دروس مادة الرياضيات للفصل الاول جذع اداب و فلسفة سنة اولى ثانوي

‫• ﻤﺩﻭﺭ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﺩﻭﺭ ‪ 3.235‬ﺇﻟﻰ‬ ‫•‬‫‪) 10‬ﺃﻱ ﺇﻟﻰ ‪ (10-1‬ﻫﻭ ‪ 3.2‬ﻷﻥ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﻫﻭ ‪3‬‬ ‫ﻭ ‪. 3〈5‬‬ ‫‪1‬‬‫)ﺃﻱ ﺇﻟﻰ ‪ ( 2-10‬ﻫﻭ ‪ 51.26‬ﻷﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﻫﻭ ‪1006‬‬ ‫• ﻤﺩﻭﺭ ‪ 51.256‬ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻭ ‪.6 ≥ 5‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫ﻤﺩﻭﺭ ‪ 3.00152‬ﺇﻟﻰ ‪ 10-3‬ﻫﻭ ‪ 3.002‬ﻷﻥ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﻫﻭ ‪ 5‬ﻭ ‪. 5 ≥ 5‬‬ ‫‪.‬‬‫ﻤﺩﻭﺭ ‪ 3.8‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺃﻱ ﺇﻟﻰ ‪ 10-0‬ﻫﻭ ‪ 4‬ﻷﻥ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻷﻭل ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﻫﻭ ‪8‬‬ ‫ﻭ‪8 ≥ 5‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺒﺼﻔﺔ ﻋﺎﻤﺔ ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ A‬ﻋﺩﺩﺍ ﻤﻜﺘﻭﺒﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ‪ R‬ﻤﺩﻭﺭ‬ ‫‪ A‬ﺇﻟﻰ ‪.10-n‬‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ‪ B‬ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ A‬ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ‪ n‬ﺭﻗﻤﺎ ﻋﺸﺭﻴﺎ ﻤﻥ ﺃﺭﻗﺎﻤﻪ ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ C‬ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ‬‫‪ A‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل )‪ (n+1‬ﺭﻗﻤﺎ ﻋﺸﺭﻴﺎ ﻤﻥ ﺃﺭﻗﺎﻤﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺁﺨﺭ ﺭﻗﻡ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﻓﻲ ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ C‬ﺃﺼﻐﺭ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻤﻥ ‪ R=B : 5‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺁﺨﺭ ﺭﻗﻡ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﻓﻲ ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ C‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪.R=B+10-n :5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫( ﻫﻭ ﻤﺩﻭﺭ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺭﺒﺔ ﺇﻟﻰ‪n∈N‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﻤﺩﻭﺭ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺇﻟﻰ ‪) 10-n‬‬‫‪10 n + 1‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﻘﺼﺎﻥ‪.‬‬

‫• ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻋﺩﺩ ﻋﺸﺭﻱ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ‪ D, C, B, A‬ﺍﻟﻤﻜﺘﻭﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ ﺤﻴﺙ ‪, A = 7.2×106‬‬ ‫‪D = 5.01×10−8 , C = 2 ×10−7 , B = 3.9 ×105‬‬ ‫ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ A‬ﻫﻲ ‪ 107‬ﻷﻥ ‪. 7.2 ≥ 5‬‬ ‫ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ B‬ﻫﻲ ‪ 105‬ﻷﻥ ‪. 3 .9 〈 5‬‬ ‫ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ C‬ﻫﻲ ‪ 10-7‬ﻷﻥ ‪. 2 〈 5‬‬ ‫ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ D‬ﻫﻲ ‪ 10-7‬ﻷﻥ ‪. 5.01 ≥ 5‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺒﺼﻔﺔ ﻋﺎﻤﺔ ‪:‬‬‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻋﺩﺩ ﻋﺸﺭﻱ ‪ A‬ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻜﺘﻭﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ ﺤﻴﺙ‬ ‫‪ A = a.10 n‬ﺃﻴﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩ ﻋﺸﺭﻱ ﺒﺤﻴﺙ ‪ 1 ≤ a〈10‬ﻭ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻨﺴﺒﻲ‬ ‫ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ A‬ﻫﻲ ‪a ≥ 510. n+1‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a〈5‬ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ A‬ﻫﻲ ‪.10n‬‬‫ﺤﻴﺙ) ‪10( n∈N‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻋﺩﺩ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻫﻲ ﻋﺩﺩ ﻋﺸﺭﻱ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻷﻭﻀﺎﻉ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﺘﺴﺘﻌﻤل \"ﺭﺘﺏ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ\" ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ \" ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ \" ﻗﺼﺩ‬ ‫ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻭﺍﺴﻊ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‪.‬‬

‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﺃﻜﺘﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪35 4‬‬ ‫‪,0.000035 , 10000 , 10 ,51000000 ,690000 ,1000‬‬ ‫‪ .2‬ﺃﺘﻤﻡ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬‫‪252‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪3.561‬‬ ‫‪2.125‬‬ ‫ﻤﺩﻭﺭ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ‬ ‫ﺇﻟﻰ ‪10-1‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ‪10-2‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ‪10-3‬‬ ‫‪ .3‬ﺃﻋﻁ ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪,6400000 ,0.000002 ,0.4‬‬ ‫‪892000000000‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪. 64000 , 2000000000000 , 1000000000‬‬‫‪ .4‬ﺘﺘﻜﻭﻥ ﺫﺭﺓ ﻤﻥ ﻨﻭﺍﺓ ﻭﺇﻟﻜﺘﺭﻭﻥ‪ ,‬ﺇﻻﻟﻜﺘﺭﻭﻥ ﻴﺩﻭﺭ ﺤﻭل ﺍﻟﻨﻭﺍﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﺭ ﺩﺍﺌﺭﻱ ﻗﻁﺭﻩ ﻴﻘﺩﺭ‬‫ﺒـ ‪ 0.0000001 mm :‬ﻭﻴﻘﺩﺭ ﻗﻁﺭ ﺍﻟﻨﻭﺍﺓ ﺒـ ‪ 0………..1 mm :‬ﺇﺫﺍ ﻤﺜﻠﻨﺎ ﺍﻟﻨﻭﺍﺓ ﺒﻜﻭﻴﺭﺓ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪1‬‬ ‫‪ ,cm‬ﻜﻡ ﻴﻜﻭﻥ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺴﻠﻡ‪ ,‬ﻗﻁﺭ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻹﻟﻜﺘﺭﻭﻥ ؟‪.‬‬

‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺕ ‪ : 01‬ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ‪:‬‬ ‫‪1000 = 1×103‬‬ ‫•‬ ‫‪690000 = 6.9×105‬‬ ‫•‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪4 ×10−2‬‬ ‫•‬ ‫‪100‬‬ ‫‪35‬‬ ‫=‬ ‫‪3.5 ×10 −3‬‬ ‫•‬ ‫‪10000‬‬ ‫‪0.000035 = 3.5×10−5‬‬ ‫•‬ ‫ﺕ ‪ : 02‬ﺇﺘﻤﺎﻡ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻌﻁﻰ‬ ‫‪252‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪3.561‬‬ ‫‪2.125‬‬ ‫ﻤﺩﻭﺭ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺃﻱ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ‬ ‫‪15.9‬‬ ‫‪2.8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3.6‬‬ ‫‪2.1‬‬‫‪15.87‬‬ ‫‪2.83‬‬ ‫‪3.1‬‬ ‫‪3.56‬‬ ‫‪2.13‬‬ ‫ﺃﻱ ‪10−1‬‬‫‪15.875‬‬ ‫‪2.828‬‬ ‫‪3.561‬‬ ‫‪2.125‬‬ ‫ﺃﻱ ‪10−2‬‬ ‫‪3.14‬‬ ‫ﺃﻱ ‪10−3‬‬ ‫‪3.143‬‬ ‫ﺕ ‪ : 03‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ‪:‬‬ ‫‪0.4 = 4×10−1‬‬ ‫•‬ ‫ﻭ ‪ 4 < 5‬ﺃﻱ ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ 0.4‬ﻫﻲ ‪10−1‬‬ ‫‪0.000002 = 2×10−6‬‬ ‫•‬ ‫ﻭ ‪ 2 < 5‬ﺃﻱ ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ 2 ×10−6‬ﻫﻲ ‪10−6‬‬ ‫‪6400000 = 6.4×106‬‬ ‫•‬ ‫ﻭ ‪ 6.4 ≥ 5‬ﺃﻱ ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ 6.4 ×106‬ﻫﻲ ‪ 106+1‬ﺃﻱ ‪107‬‬ ‫ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬

‫ﺕ ‪ : 04‬ﻨﺴﻤﻲ ‪ D‬ﻁﻭل ﺨﻁﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻹﻟﻜﺘﺭﻭﻥ‬ ‫ﻭﻨﺴﻤﻲ ‪ D0‬ﻁﻭل ﻗﻁﺭ ﺍﻟﻨﻭﺍﺓ‬‫ﻭﻨﺴﻤﻲ ‪ x‬ﻁﻭل ﻗﻁﺭ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻹﻟﻜﺘﺭﻭﻥ ﻭﻓﻕ ﺍﻟﺴﻠﻡ ﺍﻟﻤﻌﻁﻰ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﺼﺒﺢ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪D0 → 1cm :‬‬ ‫‪D→x‬‬‫ﺃﻱ‪1cm → 10−11 :‬‬‫‪x → 10−7‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪10−7 ×1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪10 −11‬‬ ‫‪= 104‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﻗﻁﺭ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻹﻟﻜﺘﺭﻭﻥ ﻴﻘﺩﺭ ﻭﻓﻕ ﺍﻟﺴﻠﻡ ﺍﻟﻤﻌﻁﻰ ﺒـ ‪10000cm :‬‬

‫ﺍﻨﺸﻁﺔ ﺒﺎﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻜﺘﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ ﻟﻠﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ‬‫• ﻤﺒﺎﺩﺉ ﻗﺎﻋﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺘﻬﺎ ﻻﺯﻤﺔ ﻟﻠﻘﻴﺎﻡ ﺒﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﺒﺎﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ‬ ‫)ﻓﻲ ﺤﺩﻭﺩ ﻗﺩﺭﺘﻬﺎ(‬ ‫• ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ‬ ‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‬

‫• ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﻏﺎﻟﺏ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﻫﻲ ﺘﻌﻁﻲ ﻗﻴﻡ ﻋﺸﺭﻴﺔ ﻤﻘﺭﺒﺔ ﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ 2 :‬ﻻ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ 1.414‬ﺒل ‪ 1.414‬ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﺸﺭﻴﺔ ﻤﻘﺭﺒﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪. 2‬‬‫‪ -‬ﻗﺩﺭﺓ ﺍﺴﺘﻌﺎﺏ ﺸﺎﺸﺘﻬﺎ ﻫﻲ ‪ 11‬ﺭﻗﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻜﺜﺭ‪ ,‬ﻫﺫﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻌﺎﺩﻴﺔ ﻴﻤﻜﻨﻬﺎ ﺃﻥ ﺘﺤﺴﻥ‬ ‫ﻗﺩﺭﺍﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻭﻟﻜﻥ ﻻ ﻴﻤﻜﻨﻬﺎ ﺃﺒﺩﺍ ﺃﻥ ﺘﺘﺠﺎﻭﺯ ﺤﺩﻭﺩﻫﺎ‼!‬ ‫• ﻤﺜﺎل‪ :‬ﻫﻲ ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺩﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺤﺴﺎﺏ ﺒﺴﻴﻁ ﻤﺜل ‪2×1050×3×1050‬‬‫• ﻤﺒﺎﺩﺉ ﻗﺎﻋﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺘﻬﺎ ﻻﺯﻤﺔ ﻟﻠﻘﻴﺎﻡ ﺒﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﺒﺎﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ‬ ‫)ﻓﻲ ﺤﺩﻭﺩ ﻗﺩﺭﺍﺘﻬﺎ(‪:‬‬‫‪ .1‬ﺇﺨﺘﺒﺎﺭ‪MODE:‬‬‫‪ :Mode Norh‬ﺘﻜﺘﺏ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻋﺸﺭﻴﺔ ﻋﺎﺩﻴﺔ ﻭﺇﺫﺍ ﺘﺠﺎﻭﺯ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﺸﺎﺸﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬ ‫ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ﺘﻜﺘﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ ﺒﻌﺩ ﺃﻥ ﻨﻀﻐﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ =‬ ‫ﻤﺜﺎل‪3.5 x 2.7 = 9.45 :‬‬‫= ‪3000000 x 2000000‬‬ ‫‪612‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ‪3000000x2000000 =6x1012‬‬ ‫• ‪ :Mode SCI‬ﺘﻜﺘﺏ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ‬‫• ‪ :Mode fix‬ﻤﺘﺒﻭﻉ ﺒﺭﻗﻡ ‪ n‬ﻤﻥ ‪ 0‬ﺇﻟﻰ ‪ :9‬ﺘﻜﺘﺏ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﻤﻊ ‪ n‬ﺭﻗﻡ‬ ‫ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ )ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﻤﺩﻭﺭ(‪.‬‬ ‫• ‪) Mode SD‬ﺃﻭ‪ : (STAT‬ﻟﻠﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﺍﻻﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬‫ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺒﺩﺍﻴﺔ ﺴﻨﺭﻜﺯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل‪Mode Norh‬‬

