دروس مادة الرياضيات للفصل الاول سنة رابعة متوسط

‫ﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻷﻭل‬ ‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫• ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻭ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻨﺎﻁﻘﺔ‬ ‫• ﻨﻅﺭﻴﺔ ﻁﺎﻟﻴﺱ‬ ‫• ﺍﻟﺠﺫﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻴﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫• ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺤﺭﻓﻲ‬

‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻭ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻨﺎﻁﻘﺔ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ‬ ‫‪ .3‬ﺍﻟﻜﺴﺭ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻘﺎﺒل ﻟﻼﺨﺘﺯﺍل‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ‬ ‫ﺗﻤـﺎرﻳـﻦ‬ ‫ﺗﺼﺤﻴﺢ اﻟﺘﻤﺎرﻳـﻦ‬

‫‪ /1‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‪:‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻭﻀﺢ ﻤﺨﺘﻠﻑ ﺃﻨﻭﺍﻉ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻤﻊ ﺒﻌﺽ ﺍﻷﻤﺜﻠﺔ‬ ‫* ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ‪ :‬ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻟﻬﺎ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻋﺸﺭﻴﺔ ﺤﻴﺙ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ‬ ‫ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﻤﻨﺘﻬﻲ‪.‬‬‫* ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻨـﺎﻁﻘﺔ‪ :‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻨﺎﻁﻕ ﻴﻜﺘﺏ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﻜﺴﺭ ﺒﺴﻁﻪ ﻭ ﻤﻘﺎﻤﻪ‬ ‫ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ‪.‬‬ ‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﻫﻲ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻨﺎﻁﻘﺔ‪.‬‬

‫‪ -2‬ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ‪:‬‬‫ﻴﻘﺴﻡ ‪a‬‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻭ ‪ b‬ﻴﻘﺴﻡ ﻜﺫﻟﻙ‪.‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ 1 :‬ﻫﻭ ﺩﺍﺌﻤﺎ ﻗﺎﺴﻡ ﻤﺸﺘﺭﻙ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪.b‬‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ ﻭ ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫‪ -‬ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺃﻜﺒﺭﻫﻡ ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻭ ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻪ‬ ‫‪ PGCD‬ﻭ ﻨﻜﺘﺏ‪PGCD (a,b) :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﺃﺤﺴﺏ )‪:PGCD (8,12‬‬ ‫ﻗﻭﺍﺴﻡ ‪ 8‬ﻫﻲ ‪8,4,2,1 :‬‬ ‫ﻗﻭﺍﺴﻡ ‪ 12‬ﻫﻲ ‪12,6,4,3,2,1:‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻫﻲ ‪4,2,1 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪PGCD (8,12) = 4 :‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ PGCD (a,b) = 1 :‬ﻓﺎﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ‬ ‫ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ 2 :‬ﻭ ‪ 3‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪ 2‬ﻭ ‪ 4‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻏﻴﺭ ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ‬

‫‪ab‬‬ ‫* ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ‪:‬‬‫‪br‬‬ ‫ﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺔ ﺍﻗﻠﻴﺩﺱ‪:‬‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ r‬ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ل ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪ b‬ﻤﻊ ‪a〉b‬‬ ‫ﻓﺎﻨﻪ‪. PGCD (a,b) = PGCD (b,r) :‬‬ ‫ﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺔ ﺍﻗﻠﻴﺩﺱ ‪ :‬ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ‪b‬‬ ‫)ﻤﻊ ‪ ( a〉b‬ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺃﺜﺎﺭ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪a,b‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ‪ r‬ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ‬ ‫‪ a‬ﻭ‪b‬‬ ‫ﻻ )‪(3‬‬ ‫‪r=0‬‬ ‫ﻨﻌﻡ )‪(2‬‬ ‫‪PGCD = b‬‬ ‫* ﻨﻘﺴﻡ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪ b‬ﻹﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ‪r‬‬

‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ‪ r = 0‬ﻓﺎﻥ ﺍﻟﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺔ ﺘﻨﺘﻬﻲ ﻭ ‪ * * PGCD (a,b) = b‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪r = 0‬‬‫ﻤﻥ )‪(1‬‬ ‫ﻨﻌﻭﺽ ﻗﻴﻤﺔ ‪ a‬ﺏ ‪ b‬ﻭ‪ b‬ﺏ ‪ r‬ﺜﻡ ﻨﻌﻴﺩ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺒﺩﺀﺍ‬‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 1078‬ﻭ ‪ 322‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺔ ﺍﻗﻠﻴﺩﺱ‪.‬‬ ‫‪1078 = 3 x 322 + 112‬‬‫‪322 = 2 x 112 + 98‬‬ ‫‪ b‬ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﺔ ‪a‬‬‫‪112 = 1 x 98 + 14‬‬ ‫‪112 322 1078‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪98 = 14 x 7 + 0‬‬ ‫‪98 112 322‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺔ ﺘﻨﺘﻬﻲ ﻟﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻤﻌﺩﻭﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪98 112‬‬ ‫‪3‬‬‫ﻭﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ﻫﻭ ﺁﺨﺭ ﺒﺎﻗﻲ ﻏﻴﺭ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪14 98‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻪ‪.‬‬‫ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪PGCD (1078,322) = 14‬‬ ‫ﻭ = )‪PGCD (1078,322) = PGCD (322,112‬‬ ‫‪PGCD (112, 98) = PGCD (98,14) = 14‬‬

‫‪ .3‬ﺍﻟﻜﺴﺭ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻘﺎﺒل ﻟﻼﺨﺘﺯﺍل‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﻟﻼﺨﺘﺯﺍل‬ ‫‪ ( b‬ﺃﻨﻪ ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒل‬ ‫)ﻤﻊ ‪≠ 0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺴﺭ‬ ‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺍﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪2‬‬‫ﻤﺜﺎل ‪ :1‬ﺍﻟﻜﺴﺭ ‪ 3‬ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒل ﻟﻼﺨﺘﺯﺍل ﻷﻥ ‪PGCD (2,3) = 1‬‬‫ﻟﻴﺼﺒﺢ ﻜﺴﺭﺍ ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒل ﻟﻼﺨﺘﺯﺍل‪:‬‬ ‫‪60‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:2‬‬ ‫ﺍﺨﺘﺯل ﺍﻟﻜﺴﺭ ‪45‬‬‫‪60 5 × 3× 4 4‬‬‫‪45 = 5 × 3× 3 = 3‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪PGCD (4,3) = 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻓﺎﻥ ‪ 3‬ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺨﺘﺯﺍل‪.‬‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻷﻭل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜﺴﺭ ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒل ﻟﻼﺨﺘﺯﺍل ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺔ ﺍﻗﻠﻴﺩﺱ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜﺴﺭ ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒل ﻟﻼﺨﺘﺯﺍل ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﺒﻌﺩ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﺨﺘﺯﺍل ﻭﺍﺤﺩﺓ‪:‬‬ ‫* ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺒﺴﻁ ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﻡ‪.‬‬ ‫* ﻨﻘﺴﻡ ﻜﻼ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﺴﻁ ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ‪. PGCD‬‬ ‫‪1488‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺹ‪ :‬ﺍﺠﻌل ﺍﻟﻜﺴﺭ ‪ 2418‬ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒل ﻟﻼﺨﺘﺯﺍل ﻤﻭﻀﺤﺎ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 1488،2418‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل‬ ‫ﺍﻟﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﺔ ‪ b a‬ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ‬ ‫‪930 1488 2418‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪558 930 1488 2‬‬ ‫‪372 558 930 3‬‬‫‪= 186‬‬ ‫‪186 372 558 4‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪PGCD(2418,1488) :‬‬ ‫‪0 186 372 5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪13 :‬‬ ‫‪1488 1488 ÷186‬‬ ‫= ‪2418 = 2418 ÷186‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‪:‬‬ ‫ﺠﻌل ﻜﺴﺭ ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒل ﻟﻼﺨﺘﺯﺍل ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ‬ ‫‪956‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺹ‪ :‬ﺍﺠﻌل ﺍﻟﻜﺴﺭ ‪ 684‬ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒل ﻟﻼﺨﺘﺯﺍل ﻤﺴﺘﻌﻴﻨﺎ ﺒﻶﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ‪Casio fx - 92 college :‬‬

‫‪956 d/c 684 exe‬‬‫‪956 684‬‬ ‫ﺘﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺸﺔ‬ ‫‪239 171‬‬‫ﻫﻭ ﺍﻟﻜﺴﺭ ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒل ﻟﻼﺨﺘﺯﺍل‪.‬‬ ‫‪239‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪171‬‬

