เสริมคิดคณิตศาสตร์ม.ต้น 51-52

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—ÈπæÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 30. °”Àπ¥ S = 1 + 1 +1 + ... + 1  à«π∑’‡Ë ªìπ®”π«π‡µÁ¡¢Õß S ¡§’ “à ‡∑à“„¥ 2 3 1000000 2 ·π«§‘¥ 1 <1 < 1 n+1+ n 2 n n+ n›1 n+1› n < 1 < n› n›1 2n S >( 2› 1) + ( 3› 2) + ... + ( 1000000› 999999) + 1 2 2 1000000 ·≈– S < ( 1› 0) + ( 2› 1) + ... + ( 1000000› 999999) 2 ¥ß— π—Èπ 1000000 › 1+ 1 < S < 1000000 › 0 2 1000000 2 999 + 1 < S < 1000 2000 2 ∴  «à π∑Ë’‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡¢Õß S §Õ◊ 999 2 µÕ∫ 999 44 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

·∫∫∑¥ Õ∫ §≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æ◊Èπ∞“π

·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æË◊Õ°“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ—°‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢Èπ— æÈ◊π∞“𠧔™’È·®ß 1. ·∫∫∑¥ Õ∫©∫∫— πÈ’ ‡ªìπ·∫∫∑¥ Õ∫™π‘¥‡µ‘¡§”µÕ∫ ‡«≈“ 2 ™«Ë— ‚¡ß 30 π“∑’ 2. ·∫∫∑¥ Õ∫¡’ 50 ¢âÕ ·∫àßÕÕ°‡ªìπ 3 µÕπ §–·ππ‡µ¡Á 100 §–·ππ ¥ß— πÈ’ µÕπ∑’Ë 1 µÈ—ß·µà¢âÕ 1-20 ¢Õâ ≈– 1 §–·ππ √«¡ 20 §–·ππ µÕπ∑Ë’ 2 µ—Èß·µà¢âÕ 21-40 ¢Õâ ≈– 2 §–·ππ √«¡ 40 §–·ππ µÕπ∑Ë’ 3 µ—Èß·µà¢âÕ 41-50 ¢Õâ ≈– 4 §–·ππ √«¡ 40 §–·ππ 3. „À⇢’¬π™◊ËÕ-™◊ËÕ °ÿ≈ ‚√߇√’¬π ‡≈¢ª√–®”µ—« Õ∫ ÀâÕß Õ∫ Õ”‡¿Õ ·≈–®—ßÀ«—¥ ≈ß„π°√–¥“…§”µÕ∫ 4. ‡¢’¬π‡©æ“–§”µÕ∫¥â«¬ª“°°“ ’¥”À√◊Õ ’πÈ”‡ß‘π≈ß„π°√–¥“…§”µÕ∫„Àµâ √ß°—∫¢âÕ§”∂“¡ 5. ∂“â §”µÕ∫¡’¡“°°«à“ 1 §”µÕ∫ µÕ∫„Àâ§√∫·≈–∂°Ÿ µâÕß∑—ßÈ À¡¥ ®–‰¥§â –·ππ‡µÁ¡ 6. ‰¡àÕπÿ≠“µ„Àâ„™‡â §√ËÕ◊ ߧ‘¥‡≈¢ ‚∑√»—æ∑å À√Õ◊ ‡§√◊ÕË ß¡◊Õ„¥ Ê „π°“√§”π«≥ 7. °“√µ¥—  ‘π¢Õߧ≥–°√√¡°“√∂Õ◊ ‡ªìπ¢âÕ¬ÿµ‘ ¢Õ„Àâπ—°‡√¬’ π∑ÿ°§π‚™§¥’ ‚§√ß°“√æ—≤π“§ÿ≥¿“æ°“√‡√¬’ π√⟠ Ÿà “°≈  ”π°— æ≤— π“π«—µ°√√¡°“√®—¥°“√»°÷ …“ ·∫∫∑¥ Õ∫πÈ’ ‡ªπì ≈¢‘  ‘∑∏¢Ï‘ Õß ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—πÈ æÈ◊π∞“π Àâ“¡‡º¬·æ√à Õâ“ßÕ‘ß À√◊Õ‡©≈¬ °àÕπ‰¥â√∫— Õπÿ≠“µ 46 ‡ √‘¡§‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æË◊Õ°“√§—¥‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—ÈπæÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ µÕπ∑Ë’ 1 Y X C (x, y) B (20, 0) 1. ®“°√ªŸ A (0, 0), B (20, 0), C (x, y) ∑”„Àâ ∆ ABC ‡ªπì √ªŸ  “¡‡À≈Ë’¬¡Àπâ“®«—Ë A (0, 0) 10 ¡’ AC = CB ∂â“æ◊πÈ ∑’Ë ∆ ABC ‡∑à“°∫— 240 µ“√“ßÀπ૬ ·≈â« C (x, y) ¡’§à“‡∑“à „¥ 2. ≈Ÿ°∫“»°≈å °Ÿ Àπß÷Ë ¡æ’ Èπ◊ ∑ºË’ ‘« 2400 µ“√“ßÀπ«à ¬ ∂“â ∑”‡ªπì ≈Ÿ°∫“»°å‡≈Á°∑ˇ’ ∑“à °—π∑°ÿ ≈°Ÿ ∑’Ë·µ≈à –≈°Ÿ ¡’æÈ◊π∑’˺«‘ 4% ¢ÕßæÈπ◊ ∑º’Ë «‘ ‡¥¡‘ ·≈«â ®–‰¥≈â °Ÿ ∫“»°å‡≈Á° Ê ®”π«π°≈’Ë °Ÿ 3. ÀπÕà ¬™Õ∫ – ¡· µ¡ªá ‡∏Õ¡‡’ ßπ‘ 2002 ∫“∑ ‡æÕË◊ π¢Õ߇∏Õ¢“¬· µ¡ª¥á «ß‡≈°Á „Àâ„π√“§“¥«ß≈– 10 ∫“∑ ·≈–¥«ß„À≠à„π√“§“¥«ß≈– 28 ∫“∑ ∂â“ÀπàÕ¬µÕâ ß°“√´È◊Õ„À≥®â ”π«π· µ¡ªá¡“°∑ Ë’ ÿ¥ ·≈–„™‡â ßπ‘ ∑¡Ë’ ’´◊ÕÈ · µ¡ªá„ÀÀâ ¡¥·≈«â ‡∏Õ®–´ÕÈ◊ ‰¥∑â È—ßÀ¡¥°’Ë¥«ß 4. ∂â“ x, y ‡ªπì ®”π«π‡µ¡Á ‚¥¬∑’Ë x ≠ y ·≈– x ≥ 0, y ≥ 0 ´÷Ëß x ∆ y = |x2›y2| ·≈â« (2 ∆ 3) ∆ (4 ∆ 3) ¡§’ “à ‡∑“à „¥ 1 › 1 1 › 1 1 › 1 1 › 1 2 3 4 5 6 7 2006 2007 5. Ó Ó Ó ... Ó ¡§’ à“‡∑à“„¥ 1 1 1 1 1 1 1 1 3 › 4 5 › 6 7 › 8 2007 › 2008 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 47

