دروس مادة الرياضيات للفصل الاول اداب و فلسفة سنة ثانية ثانوي

‫ﻓﻬﺭﺱ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻷﻭل‬‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﻘﺩﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺅﺸﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ‬

‫ﻤﻘﺩﻤﺔ‪:‬‬ ‫ﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺒﻨﻴﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻨﻴﺔ ﺍﻟﺫﻫﻨﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﻌﹼﻠﻡ ﻷﻥ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻭﺴﻴﻠﺔ ﻟﺘﻜﻭﻴﻥ ﺍﻟﻔﻜﺭ ﻭﺃﺩﺍﺓ‬ ‫ﻻﻜﺘﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺭﻑ‪.‬‬ ‫ﺘﺴﺎﻫﻡ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻓﻲ ﺤﺼﺭ ﻤﻠﻤﺢ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻋﻨﺩ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺭﺤﻠﺔ ﺩﺭﺍﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ‪:‬‬‫ﺘﻡ ﺒﻨﺎﺀ ﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻟﻠﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺜﺎﻨﻭﻱ ﺁﺩﺍﺏ ﻭﻓﻠﺴﻔﺔ ﻭﻓﻕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﺒﺎﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺒﻌﺎﺩﻫﺎ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﺍﻟﺘﻜﻴﻑ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ﻭﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺼﺭ ﺍﻟﻤﺘﺤﻭل ﺒﺎﺴﺘﻤﺭﺍﺭ‬ ‫ﺤل ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪:‬‬‫ﺤل ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﻓﻲ ﺘﻌﹼﻠﻡ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻴﺴﺎﻫﻡ ﻓﻲ ﺒﻨﺎﺀ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻭﻀﺎ ﻋﻥ ﺇﻋﻁﺎﺌﻬﺎ ﺠﺎﻫﺯﺓ‪،‬‬‫ﻓﻌﻠﻴﻪ ﺭﺒﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺭﻑ ﺒﺎﻟﻭﻀﻌﻴﺎﺕ ﻴﺠﻌل ﺍﻟﻤﺘﻌﹼﻠﻡ ﻴﺅﺜﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻲ ﻭﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻲ‬ ‫ﻟﻠﻤﺩﺭﺴﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﺘﻡ ﺘﺄﻟﻴﻑ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻭﺜﻴﻘﺔ ﻁﺒﻘﺎ ﻟﻠﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻟﺭﺴﻤﻲ ﻟﻭﺯﺍﺭﺓ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﺔ ﺍﻟﻭﻁﻨﻴﺔ ﻭﻭﻓﻕ ﺍﻟﻤﻨﻬﺠﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺘﻤﺩﺓ ﻤﻥ ﻁﺭﻑ ﺍﻟﺩﻴﻭﺍﻥ ﺍﻟﻭﻁﻨﻲ ﻟﻠﺘﻌﻠﻴﻡ ﻭﺍﻟﺘﻜﻭﻴﻥ ﻋﻥ ﺒﻌﺩ‪.‬‬

‫ﺘﺤﺘﻭﻱ ﻜل ﻭﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﻋﻠﻰ ‪:‬‬‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ ﺃﻭ ﻟﻠﻤﺭﺍﺠﻌﺔ ﺘﺘﺒﻌﻬﺎ ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ﺘﻬﻴﺊ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺭﺱ ﺒﻨﺘﺎﺌﺠﻪ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺎﺕ ﻭﺃﻤﺜﻠﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ ﺤﻼ ﻤﻔﺼﻼ ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﻁﺒﻴﻕ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭﺘﺴﻠﻁ ﺍﻷﻀﻭﺍﺀ ﻋﻠﻰ ﻁﺭﺍﺌﻕ ﻭﻤﻨﻬﺠﻴﺎﺕ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ /‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺒﺴﻴﻁﺔ ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤ ّﺭﻥ ﻭﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﻟﻠﺒﺤﺙ ﻭﺍﻟﺘﻌﻤﻕ ﻗﻠﻴﻼ‬‫ﻭﻓﻲ ﻤﺅﺨﺭﺓ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺤﻠﻭل )ﺃﻭ ﻨﺘﺎﺌﺞ ( ﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺃﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ ﻤﺨﺘﺎﺭﺓ‬

‫ﺍﻟﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺅﺸﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﻴﻴﺯ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻭ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ‬ ‫‪-‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺤﺴﺎﺏ ﻨﺴﺒﺔ ﻤﺌﻭﻴﺔ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺘﺤﻭﻴل ﺯﻴﺎﺩﺓ ﺃﻭ ﻨﻘﺼﺎﻥ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻤﺌﻭﻴﺔ ﺇﻟﻰ ﻀﺭﺏ‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﺯﻴﺎﺩﺓ ﺃﻭ ﻨﻘﺼﺎﻥ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻤﺌﻭﻴﺔ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬‫ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻨﻤﻭ ﺍﻹﺠﻤﺎﻟﻲ ﺒﻤﻌﺭﻓﺔ ﻨﺴﺒﺘﻲ ﻨﻤﻭ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺘﻴﻥ‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺤﺴﺎﺏ ﻭﺘﻔﺴﻴﺭ ﻤﺅﺸﺭ ﻨﻤﻭ ﻅﺎﻫﺭﺓ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺍﻷﻨﺸﻁﺔ‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻤﺌﻭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻨﺴﺒﺔ ﺠﺯﺀ ﺇﻟﻰ ﻜل ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫‪ /2‬ﺍﻟﺘﻐﻴﻴﺭ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻭﺍﻟﺘﻐﻴﻴﺭ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ‪:‬‬ ‫‪ /3‬ﺍﻟﺯﻴﺎﺩﺓ ﻭﺍﻻﻨﺨﻔﺎﺽ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻤﺌﻭﻴﺔ‪:‬‬‫‪ /4‬ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻨﻤﻭ ﺍﻹﺠﻤﺎﻟﻲ ﺒﻤﻌﺭﻓﺔ ﻨﺴﺒﺘﻲ ﻨﻤﻭ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺘﻴﻥ‪:‬‬ ‫‪ /5‬ﻤﺅﺸﺭ ﻨﻤﻭ ﻤﻘﺩﺍﺭ‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪1‬‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪1‬‬

‫ﺍﻷﻨﺸﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪: 01‬‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 1989‬ﺼﻨﻊ ﻤﻌﻤل ‪ 30000‬ﺩ ّﺭﺍﺠﺔ ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ ، 1993‬ﺼﻨﻊ ﻫﺫﺍ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻤل ‪ 37500‬ﺩ ّﺭﺍﺠﺔ ‪.‬‬ ‫‪ 1‬ﺒﻜﻡ ﺩ ّﺭﺍﺠﺔ ﺍﺯﺩﺍﺩ ﺇﻨﺘﺎﺝ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻌﻤل ﺒﻴﻥ ‪ 1989‬ﻭ ‪ 1993‬؟‬‫‪ 2‬ﻜﻴﻑ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺯﻴﺎﺩﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺎ ﻜﺎﻥ ﻋﻠﻴﻪ ﺇﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﺩ ّﺭﺍﺠﺎﺕ‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 1989‬؟‬‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬‫ﻟﻨﺴﻤﻲ ‪ G0‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺩ ّﺭﺍﺠﺎﺕ ﺍﻟﻤﺼﻨﻭﻋﺔ ﻓﻲ ﺴﻨﺔ ‪ 1989‬ﻭ ‪ G1‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺩ ّﺭﺍﺠﺎﺕ‬‫ﺍﻟﻤﺼﻨﻭﻋﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪1993‬‬‫‪ 1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ G1  G0 7500 :‬ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ‪ 1989‬ﻭ‪ 1993‬ﺍﺯﺩﺍﺩ ﺇﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻤﻌﻤل ﺒـ‬ ‫‪ 7500‬ﺩ ّﺭﺍﺠﺔ ‪.‬‬‫ﺇﺫﻥ ﺒﻴﻥ ‪ 1989‬ﻭ‪ 1993‬ﺇﺯﺩﺍﺩ ﺇﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﺩ ّﺭﺠﺎﺕ ِﺒ ُﺭْﺒﻊ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7500‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪30000‬‬‫ﻤﺎ ﻜﺎﻥ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 1989‬ﺃﻭ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪ِ 25‬ﻤﻤﺎ ﻜﺎﻥ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ‬ ‫‪.1989‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬‫‪ -‬ﻟﻤﺘﺎﺒﻌﺔ ﺍﻹﻨﺘﺎﺝ‪ ،‬ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻤﺤ ّﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻷﻭل‬‫ﻤﻔﻴﺩﺓ ﻭﻟﻜﻥ ﻏﻴﺭ ﻜﺎﻓﻴﺔ ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻤﺤ ّﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻨﺘﻴﺠﺔ‬

‫ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﺤﻠﻴل ﺃﻜﺜﺭ ﻭﻀﻭﺡ ﻟﺘﻁﻭﺭ ﺇﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻤﻌﻤل ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﻨﺔ‬ ‫‪ 1989‬ﻭ ‪.1993‬‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﺃﺨﺫﻨﺎ ‪ G0‬ﻜﻘﻴﻤﺔ ﺍﻨﻁﻼﻕ ﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺩ ّﺭﺍﺠﺎﺕ ﻭ ‪ G1‬ﻜﻘﻴﻤﺔ ﻭﺼﻭل ﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﺍﻟﺩ ّﺭﺍﺠﺎﺕ ﺍﻟﻤﺼﻨﻭﻋﺔ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻷﻭل ﺍﻫﺘﻤﻤﻨﺎ ﺒﺎﻟﻔﺭﻕ ‪ G1  G0‬ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺍﻫﺘﻤﻤﻨﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫‪G1  G0‬‬ ‫‪G0‬‬‫ﻤﻥ‬ ‫ﻤﺠﺭﺩ‬ ‫ﻋﺩﺩ‬ ‫‪G1  G0‬‬ ‫ﺒﻴﻨﻤﺎ‬ ‫»ﺩ ّﺭﺍﺠﺔ«‬ ‫ﺒﺎﻟﻭﺤﺩﺓ‬ ‫‪G1  G0‬‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻭﻜﺎﻥ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ‬ ‫‪G0‬‬ ‫ﺃﻴﺔ ﻭﺤﺩﺓ ‪.‬‬‫‪ G1  G0‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ) ﺃﻭ ﺍﻟﺘﻁﻭﺭ ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻤﻭ ( ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺩ ّﺭﺍﺠﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺼﻨﻭﻋﺔ ﺒﻴﻥ ‪ G0‬ﻜﻘﻴﻤﺔ ﺍﻨﻁﻼﻕ ﻭ ‪ G1‬ﻜﻘﻴﻤﺔ ﻭﺼﻭل‪.‬‬‫ﺍﻟﻤﺼﻨﻭﻋﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩ ّﺭﺍﺠﺎﺕ‬ ‫ﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ‬ ‫ﺃﻭﺍﻟﻨﻤﻭ(‬ ‫ﺍﻟﺘﻁﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ)ﺃﻭ‬ ‫ﻴﺴﻤﻰ‬ ‫‪G1  G0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪G0‬‬ ‫ﺒﻴﻥ ‪ G0‬ﻜﻘﻴﻤﺔ ﺍﻨﻁﻼﻕ ﻭ ‪ G1‬ﻜﻘﻴﻤﺔ ﻭﺼﻭل‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪: 02‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺤل ﺘﺠﺎﺭﻱ ﻴﻌﺭﺽ ﻟﻠﺒﻴﻊ ﻤﻭﺍﺩ ﻏﺫﺍﺌﻴﺔ ﻭﻤﻭﺍﺩ ﻟﻠﺘﻨﻅﻴﻑ )ﻓﻘﻁ(‪.‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪ ،‬ﻤﺜﻠﻨﺎ ﺍﻟﻤﺒﺎﻟﻎ‪ -‬ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺂﻻﻑ ﺍﻟﺩﻨﺎﻨﻴﺭ‪ -‬ﻟﻔﺎﺌﺩﺓ ﻤﺒﻴﻌﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺤل ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺘﻴﻥ ‪ 2003‬ﻭ‪.2004‬‬