‫ﺗﻤـﺎرﻳـﻦ‬‫ﺍﺤﺴﺏ ‪ PGCD‬ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻸﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺕ ﻤﻊ ﻜﺘﺎﺒﺔ‬ ‫‪/1‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻭ ﺍﺴﻤﻬﺎ‪:‬‬ ‫ﺍ‪ 36 /‬ﻭ ‪ ، 54‬ﺏ‪ 63 /‬ﻭ ‪64‬‬‫ﺒﺩﻭﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﺸﺭﺡ ﻟﻤﺎﺫﺍ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﺃﻭﻟﻴﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ‬ ‫‪/2‬‬ ‫ﺍ‪ 218 /‬ﻭ ‪ ، 162‬ﺏ‪ 21 /‬ﻭ ‪18‬‬ ‫‪/3‬‬ ‫ﺃﻨﺠﺯ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻻﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ل ‪ 5885‬ﻋﻠﻰ ‪. 753‬‬‫ﺍﻨﻘل ﻭ ﺃﺘﻤﻡ‪PGCD(5885 ، 753) = PGCD(753 ، ...) :‬‬‫‪ / 4‬ﻨﺭﻴﺩ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 288‬ﻭ ‪ 84‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻗﻠﻴﺩﺱ‬ ‫ﺍﻨﻘل ﻭ ﺃﺘﻤﻡ ‪:‬‬‫‪ B‬ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﺭﺍﺤل ‪A‬‬‫‪... 84 288 1‬‬‫‪... ... 84‬‬ ‫‪2‬‬‫‪0 ... ...‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ )‪ 288‬ﻭ ‪. (84‬‬‫‪ / 5‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 1515‬ﻭ ‪ 1789‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻗﻠﻴﺩﺱ‪.‬‬ ‫‪2332‬‬ ‫ﺃﻭﺠﺩ ﻜﺴﺭ ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒل ﻟﻼﺨﺘﺯﺍل ﻟﻠﻜﺴﺭ‪:‬‬ ‫‪/6‬‬ ‫‪47223‬‬ ‫ﺍﺸﺭﺡ ﺍﻟﺤل‬‫‪ / 7‬ﻨﺭﻴﺩ ﺘﺠﻤﻴﻊ ‪ 161‬ﻗﻠﻡ ﺍﺤﻤﺭ ﻭ ‪ 133‬ﻗﻠﻡ ﺍﺯﺭﻕ ﻓﻲ ﻋﻠﺏ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺤﻭﻱ ﻜل ﻋﻠﺒﺔ ﻴﻜﻭﻥ ﻓﻴﻬﺎ ﺃﻗﻼﻡ ﻤﻥ‬ ‫ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻭ ﻜل ﻋﻠﺒﺔ ﺘﺤﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻗﻼﻡ ‪.‬‬ ‫* ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺃﻗﻼﻡ ﻜل ﻋﻠﺒﺔ ؟‬

‫* ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﻋﻠﺏ ﻜل ﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻷﻗﻼﻡ ؟‬ ‫‪ / 8‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ل ‪ 1756‬ﻭ ‪. 1317‬‬‫* ﺒﺎﺌﻊ ﺃﺯﻫﺎﺭ ﺘﻠﻘﻰ ‪ 1756‬ﺯﻫﺭﺓ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻭ ‪ 1317‬ﺯﻫﺭﺓ ﺤﻤﺭﺍﺀ ‪ ،‬ﺃﺭﺍﺩ ﺇﻨﺠﺎﺯ ﺒﺎﻗﺎﺕ ﻭﺭﺩ ﻤﺘﻁﺎﺒﻘﺔ‪) .‬‬ ‫ﻨﻔﺱ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺯﻫﺎﺭ ﻭ ﻨﻔﺱ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺃﻟﻭﺍﻥ ﺍﻷﺯﻫﺎﺭ ( ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻜل ﺍﻷﺯﻫﺎﺭ‪.‬‬ ‫* ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﺒﺎﻗﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻁﺎﺒﻘﺔ ؟ )ﻤﻊ ﺍﻟﺸﺭﺡ(‪.‬‬ ‫*ﻤﺎ ﻫﻭ ﺘﻭﺯﻴﻊ )ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺯﻫﺎﺭ ﺍﻟﺒﻴﻀﺎﺀ ﻭ ﺍﻟﺤﻤﺭﺍﺀ( ﻓﻲ ﻜل ﺒﺎﻗﺔ‪ .‬؟‬‫‪ / 9‬ﻜﺘﺎﺒﻴﻥ ﻴﺤﻭﻴﺎﻥ ‪ 480‬ﻭ ‪ 608‬ﺼﻔﺤﺎﺕ ﻴﺘﻜﻭﻥ ﻜل ﻜﺘﺎﺏ ﻤﻥ ﺃﺠﺯﺍﺀ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺼﻔﺤﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ ‪ 30‬ﻭ ‪ 50‬ﺼﻔﺤﺔ‪.‬‬ ‫* ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺼﻔﺤﺎﺕ ﻜل ﺠﺯﺀ ؟‬ ‫* ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺃﺠﺯﺍﺀ ﻜل ﻜﺘﺎﺏ ؟‬ ‫‪ * / 10‬ﺍﺤﺴﺏ ‪. 442‬‬ ‫* ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 7744‬ﻭ ‪17424‬‬ ‫* ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺒﺩﻭﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺠﺫﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻲ ل ‪ 7744‬ﻭ ‪17424‬‬ ‫‪17424‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻜﺴﺭ ﺍﻟﻐﻴﺭ ﻗﺎﺒل ﻟﻼﺨﺘﺯﺍل ل ‪7744‬‬

‫ﺗﺼﺤﻴﺢ اﻟﺘﻤﺎرﻳـﻦ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻷﻭل ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫}‪64= {1,2,4,8,32,16,64‬‬ ‫}‪63= {1,3,7,9,21,63‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ )‪ (64,63‬ﻫﻭ ‪1 :‬‬ ‫}‪54= {1,2,3,6,9,18,27,54‬‬ ‫}‪36= {1,2,3,6,9,12,18,36‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 54,36‬ﻫﻭ‪( )18:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪:‬‬‫* ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ‪ 218‬ﻭ ‪ 162‬ﻏﻴﺭ ﺃﻭﻟﻴﻴﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻷﻨﻬﻤﺎ ﺯﻭﺠﻴﺎﻥ ﺃﻱ ﻴﻘﺒﻼﻥ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪) 2‬ﻓﻬﻤﺎ ﻴﻘﺒﻼﻥ‬ ‫ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺃﻜﺜﺭ ﻤﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ(‪.‬‬‫* ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ‪ 21‬ﻭ ‪ 18‬ﻏﻴﺭ ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻷﻨﻬﻤﺎ ﻤﻥ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪)3‬ﻓﻬﻤﺎ ﻴﻘﺒﻼﻥ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺃﻜﺜﺭ‬ ‫ﻤﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ(‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪:‬‬ ‫‪5885=753x7+615‬‬ ‫‪PGCD(5885,753)=PGCD(753,615).‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ‪:‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ )‪ (288,84‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺇﻗﻠﻴﺩﺱ‪:‬‬‫ﺍﻟﺒــﺎﻗﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﺭﺍﺤل ‪B A‬‬ ‫‪288=84x3+36‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪84 288 01‬‬ ‫‪84=36x2+12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪36 84 02‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪12 36 03‬‬ ‫‪36=12x3+0‬‬ ‫)‪(288;84‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪PGCD =12 :‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺨﺎﻤﺱ ‪:‬‬‫* ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪1789‬ﻭ‪ 1515‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺇﻗﻠﻴﺩﺱ‪:‬‬ ‫‪1789=1515x1+274‬‬ ‫‪1515=274x5+145‬‬ ‫‪274=145x1+129‬‬ ‫‪145=125x1+16‬‬ ‫‪125=16x8+1‬‬ ‫‪16=16x1+0‬‬‫)‪(1789;1515‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪PGCD =1 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ‪:‬‬‫* ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﻜﺴﺭ ﺍﻟﻐﻴﺭ ﻗﺎﺒل ﻟﻺﺨﺘﺯﺍل ﻹﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﻜﺴﺭ ﺍﻟﻐﻴﺭ ﻗﺎﺒل ﻟﻺﺨﺘﺯﺍل ﻨﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ‬ ‫ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻜل ﻤﻥ ﺒﺴﻁ ﻭ ﻤﻘﺎﻡ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﺴﺭ‪.‬‬ ‫)‪ PGCD(2332,47223‬ﺃﻱ ﺇﻴﺠﺎﺩ ‪:‬‬ ‫‪47223 = 2332x20 + 583‬‬ ‫‪= 583 x 4 + 0‬‬‫‪PGCD(47223 ;2332) = 583.‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪2332 : 583 = 4 . 47223 : 583 = 3 :‬‬ ‫‪2332‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪3= :‬‬ ‫‪47223‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻊ‪4 :‬‬‫* ﻋﺩﺩ ﺃﻗﻼﻡ ﻜل ﻋﻠﺒﺔ ) ﻹﻴﺠﺎﺩ ﻋﺩﺩ ﺃﻗﻼﻡ ﻜل ﻋﻠﺒﺔ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 161‬ﻭ ‪133‬‬ ‫(‪.‬‬ ‫‪161 = 133 x 1 + 28‬‬ ‫‪= 28 x 4 + 21‬‬ ‫‪28 = 21 x 1 + 7‬‬ ‫‪21 = 7 x 3 +0.‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪PGCD (133;161)= 7 :‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ﻜل ﻋﻠﺒﺔ ﺘﺤﻭﻱ ﻋﻠﻰ ‪ 07‬ﺃﻗﻼﻡ‪.‬‬ ‫‪ * /2‬ﻋﺩﺩ ﻋﻠﺏ ﺍﻷﻗﻼﻡ ﺍﻟﺤﻤﺭﺍﺀ‪161: 7 = 23 :‬‬ ‫* ﻋﺩﺩ ﻋﻠﺏ ﺍﻷﻗﻼﻡ ﺍﻟﺯﺭﻗﺎﺀ‪133 : 7 = 19 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻤﻥ‪:‬‬ ‫* ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 1756‬ﻭ ‪1317‬‬ ‫‪1756 = 1317 x 1 + 439.‬‬ ‫‪1317 = 439 x 3 + 0 .‬‬ ‫‪PGCD(1756;1317) = 439‬‬ ‫* ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺒﺎﻗﺎﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻫﻭ ‪.439‬‬ ‫ﻭ ﻫﻭ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 1317‬ﻭ ‪1756‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺯﻫﺭﺍﺕ ﺍﻟﺒﻴﻀﺎﺀ ﻓﻲ ﻜل ﺒﺎﻗﺔ ﻫﻭ‪1756 : 439 = 4 :‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺯﻫﺭﺍﺕ ﺍﻟﺤﻤﺭﺍﺀ ﻓﻲ ﻜل ﺒﺎﻗﺔ ﻫﻭ‪1317 : 439 = 3 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪:‬‬‫* ﻹﻴﺠﺎﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﻔﺤﺎﺕ ﻜل ﺠﺯﺀ ﻨﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ )‪ 608‬ﻭ ‪.( 480‬‬ ‫‪608 = 480 x 1 + 128‬‬ ‫‪480 = 128 x 3 + 96‬‬ ‫‪128 = 96 x 1 + 32‬‬ ‫‪96 = 32 x 3 + 0.‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ :‬ﻋﺩﺩ ﺼﻔﺤﺎﺕ ﻜل ﺠﺯﺀ ﻫﻭ ‪.32 :‬‬ ‫* ﻋﺩﺩ ﺃﺠﺯﺍﺀ ﻜل ﻜﺘﺎﺏ ‪:‬‬ ‫‪608 : 32 = 19‬‬ ‫‪480 : 32 = 15‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﻌﺎﺸﺭ‪:‬‬ ‫* ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ‪44 2 = 1936 :‬‬ ‫* ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟـ ‪ 7744:‬ﻭ ‪17424‬‬ ‫‪17424 = 7744 x 2 + 1936.‬‬ ‫‪7744 = 1936 x 4 + 1‬‬

‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪PGCD( 17424 ; 7744 ) = 1936 :‬‬ ‫* ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺒﺩﻭﻥ ﺁﻟﺔ ﺤﺎﺴﺒﺔ‪:‬‬‫‪7744 = 1936x4 = 1936 x 4 = 44 x 2 = 88‬‬‫‪17424 = 1936x9 = 1936 x 9 = 44 x 3 = 132‬‬‫* ﺍﻟﻜﺴﺭ ﺍﻟﻐﻴﺭ ﻗﺎﺒل ﻟﻺﺨﺘﺯﺍل‪:‬‬‫‪17424 :1936‬‬ ‫‪=9‬‬‫‪7744 :1936‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﻨﻅﺭﻴـﺔ ﻁﺎﻟﻴـﺱ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬‫*‪ /‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﻁﺎﻟﻴﺱ ﻭ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻟﻬﺎ ﻓﻲ ﺤﺴﺎﺏ ﺃﻁﻭﺍل ﺃﻭ ﺇﻨﺠﺎﺯ ﺒﺭﺍﻫﻴﻥ ﻭ ﺇﺘﺸﺎﺀﺍﺕ‬ ‫ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺒﺴﻴﻁﺔ‬ ‫*‪ /‬ﺘﻁﺒﻴﻕ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ‬ ‫• ﻨﻅﺭﻴﺔ ﻁﺎﻟﻴﺱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬ ‫• ﺘﻘﺴﻴﻡ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺇﻟﻰ ﻗﻁﻊ ﻤﺘﻘﺎﻴﺴﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻁﺎﻟﻴﺱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬ ‫• ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‬

‫‪ .1‬ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ‪:‬‬‫)‪ (d‬ﻭ )'‪ (d‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻤﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ﻓﻲ ‪A‬‬‫‪ B‬ﻭ‪ M‬ﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ﻤﻥ )‪ (d‬ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﺎﻥ ﻋﻥ ‪A‬‬‫‪ C‬ﻭ‪ N‬ﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ﻤﻥ)'‪ ( d‬ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﺎﻥ ﻋﻥ ‪A‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪(MN) // ( BC) :‬‬‫‪AM‬‬ ‫=‬ ‫‪AN‬‬ ‫=‬ ‫‪MN‬‬ ‫ﻓــﺈﻥ‪:‬‬‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫ﺍﻷﺸﻜـﺎل‪:‬‬

‫‪ .2‬ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ‪:‬‬ ‫)‪ (d‬ﻭ )'‪ (d‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻤﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ﻓﻲ ‪A‬‬ ‫‪ B‬ﻭ‪ M‬ﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ﻤﻥ )‪ (d‬ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﺎﻥ ﻋﻥ‪A‬‬ ‫‪ C‬ﻭ‪ N‬ﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ﻤﻥ )‘‪ (d‬ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﺎﻥ ﻋﻥ‪A‬‬‫ﻓﻲ‬ ‫‪A,B,M‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪AM‬‬ ‫=‬ ‫‪AN‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪:‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭﻨﻔﺱ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻤﻊ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪A,C,N‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‪(MN) // ( BC) :‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﺤﻠﻭل‪ :‬ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل‪ .‬ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻫﻲ‪cm :‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ‪.(CD) // (AB) :‬‬ ‫‪OA=4; OD=8,4‬‬ ‫‪OC=6; AB=3‬‬ ‫ﺃ‪ /‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻁﻭل‪OB :‬‬ ‫ﺏ‪ /‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻁﻭل‪CD :‬‬ ‫ﺍﻟﺤــل‪:‬‬ ‫)‪ (DB‬ﻭ )‪ (AC‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻤﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ﻓﻲ‪O :‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ‪ (AB) :‬ﻭ )‪ (CD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ‪.‬‬ ‫‪4 OB 3‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﻁﺎﻟﻴﺱ‪:‬‬ ‫‪6 = 8,4 = CD‬‬ ‫‪OA OB AB‬‬ ‫‪ OC = OD = CD‬ﺃﻱ‪:‬‬ ‫ﻨﺠﺩ ‪OB = 5,6 cm :‬‬ ‫‪4 OB‬‬ ‫ﻤﻥ‪6 = 8,4 :‬‬

‫‪43‬‬ ‫ﻤﻥ‪ 6 = CD :‬ﻨﺠﺩ‪CD = 4,5 cm :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‪ :‬ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺸﻜﻠﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤـل‪:‬‬‫‪.‬‬ ‫‪AN‬‬ ‫=‬ ‫‪7,5‬‬ ‫‪=0,6‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪AM‬‬ ‫=‬ ‫‪5,4‬‬ ‫=‬ ‫‪0,6‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻷﻭل‪:‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪12,5‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﻁﺎﻟﻴﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ)‪ (MN‬ﻭ )‪ (BC‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫=‬ ‫‪11,9‬‬ ‫‪=0,34‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪AN‬‬ ‫=‬ ‫‪18,2‬‬ ‫=‬ ‫‪0,35‬‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪52‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﻁﺎﻟﻴﺱ‪ :‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ )‪ (BC) (MN‬ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ‪.‬‬

‫‪ .3‬ﻨﻅﺭﻴﺔ ﻁﺎﻟﻴﺱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ ABC‬ﻤﺜﻠﺙ‪ M،‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻤل )‪(AB‬‬‫‪ N‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻤل )‪(AC‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ :‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ )‪ (BC‬ﻭ )‪ (MN‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ‪.‬‬ ‫‪AM AN MN‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪AB = AC = BC :‬‬‫* ﺃﻀﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻥ ‪ ABC‬ﻭ‪ AMN‬ﻤﺘﻨﺎﺴﺒﺎﻥ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ :‬ﻫﻭ ﺠﺩﻭل ﺘﻨﺎﺴﺒﻴﺔ‪.‬‬‫‪AM AN MN‬‬‫‪AB AC‬‬ ‫‪BC‬‬

‫‪ .4‬ﺘﻘﺴﻴﻡ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺇﻟﻰ ﻗﻁﻊ ﻤﺘﻘﺎﻴﺴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺜـﺎل‪ :‬ﻟﺘﻘﺴﻴﻡ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ]‪ [AB‬ﺇﻟﻰ ﺜﻼﺙ ﻗﻁﻊ ﻤﺘﻘﺎﻴﺴﺔ‪:‬‬ ‫* ﻨﺭﺴﻡ ﻨﺼﻑ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪[AX‬‬ ‫* ﻨﺭﺴﻡ ﻋﻠﻰ ) ‪ [ AX‬ﺘﺩﺭﻴﺞ ﻤﻨﺘﻅﻡ‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﺩﻭﺭ‪A , N1 , N3 , N2 :‬‬ ‫* ﻨﺼل ﺍﻟﺘﺩﺭﻴﺠﺔ‪ N3‬ﺒﺎﻟﻁﺭﻑ ‪B‬‬ ‫*ﻨﺭﺴﻡ ‪ M1 , M2‬ﻤﺴﺎﻗﻁ ‪ N1 , N2‬ﻋﻠﻰ ]‪ [AB‬ﻭﻓﻕ ]‪[N3B‬‬

‫‪ . 5‬ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻁﺎﻟﻴﺱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‪:‬‬‫‪ ABC‬ﻤﺜﻠﺙ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ]‪[AB‬‬‫‪AM‬‬ ‫=‬ ‫‪AP‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ]‪[AC‬‬ ‫ﻭ ﻜﺎﻨﺕ‪P‬‬‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪(MP)// (BC) :‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﻤﺼﺩﺍﻗﻴﺔ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﻁﺎﻟﻴﺱ ﺘﺭﺘﻜﺯ )ﺘﻌﺘﻤﺩ( ﻋﻠﻰ ﺍﻹﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻟﻠﻨﻘﻁ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ﻤﻀﺎﺩ‪ :‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل‪:‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫=‬ ‫‪AN‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ)‪ (MN‬ﻭ )‪(BC‬‬ ‫ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤــﺎﺭﻴـﻥ‬ ‫‪ /1‬ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺸﻜل ﺤﻴﺙ )‪(BC) // (ED‬‬‫‪AC=15 ;BC=18 ;AB=12 ; AE= 7‬‬ ‫* ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻁﻭﻟﻴﻥ‪AD; DE;:‬‬ ‫‪ /2‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ ABCD‬ﻤﺴﺘﻁﻴل ﻓﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪ E . BC = 7 ; AB=12‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ]‪[AD‬ﺤﻴﺙ ‪AE=5‬‬ ‫ﻭ)‪ (BE‬ﻴﻘﻁﻊ )‪ (CD‬ﻓﻲ ‪F‬‬‫* ﺃﺤﺴﺏ ‪ EB‬ﺏ‪ /‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ EF‬ﻭ‪FD‬‬ ‫‪ ACE /3‬ﻤﺜﻠﺙ ﻜﻴﻔﻲ ‪ B،‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ]‪ D، [AC‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ]‪[AE‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‪ AD=AB‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ)‪ (BD‬ﻭ)‪ (CE‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ‪.‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺸﻜل‪،‬ﺤﻴﺙ‬ ‫‪/4‬‬‫)‪ (CE)// (BD‬ﻭ)‪(EG)//(DF‬‬ ‫ﺃ‪ /‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ )‪(GC)//(BF‬‬

