دروس مادة الرياضيات للفصل الثالث جذع اداب و فلسفة سنة اولى ثانوي

‫ﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‬ ‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫• ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬‫• ﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺼﺎﺀ‪ -‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‬ ‫ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬ ‫• ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ ﻭ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﻭﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﻨﺎﺯل‬ ‫• ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ‬‫• ﻤﺅﺸﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﻭﻗﻊ )ﺃﻭ ﻤﺅﺸﺭﺍﺕ ﺍﻟﻨﺯﻋﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ(‬

‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻌﺭﻑ ﺒﻨﻘﻁﺔ ﻭﻤﻨﺤﻰ ﺃﻭ ﺒﻨﻘﻁﺘﻴﻥ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺸﻌﺎﻉ ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺭﺴﻡ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻌﺭﻑ ﺒﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺘﻭﺍﺯﻱ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ‪.‬‬‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺘﻤﻬﻴﺩ‬ ‫‪.I‬‬‫ﺍﻟﺩﺭﺱ ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ ﺤﻭل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫‪.II‬‬ ‫‪.III‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫‪.IV‬‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬

‫• ﺘﻤﻬﻴﺩ ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﻜل ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪( )0, ir, rj‬‬‫ﺒﻌﺩﻤﺎ ﻋ ّﺭﻓﻨﺎ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ,‬ﺍﺴﺘﻌﻤﻠﻨﺎ \" ﻤﺼﻁﻠﺢ \" ﻴﻌّﺒﺭ ﺒﻪ ﻋﻠﻰ \" ﻓﻜﺭﺓ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺘﻴﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ \"‬ ‫ﻤﺜﺎﻻﻥ‪:‬‬‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ , R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ f (x) = 2x + 1‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ‬‫ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻫﺎ ))‪ (x, f (x‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻫﻲ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ (d‬ﻭﻗﻠﻨﺎ ‪:‬‬‫\"‪ y = 2x + 1‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ \" (d‬ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ‪ y = 2x + 1 \" :‬ﻫﻲ ﻋﻼﻗﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫ﺘﺤﻘﻘﻬﺎ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ )‪ (x, y‬ﻟﺠﻤﻴﻊ ﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ (d‬ﻭﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻓﻘﻁ \"‪.‬‬‫ﻭ)ﻤﺜﻼ( ﺇﺫﺍ ﺃﻋﻁﻴﺕ ﻨﻘﻁﺔ‪ ,‬ﺒﺈﺤﺩﺍﺜﻴﻴﻬﺎ‪ ,‬ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﺘﺄﻜﺩ ﺇﻥ ﻜﺎﻨﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪(d‬‬‫ﻓﻤﺜﻼ‪ :‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﺤﻴﺙ )‪ A(1,3‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ (d‬ﻷﻥ ﻟﻭ ﻋﻭﻀﻨﺎ )‪ (x, y‬ﺒـ )‪, (1,3‬‬‫‪ y = 2x + 1‬ﺘﺼﺒﺢ ‪ 3 = 3‬ﻭﻫﺫﺍ ﺼﺤﻴﺢ ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﺤﻴﺙ )‪ B(2,7‬ﻻ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ (d‬ﻷﻥ ﻟﻭ ﻋﻭﻀﻨﺎ )‪ (x, y‬ﺒـ )‪ y = 2x + 1, (2,7‬ﺘﺼﺒﺢ ‪ 7 = 5‬ﻭﻫﺫﺍ ﻏﻴﺭ ﺼﺤﻴﺢ‪.‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫= )‪g(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪,‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‪,‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪g‬‬ ‫‪x‬‬‫ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻫﺎ )‪ x, g(x‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻫﻲ ﻗﻁﻊ ﺯﺍﺌﺩ )‪ (C‬ﻭﻗﻠﻨﺎ \") (‬‫ﻫﻲ ﻋﻼﻗﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺘﺤﻘﻘﻬﺎ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻘﻁﻊ ﺍﻟﺯﺍﺌﺩ )‪ \" (C‬ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ \"‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ )‪ (x, y‬ﻟﺠﻤﻴﻊ ﻨﻘﻁ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﺯﺍﺌﺩ )‪ (C‬ﻭﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻓﻘﻁ \"‪.‬‬‫ﻭ)ﻤﺜﻼ( ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﻌﻴﻥ‪ ,‬ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ‪ ,‬ﻨﻘﻁﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﺯﺍﺌﺩ )‪ (C‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻨﻌﻁﻲ ﻗﻴﻤﺎ ﻟﻠﻔﺎﺼﻠﺔ ‪x‬‬‫ﻤﻌﺩﻭﻤﺎ‼(‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﻻ‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫)ﺸﺭﻴﻁﺔ‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫ﻭﻓﻕ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫ﺒﻬﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ‬ ‫ﻭﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻨﻘﻁ ‪:‬‬ ‫ﺒﺼﻭﺭﺓ ﻋﺎﻤﺔ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ)‪ (C‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻥ ﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬‫ﻨﺴﻤﻲ \" ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺔ )‪ \" (C‬ﻜل \"ﻋﻼﻗﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺘﺤﻘﻘﻬﺎ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ )‪ (x, y‬ﻟﺠﻤﻴﻊ ﻨﻘﻁ )‪(C‬‬ ‫ﻭﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻓﻘﻁ \"‬

‫• ﺍﻟﺩﺭﺱ ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ ﺤﻭل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪:‬‬ ‫ﻤﻘﺩﻤﺔ ‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻫﻭ ﻨﻭﻉ ﺨﺎﺹ )ﻭﻤﺭﺠﻌﻲ( ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‪ ،‬ﻭﻓﻲ ﺃﻏﻠﺒﻴﺔ ﻤﻴﺎﺩﻴﻥ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﺘﺴﺘﻌﻤل‬ ‫ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‪.‬‬‫ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺩﺭﺱ ﻨﺘﻨﺎﻭل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻥ ﺠﺎﻨﺏ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﺃﻱ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻤﻌﻠﻡ ﺤﻴﺙ ﻜل ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﺒﺈﺤﺩﺍﺜﻴﻴﻬﺎ ﻭﻜل ﺸﻌﺎﻉ ﻤﻌﻴﻥ ﺒﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻪ‪.‬‬ ‫ﺃﺸﻌﺔ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ) ‪ (d‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪ (d‬ﻜل ﺸﻌﺎﻉ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻤﻨﺤﺎﻩ ﻤﻨﺤﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪(d‬‬ ‫ﺒﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺃﺨﺭﻯ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ) ‪ (d‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ Vr‬ﺸﻌﺎﻋﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪) Vr = AB‬‬‫ﻜﺎﻥ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻭﻓﻘﻁ‬ ‫(‬ ‫‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺘﺎﻥ‬ ‫ﺃ‪r‬ﻴ‪V‬ﻥ‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪(d‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)‪ (AB‬ﻤﻭﺍﺯﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪(d‬‬ ‫‪(d‬‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‬ ‫ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ‬ ‫ﻓﻤﺜ‪rr‬ﻲﺎ‪ϑw‬لﺍﻟﻜ‪:‬ﻟﺫﻴﺸﻟﻜﻙﺱل ﺍﺸﺸﻟﻌﻌﻤﺎﺎﺠﻉﻉﺎ ﺘﻭﺘﻭﻭﺭ‪:‬ﺠﺠﻴﻴ‪r‬ﻪﻪ‪u‬‬‫) ‪wr (d‬‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪(d‬‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪(d‬‬ ‫‪ur B‬‬ ‫‪A ϑr‬‬ ‫‪ AB‬ﻫﻭ ﻜﺫﻟﻙ ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪( )d‬‬

‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺠﺎﺕ ‪:‬‬‫ﺇﺇﺇﻤﻫﺫﺫﺫﻨﺍﺍﺍﻭﺤﻜﻜﻜﻜﺎﺎﺎﻰﺫﻨﻟﻥﻥ‪r‬ﺕ‪u‬ﻙ‪Akuurr‬ﺸﻭﻌﺸﻫﺎﻌﻭﻭﺎ‪r‬ﻉ‪ϑ‬ﻉﻤﺘﻨ‪B‬ﻭﺘﺸﺤﻭﺠﻨﻌﻴﻰﻘﺎﺠﻪﻴﻋﻁﻪﻟﺘﻠﻴﻲ‪d‬ﻟﻤﻥﻤﺘﺴ(ﻭﺘﺴﻤﻘﺘﺘﺠﻴﻘﻴﻤﻴﻡﺎﻪﻡﻴ ﻟﺯﻨﺘ‪d‬ﻔﻴ‪d‬ﻥﺱ)ﻓﺍﻓﻷﺈﻟﺈﻥﻤﻥﻥﺴﺍ‪r‬ﻟﺘ‪u‬ﻜﻘﺸﻴلﻡﻌﻭﺎﺸ‪r‬ﻉ‪u‬ﻌﺎ‪kd‬ﻉ‪ B‬ﻓﻤﻤ‪A‬ﺈﺘﻥﻭﻥﺍﺍﻫﺍﻟﺯﻟﻴﻭﺎﺸﺸﻜﻥﻌﺸﺎلﻌﺎﻭﻋﻴﻤ‪r‬ﻉ‪u‬ﻨﻥﺘ‪k‬ﺤ‪r‬ﻭ‪u,‬ﻰﺠﻴﺤ‪r‬ﻭ‪u‬ﻴﻪ ﻟ‪r‬ﺙﻠﻫ‪ϑ‬ﻤﻭﺴﻤ‪k‬ﺘﻤﺘﻘﻨﻴﻭﺍﻡﺤﻋﺩﺯﻰﻴﺩﺎ‪B‬ﻥﺤ‪.‬ﻘ‪Ad‬ﻴﻘﻲﻭﺒﺎﻏﻟﻴﺘﺎﻟﺭﻲﻤﻌﺩﻭﻡ‪(( ) ) (( ))( ) ( ),‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪:‬‬‫* ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‪ ,‬ﻜل ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫ﻜل ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻟﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‪ y = ax + b :‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻌﻠﻭﻤﺎﻥ‪(1).....‬‬‫** ﻟﻨﻜﺘﺏ ﺍﻵﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪( )d‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻌﻠﻭﻤﺔ ﺤﻴﺙ‪A(c, c') :‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ) ‪ (d‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ‪A‬‬‫‪rj‬‬ ‫ﻭﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪M (x, y‬‬‫ﺇﺫﺍ‪M‬ﻜﺎﺘﻨﻥﺘﻤ‪rj‬ﻲ‪/‬ﺇ‪/‬ﻟﻰ)‪ (AdM‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ‪0 ir‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ rj10‬ﻭ‬ ‫ﻭﻟﻨﺎ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−‬‬ ‫'‪c‬‬ ‫‪AM //‬‬ ‫ﻭ ‪rj‬‬‫ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ(‬ ‫ﺘﻭﺍﺯﻱ‬ ‫)ﺸﺭﻁ‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪− c).1 −‬‬ ‫‪(y‬‬ ‫‪−‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪c').0 = 0‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪x − c = 0 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪x = c‬‬‫ﻤﻨﻪ ‪ :‬ﻋﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻘﻬﺎ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ)‪ (x, y‬ﻟﺠﻤﻴﻊ ﻨﻘﻁ) ‪ (d‬ﻭﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻓﻘﻁ ﻫﻲ‪x = c :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪ x = c :‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪(d‬‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ :‬ﻜل ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻟﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ x = c‬ﺤﻴﺙ ‪ c‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﻤﻌﻠﻭﻡ ‪(2)....‬‬

