دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني جذع اداب و فلسفة سنة اولى ثانوي

‫ﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬ ‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫• ﻤـﻘـﺩﻤـﺔ‬ ‫• ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬‫• ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‪ ,‬ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻤﺠﺎل‬ ‫• ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ‬ ‫• ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‬ ‫• ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪) x → x 2‬ﺃﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\"(‬‫\"ﻤﻘﻠﻭﺏ\"(‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫)ﺃﻭ‬ ‫‪x‬‬ ‫→‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫•‬ ‫‪x‬‬

‫ﺍﻟﻤـﻘـﺩﻤـﺔ‬‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬ ‫• ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ‬ ‫• ﺤل ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫• ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ ) ﺃﻤﺜﻠﺔ ﺘﻭﻀﻴﺤﻴﺔ (‬

‫• ﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‪:‬‬‫ﺍﻟﺒﻨﻴﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻨﻴﺔ ﺍﻟﻔﻜﺭﻴﺔ ﻷﻥ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻭﺴﻴﻠﺔ ﻟﺘﻜﻭﻴﻥ ﺍﻟﻔﻜﺭ ﻭﺃﺩﺍﺓ ﻻﻜﺘﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺭﻑ‬ ‫‪.‬ﺘﺴﺎﻫﻡ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻓﻲ ﺤﺼﺭ ﻤﻠﻤﺢ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻋﻨﺩ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺭﺤﻠﺔ ﺩﺭﺍﺴﻴﺔ ‪.‬‬ ‫• ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ‬‫ﻜﻤﺎ ﺠﺎﺀ ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻟﺭﺴﻤﻲ ‪ ،‬ﺘﻡ ﺒﻨﺎﺀ ﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻟﻠﺴﻨﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻡ ﺍﻟﺜﺎﻨﻭﻱ ) ﺠﺫﻉ ﻤﺸﺘﺭﻙ‬‫ﻋﻠﻭﻡ ﻭ ﺘﻜﻨﻭﻟﻭﺠﻴﺎ ( ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺸﺄﻥ ﺒﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﻭﻓﻕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﺒﺎﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﻭ ﻤﻥ ﺃﺒﻌﺎﺩﻫﺎ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﺍﻟﺘﻜﻴﻴﻑ‬ ‫ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ﻭﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺼﺭ ‪ ،‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺒﺎﺴﺘﻤﺭﺍﺭ ‪.‬‬ ‫• ﺤل ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺇﻥ ﻤﻜﺎﻨﺔ ﺤل ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﻓﻲ ﺘﻌﹼﻠﻡ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺃﻤﺭ ﺠﻭﻫﺭﻱ ﻓﻲ ﺒﻨﺎﺀ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﺭ ‪ ،‬ﻴﻜﻭﻥ ﺭﺒﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺭﻑ ﺒﺎﻟﻭﻀﻌﻴﺎﺕ ﻴﺴﻤﺢ ﻟﻠﻤﺘﻌﻠﻡ ﺒﺎﻟﺘﺄﺜﻴﺭ ﺩﺍﺨل ﻭ ﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﻤﺩﺭﺴﺔ ‪.‬‬

‫• ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ ‪ ) :‬ﺃﻤﺜﻠﺔ ﺘﻭﻀﻴﺤﻴﺔ (‬ ‫* ﺍﺭﺴﻡ ﻤﺭﺒﻌﺎ ‪ ABCD‬ﺤﻴﺙ ‪. AB = 4 Cm :‬‬ ‫* ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ) ‪ ( x-y‬ﺘﻌﻨﻲ ) ‪ x‬ﻨﺎﻗﺹ ‪. ( y‬‬‫* ﺤل ﻓﻲ ‪ R‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪ x‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪2 x – 1 = 0 :‬‬ ‫* ‪( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻘﺭﺍﺀﺓ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍ ِﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪.‬‬

‫ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻜﺘﺴﺎﺏ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪.‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﻁﺭﻕ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻴﺔ ﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺩﺍﻟﺔ )ﺇﻋﻁﺎﺀ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺃﻭ ﺠﺩﻭل ﻗﻴﻡ ﺃﻭ ﺩﺴﺘﻭﺭ(‬ ‫ﺍﺴﺘﻐﻼل ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ƒ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺩﺍﻟﺔ‪.‬‬ ‫ƒ ﺼﻭﺭﺓ ﻋﺩﺩ ﺒﺩﺍﻟﺔ‪.‬‬‫ƒ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺴﻭﺍﺒﻕ ﻋﺩﺩ ﺒﺩﺍﻟﺔ‬‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ﻭﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ ﻻﺴﺘﻴﻌﺎﺏ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪.‬‬ ‫‪.I‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺭﺱ ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ ﺤﻭل ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪.‬‬ ‫‪.II‬‬ ‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪.III‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫‪.IV‬‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫‪.V‬‬

‫• ﺃﻤﺜﻠﺔ ﻭﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ ﻻﺴﺘﻴﻌﺎﺏ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬‫ﻓﻜﺭﺓ \"ﺍﻻﺭﺘﺒﺎﻁ\" ﻤﺴﺘﻌﻤﻠﺔ ﻜﺜﻴﺭﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﻴﺎﺓ ﺍﻟﻴﻭﻤﻴﺔ ﻭﻜﺫﻟﻙ ﻓﻲ ﻤﻴﺎﺩﻴﻥ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻭﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺘﻬﺘﻡ ﺒـ‬ ‫\"ﺇﺭﺘﺒﺎﻁﺎﺕ\" ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺘ ّﻭﻀﺢ ﻤﻥ ﺨﻼل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺩﺭﺱ‪.‬‬ ‫‪ .1‬ﺃﻤﺜﻠﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻴﺎﺓ ﺍﻟﻴﻭﻤﻴﺔ ‪:‬‬ ‫• ﺜﻤﻥ ﺘﺫﻜﺭﺓ ﺴﻔﺭ ﺒﺎﻟﻘﻁﺎﺭ ﻤﺭﺘﺒﻁ ﺒﺎﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻘﻁﻭﻋﺔ‪.‬‬ ‫• ﻤﺭﺩﻭﺩ ﻻﻋﺏ ﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻘﺩﻡ – ﺃﺜﻨﺎﺀ ﻤﻨﺎﻓﺴﺔ ‪ -‬ﻤﺭﺘﺒﻁ ﺒﺤﺎﻟﺘﻪ ﺍﻟﺒﺩﻨﻴﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻷﺩﺒﻲ ﻟﻜﺘﺎﺏ ﻤﺭﺘﺒﻁ ﺒﺄﺴﻠﻭﺏ ﺍﻟﻜﺎﺘﺏ‪.‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ‪ ,‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻤﻭﻡ‪ ,‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﻴﺎﺓ ﺍﻟﻴﻭﻤﻴﺔ ﻻ ﻨﻬﺘﻡ ﺒﺎﻟﺘﺩﻗﻴﻕ ﻓﻲ ﻓﻜﺭﺓ ﺍﻻﺭﺘﺒﺎﻁ ﻭﻻ ﺒﺎﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻜ ّﻤﻴﺎ ﺃﻭ‬ ‫ﻋﺩﺩﻴﹰﺎ‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﺃﻨﺸﻁﺔ ﻭﺃﻤﺜﻠﺔ ﻻﺭﺘﺒﺎﻁ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺒﻤﻘﺩﺍﺭ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻷﻭل ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻗﺭﺭ ﺘﺎﺠﺭ ﺍﻨﺨﻔﺎﻀﺎ ﻟﺴﻌﺭ ﺒﻀﺎﻋﺘﻪ ﻗﺩﺭﻩ ‪ %10‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺴﻌﺭ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ﻟﻜل ﺒﻀﺎﻋﺔ ﻤﺭﺘﺒﻁ‬‫ﺒﺴﻌﺭﻫﺎ ﺍﻟﻘﺩﻴﻡ‪ .‬ﻟﻨﺴﻤﻲ ‪ x‬ﺍﻟﺴﻌﺭ ﺍﻟﻘﺩﻴﻡ ﻟﺒﻀﺎﻋﺔ َﻭ ‪ y‬ﺍﻟﺴﻌﺭ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺒﻀﺎﻋﺔ )ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻤﻘﺩﺭ‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﻨﺎﻨﻴﺭ(‪.‬‬ ‫‪y =50−5‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ 5‬ﻭ‬ ‫×‪50‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺍﻻﻨﺨﻔﺎﺽ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪x = 50‬‬ ‫• ﻟﻤﺎ‬ ‫‪100‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻟﻤﺎ ‪y = 45: 50 = x‬‬ ‫‪y = 75−7,5‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﺃﻱ ‪7,5‬‬ ‫‪75‬‬ ‫×‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺍﻻﻨﺨﻔﺎﺽ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫•ﻟﻤﺎ ‪x = 75‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻟﻤﺎ ‪y = 67,5: x = 75‬‬‫‪r‬‬‫ﺃﻱ‪y=x−r r‬‬‫=‬‫‪x‬‬‫×‬‫‪10‬‬ ‫‪x‬‬ ‫• ﺒﺼﻔﺔ ﻋﺎﻤﺔ \"ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ‬ ‫‪100‬‬ ‫ﻟﺒﻀﺎﻋﺔ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﺍﻻﻨﺨﻔﺎﺽ ﻟﻠﺴﻌﺭ ﺍﻟﻘﺩﻴﻡ‬ ‫‪ r = 0,1× x‬ﻭﻴﻜﻭﻥ ‪ y‬ﺍﻟﺴﻌﺭ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ﻟﻠﺒﻀﺎﻋﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪ :‬ﺃﻱ‬ ‫‪ y=x−0,1x‬ﺃﻱ )‪ y = x(1−0,1‬ﺃﻱ ‪. y = 0,9×x‬‬‫•ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﺴﻌﺭ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ‪ y‬ﻟﻜل ﺒﻀﺎﻋﺔ ﻤﺭﺘﺒﻁ ﺒﺴﻌﺭﻫﺎ ﺍﻟﻘﺩﻴﻡ ﻭﻓﻕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪x → 0,9 x :‬‬

‫• ﻫﺫﻩ \"ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ\" ﻫﻲ ﺍﻟﻜﺎﺌﻥ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤ ﹼﻜﻥ ﻤﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺴﻌﺭ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ‪ y‬ﻟﺒﻀﺎﻋﺔ ﺇﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﺴﻌﺭﻫﺎ ﺍﻟﻘﺩﻴﻡ ‪x‬‬‫ﻭﺇﺫﺍ ﺭﻤﺯﻨﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ f‬ﺇﻟﻰ ﻫﺫﻩ \"ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ\" ﺤﺘﻰ ﻴﻌﺒﺭ ﺒﺩﻗﺔ ﻋﻠﻰ ﻜﻭﻥ ‪ y‬ﻤﺭﺘﺒﻁ ﺒـ ‪ x‬ﻭﻓﻕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻨﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ‪ y‬ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪ f (x‬ﻭ )‪ f (x‬ﻴﺴﻤﻰ ﺼﻭﺭﺓ ‪ x‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.f‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪:‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻜﻤﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻁﻼﺀ ﺘﻜﻔﻲ ﻟﻁﻠﻲ ﺤّﻴﺯ ﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﺴﺎﺤﺘﻪ ‪ 1m2‬ﺒﺎﻟﻀﺒﻁ‪ ،‬ﻭﺇﺫﺍ ﺍﺴﺘﻌﻤﻠﻨﺎ ﻫﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﻟﻁﻠﻲ ﺤّﻴﺯ ﻤﺴﺘﻭﻱ ﺸﻜﻠﻪ ﻤﺴﺘﻁﻴل ﻓﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﺤﻴﻁ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل؟‬ ‫ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ‪y :‬‬‫ﻟﻨﺄﺨﺫ ‪ 1m‬ﻜﻭﺤﺩﺓ ﻁﻭل ﻤﺤﻴﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ﻤﺭﺘﺒﻁ ﺒﻁﻭﻟﻪ ﻭﺒﻌﺭﻀﻪ ﻭﻟﻜﻥ ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ‪ x > 0 x‬ﻁﻭ‪x‬ل) (‬ ‫‪1‬‬‫‪ , p‬ﻤﺤﻴﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل‪ ,‬ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ﻭ‪ y‬ﻋﺭﻀﻪ‪ ،‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪x × y = 1‬‬ ‫)‪p = 2(x + y‬‬ ‫=‪p‬‬ ‫‪2 x +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫* ﺇﺫﻥ ‪ p‬ﻤﺤﻴﻁ ﻤﺴﺘﻁﻴل ﻤﺴﺎﺤﺘﻪ ‪ 1‬ﻤﺭﺘﺒﻁ ﺒﻁﻭل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ﻭﻓﻕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪:‬‬‫ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ‬ ‫‪g‬‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ ﺭﻤﺯﻨﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‬ ‫‪(x‬‬ ‫>‬ ‫‪0),‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪. g(x‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪:‬‬‫ﻨﺎﺒﺽ→‬ ‫ﺘﺠﺭﺒﺔ‪ ،‬ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‪،‬ﻴﺴﺘﻌﻤل ﻓﻴﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﺘﺠﻬﻴﺯ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‪.‬‬ ‫ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﻔﺔ )‪→ ( p‬‬‫ﻜﺘل→ ‪l‬‬ ‫ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻁﺎﻭﻟﺔ ) ‪→ (T‬‬

