دروس مادة الرياضيات للفصل الاول سنة ثالثة متوسط

‫ﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻷﻭل‬ ‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫™ ﺤﺎﻻﺕ ﺘﻘﺎﻴﺱ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫™ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻜﺴﻭﺭ‬ ‫™ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬ ‫™ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫™ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬ ‫™ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻨﺎﻁﻘﺔ‬

‫ﺤﺎﻻﺕ ﺘﻘﺎﻴﺱ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫• ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺤﺎﻻﺕ ﺘﻘﺎﻴﺱ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ ﻭﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻟﻬﺎ ﻓﻲ ﺒﺭﺍﻫﻴﻥ ﺒﺴﻴﻁﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﺪرس‬ ‫• اﻟﻤﺜﻠﺜﺎن اﻟﻤﺘﻘﺎیﺴﺎن‬ ‫• ﺣﺎﻻت ﺗﻘﺎیﺲ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت‬ ‫• ﺗﻤﺎریﻦ وﻡﺸﻜﻼت‬

‫• اﻟﻤﺜﻠﺜﺎن اﻟﻤﺘﻘﺎیﺴﺎن ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ ‪1‬‬ ‫ﻧﺴﻤﻲ ﻡﺜﻠﺜﻴﻦ ﻡﺘﻘﺎیﺴﻦ‪ ،‬ﻡﺜﻠﺜﻴﻦ ﻗﺎﺑﻠﻴﻦ ﻟﻠﺘﻄﺎﺑﻖ‪.‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ ‪2‬‬ ‫ﻧﺴﻤﻲ ﻡﺜﻠﺜﻴﻦ ﻡﺘﻘﺎیﺴﻦ‪ ،‬ﻡﺜﻠﺜﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ آﻞ اﻷﺿﻼع ﻡﺘﻘﺎیﺴﺔ وآﻞ اﻟﺰوایﺎ‬ ‫ﻡﺘﻘﺎیﺴﺔ‪.‬‬‫‪ ABC‬و ' ‪ A' B 'C‬ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎن ﻳﻌﻨﻲ ' ‪ AB = A' B‬و ' ‪ AC = A'C‬و ' ‪BC = B 'C‬‬ ‫و ’‪ A’B’C‬و= ‪’ ABC‬و‪ACB =A’C’B’ BAC =B’A’C‬‬

‫• ﺣﺎﻻت ﺗﻘﺎیﺲ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ‪:‬‬ ‫ƒ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫إذا آﺎن ﺿﻠﻊ واﻟﺰاوﻳﺘﻨﺎن اﻟﻤﺠﺎورﺕﺎن ﻟﻪ ﻣﻦ ﻣﺜﻠﺚ ‪ ،‬ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺔ ﻣﻊ ﺿﻠﻊ‬ ‫واﻟﺰاوﻳﺘﻨﻴﻦ اﻟﻤﺠﺎورﺕﻴﻦ ﻟﻪ ﻣﻦ ﻣﺜﻠﺚ ﺁﺧﺮ‪ ،‬ﻓﺈن اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎن‪.‬‬ ‫' ‪ AB = A' B‬و ’‪ B’A’C‬و= ‪ABC =A’B’C’ BAC‬‬ ‫إذن اﻟﻤﺜﻠﺜﺎن ‪ ABC‬و ' ‪ A ' B 'C‬ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎن‪.‬‬ ‫ƒ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬‫إذا آﺎن ﻟﻠﻤﺜﻠﺜﻴﻦ‪ ،‬زاوﻳﺔ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺔ ﻣﺤﺼﻮرة ﺑﻴﻦ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﻴﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻣﻊ ﺿﻠﻊ‪ ،‬ﻓﺈن اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ‬ ‫ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎن‪.‬‬

‫’‪ BAC =B’A’C‬و ' ‪ AB = A' B‬و ' ‪AC = A'C‬‬ ‫إذن اﻟﻤﺜﻠﺜﺎن ‪ ABC‬و ' ‪ A ' B 'C‬ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎن‪.‬‬ ‫ƒ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬‫إذا آﺎﻥﺖ أﺿﻼع ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺎﻗﻴﺴﺔ ﻣﻊ أﺿﻼع ﻣﺜﻠﺚ ﺁﺧﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‪،‬‬ ‫ﻓﺈن اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎن‪.‬‬ ‫' ‪ AB = A' B‬و ' ‪ AC = A'C‬و ' ‪BC = B 'C‬‬ ‫إذن اﻟﻤﺜﻠﺜﺎن ‪ ABC‬و ' ‪ A ' B 'C‬ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎن‬

‫• ﺗﻤﺎریﻦ وﻡﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﻓﻲ اﻟﺮﺱﻢ اﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ ،‬اﻟﻤﺜﻠﺜﺎن ‪ EFG‬و ‪ HIJ‬ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎن‪.‬‬‫‪E‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪H‬‬‫‪F‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪J‬‬ ‫ﻋّﻴﻦ اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﻤﺘﺴﺎوﻳﺔ و اﻷﺿﻼع اﻟﻤﺘﺴﺎوﻳﺔ‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﻥﻔﺲ اﻟﺴﺆال ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ اﻟﺮﺱﻢ اﻟﺘﺎﻟﻲ واﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ اﻟﻤﺘﻘﺎﻳﺴﻦ ‪ MNP‬و‪: MST‬‬‫‪P‬‬‫‪M‬‬ ‫‪TN‬‬ ‫‪S‬‬

‫‪ .3‬هﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎن اﻟﺘﺎﻟﻴﺎن ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎن؟ ﻋّﻠﻞ‪.‬‬‫‪p = ………cm‬‬ ‫‪ ABCDE .4‬ﺧﻤﺎﺱﻲ ﻣﻨﺘﻈﻢ )ﻳﻌﻨﻲ أن آﻞ اﺿﻼﻋﻪ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ وآﻞ زاوﻳﺎﻩ‬ ‫ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺔ (‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻦ آﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻼت اﻟﺘﻲ ﺕﻘﺎﻳﺲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪.EBC‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻦ آﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻼت اﻟﺘﻲ ﺕﻘﺎﻳﺲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪.AED‬‬

‫‪ ABC .5‬ﻣﺜﻠﺚ‪ (AM) .‬هﻮ اﻟﻤﺘﻮﺱﻂ اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻀﻠﻊ ]‪[BC‬‬ ‫واﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ E‬هﻲ ﻥﻈﻴﺮة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺎﺑﺔ إﻟﻰ ‪.M‬‬ ‫ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ AMB‬و ‪ EMC‬ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎن‪.‬‬ ‫‪ .6‬ﻥﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬و )‪ [Ax‬ﻣﻨﺼﻒ اﻟﺰاوﻳﺔ ‪.BAC‬‬‫ﻥﻌﻴﻦ ﻋﻠﻰ )‪ [Ax‬اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ E‬و ‪ F‬ﺑﺤﻴﺚ‪ AE = AB :‬و ‪.AF =AC‬‬ ‫ﺑﺮهﻦ ان اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ ABF‬و ‪ AEC‬ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎن‪.‬‬

‫‪ ABC .7‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻘﺎﻳﺲ اﻷﺿﻼع‪ .‬ﻥﻌﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ D‬و ‪ E‬ﺑﺤﻴﺚ‪:‬‬ ‫‪ D ، B ، C .1‬ﻋﻠﻰ اﺱﺘﻘﺎﻣﺔ واﺡﺪة ﺑﻬﺬا اﻟﺘﺮﺕﻴﺐ‪.‬‬ ‫‪ E ، C ، A .2‬ﻋﻠﻰ اﺱﺘﻘﺎﻣﺔ واﺡﺪة ﺑﻬﺬا اﻟﺘﺮﺕﻴﺐ‪.‬‬ ‫‪.BC = CE .3‬‬ ‫ﺑﻴﻦ أن ‪.AD = BE‬‬‫‪ ABC .8‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻗﺎﻋﺪﺕﻪ ]‪ M .[BC‬ﻥﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﻣﺤﻮر ]‪.[BC‬‬ ‫ﺑﺮهﻦ أن اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ ACM ، ABM‬ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎن‪.‬‬ ‫‪ [AB] .9‬و ]‪ [CD‬هﻤﺎ ﻗﻄﺮان ﻟﺪاﺋﺮة ﻣﻜﺮآﺰهﺎ ‪.O‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺮهﻦ أن ‪.AC = BD‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺮهﻦ أن اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ ABC‬و ‪ DCB‬ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎن‪.‬‬

‫‪ .10‬أﻥﻨﺸﺊ‪ ،‬ﺧﺎرج اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪، ABC‬اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﻲ اﻷﺿﻼع ’‪ABC‬‬ ‫و’‪. ACB‬‬ ‫ﺑﺮهﻦ أن ’‪. BB’ =CC‬‬ ‫‪ .11‬ﻥﻌﺘﺒﺮ زاوﻳﺔ ]‪.[Ox,Oy‬ﻥﻀﻊ ﻋﻠﻰ ﻥﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ)‪ [Ox‬اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ‪B، A‬‬‫وﻋﻠﻰ ﻥﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ [Oy‬اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ‪ D، C‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ OA =OC‬و‪.OB =OD‬‬ ‫ﻥﺴﻤﻲ ‪ M‬ﻥﻘﻄﺔ ﺕﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪ (AD‬و )‪.(BC‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺮهﻦ أن اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ OAD‬و ‪ OCB‬ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎن‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺮهﻦ أن اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ MAB‬و ‪ MCD‬ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎن‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺮهﻦ أن اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ OMB‬و ‪ OMD‬ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎن‪.‬‬ ‫‪ -‬أﺱﺘﻨﺘﺞ ان اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (OM‬ﻣﻨﺼﻒ اﻟﺰاوﻳﺔ ]‪.[Ox,Oy‬‬

‫‪ ABC .12‬و ‪ DEF‬ﻣﺜﻠﺜﺎن ﻗﺎﺋﻤﺎن ﻓﻲ ‪ A‬و ‪ D‬ﺡﻴﺚ‪:‬‬ ‫‪ BC = EF‬و ‪.ABC = DEF‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺮهﻦ أن اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ ABC‬و ‪ DEF‬ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎن‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻣﺎ هﻲ اﻷﺿﻼع اﻷﺧﺮى اﻟﺘﻲ ﻟﻬﺎ ﻥﻔﺲ اﻟﻄﻮل ؟‬ ‫‪ .13‬أرﺱﻢ ﻣﺜﻠﺜﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﻴﻦ و ﻳﻜﻮن ﺿﻠﻊ و زاوﻳﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻷول‬ ‫ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺔ ﻣﻊ ﺿﻠﻊ وزاوﻳﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﺜﺎﻥﻲ‪.‬‬ ‫‪ ABC .14‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻘﺎﻳﺲ اﻷﺿﻼع و ‪ P ، N ، M‬ﻥﻘﻂ ﻣﻦ ]‪، [AB‬‬ ‫]‪ [CA] ، [BC‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺕﻴﺐ ﺡﻴﺚ‪.AM = BN = CP :‬‬ ‫‪ -‬ﻣﺎ ﻥﻮع اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ MNP‬؟ ﻋّﻠﻞ‪.‬‬‫‪ ABCD .15‬ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع‪ .‬ﻥﻨﺸﺊ‪ ،‬ﺧﺎرﺝﻪ‪ ،‬اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ ADE‬و ‪BCF‬‬ ‫اﻟﻘﺎﺋﻤﻴﻦ ﻓﻲ ‪ C ، A‬وﻣﺘﺴﺎوﻳﻲ اﻟﻀﻠﻌﻴﻦ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺮهﻦ أن اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ AOE‬و ‪ COF‬ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎن‪.‬‬ ‫‪ -‬أﺱﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪.[EF‬‬

