เสริมคิดคณิตศาสตร์มัธยม 55-56

สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หนา้ 100 การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดบั เขตพ้นื ที่การศึกษา) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา 23. ให้ a,b และ c เป็นจำ�นวนจริง ซึง่ a + b + c = 0 และ abc = - 15 จงหาค่าของ a2(b + c)+ b2 (c + a) + c2 (a+b) แนวคิด ตอบ 45 ส�ำ นกั พฒั นานวัตกรรมการจดั การศึกษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 101 การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดับเขตพืน้ ทก่ี ารศกึ ษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา 24. จากรปู AB, BC, CD และ DA อยู่บนระนาบเดยี วกนั ABC = 24° และ ADC = 42° จุด E อยู่ บนส่วนต่อของ BA ไปทางจุด A เส้นแบง่ คร่ึง DAE ตดั กับเส้นแบ่งครึ่ง BCD ทจ่ี ดุ N จงหาว่า ANC มขี นาดก่ีองศา F แนวคิด BOD = BCD + CDO = BCD + 42° BAD = BOD - ABO = BCD + 18° EAD = 180° - BAD = 162° - BCD DAN = EAD = 81° - BCD NCD = BCD ตอ่ AN ไปตดั CD ที่ F ANC = NCF + NFC = NCD + DAN + ADC = BCD + 81° - BCD + 42° = 123° ตอบ 123° โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นร้สู ่สู ากล

สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 102 การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดับเขตพนื้ ท่กี ารศกึ ษา) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา 25. กำ�หนด 6 7 8 9 = A ใหเ้ ลือกเคร่ืองหมาย +, -, x, ÷ (สามารถใช้เคร่อื งหมายซํ้ากันได้) ลงใน และอนุญาตให้ใชเ้ ครอ่ื งหมาย ( ) แสดงการกระท�ำ ของจ�ำ นวนได้ เพ่อื ใหไ้ ดผ้ ลลัพธเ์ ป็น A ถา้ A เปน็ จำ�นวน 3 หลกั ท่มี ีค่ามากสดุ ทเ่ี ปน็ ไปได้แล้ว A มีค่าเทา่ ใด แนวคิด (6 + 7 ) x 8 x 9 = 13 x 72 = 936 ตอบ 936 ส�ำ นกั พัฒนานวัตกรรมการจัดการศึกษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพนื้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 103 การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดับเขตพื้นทก่ี ารศกึ ษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา สว่ นที่ 2 แบบทดสอบคณิตศาสตร์ฉบบั ภาษาไทย ตอนท่ี 1 ข้อท่ี 26 – 29 แบบเตมิ ค�ำ ตอบ จำ�นวน 4 ข้อ ขอ้ ละ 5 คะแนน รวม 20 คะแนน 26. รปู หกเหลย่ี ม ABCDEF แนบในวงกลม ถา้ ACE = 35° และ AEC = 55º แลว้ AFE มขี นาด ก่อี งศา แนวคิด จากรูป ABCD เปน็ รปู ส่เี หล่ยี มแนบในวงกลม AFE + AEC = 180° ดังนัน้ AFE = 180 - 35 = 145 องศา ตอบ 145 องศา 27. กำ�หนดให้ a และ b เป็นจ�ำ นวนเตม็ บวก ซ่งึ b < 200 ถ้า แลว้ a2 + b3 มีคา่ เท่าใด แนวคิด จาก แลว้ ดังน้ัน จะได้ นั่นคอื a2 + b3 = 25 + 2197 = 2222 ตอบ 2222 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นรูส้ ู่สากล

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พ้นื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 104 การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดบั เขตพืน้ ทกี่ ารศึกษา) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา 28. ถ้า (b - a)2 - 4(b - c)(c - a) = 0 แล้ว มคี ่าเท่าใด แนวคดิ ตอบ 12 ส�ำ นกั พฒั นานวัตกรรมการจัดการศึกษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หนา้ 105 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดับเขตพื้นทกี่ ารศึกษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา 29. จ�ำ นวนสิบหลักแตล่ ะหลกั ใชเ้ ลขโดดไมซ่ ้ํากันมกี ่จี ำ�นวนทีห่ ารด้วย 11111 ลงตัว แนวคิด ให้ N = 105 (a + b) เมือ่ a และ b เป็นจำ�นวน 5 หลัก ผลบวกของเลขโดดของ N เปน็ 45 แล้ว 9 | N จะได้ 99999 | N ดงั นนั้ (105 - 1) | N N = (105 - 1)a + (a+b) จะได้ 99999 | (a + b) a + b = 99999 9 x 8 x 6 x 4 x 2 = 3456 ตอบ 3456 จ�ำ นวน ตอนท่ี 2 ขอ้ ที่ 30 – 33 แบบเติมค�ำ ตอบ จำ�นวน 4 ข้อ ขอ้ ละ 10 คะแนน รวม 40 คะแนน 30. ก�ำ หนดให้ ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี ม มี A = 90° และ B = 20° ถา้ E และ F เปน็ จดุ บน AC และ AB ตามลำ�ดับ ท�ำ ให้ ABE = 10° และ ACF = 30° แลว้ CFE มีขนาดกี่องศา แนวคิด ลาก FT BE และตัด BC ท่จี ุด T จะได้ BFT = 80° = BTF CFT = 40° = FCT FT = CT ตอบ 20 ที่จดุ T กางวงเวียนรศั มี CT เขียนส่วนโค้งตดั AC ที่จดุ M จะได้ FTM เป็นรูปสามเหล่ียมดา้ นเทา่ ลาก BM จะได้ BMF BMT M กับ E เป็นจุดเดียวกนั CFE = 20° โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรู้สู่สากล

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 106 การแข่งขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดับเขตพืน้ ที่การศึกษา) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา 31. ก�ำ หนดให้ x และ y เปน็ จ�ำ นวนจรงิ ซงึ่ สอดคลอ้ งกบั สมการ แล้วค่าของ 3x + y ท่ีเป็นไปไดท้ ้งั หมดเป็นเท่าใด แนวคดิ เม่ือ , และ 13a + 7b + 6c = a2 + b2 + c2 26a + 14b + 12c = a2 + b2 + c2 + 254 0 = (a - 13)2 + (b - 7)2 + (c - 6)2 a = 13 และ b = 7 และ c = 6 x = 85 y = 84 3x + y = 255 + 84 = 339 ตอบ 339 32. กำ�หนดให้ x และ y เปน็ จำ�นวนเตม็ บวก ซ่ึงสอดคลอ้ งกบั สมการ 5x7 = 11y13 ถา้ คา่ ของ x ที่นอ้ ยท่สี ดุ คอื x = ab x cd เมือ่ a, c เป็นจำ�นวนเฉพาะ และ b, d เปน็ จ�ำ นวนเต็ม แลว้ a + b + c + d มีคา่ เทา่ ใด แนวคิด ให้ x = 5m x 11n จะได้ 57m + 1 x 117n - 1 = y13 7m + 1 = 13t 7n - 1 = 13s 7m = 14t - (t + 1) 7n = 14s - (s - 1) tmn = 6 m = 11 smn = 1 n = 2 xmn = 511 x 112 a + b + c + d = 5 + 11 + 11 + 2 = 29 ตอบ 29 ส�ำ นักพัฒนานวัตกรรมการจัดการศึกษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพืน้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 107 การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดับเขตพน้ื ทก่ี ารศึกษา) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา 33. นกั เรยี น 99 คน เดินเข้าไปยังอาคารท่ีมตี ้หู มายเลข 1 ถงึ 123 ทีละ 1 คน นกั เรียนคนท่ี 1 เปดิ ทุกตู้ นักเรียนคนท่ี 2 ปิดตหู้ มายเลข 2 , 4 , 6,...,122 นกั เรยี นคนท่ี 3 ทำ�กับต้หู มายเลข 3 ,6 , 9,...,123 โดยถ้าตูเ้ ปดิ อยกู่ ็จะปิด ถ้าตู้ปดิ อยู่กจ็ ะเปิด นกั เรียนคนท่ี m ปฏบิ ัตเิ ชน่ เดียวกับหมายเลขทเ่ี ป็นพหุคณู ของ m เช่นเดียวกับนักเรยี นคนที่ 3 เมอ่ื นักเรยี นเดินครบทุกคนแลว้ มตี เู้ ปดิ อย่เู ปน็ จำ�นวนกีต่ ู้ แนวคิด จ�ำ นวนตงั้ แต่ 1 ถงึ 99 ทมี่ จี �ำ นวนตัวประกอบเป็นจำ�นวนคี่จะถกู เปดิ ซงึ่ ได้แก่ตู้ หมายเลข 1, 22, 32, 52, 62, 72, 24, 34, 26 หมายเลขของตู้ที่เปน็ จำ�นวนเฉพาะ 100 < t < 123 จะถูกเปดิ ซ่ึงได้แก่ 101, 103, 107, 109, 113 มีจ�ำ นวนตู้ 14 ตู้ท่ีถกู เปดิ อยู่ ตอบ 14 ตู้ โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นรสู้ ่สู ากล

