دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني جذع اداب و فلسفة سنة اولى ثانوي

‫‪ir,‬‬‫‪( )0,‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫ﺠـ‪ .‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﻺﻨﺸﺎﺀ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‬‫ﻹﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ (d‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪) y = ax‬ﺃﻱ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ,( x → ax‬ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻨﻌﻴﻥ‬‫ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‪ ,‬ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ‪ 0‬ﻭﺍﻷﺨﺭﻯ ﺘﺨﺘﺎﺭ ﻤﺜﻼ ﻟﻤﺎ‪ y = a , x = 1‬ﻓﻨﻌﻴﻥ‬‫‪rj‬ﻫﻭ‪ ,‬ﺍ‪ir‬ﻟ‪,‬ﻤﺴ‪0‬ﺘﻘﻴﻡ )‪( )(OA‬‬‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ A(1, a‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪(d‬‬ ‫ﻤﺜﻼ‪ :‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬‫ﻟﻨﻨﺸﺊ ) ‪ (d3 ), (d 2 ), (d1‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻟﻠﺩﻭﺍل ‪ h, g, f‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f : x → f (x) = 2x‬‬ ‫‪g : x → g(x) = −3x‬‬ ‫‪h : x → h(x) = 0‬‬‫ﻜل ﻤﻥ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﻭ ‪ h‬ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻤﻨﻪ ﻜل ﻤﻥ ) ‪ (d3 ), (d 2 ), (d1‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪ 0‬ﻤﻥ ﺠﻬﺔ‬ ‫ﺃﺨﺭﻯ‬ ‫ﻟﻤﺎ‪: x = 1‬‬ ‫‪ f (x) = 2‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ A(1,2‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪(d1‬‬‫‪ g(x) = −3‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ B(1,−3‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪(d2‬‬ ‫‪ h(x) = 0‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ C(1,0‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪(d3‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ) ‪(d3 ) = (OC), (OB) = (d2 ), (OA) = (d1‬‬

(d 2 ) (d 1 ) :‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺸﻜل‬ rj • A (d 3 ) 0 ir C •B

‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺕ‪ f : 1‬ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪f (13) = 2‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ )‪f (−5), f (−2), f (1‬‬ ‫ﺕ‪ k, h, g, f : 2‬ﺩﻭﺍل ﺨﻁﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪ f (3) = 2‬ﻭ ‪ g(2) = −3‬ﻭ ‪ h(5) = 5‬ﻭ ‪k(−1) = 2‬‬ ‫ﻋﺭﻑ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ‪ k, h, g, f‬ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ‬‫‪( ) ( )0,ir, rj‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻨﻔﺱ‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺇﻟ‪f‬ﻰ‪,‬ﻤ‪g‬ﻌﻠ‪,‬ﻡ‪ir,krj, h‬ﺒﺎ‪,‬ﻟﻨ‪0‬ﺴﺒﺔ‬ ‫ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ‬ ‫ﻤﺜل‬ ‫‪ :‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ‬ ‫ﺕ‪3‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ ) ‪ (d3 ), (d 2 ), (d1‬ﻫﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻟﻠﺩﻭﺍل ‪. h, g, f‬‬‫) ‪(d 2‬‬ ‫) ‪(d1‬‬ ‫) ‪(d 3‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪ir‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﻜﻼ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪ h, g, f‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﻋﻴﻥ ﻜﻼ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ )‪h(−2), g(1), f (2‬‬ ‫‪ (3‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻜل ﻤﻥ )‪ g(x), f (x‬ﻭ )‪ h(x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪) x‬ﺇﻋﻁ‬ ‫ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ f (x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ x‬ﻤﻌﻨﺎﻩ ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪( f‬‬

‫ﺕ‪: 4‬ﺃﻋﻁ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪ k, h, g, f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺎﺘﻴﺭ‪:‬‬ ‫)‪k(x‬‬ ‫=‬ ‫)‪x, h(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x,‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪3, f (x) = 5x‬‬ ‫‪2‬‬‫ﺕ‪ f : 5‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ R‬ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻟﻠﻌﺩﺩ )‪ f (x‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪6 7 89‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪1 1,5‬‬ ‫‪2 2,5‬‬ ‫‪3 3,5 3,5 3,5‬‬ ‫ﻫل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺨﻁﻴﺔ ؟‬

‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺕ‪ f :1‬ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪f (13) = 2‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ f‬ﺨﻁﻴﺔ ﻓﺈﻥ‪ f (x) = ax :‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﺜﺎﺒﺕ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪a = 6 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‪:‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪f (13) = 2‬‬ ‫‪3‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ‪ f (x) = 6x :‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪ f (1) = 6 :‬ﻭ ‪ f (−2) = −12‬ﻭ ‪f (−5) = −30‬‬ ‫ﺕ‪ : 2‬ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‬ ‫ﺕ‪: 3‬‬‫‪ (1‬ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪ h, g, f‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻷﻥ ﻜﻼ ﻤﻥ ) ‪ (d3 ), (d 2 ), (d1‬ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ‬‫‪ .0‬ﻭﻜﻼ ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻤﻥ ‪ d1‬ﻨﺠﺩ ﺃﻥ‪( )f (2) = 2 :‬‬ ‫‪ (2‬ﻭﻤﻥ) ‪ (d2‬ﻨﺠﺩ ﺃﻥ‪g(1) = −2 :‬‬ ‫ﻭﻤﻥ ) ‪ (d3‬ﻨﺠﺩ ﺃﻥ‪h(−2) = −1:‬‬‫‪ (3‬ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻜل ﻤﻥ )‪ g(x), f (x‬ﻭ )‪ h(x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻉ \"‪ \"2‬ﻭﻜﺫﺍ‬‫)‪h(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻭ ‪g(x) = −2x‬‬ ‫‪f (x) = x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻷﻭل ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺕ‪ : 4‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻷﻥ‪5 > 0 :‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻷﻥ‪− 3 < 0 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫>‬ ‫ﻷﻥ‪0 :‬‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪h‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ k‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻷﻥ‪1 > 0 :‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(9‬‬ ‫≠‬ ‫)‪f (2‬‬ ‫ﺕ‪ : 5‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻟﻴﺴﺕ ﺨﻁﻴﺔ ﻷﻥ‪2 :‬‬

‫ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‬‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺩﺴﺘﻭﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﺒﺼﻭﺭﺘﻲ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺃﻭ ﺒﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ .1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫‪ .2‬ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‬ ‫‪ .3‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‬ ‫‪ .4‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‬ ‫‪ .5‬ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫‪ .6‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬

‫• ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪f (x) = ax + b‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺜﺎﺒﺘﺎﻥ ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ‪ a‬ﻴﺴﻤﻰ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ‪f‬‬ ‫ﻭ ‪ b‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ‪f‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪ h, g, f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺎﺘﻴﺭ ‪:‬‬‫= )‪ h(x‬ﻫﻲ ﺩﻭﺍل ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‬ ‫‪2,‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪7,‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪−3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ‪ f‬ﻫﻭ ‪ -3‬ﻭﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﻫﻲ ‪5‬‬‫‪-7‬‬ ‫ﻭﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﻫﻲ‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ‪g‬‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل‬ ‫‪2‬‬‫‪ h(x) = 0.x + 2‬ﻤﻨﻪ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ‪ h‬ﻫﻭ‪ 0‬ﻭﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﻫﻲ ‪2‬‬ ‫‪ -‬ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ‪ x → ax‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪0‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ k‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ k(x) = x 2 + 3‬ﻟﻴﺴﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪ f :‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ f (1) = 3 :‬ﻭ ‪f (−1) = 5‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ f (x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬ ‫‪ (2‬ﺤﺴﺎﺏ )‪ f (0‬ﻭ )‪f (−5‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‪:‬‬‫‪ (1‬ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ f (x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ x‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ f (x) = ax + b‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ ‪b‬‬ ‫ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺜﺎﺒﺘﺎﻥ ﻭﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ f (x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ x‬ﻴﻜﻔﻲ ﻭﻴﻠﺯﻡ ﺃﻥ ﻨﺠﺩ ‪ a‬ﻭ ‪b‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f (1) = 3‬ﻭ ‪ f (−1) = 5‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ﻜﺫﻟﻙ ‪ f (1) = a.1 + b :‬ﻭ ‪f (−1) = a(−1) + b‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻭﺒﺎﻟﺘﻌﺩﻴﺔ ‪ a.1 + b = 3 :‬ﻭ ‪a(−1) + b = 5‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪(1)......a + b = 3 :‬‬

‫ﻭ ‪(2)..... − a + b = 5‬‬ ‫ﻤﻥ )‪a = 3 − b (1‬‬‫ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ )‪− (3 − b) + b = 5 (2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪− 3 + b + b = 5 :‬‬ ‫‪2b − 3 = 5‬‬‫‪2b = 5 + 3‬‬‫‪2b = 8‬‬‫=‪b‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬‫‪b=4‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪a = 3 − b :‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪a = 3 − 4 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪a = −1:‬‬‫ﻤﻨﻪ ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) = −x + 4‬‬‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f (x) = −x + 4‬‬‫ﻤﻨﻪ ‪f (0) = −0 + 4‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪f (0) = 4‬‬‫ﻭ ‪f (−5) = −(−5) + 4‬‬ ‫‪=5+4‬‬ ‫‪f (−5) = 9‬‬

