เสริมคิดคณิตศาสตร์ม.ต้น 53-54

เสริมคดิ ...คณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษาตอนต้น แบบทดสอบการแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำปี พ.ศ. 2553-2554 ส�ำนกั พัฒนานวัตกรรมการจัดการศกึ ษา ส�ำนกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

เสรมิ คิด...คณิตศำสตร ระดับมัธยมศึกษำตอนตน แบบทดสอบการแขงขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553-2554 ISBN 978-616-202-598-3 พมิ พครั้งแรก พ.ศ. 2555 จ�ำนวนพมิ พ 2,000 เลม เรียบเรียง กลมุ่ วิจยั และพฒั นำองคก์ รแหง่ กำรเรยี นรู้ สำ� นักพฒั นำนวตั กรรมกำรจดั กำรศึกษำ ส�ำนักงำนคณะกรรมกำรกำรศกึ ษำขัน้ พื้นฐำน สงวนลิขสิทธิ์ สำ� นักงำนคณะกรรมกำรกำรศกึ ษำขนั้ พ้นื ฐำน กระทรวงศกึ ษำธิกำร จัดพิมพโ์ ดย โครงกำรพัฒนำคณุ ภำพกำรเรียนรูส้ สู่ ำกล กลุ่มวจิ ัยและพฒั นำองค์กรแหง่ กำรเรียนรู้ สำ� นกั พัฒนำนวัตกรรมกำรจดั กำรศกึ ษำ สำ� นกั งำนคณะกรรมกำรกำรศึกษำขน้ั พื้นฐำน กระทรวงศึกษำธกิ ำร พมิ พท์ ี่ โรงพมิ พ์องคก์ ำรสงเครำะหท์ หำรผ่ำนศกึ เลขท่ ี 2/9 ซอย 31 ถนนกรงุ เทพ-นนทบุร ี เขตบำงซื่อ กรุงเทพฯ 10800 โทรศพั ท์ 0-2587-3137 โทรสำร 0-2587-3295

คํานํา สำ� นกั งำนคณะกรรมกำรกำรศกึ ษำขน้ั พนื้ ฐำน มนี โยบำยยกระดบั คณุ ภำพมำตรฐำน กำรศกึ ษำขนั้ พน้ื ฐำน และใชก้ ระบวนกำรแขง่ ขนั ทำงวชิ ำกำร กระบวนกำรวจิ ยั พฒั นำคณุ ภำพ กำรเรียนรู้เป็นเคร่ืองมือในกำรขับเคล่ือนนโยบำยสู่กำรปฏิบัติ และในโอกำสท่ีส�ำนักงำน คณะกรรมกำรกำรศึกษำขั้นพื้นฐำน ได้รับเชิญจำกกระทรวงและหน่วยงำนทำงกำรศึกษำ ต่ำงประเทศในกำรพิจำรณำนักเรียนเข้ำร่วมกำรแข่งขันทำงวิชำกำร ระดับนำนำชำต ิ จงึ ได้ดำ� เนินงำนโครงกำรพัฒนำคุณภำพกำรเรยี นรู้สสู่ ำกล กจิ กรรมกำรแข่งขนั ทำงวชิ ำกำร ระดับนำนำชำติ โดยมีวัตถุประสงค์เพ่ือเปดโอกำสให้นักเรียนได้แลกเปลี่ยนเรียนรู้สู่เวที วชิ ำกำร และไดพ้ ฒั นำควำมสำมำรถเตม็ ตำมศกั ยภำพ สำ� หรบั กจิ กรรมกำรแขง่ ขนั ทำงวชิ ำกำร จึงเป็นเวทีแห่งประสบกำรณ์นอกห้องเรียน และเป็นก้ำวหนึ่งของนักเรียนที่ได้มีโอกำส ฉำยแววแห่งควำมสำมำรถ ดังนั้น ควำมส�ำคัญจึงมิได้อยู่ท่ีรำงวัลจำกกำรแข่งขันท่ีนักเรียน ได้รับเท่ำน้ัน หำกแต่ควำมส�ำคัญนั้นคือประสบกำรณ์กำรเรียนรู้อันเป็นประสบกำรณ์ตรง ทีท่ รงคุณค่ำของนกั เรียน เอกสำรชดุ เสรมิ คดิ คณติ ศำสตร ์ ระดบั มธั ยมศกึ ษำตอนตน้ (แบบทดสอบกำรแขง่ ขนั ทำงวิชำกำร ระดับนำนำชำติ ประจ�ำป พ.ศ. 2553-2554) เป็นผลผลิตจำกกำรศึกษำ วเิ ครำะหเ์ นอื้ หำหลกั สตู รในกำรแขง่ ขนั ทำงวชิ ำกำร ระดบั นำนำชำต ิ ทเี่ นน้ ดำ้ นกระบวนกำร ทำงคณิตศำสตร์ และใช้เป็นพิมพ์เขียวในกำรสร้ำงแบบทดสอบที่ใช้ในกำรแข่งขัน ทำงวิชำกำรระดับเขตพื้นที่กำรศึกษำ และกำรแข่งขันทำงวิชำกำรระดับประเทศ เพ่ือ กำรคดั เลอื กนกั เรยี นทมี่ คี วำมสำมำรถทำงคณติ ศำสตร ์ เปน็ ตวั แทนนกั เรยี นไปแขง่ ขนั ทำงวชิ ำกำร ระดับนำนำชำติ ประจ�ำป พ.ศ. 2553-2554 เอกสำรชุดน้ี ส�ำนักงำนคณะกรรมกำร กำรศึกษำข้ันพื้นฐำน เผยแพร่เป็นแนวทำงในกำรพัฒนำคุณภำพกำรเรียนรู้และ พัฒนำขีดควำมสำมำรถของนักเรียนให้สำมำรถก้ำวทันโลก ก้ำวทันกำรเปลี่ยนแปลง ตลอดจนสำมำรถน�ำส่ิงที่ได้จำกกำรเรยี นรู้ไปปรบั ใช้ในชวี ติ ประจำ� วนั ไดอ้ ยำ่ งมีควำมสขุ โอกำสนี้ ส�ำนักงำนคณะกรรมกำรกำรศึกษำขั้นพ้ืนฐำน ขอขอบคุณคณะท�ำงำน ทุกท่ำนท่ีได้มีส่วนร่วมจัดท�ำเอกสำรชุดเสริมคิดคณิตศำสตร์ ระดับมัธยมศึกษำตอนต้น และขอขอบคุณหน่วยงำนท่ีเกี่ยวข้องในกำรร่วมสร้ำงสรรค์เปดโอกำสให้นักเรียนไทย ไดก้ ำ้ วไกลส่สู ำกล ส�านกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พนื้ ฐาน

คาํ ชแี้ จง ส�ำนักงำนคณะกรรมกำรกำรศึกษำข้ันพื้นฐำน โดยส�ำนักพัฒนำนวัตกรรมกำรจัด กำรศึกษำ ไดจ้ ดั ทำ� เอกสำรชดุ เสริมคิดคณติ ศำสตร์และเสรมิ คิดวิทยำศำสตร์ (แบบทดสอบ กำรแขง่ ขันทำงวิชำกำรระดับนำนำชำติ ประจ�ำป  พ.ศ. 2553-2554) และเปน็ ผลผลติ จำก กำรด�ำเนินงำนโครงกำรพัฒนำคุณภำพกำรเรียนรู้สู่สำกล กิจกรรมกำรแข่งขันทำงวิชำกำร ระดบั นำนำชำต ิ จดั ทำ� ขนึ้ เพอื่ เผยแพรเ่ ปน็ แนวทำงหนงึ่ สำ� หรบั ครผู สู้ อนใชใ้ นกำรจดั กจิ กรรม กำรเรยี นร ู้ และส�ำหรับนกั เรยี นใชเ้ ป็นแบบฝก เสรมิ ทกั ษะเพ่มิ พนู ประสบกำรณ์ พฒั นำควำม สำมำรถทำงคณติ ศำสตรแ์ ละวทิ ยำศำสตร ์ เปน็ กำรเพม่ิ ขดี ควำมสำมำรถดำ้ นกระบวนกำรคดิ และเตรียมควำมพร้อมนกั เรียนเพ่ือกำรแข่งขนั ทำงวิชำกำร ระดบั นำนำชำติ เอกสำรชดุ เสรมิ คดิ คณติ ศำสตรแ์ ละเสรมิ คดิ วทิ ยำศำสตร ์ ประกอบดว้ ยแบบทดสอบ คณิตศำสตร์และแบบทดสอบวิทยำศำสตร์ ที่ใช้ในกำรแข่งขันทำงวิชำกำรระดับนำนำชำติ ประจ�ำป พ.ศ. 2553-2554 ของส�ำนักงำนคณะกรรมกำรกำรศึกษำข้ันพ้ืนฐำน จ�ำนวน 3 เล่ม ดังตอ่ ไปน้ี เล่มท่ี 1 เสรมิ คดิ ...คณติ ศำสตร ์ ระดับประถมศึกษำ แบบทดสอบกำรแขง่ ขนั ทำงวชิ ำกำร ระดบั นำนำชำต ิ ประจำ� ป  พ.ศ. 2553-2554 เลม่ ท่ี 2 เสริมคิด...คณติ ศำสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษำตอนต้น แบบทดสอบกำรแขง่ ขนั ทำงวชิ ำกำร ระดบั นำนำชำต ิ ประจำ� ป  พ.ศ. 2553-2554 เล่มที่ 3 เสริมคดิ ...วทิ ยำศำสตร ์ ระดบั ประถมศกึ ษำ แบบทดสอบกำรแขง่ ขนั ทำงวชิ ำกำร ระดบั นำนำชำต ิ ประจำ� ป  พ.ศ. 2553-2554 เอกสำรชดุ เสรมิ คดิ คณติ ศำสตร ์ ระดบั มธั ยมศกึ ษำตอนตน้ (แบบทดสอบกำรแขง่ ขนั ทำงวชิ ำกำรระดบั นำนำชำต ิ ประจำ� ป  พ.ศ. 2553-2554) เปน็ กำรนำ� เสนอวธิ กี ำร ยทุ ธศำสตร์ กำรแกโ้ จทย์ปญหำ และใช้เป็นยุทธวิธีในกำรเฉลยแนวคิดแบบทดสอบที่ใช้ในกำรแข่งขัน ทำงวิชำกำรระดบั เขตพน้ื ทก่ี ำรศกึ ษำ และกำรแขง่ ขนั ทำงวชิ ำกำรระดบั ประเทศ ประจำ� ป  พ.ศ. 2553-2554 ส�ำหรับเน้ือหำสำระที่ได้น�ำเสนอในเอกสำรนี้เป็นแนวทำงหน่ึงในกำรแก้ โจทย์ปญหำที่หลำกหลำย ภำยใต้กรอบเน้ือหำสำระที่ใช้ในกำรแข่งขันคณิตศำสตร ์ ระดบั นำนำชำติ ส�านักพฒั นานวตั กรรมการจดั การศึกษา

สารบญั หนำ้ ค�ำนำ� ค�ำชี้แจง สำรบญั ๏ แบบทดสอบคณติ ศำสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษำตอนต้น ........................................................ 7 ระดับเขตพืน้ ที่กำรศกึ ษำ ประจ�ำป  พ.ศ. 2553 ๏ แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศำสตร ์ ระดบั มธั ยมศึกษำตอนตน้ ............................................ 1 3 ระดบั เขตพ้ืนที่กำรศึกษำ ประจ�ำป พ.ศ. 2553 ๏ แบบทดสอบคณติ ศำสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษำตอนต้น ........................................................ 3 1 ระดับประเทศ ประจำ� ป พ.ศ. 2553 ๏ แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศำสตร ์ ระดับมธั ยมศึกษำตอนต้น ............................................ 3 9 ระดบั ประเทศ ประจ�ำป  พ.ศ. 2553 ๏ แบบทดสอบคณิตศำสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษำตอนตน้ ........................................................ 5 7 ระดับเขตพ้ืนทกี่ ำรศกึ ษำ ประจำ� ป  พ.ศ. 2554 ๏ แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศำสตร์ ระดบั มัธยมศึกษำตอนตน้ ............................................ 6 5 ระดบั เขตพื้นที่กำรศึกษำ ประจำ� ป พ.ศ. 2554 ๏ แบบทดสอบคณิตศำสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษำตอนต้น ......................................................... 8 1 ระดบั ประเทศ ประจ�ำป  พ.ศ. 2554 ๏ แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศำสตร ์ ระดบั มัธยมศกึ ษำตอนต้น ............................................ 8 9 ระดับประเทศ ประจำ� ป  พ.ศ. 2554



การแขง ขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553 สาํ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พื้นฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษาตอนต้น ระดบั เขตพน้ื ทกี่ ารศกึ ษา ประจ�าปี พ.ศ. 2553



การแขงขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553 สํานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พนื้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร แบบทดสอบคณติ ศาสตร ระดับมัธยมศกึ ษาตอนตน เพ่อื การคัดเลอื กตวั แทนนักเรยี นระดับพนื้ ที่การศกึ ษา ประจาํ ป พ.ศ. 2553 สอบวันท่ี 23 มกราคม พ.ศ. 2553 เวลา 9.30 น.-11.30 น. คาํ ช้ีแจง 1. แบบทดสอบฉบบั นี้ เปนแบบทดสอบชนดิ เติมคาํ ตอบ (ไมต อ งแสดงวิธีทาํ ) มจี ํานวน 5 หนา รวมเวลา 2 ชั่วโมง 2. แบบทดสอบมที ้ังหมด 30 ขอ คะแนนเต็ม 120 คะแนน แบงเปน 3 ตอนคือ ตอนที่ 1 ตัง้ แตข อ ที่ 1 – 10 ขอละ 3 คะแนน รวม 30 คะแนน ตอนที่ 2 ตง้ั แตขอ ที่ 11 – 20 ขอ ละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน ตอนที่ 3 ตั้งแตขอที่ 21 – 30 ขอ ละ 5 คะแนน รวม 50 คะแนน 3. กระดาษคาํ ตอบมี 1 แผน ใหนักเรียนเขยี น ชอ่ื -นามสกุล เลขประจําตัวสอบ หองสอบ ชอื่ โรงเรยี น สาํ นกั งานเขตพนื้ ทก่ี ารศกึ ษาของนกั เรยี นใหค รบในกระดาษคาํ ตอบ 4. คาํ ตอบ แตล ะขอ ทน่ี กั เรยี นตอบ ตอ งตอบลงในกระดาษคาํ ตอบเทา นน้ั และใหต รงกบั ขอ คาํ ถาม 5. คําถามขอ ใดที่ตอ งแสดงคาํ ตอบมากกวา หนึ่งคําตอบ นักเรยี นตองตอบใหถ กู ทุกคําตอบ จึงจะไดค ะแนนในขอ นน้ั 6. ไมอ นุญาตใหใ ชเครอ่ื งคดิ เลข โทรศัพท หรอื เครอ่ื งมืออิเลก็ ทรอนกิ สใ ดๆ ในการคํานวณ 7. นักเรียนจะออกจากหองสอบได หลังจากเร่ิมสอบไปแลว 1 ชว่ั โมง โดยวางกระดาษคําตอบ กระดาษทดและแบบทดสอบไวบนโตะ 8. การตดั สินของคณะกรรมการถอื เปนขอ ยุติ แบบทดสอบฉบบั น้ี เปนลขิ สิทธข์ิ อง สาํ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พื้นฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หา มเผยแพร อางองิ ตัดตอ ดดั แปลงหรอื เฉลย กอนไดร บั อนุญาต

เสริมคิด...คณิตศาสตร ระดับมธั ยมศึกษาตอนตน (ระดบั เขตพนื้ ท่ีการศกึ ษา ป 2553) : 10 ตอนที่ 1 ต้ังแต่ขอ้ ที่ 1-10 ข้อละ 3 คะแนน 1. จงหำ ค.ร.น. ของ 84, 90 และ 120 2. จงหำผลบวกของจ�ำนวนเฉพำะ 9 จำ� นวนแรก มคี ำ่ เทำ่ กับเทำ่ ไร 3. จงหำรำกที่สำมของ 91125 4. จงหำจ�ำนวน 5 หลักท่มี ีค่ำมำกท่สี ุดท่หี ำรดว้ ย 654 ลงตัว 5. จงหำพ้ืนที่ของรปู สเ่ี หล่ยี มผืนผำ้ เมอื่ เซนตเิ มตร เซนตเิ มตร 6. A = และ B = ถ้ำ AB = แล้ว มคี ่ำเท่ำใด 7. เป็นจ�ำนวนเต็มบวกท่ีหำรด้วย 5, 4, 3, 2 เหลือเศษ 4, 3, 2, 1 ตำมล�ำดับ ค่ำต�่ำสุดของ ทีท่ �ำให้ 11 หำรลงตวั มคี ำ่ เท่ำใด 8. ถำ้ จงหำค่ำของ 9. ถ้ำ m หำรด้วย 10 เหลือเศษ 5 และ n หำรด้วย 10 เหลือเศษ 2 แล้ว 3m-2n หำรด้วย 5 เหลือเศษ p จงหำค่ำของ p+3 10. ABC เปน็ รูปสำมเหลีย่ มซงึ่ ม ี อตั รำสว่ นของสว่ นสงู ทัง้ สำมของ รปู สำมเหล่ยี ม ABC มีค่ำเท่ำไร (ตอบเป็นอัตรำส่วนอยำ่ งตำ�่ )

แบบทดสอบการแขงขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2553-2554 : 11 ตอนท่ี 2 ต้งั แตข่ ้อที่ 11-20 ขอ้ ละ 4 คะแนน 11. ก้อยเขียนหนงั สอื และพิมพจ์ �ำหน่ำยจ�ำนวน 2,000 เล่ม ในชว่ งแรก ขำยได้ 1,400 เลม่ ได้ก�ำไร 20% ต่อมำขำยหนงั สอื ท่ีเหลือขำดทุน 30% สดุ ท้ำยเขำไดก้ �ำไรหรอื ขำดทนุ รอ้ ยละเทำ่ ใด 12. จงหำรำกของสมกำร 13. ทรงกระบอกมรี ัศมี เซนติเมตร บรรจใุ นกรวยกลมท่ีมีรศั มี 5 เซนตเิ มตร และสงู 12 เซนติเมตร โดยท่ีขอบของทรงกระบอกด้ำนบนอยู่ในระนำบเดียวกันกับฝำกรวยกลมพอดี จงหำเก้ำเทำ่ ของปริมำตรของทรงกระบอกนว้ี ำ่ มีก่ลี กู บำศเซนตเิ มตร (ตอบ ในรูปของ π) 14. รูปสำมเหลี่ยมมมุ ฉำกมีด้ำนตรงขำ้ มมมุ ฉำก คือ AB , AC = 8 ซม. และ BC=6 ซม. จุด D เป็นจดุ กงึ่ กลำงของด้ำน AB จำกจดุ D ลำกเสน้ ตัง้ ฉำกกบั AB บน AC ท่จี ดุ E จงหำควำมยำวของ DE ยำวก่เี ซนติเมตร (ตอบเปน็ ทศนยิ ม 2 ต�ำแหน่ง) 15. ABCD เป็นรปู ส่เี หลยี่ มผนื ผ้ำม ี AB=50 หนว่ ย BC=40 หนว่ ย E เปน็ จุดบน CD ทำ� ให ้ จงหำพน้ื ทรี่ ูปสำมเหล่ียม ADE เปน็ ก่ตี ำรำงหน่วย 16. ชำยคนหนึ่งต้องเดินทำงไปท�ำงำนโดยเดินจำกที่พักผ่ำน 4 ช่วงตึกไปทำงทิศตะวันออกและเดินไปทำง ทิศเหนืออีก 3 ช่วงตึก จึงจะถงึ ทท่ี ำ� งำนถำ้ เขยี นแผนกำรเดนิ ทำงผ่ำนช่วงตกึ 1 ช่วง คอื ผำ่ น 1 ช่อง ในตำรำง 7 x 7 จงหำจำ� นวนเส้นทำงกำรเดนิ ที่เปน็ ไปไดท้ ง้ั หมดทชี่ ำยคนนีเ้ ดินทำงไปท�ำงำน 17. AD เปน็ สว่ นสูงของรปู สำมเหลีย่ ม ABC ส่วนของเส้นตรง PQ , RS และ BC ขนำนกนั โดยที่สว่ นของ เส้นตรง PQ และ RS ตดั AD ทจ่ี ดุ M และ N ตำมลำ� ดับ ดังรปู ถำ้ AM = MN = ND และ พื้นทีร่ ูปสเี่ หล่ียม PQSR เท่ำกับ 24 ตำรำงหน่วย จงหำพื้นที่รูปสำมเหลย่ี ม ABC เป็นกี่ตำรำงหน่วย 18. จงหาจํานวนวิธีในการสรา้ งจาํ นวนค่บู วก 3 หลักกจจาากกเเลลขขโโดดดด 0, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 และไม่ใช้ ตวั เลขโดดซํา้ กัน 19. กําหนด aa, ,bb,,cc เป็นคําตอบของสมการ x3 3x2  kx 12 0 จงหาคา่ k ทท่ี าํ ให้ ab 6 20. จงหาคา่ k ท่ีเป็นบวกท่ีทาํ ให้กราฟของเสน้ ตรง y 2x  k 0 สัมผสั กราฟวงกลม x2  y2 20

เสริมคดิ ...คณติ ศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน (ระดบั เขตพ้ืนท่ีการศกึ ษา ป 2553) : 12 ตอนท่ี 3 ตั้งแต่ขอ้ ท่ี 21-30 ข้อละ 5 คะแนน 21. จากรูป สว่ นโคง้ เกดิ จากวงกลมท่ีมีรัศมี 7 หน่วยเทา่ กัน พ้ืนท่ีในรปู ปิดทั้งหมด 22 เป็นกี่ตารางหน่วย (กาํ หนด   7 ) 22. ถา้ำ 3x2  kxy  2y2  7x  7y  6 แยกตัววปปรระะกกออบบในใรนปู รเูปชงิเชเสิงน้ เสแ้ลนะแมลสี ะมั มปีสรัมะสปทิ รธะเ์ิ สปิท็นธจิ์เําปน็นวนจเ�ำตนม็ วนจเงต็ม จหงาหคำา่ ค่ำk k 23. ในการทอดลกู เต๋า 3 ลูกพร้อมกนั 1 ครัง้ จาํ นวนวธิ ีท่ผี ลรวมของแตม้ บนหนา้ ลกู เตา๋ มีค่าเท่ากบั 14 มีอยทู่ งั้ หมดกี่วิธี 24. O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม โดยมเี ส้นผา่ นศนู ย์กลางยาว 34 เซนตเิ มตร คอรด์ AB ตัดกบั คอรด์ CD เป็นมุมฉากท่จี ดุ X ถถ้าำคคออรรด์ ด์ AB ยาว 2 253 เซนติเมตร และ OX ยาว 10 เซนตเิ มตร จงหาผลคณู ของความยาวของ CX กับความยาวของ XD เป็นกเี่ ซนติเมตร 25. จงหาเศษของการหาร 10321032 ด้วย 100 เป็นเท่าไร 26. กาํ หนด a,b เป็นจาํ นวนเตม็ บวก โดยท่ี A  1,2,3,4,...,2010 ถ้าเลือก a และ b จาก A นาํ มา สร้างเป็นคอู่ นั ดบั a,b โดยที่ a  b  4 จะสรา้ ง a,bได้กคี่ ู่อนั ดบั ทสี่ อดคลอ้ งกับเงื่อนไขดังกล่าว 27. กาํ หนดให้ N เปน็ จํานวนนบั และ N! NN 1N  2...1 เช่น 5! 5 43 21 ให้ A 1!2!3!4!5!6!7!...100! เลขโดด C เป็นตวั เลขในหลักหนว่ ยของ A A และ เลขโดด D เปน็ ตวั เลขในหลักหนว่ ยของ 10 จงหาคา่ ของ C + D 28. บทนิยาม สาํ หรับจํานวนเตม็ บวก n กาํ หนด Sum(n) แทนผลบวกของเลขโดดทุกจาํ นวนท่ีเขยี นแทน n ในระบบเลขฐานสิบ เช่น Sum(976) = 9+7+6 = 22 กําหนด n  14 1 1 14 1  1 14 1  1 14  7 1  1  1  1 8 4 2 2    716 78 74 716 2816 จงหาคา่ ของ Sum(n) 29. กาํ หนด x, y และ z เป็นจํานวนเต็มบวก ซ่ึงสอดคล้องกบั สมการ xyz 10xy  6yz  8zx  80x  60y  48z  2072 จงหาคา่ ของ 2x  3y  4z เป็นเทา่ ไร 30. กาํ หนด a  b  c b  c  d  c  d  a d  a  b  2009 และ 11  1  1 9 abc bcd c  d  a d  a  b 49 จงหาคา่ ของ b  a  d b  c d เป็นเท่าไร c cd a d ab abc *******************************

การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�าปี พ.ศ. 2553 ส�านกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธิการ แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษาตอนตน้ เพอ่ื การคัดเลอื กตัวแทนนักเรยี นระดับเขตพ้ืนทกี่ ารศกึ ษา ประจา� ปี พ.ศ. 2553 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศำสตรฉ์ บบั นี ้ เป็นลิขสิทธิ์ของ ส�ำนกั งำนคณะกรรมกำรกำรศกึ ษำขนั้ พ้ืนฐำน กระทรวงศึกษำธกิ ำร ห้ามเผยแพร่ อ้างอิง ตัดต่อ ดัดแปลงหรอื เฉลย ก่อนได้รบั อนุญาต

เสรมิ คดิ ...คณิตศาสตร ระดับมัธยมศกึ ษาตอนตน (ระดบั เขตพ้นื ทกี่ ารศึกษา ป 2553) : 14 1. จงหา ค.ร.น. ของ 84, 90 และ 120 แนวคิด 2)84 90 120 2)42 45 60 3)21 45 30 5)7 15 10 73 2 ค.ร.น.  2  2  3 5  7  3 2  2520 ตอบ 2520 2. จงหาผลบวกของจํานวนเฉพาะ 9 จาํ นวนแรก มคี ่าเทา่ กับเทา่ ไร แนวคิด จ�ำํานวนเฉพำาะ 9 จ�ำนวนแรกคอื 2, 3, 5, 7, 11 , 13, 17, 19, 23 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ผ2ลบ3วก 5คอื  27+31+15+173+111+713+1917+2139+2130=0100 ตอบ 100 3. จงหารากท่สี ามของ 91125 แนวคิด 5)91125 5)18225 5)3645 3)729 3)243 3)81 3)27 3)9 3)3 1 91125  5  5  5  3 3 3 3 3 3  3 91125  5  3 3  45 ตอบ 45

แบบทดสอบการแขง ขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2553-2554 : 15 4. จงหาจํานวน 5 หลักท่มี ีคา่ มากที่สุดที่หารดว้ ย 654 ลงตวั แนวคิด จํานวน 5 หลกั ทมี่ ีค่ามากทส่ี ดุ คอื 99999 654)99999(152 654 3459 3270 1899 13018 591  จํานวนท่ีตอ้ งการ 99999 – 591 = 99408 ตอบ 99408 5. จงหาำพื้นทีข่ องรูปสี่เหล่ยี มผืนผ้ำา AABBCCDD เมอ่ื AB=48 เซนตเิ มตร และ AC=50 เซนติเมตร D C เม่ือ AB  48 เซนตเิ มตร AC  50 เซนติเมตร AB แนวคดิ AC2  AB2  BC2 502  482  BC2 BC2  502  482  50  4850  48  2  98  196  142  BC  14 ซม.  พื้นท่ีรูปส่ีเหลยี่ ม ABCD  4814  672 ซม 2 ตอบ 672 ซม 2

เสรมิ คดิ ...คณติ ศาสตร ระดบั มัธยมศึกษาตอนตน (ระดับเขตพ้นื ที่การศกึ ษา ป 2553) : 16 6. 6.Aแน=Aแวนค=xวดิ 2คxดิ 23x3x9 9แลแะละB =B =x2 x23x3x9 9ถ้าถา้ABA=B =axa4 x4bxb2 x2c cแลแ้วล้วa abbc cมคี มา่ เีคทา่ า่เทใด่าใด BABAxx22xx2233xx33xx9999      ABAB x2 x23x3x9 9x2 x23x3x9 9       x2 x2993x3xx2 x2993x3x     x2 x292923x32x2  x4 x4181x82 x281819x92 x2  x4 x49x92 x28181 a a1, b1,b9, 9c,c8181 ตอตบอaบab91b9c1c9191 7. 7 .ทแ Nนาํ ททแใวNหท่ีเนําค ป้ำ�ใเวิด1ปห็นใเคห1ป็น้จดิ1้ น็จาํ11ำ�นจ1หนําว า วนน หรนหวลาเเนำตตงรรตลม็ม็ เลตวังบบงตม็มตววัวีคบกัวกมา่ทวทีคเกีห่ท่หี ่าำทำา่าเรที่หใรดดด่าาำว้ ใรว้ ยดดย ้ว ย55, ,454, ,,343, ,,232 , เ2หเหลือลเหเือศลเษศอื ษเ ศ4ษ,4 3,,4 32,,, 321,, 2 1 ,ต1ำตมาลมต�ำาดลมับาํ ดล คบัําำ่ดตคับ�่ำา่ สคตดุ ่ํา่าขสตอดุํ่างสข ุดอขงอNง Nที่ ท่ี N N 5p5p4 4 N N 4q4q3 3 N N 3r3r2 2 N N1ห1าNNหรดาNNร้ว1ดย2ว้816ย20686S01ล06a+ง01ตล…a1วังต……วั …………… N N 606a0a11 5555aaaa5555555aaa1aaaaN11111---1N1111111113===02511325021113025a12113251;;;a 5a151a111 5a55aa1-114=43434 ; 1 a= 1 5 12 a = 5 a = 23 5 34 a = 5 55aa-51a =454445; a = 45 a a 9 9 5 จากจาก  N N 11545040 ตอตบอบ 535939 N N 535939

แบบทดสอบการแขง ขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553-2554 : 17 8. ตแถ4า้นอ288888บว.....xxคxิดหหหหหหหตตตแแแแถถถถ8ตแถ8444448รรรรรรร8.าาาา้้้้นนนนอออ้า1นอ.x8222221.1ืออืออออืือืืืx.บบบววววบ.ว676xxxxxxxxxตแถคคคคตแถค4xxxx2x944444444ตแถแ2ตแถ4้านอ4ตแถา้ิิดดิดดิ2นอดิ 422222222า้นอน=จา้2นอบว2้านอบว211111บงx1xxxxวx3x778664วบxวx111ค11111xx1บxxxx4วxคxxหxxxxxxxxx6xค652xคx1666xค7777666667ิด6x22คดิxา94ดิ222262999ิด9ดิ762222ิดค21x22917x61ท1x11====จจจจ1x=จา่x111111114xxxxxxxx12121xx16761x611111งงงงข7่ี611ง33337777777888866666662x444437786649676xxxxx24444169476หหหห2ห9666667อ62666665555222262511112291222222222222222229222229าาาา99992า=จง9444446666=จ26777766667x67186=จคคคค2ค1=จ1ง22223277866222299994129ง=จ477776666376778664x2451ง4xห3่่่าาา่า7786644่า14444ง64ห37722228666x45222222164ง2123677x86654ห4444444241426ขขขข2xขห262222542226า1999999ห64522า16692465722622222226212า9ออออ76อ422ค2า694ค276า629984726222276ค229676งงงง7ค62xงา่29476ค2า่229xxxx24x717177118888666674217862292222า่1112xxxxxxx7614ข่า2224ข444494่า21222222497555562ข544442422ข92222222อ21111111ข9อ333333322224444444444444222444494อ222222อ21งx6666666อ6666666ง222222222222222222x271862งx27181622ง219999999x1786ง888848x211726454xxxx2222222x21x178564421224544442447777777777777666666666666624542424225422111188888881477776666276242224224444444282811111x2xxxxxxxxxxxx8x811111114x82222222222222422222x42222222x176417641722226244444441761761x19999999xห1x7777777266666661x7777111177171166666621x2ร22222อื2222 แนวคดิ ท่ี 2 หาคา่ ของ 42 x  1 2 4หหหหห2รรรรรอือือืืออื xหหห4444ห4รหรร22222อืรอื1รxอื ืออื 4xxxxx44242422221111x1xxxxxx4xxx2222221x1x1xx1x1x2134444242626222222229277664xxxxx4844222222421133444444344422266x662222226221x229x92x22222x21x2344417777766666677663442123441886822364492216364422676622644716946226962229xxxxx2911111927766222222222776622222287766877667766844844844x9949x14221x7776676171171766662271x612x222122122224224449497691767691769767167671676176  x ห2าค่า2ของx1242 x  1 2 x  หหหหห66666665555222211222222222าาาาา999444446677777776666666คคคคค22222222222299777777666666่่า่่าา่าา444442222222222ขขขขข222222299999อออออ222222งงงงงxxxxxx71717111177717888866666662222222111111444442222225555444442222244442222222228888xxxxx4444111111177777776666666 11xx2 2 111xxx22222 2 2 2 2 2  134662977684 2 49766     1369 84  49  169 652129462976429284524284 ตอบ 169 6652129462942984524284 652129692  85  84 42 61969 2 169

เสริมคดิ ...คณติ ศาสตร ระดบั มธั ยมศึกษาตอนตน (ระดบั เขตพื้นท่ีการศกึ ษา ป 2553) : 18 9. ถา้ m หารดว้ ย 10 เหลอื เศษ 5 และ n หารด้วย 10 เหลือเศษ 2 แล้ว 3m-2n หารด้วย 5 9. เถหา้ ลือmเศษหาpรดจ้วงยหา1ค0่าขเอหงลือpเศ+ษ3 5 และ n หารดว้ ย 10 เหลอื เศษ 2 แลว้ 3m-2n หารด้วย 5 เหลอื เศษ p จงหาค่าของ p+3 แแนนววคคิิดด - 1111;;mmnn000033mm aabbเเจจจจ22ศศเเศศะะะะnnษษษษไไไไดดดด5522้้้้ 533332200mmnn6aammann22332240011110000bbb0000aabbaabb2441111..555522..11......……1.. ......  -  ดังนนั้ 3m  2n หารดว้5ย65a เห4ลbอื เศ2ษ11 ดงั น้ัน 3m  2n หารด้วย 5 เหลือเศPษ=11 P+3 P== 41 ตอบ 4 P+3 = 4 ตอบ 4 1 11 000... AแแAรรรแAปูปูปูนนBBนBสสCCสวววCาาำคคค เเมมมเปปิดิดิดปเเเน็็นหห หน็ รรลลลรูปปู ยย่ีี่ีย่ปู สสมมมสาา ำAAAมมA มBBเเBเหหCCหCลลลย่ี่ีย(่ยี จจAมมมAAะะDซซซDDไไึ่งึ่งดดึง่จ: ::้้ะABAABBไBEBBดEE้ AA::::A::BBBCBBBCC..CCCFCC·FFC)FF::: FมCCCคีมม=AAAำ่ีคีคBBเB=า่า่ทCCCเเ่ำทท222..·ไAา่า่AA::ร:ไไ55 DDDรร5(::Aต=:44อB((ตต4บCCCออ: ออเอBปAััตตAAบบตั รรน็·C..เเBรBBปปาาอำEสส:EEน็็นัตสCวว่่ ออร่วนนAำตััตนขขสรรขออว่าาองงนสส2งสส่วว่อส:ว่่วนนย5ว่ นนออำ่น:สสงยยส4ตงููง่่าางูทท�่ำงงท)ตตังง้้ั ้ังสส่่าําํ สาา))ำมมมขขขออองงง A  AABB :B2Cx,:BCCA  52x:,5C:A4  4x จะได้ว่า2AxBCF2x,B5CxA5Dx,CA4x4BxE จะได2ว้C่าF2x5CAFD  45BxEAD  4xBE E F E F  A2CDF: BE5AD4 :5 4BE  ABDE :: BCEF  41::25  ABDE :: BCEF :C1F: 2 4 : 5 :10 CD B  AD : BE : CF  4 : 5 :10 Cตอบ 4:5:10D B ตอบ 4:5:10

แบบทดสอบการแขงขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2553-2554 : 19 11. ก1้อ1ย. เกขอ้ยี ยนเหขนียนังสหือนแงั ลสะอื พแลมิ ะพพจ์ ิม�ำพหน์จํา่ำหยนจ�ำ่านยจวาํนน 2ว,น0020,0 0เล0่มเ ลในม่ ชใว่นงชแ่วรงกแ รขกำยขไาดย้ ไ1ด,้410,400 เ0ลเม่ ล ม่ไดไก้ดำ�ก้ ไํารไ ร 1 1. 2กแ2แได00อ้นนก้%%ยวว�ำเคคข 2แไตตริดดิยี0นอ่่อ%นวมมหคาำ(ตนขดิข2่อาังำ0สมยยหือาหขแ1นนา,ลงั4ยังสะ0สหพอื20ือนทิม,)ท0ังพี่เสห0่เี ห์จือ0ล(าํลท3อื หอื0ีเ่ขนหขาล่าำดย6ดอืทจ0ขทนุ ํา0าุนนด)3 วท30น%0นุ %223ส,, 000ุดส0%0ทดุ 020ท้า,ส(เ0ย(ำ้ลดุ10เย่มขท40เาข้าใไนยำดไเ9ช้กขด)่วาําก้ งไไำ�แรดไหร5ก้รกร%หําือไขรรขือาหายขรดไำือทดดข้นุ ท1าร,ดนุ4อ้ ท0รย้อ0นุ ลยระเล้อลเทยม่ะ่าลเทไใะดดำ่เก้ทใดํา่าไ ใรด ไต(ด2อ้ก0บาํ ไไดร1รไ้ก,4ด้อาํ 0ก้ยไ2ร0าํล,รไ)ะ0รอ้ 0ร5ย0อ้(ล3ยะ0ล5ะ 600) 2,000((14  9)  2,000  5% 5  ตอบ ไดก้ าํ ไรรอ้ ยละ 5 12. จงหารากของสมการ x2  2x  2 x2  2x 10  x 0 จแงนหวาคแรดิ นากวขคอิดงสมกาxร2 12. x2 2x  2 x2  2x 10  x 0 2x 2 x2  2x 10 x2  x2x2 +2x2x2- 2x22x22x-x22x120+x10x120 = 2xx2 2 2 x2 xx2222--2x22x2xx1++0120x11x002xx1x02===x25xx252 x ตอบต5อบ 5 ตอบ 5 x 5