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หน้า 108 การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดบั เขตพ้ืนที่การศกึ ษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา สว่ นที่ 3 แบบทดสอบคณิตศาสตร์ฉบับภาษาองั กฤษ ข้อท่ี 34 – 38 แบบเติมคำ�ตอบ จ�ำ นวน 5 ข้อ ข้อละ 8 คะแนน รวม 40 คะแนน 34. x, y, z are real numbers which x, y, z > 0. If x2 + y2 = 64, y2 + z2 = 529 and (x + z - y)2 + x2 = 289, then (x + z)2 = ? Solution ให้ AE = x, AB = y, EF = z, AF = AG ดังนัน้ BG = x + z - y จากรูป ∆ ABC x2 + y2 = 64 ∆ EFC y2 + z2 = 529 ∆ BCG (x + z - y)2 - x2 = 289 ∆ ACF (x + z)2 = 82 + 232 = 593 Ans. 593 ส�ำ นกั พัฒนานวตั กรรมการจัดการศกึ ษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพนื้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 109 การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดบั เขตพน้ื ท่กี ารศึกษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา 35. If x1, x2 are real solutions of x2 + 6ax = a, then find the minimum value of . Solution แ(xท-นx1x)(=x--1x:2) = 0 = x2 + 6ax - a (-1 -xx=1)(1--16-ax:2) = 1 - 6a - = 1 - 7a = (1 + x1)(1 + x2) แทน a (1 - 6a - x1)(1 - 6a - x2) = 1 - 7a จะมีค่าตาํ่ สดุ เม่ือ แต่ x2 + 6ax = a จะมีรากเปน็ จำ�นวนจริง เมอื่ จะมคี า่ ตา่ํ สดุ เท่ากับ เม่ือ Ans. หรอื โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรูส้ สู่ ากล

สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 110 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดับเขตพนื้ ทก่ี ารศกึ ษา) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา 36. Let a be real number. If ,then a = ? Solution Ans. 57 ส�ำ นักพัฒนานวตั กรรมการจัดการศึกษา

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หนา้ 111 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดับเขตพ้นื ท่กี ารศกึ ษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา 37. AB = 28 unitsand CD = 29 units are chords of circle O which radius 19 units. If AB CD at point P ,then AP2 + BP2 + CP2 + DP2 = ? Solution ลาก OT AB และ OS CD ให้ OT PD AOT OA AT OT COS CO CS OS OA AP BP CP DP OC CP DP AP BP OA AP BP CP DP OA AP BP CP DP AP BP CP DP Ans. 1444 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรสู้ สู่ ากล

สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 112 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดับเขตพน้ื ที่การศกึ ษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา 38. How many ways to put 29 similar balls into the 4 boxes. If each boxes has different capacities each box contains 3, 7, 10 and 13 balls. Solution จำ�นวนวิธที ง้ั หมดเทา่ กบั จำ�นวนวิธหี ยบิ ลูกบอล 4 ลูก จากกล่องทมี่ ีลูกบอล 3 ลูก 7 ลูก 10 ลกู และ 13 ลูก 3 7 10 13 จ�ำ นวนท่ีหยบิ 3 1 0 0 0 1 0 3 วิธี 0 0 1 2 21 01 00 6 วธิ ี 1 3 0 0 2 1 0 10 วธิ ี 1 1 1 0 4 0 0 0 2 2 15 วธิ ี 3 1 0 2 1 1 Ans. 34 ways ************************ ส�ำ นักพัฒนานวตั กรรมการจดั การศึกษา

การแขงขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ แบบกทาดรแสขอปงบขรคะันณจทิตําาศปงาวพสิชต.าศรก.์ าร2ระ5ด5รับะ5มดธับยนมาศนกึ าษชาาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2555 การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ แบบทดสอบการปแขระงขจนั�ำ ปทีาพง.วศชิ .า2ก5า5ร6ระดบั ประเทศ แบบ(ทคดณสติ อ(ศบราอกสบาตรสรแอ ขรงงะรขดะนั บั ดทปับารปงะวรถชิะมาเทศกกึศารษ) าร)ะดบั ประเทศ (คณติ ศาสตร ระดับประถมศึกษา)



ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา (รอบสอง ระดบั ประเทศ) วนั เสาร์ท่ี 9 มีนาคม 2556 เวลา 09.00 – 11.30 น. (2 ช่ัวโมง 30 นาที) ค�ำ ชแี้ จง 1. แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ฉบับนี้ เป็นแบบทดสอบคณติ ศาสตรฉ์ บบั ภาษาไทย และฉบบั ภาษาองั กฤษ ประเภทเลือกตอบ ประเภทเติมคำ�ตอบ และแสดงวธิ ีทำ� คะแนนเตม็ 200 คะแนน เวลาในการทำ�แบบทดสอบ 2 ชว่ั โมง 30 นาที 2. แบบทดสอบฉบบั น้ีแบ่งเปน็ 2 สว่ น รวม 28 ข้อ สว่ นที่ 1 เปน็ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ฉบบั ภาษาไทย จ�ำ นวน 15 ข้อ คะแนนเตม็ 100 คะแนน แบง่ เป็น 3 ตอน ตอนที่ 1 ข้อท่ี 1 – 5 แบบเลอื กตอบ 5 ตัวเลอื ก จำ�นวน 5 ข้อ ขอ้ ละ 4 คะแนน รวม 20 คะแนน ตอนที ่ 2 ขอ้ ที่ 6 – 13 แบบเติมค�ำ ตอบ จำ�นวน 8 ข้อ ขอ้ ละ 5 คะแนน รวม 40 คะแนน ตอนท ี่ 3 ข้อท ่ี 14 – 15 แบบแสดงวิธีท�ำ จ�ำ นวน 2 ข้อ ข้อละ 20 คะแนน รวม 40 คะแนน สว่ นท่ี 2 เปน็ แบบทดสอบคณิตศาสตรฉ์ บับภาษาไทยและภาษาอังกฤษ จำ�นวน 13 ขอ้ คะแนนเตม็ 100 คะแนน แบ่งเปน็ 3 ตอน ตอนที ่ 1 ฉบับภาษาไทย ข้อที ่ 16 – 19 แบบเติมคำ�ตอบ จำ�นวน 4 ขอ้ ขอ้ ละ 6 คะแนน รวม 24 คะแนน ตอนท่ ี 2 ฉบับภาษาไทย ข้อท ่ี 20 – 23 แบบเติมคำ�ตอบ จำ�นวน 4 ขอ้ ข้อละ 9 คะแนน รวม 36 คะแนน ตอนท ี่ 3 ฉบับภาษาองั กฤษ ข้อที่ 24 – 28 แบบเติมค�ำ ตอบ จำ�นวน 5 ขอ้ ขอ้ ละ 8 คะแนน รวม 40 คะแนน 3. กระดาษคำ�ตอบมี 2 หน้า ให้นกั เรียนเขยี น ช่ือ-นามสกลุ เลขประจำ�ตัวสอบ หอ้ งสอบ ชอ่ื โรงเรยี น ส�ำ นักงานเขตพน้ื ทกี่ ารศกึ ษา ให้ครบในกระดาษค�ำ ตอบ 4. คำ�ตอบแต่ละขอ้ ทีน่ ักเรยี นตอบ ตอ้ งตอบลงในกระดาษคำ�ตอบและให้ตรงกบั ขอ้ คำ�ถาม 5. ไม่อนญุ าตใหใ้ ช้เคร่ืองคดิ เลข โทรศัพท์ นาฬิกา หรอื เครือ่ งมอื อเิ ล็กทรอนกิ สใ์ ดๆ ในการค�ำ นวณ 6. นกั เรยี นจะออกจากหอ้ งสอบไดเ้ ม่อื หมดเวลาสอบ โดยวางกระดาษค�ำ ตอบ กระดาษทด และแบบทดสอบไว้บนโตะ๊ 7. การตดั สนิ ของคณะกรรมการถอื เปน็ ข้อยุติ แบบทดสอบฉบับน้ี เปน็ ลิขสทิ ธิ์ของ ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หา้ มเผยแพร่ อ้างองิ ตัดต่อ ดดั แปลงหรือเฉลย กอ่ นได้รับอนญุ าต

