เสริมคิดคณิตศาสตร์ม.ต้น 51-52

·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢Èπ— æ◊πÈ ∞“𠧔™’È·®ß 1. ·∫∫∑¥ Õ∫©∫∫— π’È ‡ªìπ·∫∫∑¥ Õ∫™π‘¥‡µ‘¡§”µÕ∫ ‡«≈“ 2 ™«—Ë ‚¡ß 2. ·∫∫∑¥ Õ∫¡’ 30 ¢Õâ §–·ππ‡µÁ¡ 100 §–·ππ ·∫ßà ÕÕ°‡ªπì 3 µÕπ §◊Õ µÕπ∑Ë’ 1 µÈ—ß·µà¢âÕ 1-10 ¢Õâ ≈– 2 §–·ππ √«¡ 20 §–·ππ µÕπ∑’Ë 2 µÈ—ß·µà¢âÕ 11-20 ¢Õâ ≈– 3 §–·ππ √«¡ 30 §–·ππ µÕπ∑’Ë 3 µ—Èß·µà¢âÕ 21-30 ¢Õâ ≈– 5 §–·ππ √«¡ 50 §–·ππ 3. „À⇢’¬π™Ë◊Õ-™Ë◊Õ °ÿ≈ ‚√߇√’¬π ‡≈¢ª√–®”µ—« Õ∫ ÀâÕß Õ∫  π“¡ Õ∫‚√߇√’¬π ≈ß„π°√–¥“…§”µÕ∫„Àâ§√∫ 4. ‡¢’¬π‡©æ“–§”µÕ∫¥â«¬ª“°°“ ’¥”À√Õ◊  π’ È”‡ßπ‘ ≈ß„π°√–¥“…§”µÕ∫„Àâµ√ß°∫— ¢Õâ §”∂“¡ 5. ‰¡Õà πÿ≠“µ„Àℙ⇧√◊ÕË ß§‘¥‡≈¢ À√Õ◊ ‡§√ËÕ◊ ß¡◊Õ„¥ Ê „π°“√§”π«≥ 6. °“√µ¥—  π‘ ¢Õߧ≥–°√√¡°“√∂Õ◊ ‡ªπì ¢Õâ ¬ÿµ‘ ¢Õ„Àπâ —°‡√¬’ π∑ÿ°§π‚™§¥’ ‚§√ß°“√æ≤— π“§≥ÿ ¿“æ°“√‡√’¬π√⟠Ÿà “°≈  ”π—°æ≤— π“π«µ— °√√¡°“√®—¥°“√»÷°…“ ·∫∫∑¥ Õ∫π’È ‡ªìπ≈‘¢ ∑‘ ∏Ï¢‘ Õß ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢È—πæÈπ◊ ∞“π Àâ“¡‡º¬·æ√à Õâ“ßÕß‘ À√Õ◊ ‡©≈¬ °Õà π‰¥â√—∫Õπÿ≠“µ 148 ‡ √‘¡§‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æËÕ◊ °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢Èπ— æ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ µÕπ∑Ë’ 1 1. ∂â“ 220 + 410 = 2n ·≈«â n ¡’§à“‡∑“à „¥ 2.  —¡ª√– ∑‘ ∏‘¢Ï Õßæ®πå x2 ®“°°“√°√–®“¬ (2x2+3x+4) (3x2+4x+5) ‡ªìπ‡∑à“„¥ 3. ∂â“ x + 1 + x + 2 + x + 3 = 16 ·≈â« x + 3 ¡’§à“‡∑“à „¥ 23 4 4. ∂â“√Ÿª Ë’‡À≈Ë’¬¡®—µÿ√— √ŸªÀπË÷ß¡’§«“¡¬“«√Õ∫√Ÿª a Àπ૬ ·≈–¡’æ◊Èπ∑Ë’‡ªìπ a µ“√“ßÀπ૬ ‡¡Ë◊Õ a > 0 ·≈«â a ¡’§“à ‡∑à“„¥ 5. º≈√«¡¢Õß®”π«π‡©æ“–∫«°∑’ˇªì𵫗 ª√–°Õ∫¢Õß 4620 ¡’§à“‡∑“à „¥ 6. ∑Õ¥≈Ÿ°‡µã“∑’ˇ∑’ˬߵ√ß 3 ≈Ÿ° æ√âÕ¡°—πÀπË÷ߧ√—Èß ®ßÀ“§«“¡πà“®–‡ªìπ∑Ë’®–‰¥âº≈∫«°¢Õß·µâ¡ ‡ªπì ®”π«π‡©æ“–∑Ë’πÕâ ¬°«à“ 11 (µÕ∫‡ªπì ∑»π‘¬¡ 2 µ”·Àπàß) 7. ®“°√Ÿª ‡ªπì ‡ πâ ∑“ߢÕß°“√‡¥π‘ ∑“߉°≈¢Õß°“√‡¢â“§à“¬≈Ÿ°‡ ◊Õ§√Èß— ÀπË÷ß ‚¥¬∑’Ë A ‡ªπì ®¥ÿ ‡√¡Ë‘ µâπ ·≈– P ‡ªìπ®ÿ¥æ—°§â“ß·√¡ ∂â“°“√‡¥‘π∑“ß®–µâÕ߇¥‘π„π·π«‡ âπµ√߇∑à“πÈ—π ·µà≈–√–¬–∑“ß ‡™àπ AB = BC = CD = Ç = OP = 0.5 Àπ૬ ·≈–°“√‡≈È’¬«·µà≈–§√—Èß®–µ—Èß©“°°—∫ ·π«‡¥π‘ ‡¥‘¡‡ ¡Õ (¡ÿ¡ ABC = ¡ÿ¡ BCD = ¡¡ÿ CDE = Ç = ¡ÿ¡ NOP = 90 Õß»“) ·≈«â ®ÿ¥æ°— §â“ß·√¡®–Õ¬àÀŸ à“ß®“°®¥ÿ ‡√¡‘Ë µπâ °Ë’Àπ«à ¬ E F C DG H AB IJ KL NM PO ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 149