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æËÕ◊ °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 6. °√√™—¬¡’≈Ÿ°‡µã“≈Ÿ°ÀπË÷ß∑’Ë·µà≈–Àπâ“¡’·µâ¡ 1, 2, 3, 5, 7, 9 ∂â“∑Õ¥≈Ÿ°‡µã“≈Ÿ°πÈ’ Õߧ√—Èß·≈â« §«“¡πà“®–‡ªìπ¢Õß·µ¡â ∑’ˉ¥∫â «°°—π‡∑à“°—∫ 10 ‡ªìπ‡∑à“„¥ ‡¡ËÕ◊ ∑ÿ°Àπâ“¡’‚Õ°“ ‡°¥‘ ¢Èπ÷ ‡∑à“°π— 7. º≈∫«°¢Õß®”π«ππ∫— ∑Ë’À“√ 2009 ≈ßµ—« ¡§’ “à ‡∑“à „¥ 8. ∂“â °√“øæ“√“‚∫≈“ y = (x›2) (x+4) ¡®’ ÿ¥¬Õ¥∑’Ë C ·≈–µ¥— ·°π X ∑Ë’ A ·≈– B ·≈â«æ◊πÈ ∑’Ë √Ÿª “¡‡À≈¬’Ë ¡ ABC ‡∑à“°—∫°’˵“√“ßÀπ૬ 9. √Ÿª “¡‡À≈¬Ë’ ¡ ABC ¡’ AB = 6 Àπ«à ¬ ·≈– AB : (AB+BC) = 2 : 5 ∂“â BD ·∫àߧ√Ëß÷ ¡ÿ¡ ABC ·≈– M ‡ªπì ®¥ÿ °ß÷Ë °≈“ߢÕß BD ‚¥¬¡æ’ È◊π∑¢’Ë Õß√ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡ ABC ‡ªπì 30 µ“√“ßÀπ«à ¬ ·≈«â æ◊Èπ∑Ë√’ Ÿª “¡‡À≈Ë’¬¡ ABM ‡∑à“°—∫°Ëµ’ “√“ßÀπ૬ A D BM C 10. °”Àπ¥„Àâ A (1, 1), B (4, 3), C (3, ›2) ‚¥¬∑Ë’ C ‡ªπì ¿“æ∑Ë’‰¥â®“°°“√À¡ÿπ®¥ÿ B √Õ∫®¥ÿ A ∂â“®ÿ¥ P (m, n) ‡ªìπ¿“æ∑’ˉ¥®â “°°“√À¡ÿπ®ÿ¥ (›2, 0) √Õ∫®ÿ¥ A „π≈°— …≥–‡¥¬’ «°∫— ®ÿ¥ C ·≈–®¥ÿ Q (a, b) ‡ªìπ¿“æ∑Ë’‰¥â®“°°“√ –∑âÕπ®¥ÿ P ¥â«¬·°π X ·≈â« a + b ¡§’ à“‡∑à“„¥ 11. °”Àπ¥„Àâ a + b + c = 1 ·≈– a2 + b2 + c2 = 2 ∂â“ x = a3 + b3 + c3 › 3abc ·≈«â 2x ¡’§“à ‡∑“à „¥ 48 ‡ √‘¡§‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æ◊ÕË °“√§¥— ‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢π—È æπ◊È ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 12. ∂Ⓡ âπµ√ß y = ›2x + 1 µ—¥·°π X ·≈–·°π Y ∑®Ë’ ¥ÿ A ·≈– B µ“¡≈”¥∫— ·≈«â √Ÿª “¡‡À≈ˬ’ ¡ ABO ¡’æπ◊È ∑Ë’°Ë’µ“√“ßÀπ«à ¬ 13. ABC ‡ªìπ√ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡¥â“π‡∑“à ®¥ÿ D ·≈–®ÿ¥ E ‡ªπì ®ÿ¥∫π¥“â π AC ·≈–¥â“π AB ∑”„Àâ CD = AE ≈“° à«π¢Õ߇ âπµ√ß BD ·≈– à«π¢Õ߇ âπµ√ß CE µ—¥°—π∑Ë’®ÿ¥ X ·≈â« ¢π“¥¢Õß¡ÿ¡ BXE √«¡°∫— ¢π“¥¢Õß¡¡ÿ BAC ‡∑“à °—∫°Ë’Õß»“ 14. √“°∑Ë’ “¡¢Õß 315 › (311 Ó 26) + (36 Ó 212) › 218 ¡§’ à“‡∑“à „¥ 15. ∂â“°”Àπ¥¢âÕ¡Ÿ≈¥—ßπ’È 3, 10, 8, 5, 10, x, 10, 5, 13 ‚¥¬∑Ë’¢âÕ¡Ÿ≈™ÿ¥π’È¡’∞“ππ‘¬¡§à“‡¥’¬« ·≈–∞“ππ‘¬¡¡§’ “à ¡“°°«à“¡—∏¬∞“πÕ¬Ÿà 2 ·≈⫺≈√«¡¢Õߧ“à ‡©≈’¬Ë ‡≈¢§≥‘µ¡—∏¬∞“π·≈–∞“ππ‘¬¡ ¡’§à“‡∑à“„¥ 16. ®“°√Ÿª ABCD ‡ªπì √ªŸ  ’‡Ë À≈ˬ’ ¡®µ— ÿ√ — M ·≈– N ‡ªπì ®¥ÿ °ßË÷ °≈“ߢÕߥ“â π BC ·≈–¥“â π CD µ“¡≈”¥—∫ ∂â“ BN ·≈– DM µ—¥°—π∑’Ë O ·≈â«Õ—µ√“ à«π¢ÕßæÈ◊π∑’Ë¢Õß√Ÿª ’ˇÀ≈Ë’¬¡ ABOD °—∫æπÈ◊ ∑Ë¢’ Õß√ªŸ  ‡’Ë À≈’¬Ë ¡ ABCD ‡∑“à °∫— ‡∑“à „¥ AB M O D NC ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 49

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ‡æËÕ◊ °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 17. „Àâ A ·≈– B ‡ªπì ®¥ÿ »Ÿπ¬å°≈“ߢÕß«ß°≈¡ Õß«ß´÷Ëßµ¥— °π— ∑’®Ë ÿ¥ C ·≈– D ¥—ß√ªŸ ∂“â ¢π“¥¢Õß¡ÿ¡ BEF = 28 Ì E ·≈–¢π“¥¢Õß¡¡ÿ BDF = 37 Ì C ·≈â«¢π“¥¢Õß¡ÿ¡ DFE µ“à ß®“° ¢π“¥¢Õß¡ÿ¡ DGC °’ËÕß»“ A B G F D 18. §“à ¢Õß 27783 › 27782 Ó 2777 › 2778 Ó 27772 + 27773 ‡ªπì ‡∑“à ‰√ 19. ∫—π‰¥ ÕßÕπ— ¡§’ «“¡ ßŸ ‡∑à“°—πµ—ßÈ ∑’®Ë ÿ¥ A ‚¥¬Õπ— Àπß÷Ë æ“¥°∫— ¢Õ∫Àπ⓵à“ß Ÿß 40 3 øÿµ ∑”¡ÿ¡ °∫— æπÈ◊ 60 Õß»“æÕ¥’  à«πÕ’°Õπ— Àπß÷Ë æ“¥°—∫¢Õ∫°”·æß∫â“π Ÿß 40 øÿµ ∑”¡¡ÿ 30 Õß»“ ¥ß— √ªŸ ®ßÀ“«“à ®ÿ¥°Ë÷ß°≈“ߢÕß∫π— ‰¥∑Èß—  ÕßÀà“ß°π— °’Ëøÿµ (°”Àπ¥„Àâ 2 = 1.414) 40 3 øµÿ 40 øÿµ 60 30 A 20. ∂ß— ∑√ß°√–∫Õ°√—»¡’ 8 Àπ૬ „∫Àπß÷Ë ¡π’ ”È ∫√√®ÿÕ¬Ÿà ‡¡ÕË◊ „ à‚≈À–‡À≈Á°∑√ß°≈¡ √—»¡’ 5 Àπ«à ¬ ∑”„Àâ√–¥—∫π”È „π∑√ß°√–∫Õ° Ÿß 8 Àπ૬ ·≈â«æ◊Èπ∑’˺‘«¥â“π∫π¢Õßπ”È ‡∑à“°—∫°Ë’µ“√“ßÀπ૬ (µÕ∫„π√Ÿª π) 50 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æ◊ÕË °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢Èπ— æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ µÕπ∑’Ë 2 21. ∂⓺≈§Ÿ≥¢Õß≈”¥—∫ n æ®πå·√°¡’§à“‡ªìπ n  ”À√—∫∑ÿ°®”π«π‡µÁ¡∫«° n ·≈â«æ®πå∑Ë’ 2008 ¢Õß≈”¥—∫π’È¡’§à“‡∑à“„¥ 22. ∂“â a = 12 + 22 + 32 + ... + 10012 ·≈– b = 12 + 22 + 32 + ... + 10012 13 5 2001 3 57 2003 ·≈â«®”π«π‡µ¡Á ∫«°∑’Ë¡§’ à“„°≈⇧¬’ ß°—∫ a › b ¡“°∑ Ë’ ¥ÿ ¡’§“à ‡∑“à „¥ 23. ‡¢’¬π®”π«π 1 ∂÷ß 25 ≈ß∫π°√–¥“… 25 „∫ „∫≈–Àπ÷ßË ®”π«π ∂â“À¬∫‘ ¢π÷È ¡“ 1 „∫ Õ¬“à ß ÿ¡à ·≈«â §«“¡πà“®–‡ªìπ∑’Ë ≈“°∑À’Ë ¬∫‘ ‰¥¡â ®’ ”π«π‡ªìπæÀÿ§Ÿ≥¢Õß 2 À√◊Õ 5 ‡ªìπ‡∑“à „¥ 24. ®“°√ªŸ §√Ëß÷ «ß°≈¡¡’ XY ‡ªìπ‡ âπº“à π»Ÿπ¬å°≈“ß √ªŸ  ’‡Ë À≈’ˬ¡ºπ◊ º“â PQRS ·π∫„π§√ßË÷ «ß°≈¡ ¡’ PQ = 12 Àπ૬ QR = 28 Àπ૬ ∂â“√Ÿª Ë’‡À≈’ˬ¡®—µÿ√—  STUV ¡’ T Õ¬Ÿà∫π¥â“π RS ®ÿ¥ U Õ¬Ÿà∫π§√÷Ëß«ß°≈¡ ·≈– V Õ¬àŸ∫π‡ âπºà“π»Ÿπ¬å°≈“ß XY ¥—ß√Ÿª ·≈â«æ◊Èπ∑Ë’ STUV ‡∑à“°—∫°’µË “√“ßÀπ«à ¬ QR X TU P S VY 25. °”Àπ¥„Àâ x > 0 ·≈– x › 1 = 10 ∂â“ x x + 1 = a b ‚¥¬∑’Ë a ·≈– b ‡ªìπ®”π«π x xx ‡µ¡Á ∫«°∑’Ë b ‰¡à¡’µ«— ª√–°Õ∫‡ªπì °”≈—ß ÕߢÕß®”π«π‡©æ“– ·≈«â a + b ¡§’ à“‡∑“à „¥ ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 51

