دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني اداب و فلسفة سنة ثانية ثانوي

‫ﻓﻬﺭﺱ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ‬ ‫‪ -‬ﺜﻼﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‬

‫ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ﻋﻨﺩ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﺠﻌﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\"‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪x0‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﺸﺘﻘﺎﻕ ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪x0‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺭﺠﻌﻴﺔ‬‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‪ ،‬ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺠﺩﺍﺀ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‪ ،‬ﻤﺸﺘﻘﺔ ﻤﻘﻠﻭﺏ ﺩﺍﻟﺔ‪ ،‬ﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻗﻭﺓ\"‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺍﻷﻨﺸﻁﺔ‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﻨﺩ ﻗﻴﻤﺔ‪:‬‬ ‫‪ /2‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﻨﻘﺎﻁﻪ ‪:‬‬ ‫‪ /3‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ‪:‬‬ ‫‪ /4‬ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﻭﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل‪:‬‬ ‫‪ /5‬ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ‪:‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪3‬‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪3‬‬

‫ﺍﻷﻨﺸﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ : 01‬ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪0, I, J‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﺤﻴﺙ‪ A(2,4) :‬ﻭ )‪B(2,2‬‬ ‫‪ -1‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ AB‬؟‬‫‪ -2‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل؟‬ ‫‪ -3‬ﻫل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ )‪ (d‬ﻭ ‪ AB‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ؟‬ ‫‪ -4‬ﻫل ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ' ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ؟‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪(d‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬‫‪B.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1234‬‬ ‫‪5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪-6‬‬

‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ‪ ،‬ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﻤﻨﻪ ﻤﻌﺎﻤل‬ ‫)‪(2)  (4‬‬ ‫ﻭﻫﻭ‬ ‫‪yB  yA‬‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ AB‬ﻫﻭ‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(2)  (2‬‬ ‫‪xB  xA‬‬ ‫§¨‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫¸·‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ ‪AB‬‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻪ‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬‫‪ (d) 2‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ CD‬ﺃﻴﻥ )‪ c(3,1‬ﻭ )‪ ) D(4,1‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺸﻜل ( ﻤﻨﻪ‬‫ﻤﻨﻪ ﻤﻌﺎﻤل‬ ‫)‪(1)  (1‬‬ ‫ﻭﻫﻭ‬ ‫‪yD  yC‬‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻫﻭ‬ ‫)‪(4)  (3‬‬ ‫‪xD  xC‬‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻫﻭ ‪ 2‬‬‫‪ 3‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ )‪ (d‬ﻭ ‪ AB‬ﻟﻴﺴﺎ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ ﻷﻥ ﻤﻌﺎﻤﻠﻲ ﺘﻭﺠﻴﻬﻬﻤﺎ ﻤﺨﺘﻠﻔﺎﻥ‪.‬‬‫‪ 4‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ' ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ' ﻟﻴﺱ ﻟﻪ ﻤﻌﺎﻤل‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻪ‪.‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﻟﻺﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪ ،‬ﺍﺴﺘﻌﻤﻠﺕ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺤﻭل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺩﺭﻭﺴﺔ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ : 02‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻨﺩ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫‪ 1‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ u, g, f‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫)‪u(x‬‬ ‫‪2x3  5‬‬ ‫)‪، g(x‬‬ ‫)‪x(5x2  1) ، f (x‬‬ ‫‪8x  6‬‬ ‫‪x2  3‬‬ ‫ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺩﺱ ﺍﻟﻤﺤﻀﺭ‪ ،‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﻤل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫‪ x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ `‪ ، R  ^1‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ )‪ (1‬ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻡ‬ ‫)‪ f (x‬ﻗﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ‪....‬‬

‫‪ x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ R  3‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ‪ 3‬ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻡ )‪^ `g(x‬‬ ‫ﻗﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ‪.....‬‬‫‪ x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ‪ R  ^2` :‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ‪ 2‬ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻡ )‪u(x‬‬ ‫ﻗﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ‪.....‬‬‫‪ 2‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ ϑ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ `‪ R  ^3‬ﺒﻤﺎ‬ ‫ ‪ϑx‬‬ ‫‪x2 9‬‬ ‫ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪x3‬‬‫أ‪ .‬ﺃﻜﺘﺏ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ ،ϑx‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻓﻲ `‪ ، R  ^3‬ﻋﻠﻰ ﺃﺒﺴﻁ ﺸﻜل ﻤﻤﻜﻥ‬ ‫ب‪ .‬ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺩﺱ ﺍﻟﻤﺤﻀﺭ‪ ،‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬‫‪ x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ `‪ ، R  ^3‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ‪ 3‬ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻡ ‪ϑx‬‬ ‫ﻗﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ‪....‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪ ،‬ﺘﻌﺒﻴﺭ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬‫‪ * 1‬ﺤﺩﺴﻴﺎ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻘﺘﺭﺏ ‪ x‬ﻤﻥ )‪ 8x ، (1‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ )‪8u (1‬‬‫ﻭ )‪ (8x  6‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ )‪ (8 u (1)  6‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻘﺘﺭﺏ ‪ x‬ﻤﻥ )‪ (1‬ﻓﺈﻥ‬ ‫)‪ f (x‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ )‪(14‬‬‫‪ x‬ﺒﺼﻔﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ‪ :‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻘﺘﺭﺏ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ 3‬ﻓﺈﻥ )‪ g(x‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ‪16 3‬‬ ‫‪ x‬ﺒﺼﻔﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ‪ :‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻘﺘﺭﺏ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ 2‬ﻓﺈﻥ )‪ u(x‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ‪3‬‬‫)‪ϑ(x‬‬ ‫)‪(x  3)(x  3‬‬ ‫`‪: R  ^3‬‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺃ( ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u3‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪ϑx x  3 :‬‬ ‫ﺏ( ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ‪ 3‬ﻓﺈﻥ ‪ ϑx‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ‪6‬‬

‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫‪ x‬ﺍﻷﻗﻭﺍل ﺍﻟﻤﻨﺼﻭﺹ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺃﻋﻼﻩ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺩﺱ ﺍﻟﻤﺤﻀﺭ ﻭﻴﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ‬‫ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻗﻭﺍل ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺘﻴﺎ ﻭﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻠﺨﻴﺼﻲ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪ ،‬ﺤﻴﺙ‬ ‫ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ f‬ﻭ ‪ ،ϑ‬ﻋﻠﻰ ﺴﺒﻴل ﺍﻟﻤﺜﺎل‬

‫ﺍﻟﻘﻭل ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺘﻲ ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ‬ ‫‪lim f (x) 14‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻭل‬ ‫ﺍﻟﺤﺩﺱ‬ ‫)‪ f (x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ‬ ‫)‪x o( 1‬‬ ‫)‪ (14‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل‬ ‫‪ x‬ﺇﻟﻰ )‪ (1‬ﺃﻭ ﻫﻭ‬ ‫`‪ ، R  ^1‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ‬ ‫‪lim f‬‬ ‫ﺃﻭ ‪14‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻡ‬ ‫)‪ f (x‬ﻗﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ )‪ f (x‬ﻋﻨﺩﻤﺎ‬ ‫ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ )‪(1‬‬ ‫)‪(14‬‬ ‫ﺃﻭ )‪ (14‬ﻫﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ )‪(1‬‬ ‫)‪limϑ ( x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻴﺅﻭل‬ ‫ ‪ϑx‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ‬ ‫‪xo3‬‬ ‫‪limϑ‬‬ ‫ﺃﻭ ‪6‬‬ ‫`‪ ، R  ^3‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ ‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ 3‬ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻡ ‪ ϑx‬ﺃﻭ ‪ 6‬ﻫﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ ‪ϑx‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ ‪3‬‬ ‫ﻗﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ‪6‬‬ ‫ﺃﻭ ‪ 6‬ﻫﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪ ϑ‬ﻋﻨﺩ ‪3‬‬‫\"‬ ‫\"‪limite‬‬ ‫ﻟﻜﻠﻤﺔ‬ ‫ﺍﻗﺘﺼﺎﺭ‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪،\"lim‬‬ ‫\"‬ ‫‪، lim‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ ‪14‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪x o( 1‬‬‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﻨﻲ \"ﻨﻬﺎﻴﺔ\" ﻭ \" )‪ \" x o (1‬ﻴﻌﻨﻲ \" ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ x‬ﺇﻟﻰ )‪ ، (1‬ﺩﻭﻥ ﺃﻥ ﻴﺄﺨﺫ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ )‪ \" (1‬ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ‪ ،‬ﻻ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ \"ﻴﺨﺭﺝ\" )‪ x o (1‬ﻤﻥ ﺤﺩﻭﺩ\" ‪\" lim‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫)‪limϑ ( x‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ‬ ‫ﺍﺴﺘﻁﻌﻨﺎ‬ ‫ﻟﻤﺎ‬ ‫ ‪ϑx‬‬ ‫ﻋﺒﺎﺭﺓ‬ ‫ﺒﺘﺒﺴﻴﻁ‬ ‫ﻨﻘﻡ‬ ‫ﻟﻡ‬ ‫ﻟﻭ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪xo3‬‬ ‫‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺩﺭﻭﺱ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺒﻴﺭ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬

‫ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﺹ ﻫﻲ ﻤﺠﺎﻻﺕ ﻤﻥ ‪ R‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻨﻬﺎ‬‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻤﺠﺎل ﻤﻔﺘﻭﺤﺎ ﻏﻴﺭ ﺨﺎل ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ ، D‬ﻤﺠﺎل ﺃﻭ ﺍﺘﺤﺎﺩ ﻤﺠﺎﻻﺕ ﻤﻨﻔﺼﻠﺔ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪a‬‬‫ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﺎ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪ D‬ﺃﻭ ﺤﺩ \"ﻷﺤﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪A‬‬ ‫ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻜﻴﻔﻴﺎ‪.‬‬‫ﺍﻟﻘﻭل \" )‪ f (x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ A‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ ‪) \" a‬ﺃﻭ \" ‪ A‬ﻫﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ )‪f (x‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ ‪ \" a‬ﺃﻭ \" ‪ A‬ﻫﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ (\" a‬ﻴﻌﻨﻲ‪:‬‬‫\" ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ `‪ ، D  ^a‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ‪ a‬ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻡ )‪ f (x‬ﻗﺭﻴﺒﺔ‬‫ﺃﻭ‬ ‫\"‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ‪ A‬ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ \" A‬ﻭﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻘﻭل ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ‪A‬‬ ‫‪xoa‬‬ ‫\"‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ‪A‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :3‬ﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻟﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‪ ( C) ،‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\" ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫) ‪ (0, I, J‬ﻭ ‪ A‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ)‪ ( C‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪.1‬‬ ‫‪ 1‬ﺤﺩﺴﻴﺎ‪ ،‬ﻜﻴﻑ ﺘﺴﻤﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪(d‬؟‬ ‫‪ 2‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)‪ (d‬؟‬‫‪ 3‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ h‬ﻨﺴﻤﻲ ‪ Ah‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ ( C‬ﺍﻟﺘﻲ‬‫ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ )‪ (1  h‬ﻭﺘﺴﻤﻰ ) ‪ (Dh‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ (AAh‬ﻭﻨﺴﻤﻲ )‪ T (h‬ﻤﻌﺎﻤل‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻪ ) ‪(Dh‬‬ ‫أ‪ .‬ﺃﺭﺴﻡ ) ‪(D0,5 ) ، (D1 ) ، (D2‬‬

‫)‪limT (h‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ‬ ‫ﺜﻡ‬ ‫‪h‬‬ ‫ﺒﺩﻻﻟﺔ‬ ‫)‪T (h‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ‬ ‫ب‪.‬‬ ‫‪ho0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(d‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪(C) 5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 .A‬‬ ‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﺤﺩﺴﻴﺎ‪ (d) :‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ ( C‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪A‬‬‫ﻤﻨﻪ‬ ‫)‪(1)  (1‬‬ ‫ﻭﻫﻭ‬ ‫‪yB  yA‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺸﻜل‪،‬ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ )‪(d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(0) 1‬‬ ‫‪xB  xA‬‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ' ﻫﻭ ‪(1)......... 2‬‬‫‪ 3‬ﻓﺎﺼﻠﺔ ‪ Ah‬ﻫﻲ )‪ (1  h‬ﻭ ‪ Ah‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ)‪ ( C‬ﻤﻨﻪ ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ Ah‬ﻫﻭ ‪h  1 2‬‬ ‫أ‪.‬ﻟﺭﺴﻡ ﺍﻟﺸﻜل )‪ A0,5 (1.5,2.25) ، A1(2,4) ، A2 (3,9‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺭﺴﻡ‪:‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1A‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬‫ب‪ .‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ h‬ﻓﻲ `‪ Ah (1 h, (1  h)2 ) ، R  ^0‬ﻭ )‪ A(1,1‬ﻤﻨﻪ‬‫)‪ T (h‬ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫)‪ T (h‬ﻤﻨﻪ ‪h  2‬‬ ‫‪h2  2h‬‬ ‫)‪ T (h‬ﺃﻱ‬ ‫‪(1  h)2 1‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪1 h 1‬‬ ‫)‪limT (h‬‬ ‫‪lim(h‬‬ ‫‬ ‫)‪2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻓﻲ `‪R  ^0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫ﻜل‬ ‫‪ho0‬‬ ‫‪ho0‬‬ ‫‪(2).....‬‬ ‫)‪limT (h‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪2‬‬ ‫‪ho0‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﺤﺩﺴﻴﺎ‪ :‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ h‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ‪– 0‬ﺩﻭﻥ ﺃﻥ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ -0‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ Ah‬ﺘﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ‬‫‪ A‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ (Dh‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ )‪ (d‬ﻤﻨﻪ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ (Dh‬ﻴﻘﺘﺭﺏ‬ ‫ﻤﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪(d‬‬‫‪ x‬ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺘﺎﻥ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺘﺎﻥ )‪ (1‬ﻭ)‪ (2‬ﺘﻌﻜﺴﺎﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ﺍﻟﺤﺩﺴﻴﺔ !!‬

‫‪ x‬ﻤﻥ ﺨﻼل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﻨﻼﺤﻅ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﺭﻤﺯﻨﺎ ﺒﺎﻟﺤﺭﻑ ‪ g‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\"‪،‬‬‫ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺘﻪ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪ 1‬ﻫﻭ‬ ‫)‪lim g(1  h)  g(1‬‬ ‫‪ho0 h‬‬

‫ﻜل ﻤﺠﺎل ﻤﻌﺘﺒﺭ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺩﺭﺱ ﻫﻭ ﻤﺠﺎل ﻤﻥ ‪ R‬ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻤﺠﺎﻻ ﻤﻔﺘﻭﺤﺎ ﻏﻴﺭ‬ ‫ﺨﺎل‪ ،‬ﻭﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻫﻲ ﺩﻭﺍل ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﻨﺩ ﻗﻴﻤﺔ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ D‬ﻤﺠﺎل ﺃﻭ ﺍﺘﺤﺎﺩ ﻤﺠﺎﻻﺕ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ x0‬ﻋﺩﺩﺍ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪. D‬‬ ‫* ﺍﻟﻘﻭل \"ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ \" x‬ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫§¨‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x0‬‬ ‫‬ ‫ )‪h‬‬ ‫‪f‬‬ ‫¸· ) ‪(x0‬‬ ‫\" ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ A‬ﺒﺤﻴﺙ ‪A‬‬ ‫©‪ho0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪¹‬‬‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ ، x0‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬‫ﻭﻴﺭﻤﺯ‬ ‫‪x0‬‬ ‫ﻋﻨﺩ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﻴﺴﻤﻰ‬ ‫§¨‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x0‬‬ ‫ )‪ h‬‬ ‫‪f‬‬ ‫·¸ ) ‪(x0‬‬ ‫©‪ho0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ) ‪f '(x0‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) 3x2  5x 1 :‬‬‫ﺒﺎﻟﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫ﻟﻨﺩﺭﺱ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﺸﺘﻘﺎﻕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ ،2‬ﻟﺫﻟﻙ ﻨﻬﺘﻡ‬ ‫§¨‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ ‪(2‬‬ ‫)‪h‬‬ ‫‬ ‫‪f‬‬ ‫¸· )‪(2‬‬ ‫©‪ho0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪f (2) 21 :‬‬