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พื้นฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หน้า 116 การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา สว่ นท่ี 1 แบบทดสอบคณติ ศาสตรฉ์ บับภาษาไทย ตอนที่ 1 ขอ้ ท่ี 1 – 5 แบบเลอื กตอบ 5 ตวั เลือก จ�ำนวน 5 ขอ้ ขอ้ ละ 4 คะแนน รวม 20 คะแนน 1. หา้ งสรรพสินค้าลดราคาครง้ั ใหญ่ ใครก็ตามซอื้ น้ําสม้ 1 ขวด ในราคา 7 เหรยี ญ สามารถซอ้ื นํา้ สม้ ขวดทส่ี องไดใ้ นราคา 1 เหรียญ ถา้ มีคน 9 คน แตล่ ะคนต้องการนาํ้ สม้ 1 ขวด จะต้องจา่ ยเงนิ ท้งั หมดให้น้อยทสี่ ดุ ก่ีเหรยี ญ ก. 32 ข. 36 ค. 39 ง. 40 จ. 63 2. จากสมการ ถา้ แทน x ดว้ ย จะไดผ้ ลบวกของ y ทัง้ หมดเป็นเทา่ ใด ก. 1 ข. 16 ค. 251.5 ง. 503 จ. 2012 3. ร้านขายดอกไม้แหง่ หนึง่ ขายดอกคาร์เนชั่นดอกละ 3 เหรียญ ขายดอกกหุ ลาบ ดอกละ 4 เหรียญ ถ้าซอื้ ดอกไม้ท้ังสองชนิดด้วยเงนิ 60 เหรียญ จะซื้อไดก้ แี่ บบ ก. 4 ข. 5 ค. 6 ง. 7 จ. 8 4. รบิ บน้ิ รปู สเี่ หลี่ยมผืนผา้ มดี ้านยาว 30 เซนตเิ มตร กวา้ ง 3 เซนตเิ มตร พบั ตามรูปที่ 2 ให้ ACB เปน็ มมุ ฉาก แลว้ พบั ตามรปู ที่ 3 และรปู ท่ี 4 โดยที่ AM = GM แลว้ AC ในรปู ที่ 1 ยาวกเี่ ซนตเิ มตร ก. 7.5 ข. 10.5 ค. 13.5 ง. 14.5 จ. 16.5 ส�ำ นกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศึกษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หนา้ 117 การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา 5. ให้ a, b, c เปน็ จ�ำนวนตรรกยะที่ แล้วข้อใดถูกตอ้ ง ก. a + b + c = a3 + b3 + c3 ข. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 ค. (a + b + 2c)2 = a2 + b2 + 4c2 ง. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 จ. (a + b + c)(a2 + b2 +c2) = a3 + b3 + c3+ abc ตอนท่ี 2 ขอ้ ท่ี 6 - 13 แบบเตมิ ค�ำตอบ จ�ำนวน 8 ขอ้ ขอ้ ละ 5 คะแนน รวม 40 คะแนน 6. รปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั ABC มี AB = AC ถา้ จดุ D อยบู่ นดา้ น AC ทท่ี �ำให้ AD = DB = BC แล้ว มมุ BAC มขี นาดกีอ่ งศา 7. รูปหกเหล่ียมด้านเท่ามุมเท่า ท่ีเท่ากันทุกประการ 3 รูป วางซ้อนทับกัน โดยที่ รูปกลาง ขมอจี ดุงรยูปอกดลจาดุ งหOนง่ึ2อดยงั ทู่ รจ่ีปู ดุ ถศ้านู รยปู ก์ หลกาเงหOล่ีย1 ขมอดง้ารนปู เทซา้่ายมมมุ อื เทร่าปู แขตวล่ าะมรอื ปู มมจี ดีดุ า้ยนอยดาจวดุ ห12นง่ึหอนยว่ ทู่ ยจี่ แดุ ลศว้นู บยรก์ ิเลวาณง ที่แรเงามพี ืน้ ทกี่ ่ีตารางหน่วย 8. ให้ a และ b เปน็ จ�ำนวนจรงิ ถ้า 3a = 2013 และ 671b = 2013 แล้ว มคี า่ เทา่ ใด โครงการพัฒนาคุณภาพการเรียนรู้สสู่ ากล

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หนา้ 118 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา 9. จากรปู ABCD เป็นรปู สเ่ี หลี่ยมคางหมมู ุมฉาก โดยที่ AD//BC และ E เปน็ จดุ กึ่งกลางของ CD ถ้า BE = 20 เซนติเมตร และ AB = AD + BC แล้วรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD มีพื้นท่ี กีต่ ารางเซนติเมตร 10. ก�ำหนดให้ a, b และ c เป็นเลขโดด ถ้า 20ab13c เป็นจ�ำนวนเต็มบวก 7 หลัก ที่หารด้วย 792 ลงตวั แลว้ c(a + b) มคี า่ เทา่ ใด 11. ในงานเลี้ยงแห่งหน่ึง ผู้ร่วมงานแต่ละคนจับมือกับหญิง 4 คน และชาย 6 คน ถ้าจ�ำนวน ครั้งการจบั มือระหว่างเพศตรงข้ามนอ้ ยกว่าเพศเดยี วกันอยู่ 7 คร้ัง แลว้ งานเลีย้ งนมี้ ชี ายก่ีคน 12. ใส่ลูกบอลเหมือนกัน 130 ลูก ลงในกล่องเหมือน ๆ กันหลายกล่อง โดยท่ีจ�ำนวนลูกบอลใน แต่ละกล่อง ต้องมีอย่างน้อย 10 ลูก มากที่สุด 20 ลูก และจ�ำนวนลูกบอลในแต่ละกล่องต้อง ไมเ่ ทา่ กนั จะมวี ธิ ตี ่าง ๆ กนั กี่วิธี ทีจ่ ะใสล่ ูกบอลลงในกล่องตามเงอ่ื นไขขา้ งต้น 13. ให้ a และ b เป็นจ�ำนวนเตม็ ที่ไมใ่ ชจ่ �ำนวนเต็มลบ และมีค่านอ้ ยกวา่ 100 ถ้า a - 2b เป็นจ�ำนวน เฉพาะบวก และ 2ab เป็นจ�ำนวนก�ำลงั สองสมบูรณ์ แล้วคา่ มากที่สดุ ของ a + b เปน็ เท่าใด ส�ำ นักพฒั นานวตั กรรมการจดั การศึกษา

