دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني اداب و فلسفة سنة ثانية ثانوي

‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﻨﺘﻴﺠﺔ‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺤﺩﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬‫ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ f (x) ax  b‬ﺃﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎﻥ‬‫ﺒﺤﻴﺙ ‪ a z 0‬ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪ ax  b‬ﺘﺴﻤﻰ ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺤﺩﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫)ﺃﻭ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ( ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻤﻔﺭﻭﻀﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ‪a z 0 :‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ ax  b‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺘﻠﺨﺹ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪a‬‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ax  b‬‬ ‫ﻨﻔﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪a‬‬ ‫‪ 0‬ﻋﻜﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪a‬‬

‫‪ /1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺜﻼﺜﻲ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ )ﺃﻭ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ‬‫ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ( ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪f (x) ax2  bx  c‬‬‫ﺃﻴﻥ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a z 0‬ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ‬‫‪ ax2  bx  c‬ﺘﺴﻤﻰ ﺜﻼﺜﻲ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ)ﺃﻭ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ( ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬‫‪ /2‬ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪ ،‬ﻤﻤﻴﺯ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬‫أ‪ .‬ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a z 0‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬‫‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪، f (x) ax2  bx  c :‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ R‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬‫)‪) f (x‬ﻭﻀﻊ ‪ a‬ﻋﺎﻤل ﻓﻲ ﺠﺩﺍﺀ(‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ª‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪c‬‬ ‫‪º‬‬ ‫«¬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫»¼‬‫)ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪(1‬‬ ‫¨§«‪aª‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪·¸ 2‬‬ ‫‬ ‫¨§‬ ‫‪b‬‬ ‫‪¸· 2‬‬ ‫‬ ‫‪cº‬‬ ‫©«¬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫»‬ ‫‪a‬‬ ‫¼»‬ ‫ ‪a«ª§¨ x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫·¸‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪cº‬‬ ‫©«¬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪a‬‬ ‫»‬ ‫»¼‬

‫)‪f (x‬‬ ‫§¨‪a«ª‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪¸· 2‬‬ ‫‬ ‫¨¨©§‬ ‫‪b2  4ac‬‬ ‫»¼‪·¸¹¸»º‬‬ ‫©¬«‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻭﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪a z 0‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ R‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪ax2  bx  c‬‬ ‫¨§‪a«ª‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪¸· 2‬‬ ‫‬ ‫¨§¨©‬ ‫‪b2  4ac‬‬ ‫‪·¹¸¸¼»»º‬‬ ‫©«¬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪4a 2‬‬‫ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ‬ ‫ﻟﻜﺜﻴﺭ‬ ‫ﺃﺨﺭﻯ‬ ‫ﻋﺒﺎﺭﺓ‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫‪a«ª¨§ x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪·¸ 2‬‬ ‫‬ ‫¨¨§©‬ ‫‪b2  4ac‬‬ ‫‪¹¸¸·»¼»º‬‬ ‫©«¬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫‪ax2  bx  c‬‬ ‫ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪ax2  bx  c‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ ax2  bx  c‬ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺃﻴﻥ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪a z 0‬‬‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ b2  4ac‬ﻴﺴﻤﻰ ﻤﻤﻴﺯ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪ ax2  bx  c‬ﻭﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ‬ ‫ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ '‬ ‫ﻤﺜﻼ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ )‪ f (x‬ﻭ )‪ g(x‬ﻜﺜﻴﺭﻱ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪ f (x) 3x2  6x  3‬ﻭ‪g(x) x2  6x  11‬‬ ‫* )‪ f (x‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ ax2  bx  c‬ﻤﻊ ‪c 3 ، b 6 ، a 3‬‬ ‫' ﻤﻤﻴﺯ )‪ f (x‬ﺒﺤﻴﺙ‪ ' b2  4ac :‬ﻤﻨﻪ )‪ ' 62  4(3)(3‬ﻤﻨﻪ ‪' 0‬‬

‫ﻭﻟﻨﺎ‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫§¨‪a«ª‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪·¸ 2‬‬ ‫‬ ‫'‬ ‫‪º‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻭﻟﻜﺘﺎﺒﺔ )‪f (x‬‬ ‫©¬«‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫»‬ ‫¼»‬ ‫'‬ ‫ﻭ‪0‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪f (x) 3(x 1)2 :‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ )‪f (x‬‬ ‫* )‪ g(x‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ ax2  bx  b‬ﻤﻊ ‪c 11 ، b 6 ، a 1‬‬‫' ﻤﻤﻴﺯ )‪ g(x‬ﺒﺤﻴﺙ‪ ' b2  4ac :‬ﻤﻨﻪ )‪ ' (6)2  4(1)(11‬ﻤﻨﻪ‬ ‫‪' 8‬‬‫)‪ g(x‬ﻭﻟﻨﺎ‬ ‫¨§‪a«ª‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪·¸ 2‬‬ ‫‬ ‫'‬ ‫‪º‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫ﻭﻟﻜﺘﺎﺒﺔ‬ ‫©«¬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫»‬ ‫»¼‬ ‫'‬ ‫ﻭ ‪2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪g(x) (x  3)2  2‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ )‪g(x‬‬ ‫‪ /3‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a z 0‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬‫)‪f (x‬‬ ‫§¨‪a«ª‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪¸· 2‬‬ ‫‬ ‫'‬ ‫‪º‬‬ ‫)‪ ، f (x‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ax2  bx  c :‬‬ ‫©¬«‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫»‬ ‫¼»‬ ‫ﺃﻴﻥ ‪' b2  4ac‬‬ ‫‪ -‬ﻟﻨﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﻟﻨﺎ‪f '(x) 2ax  b :‬‬

‫ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '(x‬ﻨﻤﻴﺯ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ‪ a ! 0 :‬ﻭ ‪) a  0‬ﻷﻥ )‪ f '(x‬ﻜﺜﻴﺭ‬ ‫ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﻤﻨﻁﺒﻕ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪(2‬‬ ‫‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: a ! 0‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '(x‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺘﻠﺨﺹ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪x f‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f '(x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ : a ! 0‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫«‪¬ª‬‬ ‫‪b‬‬ ‫«¬‪,fª‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻭﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‬ ‫‪º‬‬ ‫‬ ‫‪f,‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪º‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫»¼‬ ‫‪2a‬‬ ‫¼»‬ ‫‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: a  0‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '(x‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺘﻠﺨﺹ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪ +‬ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f '(x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-‬‬‫‪¼»º‬‬ ‫‪f,‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪º‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫‪ : a  0‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪2a‬‬ ‫¼»‬ ‫‪«¬ª‬‬ ‫‪b‬‬ ‫¬«‪,fª‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻭﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫‪2a‬‬‫ﻓﻲ‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫)ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ‪ x‬ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪f‬‬ ‫ ¨§‬ ‫‪b‬‬ ‫·¸‬ ‫‬ ‫'‬ ‫ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫©‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ(‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬

‫ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x o ax2  bx  c‬ﺃﻴﻥ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪ a z 0‬ﻴﻜﻭﻥ ﺤﺴﺏ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: a ! 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ax2  bx  c‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫'‬ ‫‪4a‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺘﻘﺒل ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﻋﻨﺩ‬ ‫‪x o ax2  bx  c‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪2a‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: a  0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪ax2  bx  c‬‬ ‫'‬ ‫‪4a‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺘﻘﺒل ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﻋﻅﻤﻰ ﻋﻨﺩ‬ ‫‪x o ax2  bx  c‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪2a‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ' ﻤﻤﻴﺯ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪' b2  4ac ax2  bx  c‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ )‪ (P‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ ‪. 0, I, J‬‬‫ﺘﻘﻊ \"ﺘﺤﺕ\" ﺠﻤﻴﻊ‬ ‫‪S‬‬ ‫§¨‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪,‬‬ ‫'‬ ‫·¸‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ :‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫‪a!0‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫©‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﻨﻘﻁ ‪. P‬‬‫ﻨﻘﻁ ‪P‬‬ ‫ﺠﻤﻴﻊ‬ ‫\"ﻓﻭﻕ\"‬ ‫ﺘﻘﻊ‬ ‫§¨ ‪S‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪,‬‬ ‫'‬ ‫¸·‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪S‬‬ ‫‪:a 0‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫©‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫‪¹‬‬