‫‪ /5‬ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺸﻜل ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ )‪ (BM‬ﻭ)‪(AC‬‬ ‫ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ‪.‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ )‪ (AB‬ﻭ )‪(NC‬‬ ‫ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ‬ ‫* ﺒﻴﻥ ﺃﻥ‪OA2 = OM x ON‬‬‫ﻓﻲ‪K‬‬ ‫‪ BA) C‬ﻴﻘﻁﻊ]‪[BC‬‬ ‫‪ ABC /6‬ﻤﺜﻠﺙ ‪،‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺼﻑ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻲ ﻟﻠﺯﺍﻭﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟـ)‪ (AB‬ﻴﻤﺭ ﺒـ‪C‬‬ ‫ﻭ ﻴﻘﻁﻊ)‪ (AK‬ﻓﻲ ‪D‬‬ ‫* ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‪ DAC‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻥ ﻓﻲ‪C‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫=‬ ‫‪KB‬‬ ‫* ﺒﻴﻥ ﺃﻥ‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪KC‬‬ ‫‪ ABCD /7‬ﺸﺒﻪ ﻤﻨﺤﺭﻑ ﻗﺎﻋﺩﺘﺎﻩ ]‪ [AB‬ﻭ ]‪[CD‬‬ ‫‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ]‪ [AD‬ﻭ‪ J‬ﻤﻨﺘﺼﻑ]‪ [BC‬ﻭ‪ K‬ﻤﻨﺘﺼﻑ]‪[AC‬‬‫* ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ I;J;K :‬ﻋﻠﻰ ﺇﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪ ،‬ﻭ ﺤﺎﻤﻠﻬﺎ ﻴﻭﺍﺯﻱ )‪(AB‬‬ ‫* ﺃﺤﺴﺏ‪ IJ‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ AB‬ﻭ ‪.CD‬‬ ‫‪ ABCD/8‬ﺸﺒﻪ ﻤﻨﺤﺭﻑ ﻗﺎﻋﺩﺘﺎﻩ ]‪ [AB‬ﻭ]‪[CD‬‬ ‫*‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ]‪ [BD‬ﻭ )‪(BC)//(AM‬‬ ‫* ‪ N‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ]‪ [AC‬ﻭ )‪(AD)//(BN‬‬ ‫* ‪ I‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ]‪ [AN‬ﻭ ]‪[BM‬‬ ‫* ﺒﻴﻥ ﺃﻥ )‪(AB)// (MN‬‬ ‫‪ /9‬ﻴﺭﺍﻗﺏ ﺸﺨﺹ ﻜﺴﻭﻑ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﺒـ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫ﺍﻟﻤﺭﺍﻗﺏ ﻤﻭﺠﻭﺩ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ ، T‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‪) S‬ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺸﻤﺱ(‬‫ﻭﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪) L‬ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻘﻤﺭ( ﻭﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ T, L , S :‬ﻋﻠﻰ ﺇﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻘﻁﺭ]‪ [ OS‬ﻟﻠﺸﻤﺱ ﻫﻭ ‪695 000 km‬‬ ‫ﻗﻁﺭ]‪ [ LU‬ﺍﻟﻘﻤﺭ ﻫﻭ‪1 736 km‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‪ ST‬ﻫﻲ‪ 150‬ﻤﻠﻴﻭﻥ ﻜﻴﻠﻭﻤﺘﺭ‪.‬‬ ‫* ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪LT:‬‬ ‫‪ / 10‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ )‪ (BD‬ﻭ )‪ (AC‬ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ﻓﻲ‪O‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪OD=7; OB=5; OA = 6.5 ; OC=9.1 :‬‬ ‫* ﻫل ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ ABCD‬ﺸﺒﻪ ﻤﻨﺤﺭﻑ‪.‬‬ ‫‪ /1‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻁﻭﻟﻴﻥ‪ AD :‬ﻭ ‪DE‬‬ ‫‪ ABC‬ﻤﺜﻠﺙ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬‫ﻭ‪ E‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (AB‬ﻭ‪ D‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪(AC‬‬ ‫ﻭ )‪ ) (ED) // (BC‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ(‪.‬‬ ‫ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﻁﺎﻟﻴﺱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫=‬ ‫‪AB‬‬ ‫=‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫‪ED‬‬‫‪15‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪AC‬‬ ‫=‬ ‫‪AB‬‬ ‫ﻤﻥ‬‫‪AD‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫‪AE‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪AD=8,75‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫=‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪18‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ED‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫‪DE‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪DE =10,5 :‬‬

‫ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ ﻓﻲ‪A:‬‬ ‫‪ /2‬ﺤﺴﺎﺏ‪EB:‬‬ ‫]‪ [EB‬ﻫﻭ ﻭﺘﺭ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ABE‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﻓﻴﺘﺎﻏﻭ ﺭﺙ‪:‬‬ ‫‪EB2=AB2+AE2‬‬ ‫‪EB2=122+52‬‬ ‫‪EB2= 169‬‬ ‫‪ /3‬ﺤﺴﺎﺏ ‪EB2= EF ,1E6D9:‬‬‫)‪ (FC‬ﻭ‪ E‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪(FB‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ D :‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ‬ ‫‪EB=13‬‬‫ﻭ )‪(BC) // (ED‬‬‫ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﻁﺎﻟﻴﺱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‪ FBC‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬‫‪(1)...‬‬ ‫‪FE‬‬ ‫=‬ ‫‪FD‬‬ ‫=‬ ‫‪ED‬‬ ‫‪FB‬‬ ‫‪FC‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪ED=2 ; ED=AD - AE‬‬ ‫‪ED‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪7‬‬‫ﻨﻀﻊ ‪FB = x+13 ; FB = FE + EB FE = x‬‬‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪FE‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻓﺘﺼﺒﺢ‪:‬‬ ‫‪FB‬‬ ‫‪x+13‬‬‫‪7x = 2x + 26‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x+13‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪5x = 26‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= ‪EF‬‬ ‫‪26‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= ‪FD‬‬ ‫‪24‬‬ ‫ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪5‬‬‫‪ /4‬ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺭﺴﻡ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺸﻜل ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻷﻥ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ )‪ (BD‬ﻭ )‪ (CE‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ﻓﺈﻥ ﺤﺴﺏ ﻁﺎﻟﻴﺱ‪:‬‬‫ﻟﻜﻥ‪AD = AB :‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫=‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫‪AC‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻴﻜﻭﻥ‪AC = AE :‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ﻏﻴﺭ ﻤﺤﻘﻘﺔ ﻓﻲ ﻤﺜﻠﺙ ﻜﻴﻔﻲ ‪. ACE‬‬ ‫‪ /5‬ﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪(CG) // (BF) :‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫=‬ ‫‪AG‬‬ ‫ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AF‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ABF‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ABD‬‬ ‫‪ C‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪(AB‬‬ ‫ﻭ ‪ E‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪(AD‬‬ ‫ﻭ )‪.(CE)//(BD‬‬ ‫‪(1)...‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫=‬ ‫‪AE‬‬ ‫ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﻁﺎﻟﻴﺱ ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‪ADF‬‬ ‫‪ G‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪(AF‬‬ ‫ﻭ ‪ E‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (AD‬ﻭ )‪(DF)//(EG‬‬ ‫‪(2)....‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫=‬ ‫‪AG‬‬ ‫ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﻁﺎﻟﻴﺱ ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫‪AF‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫=‬ ‫‪AG‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪ (2‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AF‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ABF‬‬‫‪AC‬‬ ‫=‬ ‫‪AG‬‬ ‫‪ C‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (AB‬ﻭ ‪ G‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (AF‬ﻭ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬‫‪AB‬‬ ‫‪AF‬‬‫ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻲ ﻟﻁﺎﻟﻴﺱ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪(BF)//(CG) :‬‬ ‫‪ /6‬ﺃﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪OA2 = OM × ON :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ A:‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (OM‬ﻭ‪ C‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪(AB‬‬ ‫ﻭ )‪(AC)//(MB‬‬ ‫…)‪.(1‬‬ ‫‪OM‬‬ ‫=‬ ‫‪OB‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﻁﺎﻟﻴﺱ‪:‬‬ ‫‪OA‬‬ ‫‪OC‬‬‫‪ A‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (ON‬ﻭ‪ B‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪(OC‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫ﻭ )‪(AB)//(CN‬‬

