เคลณ่ม ิต๑ ศาสตร์ ๑ตตกสลาางมม่มุ วหมสาาลนรตักสะรสกฐิทูตาารรนธแเกรกิ์โียาดนรนกยเรรลูค้ดียาสณนงดั กรสติ แาแู้ ศวรลปาศะทสตึกลสต.วัษงรงชา์ว้ีวหข(หฉัดั้นน้าบพรสับม้ืนอื ปิทฐเจรผาธับน้ายปโิ์หพดแรทุนงุ พยธพา่ดศร.ยสศักดั่ .รสทแา๒วชา้๕ป๖ทซ๒ล๐๕.้า)ง๕ห๑ห้ารมือเจผ้ายหแนพา่ รย่ ท้าซ้าช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี หนังสือเรยี นรายวิชาพน้ื ฐาน
หนังสือเรียน หนงั สือเรยี น รครคาาณณยยติติววิชิชศศหรร้าาาาามาาเสพพยผยืื้น้นแพฐฐร่าาทนนา้ ซ้าวชิ า หนงั สือเรียน วชิ า หนังสอื เรียน สงวนสิทธิ์โดย สสวท. หรอื สจย้าตตหววนรริิชชา่ ย์์ าาเเลลพพ่่มมืืน้น้ ฐฐ๑๑าานนชนั้ วิชา ชน้ั วชิ า มมดัดธััธแปยยลสงมมงวคมมคนศศสณณัธัธกึกึ ิทธยยษษิ์โตติิ ดมมาายศศศศปปสาาสึกึกทีีทสสวทษษี่่ีตต.๑๑าารรหหปปา้ ์์รมเเอื เีีททลลจผา้ ย่มม่ ่ีี่หแ๑นพ่า๑๑รย่ ท้าซ้าตกกตตตตตตกกลลาาาาลลาาามมมมมมมุุ่ม่มุุ่มม่ มหหมสสมหมสสาาลลาาาาลาาตตรรตตรรัักกกั ะะะะรรรรสสสกกฐฐกกาาููตตตู าาาาฐฐาารรรรรนนาารรแแแเเนนเเกกแแรรกกรรกแแาาียียลลียยีนนนชชรรลลนนะะนนกก้ัันน้กเเะะตตรรรรรรลลลตตูู้ค้คยยีีัววัููคค้้ าาาััววณณชชนนณณงงงชชว้ี้วีรรกกกิิตติติตว้ว้ีีแู้้แูดดััาาาศศัดัดศศลลรรราาาาศศศะะสสสสตตึึกกกึ ตตตตษษัววัษรรรรชชาาา์์์์ ((ขขข((ีี้ว้วฉฉฉฉดัดั้ันัน้้ันบบบบพพพบัับัับบ้นื้้ืืนนปปปปฐฐฐรรรราาาับับับับนนนปปปปพพพรรรรุงุงงุงุทุุททุ ธพพธธพพศศศ....ศศศศักักกั ....รรร๒๒า๒๒าาช๕๕ชช๕๕๖๖๒๖๖๒๒๐๐๕๐๐๕๕))๕))๕๕๑๑๑ ๑จตัดามทหา�ำโลดกั ยสตู รแกนกลางการศกึ ษาขนั้ พน้ื ฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑ จสจถดััดาททบา�าำ ันโโดดสยย่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธิการ ดัดแปลงสจสถถดั าาทบบำานัันโดสสยง่ง่ เเสสรริมิมกกาาตรราสสมออมนนาววตทิิทรยยาาาฐศศาาานสสแตตลรร์แะ์แลตละวั ะเชเทท้วี คคัดโโนนโโลลยยี ี กระทรวงศกึ ษาธิการ จพIจจพอจIIIจสจจจIIพพSSSSSSงัดดัำำาา�าำาำาำถดัมิมิBBมิิมBBคBBนนนนนจจาจNNพพพพ์กNNNNบววววาา��ำวาำ คค์์าค์์คนนหหนนนันหร99รรรรนนส00นคั้งงั้77๕๕๕ัง้ง้ั xxา่า่ง่00า้่าทท88ทท๐๐เ๐xxยยขย00ส--ีี่่่ี่ีxxโโ๐๐66๐อ๑๑๑๑โรดด––,,ด11งิมxx,,,ยย๐๐๐ย66xxก00ส๐๐--๐xxา00กตกสสจตตจก33ร๐๐๐00สถถัดัดลล66าาาเเสลลคมมมาา22่มุุ่มทท––อเเเมม่่บบ.--ลลลหมหสสำำาาน6600นัันม่่มม่โโาลลาาว99พพดด00สสตรรัักกทิ22ยย00..ะะงง่่รพพสสศศพย--เเกกา99สสูตูต..า––...ฐศศาาศศรร๒๒รรารร00...มมิิาแแ๕๕นเเ00๒๒ส๒กกรรกก๖๖แ00ตียียาา๕๕๕นน๑๑ลรรรนน๖๖––กก๖สสแ์ะรรลล๑๑๑ออลต00ูคูค้้ าานนะวั ณณงงเชววทกกตติิิิททีว้ คาาัดศศยยรรโาาาานศศศศสสโกึึกลาาตตษษสสยรราาตตี์์ ขข((รรฉฉัันน้้์แ์แบบลลพพบับั ะะ้น้ืืนปปเเททฐฐรรคคาาบัับนนโโปปนนพพโโรรลลุุงงทุุทยยธธพพีี ศศ..ศศกััก..รร๒๒าาชช๕๕๖๖๒๒๐๐๕๕))๕๕๑๑ พอ๒พอถจองนงงัด๒ิิมมคคคจน๔พพก์์ก์กาำล๙์์ททาาาหารีโ่ีโ่รรดถนรรคคคงงนพ้าา่า้้าพพขนยรขขิมมิอา้โลออดวงพพางงยด์์สสสวสสพกพIพกกังกกSรสทสสิมิมา้สสBคอคควพพคคN.ง....คค์์วหพพังลลรรล0ทาาััง้ง้มิมิา0อดดททงพพ0งพพ่ี่ี ทท์์๑๑หกรร–่โี่โีลร้้าารร0างุววงงงเ0พพท0กิมมิพรพพ–มงุ ์์เหสส0ทากก0พนสส0มคคคห–ร..าลล0นมาา0คีลดด0รขิพพส–รรทิ้้าา0ววธิต์ ๒๒าม๒๒พ๔๔ร๙๙ะราชบญั ญตั ิ ๒มม●ถีีลลน๒มขิขิ น๔ีลสสล๙ขิ ิททิ าสธธดถทิ ์ิตติ์นพธาานริต์มม้าลาพพวามรรดพะะวพจจจจIรรงั Sระาาำาำาาาำำทา้BชชรนนนนอวาบบNววววงชวนนญัญัหนนบงั ล0ญญทัญ๕๕xxา0อตตัั งญ๐๐xx0งิิ xx๐๐ัตหก–,,ิxxล,,ร●๐๐xx0างุ ๐๐งเxx0ท๐๐0กเเพลลร–มเเุง่ม่มลลเห0ทม่ม่ าพพ0พน0..มพพศศคห..–ร..ศศา๒๒0..นม๕๕0๒๒คลี ๖๖0ร๕๕ขิ ๑๑ส๖๖–ทิ ๑๑0ธิต์ ามพระราชบัญญัติ จัดจาำ หนา่ ยโดย จัดจาำ หนา่ ยโดย
ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้าประกาศสำานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พืน้ ฐาน เร่ือง อนุญาตใหใ้ ชส้ อ่ื การเรียนรู้ในสถานศกึ ษา ______________________ สงวนสิทธิ์โดย สสวท. หรือจา้ หน่าย ดว้ ยสถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย ี ไดจ้ ดั ทาำ หนงั สอื เรยี นรายวชิ าพน้ื ฐาน คณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ ๑ เลม่ ๑ ตามมาตรฐานการเรยี นรู้และตวั ชว้ี ัด กลุม่ สาระการเรยี นรู้ คณิตศาสตร์ (ฉบบั ปรับปรงุ พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษาขัน้ พื้นฐาน พุทธศักราช ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้า๒๕๕๑ สาำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พ้ืนฐาน ได้พิจารณาแล้วอนญุ าตให้ใช้ในสถานศึกษาได้ ประกาศ ณ วันที่ ๘ กมุ ภาพนั ธ ์ พ.ศ. ๒๕๖๑ สงวนสิทธ์ิโดย สสวท. หรือจา้ หน่าย(นายบญุ รกั ษ ์ ยอดเพชร) ดดั แปลงเลขาธิการคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พ้ืนฐาน
ค�ำ น�ำ สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มีอำานาจหนา้ ทใ่ี นการพัฒนาหลักสูตร ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้าวธิ กี ารเรยี นร ู้ การประเมนิ ผล การจดั ทาำ หนงั สอื เรยี น คมู่ อื คร ู แบบฝกึ หดั และสอ่ื การเรยี นรทู้ กุ ประเภท ทีใ่ ช้ประกอบการเรยี นร้ใู นกล่มุ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตรข์ องการจัดการศึกษาข้นั พืน้ ฐาน หนงั สอื เรยี นรายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี ๑ เลม่ ๑ น ้ี จดั ทาำ ตามมาตรฐาน การเรยี นรแู้ ละตัวชี้วัด กลุม่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบบั ปรับปรงุ พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสูตร สงวนสิทธิ์โดย สสวท. หรือจ้าหน่ายแกนกลางการศกึ ษาขน้ั พืน้ ฐาน พทุ ธศกั ราช ๒๕๕๑ โดยมีการปรบั ปรงุ ให้มีความทันสมยั คำานึงถงึ การสง่ เสรมิ ใหผ้ เู้ รียนมที กั ษะทจ่ี ำาเปน็ สอดคล้องกับการเรยี นรู้ในศตวรรษท ี่ ๒๑ เป็นสำาคญั รวมทั้ง เน้นดา้ นการคิดวิเคราะห ์ การแก้ปัญหา การคิดสรา้ งสรรค์ และการนาำ ไปประยุกตใ์ ช้เพอื่ พัฒนา คุณภาพชีวิตของตนเอง ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้า สำานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พ้นื ฐาน หวงั เป็นอย่างย่งิ ว่าหนังสอื เรียนเล่มนี้จะเปน็ ประโยชน์ต่อการจัดการเรียนรู้ และเป็นส่วนสำาคัญในการพัฒนาคุณภาพและมาตรฐานการศึกษา กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ขอขอบคุณสถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย ี ตลอดจนบคุ คลและหนว่ ยงานอืน่ ๆ ท่ีมีส่วนเกย่ี วข้องในการจัดทาำ ไว ้ ณ โอกาสนี้ สงวนสิทธ์ิโดยดสัดสแวปทล.ง หรอื จ้าหน่าย(นายบุญรกั ษ์ ยอดเพชร) เลขาธกิ ารคณะกรรมการการศึกษาข้ันพน้ื ฐาน
คาำ ช้แี จง คำ��าชแี้ จง สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.) ไดจ้ ดั ทาำ ตวั ชวี้ ดั และสาระการเรยี นรแู้ กนกลาง กลมุ่ สาระ การเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐานพุทธศักราช ๒๕๕๑ โดยมี จุดเน้นเพ่ือต้องการพัฒนาผู้เรียนให้มีความรู้ความสามารถท่ีทัดเทียมกับนานาชาติ ได้เรียนรู้คณิตศาสตร์ท่ีเช่ือมโยงความรู้กับ หา้ มเผยแพร่ ท้าซา้กระบวนการคดิ มคี วามคดิ รเิ รมิ่ สรา้ งสรรค์ คดิ อยา่ งมเี หตผุ ล เปน็ ระบบ สามารถวเิ คราะหป์ ญั หาหรอื สถานการณไ์ ดอ้ ยา่ งรอบคอบ และถ่ีถ้วน ช่วยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหา ได้อย่างถูกต้องเหมาะสม และสามารถนำาไปใช้ในชีวิตจริงได้อย่างมี ประสทิ ธิภาพ ซึ่งในปกี ารศึกษา ๒๕๖๑ เป็นต้นไปนี้ โรงเรยี นจะตอ้ งใช้หลกั สูตรกล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ (ฉบบั ปรับปรงุ พ.ศ. ๒๕๖๐) สสวท. จึงได้จัดทำาหนังสือเรียนท่ีเป็นไปตามมาตรฐานหลักสูตรเพื่อให้โรงเรียนได้ใช้สำาหรับจัดการเรียนการสอน ในช้นั เรยี น สงวนสทิ ธโ์ิ ดย สสวท. หรือจา้ หนา่ ยหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ ๑ เล่ม ๑ น้ี ประกอบด้วยเรื่อง จำานวนเต็ม การสร้าง ทางเรขาคณติ เลขยกกาำ ลงั ทศนยิ มและเศษสว่ น รปู เรขาคณติ สองมติ แิ ละสามมติ ิ ซง่ึ เปน็ เนอ้ื หาสาระตามมาตรฐานการเรยี นรู้ ที่ได้กำาหนดไว้ในหลักสูตร อย่างไรก็ตามผู้สอนสามารถปรับบทเรียนให้เหมาะสมกับศักยภาพของผู้เรียน ทั้งน้ี หนังสือเรียน เล่มน้ีได้จัดเนื้อหาตามพัฒนาการของผู้เรียน โดยมุ่งหวังให้ผู้เรียนสามารถสร้างองค์ความรู้ได้ด้วยตนเองและนำาความรู้ ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้าทางคณิตศาสตร์นั้นไปประยุกต์ใช้เพื่อพัฒนาคุณภาพชีวิตของตนเอง อีกทั้งยังมีแบบฝึกหัดท่ีหลากหลายและท้าทายให้ผู้เรียน ใช้ตรวจสอบความเข้าใจ มีเกร็ดความรู้ท่ีเชื่อมโยงกับศาสตร์อื่น ๆ และชีวิตจริง รวมทั้งมีส่ือเทคโนโลยีประเภทต่าง ๆ อาทิ เครอ่ื งคดิ เลข วดี ทิ ศั น์ การใชซ้ อฟตแ์ วรเ์ รขาคณติ พลวตั ในการสาำ รวจ เพอื่ เปน็ เครอ่ื งมอื ในการทาำ ความเขา้ ใจบทเรยี นใหง้ า่ ยและ ลึกซ้ึงยิ่งขึ้น ตลอดจนมีกิจกรรมที่ส่งเสริมให้ผู้เรียนทำางานร่วมกับผู้อื่น ได้วิเคราะห์ปัญหา สืบเสาะความรู้ ร่วมกันอภิปราย สงวนสทิ ธโิ์ ดย สสวท. หรอื จ้าหน่ายเพื่อให้ได้แนวทางในการแก้ปัญหา รวมท้ังส่งเสริมให้ผู้เรียนได้แก้ปัญหาด้วยวิธีการท่ีหลากหลาย ซ่ึงจะช่วยพัฒนาทักษะ แห่งศตวรรษท่ี ๒๑ และสามารถใช้เป็นเคร่ืองมือในการเรียนรู้คณิตศาสตร์และศาสตร์อ่ืน ๆ ในระดับท่ีสูงข้ึน ในการจัดทำา หนังสือเรยี นเลม่ นี้ ไดร้ บั ความรว่ มมอื เป็นอยา่ งดีย่งิ จากผทู้ รงคณุ วฒุ ิ นักวชิ าการอิสระ คณาจารยท์ ง้ั หลาย รวมท้ังครผู ู้สอน นนกักั ววชิชิ าากกาารร จจาากกสสถถาาบบันนั แแลละะสสถถาานนศศกึ ึกษษาาททง้ั ภงั้ ภาาคครัฐรฐัแแลละะเอเอกกชชนนจจึงขึงขออขขออบบคคุณุณไวไ้ วณ้ ณททน่ี ่ีน้ี ้ี ดัดแปลงสสสสววทท.. หหววงั งั เเปปน็ น็ ออยยา่ ่างงยยง่ิ งิ่ ววา่ ่าหหนนงั ังสสอื อื เเรรยีียนนรราายยววชิชิ าาพพนื้นื้ ฐฐาานนคคณณติติ ศศาาสสตตรร์์ เเลลม่ ม่ นน้ี้ีจจะะเปเปน็ ็นปปรระะโโยยชชนนแ์ แ์ กกผ่ ผ่ เู้ ู้เรรยี ยี นน แแลละะผผทูู้้ทเ่ี่เี กกยี่่ียววขขอ้้องง ททกุุกฝฝา่่ายย ทที่จจ่ี ะะชชว่่วยยใใหหก้้กาารรจจดั ัดกกาารรศศกึ ึกษษาาดดา้ ้านนคคณณติ ิตศศาสาสตตรม์ร์ปมี ีประรสะทิสธิทภิ ธาิภพาแพลแะลปะรปะรสะทิ สธิทผิ ธลิผลหากหมาขีกอ้ มเีขส้อนเอสแนนอะแในดทะใจ่ี ดะทท่ีจาำ ใะหทห้ ำานใหงั ส้หอืนเังรสยี ือน เลรยีม่ นนเี้มลคี ม่ วนา้มีมีคสวมาบมูรสณมย์ บิ่งูรขณน้ึ ย์ งิ่โขป้ึนรดแโปจง้รดสแสจวง้ ทส. สทวรทาบ. ทด้วรยาบจดักว้ ขยอจบกั คขุณอยบิง่ คณุ ย่งิ (น(นาางงพพรรพพรรรรณณ ไไววททยยาางงกกูรรู )) ผผอู้อู้ ำาาำ นนววยยกกาารรสสถถาาบบนัันสสง่่งเเสสรรมิิมกกาารรสสออนนววิททิ ยยาาศศาาสสตตรร์แแ์ ลละะเเททคคโโนนโโลลยยีี กกรระะททรรววงงศศกึึกษษาาธธกิกิ าารร
