เสริมคิดคณิตศาสตร์ม.ต้น 51-52

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æË◊Õ°“√§¥— ‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ ¥ß— ππÈ— ®–‰¥â«“à x5 › 5 = 8 x x6 › 8 = 13 x x7 › 13 = 21 x x8 › 21 = 34 x x9 › 34 = 55 x x10 › 55 = 89 x x11 › 89 = 144 x x12 › 144 = 233 x x13 › 233 = 377 x x14 › 377 = 610 x x15 › 610 = 987 x µÕ∫ 987 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 95

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ‡æ◊ËÕ°“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæπ◊È ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ µÕπ∑Ë’ 3 41. °”Àπ¥ a, b, c ‡ªìπ®”π«π®√‘ß∫«° ´÷ßË  Õ¥§≈Õâ ß°—∫√–∫∫ ¡°“√ a2(b+c)2 = (3a2+a+1) b2c2 b2(c+a)2 = (4b2+b+1) c2a2 ·≈– c2(a+b)2 = (5c2+c+1) a2b2 ·≈«â 13a + 4b + 11c ¡§’ à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ ®“° a2(b+c)2 = (3a2+a+1) b2c2 ®–‰¥â (b+c)2 = 3a2 + a + 1 b2c2 a2 (bb+cc ) = ( 1 + 1 )2 = 3+ 1 + 1 b c a a2 ( 1 + 1 )2 = ( 1 + 1 + 1 ) + 11 = ( 1 + 1 )2 + 11 b c 4 a2 a 4 a 2 4 ( 1 + 1 › 1 › 1 ) ( 1 + 1 + 1 + 1 ) = 11 ..................... 1 b c a 2 a b c 2 4 „π∑”πÕ߇¥’¬«°—π®“° b2(c+a)2 = (4b2+b+1) c2a2 ®–‰¥â ( 1 + 1a )2 = 4 + 1 + 1 = ( 1 + 1 )2 + 15 c b b2 b 2 4 96 ‡ √‘¡§‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æ◊ËÕ°“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢πÈ— æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ ( 1 + 1 › 1 › 12) ( 1 + 1 + 1 + 1 ) = 15 ..................... 2 c a b a b c 2 4 ·≈–®“° c2(a+b)2 = (5c2+c+1) a2b2 ®–‰¥â ( 1 + 1 )2 = 5 + 1 + 1 = ( 1 + 1 )2 + 19 a b c c2 c 2 4 ( 1 + 1 › 1 › 1 ) (1a + 1 + 1 + 1 ) = 19 ..................... 3 a b c 2 b c 2 4 1+2+3; ( 1 + 1 + 1 › 3 ) ( 1 + 1 + 1 + 1 ) = 45 a b c 2 a b c 2 4 ( 1 + 1 + 1 )2 › ( 1 + 1 + 1 ) › 3 › 45 = 0 a b c a b c 4 4 ( 1 + 1 + 1 ›4) ( 1 + 1 + 1 +3) = 0 a b c a b c ∴ 1 + 1 + 1 =4 a b c ·∑π§“à „π 1 , 2 ·≈– 3 ®–‰¥â (4 › 2 › 1 ) (4+ 1 ) = 11 ®–‰¥â a = 9 a 2 2 4 13 (4› 2 › 1 ) (4+ 1 ) = 15 ®–‰¥â b = 9 = 3 b 2 2 4 12 4 (4› 2 › 1 ) (4 + 1 ) = 19 ®–‰¥â c = 9 c 2 2 4 11 13a + 4b + 11c = 21 µÕ∫ 21 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 97

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§—¥‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 42. °”Àπ¥ a, b, c ‡ªìπ®”π«π®√‘ß ´÷Ëß a + b + c > 0  Õ¥§≈Õâ ß°∫— √–∫∫ ¡°“√ a2bc + ab2c + abc2 + 8 = a+b+c a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b + 3abc = ›4 a2b2c + a2bc2 + ab2c2 = 2 + ab + bc + ca ·≈«â a5 + b5 + c5 ¡§’ “à ‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ ®–‰¥â abc(a+b+c) › (a+b+c) = ›8 (abc›1) (a+b+c) = ›8 ................... 1 a2b + b2a + abc + b2c + c2b + abc + a2c + c2a + abc = ›4 (ab+bc+ca) (a+b+c) = ›4 ................... 2 abc(ab+bc+ca) › (ab+bc+ca) = 2 (abc›1) (ab+bc+ca) = 2 ................... 3 1Ó2 (a+b+c)2 = 16 ; 3 ∴ a + b + c = 4 ®–‰¥â ab + bc + ca = ›1 ·≈– abc = ›1 ∴ a, b, c ‡ªì𧔵Õ∫¢Õß ¡°“√ x3 › 4x2 › x + 1 = 0 ®–‰¥â a3 = 4a2 + a › 1 a4 = 4a3 + a2 › a a4 = 4(4a2+a›1) + a2 › a = 17a2 + 3a › 4 a5 = 17a3 + 3a2 › 4a = 17(4a2+a›1) + 3a2 › 4a 98 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ a5 = 71a2 + 13a › 17 ∴ a5 + b5 + c5 = 71(a2+b2+c2) + 13(a+b+c) › 51 = 71[(a+b+c)2 › 2 (ab+bc+ca)] + 13(4) › 51 = 71[16+2] + 1 = 1279 µÕ∫ 1279 43. ∂“â a, b ‡ªπì §”µÕ∫¢Õß ¡°“√ (x2›16) (x›3)2 + 9x2 = 0 ·≈«â a4 + b4 ¡’§“à ‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ x ≠ 3 π” (x›3)2 À“√∑—Èß Õߢâ“ߢÕß ¡°“√ x2 › 16 + ( 3x )2 = 0 x›3 x2 › 6x + 9 + 6x + ( 3x )2 › 25 = 0 x›3 (x›3)2 + 6x + ( 3x )2 › 25 = 0 x›3 (x›3+ 3x )2 › 52 = 0 x›3 (x›3+x3›x3›5) (x›3+x3›x3+5) = 0 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 99

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢Èπ— æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ x2 › 6x + 9 + 3x › 5x + 15 = 0 x2 › 6x + 9 + 3x + 5x › 15 = 0 x2 › 8x + 24 = 0 x2 + 2x › 6 = 0 82 › 4(24) < 0  ¡°“√¡’ a + b = ›2  ¡°“√‰¡¡à §’ ”µÕ∫ ab = ›6 ®“° a2 + b2 = (a+b)2 › 2ab ¥ß— πÈ—π = 4 + 12 = 16 µÕ∫ 184 a4 + b4 = (a2+b2)2 › 2a2b2 = 256 › 72 = 184 100 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æ◊ËÕ°“√§¥— ‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 44. ∂â“ a, b ‡ªì𧔵Õ∫¢Õß ¡°“√ ( 2x2›2x+12› x2›5)3 = 2 ‚¥¬∑Ë’ a > b ·≈â« 7a › 6b ¡§’ “à ‡∑“à „¥ (5x2›2x›3) 2x2›2x+12 9 ·π«§‘¥ „Àâ A = 2x2 › 2x + 12 ·≈– B = x2 › 5 ®–‰¥â ¡°“√ (A›B)3 = 2 (A2+3B2)A 9 9(A›B)3 = 2A3 + 6B2A 9(A›B)3 = (A+B)3 + (A›B)3 8(A›B)3 = (A+B)3 2A › 2B = A + B A = 3B A2 = 9B2 2x2 › 2x + 12 = 9x2 › 45 0 = 7x2 + 2x › 57 0 = (7x›19) (x+3) x = 19 , ›3 7 19 ¥—ßππ—È a= 7 ; b = ›3 7a › 6b = 19 + 18 = 37 µÕ∫ 37 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 101