‫‪ .2‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻠﻤﺴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ‪:‬‬ ‫* ﻟﻤﺴﺎﺕ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻭﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ‪ zy‬ﻭﺍﻟﻠﻤﺴﺔ‬ ‫* ﻟﻤﺴﺘﻲ ﺍﻷﻗﻭﺍﺱ ) ﻭ (‬‫* ﻟﻤﺴﺎﺕ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺫﺍﻜﺭﺓ )ﻫﻨﺎﻙ ﺤﺴﺎﺒﺎﺒﺕ ﺘﻤﻠﻙ ﻋﺩﺓ ﺫﺍﻜﺭﺍﺕ(‬ ‫‪ .3‬ﺃﻭﻟﻭﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ‪:‬‬‫ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺎﺕ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﺍﻟﻌﺼﺭﻴﺔ ﺘﺤﺘﺭﻡ ﺃﻭﻟﻭﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ )ﻜﻤﺎ ﺘﻜﺘﺏ ﺒﺎﻟﻴﺩ( ﻭﻟﻜﻥ‪ ,‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺤﺎﺠﺔ‪ ,‬ﺃﻭ ﺍﻟﺸﻙ‪,‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻷﻗﻭﺍﺱ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺩل ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻭﻟﻭﻴﺎﺕ ﻀﺭﻭﺭﻱ‪.‬‬‫ﻹﻨﺠﺎﺯ‪35 + 2.3× 4 − 5 :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫‪35 + 2.3 X 4 – 5 = 39.20‬‬‫= ‪35 + ( 2.3 x 4 ) - 5‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫ﺍﻷﻗﻭﺍﺱ ﻏﻴﺭ ﻀﺭﻭﺭﻴﺔ‬ ‫‪1 + 35‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ ﺍﻹﻨﺠﺎﺯ ‪5 − 29‬‬‫‪( 1 + 35 ) ÷ ( 5 – 29 ) = - 1.5‬‬‫( ÷ ‪1 + 35‬‬ ‫ﻷﻥ ) ‪5 - 29‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪35‬‬ ‫ﺘﻌﻨﻲ‬ ‫‪− 29‬‬‫ﻭ ‪1 + 35 ÷ 5 - 29‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪29‬‬ ‫ﺘﻌﻨﻲ‬ ‫‪5‬‬

‫• ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ‪:‬‬ ‫= ‪( )a‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪0.25+‬‬ ‫‪2.25‬‬ ‫‪×3‬‬ ‫‪+ 5.7 ×5 −‬‬ ‫‪16‬‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩ‪ a‬ﺤﻴﺙ‬ ‫‪.1‬‬ ‫ﻭﺫﻟﻙ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ‪:‬‬‫= ‪( 0.25 + 2.25 ) x 3 + 5.7 x 5 - 27 ÷ 16‬‬ ‫‪a = 34.3125‬‬ ‫‪b = 57 × 0.62 − 5‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ b‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺤﻴﺙ‪3 :‬‬ ‫ﻟﻨﻌﻴﻥ ﻤﺩﻭﺭ ‪ b‬ﺇﻟﻰ ‪ 10-2‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ‪:‬‬ ‫‪57 x 0.6 Xy 2 – 5 x‬‬ ‫÷ ‪2 +8‬‬ ‫=‪3‬‬ ‫ﺍﻵﻟﺔ ﺘﻌﻁﻲ ‪b =18.0677343:‬‬ ‫ﻭﻤﺩﻭﺭ ‪ b‬ﺇﻟﻰ ‪ 10-2‬ﻫﻭ ‪18.07‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪= 51.62 × 5 + 3× 51.622‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪35‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ c‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪51.62‬‬‫‪M+‬‬ ‫ﻟﺘﻌﻴﻥ ﺼﻴﻐﺔ ‪ c‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺭﻗﻤﻴﻥ ﻤﻥ ﺃﺭﻗﺎﻤﻪ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ )‪ (Troncature‬ﻭﺫﻟﻙ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ‬‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 51.62‬ﻤﻜﺭﺭ ﻋﺩﺓ ﻤﺭﺍﺕ ﻓﺘﺨﺯﻨﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺫﺍﻜﺭﺓ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ‪ RM‬ﺒﻌﺩ ﺇﺩﺨﺎﻟﻪ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺃﻥ ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ﻜل ﻤﺎ ﺃﺭﺩﻨﺎ ﺍﺴﺘﺭﺠﺎﻋﻪ‬‫= ‪51.62 M+ x 5 + 3 RM Xy 2 - 35 ÷ RM‬‬ ‫ﺍﻵﻟﺔ ﺘﻌﻁﻲ‪c = 8251.29 :‬‬

‫)‪d = 12.5+17.75 −(0.71− 40.21‬‬ ‫‪ .4‬ﻟﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ d‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪24− 2.25‬‬ ‫ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺃﻭﻟﻰ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻷﻗﻭﺍﺱ‬‫‪+ 17.75 ) - ( 0.71 - 40,21 ) ) ÷ ( 24 -‬‬ ‫= ) ‪2.25‬‬ ‫‪( ( 12.5‬‬‫ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻨﺨﺯﻥ ﺍﻟﺒﺴﻁ ﻓﻲ ﺍﻟﺫﺍﻜﺭﺓ‪:‬‬‫‪+ 17.75 ) - ( 0.71 - 40.21 ) M+ ÷ ( 24 -‬‬ ‫= ) ‪2.25‬‬ ‫‪( 12.5‬‬ ‫ﻓﻨﺠﺩ ‪d=2‬‬‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﻨﻅﺭﺍ ﻟﻼﺨﺘﻼﻓﺎﺕ ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻭﺍﻉ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺎﺕ ﻤﺜل ‪ RM‬ﺃﻭ ‪RCL‬‬‫ﺒﺩﻻ ﻤﻥ ‪ RM‬ﺃﻭ ‪ STO‬ﺒﺩﻻ ﻤﻥ ‪ M+‬ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻨﻌﻭﺩ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻜﺘﻴﺏ ﺤﻴﺙ ﻁﺭﻴﻘﺔ‬‫ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻵﻟﺔ )‪ (Prospectus‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺭﺴﺔ ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺠﻴﺩﺓ ﻟﻶﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻤﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻟﻬﺎ‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻻ ﺠﻴﺩﺍ‪.‬‬

‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‪:‬‬‫‪ .1‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ A‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﺩﻭﺭ ‪ A‬ﺇﻟﻰ ‪ 10-2‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪A = 0 .514 2 + 1 .318 2 (1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪3.519‬‬ ‫×‬ ‫‪0.591‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪3.519‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪0.591‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫‪3(3.78−2.47)2 +14×1.5‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪3.78+ 2.47‬‬‫‪A =1.250 +1.251 +1.252 +1.253 +1.254 +1.255 (4‬‬ ‫‪A= 2.53 −5×2.53 +3‬‬ ‫‪2.53‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫‪− 2.53‬‬ ‫‪2.35‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2.3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2.3 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2.3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪2.3×1.5 +12‬‬ ‫‪(6‬‬‫‪ .2‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ‪ ,‬ﻋﻴﻥ ﺃﺼﻐﺭ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪ 1 . 5 n‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ) (‬ ‫‪25‬‬‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪πR‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .3‬ﺤﺠﻡ ﻜﺭﺓ ﻁﻭل ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ R‬ﻫﻭ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ﺤﺠﻡ ﻜﺭﺓ ﻁﻭل ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪.0,15 cm‬‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﺠﻤل ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﻤﻨﻁﻕ)‪(1‬‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﻤﻀﺎﺩ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﻔﺼل ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‬ ‫‪ -‬ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻡ ﻭﺍﻟﺘﻜﺎﻓﺅ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻷﻭل‬ ‫• ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬ ‫• ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‬ ‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫• ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫• ﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻷﻭل‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \"ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ )‪ (2n+4‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ \"7‬ﻫل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬ ‫ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ؟ ﻫل ﻫﻲ ﻗﻀﻴﺔ ﺨﺎﻁﺌﺔ؟‬ ‫ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ‪ :‬ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﺔ ﻗﻀﻴﺔ ﺨﺎﻁﺌﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﻠﻴل ‪ :‬ﻟﻭ ﺃﺨﺫﻨﺎ‪ ,‬ﻤﺜﺎﻻ ‪ n = 1‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ 2n+4 = 6‬ﻭ‪ 6‬ﻟﻴﺱ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪.7‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﻟﻘﺩ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﺒﺎﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﻤﻀﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺨﻁﺄ ﻗﻀﻴﺔ ﺘﺘﻀﻤﻥ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ‪:‬‬ ‫\"ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ‪\"..‬‬ ‫• ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \"ﻤﻬﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ )‪ (n2+3n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺯﻭﺠﻲ\"‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ n2+3n = 0, n = 0‬ﻭ‪ 0‬ﺯﻭﺠﻲ‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ n2 + 3n = 4, n = 1‬ﻭ‪ 4‬ﺯﻭﺠﻲ‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ n2 + 3n = 10, n = 2‬ﻭ‪ 10‬ﺯﻭﺠﻲ‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ n2 + 3n =18, n = 3‬ﻭ‪ 18‬ﺯﻭﺠﻲ‬ ‫ﻴﺒﺩﻭ ﻭﻜﺄﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﺔ ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻜﻴﻔﺎ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺇﻤﺎ ‪ n‬ﺯﻭﺠﻲ ﻭﺇﻤﺎ ‪ n‬ﻓﺭﺩﻱ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪ :‬ﻟﻤﺎ ‪ n‬ﺯﻭﺠﻲ‪:‬‬ ‫‪)N=2k‬ﺤﻴﺙ ‪ k‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ(‬ ‫)‪n2 +3n = (2k)2 +3(2k‬‬ ‫‪= 4k 2 + 6k‬‬ ‫) ‪= (2 2 k 2 + 3 k‬‬ ‫ﻭ ‪ 2k 2 + 3k‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻤﻨﻪ ‪ n 2 + 3 n‬ﺯﻭﺠﻲ‬

‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪ :‬ﻟﻤﺎ ‪ n‬ﻓﺭﺩﻱ‪:‬‬ ‫‪) n = 2p +1‬ﺤﻴﺙ ‪ p‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ(‬‫)‪n 2 + 3n = (2 p + 1)2 + 3(2 p + 1‬‬ ‫‪= 4p2 + 4p +1+6p +3‬‬ ‫‪= 4 p2 +10p + 4‬‬‫‪( )= 2 2p2 +5p + 2‬‬‫‪2‬‬‫ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻤﻨﻪ ‪ n 2 + 3 n‬ﻋﺩﺩ ﺯﻭﺠﻲ‪2p + 5p + 2‬‬ ‫ﻭ‬‫ﺇﺫﻥ ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ )ﺃﻱ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n 2 + 3 n (n‬ﺯﻭﺠﻲ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﺔ ﻗﻀﻴﺔ ﺨﺎﻁﺌﺔ‬‫ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﻟﻘﺩ ﺒﺭﻫﻨﻨﺎ ﺒﻔﺼل ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﻋﻠﻰ ﺼﻭﺍﺏ ﻗﻀﻴﺔ ﺘﺘﻀﻤﻥ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ \" ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ \"‬

