دروس مادة الرياضيات للفصل الاول سنة ثانية ثانوي شعبة تسيير و اقتصاد

‫ﻓﻬﺭﺱ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻷﻭل‬‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﻘﺩﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺅﺸﺭﺍﺕ‬ ‫ﻋﻤﻭﻤﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل‬

‫ﻤﻘﺩﻤﺔ‪:‬‬ ‫ﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬‫ﺍﻟﺒﻨﻴﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻨﻴﺔ ﺍﻟﺫﻫﻨﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﻌﻠﻡ ﻷﻥ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻭﺴﻴﻠﺔ ﻟﺘﻜﻭﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﻔﻜﺭ ﻭﺃﺩﺍﺓ ﻻﻜﺘﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺭﻑ‪.‬‬‫ﺘﺴﺎﻫﻡ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻓﻲ ﺤﺼﺭ ﻤﻠﻤﺢ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻋﻨﺩ ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫ﻤﺭﺤﻠﺔ ﺩﺭﺍﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ‬‫ﺘﻡ ﺒﻨﺎﺀ ﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻟﻠﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺜﺎﻨﻭﻱ ﺁﺩﺍﺏ ﻭﻓﻠﺴﻔﺔ ﻭﻓﻕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ‬‫ﺒﺎﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻥ ﺃﺒﻌﺎﺩﻫﺎ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﺍﻟﺘﻜﻴﻑ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ﻭﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺼﺭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺤﻭل ﺒﺎﺴﺘﻤﺭﺍﺭ‬ ‫ﺤل ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬‫ﺤل ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﻓﻲ ﺘﻌﻠﻡ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻴﺴﺎﻫﻡ ﻓﻲ ﺒﻨﺎﺀ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻭﻀﺎ ﻋﻥ‬‫ﺇﻋﻁﺎﺌﻬﺎ ﺠﺎﻫﺯﺓ‪ ،‬ﻓﻌﻠﻴﻪ ﺭﺒﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺭﻑ ﺒﺎﻟﻭﻀﻌﻴﺎﺕ ﻴﺠﻌل ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻡ ﻴﺅﺜﺭ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻲ ﻭﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻲ ﻟﻠﻤﺩﺭﺴﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﺘﻡ ﺘﺄﻟﻴﻑ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻭﺜﻴﻘﺔ ﻁﺒﻘﺎ ﻟﻠﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻟﺭﺴﻤﻲ ﻟﻭﺯﺍﺭﺓ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﺔ ﺍﻟﻭﻁﻨﻴﺔ ﻭﻭﻓﻕ‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﻬﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﻤﺩﺓ ﻤﻥ ﻁﺭﻑ ﺍﻟﺩﻴﻭﺍﻥ ﺍﻟﻭﻁﻨﻲ ﻟﻠﺘﻌﻠﻴﻡ ﻭﺍﻟﺘﻜﻭﻴﻥ ﻋﻥ ﺒﻌﺩ‪.‬‬

‫ﺘﺤﺘﻭﻱ ﻜل ﻭﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﻋﻠﻰ ‪:‬‬‫‪ 1‬ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ ﺃﻭ ﻟﻠﻤﺭﺍﺠﻌﺔ ﺘﺘﺒﻌﻬﺎ ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ﺘﻬﻴﺊ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﺩﺭﺱ‬‫‪ 2‬ﺍﻟﺩﺭﺱ ﺒﻨﺘﺎﺌﺠﻪ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺎﺕ ﻭ ﺃﻤﺜﻠﺔ‬‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ ﺤﻼ ﻤﻔﺼﻼ ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﻁﺒﻴﻕ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺩﺭﺱ ﻭ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺘﺴﻠﻁ ﺍﻷﻀﻭﺍﺀ ﻋﻠﻰ ﻁﺭﺍﺌﻕ ﻭ ﻤﻨﻬﺠﻴﺎﺕ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ /‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺒﺴﻴﻁﺔ ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤ ّﺭﻥ ﻭ ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﻟﻠﺒﺤﺙ ﻭﺍﻟﺘﻌﻤﻕ ﻗﻠﻴﻼ‬‫ﻭﻓﻲ ﻤﺅﺨﺭﺓ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺤﻠﻭل )ﺃﻭ ﻨﺘﺎﺌﺞ ( ﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺃﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﻤﺨﺘﺎﺭﺓ‬

‫ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ‪: 02‬ﻋﻤﻭﻤﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻜﻌﺏ\"‬ ‫ﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻜﻌﺏ\" ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻤﺠﻤﻭﻉ‪ ،‬ﺠﺩﺍﺀ‪ ،‬ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﻭﻤﺭﻜﺏ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﻤﻨﺤﻨﻴﺎﺕ ﺩﻭﺍل ﻤﺭﻓﻘﺔ ﺇﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﻤﻨﺤﻨﻴﺎﺕ ﺩﻭﺍل ﻤﻌﻁﺎﺓ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻫﻭ ﻤﺤﻭﺭ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ‪.‬‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺍﻨﺸﻁﺔ‬ ‫‪ /1‬ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ‪:‬‬ ‫‪ /2‬ﺩﻭﺍل ﻤﺭﺠﻌﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ /3‬ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل‪:‬‬ ‫‪ /4‬ﺩﻭﺍل ﻤﺭﻓﻘﺔ‪:‬‬ ‫‪ /5‬ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ‪ ،‬ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ‪:‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪2‬‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ : 01‬ﻋﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬‫‪ f -‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪ :‬ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺼﻭﺭﺓ ﻋﺩﺩ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪، f‬‬ ‫ﻨﻀﺭﺏ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻓﻲ ‪  3‬ﺜﻡ ﻨﻀﻴﻑ ‪ 5‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻪ‪.‬‬‫‪ g -‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪ :‬ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺼﻭﺭﺓ ﻋﺩﺩ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ، g‬ﻨﺘﺒﻊ‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ‪ A‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ‪: A‬‬ ‫ﺘﺭﺒﻴﻊ‬ ‫ﺇﻀﺎﻓﺔ‪ 1‬ﻀﺭﺏ ﻓﻲ ‪2‬‬ ‫‪g(x) =.....‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪... ...‬‬‫‪ k -‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪ :‬ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺼﻭﺭﺓ ﻋﺩﺩ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ k‬ﻨﺘﺒﻊ‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ‪ B‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ )‪: (B‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪g‬‬ ‫‪x .... k(x) ...‬‬ ‫‪ 1‬ﺃ‪ .‬ﺃﺤﺴﺏ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪  4‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﺏ‪ x .‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻜﻴﻔﻲ‪ ،‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ f (x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪x‬‬‫ﺃ‪ .2‬ﺒﺈﺘﺒﺎﻉ ﻤﺭﺍﺤل ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ‪ ، A‬ﺃﺤﺴﺏ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪  3‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬‬‫‪k‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫§©¨¨‬ ‫‪2‬‬ ‫¸¸‪·¹‬‬ ‫)‪ ، (B‬ﺃﺤﺴﺏ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺒﺈﺘﺒﺎﻉ ﻤﺭﺍﺤل ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ‬ ‫‪3‬‬

