دروس مادة الرياضيات للفصل الاول جذع اداب و فلسفة سنة اولى ثانوي

‫ﺕ ‪: 04‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‬ ‫ﻟﻨﺘﻤﻡ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻌﻁﻰ‬‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ x‬ﺇﻟﻰ ﺍﺘﺤﺎﺩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬ ‫]‪[8,+∞[,]− ∞,2‬‬ ‫‪x−5 ≥3‬‬ ‫‪x−5 ≥3x+2 ≥1‬‬‫]‪[−1,+∞[,]− ∞,−3‬‬ ‫‪x> 2‬‬‫[‪] [ ]2,+∞ , − ∞, 2‬‬ ‫ﺕ ‪ : 05‬ﻟﻨﻌﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ a‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ 2‬ﻫﻲ ‪ 3‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ 4‬ﻫﻲ ‪.5‬‬ ‫ﺒﺘﺭﺠﻤﺔ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪ a − 2 = 3‬و‪a − 4 = 5‬‬‫ﺒﻤﻌﻨﻰ‪ )(a − 2 = 3) :‬أو)‪ ((a − 2 = −3‬و)) ‪ (a − 4 = 5‬أو) ‪((a − 4 = −5‬‬ ‫ﺒﻤﻌﻨﻰ ‪ )(a = 1) :‬أو)‪ ((a = −1‬و))‪ (a = 9‬أو)‪((a = −1‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪a = −1 :‬‬

‫ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪R‬‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺤل ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺒﻤﺘﻐﻴﺭ‬ ‫‪ -‬ﺤل ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﻴﺅﻭل ﺤﻠﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﺤل ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﻨﺸﺎﻁﺎﺕ‬ ‫• ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪ ,‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪.R‬‬‫• ﺃﻤﺜﻠﺔ ﻟﺤل ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﻴﺅﻭل ﺤﻠﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﺤل ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪.‬‬ ‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫• ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫• ﻨﺸﺎﻁﺎﺕ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻷﻭل ‪:‬‬‫ﻟﻨﺤل‪ ,‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ,R‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪ , 3x + 2 < −5....(1‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﺃﻱ ﻟﻨﻌﻴﻥ‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ‪ 3x + 2 < −5‬ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬‫* )‪ 3x + 2 < −5....(1‬ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪) 3x < −5 − 2‬ﺒﺈﻀﺎﻓﺔ )‪ (-2‬ﺇﻟﻰ ﻁﺭﻓﻲ )‪((1‬‬ ‫ﻤﻌﻨﺎﻩ )‪3x < −7....(2‬‬‫ﻟﺫﺍ‬ ‫‪0<3‬‬ ‫)ﺒﻘﺴﻤﺔ ﻁﺭﻓﻲ )‪ (2‬ﻋﻠﻰ ‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫<‬ ‫‪−‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻤﻌﻨﺎﻩ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻻ ﺘﻐﻴﺭ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ(‬‫ﻫﻜﺫﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺃﻨﻪ ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ‪\" 3x + 2 < −5‬ﻴﻠﺯﻡ‬ ‫‪x‬‬ ‫∈‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∞,−‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪x‬‬ ‫<‬ ‫‪−‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻭﻴﻜﻔﻲ\" ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∞,−‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫)‪(1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ‬ ‫ﺤﻠﻭل‬ ‫ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪3 ‬‬‫← ﻓﻲ ﻟﻐﺔ ﺍﻟﻤﻨﻁﻕ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ \"ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ )‪ (A‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ )‪ « (B‬ﻤﻌﻨﺎﻫﺎ \")‪ (A‬ﻴﻜﺎﻓﺊ \")‪(B‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪:‬‬‫ﻟﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ − 2x + 6‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ ,x‬ﻨﺭﻯ ﻫﻨﺎ ﺃﻥ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ − 2x + 6‬ﺘﺘﻌﻠﻕ ﺒﻘﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻭ\"ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ − 2x + 6‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪.\"x‬‬‫ﻴﻜﻤﻥ ﻓﻲ‪ :‬ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ‪ − 2x + 6‬ﺴﺎﻟﺒﺎ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ‪ − 2x + 6‬ﻤﻌﺩﻭﻤﺎ‬ ‫ﻭﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ‪ − 2x + 6‬ﻤﻭﺠﺒﺎ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬‫ﻫﻜﺫﺍ ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ‪ − 2x + 6‬ﺴﺎﺒﻼ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪. (1).... − 2x + 6 < 0‬‬ ‫ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪) (2)... − 2x < −6‬ﺒﺈﻀﺎﻓﺔ ‪ – 6‬ﺇﻟﻰ ﻁﺭﻓﻲ )‪((1‬‬‫ﻟﺫﺍ ﻏﻴﺭ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ(‬ ‫‪0 > −2‬‬ ‫)ﺒﻘﺴﻤﺔ ﻁﺭﻓﻲ )‪ (2‬ﻋﻠﻰ ‪- 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫>‬ ‫‪−6‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪−2‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪x > 3‬‬ ‫ﻭﺒﺎﺘﺒﺎﻉ ﻤﺭﺍﺤل ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ‪ − 2x + 6‬ﻤﻌﺩﻭﻤﺎ ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪− 2x + 6 = 0‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪x = 3‬‬

‫‪ -‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ‪ − 2x + 6‬ﻤﻭﺠﺒﺎ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪− 2x + 6 > 0‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪x < 3‬‬ ‫ﺍﻟﺨﺎﺘﻤﺔ‪:‬‬ ‫‪ − 2x + 6 < 0‬ﻴﻜﺎﻓﺊ [∞‪x ∈ ]3,+‬‬ ‫‪ − 2x + 6 = 0‬ﻴﻜﺎﻓﺊ }‪x ∈ {3‬‬ ‫‪ − 2x + 6 > 0‬ﻴﻜﺎﻓﺊ [‪x ∈ ]− ∞,3‬‬ ‫∞‪x −‬‬ ‫ﻭﻴﻤﻜﻥ \"ﺘﻠﺨﻴﺹ ﺍﻟﺨﺎﺘﻤﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬‫‪ − 2x + 6‬ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫∞‪3 +‬‬ ‫‪+0‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ‬ ‫‪3> x‬‬ ‫‪3= x‬‬ ‫‪x>3‬‬‫‪0 < −2x + 6‬‬ ‫‪− 2x + 6 = 0‬‬ ‫‪− 2x + 6 < 0‬‬‫‪ − 2x + 6‬ﺃﻱ‬ ‫‪ − 2x + 6‬ﺃﻱ‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫ﻫﻲ ‪+‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﻫﻲ‬

‫• ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪: R‬‬‫• ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ,R‬ﻫﻲ ﺴﺅﺍل ﻴﺩﺨل ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺤﺭﻑ ‪ x‬ﻭﻜﺫﻟﻙ ﻤﻔﻬﻭﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ x2 ≤ x :‬ﻫﻲ ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪x‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻁﻠﺒﻨﺎ \"ﻟﺤل ﻓﻲ ‪ R‬ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ\"‬ ‫ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻨﻨﺎ ﻤﻁﺎﻟﺒﻭﻥ ﺒﺈﻴﺠﺎﺩ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺠﻌل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ‪x2 ≤ x‬‬ ‫ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ﻜل ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﺘﺴﻤﻰ ﺤﻼ ﻟﻠﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪. x2 ≤ x‬‬ ‫• ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪ ,‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪: R‬‬‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ :‬ﻨﺴﻤﻲ ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪ ,x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ,R‬ﻜل ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ‪ ax + b < 0‬ﺃﻭ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬‫‪ ax + b ≤ 0‬ﺃﻭ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ ax + b ≥ 0‬ﺃﻭ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ ax + b > 0‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ R‬ﻭ ‪ a‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻌﻠﻭﻡ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻌﻠﻭﻡ‪.‬‬ ‫)\"ﻤﻌﻠﻭﻡ\" ﻴﻌﻨﻲ \"ﻤﺴﺘﻘل ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل\"(‬

‫• ﺃﻤﺜﻠﺔ ﻟﺤل ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﻴﺅﻭل ﺤﻠﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ‬ ‫ﺍﻷﻭﻟﻰ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻷﻭل ‪:‬‬ ‫ﻟﻨﺤل‪ ,‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ,R‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ (1)..... 2x −1 ≤ 3‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪.‬‬ ‫* ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ ﻭﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻭﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ‬ ‫)‪ (1‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪1− 3 ≤ 2x ≤ 1+ 3‬‬ ‫)‪ (1‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪(α ).... − 2 ≤ 2x ≤ 4‬‬ ‫)‪ (1‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪) −1 ≤ x ≤ 2‬ﺒﻘﺴﻤﺔ ﻁﺭﻓﻲ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺘﻴﻥ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺘﺎﻥ‬ ‫) ‪ (α‬ﻋﻠﻰ ‪ 0 < 2 2‬ﻟﻡ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ(‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪ (1‬ﻫﻲ ‪[ ]−1,2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪:‬‬ ‫ﻟﻨﺤل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ,R‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ (2)....x2 < 4‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪.‬‬ ‫)‪ (2‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪) x2 < 4‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ ﻭﺍﻟﺠﺫﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ(‬ ‫)‪ (2‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪) x < 2‬ﻷﻥ ‪( x2 = x‬‬ ‫)‪ (2‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x − 0 < 2‬‬ ‫)‪ (2‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪0 − 2 < x < 0 + 2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪ (2‬ﻫﻲ [‪]− 2,2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪:‬‬ ‫ﻟﻨﺤل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ,R‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ (3)....4(3x +1)2 > 9‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪.‬‬ ‫)‪ (3‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪4(3x +1)2 > 9‬‬ ‫)‪ (3‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪4 × (3x +1)2 > 9‬‬ ‫)‪ (3‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪2 3x +1 > 3‬‬