‫• ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﺎﻭ ﻜﻴﻔﻴﺎ‪ ,‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺘﺎﻥ )‪ (P‬ﻭ )‪ (Q‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫)‪ \" :(P‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x=1‬ﻓﺈﻥ ‪( )( )\" x x −1 x2 − 4 = 0‬‬ ‫)‪\" :(Q‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x x −1 x2 − 4 = 0‬ﻓﺈﻥ‪( )( )\" x = 1‬‬ ‫‪ . 1‬ﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (P‬ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x=1‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ x-1=0‬ﻭ ‪ x2 - 4= - 3‬ﻭ ‪( )( )x x −1 x2 − 4 = 0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (P‬ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ‬‫‪ - 2‬ﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ)‪ (Q‬ﻟﻴﺴﺕ \" ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ \"‬‫ﻭﻻ ﻴﻜﻭﻥ = ‪( )( )x x −1 x − 4 = 0x‬‬‫‪2‬‬ ‫ﻭﺫﻟﻙ ﺒﺎﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﻤﻀﺎﺩ ﻟﻭ ﺃﺨﺫﻨﺎ ﻤﺜﻼ ‪ x = 0‬ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪ - 3‬ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬‫• ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل \" ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ )‪ (A‬ﻓﺈﻥ )‪ \"(B‬ﺘﺴﻤﻰ ﺍﺴﺘﻠﺯﺍﻤﺎ ﻭﺘﻘﺭﺃ ﻜﺫﻟﻙ \")‪ (A‬ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ )‪\"(B‬‬ ‫ﻭﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ‪:‬‬ ‫» )‪« (A)=> (B‬‬ ‫• ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \" ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ )‪ (B‬ﻓﺈﻥ )‪ \" (A‬ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻡ ﺍﻟﻌﻜﺴﻲ ﻟﻼﺴﺘﻠﺯﺍﻡ‬‫• ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ])ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ )‪ (A‬ﻓﺈﻥ )‪ ((B‬ﻭ) ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ )‪ (B‬ﻓﺈﻥ )‪ [((A‬ﺘﺴﻤﻰ ﺘﻜﺎﻓﺅﺍ ﻭﺘﻘﺭﺃ ﻜﺫﻟﻙ‬‫\")‪ (A‬ﻴﻜﺎﻓﺊ)‪ \"(B‬ﺃﻭ ﻴﻜﻭﻥ )‪ (A‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ )‪\"(B‬ﺃﻭ \")‪ (A‬ﻤﻌﻨﺎﻩ)‪ \"(B‬ﻭﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ‬ ‫ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ » )‪« (A)<=> (B‬‬‫• ﻟﻠﺒﺭﻫﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺼﻭﺍﺏ ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻡ \" ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ )‪ (A‬ﻓﺈﻥ )‪ \"(B‬ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺤﻴﺙ‬ ‫)‪ (A‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺘﻜﻭﻥ )‪(B‬ﻜﺫﻟﻙ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬‫ﻭﻟﻠﺒﺭﻫﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻡ \" ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ )‪ (A‬ﻓﺈﻥ )‪ \" (B‬ﻟﻴﺱ ﺼﺤﻴﺤﺎ ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻨﺠﺩ‬‫ﻤﺜﺎﻻ ﻤﻀﺎﺩﺍ ﺃﻱ ﺤﺎﻟﺔ ﺤﻴﺙ )‪ (A‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ )‪ (B‬ﻨﺒﺭﻫﻥ ﻋﻠﻰ ﺼﻭﺍﺏ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻤﻴﻥ\" ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻜﺎﻥ )‪ (A‬ﻓﺈﻥ )‪ \"(B‬ﻭ\" ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ )‪ (B‬ﻓﺈﻥ )‪\" (A‬‬

‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫‪ .1‬ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺠﻤل )‪(R), (Q), (P‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫)‪ \" : (P‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ A‬ﻓﺈﻥ ‪ A‬ﻋﺩﺩ ﺃﺼﻡ \"‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪ : (Q‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻨﺎﻁﻕ\"‪.‬‬ ‫)‪ : (R‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ A‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ A2‬ﻤﻭﺠﺏ ﺃﻭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪.‬‬‫ﻗل ﻤﻌﻠﻼ ﻋﻠﻰ ﺇﺠﺎﺒﺘﻙ‪ ,‬ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺠﻤل )‪ (R), (Q), (P‬ﺇﻥ ﻫﻲ ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺃﻭ ﻗﻀﻴﺔ ﺨﺎﻁﺌﺔ‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻜﻴﻔﻴﺎ‬ ‫ﺃ‪ .‬ﺒﺭﻫﻥ ﻋﻠﻰ ﺼﻭﺍﺏ ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻡ‪ \":‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ n‬ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 8‬ﻓﺈﻥ ‪ n‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ‪\"4‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﻫل ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻡ\" ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ n‬ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 4‬ﻓﺈﻥ ‪ n‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪\" 8‬‬ ‫ﺼﺤﻴﺢ ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ؟‬ ‫‪ .3‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ‪ :‬ﻭ‪a ≠ −b a ≠ b‬‬‫‪ab‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪+b‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺎﻓﺅ‪\" :‬‬ ‫ﺼﻭﺍﺏ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪−b‬‬ ‫\"‬

‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪:‬‬ ‫ﺕ ‪: 01‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (P‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫•‬‫)‪ \" (P‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ A‬ﻓﺈﻥ ‪ A‬ﻋﺩﺩ ﺃﺼﻡ\"‬‫ﻗﻀﻴﺔ ﺨﺎﻁﺌﺔ ﺇﺫ ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ‪ A = 4 :‬ﻓﻔﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ 4 = 2‬ﻭ‪ 2‬ﻟﻴﺱ ﻋﺩﺩ ﺃﺼﻡ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪(Q‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫•‬ ‫‪3‬‬‫)‪\" : (Q‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ‪ n :‬ﻋﺩﺩ ﻨﺎﻁﻕ\" ﻗﻀﻴﺔ ﺨﺎﻁﺌﺔ‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺭﻑ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ‪ n=0 :‬ﻓﻔﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (R‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫•‬‫)‪\" : (R‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ A‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ A2‬ﻤﻭﺠﺏ ﺃﻭ ﻤﻌﺩﻭﻡ \" ﺘﺒﺩﻭ ﻭﻜﺄﻨﻬﺎ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬‫ﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ‪ :‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻜﻴﻔﻲ‪ ،‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺇﻤﺎ ‪ A‬ﻤﻭﺠﺏ ﻭﺇﻤﺎ ‪ A‬ﺴﺎﻟﺒﺎ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬‫‪A2 = A× A‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪ :‬ﻟﻤﺎ ‪ A‬ﻤﻭﺠﺏ ‪:‬‬ ‫ﻭﺠﺩﺍﺀ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻤﻭﺠﺒﻴﻥ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻥ ﻋﺩﺩ ﻤﻭﺠﺏ‪.‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ A2‬ﻤﻭﺠﺏ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪ :‬ﻟﻤﺎ ‪ A‬ﺴﺎﻟﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪:‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ A2‬ﻫﻭ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺴﺎﻟﺒﻴﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻓﻬﻭ ﺇﺫﻥ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪A2 = A× A‬‬‫ﺇﺫﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ )ﺃﻱ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ A2 ( A‬ﻤﻭﺠﺏ ﺃﻭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﺔ ﻗﻀﻴﺔ‬ ‫ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬

‫ﺕ ‪ : 02‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻜﻴﻔﻴﺎ‬ ‫ﺃ( ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺼﻭﺍﺏ ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻡ‪:‬‬ ‫\" ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ n‬ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 8‬ﻓﺈﻥ ‪ n‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪\" 4‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \"‪ n‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ :8‬ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪ :‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ k‬ﺒﺤﻴﺙ‪n = 8k :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪ :‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ k‬ﺒﺤﻴﺙ ‪n = 4(2k) :‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ '‪ k‬ﺒﺤﻴﺙ ‪n = 4k ' :‬‬ ‫)ﺇﺫﻥ ﻴﻜﻔﻲ ﺃﺨﺫ‪( k'= 2k :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪ n :‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪4‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺠﻭﺍﺏ ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻡ ﺍﻟﻤﻌﻁﻰ‪.‬‬ ‫ﺏ( ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻡ‪ \" :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ n‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 4‬ﻓﺈﻥ ‪ n‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪\"8‬‬ ‫ﻟﻴﺱ ﺼﺤﻴﺤﺎ ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺇﺫ ﻴﻜﻔﻲ ﺃﺨﺫ ‪ n = 12 :‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪ 12‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟـ ‪ 4‬ﻭ ‪ 12‬ﻟﻴﺱ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ﻟـ ‪.8‬‬ ‫ﺕ ‪ a :03‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺒﺤﻴﺙ‪ a ≠ b :‬ﻭ ‪a ≠ −b‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺼﻭﺍﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻓﺅ‪:‬‬ ‫•‬ ‫‪\" ab = 0‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫\"ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪2a(a − b) − (a‬‬ ‫)‪+ b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪a−b‬‬‫\"‬ ‫‪(a + b)(a −‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫\"‪= 1‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫\"‬ ‫‪−‬‬ ‫\"‪= 1‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‪:‬‬ ‫\"‬ ‫‪2a 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2ab −‬‬ ‫‪a2 −‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2ab‬‬ ‫\"‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪− b2‬‬ ‫‪\"a2‬‬ ‫‪− b2 − 4ab‬‬ ‫\"‪= 1‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪a2 −b2‬‬ ‫ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺘﻜﺎﻓﺊ‪\"a 2 − b2 − 4ab = a2 − b2\" :‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ \"‪\"−4ab = 0‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ \"‪ \"ab = 0‬ﻷﻥ‪− 4 ≠ 0 :‬‬

‫ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺤل ﻜﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ‬ ‫‪ -‬ﺤل ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻴﺅﻭل ﺤﻠﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﺤل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫‪ -‬ﻤﺴﺎﺌل ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﺃﻤﺜﻠﺔﻭﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‬ ‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫• ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫• ﺃﻤﺜﻠﺔ ﻭ ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬‫ﻤﺜﺎل‪ : 1‬ﺍﻟﺤل ﻓﻲ ‪ R‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ − 3x + 5 = 0.......(1‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪ ,‬ﻴﻌﻨﻲ ﺍﻴﺠﺎﺩ‬‫ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ﻭﻟﻜﻥ‪− 3x + 5 = 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻤﻌﻨﺎﻩ‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫=‬ ‫‪−5‬‬ ‫ﻤﻌﻨﺎﻩ‬ ‫‪− 3x + 5 = 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪55‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﻟﻬﺎ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ﻫﻭ ‪ 3‬ﺃ ﻱ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﻫﻲ} ‪{ 3‬‬ ‫‪.‬ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫\"ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ\" ﻫﻲ \"ﺴﺅﺍل\" ﻤﺜﻼ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ , x2 −3x = 2.....(2‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‬‫ﻓﻲ ‪ ,R‬ﻨﺤﻥ ﻁﺭﺤﻨﺎ ﺍﻟﺴﺅﺍل‪\":‬ﻫل ﺘﻭﺠﺩ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﺔ ‪ x‬ﺘﺴﻤﻰ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (2‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪ x 2 − 3 x‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪.\"1‬‬ ‫ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻁﺎﻟﺏ ﺒﺤل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ ,‬ﻨﻁﺎﻟﺏ ﺒﺈﻴﺠﺎﺩ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪.‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺩﺘﺎﻥ ﻫﺎﻤﺘﺎﻥ ‪:‬‬‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻅﻴﻑ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺇﻟﻰ ﻁﺭﻓﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ‬ ‫•‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل‪.‬‬ ‫•‬‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﺭﺏ ﻁﺭﻓﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻕ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‬ ‫ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل‪.‬‬‫ﻤﺜﺎل‪ :2‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﺎﻥ ‪ 3 x + 6 = 1‬ﻭ ‪ 2x + 5 = − x‬ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل‬ ‫ﺇﻟﻰ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ(‪− x −1‬‬ ‫)ﺃﻀﻔﻨﺎ‬‫)ﻀﺭﺒﻨﺎ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل‬ ‫ﻨﻔﺱ‬ ‫ﻟﻬﻤﺎ‬ ‫ﻭ ‪13x +17 = 0‬‬ ‫‪13x + 17‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﺎﻥ‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻲ ‪(5‬‬

‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪:‬‬ ‫ﻟﻨﺤل ﻓﻲ ‪R‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‪ ,‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫‪, (2).......−. 3x +2 = 7x +8‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪(1)......‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪, (3)....(x +1)(x −1) = 3(x −1‬‬‫‪(5)......‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪, (4).......(x − 2)(3x +5‬‬ ‫‪= 3x2‬‬ ‫‪+8‬‬ ‫‪+8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫* )‪(1‬ﻭ )‪ (2‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﺎﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪ :‬ﻟﻌﺯل ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‬ ‫‪−‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−4‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫=‬ ‫‪−1 −‬‬ ‫‪5‬‬ ‫* )‪ (1‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل )‪ (1‬ﻫﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫)‪(−4‬‬ ‫‪× (−‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−4‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪9‬‬ ‫‪−9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫} ‪{9‬‬ ‫* )‪ (2‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ − 3x − 7 x = 8 − 2‬ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ ‪− 10 x = 6‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل )‪ (2‬ﻫﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪− 10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫} ‪{− 5‬‬

‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ax = b , a ≠ 0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪a‬‬ ‫* )‪ (3‬ﻟﻴﺴﺕ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻨﻼﺤﻅ ﻋﺎﻤﻼ ﻤﺸﺘﺭﻜﺎ ﻟﻠﻁﺭﻓﻴﻥ‬ ‫)‪ (3‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‪(x+1)(x−1)−3(x−1) =0 :‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ ‪(x −1)(x +1− 3) = 0‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ‪( x − 1)( x − 2) = 0 :‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ ])‪ (x-1=0‬ﺃﻭ )‪ [(x-2=0‬ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ ])‪ (x=1‬ﺃﻭ )‪ [ (x=2‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل )‪ (3‬ﻫﻲ}‪{ 2,1‬‬ ‫* )‪ (4‬ﻻ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺎﻤل ﻤﺸﺘﺭﻙ ﻟﻁﺭﻓﻴﻬﺎ ﻨﺤﺎﻭل ﺍﻟﻨﺸﺭ‬ ‫)‪ (4‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ 3x2 + 5x −6x −10 = 3x2 +8‬ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪ 3x 2 − x − 10 = 3x 2 + 8‬ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ‪ 3x2 −x−3x2 =9+10‬ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪ − x =18‬ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x = −18‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل )‪ (4‬ﻫﻲ }‪{-18‬‬ ‫‪2‬‬ ‫* ‪ 0‬ﻟﻴﺱ ﺤﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (5‬ﻷﻥ ‪ 0‬ﻴﻌﺩﻡ ﻤﻘﺎﻡ‬‫‪ x‬ﻭﻜﺫﺍ ‪ -8‬ﻟﻴﺱ ﺤﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (5‬ﻷﻥ ‪ -8‬ﻴﻌﺩﻡ ﻤﻘﺎﻡ‬ ‫‪3‬‬‫‪ x + 8‬ﻨﺤل )‪ (5‬ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺒﺎﺴﺘﺜﻨﺎﺀ ‪ 0‬ﻭ ‪) - 8‬ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ }‪.(R -{0,8‬‬ ‫‪2x +16+3x‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪2(x + 8) + 3x‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻫﻜﺫﺍ )‪ (5‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫)‪x(x +8‬‬ ‫)‪x(x + 8‬‬‫ﻭ‬ ‫‪x≠0‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪) 5x + 16 = 0‬ﻤﻊ‬ ‫‪5x +16‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫)‪x(x + 8‬‬ ‫‪( x ≠ −8‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪16‬‬ ‫≠‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪16‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ 5x = −16‬ﺘﻜﺎﻓﻲﺀ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪{−‬‬ ‫‪16‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل )‪ (5‬ﻫﻲ }‬ ‫‪5‬‬

‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺤل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ R‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ –ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪ x‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫‪, (2).....3(x − 4) − 2(x −7) = 4x , (1).....2. x −3(4x −1) = 7x + 2‬‬‫‪,‬‬ ‫‪(4)......x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪2x +‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪, (3)....x.(x−5)+3x−1= x2 +2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪, (5)..x. (x−2)+(x−2)(x+3) = x(x+5)+(x−2)2‬‬ ‫‪(7)....‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3x +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪(6)....(2x +1)(x + 7‬‬ ‫=‬ ‫‪(2x‬‬ ‫‪+1)(3x‬‬ ‫)‪−5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪ - 2‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﺎ‪ ,‬ﺃﻨﺸﺭ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ )‪(3 − 5a) × (2a +1‬‬ ‫• ﺤل ﻓﻲ ‪ R‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪ x‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪10 x 2 − x − 3 = 0‬‬ ‫‪9‬‬‫‪ -3‬ﻤﺎﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺇﺫﺍ ﺃﻀﻴﻑ ﺇﻟﻰ ﺒﺴﻁ ﻭﻤﻘﺎﻡ ﺍﻟﻜﺴﺭ ‪ 13‬ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻋﺩﺩ ﻨﺎﻁﻕ ﻴﺴﺎﻭﻱ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬؟‬ ‫‪ -4‬ﺇﺫﺍ ﺃﻀﻔﻨﺎ ‪5m‬ﺇﻟﻰ ﻁﻭل ﻀﻠﻊ ﻤﺭﺒﻊ ﻤﺴﺎﺤﺘﻪ ﺘﺯﺩﺍﺩ ﺒـ ‪ 125 m2‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻀﻠﻊ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ؟‬ ‫‪ -5‬ﺇﻤﺘﺤﻥ ﺘﻠﻤﻴﺫ ﻓﻲ ‪ 4‬ﻤﻭﺍﺩ‬ ‫ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻤﻌﺎﻤﻠﻬﺎ ‪ 5‬ﺘﺤﺼل ﻓﻴﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ ‪14‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻤﻌﺎﻤﻠﻬﺎ ‪ 4‬ﺘﺤﺼل ﻓﻴﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ ‪10‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻤﻌﺎﻤﻠﻬﺎ ‪4‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺭﺍﺒﻌﺔ ﻤﻌﺎﻤﻠﻬﺎ ‪ 2‬ﺘﺤﺼل ﻓﻴﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ ‪13‬‬ ‫ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﻤﻌﺩل ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻻﻤﺘﺤﺎﻥ ﻫﻭ ‪ 12‬ﻓﻤﺎ ﻫﻲ ﻋﻼﻤﺘﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ؟‬

‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺕ ‪: 01‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪2x − 3(4x −1) = 7x + 2‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪:‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪3(x − 4)− 2(x − 7) = 4x :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫= ‪x(x − 5)+ 3x −1‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪x2 + 2 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− 67 ‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪2x +‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪:‬‬ ‫ﺤﻠﻭل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪ 22 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ x(x − 2)+ (x − 2)(x + 3) = x(x + 5)+ (x − 2)2 :‬ﻫﻲ‪{− 5} :‬‬‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,6‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪(2x +1)(x + 7) = (2x +1)(3x − 5):‬‬ ‫ﺤﻠﻭل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3x +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪:‬‬ ‫ﺤﻠﻭل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺕ ‪ : 02‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‬ ‫ﻨﺸﺭ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ‪(3 − 5a)(2a +1) :‬‬ ‫•‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪(3 − 5a)(2a +1) = 6a + 3 −10a2 − 5a :‬‬ ‫‪= −10a2 + a + 3‬‬ ‫ﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻉ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫•‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪10 x 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x−3‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺕ ‪ : 03‬ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻠﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‪ a :‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﺼﺒﺢ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪9+a‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪13 + a‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪(9 + a)× 5 = (13 + a)× 4 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪a = 7 :‬‬

‫ﺕ ‪ : 04‬ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻁﻭل ﻀﻠﻊ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ ﺒـ‪ l :‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﺼﺒﺢ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪(l + 5)2 = 125 + l 2‬‬ ‫ﺃﻱ ‪2l + 25 = 125 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪l = 50 :‬‬ ‫ﺕ ‪ :05‬ﻨﺴﻤﻲ ‪ a‬ﻋﻼﻤﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪:‬‬ ‫ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺘﺭﺠﻤﺔ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﻓﻲ ﻨﺹ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﺎﻤﻼﺕ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻉ‬ ‫ﻴﻤﺜل‬ ‫‪15‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ‬ ‫‪14×5+10×4+ a×4+13×2‬‬ ‫‪=12‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪136+4a =180:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪a = 11 :‬‬

‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻓﻲ‪(1 ) R‬‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻋﺩﺩﻴﻥ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺍﻟﺤﺼﻭﺭ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﻤﻔﺭﺩﺍﺕ ﻭﺭﻤﻭﺯ‪.‬‬ ‫• ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ‬ ‫• ﺃﻨﺸﻁﺔ ﻭﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺘﻁﺒﻴﻘﻴﺔ‬‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ,‬ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ‬ ‫‪b,‬‬ ‫• ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ‪ a2‬ﻭ ‪ ,b2‬ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ‪a‬‬‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫• ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫• ﻤﻔﺭﺩﺍﺕ ﻭﺭﻤﻭﺯ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻋﺩﺩ ﻭ‪: 0‬‬ ‫* ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‬ ‫\"‪ a‬ﺴﺎﻟﺏ\"‬ ‫\"‪ a‬ﺴﺎﻟﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ\"‬ ‫\"‪ a‬ﻤﻭﺠﺏ\"‬ ‫\"‪ a‬ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ\"‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬ ‫ﻤﻌﻨﺎﻫﺎ‬‫\"‪ a‬ﺴﺎﻟﺏ ﺘﻤﺎﻤـﺎ‬ ‫\"‪ a‬ﺃﺼﻐﺭ ﻤـﻥ ‪0‬‬ ‫\"‪ a‬ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤـﺎ‬ ‫\"‪ a‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪ 0‬ﻭ‬ ‫ﺃﻭ ‪ a‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪\"0‬‬ ‫ﻭ ‪ a‬ﻻ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪\"0‬‬ ‫ﺃﻭ ‪ a‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪\"0‬‬ ‫‪ a‬ﻻ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪\"0‬‬ ‫ﻴﺭﻤــﺯ ﺇﻟﻴﻬــﺎ‬ ‫ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ‬ ‫‪a≤0‬‬ ‫‪a〈0‬‬ ‫‪a≥0‬‬ ‫‪a〉0‬‬‫• ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ a‬ﻴﻤﻜﻥ ﻓﻲ ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﻘـﻀﻴﺔ ﺍﻟـﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤـﻥ ﺒـﻴﻥ ﺍﻟﻘـﻀﺎﻴﺎ‪:‬‬ ‫‪.a〉0 ,a = 0 ,a〈0‬‬ ‫ﺏ‪.‬ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻥ ‪:‬‬ ‫* ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‬‫\"‪ a‬ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ‬ ‫\"‪ a‬ﺃﺼﻐﺭ ﺘﻤﺎﻤـﺎ‬ ‫\"‪ a‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤـﻥ ﺃﻭ‬ ‫\"‪ a‬ﺃﻜﺒﺭ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬ ‫ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪\"b‬‬ ‫ﻤﻥ ‪\"b‬‬ ‫ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪\"b‬‬ ‫‪\"b‬‬ ‫ﻤﻌﻨﺎﻫﺎ‬ ‫ﻴﺭﻤــﺯ ﺇﻟﻴﻬــﺎ‬ ‫‪a −b ≤ 0‬‬ ‫‪a −b〈0‬‬ ‫‪a−b≥0‬‬ ‫‪a −b〉0‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ‬ ‫‪a≤b‬‬ ‫‪a〈b‬‬ ‫‪a≥b‬‬ ‫‪a〉b‬‬‫‪ ,‬ﺘﺴﻤﻰ ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ‪a ≤ b a ≥ b.‬‬ ‫ﻭﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﻤل ‪a 〉 b,‬‬ ‫‪, a〈b ,‬‬ ‫‪ ,‬ﺘﺴﻤﻰ ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﺘﺎﻤﺔ‪a 〉 b‬‬ ‫ﻭﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺘﻴﻥ‬ ‫ﻭﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺘﻴﻥ ‪ ,‬ﺘﺴﻨﻰ ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﻋﺭﻴﻀﺔ‪a ≤ b a ≥ b.‬‬