‫• ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪f (x) = ax + b‬‬ ‫ﻟﻨﺩﺭﺱ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪) R‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ(‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ϑ‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻜﻴﻔﻴﻴﻥ ﻟﻨﻔﺭﺽ ‪ ϑ > u‬ﻭﻟﻨﻘﺎﺭﻥ )‪ f (u‬ﻭ )‪ f (ϑ‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻕ )‪f (ϑ) − f (u‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f (ϑ) − f (u) = (aϑ + b) − (au + b) :‬‬ ‫‪= aϑ + b − au − b‬‬ ‫‪= aϑ − au‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪f (ϑ) − f (u) = a(ϑ − u) :‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ ϑ > u‬ﻓﺈﻥ ‪ ϑ − u > 0‬ﻭﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f (ϑ) − f (u‬ﻫﻲ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪a‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬‫•ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ : a > 0‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ f (ϑ) − f (u) > 0‬ﺃﻱ )‪ f (ϑ) > f (u‬ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪R‬‬‫•ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ : a < 0‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ f (ϑ) − f (u) < 0‬ﺃﻱ )‪ f (u) > f (ϑ‬ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪R‬‬‫•ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ : a = 0‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ f (ϑ) − f (u) = 0‬ﺃﻱ )‪ f (ϑ) = f (u‬ﻭﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) = ax + b‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪: a > 0‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪: a < 0‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪: a = 0‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫ﻤﺜﺎﻻ ‪ :‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ f (x) = 3x + 11‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬

‫ﻷﻥ ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ f (x‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ ax + b‬ﺤﻴﺙ ‪ a = 3‬ﻭ ‪3 > 0‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ g(x) = −7x + 9‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﻷﻥ ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪g(x‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ ax + b‬ﺤﻴﺙ ‪ a = −7‬ﻭ ‪− 7 < 0‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ h(x) = 2‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ‪) R‬ﻭﻫﺫﺍ ﻭﺍﻀﺢ ﻷﻥ )‪ h(x‬ﻤﺴﺘﻘل‬ ‫ﻋﻥ ‪( x‬‬ ‫• ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) = ax + b‬‬ ‫ﺍﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻴﻜﻭﻥ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: a > 0‬‬ ‫∞‪x −‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: a < 0‬‬ ‫∞‪x −‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: a = 0‬‬ ‫∞‪x −‬‬ ‫∞‪+‬‬‫‪f (x) b‬‬ ‫‪b‬‬

‫• ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ) ‪, (0,ir, rj‬‬ ‫* ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬‫**ﻜل ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‬ ‫‪0, ir, rj‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪( ),‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) = ax + b‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ)‪ (D‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f (0) = b‬ﻤﻨﻪ)‪ (D‬ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪B(0,b‬‬ ‫ﻜﺫﻟﻙ‪ ,‬ﻤﺜﻼ‪ f (1) = a + b ,‬ﻤﻨﻪ)‪ (D‬ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪C(1, a + b‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ‪ B‬ﻭ ‪ C‬ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺘﺎﻥ)ﻷﻥ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﻤﺎ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺘﺎﻥ(‬‫ﺤﺘﻰ ﻨﺜﺒﺕ ﺃﻥ)‪ (D‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻨﺜﺒﺕ ﺃﻥ)‪ (D‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪ (BC‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪M (x, y‬‬‫‪ M‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ) ‪ (BC‬ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪ M , C, B‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪BC // BM‬‬‫ﺃﻱ ‪BC1a ‬‬ ‫ﻭ ‪BC1(a−+0b) − b‬‬ ‫‪BM‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪BM‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻟﻨﺎ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ BC // BM‬ﻴﻌﻨﻲ ‪)1.( y − b) − ax = 0‬ﺤﺴﺏ ﺸﺭﻭﻁ ﺘﻭﺍﺯﻱ ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ(‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ M‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ) ‪ (BC‬ﻴﻌﻨﻲ ‪ y − b − ax = 0‬ﺃﻱ ‪y = ax + b‬‬ ‫‪y = ax + b‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘ)ﺤ‪y‬ﻘ‪,‬ﻕ‪M (x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ )‪ (BC‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬‫•‪B‬‬ ‫ﺃﻱ )‪y = f (x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ )‪ (BC‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻫﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل))‪(x, f (x‬‬‫‪•C‬‬

‫ﻭﻋﻠﻴﻪ )‪ = (D)(BC‬ﻭ)‪ (BC‬ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻷﻥ‪ B‬ﻭ‪ C‬ﻟﻴﺱ ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﻫﻭﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫** ﻟﻴﻜﻥ ‪ d‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ) (‬ ‫) ‪ (d‬ﻴﻘﻁﻊ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ '‪ B‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)‪(l‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ 1‬ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ '‪(d ) C‬‬‫'‪B‬‬ ‫'‪C‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ '‪ b‬ﺘﺭﺘﻴﺏ '‪ B‬ﻭ '‪ c‬ﺘﺭﺘﻴﺏ '‪C‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪•M‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ )'‪ B'(0,b‬ﻭ )'‪ C'(1, c‬ﻭ ) ‪(B'C') = (d‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫ﻤﻨﻪ) ‪ (d‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪M (x, y‬‬ ‫'‪B‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0b'‬‬ ‫ﻭﻟﻨﺎ‬ ‫‪B'C' // B' M‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−‬‬‫ﻭ '‪B' M // B'C‬‬ ‫'‪B‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪b'‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﺃﻱ ‪B'C'1c'−b'‬‬ ‫ﻭ ‪B'C'1c'−−b0'‬‬ ‫‪y‬‬‫ﻴﻌﻨﻲ ‪ x(c'−b') − ( y − b') = 0‬ﺃﻱ ‪ (c'−b')x − y + b' = 0‬ﺃﻱ '‪y = (c'−b')x + b‬‬‫ﻤﻨﻪ) ‪ (d‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ)'‪ M (x, (c'−b')x + b‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺃﻱ) ‪ (d‬ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ '‪x → (c'−b')x + b‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻜل ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺕ ‪.‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‪ ,‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ) ‪(0,ir, rj‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ M (x, y‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪y = ax + b‬‬‫ﻫﻲ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻭ ‪ y = ax + b‬ﺘﺴﻤﻰ‬‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻭ ‪ a‬ﻴﺴﻤﻰ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻭ ‪ b‬ﻴﺴﻤﻰ‬‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪) (d‬ﻫﺫﺍ ﻷﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪B(0,b‬‬ ‫ﻭﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ B (d‬ﻴﻘﻁﻊ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ(‬

‫‪( )0,ir, rj‬‬ ‫ﺠـ‪ .‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﻺﻨﺸﺎﺀ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‬‫ﻹﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ (d‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪) y = ax + b‬ﺃﻱ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ,( x → ax + b‬ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ‬ ‫ﻨﻌﻴﻥ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‪,‬‬‫ﻟﺫﺍ ﻨﺨﺘﺎﺭ ﻗﻴﻤﺘﻴﻥ ‪ x1‬ﻭ ‪ x2‬ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺘﻴﻥ ﻟـ ‪ x‬ﻨﺤﺴﺏ ‪ y1‬ﻭ ‪ y2‬ﺤﻴﺙ ‪ y1 = ax1 + b‬ﻭ ‪y2‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ y2 = ax2 + b‬ﺜﻡ ﻨﻌﻠﻡ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﻴﺙ ) ‪ A(x1, y1‬ﻭ ) ‪B(x2 , y2‬‬ ‫‪( )0,‬‬‫‪ir,‬‬‫(‪rj‬‬‫ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪AB‬‬ ‫ﻓﺎﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪(d‬‬ ‫ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻤﺜﻼ‪ :‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪3‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫ﻟﻨﻨﺸﺊ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪2‬‬‫)‪ f (x‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ ax + b‬ﻤﻨﻪ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﻭﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ (d‬ﺫﻭ‬ ‫ﻟﻨﻌﻴﻥ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪(d‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ y = 3 : x = 0‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ A(0,3‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ) ‪(d‬‬‫ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ) ‪(d‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪B(2,4‬‬ ‫ﺃﻱ ‪y = 4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1 .2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻫﻜﺫﺍ ) ‪ (d‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (AB‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫•‬

‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺕ‪ : 1‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) = −2x + 7‬‬‫ﺒﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ‪ ، g‬ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 1‬ﻫﻲ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ -1‬ﻫﻲ ﻨﺼﻑ ﺼﻭﺭﺘﻪ‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﺤﺴﺏ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ‪ , g‬ﻭﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ‬ ‫ﻭ‪ -10‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪g‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ (2‬ﺃﺤﺴﺏ ﺼﻭﺭ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‪2 ,2:‬‬‫‪( )0,ir, rj‬‬ ‫‪ (3‬ﻤﺜل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﺕ ‪ f : 2‬ﻭ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﺘﺂﻟﻔﻴﺘﺎﻥ ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪g‬‬ ‫)‪(−4‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪g(−‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫=‬ ‫ﻭ‪6‬‬ ‫ﻭ‪f (6) = −1‬‬ ‫‪f (2) = 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ f (x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬ ‫‪ (2‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ g(x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬ ‫‪ (3‬ﻋﻴﻥ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ f‬ﻭ ‪g‬‬‫ﺍﻟ‪4‬ﻤ(ﻌﻠﻨﻡﺴﻤ‪rj‬ﻲ‪ 0d,1ir,‬ﻭ ‪ , d 2‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ ,‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻠﻴﻥ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﻴﻥ ﻟﻠﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻨﻔﺱ) ( ) () (‬ ‫ﺃ ‪ -‬ﺃﻨﺸﺊ ) ‪ (d1‬ﻭ) ‪(d2‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﻨﺴﻤﻲ ‪ P‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ) ‪ (d1‬ﻭ) ‪(d 2‬‬ ‫ﻋﻴﻥ‪ ,‬ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‪ ,‬ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪P‬‬‫ﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ ﻓﺎﺼﻠﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ P‬ﻫﻲ ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ f (x) = g(x‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪.‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪1‬ﺕ(‪3‬ﺒﺎ‪:‬ﻟﻨﻨﺴﻌﺒﺘﺔﻤﺩﺇﻟﻰﻋﻠﺍﻟﻰﻤﺍﻌﻟﻠﻡﺸﻜل‪ rj‬ﺍ‪,‬ﻟﻤ‪ir‬ﺠ‪,‬ﺎ‪0‬ﻭﺭ‪( ),‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫)‪ (D‬ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬‫) ‪(D‬‬ ‫ﺃ ‪ -‬ﻫل ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ؟ ﻟﻤﺎﺫﺍ ؟‬ ‫ﺏ ‪ -‬ﻫل ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ؟ ﻟﻤﺎﺫﺍ ؟‬ ‫ﺕ ‪ -‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ f (x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬

‫ﺒﺤﻴﺙ‬‫ﻴﻜﻭﻥ)‪( )(D‬‬‫‪ϑr‬‬‫ﺍﻟﺸﻤﻌﺎﻌﻠﻋﻡﻴﻥ‪ur,uϑrr‬ﻭ‬‫ﻋﻠﻰ ﺨﻴﺎﺭﻙ‪-‬‬ ‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﺜﻡ ﻋﻴﻥ‪ -‬ﻤﻌﻠﻼ‬ ‫‪ (2‬ﺃﻨﻘل ﺍﻟﺸﻜل ﻋﻠﻰ‬ ‫‪D,‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪ g‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬ ‫‪: x → g(x) = 3x − 4‬‬‫ﺕ‪ : 4‬ﺃﺭﺍﺩ ﻁﺎﻟﺏ ‪ A‬ﺃﻥ ﻴﺠﻤﻊ ﻗﻠﻴﻼ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻭﺩ‪ ,‬ﻓﻁﻠﺏ ﻤﻥ ﺼﺎﺤﺏ ﺩ ﹼﻜﺎﻥ ﺃﻥ ﻴﺸﻐﻠﻪ ﻜﺒﺎﺌﻊ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺍﻟﻌﻁﻠﺔ‬‫ﺍﻟﺼﻴﻔﻴﺔ‪ .‬ﻗﺒل ﺼﺎﺤﺏ ﺍﻟﺩ ﹼﻜﺎﻥ ﺃﻥ ﻴﺸﻐل ﺍﻟﻁﺎﻟﺏ ‪ A‬ﻁﻭﺍل ﺸﻬﺭ ﺃﻭﺕ ﻭﺍﻗﺘﺭﺡ ﻋﻠﻴﻪ ﺃﻥ ﻴﺨﺘﺎﺭ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ‬‫ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺘﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ ﻟﻺﻴﺠﺎﺭ ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻤﺒﻠﻎ ﻤﻘﺩﺭ ﺒﺎﻟﺩﻨﺎﻨﻴﺭ ﻭﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻤﺩﺨﻭل ﺍﻟﻤﺒﻴﻌﺎﺕ ﻟﺸﻬﺭ ﺃﻭﺕ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪:‬‬ ‫ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪ , S1‬ﺃﺠﺭ ﺍﻟﻁﺎﻟﺏ ‪ , A‬ﻫﻭ‪ 10%‬ﻤﻥ ‪x‬‬ ‫ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪ , S2‬ﺃﺠﺭ ﺍﻟﻁﺎﻟﺏ ‪ A‬ﻫﻭ ‪ 1500‬ﺯﺍﺌﺩ ‪ 6%‬ﻤﻥ ‪x‬‬ ‫‪ (2‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ‪ S1‬ﻫﻭ ﺼﻭﺭﺓ ‪ x‬ﺒﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ‪ f‬ﻴﻁﻠﺏ ﺘﺤﺩﻴﺩﻫﺎ‬ ‫‪ (3‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ‪ S2‬ﻫﻭ ﺼﻭﺭﺓ ‪ x‬ﺒﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ‪ g‬ﻴﻁﻠﺏ ﺘﺤﺩﻴﺩﻫﺎ‬‫ﻴﺭﻴﺩ ﺍﻟﻁﺎﻟﺏ ‪ A‬ﺃﻥ ﻴﻜﺴﺏ ‪ 10000‬ﺩﻴﻨﺎﺭﺍ ﺃﻴﺔ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺘﻴﻥ ﺘﻤﻨﺢ ﻟﻪ ﺃﻜﺒﺭ ﺤﻅ ﻟﺒﻠﻭﻍ ﺫﻟﻙ ؟‬

‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺕ‪:1‬‬ ‫‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﺃﻱ‪ g(x) = ax + b :‬ﺤﻴﺙ‪ b, a :‬ﺜﺎﺒﺘﻴﻥ ﻤﻥ ‪R‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ )‪ f (1) = g(1‬ﻭ ‪f (1) = 5‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪g(1) = 5 :‬‬ ‫ﻭ ‪f (−1) = 9‬‬ ‫= )‪g(−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ‪f (−1) :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪g (−1‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫)‪g (−1‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫)‪g (1‬‬ ‫ﻤﻥ ‪= 5‬‬ ‫ﻭ‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪19‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫ﻭ‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫= )‪g(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪19‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ‪:‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪g (2‬‬ ‫=‬ ‫‪21‬‬ ‫‪4‬‬‫) ‪(D g‬‬ ‫)‪g(3‬‬ ‫=‬ ‫‪41‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ‪8‬‬ ‫)‪g (−10‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل‪:‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫) ‪(D f‬‬

‫ﺕ‪:2‬‬ ‫‪ (1‬ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ f (x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﺃﻱ‪ f (x) = ax + b :‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺜﺎﺒﺘﺎﻥ ﻤﻥ ‪R‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ f (2) = 1:‬ﻭ ‪f (6) = −1‬‬ ‫‪2a + b = 1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪6a + b = −1 :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b = 2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (2‬ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ g(x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬ ‫‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﺃﻱ‪ g(x) = a' x + b' :‬ﺤﻴﺙ '‪ a‬ﻭ '‪ b‬ﺜﺎﺒﺘﺎﻥ ﻤﻥ ‪R‬‬ ‫= )‪g(−4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪g(− 14) = 6‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫'‪a'+b‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫'‪4a'+b‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪(d1‬‬ ‫= '‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪P rj‬‬ ‫= '‪b‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪2‬‬‫‪(d2 ) 0 ir‬‬ ‫‪g‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪13‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻷﻥ‪:‬‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻷﻥ‪2 > 0 :‬‬ ‫‪ (4‬ﺃ‪ .‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ) ‪ (d1‬ﻭ) ‪: (d 2‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ ﻓﺎﺼﻠﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ P‬ﻫﻲ ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪f (x) = g(x‬‬

‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫)‪f (x) = g(x‬‬ ‫ﻤﻥ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻓﺎﺼﻠﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪P‬‬ ‫ﻫﻲ‪− 5 :‬‬ ‫ﺕ‪: 3‬‬ ‫‪ (1‬ﺃ‪ .‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻴﺴﺕ ﺨﻁﻴﺔ ﻷﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪ D‬ﻻ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪( )0‬‬‫ﺏ‪ .‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﻷﻥ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪ D‬ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻥ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ) (‬ ‫ﺠـ‪ .‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ f (x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﻓﺈﻥ‪:‬‬ ‫‪ f (x) = ax + b‬ﺤﻴﺙ ‪ b, a‬ﺜﺎﺒﺘﺎﻥ ﻤﻥ ‪R‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ)‪ (D‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪f (1) = 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a = 3‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪b = −2 :‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪f (x) = 3x − 2 :‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻜﻴﻔﻴﺎ‬ ‫‪g(x) = 3x − 4‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪= 3x − 2 − 2 :‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪g(x) = f (x) − 2 :‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺜﺒﻴﺘﻬﺎ ﺃﻤﺎ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻓﺘﺯﺍﺡ ﺒـ ‪-2:‬‬‫‪( )B‬‬ ‫‪0, ir, rj‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻟﺫﺍ‪Cr‬ﻴﻤ=ﻜﻨﻨﺎ‪ur‬ﺍﺨﻭﺘﻴﺎ‪B‬ﺭ‪A‬ﻤﺎ ﻴ=ﻠﻲ‪ϑ:r‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪ A(0,2) :‬ﻭ )‪B(0,3‬‬ ‫‪A‬‬‫‪rj‬‬‫‪0 ir‬‬‫)‪(D‬‬

‫ﺕ‪:4‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪S1‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫×‬ ‫‪10‬‬ ‫‪100‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫ﺒﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ‪f‬‬ ‫ﻫﻭ ﺼﻭﺭﺓ ‪x‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪S1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ (2‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪S2‬‬ ‫‪= 1500 +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫×‬ ‫‪6‬‬ ‫‪100‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1500‬‬ ‫‪10‬‬‫‪g‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1500‬‬ ‫ﺒﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫ﻫﻭ ﺼﻭﺭﺓ ‪x‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪S2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻨﺠﺩ‪x = 100.000 :‬‬ ‫ﺒﺠﻌل ‪S1 = 10000‬‬ ‫ﻨﺠﺩ‪x = 85333,33 :‬‬ ‫ﻭﺒﺠﻌل ‪S2 = 10000‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺘﻤﻨﺢ ﻟﻪ ﺃﻜﺒﺭ ﺤﻅ ﻟﺒﻠﻭﻍ ﺫﻟﻙ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪) x → x 2‬ﺃﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\"(‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x → x2‬‬ ‫‪ -‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x → x2‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪x → x2‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼﻔﺭ‬‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻭﺘﻨﺎﻅﺭ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻟﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x → x2‬‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ .1‬ﺍﻟﺩﺭﺱ ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x → x 2‬‬‫‪ .2‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼﻔﺭ‪ ,‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﺯﻭﺠﻴﺔ‬ ‫‪ .3‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻟﻤﻌﺎﻟﺠﺔ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫‪ .4‬ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫‪ .5‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬

‫ﺍﻟﺩﺭﺱ ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: x → x2‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: x → x2‬‬‫ﻡﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ , f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ , f (x) = x2‬ﻫﻲ ‪ R‬ﻷﻨﻪ‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻓﺈﻥ )‪ f (x‬ﻤﻭﺠﻭﺩ ﻓﻲ ‪R‬‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: x → x2‬‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ f (x) = x2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫* ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪]− ∞,0‬‬ ‫** ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪[0,+‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫* ﻟﻴﻜﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻜﻴﻔﻴﻴﻥ ﻟﻨﻔﺭﺽ ‪ ϑ > u‬ﻭﻟﻨﻘﺎﺭﻥ )‪ f (u‬ﻭ )‪ f (ϑ‬ﻟﺫﻟﻙ ﻨﺩﺭﺱ‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻔﺭﻕ )‪f (ϑ) − f (u‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f (ϑ) − f (u) = ϑ 2 − u 2‬ﻤﻨﻪ )‪f (ϑ) − f (u) = (ϑ − u)(ϑ + u‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ]‪ ]− ∞,0‬ﻓﺈﻥ ‪ ϑ ≤ 0‬ﻭﺒﻤﺎﺃﻥ ‪ ϑ > u‬ﻓﺈﻥ ‪u < 0‬‬ ‫ﻭﻟﻨﺎ ‪ ϑ ≤ 0‬ﻤﻨﻪ ‪ ϑ + u ≤ 0 + u‬ﺃﻱ ‪ ϑ + u ≤ u‬ﻭ ‪ u < 0‬ﻤﻨﻪ ‪(1)...ϑ + u < 0‬‬ ‫ﻭ ‪ ϑ > u‬ﻤﻨﻪ ‪(2)...ϑ − u > 0‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ)‪ (ϑ − u)(ϑ + u) < 0 :(2‬ﻤﻨﻪ ‪ f (ϑ) − f (u) < 0‬ﻤﻨﻪ )‪f (ϑ) < f (u‬‬‫ﺇﺫﻥ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ , − ∞,0‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ϑ > u‬ﻓﺈﻥ )‪] ]f (u) > f (ϑ‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] ]− ∞,0‬‬ ‫** ﻟﻴﻜﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻋﻨﺼﺭﻴﻥ ﻜﻴﻔﻴﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪[ [0,+‬‬ ‫ﻟﻨﻔﺭﺽ ‪ ϑ > u‬ﻭﻟﻨﻘﺎﺭﻥ )‪ f (u‬ﻭ )‪f (ϑ‬‬ ‫ﻤﺜل ﻤﺎ ﺴﺒﻕ‪ ,‬ﻟﺩﻴﻨﺎ )‪f (ϑ) − f (u) = (ϑ − u)(ϑ + u‬‬

‫ﻭﻫﻨﺎ ‪ u ≥ 0‬ﻭ ‪ ϑ > u‬ﻤﻨﻪ ‪ ϑ > 0‬ﻭﻟﻨﺎ ‪ u ≥ 0‬ﻤﻨﻪ ‪u + ϑ ≥ 0 + ϑ‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ u + ϑ ≥ ϑ‬ﻭ ‪ ϑ > 0‬ﻤﻨﻪ ‪ (3)...u + ϑ > 0‬ﻭ ‪(4)...ϑ − u > 0‬‬ ‫ﻭﻤﻥ )‪ (3‬ﻭ)‪ (ϑ − u)(ϑ + u) > 0 :(4‬ﺃﻱ ‪ f (ϑ) − f (u) > 0‬ﻤﻨﻪ )‪f (ϑ) > f (u‬‬‫ﺇﺫﻥ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪ , 0,+‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ϑ > u‬ﻓﺈﻥ )‪[ [f (ϑ) > f (u‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪[ [0,+‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ‪ :‬ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﺭﺒﻌﻲ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫* ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ (b > a) : b‬ﻴﻜﺎﻓﺊ) ‪(b2 < a2‬‬‫** ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺍﻟﻤﻭﺠﺒﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ (b > a) : b‬ﻴﻜﺎﻓﺊ) ‪(b2 > a2‬‬ ‫ﺠـ‪ .‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: x → x2‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺠﺎ ﻟﻠﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﻓﻲ ﻨﺹ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻴﻜﻭﻥ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ f (x) = x 2‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫‪−∞ 0‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪f (0) = 0 :‬‬ ‫‪ir,:rjx‬‬ ‫‪→x‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل‬ ‫‪( )0,‬‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻤﻨﺴﻭﺏ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) = x 2‬‬ ‫ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬ ‫ﻓﻲ\" ﺍﻟﻤﻨﻁﻘﺔ ‪\" (C) :\" x ≤ 0‬ﻴﻨﺯل‬ ‫ﻓﻲ\" ﺍﻟﻤﻨﻁﻘﺔ ‪\" (C) :\" x ≥ 0‬ﻴﺼﻌﺩ‬‫ﻭ )‪ (C‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻫﺎ ‪ x, x 2‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻟﻨﻌﻠﻡ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻨﻘﻁ \"ﺍﻟﻤﺴﺎﻋﺩﺓ\") (‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪01‬‬ ‫‪132‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫‪x2 4 9 1 1‬‬ ‫‪01‬‬ ‫‪194‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ D',C', B', A',O,C, B, A‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪B'(−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪),‬‬ ‫'‪A‬‬ ‫‪(−2,4), O(o,‬‬ ‫‪o),‬‬ ‫(‪D‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪),‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪(1,1),‬‬ ‫(‪B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪),‬‬ ‫)‪A(2,4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ) ‪(ρ‬‬ ‫ﺘﻨﺘﻤﻲ‬ ‫'‪D‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪),‬‬ ‫‪C‬‬ ‫'‬ ‫‪(−1,1),‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫) ‪M '(−x, x 2 ) // // M (x, x 2‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫▲ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﻫﻭ ﻗﻁﻊ ﻤﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ 0‬ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻫﻲ ﺫﺭﻭﺓ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ )‪(C‬‬ ‫ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻫﻭ ﻤﺤﻭﺭ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ )‪(C‬‬

‫• ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼﻔﺭ‪ ,‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﺯﻭﺠﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺘﻤﻬﻴﺩ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ − 1,1‬ﻴﻤﺜل ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤ ّﺩﺭﺝ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪] [:‬‬‫‪-1 − x 0 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ]‪ [− 4,−1[ ∪ ]1,4‬ﺘﻤﺜل ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤ ّﺩﺭﺝ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤ‪4‬ﺴﺘﻘﻴﻡ‪x‬ﻤ ّﺩﺭﺝ‬‫‪[ ]-4 − x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻴﻤﺜل‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪− 5,1‬‬ ‫ﻜﻤﺎ‬ ‫‪-5‬‬ ‫ﻴﻜﻥ‪xx‬‬ ‫‪01‬‬ ‫‪−x‬‬‫‪− 1,1‬‬ ‫‪ 0‬ﻷﻥ ﻤﻬﻤﺎ‬ ‫ﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬‫ﻓﺈﻥ ‪ − x‬ﻴﻨﺘﻤﻲ[ ] [ ]‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫* ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪− 1,1‬‬ ‫ﺇﻟﻰ [‪]− 1,1‬‬ ‫* ﻜﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ]‪ [− 4,−1[ ∪ ]1,4‬ﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪0‬‬ ‫* ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ − 5,1‬ﻟﻴﺴﺕ ﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪[ ]0‬‬ ‫‪ .2‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ E‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﺯﺌﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪R‬‬‫ﺘﻜﻭﻥ ‪ E‬ﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ E‬ﻓﺈﻥ ‪ − x‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪E‬‬‫* ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ E1‬ﺤﻴﺙ ∞‪ E1 = − ∞,0 ∪ 0,+‬ﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ 0‬ﻷﻥ ‪ E1‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ[ ] [ ]‬‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ﻭﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ E1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪x ≠ 0‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ − x ≠ 0‬ﺇﺫﻥ ‪ − x‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪. E1‬‬