เสริมคิด...คณิตศาสตร ระดับมัธยมศกึ ษาตอนตน (ระดับเขตพืน้ ทกี่ ารศกึ ษา ป 2553) : 20 13. ทรงกระบอกมีรัศมี 12 เซนตเิ มตร บรรจุในกรวยกลมที่มรี ัศม ี 5 เซนติเมตร และ 3 สูง 12 เซนติเมตร โดยท่ขี อบของทรงกระบอกด้ำนบนอยู่ในระนำบเดียวกนั กบั ฝำ กรวยกลมพอด ี จงหำเกำ้ เทำ่ ของปรมิ ำตรของทรงกระบอกนี้วำ่ มีกี่ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร (ตอบ ในรูปของ π) แนวคดิ 5 12 5 3 r  12  h h 5 12 12r  60  5h h  60 12r 5 ปริมาตรทรงกระบอก  r2 60 12r  5  r 2 60 12r 5 เมอ่ื r 12  5 33 จะได้ปรมิ าตรทรงกระบอกคอื   25  60 12  5  5  9  3   540 9  200 9 ดังนั้น 9 เทา่ ปริมาตรทรงกระบอก = 200 ตอบ 200 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร

แบบทดสอบการแขงขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553-2554 : 21 11454DA..0E 1A11C11ยแจตรตEA1111445ูป454ุดานออ114D454511.A..DB04x4วA..0 Eส1145บบวDEDA4A..A..0450เCAยจแตรตขร4ECDECยแจตรตDจา4E5A..ป0AจจAคAD2E4ACEAC..ยแจตรต0ปูยแจตรตปูุดาอนออDAปูEมEุดEาะAAน..อAอC0ยแจตรตงุดAD็นดิ5BปูEูปC13xดุEาวยแุดตจตรานออAนBออสAxงสวบบวEหเไสCปูAยแจตรตบบดุาว BนออBเ0xเวจExวูปข8.EหสเุดAาสCดนออDบบขจบบาวDำวปBC7ปคDูปxจาว2ดุำปาเนสเออคB2ขบบ0ขวุดxว0CอCDจDามสจเาลม้ปะบบอปเคBวคม252ขxคDวะน็5ดิน็Cส Dปเจ13าDบบ็นดิ5อปFขวอคมบD13มC2งะDะจาเไีย่เปเเงDคน็Dขดิ5็น2ิด5อเไวตEC013มเD13จEจา8.ะจหปปหA0็นดองคเจEงDเ28.น็มหดิ5เไเไดะน7ป13มพD็นอ70ำ1ปดิ50เจEซงเมจE8.า0ห8.13ุดหะเไ0ดุดดD0เDลุด้งน็ลน็0ิด5ร7ป70DEปเไเ5จEเ13ล้8.หกมมน็ด5ป0ร0ง00ดุเ0ดุจEนF.0็น8.ไเ7DหปปDบDเดล้เ5กล้Fูป่ยีบี่ย5D0ท57เป0จEจCุด8.0หน็ยี่น็ตEปDดเ่ีาปเลมุ้F0จF0ตEุดบAD7น็0ปบ5DDเตจเย่ี0ล็น้Aึงี่ยซ็นนปมเม0ส5FดุุดพตE0นต1Eง.บDDม็นซเาจปล้ำจพAี่ย1็นDAุดFฉน็ซเ5าเบxDกนรดุตEิเ็นนEมี่ยปมนจพหกรพF1มAเี่1น็มEซกบซDตEารเ0วากนมม.ดุนดุCจี่ยมร0A็นา5กนร.พเูปหร1EลตEEซทน5กากCมปูกมจมุดAพน็ทตร0เี่า1ร0Cขเมุนนซุม.ึง่น0ร.าEน่ีเากุด5กตมมุ5กปู0ปูมพ0Bึง่ซ1ทรทร0ซCxEตาECาAสลน.0ทึ่งซกเี่ดุาง.เ่ีมากมุ5กสมุ0ร0ูปเิ0อร4งน.D.ฉฉEท่วตCตxก05กก่ึงซ0รDมึง่ซฉิเูปเ่ีางสร0xุมนมกทส0หนC.ิเง.เี่ยง.Aนต0ีเ่5ากหDลาํ0ุมูปมD่งึีเ่ฉซDD0CฉยงทxกำาสxกCมติเห2ขCิเง.ล0ีเ่นึง่ซาาน2หมุหห0ีเ่สDลเี่ฉตง.มxกใตนมมC0 เิCงึ่ซำตกาDกBนฉตนาสหหxหลกเี่Bลง.กเิอตxาEEAลหนมEDBทCตหDฉตี่เxานEาAนxลรกเิหทงล4ผิเมกตกC่วต5นิเมาหB4รBxีเ่ตห่วาEงลxACาEนลมAลทรมทxC่ียงกAตม=ต0ขาเิ้AเิDาํ4นหB4Dย่ีลว่A่วยxE0าEืนAลกDxาํตร0ทD2รขxง9ยตBีดงมด2มxxนเิxาE2ขA4ยี่ลีย่Aตทxว่A0ก2ต0มDาใํDาํDรอxDิเตBยง4ยมBมxxใาEว่xA2ลขB2ขทย่ี AรผBxแ2อ02EงDาํหเิำ้มEDา้ต41ต2ยอม(ว่ีย่ใมExAใรหE202ขรDาผxํยBDจงงBม25รมยxผตต1่ยีอ22ข3อAม5EใC0Eหนา้EนหD2างํEนDB8ยCตร=้รxงมAผใ28ดขผอ5=ำ5นื้E2าABหE0ีต9CxนืดมCมรอองใx00งEผหB9EBCx=ดต5้B=xA0A้AวรxวืนผอCก้ำนืE0ง5ห0BE99ผดแ=ดx้xAรBC14า้บีผxง1ผ2แx(ืน50=2ร้า้1A2A9คAกน(จดมCxBB2นืBงทผ0ต1แxผจ23ˆมแ4จ9=้้าด้านAนx1า้2ต11A2263(08(Aนืxา้2นงB2นเ08ผจ98มแจมดาxี่เิดา้8ต81 1ี22ตB31B23(xCxา้มผานอแา้ปะ02น0นฤนีB8Bซ้าจxขC8ม1ม2อ00A0(ว8BA38Bต212B2เC3DผแาAก0ABา้าจวนมนี้าี12x8มกxตอ1(ม0223อ02ไ8Bา้4ปBนบBีCษBนCจA0ม็นาA0ว8น้ำ1ว40ีบีAต1ค8A2กx.3มกอ0B้าBนานทABดคBACีˆ84จA0BEx1วม4ท1บอี4078บีA6ˆ4จ0กBBมACจาน็A0เAคAวีAฏA6ค0AทตAxBมอB0กท1เิด4ทบ8ีB9ˆBB4จˆCC4จ้ A0ปดิะ0ฤว8AA6คBA10A64C0บAี5AกปะB0ฤเDทเา3ม21จ2เDˆ4จAค0จAAดBิดCดิ8ิเ3ีบ128B4BAบศี6DCBท06CAAปBะ02ฤˆปะ4จ0ฤเไปAษค5DA0A26น็00มิดBกAไ328ป03ทเ2BDษBเเDCA...ะˆ็นB4จABปมุะ0ฤำ0ดิดา้A.86020BA2CนEทไปไ3เป22ปดะษ70ฤเ5ADษ็นAน็BE0จ0น็ิด070~8ฏ.ตˆB3ท.2Cเ2Dจกไตป็นะAไ0ฤBดปนฏดษEDฉท9็E้E07027392ไเ.AปD5ิยษจ้พAจB็นDด็นน็ฏาดฏท1จ20Eทซ5ดุE.ด2DCราีบ7ไ9จ1จ2ปอ่ศ9ษ6ด้Aำดน็C้จต็นบีE0ฏศ6ท557DAA5.DDามกา1จจ2ห9B1็นจ2ด5D้Dฏ..ะดC้ิธท ดCกEีบ.ีบศB76ศ้า6ุด..ะ5ก9Dนจทา้็น2้า1จ25ˆDฏ5Aมร5Dท(ดนDCก0ท5กบี2B~DศB5A6..9าะจˆ..ะE1จ2D0าไต้นด~Cา้น้จDตEˆDีบ5Dศ5นไต6ทจนAกท AD2นˆ2า5ABงED5A1จ2E2..Aะ0ยิ5พD0ดC.ด~บี~้าจกˆศAจˆEซ6ยิBกไตพ1ดุน5ไตท.D.คดะน2นED5A่อEDEซ5ADา้Eุด6DA0ว่อขตBกงA~นอ่ทABจˆยิ2AAพAยิ..5AะไตพดตดEมBน0หEDEซา้EAAซ~ุ้ดDุดจˆธิมนท.อไตห0อ่2อ่ือ้5AAนDAิยEDตพิธAหตย0.ตด4~า้บˆAAE ซมรจˆAABุดADมไติยซมหCพหน่อCˆด้มรลDED้DธิAEDEธิา.ต.ุดนCลDA0AรEADอ่ายิพ จมAนAAดหําˆˆตมรDงˆมร้EDE2าซDิธจุดDAAA.A.CˆเงมE่อม2EDหาEกDCAA1า้า5นD.ตนธิD.ˆCยมรDสักAAAE1จ6ำD5Dว่จAAปขBAˆแมงงˆEหงB2พEA2้EE6DDDˆาว่มรมิธข.Bน..งEADBDก1กก51จ5AEAED.BาอˆC0งนEAˆ2มEร6ากFADBว่E6DตDขห่วBยDข.งBAอ40ง3จAAA้าหˆกงตหB1EยEDน็52FาE4BEนBCา้C.ุมื้นCลDABE6Dว่ขBจอกA0C1งAอAเ50CวCˆลงEˆต0ร2หยตหย4AEEC6เ4DB.ว่Cา้มําข1Bา้ง 0Aร6BาBEก15Cสอ0มCCาํCนลCEBลทาตAหEย6CสDา่วEฉ4ขCBCพทงCAˆา้C,0อยร0สั0รBCาตมCาํหแยEBมCําCย4ลัสBาพา้า0ม CแBCCอ0Bพ้นCF0รCCามกลCตFหาย่ง4มาํCน้ยCัสCศย้ัสCาากFAB0รแอCร่ีแCC3BพCBพหาลมFํามCามFา3C(CยหสัุมCืน้Cก0ร)กFแCCตากเCมวํามุB้ืนพCา8FA6EาˆFCายมสันตูปข3Cเว3Cปห1แหˆ6CกBFEพCFCา4สมC1มุืน้CนุมCย6้นืCาสัFEสEกเฉวพ3แเนทวˆหˆBCพˆง้ัFCมEาฉFพCท1ˆ1มุ6น้ืนCั้ง36EFิย0Eหกสส(รสเนวFCน0น้Fˆ0คาFุม้ืน CEฉFพCEฉทง่พˆท13ˆน้Fา6เหวมEFˆสFอ่งฉรี่นาCมุ้ืน0C1ะ=06อEฉมี่รEพทาˆาเน้สวF(้นFˆFC)Fง่่งCอืตา(กEฉา1พ8Aท6ˆ6E)0อEร่ีอ(ปูขสร่ีตกมุปน้น8AFำ6EมFูปขด0่งE4ฉม(พปทา(ˆ ))ม้นหFอ4ต่ีรกFตก8A6่งE8A6Eา้ัง0ปูขูปขปกอ(ป8่รี2นน้Fัง้F)ต4สF(ร4าต่งกน08Aา6FE(คเส(รปูข)อี่รป0.ฉตกัง้คนม้ัง8A6E4กAฉนูปข(นFห มปF ะกส(ณ)รดส(ร0าต9ากร40ค8Aะ6้ังคECปูขาฉาือปฉนซมFตCมาส(ร้งั(4ือมุ0่วับะคาะมนF(าดาับมุมสงา(Bรฉา.ลCมม00C้งัมหดคอืมอืนากะฉมFหาม(ม(สมร(ุำ�าามุย0กมCมคขตดมะดือมาลฉามามหาเตมี่ยห (Cามุ.,กอืกเมนะAแดากมAา.(.า.นมุหตมหCณตดAกามAาา้อื9ดรมหกาเณเดา) มห(.มเ.9รมุ.นนตมกกAกาดAมหหว่ับหมณดเแณดมหทBมต9กรงB.่ว9ร.ลับานกB0กเAงB.ลห0.ณดมตนาว่9รกบั่วยAับมเหขงนBณด..ลลงBลย.ล.09)รน0ขี่ยา่กลA่ว,บั ดมหีย่มณดAงABย.ล,9ย.ร0ขว่AบัขCลาล.้บงาะB.ย่ีกลม่ยีง่)0า้มเ,ย,า่วบบัA)ขAAมมเล.งB..ลย่ยี0ทBาม้ขกา้D,า)าล) A)มทBมมเ่ยีกันมเน.ยF,ข าA้นลาB.)ทBี่ยมCทBกมมเก,า้)า่าA).มเ)า่)ทBม กEAา้า)CAมเทBมCก))่ากา่ACพบกAAAทBมAกบ)Aา่CCDกก)A่านัDบบFA=CACันบนFAก)Cา่CDนDCบAเCันกันAFFบ)CAนE8DนปกC)6ส CันEFบDAนันพA)FทC)EEพDAน นัCว่็นF)EพนพAAซC)บEซี่จCนบพACเ)EกพเAบ8บมCปCุดสม8พปเAตเสบCี่ต88ปบปสเ.สCว่ น็ท.เ8อว่บ็นปCสาE8ซเปว่นส็น่ว็นซแนก8่ีจปสรก่วซน็ซนมนว่็นตมกกลซตดุี่ตAานว่็นต่ีมซมกนท.ตต่อท.ก่ตีซี่ตงะม่อานตEามกท.ท.่ตีแตอ่อ่หจี่แ่ตีามราEจ่ีท.ตร่อีต่แท.แาี่จลจ่ีอ่ดุรAารBนลาท.ุดAาแอ่ี่จรลแาทลุดุดีจ่AางะAารงะ่วแECลี่จดุจAาEรหงะลงะุด่ีAาหEEยEEลงะุดAางหหEงะBEFนEBนEหหงะEทหBนEBนทE่วCหจ่วBCนททEาจี่Bน6่ว่วยC่ีCทจจยงBนคท่วงี่Cี่FจยยF่วทCหงงจ่ีซหวยF่วFCี่จงยหหFี่งามยาFห6ง6หFาคาม.ค66หาคซค6าวซว6คาซซค6มววามาซควซมมาาว.ม.ซมาวมมม.า.มมา.ม.ม.

เสริมคดิ ...คณิตศาสตร ระดับมธั ยมศกึ ษาตอนตน (ระดับเขตพ้นื ทก่ี ารศึกษา ป 2553) : 22 16. ชำายคนหนน่งึ งึ่ ตตอ้ อ้ งงเเดดินนิ ททำางงไปไปททำ� งําำงนานโดโดยเยดเินดจินำจกาทกพ่ีทักพ่ี ผกั ่ำผน่า น4 ช4่วชงตว่ กึงตไปึกทไปำงทตาะงวตันะอวอันกออก และเดินททำางงไไปปททิศศิ เหเหนนือือออกี กี 33 ชชว่ งว่ ตงตึก กึ จึงจจึงะจถะึงถทึงีท่ท�ำที่ งาํำงนาถน้ำถเขา้ ยี เขนยีแนผแนผกนำรกเาดรนิ เทดำินงผผ่า่ำนน ชว่ งตึก 1 ชชว่ ว่ งงคคืออื ผผ่ำ่านน 11 ชช่ออ่ง งในในตตำราำรงา ง7 X77 7 จจงงหหำาจจ�ำนาํ นวนวนเสเ้นสทน้ ำทงากงำกราเดรเินดทิน่เี ทปเ่ี็นปไ็นปไดปท้ไดั้งห้ทมงั้ หดมทดี่ชำทยี่ชคานยนค้ีนน้ี เดินทำางไปปททำ� าํ งงำานน แนวคดิ 7!  7  6 5 4!  35 3!4! 3!4! ตอบ 35 เสน้ ทาง

แบบทดสอบการแขง ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553-2554 : 23 17. AD เปน็ ส่วนสูงของรปู สามเหล่ียม ABC ส่วนของเส้นตรง PQ , RS และ BC ขนานกนั โดยทสี่ ว่ นของเสน้ ตรง PQ และ RS ตดั AD ทจ่ี ดุ M และ N ตามลาํ ดบั ดังรูป A ถา้ AM = MN = ND และ พืน้ ทร่ี ูปสเ่ี หลี่ยม PQSR เทา่ กับ 24 ตารางหน่วย PQ จงหาพ้ืนทรี่ ูปสามเหลย่ี ม ABC เปน็ กตี่ ารางหนว่ ย M RS N BD C แนวคดิ พพ.ทืน้ .ทส่ีรเ่ีปู หสลเ่ี ่ยีหมลคีย่ ามงคหำมงูหPมQู SR 1  2  สงู  ผลบวกด้านคู่ขนาน ! MN  (12PQM+NRS)P=Q48 RS  \" x!1212!12MA12A$%#$#%MNAAMDD1313$#%NDD!\"N1A3A12B1B3:\"(AD2DMCBACBPAA4MAM(D$#%'&('&(QCCPDNPDMADAD13M=N=N'&(QQ%#$#$%+D\"DAN)=)!BN232A3#%$12%$#+#%$BRB12(1D2321)2C23PR2DB\"32\"3#$%CBSMCARM12A&('\"23\"Q)SC2\"3%#$RCRS2D3423=N==ND23R\"B44=13#$%)8S+RS23BB8=8)RBCS444\"23=AS%$#4B=R=4CBBC8\"88\"12S4C438(D2\"384CS=CC8\"&'(48\"\"&('34P3\"4AM8)R8&'(823Q=\"&('3=43=3843D7==&('===(&'==NS8B=38#%$4244+4'&(=)4444=8C888\"23747$%#BR888812282\"&'(4372\"3CS8\"2= 3 )  R 23'(&=3=4 = 4 S B84874=C8\"28\"&('43  8=3&'(=4872   ตตออบบ 7722 ตตำารรำางงหหนนว่ว่ ยย

เสริมคิด...คณติ ศาสตร ระดับมธั ยมศึกษาตอนตน (ระดบั เขตพ้ืนท่ีการศึกษา ป 2553) : 24 18. จงหำจ�ำนวนวิธีในกำรสรำ้ งจ�ำนวนคบู่ วก 3 หลกั จำกเลขโดด 0, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 และไมใ่ ชต้ ัวเลขโดดซำ้� กนั แนวคดิ หลกั หนว่ ยเปน็ 0 มี 6 · 5 · 1 = 30 จำ� นวน หลกั หนว่ ยไม่เป็น 0 มี 5 · 5 · 3 = 75 จำ� นวน รวม 30+75 = 105 จ�ำนวน ตอบ 105 วธิ ี 19. กำ� หนด a, b, c เปน็ คำ� ตอบของสมกำร x3 - 3x2 + kx - 12 = 0 จงหำค่ำ k ทท่ี �ำให ้ a · b = - 6 แนวคิด ตอบ -16 20. จงหำคำ่ k ท่ีเปน็ บวกทท่ี �ำใหก้ รำฟของเสน้ ตรง y - 2x - k = 0 สมั ผัสกรำฟวงกลม x2 + y2 = 20 แนวคิด y = 2x + k ทำ� ให้ x2 + y2 = 20 x2 + 4x2 + 4kx + k2 - 20 = 0 5x2 + 4kx + k2 - 20 = 0 16 k2 - 20 (k2 - 20) = 0 16k2 - 20 (k2 - 20) = 0 k = ± 10 k = 10 ตอบ 10

แบบทดสอบการแขงขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553-2554 : 25 21. จากรูป ส่วนโคง้ เกิดจากวงกลมท่มี รี ศั มี 7 หนว่ ยเท่ากัน พืน้ ทีใ่ นรูปปดิ 21. ทง้ั จหามกดรเูปปน็ สก่ว่ีตนาโรคา้งงเหกิดนจ่วายก(วกงาํกหลนมทดีม่ รี ัศมี 27222หน) ่วยเทา่ กัน พ้ืนทใี่ นรูปปิด 21. ทแงั้ หนมวจทดคางั้ เกหดิ ปรมน็ปู ดกเีต่ปสาว่น็ รนกาโต่ีงคหา้งรนเกา่วิดงยหจาน(ก่วําวยหงก(นกลดํามหทน่มี ดรี77ศั 2ม72ี 7)ห27น2ว่ ย) เทา่ กัน พืน้ ท่ีในรปู ปิด ตอบ 504 ตารางหนว่ ย จจาำกแจการนรกปูปูวรพพคแจปู ้นืดิน้ืานพทกทว้นื รแี่่แีคทูปรรดิ เ่ีแพเงงร้ืนาำเ ทง======าีแ่ ร=32=3225เ35(0ง20 20003พา2885448พ2X022น้ื70=728.2ต+ท4ท1พ21ำ7ี่ร32.92ต1.9วรูปท01726า9ำ76งว.89Xตงรก6วพ2งห76าาล7ง7ก72.ง7นรกมท1ลหXาว่ล.97มงนว+ยม7176ห1 งว่)+44กพน+ย1+ ล.ว่พ74ทพม1ย(1ืน้ .14.4ทท+141.่รี44พXปู.1จ ท14ตั .4จ)ุรตัสั จุรตัสจรุ ัตัสุรัส ตอบ 504 ตารางหนว่ ย = 504 ตารางหน่วย ตอบ 504 ตารางหน่วย

เสริมคดิ ...คณิตศาสตร ระดับมัธยมศกึ ษาตอนตน (ระดับเขตพ้นื ทกี่ ารศกึ ษา ป 2553) : 26 22. ถา้ 3x2  kxy  2y2  7x  7 y  6 แยกตวั ประกอบในรปู เชงิ เส้นและมีสมั ประสิทธิ์ 222.2เแถ.ปา้นเแถ2็นป2วา้น23จ2ต2น็ค3.วเแxาํ2.3อปจิดx2ต2เแถนค3น2.เแถปบxํา2น็22อ้าปนดิxวเแถวนา้น2็..ปจบนตน็ว2้าค3นว3วจเแถ2kําเแถต็น3อเค3จปxิดkปนตว3 xค3นตxาํ2้านา้น3อจxบkาํิดxxตจถ5น็2ค(x3อ็นเyC.222็ดิxมBDDkวADวxาํนวบต36y23222อา3า้3จิดxบจวนเแถ2DDจถ5ตนค3Cy32Cค3D3C22C็มBDDว+3ก3AปDDบ3xBาํ6นyx2ํา32้าา3เน้าCอจวkดิxนCดิxDDA2DxkตนC223็นC3D2C32ก3เD-2(kxBนkkxงวบจถ52เ23ตx2A32CC222จ็มkB-DD332-วCy2AวDAk2D2xตxหxตx6-y22732จถ52ค3เาy้าy7C22k2,็มxBDDxงนA2จ5ถDDDนx7+าํ7ตy23,yC6Cy23A232322D3,็มBCDD22อ32าC)3กyA3า32้าD7D6ดิx2หBk26ykจ3ถ57DD2Aนาyา้y3เCCC723226C็เ3มDBDDจ,C2คk2AC3Aก3AD2kDD-AA7บDDDx3(2-6B3yC,ตx322332DตxD72,Cา33Dกา้า3C3D7C62จวBxC2,2C3CxงDD,xAจถAแา่2DDxC3จถ533y32D222CA32C62Cyจx3y22็332มCกBDD2332DC7ค22CA2็มAA-BDADD72ADxB32Dนxห22+6ง;yAD7736y2D337าy2้าทCC72Aา32จ2า้2xy,yCถ2C,32ง73y72D2C2A,32DDDxkD่าDDDห3B22x,3+32CA233273yDxC3,23Ck23เD37yDาC23CกC3y337ก7326Dxk2Cห,D2งBD2x;น67B2ำ้A-CADตx72yBA32,3DA23722C63CC2,,)23yจy2C2ค27าCACจ672AD23C7AD7C6ห22-3Dxx3A1,2Bx272Dx722จถ53D,C722BAkาCyDy7C 3673226แ2็ม6,BDDDC22DCx2,A2คC2CDx23A2งCDxA6,D6ACงC72่า3D3,B62yD3A326,A232D2y7x37.2า2CAา23ค222D3า้23ADCAy6227367y2C732)21Cห,ท73;DDDห37,A.AC7B3่าD7DC73y336DC7=12แCyA27yx3=2yคC237ก,,3A3D7A7Cx,7.,D227D36า่3B2DD==2B33=D,==2D=;273y3x3A,====,.3BDkD=73C,าy7Cน3าCCจ776C0,CyCxD3726ท27x;,7AAD262.322่าDxCDA7322yABxDCyx316A27yD+7kC672ค276D2Ax.3A2ค23A20C7xA-C03Bง1xD7D;7ใxA3แ36CD7kCBB7D3(3D7y23C0นA2-D3-237D22แy2-C3200--Dy7x2Cx,7D23636CC,,นC36Cหา่,BxD1Dy3่า7327D536Ck3yx36.B6yทDy67x3C736D7xCC,2CแD107xk7D3ท2ใ603;แCC.DA267B66;23A,D7022แ,C71.A2x7าCyD6,7y.7DC226Cน63767D221327นB2xท.3Cy35ABxB.,B6kท,นk62แ6371A2720ค23C.-AxDkทAxC;33+.D676x63C-6C2y+D713A2.7D3DBDใy.yxแ6น7766CC,0 0ท3-xน1CD,ใ703.แ13า่C7CB,D3DB3yAC3kนByB0น1yAx327A2แ30D7xCใ2แ.x3Cน6ย0y,6;D3Aใ02แ53B2.7y6ทนใ6yx.CแA0670y7x07Dk7C7ใD20Cท3แC.นทCBxx.yk0นก5A1kA27=1D6xxทA273+C.น6C6.0DยDxใ,0นk แ6y5C36,C6Bท3AD0yyBน6yน0ky6xตDC0x3C661x7+นy35กCyB6ท,Dใy6xแ27B6xkD+น20DAใ0C06แ63D,Cใ0ัวCแAyk20น.A0Dตใy3แC767นCนนท,.5,C5ปใ6yทแkB167ทนA267BA6.kแ3CkC6ัวยxk=B6,3น+AABใyyนDแ7D0ย6x,ร6นDCนท,CkปyxAy,Aกx)3ย0xD3,Dะใ0แกAC0BAkใyy(แ3ใBy7แน7รตCนCCCxAyCkก5นxkA6=ทนตA,76BDkยxyะ,ยDC6,CใAัวyBBDตอC36ัวนCนx+xกกA,2ป7B7yC3DวับปCCAyCAyAใyอแต7ตDร,ACAป2k+BนDABใรBCยบCวั,DะวัA+นB7C7DระyDxABปyกปใA7DะรyกDACA2By+Aน77ตyBรอCDร+Axปูก2อ7ByDระCDDBะัว2บyBBอyเCบ=ูปก2Cกช7D77ใyyD+บDAAใyอนเองิ7ร)-2นAช=27ใCเDAบะรบABนBส7ิง7รC7Aูปกใy7CใเDyรน้ปูDxนBสน7อ7CyเปูAA2yแเชy้นรรxบชyเC2ลCงิปูปูชแBงิใ+BเะนyเBเ7yสิงลเxABชสชมDเBรน้ะAxBสงิ้นCิงสีxูปมDyแCเน้เxแมัBสByสเีBลyแชyลปน้น้xBมxัะDลBงิะ+รแBแมปDเBะมDByสลลีสCรBมBDyสีสBน้Bะxะyมั ีสCxิทมัมแyDมสDปมัBปธ+ลสีสีทิรyByปิ์BCระBมัมัธBCระBมDปิ์ปสCะสDีสCริทBรByสทิ มัะyะธCิทCธสปส์ิ+ธ์ิ ิทิทรB์ิ ะBธธCส์ิ์ิCทิ ธิ์ ตอบ 5

แบบทดสอบการแขงขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553-2554 : 27 223322..33ตแตแ..มมนอในอใตแตแคีนคีนบมมวบวนนอใอใ่าก่ากคีคีคนนคเบเบววาาททา่า่ิดกกิด11รคครเเา่า่5าาท5ท2ทท2ดิดิ11กกรร6อ6า่า่อ55ับทท22ับว6กกว6ดด66ออิธ,ธิับบั,ลลวว66ดีด1ี166กููกธิธิ,,ล4ล466เีี11เ66ตูกูก2ต24466เ๋าเ,๋า,ตตม22ม66า๋า๋,,ีออี3232มม66ยย66อีีอ3232ทู่ทู่,,ยย66ลลง้ั้งัทู่ทู่,3,ห3ูกหูกลลง้ััง้55พมพม33หหกูกู66ดรด55รพพมม,,อ้กอ้66ก3ดดรร3ม่ีว,ม,ีว่ ้อ6อ้กก6ิธก3ธิ3ก5มม5ี่ว่ีวีนั66นั,ธิิธ,กก55ีี55นันั ,,3315516633,11,6655คค,,66รร55คค33้งัง้ั66รร,,33ัง้้ัง66จจ,,33ําาํ66จจ5น5น33าําํ,,วว55นน6น6น,,วว55วว66นน33ิธธิ55วว,ีท,ีท33ิธธิ44ีผ่ผ่ี,,ีทที44ลล44่ีผผ่ี66รร44ลล,,วว66รร4ม4ม,,วว66ขข44มม44ออ66ขข,,งง44ออ6แ6แ,,งง44ตต66แแ44้ม้ม44ตต,,บบ44ม้ม้44น,,นบบ5544หห5นน555น,น,หห55้า5้า5นน,,ล4ล4า้า้55ูก5ูก5ลล44เ,เ,ตูกูก55ต55เา๋เ,,๋า5ตต55544๋าา๋ 5544 2244 2 22..444จแCจแC..O.O งนDงนDแคOเจแCจแCหหปOOวววนงงนนDD าเา็นเคหหำคเปเเวปผววผปปปมมิดดิาาเเค็นลคน็คลเเAน็ปปAย็นุม็นผผปปิดจคดิดิจคำม็นฉ็นจลมลA็นA็นดุูณุดวูณำุดมุจคจคมุ มมศขศกศขุดฉดุณูณูขฉอุมูนมุทูนอาศศอางขขฉฉยีจ่ยกงกูนนูง ออาาก์ุดCค์กทคทยยกกงงล Xวลวจ่ีจี่ก์ก์คคXททาา าาำดุุดลลกวว งมจี่่จีงมถาาาขาับขุดุดยยงงม้ำมออคาXาขขคXยยงงววอออวาวาำXขXขงรงวถงวมถออววด์กกขข้าย้างงงงถถ ลลออำกกA้า้ามมวงงมคคCลลBCข ออม XมโXคโคอCCดรยดรอองด์XXโำโ์ดยย กดรรดกวXมมด์ด์Aับย ยAับDีเีเกกBมสมสBA Aบัับ้นเน้ีเีเนBปยBสสยผผผคาค็น้น้นา่ำยย่าว่าวววกผผนคคนาานาา่เี่า่าศวว ววซศมศมนนเ22ูนาานซนูยนูยศศมมยนต2า2ยายูนูนยย์กวิเต2ว2์ก์กมาายย5ลข5ิเขลลมต3วว223ก์ก์ำออา55าขขรตงลลงงง33ง ยออราาย ยำ งเงงเงXาXาซแวซยยววD ลนเเDนXาXาซซ3ะตววตDDนน4 ิเ3ิเ3O ตมตม44เิเิเตX33ซตมมร44 นรตเตเยซตซแรรแำนเเิเนลวลซมซแแต ตะะนตนลล1เิเิ รตมตม0ะะ OOิเเิต ตคมมเXรXซรOOอตตนรคXXรรคตย์ดยออคคเิา ารรมยยวออAว์ดด์ตาารรBววร์ด์ดA A 11ตBBจAA00ัดง11BBกห00เตับเตำซซผัดคดั นเเตตนลซกซอกัดตดัตคนบนัรบั กกิเเิูณ์ดตมตคมคบับั ิเเิตอขตอมมคคCอรรรรตอตอD์ดงด์ รรรร ์ดด์ A OPOPXPXOOPOPP2X2XPPP222882,2,8888222,,9A9A888XX999AA2XX25522233555223335532233365563333366688,,88,,XXBBXXBB 22552233553388 88 CCXXCCPXXX XXDDXX8DD, AAAXXXAAXXXXBBXX2BB523255223355833, 664X466B44118811998829953  8 225522335533 17 1177 17 CX  XD  AX  XB  253  64  189 253 17 ตตออตตบบออบบ 1188119988เ99เซซนเเนซซตตนนิเเิ ตมตมิเิเตตมมรรตตรร P PP O OO P O P 10 1100 O 10 C D DD C CC X XX 10 D X D C X B BB B B 225522..55จตแแตจ..งนองนอจแตจแตหหบวบวงงนนออาาคหหคบบเววเศดิศิดาาคคเษเษ77ศดิศิดข6ข6ษษ77ออขข66งง1อ111อ1111กก0000งง0000าา1111111111111กก33333ร333ร0000000000000า2าห2222ห122121333333333333รร33า240003า24ห22หหห22222222222รร333หา13หาหหา324า324124หหหห02220รรรรา3าาา3าา1หาหา1111ดหหหห2ด2รรรร000รรรร00าา้ว33ด3าาาาว้ดดด111ดดดดห222ห3รรย3รรรรยว้ว้ว้้ว000ว้ว้ว้ว้ดดา2ดดดดา2ยหหยยยยย333ย1ยร1้ว้วร1ว้้ว้วว้1าา0222ด00ดย01ยยย111ยย113113รร1110ว้200ว้200000000ด0ด01111ย11ย303300000เ00้วว้2เด2020ด0000ศศย1ยเ100้วเเเ0000้วเเเษเศดษดศศศ0ศศศย0ศย11เษเคว้ว้เเษษษเเค0ษษ0ษษศศศศศศ00ย1ยอื1คอืคคคคคษษคคษษเษษ00เ00อืศืออืือศ1ืออื1ือือ3คค30คคคค0เษเษ002อื2อื6ศศืออื6ืืออ27723300คค8ษษ846642266อื7272เือเคคปป884664ือือ7เเน็7็นปป66เเ77น็็นทท66เเา่า่ ททไไรา่า่รไไรร