‫• \"ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ \"b‬ﺘﻜﻤﻥ ﻓﻲ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ ﺍﻟـﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤـﻥ ﺒـﻴﻥ ﺍﻟﻘـﻀﺎﻴﺎ‬‫‪ ,‬ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻭﺩ ﺇﻟﻰ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ )‪a 〉 b a 〈b-(a-b‬‬ ‫‪,a = b ,‬‬‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺘﺎﻥ ‪ a≤b‬ﻭ ‪ b≥a‬ﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺘﺎﻥ‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺘﺎﻥ ‪ a<b‬ﻭ ‪ b>a‬ﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺘﺎﻥ‬‫← ﻟﺘﻤﻴﻴﺯ ﺒﻴﻥ \" ﺃﻜﺒﺭ\" ﻭ\"ﺃﺼﻐﺭ\" ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻜل> ﻟﻪ ﺠﻬﺔ ﻜﺒﻴﺭﺓ ﻭﺠﻬﺔ ﺼﻐﻴﺭﺓ‬ ‫>‬ ‫ﺼﻐﻴﺭﺓ ﻜﺒﻴﺭﺓ‬‫ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﻬﺔ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺼﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﻬﺔ ﺍﻟﺼﻐﻴﺭﺓ‬‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺭﻑ \"ﺃﻭ\" ﻟﻴﺱ ﻤﺎﻨﻌﺎ‪ :‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻭﻀﻊ ﺒﻴﻥ ﺠﻤﻠﺘﻴﻥ ﻫﻭ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﺇﺤﺩﺍﻫﻤﺎ ﺃﻭ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﺃﻭ ﺍﻹﺜﻨﺎﻥ‪.‬‬ ‫• ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ‪ d, c, b, a :‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﻭﻴﺽ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻤﺔ ﺒﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ ﻋﺭﻴﻀﺔ‬‫ﺒﺎﺴﺘﺜﻨﺎﺀ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺘﻴﻥ ‪ c > 0‬ﻭ ‪ c < 0‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ‪ -54‬ﺤﻴﺙ ‪ c‬ﻤﻭﺠﻭﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻻ ﻴﻤﻜﻨﻪ ﺃﻥ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪.0‬‬‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ > ﻤﺘﻌﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ‪: 01‬‬‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ≥ ﻤﺘﻌﺩﻴﺔ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪a<b) :‬ﻭ ‪ ( b < c‬ﻓﺈﻥ)‪(a<c‬‬‫ﺒﺈﻀﺎﻓﺔ )ﺃﻭ ﻁﺭﺡ( ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌـﺩﺩ‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ‪: 02‬‬‫ﺇﻟﻰ ﻁﺭﻓﻲ ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ (a<b):‬ﻓﺈﻥ)‪ a+c<b+c‬ﻭ‪(a-c<b-c‬‬ ‫ﻤﺘﺒﺎﻴﻥ ﺫﺍﺕ ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ‬‫ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺘﻴﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠـﺎﻩ‬ ‫ﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ‪: 03‬‬‫ﻁﺭﻑ ﺒﻁﺭﻑ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪a<b):‬ﻭ‪ (c<d‬ﻓﺈﻥ)‪(a+c<b+d‬‬ ‫ﺫﺍﺕ ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ‬

‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ‪: 04‬‬‫(‬ ‫‪a‬‬ ‫<‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ac‬و‬ ‫ﻓﺈﻥ )‪< bc‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪a <b):‬و‪(c >0‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫(‬ ‫‪a‬‬ ‫〉‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ac‬و‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪a < b) :‬و‪ (c < 0‬ﻓﺈﻥ ) ‪〉bc‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻀﺭﺏ )ﺃﻭ ﻗﺴﻤﺔ( ﻁﺭﻓﻲ ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﻓﻲ ﻨﻔـﺱ‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﺘﺒﺎﻴﻨـﺔ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻀﺭﺏ )ﺃﻭ ﻗﺴﻤﺔ( ﻁﺭﻓﻲ ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﻓﻲ ﻨﻔـﺱ‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪ ,‬ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﺘﺒﺎﻴﻨـﺔ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺇﺘﺠﺎﻩ ﻤﻌﺎﻜﺱ‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ‪: 05‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ‪ d, c, b, a‬ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻭﻜﺎﻥ)‪ a<b‬ﻭ ‪ (c<d‬ﻓﺈﻥ )‪(ac<bd‬‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬‫)ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺘﺎﻥ ﻁﺭﻓﺎ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻭﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ‪ ,‬ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ‬ ‫ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺒﻀﺭﺒﻬﺎ ﻁﺭﻑ ﺒﻁﺭﻑ(‪.‬‬ ‫\"ﻗﻭﺍﻋﺩ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ\" ﺤﺎﻻﺕ ﺨﺎﺼﺔ ﻟﻠﻨﻅﺭﻴﺔ ‪- 54‬‬ ‫• ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ‪ b‬ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ‪ : 0‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ )‪a < 0‬و‪ (c > 0‬ﻓﺈﻥ‬ ‫)‪(1‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫(‬ ‫‪a‬‬ ‫<‬ ‫‪ac‬و‪0‬‬ ‫)‪< 0‬‬ ‫‪c‬‬‫ﻤﻥ )‪(2‬‬ ‫(‬ ‫‪a‬‬ ‫>‬ ‫‪ac‬و‪0‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ )‪a < 0‬و‪ (c > 0‬ﻓﺈﻥ ) ‪> 0‬‬ ‫‪b‬‬ ‫• ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ‪ a‬ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ‪ : 0‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ )‪b > 0‬و‪ (c > 0‬ﻓﺈﻥ‬ ‫)‪(1‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫(‬ ‫‪b‬‬ ‫>‬ ‫‪bc‬و‪0‬‬ ‫)‪> 0‬‬ ‫‪c‬‬

‫• ﺃﻨﺸﻁﺔ ﻭﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺘﻁﺒﻴﻘﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ x .1‬ﻭ ‪ y‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺒﺤﻴﺙ ‪ 1 ≤ x ≤ 3‬ﻭ ‪5 ≤ y ≤ 8‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ‪ :‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺤﺼﺭ ﻟﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪. y − 2 x , x − y , x + y , x. y‬‬ ‫‪ 1 ≤ x ≤ 3‬ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪ x ≤ 3‬ﻭ ‪1 ≤ x‬‬ ‫‪ 5 ≤ y ≤ 8‬ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪ y ≤ 8‬ﻭ ‪5 ≤ y‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ ‪ 1 ....x ≤ 3‬ﻭ ‪( )(3 ).... 1 ≤ x‬‬ ‫‪ (2)....y ≤ 8‬ﻭ ‪(4)......5 ≤ y‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ x‬ﻤﻭﺠﺏ ﻷﻥ ‪ x ≥ 1‬ﻭ ‪ y‬ﻤﻭﺠﺏ ﻷﻥ ‪ y ≥ 5‬ﺇﺫﻥ ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﻨﻔﺱ‬ ‫ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﻁﺭﻑ ﺒﻁﺭﻑ )ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﻁﺭﺍﻑ ﻤﻭﺠﺒﺔ(‪.‬‬ ‫• ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪ (2‬ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ‪ xy ≤ 3 × 8‬ﺃﻱ ‪xy ≤ 24‬‬ ‫• ﻤﻥ )‪ (3‬ﻭ)‪ (4‬ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ‪ 5 × 1 ≤ xy‬ﺃﻱ ‪5 ≤ xy‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪5 ≤ xy ≤ 24‬‬ ‫• ﺒﺠﻤﻊ )‪ (1‬ﻭ)‪ (2‬ﻁﺭﻑ ﺒﻁﺭﻑ‪ x + y ≤ 3+8 :‬ﻤﻨﻪ ‪x + y ≤11‬‬ ‫• ﺒﺠﻤﻊ )‪ (3‬ﻭ)‪ (4‬ﻁﺭﻑ ﺒﻁﺭﻑ‪ 5+1≤ x + y :‬ﻤﻨﻪ ‪6 ≤ x + y‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪6 ≤ x + y ≤11 :‬‬ ‫• ﺇﻨﺘﺒﻪ !!! ﻟﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺍﻟﻁﺭﺡ ﻁﺭﻑ ﺒﻁﺭﻑ‪:‬‬ ‫ﻓﻨﺤﺎﻭل ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ − y ≥ −8‬ﻤﻥ )‪ (2‬ﺃﻱ ‪( )5......−8≤ −y‬‬ ‫ﺒﺠﻤﻊ )‪ (3‬ﻭ )‪ (5‬ﻁﺭﻑ ﺒﻁﺭﻑ ‪ 1 − 8 ≤ x − y :‬ﺃﻱ ‪− 7 ≤ x − y‬‬ ‫ﻜﺫﻟﻙ ﻤﻥ )‪ − 5 ≥ − y : (4‬ﺇﺫﻥ ‪ 6 ....− y ≤ −5‬ﻭﺒﺠﻤﻊ )‪ (1‬ﻭ)‪ (6‬ﻁﺭﻑ ﺒﻁﺭﻑ ‪( ):‬‬ ‫‪ x − y ≤ 3 − 5‬ﺃﻱ ‪ x − y ≤ −2‬ﻤﻨﻪ ‪−7 ≤ x − y ≤ −2‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﺒﺈﻤﻜﺎﻨﻨﺎ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺍﻟﺤﺼﻭﺭ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻟﻨﺴﺘﻌﻤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﺤﺼﺭ ‪y − 2 x‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 1 ≤ x ≤ 3 :‬ﻤﻨﻪ ‪(0〉 − 2 ) − 2 ≥ −2x ≥ −6‬‬

‫ﺇﺫﻥ ‪ − 6 ≤ −2x ≤ −2 :‬ﻭﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻁﺭﻑ ﺒﻁﺭﻑ ‪− 6 + 5 ≤ −2x + y ≤ −2 + 8‬‬ ‫ﻭ ‪5≤ y≤8‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪−1≤ y − 2x ≤ 6 :‬‬ ‫‪506 .002 30‬‬ ‫‪ .2‬ﻟﻨﻘﺎﺭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 31‬ﻭ ‪506 .001‬‬ ‫‪31‬‬ ‫〉‬ ‫‪30‬‬ ‫‪ 31 〉 30‬ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻻ ﺩﺍﻋﻲ ﺃﻥ ﻨﻨﺠﺯ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ‪ :‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪31‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪ 506.001〈506.002‬ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪(α‬‬ ‫〉 ‪)1‬‬ ‫‪30‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪31‬‬‫ﻭ‬ ‫) ‪(α‬‬ ‫ﻭﻤﻥ‬ ‫‪(β‬‬ ‫〈‪)1‬‬ ‫‪506‬‬ ‫‪.002‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪506 .001‬‬ ‫〈‬ ‫‪506‬‬ ‫‪.002‬‬ ‫‪506‬‬ ‫‪.001‬‬ ‫‪506 .001‬‬ ‫‪506‬‬ ‫‪.001‬‬ ‫‪30‬‬ ‫〈‬ ‫‪506‬‬ ‫‪.002‬‬ ‫) ‪(β‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪506‬‬ ‫‪.001‬‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪2005‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪44777‬‬ ‫ﻟﻨﻘﺎﺭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ‪:‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫= ‪44.777‬‬ ‫‪44777‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﺒﺎﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ‪2005 = 44.7772....‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪44777‬‬ ‫〈‬ ‫‪2005‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪ x .4‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪:‬‬ ‫ﻟﻨﻘﺎﺭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﻴﺙ ‪ A= x2 −x+3 :‬ﻭ ‪B = x +1‬‬ ‫ﻨﻨﺠﺯ ﺍﻟﻔﺭﻕ ‪A – B‬‬ ‫)‪A − B = (x 2 − x + 3)− (x + 1‬‬ ‫‪= x2 − 2x + 2‬‬