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พื้นฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 119 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา ตอนท่ี 3 ข้อท่ี 14 – 15 แบบแสดงวธิ ที �ำ จ�ำนวน 2 ข้อ ขอ้ ละ 20 คะแนน รวม 40 คะแนน 14. ก�ำหนดให้ k เปน็ จ�ำนวนจริง ถ้าผลคูณของรากทเ่ี ปน็ จ�ำนวนจรงิ ของสมการ x4 + 2x3 + (3 + k)x2 + (2 + k)x + 2k = 0 เท่ากบั -2012 จงหาผลบวกของก�ำลังสองของรากท่เี ปน็ จ�ำนวนจริง 15. น�ำรปู ด้านล่างวางบนตารางหมากรุกขนาด 9 x 9 ตารางหนว่ ย ให้เตม็ พอดโี ดยไม่ซ้อนทบั กัน จะตอ้ งใช้รูปทมี่ พี ้นื ที่ 3 ตารางหนว่ ยอยา่ งน้อยทส่ี ุดกีร่ ปู (ชอ่ งสี่เหล่ยี มแตล่ ะชอ่ งมีขนาด 1 x 1 ตารางหน่วย) โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นร้สู สู่ ากล

สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พื้นฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 120 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา สว่ นที่ 2 แบบทดสอบคณิตศาสตรฉ์ บับภาษาไทยและภาษาอังกฤษ ตอนที่ 1 ฉบบั ภาษาไทย ขอ้ ที่ 16 – 19 แบบเตมิ ค�ำตอบ จ�ำนวน 4 ขอ้ ขอ้ ละ 6 คะแนน รวม 24 คะแนน 16. เลือกจ�ำนวนเตม็ ครั้งละกจี่ �ำนวนก็ไดจ้ ากจ�ำนวนเตม็ บวกทมี่ ีค่าไม่เกิน 15 จงหาจ�ำนวนวิธีการ เลอื กทง้ั หมดทีไ่ ดผ้ ลบวกของสมาชิกท่ีน้อยสดุ กับมากทีส่ ุดจากที่เลือกมาเปน็ 21 17. ผลคณู ของ (x + 2013)(x + 2556)(2x2 + 13)(x3 + 6x + 16)2 (x + 9) (x + 2012)3 (x + 8) มกี พี่ จนท์ ม่ี สี ัมประสทิ ธเ์ิ ปน็ จ�ำนวนค่ี 18. ก�ำหนดให้ a, b, c เปน็ จ�ำนวนจริงท่ไี ม่เป็นศูนย์ ถา้ พหุนาม p(x) = x3 - ax2 + bx - c มตี ัวประกอบเปน็ (x - a)(x - b)(x - c) แลว้ p(2) มีค่าเท่าใด 19. ก�ำหนดให้ ABCD เปน็ รูปสเี่ หลี่ยม มี AB = 47 หน่วย BC = 19 หน่วย CD = 42 หน่วย และ AD = 59 หน่วย ถ้าเส้นทแยงมุม AC ตัดกับ BD ที่จุด P แล้วผลต่างของพื้นท่ี รปู สามเหลย่ี ม ADP กับพน้ื ทร่ี ูปสามเหล่ียม BCP ทมี่ ากที่สุดท่ีเปน็ ไปไดเ้ ท่ากบั กต่ี ารางหน่วย ตอนท่ี 2 ฉบับภาษาไทย ข้อท่ี 20 – 23 แบบเตมิ ค�ำตอบ จ�ำนวน 4 ข้อ ข้อละ 9 คะแนน รวม 36 คะแนน 20. ก�ำหนดให้ 1065 - 925 - 585 + 445 = a x 10n โดยท่ี 1 ≤ a < 10 และ n เปน็ จ�ำนวนเตม็ แลว้ 10an มคี า่ เท่าใด 21. ก�ำหนดให้ a, b และ c เปน็ จ�ำนวนจริง ซ่ึงสอดคลอ้ งกบั สมการ x2 + ax + b = 0, x2 + bx + c = 0 และ x2 + cx + a = 0 ถ้าสมการทั้งสามสมการทก่ี �ำหนดให้ แตล่ ะคมู่ คี �ำตอบ ร่วมกนั 1 ค�ำตอบเสมอ แล้ว a3 + b3 + c3 มคี ่าเทา่ ใด ส�ำ นกั พัฒนานวัตกรรมการจดั การศึกษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หนา้ 121 การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา 22. ก�ำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี ม มี AB = 75 หน่วย BC = 81 หน่วย D เปน็ จุดภายใน ทท่ี �ำให้ BAD = BCD และ BDC = 90° ถา้ M เป็นจุดแบง่ ครง่ึ ด้าน AC แลว้ DM2 มคี า่ เท่าใด 23. รปู สามเหล่ียม ABC แนบในวงกลม O เส้นแบง่ ครึง่ ABC พบ AC ท่จี ุด D และวงกลม O ที่จุด M วงกลมทล่ี ้อมรอบรปู สามเหล่ียม BDC พบ ABท่ีจดุ E CE พบวงกลม O ทจ่ี ดุ P และเสน้ แบ่งคร่งึ ACB ทจ่ี ดุ Q ถ้า PQ = CM แล้วมมุ ABC มขี นาดกีอ่ งศา ตอนที่ 3 ฉบบั ภาษาองั กฤษ ข้อที่ 24 – 28 แบบเตมิ ค�ำตอบ จ�ำนวน 5 ขอ้ ข้อละ 8 คะแนน รวม 40 คะแนน 24. Determine the largest prime factorization of 320 + 319 - 12. 25. If , then find the value of x2 + 9x. 26. Let P = n2556 + (n + 1)2556 + (n + 2)2556 + ... + (n + 99)2556. Find the remainder of P when P is divided by 100 . 27. Let a and b be integers. If , then find the value of a + b. 28. Given the triangle ABC with A = 45°, P is the point on side BC and PB = 3, PC = 5 . O is the center of the circumcircle of the triangle ABC. If OP = , then find the value of a. **************************** โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นรู้สู่สากล



การแขงขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ แนวคดิ กแาบรบแทขดปงสขรอะนั บจทคาํ าปณงวติพิชศ.าศกส.าต2รร5์5รระ5ะดบั นมาัธนยมาชศากึ ตษิ า ประจาํ ป พ.ศ. 2555 การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ แบบทดสอบการปแขระง ขจนั�ำ ปทีาพง.วศิช.า2ก5า5ร6ระดบั ประเทศ แบบ(ทคดณสติ อ(ศบราอกสบาตรสรแอ ขรงงะรขดะนั บั ดทปบั ารปงะวรถิชะมาเทศกึกศารษ) าร)ะดบั ประเทศ (คณติ ศาสตร ระดบั ประถมศึกษา)



ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพืน้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา (รอบสอง ระดับประเทศ) วนั เสาร์ที่ 9 มนี าคม 2556 เวลา 09.00 – 11.30 น. (2 ชัว่ โมง 30 นาท)ี คำ�ชแี้ จง 1. แบบทดสอบคณิตศาสตร์ฉบบั น้ี เปน็ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ฉบับภาษาไทย และฉบบั ภาษาองั กฤษ ประเภทเลือกตอบ ประเภทเติมคำ�ตอบ และแสดงวธิ ที ำ� คะแนนเตม็ 200 คะแนน เวลาในการท�ำ แบบทดสอบ 2 ช่วั โมง 30 นาที 2. แบบทดสอบฉบับนแ้ี บ่งเป็น 2 ส่วน รวม 28 ข้อ ส่วนท่ี 1 เปน็ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ฉบบั ภาษาไทย จำ�นวน 15 ขอ้ คะแนนเต็ม 100 คะแนน แบง่ เป็น 3 ตอน ตอนท ่ี 1 ข้อที่ 1 – 5 แบบเลอื กตอบ 5 ตัวเลือก จำ�นวน 5 ข้อ ขอ้ ละ 4 คะแนน รวม 20 คะแนน ตอนท ่ี 2 ขอ้ ท ี่ 6 – 13 แบบเตมิ ค�ำ ตอบ จำ�นวน 8 ข้อ ข้อละ 5 คะแนน รวม 40 คะแนน ตอนท่ี 3 ขอ้ ท่ ี 14 – 15 แบบแสดงวิธีท�ำ จ�ำ นวน 2 ข้อ ข้อละ 20 คะแนน รวม 40 คะแนน ส่วนที่ 2 เปน็ แบบทดสอบคณติ ศาสตรฉ์ บบั ภาษาไทยและภาษาองั กฤษ จ�ำ นวน 13 ขอ้ คะแนนเต็ม 100 คะแนน แบง่ เปน็ 3 ตอน ตอนที่ 1 ฉบบั ภาษาไทย ขอ้ ที่ 16 – 19 แบบเตมิ คำ�ตอบ จำ�นวน 4 ขอ้ ขอ้ ละ 6 คะแนน รวม 24 คะแนน ตอนท่ี 2 ฉบบั ภาษาไทย ข้อท่ ี 20 – 23 แบบเตมิ ค�ำ ตอบ จ�ำ นวน 4 ข้อ ขอ้ ละ 9 คะแนน รวม 36 คะแนน ตอนท ี่ 3 ฉบบั ภาษาองั กฤษ ข้อที ่ 24 – 28 แบบเตมิ คำ�ตอบ จ�ำ นวน 5 ขอ้ ข้อละ 8 คะแนน รวม 40 คะแนน 3. กระดาษค�ำ ตอบมี 2 หนา้ ใหน้ กั เรียนเขียน ชอื่ -นามสกุล เลขประจ�ำ ตวั สอบ ห้องสอบ ชื่อโรงเรยี น ส�ำ นักงานเขตพ้ืนทกี่ ารศึกษา ใหค้ รบในกระดาษค�ำ ตอบ 4. ค�ำ ตอบแต่ละข้อทน่ี กั เรียนตอบ ตอ้ งตอบลงในกระดาษค�ำ ตอบและให้ตรงกับข้อคำ�ถาม 5. ไมอ่ นญุ าตให้ใช้เครอ่ื งคดิ เลข โทรศพั ท์ นาฬกิ า หรอื เครอื่ งมอื อเิ ลก็ ทรอนกิ สใ์ ดๆ ในการคำ�นวณ 6. นักเรยี นจะออกจากหอ้ งสอบได้เมอ่ื หมดเวลาสอบ โดยวางกระดาษค�ำ ตอบ กระดาษทด และแบบทดสอบไว้บนโต๊ะ 7. การตัดสนิ ของคณะกรรมการถอื เปน็ ขอ้ ยตุ ิ แนวคิดแบบทดสอบฉบบั นี้ เป็นลขิ สิทธ์ิของ ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพนื้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร ห้ามเผยแพร่ อา้ งอิง ตัดตอ่ ดดั แปลงหรอื เฉลย ก่อนไดร้ บั อนุญาต

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พืน้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หนา้ 126 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา สว่ นที่ 1 แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ฉบบั ภาษาไทย ตอนที่ 1 ขอ้ ที่ 1 – 5 แบบเลอื กตอบ 5 ตวั เลอื ก จ�ำนวน 5 ข้อ ข้อละ 4 คะแนน รวม 20 คะแนน 1. ห้างสรรพสินค้าลดราคาครงั้ ใหญ่ ใครกต็ ามซ้อื น้ําสม้ 1 ขวด ในราคา 7 เหรยี ญ สามารถซ้อื น้ําส้มขวดทสี่ องได้ในราคา 1 เหรยี ญ ถ้ามีคน 9 คน แตล่ ะคนตอ้ งการนา้ํ สม้ 1 ขวด จะต้องจา่ ยเงนิ ทง้ั หมดใหน้ ้อยทีส่ ดุ กี่เหรยี ญ ก. 32 ข. 36 ค. 39 ง. 40 จ. 63 แนวคดิ ตอ้ งการคนละขวด ถ้าจ่าย 4 คน จะต้องจ่ายเงิน 4 × 7 = 28 เหรียญ เพิ่มอกี คนละ 1 เหรียญ เป็นเงนิ 4 เหรียญ ไดน้ าํ้ ส้มเพ่ิมอกี 4 ขวด เป็น 8 ขวด แลว้ ซือ้ เพ่มิ อกี 1 ขวด รวมเปน็ เงนิ 32 + 7 = 39 เหรียญ ตอ้ งจ่ายเงนิ นอ้ ยท่สี ดุ 39 เหรยี ญ ตอบ ค. ส�ำ นกั พัฒนานวัตกรรมการจัดการศกึ ษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หนา้ 127 การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) จ. 2012 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา 2. จากสมการ ถ้าแทน x ด้วย จะไดผ้ ลบวกของ y ทง้ั หมดเปน็ เท่าใด ค. 251.5 ก. 1 ข. 16 ง. 503 แนวคดิ ให้ , 4, 8, 12 , ... , 2012 มที ้ังหมด 503 คู่ ดงั นั้น เมอ่ื แทน x ดว้ ยจ�ำนวนดงั กลา่ ว จะได้ผลรวมของ y เทา่ กับ 503 ตอบ ง. โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรสู้ ่สู ากล

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พืน้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หนา้ 128 การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา 3. รา้ นขายดอกไมแ้ หง่ หนงึ่ ขายดอกคารเ์ นชน่ั ดอกละ 3 เหรยี ญ ขายดอกกหุ ลาบ ดอกละ 4 เหรยี ญ ถา้ ซ้ือดอกไม้ทงั้ สองชนิดดว้ ยเงนิ 60 เหรียญ จะซอ้ื ได้ก่ีแบบ ก. 4 ข. 5 ค. 6 ง. 7 จ. 8 แนวคิด มเี งินซอื้ ดอกไม้ 60 เหรียญ ก�ำหนดให้ซื้อดอกคาร์เนชนั่ x ดอก และดอกกุหลาบ y ดอก จา่ ยเงิน 3x + 4y = 60 โดยท่ ี 0 < 3x < 60 และ 0 < 4y < 60 จะได้ 0 < x < 20 และ 0 < y < 15 4y = 60 - 3x แสดงว่า x หารด้วย 4 ลงตวั x = 4 , 8, 12, 16 y = 12 , 9, 6, 3 ตอบ ก. ส�ำ นกั พฒั นานวัตกรรมการจดั การศึกษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พืน้ ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หน้า 129 การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา 4. รบิ บน้ิ รูปส่ีเหลี่ยมผืนผา้ มีดา้ นยาว 30 เซนตเิ มตร กวา้ ง 3 เซนตเิ มตร พบั ตามรูปท่ี 2 ให้ ACB เปน็ มมุ ฉาก แล้วพบั ตามรปู ท่ี 3 และรปู ที่ 4 โดยท่ี AM = GM แล้ว AC ในรูปท่ี 1 ยาวกเี่ ซนติเมตร ก. 7.5 ข. 10.5 ค. 13.5 ง. 14.5 จ. 16.5 แนวคิด ACMM11 = GM2 = FM2 = 3 AC = FG AC = - 3 - = 10.5 ซม. ตอบ ข โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรู้สูส่ ากล