‫ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺘﻠﺨﻴﺹ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﻜﻤﺎ‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻭﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫'‬ ‫ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺈﺸﺎﺭﺓ‬ ‫'‬ ‫ﻭﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪4a‬‬ ‫ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﺸﻜل )‪ (P‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ x o ax2  bx  c‬ﺤﻴﺙ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ‬‫ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a z 0‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ  ‪ ، 0, I, J‬ﻭﻋﺩﺩ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻌﻪ‬‫ﻤﻊ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﺤﺴﺏ ﺇﺸﺎﺭﺘﻲ ‪ a‬ﻭ ' ‪ ' b2  4ac‬ﻴﻠﺨﺹ ﻤﺎ‬ ‫ﻴﻠﻲ ‪:‬‬

‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﻓﺭﻀﻴﺔ‪:‬‬‫)‪ (P‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ x o ax2  bx  c‬ﺤﻴﺙ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬‫ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a z 0‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ  ‪ ، 0, I, J‬ﻴﺴﻤﻰ ﻗﻁﻌﺎ ﻤﻜﺎﻓﺌﺎ‬‫)‪(P‬‬ ‫ﻫﻭ ﻤﺤﻭﺭ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪2a‬‬‫ﻭﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ S‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (P‬ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺘﻨﺎﻅﺭﻩ ﺘﺴﻤﻰ ﺫﺭﻭﺓ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‬ ‫)‪(P‬‬ ‫‪ /4‬ﺍﻟﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪ ،‬ﺘﺤﻠﻴل ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a z 0‬ﻭﻟﻴﻜﻥ )‪ f (x‬ﻜﺜﻴﺭ‬‫ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ' ﻤﻤﻴﺯ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ )‪f (x‬‬ ‫‪' b2  4ac‬‬‫‪ ، R‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ ، (1)......ax2  bx  c 0 :‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ‬ ‫‪(a z 0‬‬ ‫)ﻷﻥ‬ ‫§¨‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪·¸ 2‬‬ ‫‬ ‫'‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪0‬‬ ‫©‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: '  0‬‬ ‫ ‪¨§ x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫¸·‬ ‫‪2‬‬ ‫'‬ ‫'‬ ‫©‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫‪4a 2‬‬‫ﺤل‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫ﻴﻭﺠﺩ‬ ‫ﻻ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‬ ‫‪!0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‬ ‫‪!0‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪(1‬‬

‫‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: ' 0‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫§¨‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪¸· 2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪0‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫©‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﻴﺴﻤﻰ ﺤﻼ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ(‬ ‫ﺍﻟﺤل‬ ‫)ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻭﻫﻭ‬ ‫ﺤﻼ ﻭﺤﻴﺩﺍ‬ ‫ﺘﻘﺒل‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫)‪. f (x‬‬ ‫§¨‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪¸· 2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫©‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: ' ! 0‬‬ ‫' ‬ ‫©¨¨§‬ ‫'‬ ‫‪¸¸·¹ 2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫'‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ‪' 2‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫§¨‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪·¸ 2‬‬ ‫‬ ‫¨¨§©‬ ‫'‬ ‫‪¸¹¸· 2‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‪0 :‬‬ ‫©‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‪:‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫§¨‪«ª‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫¸·‬ ‫‬ ‫©¨§¨‬ ‫'‬ ‫»¼»‪¸¸¹·º‬‬ ‫‪u‬‬ ‫¨§‪«ª‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫¸·‬ ‫‬ ‫§©¨¨‬ ‫'‬ ‫»»‪¸·¹¸¼º‬‬ ‫‪0‬‬ ‫©«¬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪a‬‬ ‫©«¬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‬ ‫'‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‬ ‫'‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻭ'‬ ‫‪b‬‬ ‫'‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﺘﻘﺒل ﺤﻠﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﻴﻥ ﻭﻫﻤﺎ‪:‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﺸﺎﺭ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻹﺸﺎﺭﺓ )*( ﻫﻲ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﺸﺎﺭ ﺇﻟﻴﻬﺎ‬ ‫ﺒﺎﻹﺸﺎﺭﺓ )**( ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫¨¨§©‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫'‬ ‫§©¨¨‪¸¸·¹‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫¸·‪' ¸¹‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫ﻭﻫﻜﺫﺍ ﻟﻘﺩ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﻋﻠﻰ‪:‬‬

‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a z 0‬ﻭﻟﻴﻜﻥ )‪ f (x‬ﻜﺜﻴﺭ‬‫ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺤﻴﺙ‪ f (x) ax2  bx  c :‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪:‬‬‫‪ (1)......ax2  bx  c 0‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪ ، R‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ' ﻤﻤﻴﺯ ﻜﺜﻴﺭ‬ ‫ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ )‪ f (x‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ' ) ' b2  4ac‬ﻴﺴﻤﻰ ﻜﺫﻟﻙ ﻤﻤﻴﺯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪((1‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﻟﻴﺱ ﻟﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪' 0‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪' ! 0‬‬ ‫ﻟﻜﻲ ﻨﺤل‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﻟﻬﺎ‪ ،‬ﻓﻲ ‪، R‬‬‫ﺃﻱ ﺤل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﻟﻬﺎ‪ ،‬ﻓﻲ ‪ ، R‬ﺤﻼﻥ‬ ‫ﻓﻲ ‪، R‬‬ ‫ﺤل ﻭﺤﻴﺩ )ﻭﻫﻭ ﺤل‬ ‫ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺍﻥ '‪ x‬ﻭ ' '‪ x‬ﻫﻤﺎ‪:‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪:(1‬‬ ‫ﻤﻀﺎﻋﻑ( ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻟﺤل ﻫﻭ‬ ‫''‪x‬‬ ‫' ‪b‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫'‪x‬‬ ‫' ‪b‬‬ ‫ﻭ ‪2a‬‬‫ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﻠﻠﻲ‬ ‫ ‪f (x) ax  x0‬‬ ‫ﺘﺤﻠﻴل ﻜﺜﻴﺭ ''‪f (x) ax  x'x  x‬‬‫)‪ f (x‬ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ‬ ‫ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ‬‫ﻜﺜﻴﺭﻱ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺠﺫﺭﺍ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪ ax2  bx  c‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻜل ﺤل ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪ ax2  bx  c 0‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪R‬‬

‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫• ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ‪6x 2  13x  5 0‬‬‫‪ 25x2  30x  9 0‬‬ ‫‪5x2  7x  3 0‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪( R‬‬ ‫)‪(30)2  4(25)(9‬‬ ‫' )‪' 72  4(5)(3‬‬ ‫)‪(13)2  4(6)(5‬‬ ‫' ﻤﻤﻴﺯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪' 11‬‬ ‫‪'0‬‬ ‫‪' 189‬‬ ‫‪'0‬‬ ‫‪'0‬‬ ‫‪'!0‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ '‬‫‪x0‬‬ ‫)‪ (30‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻻ ﺘﻘﺒل ﺃﻱ ﺤل ﻓﻲ‬ ‫‪x'  (13)  189‬‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫)‪2(25‬‬ ‫‪2.6‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪R‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫''‪x‬‬ ‫ )‪ (13‬‬ ‫‪189‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2.6‬‬ ‫)ﺤل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻀﺎﻋﻑ(‬ ‫''‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫'‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫)ﺤﻼﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺍﻥ(‬ ‫‪ x‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴل‪:‬‬‫‪ 25x2  30x  9‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪f (x) 5x2  7x  3 x) 6x 2 13x  5‬‬ ‫ﻜﺜﻴﺭ‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪'0‬‬ ‫‪' 11‬‬ ‫‪' 189‬‬ ‫' ﻤﻤﻴﺯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪' 0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪'  0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪' ! 0‬‬ ‫ﺠﺫﻭﺭ )‪f (x‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻟﻴﺱ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ )‪ f (x‬ﺃﻱ‬ ‫'‪x‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺘﺤﻠﻴل )‪f (x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺠﺫﺭ ﻓﻲ ‪R‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)ﺤل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻀﺎﻋﻑ(‬ ‫''‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭ‪2‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫§©¨¨‪25‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫¨§‬ ‫‪3‬‬ ‫·¸‬ ‫¸¸‪·¹‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ‪2‬‬ ‫ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﻠﻴل )‪f (x‬‬ ‫‬ ‫§¨‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫§©¨¸¸·‪¸·¹ ¹‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫¸·‬ ‫©‬ ‫‪5‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫©‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﻜﺜﻴﺭﻱ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ‬‫‪f (x) 5x  32‬‬ ‫‪3x 12x  5‬‬ ‫¶‬

‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ﻫﺎﻤﺔ‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺘﻌﻁﻲ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﻠﺤل‪ ،‬ﺠﺒﺭﻴﺎ‪ ،‬ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‬‫ﺃﻭ ﻟﺘﺤﻠﻴل ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻤﻔﻬﻭﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺯ‬ ‫ﻫﻨﺎﻙ ﺤﺎﻻﺕ ﺨﺎﺼﺔ ﻓﻴﻬﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻻﺴﺘﻐﻨﺎﺀ ﻋﻠﻰ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﻼ‪:‬‬ ‫‪ 3x2  3x 3xx 1‬ﻭﺤﻼ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 3x2  3x 0‬ﻫﻤﺎ )‪ (-1‬ﻭ‪0‬‬‫¨§‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫ﻭ‬ ‫§¨‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‬ ‫ﻫﻤﺎ‬ ‫‪4x2 1‬‬ ‫‪ 4x2 1‬ﻭﺤﻼ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪0‬‬ ‫‪2x 12x 1‬‬‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ ﻓﻲ ﻜﻠﺘﻰ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ﻜﺎﻥ ﺒﺈﻤﻜﺎﻨﻨﺎ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﻤﻴﺯ ﻷﻥ‪:‬‬ ‫‪ 3x2  3x‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‪ ax2  bx  c :‬ﻤﻊ ‪a 3,b 3, c 0‬‬ ‫‪ 4x2 1‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‪ ax2  bx  c :‬ﻤﻊ‬ ‫‪a 4,b 0, c 1‬‬ ‫‪ /5‬ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a z 0‬ﻭﻟﻴﻜﻥ )‪ f (x‬ﻜﺜﻴﺭ‬‫ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺤﻴﺙ‪ f (x) ax2  bx  c :‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ' ﻤﻤﻴﺯ‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫§¨‪a«ª‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪¸· 2‬‬ ‫‬ ‫'‬ ‫‪º‬‬ ‫ﻟﻨﺎ‪:‬‬ ‫©«¬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫»‬ ‫»¼‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: '  0‬‬

‫ ‪¨§ x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫·¸‬ ‫‪2‬‬ ‫'‬ ‫©‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪4a 2‬‬‫ﻫﻲ‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‬ ‫‪!0‬‬ ‫‪:R‬‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪) a‬ﺤﺴﺏ ﻗﻭﺍﻋﺩ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺠﺩﺍﺀ(‬ ‫‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: ' 0‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫¨§‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪¸· 2‬‬ ‫©‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻫﻲ ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: ' ! 0‬‬ ‫)‪ f (x‬ﻟﻪ ﺠﺫﺭﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺍﻥ '‪ x‬ﻭ ''‪) x‬ﻫﻨﺎ ﻨﺴﻤﻲ '‪ x‬ﺃﺼﻐﺭ ﺍﻟﺤﻠﻴﻥ(‬ ‫ﻭ )''‪ f (x) a(x  x')(x  x‬ﻭﺍﻹﺸﺎﺭﺍﺕ ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫'‪x‬‬ ‫‪x''  f‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ '‪x  x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ''‪x  x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪a‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪a‬‬ ‫ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﻋﻜﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪a‬‬ ‫ﺤﺴﺏ‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )''‪(x  x')(x  x‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻭﺍﻋﺩ‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )''‪a(x  x')(x  x‬‬‫ﺤﻭل ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫ﺠﺩﺍﺀ‬ ‫ﻭﻫﻜﺫﺍ ﻟﻘﺩ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﻋﻠﻰ‬

‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a z 0‬ﻭﻟﻴﻜﻥ )‪ f (x‬ﻜﺜﻴﺭ‬‫ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺤﻴﺙ‪ f (x) ax2  bx  c :‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ' ﻤﻤﻴﺯ‬ ‫)‪ ' b2  4ac f (x‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f (x‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ ، x‬ﺘﻜﻭﻥ ﺤﺴﺏ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: '  0‬‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f (x‬‬ ‫‪f f‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪a‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪' 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2a‬‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f (x‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ 0 a‬ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪a‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪' ! 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫'‪ f x‬‬ ‫‪x''  f‬‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f (x‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ a‬ﻋﻜﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ a‬ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪a‬‬ ‫'‪ x‬ﻭ ''‪ x‬ﺠﺫﺭﺍ )‪ f (x‬ﻤﻊ '‪x''! x‬‬