‫‪ ABC .16‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ‪ .A.‬أرﺱﻢ )‪ [Bx‬و )‪ [Cy‬ﻣﻨﺼﻔﻲ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺘﻴﻦ ‪ ABC‬و ‪ ACB‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺕﻴﺐ‪.‬‬ ‫)‪ [Bx‬ﻳﻘﻄﻊ ]‪ [AC‬ﻓﻲ ’‪ B‬و)‪ [Cy‬ﻳﻘﻄﻊ ]‪ [AB‬ﻓﻲ ’‪.C‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻦ ﻣﺜﻠﺜﺎ ﻳﻘﺎﻳﺲ ’‪ .BCC‬ﻋّﻠﻞ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻦ ﻣﺜﻠﺜﺎ ﻳﻘﺎﻳﺲ ’‪ .BB’C‬ﻋّﻠﻞ‪.‬‬ ‫‪ -‬اﺱﺘﻨﺘﺞ أن ’‪.BC’ = CB’ = C’B‬‬ ‫‪ .17‬ﻥﻌﺘﺒﺮ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ ABCD‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ ABD = CAB‬و ‪.AC = BD‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺮهﻦ أن ‪.AD = BC‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺮهﻦ أن ‪.ADC = BCD‬‬ ‫‪ -‬اﺱﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ ABCD‬ﺵﺒﻪ اﻟﻤﻨﺤﺮف ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ‪.‬‬ ‫‪ ABCD .18‬ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ﻣﺮآﺰﻩ ‪ .O‬ﻋﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ M‬و ‪N‬‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻔﻲ اﻟﻘﻄﻌﺘﻴﻦ ]‪ [OB‬و ]‪.[OD‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺮهﻦ ان ‪.AN = CM‬‬ ‫‪ ABC .19‬ﻣﺜﻠﺚ ﻓﻴﻪ اﻟﺰاوﻳﺔ ‪ BAC‬ﻣﻨﻔﺮﺝﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻋّﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻀﻠﻊ ]‪ [AB‬واﻻرﺕﻔﺎع ]‪.[CH‬‬ ‫‪ -‬اﻥﺸﺊ اﻟﻨﻔﻄﺔ ‪ D‬ﺡﻴﺚ ﺕﻜﻮن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ H‬ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪ [CD‬ﺙﻢ‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ E‬ﺡﻴﺚ ﺕﻜﻮن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪.[CE‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺮهﻦ أن اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ ADB‬و ‪ AEB‬ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺎن‪.‬‬

‫‪ ABCDEF .20‬ﺱﺪاﺱﻲ ﻣﻨﺘﻈﻢ )آﻞ اﺿﻼﻋﻪ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ وآﻞ زواﻳﺎﻩ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ(‪.‬‬‫ﻥﻌﻴﻦ’‪ F’ ، E’ ، D’ ، C’ ، B’ ، A‬ﻥﻈﺎﺋﺮ اﻟﻨﻘﻂ ‪ F، E ، D ، C ، B ، A‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺕﻴﺐ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺮهﻦ أن ’‪ A’B’C’D’E’F‬ﺱﺪاﺱﻲ ﻣﻨﺘﻈﻢ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻜﺴﻭﺭ‬ ‫• ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻤﻘﻠﻭﺏ ﻋﺩﺩ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‬ ‫‪ -‬ﻗﺴﻤﺔ ﻜﺴﺭﻴﻥ‬ ‫‪ -‬ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻜﺴﺭﻴﻥ‬ ‫ﺠﻤﻊ ﻭﻁﺭﺡ ﻜﺴﺭﻴﻥ‬ ‫ﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﺪرس‬ ‫• ﺗﺬآﻴﺮ‬ ‫• ﻡﻘﻠﻮب ﻋﺪد ﻏﻴﺮ ﻡﻌﺪوم‬ ‫• ﻗﺴﻤﺔ آﺴﺮیﻦ‬ ‫• ﻡﻘﺎرﻧﺔ آﺴﺮیﻦ‬ ‫• ﺟﻤﻊ وﻃﺮح آﺴﺮیﻦ‬ ‫• ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت‬ ‫• ﺗﺼﺤﻴﺢ اﻟﺘﻤﺎریﻦ و اﻟﻤﺸﻜﻼت‬

‫‪ .1‬ﺗﺬآﻴﺮ ‪:‬‬‫و ‪ b‬ﻋﺪدان ﻋﺸﺮیﺎن‪ ،‬هﻮ آﺴﺮ‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺣﻴﺚ‬ ‫‪a‬‬ ‫أ( آ ّﻞ ﻋﺪد ﻣﻜﺘﻮب ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ‬ ‫‪b‬‬ ‫اﻝﻤﻘﺎم‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫اﻝﺒﺴﻂ و‬ ‫‪a‬‬ ‫یﺴ ّﻤﻰ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻓﻲ اﻝﻜﺘﺎﺑﺔ‬ ‫‪b‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫آﺴﻮر‪.‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪5,6‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اﻷﻋﺪاد‬ ‫‪0,5‬‬ ‫‪2,7‬‬ ‫‪4‬‬‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪k×a‬‬ ‫ﺑ( إذا آﺎن ‪ k‬ﻋﺪدا ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺪوم‪ ،‬ﻓﺈ ّن‪:‬‬‫‪b‬‬ ‫‪k ×b‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪35‬‬ ‫=‬ ‫‪5×7‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫•‬ ‫‪45‬‬ ‫‪5×9‬‬ ‫‪9‬‬‫‪13‬‬ ‫=‬ ‫‪13 × 10‬‬ ‫=‬ ‫‪130‬‬ ‫=‬ ‫‪26‬‬ ‫•‬‫‪0,5‬‬ ‫‪0,5 ×10‬‬ ‫‪5‬‬‫اﻟﻤﻘﺼﻮد ﺑﺎﺧﺘﺰال آﺴﺮ‪ ،‬آﺘﺎﺑﺘﻪ ﺑﺒﺴﻂ وﻡﻘﺎم أﺹﻐﺮ ﻡﺎ یﻤﻜﻦ‪.‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻡﺎ ﻻ یﻤﻜﻦ اﺧﺘﺰال آﺴﺮ‪ ،‬ﻧﻘﻮل أﻧﻪ ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻼﺧﺘﺰال‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫•‬ ‫‪ 9‬آﺴﺮ ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﻝﻼﺧﺘﺰال‪.‬‬ ‫ﺤ( ﻡﻌﺎیﻴﺮ ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫‪ .1‬یﻘﺒﻞ ﻋﺪد اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 2‬إذا اﻧﺘﻬﻰ ﺑـ ‪ 6 ،4 ،2 ،0‬أو ‪.8‬‬ ‫‪ .2‬یﻘﺒﻞ ﻋﺪد اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 3‬إذا آﺎن ﻡﺠﻤﻮع أرﻗﺎﻡﻪ ﻡﻀﺎﻋﻔﺎ ﻟـ ‪.9‬‬ ‫‪ .3‬یﻘﺒﻞ ﻋﺪد اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 5‬إذا اﻧﺘﻬﻰ ﺑـ ‪ 0‬أو ‪.5‬‬ ‫‪ .4‬یﻘﺒﻞ ﻋﺪد اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 9‬إذا آﺎن ﻡﺠﻤﻮع أرﻗﺎﻡﻪ ﻡﻀﺎﻋﻔﺎ ﻟـ ‪.3‬‬‫‪ .5‬یﻘﺒﻞ ﻋﺪد اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 11‬إذا آﺎن اﻟﻔﺮق ﺑﻴﻦ ﻡﺠﻤﻮع أرﻗﺎﻡﻪ ذات اﻟﺮﺗﺐ اﻟﺰوﺟﻴﺔ وأرﻗﺎﻡﻪ ذات اﻟﺮﺗﺐ‬ ‫اﻟﻔﺮدیﺔ یﺴﺎوي ‪.0‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫ƒ ‪ 254‬ﻻ یﻘﺒﻞ اﻝﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ،3‬ﻷ ّن ﻣﺠﻤﻮع أرﻗﺎﻣﻪ ﻝﻴﺲ ﻣﻀﺎﻋﻔﺎ ﻝـ ‪.3‬‬ ‫ƒ ‪ 352682‬یﻘﺒﻞ اﻝﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ،11‬ﻷ ّن‪:‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع أرﻗﺎﻣﻪ ذات اﻝﺮﺕﺐ اﻝﺰوﺝﻴﺔ ‪2 + 6 + 5 = 13‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع أرﻗﺎﻣﻪ ذات اﻝﺮﺕﺐ اﻝﻔﺮدیﺔ ‪8 + 2 + 3 = 13‬‬ ‫واﻝﻔﺮق ‪. 13 − 13 = 0‬‬