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æ◊ÕË °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—ÈπæÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 26. º≈∫«°¢Õßµ«— ª√–°Õ∫‡©æ“–∑¡’Ë §’ à“¡“°∑Ë ’ ÿ¥ 4 ®”π«π¢Õß 555, 555, 555, 555 ¡’§“à ‡∑“à „¥ 27. °”Àπ¥ a, b, c, d ·≈– e ‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡ ´÷Ëß·µ°µà“ß°—π∑—ÈßÀ¡¥ ·≈– Õ¥§≈âÕß°—∫ ¡°“√ (2009›a) (2009›b) (2009›c) (2009›d) (2009›e) = 325 ·≈â« a + b + c + d + e ¡’§à“‡∑à“„¥ 28. °”Àπ¥ x, y, z ‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡∫«° ∂“â x < y < z ·≈– 1 › 1 › 1 = 19 ·≈â« x xy xyz 97 4x + 3y + 4z ¡’§à“‡∑à“„¥ 29. ∂“â 324 + 289 = 106 › 4 x› y ·≈«â x + y ¡§’ à“‡∑“à „¥ x y 30. °”Àπ¥ x2 + 2(y›2) (z›2) = y2 + 2(z›2) (x›2) = z2 + 2(x›2) (y›2) = 123 ∂â“ a ·≈– b ‡ªì𧔵Õ∫¢Õß x + y + z ·≈«â a2 + b2 ¡’§à“‡∑à“„¥ 31. ∂“â (a+b) + (b+c) + (c+a) = 2008 ·≈– 1 11 = 543 ·≈â« ab c a+b +b+c +c+a 1004 b+c + + a+b ¡§’ à“‡∑“à „¥ c+a < < < < 32. ABC ‡ªπì √ªŸ  “¡‡À≈Ë’¬¡ ¡’ AB = 27 Àπ«à ¬ BC = 9 Àπ૬ ·≈– ABC = 90 Ì ®ÿ¥ P ·≈– Q ‡ªπì ®ÿ¥∫π¥“â π AC ∑”„Àâ ABP = PBQ = QBC ∂â“ PB = x Àπ૬ BQ = y Àπ«à ¬ ·≈– x + 13y = a b ‚¥¬∑Ë’ a ·≈– b ‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡∫«°∑’Ë b ‰¡¡à ’µ—«ª√–°Õ∫‡ªìπ°”≈ß—  Õß ¢Õß®”π«π‡©æ“– ·≈«â a + b ¡’§à“‡∑à“„¥ 33. ∂“â ABC ‡ªπì √ªŸ  “¡‡À≈¬Ë’ ¡Àπ“â ®«—Ë ·π∫„π«ß°≈¡√»— ¡’ 1369 Àπ«à ¬ ·≈–¡«’ ß°≈¡√»— ¡’ 644 Àπ«à ¬ ·π∫„π ∆ ABC ·≈«â ®¥ÿ »Ÿπ¬°å ≈“ߢÕß«ß°≈¡∑ßÈ—  ÕßÕ¬ÀàŸ “à ß°—π°ÀË’ π૬ 52 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æËÕ◊ °“√§¥— ‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæπ◊È ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ C < N M 34. ABC ‡ªπì √Ÿª “¡‡À≈’¬Ë ¡Àπ“⠮˫— ¡’ ABC = 150 Ì ∂“â AB = CM = AN = 84 Àπ«à ¬ ‚¥¬∑Ë’ MB ‡ªìπ «à π‚§ßâ ¢Õß«ß°≈¡∑¡Ë’ ’ C ‡ªπì ®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß ·≈– NB ‡ªπì  à«π‚§ßâ ¢Õß A B «ß°≈¡∑Ë¡’ ’ A ‡ªìπ®ÿ¥»πŸ ¬å°≈“ß ·≈«â æÈπ◊ ∑Ë’·√‡ß“‡∑à“°—∫°’µË “√“ßÀπ«à ¬ ( π = 22 ) 7 35. °”Àπ¥ x = y2› 1 + z2 › 1 , y = z2 › 1 + x2 › 1 ·≈– 49 49 81 81 z = x2 › 1 + y2 › 1 ∂“â x + y + z = m ‚¥¬∑Ë’ m ·≈– n 121 121 n ‡ªìπ®”π«π‡µ¡Á ∫«° ·≈«â §à“πâÕ¬∑Ë’ ÿ¥¢Õß m + n ‡ªπì ‡∑“à ‰√ 36. °”Àπ¥æÀÿπ“¡ P(x) = x6 + ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f ‡¡ËÕ◊ a, b, c, d, e ·≈– f ‡ªìπ§à“§ß∑Ë’ ∂â“ P(1) = 15, P(2) = 22, P(3) = 29, P(4) = 36, P(5) = 43 ·≈– P(6) = 50 ·≈â« P(7) ¡’§“à ‡ªìπ‡∑“à ‰√ 37. ®”π«π‡µ¡Á ∫«° n ∑¡Ë’ §’ “à πÕâ ¬∑ Ë’ ¥ÿ ´ßË÷ ∑”„Àâ (2000n+1) (2008n+1) ‡ªπì ®”π«π°”≈ß—  Õß ¡∫√Ÿ ≥å ¡§’ “à ‡ªπì ‡∑“à ‰√ 38. ∂⓵Õâ ß°“√√«¡‡ß‘π„À≥â 100 ∫“∑ ‚¥¬„™â‡À√’¬≠ 10 ∫“∑ ‡À√’¬≠ 5 ∫“∑ ·≈–‡À√’¬≠ 1 ∫“∑ §√∫∑Èß—  “¡™π¥‘ ®–‰¥â∑—ÈßÀ¡¥°Ë’«∏‘ ’ 39. °”Àπ¥ x ·≈– y ‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡∫«° ¡°“√ 1 + 1 = 1 ¡∑’ —ßÈ À¡¥°’˧”µÕ∫ x y 2008 40. °”Àπ¥ x = 1 › 1 + x› 1 §“à ¢Õß x15 › 610 ‡ªπì ‡∑à“‰√ x x x ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 53

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æ◊ÕË °“√§—¥‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ µÕπ∑Ë’ 3 41. °”Àπ¥ a, b, c ‡ªìπ®”π«π®√‘ß∫«° ´÷ßË  Õ¥§≈âÕß°∫— √–∫∫ ¡°“√ a2(b+c)2 = (3a2+a+1) b2c2 b2(c+a)2 = (4b2+b+1) c2a2 ·≈– c2(a+b)2 = (5c2+c+1) a2b2 ·≈â« 13a + 4b + 11c ¡’§“à ‡∑“à „¥ 42. °”Àπ¥ a, b, c ‡ªπì ®”π«π®√‘ß ´÷Ëß a + b + c > 0  Õ¥§≈âÕß°∫— √–∫∫ ¡°“√ a2bc + ab2c + abc2 + 8 = a+b+c a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b + 3abc = ›4 a2b2c + a2bc2 + ab2c2 = 2 + ab + bc + ca ·≈â« a5 + b5 + c5 ¡’§“à ‡∑“à „¥ 43. ∂â“ a, b ‡ªπì §”µÕ∫¢Õß ¡°“√ (x2›16) (x›3)2 + 9x2 = 0 ·≈â« a4 + b4 ¡§’ “à ‡∑à“„¥ 44. ∂â“ a, b ‡ªì𧔵Õ∫¢Õß ¡°“√ ( 2x2›2x+12 › x2›5)3 = 2 ‚¥¬∑Ë’ a> b ·≈«â 7a › 6b ¡§’ “à ‡∑“à „¥ (5x2›2x›3) 2x2›2x+12 9 < 45. ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡¡¡ÿ ©“° ¡’ ABC = 90 Ì ®¥ÿ P ·≈–®ÿ¥ Q ‡ªπì ®¥ÿ ¿“¬πÕ° ∑”„Àâ ∆ APC ·≈– ∆ BCQ ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡¥â“π‡∑à“ ·π∫¿“¬πÕ° ®ÿ¥ M ‡ªìπ®ÿ¥·∫àߧ√Ë÷ߥâ“π AB ∂“â MP = 814 Àπ«à ¬ ·≈– MQ = 518 Àπ«à ¬ ·≈«â AB ¬“«°ÀË’ π૬ 54 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§—¥‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢π—È æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 46. ®“°√Ÿª∑’Ë°”Àπ¥„Àâ ABCDEF ‡ªìπ√ŸªÀ°‡À≈’ˬ¡ ´÷Ë߇°‘¥®“°√Ÿª “¡‡À≈Ë’¬¡Àπ⓮˗«∑’Ë¡’ ¥â“πª√–°Õ∫¡ÿ¡¬Õ¥¬“« 6 Àπ૬ ∞“𬓫 2 Àπ૬ ∑’ˇ∑à“°—π∑ÿ°ª√–°“√ 8 √Ÿª ·≈â« 9(AD)2 + (BE)2 + (CF)2 ¡’§à“‡∑“à „¥ F EA DB C 47. ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ ¡’ ABC = 50 Ì ·≈– ACB = 100 Ì ∂â“ M ‡ªìπ®ÿ¥¿“¬„π ∑”„Àâ MAC = 20 Ì ·≈– ACM = 80 Ì ·≈«â BMA ¡¢’ π“¥°’ËÕß»“ < < < << < < < << 48. ABCD ‡ªπì √Ÿª ‡’Ë À≈¬Ë’ ¡ ∂â“ ABD = 30 Ì, ADB = 70 Ì, CBD = 20 Ì ·≈– CDB = 40 Ì ·≈«â CAD ¡¢’ π“¥°ËÕ’ ß»“ 49. ABC ‡ªπì √ªŸ  “¡‡À≈ˬ’ ¡ ∂â“ P, Q, R ‡ªìπ®ÿ¥∫π AB, BC ·≈– CA ∑”„Àâ AP : PB = BQ : QC = CR : RA = 7 : 8 AQ, BR ·≈– CP µ—¥°—π∑Ë’ D, E ·≈– F ·≈«â æÈπ◊ ∑’Ë √Ÿª “¡‡À≈¬Ë’ ¡ ABC ‡ªìπ°’ˇ∑à“¢Õßæ◊πÈ ∑’Ë√ªŸ  “¡‡À≈ˬ’ ¡ DEF 50. ABC ‡ªπì √ªŸ  “¡‡À≈Ë’¬¡¥“â π‡∑à“ D ‡ªìπ®ÿ¥¿“¬πÕ° ∑”„Àâ DA = 16 Àπ૬ DB = 34 Àπ«à ¬ ·≈– DC = 30 Àπ૬ ∂â“æÈπ◊ ∑Ë’√ªŸ  ’ˇÀ≈¬Ë’ ¡ ABCD ‡∑à“°—∫ a b › c µ“√“ßÀπ૬ ‚¥¬∑Ë’ a, b ·≈– c ‡ªπì ®”π«π‡µÁ¡∫«°∑Ë’ b ‰¡¡à ’µ«— ª√–°Õ∫‡ªìπ°”≈ß—  ÕߢÕß®”π«π‡©æ“– ·≈â« a + b + c D ¡’§à“‡∑à“„¥ A BC 55 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