การสอ่ื ความหมายของรปู ภาพและกรอบทีค่ วรรู้ 1 จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น 2 ทบทวนความรู้กอ่ นเรียน ความรู้ และทักษะท่ีนักเรียนควรทำ�ได้ ท บ ท ว น เ น้ื อ ห า ห รื อ ค ว า ม รู้ ก่ อ น เ รี ย น เพื่อเตรียมความพร้อมสำ�หรับการเรียน หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้าเม่ือเรียนจบบทนี้ เนื้อหาใหม่ ซึ่งจะมีลิงก์ และ QR-code ส�ำ หรบั เขา้ ไปท�ำ แบบทดสอบออนไลน์ เพอ่ื ตรวจสอบความรพู้ น้ื ฐานกอ่ นเขา้ สบู่ ทเรยี น สงวนสิทธโ์ิ ดย สสวท. หรอื จา้ หน่ายความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่เพ่ิมเติมจาก3 มมุ คณิต4 ชวนคิด เน้อื หา เพอ่ื เสริมความรู้ทางคณิตศาสตร์ ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้าใหก้ บั นกั เรยี น คำ�ถามเพ่ือตรวจสอบความรู้หรือขยาย ความรู้ จากเนอ้ื หา ตวั อยา่ ง หรอื แบบฝกึ หดั โดยเน้นให้เกิดการอภิปรายร่วมกันใน ช้ันเรียน เพ่ือขยายความคิดเพ่ิมเติม และแลกเปลย่ี นเรียนรู้ซ่ึงกนั และกัน 5 ข้อสังเกต 6 ข้อควรระวงั ความรู้ทางคณิตศาสตร์ท่ีอาจเข้าใจผิด หรือนำ�ไปใช้โดยไม่ระวัง เพ่ือให้เกิด ความเข้าใจทีถ่ กู ต้อง ขอ้ มลู หรอื ความรทู้ างคณติ ศาสตรท์ ส่ี งั เกต 7 กจิ กรรมแ ล ะ ส รุ ป ไ ด้ จ า ก เ นื้ อ ห า ห รื อ ตั ว อ ย่ า ง สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรือจา้ หนา่ ยเพ่ือส่งเสริมให้นักเรียนได้ฝึกการสังเกต คาดการณ์ และลงขอ้ สรุป 8 คำ�ถามทา้ ยกิจกรรม ดัดแปลงกิจกรรมท่ีเน้นให้นักเรียนได้ลงมือปฏิบัติ คำ�ถามเพื่อสรุปความรู้ หรือขยายความรู้ เพือ่ ฝกึ การสังเกต ฝกึ การคดิ และเพอ่ื ให้ จากกจิ กรรมทไี่ ดท้ �ำ เกดิ การเรียนรหู้ รือสรา้ งองคค์ วามร้ใู หม่ ๆ ทั้งยังช่วยพัฒนาทักษะและกระบวนการ ทางคณติ ศาสตร์ 9 มมุ เทคโนโลยี 10 ส่ือเสริม เพิม่ ความรู้ ความรู้หรือกิจกรรมท่ีใช้เทคโนโลยีเป็น ข้อมูล หรือวีดิทัศน์เสริมความรู้ที่เพ่ิมเติม เครื่องมือในการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เช่น จากเนื้อหา ตัวอย่าง หรือแบบฝึกหัด เคร่ืองคิดเลข หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิต เพ่ือแนะนำ�แหล่งการเรียนรู้ให้นักเรียน พลวัต เพ่ือให้นักเรียนมีทักษะในการใช้ ได้ศกึ ษาเพ่ิมเติม เทคโนโลยีในการแกป้ ญั หา
การสื่อความหมายของรูปภาพและกรอบทีค่ วรรู้ 11 เกร็ดนา่ รู้ 12 เครอ่ื งคดิ เลข ความรู้ทั่วไปในชีวิตจริงท่ีสอดคล้องกับ แ น ะ นำ � ใ ห้ ใ ช้ เ ค รื่ อ ง คิ ด เ ล ข ช่ ว ย ใ น การค�ำ นวณ หา้ มเผยแพร่ ท้าซา้เน้ือหา ตัวอย่าง หรอื แบบฝึกหดั 13 ซอฟต์แวร์ตารางท�ำ งาน 14 The Geometer’s Sketchpad สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรือจ้าหนา่ ยแนะนำ�ให้ใช้ซอฟต์แวร์ตารางทำ�งานใน การทำ�กิจกรรม หรือการแก้ปญั หา แนะน�ำ ใหใ้ ชโ้ ปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ในการท�ำ กจิ กรรม การส�ำ รวจ หรือการแกป้ ญั หา ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้า15 ท้าทาย 16 ตรวจสอบความเขา้ ใจ ตรวจสอบความเข้าใจของตนเองภายหลัง จากเรียนจบบทเรียน เพ่ือตรวจสอบว่า เนื้อหาใดท่ีเข้าใจ และเนื้อหาใดต้อง ทบทวนหรือเรียนร้เู พิ่มเติม แบบฝึกหัดข้อที่มีความยากหรือซับซ้อน 17 สรปุ ท้ายบทมากกว่าตัวอย่างที่มีให้ แต่ยังสามารถ 18 กจิ กรรมท้ายบท ใช้เนื้อหาความรู้ท่ีเรียนมาประยุกต์ใช้ สงวนสิทธิ์โดย สสวท. หรือจา้ หนา่ ยในการแก้ปญั หาได้ สรปุ เนื้อหาของบทเรยี น เพอ่ื สรปุ สิ่งทไี่ ด้ กิจกรรมท้ายบทเรียน เพื่อให้นักเรียน ไ ด้ นำ � ค ว า ม รู้ ใ น บ ท เ รี ย น ม า ใ ช้ ใ น ก า ร ดดั แปลงเรยี นร้ใู นบทเรียนน้นั ๆ แกป้ ญั หาจากสถานการณ์ท่ีหลากหลาย 19 แบบฝึกหัดท้ายบท 20 กจิ กรรมคณติ ศาสตรเ์ ชงิ สะเตม็ แบบฝึกหัดท้ายบทเรียน เพ่ือให้นักเรียน กิจกรรมที่เน้นการประยุกต์ใช้ความรู้ทาง ได้ประยกุ ตใ์ ช้ความร้ทู ีไ่ ดจ้ ากหัวข้อตา่ ง ๆ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ม า แ ก้ ปั ญ ห า ใ น ชี วิ ต จ ริ ง ในบทเรียนนี้ รวมทั้งบทเรียนก่อนหน้า โดยให้นักเรียนได้บูรณาการความรู้ทาง มาใชใ้ นการแกป้ ญั หา คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี รวมทง้ั กระบวนการออกแบบเชงิ วศิ วกรรม
สารบญั บทท่ี 1–3 บทท่ี เนื้อหา หนา้ 12สงวนสิทธโิ์ ดยดสดั สแวปทล.งหห้ารมอื เจผา้ ยหแนพา่ รย่ ท้าซ้า หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้าจ�ำ นวนเต็มบทท่ี 1 จ�ำ นวนเต็ม 10 1.1 จำ�นวนเต็ม 13 1.2 การบวกจำ�นวนเต็ม 19 1.3 การลบจ�ำ นวนเต็ม 31 1.4 การคณู จ�ำ นวนเตม็ 40 1.5 การหารจ�ำ นวนเต็ม 48 1.6 สมบัตขิ องการบวกและการคณู จ�ำ นวนเตม็ 55 บทที่ 2 การสรา้ งทางเรขาคณิต 70 2.1 รปู เรขาคณติ พน้ื ฐาน 73 2.2 การสร้างพน้ื ฐานทางเรขาคณิต 82 2.3 การสรา้ งรปู เรขาคณิต 98 สงวนสทิ ธโ์ิ ดย สสวท. หรอื จ้าหน่ายการสรา้ งทางเรขาคณติ ดัดแปลงบทท่ี 3 เลขยกก�ำ ลงั 122 125 3.1 ความหมายของเลขยกก�ำ ลงั 134 3.2 การคูณและการหารเลขยกก�ำ ลงั 147 3 3.3 สญั กรณ์วทิ ยาศาสตร ์ เลขยกก�ำ ลงั
สารบัญ บทที่ 4–5 บทที่ เนอื้ หา หนา้ บทท่ี 4 ทศนิยมและเศษสว่ น 162 4.1 ทศนิยมและการเปรยี บเทยี บทศนยิ ม 165 4.2 การบวกและการลบทศนิยม 174 4.3 การคูณและการหารทศนิยม 183 4.4 เศษสว่ นและการเปรยี บเทยี บเศษส่วน 198 4.5 การบวกและการลบเศษส่วน 204 4.6 การคูณและการหารเศษสว่ น 215 4.7 ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งทศนิยมและเศษสว่ น 226 54สงวนสิทธโิ์ ดย สสวท. หห้ารมอื เจผา้ ยหแนพา่ รย่ ท้าซา้ทศนยิ มและเศษสว่ น ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้าบทที่ 5 รูปเรขาคณติ สองมิติและสามมิติ 240 243 5.1 หนา้ ตัดของรูปเรขาคณติ สามมติ ิ 254 5.2 ภาพดา้ นหน้า ภาพด้านข้าง และภาพดา้ นบนของรปู เรขาคณิตสามมติ ิ สงวนสิทธิโ์ ดย สสวท. หรอื จา้ หนา่ ยรปู เรขาคณติ ดดั แปลงสองมติ ิและสามมิติ 278 กจิ กรรมคณติ ศาสตรเ์ ชิงสะเต็ม บรรณานกุ รม 280 ภาคผนวก ดัชน ี 282 บัญชีสัญลกั ษณ ์ 286 คณะผจู้ ัดท�ำ 287
10 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเตม็ หนังสอื เรียนรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 จำ�นวนเต็มสงวนสทิ ธโ์ิ ดย1ดสดั สแวปทลส.งงวหหน้ารสมอื ทิเจผธ้าย์โิหดแนพยา่ดรยสัด่ สทแวา้ปทซล.า้ งหห้ารมอื เจผ้ายหแนพา่ รย่ ท้าซ้าบทที่ 1.1 จำ�นวนเต็ม 1.2 การบวกจำ�นวนเตม็ 1.3 การลบจำ�นวนเตม็ 1.4 การคูณจำ�นวนเตม็ 1.5 การหารจ�ำ นวนเต็ม 1.6 สมบัติของการบวกและการคณู จ�ำ นวนเต็ม จดุ ประสงค์ของบทเรียน เมื่อเรยี นจบบทนี้แล้ว นักเรยี นจะสามารถ 1. เปรียบเทียบจำ�นวนเต็ม 2. หาผลบวก ผลลบ ผลคูณ และผลหารของจำ�นวนเตม็ 3. นำ�ความร้เู รอ่ื งจ�ำ นวนเต็มไปใชใ้ นการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สอื เรียนรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเตม็ 11 บทท่ี 1 จ�ำ นวนเตม็ “สงวนส ิท ธ์ิโอดาคยารดบสาดั งสอแาวคปทารลสท.งงมี่ กีวหาหรนา้สรรสมือา้ งิทเจชผน้ัธา้ ยใ์ิโตหดแด้ นนิ พยหา่ ดลรยาสดั่ยสทๆแวช้าปน้ัทซลม.้ากั งก�ำหหหนา้ รดมอืใหเจช้ผนั้ ้าทยหอี่ แยนรู่พะ่าดรบัย่เดทยี ้าวกซบั ถา้ นน “ เป็นชั้นท่ี 1 และเพ่ือให้ช้ันที่อยู่ในระดับลึกลงไปสามารถกำ�หนดรู้ได้ว่าชั้นใดอยู่สูงหรือตำ่�กว่า ชั้นใด จึงมีการกำ�หนดชนั้ ท่อี ยตู่ �่ำ ลงไปเปน็ ช้นั 0, -1, -2 และ -3 ลดหลนั่ ไปตามลำ�ดบั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
12 บทที่ 1 | จำ�นวนเตม็ หนังสอื เรยี นรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ทบทวนความรู้ก่อนเรยี น ✤ ตวั อยา่ งของเส้นจ�ำ นวน 12 15 หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้า0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0369 สงวนสิทธิโ์ ดย สสวท. หรอื จ้าหน่าย✤ การบวก และการลบจำ�นวนนับ สามารถใชเ้ สน้ จำ�นวนแสดงการหาผลบวกและผลลบได้ เชน่ ◆ หาผลบวก 6 + 3 โดยใชว้ ิธกี ารนบั ตอ่ ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ท้าซา้0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6+3 = 9 สงวนสทิ ธ์โิ ดย สสวท. หรือจา้ หน่าย ◆ หาผลลบ 7 _ 4 โดยใช้วธิ ีการนบั ถอยหลงั 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ดัดแปลง7 _ 4 = 3 ✤ การคณู จ�ำ นวนนับ สามารถทำ�ไดโ้ ดยการบวกเพมิ่ คร้งั ละเท่า ๆ กนั เช่น 5 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 ✤ การหารจ�ำ นวนนับ ที่เปน็ การหารลงตัว สามารถทำ�ได้โดยการหาจ�ำ นวนนบั ท่นี �ำ มาคณู กับตวั หารแล้วได้ผลคูณ เทา่ กับตัวตง้ั เช่น 18 ÷ 6 จะตอ้ งหาจ�ำ นวนนบั ทีน่ �ำ มาคูณกับ 6 แล้วได้ 18 นัน่ คอื 3 ดงั นน้ั 18 ÷ 6 = 3 นักเรยี นสามารถทำ�แบบทดสอบความร้พู ื้นฐานกอ่ นเรียนไดท้ ี่ goo.gl/Y3ymx3 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สอื เรียนรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 1 | จำ�นวนเตม็ 13 1.1 จ�ำ นวนเตม็ เกร็ดนา่ รู้ ในอดีตหลงั จากทีม่ นุษย์รจู้ ักเปรียบเทียบความมากกว่า หรอื น้อยกว่าแล้ว มนุษย์จึงเริ่มมีแนวคิดเกี่ยวกับจำ�นวนนับตัวแรก ๆ โดยยังไม่มีการกำ�หนด 1) ในสมัยโบราณ ชาวอินคา (Inca) สัญลักษณ์แทนจำ�นวนทีช่ ัดเจน ตอ่ มาเมอื่ มคี วามจ�ำ เป็นที่ตอ้ งการทราบจ�ำ นวน ในทวีปอเมริกาใต้ใช้การมัดเชือก ให้เป็นปมแทนการบันทึกจำ�นวน ห้ามเผยแพร่ ท้าซา้ที่แน่นอน จึงเร่ิมมีการนับเกิดข้ึน เช่น เม่ือคนเล้ียงแกะจะปล่อยแกะออกไป โดยสนั นิษฐานว่า หนงึ่ ปม หมายถึง ธัญพชื หนง่ึ มดั กินหญา้ เขาใช้กอ้ นหินหนึ่งกอ้ นวางไวเ้ พือ่ แทนแกะหน่งึ ตัวทป่ี ลอ่ ยออกไป และ เมื่อถึงเวลาท่ีแกะกลับเข้าคอกจะหยิบก้อนหินออกจากกองหนึ่งก้อนแทนแกะท่ี 2) การสร้างรอยบากบนกระดูกสัตว์ กลับเขา้ มาหนงึ่ ตัว ซ่ึงภายหลงั จากท่ีไม่มแี กะกลับเข้าคอกอกี จะทราบได้ทนั ทีว่า เพ่ือเป็นสัญลักษณ์แทนจำ�นวนใน ยุคโบราณ กระดูกน้ีพบในบริเวณ สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรอื จ้าหนา่ ยแกะน้ันกลับมาครบทุกตัวหรือไม่ ในด้านของการบันทึกจำ�นวน มนุษย์มีวิธี ท่ีเรียกว่า อิชันโก (Ishango) ประเทศคองโก ในปจั จุบนั การบันทึกที่แตกต่างกันไปตามแหล่งอารยธรรม เช่น การมัดเชือกเป็นปม การทำ�รอยบากบนกระดูกสัตว์หรือกิ่งไม้ เห็นได้ว่า การนับในลักษณะนี้ เป็นการจับคู่ระหว่างร่องรอยของการบันทึกกับสิ่งท่ีต้องการนับ ต่อมาจึงได้มี ดดั แปลง ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้าการบันทึกจำ�นวนอย่างเป็นระบบมากขึ้น พัฒนาการดังกล่าวทำ�ให้เกิดเป็น สัญลักษณ์ท่ีใช้แทนจำ�นวนนับ (counting number) หรือจำ�นวนธรรมชาติ (natural number) หรือจำ�นวนเต็มบวก (positive integer) อันได้แก่ 1, 2, 3, ... สงวนสิทธิโ์ ดย สสวท. หรอื จ้าหนา่ ย นอกจากจ�ำ นวนเตม็ บวกแลว้ ยงั มจี �ำ นวนเตม็ ศนู ย์(zero) ทมี่ ปี ระโยชนใ์ น การใชง้ าน การใชศ้ นู ยน์ นั้ มดี ว้ ยกนั หลายความหมายตามแตส่ ถานการณท์ ตี่ อ้ งการ โดย “ศนู ย”์ อาจใชแ้ ทน “ความไมม่ ”ี เช่น เราไมน่ ิยมพูดว่ามแี กะอยู่ 0 ตวั แต่ จะพดู ว่าไม่มแี กะ แต่ในบางสถานการณ์ “ศนู ย์” ไมไ่ ดแ้ ทน “ความไม่มี” เช่น ดัดแปลง ✤ อุณหภูมิของอากาศเป็น 0 องศาเซลเซียส หมายถึง อุณหภูมิของ อากาศมีความรอ้ นระดับหน่งึ ซงึ่ ไม่ไดห้ มายความวา่ อากาศไมม่ คี วามร้อน ✤ เกรด 0 หมายถึง ผลการเรียนระดับหน่ึง อาจเป็นเพราะนักเรียน ยังให้ความสนใจในการเรียนไม่เพียงพอ จึงทำ�ให้ผลการเรียนในรายวิชาน้ัน ๆ อยใู่ นระดบั 0 ซึ่งไมไ่ ดห้ มายความว่านกั เรียนไมม่ ีผลการเรยี นในรายวชิ านนั้ ๆ เมื่อมีความเจริญมากข้ึน มนุษย์เร่ิมแลกเปล่ียนค้าขายสินค้ากัน จึงทำ�ให้รู้จักที่จะหยิบยืมและมีหนี้สินเกิดขึ้น ดว้ ยเหตนุ เ้ี องท�ำ ใหจ้ �ำ นวนนบั และศนู ยท์ ใ่ี ชง้ านอยไู่ มเ่ พยี งพอ ซง่ึ นา่ จะเปน็ เหตผุ ลหนง่ึ ทท่ี �ำ ใหเ้ กดิ แนวคดิ ในการสรา้ งจ�ำ นวนเตม็ ลบ (negative integer) ข้ึน นอกจากการใช้จำ�นวนเต็มลบแทนการหยิบยืมและการเป็นหน้ีสินแล้ว เรายังใช้จำ�นวนเต็มลบ เพื่อแสดงถึงสภาพหรือปริมาณที่ต่ำ�กว่าเกณฑ์บางอย่างที่กำ�หนด เช่น ในการกำ�หนดให้อุณหภูมิท่ีทำ�ให้นำ้�เปลี่ยนสถานะ จากของเหลวกลายเปน็ ของแขง็ เท่ากบั 0 องศาเซลเซียส ดังน้นั อุณหภูมทิ ่ตี ำ่�กว่าอุณหภมู ดิ งั กลา่ วจงึ แทนดว้ ยจำ�นวนลบ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