‫ﻤﺜﻼ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ )‪ f (x‬ﻭ )‪ g(x‬ﻜﺜﻴﺭﻱ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪ f (x) 3x2  5x  2‬ﻭ‪g(x) 5x2  6x  1‬‬ ‫'‬ ‫)‪52  4(3)(2‬‬ ‫ﻫﻭ ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫ﻤﻤﻴﺯ‬ ‫'‬ ‫'‬ ‫‪1‬‬ ‫''‪x‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫'‪x‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫ﻫﻤﺎ‪:‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫ﺠﺫﺭﺍ‬ ‫)‪2(3‬‬ ‫)‪2(3‬‬ ‫''‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫'‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ‪0 ! 3‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f (x‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ ، x‬ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل‪:‬‬‫ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ‪ ،‬ﻤﺜﻼ‪ ،‬ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ‬‫¼»‪º‬‬ ‫‪f,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪º‬‬ ‫‰‬ ‫>‪>1,f‬‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫‪،R‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪، 0 t 3x2  5x  2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫»¼‬ ‫‪x f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 f‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ - 0 + 0 -‬ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f (x‬‬ ‫'‬ ‫)‪62  4(5)(1‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫ﻤﻤﻴﺯ‬ ‫'‬ ‫'‬ ‫‪16‬‬ ‫''‪x‬‬ ‫‬ ‫‪6‬‬ ‫‪16‬‬ ‫ﻭ‬ ‫'‪x‬‬ ‫‪ 6  16‬‬ ‫ﻫﻤﺎ‪:‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫ﺠﺫﺭﺍ‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫''‪x‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x' 1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪x f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ‪5!0‬‬ ‫‪5‬‬‫‪ +‬ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪g(x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪0- 0‬‬ ‫‪+‬‬‫ﻤﻨﻪ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ ، g(x‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ ، x‬ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺩﻭل‪ ،‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ‬‫–ﻤﺜﻼ‪ -‬ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ ، 5x2  6x 1 d 0‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ‬‫¼‪»º‬‬ ‫‪1,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ª‬‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫‪،R‬‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺠﻬﻭل‬ ‫‪5‬‬ ‫«¬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ ﻫﺎﻤﺔ ﺠﺩﺍ‪:‬‬‫‪ (1‬ﻟﻜﻲ ﻨﺤل ﻓﻲ ‪ ، R‬ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪ ،‬ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺜﻡ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ‪.‬‬‫‪ (2‬ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺤﻭل ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪ ax2  bx  c‬ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﻓﻲ‬‫ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﻔﺎﺭﻁﺔ ﻫﻲ ﻗﺭﺍﺀﺓ ﻟﻠﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺤﻭل ﺸﻜل‬‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ x o ax2  bx  c‬ﻭﻭﻀﻌﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ )‪ (3‬ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‪.‬‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪4‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﻤﻤﻴﺯ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ‪ ،‬ﺃﻭ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ ،‬ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﻜﺜﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ‪ ،‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬‫)‪، h(x‬‬ ‫ ‪x2‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪، g(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪، f (x‬‬ ‫‪3x2  7x  5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 2x2  8‬‬ ‫)‪، A(x‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪، k(x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ϑ(x) 7  3x2  (1  3x)  (2x  1) ، u(x) 1  2x2  3  5x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪ ، x‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ ‪(2)......‬‬ ‫‪3x2‬‬ ‫‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 ، (1)......x2  3x  5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(4)......x 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪(3)......‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2  x 5 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:3‬‬‫ﺃﻜﺘﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﻜﺜﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫)‪، g(x‬‬ ‫‪1 x2‬‬ ‫‪ 3x  12‬‬ ‫‪،‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪2x 2  x  1‬‬ ‫‪4‬‬‫)‪k(x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‬ ‫ ‪3x‬‬ ‫‪(2x‬‬ ‫‪ 1)2‬‬ ‫‬ ‫‪3x‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪، h(x‬‬ ‫‪5x2  2x 15  3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‪:‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:4‬‬‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺤﻭل ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪،‬‬‫ﺃﻨﺸﺊ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪ A, k, h, g, f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﻤﺎ‬ ‫)‪، g(x‬‬ ‫‪2x 2‬‬ ‫‬ ‫‪3x‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪، f (x‬‬ ‫ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2  2x  7‬‬ ‫‪، k(x) 3x2  x 2 ، h(x) 3x2  5‬‬ ‫‪A(x) 7x  x2  (1  x 2)2  3  5x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬ ‫‪ c,b, a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪a z 0 :‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ f (x) ax2  bx  c :‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪P‬‬‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ  ‪0, I, J‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ ' ﻤﻤﻴﺯ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ )‪f (x‬‬ ‫ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﻓﻘﻁ‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ '‬‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ، f (x) 0‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪R‬‬‫‪ -‬ﺃﻨﺸﺊ ﺠﺩﻭﻻ ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻴﻪ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ ، f (x‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪x‬‬‫ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ )‪ (6) ،(5) ،(4) ،(3) ،(2) ،(1‬ﺍﻷﺸﻜﺎل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫‪(1 f (x) x2  3x  2 (2) ، f (x) x2  5x  6 ،‬‬‫)‪، f (x) x2  2x 1 (4) ، f (x) 2x2  4x  2 (3‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪3x‬‬ ‫‬ ‫‪11‬‬ ‫)‪(6‬‬ ‫)‪، f (x‬‬ ‫)‪x2  4x  5 (5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 6‬‬‫‪ u 1‬ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﺘﺘﻌﻠﻕ ﺒﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ t‬ﻭﻓﻕ ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪u t 2  4t  7‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻲ ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻴﺄﺨﺫﻫﺎ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ u‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ t‬ﻴﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ‪ R‬؟‬‫‪ ϑ2‬ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﺘﺘﻌﻠﻕ ﺒﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ m‬ﻭﻓﻕ ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪ϑ m2  6m  21‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻲ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻴﺄﺨﺫﻫﺎ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ ϑ‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ m‬ﻴﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ‪ R‬؟‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻭﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:7‬‬‫ﺒﺩﻭﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﻤﻴﺯ‪- ،‬ﺤل ﻓﻲ ‪ - R‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫‪، (3)........5x2 1‬‬ ‫‪، (2)........3x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪، (1)........6x2  9x 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(5)........x 2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪(4)........‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:8‬‬‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﻤﻴﺯ‪ ،‬ﺤل ﻓﻲ ‪ - R‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫‪، (2)........5x2  8x  1 0‬‬ ‫‪، (1)........3x2  7x 10 0‬‬‫‪، (4)........12x2 12x  3 0‬‬ ‫‪، (3)........5x2  6x  11 0‬‬‫‪(6)........12x2  13x  3 0 ، (5)........  x2  8x 11 0‬‬

:9 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬:‫ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬x ‫ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻭﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‬- R ‫ﺤل‬ ، (2)........3x 1 x2  5x  1 0 ، (1)........x3  9x2  14x 0    ، (4)........ 3x2  x 1 x2  4 0 ، (3)........1  5x  8x2  6x 1 0   ، (5)........ 5x2 17x  10 4x2  12x  9 0  ، (6)........3x  8 x2  x  5 0، (8)........3x2  5x  2 ! 0   ، (7)........ 4x2 12x  9 x2  x  7 0، (10)........9x2  30x  25 ! 0 ، (9)........  5x2  8x  4 d 0، (12)........  3x2  5x  1 ! 0 ، (11)........x2  8x  7 d 0، (14)........5x2  2x ، (13)........4x2  25 ، (16)........2x x2  2x  0   ، (15)........ x2  2x  3 x2  x  7  0   ، (17)........ 2x  x2 x2  3x  4 t 0    ، (18)........ x2  2x  3 2  3 x2  2x  3(20)........ x(5x2  x  1) d0 ، (19)........  3x 2  2x  8 !0 2x  3 x 2 9

‫ﺘﺤﻠﻴل ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:10‬‬‫ﻗل ﺇﻥ ﻜﺎﻥ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ )‪ ، f (x‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ ، x‬ﻗﺎﺒﻼ ﺃﻥ ﻴﺤﻠل ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ‬‫ﻜﺜﻴﺭﻱ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﺒﻨﻌﻡ )ﻤﻊ ﺍﻟﺘﺒﺭﻴﺭ(‪ ،‬ﺤﻠل‬ ‫)‪ f (x‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪، f (x) 7x2  x  3 (2 ، f (x) 5x2  8x  9 (1‬‬ ‫‪f (x) 4x2  28x  49 (3‬‬ ‫ﻤﺴﺎﺌل‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:11‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ  ‪0, I, J‬‬‫‪ 1‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ‪ P‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪ f (x) x2  4x‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ (d‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪y x  2‬‬ ‫‪2‬ﺤل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 1.........x2  4x x  2‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪R‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ 2.........x2  4x  x  2‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪R‬‬‫‪3‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯ –ﺤل ﻓﻲ ‪ - R‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﻭﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪(2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺍﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:12‬‬ ‫‪ 1‬ﻋﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﻬﻤﺎ ‪ 21‬ﻭﺠﺩﺍﺌﻬﻤﺎ )‪(-35‬‬‫ﻋ‪2‬ﻴﻥ ﺒﻌﺩﻱ ﻤﺴﺘﻁﻴل ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﻤﺤﻴﻁ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ﻫﻭ ‪ 9,10cm‬ﻭﻤﺴﺎﺤﺘﻪ‬ ‫‪4,125cm²‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:13‬‬ ‫‪.‬‬‫ﺒﻴﻥ ﺴﻨﺘﻲ ‪ 1990‬ﻭ‪ 1992‬ﺇﺯﺩﺍﺩ ﺴﻌﺭ ﺒﻀﺎﻋﺔ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪ x%‬ﻭﺒﻴﻥ ﺴﻨﺘﻲ‬ ‫‪ 1992‬ﻭ‪ 1994‬ﺇﺯﺩﺍﺩ ﺴﻌﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺒﻀﺎﻋﺔ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪(x  2)%‬‬‫ﻋﻴﻥ ‪ x‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﻨﺘﻴﻥ ‪ 1990‬ﻭ‪ 1994‬ﺇﺯﺩﺍﺩ ﺴﻌﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺒﻀﺎﻋﺔ ﺒﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪23,2%‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:14‬‬‫ﺍﻟﺴﻴﺩ ﻫﺸﺎﻡ ﺤﺭﺍﻓﻲ ﻴﺼﻨﻊ ﺤﻘﺎﺌﺏ ﻭﻤﻘﻠﻤﺎﺕ ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﺘﻘﻠﻴﺩﻴﺔ ﻭﻫﻭ ﻴﻌﻠﻡ ﺃﻥ ‪S‬‬‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﺎﺌﺏ ﻭ ‪ T‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﻘﻠﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻴﻭﻡ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ﻤﺭﺘﺒﻁﺎﻥ‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ‪S 2  25  4T 80‬‬‫ﻤ‪1‬ﺎ ﻫﻭ ﺃﻜﺒﺭ ﻋﺩﺩ ﻤﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻘﻠﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﻟﻠﺴﻴﺩ ﻫﺸﺎﻡ ﺃﻥ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ‬ ‫ﻓﻲ ﻴﻭﻡ ﻭﺍﺤﺩ؟‬‫‪2‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺃﻜﺒﺭ ﻋﺩﺩ ﻤﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻘﺎﺌﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﻟﻠﺴﻴﺩ ﻫﺸﺎﻡ ﺃﻥ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ‬ ‫ﻓﻲ ﻴﻭﻡ ﻭﺍﺤﺩ؟‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:15‬‬‫‪ 1‬ﻋﻴﻥ ﺜﻼﺜﺔ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻫﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ 27‬ﻭﺠﺩﺍﺌﻬﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ )‪(-567‬‬‫‪2‬ﻋﻴﻥ ﺜﻼﺜﺔ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻫﻭ ‪ 6‬ﻭﻤﺠﻤﻭﻉ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪.19‬‬

‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬‫ﺤﺴﺎﺏ ﻤﻤﻴﺯ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ‪ ،‬ﺃﻭ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ ،‬ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬‫ﻨﺭﻤﺯ ﺒـ ' ﻟﻤﻤﻴﺯ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ )‪ f (x‬ﻓﻲ ﻜل ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫‪f (x) 3x2  7x  5‬‬ ‫‪-‬‬ ‫™ ﻭﻗﻔﺔ‪:‬‬‫) ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯ‪ ،‬ﻨﺒﺩﺃ ﺃﻭﻻ ﺒﺎﻟﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ )‪ f (x‬ﻤﻜﺘﻭﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل‬‫‪ f (x) ax2  bx  c‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﺜﺎﺒﺕ ﻤﻥ * ‪ R‬ﻭ ‪ c,b‬ﺜﺎﺒﺘﺎﻥ ﻤﻥ ‪ R‬ﺇﺫ‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺯ ﻴﺭﺘﺒﻁ ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺸﻜل(‬ ‫)‪' 72  4(3)(5‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1 x2‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x 1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫ ‪x2‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪' ( 3)2  4(1)(12) :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k(x) 3 2x2  8 -‬‬‫‪' 02  4(3‬‬ ‫() ‪2‬‬ ‫)‪8‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪A(x‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬‫'‬ ‫(‬ ‫‪3)2‬‬ ‫‬ ‫ ¨§‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪·¸(0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫©‬ ‫‪5‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪u(x) 1  2x2  3  5x‬‬ ‫ﻨﺒﺩﺃ ﺒﻜﺘﺎﺒﺔ )‪ f (x‬ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻤﻼﺌﻤﺔ‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪u(x) 1  4x  4x2  3  5x :‬‬ ‫‪4x2  x  4‬‬‫)‪' (1)2  4(4)(4‬‬‫‪1  64‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬‫‪63‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬ ‫™ ﻭﻗﻔﺔ‪:‬‬‫)ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻤﻤﻴﺯ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻨﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﺘﺄﻜﺩ ﺃﻨﻬﺎ ﻤﻜﺘﻭﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫‪ ax2  bx  c 0‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﺜﺎﺒﺕ ﻤﻥ * ‪ R‬ﻭ ‪ c,b‬ﺜﺎﺒﺘﺎﻥ ﻤﻥ ‪( R‬‬ ‫ﻨﺘﺒﻊ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﻬﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﻓﻲ \"ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪\"1‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:3‬‬‫ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﻜﺜﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬ ‫‪f (x) 2x2  x  1‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ ، R‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬

‫)‪f (x‬‬ ‫‪2(x 2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫§¨«‪2ª‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪·¸ 2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1º‬‬ ‫©¬«‬ ‫‪4‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪16‬‬ ‫»‬ ‫‪2‬‬ ‫¼»‬‫§¨‪2«ª‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪·¸ 2‬‬ ‫‬ ‫‪9º‬‬ ‫©¬«‬ ‫‪4‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫»‬ ‫‪16‬‬ ‫»¼‬‫)‪g(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪ 122‬‬ ‫‪4‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ ، R‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬‫)‪g(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(x2‬‬ ‫‪ 12x‬‬ ‫‬ ‫)‪48‬‬ ‫‪4‬‬‫‪> @1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪48‬‬‫‪4‬‬ ‫‬ ‫ ‪ 36‬‬‫‪> @1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪62‬‬ ‫‪ 12‬‬‫‪4‬‬‫‪h(x) 5x2  2x 15 33‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ ، R‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬

‫)‪h(x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‬ ‫‪3x‬‬ ‫‬ ‫‪(4 x 2‬‬ ‫‬ ‫‪4x‬‬ ‫)‪ 1‬‬ ‫‬ ‫‪3x‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3x 2‬‬ ‫‬ ‫‪4x‬‬ ‫‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫§¨‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪11‬‬ ‫¸·‬ ‫©‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫§¨‪3«ª‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪·¸ 2‬‬ ‫‬ ‫‪4‬‬ ‫‬ ‫‪11º‬‬ ‫©«¬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪9‬‬ ‫»‬ ‫‪6‬‬ ‫»¼‬ ‫¨§«‪3ª‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪·¸ 2‬‬ ‫‬ ‫‪8‬‬ ‫‬ ‫‪33º‬‬ ‫©¬«‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪18‬‬ ‫»‬ ‫‪18‬‬ ‫¼»‬ ‫¨§«‪3ª‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪·¸ 2‬‬ ‫‬ ‫‪25 º‬‬ ‫©«¬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫»‬ ‫‪18‬‬ ‫»¼‬‫ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:4‬‬‫ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‬ ‫‪f (x) x2  2x  71‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ a 1 :‬ﺃﻱ ﺃﻥ‪ a ! 0 :‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪ b 2 :‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪' 24 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﺘﻤﺜل ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫‪x f‬‬ ‫‪-1  f‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪2a‬‬

‫‪6‬‬ ‫'‬ ‫ﻭ‬ ‫‪4a‬‬ ‫‪g(x) 2x2  3x  122‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ a 2 :‬ﺃﻱ ﺃﻥ‪a  0 :‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪b 3 :‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪' 13 :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻴﺘﻤﺜل ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪x f‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f‬‬‫)‪g(x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪13‬‬ ‫'‬ ‫ﻭ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬ ‫‪ c,b, a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪a z 0 :‬‬ ‫‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) ax2  bx  c :‬‬‫‪ P‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺤﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫) ‪ (0, I, J‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ' ﻤﻤﻴﺯ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ )‪f (x‬‬ ‫ﺒ‪1‬ﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل‪ ،‬ﻟﻨﻌﻴﻥ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻌﻭﺩ ﺒﺎﻟﻀﺒﻁ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل ﻭﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬

‫ﻨ‪2‬ﻌﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f (x) 0‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪، R‬‬ ‫ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫ﻨﻤﻴﺯ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻟﻤﺎ ‪: a  0‬‬ ‫ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪ '  0‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺨﺎﻟﻴﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫­®¯‬ ‫‪b‬‬ ‫½¾¿‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫'‬ ‫ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪0‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪x‬‬‫ ‪­b‬‬ ‫'‬ ‫‪,‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫½'‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪'!0‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‬‫®‬ ‫‪2a‬‬ ‫¾‬‫¯‬ ‫‪2a‬‬ ‫¿‬ ‫‪ -‬ﻟﻤﺎ ‪: a ! 0‬‬ ‫ﺘﺒﻘﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‬ ‫‪3‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺠﺩﻭل ﻟﺘﺨﻠﻴﺹ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f (x‬ﺤﻴﺙ ﻗﻴﻡ ‪x‬‬ ‫‪ x‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪ a  0‬ﻭ ‪ '  0‬ﻨﺠﺩ‪ f (x)  0 :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪R‬‬ ‫‪ x‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪ a ! 0‬ﻭ ‪ '  0‬ﻨﺠﺩ‪ f (x)  0 :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪R‬‬ ‫‪ x‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪ a ! 0‬ﻭ ‪ ' 0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪x f‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪+0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪ a  0‬ﻭ ‪ ' 0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪x f‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪+0‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪f (x‬‬

‫‪ -‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪ a ! 0‬ﻭ ‪ ، ' ! 0‬ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ‪ x1 :‬ﻭ ‪ x2‬ﻫﻤﺎ ﺤﻼ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪ f (x) 0‬ﺤﻴﺙ‪ x1  x2 :‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪x f‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1  f‬‬‫‪ +‬ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪0-‬‬ ‫‪0+‬‬‫)‪f (x‬‬‫‪ -‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪ a  0‬ﻭ ‪ ' ! 0‬ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ‪ x1‬ﻭ ‪ x2‬ﻫﻤﺎ ﺤﻼ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪f (x) 0‬‬ ‫‪x f‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ x1  x2‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬‫‪ -‬ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪0+‬‬ ‫‪x1  f‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪0-‬‬‫‪3‬ﺭﺴﻡ ‪ P‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪f (x) x2  3x  2‬‬ ‫ﻨﺤﺎﻭل ﺍﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‬

y6 (P)54321-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8x -1 -2 -3 -4 -5 -6f (x) x2  2x 1 :‫ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ‬P ‫ ﺭﺴﻡ‬- y 6 5 4 3 2 1-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8x -1 -2 (P) -3 -4 -5 -6

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:6‬‬ ‫ﺍﻴ‪1‬ﺠﺎﺩ ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﺒﺄﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ u‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ t‬ﻴﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ‪R‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ u‬ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﺘﺘﻌﻠﻕ ﺒﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ t‬ﻭﻓﻕ ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪u t²  4t  7‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (t) t²  4x :‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪ f ' :‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f '(t) 2t  4 :‬‬‫ﻟﻨﻠﺨﺹ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '(t‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ t‬ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫‪2 f‬‬ ‫‪f‬‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪+0‬‬ ‫‪-‬‬‫)‪f '(t‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل @‪@ f,2‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل >‪>2,f‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻟـ )‪ f (t‬ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ ، t 2‬ﻓﻨﺠﺩ ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪f (2) 11‬‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪ :‬ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻴﺄﺨﺫﻫﺎ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ u‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ t‬ﻴﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ‪ R‬ﻫﻲ ‪11‬‬ ‫‪2‬ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ϑ‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻭﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:7‬‬‫ﺍﻴﺠﺎﺩ ﺤﻠﻭل ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺩﻭﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﻤﻴﺯ ﻭﻫﺫﺍ ﻓﻲ ‪R‬‬ ‫‪(1)........6x2  9x 01‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 1‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪3x(2x  3) 0‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‪ 2x  3 0 :‬ﺃﻭ ‪3x 0‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪ ¨§ x‬ﺃﻭ ‪0‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫¸·‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‪:‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪(2)........3x 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (2‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪6x²  x 0‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‪x6x 1 0 :‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‪ 6x 1 0 :‬ﺃﻭ ‪x 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ ¨§ x‬ﺃﻭ ‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‪:‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪(3)........5x2 13‬‬ ‫‪x²‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫)‪(3‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪§¨©¨ x‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫·‪¸¸¹‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪¨¨©§ x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫¸¸‪·¹‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‪:‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(4)........‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x²‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (4‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭﻜﺫﺍ‪1  2  0 :‬‬‫‪1‬‬ ‫‪x²‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻻ ﺘﻭﺠﺩ ﻗﻴﻡ ﻟـ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ R‬ﺘﺤﻘﻕ ‪2‬‬‫‪4‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (4‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺨﺎﻟﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪(5)........x 2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2x  345‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (5‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‪x²  2x 1 0 :‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‪x 1² 0 :‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‪x 1 0 :‬‬

‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‪x 1 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:8‬‬‫ﺍﻴﺠﺎﺩ ﺤﻠﻭل ﻜل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯ‬ ‫‪(1)........3x2  7x 10 01‬‬ ‫)‪' 7²  4(3)(10‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪169‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ ' ! 0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 1‬ﻟﻤﺎ ﺤﻠﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﻴﻥ ﻟﻨﺴﻤﻴﻬﻤﺎ ‪ x1‬ﻭ ‪x2‬‬‫‪x1‬‬ ‫‬ ‫‪7  169‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪ 7  169‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫)‪2(3‬‬ ‫)‪2(3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪7‬‬ ‫‪13‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪ 7  13‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x1‬‬ ‫ﺃﻱ‪1 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(2)........5x2  8x  1 02‬‬ ‫)‪' (6)²  4(5)(11‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪184‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ '  0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 3‬ﻻ ﺘﻘﺒل ﺤﻠﻭﻻ ﻓﻲ ‪R‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:9‬‬‫ﺍﻴﺠﺎﺩ ﺤﻠﻭل ﻜل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻭﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﺤﻴﺙ‬ ‫‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪R‬‬ ‫™ ﻭﻗﻔﺔ‪:‬‬

‫)ﺇﺫﺍ ﻜﻨﺎ ﻤﻊ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﺭﺠﺘﻬﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ ‪ 2‬ﻓﻠﻨﻔﻜﺭ ﻓﻲ ﺭﺒﻁﻬﺎ ﺒﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ‬‫ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺃﻭ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻜﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺎﻤل ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﻤﺜﻼ(‬ ‫‪(1)........x3  9x2  14x 01‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 1‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‪xx²  9x 14 :‬‬‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‪ x 0 :‬ﺃﻭ ‪(1)'.......xx²  9x  14 0‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ' ﻤﻤﻴﺯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ '‪ 1‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫)‪' (9)²  4(1)(14‬‬ ‫‪91  56‬‬ ‫‪25‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ ' ! 0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ '‪ 1‬ﺘﻘﺒل ﺤﻠﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﻴﻥ ﻨﺴﺒﺘﻬﻤﺎ ‪ x1‬ﻭ ‪x2‬‬‫‪x2‬‬ ‫‪ x1‬ﻭ ‪9  2 25‬‬ ‫‪9  25‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪ x1 7 :‬ﻭ ‪x2 2‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 1‬ﻫﻲ‪^0,2,7` :‬‬‫‪  (4)........ 3x2  x 1 x2  4 04‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 4‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‪ x2  4 0 :‬ﺃﻭ ‪3x2  x 1 0‬‬‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‪ x2 0 :‬ﺃﻭ ‪3x2  x 1 0‬‬‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‪ x 2 :‬ﺃﻭ ‪ x 2‬ﺃﻭ ‪4'........... 3x2  x 1 0‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ' ﻤﻤﻴﺯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ '‪ 4‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫)‪' 1²  4(3)(1‬‬ ‫‪1  12‬‬ ‫‪13‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ ' ! 0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ '‪ 4‬ﺘﻘﺒل ﺤﻠﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﻴﻥ ﻨﺴﺒﺘﻬﻤﺎ ‪ x1‬ﻭ ‪x2‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ‪13‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬‫‪­1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫½¾‪13 ,2,2‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺤﻠﻭل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬‫®‬ ‫‪6‬‬ ‫¿‬‫¯‬ ‫‪6‬‬ ‫‪  (5)........ 5x2 17x  10 4x2  12x  9 0 5‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 5‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ (5)'.......4x² 12x  9 0‬ﺃﻭ‬‫‪ (5)'.......4x²  12x  9 0‬ﺃﻭ‬ ‫‪(5)''......5x² 17  10 0‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 5‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪(5)''......5x² 17  10 0‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ '1‬ﻤﻤﻴﺯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ '‪ 5‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫)‪'1 (12)²  4(9‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ '1 0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ '‪ 5‬ﺘﻘﺒل ﺤﻼ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ﻨﺴﻤﻴﻪ ‪x0‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫)‪2(4‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ '2‬ﻤﻤﻴﺯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ''‪ 5‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫)‪'2 (17)²  4(5)(10‬‬ ‫‪289  200‬‬ ‫‪89‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ '2 ! 0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ''‪ 5‬ﺘﻘﺒل ﺤﻠﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﻴﻥ ﻨﺴﻤﻴﻬﻤﺎ ‪ x1‬ﻭ ‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‬ ‫‪89‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪17  89‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 5‬ﻫﻲ‪:‬‬

