เสริมคิดคณิตศาสตร์มัธยม 55-56

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หน้า 50 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา N + 1 = 5d + 5 = 5(d+1) N + 1 = 8e + 8 = 8(e+1) N + 1 เป็นจ�ำ นวนทีน่ อ้ ยที่สดุ ทีห่ ารดว้ ย 2, 3, 4, 5, 8 ลงตวั ค.ร.น. ของ 2, 3, 4, 5, 8 คอื 23 x 3 x 5 = 120 N + 1 = 120P เมื่อ P เป็นจ�ำ นวนนับ N = 120P - 1 ถา้ P = 1, N = 119 PPPP ====2332,,,,NNNN====323235539999 ! PP==88,,NN ==995599 P = 9, N = 1079 ซงึ่ เปน็ จ�ำ นวนสหี่ ลัก ดังนัน้ มี 3 หลักทั้งหมด 8 จำ�นวน แนวคดิ ที่ 2 ค.ร.น. ของ 2, 3, 4, 5 และ 8 คอื 23 x 3 x 5 = 120 จ�ำ นวนนับท่นี อ้ ยทีส่ ดุ ทีส่ อดคลอ้ งกบั เงื่อนไข คอื 120 - 1 = 119 จำ�นวนสามหลกั ท่สี อดคล้องกบั เงื่อนไข คือ 120 - 1, 1, 240 - 1, 360 - 1,..., 960 - 1 มีท้ังหมด จำ�นวน ตอบ 8 จำ�นวน 4. ถ้า a, b, c เปน็ จ�ำ นวนจริงทส่ี อดคลอ้ งกับสมการ a + b + c = 7 และ แลว้ มีคา่ เท่าไร (ตอบในรปู ทศนยิ มหนง่ึ ตำ�แหนง่ ) แนวคิด a + b + c = 7 a = 7 - (b + c) ในท�ำ นองเดยี วกัน จะได้ และ ดังน้นั ตอบ 1.9 ส�ำ นกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หนา้ 51 การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา 5. ถา้ x, y เป็นจำ�นวนเตม็ บวก และเปน็ คำ�ตอบของสมการ x2 - y2 = 45 แล้วคู่อันดบั (x, y) ทีเ่ ปน็ ไปไดม้ ีกีค่ ่อู ันดบั แนวคดิ x2 - y2 = 45 ; (x - y)(x + y) = 45 กรณที ่ี 1 x - y = 1 x + y = 45 2x = 46 x = 23 y = 22 จะได้ (23, 22) กรณีที่ 2 x - y = 3 x + y = 15 2x = 18 x = 9 y = 6 จะได้ (9, 6) กรณีที่ 3 x - y = 5 x + y = 9 2x = 14 x = 7 y = 2 จะได้ (7, 2) ดังนัน้ มี คู่อันดบั 3 คู่ ทเี่ ป็นไปตามเงือ่ นไข ตอบ 3 คอู่ ันดับ โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นร้สู สู่ ากล

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพืน้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 52 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา ตอนที่ 2 จำ�นวน 15 ข้อ ตัง้ แต่ข้อที่ 6 – 20 ขอ้ ละ 3 คะแนน 6. ถ้า a, b, c เป็นคำ�ตอบของสมการ (x + 8)2 (x + 9)2 + (x + 8)2 = 8 (x + 9)2 แลว้ a2 + b2 + c2 มีคา่ เทา่ ไร แนวคิด (x + 8)2 (x + 9)2 + (x + 8)2 = 8 (x + 9)2 นำ� (x + 9)2 บวกทั้งสมการ (x2 + 17x + 72)2 + x2 + 16x + 64 + x2 + 18x + 81 = 9(x + 9)2 (x2 + 17x + 72)2 + 2(x2 + 17x + 72) + 1 = (3x + 27)2 (x2 + 17x + 72 + 1)2 - (3x + 27)2 = 0 (x2 + 17x + 73 - 3x - 27)(x2 + 17x + 73 + 3x + 27) = 0 (x2 + 14x + 46)(x2 + 20x + 100) = 0 x2 + 14x + 46 = 0 หรอื (x + 10)2 = 0 x = -10 a + b = - 14 ab = 46 a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = (-14)2 - 2(46) = 196 - 92 = 104 a2 + b2 + c2 = 204 ตอบ 204 ส�ำ นกั พัฒนานวตั กรรมการจัดการศึกษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หน้า 53 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา 7. ในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC มี AD เป็นเส้นแบ่งคร่ึงมุม BAC พบ BC ที่จุด D ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหล่ียม ABC และ H เป็นจุดตัดของเส้นส่วนสูง ทั้งสามเส้นของรูปสามเหล่ียม ABC ถ้า AD = AC และ AC ต้ังฉากกับ OH แล้วมุม ABC มีขนาดก่ีองศา แนวคิด เพราะว่า BH AC B, O และ H อย่บู นเสน้ ตรงเดียวกนั แต ่ OAT OAT OAT OAT จะได้ ABC ตอบ 36 องศา 8. ถ้า a และ b เป็นจำ�นวนจริง ซ่ึง แลว้ มีค่าเทา่ ไร แนวคดิ จะได้ ตอบ -4 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นรูส้ ูส่ ากล

สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พ้นื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หนา้ 54 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา 9. ก�ำ หนดให้ ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี ม D เปน็ จดุ กง่ึ กลางของ BC E เปน็ จดุ แบง่ ครงึ่ AD F เปน็ จุดแบ่งครง่ึ BE และ AB ตัด CF ที่จุด M ถ้า AM : BM = a : b เมอื่ a และ b เปน็ จำ�นวน เตม็ บวกแลว้ คา่ นอ้ ยที่สดุ ของ a2 + b2 เป็นเท่าไร แนวคิด ลาก ET และ DN ขนานกบั CM BDN BCM BN MN BBMN BBCD BM TM BMF BTE AT NT BBMT MTEF ATE AND AATN AAED AM : BM ตอบ 29 ส�ำ นกั พฒั นานวตั กรรมการจัดการศึกษา

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พ้ืนฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หน้า 55 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา 10. ถ้าจำ�นวนค่ี 3 จำ�นวนท่ีเรียงติดต่อกัน มีผลรวมของกำ�ลังสองของแต่ละจำ�นวนเป็นจำ�นวน 4 หลักและเลขโดดท้ัง 4 ตัวของจำ�นวน 4 หลักนี้เป็นเลขโดดตัวเดียวกัน แล้วจำ�นวน 4 หลกั นี้มคี า่ เทา่ ไร แนวคดิ (a - 2)2 + a 2 + (a + 2)2 ถกู หารดว้ ย 3 เหลอื เศษ 2 เสมอทกุ คา่ a ทเ่ี ปน็ จ�ำ นวนเตม็ ค่ี (a - 2)2 + a2 + (a + 2)2 = 5555 ตอบ 5555 11. ในแต่ละสัปดาห์วรนุชขับรถไปติดต่อลูกค้า 5 วัน โดยหยุดงานวันอาทิตย์และวันจันทร์ วรนชุ ไดจ้ ดบันทกึ เริ่มวัดระยะทางเป็นกิโลเมตรจากหนา้ ปัดของรถยนต์ ดังนี้ วันอาทิตย ์ 23041 วนั จันทร ์ 23058 วันอังคาร 23103 วันพธุ 23157 วันพฤหัสบด ี 23225 วนั ศกุ ร์ 23270 วันเสาร ์ 23350 อยากทราบวา่ โดยเฉล่ียแล้ววรนุชขบั รถไปท�ำ งานวนั ละกี่กิโลเมตร แนวคดิ วันอังคารขับรถไดร้ ะยะทาง 23103 - 23058 = 45 กิโลเมตร วนั พธุ ขับรถไดร้ ะยะทาง 23157 - 23103 = 54 กโิ ลเมตร วันพฤหสั บดีขับรถได้ระยะทาง 23225 - 23157 = 68 กโิ ลเมตร วนั ศุกร์ขบั รถได้ระยะทาง 23275 - 23225 = 50 กโิ ลเมตร วันเสารข์ บั รถไดร้ ะยะทาง 23350 - 23275 = 75 กโิ ลเมตร เฉลี่ยแลว้ วรนุชเดนิ ทางวนั ละ (45 + 54 + 68 + 50 + 75) ÷ 5 = 58.4 กิโลเมตร ตอบ 58.4 กโิ ลเมตร โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนรู้ส่สู ากล

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พื้นฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หนา้ 56 การแข่งขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา 12. คร่ึงวงกลม O แนบในรปู สามเหลีย่ ม ABC โดยท่ีจดุ O อย่บู น BC ถา้ AB = 12 หน่วย BC = 25 หน่วย และ CA = 18 หนว่ ย แลว้ CO ยาวเท่ากบั กี่หนว่ ย แนวคดิ จากรปู AMO ANO A O แบ่งครง่ึ BAC AABC CBOO CO COCO หนว่ ย CO CO ตอบ 15 หนว่ ย ส�ำ นกั พัฒนานวตั กรรมการจัดการศกึ ษา

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พ้นื ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หนา้ 57 การแข่งขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา 13. ถา้ แล้ว มคี า่ เท่าไร แนวคิดท่ี 1 x ≥ 0 เพราะวา่ 32 + 42 = 52 จะได้รปู สามเหลย่ี มดังรูป แนวคิดท่ี 2 ตอบ 27 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรู้สสู่ ากล

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หน้า 58 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา 14. ในการตอบแบบสอบถามจ�ำ นวน 5 ข้อ ซึง่ แตล่ ะค�ำ ถามมคี ำ�ตอบ 3 ประเภท คอื ตอบรบั ปฏิเสธ และไมอ่ อกความเหน็ ถ้า a เปน็ ความนา่ จะเป็นทจ่ี ะตอบรบั 2 ข้อ ปฏิเสธ 2 ขอ้ และไมอ่ อก ความเห็น 1 ข้อ แลว้ มีค่าเทา่ ไร แนวคดิ คำ�ถามมี 5 ข้อ จำ�นวนวธิ ีที่จะตอบแบบสอบถาม = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 สนใจที่ได้คำ�ตอบเป็น ตอบรับ 2 ข้อ (y) ปฏิเสธ 2 ข้อ (n) ไม่ออกความเห็น 1 ขอ้ (o) yynno จดั เรียงได้ = 30 จะไดค้ วามน่าจะเป็นที่ต้องการ คอื 5 ตอบ 81 ส�ำ นกั พฒั นานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พื้นฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 59 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา 15. ถา้ เตมิ ตัวเลขลงในตารางจัตรุ สั ขนาด 3 x 3 ที่ท�ำ ให้ผลบวกของทกุ แนวคอื แนวตั้ง แนวนอน และแนวทแยงมุมเทา่ กนั แลว้ คา่ ของ x + y + z น้อยกวา่ a2 + b2 + c2 อย่เู ทา่ ไร y a 11 b93 cxz แนวคิด ดังนั้น นัน่ คอื x + y + z นอ้ ยกว่า a2 + b2 + c2 = 395 - 25 = 370 ตอบ 370 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนรสู้ ู่สากล