‫ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻤﻥ ﻓﻲ ﻭﻀﻊ ﻜﺘﻠﺔ ﻭﺯﻨﻬﺎ ‪) p‬ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺒﺎﻟﻭﺤﺩﺓ ‪ ( Kg‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻜﻔﺔ ‪ p‬ﺜﻡ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ) (‬ ‫‪) l‬ﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﻭﺤﺩﺓ ‪ ( Cm‬ﺒﻴﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﻔﺔ )‪ ( p‬ﻭﺴﻁﺢ ﺍﻟﻁﺎﻭﻟﺔ ) ‪(T‬‬ ‫ﺃﺼﻔﺭﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻠﺨﺼﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ‪:‬‬‫‪p 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6‬‬‫‪l 20 18,8 17,6 16,4 15,2 14 12,8‬‬‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃ ّﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ l‬ﻤﺭﺘﺒﻁﺔ ﺒﺎﻟﻭﺯﻥ ‪. p‬‬ ‫ﻟﻨﺤﺎﻭل ﺍﻟﺘﺩﻗﻴﻕ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺘﺒﺎﻁ ﺒﻌﺩ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍﻟﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻥ ‪:‬‬‫ﺤﺴﺎﺏ ‪ 20 − l‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‪, p = 0,4 , p = 0,3 , p = 0,2 , p = 0,1 :‬‬ ‫‪p = 0,6 , p = 0,5‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ \"ﺩﺴﺘﻭﺭ\" ﻴﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺤﺴﺎﺏ ‪ l‬ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ‪p‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪20 − l = 4,8 : p = 0,4‬‬ ‫ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪20 − l = 6 : p = 0,5‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪20 − l = 1,2 : p = 0,1‬‬‫ﻟﻤﺎ ‪20 − l = 7,2 : p = 0,6‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪20 − l = 2,4 : p = 0,2‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪20 − l = 3,6 : p = 0,3‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ‪:‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃ ّﻥ ﻓﻲ ﻜل ﻤﺭﺤﻠﺔ ﻤﻥ ﻤﺭﺍﺤل ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪20 − l = 12 p‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪ − l = 12 p − 20 :‬ﻤﻨﻪ‪l = −(12 p − 20) :‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪l = −12 p + 20 :‬‬ ‫* ﻓﻲ ﻜل ﻤﺭﺤﻠﺔ ﻤﻥ ﻤﺭﺍﺤل ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪ ,‬ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ l‬ﻤﺭﺘﺒﻁﺔ ﺒﺎﻟﻭﺯﻥ ‪ p‬ﻭﻓﻕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪:‬‬‫‪ p → −12 p + 20‬ﻭﺇﺫﺍ ﺭﻤﺯﻨﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ g‬ﺇﻟﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻴﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪ g( p‬ﺇﻟﻰ‬ ‫‪−12 p + 20‬‬

‫‪ .3‬ﻤﻔﻬﻭ ٌﻡ ﻟﻺﺭﺘﺒﺎﻁ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ‪:‬‬‫* ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻤﺜل ﺒﺤﺭﻑ ‪ y‬ﺃﻨﻪ ُﻤ ْﺭﹶﻓ ﹲﻕ ﺒﻌﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻤﺜل ﺒﺤﺭﻑ ‪ x‬ﻨﻘﺼﺩ \"ﻗﻴﻤﺔ ‪y‬‬ ‫ﻤﺭﺘﺒﻁﺔ ﺒﻘﻴﻤﺔ ‪ \" x‬ﺃﻱ \"ﻤﺠﺭﺩ ﻤﻥ ﻨﻌﻠﻡ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪\" y‬‬‫* ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻌﻤل ﺒﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ,‬ﻻ ﻨﻬﺘﻡ ﺒﻅﻭﺍﻫﺭ ﺃﻭ ﺒﺘﺠﺎﺭﺏ ﻤﻠﻤﻭﺴﺔ ﺒل ﻨﻬﺘﻡ‪ ,‬ﻓﻘﻁ‪ ,‬ﺒﺎﻟﻔﻜﺭﺓ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻴﺔ \"ﺇﺭﻓﺎﻕ‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ y‬ﺒﻌﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﺄﺨﻭﺫ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ , D‬ﻤﻌﻴﻨﺔ\"‬‫* ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﻌﻨﻲ‪ :‬ﺇﺭﻓﺎﻕ‪ ,‬ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ , D‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ –ﻭﺤﻴﺩ‪ -‬ﺁﺨﺭ ﻴﺭﻤﺯ‬ ‫ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪. f (x‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ .I‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻀﻌﻔﻪ ‪2x‬‬ ‫‪f : x → f (x) = 2x , x ∈ R‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻘﻠﻭﺒﻪ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪x‬‬ ‫‪g‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪.II‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫*‪, x ∈ R‬‬ ‫‪x‬‬‫‪ .III‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ − 1,1‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪[ ]1 − x 2‬‬ ‫]‪h : x → h(x) = 1 − x2 , x ∈ [−1,1‬‬‫‪ .4‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ k‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ 0,1,2,3,4,5‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ} {‬ ‫)‪ k (x‬ﺍﻟﻤﻌ ّﺭﻓﺔ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫‪x 0 1 2 3 45‬‬‫‪k(x) -1‬‬ ‫‪03‬‬ ‫‪7 0,5 0,5‬‬

‫• ﺍﻟﺩﺭﺱ ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ ﺤﻭل ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ D‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﺯﺌﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪R‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ D‬ﻴﻌﻨﻲ‪ :‬ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻭﺴﻴﻠﺔ ﺘﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃ ّﻥ ﻨﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻴﻨﺘﻤﻲ‬ ‫ﺇﻟﻰ ‪ D‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﺎ ﻭﺤﻴﺩﺍ ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ , f x‬ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ‪( ):‬‬ ‫‪ D‬ﺘﺴﻤﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ , x‬ﻤﻥ ‪ f (x) , D‬ﻴﺴﻤﻰ ﺼﻭﺭﺓ ‪ x‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ , b‬ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ a‬ﻤﻥ ‪ D‬ﺼﻭﺭﺘﻪ ‪ b‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪) f‬ﺇﻥ ﻭﺠﺩ( ﻴﺴﻤﻰ ﺴﺎﺒﻘﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪b‬‬ ‫ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪a ∈ D‬‬ ‫)ﺇﺫﻥ‪ a \":‬ﺴﺎﺒﻘﺔ ﻟـ ‪ b‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪ ( f‬ﻴﻌﻨﻲ‪ :‬و‪‬‬ ‫‪ f (a) = b‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ , x‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ 3x 2 + 5‬ﻟﻘﺩ ﻋ ّﺭﻓﻨﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ‪ f‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪\" , R‬ﺼﻭﺭﺓ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ‪ \" 3x 2 + 5‬ﻭﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ‬ ‫ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ \" ‪ \" f (x) = 3x 2 + 5‬ﻭﻫﻜﺫﺍ ‪:‬‬ ‫•ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ 0‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ )‪ f (0‬ﻭ ‪f (0) = 3.02 + 5‬‬ ‫ﺃﻱ ‪f (0) = 5‬‬ ‫•ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ 3‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ‪ f 3‬ﻭ ‪ f 3 = 3 3 2 + 5‬ﺃﻱ) ( ) (‬ ‫‪f ( )3 = 14‬‬ ‫•ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ - 3‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭ ‪( )f − 3 = 3(− 3)2 + 5‬‬ ‫ﺃﻱ ‪( )f − 3 = 14‬‬ ‫• ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺼﻭﺭﺓ ‪ 0‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ‪ 5‬ﻓﺈﻥ ‪ 0‬ﺴﺎﺒﻘﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 5‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬

‫• ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺼﻭﺭﺓ ‪ 3‬ﻭﻜﺫﻟﻙ ﺼﻭﺭﺓ ‪ − 3‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ‪ 14‬ﻓﺈﻥ ‪ 3‬ﺴﺎﺒﻘﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 14‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭﻜﺫﻟﻙ ‪ − 3‬ﺴﺎﺒﻘﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 14‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ .2‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪ ،‬ﺇﺼﻁﻼﺡ ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﺘﺭﻤﻴﺯ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ‪ ،‬ﻤﺜﻼ‪ ،‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ‪ f‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪، x 2 − 5x + 3‬‬‫)ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫•ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ، R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) = x 2 − 5x + 3‬‬ ‫ﺘﻭﻀﺢ ﺘﺤﺘﻬﺎ ﺴﻁﺭ ﺘﻨﺹ ﻋﻠﻰ ﻜﻭﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ‪( R‬‬ ‫ﺃﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ‪f : x → x 2 − 5x + 3 , x ∈ R :‬‬ ‫ﺃﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ‪f : x → f (x) = x 2 − 5x + 3 , x ∈ R :‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺇﺼﻁﻼﺡ ‪:‬‬ ‫ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﻤل ﺒﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ‪ f‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪(D ⊂ R) , D‬‬ ‫•ﻓﻲ ﻜﺜﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‪ ,‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺘﺤﺩﺩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪D‬‬ ‫ﻤﺜﻼ ‪:‬‬‫ﺇﺫﻥ ]‪D = [1,4‬‬ ‫‪[ ]f‬‬‫)‪(x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪4x‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 1,4‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬‫* ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻻ ﺘﺤﺩﺩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ، D‬ﻴﺼﻁﻠﺢ ﺃﻥ ‪ D‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ‪ f x‬ﻤﻭﺠﻭﺩﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪( )R‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ h , g , f‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫= )‪h(x‬‬ ‫‪7x2‬‬ ‫= )‪, g(x‬‬ ‫‪4x −8‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪3− x‬‬ ‫‪2x +1‬‬ ‫• ﺍﻟﺘﻭﻀﻴﺢ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺍﻟﺼﻭﺭ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‪.‬‬‫ﺍﻟﺘﻭﻀﻴﺢ ﺩﺍﻟﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺠﺯﺀ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪R‬‬ ‫• ﻟﻨﻌﻴﻥ ﺍﻵﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪. h , g , f‬‬ ‫•ﻓﻲ ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ x , f (x‬ﻤﻭﺠﻭﺩ ﻓﻲ ﻤﻘﺎﻡ ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻫﻭ‪2x + 1‬‬