‫* ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ E2‬ﺤﻴﺙ ‪ E2 = − 2,2‬ﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ 0‬ﻷﻥ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪[ ]E2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 2 ≥ x ≥ −2‬ﻭﻤﻨﻪ )‪) − 2 ≤ −x ≤ −(−2‬ﺒﻀﺭﺏ ﻁﺭﻓﻲ ﻜل ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﻓﻲ ‪ -1‬ﺍﻹﺘﺠﺎﻩ‬ ‫ﻴﺘﻐﻴﺭ‼( ﻤﻨﻪ ‪ − 2 ≤ −x ≤ 2‬ﺇﺫﻥ ‪ − x‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪E2‬‬‫* ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ − 3,1‬ﻟﻴﺴﺕ ﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ 0,‬ﻤﺜﺎل ﻤﻀﺎﺩ‪ -2 :‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪ − 3,1‬ﻭﻟﻜﻥ )‪[ ] [ ](-2‬‬ ‫ﻻ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ]‪[− 3,1‬‬ ‫‪ .3‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫لﺘﻜﻥ ‪ F‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪D‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺸﺭﻁﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪ D (1‬ﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼﻔﺭ‬ ‫‪ (2‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪f (−x) = f (x) : D‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬‫)‪h(x‬‬ ‫=‬ ‫)‪3x + 1, g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪h, g,‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺍﻟﺩﻭﺍل‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪2‬‬ ‫* ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻜل ﻤﻥ ‪ h, g, f‬ﻫﻲ ‪ R‬ﻭ ‪ R‬ﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼﻔﺭ‬ ‫* ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪: R‬‬‫‪ f (−x) = (−x)2‬ﺇﺫﻥ ‪ f (−x) = x 2‬ﺇﺫﻥ )‪ f (−x) = f (x‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺯﻭﺠﻴﺔ‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫= )‪g(−x‬‬ ‫ﺇﺫﻥ )‪g(x‬‬ ‫= )‪g(−x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪g(−x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪3x 2 + 1‬‬ ‫‪3(− x) 2‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺯﻭﺠﻴﺔ‬‫‪ h(−x) = 3(−x) + 1‬ﺇﺫﻥ‪ h(−x) = −3x + 1‬ﻭ )‪ h(−x‬ﻻ ﻴﺴﺎﻭﻱ )‪ h(x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪ , x‬ﻤﺜﺎل ﻤﻀﺎﺩ‪ h(−1) = −2 :‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ‪ h(1) = 4‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﻟﻴﺴﺕ ﺯﻭﺠﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f : x → f (x) = x 2‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺯﻭﺠﻴﺔ‬‫ﻭ)ﺤﺴﺏ ﻤﻼﺤﻅﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﺴﺎﺒﻘﺔ( ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ , f‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‪ ,‬ﻴﻘﺒل ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ‬‫ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻜﻤﺤﻭﺭ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻭﻫﺫﺍ ﻟﻴﺱ ﺨﺎﺼﺎ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﺒﻊ ﻭﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ )ﺍﻟﻤﻘﺒﻭﻟﺔ‬ ‫ﺒﺩﻭﻥ ﺒﺭﻫﺎﻥ(‪.‬‬

‫‪.3‬ﻨﻅﺭﻴﺔ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ F‬ﺩﺍﻟﺔ ﻭﻟﻴﻜﻥ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ) ‪(0,ir, rj‬‬‫ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻤﺤﻭﺭ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ ,(C‬ﻴﻠﺯﻡ‬ ‫ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﺯﻭﺠﻴﺔ‪.‬‬ ‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻟﻤﻌﺎﻟﺠﺔ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬‫‪ . 0, ir, rj‬ﻓﻲ) (‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻷﻭل ‪ :‬ﺘﻤﺜﻴل ﺩﺍﻟﺔ ﺯﻭﺠﻴﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﻭ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ ﺭﺴﻡ )‪ (C1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻨﻘﻁ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﻭﺍﺼﻠﻬﺎ ﻤﻭﺠﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ‪ :‬ﺇﺘﻤﺎﻡ ﺇﻨﺸﺎﺀ )‪ (C‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺯﻭﺠﻴﺔ‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‪:‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‪ ,‬ﻤﻨﻪ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻭﻋﻠﻴﻪ )‪ (C2‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻨﻘﻁ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﻓﻭﺍﺼﻠﻬﺎ ﺴﺎﻟﺒﺔ ﻫﻲ ﻨﻅﻴﺭﺓ )‪ (C1‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬

‫)‪(C‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬‫‪rj‬‬‫‪0 ir‬‬‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪ :‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﻭﺍل ﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) = −x 2 − 6x + 2‬‬‫ﺘﺄﻜﺩ ﺃﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻓﺈﻥ‪f (x) = −(x + 3)2 + 11‬‬‫ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ − ∞,−3‬ﻭﺃﻨﻬﺎ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ] ]‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل[∞‪[− 3,+‬‬‫‪( )0,ir, rj‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻤﺜل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ‬ ‫ﺍﻟﺤل‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪− (x + 3)2 + 11 = −(x 2 + 6x + 9) + 11, x‬‬ ‫‪= −x 2 − 6x − 9 + 11‬‬ ‫‪= −x2 − 6x + 2‬‬ ‫)‪= f (x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪f (x) = −(x + 3)2 + 11‬‬ ‫ﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] ]− ∞,−3‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪ ]− ∞,−3‬ﻟﻨﺎ ‪ u ≤ −3‬ﻭ ‪ϑ ≤ −3‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ u + 3 ≤ 0‬ﻭ ‪ ϑ + 3 ≤ 0‬ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ϑ > u‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ϑ + 3 > u + 3‬‬ ‫ﺴﺎﻟﺒﺎﻥ‬ ‫ﻭﻴﻜﻭﻥ ‪) (ϑ + 3)2 < (u + 3)2‬ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﺭﺒﻌﻲ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺴﺎﻟﺒﻴﻥ(‬‫ﻭﻴﻜﻭﻥ ‪) − ϑ + 3 2 > −(u + 3)2‬ﺒﻀﺭﺏ ﻁﺭﻓﻲ ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﻓﻲ ‪ -1‬ﺍﻹﺘﺠﺎﻩ ﻴﺘﻐﻴﺭ‼() (‬ ‫ﻭﻴﻜﻭﻥ‪) − (ϑ + 3)2 + 11 > (− u + 3)2 + 11‬ﻟﻘﺩ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ‪(ϑ > u‬‬ ‫ﻭﻴﻜﻭﻥ )‪ f (ϑ) > f (u‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] ]− ∞,−3‬‬ ‫* ﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪[ [− 3,+‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل[∞‪ [− 3,+‬ﻟﻨﺎ ‪ u ≥ −3‬ﻭ ‪ϑ ≥ −3‬‬

‫ﻤﻨﻪ ‪ u + 3 ≥ 0‬ﻭ ‪ ϑ + 3 ≥ 0‬ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ϑ > u‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ϑ + 3 > u + 3‬‬ ‫ﻤﻭﺠﺒﺎﻥ‬ ‫ﻭﻴﻜﻭﻥ ‪) (ϑ + 3)2 > (u + 3)2‬ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﺭﺒﻌﻲ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻤﻭﺠﺒﻴﻥ(‬ ‫ﻭﻴﻜﻭﻥ ‪− (ϑ + 3)2 < −(u + 3)2‬‬ ‫ﻭﻴﻜﻭﻥ ‪− (ϑ + 3)2 + 11 < (− u + 3)2 + 11‬‬ ‫ﻭﻴﻜﻭﻥ )‪) f (ϑ) < f (u‬ﻟﻘﺩ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ‪(ϑ > u‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪[ [− 3,+‬‬‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ )‪ f (u‬ﻭ )‪ f (ϑ‬ﺇﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ‪ ϑ > u‬ﻟﻡ ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻔﺭﻕ )‪f (ϑ) − f (u‬‬‫ﺒل ﺍﻨﺘﻘﻠﻨﺎ ﻤﻥ ‪ ϑ > u‬ﻟﻠﻭﺼﻭل ﺇﻟﻰ ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ )‪ f (u‬ﻭ )‪ f (ϑ‬ﻷﻥ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ )‪ f (x‬ﺇﻨﻁﻼﻗﺎ‬ ‫ﻤﻥ ‪ x‬ﻴﺘﻡ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬‫)‪x → (x + 3) → (x + 3)2 → −(x + 3)2 → −(x + 3)2 + 11 = f (x‬‬‫)‪(1) (2‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫ﻭﻨﺤﺴﻥ \"ﺘﺼﺭﻑ\" ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ ﻤﻊ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﺍﺤل )‪(4) ,(3) ,(2) ,(1‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﺔ )‪ :(1‬ﺇﻀﺎﻓﺔ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺇﻟﻰ ﻁﺭﻓﻲ ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ )ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ(‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﺔ )‪ :(2‬ﺘﺭﺒﻴﻊ ﻁﺭﻓﻲ ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﻁﺭﻓﺎﻫﺎ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ )ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪( x → x 2‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﺔ )‪ :(3‬ﻀﺭﺏ ﻁﺭﻓﻲ ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﻓﻲ ﻋﺩﺩ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ )ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ(‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﺔ )‪ :(4‬ﺇﻀﺎﻓﺔ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺇﻟﻰ ﻁﺭﻓﻲ ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ )ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ(‬ ‫∞‪x −‬‬ ‫ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫∞ ‪-3 +‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪f (−3) = 11‬‬

‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ‪0, ir, rj‬‬ ‫ﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ‪:‬‬‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ) (‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ )‪ (C‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫\"ﻨﻘﻁ ﻤﺴﺎﻋﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ)‪ ,(C‬ﻨﻨﺸﺊ ﺠﺩﻭﻻ ﻟﻠﻘﻴﻡ ‪:‬‬‫‪x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2‬‬‫‪f (x) -14 -5 2 7 10 11 10 7 2 -5 -14‬‬ ‫)ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل‪( f (x) = −(x + 3)2 + 11:‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪ :‬ﺍﻟﺤل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﻭ ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ‬ ‫ﺤل‪ ,‬ﻓﻲ ‪ , R‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ (1)....x 2 = x‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‬ ‫ﺤل‪ ,‬ﻓﻲ ‪ , R‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ (2)....x 2 > x‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ‬ ‫‪ f (x) = x‬ﻭ ‪g(x) = x2‬‬‫ﻭ ‪ g‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻨﻔﺱ) () (‬ ‫ﻭ)‪ (C‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪f‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪rj‬ﺍﻟﺒ‪,‬ﻴﺎ‪ir‬ﻨﻴ‪,‬ﻴ‪0‬ﻥ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻠﻴﻥ‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﺘﺄﻜﺩ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻤﻥ ﻨﺘﻴﺠﺘﻲ ﺇﺠﺎﺒﺘﻙ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺴﺅﺍﻟﻴﻥ ‪ (1‬ﻭ‪(2‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x 2 − x = 0‬‬ ‫ﺃﻱ ‪x(x −1) = 0‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ x = 0‬ﺃﻭ‪x = 1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﻫﻲ}‪{0,1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪ (2‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x 2 − x > 0‬‬ ‫ﺃﻱ ‪x(x −1) > 0 :‬‬