‫ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ‪ ، h z 0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪f (2  h) 3(2  h)2  5(2  h) 1‬‬ ‫‪3(4  4h  h2 )  5(2  h) 1‬‬ ‫‪3h2  17h  21‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪f (2  h)  f (2) 3h2  17h‬‬ ‫)‪h(3h  17‬‬ ‫)‪f (2  h)  f (2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪3h 17 :‬‬ ‫‪h‬‬ ‫§¨‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ )‪(2  h‬‬ ‫‪f‬‬ ‫·¸ )‪(2‬‬ ‫)‪lim(3h  17‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫©‪ho0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪ho0‬‬ ‫‪ 17‬ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ 2‬ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ 2‬ﻫﻭ‬ ‫‪f '(2) 17‬‬ ‫ت‪ .‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ﻋﻨﺩ ‪: x0‬‬ ‫• ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻤﻔﺭﻭﻀﻴﻥ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ f (x) ax  b :‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ x0‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‬ ‫) ‪f (x0‬‬ ‫‪ax0  b‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪f (x0  h) a(x0  h)  b‬‬ ‫‪ ، h z 0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪ax0  ah  b‬‬‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x0‬‬ ‫ )‪ h‬‬ ‫‪f‬‬ ‫) ‪(x0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪f (x0  h)  f (x0 ) ah‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪h‬‬ ‫¨§‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ ‪(2‬‬ ‫ )‪h‬‬ ‫‪f‬‬ ‫¸· )‪(2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫©‪ho0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪¹‬‬

‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻫﻭ‬ ‫‪f '(x0 ) a‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬‫ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‪ f (x) ax  b :‬ﺃﻴﻥ‬‫‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎﻥ‪ ،‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x0‬‬ ‫ﻭﻋﺩﺩﻫﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻫﻭ ‪f '(x0 ) a‬‬ ‫• ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\"‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺭﻤﺯﻨﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ g‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\" ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ g(x) x2 :‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ x0‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ g(x0 ) x02 :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ ، h z 0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪g(x0  h) (x0  h)2‬‬ ‫‪x0 2  2hx0  h 2‬‬ ‫) ‪g(x0  h)  g(x0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪2hx0  h2‬‬ ‫) ‪g (x0  h)  g(x0‬‬ ‫‪h(2‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‬ ‫)‪h‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h‬‬‫¨§‪lim‬‬ ‫‪g(x0‬‬ ‫‬ ‫)‪h‬‬ ‫‬ ‫) ‪g(x0‬‬ ‫·¸‬ ‫‪lim(2‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‬ ‫)‪h‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬‫©‪ho0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪ho0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪2x0‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻫﻭ‬ ‫‪g'(x0 ) 2x0‬‬

‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\" ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x0‬ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫\"ﻤﺭﺒﻊ\"‪ ،‬ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻫﻭ ‪2x0‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻘﻠﻭﺏ\"‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺭﻤﺯﻨﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ F‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻘﻠﻭﺏ\" ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ `‪R  ^0‬‬ ‫)‪ F(x‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ x0‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪x‬‬‫)‪F(x0  h‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﻨﺎ‪:‬‬ ‫ﻭ ‪h z x0‬‬ ‫‪hz0‬‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫) ‪F(x0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪x0  h‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫) ‪F(x0  h)  k(x0‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪x0  h  x0‬‬ ‫)‪x0  (x0  h‬‬ ‫‪(x0  h)x0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫)‪x0 (x0  h‬‬ ‫) ‪F(x0  h)  F(x0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪h‬‬ ‫)‪x0 (x0  h‬‬ ‫¨§‪lim‬‬ ‫‪F ( x0‬‬ ‫‬ ‫)‪h‬‬ ‫‬ ‫‪F ( x0‬‬ ‫)‬ ‫·¸‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫©‪ho0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪x0 2‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ k‬ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻫﻭ‬ ‫) ‪F'(x0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x0 2‬‬

‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬‫‪ x0‬ﻭﻋﺩﺩﻫﺎ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻘﻠﻭﺏ\" ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ (x0 z 0‬ﻫﻭ ‪2x0‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻋﻨﺩ ‪x0‬‬ ‫‪x0 2‬‬ ‫‪ /2‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﻨﻘﺎﻁﻪ ‪:‬‬ ‫أ‪ .‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x0‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﺎ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪، x0‬‬‫ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ ‪0, I, J‬‬‫ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ I‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ‪ M 0‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪) x0‬ﺃﻱ‬‫) ‪ ( M 0 (x0 ; f (x0‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻬﻪ ﻴﺴﺎﻭﻱ ) ‪ f '(x0‬ﻭﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪M 0‬‬ ‫ب‪ .‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ‪:‬‬‫ﻭﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﺴﺎﺌﺩﺓ‪ ،‬ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ' ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ I‬ﻓﻲ‬‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M 0‬ﺒﻤﺄﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ' ﻫﻭ ) ‪ f '(x0‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ' ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬‫ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ y f '(x0 ).x  b‬ﺃﻴﻥ ‪ b‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ M 0‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ‬ ‫ ' ﻓﺈﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ‪ M 0‬ﺘﺤﻘﻘﺎﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ '‬ ‫ﺇﺫﻥ‪ f (x0 ) f '(x0 ).x0  b :‬ﻤﻨﻪ ‪b f (x0 )  f '(x0 ).x0‬‬ ‫ﻭﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ' ﺘﺼﺒﺢ ) ‪y f '(x0 ).x  f '(x0 )  f (.x0‬‬ ‫ﺃﻱ ) ‪y f '(x0 ).(x  x0 )  f (.x0‬‬

‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x0‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻭﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻭﻜﺎﻥ ‪I‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪، 0, I, J‬‬‫ﻓﺈﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ' ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ I‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪ x0‬ﻫﻲ‪y f '(x0 ).(x  x0 )  f (.x0 ) :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫ﻟﻨﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ F‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻘﻠﻭﺏ\" ﻭﻟﻨﺴﻤﻲ ‪ H‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬‫\"ﻤﻘﻠﻭﺏ\" ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪ ، 0, I, J‬ﻭﻟﻨﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬‫)‪ (t‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ H‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪.3‬‬‫ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (t‬ﻫﻲ‪y F'(3).(x  3)  F(3) :‬‬‫)‪ F(3‬ﻤﻨﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪: (t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪F '(3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻟﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‬ ‫)‪3‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﻤﺎﺱ )‪ (t‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪ 3‬ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ /3‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻭﻟﺘﻜﻥ '‪ D‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﻋﻨﺩﻫﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ‪.‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ '‪ D‬ﻏﻴﺭ ﺨﺎﻟﻴﺔ ‪ ،‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬‫ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ' ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ '‪ D‬ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﻨﺼﺭ‬ ‫‪ x‬ﻤﻥ '‪ D‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ )‪ ، f '(x‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪. x‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﺴﻤﻰ ﻜﺫﻟﻙ \"ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪\" f‬‬ ‫ﺏ ‪ -‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﺩﻭﺍل ﻤﺭﺠﻌﻴﺔ‪:‬‬‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ k‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ f (x) k :‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻭﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ﺨﺎﺼﺔ ﻷﻥ‬ ‫‪ f (x) 0.x  k‬ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x0‬ﻫﻭ ‪0‬‬‫ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻭﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ )‪– (1‬ﺏ‪ -‬ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻬﺎﻤﺔ‬ ‫ﺠﺩﺍ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ D‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭ '‪D‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ' ‪ ، f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬

‫)‪D f : x o f (x‬‬ ‫'‪D‬‬ ‫)‪f ': x o f '(x‬‬‫‪R f (x) k‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪f '(x) 0‬‬ ‫) ‪ k‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻔﺭﻭﺽ(‬ ‫‪R‬‬‫ﻭ‪R b‬‬ ‫‪a ) f (x) ax  b‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪f '(x) a‬‬ ‫ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎﻥ(‬ ‫`‪R  ^0‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪f (x) x2‬‬ ‫)‪f '(x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫)‪f '(x‬‬‫`‪R  ^0‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪ /4‬ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﻭﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل‪:‬‬ ‫أ‪ .‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ u‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ Du‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ ϑ‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪Dϑ‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ k‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎ‬‫ﻭﻫﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺘﺴﻤﻰ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪...‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻉ‬‫)‪(u  ϑ)(x) u(x)  ϑ(x‬‬ ‫‪Du ˆ Dϑ‬‬ ‫‪u ϑ‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪u‬‬‫)‪(u.ϑ)(x) u(x)  ϑ(x‬‬ ‫‪Du ˆ Dϑ‬‬ ‫ﻭ‪ϑ‬‬ ‫‪u.ϑ‬‬ ‫ﺠﺩﺍﺀ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪u‬‬‫)‪(ku)(x) k.u(x‬‬ ‫ﻭ‪ϑ‬‬ ‫‪k.u‬‬ ‫ﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪Du‬‬

‫‪ u‬ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ‪k‬‬‫¨§‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪·¸( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻘﻠﻭﺏ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ‬ ‫‪1‬‬‫©‬ ‫‪u‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫)‪u(x‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪ x‬ﻤﻥ ‪Du‬‬ ‫‪u‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‬ ‫‪u(x) z 0‬‬‫¨§‬ ‫‪u‬‬ ‫)‪·¸( x‬‬ ‫)‪u(x‬‬ ‫ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ‬ ‫‪u‬‬‫©‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫)‪ϑ(x‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x u‬ﻤﻥ‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪Du ˆ Dϑ‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ϑ‬‬ ‫ب‪ .‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‬ ‫‪ϑ(x) z 0‬‬‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺃﻨﻬﺎ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬ ‫ﺝ‪ .‬ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻘﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ )ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ(‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ k‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ‪.‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻗﺎﺒﻠﺘﻴﻥ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ u  ϑ‬ﻭ ‪ u.ϑ‬ﻗﺎﺒﻠﺘﻴﻥ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ‬ ‫‪ x‬ﻤﻥ ‪I‬‬‫)‪ u.ϑ '(x) u'(x).ϑ(x)  u(x).ϑ'(x‬ﺃﻱ‪u.ϑ '(x) u'(x)  ϑ'(x) :‬‬ ‫‪ (2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ u‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬

‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ (ku‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪: I‬‬ ‫)‪(ku)'(x) k.u'(x‬‬‫‪ (3‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ u‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭﻜﺎﻥ ‪ u(x) z 0‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ‬ ‫‪I‬‬ ‫ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪: I‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻋﻨﺼﺭ‬ ‫‪u‬‬ ‫¨§‬ ‫‪1‬‬ ‫'·¸‬ ‫)‪(x‬‬ ‫)‪ u'(x‬‬ ‫‪:I‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪x‬‬ ‫©‬ ‫‪u‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪(u ( x)) 2‬‬‫‪ (4‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ ϑ‬ﻗﺎﺒﻠﺘﻴﻥ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭﻜﺎﻥ ‪ ϑ(x) z 0‬ﻤﻥ‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‬ ‫‪I‬‬ ‫ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪u‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪I‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫ﻋﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪: I‬‬ ‫§¨‬ ‫‪u‬‬ ‫'·¸‬ ‫)‪(x‬‬ ‫)‪ϑ(x).u'(x)  u(x).ϑ'(x‬‬ ‫©‬ ‫‪ϑ‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪(ϑ ( x)) 2‬‬ ‫ﻤﺜﻼ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) x2  3x  7 :‬‬ ‫ﻟﻨﻀﻊ ‪ u(x) x2‬ﻭ ‪ϑ(x) 3x  7‬‬‫ﻟﻤﺎ‪ f (x) u(x)  ϑ(x) :‬ﻤﻨﻪ‪) f '(x) u'(x)  ϑ'(x) :‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ‪(1‬‬ ‫ﻭ ‪) u'(x) 2x‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\"(‬ ‫‪)ϑ'(x) 3‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ \"ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ\"(‬ ‫ﻤﻨﻪ ' ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f '(x) 2x  3 :‬‬‫‪ x‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ g(x) x3‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ k‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪k(x) x4‬‬‫ﻟﻨﻀﻊ ‪ u ) u(x) x2‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﺒﻊ( ﻭ ‪ ϑ )ϑ(x) x‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ(‬

‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ g(x) u(x).ϑ(x) :‬ﻤﻨﻪ )‪ ) g'(x) u(x).ϑ'(x)  u'(x).ϑ(x‬ﺤﺴﺏ‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ‪(1‬‬ ‫‪x2 .1  2x.x‬‬ ‫‪3x 2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ k(x) u(x).u(x) :‬ﻤﻨﻪ‪k'(x) u(x).u'(x)  u'(x).u(x) :‬‬ ‫‪x2 .2x  2x.x2‬‬ ‫‪4x3‬‬‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺤﻴﺙ ‪ g(x) x3‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ '‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪g'(x) 3x2‬‬‫ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ k‬ﺒﺤﻴﺙ‪ k(x) x4 :‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ '‪ k‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪k'(x) 4x3‬‬ ‫)‪F ( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪F‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3x2 1‬‬‫ﻟﻨﻀﻊ ‪ u(x) 3x2 1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪) u'(x) 3.2x :‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ )‪(1‬‬ ‫ﻭ)‪ (2‬ﻭﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\" ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ(‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪u'(x) 6x :‬‬‫)‪F ' ( x‬‬ ‫‪ 6x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫)‪F ' ( x‬‬ ‫)‪ u'(x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫)‪F ( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪(3x 2  1)2‬‬ ‫‪(u ( x)) 2‬‬ ‫)‪u(x‬‬‫)‪G(x‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2  3x  7‬‬ ‫) ‪k (u‬‬‫)‪ G(x‬ﺤﻴﺙ ‪ k‬ﻭ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺘﺎﻥ ﺃﻋﻼﻩ ﻤﻨﻪ ﻭﺤﺴﺏ‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫)‪G'(x‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ‪(4‬‬ ‫)‪f (x).k'(x)  f '(x).k(x‬‬ ‫‪( f (x))2‬‬