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æË◊Õ°“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢π—È æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 8. ®“°√Ÿª «ß°≈¡ O ¡√’ »— ¡’ 5 ‡´πµ‡‘ ¡µ√ BC = 6 ‡´πµ‘‡¡µ√ ·≈– AD › BC = 2 ‡´πµ‡‘ ¡µ√ ∂â“æ◊Èπ∑Ë’∑Ë’·√‡ß“‡∑à“°—∫ a µ“√“߇´πµ‘‡¡µ√ ·≈â« a ¡’§à“‡∑à“„¥ (°”Àπ¥„Àâ π = 3.14) (µÕ∫‡ªìπ∑»π‘¬¡ 2 µ”·Àπßà ) CA O B D 9. √Ÿª “¡‡À≈¬’Ë ¡¥â“π‡∑“à „π√ªŸ ¢â“ß≈à“ß¡®’ ”π«π∑Èß— À¡¥°’Ë√ªŸ 10. ®”π«π‡µÁ¡∫«° n ∑Ë’¡“°°«à“ 2 ·≈–¡’§à“πÕâ ¬∑’ Ë ¥ÿ ´Ëß÷ ∑”„Àâ n › 1 , n › 1 , n › 1, ..., 2 n›1 ‡ªπì ‡»… «à πÕ¬“à ßµ”Ë ∑ÿ°®”π«π ·≈«â n ¡’§à“‡∑“à „¥ 34 2009 150 ‡ √‘¡§‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æ◊ËÕ°“√§¥— ‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ µÕπ∑Ë’ 2 11. A, B ·≈– C ‡ªìπæ’πË âÕß “¡§πÕ¬Ÿ∫à “â πÀ≈ß— ‡¥’¬«°—π ¢≥–π’Èæ«°‡¢“∑È—ß “¡Õ¬à¥Ÿ ⫬°—π∫π∂ππ ´Ë÷ßÕ¬àŸÀà“ß®“°∫“â π 75 °‘‚≈‡¡µ√ ‚¥¬¡®’ °— √¬“π¬πµ¡å ’§«“¡‡√«Á 60 °‚‘ ≈‡¡µ√µÕà ™«Ë— ‚¡ß ·≈–π˗߉¥â 2 §π Õ¬àŸ 1 §—π ∂â“·µà≈–§π‡¥‘π¥â«¬§«“¡‡√Á«§ß∑Ë’ 12 °‘‚≈‡¡µ√µàՙ˗«‚¡ß ‡¡◊ËÕ∑—Èß “¡§π ÕÕ°‡¥‘π∑“ßæ√Õâ ¡°—π·≈–®–∂÷ß∫â“πæ√âÕ¡°—π‚¥¬„™‡â «≈“πÕâ ¬∑Ë ’ ÿ¥°’Ë™«—Ë ‚¡ß 12. ∂“â 6x = 3y = 2z = 3 ·≈«â yz + 3xz › xy ¡’§à“‡∑“à „¥ xyz 13. °”Àπ¥„Àâ a ·≈– b ‡ªì𧔵Õ∫¢Õß ¡°“√ 7x2 + kx + 31 = 0 ∂â“ a ‡ªìπ®”π«π∫«° ∑πË’ Õâ ¬°«à“ 12 Õ¬àŸ 13 ·≈«â b ¡§’ “à ‡∑“à „¥ (µÕ∫‡ªìπ∑»π‘¬¡ 2 µ”·Àπßà ) 14 14. °”Àπ¥„Àâ x > 0 ∂â“ 3 14 ›‹ 3x = 4 › 3 14 + 3x ·≈«â 27x2 › 36x + 201 ¡§’ “à ‡∑à“„¥ 15. ‡À¬Õ◊ °∑√ß°√–∫Õ°¡‡’  πâ º“à π»πŸ ¬°å ≈“ß¿“¬„π‡∑“à °∫—  «à π ßŸ ¢Õ߇À¬Õ◊ °´ßË÷ ‡∑“à °∫— 12 ‡´πµ‡‘ ¡µ√ ‡À¬◊Õ°„∫πÈ’∫√√®ÿπÈ”‰«â Õß„π “¡¢Õ߇À¬◊Õ° ∂â“π”≈Ÿ°À‘π∑√ß°≈¡∑’Ë¡’‡ âπºà“π»Ÿπ¬å°≈“߇∑à“°—∫ ‡ âπºà“π»Ÿπ¬å°≈“ß¿“¬„π¢Õ߇À¬◊Õ°„ à≈ß„π‡À¬◊Õ°∑”„ÀâπÈ”≈âπÕÕ°®“°‡À¬◊Õ° aπ ≈Ÿ°∫“»°å ‡´πµ‘‡¡µ√ ·≈«â a ¡’§“à ‡∑à“„¥ 16.  ¡™“µ‘‡√‘¡Ë 擬‡√Õ◊ µ“¡π”È ®“°‡¡Õ◊ ß ° ‰ªµ“¡·¡àπÈ” “¬ÀπßË÷ ‡ªπì ‡«≈“ 10 π“∑’ ‰¥∑â ‘ßÈ °√–ªÜÕßπ”È æ≈“ µ°‘ ≈ßπÈ” æÕ擬‰ª‰¥√â –¬–Àπß÷Ë π°÷ ‰¥«â “à ‰¡§à «√∑”„À·â ¡πà È” °ª√°®ß÷ 擬‡√Õ◊ ∑«π°√–· π”È ¬Õâ π‰ª‡°∫Á °√–ªÕÜ ß„∫π—Èπ ‚¥¬„™‡â «≈“®“°¬âÕπ°≈—∫®π‡°Á∫°√–ªÜÕß 25 π“∑’ ∂“â ‡¢“„™Õâ µ— √“‡√«Á „π°“√擬‡√◊է߇¥‘¡ ®ßÀ“‡«≈“∑’Ë ¡™“µ‘‡√‘ˡ擬‡√◊ÕÕÕ°®“°‡¡◊Õß ° ®π∂÷߇«≈“¬âÕπ°≈—∫¡“ ‡°Á∫°√–ªÕÜ ß‡ªπì ‡«≈“°’πË “∑’ ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 151

·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 17. ®“°°√–¥“πÀ¡“°√°ÿ æ◊πÈ ∑Ë√’ ªŸ  ’‡Ë À≈Ë’¬¡®—µÿ√ — ∑°ÿ √Ÿª√«¡°—π ‡∑“à °∫— °Ë’µ“√“ßÀπ૬ ‡¡◊ÕË √Ÿª Ë’‡À≈Ë’¬¡®—µÿ√ — √ªŸ ‡≈°Á ·µ≈à –√Ÿª¡’æ◊πÈ ∑’Ë 1 µ“√“ßÀπ૬ 18. ®“°√ªŸ √ªŸ  “¡‡À≈¬Ë’ ¡ APQ ·≈–√ªŸ  ’ˇÀ≈’ˬ¡ PQCB ¡«’ ß°≈¡·π∫„π ∂â“ BC + PQ = 25 Àπ૬ ·≈– AE = 7 Àπ૬ ·≈â«√Ÿª “¡‡À≈Ë’¬¡ ABC ¡’§«“¡¬“«√Õ∫√ªŸ ‡∑à“°—∫°’ËÀπ«à ¬ B Y X P Z E R A FQ G C 19. ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈Ë’¬¡ ¡’ AD ‡ªìπ à«π Ÿß ∂â“ AD = 112 Àπ૬ BC = 66 Àπ૬ M ·≈– N ‡ªìπ®ÿ¥·∫ßà §√÷ßË AB ·≈– CD µ“¡≈”¥∫— ·≈«â MN ‡∑à“°∫— °Ë’Àπ૬ 20. AB ·≈– BC ‡ªπì  Õߥ“â π∑’ˇ√’¬ßµ¥‘ µàÕ°—π¢Õß√ªŸ 9 ‡À≈¬’Ë ¡¥â“π‡∑“à ¡¡ÿ ‡∑à“´÷Ëß·π∫„π«ß°≈¡ O ∂“â M ‡ªìπ®ÿ¥·∫àߧ√÷Ëߥ“â π AB ·≈– N ‡ªìπ®ÿ¥·∫ßà §√Ëß÷ √»— ¡’ ´Ë÷ß≈“°®“° O ‰ªµ—Èß©“°°∫— ¥“â π BC ·≈«â ¡ÿ¡ ONM ¡’¢π“¥°Ë’Õß»“ 152 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ µÕπ∑’Ë 3 21. ∂â“ n ‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡∫«° ´Ë÷ß∑”„Àâ 8n + n À“√¥â«¬ 2n + n ≈ßµ—« ·≈⫺≈∫«°¢Õß§à“ n ∑—ßÈ À¡¥‡ªπì ‡∑“à „¥ 22. °”Àπ¥„Àâ m ‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡∫«°∑Ë’¡’§à“πâÕ¬∑Ë’ ÿ¥ ´÷Ëß (x+4) (x+5) (x+9) p(x) › (x›4) (x›5) (x›9) q(x) = m ∂â“ p(x) ·≈– q(x) ‡ªìπæÀÿπ“¡∑’Ë¡’ —¡ª√– ‘∑∏‘χªìπ®”π«π‡µÁ¡ ·≈«â m ¡’§à“‡∑“à „¥ 23. °”Àπ¥„Àâ a ®”π«ππ—∫ ∂â“ 3a2 › 2a + 10 ‡ªìπ®”π«ππ—∫ ·≈⫺≈∫«°¢Õß§à“ a ∑È—ßÀ¡¥ a›2 ∑‡’Ë ªπì ‰ª‰¥â¡’§à“‡∑à“„¥ 24. °”Àπ¥„Àâ P = 25002 + 1 + ( 2500 )2 + 2500 ‡¡ÕË◊ P = A Ó 10n, 1 ≤ A < 10, 2501 2501 ∂â“ n ‡ªπì ®”π«ππ∫— ·≈â« 1000 (A+n) ¡§’ à“‡∑à“„¥ 25. ∂â“ x + y + 2z = x + 2y + z = 2x + y + z = 16 ·≈«â x2 + y2 + z2 ¡’§“à ‡∑à“„¥ 26. ABCD ‡ªìπ√Ÿª ‡’Ë À≈¬Ë’ ¡·π∫„π«ß°≈¡√»— ¡’ 65 Àπ«à ¬ ∂“â AB = 50 Àπ«à ¬ BC = 104 Àπ૬ ·≈– CD = 120 Àπ«à ¬ ·≈«â AD ‡∑“à °—∫°Ë’Àπ૬ < < < < < < < 27. ABCD ‡ªìπ√Ÿª Ë’‡À≈Ë’¬¡ ∂â“ CAD : ABD : BAD : ADB = 1 : 2 : 3 : 4 ·≈– CBD : BAD = 1 : 2 ·≈«â ADC ¡¢’ π“¥°Ë’Õß»“ ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 153

