دروس مادة الرياضيات للفصل الثالث سنة ثالثة متوسط

‫ﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‬ ‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫™ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺤﺭﻓﻲ ‪ :‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﻤﺠﻬﻭل ﻭﺍﺤﺩ‬ ‫™ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ ﻭ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪ُ -‬ﺒﻌﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﻋﻥ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﺩﺍﺌﺭﺓ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺠﻴﺏ ﺘﻤﺎﻡ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺤﺎﺩﺓ‪.‬‬ ‫™ ﺘﻨﻅﻴﻡ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ) ﺍﻹﺤﺼﺎﺀ (‬ ‫™ ﺍﻻﻨﺴﺤﺎﺏ‪.‬‬ ‫™ ﺍﻟﻬﺭﻡ ﻭ ﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‬

‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺤﺭﻓﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺫﺍﺕ ﻤﺠﻬﻭل ﻭﺍﺤﺩ‪.‬‬ ‫• ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺓ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬‫ﺘﺭﻴﻴﺽ ﻤﺸﻜﻼﺕ ﻭ ﺤﹼﻠﻬﺎ ﺒﺘﻭﻅﻴﻑ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺫﺍﺕ ﻤﺠﻬﻭل ﻭﺍﺤﺩ‪.‬‬ ‫ﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﺪرس‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺫﺍﺕ ﻤﺠﻬﻭل ﻭﺍﺤﺩ‬ ‫• ﺘﺭﻴﻴﺽ ﻤﺸﻜﻠﺔ‬ ‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬

‫• اﻟﻤﻌﺎدﻻت ﻡﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻷوﻟﻰ ذات ﻡﺠﻬﻮل واﺣﺪ‪:‬‬ ‫• ﺗﻌﺮیﻒ‬‫ﻧﻌﻨﻲ ﺑﺤ ّﻞ ﻡﻌﺎدﻟﺔ‪ ،‬إیﺠﺎد آ ّﻞ اﻟﻘﻴﻢ اﻟﻌﺪدیﺔ ﻟﻠﻤﺠﻬﻮل ‪ x‬اﻟﺘﻲ ﻡﻦ أﺟﻠﻬﺎ ﺗﻜﻮن اﻟﻤﺴﺎواة ﻡﺤﻘﻘﺔ‪.‬‬ ‫ﻧﺴ ّﻤﻲ هﺬﻩ اﻟﻘﻴﻢ اﻟﻌﺪدیﺔ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‪.‬‬ ‫ﻡﺜﺎل‬ ‫ﺣ ّﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪814 2− 43x = 314x 2−434‬‬ ‫ﺍﻟﻁﺭﻑ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺍﻟﻁﺭﻑ ﺍﻷ ّﻭل‬ ‫ﺗﺘﺸ ّﻜﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻡﻦ ﻃﺮف أ ّول وﻃﺮف ﺛﺎن‪.‬‬ ‫‪ x = 3‬ﺣ ّﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‪ .‬ﻷ ّن ‪8 − 3 = 3 × 3 − 4‬‬ ‫• ﻡﺮاﺟﻌﺔ‬ ‫‪ .1‬ﺣ ّﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪3x + 7 = 5 − x‬‬‫ƒ ﻧﺠ ّﻤﻊ اﻟﺤﺪود اﻟﺘﻲ ﺗﺘﻀ ّﻤﻦ اﻟﻤﺠﻬﻮل ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﻄﺮف اﻷ ّول ﺑﺈﺽﺎﻓﺔ ‪ + x‬إﻟﻰ اﻟﻄﺮﻓﻴﻦ‪:‬‬ ‫‪3x +7 = 5 − x‬‬‫‪3x +7 + x = 5 − x + x‬‬ ‫‪4x +7 = 5‬‬‫ƒ ﻧﺠ ّﻤﻊ اﻟﺤﺪود اﻟﺘﻲ ﻻ ﺗﺘﻀ ّﻤﻦ اﻟﻤﺠﻬﻮل ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﻄﺮف اﻟﺜﺎﻧﻲ ﺑﺈﺽﺎﻓﺔ ‪ −7‬إﻟﻰ اﻟﻄﺮﻓﻴﻦ‪:‬‬ ‫‪4x +7 = 5‬‬‫) ‪4x + 7 + (−7 ) = 5 + (−7‬‬‫‪4x = −2‬‬ ‫ƒ ﻧﻘﺴﻢ اﻟﻄﺮﻓﻴﻦ ﻋﻠﻰ ‪: 4‬‬ ‫‪4x = −2‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+7‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫ﻧﺘﺤﻘﻖ‪:‬‬ ‫ƒ‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ƒ‬ ‫هﻮ ﺣ ّﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‪.‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻧﺴﺘﺨﻠﺺ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫‪2-‬ﺣ ّﻞ‬ ‫‪3‬‬‫ﻧﻼﺣﻆ أ ّن اﻟﺤﺪود اﻟﺘﻲ ﺗﺘﻀ ّﻤﻦ اﻟﻤﺠﻬﻮل ‪ x‬ﻡﻮﺝﻮدة ﻓﻲ اﻟﻄﺮف اﻷ ّول واﻟﺤﺪود اﻟﺘﻲ ﻻ ﺗﺘﻀ ّﻤﻦ‬ ‫اﻟﻤﺠﻬﻮل ‪ x‬ﻡﻮﺝﻮدة ﻓﻲ اﻟﻄﺮف اﻟﺜﺎﻧﻲ‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ƒ‬ ‫ﻧﻀﺮب ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻓﻲ ﻡﻘﻠﻮب ‪: 3‬‬‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪×4‬‬‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻧﺘﺤﻘﻖ‪:‬‬ ‫ƒ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‪.‬‬ ‫ﺣ ّﻞ‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪2,4‬‬ ‫ﻧﺴﺘﺨﻠﺺ‪:‬‬ ‫ƒ‬ ‫‪5‬‬

‫• ﺗﺮیﻴﺾ ﻡﺸﻜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﻧﻌﻨﻲ ﺑﺘﺮیﻴﺾ ﻡﺸﻜﻠﺔ‪ ،‬ﺗﺮﺟﻤﺘﻬﺎ ﺑﻤﻌﺎدﻟﺔ و ﺣّﻠﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮیﻦ‪:‬‬ ‫هﻞ یﻮﺝﺪ ﺛﻼﺛﺔ أﻋﺪاد ﻃﺒﻴﻌﻴﺔ ﻡﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻡﺠﻤﻮﻋﻬﺎ یﺴﺎوي‪:‬‬ ‫ﺑ( ‪ 197‬؟‬ ‫أ( ‪ 252‬؟‬ ‫• ﻧﺨﺘﺎر اﻟﻤﺠﻬﻮل‬ ‫ﻧﺴ ّﻤﻲ ‪ x‬أﺹﻐﺮ هﺬﻩ اﻷﻋﺪاد‪.‬‬ ‫ﺗﻜﻮن اﻷﻋﺪاد اﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ هﻲ ‪ x‬؛ ‪ x + 1‬؛ ‪. x + 2‬‬ ‫• ﻧﺘﺮﺟﻢ اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﺑﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫أ( إذا آﺎن اﻟﻤﺠﻤﻮع یﺴﺎوي ‪ ، 252‬ﻓﺈ ّن‪:‬‬ ‫‪x + ( x + 1) + ( x + 2) = 252‬‬ ‫ﺑ( إذا آﺎن اﻟﻤﺠﻤﻮع یﺴﺎوي ‪ ، 197‬ﻓﺈ ّن‪:‬‬ ‫‪x + ( x + 1) + ( x + 2) = 197‬‬‫‪x + ( x + 1) + ( x + 2) = 197‬‬ ‫• ﻧﺤ ّﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫‪x + ( x + 1) + ( x + 2) = 252‬‬‫‪3x + 3 = 197‬‬ ‫‪3x + 3 = 252‬‬ ‫أ(‬‫‪3x = 194‬‬ ‫‪ 3x = 249‬ﺑ(‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪194‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪249‬‬ ‫=‬ ‫‪83‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬‫‪ x‬ﻟﻴﺲ ﻋﺪدا ﻃﺒﻴﻌﻴﺎ‪ ،‬ﻷ ّن ‪ 197‬ﻻ یﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪. 3‬‬ ‫• ﻧﺘﺮﺟﻢ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺘﻲ ﻡﺠﻤﻮﻋﻬﺎ یﺴﺎوي ‪ 252‬هﻲ‪ 83 :‬؛ ‪ 84‬؛ ‪. 85‬‬ ‫)ﺗﺤﻘﻴﻖ‪.( 83 + 84 + 85 = 252 :‬‬ ‫ﻻ یﻤﻜﻦ إیﺠﺎد ﺙﻼﺙﺔ أﻋﺪاد ﻡﺘﺘﺎﺑﻌﺔ یﻜﻮن ﻡﺠﻤﻮﻋﻬﺎ ‪. 197‬‬ ‫ﻃﺮیﻘﺔ‬ ‫ﻟﺘﺮیﻴﺾ ﻡﺸﻜﻠﺔ‪ ،‬ﻧﺘّﺒﻊ اﻟﻤﻨﻬﺠﻴﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻧﺨﺘﺎر اﻟﻤﺠﻬﻮل‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻧﺘﺮﺟﻢ اﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﺑﻤﻌﺎدﻟﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻧﺤ ّﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻧﺘﺮﺟﻢ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‪.‬‬

‫• ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫ﺣ ّﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت ذات اﻟﻤﺠﻬﻮل ‪ x‬اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫ﺤ( ‪102 − x = 2‬‬ ‫أ( ‪5 + x = 65‬‬ ‫د( ‪−4 = x + 7‬‬ ‫ﺑ( ‪x + 3 = 15‬‬ ‫ﺤ( ‪x − 0,5 = 7,5‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫د( ‪1,3 + x = −3‬‬ ‫أ( ‪−x − 5 = −8‬‬ ‫ﺑ( ‪6 = −3 − x‬‬ ‫ﺤ( ‪−250 = 2,5x‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪= 45‬‬ ‫د(‬ ‫أ( ‪7 x = 12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺑ( ‪0,5x = 2‬‬ ‫ﺤ( ‪0,2x = −5 − 0,3x‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫د( ‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫أ( ‪3x + 1 = 10‬‬ ‫ﺑ( ‪−6 x + 2 = −4 x‬‬‫• ‪x + 10 = 8‬‬ ‫‪ .5‬أرﻓﻖ ﺑﻜ ّﻞ ﻧ ّﺺ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻮاﻓﻘﺔ ﻟﻪ‪.‬‬‫• ‪x + 8 = 10‬‬ ‫• ﻡﺴﺎﺣﺔ ﻡﺴﺘﻄﻴﻞ ﺗﺴﺎوي ‪8 cm2‬‬ ‫و ﻃﻮﻟﻪ یﺴﺎوي ‪. 10 cm‬‬ ‫ﻡﺎ هﻮ ﻋﺮﺽﻪ ؟‬‫• ‪10x = 8‬‬ ‫ارﺗﻔﻌﺖ درﺝﺔ اﻟﺤﺮارة ﺑـ ‪ 10°C‬ﻋﻤﺎ‬ ‫•‬ ‫آﺎﻧﺖ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ اﻟﺼﺒﺎح وأﺻﺒﺤﺖ ‪. 8°C‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫•‬‫‪8‬‬ ‫ﻡﺎ هﻲ اﻟﺪرﺝﺔ اﻟﻤﺴﺠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺼﺒﺎح ؟‬