‫‪ .2‬ﻡﻘﻠﻮب ﻋﺪد ﻏﻴﺮ ﻡﻌﺪوم ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‪:‬‬ ‫إذا آﺎن ﺟﺪاء ﻋﺪدیﻦ یﺴﺎوي ‪ ،1‬ﻧﻘﻮل أ ّن آ ّﻞ ﻡﻨﻬﻤﺎ ﻡﻘﻠﻮب اﻵﺧﺮ‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫هﻮ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻡﻘﻠﻮب اﻟﻌﺪد ﻏﻴﺮ اﻟﻤﻌﺪوم‬ ‫‪ . x‬وﻧﺮﻡﺰ إﻟﻴﻪ أیﻀﺎ‬ ‫ﻡﺜﺎل‪:‬‬ ‫‪4 ×0,25 = 1‬‬‫ﻜ ّل ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 4‬ﻭ ‪0,25‬‬ ‫ﻤﻘﻠﻭﺏ ﺍﻵﺨﺭ‪.‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة‪:‬‬ ‫و ‪ b‬ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺪوﻣﻴﻦ(‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)‬ ‫‪b‬‬ ‫هﻮ‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻣﻘﻠﻮب اﻝﻜﺴﺮ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺤﺫﺍﺭ !‬ ‫ﻣﺜﺎل‬‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 0‬ﻟﻴﺱ ﻟﻪ ﻤﻘﻠﻭﺏ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪7‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫ﻷ ّن‬ ‫‪7‬‬ ‫هﻮ‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻣﻘﻠﻮب‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪ .3‬ﻗﺴﻤﺔ آﺴﺮیﻦ ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‪:‬‬ ‫‪ d ، c ، b ، a‬أﻋﺪاد ﻋﺸﺮیﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺪوﻣﺔ‪.‬‬‫‪a‬‬ ‫÷‬ ‫‪c‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫×‬ ‫‪d‬‬ ‫=‬ ‫‪ad‬‬‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪bc‬‬ ‫ﻡﺜﺎل‬‫ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﻜﺴﺭ ﻨﻀﺭﺏ ﻓﻲ‬ ‫‪5‬‬ ‫÷‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪35‬‬ ‫ﻤﻘﻠﻭﺏ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﺴﺭ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪ .4‬ﻡﻘﺎرﻧﺔ آﺴﺮیﻦ ‪:‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة‪:‬‬ ‫ﻝﻤﻘﺎرﻧﺔ آﺴﺮیﻦ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻧﻜﺘﺒﻬﻤﺎ ﺑﻨﻔﺲ اﻝﻤﻘﺎم‪ ،‬اﻷآﺒﺮ هﻮ اﻝﺬي ﻝﻪ أآﺒﺮ ﺑﺴﻂ‪.‬‬‫‪ -‬ﻓﻲ اﻝﺤﺎﻝﺔ اﻝﺘﻲ یﻜﻮن ﻓﻴﻬﺎ ﻝﻠﻜﺴﺮیﻦ ﻧﻔﺲ اﻝﺒﺴﻂ‪ ،‬اﻷآﺒﺮ هﻮ اﻝﺬي ﻝﻪ أﺻﻐﺮ ﻣﻘﺎم‪.‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪21‬‬ ‫ƒ ﻝﻨﻘﺎرن ‪ 3‬و ‪. 5‬‬‫‪65‬‬ ‫و‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻧﻜﺘﺐ اﻝﻜﺴﺮیﻦ ﺑﻨﻔﺲ اﻝﻤﻘﺎم ‪:‬‬‫‪15 > 15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫>‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﻨﻪ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫و‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻝﻨﻘﺎرن‬ ‫ƒ‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫اﻝﻜﺴﺮان ﻝﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻝﺒﺴﻂ‪ ،‬اﻷآﺒﺮ هﻮ اﻝﺬي ﻝﻪ أﺻﻐﺮ ﻣﻘﺎم‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫>‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﻨﻪ‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪ .5‬ﺟﻤﻊ وﻃﺮح آﺴﺮیﻦ ‪:‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة‪:‬‬ ‫ﻝﺠﻤﻊ )أو ﻃﺮح( آﺴﺮیﻦ‪ ،‬یﻨﺒﻐﻲ أن یﻜﻮن ﻝﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻝﻤﻘﺎم‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫وأﻻ ﻧﻜﺘﺒﻬﻤﺎ ﺑﻨﻔﺲ اﻝﻤﻘﺎم‪.‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪11‬‬ ‫=‬ ‫‪2 + 11‬‬ ‫=‬ ‫‪13‬‬ ‫ƒ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻝﻨﺤﺴﺐ‬ ‫ƒ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪3×3‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻧﻜﺘﺐ أ ّوﻻ اﻝﻜﺴﺮیﻦ ﺑﻨﻔﺲ اﻝﻤﻘﺎم‬‫‪4‬‬ ‫‪4×3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪10 +‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪19‬‬ ‫ﺙ ّﻢ ﻧﺠﻤﻊ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬

‫• ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﺑﺎﻝﻨﺴﺒﺔ إﻝﻰ آ ّﻞ ﺱﺆال‪ ،‬ﻋّﻴﻦ اﻹﺝﺎﺑﺔ )أو اﻹﺝﺎﺑﺎت( اﻝﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫یﺴﺎوي‬ ‫‪8‬‬ ‫اﻝﻌﺪد‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫یﺴﺎوي‬ ‫ﻻ‬ ‫‪1,5‬‬ ‫اﻝﻌﺪد‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪25‬‬ ‫اﻝﻤﺠﻤﻮع ‪ 3 + 6‬یﺴﺎوي‬ ‫‪18‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬‫‪4 × 0,25‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اﻝﻌﺪد ‪ 1‬هﻮ ﻧﺘﻴﺠﺔ اﻝﺤﺴﺎب‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ .2‬اآﺘﺐ آﻼ ﻣﻦ اﻝﻜﺴﻮر اﻵﺕﻴﺔ ﺑﺎﻝﻤﻘﺎم ‪. 12‬‬ ‫‪22 0,5 34 7 3 1‬‬ ‫‪ 3‬؛ ‪ 4‬؛ ‪ 6‬؛ ‪ 24‬؛ ‪ 1,2‬؛ ‪48‬‬ ‫‪ .3‬أآﻤﻞ اﻝﻤﺴﺎویﺎت اﻵﺕﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪3,2‬‬ ‫ج(‬ ‫‪28‬‬ ‫=‬ ‫‪...‬‬ ‫ب(‬ ‫‪22‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ا(‬ ‫‪14‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪ .4‬ارﺑﻂ اﻝﻜﺴﻮر اﻝﺘﻲ ﺕﻤّﺜﻞ ﻧﻔﺲ اﻝﻌﺪد ﻓﻴﻤﺎ یﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫؛‬ ‫‪6 ,3‬‬ ‫؛‬ ‫‪15‬‬ ‫؛‬ ‫‪3‬‬ ‫؛‬ ‫‪1,5‬‬ ‫؛‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3,6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪ .5‬هﻞ اﻝﻜﺘﺎﺑﺎت اﻵﺕﻴﺔ ﺕﻤﺜﻞ ﻧﻔﺲ اﻝﻌﺪد ؟‬ ‫‪33‬‬ ‫؛‬ ‫‪6‬‬ ‫؛‬ ‫‪0,9‬‬ ‫؛‬ ‫‪15‬‬ ‫؛‬ ‫‪24‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1,2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪ .6‬ﻋّﺒﺮ ﻋﻦ آ ّﻞ ﻋﺪد ﻓﻴﻤﺎ یﺄﺕﻲ ﺑﻜﺴﺮ ﻣﻘﺎﻣﻪ ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻲ أ ًﺻﻐﺮ ﻣﺎ یﻤﻜﻦ‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪5,4‬‬ ‫ج(‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫ب(‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪0,5‬‬ ‫ا(‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3,5‬‬ ‫‪1,2‬‬

‫‪ .7‬اﺣﺴﺐ ﻣﺎ یﻠﻲ‪:‬‬ ‫×‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪...‬‬ ‫ج(‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪...‬‬ ‫ب(‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪...‬‬ ‫ا(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪...‬‬ ‫ه(‬ ‫‪7‬‬ ‫×‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪...‬‬ ‫د(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫آﻼ ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد اﻵﺕﻴﺔ ) ﺕﻌﻄﻰ اﻝﻨﺘﺎﺋﺞ ﻓﻲ أﺑﺴﻂ ﺷﻜﻞ ﻣﻤﻜﻦ(‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ .8‬اﺽﺮب ﻓﻲ‬ ‫‪15‬‬ ‫؛ ‪ 1,5‬؛ ‪0‬‬ ‫‪2,5‬‬ ‫؛‬ ‫‪7‬‬ ‫؛‬ ‫‪15‬‬ ‫؛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1,6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ .9‬هﻞ اﻝﺤﺴﺎﺑﺎت اﻵﺕﻴﺔ ﺻﺤﻴﺤﺔ؟ ﻝﻤﺎذا؟‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫×‬ ‫‪35‬‬ ‫=‬ ‫‪210‬‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪ .10‬اﺣﺴﺐ اﻝﺠﺪاءات اﻵﺕﻴﺔ ﻣﻊ اﻻﺧﺘﺰال‪.‬‬ ‫‪2345‬‬ ‫‪3 21 4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪× 12‬‬ ‫ا(‬ ‫ج( ‪9 × 8 × 7 × 6‬‬ ‫ب( ‪7 × 8 × 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ .11‬أآﻤﻞ اﻝﺠﺪول اﻵﺕﻲ‪:‬‬‫اﻝﻌﺪد ‪0 1 1 7 1 0,4 2‬‬ ‫‪21 12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﻘﻠﻮﺑﻪ ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .12‬أآﻤﻞ اﻝﺤﺴﺎﺑﺎت اﻵﺕﻴﺔ ﺑﺎﻝﻜﺴﺮ اﻝﻤﻨﺎﺱﺐ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪24‬‬ ‫‪× ...‬‬ ‫ج(‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ب(‪× ....‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪× ...‬‬ ‫ا(‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪ .13‬أﺝﺮ اﻝﻌﻤﻠﻴﺎت اﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪.‬‬‫‪D‬‬ ‫=‬ ‫‪2,5‬‬ ‫÷‬ ‫‪7‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫÷‬ ‫‪11‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫÷‬ ‫‪18‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫÷‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1,4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪ .14‬اﺣﺴﺐ ﻣﺎ یﺄﺕﻲ‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫ج(‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ب(‪− 1‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ا(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪ .15‬اﺣﺴﺐ ﻣﺎ یﺄﺕﻲ‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫؛‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .16‬رّﺕﺐ اﻷﻋﺪاد اﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ﺕﺼﺎﻋﺪیﺎ‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫؛‬ ‫‪6‬‬ ‫؛‬ ‫‪11‬‬ ‫؛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 0,4‬؛‬ ‫‪1‬؛‬ ‫‪20‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .17‬ﻣﻦ ﺑﻴﻦ اﻝﺸﺒﻜﺘﻴﻦ اﻵﺕﻴﺘﻴﻦ‪ ،‬ﻣﺎ هﻲ اﻝﺸﺒﻜﺔ اﻝﻤﻤﻠﻮءة أآﺜﺮ ﺑﺎﻝﺨﺎﻧﺎت اﻝﺴﻮداء ؟‬ ‫)‪(2) (1‬‬ ‫‪ .18‬ﺕﺤﺼﻞ ﻣﺘﺮﺷﺢ ﻻﻣﺘﺤﺎن ﻋﻠﻰ ‪ 13‬ﻋﻠﻰ ‪ 20‬ﻓﻲ اﻝﺮیﺎﺽﻴﺎت‬ ‫و ﻋﻠﻰ ‪ 32,5‬ﻋﻠﻰ ‪ 50‬ﻓﻲ اﻝﻠﻐﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻲ أي ﻣﺎدة ﺕﺤﺼﻞ اﻝﻤﺘﺮﺷﺢ ﻋﻠﻰ أﺣﺴﻦ ﻋﻼﻣﺔ ؟‬ ‫‪ .19‬ﻋﺪد ﺕﻼﻣﻴﺬ ﻗﺴﻢ ﻝﻠﺴﻨﺔ اﻝﺘﺎﺱﻌﺔ هﻮ ‪. 30‬ﻋﻨﺪ اﻝﺘﻮﺝﻴﻪ‪:‬‬ ‫اﻝﺘﻼﻣﻴﺬ یﻨﺘﻘﻠﻮن إﻝﻰ اﻝﺴﻨﺔ اﻷوﻝﻰ ﺙﺎﻧﻮي‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫•‬ ‫‪3‬‬ ‫اﻝﺘﻼﻣﻴﺬ یﺘﻮﺝﻬﻮن ﻧﺤﻮ اﻝﺘﻌﻠﻴﻢ اﻝﻤﻬﻨﻲ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫•‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫•‬ ‫‪ 15‬اﻝﺘﻼﻣﻴﺬ یﺘﻮﺝﻬﻮن ﻧﺤﻮ اﻝﺤﻴﺎة اﻝﻤﻬﻨﻴﺔ‪.‬‬ ‫• اﻝﺒﺎﻗﻲ یﻌﻴﺪون اﻝﺴﻨﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻣﺎ هﻮ ﻋﺪد اﻝﺘﻼﻣﻴﺬ اﻝﺬي یﻮاﻓﻖ آ ّﻞ ﺣﺎﻝﺔ ؟‬‫ﻋﺮﺽﻪ‪.‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪ 16 / 9‬ﻋﻨﺪﻣﺎ یﺴﺎوي ﻃﻮل ﺷﺎﺷﺘﻪ‬ ‫‪ .20‬ﻧﻘﻮل ﻋﻦ ﺝﻬﺎز ﺕﻠﻔﺰیﻮن أّﻧﻪ ﻣﻦ ﻓﺌﺔ‬ ‫‪9‬‬ ‫ﺑﺎﻝﻨﺴﺒﺔ إﻝﻰ هﺬا اﻝﺠﻬﺎز‪،‬اﺣﺴﺐ ﻃﻮل اﻝﺸﺎﺷﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ یﻜﻮن اﻝﻌﺮض ‪. 41,4 cm‬‬