‫‪ 2003‬ﺍﻟﺴﻨﺔ‬ ‫‪2004‬‬‫ﻓﺎﺌﺩﺓ ﺍﻟﻤﺒﻴﻌﺎﺕ ﻟﻠﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﻐﺫﺍﺌﻴﺔ‬‫‪ 117‬ﻓﺎﺌﺩﺓ ﻤﺒﻴﻌﺎﺕ ﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﺘﻨﻅﻴﻑ‬‫‪ 390 492‬ﺍﻟﻔﺎﺌﺩﺓ ﺍﻹﺠﻤﺎﻟﻴﺔ‬‫ﻭﻨﻌﻠﻡ ﺃ ّﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 2004‬ﺒﻠﻐﺕ ﻓﺎﺌﺩﺓ ﻤﺒﻴﻌﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﻐﺫﺍﺌﻴﺔ ‪ 65‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺎﺌﺩﺓ‬ ‫ﺍﻹﺠﻤﺎﻟﻴﺔ ‪.‬‬‫‪ 1‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻌﻁﻰ ﺒﻌﺩ ﺇﻨﺠﺎﺯ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﺍﻟﻼﺯﻤﺔ ﻟﺫﺍﻟﻙ‪.‬‬‫‪ 2‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺎﺌﺩﺓ ﺍﻹﺠﻤﺎﻟﻴﺔ‪ ،‬ﻟﻔﺎﺌﺩﺓ ﻤﺒﻴﻌﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﺘﻨﻅﻴﻑ‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 2003‬؟‬‫‪ 3‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺍﺯﺩﺍﺩﺕ ﺒﻬﺎ ﺍﻟﻔﺎﺌﺩﺓ ﺍﻹﺠﻤﺎﻟﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﻨﺔ‬‫‪ 2003‬ﻭﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 2004‬ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﺒﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﻋﻠﻴﻪ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺎﺌﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪.2003‬‬‫‪ 4‬ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ ،2005‬ﺍﺯﺩﺍﺩﺕ ﻓﺎﺌﺩﺓ ﻤﺒﻴﻌﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﻐﺫﺍﺌﻴﺔ ﺒﻨﺴﺒﺔ‬‫ﻗﺩﺭﻫﺎ  ‪ 10‬ﻭﺍﻨﺨﻔﻀﺕ ﻓﺎﺌﺩﺓ ﻤﺒﻴﻌﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﺘﻨﻅﻴﻑ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪3‬‬‫ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﺒﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪.2004‬‬‫ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻌﻁﻰ ﺒﻌﺩ ﺇﻨﺠﺎﺯ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﺍﻟﻼﺯﻤﺔ ﻟﺫﺍﻟﻙ ‪.‬‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪:‬‬‫‪ 1‬ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 2003‬ﻓﺎﺌﺩﺓ ﺍﻟﻤﺒﻴﻌﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﻐﺫﺍﺌﻴﺔ ﻫﻲ ‪ 390 -117‬ﺃﻱ‬‫‪ 237‬ﺃﻟﻑ ﺩﻴﻨﺎﺭ‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 2004‬ﻓﺎﺌﺩﺓ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﻐﺫﺍﺌﻴﺔ ﻫﻲ ‪ 65‬ﻤﻥ ‪ 492‬ﻤﻨﻪ ﻫﻲ‬‫ﺃﻱ ‪ 319,8‬ﺃﻟﻑ ﺩﻴﻨﺎﺭ ﻭﻓﺎﺌﺩﺓ ﻤﺒﻴﻌﺎﺕ ﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﺘﻨﻅﻴﻑ ﻫﻲ ‪492-‬‬ ‫‪492‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪100‬‬‫‪ 319,8‬ﺃﻱ ‪ 172,2‬ﺃﻟﻑ ﺩﻴﻨﺎﺭ ﻭﻴﺼﺒﺢ ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪:‬‬

‫‪ 2003 2004 2005‬ﺍﻟﺴﻨﺔ‬‫ﻓﺎﺌﺩﺓ ﻤﺒﻴﻌﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﻐﺫﺍﺌﻴﺔ‬ ‫‪273 319,8 351,78‬‬‫ﻓﺎﺌﺩﺓ ﻤﺒﻴﻌﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﺘﻨﻅﻴﻑ‬ ‫‪117 172,2 167,034‬‬ ‫‪ 390 492 518,814‬ﺍﻟﻔﺎﺌﺩﺓ ﺍﻹﺠﻤﺎﻟﻴﺔ‬ ‫‪390‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ‪ x‬ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪117 u100‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪390‬‬ ‫ﺃﻱ ‪x= 30‬‬‫ﻤﻨﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 2003‬ﻓﺎﺌﺩﺓ ﻤﺒﻴﻌﺎﺕ ﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﺘﻨﻅﻴﻑ ﻜﺎﻨﺕ ‪ 30‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺎﺌﺩﺓ‬ ‫ﺍﻹﺠﻤﺎﻟﻴﺔ‪.‬‬‫‪ .3‬ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﻨﺔ‪ 2003‬ﻭﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ ،2004‬ﺇﺯﺩﺍﺩﺕ ﺍﻟﻔﺎﺌﺩﺓ ﺍﻹﺠﻤﺎﻟﻴﺔ ﺏ ‪492- :‬‬‫‪ 390‬ﺃﻱ ‪ 102‬ﺃﻟﻑ ﺩﻴﻨﺎﺭ ﻭﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ‪ t‬ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻤﻥ ‪ 390‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜﻠﻬﺎ‬ ‫‪390‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪t‬‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺯﻴﺎﺩﺓ ﻴﻜﻭﻥ ‪102‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪102 u100‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪390‬‬ ‫ﺃﻱ‪ ) t | 2, 26‬ﻤﺩﻭﺭ ﺇﻟﻰ ‪( 10-1‬‬‫ﻤﻨﻪ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 2003‬ﻭﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 2004‬ﺇﺯﺩﺍﺩﺕ ﺍﻟﻔﺎﺌﺩﺓ ﺍﻹﺠﻤﺎﻟﻴﺔ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﺘﻘﺎﺭﺏ‬ ‫‪26,2‬‬‫‪ 4‬ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ ،2005‬ﺍﺯﺩﺍﺩﺕ ﻓﺎﺌﺩﺓ ﺍﻟﻤﺒﻴﻌﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﻐﺫﺍﺌﻴﺔ ﺒـ‬‫ﺃﻟﻑ ﺩﻴﻨﺎﺭ ﻤﻨﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 2005‬ﻓﺎﺌﺩﺓ ﻤﺒﻴﻌﺎﺕ‬ ‫ﺃﻱ ‪31,98‬‬ ‫‪319,8‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﻐﺫﺍﺌﻴﺔ ﻫﻲ ‪ 319,8 + 31,98‬ﻭﻫﻲ ‪ 351,78‬ﺃﻟﻑ ﺩﻴﻨﺎﺭ‬‫‪172,2‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺏ‬ ‫ﺍﻟﺘﻨﻅﻴﻑ‬ ‫ﺍﻨﺨﻔﻀﺕ ﻤﺒﻴﻌﺎﺕ ﻤﻭﺍﺩ‬ ‫‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪،2005‬‬ ‫‪100‬‬

‫ﺃﻱ ﺏ ‪ 5,166‬ﺃﻟﻑ ﺩﻴﻨﺎﺭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ ،2005‬ﻓﺎﺌﺩﺓ ﻤﺒﻴﻌﺎﺕ ﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﺘﻨﻅﻴﻑ ﻫﻲ‬ ‫‪ 172,2 – 5,166‬ﺃﻟﻑ ﺩﻴﻨﺎﺭ ﻭﻫﻲ ‪ 167,034‬ﺃﻟﻑ ﺩﻴﻨﺎﺭ‪.‬‬‫‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 2005‬ﺍﻟﻔﺎﺌﺩﺓ ﺍﻹﺠﻤﺎﻟﻴﺔ ﻫﻲ ﺇﺫﻥ ; ‪ 167,034 + 5,166‬ﻭﻫﻲ‬ ‫‪ 694,709‬ﺃﻟﻑ ﺩﻴﻨﺎﺭ ﻭﻫﻜﺫﺍ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻴﺼﺒﺢ ﻤﺜل ﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﺃﻋﻼﻩ‪.‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪65‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪ِ (1‬ﻷﺨﺫ ‪ 65‬ﻤﻥ ‪ : 492‬ﻀﺭﺒﻨﺎ ‪ 492‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪100‬‬‫‪ -‬ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪ (2‬ﻹﻴﺠﺎﺩ ﻜﻡ ﺒﺎﻟﻤﺎﺌﺔ ﻤﻥ ‪ 390‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪:117‬ﻀﺭﺒﻨﺎ ‪ 117‬ﻓﻲ‬ ‫‪100‬‬ ‫‪390‬‬‫‪ -‬ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪ (3‬ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺒﻜﻡ ﺒﻤﺎﺌﺔ ﺍﺯﺩﺍﺩﺕ ﻓﺎﺌﺩﺓ ﺍﻟﻔﺎﺌﺩﺓ ﺍﻹﺠﻤﺎﻟﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫‪492 - 390‬‬ ‫‪u100‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺃﻨﺠﺯﻨﺎ‬ ‫‪:‬‬ ‫‪492‬‬ ‫ﺍﻟﻭﺼﻭل‬ ‫ﻭﻗﻴﻤﺔ‬ ‫‪390‬‬ ‫ﺍﻻﻨﻁﻼﻕ‬ ‫‪390‬‬‫‪ -‬ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪ (4‬ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻜﻡ ﺃﺼﺒﺤﺕ ﻓﺎﺌﺩﺓ ﻤﺒﻴﻌﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﻐﺫﺍﺌﻴﺔ ﺒﻌﺩ‬‫ﺯﻴﺎﺩﺓ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪ 10‬ﻤﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﻋﻠﻴﻪ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻲ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‬‫ﺃﻱ ﻀﺭﺒﻨﺎ » ﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﻋﻠﻴﻪ «‬ ‫‪319,8‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‬ ‫‪10‬‬ ‫)‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪319,8‬‬ ‫‬ ‫‪319,8‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬‫ﺒﻌﺩ‬ ‫ﺍﻟﺘﻨﻅﻴﻑ‬ ‫ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ‬ ‫ﻤﺒﻴﻌﺎﺕ‬ ‫ﻓﺎﺌﺩﺓ‬ ‫ﺃﺼﺒﺤﺕ‬ ‫ﻜﻡ‬ ‫ﻭﻟﺤﺴﺎﺏ‬ ‫‪(1‬‬ ‫‬ ‫‪10‬‬ ‫)‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪100‬‬‫‪(1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫« ﻓﻲ‬ ‫ﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫»‬ ‫ﻀﺭﺒﻨﺎ‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫ﻤﻤﺎ‬ ‫‪3‬‬ ‫‬ ‫ﻗﺩﺭﻩ‬ ‫ﺇﻨﺨﻔﺎﺽ‬ ‫‪100‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪: 03‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﺴﺅﺍل ‪:‬‬ ‫ﺍﺯﺩﺍﺩﺕ ﻤﻴﺯﺍﻨﻴﺔ ﻋﺎﺌﻠﺔ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪ 50‬ﺜﻡ ﺍﻨﺨﻔﻀﺕ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪. 50‬‬ ‫ﻫل ﻋﺎﺩﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻴﺯﺍﻨﻴﺔ ﺇﻟﻰ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﺍﻷﻭﻟﻰ ؟‬

‫‪ x‬ﺍﻟﺠﻭﺍﺏ‪ ،‬ﺘﻨﺒﻴﻪ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ B0‬ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻴﺯﺍﻨﻴﺔ ﻗﺒل ﺍﻟﺯﻴﺎﺩﺓ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ B1‬ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻴﺯﺍﻨﻴﺔ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺯﻴﺎﺩﺓ ﻭ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ B2‬ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻴﺯﺍﻨﻴﺔ ﺒﻌﺩ ﺍﻻﻨﺨﻔﺎﺽ‬ ‫ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ )‪: (2‬‬‫‪B2‬‬ ‫‪B1‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪50‬‬ ‫¸·‬ ‫ﻭ‬ ‫‪B1‬‬ ‫‪B0‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪50‬‬ ‫¸·‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪B2‬‬ ‫‪B0‬‬ ‫‪u‬‬ ‫ ‪¨§1‬‬ ‫‪50‬‬ ‫¸·‬ ‫‪u‬‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪50‬‬ ‫·¸‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪B2‬‬ ‫‪B0‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪25‬‬ ‫·¸‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬‫ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺯﻴﺎﺩﺓ ﺜﻡ ﺍﻻﻨﺨﻔﺎﺽ ﻟﻡ ﺘﻌﺩ ﺍﻟﻤﻴﺯﺍﻨﻴﺔ ﺇﻟﻰ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺒل ﺍﻨﺨﻔﻀﺕ‬ ‫ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪. 25‬‬‫ﺘﻨﺒﻴﻪ‪:‬ﻻ ﺘﺘﺴﺭﻉ ﻓﻲ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﺒل ﺍﺴﺘﻌﻤل ﺘﺴﻠﺴل ﻤﻭﻀﻭﻋﻲ ﻟﻠﻭﺼﻭل ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ‪.‬‬

