﻬﺎ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ) ‪ ( x , y‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪2 -1‬‬‫=‪x‬‬ ‫‪-m + 2‬‬ ‫‪-3m-4‬‬ ‫=‬ ‫‪2(-3m-4) + (-m‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2)1‬‬ ‫=‬ ‫‪7m +‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪-5m‬‬ ‫‪5m‬‬ ‫‪-1 5‬‬‫=‪y‬‬ ‫‪-3m-4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫×‪-1‬‬ ‫‪5-(-3m-4)5‬‬ ‫=‬ ‫‪-3m-3‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪-5m‬‬ ‫‪m‬‬‫‪G‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7m +‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3m‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪(∆) ∩ (AC) = {G} :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 19‬‬ ‫‪ 1‬ـ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ) ‪ (Dm‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ‪:‬‬ ‫ﺃﻱ ‪(m2 + 2m - 3 , m2 + 5m + 6 ) ≠ ( 0 , 0 ) :‬‬ ‫* ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ m2 + 2 m - 3 = 0 :‬؛ ﻨﻼﺤﻅ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﻤﻌﺩﻭﻡ‬ ‫ﺃﻱ ‪. m = 1 , m = - 3 :‬‬ ‫‪-c‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺤﻠﻴﻥ ﻫﻤﺎ ‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫* ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ m2 + 5 m + 6 = 0 :‬؛ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪∆ = 1 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪m = - 3 , m = - 2 :‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﻫﻲ ‪{ }. R - - 3 :‬‬ ‫‪ 2‬ـ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﺒﺤﻴﺙ ) ‪ (Dm‬ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪:‬‬ ‫‪ m =1‬أو ‪m = - 3‬‬ ‫‪ m2 + 2m - 3 = 0‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ m2 + 5m + 6 ≠ 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪َ m ≠ -2 :‬و ‪m ≠ -3‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪. m = 1 :‬‬

‫‪ 3‬ـ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﺒﺤﻴﺙ ) ‪ (Dm‬ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪:‬‬‫‪ m ≠ 1‬أو ‪m ≠ - 3‬‬ ‫‪ m2 + 2m - 3 ≠ 0‬‬‫ﺃﻱ ‪ m2 + 5m + 6 = 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪َ m = -2 :‬و ‪m = -3‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪. m = -2 :‬‬ ‫‪ 4‬ـ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﺒﺤﻴﺙ ) ‪ (Dm‬ﻴﻭﺍﺯﻱ ) ∆ ( ‪:‬‬ ‫‪Vur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ :‬ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ) ∆ ( ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬‫‪U‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪(m2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5m‬‬ ‫)‪+ 6‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ) ‪ (Dm‬ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫) ‪ (∆) // (Dm‬ﺃﻱ ‪ V // U :‬ﻭ ﻤﻥ ﺸﺭﻁ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻱ ﻴﻨﺘﺞ ‪:‬‬ ‫‪ 2 m2 + 7 m + 3 = 0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪∆ = 25 :‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪-1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ ) m = -3 :‬ﻤﺭﻓﻭﺽ ( ﺃﻭ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 5‬ـ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﺒﺤﻴﺙ ) ‪ (Dm‬ﻴﺸﻤل ‪: O‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ m – 4 = 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪. m = 4 :‬‬ ‫‪ 6‬ـ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﺒﺤﻴﺙ ) ‪ (Dm‬ﻴﺸﻤل ) ‪: I ( 1 , 1‬‬‫ﺃﻱ ‪(m2 + 2m - 3) ×1+ (m2 + 5m + 6) ×1+ m - 4 = 0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ 2 m2 + 8 m - 1 = 0 :‬؛ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪∆' = 18 :‬‬ ‫‪-4+3 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪-4-3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ‬‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻌﻭﻴﺽ‬ ‫• ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺠﻤﻊ‬ ‫• ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ‬ ‫• ﺘـﻤـﺎﺭﻴـﻥ ﻭ ﻤﺸـﻜـﻼﺕ‬ ‫• ﺍﻟـﺤـﻠــــﻭل‬

‫• ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻌﻭﻴﺽ‪:‬‬‫ﻭﻫﻲ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻵﺨﺭ ﻤﻥ ﺇﺤﺩﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺜﻡ ﺍﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﺭﻯ ‪ ) .‬ﺘﺴﺘﻌﻤل ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺃﻨﻭﺍﻉ ﺍﻟﺠﻤل (‬ ‫• ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺠﻤﻊ ‪:‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻲ ﻋﺩﺩ ﻭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻓﻲ ﻋﺩﺩ ﺁﺨﺭ ﺒﺤﻴﺙ ﻋﻨﺩ ﺠﻤﻊ‬ ‫ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﻴﻥ ﻨﺠﺩ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺠﻬﻭل ﻭﺍﺤﺩ ﻓﻘﻁ ﺜﻡ ﻨﺠﺩ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﺍﻵﺨﺭ ﺒﻨﻔﺱ‬ ‫ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺃﻭ ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ‪.‬‬