‫ﺝ‪ .‬ﺃﻭﻀﻊ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺒﺔ ﻓﻲ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﺍﻏﺎﺕ ﺍﻟﻤﺸﺎﺭ ﺇﻟﻴﻬﺎ‬ ‫ﺒﺎﻹﺸﺎﺭﺓ‪...‬‬‫ﻭﻫﺫﺍ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺠﻴﻥ ‪ A‬ﻭ )‪ (B‬ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻋﺩﺩ‬ ‫ﻜﻴﻔﻲ‪.‬‬ ‫ﺜﻡ ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻤﺒﺴﻁﺔ ﻟﻜل ﻤﻥ )‪ g(x‬ﻭ )‪ k(x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪x‬‬‫‪ x 3‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻕ ﻜﻴﻔﻲ‪ ،‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻤﺒﺴﻁﺔ ﻟﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ‬ ‫)‪ f (x)  g(x‬ﻭﺍﻟﺠﺩﺍﺀ )‪ f (x).g(x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪x‬‬ ‫‪ x4‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻕ ﻜﻴﻔﻲ‪،‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺘﻴﻥ‪ :‬ﻟﻐﻭﻴﺎ‪ g( f (x)) :‬ﻫﻲ \"‪\"............‬‬ ‫ﻟﻐﻭﻴﺎ‪ g( f (x)) :‬ﻫﻲ \"‪\".............‬‬‫ﺏ‪ .‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﺒﺭﻤﺠﺎ )‪ ، (C‬ﻤﻤﺎﺜﻼ ﻟﻠﺒﺭﻨﺎﻤﺠﻴﻥ )‪ (A‬ﻭ )‪ (B‬ﻴﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺼﻭل‬ ‫ﻋﻠﻰ ))‪ g( f (x‬ﺇﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ‪x‬‬ ‫ﺝ( ﺃﻋﻁ ﺼﻴﻐﺔ ﻤﺒﺴﻁﺔ ﻟﻠﻌﺒﺎﺭﺓ ))‪ g( f (x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪x‬‬ ‫ﺩ( ﺃﻋﻁ ﺼﻴﻐﺔ ﻤﺒﺴﻁﺔ ﻟﻠﻌﺒﺎﺭﺓ ))‪ g( f (x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪x‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬‫‪ 1‬ﺃ‪ .‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ 4‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ‪ (3).4  5 :‬ﻤﻨﻪ‪f (4) 7 :‬‬ ‫ﺏ‪ f (x) .‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ x‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻨﻪ‪f (x) 3x  5 :‬‬ ‫‪2‬ﺃ‪ .‬ﺼﻭﺭﺓ )‪ ( 3‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ )‪g( 3‬‬ ‫ﺘﺭﺒﻴﻊ‬ ‫‪( 3x)2²‬‬ ‫)‪ (1‬‬ ‫ﺒﺈﺘﺒﺎﻉ ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ )‪: (A‬‬‫)‪( 3‬‬ ‫‪2( 3)²‬‬ ‫)‪> @g( 3) 2( 3)²  (1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪g( 3) 5 :‬‬

‫ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ‪: B‬‬ ‫§¨¨©‪ k‬ﻭﺒﺈﺘﺒﺎﻉ‬ ‫‪2‬‬ ‫·‪¸¸¹‬‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫‪k‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺼﻭﺭﺓ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ‪f‬‬‫©§¨¨‬ ‫‪2‬‬ ‫·‪¸¸¹‬‬ ‫§©¨¨ ‪f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¸·¸¹‬‬ ‫‪g‬‬ ‫ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ‬ ‫¨©§¨ ‪k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫¸‪·¸¹‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪g( 2  5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫§©¨¨ ‪f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪·¸¸¹‬‬ ‫‪ 25‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭﻟﺤﺴﺎﺏ )‪ g( 2  5‬ﻨﺘﺒﻊ ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ )‪: (A‬‬‫ﺘﺭﺒﻴﻊ‬ ‫)‪ (1‬‬ ‫)‪> @2( 3)² 1 g( 2  5‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪2( 2  5)²‬‬ ‫‪( 2  5)²‬‬ ‫)‪g( 2  5‬‬ ‫)‪( 2  5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪> @2( 2  2.5 2  5²) 1 :‬‬ ‫§¨©¨‪k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫¸·‪¸¹‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪53  20 2 :‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺝ( ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ )‪: (A‬‬ ‫ﺘﺭﺒﻴﻊ‬ ‫‪xx²2‬‬ ‫)‪ (1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪2( x²‬‬ ‫)‪g(x) 2(x²)  (1‬‬‫ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ‪f‬‬ ‫ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ‪g‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ‪: B‬‬‫‪x f x‬‬ ‫))‪k(x) 2( f (x)  (1‬‬ ‫‪f x 3x  5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪ g(x) 2x² 1 :‬ﻭ‪k(x) (3x  5)² 1‬‬ ‫‪k(x) 9x²  30x  24‬‬‫‪ 3‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪f x g(x) (3x  5)  (2x² 1) : x‬‬‫)‪f x.g(x) (3x  5)(2x² 1‬‬ ‫ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ‪f x g(x) 2x²  3x  4 :‬‬ ‫‪f x.g(x) 6x3  10x²  3x  5‬‬‫‪ 4‬ﺃ‪ g( f (x)) .‬ﻫﻲ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻟﻠﺼﻭﺭﺓ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪x‬‬‫))‪ g( f (x‬ﻫﻲ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻠﺼﻭﺭﺓ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪x‬‬‫ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ‪f‬‬ ‫ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ‪g‬‬‫)‪x g(x‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ‪ C‬ﻫﻭ‪f (g(x)) :‬‬ ‫ﺝ( ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ g( f (x)) 3g(x)  5 :‬ﻭ‪g(x) 2x² 1‬‬‫ﻤﻨﻪ‪ g( f (x)) 3>2x² 1@ 5 :‬ﻤﻨﻪ‪g( f (x)) 6x²  8 :‬‬ ‫ﺩ( ‪k( f (x) 9( f (x)²  30( f (x))  24‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪k( f (x) 9(3x  5)²  30(3x  5)  24 :‬‬ ‫ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ‪k( f (x) 81x² 180x  99 :‬‬

‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺼﻭﺭﺓ ﻋﺩﺩ ﻜﻴﻔﻲ ‪ x‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ )‪ f (x‬ﻭ ‪f (x) 3x  5‬‬‫ﺇﺫﻥ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﺼﻭﺭﺓ ‪ a‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ )‪f (a‬‬ ‫ﻭ ‪f (a) 3a  5‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ )‪ g(x‬ﺼﻭﺭﺓ ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻓﺈﻥ ﺼﻭﺭﺓ )‪g(x‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬‫ﻫﻲ‪ f (g(x)) :‬ﻭ ‪ f (g(x)) 3(g(x))  5‬ﻭﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻋﺘﻤﺩﻨﺎ ﻹﻨﺠﺎﺯ‬ ‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ‪.‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ )‪f (x)  g(x‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ‪ x o f (x)  g(x) :‬ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‬‫‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﻭﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪( f  g‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ )‪f (x) u g(x‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ )‪ x o f (x) u g(x‬ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ f‬ﻭ ‪g‬‬ ‫ﻭﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪( f .g‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ))‪- f (g(x‬ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ‬‫ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻠﺼﻭﺭﺓ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ - x‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ‪:‬‬‫ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ‪f‬‬ ‫ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ‪g‬‬ ‫))‪f (g(x‬‬‫)‪x g(x‬‬‫ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪) f‬ﺃﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ \"ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺘﺒﻭﻋﺔ‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪(\" f‬‬‫ﻭﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ -  fog‬ﺇﻨﺘﺒﻪ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﻭﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ‬

‫ﺇﺫﻥ‪( f  g)(x) f (x)  g(x) :‬‬ ‫ﻭ )‪ ( f .g)(x) f (x).g(x‬ﻭ ))‪( fog)(x) f (g(x‬‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ ( f  g‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪( f  g)(x) 2x²  3x  4 :‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ ( f .g‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪( f .g)(x) 6x3  10x²  3x  5 :‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪  fog‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ fog (x) 6x²  8 :‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ kog‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪kog(x) 81x² 180x  99 :‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ k‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ  ‪gof‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :2‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻜﻌﺏ\"‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) x3 :‬‬ ‫‪1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﺭﺩﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪2‬أ‪ .‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل >‪>0,f‬‬ ‫ب‪ .‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل @‪@ f,0‬‬ ‫ت‪ .‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫ث‪ .‬ﺃﻨﺸﺊ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ‪ ،‬ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫‪1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ‪ R‬ﻭ ‪ R‬ﻤﺘﻨﺎﻅﺭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪0‬‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪: R‬‬ ‫‪f (x) (x)3‬‬ ‫‪((1) x) 3‬‬ ‫‪(1)3 x3‬‬