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æÕ◊Ë °“√§—¥‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢Èπ— æÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ ∧ 45. ABC ‡ªπì √Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡¡ÿ¡©“° ¡’ ABC = 90 Ì ®ÿ¥ P ·≈–®¥ÿ Q ‡ªìπ®¥ÿ ¿“¬πÕ° ∑”„Àâ ∆ APC ·≈– ∆ BCQ ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈ˬ’ ¡¥â“π‡∑“à ·π∫¿“¬πÕ° ®ÿ¥ M ‡ªπì ®ÿ¥·∫ßà §√Ëß÷ ¥â“π AB ∂“â MP = 814 Àπ૬ ·≈– MQ = 518 Àπ૬ ·≈â« AB ¬“«°À’Ë π૬ P ·π«§‘¥ N C Q 3b b b S T a B 3b A ................... 1 ®“°√ªŸ „Àâ AB = 2a aM ................... 2 BC = 2b ®–‰¥â QT = 3b ®–‰¥â MQ2 = (a+ 3b)2 + b2 MQ2 = a2 + 2 3ab + 4b2 ∆ PNS ~ ∆ NCT ®–‰¥â PS = 3a, SN = 3b MP2 = (b+ 3a)2 + ( 3b)2 MP2 = 3a2 + 2 3ab + 4b2 2 › 1 ; MP2 › MQ2 = 2a2 2a2 = 8142 › 5182 4a2 = 2(8142›5182) 2a = 888 Àπ૬ µÕ∫ 888 Àπ૬ 102 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æ◊ËÕ°“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—πÈ æ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 46. ®“°√Ÿª∑’Ë°”Àπ¥„Àâ ABCDEF ‡ªìπ√ŸªÀ°‡À≈Ë’¬¡ ´÷Ë߇°‘¥®“°√Ÿª “¡‡À≈Ë’¬¡Àπ⓮˗« ∑’Ë¡’¥â“πª√–°Õ∫¡ÿ¡¬Õ¥¬“« 6 Àπ૬ ∞“𬓫 2 Àπ૬ ∑Ë’‡∑à“°—π∑ÿ°ª√–°“√ 8 √Ÿª ·≈«â 9(AD)2 + (BE)2 + (CF)2 ¡§’ “à ‡∑“à „¥ F E A D B C ·π«§‘¥ A F 2 ET ∆ BPQ ∼ ∆ APR ∼ ∆ DET 2 B D ®–‰¥â AR = 4 35 3 6 35 DT = 1 35 3 P C RQ AS = 5 35 3 S PR = 3 4 ET = 1 3 ‡ √‘¡§‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 103

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ ∴ TR = DS = 8› 5 = 19 3 3 AD2 = AS2 + DS2 = ( 5 35)2 + ( 19 )2 3 3 = 25 Ó 35 + 361 9 9 = 875 + 361 9 AD2 = 1236 9 BE2 = 352 + 72 = 35 + 49 = 84 CF2 = 352 + 52 = 35 + 25 = 60 9AD2 + BE2 + CF2 = 1236 + 84 + 60 = 1380 µÕ∫ 1380 104 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æÕ◊Ë °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢È—πæ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 47. ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ ¡’ ABC = 50 Ì ·≈– ACB = 100 Ì ∂â“ M ‡ªìπ®ÿ¥¿“¬„π< ∑”„Àâ MAC = 20 Ì ·≈– ACM = 80 Ì ·≈«â BMA ¡’¢π“¥°Õ’Ë ß»“ < ·π«§‘¥ < A < 10 Ì < 20 Ì < << 50 Ì D < N B << < 20 Ì 20 Ì < < << <<< M 20 Ì 60 Ì 20 Ì C ®–‰¥â AMC = 80 Ì AM = AC °”Àπ¥ N „π√Ÿª ∆ ACM „Àâ NMC = NCM = 60 Ì ≈“° AN ®–‰¥â ∆ CMN ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈Ë’¬¡¥â“π‡∑“à ·≈– ∆ ACN ≅ ∆ AMN °”Àπ¥ D ‡ªπì ®¥ÿ ∫π AB ∑”„Àâ AMD = 20 Ì ≈“° MD ·≈– ND ®–‰¥â ∆ AMD ≅ ∆ AMN ∑”„Àâ DM = MN ·≈– MDN = DNM = 70 Ì ®–‰¥â CBD + CND = 180 Ì ·≈– BCN + BDN = 180 Ì π—Ëπ§◊Õ NDB = 30 Ì ·≈–«ß°≈¡≈Õâ ¡√Õ∫√Ÿª BCND ‰¥â ®–‰¥â MBD = MDB = 30 Ì ∴ BMA = 140 Ì µÕ∫ 140 Ì À√Õ◊ 140 Õß»“ ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 105

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢Èπ— æ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 48. ABCD ‡ªìπ√ªŸ  Ë’‡À≈Ë’¬¡ ∂“â ABD = 30 ,Ì ADB = 70 ,Ì CBD = 20 Ì ·≈– CDB = 40 Ì< ·≈â« CAD ¡¢’ π“¥°’ÕË ß»“ < ·π«§‘¥ <M A 30 Ì 30 Ì < <B 30 Ì 40 Ì 20 Ì << D E140 Ì 20 Ì < <<<< 40 Ì 20 Ì << < C < ≈“° BD µàÕ‰ª∑“ß D ∂÷ß®¥ÿ E ∑”„Àâ CD = DE ®–‰¥â DCE = DEC = 20 Ì °”Àπ¥®ÿ¥ M ∑”„Àâ MCD = MED = 40 Ì ≈“° MD, CM, ME ®–‰¥â MCE ‡ªìπ√ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡¥â“π‡∑à“¡¡ÿ ‡∑à“ ·≈– ∆ MCD ≅ ∆ MED ®–‰¥â CMD = DME = 30 Ì ∴ MDE = MDC = 110 Ì ®–‰¥â ADM = 0 Ì π—Ëπ§Õ◊ A ·≈– M ‡ªìπ®ÿ¥‡¥¬’ «°—π À√◊Õ CA ∑∫— °—∫ CM ®–‰¥â ACD = 40 Ì ∴ CAD = 30 Ì µÕ∫ 30 Ì À√◊Õ 30 Õß»“ 106 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ‡æË◊Õ°“√§—¥‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 49. ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈¬Ë’ ¡ ∂“â P, Q, R ‡ªπì ®¥ÿ ∫π AB, BC ·≈– CA ∑”„Àâ AP : PB = BQ : QC = CR : RA = 7 : 8 AQ, BR ·≈– CP µ¥— °π— ∑’Ë D, E ·≈– F ·≈«â æ◊Èπ∑Ë’ √ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡ ABC ‡ªìπ°Ë‡’ ∑à“¢ÕßæÈπ◊ ∑√’Ë ªŸ  “¡‡À≈ˬ’ ¡ DEF A ·π«§‘¥ 7 „Àâ AD = a, DE = b, EQ = c 1. ∆ ACQ ∼ ∆ AER 8 aP AC = CQ = QA Rc D AE ER RA 7F 8 B 15 = 8 = a+b+c C8 bb a+b b+c 8 a ®–‰¥â (b+c) (a+b+c) = 64 ................... 1 E Q7 (a+b) (a+b+c) = 120 ................... 2 2. ∆ ABQ ∼ ∆ ADP AB = BQ = QA AD DP PA 15 = 7 = a+b+c a c 7 a(a+b+c) = 105 ................... 3 1 + 3 ; (a+b+c)2 = 169 ®–‰¥â a + b + c = 13 2 › 3 ; b(a+b+c) = 15 ®–‰¥â b = 15 ∴ 13 µÕ∫ 169 ‡∑à“ ( )æÈπ◊ ∑’Ë ∆ ABC=152 15 2 æ◊Èπ∑Ë’ ∆ DEF 13 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 107

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æË◊Õ°“√§—¥‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ—°‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æπ◊È ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 50. ABC ‡ªπì √ªŸ  “¡‡À≈¬’Ë ¡¥â“π‡∑à“ D ‡ªπì ®¥ÿ ¿“¬πÕ° ∑”„Àâ DA = 16 Àπ«à ¬ DB = 34 Àπ૬ ·≈– DC = 30 Àπ૬ ∂â“æÈ◊π∑Ë’√Ÿª Ë’‡À≈’ˬ¡ ABCD ‡∑à“°—∫ a b › c µ“√“ßÀπ૬ ‚¥¬∑Ë’ a, b ·≈– c ‡ªπì ®”π«π‡µ¡Á ∫«°∑’Ë b ‰¡¡à µ’ «— ª√–°Õ∫‡ªìπ°”≈ß—  ÕߢÕß®”π«π‡©æ“– ·≈â« a + b + c ¡§’ “à ‡∑à“„¥ D A BC ·π«§‘¥ À¡ÿπ√ªŸ ∆ BCD √Õ∫®ÿ¥ B ∑«π‡¢Á¡π“Ã°î “ ®–‰¥â ∆ BAE E ≈“° «à π¢Õ߇ πâ µ√ß DE ®–‰¥â BD = BE A D B ·≈–¡ÿ¡ DBE = 60 Õß»“ ∆ BDE ‡ªπì √ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡¥“â π‡∑“à ¡’ DE = 34 Àπ«à ¬ æÈπ◊ ∑’Ë ABCD = æÈ◊π∑Ë’ ∆ BDE › æ◊πÈ ∑’Ë ∆ ADE C æπ◊È ∑’Ë ABCD = 3 (34)2 › 1 Ó 16 Ó 30 4 2 = 289 3 › 240 µ“√“ßÀπ«à ¬ ¥—ßπÈ—π a + b + c = 289 + 3 + 240 = 532 µÕ∫ 532 108 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