·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 28. ∂â“ 108 < m < 110 ‡¡◊ÕË m ·≈– n ‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡∫«° ·≈«â §“à πÕâ ¬∑’ Ë ÿ¥¢Õß m + n 997 n 999 ‡ªìπ‡∑à“„¥ 29. ∂“â 1 + 2 1 4 + 1 + 2 + 4 1 6 + 8 + ... + 2 + 4 + 6 1 ... + 2552 = a 2 + 2+4+6 + + b ‚¥¬∑’Ë À.√.¡. ¢Õß a °—∫ b ‡∑à“°—∫ 1 ·≈«â a + b ¡’§à“‡∑à“„¥ 30. ∂â“ a ‡ªπì §”µÕ∫∑¡Ë’ “°∑’ Ë ÿ¥ ·≈– b ‡ªì𧔵Õ∫∑πË’ Õâ ¬∑ ’Ë ÿ¥¢Õß ¡°“√ x2 › 3x › 28 + 36 + x 144 x2 = 0 ·≈â« a › b ¡§’ à“‡∑“à „¥ 154 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

·π«§‘¥·∫∫∑¥ Õ∫ §≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æËÕ◊ °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æ◊Èπ∞“π

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢Èπ— æÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ µÕπ∑’Ë 1 1. ∂â“ 220 + 410 = 2n ·≈â« n ¡§’ à“‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ 220 + 410 = 220 + (22)10 = 2(220) = 221 ∴ n = 21 µÕ∫ 21 2.  ¡— ª√– ‘∑∏¢Ï‘ Õßæ®πå x2 ®“°°“√°√–®“¬ (2x2+3x+4) (3x2+4x+5) ‡ªìπ‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ (2x2+3x+4) (3x2+4x+5) = 6x4 + 17x3 + 34x2 + 31x + 20 ∴  ¡— ª√– ‘∑∏¢‘Ï Õßæ®πå x2 §Õ◊ 34 µÕ∫ 34 156 ‡ √‘¡§‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æ◊ËÕ°“√§¥— ‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢È—πæ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 3. ∂“â x + 1 + x + 2 + x + 3 = 16 ·≈â« x + 3 ¡§’ à“‡∑“à „¥ 234 ·π«§‘¥ x + 1+ x + 2+ x + 3 = 16 2 3 4 = 192 π” 12 §Ÿ≥∑È—ß Õߢ“â ß = 192 = 13 6(x+1) + 4(x+2) + 3(x+3) = 16 13x + 23 x ∴ x+3 µÕ∫ 16 4. ∂â“√Ÿª Ë’‡À≈’ˬ¡®—µÿ√— √ŸªÀπË÷ß¡’§«“¡¬“«√Õ∫√Ÿª a Àπ૬ ·≈–¡’æÈ◊π∑Ë’‡ªìπ a µ“√“ßÀπ૬ ‡¡Õ◊Ë a > 0 ·≈«â a ¡’§“à ‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ „À√â Ÿª ’ˇÀ≈Ë’¬¡®—µ√ÿ — ¡’¥“â 𬓫¥â“π≈– x Àπ૬ ®–‰¥â a = 4x ·≈– a = x2 x2 = 4x x =4 a = 42 = 16 µÕ∫ 16 ‡ √‘¡§‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 157

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æ◊ÕË °“√§—¥‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—πÈ æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 5. º≈√«¡¢Õß®”π«π‡©æ“–∫«°∑‡Ë’ ªì𵫗 ª√–°Õ∫¢Õß 4620 ¡§’ à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ 4620 = 22 Ó 3 Ó 5 Ó 7 Ó 11 ∴ ®”π«π‡©æ“–∑Ë’‡ªìπµ—«ª√–°Õ∫¢Õß 4620 §◊Õ 2, 3, 5, 7 ·≈– 11 º≈√«¡§◊Õ 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28 µÕ∫ 28 6. ∑Õ¥≈°Ÿ ‡µ“ã ∑‡’Ë ∑ˬ’ ßµ√ß 3 ≈°Ÿ æ√Õâ ¡°—πÀπ÷ßË §√È—ß ®ßÀ“§«“¡π“à ®–‡ªìπ∑’®Ë –‰¥âº≈∫«°¢Õß·µâ¡ ‡ªìπ®”π«π‡©æ“–∑’πË âÕ¬°«“à 11 (µÕ∫‡ªπì ∑»π‘¬¡ 2 µ”·Àπßà ) ·π«§‘¥ n(S) = 6 Ó 6 Ó 6 E ·∑π‡Àµÿ°“√≥å∑’˺≈∫«°¢Õß·µâ¡®“°°“√∑Õ¥≈Ÿ°‡µã“ 3 ≈Ÿ° ‰¥â‡ªìπ®”π«π‡©æ“– ∑’πË Õâ ¬°«“à 11 §◊Õ º≈√«¡‡ªìπ 3, 5, 7 (1, 1, 1), (1, 1, 3), (1, 2, 2), (1, 1, 5), (1, 2, 4), (1, 3, 3), (2, 2, 3) (1, 3, 1), (2, 1, 2), (1, 5, 1), (1, 4, 2), (3, 1, 3), (2, 3, 2) (3, 1, 1), (2, 2, 1), (5, 1, 1), (2, 1, 4), (3, 3, 1), (3, 2, 2) (2, 4, 1) (4, 1, 2) (4, 2, 1) n(E) = 1 + 3 + 3 + 3 + 6 + 3 + 3 = 22 P(E) = 22 = 11 = 0.10 6Ó6Ó6 108 µÕ∫ 0.10 158 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ‡æËÕ◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢πÈ— æ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 7. ®“°√ªŸ ‡ªπì ‡ âπ∑“ߢÕß°“√‡¥‘π∑“߉°≈¢Õß°“√‡¢“â §“à ¬≈°Ÿ ‡ ◊Õ§√È—ßÀπË÷ß ‚¥¬∑Ë’ A ‡ªìπ®¥ÿ ‡√¡‘Ë µπâ ·≈– P ‡ªìπ®ÿ¥æ—°§â“ß·√¡ ∂â“°“√‡¥‘π∑“ß®–µâÕ߇¥‘π„π·π«‡ âπµ√߇∑à“π—Èπ ·µà≈–√–¬–∑“ß ‡™àπ AB = BC = CD = Ç = OP = 0.5 Àπ૬ ·≈–°“√‡≈È’¬«·µà≈–§√È—ß®–µÈ—ß©“°°—∫ ·π«‡¥π‘ ‡¥¡‘ ‡ ¡Õ (¡ÿ¡ ABC = ¡¡ÿ BCD = ¡¡ÿ CDE = Ç = ¡¡ÿ NOP = 90 Õß»“) ·≈â«®ÿ¥æ—°§“â ß·√¡®–Õ¬ÀàŸ à“ß®“°®ÿ¥‡√Ë¡‘ µâπ°Ë’Àπ૬ E F C DG H AB J I L K NM PO ·π«§‘¥ EF C DG H A J ®“°√Ÿª B I PA2 = AI2 + IP2 KL = (4Ó0.5)2 + (3Ó0.5)2 NM ®¥ÿ æ°— §“â ß·√¡®–Õ¬àÀŸ à“ß®“°®¥ÿ ‡√‘¡Ë µπâ 2.5 Àπ૬ PO µÕ∫ 2.5 Àπ૬ ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 159