‫‪.6‬‬ ‫ﻡﺤﻴﻂ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ یﺴﺎوي ‪. 17 cm‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺎﺱﺘﻌﻤﺎل اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ‪،‬اآﺘﺐ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺴﻤﺢ ﺑﺘﻌﻴﻴﻦ ‪. x‬‬ ‫أوﺝﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪. x‬‬‫‪ .7‬هﻞ یﻤﻜﻦ إیﺠﺎد ﺛﻼﺛﺔ أﻋﺪاد ﻡﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺑﺤﻴﺚ یﻜﻮن ﻡﺠﻤﻮﻋﻬﺎ‪:‬‬ ‫ﺑ( ‪197‬‬ ‫أ( ‪252‬‬ ‫‪.8‬‬‫‪ .1‬ﻋّﺒﺮ ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪ x‬ﻋﻦ اﻟﻄﻮل اﻟﻜّﻠﻲ ﻷﺣﺮف اﻟﻌﻠﺒﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪.‬‬‫‪x‬‬ ‫‪ .2‬اﺣﺴﺐ ﻋﻠﻤﺎ أ ّن اﻟﻄﻮل اﻟﻜّﻠﻲ‬ ‫ﻟﻸﺣﺮف هﻮ ‪. 4m‬‬‫‪35 cm‬‬ ‫‪42 cm‬‬‫‪ .9‬أآﻞ أﺻﺪﻗﺎء ﻓﻲ ﻡﻄﻌﻢ ودﻓﻌﻮا ﻡﺒﻠﻎ ‪ 1000‬دیﻨﺎرا وأرﺝﻊ ﻟﻬﻢ ﺻﺎﺣﺐ اﻟﻤﻄﻌﻢ ‪ 370‬دیﻨﺎرا‪ .‬إذا‬ ‫ﻋﻠﻤﺖ أ ّن ﺣﺼﺔ آ ّﻞ واﺣﺪ هﻲ ‪ 210‬دیﻨﺎرا‪ ،‬ﻡﺎ هﻮ ﻋﺪد اﻷﺵﺨﺎص ﻓﻲ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ؟‬ ‫‪ M .10‬ﻧﻘﻄﺔ ﻡﻦ ﻗﻄﻌﺔ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ AB‬ﻃﻮﻟﻬﺎ ‪ AMCD . 5 cm‬ﻡﺴﺘﻄﻴﻞ ﺣﻴﺚ] [‬ ‫‪ AD = 2,5 cm‬و ‪ MBE‬ﻡﺜﻠﺚ ﻡﺘﻘﺎیﺲ اﻷﺽﻼع‪ .‬ﻧﻀﻊ ‪. AM = x‬‬ ‫‪ .1‬ارﺱﻢ اﻟﺸﻜﻞ ﺑﺎﻟﻴﺪ اﻟﺤ ّﺮة‪.‬‬ ‫‪ .2‬اﺣﺴﺐ ‪ x‬ﺑﺤﻴﺚ یﻜﻮن ﻟﻠﻤﺴﺘﻄﻴﻞ واﻟﻤﺜﻠﺚ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺤﻴﻂ‪.‬‬

‫• ﺣﻠﻮل اﻟﺘﻤﺎریﻦ و اﻟﻤﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫ﺤ( ‪x = 100‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫د( ‪x = −11‬‬ ‫أ( ‪x = 60‬‬ ‫ﺑ( ‪x = 12‬‬ ‫ﺤ( ‪x = 8‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫د( ‪x = −4,3‬‬ ‫أ( ‪x = 3‬‬ ‫ﺑ( ‪x = −9‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫ﺤ( ‪x = −100‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫أ(‬ ‫د( ‪x = −90‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺑ( ‪x = 4‬‬ ‫ﺤ( ‪x = −10‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫د( ‪x = 1,5‬‬ ‫أ( ‪x = 3‬‬ ‫ﺑ( ‪x = 1‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫• ‪10x = 8‬‬ ‫• ﻡﺴﺎﺣﺔ ﻡﺴﺘﻄﻴﻞ ﺗﺴﺎوي ‪8 cm2‬‬‫• ‪x + 10 = 8‬‬ ‫وﻃﻮﻟﻪ یﺴﺎوي ‪. 10 cm‬‬ ‫ﻡﺎ هﻮ ﻋﺮﺽﻪ ؟‬ ‫ارﺗﻔﻌﺖ درﺝﺔ اﻟﺤﺮارة ﺑـ ‪ 10°C‬ﻋﻤﺎ‬ ‫•‬ ‫آﺎﻧﺖ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ اﻟﺼﺒﺎح وأﺻﺒﺤﺖ ‪. 8°C‬‬ ‫ﻡﺎ هﻲ اﻟﺪرﺝﺔ اﻟﻤﺴﺠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺼﺒﺎح ؟‬ ‫‪ .6‬ﻟﺪیﻨﺎ‪. 4 x + 5,52 = 17 :‬‬ ‫ﻡﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪4x + 5,52 = 17‬‬ ‫‪4x = 17 − 5,52‬‬ ‫‪4x = 11,48‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪11,48‬‬ ‫=‬ ‫‪2,87‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أي أ ّن ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ ‪ x‬هﻮ ‪. 2,87cm‬‬

‫‪ .7‬ﻟﻴﻜﻦ أﺣﺪ هﺬﻩ اﻷﻋﺪاد ‪، n‬‬ ‫ﻡﻨﻪ ‪ (n − 1) + n + (n + 1) = 252‬أي أ ّن‪. 3n = 252 :‬‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ أ ّن اﻟﻌﺪد ‪ 252‬یﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 3‬وﻧﺠﺪ‪n = 84 :‬‬ ‫وﺗﻜﻮن اﻷﻋﺪاد آﻤﺎ یﻠﻲ‪ 83 :‬؛ ‪ 84‬؛ ‪. 85‬‬‫ﺑﻴﻨﻤﺎ اﻟﻌﺪد ‪ 197‬ﻻ یﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ، 3‬ﻓﻼ یﻤﻜﻦ إیﺠﺎد ﺛﻼﺛﺔ أﻋﺪاد ﻡﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺑﺤﻴﺚ یﻜﻮن ﻡﺠﻤﻮﻋﻬﺎ‬ ‫‪. 197‬‬ ‫‪ .8‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ L‬اﻟﻄﻮل اﻟﻜّﻠﻲ ﻟﻸﺣﺮف‪.‬‬ ‫ﻟﺪیﻨﺎ‪L = 4 ( x + 35 + 42) :‬‬ ‫ﻡﻦ أﺝﻞ ‪ ، L = 4 m = 400 cm‬ﻧﺠﺪ‪:‬‬‫‪4 ( x + 35 + 42) = 400‬‬‫‪x + 35 + 42 = 100‬‬‫‪x = 23‬‬ ‫أي أ ّن ﻃﻮل اﻟﺤﺮف ‪ x‬ﺱﺎوي ‪. 23 cm‬‬ ‫‪ .9‬ﻧﻔﺮض ‪ n‬ﻋﺪد أﻓﺮاد اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ‪.‬‬ ‫ﻟﺪیﻨﺎ‪n × 210 + 370 = 1000 :‬‬ ‫ﻡﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪n × 210 + 370 = 1000‬‬ ‫‪210n = 630‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪630‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪210‬‬ ‫إذن‪ ،‬ﻋﺪد أﻓﺮاد اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ هﻮ‪. 3 :‬‬ ‫‪.10‬‬

‫إذا آﺎن ﻟﻠﺸﻜﻠﻴﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺤﻴﻂ‪ ،‬ﻓﺈ ّن‪:‬‬‫)‪2(x + 2,5) = 3(5 − x‬‬ ‫ﻡﻨﻪ‪:‬‬‫)‪2(x + 2,5) = 3(5 − x‬‬‫‪2x + 5 = 15 − 3x‬‬‫‪5x = 10‬‬‫‪x=2‬‬‫ﺣﺘﻲ یﻜﻮن ﻟﻠﺸﻜﻠﻴﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺤﻴﻂ‪ ،‬یﻨﺒﻐﻲ أن ﻧﺨﺘﺎر ‪. AM = 2 cm‬‬

‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ‪ :‬ﺍﻟﺒﻌﺩ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ‪،‬‬ ‫ﺠﻴﺏ ﺘﻤﺎﻡ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺤﺎﺩﺓ‪.‬‬ ‫• ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺒﻌﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﻋﻥ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻭﺘﻌﻴﻴﻨﻪ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻭﺩﺍﺌﺭﺓ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺃﻨﺸﺎﺀ ﻤﻤﺎﺱ ﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻨﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺠﻴﺏ ﺘﻤﺎﻡ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺤﺎﺩﺓ ﻓﻲ ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ‪.‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺯﻭﺍﻴﺎ ﺃﻭ ﺃﻁﻭﺍل ﺒﺘﻭﻅﻴﻑ ﺠﻴﺏ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ‪.‬‬ ‫ﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﺪرس‬ ‫• ﺒﻌﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﻋﻥ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫• ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﺩﺍﺌﺭﺓ‬ ‫• ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻭﺩﺍﺌﺭﺓ‬ ‫• ﺠﻴﺏ ﺘﻤﺎﻡ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺤﺎﺩﺓ‬ ‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬

‫• ﺑﻌﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻦ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‪:‬‬ ‫ﻧﺴﻤﻲ ﺑﻌﺪ ﻧﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻋﻦ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (d‬أﻗﺼﺮ ﻡﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪A‬‬ ‫واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪. (d‬‬ ‫ﺗﻘﺎس هﺬﻩ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻌﻤﻮدي ) ‪ (d‬واﻟﺬي یﺸﻤﻞ ‪. A‬‬‫اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت‪ :‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي یﺸﻤﻞ ‪ A‬و یﻌﺎﻡﺪ ) ‪ (d‬یﻘﻄﻊ ) ‪ (d‬ﻓﻲ ‪. H‬‬ ‫اﻟﺨﻼﺻﺔ‪ :‬اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ AH‬هﻲ ﺑﻌﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪. (d‬‬ ‫اﺱﺘﻨﺘﺎج‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻡﻦ أﺟﻞ آ ّﻞ ﻥﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻡﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ، (d‬ﻓﺈ ّن ‪. AM ≥ AH‬‬

‫• اﻟﻤﻤﺎس ﻟﺪاﺋﺮة ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﻤﺎس ﻟﺪاﺋﺮة ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻡﻦ داﺋﺮة ﻡﺮآﺰهﺎ ‪ O‬هﻮ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي‬ ‫یﺸﻤﻞ ‪ M‬واﻟﺬي یﻌﺎﻡﺪ ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ ‪[ ]. OM‬‬ ‫اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت‪ M :‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ داﺋﺮة ﻡﺮآﺰهﺎ ‪ (d ) . O‬ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ‪ OM‬ﻓﻲ ‪[ ].M‬‬ ‫اﻟﺨﻼﺻﺔ‪ (d ) :‬ﻡﻤﺎس ﻟﻠﺪاﺋﺮة ﻓﻲ ‪. M‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ‪:‬‬‫إذا آﺎن ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ (d‬ﻡﻤﺎﺱﺎ ﻟﺪاﺋﺮة )‪ (C‬ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ‪ ، M‬ﻓﺈن هﺬﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ هﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﻮﺣﻴﺪة‬ ‫اﻟﻤﺸﺘﺮآﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺪاﺋﺮة )‪ (C‬واﻟﻤﻤﺎس ) ‪. (d‬‬ ‫ﻡﻼﺣﻈﺔ‪ :‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﺕﺴﻤﻰ ﻥﻘﻄﺔ اﻟﺘﻤﺎس‪.‬‬

‫• إﻧﺸﺎء ﻡﻤﺎس ﻟﺪاﺋﺮة‪:‬‬‫ﻃﺮیﻘﺔ‪ :‬ﻹﻥﺸﺎء اﻟﻤﻤﺎس ﻓﻲ ‪ M‬ﻟﺪاﺋﺮة ﻡﺮآﺰهﺎ ‪ ، O‬ﻥﻨﺸﺊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي یﺸﻤﻞ ‪ M‬واﻟﺬي یﻌﺎﻡﺪ‬ ‫) ‪. (OM‬‬