14 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเต็ม หนงั สือเรยี นรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 มมุ คณิต ในระดับประถมศึกษา นักเรียนได้รู้จักจ�ำ นวนนับ ซ่ึงต่อไปน้ี จะเรียกอีก อย่างหนึ่งว่า จำ�นวนเต็มบวก โดยจำ�นวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดคือ 1 และ จำ�นวนเต็มบวกอน่ื ๆ เกิดจากการนับเพิม่ ขนึ้ ทีละ 1 ท�ำ ใหส้ ามารถแสดงได้ดว้ ย ในการเขียนเส้นจำ�นวน จะเขียน แผนภาพท่นี ับต่อจาก 1 ไปทางขวาทลี ะ 1 หน่วย ดงั น้ี หัวลูกศรท้ังสองข้าง เพื่อแสดงว่ายังมี 0 12 3 4 5 6 7 เรยี ก 1, 2, 3, 4, 5, ... ว่า จ�ำ นวนเตม็ บวก ห้ามเผยแพร่ ท้าซา้จำ�นวนอื่น ๆ ท่ีมากกว่าหรือน้อยกว่า จาก 1 ถา้ นบั ลดลงทีละ 1 จะได้ 0, -1, -2, -3, -4, ... แสดงได้ดว้ ย จำ�นวนท่เี ขยี นแสดงไว้ แผนภาพที่นับถอยหลังจาก 1 ไปทางซ้ายทลี ะ 1 หนว่ ย ดังนี้ ขอ้ สงั เกต -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 เรียก -1, -2, -3, -4, -5, ... วา่ จ�ำ นวนเตม็ ลบ สงวนสทิ ธโ์ิ ดย สสวท. หรือจ้าหนา่ ย ในการเขียนจำ�นวนเต็มลบจะเขียน เคร่อื งหมาย - ไวห้ น้าตัวเลข เช่น -3, -5, -98 แตก่ รณจี �ำ นวนเตม็ บวก ไมน่ ยิ มเขยี น ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซา้เครื่องหมาย + ไว้หน้าตวั เลข ขอ้ ควรระวงั สงวนสิทธ์ิโดย สสวท. หรือจา้ หนา่ ย เม่ือกล่าวถึงจำ�นวนเต็ม บางคนอาจ นกึ ถงึ จ�ำ นวนเตม็ บวกเทา่ นน้ั แตอ่ ยา่ ลมื วา่ จ�ำ นวนเตม็ ลบ และศนู ย์ กเ็ ปน็ จ�ำ นวนเตม็ ดดั แปลงเช่นกัน จ�ำ นวนเต็มบวก จำ�นวนเตม็ ลบ และศนู ย์ กลา่ วรวมเรยี กว่า จ�ำ นวนเตม็ (integer) ดังน้นั จำ�นวนเตม็ ได้แก่ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... โดยแสดงได้ ดว้ ยจุดบนเสน้ จ�ำ นวน (number line) ดงั น้ี ศนู ย์ จำ�นวนเต็มลบ จ�ำ นวนเตม็ บวก -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 จากเส้นจำ�นวน สังเกตว่า จำ�นวนเต็มท่ีอยู่ทางขวาของศูนย์เป็นจำ�นวน เตม็ บวก จำ�นวนเตม็ ที่อย่ทู างซ้ายของศนู ย์เป็นจ�ำ นวนเต็มลบ และจ�ำ นวนทอ่ี ยู่ ทางขวาจะมากกวา่ จ�ำ นวนทอ่ี ยทู่ างซา้ ยเสมอ ศนู ยเ์ ป็นจำ�นวนเตม็ ทไ่ี มใ่ ช่จ�ำ นวนเตม็ บวก และไม่ใชจ่ �ำ นวนเต็มลบ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนังสอื เรยี นรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 1 | จำ�นวนเต็ม 15 การเปรียบเทียบจำ�นวนเต็ม เราอาจใชเ้ ส้นจ�ำ นวนในการเปรียบเทยี บจำ�นวนเตม็ สองจ�ำ นวนที่ไมเ่ ท่ากนั โดยการลงจุดบนเสน้ จ�ำ นวน แลว้ ใชห้ ลกั การ พิจารณาทว่ี า่ จำ�นวนเตม็ ท่ีอยทู่ างขวาจะมากกวา่ จำ�นวนเต็มท่ีอยทู่ างซา้ ยเสมอ ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซา้ตวั อยา่ งท ่ี 1 ให้นกั เรยี นพจิ ารณาการเปรียบเทียบจ�ำ นวนเตม็ สองจ�ำ นวนต่อไปน้ี จ�ำ นวนเตม็ ลงจุดบนเสน้ จำ�นวน สรุป 9 และ 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 มากกว่า 3 เขียนแทนด้วย 9 > 3 9 อยทู่ างขวาของ 3 หรือ สงวนสิทธ์โิ ดย สสวท. หรือจ้าหนา่ ย0 และ 4หรอื ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า-2 และ 03 อย่ทู างซ้ายของ 9 3 นอ้ ยกวา่ 9 เขียนแทนดว้ ย 3 < 9 สงวนสทิ ธโ์ิ ดยดสัดสแวปทล.ง หรอื จา้ หน่าย3 และ -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 4 มากกว่า 0 เขียนแทนด้วย 4 > 0 4 อยู่ทางขวาของ 0 หรือ หรือ 0 อย่ทู างซา้ ยของ 4 0 น้อยกวา่ 4 เขียนแทนด้วย 0 < 4 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 มากกวา่ -2 เขียนแทนด้วย 0 > -2 0 อยู่ทางขวาของ -2 หรอื หรอื -2 อยู่ทางซ้ายของ 0 -2 นอ้ ยกว่า 0 เขียนแทนด้วย -2 < 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 3 มากกว่า -3 เขียนแทนดว้ ย 3 > -3 3 อย่ทู างขวาของ -3 หรือ หรอื -3 อยทู่ างซา้ ยของ 3 -3 นอ้ ยกวา่ 3 เขียนแทนด้วย -3 < 3 -1 และ -8 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -1 อยทู่ างขวาของ -8 -1 มากกวา่ -8 เขยี นแทนดว้ ย -1 > -8 หรือ หรอื -8 อยูท่ างซ้ายของ -1 -8 นอ้ ยกวา่ -1 เขยี นแทนดว้ ย -8 < -1 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
16 บทที่ 1 | จำ�นวนเต็ม หนงั สือเรียนรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 นอกจากการใชเ้ สน้ จ�ำ นวนในการเปรยี บเทยี บจ�ำ นวนเตม็ สองจ�ำ นวนแลว้ เรายงั สามารถใชเ้ สน้ จ�ำ นวนในการเปรยี บเทยี บ จ�ำ นวนเต็มท่มี ากกว่าสองจำ�นวนได้ดงั ตัวอยา่ งตอ่ ไปน้ี ตวั อยา่ งท ่ี 2 จงเรยี งล�ำ ดับ 4, -1, 6, -2, -7 และ 0 จากนอ้ ยไปมาก วธิ ที �ำ เขยี นเส้นจำ�นวนและลงจุดบนเสน้ จำ�นวนไดด้ ังน้ี หา้ มเผยแพร่ ท้าซา้-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 จากการลงจุดบนเสน้ จำ�นวน สามารถเรียงล�ำ ดบั จำ�นวนเต็มที่ก�ำ หนดให้จากน้อยไปมาก ได้ดงั นี้ -7, -2, -1, 0, 4 และ 6 สงวนสทิ ธ์ิโดย สสวท. หรอื จา้ หน่ายตอบ -7, -2, -1, 0, 4 และ 6 ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้า1. ก�ำ หนดจำ�นวนดงั ตอ่ ไปน้ีแบบฝกึ หัด 1.1 -1 0 100 7 3.0 -3 สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรือจา้ หนา่ ย7.6 2 51 -13 1 6 99 6 6 4.5 22.3 4 1.2 -24 1 9 ดัดแปลง 1) จ�ำ นวนใดบา้ งเปน็ จำ�นวนเตม็ บวก 1 52 6 0 36 2) จ�ำ นวนใดบา้ งเปน็ จำ�นวนเตม็ ลบ7 5 4 3) จ�ำ นวนใดบ้างเปน็ จำ�นวนเตม็ 2.5 10.0 2. จงเขียนจำ�นวนหา้ จำ�นวนตามเงือ่ นไขที่กำ�หนดใหต้ ่อไปน้ี 1) จ�ำ นวนท่ีตอ่ จาก 0 โดยลดลงทลี ะ 3 2) จำ�นวนทีต่ อ่ จาก 7 โดยลดลงทลี ะ 4 3) จำ�นวนที่ต่อจาก -5 โดยเพ่มิ ข้ึนทีละ 2 4) จ�ำ นวนท่ีต่อจาก -10 โดยเพมิ่ ขน้ึ ทลี ะ 3 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนังสือเรยี นรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเตม็ 17 3. จงเปรียบเทียบจ�ำ นวนตอ่ ไปนี้โดยใช้การลงจุดบนเส้นจำ�นวน 1) -4 และ 0 2) 0 และ -7 3) 5 และ -5 4) -2 และ 8 5) -6 และ -9 6) -8 และ -3 ห้ามเผยแพร่ ท้าซา้ 7) -9 และ -4 8) -11 และ 11 4. จงเตมิ เครอื่ งหมาย > หรอื < ลงในเพื่อทำ�ใหป้ ระโยคตอ่ ไปนีเ้ ปน็ จรงิ 1) 14 0 2) -9 9 3) -3 5 4) -18 19 6) 11 -27 สงวนสิทธโ์ิ ดย สสวท. หรือจา้ หนา่ ย 5) 0 -1 8) -4 6 7) 29 -30 5. จงเติมเครื่องหมาย > หรอื < ลงใน ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ท้าซา้ 1) -5 -8 3) -25 -24 5) -46 -99 7) -35 -21 เพ่ือทำ�ให้ประโยคตอ่ ไปน้เี ปน็ จริง 2) 5 8 4) 25 24 6) 46 99 8) 21 35 สงวนสทิ ธโ์ิ ดย สสวท. หรอื จา้ หน่ายจากโจทย์ข้อ 5 ข้าวกลอ้ งเหน็ อะไรเหมือนที่ ดัดแปลงขา้ วหอมเหน็ ไหมจ๊ะ ข้าวกลอ้ งว่า...ขา้ วกล้องเหน็ นะ แล้วเพอ่ื น ๆ สังเกตเหน็ อะไรกันไหมครบั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
18 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเตม็ หนังสอื เรียนรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 6. จงเรียงล�ำ ดบั จำ�นวนเตม็ ตอ่ ไปนจ้ี ากมากไปนอ้ ย 1) -5, 1, 0 และ 3 2) -6, -7, -4 และ -1 3) -7, -5, 4, -1 และ 7 4) 9, -2, 0, 5 และ -6 หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้า7. กำ�หนดจำ�นวนเตม็ 5) 4, -4, 2, -2, 6 และ -6 6) -10, 9, -8, 7, -6 และ 0 5, -17, -4, 0, 21 และ -9 จากจ�ำ นวนเต็มทกี่ �ำ หนดให้ จงหา 1) จ�ำ นวนเตม็ ทั้งหมดท่อี ยู่ระหว่าง -17 และ 5 สงวนสิทธโิ์ ดย สสวท. หรอื จ้าหน่าย 2) จ�ำ นวนเตม็ ลบทงั้ หมดท่นี ้อยกวา่ 21 3) จำ�นวนเต็มท้ังหมดทมี่ ากกว่า -4 8. กำ�หนดจ�ำ นวนเตม็ ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้า 5, -17, -4, 0, 21 และ -9 จากเงื่อนไขในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ จงหาจ�ำ นวนเต็มอนื่ ๆ อย่างนอ้ ยหนงึ่ จ�ำ นวนทไ่ี มใ่ ชจ่ �ำ นวนเต็มทก่ี ำ�หนดให้ 1) จ�ำ นวนเตม็ ทอ่ี ยูร่ ะหว่าง -17 และ 5 2) จำ�นวนเตม็ ลบท่ีนอ้ ยกว่า 21 3) จ�ำ นวนเต็มทม่ี ากกว่า -4 สงวนสทิ ธิโ์ ดย สสวท. หรือจา้ หน่าย9. ใบไผ่กำ�ลังน่ังเครื่องบินจากสนามบินเชียงรายไปยังสนามบินดอนเมือง กรุงเทพฯ ในขณะท่ีเคร่ืองบินกำ�ลังไต่ระดับ เขาสงั เกตทหี่ นา้ จอแสดงขอ้ มลู การบนิ ในระยะเวลาหนงึ่ แลว้ พบขอ้ มลู ทนี่ า่ สนใจเกย่ี วกบั ระดบั ความสงู ของเครอ่ื งบนิ จากระดบั นำ้�ทะเลกับอณุ หภมู ิภายนอกเคร่อื งบิน เขาจงึ บนั ทึกข้อมลู ได้ดังตารางตอ่ ไปนี้ ดดั แปลงเกรด็ นา่ รู้ อณุ หภมู ภิ ายนอกเครื่องบิน เคร่ืองบินโดยสารส่วนใหญ่จะบินท่ี ระดบั ความสงู ของเครอ่ื งบนิ จากระดบั นำ้� ทะเลโดยประมาณ (เมตร) (องศาเซลเซียส) 900 9 บรรยากาศชน้ั โทรโพสเฟยี ร์ (Troposphere) 1,800 3 ซง่ึ เปน็ ชน้ั บรรยากาศทอ่ี ยตู่ ง้ั แตผ่ วิ โลกขน้ึ ไป 2,700 -3 ประมาณ 8 ถงึ 14 กโิ ลเมตร 3,600 -9 4,500 -15 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนังสือเรียนรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเตม็ 19 จากตาราง จงตอบคำ�ถามต่อไปน้ี ชวนคิด 1.1 1) ขณะที่อุณหภูมิภายนอกเครื่องบินต่ำ�สุด เครื่องบินอยู่ที่ระดับ ความสงู ประมาณกเ่ี มตร จากระดบั น�้ำ ทะเล 2) ขณะที่อุณหภูมิภายนอกเครื่องบินสูงสุด เคร่ืองบินอยู่ท่ีระดับ จากตารางในขอ้ 9 ขณะทีเ่ ครื่องบินอยู่ ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้าความสูงประมาณกี่เมตร จากระดบั น�ำ้ ทะเล ท่ีระดับความสงู ประมาณ 2,700 เมตร จาก ระดับน้ำ�ทะเล อุณหภูมิภายนอกเครื่องบิน 3) ขณะทเี่ ครอื่ งบนิ อยทู่ ร่ี ะดบั ความสงู ประมาณ 1,800 เมตร และ ต่างจากขณะที่เคร่ืองบินอยู่ท่ีระดับความสูง ประมาณ 2,700 เมตร จากระดบั นำ�้ ทะเล ทร่ี ะดบั ความสูงใด ประมาณ 3,600 เมตร จากระดับน้ำ�ทะเล มีอุณหภูมิภายนอกเครื่องบินสงู กวา่ กนั อย่เู ทา่ ไร 4) ขณะทอ่ี ณุ หภมู ภิ ายนอกเครอื่ งบนิ เปน็ 0 องศาเซลเซยี ส ระดบั 1.2สกงวนสทิ ธโ์ิ ดย สสวท. หรอื จา้ หนา่ ยความสูงของเครื่องบินที่เป็นไปได้ น่าจะอยู่ที่ระดับความสูง ประมาณก่เี มตร จากระดบั น�้ำ ทะเล 5) ระดับความสูงของเคร่ืองบินจากระดับน้ำ�ทะเลสัมพันธ์กับ อณุ หภูมิภายนอกเครือ่ งบินอย่างไร ารบวกจำ�นดัดวแนปเตลส็มงงวนสทิ ธ์ิโดย สสวท. หหา้ รมอื เจผ้ายหแนพ่ารย่ ทา้ ซา้การบวกจ�ำ นวนเตม็ บวกดว้ ยจ�ำ นวนเตม็ บวก ท�ำ ไดเ้ ชน่ เดยี วกบั การบวก จ�ำ นวนนบั ดว้ ยจ�ำ นวนนบั ซง่ึ สามารถใชเ้ สน้ จ�ำ นวนแสดงการหาผลบวก ดัดแปลงโดยวธิ กี ารนบั ตอ่ ไปทางขวาไดด้ งั น้ี ตวั อยา่ งท ่ี 1 จงหาผลบวก 4 + 2 วธิ ที �ำ เร่ิมต้นท่ี 0 แลว้ นับไปทางขวาถงึ 4 และเมื่อบวกด้วย 2 ใหน้ ับต่อไปทางขวาอกี 2 หนว่ ย ซ่ึงจะไปสน้ิ สุดท่ี 6 ดงั น้ี ดังนน้ั 4 + 2 = 6 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ตอบ 6 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