·π«§‘¥·∫∫∑¥ Õ∫ §≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æËÕ◊ °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢πÈ— æ◊Èπ∞“π

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æ◊ÕË °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ µÕπ∑Ë’ 1 1. ®“°√Ÿª A (0, 0), B (20, 0), C (x, y) ∑”„Àâ ∆ ABC ‡ªπì √ªŸ  “¡‡À≈¬’Ë ¡Àπ“â ®—Ë« ¡’ AC = CB ∂“â æÈπ◊ ∑’Ë ∆ ABC ‡∑“à °—∫ 240 µ“√“ßÀπ૬ ·≈«â C (x, y) ¡§’ à“‡∑“à „¥ Y C (x, y) A (0, 0) 10 X B (20, 0) ·π«§‘¥ Y ≈“° CD µ—ßÈ ©“°°—∫ AB ®–‰¥®â ÿ¥ D (10, 0) C (x, y) æ◊Èπ∑’Ë ∆ ABC = 1 Ó y Ó 20 = 240 ¥ß— ππÈ— C (x, y) 2 y = 24 = C (10, 24) A (0, 0) D (10, 0) X B (20, 0) µÕ∫ C (10, 24) 58 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æ◊ËÕ°“√§¥— ‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—ÈπæÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 2. ≈°Ÿ ∫“»°≈å °Ÿ Àπß÷Ë ¡æ’ πÈ◊ ∑º’Ë «‘ 2400 µ“√“ßÀπ«à ¬ ∂“â ∑”‡ªπì ≈°Ÿ ∫“»°‡å ≈°Á ∑‡’Ë ∑“à °π— ∑°ÿ ≈°Ÿ ∑·’Ë µ≈à –≈°Ÿ ¡’æ◊πÈ ∑’ºË ‘« 4% ¢ÕßæÈπ◊ ∑º’Ë ‘«‡¥‘¡ ·≈«â ®–‰¥≈â °Ÿ ∫“»°å‡≈°Á Ê ®”π«π°≈Ë’ Ÿ° ·π«§‘¥ ≈Ÿ°∫“»°å≈Ÿ°‡≈Á°·µ≈à –≈Ÿ°¡æ’ πÈ◊ ∑ºË’ ‘« = 4 Ó 2400 = 96 µ“√“ßÀπ«à ¬ 100 æÈπ◊ ∑º’Ë ‘«·µà≈–Àπ“â = 96 = 16 µ“√“ßÀπ૬ 6 §«“¡¬“«¥“â π¢Õß≈°Ÿ ∫“»°å‡≈°Á ·µ≈à –≈°Ÿ ¬“«¥â“π≈– = 4 Àπ૬ §«“¡¬“«¥“â π¢Õß≈Ÿ°∫“»°å„À≠à·µà≈–¥â“𬓫 = 20 Àπ૬ = 400 µ“√“ßÀπ«à ¬ ≈Ÿ°∫“»°å„À≠·à µà≈–Àπ“â ¡æ’ È◊π∑Ë’ = 2400 = 125 ≈Ÿ° 6 ®–∑”‡ªπì ≈Ÿ°∫“»°‡å ≈Á° Ê ‰¥â®”π«π = 5 Ó 5 Ó 5 µÕ∫ 125 ≈°Ÿ ‡ √‘¡§‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 59

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ—°‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢È—πæ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 3. ÀπàÕ¬™Õ∫ – ¡· µ¡ªá ‡∏Õ¡’‡ß‘π 2002 ∫“∑ ‡æ◊ËÕπ¢Õ߇∏Õ¢“¬· µ¡ªá¥«ß‡≈°Á „Àâ„π√“§“ ¥«ß≈– 10 ∫“∑ ·≈–¥«ß„À≠à„π√“§“¥«ß≈– 28 ∫“∑ ∂â“ÀπàÕ¬µâÕß°“√´È◊Õ„À≥⮔π«π · µ¡ªá¡“°∑Ë ’ ÿ¥ ·≈–„™â‡ßπ‘ ∑Ë¡’ ’´◊ÈÕ· µ¡ªá„ÀÀâ ¡¥·≈«â ‡∏Õ®–´◊ÈÕ‰¥â∑ßÈ— À¡¥°¥’Ë «ß ·π«§¥‘ ∑’Ë 1 „ÀâÀπÕà ¬´ÈÕ◊ · µ¡ª¥á «ß≈– 10 ∫“∑ x ¥«ß ·≈–· µ¡ªá¥«ß≈– 28 ∫“∑ y ¥«ß ¥ß— π—Èπ 10x + 28y = 2002 5x + 14y = 1001 ´ßË÷ ‰¥â x+y = 1001 › 9y 5 ∂â“ y ≈¥ §“à ¢Õߺ≈∫«°®–‡æË‘¡ ·µà y ‡ªπì ®”π«ππ—∫ ∑¥≈Õߧ“à y = 1, 2, 3, ... ®π°«“à ®–‰¥â x + y ∑’ˇªπì ®”π«π‡µÁ¡ ‡√“∑√“∫«“à 1001 › 9y µÕâ ß≈ß∑⓬¥«â ¬ 0 À√◊Õ 5 ®÷ß∑”„Àâ x + y ‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡ ¥ß— ππ—È §à“ y πÕâ ¬∑’Ë ÿ¥§◊Õ y = 4 ´ß÷Ë ∑”„Àâ x + y = 1001 › 36 = 193 5  √ÿª ÀπàÕ¬´È◊Õ· µ¡ªá‰¥¡â “°∑ ’Ë ÿ¥ 193 ¥«ß ·π«§‘¥∑’Ë 2 ‡ßπ‘ 2,002 ∫“∑ ´◊ÈÕ· µ¡ªá®”π«π¡“°∑’Ë ÿ¥ µâÕß´ÕÈ◊ · µ¡ªá√“§“·æßπâÕ¬∑’ Ë ¥ÿ ‡ªìπ‡ßπ‘ 28 Ó 4 = 112 ∫“∑ ‡À≈◊Շߑπ´È◊Õ· µ¡ª¥á «ß≈– 10 ∫“∑ ‡ªìπ‡ß‘π 1,890 ∫“∑ ´Õ◊È · µ¡ªá¥«ß≈– 10 ∫“∑ ‰¥â 189 ¥«ß √«¡´È◊Õ· µ¡ªá‰¥¡â “°∑Ë ’ ¥ÿ 189 + 4 = 193 ¥«ß µÕ∫ 193 ¥«ß 60 ‡ √‘¡§‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æ◊ÕË °“√§¥— ‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 4. ∂“â x, y ‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡‚¥¬∑Ë’ x ≠ y ·≈– x ≥ 0, y ≥ 0 ´Ëß÷ x ∆ y = |x2 › y2| ·≈«â (2 ∆ 3) ∆ (4 ∆ 3) ¡§’ à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ x∆y = |x2›y2| = |4›9| = |›5| = 5 µÕ∫ 24 2∆3 = |22›32| = |16›9| = |7| = 7 4∆3 = |42›32| = |25›49| = |›24| = 24 5∆7 = |52›72| 1 › 1 1 › 1 1 › 1 1 › 1 2 3 4 5 6 7 2006 2007 5. Ó Ó Ó ... Ó ¡’§à“‡∑“à „¥ 1 1 1 1 1 1 1 1 3 › 4 5 › 6 7 › 8 2007 › 2008 ·π«§‘¥ ®“° 1 › n 1 1 = 1 n + n(n+1) 1 › 1 1 › 1 1 › 1 1 2 3 4 5 6 7 2006 Ó 2007 „Àâ S= Ó Ó Ó ... Ó 1 1 1 1 1 1 1 3 › 4 5 › 6 7 › 8 2007 Ó 2008 111 1 S= 2Ó3 Ó 4Ó5 Ó 6Ó7 2006 Ó 2007 1 1 1 Ó ... Ó 1 3Ó4 5Ó6 7Ó8 2007 Ó 2008 = 2008 = 1004 2 µÕ∫ 1004 ‡ √‘¡§‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 61

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æ◊ÕË °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 6. °√√™—¬¡’≈°Ÿ ‡µ“ã ≈°Ÿ Àπ÷Ëß∑’·Ë µ≈à –Àπ“â ¡’·µâ¡ 1, 2, 3, 5, 7, 9 ∂“â ∑Õ¥≈Ÿ°‡µã“≈°Ÿ πÈ ’ Õߧ√È—ß·≈â« §«“¡πà“®–‡ªìπ¢Õß·µ¡â ∑’ˉ¥â∫«°°—π‡∑“à °—∫ 10 ‡ªπì ‡∑“à „¥ ‡¡◊ËÕ∑ÿ°Àπâ“¡’‚Õ°“ ‡°¥‘ ¢÷Èπ‡∑“à °—π ·π«§‘¥ º≈∫«°·µâ¡‡ªìπ 10 §Õ◊ (1, 9), (9, 1), (3, 7), (7, 3), (5, 5) §«“¡πà“®–‡ªπì = 5 36 µÕ∫ 5 36 7. º≈∫«°¢Õß®”π«ππ∫— ∑’ÀË “√ 2009 ≈ßµ«— ¡§’ “à ‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ 2009 = 72 Ó 41 ®”π«ππ—∫∑À’Ë “√ 2009 ≈ßµ«— §Õ◊ 1, 7, 41, 49, 287, 2009 º≈∫«°§Õ◊ 1 + 7 + 41 + 49 + 287 + 2009 = 2394 µÕ∫ 2394 62 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æË◊Õ°“√§¥— ‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—Èπæπ◊È ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 8. ∂â“°√“øæ“√“‚∫≈“ y = (x›2) (x+4) ¡’®ÿ¥¬Õ¥∑Ë’ C ·≈–µ—¥·°π X ∑’Ë A ·≈– B ·≈«â æπ◊È ∑’Ë √Ÿª “¡‡À≈ˬ’ ¡ ABC ‡∑à“°∫— °Ë’µ“√“ßÀπ૬ ·π«§‘¥ Y A B OX -5 C -10 ®¥ÿ ¬Õ¥ C ¡’ x = ›1, y = (›1›2) (›1+4) = ›9 ¥ß— π—Èπ æÈπ◊ ∑’Ë√ªŸ  “¡‡À≈ˬ’ ¡ ABC ‡∑à“°∫— 1 Ó 6 Ó 9 = 27 µ“√“ßÀπ૬ 2 µÕ∫ 27 µ“√“ßÀπ૬ ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 63