‫• اﻟﻮﺿﻌﻴﺎت اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ وداﺋﺮة ‪:‬‬ ‫) ‪ (d‬ﺥﺎرج ﻟﻠﺪاﺋﺮة )‪(C‬‬ ‫) ‪ (d‬ﻡﻤﺎس ﻟﻠﺪﺋﺮة )‪ (C‬اﻟﺘﻲ‬ ‫) ‪ (d‬ﻗﺎﻃﻊ ﻟﻠﺪاﺋﺮة )‪(C‬‬ ‫اﻟﺘﻲ ﻡﺮآﺰهﺎ ‪ O‬وﻥﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ‬ ‫ﻡﺮآﺰهﺎ ‪ O‬وﻥﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ‬ ‫اﻟﺘﻲ ﻡﺮآﺰهﺎ ‪ O‬وﻥﺼﻒ‬ ‫‪. . r‬ﻋﻨﻲ‪:‬‬ ‫‪.r‬‬ ‫ﻗﻄﺮهﺎ ‪ . r‬یﻌﻨﻲ‪:‬‬ ‫• اﻟﺪاﺋﺮة واﻟﻤﺴﺘﻔﻴﻢ ﻟﻬﻤﺎ ﻥﻘﻄﺔ‬ ‫یﻌﻨﻲ‪:‬‬ ‫• اﻟﺪاﺋﺮة واﻟﻤﺴﺘﻔﻴﻢ ﻟﻬﻤﺎ‬ ‫ﻡﺸﺘﺮآﺔ وﺣﻴﺪة‪.‬‬‫• اﻟﺪاﺋﺮة واﻟﻤﺴﺘﻔﻴﻢ ﻟﻴﺲ ﻟﻬﻤﺎ ﻥﻘﻂ‬ ‫ﻥﻘﻄﺘﺎن ﻡﺸﺘﺮآﺘﺎن‪.‬‬ ‫• ‪. OH = r‬‬ ‫ﻡﺸﺘﺮآﺔ‪.‬‬ ‫• ‪. OH ‹ r‬‬ ‫• ‪. OH › r‬‬ ‫ﻡﻼﺣﻈﺔ‪ :‬اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ OH‬هﻲ ﺑﻌﺪ اﻟﻤﺮآﺰ ‪ O‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪. (d‬‬

‫• ﺟﻴﺐ ﺗﻤﺎم زاویﺔ ﺣﺎدة ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‪:‬‬‫ﺟﻴﺐ ﺗﻤﺎم زاویﺔ ﺣﺎدة ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ هﻮ ﺣﺎﺹﻞ ﻗﺴﻤﺔ اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻤﺠﺎور ﻟﻬﺬﻩ اﻟﺰاویﺔ ﻋﻠﻰ وﺗﺮ اﻟﻤﺜﻠﺚ‪.‬‬ ‫= ‪cos ABC‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪ . A‬ﻟﺪیﻨﺎ‬ ‫‪ ABC‬ﻡﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ‬ ‫‪BC‬‬ ‫اﻟﺮﻡﺰ ‪ cos‬یﻘﺮأ \" ﺟﻴﺐ ﺕﻤﺎم\" أو \"ﺕﺠﺐ\"‪.‬‬ ‫ﻡﻼﺣﻈﺔ‪:‬‬‫ﺑﻤﺎ أ ّن اﻟﻮﺕﺮ هﻮ أآﺒﺮ ﺿﻠﻊ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ‪ ،‬ﻓﺈ ّن ﺟﻴﺐ ﺕﻤﺎم زاویﺔ ﺣﺎدة هﻮ ﻋﺪد ﻡﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ ‪ 0‬و ‪.1‬‬ ‫ﺕﻌﻴﻴﻦ ﺟﻴﺐ ﺕﻤﺎم أو زاویﺔ ﺑﺎﺱﺘﻌﻤﺎل اﻟﺤﺎﺱﺒﺔ‬ ‫• اﻟﻠﻤﺴﺔ ‪ cos‬ﺕﺴﻤﺢ ﺑﺘﻌﻴﻴﻦ ﻗﻴﻤﺔ ﺟﻴﺐ ﺕﻤﺎم زاویﺔ‪.‬‬‫‪ 35 cos‬ﺣﺴﺐ اﻵﻟﺔ(‪.‬‬ ‫ﻡﺜﺎل‪ :‬ﻋّﻴﻦ ‪. cos 35°‬‬ ‫‪ -‬اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‪ :‬ﻥﺨﺘﺎر اﻟﻮﺿﻌﻴﺔ » ‪ « degrés‬ﻟﻶﻟﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﺜﺎﻥﻴﺔ‪ :‬ﻥﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ‪) cos 35‬أوﻋﻠﻰ‬ ‫یﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺵﺎﺵﺔ اﻟﺤﺎﺱﺒﺔ اﻟﻌﺪد ‪. 0,819152044‬‬ ‫إذن‪) cos 35° ≈ 0,82 :‬اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻡﺪ ّورة إﻟﻰ ‪.( 0, 01‬‬ ‫• اﻟﻠﻤﺴﺔ ‪ cos-1‬ﺕﺴﻤﺢ ﺑﺘﻌﻴﻴﻦ ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺰاویﺔ‪.‬‬ ‫ﻡﺜﺎل‪ :‬ﻥﻌﻠﻢ أن ‪. cos DEF = 0, 3‬ﻋﻴﻦ اﻟﺰاویﺔ ‪. DEF‬‬‫‪ 0, 3‬ﺣﺴﺐ اﻵﻟﺔ(‪.‬‬ ‫‪ -‬اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‪ :‬ﻥﺨﺘﺎر اﻟﻮﺿﻌﻴﺔ » ‪ « degrés‬ﻟﻶﻟﺔ‪.‬‬ ‫‪cos-1‬‬ ‫‪) cos-1‬أوﻋﻠﻰ‬ ‫‪ -‬اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﺜﺎﻥﻴﺔ‪:‬ﻥﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ‪0,3‬‬

‫یﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺵﺎﺵﺔ اﻟﺤﺎﺱﺒﺔ اﻟﻌﺪد ‪. 72, 54239688‬‬‫إذن‪) DEF ≈ 73° :‬اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻡﺪورة إﻟﻰ اﻟﻮﺣﺪة أي إﻟﻰ اﻟﺪرﺟﺔ(‪.‬‬‫ﻡﻼﺣﻈﺔ‪ :‬ﺑﺼﻔﺔ ﻋﺎﻡﺔ‪ ،‬اﻟﻌﺪد اﻟﺬي یﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺵﺎﺵﺔ اﻵﻟﺔ هﻮ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻤﻘﺮﺑﺔ ﻟﺠﻴﺐ ﺕﻤﺎم أو ﻟﺰاویﺔ‪.‬‬ ‫ﺕﻌﻴﻴﻦ زاویﺔ ﺣﺎدة ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ‬‫ﻡﺜﺎل‪ ABC :‬ﻡﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ A‬ﺣﻴﺚ ‪ AC = 2, 4 cm‬و ‪. BC = 5, 3cm‬‬‫‪ACB‬‬ ‫ﻋّﻴﻦ اﻟﻤﺪور إﻟﻰ اﻟﺪرﺟﺔ ﻟﻠﺰاویﺔ ‪.‬‬ ‫اﻟﺤ ّﻞ‪:‬‬‫= ‪. cos ACB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫=‬ ‫‪2, 4‬‬ ‫‪ ،‬ﻓﺈ ّن‬ ‫‪A‬‬ ‫ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ‬ ‫ﺑﻤﺎ أ ّن اﻟﺜﻠﺚ ‪ABC‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪5, 3‬‬‫ﺑﺎﺱﺘﻌﻤﺎل اﻟﻠﻤﺴﺔ ‪ cos-1‬ﻟﻠﺤﺎﺱﺒﺔ یﻈﻬﺮ اﻟﻌﺪد ‪. 63, 07458857‬‬ ‫إذن‪ACB. ≈ 63° :‬‬ ‫ﺣﺴﺎب ﻃﻮل ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺑﺎﺱﺘﻌﻤﺎل ﺟﻴﺐ ﺕﻤﺎم زاویﺔ‬‫ﻡﺜﺎل‪ DEF :‬ﻡﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ D‬ﺣﻴﺚ ‪ DF = 3 cm‬و ‪. DFE = 40°‬‬ ‫أﺣﺴﺐ اﻟﻤﺪور إﻟﻰ اﻟﻤﻴﻠﻴﻤﺘﺮ ﻟﻠﻄﻮل ‪. FE‬‬

cos DFE = DF ‫ ﻓﺈ ّن‬، D ‫ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ‬ DEF ‫ﺑﻤﺎ أ ّن اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ FE . FE = DF = 3 ‫أي‬ cos DFˆE cos 40° FE ≈ 3,9 cm ‫ﻡﻨﻪ‬

‫• ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫‪ .1‬إﻟﻴﻚ اﻟ ّﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫أﺕﻤﻢ اﻟﺠﻤﻠﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ MH‬هﻮ ُﺑﻌﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ ...‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪. ...‬‬‫‪ .2‬أﻥﻘﻞ اﻟ ّﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ﺙﻢ ﻋّﻴﻦ‪ ،‬ﺑﺎﻟﺘﻘﺮیﺐ إﻟﻰ اﻟﻤﻴﻠﻴﻤﺘﺮ‪ ،‬ﺑﻌﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻋﻦ آ ّﻞ ﻡﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت )‪، (d1‬‬ ‫) ‪. (d3) ، (d2‬‬ ‫‪ - (1 .3‬أرﺱﻢ داﺋﺮة ﻡﺮآﺰهﺎ ‪ O‬وﻥﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ ‪. 2, 5 cm‬‬ ‫‪ -‬أرﺱﻢ ﻗﻄﺮا ] ‪.[MN‬‬ ‫‪ -‬أرﺱﻢ اﻟﻤﻤﺎس ) ‪ (d‬ﻟﻠﺪاﺋﺮة ﻓﻲ ‪ M‬ﺙﻢ اﻟﻤﻤﺎس )' ‪ (d‬ﻟﻠﺪاﺋﺮة ﻓﻲ ‪. N‬‬ ‫‪ (2‬ﺑّﻴﻦ أ ّن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ) ‪ (d‬و )' ‪ (d‬ﻡﺘﻮازیﺎن‪.‬‬ ‫‪ (1 .4‬أرﺱﻢ ﻗﻄﻌﺔ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ AB‬ﻃﻮﻟﻬﺎ ‪ 5 cm‬ﺙ ّﻢ أرﺱﻢ ﻡﺤﻮرهﺎ ) ‪[ ]. (d‬‬

‫‪ – ( 2‬أﻥﺸﺊ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻡﺮآﺰهﺎ ‪ B‬واﻟﺘﻲ ﺕﻤ ّﺲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪. (d‬‬ ‫‪ -‬ﻡﺎ هﻮ ﻃﻮل ﻥﺼﻒ ﻗﻄﺮ هﺬﻩ اﻟﺪاﺋﺮة ؟‬ ‫‪ -‬ﻡﺎ هﻮ ﺑﻌﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ (d‬؟‬ ‫‪ .5‬ﻻﺣﻆ اﻟ ّﺸﻜﻞ اﻵﺕﻲ‪:‬‬ ‫هﻞ ﺑﻌﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫)‪ (BC‬یﺴﺎوي ‪ 21cm‬؟ ﻋّﻠﻞ‪.‬‬ ‫‪ .6‬ﺑﺎﺱﺘﻌﻤﺎل اﻟﺤﺎﺱﺒﺔ‪:‬‬‫‪ (1‬أﻋﻂ ﺣﺼﺮ اﻟﻌﺪد ‪ cosα‬ﺑﺎﻟﺘﻘﺮیﺐ إﻟﻰ ‪ 0, 01‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ α = 10° :‬؛ ‪ α = 28°‬؛‬ ‫‪.α = 75°‬‬ ‫‪ (2‬أﻋﻂ اﻟ ُﻤﺪور إﻟﻰ ‪ 0, 01‬ﻟﻠﻌﺪد ‪ cosα‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ α = 16°‬؛ ‪ α = 45°‬؛ ‪.α = 83°‬‬ ‫‪ .7‬أﺣﺴﺐ اﻟﻄﻮل ‪ EF‬ﺑﺎﻟﺘﻘﺮیﺐ إﻟﻰ اﻟﻤﻴﻠﻴﻤﺘﺮ ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ‪:‬‬

