دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني سنة رابعة متوسط

‫ﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬ ‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫• ﺍﻷﺸﻌﺔ ﻭ ﺍﻻﻨﺴﺤﺎﺏ‬ ‫• ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ‬ ‫• ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﺎﻟﻡ‬ ‫• ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ ﺍﻟﺘﻨﺎﺴﺒﻴﺔ‬

‫ﺍﻷﺸــﻌﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺘﺎﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﺍﻨﺴﺤﺎﺏ‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺸﺭﻭﻁ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ‬‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻼﻗﺔ ﺸﺎل ﻭﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻟﻬﺎ ﻹﻨﺸﺎﺀ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ﺃﻭ ﻹﻨﺸﺎﺀ ﺸﻌﺎﻉ ﻴﺤﻘﻕ ﻋﻼﻗﺔ‬ ‫ﺸﻌﺎﻋﻴﺔ ﻤﻌﻨﻴﺔ ﺍﻭ ﻹﻨﺠﺎﺯ ﺒﺭﺍﻫﻴﻥ ﺒﺴﻴﻁﺔ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﺍﻟﺘﺼﺤﻴﺢ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ‬

‫ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‪:‬‬‫‪ A‬ﻭ ’‪ A‬ﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﺎﻥ ﺍﻻﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻭل ‪ A‬ﺇﻟﻰ ’‪ A‬ﺃﻴﻀﺎ ‪B‬ﺍﻟﻰ ’‪ B‬ﻭ ‪ C‬ﺇﻟﻰ ’‪.C‬‬ ‫‪u‬‬ ‫'‪A‬‬ ‫'‪C‬‬‫‪A‬‬ ‫'‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪c‬‬ ‫ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻻﻨﺴﺤﺎﺏ ﻨﺭﻓﻕ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ U‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒـ ‪:‬‬ ‫*‪ /‬ﻤﻨﺤﻨﺎﻩ ‪ :‬ﻫﻲ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺔ ﺒﺎﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )’‪ (AA‬ﻭ )’‪ (BB‬ﻭ )’‪(CC‬‬ ‫*‪ /‬ﺍﺘﺠﺎﻩ ‪ :‬ﻫﻭ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﻤﻥ ‪ A‬ﻨﺤﻭ ’‪A‬‬‫ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﻤﻥ‪ A‬ﺍﻟﻰ ’‪ A‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )’‪ (AA‬ﻫﻭ ﻨﻔﺴﻪ ﻤﻥ ‪ B‬ﺍﻟﻰ ’‪ B‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )’‪ (BB‬ﺃﻭ‬ ‫ﻤﻥ ‪ C‬ﺍﻟﻰ ’‪ C‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )’‪(CC‬‬ ‫*‪ /‬ﻁﻭﻴﻠﺘﺔ ‪ :‬ﻫﻭ ﺍﻟﻁﻭل ’‪ AA‬ﺃﻭ ’‪ BB‬ﺃﻭ ’‪CC‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻥ ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ﺒـ '‪ ) AA‬ﻤﺒﺩﺃﻩ ‪ A‬ﻭﻨﻬﺎﻴﺔ ’‪(A‬‬ ‫ﺃﻭ '‪ BB‬ﺃﻭ ’‪CC‬‬ ‫‪ /2‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ‬ ‫*‪ /‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫اﻟﻘﻮل أن '‪ AA' = BB‬ﻤﻌﻨﺎﻩ ﺍﻻﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻭل ‪ A‬ﺍﻟﻰ ’‪A‬‬ ‫ﻴﺤﻭل ﺃﻴﻀﺎ‪ B‬ﺍﻟﻰ ’‪. B‬‬ ‫ﻫﺫﺍ ﺍﻻﻨﺴﺤﺎﺏ ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻨﺴﺤﺎﺏ ﺫﻱ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ '‪ AA‬ﺃﻭ '‪BB‬‬

‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻭل ﺃﻥ ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﻴﻥ ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪:‬‬ ‫• ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫• ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻹﺘﺠﺎﻩ‬ ‫• ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﻭﻴﻠﺔ‬ ‫‪ /3‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ‪:‬‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ‪:‬‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪ [AB‬ﻓﺈن ‪AI = IB‬‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ AI = IB‬ﻓﺈن ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪[AB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ /4‬ﺍﻷﺸﻌﺔ ﻭﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ‪:‬‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ ‪:‬‬ ‫إذا آﺎن ﻟـ ]‪ [AD‬و ]‪ [BC‬ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ﻓﺈن ‪ AB = CD‬و ‪AC = BD‬‬‫إذا آﺎن ‪ AB = CD‬ﻓﺈن ﻟـ ]‪ [AD‬و ]‪ [BC‬ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻨﺘﺼﻒ‬‫‪AB‬‬ ‫‪cD‬‬

‫‪BC‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ABCD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ﻓﺈﻥ ‪AB = CD‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ AB = CD‬ﻓﺈﻥ ‪ ABCD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ‪.‬‬ ‫‪ /5‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪ 1. 5‬ﻤﺭﻜﺏ ﺍﻨﺴﺤﺎﺒﻴﻥ ‪:‬‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ ‪:‬‬‫إذا ﺕﺤﻮل اﻟﺸﻜﻞ ‪ F‬اﻟﻰ ‪ F1‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ذي اﻟﺸﻌﺎع ‪ AB‬وﺕﺤﻮل‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ ‪ F1‬اﻟﻰ ‪ F2‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ذي اﻟﺸﻌﺎع ‪BC‬‬ ‫ﻓﺈن اﻟﺸﻜﻞ ‪ F‬ﻳﺘﺤﻮل اﻟﻰ ‪ F2‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ذي اﻟﺸﻌﺎع ‪. AC‬‬ ‫‪B F1‬‬‫‪AF‬‬ ‫‪C F2‬‬ ‫* ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫‪ C, B, A‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ آﻴﻔﻴﺔ‪.‬‬‫ﻧﻘﻮل أن ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺸﻌﺎﻋﻴﻦ ‪ AB‬و ‪ BC‬هﻮاﻟﺸﻌﺎع ‪AC‬‬

‫‪AB + BC = AC‬‬ ‫ﻋﻼﻗﺔ ﺸﺎل ‪:‬‬ ‫‪ 2. 5‬ﺍﻷﺸﻌﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ‬ ‫* ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻡ ‪:‬‬ ‫ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﺒـ ‪ O‬ﻭﻫﻭ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ ) AA‬ﺃﻭ ‪(.. BB‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﻋﻼﻗﺔ ﺸﺎل ‪:‬‬ ‫‪AB + O = AB + BB = AB‬‬ ‫ﻨﻜﺘﺏ ‪:‬‬ ‫‪AA = BB = O‬‬ ‫* ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻜﺴﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﻤﻌﺎﻜﺱ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ AB‬ﻫﻭ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪BA‬‬‫ﻭﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ‪ AB‬ﻭ ‪ BA‬ﻤﺘﻌﺎﻜﺴﺎﻥ ﻨﺭﻤﺯ ﻟـ ‪ BA‬ﺒـ ‪- AB‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪AB + BA = AA = O‬‬ ‫‪BA = − AB‬‬ ‫‪ 3. 5‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪:‬‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ‪:‬‬‫إذا آﺎن ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪AB + AD = AC‬‬ ‫‪DC‬‬ ‫‪AB + AD‬‬‫‪AB‬‬

‫‪ . 5‬ﻤﺭﻜﺏ ﺘﻨﺎﻅﺭﻴﻥ ﻤﺭﻜﺯﻴﻴﻥ ‪:‬‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ‪:‬‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ F1‬ﻧﻈﻴﺮة ‪ F‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻰ ‪A‬‬ ‫وآﺎﻧﺖ ‪ F2‬ﻧﻈﻴﺮة ‪ F1‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻰ ‪B‬‬‫ﻓﺈن اﻻﻧﺴﺤﺎب ذي اﻟﺸﻌﺎع ‪ 2AB‬ﻳﺤﻮل ﻣﺒﺎﺵﺮة ‪ F‬اﻟﻰ ‪. F2‬‬ ‫‪F1‬‬ ‫’‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫’’‪M‬‬‫‪F‬‬ ‫‪F2‬‬