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§—¥‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢Èπ— æÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 9. √Ÿª “¡‡À≈’¬Ë ¡ ABC ¡’ AB = 6 Àπ૬ ·≈– AB : (AB+BC) = 2 : 5 ∂“â BD ·∫ßà §√÷ßË ¡ÿ¡ ABC ·≈– M ‡ªìπ®ÿ¥°÷ßË °≈“ߢÕß BD ‚¥¬∑æË’ πÈ◊ ∑Ë’¢Õß√ªŸ  “¡‡À≈’¬Ë ¡ ABC ‡ªìπ 30 µ“√“ßÀπ૬ ·≈«â æÈ◊π∑’√Ë Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ ABM ‡∑à“°—∫°’˵“√“ßÀπ૬ A D BM C ·π«§‘¥ ®“°√Ÿª AD = AB = 2 DC BC 3 ‡πÕË◊ ß®“° ∆ ABD ·≈– ∆ BDC ¡’ à«π Ÿß‡∑“à °—π æπÈ◊ ∑Ë’ ∆ ABD = 2 æπÈ◊ ∑’Ë ∆ DBC 3 æ◊Èπ∑’Ë ∆ ABD + æÈ◊π∑’Ë ∆ DBC = æÈπ◊ ∑’Ë ∆ ABC = 30 µ“√“ßÀπ૬ 2 æπ◊È ∑Ë’ ∆ DBC + æ◊πÈ ∑Ë’ ∆ DBC = 30 µ“√“ßÀπ૬ 3 æ◊πÈ ∑Ë’ ∆ DBC = 6 Ó 3 = 18 µ“√“ßÀπ«à ¬ æπ◊È ∑Ë’ ∆ ABD = 2 (18) = 12 µ“√“ßÀπ«à ¬ 3 æÈπ◊ ∑’Ë ∆ ABM = 6 µ“√“ßÀπ«à ¬ µÕ∫ 6 µ“√“ßÀπ૬ 64 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æÕË◊ °“√§—¥‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢π—È æ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 10. °”Àπ¥„Àâ A (1, 1), B (4, 3), C (3, ›2) ‚¥¬∑Ë’ C ‡ªπì ¿“æ∑’ˉ¥â®“°°“√À¡πÿ ®ÿ¥ B √Õ∫®ÿ¥ A ∂â“®ÿ¥ P (m, n) ‡ªπì ¿“æ∑’ˉ¥®â “°°“√À¡ÿπ®ÿ¥ (›2, 0) √Õ∫®ÿ¥ A „π≈—°…≥–‡¥¬’ «°—∫®ÿ¥ C ·≈–®ÿ¥ Q (a, b) ‡ªìπ¿“æ∑Ë’‰¥®â “°°“√ –∑Õâ π®ÿ¥ P ¥â«¬·°π X ·≈«â a + b ¡§’ “à ‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ 4P B 2A D1 C ›2 ›4 Q ®“°√Ÿª ®–‰¥«â “à C ‡ªπì ¿“æ∑Ë’‰¥â®“°°“√À¡ÿπ®ÿ¥ B µ“¡‡¢¡Á π“Ãî°“ 90 Õß»“ √Õ∫®¥ÿ A ¥—ßπ—πÈ D À¡ÿπµ“¡‡¢¡Á π“Ã°î “ 90 Õß»“ √Õ∫®ÿ¥ A ®–‰¥â P (0, 4) Q (a, b) ‡ªìπ¿“æ∑Ë’‰¥â®“°°“√ –∑âÕπ®ÿ¥ P ¥«â ¬·°π X ®–‰¥â Q (0, ›4) ¥ß— πÈ—π a = 0, b = ›4 ππË— §Õ◊ a + b = ›4 µÕ∫ ›4 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 65

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æË◊Õ°“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ—°‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 11. °”Àπ¥„Àâ a + b + c = 1 ·≈– a2 + b2 + c2 = 2 ∂“â x = a3 + b3 + c3 › 3abc ·≈«â 2x ¡§’ “à ‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ a+b+c =1 (a+b+c)2 = 1 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = 1 (2) + 2(ab+bc+ca) = 1 ab + bc + ca = › 1 2 ®“° a3 + b3 + c3 › 3abc = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 › ab › bc › ca) = (1) [2›(› 1 )] 2 x = 5 2 ¥—ßπÈπ— 2x = 5 µÕ∫ 5 66 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æ◊ËÕ°“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 12. ∂Ⓡ âπµ√ß y = ›2x + 1 µ—¥·°π X ·≈–·°π Y ∑Ë’®ÿ¥ A ·≈– B µ“¡≈”¥—∫ ·≈â« √Ÿª “¡‡À≈’¬Ë ¡ ABO ¡’æÈπ◊ ∑°’Ë µË’ “√“ßÀπ«à ¬ ·π«§‘¥ Y 1.5 1B æπÈ◊ ∑’Ë ∆ ABO = 1 Ó 1 Ó1= 1 = 0.25 µ“√“ßÀπ૬ 2 2 4 0.5 µÕ∫ 0.25 µ“√“ßÀπ૬ A X O1 13. ABC ‡ªπì √Ÿª “¡‡À≈’¬Ë ¡¥“â π‡∑à“ ®¥ÿ D ·≈–®ÿ¥ E ‡ªìπ®¥ÿ ∫π¥â“π AC ·≈–¥“â π AB ∑”„Àâ CD = AE ≈“° à«π¢Õ߇ âπµ√ß BD ·≈– à«π¢Õ߇ âπµ√ß CE µ—¥°—π∑’Ë®ÿ¥ X ·≈â« ¢π“¥¢Õß¡¡ÿ BXE √«¡°—∫¢π“¥¢Õß¡ÿ¡ BAC ‡∑à“°∫— °Õ’Ë ß»“ ·π«§‘¥ A D < C < < < << < < ∆ BDC ≅ ∆ CEA ¥ß— π—πÈ CDX = AEC 殑 “√≥“ ∆ CXD ∼ ∆ CAE XE ∴ CXD = CAE = 60 Ì BXE = CXD = 60 Ì B πËπ— §Õ◊ BXE + BAC = 60 Ì + 60 Ì = 120 Ì µÕ∫ 120 Ì À√◊Õ 120 Õß»“ ‡ √‘¡§‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 67

{ ‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 14. √“°∑’ Ë “¡¢Õß 315 › (311Ó26) + (36Ó212) › 218 ¡§’ à“‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ 315 › (311Ó26) + (36Ó212) › 218 = (35)3 › 3(35)2 (26) + 3(35) (26)2 › (26)3 = (35›26)3 ∴ √“°∑ ’Ë “¡¢Õß 315 › (311Ó26) + (36Ó212) › 218 §◊Õ (35›26) = 243 › 64 = 179 µÕ∫ 179 15. ∂â“°”Àπ¥¢Õâ ¡≈Ÿ ¥—ßπÈ’ 3, 10, 8, 5, 10, x, 10, 5, 13 ‚¥¬∑’¢Ë Õâ ¡≈Ÿ ™ÿ¥π¡È’ ’∞“π𬑠¡§à“‡¥¬’ « ·≈–∞“π𬑠¡¡§’ “à ¡“°°«“à ¡∏— ¬∞“πÕ¬àŸ 2 ·≈«â º≈√«¡¢Õߧ“à ‡©≈¬’Ë ‡≈¢§≥µ‘ ¡∏— ¬∞“π·≈–∞“π𬑠¡ ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ ‡√’¬ß¢Õâ ¡Ÿ≈®“°πÕâ ¬‰ª¡“° 3, 5, 5, 8, x, 10, 10, 10, 13 ∞“ππ‘¬¡ = 10 ¡∏— ¬∞“π = 8 3 + 5 + 5 + 8 + 8 + 10 + 10 + 10 + 13 x= 9 =8 ∴ x + Med + Mo = 8 + 8 + 10 = 26 µÕ∫ 26 68 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æ◊ËÕ°“√§¥— ‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢È—πæ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 16. ®“°√Ÿª ABCD ‡ªπì √Ÿª ‡’Ë À≈’ˬ¡®—µ√ÿ  — M ·≈– N ‡ªìπ®¥ÿ °ßË÷ °≈“ߢÕߥâ“π BC ·≈–¥â“π CD µ“¡≈”¥—∫ ∂â“ BN ·≈– DM µ—¥°—π∑’Ë O ·≈â«Õ—µ√“ à«π¢ÕßæÈ◊π∑Ë’¢Õß√Ÿª Ë’‡À≈Ë’¬¡ ABOD °—∫æÈπ◊ ∑Ë¢’ Õß√ªŸ  ’‡Ë À≈’¬Ë ¡ ABCD ‡∑“à °—∫‡∑“à „¥ AB M O D NC ·π«§‘¥ æÈ◊π∑Ë’ ∆ BOD : æπÈ◊ ∑’Ë ∆ BND = BO : BN 2:3 ®–‰¥âæÈ◊π∑Ë’ ∆ BOD : æÈ◊π∑Ë’ ∆ BND = 1:2 1:3 æπÈ◊ ∑’Ë ∆ BND : æÈ◊π∑Ë’ ∆ BCD = 1:2 1:6 ·≈–æ◊πÈ ∑’Ë ∆ BOD : æπÈ◊ ∑’Ë ∆ BCD = 1:2 = 3:6 ABCD = 2 : 3 æÈπ◊ ∑Ë’ ∆ BCD : æπ◊È ∑Ë’ ABCD = ∴ æπÈ◊ ∑’Ë ∆ BOD : æÈ◊π∑’Ë ABCD = æÈ◊π∑Ë’ ∆ BAD : æ◊Èπ∑Ë’ ABCD = ∴ (æ◊Èπ∑Ë’ ∆ BOD + æ◊Èπ∑Ë’ ∆ BAD) : æ◊Èπ∑’Ë æ◊Èπ∑Ë’ ABOD : æπÈ◊ ∑’Ë ABCD = 2 : 3 µÕ∫ 2 : 3 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 69