·∫∫∑¥ Õ∫·≈–·π«§‘¥·∫∫∑¥ Õ∫ §≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ „π°“√·¢àߢ—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æÈ◊π∞“π

·∫∫∑¥ Õ∫ §≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æË◊Õ°“√§—¥‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥—∫‡¢µæ◊Èπ∑’Ë°“√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—πÈ æ◊Èπ∞“π

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æ◊ÕË °“√§¥— ‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑’°Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æÈπ◊ ∞“𠧔™È’·®ß 1. ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫πÈ’ ‡ªπì ·∫∫∑¥ Õ∫™π¥‘ ‡µ‘¡§”µÕ∫ ‡«≈“ 2 ™—«Ë ‚¡ß 2. ·∫∫∑¥ Õ∫¡’ 30 ¢âÕ §–·ππ‡µ¡Á 100 §–·ππ ·∫ßà ÕÕ°‡ªìπ 3 µÕπ §Õ◊ µÕπ∑Ë’ 1 µÈ—ß·µà¢âÕ 1-15 ¢Õâ ≈– 2 §–·ππ √«¡ 30 §–·ππ µÕπ∑’Ë 2 µÈ—ß·µà¢âÕ 16-25 ¢Õâ ≈– 4 §–·ππ √«¡ 40 §–·ππ µÕπ∑Ë’ 3 µÈ—ß·µà¢âÕ 26-30 ¢Õâ ≈– 6 §–·ππ √«¡ 30 §–·ππ 3. °√–¥“…§”µÕ∫¡’ 1 ·ºàπ „Àâπ°— ‡√¬’ π‡¢¬’ π™◊ÕË -™◊ÕË  °ÿ≈ ‡≈¢∑ Ë’ Õ∫ ÀÕâ ß Õ∫ ™◊ËÕ‚√߇√’¬π ‡¢µæπÈ◊ ∑Ë°’ “√»÷°…“¢Õßπ—°‡√’¬π 4. §”µÕ∫·µ≈à –¢Õâ ∑’Ëπ—°‡√¬’ πµÕ∫ µâÕßµÕ∫≈ß„π°√–¥“…§”µÕ∫„Àµâ √ß°—∫¢âÕ§”∂“¡ 5. §”∂“¡¢âÕ„¥∑Ë’µâÕß· ¥ß§”µÕ∫¡“°°«à“Àπ÷Ëߧ”µÕ∫ π—°‡√’¬πµâÕßµÕ∫„Àâ∂Ÿ°∑ÿ°§”µÕ∫ ®ß÷ ®–‰¥â§–·ππ„π¢Õâ ππ—È 6. ‰¡Õà π≠ÿ “µ„Àâ„™‡â §√Ë◊Õߧ‘¥‡≈¢ À√◊Õ‡§√◊ËÕß¡Õ◊ „¥ Ê „π°“√§”π«≥ 7. °“√µ—¥ π‘ ¢Õߧ≥–°√√¡°“√∂Õ◊ ‡ªπì ¢âÕ¬µÿ ‘ ¢Õ„Àπâ °— ‡√’¬π∑ÿ°§π‚™§¥’ ‚§√ß°“√æ—≤π“§ÿ≥¿“æ°“√‡√¬’ π√Ÿ â Ÿ à “°≈  ”π—°æ≤— π“π«µ— °√√¡°“√®¥— °“√»°÷ …“ ·∫∫∑¥ Õ∫π’È ‡ªπì ≈‘¢ ∑‘ ∏‘¢Ï Õß ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—Èπæ◊πÈ ∞“π À“â ¡‡º¬·æ√à Õâ“ßÕ‘ß À√Õ◊ ‡©≈¬ °Õà π‰¥â√—∫Õπÿ≠“µ 112 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæπ◊È ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ µÕπ∑’Ë 1 1. ®”π«π‡µ¡Á ∫«°∑ËÀ’ “√ 2550 ≈ßµ«— ·≈–‡ªπì æÀ§ÿ Ÿ≥¢Õß 3 ¡’∑—ÈßÀ¡¥°Ë®’ ”π«π 2. ∂â“ 59 27 Ó 55 14 = a b ·≈– À.√.¡. ¢Õß b ·≈– c ‡∑“à °∫— 1 ·≈â« a + b + c ¡’§à“‡∑“à „¥ 28 15 c 3. ®”π«π‡µÁ¡∫«° N ∑’ËπâÕ¬∑Ë’ ÿ¥¡’§à“‡∑à“„¥ ‡¡◊ËÕ N À“√¥â«¬ 10 ‡À≈◊Õ‡»… 8 À“√¥â«¬ 8 ‡À≈◊Õ‡»… 6 À“√¥â«¬ 6 ‡À≈◊Õ‡»… 4 À“√¥â«¬ 4 ‡À≈◊Õ‡»… 2 ·≈–À“√¥â«¬ 11 ‡À≈Õ◊ ‡»… 6 4. ∂â“ 1234321 = a ‡¡Ë◊Õ a ‡ªπì ®”π«π„π√ªŸ ∞“π ‘∫ ·≈«â a „π√Ÿª∞“π ‘∫¡§’ “à ‡∑à“„¥ 5 5. º≈ ”‡√Á®¢Õß 123 18 › 63 72 › 33 12 ¡’§à“‡∑“à „¥ 63 2 +3 18 3 36 + 3 9 6. ®ß —߇°µ 12 = 1 12 + 22 = 2(3)(5) 6 12 + 22 + 32 = 3(4)(7) 6 12 + 22 + 32 + 42 = 4(5)(9) 6 … ®ßÀ“§à“¢Õß 22 + 42 + 62 + 82 + ... + 202 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 113

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢π—È æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 7. ®“°√Ÿª ¿“æ§≈Ë’¢Õß°≈àÕß∑√ß Ë’‡À≈’ˬ¡¡ÿ¡©“° ∂ⓧ«“¡¬“«∑Ë’°”Àπ¥¡’Àπ૬‡ªìπ‡´πµ‘‡¡µ√ ·≈«â ª√‘¡“µ√¢Õß°≈Õà ß„∫π°È’ Ë’≈Ÿ°∫“»°‡å ´πµ‘‡¡µ√ 28 8 16 8. °”Àπ¥„Àâ A ‡æ¡Ë‘ ¢÷Èπ®“°‡¥‘¡ 20% ·≈â«≈¥≈ß 20% Õ’°§√ßÈ— ∑”„Àâ A ‡ª≈’¬Ë π·ª≈ߧ√ßÈ—  ¥ÿ ∑⓬π’È ≈¥≈߇¡◊ÕË ‡∑¬’ ∫®“°‡¥‘¡ m ‡ªÕ√凴Áπµå °”Àπ¥„Àâ B ≈¥≈ß®“°‡¥‘¡ 20% ·≈â«≈¥≈ßÕ’° 20% Õ°’ §√—ßÈ ∑”„Àâ B ‡ª≈¬Ë’ π·ª≈ߧ√ßÈ—  ÿ¥∑⓬π≈È’ ¥≈߇¡◊ËÕ‡∑’¬∫®“°‡¥¡‘ n ‡ªÕ√‡å ´Áπµå ·≈â« m ·≈– n ¡’§“à µà“ß°—π‡∑à“„¥ 9. ABCD ‡ªìπ√ªŸ  ‡Ë’ À≈¬Ë’ ¡ºπ◊ ºâ“ AT B ¡’ AB = 30 Àπ૬ BC = 20 Àπ૬ P Q ∂â“ AP : PD = BQ : QC = 3 : 2 ·≈– AT : BT = CS : SD = 3 : 2 D SC ·≈â«æ◊Èπ∑∑’Ë ’·Ë √‡ß“°’µË “√“ßÀπ૬ 10. ª√‘´÷¡∑√ß Ë’‡À≈’ˬ¡¡ÿ¡©“°Õ—πÀπË÷ß¡’¥â“π°«â“ß a Àπ૬  Ÿß b Àπ૬ ¬“« c Àπ૬ ‚¥¬∑Ë’ a : (b+c) = 1 : 4 ·≈– c : (a+b) = 1 : 1 ∂â“ c › b = 60 Àπ૬ ·≈⫪√‘¡“µ√¢Õߪ√´‘ ¡÷ πÈ’ ‡∑“à °∫— °’Ë≈Ÿ°∫“»°Àå π«à ¬ 114 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢Èπ— æ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 11. ®“°√Ÿª √Ÿª “¡‡À≈’¬Ë ¡ ABC ¡’¡¡ÿ B ‡ªπì ¡ÿ¡©“° BC = 6 Àπ«à ¬ AC = 10 Àπ«à ¬ ®¥ÿ P, Q ·≈– R Õ¬à∫Ÿ π‡ πâ µ√߇¥¬’ «°—π ‚¥¬∑®Ë’ ¥ÿ Q Õ¬Ÿà∫π¥“â π AC ∂“â  à«π¢Õ߇ πâ µ√ß PQ ¢π“π°∫—  «à π¢Õ߇ âπµ√ß CB ·≈– PQ = 12 Àπ«à ¬ ·≈«â æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª “¡‡À≈¬Ë’ ¡ PAC ‡∑à“°∫— °µ’Ë “√“ßÀπ«à ¬ A P 12 R Q B C 12. ®“°√Ÿª ABC ‡ªìπ√ªŸ  “¡‡À≈ˬ’ ¡∑¡’Ë ’ AB = AC ®ÿ¥ D ·≈– E ‡ªπì ®¥ÿ °÷Ëß°≈“ߢÕߥâ“π BC ·≈– AC µ“¡≈”¥—∫ ∂â“æπÈ◊ ∑’Ë√Ÿª “¡‡À≈Ë’¬¡ AOE ·≈– AOB ‡ªπì 11 ·≈– 22 µ“√“ßÀπ«à ¬ µ“¡≈”¥—∫ ·≈â«æÈ◊π∑Ë’√Ÿª “¡‡À≈¬’Ë ¡ ABC ‡ªìπ°’ˇ∑à“¢ÕßæπÈ◊ ∑Ë¢’ Õß√Ÿª “¡‡À≈¬’Ë ¡ BOD A E O BC D 13. ∂“â p ·≈– q ‡ªìπ√“°¢Õß ¡°“√ x2 › 5x + 3 = 0 ·≈«â (p›q)2 ¡’§“à ‡∑à“„¥ 14. ∂â“ y = x2 + 9x + 30 ·≈– x2 + 9x + 15 = 2 x2 + 9x + 30 ·≈«â y ¡’§à“‡∑à“‰√ 15. ∂“â x, y, z ‡ªìπ®”π«π‡µ¡Á ·≈– Õ¥§≈âÕß°∫— √–∫∫ ¡°“√ x2 + 2y + 1 = 0 ............................................................... 1 y2 + 2z + 1 = 0 ............................................................... 2 z2 + 2x + 1 = 0 ............................................................... 3 ·≈â« x2008 + y2552 + z4660 ¡’§“à ‡∑à“„¥ ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 115

< ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—πÈ æ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ µÕπ∑Ë’ 2 16. º≈§Ÿ≥¢Õß√“°¢Õß ¡°“√ 3 |x|8 › 13 (3 |x|4 ) › 48 = 0 ¡’§“à ‡∑“à „¥ 17. ABC ‡ªπì √Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡¥“â π‡∑à“ ¡’ P ‡ªìπ®¥ÿ ¿“¬„π ∑”„Àâ PA = 20 Àπ«à ¬ PC = 21 Àπ૬ ∂â“ APC = 150 Ì ·≈â« BP ‡∑“à °—∫°Ë’Àπ«à ¬ A P BC 18. ®“°√Ÿª √Ÿª “¡‡À≈Ë’¬¡ ABC ¡’ O ‡ªìπ®¥ÿ ∫𠥓â π AB ·≈– O ‡ªπì ®¥ÿ »πŸ ¬å°≈“ߢÕß«ß°≈¡ O ∑’ Ë ¡— º— ¥“â π BC ∑®’Ë ÿ¥ Q ·≈– —¡º— ¥“â π AC ∑®Ë’ ¥ÿ R ∂â“ BC = 2 Àπ«à ¬ AC = 3 Àπ«à ¬ ·≈– AB = 4 Àπ«à ¬ ·≈â««ß°≈¡ O ¡æ’ πÈ◊ ∑’°Ë ˵’ “√“ßÀπ«à ¬ (µÕ∫„π√Ÿª¢Õß π) A O R B QC 19. „Àâ p ‡ªìπ®”π«π‡µ¡Á ·≈– q ‡ªπì ®”π«π‡©æ“– ∂â“ 777 À“√¥«â ¬ p ‡À≈◊Õ‡»… q ·≈– 910 À“√¥â«¬ p ‡À≈◊Õ‡»… q ‡∑“à °π— ·≈â« p + q ¡§’ “à ‡∑“à „¥ 116 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 20. ∂â“ p(x) = (x+1)3 › 2(x+1)2 › 3(x+1) › 5 q(x) = a(x›1)3 + b(x›1)2 + c(x›1) + d ‚¥¬∑Ë’ ·≈â« p(2) = q(2), p(4) = q(4), p(7) = q(7) ·≈– p(›3) = q(›3) a2 + b2 + c2 + d2 ¡§’ “à ‡∑“à „¥ 21. ∂â“ x + y + z + x + y + z = 342 ·≈– x › y › z › x › y › z = 306 ·≈â« x2 › y2 › y2 › z2 › 2yz ¡§’ à“‡∑à“„¥ 22. ·∫àßæ◊πÈ ∑Ë’√ªŸ  Ë’‡À≈ˬ’ ¡º◊πºâ“ ABCD ÕÕ°‡ªπì √Ÿª ’ˇÀ≈¬’Ë ¡ºπ◊ º“â 9 √ªŸ ‚¥¬∑’˵«— ‡≈¢· ¥ßæ◊πÈ ∑Ë’ ¡’Àπ૬‡ªπì µ“√“ßÀπ«à ¬ ¥ß— √Ÿª ∂â“ AD = 13 Àπ૬ ·≈«â √ªŸ  ’‡Ë À≈Ë’¬¡º◊πºâ“ ABCD ¡’æ◊πÈ ∑Ë’ °Ëµ’ “√“ßÀπ«à ¬ AB 6 8 84 12 DC 23. ≈Ÿ°‡µã“≈Ÿ°Àπ÷ßË ¡’ 6 Àπâ“ ·µ≈à –Àπ⓵‘¥À¡“¬‡≈¢∑Ë’·µ°µ“à ß°π— ‚¥¬À¡“¬‡≈¢πÈ—π‡ªπì µ—«ª√–°Õ∫ ¢Õß 45 ∂â“‚¬π≈Ÿ°‡µã“ 2 §√È—ß ·≈⫧«“¡πà“®–‡ªìπ∑’˺≈§Ÿ≥¢Õß®”π«π∫πÀπâ“∑È—ß Õß ‡ªπì °”≈—ß Õß ¡∫√Ÿ ≥å ¡’§à“‡∑“à „¥ (µÕ∫„π√Ÿª‡»… «à πÕ¬“à ßµ”Ë ) 24. m, n ∂Ÿ°‡≈◊Õ°®“° 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ®ßÀ“§«“¡πà“®–‡ªìπ∑Ë’ x2 + mx + n2 = 0 ®–¡§’ ”µÕ∫‡ªπì ®”π«π®√ß‘ §”µÕ∫‡¥¬’ « (µÕ∫„π√ªŸ ‡»… à«πÕ¬à“ßµ”Ë ) ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 117