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพ้นื ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หนา้ 60 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา 16. ในชว่ งเทศกาลวนั วาเลนไทน์ พอ่ คา้ คนหนงึ่ ลงทนุ ซอื้ ดอกกหุ ลาบสแี ดงและดอกกหุ ลาบสขี าว รวมกันมากกวา่ 2,000 ดอก แต่ไม่ถึง 2,400 ดอก เป็นเงนิ 3,200 บาท โดยดอกกหุ ลาบสแี ดง มตี ้นทนุ ราคาดอกละ 2 บาท ดอกกุหลาบสขี าวราคาต้นทุนดอกละ 1 บาท ดงั น้ันพอ่ คา้ คนนี้ จะสามารถซ้ือดอกกหุ ลาบสแี ดงไดม้ ากท่ีสุดกีด่ อก แนวคิด ให้ดอกกุหลาบสีแดง x ดอก ดอกกหุ ลาบสีขาว y ดอก กหุ ลาบสแี ดงดอกละ 2 บาท ดอกกุหลายสีขาวดอกละ 1 บาท ราคาเปน็ เงนิ = 3,200 บาท เขยี นเป็นสมการไดว้ ่า 2x + y = 3,200 y = 3,200 - 2x พ่อคา้ ซอื้ ดอกกุหลาบรวมกนั มากกว่า 2,000 ดอก แต่ไมถ่ งึ 2,400 ดอก 2000 < x + y < 2400 ดังนั้น 2000 < x + 3200 - 2x < 2400 2000 < 3200 - x < 2400 2000 - 3200 < - x < 2400 - 3200 - 1200 < - x < -800 800 < x < 1200 พ่อค้าสามารถซือ้ กหุ ลาบสีแดงไดม้ ากทสี่ ดุ 1,199 ดอก ตอบ 1,199 ดอก ส�ำ นกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศึกษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 61 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา 17. ถ้า 3 - x = x 3 + x แลว้ ( 3 x + 1)3 มีค่าเท่าไร แนวคิด ให้ จะไดส้ มการ ตอบ 10 18. ก�ำ หนดให้ ABCD เป็นรปู สเ่ี หลี่ยม มี ABD = ADB = 20º และ CAD = 35º ถ้า มุม ACD = 30º แลว้ มุม ACB มขี นาดกี่องศา แนวคดิ D AC ADC ATC ABT ADT BTC BTC BT CT BCT ACB ตอบ 25 องศา โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นร้สู สู่ ากล

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หน้า 62 การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา 19. กำ�หนดให้ A(a, b) และ B(c, d) เป็นจุดบนกราฟพาราโบลาซึ่งมีสมการเป็น y = 3x2+ 2012x - 3 โดยที่ จดุ กำ�เนดิ O(0, 0) เปน็ จุดแบ่งครึง่ สว่ นของเส้นตรง AB ถา้ A(a, b) เปน็ จดุ ในจตภุ าค (quadrant) ที่ 1 แลว้ a + b มีค่าเทา่ ไร แนวคิด จดุ ก�ำ เนดิ O(0, 0) เป็นจุดแบ่งคร่ึงส่วนของเสน้ ตรง AB จะได้วา่ a2+ c , b+2d = (0, 0) ดังน้ัน c = – a และ d = – b จาก A(a, b) และ B(c, d) เปน็ จุดบนกราฟของสมการ y = 3x2 + 2012x - 3 จะไดว้ า่ b = 3a2+ 2012a - 3 ………. (1) และ -b = 3a2 - 2012a - 3 ………. (2) (1) + (2) ; 0 = 6a2 - 6 a = ± 1 และ b = ± 2012 แต่ A(a, b) เป็นจุดในจตภุ าค (quadrant) ที่ 1 ดังนนั้ a = 1 และ b = 2012 a + b = 2013 ตอบ 2013 20. ถา้ p เปน็ ความนา่ จะเปน็ ทจี่ �ำ นวนเตม็ บวก 12 หลกั ซงึ่ สรา้ งจากตวั เลขโดด 1,4 หรอื 7 เทา่ นน้ั และหารด้วย 12 ลงตัว แล้ว 144 p มคี ่าเท่าไร แนวคิด n(s) = 312 n(E) = 310 p(E) = 19 144 p = 16 ตอบ 16 ส�ำ นกั พฒั นานวัตกรรมการจัดการศึกษา

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 63 การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา ตอนที่ 3 จำ�นวน 5 ขอ้ ตง้ั แต่ขอ้ ที่ 21 – 25 ขอ้ ละ 6 คะแนน 21. ถ้า และ เป็นจำ�นวนจริงท่ีเป็นคำ�ตอบของสมการ แล้ว มคี ่าเทา่ ไร แนวคิด ให้ ตอบ 20 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นรู้สสู่ ากล

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 64 การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา 22. กำ�หนดให้ ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี ม มี AB = 80 หนว่ ย BC = 19 หนว่ ย และ AC = 91 หน่วย P และ Q เป็นจุดบน AC ท่ที �ำ ให้ PC = 11 หน่วย และ AQ = 72 หนว่ ย ถ้า Q อยู่ระหวา่ งจดุ A กับจุด P แลว้ มุม PBQ มขี นาดกอ่ี งศา แนวคิด พ้ืนท่ี ABC CT CT ABC PBQ ตอบ 30 องศา 23. ก�ำ หนดให้ ดp้ว,bยn,84n, และ 1a2n6แ, ท45น0 จ�ำ นวนเตม็ บวกซ่งึ ทำ�ให้ p = nbn + an เม่ือ 0 < an < n ถ้าแทน n 120, และ n - an = 2 แล้ว p มีคา่ น้อยที่สดุ เปน็ เทา่ ไร แนวคิด ท่มีppppppppคี++++====่า2222น8411====4252อ้ b6001184ยbbb22458ท400(6411+่สี522b(((006bbbุด8a+++41418+252=aaa4060=+++4111(522ค)0068111==.=4)))ร41b.1น2582400.+6bbขb814อ1522200ง6+++81414142,884120, 126 และ 450) (p+2) p = 12600 - 2 = 12598 ตอบ 12598 ส�ำ นักพฒั นานวัตกรรมการจัดการศกึ ษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หนา้ 65 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา 24. ถา้ x และ y เปน็ จำ�นวนเตม็ บวก ซ่งึ เปน็ ค�ำ ตอบของสมการ x2 + y2 = (12 + 22)(22 + 32)(32 + 42)(42 + 52) แลว้ ค่อู นั ดับ (x,y) ทัง้ หมดท่ีเป็นไปไดม้ ีกคี่ ู่อนั ดบั แนวคิด พจิ ารณา (a2 + b2)(c2 + d2) = a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2 = a2 c2 + 2abcd + b2 d2 + a2 d2 - 2abcd + b2 c2 = (ac + bd)2 + (ad - bc)2 (12 + 22)(22 + 32) = 42 + 72 (42 + 72)(32 + 42) = 12 + 82 (12 + 82)(32 + 42) = 52 + 402 162 + 372 202 + 352 292 + 282 มี (x, y) 8 x 2 = 16 คำ�ตอบ (24, 257), (33, 256), (40, 255), (68, 249), (95, 240), (121, 228), (135, 220), (180,185),(257, 24), (256, 33), (255, 40), (249, 68), (240, 95), (228, 121), (220, 135), (185, 180) ตอบ 16 คู่อันดับ โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรู้สูส่ ากล

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พนื้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 66 การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา 25. จากรปู ก�ำ หนดให้ BC = 18 หนว่ ย PQ = 9 หนว่ ย ถา้ พน้ื ทีร่ ปู สามเหล่ยี ม CQR เป็น 90 ตารางหนว่ ย แล้ว AP เท่ากบั กี่หนว่ ย แนวคิด ∆ RPQ ~ ∆ QBC จะได้ BQ = 2 PR ให้ RP = t BQ = 2t ให ้ AP = x ∆ APR ~ ∆ ABC x + x + 9 = 1t8 2t 18x = xt + 2t2 + 9t - - - (1) +9)1-6128-t 3-612t 90 = 9(x + 2t + (x+9)t 180 = 18x + 36t - xt - 9t 180 = 18x + 162 - xt - 9t 18x = xt + 9t + 18 - - - (2) t = 3 แทนคา่ ใน (1) 18x = 3x + 18 + 27 15x = 45 x = 3 ตอบ 3 หน่วย ส�ำ นกั พฒั นานวตั กรรมการจัดการศึกษา

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพ้นื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 67 การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา ฉบับที่ 2 แบบทดสอบคณิตศาสตรฉ์ บับภาษาอังกฤษ ตอนที่ 1 จ�ำ นวน 2 ขอ้ ตงั้ แต่ขอ้ ท่ี 26 – 27 ข้อละ 2 คะแนน 26. Find the area of the shaded region in the diagram, in square units. Solution พืน้ ทีแ่ รเงา = พนื้ ท่ี ∆ ABC - พ้ืนที่ ∆ ADE = 12 x 24 x 10 1 - 2 x 12 x 5 = 120 - 30 = 90 ตารางหนว่ ย Ans. 90 square units โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นร้สู ่สู ากล