‫‪(2)...‬‬ ‫‪OA‬‬ ‫=‬ ‫‪OB‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﻁﺎﻟﻴﺱ ‪:‬‬ ‫‪ON‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪OM‬‬ ‫=‬ ‫‪OA‬‬ ‫)‪ (2‬ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪1(1‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪OA‬‬ ‫‪ON‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪OA2 = OM × ON :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪ A)ACCD‬ﻤ‪D‬ﺘﺴﺎ=ﻭﻱ‪C‬ﺍﻟ)ﺴ‪D‬ﺎﻗ‪A‬ﻴﻥ‬ ‫ﻟﻜﻲ ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬ ‫‪/7‬‬ ‫ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ‪:‬‬‫ﻟـ ‪BA) C‬‬ ‫‪BA) D‬‬ ‫‪AA) BC):‬ﻤ(ﻥ‪D‬ﻭﺍﻟ)ﻤ=‪C‬ﻌﻁ‪D‬ﻴ(ﺎ‪ D‬ﻤ)ﺕ‪A‬ﺘﻭﺍ‪)B‬ﺯ‪.‬ﻴﺎ‪K‬ﻥ‪A‬ﺍ[ﻟ ﺍﺯﻟﺍﻤﻭﻨﻴﺘﺎﺼﻥﻑ‪C‬ﺍﻟ)ﺩﺍ‪D‬ﺨﻠ‪A‬ﻲﻭ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ‬ ‫‪DA) C‬‬ ‫=‬ ‫ﺍ‪:‬ﻟﺩﺍﺨ‪C‬ﻠ )ﻲ‪A.D‬‬ ‫ﻤﺘﻘﺎﻴﺴﺘﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺒﺎﺩل‬ ‫ﻤﻥ ﺃ( ﻭ ﺏ( ﻨﺠﺩ‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪ :‬ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‪ ACD‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻥ ﻓﻲ‪C:‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫=‬ ‫‪KB‬‬ ‫* ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪KC‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ )‪ (AD‬ﻭ )‪ (BC‬ﻤﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ﻓﻲ ‪K.‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ)‪ (AB‬ﻭ )‪ (CD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ‬‫‪(1)...‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫=‬ ‫‪KB‬‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻨﻅﺭﻴﺔ ﻁﺎﻟﻴﺱ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫‪KC‬‬ ‫ﻟﻜﻥ‪ :‬ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‪ DAC‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻥ ﻓﻲ ‪C‬‬‫‪KB‬‬ ‫=‬ ‫‪AB‬‬ ‫ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ)‪(1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪CD = AC:‬‬‫‪KC‬‬ ‫‪AC‬‬‫‪ /8‬ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪J,I,K :‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭ ﺤﺎﻤﻠﻬﺎ ﻴﻭﺍﺯﻱ)‪.(AB‬‬ ‫* ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‪ ACD‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪(IK‬‬ ‫ﻴﺸﻤل‪ I‬ﻭ‪K‬ﻤﻨﺘﺼﻔﺎ ]‪ [AD‬ﻭ]‪[AC‬‬ ‫ﻓﻬﻭ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﺤﺎﻤل )‪(DC‬‬ ‫* ﺃﻴﻀﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ACB‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪(KJ‬‬ ‫ﻴﺸﻤل‪ K‬ﻭ‪ J‬ﻤﻨﺘﺼﻔﺎ ]‪ [AC‬ﻭ]‪[BC‬‬ ‫ﻓﻬﻭ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﺤﺎﻤل )‪(AB‬‬ ‫* ﻟﻜﻥ‪ ABCD‬ﺸﺒﻪ ﻤﻨﺤﺭﻑ ﻗﺎﻋﺩﺘﺎﻩ ]‪ [AB‬ﻭ ]‪[DC‬‬‫ﺇﺫﻥ‪ (DC)//(AB) :‬ﻭ )‪ (DC) //(IK‬ﻭ )‪(KJ)//(AB‬‬

‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ (KG)// (KI) :‬ﻟﻜﻥ‪ K‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ)‪(KI‬ﻭ)‪(KJ‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪ :‬ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪I,J,K‬ﻋﻠﻰ ﺇﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺤﺎﻤﻠﻬﺎ ﻴﻭﺍﺯﻱ )‪(AB‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ‪ IJ‬ﺒﺩﻻﻟﺔ‪ AB‬ﻭ‪CD‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ K :‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (IJ‬ﺇﺫﻥ‪(1)....IJ = IK + KJ :‬‬ ‫‪ I‬ﻭ‪ K‬ﻤﻨﺘﺼﻔﺎ]‪ [AD‬ﻭ ]‪[CB‬‬ ‫‪(2)...‬‬ ‫= ‪IK‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪DC‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺃﻴﻀﺎ‪ K :‬ﻭ ‪ J‬ﻤﻨﺘﺼﻔﺎ ]‪ [CA‬ﻭ ]‪[CB‬‬ ‫‪(3)....‬‬ ‫= ‪KJ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪:‬‬ ‫‪2‬‬‫‪IJ‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪DC‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ)‪ (2‬ﻭ)‪ (3‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪IJ‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( AB‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪+ DC ) :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ /9‬ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪.(AB)//(MN) :‬‬ ‫‪ ADI‬ﻤﺜﻠﺙ‪.‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬‫‪ B‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (ID‬ﻭ‪ N‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪(AI‬‬‫ﻭ )‪) (AD)//(BN‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ(‬ ‫‪.(1)...‬‬ ‫‪IN‬‬ ‫=‬ ‫‪IB‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﻁﺎﻟﻴﺱ‪:‬‬ ‫‪IA‬‬ ‫‪ID‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ AMI : :‬ﻤﺜﻠﺙ‪.‬‬ ‫‪ C‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (IA‬ﻭ‪ B‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪(BI‬‬ ‫ﻭ )‪) (AM)//(BC‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ(‬ ‫‪.(2)...‬‬ ‫‪IM‬‬ ‫=‬ ‫‪IA‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﻁﺎﻟﻴﺱ‪:‬‬ ‫‪IB‬‬ ‫‪IC‬‬ ‫‪ ABI‬ﻤﺜﻠﺙ‪.‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪: :‬‬‫‪ C‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (IA‬ﻭ‪ D‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪(BI‬‬‫ﻭ )‪) (AB)//(DC‬ﻗﺎﻋﺩﺘﺎ ﺸﺒﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﺭﻑ(‬ ‫‪.(3)...‬‬ ‫‪IB‬‬ ‫=‬ ‫‪IA‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﻁﺎﻟﻴﺱ‪:‬‬ ‫‪ID‬‬ ‫‪IC‬‬

‫‪.(4)...‬‬ ‫‪IN‬‬ ‫=‬ ‫‪IM‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ :‬ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪ (2‬ﻭ )‪ (3‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪IA‬‬ ‫‪IB‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ :‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ABI‬‬ ‫‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (BI‬ﻭ‪ N‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪(AI‬‬ ‫‪IN‬‬ ‫=‬ ‫‪IM‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪IA‬‬ ‫‪IB‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ :‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻁﺎﻟﻴﺱ‪(AB)//(MN) :‬‬ ‫‪ /10‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪ TSO‬ﻤﺜﻠﺙ‪.‬‬ ‫‪ U‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (TO‬ﻭ‪ L‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪(ST‬‬‫ﻭ )‪ ) (SO)//(LU‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻋﻤﻭﺩﻴﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ(‬ ‫‪TL‬‬ ‫=‬ ‫‪UL‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﻁﺎﻟﻴﺱ‪:‬‬ ‫‪TS‬‬ ‫‪OS‬‬ ‫= ‪TL 6‬‬ ‫‪1736‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪150×10‬‬ ‫‪695×10‬‬ ‫=‪TL‬‬ ‫‪150×106×1736‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪695×10‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪. TL = 374676 ,26 km :‬‬ ‫‪ /11‬ﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ‪ ABCD‬ﺸﺒﻪ ﻤﻨﺤﺭﻑ‬ ‫ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﻗﺎﻋﺩﺘﺎﻩ ]‪ [AB‬ﻭ ]‪ [CD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺘﺎﻥ‪.‬‬ ‫‪OB‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪0 ,71‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪OD‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪OA‬‬ ‫=‬ ‫‪6,5‬‬ ‫=‬ ‫‪0 ,71‬‬ ‫ﻭ‪:‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪9,1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ :‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪AOB‬‬ ‫‪ C‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (OA‬ﻭ‪ D‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪(OB‬‬ ‫‪OA‬‬ ‫=‬ ‫‪OB‬‬ ‫=‬ ‫‪0 ,71‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪OD‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ :‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻁﺎﻟﻴﺱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‪OBA‬‬ ‫)‪(DC)// (AB‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪ ABCD :‬ﺸﺒﻪ ﻤﻨﺤﺭﻑ ﻗﺎﻋﺩﺘﺎﻩ ]‪[AB‬ﻭ ]‪.[DC‬‬

‫ﺍﻟﺠﺫﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻲ ﻟﻌﺩﺩ ﻤﻭﺠﺏ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺓ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫*‪ /‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺠﺫﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻲ ﻟﻌﺩﺩ ﻤﻭﺠﺏ‬‫*‪ /‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻗﻭﺍﻋﺩ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺫﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻴﺔ ﻭ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻟﻬﺎ ﻟﺘﺒﺴﻴﻁ ﻋﺒﺎﺭﺍﺕ ﺘﺘﻀﻤﻥ‬ ‫ﺠﺫﻭﺭﺍ ﺘﺭﺒﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ .1‬ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‬ ‫‪ .2‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ‬ ‫‪ .3‬ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‬ ‫‪ .4‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‬

‫‪ /1‬ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ a‬ﻋﺪدا ﻣﻮﺟﺒﺎ ‪.‬‬‫اﻟﻌﺪد اﻟﻤﻮﺟﺐ اﻟﺬي ﻣﺮﺏﻌﻪ ‪ a‬یﺴﻤﻰ اﻟﺠﺬر اﻟﺘﺮﺏﻴﻌﻲ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺏـ ‪a‬‬ ‫* ‪0 =0‬‬ ‫* ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺏ ﻟﻴﺱ ﻟﻪ ﺠﺫﺭ ﺘﺭﺒﻴﻌﻲ ‪.‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫* ‪ 52=25‬ﺇﺫﻥ‪25 =5 :‬‬ ‫* ‪ 3‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﻨﺭﺒﻌﻪ ﻟﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ‪:3‬‬ ‫‪( 3 )2=3‬‬ ‫‪. 2‬ﺨﻭﺍﺹ ‪:‬‬ ‫‪ a b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻤﻭﺠﺒﺎﻥ ≠‬ ‫‪=a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪(a‬‬ ‫‪a )2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬‫ﻭ ‪b≠ 0‬‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫; ‪ab = a b‬‬‫‪28 =2 7 ،‬‬ ‫= ‪28 = 4 x 7 ، 28‬‬ ‫ﺍﻤﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪4x7‬‬ ‫‪72‬‬