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æË◊Õ°“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢Èπ— æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 8. ®“°√ªŸ «ß°≈¡ O ¡’√—»¡’ 5 ‡´πµ‡‘ ¡µ√ BC = 6 ‡´πµ‡‘ ¡µ√ ·≈– AD › BC = 2 ‡´πµ‘‡¡µ√ ∂â“æ◊Èπ∑Ë’∑’Ë·√‡ß“‡∑à“°—∫ a µ“√“߇´πµ‘‡¡µ√ ·≈â« a ¡’§à“‡∑à“„¥ (°”Àπ¥„Àâ π = 3.14) (µÕ∫‡ªπì ∑»π¬‘ ¡ 2 µ”·Àπàß) C A O B D ·π«§‘¥ æÈπ◊ ∑∑’Ë ·Ë’ √‡ß“ = æ◊Èπ∑§’Ë √÷Ëß«ß°≈¡ O = 12.5π = 12.5 Ó 3.14 = 39.25 µ“√“߇´πµ‘‡¡µ√ µÕ∫ 39.25 160 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æË◊Õ°“√§—¥‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢È—πæÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 9. √ªŸ  “¡‡À≈Ë’¬¡¥“â π‡∑à“„π√Ÿª¢“â ß≈à“ß¡®’ ”π«π∑—ÈßÀ¡¥°Ë’√Ÿª ·π«§‘¥ √ªŸ  “¡‡À≈¬’Ë ¡∑¡’Ë ’¥â“𬓫 ¥â“π≈– 1 Àπ«à ¬ ¡’ 5 + 7 + 9 + 9 + 7 = 37 √Ÿª √Ÿª “¡‡À≈ˬ’ ¡∑¡Ë’ ’¥â“𬓫 ¥â“π≈– 2 Àπ«à ¬ ¡’ (1+2+3+4) + (2+3+4+3) = 10 + 12 = 22 √Ÿª √Ÿª “¡‡À≈Ë’¬¡∑Ë¡’ ’¥â“𬓫 ¥â“π≈– 3 Àπ«à ¬ ¡’ (1+2) + (1+2+3) = 9 √Ÿª √Ÿª “¡‡À≈¬Ë’ ¡∑’Ë¡¥’ “â 𬓫 ¥“â π≈– 4 Àπ૬ ¡’ = 1 √Ÿª √«¡ 37 + 22 + 9 + 1 = 69 √ªŸ µÕ∫ 69 √Ÿª 10. ®”π«π‡µ¡Á ∫«° n ∑¡Ë’ “°°«“à 2 ·≈–¡’§à“πÕâ ¬∑ ’Ë ¥ÿ ´ß÷Ë ∑”„Àâ n › 1, n › 1 , n › 1 , ..., 2 3 4 n›1 2009 ‡ªìπ‡»… «à πÕ¬“à ßµ”Ë ∑ÿ°®”π«π ·≈â« n ¡§’ à“‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ n › 1 ¡’ À.√.¡. °—∫ 2, 3, 4, ..., 2009 ‡ªìπ 1 ®–‰¥â n › 1 = 2011; n = 2012 µÕ∫ 2012 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 161

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æ◊ÕË °“√§¥— ‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ—°‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ µÕπ∑’Ë 2 11. A, B ·≈– C ‡ªìπæ’ËπâÕß “¡§πÕ¬∫àŸ â“πÀ≈—߇¥’¬«°—π ¢≥–π’æÈ «°‡¢“∑ß—È  “¡Õ¬¥àŸ «â ¬°π— ∫π∂ππ ´÷ßË Õ¬àŸÀ“à ß®“°∫â“π 75 °‚‘ ≈‡¡µ√ ‚¥¬¡’®—°√¬“π¬πµ¡å ’§«“¡‡√«Á 60 °‚‘ ≈‡¡µ√µàÕ™«Ë— ‚¡ß ·≈– π˗߉¥â 2 §π Õ¬àŸ 1 §—π ∂â“·µà≈–§π‡¥‘π¥â«¬§«“¡‡√«Á §ß∑Ë’ 12 °‘‚≈‡¡µ√µÕà ™«Ë— ‚¡ß ‡¡◊ËÕ∑—ßÈ  “¡§π ÕÕ°‡¥‘π∑“ßæ√âÕ¡°—π·≈–®–∂ß÷ ∫“â πæ√âÕ¡°—π‚¥¬„™â‡«≈“πâÕ¬∑Ë ’ ¥ÿ °Ë™’ Ë«— ‚¡ß ·π«§‘¥ „Àâ A ·≈– B ‡¥π‘ ∑“ߥ«â ¬®—°√¬“π¬πµå x ™Ë«— ‚¡ß ·≈â« B ≈߇¥π‘ µàÕ®π∂÷ß∫â“π ¢≥–‡¥’¬«°π— A «°√∂¡“ y ™Ë«— ‚¡ß ‡æË◊Õ√—∫ C ´Ë÷߇¥‘πÕ¬Ÿà ®–‰¥â 8x 75 › 68x NQ 60x P T 12x 12y 60y 12y 72y = 48x y= 2 x 3 QT = 75 › 68x PT = 75 › 20x ®–‰¥â 75 › 20x = 75 › 68x 60 12 5 162 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—πÈ æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 15 › 4x = 75 › 68x 64x = 60 x = 15 ™—«Ë ‚¡ß 16 y = 2 Ó 15 = 5 ™—Ë«‚¡ß 3 16 8 75 › 68 ( 15 ) = 15 16 16 ®–‰¥â ™«Ë— ‚¡ß 12 ∴ ‡«≈“∑—ÈßÀ¡¥ = 15 + 5 + 15 = 2.5 ™«Ë— ‚¡ß 16 8 16 µÕ∫ 2 1 ™—Ë«‚¡ß 2 12. ∂â“ 6x = 3y = 2z = yz + 3xz › xy 3 ·≈â« xyz ¡§’ à“‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ 111 „Àâ 6x = 3y = 2z = 3 = k ®–‰¥â 6 = kx; 3 = ky; 2 = kz ®“°‚®∑¬å yz + 3xz › xy yz + 3xz › xy = 1 + 3 › 1 xyz = xyz xyz xyz x y z 1 3 1 13 6 Ó 33 y z kx Ó ky 2 3)8 ®“° kx + › = = = 34 = ( 1 kz ¥—ßπ—Èπ 1 + 3 › 1 =8 x y z µÕ∫ 8 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 163

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 13. °”Àπ¥„Àâ a ·≈– b ‡ªì𧔵Õ∫¢Õß ¡°“√ 7x2 + kx + 31 = 0 ∂â“ a ‡ªπì ®”π«π∫«° ∑Ë’πâÕ¬°«“à 12 Õ¬Ÿà 13 ·≈«â b ¡§’ à“‡∑“à „¥ (µÕ∫‡ªπì ∑»π¬‘ ¡ 2 µ”·Àπßà ) 14 ·π«§‘¥ 12 › a = 13 ; a = 155 µÕ∫ 0.40 14 14 ab = 31 ; b = 31 Ó 14 = 0.40 7 7 155 14. °”Àπ¥„Àâ x > 0 ∂â“ 3 14 › 3x = 4 › 3 14 + 3x ·≈â« 27x2 › 36x + 201 ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ (3 14 + 3x + 3 14 › 3x)3 = 43 28 + 12 3 196 › 9x2 = 64 x2 = 169 9 x = 13 3 ∴ 27x2 › 36x + 201 = 27 Ó 169 › 36 Ó 13 + 201 = 552 9 3 µÕ∫ 552 164 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æË◊Õ°“√§¥— ‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 15. ‡À¬Õ◊ °∑√ß°√–∫Õ°¡‡’  πâ º“à π»πŸ ¬°å ≈“ß¿“¬„π‡∑“à °∫—  «à π ßŸ ¢Õ߇À¬Õ◊ °´ß÷Ë ‡∑“à °∫— 12‡´πµ‡‘ ¡µ√ ‡À¬◊Õ°„∫π∫’È √√®ÿπ”È ‰« â Õß„π “¡¢Õ߇À¬◊Õ° ∂“â π”≈°Ÿ Àπ‘ ∑√ß°≈¡∑¡’Ë ‡’  âπºà“π»Ÿπ¬å°≈“߇∑à“°—∫ ‡ âπºà“π»Ÿπ¬å°≈“ß¿“¬„π¢Õ߇À¬◊Õ°„ à≈ß„π‡À¬◊Õ°∑”„Àâπ”È ≈âπÕÕ°®“°‡À¬◊Õ° aπ ≈Ÿ°∫“»°å ‡´πµ‡‘ ¡µ√ ·≈«â a ¡’§à“‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ ª√‘¡“µ√πÈ”∑≈Ë’ âπ = ª√¡‘ “µ√∑√ß°≈¡ › 1 ª√‘¡“µ√∑√ß°√–∫Õ° 3 aπ = 4 π (63) › 1 π (62Ó12) ≈Ÿ°∫“»°å‡´πµ‘‡¡µ√ 3 3 a= 1 (63) (4›2) = 144 3 µÕ∫ 144 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 165