‫ﻴﻜﻭﻥ )‪ f (x‬ﻤﻭﺠﻭﺩﹰﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ R‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ 2x + 1 ≠ 0‬ﺃﻱ ‪ 2x ≠ −1‬ﺃﻱ‬‫‪ , D f‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻻ‬ ‫‪ ,‬ﻭﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫≠‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻴﻠﻲ‬ ‫ﻜﻤﺎ‬ ‫ﻤ ّﺩﺭﺝ‬ ‫ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻫﺫﻩ‬ ‫ﻭﺘﻤﺜل‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,+∞‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Df‬‬ ‫=‬ ‫‪∞,−‬‬ ‫∪‬ ‫ﺇﺫﻥ‪:‬‬ ‫‪Df‬‬ ‫=‬ ‫‪R‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻴﻜﺘﺏ ﻫﺫﺍ ﻜﺫﻟﻙ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬‫ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﻫﻲ ‪ 4x − 8‬ﻴﻜﻭﻥ )‪f (x‬‬ ‫•ﻓﻲ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ x , g x‬ﻤﻭﺠﻭﺩ ﻓﻲ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺘﺤﺕ ﺍﻟﺭﻤﺯ) (‬‫≥‪x‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪4x ≥ 8‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪4x − 8 ≥ 0‬‬ ‫ﻭﻓﻘﻁ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫‪R‬‬ ‫ﻤﻭﺠﻭﺩﹰﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪ (4 > 0‬ﺃﻱ ‪. x ≥ 2‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ , g‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ , Dg‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫‪ 2‬ﻭﺘﻤﺜل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤ ّﺩﺭﺝ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪012‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪Dg = [2,+∞[ :‬‬‫ﻓﻲ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ x , h x‬ﻤﻭﺠﻭﺩ ﻓﻲ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺘﺤﺕ ﺍﻟﺭﻤﺯ ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﻫﻲ ‪ 3 − x‬ﻭﻜﺫﻟﻙ ‪ x‬ﻤﻭﺠﻭﺩ) (‬ ‫ﻓﻲ ﻤﻘﺎﻡ ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻫﻭ ‪3 − x‬‬‫ﻴﻜﻭﻥ)‪ h(x‬ﻤﻭﺠﻭﺩﹰﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ R‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺤﺩ‪3 − x ≥ 0 :‬و ‪3 − x ≠ 0‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ 3 ≥ x‬ﻭ ‪ 3 − x 2 ≠ 02‬ﺃﻱ ‪ 3 ≥ x‬ﻭ ‪ 3 − x ≠ 0‬ﺃﻱ ‪ 3 ≥ x‬ﻭ ‪ 3 ≠ x‬ﺃﻱ) (‬ ‫‪3> x‬‬‫ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ , h‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ ، Dh‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ ‪3‬‬ ‫ﻭﺘﻤﺜل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤ ّﺩﺭﺝ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪01‬‬ ‫‪3‬‬

‫[‪Dg = ]− ∞,3‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪:‬‬ ‫‪ .3‬ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫• ﻨﻅﺭﹰﺍ ﻟﻜﻭﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻨﺼﻭﺹ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻟﺭﺴﻤﻲ ﻫﻲ ﺩﻭﺍل ﻋﺩﺩﻴﺔ)ﺍﻟﺼﻭﺭ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺩﻭﺍل‬‫ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ( ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ)ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻜل ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺠﺯﺀ ﻤﻥ ‪ ,( R‬ﺴﻨﻘﻭل‪ ,‬ﻓﻘﻁ‪ ,‬ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪-‬ﺒﺩﻭﻥ ﺘﺩﻗﻴﻕ‪ -‬ﻭﻨﺤﻥ ﻨﻘﺼﺩ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬‫• ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﻤل ﺒﺩﺍﻟﺔ‪ ,‬ﻴﺭﻤﺯ ﻋﺎﺩﺓ ﺒﺎﻟﺤﺭﻑ ‪ x‬ﺇﻟﻰ \"ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ\" ﻭﻟﻜﻥ ﻫﺫﺍ ﻟﻴﺱ ﺇﺠﺒﺎﺭﻱ‬ ‫ﻤﺜﻼ‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x →7x +9 , x ∈ R‬‬ ‫ﻫﻲ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪t →7t +9‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪u →7u +9‬‬ ‫‪ .4‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪( )0,ir, rj‬‬ ‫ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﺃ‪ .‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫)‪ (Π‬ﻤﺴﺘﻭ‬‫‪0, ir, rj‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪D‬‬‫‪ -‬ﻫﻭ‪ ,‬ﺒﺎﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‪( ),‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫‪-f‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ)ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل( ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ -‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ)‪ - (Π‬ﺍﻟﺘﻲ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻫﺎ))‪ (x, f (x‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪. D‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ‪:‬‬‫ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ) () (‬‫‪f‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪f‬‬‫ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ‪Π‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﺜل‬ ‫)‪ (C‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ‬ ‫‪,‬ﺩﺍ‪ir‬ﻟ‪,‬ﺔ‪0‬ﻤﺠ‪.‬ﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪rj‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫ﻤﻌﻠﻡ‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﺫﺍﺕ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﻴﻥ ‪ ، a, b‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﺘﻜﺎﻓﺅ‪ M\" :‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ )‪ \" (C‬ﻴﻜﺎﻓﺊ \" ‪ a‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ) (‬ ‫‪ D‬ﻭ )‪\" b = f (a‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﻤﻨﺴﻭﺏ) () (‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪f‬‬‫ﻭﻟﻴﻜﻥ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫‪. 0, ir, rj‬‬

‫•ﻴﻜﻭﻥ ‪ f x‬ﻤﻭﺠﻭﺩﺍ ﻓﻲ ‪ R‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x ≠ 0‬ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ , D‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ) (‬‫‪ f‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ﻤﻨﻪ ﻻ ﺘﻭﺠﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (C‬ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪0‬‬ ‫ﻷﻥ ‪ 0‬ﻻ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪. D‬‬‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪D‬‬ ‫ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,6‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫•‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪2 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪A‬‬ ‫ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻭﺭﺓ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪A‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪.(C‬‬‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﺃﻱ ‪f (3) = 1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪D‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 3 :‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫•ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ)‪B(3,7‬‬ ‫‪3‬‬‫ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﻻ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻭﺭﺓ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﻻ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫)‪.(C‬‬‫• ﺇﺫﺍ ﺃﺭﺩﻨﺎ \"ﺼﻨﻊ\" ﻨﻘﻁ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ ،(C‬ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻨﻌﻁﻲ ﻗﻴﻡ ﺇﻟﻰ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ ، D‬ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﺜﻡ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻭﻫﻲ ﻗﻴﻡ ‪( ): f x‬‬ ‫ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ)‪.(C‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ :‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪C(1,3‬‬ ‫‪f (1) = 3‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ)‪.(C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪5,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(5‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪−9‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪.(C‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺘﻨﺘﻤﻲ‬ ‫‪F −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,−9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .5‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻨﺤﻨﻰ ‪:‬‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ ﻭﻟﻴﻜﻥ)‪ (C‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺘﻤﻌﻌﻠﺭﻡﻴﻑ‪,:rj‬ﻟﺘ‪ir‬ﻜ‪,‬ﻥ‪0‬‬ ‫ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ) (‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ)‪ y = f (x‬ﺘﺴﻤﻰ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪(C‬‬‫)ﻭﻫﺫﺍ ﻷﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ)‪ y = f (x‬ﺘﺼﺒﺢ ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ُﻋﻭ َﺽ)‪ (x, y‬ﺒﺈﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪.(C‬‬

‫• ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬‫‪0, ir, rj‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻷﻭل ‪ :‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺼﻭﺭﺓ ﻋﺩﺩ ﺒﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻡ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ − 4,5‬ﺒﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ )‪ ،(C‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬‫‪( ) [ ]،‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫׳‪B B‬‬ ‫‪l‬‬ ‫℘ ‪rj‬‬ ‫‪-4 -3 -2 -10 ir 1 2 3 4 5‬‬ ‫•ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ )‪ (C‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻫﺎ ‪ x, f x‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ)) ( (‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪[− 4,5‬‬ ‫‪ -‬ﻟﻨﻌﻴﻥ)‪ ، f (1‬ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ 1‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ : f‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ))‪ A(1, f (1‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪(C‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ f 1‬ﻫﻭ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ 1‬ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‪ ,‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪( )(C‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ 1‬ﺘﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻫﻭ ‪ 0‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪( ). f 1 = 0‬‬‫‪ -‬ﻟﻨﻌﻴﻥ )‪ ، f(-3‬ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ -3‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ : f‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B − 3, f − 3‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ)) ( (‬‫)‪ (C‬ﻤﻨﻪ)‪ f(-3‬ﻫﻭ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ -3‬ﻭﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪B‬‬‫ﻨﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ λ‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ -3‬ﻓﺘﻜﻭﻥ ‪ B‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪( ) ( )λ‬‬‫ﻭﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ)‪ (C‬ﻭﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ ، B‬ﻨﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ l‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﻭﻴﻭﺍﺯﻱ) (‬‫ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‪ ،‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ l‬ﻴﻘﻁﻊ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B' 0,2‬ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺠﻤﻴﻊ) ( ) (‬‫ﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ l‬ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭﻫﻭ ‪ 2‬ﻭ ‪ B‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ l‬ﻓﺈﻥ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﻫﻭ ‪( ) ( )2‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪f (− 3) = 2 :‬‬

‫‪ -‬ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ، f‬ﻭﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‪ ,‬ﻨﺠﺩ ﻤﺜﻼ‪( ), f − 4 = 1 :‬‬ ‫‪, f (2) = 1,5 , f (0) = −1 , f (−1) = −2 , f (−1,5) = 0 , f (− 2) = 1‬‬ ‫‪ f (3) = 0,5‬ﻭﻟﻜﻥ ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﻌﻴﻥ ﺒﺎﻟﺘﺤﺩﻴﺩ)‪ f (3,25‬ﻭﻟﻜﻥ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﻘﻭل‬ ‫ﺃﻨﻪ‪0,5 < f (3,25) < 0,75 :‬‬‫‪0, ir, rj‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪ :‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺴﻭﺍﺒﻕ ﻋﺩﺩ ﺒﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻡ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ − 8,4‬ﺒﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ)‪ ,(C‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬‫ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺸﻜل] [ ) (‬ ‫ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ‪:‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪-10 ir-11 2 3‬‬‫•ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‪ (C) ،‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻫﺎ ‪ x, f x‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ)) ( (‬‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ − 8,4‬ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ b‬ﻋﺩﺩﹰﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻨﺴﻤﻲ ﺴﺎﺒﻘﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ b‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪[ ], a‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‪f (a) = b :‬‬ ‫‪ -‬ﻟﻨﻌﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺴﻭﺍﺒﻕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ -1‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬‫•ﻴﻜﻭﻥ ﻋﻨﺼﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ − 8,4‬ﺴﺎﺒﻘﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ -1‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ f (a) = −1‬ﺃﻱ] [‬‫ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M a,−1‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﺃﻱ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻓﺎﺼﻠﺔ) (‬‫ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ )‪ (C‬ﻭﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ ‪ -1‬ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻨﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ) (‬‫ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ ‪ -1‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ﻴﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ)‪ (C‬ﻓﻲ ﺜﻼﺜﺔ ﻨﻘﻁ )ﺒﺎﻟﻀﺒﻁ( ‪( )، M 2 ، M 1‬‬ ‫‪) M 3‬ﺍﻟﺸﻜل( ﻭﻓﺎﺼﻠﺔ ‪ M 1‬ﻫﻲ ‪ ،-7‬ﻓﺎﺼﻠﺔ ‪ M 2‬ﻫﻲ ‪ -1‬ﻭﻓﺎﺼﻠﺔ ‪ M 3‬ﻫﻲ ‪0‬‬‫ﺇﺫﻥ ﺘﻭﺠﺩ ﺜﻼﺜﺔ ﻨﻘﻁ‪ ,‬ﺒﺎﻟﻀﺒﻁ‪ ،‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ ‪ -1‬ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻫﻲ ‪، M 1 (−7,−1) :‬‬‫)‪ M 3 (0,−1) ، M 2 (−1,−1‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ -1‬ﻟﻪ‪ ،‬ﺒﺎﻟﻀﺒﻁ‪ ،‬ﺜﻼﺜﺔ ﺴﻭﺍﺒﻕ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭﻫﻲ ‪،-1 ،-7‬‬ ‫‪ 0‬ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺴﻭﺍﺒﻕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ -1‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ‪{0,−1,−7}:‬‬ ‫ﺒﺎﺘﺒﺎﻉ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﻬﺠﻴﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ‪:‬‬