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢Èπ— æÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 25. °”Àπ¥®”π«π‡√¬’ ß°—π¥—ßπÈ’ ·∂«∑Ë’ 1 1 ·∂«∑’Ë 2 23 ·∂«∑Ë’ 3 45 6 10 ·∂«∑Ë’ 4 78 9 … ∂â“ A ·∑πº≈∫«°¢Õß ¡“™‘°µÈ—ß·µà·∂«∑’Ë 1 ∂÷ß·∂«∑’Ë 20 ·≈– B ·∑πº≈∫«°¢Õß ¡“™‘° µ—«∑Ë’ 1 ¢Õß∑ÿ°·∂«µÈ—ß·µà·∂«∑Ë’ 1 ®π∂÷ß·∂«∑’Ë 10 ·≈«â A › B ¡’§“à ‡∑à“„¥ 118 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ µÕπ∑’Ë 3 26. ABC ·≈– PQR ‡ªπì √ªŸ  “¡‡À≈¬Ë’ ¡¥“â π‡∑“à ‚¥¬∑Ë’ AP = BP = AQ = CQ = BR = CR = 19 Àπ૬ ·µà BC ·≈– PQ ‰¡à‡∑à“°—π ∂â“ PQ = 26 Àπ૬ ·≈â«√Ÿª “¡‡À≈Ë’¬¡ ABC ¡§’ «“¡¬“«√Õ∫√ªŸ °ËÀ’ π૬ A PQ BC R 27. ABCD ‡ªìπ√Ÿª ’‡Ë À≈’ˬ¡§“ßÀ¡Ÿ ¡’§«“¡¬“«√Õ∫√ªŸ 2009 Àπ૬ BAD = 2 (BCD) = 108 Ì ∂“â BC = 111 Àπ૬ ·≈â« CD ‡∑à“°∫— °’ËÀπ૬ < < 28. °”À𥇠πâ µ√ß nx + (n+1) y = 2 2 µ—¥·°π X ∑’Ë®ÿ¥ A ·≈–µ—¥·°π Y ∑Ë®’ ÿ¥ B ®ÿ¥ O ‡ªìπ®ÿ¥°”‡π‘¥ „Àâ S ·∑πæÈ◊π∑Ë’¢Õß√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ AOB ∂â“ S + S + S + ... + S n 12 3 9 a ¡’§à“‡∑à“°—∫ b ·≈– À.√.¡. ¢Õß a °—∫ b ‡∑à“°—∫ 1 ·≈«â a + b ¡§’ “à ‡∑à“„¥ Y B 29. °”Àπ¥„Àâ p, q ‡ªì𧔵Õ∫¢Õß ¡°“√ x2 › 5x + 3 = 0 O A X ∂“â m, n ‡ªìπ®”π«ππ∫— ∑∑’Ë ”„Àâ A = 5A › 3A ‚¥¬∑’Ë A = pn + qn ·≈«â A ¡§’ “à ‡∑“à „¥ m n n›1 n m›n 30. º≈√«¡¢Õß®”π«π‡µÁ¡∫«° n ∑ßÈ— À¡¥ ´÷ßË ∑”„Àâ n2 + 2552 ‡ªπì ®”π«π°”≈ß—  Õß¡§’ à“‡∑à“„¥ ‡ √‘¡§‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 119

·π«§‘¥·∫∫∑¥ Õ∫ §≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æË◊Õ°“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥∫— ‡¢µæ◊Èπ∑Ë’°“√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æÈπ◊ ∞“π

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢Èπ— æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ µÕπ∑Ë’ 1 1. ®”π«π‡µÁ¡∫«°∑À’Ë “√ 2550 ≈ßµ—« ·≈–‡ªπì æÀ§ÿ Ÿ≥¢Õß 3 ¡∑’ Èß— À¡¥°Ë’®”π«π ·π«§‘¥ 2550 = 2 Ó 3 Ó 52 Ó 17 ®”π«π‡µÁ¡∫«°∑ÀË’ “√ 2550 ≈ßµ—« ¡’ 24 ®”π«π {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 17, 25, 30, 34, 50, 51, 75, 85, 102, 150, 170, 255, 425, 510, 850, 1275, 2550} ®”π«π‡µÁ¡∫«°∑ÀË’ “√ 2550 ≈ßµ«— ·≈–¡’ 3 ‡ªì𵫗 ª√–°Õ∫ ¡’ 2 Ó 3 Ó 2 = 12 ®”π«π µÕ∫ 12 ®”π«π 2. ∂â“ 59 27 Ó 55 14 = a b ·≈– À.√.¡. ¢Õß b ·≈– c ‡∑à“°∫— 1 ·≈â« a + b + c ¡§’ “à ‡∑“à „¥ 28 15 c ·π«§‘¥ 59 27 Ó 55 14 = (60› 1 ) (56› 1 ) 28 15 28 15 = 60 Ó 56 › 60 Ó 1 › 1 Ó 56 + 1 Ó 1 15 28 28 15 = 3360 › 4 › 2 + 1 = 3354 1 420 420 a = 3354; b = 1 : c = 420 a + b + c = 3354 + 1 + 420 = 3775 µÕ∫ 3775 122 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 3. ®”π«π‡µÁ¡∫«° N ∑’ËπâÕ¬∑’Ë ÿ¥¡’§à“‡∑à“„¥ ‡¡Ë◊Õ N À“√¥â«¬ 10 ‡À≈◊Õ‡»… 8 À“√¥â«¬ 8 ‡À≈Õ◊ ‡»… 6 À“√¥«â ¬ 6 ‡À≈◊Õ‡»… 4 À“√¥«â ¬ 4 ‡À≈◊Õ‡»… 2 ·≈–À“√¥â«¬ 11 ‡À≈Õ◊ ‡»… 6 ·π«§‘¥ 2 ) 10 8 6 4 2)5 4 3 2 5231 §.√.π. ¢Õß 10, 8, 6, 4 §Õ◊ 2 Ó 2 Ó 5 Ó 2 Ó 3 = 120 ®”π«ππ—∫∑’ËÀ“√¥â«¬ 10 ‡À≈◊Õ‡»… 8 À“√¥â«¬ 8 ‡À≈◊Õ‡»… 6 À“√¥â«¬ 6 ‡À≈◊Õ‡»… 4 ·≈–À“√¥â«¬ 4 ‡À≈◊Õ‡»… 2 §Õ◊ 120 › 2 = 118 ·µà 118 À“√¥â«¬ 11 ‡À≈◊Õ‡»… 8 ¥ß— πÈ—π N = 118 + 120 + 120 = 358 ´Ë÷ß 358 À“√¥«â ¬ 11 ®–‡À≈Õ◊ ‡»…‹ 6 µÕ∫ 358 4. ∂â“ 1234321 = a ‡¡Ë◊Õ a ‡ªπì ®”π«π„π√Ÿª∞“π ‘∫ ·≈â« a „π√ªŸ ∞“π ∫‘ ¡§’ à“‡∑“à „¥ 5 ·π«§‘¥ „Àâ b = 5; 1234321 = b6 + 2b5 + 3b4 + 4b3 + 3b2 + 2b + 1 b = (b3+b2+b+1)2 = (53+52+5+1)2 = 1562 (1234321 ) = 156 5 µÕ∫ 156 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 123

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—Èπæ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 5. º≈ ”‡√Á®¢Õß 123 18 › 63 72 › 33 12 ¡’§à“‡∑“à „¥ 63 2 3 36 + 3 18 + 3 9 ·π«§‘¥ 12318 › 63 72 › 33 12 = 63 2 (23 9›3 36) 33 12 (3 6›3 3) 63 2 336 + 318 + 39 63 2 › 6›3 = (239›336) › (239›336) = 0 µÕ∫ 0 124 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢πÈ— æ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 6. ®ß ß— ‡°µ 12 = 1 12 + 22 = 2(3)(5) 6 12 + 22 + 32 = 3(4)(7) 6 12 + 22 + 32 + 42 = 4(5)(9) 6 … ®ßÀ“§à“¢Õß 22 + 42 + 62 + 82 + ... + 202 ·π«§‘¥ 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n+1) (2n+1) 6 22 + 42 + 62 + 82 + ... + 202 = 22(12+22+32+...+102) = 2210(11)(21) 6 = 4 Ó 10 Ó 11 Ó 21 6 = 1,540 µÕ∫ 1,540 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 125

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢πÈ— æ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 7. ®“°√Ÿª ¿“æ§≈’Ë¢Õß°≈àÕß∑√ß ’ˇÀ≈’ˬ¡¡ÿ¡©“° ∂ⓧ«“¡¬“«∑’Ë°”Àπ¥¡’Àπ૬‡ªìπ‡´πµ‘‡¡µ√ ·≈⫪√¡‘ “µ√¢Õß°≈àÕß„∫π’°È ≈’Ë °Ÿ ∫“»°å‡´πµ‡‘ ¡µ√ 28 8 16 ·π«§‘¥ ®“°√Ÿª ª√¡‘ “µ√¢Õß°≈Õà ß„∫πÈ’ = °«â“ß Ó ¬“« Ó  ßŸ = 8 Ó 28 › 2(8) Ó 10 = 480 ≈Ÿ°∫“»°‡å ´πµ‘‡¡µ√ 2 µÕ∫ 480 ≈°Ÿ ∫“»°å‡´πµ‡‘ ¡µ√ 126 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 8. °”Àπ¥„Àâ A ‡æ¡Ë‘ ¢πÈ÷ ®“°‡¥¡‘ 20% ·≈«â ≈¥≈ß 20% Õ°’ §√ß—È ∑”„Àâ A ‡ª≈¬Ë’ π·ª≈ߧ√ßÈ—  ¥ÿ ∑“â ¬πÈ’ ≈¥≈߇¡Ë◊Õ‡∑’¬∫®“°‡¥‘¡ m ‡ªÕ√凴πÁ µå °”Àπ¥„Àâ B ≈¥≈ß®“°‡¥¡‘ 20% ·≈«â ≈¥≈ßÕ’° 20% Õ°’ §√ß—È ∑”„Àâ B ‡ª≈Ë’¬π·ª≈ߧ√È—ß ÿ¥∑⓬π≈È’ ¥≈߇¡Õ◊Ë ‡∑’¬∫®“°‡¥¡‘ n ‡ªÕ√凴Áπµå ·≈«â m ·≈– n ¡§’ à“µà“ß°—π‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ A ®“° 100 ‡æ¡‘Ë ‡ªìπ 120 ≈¥≈߇ªπì 120 › 24 = 96 ¥ß— π—πÈ ≈¥≈ß 4% B ®“° 100 ≈¥‡ªìπ 80 ≈¥≈ßÕ’°§√—È߇ªπì 80 › 16 = 64 ¥—ßππ—È ≈¥≈ß 36% µÕ∫ 32 9. ABCD ‡ªìπ√Ÿª ‡’Ë À≈ˬ’ ¡º◊πº“â AT B ¡’ AB = 30 Àπ«à ¬ BC = 20 Àπ૬ P Q ∂â“ AP : PD = BQ : QC = 3 : 2 ·≈– AT : BT = CS : SD = 3 : 2 D SC ·≈«â æÈ◊π∑’∑Ë ·Ë’ √‡ß“°’˵“√“ßÀπ૬ ·π«§‘¥ æÈ◊π∑∑Ë’ ·Ë’ √‡ß“‡ªìπ§√÷ËßÀπ÷ËߢÕßæπ◊È ∑’√Ë ªŸ  ’‡Ë À≈¬Ë’ ¡ ABCD = 1 Ó 30 Ó 20 = 300 µ“√“ßÀπ૬ 2 µÕ∫ 300 µ“√“ßÀπ«à ¬ ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 127