‫ﻻ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ(‬ ‫‪2>0‬‬ ‫)‬ ‫> ‪3x +1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪ (3‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪3x − (−1‬‬ ‫>‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪ (3‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫>‬ ‫‪−1 +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أو‬ ‫‪3x‬‬ ‫<‬ ‫‪−1 −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫>‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أو‬ ‫)‪ (3‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪3x‬‬ ‫<‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫>‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫أو‬ ‫)‪ (3‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪x‬‬ ‫<‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬‫‪+‬‬ ‫‪∞,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫∪‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,−∞‬‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫)‪(3‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ‬ ‫ﺤﻠﻭل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬

‫ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ‪:‬‬‫ﻟﻨﺤل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ,R‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪ (4)....0 ≤ (6x +1) × (−2x + 5‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪.‬‬‫ﻟﺤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻟﻴﺴﺕ ﻫﻨﺎﻙ ﻨﻅﺭﻴﺔ )ﻤﺩﺭﻭﺴﺔ( ﺘﻁﺒﻕ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺴﺘﻜﻭﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪ :‬ﻨﺩﺭﺱ‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ − 2x + 5‬ﻭﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ 6x +1‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺜﻡ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ﺒﻌﺩ ﺘﻠﺨﻴﺹ ﺍﻹﺸﺎﺭﺍﺕ ﻓﻲ‬ ‫ﺠﺩﻭل‪:‬‬ ‫ﻋﺩ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ‬ ‫) ‪0 > −2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫>‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪− 2x < −5‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪− 2x +5 < 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ(‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪− 2x +5 = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫<‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪− 2x +5 > 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪x −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻨﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺠﺩﻭل‪:‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x‬‬ ‫<‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 6x < −1‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪6x +1< 0‬‬ ‫‪6‬‬‫‪− 2x +5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(0 < 6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪6x =1‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪6x +1= 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫>‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪6x > −1‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪6x +1> 0‬‬ ‫‪6‬‬‫∞‪x −‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻨﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺠﺩﻭل‪:‬‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪0-‬‬‫‪6x +1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺇﻨﺘﺒﻪ ﺇﻟﻰ ﺘﺭﺘﻴﺏ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ(‬ ‫‪0‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫>‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ +‬ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪− 2x +5‬‬ ‫‪ - 0 +‬ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6x +1‬‬ ‫‪ - 0 + 0 -‬ﺇﺸﺎﺭﺓ‬‫)‪(−2x + 5)(6x +1‬‬

‫‪x‬‬ ‫∈‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ‬ ‫)‪0 ≤ (−2x + 5)(6x +1‬‬ ‫‪ :‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺩﻭل‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪ (4‬ﻫﻲ‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺨﺎﻤﺱ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪(5)....‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪<0‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ‬ ‫‪R‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻟﻨﺤل‬ ‫‪7x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬‫ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻌﻤﻠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﺘﺅﺩﻱ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻲ‪) :‬ﻋﻠﻴﻙ ﺃﻥ ﺘﻘﻭﻡ ﺒﺎﻟﻤﺭﺍﺤل ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‬ ‫‪8‬‬ ‫!(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪-0+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3x + 8‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪-0 +‬‬ ‫‪7x + 2‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪-0 -‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3x + 8‬‬ ‫‪7x + 2‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪8 2 82‬‬ ‫)*( ‪ 3 > 7‬ﻤﻨﻪ ‪− 3 < − 7‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻁﺭ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﻷﻥ ﻓﻲ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)**( ﻭﻀﺤﻨﺎ » ‪ « Double barre‬ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻯ‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻴﻨﻌﺩﻡ‪.‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻴﺤﺫﻑ ﻷﻥ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻌﻭﺽ ‪ x‬ﺒـ‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,−‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ)‪(5‬‬ ‫ﺤﻠﻭل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ﻫﺎﻤﺔ ﺠﺩﺍ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ c, b, a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻌﻠﻭﻤﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ , a ≠ 0‬ﻟﻠﺤل ﻓﻲ ‪ R‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ ax + b ≤ c‬ﺤﻴﺙ ‪x‬‬ ‫ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪ -‬ﻫﻨﺎﻙ ﻤﺭﺤﻠﺘﺎﻥ‪:‬‬‫* ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪ :‬ﻨﺠﻌل ﺍﻟﻤﻌﺎﻟﻴﻡ ﻓﻲ ﻁﺭﻑ ﻭﺍﻟﻤﺠﺎﻫﻴل ﻓﻲ ﻁﺭﻑ ‪ ax + b ≤ c‬ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫‪) ax ≤ c − b‬ﺒﺈﻀﺎﻓﺔ ‪ – b‬ﺇﻟﻰ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ‪.( ax + b ≤ c‬‬‫* ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪ :‬ﻨﺭﻴﺩ \"ﺍﻴﺤﺎﺩ ‪ \"x‬ﺇﺫﻥ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻨﻘﺴﻡ ﺍﻟﻁﺭﻓﻴﻥ ﻋﻠﻰ ‪ a‬ﻭﻟﻬﺫﺍ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻨﻨﺘﺒﻪ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪a‬‬‫)ﻻ ﻨﻐﻴﺭ ﺍﺘﺠﺎﻩ‬ ‫‪x‬‬ ‫≤‬ ‫‪c‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪ax‬‬ ‫≤‬ ‫‪c‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫‪ax ≤ c − b‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪: a > 0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ(‬‫)ﺘﻐﻴﺭ ﺇﺘﺠﺎﻩ‬ ‫‪x‬‬ ‫≥‬ ‫‪c‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪ax‬‬ ‫≥‬ ‫‪c‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫‪ax ≤ c − b‬‬ ‫‪:a < 0‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ(‪.‬‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬‫‪ .1‬ﺤل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ,R‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ )‪ ,(4) ,(3) ,(2) ,(1‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ ﺜﻡ ﻤﺜل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭﻟﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﺩﺭﺝ ‪:‬‬‫‪,‬‬ ‫‪(3)...‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≥‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪(2)...‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫>‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, (1)....3x + 9 ≤ 6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(4)...2x 3 + 6 < 3 3 + 6‬‬ ‫‪.‬‬‫‪ .2‬ﺤل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ,R‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ )‪ (4) ,(3) ,(2) ,(1‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪x‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ ﺜﻡ ﻤﺜل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭﻟﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﺩﺭﺝ ‪:‬‬‫‪, (3)...3 < 4x + 5‬‬ ‫‪, (2)....(x + 3)2 ≥ 2‬‬ ‫‪, (1)......1 ≥ 5x − 2‬‬ ‫‪. (4)....16 > (2x + 5)2‬‬ ‫‪ ( 1 . 3‬ﺃﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ 7x +14‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.x‬‬ ‫‪ (2‬ﺃﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ − 5x + 9‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.x‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ )‪ (− 5x + 9)× (7x +14‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.x‬‬ ‫)ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺎﺕ ﺴﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺠﺩﻭل(‪.‬‬ ‫‪ .4‬ﺤل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ,R‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪ x‬ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪(1)....(x +1)(x − 3) < 0 (1‬‬ ‫‪(2)...(2x +1)(5 − x) ≥ 0 (2‬‬ ‫‪(3).....(3x + 5)2 > (1− 2x)2 (3‬‬ ‫‪(4)... 89‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪<0‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪(5).... 89‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫≥‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪(6)... 2x − 7 ≤ x + 2 (6‬‬

‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺕ‪ : 01‬ﻟﻨﺤل ﻓﻲ ‪ ,R‬ﻜﻼ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪:‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ 3x + 9 ≤ 6 :‬ﻫﻲ‪]− ∞,−1] :‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∞,−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪> 2x +1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ‬ ‫ﺤﻠﻭل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻫﻲ‪]− ∞,−1] :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≥‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺢ ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬‫‪−‬‬ ‫‪∞,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪3+6<3‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪3 + 6 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺕ ‪ : 02‬ﻟﻨﺤل ﻓﻲ ‪ ,R‬ﻜﻼ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪1 ≥ 5x − 2.......(1) :‬‬ ‫)‪(1‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪−1 ≤ 5x − 2 ≤ 1‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ ‪1 ≤ 5x ≤ 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫‪x‬‬ ‫≤‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪ (1‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪(x + 3)2 ≥ 2...(2) :‬‬ ‫)‪ (2‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x + 3 ≥ 2‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ x + 3 ≥ 2‬أو ‪( ) ( )x + 3 ≤ − 2‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x ≥ 2 − 3‬أو‪x ≤ − 2 − 3‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪ (2‬ﻫﻲ‪] ] [ [− ∞,− 2 − 3 U 2 − 3,+∞ :‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪3 < 4x + 5 :‬‬ ‫‪]−‬‬ ‫‪∞,−2[U‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪, +‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪16 > (2x + 5)2 :‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪,−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺕ ‪: 03‬‬‫‪ .1‬ﻟﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ 7x +14‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪( )x‬‬ ‫ﻨﻠﺨﺹ ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪x‬‬ ‫‪−∞ - 2‬‬ ‫∞‪+‬‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‪+ 7x +14 :‬‬ ‫‪0 +‬ـ‬‫‪ .2‬ﻟﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ‪ (− 5x + 9) :‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬ ‫ﻨﻠﺨﺹ ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪9‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪5‬‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‪− 5x + 9 :‬‬ ‫ـ ‪+0‬‬‫‪ .3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‪ (− 5x + 9)× (7x +14) :‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬‫ﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻋﻴﻥ ﺍﻷﻭل ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺘﻠﺨﻴﺹ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﻌﻁﻰ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪x‬‬ ‫‪−∞ - 2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‪+ 7x +14 :‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‪− 5x + 9 :‬‬ ‫ـ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‪(− 5x + 9)× (7x +14) :‬‬ ‫ـ‪0‬‬ ‫‪ 0+‬ـ‬ ‫ـ‪0‬‬