‫‪ .8‬أﺣﺴﺐ اﻟ ُﻤﺪور إﻟﻰ ‪ 0,1°‬ﻟﻠﺰاویﺔ ˆ‪ B‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ‪:‬‬

‫• ﺣﻠﻮل اﻟﺘﻤﺎریﻦ و اﻟﻤﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫‪ MH .1‬هﻮ ﺑﻌﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪. ( AH‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪ -‬ﺑﻌﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (d1‬هﻮ اﻟﻄﻮل ‪، MH1‬‬ ‫إذن ‪. MH1 ≈ 2, 3cm‬‬ ‫‪ -‬ﺑﻌﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ (d2‬هﻮ اﻟﻄﻮل ‪، MH2‬‬ ‫إذن ‪. MH2 ≈ 2,9 cm‬‬ ‫‪ -‬ﺑﻌﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ (d3‬هﻮ اﻟﻄﻮل ‪، MH3‬‬ ‫إذن ‪. MH3 ≈ 2 cm‬‬ ‫‪(1 .3‬‬‫‪ (2‬ﺑﻤﺎ أ ّن ‪ MN‬ﻗﻄﺮ ﻟﻠﺪاﺋﺮة‪،‬ﻓﺈ ّن اﻟﻨﻘﻂ ‪ N ، O ، M‬ﻋﻠﻰ اﺱﺘﻘﺎﻡﺔ واﺣﺪة‪[ ].‬‬

‫ﺑﻤﺎ أ ّن ) ‪ (d‬ﻡﻤﺎس ﻟﻠﺪاﺋﺮة ﻓﻲ ‪ ، M‬ﻓﺈ ّن ) ‪ (d‬یﻌﺎﻡﺪ ‪ OM‬ﻓﻲ ‪ M‬أي] [‬ ‫) ‪ (d‬یﻌﺎﻡﺪ ) ‪ (MN‬ﻓﻲ ‪. M‬‬ ‫ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮیﻘﺔ ﻥﺒّﻴﻦ أ ّن )' ‪ (d‬یﻌﺎﻡﺪ ) ‪ (MN‬ﻓﻲ ‪. N‬‬ ‫) ‪ (d‬و )' ‪ (d‬یﻌﺎﻡﺪان ﻥﻔﺲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪. (MN‬إذن ) ‪ (d‬و )' ‪ (d‬ﻡﺘﻮازیﺎن‪.‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪ -‬ﻃﻮل ﻥﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة هﻮ ‪ AH‬أي ‪. 2cm‬‬ ‫‪ -‬ﺑﻌﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ HB (d‬أي ‪. 2cm‬‬‫‪ .5‬ﻟﻺﺟﺎﺑﺔ ﻋﻦ اﻟﺴﺆال‪ ،‬ﻥﺘﺤﻘﻖ إن آﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ ( AB‬ﻋﻤﻮدیﺎ ﻋﻠﻰ )‪ (BC‬أي ﻥﺘﺤﻘﻖ إن آﺎن اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫‪ ABC‬ﻗﺎﺋﻤﺎ ﻓﻲ ‪. B‬‬ ‫‪. AC2 = 512 = 2601‬‬ ‫‪AB2 + BC2 = 242 + 452 = 575 + 2025 = 2601‬‬ ‫ﻥﻼﺣﻆ أ ّن ‪AC 2 = AB2 + BC 2‬‬ ‫ﺣﺴﺐ ﻋﻜﺲ ﻥﻈﺮیﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس‪ ،‬ﻓﺈ ّن اﻟﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪. B‬‬ ‫ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن ﺑﻌﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (BC‬یﺴﺎوي ‪. 21cm‬‬ ‫‪ 0,98 < cos10° < 0,99 (1 .6‬؛ ‪ 0,88 < cos 28° < 0,89‬؛‬ ‫‪. 0,25 < cos 75° < 0,26‬‬ ‫‪ cos16° ≈ 0,96 (2‬؛ ‪ cos 45° ≈ 0, 71‬؛ ‪cos83° ≈ 0,12‬‬ ‫‪.7‬‬

‫وﻡﻨﻪ‬ ‫‪cos EFG‬‬ ‫=‬ ‫‪EF‬‬ ‫‪ . E‬إذن‬ ‫ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ‬ ‫‪EFG‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻷوﻟﻰ‪ ،‬اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫‪EG‬‬‫‪ EF = cos EFG × EG = cos 47°× 8,5‬أي ‪. EF ≈ 5,8 cm‬‬‫وﻡﻨﻪ‬ ‫‪cos GEF‬‬ ‫=‬ ‫‪GE‬‬ ‫‪ . G‬إذن‬ ‫ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ‬ ‫‪EFG‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﺜﺎﻥﻴﺔ‪ ،‬اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫‪EF‬‬ ‫‪. EF‬‬ ‫‪≈ 8,1dm‬‬ ‫أي‬ ‫‪EF‬‬ ‫=‬ ‫‪GE‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪cos GEF‬‬ ‫‪cos 52°‬‬ ‫‪ .8‬اﻟﻤﺪور إﻟﻰ ‪ 0,1°‬ﻟﻠﺰاویﺔ ˆ‪ B‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻷوﻟﻰ‪ ،‬ﻟﺪیﻨﺎ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪. A‬‬ ‫ﻥﺠﺪ‪:‬‬ ‫اﻟﺤﺎﺱﺒﺔ‪،‬‬ ‫اﻵﻟﺔ‬ ‫وﺑﺎﺱﺘﻌﻤﺎل‬ ‫‪cos‬‬ ‫ˆ‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪AB‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪0,8‬‬ ‫إذن‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪10‬‬‫‪ EF = cos EFG × EG = cos 47°× 8,5‬أي ‪. EF ≈ 5,8 cm‬‬‫وﻡﻨﻪ‬ ‫‪cos GEF‬‬ ‫=‬ ‫‪GE‬‬ ‫‪ . G‬إذن‬ ‫ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ‬ ‫‪EFG‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﺜﺎﻥﻴﺔ‪ ،‬اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫‪EF‬‬ ‫‪. EF‬‬ ‫‪≈ 8,1dm‬‬ ‫أي‬ ‫‪EF‬‬ ‫=‬ ‫‪GE‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪cos GEF‬‬ ‫‪cos 52°‬‬

‫ﺘﻨﻅﻴﻡ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ) ﺍﻹﺤﺼﺎﺀ(‬ ‫‪ .‬ﺘﺠﻤﻴﻊ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻓﻲ ﻓﺌﺎﺕ ﻭﺘﻨﻅﻴﻤﻬﺎ ﻓﻲ ﺠﺩﻭل‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺘﻜﺭﺍﺭﺕ‪.‬‬‫‪ -‬ﺘﻘﺩﻴﻡ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻓﻲ ﺠﺩﻭل ﻭﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺒﻤﺨﻁﻁ ﺃﻭ ﺒﻴﺎﻥ )ﺍﻷﺸﺭﻁﺔ‪ ،‬ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ(‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻥ ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﺠﺩﻭﻻﺕ ﻓﻲ ﺍﺴﺘﻐﻼل ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﺪرس‬ ‫• ﺘﺠﻤﻴﻊ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻓﻲ ﻓﺌﺎﺕ‬ ‫• ﺤﺴﺎﺏ ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻭ ﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‬ ‫• ﺘﻤﺜﻴل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬ ‫• ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻥ ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬ ‫• ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻤﺠﺩﻭل ﻻﺴﺘﻐﻼل ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‪.‬‬ ‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬

‫• ﺗﺠﻤﻴﻊ ﻡﻌﻄﻴﺎت إﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ﻓﻲ ﻓﺌﺎت‪:‬‬ ‫ﻃﺮیﻘﺔ‬‫ﻟﺘﻘﺪیﻢ ﺑﻌﺾ اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت وﺗﺴﻬﻴﻞ ﻗﺮاءﺗﻬﺎ وﺗﻔﺴﻴﺮهﺎ‪ ،‬یﺴﺘﺤﺴﻦ أﺣﻴﺎﻧﺎ ﺗﺠﻤﻴﻌﻬﺎ ﻓﻲ ﻡﺠﺎﻻت ُﺗﺴ ّﻤﻰ‬ ‫ﻓﺌﺎت‪.‬‬ ‫ﻡﺜﺎل‪ :‬إﻟﻴﻚ اﻟﻌﻼﻣﺎت اﻟﺘﻲ ﺗﺤ ّﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺗﻼﻣﻴﺬ ﻗﺴﻢ ﻟﻠﺴﻨﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻓﻲ ﻓﺮض اﻟﺮیﺎﺿﻴﺎت‪:‬‬‫‪8 7,5 7,5 5 5 5 4,5 4,5 3 1‬‬‫‪11 11 11 11 10 10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬‫‪16,5 16,5 16 16 16 14,5 14 14 14 12,5‬‬ ‫‪18 17‬‬‫• یﻤﻜﻦ ﺗﻘﺪیﻢ اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﻲ ﺷﻜﻞ ﺗﻮزیﻊ ﻟﺘﻼﻣﻴﺬ اﻟﻘﺴﻢ ﺡﺴﺐ اﻟﻌﻼﻣﺔ اﻟﻤﺤﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻔﺮض‪:‬‬‫اﻟﻌﻼﻣ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7,‬‬ ‫‪89‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪14,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪16,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ة‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬‫اﻟﺘﻜﺮا‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ر‬ ‫• یﻤﻜﻦ أیﻀﺎ ﺗﻘﺪیﻢ هﺬﻩ اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت ﻓﻲ ﺷﻜﻞ ﺗﻮزیﻊ ﻟﻔﺌﺎت اﻟﻌﻼﻣﺎت‪:‬‬ ‫اﻟﻔﺌﺔ‬ ‫‪0≤n<5‬‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮع ‪5 ≤ n < 10 10 ≤ n < 15 15 ≤ n ≤ 20‬‬‫اﻟﺘﻜﺮار‬ ‫‪4 10 11 7 32‬‬ ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺌﺔ ‪ 0 ≤ n < 5‬ﻣﺜﻼ‪ ،‬ﻥﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﻼﻣﺎت‪ 1 :‬؛ ‪ 3‬؛ ‪ 4,5‬؛‪.4,5‬‬ ‫ﻡﻼﺣﻈﺔ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ‪ ،‬ﻃﻮل آ ّﻞ ﻓﺌﺔ هﻮ ‪ .5‬ﻥﻘﻮل أ ّن اﻟﻔﺌﺎت ﻣﺘﺴﺎویﺔ اﻟﻄﻮل‪.‬‬