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 10. ª√‘´÷¡∑√ß Ë’‡À≈Ë’¬¡¡ÿ¡©“°Õ—πÀπË÷ß¡’¥â“π°«â“ß a Àπ૬  Ÿß b Àπ૬ ¬“« c Àπ૬ ‚¥¬∑’Ë a : (b+c) = 1 : 4 ·≈– c : (a+b) = 1 : 1 ∂“â c › b = 60 Àπ૬ ·≈«â ª√¡‘ “µ√¢Õߪ√‘´¡÷ π’È ‡∑“à °—∫°≈’Ë Ÿ°∫“»°åÀπ«à ¬ ·π«§‘¥ a : (b+c) = 1 : 4 ·≈– c : (a+b) = 1 : 1 ‡¡ÕË◊ c = 60 + b a : (b+b+60) = 1 : 4 ·≈– b + 60 : (a+b) = 1 : 1 ®–‰¥â a = 60, b = 90, c = 150 ¥—ßπÈ—π abc = 810,000 ≈°Ÿ ∫“»°åÀπ૬ µÕ∫ 810,000 ≈°Ÿ ∫“»°Àå π૬ 11. ®“°√ªŸ √Ÿª “¡‡À≈Ë’¬¡ ABC ¡¡’ ¡ÿ B ‡ªπì ¡¡ÿ ©“° BC = 6 Àπ«à ¬ AC = 10 Àπ૬ ®¥ÿ P, Q ·≈– R Õ¬∫àŸ π‡ âπµ√߇¥¬’ «°—π ‚¥¬∑®Ë’ ÿ¥ Q Õ¬Ÿà∫π¥“â π AC ∂“â  «à π¢Õ߇ âπµ√ß PQ ¢π“π°∫—  à«π¢Õ߇ âπµ√ß CB ·≈– PQ = 12 Àπ૬ ·≈â«æÈ◊π∑Ë’¢Õß√Ÿª “¡‡À≈Ë’¬¡ PAC ‡∑à“°—∫ °’µË “√“ßÀπ૬ A P 12 R Q B C ·π«§‘¥ AB = 102 › 62 = 8; „Àâ AR = a ·≈– RB = b æÈπ◊ ∑Ë’ ∆ PAC = æÈπ◊ ∑’Ë ∆ PAQ + æÈ◊π∑Ë’ ∆ PCQ 1 2 = 1 Ó 12 Ó a + 1 Ó 12 Ó b = Ó 12 Ó (a+b) = 6 Ó 8 = 48 2 2 µÕ∫ 48 µ“√“ßÀπ૬ 128 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 12. ®“°√ªŸ ABC ‡ªìπ√ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡∑’Ë¡’ AB = AC ®¥ÿ D ·≈– E ‡ªπì ®¥ÿ °ßË÷ °≈“ߢÕߥ“â π BC ·≈– AC µ“¡≈”¥∫— ∂“â æÈπ◊ ∑’Ë√ªŸ  “¡‡À≈Ë’¬¡ AOE ·≈– AOB ‡ªπì 11 ·≈– 22 µ“√“ßÀπ«à ¬ µ“¡≈”¥—∫ ·≈«â æπ◊È ∑Ë’√ªŸ  “¡‡À≈’¬Ë ¡ ABC ‡ªìπ°Ë‡’ ∑“à ¢ÕßæÈ◊π∑¢Ë’ Õß√Ÿª “¡‡À≈ˬ’ ¡ BOD A E O BC D ·π«§‘¥ ®“°√ªŸ AD ·≈– BE ‡ªπì ‡ âπ¡∏— ¬∞“π ®–‰¥â AO : OD = BO : OE = 2 : 1 æ◊Èπ∑Ë’√Ÿª “¡‡À≈¬’Ë ¡ BOD = æ◊Èπ∑Ë√’ ªŸ  “¡‡À≈’¬Ë ¡ AOE = 11 µ“√“ßÀπ«à ¬ æ◊πÈ ∑√’Ë ªŸ  “¡‡À≈’¬Ë ¡ ABE = æ◊Èπ∑√Ë’ ªŸ  “¡‡À≈Ë’¬¡ CBE = 33 µ“√“ßÀπ૬ æ◊Èπ∑√’Ë Ÿª “¡‡À≈’¬Ë ¡ ABC = æ◊πÈ ∑’√Ë ªŸ  “¡‡À≈Ë’¬¡ ABE + æÈπ◊ ∑’Ë√ªŸ  “¡‡À≈ˬ’ ¡ CBE æπÈ◊ ∑Ë√’ Ÿª “¡‡À≈ˬ’ ¡ ABC = 66 µ“√“ßÀπ«à ¬ ¥—ßππ—È æÈπ◊ ∑Ë’√Ÿª “¡‡À≈’¬Ë ¡ ABC ‡ªπì 6 ‡∑“à ¢ÕßæÈ◊π∑’¢Ë Õß√Ÿª “¡‡À≈Ë’¬¡ BOD µÕ∫ 6 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 129

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢Èπ— æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 13. ∂“â p ·≈– q ‡ªπì √“°¢Õß ¡°“√ x2 › 5x + 3 = 0 ·≈â« (p›q)2 ¡§’ à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ ®“° p, q ‡ªπì √“°¢Õß ¡°“√ x2 › 5x + 3 = 0 ®–‰¥â p + q = ›5, pq = 3 ®“° (p›q)2 = p2 › 2pq + q2 = (p+q)2 › 4 pq = 25 › 12 = 13 µÕ∫ 13 14. ∂“â y = x2 + 9x + 30 ·≈– x2 + 9x + 15 = 2 x2 + 9x + 30 ·≈«â y ¡’§“à ‡∑à“‰√ ·π«§‘¥ ∂“â y = x2 + 9x + 30 ®–‰¥â y2 › 2y › 15 = 0 (y+3) (y›5) = 0 y = 5, ›3 ·µà y = ›3 „™â‰¡à‰¥â µÕ∫ 5 130 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 15. ∂“â x, y, z ‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡·≈– Õ¥§≈Õâ ß°∫— √–∫∫ ¡°“√ x2 + 2y + 1 = 0 ........................................... 1 y2 + 2z + 1 = 0 ........................................... 2 z2 + 2x + 1 = 0 ........................................... 3 ·≈â« x2008 + y2552 + z4660 ¡§’ à“‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ 1 + 2 + 3 ; x2 + 2x + 1 + y2 + 2y + 1 + z2 + 2z + 1 = 0 (x+1)2 + (y+1)2 + (z+1)2 = 0 x2008 + y2552 + z4660 = (›1)2008 + (›1)2552 + (›1)4660 =1+1+1=3 µÕ∫ 3 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 131