‫ﻤﻨﻪ‪ f (x) x3 :‬ﻤﻨﻪ‪f (x)  f (x) :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﺭﺩﻴﺔ‬ ‫أ‪ .2‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﻥ >‪،>0,f‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪) a²  b²‬ﻷﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﻭﺠﺒﺎﻥ( ﻭﺒﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺘﻴﻥ )‪ (1‬ﻭ)‪ (2‬ﻁﺭﻑ‬ ‫ﺒﻁﺭﻑ )ﻷﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﻁﺭﺍﻑ ﻤﻭﺠﺒﺔ( ﻴﻜﻭﻥ ‪a3  b3‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﻥ >‪ ،>0,f‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a  b‬ﻓﺈﻥ‬ ‫)‪(1)...... f (a)  f (b‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل >‪>0,f‬‬‫ب‪ .‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﻨﺼﺭﻴﻥ ﻤﻥ @‪ @ f,0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ a d 0‬ﻭ ‪ b d 0‬ﻤﻨﻪ‬ ‫‪ a d0‬ﻭ‪bd0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪  a :‬ﻭ ‪  b‬ﻋﻨﺼﺭﺍﻥ ﻤﻥ >‪>0,f‬‬‫ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a  b‬ﻴﻜﻭﻥ ‪  a  b‬ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪  b‬ﻭ ‪  a‬ﻴﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ >‪>0,f‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ )‪ f (b)  f (a‬ﻭﻴﻜﻭﻥ )‪)  f (b)   f (a‬ﻷﻥ ‪ f‬ﻓﺭﺩﻴﺔ(‬ ‫ﻭﻴﻜﻭﻥ )‪f (a)  f (b‬‬‫ﻤﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﻥ @‪ @ f,0‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a  b‬ﻓﺈﻥ‬ ‫)‪(2)...... f (a)  (b‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل @‪@ f,0‬‬ ‫ج‪ .‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﻥ ‪ R‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪a  b‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﻭﺠﺒﺎﻥ ﻴﻜﻭﻥ )‪) f (b)  f (a‬ﻤﻥ )‪((1‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺴﺎﻟﺒﺎﻥ ﻴﻜﻭﻥ )‪) f (b)  f (a‬ﻤﻥ )‪((2‬‬

‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻟﻴﺴﺎ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ ﺤﺘﻤﺎ ) ‪ a d 0‬ﻭ ‪ ( b ! 0‬ﺃﻭ ) ‪a  0‬‬ ‫ﻭ‪(b t 0‬‬‫)ﻷﻨﻨﺎ ﻓﺭﻀﻨﺎ ‪ ( a  b‬ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺇﻤﺎ ) ‪ a3 d 0‬ﻭ ‪ ( b3 ! 0‬ﺃﻤﺎ ) ‪a3  0‬‬ ‫ﻭ ‪(b3 t 0‬‬ ‫ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺤﺘﻤﺎ ‪(3).......b3  b3‬‬‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ)‪ (2‬ﻭ)‪ /(3‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﻥ ‪ R‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a  b‬ﻓﺈﻥ‬ ‫)‪f (b)  f (a‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬‫ح‪ .‬ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ ﻴﻜﻭﻥ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫‪x f‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪f‬‬‫‪x3‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ، f‬ﺍﻟﻤﺩﺭﻭﺴﺔ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) x3 :‬‬‫ﺘﺴﻤﻰ \"ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻜﻌﺏ\" ﻭﻫﻲ –ﻤﻥ ﺍﻵﻥ‪ -‬ﺘﻠﺘﺤﻕ ﺒـ \"ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺭﺠﻌﻴﺔ\" ﻭﻤﻌﺭﻓﺔ‬‫ﺘﻐﻴﺭﺍﺘﻬﺎ ﻭﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ  ‪ 0, I, J‬ﺘﺩﺨل ﻀﻤﻥ ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ )ﺃﻨﻅﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺩﺭﺱ(‪.‬‬

‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :3‬ﺩﻭﺍل ﻤﺭﻓﻘﺔ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ V‬ﺸﻌﺎﻋﺎ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎ‬ ‫‪G‬‬‫* ﺼﻭﺭﺓ )ﺃﻭ ﻤﺤﻭﻟﺔ( ﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﺒﺎﻹﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ‪ V‬ﻫﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ '‪A‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‪AA' V :‬‬ ‫‪G‬‬‫ﻫﻲ‬ ‫‪V‬‬ ‫* ﺼﻭﺭﺓ )ﺃﻭ ﻤﺤﻭﻟﺔ( ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻨﻘﻁ ‪ C‬ﺒﺎﻹﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ‬ ‫‪G‬‬ ‫‪V‬‬ ‫ﺒﺎﻹﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﺤﻭﻻﺕ ﻨﻘﻁ ‪C‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪GB‬‬ ‫‪uG‬‬ ‫'‪A V A‬‬ ‫‪uG‬‬ ‫‪G‬‬ ‫'‪B‬‬ ‫‪V‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫‪G‬‬ ‫'‪C‬‬ ‫‪uG‬‬ ‫‪uG‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪uG‬‬ ‫' ' ‪C‬‬

‫‪G‬‬ ‫'‪ A‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ A‬ﺒﺎﻹﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ‪V‬‬ ‫'‪ B‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ B‬ﺒﺎﻹﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ‪uG‬‬‫‪G‬‬‫‪V‬‬ ‫ﺸﻌﺎﻋﻪ‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﺒﺎﻹﻨﺴﺤﺎﺏ‬ ‫ﺼﻭﺭﺓ  ‪C‬‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫'‪C‬‬‫''‪ C‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ‪ C‬ﺒﺎﻹﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ‪uG‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫ﻓ‪1‬ﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‪ P ،‬ﻫﻭ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\" ﺃﻱ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ f (x) x² :‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ  ‪0, I, J‬‬‫ﻭ‪ C‬ﺼﻭﺭﺓ‪ P‬ﺒﺎﻹﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ‪ 4J‬‬‫‪ A‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ‪ P‬ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ x‬ﻭ ‪ B‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ‪C‬‬ ‫ﺼﻭﺭﺓ ‪ A‬ﺒﺎﻹﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ‪ 4J‬‬ ‫أ‪ .‬ﻋﻴﻥ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪x‬‬ ‫ﻭﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪x‬‬ ‫ب‪ .‬ﻤﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻫﻭ ‪C‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬‫)‪(P‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2................... A‬‬ ‫‪............1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2.................... B‬‬‫)‪(C‬‬ ‫‪-3‬‬‫‪-4‬‬‫‪-5‬‬‫‪-6‬‬ ‫‪2‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‪ P ،‬ﻫﻭ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\" ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ  ‪0, I, J‬‬ ‫ﻭ'‪ C‬ﺼﻭﺭﺓ‪ P‬ﺒﺎﻹﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ‪2I‬‬ ‫‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ'‪ C‬ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ x‬ﻭ ‪ N‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ‪P‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺼﻭﺭﺘﻬﺎ ‪ M‬ﺒﺎﻹﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ‪2I‬‬ ‫أ‪ .‬ﻋﻴﻥ ﻓﺎﺼﻠﺔ ‪ B N‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ x‬ﺜﻡ ﺘﺭﺘﻴﺏ‬ ‫ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ N‬ﻭ ‪ M‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪x‬‬‫ب‪ .‬ﻤﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ ، M‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ'‪C‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪(C) 6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪....................4......‬‬‫)‪(P‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 N .......................M..‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3x 4 5‬‬ ‫‪6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬‫‪-2‬‬‫‪-3‬‬‫‪-4‬‬‫‪-5‬‬‫‪-6‬‬‫‪3‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ) ‪ (H‬ﻫﻭ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﺯﺍﺌﺩ‬‫ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻘﻠﻭﺏ\" ﺃﻱ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬‫)‪ g(x‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ  ‪0, I, J‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬‫ﻭ ‪ γ‬ﻫﻭ ﻨﻅﻴﺭ ) ‪ (H‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬‫'‪ xx‬ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻟﻠﻤﻌﻠﻡ  ‪0, I, J‬‬‫‪ P‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ) ‪ (H‬ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ x‬ﻭ ‪ Q‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬‫ﻤﻥ  ‪ γ‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ P‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ '‪xx‬‬