‫• ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ‪:‬‬ ‫ﺘﺴﺘﻌﻤل ﻓﻲ ﺍﻟﺠﻤل ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ) ﺃﻭ ﺘﺅﻭل ﺇﻟﻰ ﺨﻁﻴﺔ ( ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫‪a x +b y+c=0‬‬ ‫‪a' x + b' y + c' = 0‬‬‫‪d‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪= a × b' − a'×b‬‬ ‫ﻤﺤﺩﺩ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪:‬‬ ‫'‪a‬‬ ‫'‪b‬‬‫* ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪ : d = 0‬ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﻟﻬﺎ ﻤﺎ ﻻﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺘﻴﻥ ﺃﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺨﺎﻟﻴﺔ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺘﻴﻥ ‪.‬‬ ‫* ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪ : d ≠ 0‬ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﻟﻬﺎ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ) ‪ ( x ، y‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ca bc‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫'‪c' a‬‬ ‫َﻭ‬ ‫=‪x‬‬ ‫'‪b' c‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺘﻴﻥ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺇﺤﺩﺍﻫﻤﺎ ﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﻀﺭﺏ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻓﻲ ﻋﺩﺩ‪.‬‬

‫• ﺘـﻤـﺎﺭﻴـﻥ ﻭ ﻤﺸـﻜـﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 1‬‬ ‫ﺤل ﻓـﻲ ‪ R2‬ﺍﻟﺠﻤل ﺍﻵﺘﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y = x +3y-3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬‫)‬ ‫‪‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y=2x-5y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪ 2x-y+ 2=0‬‬ ‫‪- 5 x + 3 y - 5 = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 ) 10 x - 6 y + 6 = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2 y -1= 0‬‬ ‫‪ 5 x - 4 y + 16 = 0‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8x‬‬ ‫‪-3y-5=0‬‬ ‫‪ – 1‬ﺤل ﻓـﻲ ‪ R2‬ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺤﻠﻭل ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺠﻤل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ 5 | x | - 4 | y | + 16 = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫|‪8| x‬‬ ‫‪-3| y|-5=0‬‬ ‫‪ 5 x - 4 y + 16 = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+ 16‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫;‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x -3‬‬ ‫‪y -5=0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 3‬‬ ‫‪x2 + 9 x + 14 = 0‬‬ ‫‪ – 1‬ﺤل ﻓـﻲ ‪ R‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪x2 - y + 16 = 0‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻓـﻲ ‪ R2‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬

‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 4‬‬ ‫‪ m‬ﻭﺴﻴﻁ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻨﺎﻗﺵ ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ m‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬‫‪( m -1) x + 3 y + 3 = 0‬‬‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪mx+my+4=0‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 5‬‬ ‫‪ x - m y -1= 0‬‬ ‫‪ m‬ﻭﺴﻴﻁ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ .‬ﻨﺎﻗﺵ ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬‫)∆(‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 6‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ∆ ‪( ).‬‬ ‫‪Oi‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ ∆1‬ﻨﻅﻴﺭ) (‬ ‫) ∆ ( ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ) ‪. ( o , i‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ ∆2‬ﻨﻅﻴﺭ) (‬ ‫) ∆ ( ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ) ‪. ( o , j‬‬ ‫‪ -4‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ ∆3‬ﻨﻅﻴﺭ ∆) ( ) (‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪. O‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 7‬‬ ‫; ) ‪ A ( 3 , 5‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ) (‬ ‫; )‪B(2,0‬‬ ‫)‪C(6,0‬‬ ‫ﺤ‪ri‬ﻴ ‪,‬ﺙ‬ ‫ﻤﺘ‪C‬ﺠ‪B‬ﺎﻨ‪A‬ﺱﻤﺜ)ـ‪j‬ﻠ‪r‬ﺙ‪,‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ A‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫‪ ∆1‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻭﺍﺯﻱ )‪.( BC‬‬ ‫‪ . (O‬ﻨﺭﺴﻡ‬‫ﻭ ﻨﺭﺴﻡ ﻤﻥ ‪ B‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ ∆2‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻭﺍﺯﻱ )‪ (AC‬ﻭ ﻨﺭﺴﻡ ﻤﻥ ‪ C‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ ∆3‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻭﺍﺯﻱ) ( ) (‬ ‫)‪. (AB‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻜل ﻤﻥ ‪( ) ( ) ( ). ∆1 , ∆2 , ∆3 :‬‬ ‫‪ ∆1 -2‬ﻭ ‪ ∆2‬ﻤﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ﻓﻲ ‪ C′‬؛ ‪ ∆1‬ﻭ ‪ ∆2‬ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ﻓﻲ ‪ B′‬؛) ( ) ( ) ( ) (‬ ‫‪ ∆3‬ﻭ ‪ ∆2‬ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ﻓﻲ ‪( ) ( ). A′‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ‪. C′ , B′ , A′‬‬‫‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ A‬ﻤﻨﺼﻑ '‪ B , B' C‬ﻤﻨﺘﺼﻑ '‪ C ، A' C‬ﻤﻨﺘﺼﻑ '‪[ ] [ ] [ ]. A' B‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻥ ‪ ABC‬ﻭ '‪ A' B'C‬ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺜﻘل ‪.‬‬

‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 8‬‬ ‫ﺍﺨﺘﺭ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻓﻲ ﻜل ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ﻫﻭ ‪( ):‬‬‫‪y‬‬‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∆‬ ‫‪ (1‬ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ‬‫)‪a‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-31‬‬ ‫;‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫;‬ ‫‪c) V 13‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (2‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪( )y = 3x − 1 :‬‬ ‫ﻭ ﻴﺸﻤل )‪ A (2 ,1‬ﻫﻲ ‪:‬‬‫)‪a‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪; b) y = 3 x - 5 ; c) y = 3 x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪ (3‬ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫; ‪a) 3‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪; c) - 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 9‬‬ ‫ﻤﺴﺘﻁﻴل ﻤﺤﻴﻁﻪ ‪ 26 Cm‬ﻭ ﻤﺴﺎﺤﺘﻪ ‪40 Cm2‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﻜل ﻤﻥ ﻁﻭﻟﻪ ﻭ ﻋﺭﻀﻪ ‪.‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 10‬‬ ‫‪1x‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺃﻀﻔﻨﺎ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ﺒﺴﻁ ﺍﻟﻜﺴﺭ ‪ y‬ﻴﺼﺒﺢ ﺍﻟﻜﺴﺭ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﺇﻟﻰ ‪ 4‬ﻭ ﺇﺫﺍ ﺃﻀﻔﻨﺎ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ﻤﻘﺎﻡ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺴﺭ ﻴﺼﺒﺢ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﺇﻟﻰ ‪. 5‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﺴﺭ ‪.‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 11‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ 30‬ﻭ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﻤﺭﺒﻌﻴﻬﻤﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪. 60‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪.‬‬

‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 12‬‬ ‫‪ ABC‬ﻤﺜـﻠﺙ ﺤﻴﺙ ‪. AB = AC :‬‬‫ﻤﺤﻴﻁﻪ ‪ 36 Cm‬ﻭﻁﻭل ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻪ ‪ AH‬ﻫﻭ‪. 12 Cm :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺃﻁﻭﺍل ﺃﻀﻼﻉ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪.‬‬

‫• ﺍﻟـﺤـﻠــــﻭل‪:‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 1‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5y‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3y‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪ ( 1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8-x21-x1225+y3y==x2+x3-y5-y3‬‬ ‫‪8x -15y =12x + 36 y - 36‬‬ ‫‪ - 2x + 3y = 4 x -10 y‬ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪- 4 x - 51y + 36 = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪13 y = 0‬‬ ‫=‪d‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪- 51‬‬ ‫‪= - 52 - 306‬‬ ‫=‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪- 358 :‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪13‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻟﻠﺠﻤﻠﺔ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ )‪ ( x , y‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪-51 36‬‬‫=‪x‬‬ ‫‪13 0‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫×‪- 13‬‬ ‫‪36‬‬ ‫=‬ ‫‪468‬‬ ‫=‬ ‫‪234‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪-358‬‬ ‫‪358‬‬ ‫‪179‬‬ ‫‪36 - 4‬‬‫=‪y‬‬ ‫‪0 -6‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪36 × 6‬‬ ‫=‬ ‫‪216‬‬ ‫=‬ ‫‪108‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪-358‬‬ ‫‪358‬‬ ‫‪179‬‬

 x + 2y - 5 x = 4 y -1  3 + y = - 2 : ‫ﺃﻱ‬  3 : ‫ ( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬2  x 2  x + 2 y -15 x = 4 y -1  3   2 x+ 3y = - 2  2 x + 2y -15x -12y + 3 = 0 : ‫ ﺃﻱ‬ : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬  2x + 3y + 4 = 0  -14 x - 10y + 3 = 0 2 x + 3 y + 4 = 0 d= - 14 - 10 = - 42 + 20 = - 22 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 2 3 : ‫ ( ﺤﻴﺙ‬x , y) ‫ﺇﺫﻥ ﻟﻠﺠﻤﻠﺔ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ‬ -10 3 x= 34 = - 40 - 9 = 49 d -22 22 3 - 14y= 4 2 = 6 + 56 = 62 = -31 d -22 -22 11

‫‪x 2 - y + 2 = 0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ( 3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪2 -1 = 0 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪d = 2 -1 = 2 + 1 = 3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻟﻠﺠﻤﻠﺔ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ )‪ ( x , y‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪-1 2‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪2 -1‬‬ ‫=‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪22‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪-1 1‬‬ ‫=‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 30 - 30 = 0‬‬ ‫‪- 5 x + 3 y - 5 = 0‬‬ ‫‪ ( 4‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪∆ = 10‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪ 10 x - 6 y + 6 = 0‬ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺘﻴﻥ ) ﻷﻥ ﺒﻀﺭﺏ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻲ – ‪ 2‬ﻻ ﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ (‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻻ ﺘﻭﺠﺩ ﺤﻠﻭل ﻟﻠﺠﻤﻠﺔ ‪.‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 2‬‬‫‪-15 x + 12 y - 48 = 0‬‬ ‫‪- 3× 5 x - 4 y + 16 = 0‬‬ ‫‪ ( 1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪32 x - 12 y - 20 = 0‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫×‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3y-‬‬ ‫‪5=0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪68‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﺒﺠﻤﻊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﻨﺠﺩ ‪17 x - 68 = 0 :‬‬ ‫‪17‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ ﺇﺤﺩﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﻨﺠﺩ ‪y = 9 :‬‬