‫‪( )= x2 − 2x +1 +1‬‬ ‫‪= (x + 1)2 + 1‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ (x +1)2 ≥ 0‬ﻤﻨﻪ ‪(x + 1)2 + 1 ≥ 1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ A − B ≥1‬ﺇﺫﻥ ‪ A − B〉0‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪A 〉 B‬‬‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ,‬ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ‬ ‫ﻭ‪b‬‬ ‫• ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ‪ a 2‬ﻭ ‪ , b 2‬ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ‪a‬‬‫‪b‬‬ ‫‪a‬ﻭ‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ‪:1‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻤﻭﺠﺒﻴﻥ‬ ‫)‪(P‬‬ ‫* ﻴﻜﻭﻥ ‪ a = b‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪a2 = b2‬‬ ‫)‪(Q‬‬ ‫* ﻴﻜﻭﻥ ‪ a < b‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪a 2 < b 2‬‬ ‫)‪(R‬‬ ‫* ﻴﻜﻭﻥ ‪ a ≤ b‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪a 2 ≤ b2‬‬ ‫)‪(S‬‬ ‫* ﻴﻜﻭﻥ ‪ a = b‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪a = b‬‬ ‫)‪(T‬‬ ‫* ﻴﻜﻭﻥ ‪ a < b‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪a < b‬‬ ‫)‪(K‬‬ ‫≤‪a‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪a ≤ bb‬‬ ‫* ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪ :‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻤﻭﺠﺒﻴﻥ‬ ‫• ﻨﺒﺭﻫﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻠﺯﺍﻤﺎﺕ ﺃﻭﻻ ‪:‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪= b2‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪=b‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫•‬ ‫‪(1).....‬‬ ‫• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a = b‬ﻓﺈﻥ ‪(2)...... a = b‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a < b‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ a < b‬ﻭﺒﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺘﻴﻥ ﻁـﺭﻑ ﺒﻁـﺭﻑ )ﺍﻷﻁـﺭﺍﻑ‬ ‫•‬ ‫ﻤﻭﺠﺒﺔ(‬ ‫ﻭ ‪a<b‬‬ ‫‪a2 < b2‬‬

‫ﻤﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a < b‬ﻴﻜﻭﻥ ‪(3)...... a 2 < b 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪a ≤ b a ≤ b2‬‬ ‫• ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ)‪ :(3‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬‫‪(4).....‬‬‫• ﺇﺫﺍ ﻜــﺎﻥ ‪ a < b‬ﻴﻜــﻭﻥ ‪) 0 < b‬ﻷﻥ ‪ ( a ≥ 0‬ﻤﻨــﻪ ‪ 0 < b‬ﻭ‬‫‪( b + a )( b −‬‬ ‫=)‪a‬‬ ‫)‪( b + a‬‬ ‫‪b−‬‬ ‫‪ 0< b+ a‬ﻭ ‪a‬‬‫= ‪( b )2 − ( )a 2‬‬ ‫‪b+ a‬‬ ‫= ‪b−a‬‬ ‫‪b+ a‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺴﻁ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻜﺫﻟﻙ‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ b − a > 0‬ﻤﻨﻪ ‪b > a‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a < b‬ﻴﻜﻭﻥ ‪( )5 ..... a < b‬‬‫• ﻤﻥ )‪ (2‬ﻭ)‪ :(5‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a ≤ b‬ﻴﻜﻭﻥ ‪( )6 ....... a ≤ b‬‬ ‫• ﻨﺒﺭﻫﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻤﺎﺕ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ‪:‬‬‫‪ 2‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ ) a2 = b2‬ﻤﻥ )‪ ((2‬ﺃﻱ ﻴﻜﻭﻥ‪a = b‬‬‫‪2‬‬ ‫• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫‪b=a‬‬ ‫‪ 2‬ﻴﻜﻭﻥ ‪a = b(I)....... a = b‬‬‫‪2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬‫• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a 2 < b 2‬ﻴﻜﻭﻥ ‪) a2 < b2‬ﻤﻥ )‪ ((5‬ﻭﻴﻜﻭﻥ ‪a < b‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a 2 < b 2‬ﻴﻜﻭﻥ ‪a(II)..... < b‬‬‫‪ 2‬ﻴﻜﻭﻥ ‪a ≤ b(III)..... a ≤ b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫• ﻤﻥ )‪ (I‬ﻭ)‪ :(II‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬‫• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a = b‬ﻴﻜﻭﻥ ‪) a 2 = b 2‬ﻤﻥ )‪ ((1‬ﻭﻴﻜﻭﻥ ‪( ) ( )a = b‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a = b‬ﻴﻜﻭﻥ ‪(IV).....a = b‬‬‫• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a < b‬ﻴﻜﻭﻥ ‪) a 2 = b 2‬ﻤﻥ )‪ ((3‬ﻭﻴﻜﻭﻥ ‪( ) ( )a < b‬‬

‫ﻤﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a < b‬ﻴﻜﻭﻥ ‪(V).....a < b‬‬‫• ﻤﻥ )‪ (IV‬ﻭ )‪ :(V‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a < b‬ﻴﻜﻭﻥ ‪( )VI .....a ≤ b‬‬ ‫ﺍﻟﺨﺎﺘﻤﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪ (I‬ﺍﻟﺘﻜﺎﻓﺅ )‪ (P‬ﺼﺤﻴﺢ‬ ‫ﻤﻥ )‪ (3‬ﻭ )‪ (II‬ﺍﻟﺘﻜﺎﻓﺅ )‪ (Q‬ﺼﺤﻴﺢ‬ ‫ﻤﻥ )‪ (4‬ﻭ )‪ (III‬ﺍﻟﺘﻜﺎﻓﺅ )‪ (R‬ﺼﺤﻴﺢ‬ ‫ﻤﻥ )‪ (2‬ﻭ )‪ (IV‬ﺍﻟﺘﻜﺎﻓﺅ )‪ (S‬ﺼﺤﻴﺢ‬ ‫ﻤﻥ )‪ (5‬ﻭ)‪ (V‬ﺍﻟﺘﻜﺎﻓﺅ )‪ (T‬ﺼﺤﻴﺢ‬ ‫ﻤﻥ )‪ (6‬ﻭ )‪ (V‬ﺍﻟﺘﻜﺎﻓﺅ )‪ (K‬ﺼﺤﻴﺢ‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ b‬ﻭ ‪a‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ‪: 2‬‬‫ﻜﺎﻥ ‪a = b‬‬ ‫ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫*‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ‬‫)ﺘﻭﺤﻴﺩ ﺍﻟﻤﻘﺎﻤﺎﺕ(‬ ‫‪b−a‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻌﻨﺎﻩ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻌﻨﺎﻩ‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪ b − a = 0‬ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪a = b‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ‪:3‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ‪ b‬ﻭ ‪ a‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪b<a‬‬ ‫ﻜﺎﻥ‬ ‫ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫‪1‬‬ ‫>‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫*‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b≤a‬‬ ‫ﻜﺎﻥ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻭﻓﻘﻁ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫‪1‬‬ ‫≥‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫*‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪ab> 01‬‬‫>‬‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪ :‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ﻤﻥ ﻨﻔـﺱ ﺍﻹﺸـﺎﺭﺓ‬ ‫‪a‬‬‫‪b‬‬ ‫‪b−a‬‬ ‫<‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻌﻨﺎﻩ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪<0‬‬ ‫ﻤﻌﻨﺎﻩ‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪) b − a < 0‬ﻷﻥ ‪( ab > 0‬‬ ‫ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪a > b‬‬‫ﻤﻌﻨـﺎﻩ ‪ b −a ≤ 0‬ﻤﻌﻨـﺎﻩ‬ ‫‪b−a‬‬ ‫‪≤0‬‬ ‫ﻤﻌﻨﺎﻩ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻌﻨﺎﻩ‬ ‫‪1‬‬ ‫≥‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b≤a‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ﻭﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ ‪ x :‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫‪x > 42‬‬ ‫• ﺇﺫﺍ ﻜـﺎﻥ‪ x > 4‬ﻟـﺩﻴﻨﺎ ‪ x > 0‬ﻭ ‪ 4 > 0‬ﻤﻨـﻪ )ﺤـﺴﺏ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴـﺔ( ‪2‬‬‫ﻭ‬ ‫‪ x > 4‬ﻤﻨﻪ ‪ x2 > 16‬ﻭ ‪x > 2‬‬‫• ﺇﺫﺍ ﻜـــﺎﻥ ‪ x < 0 , x < −3‬ﻤﻨـــﻪ ‪ − x > 0‬ﻭ ‪ −x >3‬ﻤﻨـــﻪ‬ ‫‪ (− x)2 > 32‬ﻤﻨﻪ ‪x2 > 9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫>‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 5 > 0‬ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ 5 < x‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪x > 0‬‬ ‫•‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬‫ﺃﻱ‬ ‫‪1‬‬ ‫≥‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻨـﻪ‬ ‫ﻭ ‪−3<0‬‬ ‫‪x<0‬‬ ‫ﻟـﺩﻴﻨﺎ‪x‬‬ ‫≤‬ ‫‪−3‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫•‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫>‬ ‫‪1‬‬ ‫‪>1‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪1‬‬ ‫>‬ ‫‪1‬‬ ‫>‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪x‬‬ ‫‪<1‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫•‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3x +1‬‬ ‫• ﻟﻨﻔﺭﺽ ‪ 1 < x <3‬ﻭﻟﻨﻌﻴﻥ ﺤﺼﺭﺍ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪2 x + 5‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 3 < 3x < 9‬ﻤﻨﻪ ‪) α .......4. <3x+1<10‬ﻻ ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺃﻥ ﻨﻘﺴﻡ ﻁﺭﻑ ﺒﻁﺭﻑ() (‬

‫‪ 2 < 2x < 6‬ﻤﻨﻪ ‪(β).....7 < 2x + 5 <11‬‬‫‪(δ‬‬ ‫‪)...‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪1‬‬ ‫>‬ ‫‪1‬‬ ‫>‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻨﺤﺎﻭل ﺍﻟﻀﺭﺏ ﻤﻥ ) ‪(β‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2x +‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2x + 5‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪4‬‬ ‫<‬ ‫‪3x +1‬‬ ‫<‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻤﻭﺠﺒﺔ(‬ ‫)ﺍﻷﻁﺭﺍﻑ‬ ‫ﺒﻁﺭﻑ‬ ‫ﻁﺭﻑ‬ ‫‪(δ‬‬ ‫ﻭ)‬ ‫) ‪(α‬‬ ‫ﻭﺒﻀﺭﺏ‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2x +5‬‬ ‫‪7‬‬

‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫‪1‬‬‫‪−a a > 7 a. a ,‬‬‫ﻤﺎﺫﺍ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﻘﻭل ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ‪, a 2‬‬ ‫‪ .1‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺒﺤﻴﺙ‬‫‪1‬‬‫‪−a aa ,‬‬‫‪ .2‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a < −11‬ﻤﺎﺫﺍ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﻘﻭل ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ‪, a 2‬‬‫ﻭ ‪ 1< b < 4‬ﻤﺎﺫﺍ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﻘﻭل ﻋﻠﻰ ﻜل‪3<a <5‬‬ ‫‪ a .3‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪, a − b , a × b , a + b‬‬‫‪b‬؟‬‫‪ a .4‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺒﺤﻴﺙ ‪ − 5 < a < −1‬ﻭ ‪ 5 < b < 7‬ﻋﻴﻥ ﺤﺼﺭﺍ ﻟﻜل‬‫‪a+b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪, 3a−5b , 3b − 2a‬‬‫‪a−b‬‬ ‫‪,a‬‬‫‪ a .5‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺴﺎﻟﺒﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺒﺤﻴﺙ ‪ , a 2 ≤ b2‬ﻗﺎﺭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪b‬‬ ‫‪ .6‬ﺇﺤﺼﺭ ‪ 135‬ﺒﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﻴﻥ‬‫ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻨﺎﻁﻘﻴﻥ‬ ‫ﺒﻴﻥ‬ ‫‪1352 + 3‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺤﺼﺭﺍ ﻟﻠﻌﺩﺩ‬ ‫‪4 − 135‬‬

‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺕ ‪ a : 01‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺒﺤﻴﺙ‪ a > 7 :‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪) a2 > 49 -‬ﺤﺴﺏ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ(‬ ‫* ﻭ ‪) − a < −7‬ﺤﺴﺏ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ(‬‫ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ(‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﻠﻭﺏ‬ ‫)ﺨﺎﺼﻴﺔ‬ ‫‪0‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻊ ﺍﻟﻌﻠﻡ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫*ﻭ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺕ ‪ a : 02‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺒﺤﻴﺙ‪ a < −11 :‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫* ‪a2 > 121‬‬ ‫* ﻭ ‪− a > 11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻊ ﺍﻟﻌﻠﻡ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫>‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫*ﻭ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪11‬‬‫ﺕ ‪ a : 03‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺒﺤﻴﺙ‪ 3< a <5 :‬ﻭ ‪1< b < 4‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬ ‫* ‪4<a+b<9‬‬ ‫* ﻭ ‪3< a×b < 20‬‬ ‫* ﻭﻤﻥ ) ‪ 3 < a < 5‬و ‪(− 4 < − b < − 1‬‬ ‫‪−1< a −b < 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫< ‪3‬و‪< 1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫<‬ ‫‪5 ‬‬ ‫* ﻭﻤﻥ‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫<‬ ‫‪a‬‬ ‫‪<5‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻨﺠﺩ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪b‬‬‫ﺕ ‪ a : 04‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺒﺤﻴﺙ ‪ − 5 < a < −1 :‬ﻭ ‪5 < b < 7‬‬ ‫* ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ‪− 5 < a < −1 :‬‬ ‫ﻨﺠﺩ ‪−15<3a<−3 :‬‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ‪5<b<7 :‬‬ ‫ﻨﺠﺩ ‪−35< −5b < −25 :‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ‪−50<3a−5b < −28 :‬‬ ‫ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ‪ :‬ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪17 < 3b − 2a < 31‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ − 5 < a < −1 :‬ﻭ ‪5 < b < 7‬‬ ‫‪5<b<7‬‬ ‫ﻭ‬ ‫<‪−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5<b<7‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪<1‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪−‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪<7‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪7‬‬ ‫<‬ ‫‪b‬‬ ‫<‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪a‬‬ ‫* ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺘﻴﻥ ‪ − 5 < a < −1 :‬ﻭ ‪5 < b < 7‬‬ ‫ﻨﺠﺩ ‪ 0 < a + b < 6 :‬ﻭ ‪−12 < a − b < −6‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪0<a+b<6‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪a−b‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪−‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪0<a+b<6‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪−b‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫<‬ ‫‪−‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪+b‬‬ ‫‪<1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪−b‬‬ ‫<‪−1‬‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪<0‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪a−b‬‬ ‫ﺕ ‪ a : 05‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺴﺎﻟﺒﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺒﺤﻴﺙ ‪a2 = b2 :‬‬ ‫ﻟﻨﻘﺎﺭﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ‪ a‬ﻭ ‪: b‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪a 2 ≤ b2‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ﺃﻥ ‪a2 − b2 ≤ 0 :‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ‪(a − b)(a + b) ≤ 0 :‬‬‫(‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b‬‬ ‫<‬ ‫‪0‬‬ ‫)ﻷﻥ‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪(a‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪b)(a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫≥‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ‪a − b ≥ 0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪a ≥ b :‬‬

‫ﺕ ‪: 06‬‬‫‪ .1‬ﺤﺼﺭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 135‬ﺒﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﻴﻥ‬ ‫ﺒﺎﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ﻨﺠﺩ‪135 = 11.6189..... :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪11 < 135 < 12 :‬‬‫ﺒﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻨﺎﻁﻘﻴﻥ‬ ‫‪2 135 + 3‬‬ ‫‪ .2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺤﺼﺭ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪4 − 135‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪11 < 135 < 12....(1) :‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻨﺠﺩ‪22 < 2 135 < 24 :‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪25 < 2 135 + 3 < 27....(2) :‬‬‫ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﻭﻤﻥ )‪ (1‬ﻨﺠﺩ ‪−12 < − 135 < −11 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪− 8 < 4 − 135 < −7 :‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪4−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪135‬‬ ‫‪8‬‬‫‪1‬‬ ‫‪<−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪....(3‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬‫‪8‬‬ ‫‪4−‬‬ ‫‪135‬‬ ‫‪7‬‬‫ﻤﻥ )‪ (2‬ﻭ )‪ (3‬ﻭﺒﺎﻟﻀﺭﺏ ﻁﺭﻓﺎ ﻟﻁﺭﻑ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪25‬‬ ‫<‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪135 + 3‬‬ ‫<‬ ‫‪27‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪− 135‬‬ ‫‪7‬‬‫‪−‬‬ ‫‪27‬‬ ‫<‬ ‫‪2‬‬ ‫‪135 + 3‬‬ ‫<‬ ‫‪−‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪− 135‬‬ ‫‪8‬‬

‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪(2) R‬‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﺠﺎﻻﺕ ‪R‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺭﺴﺔ ﺍﻟﺴﻠﻴﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﻭﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ ﻭﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ o‬ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‬ ‫‪ o‬ﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪R‬‬ ‫‪ o‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫‪ o‬ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫• ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﻨﺸﺎﻁ ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ )‪ (D‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻤﺩﺭﺠﺎ ﻤﺒﺩﺃﻩ ‪ 0‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪B, A‬ﻭ ‪C‬ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ D‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﻭﺍﺼﻠﻬﺎ ‪ 5 ,3‬ﻭ ‪( )-4‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬‫‪C0‬‬ ‫‪AB‬‬‫‪-4 0‬‬ ‫‪35‬‬ ‫• ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻫﻲ ‪2‬‬ ‫ﻨﻘﻭل ﻜﺫﻟﻙ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ 3‬ﻭ ‪) 5‬ﺃﻭ ﺒﻴﻥ ‪ 5‬ﻭ ‪ (3‬ﻫﻲ ‪ 2‬ﻭﻨﻼﺤﻅ‬ ‫‪2= 5–3‬‬ ‫• ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ C‬ﻫﻲ ‪7‬‬‫ﻨﻘﻭل ﻜﺫﻟﻙ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ 3‬ﻭ ‪) – 4‬ﺃﻭ ﺒﻴﻥ ‪ – 4‬ﻭ ‪ (3‬ﻫﻲ ‪ 7‬ﻭﻨﻼﺤﻅ )‪.7 = 3- (- 4‬‬ ‫• ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ B‬ﻭ ‪ C‬ﻫﻲ ‪.9‬‬‫ﻨﻘﻭل ﻜﺫﻟﻙ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ 5‬ﻭ ‪) – 4‬ﺃﻭ ﺒﻴﻥ ‪ – 4‬ﻭ ‪ (5‬ﻫﻲ ‪ 9‬ﻭﻨﻼﺤﻅ )‪.9 = 5 – (- 4‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a ≥ b‬ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻫﻲ ‪a − b‬‬ ‫• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a ≤ b‬ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻫﻲ ‪b − a‬‬ ‫ﺕ‪ .‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ d‬ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪.b‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a ≥ b‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ a − b ≥ 0‬ﻭ ‪ d = a − b‬ﻭﻜﺫﻟﻙ ‪a − b = a − b‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a ≤ b‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ a −b ≤ 0‬ﻭ ‪ d = b − a‬ﺃﻱ )‪ d = −(a − b‬ﻭ‬ ‫)‪. a − b = −(a − b‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫)‪ (a − b‬ﺃﻱ ﻫﻲ ‪a − b‬‬

‫ﻭﺒﺎﻷﺨﺹ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ a‬ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 0‬ﻫﻲ ‪ a − 0‬ﻭﻫﻲ ‪a‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ a‬ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 0‬ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ a‬ﺃﻱ‬ ‫ﻫﻲ ‪a‬‬ ‫• ﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪: R‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ ﻭﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ‪:‬‬ ‫• ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ ‪: a ≤ b‬‬‫ﺘﻤﺜﻴل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺘﺴﻤﻴﺘﻪ‪:‬‬ ‫ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﺩﺭﺝ‬ ‫ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﻤﺠﺎل‪......‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪ a ≤ x ≤ b‬ﻤﻐﻠﻕ‬ ‫]‪[a, b‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪ a〈 x〈b‬ﻤﻔﺘﻭﺡ‬ ‫[‪]a, b‬‬‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻤﻔﺘﻭﺡ ﻓﻲ ‪a‬‬ ‫‪a〈x ≤ b‬‬ ‫]‪]a, b‬‬ ‫ﻤﻐﻠﻕ ﻓﻲ ‪b‬‬ ‫[‪[a, b‬‬‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻤﻐﻠﻕ ﻓﻲ ‪a‬‬ ‫‪a ≤ x〈b‬‬ ‫ﻤﻔﺘﻭﺡ ﻓﻲ ‪b‬‬ ‫ﻓﻲ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ‪:‬‬ ‫• ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻫﻤﺎ ﺤﺩﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪.‬‬ ‫)ﺃﻭ ﻤﻨﺘﺼﻑ( ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻫﻭ ﻤﺭﻜﺯ‬ ‫‪b+a‬‬ ‫•‬ ‫‪2‬‬ ‫• ‪ b − a‬ﻫﻭ ﻁﻭل )ﺃﻭ ﺴﻌﺔ( ﺍﻟﻤﺠﺎل‪.‬‬

‫ﻫﻭ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪.‬‬ ‫‪b−a‬‬ ‫•‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a b+a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b−a b−a‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪b−a‬‬ ‫• ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‬‫ﺘﻤﺜﻴﻠﻪ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﺩﺭﺝ‬ ‫ﻗﺴﻤﻴﺘﻪ‪ :‬ﻤﺠﺎل‪....‬‬ ‫ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ‬ ‫ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‬ ‫ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻏﻴﺭ ﻤﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ‬ ‫‪ab‬‬ ‫ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻤﻐﻠﻕ ﻓﻲ ‪a‬‬ ‫‪a≤x‬‬ ‫[∞‪[a,+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻏﻴﺭ ﻤﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ‬ ‫‪a〈x‬‬ ‫[∞‪]a,+‬‬ ‫ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻤﻔﺘﻭﺡ ﻓﻲ ‪a‬‬ ‫ﻏﻴﺭ ﻤﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ‬ ‫‪x≤b‬‬ ‫]‪]− ∞,b‬‬ ‫ﺍﻷﺴﻔل ﻤﻐﻠﻕ ﻓﻲ ‪b‬‬ ‫ﻏﻴﺭ ﻤﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ‬ ‫‪x〈b‬‬ ‫[‪]− ∞,b‬‬ ‫ﺍﻷﺴﻔل ﻤﻔﺘﻭﺡ ﻓﻲ ‪b‬‬ ‫* ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ R‬ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ∞‪] [− ∞,+‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫∞ ‪ −‬ﻭ ∞ ‪ +‬ﻟﻴﺴﺎ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‪.‬‬‫ﻤﺜﺎل ﺘﻁﺒﻴﻘﻲ‪ :‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻭ ‪ J‬ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ﺤﻴﺙ ]‪ I = [− 4,2‬ﻭ ]‪J = [− 3,5‬‬ ‫ﻟﻨﻌﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ]) ‪(x ∈ I‬و) ‪[(x ∈ J‬‬‫‪4- 3- 0‬‬ ‫ﻨﻤﺜل ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ‪:‬‬ ‫‪25‬‬

‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]− 3,2‬‬‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ x)] :‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪ ( I‬ﻭ) ‪ x‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪ [( J‬ﻤﻌﻨﺎﻩ )‪ x‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺘﻘﺎﻁﻊ ‪ I‬ﻭ ‪ ( J‬ﻭﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ‬ ‫\"ﺘﻘﺎﻁﻊ ‪ I‬ﻭ ‪ J‬ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ‪I ∩ J‬‬ ‫ﻭﻫﻜﺫﺍ ‪I ∩ J = [− 3,2] :‬‬‫← ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻷﻟﻭﺍﻥ ﻴﺴﻬل ﺍﻟﻌﻤل‪ :‬ﻨﻠﻭﻥ ﺒﺎﻷﺤﻤﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﻋﻨﺎﺼﺭ ‪ I‬ﻭﺒﺎﻷﺨﻀﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل‬ ‫ﻋﻨﺎﺼﺭ ‪ J‬ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﻋﻨﺎﺼﺭ ‪ I ∩ J‬ﻫﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﻠﻭﻨﺔ ﺒﺎﻷﺤﻤﺭ ﻭﺒﺎﻷﺨﻀﺭ‪.‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ r‬ﻋﺩﺩﺍ ﻤﻭﺠﺒﺎ‪ .‬ﻟﻨﻤﺜل ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﺩﺭﺝ )‪ (D‬ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﻤﻐﻠﻕ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪a‬‬ ‫ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ ‪ r‬ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﻫﻭ]‪[a − r, a + r‬‬ ‫‪B AM‬‬ ‫‪CP‬‬ ‫‪t‬‬‫‪t a-r 3- a x‬׳‬ ‫‪a+r y‬‬ ‫‪rr‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ C, B, A‬ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﻭﺍﺼﻠﻬﺎ ‪ a + r , a − r , a‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ‪:‬‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ ,x‬ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ‪ M‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﻭﺍﺼﻠﺘﻬﺎ ‪M :x‬‬ ‫•‬‫ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ‪ BC‬ﻤﻌﻨﺎﻩ )ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ M‬ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪[ ]( r‬‬ ‫•‬ ‫‪-‬‬‫¾ ‪ x ∈ a − r, a + r‬ﻤﻌﻨﺎﻩ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ a‬ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ] [‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪-‬‬‫ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪(r‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ y‬ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ‪ P‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪: y‬‬‫‪ P‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻨﺼﻑ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ '‪ Bt‬ﺃﻭ ﺇﻟﻰ ﻨﺼﻑ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪) Ct‬ﺃﻨﻅﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل() )[ [‬‫ﻤﻌﻨﺎﻩ )ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ P‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ (r‬ﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫¾ )[∞‪y ∈ [a + r,+‬أو]‪ ( y ∈ ]− ∞, a − r‬ﻤﻌﻨﺎﻩ )ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪y‬‬ ‫ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪.(r‬‬‫)ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ P‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ (r‬ﻤﻌﻨﺎﻩ )‪ y = a − r‬ﺃﻭ ‪( y = a + r‬‬

‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻤﺠﺎﻻﺕ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻭﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﺎ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ r‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻭﺠﺒﺎ ‪:‬‬‫‪ .1‬ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﻤﻐﻠﻕ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ a‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ ‪ r‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]a − r, a + r‬‬ ‫‪ .2‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ ,x‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﺘﻜﺎﻓﺅ ‪:‬‬‫)‪ x‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪ ( a − r, a + r‬ﻤﻌﻨﺎﻩ )ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ x‬ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪[ ].(r‬‬ ‫‪ .3‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ y‬ﻟﻨﺎ ﺍﻟﺘﻜﺎﻓﺅﺍﻥ ‪:‬‬‫* )‪ y‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪ − ∞, a − r‬ﺃﻭ ﺇﻟﻰ ∞‪ ( a + r,+‬ﻤﻌﻨﺎﻩ )ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ y‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ] ] [ [‬ ‫ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪.(r‬‬‫* ) ‪ y − a = −r‬ﺃﻭ ‪ ( y − a = r‬ﻤﻌﻨﺎﻩ )ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ y‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪.(r‬‬‫← ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺭﻜﻴﺯ ﻻﺴﺘﺭﺠﺎﻉ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‪ ,‬ﻴﺘﻀﺢ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﺩﺭﺝ‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﻟﻴﻜﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪[2,5‬‬‫‪2 3.5 5‬‬ ‫ﺃﻱ ‪3.5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻭﻫﻭ‬ ‫‪5+2‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪[2,5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫‪1.5 1.5‬‬ ‫‪[ ]3‬‬ ‫‪5−2‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪2,5‬‬ ‫ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬ﺃﻱ ‪1.5‬‬ ‫ﺃﻱ ﻫﻭ‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ (x ∈ 2,5 ) :‬ﻤﻌﻨﺎﻩ )ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ 3.5‬ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪[ ](1.5‬‬‫) ∞‪ x ∈ 5,+‬ﺃﻭ ‪ ( x ∈ − ∞,2‬ﻤﻌﻨﺎﻩ )ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ 3.5‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪] ] [ [(1.5‬‬ ‫ﺕ‪ .‬ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﻭﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ‪:‬‬‫ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ x‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ x‬ﻫﻲ ‪ x − a‬ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﻭﻤﻥ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﻔﺎﺭﻁﺔ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ r‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻭﺠﺒﺎ‪.‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﺘﻜﺎﻓﺅﺍﻥ ‪:‬‬ ‫)‪(x∈[a −r,a +r]) ⇔(r ≥ x −a‬‬‫)‪ (x ∈[a + r,+∞[)]⇔ ( x − a ≥ r‬أو)]‪[(x ∈]− ∞,a − r‬‬ ‫)‪ (x −a = −r)) ⇔( x −a = r‬أو)‪((x −a = r‬‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﺘﺎﻤﺔ‪ ,‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﺎ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ r‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﺎ ﻤﻭﺠﺒﺎ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﺘﻜﺎﻓﺅﺍﻥ ‪:‬‬ ‫)‪(x∈]a−r,a+r[) ⇔(r〉 x−a‬‬ ‫) ‪ (x∈]−∞,a−r[) ⇔( x−a〉r‬أو)[∞‪(x∈]a+r,+‬‬ ‫ﻤﻠﺨﺹ ﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻫﺎﻤﺔ ‪:‬‬ ‫‪ A‬ﻭ ‪ x‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻭ ‪ r‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ‬‫)ﺤﻴﺙ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل \"‪ r‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ\" ﺒـ \" ‪ r‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ\" ﻭﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻌﺭﻴﻀﺔ‬ ‫ﺒﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ ﺘﺎﻤﺔ ﻭﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﺒﻤﺠﺎﻻﺕ ﻤﻔﺘﻭﺤﺔ(‬‫]‪x ∈ [a − r, a + r‬‬ ‫‪a−r ≤ x≤a+r‬‬ ‫‪x−a ≤r‬‬‫]‪x ∈ ]− ∞, a − r‬‬ ‫‪x≤a−r‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫ﺃﻭ‬‫[∞‪x ∈ [a + r,+‬‬ ‫‪x≥a+r‬‬ ‫‪x−a ≥r‬‬‫\"‪.‬‬ ‫‪( [a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫[∞‪r,+‬‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻴﻨﺘﻤﻲ‬ ‫)‪x‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫(‬ ‫‪]−‬‬ ‫‪∞,‬‬ ‫‪a−‬‬ ‫]‪r‬‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫\" )‪ x‬ﻴﻨﺘﻤﻲ‬‫ﻤﻌﻨﺎﻩ‪ x\":‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺇﺘﺤﺎﺩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ]‪ ]− ∞, a − r‬ﻭ [∞‪.\" [a + r,+‬‬‫ﻭﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﺇﺘﺤﺎﺩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ]‪ ]− ∞, a − r‬ﻭ [∞‪ [a + r,+‬ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ‬ ‫[∞‪]− ∞, a − r]∪ [a + r,+‬‬

‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﻟﻨﻌﻴﻥ ﺤﺼﺭﺍ ﻟﻠﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ b‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ‪ 5 > b‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ‪ 5 > b − 0‬ﻤﻌﻨﺎﻩ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬‫ﺒﻴﻥ ‪ b‬ﻭ ‪ 0‬ﺃﺼﻐﺭ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ ‪ 5‬ﺃﻱ ‪ 5 > b − 0‬ﺃﻱ ‪ 0 − 5 < b < 0 + 5‬ﺃﻱ ‪. − 5 < b < 5‬‬ ‫ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺜﺎل‪ 5 > b − 0 :‬ﻤﻌﻨﺎﻩ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ b‬ﻭ ‪ 0‬ﺃﺼﻐﺭ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ ‪5‬‬‫‪5‬‬ ‫‪05‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﻋﻴﻥ ﺤﺼﺭﺍ ﻟﻠﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ‪:‬‬‫]‪] [. x ∈ 2, 5 , x∈[0.75,1] , x∈[5.8.5???????]?, x∈]−1,2‬‬ ‫‪ .2‬ﺃﺘﻤﻡ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ -‬ﺤﻴﺙ ‪ I‬ﻤﺠﺎل ﻭ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ –‬ ‫)ﻟﻘﺩ ﻤﻸﻨﺎ ﺍﻟﺴﻁﺭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻋﻠﻰ ﺴﺒﻴل ﺍﻟﻤﺜﺎل(‪.‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺍﺴﺘﻌﻤﻠﻨﺎ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ‬ ‫ﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻋﻠﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬‫ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻭﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ‪,‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻫﻭ‬ ‫ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﺩﺭﺝ ﻫﻭ ﻫﻭ‬ ‫ﻫﻭ‬‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \"‪\" x ∈ I‬‬ ‫‪2,5‬‬ ‫]‪0,5 [− 2,3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-2 0 3‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫[‪- 1 ]−1,6‬‬‫‪x − 0.5 ≤ 2.5‬‬‫‪x+2 ≤2‬‬ ‫‪ .3‬ﻋﻴﻥ ﺤﺼﺭﺍ ﻟﻠﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ a‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪. a 〈7 , a + 3 ≤ 1 , a − 2 ≤ 5‬‬ ‫‪ .4‬ﺃﺘﻤﻡ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ –ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ x‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺇﺘﺤﺎﺩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬ ‫‪x−5 ≥3‬‬ ‫‪x+2 ≥1‬‬ ‫‪x〉 2‬‬‫‪ .5‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ a‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ 2‬ﻫﻲ ‪ 3‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ 4‬ﻫﻲ ‪5‬‬

‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ‪:‬‬‫ﺕ ‪ : 01‬ﻟﻨﻌﻴﻥ ﺤﺼﺭﺍ ﻟﻠﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫* ]‪ x ∈ ]−1,2‬ﺘﻌﻨﻲ ‪−1 < x ≤ 2‬‬ ‫* ]‪ x ∈[5,8.5‬ﺘﻌﻨﻲ ‪5 ≤ x ≤ 8.5‬‬ ‫* ]‪ x ∈[0.75,1‬ﺘﻌﻨﻲ ‪0.75 ≤ x ≤ 1‬‬ ‫* ‪ x ∈ 2, 5‬ﺘﻌﻨﻲ ‪] [2 < x < 5‬‬ ‫ﺕ ‪: 02‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭ ‪ x‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‬ ‫ﻟﻨﺘﻤﻡ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻌﻁﻰ‬‫ﺇﺫﺍ ﺍﺴﺘﻌﻤﻠﺕ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ‬ ‫ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬ ‫ﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻫﻭ‬‫ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻭﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ﻫﻭ‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫‪2.5‬‬‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \"‪\" x ∈ I‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫ﻤﺩﺭﺝ ﻫﻭ‬ ‫‪3.5‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪-2 0 3‬‬ ‫]‪[− 2,3‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫‪-4 0 2‬‬ ‫]‪[− 4,2‬‬ ‫‪x − 0.5 ≤ 2.5‬‬ ‫‪-10 6‬‬ ‫[‪]−1,6‬‬ ‫]‪[− 4,0‬‬ ‫‪x +1 ≤ 3‬‬ ‫‪x − 2.5 < 3.5‬‬ ‫‪x+2 ≤2‬‬ ‫‪-4 0‬‬ ‫ﺕ ‪: 03‬‬ ‫ﻟﻨﻌﻴﻥ ﺤﺼﺭﺍ ﻟﻠﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ a‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ‪:‬‬ ‫• ‪ a − 2 ≤ 5‬ﺘﻌﻨﻲ ‪− 3 ≤ a ≤ 7‬‬ ‫• ‪ a + 3 ≤ 1‬ﺘﻌﻨﻲ ‪− 4 ≤ a ≤ −2‬‬ ‫• ‪ a < 7‬ﺘﻌﻨﻲ ‪− 7 < a < 7‬‬