20 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเตม็ หนังสือเรยี นรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 การบวกจ�ำ นวนเตม็ ลบดว้ ยจ�ำ นวนเตม็ ลบ สามารถใชเ้ สน้ จ�ำ นวน แสดงการหาผลบวกโดยวธิ กี ารนบั ตอ่ ไปทางซา้ ยไดด้ งั น้ี หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซา้ตวั อยา่ งท ่ี 2 จงหาผลบวก 1) (-4) + (-2) 2) (-2) + (-4) วธิ ที �ำ 1) เริ่มต้นท่ี 0 แล้วนับไปทางซ้ายถึง -4 และเม่ือบวกด้วย -2 ให้นับต่อไปทางซ้ายอีก 2 หน่วย ซึ่งจะไป สงวนสทิ ธิโ์ ดย สสวท. หรือจ้าหน่าย สิ้นสดุ ที่ -6 ดงั น้ี ดังนน้ั (-4) + (-2) = -6ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ท้าซา้-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 ตอบ -6 สงวนสทิ ธ์โิ ดย สสวท. หรอื จา้ หนา่ ย 2) เร่ิมต้นที่ 0 แล้วนับไปทางซ้ายถึง -2 และเม่ือบวกด้วย -4 ให้นับต่อไปทางซ้ายอีก 4 หน่วย ซ่ึงจะไป สนิ้ สุดท่ี -6 ดงั น้ี ดัดแปลง-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 ดงั นั้น (-2) + (-4) = -6 ตอบ -6 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สือเรียนรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จำ�นวนเตม็ 21 กจิ กรรม : การบวกของชาวจีน ชาวจนี ขนึ้ ช่ือวา่ เปน็ ผมู้ ีความสามารถในการคำ�นวณเปน็ อันดับตน้ ๆ ของโลก อาจเป็นเพราะธรรมชาติของ ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้าพวกเขาสว่ นใหญ่น้ันอยกู่ บั การค้าขาย จงึ มีทกั ษะในการค�ำ นวณจำ�นวนตา่ ง ๆ ได้อย่างคล่องแคลว่ ในอดีตชาวจนี มวี ธิ ีการหาผลบวกระหวา่ งจ�ำ นวนเต็มบวกและจ�ำ นวนเตม็ ลบแบบหน่ึง โดยใช้ไมส้ แี ดงแทนจ�ำ นวนเต็มบวก และใช้ ไมส้ ีดำ�แทนจ�ำ นวนเตม็ ลบ แลว้ ใชก้ ารหักออกเป็นคู่ ๆ เช่น (-4) + 9 สงวนสิทธิ์โดย สสวท. หรือจ้าหนา่ ย ใชไ้ ม้สดี ำ� 4 อัน แทน -4 และไม้สีแดง 9 อนั แทน 9 ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้าจากนน้ั จบั คสู่ ที ต่ี า่ งกนั แล้วหกั ออก จะเหลือไม้สแี ดง 5 อนั ดังนนั้ ผลบวกของ (-4) + 9 คือ 5 สงวนสิทธโิ์ ดย สสวท. หรือจ้าหน่ายอปุ กรณ์ ✤ ไมไ้ อศกรมี 2 สี สลี ะ 20 อนั ต่อกล่มุ ดดั แปลงขนั้ ตอนการทำ�กิจกรรม 1. แบ่งกล่มุ กลมุ่ ละ 4 คน โดยแตล่ ะกลุ่มแบ่งออกเป็น 2 ฝา่ ย คือ ฝา่ ย ก และฝา่ ย ข 2. ใหฝ้ า่ ย ก ตง้ั โจทยก์ ารบวกระหวา่ งจ�ำ นวนเตม็ บวกและจ�ำ นวนเตม็ ลบ โดยทจี่ �ำ นวนเตม็ บวกเปน็ จ�ำ นวน ที่ไมเ่ กิน 20 และจ�ำ นวนเต็มลบเปน็ จำ�นวนท่ีไมน่ ้อยกว่า -20 แลว้ ใหฝ้ า่ ย ข หาผลบวกโดยใช้แนวคดิ เช่นเดยี วกบั ชาวจนี ในสมัยโบราณ โดยใช้ไม้ไอศกรีมแทนไมส้ ีตา่ ง ๆ ของชาวจนี 3. สลับให้ฝา่ ย ข เป็นผตู้ ง้ั โจทย์ในลักษณะเดียวกับฝ่าย ก แล้วให้ฝ่าย ก เป็นผู้หาผลบวก 4. ทำ�เช่นน้ีจนกระท่ังแต่ละฝา่ ยแก้ปญั หาครบ 5 ข้อ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
22 บทท่ี 1 | จำ�นวนเต็ม หนงั สอื เรยี นรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 การบวกกันของจำ�นวนเต็มบวกกับจำ�นวนเต็มลบ สามารถใช้ เส้นจำ�นวนแสดงการหาผลบวก โดยใช้การนับแบบย้อนทิศทางกัน ไดด้ งั น้ี หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้าตวั อย่างท ่ี 3 จงหาผลบวก 4 + (-6) วิธที ำ� เรม่ิ ตน้ ที่ 0 แลว้ นับไปทางขวาถงึ 4 และเมื่อบวกด้วย -6 ใหน้ บั ไปทางซ้าย 6 หน่วย ซงึ่ จะไปสิ้นสดุ ท่ี -2 ดังน ้ี สงวนสทิ ธโิ์ ดย สสวท. หรือจ้าหน่าย ดงั น้ัน 4 + (-6) = -2 ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซา้ตอบ -2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ตวั อย่างท ี่ 4 จงหาผลบวก (-5) + 9 วิธที ำ� เรม่ิ ต้นท่ี 0 แลว้ นับไปทางซ้ายถึง -5 และเมอื่ บวกด้วย 9 ใหน้ บั ไปทางขวา 9 หน่วย ซงึ่ จะไปสิ้นสุดท่ี 4 ดงั นี้ สงวนสทิ ธ์โิ ดย สสวท. หรือจ้าหน่าย ดังนั้น (-5) + 9 = 4 ดัดแปลงตอบ 4 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ตัวอย่างท ่ี 5 จงหาผลบวก (-6) + 6 วิธีทำ� เรม่ิ ตน้ ที่ 0 แล้วนับไปทางซ้ายถงึ -6 และเม่ือบวกดว้ ย 6 ให้นบั ไปทางขวา 6 หนว่ ย ซ่งึ จะไปสนิ้ สุดที่ 0 ดงั นี้ -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 ดังน้ัน (-6) + 6 = 0 ตอบ 0 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สอื เรยี นรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเต็ม 23 การบวกจ�ำ นวนเตม็ ใด ๆ กบั ศนู ย์ จะไดผ้ ลบวกเปน็ จ�ำ นวนเตม็ จ�ำ นวนนน้ั โดยสามารถใชเ้ สน้ จ�ำ นวนแสดงการหาผลบวกไดด้ งั น้ี หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซา้ตวั อยา่ งที ่ 6 จงหาผลบวก (-6) + 0 วิธีท�ำ เรมิ่ ต้นที่ 0 ให้นบั ไปทางซา้ ยถึง -6 และเมอื่ บวกด้วยศูนย์ หมายถงึ ไมต่ อ้ งนบั ต่อ จงึ สนิ้ สุดที่ -6 ดังน้ี สงวนสทิ ธ์โิ ดย สสวท. หรือจา้ หน่าย-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 ชวนคดิ 1.2 ดังน้นั (-6) + 0 = -6 จงหาผลบวก 0 + (-6) ตอบ -6 ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ท้าซา้ การบวกจำ�นวนเต็มโดยใช้คา่ สมั บูรณ์ สงวนสิทธโ์ิ ดย สสวท. หรือจา้ หนา่ ย การบวกจ�ำ นวนเตม็ โดยใชเ้ สน้ จ�ำ นวนดงั ทก่ี ลา่ วมาแลว้ เปน็ วธิ ที ช่ี ว่ ยใหน้ กั เรยี นเขา้ ใจไดง้ า่ ย แตส่ �ำ หรบั กรณจี �ำ นวนเตม็ บวก ทม่ี ีคา่ มาก หรือจ�ำ นวนเตม็ ลบทม่ี คี ่านอ้ ย การบวกโดยใชเ้ สน้ จ�ำ นวนอาจไม่สะดวก และเสียเวลามาก เราจงึ มวี ธิ หี าผลบวกของ จำ�นวนเต็มโดยใชค้ า่ สัมบูรณข์ องจ�ำ นวนเตม็ ดังจะกลา่ วต่อไปนี้ คา่ สมั บรู ณ์ (absolute value) ของจ�ำ นวนเตม็ จ�ำ นวนหนงึ่ คอื ระยะทจ่ี �ำ นวนเตม็ นนั้ อยหู่ า่ งจาก 0 บนเสน้ จ�ำ นวน เชน่ ดัดแปลง จากแผนภาพ -2 -1 0 1 2 3 4 5 จะเห็นว่า 5 อยู่หา่ งจาก 0 เป็นระยะ 5 หนว่ ย จึงกลา่ วไดว้ า่ คา่ สัมบรู ณข์ อง 5 เทา่ กับ 5 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
24 บทท่ี 1 | จำ�นวนเต็ม หนังสือเรยี นรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชวนคดิ 1.3 จากแผนภาพ ลองบอกค่าสัมบูรณ์ของจำ�นวนเต็ม -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 ต่อไปน้ี ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซา้ 1) 6 3) 15 5) -28 2) -6 จะเห็นวา่ -4 อยหู่ ่างจาก 0 เป็นระยะ 4 หนว่ ย 4) -15 จึงกลา่ วไดว้ ่า ค่าสัมบูรณข์ อง -4 เท่ากับ 4 6) 0 จากตัวอย่างที่ 2 จะเห็นว่า การบวกกันของจำ�นวนเต็มลบใช้การนับต่อ เช่นเดียวกับการบวกกันของจำ�นวนเต็มบวก สงวนสทิ ธ์ิโดย สสวท. หรือจา้ หน่ายเพียงแต่เป็นไปในทิศทางตรงกันข้าม ซึ่งเปรียบได้กับการนำ�ระยะจาก 0 ถึงจำ�นวนเต็มลบแต่ละจำ�นวนมาบวกกัน น่ันคือ การน�ำ คา่ สมั บรู ณข์ องจ�ำ นวนเตม็ ลบแตล่ ะจ�ำ นวนมาบวกกนั แลว้ ตอบเปน็ จ�ำ นวนเตม็ ลบ เราจงึ สามารถใชค้ า่ สมั บรู ณใ์ นการหา ผลบวกของจำ�นวนเตม็ ลบกับจำ�นวนเตม็ ลบ ไดด้ งั น้ี ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้า การหาผลบวก (-15) + (-17) ทำ�ได้โดย นำ�ค่าสัมบูรณ์ของ -15 บวกด้วยค่าสัมบูรณ์ของ -17 แล้วตอบเป็น จำ�นวนเต็มลบ ดงั น้ี ค่าสมั บรู ณข์ อง -15 เทา่ กบั 15 ค่าสมั บรู ณข์ อง -17 เทา่ กับ 17 ดังนัน้ (-15) + (-17) = -(15 + 17) สงวนสิทธิ์โดย สสวท. หรือจา้ หนา่ ย = -32 การบวกจำ�นวนเตม็ ลบด้วยจ�ำ นวนเต็มลบ ให้นำ�คา่ สัมบรู ณข์ องจ�ำ นวนเตม็ ลบ ดดั แปลงทง้ั สองจ�ำ นวนมาบวกกนั แล้วตอบเปน็ จำ�นวนเตม็ ลบ ตวั อยา่ งท ่ี 7 จงหาผลบวก [(-30) + (-25)] + (-12) วธิ ที �ำ [(-30) + (-25)] + (-12) = -(30 + 25) + (-12) = -55 + (-12) = -(55 + 12) = -67 ตอบ -67 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สือเรยี นรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จำ�นวนเต็ม 25 จากตัวอย่างที่ 3 และ 4 จะเห็นว่า การบวกกันของจำ�นวนเต็มบวกกับจำ�นวนเต็มลบ ใช้การนับแบบย้อนทิศทางกัน ซ่งึ เปรยี บได้กับการน�ำ ระยะจาก 0 ถงึ จำ�นวนเต็มแต่ละจำ�นวนมาลบกนั โดยใช้ระยะทีม่ ากกว่าเป็นตัวตงั้ หรอื น�ำ ค่าสัมบูรณ์ท่ี มากกว่าลบด้วยค่าสัมบูรณ์ท่ีน้อยกว่า แล้วตอบเป็นจำ�นวนเต็มชนิดเดียวกับจำ�นวนเต็มที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า ดังน้ัน เราจึงสามารถใช้คา่ สมั บรู ณ์ในการหาผลบวกระหวา่ งจ�ำ นวนเตม็ บวกและจ�ำ นวนเต็มลบ ได้ดงั นี้ ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า การหาผลบวก 15 + (-13) ทำ�ไดโ้ ดย น�ำ ค่าสมั บูรณ์ทม่ี ากกวา่ ลบด้วยคา่ สัมบรู ณท์ ่ีนอ้ ยกว่า แล้วตอบเปน็ จำ�นวนเต็ม ชนิดเดียวกบั จำ�นวนเตม็ ทม่ี คี ่าสมั บูรณม์ ากกว่า ซง่ึ ในทีน่ ี้ ค่าสัมบูรณ์ของ 15 เทา่ กับ 15 ค่าสมั บูรณ์ของ -13 เท่ากบั 13 สงวนสิทธิ์โดย สสวท. หรอื จา้ หน่ายดังน้ัน 15 + (-13) = 15 – 13 และ 15 > 13 จึงได้คำ�ตอบเปน็ จำ�นวนเตม็ บวก = 2 การบวกกันของจ�ำ นวนเต็มบวกกบั จำ�นวนเตม็ ลบ ท่ีมีค่าสัมบรู ณไ์ มเ่ ทา่ กัน ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซา้ใหน้ ำ�ค่าสัมบูรณท์ ี่มากกว่าลบดว้ ยคา่ สัมบรู ณท์ น่ี อ้ ยกว่า แลว้ ตอบเปน็ จ�ำ นวนเต็มชนดิ เดยี วกับจ�ำ นวนเต็มทม่ี ีคา่ สมั บูรณม์ ากกวา่ สงวนสทิ ธ์ิโดย สสวท. หรอื จา้ หน่ายวธิ ที �ำ (-26) + 14 = -(26 – 14) ตวั อยา่ งท ่ี 8 จงหาผลบวก (-26) + 14 = -12 คา่ สัมบูรณข์ อง -26 เทา่ กับ 26 ค่าสมั บูรณ์ของ 14 เท่ากบั 14 ตอบ -12 เนอื่ งจาก 26 > 14 ดังนั้น -26 + 14 จะมีผลบวก เป็นจำ�นวนเตม็ ลบ ดัดแปลงตวั อยา่ งท ่ี 9 จงหาผลบวก 27 + (-32) วธิ ที �ำ 27 + (-32) = -(32 – 27) = -5 ตอบ -5 ตวั อยา่ งท ่ี 10 จงหาผลบวก [(-18) + 22] + (-37) วธิ ที �ำ [(-18) + 22] + (-37) = (22 – 18) + (-37) = 4 + (-37) = -(37 – 4) = -33 ตอบ -33 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