‫‪ /1‬ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻤﺌﻭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻨﺴﺒﺔ ﺠﺯﺀ ﺇﻟﻰ ﻜل ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ t‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ b‬ﻭ ‪ a‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﺃﻭ ﻗﻴﻤﺘﻲ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻓﻲ ﻭﺤﺩﺓ‬ ‫ﻗﻴﺎﺱ ﻤﻌﻁﺎﺓ‪.‬‬‫‪«b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪t‬‬ ‫»‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫‪«a‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪t%‬‬ ‫‪ b‬ﻫﻭ‬ ‫»‬ ‫ﺍﻟﻘﻭل‬ ‫‪100‬‬ ‫‪ « t‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪a z 0‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪u100‬‬ ‫»‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ x‬ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻫﻭ ‪0,35‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ ‪ 5‬ﻤﻥ ‪ 7‬ﻫﻭ‬ ‫‪100‬‬‫‪3,7 cm‬‬ ‫ﻭﻫﻭ‬ ‫‪37‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪cm‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪37 cm‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ ‪10‬‬ ‫‪100‬‬‫ ﺘﺘﻜﻭﻥ ﺠﻤﻌﻴﺔ ﻤﻥ ‪ 12‬ﺍﻤﺭﺃﺓ ‪ 18‬ﺭﺠﻼ ‪ .‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻜﹼﻠﻲ ﻟﻸﻋﻀﺎﺀ ﻫﻭ‬‫ﻤﻨﻪ ‪ 60‬ﻤﻥ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﺠﻤﻌﻴﺔ ﺭﺠﺎل‪.‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪u100‬‬ ‫‪ 30‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪60‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪ /2‬ﺍﻟﺘﻐﻴﻴﺭ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻭﺍﻟﺘﻐﻴﻴﺭ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ G‬ﻤﻘﺩﺍﺭﺍ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ G0‬ﻭ ‪ G1‬ﻗﻴﻤﺘﻴﻥ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﻓﻲ ﻭﺤﺩﺓ ﻗﻴﺎﺱ ﻤﻌﻁﺎﺓ‬ ‫‪ i‬ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻟﻠﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ G‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ G0‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪G1‬‬ ‫ﻫﻭ  ‪ G1  G0‬ﻓﻲ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ‪.‬‬

‫‪ i‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ G0 z 0‬ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ G‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪G0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪G1  G0‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪G1‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫‪G0‬‬‫ﻨﻘﻭل ﺃ ّﻥ ﻨﺴﺒﺔ‬ ‫‪t‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪G1  G0‬‬ ‫‪ i‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ G0 z 0‬ﻭﻭﻀﻌﻨﺎ‬ ‫‪G0‬‬‫ﺘﻐﻴﺭ ﺃﻭ ﻨﺴﺒﺔ ﺘﻁﻭﺭ ﺃﻭ ﻨﺴﺒﺔ ﻨﻤﻭ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ G‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪G0‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ G1‬ﻫﻲ ‪. t%‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺸﺠﺭﺓ ﻤﻥ ‪1,5 m‬ﺇﻟﻰ ‪2 m‬‬‫ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ ﻫﻭ ‪ 2 m – 1,5 m‬ﺃﻱ ‪0,5 m‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪2 -1,5‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ ﻫﻭ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1,5‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻌﺎﺭﻴﻑ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ‪ ،‬ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪G0 ! G1 t 0‬‬‫ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻟﻠﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ G‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ G0‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬‫‪ G1‬ﺴﺎﻟﺒﺎ ﻭ ﻜﺫﺍﻟﻙ ﺘﻐﻴﺭﻩ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻭﻜﺫﺍﻟﻙ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ t‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻟﺘﻁﻭﺭ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ‪. G‬‬

‫‪ /3‬ﺍﻟﺯﻴﺎﺩﺓ ﻭﺍﻻﻨﺨﻔﺎﺽ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻤﺌﻭﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ t‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﺎ ﻤﻭﺠﺒﺎ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ G‬ﻤﻘﺩﺍﺭﺍ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ G0‬ﻭ ‪ G1‬ﻗﻴﻤﺘﻴﻥ ﻟﻠﻤﻘﺩﺍﺭ‬ ‫‪ G‬ﻓﻲ ﻭﺤﺩﺓ ﻗﻴﺎﺱ ﻤﻌﻁﺎﺓ‬‫ﺍﻟﻘﻭل \" ‪ G‬ﻴﺯﺩﺍﺩ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪ t%‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ G0‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪G1‬‬ ‫‪\" G1‬‬ ‫‪G0‬‬ ‫‪u‬‬ ‫ ‪¨§1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫·¸‬ ‫\"‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪G1‬‬ ‫‪G0‬‬ ‫‬ ‫‪t‬‬ ‫‪.G0‬‬ ‫\"‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫\"‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪100‬‬‫ﺍﻟﻘﻭل \"‪ G‬ﻴﺯﺩﺍﺩ ﻴﻨﺨﻔﺽ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪ t%‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ G0‬ﺇﻟﻰ‬ ‫‪\" G1‬‬ ‫‪G0‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪t‬‬ ‫¸·‬ ‫\"‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪G1‬‬ ‫‪G0‬‬ ‫‬ ‫‪t‬‬ ‫‪.G0‬‬ ‫\"‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫‪\" G1‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 1988‬ﻜﺎﻥ ﻋﺩﺩ ﺴﻜﺎﻥ ﺒﻠﺩﺓ ‪ 25000 A‬ﻨﺴﻤﺔ ﻭﻋﺩﺩ ﺴﻜﺎﻥ ﺒﻠﺩﺓ ‪B‬‬‫ﻜﺎﻥ ‪ 33500‬ﻨﺴﻤﺔ ﻤﻨﺫ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﺤﻴﻥ‪ ،‬ﺇﺯﺩﺍﺩ ﻋﺩﺩ ﺴﻜﺎﻥ ﺍﻟﺒﻠﺩﺓ ‪ A‬ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ‬ ‫‪ 15%‬ﻭﺍﻨﺨﻔﺽ ﻋﺩﺩ ﺴﻜﺎﻥ ﺍﻟﺒﻠﺩﺓ ‪ B‬ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪10%‬‬‫ﻨﺴﻤﺔ‬ ‫‪28750‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪25000‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪15‬‬ ‫¸·‬ ‫ﺇﺫﻥ‪:‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪A‬‬ ‫ﺍﻟﺒﻠﺩﺓ‬ ‫ﻟﺴﻜﺎﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﻲ‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬‫ﻨﺴﻤﺔ‬ ‫‪30150‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪33500‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪10‬‬ ‫·¸‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪B‬‬ ‫ﺍﻟﺒﻠﺩﺓ‬ ‫ﻟﺴﻜﺎﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﻲ‬ ‫ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ t‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﺎ ﻤﻭﺠﺒﺎ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ G‬ﻤﻘﺩﺍﺭﺍ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ G0‬ﻭ‪ G1‬ﻗﻴﻤﺘﻴﻥ ﻟﻠﻤﻘﺩﺍﺭ‬ ‫‪ G‬ﻓﻲ ﻭﺤﺩﺓ ﻗﻴﺎﺱ ﻤﻌﻁﺎﺓ ﻭﺒﺤﻴﺙ ‪G0 z 0‬‬

‫‪ G \" -‬ﻴﺯﺩﺍﺩ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪ t%‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ G0‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪\" G1‬‬‫ﻴﻌﻨﻲ\"ﻨﺴﺒﺔ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ G‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ G0‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ G1‬ﻫﻲ ‪\"  t%‬‬‫‪ G \" -‬ﻴﻨﺨﻔﺽ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪ t%‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ G0‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‪\" G1‬‬‫ﻴﻌﻨﻲ\"ﻨﺴﺒﺔ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ G‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ G0‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ G1‬ﻫﻲ‬ ‫‪\" t%‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬‫\" ‪ G‬ﻴﺯﺩﺍﺩ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪ t%‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ‪ G0‬ﺇﻟﻰ ‪ \" G1‬ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫‪G1  G0‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪G0‬‬ ‫‪100‬‬‫‪ t‬ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﻨﺴﺒﺔ ﺘﻐﻴﺭ ‪ G‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ‬ ‫¨¨§© ‪100 u‬‬ ‫‪G1  G0‬‬ ‫¸‪¸·¹‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫‪G0‬‬‫ﻤﻥ ‪ G0‬ﺇﻟﻰ ‪ G1‬ﻫﻲ ‪) t%‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ )‪((2‬‬‫‪ t%‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ‪ G0‬ﺇﻟﻰ ‪ \" G1‬ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫\"‪ G‬ﻴﻨﺨﻔﺽ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ‬‫‪  t‬ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺤﺴﺏ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻨﺴﺒﺔ ﺘﻐﻴﺭ ﻤﻘﺩﺍﺭ‬ ‫‪G1  G0‬‬ ‫‬ ‫‪t‬‬ ‫‪G0‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪G1  G0‬‬ ‫‪u100‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫‪G0‬‬‫)ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ )‪\" ((2‬ﻨﺴﺒﺔ ﺘﻐﻴﺭ ‪ G‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ‪ G0‬ﺇﻟﻰ ‪ G1‬ﻫﻲ – ‪\" t%‬‬‫‪ /4‬ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻨﻤﻭ ﺍﻹﺠﻤﺎﻟﻲ ﺒﻤﻌﺭﻓﺔ ﻨﺴﺒﺘﻲ ﻨﻤﻭ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺘﻴﻥ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ t‬ﻭ '‪ t‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ )ﻴﻤﻜﻥ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻨﻬﻤﺎ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻭﺠﺒﺎ ﺃﻭ ﺴﺎﻟﺒﺎ(‬

‫ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ G‬ﻤﻘﺩﺍﺭﺍ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ G2 ,G1,G0‬ﻗﻴﻤﺎ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﻓﻲ ﻭﺤﺩﺓ ﻗﻴﺎﺱ ﻤﻌﻁﺎﺓ‬‫‪ G0 z 0‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻨﺴﺒﺔ ﺘﻐﻴﺭ ‪ G‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ‪ G0‬ﺇﻟﻰ ‪ G1‬ﻫﻲ ‪t%‬‬ ‫ﻭﻜﺎﻨﺕ ﻨﺴﺒﺔ ﺘﻐﻴﺭ ‪ G‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ‪ G1‬ﺇﻟﻰ ‪ G2‬ﻫﻲ ‪ t'%‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪G2‬‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫'‪t‬‬ ‫·¸‬ ‫‪u‬‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪t‬‬ ‫·¸‬ ‫‪u‬‬ ‫‪G0‬‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬‫ﻭﻨﺴﺒﺔ ﺘﻐﻴﺭ ‪ G‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ‪ G0‬ﺇﻟﻰ ‪ G2‬ﻫﻲ ‪ T %‬ﺤﻴﺙ ‪ T‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻕ‬ ‫‪T‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‬ ‫'‪t‬‬ ‫'‪t.t‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪100‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﻓﺭﻀﻴﺘﻲ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻤﺤﻘﻘﺔ ﺘﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫‪G2‬‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫'‪t‬‬ ‫‪·¸¹G1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪G1‬‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪t‬‬ ‫‪·¹¸G0‬‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪G2‬‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫'‪t‬‬ ‫·¸‬ ‫‪u‬‬ ‫¨¨©§‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪t‬‬ ‫‪¸¹·G0‬‬ ‫·‪¸¸¹‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪G2‬‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫'‪t‬‬ ‫·¸‬ ‫‪u‬‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪t‬‬ ‫‪¸·¹G0‬‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬‫‪T‬‬ ‫§¨¨©‬ ‫‪G2  G0‬‬ ‫¸·‪¸¹‬‬ ‫‪u100‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪T‬‬ ‫ﻭ ‪ G2‬ﻭﻫﻲ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪G0‬‬ ‫ﺒﻴﻥ‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻭﻨﺴﺒﺔ ﺘﻐﻴﺭ‬ ‫‪G0‬‬ ‫§¨¨©‬ ‫‪G2  G0‬‬ ‫·‪¸¸¹‬‬ ‫¨§‬ ‫ ‪¨§1‬‬ ‫'‪t‬‬ ‫‪·¸¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪t‬‬ ‫‪¹¸·G0‬‬ ‫‬ ‫‪G0‬‬ ‫¸·‬ ‫‪G0‬‬ ‫¨‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫©‪¹‬‬ ‫‪100‬‬ ‫¸‬ ‫‪u100‬‬ ‫¨‬ ‫¸‬ ‫‪u100‬‬ ‫ﻭﻟﻨﺎ‪:‬‬ ‫¨‬ ‫‪G0‬‬ ‫¸‬ ‫‪©¹‬‬ ‫‪¬ª«¨§©1‬‬ ‫‬ ‫'‪t‬‬ ‫·¸‬ ‫‪u‬‬ ‫‪§¨1‬‬ ‫‬ ‫‪t‬‬ ‫¸·‬ ‫¼‪ 1»º‬‬ ‫‪u100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪¬ª«1‬‬ ‫‬ ‫‪t‬‬ ‫‬ ‫'‪t‬‬ ‫‬ ‫'‪tt‬‬ ‫‬ ‫‪1»¼º‬‬ ‫‪u100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪10000‬‬