‫‪y‬‬‫‪6‬‬‫‪5‬‬‫)‪4 (H‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪P‬‬‫)‪(C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪-2‬‬‫‪-3‬‬‫‪-4‬‬‫‪-5‬‬‫‪-6‬‬‫أ‪ .‬ﻋﻴﻥ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ ، P‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪x‬‬‫ب‪ .‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ Q‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪x‬‬‫ت‪ .‬ﻤﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ ، Q‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻫﻭ  ‪γ‬‬‫ث‪ .‬ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ) ‪ (H‬ﻭ ‪ γ‬ﺃﺭﺴﻡ ‪ C‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪k‬‬‫)‪) k(x‬ﺍﺴﺘﻌﻤل ﺸﻜﻼ ﺁﺨﺭﺍ(‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻓ‪4‬ﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ‪ r‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ u‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪u(x) x3  3x²  5x  3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪6‬‬‫) '‪(C‬‬ ‫‪5‬‬‫‪4‬‬‫‪3‬‬‫‪R .................2.........................S...‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 x -1 0‬‬ ‫‪1234‬‬ ‫‪5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬‫‪-2‬‬‫‪-3‬‬‫‪-4‬‬‫‪-5‬‬‫‪-6‬‬‫‪ -‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ  ‪ 0, I, J‬ﻭ'‪ r‬ﻫﻭ ﻨﻅﻴﺭ ‪ r‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ '‪ yy‬ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻟﻠﻤﻌﻠﻡ  ‪0, I, J‬‬‫‪ R‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ '‪ r‬ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ x‬ﻭ ‪ S‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ‪ r‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ R‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ '‪yy‬‬‫أ‪ .‬ﻋﻴﻥ ﻓﺎﺼﻠﺔ ‪ S‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ x‬ﺜﻡ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ R‬ﻭ ‪S‬‬ ‫ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪x‬‬ ‫ب‪ .‬ﻤﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ ، R‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻫﻭ '‪r‬‬

‫ت‪ .‬ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ‪ r‬ﻭ'‪ r‬ﺃﺭﺴﻡ  ‪ C2‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ϑ‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪) ϑ(x) x 3  3 x ²  5 x :‬ﺍﺴﺘﻌﻤل ﺸﻜﻼ ﺁﺨﺭﺍ(‬ ‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪ ،‬ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫أ‪ .1‬ﻓﺎﺼﻠﺔ ‪ A‬ﻫﻲ ‪ x‬ﻭ ‪ A‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪ P‬ﻤﻨﻪ ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ A‬ﻫﻭ ‪ x²‬ﻤﻨﻪ‬ ‫)‪A(x, x²‬‬ ‫­‬ ‫‪xB‬‬ ‫‬ ‫‪xA‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫¨¨©§‪AB‬‬ ‫‪0‬‬ ‫¸‪4 ·¸¹‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‬ ‫‪4‬‬ ‫¨¨§© ‪Gj‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫·‪¸¸¹‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪G‬‬ ‫®‬ ‫‪yB‬‬ ‫‬ ‫‪yA‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫¯‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪4 j :‬‬‫ﻤﻨﻪ‪ xB xA :‬ﻭ ‪ yB yA  4‬ﻤﻨﻪ ﻓﺎﺼﻠﺔ ‪ B‬ﻫﻲ ‪ x‬ﻭﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ B‬ﻫﻭ‬ ‫‪ x²  4‬ﻤﻨﻪ )‪B(x, x²  4‬‬‫ب‪ C .‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ \"ﻤﻥ ﻨﻭﻉ ‪ \" B‬ﺇﺫﻥ ‪ C‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬‫)‪ M (x, y‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪ y x²  4‬ﻤﻨﻪ ‪ C‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ A‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ A(x) x²  4 :‬ﺃﻱ ‪A(x) f (x)  4‬‬‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ x o f (x)  4‬ﻫﻭ ﻤﺤﻭل ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﺒﺎﻹﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ‪ 4 j‬‬‫ﻭ‬ ‫­‬ ‫‪xM‬‬ ‫‬ ‫‪xN‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪NM‬‬ ‫©§¨¨‬ ‫‪2‬‬ ‫·¸‪¸¹‬‬ ‫ﻭ ·¸¸‪ 2iG¨¨§©02¹‬ﻤﻨﻪ‬ ‫‪NM‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪2‬أ‪.‬‬ ‫®‬ ‫‪yM‬‬ ‫‬ ‫‪yN‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫¯‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪2i :‬‬ ‫‪xM x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪ xN xM  2 :‬ﺇﺫﻥ ﻓﺎﺼﻠﺔ ‪ N‬ﻫﻲ ‪x  2‬‬ ‫‪ yN‬ﻤﻨﻪ ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ N‬ﻫﻭ ‪x  2²‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺘﻨﺘﻤﻲ‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ﻭ ‪ yM yN‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ M‬ﻫﻭ ‪ x  2²‬ﻤﻨﻪ‪M x, x  2² :‬‬

‫ﺏ‪ C' .‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ \"ﻤﻥ ﻨﻭﻉ ‪ \" M‬ﺇﺫﻥ '‪ C‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬‫)‪ K(x, y‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪ y x  2²‬ﻤﻨﻪ '‪ C‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ϕ‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ ϕ(x) (x  2)² :‬ﺃﻱ ‪ϕ(x) f (x  2) :‬‬‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ )‪ x o f (x  2‬ﻫﻭ ﻤﺤﻭل ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﺒﺎﻹﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ‪2i‬‬‫أ‪ .3‬ﻓﺎﺼﻠﺔ ‪ P‬ﻫﻲ ‪ x‬ﻭ ‪ P‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ  ‪ H‬ﻤﻨﻪ ‪ x z 0‬ﻭﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ P‬ﻫﻭ‬ ‫§¨‪P‬‬ ‫‪x,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪1‬‬ ‫©‬ ‫‪x‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪x‬‬‫ب‪ Q .‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ P‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ '‪ xx‬ﻤﻨﻪ ﻓﺎﺼﻠﺔ ‪ Q‬ﻫﻲ ﻓﺎﺼﻠﺔ‬ ‫¨§‪Q‬‬ ‫‪x,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻫﻭ‬ ‫‪P‬‬ ‫ﻫﻭ ﻋﻜﺱ ﺘﺭﺘﻴﺏ‬ ‫‪P‬‬ ‫ﻭﺘﺭﺘﻴﺏ‬ ‫‪P‬‬ ‫©‬ ‫‪x‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪x‬‬‫ت‪ .‬ﻭﻤﺜل ﻤﺎ ﺴﺒﻕ  ‪ γ‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ t‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫)‪t(x‬‬ ‫)‪ t(x‬ﺃﻱ )‪g(x‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ )‪ x o g(x‬ﻫﻭ ﻤﺤﻭل ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﺒﺎﻹﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ )'‪(xx‬‬‫)‪ k(x‬ﻤﻨﻪ  ‪ C1‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ M (x, y‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪x z 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺙ‪.‬‬ ‫‪x‬‬‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻜﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫)‪M (H‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫!‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺃﻱ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬‫‪ y‬ﻤﻨﻪ ) ‪ M  (γ‬ﻤﻨﻪ ﻟﺭﺴﻡ  ‪ C1‬ﻨﺄﺨﺫ ﺠﺯﺀ  ‪ H‬ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ﻓﻭﻕ '‪xx‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭ\"ﻨﻀﻴﻑ\" ﺇﻟﻴﻪ ﺍﻟﻨﻅﻴﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺠﺯﺀ  ‪ H‬ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ﺘﺤﺕ '‪. xx‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍ‪ ،‬ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ )‪x o g(x‬‬