‫ﺕ ‪: 04‬‬ ‫ﻟﻨﺤل ﻓﻲ ‪ ,R‬ﻜل ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪:‬‬ ‫ﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺒﻌﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ (x +1)(x − 3) < 0 :‬ﻫﻲ ‪]−1,3[ :‬‬‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,5‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫‪(2x +1)(5 − x) ≥ 0‬‬ ‫ﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪ (3x + 5)2 > (1− 2x)2‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪(3x + 5)2 − (1− 2x)2 > 0‬‬‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ ‪[(3x + 5)− (1− 2x)]×[(3x + 5)+ (1− 2x)] > 0‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ ‪(5x + 4)× (x + 6) > 0‬‬ ‫‪]−‬‬ ‫‪∞,−6[ U‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪,+∞‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺒﻌﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ‪:‬‬‫[∞‪]− ∞,−3[U ]2,+‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪8− 4x‬‬ ‫‪<0‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ‪:‬‬ ‫ﺤﻠﻭل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪9 + 3x‬‬ ‫‪8− 4x‬‬ ‫‪+1≥ 0‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪8− 4x‬‬ ‫‪≥ −1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪9 + 3x‬‬ ‫‪9 + 7x‬‬ ‫‪17 − x‬‬ ‫‪≥0‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪9 + 3x‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ‪] ]− 3,17 :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ 2x − 7 ≤ x + 2 :‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪2x − 7 2 ≤ x + 2 2‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ ‪(2x − 7)2 − (x + 2)2 ≤ 0‬‬‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ ‪[(2x − 7)− (x + 2)]×[(2x − 7)+ (x + 2)]≤ 0‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ ‪(x − 9)× (3x − 5) ≤ 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,9‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪ 3‬‬

‫ﺃﺸﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻌﺎﻟﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ ﺤﻭل ﺍﻷﺸﻌﺔ‪.‬‬‫ﻭﺍﻟﻘﺩﺭﺓ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺃﻨﻭﺍﻉ ﺍﻟﻤﻌﺎﻟﻡ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺸﻌﺎﻉ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻭﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﻨﻘﻁﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻭﻤﻤﺎﺭﺴﺘﻬﺎ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺤﻭل ﺃﺸﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬‫• ﻨﺘﺎﺌﺞ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺤﻭل ﺃﺸﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﺎﻟﻡ ﻭﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ‪.‬‬ ‫• ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ )ﻨﻅﺭﻴﺎﺕ(‬ ‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫• ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫• ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺤﻭل ﺃﺸﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ϑr‬‬ ‫ﻟﻠ‪r‬ﺸ‪ϑ‬ﻌﺎ‪B‬ﻉ‪=ϑrA‬‬ ‫ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ )‪ (A, B‬ﺘﻌﻴﻥ ﺸﻌﺎﻋﺎ‬ ‫‪.1‬‬ ‫• ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺔ )‪(A, B‬ﻫﻲ ﻤﻤﺜل‬‫‪ϑr = AB‬‬ ‫‪(A,‬‬ ‫ﻫﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ)‪B‬‬ ‫ﺍﻟ‪A‬ﻤﻌﻫﺩﻲﻭﻡﻤﺒﺩﺃ‪B)0r‬ﻫﻭ‪ ,‬ﺍ‪A‬ﻟ(ﺸﻌﻭﺎﻉ‪B‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫•‬ ‫‪A‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫•‬ ‫)ﺤﻴﺙ ‪ A‬ﻨﻘﻁﺔ ﻜﻴﻔﻴﺔ(‬ ‫ﺍﻟ=ﺸﻌﺎ‪0r‬ﻉ‬ ‫‪AA‬‬‫‪ .2‬ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ‪ AB‬ﻭ ‪ CD‬ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻷﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ )‪ (AB‬ﻭ‬ ‫)‪ (CD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ .3‬ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ‪ AB‬ﻭ ‪ EF‬ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻰ ﻭﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ‬ ‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ‪ AB‬ﻭ ‪ RS‬ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻰ ﻭﺇﺘﺠﺎﻫﺎﻥ ﻤﺘﻌﺎﻜﺴﺎﻥ‬ ‫‪BF‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ER‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ .4‬ﻁﻭﻴﻠﺔ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ AB‬ﻫﻲ ﻁﻭل ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ‪[ ]AB‬‬ ‫‪AB = AB‬‬ ‫ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻁﻭل‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬‫‪AB = 3‬‬ ‫‪AB‬‬

‫‪ .5‬ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ‪ AB‬ﻭ ‪ CD‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺎﻥ ﻷﻥ ‪ AB‬ﻭ ‪ CD‬ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻰ ﻭﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ‬ ‫ﻭﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﻭﻴﻠﺔ‪.‬‬ ‫‪AB‬‬‫‪A µr‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫‪ ur = AB .6‬ﻭ ‪ ϑr = CD‬ﻟﻠﺤ‪D‬ﺼﻭ‪C‬ل=ﻋﻠ‪B‬ﻰ‪A‬ﻤﻤﺜل ﻟﻠﺸﻌﺎﻉ ‪B µr ,ϑr‬‬‫‪ϑr‬‬ ‫‪r‬ق ‪µr +‬‬ ‫‪ . 1‬ﻨﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ E‬ﺤﻴﺙ ‪CD = DE‬‬‫‪C‬‬ ‫‪ϑr‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪AEBF‬‬ ‫ﻭﻋ‪2‬ﻨ‪.‬ﺩﺌﻨﺫﻨ‪:‬ﺸﺊ‪E‬ﻤﺘ‪A‬ﻭﺍﺯ‪+‬ﻱ‪B‬ﺍ‪A‬ﻷﻀ=ﻼ‪r‬ﻉ‪ϑ‬‬ ‫‪µr +‬‬ ‫‪ϑr‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪A+Eϑr== AAFF‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪µr‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪D‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪AF = 3AB .7‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪AG = −2AB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻷ ﻥ‪ AF (1 :‬ﻭ ‪ AB‬ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻰ‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ AF‬ﻭ ‪ AB‬ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻷﻥ ‪0 < 3‬‬ ‫‪AF = 3 AB‬‬ ‫ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻰ‬ ‫‪AABBr‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪AAFFr‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫ﻟﻬﻤﺎ ﺇﺘﺠﺎﻫﺎﻥ ﻤﺘﻌﺎﻜﺴﺎﻥ‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻷﻥ ‪0 > −2‬‬ ‫‪AF = 2 AB‬‬

‫• ﻨﺘﺎﺌﺞ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺤﻭل ﺃﺸﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪:‬‬‫‪ .1‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ µr‬ﻭ ‪ϑr‬ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ ‪ ur = AB‬ﻭ ‪ D, C, B, A)ϑr = ED‬ﻨﻘﻁ(‪.‬‬ ‫ﻴﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪− ϑr‬‬‫‪µr‬‬ ‫‪(−ϑrD)C‬‬ ‫=‬ ‫‪−CD‬‬ ‫‪ DC‬ﺃﻱ‬ ‫ﺇﻟﻰ‪r‬ﺍﻟ‪ϑ‬ﺸ‪−‬ﻌﺎ‪r‬ﻉ‪µ‬‬ ‫•‬ ‫ﻴﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‬ ‫•‬ ‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‬ ‫ﺇﻟﻰ‬‫ﺃﻱ) ( ) (‬‫‪+‬‬ ‫‪AB − CD = AB + DC‬‬ ‫‪rr0r .2‬ﺨ‪µ‬ﻤ‪µωr‬ﻬﻭ=ﺍﻤ‪++‬ﺎ=))ﺘ‪r‬ﺹ‪ϑr‬ﻜ‪ϑµ0rr‬ﺍﻥﻟ=‪+−‬ﺍ‪(+‬ﺠﻷ‪rr‬ﻤ‪+ϑrµ‬ﺸ‪µ‬ﻊﻌ(‪)+‬ﺍ‪r‬ﺔ‪µ‬ﻟ‪µ0r=r‬ﺸ)‪)r‬ﻌ‪)µ‬ﺎﻫ)‪r,‬ﺍﻟﻭ‪ω‬ﻋ‪µr‬ﺠﺍﻟﻲ‪+r‬ﻤ‪−‬ﻌ‪ϑ‬ﻊﻨ()‪r,‬ﻨﺍ‪ϑ‬ﻫﻟﺼ(ﻅﻭ‪r‬ﺸﺭﺭ‪ω‬ﻨﻌﻴ‪+‬ﺍﺎﺎﻟﻅﻋﻴ‪r‬ﺤﺕ‪µ‬ﻴﺭﻲ(ﺎﺩﺘ)‪r:‬ﺒﺍ‪µ‬ﻟﻱﺩﻴﺠﻟﻠﺒﻠﻤﺎﻟﻲﺠﻊﻨ(ﻤﺍﺴﻟﻊﺒﺔﺸﺍﻟﻌﺇﺎﻟﺸﻋﻌﻰﺎﻲﺍﻋﻟ ﺘﺠﻲ(ﺠﻤﻤﻊﻴ ﺍﻌﻟﻲﺸ(ﻌﺎﻋﻲ(‬ ‫‪ .3‬ﻋﻼﻗﺔ ﺸﺎل ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪C, B, A‬‬ ‫‪AB + BC = AC‬‬ ‫‪ .4‬ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ‪:‬‬‫‪ϑr‬ﺃﻨﻬﻤﺎ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ –ﻭﻨﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﺫﻟﻙ ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪µr‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬ ‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ‬ ‫ﺃﻭ‪µr // ϑr‬‬ ‫‪ϑr‬‬ ‫ﻜﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﺍﻷﻗل( ﻤﻌﺩﻭﻡ‬ ‫)ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ µr‬ﻭ‬ ‫ﺍﻭﻟﺸ‪r‬ﻌﺎ‪ϑ‬ﻋﻴﻏﻴﻥﺭ‬ ‫ﺃﺤﺩ‬ ‫ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻰ‪.‬‬ ‫ﻭﻟﻬﻤﺎ‬ ‫ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ‬ ‫‪µr‬‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ‪:‬‬‫‪AB‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﻨﻘﻁ ‪ C, B, A‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪AB // AC‬‬

‫ﻤ‪0rr‬ﻬ‪ϑ‬ﻤﺎ=‪a‬ﻴﻜ‪.µ+r5‬ﻥ‪ra‬ﺍ‪u‬ﻟﻌﻴ‪a‬ﺨﺩﻜﺎﺩﻭﺍﻓ=ﺍﻥﺊ) ﺍﻟ‪r‬ﺹ‪ϑ‬ﺤ)ﻘﻴ‪+‬ﻘ‪0‬ﻀﻴﺎ‪r‬ﺭ‪u‬ﻥ(=ﺏ‪..aa‬ﻭﺸ‪..‬ﻌ‪.‬ﺎ‪),b‬ﻉ‪2a‬أﻤﻓ(ﻬوﻤﺎﻲ‪0r‬ﻴﻜﻋﻥﺩ=ﺩﺍﻟ‪r‬ﺸ‪µ‬ﺤﻌﻘﺎﻴ(ﻋﻘ‪.‬ﺎ‪.‬ﻥﻲ‪r))..‬ﻨ‪1µ‬ﻅ(ﻭﺭﻴﺎ‪ϑr‬ﺕ ﻟ(ﺩ‪:‬ﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪(3)....(a + b)ur = aur + bur‬‬ ‫‪(4)....a(bur) = (ab)ur‬‬ ‫‪( )(6).......a ur −ϑr(5)=...a..ur1ur−=aϑurr‬‬ ‫‪(a − b)ur = aur − bur‬‬‫ﻭ‬ ‫‪aur // ur‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪µr‬‬ ‫ﻤﻊ ﺍﻟﻌﻠﻡ ﺃﻥ‪ (1 :‬ﺠﺩﺍﺀ ﺸﻌﺎﻉ ﻓﻲ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻫﻭ ﺸﻌﺎﻉ‬ ‫‪ (2‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ a‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‬ ‫‪aur = a × ur‬‬ ‫ﻜﻭﺎﻥ‪µarur‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻤﻌﺩﻭﻡ‬ ‫ﺸﻌﺎﻉ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭ ‪ a‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ‬ ‫ﺇ‪r‬ﺫ‪µ‬ﺍ‬ ‫‪(3‬‬ ‫ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻰ ﻭﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ‪.‬‬ ‫ﻭ ‪aur‬‬ ‫‪µr‬‬ ‫‪:a > 0‬‬ ‫ﻟﻤﺎ‬ ‫ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻰ ﻭﺇﺘﺠﺎﻫﺎﻥ ﻤﺘﻌﺎﻜﺴﺎﻥ‪.‬‬ ‫ﻟﻤﺎ‬ ‫‪:a < 0‬‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﺎﻟﻡ ﻭﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‪:‬‬‫ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﻤﻌﻠﻡ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ﻴﻌﻨﻲ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺜﻼﺜﺔ ﻨﻘﻁ ‪ J, I, O‬ﻻ ﺘﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ‬ ‫‪:‬‬‫ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ﻭﻏﻴﺭ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ ﻨﺴﻤﻴﻬﻤﺎ‬ ‫‪OrJ = rj‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﺘﻭﺴﻤﻀﻰﻌﻨﺎﻤﺒﺩﺃ‪ir‬ﺍﻟﻤ=ﻌﻠ‪I‬ﻡ‪Or.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫•‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫•‬ ‫‪0,ir, rj‬‬ ‫ﺸﻌﺎﻋﺎ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻟﻠﻤﻌﻠﻡ‪.‬‬ ‫)ﺃﻭ ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ) ‪( ).( (O, I , J‬‬ ‫ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ‬ ‫•‬ ‫• ) ‪ (OI‬ﻴﺴﻤﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻟﻠﻤﻌﻠﻡ‪.‬‬ ‫• ﻭ ) ‪ (OJ‬ﻴﺴﻤﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻟﻠﻤﻌﻠﻡ‪.‬‬

‫‪rj J‬‬ ‫‪rj J‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪0 ir I‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫‪ 0,ir, rj‬ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ﻷﻥ) (‬ ‫‪ 0,ir, rj‬ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ﻷﻥ) (‬‫‪ 0I = 0J = 1u‬ﺤﻴﺙ ‪ u‬ﻭﺤﺩﺓ‬ ‫) ‪ (0I ) ⊥ (0J‬ﻭ ‪0I = 0J = 1u‬‬ ‫ﺍﻟﻁﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ u‬ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻁﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫‪J‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪I‬‬‫‪0 ir‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫)‪ 0,ir, rj‬ﻤﻌﻠﻡ( ﻜﻴﻔﻲ‬ ‫‪ 0,ir, rj‬ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻷﻥ) (‬ ‫) ‪(0I ) ⊥ (0J‬‬ ‫‪.2‬ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎ ﻨﻘﻁﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻭﻴﻌﻜﻋﺭﻨﻥﻴﺩﺌﺫﻑ‪,xr,j‬ﺘﻴﺭ‪ir‬ﺴﻤ‪,‬ﻤﻴ‪0‬ﺯﻰ‪:‬ﻓﺎ••ﻤﻌﻠﺼﻠﻤﺎﺔﺍﻟﻠﻟﺍﻓﺘ\"ﻘﻟ‪rj‬ﻨﻌ‪j‬ﻭ‪r‬ﻲﻘﺒﻴ‪,y‬لﺍﻁﻟﺭ‪ir‬ﺔﻤ\"‪)+,‬ﺴﻋﺘ‪y0‬ﻠ‪Mir‬ﻭﻰ\"‪x,‬ﺒ‪.‬ﻱﺎ‪x‬ﻟ‪:‬ﻨ(=ﻭﻟﺴﺘﺒ\"ﻫﻜﺔ‪j‬ﻤ‪r‬ﻥ‪M‬ﺎﺇﻟ‪0ry‬ﺇﻰ\"‪+M‬ﺤﺍﻟﺩﻨﺍﻤ‪r‬ﻘ‪i‬ﺜﻴﻌﺎ‪x‬ﻠﻁﻡﺔ=ﻤ‪Mrj‬ﻥ‪,‬ﺍﺒﻟﺎ‪irM‬ﻟﻤﻨ‪0r,‬ﺴﺴ‪\"0‬ﺘﺒﻭﺔ ﻨﻱﻜﺇﻟﺘﻭﻰﻟﺏﻴﻜﺍﺇﻟﻥﻤﺼﻌﻠ‪x‬ﻁﻡ ﻭﻼﺤﺎ‪rjy‬‬‫ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‪.‬‬‫ﺍﻟﻘﻭل) ( ) (‬‫‪,‬ﻋﺩ‪ir‬ﺩ‪,‬ﻴﻥ‪0‬‬‫\" ﻴﻜﺎﻓﺊ‬‫\")‪ M(x,y‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ) ( ) (‬