‫• ﺣﺴﺎب ﺗﻜﺮارات و ﺗﻮاﺗﺮات ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‪:‬‬ ‫ﻧﺴ ّﻤﻲ ﺗﻜﺮار ﻗﻴﻤﺔ ﻓﻲ ﺱﻠﺴﻠﺔ إﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ﻋﺪد ﻡ ّﺮات ﻇﻬﻮر ﺗﻠﻚ اﻟﻘﻴﻤﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت‪.‬‬ ‫ﻧﺴ ّﻤﻲ ﺗﻮاﺗﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻓﻲ ﺱﻠﺴﻠﺔ إﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ﺣﺎﺹﻞ ﻗﺴﻤﺔ ﺗﻜﺮار هﺬﻩ اﻟﻘﻴﻤﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻜﺮار اﻟﻜّﻠﻲ‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻜﺮار اﻟﻜّﻠﻲ هﻮ اﻟﻌﺪد اﻟﻜّﻠﻲ ﻟﻠﻤﻌﻄﻴﺎت‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻮاﺗﺮ هﻮ ﻋﺪد أﺹﻐﺮ ﻡﻦ أو یﺴﺎوي ‪ ،1‬ﻏﺎﻟﺒﺎ ﻡﺎ ﻧﻌّﺒﺮ ﻋﻨﻪ ﺑﻨﺴﺒﺔ ﻡﺌﻮیﺔ‪.‬‬ ‫ﻡﺜﺎل‬ ‫ﻥﺘﺎﺉﺞ ﺱﺒﺮ ﺁراء ﺧ ّﺺ ‪ 1240‬ﺷﺨﺼﺎ‪:‬‬ ‫‪ \" 434‬ﺿﺪ \" ‪ \" 310‬ﺑﺪون رأي \"‪.‬‬ ‫‪ \" 496‬ﻣﻮاﻓﻖ \"‬‫اﻟﺮأي‬ ‫ﻣﻮاﻓﻖ‬ ‫ﺿﺪ‬ ‫ﺑﺪون رأي‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮع‬‫اﻟﺘﻜﺮار‬ ‫‪496‬‬‫اﻟﺘﻮاﺗﺮ‬ ‫‪40‬‬ ‫‪434 310 1240‬‬ ‫‪35 25 100‬‬ ‫‪ \" 434‬ﻀﺩ \" ﻋﻠﻰ ‪.1240‬‬ ‫ﺃﻭ ‪. 35%‬‬ ‫‪0,35‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪434‬‬ ‫ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﻫﻭ‬ ‫‪1240‬‬

‫• ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺱﻠﺴﻠﺔ إﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻡﺜﺎل ‪1‬‬ ‫ﻥﻤّﺜﻞ اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت اﻟﻮاردة ﻓﻲ ﻣﺜﺎل اﻟﻔﻘﺮة اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺑﺎﺡﺘﺮام اﻟﻘﻮاﻋﺪ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻲ اﻟﻤﺨﻄﻂ ﺑﺎﻷﻋﻤﺪة ‪ ،‬ﺗﻜﻮن ارﺗﻔﺎﻋﺎت \" اﻷﻋﻤﺪة \" ﻣﺘﻨﺎﺱﺒﺔ ﻣﻊ اﻟﺘﻜﺮارات‪.‬‬‫‪ -‬ﻓﻲ اﻟﻤﺨﻄﻂ اﻟﺪاﺉﺮي )أو ﻥﺼﻒ اﻟﺪاﺧﻠﻲ(‪ ،‬ﺗﻜﻮن أﻗﻴﺎس اﻟﺰوایﺎ ﻣﺘﻨﺎﺱﺒﺔ ﻣﻊ اﻟﺘﻜﺮارات‪.‬‬ ‫اﻟﺮأي‬ ‫ﻣﻮاﻓﻖ‬ ‫ﺿﺪ‬ ‫ﺑﺪون‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮع‬ ‫رأي‬ ‫اﻟﺘﻜﺮار‬ ‫‪40‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪100‬‬ ‫)‪(%‬‬‫‪40% 35%‬‬ ‫‪25%‬‬ ‫اﻻرﺗﻔﺎع‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1,75 1,25‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪(cm‬‬ ‫اﻟﺮأي‬ ‫ﻣﻮاﻓﻖ‬ ‫ﺿﺪ‬ ‫ﺑﺪون‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮع‬ ‫رأي‬‫‪25%‬‬ ‫اﻟﺘﻜﺮار‬ ‫‪100‬‬ ‫‪35%‬‬ ‫‪40%‬‬ ‫)‪(%‬‬ ‫‪40 35 25‬‬ ‫‪360‬‬ ‫اﻟﺰاویﺔ‬ ‫‪180‬‬ ‫) ‪(°‬‬ ‫‪144 126 90‬‬ ‫‪72 63 45‬‬ ‫ﻡﺜﺎل ‪2‬‬‫ﻋﻨﺪ ﻓﺤﺺ ﻃﺒ ّﻲ ﺧ ّﺺ ﺗﻠﻤﻴﺬا ‪ُ ،‬ﺱﺠﻞ اﻟﻌﺪد ‪ p‬ﻟﻠﻨﺒﻀﺎت اﻟﻘﻠﺒﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﺪﻗﻴﻘﺔ اﻟﻮاﺡﺪة وآﺎﻥﺖ اﻟﻨﺘﺎﺉﺞ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪68 90 75 81 78 77 64 50 61 86‬‬ ‫‪70 97 69 79 67 77 75 89 73 61‬‬ ‫‪ (°1‬ﻥ ّﻈﻢ اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﻲ ﻓﺌﺎت أﻃﻮاﻟﻬﺎ ‪ ،10‬ﺙ ّﻢ اﺡﺴﺐ ﺗﻜﺮار آ ّﻞ ﻓﺌﺔ‪.‬‬ ‫‪ (°2‬ﻣّﺜﻞ اﻟﺴﻠﺴﻠﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﺑﻤﺨﻄﻂ ﺑﺎﻷﺷﺮﻃﺔ‪.‬‬ ‫ﻃﺮیﻘﺔ ــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫اﻟﻔﺌﺎت‬ ‫‪50 ≤ p < 60‬‬ ‫‪60 ≤ p < 70‬‬ ‫‪ (°1‬ﻥﻘ ّﺪم اﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻓﻲ ﺝﺪول آﻤﺎ یﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪90 ≤ p‬‬ ‫‪70 ≤ p < 80 80 ≤ p < 90 < 100‬‬‫اﻟﺘﻜﺮارات‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪32‬‬ ‫ﻥﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ أ ّن ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺘﻜﺮارات یﺴﺎوي اﻟﺘﻜﺮار اﻟﻜّﻠﻲ ‪.20‬‬

‫‪(°2‬‬ ‫ƒ ﻥﺮﺱﻢ ﻣﺤﻮریﻦ ﻟﻼﺡﺪاﺙﻴﺎت‪،‬‬ ‫ﻥﻌّﻠﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﻔﻮاﺹﻞ اﻟﻘﻴﻢ اﻟﺤﺪیﺔ ﻟﻠﻔﺌﺎت‬ ‫وﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺘﺮاﺗﻴﺐ ﻗﻴﻢ اﻟﺘﻜﺮارات‪.‬‬‫ƒ ﻥﺮﺱﻢ ﻣﺴﺘﻄﻴﻼت ﻋﺮض آ ّﻞ ﻣﻨﻬﺎ یﺴﺎوي اﻟﻄﻮل اﻟﻤﺸﺘﺮك ﻟﻠﻔﺌﺎت‬ ‫وارﺗﻔﺎﻋﺎﺗﻬﺎ ﺗﺴﺎوي ﺗﻜﺮارات اﻟﻔﺌﺎت‪.‬‬ ‫ƒ ُﻥﻌﻨﻮن اﻟﻤﺨﻄﻂ‪.‬‬

‫• ﺣﺴﺎب اﻟﻮﺱﻂ اﻟﻤﺘﻮازن ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ إﺣﺼﺎﺋﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‬ ‫ﻧﺴ ّﻤﻲ وﺱﻂ ﺱﻠﺴﻠﺔ إﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ﺣﺎﺹﻞ ﻗﺴﻤﺔ ﻡﺠﻤﻮع اﻟﻘﻴﻢ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻜﺮار اﻟﻜّﻠﻲ‪.‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‬‫‪ .1‬ﻥﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﻼﻣﺎت اﻟﻤﺤ ّﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻣﻦ ﻃﺮف ‪ 25‬ﺗﻠﻤﻴﺬا ﻟﻠﺴﻨﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻓﻲ ﻓﺮض ﻟﻤﺎدة اﻟﺮیﺎﺿﻴﺎت‪:‬‬‫‪12 9 12 7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8 12 16 9‬‬ ‫‪8‬‬‫‪16 8‬‬ ‫‪8 12 7‬‬ ‫‪9 7 12 11 10‬‬ ‫‪8 12 8 12 10‬‬ ‫ﻟﺪیﻨﺎ‪:‬‬‫اﻟﻌﻼﻣﺔ‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮع ‪7 8 9 10 11 12 16‬‬‫اﻟﺘﻜﺮار‬‫اﻟﺠﺪاء‬ ‫‪3 6 4 2 1 72‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪21 48 36 20 11 84 32‬‬ ‫‪252‬‬ ‫‪252‬‬ ‫=‬ ‫‪10,08‬‬ ‫اﻟﻌﻼﻣﺎت‪:‬‬ ‫وﺱﻂ‬ ‫‪25‬‬‫ﻥﻘﻮل أیﻀﺎ أ ّن ‪ 10,08‬هﻮ وﺱﻂ اﻟﻘﻴﻢ ‪7‬؛ ‪8‬؛ ‪ 9‬؛ ‪10‬؛ ‪ ...‬اﻟﻤﺘﻮازن ﺑﺎﻟﺘﻜﺮارات اﻟﻤﻮاﻓﻘﺔ ‪3‬؛ ‪ 6‬؛ ‪ 4‬؛ ‪2‬؛‬ ‫‪...‬‬ ‫ﻡﻼﺣﻈﺔ‬ ‫إ ّن إرﻓﺎق ‪ 3‬ﺑﺎﻟﻘﻴﻤﺔ )اﻟﻌﻼﻣﺔ( ‪ 7‬یﻌﻨﻲ اﻋﺘﺒﺎر هﺬﻩ اﻟﻘﻴﻤﺔ ﺙﻼث ﻣ ّﺮات ﻓﻲ ﺡﺴﺎب اﻟﻮﺱﻂ‪.‬‬ ‫اﻟﻔﺌﺔ‬ ‫‪7 ≤ n < 10‬‬ ‫‪10 ≤ n < 13‬‬ ‫‪ .2‬ﻥﺠ ّﻤﻊ اﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻓﻲ ﻓﺌﺎت آﻤﺎ یﻠﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﺘﻜﺮار‬ ‫‪13‬‬ ‫‪10‬‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮع ‪13 ≤ n < 16 16 ≤ n < 19‬‬‫ﻣﺮآﺰ اﻟﻔﺌﺔ‬ ‫‪8,5‬‬ ‫‪11,5‬‬ ‫‪110,5‬‬ ‫‪115‬‬ ‫‪0 2 25‬‬ ‫اﻟﺠﺪاء‬ ‫ــ ‪14,5 17,5‬‬ ‫‪0 35 260,5‬‬ ‫‪260,5‬‬ ‫‪= 10,42‬‬ ‫وﺱﻂ اﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ﻡﻼﺣﻈﺔ‬ ‫اﻟﻨﺘﻴﺠﺘﺎن اﻟﺴﺎﺑﻘﺘﺎن ﻣﺘﻘﺎرﺑﺘﺎن‪ ،‬ﻟﻜﻨﻬﻤﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺴﺎویﺘﻴﻦ‪.‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ اﻟﻮﺱﻂ اﻷ ّول ﻣﻀﺒﻮﻃﺔ واﻟﺜﺎﻥﻴﺔ ﺗﻘﺮیﺒﻴﺔ‪.‬‬