‫‪ .3‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪x2 = a :‬‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ‪:‬‬‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x2 = a‬ﻟﻬﺎ ﺤﻼﻥ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪a‬‬ ‫*‪ /‬ﺇﺩﺍ ﻜﺎﻥ ‪a >0‬‬ ‫‪ a‬ﻭ‪- a‬‬‫*‪‘ /‬ﺩﺍ ﻜﺎﻥ‪ a = 0 :‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x2 = a‬ﻟﻬﺎ ﺤل‬ ‫ﻭﺤﻴﺩﻫﻭ‪0:‬‬‫*‪ /‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ a<0 :‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x2 = a‬ﻟﻴﺱ ﻟﻬﺎ ﺤل‪0‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬‫* ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x2 =7‬ﻟﻬﺎ ﺤﻼﻥ ‪ - 7 :‬ﻭ ‪7‬‬ ‫* ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x2 = -4‬ﻟﻴﺱ ﻟﻬﺎ ﺤل ‪.‬‬

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ ﻣﺤﻠﻮﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺤﻠﻭل ‪:1‬‬ ‫) ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺠﺩﺍﺀﺍﺕ ﺍﻟﺸﻬﻴﺭﺓ (‬ ‫ﺒﻴﻥ ﺍﻥ‪c = (2+ 3 )2 + (1-2 3 ) 2 :‬‬ ‫) ‪d= (2- 3 )x (2+ 3‬‬ ‫ﻭ‪:‬‬ ‫ﻫﻤﺎ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪c= (2+ 2 3 )2 + (1-2 3 )2 :‬‬ ‫) ‪= (22 + 2x 2 3 +( 3 )2 ) + (12-2x2 3 + (2 3 )2‬‬ ‫‪= 4 + 4 3 + 3 + 1 -4 3 + 12‬‬ ‫‪c=20‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺤﻠﻭل ‪:2‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﺔ‪x 2 = a‬‬ ‫ﻋﻠﺒﺔ ﺃﺴﻁﻭﺍﻨﻴﺔ ﺍﻟﺸﻜل ﺤﺠﻤﻬﺎ ‪900 cm‬‬ ‫ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ ‪11 cm‬‬ ‫* ﺍﺤﺴﺏ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﻗﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﻌﻠﺒﺔ‬ ‫* ﺃﻋﻁ ﻤﺩﻭﺭ ﻨﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﺭ ﺇﻟﻰ ‪mm‬‬‫*‪ /‬ﻧﻌﻤﻞ ﺏﺎﺱﺘﻌﻤﺎل اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺘﺎﻣﺔ دون‬ ‫*‪ R/‬یﻤﺜﻞ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﻌﻠﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤل‪:‬‬ ‫ﺕﻌﻮیﺾ ﺏﻘﻴﻤﺘﻬﺎ اﻟﻤﻘﺮﺏﺔ‪π.‬‬ ‫‪π R 2 x 11= 900‬‬‫= ‪R2‬‬ ‫‪900‬‬ ‫*‪/‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫‪R2‬‬ ‫=‬ ‫‪900‬‬ ‫‪11π‬‬ ‫‪11π‬‬ ‫*‪R /‬ﻃﻮل أدن اﻟﺤﻞ اﻟﻤﻮﺟﺐ هﻮ اﻟﻤﻨﺎﺱﺐ‬‫‪-‬‬ ‫‪900‬‬ ‫ﻟﻬﺎ ﺡﻼن‬ ‫‪11π‬‬ ‫ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﻌﻠﺒﺔ هﻮ‪:‬‬ ‫‪900‬‬ ‫و‬ ‫‪900‬‬ ‫‪cm‬‬ ‫‪11π‬‬ ‫‪11π‬‬ ‫اﻟﻤﺪور إﻟﻰ ‪ mm‬هﻮ‪:‬‬ ‫‪1,5 mm‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺤﻠﻭل ‪:3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪a b‬‬ ‫ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ‪:‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻁﻠﺏ ﻤﻨﺎ ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ 98‬ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ‪a b‬‬ ‫*ﻋﻠﻴﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 98‬ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺠﺩﺍﺀ ﻤﺭﺒﻊ ﺘﺎﻡ‬ ‫)‪ (... 64,49,36,25,16,9,4‬ﺒﻌﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‪.‬‬‫*ﺃﻜﺘﺏ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ‪ a b‬ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﻭ‪ b‬ﺃﺼﻐﺭ ﻋﺩﺩ ﻤﻤﻜﻥ‪.‬‬ ‫‪ 98‬ﻭ ‪ 50‬ﻭ ‪. 50 + 98‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‪:‬‬ ‫ﻧﻜﺘﺐ ‪50= 25x2‬‬ ‫= ‪50‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪98‬‬‫ﺡﻴﺚ ‪ 25‬هﻮ أآﺒﺮ ﻣﺮﺏﻊ ﺕﺎم‬ ‫‪25x2 = 5 x2‬‬ ‫یﻘﺴﻢ ‪50‬‬ ‫‪=5 2‬‬ ‫‪49x2 = 7 2‬‬ ‫‪. 50 + 98 = 5 2 + 7 2 =12 2‬‬‫ﻨﺴﺘﺨﺭﺝ ‪ 2‬ﻜﻌﺎﻤل ﻤﺸﺘﺭﻙ ‪5 2 + 7 2 = (7+5) 2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺤﻠﻭل ‪:4‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺠﺫﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪8.1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫* ﺒﺴﻁ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪2 x 18 :‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻨﺎﻁﻕ‪:‬‬ ‫ﻋﺩﺩ‬ ‫ﻤﻘﺎﻤﻪ‬ ‫ﻜﺴﺭ‬ ‫ﺸﻜل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺃﻜﺘﺏ‬ ‫*‬ ‫‪3‬‬

‫ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤـل‪:‬‬‫‪ab = a b‬‬ ‫‪2 x 18 = 2x18 /1‬‬ ‫‪= 36 =6‬‬ ‫ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫= ‪8.1‬‬ ‫‪8.1‬‬ ‫=‬ ‫‪81‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.1‬‬‫‪b≠ 0‬‬ ‫و‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪=9‬‬ ‫ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬ ‫=‪2‬‬ ‫‪2x 3‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3x 3‬‬ ‫‪3‬‬‫‪3x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫و‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪ka‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫‪kb‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‬ ‫‪ /1‬ﺃﻋﻁ ‪ -‬ﻤﺭﺒﻊ‪ -‬ﻤﻀﺎﻋﻑ – ﺍﻟﺠﺫﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻲ – ﺍﻟﻨﺼﻑ ﻟﻜل ﻤﻥ‬ ‫ﺩ‪.10-2/‬‬ ‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ )ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ(‪.‬‬ ‫ﺃ‪ 25 /‬ﺏ‪ 102 /‬ﺠـ ‪0.006/‬‬ ‫‪ /2‬ﺍﺤﺴﺏ ﺒﺩﻭﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ‪:‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ﺩ‪/‬‬ ‫ﺠـ‪0.09 /‬‬ ‫ﺃ‪ 121 /‬ﺏ‪6400 /‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪ /3‬ﺒﺴﻁ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫‪A= 3 2 + 2 2 - 4 2‬‬‫‪B= 11 3 - 3 3 + 4 3‬‬ ‫‪ /4‬ﺒﺴﻁ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫‪A = 3 2 - 5 3 + 2 +2 3‬‬‫‪B = 5 5 - 3 3 +2 3 -2 5‬‬ ‫‪ ABC /5‬ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ ﻓﻲ ‪ A‬ﻓﻴﻪ ‪CA= 3cm BA= 4 cm‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﻁﻭل ﺍﻟﻀﻠﻊ‪BC :‬‬ ‫‪ ABCD /6‬ﻤﺴﺘﻁﻴل ﺤﻴﺙ ‪AB = 5 BC = 2+ 5‬‬ ‫* ﺃﺤﺴﺏ ﻤﺤﻴﻁ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ‪.‬‬ ‫* ﺃﺤﺴﺏ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل‪.‬‬ ‫‪ /7‬ﺃﻨﺸﺭ ﻭ ﺒﺴﻁ ﻤﺎﻴﻠﻲ‪:‬‬‫)‪B= 2 ( 2 +5‬‬ ‫) ‪A=7(2+ 5‬‬‫‪D = ( 1- 7 ) ( 1 + 7 ) C = ( 2 - 3 )2‬‬ ‫‪ /8‬ﺃﻨﺸﺭ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫‪B = ( x 5 + 2) (x 5 - 2) A = (x + 2 )2‬‬ ‫‪B = x2 -5‬‬ ‫‪A = X2 – 4‬‬ ‫‪ /9‬ﺤﻠل ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ /10‬ﻗﺭﺹ ﻤﺴﺎﺤﺘﻪ ‪15 cm2‬‬ ‫* ﺍﺤﺴﺏ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ‪.‬‬ ‫* ﺍﻋﻁ ﺍﻟﻤﺩﻭﺭ ﺇﻟﻰ ‪ mm‬ﻟﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ‪.‬‬