‫• ﺗﺼﺤﻴﺢ اﻟﺘﻤﺎریﻦ و اﻟﻤﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫یﺴﺎوي‬ ‫‪8‬‬ ‫اﻝﻌﺪد‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫یﺴﺎوي‬ ‫ﻻ‬ ‫‪1,5‬‬ ‫اﻝﻌﺪد‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫یﺴﺎوي‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫اﻝﻤﺠﻤﻮع‬‫‪4 × 0,25‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اﻝﻌﺪد ‪ 1‬هﻮ ﻧﺘﻴﺠﺔ اﻝﺤﺴﺎب‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪.2‬‬‫‪34‬‬ ‫=‬ ‫‪34 ÷ 2‬‬ ‫=‬ ‫‪17 7‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪14 3‬‬ ‫=‬ ‫‪3×3‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1× 4‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬‫‪24‬‬ ‫‪24 ÷ 2‬‬ ‫‪ 6‬؛ ‪12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 4‬؛ ‪12‬‬ ‫‪4×3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬؛‬ ‫‪3×4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪22‬‬ ‫=‬ ‫‪22 ÷ 4‬‬ ‫=‬ ‫‪5,5‬‬ ‫؛‬ ‫‪0,5‬‬ ‫=‬ ‫‪0,5 × 10‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪48 ÷ 4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1,2‬‬ ‫‪1,2 × 10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪3,2‬‬ ‫‪28‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪22‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5,6‬‬ ‫‪ 12‬؛‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 33‬؛‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪6 ,3‬‬ ‫؛‬ ‫‪15‬‬ ‫؛‬ ‫‪1,5‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫؛‬ ‫‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪3,6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ .5‬اﻝﻜﺴﻮر ﺕﻤﺜﻞ ﻧﻔﺲ اﻝﻌﺪد ﺑﺎﺱﺘﺜﻨﺎء‬ ‫‪9‬‬ ‫=‪C‬‬ ‫‪27‬‬ ‫؛‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫؛‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫×‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫ج(‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫ب( ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ا(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ه(‬ ‫‪7‬‬ ‫×‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪14‬‬ ‫د(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪0,4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2,5‬‬ ‫‪1,6‬‬ ‫‪1,5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫اﻝﺤﺴﺎﺑﺎت ﻏﻴﺮ ﺻﺤﻴﺤﺔ‪ ،‬ﻷ ّن‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪.10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪4‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫؛‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪21‬‬ ‫×‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫؛‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪126‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪.11‬‬‫اﻝﻌﺪد ‪0 1 1 7 1 0,4 2‬‬ ‫‪21 12‬‬ ‫‪2‬‬‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫‪21 12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2,5 1‬‬ ‫ﻣﻘﻠﻮﺑﻪ‬ ‫‪72‬‬ ‫‪.12‬‬ ‫=‪2‬‬ ‫‪24‬‬ ‫×‬ ‫‪7‬‬ ‫ج(‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫ب(‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪8‬‬ ‫ا(‬ ‫‪7‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪.13‬‬ ‫‪D‬‬ ‫=‬ ‫‪10,5‬‬ ‫؛‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫؛‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ A=2‬؛‬ ‫‪9,8‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.14‬‬‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪26‬‬ ‫؛‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪15 + 48‬‬ ‫=‬ ‫‪63‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫؛‬ ‫=‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫‪=5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ .16‬ﻧﻜﺘﺐ اﻝﻜﺴﻮر ﺑﻨﻔﺲ اﻝﻤﻘﺎم وﻧﺠﺪ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪0,4‬‬ ‫<‬ ‫‪12‬‬ ‫<‬ ‫<‪1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫< ‪25‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9 19‬‬ ‫وﻧﺠﺪ‪:‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ .17‬ﻧﻘﺎرن اﻝﻜﺴﺮیﻦ‬ ‫‪25 < 50‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪25‬‬ ‫اﻝﺸﺒﻜﺔ )‪ (2‬ﻣﻤﻠﻮءة أآﺜﺮ ﺑﺎﻝﻤﺮﺑﻌﺎت اﻝﺴﻮداء‪.‬‬ ‫‪ .18‬ﺕﺤﺼﻞ اﻝﻤﺘﺮﺷﺢ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻝﻌﻼﻣﺔ ﻓﻲ اﻝﺮیﺎﺽﻴﺎت و ﻓﻲ اﻝﻠﻐﺔ‪ ،‬ﻷ ّن‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪32,5‬‬ ‫=‬ ‫‪65‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪13‬‬ ‫=‬ ‫‪65‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪ 20‬ﺕﻼﻣﻴﺬا یﻨﺘﻘﻠﻮن إﻝﻰ اﻝﺴﻨﺔ اﻷوﻝﻰ ﺙﺎﻧﻮي‪.‬‬ ‫‪.19‬‬ ‫‪ 3‬ﺕﻼﻣﻴﺬ یﺘﻮﺝﻬﻮن ﻧﺤﻮ اﻝﺘﻌﻠﻴﻢ اﻝﻤﻬﻨﻲ‪.‬‬ ‫•‬ ‫‪ 2‬ﺕﻠﻤﻴﺬان یﺘﻮﺝﻬﺎن ﻧﺤﻮ اﻝﺤﻴﺎة اﻝﻤﻬﻨﻴﺔ‪.‬‬ ‫•‬ ‫‪ 5‬ﺕﻼﻣﻴﺬ یﻌﻴﺪون اﻝﺴﻨﺔ‪.‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫‪ .20‬ﻃﻮل اﻝﺸﺎﺷﺔ‪.73,6 cm :‬‬

‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬ ‫• ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺨﻭﺍﺹ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻨﺘﺼﻔﻴﻥ ﻓﻲ ﻤﺜﻠﺙ ﻭﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻟﻬﺎ ﻓﻲ ﺒﺭﺍﻫﻴﻥ‬ ‫ﺒﺴﻴﻁﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺘﻨﺎﺴﺒﻴﺔ ﺍﻷﻁﻭﺍل ﻷﻀﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﻴﻥ‬ ‫ﺒﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ ﻴﻘﻁﻌﻬﻤﺎ ﻗﺎﻁﻌﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ‬ ‫ﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﺪرس‬ ‫• ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﻴﻦ ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ‬ ‫• اﻟﺘﻮازي واﻟﻤﻨﺘﺼﻔﺎت‬ ‫• اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺘﻮازیﺔ واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺘﻘﺎﻃﻌﺔ‬ ‫• ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت‬ ‫• ﺗﺼﺤﻴﺢ اﻟﺘﻤﺎریﻦ و اﻟﻤﺸﻜﻼت‬

‫‪ .1‬ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﻴﻦ ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ ‪:‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ ‪:1‬‬‫إذا آﺎن ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ یﺸﻤﻞ ﻡﻨﺘﺼﻔﻲ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ‪ ،‬ﻓﺈﻥﻪ یﻮازي اﻟﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻟﻬﺬا اﻟﻤﺜﻠﺚ‪.‬‬ ‫اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت‪ ABC :‬ﻡﺜﻠﺚ‪.‬‬ ‫‪ M‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪ [AB‬و ‪ N‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪.[AC‬‬ ‫اﻟﺨﻼﺹﺔ‪(MN) ( BC) :‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ ‪:2‬‬ ‫إذا آﺎﻥﺖ ﻗﻄﻌﺔ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ ﺗﺼﻞ ﺑﻴﻦ ﻡﻨﺘﺼﻔﻲ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ‪ ،‬ﻓﺈن‬ ‫ﻃﻮﻟﻬﺎ یﺴﺎوي ﻥﺼﻒ ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻟﻬﺬا اﻟﻤﺜﻠﺚ‪.‬‬ ‫اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت‪ ABC :‬ﻡﺜﻠﺚ‪ M .‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪ [AB‬و ‪ N‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪.[AC‬‬

‫‪MN‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫اﻟﺨﻼﺹﺔ‪:‬‬ ‫‪2‬‬‫• اﻟﺘﻮازي واﻟﻤﻨﺘﺼﻔﺎت ‪:‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ‪:‬‬‫إذا آﺎن ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ یﺸﻤﻞ ﻡﻨﺘﺼﻒ أﺡﺪ أﺿﻼع ﻡﺜﻠﺚ ویﻮازي ﺿﻠﻌﺎ ﺁﺧﺮا ‪،‬‬ ‫ﻓﺈﻥﻪ یﻮازي اﻟﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻟﻬﺬا اﻟﻤﺜﻠﺚ‪.‬‬‫اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت‪ ABC :‬ﻡﺜﻠﺚ‪ M .‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪ [AB‬و )‪.(MN) (BC‬‬ ‫اﻟﺨﻼﺹﺔ‪ N :‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪.[AC‬‬

‫• اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺘﻮازیﺔ واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺘﻘﺎﻃﻌﺔ ‪:‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ‪:‬‬‫إذا آﺎﻥﺖ‪ ،‬ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ ‪ M ،ABC‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ اﻟﻀﻠﻊ ]‪ [AB‬و ‪ N‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ اﻟﻀﻠﻊ ]‪ [AC‬و آﺎن‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن )‪ (MN‬و )‪ (BC‬ﻡﺘﻮازیﻴﻦ ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫=‬ ‫‪AN‬‬ ‫=‬ ‫‪MN‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت‪ ABC :‬ﻡﺜﻠﺚ‪ M .‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ ]‪ [AB‬و ‪ N‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ ]‪[AC‬‬ ‫; )‪.(MN) (BC‬‬ ‫اﻟﺨﻼﺹﺔ‪ N :‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪.[AC‬‬ ‫ﻡﻼﺡﻈﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬أﻃﻮال اﺿﻼع اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ AMN‬ﻡﺘﻨﺎﺳﺒﺔ ﻡﻊ أﻃﻮال اﺿﻼع اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪.ABC‬‬‫ﺕﻨﺎﺳﺒﺎ‪.‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫=‬ ‫‪MN‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪AN‬‬ ‫=‬ ‫‪MN‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫=‬ ‫‪AN‬‬ ‫‪ -‬ﻥﺴﻤﻲ آﻼ ﻡﻦ اﻟﻤﺴﺎوات‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬‫‪ -‬ﻥﺴﺘﻌﻤﻞ إﺣﺪى اﻟﺘﻨﺎﺳﺐ اﻟﻤﺬآﻮرة أﻋﻼﻩ ﻟﺤﺴﺎب ﻃﻮل ﺿﻠﻊ ﺏﻤﻌﺮﻓﺔ أﻃﻮال أﺿﻼع اﻟﺜﻼﺙﺔ اﻷﺥﺮى‪.‬‬ ‫ﻡﺜﺎل‪:‬‬ ‫‪ ABC‬ﻡﺜﻠﺚ ﺣﻴﺚ ‪. BC = 8 cm ، AC = 5cm ، AB = 6 cm‬‬‫‪ M‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ ]‪ [AB‬ﺣﻴﺚ ‪ . AM = 1, 5 cm‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي یﺸﻤﻞ ‪ M‬ویﻮازي )‪ (BC‬یﻘﻄﻊ )‪(AC‬‬ ‫ﻓﻲ ‪.N‬‬ ‫أﺣﺴﺐ اﻟﻄﻮﻟﻴﻦ ‪ AN‬و ‪.MN‬‬