‫)‪G'(x‬‬ ‫‪(x 2  3x  7).(4x3 )  (2x  3).x 4‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪(x2  3x  7)2‬‬‫ﺒﻌﺩ ﺇﻨﺠﺎﺯ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ '‪) G‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ( G‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫)‪G'(x‬‬ ‫‪2x5  9x 4  28x3‬‬ ‫‪(x2  3x  7)2‬‬ ‫ﺝ‪.‬ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻗﻭﺓ\"‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﻋﻤﺎل ﺴﺎﺒﻘﺔ‪ ،‬ﻭﺠﺩﻨﺎ‬ ‫ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x o x2‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x o 2x‬‬ ‫ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x o x3‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x o 3x2‬‬ ‫ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x o x4‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x o 4x3‬‬‫ﻭﺒﺼﻭﺭﺓ ﻋﺎﻤﺔ‪ ،‬ﻨﻘﺒل ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ‪ ،‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪ ،‬ﻤﻔﺭﻭﻀﺎ ﻓﺈﻥ‬ ‫ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x o xn‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x o n.xn1‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ‪ ،‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪ ،‬ﻤﻔﺭﻭﻀﺎ‪،‬‬‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ f (x) xn‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﻭﺩﺍﻟﺘﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ' ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f '(x) n.xn1‬‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎ ﻭﻜﺎﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ‪ ،‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪،‬‬‫ﻤﻔﺭﻭﻀﺎ‪ :‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ f (x) axn‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ R‬ﻭﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ' ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f '(x) na.xn1‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ f (x) 4x3‬ﻓﺈﻥ ‪f '(x) 12.x2‬‬

‫)‪f '(x‬‬ ‫)‪ f (x‬ﻓﺈﻥ ‪35.x6‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪5x7‬‬‫)‪f '(x‬‬ ‫)‪ f (x‬ﻓﺈﻥ ‪45.x7‬‬ ‫‪3 x8‬‬ ‫ﻜﺎﻥ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ /5‬ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ f '(x) 0‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ f '(x) ! 0 :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻓﺈﻥ‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ f '(x)  0 :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻓﺈﻥ‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ f '(x) t 0 :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻭﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‬ ‫‪ f '(x) 0‬ﻋﺩﺩﻫﺎ ﻤﻨﺘﻪ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ f '(x) d 0 :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻭﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‬ ‫‪ f '(x) 0‬ﻋﺩﺩﻫﺎ ﻤﻨﺘﻪ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) 3x2  6x  7 :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ' ‪ f‬ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f '(x) 6x  6 :‬‬ ‫ﻭﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '(x‬ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل‬

‫‪x f1 f‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f '(x‬‬ ‫‪-0+‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل @‪@ f,1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل >‪>1,f‬‬ ‫‪ x‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪g(x) x3  7 :‬‬ ‫'‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪g'(x) 3x2 :‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ g'(x) t 0 : R‬ﻭ ‪ g'(x) 0‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬ ‫ﻓﻘﻁ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪) x‬ﻭﻫﻲ ‪ (0‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪- f '(x‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ - x‬ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪3‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ‬ ‫ﻫﺫﺍ‬ ‫ﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫ﻤﺎﺫﺍ‬ ‫ﻗل‬ ‫ﺜﻡ‬ ‫§¨‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x0‬‬ ‫‬ ‫)‪h‬‬ ‫‬ ‫‪f‬‬ ‫·¸ ) ‪(x0‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ‬ ‫©‪ho0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫)‪ f (x‬ﻭ ‪2‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪، x0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪3x2  x (1‬‬ ‫‪2x  3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫)‪ f (x‬ﻭ ‪2‬‬ ‫‪x2 1‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪0,5x 2  x‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪2x2  5‬‬‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ‪x0 0‬‬ ‫ﻭ ‪x0 2‬‬ ‫ﻗﺭﺍﺀﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﻨﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺒﺎﻋﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:3‬‬‫ ‪ I‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪ 0, I, J‬ﻭ ‪ t‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ‬ ‫ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ I‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪x0‬‬‫ﻗل ﺇﻥ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻭﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﺒﻨﻌﻡ‪ ،‬ﻋﻴﻥ‬ ‫) ‪ f '(x0‬ﻭﻫﺫﺍ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬

‫‪y‬‬‫‪6‬‬‫‪5‬‬‫)‪4 (C‬‬‫‪3‬‬‫‪2‬‬‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪x0 3 :‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪(C) -5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪x0 2 :‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬‫‪(C) 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪x0 3 :‬‬‫ﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ﻭﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻘﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:4‬‬‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺜﻡ ﺃﻋﻁ ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻨﻌﺭﻑ ﺒﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ' ‪ f‬ﻓﻲ‬ ‫ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫)‪، f (x‬‬ ‫‪x2  3x‬‬ ‫)‪(2 ، f (x‬‬ ‫‪5x3  2x2 1 (1‬‬ ‫‪x5‬‬‫)‪، f (x‬‬ ‫‪3x7  x 1‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫)‪، f (x‬‬ ‫‪x7‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪5x2  4‬‬ ‫‪2x  3‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪(6 ، f (x‬‬ ‫‪ 5x7  8‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫)‪7x(x 2 1‬‬ ‫‪x2  4‬‬

‫ﻤﺴﺎﺌل ﻤﻤﺎﺴﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‪ ،‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪0, I, J‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬‫ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ t‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ I‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ x0‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫‪x0‬‬ ‫)‪ f (x‬ﻭ ‪5‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x3‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬‫‪x0‬‬ ‫)‪ f (x‬ﻭ ‪1‬‬ ‫‪3x  5‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‬ ‫¯®­‬ ‫‪1‬‬ ‫¿½¾‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4x  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫)‪ f (x‬ﻭ ‪ 3‬‬ ‫‪5 3‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2 1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 6‬‬‫ ‪ I‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭ ‪ t‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ I‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫‪ M 0‬ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪. x0‬‬‫ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M 0‬ﺜﻡ ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ t‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫‪ f 1‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ f (x) 3x2  8x 1‬ﻭﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ‪t‬‬ ‫ﻴﺴﺎﻭﻱ )‪(3‬‬‫)‪ f (x‬ﻭﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ‪t‬‬ ‫‪3x  5‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ >‪@1,f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻴﺴﺎﻭﻱ‬‫‪ f 3‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ f (x) x4  2x 1‬ﻭ ‪ t‬ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل‬ ‫ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬

‫‪ f 4‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ >‪ >1,f‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ f (x) x3  7x 1‬ﻭ ‪ t‬ﻴﻭﺍﺯﻱ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ D‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪y 5x‬‬‫‪ f 5‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ @‪ @ f,0‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ f (x) x3  3x  4‬ﻭ ‪ t‬ﻴﺸﻤل‬ ‫ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:7‬‬‫ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪ ،‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺜﻡ ﺃﺩﺭﺱ‬‫ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '(x‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪ f :‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) x2  2x  3 :‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪ f :‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) 5x2  x 1 :‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪3x  5‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪5x 1‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪2x 1‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺭﺍﺒﻌﺔ‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 8‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‪ I ،‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل @‪> 5,5‬‬ ‫ﺃﻋﻁ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺘﺎ׳)ﺱ( ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺱ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل @‪> 5,5‬‬

‫ــــــــ‬ ‫‪y‬‬ ‫ــــــــــ‬‫)‪(C‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫ــــــــ‬ ‫ـــــــ‪2‬ـ‪-‬ــ‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻭﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:9‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل @‪ > 2,2.5‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬‫‪ f (x) x3  3x  2‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪0, I, J‬‬

‫‪ 1‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪ 2‬ﺃﻋﻁ ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ' ‪ ، f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ 3‬ﺃﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '(x‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ 4‬ﺃﻨﺸﺊ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬‫‪ 5‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ D‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ I‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪2‬‬ ‫‪ -‬ﺃﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ D‬ﻭﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ‪I‬‬‫‪ x 6‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺒﺤﻴﺙ ‪ ، 0 d x d 1,5‬ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪ ، f‬ﺃﻋﻁ ﺤﺼﺭﺍ ﻟﻠﻌﺩﺩ )‪f (x‬‬ ‫ﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﺴﺘﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﺃﺭﺍﺩ ﺒﺴﺘﺎﻨﻲ ﺃﻥ ﻴﺨﺼﺹ ﻗﻁﻌﺔ ﺃﺭﺽ ﺸﻜﻠﻬﺎ ﻤﺴﺘﻁﻴل –ﻭﺴﻁ ﺒﺴﺘﺎﻨﻪ ﻟﺯﺭﻉ‬‫ﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﺫﻭﺭ ﻭﻴﺭﻴﺩ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺒﺴﺘﺎﻨﻲ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ‪ 12 m²‬ﻭﺃﻥ‬‫ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺤﻴﻁﻬﺎ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ﻜﻠﻔﺔ ﺍﻟﺤﺎﺌﻁ ﺍﻟﺫﻱ ﺴﻴﺠﻌﻠﻪ ﺤﻭل‬ ‫ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺃﻗل ﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ‪.‬‬

‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪3‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ‪:‬‬‫ﻫﺫﺍ‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﻟﻠﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‬ ‫ﻭﺫﻜﺭ‬ ‫¨§‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x0‬‬ ‫‬ ‫)‪h‬‬ ‫‬ ‫‪f‬‬ ‫·¸ ) ‪(x0‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ‬ ‫©‪ho0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪3x2  x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫¨§‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ‪ ، h z 0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫)‪f (x0  h‬‬ ‫¨§‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪h ¸·2‬‬ ‫‬ ‫¨§‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫¸· ‪h‬‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫¨§‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪h‬‬ ‫‬ ‫‪h2‬‬ ‫¸·‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪h‬‬ ‫©‬ ‫‪4‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3h 2‬‬ ‫‬ ‫‪4h‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪f x0  h  f (x0 ) 3h2  4h‬‬ ‫)‪h(3h  4‬‬ ‫) ‪f x0  h  f (x0‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪3h  4 :‬‬ ‫‪h‬‬ ‫) ‪lim f (x0  h)  f (x0‬‬ ‫ ‪lim3h  4‬‬ ‫‪ho0 h‬‬ ‫‪ho0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻫﻭ ‪.4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻋﻨﺩ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻗﺎﺒﻠﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫)‪ f (x‬ﻭ ‪2‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x  3‬‬ ‫ﺒﺎﺘﺒﺎﻉ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﻬﺠﻴﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻨﺠﺩ‪:‬‬

‫‪f (2) 3‬‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ‪ h z 0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪f x0  h  f (x0 )  5‬‬ ‫‪h 2h 1‬‬ ‫) ‪lim f (x0  h)  f (x0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪5 :‬‬ ‫‪ho0 h‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ 2‬ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ 2‬ﻫﻭ )‪(-5‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫)‪ f (x‬ﻭ ‪2‬‬ ‫‪x2 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫) ‪lim f (x0  h)  f (x0‬‬ ‫ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ‪1 :‬‬ ‫‪ho0 h‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ 2‬ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ 2‬ﻫﻭ )‪(-1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪0,5x2  x‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪2x2  5‬‬‫‪ -‬ﺍﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ‪x0 0‬‬ ‫ﻭ ‪x0 2‬‬ ‫‪ -‬ﺒﺎﺘﺒﺎﻉ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﻬﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫)‪f '(0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫)‪f '(0‬‬ ‫ﻋﻨﺩ ‪ 0‬ﻫﻭ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪5‬‬‫)‪f '(2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫ﻋﻨﺩ )‪ (-2‬ﻫﻭ‪f '(2) :‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪13‬‬ ‫ﻗﺭﺍﺀﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﻨﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺒﺎﻋﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:3‬‬‫ﺍﻟﺘﻭﻀﻴﺢ ﺇﻥ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻭﺘﻌﻴﻴﻥ ) ‪ f '(x0‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ‬ ‫ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﺒﻨﻌﻡ‬

‫‪ -‬ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪x0 3 :‬‬‫ﺤﺩﺴﻴﺎ‪ t :‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ I‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪.3‬‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺭﺴﻡ ﻴﺒﺩﻭ ﺃﻥ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻫﻭ ‪.2‬‬‫ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ B‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ‪ t‬ﻤﻊ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬ ‫ﻴﺒﺩﻭ ﺃﻥ ﻓﺎﺼﻠﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﻫﻲ ‪ 4‬ﻭﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ ﻫﻭ‪0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺸﻜل‪ t :‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪(AB‬‬‫‪02‬‬ ‫ﺃﻱ ﻫﻭ‪:‬‬ ‫‪yB  yA‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ‪ t‬ﻫﻭ‪:‬‬‫‪43‬‬ ‫‪xB  xA‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ‪ t‬ﻫﻭ‪(-2) :‬‬‫ﻭﻟﻨﻔﺱ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ 3‬ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺱ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻨﺩ ‪ 3‬ﻫﻭ‪(-2) :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪x0 2 :‬‬‫ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ )‪ (2-‬ﻭﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ‪ t‬ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل‬ ‫ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ )‪ (2-‬ﻫﻭ‪0 :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪x0 3 :‬‬‫ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻴﺴﺕ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ )‪ (3-‬ﻷﻥ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ‪ t‬ﻴﻭﺍﺯﻱ‬ ‫ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬‫ﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ﻭﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻘﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:4‬‬‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭﺇﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻨﻌﺭﻑ ﺒﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ' ‪f‬‬ ‫ﻓﻲ ﻜل ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬

‫‪f (x) 5x3  2x2 1 1‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ‪R :‬‬‫ﻭ ' ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f '(x) 15x2  4x :‬‬ ‫‪f (x) x2  3x 2‬‬ ‫‪x5‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ‪R  ^5` :‬‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻤﻥ `‪ R  ^5‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫)‪f '(x‬‬ ‫)‪2x(x  5) 1x(x2  3x‬‬ ‫‪(x  5)2‬‬ ‫‪2x2 10x  x 2  3x‬‬ ‫‪(x  5)2‬‬‫)‪f '(x‬‬ ‫‪x2 13x‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫'‪f‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪(x  5)2‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪x7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2x  3‬‬ ‫¯®­  ‪R‬‬ ‫‪3‬‬ ‫¿¾½‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫‪2‬‬‫)‪f '(x‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ' ‪f‬‬ ‫‪(2x  3)2‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪3x7  x 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5x2  4‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ‪R :‬‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻤﻥ ‪ R‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬‫)‪    f '(x‬‬ ‫‪21x6  1 5x2  4 10x 3x7  x 1‬‬ ‫‪5x2  4 2‬‬‫‪105x8  84x6  5x 2  4  30x8  10x 2  10x‬‬ ‫‪ 5x2  4 2‬‬