‫ﺍﻟﺘﺼﺤﻴﺢ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺤﻠﻭل‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺤﻠﻭل ‪) :1‬ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ (‬ ‫‪ BDS‬ﻤﺜﻠﺙ ﻭ ‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ]‪[SD‬‬ ‫ﻨﻅﻴﺭﺓ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪I‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪HD = SB :‬‬ ‫ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ‪:‬‬ ‫ﻹﺛﺒﺎت أن ﺵﻌﺎﻋﻴﻦ ‪ MN‬و ‪ RS‬ﻣﺘﺴﺎوﻳﺎن‬ ‫أي ‪MN = RS :‬‬‫ﻳﻜﻔﻲ ان ﻧﺒﻴﻦ ان ‪ MNSR‬ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع‬‫ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ﻳﺠﺐ‬ ‫ﺍﻟﺤل‪:‬‬‫ﺕﺤﺪﻳﺪ اﻟﺮﻣﻮز ﻟﻔﻬﻢ‬ ‫‪ -‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ H‬هﻲ ﻧﻈﻴﺮة ‪ B‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻰ ‪I‬‬ ‫اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ ‪ I‬هﻲ ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[BH‬‬ ‫اﻟﻘﻄﺮ ]‪ [SD‬و ]‪ [BH‬ﻟﻠﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ BDHS‬ﻳﺘﻨﺎﺹﻔﺎن‬ ‫إذن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ BDHS‬ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪B HD = SDB‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪SH‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺤﻠﻭل ‪:2‬‬ ‫‪ ABDC‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ‪ E‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ A‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻰ ‪ C‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ‬ ‫‪ BDEC‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ‪:‬‬ ‫ﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ MNSR‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ‪ ،‬ﻴﻜﻔﻲ ﺍﺜﺒﺎﺕ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ‪ ،‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪ MN = RS‬ﺃﻭ ‪M N MR = NS‬‬ ‫ﺃﻭ ‪ SN = RM‬ﺃﻭ ‪SR = NM‬‬‫‪RS‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ABDC‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ‪ ،‬ﺇﺫﻥ ‪AC = BD :‬‬ ‫‪BD‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪CE‬‬‫ﻧﺘﺮﺝﻢ ﺑﺎﻷﺵﻌﺔ ﻣﻌﻨﻰ‬ ‫‪ -E‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ A‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻰ ‪C‬‬‫أن ‪ BDEC‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ C :‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ]‪ [AE‬ﻭ ‪AC = CE‬‬ ‫ﺍﻷﻀﻼﻉ‬ ‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ‪ BD‬ﻭ ‪ CE‬ﻴﻘﺎﻴﺴﺎﻥ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪AC‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪BD = CE :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ BDEC‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺤﻠﻭل ‪: 3‬‬ ‫* ﺃﺭﺴﻡ ﻤﺭﺒﻌﺎ ‪ RIEN‬ﻁﻭل ﻀﻠﻌﻪ ‪3 cm‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻨﺵﺀ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ P‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ I‬ﺒﺎﻹﻨﺴﺤﺎﺏ ﺫﻱ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪RE‬‬ ‫‪ -‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﻓﻘﻁ ﺍﺜﻘل ﻭﺃﺘﻤﻡ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴل ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ ، RE + EI = ... -‬ﺏ‪ ، NR + IP + ... -‬ﺠـ‪RN + RI = ... -‬‬ ‫ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ‪:‬‬ ‫ﻹﻨﺸﺎﺀ ﻤﻤﺜل ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ U + V‬ﻟﻠﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ﻭ ‪uV‬‬‫* ﺇﻤﺎ ﻨﻀﻊ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ﺍﻷﻭل ﻫﻲ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻭﻨﺴﺘﻌﻤل ﻋﻼﻗﺔ ﺸﺎل ‪:‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪U +V‬‬ ‫‪V‬‬ ‫* ﺇﻤﺎ ﻨﺴﺘﻌﻤل ﻤﻤﺜﻠﻴﻥ ﺒـ ﻭ ‪ V‬ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﻭﻨﺴﺘﻌﻤل ﻗﺎﻋﺩﺓ ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ‪u.‬‬ ‫‪u U +V‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪V :‬‬ ‫* ‪ IP = RE‬ﺇﺫﻥ ‪ RIPE‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ‬ ‫‪ ) RE + EI = RI -‬ﺤﺴﺏ ﻋﻼﻗﺔ ﺸﺎل (‬ ‫‪IP = RE -‬‬ ‫‪NR + IP = NR + RE = NE -‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﺸﺎل ‪R I .‬‬‫‪NE‬‬ ‫‪P‬‬

‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ‪ RN‬ﻭ ‪RI‬‬ ‫* ‪ RIEN‬ﻤﺭﺒﻊ ﻫﻭ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ‬ ‫ﺘﻔﺱ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ‬ ‫ﺍﻷﻀﻼﻉ ﻭﻤﻨﻪ ‪RN + RI = RE‬‬ ‫‪ABCD E‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺎرﻳﻦ‬ ‫‪ /1‬ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻷﺸﻜﺎل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺎ ﻫﻲ ‪ ،‬ﺍﻟﺘﻲ‪ ،‬ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ‪AB = MN‬‬ ‫‪( b (a‬‬‫‪AM‬‬ ‫‪AM‬‬‫‪BN‬‬ ‫‪BN‬‬ ‫‪AN‬‬ ‫‪(c‬‬ ‫‪BM‬‬ ‫‪ / 2‬ﺃﻟﻴﻙ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ‪:‬‬

‫‪FGH I J‬‬ ‫‪K LM N O‬‬ ‫‪PQR S T‬‬ ‫ﺍﻨﻘل ﻭﺃﻜﻤل ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪AH = M .‬‬ ‫‪PM = M .‬‬ ‫‪LI = .O‬‬ ‫‪NR = .L‬‬ ‫‪AK = H.‬‬ ‫* ‪ I‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ ...‬ﺒﺎﻻﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ‪KC‬‬ ‫* ‪ ...‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ P‬ﺒﺎﻻﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ‪GD‬‬ ‫‪DO = .......‬‬ ‫‪ ABCD /3‬ﻤﺴﺘﻁﻴل ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪0‬‬ ‫* ﺍﺸﺭﺡ ﻟﻤﺎﺫﺍ ‪AO = OC‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻨﻘل ﻭﺃﺘﻤﻡ ‪:‬‬ ‫* ‪، CO = ...... ، BO = ....‬‬‫‪B× U‬‬ ‫‪ /4‬ﺃ‪ .‬ﺃﻨﻘل ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻋﻠﻰ ﻭﺭﻗﺔ ﺒﻴﻀﺎﺀ ‪×A‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺃﻨﺸﺊ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ D‬ﻭ ‪ C‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ AC = U‬ﻭ ‪DB = U‬‬ ‫‪ /5‬ﺍﺭﺴﻡ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ]‪ ، [AB‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ C‬ﺒﺤﻴﺙ ‪AB = BC‬‬ ‫* ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻘﻁﻌﺔ ]‪[AC‬‬ ‫* ﺃﻨﺸﺊ ﻨﻘﻁﺔ ‪ D‬ﺒﺤﻴﺙ ‪BD = CA‬‬