‫•ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺴﻭﺍﺒﻕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 2‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ‪{2,−2,−4}:‬‬ ‫•ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺴﻭﺍﺒﻕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ -1,5‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ‪{− 0,5,−8}:‬‬ ‫• ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺴﻭﺍﺒﻕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 3,5‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ‪{ }3 :‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ b‬ﻋﺩﺩﹰﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﹰﺎ ﺒﺤﻴﺙ ‪ b > 3,5‬ﺃﻭ ‪ b < −1,5‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ b‬ﻻ ﻴﻘﺒل ﺃﻴﺔ ﺴﺎﺒﻘﺔ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪ :‬ﺍﻟﺤﻜﻡ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﺤﻥ‪ ،‬ﺇﺫ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬‫▲ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (1‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C1‬ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﺭﻴﻁ ﺍﻟﻤﻐﻠﻕ ‪ β‬ﻭﻀﺤﻨﺎ ﺫﻟﻙ ﺒﻭﻀﻊ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ ● ﻓﻲ) (‬‫ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﻴﺙ )‪ A(−3,1‬ﻭ )‪ B(2,3‬ﻭﺒﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﺸﺭﻴﻁ ﺍﻟﻤﻐﻠﻕ) ‪ (β‬ﺒﺭﺴﻡ‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ‪ d‬ﻭ ' ‪) d‬ﻟﻭ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺸﺭﻴﻁ ﻤﻔﺘﻭﺤﺎ ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻟﻭﻀﻌﻨﺎ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ ⊂ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﻭﻟﻭ‬ ‫ﻜﺎﻥ ﻤﻔﺘﻭﺤﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻟﻭﻀﻌﻨﺎ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ ⊃ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪( A‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ ،(2‬ﻟﻡ ﻨﻀﻊ ﺃﻴﺔ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻨ ّﻭﻀﺢ ﺤﺩﹰﺍ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C2‬ﻻ ﻤﻥ \"ﺠﻬﺔ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ\" ﻭﻻ ﻤﻥ\" ﺠﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ\"‬ ‫ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ )‪ (C2‬ﻴﻤﺘﺩ ﺇﻟﻰ \"ﻤﺎ ﻻ ﻨﻬﺎﻴﺔ\" ﻤﻥ\"ﺠﻬﺔ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ\" ﻭﻜﺫﻟﻙ ﻤﻥ \"ﺠﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ\"‬ ‫)‪(C2‬‬ ‫) ‪(d‬‬ ‫) ' ‪B ●(d‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫)‪(C1‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫●‪A‬‬ ‫‪-10 ir 1‬‬ ‫‪-3 -2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪(2) (l 2‬‬ ‫)‪E (l1 ) (1‬‬ ‫)‪rj (C3‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫ﺇﻥ‬ ‫)‪(C1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫)‪(C2‬‬ ‫)‪((C3)3‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺎﺕ‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﻭﺍﺤﺩ‬ ‫ﻜل‬ ‫‪rj‬ﻋﻠ‪,‬ﻰ‪ir‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻜﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬‫ﻟﺩﺍﻟﺔ) (‬‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل‬‫ﻜﺎﻥ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬ ‫‪0,‬‬‫‪ -‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ , − 3,2‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ l1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ x‬ﻴﻘﻁﻊ] [ ) (‬‫)‪ (C1‬ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ ﺇﺫﻥ )‪ (C1‬ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. − 3,2‬‬

‫‪ -‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ , x‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ l 2‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ x‬ﻴﻘﻁﻊ )‪ (C2‬ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ) (‬ ‫ﻭﺤﻴﺩﺓ ﻤﻨﻪ )‪ (C2‬ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f 2‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪. R‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ‪ E‬ﻭ ‪ F‬ﺤﻴﺙ )‪ E(3,3.5‬ﻭ ‪ F (3,0.5‬ﺘﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C3‬ﻭﻟﻭ ﻜﺎﻥ )‪(C3‬‬‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f3‬ﻟﻜﺎﻥ ‪ f3 (3) = 3.5‬ﻭ ‪ f3 (3) = 0.5‬ﻭﻫﺫﺍ ﺨﻁﺄ ﻷﻨﻪ ﺤﺴﺏ ﺘﻌﺭﻴﻑ‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻫﻲ ﺘﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﻨﺼﺭ ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﺼﻭﺭﺓ ﻭﺤﻴﺩﺓ ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ )‪ (C3‬ﻟﻴﺱ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬ ‫ﻟﺩﺍﻟﺔ‪.‬‬‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﺍﻹﺼﻁﻼﺤﺎﺕ‪ -‬ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﺘﺤﺕ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ▲‪\") -‬ﻗﺭﺍﺀﺓ\" ﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﺘﺴﺘﻌﻤﻠﻬﺎ ﺃﻏﻠﺒﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﻟﻔﻴﻥ‬ ‫ﻤﻊ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﺘﻌﻭﻴﺽ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ ● ﺒﺎﻹﺸﺎﺭﺓ )ﻤﻁﺔ ﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺔ(‬ ‫‪0, ir, rj‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ‪ :‬ﺍﻟﺤل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﻭ ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪:‬‬‫‪ ،‬ﻤﻭﻀﺢ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ ‪( ):‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ )‪ ،(C‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪3.5 4.5 5‬‬ ‫)'‪(l‬‬ ‫‪M 2 0 ir M 3‬‬ ‫)‪(l‬‬‫‪M1‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﺍﻹﺼﻁﻼﺤﺎﺕ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﺘﺤﺕ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ▲ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪ ،‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻫﻲ]‪. [− 6,5‬‬ ‫‪ -‬ﻟﻨﺤل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f (x) = −1‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‬‫ﺇﻥ ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ f x = −1‬ﻴﻌﻨﻲ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻗﻴﻡ ‪ , x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ − 6,5‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ) ( ] [‬‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‪ f (x) = 1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ‪ f (x) = −1‬ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻫﺎ ‪ x,−1‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ) (‬‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﺇﺫﻥ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ f x = −1‬ﻫﻲ ﻓﻭﺍﺼل ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ) (‬‫ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ -1‬ﻭﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁ‪ ,‬ﻨﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ l‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ‪ -1‬ﻤﻥ) (‬‫ﺍﻟﺸﻜل‪ ,‬ﻨﺭﻯ ﺃ ّﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ l‬ﻴﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﻓﻲ ﺜﻼﺜﺔ ﻨﻘﻁ)ﺒﺎﻟﻀﺒﻁ( ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻫﻲ‪( ), M 1 :‬‬

‫‪ M 3 , M 2‬ﺤﻴﺙ ‪ M 3 (2,−1), M 2 (−2,−1) , M1 (−6,−1) :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ f (x) = −1‬ﻫﻲ‪{2,−2,−6}:‬‬ ‫ﻟﻨﺤل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ , f (x) ≥ 1‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‬‫•ﺇﻥ ﺤل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ f x ≥ 1‬ﻴﻌﻨﻲ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻗﻴﻡ ‪ , x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ , − 6,5‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ) ( ] [‬‫ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ f (x) ≥ 1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭﺒﻤﺎﺃﻥ))‪ (x, f (x‬ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ )‪ (C‬ﻓﺈﻥ ﺤﻠﻭل‬‫ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻫﻲ ﻓﻭﺍﺼل ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ 1‬ﺃﻱ ﻓﻭﺍﺼل‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻤﻥ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻘﻊ ﻓﻭﻕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ '‪ l‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ ‪( ).1‬‬ ‫ﻭﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﻓﻭﺍﺼل ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻤﻥ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻘﻊ ﻓﻭﻕ '‪ l‬ﻫﻭ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 3.5,4.5‬ﺇﺫﻥ) ( ] [‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ‪ f (x) ≥ 1‬ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪. [3.5,4.5‬‬

‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺕ‪ :1‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = 5x 2 − 3x + 1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ﺼﻭﺭ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‪2 ,-2 ,0:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺕ‪ :2‬ﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ[∞‪]− ∞,−1]∪ [1,+‬‬ ‫‪f (x) = x +‬‬ ‫‪x2 −1‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪x 2 + 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﺼﻭﺭ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‪2 ,1 ,-1:‬‬ ‫‪3‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﺕ‪ f : 3‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ‪ .‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ , D‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ f (1‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) = x3 + 7x 2 + x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪x − 1‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x 2 −1‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪x − 3‬‬ ‫‪ f (5‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = 3x + 2 x −1‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪1− x + 2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(6‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪x 2 + 1‬‬ ‫ﺕ‪ : 4‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) = 3x 2 − 8‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺴﻭﺍﺒﻕ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪0 ,-5 ,4:‬‬‫ﺕ‪ : 5‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ [∞‪]− ∞,−1]∪ [5,+‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) = x − 2 − 3‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺴﻭﺍﺒﻕ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪6 ,1 ,0:‬‬

‫ﺕ‪ :6‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻭﻟﻴﻜﻥ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪( )0, ir, rj‬‬ ‫ﺃﻋﻁ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺨﻤﺴﺔ ﻨﻘﻁ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﻋﻠﻤﹰﺎ ﺃ ّﻥ‪( ), f − 2 = 3 ،‬‬ ‫‪f (0) = 1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪f (1) = 3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪f (− 5) = 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫ﻤﻓﻌﻲﺭﻓﻤﺔﺴﺘﻋﻠﻭﻰﻤﻨ‪R‬ﺴﻭ ﺒﺎﺏﻟﺩﺇﻟﺴﺘﻰﻭﻤﺭﻌﻠﻡ‪3ir,+rj 5‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺕ‪: 7‬‬‫ﻭ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل) (‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬ ‫‪0,‬‬‫‪ (1‬ﻗل ﻋﻥ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ C(3,15), B(−2,1), A(0,5‬ﺇﻥ ﻜﺎﻨﺕ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪.(C‬‬ ‫‪ (2‬ﺃﻋﻁ ﺃﺭﺒﻌﺔ ﻨﻘﻁ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪(C‬‬ ‫‪ (3‬ﻋﻴﻥ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪2‬‬ ‫ﺕ‪ f :8‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ − 1,3‬ﻭﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪[ ]:‬‬‫* ‪ f (1) = f (2) = 4, f (0) = 1, f (−1) = 0‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ]‪ x ∈ [1,2‬ﻓﺈﻥ ‪, f (x) ≥ 4‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f (x) = 0‬ﻟﻬﺎ ﺒﺎﻟﻀﺒﻁ ﺤﻼﻥ‪.‬‬‫‪f‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل‬ ‫ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ ﻫﻭ‬ ‫)‪(C1) ، (C2‬‬ ‫)‪، (C3‬‬ ‫ﻫﻭ)‪(C3‬؟‬ ‫ﻫل ﻫﻭ)‪(C2‬؟ ﻫل‬ ‫ﻫﻭ)‪(C1‬؟‬‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ) (‬ ‫‪rj‬ﻤ ‪,‬ﻥ‪ir‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺎﺕ‬ ‫ﻭﺍﺤﺩ‬ ‫ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫‪ : 0,‬ﻫل‬ ‫)‪(C2‬‬ ‫)‪(C1‬‬‫‪rj‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫)‪(C3‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪0 ir‬‬

‫ﺕ‪ :9‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﺒﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ )‪ (C‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪ 0, ir, rj‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ) (‬ ‫‪(1‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ D‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ (2‬ﻋﻴﻥ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 2‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ (3‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺴﻭﺍﺒﻕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ -2‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ (4‬ﺤل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f (x) = 0‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪ , x‬ﻓﻲ ‪D‬‬ ‫‪ (5‬ﺤل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ f (x) < −2‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪ , x‬ﻓﻲ ‪D‬‬ ‫‪ (6‬ﻤﺎ ﻫﻲ‪ ،‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ، D‬ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ )‪ f (x‬؟‬‫‪-3 -2‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫‪8 10 12‬‬