‫ﺡﻞ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت‪ ABC :‬ﻡﺜﻠﺚ‪. BC = 8cm ، AC = 5cm ، AB = 6 cm .‬‬ ‫‪.(MN) (BC) ، AM = 1, 5 cm‬‬ ‫اﻟﺨﻼﺹﺔ‪ :‬أﺡﺴﺐ ‪ AN‬و ‪.MN‬‬ ‫ﻟﺪیﻨﺎ ‪ ABC‬ﻡﺜﻠﺚ‪ M .‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ ]‪ [AB‬و ‪ N‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ ]‪ [AC‬و)‪(MN) (BC‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫=‬ ‫‪AN‬‬ ‫=‬ ‫‪MN‬‬ ‫ﺣﺴﺐ اﻟﺨﺎﺹﻴﺔ اﻟﺴﺎﺏﻘﺔ ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ ‫‪. AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪BC‬‬‫‪.‬‬ ‫‪AN‬‬ ‫=‬ ‫×‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 1, 25‬‬ ‫وﻡﻨﻪ‬ ‫‪AN‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫أي‬ ‫‪1, 5‬‬ ‫=‬ ‫‪AN‬‬ ‫إذن‬ ‫‪AM‬‬ ‫=‬ ‫‪AN‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪MN‬‬ ‫=‬ ‫×‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫وﻡﻨﻪ‬ ‫‪MN‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫إذن‬ ‫‪AM‬‬ ‫=‬ ‫‪MN‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫إذن ‪ AN = 1, 25cm‬و ‪. MN = 2 cm‬‬

‫ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫‪ .1‬إﻟﻴﻚ اﻟﺸﻜﺎل اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪.2‬‬‫‪43‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪ -‬ﻡﺎ هﻲ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﻲ ﺕﻜﻮن ﻓﻴﻬﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻡﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪[EF‬؟ﻋّﻠﻞ‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ﻟﺪیﻨﺎ )‪ (IJ‬و )‪.(AC‬‬ ‫‪ -‬ﻡﺎ هﻲ اﻟﻤﺴﺎویﺎت اﻟﻤﺤﻘﻘﺔ ؟‬‫‪.‬‬ ‫‪BI‬‬ ‫=‬ ‫‪BJ‬‬ ‫د(‬ ‫؛‬ ‫‪BI‬‬ ‫=‬ ‫‪BJ‬‬ ‫ج(‬ ‫؛‬ ‫‪IJ‬‬ ‫=‬ ‫‪BJ‬‬ ‫ب(‬ ‫؛‬ ‫‪BJ‬‬ ‫=‬ ‫‪IJ‬‬ ‫ا(‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪BA‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪BA‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪BA‬‬ ‫‪JA‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪ .3‬ﻓﻲ أي ﺣﺎﻟﺔ ﻡﻦ اﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ ﻟﺪیﻨﺎ )‪ (RT‬و )‪ (DE‬ﻡﺘﻮازیﺎن؟‬

‫)‪(2) (1‬‬ ‫ﻡﻦ اﻟﺘﻤﺮیﻦ ‪ 4‬إﻟﻰ اﻟﺘﻤﺮیﻦ ‪ 6‬ﻥﻌﺘﺒﺮاﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ﺣﻴﺚ )‪.(AC) (IJ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ .4‬اﻟﻄﻮل ‪ MN‬یﺴﺎوي إﻟﻰ‪:‬‬ ‫د( ‪. 7‬‬ ‫‪34‬‬ ‫ا( ‪ 3‬؛ ب( ‪ 3‬؛ ج( ‪ 4‬؛‬ ‫‪ .5‬اﻟﻄﻮل ‪ AN‬یﺴﺎوي إﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪33 6 7‬‬ ‫ا( ‪ 3‬؛ ب( ‪ 7‬؛ ج( ‪ 4‬؛ د( ‪. 7‬‬ ‫‪ .6‬اﻟﻄﻮل ‪ CN‬یﺴﺎوي إﻟﻰ‪:‬‬‫‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫د(‬ ‫؛‬ ‫‪14‬‬ ‫ج(‬ ‫؛‬ ‫‪4‬‬ ‫ب(‬ ‫؛‬ ‫‪1‬‬ ‫ا(‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ .7‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ﻟﺪیﻨﺎ )‪ (IJ‬و )‪ (MN‬ﻡﺘﻮازیﺎن‪.‬‬

‫ﺏﻄﺮیﻘﺘﻴﻦ ﻡﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ‪.‬‬ ‫‪LJ‬‬ ‫‪ -‬اﺣﺴﺐ‬ ‫‪LN‬‬‫‪ .8‬ﻻﺣﻆ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪ -‬اﺣﺴﺐ ﻗﻴﺲ اﻟﺰاویﺔ ‪.BAC‬‬ ‫‪ .9‬ارﺳﻢ ﻡﺘﻮازي أ‬ ‫ﺿﻼع ‪ .ABCD‬ﻋﻴﻦ ‪ M‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪ .[AB‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي‬ ‫یﺸﻤﻞ ‪ M‬ویﻮازي )‪ (BC‬یﻘﻄﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (AC‬ﻓﻲ ‪.N‬‬ ‫‪ -‬ﺏﺮهﻦ أن اﻟﻨﻘﻂ ‪ B ،N ،D‬ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻡﺔ واﺣﺪة‪.‬‬‫‪ .10‬ارﺳﻢ رﺏﺎﻋﻴﺎ ‪ EFGH‬ﺣﻴﺚ و)‪ (EF‬یﻮازي )‪.(GH‬اﻟﻨﻘﻂ اﻟﻨﻘﻂ ‪K،J،I‬‬ ‫هﻲ ﻡﻨﺘﺼﻔﺎت اﻟﻘﻄﻊ ]‪.[GF] ، [EG] ، [EH‬‬ ‫‪ -‬ﺏﺮهﻦ أن ‪. 2IK = EF + GH‬‬

‫‪ .11‬أرﺳﻢ ﻡﺜﻠﺜﺎ ‪ ABC‬ﺣﻴﺚ ‪ .BC = 5,8 cm‬ﻋﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ E‬و ‪ F‬ﻡﻨﺘﺼﻔﻲ اﻟﻀﻠﻌﻴﻦ ]‪ [AB‬و‬ ‫]‪ [AC‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺕﻴﻴﺐ‪.‬‬ ‫أﻥﺸﺊ اﻟﻨﻘﻄﺔ ’‪ E‬ﻥﻈﻴﺮة ‪ E‬ﺏﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ ‪.B‬‬ ‫ا( ‪ -‬أﺣﺴﺐ اﻟﻄﻮل ‪.EF‬‬ ‫‪ -‬ﺏﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪ (EF‬و )‪ (BC‬ﻡﺘﻮازیﺎن‪.‬‬ ‫ب( اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (E’F‬یﻘﻄﻊ )‪ (BC‬ﻓﻲ ‪.H‬‬ ‫‪ -‬أﺣﺴﺐ اﻟﻄﻮﻟﻴﻦ ‪ BH‬و ‪.CH‬‬ ‫‪.12‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪ ،‬وﺣﺪة اﻟﻄﻮل هﻲ ﻃﻮل ﺿﻠﻊ اﻟﻤﺮﺏﻊ اﻟﺼﻐﻴﺮﻟﻠﻤﺮﺹﻮﻓﺔ‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪M‬‬‫‪F‬‬ ‫‪NG‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪FM‬‬ ‫‪ -‬ﺏﺎﺳﺘﻌﻤﺎل هﺬﻩ اﻟﻤﺮﺹﻮﻓﺔ أﺣﺴﺐ‬ ‫‪FE‬‬ ‫‪ -‬أﺣﺴﺐ اﻟﻄﻮل ‪.MN‬‬

‫‪ .13‬أﻥﻘﻞ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪ ،‬ﺙﻢ ﺏﺎﺳﺘﻌﻤﺎل ﺥﻄﻮط هﺬﻩ اﻟﻤﺼﻮﻓﺔ أﻥﺸﺊ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ‬‫‪. AB = 3AN‬‬ ‫و‬ ‫‪AM‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫]‪ [AB‬ﺣﻴﺚ‪:‬‬ ‫و ‪ N‬ﻡﻦ اﻟﻘﻄﻌﺔ‬ ‫‪M‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪A‬‬‫َ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ .14‬ﻥﻌﻠﻢ أن )‪ (d‬و)’‪ (d‬ﻡﺘﻮازیﺎن‪.‬‬ ‫‪ -‬اﺣﺴﺐ اﻟﻄﻮل ‪ x‬ﻓﻲ آﻞ ﺣﺎﻟﺔ ﻡﻦ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪.:‬‬‫)‪(2) (1‬‬

‫)‪(4) (3‬‬ ‫‪ .15‬أرﺳﻢ ﻡﺜﻠﺜﺎ ‪ .ABC‬ﻋﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ E‬و ‪ F‬ﻡﻨﺘﺼﻔﻲ اﻟﻀﻠﻌﻴﻦ ]‪[AB‬‬ ‫و ]‪ [AC‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺕﻴﻴﺐ‪ .‬ﻋﻴﻦ ﻥﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻡﻦ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪ [AE‬ﺙﻢ أﻥﺸﺊ‬‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ’‪ M‬ﻥﻈﻴﺮة ‪ M‬ﺏﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ ‪ E‬و ’’‪ M‬ﻥﻈﻴﺮة ‪ M‬ﺏﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ‪. F‬‬ ‫‪ -‬ﺏﺮهﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )’’‪ (M’M‬و )‪ (BC‬ﻡﺘﻮازیﺎن‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻗﺎرن ﺏﻴﻦ اﻟﻄﻮﻟﻴﻦ ’’‪ M’M‬و ‪. BC‬‬‫‪ .16‬ﻥﻌﺘﺒﺮ ﻡﺜﻠﺜﺎ ‪ ABC‬ﺏﺤﻴﺚ ‪ . BC = 6 cm‬ﻋﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ E‬ﻡﻨﺘﺼﻒ اﻟﻀﻠﻊ ]‪ [BC‬و اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ F‬ﻡﻦ‬‫اﻟﻀﻠﻊ ]‪ [BC‬ﺏﺤﻴﺚ ‪ .BF = 1 cm‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي یﺸﻤﻞ ‪ F‬و یﻮازي )‪ (AE‬یﻘﻄﻊ )‪ (AC‬ﻓﻲ ‪ K‬و‬ ‫)‪ (AB‬ﻓﻲ ‪.G‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪FK‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫أن‬ ‫ﺏﻴﻦ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪FG‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫أن‬ ‫ﺏﻴﻦ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪. FK + FG = 2 AE‬‬ ‫‪ .17‬إﻟﻴﻚ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪ .‬أﺣﺴﺐ اﻟﻔﺎﺹﻠﺔ ‪ x‬ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪.M‬‬‫‪B‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪.‬‬‫‪O M’(x) A‬‬