‫‪ /6‬ﺃﻨﺸﺊ ﻤﺜﻠﺙ ‪ABC‬‬ ‫* ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ D,E,F‬ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫‪ BD = CB‬ﻭ ‪ EC = CB‬ﻭ ‪AF = ED‬‬ ‫‪ ABCD /7‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪0‬‬ ‫ﺃﻨﻘل ﻭﺃﺘﻤﻡ‬ ‫ﺃ ‪ ، AB = .........../‬ﺏ‪AD = ........... /‬‬ ‫ﺠـ‪ ، AO = ........... /‬ﺩ‪ ، OB = ........... /‬ﻫـ‪OC = .........../‬‬ ‫‪ EF = MN /8‬ﻭ ‪ 0‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ]‪[EN‬‬ ‫* ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫* ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ M‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ 0‬ﻭﺘﺸﻤل ‪F‬‬‫‪VU‬‬ ‫‪ BSD /9‬ﻤﺜﻠﺙ ﻭ ‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ]‪[SD‬‬ ‫* ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ H‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ B‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪I‬‬ ‫* ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪HD = SB‬‬ ‫‪ /10‬ﺃﻋﺩ ﺭﺴﻡ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫* ﺃﻨﺸﺊ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ‬ ‫‪ ABCD‬ﺍﻻﻨﺴﺤﺎﺏ ﺫﻱ‬ ‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪µ + V‬‬ ‫‪ ABC /11‬ﻤﺜﻠﺙ‬ ‫* ﺃﻋﻁ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻤﺜل‬ ‫*‪، AC + CB /* ، AB + BC /‬‬ ‫*‪AB + AC /* BA + AC /‬‬‫* ﺃﻨﺸﺊ ﻤﻤﺜل ﻤﺒﺩﺃﻩ ‪ A‬ﻟـ ‪ ، AB + AC‬ﺜﻡ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺒﺩﺃﻩ ‪ C‬ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪. AB + AC‬‬ ‫‪ /12‬ﻋﻠﻰ ﺃﺸﻜﺎل ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﺃﻨﺸﺊ ﻤﻤﺜﻼ ﻟﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﺸﻌﺔ‬

‫*‪CB + DA /* ، AD + CB /* ، BA + CD /‬‬‫‪A B CD‬‬ ‫‪ IJK /13‬ﻤﺜﻠﺙ‬ ‫* ﺃﻋﻁ ﻤﻤﺜﻼ ﻟـ‪IJ + JK :‬‬‫* ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ S‬ﺒﺤﻴﺙ ‪IJ = KS‬‬‫ﻭﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪JK + IJ = JS :‬‬‫‪ VECT /14‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻠﻊ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ I‬ﻋﻠﻰ ﺃﺸﻜﺎل ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ‬‫* ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﺒﺤﻴﺙ ‪TA = TC + VT‬‬‫*ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﺒﺤﻴﺙ ‪VB = CT + VI‬‬ ‫‪ /15‬ﺃﻨﻘل ﻭﺃﺘﻤﻡ ﻤﺎﻴﻠﻲ‬‫ﺏ‪...... + CA = RA /‬‬ ‫ﺃ‪IJ + ...... = IE /‬‬‫ﺠـ‪ ...... + AB = AS /‬ﺩ‪AB + ...... = O /‬‬ ‫‪ /16‬ﺃ ‪ ،‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ABD‬ﻴﺤﻴﺙ‬‫‪BD = 7 Cm ، AD = 6 Cm ، AB = 5 Cm‬‬‫* ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ E‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ A‬ﺒﺎﻹﻨﺴﺤﺎﺏ ﺫﻱ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪BD‬‬‫* ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ F‬ﺒﺤﻴﺙ ‪BF = AB + BD‬‬ ‫* ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ D‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ]‪[EF‬‬

‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﺔ‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻘﻕ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ‪ ، AB = MN‬ﻫﻭ ﺍﻟﺸﻜل ‪b‬‬ ‫‪ /2‬ﺇﺘﻤﺎﻡ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻴﺎﺕ‬ ‫ﺃ‪ ، AH = MT .‬ﺏ‪PM = MJ .‬‬ ‫ﺠـ‪ ، LI = Rθ .‬ﺩ‪NR = HL .‬‬ ‫ﻫـ‪AK = HR .‬‬ ‫ﻭ‪ I .‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ Q‬ﺒﺎﻻﻨﺴﺤﺎﺏ ﺫﻱ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪KC‬‬ ‫ﻱ‪ M .‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ Ρ‬ﺒﺎﻻﻨﺴﺤﺎﺏ ﺫﻱ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪GD‬‬‫‪ AO = OC /3‬ﻷﻥ ‪A B‬‬ ‫* ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻰ )‪(AC‬‬ ‫‪0‬‬ ‫* ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ‬ ‫* ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﻭﻴﻠﺔ ‪ :‬ﻷﻥ ‪ 0‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ]‪[AC‬‬‫‪DC‬‬ ‫‪ /4‬ﺍﻟﻨﻘل ﻭﺍﻻﺘﻤﺎﻡ‬ ‫‪DO = OB /d ، CO = OA / b ، BO = OD /a‬‬‫‪ /4‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪B C,D :‬‬‫‪DU‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪AC = µ :‬‬ ‫‪C DB = µ‬‬‫‪A‬‬ ‫‪ /5‬ﺍﻻﻨﺸﺎﺀ‬‫‪D AB C‬‬ ‫* ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ]‪[AC‬‬ ‫* ﺇﻨﺸﺎﺀ ‪ D‬ﺒﺤﻴﺙ ‪BD = CA‬‬

‫‪AF‬‬ ‫‪/6‬‬‫‪EC‬‬ ‫‪BD‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪ ABCD /7‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪O‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻴﺎﺕ‬ ‫‪0‬‬ ‫* ‪ ، AB = DC‬ﺏ‪AD = BC /‬‬‫‪DC‬‬ ‫* ‪ ، AO = OC‬ﺩ‪OB = DO /‬‬ ‫‪ /8‬ﺃ‪ /‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﺸﻜل ﺒﺤﻴﺙ ‪ EF = MN‬ﻭ ‪ O‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ]‪[EN‬‬ ‫‪MN‬‬‫‪E F 0 MN‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪2‬‬ ‫‪EF‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪1‬‬ ‫* ﺍﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ 0‬ﻭﺘﺸﻤل ‪F‬‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪:1‬‬ ‫ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻨﺘﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ OM=OF‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ‪ EF = MN‬ﻤﻌﻨﺎﻩ ﺃﻥ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ EFMN‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ‬ ‫ﺃﻀﻼﻉ‬‫ﺃﻱ ﻗﻁﺭﺍﻩ ]‪[EN‬ﻭ ]‪ [MF‬ﻤﻨﺘﺼﻔﺎﻥ ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ 0‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ]‪ [EN‬ﻓﻬﻭ ﻤﻨﺘﺼﻑ ]‪ [MF‬ﻭﻤﻨﻪ ‪OM=OF‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪OM=OF‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ H‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﻟﻠﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ 0‬ﻭﺘﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪F‬‬

‫‪BSHD S‬‬ ‫‪ /2‬ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪:2‬‬ ‫‪H‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ‪:‬‬ ‫‪ EO = ON‬ﻻﻥ ‪ 0‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ]‪[EN‬‬ ‫‪ ) EF + FO = OM + MN‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻋﻼﻗﺔ ﺸﺎل(‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ EF = MN‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪FO = OM‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ 0‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ]‪[FM‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ 0‬ﻭﺘﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪.F‬‬ ‫‪ /9‬ﺍﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪B HD = SB‬‬ ‫ﻴﻜﻔﻲ ﺍﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ‬ ‫ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ‪.‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪D :‬‬ ‫‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ]‪[DS‬‬ ‫) ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ (‬ ‫‪ H‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ B‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻰ ‪I‬‬ ‫ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ]‪[BH‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ :‬ﻓﻲ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ BSHD‬ﻗﻁﺭﺍﻥ ]‪ [BH‬ﻭ ]‪[SD‬‬ ‫ﻤﺘﻨﺎﺼﻔﺎﻥ ﻓﻲ ‪I‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺭﺍﺒﻌﻲ ‪ BSHD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪HD = SD :‬‬

/10 AB VAB U DCDC U+V /11 AB + BC A C AC + AC BAB + AC BA + AC AB + AC BA CD /12 AD CB CDAB CDAB

CB DA B CD A I ‫ ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺃﻥ‬/13 IJ + JK JK + IJ = JS (‫ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ )ﺏ‬IJ = KS ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬J K : ‫ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻨﺠﺩ‬ S (‫ ) ﺤﺴﺏ ﺸﺎل‬JK + IJ = JS T V :1 ‫ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‬/14 EA TA = TC + VT ‫ﺤﻴﺙ‬ C = VT + TC = VC T : 2 ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‬ C VB = CT + VI ‫ﺤﻴﺙ‬CI + VI V E