‫*** ﻜل ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻟﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ y = ax + b‬ﻭﻫﻲ ﻤﻥ‬‫ﺍﻟﺸﻜل ‪ ax − y + b = 0‬ﻭﻫﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪) ux + ϑy + w = 0‬ﻫﻨﺎ‪ ϑ = −1‬ﺇﺫﻥ ‪(ϑ ≠ 0‬‬ ‫ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻟﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ x = c‬ﻭﻫﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫‪ 1.x + 0.y − c = 0‬ﻭﻫﻲ ﻜﺫﻟﻙ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‪) ux + ϑy + w = 0 :‬ﻫﻨﺎ‪ u = 1‬ﻤﻨﻪ ‪( u ≠ 0‬‬‫ﺇﺫﻥ‪ :‬ﻟﻜل ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‪ ux + ϑy + w = 0 :‬ﺤﻴﺙ ‪ w,ϑ, u‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻌﻠﻭﻤﺔ‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‪ u ≠ 0 :‬ﺃﻭ ‪ϑ ≠ 0‬‬ ‫ﻭﻫﻜﺫﺍ ﻟﻘﺩ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ‪:‬‬‫ﻟﻜل ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‪ ux + ϑy + w = 0 :‬ﺤﻴﺙ ‪w,ϑ,u‬‬‫ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻌﻠﻭﻤﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪ u ≠ 0 :‬ﺃﻭ ‪) ϑ ≠ 0‬ﺃﻱ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻏﻴﺭ‬‫ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤ ّﻌﺭﻑ ﺒﻨﻘﻁﺔ ﻭﻤﻨﺤﻰ ﺃﻭ ﺒﻨﻘﻁﺘﻴﻥ )ﻋﻠﻰ ﻀﻭﺀ ﻤﺜﺎﻟﻴﻥ( ‪:‬‬‫) ‪(d‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤ ّﻌﺭﻑ ﺒﻨﻘﻁﺔ ﻭﻤﻨﺤﻰ ‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪A‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ir Vr‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ Vr‬ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ﺤﻴﺙ ‪Vr1− 2 :‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪( )Vr‬‬ ‫‪d‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫ﻟﻨﻜﺘﺏ‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﻤﻨﺤﻰ‬ ‫ﻴﺸﻤل ‪ A‬ﻭﻤﻨﺤﺎﻩ‬ ‫‪AM‬‬ ‫‪// Vr‬‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫‪,M‬‬ ‫ﺘﻜﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪(x, y‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ‬ ‫ﻭﻓﻘﻁ‬ ‫ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ) ‪ (d‬ﺇﺫﺍ‬ ‫‪M‬‬ ‫‪Vr1− 2‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻟﻨﺎ‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ(‬ ‫ﺘﻭﺍﺯﻱ‬ ‫)ﺸﺭﻁ‬ ‫‪1.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(−2)‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ﻭ ‪AM //Vr‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(1)...2x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺃﻱ ‪= 0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪= 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻟﺘﺒﺴﻴﻁ ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﻨﻀﺭﺏ )‪ (1‬ﻓﻲ ‪ 2‬ﺘﺼﺒﺢ ‪4x + 2 y − 5 = 0‬‬‫ﻤﻨﻪ ‪ 4x + 2 y − 5 = 0 :‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪ (d‬ﻭﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻨﻜﺘﺏ‬ ‫ﻜﺫﻟﻙ‪(d ) : 4x + 2 y − 5 = 0 :‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤ ّﻌﺭﻑ ﺒﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺘﻴﻥ‪:‬‬ ‫ﻭ )‪C (2,−1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ‬ ‫ﻭ‪C‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﻨﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪(BC‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪, M (x, y‬‬ ‫‪ M‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ) ‪ (BC‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪BM // BC :‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪BM‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻟﻨﺎ‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬‫‪B‬‬‫‪rj‬‬ ‫‪ −1 −1 ‬‬ ‫‪ y −1 ‬‬‫‪0 ir‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪BM‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪M‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ M‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ) ‪ (BC‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫(‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫‪2)‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬‫ﺃﻱ ‪4x + 5y − 3 = 0‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺃﻱ ‪= 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪(BC) : 4x + 5y − 3 = 0 :‬‬

‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ ux + ϑy + w = 0 :‬ﺤﻴﺙ ‪ w,ϑ,u‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻌﻠﻭﻤﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ u ≠ 0‬ﺃﻭ ‪:ϑ ≠ 0‬‬‫ﻟﻘﺩ ﺭﺃﻴﻨﺎ ﺃﻥ ﻜل ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻟﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ ux + ϑy + w = 0‬ﺤﻴﺙ ‪ w,ϑ, u‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫ﻤﻌﻠﻭﻤﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪ u ≠ 0 :‬ﺃﻭ ‪ϑ ≠ 0‬‬ ‫ﻨﺘﻁﺭﻕ ﺍﻵﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ‪.‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ux + ϑy + w = 0‬ﺤﻴﺙ ‪ w,ϑ, u‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻌﻠﻭﻤﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪u ≠ 0 :‬‬ ‫ﺃﻭ ‪ ϑ ≠ 0‬ﻫل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ؟‬ ‫ﻨﺴﺘﺩل ﺒﻔﺼل ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‪ :‬ﻟﻨﺎ ﺇﻤﺎ ‪ u = 0‬ﻭﺇﻤﺎ ‪ϑ = 0‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺘﺼﺒﺢ‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﻁﺭﻓﻲ‬ ‫ﻭﺒﻀﺭﺏ‬ ‫ﻤﻘﻠﻭﺏ‬ ‫ﻟﻪ‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪:ϑ‬‬ ‫≠‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻟﻤﺎ‬ ‫ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪y = ax + b‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪u x+y+ w =0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ϑϑ‬‬‫ﻭﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‪ ,‬ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ‪ ,‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ d‬ﻓﻲ) (‬ ‫‪y=−u‬‬ ‫‪−w‬‬ ‫ﻟﻤﺎ‪, x = 1‬‬ ‫‪y=−w‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪, x = 0‬‬ ‫‪y=−u‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪w‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪.ϑ‬‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪ϑ‬‬‫ﺘﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪. (d‬‬ ‫‪B1,−‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪0,−‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫ﻭ‪B‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ :‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻫﻤﺎ ﺸﻌﺎﻋﺎ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪. (d‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪)AB‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪AB1−‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪u‬‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪‬‬‫ﺍﻟﺨﻼﺼﺔ‪ :‬ﻟﻤﺎ ‪ ,ϑ ≠ 0‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﺔ ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻭﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻫﻭ‬ ‫‪Vr‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪Vr‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‬ ‫‪u‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﻤﺎ ‪:ϑ = 0‬‬ ‫ﻟﻨﺎ ‪ u ≠ 0‬ﻷﻥ ‪ u ≠ 0‬ﺃﻭ ‪ ϑ ≠ 0‬ﻴﻌﻨﻲ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ﻤﻌﺎ‬‫ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫ﻤﺤﻭﺭ‬ ‫ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل‬ ‫ﻭﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪w‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﺼﺒﺢ ‪ux + w = 0‬‬ ‫‪u‬‬ ‫ﻭ ‪ rj‬ﻫﻭ ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻭﻜﺫﻟﻙ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ urj‬ﻭﻟﻨﺎ ‪rj10‬‬

‫‪urj ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫ﺃﻥ ‪ϑ = 0‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ‬ ‫‪urj ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪u‬‬ ‫‪ ϑ‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪u‬‬‫‪Vr‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫ﻟﻬﺫﺍ‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻪ‬ ‫ﻭﺸﻌﺎﻉ‬ ‫ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﺔ ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺨﻼﺼﺔ‪ :‬ﻟﻤﺎ‬ ‫‪Vr‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪u‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻜل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ ux + ϑy + w = 0 :‬ﺤﻴﺙ ‪ w,ϑ,u‬ﺃﻋﺩﺍﺩ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻌﻠﻭﻤﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ u ≠ 0 :‬ﺃﻭ ‪ ϑ ≠ 0‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻭ‬ ‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ Vr‬ﺤﻴﺙ ‪ Vru−ϑ ‬ﻫﻭ ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ − 2ir + 3 rj‬ﻫﻭ ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‪.‬‬ ‫ﺤﺎﻻﺕ ﺨﺎﺼﺔ ﻫﺎﻤﺔ‪ ,‬ﺘﺫﻜﻴﺭ ﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = ax + b‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ d‬ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ) (‬‫ﻫﻭ‬ ‫‪Vr‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫‪1)‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪Vr‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻜﺫﻟﻙ ‪ax −1.y + b = 0‬‬ ‫ﺘﻜﺘﺏ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﻭﻫﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪(d‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x = c‬ﺤﻴﺙ ‪ c‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻌﻠﻭﻡ ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻭﻴﺸﻤل‬ ‫ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪c‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ x = 0‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = c‬ﺤﻴﺙ ‪ c‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻌﻠﻭﻡ ﺘﻜﺘﺏ ‪ 0x − 1y + c = 0‬ﻤﻨﻪ ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‪.‬‬ ‫ﻟﻬﺫﺍ‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻪ‬ ‫ﺸﻌﺎﻉ‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﺃﻱ ‪ir10‬‬ ‫‪ir‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫‪1)‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‬ ‫‪0‬‬‫ﻤﻨﻪ ‪ y = c‬ﺤﻴﺙ ‪ c‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻌﻠﻭﻡ ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻭﻴﺸﻤل ﺠﻤﻴﻊ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ ‪c‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ y = 0‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻬﺎﻤﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫ﻨﻅﺭﻴﺔ ﻭﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x = c‬ﺤﻴﺙ ‪ c‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻌﻠﻭﻡ ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻭﻴﺸﻤل‬ ‫ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪. c‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = c‬ﺤﻴﺙ ‪ c‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻌﻠﻭﻡ ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻭﻴﺸﻤل‬ ‫ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ ‪. c‬‬ ‫‪ x = 0 (3‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‪ y = 0 ,‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‪.‬‬‫‪ (4‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = ax + b‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻌﻠﻭﻤﺎﻥ ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ d‬ﻻ) (‬ ‫ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫ﻭ‪ :‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ a‬ﻴﺴﻤﻰ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪( )d‬‬‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ b‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﺩﺀ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ d‬ﻷﻥ ‪ d‬ﻴﻘﻁﻊ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻓﻲ) ( ) (‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪B(0, b‬‬ ‫‪y=c‬‬ ‫‪rj‬‬‫‪B(0,b) 0 ir‬‬‫‪y = ax + b‬‬ ‫‪x=c‬‬

‫ﺭﺴﻡ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤ ّﻌﺭﻑ ﺒﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )ﻋﻠﻰ ﻀﻭﺀ ﺃﻤﺜﻠﺔ( ‪:‬‬ ‫ﻟﻨﺭﺴﻡ ﻜﻼ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ) ‪ (D3 ), (D2 ), (D1‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫) ‪(D3‬‬ ‫ﺒ‪rj‬ﺎﻟ‪,‬ﻤ‪r‬ﻌ‪i‬ﺎ‪,‬ﺩﻟ‪0‬ﺔ ‪, y = 5‬‬ ‫) ‪ (D1‬ﻤﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ (D2 ) , x = 3‬ﻤﻌﺭﻑ‬‫ﻤﻌﺭﻑ) (‬ ‫ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 2x + 3y − 7 = 0‬ﻭﻫﺫﺍ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻟﺭﺴﻡ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻨﻌﻴﻥ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺘﻴﻥ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫‪ D1‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ 3‬ﻭﻫﻭ ﻴﺸﻤل‪ ,‬ﻤﺜﻼ‪ ,‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﻴﺙ ‪( ) ( )A 3,0‬‬ ‫ﻭ )‪B(3,1‬‬‫** ‪ D2‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ ‪ 5‬ﻭﻫﻭ ﻴﺸﻤل‪ ,‬ﻤﺜﻼ‪ ,‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ C‬ﻭ ‪( )D‬‬ ‫ﺤﻴﺙ )‪ C(−1,5‬ﻭ )‪D(1,5‬‬‫*** ﻟﺭﺴﻡ ‪ D3‬ﻤﻥ ﺍﻷﻓﻀل ﺃﻥ ﻨﻘﺩﻡ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ \"ﻤﺨﺘﺼﺭﺓ\" ﻟﻪ ﺒﺎﻟﻔﻌل ‪( )2x + 3y − 7 = 0‬‬‫ﻫﻲ ﻜﺫﻟﻙ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2x +‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2x +‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪3y = −2x + 7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ D3‬ﻭﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﻤﻥ ‪ D‬ﻨﻌﻁﻲ ﻗﻴﻤﺘﻴﻥ ﻟـ ‪ x‬ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ‪) y‬ﻤﻥ ﺍﻷﻓﻀل ﺃﻥ ﺘﺅﺨﺫ) (‬ ‫ﻗﻴﻡ ﺘﺴﻬل ﺍﻟﺭﺴﻡ(‬‫ﻟﻤﺎ ‪ y = 1, x = 2‬ﻭﻟﻤﺎ ‪ y = 3, x = −1‬ﻤﻨﻪ ) ‪ (D3‬ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ E‬ﻭ ‪ F‬ﺤﻴﺙ)‪E(2,1‬‬ ‫ﻭ )‪F (−1,3‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺸﻜل ‪( ) :‬‬ ‫••‬ ‫•‬ ‫‪D2‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫•‬ ‫‪rj‬‬ ‫•‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ir‬‬ ‫•‪A‬‬ ‫)‪(D3‬‬ ‫) ‪(D1‬‬

‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺘﻭﺍﺯﻱ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ‪:‬‬‫ﻟﺕﻜﻥ ‪ w',ϑ',u', w,ϑ,u‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ u‬ﻭ ‪ϑ‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ﻤﻌﺎ ﻭ '‪u‬‬ ‫ﻭ '‪ ϑ‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ﻤﻌﺎ ﻭﻟﻴﻜﻥ)‪ (D‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ux + ϑy + w = 0‬‬ ‫ﻭ)'‪ (D‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪u' x + ϑ' y + w'= 0‬‬ ‫ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ)‪ (D‬ﻭ)'‪ (D‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪uϑ'−ϑu'= 0‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ Vr‬ﺤﻴﺙ ‪ Vru− ϑ ‬ﻫﻭ ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)‪(D‬‬ ‫ﻭﻭﺍﺘﻟﻭﺍﺸﻌﺯﺎﻱﻉ)'‪(VDr‬ﺤﻴﻭ)ﺙ'‪'ϑ(D'‬ﻴﻌ‪u−‬ﻨ‪‬ﻲ'‪r‬ﺘﻭﺍ‪V‬ﺯﻫﻱﻭ‪Vr‬ﺸﻌﺎﻭ 'ﻉ‪r‬ﺘ‪V‬ﻭﺠﻭﻴﻪﻫﺫﻟﺍﻠﻤﻴﻌﺴﻨﺘﻘﻲﻴﻡ)'‪(D‬‬ ‫‪ (− ϑ )u'−u(−ϑ') = 0‬ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ‪uϑ'−ϑu' = 0‬‬ ‫ﻤﺜﻼ‪ :‬ﻟﻴﻜﻥ ) ‪ (D1‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪3x + 2 y − 7 = 0 :‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ) ‪ (D2‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪6x + 4 y + 1 = 0 :‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ ) ‪ (D3‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪6x + 5 y − 7 = 0 :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ 3.4 − 2.6 = 0 :‬ﻤﻨﻪ) ‪(D2 )//(D1‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪ 3.5 − 2.6 = 3:‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ 3.5 − 2.6 ≠ 0‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ) ‪ (D1‬ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ) ‪(D2‬‬ ‫ﺤﺎﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ)‪ (D‬ﻭ)'‪ (D‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﻜل ﻤﻨﻬﺎ ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ y = ax + b‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)‪ (D‬ﻭﻟﺘﻜﻥ '‪ y = a' x + b‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)'‪(D‬‬ ‫‪ ax − y + b = 0‬ﻫﻲ ﻜﺫﻟﻙ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)‪(D‬‬ ‫‪ a' x − y + b' = 0‬ﻫﻲ ﻜﺫﻟﻙ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )'‪(D‬‬ ‫ﻭﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ )‪ (D')//(D‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪a(−1) − (−1)a' = 0‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪ − a + a' = 0‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ '‪a = a‬‬ ‫ﻭﻫﻜﺫﺍ ﻟﻘﺩ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﻋﻠﻰ‬‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ‪ :‬ﺤﺘﻰ ﻴﺘﻭﺍﺯﺍ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ‪ -‬ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‪ -‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ‪:‬‬ ‫‪A(−1,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪A‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪y = 3x + 5‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ) ‪(l‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)∆( ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ‪ A‬ﻭﻴﻭﺍﺯﻱ )‪(l‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ)∆( ﻴﻭﺍﺯﻱ)‪ (l‬ﻭﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ)‪ (l‬ﻫﻭ ‪ 3‬ﻓﺈﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ)∆( ﻫﻭ ‪ 3‬ﻤﻨﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)∆(‬‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ y = 3x + b‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ∆ ﻤﻨﻪ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎ ‪ A‬ﺘﺤﻘﻘﺎﻥ ﻜل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ) (‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪= 3(−1) + b‬‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ∆(‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪b‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪:‬‬ ‫)∆(‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻌﺭﻑ ﺒﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﻟﻴﻜﻥ) ‪ (d‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪3x + 7 y − 5 = 0‬‬‫ﻭﻤﻥ ﺨﻼل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﻫﻤﺎ ﻜﺫﻟﻙ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﺎﻥ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪( )d‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪7 y = −3x + 5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬‫‪( )−‬‬‫ﻫﻭ‬ ‫‪d‬‬ ‫ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫‪7‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺃﻋﻁﻴﺕ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )م( ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪ (d‬ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬‫ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪ , (d‬ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪y = ax + b‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﺎﻓﺊ )م( ﻓﻴﻜﻭﻥ ‪ a‬ﻫﻭ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪(d‬‬

‫ﻤﻨﺤﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻌﻴﻥ ﺒﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻪ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ d‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‪( ),‬‬‫‪ a‬ﻫﻭ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ) ‪ (d‬ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ) ‪ (d‬ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)∆( ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪) y = ax‬ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ‬ ‫) ‪(d‬‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ(‬ ‫)∆(‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ﻴﺸﻤل ‪) 0‬ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ() (‬‫‪rj • A‬‬ ‫ﻭﻜﺫﻟﻙ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﺤﻴﺙ)‪ A(1, a‬ﻭ ‪OA1a ‬‬‫‪0 ir‬‬ ‫) ‪ (d‬ﻴﻭﺍﺯﻱ)∆( ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‬ ‫‪ OA‬ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪(d‬‬‫ﺇﺫﻥ‪ a ):‬ﻫﻭ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ) ‪ ( (d‬ﻴﻜﺎﻓﺊ )ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ Vr1a ‬ﻫﻭ ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪( (d‬‬ ‫ﻫﻜﺫﺍ ﻟﻘﺩ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ) ‪ (d‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‪.‬‬‫ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ‪ a‬ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪ (d‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﺍﻟﺒﻌﺸﺒﺎﻌﺭﺎﺍﺕﻉ ﺃ‪‬ﺨﺭ‪1a‬ﻯ‪ V:r‬ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪(d‬‬‫ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﺸﻌﺎﻉ ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ –ﻟﻬﺫﺍ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‪ -‬ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺒﺘﻪ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪.1‬‬

‫ﺘﻤﺭﻴﻥ‪:‬‬ ‫‪ur‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‬ ‫ﻤﻨﺤﻰ‬ ‫ﻤﻨﺤﺎﻩ‬ ‫ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪(d‬‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻪ‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل‬ ‫ﻋﻴﻥ‬ ‫‪5‬‬‫ﻓﺈﻥ ﻜل ﺸﻌﺎﻉ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ kur‬ﺤﻴﺙ ‪ k‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ) (‬ ‫‪d‬‬ ‫ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻪ‬ ‫ﺸﻌﺎﻉ‬ ‫ﻜﺎﻥ ‪ur‬‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻨﻪ‬‫ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻫﻭ ﻜﺫﻟﻙ ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ d‬ﻭﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺃﻭﻟﻰ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ 1‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ) (‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻨﻀﺭﺏ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻫﻭ ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪(d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ur‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‬ ‫ﻭﻫﻜﺫﺍ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻭﺤﺴﺏ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ur153‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻟﻨﺎ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻤﻨﺤﻰ ‪ur‬‬ ‫ﻤﻨﺤﺎﻩ‬ ‫ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫ﻜل‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻪ‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫ﻫﻭ ‪3‬‬ ‫ﺠـ‪ .‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻌﻴﻥ ﺒﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ ) ‪ A(xA , y A‬ﻭ ) ‪ B(xB , yB‬ﺤﻴﺙ ‪xB ≠ xA‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪xA‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻟﻨﺎ‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪(AB‬‬ ‫ﻭ ‪AB‬‬ ‫≠‪A‬‬ ‫ﻟﻨﺎ ‪B‬‬ ‫‪yB‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪yA‬‬‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‬ ‫ﻤﻘﻠﻭﺒﻪ(‬ ‫ﻭ)ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺃﻭﻟﻰ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ 1‬ﻨﻀﺭﺏ ‪ xB − xA‬ﻓﻲ‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪(AB‬‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻪ‬ ‫ﺸﻌﺎﻉ‬ ‫ﻜﺫﻟﻙ‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪aA‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪xA‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪.AB‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪xA‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yB‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪yA‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪xA‬‬

‫‪yB‬‬ ‫‪− yA‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ )‪(AB‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AB1yB‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪yA‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬‫‪xB‬‬ ‫‪− xA‬‬ ‫‪− xA‬‬ ‫‪ xB‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− xA ‬‬ ‫ﻫﻜﺫﺍ ﻟﻘﺩ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ ) ‪ A(xA , yA‬ﻭ ) ‪B(xB , yB‬‬‫‪yB − yA‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪(AB‬‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪xB‬‬ ‫ﻤﻊ ‪≠ xA‬‬‫‪xB − xA‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ )‪ A(1,5‬ﻭ )‪B(−7,12‬‬ ‫‪12 − 5‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪(AB‬‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻪ‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل‬ ‫)‪(−7) − (1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪(AB‬‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻪ‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪8‬‬

‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ ‫ﻓﻲ‬‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ) (‬ ‫ﻟﻸﺸﻌﺔ‬ ‫ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ‬ ‫ﺇﻟﻰ‬‫ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺴﻠﻤﻴﺔ‬ ‫‪j‬ﻫ‪r‬ﺫ‪,‬ﻩ‪ir‬ﺍﻟ‪,‬ﺘﻤ‪0‬ﺎﺭﻴﻥ‬ ‫ﺠﻤﻴﻊ‬ ‫ﻤﻌﻠﻡ‬‫ﺕ‪ :1‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ m‬ﺤﺘﻰ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ d‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪( ):‬‬‫‪ (d ) : y = 3x − 5 (1‬ﻭ )‪ (d ) : ax + y −1 = 0 (2, A(a,−2a‬ﻭ )‪(3 , A(2, a‬‬ ‫‪ (d ): y = ax + 2a‬ﻭ)‪A(a,−1‬‬ ‫ﺕ‪ :2‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ AB‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪( ):‬‬‫ﻭ )‪(4 , B(3,1‬‬ ‫)‪A(0,1‬‬ ‫‪(3,‬‬ ‫(‪B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪,−1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪A(12 ,− 13‬‬ ‫ﻭ )‪(2, B(−2,3‬‬ ‫)‪A(−1,5‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪B(−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪,0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪A(−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪,2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭ ‪Vr‬‬‫ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻪ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ‪A‬‬ ‫ﺕ‪ :3‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪(d‬‬‫ﻭ ‪,Vr = ir + rj‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,2 ‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫ﻭ ‪,Vr12‬‬ ‫ﻭ ‪A(0,5) (2 ,Vr1−1‬‬ ‫‪A(1,2) (1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Vr‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ‬ ‫(‪A‬‬ ‫‪2,3) (4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺕ‪ : 4‬ﻋﻴﻥ )ﺒﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻪ ﺍﻟﺴﻠﻤﻴﺘﻴﻥ( ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ d‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‪( ):‬‬‫‪, (d ) : x = − y + 1(3 , (d ) : y = 3x + 5 (2 , (d ) : 3x + y − 5 = 0 (1‬‬ ‫‪(d ) : y = −8 (5 , (d ) : x = 7 (4‬‬ ‫ﺕ‪ : 5‬ﻗل ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ‪ d‬ﻭ ' ‪ d‬ﺃﻥ ﻫﻤﺎ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪( ) ( ):‬‬‫‪(d ) : y = −5x + 8 (2‬‬ ‫ﻭ ‪, (d ') : 9 y − 3x + 2 = 0‬‬ ‫) ‪(d‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪3‬‬‫ﻭ ‪ (d ) : x − 7 y + 5 = 0 (3 , (d ') : y = 5x − 8‬ﻭﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ Vr124‬ﻫﻭ ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )' ‪ (d ) : y = 5x − 2 (4 , (d‬ﻭﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ)' ‪ (d‬ﻫﻭ ‪-5‬‬‫ﺕ‪ : 6‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ‪ A‬ﻭﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ d‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‪( ) ( ):‬‬

‫ﻭ )‪, A(3,0‬‬ ‫‪ (d ) : 3x + 5y −1 = 0 (1‬ﻭ )‪(d ) : y = −2x + 1 (2, A(−1,8‬‬ ‫‪ (d ) : x = 2 (3‬ﻭ )‪A(−14,10‬‬‫‪(3‬‬ ‫ﺕ‪ :7‬ﻋﻴﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ d‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪( ):‬‬ ‫‪ (d ) = ( AB) (1‬ﺤﻴﺙ )‪ A(1,1‬ﻭ )‪, (d ) : 3x + 7 y = 1(2 , B(5,2‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ∆(‬ ‫ﻴﻭﺍﺯﻱ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪(d‬‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪, (d‬‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻪ‬ ‫ﺸﻌﺎﻉ‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪Vr‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪(∆) : 3x + 8y = 5‬‬ ‫ﺕ‪ :8‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪) d‬ﺃﺸﻜﺎل ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ( ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪( ):‬‬‫‪(d ) : x = 3 (4 , (d ) : 5x + y = 0 (3 , (d ) : 3x = 2 y + 1 (2 , (d ) : x + y = 5 (1‬‬ ‫‪(d ) : y = −2 (,5‬‬ ‫ﺕ‪ :9‬ﻟﻴﻜﻥ) ‪ (d‬ﻭ )' ‪ (d‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﺤﻴﺙ‪ (d ) : y = 2x + 4 :‬ﻭ‪(d'): y = −3x −1‬‬ ‫‪ -‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ) ‪ (d‬ﻭ )' ‪ (d‬ﻟﻴﺴﺎ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ) ‪ (d‬ﻭ )' ‪(d‬‬ ‫‪ -‬ﺃﻨﺸﺊ) ‪ (d‬ﻭ )' ‪) (d‬ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﻜل(‬ ‫ﺕ‪ :10‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ E‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ M (x, y‬ﺤﻴﺙ‪y 2 = x 2 :‬‬ ‫• ﻫل ‪ E‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ؟‬ ‫• ﻋﻴﻥ )ﺒﺈﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺘﻬﺎ( ﺃﺭﺒﻌﺔ ﻨﻘﻁ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪E‬‬ ‫• ﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺔ) ‪ ( E‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺌﻬﺎ‬

‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺕ‪ A :1‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪ (d‬ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ‪ A‬ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ) ‪ (d‬ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪a = 1 :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪:‬‬ ‫ﻫﺫﻩ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪a = −1:‬‬‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪M ∈ (AB):‬‬ ‫ﺕ‪ :2‬ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ AB‬ﻓﻲ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ‪( ):‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ )‪ A(−1,5‬ﻭ )‪B(−2,3‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (AB‬ﺤﻴﺙ )‪, M (x, y‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪AM // AB‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪ M ∈ (AB) :‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪(x + 1)(−2) − ( y − 5)(−1) = 0‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪− 2x − 2 + y − 5 = 0‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪− 2x + y − 7 = 0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ − 2x + y − 7 = 0‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪(AB‬‬ ‫ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﻴﺘﻡ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻷﺨﺭﻯ‬ ‫ﺕ‪ :3‬ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ d‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ‪ A‬ﻭ ‪ Vr‬ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻪ ‪( ):‬‬‫‪AM‬‬ ‫‪// Vr‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪M‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪∈ (d ):‬‬ ‫ﺤﻴﺙ )‪, M (x, y‬‬ ‫‪(1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ )‪ A(1,2‬ﻭ ‪Vr1−1‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻤﻥ) ‪(d‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪ M ∈ (d ) :‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪(−1)( y − 2) −1(x −1) = 0‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪− y + 2 − x + 1 = 0 :‬‬

‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x + y − 3 = 0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪ x + y − 3 :‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪(d‬‬ ‫ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻷﺨﺭﻯ‪.‬‬ ‫ﺕ‪ :4‬ﻨﺭﻤﺯ ﺒـ ‪ Vr‬ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ d‬ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ‪( ):‬‬‫‪Vr‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫‪,Vr10 (4‬‬ ‫‪, Vr1− 1‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪,Vr‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪Vr‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺕ‪ (1 :5‬ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ) ‪ (d‬ﻭ )' ‪ (d‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ‬ ‫‪ (2‬ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ) ‪ (d‬ﻭ )' ‪ (d‬ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ‬ ‫‪ (3‬ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ) ‪ (d‬ﻭ )' ‪ (d‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ‬ ‫‪ (4‬ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ) ‪ (d‬ﻭ )' ‪ (d‬ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ‬ ‫ﺕ‪ :6‬ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻭﻜﺫﺍ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‬ ‫ﺕ‪ :7‬ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪( )AB‬‬ ‫‪(1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ (d ) = ( AB) :‬ﺤﻴﺙ )‪ A(1,1‬ﻭ )‪B(5,2‬‬ ‫‪yB‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪yA‬‬ ‫ﻴﺴﺎﻭﻱ‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪xA‬‬ ‫‪yB‬‬ ‫‪− yA‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪− xA‬‬ ‫ﻭ‪4‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪(d ) : 3x + 7 y = 1:‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻴﺴﺎﻭﻱ‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻪ) ‪(d‬‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) ‪(d‬‬ ‫ﻫﻭ ﺸﻌﺎﻉ‬ ‫‪Vr‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻴﺴﺎﻭﻱ‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻪ) ‪(d‬‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (4‬ﻟﺩﻴﻨﺎ) ‪ (d‬ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)∆( ﺤﻴﺙ ‪(∆) : 3x + 8 y = 5‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ )∆(‪ (d )//‬ﻓﺈﻥ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﻨﻔﺱ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻪ)∆(‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ‬ ‫ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪8‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻴﺴﺎﻭﻱ‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻪ) ‪(d‬‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺕ‪ : 8‬ﺍﻹﻨﺸﺎﺀ‪:‬‬‫‪rj‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪(1‬‬‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ir‬‬ ‫‪ir‬‬‫‪rj‬‬ ‫‪ir‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪ir‬‬ ‫‪(3‬‬‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫ﺕ‪ : 9‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ (d ) : y = 2x + 4 :‬ﻭ‪(d ') : y = −3x −1‬‬ ‫‪ (d ) (1‬ﻭ )' ‪ (d‬ﻟﻴﺴﺎ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ ﻷﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ) ‪ (d‬ﻻ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ )' ‪(d‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ) ‪ (d‬ﻭ )' ‪ (d‬ﺤﻴﺙ )‪ M (x, y‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪β = 2α + 4‬‬ ‫‪β = −3α −1‬‬ ‫‪α = −1‬‬ ‫ﻓﻨﺠﺩ ‪β = 2 :‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ )‪ (−1,2‬ﻫﻤﺎ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪M‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﻟﺭﺴﻡ‬ ‫•‬ ‫‪M • rj‬‬ ‫‪0 ir‬‬ ‫)'‪(d ) (d‬‬ ‫ﺕ‪ :10‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ E‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ M (x, y‬ﺤﻴﺙ‪y 2 = x 2 :‬‬ ‫‪ E‬ﻟﻴﺱ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ‬‫ﺒﺎﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﺠﺩ ﺒﺄﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ‪ D, C, B, A :‬ﻜل ﻤﻨﻬﺎ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ E‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫)‪D(−1,1),C(−1,−1), B(1,−1), A(1,1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪ y 2 = x 2‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪y 2 − x 2 = 0‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪(y − x)(y + x) = 0‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ y + x = 0‬ﺃﻭ ‪y − x = 0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ E‬ﻫﻲ ﺍﺘﺤﺎﺩ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ) ‪ (d‬ﻭﺍﻵﺨﺭ )' ‪(d‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ (d ) : x + y = 0 :‬ﻭ ‪(d '): x − y = 0‬‬ ‫‪rj‬‬ ‫‪ir‬‬ ‫‪0‬‬‫)' ‪(d‬‬ ‫) ‪(d‬‬

‫ﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺼﺎﺀ‬ ‫ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺘﻤﻊ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻭﺤﺩﺓ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻤﻴﺯﺓ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻭﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﻴﻴﺯ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﻴﺯﺘﻴﻥ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺘﻴﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﻭﺍﻟﻨﻭﻋﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﻴﻴﺯ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﻨﻘﻁﻊ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻤﺭ‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻓﺌﺎﺕ ﻗﻴﻡ ﻭﺤﺩﻭﺩﻫﺎ‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﻤﺭﻜﺯ ﻓﺌﺔ ﻗﻴﻡ‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺴﻌﺔ ﻓﺌﺔ ﻗﻴﻡ‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻘﻴﻤﺔ ﺃﻭ ﻟﻔﺌﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫• ﺍﻟﺩﺭﺱ ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ‬ ‫• ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬

‫• ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻷﻭل ‪:‬‬ ‫َﻋ ْﺭ ٌﺽ ﻟﻤﻭﻀﻭﻉ ‪:‬‬‫ﻴﺭﻴﺩ ﻓﺭﻴﻕ ﻤﺸﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻤﺨﺒﺭ – ﻗﺒل ﺍﻟﺘﺴﻭﻴﻕ‪ -‬ﺃﻥ ﻴﺩﺭﺱ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻠﻭﻥ ﻟﻤﻨﺘﻭﺝ ﻟﻪ ﻋﻠﻰ ﺯﺒﺎﺌﻨﻪ‪.‬‬‫ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻗﺎﻡ ﺒﺼﺒﺭ ﻟﻸﺭﺍﺀ ﻟﺩﻯ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﻠﻜﻴﻥ –ﻋﺩﺩﻫﻡ ‪ -30‬ﻴﻘﺘﺭﺡ ﺍﻟﻤﻨﺘﻭﺝ ﻓﻲ ﺃﺭﺒﻌﺔ ﺃﻟﻭﺍﻥ‪:‬‬‫ﺃﺯﺭﻕ)‪ ,(B‬ﺃﺼﻔﺭ)‪ ,(J‬ﺃﺨﻀﺭ)‪ (V‬ﻭﺃﺤﻤﺭ )‪ . (R‬ﻓﻜﺎﻨﺕ ﻗﺎﺌﻤﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫‪(1)‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪−V‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪−V‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪−‬‬ ‫;‪B‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪−B‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪−B‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪−‬‬ ‫;‪J‬‬‫; ‪ J − V − R − R − R − R − B − B − V − J‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ ,‬ﺘﻨﻅﻴﻡ ﻟﻠﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺘﺭﻜﺕ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻓﻲ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ )‪ (1‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﻨﻰ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﻅﻤﺔ ﻭﻗﺩ ﻴﻜﻭﻥ ﺨﻠل‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴل ﻭﺃﺨﺫ ﺍﻟﻘﺭﺍﺭﺍﺕ ﻭﻟﻜﻥ ﺇﺫﺍ ﻨﻅﻤﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻓﻲ ﺠﺩﻭل ﻤﺜل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻠﻭﻥ‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﻠﻜﻴﻥ‬ ‫‪J‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ‬ ‫‪20‬‬ ‫ﻟﻜﺎﻥ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺃﻜﺜﺭ ﻭﻀﻭﺡ!!!‬ ‫ﻤﻔﺭﺩﺍﺕ‬‫ﺍﻟﻤﺠﺘﻤﻊ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ﺍﻟﻤﺩﺭﻭﺱ ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﻠﻜﻴﻥ ﻭﻜل ﻋﻨﺼﺭ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻴﺴﻤﻰ ﻓﺭﺩﺍ ﺃﻭ‬ ‫ﻭﺤﺩﺓ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬‫\"ﻟﻭﻥ ﺍﻟﻤﻨﺘﻭﺝ\" ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ )ﺍﻟﻤﺩﺭﻭﺴﺔ( ﻭﻴﺴﻤﻰ ﺃﻴﻀﺎ ﺍﻟﻁﺒﻊ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ‪.‬‬ ‫ﻟﻠﻤﻴﺯﺓ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺩﺭﻭﺴﺔ ﺃﺭﺒﻊ ﻗﻴﻡ ﻭﻫﻲ‪ R, V, B, J:‬ﻭﻫﻲ ﺘﺴﻤﻰ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ‪.‬‬‫ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ \"ﻟﻭﻥ ﺍﻟﻤﻨﺘﻭﺝ\" ﺘﻌﺘﺒﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻴﺯﺍﺕ ﺍﻟﻨﻭﻋﻴﺔ ﻷﻨﻬﺎ ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻠﻘﻴﺎﺱ )ﻗﻴﻤﻬﺎ ﻟﻴﺴﺕ ﺃﻋﺩﺍﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ(‬

‫\"ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺄﺨﺫ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ J‬ﻫﻭ ‪ \"6‬ﻭﻨﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ \"ﻫﺫﺍ\" ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪ 6\" :‬ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ‪\"J‬‬ ‫ﻭﺒﺼﻔﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ ‪ :‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ‪ B‬ﻫﻭ ‪,11‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ‪ V‬ﻫﻭ ‪,5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ‪ R‬ﻫﻭ ‪8‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ )‪ (R,8), (V ,5), (B,11), (J ,6‬ﺘﻠﺨﺹ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﻫﻲ ﺘﺴﻤﻰ‪ :‬ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‬ ‫ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ‬ ‫** ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪:‬‬ ‫ﻋﺭﺽ ﻟﻤﻭﻀﻭﻉ ‪:‬‬‫ﺘﻭﺠﺩ ﻓﻲ ﻋﻤﺎﺭﺓ ‪ 16‬ﺸﻘﺔ – ﺭﺼﺩ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻐﺭﻑ ﻓﻲ ﻜل ﺸﻘﺔ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺸﻘﻕ ﺃﺼﻔﺭ ﻋﻠﻰ ﻗﺎﺌﻤﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫;‪4 − 5 − 3 − 5 − 3 − 3 − 4 − 2‬‬ ‫‪3 − 3 − 2 − 3 − 5 − 5 − 3 − 3.‬‬ ‫ﺘﻨﻅﻴﻡ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ‪:‬‬ ‫ﺘﻨﻅﻡ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻓﻲ ﺠﺩﻭل ﻤﺜل ‪:‬‬‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻐﺭﻑ‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺸﻘﻕ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ‬ ‫ﺍﻟﻤﻔﺭﺩﺍﺕ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺘﻤﻊ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺸﻘﻕ ﻭﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﺃﻭ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﺸﻘﻕ‬ ‫\"ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻐﺭﻑ\" ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ )ﺃﻭ ﺍﻟﻁﺒﻊ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ(‬ ‫ﻟﻠﻤﻴﺯﺓ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺃﺭﺒﻌﺔ ﻗﻴﻡ ﻭﻫﻲ‪ 5 ,4 ,3 ,2 :‬ﻭﻫﻲ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ‬‫ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ \"ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻐﺭﻑ\" ﺘﻌﺘﺒﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻴﺯﺍﺕ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﻷﻨﻬﺎ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻠﻘﻴﺎﺱ )ﻗﻴﻤﻬﺎ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ( ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل‪ ,‬ﻗﻴﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﻤﺭﺘﺒﺔ ﺘﺼﺎﻋﺩﻴﺎ‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ‪ 2‬ﻫﻭ‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ‪ 3‬ﻫﻭ ‪8‬‬

‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ‪ 4‬ﻫﻭ ‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ‪ 5‬ﻫﻭ ‪4‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ‪ (5,4) ,(4,2) ,(3,8) ,(2,2) :‬ﺘﻠﺨﺹ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﻫﻲ ﺘﺴﻤﻰ‪ :‬ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ‬ ‫*** ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪:‬‬ ‫ﻋﺭﺽ ﻟﻤﻭﻀﻭﻉ ‪:‬‬‫ﻗﺼﺩ ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ﺼﻼﺒﺔ ﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺘﺎﺩ‪ ,‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﻤﺩﺓ ﺍﻟﺘﺸﻐﻴل ﺍﻟﺠﻴﺩ ﻟـ ‪ 500‬ﺁﻟﺔ ﻜﻠﻬﺎ ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺔ )ﺍﻟﻤﺩﺓ ﻤﻘﺩﺭﺓ‬ ‫ﺒﺎﻟﺴﻨﻭﺍﺕ(‪ ,‬ﺃﺼﻔﺭﺕ ﻋﻠﻰ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ 0‬ﺇﻟﻰ ‪ 3‬ﺴﻨﻭﺍﺕ‪ 76 :‬ﺁﻟﺔ‬ ‫ﻤﻥ ‪ 3‬ﺇﻟﻰ ‪ 6‬ﺴﻨﻭﺍﺕ‪ 294 :‬ﺁﻟﺔ‬ ‫ﻤﻥ ‪ 6‬ﺇﻟﻰ ‪ 9‬ﺴﻨﻭﺍﺕ‪ 115 :‬ﺁﻟﺔ‬ ‫ﻤﻥ ‪ 9‬ﺇﻟﻰ ‪ 12‬ﺴﻨﻭﺍﺕ‪ 15 :‬ﺁﻟﺔ‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﺍﺼﻁﻼﺡ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﻋﻠﻡ ﺍﻹﺤﺼﺎﺀ‪ ,‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ‪ b > a :‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻗﻴﻡ ﺃﻨﻬﺎ \"ﻤﻥ ‪a‬‬‫ﺇﻟﻰ ‪ \" b‬ﺃﻭ \"ﺒﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ \" b‬ﻨﻘﺼﺩ ﺇﺼﻁﻼﺤﺎ ﺃﻥ \"ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ \" a, b‬ﻭﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ [ [ [a, b‬‬ ‫ﻴﺴﻤﻰ ﻓﺌﺔ‬ ‫ﺘﻨﻅﻴﻡ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻨﻅﻡ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻓﻲ ﺠﺩﻭل ﻤﺜل ‪:‬‬‫ﻓﺌﺔ ﺍﻟﻤﺩﺓ )ﺒﺎﻟﺴﻨﻭﺍﺕ(‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻵﻻﺕ‬ ‫‪76‬‬ ‫[‪[0,3‬‬ ‫[‪[3,6‬‬ ‫‪294‬‬ ‫[‪[6,9‬‬ ‫[‪[9,12‬‬ ‫‪115‬‬ ‫‪15‬‬‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ‬ ‫‪500‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻔﺭﺩﺍﺕ ‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﺠﺘﻤﻊ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻵﻻﺕ ﻭﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻫﻲ ﺍﻵﻻﺕ\" ﻤﺩﺓ ﺍﻟﺘﺸﻐﻴل ﺍﻟﺠﻴﺩ \" ﻫﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ )ﺃﻭ ﺍﻟﻁﺒﻊ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ(‬‫ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ \"ﻤﺩﺓ ﺍﻟﺘﺸﻐﻴل ﺍﻟﺠﻴﺩ )ﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﺴﻨﻭﺍﺕ( \"ﻫﻲ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ [0,12‬‬‫ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ \"ﻤﺩﺓ ﺍﻟﺘﺸﻐﻴل ﺍﻟﺠﻴﺩ\" ﺘﻌﺘﺒﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻴﺯﺍﺕ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﻷﻨﻬﺎ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻠﻘﻴﺎﺱ )ﻗﻴﻤﻬﺎ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ(‪.‬‬

‫ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ \"ﻤﺩﺓ ﺍﻟﺘﺸﻐﻴل ﺍﻟﺠﻴﺩ )ﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﺴﻨﻭﺍﺕ( \" ﻤﺼﻔﺔ ﺤﺴﺏ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ‪ [9,12[,[6,9[,[3,6[,[0,3[:‬ﻭ‪:‬‬ ‫ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﻴﺴﻤﻰ ﻓﺌﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﺩﻨﻰ ﻟﻠﻔﺌﺔ ‪ 0,3‬ﻫﻭ ‪ 0‬ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻫﻭ ‪[ [3‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﺩﻨﻰ ﻟﻠﻔﺌﺔ ‪ 3,6‬ﻫﻭ ‪ 3‬ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻫﻭ ‪[ [6‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﺩﻨﻰ ﻟﻠﻔﺌﺔ ‪ 6,9‬ﻫﻭ ‪ 6‬ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻫﻭ ‪[ [9‬‬‫ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﺩﻨﻰ ﻟﻠﻔﺌﺔ ‪ 9,12‬ﻫﻭ ‪ 9‬ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻫﻭ ‪[ [12‬‬‫ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻤﺭﺘﺒﺔ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﺘﺼﺎﻋﺩﻱ ﻟﻠﺤﺩﻭﺩ ﺍﻷﺩﻨﻰ‬‫ﺃﻱ‪1,5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0+3‬‬ ‫[‪[0,3‬‬ ‫ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻔﺌﺔ‬ ‫ﺃﻱ ﻫﻭ ‪2‬‬ ‫ﻫﻭ ‪2‬‬‫ﺃﻱ ‪4,5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫[‪[3,6‬‬ ‫ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻔﺌﺔ‬ ‫ﺃﻱ ﻫﻭ ‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫‪7,5‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪15‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫[‪[6,9‬‬ ‫ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻔﺌﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫ﺃﻱ ‪10,5‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪+ 12‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫[‪[9,12‬‬ ‫ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻔﺌﺔ‬ ‫ﺃﻱ ﻫﻭ ‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫ﻁﻭل ﻓﺌﺔ ﻫﻭ ﻨﺎﺘﺞ ﺍﻟﻁﺭﺡ )ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﺴﻔل – ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻋﻠﻰ( – ﻭﻫﻭ ﻤﻭﺠﺏ‪ -‬ﻭﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﻟﺠﻤﻴﻊ‬ ‫ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﻭل ﻭﻫﻭ ‪ 3‬ﻷﻥ‬ ‫‪3 = 12 − 9 = 9 − 6 = 6 − 3 = 3 − 0‬‬ ‫ﻁﻭل ﻓﺌﺔ ﻴﺴﻤﻰ ﻜﺫﻟﻙ ﺴﻌﺔ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﻭﻴﺴﻤﻰ ﻜﺫﻟﻙ ﻤﺩﻯ ﺍﻟﻔﺌﺔ‬‫\"ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺄﺨﺫ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﻗﻴﻤﺎ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻔﺌﺔ ‪ 0,3‬ﻫﻭ ‪ \"76‬ﻭﻨﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ \"ﻫﺫﺍ\" ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪[ [:‬‬ ‫\" ‪ 76‬ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻠﻔﺌﺔ ‪[ [\" 0,3‬‬ ‫ﻭﺒﺼﻔﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ ‪ :‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻠﻔﺌﺔ ‪ 3,6‬ﻫﻭ ‪[ [294‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻠﻔﺌﺔ ‪ 6,9‬ﻫﻭ ‪[ [115‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻠﻔﺌﺔ ‪ 9,12‬ﻫﻭ ‪[ [15‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ)‪ ([9,12[,15), ([6,9[,115), ([3,6[,294), ([0,3[,76‬ﺘﻠﺨﺹ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ‬‫ﻭﻫﻲ ﺘﺴﻤﻰ‪ :‬ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ‪.‬‬‫**** ﻋﻭﺩﺓ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻭﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺜﺎﻟﻴﻥ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻭﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪ ,‬ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺩﺭﻭﺴﺔ ﻫﻲ \"‬ ‫ﻤﻴﺯﺓ ﻜﻤﻴﺔ \"‬

‫ﻜل ﻤﻴﺯﺓ ﻜﻤﻴﺔ ﺘﺴﻤﻰ ﺃﻴﻀﺎ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺎ‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺭﻏﻡ ﺃﻥ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 2,5‬ﻓﺈﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ \"ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻐﺭﻑ\" ﻻ ﻴﻤﻜﻨﻬﺎ] [‬‫ﺃﻥ ﺘﺄﺨﺫ ﺃﻱ ﻗﻴﻤﺔ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ \" 2,5‬ﻓﻤﺜﻼ ‪ 3,75‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 2,5‬ﻭﻟﻜﻥ ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﻟﻌﺩﺩ] [ ] [‬ ‫ﻏﺭﻑ ﺸﻘﺔ ﺃﻥ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪(!!!) 3,75‬‬ ‫▲ﻓﻲ ﻤﺜل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﻤﻌﺯﻭﻟﺔ ﻭﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺘﺴﻤﻰ \" ﻤﺘﻐﻴﺭﺍ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺎ ﻤﻨﻘﻁﻌﺎ \"‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﻟﻠﻤﻴﺯﺓ \"ﻤﺩﺓ\" ﺃﻥ ﺘﺄﺨﺫ ﺃﻱ ﻗﻴﻤﺔ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪) 0,12‬ﻓﻤﺜل‪ :‬ﻤﺩﺓ – ﻤﻘﺩﺭﺓ[ [‬ ‫ﺒﺎﻟﺴﻨﻭﺍﺕ ‪ -‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ 0,25‬ﻫﻲ ﻤﺩﺓ ‪ 3‬ﺃﺸﻬﺭ(‬ ‫▲ ﻓﻲ ﻤﺜل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪ ,‬ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺘﺴﻤﻰ \"ﻤﺘﻐﻴﺭﺍ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺎ ﻤﺴﺘﻤﺭﺍ\"‬

‫• ﺍﻟﺩﺭﺱ ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ‪ :‬ﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺼﺎﺀ‪ ,‬ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‬ ‫ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﺍﻟﻤﺠﺘﻤﻊ‪ ,‬ﺍﻟﻔﺭﺩ‪ ,‬ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﻜل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻨﺎﺼﺭ ﺘﺩﺭﺱ ﻤﻥ ﻭﺠﻬﺔ ﻨﻅﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺘﺴﻤﻰ ﻤﺠﺘﻤﻌﺎ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺎ‬ ‫ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ﻤﻥ ﻤﺠﺘﻤﻊ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﻴﺴﻤﻰ ﻓﺭﺩﺍ ﺃﻭ ﻭﺤﺩﺓ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬ ‫ﻜل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﺯﺌﻴﺔ ﻤﻥ ﻤﺠﺘﻤﻊ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﺘﺴﻤﻰ ﻋﻴﻨﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬ ‫ﺍ‬ ‫‪ 2‬ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‪ ,‬ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﻤﻴﺯﺓ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ )ﺃﻭ ﻁﺒﻌﺎ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺎ( ﻜل ﺨﺎﺼﺔ ﺘﺩﺭﺱ ﻓﻲ ﻤﺠﺘﻤﻊ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ‬ ‫ﻗﻴﻡ ﻤﻴﺯﺓ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﻟﻠﻤﻴﺯﺓ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻋﻠﻴﻬﺎ‬ ‫‪ 3‬ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ‪ ,‬ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻟﻨﻭﻋﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻴﺯﺓ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻜﻤﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻠﻘﻴﺎﺱ )ﻗﻴﻤﻬﺎ ﺃﻋﺩﺍﺩ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ –ﻤﺘﺒﻭﻋﺔ ﺒﻭﺤﺩﺓ ﻗﻴﺎﺱ(‪.‬‬ ‫ﻤﻴﺯﺓ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻨﻭﻋﻴﺔ ﻫﻲ ﻤﻴﺯﺓ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻠﻘﻴﺎﺱ‪.‬‬

‫‪ 4‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ‪ ,‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ﺍﻟﻤﻨﻘﻁﻊ‪ ,‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻤﺭ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻜل ﻤﻴﺯﺓ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻜﻤﻴﺔ ﺘﺴﻤﻰ ﺃﻴﻀﺎ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺎ‬‫ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ﺍﻟﻤﻨﻘﻁﻊ ﻫﻭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺄﺨﺫ ﻗﻴﻡ ﻤﻌﺯﻭﻟﺔ )ﻻ ﻴﻤﻜﻨﻪ ﺃﻥ ﻴﺄﺨﺫ ﺃﻴﺔ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻤﺠﺎل ﻤﻥ ‪( R‬‬‫ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻤﺭ ﻫﻭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﻜﻨﻪ ﺃﻥ ﻴﺄﺨﺫ ﺃﻴﺔ ﻗﻴﻤﺔ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻤﺠﺎل‬ ‫ﻤﻥ ‪R‬‬‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‪ (1:‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﺩﺭﺱ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ \" ﺠﻨﺴﻴﺔ \" ﻓﻲ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻭﺍﺡ‪ ,‬ﻤﺜﻼ – ﻓﺈﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ﻫﻲ ﻤﻴﺯﺓ‬ ‫ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻨﻭﻋﻴﺔ‪.‬‬‫‪ (2‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﺩﺭﺱ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ \"ﻋﻼﻤﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻤﺩﻭﺭﺓ ﺇﻟﻰ ﻨﺼﻑ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﻋﻠﻰ\" – ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻼﻤﻴﺫ‬ ‫ﻗﺴﻡ‪ ,‬ﻤﺜﻼ –ﻓﺈﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ﻫﻲ ﻤﻴﺯﺓ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻜﻤﻴﺔ ﻭﻫﻲ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﻤﻨﻘﻁﻊ‬‫‪ (3‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﺩﺭﺱ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ \" ﻤﺴﺎﺤﺔ \" – ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺃﺠﺯﺍﺀ ﻗﻁﻌﺔ ﺃﺭﺽ‪ ,‬ﻤﺜﻼ – ﻓﺈﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ﻫﻲ‬ ‫ﻤﻴﺯﺓ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻜﻤﻴﺔ ﻭﻫﻲ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭ‪.‬‬ ‫‪ .5‬ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ ‪ :‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻴﺯﺓ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻜﻤﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ,‬ﺍﺼﻁﻼﺡ ‪:‬‬‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ﻜﺜﻴﺭﺓ‪ ,‬ﺘﺼﻨﻑ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺤﺴﺏ ﻤﺠﺎﻻﺕ ‪ -‬ﻤﻥ ‪ - R‬ﻤﻥ‬‫ﺍﻟﺸﻜل [‪ [a, b‬ﺒﺤﻴﺙ‪ ,‬ﺇﺫﺍ ﺭﺘﺒﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﺘﺼﺎﻋﺩﻱ ﻟﻠﺤﺩ ﺍﻷﺴﻔل‪ ,‬ﺍﻟﺤﺩ‬‫ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻟﻜل ﻤﺠﺎل ﻫﻭ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﺴﻔل ﻟﻠﻤﺠﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ‪ ,‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﺘﺴﻤﻰ‬ ‫ﻓﺌﺔ‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ[‪ (b > a) [a,b‬ﻓﺌﺔ‪:‬‬‫‪ a‬ﻫﻭ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﺩﻨﻰ )ﺃﻭ ﺍﻷﺴﻔل( ﻟﻠﻔﺌﺔ [‪ [a,b‬ﻭ ‪ b‬ﻫﻭ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻋﻠﻰ )ﺃﻭ ﺍﻷﻜﺒﺭ(‬‫)‪ (b − a‬ﻫﻭ ﻁﻭل )ﺃﻭ ﺴﻌﺔ ﺃﻭ ﻤﺩﻯ( ﺍﻟﻔﺌﺔ [‪[a,b‬‬‫[‪[a, b‬‬ ‫ﻫﻭ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻔﺌﺔ‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .6‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻘﻴﻤﺔ ﺃﻭ ﻟﻔﺌﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﻤﻴﺯﺓ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻨﻭﻋﻴﺔ ﺃﻭ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﺤﻴﺙ ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻌﺘﺒﺭ ﻜل ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻨﻔﺭﺩﺓ )ﺍﻟﻘﻴﻡ‬‫ﻟﻴﺴﺕ ﻤﺼﻨﻔﺔ ﺤﺴﺏ ﻓﺌﺎﺕ!( ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻘﻴﻤﺔ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺄﺨﺫ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ )ﺃﻱ‬‫ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺸﻬﺩﺕ ﻓﻴﻬﺎ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ( ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻤﺼﻨﻔﺔ ﺤﺴﺏ ﻓﺌﺎﺕ‪,‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻔﺌﺔ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺄﺨﺫ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ﻗﻴﻤﺎ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺌﺔ )ﺃﻱ ﻫﻭ‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺸﻬﺩﺕ ﻓﻴﻬﺎ ﻗﻴﻤﺎ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺌﺔ(‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻴﺴﻤﻰ ﺃﻴﻀﺎ ﺘﻜﺭﺍﺭﺍ ﺃﻭ ﺤﺼﻴﺼﺎ‬ ‫‪ .7‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻴﺯﺓ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻨﻭﻋﻴﺔ ﺃﻭ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﻗﻴﻤﻪ ﻟﻴﺴﺕ ﻤﺼﻨﻔﺔ ﺤﺴﺏ‬ ‫ﻓﺌﺎﺕ‪.‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ x1, x2 ,....., x p‬ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﻭﻜﺎﻨﺕ ‪ n1, n2 ,......., n p‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻡ‪,‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻓﺈﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ ) ‪ (x1, n1 ), (x2 , n2 ),......, (x p , n p‬ﺘﻠﺨﺹ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﻫﻲ ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ‬ ‫* ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻤﺼﻨﻔﺔ ﺤﺴﺏ‬ ‫ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ‪ [a1, a2 [,[a2 , a3 [,....., a p , a p+1‬ﻭﻜﺎﻨﺕ ‪ n1, n2 ,......., n p‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ[ [‬ ‫ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ ,‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬‫ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ ‪ ([a1, a2 [, n1 ), ([a2 , a3[, n2 ),......., a p , a p+1 , np‬ﺘﻠﺨﺹ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ) [ [(‬ ‫ﻭﻫﻲ ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭ‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﻴﺭﻤﺯ ﺒـ‪ x1, x2 ,....., x p :‬ﻭﺒـ‪ n1, n2 ,......., n p :‬ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬

‫‪ .8‬ﺍﻟﺠﺩﺍﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺠﺩﺍﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻫﻲ ﺠﺩﺍﻭل ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﻠﺨﻴﺹ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ‬‫ﺒﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻭﺘﻜﻭﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺠﺩﺍﻭل ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻠﺘﻤﺩﻴﺩ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻤﻜﻥ ﺇﻀﺎﻓﺔ ﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ‬ ‫ﺃﺨﺭﻯ‪ ,‬ﻭﺘﻜﻭﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺠﺩﺍﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﺍﻷﻭل ﺘﻜﺘﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ )ﺃﻭ ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ( ﻭﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻴﺯﺓ ﻜﻤﻴﺔ‪ :‬ﺘﺭﺘﺏ‬‫ﺍﻟﻘﻴﻡ )ﺃﻭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﺴﻔﻠﻰ ﻟﻠﻔﺌﺎﺕ( ﺘﺼﺎﻋﺩﻴﺎ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻨﺤﻭ ﺍﻷﺴﻔل ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬‫ﺘﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﻘﻴﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ )ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺒﺩﻴل ﺩﻭﺭ ﺍﻷﻋﻤﺩﺓ ﺒﺩﻭﺭ‬ ‫ﺍﻷﺴﻁﺭ ﻭﺩﻭﺭ ﺍﻷﺴﻁﺭ ﺒﺩﻭﺭ ﺍﻷﻋﻤﺩﺓ(‬ ‫ﻤﺜﺎﻻﻥ‪ (1:‬ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ﻴﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ‪:‬‬ ‫)‪ (1,3), (1.5,2), (2,5), (3.7,2), (5.25,1‬ﺃﻱ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ )ﻓﻲ ﺼﻭﺭﺓ ﺨﺎﻡ(‬ ‫;‪1 −1 −1 −1.5 −1.5 − 2 − 2 − 2 − 2 − 2‬‬ ‫‪3.7 − 3.7 − 5.25‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻡ ) ‪(xi‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ) ‪(ni‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3.7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5.25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ‬ ‫‪ .2‬ﺍﻟﺠﺩﻭل‪:‬‬‫ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫[‪[2,4‬‬ ‫[‪[4,8‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ [‪[8,10[ [10,14‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7 11 4 24‬‬

‫ﻴﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ‪:‬‬ ‫)‪([2,4[,2), ([4,8[,7), ([8,10[,11), ([10,14[,4‬‬ ‫ﺃﻱ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟﺨﺎﻡ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ 2‬ﺇﻟﻰ ‪ : 4‬ﻓﺭﺩﺍﻥ‬ ‫ﻤﻥ ‪ 4‬ﺇﻟﻰ ‪ 7 : 8‬ﺃﻓﺭﺍﺩ‬ ‫ﻤﻥ ‪ 8‬ﺇﻟﻰ ‪ 11 :10‬ﻓﺭﺩﺍ‬ ‫ﻤﻥ ‪ 10‬ﺇﻟﻰ ‪ 4 :14‬ﺃﻓﺭﺍﺩ‬ ‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺇﻀﺎﻓﺔ‪ ,‬ﻤﺜﻼ‪ ,‬ﺴﻁﺭ ﻴﻌﻁﻲ ﻤﺭﺍﻜﺯ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻭﺴﻁﺭ ﻴﻌﻁﻲ ﺃﻁﻭﺍل ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‪.‬‬ ‫‪ .9‬ﻤﺩﻯ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻤﺩﻯ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﻨﺎﺘﺞ‬ ‫ﺍﻟﻁﺭﺡ )ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ( – )ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ( ﻤﻊ‬ ‫ﺍﻻﺼﻁﻼﺡ ﺃﻥ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻗﻴﻡ ﻤﺼﻨﻔﺔ ﺤﺴﺏ ﻓﺌﺎﺕ ﻓﺈﻥ ﻤﺩﻯ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﻨﺎﺘﺞ ﺍﻟﻁﺭﺡ )ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﺴﻔل ﻷﻭل ﻓﺌﺔ( – )ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻵﺨﺭ‬ ‫ﻓﺌﺔ( )ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻤﺭﺘﺒﺔ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﺘﺼﺎﻋﺩﻱ ﻟﻠﺤﺩﻭﺩ ﺍﻷﺩﻨﻰ(‬ ‫ﻤﺜﻼ ‪:‬‬‫ﻤﺩﻯ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﺎﻟﺠﺩﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻷﻭل ﺍﻟﻭﺍﺭﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻫﻭ ‪ 5.25-1‬ﻭﻫﻭ‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪4.25‬‬‫ﻤﺩﻯ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﺎﻟﺠﺩﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻫﻭ ‪ 14-2‬ﻭﻫﻭ ‪.12‬‬

‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺕ‪ :1‬ﺴﺠﻠﺕ ﺍﻷﻋﻤﺎﺭ –ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﺴﻨﻭﺍﺕ‪ -‬ﻟﻠﺘﻼﻤﻴﺫ ﺍﻟﻤﻨﺨﺭﻁﻴﻥ ﻓﻲ ﻤﻜﺘﺒﺔ ﻓﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫;‪15 −15 −16 −15 −17 −17 −17 −16 −15 −14 −15 −16 −16.5 −15.5‬‬ ‫‪15.5 −16.5 −16 −17.5 −17 −18 −18 −16 −16 −16 −16 −16.5 −17‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﺘﻤﻊ ؟‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺩﺭﻭﺴﺔ ؟ ﻫل ﻫﻲ ﻜﻤﻴﺔ ﺃﻭ ﻨﻭﻋﻴﺔ ؟‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ ﺠﺩﻭﻻ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺎ ﻴﻤﺜل ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬ ‫ﺕ‪ : 2‬ﺍﻫﺘﻤﺕ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻜل ﻤﻨﺯل ﻤﻥ ﻤﻨﺎﺯل ﺤﻲ ﻭﻋﺩﺩﻫﺎ ‪ 32‬ﻓﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫;‪SO − N − S − S − S − SO − NO − N − S − S − N − NO − SE − SE − N‬‬‫‪S − SO − N − S − S − S − SO − N − S − NO − SE − S − SE − NO − N − S.‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ S‬ﻴﺸﻴﺭ ﺇﻟﻰ ﺠﻨﻭﺏ‪ N ,‬ﻴﺸﻴﺭ ﺇﻟﻰ ﺸﻤﺎل‪ SO ,‬ﻴﺸﻴﺭ ﺇﻟﻰ ﺠﻨﻭﺏ‪-‬ﻏﺭﺏ‪ SE ,‬ﻴﺸﻴﺭ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺠﻨﻭﺏ‪ -‬ﺸﺭﻕ ﻭ ‪ NO‬ﻴﺸﻴﺭ ﺇﻟﻰ ﺸﻤﺎل‪ -‬ﻏﺭﺏ‪.‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﺘﻤﻊ ؟‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺩﺭﻭﺴﺔ ﻭﻤﺎ ﻨﻭﻋﻬﺎ ؟‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ ﺠﺩﻭﻻ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺎ ﻴﻤﺜل ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬‫ﺕ‪ : 3‬ﺃﺫﻜﺭ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﻜل ﻤﻴﺯﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻴﺯﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻭﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﺃﺫﻜﺭ ﻨﻭﻋﻪ)ﻤﻨﻘﻁﻊ ﺃﻭ ﻤﺴﺘﻤﺭ(‬ ‫ﻭﺯﻥ ﺘﻼﻤﻴﺫ ﺜﺎﻨﻭﻴﺔ ﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻭﻻﺩ ﻟﻜل ﻋﺎﺌﻠﺔ ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻋﺎﺌﻼﺕ‬ ‫ﻋﻤﺭ ﻋﻤﺎل ﻤﺅﺴﺴﺔ ﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻓﻼﺕ ﻓﻲ ﻜل ﺒﻠﺩﻴﺔ ﻤﻥ ﺒﻠﺩﻴﺎﺕ ﻭﻻﻴﺔ ﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻀﻠﻌﺎﺕ‬

‫ﺕ‪ : 4‬ﻓﻲ ﺍﻤﺘﺤﺎﻥ‪ ,‬ﺴﺠﻠﺕ ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ ﻟـ ‪ 80‬ﻤﺘﺭﺸﺤﺎ ﻓﻜﺎﻨﺕ ﻗﺎﺌﻤﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫;‪17 − 7 − 4 − 12 − 14 − 7 − 12 − 13 − 9 − 7 − 3 − 11 − 12 − 18 − 11 − 18‬‬ ‫;‪14 − 6 − 7 − 15 − 8 − 17 − 13 − 19 − 3 − 5 − 9 − 3 − 7 − 13 − 13 − 15‬‬ ‫;‪2 − 12 − 10 − 2 − 16 − 5 − 7 − 16 − 5 − 11 − 13 − 8 − 16 − 5 − 6 − 9‬‬ ‫;‪10 − 10 − 13 − 7 − 17 − 4 − 7 − 11 − 8 − 8 − 7 − 9 − 15 − 6 − 5 − 7‬‬ ‫‪7 − 6 − 6 − 7 − 13 − 2 − 7 − 6 − 11 − 7 − 5 − 7 − 12 − 2 − 2 − 7.‬‬ ‫ﻭﻓﻲ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﻤﺘﺤﺎﻥ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ ﻤﺩﻭﺭﺓ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﺘﻤﻊ ؟‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ ﺠﺩﻭﻻ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺎ ﻴﻤﺜل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ‬‫ﺼﻨﻑ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺤﺴﺏ ﻓﺌﺎﺕ ﻁﻭل ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻨﻬﺎ ‪ 3‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ﺠﺩﻭﻻ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺎ ﻴﻤﺜل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻭﺤﻴﺙ‬ ‫ﻴﻭﻀﺢ ﻤﺭﻜﺯ ﻜل ﻓﺌﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ ﻭﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﻨﺎﺯل‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻭ ﺍﺘﺭ ﻟﻘﻴﻤﺔ ﺃﻭ ﻟﻔﺌﺔ‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﻟﻘﻴﻤﺔ ﺃﻭ ﻟﻔﺌﺔ‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﻨﺎﺯل ﻟﻘﻴﻤﺔ ﺃﻭ ﻟﻔﺌﺔ‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻭﺍ ﺘﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﻟﻘﻴﻤﺔ ﺃﻭ ﻟﻔﺌﺔ‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻭﺍ ﺘﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﻨﺎﺯل ﻟﻘﻴﻤﺔ ﺃﻭ ﻟﻔﺌﺔ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﻨﺸﺎﻁ ﺘﻤﻬﻴﺩﻱ‬ ‫• ﺍﻟﺩﺭﺱ ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ ﺤﻭل ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻤﻌﺔ‬ ‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‬

‫• ﻨﺸﺎﻁ ﺘﻤﻬﻴﺩﻱ ‪:‬‬‫ﻟﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ – ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻌﻼﻤﺎﺕ ﻓﻲ ﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﻗﺴﻡ‪ ,‬ﻭﻋﺩﺩﻫﻡ ‪- 32‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﺎﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ ) ‪(xi‬‬ ‫‪2.5 5 7 8 9.5 11 13 14 17‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ‬‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ) ‪(ni‬‬ ‫‪1 224 7 6 5 3 2‬‬ ‫‪32‬‬ ‫ﻗﺼﺩ ﺘﻘﻴﻴﻡ ﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻘﺴﻡ‪ ,‬ﻗﺩ ﻴﻁﺭﺡ ﻋﻠﻰ ﺃﺴﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﺍﻟﺴﺅﺍل‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﺍﻟﺫﻴﻥ ﺘﺤﺼﻠﻭﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ ‪ 11‬؟‬ ‫ﻓﻴﺠﻴﺏ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ‪6 :‬‬ ‫ﻓﻴﻁﺭﺡ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪ 6‬ﻋﻠﻰ ﻜﻡ ؟‬‫ﺃﻱ‪18,75%‬‬ ‫‪18,75‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫ﺃﻱ‪0,1875‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻴﻤﺜل‬ ‫‪ 32‬ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫‪ 6‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻓﻴﺠﻴﺏ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ‬ ‫‪100‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ‪32‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ‪11‬‬ ‫▲ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ‪ 11‬ﻫﻭ ‪6‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍ ﺘﺭ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ‪ 11‬ﻭﻫﻭ‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭ ‪32‬‬‫‪ (2‬ﺩﺍﺌﻤﺎ ﻗﺼﺩ ﺘﻘﻴﻴﻡ ﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻘﺴﻡ‪ ,‬ﻗﺩ ﻴﻁﺭﺡ ﻋﻠﻰ ﺃﺴﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪ :‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﺍﻟﺫﻴﻥ‬ ‫ﺘﺤﺼﻠﻭﺍ ﻋﻠﻰ ﻋﻼﻤﺔ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ‪ 11‬ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ 11‬؟‬ ‫ﻓﻴﺠﻴﺏ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ‪6+7+4+2+2+1 :‬‬‫ﺇﺫﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﺍﻟﺫﻴﻥ ﺘﺤﺼﻠﻭﺍ ﻋﻠﻰ ﻋﻼﻤﺔ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ‪ 11‬ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ – 11‬ﻫﻭ‪ 22‬ﻭﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻉ‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻟﻠﻘﻴﻡ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪11‬‬ ‫ﻭﻫﻭ ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ‪11‬‬‫‪ (3‬ﺩﺍﺌﻤﺎ ﻗﺼﺩ ﺘﻘﻴﻴﻡ ﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻘﺴﻡ‪ ,‬ﻗﺩ ﻴﻁﺭﺡ ﻋﻠﻰ ﺃﺴﺘﺎﺫ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪ :‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﺍﻟﺫﻴﻥ‬ ‫ﺘﺤﺼﻠﻭﺍ ﻋﻠﻰ ﻋﻼﻤﺔ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪ 11‬ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ 11‬؟‬ ‫ﻓﻴﺠﻴﺏ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ‪6+5+3+2 :‬‬

‫ﺇﺫﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﺍﻟﺫﻴﻥ ﺘﺤﺼﻠﻭﺍ ﻋﻠﻰ ﻋﻼﻤﺔ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪ 11‬ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ 11‬ﻫﻭ ‪ 16‬ﻭﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻉ‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻟﻠﻘﻴﻡ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪11‬‬ ‫ﻭﻫﻭ ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﻨﺎﺯل ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ‪11‬‬

‫• ﺍﻟﺩﺭﺱ ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ ﺤﻭل ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻤﻌﺔ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ ﻟﻘﻴﻤﺔ ﺃﻭ ﻟﻔﺌﺔ ﻗﻴﻡ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻘﻴﻤﺔ – ﺃﻭ ﻟﻔﺌﺔ ﻗﻴﻡ‪ -‬ﻫﻭ ﺘﻌﺭﻴﻔﺎ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ – ﺃﻭ ﺍﻟﻔﺌﺔ‪ -‬ﻋﻠﻰ ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ‬ ‫ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ )ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ(‬ ‫ﺒﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺃﺨﺭﻯ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ x1, x2 ,....., x p‬ﻗﻴﻡ ﻤﻴﺯﺓ ﻭﻜﺎﻨﺕ ‪ n1, n2 ,......., n p‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ‪ ,‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ ,‬ﻟﻬﺫﻩ‬‫ﺍﻟﻘﻴﻡ‪ ,‬ﻭﻭﻀﻌﻨﺎ ‪ n = n1 + n2 + n3 + ........ + n p‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ‪ xi‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ Fi‬ﺤﻴﺙ‬ ‫‪Fi‬‬ ‫=‬ ‫‪ni‬‬ ‫‪n‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ a1, a2 , a2 , a3 ,....., a p , a p+1‬ﻓﺌﺎﺕ ﻗﻴﻡ ﻭﻜﺎﻨﺕ ‪ n1, n2 ,......., n p‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ[ [ [ [[ [‬‫‪[ [Fi‬‬‫‪ni‬‬‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪Fi‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ ,‬ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ ﻟﻠﻔﺌﺔ ‪ai , ai+1‬‬ ‫ﺃﻴﻥ ‪n = n1 + n2 + n3 + ........ + n p‬‬

‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ‪ :‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ )ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ‪ ,‬ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻭﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﻟﻠﻘﻴﻡ(‪.‬‬‫ﺍﻟﻘﻴﻡ) ‪( xi‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ) ‪(ni‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ‪Fi‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪0,12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫=‬ ‫‪0,44‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪25‬‬‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ‬ ‫‪25‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪0,32‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪0,08‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0,04‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻥ ﺨﻼل ﻗﺭﺍﺀﺓ ﻟﻠﺠﺩﻭل ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﻘﻭل )ﻤﺜﻼ(‬ ‫ﻨﺴﺒﺔ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺄﺨﺫ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 7‬ﻫﻲ‪ 32% :‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺘﻤﻊ‬

‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻤﻌﺔ ﻭﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻤﻌﺔ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻤﺭﺘﺒﺔ ﺘﺼﺎﻋﺩﻴﺎ )ﺃﻭ ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻤﺭﺘﺒﺔ ﺤﺴﺏ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﺘﺼﺎﻋﺩﻱ ﻟﻠﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﺴﻔﻠﻰ( ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﻟﻘﻴﻤﺔ )ﺃﻭ ﻟﻔﺌﺔ( ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻟﻠﻘﻴﻡ‬ ‫)ﺃﻭ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ( ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺴﺒﻘﻬﺎ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻴﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﻨﺎﺯل ﻟﻘﻴﻤﺔ )ﺃﻭ ﻟﻔﺌﺔ( ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻟﻠﻘﻴﻡ‬ ‫)ﺃﻭ ﻟﻠﻔﺌﺎﺕ( ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻠﻴﻬﺎ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻴﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﻟﻘﻴﻤﺔ )ﺃﻭ ﻟﻔﺌﺔ( ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﻟﻠﻘﻴﻡ‬ ‫)ﺃﻭ ﻟﻠﻔﺌﺎﺕ( ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻠﻴﻬﺎ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻴﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺍ ﺘﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﻨﺎﺯل ﻟﻘﻴﻤﺔ )ﺃﻭ ﻟﻔﺌﺔ( ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﻟﻠﻘﻴﻡ‬ ‫)ﺃﻭ ﻟﻠﻔﺌﺎﺕ( ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻠﻴﻬﺎ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻴﻬﺎ‪.‬‬

‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ‪ ,‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ )ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ‪ ,‬ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ( ﻭﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﻭﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻌﺔ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩﺓ ﻭﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻤﻌﺔ ﺍﻟﻨﺎﺯﻟﺔ ﻭﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ ﻭﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻤﻌﺔ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩﺓ ﻭﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻌﺔ ﺍﻟﻨﺎﺯﻟﺔ‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻤﻌﺔ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻤﻌﺔ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻨﺎﺯﻟﺔ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩﺓ‬ ‫ﺍﻟﻨﺎﺯﻟﺔ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩﺓ‬‫[‪[20,25‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪0,06‬‬ ‫‪0,06‬‬ ‫‪1‬‬‫[‪[25,30‬‬ ‫‪50‬‬‫[‪[30,35‬‬‫[‪[35,40‬‬ ‫=‪15 + 18‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪15‬‬ ‫=‬ ‫‪0,3‬‬ ‫‪0,36‬‬ ‫‪0,94‬‬‫[‪[40,45‬‬ ‫‪50‬‬‫[‪[45,50‬‬ ‫‪12 30‬‬‫[‪[50,55‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪0,24‬‬ ‫‪0,6‬‬ ‫‪0,64‬‬‫[‪[55,60‬‬ ‫‪50‬‬‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ‬ ‫‪9‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪0,18‬‬ ‫‪0,78‬‬ ‫‪0,4‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪0,1‬‬ ‫‪0,88‬‬ ‫‪0,22‬‬ ‫‪50‬‬ ‫=‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪0,06‬‬ ‫‪0,94‬‬ ‫‪0,12‬‬ ‫‪47 6‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪0,04‬‬ ‫‪0,98‬‬ ‫‪0,06‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0,02‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0,02‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪50‬‬

‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ *:‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ )ﺃﻭ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ( ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﻫﺎ ﻭﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ‬‫ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﻟﻜل ﻗﻴﻤﺔ )ﺃﻭ ﻓﺌﺔ( –ﺒﺎﺴﺘﺜﻨﺎﺀ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪ -‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ )ﺃﻭ ﺍﻟﻔﺌﺔ( ﻭﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ )ﺃﻭ ﺍﻟﻔﺌﺔ( ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺴﺒﻕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ )ﺃﻭ ﺍﻟﻔﺌﺔ(‬‫* ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﻨﺎﺯل ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ )ﺃﻭ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ( ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺘﻜﺭﺍﺭﻫﺎ ﻭﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﻨﺎﺯل‬‫ﻟﻜل ﻗﻴﻤﺔ )ﺃﻭ ﻓﺌﺔ( –ﺒﺎﺴﺘﺜﻨﺎﺀ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ‪ -‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ )ﺃﻭ ﺍﻟﻔﺌﺔ( ﻭﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ‬ ‫ﺍﻟﻨﺎﺯل ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ )ﺍﻭ ﺍﻟﻔﺌﺔ( ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺄﺘﻲ ﺒﻌﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ )ﺃﻭ ﺍﻟﻔﺌﺔ(‬ ‫← ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻟﻤﻠﺊ ﺠﺩﻭل ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﻟﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻤﻌﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺼﺎﻋﺩﺓ‪ ,‬ﻨﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ )ﺃﻭ ﺍﻟﻔﺌﺔ( ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﻨﺎﺯﻟﺔ‪ :‬ﻨﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ )ﺃﻭ ﺍﻟﻔﺌﺔ( ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ‪.‬‬

‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺕ‪ :1‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﺎﻟﺠﺩﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻡ) ‪( xi‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ) ‪(ni‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻟﻠﻘﻴﻡ‬ ‫ﺃﺘﻤﻡ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺒﻴﻥ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻤﻌﺔ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩﺓ ﻟﻠﻘﻴﻡ‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻤﻌﺔ ﺍﻟﻨﺎﺯﻟﺔ ﻟﻠﻘﻴﻡ‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﻟﻤﺠﻤﻌﺔ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩﺓ ﻟﻠﻘﻴﻡ‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻌﺔ ﺍﻟﻨﺎﺯﻟﺔ ﻟﻠﻘﻴﻡ‬ ‫ﺕ‪ :2‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺤﻴﺙ ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻭﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺠﻤﻌﺔ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩﺓ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺠﺩﻭل‪:‬‬‫ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫[‪[26.1,26.8[ [26.8,27.5[ [27.5,28.2[ [28.2,28.9[ [28.9,29.6‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪8 10 14 20 25‬‬‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻌﺔ‬‫ﺍﻟﺼﺎﻋﺩﺓ‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻜل ﻓﺌﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ ﻟﻜل ﻓﺌﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﻨﺎﺯل ﻟﻜل ﻓﺌﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﻭ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﻨﺎﺯل ﻟﻜل ﻓﺌﺔ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﺇﻨﺠﺎﺯ ﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻷﻋﻤﺩﺓ‬ ‫‪ .2‬ﺇﻨﺠﺎﺯ ﻤﻀﻠﻊ ﺘﻜﺭﺍﺭﻱ‬‫‪ .3‬ﺇﻨﺠﺎﺯ ﻤﺩﺭﺝ ﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻓﺌﺎﺕ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﺍﻟﻁﻭل‬ ‫‪ .4‬ﺇﻨﺠﺎﺯ ﻤﺨﻁﻁ ﺩﺍﺌﺭﻱ‬ ‫‪ .5‬ﺘﻔﺴﻴﺭ ﺘﻤﺜﻴل ﺒﻴﺎﻨﻲ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﻤﻼﺤﻅﺔ ﻗﺎﻋﺩﻴﺔ‬ ‫• ﺃﻨﺸﻁﺔ‬ ‫• ﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺼﺎﺀ‪ :‬ﺍﻟﺩﺭﺱ ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ‬ ‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬

‫• ﻤﻼﺤﻅﺔ ﻗﺎﻋﺩﻴﺔ ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻴﺯﺓ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻜﻤﻴﺔ‪ :‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻤﻭﻡ‪ ,‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﺘﺘﻡ‬‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ \"ﺠﻤﻠﺔ ﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﻴﻥ\" ﻭﻫﻤﺎ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻤﺩﺭﺠﺎﻥ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍﻥ‬‫ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ﺃﻓﻘﻲ ﻴﺴﻤﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻭﺍﻵﺨﺭ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ ﻴﺴﻤﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫ﻭﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫ﻭﺤﺩﺘﻲ ﺍﻟﺘﺩﺭﻴﺞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ﻟﻴﺴﺘﺎ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ﻻ ﺘﻤﺜل ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﻤﺜﻠﻪ ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ‬‫ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻭ ‪ y‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﻤﺜﻠﻪ ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ‬‫ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﺘﻜﻭﻥ)‪ (x, y‬ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪M‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺘﺏ )‪M (x, y‬‬ ‫)‪y M (x, y‬‬ ‫‪x‬‬

‫• ﺃﻨﺸﻁﺔ ‪:‬‬‫‪ 9 10‬ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻷﻭل ‪:‬‬‫‪ 12 15‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﺎﻟﺠﺩﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪11 12 14 15 16 18 19 20‬‬ ‫‪17 5 13 9 12 8 4 5‬‬‫ﻟﻜﻲ ﻨﻘﻭﻡ ﺒﺘﻤﺜﻴل ﺒﻴﺎﻨﻲ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻲ ﻟﻠﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‪ ,‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ\"ﺠﻤﻠﺔ ﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﻴﻥ\"‪ :‬ﻨﺤﻤل ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ‬‫ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﻭﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ )ﻤﻊ ﺤﺴﻥ ﺍﻹﺨﺘﻴﺎﺭ ﻟﻠﻭﺤﺩﺓ ﻭﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺼﻔﺭ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ!!!(‬‫ﺜﻡ ﻨﻌﻠﻡ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺫﺍﺕ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ )‪,(16,12) ,(15,9) ,(14,13) ,(12,5) ,(11,17) ,(10,15) ,(9,12‬‬ ‫)‪(20,5) ,(19,4) ,(18,8‬‬ ‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻷﻋﻤﺩﺓ ﻟﻠﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‪:‬‬ ‫ﻨﺭﺴﻡ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﻋﻤﺩﺓ ﺍﻟﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺔ ﻓﻬﺫﻩ ﺍﻷﻋﻤﺩﺓ ﺘﺸﻜل ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻷﻋﻤﺩﺓ ﻟﻠﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬‫اﻟﺘﻜﺮارات‬ ‫اﻟﻘﻴﻢ‬ ‫‪18‬‬ ‫‪10 11 12 14 15 16 18 19 20‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪14‬‬ ‫اﻟﻤﺨﻄﻂ ﺑﺎﻷﻋﻤﺪة ﻟﻠﺘﻜﺮارات‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﻟﻠﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ‪:‬‬ ‫ﻨﺭﺴﻡ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻤﻨﻜﺴﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﻌﻴﻨﻪ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬

‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻡ‬‫‪18‬‬ ‫‪10 11 12 14 15 16 18 19 20‬‬‫‪16‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ‬‫‪14‬‬‫‪12‬‬‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪9‬‬‫ﻤﻥ ﺨﻼل ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻠﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﻴﻥ‪ ,‬ﻨﻼﺤﻅ –ﻤﺜﻼ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻟﻬﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﺘﻜﺭﺍﺭ ﻫﻲ ‪ 11‬ﻭﺃﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻟﻬﺎ‬ ‫ﺃﺼﻐﺭ ﺘﻜﺭﺍﺭ ﻫﻲ ‪.19‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‪:‬‬ ‫ﻟﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﺎﻟﺠﺩﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ‪:‬‬‫[‪ [1200,1300[ [1300,1400[ [1400,1500[ ]1500,1600[ [1600,1700‬ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪30‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪70 30 20‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﻭل ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻟﻁﻭل ﻫﻭ ‪100‬‬ ‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﻟﻠﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ‬‫ﻨﺤﻤل ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﺜﻡ ﻨﺭﺴﻡ ﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺔ ﻗﻭﺍﻋﺩﻫﺎ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻠﻔﺌﺎﺕ‬ ‫ﻭﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻠﻔﺌﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺒﻨﻲ ﻋﻠﻴﻬﺎ‬‫ﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﻤﺴﺎﺤﺎﺘﻬﺎ ﻤﺘﻨﺎﺴﺒﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻟﻠﻔﺌﺎﺕ ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﺘﺸﻜل ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ‬ ‫ﻟﻠﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ‬

‫إرﺕﻔﺎﻋﺎت اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت‬ ‫‪70‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫أﻓ ﺮاد ‪20 10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺣﺪود اﻟﻔﺌﺎت ‪0‬‬ ‫‪1200 1300 1400 1500 1600 1700‬‬ ‫اﻟﻤﺪرج اﻟﺘﻜﺮاري‬‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ﻫﺎﻤﺔ‪ :‬ﻋﻨﺩ ﻗﺭﺍﺀﺓ ﻤﺩﺭﺝ ﺘﻜﺭﺍﺭﻱ‪ ,‬ﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﺘﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺴﻠﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﻟﻠﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ‬ ‫ﻨﻌﻴﻥ ﻤﺭﺍﻜﺯ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‪:‬‬‫‪1200‬‬ ‫‪+ 1300‬‬ ‫‪= 1250;1300‬‬ ‫‪+ 1400‬‬ ‫=‬ ‫;‪1350‬‬ ‫‪1400‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1500‬‬ ‫;‪= 1450‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫‪1500‬‬ ‫‪+ 1600‬‬ ‫‪= 1550;1600‬‬ ‫‪+ 1700‬‬ ‫‪= 1650.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫ﻨﺤﻤل ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻤﺭﺍﻜﺯ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻭﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺜﻡ ﻨﻌﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬‫ﺍﻟﺘﻲ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ ci , ni‬ﺤﻴﺙ ‪ ci‬ﻤﺭﻜﺯ ﻓﺌﺔ ﻭ ‪ ni‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﻭﻫﺫﻩ) (‬ ‫ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫)‪(1650,20) ,(1550,30) ,(1450,70) ,(1350,50) ,(1250,30‬‬ ‫ﺜﻡ ﻨﺭﺴﻡ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻤﻨﻜﺴﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﻌﻴﻨﻪ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬

‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪1350 1450 1550‬‬ ‫ﻤﺭﺍﻜﺯ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‬‫‪70‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ‬ ‫‪1650‬‬‫‪60‬‬‫‪50‬‬‫‪40‬‬‫‪30‬‬‫‪20‬‬‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1250‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﻗﺴﻡ ﺩﺭﺍﺴﻲ ﺴﺠﻠﺕ ﺍﻟﺒﻠﺩﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺴﻜﻨﻬﺎ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ‪ ,‬ﻫﻨﺎﻙ ﺜﻼﺜﺔ ﺒﻠﺩﻴﺎﺕ ‪C, B, A‬ﻓﻜﺎﻨﺕ‬ ‫ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫‪ A B C‬ﺍﻟﺒﻠﺩﻴﺔ‬‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﺍﻟﺴﺎﻜﻨﻴﻥ ﺒﺎﻟﺒﻠﺩﻴﺔ‬ ‫‪15‬‬ ‫‪85‬‬ ‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻱ ﻟﻠﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‪:‬‬‫ﻨﺭﺴﻡ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻭﻨﺠﺯﺀ ﺍﻟﻘﺭﺹ ﺇﻟﻰ ﻗﻁﺎﻋﺎﺕ ﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻷﻗﻴﺎﺱ ﺒﺎﻟﺩﺭﺠﺎﺕ ﻟﻠﺯﻭﺍﻴﺎ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ‬ ‫ﻤﺘﻨﺎﺴﺒﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ‪:‬‬ ‫‪ o‬ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﻤﺠﺘﻤﻊ ﻭﻗﻴﺴﻬﺎ ‪360°‬‬ ‫‪360°‬‬ ‫ﺘﻤﺜﻠﻪ‬ ‫ﻓﺭﺩ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪360°‬‬ ‫ﺒـ‬ ‫ﺘﻤﺜل‬ ‫ﻓﺭﺩﺍ‬ ‫‪28‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪28‬‬ ‫ﺃﻱ ﺤﻭﺍﻟﻲ‪193°‬‬ ‫‪360°‬‬ ‫‪×15‬‬ ‫ﺘﻤﺜﻠﻪ‪:‬‬ ‫‪,A‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫ﻓﺭﺩﺍ‪,‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪103°‬‬ ‫ﺃﻱ ﺤﻭﺍﻟﻲ‬ ‫‪360°‬‬ ‫×‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺘﻤﺜﻠﻪ‪:‬‬ ‫‪,B‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﺃﻓﺭﺍﺩ‪ ,‬ﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪64°‬‬ ‫ﺃﻱ ﺤﻭﺍﻟﻲ‬ ‫‪360°‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺘﻤﺜﻠﻪ‪:‬‬ ‫‪,C‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﺃﻓﺭﺍﺩ‪ ,‬ﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪28‬‬