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æ◊ËÕ°“√§¥— ‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 17. „Àâ A ·≈– B ‡ªìπ®ÿ¥»πŸ ¬°å ≈“ߢÕß«ß°≈¡ Õß«ß´ßË÷ µ¥— °—π∑’®Ë ¥ÿ C ·≈– D ¥ß— √ªŸ ∂“â ¢π“¥ ¢Õß¡ÿ¡ BEF = 28 Ì ·≈–¢π“¥¢Õß¡ÿ¡ BDF = 37 Ì ·≈â«¢π“¥¢Õß¡ÿ¡ DFE µà“ß®“° ¢π“¥¢Õß¡¡ÿ DGC °Õ’Ë ß»“ E C A B GF D ·π«§‘¥ E C 28 Ì A 2x B G 37 Ì x D F „Àâ DBE = 2x Ì ®–‰¥â EFD = x Ì< <<<< ¥ß— ππÈ— (360 ›Ì 2x Ì) + 28 Ì + 37 Ì + x Ì = 360 Ì< ®–‰¥â DFE = 65 Ì< ∴ DCE = 115 Ì ®–‰¥â CGD = 115 Ì › 90 Ì = 25 Ì ∴ DFE › DGC = 65 Ì › 25 Ì = 40 Ì µÕ∫ 40 Ì À√Õ◊ 40 Õß»“ 70 ‡ √‘¡§‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ‡æËÕ◊ °“√§—¥‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 18. §à“¢Õß 27783 › 27782 Ó 2777 › 2778 Ó 27772 + 27773 ‡ªπì ‡∑à“‰√ ·π«§‘¥ 27783 › 27782 Ó 2777 › 2778 Ó 27772 + 27773 = 27782 (2778›2777) › (2778›2777) Ó 27772 = 27782 › 27772 = (2778›2777) (2778+2777) = 5555 µÕ∫ 5555 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 71

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æÕ◊Ë °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 19. ∫—π‰¥ ÕßÕ—π¡’§«“¡ Ÿß‡∑à“°—πµÈ—ß∑Ë’®ÿ¥ A ‚¥¬Õ—πÀπË÷ßæ“¥°—∫¢Õ∫Àπ⓵à“ß Ÿß 40 3 øÿµ ∑”¡ÿ¡°∫— æ◊πÈ 60 Õß»“æÕ¥’  «à πÕ’°Õ—πÀπËß÷ æ“¥°∫— ¢Õ∫°”·æß∫â“π ßŸ 40 øÿµ ∑”¡ÿ¡ 30 Õß»“ ¥—ß√Ÿª ®ßÀ“«“à ®ÿ¥°÷ßË °≈“ߢÕß∫—π‰¥∑Èß—  ÕßÀà“ß°π— °’øË ÿµ (°”Àπ¥„Àâ 2 = 1.414) 40 3 øÿµ 40 øÿµ 60 30 A C ·π«§‘¥ „π ∆ ABC; sin 60 Ì = BC 40 3 øÿµ 60 30 E AC B A 40 øÿµ D 3 = 40 3 2 AC AC = 40 3 Ó 2 = 80 øµÿ 3 ®–‰¥â AC = AE = 80 øÿµ < ∴ ∫—π‰¥¬“« 80 øÿµ, CAE ‡ªπì ¡¡ÿ ©“° ¥—ßπ—È𠮥ÿ °ß÷Ë °≈“ß∫—π‰¥∑ßÈ—  ÕßÀ“à ß°π— = 402 + 402 = 56.56 øÿµ µÕ∫ 56.56 øµÿ 72 ‡ √‘¡§‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ‡æ◊ÕË °“√§¥— ‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—ÈπæÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 20. ∂—ß∑√ß°√–∫Õ°√—»¡’ 8 Àπ૬ „∫ÀπËß÷ ¡’πÈ”∫√√®Õÿ ¬Ÿà ‡¡◊ÕË „ ‚à ≈À–‡À≈°Á ∑√ß°≈¡ √—»¡’ 5 Àπ૬ ∑”„Àâ√–¥—∫π”È „π∑√ß°√–∫Õ° Ÿß 8 Àπ૬ ·≈â«æÈ◊π∑’˺‘«¥â“π∫π¢Õßπ”È ‡∑à“°—∫°’˵“√“ßÀπ૬ (µÕ∫„π√ªŸ π) ·π«§‘¥ ®“°√ªŸ æ◊πÈ ∑ºË’ ‘«¥â“π∫π¢ÕßπÈ”‡∑“à °—∫ π(8)2 › π(4)2 = 64π › 16π = 48𠵓√“ßÀπ૬ 4 3 5 µÕ∫ 48 𠵓√“ßÀπ૬ ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 73

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ µÕπ∑’Ë 2 21.∂⓺≈§Ÿ≥¢Õß≈”¥—∫ n æ®πå·√°¡’§à“‡ªìπ n  ”À√—∫∑ÿ°®”π«π‡µÁ¡∫«° n ·≈â«æ®πå∑’Ë 2008 ¢Õß≈”¥—∫π’È¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ „Àâæ®πå·√°‡ªπì 1 º≈§Ÿ≥‡ªπì 1 æ®πå∑Ë’ Õ߇ªìπ 2 º≈§Ÿ≥‡ªìπ 2 æ®πå∑Ë’ “¡‡ªìπ 3 º≈§≥Ÿ ‡ªìπ 3 2 æ®π∑å Ë’ ’ˇªπì 4 º≈§Ÿ≥‡ªπì 4 3 æ®πå∑Ë’ÀⓇªìπ 5 º≈§Ÿ≥‡ªìπ 5 4 ¥ß— ππ—È º≈§Ÿ≥¢Õß≈”¥∫— 1 Ó 2 Ó 3 Ó 4 Ó 5 Ó ... ( n›1 ) ( n ) = n 2 3 4 n›2 n›1 · ¥ß«à“æ®π∑å Ë’ n §Õ◊ n n 1 πË—π§◊Õ æ®π∑å ’Ë 2008 §Õ◊ 2008 › 2007 µÕ∫ 2008 2007 74 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æÕ◊Ë °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢πÈ— æ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 22. ∂â“ a = 12 + 22 + 32 + ... + 10012 ·≈– b = 12 + 22 + 32 + ... + 10012 1 3 5 2001 3 5 7 2003 ·≈â«®”π«π‡µ¡Á ∫«°∑¡Ë’ ’§“à „°≈⇧’¬ß°—∫ a › b ¡“°∑Ë ’ ÿ¥¡§’ “à ‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ 12 22 › 1 32 22 42 32 10012 › 10002 10012 1 3 2001 2003 a›b = + + › + › + ... + › 5 7 = 1 + 1 + ... + 1 › 10012 = 1001 › 500.25 = 500.75 } 2003 1001 µ—« ¥ß— ππÈ— ®”π«π‡µÁ¡∑’Ë„°≈â 500.75 ¡“°∑Ë’ ¥ÿ §Õ◊ 501 µÕ∫ 501 23. ‡¢¬’ π®”π«π 1 ∂÷ß 25 ≈ß∫π°√–¥“… 25 „∫ „∫≈–ÀπË÷ß®”π«π ∂â“À¬∫‘ ¢Èπ÷ ¡“ 1 „∫ Õ¬“à ß à¡ÿ ·≈⫧«“¡π“à ®–‡ªπì ∑Ë’ ≈“°∑ÀË’ ¬‘∫‰¥â¡®’ ”π«π‡ªπì æÀÿ§Ÿ≥¢Õß 2 À√Õ◊ 5 ‡ªπì ‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ A B 2 4 68 5 12 14 16 10 15 18 22 20 25 24 „Àâ A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24} ‡ªìπæÀÿ§Ÿ≥¢Õß 2 ¡ ’ ¡“™°‘ 12 µ«— B = {5, 10, 15, 20, 25} ‡ªìπæÀÿ§≥Ÿ ¢Õß 5 ¡’ ¡“™°‘ 5 µ«— §«“¡π“à ®–‡ªìπ §Õ◊ 12 + 5 › 2 = 15 = 3 = 0.6 25 25 25 25 5 µÕ∫ 3 À√◊Õ 0.6 À√Õ◊ 60% 5 ‡ √‘¡§‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 75