‫)‪ (6) ,(5) ,(4),(3) ,(2) ,(1‬ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ‪ ,‬ﻗل– ﻤﻌﻠﻼ ﻋﻠﻰ ﺤﻜﻤﻙ ‪ -‬ﻋﻥ‬‫ﺍ‪rj‬ﻟ ‪,‬ﺤﺎ‪ir‬ﻻ‪,‬ﺕ‪0‬‬‫ﺕ‪ :10‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﻜﺎﻥ‪,‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬‫‪ (C)،‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ) (‬ ‫ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﺒﻨﻌﻡ‬‫‪rj‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫‪0 ir‬‬‫)‪(2‬‬ ‫)‪(1‬‬‫‪rj‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫)‪(C‬‬‫)‪(4‬‬ ‫)‪(3‬‬‫‪rj‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫)‪(6‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫)‪(5‬‬

‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺕ‪ :3‬ﻟﻨﻌﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ , D‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬‫ﻨﺠﺩ‪D = ]− ∞,+∞[ :‬‬ ‫‪ (1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪f (x) = x3 + 7x 2 + x‬‬‫ﻨﺠﺩ‪D = R − {0}:‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x2 +1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫ﺃﺠل‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪3x‬‬‫ﻨﺠﺩ‪D = ]− ∞,+∞[ :‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ (3‬ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪2‬‬‫ﻨﺠﺩ‪D = R − {3}:‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x 2 −1‬‬ ‫ﺃﺠل‬ ‫‪ (4‬ﻤﻥ‬ ‫‪x−3‬‬‫‪ (5‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ f (x) = 3x + 2 x −1‬ﻨﺠﺩ‪D = [0,+∞[ :‬‬‫ﻨﺠﺩ‪D = ]− ∞,1]:‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪1− x + 2‬‬ ‫‪ (6‬ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪x2 +1‬‬ ‫ﺕ‪ :4‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪f (x) = 3x 2 − 8 :‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺴﻭﺍﺒﻕ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 4‬ﻫﻲ‪{2,−2}:‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺴﻭﺍﺒﻕ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ -5‬ﻫﻲ‪{− 1,+1}:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪,−‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻟﻠﻌﺩﺩ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺴﻭﺍﺒﻕ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺕ‪ :5‬ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺒﻌﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪4‬‬ ‫ﺕ‪ :6‬ﺍﻟﻨﻘﻁ‪ E, D, C, B, A :‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺘﻬﺎ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫‪A(−‬‬ ‫‪2,‬‬ ‫‪3),‬‬ ‫(‪B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪),‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪(−5,2),‬‬ ‫‪D(1,3),‬‬ ‫‪E‬‬ ‫)‪(0,1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬‫ﺕ‪ * /1 :7‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (C‬ﻷﻥ‪f (0) = 5 :‬‬‫* ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﻻ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (C‬ﻷﻥ‪f (−2) ≠ 1 :‬‬‫* ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ C‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (C‬ﻷﻥ‪f (3) = 15 :‬‬ ‫‪ /2‬ﻟﻨﻌﻁﻲ ﺃﺭﺒﻊ ﻨﻘﻁ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ )‪:(C‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ A∈(C) :‬ﻭ )‪c∈(C‬‬‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪ f (−1) = 6 :‬ﺃﻱ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ D‬ﺤﻴﺙ‪ D(−1,6) :‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ )‪(C‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪ f (1) = 6 :‬ﺃﻱ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ E‬ﺤﻴﺙ‪ E(1,6) :‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ )‪(C‬‬

‫‪ /3‬ﻟﻨﻌﻁﻲ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪2‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ ‪ y‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬‫(=‪y‬‬ ‫‪2)2 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2+‬‬‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺕ‪ :8‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﻫﻭ )‪(C1‬‬ ‫ﺕ‪: 9‬‬ ‫‪D = [− 3,12] (1‬‬ ‫‪ (2‬ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 2‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ‪3‬‬ ‫‪ (3‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺴﻭﺍﺒﻕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ -2‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ‪{− 2,9}:‬‬ ‫‪ (4‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f (x) = 0‬ﻫﻲ‪{− 1,8,11}:‬‬‫‪ (5‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ f (x) < −2‬ﻫﻲ‪[− 3,−2[:‬‬ ‫ﺕ ‪:10‬‬ ‫* ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ )‪:(1‬‬ ‫)‪ (C‬ﻻ ﻴﻤﺜل ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﻷﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ‪ 0 :‬ﻤﺜﻼ ﻟﻪ ﺃﻜﺜﺭ ﻤﻥ ﺼﻭﺭﺓ‬‫* ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ )‪ (C) ,(2‬ﻫﻭ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﻭﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻫﻲ‪[ ]− 3,2 :‬‬ ‫* ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ )‪ (C) ,(3‬ﻫﻭ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﻭﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻫﻲ ‪R‬‬ ‫* ﻓﻴﺎﻟﺤﺎﻟﺔ )‪ (C) ,(4‬ﻫﻭ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﻭﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻫﻲ‪] [− 2,+∞ :‬‬ ‫* ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ )‪ (C) ,(5‬ﻫﻭ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﻭﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻫﻲ ‪[ [− 3,−2‬‬‫* ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ )‪ (C) ,(6‬ﻫﻭ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﻭﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻫﻲ ∞‪] [ ] [− ∞,1 ∪ 1,+‬‬

‫ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‪ ,‬ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻤﺠﺎل‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻴﻌﺎﺏ ﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ﻭﺍﻟﺘﻨﺎﻗﺹ ﻭﺍﻟﺜﺒﺎﺕ‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﺒﺴﻴﻁﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻴﻌﺎﺏ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻭﺍﻟﻌﻜﺱ‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ .1‬ﺃﻤﺜﻠﺔ ﻭﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﺍﻟﺩﺭﺱ ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ ﺤﻭل ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‬ ‫ﻭﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‪.‬‬ ‫‪ .3‬ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫‪ .4‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬

‫• ﺃﻤﺜﻠﺔ ﻭﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﻤﺜﺎﻻﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻴﺎﺓ ﺍﻟﻴﻭﻤﻴﺔ ﻹﺒﺭﺍﺯ \"ﻓﻜﺭﺓ ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ\" ﻭﻓﻜﺭﺓ ﺍﻟﺘﻨﺎﻗﺹ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻷﻭل ‪ :‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻗﻁﻌﺔ ﺃﺭﺽ ﺸﻜﻠﻬﺎ ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ )ﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﻤﺘﺭ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ( ﻤﺭﺘﺒﻁﺔ ﺒﻁﻭل‬ ‫ﺍﻟﻀﻠﻊ )ﻤﻘﺩﺭ ﺒﺎﻟﻤﺘﺭ( ﻭﻓﻕ ﺩﺍﻟﺔ ‪f : x → f (x) , f‬‬ ‫)ﺃﻴﻥ ‪ x‬ﻁﻭل ﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ ﻭ )‪ f (x‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ(‪.‬‬ ‫ﺒﺩﻴﻬﻴﺎ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﻘﻭل ‪:‬‬ ‫\"ﻜﻠﻤﺎ ﻴﺯﺩﺍﺩ ﻁﻭل ﺍﻟﻀﻠﻊ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺘﺯﺩﺍﺩ\"‬ ‫ﺒﺎﻟﺭﻤﻭﺯ‪\":‬ﻜﻠﻤﺎ ﻴﺄﺨﺫ ‪ x‬ﻗﻴﻤﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻓﺄﻜﺒﺭ ﻓﺈﻥ )‪ f (x‬ﻴﺄﺨﺫ ﻗﻴﻤﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻓﺄﻜﺒﺭ\"‬ ‫ﺃﻭ \" ﻜﻠﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺯﺩﺍﺩ ﻓﺈﻥ )‪ f (x‬ﻴﺯﺩﺍﺩ \"‬ ‫ﻭﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ \"ﻫﺫﺍ \" ﻨﻘﻭل ‪ \" :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ \"‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪ :‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﺘﺘﺤﺭﻙ‪ ,‬ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺒﻨﺯﻴﻥ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﺯﺍﻥ)ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﻠﺘﺭ( ﻤﺭﺘﺒﻁﺔ‬‫ﺒﺎﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻘﻁﻭﻋﺔ )ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﻜﻴﻠﻭﻤﺘﺭ( ﻭﻓﻕ ﺩﺍﻟﺔ ‪) g : x → g(x) , g‬ﺃﻴﻥ ‪ x‬ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻘﻁﻭﻋﺔ‬ ‫ﻭ )‪ g(x‬ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺒﻨﺯﻴﻥ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﺯﺍﻥ( ﺒﺩﻴﻬﻴﺎ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﻘﻭل‪:‬‬ ‫\"ﻜﻠﻤﺎ ﺘﺯﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻘﻁﻭﻋﺔ ﻓﺈﻥ ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺒﻨﺯﻴﻥ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﺯﺍﻥ ﺘﻨﻘﺹ\"‬‫ﺒﺎﻟﺭﻤﻭﺯ‪\":‬ﻜﻠﻤﺎ ﻴﺄﺨﺫ ‪ x‬ﻗﻴﻤﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻓﺄﻜﺒﺭ ﻓﺈﻥ )‪ g(x‬ﻴﺄﺨﺫ ﻗﻴﻤﺎ ﺃﺼﻐﺭ ﻓﺄﺼﻐﺭ\" ﺃﻭ \" ﻜﻠﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺯﺩﺍﺩ ﻓﺈﻥ‬ ‫)‪ g(x‬ﻴﻨﻘﺹ \"‬ ‫ﻭﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﻨﻘﻭل \" ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ \"‬ ‫‪ .2‬ﺃﻨﺸﻁﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻷﻭل ‪ :‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) = 3x + 7‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻜﻴﻔﻴﻴﻥ ﻟﻨﻔﺭﺽ ‪ ϑ > u‬ﻭﻟﻨﻘﺎﺭﻥ )‪ f (u‬ﻭ )‪ f (ϑ‬ﻟﺫﻟﻙ ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻕ )‪f (ϑ) − f (u‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪f (ϑ) − f (u) = (3ϑ + 7) − (3u + 7) :‬‬ ‫‪= 3ϑ + 7 − 3u − 7‬‬ ‫‪= 3ϑ − 3u‬‬ ‫)‪= 3(ϑ − u‬‬

‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ ϑ > u‬ﻓﺈﻥ ‪ ϑ − u > 0‬ﻤﻨﻪ ‪) 3(ϑ − u) > 0‬ﻷﻥ ‪( 3 > 0‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪ f (ϑ) − f (u) > 0 :‬ﺇﺫﻥ )‪f (ϑ) > f (u‬‬‫•ﺨﻼﺼﺔ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ϑ‬ﻤﻥ ‪ : R‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ϑ > u‬ﻓﺈﻥ )‪f (ϑ) > f (u‬‬‫•ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪f : x → f (x) = 3x + 7, x ∈ R :‬‬‫‪\" x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ\" ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﻌﻭﺽ ‪ x‬ﺒﺄﻱ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻭﺍﻟﺨﻼﺼﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺘﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﻘﻭل ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ‪ u‬ﻭ ‪(1)......ϑ‬‬ ‫ﺇﺫﺍ \" ﺍﻨﺘﻘل \" ‪ x‬ﻤﻥ‪ u‬ﺇﻟﻰ ‪ ϑ‬ﻭﻜﺎﻥ ‪(2).......ϑ > u‬‬‫ﻓﺈﻥ )‪ f (x‬ﻴﻨﻘل ﻤﻥ )‪ f (u‬ﺇﻟﻰ )‪ f (ϑ‬ﻭ )‪(3)..... f (ϑ) > f (u‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ x :(2‬ﻴﻨﺘﻘل ﻤﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺃﻜﺒﺭ ﺃﻱ ‪ x‬ﻴﺯﺩﺍﺩ )ﻭﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﺘﺎﻤﺔ(‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ f (x) : (3‬ﻴﻨﺘﻘل ﻤﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺇﻟﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﺃﻜﺒﺭ ﺃﻱ )‪ f (x‬ﻴﺯﺩﺍﺩ )ﻭﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﺘﺎﻤﺔ(‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ u :(1‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻜﻴﻔﻴﺎﻥ‬‫ﺘ\"ﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻓﺈﻥ )‪ f (x‬ﻴﺯﺩﺍﺩ‬ ‫ﺇﺫﻥ‪ \" :‬ﻜﻠﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺯﺩﺍﺩ )ﺘﻤﺎﻤﺎ(‬‫ﻋﻠﻰ)‪ \"(R3‬ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫\"‬ ‫ﻫﺫﺍ‬ ‫)‪(1‬‬ ‫ﻭﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ‬ ‫ﻨﻘﻭل‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ \"‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪g(x) = x − 5‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ϑ‬ﻋﻨﺼﺭﻴﻥ ﻜﻴﻔﻴﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪ ]− ∞,0‬ﻟﻨﻔﺭﺽ ‪ ϑ > u‬ﻭﻟﻨﻘﺎﺭﻥ )‪ g(u‬ﻭ )‪g(ϑ‬‬ ‫ﻟﺫﻟﻙ ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻔﺭﻕ )‪g(ϑ) − g(u‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ )‪ g(ϑ) − g(u) = (ϑ − 5) − ( u − 5‬ﺃﻱ ‪g(ϑ ) − g(u) = ϑ − 5 − u + 5‬‬‫ﺃﻱ ‪ g(ϑ ) − g(u) = ϑ − u‬ﺃﻱ ‪ g(ϑ ) − g(u) = ϑ − u‬ﻭﻟﻜﻥ‬‫‪ u ≤ 0‬ﻭ ‪ ϑ ≤ 0‬ﻤﻨﻪ‪ u = −u :‬ﻭ ‪ ϑ = −ϑ‬ﻭﻋﻠﻴﻪ )‪g(ϑ) − g(u) = (−ϑ) − (−u‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ g (ϑ ) − g ( u ) = ( − ϑ + u‬ﻤﻨﻪ ‪g(ϑ) − g(u) = u − ϑ‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ ϑ > u‬ﻓﺈﻥ ‪ u − ϑ < 0‬ﺇﻥ ﺃﻱ )‪g(ϑ) < g(u‬‬‫ﻤﻨﻪ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ‪ u‬ﻭ ‪ϑ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪ ]− ∞,0‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ϑ > u‬ﻓﺈﻥ )‪g(ϑ) < g(u‬‬‫ﺇﺫﻥ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g : x → g(x) = x − 5‬ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪ , x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] ]\", − ∞,0‬‬‫ﻜﻠﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺯﺩﺍﺩ )ﺘﻤﺎﻤﺎ( \" ﻓﺈﻥ )‪ g(x‬ﻴﻨﻘﺹ \" ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻭﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ \"ﻫﺫﺍ \" ﻨﻘﻭل \" ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫** ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪[ [\" 0,+‬‬

‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪h(x) = x − x − 1‬‬‫* ﻟﻴﻜﻥ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻋﻨﺼﺭﻴﻥ ﻜﻴﻔﻴﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪ 1,+‬ﻟﻨﻔﺭﺽ ‪ ϑ > u‬ﻭﻟﻨﻘﺎﺭﻥ )‪ h(u‬ﻭ )‪[ [h(ϑ‬‬ ‫ﻟﺫﻟﻙ ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻔﺭﻕ )‪h(ϑ) − h(u‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪h(ϑ) − h(u) = (ϑ − ϑ −1) − (u − u −1) :‬‬ ‫‪=ϑ − ϑ −1 −u + u −1‬‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪u − 1 = u − 1‬‬ ‫ﻟﻠﺘﺨﻠﺹ ﻤﻥ ﺭﻤﺯ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ‪ ,‬ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ u − 1‬ﻭ‪ϑ − 1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ u ≥ 1‬ﻭ‪ ϑ ≥ 1‬ﻤﻨﻪ ‪ u − 1 ≥ 0‬ﻭ ‪ϑ − 1 ≥ 0‬‬ ‫ﻭ‪ϑ −1 = ϑ −1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪h(ϑ) − h(u) = ϑ − (ϑ −1) − u + (u −1) :‬‬ ‫‪=ϑ −ϑ +1−u +u −1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪h(ϑ) − h(u) = 0 :‬‬ ‫ﺃﻱ‪ h(ϑ) = h(u) :‬ﻤﻨﻪ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪[1,+‬‬ ‫\"ﻟﻤﺎ ‪ x‬ﻴﻨﺘﻘل ﻤﻥ ﻗﻴﻤﺔ‪ u‬ﺇﻟﻰ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ϑ‬ﺃﻜﺒﺭ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ‪ h(x) , u‬ﻻ ﻴﺘﻐﻴﺭ\"‬ ‫ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ \"ﻫﺫﺍ\" ﻨﻘﻭل‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪[ [1,+‬‬ ‫* ﻓﻲ ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪ f (x) = x − (x −1) : [1,+‬ﻷﻥ‪x − 1 ≥ 0 :‬‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪ h(x) = x − x + 1‬ﺃﻱ‪ h(x) = 1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ [∞‪ , [1,+‬ﻗﻴﻤﺔ )‪ h(x‬ﻫﻲ ‪ 1‬ﻭ ‪1‬‬ ‫ﻤﺴﺘﻘل ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ x‬ﻭ\"ﻤﺴﺘﻘل ﻋﻥ ﻤﺘﻐﻴﺭ\" ﻫﻭ \"ﺜﺎﺒﺕ\"‬ ‫** ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] ]\" − ∞,1‬‬

‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ‪:‬‬‫)‪ , (C‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ) ( ] [‬‫ﺒﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬ ‫‪−‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪2,5.5‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫‪irf,‬‬ ‫ﻤﻌﻠﻟﻡﺘﻜ ‪j‬ﻥ‪r‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪ 0,‬ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪(C‬‬‫)‪f (ϑ‬‬ ‫‪u' ϑ' 5.5‬‬‫)'‪f (u‬‬‫‪f (ϑ') rj‬‬ ‫‪ir‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪ϑ2‬‬‫‪-2 -1‬‬ ‫)‪f (u‬‬‫)‪ (C‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺘﻬﺎ ))‪ (x, f (x‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪[ ]− 2,5.5‬‬ ‫ﻗﺭﺍﺀﺓ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ )‪: (C‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻤﻥ]‪ [− 1,2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ϑ > u‬ﻓﺈﻥ )‪f (ϑ) > f (u‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]− 1,2‬‬ ‫ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪\" (C) : − 1,2‬ﻴﺼﻌﺩ\" ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ] [‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ '‪ u‬ﻭ '‪ ϑ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪ [2,5.5‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ '‪ ϑ' > u‬ﻓﺈﻥ )'‪f (ϑ') < f (u‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]2,5.5‬‬ ‫ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪\" (C) 2,5.5‬ﻴﻨﺯل\" ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ] [‬‫* ‪ -‬ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ )‪ - f (x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪ - − 2,5.5‬ﻫﻲ ﺃﻜﺒﺭ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﻟﻨﻘﻁ )‪ (C‬ﻭﻫﻭ] [‬‫)ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺸﻜل( ‪f (2) = 4 :‬‬ ‫ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺃﻋﻠﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ)‪ (C‬ﻭﻫﻭ‬‫ﺒﺼﻴﻐﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ )‪ - f (x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪ - − 2,5.5‬ﻫﻭ ﺃﺼﻐﺭ ﺘﺭﺘﻴﺏ] [‬ ‫ﻟﻨﻘﻁ )‪(C‬‬ ‫ﻭﻫﻭ)ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺸﻜل( ‪f (−1) = −3 :‬‬ ‫ﻨﻘﻭل‪ :‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪: [− 2,5.5‬‬ ‫)‪ f (−1‬ﻫﻭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬‫)‪ f (2‬ﻫﻭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﻅﻤﻰ )ﺃﻭ ﺍﻟﻜﺒﺭﻯ( ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬

‫• ﺍﻟﺩﺭﺱ ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ ﺤﻭل ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻭﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ‬ ‫ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪:‬‬ ‫‪.1‬ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ D‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪D‬‬ ‫• ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪, I‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ϑ > u‬ﻓﺈﻥ )‪f (ϑ) > f (u‬‬ ‫• ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪, I‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ϑ > u‬ﻓﺈﻥ )‪f (u) > f (ϑ‬‬ ‫• ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺈﻥ )‪f (u) = f (ϑ‬‬ ‫• ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪, I‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ϑ > u‬ﻓﺈﻥ )‪f (ϑ) ≥ f (u‬‬ ‫• ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪:‬‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ , I‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ϑ > u‬ﻓﺈﻥ )‪f (u) ≥ f (ϑ‬‬

‫▲ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﺒﺩﺍﻟﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ‪ :‬ﺼﻭﺭﺘﺎ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ‬‫ﺒﺩﺍﻟﺔ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‪ :‬ﺼﻭﺭﺘﺎ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﻜﺱ ﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺍﻟﻤﻨﻬﺠﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ D ،‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪D‬‬‫‪( )0,ir, rj‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ )‪ (C‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬‫• ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪\" :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ (C) , I‬ﻴﺼﻌﺩ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ\"‬‫• ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪\" :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ (C) , I‬ﻴﻨﺯل ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ\"‬‫• ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪\":‬ﻨﻘﻁ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﻭﺍﺼﻠﻬﺎ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪ I‬ﺘﺸﻜل ﺨﻁﺎ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ‬ ‫ﺤﺎﻤﻠﻪ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻟﻠﻤﻌﻠﻡ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ‬‫ﻨﺄﺨﺫ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻜﻴﻔﻴﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻨﻤﺜﻠﻬﺎ ﺒﺤﺭﻓﻴﻥ ‪ u‬ﻭ ‪)ϑ‬ﻤﺜﻼ(‪ ,‬ﻨﻔﺭﺽ ‪ϑ > u‬‬‫ﻭﻨﻘﺎﺭﻥ )‪ f (u‬ﻭ )‪) f (ϑ‬ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻭﺩ ﺇﻟﻰ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻔﺭﻕ )‪ f (ϑ) − f (u‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل)ﺨﻭﺍﺹ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ)‬‫ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩﻨﺎ )‪ f (ϑ) > f (u‬ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪-‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩﻨﺎ )‪ f (u) > f (ϑ‬ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩﻨﺎ )‪ f (ϑ) = f (u‬ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩﻨﺎ )‪ f (ϑ) ≥ f (u‬ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩﻨﺎ )‪ f (u) ≥ f (ϑ‬ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ج ‪ .‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ‪ ،‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﻋﺎﻤﺔ‪:‬‬‫ﺒﺼﻔﺔ ﻋﺎﻤﺔ‪\" ،‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ \" D‬ﺘﻜﻤﻥ ﻓﻲ \"ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺃﻜﺒﺭ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ‬ ‫)ﺍﻟﻤﺤﺘﻭﺍﺓ ﻓﻲ ‪ ( D‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﻋﻠﻴﻬﺎ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺃﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺃﻭ ﺜﺎﺒﺘﺔ\"‪.‬‬‫ﻭﻋﺎﺩﺓ ﻤﺎ ﺘﻠﺨﺹ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ‪ f‬ﻓﻲ ﺠﺩﻭل ﺘﺒﺭﺯ ﻓﻴﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭﺃﺤﻴﺎﻨﺎ ﻗﻴﻡ‬ ‫ﺨﺎﺼﺔ ﻟـ )‪f (x‬‬