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æËÕ◊ °“√§¥— ‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢Èπ— æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 16.  ¡™“µ‘‡√‘¡Ë 擬‡√◊Õµ“¡π”È ®“°‡¡Õ◊ ß ° ‰ªµ“¡·¡àπ”È  “¬ÀπßË÷ ‡ªìπ‡«≈“ 10 π“∑’ ‰¥â∑ß‘È °√–ªÜÕßπ”È æ≈“ µ‘°≈ßπÈ” æÕ擬‰ª‰¥â√–¬–ÀπË÷ßπ÷°‰¥â«à“‰¡à§«√∑”„Àâ·¡àπ”È  °ª√°®÷ß擬‡√◊Õ∑«π °√–· πÈ”¬âÕπ‰ª‡°Á∫°√–ªÜÕß„∫π—Èπ ‚¥¬„™â‡«≈“®“°¬âÕπ°≈—∫®π‡°Á∫°√–ªÜÕß 25 π“∑’ ∂Ⓡ¢“„™âÕ—µ√“‡√Á«„π°“√擬‡√◊է߇¥‘¡ ®ßÀ“‡«≈“∑’Ë ¡™“µ‘‡√‘ˡ擬‡√◊ÕÕÕ°®“°‡¡◊Õß ° ®π∂÷߇«≈“¬âÕπ°≈—∫¡“‡°Á∫°√–ªÕÜ ß‡ªìπ‡«≈“°’Ëπ“∑’ ·π«§‘¥ „À§â «“¡‡√«Á ‡√Õ◊ „ππ”È πË‘ß = x Àπ૬√–¬–∑“ßµÕà π“∑’ §«“¡‡√«Á °√–· πÈ” = y Àπ૬√–¬–∑“ßµÕà π“∑’ t ·∑π‡«≈“∑∑Ë’ ‘Èß°√–ªÕÜ ß®π«°°≈∫— ¡’Àπ«à ¬‡ªπì π“∑’ 1 t ·∑π‡«≈“∑«’Ë °°≈∫— ®π∂ß÷ ‡°Á∫°√–ªÜÕß¡À’ π«à ¬‡ªìππ“∑’ 2 10 π“∑’ (x+y)t t yt 1 1 1 yt t 2 2 (x›y)t 2 (x+y)t = yt + yt + (x›y)t 1 12 2 t =t 12 ∴ 25 + 10 = 35 π“∑’ µÕ∫ 35 π“∑’ 166 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æË◊Õ°“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæπ◊È ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 17. ®“°°√–¥“πÀ¡“°√ÿ° æÈ◊π∑’√Ë Ÿª ’‡Ë À≈Ë’¬¡®µ— ÿ√ — ∑°ÿ √ªŸ √«¡°π— ‡∑à“°—∫°µ’Ë “√“ßÀπ૬ ‡¡Ë◊Õ√ªŸ  ’‡Ë À≈¬’Ë ¡®—µÿ√ — √ªŸ ‡≈Á°·µ≈à –√Ÿª¡æ’ È◊π∑’Ë 1 µ“√“ßÀπ«à ¬ ·π«§‘¥ 1. ®µ— ÿ√ — ∑¡’Ë §’ «“¡¬“«¥â“π≈– 1 Àπ«à ¬ ¡’ 64 √Ÿª ¡æ’ ◊Èπ∑Ë’√«¡°—π = 64 (1) µ“√“ßÀπ૬ 2. ®—µÿ√ — ∑Ë’¡’§«“¡¬“«¥â“π≈– 2 Àπ«à ¬ ¡’ 49 √Ÿª ¡æ’ Èπ◊ ∑Ë√’ «¡°—π = 49 (4) µ“√“ßÀπ«à ¬ 3. ®µ— √ÿ  — ∑Ë’¡§’ «“¡¬“«¥â“π≈– 3 Àπ«à ¬ ¡’ 36 √Ÿª ¡æ’ ◊Èπ∑Ë√’ «¡°—π = 36 (9) µ“√“ßÀπ«à ¬ 4. ®—µÿ√— ∑’¡Ë §’ «“¡¬“«¥â“π≈– 4 Àπ૬ ¡’ 25 √ªŸ ¡æ’ ◊πÈ ∑Ë√’ «¡°π— = 25 (16) µ“√“ßÀπ«à ¬ 5. ®µ— √ÿ  — ∑Ë’¡§’ «“¡¬“«¥“â π≈– 5 Àπ«à ¬ ¡’ 16 √ªŸ ¡æ’ È◊π∑’√Ë «¡°—π = 16 (25) µ“√“ßÀπ«à ¬ 6. ®µ— √ÿ — ∑’Ë¡§’ «“¡¬“«¥â“π≈– 6 Àπ૬ ¡’ 9 √Ÿª ¡æ’ ◊Èπ∑Ë√’ «¡°π— = 9 (36) µ“√“ßÀπ૬ 7. ®—µ√ÿ  — ∑¡’Ë ’§«“¡¬“«¥â“π≈– 7 Àπ«à ¬ ¡’ 4 √Ÿª ¡æ’ π◊È ∑Ë’√«¡°—π = 4 (49) µ“√“ßÀπ«à ¬ 8. ®µ— √ÿ  — ∑Ë’¡§’ «“¡¬“«¥â“π≈– 8 Àπ«à ¬ ¡’ 1 √ªŸ ¡’æÈπ◊ ∑√Ë’ «¡°π— = 1 (64) µ“√“ßÀπ૬ √«¡ (64+196+324+400) Ó 2 = 984 Ó 2 = 1968 µ“√“ßÀπ૬ µÕ∫ 1968 µ“√“ßÀπ૬ ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 167

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æ◊ËÕ°“√§¥— ‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢È—πæÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 18. ®“°√Ÿª √Ÿª “¡‡À≈¬Ë’ ¡ APQ ·≈–√ªŸ  Ë‡’ À≈Ë’¬¡ PQCB ¡’«ß°≈¡·π∫„π ∂“â BC + PQ = 25 Àπ«à ¬ ·≈– AE = 7 Àπ«à ¬ ·≈«â √ªŸ  “¡‡À≈¬Ë’ ¡ ABC ¡§’ «“¡¬“«√Õ∫√ªŸ ‡∑à“°—∫°’ËÀπ«à ¬ B Y X P Z E R A FQ G C ·π«§‘¥ BC + PQ = 25 = BP + QC ‡ âπ√Õ∫√ªŸ ∆ ABC = BC + PB + PA + CQ + QA = BC + PB + PE + EA + CQ + QF + FA = (BC+PE+QF) + (PB+CQ) + 7 + 7 = 64 Àπ૬ µÕ∫ 64 Àπ૬ 168 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 19. ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈Ë’¬¡ ¡’ AD ‡ªìπ à«π Ÿß ∂â“ AD = 112 Àπ૬ BC = 66 Àπ૬ M ·≈– N ‡ªπì ®¥ÿ ·∫àߧ√÷ßË AB ·≈– CD µ“¡≈”¥—∫ ·≈«â MN ‡∑à“°—∫°’ËÀπ૬ ·π«§‘¥ A «“¥√Ÿªµ“¡‚®∑¬å ≈“° MT ⊥ BC ∑’Ë T M 112 ®–‰¥â MT = 1 AD = 56 BT 2 µÕ∫ 65 Àπ૬ ·≈– TN = 1 BC = 33 2 ∴ MN = 562 + 332 DN C = 65 Àπ૬ ‡ √‘¡§‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 169