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 24. ®“°√ªŸ §√÷Ëß«ß°≈¡¡’ XY ‡ªπì ‡ πâ º“à π»Ÿπ¬å°≈“ß √Ÿª Ë’‡À≈’ˬ¡º◊πº“â PQRS ·π∫„π§√Ëß÷ «ß°≈¡ ¡’ PQ = 12 Àπ૬ QR = 28 Àπ૬ ∂“â √Ÿª Ë’‡À≈ˬ’ ¡®µ— √ÿ —  STUV ¡’ T Õ¬àŸ∫π¥“â π RS ®ÿ¥ U Õ¬àŸ∫π§√Ë÷ß«ß°≈¡ ·≈– V Õ¬àŸ∫π‡ âπºà“π»Ÿπ¬å°≈“ß XY ¥—ß√Ÿª ·≈â«æÈ◊π∑’Ë STUV ‡∑“à °∫— °Ëµ’ “√“ßÀπ«à ¬ QR X TU P Y SV ·π«§‘¥ Q R X TU P O S VY „Àâ O ‡ªπì ®¥ÿ »Ÿπ¬°å ≈“ß«ß°≈¡ ·≈– r ‡ªπì √»— ¡’ ≈“° OQ, OR, OU ·≈–„Àâ TU ¬“« a < < PQ = SR, OQ = OR ·≈– QPO = RSO = 90 Ì ®–‰¥â ∆ QPO ≅ ∆ RSO (©¥¥) OP = OS = 1 PS = 14 Àπ«à ¬ 2 76 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ‡æ◊ËÕ°“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—πÈ æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ „π ∆ QPO ®“°ª∑ï “‚°√—  OQ2 = 122 + 142 = 340 OQ2 = OR2 = OU2 = 340 ‡πËÕ◊ ß®“° TSVU ‡ªìπ√ªŸ  ’‡Ë À≈Ë’¬¡®µ— √ÿ —  ¥—ßπÈ—π TS = SV = VU = TU = a ·≈– OV = OS + SV = 14 + a OU2 = UV2 + OV2 340 = a2 + (a+14)2 340 = a2 + a2 + 28a + 196 2a2 + 28a › 144 = 0 a2 + 14a › 72 = 0 (a›4) (a+18) = 0 a = 4, › 18 ∴ æ◊Èπ∑’Ë STUV = a2 = 42 = 16 µ“√“ßÀπ«à ¬ µÕ∫ 16 µ“√“ßÀπ૬ ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 77

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æË◊Õ°“√§—¥‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ—°‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢πÈ— æ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 25. °”Àπ¥„Àâ x > 0 ·≈– x › 1 = 10 ∂â“ x x + 1 = a b ‚¥¬∑’Ë a ·≈– b x xx ‡ªπì ®”π«π‡µÁ¡∫«°∑’Ë b ‰¡à¡µ’ —«ª√–°Õ∫‡ªπì °”≈—ß ÕߢÕß®”π«π‡©æ“– ·≈«â a + b ¡’§“à ‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ ‡π◊ÕË ß®“° ( x› 1 )2 = 102 x 100 102 x › 2 + 1 = x ( x)3 + 1 x + 1 = ( x)3 ......................... 1 x ·≈–‡π◊ËÕß®“° x x + 1 = xx = ( x+ 1 ) (( x)2› x. 1 + 1x) x x = ( x+ 1 ) (x›1+ 1 ) x x = ( x + 1 )(101) ......................... 2 ......................... 3 x ‡πË◊Õß®“° ( 1 )2 = x + 2 + 1 x+ x x = 104 ∴ 1 = 104 x+ x ¥—ßπÈ—π x x + 1 = (101) 104 = (202) 26 xx ®–‰¥â a + b = 228 µÕ∫ 228 78 ‡ √‘¡§‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æÕ◊Ë °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—Èπæ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 26. º≈∫«°¢Õßµ«— ª√–°Õ∫‡©æ“–∑¡Ë’ §’ “à ¡“°∑ ’Ë ¥ÿ 4 ®”π«π¢Õß 555, 555, 555, 555 ¡§’ “à ‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ 555, 555, 555, 555 = 555 Ó 1001001001 = 3 Ó 5 Ó 37 Ó 1001 Ó 1000001 = 3 Ó 5 Ó 37 Ó 11 Ó 7 Ó 13 Ó 1000001 = 3 Ó 5 Ó 7 Ó 11 Ó 13 Ó 37 Ó (106+1) 106 + 1 = (102)3 + 1 = (102+1) (104›102+1) = 101 Ó 9901 ®–‰¥ºâ ≈∫«°¢Õß®”π«π‡©æ“– 4 ®”π«π ∑¡Ë’ ’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥ §◊Õ 13 + 37 + 101 + 9901 = 10052 µÕ∫ 10052 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 79

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æËÕ◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæπ◊È ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 27. °”Àπ¥ a, b, c, d ·≈– e ‡ªπì ®”π«π‡µÁ¡ ´Ëß÷ ·µ°µà“ß°π— ∑ß—È À¡¥ ·≈– Õ¥§≈Õâ ß°∫—  ¡°“√ (2009›a) (2009›b) (2009›c) (2009›d) (2009›e) = 325 ·≈â« a + b + c + d + e ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ (2009›a) (2009›b) (2009›c) (2009›d) (2009›e) = 5 Ó 5 Ó 13 = (›1) Ó 1 Ó (›5) Ó 5 Ó 13 „Àâ 2009 › a = ›1 2009 › b = 1 2009 › c = ›5 2009 › d = 5 2009 › e = 13 ®–‰¥â a + b + c + d + e = 10032 µÕ∫ 10032 80 ‡ √‘¡§‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ‡æ◊ÕË °“√§—¥‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—ÈπæÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 28. °”Àπ¥ x, y, z ‡ªìπ®”π«π‡µ¡Á ∫«° ∂“â x < y < z ·≈– 1 › 1 › 1 = 19 ·≈«â x xy xyz 97 4x + 3y + 4z ¡§’ “à ‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ yz › z › 1 = 19 xyz 97 97yz › 97z › 97 = 19xyz 97yz › 19xyz = 97(z+1) yz(97›19x) = 97(z+1) „Àâ y = 97 ®–‰¥â z(97›19x) = z + 1 97 › 19x = 1 + 1 ‰¡®à √ß‘ z ∴ ®–‰¥â z = 97 ·∑π§“à y(97›19x) = 98 y = 98 97 › 19x x = 5, y = 49 ∴ 4x + 3y + 4z = 20 + 147 + 388 = 555 µÕ∫ 555 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 81

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æ◊ÕË °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢π—È æπ◊È ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 29. ∂â“ 324 + 289 = 106 › 4 x› y ·≈â« x + y ¡§’ à“‡∑“à „¥ x y ·π«§‘¥ ( 18 ›24 x) 2 + ( 17 ›4 y)2 = 0 µÕ∫ 370 4x 4y ∴ x = 81, y = 289 x + y = 370 30. °”Àπ¥ x2 + 2(y›2) (z›2) = y2 + 2(z›2) (x›2) = z2 + 2(x›2) (y›2) = 123 ∂“â a ·≈– b ‡ªì𧔵Õ∫¢Õß x + y + z ·≈â« a2 + b2 ¡’§à“‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ x2 + 2yz › 4y › 4z + 8 = 123 .............................. 1 y2 + 2zx › 4z › 4x + 8 = 123 .............................. 2 z2 + 2xy › 4x › 4y + 8 = 123 .............................. 3 1+2+3; (x+y+z)2 › 8(x+y+z) › 345 = 0 (x+y+z›23) (x+y+z+15) = 0 ∴ x + y + z = 23, ›15 a2 + b2 = 232 + (›15)2 = 754 µÕ∫ 754 82 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æ◊ÕË °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ—°‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢πÈ— æ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 31. ∂“â (a+b) + (b+c) + (c+a) = 2008 ·≈– 1 + 1 + 1 = 543 a+b b+c c+a 1004 ·≈â« b a c + c b a + a c b ¡’§“à ‡∑à“„¥ + + + ·π«§‘¥ a + b + c = 1004 .......................... 1 a 1 b +b 1 c + 1 = 543 .......................... 2 + + C +A 1004 1 Ó 2; a +b + c + a +b + c + a +b + c = 543 a+ b b+ c c+ a 1 + a c b + 1 + b a c + 1 + c b a = 543 + + + = 540 ∴ b a c + c b a + a c b + + + µÕ∫ 540 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 83

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ < < < < 32. ABC ‡ªπì √Ÿª “¡‡À≈¬’Ë ¡ ¡’ AB = 27 Àπ૬ BC = 9 Àπ«à ¬ ·≈– ABC = 90 Ì ®ÿ¥ P ·≈– Q ‡ªìπ®¥ÿ ∫π¥â“π AC ∑”„Àâ ABP = PBQ = QBC ∂â“ PB = x Àπ«à ¬ BQ = y Àπ«à ¬ ·≈– x + 13y = a b ‚¥¬∑’Ë a ·≈– b ‡ªìπ®”π«π‡µ¡Á ∫«°∑’Ë b ‰¡¡à µ’ —«ª√–°Õ∫‡ªìπ°”≈—ß Õß ¢Õß®”π«π‡©æ“– ·≈â« a + b ¡’§à“‡∑à“„¥ C ·π«§‘¥ QS ®“°√ªŸ ∆ ¡¡ÿ ©“° PBR PR P y sin 30 Ì = x x 30 Ì 1 = PR R 2 x 30 Ì ®–‰¥â PR = x A 30 Ì 2 B cos 30 Ì = RB x 3 RB 2 =x ®–‰¥â RB = 3x 2 ∆ ARP ∼ ∆ ABC AR PR AB = CB 27 › 3x x 2 ·∑π§à“ = 2 27 9 84 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æ◊ËÕ°“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢π—È æ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 54 › 3 x = 3x x = 54 = 54 (3› 3) 3+ 3 6 = 9(3› 3) PB = 9(3› 3) „π∑”πÕ߇¥¬’ «°π— QS = y 2 BS = 3y 2 9› 3y y 2 2 = 27 9 54 › 3 3y = y y = 54 = 54(3 3›1) = 54(3 3›1) 3+1 27 › 1 26 3 BQ = 27(3 3›1) 13 x = PB = 9(3› 3) y = BQ = 27(3 3›1) 13 x + 13y = 27 › 9 3 + 81 3 › 27 = 72 3 = a b a + b = 72 + 3 = 75 µÕ∫ 75 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 85