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 68 การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา 27. Of the numbers from 1 to 1000 inclusive, how many are divisible by 5 or 9 but not both ? Solution จาก 1 ถงึ 1000 จ�ำ นวนทีห่ ารดว้ ย 45 ลงตวั มี 22 จ�ำ นวน จาก 1 ถงึ 1000 จำ�นวนทีห่ ารดว้ ย 5 ลงตัว มี 200 จำ�นวน จาก 1 ถงึ 1000 จำ�นวนท่ีหารดว้ ย 9 ลงตัว มี 111 จ�ำ นวน ดังนั้นจาก 1 ถึง 1000 มีจำ�นวนท้ังหมดที่หารด้วย 5 หรือ 9 ลงตัว แต่หาร ดว้ ย 45 ไม่ลงตัว มที ัง้ หมด 178 + 89 = 267 Ans. 267 ส�ำ นกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พืน้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หนา้ 69 การแข่งขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา ตอนที่ 2 จำ�นวน 2 ขอ้ ตง้ั แตข่ อ้ ที่ 28 – 29 ขอ้ ละ 3 คะแนน 28. IIn quadrilateral ABCD it is given that AB = BC = 3, ABC = 100° , and CDA = 130° , Find the length of BD. Solution ตอ่ AB ถงึ E ท�ำ ให้ AB = BE = BC ต่อ CE จะได้ BEC = 50°และ ADC + AEC = 180° จะได้ B เปน็ จุดศนู ย์กลางของวงกลมทผี่ ่านจดุ A, D, C, E ดังนัน้ BD = 3 Ans. 3 29. ABC is an acute-angled triangle. AD is an altitude, BE is a median and CF is an angle bisector. CF meets AD at M and DE at N MN = 1, FM = 2, CN = 3 If the area of ABC is a square units and b is prime number then a + b = ? Solution เพราะว่า CM : FM = 2 : 1 M เปน็ จุดตัดของเสน้ มธั ยฐาน AF = BF จะได้ BC = CA BD = CD จะได้ AB = CA ∆ ABC เป็น ∆ ดา้ นเทา่ พ้นื ท่ี ∆ ABC = Ans. 15 a + b = 12 + 3 = 15 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรู้ส่สู ากล

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 70 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา ตอนท่ี 3 จ�ำ นวน 1 ข้อ คือขอ้ ท่ี 30 ข้อละ 5 คะแนน 30. Find the sum of all integers n with the property that is also an integer. Solution Ans. 259 ************************ ส�ำ นกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศึกษา

การแขง ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ แบบกทาดรแสขอปงบขรคะันณจทติาํ าศปงาวพสชิ ต.าศรก.์ าร2ระ5ด5รบั ะ5มดธับยนมาศนกึ าษชาาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2555 การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ แบบทดสอบการปแขระง ขจนั�ำ ปทีาพง.วศชิ .า2ก5า5ร6ระดบั ประเทศ แบบ(ท(ครดณอสบติ อแศบรากกสาตรรรแะ ดขรบังะขดเขนั ับตทปพารื้นงะวทถิช่ีกมาาศกรึกาศรษกึ ารษ)ะาด)บั ประเทศ (คณติ ศาสตร ระดบั ประถมศึกษา)



ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา (รอบแรก ระดบั เขตพ้ืนทีก่ ารศกึ ษา) สอบวันท่ี 20 มกราคม 2556 เวลา 09.30 – 11.30 น. (2 ชวั่ โมง) คำ�ชแี้ จง 1. แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ฉบบั นีเ้ ป็นแบบทดสอบคณติ ศาสตรฉ์ บับภาษาไทย และฉบบั ภาษาองั กฤษ ประเภทเลือกตอบและประเภทเตมิ ค�ำ ตอบ (ไมต่ อ้ งแสดงวิธที �ำ ) มีจำ�นวน 10 หน้า คะแนนเต็ม 200 คะแนน เวลาในการทำ�แบบทดสอบ 2 ชั่วโมง 2. แบบทดสอบฉบบั นแ้ี บง่ เป็น 3 ส่วน รวม 38 ขอ้ ส่วนท่ี 1 เป็นขอ้ สอบคณติ ศาสตร์ฉบับภาษาไทย จำ�นวน 25 ข้อ คะแนนเต็ม 100 คะแนน แบ่งเปน็ 3 ตอน ตอนท ี่ 1 ข้อที่ 1 – 10 แบบเลอื กตอบ 5 ตวั เลือก จำ�นวน 10 ข้อ ข้อละ 3 คะแนน รวม 30 คะแนน ตอนท ่ี 2 ข้อที ่ 11 – 20 แบบเลอื กตอบ 5 ตวั เลือก จ�ำ นวน 10 ขอ้ ขอ้ ละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน ตอนท่ี 3 ข้อที ่ 21 – 25 แบบเติมค�ำ ตอบ จ�ำ นวน 5 ข้อ ข้อละ 6 คะแนน รวม 30 คะแนน ส่วนที่ 2 เปน็ ขอ้ สอบคณติ ศาสตรฉ์ บบั ภาษาไทยจำ�นวน 8 ข้อ คะแนนเต็ม 60 คะแนน แบ่งเป็น 2 ตอน ตอนท ่ี 1 ข้อท ี่ 26 – 29 แบบเตมิ คำ�ตอบ จ�ำ นวน 4 ขอ้ ขอ้ ละ 5 คะแนน รวม 20 คะแนน ตอนที่ 2 ขอ้ ท ี่ 30 – 33 แบบเตมิ คำ�ตอบ จ�ำ นวน 4 ข้อ ข้อละ 10 คะแนน รวม 40 คะแนน สว่ นที่ 3 เปน็ ขอ้ สอบคณติ ศาสตรฉ์ บับภาษาอังกฤษ จ�ำ นวน 5 ข้อ คะแนนเต็ม 40 คะแนน ข้อที่ 34 – 38 แบบเตมิ คำ�ตอบ จ�ำ นวน 5 ขอ้ ขอ้ ละ 8 คะแนน รวม 40 คะแนน 3. กระดาษค�ำ ตอบมี 2 หน้าให้นักเรียนเขียน ช่อื -นามสกลุ เลขประจำ�ตัวสอบ หอ้ งสอบ ชือ่ โรงเรยี น สำ�นกั งานเขตพ้นื ทีก่ ารศกึ ษาประถมศึกษาให้ครบในกระดาษคำ�ตอบ 4. ค�ำ ตอบแต่ละขอ้ ทน่ี ักเรียนตอบ ต้องตอบลงในกระดาษค�ำ ตอบและใหต้ รงกับข้อคำ�ถาม 5. ไม่อนุญาตให้ใช้เคร่ืองคิดเลข โทรศพั ท์ หรอื เครื่องมอื อเิ ลก็ ทรอนิกส์ใดๆ ในการคำ�นวณ 6. นักเรียนจะออกจากหอ้ งสอบไดเ้ ม่อื หมดเวลาสอบ โดยวางกระดาษค�ำ ตอบ กระดาษทดและแบบทดสอบไวบ้ นโต๊ะ 7. การตัดสนิ ของคณะกรรมการถอื เป็นข้อยตุ ิ แบบทดสอบฉบับนี้ เป็นลิขสทิ ธข์ิ อง สำ�นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พืน้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หา้ มเผยแพร่ อ้างอิง ตดั ตอ่ ดดั แปลงหรอื เฉลย กอ่ นไดร้ บั อนุญาต

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 74 การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดับเขตพนื้ ท่ีการศกึ ษา) แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา ส่วนที่ 1 แบบทดสอบคณิตศาสตร์ฉบบั ภาษาไทย ตอนที่ 1 ขอ้ ที่ 1 – 10 แบบเลือกตอบ 5 ตัวเลอื ก จำ�นวน 10 ขอ้ ข้อละ 3 คะแนนรวม 30 คะแนน 1. ค่าของ 20100+ (-1)2 +‌|- 2012| เป็นเทา่ ใด ก. –2012 ข. 1 ค. 2012 ง. 2013 จ. 2014 2. จากรปู ถา้ ABCD เปน็ รปู สเ่ี หลยี่ มจตั รุ สั และ ACE เปน็ รปู สามเหลยี่ มดา้ นเทา่ แลว้ มมุ BCE มขี นาดกอ่ี งศา ก. 15 ข. 20 ค. 25 ง. 30 จ. ข้อมูลไมเ่ พียงพอ 3. ถา้ มมุ ภายในทเ่ี ลก็ ทส่ี ดุ ของรปู สามเหลยี่ มมขี นาด 50 ° แลว้ รปู สามเหลยี่ มนเ้ี ปน็ รปู สามเหลย่ี ม ชนิดใด ก. รูปสามเหลย่ี มดา้ นเทา่ ข. รูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก ค. รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ง. รูปสามเหล่ยี มมมุ ป้าน จ. ที่กล่าวมาไม่มขี อ้ มูลใดทถ่ี ูกตอ้ ง 4. จากรปู ถา้ รปู สเี่ หลย่ี มจตั รุ สั EFGH, KLMN และ PQRS อยใู่ นรปู สเี่ หลย่ี มผนื ผา้ ABCD โดยมี พ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็น 1, 9 และ 4 ตารางเซนติเมตร ตามลำ�ดับ แล้วส่วนที่แรเงา มีพื้นท่ีก่ตี ารางเซนติเมตร DK NC ก. 3 ข. 4 EH P S ค. 5 F G ง. 6 Q R จ. 7 AL MB ส�ำ นกั พัฒนานวตั กรรมการจัดการศกึ ษา