‫• اﺱﺘﻌﻤﺎل ﻡﺠﺪول ﻻﺱﺘﻐﻼل ﻡﻌﻄﻴﺎت إﺣﺼﺎﺋﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺗﻤﺮیﻦ‪:‬‬ ‫اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ یﺒّﻴﻦ ﺗﻮزیﻊ ﻋﺎﺉﻼت ﻣﺠﺘﻤﻊ ﻣﻌّﻴﻦ ﺡﺴﺐ ﻋﺪد اﻷﻃﻔﺎل‬ ‫‪ .1‬اﺡﺠﺰ اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت اﻟﻮاردة ﻓﻲ اﻟﺠﺪول ﻓﻲ ورﻗﺔ ﺡﺴﺎب ﻟﻤﺠﺪول اآﺴﺎل‪.‬‬‫ﻋﺪد اﻷﻃﻔﺎل‬ ‫ﻋﺪد اﻟﻌﺎﺉﻼت‬ ‫)ﺑﺎﻵﻻف(‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 000‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 300‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪58 000‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 200‬‬ ‫‪ 5‬أو أآﺜﺮ‬ ‫‪1 000‬‬ ‫‪4 400‬‬ ‫‪ .2‬أﻇﻬﺮ اﻟﺘﻮاﺗﺮات )ﻓﻲ ﺷﻜﻞ ﻥﺴﺐ ﻣﺌﻮیﺔ(‪.‬‬ ‫‪ .3‬اﺡﺴﺐ وﺱﻂ هﺬﻩ اﻟﺴﻠﺴﻠﺔ اﻹﺡﺼﺎﺉﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ .4‬ﻣّﺜﻞ اﻟﺴﻠﺴﻠﺔ اﻹﺡﺼﺎﺉﻴﺔ ﺑﻄﺮیﻘﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ‪.‬‬ ‫اﻟﺤ ّﻞ‪:‬‬‫• ﺑﻌﺪ ﺡﺠﺰ اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﺡﺴﺎب‪ ،‬ﻥﻈﻬﺮ اﻟﺘﻮاﺗﺮات ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻥﺴﺐ ﻣﺌﻮیﺔ وذﻟﻚ ﺑﺈدﺧﺎل اﻟﺪﺱﺘﻮر‬ ‫‪ =B2/B9*100‬ﻓﻲ اﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ C2‬ﺙ ّﻢ اﻟﺴﺤﺐ ﻥﺤﻮ ﻥﺤﻮ اﻷﺱﻔﻞ ﺑﻌﺪ اﺧﺘﻴﺎر هﺬﻩ اﻟﺨﻠﻴﺔ‪ .‬ﻥﺘﺤ ّﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺘﻮاﺗﺮات ﻣﺪورة إﻟﻰ ‪ . 0,01‬ﻟﺤﺴﺎب وﺱﻂ اﻟﺴﻠﺴﻠﺔ اﻹﺡﺼﺎﺉﻴﺔ‪ ،‬ﻥﻄّﺒﻖ اﻟﻘﺎﻋﺪة‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪154900‬‬ ‫;‬ ‫‪2,12‬‬ ‫‪72900‬‬

‫• ﻟﺘﻤﺜﻴﻞ هﺬﻩ اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت‪ ،‬ﻥﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﻤﺴﺎﻋﺪ اﻟﺒﻴﺎﻥﻲ ﻟﻠﻤﺠﺪول ‪.‬‬

‫• ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫‪ .1‬اﺡﺴﺐ‪:‬‬ ‫‪ 50%‬ﻣﻦ ‪ 458‬؛ ‪ 75%‬ﻣﻦ ‪2 400‬‬ ‫‪ 5%‬ﻣﻦ ‪2000‬‬ ‫‪ 500%‬ﻣﻦ ‪ 25‬؛‬ ‫و ‪ 20%‬ﻣﻦ ‪.2800‬‬ ‫‪ .2‬ﻗﺎرن ﻣﺎ یﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪ 10%‬ﻣﻦ ‪1500‬‬ ‫‪ .3‬اﺡﺴﺐ اﻟﺘﻮاﺗﺮات ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻥﺴﺐ ﻣﺌﻮیﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫‪x1 x2 x3‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫اﻟﺘﻜﺮار‬ ‫‪26‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫اﻟﺘﻮاﺗﺮ‬ ‫)‪(%‬‬ ‫اﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫‪x1 x2 x3 x4‬‬ ‫‪x5‬‬ ‫‪ .4‬أآﻤﻞ اﻟﺠﺪول‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮع‬ ‫اﻟﺘﻜﺮار‬ ‫‪16 12 24 26‬‬ ‫‪22‬‬ ‫اﻟﺘﻮاﺗﺮ‬ ‫‪650‬‬ ‫)‪(%‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪.5‬‬‫اﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫‪0‬‬ ‫اﻥﻄﻼﻗﺎ ﻣﻦ اﻟﻤﺨﻄﻂ ﺑﺎﻷﻋﻤﺪة أﻋﻼﻩ‪ ،‬أآﻤﻞ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪2 4 6 8 10‬‬‫اﻟﺘﻜﺮار‬‫اﻟﺘﻮاﺗﺮ‬ ‫)‪(%‬‬

‫اﻟﻤﺪة‬ ‫‪ .6‬ﻓﻲ ﻣﻨﺎﻓﺴﺔ ریﺎﺿﻴﺔ ﻣﺪرﺱﻴﺔ‪ ،‬ﺱﺠﻠﺖ اﻟﻨﺘﺎﺉﺞ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫)‪(s‬‬ ‫‪t < 9 9 ≤ t < 10 10 ≤ t < 11 11 ≤ t‬‬ ‫اﻟﺘﻜﺮار‬ ‫‪13 38 25 8‬‬ ‫ﻣﺎذا ﺗﻌﻨﻲ اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫• ‪T = 13 + 38 + 25 + 8‬‬ ‫‪f1‬‬ ‫=‬ ‫‪13‬‬ ‫‪× 100‬‬ ‫•‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ .7‬إﻟﻴﻚ اﻟﺴﺮﻋﺎت اﻟﻤﺴﺠﻠﺔ داﺧﻞ ﻣﺪیﻨﺔ‪:‬‬‫‪36 54 57 52 44 46 49 50 56 45‬‬‫‪44 70 65 40 38 60 47 46 50 51‬‬ ‫‪55 49‬‬ ‫اﻟﺴﺮﻋﺔ‬ ‫ﻣﻦ ‪ 31‬إﻟﻰ ‪40‬‬ ‫ﻣﻦ ‪ 41‬إﻟﻰ ‪50‬‬ ‫أآﻤﻞ اﻟﺠﺪول‪:‬‬ ‫…‬ ‫اﻟﺘﻜﺮار‬ ‫اﻟﺘﻮاﺗﺮ‬ ‫)‪(%‬‬‫اﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .8‬اﺡﺴﺐ وﺱﻂ اﻟﺴﻠﺴﻠﺔ اﻹﺡﺼﺎﺉﻴﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫اﻟﺘﻜﺮار‬ ‫‪14‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪154‬‬ ‫‪7 8 10‬‬ ‫‪ .9‬ﻥﻔﺲ اﻟﺴﺆال‪.‬‬ ‫[‪ [0;5[ [5;10[ [10;15[ [15;20‬اﻟﻔﺌﺔ‬ ‫اﻟﺘﻜﺮار‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9 12 4‬‬‫‪ .10‬اﺧﺘﺒﺮت ﻣﺆﺱﺴﺔ اﻟﻤﺼﺎﺑﻴﺢ اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺉﻴﺔ ﺑﺪراﺱﺔ ﻣﺪة ﺹﻼﺡﻴﺘﻬﺎ )ﺑﺎﻟﺴﺎﻋﺎت( ﻋﻠﻰ ﻋّﻴﻨﺔ ‪ 2000‬ﻣﺼﺒﺎﺡﺎ‪،‬‬ ‫وآﺎﻥﺖ اﻟﻨﺘﺎﺉﺞ آﻤﺎ یﻠﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﺪة‬ ‫ﻋﺪد اﻟﻤﺼﺎﺑﻴﺢ‬ ‫‪270‬‬ ‫‪300 ≤ d < 500‬‬ ‫‪640‬‬ ‫‪500 ≤ d <700‬‬ ‫‪750‬‬ ‫‪700 ≤ d < 900‬‬ ‫‪340‬‬ ‫‪900 ≤ d < 1100‬‬ ‫‪ .1‬ﻣّﺜﻞ اﻟﺠﺪول ﺑﻤﺪ ّرج ﺗﻜﺮاري‪.‬‬

‫)ﻥﺨﺘﺎر‪ 1cm :‬ﻟﻜ ّﻞ ‪ 100 h‬و ‪ 1cm‬ﻟﻜ ّﻞ ‪ 100‬ﻣﺼﺎﺑﻴﺢ(‪.‬‬ ‫‪ .2‬اﺡﺴﺐ ﺑﺎﻟﺴﺎﻋﺎت اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻮﺱﻂ ﻟﻤﺪة ﺹﻼﺡﻴﺔ اﻟﻤﺼﺎﺑﻴﺢ‪.‬‬

‫• ﺣﻠﻮل اﻟﺘﻤﺎریﻦ و اﻟﻤﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪ 50%‬ﻣﻦ ‪229 458‬‬ ‫‪ 75%‬ﻣﻦ ‪1800 2 400‬‬ ‫‪ 500%‬ﻣﻦ ‪125 25‬‬ ‫‪ 5%‬ﻣﻦ ‪100 2 000‬‬ ‫‪ .2‬ﻟﺪیﻨﺎ‪ 10% :‬ﻣﻦ ‪ 1500‬هﻮ ‪ 150‬و ‪ 20%‬ﻣﻦ ‪ 2800‬هﻮ ‪. 560‬‬ ‫ﻣﻨﻪ ‪ 10%‬ﻣﻦ ‪ 1500‬أﺹﻐﺮ ﻣﻦ ‪ 20%‬ﻣﻦ ‪.2800‬‬‫اﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪.3‬‬‫اﻟﺘﻜﺮار‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮع ‪x2 x3 x4‬‬‫اﻟﺘﻮاﺗﺮ‬ ‫)‪(%‬‬ ‫‪13,33‬‬ ‫‪6 2 5 15‬‬ ‫‪40 13,33 33,33 100‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫اﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫‪x1 x2 x3 x4‬‬ ‫‪x5‬‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮع‬ ‫‪650‬‬ ‫اﻟﺘﻜﺮار‬ ‫‪104 78 156 169 143‬‬ ‫‪100‬‬ ‫اﻟﺘﻮاﺗﺮ‬ ‫)‪(%‬‬ ‫‪16 12 24 26 22‬‬‫اﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫‪.5‬‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮع ‪0 2 4 6 8 10‬‬‫اﻟﺘﻜﺮار‬ ‫‪20 30 60 50 60 10 230‬‬ ‫‪8,7 13,04 26,09 21,74 26,09 4,35 100‬‬‫اﻟﺘﻮاﺗﺮ‬ ‫)‪(%‬‬ ‫ﻣﻼﺡﻈﺔ‪ :‬أﻋﻄﻴﺖ اﻟﻨﺘﺎﺉﺞ ﻣﺪورة إﻟﻰ ‪. 0,01‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫• ‪ T = 13 + 38 + 25 + 8‬ﺗﻌﻨﻲ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺘﻜﺮارات‪.‬‬ ‫‪.t<9‬‬ ‫ﺗﻌﻨﻲ ﺗﻮاﺗﺮ اﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫‪f1‬‬ ‫=‬ ‫‪13‬‬ ‫‪× 100‬‬ ‫•‬ ‫‪T‬‬

‫اﻟﺴﺮﻋﺔ‬ ‫]‪[31;40‬‬ ‫]‪[41;50‬‬ ‫]‪[51;60‬‬ ‫]‪[61;70‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮع‬‫اﻟﺘﻜﺮار‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬‫اﻟﺘﻮاﺗﺮ‬ ‫‪22‬‬ ‫)‪(%‬‬ ‫‪13,64‬‬ ‫‪45,46‬‬ ‫‪31,82‬‬ ‫‪9,1‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﻣﻼﺡﻈﺔ‪ :‬أﻋﻄﻴﺖ اﻟﻨﺘﺎﺉﺞ ﻣﺪورة إﻟﻰ ‪. 0,01‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫‪ 3 2‬اﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫‪15‬‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮع ‪4‬‬ ‫‪78‬‬ ‫اﻟﺘﻜﺮار‬ ‫‪14 11‬‬ ‫‪7 40‬‬ ‫‪10 50‬‬ ‫‪ 42 22‬اﻟﺠﺪاءات‬ ‫[‪[10;15‬‬ ‫‪40 151‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪151‬‬ ‫=‬ ‫‪3,02‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫اﻟﻔﺌﺔ‬ ‫[‪[0;5‬‬ ‫[‪[5;10‬‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮع [‪[15;20‬‬ ‫اﻟﺘﻜﺮار‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪32‬‬‫ﻣﺮآﺰ اﻟﻔﺌﺔ‬‫اﻟﺠﺪاءات‬ ‫‪2,5‬‬ ‫‪7,5‬‬ ‫‪12,5‬‬ ‫‪17 ,5‬‬ ‫‪17 ,5‬‬ ‫‪67 ,5‬‬ ‫‪150 70 305‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪305‬‬ ‫=‬ ‫‪9,531‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪.10‬‬ ‫‪ .1‬ﻥﻤّﺜﻞ اﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺑﻤﺪ ّرج ﺗﻜﺮاري آﻤﺎ یﻠﻲ‪:‬‬