‫‪t‬‬ ‫‬ ‫'‪t‬‬ ‫'‪tt‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪T‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 2000‬ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺭﺼﻴﺩ ﺍﻟﻤﺎﻟﻲ ﻟﺸﺨﺹ ‪ 200000‬ﺩﻴﻨﺎﺭ ﺜﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ‬‫‪ 2001‬ﺇﺯﺩﺍﺩ ﺭﺼﻴﺩ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪ 15%‬ﺜﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪2002‬‬ ‫ﺍﻨﺨﻔﺽ ﺭﺼﻴﺩ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪5%.‬‬ ‫ﻫﻨﺎ‪ t 15 :‬ﻭ ‪t' 5‬‬‫‪200000‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪15‬‬ ‫‪·¸§¨1‬‬ ‫‬ ‫‪15‬‬ ‫¸·‬ ‫ﺍﻟﺸﺨﺹ‬ ‫ﺭﺼﻴﺩ‬ ‫ﺃﺼﺒﺢ‬ ‫‪2002‬‬ ‫ﺍﻟﺴﻨﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫©‪¹‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﺩﻴﻨﺎﺭ‬ ‫ﺃﻱ ‪ 200000 u 1,150,95‬ﺩﻴﻨﺎﺭ‬ ‫ﺃﻱ ‪ 218500‬ﺩﻴﻨﺎﺭ‬ ‫ﻭﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 2000‬ﻭ‪ 2002‬ﺘﻁﻭﺭ ﺭﺼﻴﺩ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪T %‬‬ ‫ ‪15 u‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪1000  75‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪9,25‬‬‫ﻤﻨﻪ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 2000‬ﻭﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 2002‬ﺇﺯﺩﺍﺩ ﺭﺼﻴﺩ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ‬ ‫‪9,25%‬‬

‫‪ /5‬ﻤﺅﺸﺭ ﻨﻤﻭ ﻤﻘﺩﺍﺭ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ G‬ﻤﻘﺩﺍﺭﺍ ﺘﺘﻁﻭﺭ ﻤﻊ ﻤﺭﻭﺭ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ d0‬ﺴﻨﺔ ﺘﺅﺨﺫ ﻜﺄﺴﺎﺱ ﻭﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪ G0‬ﻗﻴﻤﺔ ‪ G‬ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ – ‪ d0‬ﺤﻴﺙ‪ G0 z 0 :‬‬‫\"ﺍﻟﻤﺅﺸﺭ ﺃﺴﺎﺱ ‪ 100‬ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ \" d0‬ﻟﻠﻤﻘﺩﺍﺭ ﻓﻲ ﺴﻨﺔ ‪ d‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻕ ‪Id‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪d‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ‬ ‫‪Gd‬‬ ‫ﺃﻴﻥ‬ ‫‪G0‬‬ ‫‪Gd‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪Id‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﺘﻁﻭﺭ ﺴﻌﺭ ﺒﻀﺎﻋﺔ ‪ A‬ﺒﻌﻤﻠﺔ ﻤﻌﻁﺎﺓ‬ ‫‪ 1978 1979 1980 1981 1982‬ﺍﻟﺴﻨﺔ‬ ‫‪ 1580 1767 1997 2315 2648‬ﺍﻟﺴﻌﺭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺅﺸﺭ ﺃﺴﺎﺱ ‪100‬‬ ‫‪132 ,6‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪1980‬‬ ‫ﻟﺴﻌﺭ ﺍﻟﺒﻀﺎﻋﺔ ‪A‬‬‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪I1982 u1997 2648 u100‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪1997 2648‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ :‬ﻤﺜﻼ‪:‬‬ ‫‪100 I1982‬‬ ‫‪| 132,6 I1982‬‬ ‫‪264800‬‬ ‫‪1997‬‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪1‬‬ ‫ﺃﻭﻻ‪ :‬ﺍﻟﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ‪:‬‬ ‫‪ 22% /1‬ﻤﻥ ‪ 0,5% /2 ، 354‬ﻤﻥ ‪ 135 /3 ، 351,21‬ﻤﻥ ‪1271,55‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬‫ﺴﺄل ﻨﺒﻴل ﺘﺎﺠﺭﺍ ﻋﻠﻰ ﺴﻌﺭ ﺒﻀﺎﻋﺔ ﻓﺄﺠﺎﺒﻪ ﺍﻟﺘﺎﺠﺭ \" ‪ 3,1%‬ﻤﻥ ‪\" 3720DA‬‬‫ﻓﻘﺎل ﻨﺒﻴل‪ \":‬ﺍﻟﺴﻌﺭ ﻤﺭﺘﻔﻊ\" ﻓﺴﺄل ﺍﻟﺘﺎﺠﺭ \" ﻫل ﺘﻔﻀل ﺃﻥ ﺃﺒﻴﻊ ﻟﻙ ﺒـ ‪ 81%‬ﻤﻥ‬ ‫‪ 143DA‬؟\"‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﻌﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﻴﻥ‪ ،‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺴﻌﺭ ﺍﻷﻗل ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﺎ ؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:3‬‬ ‫ﻴﺘﻜﻭﻥ ﻗﺴﻡ ﺩﺭﺍﺴﻲ ﻤﻥ ‪ 13‬ﻭﻟﺩﺍ ﻭ‪ 19‬ﺒﻨﺘﺎ‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ‪ ،‬ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﺍﻟﻘﺴﻡ‪ ،‬ﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:4‬‬‫‪ ، 75%‬ﻤﻥ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﻓﺭﻴﻕ ﺘﺭﺒﻭﻱ‪ ،‬ﻨﺴﺎﺀ ﻭ ‪ 15%‬ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﺘﺩﺭﺴﻨﺎ‬ ‫ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‪.‬‬‫‪ -‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﻤﺩﺭﺴﺎﺕ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺠﻤﻴﻊ‬ ‫ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ؟‬

‫ﺜﺎﻨﻴﺎ‪ :‬ﺍﻟﺘﻁﻭﺭﺍﺕ ﺒﺎﻟﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬‫ﺃﻋﻁ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﺘﻁﻭﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻀﺭﺏ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬‫ﻓﻲ ‪ x‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪، x 1,001 ، x 1,7 ، x 0,5 :‬‬ ‫‪x 0,3 ، x 2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:6‬‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ G1‬ﺜﻡ ﺘﻁﻭﺭﺕ ﻓﺄﺼﺒﺤﺕ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪G2‬‬ ‫‪ .1‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ G2‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ G1‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫‪ .2‬ﺃﻋﻁ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻟﻠﺘﻁﻭﺭ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ )‪(c) ، (b) ، (a‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫)‪ (a) (b) (c‬ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‬ ‫‪G1 417 321 116‬‬ ‫‪G2 511 135 57‬‬ ‫ﺴﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻨﺴﺏ ﻤﺩﻭﺭﺓ ﺇﻟﻰ ‪101‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:7‬‬‫‪ 1‬ﺇﺫﺍ ﺇﺯﺩﺍﺩﺕ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪ 5%‬ﺜﻡ ﻨﻘﺼﺕ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪ 5%‬ﻫل ﻋﺎﺩﺕ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ؟‬‫‪ 2‬ﺇﺯﺩﺍﺩﺕ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪ 2%‬ﺜﻡ ﺇﺯﺩﺍﺩﺕ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪ 3%‬ﻓﻤﺎ ﻫﻲ ﻨﺴﺒﺔ ﺘﻁﻭﺭ‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺘﻁﻭﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﻴﻥ؟‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:8‬‬‫ﻗﺼﺩ ﺍﻟﻘﻴﺎﻡ ﺒﺘﺤﺎﻟﻴل ﻋﻠﻰ ﻤﺎﺩﺓ ﺴﺎﺌﻠﺔ‪ ،‬ﻁﻠﺏ ﺼﻴﺩﻟﻲ ﻤﻥ ﻤﺴﺎﻋﺩﻩ ﺃﻥ ﻴﻀﻊ ﻨﻔﺱ‬‫ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ﻓﻲ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ‪ 3‬ﺃﻨﺎﺒﻴﺏ ‪ T1,T2 ,T3‬ﻭﻗﺒل ﺃﻥ ﻴﺒﺩﺃ ﺍﻟﺼﻴﺩﻟﻲ‬‫ﻋﻤﻠﻴﺘﻪ‪ ،‬ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻷﻨﺒﻭﺏ ‪ T1‬ﺯﺍﺌﺩﺓ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪ 10%‬ﻋﻤﺎ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ‬‫ﺘﻜﻭﻥ ﻋﻠﻴﻪ ﻭﺃﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻷﻨﺒﻭﺏ ‪ T3‬ﻨﺎﻗﺼﺔ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪ 8%‬ﻋﻤﺎ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ‬‫ﻋﻠﻴﻪ ﻭﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻷﻨﺒﻭﺏ ‪ T2‬ﻤﻀﺒﻭﻁﺔ ﻓﻁﻠﺏ ﺍﻟﺼﻴﺩﻟﻲ ﻤﻥ ﻤﺴﺎﻋﺩﻩ ﺃﻥ‬‫ﻴﺼﺤﺢ ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ ﻭﻗﺼﺩ ﺫﻟﻙ‪ ،‬ﺃﻓﺭﻍ ‪ 10%‬ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻜﺎﻨﺕ ﻓﻲ ﺍﻷﻨﺒﻭﺏ‬ ‫‪ T1‬ﻭﺯﺍﺩ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻜﺎﻨﺕ ﻓﻲ ﺍﻷﻨﺒﻭﺏ ‪ 8% T3‬ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻜﺎﻨﺕ ﻓﻴﻪ‪.‬‬‫ﻫل ﺃﺼﺒﺤﺕ ﺍﻷﻨﺎﺒﻴﺏ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﺘﺤﺘﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ؟ ﻭﻀﺢ ﺇﺠﺎﺒﺘﻙ‬ ‫ﺒﺎﻷﺭﻗﺎﻡ!!‬ ‫ﺍﻟﻤﺅﺸﺭﺍﺕ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 9‬‬‫ﻓﻲ ﺴﻨﺔ ‪ 1980‬ﺒﻠﻐﺕ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ 350‬ﻭﻓﻲ ﺴﻨﺔ ‪ 1991‬ﺒﻠﻐﺕ ﻗﻴﻤﺔ ﻫﺫﺍ‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ‪1123‬‬‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺅﺸﺭ‪ ،‬ﺃﺴﺎﺱ ‪ 100‬ﻓﻲ ﺴﻨﺔ ‪ ،1980‬ﻟﻠﺴﻨﺔ ‪ 1991‬ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ﻫﺫﺍ‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ؟‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:10‬‬‫ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺍﺕ ﻟﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﻔﻼﺫ‪ ،‬ﻟﺒﻠﺩ ‪) ، x‬ﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺂﻻﻑ ﺍﻷﻁﻨﺎﻥ( ﻜﺎﻨﺕ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪ 1986 1987 1988 1989 1990‬ﺍﻟﺴﻨﺔ‬ ‫‪ 1677 1611 1929 1680 2109‬ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﺭﺩﺓ‬‫ﺍﻟﻤﺅﺸﺭ ﺃﺴﺎﺱ ‪ 100‬ﺴﻨﺔ‬ ‫‪1986‬‬‫ﻨﺄﺨﺫ ﻜﺄﺴﺎﺱ ‪ 100‬ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ ،1986‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺅﺸﺭ ﻟﻜل ﺴﻨﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻨﻭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﺨﻤﺱ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺴﺘﺭﺍﺩ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:11‬‬‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﺘﻁﻭﺭ ﺍﻟﺴﻌﺭ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻘﺩﺭ ﺒﻌﻤﻠﺔ ‪ ، d‬ﻟﻤﻨﺘﻭﺝ ‪ p‬ﻭﻓﻴﻪ‬ ‫ﺍﻟﺴﻨﺔ‬ ‫‪1994‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺅﺸﺭﺍﺕ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 1996‬ﻜﺄﺴﺎﺱ ‪،100‬‬ ‫ﺍﻟﺴﻌﺭ‬ ‫‪1495‬‬ ‫‪1995 1996 1997 1998 1999‬‬‫ﺍﻟﻤﺅﺸﺭ‬ ‫‪1510‬‬ ‫‪1628,5‬‬ ‫‪99,238‬‬ ‫‪103,64‬‬ ‫‪109,5‬‬ ‫ﺃﻨﻘل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺜﻡ ﺃﻜﻤﻠﻪ‪.‬‬

‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪1‬‬ ‫ﺃﻭﻻ‪ :‬ﺍﻟﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬ ‫‪ 1‬ﺤﺴﺎﺏ ‪ 22%‬ﻤﻥ ‪: 354‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ‪ ،‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪354‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪77,88‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪ 2‬ﺤﺴﺎﺏ ‪ 0,5%‬ﻤﻥ ‪: 351,21‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ b‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ‪ ،‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪351,21u‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫‪1,75605‬‬ ‫‪100‬‬‫‪ 3‬ﺤﺴﺎﺏ ‪ 136%‬ﻤﻥ ‪1271,55‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ c‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ‪ ،‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬‫‪c‬‬ ‫‪1271,55‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪136‬‬ ‫‪1729,308‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬‫ﺍﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﺴﻌﺭ ﺍﻷﻗل ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﺎ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﻌﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﻴﻥ‪:‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ‪ a‬ﺍﻟﺴﻌﺭ ﺍﻷﻭل ﺍﻟﺫﻱ ﺍﻗﺘﺭﺤﻪ ﺍﻟﺘﺎﺠﺭ‬‫ﻭﻨﺴﻤﻲ ‪ b‬ﺍﻟﺴﻌﺭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﺍﻗﺘﺭﺤﻪ ﺍﻟﺘﺎﺠﺭ‪ ،‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪3720‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪3,1‬‬ ‫‪115,32‬‬ ‫‪100‬‬‫ﺃﻱ ﺍﻟﺴﻌﺭ ﺍﻷﻭل ﻫﻭ‪115,32DA :‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪143‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪115,83‬‬ ‫‪100‬‬

‫ﺃﻱ ﺍﻟﺴﻌﺭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻫﻭ‪115,83DA :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺴﻌﺭ ﺍﻷﻭل ﻫﻭ ﺍﻟﺴﻌﺭ ﺍﻷﻗل ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﺎ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﻌﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:3‬‬‫ﻗﺴﻡ ﺩﺭﺍﺴﻲ ﻴﺘﻜﻭﻥ ﻤﻥ‪ 13 :‬ﻭﻟﺩ ﻭ‪ 19‬ﺒﻨﺕ‬‫ﺍﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ‪ ،‬ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﺍﻟﻘﺴﻡ‪ ،‬ﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ‬‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﻫﻭ‪19 :‬‬‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﻫﻭ‪32 :‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬‫ﻫﻭ‪0,59375 :‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﺒﻨﺎﺕ‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺘﻼﻤﻴﺫ ﺍﻟﻘﺴﻡ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ ﻫﻲ‪59,375% :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:4‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻓﺭﻴﻕ ﺘﺭﺒﻭﻱ ﺤﻴﺙ‪ 75% :‬ﻤﻥ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ﻨﺴﺎﺀ‬ ‫‪ 15%‬ﻤﻥ ﻨﺴﺎﺀ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ﺘﺩﺭﺱ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬‫ﺍﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﻤﺩﺭﺴﺎﺕ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺠﻤﻴﻊ ﺃﻋﻀﺎﺀ‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ‪.‬‬ ‫ﻨﻘﺘﺭﺡ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﻟﺘﻭﻀﻴﺢ ﺍﻟﺘﺩﺭﺝ‪.‬‬

‫ﻋﺩﺩ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺒﻭﻱ‬‫‪ 25%‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ‬ ‫‪ 75%‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺒﻭﻱ ﺭﺠﺎل‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺒﻭﻱ ﻨﺴﺎﺀ‬ ‫‪ 15%‬ﻤﻥ ﻨﺴﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺒﻭﻱ ﺘﺩﺭﺴﻥ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬ ‫ﻟﻨﺴﻤﻲ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ﺍﻟﺘﺭﺒﻭﻱ‬ ‫ﻭﻨﺴﻤﻲ ‪ n1‬ﻋﺩﺩ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ﺍﻟﺘﺭﺒﻭﻱ‪.‬‬‫ﻭﻨﺴﻤﻲ ‪ n2‬ﻋﺩﺩ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ﺍﻟﺘﺭﺒﻭﻱ ﺍﻟﻼﺘﻲ ﺘﺩﺭﺴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪1125‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪0,1125n‬‬ ‫‪10000‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ ﻫﻲ‪11,25 :‬‬

‫ﺜﺎﻨﻴﺎ‪ :‬ﺍﻟﺘﻁﻭﺭﺍﺕ ﺒﺎﻟﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬‫ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﺘﻁﻭﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻀﺭﺏ ﻫﺫﻩ‬‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﻓﻲ ‪ x‬ﻭﻫﺫﺍ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ ϑ‬ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ‪ ،‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬‫‪ -‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪ x 0,5‬ﻨﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﺘﻁﻭﺭ ‪ϑ‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻤﻭ ‪50%‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ϑ‬‬‫‪ -‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪ x 1,7‬ﻨﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﺘﻁﻭﺭ ‪ϑ‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻤﻭ ‪170%‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ϑ‬‬‫‪ -‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪ x 1,001‬ﻨﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﺘﻁﻭﺭ ‪ϑ‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻤﻭ‬ ‫‪ 100,1%‬ﻤﻥ ‪ϑ‬‬‫‪ -‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪ x 2‬ﻨﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﺘﻁﻭﺭ ‪ϑ‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻤﻭ ‪200%‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ϑ‬‬‫‪ -‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪ x 0,3‬ﻨﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﺘﻁﻭﺭ ‪ϑ‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻤﻭ ‪30%‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ϑ‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:6‬‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ G1‬ﺜﻡ ﺘﻁﻭﺭﺕ ﻓﺄﺼﺒﺤﺕ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪G2‬‬‫‪ 1‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ G2‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ G1‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺘﺯﺍﻴﺩ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪5%‬‬‫‪G2‬‬ ‫‪G1‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪G1‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪G1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪ -‬ﺘﺯﺍﻴﺩ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪13%‬‬

‫‪G2‬‬ ‫‪G1‬‬ ‫‬ ‫‪13‬‬ ‫‪G1‬‬ ‫‪113‬‬ ‫‪G1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻨﺎﻗﺹ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪3%‬‬‫‪G2‬‬ ‫‪G1‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪G1‬‬ ‫‪97‬‬ ‫‪G1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻨﺎﻗﺹ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪0,7%‬‬‫‪G2‬‬ ‫‪G1‬‬ ‫‬ ‫‪0,7‬‬ ‫‪G1‬‬ ‫‪99,3‬‬ ‫‪G1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬‫‪ 2‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻟﻠﺘﻁﻭﺭ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ )‪(c) ، (b) ، (a‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫)‪ (a) (b) (c‬ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‬‫‪G1 417 321 116‬‬‫‪G2 511 135 57‬‬‫‪ 22,5 -57,9‬ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻟﻠﺘﻁﻭﺭ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪50,9‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:7‬‬‫‪ 1‬ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺇﺯﺩﺍﺩﺕ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪ 5%‬ﺜﻡ ﻨﻘﺼﺕ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪ 5%‬ﻫل ﻋﺎﺩﺕ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ؟‬‫ﺃﻨﻅﺭ ﺃﻱ \"ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ \"3‬ﻤﻥ ﺍﻷﻨﺸﻁﺔ ﺍﻟﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‪.‬‬‫‪ 2‬ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺇﺯﺩﺍﺩﺕ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪ 2%‬ﺜﻡ ﺇﺯﺩﺍﺩﺕ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪ 3%‬ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﺍﻴﺠﺎﺩ‬‫ﻨﺴﺒﺔ ﺘﻁﻭﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺘﻁﻭﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﻴﻥ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ B0‬ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﻗﺒل ﺍﻟﺯﻴﺎﺩﺓ‬‫ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ B1‬ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺯﻴﺎﺩﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬‫ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ B2‬ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺯﻴﺎﺩﺓ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‬

‫‪B2‬‬ ‫‪B1‬‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫¸·‬ ‫ﻭ‬ ‫‪B1‬‬ ‫‪B0‬‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫¸·‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪B2‬‬ ‫‪B1‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪103‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪B1‬‬ ‫‪B0‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪102‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪B2‬‬ ‫‪103‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪103‬‬ ‫‪B0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ t‬ﻨﺴﺒﺔ ﺘﻁﻭﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫ ‪B2‬‬ ‫‪B0‬‬ ‫§¨‬ ‫‪103‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪102‬‬ ‫¸· ‪ 1‬‬ ‫‪B0‬‬ ‫¨‬ ‫‪100‬‬ ‫¸‬ ‫‪t‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪100 u‬‬ ‫©¨¨‬ ‫‪100‬‬ ‫¸¸‪¹‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪103 u 102‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪104,06 :‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻨﺴﺒﺔ ﺘﻁﻭﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﻫﻲ‪104,06% :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:8‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ‪ C‬ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻓﻲ ﻜل ﺃﻨﺒﻭﺏ ﻤﻥ ﺍﻷﻨﺎﺒﻴﺏ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ‪T1,T2 ,T3‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ‪ C1‬ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻌﻼ ﻓﻲ ﺍﻷﻨﺒﻭﺏ ‪T1‬‬ ‫ﻭ ‪ C3‬ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻌﻼ ﻓﻲ ﺍﻷﻨﺒﻭﺏ ‪T3‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫‪C¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪10‬‬ ‫·¸‬ ‫‪110‬‬ ‫‪C‬‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪C3‬‬ ‫‪C¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪8‬‬ ‫·¸‬ ‫‪92‬‬ ‫‪C‬‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪100‬‬‫ﻭﻨﺴﻤﻲ‪ C'1 :‬ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺼﺒﺢ ﻓﻲ ﺍﻷﻨﺒﻭﺏ ‪ T1‬ﺒﻌﺩ ﻤﺤﺎﻭﻟﺔ ﺍﻟﺘﻌﺩﻴل‬‫ﻭ ‪ C'3‬ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺼﺒﺢ ﻓﻲ ﺍﻷﻨﺒﻭﺏ ‪ T3‬ﺒﻌﺩ ﻤﺤﺎﻭﻟﺔ ﺍﻟﺘﻌﺩﻴل‬

‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬‫‪C '1‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪10‬‬ ‫·¸‬ ‫‪90‬‬ ‫‪C‬‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪100‬‬‫‪C'3‬‬ ‫‪C3‬‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪8‬‬ ‫·¸‬ ‫‪108 C‬‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪100‬‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪ :‬ﺒﻌﺩ ﺃﻥ ﺤﺎﻭل ﻤﺴﺎﻋﺩ ﺍﻟﺼﻴﺩﻟﻲ ﺘﺼﺤﻴﺢ ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ ﻟﻡ ﺘﺼﺒﺢ ﺍﻷﻨﺎﺒﻴﺏ‬ ‫ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:9‬‬‫‪ -‬ﺍﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﺅﺸﺭ ﺃﺴﺎﺱ ‪ 100‬ﻓﻲ ﺴﻨﺔ ‪ 1980‬ﻟﻠﺴﻨﺔ ‪.1991‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ‪ Id‬ﺍﻟﻤﺅﺸﺭ ﺃﺴﺎﺱ ‪ 100‬ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ‪ 1980‬ﻟﻠﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﻤﻌﻁﻰ ﻓﻲ ﺴﻨﺔ‬ ‫‪.1991‬‬‫ﻨﻀﻊ‪ G0 350 :‬ﻭ‪Gd 1123‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪G0 Gd‬‬ ‫‪100 I d‬‬ ‫‪Id‬‬ ‫‪Gd‬‬ ‫‪u100‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪G0‬‬ ‫‪1123‬‬ ‫‪u100‬‬ ‫‪350‬‬ ‫‪| 320,86‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:10‬‬‫ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺘﺒﺎﻉ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺭﺍﺤل ﻭﻜﺫﺍ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺼﻴﺎﻏﺔ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪9‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:11‬‬

‫‪ -‬ﻨﻘل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻤﻊ ﺇﻜﻤﺎﻟﻪ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺴﻨﺔ‬ ‫‪1994‬‬ ‫‪1995‬‬ ‫‪1996‬‬ ‫‪1997‬‬ ‫‪1998‬‬ ‫‪1999‬‬ ‫ﺍﻟﺴﻌﺭ‬ ‫‪1495‬‬ ‫‪1498,5‬‬ ‫‪1510‬‬ ‫‪1564,96‬‬ ‫‪1628,5‬‬ ‫‪1653,45‬‬‫ﺍﻟﻤﺅﺸﺭ‬ ‫‪99,007‬‬ ‫‪99,238‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪103,64‬‬ ‫‪107,85‬‬ ‫‪109,5‬‬ ‫‪G0‬‬ ‫‪Gd‬‬ ‫ﺇﻜﻤﺎل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺘﻡ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪Id‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪G0 u I d 100 u Gd ........(*) :‬‬ ‫‪Gd‬‬ ‫‪G0 u I d‬‬ ‫ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺍﻟﺴﻌﺭ‪ ،‬ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )*( ﺘﺼﺒﺢ‪:‬‬ ‫‪100‬‬‫‪Id‬‬ ‫‪100 u Gd‬‬ ‫ﻭﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺅﺸﺭ‪ ،‬ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )*( ﺘﺼﺒﺢ‪:‬‬ ‫‪G0‬‬

‫ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ‪: 02‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﻭ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‬‫‪-‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﺎﺼﺔ ﺜﻼﺜﺔ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﻭ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‬ ‫‪-‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻭﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ‬ ‫‪-‬ﺤﺴﺎﺏ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﻭ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‬ ‫‪-‬ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﻭ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‬ ‫‪-‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﻭﻀﻌﻴﺎﺕ ﻴﺅﻭل ﺤﻠﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﻭ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺍﻨﺸﻁﺔ‬ ‫‪ /1‬ﻋﻤﻭﻤﻴﺎﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ /2‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ /3‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪2‬‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪2‬‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ : 01‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬‫ﺇﻟﺘﻘﻁ ﺸﺨﺹ ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺍﻟﺤﺭﺍﺭﺓ ﻓﻲ ﻤﻜﺎﻥ ﻤﺎ ﻭﺫﻟﻙ ﻴﻭﻤﻴﺎ ﻭﺨﻼل ﺴﺒﻌﺔ ﺃﻴﺎﻡ‬‫ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻓﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ‪ ،‬ﻤﺭﺘﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﺤﺴﺏ ﺘﺭﺘﻴﺏ‬ ‫ﺇﻟﺘﻘﺎﻁﻬﺎ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪. 20,5% ،18q ،17q ،14,5q ،14q ،16 ,5 ،15q :‬‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ‪ ،‬ﻀﻤﻨﻴﺎ‪ ،‬ﺃﻥ ﻭﺤﺩﺓ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺤﺭﺍﺭﺓ ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ‪ ،‬ﻭﻨﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﻭﺯ‬‫‪ T1,T2 ,T3 ,T4 ,T5 ,T6 ,T7‬ﺇﻟﻰ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺍﻟﺤﺭﺍﺭﺓ ﺍﻟﻤﻠﺘﻘﻁﺔ‬‫ﻓﻲ ﺍﻷﻴﺎﻡ‪ :‬ﺍﻟﺴﺎﺒﻊ‪ ،‬ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ‪ ،‬ﺍﻟﺨﺎﻤﺱ‪ ،‬ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ‪ ،‬ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪ ،‬ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‪ ،‬ﺍﻷﻭل ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪n 1234567‬‬ ‫‪Tn‬‬‫‪ 2‬ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻴﻌﺭﻑ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ‪ : f‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬؟‬‫ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ‪ ،‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﺤﺘﻭﻱ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬؟‬ ‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﻴﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪n 123 45 67‬‬ ‫‪Tn 20,5 18 17 14,5 14 16,5 15‬‬

‫‪ 2‬ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ D‬ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬‫`‪ D ^1,2,3,4,5,6,7‬ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ‪ n‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪ D‬ﺍﻟﻌﺩﺩ )‪f (n‬‬‫ﺒﺤﻴﺙ‪ f (n) Tn :‬ﻭﺃﺼﻐﺭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﺘﻭﻱ ‪ D‬ﻫﻲ‬ ‫‪ ، N‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ‪.‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﺤﺩﺴﻴﺎ‪ ،‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻔﻜﺭ \" ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ T1,T2 ,T3 ,T4 ,T5 ,T6 ,T7‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ‬‫ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ\" ﻨﻔﻜﺭ ﻜﺫﻟﻙ \"ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ\" ﻭﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﺍﻟﺫﻱ‬‫ﻴﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﺴﻲ ﻴﻌﺭﻑ ﻜﺎﺌﻨﺎ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺘﻴﺎ ﻭﻫﻭ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﺯﺌﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ، N‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬ ‫ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ : 02‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ‪ ،‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ ، N‬ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺸﺭﻁﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻥ‪:‬‬ ‫ﺼﻭﺭﺓ ‪ 0‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ‪(1)......... 3‬‬‫ﻭﺼﻭﺭﺓ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ p‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﺴﺎﻭﻱ )ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪ f‬ﻟﻠﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﺴﺒﻕ ‪(2)........... ( p‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 1‬ﻭ‪.2‬‬ ‫‪ 2‬ﻋﺒﺭ ﻋﻥ ﺍﻟﺸﺭﻁﻴﻥ )‪ (1‬ﻭ)‪ (2‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ ﺍﻟﺨﺎﺹ ﺒﺎﻟﺩﻭﺍل‬‫‪ 3‬ﻫل ﺍﻟﺸﺭﻁﻴﻥ )‪ (1‬ﻭ)‪ (2‬ﻴﻤﻜﻨﺎﻥ ﻤﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺼﻭﺭﺓ ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬؟‬

‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬‫‪ 1‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ 1‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ )ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻠﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺍﻟﺫﻱ‬‫ﻴﺴﺒﻕ ‪ (1‬ﻭﻫﻲ ‪  32‬ﻭﻫﻲ ‪ ،9‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ 2‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ )ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻠﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺒﻕ ‪ (2‬ﻭﻫﻲ ‪ 92‬ﻭﻫﻲ ‪.81‬‬‫‪ 2‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺭﻤﻭﺯ‪ f (0) 3 :‬ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ‪ p‬ﻓﻲ * ‪: N‬‬‫))‪ ، f ( p) ( f ( p 1‬ﺃﻭ‪ f (0) 3 :‬ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n‬ﻓﻲ ‪: N‬‬ ‫‪f (n  1) ( f (n))2‬‬‫‪ 3‬ﻤﺜﻠﻤﺎ ﺤﺴﺒﻨﺎ )‪ f (1‬ﻭ )‪ f (2‬ﻴﻤﻜﻥ ﺤﺴﺎﺏ )‪ f (3‬ﻭ )‪ f (4‬ﻭﺼﻭﺭﺓ ﺃﻱ‬‫ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭﻟﻜﻥ ﻟﺤﺴﺎﺏ )‪ ، f (100‬ﻤﺜﻼ‪ ،‬ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺼﻭﺭ‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ﻟﺠﻤﻴﻊ ﺍﻻﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪ 99‬ﻗﺒل ﺫﻟﻙ‪.‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺘﺒﻨﺎ ‪ U n‬ﺒﺩﻻ ﻤﻥ )‪ f (n‬ﻥ ﺍﻟﺸﺭﻁﺎﻥ )‪ (1‬ﻭ)‪ (2‬ﻴﺼﺒﺤﺎﻥ‪:‬‬ ‫‪ U 0 3‬ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n‬ﻓﻲ ‪U n1 U 2n : N‬‬‫ﻭﻫﺫﺍﻥ ﺍﻟﺸﺭﻁﺎﻥ ﻴﻌﺭﻓﺎﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ U‬ﺃﻭ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‬‫ ‪ U n‬ﺃﻭ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪  U n nN‬ﻭ\"ﺼﻭﺭﺓ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ \" f‬ﺘﺴﻤﻰ \" ﺤﺩﺍ ﻤﻥ ﺤﺩﻭﺩ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪\" U n‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ : 03‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺤﻴﺙ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻁﻭل ﻫﻲ ‪ 1cm‬ﻭﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ‪1cm2‬ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ‬‫ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ  ‪ 0, I, J‬ﻨﺴﻤﻲ ‪ x' x‬ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻭ‪D‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺒﺴﻁﺔ ‪. y 2x‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ n‬ﻨﺴﻤﻲ ‪ An‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ‪ x' x‬ﺍﻟﺘﻲ‬‫ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ ، n‬ﻭﻨﺴﻤﻲ ‪ Bn‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ‪ D‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪) n‬ﻟﻨﺎ ﺇﺫﻥ‪:‬‬ ‫)‪ An (n,0‬ﻭ )‪( Bn (n,2n‬‬‫‪ 1‬ﺃﻨﺸﺊ ﺸﻜﻼ ﺘﺒﺭﺯ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪A1, A2 , A3 , A4 , B1, B2 , B3 , B4‬‬‫‪ 2‬ﻨﺴﻤﻲ ‪ S0‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ S1 ، 0A1B1‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺸﺒﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﺭﻑ‬‫‪ S2 ، A1 A2 B2 B1‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺸﺒﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﺭﻑ ‪ ، A2 A3B3B2‬ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ‬ ‫‪ n‬ﻤﻥ * ‪ N‬ﻨﺴﻤﻲ ‪ Sn‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺸﺒﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﺭﻑ ‪An An1Bn1Bn‬‬‫أ‪ .‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪، S2  S1 ....... ، S1  S0 ...... ، S0 ..... :‬‬ ‫‪Sn1  Sn‬‬ ‫‪.......‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ‪ Sn‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪n‬‬ ‫ب‪.‬‬‫ﺃﺤﺴﺏ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪0An1Bn1‬‬ ‫ت‪.‬‬

‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪B4‬‬ ‫‪B3‬‬ ‫‪B2‬‬ ‫‪S1 S2‬‬‫‪B1 S0‬‬‫‪S0‬‬ ‫‪A1 A2 A 3 A 4‬‬ ‫‪An An+‬‬‫‪ 1‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ‪ A1 A2C1B1‬ﻫﻲ ‪ 2 u1‬ﻭﻫﻲ ‪ 2‬ﻭﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪0A1B1‬‬‫ﻫﻲ ﻨﺼﻑ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ‪ A1 A2C1B1‬ﻤﻨﻪ ‪، S1  S0 2 ، S0 1‬‬ ‫‪Sn1  Sn 2 ، S2  S1 2‬‬