‫‪ y‬ﺘﺴﻤﻰ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪( )0,ir, rj‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ) ‪0(0,0) (0,ir, rj‬‬ ‫ﺤﺎﻟﺔ ﺨﺎﺼﺔ ‪:‬‬ ‫ﺇﻨﺸﺎﺀ ‪:‬‬ ‫‪QM‬‬ ‫‪rj J‬‬ ‫‪( )I‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪=0xPrir++00r0rQyPQrrj‬‬ ‫=‬ ‫‪xyirrj‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫=‬ ‫ﺇﻨﻟﻨﻰﺸ‪M‬ﺊ‪rOjr‬ﻤﺘ‪,‬ﻭﺍ‪ir‬ﺯ‪,‬ﻱ‪ 0‬ﺍﻷﻀﻼﻉ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪OPMQ‬‬ ‫ﻟﺘﻤﺜﻴل‬ ‫*‬ ‫ﻓﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪*F‬‬ ‫ﺃﻱ )‪ M(x,y‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫‪*A‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪E‬‬ ‫*‬ ‫‪H rj‬‬ ‫‪* 0 ir I‬‬ ‫‪*D‬‬‫*‬‫‪C‬‬ ‫‪( )G‬‬ ‫*‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪: 0,ir, rj‬‬‫)‪, G(0,−5) , F (0,5) , E(3,0), D(1.5,−2), C(−2,−2) , B(−1,3) , A(2,3‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ .3‬ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺸﻌﺎﻉ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‪:‬‬‫ﻟﺘﻴﻌﻜﺭﻴﻥﻑ‪rj,‬ﺘﺭ‪,‬ﻤ‪ir‬ﻴ‪,‬ﺯ‪ 0:‬ﻤﻌﻠﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ µr‬ﺸﻌﺎﻋﺎ ﻤﻥ ﺃﺸﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﻋﺩﺩﻴﻥ) (‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‪.‬‬‫‪\" 0,ir, rj‬‬‫ﻴﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﻘﻭل) (‬ ‫‪ µr‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ) (‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫= ‪ \"ur‬ﻨﻜﺘﺏ‬ ‫ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎ‬ ‫ﺍﻟﻟﻠ\"ﺘﻘ‪rjj‬ﻌ‪r‬ﻭﺒ‪y‬ﻴ‪,‬ل\"ﺭ‪0),+ir‬ﻋ‪iry‬ﻠ‪xx\" ,‬ﻰ(=\"ﻫ‪rrj‬ﻤ‪u‬ﺎ‪\"y‬‬ ‫•‬‫\" )‪ur(x, y‬‬ ‫ﺇﺼﻁﻼﺤﺎ‬ ‫•‬ ‫‪xir‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪+‬‬‫‪0,ir, rj‬‬ ‫‪ur‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬‫\") (‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬ ‫‪y‬‬ ‫ﺃﻭ\"‬ ‫ﺤﺎﻟﺔ ﺨﺎﺼﺔ‪:‬‬‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0r‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪rj 10 ‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪ir10 ‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ) ‪, (0,ir, rj‬‬ ‫‪0‬‬ ‫• ‪ .V‬ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ )ﻨﻅﺭﻴﺎﺕ(‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ‪ ,‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪ 0, ir, rj‬ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ M‬ﻨﻘﻁـﺔ‪ ,‬ﻤـﻥ ﻨﻘـﻁ) (‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‪ ,‬ﻭﻜﺎﻥ ‪ Vr‬ﺸﻌﺎﻋﺎ ﻤﻥ ﺃﺸﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫‪( ).\" 0, ir, rj‬‬ ‫ﺴﻨﻜﺘﺏ‪ M(x,y) :‬ﺒﺩﻻ ﻤﻥ\")‪ M(x,y‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬ ‫‪( ).\" 0, ir, rj‬‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫‪Vr‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫\"‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﺒﺩﻻ‬ ‫‪Vr‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ϑr xy''‬‬ ‫‪ ϑr‬ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫) '‪x = x‬و' ‪y‬‬ ‫‪( ) ( )ur‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ur‬ﻭ‬ ‫•‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫= ‪1 .....( y‬‬ ‫‪ ur = ϑr‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‬

‫‪ϑr)‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪xy''‬‬ ‫‪ur +ϑr‬‬ ‫‪( )(2)...(ur‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)'‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪(x +‬‬ ‫‪x', y +‬‬ ‫ﻫﻤﺎ‬ ‫ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‬‫‪(3)....aur‬‬ ‫‪ax‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫)‪(ax, ay‬‬ ‫ﻫﻤﺎ‬ ‫‪aur‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ ,a‬ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‬ ‫‪ay‬‬ ‫)‪ (ur //ϑr‬ﻴﻜﺎﻓﺊ )‪(4).....(ay'− yx'= 0‬‬ ‫• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ‪A (xA , yA ) :‬و) ‪B(xB , yB‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ A) :‬ﻤﻨﻁﺒﻘﺔ ﻋﻠﻰ ‪ (B‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ) ‪x A = xB‬و ‪ (5)....(yA = yB‬ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ AB‬ﻫﻤﺎ‬ ‫‪(6).....AB‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪xA‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪(xB‬‬ ‫‪− xA, yB‬‬ ‫)‪− yA‬‬ ‫‪yB‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪yA‬‬‫‪‬‬ ‫‪xA‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪yA‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪yB‬‬ ‫‪‬‬‫‪‬‬‫ﺃﻱ] [‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻫﻤﺎ‬ ‫‪AB‬‬ ‫ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ D‬ﻤﻨﺘﺼﻑ‬ ‫‪(7).....D‬‬ ‫‪xA‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪yA‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪yB‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﺘﻁﺒﻴﻘﻲ ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ ABC‬ﻤﺜﻠﺜﺎ ﻭﻟﻴﻜﻥ '‪ A‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ]‪ [BC‬ﻭ '‪ B‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ]‪ [AC‬ﻭ '‪ C‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ]‪[AB‬‬ ‫‪AG‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫'‪AA‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻭﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻨﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪( )A, AB, AC‬‬ ‫‪ .1‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﻜل ﻤﻥ ‪C' , B' , A' ,C, B, A‬‬ ‫‪ .2‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪G‬‬ ‫‪ .3‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﺸﻌﺔ‪AA' + BB' + CC' , CC' , BB' , AA' :‬‬ ‫‪ .4‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ B' ,G, B‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪ :‬ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫‪ A .1‬ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻤﻨﻪ )‪C A(0,0‬‬‫'‪B‬‬ ‫'‪A‬‬ ‫‪{xB − 0 = 1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪{xB − xA = 1.‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪AB10 ‬‬ ‫‪{yB − 0 = 0‬‬ ‫‪{yB − yA = 0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ )‪B(1,0‬‬‫‪A C' B‬‬

{xC −0=0 ‫ﻤﻨﻪ‬ {xC − xA = 0 ‫ﻤﻨﻪ‬ AC 10  {yC −0 =1 {yC − yA =1 C(0,1) ‫ﻤﻨﻪ‬ A' 1 , 1  ‫ﻤﻨﻪ‬ A' xB + xC , yB + yC   2 2   2 2  B '  0, 1  ‫ﻤﻨﻪ‬ B' xA + xC , yA + yC   2   2 2  C ' 1 ,0  ‫ﻤﻨﻪ‬ C' xA + xB yA + yB   2   2 2  :‫ﺤﻭﺼﻠﺔ‬C ' 1 ,0  , B '  0 , 1  , A' 1 , 1  , C(0,1) , B(1,0) , A(0,0)  2   2   2 2  AA' xA' − xA  ‫ﻭ‬ AG = 2 AA' ‫ﻭ‬ AG xG − xA  ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ .2 y A' − yA 3 yG − yA 2 AA  1  ‫ﺇﺫﻥ‬ 2  2 , 1  ‫ﻤﻨﻪ‬  1  ‫ﻭ‬ AG xG  ‫ﻤﻨﻪ‬ 3 '  3 AA' 3 , 2  AA'  yG  3  2 1  2  1  3 2   1   2   3  G 1 , 1  ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ yG = 1 ‫ﻭ‬ xG = 1 , AG = 2 AA' ‫ﻭﻤﻥ ﻜﻭﻥ‬  3 3  3 3 3‫ ﻤﻨﻪ‬CC ' xC 'xC y  , BB' xB' − xB  , AA' xA' − xA  .3 yC' − yB' − yB y A' − yA CC' −121 ‫ﻭ‬ BB' −121 ,  1  AA'  2   1  2 

(‫ﻭﻤﻥ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ )ﺩﺍﺌﻤﺎ‬ ( ) ( )AA' + BB' + CC' 00 ‫ﺇﺫﻥ‬  1 + (− 1) + 1   2 + 2  AA' + BB' + CC '  1  2 1 (−1) 2 + : ‫ﺤﻭﺼﻠﺔ‬ ( )AA'  0  CC' −121 , BB' −121  1  + BB' + CC' 0 , ( AA'+BB'+CC , AA'  2   1  2  '= 0r ‫)ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ‬‫ﺃﻱ‬ BG xG − xB  ‫ﻭﻟﻨﺎ‬ BB'// BG ‫ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻌﻨﺎﻩ‬ B' ,G, B .4 yG − yB‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ur x  //Vr xy'' ‫ﻭﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ‬ BB' −121 ‫ﻭ‬  − 2  ‫ﺃﻱ‬  1 −1  y BG 1 3  BG 3 −0   1    3   3  ,G, B ‫ﺇﻥ‬ BB'// BG ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ (−1)× 1 − 1  − 2  = − 1 + 1 :‫ﻭﻟﻨﺎ‬ xy'− yx'= 0 3 2  3  3 3 ‫ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬B' : ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ rj : ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ‬ ‫ ﻤﻌﻠﻤﺎ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍ‬0,ir, ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬B( ) ( )( ) ( )‫ ﻭ‬A xA, yA B A ‫ﻭﻜﺎﻨﺕ‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ‬0‫ﺴﺎ‬,ir‫ﺠﺎﻨ‬, ‫ﺘ‬rj‫ﻭﻤ‬ yB, yB (xB − xA )2 + (yB − yA )2 = AB ‫ﻓﺈﻥ‬ (xB − )xA 2 + (yB − )yA 2 = AB ‫ﺃﻱ‬

‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬‫ﺍﻟﺘ=ﺎﻟﻴ‪tr‬ﺔ‪,:‬‬ ‫ﺍﻷﺸﻌﺔ‬ ‫ﻜﺘﺎﺒﺔ‬ ‫‪ C, B, A .1‬ﻨﻘﻁ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‪ .‬ﻫل ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻋﻼﻗﺔ ﺸﺎل ﻟﺘﺒﺴﻴﻁ‬ ‫‪,ωr = − AB − BC‬‬ ‫‪,υr = AB − BC‬‬ ‫‪ur‬‬ ‫‪BA −‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪,‬‬ ‫=‬ ‫‪BβrC=+3‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪CA‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫؟‬ ‫‪ .2‬ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ C, B, A‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ D‬ﺤﻴﺙ‪. AD = 3AB + 2CB :‬‬ ‫‪ .3‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪ 0,ir, rj‬ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﻴﺙ ‪ A(4,−2) :‬ﻭ) (‬ ‫)‪ B(−1,2‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ C‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺤﻴﺙ‪AC = 40B :‬‬ ‫‪ .1‬ﺃﺤﺴﺏ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ C‬ﺜﻡ ﻋِﻠﻡ ﻜﻼ ﻤﻥ ‪.C, B, A‬‬ ‫‪ .2‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ D‬ﻭ ‪ E‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ‪ D(2,8) :‬ﻭ )‪E(− 3,6‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ‪ D‬ﻭ ‪E‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺃﺤﺴﺏ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ K‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪ ED‬ﺜﻡ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪[ ].K‬‬ ‫ﺝ‪ .‬ﺃﺤﺴﺏ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ R‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ E‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ A‬ﺜﻡ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪.R‬‬ ‫ﺩ‪ .‬ﻫل ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ D, C, B‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ؟‪.‬‬ ‫ﻫـ‪ .‬ﻫل ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ E, C, B‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ؟‬‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﺍﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﻏﻴﺭ ﻜﺎﻓﻲ ﻟﻺﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﻭﻟﻜﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﻘﻴﻴﻡ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪ .4‬ﻟﻴﻜﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪C :‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪AB D‬‬ ‫‪JF‬‬ ‫‪ .1‬ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﻋﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪0r J‬ﺃ‪,0r I.,‬ﺇ‪0‬ﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M, F, E, D, EC, B, A‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤ ‪I‬ﻌﻠﻡ ‪( )0‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ F, E, D, M‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪( )A, AB, AC‬‬‫ﺕ‪ .‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ EF‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻠﻤﻴﻥ ‪ 0,0r I ,0r J‬ﻭ) (‬ ‫‪( )A, AB, AC‬‬

‫‪ .5‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪ 0,ir, rj‬ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ C, B, A‬ﺤﻴﺙ )‪( ), A(1,3‬‬ ‫)‪C(2,−1) , B(−2,−3‬‬ ‫‪ .1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ‪ C, B, A‬ﻟﻴﺴﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬ ‫‪ .2‬ﺃﺤﺴﺏ ﺃﻁﻭﺍل ﺃﻀﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪.ABC‬‬

‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺕ ‪: 01‬‬ ‫ﻟﺘﺒﺴﻴﻁ ﺍﻷﺸﻌﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺒﺴﻴﻁﻬﺎ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻋﻼﻗﺔ ﺸﺎل ‪:‬‬ ‫‪ur = BC + AB + CA‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪( )= BC + CA + AB‬‬ ‫‪= BC + CB‬‬ ‫‪= BB‬‬ ‫‪= 0r‬‬ ‫ﻋﻼﻗﺔ‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل‬ ‫ﺘﺒ=ﺴﻴ‪tr‬ﻁﻪ‬ ‫‪ ϑr‬ﻻ ﻴﻤﻜﻥ‬ ‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‬ ‫ﺸﺎل ‪:‬‬ ‫‪BA − BC‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪= BA + CB :‬‬ ‫‪= CB + BA‬‬ ‫‪= CA‬‬ ‫‪σr = 3AB + BC‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪= 2AB + AB + BC :‬‬ ‫‪= 2AB + AC‬‬ ‫ﺕ ‪ : 02‬ﻟﻨﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ D‬ﺤﻴﺙ‪AD = 3AB + 2CB :‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ A1 :‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺤﻴﺙ ‪AA1 = 2CB :‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ A1 :‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺤﻴﺙ ‪AA2 = 3AB :‬‬‫‪A1‬‬ ‫‪D‬‬‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪ D :‬ﻫﻲ ﺍﻟﺭﺃﺱ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ‪A1AA2D :‬‬

‫ﺕ ‪: 03‬‬ ‫‪ .1‬ﺤﺴﺎﺏ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪C‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪AC = 40B :‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪AO + OC = 4OB :‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪OC = 4OB − AO :‬‬ ‫‪−1ir‬‬ ‫‪2Orj C+=44irO−B2+rj‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪OA :‬‬ ‫‪( ) ( )OC‬‬‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪:‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪OC = 0ir + 6 rj :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ‪ C‬ﻫﻲ ‪R * (0,6) :‬‬ ‫ﺘﻌﻠﻴﻡ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ‪C, B, A :‬‬ ‫*‪D‬‬ ‫*‪K‬‬‫*‪E‬‬ ‫‪*C‬‬‫‪B * rj‬‬‫‪0‬‬ ‫‪AD‬و*)‪(−ir3,6‬‬ ‫)‪(2,8‬‬ ‫‪ .2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ D‬ﻭ ‪ E‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫‪E‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﺘﻌﻠﻴﻡ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ D‬ﻭ ‪E‬‬ ‫ﻨﻌﻠﻡ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ D‬ﻭ ‪ E‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺤﺴﺎﺏ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ K‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪ ED‬ﻭﺘﻌﻠﻴﻡ ‪[ ]K‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,7‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬‫ﺠـ‪ .‬ﺤﺴﺎﺏ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ R‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ E‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ A‬ﻭﺘﻌﻠﻴﻡ ‪R‬‬‫\"‪ R‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ E‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ \"A‬ﺘﻜﺎﻓﺊ \"‪ A‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ‪[ ]\" ER‬‬ ‫‪R‬‬ ‫)‪2(4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪(−3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪2(−2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ )‪R(11,−10‬‬ ‫ﺠـ‪ .‬ﻫل ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ D, C, B‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ؟‬

‫‪ D, C, B‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪BD // BC :‬‬‫‪BD‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪BC 14 ‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪BD‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−+ 12 ‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪3× 4 − 6×1 = 12 − 6‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪= 6 :‬‬ ‫ﻭ ‪6≠0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ BC :‬ﻭ ‪ BD‬ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ D, C, B‬ﻻ ﺘﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‪.‬‬ ‫• ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻷﺨﻴﺭ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﺕ ‪: 04‬‬ ‫‪ .1‬ﺍﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻌﻁﻰ ﻓﻲ ﻨﺹ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻡ ‪( )0,OI ,OJ‬‬‫)‪A(5,2) ، B(6,2) ، C(5,3) ، D(7,2) ، E(5,0) ، F (9,1) ، M (4,2‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪ A, AB, AC‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪( ):‬‬ ‫)‪M (−1,0) ، D(2,0) ، E(0,−2) ، F(4,−1‬‬ ‫‪ .2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ EF‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪( )0,OI ,OJ‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪ 0,OI ,OJ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪( )E(5,0) ، F (9,1) :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪EF (9 − 5,1− 0) :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪EF (4,1) :‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ EF‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪( )A, AB, AC‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪ A, AB, AC‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪( )E(0,−2) ، F (4,−1) :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪EF (4 − 0,−1+ 2) :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪EF (4,1) :‬‬

: 05 ‫ﺕ‬ ABC ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ ﺃﻁﻭﺍل ﺃﻀﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬BC 24 ‫ﻭ‬ AC1− 4 ‫ﻭ‬ AB − 3  :‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ − 6 AB = (− 3)2 + (− 6)2 = 9 + 36 =3 5 AC = 12 + (− 4)2 : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ = 17 BC = 42 + 22 =2 5