‫) ‪{ }.S = ( 4 , 9‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪ ( 2‬ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ‪:‬‬‫|‪Q=|y‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ﺒﻭﻀﻊ ‪Z = | x | :‬‬ ‫‪ 5 | x | - 4 | y | + 16 = 0‬‬ ‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8| x | -3| y|-5=0‬‬ ‫ﻭ ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ ﻨﺠﺩ ‪َ Z = 4 :‬ﻭ ‪Q = 9‬‬ ‫‪ 5 Z - 4 Q + 16 = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8Z -3Q-5=0‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪َ | x | = 4 :‬ﻭ ‪ . | y | = 9‬ﺇﺫﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬‫} ) ‪S1 = { ( 2 , 3 ) , ( 2 , - 3 ) , ( - 2 , 3 ) , ( - 2 , - 3‬‬ ‫‪.‬‬‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ 16‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+ 16‬‬ ‫‪=0‬‬‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬‫‪‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 5 Z - 4 Q + 16 = 0‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺒﻭﻀﻊ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﻭ ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ ﻨﺠﺩ ‪َ Z = 4 :‬ﻭ ‪Q = 9‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫َﻭ‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫َﻭ‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪S2‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x - 4 y + 16 = 0‬‬ ‫ƒ‬ ‫‪‬‬ ‫‪x -3 y -5=0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬‫‪ 5 Z - 4 Q + 16 = 0‬‬ ‫= ‪ Q‬ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫=‪y , Z‬‬ ‫‪x‬‬‫‪‬‬ ‫ﺒﻭﻀﻊ ‪:‬‬‫‪‬‬ ‫‪8Z-3Q‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪=0‬‬

‫َﻭ ‪. y = 81‬‬ ‫ﻭﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ ﻨﺠﺩ ‪ y = 9 , x = 4 :‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪x = 16 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ ‪{ }. S3 = ( 16 , 81 ) :‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 3‬‬ ‫‪x2 + 9 x + 14 = 0‬‬ ‫‪ -1‬ﺤل ﻓـﻲ ‪ R‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪∆ = 92 - 4 ×14 = 81- 56 = 25 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﻠﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﻴﻥ ‪ x1 , x 2 :‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪9-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪9+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2 - y + 16 = 0‬‬ ‫‪ ( 2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﻓﻲ ‪ R2‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ ‪. x2 + 9 x + 14 = 0 :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ﺤﻠﻭل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻲ ‪- 2 , - 7 :‬‬‫* ﻟﻤﺎ ‪ x = - 7‬ﻨﺠﺩ‪ (-7)2 - y + 16 = 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪y = 49 + 16 = 65:‬‬ ‫* ﻟﻤﺎ ‪ x = - 2‬ﻨﺠﺩ‪ (-2)2 - y + 16 = 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪y = 4 + 16 = 20 :‬‬‫ﺇﺫﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﻫﻲ ‪{ }S = ( - 7 , 65 ) , ( - 2 , 20 ) :‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 4‬‬ ‫‪( m -1) x + 3 y + 3 = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪mx+my+4=0‬‬‫=‪d‬‬ ‫‪m −1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= m(m −1) − 3m = m2 − 4m‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬‫‪ d = 0 (1‬ﺘﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪ m( m – 4 ) = 0 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ m = 0 :‬ﺃﻭ ‪.m = 4‬‬‫‪- x + 3 y + 3 = 0‬‬ ‫* ﻟﻤﺎ ‪ m = 0‬ﺘﺼﺒﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻤﺴﺘﺤﻴل ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4=0‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻟﻤﺎ ‪ m = 0‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺨﺎﻟﻴﺔ‪.‬‬

‫‪3 x + 3 y + 3 = 0‬‬ ‫* ﻟﻤﺎ ‪ m = 4‬ﺘﺼﺒﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬‫‪4 x + 4 y + 4 = 0‬‬ ‫‪3( x + y + 1) = 0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ 4( x + y + 1) = 0 :‬ﺃﻱ ‪x + y + 1 = 0 :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ y = - x – 1 :‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻟﻤﺎ ‪ m = 4‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫}‪S = {( x , - x - 1 ) ; x ∈ R‬‬ ‫‪ (2‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ m ≠ 0‬ﻭ ‪d ≠ 0 : m ≠ 4‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻟﻠﺠﻤﻠﺔ ﺤل ﻭ ﺤﻴﺩ ) ‪ ( x , y‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪33‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪m‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫‪- 3m‬‬ ‫=‬ ‫)‪−3(m − 4‬‬ ‫=‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪m2 −‬‬ ‫‪4m‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫‪− 4m‬‬ ‫)‪m(m − 4‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪3 m-1‬‬‫=‪y‬‬ ‫‪4m‬‬ ‫=‬ ‫‪3m - 4m+4‬‬ ‫=‬ ‫)‪−(m − 4‬‬ ‫=‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪m2 − 4m‬‬ ‫‪m2 − 4m‬‬ ‫)‪m(m − 4‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪-1 ‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m ‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 5‬‬ ‫)‪ x - m y - 1 = 0 . . . (1‬‬ ‫ﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪x2 + y2 - 3 = 0 . . . (2) :‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻴﻨﺘﺞ ‪x = my + 1 :‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ )‪ (2‬ﻨﺠﺩ ‪( m y + 1 )2 + y2 − 3 = 0 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪m2y2 + 2 my + 1 + y2 − 3 = 0 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪(m2 + 1)y2 + 2 my − 2 = 0 . . . (3) :‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪∆ = (2m)2 - 4 (m2 +1)(-2) = 4(3 m2 +2) :‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ ∆ > 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (3‬ﺤﻠﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﻴﻥ ﻫﻤﺎ ‪:‬‬

‫‪y1‬‬ ‫=‬ ‫‪−b‬‬ ‫‪−‬‬ ‫∆‬ ‫=‬ ‫‪−2m − 2‬‬ ‫‪3m2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪−m‬‬ ‫‪− 3m2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2(m2‬‬ ‫)‪+ 1‬‬ ‫‪m2 +1‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫=‬ ‫‪−b +‬‬ ‫∆‬ ‫=‬ ‫‪−2m + 2‬‬ ‫‪3m2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪−m‬‬ ‫‪+ 3m2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2(m2‬‬ ‫)‪+ 1‬‬ ‫‪m2 +1‬‬‫‪x1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪m 3m2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪y1‬‬ ‫=‬ ‫‪−m‬‬ ‫‪− 3m2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﻤﺎ‬ ‫‪m2 +1‬‬ ‫‪m2 +1‬‬‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪m 3m2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪y2‬‬ ‫=‬ ‫‪−m‬‬ ‫‪+ 3m2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﻤﺎ‬ ‫‪m2 +1‬‬ ‫‪m2 +1‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪{ }(x1 , y1) , (x2 , y2 ) :‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 6‬‬ ‫‪ (1‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ∆ ‪( ):‬‬ ‫‪( ) ( )AuuMuur‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆‬ ‫‪//‬‬ ‫‪AuuBur‬‬ ‫‪A( 4 , 0‬‬ ‫ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ) ‪) ; B( 0 , 3‬‬ ‫ﻓﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫ﺃﻱ ﻨﻘﻁﺔ )‪ M (x , y‬ﻤﻥ ∆‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺸﺭﻁ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻱ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪AuuMuur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x-4‬‬ ‫‪‬‬ ‫;‬ ‫‪AuuBur ‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬‫‪ 3(x − 4) + 4y = 0‬ﺇﺫﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ∆ ﻫﻲ ‪. 3x + 4y −12 = 0 ( ):‬‬ ‫‪ (2‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪( ): ∆1‬‬ ‫‪ B1( 0 ,‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪( )B‬‬ ‫‪ri∆)1‬‬ ‫‪( )AuuMuur // AuuBuur1‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫)‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) ‪ A ( 4 , 0‬ﻭ‬ ‫ﻴﺸﻤل‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬ ‫‪.A‬‬ ‫( ﻷﻥ ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ A‬ﻫﻲ‬ ‫‪O,‬‬ ‫)‪ M (x , y‬ﻤﻥ ‪∆1‬‬ ‫ﻓﺎﻥ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺃﻱ ﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺸﺭﻁ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻱ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪AuuMuur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x-4‬‬ ‫‪‬‬ ‫;‬ ‫‪AuuBuur1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ −3(x − 4) − (−4)y = 0‬ﺇﺫﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ∆1‬ﻫﻲ ‪3x − 4y −12 = 0 ( ):‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪( ): ∆2‬‬‫ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪( )A‬‬‫‪A1( - 4‬‬‫‪,‬‬‫)‪0‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫(‪B‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻴﺸﻤل‬ ‫‪rj∆)2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬‫‪( )BuuMuur //‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪M‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬‫‪BuuAuur1‬‬ ‫∆ ﻓﺎﻥ‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪.‬‬ ‫‪O,‬‬ ‫)‪(x , y‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺃﻱ ﻨﻘﻁﺔ‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺸﺭﻁ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻱ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪BuuMuur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫;‬ ‫‪BuuAuur1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y-3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪‬‬‫‪ −3x − (−4)(y − 3) = 0‬ﺇﺫﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ∆2‬ﻫﻲ ‪3x − 4y + 12 = 0 ( ):‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ (4‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪( ): ∆3‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ ∆3‬ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ) ‪َ B1( 0 , -3‬ﻭ ) ‪ A1( - 4 , 0‬ﻨﻅﻴﺭﺘﻲ ‪ B‬ﻭ‪( )A‬‬‫‪( )Auu1uMuur // Auu1uBuur1‬‬ ‫‪∆3‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ O‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫ﻓﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺃﻱ ﻨﻘﻁﺔ )‪ M (x , y‬ﻤﻥ‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺸﺭﻁ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻱ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪Auu1uMuur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x+4‬‬ ‫‪‬‬ ‫;‬ ‫‪Auu1uBuur1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪‬‬‫‪ −3(x + 4) − 4y = 0‬ﺇﺫﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ∆3‬ﻫﻲ ‪. 3x + 4y + 12 = 0 ( ):‬‬

‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 7‬‬ ‫‪ (1-1‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪( ): ∆1‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪( ) ( ):‬‬‫‪∆1‬‬ ‫‪BuuCur ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪∆1‬‬ ‫) ‪ M ( x , y‬ﻤﻥ‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ ﻴﻭﺍﺯﻱ‬ ‫ﻴﺸﻤل ) ‪A ( 3 , 5‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪AuuMuur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x-3‬‬ ‫‪//‬‬ ‫‪BuuCur ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬‫'‪(∆1) C‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫'‪B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y-5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ ﺸﺭﻁ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻱ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪Oi‬‬ ‫)‪(∆3‬‬ ‫‪0(x – 3 ) – 4 (y – 5 ) = 0‬‬ ‫) ‪(∆2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ∆1‬ﻫﻲ ‪( ). y = 5 :‬‬ ‫‪ (2-1‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪( ): ∆2‬‬ ‫‪ ∆2‬ﻴﺸﻤل ) ‪( )B ( 2 , 0‬‬ ‫'‪A‬‬ ‫‪( ).‬‬ ‫‪∆2‬‬ ‫) ‪ M ( x , y‬ﻤﻥ‬ ‫ﺃﺠل‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪AuuCur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻴﻭﺍﺯﻱ‬ ‫‪‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ ﺸﺭﻁ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻱ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪BuuMuur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x-2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪//‬‬ ‫‪AuuCur ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ -5(x – 2 ) – 3 y = 0‬ﺇﺫﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ∆2‬ﻫﻲ ‪( ). 5 x + 3 y – 10 = 0 :‬‬ ‫‪ (3-1‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪( ): ∆3‬‬ ‫‪AuuBur ‬‬ ‫‪−1‬‬‫‪( ) ( )∆3‬‬ ‫‪∆3‬‬ ‫) ‪ M ( x , y‬ﻤﻥ‬ ‫ﺃﺠل‬ ‫‪.‬ﻤﻥ‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻴﻭﺍﺯﻱ‬ ‫ﻴﺸﻤل ) ‪C ( 6 , 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ ﺸﺭﻁ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻱ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪CuuMuur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x-6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪//‬‬ ‫‪AuuBur ‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-5 ‬‬ ‫‪ -5(x – 6 ) – (-1) y = 0‬ﺇﺫﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ∆3‬ﻫﻲ ‪( ). 5 x - y – 30 = 0 :‬‬

‫‪ (1-2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ' ‪: A' , B' , C‬‬ ‫‪5 x + 3 y - 10 = 0‬‬ ‫* ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ '‪ A‬ﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪y - 30 = 0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪−20‬‬ ‫=‬ ‫‪−5‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻁﺭﺡ ﻨﺠﺩ ‪4 y + 20 = 0 :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪x = 5 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪. A' ( 5 , - 5 ) :‬‬ ‫‪ y=5‬‬ ‫* ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ '‪ B‬ﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪5 x - y - 30 = 0‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪. B' ( 7 , 5 ) :‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻨﺠﺩ ‪x = 7 :‬‬‫‪ y=5‬‬ ‫* ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ' ‪ C‬ﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬‫‪5 x + 3y - 10 = 0‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻨﺠﺩ ‪x = −1 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪. C' ( -1 , 5 ) :‬‬ ‫‪ (2-2‬ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺍﻟﻤﻨﺘﺼﻔﺎﺕ ‪:‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ A‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ]' ‪. [ B'C‬‬ ‫'‪yB‬‬ ‫‪+‬‬ ‫'‪yC‬‬ ‫‪=5‬‬ ‫َﻭ‬ ‫'‪xB‬‬ ‫‪+‬‬ ‫'‪xC‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫*‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫'‪yA‬‬ ‫'‪yC‬‬ ‫'‪xA‬‬ ‫'‪xC‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ B‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ]' ‪.[ A'C‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫َﻭ‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫* ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫'‪yA‬‬ ‫'‪yB‬‬ ‫'‪xA‬‬ ‫'‪xB‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ C‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ]'‪. [ A'B‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫َﻭ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫*‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (3-2‬ﻤﺭﻜﺯ ﺜﻘل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪:‬‬ ‫ﻤﺭﻜﺯ ﺜﻘل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ABC‬ﻫﻭ ‪ G1‬ﻭ ﻴﻌﻴﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫=‬ ‫‪xA‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪xC‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬‫‪G1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yA‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪yB‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪yC‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y1‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻤﺭﻜﺯ ﺜﻘل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ' ‪ : A' B' C‬ﻫﻭ ‪ G2‬ﻭ ﻴﻌﻴﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪ x 2‬‬ ‫=‬ ‫'‪xA‬‬ ‫‪+‬‬ ‫'‪xB‬‬ ‫‪+‬‬ ‫'‪xC‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬‫‪G‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫'‪yA‬‬ ‫‪+‬‬ ‫'‪yB‬‬ ‫‪+‬‬ ‫'‪yC‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪. G1 = G2 :‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y = 3 x – 5 (2‬‬ ‫‪Vur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪3 (3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 9‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﺭﺽ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ‪ y ،‬ﻁﻭل ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ‪.‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪َ x . y = 40 :‬ﻭ ‪2( x + y ) = 26‬‬ ‫)‪y = 13 - x ...(1‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪x + y = 13‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪40‬‬ ‫)‪...(2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪40‬‬‫ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ )‪ (1‬ﻓﻲ )‪ (2‬ﻨﺠﺩ ‪ x ( 13 - x ) = 40 :‬ﺃﻱ ‪x2 – 13 x + 40 = 0 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ x = 8 :‬ﺃﻭ ‪ x = 5‬؛ ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ y = 5 : x = 8‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪. y = 8 : x = 5‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ x‬ﻫﻭ ﻋﺭﺽ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ﻭ ‪ y‬ﻫﻭ ﻁﻭل ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ﻓﺈﻥ ‪x < y :‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪َ x = 5 :‬ﻭ ‪. y = 8‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 10‬‬ ‫‪4( x + 1 ) = y‬‬ ‫‪ x+1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪=y+1‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪= 1 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y+1 5‬‬ ‫‪y = 24‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪ 5 x = 4 ( x + 1 ) + 1‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x = 5 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻜﺴﺭ ﻫﻭ ‪. 24 :‬‬

‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 11‬‬ ‫‪ x + y = 30‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ‪ x , y‬ﻫـﺫﻴﻥ ﺍﻟﻌـﺩﺩﻴﻥ ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪= 60‬‬ ‫‪ x + y = 30‬‬ ‫‪ x + y = 30‬‬ ‫‪ (x - y)(x + y) = 60‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪(x - y)( 30 ) = 60 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪x = 16 :‬‬ ‫‪2 x = 32‬‬ ‫‪ x + y = 30‬‬ ‫ﺒﺠﻤﻊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x-y =2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪A . y = 14 :‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 12‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ‪َ AB = A C = x :‬ﻭ ‪BC = y‬‬ ‫)‪2 x + y = 36 …(1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ AHC‬ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ ﻓﻲ ‪: H‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪(12)2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪12 cm‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪= 144‬‬ ‫)‪...(2‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬‫‪B‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪(3C6 − 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪36 – 2 x …(3) :‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻨﺠﺩ‬ ‫‪x22‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ‬ ‫ﺃﻱ ‪144 x = 1872 :‬‬ ‫‪−‬‬ ‫= ‪)2‬‬ ‫ﻓﻲ )‪ (2‬ﻨﺠﺩ ‪144 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ x = 13 :‬ﻭ ﺤﺴﺏ )‪ (3‬ﻨﺠﺩ ‪y = 10 :‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺃﻁﻭﺍل ﺃﻀﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜـﻠﺙ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪AB = AC = 13 ; BC = 10‬‬

‫ﺍﻟــــﺩﻭﺍل‬‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫• ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫• ﺍﺘـﺠـﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫• ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺯﻭﺠﻴﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﻔﺭﺩﻴﺔ‬ ‫• ﻨﺴﺒﺔ ﺘﺯﺍﻴﺩ ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫• ﺩﺭﺍﺴـﺔ ﺩﺍﻟـﺔ‬ ‫• ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺭﺠﻌﻴﺔ‬ ‫• ﺘـﻤـﺎﺭﻴـﻥ ﻭ ﻤﺸـﻜـﻼﺕ‬ ‫• ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫• ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫‪ D‬ﻫﻭ ﻤﺠﺎل ﺃﻭ ﺍﺘﺤﺎﺩ ﻤﺠﺎﻻﺕ ﻤﻥ ‪. R‬‬‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻥ ‪ D‬ﻨﺤﻭ ‪ R‬ﻫﻭ ﺍﻹﺭﻓﺎﻕ ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ D‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻭﺤﻴﺩﺍ ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‬ ‫)‪. f(x‬‬ ‫* ‪ D‬ﻴﺴﻤﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f ( x ) * . f‬ﺘﺴﻤﻰ ﺼﻭﺭﺓ ‪ x‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫* ‪ x‬ﻴﺴﻤﻰ ﺴﺎﺒﻘﺔ ) ‪ f ( x‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ( 1‬ﺇﺫﺍ ﺃﺭﻓﻘﻨﺎ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x 3 – 1‬ﻨﻜﻭﻥ ﻗﺩ ﺃﻨﺸﺄﻨﺎ ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪. f(x) = x3–1‬‬‫‪ ( 2‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪ h ( x ) = 5x 2 – 3 :‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﻓﻕ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪. 5x 2 – 3 :‬‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ ‪h ( 1 ) = 2 ; h ( - 1 ) = 2 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺘﻴﻥ ‪ 1 - ، 1‬ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ ‪. 2‬‬ ‫‪ ( 3‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ϕ‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪ ϕ ( x ) = x :‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪ x ≥ 0‬ﺃﻱ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪. R‬‬‫ﻟﻤﺎ ‪x‬‬ ‫ﻷﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪x≠0‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ( 4‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ *‪ R‬ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ = 0‬ﺘﻜﻭﻥ ) ‪ g ( x‬ﻏﻴﺭ ﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ‪.‬‬