‫اﻟﻤﺪة‬ ‫ﻋﺪد اﻟﻤﺼﺎﺑﻴﺢ‬ ‫ﻣﺮاآﺰ اﻟﻔﺌﺎت‬ ‫‪ .2‬ﻥﺤﺴﺐ وﺱﻂ اﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪270‬‬ ‫‪400‬‬‫‪300 ≤ d < 500‬‬ ‫‪640‬‬ ‫‪600‬‬ ‫اﻟﺠﺪاءات‬‫‪500 ≤ d <700‬‬ ‫‪750‬‬ ‫‪800‬‬ ‫‪108000‬‬‫‪700 ≤ d < 900‬‬ ‫‪340‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪384000‬‬‫‪900 ≤ d < 1100‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫ــ‬ ‫‪600000‬‬ ‫‪340000‬‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮع‬ ‫‪1432000‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪1432000‬‬ ‫‪= 716‬‬ ‫‪2000‬‬

‫ﺍﻻﻨﺴﺤﺎﺏ‬ ‫• ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻻﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ‪.‬‬‫‪ -‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺼﻭﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻭﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻭﻨﺼﻑ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻭﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ‬ ‫ﺒﺎﻨﺴﺤﺎﺏ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻻﻨﺴﺤﺎﺏ ﻭﺘﻭﻅﻴﻔﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﺪرس‬ ‫• ﺍﻻﻨﺴﺤﺎﺏ‬ ‫• ﺼﻭﺭ ﺃﺸﻜﺎل ﺒﺴﻴﻁﺔ ﺒﺎﻨﺴﺤﺎﺏ‬ ‫• ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻻﻨﺴﺤﺎﺏ‬ ‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫• ﺤﻠﻭل ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬

‫• اﻻﻧﺴﺤﺎب ‪:‬‬ ‫• ﻡﻔﻬﻮم اﻻﻧﺴﺤﺎب‬ ‫ﻋﻨﺪﻡﺎ ﻧﺰیﺢ )دون دوران( ﺷﻜﻼ ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻨﻘﻞ آﻞ ﻧﻘﻂ هﺬا اﻟﺸﻜﻞ ﻋﻠﻰ‬‫ﻡﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ﻡﺘﻮازیﺔ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻻﺗﺠﺎﻩ وﺑﻨﻔﺲ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ هﻮ ﺹﻮرة اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻌﻄﻰ‬ ‫ﺑﺎﻧﺴﺤﺎب‪.‬‬ ‫)’‪(F‬‬ ‫’‪A‬‬ ‫)‪(F‬‬ ‫‪A‬‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ)’‪ (F‬ﺻﻮرة اﻟﺸﻜﻞ )‪ (F‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬إﻟﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ' ‪. A‬‬ ‫ﻡﻼﺡﻈﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻌﻴﻴﻦ اﻧﺴﺤﺎب یﻜﻔﻲ أن ﻧّﻴﻌﻦ ﻧﻘﻄﺔ وﺹﻮرﺗﻬﺎ ﺑﻬﺬا اﻻﻧﺴﺤﺎب‪.‬‬

‫• ﺹﻮرة ﻧﻘﻄﺔ ﺑﺎﻧﺴﺤﺎب‬‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ M ، A ' ، A‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻣﺘﻤﺎﻳﺰة و ‪ t‬اﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪A‬‬ ‫إﻟﻰ '‪. A‬‬ ‫‪ -‬إذا آﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻻ ﺕﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )' ‪ ( AA‬ﻓﺈن ﺻﻮرﺕﻬﺎ ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ‪ t‬هﻲ‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ' ‪ M‬ﺡﻴﺚ ﻳﻜﻮن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪AA' M ' M‬‬ ‫ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع‪.‬‬ ‫‪ -‬إذا آﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻻ ﺕﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )' ‪ ( AA‬ﻓﺈن ﺻﻮرﺕﻬﺎ ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ‪ t‬هﻲ‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ' ‪ M‬ﺡﻴﺚ ﻳﻜﻮن ﻟﻠﻘﻄﻌﺘﻴﻦ ' ‪[ ]AM‬‬ ‫و ] ‪ [ A ' M‬ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻨﺘﺼﻒ‪.‬‬

‫ﺹﻮر أﺷﻜﺎل ﺑﺴﻴﻄﺔ ﺑﺎﻧﺴﺤﺎب ‪:‬‬ ‫• ﺹﻮرة ﻗﻄﻌﺔ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺹﻮرة ﻗﻄﻌﺔ ] ‪ [MN‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ‪ t‬هﻲ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]' ‪ [M ' N‬ﺡﻴﺚ ﺗﻜﻮن‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن ' ‪ N ' ، M‬ﺹﻮرﺗﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ N ، M‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ‪. t‬‬ ‫‪ t‬هﻮ اﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬إﻟﻰ ' ‪. A‬‬‫' ‪ N ' ، M‬ﺻﻮرﺕﺎ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ N ، M‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ‪ t‬ﻳﻌﻨﻲ ]' ‪ [M ' N‬ﺻﻮرة ] ‪ [MN‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب‬ ‫‪.t‬‬ ‫ﻣﻼﺡﻈﺔ‪ :‬ﻹﻧﺸﺎء ﺻﻮرة ﻗﻄﻌﺔ ﺑﺎﻧﺴﺤﺎب ﻧﻨﺸﺊ ﺻﻮرﺕﻲ ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻘﻄﻌﺔ ﺑﻬﺬا اﻻﻧﺴﺤﺎب‪.‬‬ ‫• ﺹﻮرة ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺹﻮرة ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ (d‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ‪ t‬هﻲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )' ‪ (d‬ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻜﻮن آ ّﻞ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻡﻦ )' ‪ (d‬ﺹﻮرة ﻟﻨﻘﻄﺔ ﻡﻦ ) ‪ (d‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ‪. t‬‬‫ﻣﻼﺡﻈﺔ‪ :‬ﻹﻧﺸﺎء ﺻﻮرة ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺎﻧﺴﺤﺎب ﻧﻨﺸﺊ ﺻﻮرﺕﻲ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺘﻤﺎﻳﺰﺕﻴﻦ ﻣﻦ هﺬا اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﻬﺬا اﻻﻧﺴﺤﺎب‪.‬‬ ‫‪ t‬هﻮ اﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬إﻟﻰ ' ‪ (d ) . A‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪ N ، M‬ﻧﻘﻄﺘﺎن ﻣﺘﻤﺎﻳﺰﺕﺎن ﻣﻦ ) ‪. (d‬‬

‫' ‪ N ' ، M‬ﺻﻮرﺕﺎ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ N ، M‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ‪ ، t‬ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫)' ‪ (M ' N‬ﺻﻮرة ) ‪ (d‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ‪. t‬‬ ‫• ﺹﻮرة ﻧﺼﻒ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺹﻮرة ﻧﺼﻒ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ‪ t‬هﻲ ﻧﺼﻒ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻜﻮن آ ّﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻡﻨﻪ ﺹﻮرة ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ‪t‬‬ ‫ﻟﻨﻘﻄﺔ ﻡﻦ ﻧﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻌﻄﻰ‪.‬‬ ‫ﻣﻼﺡﻈﺔ‪:‬‬ ‫ﻹﻧﺸﺎء ﺻﻮرة ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺎﻧﺴﺤﺎب ﻧﻨﺸﺊ ﺻﻮرة ﻣﺒﺪأ ﻧﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ هﺬا و ﺻﻮرة ﻧﻘﻄﺔ أﺧﺮى ﻣﻨﻪ‬ ‫ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب‪.‬‬ ‫‪ t‬هﻮ اﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬إﻟﻰ '‪ Ox . A‬ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‪[ ).‬‬ ‫‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ )‪) [Ox‬ﺕﺨﺘﻠﻒ ﻋﻦ ‪.( O‬‬‫' ‪ M ' ، O‬ﺻﻮرﺕﺎ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ ، M ، O‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ‪ . t‬ﻓﺈ ّن )' ‪ O ' M‬ﺻﻮرة )‪ Ox‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب[ [‬ ‫‪.t‬‬

‫• ﺹﻮرة داﺋﺮة‬ ‫ﺹﻮرة داﺋﺮة ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ‪ t‬هﻲ داﺋﺮة ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻜﻮن آ ّﻞ ﺗﻘﻄﺔ ﻡﻨﻬﺎ ﺹﻮرة‬ ‫ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ‪ t‬ﻟﻨﻘﻄﺔ ﻡﻦ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻌﻄﺎة‪.‬‬ ‫ﻣﻼﺡﻈﺔ‪ :‬ﻹﻧﺸﺎء ﺻﻮرة داﺋﺮة ﺑﺎﻧﺴﺤﺎب ﻧﻨﺸﺊ ﺻﻮرة ﻣﺮآﺰ هﺬﻩ اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫وﺻﻮرة ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﻬﺎ ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب‪.‬‬ ‫‪ t‬هﻮ اﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬إﻟﻰ ' ‪ (C) . A‬داﺋﺮة ﻣﺮآﺰهﺎ ‪. O‬‬ ‫‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ )‪. (C‬‬‫' ‪ M ' ، O‬ﺻﻮرﺕﺎ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ ، M ، O‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ‪ t‬ﻓﺈن اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ ' ‪ O‬و ﺕﺸﻤﻞ ' ‪ M‬هﻲ‬ ‫ﺻﻮرة اﻟﺪﻟﺌﺮة )‪ (C‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ‪. t‬‬ ‫• ﺹﻮرة زاویﺔ‬ ‫ﺹﻮرة زاویﺔ ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ‪ t‬هﻲ زاویﺔ ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻜﻮن آ ّﻞ ﺗﻘﻄﺔ ﻡﻨﻬﺎ ﺹﻮرة‬ ‫ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ‪ t‬ﻟﻨﻘﻄﺔ ﻡﻦ اﻟﺰاویﺔ اﻟﻤﻌﻄﺎة‪.‬‬ ‫ﻡﻼﺡﻈﺔ‪ :‬ﻹﻧﺸﺎء ﺹﻮرة زاویﺔ ﺑﺎﻧﺴﺤﺎب ﻧﻨﺸﺊ ﺹﻮرﺗﻲ ﺿﻠﻌﻲ هﺬﻩ اﻟﺰاویﺔ ﺑﻬﺬا اﻻﻧﺴﺤﺎب‪.‬‬ ‫‪ t‬هﻮ اﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬إﻟﻰ ' ‪ xOy . A‬زاوﻳﺔ‪.,‬‬ ‫)' ‪ [O ' x ') ،[O ' y‬ﺻﻮرﺕﺎ اﻟﻀﻠﻌﻴﻦ )‪ [Oy) ،[Ox‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ‪. t‬‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ ’‪ x’O’y‬هﻲ ﺻﻮرة اﻟﺰاوﻳﺔ ‪ xOy‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ‪. t‬‬