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﺠﻤل ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﻤﻨﻁﻕ)‪(2‬‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻜﺘﺴﺎﺏ ﺭﺍﺒﻁﺘﻲ ﺍﻟﻭﺼل ﻭﺍﻟﻔﺼل ﻭﻨﻔﻲ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺨﻠﻑ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺼﻭﺍﺏ ﺍﺴﺘﻠﺯﺍﻡ ﺒﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﻋﻜﺴﻪ ﺍﻟﻨﻘﻴﺽ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻷﻭل‬ ‫• ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬ ‫• ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‬ ‫• ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ‬ ‫• ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺨﺎﻤﺱ‬ ‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫• ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫• ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻷﻭل‪:‬‬‫* ﻓﻲ ﺍﻟﻠﻐﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﻨﻔﻲ \"ﺍﻟﺠﻭ ﺠﻤﻴل\" ﻫﻭ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \"ﺍﻟﺠﻭ ﻟﻴﺱ ﺠﻤﻴﻼ\" ﻭﻨﻔﻲ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \"ﺍﻟﺠﻭ ﻟﻴﺱ ﺠﻤﻴﻼ\" ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \"ﺍﻟﺠﻭ ﺠﻤﻴل\"‪.‬‬ ‫* ﻟﻨﻬﺘﻡ ﺍﻵﻥ ﺒﺠﻤل ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬ ‫ﻤﺜﻼ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‪ ,‬ﻨﻔﻲ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \"‪ \"a=b‬ﻫﻭ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \" ‪\" a ≠ b‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ﻨﻔﻲ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (A‬ﺼﺤﻴﺤﺎ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ)‪ (A‬ﺨﺎﻁﺌﺔ‪.‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ﻨﻔﻲ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (A‬ﺨﺎﻁﺌﺎ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ)‪(A‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫• ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪:‬‬ ‫* ﻓﻲ ﺍﻟﻠﻐﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ \"ﺍﻨﻘﻁﻊ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻜﻬﺭﺒﺎﺌﻲ\" ﺠﻤﻠﺔ ﻟﻨﺴﻤﻴﻬﺎ )‪(A‬‬ ‫ﻜﺫﻟﻙ \"ﺤﺩﺙ ﺨﻠل ﻓﻲ ﺍﻟﺜﻼﺠﺔ\" ﺠﻤﻠﺔ ﻟﻨﺴﻤﻴﻬﺎ )‪(B‬‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻭﻀﻌﻨﺎ ﺍﻟﺤﺭﻑ َﻭ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺘﻴﻥ)‪ (A‬ﻭ)‪\"(B‬ﺍﻨﻘﻁﻊ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻜﻬﺭﺒﺎﺌﻲ ﻭﺤﺩﺙ ﺨﻠل ﻓﻲ ﺍﻟﺜﻼﺠﺔ\"‬‫ﻫﻲ ﻜﺫﻟﻙ ﺠﻤﻠﺔ ﻭﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \")‪ (A‬ﻭ )‪ \"(B‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺠﻤﻠﺘﺎﻥ )‪ (A‬ﻭ)‪(B‬‬ ‫ﺼﺤﻴﺤﺘﻴﻥ ﻤﻌﺎ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻭﻀﻌﻨﺎ ﺍﻟﺤﺭﻑ ﺃﻭ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺘﻴﻥ )‪ (A‬ﻭ )‪ (B‬ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ‪:‬‬‫\"ﺍﻨﻘﻁﻊ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻜﻬﺭﺒﺎﺌﻲ ﺃﻭ ﺤﺩﺙ ﺨﻠل ﻓﻲ ﺍﻟﺜﻼﺠﺔ\" ﻫﻲ ﻜﺫﻟﻙ ﺠﻤﻠﺔ ﻭﺘﻜﻭﻥ \")‪ (A‬ﻭ)‪ \"(B‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫))‪ (A‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ)‪ (B‬ﺼﺤﻴﺤﺔ(‪ (A)) ,‬ﺨﺎﻁﺌﺔ ﻭ)‪ (B‬ﺼﺤﻴﺤﺔ(‪ (A)) ,‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ)‪ (B‬ﺨﺎﻁﺌﺔ( ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \")‪ (A‬ﻭ)‪ \"(B‬ﺨﺎﻁﺌﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ))‪ (A‬ﺨﺎﻁﺌﺔ ﻭ)‪((B‬‬ ‫** ﻟﻨﻬﺘﻡ ﺍﻵﻥ ﺒﺠﻤل ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‬ ‫‪ \" x ≤ 2 \" -‬ﺠﻤﻠﺔ ‪ −1 ≤ x‬ﺠﻤﻠﺔ ﻭ )‪ x ≤ 2‬ﻭ ‪ (−1 ≤ x‬ﻫﻲ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪(−1 ≤ x ≤ 2‬‬ ‫‪ \" x < 4 \" -‬ﺠﻤﻠﺔ‪ x = 4 ,‬ﺠﻤﻠﺔ‪ ,‬ﻭ ‪x < 4‬أو‪ x = 4‬ﻫﻲ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪( )(x ≤ 4‬‬‫ﻭ ) ‪(B‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ‪ :‬ﻭ ﻴﺴﻤﻰ ﺭﺍﺒﻁﺔ ﺍﻟﻭﺼل‬ ‫ﺃﻭ ﻴﺴﻤﻰ ﺭﺍﺒﻁﺔ ﺍﻟﻔﺼل‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ )‪ (B) , (A‬ﺠﻤﻠﺘﻴﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (A‬ﻭ )‪ (B‬ﺘﺴﻤﻰ ﻭﺼل ﺍﻟﺠﻤﻠﺘﻴﻥ )‪(B) , (A‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (A‬ﺃﻭ )‪ (B‬ﺘﺴﻤﻰ ﻓﺼل ﺍﻟﺠﻤﻠﺘﻴﻥ )‪. (B) , (A‬‬ ‫• ﻴﻜﻭﻥ ﻭﺼل ﺍﻟﺠﻤﻠﺘﻴﻥ )‪ (B) , (A‬ﺼﺤﻴﺤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ) )‪ (A‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﺼﺤﻴﺤﺔ(‪.‬‬

‫ﻭ )‪(B‬‬ ‫• ﻴﻜﻭﻥ ﻭﺼل ﺍﻟﺠﻤﻠﺘﻴﻥ )‪ (B) , (A‬ﺨﺎﻁﺌﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ) )‪ (A‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‬‫ﻭ )‪(B‬‬ ‫ﺨﺎﻁﺌﺎ(‪.‬‬ ‫) )‪ (A‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ )‪ (B‬ﺨﺎﻁﺌﺔ(‪ (A) ) ,‬ﺨﺎﻁﺌﺔ ﻭ )‪ (B‬ﺨﺎﻁﺌﺔ(‬ ‫• ﻴﻜﻭﻥ ﻭﺼل ﺍﻟﺠﻤﻠﺘﻴﻥ )‪ (B) , (A‬ﺼﺤﻴﺤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ) )‪ (A‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﺼﺤﻴﺤﺔ(‪.‬‬ ‫) )‪ (A‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ )‪ (B‬ﺨﺎﻁﺌﺔ(‪ (A) ) ,‬ﺨﺎﻁﺌﺔ ﻭ )‪ (B‬ﺼﺤﻴﺤﺔ(‬ ‫• ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪ x≥2‬ﻫﻲ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ [∞‪x ∈ [2,+‬‬ ‫ﻭﻨﻔﻲ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ [∞‪ x ∈ [2,+‬ﻫﻭ [∞‪x ∉ [2,+‬‬ ‫ﻭ [∞‪ x ∉ [2,+‬ﻤﻌﻨﺎﻫﺎ [‪) x ∈ ]− ∞,2‬ﺃﻨﻅﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل(‬ ‫ﻭﻤﻌﻨﺎﻫﺎ ‪x < 2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪ :‬ﻨﻔﻲ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (x ≥ 2‬ﻫﻭ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪( x < 2‬‬ ‫ﻨﻔﻲ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ])‪ x‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪ ( 2‬ﺃﻭ )‪[(x=2‬‬ ‫)‪(B) (A‬‬ ‫ﻫﻭ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ])‪ x‬ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ‪ ( 2‬ﺃﻭ ) ‪[( x ≠ 2‬‬ ‫ﻨﻔﻲ )‪(B‬‬ ‫ﻨﻔﻲ )‪(A‬‬ ‫ﻗﻭﺍﻋﺩ ﻤﻨﻁﻘﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ A .1‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ‬ ‫ﻨﻔﻲ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪ a ≤ b‬ﻫﻭ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪a > b‬‬ ‫ﻨﻔﻲ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪ a > b‬ﻫﻭ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪a ≤ b‬‬ ‫‪ .2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ )‪ (A‬ﻭ )‪ (B‬ﺠﻤﻠﺘﻴﻥ‪:‬‬ ‫ﻨﻔﻲ ﺍﻟﻭﺼل ] )‪ (A‬ﻭ )‪ [ (B‬ﻫﻭ ﺍﻟﻔﺼل ])ﻨﻔﻲ )‪ ( (A‬ﺃﻭ ﻨﻔﻲ )‪[ (B‬‬ ‫ﻨﻔﻲ ﺍﻟﻔﺼل ] )‪ (A‬ﺃﻭ )‪ [ (B‬ﻫﻭ ﺍﻟﻔﺼل ])ﻨﻔﻲ )‪ ( (A‬ﻭ ﻨﻔﻲ )‪[ (B‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ \"ﺠﻤﻠﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ\" ﺘﺴﻤﻰ ﻜﺫﻟﻙ \"ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ\"‬ ‫\"ﺠﻤﻠﺔ ﺨﺎﻁﺌﺔ\" ﺘﺴﻤﻰ ﻜﺫﻟﻙ \"ﻗﻀﻴﺔ ﺨﺎﻁﺌﺔ\"‬