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พืน้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 75 การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดับเขตพ้ืนท่กี ารศึกษา) แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา 5. มีไม้ขีด 10 ก้านยาวเท่า ๆ กัน นำ�มาวางต่อกันปลายชนปลาย ทำ�ให้เป็นรูปสามเหล่ียมที่ แตกต่างกนั ได้ทัง้ หมดกร่ี ูป โดยรูปสามเหลย่ี มแต่ละรปู ต้องใชไ้ มข้ ีดครบทัง้ 10 กา้ น ก. 2 ข. 3 ค. 4 ง. 5 จ. 6 6. กระดาษแผ่นหน่ึงเป็นรูปส่ีเหลี่ยมด้านขนาน ถ้าพับให้เป็นสองส่วนตามรอยพับที่แบ่งพ้ืนที่ รปู ส่เี หลย่ี มดา้ นขนานออกเป็นสองส่วนเท่ากนั จะมวี ธิ กี ารพับกระดาษทแ่ี ตกต่างกนั ก่วี ธิ ี ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 3 จ. พับไดไ้ มจ่ �ำ กดั 7. บรษิ ทั ผลติ รายการโทรทศั นบ์ รษิ ทั หนงึ่ วางแผนทจี่ ะผลติ รายการออกอากาศเปน็ รายการตอ่ เนอื่ ง 48 ตอน โดยออกอากาศทุกวันวันละ 1 ตอน ยกเว้นวันเสาร์และวันอาทิตย์ ถ้าตอนแรก ออกอากาศวนั พฤหสั บดี แลว้ ตอนสดุ ทา้ ยจะออกอากาศในวนั ใดของสปั ดาห์ ก. วันจนั ทร ์ ข. วันองั คาร ค. วนั พุธ ง. วนั พฤหสั บดี จ. วันศกุ ร์ 8. จากรปู แสดงการวางถว้ ยเรียงกัน 5 ใบ ตามล�ำ ดับ ไดแ้ ก่ ถ้วยใบท่ี 1, 2, 3, 4, และ ถ้วยใบที่ 5 เริ่มต้นใส่ลูกบอลไว้ในถ้วยใบท่ี 3 แล้วเร่ิมเคล่ือนย้ายลูกบอล โดยการเคลื่อนย้ายแต่ละคร้ัง ให้หยิบลูกบอลออกมาใส่ในถ้วยใบท่ีอยู่ติดกันไปเร่ือย ๆ เช่น ถ้าลูกบอลอยู่ในถ้วยใบที่ 1 กจ็ ะหยบิ ออกมาใส่ได้เฉพาะถ้วยใบที่ 2 เทา่ น้ัน ถ้าลกู บอลอย่ใู นถ้วยใบท่ี 5 ก็จะหยบิ ออกมา ใสเ่ ฉพาะถว้ ยใบที่ 4 เท่านนั้ หลังจากทห่ี ยิบลกู บอลไปใสถ่ ้วยคร้งั ที่ 210 + 38 แลว้ ขอ้ ใดกล่าว ถูกต้องเก่ียวกับลูกบอล ก. ลูกบอลไม่อย่ใู นถว้ ยใบท่ี 3, 4 และ 5 ข. ลกู บอลไมอ่ ย่ใู นถว้ ยใบที่ 2, 4 และ 5 ค. ลกู บอลไม่อยู่ในถว้ ยใบท่ี 1, 4 และ 5 ง. ลกู บอลไมอ่ ยใู่ นถว้ ยใบที่ 1, 3 และ 5 จ. ลกู บอลไมอ่ ย่ใู นถว้ ยใบที่ 2 และ 4 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรูส้ ูส่ ากล

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พื้นฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หนา้ 76 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดบั เขตพ้ืนท่ีการศกึ ษา) แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา 9. ระหว่างวนั หยุด ตุ๊กท�ำ งานนอกเวลาดว้ ยการลา้ งชามในรา้ นอาหารแหง่ หน่ึง เขาได้รบั คา่ จา้ ง 3 บาท ตอ่ ชาม 1 ใบ ถา้ เขาท�ำ ชามแตก 1 ใบ จะไมไ่ ดร้ บั คา่ จา้ งส�ำ หรบั ชามใบนนั้ และตอ้ งจา่ ยเงนิ จำ�นวน 9 บาท ให้เจ้าของรา้ น ถา้ ใน 1 สัปดาห์ ตุก๊ ลา้ งชามได้ 500 ใบ และได้รับเงินคา่ จ้าง เปน็ เงิน 1,368 บาท แล้วเขาทำ�ชามแตกจำ�นวนกใ่ี บ ก. 7 ข. 8 ค. 9 ง. 10 จ. 11 10. จากรูปแสดงจำ�นวนในรูปส่ีเหลี่ยมท่ีสัมพันธ์กับจำ�นวนที่จุดยอดมุมของรูปสี่เหล่ียม จงหาว่าจ�ำ นวนท่อี ยภู่ ายในรูปสีเ่ หลย่ี มรปู ท่ีส่เี ป็นเทา่ ใด –1 –2 –2 –3 –3 –4 –4 –5 –14 –54 –132 ? –4 –3 –5 –4 –6 –5 –7 –6 ก. – 210 ข. – 260 ค. – 288 ง. – 308 จ. – 330 ตอนท่ี 2 ข้อที่ 11 – 20 แบบเลอื กตอบ 5 ตัวเลือก จ�ำ นวน 10 ขอ้ ขอ้ ละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน 11. จากรปู แสดงถนนภายในหมู่บ้าน การเดินทางแตล่ ะครงั้ ตอ้ งไปทางทิศตะวันออกหรอื ทศิ ใต้ เทา่ นน้ั ถา้ จะเดนิ จากจดุ A1 ไปยงั จดุ A4โดยไมผ่ า่ นจดุ A3จะเดนิ ไดแ้ ตกตา่ งกนั ทง้ั หมดกว่ี ธิ ี ก. 8 ข. 10 ค. 12 ง. 15 จ. 20 ส�ำ นกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศึกษา

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พนื้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 77 การแข่งขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดบั เขตพนื้ ทีก่ ารศกึ ษา) แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา 12. เก้าอ้ีน่ังดูภาพยนตร์แต่ละแถวมี 80 ท่ีนั่ง และแถวที่ 13 ถึง 24 สำ�รองไว้สำ�หรับนักเรียน จากโรงเรยี นมธั ยมศึกษา ถา้ ทีน่ งั่ ของนักเรยี นจากโรงเรียนมธั ยมศกึ ษามเี ก้าอี้วา่ ง 15 ที่ แลว้ จะมี นักเรียนจากโรงเรียนมธั ยมศกึ ษาทไี่ ปดูภาพยนตรท์ ัง้ หมดกค่ี น ก. 945 ข. 875 ค. 865 ง. 775 จ. 765 13. ถา้ น้ําหนักของแอปเปิล 3 ผล เทา่ กบั น้าํ หนกั ของกล้วย 4 ผล และนา้ํ หนักของกลว้ ย 5 ผลเทา่ กบั น้ําหนกั ของสม้ 6 ผล แลว้ แอปเปิลจำ�นวนกผี่ ล จึงจะมนี ํ้าหนักเท่ากับนาํ้ หนกั ของส้ม 16 ผล ก. 6 ข. 7 ค. 8 ง. 9 จ. 10 14. จากรูปด้านล่างนี้แสดงลูกบาศก์ซ่ึงเขียนชื่อไว้ 3 หน้า คือ หน้า A,B และ C และตาราง จัตุรัสขนาด 3 x 3 ท่ีแสดงหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 พลิกลูกบาศก์หน้า C ทับบน ตารางจัตุรัสที่แสดงหมายเลข 1 พลิกลูกบาศก์อีกคร้ังให้หน้า B ทับบนช่องหมายเลข 2 และ พลิกเช่นนี้ไปจนกว่าลูกบาศก์น้ีจะทับช่อง หมายเลข 6 ผลรวมของจำ�นวนบนตารางจัตุรัสที่ ลกู บาศกท์ ับ โดยทห่ี นา้ B ของลูกบาศกอ์ ยดู่ า้ นบน เปน็ เท่าใด ก. 2 ข. 6 ค. 7 ง. 9 จ. 10 15. ไพ่สำ�รับหน่งึ มี 54 ใบ ประกอบดว้ ยโจก๊ เกอร์ 2 ใบ และโพด�ำ โพแดง ดอกจิก และข้าวหลามตัด ชดุ ละ 13 ใบ แจกไพ่อย่างสมุ่ อยา่ งนอ้ ยกี่ใบ จึงจะได้เป็นไพช่ ดุ เดียวกนั อยา่ งนอ้ ย 4 ใบ ก. 54 ข. 14 ค. 15 ง. 16 จ. 17 16. จงหาจำ�นวนเศษที่แตกต่างกันที่เกิดจากการหาร 5n + 7n ด้วย 100 เมื่อ n เป็นจำ�นวนเต็ม ทมี่ ากกว่าหรอื เทา่ กบั 0 ก. 4 ข. 6 ค. 8 ง. 10 จ. 15 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นรู้สู่สากล