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พืน้ ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หนา้ 130 การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา 5. ให้ a, b, c เปน็ จ�ำนวนตรรกยะท่ี แล้วขอ้ ใดถูกตอ้ ง ก. a + b + c = a3 + b3 + c3 ข. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 ค. (a + b + 2c)2 = a2 + b2 - 4c2 ง. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 จ. (a + b + c)2(a2 + b2 +c2) = a3 + b3 + c3+ abc แนวคดิ จาก c = - ca + cb = - ab ca + cb + ab = 0 พิจารณาขอ้ ข (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = a2 + b2 + c2 + 2(0) ตอบ ข. ส�ำ นกั พัฒนานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 131 การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา ตอนที่ 2 ข้อท่ี 6 - 13 แบบเติมค�ำตอบ จ�ำนวน 8 ข้อ ข้อละ 5 คะแนน รวม 40 คะแนน 6. รปู สามเหลยี่ มหน้าจ่ัว ABC มี AB = AC ถา้ จดุ D อยบู่ นดา้ น AC ที่ท�ำให้ AD = DB = BC แลว้ มมุ BAC มขี นาดก่อี งศา แนวคดิ เนอ่ื งจาก ∆ ABC เปน็ หนา้ จว่ั ABC = ACB = 2a และ ∆ ABC เปน็ หน้าจว่ั จะได้ ABD = BAD = a พจิ ารณา ∆ ABC , a + 2a + 2a = 180° 5a = 180° a = 36° ตอบ 36 องศา โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรสู้ สู่ ากล

สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 132 การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา 7. รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ท่ีเท่ากันทุกประการ 3 รูป วางซ้อนทับกัน โดยท่ี รูปกลาง ขมอจี งุดรยูปอกดลจาดุ งหOน่ึง2อดยงัทู่ รี่จูปุดศถนู้ารยปู ์กหลกางเหOล1ีย่ ขมอดง้ารนปู เซท้าา่ ยมมมุ อืเทร่าปู แขตวล่ าะมรือปู มมจี ดี ุดา้ ยนอยดาจวุด1ห2น่งึหอนย่วทู่ ยจี่ ดุแศลนูว้ บยร์กิเลวาณง ท่แี รเงามพี ้นื ที่ก่ตี ารางหน่วย แนวคดิ ตอ่ O1A AO1C = 120° MO1A = จะได้ ∆MMOO1A1A ∆= NON1OC1C(ม.ด.ม.) จะได้ พืน้ ท่ีรปู O1MBCN = พื้นท่ีรปู O1ABC = ของพืน้ ทร่ี ูปหกเหล่ยี ม = = พื้นทแี่ รเงา = ตารางหนว่ ย ตอบ ตารางหน่วย ส�ำ นักพัฒนานวัตกรรมการจัดการศึกษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พนื้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หน้า 133 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา 8. ให้ a และ b เป็นจำ� นวนจริง ถ้า 3a = 2013 และ 671b = 2013 แลว้ มคี ่าเทา่ ใด แนวคดิ และ และ ตอบ 1 9. จากรปู ABCD เปน็ รปู สเ่ี หลยี่ มคางหมมู มุ ฉาก โดยที่ AD//BCและ E เปน็ จดุ กง่ึ กลางของ CD ถ้า BE = 20 เซนติเมตร และ AB = AD + BC แล้วรูปส่ีเหลี่ยมคางหมู ABCD มีพื้นที่ กี่ตารางเซนติเมตร แนวคดิ CT A Xx D CS x+y E BS ES B TS C BS = ES EBS พน้ื ที่ ABCD y ตอบ 400 ตารางเซนติเมตร โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นร้สู ่สู ากล

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หนา้ 134 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา 10. ก�ำหนดให้ a, b และ c เป็นเลขโดด ถา้ 20ab13c เป็นจ�ำนวนเต็มบวก 7 หลกั ทหี่ ารดว้ ย 792 ลงตวั แล้ว c(a + b) มีคา่ เทา่ ใด แนวคิด 792 = 8 × 9 × 11 20ab13c หารดว้ ย 8, 9, 11 ลงตัว พิจารณา หารดว้ ย 8 ลงตวั 13c = 130 + c หารดว้ ย 8 ลงตวั จะได้ c = 6 พจิ ารณา หารด้วย 9 ลงตวั 2 + 0 + a + b + 1 + 3 + 6 จะได้ a + b = 6 หรือ a + b = 15 พจิ ารณา หารดว้ ย 11 ลงตัว 2 - 0 + a - b + 1 - 3 + 6 จะได้ a + b = 5 หรือ a - b = -6 กรณี 1 a + b = 15 a - b = 5 2a = 20 a = 10, b = 5 เป็นไปไม่ได้ กรณี 2 a + b = 6 a - b = -6 2a = 0 ได้ a = 0, b = 6, c = 6 c(a + b) = 36 ตอบ 36 ส�ำ นกั พัฒนานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หนา้ 135 การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา 11. ในงานเลี้ยงแห่งหนึ่ง ผู้ร่วมงานแต่ละคนจับมือกับหญิง 4 คน และชาย 6 คน ถ้าจ�ำนวน ครั้งการจบั มือระหว่างเพศตรงข้ามน้อยกว่าเพศเดยี วกนั อยู่ 7 ครัง้ แลว้ งานเลี้ยงน้ีมชี ายกคี่ น แนวคิด ให้มชี าย x คน ชายจับมือกับชาย 62x = 3x ครงั้ ชายจบั มือกับหญงิ ท้งั หมด 4x ครัง้ จะมหี ญิง 62x = 23x คน หญิงแตล่ ะคนจับมือกับหญิงเท่านัน้ ได้ ครั้ง = 43x แตก่ ารจับมือระหว่างเพศตรงข้ามน้อยกวา่ เพศเดียวกัน 7 คร้งั 43x + 3x - 4x = 7 4x - 3x = 21 x = 21 ตอบ 21 คน โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรสู้ ่สู ากล

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 136 การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา 12. ใส่ลูกบอลเหมือนกัน 130 ลูก ลงในกล่องเหมือน ๆ กันหลายกล่อง โดยที่จ�ำนวนลูกบอลใน แต่ละกลอ่ ง ตอ้ งมีอย่างนอ้ ย 10 ลูก มากท่ีสดุ 20 ลูก และจ�ำนวนลกู บอลในแต่ละกล่องต้อง ไมเ่ ท่ากัน จะมีวธิ ตี ่าง ๆ กนั กี่วิธี ท่ีจะใสล่ ูกบอลลงในกลอ่ งตามเง่ือนไขข้างต้น แนวคิด จ�ำนวนลูกบอลในแตล่ ะกลอ่ ง อาจเป็น 10, 11, 12, … , 20 10 + 11 + 12 + … + 20 = 165 ตอ้ งตัดออก 165 - 130 = 35 จะใส่ลกู บอลลงในกลอ่ ง ดังนี้ 10, 11, 14 10, 12, 13 20, 15 19, 16 18, 17 ตอบ 5 วธิ ี ส�ำ นกั พัฒนานวัตกรรมการจดั การศึกษา