‫ﺏ‪RC + CA = RA -‬‬ ‫‪ /15‬ﺍﺘﻤﺎﻡ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻴﺎﺕ‬ ‫ﺩ‪AB + BA = O -‬‬ ‫ﺃ‪IJ + JE = IE -‬‬ ‫ﺠـ‪BS + AB = AS -‬‬ ‫‪ /16‬ﺏ‪ E/‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ A‬ﺒﺎﻻﻨﺴﺤﺎﺏ ﺫﻱ ﺸﻌﺎﻉ ‪BD‬‬ ‫ﺤـ‪ F /‬ﺤﻴﺙ ‪F BF = AB + BD‬‬ ‫‪7cm‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪6cm‬‬‫‪B‬‬ ‫‪5cm‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﺩ‪ /‬ﺍﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﻤﻨﺘﺼﻑ ]‪[ EF‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ABDE‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ﻷﻥ ‪BD = AE‬‬ ‫‪ ABFD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫‪AD = AB + BD‬‬ ‫‪BF = AB + BD‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪AD = BF :‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ ABDE :‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ‬ ‫‪ -‬ﻓﺈﻥ ‪(1)..... DE = BA :‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ ABFD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ‬

‫‪ -‬ﻓﺈﻥ ‪(2) ..... FD = BA :‬‬‫‪ -‬ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪ (2‬ﻨﺠﺩ ‪DE = FD :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ D‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ]‪[EF‬‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴــﺔ‬‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫• ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪. 1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭ ﺘﺭﻤﻴﺯ ‪:‬‬‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ a :‬ﻋﺩﺩ ﻤﻌﻠﻭﻡ ‪ .‬ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪ x‬ﻓﻲ‬ ‫‪ a‬ﺃﻱ ‪ a x‬ﺘﺴﻤﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ‪ a x :‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪. x‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ a‬ﻴﺴﻤﻰ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ ‪:‬‬ ‫ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻌﺎﻤﻠﻬﺎ ‪ a‬ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‪x → a x :‬‬ ‫ﻭﻨﺴﻤﻴﻬﺎ ﺒﺤﺭﻑ ‪ B، A‬ﺃﻭ ‪ f‬ﻤﺜﻼ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻨﻜﺘﺏ ‪f : x → a x :‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ﺃﻴﻀﺎ ‪f(x) = a x :‬‬ ‫ﻭ ﻨﻘﺭﺃ ‪ :‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ x‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ a x‬ﻭ ﻟﻼﺨﺘﺼﺎﺭ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﻘﺭﺃ ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﻟـ ‪ x‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪. a x‬‬ ‫‪ 2. 1‬ﺘﻌﻴﻥ ﺼﻭﺭﺓ ﻋﺩﺩ ﺒﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ f(x) = a x : : 1‬ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a = 10‬ﻤﻌﺎﻤﻠﻬﺎ ﻓﺘﺼﺒﺢ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f(x) = 10 x :‬‬ ‫ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 5‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ‪f (5) = 10×5 = 50 :‬‬ ‫‪f : 5 → 50‬‬ ‫‪ 50‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 5‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.f‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ : 2‬ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ )‪ (-8‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪f (-8) = 10×(-8).‬‬ ‫)‪f (-8) = (-80‬‬ ‫)‪ (-80‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ )‪ (8-‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫)‪f : (-8) → (-80‬‬

‫‪ 3. 1‬ﺘﻌﻴﻥ ﻋﺩﺩ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﺒﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻤﻌﻠﻭﻤــﺔ ‪:‬‬ ‫‪f: ? → ax‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ f(x) = 5 x : 1‬ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻋﺩﺩ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ‪. 10‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪ f(x) = 5 x :‬ﻭ ‪f(x) = 10‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5 x = 10‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ 10 : f‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. 2‬‬ ‫‪ 4. 1‬ﺘﻌﻴﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭ ﺼﻭﺭﺘﻪ ‪:‬‬‫ﺘﻌﻴﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﻫﻭ ﺇﻴﺠﺎﺩ ‪a‬ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ f :‬ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪ f : 2 → 3 :‬ﺃﻱ ‪f(2) = 3 :‬‬ ‫ﻤـﺎﻫﻭ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ‪ f‬؟‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪ :‬ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻓﺈﻥ ‪ f‬ﺘﻜﺘﺏ ‪f(x) = a x :‬‬ ‫‪ f(2) = 2 a‬ﻭ ‪f(2) = 3‬‬ ‫ﻤﻌﻨـﺎﻩ ‪2 a = 3 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭﻤﻨـﻪ ‪a = 2 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪f(x) = 2 x‬‬ ‫ﺃﻭ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f:x 2 x‬‬ ‫‪ 5. 1‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺒﺩﺅﻩ ‪ O‬ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﺸﻤل ‪ O‬ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴـﺎﺕ )‪ (1,a‬ﺤﻴﺙ ﻴﻤﺜل ‪ a‬ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴـﺔ ‪.‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅـﺔ )‪ f : x → a x : (1‬ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺃﻭ ﻭﻀﻊ ‪y = f(x):‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ‪ f(x) = ax :‬ﺘﺼﺒﺢ ‪y = a x :‬‬

‫ﻤﻼﺤﻅـﺔ )‪ y = a x : (2‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﺜل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺩﺍﻟـﺔ ﺨﻁﻴـﺔ ‪ .‬ﻫﻨﺩﺴﻴــﺎ ‪ a‬ﻤﻌﺎﻤل‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ﺘﺼﺒﺢ ﺘﺴﻤﻴﺘﻪ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﻭﺠﻴـﻪ ﺃﻭ ﻤﻴل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜـﺎل ‪ f :‬ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪f(x) = 2 x :‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺜل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺒﺩﺅﻩ ‪. O‬ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻁﻭل ﻫﻲ ‪. cm‬‬ ‫‪ -‬ﺃﺫﻜــﺭ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﻭﺠﻴــﻪ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤـل ‪ f(x) = 2 x :‬ﺃﻱ ‪y = 2 x :‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ y = 2 x‬ﻴﺸﻤل ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪ O‬ﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﺫﺍﺕ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ) ‪. (1 ، 2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f(x) = 2 x :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-5 -4 -3 -2 -1 -1‬‬ ‫‪1 2345‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬‫‪ -‬ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ ﺃﻭ ﻤﻴل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ y = 2 x‬ﻫﻭ ‪. 2‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪ 6-1‬ﻗﺭﺍﺀﺓ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟـﺔ ﺨﻁﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻤﺜـﺎل ‪ :‬ﻻﺤﻅ ﺍﻟﺸﻜل ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻴﻤﺜل ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ‪3 . f‬‬ ‫* ﺍﻗﺭﺃ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪2 .5‬‬ ‫* ﺍﻗﺭﺃ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﻫﻲ ‪1 . 1,4‬‬‫‪- -- -‬‬ ‫‪--‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1 2 3 44 5‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪- - - - -- 1 2 3 4 5‬‬ ‫‪- 3.5‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫)‪(d‬‬ ‫ﻨﻘﺭﺃ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪.‬‬ ‫ﻭﻗﻴﻡ ﺍﻟﺼﻭﺭ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫‪ -1‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ 5‬ﻫﻲ ‪ 2‬ﺃﻱ‪f ( 5 ) = 2 :‬‬ ‫‪ 3,5 -2‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﻫﻲ ‪ 1,4‬ﺃﻱ ‪f (3,5) =1,4 :‬‬ ‫‪ 7. 1‬ﺤﺴﺎﺏ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ‪:‬‬