‫• ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪ o , ri , rj‬؛ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ؛ ‪ D‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪( ).‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ) ‪ ( C‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺫﺍﺕ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ‬‫) ‪ x , f ( x‬ﺤﻴﺙ ‪ . x ∈ D :‬ﻭﻨﻘﻭل ﺃﻥ ‪ y = f ( x ) :‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ‪( ). ( C‬‬ ‫• ﺍﺘـﺠـﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ؛ ‪ I‬ﻤﺠﺎل ﻤﺤﺘﻭﻱ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪. f‬‬ ‫* ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭﻴﻥ ‪ x 1 , x 2‬ﻤﻥ ‪I‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪ x 1 < x 2 :‬ﻓﺈﻥ ‪. f ( x 1 ) < f ( x 2 ) :‬‬ ‫* ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭﻴﻥ ‪ x 2 , x 1‬ﻤﻥ ‪I‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪ x 1 < x 2 :‬ﻓﺈﻥ ‪. f ( x 1 ) > f ( x 2 ) :‬‬

‫• ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ‪ I .‬ﻤﺠﺎل ﻤﺤﺘﻭﻱ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ α . D‬ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻥ ‪. I‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ) ‪ f ( α‬ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ) ‪ f ( α‬ﻫﻲ‬ ‫ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬؛ ﺃﻱ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻓﺈﻥ ) ‪f ( x ) ≥ f ( α‬‬‫‪ -‬ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ) ‪ f ( α‬ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﻜﺒﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ) ‪ f ( α‬ﻫﻲ ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪f‬؛ ﺃﻱ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻓﺈﻥ ) ‪. f ( x ) ≤ f ( α‬‬ ‫• ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺯﻭﺠﻴﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﻔﺭﺩﻴﺔ ‪:‬‬‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ( C ).D‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( ). o , ri , rj‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ D‬ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫‪ ( - x )∈D‬ﻭ ) ‪. f ( - x ) = f ( x‬‬ ‫ﻭﺘﻜﻭﻥ ) ‪ ( C‬ﻤﺘﻨﺎﻅﺭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫‪ -‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﺭﺩﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ D‬ﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬ ‫‪ ( - x )∈D‬ﻭ ) ‪f ( - x ) = f ( x‬‬ ‫ﻭﺘﻜﻭﻥ ) ‪ ( C‬ﻤﺘﻨﺎﻅﺭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪. O‬‬ ‫• ﻨﺴﺒﺔ ﺘﺯﺍﻴﺩ ﺩﺍﻟﺔ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ D‬ﻤﻥ ‪ x 1 , x 2 . R‬ﻋﻨﺼﺭﺍﻥ ﻤﻥ ‪. D‬‬‫=‪ϑ‬‬ ‫) ‪f ( x1 ) - f ( x2‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x1 ≠ x2‬ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪x1 - x2‬‬ ‫ﺘﺴﻤﻰ ﻨﺴﺒﺔ ﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫* ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪. ϑ > 0 :‬‬ ‫* ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪. ϑ < 0 :‬‬

‫• ﺩﺭﺍﺴـﺔ ﺩﺍﻟـﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻨﻤﺭ ﺒﺎﻟﻤﺭﺍﺤل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫‪ ( 2‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﻓﺭﺩﻴﺔ ﺃﻭ ﺯﻭﺠﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.‬‬ ‫‪ ( 1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ ( 3‬ﺤﺴﺎﺏ ﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ﻭﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.‬‬ ‫‪ ( 4‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪.‬‬ ‫‪ ( 5‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺠﺩﻭل ﻗﻴﻡ ﻤﺴﺎﻋﺩﺓ ﻟﺭﺴﻡ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪.‬‬ ‫‪ ( 6‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ ) ‪ ( c‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫• ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺭﺠﻌﻴﺔ‪:‬‬‫ﻭ ﻫﻲ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﺜﺭ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻟﻬﺎ ﻭ ﻤﻨﻬﺎ ﻨﺭﻜﺏ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺨﺭﻯ ؛ ﻭﻟﺫﻟﻙ ﺃﺩﺭﺠﺕ ﻓﻲ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ﻭ‬ ‫ﻨﺫﻜﺭ ﻤﻨﻬﺎ ‪:‬‬‫; ‪x2 ; 1‬‬ ‫‪x ; sin x ; Cos x‬‬ ‫‪x‬‬