26 บทท่ี 1 | จำ�นวนเตม็ หนังสือเรียนรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 การบวกกันของจำ�นวนเต็มบวกกับจำ�นวนเต็มลบท่ีมีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน ใหน้ ำ�ค่าสัมบูรณข์ องจำ�นวนทั้งสองนัน้ มาลบกนั ซึง่ จะได้ผลบวกเปน็ ศนู ย์ ตวั อยา่ งท ่ี 11 จงหาผลบวก 45 + (-45) ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้ามุมคณติ วธิ ที �ำ 45 + (-45) = 45 – 45 สงวนสทิ ธ์ิโดย สสวท. หรือจา้ หนา่ ย ในบางกรณี เราสามารถละวงเล็บ = 0 ในการเขียนได้ เชน่ (-31) + 31 สามารถ ละวงเล็บแล้วเขยี นไดเ้ ป็น -31 + 31 แต่ ตอบ 0 ดดั แปลง ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า45 + (-45) ไม่นิยมเขยี นโดยละวงเลบ็ตวั อยา่ งท ่ี 12 จงหาผลบวก -31 + 31 วธิ ที �ำ -31 + 31 = 31 – 31 = 0 ตอบ 0 ตวั อยา่ งท ่ี 13 ขณะทนี่ กั ขา่ วคนหนงึ่ บงั คบั โดรนขน้ึ ไปในแนวดงิ่ สงู จากพน้ื ดนิ 5 เมตร เพ่ือบันทึกภาพเหตุการณ์ทางอากาศ เขาพบว่าภาพที่บันทึกได้ยังเห็น เหตุการณไ์ ม่สมบูรณ์ เขาจงึ บงั คับโดรนข้นึ ไปในแนวด่งิ อีก 7 เมตร อยากทราบ วา่ ขณะนโี้ ดรนอยสู่ งู จากพ้นื ดนิ เท่าไร สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรอื จา้ หน่ายเกร็ดน่ารู้ 7 เมตร ดัดแปลง โดรน (drone) หรอื อากาศยานไรค้ นขบั 5 เมตร ไดร้ บั การพฒั นาขน้ึ เพอ่ื ใชป้ ระโยชนใ์ นวงการ ทหาร แตต่ อ่ มาไดม้ กี ารปรบั ใหใ้ ชป้ ระโยชน์ กบั เรอ่ื งตา่ ง ๆ ไดม้ ากขน้ึ เชน่ การน�ำ กลอ้ ง วธิ ที �ำ จากโจทย์ นักข่าวบังคับโดรนขึ้นไปในแนวดิ่งสูงจากพื้นดิน 5 เมตร ไปติดไว้กับโดรนเพ่อื บันทึกภาพทางอากาศ และบังคบั โดรนขนึ้ ไปในแนวดงิ่ อกี 7 เมตร การสง่ ยาหรอื อปุ กรณท์ างการแพทยเ์ พอ่ื ชว่ ย จะไดว้ า่ โดรนอย่สู งู จากพื้นดิน 5 + 7 = 12 เมตร ชวี ติ หรอื ใชเ้ พอ่ื ฉดี พน่ ปยุ๋ ในงานเกษตรกรรม ตอบ 12 เมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สือเรยี นรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 1 | จำ�นวนเต็ม 27 พจิ ารณาภาพต่อไปนี้ สงวนสทิ ธิ์โดยดสดั สแวปทลส.งงวหหนา้ รสมอื ิทเจผธ้ายโิ์หดแนพย่ารยส่ สทว้าทซ.้า หห้ารมือเจผ้ายหแนพ่ารย่ ทา้ ซา้ทีม่ า : https://www.flash-mini.com สบื คน้ เมอ่ื 16 มกราคม 2560 ดดั แปลง จากภาพ จะเหน็ วา่ เมอ่ื กลา่ วถงึ ความสงู ทต่ี �ำ แหนง่ ใดต�ำ แหนง่ หนง่ึ โดยเทยี บ ขอ้ สังเกต กับระดับนำ้�ทะเล สามารถใช้จำ�นวนเต็มบวก จำ�นวนเต็มลบ หรือศูนย์แทน ความสูงของตำ�แหน่งที่อยู่สูงกว่าหรือ ความสงู ของต�ำ แหนง่ นนั้ ๆ โดยใหค้ วามสงู ของต�ำ แหนง่ ทอ่ี ยสู่ งู กวา่ ระดบั น�้ำ ทะเล แทนดว้ ยจ�ำ นวนเตม็ บวก เชน่ ความสงู ทตี่ �ำ แหนง่ A เทา่ กบั 200 เมตร จากระดบั น้ำ�ทะเล และให้ความสูงของตำ�แหน่งที่อยู่ต่ำ�กว่าระดับนำ้�ทะเลแทนด้วย ตำ่�กว่าระดับน้ำ�ทะเล ในบางครั้งอาจจะ จ�ำ นวนเต็มลบ เชน่ ความสูงที่ตำ�แหน่ง B เทา่ กบั -44 เมตร จากระดบั น�้ำ ทะเล เป็นทศนิยมได้เชน่ กัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
28 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเตม็ หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 เกรด็ น่ารู้ ตวั อยา่ งท ่ี 14 ระดับน�้ำ ทะเล ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า ปลาขวาน (Hatchet fish) เป็น ปลาทะเลนำ้�ลึกขนาดเล็ก มีมากถึง 45 สายพันธุ์ โดยปลาขวานสายพันธุ์ที่ใหญ่ ที่สุดนั้นมีลำ�ตัวยาวเพียง 12 เซนติเมตร สงวนสิทธ์โิ ดย สสวท. หรือจ้าหน่ายปลาขวานอาศัยอยู่ในแถบนำ้�เย็นท่ีระดับ -180 เมตร ถึง -1,370 เมตร จากระดับ ดัดแปลสงงวนสทิ ธ์โิ ดย สสวท. หหา้รมือเจผา้ ยหแนพา่ รย่ ท้าซ้าน�ำ้ ทะเล เตา่ ตัวหนงึ่ ว่ายน�ำ้ อยทู่ รี่ ะดับ -50 เมตร จากระดบั น้ำ�ทะเล และปลาขวาน ตัวหน่ึงวา่ ยน�ำ้ อยูท่ ี่ระดบั -240 เมตร จากระดบั ของเตา่ จงหาวา่ ปลาขวานตวั น้ี อยทู่ ร่ี ะดับเทา่ ไรจากระดบั น�ำ้ ทะเล วธิ ที �ำ ใหร้ ะดับน�้ำ ทะเลเปน็ 0 เมตร จากโจทย์ เต่าอย่ทู ี่ระดบั -50 เมตร จากระดับน�้ำ ทะเล และปลาขวานอยู่ทีร่ ะดบั -240 เมตร จากระดับของเตา่ จะไดว้ ่า ปลาขวานอยทู่ ่ีระดับ (-50) + (-240) = -290 เมตร จากระดบั น้ำ�ทะเล ตอบ -290 เมตร จากระดับน�้ำ ทะเล ดดั แปลงตวั อยา่ งท ่ี 15 ขณะที่อุ๋มกำ�ลังน่ังดูรายการโทรทัศน์ก็ได้ยินข่าวพยากรณ์อากาศท่ีประกาศเก่ียวกับสภาพอากาศท่ีมี ความแปรปรวนมาก ดงั น้ี “สภาพอากาศในช่วงน้ีอยู่ในภาวะทมี่ กี ารเปลีย่ นแปลงอยา่ งฉับพลนั สำ�หรบั วันนี้ วัดอุณหภูมิเฉลีย่ ในเมอื งได้ -7 องศาเซลเซยี ส และคาดวา่ ในวนั พร่งุ น้อี ณุ หภูมเิ ฉลี่ยจะสูงข้ึน 9 องศาเซลเซยี ส จึงขอใหท้ กุ ท่านยังคงสวมใส่เสอ้ื ผ้าท่หี นากวา่ ปกติ และท�ำ ให้ร่างกายอบอนุ่ อยเู่ สมอ” จงหาว่าในวันพรงุ่ นีอ้ ุณหภูมเิ ฉลี่ยของเมืองนี้จะเป็นเท่าไร วธิ ที �ำ เน่อื งจากอณุ หภูมเิ ฉลี่ยของวนั นี้เป็น -7 องศาเซลเซยี ส และคาดวา่ ในวันพรุ่งน้อี ุณหภมู เิ ฉล่ยี จะสูงขน้ึ 9 องศาเซลเซียส จะไดว้ า่ อณุ หภูมเิ ฉลีย่ ของวันพรุง่ น้ี คือ -7 + 9 = 2 องศาเซลเซียส ตอบ 2 องศาเซลเซยี ส สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนังสือเรียนรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเตม็ 29 แบบฝกึ หัด 1.2 1. จงหาผลบวก 1) 25 + 0 2) 24 + 30 ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้า 3) 14 + 16 4) 0 + (-87) 6) 41 + (-38) 5) 14 + (-75) 8) -82 + 22 7) (-51) + 60 10) -125 + (-34) 9) (-102) + 120 12) (-12) + (-106) 11) -142 + (-18) สงวนสิทธิ์โดย สสวท. หรอื จา้ หนา่ ย2. จงหาผลบวก 2) (-8) + 7 ชวนคดิ 1.4 1) 7 + (-8) 4) (-73) + (-14) 3) -14 + (-73) 6) 27 + (-35) จากขอ้ 2 นกั เรยี นได้ขอ้ สงั เกตอะไร 8) -31 + (-29) ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซา้ 5) -35 + 27 7) (-29) + (-31) 3. จงหาผลบวก 2) 10 + [7 + (-5)] ชวนคดิ 1.5 1) (10 + 7) + (-5) 4) (-6 + 5) + 1 จากข้อ 3 นักเรยี นได้ข้อสงั เกตอะไร สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรือจา้ หนา่ ย 3) (-6) + (5 + 1) 6) -4 + [(-8) + 15] 5) [-4 + (-8)] + 15 8) (-7) + [(-12) + (-6)] 7) [-7 + (-12)] + (-6) 10) [(-10) + 3] + (-2) 9) (-10) + [3 + (-2)] ดัดแปลง4. จงหาจ�ำ นวนเต็มทีเ่ ตมิ ลงใน 1) (-9) + = -9 3) (-5) + = -8 แลว้ ทำ�ใหป้ ระโยคเปน็ จรงิ 2) + 18 = 18 4) + (-7) = -11 5) (-6) + = 0 6) -2 + = 2 7) + (-3) = 6 8) 9 + = -2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
30 บทท่ี 1 | จำ�นวนเตม็ หนังสอื เรียนรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 5. ให้ a, b และ c เปน็ จำ�นวนเตม็ ซ่ึงปรากฏบนเสน้ จำ�นวนในแตล่ ะข้อต่อไปนี้ ถา้ c = a + b แลว้ c อยู่ในตำ�แหนง่ ทส่ี มเหตุสมผลหรือไม่ ถ้าไม่สมเหตสุ มผล จงหาว่า c ควรอยทู่ ่ีตำ�แหน่งใด 1) a cb ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า 2) 0 a bc 0 3) a bc สงวนสิทธ์โิ ดย สสวท. หรอื จา้ หน่าย 4) ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า 5) ab c a cb สงวนสทิ ธโ์ิ ดย สสวท. หรอื จา้ หน่ายเกรด็ นา่ รู้ การดำ�นำ้�แบ่งเป็น 2 ประเภทหลัก ๆ ดัดแปลงไดแ้ ก่ ✤ การดำ�นำ้�ตื้น เป็นการดำ�นำ้�ท่ีผิวน้ำ� โดยใช้อุปกรณ์ไม่มาก เช่น หน้ากาก ทอ่ หายใจ การด�ำ น�ำ้ ในลกั ษณะน้ี เรยี กได้ หลายแบบ เชน่ snorkeling, skin dive 6. ขณะที่นักดำ�น้ำ�คนหนึ่งกำ�ลังดำ�น้ำ�อยู่ท่ีระดับ -28 เมตร จากระดับ น้ำ�ทะเล เขาพบฝูงปลาการ์ตูนว่ายนำ้�อยู่เหนือเขา เขาจึงว่ายข้ึนไป ในแนวดิ่งเป็นระยะ 13 เมตร เพ่ือถ่ายภาพฝูงปลาน้ันในแนวระดับ เดียวกับฝูงปลา จงหาว่า ฝูงปลาการ์ตูนอยู่ท่ีระดับความสูงเท่าไร จากระดับน�้ำ ทะเล ระดับนำ�้ ทะเล ✤ การด�ำ นำ้�ลกึ เปน็ การดำ�นำ�้ ท่ลี กึ ลงไป เกนิ กวา่ ทจ่ี ะใชท้ อ่ หายใจได้ ซง่ึ นกั ด�ำ น�ำ้ จำ�เป็นต้องใช้อุปกรณ์ช่วยหายใจใต้น�ำ้ การดำ�น้ำ�ในลักษณะนี้อาจเรียกว่า scuba สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนังสือเรยี นรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเต็ม 31 7. นกั วทิ ยาศาสตร์คนหนง่ึ ทดลองผสมสารละลาย A กับสารละลาย B แล้ววัดอุณหภมู ิของสารละลายใหม่ได้เปน็ 24 องศาเซลเซยี ส จากน้ัน เขากลับมาวดั อุณหภมู ขิ องสารละลายใหม่นี้ทุก ๆ ช่ัวโมง ปรากฏอณุ หภมู ิทเี่ ปลยี่ นแปลงไป ในแตล่ ะชั่วโมง เป็นดังตารางตอ่ ไปน้ี หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซา้จ�ำ นวนช่ัวโมงทผี่ า่ นไป 12345 6 -5 -8 -10 -14 -9 -2 อณุ หภูมทิ ่ีเปล่ียนไป จากช่ัวโมงกอ่ นหนา้ (˚C) จากตาราง จงตอบค�ำ ถามตอ่ ไปน้ี สงวนสิทธโ์ิ ดย สสวท. หรอื จ้าหนา่ ย 1) เม่อื เวลาผา่ นไป 2 ช่ัวโมง สารละลายใหมน่ ้ีมีอณุ หภูมิกีอ่ งศาเซลเซียส 2) สารละลายใหมน่ ้วี ดั อุณหภูมไิ ด้ -13 องศาเซลเซียส เม่อื เวลาผ่านไปกช่ี ่วั โมง ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า 1.3 การลบจ�ำ นวนเต็ม สงวนสิทธิโ์ ดย สสวท. หรือจ้าหน่าย จ�ำ นวนตรงขา้ ม พิจารณา 3 และ -3 ซงึ่ เปน็ จำ�นวนเต็มทม่ี ีค่าสมั บรู ณเ์ ทา่ กนั คือ 3 แสดงไดด้ งั แผนภาพต่อไปน้ี ดัดแปลง-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 จะเห็นว่า ยังมีจ�ำ นวนเตม็ บวกและจำ�นวนเต็มลบทม่ี ีคา่ สัมบูรณ์เทา่ กันอีกหลายคู่ เช่น 5 และ -5 8 และ -8 ซึ่งจ�ำ นวน เตม็ บวกและจ�ำ นวนเตม็ ลบทม่ี คี า่ สมั บรู ณเ์ ทา่ กนั เหลา่ น้ี จะอยคู่ นละขา้ งของ 0 บนเสน้ จ�ำ นวน และอยหู่ า่ งจาก 0 เปน็ ระยะทเ่ี ทา่ กนั ในทางคณิตศาสตร์เรียกจ�ำ นวนเหลา่ น้ีว่าเป็นจำ�นวนตรงข้ามของกนั และกัน เชน่ เรยี ก -3 วา่ เป็นจำ�นวนตรงขา้ มของ 3 และเรยี ก 3 วา่ เป็นจำ�นวนตรงข้ามของ -3 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