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æ◊ÕË °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢È—πæπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 20. AB ·≈– BC ‡ªìπ Õߥâ“π∑’‡Ë √¬’ ßµ‘¥µàÕ°—π¢Õß√Ÿª 9 ‡À≈ˬ’ ¡¥“â π‡∑à“¡ÿ¡‡∑à“´ß÷Ë ·π∫„π«ß°≈¡ O ∂“â M ‡ªìπ®¥ÿ ·∫àߧ√÷Ëߥ“â π AB ·≈– N ‡ªìπ®ÿ¥·∫àߧ√Ë÷ß√»— ¡’ ´ßË÷ ≈“°®“° O ‰ªµÈ—ß©“°°∫— ¥“â π BC ·≈â«¡ÿ¡ ONM ¡’¢π“¥°’ÕË ß»“ ·π«§‘¥ A <«“¥√Ÿªµ“¡‚®∑¬åOT ‡ªìπ√»— ¡∑’ ≈Ë’ “°®“° 0 ‰ªµß—È ©“°°—∫ BC < 2 ON = OA = 2NT 70 Ì M 30 Ì < << <<B ·≈– AOT = 60 Ì < OA = OT 20 Ì 70 Ì 20 Ì 20 Ì 20 Ì ∴ ∆ OAT ‡ªìπ ∆ ¥“â π‡∑à“ O T OAN = 30 Ì ·≈– ONA = 90 Ì N ONA = OMA 70 Ì ∴ ONMA ·π∫„π«ß°≈¡ AOM = ANM = 20 Ì ∴ ONM = 110 Ì C µÕ∫ 110 Õß»“ 170 ‡ √‘¡§‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æÕË◊ °“√§—¥‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ µÕπ∑’Ë 3 21. ∂â“ n ‡ªπì ®”π«π‡µ¡Á ∫«° ´÷ßË ∑”„Àâ 8n + n À“√¥«â ¬ 2n + n ≈ßµ—« ·≈⫺≈∫«°¢Õß§à“ n ∑ßÈ— À¡¥‡ªìπ‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ 8n + n = (23)n + n3 › n3 + n = (2n)3 + n3 › (n3›n) = (2n +n) (4n›n⋅2n+n2) › (n3›n) ∴ ®–‰¥â n3 › n ∂Ÿ°À“√¥«â ¬ 2n + n ≈ßµ—« ·µà 210 > 103 ¥—ßππÈ— n < 10 ‡¡◊ÕË ·∑π§à“¥®Ÿ –‰¥â n = 1, 2, 4, 6 º≈∫«°¢Õߧ“à ∑—ßÈ À¡¥‡ªìπ 13 µÕ∫ 13 22. °”Àπ¥„Àâ m ‡ªπì ®”π«π‡µÁ¡∫«°∑’¡Ë §’ à“πâÕ¬∑ ’Ë ÿ¥ ´÷Ëß (x+4) (x+5) (x+9) p(x) › (x›4) (x›5) (x›9) q(x) = m ∂â“ p(x) ·≈– q(x) ‡ªìπæÀÿπ“¡∑Ë’¡’ —¡ª√– ‘∑∏Ï‘‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡ ·≈«â m ¡’§“à ‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ ‡¡Õ◊Ë x = 4 ®–‰¥â 23 Ó 32 Ó 13 Ó p(4) = m x = 5 ®–‰¥â 32 Ó 22 Ó 5 Ó 7 Ó p(5) = m x = 9 ®–‰¥â 22 Ó 32 Ó 7 Ó 13 Ó p(9) = m ®–‰¥â m ¡’ 23 Ó 32 Ó 13, 22 Ó 32 Ó 5 Ó 7 ·≈– 22 Ó 32 Ó 7 Ó 13 ‡ªπì µ«— ª√–°Õ∫ ∴ m §Õ◊ §.√.π. ¢Õß 23 Ó 32 Ó 13, 22 Ó 32 Ó 5 Ó 7, 22 Ó 32 Ó 7 Ó 13 m = 23 Ó 32 Ó 5 Ó 7 Ó 13 = 32760 µÕ∫ 32760 ‡ √‘¡§‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 171

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æÕ◊Ë °“√§—¥‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 23. °”Àπ¥„Àâ a ®”π«ππ—∫ ∂â“ 3a2 › 2a + 10 ‡ªìπ®”π«ππ—∫ ·≈«â º≈∫«°¢Õߧ“à a ∑ß—È À¡¥ a›2 ∑‡’Ë ªπì ‰ª‰¥¡â §’ “à ‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ 3a2 › 2a + 10 = 3a2 › 6a + 4a › 8 + 18 a›2 a›2 = 3a(a›2) + 4(a›2) + 18 ·≈– a ≠ 2 a›2 a›2 = 3a + 4 + a 18 ›2 3a + 4 ‡ªπì ®”π«ππ∫— ‡¡Ë◊Õ a ‡ªπì ®”π«ππ—∫ ®÷ßæ‘®“√≥“ a › 2 À“√ 18 ≈ßµ«— ‡¡ËÕ◊ a › 2 = 1, 2, 3, 6, 9, 18 a = 3, 4, 5, 8, 11, 20 ∴ º≈∫«°¢Õß a ‰¥â ‡∑“à °—∫ 51 µÕ∫ 51 172 ‡ √‘¡§‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢πÈ— æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 24. °”Àπ¥„Àâ P = 25002 + 1 + ( 2500 )2 + 2500 ‡¡◊ËÕ P = A Ó 10n, 1 ≤ A < 10, 2501 2501 ∂“â n ‡ªπì ®”π«ππ—∫ ·≈â« 1000 (A+n) ¡§’ “à ‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ 25012 = (2500+1)2 ®“° 25012 › 2(2500) = 25002 + 2 (2500) + 1 = 25002 + 1 ®–‰¥â P = 25012 › 2(2500) + ( 2500 )2 + 2500 2501 2501 = (2501 › 2500 )2 + 2500 2501 2501 = 2501 = 2.501 Ó 103 1000(A+n) = 1000(2.501+3) = 5501 µÕ∫ 5501 ‡ √‘¡§‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 173

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æÕË◊ °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ—°‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 25. ∂â“ x + y + 2z = x + 2y + z = 2x + y + z = 16 ·≈â« x2 + y2 + z2 ¡’§“à ‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ 4x + 4y + 4z = 48 x + y + z = 12 .......................... (A) ∴ x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx = 144 ®“° x + y + 2z = 16 .......................... 1 x + 2y + z = 16 .......................... 2 2x + y + z = 16 .......................... 3 1 › 2; ›y + z = 0 y › z = 0 ®–‰¥â y2 + z2 = 2yz 2 › 3; ›x + y = 0 x › y = 0 ®–‰¥â x2 + y2 = 2xy 3 › 1; x › z = 0 ®–‰¥â x2 + z2 = 2xz ·∑π§“à „π A; x2 + y2 + z2 + x2 + y2 + y2 + z2 + x2 + z2 = 144 3y2 + 3x2 + 3z2 = 144 x2 + y2 + z2 = 48 µÕ∫ 48 174 ‡ √‘¡§‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æ◊ËÕ°“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 26. ABCD ‡ªπì √Ÿª ’ˇÀ≈¬Ë’ ¡·π∫„π«ß°≈¡√—»¡’ 65 Àπ«à ¬ ∂â“ AB = 50 Àπ«à ¬ BC = 104 Àπ«à ¬ ·≈– CD = 120 Àπ૬ ·≈â« AD ‡∑à“°—∫°ËÀ’ π«à ¬ ·π«§‘¥ B T 104 C OP = 652 › 252 = 60 65 65 OQ = 652 › 602 = 25 OT = 652 › 522 = 39 50 P O 120 ®–‰¥â ∆ OBT ≅ ∆ OAS A 65 ∴ AS = TO = 39 Q AD = 78 Àπ«à ¬ 65 S D µÕ∫ 78 Àπ«à ¬ ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 175