‫‪75x8  84x6  5x 2  10x  4‬‬ ‫‪5x2  4 2‬‬‫)‪ f '(x‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫'‪f‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪ 5x7  8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x2  4‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ‪R  ^ 2,2` :‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪ 25x8  140x 6  16x‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ' ‪f‬‬ ‫‪(x 2  4) 2‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪7x(x 2 1‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ‪R  ^0,1,1` :‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪ 105x 2  35‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ' ‪f‬‬ ‫‪(7x(x 2  1))2‬‬ ‫ﻤﺴﺎﺌل ﻤﻤﺎﺴﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬‫ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ t‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ I‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪: x0‬‬‫‪x0‬‬ ‫)‪ f (x‬ﻭ ‪5‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ' ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f '(x) x  1:‬‬ ‫)‪f (5‬‬ ‫‪ 29‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫)‪f ' (5‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪6 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪y f ' (5)(x  (5))  f (5) :‬‬ ‫‪6( x‬‬ ‫‬ ‫)‪5‬‬ ‫‬ ‫‪29‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6x‬‬ ‫‬ ‫‪30‬‬ ‫‬ ‫‪29‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6x‬‬ ‫‬ ‫‪31‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ y‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟـ ‪t‬‬ ‫ ‪6x‬‬ ‫‪31‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪2‬‬‫ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﻤﻊ ﺍﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ \"ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪ \"4‬ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:6‬‬‫ ‪ I‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ t ، f‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ I‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M 0‬ﻤﻥ‬ ‫ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪. x0‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M 0‬ﺜﻡ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ t‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ‬‫‪ f 1‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ f (x) 3x2  8x 1 :‬ﻭﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ‪t‬‬ ‫ﻴﺴﺎﻭﻱ )‪(3‬‬‫* ' ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f '(x) 6x  8 :‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ‪ x0 , y0‬ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M 0‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪ f '(x0 ) 3‬ﻭﻋﻠﻴﻪ‪6x0  8 3 :‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫¨§‬ ‫‪5‬‬ ‫·¸‬ ‫¨§‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫¸·‬ ‫‪2‬‬ ‫¨§‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫¸·‬ ‫©‬ ‫‪6‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪6‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪6‬‬ ‫‪¹‬‬‫‪y0‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪y0‬‬ ‫‬ ‫‪77‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪f‬‬ ‫'‬ ‫¨§‬ ‫‪5‬‬ ‫§¨¸·‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫¸·‬ ‫‬ ‫ ‪f x0‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫©‬ ‫‪6‬‬ ‫©‪¹‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫§¨‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫¸·‬ ‫‬ ‫‪77‬‬ ‫©‬ ‫‪6‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‬ ‫‪11‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪ y‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪t‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‬ ‫‪11‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪6‬‬‫)‪ f (x‬ﻭﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ‪t‬‬ ‫‪3x  5‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫>‪@1,f‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻴﺴﺎﻭﻱ‬ ‫)‪f '(x‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫* '‪f‬‬ ‫‪(1  x)2‬‬ ‫ﻟﻨﺴﻤﻲ ‪ x0 , y0‬ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M 0‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫) ‪f '(x0‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪(1  x)2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪1  x0 2‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪ 1 x0 3 :‬ﺃﻭ ‪1 x0 3‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪ x0 2 :‬ﺃﻭ ‪x0 4‬‬‫ﻭﻟﻜﻥ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ >‪ @1,f‬ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ )‪ (-2‬ﻟـ ‪ x‬ﻟﻴﺴﺕ ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪x0 4 :‬‬ ‫‪y0‬‬ ‫ ‪f 4‬‬ ‫‪3(4)  5‬‬ ‫‬ ‫‪17‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪y0 f '4 (x  4)  f (4) :‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‬ ‫)‪4‬‬ ‫‬ ‫‪17‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪83‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ y‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪t‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪83‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ -‬ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬

‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '(x‬ﺜﻡ ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺠﺩﻭل‬ ‫ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬‫‪ f 1‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) x2  2x  3 :‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ‪R‬‬‫ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ' ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f '(x) 2x  2 :‬‬ ‫ﻨﻠﺨﺹ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '(x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪x f‬‬ ‫‪1 f‬‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f '(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪0+‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل @‪@ f,1‬‬‫ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل >‪>1,f‬‬‫ﻭﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﻤﺜل ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪x f‬‬ ‫‪1 f‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2‬‬‫‪ f 2‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) 5x2  x 1 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻴﻜﻭﻥ ﺒﻨﻔﺱ ﻜﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﻔﺭﻉ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪3x  5‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ f‬ﻫﻲ `‪R  ^1‬‬‫)‪f '(x‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ' ‪f‬‬ ‫‪(x 1)2‬‬

‫ﻨﻠﺨﺹ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '(x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫‪x f‬‬ ‫‪1 f‬‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f '(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ‪ @ f,1@ :‬ﻭ >‪>1,f‬‬‫ﻭﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﺘﻤﺜل ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫‪x f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f‬‬‫‪f (x) 3‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪5x 1‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2x 1‬‬‫ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻴﻜﻭﻥ ﺒﻨﻔﺱ ﻜﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﻔﺭﻉ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:8‬‬‫‪ -‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '(x‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل @‪> 5,5‬‬‫ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻌﻁﻰ‪ ،‬ﻨﻠﺨﺹ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '(x‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺱ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل @‪> 5,5‬‬‫‪x -5 -2‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪02 4 5‬‬‫‪ + 0 - 0 + 0 + 0 -‬ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f '(x‬‬

‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻭﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:9‬‬‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل @‪ > 2,2.5‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ f (x) x3  3x  2 :‬ﻭﻟﻴﻜﻥ‬ ‫ ‪ I‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪0, I, J‬‬ ‫‪ 1‬ﺇﻜﻤﺎل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫‪x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪-4 -‬‬ ‫‪0-‬‬ ‫‪-2 3,375‬‬ ‫‪-4 -‬‬ ‫‪0 6,125‬‬ ‫‪0,875‬‬ ‫‪0,625‬‬ ‫‪3,125‬‬ ‫‪ 2‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ' ‪ ، f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ' ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f '(x) 3x2  3x :‬‬ ‫‪ 3‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '(x‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل @‪> 2,2.5‬‬ ‫ﺘﻠﺨﺹ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '(x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪x -2‬‬ ‫‪01‬‬ ‫‪2,5‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f '(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪0- 0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪ :‬ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪>0,1@ :‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ‪ > 2,0@ :‬ﻭ@‪>1,2.5‬‬‫‪ 4‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻉ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‪ ،‬ﻨﺠﺩ ﺃﻥ‬ ‫ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﺘﻤﺜل ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪x -2‬‬ ‫‪01‬‬ ‫‪2,5‬‬ ‫‪f (x) -2‬‬ ‫‪6,125‬‬ ‫‪-4 -4‬‬

‫‪ 5‬ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ D‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ I‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪2‬‬ ‫)‪y f '(2)(x  2)  f (2‬‬ ‫‪6(x  2)  0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪6x 12‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ‪ y 6x 12 :‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﻤﺎﺱ '‬ ‫‪ -‬ﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ' ﻭﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ‪I‬‬‫‪y‬‬‫‪6‬‬ ‫)‪(d‬‬‫‪5‬‬‫‪4‬‬‫‪3‬‬‫‪2‬‬‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪(C) -2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪y‬‬

‫ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺤﺼﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩ )‪ ، f (x‬ﺒﺎﻹﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ، f‬ﺤﻴﺙ ‪x‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺃﻴﻥ‪0 d x d 1,5 :‬‬‫ﺒﺎﻹﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪ I‬ﻨﺠﺩ ﺃﻨﻪ ﻟﻤﺎ‪ 0 d x d 1,5 :‬ﻓﺈﻥ‬ ‫‪ 4 d f (x) d 2‬‬ ‫ﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﺴﺘﻤﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﻤﺴﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﺒﺴﺘﺎﻨﻲ ﻹﻴﺠﺎﺩ ﺒﻌﺩﻱ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺭﺽ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴﻠﺔ ‪a‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ b‬ﻁﻭل ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴﻠﺔ ‪b‬‬‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﻫﻲ‪ 12m² :‬ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﻋﻨﺩﺌﺫ‪ :‬ﺍﻟﻤﺤﻴﻁ ﻫﻭ‪ 2a  2b :‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪ b ، a‬ﻋﻨﺼﺭﺍﻥ ﻤﻥ *‪R‬‬ ‫‪a u b 12‬‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ a‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪f (a) 2a  2b‬‬ ‫)‪f (a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‬ ‫‪24‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ' ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫)‪f '(a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪24‬‬ ‫)‪2(a 2 12‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻨﻠﺨﺹ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '(a‬ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪0 12  f‬‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f '(a‬‬ ‫‪- 0+‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪@ @0, 12‬‬

‫ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪> >12,f‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻟـ )‪ f (a‬ﺘﻅﻬﺭ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ 12‬ﻜﻘﻴﻤﺔ ﻟـ ‪a‬‬‫)‪f ( 12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12  2 u‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪4 12 :‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ‪ a u b 12 :‬ﻓﺈﻥ‪b 12 :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺒﻌﺩﻱ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻫﻤﺎ‪ a :‬ﻭ ‪ b‬ﻫﻲ‪a b 12 :‬‬‫ﻭﺍﻟﻤﺤﻴﻁ ﺤﻴﻨﺌﺫ‪ :‬ﻫﻭ )‪ f ( 12‬ﺤﻴﺙ‪f ( 12) 4 12 :‬‬