‫‪ -‬ﻤﺎﻫﻭ‪ a‬ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ؟‬ ‫ﺍﻟﺤــل ‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺨﻁﻴﺔ ﻷﻥ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻴﺸﻤل ‪ O‬ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻓﻬﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪f(x) = a x :‬‬ ‫ﻭﺠﺩﻨﺎ ﻓﻲ )‪ (1‬ﺃﻥ ﺼﻭﺭﺓ ‪ 5‬ﻫﻲ ‪ 2‬ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪f (5) = 2 :‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ y = ax‬ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ‪ x = 5‬ﻭ ‪. y = 2‬‬ ‫ﻨﺠـﺩ ‪5 × a = 2 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺃﻱ ‪a = 5 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪f(x) = 5 x‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅـﺔ ‪ :‬ﻴﻤﻜﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺒﺘﻭﻅﻴﻑ‬ ‫‪f(3,5) = 1,4‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﻤل ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﻤﺜل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺒﺩﺅﻩ ‪ O‬ﻤﺎﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪g(x) = -2x ; f(x) = 3x‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ y = 3 x‬ﻴﺸﻤل ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪ O‬ﻭﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪A‬‬ ‫ﺫﺍﺕ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ) ‪. (1 ، 3‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ y = -2 x‬ﻴﺸﻤل ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪ O‬ﻭﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪B‬‬ ‫ﺫﺍﺕ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ) ‪. (1 ، -2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴـﺎﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪A(1 ;3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 2 345‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-5 -4 -3 -2 -1 -1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬

‫)‪B(1;-2‬‬‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻭﻀﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻭ ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﺎﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻭ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺨﺘﻼﻑ ﺭﺍﺠﻊ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺍﺨﺘﻼﻑ ﻤﻌﺎﻤﻠﻴﻬﻤـﺎ ‪.‬‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻫـﻭ ‪ 3‬ﺃﻱ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺼﻔﺭ ‪.‬‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻫـﻭ )‪ (-2‬ﺃﻱ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺼﻔﺭ ‪.‬‬‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻨﻪ ‪:‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻴﻜﻭﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺘﻴﻥ ‪ xOy‬ﻭ ’‪x’Oy‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻓﺈﻥ‬‫‪a<0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻴﻜﻭﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺘﻴﻥ ‪ x’Oy‬ﻭ ’‪xOy‬‬ ‫’‪5 Y‬‬ ‫‪4 a>0‬‬ ‫‪3‬‬‫‪X2‬‬ ‫’‪X‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-5 -4 -3 -2 -1 -1‬‬ ‫‪1 2345‬‬‫‪a>0‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪a<0‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5 y‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅـﺔ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﻨﻁﺒﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪.‬‬

‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜــﻼﺕ‬ ‫‪ -1‬ﺍﻟﺩﺍﻟـﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴــﺔ ‪:‬‬ ‫‪f:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫– ‪ f‬ﺩﺍﻟـﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫* ﺃﺤﺴﺏ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. 6‬‬ ‫* ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ‪. 21‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫* ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ‪. 2‬‬ ‫‪ g -‬ﺩﺍﻟـﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻤﻌﺎﻤﻠﻬـﺎ ‪. - 3,5‬‬ ‫* ﺃﻜﺘﺏ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴـﺔ ‪. g‬‬ ‫* ﺃﻜﻤــل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0 - 1 2,4‬‬‫ﺼﻭﺭﺓ‪x‬‬ ‫‪-21 31,5‬‬ ‫‪ f -‬ﺩﺍﻟـﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻤﻌﺎﻤﻠﻬـﺎ ‪. -5‬‬ ‫* ﺃﺤﺴﺏ )‪.f(-3‬‬ ‫* ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ‪. -3,5‬‬ ‫‪ f -‬ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪f (7) = 21 :‬‬ ‫* ﻤﺎﻫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﻤل ‪ a‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ‪ f‬؟‬ ‫* ﺃﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﺼﻭﺭﺓ ‪ x‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.f‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪ .‬ﻤﺎﻫﻲ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ؟‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ‪3‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ‪1‬‬‫‪4325‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪23514‬‬‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪1‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل ‪6‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل‪5‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ‪4‬‬ ‫‪2345‬‬ ‫‪4523‬‬ ‫‪5234‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫– ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪f(x) = 4 x :‬‬ ‫* ﻤﺜل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺒﺩﺅﻩ ‪ O‬ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻁﻭل ﻫﻲ ‪. cm‬‬ ‫‪ -‬ﻻﺤﻅ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻴﻤﺜل ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ‪5 . f‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻗﺭﺃ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪4 .-2‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻗﺭﺃ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﻫﻲ ‪3 . -2‬‬ ‫‪-‬ﻋﻴﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪2 .‬‬ ‫‪1‬‬‫‪- --‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1 2345‬‬‫‪5 43‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‪(d‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪3-‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬‫‪-5‬‬ ‫‪f:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫* ﺤﺴﺎﺏ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪: 6‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(6‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(6‬‬ ‫=‬ ‫‪18‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫* ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ‪: 21‬‬ ‫ﻨﻀﻊ ‪f(x) = y :‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪21‬‬ ‫‪4‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫×‬ ‫)‪(21‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x = 4× 7 = 28‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ‪ 21‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. 28‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫*ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ‪. 2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫×‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−4‬‬ ‫=‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ g -2‬ﺩﺍﻟـﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻤﻌﺎﻤﻠﻬـﺎ ‪. - 3,5‬‬ ‫* ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴـﺔ ‪: g‬‬ ‫‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻤﻌﻨﺎﻩ ﺸﻜﻠﻬـﺎ ‪ g(x) = a x :‬ﻭ ‪a = -3,5‬‬ ‫‪g (x) = - 3,5 x‬‬ ‫ﻤﻌﻨـﺎﻩ ‪:‬‬ ‫* ﻤــﻸ ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0 - 1 2,4 6 -9‬‬‫ﺼﻭﺭﺓ ‪x‬‬ ‫‪0 3,5 -8,4 -21 31,5‬‬ ‫‪g (x) = - 3,5 x‬‬ ‫‪g (0) = - 3,5 (0) = 0‬‬ ‫‪g (-1) = - 3,5 (-1) = 3,5‬‬ ‫‪g (2,4) = - 3,5 (2,4) = -8,4‬‬ ‫‪- 3,5 x = -21 ; - 3,5 x = 31,5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪- 21‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫;‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪31,5‬‬ ‫=‬ ‫‪−9‬‬ ‫‪- 3,5‬‬ ‫‪- 3,5‬‬ ‫‪ f -3‬ﺩﺍﻟـﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻤﻌﺎﻤﻠﻬـﺎ ‪. -5‬‬ ‫* ﺤﺴﺎﺏ ) ‪: f ( -3‬‬ ‫ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ‪ : f‬ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ a = -5‬ﻓﺈﻥ ‪f(x) = -5 x :‬‬ ‫ﻭﻤﻨـﻪ ‪f (-3) = -5 (-3) = 15 :‬‬

‫‪- 5 x = - 3,5‬‬‫‪-1‬‬ ‫×‬ ‫‪−5‬‬ ‫×‬ ‫‪x‬‬ ‫× ‪= - 3,5‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫* ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ‪: -3,5‬‬‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪3,5‬‬ ‫=‬ ‫‪0,7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ f -4‬ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪f (7) = 21 :‬‬ ‫* ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﻤل ‪ a‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ‪: f‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻤﻌﻨﺎﻩ ﺸﻜﻠﻬـﺎ ‪ f(x) = a x :‬ﺃﻱ ‪y =a x :‬‬ ‫‪ x = 7‬ﻭ ‪ y = 21‬ﻨﻌﻭﺽ ﻓﻲ ‪y = a x :‬‬ ‫‪a × 7 = 21‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪21‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻨﺠﺩ‬ ‫‪7‬‬ ‫* ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﺼﻭﺭﺓ ‪ x‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬ ‫‪ f(x) = a x‬ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ a = 3 :‬ﻓﺈﻥ ‪f(x) = 3 x :‬‬ ‫‪ -5‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜـل ‪ / 1‬ﺍﻟﺸﻜــل ‪. 6‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﺴﻴـﺭ ‪:‬‬ ‫ﻷﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﺸﻤل ‪O‬‬ ‫ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪.‬‬ ‫)‪4 A((1 ;4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪ f – 6‬ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪f(x) = 4 x :‬‬ ‫* ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﺸﻤل ‪ O‬ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁـﺔ ‪. A‬‬ ‫ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﹶﺔ ‪: A‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨـﺎ ‪f(x) = 4 x‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪f (1) = 4 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪A ( 1 , 4 ) :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬ ‫‪ -7‬ﻻﺤﻅ ﺍﻟﺤل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬‫‪(d) 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪-4‬‬‫‪ a × (-2) = 1‬ﺃﻱ ‪= 2 :‬‬ ‫‪ -1‬ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ )‪ (-2‬ﻫﻲ ‪-5 . 1‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﻫﻲ )‪ (-2‬ﻫﻭ ‪-6 . 1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ -3‬ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻫﻭ ‪ 2‬ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫‪.a‬‬