เสรมิ คิด...คณติ ศาสตร ระดบั มัธยมศกึ ษาตอนตน (ระดบั เขตพ้นื ทก่ี ารศกึ ษา ป 2553) : 28 26.2ก6าํ .หกนาํ ดหนaด,ba,เbปน็ เจปําน็ นจวํานนเวตน็มเบตวม็ กบวโดกยโทดี่ ยAที่A1,2,13,,24,,3.,.4.,,2..0.,120010ถา้ เลถอืา้ เกลือaก แaละแลbะ จbากจาAก นAาํ มนาํามา สร้าสงรเป้าน็งเคปูอ่ ็นันคดู่อบั ันดับa,ba,bโดยโทด่ี ยaที่abb4จ4ะสจระา้ สงรา้aง,ba,ไbด้กไี่คด่อู ก้ ันี่คด่อู บั นั ทดี่สับอทดีส่ คอลดอ้ คงลกอ้ บั งเกง่ือับนเงไ่ือขนดไังขกดลังา่ กวล่าว จนจจจจสกพแแดทแดแตกAaaaaaะะะะะลลราํําังงันนอน่ัาํจิ นนหา้หไไไไไใะะบาววคดดดดดหงน้ันั้หเนรนคคอืbbbbb1เลว้ค้้คค้ค้้มณปค!าดดิดิดC่าขอูู่่ออู่อู่ีหค1ูอ่C็นใาโ2นันัันนัห1ล่า8a=ันดค1!3042ดดดดต!้0ัก,ดดอู่N3bบับัับับ+้ัง7ห3จับันจDจจแ!0ททททแจนะเะDทด2ะะเตปละง้ัง้ััง้ั้งไป่วไค4!ไไับ้งั่ด+หหหห็นดะไดดย1!็นหอู่เด3้เ…้มมมมจเ้้ป1มจมนัป้5าํ1ดดดดa2!2+1น็ํา11ื่อดด!็นน,222221,22,6ข7,,น11น2ต1ท4บั3b,6767712345ว267..้ึน560ว1ัวาํ22่ีส..น...!!!!!,,..!,,จนจจจตจสกแพแดทแดแตกน!ไเเ220Aaaaaaอ,ล=====ปจจจนจจสกพแแดทแดแตลกจนนจจจจจตตแจสกพพแแแดทกกแแดดทดแแตตนนจจจตแจทจสกพแดดแตก4ะะะะะลลร2าําํังังนน2ออโ่นัาํเิจ7A2AA2aaaaaAaaaaaa20aaaaa7ขดมตะะะะะดะะะะะะะลลนรขลลลลําาํงังัราํําาํนนังงังัังนนนนนอะะะะะออออหลลั่นา้หรจํา่ัั่น2ําาํังงันนไไไไไําําับอิจอิจิจน่ัใ,2ําะะ,ิจบบา.ว,วค,!12621093น2สนนดดดนดดนนห้าหนหคหหห้าไ5ีเไไไไนไไไไไไไงหา้หใม็ใใะะยใไไไไไะะะะ4,ใะบะะัน้บบบบา2้นัาาววหเววววบคบน0รคคนาววคลคคจนจจจตจแพแดทแดแตกDอืดดดดด42ดดดดดดbbbbb601หหหนดดดดดงงาเหลง้วค้้ค้ค้ค้ันแนั้้นัลน้ัAนัั้นหเหหเเนั้นรนทม้นรรนนaัน้aaaaไบหเณนรน0.คค,คคคค0ปอืคือือ!,คคbbbbbาดbbbbbbด1อื11,ะะะะะbbbbbขลลเ1ลําเังงัมนลิดนิด0ออ,่ันเว้้คค้้คค้ล7้วาํ้คค้ค้ค้ค้ว้ิจ.ด้คค้ค้ว้ค้C่้มขห้มม้ณ้มณณอูู่อู่่อ่อูล้อณปคป!คค!!ีหาดาาดดป,ดดค0่ี!2ค.วาด=8ดน41ิดดินิดดิดิิ่อูหCดิไดิไไไไน็ใ3ใสC่าะะCCา่่าข3หขขาCบบา่ขาอูู่อู่อ่่อู3ู่อู่อ่อูอู่อู่ววคว้อูู่่อ่อูู่อโ3หีหีหี2ะลนันันัันีหคคง1ดดดดด44ค11หกู่อู่อ่อูCCC416็น1ใใใน็ู่อลC่า8aน็ใ=aาาาั้น,นั3ด้ันาหเ,ารนโคโโ,่ลาโ222นัันันันคค1ันนัันนันั,!ก2อืันนัันนัหbbbbbหห310142431หัก11ลลลล่า8่า่า88a1=ดดดดa=6=ลตว้้คค้้ค้คา่8นั!aนััน=1ดดด้50ักนัN้มดค,,คมณค1ม11!ด!!ค1ู่อา!3ด4330กั00244224โ30Nดิดิ24บั7ดดดดดดดดดตต3ต!!!ดดดดตb้0C้้ห่ากั00!กัขัก,้0,ับบับัับ+กั้ังอู่่อูอู่่อู40,7ด4ดดดหดดด3หีอู่ดดอู่ห,คู่อ,จN41บัNNเี่อูCนั30,สN33จ!ใDb,b3าจจbับับบัับ+บับัับับบั+ั้ง+้งั้งัแ.ง7.77ับบับับั+ง้ัหโหหb73ล33!น.ห42000ันนันััน30.ททททจจจบัแหบับัจนั,ยจันนจบั.1จจD.ลDDะัน่า8จเ=ลDจจจจนัะ1.ดุDดแจจแแทอ่ื.ด2แะะ!.!!เ0.ต001.!ทททท!0ทททททแปแแ3ททททข.00จน124แจจนนะ1.ะะว่ลจนเเเดดดดะตะะ.!ท้ังัง้ัง้ง้ัเะะDไ,DDปท้,0ททักะดดว่D22ะะ2ทักะะได4,2ทเะะเตคตต4ด!ดไไนเับตป้งัปป.ป่N9867ล1Nลลด3หะล1+ยัง้ง้ั้งัั้งะะ8้ง้ััง้งัง้ัง้ัไหหหหปไไปน็ดะ6ะัง้งั้ั้งัง้2่วไว่ว่ปไไบบบบ+ไไงั้ว่ดดยเ7ไค4คค44!ไไห!!ไไับ1ี่!คับ43็น้ังส!ไไัง้ง้ัหับงั้2่จู่่่อ2บา้ด่ดดไ+จ+2+2Dหหหหดเหหหหหลน็ด!ด!!!ะ0็็นน+ดดะะหหหหจจไ็น3ดะไไ้2ขเดดแยดดยยไ…ล0ดด้ย41!มมม1ม1!!็นจน็ห0หห1เ!้้็นททททหปูอู่่อูอ่ขแAย่อูมดุจนจเะ0เเดดด0มเันเด3้33ะ้้เDเเ00ท=ป!===3้ข…เ……2้้ะะ้้มมมมจมมมมม…จจอ5้ตเมมมมเเ้้จ้้ป01ปปเักN11้้าํป1ป1มดดดดaมมจ!จมล+ม1นัมมนัันจะมน็งั้ง้ัั้งงั้นัทไํา11ื่อป1ปป0่ว้้้ปได้5ด055=0ค4!!โไไ5ําง้ัําําน็1=11ดดดดaจนงดดดดดa,าํ่1!!!ดดดดa81+1++11ดส,!+็น1นน็็หหหห,ําข11่อืาํ็น11ด1ะอ่ื่อื็น,,นาํ111ือ่ได1ดด1ด3754ดดดยดดนด2!0!!ต9ด1า้1!น็ห็น4ทน็6น7,นนับ,,็น3อู่1น,11b,,,,1ะ,,เข,,ขดข14523,,น,,ว,,น2ขิบ31้1,11,,เ1น1น้นึ2น1…122ต้ตต56นมมมม210จ620,311ตท4วยทท44เด้้,1ับบับั32,ปท433111ัวําับb,b3,,ม22,,b,15342มัน12435132450ี่สววว222ส124351ว2นปึ้น!!!!!,2ึ้นึน้,้256ึ้น55660004A5!ว2561ว,02,แวน!1ัว2าํ0,,าํไ1วัวั1ําําเ122ดดดดเ2221ัวําเ!022+910ส่ี่สีส่ี20็นีส่,น11อ่ืน!!!!,36!!!!!!!!!4,,,,,นอด!!!!!,ลร,ด!!!,=====ป,,0,ปล,!0Cน,น!น!!0ไ,น็เไไเเน04น!,ไเ02เเเล21,2เ,โ222000เ1ข2210,,2อ,ออ1ล,1ลล20อน,=====2228ล0=========า้ป7ลตปปลลนข=====นน1ดมปลท4น444ับตด13ข2142212,22น็โโจ21เ2ับ,เโ12,21245322ะ,เว22N23202200,้นึ2700,77จ56ขง0ขขดม7!12261ดดมม093088ขเดตมดต3ด2ขสขข1ัวาํตด2จข2ค2จจ225เีบับับ0,จ็ม22,,ยใ820,ีส่4บั,,,ะ2,02น,ห0!!!!!,,,ป0,,,,!12261,0!!9122612162099,ล!26211093Dง233ส22ส!ส,ไ42เ6302คส,0คคน5ีเ55ีเเีเา็มคย็มใ59ีเ4ยใใท442,ะ็ม,,0ะะยใแ42ล2,ะ0ท002อไบ8ล400=====.ลปล,ลล0DDDนห,ล4264242D66็0น04น,นน426ขา02าาม02+,า7แแแล.ดลล2แ1แท2หทลไบaไไบ20ทลไ0บม00้อี่...7,0,,0000ข,.,ดม,,,00ี่,,2.ว,,ข=8ขขขม0,มม00ข,,จกั72ม770บัา.,,ด3..,ดสด27ลต,ห3ห..หหดแหล3ลล2,อ้3้ออ้้ว,ลอ้3,!2612109,0่ี,,ะล00ี่2.ว22..วง=3802==ีหส,880่ีแ.2.วก=8แค5ีเ63ส433สสใค4ะ3หa33หห3,ะส,ห3ห2333,0bาว้้ว้ว3ัว.,3้ว3ลา่ละละะล33ลลง,Dงงกะล426งก0ก14น6366กักา6ล,a6aลล,แ3,,.331aล05,,,,าN3าาไ,,า่ม,,าล่าา่0ล่าล,.เ,ม0,า่ลก,5นกก,2,,ก4ัก1.ะ41134433กัขโกกัั1ม40บั37ัก6,66716.ด115ห55ลNNNห1,5,,ะมมักมNะล4.,01ขอ้ม4มมมมด4,ห4กั0,ักไัก2.,,โ=8โ4ักบัเี7ับบั77โ00,ส!ว่บั73ส,หหห13หห34.จ0ง4400.14ว้ข440bด3ลส4ดนด.64ห00ะ,ลหอห,,,ดง0.,,ห,เีีเีเ,0,สย!60,,สสีเ.!!.,0,ส,!ลย1,,1.3ุด.ง..,งง.่ือ...า.งb,.bลลลนล่า.4ะนน.0b44.00000ล.,0.น.ก04.!ใ0040.ขบิ้ก.0,ย141,,,ย3.ัก..ง.1...่ว,ย.ล6ลล.1.ท1.ลดุ1,ดุุด05,อ่ื.่อื่อื3N21...ดุเ,ักม่อื.4.ท..น.+..ม...น!.!!.ไข4!..ขข0กั..00111ข1..ว่N01.98761ว่ว่1,ับ7ป1.่วห1ย.ท่คี8..ท,,,เ,ห6,,.ท2,กั,1ักกั4เ,,ท444,,0เททกั,244,ดนทนน่ีCสน.ห..,ป,12.N2986711NNห99678678ีเ1า้1N0ห,ไ9ส68711ย!หห11ยย82ช288ล,!!!!60ห1ย662822622ข.เงเเ.ูอ่น็ล04เ่ีี่ล4สน.สส40่ี0,2ส0.222ข22้คา้้าA้า2ยุด,2ไไไ.้า22222.0ล!!!!ลล0ไ,!!!!!!!!0002ล2ลน็!!!!01.2ขดุ22ขข00ลน่====่ือถ2.ขขล0ล4ล004,.ล0อ4.,.+นั!0กัNขขข0AยศAขยย.ุด0ขุดดุ1Aย01.ว่00ดุ0เ000ู่อ.0ท,00000,=!===1==!!==ข====ขข000กั=!===ขคคค4,อทเออ00กั้า5โนอป0ักN00NักักN=.0กัNจง9678811เเเสดห1ยนู4เล8ท3ทท16112,0ท001ด3457ัน0คเ0=000==00โโโ9ป0=0ปปา้เสโ=5ป==Dอูู่่อู่อจ6,ง7จงง2ห=28จง88้าสสสไ8ะน็22ส,ล!!!!04,ิบล,ขด23ข754ดด33บั75475420ด357400ล0ย999า้0า้า้60,239ย6า้7,!66อู่772,ดข1677ย2ดุ,ะ2็นะ,นััันนน็็น,0,,ะ00็น,สบินบิิบ100=!===ิบ2ข2602,34662,002,33Aืออย2ด1ยยดด,62,023,,แ2,022,,ย์ดกัN1ท2,11,,2,,1เ,,,นั0,,9เ00ับ+,,00ส1ส101ท,ส12361422,0222ดดด2ร4A244AA0=2012ป11204ว่โแ2Aแแป0322C12,0,20220,0,,,แ=เ0งก2เ,0เ,0,2ล08900เ,09900ส0901,่สี,3614336644,ด5364ดร3574รทป22800ปปา้0ร090C00้าCCป4บับับั0000ย0C60700002102ลลล61,01,,เ02น็ล,็น1,1,11141ะ111Nบิ315228อ022้า2288000า้,จมง22806า้2,03ับย3ด08,เ12,1111,11111ั้งน็1น็็นข,111,1,็น,10,1ะ.80011ะะ,a1NNN3ะ3300Nห023ป03200จจจงง04,Aจ231088ง30088เ8832เเแดง.304882,,0,เ่อืห,0เ00009800988ท003อ8000ห036หหป04ปป.008ห04ป1ปง0Cงงห,0,ล็งน,00,,00,0ล,0,,9คท9+9ททน9ท11แ,1มa84884ง8ม22,ี่840แ0ห,หหลลล2็น็็หนนล1็.น11+็น++,กั1+า.31ะลแต1แแ11.Naลa3แ1แ2aมี่มมํา3ี่ี่0.จ0ม,00ี่2,.ด,0088,เ.ีหลแ.แกัักกัาาา0ัก4.ลต80คลลAตตะา...ลตแหแแ0.2.ห2203ปbแ332ัว.3อ,้,ล+,,ง0ีห00ีหหีแ.0แแ..0แีห,0แแ.,แ4449ค1ทะะคคล,ะะล4ลคหะ.หห0bหbัว.8วััว่า.,2bลวัลล.เล5นหล2็งน.ะ+ล,1ลล,ลลลลล.ล,..00ล00ลลแ1.220ะ่าา่่ากัะ.1ขมี่า่เเเ250น55นนเ2225นก.ะไ..ะะ2,.ะ0กั2่วาลลตลล1b0ะละะักแักักะ.ะจ21ข..11ะขข31ัก0ขะ.1ข0ดส16อไไ,,,00หีแไ0,0แ0ไว่่วว่ับ04ว่ค1ะย11101หจจจ111ขขขจัว,ด1สดสขสล6ะ66อดออ1สป6ใอ14ิบ้ก,ง11ยลยย2ล1ล1.ย00132เา่เ1ะนะะ+เะ5ในใใใ4จ44ไิบ้กบิิบ้ก.ะ,04,,งบิงง้ก,0งปหงคี่0เ0ล032033220เเ0ะ1ัก32เะ,.เ1ขน+นน++,ห2ดน+Cไไไ0ป,1ไ1ห,า,ปป่ว,่อืี่คช่ีคปเเเ1ค่ี,เ11เ,เเจ,,าอู่11,น็,2,เข22ด,ดด0C,ส2CC4ด6อC,ป1ปป111หค้1หหป21้,1กหชชช,2ยช็นล่นนอู่ถร2่อูน็็นู่อ็น,4442ะ,,4,,+ันใค้4,0ค้ค้6ศิบ้คง,,,0ู่อ็น,็น็นล่นลล็น่นน่ถ232ถ220เลน่ถ2,,,นเ+,กั,,า้5+ัน++ัน,ไ0ไ00ศ+นัศศ00ศ,1ปูอ่ดอ่อูู่นู4ล3เอู่,01นัเ,เเกั,Aขกก2ััา้5ดา้550เกัเC้า55D,ป1ห1ห111ดด0นู14ลชูนนู344ลล33ด4ูน4ล,3,,,ล,ขัน,บัันัน2น็นัย9เเ4555D,เDD!,,ดห5หหด7D,ค้7ห22,444็น,,,นล4,ขล8ขขบัลับน่,22ล2,,ขบัยยย2,อืย,!!!+ด์ดดท7!077ศด2222722ั2งับ+,นู่อ1นนนน,ือเือกั5ว่อื3์ท์์ท์ทก,1ับ+,กบบัั++,,111นู4ลบั+3,่ีส1,,,5,นัทําว่่่วว3334ว่ย53D,กก,ห,6กเ,ส่ี4ส่ี4่สี,ล5,ข55ท525ททอย,มทม444ยยย4!ยด6,667เเงั้เ2ข62เ4,44.a4น05อ55อ3,,,ม5มมอา่,,ม3ด.์4,,,งั้ั้ง้งั่ือาหข,ขข้งั,ข,,.บ+..a31,a.อ0a00,3.3303,1,ว3่ว33,,ด.ด4..443ดือ่ห.อ่ืือ่หห4,่อืห,คน333อออ3,อม...5.1งท11,1แ42ย.6,,,คเค,นนน,ค.34น,ม,,มมล,มง5งง,ํา,,.งแมแ,2.ด2แ22.2...,ล้ัง,.,,ข.3,..33.A.3ลล0.ลําาํํา3...2ํา.ด22อ้..ดด,+23..ด.4ลล.0.่อืหล,...1AะAA3...อA....,2อ้อ้1+++อ้,,,+0.00,..ง0,.,,1ะ11,1ะน1ะ0,ม22,2,,22ง,2222งงก.ง1,1121.3000222b2002222าํ.02220.ด21222กก.20ก02ไ22ับ.2Ab0.b000b0.000,0001011+011,ป0000100.0ไ0ไไ,บัับ1ไ11ับ20000,,,,เ21,111ปปปใ1จ111ป0111111102ห221ง12000220เเ111เห21ใจ2ใใจ00ใจ000า000หหห2งงือ่0หง000000,0000า0ห,0หห00ห100000า2า้,กไื่อา่ือ2ื่อ,,,0,านาาร,,,า0,00201ป12622้,้้,,กก2้,1ก212202นนรรร0นร12222ไใ66600600ห00คค000000Aขห0ไไ000ไ00,000า0Aข,Aขู่อูอ่0009Aข0ด72้,000208ร99929ดด7ัันน776ด7ัง0น888080ังังกนนังดดน0าํ0กก0กลบับัําาํม9ํา7ลล8ลมมา่มา่าา่ว่าาาาววว . . ตอบ 4 ตอบ 4

แบบทดสอบการแขงขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553-2554 : 29 28. จจแnตกตแกกxบงาําําาํนนออy2222ทหกหหห22บบzใวว8989นนา89นนนคค....คยิ..รดดดดิดิจจแnกตตกแก1จจแnกตตกแก่าะxาบxจจแnตกตกแกx18บxงาําําําบนนอองาข0าํําาํนนออyมบyyงา8ําาําํนน9ออทxหกyทหหหหกหหหบบอzใnnทววหxบบzกzใววหหหบ,บบzใววนนานนนนนานนนyงคคนนคคาyสนนนเคคคคยิริยดดดรลคิดิดดดดิยิดิดรเดจํา1ดดด1่าะ1ิดดิา((า่xะ1พ8าSขx118่าะแห1122าะx22งั1ข080มบข0yมบ68y9uxฐ44ข089รมบxนลy89ไ8ร989อnnxxzอnnxบxz,าบดmา1188yอnn,xz.บั.ะบน้ั..,yงyyงนyะสเzy้สyงเจจแnตกตแกกyสจจจแกnตตกแกลเ(ลxวxบเดจําสบลx1เดจําnz1((งาําาํําาํนนพเดจอองาํา((xําําําSขนนออ771พySข่าแห11y((ะsแหyัง11nิบ22พทSขะ0ทหงัก)หหหห0นแกห1166หหหะ11uuังบบ6ฐ44zใ8ววบบ0uรzใ11ววฐ44นลรzไ666รนล89uไฐ44ร2นรxxxxนmานนลนาไวนxนนราดนนนmา1188yyคคาดzmาค))ค1188yxบัะน้ั..ับะาด้ันmา1818yyคx((6คxเเนyนยิับะระ้ันยิzรzxนดดดะ้(ดดดzyิดิ11้ปิดดิชน(ะจzจจแnตกตกแก11,1้จ(221่าะ1่า(วะาxxเาส1จ447xว8บx18สn(zx4n8น่วzํา6็นyต6xสงาข0าํําํา77นนxาํออ89ข0xมบ2nา่77z0มyบy1sy่า8ynําิ94411x8xs91977ynิบxท)2นา่ห66ก)หหหs11น3uyม็n6ิบ8อnn8จ..11uอบบnnx811z8zใ)วว8xzนบz11666xบ),11zu66,28)xxx11m2นแนzxxวxm66านนนyําวyบง22ySz2(จจแกnตตกแกzy0ง))xxyxคคmyyzy))สวyเสxเyxบ((6zxเ))2นคxล((6นxxเ7zเนิยxรล22(u8977ลzงาxดดดx11ําาํํา7นวน(ออ((6xปเxชเนดิิด11(เดจาํyปชzx1เดจ,8าํ1(1(111,11111((ทป่าชะะเ((ห144าพ7ก89xว1188Sหห,หข..1พ,เ11กmS844ข7แห1141บบ8่นzใแววห1116ะน็yต6เัง4844่นะ78งั60็นyต612ข000มบ412668))่นyน4066็นนyuต6.4114.8น61ฐ448า19u9จจแnตกตแกกรฐ441441นนนx22น19ร6ล0นไ((ล1คค2ร36ไม็,8xร1441จ8319บ8็ม8อ8nn(xจ12zx6zx8118,xค)บา3ดม็mาเ11888zจจแตnกตกแกxy6าจยิ,))งาดmาร8811าํําาํyนน88ออ(9yบั)ะดดดnแ้ันับะyxx)ดิิดั้นแาํ80บตySz(44y)01yํางyบyyทSz(y1น0ะแหนกyzา่ะyyะหหหงาส้zาํ0บาํําําาเนนzyออSzx(้7012บบz819zyใลววyyนx72จ4ลจuนx777ม็(1122ลเ7xวทu(77x2yขว0ห7วลกนวxนหหห7มสบxน8าxสyเดจํา)u77nxนนน68บบ8zป171วn9zใววyzxxะคค1ํา((81xว1188,าํกะ877(กmxพS77ขว1188,บา่กm1า่อnnน1คsแะนห11yxzn4าบิs8ะyว118811,nยิิบนนนรบัง1กm)8)0,นดดด)คค166))็นนน41611ิดิด8u666))y118ํา8uน4u818611ฐ4481111รค4zy((วง6))66นลzา่น4ะ,66ไยิ88((ร6รา2xy,สxx12(xดดด877m1เ8zxx11,mxิดดิว(6((ห1zวจ11,,8เz6y8าดmาyz8181y))(เ9yz160ก(zขz10ลn=))z11,่า(9yะมบบัะnาน้ั8y70ตxเz6444x18144118เดจ8าํ((690xxเต(9yyเน44x((6xnเ11เน0zนxาํะน0(z8xx0((zzต44(711้ข1090พz1ป9z11อSnnชขมบ7(ป1xชzz4y9(1แ,1))ห11จบ08็ม11221841,1เz9xะ,78xัง1(y็มz1122น19เ610ซเ7ว44y74เ)((447สy66็ม1122ดxปเxอ)nnuyn48yy6น่งฐ44xzzป468็นy่นรต186yกบน็นy11ต6ล9ํา()y81xไ,ส2)บก6ร77เzป(021y1า่0บง่ึ124ว1814411xs1กy19n4411(บิ)4191บ2yาลง6ดmา)448181)2น็y6น36็ม4y8+็นําy3จับะ111็มสu88น้ัเจ)8เดจ8ําyส818าํ8)81411ว1น8น็x1y)zx4ว66)y7((ําน)ะ77ลพ)82z1Sขแxx้x46วSหm77แจ8แวห11าํ6บหyเดจSzํา7(ํา9จะบ08yy0จองัSzก(0771z0=yyz0))4y0ก(6yหz=เ((7จ8y66ว4พ44117Suขส20xก4ฐ44zx=uล44112((6x0เนx7รเนnแลําห11นzนxต74ลxu70ะ+z277xไํา4ังuร7าํว(447711น9xดx0x7ว1177x1x89ป0ช77xา่ํา81(6))1นx818u1s,18))yาnฐ441ิบด9mา818811818น1y6รซะm1817นละ)น6ว1188,ซับเนไะ((็ม))กmy44ร60ว71188,้นัด816กm11((u8yคดน86y1ซx11224811น่7z1811196็นyต6((zะ1)yา66ดด11zmาz988111y12้)6))2่งึ1z02น4ว6))1ับxx8ะx16น4m11ัน้่งึ19286ว7บ441วจ)19z))44y1yล((2(6ึ่ง12z((44ว,))(38+น8ะว3,็ม8zส87+จส8()=้11((zx88(น4411,ส188nzx)11,1zn(6นxเx7เz+6เน6)จ2เz6ํา7(9สy8zx(x8)ว)n77((91y(S77น้อn(่าแ119ว8S0ปต7ช744918สs20(ตํา1yอบ440nิบ1xySz(7(1019,1n4อ0zS1y)2เyน1y6)4006ําzเ70ก9xเ71111yu6zอ11447770z1179u82z21งา่9411114ล11ตuเ)4นx74+4s2yz68แแน่็ม11y226666nบิเตx4666uน็ต6ม็11ด2277+2เxyx7ว2u8)yดx2x9นxx2m1จx6ต04)8+121177ว6u8)1กป864411ดyyปym019แ11xy18z18))77ะ))ก2zม็m1186(660ลลกว1188,6(บแม็3m็ม0ค28บจ6xxxxm1122m884ค2z((6xงเ1((1เน14xว็ม1122)ล018zx1z)x6บั)y1(คน็z7)))111122น็6))zyปน4าํ1ช7บแy8ะะ(622ํา81ท))ห17,บ81x4ํา1ลบวySz(((6x4เะ))ว0เ(น38((1ลyy,z7(เบx83787744=7((())77(=สล2611ห1=88z((11ป,nจ6หช8(382648(จน่28ลn6นเน็xyz7ต667106,1กว=z=2((0uก7้อ(9yน77z=2าว1n79ว0n777อ้4x6เ11142744729448110ต44444441111441111ว821119077ม้อ2าํ42208น่)191166น0zzxํา62็นyต6นะก12x30)119660ม็zค8ว1188,จ279ก2กmง1z1188190z112)1ผ21))8ง)แแ20481x))11661)4411ก881แแม็111122198เนx8666ซ)21น29งy676ซก2จ11)7((แ69yแแ))32((ดก็มจน4)866yจดy6ํา6บา่08ปแก8ySz(y0y9))02ล,11แจy9yx18ลล)11((9ก)z))แ(กz),ลล1)yz8บแ01แึง่12ว2ง(((าง่ึ122แ))ว1z4ลล11,2ลลนxง7ข((1บัําแบ)y44ลSzu(เz67077บั447วy2น็(9yy11+ง7x((บnะะ+22yล11สาํ8ท8)ับห8ส18ะะ2288น0ร)ต144ท71ะน2ห41ว1ล7นxะ7ะ17ะะ22อuท(ว11118888,77ห0กสm772(S788วz))ะ7Sx006หส2z18897จ9118วอ8701948อ010นก411สาม็21122z=188เเx44นะy6เy66า))9y6น47ว1188,ง484611กm4411u4)มนu6า11ปต1140zzมy1ก4+2ตํา((4น+1128x66zz18,ดคก8111xด(9866มคzx77(บผ1161))8z117711zz,น4z1ผ8))6846681เคz6188m)กนm(96zyซผ็ม((n780ขก็นม็,6((08y8ค6yดา่0ตาํ442ค(1122118zz่าก1ล1111122,z4ว1z119ลเz61)0z0า่zz(9y17า77n2z่งึ112ล9ว7บอข6าหz47บ80))จต844ขล))ม็111112222เx44ล(83110กาบxyz=(38+11711ขบ=01((7z)สร8=1187((461z4411ปน1n9ร9y116บn2146อ0ง71881112าํวก1ม็11น22(xอเ77อ้xวร))บ77อ้y9009S9))12ว11004อ12)791))อว601)ป812เy))84)2000นเน็69)81ซก0y6งกว711(กyํา492((11บงyง28ดu111)4งลก411)แแวต4669แแ+21กง6611)294ด)977x2zจ8น็9127จก6ห1ง่ึ1ก23yวจาํ8yก80แ8y10แ0yก))m84วขz=44ข))ลล็มแลล07ข+แ658427744441111ค2ส8ง8(()222261หงน((zล0ข1จ8ําบัล1นxับ707y021ก7z=920(โอะะ2211S27ทะะ227บห=1อ))4ท54411ห08117))9ะ8ลอ0x1ะ2น066ซ(83ําอ4ดx7นเ1x((7y6สy2=88((9ด1ส2988x1unง96))2ต1114981ง2+น2ว)8าzน77นอ้า6ด914ซx97ึ่ง114228วงด77((111yด11มเม31144zz211เmzz)011669ค+ก66็ม)ค110zสz86812ลเผ)ง1z8คน่งึ1ผ211)ว4ล1122แแzท71266 ก442(ลก9S2จ3+า่237ส897บ8า่y)อ0101แขลน))ลล4))zขเ37ลลzz(83y65แกุ(7า5=((ขSuา2ง((ขตล4ขn796+y25ับอ201ด711โyบว4x1177บ8อ้เ11โ77y61ะะ229115รทy1ห2รจ5uะโm1ดอต421+อ2ม็)0ด05ด6ก))ส20011x88ค))เ80027711112222วง1ดz11)1ว2แแํา662นmาป94ดง9็ม92จ0ง472บ6ด114กค))มyกล11220แ11zกzz1(83ด))น66ลลค7=แ((z4ผ82nน็ทง4((76บ82ล8ท))บัวลกข77อ้74(83ข9ท711222ะะ22=ว่า((2ทหลn2ะz61)z0201เกุกzว1111277อ้2ุก2อาสง2889อ1111)zข12นแแแท6666ุกx2x11นบ9า)201จ114ก111กจร92y11ง09แจง11ม)))งแแ111อzzลลล66ทแจ66คเ่า))9002จ2zเง((ผว8กลําเyับ0แเปเ7ํา))กป9ลลงะะะ22แไ4ทําลห่าลี่เป2งะ((กนลล2ับ2zน7รส2ข883น็า3 ะะ22นท็นขห8ขะขนาน็114บ5ว51121111ส288วรมีย1111zzyเ11วyอ66660คโเนา2โz))4ผอ00น85ทเ5ว11นมทxนด11กzzดน1669ทคงา่4z9ผ8ลง2กzท2่าทกด่าาแดขทา่เา่8ล11บzขไ11เี่ไร4ล2า4ีเ่ททขท1อไ21ร0ข่เี11))บร002ข311อวรzรขขzx1zอ9กุ5นงุก14))ีย009กียวงyโยี=9งจ54จ8นเกดนขเ2เนลาํ218าํ02ปป2แขดอ1แ32xนขแน11052น็94ทอ็น9งทyxโทว1ว59เงเzนดเกุนลนทนนท22เ3ดจลขท2ทา่5า่เ34ทําyขปโไ5ไ5ีเ่ี่เดนzyรขรุกโข็น52ดดวยีจียเ2เ4ดนททนํานป4ทzนทกุา่แแ็นzไกุวจ่ีเททเรขเนจทาํปนนเยี นาํทปา่น็ นนวไเ่ี็นเรขแนวทเียทนท่านนทไ่า่เี รขแไีเ่ รขียทยีนนนแแททนน 29.

เสรมิ คิด...คณติ ศาสตร ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนตน (ระดับเขตพนื้ ท่ีการศกึ ษา ป 2553) : 30 30. กําหนด a  b  c b  c  d  c  d  a d  a  b  2009 และ 11  1  1 9 abc bcd c  d  a d  a  b 49 จแแกงลนําหะวหาคนคaิดดา่ ขอ1baงb1cbcaa3จจ bตแจc0ำะงนอก.ไหddbบวด จแแc1า(จกค้ งลนaคbะาํิดห(+ะา่วc1aหไcdาขดคb1+นคอac้+ิด9aดbา่ 1งdcb+ข+cb)1อ1bbda+ca3aaง+b+(0a4bd1c91caada.ad9cb++b)bจแแbcacกcdxงลนdca+adabdําbdหbะc2bวcหdccาd0คd)น3คad0+dcิดaabccdดc่าcc19bd(dข1cbaอ1b+bbca11c1daงdbbcadcbac1+acaa1cb2bddabbabcaad4c3)9adbcdab9+adbaabbbbccabd(cbaad4d4d12d9acb99dadc+9b20cbbcc31ccad0cc0dacb3dbc1a0bdc9+abcd21c9ccเdd3cbbdd0dปd130)c0dcabc2็นbad.d19d0dbaเdcaจแแ1cทcaa10ก==cงdลcนba่า29aํา1aหaabbdะcaวไ22หb3ad4าcรdda11b9คab00นd391คda2ิด00bdabbdbdดbccา่acbac3c992ขddbcbabac0อa21ba3dacbcc0addccaง0bd42d31990adccabb9cd101d2=a3cเ9ddb0dปdc3bb1a91น็ad1bcdaaa=11daเabเbปcdaท91ca1c12น็่าbdd2d1cba0dabaไbdเcbc1ท3ร9b0adbcbdbา่9ccaไcdbbcbcaccadbร42b9=dac9c0ad3b10dccdbdbb1cac922d1ad=0เaa33bปd01ad41ad21น็9a92d910aเd3bbcทa90ccabdcaา่b9c2aไdb4cacรd90d93dbc0dcabcdb9caddb1acadba1ad1bca12d23dabbd3adbbddbcaca429bac903a0dcbb9cd1=เปb12็นdd10aเท90c่า9caไbรdbc ( )30. d  a 123 a d  cตอบb a d  b  d  c  b = 11ต9อบ 119 b a 1c19 ตอcบ d119a ตอบ 119

การแขง ขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2553 สํานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พืน้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษาตอนต้น ระดับประเทศ ประจ�าปี พ.ศ. 2553



การแขง ขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553 สาํ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร แบบทดสอบคณิตศาสตร ระดับมธั ยมศึกษาตอนตน เพือ่ การคัดเลือกตัวแทนนักเรยี นระดบั ประเทศ ประจาํ ป พ.ศ. 2553 สอบวนั ที่ 6 มีนาคม พ.ศ. 2553 เวลา 9.30 น. - 11.30 น. คาํ ช้ีแจง 1. แบบทดสอบฉบับน้ี เปน แบบทดสอบชนดิ เตมิ คําตอบ (ไมตองแสดงวธิ ีทาํ ) มีจาํ นวน 6 หนา รวมเวลา 2 ชวั่ โมง 2. แบบทดสอบมที ้ังหมด 30 ขอ คะแนนเต็ม 120 คะแนน แบงเปน 3 ตอนคอื ตอนที่ 1 ต้ังแตข อ ท่ี 1 – 10 ขอ ละ 3 คะแนน รวม 30 คะแนน ตอนที่ 2 ตั้งแตขอท่ี 11 – 20 ขอละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน ตอนท่ี 3 ตั้งแตข อ ท่ี 21 – 30 ขอ ละ 5 คะแนน รวม 50 คะแนน 3. กระดาษคาํ ตอบมี 2 หนา ใหน ักเรยี นเขียน ช่อื -นามสกลุ เลขประจําตัวสอบ หองสอบ ชอ่ื โรงเรยี น สาํ นกั งานเขตพนื้ ทกี่ ารศกึ ษาของนกั เรยี นใหค รบในกระดาษคาํ ตอบ 4. คาํ ตอบ แตล ะขอ ทนี่ กั เรยี นตอบ ตอ งตอบลงในกระดาษคาํ ตอบเทา นน้ั และใหต รงกบั ขอ คาํ ถาม 5. คาํ ถามขอ ใดท่ตี อ งแสดงคําตอบมากกวาหน่งึ คําตอบ นักเรยี นตอ งตอบใหถกู ทุกคาํ ตอบ จงึ จะไดค ะแนนในขอ นน้ั 6. ไมอนญุ าตใหใ ชเคร่ืองคดิ เลข โทรศพั ท หรือ เครื่องมอื อเิ ลก็ ทรอนกิ สใ ดๆ ในการคาํ นวณ 7. นกั เรยี นจะออกจากหอ งสอบได หลังจากเรมิ่ สอบไปแลว 1 ช่วั โมง โดยวางกระดาษคําตอบ กระดาษทดและแบบทดสอบไวบ นโตะ 8. การตัดสินของคณะกรรมการถือเปน ขอ ยตุ ิ แบบทดสอบฉบับนี้ เปน ลขิ สทิ ธขิ์ อง สํานกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พืน้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หา มเผยแพร อางองิ ตัดตอ ดัดแปลงหรือเฉลย กอ นไดรบั อนญุ าต

เสรมิ คิด...คณติ ศาสตร ระดบั มัธยมศึกษาตอนตน (ระดับประเทศ ป 2553) : 34 ตอนที่ 1 ต้งั แตข่ ้อท่ี 1-10 ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. หอยทากสองตวั อยหู่ า่ งกัน 1 เมตร คลานเข้าหากันโดยตัวหนึง่ คลานด้วยความเรว็ 0.5 มลิ ลเิ มตรต่อ วินาที และอกี ตวั หน่งึ คลานด้วยความเรว็ 0.75 มิลลเิ มตรต่อวินาที แลว้ หอยทากสองตวั นใ้ี ชเ้ วลากี่วินาที จึงจะพบกัน 2. ถ้า n เปน็ จาํ นวนเต็มบวกทนี่ ้อยท่สี ุด ท่ที ําให้ 24 + 27 + 2n เป็นจํานวนกําลงั สอง แล้ว n เป็นจาํ นวนใด 3. รปู สามเหลีย่ ม ABC มี E เป็นจดุ บนสว่ นตอ่ ของ AB ทําให้  =  7 A  B และ D เป็นจดุ บน ACE C 4 สว่ นต่อของ AC ทําให้ BD แบ่งครึ่ง E  C ถา้ BD ตัด CE ที่จดุ P และ BC = BP = CP แลว้ B ขนาดของมุม BAC เทา่ กับก่อี งศา 4. A 0, 0, B 0, 5, C 5, 5, D 5,0เป็นจดุ ยอดของรูปสี่เหลี่ยม ABCD จุด E มีพกิ ดั (0, 2) F เปน็ จดุ บนดา้ น CD ถ้า เส้นตรง EF แบ่งพนื้ ทีร่ ูปสเ่ี หล่ียม ABCD ออกเป็น 2 สว่ นเท่าๆ กัน และ เส้นตรง EF ตดั แกน X ทจ่ี ุด P แลว้ สามสบิ เทา่ ของ EA มีคา่ เท่าใด PA 5. จากรปู ABCD เปน็ รูปสี่เหลีย่ มผนื ผา้ มี BE = 4 หนว่ ย และ DF = 6 หน่วย C ถา้ พ้นื ทรี่ ูปสามเหลยี่ ม AEF เทา่ กับ 25 ตารางหน่วย D6 F แลว้ ABCD มี พ้ืนท่กี ตี่ ารางหน่วย E 4 AB 6. ในการใช้สมบตั ิการเปลยี่ นกลมุ่ การคณู ของจํานวนจรงิ พบวา่ จํานวนจรงิ 3 จํานวน เม่อื ใช้สมบัติการเปลย่ี นกลมุ่ การคณู จะทาํ ได้ 2 แบบ คอื (ab)c, a(bc) จํานวนจรงิ 4 จาํ นวน เม่อื ใช้สมบัติการเปลยี่ นกลุ่มการคณู จะทําได้ 5 แบบ คือ (a(bc))d, ((ab)c)d, (ab)(cd), a((bc)d), a(b(cd)) จงหาว่า สาํ หรับจาํ นวนจริง 5 จํานวน เม่อื ใชส้ มบัติ การเปลีย่ นกลมุ่ การคูณ จะทาํ ได้แตกต่างกันกแี่ บบ 7. จงแยกตัวประกอบของ ab(a  b)  bc(b  c)  ca(c  a)  2abc 8. a, b, c, d เป็นจํานวนจรงิ ท่ี a  b  c  d  0 ถา้ และa2  d2  1, b2  c2  1 ac  bd  1 3 แล้ว 3 2(ab  cd) มคี ่าเท่าใด 9. ถา้ x เป็นจาํ นวนจรงิ ทีท่ าํ ให้ y  2(4  x)(x 12) แล้ว y มคี ่ามากทสี่ ดุ เทา่ ใด