32 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเตม็ หนงั สือเรยี นรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชวนคิด 1.6 จ�ำ นวนตรงขา้ ม (opposite number) ของจำ�นวนเตม็ จ�ำ นวนหนงึ่ คือ จำ�นวนเต็มอีกจำ�นวนหนึ่ง โดยท่ีจำ�นวนเต็มท้ังสองนี้อยู่ห่างจากศูนย์บน เส้นจ�ำ นวนเปน็ ระยะเทา่ กนั ลองบอกจำ�นวนตรงข้ามของจำ�นวนเต็ม สำ�หรับ 0 จะมี 0 เป็นจำ�นวนตรงข้ามของ 0 2) -14ต่อไปน้ี นอกจากนี้ หากพิจารณาผลบวกของจำ�นวนเต็มจำ�นวนหนึ่งกับจำ�นวน 4) -37 ตรงขา้ มของจ�ำ นวนนั้น จะพบวา่ เทา่ กบั ศนู ย์ เช่น 6) -52หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้า 1) 14 3 + (-3) = 0 และ (-3) + 3 = 0 5 + (-5) = 0 และ (-5) + 5 = 0 3) 37 8 + (-8) = 0 และ (-8) + 8 = 0 สงวนสิทธโ์ิ ดย สสวท. หรอื จา้ หนา่ ย 5) 52 เม่ือ a เป็นจำ�นวนเตม็ ใด ๆ จ�ำ นวนตรงขา้ มของ a เขียนแทนด้วย -a และ a + (-a) = 0 = (-a) + a ดดั แปลสงงวนสิทธ์โิ ดย สสวท. หหา้ รมอื เจผ้ายหแนพ่ารย่ ทา้ ซา้ขา้ วหอมคิดวา่ จำ�นวนตรงข้าม ของจำ�นวนเตม็ จำ�นวนหนึง่ ดดั แปลงมกี ่ีจำ�นวน ขา้ วหอมว่ามีจ�ำ นวนเดยี วนะ แลว้ ขา้ วกล้องล่ะ คดิ ว่ามกี ี่จ�ำ นวน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สือเรียนรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเตม็ 33 เมื่อพิจารณาจำ�นวนตรงข้ามของจำ�นวนเต็มจำ�นวนหน่ึงบนเส้นจำ�นวน จะเห็นว่า จำ�นวนตรงข้ามของจำ�นวนเต็ม จ�ำ นวนนน้ั มเี พยี งจำ�นวนเดยี วเทา่ นั้น เช่น สำ�หรับจ�ำ นวนเต็ม -7 จำ�นวนตรงข้ามของ -7 คอื 7 เน่อื งจาก จ�ำ นวนตรงขา้ มของ a เขียนแทนดว้ ย -a ดังน้นั จำ�นวนตรงขา้ มของ -7 จึงเขียนแทนได้ดว้ ย -(-7) ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้า และเนือ่ งจาก จำ�นวนตรงข้ามของ -7 มีเพยี งจ�ำ นวนเดยี ว คือ 7 จึงทำ�ให้ -(-7) = 7 เม่ือ a เป็นจ�ำ นวนเต็มใด ๆ จ�ำ นวนตรงข้ามของ -a คือ a นน่ั คือ -(-a) = a สงวนสิทธโิ์ ดย สสวท. หรือจา้ หน่าย ในการลบจำ�นวนเตม็ จะเขยี นการลบให้อย่ใู นรูปของการบวก แลว้ จึงหาผลบวกของจำ�นวนเตม็ ตามวธิ ที ีก่ ลา่ วมาข้างตน้ ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้าตวั ต้งั – ตวั ลบ = ตวั ตัง้ + จำ�นวนตรงข้ามของตัวลบ น่นั คือ a – b = a + (-b) เม่อื a และ b เปน็ จ�ำ นวนเตม็ ใด ๆ การเขียนการลบให้อยู่ในรูปของการบวก อาศยั ข้อตกลงดงั น้ี ชวนคิด 1.7 จงเขียนการลบต่อไปน้ีให้อยู่ในรูปของ การบวก 1) 5 – 3 2) 6 – 10 3) 4 – (-2) 4) (-8) – (-1) สงวนสิทธิ์โดย สสวท. หรือจา้ หนา่ ยตวั อยา่ งท ่ี 1 จงหาผลลบ 8 – 12 วธิ ที �ำ 8 – 12 = 8 + (-12) 8 – 12 คือ 8 บวกด้วย จ�ำ นวนตรงข้ามของ 12 = -4 ตอบ -4ดัดแปลงตวั อยา่ งท ่ี 2 จงหาผลลบ (-11) – 6 วธิ ที �ำ (-11) – 6 = (-11) + (-6) = -17 ตอบ -17 ตวั อยา่ งท ่ี 3 จงหาผลลบ 0 – (-15) วธิ ที �ำ 0 – (-15) = 0 + [-(-15)] = 0 + 15 = 15 ตอบ 15 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
34 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเตม็ หนังสือเรยี นรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 มุมเทคโนโลยี ตวั อยา่ งท ่ี 4 จงหาผลลบ 9 – (-3) วธิ ที �ำ 9 – (-3) = 9 + [-(-3)] = 9 + 3 = 12 นักเรียนสามารถตรวจสอบคำ�ตอบ โดยใช้เครื่องคิดเลขได้ ดงั ตัวอยา่ งต่อไปนี้ ตอบ 12 ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้า1) (-11) – 6 ตวั อยา่ งท ่ี 5 จงหาผลลบ -7 – (-4) 1 1 +/- – 6 = วธิ ที �ำ -7 – (-4) = -7 + 4 = -3 2) -7 – (-4) ตอบ -3 7 +/- – 4 +/- = ตวั อยา่ งท ่ี 6 จงหาผลลบ [(-4) – 5] – (-13) วธิ ที �ำ [(-4) – 5] – (-13) = (-9) – (-13) สงวนสิทธ์ิโดย สสวท. หรอื จา้ หน่ายชวนคดิ 1.8 ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้า จงหาผลลบ (-4) – [5 – (-13)] = (-9) + 13 = 4 ตอบ 4 ตวั อยา่ งท ่ี 7 เรอื ด�ำ น�ำ้ ล�ำ หนง่ึ ถกู ปลอ่ ยออกจากฐานสง่ เรอื ซงึ่ อยสู่ งู กวา่ ระดบั สงวนสทิ ธ์ิโดย สสวท. หรือจา้ หน่ายนำ้�ทะเล 6 เมตร เรือดำ�นำ้�เร่ิมออกสำ�รวจท้องทะเลที่ระดับ -80 เมตร จากระดับนำ้�ทะเล เปน็ ระยะทาง 3 กโิ ลเมตร แล้วด�ำ ต่อไปอกี -40 เมตร จาก ระดับเดมิ เพื่อส�ำ รวจอกี 2 กโิ ลเมตร จากนนั้ เรือจงึ ลอยขนึ้ มา 65 เมตร และ สำ�รวจย้อนกลับมาเป็นระยะทาง 5 กิโลเมตร อยากทราบว่าขณะนี้เรือดำ�น้ำ� ดดั แปลงอยู่ห่างจากฐานส่งเรือกีเ่ มตร วธิ ที �ำ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนังสือเรียนรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเต็ม 35 ให้ระดับนำ�้ ทะเลเปน็ 0 เมตร จากโจทย์ เรือดำ�นำ้�เร่มิ ออกสำ�รวจท้องทะเลทีร่ ะดบั -80 เมตร จากระดบั น้ำ�ทะเล แล้วจึงด�ำ ตอ่ ไปอีก -40 เมตร จากระดบั เดิม จะได้ว่า ต�ำ แหนง่ ท่เี รอื ดำ�นำ้�อยู่ลกึ ทสี่ ดุ เปน็ ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้า จากนัน้ เรอื จึงลอยขน้ึ มา 65 เมตร -80 + (-40) = -120 เมตร จากระดับน�้ำ ทะเล เกร็ดน่ารู้ จะไดว้ า่ ตำ�แหน่งท่เี รือดำ�นำ้�อยขู่ ณะน้ีเปน็ -120 + 65 = -55 เมตร จากระดับน้ำ�ทะเล ดงั นน้ั เรือดำ�น�้ำ อยูห่ า่ งจากฐานส่งเรืออยู่ 6 – (-55) = 61 เมตร สงวนสทิ ธโิ์ ดย สสวท. หรอื จ้าหน่ายตวั อยา่ งท ่ี 8 จากการรวบรวมสถติ ขิ องพจี เี อ ทวั ร์ (PGA tour) เพอื่ จดั อนั ดบั ตอบ 61 เมตร นักกอล์ฟระดับโลก โดยนับเฉพาะพาร์ 3 (par 3 performance) ต้ังแต่เดือน มกราคมถึงตุลาคมของ ค.ศ. 2016 ปรากฏคะแนนรวมของนักกอล์ฟ 8 คนคะแนนรวม “โปรเม เอรยี า จฑุ านุกาล นกั กอลฟ์ ชาวไทย ลงสนามเกบ็ เพมิ่ อกี ดดั แปลง ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้าดงั ตารางต่อไปนี้ -20 3 อนั เดอรพ์ าร์ กอ่ นจบสกอรร์ วมสว่ี นั นักกอล์ฟ -7 ที่ 17 อนั เดอรพ์ าร์ จากชัยชนะใน -5 วันนีท้ �ำ ให้โปรเมขยบั ข้ึนเป็น ฟิล มคิ เคลสัน -1 นักกอล์ฟหญงิ มอื 1 ของโลก จาก E การจัดอนั ดับเมือ่ วนั ท่ี 12 มิถนุ ายน สงวนสทิ ธิโ์ ดย สสวท. หรอื จ้าหน่าย ริกกี้ บาร์เนส +1 2560” +8 การเล่นกอล์ฟ 1 รอบ ผู้เล่นจะต้องเล่น อเลก็ ซ์ เคจกา +12 ท้ังหมด 18 หลุม โดยแต่ละหลุมจะกำ�หนด อดัม สกอ็ ตต์ จำ � น ว น ค รั้ ง ท่ี นั ก ก อ ล์ ฟ ค ว ร ตี ลู ก ก อ ล์ ฟ ใหล้ งหลมุ เรยี กวา่ ค่าพาร์ (par) เช่น หลมุ ที่ ดัดแปลง เดวดิ เอียน ก�ำ หนดเปน็ พาร์ 3 ถา้ ผเู้ ลน่ ตลี กู กอลฟ์ ลงหลมุ ไดใ้ น 3 ครงั้ จะได้ 0 คะแนน หรอื E (even) เจสนั เดย์ หรือเรียกว่า พาร์ ถ้าตีลงหลุมได้ใน 2 คร้ัง พอล คาเซย์ จะได้ -1 คะแนน แตห่ ากตลี งหลมุ ไดใ้ น 4 ครง้ั มารค์ วลิ สัน จะได้ +1 คะแนน ดังนั้น ในการเล่นกอลฟ์ ทม่ี า : http://www.pgatour.com สบื คน้ เมอ่ื 25 ตลุ าคม 2559 ผทู้ ม่ี คี ะแนนนอ้ ยทสี่ ดุ จะเปน็ ผชู้ นะ และจาก การรายงานข่าว จะเห็นวา่ เอรยี า จุฑานกุ าล จากตาราง จงตอบค�ำ ถามตอ่ ไปนี้ น้ันสามารถทำ�คะแนนได้ -3 คะแนน และ 1) ฟิล มคิ เคลสัน มคี ะแนนน�ำ ริกก้ี บาร์เนส อยเู่ ทา่ ไร คะแนนรวมตลอดสีว่ นั เปน็ -17 คะแนน 2) ถ้านำ�คะแนนรวมของริกกี้ บาร์เนส อเล็กซ์ เคจกา และอดัม สก็อตต์ มารวมกนั จะทำ�ให้มคี ะแนนรวมชนะฟลิ มคิ เคลสัน ไดห้ รอื ไม่ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
36 บทที่ 1 | จำ�นวนเต็ม หนังสือเรยี นรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 วธิ ที �ำ 1) เนื่องจาก ฟิล มคิ เคลสัน และรกิ ก้ี บารเ์ นส มีคะแนนรวม เป็น -20 และ -7 ตามลำ�ดับ น่นั คอื ฟิล มิคเคลสนั จะไดว้ ่า ฟิล มคิ เคลสนั มคี ะแนนนำ�รกิ ก้ี บาร์เนส เทา่ กบั มคี ะแนนนำ�รกิ ก้ี บาร์เนส -20 – (-7) = -13 คะแนน อยู่ 13 อันเดอรพ์ าร์ ตอบ -13 คะแนน หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซา้ 2) เนื่องจาก ริกกี้ บาร์เนส อเล็กซ์ เคจกา และอดัม สก็อตต์ มีคะแนนรวมเป็น -7, -5 และ -1 ตามลำ�ดับ เมื่อนำ�คะแนนรวมของนักกอล์ฟทั้งสามคนมารวมกัน โดยรวมคะแนนของสองคนแรกก่อน จะได้เป็น [-7 + (-5)] + (-1) = -12 + (-1) = -13 คะแนน แต่ฟลิ มคิ เคลสนั มคี ะแนนรวมเปน็ -20 คะแนน ดงั นั้น ถ้านำ�คะแนนรวมของนักกอลฟ์ ทัง้ สามคนมารวมกนั ยงั ไม่สามารถชนะฟลิ มคิ เคลสนั ได้ สงวนสิทธโ์ิ ดย สสวท. หรือจ้าหนา่ ยตอบ ไม่ได้ ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้าแบบฝกึ หัด 1.3 2) 40 – 52 4) 33 – 0 1. จงหาผลลบ 6) 0 – 37 1) 13 – 16 8) -18 – (-36) 3) (-14) – 0 5) 0 – (-74) 2. จงหาผลลบ 2) 20 – (-100) 1) (-100) – 20 4) 15 – (-22) สงวนสิทธโ์ิ ดย สสวท. หรือจ้าหน่าย 7) (-20) – 20 3) -22 – 15 6) 27 – (-63) ชวนคดิ 1.9 5) (-63) – 27 8) -28 – (-24) 7) -24 – (-28) ดัดแปลง จากขอ้ 2 นกั เรียนไดข้ อ้ สงั เกตอะไร 3. จงหาผลลบ ชวนคดิ 1.10 1) (18 – 11) – 15 2) 18 – (11 – 15) จากขอ้ 3 นักเรียนไดข้ อ้ สังเกตอะไร 3) (-25 – 12) – 27 4) -25 – (12 – 27) 5) [36 – (-13)] – (-21) 6) 36 – [(-13) – (-21)] 7) [(-50) – (-18)] – (-32) 8) (-50) – [(-18) – (-32)] สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สือเรียนรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเตม็ 37 4. จงหาผลลพั ธ์ 1) (-21) + [14 – (-7)] 2) (-42 + 16) – (-8) 3) -19 – (-28 + 16) 4) [(-12) – (-23)] + (-11) 5. จงหาจ�ำ นวนเต็มทเ่ี ตมิ ลงในแล้วทำ�ใหป้ ระโยคเป็นจรงิ 2) 32 – = -1 หา้ มเผยแพร่ ท้าซา้ 1) – 11 = 10 4) – 0 = -17 6) 0 – = 24 3) -10 – = -15 8) – (-40) = 5 5) – (-28) = 28 7) (-8) – = 0 10) (-72) – = -72 9) – (-13) = -20 12) -27 – = -43 สงวนสิทธิโ์ ดย สสวท. หรือจา้ หน่าย 11) 20 – = -14 6. จงหาคา่ ของ (a – b) + c และ a – (b + c) เมือ่ กำ�หนด a, b และ c ดังตอ่ ไปนี้ ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้า 2) a = 3 1) a = 2 b = -5 c=4 มมุ คณิต b = -2 c = -1 3) a = -7 b = -7 c = -1 7. ให้ a, b และ c เป็นจำ�นวนเต็ม ซ่งึ ปรากฏบนเส้นจ�ำ นวนในแตล่ ะข้อ การหาค่าของ (a – b) + c ตอ่ ไปนี้ ถา้ c = a – b แลว้ c อยใู่ นตำ�แหน่งทีส่ มเหตุสมผลหรือไม่ เมือ่ a = 4, b = -5 และ c = -6 ทำ�ได้ ดังนี้ (a – b) + c = [4 – (-5)] + (-6) = 9 + (-6) = 3 สงวนสิทธิโ์ ดย สสวท. หรอื จ้าหน่าย 1) ถา้ ไม่สมเหตสุ มผล จงหาว่า c ควรอยู่ท่ีต�ำ แหน่งใด ba c ดดั แปลง 3) 2)c ab bc a 4) ac b 5) bc a สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
38 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเต็ม หนังสือเรยี นรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 เกรด็ นา่ รู้ 8. เรอื ด�ำ น�ำ้ ล�ำ หนง่ึ ออกส�ำ รวจเรอื อบั ปางซง่ึ จมอยกู่ น้ ทะเลทร่ี ะดบั -92 เมตร จากระดบั น�้ำ ทะเล ในสภาพหงาย เมอื่ เรอื ด�ำ น�้ำ ลงไปถงึ ระดบั -68 เมตร จากระดับนำ้�ทะเล จึงไดพ้ บกับดาดฟา้ ของเรอื ทอี่ บั ปาง อยากทราบวา่ เรือทอ่ี บั ปางนมี้ ีความสูงจากท้องเรือถงึ ดาดฟา้ ประมาณกเี่ มตร หา้ มเผยแพร่ ท้าซา้ อบั ปางเปน็ ค�ำ กรยิ าแปลวา่ ลม่ จม หรอื สงวนสทิ ธ์โิ ดย สสวท. หรอื จ้าหนา่ ยแตก ซง่ึ ค�ำ วา่ อบั ปางนจ้ี ะใชก้ บั เรอื เดนิ ทะเล 9. จากบนั ทกึ สถติ กิ ารแขง่ ขนั กฬี ากระโดดน�ำ้ นั ก กี ฬ า ค น ห น่ึ ง ก ร ะ โ ด ด อ อ ก จ า ก เกรด็ นา่ รู้ แพลตฟอรม์ ซง่ึ อยสู่ งู จากผวิ น�ำ้ 10 เมตร แล้วลอยตัวข้ึนไป 2 เมตร จากนั้น เขา ดดั แปลง ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า การแข่งขันกระโดดนำ้�ในปัจจุบันมี ท้งิ ตวั ลงไปเป็นระยะ 15 เมตร จากจดุ ทล่ี อยขน้ึ ไปสงู ทส่ี ดุ ถา้ สระนลี้ กึ 5 เมตร 2 แบบ คอื แบบแพลตฟอรม์ (platform) อยากทราบว่าในการกระโดดครั้งน้ีเขา และแบบกระดานสปริง (springboard) จะลงไปแตะถึงกน้ สระหรอื ไม่ สำ�หรับการแข่งขันแบบแพลตฟอร์มน้ัน 10. กราฟต่อไปนี้แสดงอุณหภูมิตำ่�สุด และสูงสุดในสัปดาห์หนึ่ง ของเมือง สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรือจ้าหน่ายมีความสงู ด้วยกนั 3 ระดับ คอื 5 เมตร 7.5 เซน็ ทรัล รัฐอะแลสกา ประเทศสหรัฐอเมริกา เมตร และ 10 เมตร โดยในการแขง่ ขนั กฬี า 10 โอลมิ ปกิ ยคุ ปจั จบุ นั ก�ำ หนดความสงู