‫• ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ‪:‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ‪) :‬ﻤﺤﻠﻭل(‬‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻪ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ‪ x‬ﻓﺈﻥ ‪. x 2 + 1 > x‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‪:‬‬‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‪ :‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻭﺠﺒﺎ ﻟﻭ ﻜﺎﻨﺕ ‪ x 2 + 1 > x‬ﺨﺎﻁﺌﺔ ﻟﻜﺎﻥ ﻨﻔﻴﻬﺎ ﺼﺤﻴﺤﺎ ﺃﻱ ﻟﻜـﺎﻥ‬‫‪x2‬‬‫)ﺍﻟﻁﺭﻓﺎﻥ ﻤﻭﺠﺒﺎﻥ() (‬ ‫‪2‬‬ ‫‪≤ x2‬‬ ‫ﻭﻟﻜﺎﻥ‬ ‫‪x2 +1 ≤ x‬‬ ‫‪+1‬‬‫ﻭﻟﻜﺎﻥ ‪) x 2 + 1 ≤ x 2‬ﻷﻥ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻭﺠﺒﺎ ‪( )( a 2 = a‬‬‫ﻭﻟﻜﺎﻥ ‪)1 ≤ 0‬ﺒﺈﻀﺎﻓﺔ ‪ − x 2‬ﺇﻟﻰ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ( ﻭ ‪ 1 ≤ 0‬ﺘﻨﺎﻗﺽ ﻤﻨﻪ ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫‪ x 2 + 1 ≤ x‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺇﺫﻥ ‪ x 2 + 1 > x‬ﻭﻫﻭ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ !!‪.‬‬‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﺍﻟﺒﺭﻫﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺼﻭﺍﺏ ‪ x 2 + 1 > x‬ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻨﻬﺎ ﺨﺎﻁﺌﺔ ﻭﺒﻴﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﻴﺅﺩﻱ ﺇﻟﻰ ﺘﻨﺎﻗﺽ‬ ‫ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﻠﺒﺭﻫﻨﺔ ﺘﺴﻤﻰ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺨﻠﻑ‪.‬‬ ‫• ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺨﺎﻤﺱ ‪:‬‬ ‫* ﻤﺜﺎل ﻤﻥ \"ﺍﻟﺤﻴﺎﺓ ﺍﻟﻴﻭﻤﻴﺔ\"‬ ‫ﺍﻟﺴﻴﺩ ﻋﻤﺭ ﻴﺭﻑ ﺠﻴﺩﺍ ﺠﺎﺭﻩ ﻋﻠﻲ ﻭﻫﻭ ﻴﻌﻠﻡ ﺃﻨﻪ \"ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻋﻠﻲ ﺫﺍﻫﺒﺎ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺴﻭﻕ ﻓﺈﻥ ﻋﻠﻲ ﻴﺤﻤل ﻗﻔﺔ\"‬‫ﻓﻲ ﻴﻭﻡ ﻤﺎ ﺭﺃﻯ ﻋﻤﺭ ﺠﺎﺭﻩ ﻋﻠﻲ ﺨﺎﺭﺝ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻤﺎﺭﺓ ﺒﺩﻭﻥ ﻗﻔﺔ ﻓﻘﺎل \"ﻋﻠﻲ ﻻ ﻴﺤﻤل ﻗﻔﺔ ﺇﺫﻥ ﻋﻠـﻲ ﻟـﻴﺱ‬ ‫ﺫﺍﻫﺒﺎ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺴﻭﻕ\"‬ ‫ﻭﻓﻲ ﻤﻨﻁﻕ ﺍﻟﺤﻴﺎﺓ ﺍﻟﻴﻭﻤﻴﺔ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﻋﻤﺭ ﺼﺤﻴﺢ‪.‬‬ ‫ﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻤﻌﻨﺎﻫﺎ ‪\" :‬ﻋﻠﻲ ﺫﺍﻫﺏ ﺇﻟﻰ ﺴﻭﻕ\" ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ \"ﻋﻠﻲ ﻴﺤﻤل ﻗﻔﺔ\"‬ ‫ﻭﻫﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ] )‪ (A‬ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ )‪[ (B‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻫﻲ ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻡ ]ﻋﻠﻲ ﻻ ﻴﺤﻤل ﻗﻔﺔ ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ ﻋﻠﻲ ﻟﻴﺱ ﺫﺍﻫﺒﺎ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺴﻭﻕ[‪.‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻡ ]ﻨﻔﻲ ‪ B‬ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ ﻨﻔﻲ ‪ [ A‬ﻭﺍﻟﺠﻤﻠﺘﺎﻥ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺘﺎﻥ !!!) ( ) (‬

‫ﻗﺎﻋﺩﺓ ﻤﻨﻁﻘﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ )‪ (A‬ﻭ )‪ (B‬ﺠﻤﻠﺘﻴﻥ ﻓﺈﻥ ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻡ \" )‪ (A‬ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ )‪\" (B‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻡ \"ﻨﻔﻲ )‪ (B‬ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ ﻨﻔﻲ )‪\" (A‬‬ ‫ﻭﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻡ \" ﻨﻔﻲ )‪ (B‬ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ ﻨﻔﻲ )‪ \" (A‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﻌﻜﺱ ﺍﻟﻨﻘﻴﺽ ﻟﻼﺴﺘﻠﺯﺍﻡ \" )‪ (A‬ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ )‪\" (B‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﺘﻁﺒﻴﻘﻲ ‪:‬‬‫‪ X‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺒﺭﻫﻥ ﻋﻠﻰ ﺼﻭﺍﺏ ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻡ )‪[( ) ](1) x 3 + 4 x 2 − 3x − 2 ≠ ⇒ (x ≠ 1‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻨﻨﺎ ﻨﺤﺴﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل \" = \" ﺃﻜﺜﺭ ﻤﻥ \" ≠ \" ﻨﻔﻜﺭ ﻓﻲ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻗﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﻌﻜﺱ ﺍﻟﻨﻘﻴﺽ ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻡ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻡ ‪[ ( )](x = 1) ⇒ x3 + 4x2 − 3x − 2 = 0‬‬‫ﻟﻨﺒــﺭﻫﻥ ﺇﺫﻥ ﻋﻠــﻰ ﺼــﻭﺍﺏ ﺍﻻﺴــﺘﻠﺯﺍﻡ )‪ (2‬ﻟــﺫﻟﻙ ﻨﻔــﺭﺽ ﺃﻥ ‪ x = 1‬ﻭﻨﺒــﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪x3 + 4x2 − 3x − 2 = 0‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x = 1‬ﻴﻜﻭﻥ ‪x 3 + 4x 2 − 3x − 2 = 1 + 4 − 3 − 2‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻴﻜﻭﻥ ‪ x 3 + 4 x 2 − 3x − 2 = 0‬ﻭﻫﻭ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻡ )‪ (1‬ﺼﺤﻴﺢ‪.‬‬

‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬‫‪، 0..5 ≤ x ≤ 1.5‬‬ ‫‪ x .1‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪ ,‬ﺃﻋﻁ ﻨﻔﻲ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﻤل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪، −1 < x < −0.5 ، 0 ≤ x < 3 ، x < 0 ، x≥3 , x ≤ −2‬‬ ‫)‪x > 4‬أو‪(. x ≤ 1‬‬ ‫‪ x .2‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻴﺤﻘﻕ ‪x − 5 = 2x + 3‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺨﻠﻑ ﺃﻥ ‪ x‬ﺴﺎﻟﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬‫‪ .3‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪ 0, ir,, rj‬ﻟـﺘﻜﻥ ‪ C, B, A‬ﺍﻟـﻨﻘﻁ ﺤﻴـﺙ ‪( )، A(− 2,1) :‬‬ ‫)‪ C(x − 1,2) ، B(1, x‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﻋﻠﻰ ﺼﻭﺍﺏ ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻡ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ C, B,, A‬ﻟﻴﺴﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﺈﻥ ‪x ≠ −2‬‬ ‫‪ n (1 .4‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ n2‬ﺯﻭﺠﻴﺎ ﻓﺈﻥ ‪ n‬ﺯﻭﺠﻲ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﺘﺎﺒﻊ ﺍﻻﺴﺘﺩﻻل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ‪:‬‬‫ﻟﻭ ﻜﺎﻥ ‪ 2‬ﻋﺩﺩﺍ ﻨﺎﻁﻘﺎ ﻟﻭﺤﺩ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺃﻭﻟﻴـﺎﻥ ﻓﻴﻤـﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤـﺎ ﺒﺤﻴـﺙ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬‫‪ a 2‬ﺯﻭﺠﻲ ﻭﻤﻨﻪ ‪( )a‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (α ).....a 2 = 2b2‬ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫=‪2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫ﺯﻭﺠﻲ )ﻤﻥ ‪ (1‬ﻭ ‪ b‬ﻓﺭﺩﻱ ﻷﻥ ‪ a‬ﻭ‪b‬‬ ‫ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻤﻨﻪ ‪a = 2 p( p ∈ N ) :‬‬ ‫) ‪b = 2q + 1(q ∈ N‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ) ‪ (α‬ﺘﺼﺒﺢ ‪(2 p)2 = (2q + 1)2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪4 p 2 = 4q 2 4q + 1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ 4( p 2 − 4q 2 − q) = 1‬ﻭﻤﻨﻪ \"‪ 1‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟـ ‪\" 4‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ :‬ﻟﻭ ﻜﺎﻥ ‪ 2‬ﻨﺎﻁﻘﺎ ﻟﻜﺎﻥ \"‪ 1‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪\" 4‬‬‫‪ -‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺒﺭﻫﻥ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻤﻥ ﺨﻼل ﻫﺫﺍ ﺍﻻﺴﺘﺩﻻل ﻭﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘـﻲ ﺍﺴـﺘﻌﻤﻠﺕ‬ ‫ﻟﺫﻟﻙ ؟‬