จํานวนจริง 4 จาํ นวน เมอื่ ใชส้ มบตั ิการเปลีย่ นกลุ่มการคณู จะทาํ ได้ 5 แบบ คอื (a(bc))d, 7. (กจ(aางรแbเย)ปcก)ลdต่ยี ัว,นป(กรaละbมุ่ก)(กอcาบdรข)ค,อณู งa((จbaะcbท)(daาํ )ไ,ดbaแ้ )(ตbก(bcตcdา่(b)ง)กนั c)กจ่แี งcบหaบา(วcา่ aส)าํห2รaบัbcจํานวนจริง 5 จํานวน เมื่อใช้สมบตั ิ 78.. จaง,แbย, กc,ตdัวปเประน็ กจแอาํ บบนบขวทนองจดรสิงอทaบb่ี (กaaารbbแ)ขงcbขcนั (dbทา0งc)วิชถcาa้าก(าcรaaร2)ะดd2บั 2aนbcา1น, าbช2าตcิ 2ปร1ะจแําลปะ พac.ศ.b2d5531-2554 : 35 3 แลว้ 3 2(ab  cd) มคี า่ เทา่ ใด 8. a, b, c, d เป็นจํานวนจริงที่ a  b  c  d  0 ถ้า a2  d2  1, b2  c2  1 และ ac  bd  1 9. มีคา่ มากท่สี ดุ เทา่ ใด 3 แถลา้ ว้ x 3เป2น็ (aจbํานcวdน)จริงมทคี า่่ีทเําทใ่าหใ้ด y  2(4  x)(x  12) แล้ว y 91.0. ถซจา้าํ่งึ จนะxวตน้อหเปงา้ ไน็หมจลม่ ํากั ีนทว3ไ่ี นด4จจ้6ราิงกหกทราี่ทือราํ จใ6ดัห9เ้ร2ยี yงเปล2รข(าโ4กดฏดxอ)ย2(xใู่,น3จ1,ํา24น),ว6นนแแัน้ ลลๆะ้ว 9มyีทโด้งั มยหีคแม่าตดม่ลกาะ่ีจกจําทาํ นนี่สวดุวนนเทไ(่ามเใชม่ ด่นเี ลขโ2ด3ด4ท9ี่ซ6ํ้ากเนั ปน็ 10. จจาําํ นนววนนหทา้ีส่ หอลดักคทลไี่อ้ ดง้จตาากมกขาอ้ รกจําัดหเรนยี ดงเลแขตโ่ ดด2324,639, 4เ,ป6็นจแาํ ลนะวน9ทโ่ไีดมยส่ แอตด่ลคะลจอ้ าํ งนตวานมไขมอ้ ่มกีเลาํ ขหโนดดด)ทีซ่ าํ้ กัน 11. ซจเศาํงึ่ ษ1จนะสวตน่ว, นอ้ทงที่ส2ไี่กอมาํด่ม,หคี นลต33ดอ้ 4ใงอห6ต,น้ามหท,ขรมี่้ออื5ีก2ก0จ่ี 0าํ6ําตหน9นั้ง2วดนแทตปแี่ไรข่มตา่เ่้อปกฏ็นท2อเ3ี่ศย41ษ่ใู6น1ส9จ่ว-นาํ2นเอ0ปวย็นนา่ ขจงนตํา้อ้ันนํ่าๆลวนะมทที4่ีไมง้ั หส่ คมอะดดแกคีจ่ลนําอ้ นนงตวนามข(เ้อชก่นาํ หน2ด34) 96 เป็น 1004 1003 1002 505 11. เศษส่วนทก่ี าํ หนดให้ มกี จ่ี ํานวนท่ไี ม่เปน็ เศษส่วนอยา่ งต่ํา x3  x2 a2 12. ก10ํา10ห4น,ด10203a,, b10302เป,็นจ,าํ น55ว0005นเตม็ f (x)  x2   4x  โดยที่ a 5, b 5 bx  4 จาํ นวนคู่อนั ดับ (a, b) ท่เี ป็นไปได้ทงั้ หมด ท่ที ําให้ f (1) = 0 มีกคี่ ู่อันดบั x3  x2  4x  a2 12. กําหนด a, b เปน็ จํานวนเต็ม f (x)  x2  bx  4 โดยท่ี a 5, b 5 จาํ นวนคอู่ นั ดับ (a, b) ท่เี ป็นไปได้ท้งั หมด ที่ทาํ ให้ f (1) = 0 มกี ่ีคูอ่ นั ดับ 13. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ยี มทมี่ มี ุม BAC เป็นมุมฉาก 13C. ให้ ABC เป็นรปู สามเหล่ยี มทรม่ี ูปมี วมุ งกBลAมCสมั เผปสั ็นดม้ามุนฉาAกB และ ดา้ น AC ที่ X และ Y ตามลําดับ รเูปมวื่องกXลXมสแัมลผะสั ดYา้ Yน AเปBน็ แเสลน้ะผด่าา้นนศAนู ยCก์ ลทา่ี งXขอแงลวะงกYลมตาดมังลรูปําดับ C เถมา้อ่ื XAXBแ6ลหะนY่วYย แเปล็นว้ รเส้อน้ยผเทา่ ่านขศอนู งยพก์ นื้ ลทาสี่งข่วนองทว่ีแงรกเลงามเทด่ากังรบั ูป X' X' ถกา้ ตี่ ารAาBงหน6ว่ หยน(ว่ ย=แ3ล.1้ว4ร้อ) ยเท่าของพืน้ ท่สี ว่ นทีแ่ รเงาเท่ากับ กี่ตารางหนว่ ย ( = 3.14) Yo Y' Yo Y' AX B AX B 14. รูปสามเหล่ยี ม ABC มีจดุ D บนด้าน BC ท่ที าํ ให้ B  D =  ถา้ AB = 5 หน่วย AC = 6 หน่วย A CAD 14. รแูปลสะามAเDหล=ี่ย4มหAนB่วCย มแีจลุดว้ พD้ืนทบี่รนูปดสา้ ่เีนหลB่ียCมมทมุ ่ทีฉาํ ใกหท้ มี่ BีขAนDาด=ขอCงดA้าDนกถวา้ งAแBละ=ด้า5นหยนา่วยเทA่ากCับ=ขน6าหดนขอว่ ยง แดลา้ ะนABDD=แล4ะหดนา้ นว่ ยDCแลเท้วา่พกืน้ บั ทกร่ี ี่ตปู าสรี่เาหงลห่ียนมว่ มยุมฉากทม่ี ีขนาดของด้านกว้างและด้านยาวเทา่ กบั ขนาดของ ดา้ น BD และดา้ น DC เทา่ กับก่ีตารางหน่วย 15. ส่วนของเส้นตรง AP กับส่วนของเส้นตรง AD สัมผัสวงกลม C ที่มรี ัศมี 7 นิว้ ทจี่ ดุ P และ D สแตแตลว่าลามน้วมว้ สลขสลิบําอิบาํ ดงเดเทเบัทบัสา่ ่า้นขขBตอBอDรงDงพงพ้นื ้นืAยยททPาาี่สว่ีสวว่ ก่ว2น2นบั 4ท4ทส่แีน่วแี่นริ้วนริ้วเเขงงาถอาถเา้งเปา้ ปเส็นBน็B้นกCกCตตี่ ีต่ รา/า/งร/ร/าาAAงAงนPDนPว้ิ ว้ิ((ดสด(ังัม(งรรผูปปู ัส))วง227ก722ล)ม) 15. C ทมี่ รี ัศมี 7 นวิ้ ทีจ่ ดุ P และ D P P C C A BD A BD 16. ถา้ x เป็นคําตอบของสมการ 2553 x  48  2010 x  2553 x  4  2010 3 xเป2 น็ค4ําxตอ2บ5ขอมงีคสา่มเกทาา่ รใด222555555333 xx448822001100 xx 22555533 xx4422001100 33 16. ถแา้ ลว้ x x  48  2010 x  2553 x  4  2010 3 แล้ว x2  4x  25 มีค่าเทา่ ใด x3  8x2  27x  3  0 แลว้ abcacb มคี ่าเท่าใด 17. ถา้ a, b, c เป็นคําตอบของสมการ x3  8x2  27x  3  0 แล้ว ab ba  ca ac cb bc มีค่าเท่าใด 17. ถ้า a, b, c เปน็ คาํ ตอบของสมการ baacbc

A BD 16. ถเ้าสรxมิ คเปิดน็ ..ค.คาํ ณตอติ บศขาอสงตสรม กราะรดับ25ม5ธั 3ยมxศกึ 4ษ8าต2อ01น0ตนx (ระ25ด5บั 3ปรxะเท4 ศ 2ป01 025353) : 36 2553 x  48  2010 x 2553 x  4  2010 3 แล้ว x2  4x  25 มคี า่ เท่าใด 17. ถ้า a, b, c เป็นคาํ ตอบของสมการ x3 8x2  27x  3  0 แล้ว a  b  c  a  c  b มีค่าเท่าใด baacbc และ ,Px P 1   Px P 1  x x 18. ถ้า P(x) เป็นพหุนามทมี่ ี P 1   15 P 1   80  2  16  3  81 แลว้ P(1) + P(2) + P(3) + P(4) มคี ่าเทา่ ใด 19. กําหนด a,b,c เปน็ จํานวนจริง และถ้าระบบสมการเปน็ ดงั น้ี abc6 a 2  b2  c2  18 a  b c4 19. กแาํ ลหว้ นด9aab,cb,cมคี เป่าเน็ ทจา่ ําในดวนจริง และถ้าระบบสมการเป็นดงั น้ี abc6 20. ขสอุดงหสลม่อกเากรดิ เดอื aนตaม(2อxก2bนรbาท2ค5มxี่ c3c2เ6ขต4)า31บ้งั 8อแ(กxตเ2พข่ อื่ อ้ 9นxทว่า่ี ว22ัน01)เ3ก-ิด3ข80อ(xงข2เขอ้า7เลปx็นะพ153ห)ุค3คณู ถะข้าแอคงวนา3นมนหา่ รจอื ะสเปอ็นดทคลเี่ พ้อือ่งกนับคาํ ตอบ แจละ้วทา9ยaวbนัcเกมิดคี เา่ ขเาทไา่ ดใถ้ดูกตอ้ งเป็น a เม่อื ห.ร.ม. ของ a และ b เปน็ 1 แล้ว a + b มีค่าเทา่ ใด b 20. สุดหล่อเกดิ เดือนมกราคม เขาบอกเพ่ือนวา่ วันเกิดของเขาเปน็ พหุคูณของ 3 หรอื สอดคลอ้ งกับคําตอบ จขถะอ้าทงสAามยกวันา1รเกดิ 2เ0ข0า8ไ(2xด2้ถกู22ต00500้อx98ง22เป6)็น32200ba00(x98เ2มแือ่ ล9ห้วx.รA.2ม0.)1ข30อ3ง8ม(axีคแ2า่ เลทะ7่าxใbด ถ้าความนา่ จะเป็นที่เพอื่ น 21. 13)3 1 แลว้ a + b มีค่าเทา่ ใด เป็น 22. กําหนดให้ n เปน็ จํานวนเต็มบวก ถา้ 255324  255316  25538 1 หารด้วย 2n ลงตัว 21. ถแา้ ลA้วn1มคี 2า่0ม08า2กที่ส22ดุ0000เป9822น็ เท่า22ใ00ด0098 แลว้ A 103 มีค่าเท่าใด 23. ABC เป็นรปู สามเหลีย่ ม มี AB = 108 หน่วย BC = 1009 หนว่ ย CA = 1043 หน่วย 22. กถาํ า้หเนสน้ดใแหบ้ ่งnครงึ่เปมมุ็นแจบาํ นบวภนาเยตใ็มนบตวดั กกนั ถท้า่ีจดุ 2O553แ24ล้ว 2พ5้นื 5ท31ร่ี 6ูปส2า5ม5เ3ห8ล่ีย1มหAาBรCดว้ ยเป็น2กnี่เทลง่าตวั แขลอว้ งพnน้ื ทม่ีรีคูป่าสมาามกเทหส่ี ลุดยี่ เมป็นAเOทB่าใด 2234.. AวBงCกลเมป็นPรปู วสงกามลมเหลQย่ี มวงมกี ลAมB =R 1แ0ล8ะวหงนกว่ ลยม BSCเ=ปน็ 1ว0ง0ก9ลมหทน่ีสวมัยผัสCกAบั =ด้า1น0ข4อ3งหรูปนส่วเี่ยหลยี่ ม ถดา้ ้าเสนน้ ขแนบานง่ ครA่ึงBมCุมDแบแบละภเาสย้นใทนตแยัดงกมนั ุมที่จBดุD Oดงั รแูปลว้ พนื้ ที่รูปสามเหล่ียม ABC เป็นก่ีเทา่ A ของพ้นื ทร่ี ูปสDามเหลย่ี ม AOB โดยท่ี AB เปน็ เสน้ สมั ผสั วงกลม P และวงกลม Q BD เปน็ เสน้ สัมผัสวงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S วงกPลม P แQลCะวเงสกน้ ลทมโแCBดถกแแCยDDRยลา้ลาํ Dงหทะ้วมเเแพน่ีุมปปเaลAปดนื้ ็น็นBะAใBน็ทเเหวDbสสBเ่ีวงส้เน้้นงCพกปดม้นกตสDลงัื้น็นีคตลัมรรมทเา่รมงปูผสมเงว่ีสทสัน้SีพสงQัมวา่สกมัื้นผงเใัมลผปทดกสัแผมัส็น่ีวลลสัวaงวมะPวงกงวกงกลbงPกลแกลมลมลลตมวมะRมาทงRวกรสี่PงาSลแมักงแมลผหลแเละทสัมลนะQวก่าะว่วงกRบัวยงกวนังกดลงกแลเา้กมทเลลนมทลมะ่าขSา่มกSอกbันQบงัRรเเูปทปแส่า็นลกต่เีจะหบัาําวลรนง่ยีา4กวงมนลหตมเนฉา่วพรSยาางะหน่วย 24. ดา้ นQขนาน วSงกลม A PB ABCD DR S กาํ หนดให้ พ้นื ท่ีวงกลม P และวงกลม R เท่ากนั เท่ากับ 4ตารางหน่วย Q และพนื้ ทีว่ งกลม Q และวงกลม S เท่ากนั เท่ากบั  ตารางหน่วย R ถา้  ABCD มีพ้นื ที่ a b ตารางหน่วย และ b เป็นจํานวนเฉพาะ B C แล้ว a  b มคี ่าเทา่ ใด

แล้ว n มีคา่ มากท่สี ุดเปน็ เทา่ ใด 23. ABC เป็นรูปสามเหลยี่ ม มี AB = 108 หนว่ ย BC = 1009 หน่วย CA = 1043 หน่วย ถา้ เส้นแบ่งครง่ึ มมุ แบบทภดายสใอนบตกัดากรันแทข่ีจงดุขันOทาแงลว้วิชาพกื้นาทรร่ี ปูระสดามับเนหาลนีย่ ามชAาBตCิ ปรเปะน็จกําปีเ่ ท ่าพ.ศ. 2553-2554 : 37 ของพื้นทร่ี ูปสามเหลีย่ ม AOB 24. วงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S เป็นวงกลมทสี่ ัมผสั กบั ดา้ นของรปู ส่ีเหลย่ี ม ดา้ นขนาน ABCDและเสน้ ทแยงมุม BD ดังรูป A D โดยท่ี AB เปน็ เสน้ สมั ผสั วงกลม P และวงกลม Q BD เปน็ เส้นสัมผัสวงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S P CD เปน็ เส้นตรงสมั ผสั วงกลม R และวงกลม S S กําหนดให้ พ้ืนท่ีวงกลม P และวงกลม R เท่ากัน เทา่ กบั 4ตารางหนว่ ย Q และพ้ืนท่วี งกลม Q และวงกลม S เทา่ กนั เท่ากบั  ตารางหน่วย R ถ้า  ABCD มีพน้ื ที่ a b ตารางหนว่ ย และ b เป็นจาํ นวนเฉพาะ B C แล้ว a  b มีค่าเทา่ ใด 25. ABCD เป็นทรงเหลยี่ มสีห่ น้ามปี รมิ าตร 999 ลูกบาศกห์ น่วย โดยท่ีแตล่ ะหน้าเป็นรูปสามเหลีย่ มดา้ นเท่า ถา้ PABC, QABD, RACD และ SBCD เป็นทรงเหลยี่ มสี่หนา้ ท่แี ต่ละหนา้ เป็นรูปสามเหลย่ี มดา้ นเท่าซึ่งถูกสร้าง บน ABCD แล้ว ทรงเหลย่ี มสหี่ น้า PQRS มปี รมิ าตรกล่ี กู บาศก์หน่วย 26. ถ้า a,b เปน็ จํานวนเต็มบวก และนิยามดงั นี้ 1. a b  ba 2. a a  a และ 3. a  ba  b  ba a  b แลว้ 6*8 มคี า่ เท่าใด 27. มีจํานวนเต็มบวก n ทง้ั หมดก่ีจํานวนที่สอดคล้องกบั อสมการ (1) n 9 49  1  1  1  1   99 1 2 2  3 3  4 4  5 n  9  n 10 28. กาํ หนดให้ x, y,z และ w เป็นจาํ นวนเตม็ บวก ถา้ 2(x4  y4  z4  w4)  (x2  y2  z2  w2)2  8xyzw  10373 แลว้ xy  yz  zw  wx เป็นเทา่ ใด 29. ตัวประกอบท่ีมคี ่ามากท่ีสดุ ของ n37  n ทกุ คา่ ของ n ทเี่ ป็นจํานวนเต็มบวก มีคา่ เทา่ ใด 30. ABCDE เปน็ รปู ห้าเหล่ียมแนบในวงกลม ถา้ ระยะห่างจากจุด A ไปยัง BC,CD และ DE เปน็ 3293 หนว่ ย 4628 หนว่ ย และ 3588 หนว่ ย ตามลําดบั แลว้ ระยะห่างจากจุด A ไปยัง BE เทา่ กบั กี่หนว่ ย *******************************



การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�าปี พ.ศ. 2553 สา� นักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพืน้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษาตอนต้น เพอ่ื การคดั เลือกตวั แทนนกั เรยี นระดับประเทศ ประจ�าปี พ.ศ. 2553 แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศำสตรฉ์ บับน้ี เป็นลขิ สิทธิ์ของ สำ� นักงำนคณะกรรมกำรกำรศกึ ษำขั้นพ้นื ฐำน กระทรวงศึกษำธกิ ำร ห้ามเผยแพร่ อา้ งองิ ตัดตอ่ ดดั แปลงหรือเฉลย ก่อนได้รบั อนุญาต