ทร่ี ะดบั 10 เมตร ส่วนการแข่งขันแบบกระดาน 5 อณุ หภูมิ 0 สงู สดุ ดัดแปลงสปรงิ ก�ำ หนดความสงู ที่ระดับ 3 เมตร -5 อุณหภมู ิ -10 ต่ำสุด -15 ุอณห ูภ ิม (องศาเซลเ ีซยส) อา ิทตย� จันทร� ัองคาร พุธ พฤ ัหสบดี ุศกร� เสา �ร ทม่ี า : http://www.yourweatherservice.com สบื คน้ เม่ือ 13 ตุลาคม 2559 จากกราฟ จงตอบค�ำ ถามต่อไปนี้ 1) เมอ่ื เปรยี บเทยี บอณุ หภมู สิ งู สดุ ของแตล่ ะวนั แลว้ วนั ใดมอี ณุ หภมู ติ �ำ่ ทส่ี ดุ 2) ในวนั พธุ อณุ หภมู ิสูงสุดตา่ งจากอุณหภูมิต�่ำ สุดอยูเ่ ทา่ ไร 3) วันใดท่ีอุณหภูมิสูงสุดและอุณหภูมิตำ่�สุด แตกต่างกันน้อยท่ีสุด และต่างกันอย่เู ทา่ ไร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สอื เรยี นรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเต็ม 39 ชวนคดิ 1.11 เวลาในประเทศท่ัวโลกนัน้ แตกต่างกัน อนั เนอ่ื งมาจากการท่ีโลกโคจรรอบดวงอาทติ ย์ และหมนุ รอบตวั เองไปด้วยเ �สนแ �บงเขต ัวนสากล เสน� แบง� เขตวนั สากล ทำ�ให้พ้ืนท่ีบนผิวโลกมืดและสว่างไม่พร้อมกัน เวลาที่กำ�หนดข้ึนในแต่ละประเทศบางคร้ังจะเรียกว่า เวลาท้องถ่ิน ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้าซง่ึ กำ�หนดตามเวลากรีนิช (Greenwich Mean Time หรือ GMT) เน่ืองจากโลกหมุนรอบตัวเอง 1 รอบ ใช้เวลาประมาณ 24 ชั่วโมง เราจึงแบ่งเขตเวลาออกเป็น 24 เขตเวลา โดยเร่ิมที่เส้นลองจิจูด 0˚ ซ่ึงผ่านเมืองกรีนิช ประเทศสหราชอาณาจักร เม่ือนับไปทางขวาหรือทางตะวันออกของ เส้นลองจจิ ูดนจี้ ะบวกเวลาไปทลี ะ 1 ชั่วโมง ตอ่ 1 เขตเวลา และเมื่อนบั ไปทางซา้ ยหรือทางตะวนั ตกจะลบเวลาไปทีละ สงวนสิทธโ์ิ ดย สสวท. หรอื จา้ หน่าย1 ชั่วโมง ตอ่ 1 เขตเวลา และทเ่ี สน้ ลองจิจดู 180˚ จะเปน็ เสน้ ลองจจิ ูดทีเ่ ขตเวลาทางฝ่ังตะวนั ออกและตะวันตกเป็นเสน้ เดยี วกนั เรยี กเสน้ นว้ี า่ เสน้ แบง่ เขตวนั สากล (International Date Line) ดังภาพ -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้าสหราช อาณาจกั ร สงวนสทิ ธิโ์ ดย สสวท. หรือจา้ หน่ายฮาวาย ไทย เปรู ดัดแปลง180 ํ 165 ํ 150 ํ 135 ํ 120 ํ 105 ํ 90 ํ 75 ํ 60 ํ 45 ํ 30 ํ 15 ํ 0 ํ 15 ํ 30 ํ 45 ํ 60 ํ 75 ํ 90 ํ 105 ํ 120 ํ 135 ํ 150 ํ 165 ํ 180 ํ 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 จากภาพ ใหพ้ จิ ารณาแถบตัวเลขด้านบน จะเห็นว่า ประเทศไทยอยใู่ นเขตเวลา GMT +7 และถา้ ขณะน้ปี ระเทศ สหราชอาณาจกั รเปน็ เวลา 11 นาฬกิ าของวนั หนง่ึ ประเทศไทยกจ็ ะเปน็ เวลา 18 นาฬกิ าของวนั เดยี วกนั แตถ่ า้ ขณะน้ี ประเทศไทยเป็นเวลา 12 นาฬิกาของวนั หน่งึ เกาะฮาวาย ซึ่งอยใู่ นเขตเวลา GMT -10 จะเปน็ เวลา 19 นาฬกิ าของ วนั ก่อนหน้าวนั นัน้ หนึ่งวัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
40 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเต็ม หนงั สอื เรียนรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 สือ่ เสริม จากขอ้ มูลขา้ งต้น จงตอบคำ�ถามตอ่ ไปนี้ เพ่มิ ความรู้ 1) ถ้าต้นข้าวซึ่งเรียนอยู่ที่ประเทศสหราชอาณาจักร นัดคุยทาง โทรศพั ทก์ บั ขา้ วโอต๊ ซง่ึ ไปท�ำ งานทปี่ ระเทศเปรู ในเวลา 19 นาฬกิ า นักเรียนสามารถศึกษาเก่ียวกับเวลา ตามเวลาท้องถิ่นของประเทศเปรู อยากทราบว่า ต้นข้าวจะต้อง โทรศัพทห์ าข้าวโอต๊ ในเวลาเท่าไรของประเทศสหราชอาณาจักร ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซา้สากลเพ่ิมเตมิ ไดท้ ี่ goo.gl/eEFdgz 2) ถ้าคุณแม่ของต้นข้าวและข้าวโอ๊ตซ่ึงอยู่ท่ีประเทศไทย ต้องการคุยทางโทรศัพท์กับลูกท้ังสองคนพร้อมกัน โดยคุณแม่จะสะดวกโทรศัพท์ในช่วงเวลา 17–21 นาฬิกา ส่วนต้นข้าวนั้นสะดวกรับโทรศัพท์ในช่วงเวลา 7–12 นาฬกิ า แต่ขา้ วโอต๊ ไมส่ ะดวกรับโทรศพั ทใ์ นชว่ งเวลา 6–17 นาฬิกา ตามเวลาท้องถ่นิ ของประเทศที่ 1.4 กสางรวคนณูสทิ จธำ�โ์ิ ดนย สสวท. หรือจา้ หนา่ ยตนเองอาศยั อยู่ อยากทราบว่า คุณแมส่ ามารถโทรศัพทห์ าลูกทง้ั สองคนในช่วงเวลาใด ตามเวลาทอ้ งถ่นิ ของ ประเทศไทย จงึ จะไดค้ ยุ ทางโทรศพั ท์กับลูกทงั้ สองคนพรอ้ ม ๆ กัน วดนดั เแตปม็ ลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้าการคูณจำ�นวนเต็มบวกด้วยจำ�นวนเต็มบวก คือ การคูณจำ�นวนนับดว้ ยจำ�นวนนบั น่นั เอง สงวนสทิ ธโิ์ ดย สสวท. หรอื จ้าหน่ายเช่น 2 × 9 = 9 + 9 = 18 3 × 8 = 8 + 8 + 8 = 24 ดัดแปลง 4 × 7 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28 การคูณจำ�นวนเต็มบวกด้วยจำ�นวนเต็มลบ สามารถหาผลคูณ โดยใชค้ วามหมายของการคณู และหลกั การบวกจำ�นวนเตม็ ลบ เช่น 2 × (-9) = (-9) + (-9) = -18 3 × (-8) = (-8) + (-8) + (-8) = -24 4 × (-7) = (-7) + (-7) + (-7) + (-7) = -28 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สือเรียนรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จำ�นวนเต็ม 41 การคณู จำ�นวนเตม็ บวกด้วยจ�ำ นวนเตม็ ลบ จะไดผ้ ลคูณเปน็ จำ�นวนเตม็ ลบ ทม่ี ีค่าสัมบรู ณ์เทา่ กับผลคูณของค่าสมั บูรณ์ของสองจำ�นวนนัน้ ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซา้9 จึงได้วา่ จากตวั อยา่ ง การหาผลคณู 2 × (-9) อาจท�ำ ไดโ้ ดยพจิ ารณาวา่ คา่ สมั บรู ณข์ อง 2 เทา่ กบั 2 และคา่ สมั บรู ณข์ อง -9 เทา่ กบั 2 × (-9) = -(2 × 9) = -18 สงวนสิทธิ์โดย สสวท. หรือจา้ หน่ายการคูณจำ�นวนเต็มลบด้วยจำ�นวนเต็มบวก อาจพิจารณา การหาผลคณู ไดจ้ ากแบบรูปตอ่ ไปนี้ ดดั แปลง ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า พิจารณาผลคณู ตอ่ ไปนี้ 3 × 5 = 15 -5 2 × 5 = 10 -5 สงวนสิทธิ์โดย สสวท. หรอื จ้าหนา่ ย 1 × 5 = 5 -5 0 × 5 = 0 (-1) × 5 = (-2) × 5 = (-3) × 5 = ดัดแปลง หากสงั เกตจากผลคูณในลำ�ดับกอ่ นหนา้ ซงึ่ ลดลงทลี ะ 5 ทำ�ให้คาดเดาว่าผลคณู ในล�ำ ดับต่อมาจะลดลงทีละ 5 เช่นเดมิ ท�ำ ให้ไดว้ ่า (-1) × 5 = -5 (-2) × 5 = -10 และ (-3) × 5 = -15 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
42 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเต็ม หนังสือเรียนรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 จากแนวคิดข้างต้น จะเห็นได้ว่า การคูณจำ�นวนเต็มลบด้วยจำ�นวนเต็มบวก จะมีผลคูณเป็นไปตามหลักการคูณ จำ�นวนเต็มลบด้วยจ�ำ นวนเตม็ บวกที่วา่ การคณู จ�ำ นวนเตม็ ลบดว้ ยจ�ำ นวนเต็มบวก จะได้ผลคูณเปน็ จำ�นวนเตม็ ลบ หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซา้ทมี่ ีค่าสัมบรู ณ์เท่ากับผลคณู ของค่าสัมบูรณข์ องสองจำ�นวนน้ัน สงวนสิทธิโ์ ดย สสวท. หรือจา้ หน่ายวธิ ที �ำ ตวั อยา่ งท ่ี 1 จงหาผลคูณ (-7) × 3คา่ สมั บรู ณข์ อง -7 เทา่ กับ 7 ค่าสัมบรู ณข์ อง 3 เทา่ กับ 3 (-7) × 3 = -(7 × 3) ค่าสมั บรู ณ์ของ -9 เทา่ กับ 9 คา่ สัมบูรณข์ อง 10 เทา่ กบั 10 = -21 ตอบ -21 ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้าตวั อยา่ งท ่ี 2 จงหาผลคณู -9 × 10 วธิ ที �ำ -9 × 10 = -(9 × 10) = -90 ตอบ -90 สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรอื จา้ หน่าย ในทางคณิตศาสตร์ เมอื่ a และ b เปน็ จำ�นวนใด ๆ อาจเขยี นแทน a × b ดว้ ย a . b หรอื ab หรอื (a)(b) เชน่ 3 . (-5) หมายถึง 3 × (-5) (-3)(-2) หมายถึง (-3) × (-2) (4 . 3)(-2) หมายถงึ (4 × 3) × (-2) ดดั แปลงตวั อยา่ งท ่ี 3 จงหาผลคูณ (-8)12 วธิ ที �ำ (-8)12 = -(8 × 12) = -96 ตอบ -96 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนังสือเรยี นรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 1 | จำ�นวนเตม็ 43 การคณู จ�ำ นวนเตม็ ลบดว้ ยจ�ำ นวนเตม็ ลบ อาจพจิ ารณา การหาผลคณู ได้จากแบบรปู ตอ่ ไปนี้ ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้า พจิ ารณาผลคณู ตอ่ ไปนี้ (-2) × 4 = -8 +2 (-2) × 3 = -6 +2 (-2) × 2 = -4 +2 (-2) × 1 = -2 (-2) × 0 =สงวนสทิ ธโิ์ ดย สสวท. หรือจา้ หนา่ ย (-2) × (-1) = (-2) × (-2) = (-2) × (-3) = ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้า หากสังเกตจากผลคูณในลำ�ดับก่อนหน้า ซ่ึงเพ่ิมขึ้นทีละ 2 ทำ�ให้คาดเดาว่าผลคูณในลำ�ดับต่อมาจะเพ่ิมข้ึนทีละ 2 เชน่ เดมิ ท�ำ ให้ไดว้ ่า สงวนสิทธโิ์ ดย สสวท. หรอื จ้าหนา่ ย (-2) × 0 = 0 (-2) × (-1) = 2 (-2) × (-2) = 4 และ (-2) × (-3) = 6 ดดั แปลง จากแนวคิดข้างต้น จะเห็นได้ว่า การคูณจำ�นวนเต็มลบด้วยจำ�นวนเต็มลบ จะมีผลคูณเป็นไปตามหลักการคูณจำ�นวน เต็มลบด้วยจำ�นวนเต็มลบท่ีวา่ การคณู จำ�นวนเตม็ ลบดว้ ยจำ�นวนเตม็ ลบจะได้ผลคูณเปน็ จ�ำ นวนเต็มบวก ท่มี ีคา่ เทา่ กับผลคณู ของคา่ สมั บรู ณข์ องสองจำ�นวนนน้ั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
44 บทที่ 1 | จำ�นวนเต็ม หนังสือเรยี นรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 ตวั อยา่ งท ่ี 4 จงหาผลคณู (-5) × (-4) คา่ สัมบูรณ์ของ -5 เท่ากับ 5 วธิ ที �ำ (-5) × (-4) = 5 × 4 คา่ สมั บรู ณข์ อง -4 เทา่ กบั 4 = 20 หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้าตวั อยา่ งท ่ี 5 จงหาผลคูณ (-3) . (-7)ตอบ 20 วธิ ที �ำ (-3) . (-7) = 3 . 7 คา่ สัมบรู ณ์ของ -3 เท่ากับ 3 = 21 คา่ สัมบรู ณ์ของ -7 เท่ากบั 7 ตอบ 21 สงวนสทิ ธโ์ิ ดย สสวท. หรือจา้ หน่ายตวั อยา่ งท ่ี 6 จงหาผลคูณ [(-5) . 4](-3) วธิ ที �ำ [(-5) . 4](-3) = [-(5 . 4)](-3) = (-20)(-3) ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า = (20)(3) = 60 ตอบ 60 สงวนสทิ ธ์ิโดย สสวท. หรอื จ้าหนา่ ย1 นาที ดว้ ยอตั ราเรว็ คงตวั อยากทราบวา่ เมอ่ื เวลาผา่ นไป 5 นาที บอลลนู นี้ ตวั อยา่ งท ่ี 7 บอลลูนลูกหน่ึงลอยขึ้นจากพ้ืนดินได้ 13 เมตร ในเวลา จะอยูส่ ูงจากพนื้ ดนิ ก่เี มตร วธิ ที �ำ ในเวลา 1 นาที บอลลนู ลอยขน้ึ ไปได้ 13 เมตร ดดั แปลง จะไดว้ า่ ในเวลา 5 นาที บอลลนู จะลอยขึน้ ไปได้ 5 × 13 = 65 เมตร ตอบ 65 เมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สอื เรียนรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเตม็ 45 ตวั อยา่ งท ่ี 8 อุณหภูมิเฉลี่ยของอากาศในฤดูหนาวของเมืองเบราน์ชไวก์ ชวนคิด 1.12 ประเทศเยอรมนี คือ -2 องศาเซลเซียส ถ้าอุณหภูมิบนยอดเขาซึ่งอยู่ใน เมืองนี้ตำ่�กว่า 0 องศาเซลเซียส อยู่ 9 เท่าของอุณหภูมิเฉลี่ยของอากาศ ในเมอื ง อยากทราบวา่ อณุ หภมู ิบนยอดเขาเปน็ กีอ่ งศาเซลเซียส เมืองเบราน์ชไวก์ วธิ ที �ำ อุณหภมู เิ ฉลยี่ ของอากาศในเมืองเท่ากบั -2 องศาเซลเซียส (Braunschweig) หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้า อณุ หภูมิบนยอดเขาต่ำ�กว่า 0 องศาเซลเซียส อยู่ 9 เทา่ ของ ประเทศเยอรมนี เป็นบา้ นเกิดของ อุณหภมู เิ ฉลีย่ ของอากาศในเมือง เกาส์ (Gauss, Carl จะไดว้ า่ อณุ หภมู บิ นยอดเขาเปน็ 9 × (-2) = -18 องศาเซลเซยี ส Friedrich, ค.ศ. 1777–1855) ผู้ท่ีได้รับ ฉายาว่าเป็น เจ้าชายของนักคณิตศาสตร์ สงวนสิทธิ์โดยดสัดสแวปทล.ง หรือจา้ หน่าย หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้าตอบ -18 องศาเซลเซยี ส(The Prince of Mathematicians) ในสมยั เด็ก เกาสส์ ามารถหาผลบวกของจ�ำ นวนนบั ต้ังแต่ 1 ถึง 100 ได้ในเวลาอันรวดเร็ว แล้วถา้ นักเรยี นต้องบวกจำ�นวนนับเหลา่ นัน้ เชน่ เดยี วกบั เกาส์ นกั เรยี นจะมวี ธิ หี าผลบวก ให้รวดเร็วได้อย่างไร สงวนสิทธิโ์ ดย สสวท. หรอื จา้ หน่ายแบบฝึกหัด 1.42) 35 . 0 4) (-1)(44) 1. จงหาผลคูณ 6) -14 × 8 1) 7 × 14 8) (-20)(-20) ดัดแปลง 3) -95 × 1 5) 50 . (-5) 7) -8 × (-13) 2. จงหาผลคูณ 1) 6(-22) 2) (-22) × 6 ชวนคิด 1.13 3) (-9) . 13 4) 13 × (-9) 5) -12 × (-25) 6) -25(-12) 7) (-17) × (-8) 8) (-8) × (-17) จากขอ้ 2 นกั เรียนได้ขอ้ สังเกตอะไร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