‫‪­17‬‬ ‫‬ ‫‪89‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‬ ‫‪89‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫½‬ ‫®‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫¾‬ ‫¯‬ ‫¿‬ ‫‪(8)........3x2  5x  2 ! 018‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ' ﻤﻤﻴﺯ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ‪ 3x2  5x  2 :‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫)‪' (5)²  4(3)(2‬‬ ‫‪1‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ ' ! 0‬ﻓﺈﻥ ﻟﻬﺫﺍ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺠﺫﺭﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﻴﻥ ﻨﺴﻤﻴﻬﻤﺎ ‪ x1‬ﻭ ‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫)‪2(3‬‬ ‫)‪2(3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬‫ﻨﻠﺨﺹ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ )‪ (3x2  5x  2‬ﺤﻴﺙ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ R‬ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪x f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ + 0 - 0 -‬ﺇﺸﺎﺭﺓ‬‫‪3x2  5x  2‬‬‫‪¼»º‬‬ ‫‪f,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ª‬‬ ‫‰‬ ‫>‪@1,f‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ‬ ‫ﺤﻠﻭل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪3‬‬ ‫«¬‬ ‫‪  (17)........ 2x  x2 x2  3x  4 t 017‬‬ ‫‪ -‬ﻟﻨﺒﺤﺙ ﺃﻭﻻ ﻋﻥ ﺠﺫﻭﺭ ‪x²  3x  4‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ' ﻤﻤﻴﺯ ﻫﺫﺍ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫)‪' 3²  4(1)(4‬‬ ‫‪25‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ ' ! 0‬ﻓﺈﻥ ﻟﻬﺫﺍ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺠﺫﺭﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﻴﻥ ﻨﺴﻤﻴﻬﻤﺎ ‪ x1‬ﻭ ‪x2‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪ 3  25‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫)‪2(1‬‬ ‫)‪2(1‬‬ ‫‪ x1 1‬ﻭ ‪x2 4‬‬ ‫ﻟﻨﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺠﺫﻭﺭ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪2x  x²‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 2x  x² 0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x(2  x) 0‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‪ x 0 :‬ﺃﻭ ‪x 2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ 2x  x²‬ﻟﻪ ﺠﺫﺭﺍﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺍﻥ ﻫﻤﺎ‪ 0 :‬ﻭ‪2‬‬‫ﻨﻠﺨﺹ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ 2x  x²x²  3x  4‬ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﺤﻴﺙ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻤﻥ ‪R‬‬ ‫‪x  f -4 0 1‬‬ ‫‪2 f‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪2x  x²‬‬ ‫‪- 0 +0 -‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪x²  3x  4‬‬ ‫‪+ 0-‬‬ ‫‪0+‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪- 0 + 0 - 0+ 0‬‬ ‫‪-‬‬‫‪2x  x²x²  3x  4‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ 17‬ﻫﻲ‪> 4,0@‰ >1,2@ :‬‬ ‫‪(19)........‬‬ ‫‬ ‫‪3x2  2x‬‬ ‫‬ ‫‪8‬‬ ‫!‬ ‫‪019‬‬ ‫‪x2 9‬‬‫ §¨‬ ‫‪4‬‬ ‫·¸‬ ‫ﻭ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻫﻤﺎ‪:‬‬ ‫‪ 3x²  2x  8‬‬ ‫ﺠﺫﺭﻱ‪:‬‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫ﻨﺠﺩ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ‬ ‫ﺒﻨﻔﺱ‬‫©‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﻭﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺠﺫﺭﻴﻥ ‪ x²  9‬ﻫﻤﺎ‪  3 :‬ﻭ‪3‬‬‫‪ x‬ﻤﻥ‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﻭﻫﺫﺍ ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ‬ ‫‪ 3x2  2x  8‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻠﺨﺹ ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪x2 9‬‬ ‫‪R‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 f‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪- - 0+ 0 - -‬‬‫‪ 3x²  2x  8‬‬ ‫‪+ 0- - - 0 +‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪x²  9‬‬ ‫‪- + 0- 0 + -‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬‫‪ 3x2  2x  8‬‬ ‫‪x2 9‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ '‪ 19‬ﻫﻲ‪:‬‬ ‫¼‪»º‬‬ ‫‪3,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ª‬‬ ‫‰‬ ‫>‪@2,3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫«¬‬ ‫ﺘﺤﻠﻴل ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:10‬‬‫ﺘﺤﻠﻴل )‪ f (x‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻹﻤﻜﺎﻥ ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻜﺜﻴﺭﻱ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻤﻊ‬ ‫ﺍﻟﺘﺒﺭﻴﺭ‬ ‫‪f (x) 5x2  8x  91‬‬ ‫)‪ f (x‬ﻴﻘﺒل ﺠﺫﺭﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﻴﻥ ﻨﺴﻴﻬﻤﺎ ‪ x1‬ﻭ ‪ x2‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪8  61‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪ 8  61‬‬ ‫‪ 10‬‬ ‫‪ 10‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪f (x) 5(x  x1)(x  x2 ) :‬‬ ‫§¨¨©‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ 61‬‬ ‫¨¨©§¸‪·¸¹‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ 61‬‬ ‫‪¸¸·¹‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫¨©§¨‬ ‫‬ ‫‪5x‬‬ ‫‬ ‫‪8‬‬ ‫‬ ‫‪61‬‬ ‫©¨¨§¸·‪¸¹‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ 61‬‬ ‫·¸¸‪¹‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪f (x) 7x2  x  32‬‬‫ﻤﻤﻴﺯ )‪ f (x‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪  83‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻫﻭ ﺴﺎﻟﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭﻟﺫﺍ‪:‬‬‫ﻻ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺘﺤﻠﻴل )‪ f (x‬ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻜﺜﻴﺭﻱ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫‪f (x) 4x2  28x  439‬‬‫ﻤﻤﻴﺯ )‪ f (x‬ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭﻟﺫﺍ )‪ f (x‬ﻴﻘﺒل ﺠﺫﺭﺍ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻨﺴﻤﻴﻪ ‪ x0‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬‫‪x0‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)‪2(4‬‬ ‫‪2‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫§¨‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪7‬‬ ‫§¨·¸‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪7‬‬ ‫·¸‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫©‪¹‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬‫‪4x‬‬ ‫‬ ‫¨§‪14‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪7‬‬ ‫¸·‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫ﻤﺴﺎﺌل‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:11‬‬‫‪ 1‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ‪ P‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪ f (x) x2  4x‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ (d‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪y x  2‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬‫)‪(d) 5 (P‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬‫‪-2‬‬‫‪-3‬‬‫‪-4‬‬‫‪-5‬‬‫‪-6‬‬‫‪ 2‬ﺃ‪ /‬ﺍﻟﺤل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 1.........x2  4x x  2‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪R‬‬‫ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﻫﻲ ﻓﻭﺍﺼل ﻨﻘﺎﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ‪P‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻭﻴﺒﺩﻭ ﺃﻥ‪ P :‬ﻭ )‪ (d‬ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ B, A‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫) ‪ A(x1, y1‬ﻭ ) ‪ B(x2 , y2‬ﺃﻴﻥ‪0  x1  x2 :‬‬‫ﺏ‪ /‬ﺍﻟﺤل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ 2.........x2  4x  x  2‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪R‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻉ ‪ ,2‬أ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ 2‬ﻫﻲ‪@x1x2 > :‬‬ ‫‪3‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 1‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‪1'.....x²  3x  2 0 :‬‬

‫ﻟﻴﻜﻥ ' ﻤﻤﻴﺯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ '‪ 1‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫)‪' (3)²  4(1)(2‬‬ ‫‪1‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ ' ! 0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ '‪ 1‬ﺘﻘﺒل ﺤﻠﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﻴﻥ ﻨﺴﻤﻴﻬﻤﺎ '‪x'', x‬‬‫''‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ‪1‬‬ ‫'‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x' 2‬ﻭ‪x'' 1‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 1‬ﻫﻲ‪^1,2` :‬‬‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ 2‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪2'.....x²  3x  2  0‬‬‫ﻭﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻉ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ 2‬ﻫﻲ‪:‬‬ ‫>‪@1,2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:12‬‬‫‪1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﻬﻤﺎ ‪ 21‬ﻭﺠﺩﺍﺅﻫﻤﺎ ‪ 35‬‬ ‫ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺫﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﺒـ‪ x :‬ﻭ ‪ ، y‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﺼﺒﺢ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪­x  y 21‬‬ ‫‪®¯x u y 35‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪(1).........¯­®xy²‬‬ ‫ ‪21‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 21x‬‬ ‫‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ' ﻤﻤﻴﺯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬

‫)‪' (21)²  4(1)(35‬‬ ‫‪441  140‬‬ ‫‪581‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ ' ! 0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 1‬ﺘﻘﺒل ﺤﻠﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﻴﻥ ﻨﺴﻤﻴﻬﻤﺎ ‪x2, x1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪ x1‬ﻭ ‪21 2 581‬‬ ‫‪21  581‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪­y 21  x‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪0‬‬ ‫‪®¯x²  21x  35‬‬‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‪x, y °­®°¯¨©§¨ 21 2 581 , 21  2 581 ·¸¸¹,§©¨¨ 21  2 581 , 21 2 581 ·¹¸¸½¿°¾° :‬‬‫‪ 2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺒﻌﺩﻱ ﻤﺴﺘﻁﻴل ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﻤﺤﻴﻁ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ﻫﻭ ‪9,10cm‬‬ ‫ﻭﻤﺴﺎﺤﺘﻪ ‪4,125cm²‬‬‫ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺒﻌﺩﻴﻥ ﺒـ‪ x, y :‬ﺤﻴﺙ‪ x ! 0 :‬ﻭ ‪ y ! 0‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﺼﺒﺢ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪­2(x  y) 9,10‬‬ ‫!‪°®°°xxy‬‬ ‫‪4,125‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪¯°y ! 0‬‬‫ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺒﻌﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﻉ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫ ‪4,55‬‬ ‫‪4,7025‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪4,55  4,7025‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ‪2‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:13‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪x‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ y‬ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺒﻀﺎﻋﺔ ﺴﻨﺔ ‪ 1990‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ P1992‬ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺒﻀﺎﻋﺔ ﺴﻨﺔ ‪1992‬‬ ‫‪P1992‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ ‪100‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪100‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ P1994‬ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺒﻀﺎﻋﺔ ﺴﻨﺔ ‪1994‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬‫‪P1994‬‬ ‫‪P1992‬‬ ‫‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪P1992‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 102‬‬ ‫‪P1992‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 102‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 100‬‬ ‫)‪.y.......(1‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻨﻪ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﻨﺘﻴﻥ ‪ 1990‬ﻭ‪ 1994‬ﺇﺯﺩﺍﺩ ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺒﻀﺎﻋﺔ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ‬ ‫‪ 23,2%‬ﻓﺈﻥ‪:‬‬ ‫‪P1994‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‬ ‫‪23,2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪123,2‬‬ ‫)‪y.....(2‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪ :‬ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ)‪ (2‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫‪ 102‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 100‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪123,2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‪x  102x  100 12320 :‬‬‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪(3).......x²  202x  2120 0 :‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ' ﻤﻤﻴﺯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (3‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬

‫)‪' (202)²  4(1)(2120‬‬ ‫‪40804  8480‬‬ ‫‪49284‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ ' ! 0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (3‬ﺘﻘﺒل ﺤﻠﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﻴﻥ ﻨﺴﻤﻴﻬﻤﺎ ‪ x1‬ﻭ ‪x2‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬‫‪x2‬‬ ‫ ‪ 202‬‬ ‫‪49284‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪ 202  49284‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪ x1 20‬ﻭ ‪x2 212‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺴﻌﺭ ﺇﺯﺩﺍﺩ ﻓﺈﻥ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﺃﻥ ﻴﺄﺨﺫ ‪ x‬ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻏﻴﺭ ﻭﺍﺭﺩﺓ ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪x 20‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:14‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﺎﺌﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ ﻫﺸﺎﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻴﻭﻡ‬‫ﻭﻨﺴﻤﻲ ‪ T‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﻘﻠﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ ﻫﺸﺎﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻴﻭﻡ‬‫ﻭﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ﻤﺭﺘﺒﻁﺎﻥ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‪S 2  25  4T 80 :‬‬‫‪1‬ﺍﻴﺠﺎﺩ ﺃﻜﺒﺭ ﻋﺩﺩ ﻤﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻘﻠﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﻟﻠﺴﻴﺩ ﻫﺸﺎﻡ ﺃﻥ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ‬ ‫ﻓﻲ ﻴﻭﻡ ﻭﺍﺤﺩ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‪S 2  25  4T 80 :‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪²‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‬ ‫‪20‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬

‫ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﺘﻤﺜل ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫‪S f‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪f‬‬‫‪f (S) 20,25‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ ‪ S t 0‬ﻷﻥ ‪ S‬ﻴﻤﺜل ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﺎﺌﺏ‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ‪ S 0‬ﻨﺠﺩ‪f (0) 20 :‬‬‫ﺒﻤﻌﻨﻰ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻟﻡ ﻴﺼﻨﻊ ﺍﻟﺤﺭﻓﻲ ﻫﺸﺎﻡ ﺃﻱ ﺤﻘﻴﺒﺔ ﻴﻜﻭﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﻘﻠﻤﺎﺕ‬ ‫ﻫﻭ‪ f (0) :‬ﺃﻱ ﻫﻭ ‪.20‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺃﻜﺒﺭ ﻋﺩﺩ ﻤﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻘﻠﻤﺎﺕ ﻴﻤﻜﻥ ﻟﻠﺤﺭﻓﻲ ﻫﺸﺎﻡ ﺃﻥ ﻴﺼﻨﻌﻪ ﻫﻭ‪20‬‬‫‪ 2‬ﺍﻴﺠﺎﺩ ﺃﻜﺒﺭ ﻋﺩﺩ ﻤﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻘﺎﺌﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﻟﻠﺴﻴﺩ ﻫﺸﺎﻡ ﺃﻥ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ‬ ‫ﻓﻲ ﻴﻭﻡ ﻭﺍﺤﺩ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‪S 2  25  4T 80 :‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‪S  1² 1 4T 80 :‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ‪S  1² 81  4T :‬‬‫ﺍﻟﻌﺩﺩ‪ 81 4T  :‬ﻤﻭﺠﺏ ﻷﻨﻪ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻔﺭﻉ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‪ ،‬ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻟـ ‪ T‬ﻫﻲ ‪20‬‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﻴﺼﺒﺢ‪81 4T 1 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‪S 1² 81 4T :‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‪ S  1 81  4T :‬ﺃﻭ ‪S  1  81  4T‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪ S 1  81 4T :‬ﺃﻭ ‪S 1  81  4T‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ‪ 1 81 4T  0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﻭﺍﺭﺩ ﻫﻭ‪S 1 81 4T :‬‬

‫ﻭﺍﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ 81 4T‬ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪T 0‬‬‫ ‪S 1‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻭﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﻴﺼﺒﺢ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ‪ :‬ﺃﻜﺒﺭ ﻋﺩﺩ ﻤﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻘﺎﺌﺏ ﻴﻤﻜﻥ ﻟﻠﺤﺭﻓﻲ ﻫﺸﺎﻡ ﺃﻥ ﻴﺼﻨﻌﻪ ﻫﻭ ‪.8‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:15‬‬‫‪ 1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺜﻼﺜﺔ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻫﺫﻩ‬‫ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ 27‬ﻭﺠﺩﺍﺌﻬﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ )‪(-567‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪) a,b,c‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ( ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪­a  b  c 27‬‬ ‫‪®¯a u b u c 567‬‬‫‪­a  b  c 27‬‬‫‪°®a  c 2b‬‬‫‪°¯a u b u c 567‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪­a  c‬‬ ‫‪18‬‬ ‫ﺃﻥ‪:‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪¯®a u c‬‬ ‫‪63‬‬‫‪­c 18  a‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪0 :‬‬‫‪¯®a² 18a  63‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ‪a,b,c^ 3,9,21,21,9,3` :‬‬‫‪2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺜﻼﺜﺔ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻤﻥ‬‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻫﻭ ‪ 6‬ﻭﻤﺠﻤﻭﻉ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪.19‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ‪ x, y, z :‬ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ ،‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪­y 6‬‬ ‫‪¯®x  y  z 19‬‬ ‫‪­y 6‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪13 :‬‬ ‫‪¯®x  z‬‬