‫‪ .18‬إﻟﻴﻚ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪ .‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن )‪ (MN‬و )‪ (BC‬ﻡﺘﻮازیﺎن‪ .‬أﻥﺸﺌﻨﺎ اﻟﺪاﺋﺮﺕﻴﻦ اﻟﻠﺘﻴﻦ ﻡﺮآﺰیﻬﻤﺎ ‪ O‬و‪P‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺕﻴﺐ و اﻟﻤﺮﺳﻮﻡﺘﻴﻦ داﺥﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ AMN‬و ‪ ABC‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺕﻴﺐ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺏﺮهﻦ أن‪.AMN = ABC :‬‬ ‫‪ -‬ﺏﺮهﻦ أن‪.OMA = PBA :‬‬ ‫‪ -‬ﻡﺎذا ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ ﺏﺎﻟﻨﺴﻴﺔ إﻟﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪ (OM‬و )‪ (PB‬؟‬

‫• ﺗﺼﺤﻴﺢ اﻟﺘﻤﺎریﻦ و اﻟﻤﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫‪ M .1‬ﻡﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪ [EF‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ ‪ 2‬و ‪.3‬‬ ‫اﻟﺘﻌﻠﻴﻞ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﺜﺎﻥﻴﺔ ﻟﺪیﻨﺎ‪:‬‬‫)‪ ) (EF) (GE‬اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ EFG‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ E‬ﻷﻥﻪ ﻡﺮﺳﻮم داﺥﻞ ﻥﺼﻒ اﻟﺪاﺋﺮة ﻗﻄﺮهﺎ ‪،FG‬‬ ‫و )‪ (EF) (OM‬إذن )‪.(OM) (GE‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ EFG‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪ O‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪ [FG‬و )‪ (OM) (GE‬ﻓﺈن‬ ‫‪ M‬ﻡﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪.[EF‬‬‫‪ -‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻟﺪیﻨﺎ‪ :‬اﻟﺮﺏﺎﻋﻲ ‪ MNGK‬ﻡﻌﻴﻦ إذن )‪.(MN) (GK‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ EFG‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪ N‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪ [EG‬و)‪ (MN) (GK‬ﻓﺈن‬ ‫‪ M‬ﻡﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪.[EF‬‬ ‫‪ .2‬اﻟﻤﺴﺎویﺎت اﻟﻤﺤﻘﻘﺔ هﻲ‪ :‬ب( و ج(‪.‬‬ ‫‪ (RT).3‬و )‪ (DE‬ﻡﺘﻮازیﺎن ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺔ )‪.(2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ .4‬ب( ‪. 3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ا(‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪ .6‬ج(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .7‬اﻟﻄﺮیﻘﺔ ‪:1‬‬‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ LMN‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪ I‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪ [LM‬و )‪ (IJ‬و )‪ (MN‬ﻡﺘﻮازیﺎن‪.‬‬‫ﺣﺴﺐ اﻟﺨﺎﺹﻴﺔ‪ \" :‬إذا آﺎن ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ یﺸﻤﻞ ﻡﻨﺘﺼﻒ أﺣﺪ أﺿﻼع ﻡﺜﻠﺚ‬‫ویﻮازي ﺿﻠﻌﺎ ﺁﺥﺮا ﻓﺈﻥﻪ یﻮازي اﻟﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻟﻬﺬا اﻟﻤﺜﻠﺚ\"‪.‬‬ ‫‪LJ 1‬‬ ‫ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪ J‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪ [LN‬وﻡﻨﻪ ‪. LN = 2‬‬ ‫اﻟﻄﺮیﻘﺔ ‪:2‬‬‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ I ،LMN‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ ]‪ [LM‬و‪ J‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ ]‪ [LN‬و)‪ (IJ‬و )‪ (MN‬ﻡﺘﻮازیﺎن‪.‬‬ ‫‪LJ‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫إذن‬ ‫‪LI‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﻜﻦ‬ ‫‪LJ‬‬ ‫=‬ ‫‪LI‬‬ ‫ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬‫‪. LN‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪LM‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪LN‬‬ ‫‪LM‬‬

‫‪ .8‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪ M‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪ [AB‬و‪ N‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪. [AC‬‬ ‫ﺣﺴﺐ ﺥﺎﺹﻴﺔ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن )‪ (MN‬و)‪ (BC‬ﻡﺘﻮازیﺎن‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن )‪ (MN‬و)‪ (BC‬ﻡﺘﻮازیﺎن و)‪ (BC‬ﻗﺎﻃﻊ ﻟﻬﻤﺎ‬ ‫إذن ‪ ). ANM = ACB= 45°‬ﺏﺎﻟﺘﺒﺎدل اﻟﺪاﺥﻠﻲ(‪.‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ AMN‬ﻟﺪیﻨﺎ‪ MAN + AMN + ANM = 180° :‬أي‬‫‪ MAN + 65° + 45° = 180°‬ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪ MAN = 70°‬أي ‪. BAC = 70°‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪ M‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪ [AB‬و)‪ (MN‬یﻮازي )‪. (BC‬‬ ‫ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪ N‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪.[AC‬‬‫ﺏﻤﺄن ‪ ABCD‬ﻡﺘﻮازي اﺿﻼع ﻓﺈن اﻟﻤﻨﺘﺼﻒ ‪ N‬ﻟﻠﻘﻄﺮ]‪ [AC‬هﻮ ایﻀﺎ ﻡﻨﺘﺼﻒ ﻟﻠﻘﻄﺮ]‪ [BD‬إذن اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫‪ B ،N ،D‬ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻡﺔ واﺣﺪة‪.‬‬ ‫‪ .10‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ EGH‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪ I‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪ [EH‬و‪ J‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪. [EG‬‬‫‪. IJ‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪GH‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ EGH‬ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ ‫ﺣﺴﺐ ﺥﺎﺹﻴﺔ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﻴﻦ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ GEF‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪ J‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪ [GE‬و‪ K‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪. [GF‬‬‫‪. JK‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪EF‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ GEF‬ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ ‫ﺣﺴﺐ ﺥﺎﺹﻴﺔ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﻴﻦ‬ ‫‪2‬‬‫‪IK‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(GH‬‬ ‫) ‪+ EF‬‬ ‫أي‬ ‫‪IJ‬‬ ‫‪+ JK‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪GH‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪EF‬‬ ‫وﻡﻨﻪ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وﻥﺴﺘﻨﺘﺘﺞ‪. 2IK = GH + EF :‬‬ ‫‪.11‬‬

‫ا( ‪ -‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪ E‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪ [AB‬و‪ F‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪. [AC‬‬ ‫ﺣﺴﺐ ﺥﺎﺹﻴﺔ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ EGH‬ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن‪.:‬‬ ‫‪. EF‬‬ ‫=‬ ‫‪2, 8 cm‬‬ ‫أي‬ ‫‪EF‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪5,‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪2, 8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -‬و ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أیﻀﺎ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪ (EF‬و)‪ (BC‬ﻡﺘﻮازیﺎن‪.‬‬‫ب( ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ E’EF‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪ B‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]’‪ [EE‬و)‪ (BH‬یﻮازي )‪. (EF‬‬‫‪. BH‬‬ ‫‪= 1, 4 cm‬‬ ‫أي‬ ‫‪BH‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪EF‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪2, 8‬‬ ‫=‬ ‫‪1,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫‪ CH = BC − BH = 5, 6 −1, 4 = 4, 2‬أي ‪. CH = 4, 2 cm‬‬ ‫‪.12‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪IK‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪NG‬‬ ‫ﻥﻼﺣﻆ أ ّن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (MN‬هﻮ ﺥﻂ ﻋﻤﻮدي ﻟﻠﻤﺮﺹﻮﻓﺔ إذن )‪ (MN‬یﻮازي)‪. (EG‬‬ ‫اﻟﺨﻂ اﻷﻓﻘﻲ ﻟﻠﻤﺮﺹﻮﻓﺔ اﻟﺬي یﺸﻤﻞ ‪ F‬یﻘﻄﻊ )‪ (MN‬ﻓﻲ ‪ I‬و)‪ (EG‬ﻓﻲ ‪.K‬‬‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ I ، EFK‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ ]‪ [FK‬و ‪ M‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ ]‪ [FE‬و)‪ (MI‬و )‪ (EK‬ﻡﺘﻮازیﺎن‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪FM‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫)ﻥﺤﺴﺐ اﻟﻤﺮﺏﻌﺎت( إذن‬ ‫‪FI‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﻜﻦ‬ ‫‪FM‬‬ ‫=‬ ‫‪FI‬‬ ‫ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ ‫‪FE‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪FK‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪FE‬‬ ‫‪FK‬‬‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ M ، EFG‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ ]‪ [FE‬و ‪ N‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ ]‪ [FG‬و)‪ (MN‬و )‪ (EG‬ﻡﺘﻮازیﺎن‪.‬‬ ‫‪MN‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫إذن‬ ‫اﻟﻤﺮﺏﻌﺎت(‬ ‫)ﻥﺤﺴﺐ‬ ‫‪FM‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﻜﻦ‬ ‫‪MN‬‬ ‫=‬ ‫‪FM‬‬ ‫ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ ‫‪EG‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪FE‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪EG‬‬ ‫‪FE‬‬ ‫‪MN‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪×6‬‬ ‫إذن‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ(‬ ‫)ﺣﺴﺐ‬ ‫‪EG‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻟﻜﻦ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪MN‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪EG‬‬ ‫وﻡﻨﻪ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أي ‪.MN = 4‬‬ ‫‪.13‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪B‬‬ ‫أي ‪ x = 2, 7 × 3‬أي ‪. x = 8,1‬‬ ‫‪2, 7‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺪیﻨﺎ‪:‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪-.14‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪. x = 3,5‬‬ ‫أي‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪7‬‬ ‫أي‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺪیﻨﺎ‪:‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x = 4,5‬‬ ‫أي‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1,‬‬ ‫×‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫أي‬ ‫‪1, 8‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺔ )‪ (3‬ﻟﺪیﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪. x = 1, 2‬‬ ‫أي‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫×‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أي‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺔ )‪ (4‬ﻟﺪیﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪.15‬‬‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪ E‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪ [AB‬و ‪ F‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪. [AC‬‬‫ﺣﺴﺐ ﺥﺎﺹﻴﺔ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ EGH‬ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪ (EF‬و)‪ (BC‬ﻡﺘﻮازیﺎن و‬ ‫‪. BC‬‬ ‫‪= 2× EF‬‬ ‫أي‬ ‫‪EF‬‬ ‫=‬ ‫‪1 BC‬‬ ‫‪2‬‬‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ’’‪ MM’M‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪ E‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]’‪ [MM‬و ‪ F‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]’’‪. [MM‬‬‫ﺣﺴﺐ ﺥﺎﺹﻴﺔ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ EGH‬ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪ (EF‬و)’’‪ (M’M‬ﻡﺘﻮازیﺎن‬‫‪.M‬‬ ‫‪'M‬‬ ‫''‬ ‫=‬ ‫‪2× EF‬‬ ‫أي‬ ‫‪EF‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪'M‬‬ ‫و ''‬ ‫‪2‬‬‫‪ (BC) -‬و )’’‪ (M’M‬یﻮازیﺎن ﻥﻔﺲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (EF‬ﻓﺈﻥﻬﻤﺎ ﻡﺘﻮازیﺎن‪.‬‬‫‪ BC = 2× EF -‬و ‪ M ' M '' = 2× EF‬ﻡﻨﻪ '' ‪. BC = M ' M‬‬ ‫‪.16‬‬‫‪ -‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ E ، FKC‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ ]‪ [FC‬و ‪ A‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ ]‪[CK‬‬ ‫و)’‪ (AE‬و )‪ (FK‬ﻡﺘﻮازیﺎن‪.‬‬