‫‪ -‬ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻨﻪ‪ :‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻤﺜﻠﺙ ﺘﺴﺎﻭﻱ‪:‬‬ ‫)ﻁﻭل ﻀﻠﻊ(‪) x‬ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻕ ﺒﺎﻟﻀﻠﻊ(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -‬ﻭﻤﺴﺎﺤﺔ ﺸﺒﻪ ﻤﻨﺤﺭﻑ ﺘﺴﺎﻭﻱ‪:‬‬‫)ﻁﻭل ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ ‪ +‬ﻁﻭل ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﺼﻐﻴﺭﺓ(‪ x‬ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ‬ ‫‪2‬‬‫ﺏ‪ .‬ﻟﻤﺎ ‪ n z 0‬ﻫﻲ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺸﺒﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﺭﻑ ‪ An An1Bn1Bn‬ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪ Sn‬‬ ‫‪1u An Bn  An1Bn1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪2n  2(n  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Sn 2n 1‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ S0 1‬ﻤﻨﻪ ‪S0 2 u 0  1‬‬‫ﻤﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪Sn 2n 1 : n‬‬‫‪An1Bn1 u 0 An1‬‬ ‫ﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫‪0 An1Bn1‬‬ ‫ﺠـ‪ .‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪2(n  1) u (n  1‬‬ ‫ﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫‪2‬‬‫ﻤﻨﻪ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ 0An1Bn1‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪n  12‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬‫‪ x‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ  ‪ Sn‬ﺘﺤﻘﻕ‪ \":‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪: n‬‬ ‫‪ \" Sn1 Sn  2‬ﻟﺫﺍ ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ Sn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ <ﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪2‬‬

‫‪ x‬ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪Sn 2n  S0 : N‬‬‫‪ x‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ 0An1Bn1‬ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪S0  S1  S2  .......  Sn‬‬‫ﻤﻨﻪ ‪S0  S1  S2  .......  Sn (n  1)2‬‬‫ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ﻋﺩﺩ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺭﻑ ﺍﻷﻭل ﻫﻭ ‪n 1‬‬‫‪S0  S1  S2  .......  Sn‬‬ ‫‪S 0‬‬ ‫‪ S1 n  1‬‬ ‫ﻭﺃﻥ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :04‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺃﻭل ﺠﺎﻨﻔﻲ ‪ 1990‬ﻜﺎﻥ ﺴﻌﺭ ﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻴﺔ ‪ 30000DA‬ﻭﺘﻁﻭﺭ‬‫ﺍﻟﺘﻜﻨﻭﻟﻭﺠﻴﺎ ﻴﺠﻌل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺴﻌﺭ ﻴﻨﻘﺹ ﻓﻲ ﻜل ﺴﻨﺔ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪ ، 2%‬ﻤﻊ ﺍﻟﻌﻠﻡ‬ ‫ﺃﻥ ﺘﻐﻴﻴﺭ ﺍﻟﺴﻌﺭ ﻴﺘﻡ ﻓﻲ ﺃﻭل ﺠﺎﻨﻔﻲ ﻤﻥ ﻜل ﺴﻨﺔ ﻓﻘﻁ!!‬ ‫‪ 1‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻀﺭﺏ ﺴﻌﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ﻓﻲ ﻜل ﺴﻨﺔ؟‬‫‪ 2‬ﻜﻡ ﻜﺎﻥ ﺴﻌﺭ ﻋﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ﻓﻲ ‪1991/01/01‬؟ ﻓﻲ‬ ‫‪1994/01/01‬؟‬‫‪ 3‬ﺃﺤﺴﺏ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، n‬ﺴﻌﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ﻓﻲ‬ ‫‪1990  n/01/01‬‬‫‪ 4‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل \"ﻤﺤﺎﻭﻻﺕ\" ﻭﺁﻟﺔ ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ﺃﺠﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﻭﺍل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫ﺇﺒﺘﺩﺍﺀﺍ ﻤﻥ ﺃﻭل ﺠﺎﻨﻔﻲ ﻤﻥ ﺃﻱ ﺴﻨﺔ ﻴﺼﺒﺢ ﺴﻌﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ﺃﻗل‬ ‫ﻤﻥ ‪15000DA‬‬‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬

‫‪ 1‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺤﻭل ﺍﻟﺘﻁﻭﺭ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ‪ ،‬ﻓﻲ ﻜل ﺴﻨﺔ ﻴﻀﺭﺏ ﺍﻟﺴﻌﺭ ﻓﻲ‬‫‪. 0,98‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺴﻌﺭ‬ ‫ﻴﻀﺭﺏ‬ ‫ﺴﻨﺔ‪،‬‬ ‫ﻜل‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻭﺇﺫﻥ‬ ‫‪¨§1‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫·¸‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪ 2‬ﺒﺎﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﻷﺴﻌﺎﺭ ﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﺩﻨﺎﻨﻴﺭ‪:‬‬‫ﻓﻲ ‪ 1991/01/01‬ﻜﺎﻥ ﺴﻌﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ )‪30000 u (0,98‬‬‫ﻓﻲ‪ 1992/01/01‬ﻜﺎﻥ ﺴﻌﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ‪(30000 u 0,98) u 0,98‬‬ ‫ﻓﻲ‪ 1993/01/01‬ﻜﺎﻥ ﺴﻌﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ‬ ‫)‪(30000 u 0,98 u 0,98) u (0,98‬‬ ‫ﻓﻲ‪1994/01/01‬‬‫ﻜﺎﻥ ﺴﻌﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ )‪(30000 u 0,98u 0,98u 0,98) u (0,98‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻓﻲ ‪ 1991/01/01‬ﻜﺎﻥ ﺴﻌﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ‪29400DA‬‬ ‫ﻭﻓﻲ ‪ 1994/01/01‬ﻜﺎﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺴﻌﺭ ‪27671,0448DA‬‬ ‫‪1990  n......‬‬ ‫‪1990  2‬‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﺇﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫‪30000u (0,98)n ..‬‬ ‫‪30000u (0,98)2‬‬ ‫ﻓﻲ ﺃﻭل ‪1990  1 1990 0‬‬ ‫ﺠﺎﻨﻔﻲ‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺴﻨﺔ‬ ‫‪30000u (0,98)1‬‬ ‫ﺍﻟﺴﻌﺭ‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﻨﺎﻨﻴ ‪30000‬‬ ‫ﺭ‬ ‫‪u 0,98‬‬ ‫‪u 0,98‬‬ ‫‪u 0,98n‬‬

‫ﻨﻅﺭﻴﺎ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، n‬ﻓﻲ ‪ /01/01‬ﺴﻌﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ‪ ،‬ﻤﻘﺩﺭ ﺒﺎﻟﺩﻨﺎﻨﻴﺭ ﻫﻭ‪30000 u (0,98n ) :‬‬‫‪ 4‬ﻟﺤﺴﺎﺏ ‪ ، 30000 u (0,98)10‬ﻤﺜﻼ‪ ،‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ )ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ( ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫= ‪3 u1 0 š 4 u 0 . 9 8 š 1 0‬‬‫)ﻗﺩ ﺘﻜﻭﻥ ﻓﻲ ﺤﺎﺴﺒﺘﻙ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ‪ Xy‬ﺃﻭ ‪ Y x‬ﺒﺩﻻ ﻤﻥ š ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ‬ ‫ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻘﻭﻯ (‬‫) ‪30000 u (0,9810‬‬ ‫ﻤﺤﺎﻭﻻﺕ‪:‬‬‫) ‪30000 u (0,9820‬‬ ‫‪24512,18421‬‬ ‫‪20028,23915‬‬‫‪30000 u (0,9830 ) 16364,52958‬‬‫‪30000 u (0,9835 ) 14792,23862‬‬‫ﺇﺫﻥ ﺍﺒﺘﺩﺍﺀﺍ ﻤﻥ ‪ 1990  35/01/01‬ﺃﻱ ﺍﺒﺘﺩﺍﺀﺍ ﻤﻥ ‪ 2025/01/01‬ﺴﻴﻜﻭﻥ‬‫ﺴﻌﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ﺃﻗل ﻤﻥ ‪15000DA‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ‪ ϑn‬ﺍﻟﺴﻌﺭ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻘﺩﺭ ﺒﺎﻟﺩﻨﺎﻨﻴﺭ‪ ،‬ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ﻓﻲ‬‫‪ 1990  n/01/01‬ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻨﻜﻭﻥ ﻋﺭﻓﻨﺎ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﻋﺩﺩﻴﺔ ) ‪ (ϑn‬ﺘﺤﻘﻕ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ϑn1 0,98uϑn ، n‬ﻟﺫﺍ ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪(ϑn‬‬‫ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪ 0,98‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪، n‬‬ ‫) ‪ ϑn 30000 u (0,98n‬ﺃﻱ ) ‪ϑn ϑ0 u (0,98n‬‬

‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪:05‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻋﺩﺩ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ‪ E, F,G, H‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫`‪E ^1,2,3,4,5,6,7` ، F ^0,1,2,3,4,5,6,7,8` ، G ^2,3,4,5,6,7,8,9,10,11‬‬ ‫‪ H‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪16 d x d 51‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬‫‪ .‬ﺒﺎﻟﻌﺩ ﺍﻟﻤﺒﺎﺸﺭ‪ :‬ﻋﺩﺩ ﻋﻨﺎﺼﺭ ‪ E‬ﻫﻭ ‪ 7‬ﻭﻋﺩﺩ ﻋﻨﺎﺼﺭ ‪ F‬ﻫﻭ ‪ 9‬ﻭﻋﺩﺩ‬ ‫ﻋﻨﺎﺼﺭ ‪ G‬ﻫﻭ ‪10‬‬ ‫‪ .‬ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﻋﺩﺩ ﻋﻨﺎﺼﺭ ‪: H‬‬ ‫ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻨﻪ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻌﺩ‪ ،‬ﻨﺒﺩﺃ ﺒـ \" ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ\" ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺘﻨﻅﻴﻡ ﺍﻟﻌﻤل ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪1;2;3;...................;16;17...................;51‬‬ ‫‪ 51‬ﻋﺩﺩﺍ‬ ‫‪ 16‬ﻋﺩﺩﺍ‬ ‫‪ 35‬ﻋﺩﺩﺍ‬ ‫‪ 36‬ﻋﺩﺩﺍ‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﻋﻨﺎﺼﺭ ‪ H‬ﻫﻭ ‪36‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﻋﺩﺩ ﻋﻨﺎﺼﺭﻫﺎ‬‫‪7=7-1+1‬‬ ‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ‬‫‪9=8-0+1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪7‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ 0‬ﺇﻟﻰ ‪8‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪10=11-2+1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ 2‬ﺇﻟﻰ ‪11‬‬ ‫‪G‬‬‫‪36=51-16+1‬‬ ‫‪ H‬ﻤﻥ ‪ 16‬ﺇﻟﻰ ‪36 51‬‬‫ﻭﻴﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ κ‬ﻭ ‪ p‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ‪ ،‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ p t κ‬ﻓﺈﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬ ‫ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻤﻥ ‪ κ‬ﺇﻟﻰ ‪ p‬ﻫﻭ ‪p  k 1‬‬

‫‪ /1‬ﻋﻤﻭﻤﻴﺎﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺍﺼﻁﻼﺤﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﺯﺌﻴﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ، N‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ‪.‬‬ ‫• ﺍﺼﻁﻼﺤﺎﺕ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ U‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪: D  N D‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ p‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪، D‬‬‫* ﻴﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ U p‬ﺇﻟﻰ ﺼﻭﺭﺓ ‪ p‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ،U‬ﺒﺩﻻ ﻤﻥ )‪ U ( p‬ﻭ ‪ U p‬ﻴﻘﺭﺃ‬ ‫\" ‪ U‬ﺩﻟﻴل ‪\" p‬‬ ‫* ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻕ ‪ U p‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺤﺩ ﺫﻭ ﺍﻟﺩﻟﻴل ‪ p‬ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪U‬‬ ‫‪ -‬ﻴﺭﻤﺯ ﻜﺫﻟﻙ‪ ،‬ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ U‬ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ  ‪ U n‬ﺃﻭ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ U n nD‬‬‫‪ \" -‬ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ U n‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ n‬ﻓﻲ ‪ ،\" D‬ﺘﺴﻤﻰ \" ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ ‪\" U n‬‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ D‬ﻤﺸﻜﻠﺔ ﻤﻥ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻭﻜﺎﻥ ‪ α‬ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ‬ ‫ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻤﻥ ‪D‬‬ ‫* ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻕ ‪ Uα‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪U n‬‬‫* ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ p‬ﻋﻨﺼﺭ ﻤﻥ ‪ ، D‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ p 1‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪ U p1 ، D‬ﻴﺴﻤﻰ‬‫ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺒﻕ ‪ \"U p‬ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ p  1‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪ U p1 ، D‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻠﻲ ‪\"U p‬‬

‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‪:‬‬‫‪Un‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ‬ ‫‪N‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ  ‪U n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n2  2‬‬‫* ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ N‬ﻫﻭ ‪ 0‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﻫﻭ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ ‪U n‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻫﻭ‬ ‫‪U0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪02  2‬‬ ‫‪U4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻫﻭ‬ ‫‪U4‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ ‪U n‬‬ ‫* ﺍﻟﺤﺩ ﺫﻭ ﺍﻟﺩﻟﻴل ‪ 4‬ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫‪18‬‬ ‫‪42  2‬‬‫ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻤﺫﻜﻭﺭﺓ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2,1,5‬‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﺌﻤﺔ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬‫ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﺘﻌﻴﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ  ‪ ϑn‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ `‪ ،^1;2;3;4‬ﻤﺜﻼ‪،‬‬‫‪ϑ1‬ﻭﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭلﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ ϑn‬ﻫﻭ ‪ϑ1‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪;ϑ3‬‬ ‫‪ 2;ϑ4‬‬ ‫ﻭﺒﺤﻴﺙ ‪1,5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 3‬ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (Wn‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ * ‪ N‬ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪ W1 1‬ﻭﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ n‬ﻤﻥ * ‪1........Wn1 3Wn2  5 : N‬‬‫* ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺔ * ‪ N‬ﻫﻭ‪ 1‬ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻭ ‪W1 1‬‬‫* ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ (1‬ﺘﻌﻨﻲ \" ﻜل ﺤﺩ ﻤﻥ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ -‬ﺒﺎﺴﺘﺜﻨﺎﺀ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل –‬ ‫ﻴﺴﺎﻭﻱ )‪ 3‬ﻤﺭﺍﺕ ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻟﻪ( ‪5+‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Wn‬ﻫﻭ ‪ W2‬ﻭ ‪ .W2 3.W12  5‬ﺇﺫﻥ ‪W2 8‬‬‫ﻭ ‪ W3‬ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Wn‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ .W3 3.W22  5‬ﺇﺫﻥ ‪W3 197‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫* ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ‪ ،‬ﻴﺠﺏ ﺍﻟﺘﻤﻴﻴﺯ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ  ‪ U n‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺒﺭ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺩﺍﻟﺔ ‪ U‬ﻭﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ U n‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﺼﻭﺭﺓ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.U‬‬‫* ﻤﻥ ﺨﻼل ﺍﻷﻤﺜﻠﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‪ ،‬ﻟﻘﺩ ﺴﻠﻁﺕ ﺍﻷﻀﻭﺍﺀ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻁﺭﻑ ﺍﻷﻜﺜﺭ‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻻ ﻟﺘﻭﻟﻴﺩ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﺇﺫ‪:‬‬

‫‪ -‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻷﻭل‪ :‬ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺃﻱ ﺤﺩ ﻤﻥ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﻭﺫﻟﻙ‬ ‫ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‪ :‬ﺠﻤﻴﻊ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ ϑn‬ﻤﻌﻁﺎﺓ‪ ،‬ﻋﺩﺩﻫﺎ ﻤﻨﺘﻪ‪.‬‬‫‪ -‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪ :‬ﺃﻋﻁﻲ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ Wn‬ﻭﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ﺘﻌﻁﻲ ﻜل ﺤﺩ‬‫‪ ،Wn1‬ﺒﺎﺴﺘﺜﻨﺎﺀ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل‪ ،‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻟﻪ ‪ Wn‬ﻭﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﻻ‬‫ﻴﻤﻨﻙ ﺤﺴﺎﺏ ﺤﺩ‪ ،‬ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﺇﻻ ﺒﺎﻟﺭﺠﻭﻉ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻟﻪ ﻟﺫﺍ‬ ‫ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺘﺴﻤﻰ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ  ‪ U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪D  N D‬‬‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ  ‪ U n‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ ‪ 0, I, J‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ M (n, y‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ @)‪(n  D‬و) ‪>( y Un‬‬‫‪J‬‬ ‫‪• A4‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬ ‫‪• A2‬‬ ‫‪0I‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ ϑn‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫‪• A3‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ ‫` ‪^A1, A2 , A3 , A4‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‬ ‫‪• A1‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﻻ ﻨﺼل ﺒﻴﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁ!!‬

‫ﺠـ‪ .‬ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ  ‪ U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ D‬ﻤﺸﻜﻠﺔ ﻤﻥ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ‪.‬‬‫* ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﺃﻨﻬﺎ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ‬ ‫‪ n‬ﻤﻥ ‪ D‬ﻴﺤﻘﻕ ‪ (n  1)  D‬ﻴﻜﻭﻥ‪U n1 t U n :‬‬‫* ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﺃﻨﻬﺎ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‬ ‫ﻋﻨﺼﺭ ‪ n‬ﻤﻥ ‪ D‬ﻴﺤﻘﻕ ‪ (n  1)  D‬ﻴﻜﻭﻥ‪U n1 d U n :‬‬‫* ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﺃﻨﻬﺎ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ‬ ‫‪ n‬ﻤﻥ ‪ D‬ﻴﺤﻘﻕ ‪ (n  1)  D‬ﻴﻜﻭﻥ‪U n1 U n :‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‪:‬‬‫‪ 1‬ﻟﺘﻜﻥ  ‪ U n‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ، N‬ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ‬‫‪ U n‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭ ﻤﻥ ‪ N‬ﻟﻜﻲ ﻨﻘﺎﺭﻥ ‪ U n‬ﻭ ‪ Un1‬ﻨﺩﺭﺱ‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ) ‪(U n1  U n‬‬‫‪U n1  U n‬‬ ‫ ‪©§¨¨ n  1‬‬ ‫‪(n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪¸¸·¹‬‬ ‫‬ ‫¨§‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‬ ‫ﻟﻨﺎ‪:‬‬ ‫)‪ 1‬‬ ‫©‬ ‫‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫)‪(n  2)  (n  1‬‬ ‫)‪(n  1)(n  2‬‬

‫‪ U n1  U n‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻥ ‪: N‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ‬ ‫)‪(n  1)(n  2‬‬‫‪ U n1  U n ! 0‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ U n1 ! U n‬ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‬‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (Tn‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ، N‬ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪Tn 1  n2‬‬ ‫‪2‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ n‬ﻤﻥ ‪ N‬ﻟﻨﺎ‪> @Tn1  Tn 1  (n  1)2  (1  n2 ) :‬‬ ‫) ‪(1  (n2  2n  1))  (1  n2‬‬ ‫‪2n 1‬‬‫ﻤﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ n‬ﻤﻥ ‪ Tn1  Tn  0 : N‬ﺇﺫﻥ ‪Tn1  Tn‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Tn‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺹ‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺃﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ  ‪ U n‬ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻔﺭﻕ ) ‪(U n1 U n‬‬ ‫‪ /2‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ‪ ،‬ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻨﻬﺎ ﻤﺸﻜﻠﺔ ﻤﻥ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ‪.‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ  ‪ U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‪ ،‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ‪ ،‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪. D‬‬‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﺃﻨﻬﺎ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬‫ﺜﺎﺒﺕ ‪ r‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ n‬ﻤﻥ ‪ D‬ﻴﺤﻘﻕ ‪ (n 1)  D‬ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫‪U n1 U n  r‬‬

‫ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ‪ r‬ﻴﺴﻤﻰ ﺃﺴﺎﺱ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ‪U n‬‬‫ﺒﻌﺒﺎﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ‪ :‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻜل ﺤﺩ‪ ،‬ﺘﺨﺘﻠﻑ‬‫ﻋﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل‪ ،‬ﻤﻥ ﺤﺩﻭﺩﻫﺎ ﺒﺈﻀﺎﻓﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺤﺩ ﺩﺍﺌﻤﺎ ﻨﻔﺱ‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻴﺴﻤﻰ ﺃﺴﺎﺱ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‪:‬‬‫‪ 1‬ﻟﺘﻜﻥ  ‪ U n‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‪^1;2;3;4;5;6;7;8;9` :‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺠﺩﻭل‪:‬‬ ‫‪n 123456789‬‬ ‫‪U n 5 2 -1 -4 -7 -10 -13 -16 -19‬‬‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ )‪ (3-‬ﻷﻨﻨﺎ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻜل‬‫ﺤﺩ‪ ،‬ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل‪ ،‬ﻤﻥ ﺤﺩﻭﺩﻫﺎ ﺒﺈﻀﺎﻓﺔ )‪ (-3‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻟﻬﺫﺍ‬ ‫ﺍﻟﺤﺩ‪.‬‬‫‪ϑn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ ، N‬ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ  ‪U n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ n‬ﻤﻥ ‪ D‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪ϑn1  ϑn‬‬ ‫¨§‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪6‬‬ ‫¸·‬ ‫‬ ‫§¨‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪6‬‬ ‫¸·‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪ϑn1  ϑn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‬ ‫‪ ϑn1‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ) ‪(ϑn‬‬ ‫‪ϑn‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪ ،‬ﻨﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﺤﺩﻴﻥ‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﻴﻥ ﻜﻴﻔﻴﻴﻥ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ ﺴﺎﺒﻘﺔ‪ ،‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ﻤﻭﺠﺒﺎ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ﺴﺎﻟﺒﺎ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ﻤﻌﺩﻭﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﺠـ‪ .‬ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ  ‪ U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ D‬ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ‪r‬‬

‫ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬‫ ‪ U n‬ﻫﻭ ‪U1‬‬ ‫ ‪ U n‬ﻫﻭ ‪U 0‬‬ ‫‪U1 U1‬‬ ‫‪U0 U0‬‬‫ﻤﻨﻪ ‪U1 U1  (1 1).r‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪U 0 U 0  0.r‬‬ ‫‪U2 U1  r‬‬ ‫‪U1 U0  r‬‬‫ﻤﻨﻪ ‪U 2 U1  (2 1)r‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪U1 U 0  1.r‬‬ ‫‪U3 U2  r‬‬ ‫‪U2 U1  r‬‬‫‪U 3 (U1  r)  r‬‬ ‫‪U1 (U 0  r)  r‬‬‫‪U3 U1  2r‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪U 2 U 0  2.r‬‬‫ﻤﻨﻪ ‪U 3 U1  (3 1)r‬‬ ‫‪U3 U2  r‬‬‫‪U4 U3  r‬‬ ‫‪U 3 (U 0  2.r)  r‬‬ ‫‪U 4 (U1  2.r)  r‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪U 3 U 0  3.r‬‬‫ﻤﻨﻪ ‪U 4 U1  (4 1)r‬‬‫ﻭﻴﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ n‬ﻭﻴﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪n‬‬ ‫ﻤﻥ ‪: D‬‬ ‫ﻤﻥ ‪: D‬‬‫‪U n U1  (n 1)r‬‬ ‫‪U n U 0  n.r‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬

‫ﻟﻴﻜﻥ  ‪ U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ D‬ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ‪r‬‬‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ  ‪ U n‬ﻫﻭ ‪ :U0‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‬ ‫ﻋﻨﺼﺭ ‪ n‬ﻤﻥ ‪U n U 0  n.r : D‬‬‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ  ‪ U n‬ﻫﻭ ‪ :U1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪n‬‬ ‫ﻤﻥ ‪U n U1  (n 1)r : D‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‪:‬‬‫‪ 1‬ﻟﺘﻜﻥ  ‪ U n‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ * ‪ ، N‬ﺍﻟﺘﻲ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل‬ ‫‪ U1 5‬ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪r 8‬‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ * ‪ U n U1  (n 1)r : N‬ﻤﻨﻪ )‪U n (5)  (n 1)(8‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪U n 8n  3 :‬‬‫‪ 2‬ﻟﺘﻜﻥ  ‪ ϑn‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ، N‬ﺍﻟﺘﻲ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬ ‫ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ 3‬ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪.7‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ  ‪ ϑn‬ﻫﻲ ‪ N‬ﻓﺈﻥ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ﻫﻭ ‪ ϑ0‬ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬‫ﻫﻭ ‪ ϑ1‬ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻫﻭ ‪ ϑ2‬ﻭﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ‪ r‬ﺃﺴﺎﺱ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ  ‪ϑn‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ ϑ2 ϑ1  r :‬ﺃﻱ ‪ 7 3  r‬ﻤﻨﻪ ‪r 4‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ﻜﺫﻟﻙ ‪ ϑ1  ϑ0 r‬ﺃﻱ ‪ 3 ϑ0  r‬ﺃﻱ ‪3 ϑ0  4‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ ϑ0 1‬ﻭﻟﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ n‬ﻓﻲ ‪ϑn ϑ0  n.r : N‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ϑn 4n 1‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