‫ﻤﺜﻼ‪ :‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ )‪ (C‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ , f‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪( )0, ir, rj‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪0 ir‬‬‫‪-6‬‬ ‫‪-4 -3 -2‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬ ‫‪ (1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ‪[ ]− 6,8 :‬‬ ‫‪ f ( 2‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ]‪ [− 6,−4‬ﻭ]‪[5,8‬‬ ‫‪ f (3‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ]‪[− 4,−2‬‬ ‫‪ f (4‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ]‪[− 2,5‬‬ ‫‪f (8) = 2, f (5) = 1, f (−2) = 1, f (−4) = 3, f (−6) = 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻠﺨﺹ ﻓﻲ\"ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ \" f‬ﻭﻫﻭ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ‪:‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪-6 -4 -2 5 8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﻋﻠﻰ ﻜل ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺴﻬﻡ ﺼﺎﻋﺩ ﻤﻭﺠﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻴﺩل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﻟﺘﺎﻡ‬ ‫‪ -‬ﺴﻬﻡ ﻨﺎﺯل ﻤﻭﺠﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻴﺩل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻨﺎﻗﺹ ﺍﻟﺘﺎﻡ‬ ‫‪ -‬ﺴﻬﻡ ﺃﻓﻘﻲ ﻤﻭﺠﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻴﺩل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺜﺒﻭﺕ‬

‫∞‪x −‬‬ ‫ﻤﺜﻼ‪ :‬ﺍﻟﺠﺩﻭل‪:‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪f (x‬‬‫ﻫﻭ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫∞‪x −‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺠﺩﻭل‪:‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫∞‪+‬‬‫ﻫﻭ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬‫‪ .2‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ‪ ,‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻜﺒﺭﻯ ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ D‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ‪D‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬‫• ﻴﻜﻭﻥ )‪ f (a‬ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻜﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪f (x) ≥ f (a) , I‬‬‫• ﻴﻜﻭﻥ )‪ f (a‬ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻜﺒﺭﻯ)ﺃﻭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﻅﻤﻰ( ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪f (a) ≥ f (x) , I‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ b‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺒﺤﻴﺙ ‪f (a) = b‬‬‫*ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ \" )‪ f (a‬ﻫﻭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪\" I‬ﻨﻘﻭل‪:‬‬‫\" ‪ b‬ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻭﺘﺅﺨﺫ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ a‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ)ﺃﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪\"( x = a‬‬ ‫* ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ\" )‪ f (a‬ﻫﻭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻜﺒﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪\" I‬ﻨﻘﻭل‪:‬‬‫\" ‪ b‬ﻫﻭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻜﺒﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻭﺘﺅﺨﺫ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﺒﺭﻯ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ a‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ)ﺃﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪\"( x = a‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬‫• ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ )ﺃﻭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻜﺒﺭﻯ( ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ - I‬ﺇﻥ ﻭﺠﺩﺕ‪ -‬ﻭﺤﻴﺩﺓ‬ ‫• ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻻ ﺘﻘﺒل ﺩﺍﻟﺔ ﺃﻴﺔ ﻗﻴﻤﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﻭﺃﻴﺔ ﻗﻴﻤﺔ ﻜﺒﺭﻯ‪ ,‬ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪I‬‬‫• ﻴﻤﻜﻥ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ)ﺃﻭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻜﺒﺭﻯ( ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﺃﻥ ﺘﺅﺨﺫ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﺩﺓ ﻗﻴﻡ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ‪.‬‬‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل) () (‬ ‫• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪f‬‬‫ﻭﻜﺎﻥ ℘‬ ‫ﻤﺠﺎﻻ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ‪D‬‬ ‫ﺒﺩﺎﺍﻟﻟﻨﺔﺴﺒﻤﺔﺠﺇﻟﻤﻭﻰﻋﻤﺔﻌﻠﺘﻡﻌﻤﺭﺘﻴﻔﻌﺎﻬﺎﻤﺩ‪, rjD‬ﻭﻜ‪ir‬ﺎ‪,‬ﻥ‪I0‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬‫• ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪- I‬ﺇﻥ ﻭﺠﺩﺕ‪ -‬ﻫﻲ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺃﺴﻔل ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁ ℘ ﺍﻟﺘﻲ) (‬ ‫ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪I‬‬‫• ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻜﺒﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪- I‬ﺇﻥ ﻭﺠﺩﺕ‪ -‬ﻫﻲ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺃﻋﻠﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁ ℘ ﺍﻟﺘﻲ) (‬ ‫ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪I‬‬‫• ﺍﻟﻤﺼﻁﻠﺢ \"ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ\" ﻴﻌﻨﻲ\"ﻗﻴﻤﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﺃﻭ ﻗﻴﻤﺔ ﻜﺒﺭﻯ\" ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻁﺎﻟﺏ ﺒﺈﻴﺠﺎﺩ\"ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ\" ﻴﺠﺏ ﺃﻥ‬ ‫ﻨﻭﻀﺢ ﺇﻥ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻤﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﺃﻭ ﻗﻴﻤﺔ ﻜﺒﺭﻯ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎﻻﻥ ‪:‬‬ ‫‪1,5‬‬ ‫)‪(C1‬‬ ‫‪-3 -2‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪ir‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬

‫)‪ (C1‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪[ ]− 3,4‬‬‫‪ 1,5‬ﻫﻭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻜﺒﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f1‬ﻭﺘﺅﺨﺫ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻜﺒﺭﻯ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ‪ 1 ,-1,5‬ﻭ ‪ 4‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ‬ ‫‪ -1,5‬ﻫﻭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f1‬ﻭﺘﺅﺨﺫ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 3‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ‬‫‪rj‬‬ ‫)‪(C2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ir‬‬‫)‪ (C 2‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f 2‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ R‬ﻭﻻ ﺘﻘﺒل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f 2‬ﻻ ﻗﻴﻤﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﻭﻻ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﻜﺒﺭﻯ‪.‬‬

‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺕ‪ f : 1‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ , 1,4‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ] [ ]1,4‬‬ ‫ﻭﺒﺤﻴﺙ ‪ f (1) = −3‬ﻭ ‪f (4) = 5‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﻨﺸﺊ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬؟‬ ‫‪ (2‬ﻫل ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪ f (0) = 6‬؟‬ ‫‪ (3‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ‪ -3‬ﻫﻭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]1,4‬‬ ‫‪ (4‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ‪ 5‬ﻫﻭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻜﺒﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]1,4‬‬ ‫ﺕ ‪ f : 2‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ R‬ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺵ‪ ,1‬ﺵ‪ ,2‬ﺵ‪ 3‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﺵ‪ f :1‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] ]− ∞,1‬‬ ‫ﺵ‪ f :2‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪[ [1,+‬‬ ‫ﺵ‪f (1) = −2 :3‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﻨﺸﺊ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪( )0,ir, rj‬‬ ‫‪ ,‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ (2‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﻗﻴﻤﺔ ﻜﺒﺭﻯ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻬﺎ‬ ‫ﺕ‪ : 3‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ‪ (C) ,‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫)‪(C‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫ﺃﺘﻤﻡ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪-3,5 -2,5 -1,5 0 1 2‬‬ ‫‪3 4 56‬‬ ‫‪ (2‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ (3‬ﺃﺩﺭﺱ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ (4‬ﺃﻨﺸﺊ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ (5‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﻗﻴﻤﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﻭﻗﻴﻤﺔ ﻜﺒﺭﻯ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻜل‬

‫ﻤﻨﻬﻤﺎ‬ ‫ﺕ‪ : 4‬ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﻫﻭ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬‫∞‪x −‬‬ ‫∞ ‪-5 -1 0 2 4 +‬‬‫‪f (x) 0 1‬‬ ‫‪-1 -1 -1‬‬‫‪ (1‬ﻋﻴﻥ ﺃﻫﻡ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻋﻠﻴﻬﺎ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭﺃﻫﻡ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻋﻠﻴﻬﺎ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬‫‪ c, b, a (2‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ − 1 ≥ a ≥ −5‬ﻭ‪ 0 ≥ b ≥ −1‬ﻭ ‪ 2 ≥ c ≥ 0‬ﺃﻋﻁ ﺤﺼﺭﺍ‬ ‫)‪f (c‬‬ ‫ﻭ )‪ f (b‬ﻭ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻟﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ )‪(a‬‬ ‫‪ir, rj‬‬ ‫‪( )0,‬‬ ‫ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫‪ (3‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ ﻤﻨﺤﻥ )‪ (C‬ﺠﺩﻴﺭ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﺕ‪ f :5‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ‬ ‫ﺵ‪ f :1‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] ]− ∞,−1‬‬ ‫ﺵ‪ f : 2‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]− 1,2‬‬ ‫ﺵ‪ f : 3‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪[ [2,+‬‬ ‫ﺵ‪ f (−1) = 3 : 4‬ﻭ ‪f (2) = 0‬‬ ‫‪( )0,ir,‬‬‫‪rjf‬‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪(1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫‪(2‬‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ ﻤﻨﺤﻥ )‪ (C‬ﺠﺩﻴﺭ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬‫∞‪x −‬‬ ‫ﺕ‪ : 6‬ﻫل ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﻭﺠﺩ ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺘﻬﺎ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫∞ ‪-2 1 3 +‬‬‫‪f (x) -5‬‬ ‫‪-3 -8‬‬‫ﺕ‪ :7‬ﺃﺩﺭﺱ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻭ ]‪I = [1,3‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ f (x) = 2x2 + 5 (2‬ﻭ]‪I = [2,8‬‬ ‫‪ f (x) = −3x2 + 8 (3‬ﻭ[∞‪I = [0,+‬‬

‫‪ f (x) = 5x2 + 3x (4‬ﻭ[∞‪I = [0,+‬‬ ‫ﺕ‪ : 8‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) = x 2 + 2‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻓﺈﻥ ‪f (x) ≥ 2‬‬ ‫‪ (2‬ﺃﻭﺠﺩ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ‪f (x) = 2 :‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﻗﻴﻤﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫ﺕ ‪ : 9‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) = 3 + x − 5‬‬ ‫ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﻗﻴﻤﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫ﺕ ‪ : 10‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) = 5 − x + 1 − (x + 1)2‬‬ ‫ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﻗﻴﻤﺔ ﻜﺒﺭﻯ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫‪[ ]f‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺕ‪ : 11‬ﻟﺘﻜﻥ ‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪1,8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺃﺘﻤﻡ ﺍﻟﺠﺩﻭل‪:‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 78‬‬ ‫‪ (2‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]1,8‬‬ ‫‪ (3‬ﺃﻨﺸﺊ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺃﻨﻤﺘﺸﻌﺎﺊﻤ ﺍﺩﻟﻤﻭﻨﻤﺤﺘﻨﺠﺎﻰﻨ )ﺱ‪rj (C‬ﺍﻟ‪,‬ﻤﻤ‪ir‬ﺜ‪,‬ل‪0‬ﻟﻠﺩ)ﺍﻟﻭﺔﺤﺩ‪f‬ﺓ‬ ‫‪(4‬‬ ‫ﻤﻌﻠﻡ) (‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ‬ ‫ﺍﻟﻁﻭل ‪(1Cm‬‬ ‫‪ (5‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﻗﻴﻤﺘﻴﻥ ﺤﺩﻴﺘﻴﻥ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﺤﺩﻴﺩﻫﻤﺎ‪.‬‬

‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺕ‪ (1 :1‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ (2‬ﻫل ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪ f (0) = 6‬؟‬ ‫ﻫﺫﺍ ﻏﻴﺭ ﻤﻤﻜﻥ ﻷﻥ]‪0 ∉ [1,4‬‬‫‪ (-3) (3‬ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 1,4‬ﻷﻨﻨﺎ ﻨﺤﻘﻕ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﺊ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ] [‬ ‫ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻜﺒﺭﻯ ‪.5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺕ‪ (1 : 2‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪−∞ 1‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪f (x) 2‬‬ ‫‪ (2-) (2‬ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻜﺒﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫ﺕ‪ (1 :3‬ﺇﺘﻤﺎﻡ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻌﻁﻰ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-3,5 -2,5 -1,5 0 1 2‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪56‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪1 2 0 -1 0 1‬‬ ‫‪0 -1‬‬ ‫‪01‬‬ ‫‪ (2‬ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫* ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫]‪ [− 3.5,−2.5‬ﻭ]‪ [0,2‬ﻭ]‪[4,6‬‬ ‫* ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻥ‪:‬‬ ‫]‪ [− 2.5,0‬ﻭ]‪[2,4‬‬ ‫‪ (3‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪-3.5 -2.5 0 2 4 6‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪2 11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ﻫﻲ‪-1:‬‬ ‫‪ (4‬ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻜﺒﺭﻯ ﻫﻲ‪2 :‬‬ ‫ﺕ‪ (1 : 4‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫]‪[4,+∞[,[0,2],[− 5,−1‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ‪:‬‬ ‫]‪[2,4],[−1,0], ]− ∞,−5‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﻨﺤﺼﺭ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ )‪f (c) , f (b) , f (a‬‬ ‫ﻤﻥ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‪ −1 ≥ a ≥ −5 :‬ﻓﺈﻥ‪−1 ≤ f (a) ≤ 0 :‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‪ 0 ≥ b ≥ −1:‬ﻓﺈﻥ‪−1 ≤ f (b) ≤ 0 :‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‪ 2 ≥ c ≥ 0 :‬ﻓﺈﻥ‪−1 ≤ f (c) ≤ 1 :‬‬ ‫‪ (3‬ﺇﻨﺸﺎﺀ)‪: (C‬‬ ‫∞‪x −‬‬ ‫ﺕ‪ (1 : 5‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫∞‪2 +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪-1 0 ir‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ (2‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ)‪:(C‬‬ ‫)‪(C‬‬‫‪rj‬‬ ‫‪ir‬‬ ‫‪0‬‬‫ﺕ‪ : 6‬ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻔﺘﻭﺡ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻻ ﻴﻤﻜﻨﻪ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬‫ﺇﺫ ﻤﺜﻼ ‪ f :‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ − 2,1‬ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪[ ]f (−2) < f (1) :‬‬ ‫ﺇﻻ ﺃﻥ‪− 3 > −5 :‬‬ ‫ﺕ‪ :7‬ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬ ‫ﻭ ]‪I = [1,3‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺃﺠل‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫‪ (2‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ f (x) = 2x2 + 5‬ﻭ]‪I = [2,8‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫‪ (3‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ f (x) = −3x2 + 8‬ﻭ[∞‪I = [0,+‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫‪ (4‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ f (x) = 5x2 + 3x‬ﻭ[∞‪I = [0,+‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬‫ﺕ‪ (1 : 8‬ﻟﻨﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻓﺈﻥ ‪f (x) ≥ 2‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻟﻨﻌﻴﻥ ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪x 2 ≥ 0 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪) x 2 + 2 ≥ 2 :‬ﺤﺴﺏ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ(‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪f (x) ≥ 2 :‬‬ ‫‪ (2‬ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ‪f (x) = 2 :‬‬ ‫‪ f (x) = 2‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x2 + 2 = 2‬‬

‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x 2 = 0‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x = 0‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪R‬‬‫ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ \"‪ ,\"1‬ﻭ\"‪ \"2‬ﻨﺠﺩ ﺃﻥ‪ 2:‬ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫ﺕ‪ 3 : 9‬ﻗﻴﻤﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫‪-‬ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ‪ -‬ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‪-‬‬ ‫ﺕ‪ : 10‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻜﻴﻔﻴﺎ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ − x + 1 ≤ 0 :‬ﻭ ‪− (x + 1)2 ≤ 0‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪− x + 1 − (x + 1)2 ≤ 0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪5 − x + 1 − (x + 1)2 ≤ 5 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪f (x) ≤ 5 :‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ 5 :‬ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﻜﺒﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪R‬‬

‫ﺕ‪:11‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﻨﺘﻤﻡ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻌﻁﻰ‪:‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 78‬‬ ‫‪4 24‬‬ ‫‪1 4 2 41‬‬ ‫‪3 5 3 72‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]1,8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (3‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪f‬‬ ‫‪f (x) 8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (4‬ﺇﻨﺸﺎﺀ)‪(C‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪ir‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ (5‬ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﻜﺒﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]1,8‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]1,8‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‪2‬‬

‫ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ‬‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺩﺴﺘﻭﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﻋﺩﺩ ﺃﻭ ﺒﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ (1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫‪ (2‬ﻤﻼﺤﻅﺔ‬ ‫‪ (3‬ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ‬ ‫‪ (4‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ‬ ‫‪ (5‬ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫‪ (6‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬

‫• ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ ﻤﻥ‬‫ﺍﻟﺸﻜل ‪ f (x) = ax‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ )ﺜﺎﺒﺕ ﻴﻌﻨﻲ ﻤﺴﺘﻘل ﻋﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ ( x‬ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ‪ a‬ﻴﺴﻤﻰ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ‪f‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪ :‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪ k, h, g, f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺎﺘﻴﺭ‬ ‫‪f (x) = x, g(x) = −3x, h(x) = x. 2, k(x) = 0‬‬ ‫ﻫﻲ ﺩﻭﺍل ﺨﻁﻴﺔ) ‪ k(x) = 0.x‬ﻭ ‪( f (x) = 1.x‬‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ‪ f‬ﻫﻭ ‪ ,1‬ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ‪ g‬ﻫﻭ ‪ ,-3‬ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ‪ h‬ﻫﻭ ‪2‬‬ ‫ﻭﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ‪ k‬ﻫﻭ‪.0‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ F (x) = x 2 + 1‬ﻟﻴﺴﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫ﺨﻁﻴﺔ‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (1‬ﻋﻴﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ‪f‬‬ ‫‪ (2‬ﺃﺤﺴﺏ )‪f (3), f (−2), f (1‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﻠﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ‪ f‬ﻨﺴﻤﻴﻪ ‪) a‬ﻤﺜﻼ(‪ ,‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪a.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫ﺜﺎﺒﺕ‬ ‫ﻭ‪a‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) = ax‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫ﻫﻭ ‪ 14‬ﻭ ‪f‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ‪f‬‬ ‫ﺃﻱ ‪a = 14‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) = 14x‬‬ ‫‪f (3) = 14.3, f (2) = 14.(−2), f (1) = 14.1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪f (3) = 42, f (−2) = −28, f (1) = 14 :‬‬

‫• ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺃﻋﻁﻴﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺎﻤﻠﻬﺎ ‪ a‬ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺼﻭﺭ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻨﻀﺭﺏ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻓﻲ‬‫ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ a‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪ :‬ﺼﻭﺭ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺒﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻤﺘﻨﺎﺴﺒﺔ ﻤﻊ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ)ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ(‬ ‫ﻭﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﻨﺎﺴﺏ ﻫﻭ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ‬ ‫• ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ f (x) = ax‬ﻟﻨﺩﺭﺱ ﺇﺘﺠﺎﻩ‬ ‫ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪) R‬ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ(‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻜﻴﻔﻴﻴﻥ ﻟﻨﻔﺭﺽ ‪ ϑ > u‬ﻭﻟﻨﻘﺎﺭﻥ )‪ f (u‬ﻭ )‪ f (ϑ‬ﻟﺫﻟﻙ ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻕ )‪f (ϑ) − f (u‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪f (ϑ) − f (u) = aϑ − au :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪f (ϑ) − f (u) = a(ϑ − u) :‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ ϑ > u‬ﻓﺈﻥ ‪ ϑ − u > 0‬ﻭﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f (ϑ) − f (u‬ﻫﻲ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪a‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫•ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ : a > 0‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ f (ϑ) − f (u) > 0‬ﺃﻱ )‪ f (ϑ) > f (u‬ﻭﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪R‬‬‫•ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ : a < 0‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ f (ϑ) − f (u) < 0‬ﺃﻱ )‪ f (u) > f (ϑ‬ﻭﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪R‬‬‫•ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ : a = 0‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ f (ϑ) − f (u) = 0‬ﺃﻱ )‪ f (ϑ) = f (u‬ﻭﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) = ax‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪: a > 0‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪: a < 0‬‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪: a = 0‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﻭﻫﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) = 0‬‬‫ﻤﺜﺎﻻﻥ ‪ :‬ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ‪ g‬ﻭ ‪ h‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ‪:‬‬ ‫‪ g(x) = 2x‬ﻭ ‪h(x) = −x 3‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻤﻌﺎﻤﻠﻬﺎ ‪ 2‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 2 > 0‬ﻤﻨﻪ ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ‪ g‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻤﻌﺎﻤﻠﻬﺎ ‪ − 3‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ − 3 < 0‬ﻤﻨﻪ ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ‪ h‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫•ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﺎ‪ ,‬ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﻓﻲ ﻨﺹ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻴﻜﻭﻥ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ‪ f : x → f (x) = ax :‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫∞‪x −‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: a > 0‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: a < 0‬‬ ‫∞‪x −‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: a = 0‬‬ ‫∞‪x −‬‬ ‫∞‪+‬‬‫‪f (x) 0‬‬ ‫‪0‬‬

‫• ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ) ‪, (0,ir, rj‬‬‫* ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ 0‬ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻟﻴﺱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬‫** ﻜل ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ 0‬ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻭﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪( )0, ir, rj‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ f (x) = ax‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ∆) (‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫)∆( ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻫﺎ )‪(x, ax‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f (0) = 0‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ , O(o, o‬ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‪ ,‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ)∆(‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f (1) = a‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ A(1, a‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ)∆(‬ ‫ﻭﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ‪ O‬ﻭ ‪ A‬ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﺎﻥ ﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ)∆( ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)‪(OA‬‬ ‫)‪ (OA‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ‪ M , A, O‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺃﻱ ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ‪OM // OA‬‬‫ﻭﻟﻨﺎ ‪OA1a ‬‬ ‫‪OM‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﻨﺎ‬ ‫ﺘﻜﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪M (x, y‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ‬ ‫‪y‬‬‫ﻭﺤﺘﻰ ﺘﻨﺘﻤﻲ ‪ M‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)‪ (OA‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪) 1.y − a.x = 0‬ﺤﺴﺏ ﺸﺭﻁ ﺘﻭﺍﺯﻱ‬ ‫ﺸﻌﺎﻋﻴﻴﻥ( ﺃﻱ ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪y = ax‬‬‫ﻤﻨﻪ)‪ (OA‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ M (x, y‬ﺤﻴﺙ ‪ y = ax‬ﻤﻨﻪ)‪ (OA‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ‬‫ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻫﺎ )‪ (x, ax‬ﺃﻴﻥ ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻨﻪ)‪ (OA‬ﻫﻭ)∆(‬

‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ B(0,1‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻭﻻ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ)∆( ﻷﻥ‪ f (0) ≠ 1‬ﻤﻨﻪ)∆( ﻟﻴﺱ‬ ‫ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪*A‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ :‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﺸﻤل‬‫‪rj B‬‬ ‫ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻟﻴﺱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬‫** ﻟﻴﻜﻥ ‪ d‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ 0‬ﻭﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ir(d‬ﻟﻴ‪0‬ﺱ ﺤﺎﻤل‬ ‫ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﺇﺫﻥ ) ‪(d‬‬‫) ‪(l) (d‬‬ ‫ﻴﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ l‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪( )1‬‬ ‫ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ‪ , C‬ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ‪ m‬ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ C‬ﻟﻨﺎ )‪C(1, m‬‬‫‪rj C‬‬ ‫‪•M‬‬ ‫ﻭ )‪ (d ) = (OC‬ﻤﻨﻪ ) ‪ (d‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪M (x, y‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫‪OC 1m ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪OM‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻟﻨﺎ‬ ‫‪OM‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‪// OC :‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﻭ ‪ OM // OC‬ﻴﻌﻨﻲ ‪ 1.y − m.x = 0‬ﺃﻱ ‪y = mx‬‬‫ﻤﻨﻪ ) ‪ (d‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ M (x, mx‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺃﻱ ) ‪ (d‬ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬‫ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ‪ x → mx‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻜل ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﺸﻤل ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻭﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺨﻁﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‪ ,‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ) ‪(0,ir, rj‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ M (x, y‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪ y = ax‬ﻫﻲ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻴﺸﻤل ﻤﺒﺩﺃ‬‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻭ ‪ y = ax‬ﺘﺴﻤﻰ‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻭ ‪ a‬ﻴﺴﻤﻰ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪(d‬‬