‫ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪ (2‬ﻨﻌﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ )‪x(x − 1‬‬‫ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ﻭﻋﻠﻴﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻜل ﻤﻥ ﻋﺎﻤﻠﻲ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ‪ -‬ﺤﺴﺏ‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪- x‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ x‬ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫∞‪x −∞ 0 +‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪0+‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ‪ x − 1 > 0‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪x > 1‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ‪ x −1 < 0‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪x < 1‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ‪ x − 1 = 0‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪x = 1‬‬ ‫ﻭﺇﺸﺎﺭﺓ ‪- x − 1‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ - x‬ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫∞‪x −∞ 1 +‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‪x − 1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪0+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ﻨﺠﻤﻊ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻓﻲ ﺠﺩﻭل ﻭﺍﺤﺩ‪:‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪x‬‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‪x − 1‬‬ ‫‪-0‬‬ ‫∞‪0 1 +‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪++‬‬ ‫‪- 0+‬‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪x(x − 1‬‬ ‫‪+ 0 - 0+‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ‪ x(x − 1) > 0‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪ x < 0‬ﺃﻭ‪x > 1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪ (2‬ﻫﻲ‪]− ∞,0[ ∪ ]1,+∞[:‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻤﻨﻪ)‪ (D‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﺸﻤل ‪ 0‬ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻭﻟﻨﺎ‪ f (1) = 1‬ﻤﻨﻪ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪A(1,1‬‬‫)‪ (C‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ x → x 2‬ﻭﻫﻭ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‪ ,‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻭﻑ‪ ,‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = x 2‬ﻭﻫﻭ‬ ‫ﻜﺫﻟﻙ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ 0‬ﻭ ‪ A‬ﻷﻥ ‪ g(0) = 0‬ﻭ‪g(1) = 1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺸﻜل‪(C) :‬‬ ‫)‪(D‬‬ ‫)‪rj A(1,1‬‬ ‫‪0 ir‬‬

‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ )‪ f (x) = g(x‬ﻭﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ‪x‬‬‫ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ \"ﺘﺭﺘﻴﺏ ﻨﻘﻁﺔ ‪ D‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ x‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﻨﻘﻁﺔ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ \" x‬ﻭﻫﻲ) (‬‫ﻭ )‪ (C‬ﻭﺘﻭﺠﺩ ﺒﺎﻟﻀﺒﻁ ﻨﻘﻁﺘﺎﻥ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﻫﻲ ﻓﻭﺍﺼل ﻨﻘﻁ ﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻥ ‪( )D‬‬‫ﻤﺸﺘﺭﻜﺘﺎﻥ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻥ)‪ (D‬ﻭ)℘( ﻭﻫﻤﺎ )‪ A(1,1‬ﻭ )‪ O(0,0‬ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﻫﻲ‬ ‫‪{0,1}:‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪ (2‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ )‪ g(x) > f (x‬ﻭﻫﻲ‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‪ \":‬ﺘﺭﺘﻴﺏ ﻨﻘﻁﺔ )‪ (C‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪ x‬ﺃﻜﺒﺭ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﻨﻘﻁﺔ ‪ D‬ﺫﺍﺕ) (‬ ‫ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪\" x‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ\" )‪ (C‬ﻓﻭﻕ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪( )\" D‬‬ ‫ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﺸﻜل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻫﻲ‪]1,+∞[ ∪ ]− ∞,0[:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ‪ :‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺤﺼﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ x 2‬ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺤﺼﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫‪x‬‬ ‫≤‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺤﺼﺭﺍ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ x 2‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ‪30‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺤﺼﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ x 2‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ‪−1,9 ≤ x ≤ −0,8‬‬‫ﺍﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = x 2‬ﻟﺤﺼﺭ ‪ x 2‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ‪− 7 ≤ x ≤ 2‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‪:‬‬ ‫≥‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≤‬ ‫ﻭ ‪30‬‬ ‫ﻤﻭﺠﺏ‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫‪x‬‬ ‫≤‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪30‬‬ ‫ﻭ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬‫)ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﺭﺒﻌﻲ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻤﻭﺠﺒﻴﻥ() (‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫≥‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x2‬‬ ‫≤‬ ‫‪30‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫‪x2‬‬ ‫≥‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪≤ 30‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪≤ 30‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫≤‪x‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪30‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ −1,9 ≤ x ≤ −0,8‬ﻤﻨﻪ ‪ x‬ﺴﺎﻟﺏ ﻭ ‪ x ≤ −0,8‬ﻭ ‪x ≥ −1,9‬‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ x 2 ≥ (− 0,8)2‬ﻭ ‪) x 2 ≤ (− 1,9)2‬ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﺭﺒﻌﻲ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺴﺎﻟﺒﻴﻥ(‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ x 2 ≥ 0,64‬ﻭ ‪x 2 ≤ 3,61‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ −1,9 ≤ x ≤ −0,8‬ﻓﺈﻥ‪0,64 ≤ x 2 ≤ 3,61‬‬

‫‪ (3‬ﻟﻨﻨﺸﺊ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ )‪ (C‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = x 2‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ‪( )0, ir, rj‬‬ ‫‪A7‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫)‪(℘1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬‫‪−7‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪0 ir‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ − 7 2 = 7‬ﻭ ‪ 2 2 = 2‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ )‪ A(− 7,7‬ﻭ )‪ B( 2,2‬ﺘﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ )‪( ) ( )(C‬‬ ‫‪ x 2‬ﻫﻭ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﻨﻘﻁﺔ )‪ (C‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪ x‬ﻭﻟﻤﺎ ‪ − 7 ≤ x ≤ 2‬ﻨﻘﻁﺔ ℘ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪( )x‬‬‫ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ )‪ (C1‬ﺠﺯﺀ ℘ ﺍﻟﺫﻱ \"ﻁﺭﻓﺎﻩ\" ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﺸﻜل‪ ,‬ﺘﺭﺘﻴﺏ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻭﺠﺏ ﻭﺃﻗل ﻤﻥ) (‬ ‫ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ 7‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪7 ≥ x 2 ≥ 0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ − 7 ≤ x ≤ 2‬ﻓﺈﻥ ‪0 ≤ x 2 ≤ 7‬‬‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﺤﺼﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ x 2‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ‪ − 7 ≤ x ≤ 2‬ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺠﺒﺭﻴﺔ ﺒﺩﻻ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻭﻀﺔ ﺴﺎﺒﻘﺎ‪:‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪) − 7 ≤ x ≤ 2‬ﺘﺭﺒﻴﻊ ﻁﺭﻓﻲ ﻜل ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﻤﻜﻥ ﻷﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻟﻴﺴﺕ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ(‬ ‫ﻭﻫﻨﺎﻙ ﺤﺎﻟﺘﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ‪0 ≤ x ≤ 2‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪− 7 ≤ x ≤ 0‬‬‫≤ ‪) 02 ≤ x 2‬ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﺭﺒﻌﻲ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻤﻭﺠﺒﻴﻥ() (‬‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≤‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≤‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪2‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪0 ≤ x 2 ≤ 2‬‬‫** ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ − 7 ≤ x ≤ 0‬ﻴﻜﻭﻥ ‪) − 7 2 ≥ x 2 ≥ 02‬ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﺭﺒﻌﻲ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺴﺎﻟﺒﻴﻥ() (‬

‫ﻭﻴﻜﻭﻥ ‪7 ≥ x 2 ≥ 0‬‬‫ﺍﻟﺨﻼﺼﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ‪ , 0 ≤ x 2 ≤ 2‬ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ 2 ≤ 7‬ﻓﺈﻥ ‪ 0 ≤ x 2 ≤ 7‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪0 ≤ x 2 ≤ 7‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ − 7 ≤ x ≤ 2‬ﻓﺈﻥ ‪7 ≥ x 2 ≥ 0‬‬

‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬‫ﺕ‪ : 1‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = x 2‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ‪ , 0, ir, rj‬ﺃﻋﻁ ﺤﺼﺭﺍ) (‬ ‫ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ x 2‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪− 4 ≤ x ≤ −1 (1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫≤‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− 3 < x ≤ 2 (3‬‬ ‫ﺕ‪ : 2‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺠﺒﺭﻴﺔ‪ ,‬ﻋﻴﻥ ﺤﺼﺭﺍ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ x 2‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ x (1‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪[− 5,−2‬‬ ‫‪ x (2‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل[‪[3,6‬‬ ‫‪ x (3‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪]− 4,8‬‬ ‫‪ x (4‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] [− 6,2‬‬‫ﺕ‪ : 3‬ﺃﺩﺭﺱ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ‪ I‬ﻭ ‪ J‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ f (x) = x2 − 5 (1‬ﻭ[∞‪J = ]− ∞,0], I = [0,+‬‬ ‫‪ f (x) = −x2 + 10 (2‬ﻭ[∞‪J = ]− ∞,0], I = [0,+‬‬ ‫‪ f (x) = (x −1)2 − 3 (3‬ﻭ [∞‪J = ]− ∞,1], I = [1,+‬‬‫‪J‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∞,−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪I‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,+∞‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪f (x) = (2x + 1)2 −‬‬ ‫‪2 (4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪ir(,Crj‬ﻫ‪,‬ﻭ‪0‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل‬‫)‪( )(C‬‬ ‫ﺕ‪ : 4‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‪,‬‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬‫ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪rj‬‬‫‪ f (x) = (x − a)2 + b‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ ‪0 ir b‬‬ ‫ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺜﺎﺒﺘﺎﻥ‬ ‫ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل‪ ,‬ﻋﻴﻥ )‪ f (3), f (2), f (1), f (0‬؟‬ ‫ﻫل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ؟ ﻟﻤﺎﺫﺍ ؟‬‫ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ‪ b‬ﻫﻭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺜﻡ ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺅﺨﺫ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ‬ ‫ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ)‪(C‬‬‫ﺕ‪ : 5‬ﻗل ﻤﻌﻠﻼ ﻋﻠﻰ ﺤﻜﻤﻙ‪ ,‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﺃﻭ ﻏﻴﺭ ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪f (x) = 3x2 + 7 (1‬‬ ‫‪f (x) = −5x2 −1 (2‬‬ ‫‪f (x) = (x − 3)2 (3‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x 2‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪x4 + 2‬‬ ‫‪f (x) = 2 (5‬‬ ‫‪f (x) = 3x3 + 1 (6‬‬‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪−2x‬‬ ‫ﻟ‪f‬ﺘﻜ ﻓﻥﻲ‪f‬ﺍﻟﻤﺍﻟﺴﺩﺘﺍﻟﻭﺔﻱﺍﻟﺍﻤﻟﻌﻤﻨﺭﻓﺴﺔﻭﺏﻋﻠﺇﻟﻰﻰ‪R‬ﻤﻌﺒﻠﺎﻡﻟﺩﻤﺴﺘﺘﻌﺎﻭﻤﺭﺩ‪2ir,+rj2‬‬‫ﻭﻟﻴﻜﻥ)‪ (C‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ) (‬‫‪0,‬‬ ‫ﺕ‪: 6‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺯﻭﺠﻴﺔ‪ .‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ)‪(C‬‬ ‫ﺃﺩﺭﺱ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] ]− ∞,0‬‬ ‫ﺃﺘﻤﻡ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ)’‪(C‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻨﻘﻁ)‪ (C‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﻭﺍﺼﻠﻬﺎ ﺴﺎﻟﺒﺔ‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ)‪(C‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﺕ‪ :7‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ‪f (x) = 2x 2 − 5x + 1‬‬‫ﻭ‪g‬‬ ‫‪f‬‬ ‫∆(‬ ‫ﻭ)‬ ‫ﺍﻟ‪−‬ﻤﻌﻠ=ﻡ)ﺍﻟ‪x‬ﻤﺘ(ﻌﺎ‪g‬ﻤﺩﻭﻟﻴ‪rj‬ﻜ‪,‬ﻥ)‪0(C, ir‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫ﻭ‪1‬‬‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ) (‬‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‬‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻠﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪-‬‬ ‫‪-‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻨﻔﺱ‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻥ)‪ (C‬ﻭ ∆) (‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪17‬‬ ‫ﺘﺄﻜﺩ ﺃﻨﻪ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,+∞‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∞,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﻜل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺃﺩﺭﺱ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻥ)∆( ﻭ ) ‪( C‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ (1)...x 2 − 2x < 0‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‬ ‫ﺤل‪ ,‬ﻓﻲ ‪ , R‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪(1‬‬ ‫ﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪ (1‬ﺘﻜﺎﻓﺊ )‪ g(x) > f (x‬ﺜﻡ ﺤل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ)‪.(1‬‬

‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺕ‪:1‬‬‫‪ (1‬ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ − 4 ≤ x ≤ −1‬ﻓﺈﻥ‪1 ≤ x2 ≤ 16 :‬‬‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫‪x2‬‬ ‫≤‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫≤‪x‬‬ ‫‪3‬‬‫‪4‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‪4 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (2‬ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪2‬‬‫‪ (3‬ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ − 3 < x ≤ 2‬ﻓﺈﻥ‪0 ≤ x 2 ≤ 4 :‬‬ ‫ﺕ‪2‬‬‫‪(1‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪ x ∈ [− 5,−2] :‬ﻨﺠﺩ‪4 ≤ x 2 ≤ 25 :‬‬ ‫‪ (2‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪ x ∈ [3,6[ :‬ﻨﺠﺩ‪9 ≤ x 2 < 36 :‬‬‫‪ (3‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪ x ∈ ]− 4,8] :‬ﻨﺠﺩ‪0 ≤ x2 ≤ 64 :‬‬‫‪ (4‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪ x ∈ − 6,2 :‬ﻨﺠﺩ‪] [0 ≤ x2 ≤ 6 :‬‬ ‫ﺕ‪:3‬‬ ‫‪f (x) = x 2 − 5 (1‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ J‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫‪f (x) = −x2 + 10 (2‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ J‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫‪f (x) = (x −1)2 − 3 (3‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ J‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫‪f (x) = (2x + 1)2 − 2 (4‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ J‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬

‫ﺕ‪: 4‬‬ ‫ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪ f (0) = 3‬ﻭ ‪ f (1) = 0‬ﻭ‪ f (2) = −1‬ﻭ ‪f (3) = 0‬‬ ‫ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻴﺴﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻷﻥ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻻ ﻴﻘﺒل ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻜﻤﺤﻭﺭ ﺘﻨﺎﻅﺭ‪.‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻜﻴﻔﻴﺎ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪(x − a)2 ≥ 0 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪(x − a)2 + b ≥ b :‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪f (x) ≥ b :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ b‬ﻫﻭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ‪f (a) = b :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ‪ b‬ﺘﺅﺨﺫ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ a‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ﻨﺠﺩ‪:‬‬‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ‪ R‬ﻫﻲ ‪ -1‬ﻭﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺅﺨﺫ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﻫﻲ ‪2 :‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻋﻴﻥ \"‪ \"3‬ﻭ\"‪ \"4‬ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪ a = 2‬ﻭ‪b = −1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪f (x) = (x − 2)2 −1:‬‬ ‫‪= x2 − 4x + 3‬‬ ‫ﺕ‪:5‬‬ ‫‪f (x) = 3x2 + 7 (1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻷﻨﻬﺎ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫‪ (2‬ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﺊ ﻤﻥ ﺃﺠل‪f (x) = −5x 2 − 1:‬‬ ‫‪f (x) = (x − 3)2 (3‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻴﺴﺕ ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻷﻥ‪:‬‬ ‫‪ f (1) = 4‬ﻭ ‪ f (−1) = 16‬ﻭ ‪4 ≠ 16‬‬

‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x 2‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪x4 + 2‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻷﻨﻬﺎ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫‪ (5‬ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﺊ ﻤﻥ ﺃﺠل‪f (x) = 2 :‬‬ ‫‪f (x) = 3x3 + 1 (6‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻴﺴﺕ ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻷﻥ‪:‬‬ ‫‪ f (2) = 25‬ﻭ ‪ f (−2) = −23‬ﻭ ‪25 ≠ −23‬‬ ‫ﺕ‪ (1 : 6‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻷﻨﻬﺎ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ) ‪( C‬‬ ‫ﻴﻘﺒل ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻜﻤﺤﻭﺭ ﺘﻨﺎﻅﺭ‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] ]− ∞,0‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺒﻌﺩ ﺇﺘﻤﺎﻤﻪ ﻴﺼﺒﺢ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪rj‬‬‫‪(C) 0 ir‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫)‪(C‬‬

‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫∞‪x −∞ 0 +‬‬ ‫‪f (x) 2‬‬ ‫ﺕ‪:7‬‬‫)‪ f (x) = g(x‬ﺘﻌﻨﻲ‪2x2 − 5x + −x + 1:‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻥ ) ‪( C‬‬ ‫ﻭ)∆( ﺤﻠﻬﺎ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪f (x) = g(x) :‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ‪2x2 −4x = 0:‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ‪2x(x − 2) = 0 :‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ‪ x = 0 :‬ﺃﻭ ‪x = 2‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ) ‪( C‬‬ ‫ﻭ)∆( ﻴﺸﺘﺭﻜﺎﻥ ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫))‪ A(0, g(0‬ﻭ ))‪B(2, g(2‬‬ ‫ﺃﻱ‪ A(0,1) :‬ﻭ )‪B(2,−1‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻜﻴﻔﻴﺎ‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪17‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪2x2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪= 2x2 − 5x +1‬‬ ‫)‪= f (x‬‬‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,+∞‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‬ ‫ﻭﻫﻲ‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∞,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(3‬‬‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ (4‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫∞‪x −‬‬ ‫∞‪5 +‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪8‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫ﺇﻨﺸﺎﺀ)∆( ﻭ ) ‪: ( C‬‬‫)∆(‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪ (1‬ﻓﻲ ‪ R‬ﻫﻲ‪] [0,2 :‬‬ ‫ﺏ‪.‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪g(x) > f (x‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ‪− x + 1 > 2x2 − 5x + 1 :‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‪2x 2 − 4x < 0 :‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‪x 2 − 2x < 0 :‬‬‫ﺤل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪ (1‬ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻴﻌﻨﻲ ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ∆ ﻓﻭﻕ ) ‪( )( C‬‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ ﻫﻲ‪] [0,2 :‬‬