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ—°‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ < < < << < < 27. ABCD ‡ªìπ√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡ ∂â“ CAD : ABD : BAD : ADB = 1 : 2 : 3 : 4 ·≈– CBD : BAD = 1 : 2 ·≈«â ADC ¡’¢π“¥°’ÕË ß»“ ·π«§‘¥ «“¥√Ÿªµ“¡‚®∑¬å ®“°¡ÿ¡¿“¬„π√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡√«¡°—π A <‡ªìπ 180 Ì 20 Ì < <<®–‰¥â CAD = 20 Ì ·≈– AB = AC ≈“°‡ âπ <<·∫àߧ√ß÷Ë ¡¡ÿ BAC ‡≈¬®π∂÷ß E ∑”„Àâ ∆ BCE ‡ªìπ√ªŸ 40 Ì  “¡‡À≈ˬ’ ¡¥â“π‡∑à“®–‰¥â <<∆ ABE ≅ ∆ ACE T 80 Ì D ∴ BEA = CEA = 30 Ì 40 Ì 70 Ì C ≈“° CT ®–‰¥â ∆ BTE ≅ ∆ CTE B 30 Ì ∴ BTE = CTE = ATD = 60 Ì ¥ß— πÈ—π ADC = 130 Ì 30 Ì 30 Ì E µÕ∫ 130 Õß»“ 176 ‡ √‘¡§‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æËÕ◊ °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢È—πæÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 28. ∂“â 108 < m < 110 ‡¡Ë◊Õ m ·≈– n ‡ªπì ®”π«π‡µ¡Á ∫«° ·≈«â §“à πÕâ ¬∑ ’Ë ¥ÿ ¢Õß m + n 997 n 999 ‡ªìπ‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ 108 Ó 999 < m < 110 997 999 n 999 (110›2) Ó (997+2) < m < 110 997 Ó 999 n 999 110 Ó 997 › 1778 < m < 110 997 Ó 999 n 999 ∴ m = 110 Ó 997 › t ‡¡Ë◊Õ t = 1, 2, 3, ..., 1777 n 997 Ó 999 ‡≈◊Õ° t = 997 ®–‰¥â m = 109 n 999 „π∑”πÕ߇¥’¬«°π— m = 110 Ó 999 › s ‡¡Õ◊Ë s = 1, 2, 3, ..., 1997 n 997 Ó 999 ‡≈◊Õ° s = 999 ®–‰¥â m = 109 n 997 ∴ m + n πÕâ ¬∑’Ë ÿ¥‡ªπì 109 + 997 = 1106 µÕ∫ 1106 ‡ √‘¡§‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 177

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æ◊ÕË °“√§—¥‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢Èπ— æÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 29. ∂“â 1 + 2 1 4 + 2 + 1 + 6 + 2 + 4 1 6 + 8 + ... + 2 + 4 + 6 1 ... + 2552 = a 2 + 4 + + b ‚¥¬∑’Ë À.√.¡. ¢Õß a °∫— b ‡∑“à °—∫ 1 ·≈«â a + b ¡’§à“‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ 1 + 2 1 4 + 1 + 2 + 4 1 6 + 8 + 1 + ... + 2 + 2+4+6 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 1 2 + 4 + 6 + ... + 2552 = 1 1 2+ 2 1 3+ 3 1 4+4 1 5+ 5 1 6 + ... + 1 Ó Ó Ó Ó Ó 1276 Ó 1277 = 1 › 1 + 1 › 1 + 1 › 1 + 1 › 1 + ... + 1 › 1 1 2 2 3 3 4 4 5 1276 1277 = 1 › 1 1 1277 = 1276 = a 1277 b ∴ a + b = 1276 + 1277 = 2553 µÕ∫ 2553 178 ‡ √‘¡§‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æ◊ËÕ°“√§¥— ‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢Èπ— æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 30. ∂â“ a ‡ªì𧔵Õ∫∑Ë’¡“°∑’ Ë ÿ¥ ·≈– b ‡ªπì §”µÕ∫∑π’Ë âÕ¬∑’Ë ÿ¥¢Õß ¡°“√ x2 › 3x › 28 + 36+ x 144 = 0 ·≈â« a › b ¡§’ à“‡∑à“„¥ x2 ·π«§‘¥ (x2›24+1x424) › 3 (x› 1x2) › 28 + 24 = 0 (x› 12 )2 › 3 (x› 1x2) › 4 =0 x [(x› 1x2) › 4] [(x› 12 ) + 1] = 0 x x2 › 4x › 12 = 0 x2 + x › 12 = 0 (x›6) (x+2) = 0 (x+4) (x›3) = 0 x = 6, ›2 x = ›4, 3 ¥—ßπÈ—π a = 6; b = ›4 a › b = 6 › (›4) = 10 µÕ∫ 10 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 179

§≥–∑”ß“π ∑ª’Ë √°÷ …“ ‡≈¢“∏‘°“√§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢Èπ— æÈπ◊ ∞“π 1. ¥√.™π‘ ¿∑— √ ¿¡Ÿ ‘√—µπ √Õ߇≈¢“∏‘°“√§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—πÈ æÈπ◊ ∞“π 2. ¥√. ¡‡°’¬√µ‘ ™Õ∫º≈ √Õ߇≈¢“∏°‘ “√§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢Èπ— æ◊Èπ∞“π 3. 𓬇 πàÀå ¢“«‚µ √Õ߇≈¢“∏‘°“√§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢π—È æÈπ◊ ∞“π 4. ¥√.™—¬æƒ°…å ‡ √’√°— …å ºÕŸâ ”π«¬°“√ ”π—°æ—≤π“π«µ— °√√¡°“√®¥— °“√»÷°…“ 5. ¥√.Õ√∑¬— ¡≈Ÿ §” §≥–∑”ß“π 1. ¥√.≈ÕÕ ‡æ¡‘Ë  ¡∫—µ‘ ¢â“√“™°“√∫”π“≠ °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 2. π“¬∫≥— ±‘µ ΩÕ¬∑Õß ¢“â √“™°“√∫”π“≠ °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 3. π“ß√—™π’ π“§π§√ ¢“â √“™°“√∫”π“≠ °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 4. 𓬪√“‚¡∑¬å ¢®√¿¬— »°÷ …“π‡‘ ∑»°å  ”π°— ß“π‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“°√ßÿ ‡∑æ¡À“π§√ ‡¢µ 1 ™à«¬√“™°“√ ”π—°æ≤— π“π«µ— °√√¡°“√®—¥°“√»÷°…“ 5. π“ßπ®‘ «¥’ ‡®√≠‘ ‡°¬’ √µ∫‘ «√ π—°«™‘ “°“√»°÷ …“  ”π°— æ≤— π“π«µ— °√√¡°“√®¥— °“√»÷°…“ 6. π“ß “««√πÿ™ √ÿà߇√Õ◊ ߇®√≠‘ °ÿ≈ π°— «™‘ “°“√»°÷ …“  ”π—°æ≤— π“π«—µ°√√¡°“√®¥— °“√»÷°…“ 7. π“ß “«¡“≈’ °µ‘ µ‘Õ¥ÿ ¡‡¥™ π°— «‘™“°“√»÷°…“  ”π°— æ≤— π“π«µ— °√√¡°“√®—¥°“√»÷°…“ 8. π“ß√—™∑‘µ“ ‡™¬°≈Ë‘π π—°«™‘ “°“√»÷°…“  ”π—°æ≤— π“π«—µ°√√¡°“√®¥— °“√»÷°…“ 9. ¥√.»°— ¥‘Ï ‘π ™àÕߥ“√“°ÿ≈ π—°«™‘ “°“√»°÷ …“  ”π°— æ—≤π“π«—µ°√√¡°“√®¥— °“√»°÷ …“ 10. π“ß°≈Õ¬„® ™«π»√’‰æ∫≈Ÿ ¬å »°÷ …“π‡‘ ∑»°å  ”π°— ß“π‡¢µæπÈ◊ ∑’Ë°“√»°÷ …“®—π∑∫ÿ√’ ‡¢µ 1 11. π“ߪ√“≥’ «‘∑¬¿§— »÷°…“π‘‡∑»°å  ”π°— ß“π‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»°÷ …“ª∑¡ÿ ∏“π’ ‡¢µ 2 12. «à“∑’Ë æ.µ.‰æ‚√®πå ‡Õ¡«—≤πå »÷°…“π‘‡∑»°å  ”π—°ß“π‡¢µæÈ◊π∑’Ë°“√»°÷ …“ ß¢≈“ ‡¢µ 2 13. 𓬪√–¥‘…∞å ‡¥™∫≠ÿ »°÷ …“π‡‘ ∑»°å  ”π—°ß“π‡¢µæπ◊È ∑°’Ë “√»÷°…“π√“∏«‘ “  ‡¢µ 1 14. π“ß “«Õ¿‘≠≠“ ∫ÿ≠Õ‰ÿ √ »÷°…“π‘‡∑»°å  ”π—°ß“π‡¢µæÈπ◊ ∑’Ë°“√»÷°…“∫√ÿ √’ ¡— ¬å ‡¢µ 1 15. π“ß®√‘ “æ√ ¡ß§≈§” »÷°…“π‘‡∑»°å  ”π°— ß“π‡¢µæÈπ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“‡™’¬ß√“¬ ‡¢µ 1 16. 𓬮√‘ «≤— πå √—°æ«à ß »°÷ …“π‡‘ ∑»°å  ”π°— ß“π‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»°÷ …“µ“° ‡¢µ 1 17. π“ß≈–‡¡’¬¥ °√∫ß°™¡“» ‚√߇√’¬π «π°Àÿ ≈“∫«∑‘ ¬“≈¬—  ”π°— ß“π‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»÷°…“°√ÿ߇∑æ¡À“π§√ ‡¢µ 1 180 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