‫ﺍﻟــﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴــﺔ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﺍﻟﺘﺼﺤﻴﺢ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ‬

‫ﺍﻟﺩﺭﺱ‬‫‪ ax+b‬ﺘﺴﻤﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭ ﺘﺭﻤﻴـﺯ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻤﻌﻠﻭﻤﺎﻥ ‪ .‬ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪ .‬ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ‪ a x + b :‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪. x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ ‪:‬‬ ‫ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻌﺎﻤﻠﻬﺎ ‪ a‬ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‪x → a x + b :‬‬ ‫ﻭﻨﺴﻤﻴﻬﺎ ﺒﺤﺭﻑ ‪ g , B، A‬ﺃﻭ ‪ f‬ﻤﺜﻼ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻨﻜﺘﺏ ‪f : x → a x + b :‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ﺃﻴﻀﺎ ‪f(x) = a x + b :‬‬‫ﻭ ﻨﻘﺭﺃ ‪ :‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ x‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ a x + b‬ﻭ ﻟﻼﺨﺘﺼﺎﺭ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﻘﺭﺃ ‪ f:‬ﻟـ ‪ x‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪. a x + b‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻥ ﺼﻭﺭﺓ ﻋﺩﺩ ﺒﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ f(x) = - 3 x + 1 : 1‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 2‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ‪f (2) = -3 (2) + 1 = - 5 :‬‬ ‫‪f: 2 → -5‬‬ ‫)‪ (-5‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 2‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ‪. f‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ : 2‬ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ )‪ (3-‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪f (-3) = - 3×(-3) + 1 = 9 + 1 = 10 .‬‬ ‫)‪ (+10‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ )‪ (-3‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻋﺩﺩ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﺒﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ﻤﻌﻠﻭﻤــﺔ ‪:‬‬ ‫‪f: ? → ax+b‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ f(x) = - 2 x + 3 : 1‬ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻋﺩﺩ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ‪ f‬ﻫﻲ )‪. (-1‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪ f(x) = -2 x + 3 :‬ﻭ ‪f(x) = - 1‬‬ ‫‪-2x+3=-1‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬

‫‪− 2x = −1− 3‬‬ ‫‪− 2x = −4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−4‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ( -1 ) : f‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. 2‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻭ ﺼﻭﺭﺘﻴﻬﻤـﺎ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻭ ﺼﻭﺭﺘﻴﻬﻤـﺎ ﺒﺈﻴﺠﺎﺩ ‪ a‬ﻤﻌﺎﻤﻠﻬﺎ‬ ‫ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. b‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ f :‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ﺤﻴﺙ ‪f(-2) = -3 ; f (6) = 1 :‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ‪ f‬؟‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪ :‬ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ﻓﺈﻥ ‪ f‬ﺘﻜﺘﺏ ‪f(x) = a x + b :‬‬ ‫‪ f(-2) =- 2 a + b‬ﻭ ‪f(- 2) =- 3‬‬ ‫ﻤﻌﻨـﺎﻩ ‪- 2 a + b = -3 ……..(1) :‬‬ ‫ﻭ ‪ f(6) = 6 a + b :‬ﻭ ‪f(6) = 1‬‬ ‫ﻤﻌﻨـﺎﻩ ‪6 a + b = 1 ……..(2) :‬‬ ‫ﻟﺘﻌﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻴﺠﺏ ﺤل ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺒﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ ‪:‬‬ ‫)‪ - 2 a + b = - 3..................(1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪6 a + b =1......................(2‬‬ ‫ﺒﻌﺩ ﺘﻁﺒﻴﻕ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺤل ﺒﺎﻟﻁﺭﺡ ﻤﺜﻼ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬‫‪− 2a + b − 6a − b = −3 − 1‬‬‫‪− 8a = −4‬‬‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﻗﻴﻤﺔ ‪ a‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪-1+b=-3‬‬ ‫‪b = - 3 + 1 = -2‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟـﺔ ﺍﻟﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺒﺩﺅﻩ ‪ O‬ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪.‬‬ ‫ﻴﻤﺜل ‪ a‬ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﻭﺠﻴـﻪ ‪.‬‬ ‫‪ b‬ﻫﻲ ﺘﺭﺘﻴﺒﺔ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫‪ y = a x + b‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜـﺎل ‪ f :‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ﺤﻴﺙ ‪f(x) = 2 x - 1 :‬‬‫‪ -‬ﻤﺜل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺒﺩﺅﻩ ‪. O‬ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻁﻭل ﻫﻲ ‪. cm‬‬ ‫ﺍﻟﺤـل ‪ f(x) = 2 x - 1 :‬ﺃﻱ ‪y = 2 x - 1 :‬‬ ‫ﻨﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪y = 2 x – 1‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x = 0‬ﻓﺈﻥ ‪ y = 2 (0) – 1 = - 1 :‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻫﻲ ‪A (0,1) :‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x = 2‬ﻓﺈﻥ ‪ y = 2 (2) – 1 = 3 :‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻫﻲ ‪B (2,3) :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f(x) = 2 x - 1 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪B(2, 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-1-1 A(01,-1) 2‬‬ ‫ﺤﺎﻻﺕ ﺨﺎﺼﺔ ﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟـﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ‪:‬‬‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪ f(x) = a x + b :‬ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪y = a x + b :‬‬‫‪ -1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a > 0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﺘﺯﺍﻴﺩ ‪ x‬ﻓﺈﻥ ‪ y‬ﺘﺘﺯﺍﻴـﺩ‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﺘﻨﺎﻗﺹ ‪ x‬ﻓﺈﻥ ‪ y‬ﺘﺘﻨـﺎﻗﺹ ‪.‬‬

‫ﻤﺜــﺎل ‪ f :‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ﺤﻴﺙ ‪f(x) = 2 x - 1 :‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻷﻥ ‪a = 2 > 0 :‬‬ ‫ﺘﻤﺜﻴل ‪ f‬ﻟﻤــﺎ ‪a > 0‬‬ ‫‪b‬‬ ‫)‪(d‬‬‫‪Y =ax+b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻴﺼﻌﺩ‬‫‪Y‬‬ ‫=‬ ‫‪a-x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪--‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ -2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a < 0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﺘﺯﺍﻴﺩ ‪ x‬ﻓﺈﻥ ‪ y‬ﻴﺘﻨـﺎﻗﺹ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﺘﻨﺎﻗﺹ ‪ x‬ﻓﺈﻥ ‪ y‬ﻴﺘﺯﺍﻴـﺩ ‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﻤﺜــﺎل ‪ f :‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ﺤﻴﺙ ‪f(x) = -3 x - 1 :‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻷﻥ ‪a = -3 < 0 :‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺘﻤﺜﻴل ‪ f‬ﻟﻤــﺎ ‪a < 0‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻴﻨﺯل‬ ‫‪- - - - -a 1‬‬ ‫‪Y=ax+b‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪Y = ax‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a = 0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ‪ f‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻴﻌﻨﻲ ‪y = b :‬‬

‫‪b‬‬‫‪Y=b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟـ ﻟﻤﺎ ‪a = 0 :‬‬ ‫‪- -- - -‬‬ ‫)‪(d‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻴﻭﺍﺯﻱ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅـﺔ ‪ :‬ﻜل ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻴﻤﺜل ﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻗﺭﺍﺀﺓ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟـﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺜـﺎل ‪ :‬ﻻﺤﻅ ﺍﻟﺸﻜل ‪(d) .‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻴﻤﺜل ﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ‪. f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻗﺭﺃ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. -2‬‬‫‪- -4 -‬‬ ‫‪--‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻗﺭﺃ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﻫﻲ ‪. 4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪(d‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-5 -4 -3 -2 -1‬‬ ‫‪1 2345‬‬