‫• ﺧﻮاص اﻻﻧﺴﺤﺎب‪:‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ ‪:1‬‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ ﻗﻄﻌﺔ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ ﺹﻮرة ﻗﻄﻌﺔ أﺧﺮى ﺑﺎﻧﺴﺤﺎب‪ ،‬ﻓﺈ ّن اﻟﻘﻄﻌﺘﻴﻦ ﻡﺘﺴﺎویﺘﺎن‪.‬‬ ‫ﻧﻘﻮل أن اﻻﻧﺴﺤﺎب یﺤﻔﻆ اﻟﻤﺴﺎﻗﺎت‪.‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ ‪:2‬‬ ‫إذا آﺎن ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ ﺹﻮرة ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ أﺧﺮ ﺑﺎﻧﺴﺤﺎب‪ ،‬ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻡﺘﻮازیﺎن‪.‬‬ ‫ﻧﻘﻮل أن اﻻﻧﺴﺤﺎب یﺤﻔﻆ اﻟﻤﻨﺤﻰ‪.‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ ‪:3‬‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻋﻠﻰ اﺱﺘﻘﺎﻡﺔ واﺡﺪة‪ ،‬ﻓﺈ ّن ﺹﻮرهﺎ ﺑﺎﻧﺴﺤﺎب ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻰ اﺱﺘﻘﺎﻡﺔ واﺡﺪة‪.‬‬ ‫ﻧﻘﻮل أن اﻻﻧﺴﺤﺎب یﺤﻔﻆ اﻻﺱﺘﻘﺎﻡﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ ‪:4‬‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ زاویﺔ ﺹﻮرة زاویﺔ أﺧﺮى ﺑﺎﻧﺴﺤﺎب‪ ،‬ﻓﺈ ّن اﻟﺰاویﺘﻴﻦ ﻡﺘﺴﺎویﺘﺎن‪.‬‬ ‫ﻧﻘﻮل أن اﻻﻧﺴﺤﺎب یﺤﻔﻆ اﻟﺰوایﺎ‪.‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ ‪:5‬‬ ‫إذا آﺎن ﺷﻜﻞ ﺹﻮرة ﺷﻜﻞ أﺧﺮ ﺑﺎﻧﺴﺤﺎب‪ ،‬ﻓﺈ ّن ﻟﻠﺸﻜﻠﻴﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺎﺡﺔ‪.‬‬ ‫ﻧﻘﻮل أن اﻻﻧﺴﺤﺎب یﺤﻔﻆ اﻟﻤﺴﺎﺡﺎت‪.‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ ‪:6‬‬‫إذا آﺎﻧﺖ ﻗﻄﻌﺔ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ ﺹﻮرة ﻗﻄﻌﺔ أﺧﺮى ﺑﺎﻧﺴﺤﺎب‪ ،‬ﻓﺈ ّن ﻡﻨﺘﺼﻔﻬﺎ هﻮ ﺹﻮرة ﻡﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﻌﻄﺎة‬ ‫ﺑﻬﺬا اﻻﻧﺴﺤﺎب‪.‬‬ ‫ﻧﻘﻮل أن اﻻﻧﺴﺤﺎب یﺤﻔﻆ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﺎت‪.‬‬

‫• ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﻣﺎ هﻲ ﺻﻮرة اﻟﻼﻓﺘﺔ ‪ 4‬ﺑﺎﻧﺴﺤﺎب ؟‬ ‫‪ CDEF ، ABCD .2‬ﻣﺘﻮازﻳﺎ اﻷﺿﻼع‪.‬‬ ‫‪ .1‬ﻣﺎ هﻲ ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ D‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ E‬إﻟﻰ ‪ F‬؟‬ ‫‪ .2‬ﻣﺎ هﻲ ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ D‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ C‬إﻟﻰ ‪ B‬؟‬ ‫‪.3‬‬‫ﻣﺎ هﻲ ﺻﻮر اﻟﻨﻘﻂ ‪ F ، E ، D‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ C‬إﻟﻰ ‪ A‬؟‬

‫‪ .4‬ﺑﺎﺱﺘﻌﻤﺎل ﻣﺮﺑﻌﺎت اﻟﻤﺮﺻﻮﻓﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪ ،‬أﻧﺸﺊ اﻟﺼﻮرة ’‪ F‬ﻟﻠﺸﻜﻞ ‪ F‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل ‪ A‬إﻟﻰ‬ ‫‪.B‬‬‫‪ .5‬ﻓﻲ اﻟ ّﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ آ ّﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ‪ 4 ، 3 ، 2‬هﻲ ﺻﻮر اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ 1‬ﺑﺘﻨﺎﻇﺮ ﻣﺤﻮري أو ﺑﺘﻨﺎﻇﺮ ﻣﺮآﺰي أو‬ ‫ﺑﺎﻧﺴﺤﺎب‪.‬‬ ‫أﺕﻤﻢ اﻟﺠﻤﻞ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ 1‬ﺑﺎﻟﺘﻨﺎﻇﺮ اﻟﻤﺤﻮري اﻟﺬي ﻣﺤﻮرﻩ‪ ...‬هﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪. ...‬‬ ‫‪ .2‬ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ 1‬ﺑﺎﻟﺘﻨﺎﻇﺮ اﻟﻤﺮآﺰي اﻟﺬي ﻣﺮآﺰﻩ ‪ ...‬هﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ‪. ...‬‬ ‫‪ .3‬ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ 1‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل ‪ ....‬هﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪. ...‬‬

‫‪ .6‬أرﺱﻢ ﻣﺜﻠﺜﺎ ‪. ABC‬‬ ‫‪ (1‬أﻧﺸﺊ اﻟﻨﻘﻂ‪:‬‬ ‫‪ ، B ' -‬ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ B‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬إﻟﻰ ‪. B‬‬ ‫‪ ، B '' -‬ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ B‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ C‬إﻟﻰ ‪. B‬‬ ‫‪ (2‬ﻣﺎ ﻧﻮع اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ '' ‪ ACB ' B‬؟ ﻋّﻠﻞ‪.‬‬ ‫‪ .7‬أرﺱﻢ ﻣﺜﻠﺜﺎ ﻣﺘﻘﺎﻳﺲ اﻷﺿﻼع ‪ ABC‬ﺛﻢ ﻋّﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ‪[ ]. BC‬‬ ‫‪ .1‬أﻧﺸﺊ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ MEF‬ﺻﻮرة ‪ ABC‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل ‪ A‬إﻟﻰ ‪. M‬‬ ‫‪ .2‬ﻣﺎ ﻧﻮع اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ MEF‬؟ ﻋّﻠﻞ‪.‬‬ ‫‪ ABC .8‬ﻣﺜﻠﺚ‪ .‬أﻧﺸﺊ اﻟﻨﻘﻄﺔ ' ‪ ، A‬ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل ‪ B‬إﻟﻰ ‪. C‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن )‪ ( AC‬و )'‪ (BA‬ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﻓﻲ ‪. D‬‬ ‫هﻞ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ D‬ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ‪ BD‬؟ ﺑ ّﺮر إﺝﺎﺑﺘﻚ‪[ ].‬‬‫‪ .9‬أرﺱﻢ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ‪ ABCD‬ﻣﺮآﺰﻩ ‪ . O‬أﻧﺸﺊ اﻟﻨﻘﻄﺔ ' ‪ ، C‬ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ C‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي‬ ‫ﻳﺤ ّﻮل ‪ A‬إﻟﻰ ‪. C‬‬ ‫‪ .1‬ﺑّﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ' ‪ C‬ﺕﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪. ( AC‬‬ ‫‪ .2‬أﺛﺒﺖ أ ّن ' ‪. 2OC = CA‬‬ ‫‪ .3‬ﻣﺎذا ﺕﻤﺜﻞ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ C‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ اﻟﻤﺜﻠﺚ ' ‪ BDA‬؟‬ ‫‪ (O, I , J ) .10‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﺘﺠﺎﻧﺲ‪.‬‬ ‫‪ .1‬ﻋّﻠﻢ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ )‪ A(2; 4‬و )‪. B (4;3‬‬ ‫‪ .2‬ﻋّﻠﻢ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ )‪ C(−1; 2‬ﺛﻢ ﻋّﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ' ‪ C‬ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ C‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل ‪ A‬إﻟﻰ‬ ‫‪.B‬‬ ‫أﺱﺘﻨﺘﺞ ﺑﺎﻟﻘﺮاءة اﺡﺪاﺛﻴﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ' ‪. C‬‬ ‫‪ .11‬أرﺱﻢ ﻣﺜﻠﺜﺎ ‪ ABC‬وارﺕﻔﺎﻋﻪ ‪[ ]. AH‬‬ ‫‪ .1‬أﻧﺸﺊ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ' ‪ C ' ، B‬ﺻﻮرﺕﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ C ، B‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬إﻟﻰ ‪. H‬‬ ‫‪ .2‬ﻣﺎ ﻧﻮع اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ BB 'C 'C‬؟ ﻋّﻠﻞ‪.‬‬ ‫‪ .12‬أرﺱﻢ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ‪ ABCD‬ﺛ ّﻢ ﻋّﻴﻦ ﻧﻘﻄﺔ ‪ E‬ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪. (CD‬‬ ‫‪ .1‬أﻧﺸﺊ اﻟﻨﻘﻄﺔ ' ‪ ، E‬ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ E‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬إﻟﻰ ‪. B‬‬ ‫‪ .2‬ﻣﺎ هﻲ ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ADE‬ﺑﻬﺬا اﻻﻧﺴﺤﺎب ؟‬ ‫‪ .3‬ﻗﺎرن ﻣﺴﺎﺡﺘﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ADE‬و ' ‪. BCE‬‬ ‫‪ .4‬ﻗﺎرن ﻣﺴﺎﺡﺘﻲ اﻟﺮﺑﺎﻋﻴﻴﻦ ‪ ABCD‬و ‪. ABE ' E‬‬

‫• ﺡﻠﻮل اﻟﺘﻤﺎریﻦ و اﻟﻤﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﺻﻮرة اﻟﻼﻓﺘﺔ ‪ 4‬ﺑﺎﻧﺴﺤﺎب هﻲ اﻟﻼﻓﺘﺔ ‪.3‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪ .1‬ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ D‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ E‬إﻟﻰ ‪ F‬هﻲ ‪. C‬‬ ‫‪ .2‬ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ D‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ C‬إﻟﻰ ‪ B‬هﻲ ‪. A‬‬‫هﻲ اﻟﻨﻘﻂ ‪D ، C ، B‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫ﺻﻮر اﻟﻨﻘﻂ ‪ F ، E ، D‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ C‬إﻟﻰ ‪A‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺕﻴﺐ‪.‬‬ ‫‪(1 .4‬‬ ‫‪ (2‬اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ '' ‪ ACB ' B‬هﻮ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻌﻠﻴﻞ‪:‬‬ ‫‪ B ' -‬ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ B‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬إﻟﻰ ‪ ، B‬ﻓﺈ ّن‬ ‫‪ B‬ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]' ‪. [ AB‬‬ ‫‪ ، B '' -‬ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ B‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ C‬إﻟﻰ ‪ ، B‬ﻓﺈ ّن‬ ‫‪ B‬ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]'' ‪. [CB‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ '' ‪ ACB ' B‬اﻟﻘﻄﺮان ]' ‪ [ AB‬و ]'' ‪ [CB‬ﻣﺘﻨﺎﺻﻔﺎن‪.‬‬ ‫إذن '' ‪ ACB ' B‬ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع‪.‬‬

‫‪.5‬‬ ‫‪.6‬‬‫‪ .1‬ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ 1‬ﺑﺎﻟﺘﻨﺎﻇﺮ اﻟﻤﺤﻮري اﻟﺬي ﻣﺤﻮرﻩ )‪ (BC‬هﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ‪.4‬‬ ‫‪ .2‬ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ 1‬ﺑﺎﻟﺘﻨﺎﻇﺮ اﻟﻤﺮآﺰي اﻟﺬي ﻣﺮآﺰﻩ ‪ B‬هﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪.3‬‬ ‫‪ .3‬ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ 1‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل ‪ A‬إﻟﻰ ‪ D‬هﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪.2‬‬ ‫‪.7‬‬