‫ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ‪ :04‬ﺜﻼﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪(a z 0), x o ax2  bx  c‬‬ ‫‪ -‬ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺠﺫﻭﺭ ﺜﻼﺜﻲ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭﺇﺸﺎﺭﺘﻪ ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪(a z 0), x o ax2  bx  c‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺯ‬ ‫ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﺤﻠﻠﺔ‬‫ﺤل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪(a z 0), x o ax2  bx  c‬‬ ‫ﺤل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺠﺒﺭﻴﺎ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺃﻨﺸﻁﺔ‬ ‫‪ /1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫‪ /2‬ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪ ،‬ﻤﻤﻴﺯ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ /3‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‪:‬‬ ‫‪ /4‬ﺍﻟﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪ ،‬ﺘﺤﻠﻴل ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ /5‬ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪4‬‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪4‬‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ : 01‬ﻤﺭﺒﻌﺎﺕ !!‬ ‫• ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ d, y, x‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫‪ 1‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪(1)......x2  2x  1 ()2‬‬ ‫‪(2).....x2  4x  ... ()2‬‬ ‫‪(3)....x2  2xy  ... ()2‬‬ ‫‪(4)....x 2  dx  .... ()2‬‬‫‪ 2‬ﺤﻠل ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﺎﻤﻠﻴﻥ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺘﻴﻥ )‪ A(x‬ﻭ )‪ B(x‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﺎﻥ‪:‬‬ ‫‪B(x) 3x2  x  2 ، A(x) x2  6x  8‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ \" ﺍﻟﺠﺩﺍﺀﺍﺕ ﺍﻟﺸﻬﻴﺭﺓ\"‬ ‫‪(1)......x 2  2x  1 (x  1)2‬‬ ‫‪(2).....x 2  4x  4 (x  2)2‬‬ ‫‪(3)....x2  2xy  y 2 (x  y)2‬‬‫‪d‬‬ ‫‪2.‬‬ ‫‪d‬‬ ‫ﻭﻟﻼﻗﺘﺭﺍﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀﺍﺕ ﺍﻟﺸﻬﻴﺭﺓ‪ ،‬ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 2  dx‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫§¨‪2.‬‬ ‫‪d‬‬ ‫)‪·¸( x‬‬ ‫ﻫﻜﺫﺍ‪:‬‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫§¨‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪d‬‬ ‫‪·¸ 2‬‬ ‫ﻨﺸﺭ‬ ‫\"ﺒﺩﺍﻴﺔ\"‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫§¨‪2.‬‬ ‫‪d‬‬ ‫)‪·¸( x‬‬ ‫ﻭ‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪dx‬‬ ‫‬ ‫§¨‬ ‫‪d‬‬ ‫‪¸· 2‬‬ ‫§¨‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪d‬‬ ‫‪·¸ 2‬‬ ‫ﻫﻜﺫﺍ‪:‬‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬

‫‪A(x) (x2  6x)  8 -‬‬ ‫ﻭ ‪ x2  6x‬ﻫﻭ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﻨﺸﺭ ‪ (x  3)2‬ﻭﻟﻜﻥ ‪(x  3)2 x2  6x  9‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪x2  6x (x  3)2  9‬‬ ‫ﻫﻜﺫﺍ‪A(x) ((x  3)2  9)  8 :‬‬ ‫ﺃﻱ‪A(x) (x  3)2 1 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪A(x) (x  3)2 12‬‬ ‫ﺃﻱ @‪A(x) >(x  3) 1@>(x  3)  1‬‬ ‫ﻭﻓﻲ ﺍﻷﺨﻴﺭ‪A(x) (x  4)(x  2) :‬‬ ‫)‪B(x‬‬ ‫§¨©«¬‪3ª‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫¸· ‪x‬‬ ‫‬ ‫‪2º‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫»¼ ‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪2.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫¨§‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‬ ‫‪2‬‬ ‫§¨‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪·¸x‬‬ ‫©‬ ‫‪6‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫ﻨﺸﺭ‬ ‫ﺒﺩﺍﻴﺔ‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﺴﺒﻕ‬ ‫ﻤﺎ‬ ‫ﻭﻤﺜل‬‫§¨‬ ‫‪1‬‬ ‫¸· ‪x‬‬ ‫¨§‬ ‫§¨‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‬ ‫¨§‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬‫©‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫¨©‬ ‫©‬ ‫‪6‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪¸¹‬‬ ‫©‬ ‫‪6‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ‬ ‫)‪B(x‬‬ ‫§¨© ¨§©¨«‪3¬«ª‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪·¸ 2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸¸‪¹‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪º‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪3‬‬ ‫»‬ ‫¼»‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪1‬‬ ‫)ﺘﻭﺤﻴﺩ ﻤﻘﺎﻤﻲ‬ ‫§¨‪3«ª‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪·¸ 2‬‬ ‫‬ ‫‪25 º‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪36‬‬ ‫©«¬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫»‬ ‫‪36‬‬ ‫»¼‬ ‫©§¨¬‪3«ª‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫¨§© ©¨§¨‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫¼‪·¹¸¸»º‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪6‬‬ ‫§¨©‪3¬«ª‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¸·¹º»¼>x‬‬ ‫‬ ‫@‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‪B(x) 3x  2 x 1‬‬

‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫§¨‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪d‬‬ ‫‪¸· 2‬‬ ‫ﻨﺸﺭ‬ ‫ﺒﺩﺍﻴﺔ‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪x 2  dx‬‬ ‫ﻋﺎﻤﺔ‬ ‫ﺒﺼﻭﺭﺓ‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬‫‪(*).......x2  dx‬‬ ‫§¨‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪d‬‬ ‫‪·¸ 2‬‬ ‫‬ ‫¨§‬ ‫‪d‬‬ ‫‪·¸ 2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫¨§‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪d2¹·¸2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫§¨‪dx‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪·¸2‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ‪:‬‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :02‬ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺤﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﺴﺅﺍل‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻤﻔﺭﻭﻀﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ‪ a z 0 :‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) ax  b :‬‬ ‫ﺃﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ ، f (x‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪x‬‬ ‫ﻭﻟﺨﺹ ﺫﻟﻙ ﻓﻲ ﺠﺩﻭل ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ‪a  0, a ! 0 :‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺠﻭﺍﺏ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: a ! 0‬‬ ‫‪§¨ x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫¸·‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‪:‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫‪(ax‬‬ ‫‪ (ax  b‬ﻴﻌﻨﻲ )‪b‬‬ ‫)‪0‬‬ ‫©‬ ‫‪a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫¨§‬ ‫‪x‬‬ ‫!‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫·¸‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ‪:‬‬ ‫)‪(ax ! b‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫)‪(ax  b ! 0‬‬ ‫©‬ ‫‪a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫¨§‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫·¸‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‪:‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫)‪(ax  b‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫)‪(ax  b  0‬‬ ‫©‬ ‫‪a‬‬ ‫‪¹‬‬

‫ﻤﻨﻪ ‪ :‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ : a ! 0‬ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل‬ ‫‪x f‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪a‬‬‫‪ -‬ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ax  b‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: a  0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫‪(ax  b‬‬ ‫)‪0‬‬ ‫‪a‬‬‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﺴﺎﻟﺏ‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻷﻥ‬ ‫§¨‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫¸·‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫)‪(ax  b ! 0‬‬ ‫©‬ ‫‪a‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫§¨‬ ‫‪x‬‬ ‫!‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫¸·‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫)‪(ax  b  0‬‬ ‫©‬ ‫‪a‬‬ ‫‪¹‬‬‫ﻤﻨﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ a  0‬ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل‬ ‫‪x f‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪a‬‬‫‪ +‬ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ax  b‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-‬‬ ‫¶‬