‫‪ /11‬ﺃﻜﺘﺏ ﺒﺩﻭﻥ ﺭﻤﺯ ﺍﻟﺠﺫﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻲ ﻤﺎﻴﻠﻲ‪:‬‬‫=‪B‬‬ ‫‪0.7‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪A = 27 x 3‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ a b‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻤﺎﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﺃﻜﺘﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫‪/12‬‬ ‫‪B = 80‬‬ ‫‪A = 72‬‬ ‫‪ /13‬ﺃﻜﺘﺏ ‪ 125 ، 720‬ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ‪a b‬‬‫* ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻤﺒﺴﻁﺔ ﻟـ‪A = 3 80 - 2 125 + 720 :‬‬ ‫‪ /14‬ﻨﺴﻤﻲ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻭﻗﻑ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻘﻁﻭﻋﺔ ﺃﺒﺘﺩﺍﺀﺍ ﻤﻥ ﺭﺅﻴﺔ ﺍﻟﺴﺎﺌﻕ‬ ‫ﻟﻠﺨﻁﺭ ﻭ ﻫﻲ ﺘﻨﻘﺴﻡ ﺇﻟﻰ ﻤﺴﺎﻓﺘﻴﻥ ‪:‬‬ ‫* ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ)‪ d(m‬ﺍﻟﻤﻘﻁﻭﻋﺔ ﻓﻲ ﺯﻤﻥ ﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻟﺴﺎﺌﻕ ﻭﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﻭﺍﺤﺩ ﺜﺎﻨﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪D= v2 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫* ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ)‪ D(m‬ﻟﻠﻜﺒﺢ ﻤﻌﻁﺎﺓ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫‪20f‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪ v :‬ﻫﻲ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ‬ ‫‪ f‬ﻤﻌﺎﻤل ﺇﺤﺘﻜﺎﻙ ﺍﻟﻌﺠﺎﻻﺕ ﻤﻊ ﺍﻟﻁﺭﻴﻕ ﻭ ﻫﻭ ‪ 0.7‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ‬ ‫ﻁﺭﻴﻕ ﺠﺎﻑ ﻭ‪ 0.4‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻁﺭﻴﻕ ﻤﺒﻠل‪.‬‬ ‫* ﺍﺤﺴﺏ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺘﻭﻗﻑ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﺘﺴﻴﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ‪90 km/h :‬‬ ‫* ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻴﻕ ﺠﺎﻑ‬ ‫* ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻴﻕ ﻤﺒﻠل‪.‬‬ ‫‪ /15‬ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ) ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﺎﺕ ﻏﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ(‬ ‫‪ ABCD‬ﻤﺭﺒﻊ ﻁﻭل ﻀﻠﻌﻪ ﻫﻭ ‪. (cm) x‬‬ ‫‪ EFC‬ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ ﻓﻲ ‪ C‬ﺤﻴﺙ ‪FC = 4 cm‬‬ ‫* ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ‪ S1‬ﻟﻠﻤﺭﺒﻊ ‪ ABCD‬ﺒﺩﻻﻟﺔ‪X‬‬ ‫* ﺃﺤﺴﺏ‪ S1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪)X=2+ 2‬ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل‬ ‫‪ a+b 2‬ﺤﻴﺙ ‪ b.a‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ‬ ‫‪ -‬ﻨﻔﺭﺽ‪ X‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪1‬‬ ‫* ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ‪ BE=0.5cm‬ﺃﺤﺴﺏ ﺒﺩﻻﻟﺔ‪ X‬ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ‪ S2‬ﻟﻠﻤﺜﻠﺙ ‪EFC‬‬ ‫* ﻟﻨﺭﻤﺯ ﺒـ ‪ S‬ﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺘﻴﻥ ‪ S1+S2‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪X‬‬ ‫* ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻥ ‪S = X2 + 2X - 1‬‬ ‫‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ S‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪)X=2+ 2‬ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل‬ ‫‪ a+b‬ﺤﻴﺙ ‪ b.a‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ(‬

‫ﺡﻠﻮل اﻟﺘﻤﺎرﻳﻦ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻷﻭل ‪:‬‬ ‫ﻨﺼﻔﻪ‬ ‫ﺠﺫﺭﻩ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﻀﻌﻔﻪ‬ ‫ﻤﺭﺒﻌﻪ‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪12.5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪625‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪102‬‬‫‪0.0032‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.0128‬‬ ‫‪0.00004096‬‬ ‫‪0.0064‬‬‫‪0.005‬‬ ‫‪10-1‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫‪10-4‬‬ ‫‪10-2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬ ‫‪2‬‬ ‫* ‪121 = 11 = 11‬‬ ‫* ‪6400 = 100x64 = 10 x 8 = 80‬‬ ‫= ‪0.09‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 0.3‬‬ ‫*‬ ‫‪100‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪25‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫*‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪:‬‬ ‫ﺘﺒﺴﻴﻁ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ‪:‬‬‫‪A=3 2 +2 2 -4 2= 5 2-4 2= 2‬‬‫‪B= 11 3 - 3 3 + 4 3 =8 3 + 4 3 = 12 3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ‪ :‬ﺘﺒﺴﻴﻁ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ‪:‬‬‫‪A = 3 2 - 5 3 + 2 +2 3 =3 2 + 2 - 5 3 +2 3‬‬‫‪A = 4 2 -2 3‬‬‫‪B = 5 5 - 3 3 +2 3 -2 5= 3 5- 3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺨﺎﻤﺱ‪:‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﻁﻭل ﺍﻟﻀﻠﻊ ‪BC‬‬ ‫‪ ABC‬ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ ﻓﻲ ‪ A‬ﺤﺴﺏ ﻓﻴﺘﺎﻏﻭﺭﺙ‬ ‫‪BC2 = AB2 + AC2‬‬

‫= ‪BC‬‬ ‫‪BC2 = (4)2 + ( 3 )2‬‬ ‫‪ BC = 5cm‬ﻻﻨﻪ ﻁﻭل‬ ‫‪BC2 = 16 + 9‬‬ ‫‪BC2 = 25‬‬ ‫‪± 25‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ‪:‬‬ ‫‪ ABCD‬ﻤﺴﺘﻁﻴل‪.‬‬ ‫* ﻤﺤﻴﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل‪P = 2(L + l) :‬‬ ‫) ‪P=2(2+ 5 + 5‬‬ ‫) ‪P =2 (2 +2 5‬‬ ‫‪P = 4+4 5‬‬ ‫* ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل‪.‬‬‫‪S=Lxl‬‬‫‪S = ( 2 + 5 ) 5 = 2 5 + 5 x 5 = 2 5 + 25‬‬‫‪S =2 5 +5‬‬‫‪A = 7 ( 2 + 5 ) =14 + 7 5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻊ‪:‬‬‫) ‪B= 2 ( 2 +5) = 2 2 + 2 5 = 2 + 5 2‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺭ ﻭ ﺍﻟﺘﺒﺴﻴﻁ‪:‬‬‫‪C = ( 2 - 3 )2 = (2)2 – 2(2 3 ) +( 3 )2 = 4 - 4 3 + 3‬‬‫‪C=7 -4 3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻤﻥ‪:‬‬‫‪D = ( 1- 7 ) ( 1 + 7 ) = (1)2 - ( 7 )2 = 1 – 7 = -6.‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺭ ﻭ ﺍﻟﺘﺒﺴﻴﻁ‪:‬‬

‫‪A = (x + 2 )2‬‬ ‫‪2 )2‬‬ ‫ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﺠﺩﺍﺀﺍﺕ ﺍﻟﺸﻬﻴﺭﺓ‬ ‫( ‪= x2 +2(x 2 ) +‬‬ ‫‪(A+B)2 =A2+2AB+B2‬‬‫‪A = x2 +2 2 x +2‬‬ ‫ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ ‪( A )2= A‬‬ ‫ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﺠﺪاءات اﻟﺸﻬﻴﺮ‬‫‪B = ( x 5 + 2) (x‬‬ ‫)‪5 - 2‬‬ ‫‪(A+B)(A-B)=A2 - B2‬‬ ‫‪= ( x 5 )2 - (2)2‬‬ ‫‪(A B )2=A2 B‬‬‫‪B = 5 x2 - 4‬‬‫‪A = x2 – 4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪:‬‬ ‫‪= x2 – 22‬‬ ‫ﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ‬ ‫)‪= (x –2 ) (x + 2‬‬ ‫ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﺠﺪاءات اﻟﺸﻬﻴﺮة‬‫‪B = x2 -5‬‬ ‫)‪A2-B2=(A-B ) (A+B‬‬ ‫‪= x2 - ( 5 )2‬‬ ‫ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ ‪( A )2= A‬‬ ‫) ‪(x - 5 ) ( x + 5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﻌﺎﺸﺭ‪:‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﻨﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﺭ‬ ‫ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻘﺭﺹ ﺘﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬ ‫‪πS = R2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪π15 = R2‬‬ ‫= ‪R2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪cm‬‬ ‫‪π‬‬

‫=‪R‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪R = 2.2 cm‬‬‫‪A = 27 x 3‬‬ ‫‪81‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﻱ ﻋﺸﺭ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﺒﺩﻭﻥ ﺭﻤﺯ ﺍﻟﺠﺫﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻲ‪:‬‬ ‫= ‪= 27x3‬‬ ‫ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬‫‪A = 9.‬‬ ‫‪ab = a b‬‬‫=‪B‬‬ ‫‪0.7‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪3‬‬‫=‪B‬‬ ‫‪0.7‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪70‬‬ ‫=‬ ‫‪49‬‬ ‫=‬ ‫‪49‬‬ ‫ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫‪27‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪81‬‬ ‫و‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬‫=‪B‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪≠0‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻋﺸﺭ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل‪ a b :‬ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ‪:‬‬ ‫‪A = 72 = 36x2‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺘﺤﻠﻴل ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻨﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﺘﺎﻡ ﺜﻡ‬ ‫‪a b = ab‬‬‫‪= 36 x 2 = 6 x 2 =6 2‬‬‫‪B = 80 = 16x5‬‬ ‫‪2‬‬‫‪= 16 x 5 = 4 5‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻋﺸﺭ‪:‬‬ ‫* ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ‪a b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪125 +‬‬ ‫* ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﺒﺴﻁﺔ‬‫‪125 = 25x5 = 5 x5‬‬ ‫‪720‬‬‫‪125 = 5 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪720 = 144x5 = 12 x5‬‬ ‫‪720 = 12 5‬‬ ‫‪A = 3 80 - 2‬‬ ‫‪A= 3(4 5 ) – 2 (5 5 ) + 12 5‬‬ ‫‪A = 12 5 - 10 5 + 12 5‬‬ ‫‪A = 14 5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ﻋﺸﺭ‪:‬‬ ‫ﻹﻴﺠﺎﺩ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺘﻭﻗﻑ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﺒﺴﺭﻋﺔ‪90 km/h‬‬ ‫* ﻨﺤﻭل ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺘﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬ ‫=‪V‬‬ ‫‪90x1000‬‬ ‫‪6300‬‬ ‫‪V =25 m/s‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻁﺭﻴﻕ ﺍﻟﺠﺎﻑ‪:‬‬ ‫* ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ﻓﻲ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﺭﺅﻴﺔ ﺍﻟﺨﻁﺭ‪:‬‬ ‫‪d=25 m‬‬ ‫* ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻭﻗﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻁﺭﻴﻕ ﺍﻟﺠﺎﻑ‪:‬‬‫‪D= v2 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20f‬‬‫‪D =(25)2 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20x0.7‬‬‫‪D = 44 .64‬‬

‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻭﻗﻑ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪25 + 44.64 = 69.64m‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻁﺭﻴﻕ ﺍﻟﻤﺒﻠل‪:‬‬ ‫* ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ﻓﻲ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﺭﺅﻴﺔ ﺍﻟﺨﻁﺭ‪:‬‬‫‪D =25 m‬‬ ‫* ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻭﻗﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻁﺭﻴﻕ ﺍﻟﻤﺒﻠل‪:‬‬‫‪D= v2 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20f‬‬‫‪D =(25)2 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪78.125m‬‬ ‫‪20x0.4‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻭﻗﻑ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪25 + 78.125 = 103.125‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺨﺎﻤﺱ ﺍﻟﻌﺸﺭ‪:‬‬ ‫* ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ‪ S‬ﻟﻠﻤﺭﺒﻊ ‪ ABCD‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪: X‬‬ ‫‪S = X2‬‬ ‫* ﺤﺴﺎﺏ ‪ S‬ﻤﻥ ﺍﺠل ‪X = 2 + 2‬‬ ‫‪A = (2 + 2 )2‬‬ ‫‪= (2)2 + 2 (2 2 ) + ( 2 ) 2‬‬ ‫‪=4+4 2 + 2‬‬ ‫‪S=6+4 2‬‬ ‫* ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ '‪ S‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ x‬ﻟﻠﻤﺜﻠﺙ ‪. EFC‬‬ ‫'‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪CF x CE‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪= 14 (X – 0.5 ) = 2 (X – 0.5‬‬ ‫‪S' = 2X - 1‬‬ ‫* ﺍﻟﺘﺤﻘﻕ ‪ :‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫'‪5 = S + S‬‬ ‫‪= 1–X2 + 2X‬‬ ‫* ﺤﺴﺎﺏ ‪ S‬ﻤﻥ ﺍﺠل ‪X = 2 + 2‬‬‫‪S = (2+ 2 ) 2 + 2 ( 2 + 2 ) - 1‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺴﺅﺍل ‪ * /1‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪= 6+4 2 +4+2 2 - 1‬‬ ‫‪S = 6 2 +9‬‬

‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺠﻴﺏ ﻭ ﻅل ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺤﺎﺩﺓ ﻓﻲ ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺭﺒﺔ‪ ،‬ﻟﻜل ﻤﻥ ﺠﻴﺏ‬ ‫ﻭ ﻅل ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺤﺎﺩﺓ ﺃﻭ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﻴﺱ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺠﻴﺏ ﺃﻭ ﺒﻅل‪.‬‬‫ﺇﻨﺸﺎﺀ ﻫﻨﺩﺴﻲ ) ﺒﺎﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﺍﻟﻐﻴﺭ ﻤﺩﺭﺠﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﺩﻭﺭ( ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻀﺒﻭﻁﺔ ﻷﺤﺩﻯ‬ ‫ﻨﺴﺒﻬﺎ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﻤﻌـﺭﻓﺔ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ= ‪S = 6 2 +9 : tan x‬‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ .1‬ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ .2‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ‬ ‫‪ .3‬ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‬ ‫‪ .4‬ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل‬ ‫‪ .5‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل‬

‫ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ ) cos- sin - tan .1‬ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺤﺎﺩﺓ(‪.‬‬ ‫ﻓﻲ ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ ‪:‬‬ ‫*‪ cos/‬ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺤﺎﺩﺓ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﻁﻭل ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‬ ‫ﻟﻠﺯﺍﻭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻁﻭل ﺍﻟﻭﺘﺭ‪.‬‬ ‫*‪ sin/‬ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺤﺎﺩﺓ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﻁﻭل ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل‬ ‫ﻟﻠﺯﺍﻭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻁﻭل ﺍﻟﻭﺘﺭ‪.‬‬‫*‪ tan/‬ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺤﺎﺩﺓ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﻁﻭل ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻟﻠﺯﺍﻭﻴﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻁﻭل ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ﻟﻠﺯﺍﻭﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ABC‬ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ ﻓﻲ ‪: A‬‬‫‪Cos‬‬ ‫ˆ‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪AB‬‬ ‫ˆ‪sin B‬‬ ‫=‬ ‫‪AC‬‬ ‫= ˆ‪tan B‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅـﺔ‪:‬‬ ‫‪ cos‬ﻭ ‪ sin‬ﺯﺍﻭﻴﺔ ﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ ‪ 0‬ﻭ ‪.1‬‬ ‫‪ tan‬ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺤﺎﺩﺓ ﻫﻭ ﻋـــﺩﺩ ﻤـﻭﺠﺏ‬ ‫‪ .2‬ﺭﺒﻊ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪:1‬‬ ‫ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ)‪(O,I,J‬‬ ‫)‪ (C‬ﺭﺒﻊ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪O‬‬ ‫ﻭ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪.1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)‪ (IT‬ﻤﻤﺎﺱ ل)‪ (C‬ﻓﻲ‪.I‬‬ ‫*ﺨﻭﺍﺹ‪:‬‬ ‫‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺭﺒﻊ ﺩﺍﺌﺭﺓ)‪ X، (C‬ﻗﻴﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ‪. IOˆ M‬‬

‫* ﺍﺤﺩﺜﻴﺎ ‪ M‬ﻫﻤﺎ)‪.(cos x, sin x‬‬ ‫*‪ tanx‬ﻫﻭ ﻁﻭل‪ IT‬ﺤﻴﺙ‪ T‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ)‪ (OM‬ﻭ)‪(IT‬‬ ‫‪ .3‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻻﺕ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ‪:‬‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ﻨﺘﺒﻊ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫*ﻨﻜﺘﺏ ﻗﻴﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺜﻡ ﻨﻀﻐﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺏ ) ‪( sin.tan.cos‬‬ ‫ﻭ ‪tan 82°‬‬ ‫ﻟـ‪7sin 68°‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺩﻭﺭ‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:1‬‬ ‫‪100‬‬‫‪680 sin x 7= 6.490286982‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻭﺍﺏ ﻫﻭ‪:‬‬ ‫‪7 sin 68° ≈ 6.49‬‬ ‫*‪tan82°=……………./‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻭﺍﺏ ﻫﻭ‪:‬‬ ‫……………=‪tan 82°‬‬‫*‬ ‫‪tan‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.4‬ﻋﻼﻗﺎﺕ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ‪:‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻓﻲ ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ ‪ x‬ﺘﻤﺜل ﻗﻴﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪22‬‬‫‪* cos x + sinx = 1‬‬

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ ﻣﺤﻠﻮﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺤﻠﻭل ‪:1‬‬‫‪ EFG‬ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ ﻓﻲ ‪ E‬ﺤﻴﺙ ‪FG=7.5m ، Fˆ = 59°‬‬ ‫ﻟﻠﻁﻭل‪.GE‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺩﻭﺭ‬ ‫ﺃﻋﻁ‬ ‫*‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‪ EFG :‬ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ ﻓﻲ ‪E‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪GE‬‬‫‪GE = 7.5sin59°,sin 59°= 7.5‬‬‫‪GE ≈ 6.4 cm‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺤﻠﻭل ‪:2‬‬ ‫‪ BCD‬ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ ﻓﻲ ‪B‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪Cˆ =50°, BD = 7 :‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﻟﻠﻁﻭل‪CD‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺩﻭﺭ‬ ‫ﺃﻋﻁ‬ ‫*‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪ BDC‬ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ ‪B‬‬‫=‪DC‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫=‪50°‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪SIN 50°‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪DC‬‬ ‫‪DC=9.1cm‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺤﻠﻭل ‪:3‬‬ ‫‪ ABD‬ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ ﻓﻲ ‪B‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪Aˆ =40° , AB = 9:‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﺃﻋﻁ ﺍﻟﻤﺩﻭﺭ ‪ 10‬ﻟﻠﻁﻭل ‪. B‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪ ABD :‬ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ ﻓﻲ ‪.B‬‬ ‫‪BD‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪BD =9.tan40°, tan 40°= 9‬‬ ‫‪BD= 7.6 cm‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺤﻠﻭل ‪:4‬‬ ‫‪ ABC‬ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ ﻓﻲ ‪A‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪AB=2.6m , BC= 4m :‬‬ ‫ﻟﻘﻴﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ˆ‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫*( ﺃﻋﻁ ﺍﻟﻤﺩﻭﺭ ‪10‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪ ABC‬ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ ﻓﻲ ‪A‬‬‫ˆ‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪nd‬‬ ‫‪sin 0.65 ,‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫ˆ‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪2.6‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Cˆ ≈ 40.5°‬‬