‫ﻨﺄﺨﺫ ﺠﺯﺀ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ﻓﻭﻕ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬‫ﻭﻨﻀﻴﻑ ﺇﻟﻴﻪ ﺍﻟﻨﻅﻴﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل‬‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ﺘﺤﺕ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‪.‬‬‫ﻭﻫﻜﺫﺍ ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺭﺴﻡ  ‪ C1‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ k‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫)‪k(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬‫‪y‬‬‫‪6‬‬‫‪5‬‬‫‪4‬‬‫‪3‬‬‫)‪2 (C‬‬‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬‫‪-2‬‬‫‪-3‬‬‫‪-4‬‬‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬‫‪4‬أ‪ .‬ﻓﺎﺼﻠﺔ ‪ R‬ﻫﻲ ‪ x‬ﻭ ‪ S‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ R‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ '‪ yy‬ﻤﻨﻪ ﻓﺎﺼﻠﺔ ‪S‬‬ ‫ﻫﻲ ‪ x‬‬ ‫ﻭ ‪ S‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪ r‬ﻤﻨﻪ ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ S‬ﻫﻭ )‪u(x‬‬

‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ R‬ﻭ ‪ S‬ﻤﺘﻨﺎﻅﺭﺘﺎﻥ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ '‪ yy‬ﻓﺈﻥ ﺘﺭﺘﺒﺎﻫﻤﺎ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺎﻥ ﻤﻨﻪ‬ ‫ﺘﺭﺘﻴﺏ ﻜل ﻤﻥ ‪ R‬ﻭ ‪ S‬ﻫﻭ ‪ x3  3x²  5x  3‬‬‫ب‪ .‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ))‪ R(x,u(x‬ﻭ'‪ r‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ \"ﻤﻥ ﻨﻭﻉ ‪ \" R‬ﺇﺫﻥ‬‫'‪ r‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ M (x, y‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ )‪ y u(x‬ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪y x3  3x²  5x  3‬‬‫ﻤﻨﻪ '‪ r‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ w‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪w(x) x3  3x²  5x  3‬‬‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ )‪ x o u(x‬ﻫﻭ ﻨﻅﻴﺭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ u‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫ﺝ‪ .‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ ϑ(x) u x  :‬ﻤﻨﻪ  ‪ C2‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ (x, y‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‬‫ ‪ y u x‬ﺃﻱ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ y ux ، x t 0‬ﻤﻨﻪ ‪ ، M  r‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬‫‪ y u x ، x d 0‬ﻤﻨﻪ '‪ M  r‬ﻤﻨﻪ ﻟﺭﺴﻡ  ‪ C2‬ﻨﺄﺨﺫ ﻨﻘﻁ ‪ r‬ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﻓﻭﺍﺼﻠﻬﺎ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻭ\"ﻨﻀﻴﻑ\" ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻨﻘﻁ '‪ r‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﻭﺍﺼﻠﻬﺎ ﺴﺎﻟﺒﺔ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍ‪ ،‬ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪، x o u x  :‬‬‫ﻨﺄﺨﺫ ﺠﺯﺀ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ u‬ﺍﻟﺫﻱ ﻓﻭﺍﺼل ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻭﻨﻀﻴﻑ ﺇﻟﻴﻪ‬ ‫ﻨﻅﻴﺭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‪.‬‬‫ﻭﻫﻜﺫﺍ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺭﺴﻡ  ‪ C2‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ϑ‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪ϑ(x) x 3  3 x ²  5 x  3‬‬

y 6 5 4 (C) 3 2 1-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x -1 -2 -3 -4 -5 -6

‫ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺩﺭﺱ ﻫﻲ ﺩﻭﺍل ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬ ‫‪ /1‬ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪) 1‬ﺘﺫﻜﻴﺭ(‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ﻤﺠﺎﻻ ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻤﺠﺎﻟﻪ ﻤﻔﺘﻭﺤﺎ ﻏﻴﺭ ﺨﺎل ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ‬ ‫ﺘﺤﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﻘﻭل ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻴﻌﻨﻲ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﻥ‬ ‫‪ ، I‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a  b‬ﻓﺈﻥ )‪f (a) ! f (b‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﻘﻭل ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻴﻌﻨﻲ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﻥ‬ ‫‪ ، I‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a  b‬ﻓﺈﻥ‪f (a)  f (b) :‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﻘﻭل ‪ f‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻴﻌﻨﻲ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﻥ ‪ ، I‬ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻜﺎﻥ ‪ a  b‬ﻓﺈﻥ‪f (a) f (b) :‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪) :2‬ﺘﻌﺭﻴﻑ(‪:‬‬‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ D‬ﻴﻌﻨﻲ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ‬‫ﺍﻟﻤﺤﺘﻭﺍﺓ ﻓﻲ ‪ D‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺃﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﺃﻭ ﺜﺎﺒﺘﺔ‪.‬‬ ‫ﻭﻋﺎﺩﺓ‪ ،‬ﺘﻠﺨﺹ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻓﻲ ﺠﺩﻭل ﻴﺴﻤﻰ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) (x  3)²  2 :‬‬

‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل @‪ @ f,3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ a d 3 :‬ﻭ‪ b d 3‬ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪ a3d 0‬ﻭ‪b3d 0‬‬‫ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a  b‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ a  3  b  3‬ﻭﻴﻜﻭﻥ ‪) (a  3)² ! (b  3)²‬ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ‬ ‫ﻤﺭﺒﻌﻲ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺴﺎﻟﺒﺘﻴﻥ(‬ ‫ﻭﻴﻜﻭﻥ ‪(a  3)²  2 ! (b  3)²  2‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﻨﺼﺭﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل @‪ @ f,3‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a  b‬ﻓﺈﻥ‬ ‫)‪ f (a) ! f (b‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل@‪@ f,3‬‬ ‫‪ /2‬ﺩﻭﺍل ﻤﺭﺠﻌﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺭﺠﻌﻴﺔ‪:‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‪ ، x o ax  b :‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‬ ‫ﻤﻔﺭﻭﻀﻴﻥ‬‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\"‪x o x² :‬‬‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻘﻠﻭﺏ\"‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﺠﺫﺭ ﺘﺭﺒﻴﻌﻲ ﻤﻭﺠﺏ\"‪x o x :‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻜﻌﺏ\"‪x o x3 :‬‬‫ﻭﻓﻲ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻤﻠﺨﺹ ﻟﻠﻨﺘﺎﺌﺞ ﺤﻭل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﻭﺍل )ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ(‬‫ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺘﻤﺕ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﺎﻟﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺓ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻘﻠﻭﺏ\"‬‫‪x f‬‬ ‫‪0 f‬‬‫‪1‬‬‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪123‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻘﻠﻭﺏ\" ﻓﺭﺩﻴﺔ‬‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻘﻠﻭﺏ\" ﻴﺴﻤﻰ ﻗﻁﻌﺎ ﺯﺍﺌﺩﺍ ﻭﻫﻭ ﻤﺘﻨﺎﻅﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\"‬‫‪x f‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪f‬‬‫‪x²‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\" ﺯﻭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\" ﻴﺴﻤﻰ ﻗﻁﻌﺎ ﻤﻜﺎﻓﺌﺎ ﻭﻫﻭ‬ ‫ﻤﺘﻨﺎﻅﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻜﻌﺏ\"‬‫‪x f‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪f‬‬‫‪x3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻜﻌﺏ\" ﻓﺭﺩﻴﺔ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻜﻌﺏ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻜﻌﺏ\" ﻤﺘﻨﺎﻅﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺒﺩﺃ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﺠﺫﺭ ﺘﺭﺒﻴﻌﻲ ﻤﻭﺠﺏ\"‬‫‪x f‬‬ ‫‪0 f‬‬‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ \"ﺠﺫﺭ ﺘﺭﺒﻴﻌﻲ ﻤﻭﺠﺏ\" ﻫﻭ \"ﻨﺼﻑ\" ﻗﻁﻊ ﻤﻜﺎﻓﺊ‬