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พ้ืนฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 78 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดบั เขตพ้นื ท่กี ารศึกษา) แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา 17. ให้ a, b เปน็ จ�ำ นวนเตม็ บวก ก�ำ หนด a b เทา่ กบั เศษทไี่ ด้จากการน�ำ จ�ำ นวนทม่ี คี า่ น้อยไปหารจ�ำ นวนทม่ี ีค่ามากกวา่ เช่น 5 12 = 12 5 = 2 ถา้ (19 x) 19 = 5 แลว้ จ�ำ นวนใดทีเ่ ป็นคา่ ของ x ไม่ได้ ก. 12 ข. 26 ค. 33 ง. 39 จ. 45 18. จงหาจำ�นวนของจำ�นวนเต็มบวก 3 หลัก ซ่ึงแต่ละหลักมีเลขโดดต่างกัน โดยที่เลขโดดใน หลักสิบของจำ�นวนเต็มบวกนี้มีค่าเท่ากับเลขโดดในหลักหน่วยของผลบวกของเลขโดดใน หลักรอ้ ยกับเลขโดดในหลกั หน่วย ก. 36 ข. 60 ค. 72 ง. 90 จ. 108 19. รปู ขา้ งลา่ งแสดงรปู สเี่ หลยี่ มจตั รุ สั จ�ำ นวน 7 รปู วางเรยี งบนเสน้ ตรง รปู สเี่ หลย่ี มจตั รุ สั ทวี่ างเอยี ง 3 รูปแรกมีพื้นท่เี ปน็ 1, 2 และ 3 ตารางหนว่ ย ตามล�ำ ดับ ถา้ นำ�รปู ส่ีเหลยี่ มจตั รุ ัสมาวางเอียง เป็นรปู ที่ 4 แล้วรูปส่เี หลย่ี มจตั รุ ัสรปู ที่ 4 จะมพี ้ืนที่กีต่ ารางหน่วย ก. 4 ข. 5 ค. 6 ง. 7 จ. 8 20. ถ้านำ�รูปทางขวามือ หรือ รูปที่เกิดจากการหมุนของรูปทางขวามือ จำ�นวนไม่จำ�กัด มาวาง ในตาราง ขนาด 4 x 4 ที่แสดงทางซ้ายมือ โดยไม่วางซ้อนกัน จนไม่สามารถวางเพ่ิมได้ แลว้ จำ�นวนรปู ท่นี อ้ ยทส่ี ุด ที่น�ำ ไปวางในตารางมกี ่รี ปู ก. 2 ข. 3 ค. 4 ง. 5 จ. 6 ส�ำ นกั พัฒนานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หนา้ 79 การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดบั เขตพนื้ ทก่ี ารศกึ ษา) แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา ตอนที่ 3 ข้อที่ 21 – 25 แบบเตมิ คำ�ตอบ จ�ำ นวน 5 ขอ้ ข้อละ 6 คะแนน รวม 30 คะแนน 21. หยิบลกู ปิงปอง 100 ลูก ลงกลอ่ ง n กล่อง ซง่ึ จ�ำ นวนลูกปงิ ปองในแต่ละกล่องจะมเี ลขโดด 8 อยดู่ ว้ ยเสมอ เชน่ 8 ลกู 18 ลกู 83 ลูก หรือ 88 ลูก กรณีท่ี n = 3 จ�ำ นวนลูกปิงปองในกลอ่ ง จะเป็น 8, 8 และ 84 ลูก ถา้ n = 5 และมี 2 กล่องทมี่ ีจำ�นวนลกู ปิงปองเทา่ กนั อกี 3 กลอ่ ง มีจำ�นวนลูกปิงปองต่างกัน แล้วผลรวมของจำ�นวนลูกปิงปองท่ีมากที่สุดจากกล่อง 2 กล่อง เป็นกี่ลูก 22. ให้ a, b, c และ d เป็นจำ�นวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 10 และ x เป็นจำ�นวนเต็มซ่ึงสอดคล้อง กับสมการ ax3 - bx2 - cx - d = 0 จงหาคา่ x ทมี่ ากที่สุดทีเ่ ป็นไปได้ 23. ให้ a, b และ c เป็นจ�ำ นวนจริง ซ่ึง a + b + c = 0 และ abc = - 15 จงหาคา่ ของ a2(b + c) + b2 (c + a) + c2 (a+b) 24. จากรูป AB, BC, CD และ DA อย่บู นระนาบเดียวกนั ABC = 24° และ ADC = 42° จดุ E อยู่ บนส่วนตอ่ ของ BA ไปทางจุด A เสน้ แบ่งครึ่ง DAE ตัดกบั เสน้ แบง่ คร่ึง BCD ทจี่ ุด N จงหาวา่ ANC มขี นาดกอ่ี งศา 25. กำ�หนด 6 7 8 9 = A ให้เลอื กเคร่ืองหมาย +, -, x, ÷ (สามารถใช้เครอื่ งหมายซํ้ากนั ได้) ลงใน และอนุญาตให้ใชเ้ คร่ืองหมาย ( ) แสดงการกระทำ�ของจำ�นวนได้ เพ่ือใหไ้ ด้ผลลัพธเ์ ป็น A ถ้า A เปน็ จำ�นวน 3 หลัก ทมี่ ีค่ามากสดุ ท่เี ปน็ ไปไดแ้ ล้ว A มีคา่ เท่าใด โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรสู้ ู่สากล

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 80 การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดบั เขตพ้ืนทกี่ ารศึกษา) แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา ส่วนที่ 2 แบบทดสอบคณิตศาสตร์ฉบับภาษาไทย ตอนท่ี 1 ขอ้ ท่ี 26 – 29 แบบเติมคำ�ตอบ จ�ำ นวน 4 ขอ้ ขอ้ ละ 5 คะแนน รวม 20 คะแนน 26. รปู หกเหลยี่ ม ABCDEF แนบในวงกลม ถา้ ACE = 35° และ AEC = 55º แลว้ AFE มขี นาด ก่อี งศา 27. ก�ำ หนดให้ a และ b เปน็ จ�ำ นวนเต็มบวก ซ่งึ b < 200 ถ้า แลว้ a2 + b3 มคี ่า เทา่ ใด 28. ถา้ (b - a)2 - 4(b - c)(c - a) = 0 แล้ว มีค่าเท่าใด 29. จ�ำ นวนสิบหลกั แตล่ ะหลกั ใชเ้ ลขโดดไม่ซ้ํากนั มีกี่จ�ำ นวนท่หี ารด้วย 11111 ลงตัว ตอนที่ 2 ขอ้ ท่ี 30 – 33 แบบเตมิ ค�ำ ตอบ จำ�นวน 4 ข้อ ข้อละ 10 คะแนน รวม 40 คะแนน 30. ก�ำ หนดให้ ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี ม มี A = 90° และ B = 20° ถา้ E และ F เปน็ จดุ บน AC และ AB ตามลำ�ดบั ทำ�ให้ ABE = 10° และ ACF = 30° แล้ว CFE มขี นาดกีอ่ งศา 31. ก�ำ หนดให้ x และ y เปน็ จ�ำ นวนจรงิ ซงึ่ สอดคลอ้ งกบั สมการ แลว้ คา่ ของ 3x + y ทเ่ี ปน็ ไปไดท้ ัง้ หมดเปน็ เท่าใด ส�ำ นกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศึกษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หนา้ 81 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดับเขตพ้นื ทกี่ ารศกึ ษา) แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา 32. ก�ำ หนดให้ x และ y เป็นจ�ำ นวนเต็มบวก ซงึ่ สอดคล้องกบั สมการ 5x7 = 11y13 ถ้า คา่ ของ x ท่ีน้อยทีส่ ดุ คอื x = ab x cd เมอื่ a, c เปน็ จำ�นวนเฉพาะ และ b, d เป็นจำ�นวนเตม็ แลว้ a + b + c + d มีคา่ เท่าใด 33. นักเรียน 99 คน เดนิ เข้าไปยังอาคารทม่ี ีตหู้ มายเลข 1 ถงึ 123 ทีละ 1 คน นกั เรียนคนที่ 1 เปดิ ทกุ ตู้ นกั เรียนคนท่ี 2 ปิดตู้หมายเลข 2 , 4 , 6,...,122 นกั เรียนคนท่ี 3 ท�ำ กบั ตูห้ มายเลข 3 ,6 , 9,...,123 โดยถ้าตู้เปิดอยูก่ จ็ ะปดิ ถา้ ตปู้ ิดอยูก่ จ็ ะเปดิ นักเรียนคนที่ m ทำ�กับตูห้ มายเลขท่เี ป็นพหคุ ูณของ m เชน่ เดยี วกบั นักเรียนคนที่ 3 เม่อื นักเรียนเดนิ ครบทกุ คนแลว้ มีต้เู ปดิ อย่เู ป็นจ�ำ นวนก่ีตู้ โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนรู้สู่สากล

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พืน้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หนา้ 82 การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดับเขตพน้ื ที่การศึกษา) แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา ส่วนที่ 3 แบบทดสอบคณิตศาสตร์ฉบบั ภาษาอังกฤษ ขอ้ ที่ 34 – 38 แบบเติมค�ำ ตอบ จำ�นวน 5 ขอ้ ขอ้ ละ 8 คะแนน รวม 40 คะแนน 34. x, y, z are real numbers which x, y, z > 0. If x2 + y2 = 64, y2 + z2 = 529 and (x + z - y)2 + x2 = 289, then (x + z)2 = ? 35. If x1, x2 are real solutions of x2 + 6ax = a, then find the minimum value of . 36. Let a be real number. ,then a = ? If 37. AB = 28 unitsand CD = 29 units are chords of circle O which radius 19 units. If AB CD at point P ,then AP2 + BP2 + CP2 + DP2 = ? 38. How many ways to put 29 similar balls into the 4 boxes. If each boxes has different capacities each box contains 3, 7, 10 and 13 balls. ************************ ส�ำ นกั พัฒนานวัตกรรมการจัดการศึกษา

การแขง ขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ แนวคิดกแาบรบแทขดปง สขรอะนั บจทคาํ าปณงวิตพชิ ศ.าศกส.าต2รร5์5รระ5ะดบั นมาัธนยมาชศาึกตษิ า ประจําป พ.ศ. 2555 การแข่งขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ แบบทดสอบการปแขระง ขจนัำ�ปทีาพง.วศชิ .า2ก5า5ร6ระดบั ประเทศ แบบ(ท(ครดณอสบติ อแศบรากกสาตรรรแะ ดขรบังะขดเขนั บั ตทปพาร้ืนงะวทถิชก่ีมาาศกรึกาศรษกึ ารษ)ะาด)บั ประเทศ (คณติ ศาสตร ระดับประถมศกึ ษา)