‫\"ﻤﻘﻠﻭﺏ\"(‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫)ﺃﻭ‬ ‫‪x‬‬ ‫→‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺘﻐﻴﺭ‬ ‫ﺇﺘﺠﺎﻩ‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪II‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬ ‫ﺠﺩﻭل‬ ‫ﺇﻨﺸﺎﺀ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪III‬‬ ‫‪x‬‬‫‪ - IV‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻭﺘﻨﺎﻅﺭ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬‫ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﻟﻤﻌﺎﻟﺠﺔ‬ ‫→‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺤﻭل‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل‬ ‫‪-V‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺤﻭل‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ‬ ‫ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .2‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻔﺭﺩﻴﺔ‬ ‫‪ .3‬ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫‪ .4‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬

‫‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺤﻭل‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ‬ ‫ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫•‬ ‫‪x‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪x‬‬‫ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﻤﻘﻠﻭﺏ ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻘﻠﻭﺏ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪- R‬‬ ‫ﻟﻪ – ﻓﻲ‬ ‫ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪x‬‬ ‫ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ‬ ‫ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺼﻔﺭ ﻟﻴﺱ ﻟﻪ ﻤﻘﻠﻭﺏ‪.‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬‫ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪x‬‬‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻫﻲ[∞‪]− ∞,0[∪ ]0,+‬‬ ‫ﻭﻴﺭﻤﺯ )ﺃﻴﻀﺎ( ﺇﻟﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ * ‪ R‬ﺃﻭ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ}‪R − {0‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺘﻐﻴﺭ‬ ‫ﺇﺘﺠﺎﻩ‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ‬ ‫‪x‬‬‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪(b‬‬ ‫>‬ ‫ﻓﺈﻥ )‪a‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫>‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪0‬‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‬ ‫ﻋﺩﺩﻴﻥ‬ ‫ﻭ‪b‬‬ ‫ﻜﺎﻥ ‪a‬‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫ﺃﻨﻪ‬ ‫ﻨﻌﻠﻡ‬ ‫ﺘﺫﻜﻴﺭ‪:‬‬‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬‫ﻟﻨﺩﺭﺱ ﺇﺘﺠﺎﻩ[ ] [ ]‬‫‪f‬‬‫)‪(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪f‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪,‬‬ ‫‪− ∞,0‬‬ ‫∪‬ ‫∞‪0,+‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‪,‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ [‪ ]− ∞,0‬ﻭ [∞‪]0,+‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل [‪ ]− ∞,0‬ﻟﻨﺎ ‪ u < 0‬ﻭ ‪ ϑ < 0‬ﻤﻨﻪ ‪ u.ϑ > 0‬ﻭﺇﺫﺍ‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫>‬ ‫‪u‬‬ ‫ﻜﺎﻥ‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪u‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل [‪ ]− ∞,0‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ϑ > u‬ﻓﺈﻥ )‪f (u) > f (ϑ‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] [− ∞,0‬‬

‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪ 0,+‬ﻟﻨﺎ ‪ u > 0‬ﻭ ‪ ϑ > 0‬ﻤﻨﻪ ‪ u.ϑ > 0‬ﻭﺇﺫﺍ[ ]‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫>‬ ‫‪u‬‬ ‫ﻜﺎﻥ‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪u‬‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪ ]0,+‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ϑ > u‬ﻓﺈﻥ )‪f (u) > f (ϑ‬‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪ 0,+‬ﻭﻫﻜﺫﺍ ﻟﻘﺩ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﻋﻠﻰ[ ]‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ‪:‬‬‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ * ‪R‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪x‬‬‫‪ .I‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل[‪َ ]− ∞,0‬ﻭ‬ ‫‪ .II‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪]0,+‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬ ‫ﺠﺩﻭل‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫*‪R‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪f‬‬ ‫‪x‬‬‫ﺇﺼﻁﻼﺡ ‪ 0 :‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻭﺤﻴﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﻟﻴﺴﺕ ﻟﻪ ﺼﻭﺭﺓ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ‪ ,‬ﻓﻲ ﺠﺩﻭل‬‫ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ , f‬ﻨﻀﻊ ﺘﺤﺕ ‪\" 0‬ﺨﻁ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ ﻤﻀﺎﻋﻑ\" ﻭﺍﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﻓﻲ ﻨﺹ‬‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻻﺼﻁﻼﺡ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻴﻜﻭﻥ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪x −∞ 0‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل‬ ‫‪x‬‬‫ﻭﻟﻴﻜﻥ )‪(C‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ * ‪R‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪0, ir, rj‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ) (‬‫ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪.‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻫﺎ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬

‫\"ﻓﻲ ﺃﻗﺼﻰ‬ ‫‪M‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻭﺘﻜﻭﻥ‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﻗﺭﻴﺒﺎ‬ ‫‪1‬‬ ‫\"ﻜﺒﻴﺭ ﺠﺩﺍ\" ﻭ ‪x > 0‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ‪x‬‬‫ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ\" )ﻷﻥ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻭﻜﺒﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ( ﻭ\"ﻗﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل\" )ﻷﻥ ﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ ﻗﺭﻴﺏ ﻤﻥ ‪(0‬‬‫\"ﻗﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ‬ ‫‪M ‬‬ ‫‪x,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻭﺘﻜﻭﻥ‬ ‫\"‬ ‫ﺠﺩﺍ‬ ‫ﻜﺒﻴﺭ‬ ‫\"‬ ‫‪1‬‬ ‫\"ﻗﺭﻴﺏ ﻤﻥ ‪ \"0‬ﻭ ‪x > 0‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ‪x‬‬ ‫ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ\")ﻷﻥ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ﻗﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ‪ (0‬ﻭ\"ﻋﺎﻟﻴﺔ ﺠﺩﺍ\" ﻷﻥ ﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ ﻜﺒﻴﺭ ﺠﺩﺍ ﻭﻤﻭﺠﺏ‪.‬‬‫‪x‬‬ ‫ﻨﺴﺘﻌﻴﻥ ﺒﺠﺩﻭل ﻗﻴﻡ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪(C‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1 11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−4 4 2‬‬‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1 -2‬‬ ‫‪-4 4 2 1 1‬‬ ‫‪1‬‬‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪( )0,ir, rj‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫→‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ)‪ (C‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪x‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ir‬‬ ‫▲ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ)‪ (C‬ﻫﻭ ﻗﻁﻊ ﺯﺍﺌﺩ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ 0‬ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻘﻁﻊ ﺍﻟﺯﺍﺌﺩ)‪(C‬‬

‫• ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻔﺭﺩﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻟﺕﻜﻥ ‪ F‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪D‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﻓﺭﺩﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺸﺭﻁﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪ D (1‬ﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼﻔﺭ‬ ‫‪ (2‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪F(−x) = −F(x) : D‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪ :‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ g, f‬ﻭ ‪ h‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪h(x) = −5x + 2, g(x) = x , f (x) = x 3‬‬ ‫‪x2 + 1‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪ h, g, f‬ﻫﻲ ‪ R‬ﻭ ‪ R‬ﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼﻔﺭ‪.‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪: x‬‬‫‪ f (−x) = (−x)3‬ﻤﻨﻪ ) ‪ f (−x) = −(x3‬ﺃﻱ )‪ f (−x) = − f (x‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﺭﺩﻴﺔ‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪g‬‬ ‫ﺃﻱ )‪g(−x) = −g(x‬‬ ‫= )‪g(−x‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫= )‪g(−x‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪x 2 + 1‬‬ ‫‪(−x)2 +1‬‬ ‫ﻓﺭﺩﻴﺔ‬ ‫‪ h(−x) = −5(−x) + 2‬ﻤﻨﻪ ‪ h(−x) = 5x + 2‬ﻭ )‪ h(−x‬ﻻ ﻴﺴﺎﻭﻱ )‪ − h(x‬ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫ﻜل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻤﺜﺎل ﻤﻀﺎﺩ‪ h(−3) = 17 :‬ﻭ ‪ h(3) = −13‬ﻭ ‪(−13) ≠ 17‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﻟﻴﺴﺕ ﻓﺭﺩﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻷﻥ * ‪R‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫*‪,R‬‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪x‬‬‫‪f‬‬ ‫)‪(−x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(−x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ﻤﻥ * ‪R‬‬ ‫ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻭﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ )‪f (−x) = − f (x‬‬

‫ﻭ)ﺤﺴﺏ ﻤﻼﺤﻅﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﺴﺎﺒﻘﺔ( ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪ 0, ir, rj‬ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪( )0‬‬‫ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻜﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻭﻫﺫﺍ ﻟﻴﺱ ﺨﺎﺼﺎ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻘﻠﻭﺏ\" ﻭﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ )ﺍﻟﻤﻘﺒﻭﻟﺔ‬ ‫ﺒﺩﻭﻥ ﺒﺭﻫﺎﻥ(‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ F‬ﺩﺍﻟﺔ ﻭﻟﻴﻜﻥ)‪ (C‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻤﻌﻠﻡ) ‪ (0,ir, rj‬ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪) 0‬ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ( ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ‬ ‫ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ)‪ (C‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﻓﺭﺩﻴﺔ‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ﻫﺎﻤﺔ ‪:‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ n‬ﻟﻨﺎ ﺇﻤﺎ ‪ n‬ﻓﺭﺩﻱ ﻭﺇﻤﺎ ‪ n‬ﺯﻭﺠﻲ‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ ﻫﺫﺍ ﻏﻴﺭ ﺼﺤﻴﺢ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺩﺍﻟﺔ‬‫ﻓﻤﺜﻼ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﺘﺄﻜﺩ ﺒﺴﻬﻭﻟﺔ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ‪ f (x) = 2x + 5 :‬ﻟﻴﺴﺕ ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻭﻟﻴﺴﺕ ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻭﺃﻥ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g(x) = 0 : g‬ﻫﻲ ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻭﺯﻭﺠﻴﺔ ﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺤﺩ‼‬