18. π“¬¡“π‘µ¬å ®√‘ ‚°‡¡» ‚√߇√¬’ π «π°Àÿ ≈“∫«∑‘ ¬“≈¬— 19. ¥√.«√√≥«‘¿“  ∑ÿ ∏‡°’¬√µ‘  ”π°— ß“π‡¢µæÈ◊π∑’Ë°“√»÷°…“°√ÿ߇∑æ¡À“π§√ ‡¢µ 1 20. 𓬉¡µ√’ »√∑’ Õß·∑â ‚√߇√¬’ π “¡‡ π«‘∑¬“≈¬— 21. π“¬Õ¥ÿ ¡ ·§°√–‚∑°  ”π—°ß“π‡¢µæπÈ◊ ∑Ë’°“√»÷°…“°√ÿ߇∑æ¡À“π§√ ‡¢µ 1 22. «“à ∑’Ë √.µ.«™— √ π— µå Õ‘π∏ ‘ “√ ‚√߇√¬’ π‡µ√’¬¡Õ¥ÿ ¡»÷°…“ 23. π“ß “««√ ‘∑∏‘Ï ‚°»“§“√  ”π°— ß“π‡¢µæ◊πÈ ∑’Ë°“√»÷°…“°√ÿ߇∑æ¡À“π§√ ‡¢µ 1 24. π“ß “«¿“«¥’  ÿ√‘¬æ—π∏ÿå ‚√߇√’¬π ÿ√π“√’«‘∑¬“  ”π°— ß“π‡¢µæÈπ◊ ∑Ë’°“√»÷°…“π§√√“™ ¡’ “ ‡¢µ 1 ‚√߇√¬’ 𠓬ª≠í ≠“  ”π°— ß“π‡¢µæπ◊È ∑Ë°’ “√»°÷ …“°√ÿ߇∑æ¡À“π§√ ‡¢µ 1 ‚√߇√’¬π«—¥∫√Ÿ æ“æ‘∑¬“√“¡  ”π—°ß“π‡¢µæπ◊È ∑Ë’°“√»°÷ …“®—π∑∫√ÿ ’ ‡¢µ 1 ‚√߇√¬’ πæ√–ª∞¡«‘∑¬“≈¬—  ”π°— ß“π‡¢µæπ◊È ∑Ë’°“√»÷°…“π§√ª∞¡ ‡¢µ 1 ª° √ÕߺŸÕâ ”π«¬°“√‚√߇√’¬π«¥— · πµÕ 𓬪√–¡ÿ¢ ª≠ÿ  √‘ ‘  ”π°— ß“π‡¢µæ◊Èπ∑°’Ë “√»÷°…“°“≠®π∫√ÿ ’ ‡¢µ 2 ∫—π∑÷°¢âÕ¡Ÿ≈  ”π—°æ—≤π“π«µ— °√√¡°“√®—¥°“√»÷°…“ 1. π“ß “« “¬æ‘≥  ≠Ÿ ¬’Ë¢π—  ”π°— æ—≤π“π«—µ°√√¡°“√®¥— °“√»÷°…“ 2. π“ßÕ√æ≥‘ ‰°√¥‘…∞å  ”π—°æ≤— π“π«—µ°√√¡°“√®¥— °“√»°÷ …“ 3. 𓬬∑ÿ ∏®—°√  ÿ‚ ¿“ ∫√√≥“∏°‘ “√°‘®/√ªŸ ‡≈¡à »÷°…“π‡‘ ∑»°å  ”π—°ß“π‡¢µæπÈ◊ ∑Ë°’ “√»°÷ …“°√ÿ߇∑æ¡À“π§√ ‡¢µ 1 1. 𓬪√“‚¡∑¬å ¢®√¿—¬ ™«à ¬√“™°“√ ”π°— æ—≤π“π«—µ°√√¡°“√®—¥°“√»°÷ …“ π—°«™‘ “°“√»°÷ …“  ”π°— æ—≤π“π«µ— °√√¡°“√®¥— °“√»°÷ …“ 2. π“ßπ®‘ «¥’ ‡®√‘≠‡°’¬√µ‘∫«√ ¢â“√“™°“√∫”π“≠ °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 3. π“ß√™— π’ π“§π§√ ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 181

‡≈¢“πÿ°“√‚§√ß°“√ »°÷ …“π‡‘ ∑»°å  ”π°— ß“π‡¢µæπ◊È ∑°’Ë “√»°÷ …“°√ßÿ ‡∑æ¡À“π§√ ‡¢µ 1 1. 𓬪√“‚¡∑¬å ¢®√¿¬— ™«à ¬√“™°“√ ”π°— æ—≤π“π«µ— °√√¡°“√®¥— °“√»÷°…“ π°— «‘™“°“√»°÷ …“  ”π°— æ≤— π“π«µ— °√√¡°“√®—¥°“√»÷°…“ 2. π“ßπ‘®«¥’ ‡®√≠‘ ‡°’¬√µ‘∫«√ π°— «‘™“°“√»÷°…“  ”π°— æ—≤π“π«µ— °√√¡°“√®¥— °“√»°÷ …“ 3. π“ß “««√π™ÿ √ÿà߇√◊Õ߇®√≠‘ °≈ÿ π°— «‘™“°“√»÷°…“  ”π°— æ≤— π“π«—µ°√√¡°“√®¥— °“√»÷°…“ 4. π“ß “«¡“≈’ °‘µµÕ‘ ¥ÿ ¡‡¥™ 182 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

”¢ª³™± ‡²™„“°££¡²£²£¨¶©²‚±É™žÉ™· ²™
¥¡h¸ §ˆ´ ¢± Á¥°ž±’™²­‡„l £Á«‡h ²£À£µ¢™£
i¹ „£‡²£ž’± ™²„“¸  ²ž²£À£¢µ ™£¹iªª¹h ²¥

À­ª²£
ª™
—
ȵ