‫ﻨﻘﺭﺃ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪.‬‬ ‫ﻭﻗﻴﻡ ﺍﻟﺼﻭﺭ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫‪ -1‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ -2‬ﻫﻭ ‪ 1‬ﺃﻱ‪f ( -2 ) = 1 :‬‬ ‫‪ 4 -2‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﻫﻲ ‪ 4‬ﺃﻱ ‪f (4) =4 :‬‬‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻥ ﺍﻟﻌﺎﻤﻠﻴﻥ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪:‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﺘﻭﻅﻴﻑ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ‪.‬‬‫ﺍﻟﻘﺭﺍﺀﺓ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻟﻠﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻫﻲ ‪ f (4) = 4 :‬ﻭ ‪f (-2) = 1‬‬‫ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭ ﻫﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪y = a x + b :‬‬‫‪ f (4) = 4‬ﺘﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪- 2 a + b = 1 ……..(1) :‬‬‫ﻭ ‪ f (-2) = 1‬ﺘﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪4 a + b = 4 ….…..(2) :‬‬‫ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺒﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ ‪:‬‬ ‫)‪− 2a + b = 1..............(1‬‬ ‫)‪4 a + b = 4 ...............(2‬‬‫ﺒﺎﻟﻁﺭﺡ ﻨﺠـﺩ ‪- 2 a + b – 4 a – b = 1 – 4 :‬‬ ‫‪-6a=-3‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬‫ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﻗﻴﻤﺔ ‪ a‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﻨﺠﺩ ‪- 1 + b = 1 :‬‬ ‫‪b=1+1=2‬‬‫ﻨﻌﻭﺽ ﺒﻘﻴﻤﺘﻲ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻓﻨﺠﺩ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ‪:‬‬‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺍﻟﺘﺼﺤﻴﺢ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ‬‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜــﻼﺕ‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﺩﺍﻟـﺔ ﺍﻟﺘـﺂﻟﻔﻴــﺔ ‪:‬‬ ‫‪ – 1‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫‪f :x →3x +1 ; g:x →-4x‬‬‫)‪h : x → 6 (x +1) - 2 ( 3 + 2x‬‬‫‪k : x → x 2 ; F : x → x 2 − (x + 2)2‬‬ ‫‪ f -2‬ﺩﺍﻟـﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪. f(x) = 4 x - 2 :‬‬ ‫* ﻋﻴﻥ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ) ‪( - 2‬‬ ‫* ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻭ ‪. 3‬‬‫)‪h(x‬‬ ‫=‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ h -3‬ﺩﺍﻟـﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫* ﺃﺤﺴﺏ )‪. h (-1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫* ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ x‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ g -4‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ﺤﻴﺙ ‪g (x) = a x + b :‬‬ ‫* ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ﻋﻠﻤــﺎ ﺃﻥ ‪:‬‬‫‪g (0 ) = -3 ; g (2) = 1‬‬ ‫‪ -5‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ‪:‬‬ ‫* ‪f (-1) = 5 ; f (2) = -3‬‬‫* ‪ f (2) = 5 ; a = 3‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬

‫‪ -6‬ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪.‬ﻤﺎﻫﻲ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ؟‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ‪3‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ‪1‬‬‫‪5324‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪5423‬‬‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 45‬‬ ‫‪1 4 1 45‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ‪6‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ‪5‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ‪4‬‬‫‪5342‬‬ ‫‪5243‬‬ ‫‪3542‬‬‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 45‬‬ ‫‪1 45‬‬ ‫‪1 45‬‬ ‫‪ –7‬ﻤﺜل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺒﺩﺅﻩ ‪: O‬‬ ‫‪f (x) = 3 x – 1 ; g(x) = - 2 x + 3‬‬‫‪ -8‬ﻻﺤﻅ ﺍﻟﺸﻜل ‪ :‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻴﻤﺜل ﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ‪5 . f‬‬‫‪ -‬ﺍﻗﺭﺃ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪4 .-2‬‬‫‪ -‬ﺍﻗﺭﺃ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﻫﻲ ‪3 . 5‬‬‫‪-‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪2 .‬‬‫‪1‬‬‫‪-5 -4 -3 -2 -1‬‬ ‫‪1 2345‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬

‫‪ -10‬ﻤﺴـﺄﻟﺔ ‪ f :‬ﻭ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘـﺎﻥ ﺘـﺂﻟﻔﻴﺘﺎﻥ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫‪f (x) = 2 x – 1 ; g (x) = - 3 x + 2‬‬‫• ﺃﺫﻜﺭ ﺘﺯﺍﻴﺩ ﺃﻭ ﺘﻨﺎﻗﺹ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ f‬ﻭ ‪ . g‬ﻋﻠل ؟‬‫• ﻋﻴﻥ ﺼﻭﺭﺓ )‪ (-3‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟــﺔ ‪. f‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ‪ 5‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟـﺔ ‪. g‬‬ ‫•‬ ‫•‬‫ﺃﺤﺴﺏ ‪ g 5 − 1‬ﺜﻡ ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ x‬ﺤﻴﺙ ‪( )f (x) = - 7 :‬‬‫• ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟـﺔ ‪f (x) = g (x) :‬‬‫• ﺃﻨﺸﺊ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ) ‪ ( O , J , I‬ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ )‪ (d2) ; (d1‬ﻟﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪g‬‬‫‪ , f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ‪.‬‬

‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴـﻥ ﻭ ﺍﻟﻤﺸﻜـﻼﺕ‬ ‫‪ -1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﺫﻜﻴـﺭ ‪ :‬ﺘﻜﻭﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪a x + b‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ‪f (x) = 3 x + 1 :‬‬‫‪ h‬ﻟﻴﺴﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ﻷﻥ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻨﺸﺭ ﻭ ﺍﻟﺘﺒﺴﻴﻁ ﻨﻌﺭﻑ ﺤﻘﻴﻘﺘﻬـﺎ ‪:‬‬ ‫)‪h(x) = 6(x + 1) − 2(3 + 2x‬‬ ‫‪h(x) = 6x + 6 − 6 − 4x‬‬ ‫‪h(x) = 2x‬‬ ‫‪ g‬ﺩﺍﻟـﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻭ ﻟﻴﺴﺕ ﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ‪.‬‬ ‫‪ F‬ﺩﺍﻟـﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ﻷﻥ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻨﺸﺭ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﺎﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪F (x) = x2 − (x + 2)2‬‬‫‪( )F (x) = x2 − x2 + 4x + 4‬‬ ‫‪F(x) = x2 − x2 − 4x − 4‬‬ ‫‪F (x) = −4x − 4‬‬ ‫‪ k‬ﺩﺍﻟـﺔ ﻟﻴﺴﺕ ﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ﻷﻨﻬﺎ ﻟﻡ ﺘﻜﺘﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ ‪.‬‬ ‫‪ f -2‬ﺩﺍﻟـﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪. f(x) = 4 x - 2 :‬‬ ‫* ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ )‪: (-2‬‬ ‫‪f (-2) = 4 (-2) – 2 = - 8 – 2 = - 10‬‬ ‫* ﺘﻌﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻭ ‪: 3‬‬ ‫‪ f (x) = 4 x – 2 ; f (x ) = 3‬ﻭﻤﻨـﻪ ‪:‬‬

‫‪4x-2=3‬‬ ‫‪4x = 3 + 2 = 5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 4‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻭ ‪. 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫=‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ h -3‬ﺩﺍﻟـﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫)‪h(−1‬‬ ‫=‬ ‫)‪5(−1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪h(−1‬‬ ‫=‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫* ﺤﺴﺎﺏ )‪: h (-1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪h(−1‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪h(−1‬‬ ‫=‬ ‫‪− 21‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫* ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ x‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬‫)‪h(x‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ – 4‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ‪ g‬ﺤﻴﺙ ‪g (x) = a x + b :‬‬ ‫‪ g ( 0 ) = -3‬ﻴﻌﻨﻲ ‪a ×0 + b = -3 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪b = -3 :‬‬