46 บทท่ี 1 | จำ�นวนเต็ม หนังสอื เรยี นรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 ชวนคิด 1.14 3. จงหาผลคณู 1) (11 × 3) × 7 2) 11 × (3 × 7) 3) [5 × (-8)] × 4 4) 5 × [(-8) × 4] 5) -10[6(-3)] 6) [(-10)6](-3) 7) (-7)[(-4) . (-6)] 8) [-7(-4)] . (-6) 9) [(-13)(-5)] × (-20) 10) -13[(-5) × (-20)] หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้า จากข้อ 3 นักเรยี นได้ข้อสงั เกตอะไร 4. จงหาผลลัพธ์ 1) 20(8 + 12) 3) 14[10 + (-9)] 5) 28 × [-2 + (-3)] 7) -6 × (-20 + 5) 9) (-10) × [(-5) + (-15)] 11) 2 × [27 + (-9)] ชวนคิด 1.15 2) (20 × 8) + (20 × 12) สงวนสิทธิ์โดยดสดั สแวปทล.ง หรือจ้าหน่าย หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้า จากข้อ 4 นกั เรยี นได้ข้อสังเกตอะไร4) (14 × 10) + [14 × (-9)] 6) [28(-2)] + [28(-3)] 8) [(-6) . (-20)] + [(-6) . 5] 10) [-10(-5)] + [-10(-15)] 12) [2(27)] + [2(-9)] มมุ คณติ 5. จงหาจำ�นวนเตม็ ท่ีเตมิ ลงใน แล้วทำ�ให้ประโยคเป็นจรงิ 1) × 7 = 63 2) 15 × = 225 3) 33 × = 33 4) × 33 = -33 5) × 1 = 50 6) (-1) × = 50 7) -20 × = -40 8) × (-20) = 40 9) × (-3) = 63 11) (-48) × = 240 10) -4 × = -144 แล้วได้ 50 กลา่ วคือ (-5) ×สงวนสทิ ธโ์ิ ดย สสวท. หรอื จา้ หนา่ ย ในการหาจำ�นวนเต็มท่ีมาคูณกับ -5= 5012) × (-13) = -169 อาจใช้การคิดเปน็ ขน้ั ๆ ดังน้ี ดัดแปลงเมอื่ คณู กับ -5 แลว้ จึงจะไดผ้ ลคูณเป็น ✤ ค�ำ ตอบต้องเป็นจำ�นวนเตม็ ลบ เพราะ จำ�นวนเตม็ บวก ✤ เพอื่ ใหไ้ ดผ้ ลคณู เปน็ 50 จ�ำ นวนเตม็ ลบ นัน้ ตอ้ งมคี ่าสมั บรู ณ์เท่ากับ 10 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนังสือเรียนรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเต็ม 47 6. ให้ a, b และ c เปน็ จำ�นวนเตม็ ซึ่งปรากฏบนเสน้ จำ�นวนในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี ถ้า c = a × b แล้ว c อย่ใู นตำ�แหน่งทส่ี มเหตสุ มผลหรือไม่ ถา้ ไมส่ มเหตสุ มผล จงหาว่า c ควรอยทู่ ี่ต�ำ แหน่งใด 1) ac b ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้า 2) cb a 3) สงวนสิทธโิ์ ดย สสวท. หรือจ้าหน่าย 4)cb a a cb ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้า 5) ab c 7. นำ้�แขง็ ก้อนหนงึ่ มีอุณหภมู ิ -6 องศาเซลเซยี ส น�้ำ แขง็ แหง้ มอี ุณหภูมเิ ป็นเกร็ดนา่ รู้ สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรอื จา้ หน่าย13 เท่า ของนำ้�แข็งก้อนนี้ อยากทราบว่า น้ำ�แข็งแห้งมีอุณหภูมิ กีอ่ งศาเซลเซยี ส 8. เรือดำ�นำ้�ลำ�หน่ึงถูกปล่อยจากระดับนำ้�ทะเลและเคล่ือนท่ีในแนวด่ิงไปอยู่ เรามกั พบกอ้ นคลา้ ยน�ำ้ แขง็ ทม่ี คี วนั สขี าว ในตู้แช่ไอศกรีม ก้อนนี้เรียกว่า นำ้�แข็งแห้ง ดดั แปลงในระดับ -17 เมตร จากระดับนำ้�ทะเล ภายในเวลา 1 นาที ถา้ เรอื ด�ำ น�ำ้ หรือคาร์บอนไดออกไซด์แข็ง ซึ่งมีสมบัติท่ี ลำ�นี้ยังคงเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเท่าเดิม อยากทราบว่าเม่ือเวลาผ่านไป 8 นาที เรอื ดำ�นำ�้ น้ีจะอยู่ท่ีระดบั เท่าไรจากระดับน�้ำ ทะเล 9. ปลาทูน่าอาศัยอยู่ใต้ท้องทะเลท่ีระดับประมาณ -150 เมตร จากระดับ สามารถให้ความเย็นได้มากกว่าน้ำ�แข็งท่ัวไป น�ำ้ ทะเล และกงุ้ อาศยั อยหู่ า่ งจากระดบั น�ำ้ ทะเลประมาณ 4 เทา่ ของระดบั เราจึงมักนำ�น้ำ�แข็งแห้งมาใส่ไว้ในตู้แช่ ที่ปลาทูน่าอาศัยอยู่ อยากทราบว่ากุ้งอาศัยอยู่ท่ีระดับเท่าไรจากระดับ ไอศกรมี หรอื ใชเ้ พอื่ รกั ษาสภาพของซากสตั ว์ นำ้�ทะเล และเน่ืองจากน้ำ�แข็งแห้งมีอุณหภูมิท่ีต่ำ�มาก การสัมผัสด้วยมือเปล่าอาจจะทำ�ให้ผิวหนัง ไหม้ และปวดแสบปวดรอ้ นได้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
48 บทที่ 1 | จำ�นวนเต็ม หนังสือเรียนรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 1.5 การหารจ�ำ นวนเตม็ ในระดับประถมศึกษา นักเรียนได้เรียนการหารจำ�นวนนับด้วยจำ�นวนนับ ซึ่งมีท้ังการหารลงตัวและการหารไม่ลงตัว ในหัวข้อน้ี จะขยายการหารดงั กล่าวไปสูก่ ารหารจำ�นวนเต็มด้วยจ�ำ นวนเตม็ และมผี ลหารเปน็ จ�ำ นวนเตม็ ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้าเม่ือ a และ b เปน็ จำ�นวนเต็มใด ๆ ที่ b ไมเ่ ทา่ กบั 0 ถา้ มจี ำ�นวนเต็ม c ที่ท�ำ ให้ a = b × c เราจะกลา่ วว่า c เปน็ ผลหารของ a ด้วย b น่นั คอื a ÷ b = c สงวนสิทธิ์โดย สสวท. หรอื จา้ หนา่ ยเรยี ก a ว่าตวั ตง้ั เรียก b วา่ ตวั หาร และเรียก c วา่ ผลหาร ตวั หาร × ผลหาร = ตวั ตง้ั เน่ืองจากการหารจำ�นวนเต็มด้วยจำ�นวนเต็ม เราจะอาศัยการคูณในการหาผลหาร ซึ่งความสัมพันธ์ของการคูณและ ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้าการหาร เปน็ ดงั นี้ ถา้ a ÷ b = c แลว้ a = b × c และ ถ้า a = b × c แล้ว a ÷ b = c เมอ่ื a, b และ c เป็นจ�ำ นวนเตม็ ใด ๆ ท่ี b ไม่เท่ากับ 0 สงวนสทิ ธิโ์ ดย สสวท. หรือจ้าหน่าย ดังนัน้ การหาผลหาร a ÷ b คือ การหาจ�ำ นวนเต็ม c ที่ c คณู กับ b แล้วไดผ้ ลคูณเปน็ a ทำ�ให้ได้วา่ จ�ำ นวนเตม็ c ดงั กลา่ ว มเี พียงจำ�นวนเดียว ดดั แปลงตวั อยา่ งท ่ี 1 จงหาผลหาร 24 ÷ 3 หาจ�ำ นวนเตม็ ทคี่ ูณกับ 3 แล้วได้ 24 วธิ ที �ำ เนอื่ งจาก 3 × 8 = 24 จะไดว้ ่า 24 ÷ 3 = 8 ตอบ 8 ตวั อยา่ งท ่ี 2 จงหาผลหาร (-24) ÷ 6 หาจ�ำ นวนเตม็ วธิ ที �ำ เนื่องจาก 6 × (-4) = -24 ทีค่ ูณกับ 6 แลว้ ได้ -24 จะไดว้ ่า (-24) ÷ 6 = -4 ตอบ -4 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนังสอื เรียนรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 1 | จำ�นวนเต็ม 49 ตวั อยา่ งท ่ี 3 จงหาผลหาร 36 ÷ (-4) ชวนคิด 1.16 วธิ ที �ำ เนื่องจาก (-4) × (-9) = 36 จะได้วา่ 36 ÷ (-4) = -9 ตอบ -9 จ�ำ นวนคู่ คือ จำ�นวนเตม็ ท่สี ามารถเขียน อยู่ในรปู 2m เม่ือ m เป็นจ�ำ นวนเตม็ ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้าตวั อยา่ งท ่ี 4 จงหาผลหาร (-36) ÷ (-3) จ�ำ นวนค่ี คอื จ�ำ นวนเตม็ ที่ไม่ใชจ่ ำ�นวนคู่ วธิ ที �ำ เนอ่ื งจาก (-3) × 12 = -36 จ�ำ นวนทกี่ �ำ หนดใหต้ อ่ ไปนี้ จ�ำ นวนใดบา้ ง จะไดว้ า่ (-36) ÷ (-3) = 12 เปน็ จ�ำ นวนคู่ และจ�ำ นวนใดบา้ งเปน็ จ�ำ นวนคี่ ตอบ 12 5, 440, -3, -50, 0 สงวนสิทธ์ิโดย สสวท. หรือจ้าหน่าย เนอ่ื งจากการหารมคี วามสมั พนั ธก์ บั การคณู และจากหวั ขอ้ “การคณู จ�ำ นวนเตม็ ” เราสามารถหาผลคณู โดยใชค้ า่ สมั บรู ณ์ได้ ดังน้นั การหารจำ�นวนเต็มดว้ ยจ�ำ นวนเต็มจึงสามารถท�ำ ไดโ้ ดยใช้ค่าสมั บูรณ์ ดังนี้ ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ท้าซา้ ✤ ถ้าตัวตง้ั และตวั หารเปน็ จำ�นวนเตม็ บวกทงั้ คู่ ใชว้ ธิ เี ดียวกบั การหารจ�ำ นวนนบั ดว้ ยจ�ำ นวนนบั ซง่ึ ไดผ้ ลหาร เปน็ จำ�นวนเตม็ บวก ✤ ถ้าตัวตั้งและตัวหารเป็นจำ�นวนเต็มลบทั้งคู่ ให้นำ�ค่าสัมบูรณ์ของตัวตั้งหารด้วยค่าสัมบูรณ์ของตัวหาร แลว้ ตอบเป็นจำ�นวนเต็มบวก ✤ ถ้าตัวต้งั หรอื ตวั หาร ตัวใดตัวหนงึ่ เปน็ จำ�นวนเตม็ ลบ โดยทอ่ี ีกตวั หนึ่งเปน็ จำ�นวนเตม็ บวก ให้น�ำ ค่าสมั บรู ณ์ ของตวั ตงั้ หารด้วยคา่ สัมบรู ณ์ของตัวหาร แล้วตอบเป็นจ�ำ นวนเตม็ ลบ สงวนสทิ ธโิ์ ดย สสวท. หรอื จ้าหน่ายตวั อยา่ งท ่ี 5 จงหาผลหาร -36 ÷ 4 ดัดแปลงวธิ ที �ำ คา่ สัมบูรณข์ อง -36 เท่ากบั 36 -36 ÷ 4 = -(36 ÷ 4) คา่ สัมบูรณ์ของ 4 เทา่ กับ 4 = -9 ตอบ -9 ตวั อยา่ งท ่ี 6 จงหาผลหาร (-72) ÷ (-9) ค่าสัมบรู ณข์ อง -72 เทา่ กับ 72 ค่าสัมบูรณ์ของ -9 เท่ากับ 9 วธิ ที �ำ (-72) ÷ (-9) = 72 ÷ 9 = 8 ตอบ 8 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
50 บทท่ี 1 | จำ�นวนเตม็ หนงั สอื เรียนรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ตัวอยา่ งท ่ี 7 จงหาผลหาร 93 ÷ (-3) มุมเทคโนโลยี วธิ ที �ำ 93 ÷ (-3) = -(93 ÷ 3) = -31 นักเรียนสามารถตรวจสอบคำ�ตอบของ ตอบ -31 การคูณ และการหารจำ�นวนเต็มโดยใช้ ตัวอยา่ งที่ 8 จงหาผลลัพธ์ [(-9 × 15) + (-21)] ÷ (-12) หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้าเคร่ืองคิดเลขได้ โดยกดเครื่องคิดเลขวธิ ที �ำ [(-9 × 15) + (-21)] ÷ (-12) = [-135 + (-21)] ÷ (-12) ดังตวั อยา่ งต่อไปนี้ = -156 ÷ (-12) 1) 17 × (-9) = 13 ตอบ 13 1 7 × 9 +/- = ตัวอยา่ งท ี่ 9 ห้องห้องหน่ึงมีอุณหภูมิของอากาศภายในห้องเป็น 30 องศา 2) 5 × 5 เซลเซียส ตน้ อ้อรู้สึกรอ้ นจงึ เปิดเครอื่ งปรับอากาศ โดยตง้ั อณุ หภูมิไว้ที่ 23 องศา เซลเซียส เม่ือเวลาผ่านไป 14 นาที อุณหภูมิของอากาศภายในห้องจึงเท่ากับ สงวนสทิ ธ์โิ ดย สสวท. หรือจา้ หนา่ ย5 × 5 = อุณหภูมิท่ีต้นอ้อต้ังไว้ อยากทราบว่าอุณหภูมิของอากาศภายในห้องท่ีลดลง 1 องศาเซลเซียส ใช้เวลาโดยเฉลีย่ นานเทา่ ไร หรือ 5 × = วธิ ที �ำ อุณหภูมิท่ีเปลย่ี นไปของอากาศภายในห้อง คอื 30 – 23 = 7 องศาเซลเซียส และอากาศภายในห้องใช้เวลาในการเปล่ยี นแปลงอณุ หภูมิ 14 นาที จะได้วา่ อณุ หภูมิของอากาศภายในห้องทล่ี ดลง 1 องศาเซลเซียส ใช้เวลาโดยเฉล่ยี 14 ÷ 7 = 2 นาที ตอบ 2 นาที ดดั แปลง ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า3) (-45) ÷ (-5)5 +/- = 4 5 +/- ÷ สื่อเสรมิ สงวนสิทธโิ์ ดย สสวท. หรือจ้าหน่ายเพม่ิ ความรู้ นักเรียนสามารถศึกษาเก่ยี วกับการบวก ลบ คณู และหารจ�ำ นวนเตม็ เพม่ิ เตมิ ไดท้ ่ี goo.gl/xThL3t ดัดแปลงตวั อยา่ งท ่ี 10 ทิวเมฆต้องการทราบอุณหภูมิเฉลี่ยของวันน้ี เขาจึงหาข้อมูล และพบว่าอุณหภูมิเฉล่ียในแต่ละวันหาได้จาก การน�ำ ผลรวมของอณุ หภมู สิ งู สดุ และต�่ำ สดุ ในวนั นน้ั ๆ หารดว้ ยสอง และวนั นอี้ ณุ หภมู สิ งู สดุ เปน็ 2 องศาเซลเซยี ส สว่ นอณุ หภมู ิ ต�่ำ สดุ เปน็ -4 องศาเซลเซยี ส อยากทราบว่าอุณหภูมเิ ฉลีย่ ของวันนีเ้ ป็นเทา่ ไร วธิ ที �ำ เนอ่ื งจาก อณุ หภมู ิเฉล่ยี ในแต่ละวนั หาได้จากการนำ�ผลรวมของอุณหภูมสิ งู สุดและตำ�่ สุดในวันนั้น ๆ หารด้วยสอง และอณุ หภูมสิ ูงสดุ และต�่ำ สดุ ของวันนเี้ ปน็ 2 และ -4 องศาเซลเซยี ส ตามล�ำ ดับ จะได ้ อุณหภมู ิเฉล่ียของวนั นี้เปน็ [2 + (-4)] ÷ 2 = -1 องศาเซลเซียส ตอบ -1 องศาเซลเซยี ส สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
Search