สำ�นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พ้ืนฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา (รอบแรก ระดบั เขตพ้ืนท่ีการศึกษา) สอบวนั ท่ี 20 มกราคม 2556 เวลา 09.30 – 11.30 น. (2 ช่ัวโมง) ค�ำ ช้ีแจง 1. แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ฉบับน้เี ป็นแบบทดสอบคณติ ศาสตรฉ์ บบั ภาษาไทย และฉบับภาษาองั กฤษ ประเภทเลอื กตอบและประเภทเติมคำ�ตอบ (ไม่ตอ้ งแสดงวธิ ที �ำ ) มจี �ำ นวน 10 หนา้ คะแนนเต็ม 200 คะแนน เวลาในการท�ำ แบบทดสอบ 2 ชว่ั โมง 2. แบบทดสอบฉบบั น้ีแบ่งเปน็ 3 สว่ น รวม 38 ข้อ สว่ นท่ี 1 เป็นข้อสอบคณิตศาสตร์ฉบับภาษาไทย จำ�นวน 25 ข้อ คะแนนเตม็ 100 คะแนน แบง่ เป็น 3 ตอน ตอนท ี่ 1 ข้อท่ี 1 – 10 แบบเลือกตอบ 5 ตัวเลือก จำ�นวน 10 ขอ้ ขอ้ ละ 3 คะแนน รวม 30 คะแนน ตอนที ่ 2 ขอ้ ที่ 11 – 20 แบบเลอื กตอบ 5 ตวั เลือก จำ�นวน 10 ขอ้ ขอ้ ละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน ตอนท ่ี 3 ขอ้ ท่ ี 21 – 25 แบบเตมิ ค�ำ ตอบ จำ�นวน 5 ขอ้ ขอ้ ละ 6 คะแนน รวม 30 คะแนน ส่วนท่ี 2 เป็นขอ้ สอบคณติ ศาสตรฉบับภาษาไทยจ�ำ นวน 8 ข้อ คะแนนเต็ม 60 คะแนน แบ่งเป็น 2 ตอน ตอนที่ 1 ข้อที่ 26 – 29 แบบเตมิ ค�ำ ตอบ จำ�นวน 4 ข้อ ขอ้ ละ 5 คะแนน รวม 20 คะแนน ตอนท่ี 2 ข้อที ่ 30 – 33 แบบเตมิ ค�ำ ตอบ จ�ำ นวน 4 ขอ้ ข้อละ 10 คะแนน รวม 40 คะแนน ส่วนท่ี 3 เปน็ ขอ้ สอบคณิตศาสตรฉ์ บบั ภาษาอังกฤษ จ�ำ นวน 5 ขอ้ คะแนนเต็ม 40 คะแนน ข้อท ่ี 34 – 38 แบบเติมค�ำ ตอบ จ�ำ นวน 5 ข้อ ขอ้ ละ 8 คะแนน รวม 40 คะแนน 3. กระดาษค�ำ ตอบมี 2 หน้าให้นกั เรยี นเขียน ชือ่ -นามสกลุ เลขประจ�ำ ตัวสอบ ห้องสอบ ช่อื โรงเรียน สำ�นักงานเขตพื้นท่ีการศกึ ษาประถมศึกษาให้ครบในกระดาษค�ำ ตอบ 4. ค�ำ ตอบแต่ละขอ้ ท่นี กั เรยี นตอบ ต้องตอบลงในกระดาษค�ำ ตอบและให้ตรงกบั ข้อค�ำ ถาม 5. ไมอ่ นุญาตให้ใช้เครื่องคิดเลข โทรศัพท์ หรอื เครือ่ งมืออเิ ลก็ ทรอนิกสใ์ ดๆ ในการคำ�นวณ 6. นกั เรียนจะออกจากห้องสอบได้เมื่อหมดเวลาสอบ โดยวางกระดาษคำ�ตอบ กระดาษทดและแบบทดสอบไวบ้ นโต๊ะ 7. การตัดสนิ ของคณะกรรมการถอื เป็นข้อยุติ แนวคดิ แบบทดสอบฉบับน้ี เปน็ ลิขสิทธิ์ของ ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร ห้ามเผยแพร่ อ้างองิ ตัดตอ่ ดดั แปลงหรอื เฉลย กอ่ นไดร้ ับอนญุ าต

สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พื้นฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 86 การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดบั เขตพืน้ ท่กี ารศึกษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา สว่ นที่ 1 แบบทดสอบคณิตศาสตรฉ์ บับภาษาไทย ตอนท่ี 1 ขอ้ ท่ี 1 – 10 แบบเลือกตอบ 5 ตวั เลอื ก จ�ำ นวน 10 ขอ้ ขอ้ ละ 3 คะแนนรวม 30 คะแนน 1. ค่าของ 20100+ (-1)2 +‌|- 2012| เปน็ เทา่ ใด ง. 2013 จ. 2014 ก. –2012 ข. 1 ค. 2012 แนวคดิ 20100+ (-1)2 +‌‌|- 2012| = 1 + 1 + 2012 = 2014 ตอบ จ. 2. จากรปู ถา้ ABCD เปน็ รปู สเี่ หลยี่ มจตั รุ สั และ ACE เปน็ รปู สามเหลยี่ มดา้ นเทา่ แลว้ มมุ BCE มขี นาดกีอ่ งศา ก. 15 ข. 20 ค. 25 ง. 30 จ. ขอ้ มูลไมเ่ พียงพอ แนวคิด จาก ABCD เปน็ รปู ส่เี หลย่ี มจัตรุ สั และ ACE เปน็ รปู สามเหลยี่ มด้านเท่า จะได้ ACB = 45 ° และ ACE = 60° ดังนนั้ BCE = 60° - 45° = 15° ตอบ ก. ส�ำ นกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพ้นื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หนา้ 87 การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดบั เขตพืน้ ทีก่ ารศกึ ษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา 3. ถ้ามุมภายในที่เล็กทสี่ ุดของรปู สามเหลีย่ มมขี นาด 50 ° แล้วรปู สามเหลีย่ มน้เี ป็นรูปสามเหล่ยี ม ชนดิ ใด ก. รปู สามเหลยี่ มดา้ นเทา่ ข. รปู สามเหล่ยี มมุมฉาก ค. รปู สามเหลี่ยมมมุ แหลม ง. รปู สามเหล่ยี มมมุ ปา้ น จ. ที่กล่าวมาไมม่ ีข้อมลู ใดที่ถกู ตอ้ ง แนวคิด ถ้ามมุ ภายในของรปู สามเหลย่ี มเล็กทส่ี ดุ เป็น 50° จะไดม้ ุมทใี่ หญ่ท่ีสุดของรปู สามเหลยี่ มเท่ากบั 180° - 50° -50° = 80° ดงั น้นั รปู สามเหลย่ี มนี้เป็นมุมแหลมอาจมีมมุ ภายในเปน็ 50°, 60°, 70° ตอบ ค. 4. จากรปู ถา้ รปู สเ่ี หลยี่ มจตั รุ สั EFGH, KLMN และ PQRS อยใู่ นรปู สเ่ี หลย่ี มผนื ผา้ ABCD โดยมี พ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็น 1, 9 และ 4 ตารางเซนติเมตร ตามลำ�ดับ แล้วส่วนท่ีแรเงา มีพ้นื ที่กี่ตารางเซนตเิ มตร ก. 3 DK NC ข. 4 EH P S ค. 5 F G ง. 6 จ. 7 AL QR MB แนวคิด จากรูปส่เี หลี่ยมจตั รุ ัสมีความยาวเปน็ 1 เซนตเิ มตร, 3 เซนติเมตร, 2 เซนตเิ มตร ตามลำ�ดับ AB ยาว เทา่ กับ 1 + 3 + 2 = 6 เซนติเมตร พนื้ ที่ของรปู สีเ่ หลี่ยม ABCD เท่ากบั 6 x 3 = 18 ตารางเซนตเิ มตร ดงั นั้นพื้นที่สว่ นท่ีแรเงา เท่ากับ 18 - (1 + 9 + 4) = 4 ตารางเซนตเิ มตร ตอบ ข. โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรู้สูส่ ากล

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พืน้ ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หนา้ 88 การแข่งขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดับเขตพืน้ ที่การศึกษา) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา 5. มีไม้ขีด 10 ก้านยาวเท่า ๆ กัน นำ�มาวางต่อกันปลายชนปลาย ทำ�ให้เป็นรูปสามเหลี่ยมที่ แตกตา่ งกัน ได้ทงั้ หมดกร่ี ูป โดยรูปสามเหลย่ี มแต่ละรูปต้องใช้ไม้ขดี ครบทง้ั 10 ก้าน ก. 2 ข. 3 ค. 4 ง. 5 จ. 6 แนวคิด กรณีรูปสามเหล่ยี มหนา้ จ่ัวความยาวของดา้ นสองดา้ นรวมกันจะยาวมากกวา่ ด้านทสี่ าม ดังนน้ั รปู สามเหล่ยี มทเี่ ปน็ ไปได้มี 2 รูป ซ่งึ แต่ละรปู จะมดี า้ นยาว ดงั น้ี 2, 4, 4 และ 3, 3, 4 ตอบ ก. 6. กระดาษแผ่นหนึ่งเป็นรูปส่ีเหลี่ยมด้านขนาน ถ้าพับให้เป็นสองส่วนตามรอยพับที่แบ่งพ้ืนที่ รปู สเี่ หลี่ยมดา้ นขนานออกเปน็ สองส่วนเท่าๆ กนั จะมวี ิธกี ารพบั กระดาษทแี่ ตกต่างกันกีว่ ธิ ี ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 3 จ. พบั ไดไ้ มจ่ �ำ กดั แนวคดิ รูปสี่เหล่ียมด้านขนานมีเส้นสมมาตรพับตามรอยเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหล่ียม ดา้ นขนานและจะแบง่ พนื้ ทอ่ี อกเปน็ สองสว่ น ซงึ่ สามารถพบั กระดาษเพอื่ แบง่ พน้ื ที่ รูปสเี่ หล่ยี มด้านขนานออกเปน็ สองส่วนเทา่ ๆ กนั จะต้องผา่ นจุดที่เสน้ ทแยงมมุ ตัดกันได้หลากหลายวิธีดงั รปู ตอบ จ. ส�ำ นกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศึกษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 89 การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดับเขตพืน้ ทกี่ ารศึกษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา 7. บรษิ ทั ผลติ รายการโทรทศั นบ์ รษิ ทั หนงึ่ วางแผนทจ่ี ะผลติ รายการออกอากาศเปน็ รายการตอ่ เนอ่ื ง 48 ตอน โดยออกอากาศทุกวันวันละ 1 ตอน ยกเว้นวันเสาร์และวันอาทิตย์ ถ้าตอนแรก ออกอากาศวนั พฤหสั บดี แล้วตอนสดุ ทา้ ยจะออกอากาศในวนั ใดของสปั ดาห์ ก. วันจนั ทร์ ข. วนั องั คาร ค. วนั พธุ ง. วันพฤหัสบดี จ. วันศกุ ร์ แนวคิด ถ้าตอนที่หน่ึงออกอากาศในวันพฤหสั บดี ถา้ ตอนทส่ี องออกอากาศในวนั ศุกร์ ถ้าตอนทส่ี ามออกอากาศในวนั จนั ทร์ ถา้ ตอนท่ีสอี่ อกอากาศในวันองั คาร ถ้าตอนทหี่ า้ ออกอากาศในวันพุธ ถา้ ตอนทห่ี กออกอากาศในวนั พฤหสั บดี ไปเร่ือยๆ รายการจะวนรอบละ 5 ตอน ต่อเนอื่ ง จะได้ 48 = 5 x 9 + 3 ดังน้นั รายการที่ 48 จะออกอากาศในวนั จันทร์ ตอบ ก. โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรู้สู่สากล