‫‪a×2+b=1‬‬ ‫‪: g (2) = 1‬‬ ‫‪a ×2 – 3 = 1‬‬ ‫ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﻗﻴﻤﺔ ‪ b‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪a ×2 = 3 + 1= 4‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨـﻪ ‪a = 2 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ﻫﻲ ‪g(x) = 2 x – 3 :‬‬ ‫‪ -5‬ﺘﻌﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪:‬‬ ‫* ‪f (-1) = 5 ; f (2) = -3‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ f(-1) =5 :‬ﻓﺈﻥ ‪a ×(-1) + b = 5 ……..(1) :‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ f(2) =-3 :‬ﻓﺈﻥ ‪a ×(2) + b = -3 ……..(2) :‬‬‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ﻴﺅﻭل ﺍﻟﻰ ﺤل ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻨﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ‬ ‫‪− a + b = 5‬‬ ‫ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺒﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ ﻓﻨﺠﺩ ‪2a + b = −3 :‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻁـﺭﺡ ﻨﺠﺩ ‪- a + b – 2 a – b = 5 + 3 :‬‬ ‫‪-3 a = 8‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪−8‬‬ ‫‪3‬‬‫‪8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﻗﻴﻤﺔ ‪ a‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﻨﺠﺩ ‪:‬‬‫‪3‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪15 - 8‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻨﻌﻭﺽ ﺒﻘﻴﻤﺘﻲ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻓﻨﺠﺩ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪−8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬‫* ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻤﺎ ‪ f(2) = 5‬ﻭ‪ a‬ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻠﺩﺍﻟـﺔ ‪ f‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪. 3‬‬ ‫‪ f (2) = 5‬ﻤﻌﻨـﺎﻩ ‪2 × a + b = 5 :‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ a = 3‬ﻓﺈﻥ ‪ 2 × a + b = 5 :‬ﺘﺼﺒﺢ ‪6 + b = 5 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪b = 5 – 6 = - 1 :‬‬ ‫ﻨﻌﻭﺽ ﺒﻘﻴﻤﺘﻲ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻓﻨﺠﺩ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ‪:‬‬ ‫‪f (x) = 3x −1‬‬

‫‪ -6‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﺩﺍﻟـﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜــل )‪ (1‬ﻭ ﺍﻟﺸﻜــل )‪. (3‬‬ ‫ﺏ‪g(x) = - 2 x + 3 -‬‬ ‫‪ -7‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻭل ﺍﻟﺘـﺂﻟﻔﻴـﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﻤـﺎ‪ x=0‬ﻓﺈﻥ‪ y=3‬ﺇﺫﺍ )‪A(0,3‬‬ ‫ﺃ‪f (x) = 3 x – 1 -‬‬‫ﻟﻤـﺎ‪ x=2‬ﻓﺈﻥ‪ y=-1‬ﺇﺫﺍ )‪B(2,-1‬‬ ‫ﻟﻤـﺎ‪ x=0‬ﻓﺈﻥ‪ y=-1‬ﺇﺫﺍ )‪A(0,-1‬‬ ‫)‪A5(0,3‬‬ ‫ﻟﻤـﺎ‪ x=2‬ﻓﺈﻥ ‪ y=5‬ﺇﺫﺍ )‪B(2 , 5‬‬ ‫)‪B(2,5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪B(2,-1‬‬ ‫)‪A(0,-1‬‬‫‪- - - - --‬‬ ‫‪- - - - --‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬

‫ﺝ‪h(x) = - √2/2 x -4 -‬‬ ‫ﺩ‪g (x) = 3/4 x +2 -‬‬ ‫ﻟﻤـﺎ‪ x=0‬ﻓﺈﻥ‪ y=-4‬ﺇﺫﺍ )‪A(0,-4‬‬ ‫ﻟﻤـﺎ‪ x=0‬ﻓﺈﻥ‪ y=2‬ﺇﺫﺍ )‪A(0 ;2‬‬‫ﻟﻤـﺎ‪ x=√2‬ﻓﺈﻥ‪ y=-5‬ﺇﺫﺍ )‪B(√2,-5‬‬ ‫ﻟﻤـﺎ‪ x=4‬ﻓﺈﻥ ‪ y=5‬ﺇﺫﺍ )‪B(4 ; 5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪B(4 ;5‬‬ ‫‪5‬‬‫‪- -A(-0,-4-) - -‬‬ ‫)‪B(√2,-5‬‬ ‫)‪A(0,2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪- -- - -‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬‫‪ -8‬ﺘﻌﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻨﺄﻟﻔﻴﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻤﺎ ﺍﻥ ﺘﻤﺜﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ )‪ B(1 ;1‬ﻭ )‪A(5 ;-1‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻨﺄﻟﻔﻴﺔ ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪ f(x) = ax+b :‬ﺍﻭ ‪y= ax+b‬‬ ‫ﺘﻤﺜﻴل ‪ f‬ﻴﺸﻤل )‪ A(5 ;-1‬ﻤﻌﻨﺎﻩ ﺍﺤﺩﺍﺜﻴﺘﺎﻫﺎ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪y= ax+b‬‬ ‫ﺃﻱ ‪-1 =5a +b :‬‬ ‫ﺃﻭ …)‪5a + b = -1 …(1‬‬ ‫ﺘﻤﺜﻴل ‪ f‬ﻴﺸﻤل )‪ B(1,1‬ﻤﻌﻨﺎﻩ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺘﺎﻫﺎ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪y= ax+b‬‬ ‫‪1 = 1× a+b‬‬ ‫)‪a+b = 1 …(2‬‬ ‫ﺃﻭ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﻨﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ‪ f‬ﻴﻌﻭﺩ ﺍﻟﻰ ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭﻟﻬﺫﺍ ﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬ ‫×‪1‬‬ ‫…)‪5a + b = -1 …(1‬‬ ‫…)‪a + b = 1 …(2‬‬‫× ‪-5‬‬ ‫‪5a +b = -1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-5a -5b = -5‬‬

‫‪5a -5a +b -5b = -1 -5‬‬ ‫‪-4b = -6‬‬ ‫‪b= -6/-4‬‬ ‫‪b = 3/2‬‬ ‫‪(-1) x 5a + b = -1 …. (1) ….‬‬ ‫… )‪1 × a + b = 1 …. (2‬‬ ‫… )‪-5a -b = +1 … (1‬‬ ‫‪+ a +b = 1‬‬ ‫… )‪…. (2‬‬ ‫‪-5a +a –b+b = 1+1‬‬ ‫‪-4a = 2‬‬ ‫‪a = 2/-4‬‬ ‫‪a= -1/2‬‬ ‫ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ‪ a= -1/2‬ﻭ ‪b = 3/2‬‬ ‫ﻓﻲ ‪ y = ax +b‬ﻨﺠﺩ ‪y = -1/2x + 3/2‬‬ ‫ﺍﻭ ‪f(x) =-1/2x + 3/2‬‬ ‫‪ -9‬ﻻﺤﻅ ﺍﻟﺸﻜل ‪ :‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻴﻤﺜل ﺩﺍﻟﺔ ﺘـﺂﻟﻔﻴﺔ ‪. f‬‬ ‫)‪(d‬‬ ‫‪ -‬ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ -2‬ﻫﻲ)‪. (-1‬‬‫‪5‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ‪ 5‬ﻫﻭ ‪. 2‬‬‫‪4‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻫﻲ‪. :‬‬‫‪3‬‬‫‪2‬‬‫‪1‬‬‫‪-5 -4 -3 -2 -1‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ -2‬ﻫﻲ)‪ (-1‬ﻓﺈﻥ ‪1 2 3f(-2)4= -15:‬‬ ‫‪-1‬‬‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ‪ 5‬ﻫﻭ ‪ 2‬ﻓﺈﻥ ‪-2 f(2) = 5 :‬‬‫ﻓﺈﻨﻨـﺎ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﻫﻲ ‪-3 :‬‬‫)‪-4 − 2a + b = −1...........(1‬‬‫)‪-5 2a + b = 5...............(2‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ ‪-2a + b + 2 a + b = - 1 + 5 :‬‬