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—ÈπæÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ µÕπ∑Ë’ 2 16. º≈§Ÿ≥¢Õß√“°¢Õß ¡°“√ 3 |x|8 › 13 (3 |x|4) › 48 = 0 ¡§’ à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ „Àâ a = |x| ®–‰¥â 4 )2 › 4 › 48 = 0 (a3 13a3 44 (a3›16) (a3+3) = 0 44 a3 = 16 À√◊Õ a3 = ›3 ·µà a ‡ªìπ®”π«π∫«° §“à ›3 ®ß÷ „™â‰¡à‰¥â ¥ß— πÈπ— a = 8 ·µà a = |x| ≥ 0 ∴|x| = 8 º≈§Ÿ≥¢Õß√“°¢Õß ¡°“√ §Õ◊ 8(›8) = ›64 µÕ∫ ›64 132 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 17. ABC ‡ªìπ√ªŸ  “¡‡À≈ˬ’ ¡¥“â π‡∑à“ ¡’ P ‡ªπì ®ÿ¥¿“¬„π ∑”„Àâ PA = 20 Àπ૬ PC = 21 Àπ૬> ∂“â APC = 150 Ì ·≈â« BP ‡∑à“°∫— °ÀË’ π૬ A P BC ·π«§‘¥ A 20 À¡ÿπ ∆ ABP √Õ∫®¥ÿ A „π∑»‘ ∑“ß∑«π‡¢¡Á π“Ãî°“‡ªπì ¡ÿ¡ 60 Ì 60 Ì ≈“° PP′ 60 Ì 60 Ì P′ ∆ APP′ ‡ªπì ∆ ¥â“π‡∑à“ ·≈– ∆ PP′C ‡ªπì ∆ ¡¡ÿ ©“° 60 Ì x ®–‰¥â x2 = 202 + 212 P 150 Ì x 21 x = 29 BC BP = 29 Àπ«à ¬ µÕ∫ 29 Àπ«à ¬ ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 133

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢È—πæ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 18. ®“°√Ÿª √ªŸ  “¡‡À≈Ë’¬¡ ABC ¡’ O ‡ªìπ®ÿ¥∫𠥓â π AB ·≈– O ‡ªπì ®¥ÿ »Ÿπ¬å°≈“ߢÕß«ß°≈¡ O ∑Ë’ —¡º— ¥â“π BC ∑’®Ë ÿ¥ Q ·≈– —¡º — ¥“â π AC ∑’®Ë ¥ÿ R ∂â“ BC = 2 Àπ૬ AC = 3 Àπ૬ ·≈– AB = 4 Àπ૬ ·≈«â «ß°≈¡ O ¡’æÈ◊π∑°Ë’ ’µË “√“ßÀπ૬ (µÕ∫„π√Ÿª¢Õß π) A O R B QC ·π«§‘¥ A S = 2+3+4 = 9 2 2 æÈπ◊ ∑Ë’ ∆ ABC = æ◊Èπ∑’Ë ∆ OAC + æπ◊È ∑Ë’ ∆ OBC O r R3 9 ( 5 ) (23 ) ( 21 ) = 1 Ó 2 Ó r + 1 Ó 3 Ó r 2 2 2 2 r r= 3 15 BC 10 Q 27π 2 20 æπ◊È ∑Ë’¢Õß«ß°≈¡ O = π (9Ó15) = 100 µÕ∫ 27π = 1.35𠵓√“ßÀπ૬ 20 134 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 19. „Àâ p ‡ªìπ®”π«π‡µ¡Á ·≈– q ‡ªìπ®”π«π‡©æ“– ∂â“ 777 À“√¥â«¬ p ‡À≈◊Õ‡»… q ·≈– 910 À“√¥«â ¬ p ‡À≈◊Õ‡»… q ‡∑“à °—π ·≈â« p + q ¡§’ “à ‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ 777 = (p) (a) + q ; a ∈ I ...................................... 1 910 = (p) (b) + q ; b ∈ I ...................................... 2 2 › 1 ; 133 = p(b›a) 19 Ó 7 = p(b›a) p = 19 ®–‰¥â q = 17 ·µà p ≠ 7 ‡æ√“–«à“ 7 À“√ 777 ≈ßµ«— ¥ß— πÈ—π πË—π§◊Õ p + q = 19 + 17 = 36 µÕ∫ 36 20. ∂â“ p(x) = (x+1)3 › 2(x+1)2 › 3(x+1) › 5 q(x) = a(x›1)3 + b(x›1)2 + c(x›1) + d ‚¥¬∑’Ë ·≈â« p(2) = q(2), p(4) = q(4), p(7) = q(7) ·≈– p(›3) = q(›3) a2 + b2 + c2 + d2 ¡’§“à ‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ p(x) = [(x›1)+2]3 › 2[(x›1)+2]2 › 3[(x›1)+2] › 5 = (x›1)3 + 3(x›1)2 (2) + 3(x›1) (2)2 + 8 › 2[(x›1)2 + 4(x›1)+4] › 3(x›1) › 6 › 5 = (x›1)3 + 6(x›1)2 + 12(x›1) + 8 › 2(x›1)2 › 8(x›1) › 8 › 3(x›1) › 11 q(x) = (x›1)3 + 4(x›1)2 + (x›1) › 11 a = 1, b = 4, c = 1, d = ›11 a2 + b2 + c2 + d2 = 12 + 42 + 12 + (›11)2 = 1 + 16 + 1 + 121 = 139 µÕ∫ 139 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 135

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 21. ∂â“ x + y + z + x + y + z = 342 ·≈– ·≈â« x › y › z › x › y › z = 306 x2 › y2 › z2 › 2yz ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ „Àâ A = x + y + z ®“°‚®∑¬®å –‰¥â A2 + A › 342 = 0 (A›18) (A+19) = 0; A = 18 „Àâ B = x › y › z B2 › B = 306 B2 › B › 306 = 0 (B›18) (B+17) = 0; B = 18 AB = x + y + z x › y › z 324 = x2 › y2 › z2 › 2yz ¥—ßπ—Èπ x2 › y2 › z2 › 2yz = 324 = 18 µÕ∫ 18 136 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢È—πæ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 22. ·∫ßà æ◊πÈ ∑’Ë√ªŸ  ’ˇÀ≈¬Ë’ ¡ºπ◊ º“â ABCD ÕÕ°‡ªπì √Ÿª ’‡Ë À≈’ˬ¡º◊πº“â 9 √Ÿª ‚¥¬∑µË’ «— ‡≈¢· ¥ßæπÈ◊ ∑Ë’ ¡’Àπ૬‡ªπì µ“√“ßÀπ૬ ¥—ß√Ÿª ∂“â AD = 13 Àπ૬ ·≈â«√ªŸ  ‡Ë’ À≈’ˬ¡ºπ◊ º“â ABCD ¡æ’ ◊Èπ∑’Ë °µ’Ë “√“ßÀπ«à ¬ AB 6 8 84 12 DC ·π«§‘¥ 6 B ®–‰¥â a Ó 8 = 8 Ó 6 8 b a=6 A 12 a bÓ8 = 6Ó4 8 d 4 b=3 d Ó 8 = 8 Ó 12 D c d = 12 C c Ó 8 = 4 Ó 12 c=6 ∴ æ◊Èπ∑Ë’ ABCD = 6 + 3 + 12 + 6 + 38 = 65 µÕ∫ 65 µ“√“ßÀπ૬ ‡ √‘¡§‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 137

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢È—πæ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 23. ≈°Ÿ ‡µ“ã ≈°Ÿ ÀπßË÷ ¡’ 6 Àπ“â ·µ≈à –Àπ“â µ¥‘ À¡“¬‡≈¢∑·’Ë µ°µ“à ß°π— ‚¥¬À¡“¬‡≈¢ππ—È ‡ªπì µ«— ª√–°Õ∫ ¢Õß 45 ∂â“‚¬π≈Ÿ°‡µã“ 2 §√È—ß ·≈⫧«“¡πà“®–‡ªìπ∑Ë’º≈§Ÿ≥¢Õß®”π«π∫πÀπâ“∑—Èß Õß ‡ªπì °”≈—ß Õß ¡∫Ÿ√≥å ¡’§à“‡∑“à „¥ (µÕ∫„π√Ÿª‡»… «à πÕ¬“à ߵ˔) ·π«§‘¥ 45 = 32 Ó 5 µ—«ª√–°Õ∫∑ßÈ— À¡¥¢Õß 45 ¡’ 6 ®”π«π ‰¥â·°à 1, 3, 5, 9, 15, 45 n(S) = 6 Ó 6 = 36 E ·∑π‡Àµ°ÿ “√≥∑å º’Ë ≈§≥Ÿ ¢Õß®”π«π∫πÀπ“â ∑—Èß Õ߇ªπì °”≈ß—  Õß ¡∫√Ÿ ≥å n(E) = 10 E = {(1, 1), (3, 3), (5, 5), (9, 9), (15, 15), (45, 45), (1, 9), (9, 1), (5, 45), (45, 5)} P(E) = 10 = 5 36 18 µÕ∫ 5 18 138 ‡ √‘¡§‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—πÈ æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 24. m, n ∂Ÿ°‡≈◊Õ°®“° 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ®ßÀ“§«“¡πà“®–‡ªìπ∑’Ë x2 + mx + n2 = 0 ®–¡§’ ”µÕ∫‡ªπì ®”π«π®√ß‘ §”µÕ∫‡¥’¬« (µÕ∫„π√Ÿª‡»… «à πÕ¬à“ߵ˔) ·π«§‘¥ °“√∑¥≈Õß à¡ÿ ‡ªπì °“√‡≈Õ◊ ° m, n Õ¬à“ß≈– 1 µ—« ®“°µ«— ‡≈¢ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 n(S) = 7 Ó 7 = 49 E ·∑π‡Àµ°ÿ “√≥å∑Ë’ x2 + mx + n2 = 0 ¡§’ ”µÕ∫‡ªπì ®”π«π®√ß‘ §”µÕ∫‡¥¬’ « ¥—ßππÈ— m2 › 4n2 = 0 E ª√–°Õ∫¥â«¬ (0, 0), (2, 1), (4, 2), (6, 3) n(E) = 4; ∴ P(E) = 4 49 4 µÕ∫ 49 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 139