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พื้นฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หนา้ 90 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดับเขตพ้นื ทก่ี ารศกึ ษา) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา 8. จากรูปแสดงการวางถว้ ยเรียงกัน 5 ใบ ตามลำ�ดบั ไดแ้ ก่ ถ้วยใบที่ 1, 2, 3, 4, และ ถว้ ยใบที่ 5 เริ่มต้นใส่ลูกบอลไว้ในถ้วยใบท่ี 3 แล้วเริ่มเคล่ือนย้ายลูกบอล โดยการเคลื่อนย้ายแต่ละคร้ัง ให้หยิบลูกบอลออกมาใส่ในถ้วยใบท่ีอยู่ติดกันไปเร่ือย ๆ เช่น ถ้าลูกบอลอยู่ในถ้วยใบที่ 1 ก็จะหยบิ ออกมาใสไ่ ด้เฉพาะถว้ ยใบท่ี 2 เท่านน้ั ถ้าลูกบอลอยู่ในถว้ ยใบที่ 5 กจ็ ะหยิบออกมา ใสเ่ ฉพาะถ้วยใบที่ 4 เทา่ นน้ั หลังจากที่หยบิ ลูกบอลไปใส่ถ้วยคร้ังที่ 210 + 38 แล้ว ขอ้ ใดกลา่ ว ถกู ต้องเกีย่ วกบั ลกู บอล ก. ลกู บอลไมอ่ ยู่ในถว้ ยใบที่ 3, 4 และ 5 ข. ลูกบอลไมอ่ ยใู่ นถว้ ยใบท่ี 2, 4 และ 5 ค. ลูกบอลไม่อยู่ในถว้ ยใบที่ 1, 4 และ 5 ง. ลกู บอลไมอ่ ยู่ในถ้วยใบที่ 1, 3 และ 5 จ. ลูกบอลไม่อยใู่ นถว้ ยใบท่ี 2 และ 4 แนวคิด การเคลือ่ นยา้ ยลกู บอลครั้งท่ี 1, 3, 5, . . . จะอยใู่ นถว้ ยใบทเี่ ปน็ เลขคู่ การเคลื่อนย้ายลูกบอลคร้ังที่ 2, 4, 6, . . . จะอยใู่ นถว้ ยใบท่ีเปน็ เลขคี่ 210 + 38 เปน็ จำ�นวนค่ี ดังนน้ั การเคลอ่ื นยา้ ยครั้งท่ี 210 + 38 จะตอ้ งอย่ใู นถ้วย หมายเลขคู่ ตอบ ง. ส�ำ นกั พฒั นานวัตกรรมการจัดการศึกษา

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หน้า 91 การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดบั เขตพืน้ ทีก่ ารศึกษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา 9. ระหวา่ งวันหยุด ตุ๊กทำ�งานนอกเวลาดว้ ยการล้างชามในรา้ นอาหารแหง่ หนง่ึ เขาไดร้ บั ค่าจา้ ง 3 บาท ตอ่ ชาม 1 ใบ ถา้ เขาท�ำ ชามแตก 1 ใบ จะไมไ่ ดร้ บั คา่ จา้ งส�ำ หรบั ชามใบนน้ั และตอ้ งจา่ ยเงนิ จ�ำ นวน 9 บาท ใหเ้ จ้าของร้าน ถา้ ใน 1 สปั ดาห์ ตุ๊กลา้ งชามได้ 500 ใบ และได้รับเงินค่าจ้าง เป็นเงิน 1,368 บาท แล้วเขาท�ำ ชามแตกจำ�นวนก่ีใบ ก. 7 ข. 8 ค. 9 ง. 10 จ. 11 แนวคดิ ที่ 1 ให้ x แทนจ�ำ นวนชามทตี่ ุ๊กท�ำ แตก ตุ๊กล้างชามท่ีเหลือ 500 - x ใบ จะได้ 3(500 - x) - 9x = 1368 1500 - 3x - 9x = 1368 1500 - 1368 = 12x 11x ใบ= 11322 = 11 ดงั น้ันเขาท�ำ ชามแตก แนวคดิ ที่ 2 ถา้ ตกุ๊ ลา้ งชาม 500 ใบ จะไดร้ บั คา่ จา้ ง 3 X 500 = 1500 บาท แตเ่ ขาไดร้ บั เงนิ เพยี ง 1,368 บาท ดังนนั้ รายไดเ้ ขาหายไป 1500 – 1368 เท่ากบั 132 บาท สำ�หรับชามท่ีตุ๊กท�ำ แตก 1 ใบ รายไดข้ าดไป 3 บาท และถกู หักเงนิ ไปอกี 9 บาท รวมเป็น 12 บาท ดังนน้ั เขาจะทำ�ชามแตกไปท้ังหมด 132 ÷ 12 เท่ากับ 11 ใบ ตอบ จ. โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรู้ส่สู ากล

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 92 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดบั เขตพื้นท่กี ารศกึ ษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา 10. จากรูปแสดงจำ�นวนในรูปส่ีเหล่ียมท่ีสัมพันธ์กับจำ�นวนท่ีจุดยอดมุมของรูปส่ีเหลี่ยม จงหาวา่ จ�ำ นวนทอี่ ยภู่ ายในรูปสี่เหล่ยี มรปู ท่สี ี่เป็นเท่าใด –1 –2 –2 –3 –3 –4 –4 –5 –14 –54 –132 ? –4 –3 –5 –4 –6 –5 –7 –6 ก. – 210 ข. – 260 ค. – 288 ง. – 308 จ. – 330 แนวคิด จากการสงั เกตหมายเลขในกลอ่ งแตล่ ะใบจะได้ดังน้ี -1 -2 (-1) x (-2) x [(-3) + (-4)] = - 14 -14 -4 -3 -2 -3 -54 (-2) x (-3) x [(-4) + (-5)] = - 54 -5 -4 -3 -4 -132 (-3) x (-4) x [(-5) + (-6)] = - 132 -6 -5 -4 -5 -260 (-4) x (-5) x [(-6) + (-7)] = - 260 -7 -6 ตอบ ข. ส�ำ นกั พฒั นานวตั กรรมการจัดการศึกษา

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หน้า 93 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดับเขตพ้ืนทีก่ ารศึกษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา ตอนที่ 2 ขอ้ ที่ 11 – 20 แบบเลอื กตอบ 5 ตัวเลอื ก จำ�นวน 10 ขอ้ ข้อละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน 11. จากรูปแสดงถนนภายในหมู่บ้าน การเดินทางแต่ละครั้งต้องไปทางทิศตะวันออกหรือทิศใต้ เท่านนั้ ถ้าจะเดนิ จากจดุ A1 ไปยังจุด A4โดยไมผ่ า่ นจดุ A3จะเดินไดแ้ ตกต่างกันท้ังหมดกว่ี ิธี ก. 8 ข. 10 ค. 12 ง. 15 จ. 20 แนวคิดที่ 1 วิธี เมอ่ื เดนิ ทางจากจุด A1 ถงึ A4 จะได้ จาก A1 ไป A4 ผา่ น A3 จะเดนิ ได้ A3 วิธี 20 – 12 = 8 วธิ ี ดงั นน้ั เดินทางจาก A1 ไป A4 โดยไม่ผ่าน จะเดินทางได้ แนวคิดท่ี 2 เAAAAAAAAด11111111นิ --------ทCCBCBCBBา11111111ง--------จCACBAABBา222ก222--22------CCCABBBBC3443441--44------ไCCCปBBBBC555555--55-A-----CCCBBBBC4666โ666--66-ด-----AAAยAAAAA444ไ44444มผ่ า่ น A3 ตอบ ก. โครงการพัฒนาคุณภาพการเรียนรสู้ ู่สากล

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พ้ืนฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หนา้ 94 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดบั เขตพ้ืนท่ีการศกึ ษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา 12. เก้าอี้น่ังดูภาพยนตร์แต่ละแถวมี 80 ท่ีน่ัง และแถวท่ี 13 ถึง 24 สำ�รองไว้สำ�หรับนักเรียน จากโรงเรยี นมธั ยมศกึ ษา ถา้ ทนี่ ง่ั ของนกั เรยี นจากโรงเรยี นมธั ยมศกึ ษามเี กา้ อว้ี า่ ง 15 ที่ แลว้ จะมี นกั เรยี นจากโรงเรียนมธั ยมศึกษาทไ่ี ปดภู าพยนตรท์ ง้ั หมดก่ีคน ก. 945 ข. 875 ค. 865 ง. 775 จ. 765 แนวคดิ จำ�นวนแถวในแถวท่ี 13 ถงึ 24 เท่ากบั 24 – 13 + 1 = 12 แถว แต่ละแถวมี เก้าอี้จ�ำ นวน 80 ท่นี งั่ ดังน้นั จำ�นวนเกา้ อี้ทง้ั หมดเทา่ กบั 80 x 12 = 960 มเี กา้ อ้ีวา่ ง 15 ที่ ดงั นนั้ จำ�นวนนักเรยี นจากโรงเรียนมธั ยมทีม่ าดูภาพยนตร์ ท้งั หมดเทา่ กบั 960 – 15 = 945 คน ตอบ ก. 13. ถา้ นา้ํ หนกั ของแอปเปลิ 3 ผล เทา่ กบั นาํ้ หนกั ของกลว้ ย 4 ผล และนา้ํ หนกั ของกลว้ ย 5 ผลเทา่ กบั นา้ํ หนักของส้ม 6 ผล แล้ว แอปเปลิ จ�ำ นวนกผ่ี ล จึงจะมนี ้ําหนกั เทา่ กับนา้ํ หนักของส้ม 16 ผล ก. 6 ข. 7 ค. 8 ง. 9 จ. 10 แนวคดิ ถ้ากลว้ ยจำ�นวน 20 ผลมนี ้ําหนกั เท่ากบั แอปเปลิ 15 ผล ดงั นั้น กลว้ ย 20 ผล จะมีน้ําหนักเทา่ กบั ส้ม 24 ผล และแอปเปิล 15 ผล จะมีนา้ํ หนกั เท่ากับสม้ 24 ผล ดงั น้ัน แอปเปลิ 10 ผล จะมีนาํ้ หนกั เท่ากบั สม้ ผล ตอบ จ. ส�ำ นกั พัฒนานวัตกรรมการจัดการศึกษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพืน้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 95 การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดบั เขตพ้นื ที่การศกึ ษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา 14. จากรูปด้านล่างนี้แสดงลูกบาศก์ซ่ึงเขียนชื่อไว้ 3 หน้า คือ หน้า A,B และ C และตาราง จัตุรัสขนาด 3 x 3 ท่ีแสดงหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 พลิกลูกบาศก์หน้า C ทับบน ตารางจตั ุรสั ท่ีแสดงหมายเลข 1 พลกิ ลูกบาศก์อกี ครง้ั ใหห้ นา้ B ทบั บนช่องหมายเลข 2 และ พลิกเช่นน้ีไปจนกว่าลูกบาศก์นี้จะทับช่อง หมายเลข 6 ผลรวมของจำ�นวนบนตารางจัตุรัสท่ี ลกู บาศก์ทับ โดยที่หนา้ B ของลกู บาศกอ์ ยูด่ ้านบน เป็นเท่าใด ก. 2 ข. 6 ค. 7 ง. 9 จ. 10 แนวคดิ 1. พลิกลกู บาศกห์ น้า C ทบั บนตารางจัตรุ ัสหมายเลข 1 2. พลกิ ลูกบาศกห์ น้า B ทบั บนตารางจัตุรสั หมายเลข 2 3. พลิกลกู บาศก์หน้า A ทับบนตารางจัตรุ ัสหมายเลข 3 4. พลกิ ลูกบาศก์หนา้ C ทับบนตารางจัตรุ สั หมายเลข 4 5. พลิกลูกบาศก์หนา้ ตรงขา้ มหน้า A ทบั บนตารางจัตุรัสหมายเลข 5 6. พลิกลูกบาศกห์ น้าตรงข้ามหนา้ B ทับบนตารางจตั รุ สั หมายเลข 6 ดงั นั้น ลกู บาศกน์ มี้ ีหนา้ B อยดู่ ้านบนเพียงครง้ั เดยี ว ผลรวมของจำ�นวนในตารางที่ลูกบาศก์มีหนา้ B อยู่ด้านบนเทา่ กับ 6 ตอบ ข. 15. ไพส่ �ำ รบั หนง่ึ มี 54 ใบ ประกอบด้วยโจ๊กเกอร์ 2 ใบ และโพดำ� โพแดง ดอกจิก และข้าวหลามตดั ชุดละ 13 ใบ แจกไพ่อยา่ งสุม่ อยา่ งนอ้ ยก่ใี บ จงึ จะได้เป็นไพ่ชดุ เดียวกันอย่างนอ้ ย 4 ใบ ก. 14 ข. 15 ค. 16 ง. 17 จ. 54 แนวคดิ แจกไพน่ อ้ ยท่ีสุดควรมีไพ่ชุดเดียวกนั 3 ใบ จำ�นวน 4 ชดุ รวมกนั โจก๊ เกอรอ์ กี 1 ใบ เป็น 14 ใบ เมอ่ื ใบที่ 15 จะซ้ําชดุ เปน็ 4 ใบ ชดุ เดยี วกนั ตอบ ข. โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นรู้สู่สากล