‫‪CF‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫إذن‬ ‫ﻟﻜﻦ ‪ CF = 5 cm‬و ‪CE = 3 cm‬‬ ‫‪FK‬‬ ‫=‬ ‫‪CF‬‬ ‫ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ ‫‪CE‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪FK‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫وﻡﻨﻪ‬ ‫‪AE‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ F ، BEA‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ ]‪ [BE‬و ‪ G‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ ]‪[BA‬‬ ‫و)‪ (GF‬و )‪ (AE‬ﻡﺘﻮازیﺎن‪.‬‬ ‫‪BF‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫إذن‬ ‫‪ BF = 1 cm‬و ‪BE = 3 cm‬‬ ‫ﻟﻜﻦ‬ ‫‪FG‬‬ ‫=‬ ‫‪BF‬‬ ‫ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ ‫‪BE‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫‪BE‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪FG‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫وﻡﻨﻪ‬ ‫‪AE‬‬ ‫‪3‬‬‫‪FG‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫ﻓﺄن‬ ‫‪FG‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫و ﺏﻤﺎن‬ ‫‪FK‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫ﻓﺄن‬ ‫‪FK‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ -‬ﺏﻤﺎن‬ ‫‪3‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫‪3‬‬‫‪FK + FG‬‬ ‫‪= 2AE‬‬ ‫أي‬ ‫‪FK‬‬ ‫= ‪+ FG‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫إذن‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.17‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ M ، OAB‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ ]‪ [AB‬و ’‪ M‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ ]‪ [OA‬و‬ ‫)’‪ (MM‬و )‪ (OB‬ﻡﺘﻮازیﺎن‪.‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫'‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫إذن‬ ‫‪MM‬‬ ‫'‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﻜﻦ‬ ‫' ‪AM‬‬ ‫=‬ ‫‪MM‬‬ ‫'‬ ‫ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ ‫‪AO‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪OB‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪AO‬‬ ‫‪OB‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫'‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫إذن‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ(‬ ‫)ﺣﺴﺐ‬ ‫‪AO‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻟﻜﻦ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫'‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AO‬‬ ‫و ﻡﻨﻪ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫إذن‬ ‫‪OM‬‬ ‫'‬ ‫=‬ ‫‪OA‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫'‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫وﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.18‬‬

‫‪ AMN -‬و ‪ ABC‬هﻤﺎ زاویﺘﺎن ﻡﺘﻤﺎﺙﻠﺘﺎن ﻡﻌﻴﻨﺘﺎن ﺏﺎﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪ (MN‬و )‪ (BC‬و اﻟﻘﺎﻃﻊ )‪ (AB‬وﺏﻤﺄن‬‫هﺬیﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻡﺘﻮازیﺎن ﻗﺈن اﻟﺰاویﺘﻴﻦ ﻡﺘﺴﺎویﺘﺎن إذن ‪.AMN = ABC :‬‬‫‪ O -‬ﻡﺮآﺰ اﻟﺪاﺋﺮة داﺥﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ AMN‬إذن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (OM‬ﻡﻨﺼﻒ اﻟﺰاویﺔ ‪ AMN‬و ﻡﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪OMA‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AMN‬‬ ‫‪2‬‬‫‪ P -‬ﻡﺮآﺰ اﻟﺪاﺋﺮة داﺥﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬إذن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (BP‬ﻡﻨﺼﻒ اﻟﺰاویﺔ ‪ ABC‬و ﻡﻨﻪ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪PBA‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫‪2‬‬‫و ‪ AMN = ABC‬إذن‪:‬‬ ‫= ‪PBA‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫و‬ ‫= ‪OMA‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AMN‬‬ ‫‪ -‬ﻟﺪیﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.PBA = OMA‬‬‫ﺏﻤﺄن اﻟﺰاویﺘﻴﻦ ‪ PBA‬و ‪ OMA‬ﻡﺘﺴﺎویﺘﺎن وهﻤﺎ زاویﺘﺎن ﻡﺘﻤﺎﺙﻠﺘﺎن ﻡﻌﻴﻨﺘﺎن ﺏﺎﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪ (PB‬و‬‫)‪ (OM‬و اﻟﻘﺎﻃﻊ )‪ (AB‬إذن ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪ (PB‬و )‪ (OM‬ﻡﺘﻮازیﺎن‪.‬‬

‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫‪ -‬ﻀﺭﺏ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻨﺴﺒﻴﻴﻥ‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻨﺴﺒﻴﻴﻥ‬‫ﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﺪرس‬ ‫• ﺗﺬآﻴﺮ )ﺑﺮﻧﺎﻡﺞ اﻟﺴﻨﺔ ‪(2‬‬ ‫• ﺿﺮب ﻋﺪدیﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ‬ ‫• ﻗﺴﻤﺔ ﻋﺪدیﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ‬ ‫• ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت‬ ‫• ﺗﺼﺤﻴﺢ اﻟﺘﻤﺎریﻦ اﻟﻤﺸﻜﻼت‬

‫‪ .1‬ﺗﺬآﻴﺮ )ﺑﺮﻧﺎﻡﺞ اﻟﺴﻨﺔ ‪: (2‬‬ ‫• ﺟﻤﻊ ﻋﺪدیﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ‪.‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة‪:‬‬ ‫• ﻟﺠﻤﻊ ﻋﺪدیﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻹﺵﺎرة‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻧﺠﻤﻊ اﻟﻤﺴﺎﻓﺘﻴﻦ إﻟﻰ اﻟﺼﻔﺮ ﻟﻠﻌﺪدیﻦ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻧﺮﻓﻖ ﺑﺎﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻹﺵﺎرة اﻟﻤﺸﺘﺮآﺔ ﻟﻠﻌﺪدیﻦ‪.‬‬ ‫• ﻟﺠﻤﻊ ﻋﺪدیﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻡﻦ إﺵﺎرﺗﻴﻦ ﻡﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ‪:‬‬‫‪ -‬ﻧﻄﺮح أﺹﻐﺮ ﻡﺴﺎﻓﺔ إﻟﻰ اﻟﺼﻔﺮ ﻡﻦ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ إﻟﻰ اﻟﺼﻔﺮ اﻷآﺒﺮ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻧﺮﻓﻖ ﺑﺎﻟﻨﺘﻴﺠﺔ إﺵﺎرة اﻟﻌﺪد اﻟﺬي ﻟﻪ أآﺒﺮ ﻡﺴﺎﻓﺔ إﻟﻰ اﻟﺼﻔﺮ‪.‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪(+2,5) + (6 ,8) = +9,3 .1‬‬ ‫‪(−5,3) + (−2,5) = −7,8‬‬ ‫‪(+5,8) + (−6 ) = −0,2 .2‬‬ ‫‪(+6 ,9) + (−3,5) = +3,4‬‬ ‫ﺥﺎﺹﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻡﺠﻤﻮع ﻋﺪدیﻦ ﻡﺘﻌﺎآﺴﻴﻦ ﻡﻌﺪوم‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫‪(+3,8) + (−3,8) = 0‬‬ ‫• ﻃﺮح ﻋﺪدیﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ‪.‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة‪:‬‬ ‫ﻟﻄﺮح ﻋﺪد ﻧﺴﺒﻲ‪ ،‬ﻧﻀﻴﻒ ﻡﻌﺎآﺴﻪ‪.‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪(+5,7 ) − (+3,4) = (+5,7 ) + (−3,4) = +4,3‬‬ ‫‪(+5,7 ) − (−3,4) = (+5,7 ) + (+3,4) = +9,1‬‬ ‫اﺹﻄﻼح‬ ‫• ﻳﻤﻜﻦ ﺣﺬف اﻹﺷﺎرة ‪ +‬واﻟﻘﻮﺳﻴﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ اﻷﻋﺪاد اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ‪.‬‬ ‫• ﻳﻤﻜﻦ ﺣﺬف ﻗﻮﺳﻲ اﻟﻌﺪد اﻟﻨﺴﺒﻲ اﻷ ّول ﻓﻲ ﻣﺠﻤﻮع أو ﻓﺮق‪.‬‬ ‫ﻡﺜﺎل‪:‬‬ ‫‪(+2,5) − (+5) = 2,5 − (+5) = 2,5 − 5‬‬