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—πÈ æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 25. °”Àπ¥®”π«π‡√’¬ß°π— ¥—ßπÈ’ ·∂«∑Ë’ 1 1 ·∂«∑’Ë 2 23 ·∂«∑Ë’ 3 45 6 10 ·∂«∑’Ë 4 78 9 … … … … ∂“â A ·∑πº≈∫«°¢Õß ¡“™°‘ µ—ßÈ ·µ·à ∂«∑Ë’ 1 ∂ß÷ ·∂«∑’Ë 20 ·≈– B ·∑πº≈∫«°¢Õß ¡“™°‘ µ—«∑’Ë 1 ¢Õß∑°ÿ ·∂«µ—ßÈ ·µà·∂«∑Ë’ 1 ®π∂ß÷ ·∂«∑’Ë 10 ·≈«â A › B ¡§’ à“‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ ·∂«∑’Ë  ¡“™‘°µ—«∑Ë’ 1 ¢Õß·∂« ®”π«πæ®πå 1 1 =1 1 2 2 = 1+1 2 3 4 = 1+1+2 3 4 7 = 1+1+2+3 4 5 11 = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 5 6 16 6 7 22 7 8 29 8 9 37 9 10 46 = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 10 20 191 20 210 √«¡ A = 1 + (2+3) + (4+5+6) + (7+8+9+10) + ... + 210 = 210 (1+210) = 22155 2 B = 1 + 2 + 4 + 7 + 11 + 16 + 22 + 29 + 37 + 46 = 175 A › B = 21980 µÕ∫ 21,980 140 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢Èπ— æ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ µÕπ∑’Ë 3 26. ABC ·≈– PQR ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡¥â“π‡∑à“ ‚¥¬∑’Ë AP = BP = AQ = CQ = BR = CR = 19 Àπ૬ ·µà BC ·≈– PQ ‰¡à‡∑“à °—π ∂â“ PQ = 26 Àπ«à ¬ ·≈«â √ªŸ  “¡‡À≈¬’Ë ¡ ABC ¡§’ «“¡¬“«√Õ∫√Ÿª°’ËÀπ૬ A PQ BC R ·π«§‘¥ ®–‰¥â AT = 192 › 132 A = 6 Ó 32 = 83 PT Q RT = 13 3 ; RO = 26 3 3 O ∴ OT 13 37 3 3 3 S = 3 ; AO = B C R ®–‰¥â AB = 37 ∴ §«“¡¬“«√Õ∫√Ÿª ∆ ABC = 111 Àπ«à ¬ µÕ∫ 111 Àπ૬ ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 141

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢πÈ— æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 27. ABCD ‡ªπì √Ÿª Ë‡’ À≈¬’Ë ¡§“ßÀ¡Ÿ ¡’§«“¡¬“«√Õ∫√ªŸ 2009 Àπ«à ¬ BAD = 2 (BCD) = 108 Ì< ∂“â BC = 111 Àπ«à ¬ ·≈«â CD ‡∑“à °—∫°À’Ë π«à ¬ < ·π«§‘¥ < «“¥√Ÿªµ“¡‚®∑¬å A b B ≈“° AT ·∫àߧ√ß÷Ë BAD 54 Ì 111 ®–‰¥â 2a + 2b + 111 = 2009 2(a+b) = 1898 a 54 Ì 54 Ì a + b = 949 54 Ì b C Da T ∴ CD = 949 Àπ«à ¬ µÕ∫ 949 Àπ«à ¬ 142 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—πÈ æπ◊È ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 28. °”À𥇠πâ µ√ß nx + (n+1) y = 2 2 µ¥— ·°π X ∑’®Ë ¥ÿ A ·≈–µ¥— ·°π Y ∑’Ë®ÿ¥ B ®¥ÿ O ‡ªπì ®ÿ¥°”‡π‘¥ „Àâ S ·∑πæÈπ◊ ∑Ë¢’ Õß√Ÿª “¡‡À≈¬’Ë ¡ AOB ∂“â S + S + S + ... + S n 123 9 a ¡’§“à ‡∑“à °∫— b ·≈– À.√.¡. ¢Õß a °∫— b ‡∑“à °—∫ 1 ·≈«â a + b ¡’§“à ‡∑“à „¥ Y B O AX ·π«§‘¥ S = 1 . 22 . 2 2 = 4 2 n n+ 1 n (n+1) Y n = S + S + S + S + ... + S 9 B (0, 2 2 ) 1234 n+1 = 1 4 2 + 2 4 3 + 3 4 4 + ... + 4 . . . 9 . 10 A (2 2 , 0) = 4 ( 1 › 1 + 1 › 1 + 1 › 1 + 1 › 1 + ... + 1 › 110) n 1 2 2 3 3 4 4 5 9 OX (1 1 ) 9 18 a 10 10 5 b = 4 › = 4 Ó = = a + b = 18 + 5 = 23 µÕ∫ 23 ‡ √‘¡§‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 143

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢È—πæÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 29. °”Àπ¥„Àâ p, q ‡ªì𧔵Õ∫¢Õß ¡°“√ x2 › 5x + 3 = 0 ∂â“ m, n ‡ªπì ®”π«ππ—∫∑’Ë∑”„Àâ A = 5A › 3A ‚¥¬∑’Ë A = pn + qn ·≈â« A ¡’§à“‡∑“à „¥ m n n›1 n m›n ·π«§‘¥ p + q = 5; pq = 3 A = 5A › 3A m n n›1 = (p+q) A › pq (A ) n n›1 = (p+q) (pn+qn) › pq(pn›1+qn›1) = pn + 1 + pqn + pnq + qn + 1 › pnq › pqn = pn + 1 + qn + 1 =A n+1 ∴ m = n + 1 ¥ß— π—Èπ m › n = 1 π—πË §◊Õ A = p + q = 5 m›n µÕ∫ 5 144 ‡ √‘¡§‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢πÈ— æπ◊È ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 30. º≈√«¡¢Õß®”π«π‡µ¡Á ∫«° n ∑—ÈßÀ¡¥ ´÷Ëß∑”„Àâ n2 + 2552 ‡ªìπ®”π«π°”≈ß—  Õß¡’§“à ‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ n2 + 2552 = n2 + 4n + 4 + 2548 › 4n ∴ n = 637 = (n+2)2 + 4(637›n) ∴ n = 317 ∴ n = 47 ‰¥â 6372 + 2552 = 6392 ∴ n =7 n2 + 2552 = n2 + 8n + 16 + 2536 › 8n = (n+4)2 + 8(317›n) ‰¥â 3172 + 2552 = (321)2 n2 + 2552 = n2 + 44n + 484 + 2068 › 44n = (n+22)2 + 44(47›n) ‰¥â 472 + 2552 = 692 n2 + 2552 = n2 › 116n + 3364 + 116n › 812 = (n+58)2 + 116(n›7) ‰¥â 72 + 2552 = 512 n2 + 2552 = n2 + 88n + 1936 › 88n + 616 = (n+44)2 › 8(n›7) ¥—ßπÈπ— º≈∫«°¢Õß§à“ n ∑È—ßÀ¡¥ §◊Õ 637 + 317 + 47 + 7 = 1008 µÕ∫ 1,008 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 145

·∫∫∑¥ Õ∫ §≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æ◊Èπ∞“π