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พนื้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 96 การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดับเขตพนื้ ทกี่ ารศึกษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา 16. จงหาจำ�นวนเศษที่แตกต่างกันท่ีเกิดจากการหาร 5n + 7n ด้วย 100 เม่ือ n เป็นจำ�นวนเต็ม ท่ีมากกวา่ หรือเท่ากับ 0 ก. 4 ข. 6 ค. 8 ง. 10 จ. 15 แนวคดิ n 5n + 7n n=0 1+1=2 n = 1 5 + 7 = 12 n = 2 25 + 49 = 74 *** n = 3 125 + 343 = x 68 n = 4 x25 + xx01 = xx26 n = 5 xx25 + xxx07 = 32 n = 6 xxx25 + xxxx49 = xxxx74 ซํ้า *** ตอบ ข. 17. ให้ a, b เปน็ จ�ำ นวนเตม็ บวก ก�ำ หนด a b เทา่ กบั เศษที่ได้จากการนำ�จำ�นวนท่ีมีค่านอ้ ยไปหารจำ�นวนที่มคี ่ามากกว่า เชน่ 5 12 = 12 5 = 2 ถ้า (19 x) 19 = 5 แลว้ จ�ำ นวนใดที่เป็นคา่ ของ x ไมไ่ ด้ ก. 12 ข. 26 ค. 33 ง. 39 จ. 45 แนวคดิ x = 12 จะได้ (19 12) 19 = 7 19 = 5 x = 26 จะได้ (19 26) 19 = 7 19 = 5 x = 33 จะได้ (19 33) 19 = 14 19 = 5 x = 39 จะได้ (19 39) 19 = 1 19 = 0 x = 45 จะได้ (19 45) 19 = 7 19 = 5 ตอบ ง. ส�ำ นกั พฒั นานวตั กรรมการจัดการศึกษา

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 97 การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดบั เขตพ้ืนท่กี ารศึกษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา 18. จงหาจำ�นวนของจำ�นวนเต็มบวก 3 หลัก ซ่ึงแต่ละหลักมีเลขโดดต่างกัน โดยท่ีเลขโดดใน หลักสิบของจำ�นวนเต็มบวกนี้มีค่าเท่ากับเลขโดดในหลักหน่วยของผลบวกของเลขโดดใน หลกั ร้อยกับเลขโดดในหลักหนว่ ย ก. 36 ข. 60 ค. 72 ง. 90 จ. 108 แนวคิด เลขโดดในหลกั รอ้ ยและหลกั หน่วยเป็นเลขโดดทตี่ า่ งกันและเปน็ 0 ไม่ได้ ดังนัน้ จะสรา้ งได้ท้ังหมด 9 x 8 = 72 ตอบ ค. 19. รปู ขา้ งลา่ งแสดงรปู สเี่ หลย่ี มจตั รุ สั จ�ำ นวน 7 รปู วางเรยี งบนเสน้ ตรง รปู สเ่ี หลยี่ มจตั รุ สั ทว่ี างเอยี ง 3 รปู แรกมพี นื้ ที่เปน็ 1, 2 และ 3 ตารางหน่วย ตามล�ำ ดบั ถ้าน�ำ รูปสี่เหล่ียมจัตรุ ัสมาวางเอียง เปน็ รปู ที่ 4 แลว้ รปู สีเ่ หลยี่ มจัตรุ สั รูปท่ี 4 จะมพี น้ื ที่กตี่ ารางหนว่ ย ก. 4 ข. 5 ค. 6 ง. 7 จ. 8 แนวคดิ โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นรสู้ ูส่ ากล

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพืน้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 98 การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดับเขตพื้นท่ีการศึกษา) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา ∆ ABC ∆ EAD (ม.ม.ด.) AC = DE = 6 ∆ ABC; a2 + b2 = 1 ..........(1) ในทำ�นองเดียวกนั จะได้วา่ b2 + c2 = 2 ..........(2) c2 + d2 = 3 ..........(3) (1) + (2) + (3) ได้ a2 + b2 + c2 + d2 + b2 + c2 = 1 + 2 + 3 a2 + b2 + c2 + d2 = 6 - (b2 + c2) = 4 ตอบ ก. 20. ถา้ นำ�รปู ทางขวามือ หรอื รปู ท่เี กิดจากการหมนุ ของรูปทางขวามือ จำ�นวนไม่จำ�กัด มาวาง ในตาราง ขนาด 4 x 4 ท่ีแสดงทางซ้ายมือ โดยไม่วางซ้อนกัน จนไม่สามารถวางเพ่ิมได้ แลว้ จ�ำ นวนรปู ท่ีน้อยท่ีสุด ทน่ี ำ�ไปวางในตารางมกี ร่ี ปู ก. 2 ข. 3 ค. 4 ง. 5 จ. 6 แนวคดิ หรือ ตอบ ข. ส�ำ นกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศึกษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พื้นฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หนา้ 99 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 (รอบแรก ระดับเขตพื้นที่การศกึ ษา) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา ตอนที่ 3 ขอ้ ที่ 21 – 25 แบบเติมคำ�ตอบ จ�ำ นวน 5 ข้อ ข้อละ 6 คะแนน รวม 30 คะแนน 21. หยิบลูกปิงปอง 100 ลกู ลงกล่อง n กลอ่ ง ซ่งึ จำ�นวนลูกปิงปองในแตล่ ะกล่องจะมเี ลขโดด 8 อยดู่ ว้ ยเสมอ เช่น 8 ลกู 18 ลกู 83 ลูก หรอื 88 ลูก กรณีท่ี n = 3 จ�ำ นวนลกู ปิงปองในกล่อง จะเป็น 8, 8 และ 84 ลกู ถ้า n = 5 และมี 2 กลอ่ งทมี่ จี �ำ นวนลกู ปิงปองเท่ากนั อีก 3 กลอ่ ง มีจำ�นวนลูกปิงปองตา่ งกนั แลว้ ผลรวมของจำ�นวนลูกปิงปอง 2 กลอ่ ง มากที่สุดเปน็ กี่ลกู แนวคดิ จำ�นวนลกู ปิงปองทนี่ ้อยทสี่ ดุ เทา่ กนั เป็น 8, 8 อีก 3 กลอ่ ง ทีต่ ่างกนั รวมกันได้ 100 – 8 – 8 = 84 3 กลอ่ งทตี่ ่างกัน เฉลย่ี กลอ่ งละ 28 ลกู จะได้ 18, 28, 38 น่นั คือ จำ�นวนลูกปิงปองเท่ากับ 8, 8, 18, 28 และ 38 ดงั น้นั ผลรวมของจำ�นวนลกู ปงิ ปองมากทส่ี ดุ เปน็ 28 + 38 = 66 ลกู ตอบ 66 ลกู 22. ให้ a, b, c และ d เป็นจ�ำ นวนเต็มบวกทนี่ อ้ ยกวา่ 10 และ x เป็นจ�ำ นวนเตม็ ซึ่งสอดคลอ้ ง กบั สมการ ax3 - bx2 - cx - d = 0 จงหาค่า x ที่มากท่สี ุดทเี่ ปน็ ไปได้ แนวคิด ถ้า x ≥ 10 แล้ว x3 ≥ 10x2 ≥ (b + 1) x2 = bx2 + x2 ≥ bx2 + 10x ≥ bx2 + (c + 1)x ≥ bx2 + cx + 10 > bx2 + cx + d ดังน้ัน x < 10 เมือ่ a = 1, b = c = 8, d = 9, x = 9 ค่าสูงสุดของ x คอื 9 ตอบ 9 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นร้สู สู่ ากล