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 33. ∂â“ ABC ‡ªπì √Ÿª “¡‡À≈Ë’¬¡Àπ⓮˗«·π∫„π«ß°≈¡√—»¡’ 1369 Àπ૬ ·≈–¡’«ß°≈¡√»— ¡’ 644 Àπ«à ¬ ·π∫„π ∆ ABC ·≈â«®ÿ¥»πŸ ¬å°≈“ߢÕß«ß°≈¡∑Èß—  ÕßÕ¬ÀàŸ à“ß°π— °À’Ë π«à ¬ ·π«§‘¥ A R O ®“°√Ÿª „Àâ BM = CM = CN = y N R Px r y OA = OB = R r OP = x B yM y C ·≈– PM = PN = r ∆ OBM; OB2 = OM2 + BM2 = (x+r)2 + CM2 R2 = (x+r)2 + y2 ................. 1 ∆ ACM; AC2 = AM2 + CM2 = (R+x+r)2 + y2 AC = (R+x+r)2 + y2 ∆ ANP ~ ∆ AMC NP = PA MC CA r = x+R y (R+x+r)2 + y2 86 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢π—È æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ r2[(R+x+r)2 + y2] = (x+R)2 ⋅ y2 r2(R+x+r)2 + r2y2 = (x+R)2 ⋅ y2 = (x+R)2 ⋅ y2 › r2y2 r2(R+x+r)2 = (x+R›r) (x+R+r)y2 ∴ y2 = r2(R+x+r) x+R›r ·∑π§“à „π 1 ; R2 = (x+r)2 + r2(R+x+r) x+R›r R2(x+R›r) = (x+r)2(x+R›r) + r2(x+R+r) R2(x+R›r) › (x+r)2 (x+R›r) = r2(x+R+r) [R2›(x+r)2] (x+R›r) = r2(x+R+r) (R›x›r) (R+x+r) (R+x›r) = r2(R+x+r) (R›r)2 › x2 = r2 x2 = (R›r)2 › r2 x2 = (R›r›r) (R›r+r) x2 = R(R›2r) ®–‰¥â x = R(R›2r) = 1369(1369›1288) = 333 Àπ«à ¬ µÕ∫ 333 Àπ૬ ‡ √‘¡§‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 87

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§—¥‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ < 34. ABC ‡ªπì √Ÿª “¡‡À≈¬’Ë ¡Àπ“⠮˫— ¡’ ABC = 150 Ì ∂â“ AB = CM = AN = 84 Àπ«à ¬ ‚¥¬∑’Ë MB ‡ªìπ à«π‚§ßâ ¢Õß«ß°≈¡∑’Ë¡’ C ‡ªìπ®¥ÿ »πŸ ¬°å ≈“ß ·≈– NB ‡ªπì  «à π‚§âߢÕß«ß°≈¡ ∑¡Ë’ ’ A ‡ªπì ®¥ÿ »πŸ ¬°å ≈“ß ·≈â«æÈπ◊ ∑Ë·’ √‡ß“‡∑“à °—∫°Ë’µ“√“ßÀπ૬ (π = 22 ) C 7 N M A B C ·π«§‘¥ N 15 Ì60 Ì M a 84 42 b A 15 Ì a 30 Ì B 84 „Àæâ Èπ◊ ∑’Ë√Ÿª ABM = æÈπ◊ ∑Ë√’ Ÿª CBN = a µ“√“ßÀπ«à ¬ ·≈–æπÈ◊ ∑’√Ë Ÿª MBN = b µ“√“ßÀπ૬ ®“°√Ÿª 2a + b = 1 Ó 84 Ó 42 2 2a + b = 42 Ó 42 ....................... 1 a+b = 15 Ì Ó 22 Ó 84 Ó 84 360 Ì 7 a + b = 1 Ó 22 Ó 12 Ó 84 24 a + b = 22 Ó 42 ....................... 2 2 Ó 2; 2a + 2b = 44 Ó 42 ....................... 3 3 › 1; b = (44›42) Ó 42 b = 84 µ“√“ßÀπ૬ µÕ∫ 84 µ“√“ßÀπ૬ 88 ‡ √‘¡§‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æ◊ÕË °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—ÈπæÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 35. °”Àπ¥ x = y2 › 1 + z2 › 1 , y= z2 › 1 + x2 › 1 ·≈– 49 49 81 81 z = x2 › 1 + y2 › 1 ∂â“ x + y + z = m ‚¥¬∑’Ë m ·≈– n 121 121 n ‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡∫«° ·≈«â §à“πÕâ ¬∑ ’Ë ÿ¥¢Õß m + n ‡ªπì ‡∑“à ‰√ ·π«§‘¥ x2 › 2x y2 › 1 + y2 › 1 = z2 › 1 .......................... 1 49 49 49 y2 › 2y z2 › 1 + z2 › 1 = x2 › 1 .......................... 2 81 81 81 z2 › 2z x2 › 1 + x2 › 1 = y2 › 1 .......................... 3 121 121 121 1+2; 2y (y› z2 › 1 ) = 2x y2 › 1 81 49 ·µà y = z2 › 1 + x2 › 1 81 81 ®–‰¥â y ( x2 › 1 ) = x ( y2 › 1 ) 81 49 ∴ y = x 9 7 „π∑”πÕ߇¥’¬«°π— ®–‰¥â y = z 9 11 „Àâ x = 7k, ∴ y = 9k ·≈– z = 11k ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 89

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ ®“° 1 49k2 › 14k 81k2 › 1 + 81k2 = 121k2 49 9k = 14 81k2 › 1 49 81k2 = 196 (81k2 › 1 ) 49 195 Ó 81k2 = 142 = 4 72 k= 2 9 195 x + y + z = 27k = 6 ¥—ßππ—È m + n = 6 + 195 = 201 195 µÕ∫ 201 36. °”Àπ¥æÀπÿ “¡ P(x) = x6 + ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f ‡¡Ë◊Õ a, b, c, d, e ·≈– f ‡ªìπ§à“§ß∑Ë’ ∂â“ P(1) = 15, P(2) = 22, P(3) = 29, P(4) = 36, P(5) = 43 ·≈– P(6) = 50 ·≈«â P(7) ¡’§à“‡ªìπ‡∑“à ‰√ ·π«§‘¥ ®–‰¥â P(x) ∂°Ÿ À“√¥â«¬ x › 1, x › 2, x › 3, x › 4, x › 5 ·≈– x › 6 ‡À≈Õ◊ ‡»… 7x + 8 ∴ P(x) = (x›1) (x›2) (x›3) (x›4) (x›5) (x›6) + 7x + 8 P(7) = 777 µÕ∫ 777 90 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ‡æ◊ÕË °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—ÈπæÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 37. ®”π«π‡µ¡Á ∫«° n ∑¡Ë’ §’ “à πÕâ ¬∑ Ë’ ¥ÿ ´ß÷Ë ∑”„Àâ (2000n+1) (2008n+1) ‡ªπì ®”π«π°”≈ß—  Õß ¡∫√Ÿ ≥å ¡§’ “à ‡ªπì ‡∑“à ‰√ ·π«§‘¥ „Àâ (2000n+1) (2008n+1) = m2 ‡¡ÕË◊ m ‡ªìπ®”π«π‡µ¡Á (2004n+1›4n) (2004n+1+4n) = m2 (2004n+1)2 › 16n2 = m2 (2004n+1)2 › m2 = 16n2 n ¡’§à“πÕâ ¬ ¥ÿ ‡¡Õ◊Ë m ¡’§“à ¡“°∑Ë’ ¥ÿ m = 2004n › 1 ®–‰¥â 2 Ó 4008n = 16n2 n= 2 Ó 4008 = 501 16 µÕ∫ 501 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 91

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢Èπ— æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 38. ∂“â µÕâ ß°“√√«¡‡ß‘π„À≥â 100 ∫“∑ ‚¥¬„™‡â À√¬’ ≠ 10 ∫“∑ ‡À√’¬≠ 5 ∫“∑ ·≈–‡À√’¬≠ 1 ∫“∑ §√∫∑—Èß “¡™π¥‘ ®–‰¥∑â ß—È À¡¥°Ë’«∏‘ ’ ·π«§‘¥ «∏‘ ∑’ ’Ë ®”π«π‡À√’¬≠ 1 ∫“∑ 10 ∫“∑ 5 ∫“∑ 5 4 19 1 10 28 3 15 38 2 48 1 5 57 5 10 65 1 17 85 66 1 16 67 1 15 81 1 1 …… …… …… …… ∴ ®”π«π«∏‘ ∑’ ßÈ— À¡¥ = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 9 Ó (1+17) = 81 2 µÕ∫ 81 «∏‘ ’ 92 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæπ◊È ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 39. °”Àπ¥ x ·≈– y ‡ªìπ®”π«π‡µ¡Á ∫«° ¡°“√ 1 + 1 = 1 ¡’∑ßÈ— À¡¥°Ë§’ ”µÕ∫ x y 2008 ·π«§‘¥ x+y xy = 1 2008 xy › 2008x › 2008y = 0 xy › 2008x › 2008y + 20082 = 20082 (x›2008) (y›2008) = 26 Ó 2512 ∴ ®”π«π§”µÕ∫∑ßÈ— À¡¥ = (6+1) Ó (2+1) = 21 §”µÕ∫ µÕ∫ 21 §”µÕ∫ 40. °”Àπ¥ x = 1› 1 + x› 1 §“à ¢Õß x15 › 610 ‡ªπì ‡∑“à ‰√ x x x ·π«§‘¥ x› 1 › 1 = x › 1 x x x2 › 2x 1 › 1 + 1 › 1 = x › 1 x x x x2 › x › 2 x2 (1 › 1 ) + 1 = 0 x x2 › x › 2 x2 › x + 1 = 0 ( x2›x›1) 2 = 0 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 93

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—πÈ æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ x2 › x = 1 ∴ x2 = x + 1 ............................. 1 x3 = x2 + x ............................. 2 x3 = x + 1 + x x3 = 2x + 1 2 ; x2 = 2 + 1 x x x2 › 1 =2 x 2 Ó x; x4 = 2x2 + x ............................. 3 = 2(x+1) + x x4 = 3x + 2 ............................. 4 x3 = 3 + 2 x x3 › 2 =3 x 4 Ó x; x5 = 3x2 + 2x = 3(x+1) + 2x = 5x + 3 x4 = 5 + 3 x x4 › 3 =5 x 94 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552