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 137 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา 13. ให้ a และ b เปน็ จ�ำนวนเตม็ ทไี่ ม่ใชจ่ �ำนวนเต็มลบ และมคี ่านอ้ ยกว่า 100 ถา้ a - 2b เป็นจ�ำนวน เฉพาะบวก และ 2ab เปน็ จ�ำนวนก�ำลังสองสมบูรณ์ แล้วค่ามากท่สี ุดของ a + b เป็นเทา่ ใด แนวคดิ ก�ำหนดให ้ a - 2b = p เมื่อ p เป็นจ�ำนวนเฉพาะบวก จะได ้ a = 2b + p 2ab = 4t2 ab = 2t2 b(2b + p) = 2t2 p = 2; b(2b + 2) = 2t2 b(b + 1) = t2 เปน็ ไปไมไ่ ด้ b = 2 ; 2(4 + p) = 2t2 p = 5 จะได้ a = 9, a + b = 11 b = 32; 64(64 + p) = 4t2 p = 17 a - 2(32) = 17 a = 81 b = 32 คา่ มากท่สี ดุ ของ a + b คือ 113 ตอบ 113 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นร้สู ู่สากล

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หน้า 138 การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา ตอนท่ี 3 ขอ้ ที่ 14 – 15 แบบแสดงวิธที �ำ จ�ำนวน 2 ขอ้ ข้อละ 20 คะแนน รวม 40 คะแนน 14. ก�ำหนดให้ k เป็นจ�ำนวนจริง ถา้ ผลคณู ของรากที่เปน็ จ�ำนวนจริงของสมการ x4 + 2x3 + (3 + k)x2 + (2 + k)x + 2k = 0 เท่ากับ -2012 จงหาผลบวกของก�ำลงั สองของรากท่เี ป็นจ�ำนวนจริง แนวคิด x4 + 2x3 + (3 + k)x2 + (2 + k)x + 2k = (x2 + x + 2)(x2 + x + k) = 0 x2 + x + 2 = 0 หรือ x2 + x + k = 0 แต่ x2 + x +2 = 0 ไมม่ รี ากเป็นจ�ำนวนจริง x2 + x + k = 0 มีรากสมการคอื และ + = -1 = k = - 2012 2 + 2 + 2 = 1 2 + 2 - 2(2012) = 1 2 + 2 = 4025 ตอบ 4025 ส�ำ นกั พัฒนานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หนา้ 139 การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา 15. น�ำรูปด้านลา่ งวางบนตารางหมากรุกขนาด 9 x 9 ตารางหน่วย ให้เตม็ พอดโี ดยไมซ่ อ้ นทับกนั จะตอ้ งใชร้ ปู ทม่ี พี น้ื ท่ี 3 ตารางหน่วยอยา่ งน้อยที่สดุ กี่รูป (ชอ่ งส่เี หลีย่ มแต่ละชอ่ งมีขนาด 1 x 1 ตารางหน่วย) โครงการพัฒนาคุณภาพการเรียนร้สู สู่ ากล

สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พ้นื ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หนา้ 140 การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา แนวคดิ ให้ m แทนจ�ำนวนรปู ท่มี ีขนาด 3 ตารางหนว่ ย และ n แทนจ�ำนวนรปู ทมี่ ีขนาด 4 ตารางหน่วย พิจารณาจากตารางภาพในแต่ละแถวสามารถวางรปู ร่างทก่ี �ำหนดให้ไดไ้ มน่ อ้ ยกว่า 5 รปู และในแตล่ ะหลกั จะวางรปู รา่ งท่ีก�ำหนดใหไ้ ด้ไมน่ ้อยกวา่ 5 รูป m + n ≥ 5 x 5 = 25 ………………………….➀ ในท�ำนองเดยี วกัน ถ้าวางรูปรา่ งทงั้ หมดจะได้ 3m + 4n = 81 4n = 81 - 3m ……………………➁ ➀ x 4 ; 4m + 4n ≥ 100 ……………………➂ แทนคา่ 4n = 81 - 3m ใน ➂ ได ้ 4m + 81 – 3m ≥ 100 m ≥ 19 ใส่รูปที่มพี นื้ ท่ี 3 ตารางหน่วยอย่างนอ้ ย 19 รปู ดงั ภาพตวั อยา่ ง ส�ำ นกั พฒั นานวัตกรรมการจัดการศึกษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พ้ืนฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 141 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา กรณีท่ี 1 กรณที ี่ 2 ตอบ 19 รปู โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นรูส้ ู่สากล

สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พนื้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 142 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา สว่ นที่ 2 แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ฉบบั ภาษาไทยและภาษาองั กฤษ ตอนท่ี 1 ฉบับภาษาไทย ขอ้ ที่ 16 – 19 แบบเตมิ ค�ำตอบ จ�ำนวน 4 ข้อ ข้อละ 6 คะแนน รวม 24 คะแนน 16. เลือกจ�ำนวนเต็มครั้งละก่ีจ�ำนวนก็ได้จากจ�ำนวนเต็มบวกที่มีค่าไม่เกิน 15 จงหาจ�ำนวนวิธีการ เลอื กท้งั หมดท่ไี ดผ้ ลบวกของสมาชกิ ท่ีน้อยสุดกับมากท่ีสดุ จากที่เลอื กมาเปน็ 21 แนวคิด 1, 2, 3, . . . , 15 กรณีที่ 1 6, 15 เลอื กได้ 28 = 256 กรณที ่ี 2 7, 14 เลือกได้ 26 = 64 กรณที ี่ 3 8, 13 เลอื กได ้ 24 = 16 กรณที ี่ 4 9, 12 เลือกได้ 22 = 4 กรณที ี่ 5 10, 11 เลอื กได ้ 20 = 1 ตอบ 341 วิธี 17. ผลคูณของ (x + 2013)(x + 2556)(2x2 + 13)(x3 + 6x + 16)2(x + 9)(x + 2012)3(x + 8) มกี ี่พจน์ท่มี สี ัมประสิทธเิ์ ปน็ จ�ำนวนคี่ แนวคดิ (x + 2556)(x3 + 6x + 16)2(x + 2012)3(x + 8) = x11 + 2p(x) (x + 2013)(2x2 + 13)(x + 9) = (x2 + 2022x + 18117)(2x2 + 13) = 2q(x) + x2 + 1 (x + 2013)(x + 2556)(2x2 + 13)(x3 + 6x + 16)2(x + 9)(x + 2012)3(x + 8) = (x11 + 2p(x))(2q(x) + x2 + 1) = 2q(x) · x11 + x13 + x11 + 2p(x)(2q(x) + x2 + 1) มี 2 พจน์ ตอบ 2 พจน์ ส�ำ นักพฒั นานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หนา้ 143 การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา 18. ก�ำหนดให้ a, b, c เปน็ จ�ำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ ถา้ พหุนาม p(x) = x3 - ax2 + bx - c มตี วั ประกอบเป็น (x - a)(x - b)(x - c) แล้ว p(2) มคี า่ เท่าใด แนวคิด (x - a)(x - b)(x - c) = x3 - (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x - abc จะได้ abc = c, a + b + c = a ab + bc + ca = b จะได้ b + c = 0, bc = b, ab = 1 จะได้ (a, b, c) = (-1, - 1, 1) p(x) = x3 + x2 - x - 1 ดงั นัน้ p(2) = 8 + 4 - 2 - 1 = 9 ตอบ 9 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นร้สู ูส่ ากล

สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หนา้ 144 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา 19. ก�ำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยม มี AB = 47 หน่วย BC = 19 หน่วย CD = 42 หน่วย และ AD = 59 หนว่ ย ถา้ เสน้ ทแยงมมุ AC ตัดกับ BD ที่จดุ P แล้วผลตา่ งของพน้ื ท่รี ูปสามเหล่ยี ม ADP กับพ้ืนทรี่ ูปสามเหลีย่ ม BCP ทมี่ ากท่สี ดุ ท่ีเป็นไปไดเ้ ทา่ กับกี่ตารางหน่วย แนวคิด ตอ่ AB และ DC ไปพบกันที่จุด T ให้ BTC = , TB = x และ TC = y จะได้ พื้นที่ ∆ADP - ∆BCP = พน้ื ที่ ∆TAD + ∆TBC - ∆TBD - ∆TCA พน้ื ที่ ∆= A21DP(x-+∆4B7)C(yP+=4928)7sisnin + 12 xy sin + 21 x(y + 42) sin - 21 y(x + 47) sin พ้ืนที่ ∆ADP - ∆BCP มากท่ีสดุ กต็ อ่ เม่ือ sin = 1 พ้ืนที่ (∆ADP - ∆BCP)max = 987 ตอบ 987 ตารางหนว่ ย สำ�นกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พืน้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 145 การแข่งขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา ตอนท่ี 2 ฉบับภาษาไทย ข้อที่ 20 – 23 แบบเติมค�ำตอบ จ�ำนวน 4 ขอ้ ข้อละ 9 คะแนน รวม 36 คะแนน 20. ก�ำหนดให้ 1065 - 925 - 585 + 445 = a x 10n โดยท่ี 1 ≤ a < 10 และ n เปน็ จ�ำนวนเตม็ แลว้ 10an มีคา่ เทา่ ใด แนวคดิ พิจารณา [a + (b + c)] 5 + [ a - (b + c)]5 = 2[a5 + 10a3((b + c)2 + 5a (b + c)4)] [-a + (b - c)] 5 + [ -a - (b - c)]5 = 2[-a5 - 10a3((b - c)2 - 5a (b - c)4)] (a + b + c)5 + (a - b - c)5 + (b - c - a)5 + (c - a - b)5 = 20a3[(b + c)2 - (b - c)2] + 100 [(b + c)4 - (b - c)4] = 80a3 bc + 80abc (b2 + c2) = 80abc (a2 + b2 + c2) ให ้ a + b + c = 106 a - b - c = -92 b - c - a = -58 c - a - b = 44 จะได้ a = 7, b = 24 และ c = 75 1065 - 925 - 585 + 445 = 80 x 7 x 24 x 75 x (49 + 576 + 5625) = 6.3 x 109 a = 6.3, n = 9 10an = 567 ตอบ 567 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรสู้ ู่สากล

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 146 การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา 21. ก�ำหนดให้ a, b และ c เป็นจ�ำนวนจริง ซง่ึ สอดคล้องกบั สมการ x2 + ax + b = 0, x2 + bx + c = 0 และ x2 + cx + a = 0 ถา้ สมการทง้ั สามสมการที่ก�ำหนดให้ แตล่ ะคมู่ คี �ำตอบ รว่ มกัน 1 ค�ำตอบเสมอ แล้ว a3 + b3 + c3 มีค่าเทา่ ใด แนวคดิ x2 + ax + b = 0 _________________(1) x2 + bx + c = 0 _________________(2) x2 + cx + a = 0 _________________(3) -- (1) - (2) x = c b a b -- (2) - (3) x = a c b c -- (3) - (1) x = b a c a จาก (1) จะได้ a = ac -- b + b -- c และ b = c -- b b -- a = b -- c _______(4) a a b a b c a c a -- b + 1 = b a c a -- -- -- -- -- จาก (2) จะได ้ b = ba c + a b และ c = c b a c = c a _______(5) b b c a b b c a b -- c + 1 = c b a b -- -- -- -- -- จาก (3) จะได ้ c = bc a + a b และ a = a c b a = a b _______(6) c c a b c c a b c c1 == -ab2-- a + a + c b + c (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 -3(a + b)(b + c)(c + a) -8 = a3 + b3 + c3 -3(a + 2)(b + 2)(c + 2) = a3 + b3 + c3 + 3 a3 + b3 + c3 = -11 ตอบ -11 ส�ำ นกั พฒั นานวัตกรรมการจัดการศึกษา

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 147 การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา 22. ก�ำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม มี AB = 75 หนว่ ย BC = 81 หนว่ ย D เปน็ จดุ ภายใน ทที่ �ำให้ BAD = BCD และ BDC = 90° ถา้ M เปน็ จดุ แบง่ ครง่ึ ดา้ น AC แลว้ DM 2 มคี า่ เทา่ ใด แนวคิด 2x x ให้ DM = x สะทอ้ นจดุ C ขา้ มแกน BD ไดจ้ ดุ T จะได้ AT = 2DM ∆ BDT ∆ BDC ADBT แนบในวงกลม ให้ O แบ่งครึ่ง BT 4AO2 = 2AT 2 + 2AB2 - BT2 812 = 8x2 + 2 x 752 - 812 8x2 = 2(812 - 752) = 2 x 6 x 156 x2 = 3 x 78 = 234 ตอบ 234 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรสู้ สู่ ากล

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 148 การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา 23. รูปสามเหลย่ี ม ABC แนบในวงกลม O เส้นแบ่งคร่งึ ABC พบ AC ทีจ่ ุด D และวงกลม O ทจ่ี ดุ M วงกลมทลี่ อ้ มรอบรูปสามเหลี่ยม BDC พบ ABท่ีจุด E CE พบวงกลม O ทีจ่ ดุ P และเสน้ แบง่ ครง่ึ PMC ทจ่ี ุด Q ถา้ PQ = CM แล้วมุม ABC มขี นาดก่ีองศา แนวคิด ให้ MPC = MBC = จะได้ MBA = MCA = ดว้ ย CMQ = γ และ DMQ = , BAC = BMC = γ + ลาก A P จะได ้ P M B = PAB= PCB = γ - แต่ DCE = DBE = Q เปน็ จดุ ตดั ของเสน้ แบ่งครง่ึ มมุ ของ CMP จะได้ CM = AM = AP มี CPM = ACM = ACP = PAC = 2γ แต่ 2γ + 3 = 180° 9 = 360° = 40° ABC = 80° ตอบ 80 องศา ส�ำ นกั พัฒนานวตั กรรมการจัดการศกึ ษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พ้ืนฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หน้า 149 การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา ตอนที่ 3 ฉบบั ภาษาอังกฤษ ข้อท่ี 24 – 28 แบบเติมค�ำตอบ จ�ำนวน 5 ขอ้ ขอ้ ละ 8 คะแนน รวม 40 คะแนน 24. Determine the largest prime factorization of 320 + 319 - 12. Solution 320 + 319 - 12 = 12(318 - 1) = 12(39 - 1)(39 + 1) = 12(33 - 1)(36 + 33 + 1)(33 + 1)(36 - 33 + 1) 36 + 33 + 1 = 757 Ans. 757 25. If , then find the value of x2 + 9x. Solution (x2 - 3x + 2)2 + 4(x2 + 3x + 2)2 - 4(x4 - 5x2 + 4) = 0 ให้ x2 + 2 = a พจิ ารณา x4 - 5x2 + 4 = (x2 + 2)2 -9x2 = (x2 + 2 - 3x)(x2 + 2 + 3x) จะได้ (a - 3x) 2 + 4(a + 3x)2 - 4(a - 3x)(a + 3x) = 0 [(a - 3x) - 2 (a + 3x)]2 = 0 (a - 3x) = 2(a + 3x) (a - 3x) = 2a + 6x -a = 9x - x2 - 2 = 9x x2 + 9x = -2 Ans. -2 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นรสู้ สู่ ากล