‫• اﻟﻤﺠﻤﻮع اﻟﺠﺒﺮي‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‪:‬‬‫اﻟﻤﻘﺼﻮد ﺑﻤﺠﻤﻮع ﺟﺒﺮي ﻡﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﻤﻠﻴﺎت ﺟﻤﻊ وﻋﻤﻠﻴﺎت ﻃﺮح أﻋﺪاد ﻧﺴﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻡﺜﺎل‪:‬‬ ‫‪ E = 5 − 3,5 + 5 + 9 − 4,5‬ﻣﺠﻤﻮع ﺟﺒﺮي‪.‬‬ ‫ﻃﺮیﻘﺔ‪:‬‬‫ﻟﺤﺴﺎب ﻡﺠﻤﻮع ﺟﺒﺮي‪ ،‬ﻧﺨﺘﺼﺮ آﺘﺎﺑﺘﻪ ﺑﺸﻄﺐ اﻟﺤﺪود اﻟﻤﺘﻌﺎآﺴﺔ‪ ،‬إن وﺟﺪت‪ ،‬ﺙ ّﻢ ﻧﺠ ّﻤﻊ اﻟﺤﺪود‬ ‫اﻟﺘﻲ ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ اﻹﺵﺎرة وﻧﺠﺮي اﻟﺤﺴﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ‪ ،‬ﻧﺠﺪ‪:‬‬ ‫‪E = 5 − 3,5 + 5 + 9 − 4,5‬‬ ‫‪= 3,5 − 4,5 + 9 = −8 + 9 = 1‬‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻖ‪ :‬ﺣﺴﺎب ﻗﻴﻤﺔ ﻋﺒﺎرة ﺣﺮﻓﻴﺔ‬ ‫ﻡﺜﺎل‪:‬‬‫ﻥﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺒﺎرﺕﻴﻦ اﻟﺤﺮﻓﻴﺘﻴﻦ ) ‪ E = a − (b + c − d‬؛ ‪F = a − b − c + d‬‬ ‫اﺣﺴﺐ ﻗﻴﻤﺔ آ ّﻞ ﻣﻦ ‪ E‬و ‪ F‬ﻣﻦ أﺟﻞ‬ ‫‪ a = 3,5‬؛ ‪ b = −4‬؛ ‪ c = 8,3‬؛ ‪d = 6‬‬ ‫ﻥﻌ ّﻮض آ ّﻞ ﺣﺮف ﻓﻲ اﻟﻌﺒﺎرة ﺑﺎﻟﻌﺪد اﻟﻨﺴﺒﻲ اﻟﺬي ﻳﻤﺜﻠﻪ‪ ،‬ﻥﺠﺪ‪:‬‬‫‪F =a−b−c+d‬‬ ‫)‪E = a − (b + c − d‬‬ ‫) ‪= 3,5 − (−4 + 8,3 − 6‬‬ ‫‪= 3,5 − (−4) − 8,3 + 6‬‬ ‫)‪= 3,5 − (−4 − 6 + 8,3‬‬ ‫‪= 3,5 + (+4) − 8,3 + 6‬‬ ‫)‪= 3,5 − (−10 + 8,3‬‬ ‫) ‪= 3,5 − (−1,7‬‬ ‫‪= 3,5 + 4 + 6 − 8,3‬‬ ‫) ‪= 3,5 + (+1,7‬‬ ‫‪= 13,5 − 8,3‬‬ ‫‪= 5,2‬‬ ‫‪= 5,2‬‬ ‫ﻡﻼﺡﻈﺔ‪:‬‬‫ﻥﻼﺣﻆ أﻥﻨﺎ ﻥﺤﺼﻞ ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻥﻔﺲ اﻟﻘﻴﻤﺔ وهﻲ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﻤﻜﻦ ﺕﻮﻗﻌﻬﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻌﺪ )اﻟﺪرس ‪.( ....‬‬

‫‪ .2‬ﺿﺮب ﻋﺪدیﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ‪:‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة‪:‬‬‫ﻟﻀﺮب ﻋﺪدیﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ‪ ،‬ﻧﻀﺮب اﻟﻤﺴﺎﻓﺘﻴﻦ إﻟﻰ اﻟﺼﻔﺮ وﻧﻄﺒﻖ ﻗﺎﻋﺪة اﻹﺵﺎرات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫• ﺟﺪاء ﻋﺪدیﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻡﻦ ﻧﻔﺲ اﻹﺵﺎرة هﻮ ﻋﺪد ﻡﻮﺟﺐ‪.‬‬ ‫• ﺟﺪاء ﻋﺪدیﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻡﻦ إﺵﺎرﺗﻴﻦ ﻡﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ هﻮ ﻋﺪد ﺱﺎﻟﺐ‪.‬‬ ‫‪5 × (−2,3) = −11,5‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪(−9,25) × 10 = −92,5‬‬ ‫‪4 × (2,5) = 10‬‬ ‫‪(−5) × (−11) = 55‬‬‫ﺍﻟﻘﻭﺴﺎﻥ‬ ‫ﺗﻨﺒﻴﻪ‪:‬‬‫ﺇﺠﺒﺎﺭﻴﺎﻥ‬ ‫ﻻ ﻥﻜﺘﺐ ‪ ، 5 × −2,3‬ﻟﻜﻦ )‪. 5 × (−2,3‬‬ ‫• ﺡﺎﻻت ﺥﺎﺹﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻨﺪ ﺿﺮب ﻋﺪد ﻓﻲ ﻧﻔﺴﻪ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺪد ﻡﺮﺑﻌﺎ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻨﺪ ﺿﺮب ﻋﺪد ﻓﻲ )‪ ، (−1‬ﻧﺄﺥﺬ ﻡﻌﺎآﺴﻪ‪.‬‬‫‪ 5 × 5 = 5² = 25‬؛ ‪ (−5) × (−5) = (−5)² = 25‬؛‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪. (0,5) × (0,5) = 0,5² = 0,25‬‬ ‫ƒ‬ ‫‪ (−1) × 4 = −4‬؛ ‪(−4) × (−1) = 4‬‬ ‫ƒ‬ ‫• ﺡﺴﺎب ﺟﺪاء ﻋ ّﺪة أﻋﺪاد ﻧﺴﺒﻴﺔ‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة ‪:‬‬ ‫إذا ﺗﻀﻤﻦ ﺟﺪاء ﻋﺪدا زوﺟﻴﺎ ﻡﻦ اﻟﻌﻮاﻡﻞ اﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻓﺈ ّن اﻟﺠﺪاء یﻜﻮن ﻡﻮﺟﺒﺎ‪.‬‬ ‫إذا ﺗﻀﻤﻦ ﺟﺪاء ﻋﺪدا ﻓﺮدیﺎ ﻡﻦ اﻟﻌﻮاﻡﻞ اﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻓﺈ ّن اﻟﺠﺪاء یﻜﻮن ﺱﺎﻟﺒﺎ‪.‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‪:‬‬‫‪ 5 × (−0,1) × (−7 ) = 3,5‬؛ ‪(−2) × 3 × (−5) × (−4) = −120‬‬

‫‪ .3‬ﻗﺴﻤﺔ ﻋﺪدیﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ‪:‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة‪:‬‬‫ﻟﺤﺴﺎب ﺡﺎﺹﻞ ﻗﺴﻤﺔ ﻋﺪد ﻧﺴﺒﻲ ﻋﻠﻰ ﻋﺪد ﻧﺴﺒﻲ ﻏﻴﺮ ﻡﻌﺪوم‪ ،‬ﻧﻘﺴﻢ اﻟﻤﺴﺎﻓﺘﻴﻦ إﻟﻰ اﻟﺼﻔﺮ وﻧﻄّﺒﻖ ﻧﻔﺲ‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة اﻹﺵﺎرات ﻟﻠﻀﺮب‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫أو‬ ‫‪a÷b‬‬ ‫)‪ (b ≠ 0‬ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻥﻜﺘﺐ ﺣﺎﺹﻞ ﻗﺴﻤﺔ‬‫‪.b‬‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‪:‬‬‫)ﻻﺣﻆ أ ّن ‪( 8 × 0,4 = 3,2‬‬ ‫‪3,2‬‬ ‫=‬ ‫‪0,4‬‬ ‫أو‬ ‫‪3,2 ÷ 8 = 0,4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪11‬‬ ‫≈‬ ‫‪−1,83‬‬ ‫أو‬ ‫) ‪11 ÷ (−6‬‬ ‫≈‬ ‫‪−1,83‬‬ ‫‪−6‬‬‫)ﻋﻨﺪ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 11‬ﻋﻠﻰ ‪ −6‬ﻻ ﺕﻜﻮن اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻋﺪدا ﻥﺴﺒﻴﺎ‪ ،‬ﻟﺬﻟﻚ ﻥﻌﺘﺒﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻘﺮﺑﺔ ﻟﺤﺎﺹﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ وﻥﻀﻊ) (‬ ‫اﻟﻌﻼﻣﺔ ≈ (‪.‬‬ ‫• ﻗﺎﻋﺪة أوﻟﻮیﺔ اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت‬ ‫ﻋﻨﺪ إﺟﺮاء ﺣﺴﺎب ﻋﻠﻰ أﻋﺪاد ﻥﺴﺒﻴﺔ‪ ،‬ﻥﻄّﺒﻖ ﻥﻔﺲ ﻗﻮاﻋﺪ اﻷوﻟﻮﻳﺔ اﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺑﺎﻷﻋﺪاد اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻥﺠﺮي أوﻻ اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﺑﻴﻦ اﻷﻗﻮاس‪.‬‬‫‪ -‬ﻓﻲ ﻏﻴﺎب اﻷﻗﻮاس‪ ،‬ﻥﺠﺮي أوﻻ ﻋﻤﻠﻴﺎت اﻟﻀﺮب واﻟﻘﺴﻤﺔ اﻟﺘﻲ ﻟﻬﺎ اﻷوﻟﻮﻳﺔ ﻋﻠﻰ ﻋﻤﻠﻴﺎت اﻟﺠﻤﻊ واﻟﻄﺮح‬ ‫وذﻟﻚ ﺣﺴﺐ ﺕﺮﺕﻴﺒﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﺤﺴﺎب‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ :‬اﺣﺴﺐ )‪A = 2 + 4 + (−12) × (−3) ÷ (−8‬‬ ‫)‪A = 2 + 4 + (−12) × (−3) ÷ (−8‬‬ ‫)‪= 2 + [4 + 36] ÷ (−8‬‬ ‫)‪= 2 + 40 ÷ (−8‬‬ ‫)‪= 2 + (−5‬‬ ‫‪= −3‬‬

‫• ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪ .1‬اﻥﻘﻞ ﺙ ّﻢ أآﻤﻞ ﺣﺴﺐ اﻟﻘﺎﻋﺪة اﻟﻤﺒﻴﻨﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺨﻄﻂ‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪a+b‬‬‫‪−2‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪ .2‬اﺣﺴﺐ اﻟﻤﺠﺎﻣﻴﻊ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫ج( )‪(−8) + (−3,3‬‬ ‫ب( )‪2,5 + (−12‬‬ ‫ا( ‪−9 + 6‬‬‫ج( )‪(−13) − (+13‬‬ ‫‪ .3‬اﺣﺴﺐ اﻟﻔﺮوق اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫ا( ) ‪ (+15) − (−17‬ب( )‪(+12) − (+5‬‬ ‫‪ .4‬اﻥﻘﻞ اﻟﻤﺮﺑﻊ اﻟﺘﺎﻟﻲ وأآﻤﻠﻪ ﻟﻴﺼﺒﺢ ﻣﺮﺑﻌﺎ ﺳﺤﺮﻳﺎ‪:1‬‬ ‫‪0,5 −4,5‬‬ ‫‪−0,5‬‬ ‫‪−1,5‬‬ ‫‪ .5‬اﺣﺴﺐ اﻟﻤﺠﺎﻣﻴﻊ اﻟﺠﺒﺮﻳﺔ اﻵﺕﻴﺔ‪:‬‬ ‫ا( ‪A = 2,4 − 4,5 + 5,7 − 2,4 − 4,2‬‬ ‫ب( ‪B = 1 − 0,1 + 1 − 1 + 1,1‬‬ ‫ج( ‪C = −0,75 + 0,27 − 1,25 + 0,03 − 0,7‬‬ ‫‪ .6‬اﺣﺴﺐ اﻟﻘﻴﻤﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﻴﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﻦ أﺟﻞ‬‫‪1‬ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻤﺭﺒﻊ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺃﹼﻨﻪ ﻤﺭﺒﻊ ﺴﺤﺭﻱ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺒﺠﻤﻊ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺴﻁﺭ ﺃﻭ‬ ‫ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﺃﻭ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻘﻁﺭ‪.‬‬