‫‪ /3‬ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ u‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ Du‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ ϑ‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪Dϑ‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ k‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﺎ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎ‪.‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ....‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﻭﻫﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫)‪(u  ϑ)(x) u(x)  ϑ(x‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‬ ‫ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‪:‬‬ ‫‪Du ˆ Dϑ‬‬ ‫‪ u‬ﻭ‪ϑ‬‬ ‫‪u ϑ‬‬‫)‪(u.ϑ)(x) u(x).ϑ(x‬‬ ‫‪Du ˆ Dϑ‬‬ ‫ﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‬ ‫‪u.ϑ‬‬‫)‪(k.u)(x) k.u(x‬‬ ‫‪ u‬ﻭ‪ϑ‬‬ ‫‪Du‬‬ ‫‪ku‬‬‫¨§‬ ‫‪1‬‬ ‫(¸·‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪u‬‬‫©‬ ‫‪u‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫)‪u(x‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻗﻴﻡ‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ‪k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ x‬ﻤﻥ ‪ Du‬ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫‪u‬‬ ‫ﻤﻘﻠﻭﺏ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‬ ‫‪u‬‬‫¨§‬ ‫‪u‬‬ ‫(¸·‬ ‫)‪x‬‬ ‫)‪u(x‬‬ ‫ﺘﺤﻘﻕ‬ ‫ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ‬ ‫‪u‬‬‫©‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫)‪ϑ(x‬‬ ‫‪u(x) z 0‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ u‬ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ϑ‬‬‫))‪(ϑou)(x) ϑ(u(x‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻗﻴﻡ ‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ϑ‬‬ ‫‪ϑou‬‬ ‫ﻤﻥ ‪Du ˆ Dϑ‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪u‬‬ ‫‪ϑ(x) z 0‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ϑ‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻗﻴﻡ‬ ‫‪ x‬ﻤﻥ ‪ Du‬ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﺘﺤﻘﻕ‬ ‫‪u(x)  Dϑ‬‬

‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x o x²  2x‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ x o 2x‬ﻭ ‪x o x²‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﻜﺫﻟﻙ ﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ )‪ x o (x  2‬ﻭ ‪x o x‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x o 3 x‬ﻫﻲ ﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺠﺫﺭ ﺘﺭﺒﻴﻌﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ‪3‬‬ ‫ﻫﻲ ﻤﻘﻠﻭﺏ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\"‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x²‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫‪x o 3x  5‬‬ ‫ﻫﻲ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x²‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪x o (x²  1‬‬‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ‪:‬‬‫‪ ϑ(x) x²  3‬ﻭ ‪ u(x) 9x  2‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ϑou‬ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫))‪(ϑou)(x) ϑ(u(x‬‬ ‫‪(u(x))²  3‬‬ ‫‪(9x  2)²  3‬‬ ‫‪81x²  36x  7‬‬‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ u‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ϑ‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ϑou‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪(ϑou)(x) 81x²  36x  7 :‬‬ ‫‪ /4‬ﺩﻭﺍل ﻤﺭﻓﻘﺔ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪ :1‬ﺃﺸﻜﺎل‪ ،‬ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ D‬ﻭﻟﻴﻜﻥ  ‪ C f‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﻌﻠﻡ  ‪ 0, I, J‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ k‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎ‪.‬‬‫ ‪ Cu‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ u‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ D‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪G‬‬‫‪kj‬‬ ‫ﺒﺎﻹﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ‬ ‫ ‪C f‬‬ ‫ﻫﻭ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫)‪u(x‬‬ ‫‪f (x)  k‬‬

‫‪y‬‬‫‪6‬‬‫ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ ‪5‬‬‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (C‬ــــ ‪4‬‬‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪3 .........(H‬‬‫‪2‬‬‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬‫‪-2‬‬‫‪-3‬‬‫‪-4‬‬‫‪-5‬‬‫‪-6‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ x o f (x)  k‬ﻨﺠﻌل ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل‬‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ )‪\" x o f (x‬ﻴﻨﺯﻟﻕ ﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺎ\" )ﻨﻀﻴﻑ ‪ k‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭﻨﺤﺘﻔﻅ ﺒﺎﻟﻔﺎﺼﻠﺔ(‬‫ ‪ Cϑ‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ϑ‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺒﺤﻴﺙ‬‫‪ (x  k)  D‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ ϑ(x) f (x  k) :‬ﻫﻭ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ  ‪C f‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﺒﺎﻹﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ‪ki‬‬

‫‪y‬‬‫‪6‬‬‫ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ ‪5‬‬‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (C‬ــــ ‪4‬‬‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪3 .........(H‬‬‫‪2‬‬‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1234‬‬ ‫‪5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬‫‪-2‬‬‫‪-3‬‬‫‪-4‬‬‫‪-5‬‬‫‪-6‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ )‪ x o f (x  k‬ﻨﺠﻌل ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ )‪\" x o f (x‬ﻴﻨﺯﻟﻕ ﺃﻓﻘﻴﺎ\" )ﻨﻀﻴﻑ ‪ k‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﻭﻨﺤﺘﻔﻅ ﺒﺎﻟﺘﺭﺘﻴﺏ(‬ ‫ﻹﻨﺠﺎﺯ ﺍﻷﺸﻜﺎل ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺃﺨﺫ‪k 1.5 :‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺃﺸﻜﺎل‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ D‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ C‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﻌﻠﻡ  ‪0, I, J‬‬‫'‪ C‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬‫‪  x D‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ g(x) f (x) :‬ﻫﻭ ﻨﻅﻴﺭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ C‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬ ‫)'‪ ( yy‬ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻟﻠﻤﻌﻠﻡ  ‪0, I, J‬‬

‫‪y‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬‫) ' ‪(C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬‫‪-2‬‬‫‪-3‬‬‫‪-4‬‬‫‪-5‬‬‫‪-6‬‬‫'‪ C‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ D‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪h(x)  f (x) :‬‬‫ﻫﻭ ﻨﻅﻴﺭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‪ C‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ )'‪ (xx‬ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻟﻠﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ ‪0, I, J‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬‫‪(C ' ) 5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ C f‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ )‪) x o f (x‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ( D‬‬‫ﻨﺄﺨﺫ ﺠﺯﺀ ‪ C‬ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ﻓﻭﻕ )'‪ (xx‬ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻟﻠﻤﻌﻠﻡ  ‪0, I, J‬‬ ‫ﻭﻨﻀﻴﻑ ﺇﻟﻴﻪ ﺍﻟﻨﻅﻴﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ )'‪ (xx‬ﻟﺠﺯﺀ ‪ C‬ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ﺘﺤﺕ )'‪. (xx‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬‫)‪(C‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ' ‪(C‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ  ‪ Ck‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ k‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ‪x‬‬‫ﺒﺤﻴﺙ‪ x  D :‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ k(x) f ( x ) :‬ﻨﺄﺨﺫ ﺠﺯﺀ  ‪ C f‬ﺍﻟﺫﻱ ﻓﻭﺍﺼل‬‫ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻭﻨﻀﻴﻑ ﺇﻟﻴﻪ ﻨﻅﻴﺭﻩ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ )'‪ ( yy‬ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﻠﻡ  ‪0, I, J‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬‫‪(C') 5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ x o f (x‬ﺠﻤﻴﻊ ﻗﻴﻤﻬﺎ ﻤﻭﺠﺒﺔ‪ C f :‬ﻴﻘﻊ ﻓﻭﻕ )'‪ (xx‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ k‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻭ ‪ Cu‬ﻤﺘﻨﺎﻅﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ )'‪( yy‬‬ ‫‪ /5‬ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ‪ ،‬ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ D‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻤﻔﺭﻭﻀﻴﻥ‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ C‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ  ‪0, I, J‬‬

‫‪y‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪A.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Ma' -h‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a+h‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺤﻴﺙ )‪(a,b‬‬‫ﺃﻴﻥ ‪ h‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a  h D‬ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ M‬ﻫﻭ ‪f a  h‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺇﺫﻥ‪ ، M (a  h; f (a  h)) :‬ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ' ‪M‬‬‫ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ M‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ A‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ A‬ﻤﻨﺘﺼﻑ @' ‪>MM‬‬ ‫'‪yM  yM‬‬ ‫ﻭ‪yA‬‬ ‫' ‪xM  xM‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪xA :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫ﺃﻱ‪ xM ' 2xA  xM :‬ﻭ ‪yM ' 2 y A  yM‬‬‫ﺃﻱ‪ xM ' 2a  (a  h) :‬ﻭ )‪yM ' 2b  f (a  h‬‬‫ﺃﻱ‪ xM ' a  h :‬ﻭ )‪yM ' 2b  f (a  h‬‬‫ﻭﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ‪ A‬ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ C‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬

‫‪xM‬‬ ‫'‬ ‫‬ ‫‪D‬‬ ‫½‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪C‬‬ ‫'‪M‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪M‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ‬‫'‪y‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(xM‬‬ ‫¾¿)‬ ‫'‬‫‪(a  h)  D‬‬ ‫½‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪(a  h)  D‬‬ ‫½‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬‫)‪f (a  h)  f (a  h‬‬ ‫¾¿‪2b‬‬ ‫)‪2b  f (a  h‬‬ ‫¿¾)‪f (a  h‬‬‫* ﻟﻨﻔﺭﺽ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍ ﻭﻟﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ  ‪ d‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x 0‬ﻟﺘﻜﻥ ‪M‬‬‫ﻨﻘﻁﺔ ﻜﻴﻔﻴﺔ ﻤﻥ ‪ C‬ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ a  h‬ﺃﻴﻥ ‪ h‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻕ ﺒﺤﻴﺙ‪، (a  h)  D :‬‬‫ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ M‬ﻫﻭ ﺇﺫﻥ )‪ f (a  h‬ﻤﻨﻪ‪ M (a  h; f (a  h)) :‬ﻭﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ' ‪M‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪MM ' // i‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ  ‪ ، d‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ﻨﻅﻴﺭﺓ‬ ‫‪MM‬‬ ‫§¨©¨'‬ ‫' ‪xM‬‬ ‫‬ ‫‪xM‬‬ ‫¸¸·‪¹‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪iG©§¨¨10 ·¸¸¹‬‬ ‫ﻭﻟﻨﺎ‪:‬‬ ‫' ‪yM‬‬ ‫‬ ‫‪yM‬‬ ‫‪xM '  xM .0  yM '  yM .1 0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪ yM ' yM :‬ﺇﺫﻥ‪(1)........yM ' f (a  h) :‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫'‪1 M‬‬ ‫‪M‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 a3 4 5 6 7 8 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪a-h a+h‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5 x=a‬‬ ‫‪-6‬‬‫§¨‬ ‫‪xM‬‬ ‫'‬ ‫‬ ‫‪xM‬‬ ‫‪; yM'  yM‬‬ ‫¸·‬ ‫ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻫﺎ‬ ‫@' ‪>MM‬‬ ‫ﻤﻨﺘﺼﻑ‬ ‫ﻫـ‬ ‫ﻭﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ )‪ (d‬ﻤﻨﻪ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻫﺎ ﺘﺤﻘﻘﺎﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪(d‬‬ ‫' ‪xM‬‬ ‫‪2a  xM‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫' ‪xM  xM‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪a :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪ (2)......xM ' 2a  (a  h) :‬ﻭﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ)‪:(2‬‬ ‫))‪M '(a  h, f (a  h‬‬‫ﻭﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ )‪ (d‬ﻤﺤﻭﺭ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ C‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫‪xM'  D‬‬ ‫½‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫ ‪C‬‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺘﻨﺘﻤﻲ‬ ‫'‪M‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪M‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ‬ ‫)'‪f (xM‬‬ ‫¾‬ ‫‪y‬‬ ‫‪M‬‬ ‫'‬ ‫¿‬ ‫‪(a  h)  D‬‬ ‫½‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫¾¿)‪f (a  h) f (a  h‬‬

‫ﻭﻫﻜﺫﺍ ﻟﻘﺩ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ D‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻤﻔﺭﻭﻀﻴﻥ‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ C‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ  ‪0, I, J‬‬‫* ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ A(a,b‬ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ C‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ h‬ﺒﺤﻴﺙ‪ (a  h)  D :‬ﻓﺈﻥ ‪(a  h)  D‬‬ ‫)‪f (a  h)  f (a  h‬‬ ‫ﻭ‪b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ  ‪ 0, I, J‬ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍ‪:‬‬‫ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ  ‪ d‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x a‬ﻤﺤﻭﺭ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪، C‬‬‫ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ h‬ﺒﺤﻴﺙ‪(a  h)  D :‬‬ ‫ﻭ )‪f (a  h) f (a  h‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) x3  3x²  5x  3 :‬‬‫‪R‬‬ ‫ﻜﻴﻔﻲ ﻓﻲ‬ ‫‪h‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫)‪f (1  h)  f (1  h‬‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪f (1  h) (1  h)3  3(1  h)²  5(1  h)  3‬‬ ‫‪(1  h)>(1  h)²  3(1  h)  5@ 3‬‬ ‫‪(1  h)(1  2h  h²  3  3h  5)  3‬‬ ‫‪(1  h)(h²  h  7)  3‬‬ ‫‪h3  8h  10‬‬

‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪f (1  h) (1  h)3  3(1  h)²  5(1  h)  3‬‬ ‫‪(1  h)>1  h²  3(1  h)  5@ 3‬‬ ‫‪(1  h)(h²  2h  1  3  3h  5)  3‬‬ ‫‪(1  h)(h²  h  7)  3‬‬ ‫‪h3  8h  10‬‬ ‫)‪f (1  h)  f (1  h‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪10 :‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ  ‪0, I, J‬‬ ‫ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ A(1,10‬ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ‬‫)‪g(x‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫‪g‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‬ ‫ ‪2)²‬‬‫ﻟﻨﺤﺴﺏ )‪ g(2  h‬ﻭ )‪ g(2  h‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ h‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻜﻴﻔﻲ‬ ‫)‪g(2  h‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪(2  h)  2‬‬ ‫‪((2  h)  2)²  5‬‬ ‫‪h²  5‬‬ ‫)‪g(2  h‬‬ ‫‪(2  h)  2‬‬ ‫‪((2  h)  2)²  5‬‬‫(‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫)ﻷﻥ‬ ‫‪h‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪h²‬‬ ‫‪(h)²  5‬‬ ‫‪ h²‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h²  5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪g(2  h) g(2  h) :‬‬

‫ﻭﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x 2‬ﻫﻭ ﻤﺤﻭﺭ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ  ‪0, I, J‬‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪2‬‬ ‫ﻟﻤﺭﺍﺠﻌﺔ ﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﻗﺎﻋﺩﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ، f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ‪ ،‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫)‪، f (x‬‬ ‫)‪ 5x  7 (3 ، f (x‬‬ ‫‪3x  7‬‬ ‫)‪(2 ، f (x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪x²  3‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪x 11‬‬ ‫‪(6‬‬ ‫)‪، f (x‬‬ ‫‪x3  x‬‬ ‫)‪(5 ، f (x‬‬ ‫‪2x  3‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪x 1  2‬‬ ‫‪x²  4‬‬ ‫‪2x²  x‬‬ ‫‪f (x) 7  2x (7‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬‫ﺃﺩﺭﺱ ﺸﻔﻌﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ، f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ‪ ،‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫)‪4 (3 ، f (x‬‬ ‫‪x²  x  5‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫)‪، f (x‬‬ ‫‪x3  x‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪3x4  5x² 1‬‬ ‫‪x²  5‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪x4  x²‬‬ ‫)‪(6 ، f (x‬‬ ‫‪xx‬‬ ‫)‪(5 ، f (x‬‬ ‫‪2x  5‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪x3  x‬‬ ‫‪x‬‬‫)*( \"ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺸﻔﻌﻴﺔ ‪ ،\" f‬ﻴﻌﻨﻲ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﺅﻟﻴﻥ ﻫل ‪f‬‬ ‫ﻓﺭﺩﻴﺔ؟ ﻫل ‪ f‬ﺯﻭﺠﻴﺔ؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:3‬‬‫ﺃﺩﺭﺱ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ، f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬

‫)‪ f (x‬ﻭ@‪@ f,3‬‬ ‫‪ 2x‬‬ ‫ﻭ>‪(2 ،>1,f‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪(x 1)²  3 (1‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪x²‬‬‫‪I‬‬ ‫)‪ f (x‬ﻭ@‪> 2, a‬‬ ‫‪x3  10‬‬ ‫ﻭ@‪(4 ، @ f,0,5‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪x  (2x  1)² (3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:4‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ‪ C ،‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫@‪ > 7,7‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ  ‪0, I, J‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬

‫‪1‬ﻋﻴﻥ ﺼﻭﺭﺓ ‪ 0‬ﻭﺼﻭﺭﺓ ‪ 3‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪2‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺴﻭﺍﺒﻕ ﺍﻟﻌﺩﺩ )‪ (-1‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬‫ﻤ‪3‬ﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬؟ ﻤﺎ ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﻠﻎ‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ؟‬‫‪4‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﺍﻟﻌﻅﻤﻰ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬؟ ﻤﺎ ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﻠﻎ‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﺍﻟﻌﻅﻤﻰ؟‬ ‫ﺃ‪5‬ﻨﺸﺊ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻤ‪6‬ﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f (x) 0‬؟‬ ‫‪7‬ﺤل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‬ ‫أ‪ .‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪f (x) d 1‬‬ ‫ب‪ .‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪f (x) x‬‬ ‫ت‪ .‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪f (x)  x‬‬‫‪،‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪3x²‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪2x  6‬‬ ‫ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪8‬ﻓﻲ ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ‪،‬‬ ‫‪x²‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪8x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪x²  6‬‬ ‫‪x²‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ؟‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ h, g, f‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺎﺘﻴﺭ‪:‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫)‪، g(x‬‬ ‫)‪2x²  3 ، f (x‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪2x²  3‬‬

‫ﺃ‪1‬ﺤﺴﺏ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫)‪( f 0h)(1‬‬ ‫)‪، g0 f (0‬‬ ‫‪،‬‬ ‫§©¨¨‬ ‫‪h‬‬ ‫)‪¸¸·¹(10‬‬ ‫)‪،  f .g (13‬‬ ‫‪،( f‬‬ ‫)‪ h)(5‬‬ ‫‪g‬‬ ‫ﺃ‪2‬ﻋﻁ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ x‬ﻟﻜل ﻤﻥ‪:‬‬‫)‪،  foh(x‬‬ ‫)‪، gof (x‬‬ ‫)‪،  f 0g (x‬‬ ‫‪،‬‬ ‫©§¨¨‬ ‫‪f‬‬ ‫(‪¸¸·¹‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫)‪، ( f .h)(x‬‬ ‫)‪، (g  h)(x‬‬ ‫‪g‬‬ ‫)‪(gog)(x) ، (hof )(x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:6‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) 2x3  5 :‬‬ ‫‪1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ‪ f‬ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻤﺭﺠﻌﻴﺘﻴﻥ‬ ‫‪2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﺩﻭﺍل ﻤﺭﻓﻘﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:7‬‬ ‫ﺍ‪1‬ﺸﺭﺡ ﻜﻴﻑ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\"‬‫‪ -‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ  ‪ 0, I, J‬ﻹﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ‪C‬‬‫ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ‪ C‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫)ﺴﻴﻜﻭﻥ ﺸﻜل ﺨﺎﺹ ﺒﻜل ﺤﺎﻟﺔ(‪:‬‬ ‫‪ f1‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) x²  2 :‬‬ ‫‪ f2‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) x² :‬‬ ‫‪ f3‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) (x  3)² :‬‬ ‫‪ 4f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) x²  9 :‬‬ ‫‪ 5f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) x²  6x 1 :‬‬ ‫‪ 6f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) x²  9 :‬‬

‫‪2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﺫﻜﺭ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:8‬‬‫ﻓﻲ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﺸﻜﺎل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ C‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪- f‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬‫ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ  ‪ - 0, I, J‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‪C‬‬‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪:‬‬‫‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪f (x) x²  6x  3‬‬ ‫‪f (x) x²  2x  3‬‬‫) ‪( g(x) x²  6x  8‬‬ ‫)‪( g(x) x²  2x  3‬‬‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺭﺍﺒﻌﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪:‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x) x3  3x²  4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪( g(x)  x 3  3 x ²  4‬‬‫)‪( g(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‬‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺨﺎﻤﺴﺔ‪:‬‬‫‪f (x) 2x  4‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪2x  4‬‬‫)‪( g(x‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ‪ ،‬ﻤﺤﻭﺭ ﺘﻨﺎﻅﺭ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻨﻴﻥ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﻴﻥ‪ ،‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫ ‪0, I, J‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:9‬‬‫‪ 1‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ C‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪f (x) x3  6x²  6x 1‬‬ ‫ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ A(2,3‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪C‬‬‫‪2‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ r‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪g(x) x²  3x  3‬‬‫‪ x‬ﻫﻭ ﻤﺤﻭﺭ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪r‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:10‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﻴﻥ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ‪:‬‬‫)‪g(x‬‬ ‫‪2x² 13x  20‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪x²  2x‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪x²  2x  5‬‬‫ﻤ‪1‬ﻥ ﺃﺠل ‪ h‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻜﻴﻔﻲ‪ ،‬ﺃﺤﺴﺏ )‪ f (1 h)  f (1 h‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ؟‬ ‫‪2‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ D‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪g‬‬‫‪ -‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ h‬ﺒﺤﻴﺙ‪ 3  h :‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪ D‬ﻓﺈﻥ‬ ‫‪ 3  h‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪ D‬ﺃﺜﻡ ﺃﺤﺴﺏ )‪f (3  h)  f (3  h‬‬ ‫ﻤﺎﺫﺍ ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:11‬‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﻭل ﺘﺴﻭﻴﻕ ﻤﻨﺘﻭﺝ ﺯﺭﺍﻋﻲ‬‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺴﻌﺭ ﺍﻟﻜﻴﻠﻭﻏﺭﺍﻡ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ‪ ،‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻨﺘﻭﺝ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻘﺩﺭ ﺒﺎﻟﺩﻨﺎﻨﻴﺭ ﻫﻭ ‪، p‬‬‫‪ 50 d p d 100‬ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻁﻠﺏ )‪ f ( p‬ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺎﻉ ﻜﻠﻴﺎ ﻓﻲ ﺍﻷﺴﻭﺍﻕ‪،‬‬‫ﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻷﻁﻨﺎﻥ ﻤﺭﺘﺒﻁﺔ ﺒﺎﻟﺴﻌﺭ ‪ p‬ﻭﻓﻕ ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺭﺽ )‪ g( p‬ﻜﻤﻴﺔ‬

‫ﺍﻟﻤﻨﺘﻭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻨﺘﺠﻬﺎ ﺍﻟﻤﺯﺍﺭﻋﻭﻥ ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻷﻁﻨﺎﻥ ﻤﺭﺘﺒﻁﺔ ﺒﺎﻟﺴﻌﺭ ‪ p‬ﻭﻓﻕ‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ‪. g‬‬‫‪1‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪g‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ  ‪0, I, J‬‬ ‫ﻤﻨﺘﻭﺝ )ﻁﻥ(‬‫‪100‬‬ ‫ﺴﻌﺭ ﺍﻟﻜﻴﻠﻭﻏﺭﺍﻡ‬‫‪90‬‬ ‫)ﺩﻴﻨﺎﺭ(‬‫‪80‬‬‫‪70‬‬‫‪60‬‬‫‪50‬‬‫‪40‬‬‫‪30‬‬‫‪20‬‬‫‪10‬‬ ‫‪10 20 30 40 50 60 70 80 90 100‬‬‫أ( ﻤﺎ ﻫﻭ –ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﻨﻁﻕ ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﻱ‪ -‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭﻤﺎ ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬؟ )ﻋﻠل(‬‫ب( ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺎﻉ ﻜﻠﻴﺎ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺴﻌﺭ ﺍﻟﻜﻴﻠﻭﻏﺭﺍﻡ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ﻫﻭ‬ ‫‪ 80 DA‬؟‬‫ت( ﻤﺎ ﻫﻭ ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻥ )ﺃﻱ ﺍﻟﺴﻌﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻜﻭﻥ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﻌﺭﺽ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ‬ ‫ﺒﺎﻟﻁﻠﺏ(‬