เสริมคดิ ...คณติ ศาสตร ระดบั มัธยมศกึ ษาตอนตน (ระดบั ประเทศ ป 2553) : 40 1. หอยทากสองตวั อยู่หา่ งกัน 1 เมตร คลานเขา้ หากันโดยตัวหนึ่งคลานด้วยความเร็ว 0.5 มิลลเิ มตรตอ่ ใแแแใววใวหหหหตชชชินนนิินนนอออออ้เ้เเ้ าาาบยยยยววววววทททลลลททททคคคีีีาาาดิิดิดาาาาแแแกกกกกกกลลล8ว่ีีีว่่ว00สสสส0ะะะนินินิ..ออออ550อออาาางงงงttกกีกีีทททตตตตตตตจจีีจีัวัวัววั วััวัวนนอองึงึึง00หหหจจจ..ยยใี้้ใี 77นนนชะะะชหู่หู่55วพพพเ้้เงึึึ่ง่่งา่า่ttววนิคคคttบบบงงลลาลลลกกกกกาาทาาานััน11นััันน88นนนี00001100ดดดtt0000้้้วววเเยยยมมววคคคตตินินวววรราาาาาททคคมมมีีลลเเเรรราาวว็็ว็จจนนงงึึ เเ000จจขข...ะะ777าา้้ หหพพ555าาบบมมมกกกกิิลลิลัันนันันลลลโโดดิเิิเเมมมยยตตตตตรรรวัวั ตตตหห่อ่่ออนนววว่งง่ึึนิินินคคาาาลลทททาาีีี นนแแแดดลลลว้ว้วว้้้วยยหหหคคอออววยยยาาทททมมาาาเเกกกรรว็ว็สสสอออ00งงง..ตตต55วััวัวมมนนนิิลลี้้้ีี ลลิเิเมมตตรรตต่อ่อ 1. 1. 2. 2ถถห2ถแแตตตต แแแ44้้าา้านนออออลลลบบบบย++วว้ว้ว้วทคคnnn22ิดดิา88nnn77ก88เเเ++0สปปป00เเเ.อปปปนน็็น็50022งt็นน็็นจจจnnตาาาํํํจจจัวนนนําาาํํ น0นนนววว.ใี้==7นนนวววช5นนนววเเเเ้ ตตตtวนินิใใใt็ม็ม็มลดดดnาา22บบบาทท 441เววว8ีีป0((กกก0110็นt0ททท++0จีี่่นน่นี �ำ22วอ้อ้้อน33ินยยยวา++ทททนทน่สีส่ีี่ส22ี ุดุดุด้nnอ--ย44จทึง))จี่ส==ะุดทททพท่ทีที่่ีทบ่ีทาํําาํ ก�ำใใใ22นัใหหหห44้้้ ้ (((99a222+++444222+++n-nn4--)22244777)) + 2n เป็นจาํ นวนกาํ ลังสอง 2. + 2n เป็นจํานวนกําลงั สอง 2. = 24 (9 + 28-4 ) = 24 (25) (9เป+็นจ2าํ8-น4ว)น=กํา2ล4ังส(2อ5ง) +=2n24 3. แแแ2รรขขขรแสสสต ตูปปูปู4อออ่วว่่วนนนนออตนนนสสสงงงบ+ววววบอมมมาาาตตตคคคค บ2มมมุมมมุุ8อออ่่่ดิดิดิดิ87เเเขขขEEหหหBBB+อออAAAลลลงงงCCCี่ย่ีย่ีย42มมม0nAAABBBเเเทททCCCAAAา่า่า่ BBBกกกอทททAAAPP=CCCับบบัังาํําําศกกกใใใCCCมมมหหหาอ่่ีอีอี่ เ2ีีี้้้ปงงง4EEEศศศ็นBBB(าาาก1DDDเเเ�ำ+ปปปDDลน็น็น็แแแ2ังบบบจจจส3ุุดดดุ่งง่่งอ+คคคบบบงรรรจ2นนนง่ึงง่ึ่ึะnสสส-ไEEE4ว่ว่่วดBBBนนน)้ nCCCตตต= อ่อ่่อถถถ=ขขข้้าาา้ 8อออBBBงงง2DDD4AAA(BBBนนแแทBBBททดดด9ตตตCCCลลังัังงันัน่่าําํําดัดััดททท+นนนใใใะะคคหหห===าํํําา้ันน้นั้ั อือื2CCCใใใ้้้ BBBหหหnEEEAAA-BBBBBPPP4้้้AAAAACCCCCCAA)ททท===BBCCCBBBPPPCCจี่ีจ่ีจ่CC=EEECCCดุุดดุ ========PPP=====PPP288811CCC466000แแแ8800BBB(ลลล009อออ777444PPPะะะอองงง––+งงศศศAAABBB===ศศ11าาา2CCCCCCาา446668-00===BBB0004 )แ=ละ2D4 (2เ5ป)็นจดุ บน 3. BแPละ= DCPเปแลน็ ้วจุดขบนนาด BP = CP แลว้ ขนาด 3. และ D เปน็ จดุ บน อBงPศ=า CP แล้ว ขนาด องศา = 40 องศา =อง4ศ0า องศา ตอบ 40 อP งศา และ  = 60 องศา ABC D น่ันคือ  = 180 – 140 = 40 องศา BAC E ตอบ 40 องศา

แบบทดสอบการแขง ขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553-2554 : 41 4. 54545544P........54..PPแFจAแPPPตาลPนDตกอ0แFจAแแFจAแะBเแแFFจจAAแแแFแวEอปต,ตรตตาบลาลน นแFาาจAลแลลนนนคD(D(DDDเเบูป0ก0น็ก0อ0อตกกะออ000ะBเBะาเลสปะะนวBBBเเวEวE,ดิวว,EEEDปป5,ปป,2รร3บ,,,จกบรรอ0 บบะน้BคเY็น(คค(((ว)Aคค(((E)(((เเเ,ูปเเ0ปู0็นป000A็น0ปูปู000,ุด000็น็น000ร6บสสสสสต,ิดิดจ,ิด,ค,(,,,(ดิิด,,,(Bเ552263ูป555จ030น็จ2220บB3330จจ้น6น้้นY2Yสุด้นน้)AรYYY)A)),ิด)))AAA,))),,,A,,A5ุดุดAAA230ุุดดจนCตงตบ้นตYตต0)A()(BB)(((,BB66Aบ666Bบ0Bดุ066บบBBB2ร000266ดDร222ร,นตรร,,(,,,B60ง0นบCนBCEง0000ง6นนCCC5้2างง0ดร0000)), )))F0นดDนดCDเE,ง,ดดDDD้ำ,,,0)ป,EEF5้EEนา5้าดD555้้าา,FC็นFCF นนตFFเEเนน 5เเ้าตปปCปปD,,ร,,FัดนเFFัดFFFCC5็นปDปู็นCCCน็็น,ตCCตตตFแF,แDDDC ร็นDDรสCดัรรัดCตดััด ก55ก5ูปูป555Dปููปเ่ีถร(ัด(ถFFนห5,FFF,แ2แ,,,D5นDแแ5สปูDDDส้ำCสสC3,CCC้า,,55 F0555กลก5,เแกกDี่เเี่((สX่ีเีเ่(((C()ถ(ถสD)(((ถถXห5ห525หห5552่ยี5นเ5น222ก555นนี่เ3,3,( ้า,สน้,้า333,,,,,(ถาา้้,,,,,00ลห5ล5ม0005ท2ลล5555น))3,น้D))))D5)ตา้,X,XDD)))XXย่ีเ่ยี0เทผลยย่ีี่5่จีเเสส,)รสสตD)Xมมุดย่ีืนมมเีจ่0ง้นน้55ส้น้น555รทผทผ มททุดผผ ,,งPต,,,น้ตX5Eตตืนืน่จีเทผีจ่ืนืน0า้0C่ีจ่จี000E 4,Fปรรตรรดุแผุดนืผดุดุีจ่ผผ0PงE งมXXงงXXXน็รเลแเา้า้CเเดุCผาา้้CCCFE4ปEปงี4ปปXจแ้วบเPา้PCPPEEมมEEEมมน็ปน็ ุดน็็นลง่ FBPสFแFFEีีมีีจแ็นพจแยว้จจแแำEบFีุดลดุลอดดุุจแืน้ลลมBBแBBแแแง่คสเยว้ยว้ดุดลยยวว้้ทสสEEพบB=บEEสพแบบมือออขยวออ้ี่รบิ้นEา่งบนื้ง่คสเสคเง่่ง้ืนกดคคสสเเดอูปอดดแถสเสพมสสพ=ต=สพสพพพ==สสพพม่งทือมทอืคสเาทมมขอือืxขyงดสขขลา้้นน้4สน้น้สราพาืน้=นื้สพาาืน้รนื้้นืื้นกรก้ืนน้ืมำ่รี่ออกกอี่่เีขออแถแถ้วแแมถถงมต้นตบิมมตตหเาปูพทขน้ืทูปาท้นืททาxทyxyกงาาททงxxxyyyองงผสล้าล้า44แถลล้าา้20สห44รสรมตสสรรเอลรรรสี่รทรรร้นืรี่สรรี่าทรีี่่รxี่yงี่ี่่าน้ท้ว้วงAล้างว้ว้4บิงงบิเสนเรปูพบบิิี่ยปูพงูปเเูปูปปูพพAร่ีเปูปูรีเ่ท่รีนผสผส่ีผผสสต20่า20ว้หBห หง202020หหหเบิมเเ่วเเสปูพื้นส้ืนสูปสสสื้ืนน้Bส่า้นทจรี่า่้น0ท2ขผสAา่่า้นน้AททรCAA20นหลนยล สนนAเAี่ีเ่เี่AAAส่เีทน่ีเเี่ื้นทนปูสเีเ่ททุดCนนAองตา่น้ตทBา่หBหตตAห่า่าหDBBหห่ียหว่ย่ีนาว่ว่่วA่ีเBผBีเ่จี่รท0น2จBBBข่ีร0ส2ขBงDจจ่รีีร่000ร222ขขรCCต่ารร5ลBห3CCลมย มลยหสลลลมสยยลแสสว่ปููปา่ุดCมุดBCูปปูองาCองุดุดจCCC่ีร02ขอองงDรDCEี่ย0่ยีPยี่DDสาลี่ยี่่ียยายลี่ยลสมาานผผมสผผปูีคสงDAงDุดCDสสอง,งงDDDจ5อ35มA3มAมม555Dม333บิมมมย่ีมมแ่ียแมะาีแแA2า่จา่ผเา่่าา่ำาสBาา งDะEพ0อEP0Pส53สEEE000หมมPPPลสสมมลมเนนแอลลมมเBดุนนม่ามมAAม,าC,ไทDจAAจออA,,,ทAAจจกAออิบAAAE0ิบAAAนื้PสะบิบิะลีA2ีอลAม2ะะจนดจCีีAA222เเจจมตเเBBคีะAะDพBBอ,พอะะFจ่าอเ่ำพพหออAหAเิบหหเท่ียกะเเBุดBดุีA2้DปBBดดุุจมเมัดCไDทCไทDขมม่าใBCCไไDDททก0ะกพอ้นืกก้ืนลหน้ืนื้ลมเเลลดC่ีกดCดBุดดดCCตตเ็นคีีคตตมอDปDCีคีคไFDท่า,Fา่เDDเ=FFา่า่กเเEจPททย่ีนื้ที่ยลททีีย่ย่2้ีต่D้ปDปดC้้CัดDDปปัดขตา่ข่าัดัดงอีค0ขขA0า่่าน็D000Fา่เAุดAมมี่กทา่ีย่ี่กมม2ากีก่่ี้เD็นปเ็นDอเเอัดน็น็,อ,ขออา่E= ,,,0=EEจEPPทจP==ทใEEEจจPPPททร2่ตีม2ีต่่กี222Cตต่ีี่2CCCCเEงอ็นงอดA6อAกFงงออส,AAAAดุAAAดุA=าAAAEุดดุจAAA5Pา่ท2่า2าา่า่า 222ต่ีาาDCDอDDDอท,Eงอเ,E่วออAงสEPE,,,EEPใใ,AEEEุดAPPPรรใใ15รรเา่ป2า3EEด=หD6ดกFมน6EEกสFสอดดท66หว่AกกFFAสสA่ีจ,EAาาAAAE5AAAP5าาใ555รน็ทEนเทเ่วีพดนว่ง6เกงFททเเสุด่ว่ว,งง่านA,A1า5,,,155เปเ111ป555ทเเปป33=ห333=หมนมน==หหทเหทมมนนกห่จีทเี่จ่วว่ททกหหงิี่จี่จว่,215ทเ็นปน็6่าน็น็3พีน=หพีเนมนยเดุับุดีีพพนนา่ทนเเหา่นดัุุดดี่จยา่า่นนททๆF่ำททน็สกกว่ีพนว่กิเกกกิุด่ว่วว่กก่าิินว่22ๆว่ว่226ก6่าทา่266(่าา่ว่ย5ยบัับยยกดัยบับัดัยว่กิัดัดยย0่ว 2ๆFๆFนัๆๆFFF,56า่นสสกสสย3ับ,ดัยกกๆF2กก(2(่ว225((่ว5เันสว่ว่5550ต2000ทันัน,5,ก5นนันัน,,,552(นน่ว 533,333),าแ,,0า่นั,5เนเเเร3ต2ต2บ,ตต22ททๆททาเ))าแาแ))ต2าาแแ่งา่ทา่่า่างรกรรรบ)บๆาแๆบบๆๆหา่ าาาาันร่งบ่งๆ่่งงนงงงงกกากกหง่หหหว่งันนักัันนนหนยนนัน่วน่ว่วว่ ยยยยว่ ย 5. E4 AแตนอAAAAAแตแตแแตตบวAนอนอแตนนออคบบนวอวบบิดววคคบวคคดดิิดคดิิด7งั ดิ 4นดดดด7777้ันังงดังัง44นน447นนัง4ัน้น้นัตั้นน้ัพใพ้ันาื้นหรตตตตพ.พพพททา้พใพใพ5า2าใใพพตาาพนื้ืน้้ืนน้ืหงห่รีxหห.0ร5ร.รรใพ.า...หททื้นทปูททททา้ททหา้yาา้้552ร2555222.แ.นงงร่ีทxี่รxสง.งท.0ร่ีีร่xxx055า้..0005555A236หหทปูหหูปแวู่ปปูง่ีเy่รีxy.0yyy5xxหEแแนหนยทแแนสนนูปสสสyAA6336AAA333666Fทลทแแแทท่วน่วี่เแแีเ่นควว่ส่ีเี่เxxxxxxxหxxxAหE36Eหหย่ีEEEยท2ยทนท4Bนแยยททนนว่วเี่คxxFFลหลEมyFFFyลลยนทคานนค3Cนนคคว่ียย่ีF2ผล2ม4่ยีีย่x4222444ววคานคคววคคDมyมyyyี่ยืนมมyyyยByyyา2ม3า43าาว333ววคxวว12ผมผxมมxyาyผผมมxxx=ยาาาy3าาว2วืนืนยBมยBผมมxนืนืxา้EยยาBBBมม4Eาxyx441212xxx∆111222ดyาวาผนืผยยยBาามyผผyยยyyy22x122226า้ววดAววxา้xาา้เาาผxxxาา้้ยาาyyyyyyx2ปนดดyดดy้า1ว2ววyyyววxา้าE6y66666า้น็นา้ดดดา้า้yดดเเวxเเFxxปนxxxปนyB6ปปนน้า12า้า้142ด้า้า111222เ66666xน็นปนน+็นDCyนน็นน็า้127xxxxx6y4ByByyyBBBน็น44C46444∆xyDCyDBCyyDDDCCCyyy74777244A444xDCCy4C646CCC444ต7666yyyyy4D2C46า22222y4xx7xxxร4ต4ตF444ตต424า22x222าา4ตาา+4ง477444777รร2รร4า4444ห44444าา47าา7∆รxx42xนงง4งง4าyyxyหหFหห่วงyxxxxxxx2====2xxx222xCxนหนยxxxนนyyyyyyyxyyyxxyxxxxy2yyyxว่Eนว่xว่ว่xx2yyyyyyyxyยยยยyxyyว่ y+ยy∆ ABE

เสรมิ คดิ ...คณิตศาสตร ระดับมัธยมศกึ ษาตอนตน (ระดบั ประเทศ ป 2553) : 42 6. ในการใช้สมบตั ิการเปล่ยี นกลมุ่ การคณู ของจํานวนจรงิ พบวา่ จาํ นวนจริง 3 จํานวน เมื่อใช้สมบตั ิการเปลี่ยนกล่มุ การคณู จะทาํ ได้ 2 แบบ คือ (ab)c, a(bc) 6. ใจนํากนาวรนใจชร้สงิ ม4บตั จิกาํ นรเวปนลี่ยเนมกอ่ื ลใชมุ่ ส้ กมาบรคตั ูณิกาขรอเปงจลํา่ยี นนวกนลจุ่มรกงิ าพรคบณูวา่ จะทาํ ได้ 5 แบบ คือ (a(bc))d, 6. ในการจ((ใาํaชนbส้ ว)มcน)บdจตัร, กิง(aา3bรเ)(ปจcลาํdน่ีย),นวนกaล((ุม่เbมกcอ่ื )าdใรช)ค,้สูณมaขบ(bอัต(งิกcจาdาํ ร)น)เปวนลี่ยจนรงิกลพุ่มบกวา่ รคณู จะทาํ ได้ 2 แบบ คือ (ab)c, a(bc) จาํ นวจนงาํ จหนราวิงวน3่าจรจสิงําํา4นหวรจนบั าํ จนําเวมนนื่อวในชเจม้สรื่อมงิ ใบชตั5้สกิ มาจบราํ ัตเนปิกวลาน่ียรเนปเกมลลื่อียุ่มในชกกส้าลรมุม่คบกณู ตั าิกราจคระณู เทปาํลจไยี่ ดะนท้ กํา2ลไดมุ่ ้แกบา5รบคแูณคบือบจะค(ทaือาํbไ)ดc(้แ,aต(abก(cตb)า่c)dง)ก, นั ก่ีแบบ จํานวแ(น(aนจbวร)ิงคcิด)4d,จ(aําbน)ว(นcd)เ,ม่อืaใ((ชb้สcม)dบ)ัต, กิ aา(รbเป(cลdยี่ ))นกลมุ่ การคณู จะทาํ ได้ 5 แบบ คอื (a(bc))d, ((ab)cชจ)งดุdห,า((aวab่าbc)(dสcํา)deห),รับaมจ(ี (าํb6นcว)แdนบ)จ,บรงิa(bค5(ือcdจ()(าํ )aนbว)น(cdเ)ม)eอ่ื ,ใช(a้สbม)(บ(cตั dกิ )าeร),เป(ล(aี่ย(นbกcล))่มุdก)eา,รค(aูณ((bจcะ)dท)ํา)eได, ้แ(ต((กaตb่า)cง)กdัน)eก,่ีแบบ จงหา(แวa่าน(bวส(คcาํ ดิdห)ร))ับeจาํ นวนจรงิ 5 จํานวน เมือ่ ใชส้ มบัตกิ ารเปล่ียนกลมุ่ การคณู จะทาํ ไดแ้ ตกตา่ งกันก่ีแบบ (ชแaุดน(bว((คcชa(ชaaิดd(bดุดุ (()bbc))d((a(ecca)(ddebb))cc))e)ddeม)e)eี ) 6มมีแี 6บ6บแแบบคบบอื (ค(aคอื bือ)(a(c((ad(bb))c)e()c,(dd(ae))b)e)),,(((ca(adb()b)e((c)c,)d)((d)(eae)(,)b,c((a)a)(d((b()becc,)))dd(a))ee((,)b, c(aa)d(((b)b)(ecc,)(dd()e()(e)a),)b, )(c(((a)ad(b()be)cc,))dd))ee,), ชุดแลaะ(bcd((ea)b)cม)ี (d6e)แ, บบ(ab)ค(cอื (dea()()bc)(de)), (a(bc))(de) , a(((bc)d)e), a(b(c(de))), (a((bc)d)e), ชุด aตa((bอ(bcบd(ced)))eม1)ี 46 แแบบบบ คือ a((bc)(de)), (a(bc))(de) , a(((bc)d)e), a(b(c(de))), (a((bc)d)e), a((b(cdแ))ลeะ) ((ab)c)(de), (ab)(c(de)) และตอบ((ab)c1)(4de), แบ(aบb)(c(de)) 7ต. อบ จงแยก1ต4ัวปรแะบกบอบของ ab(a  b)  bc(b  c)  ca(c  a)  2abc แนวคดิ ab(a  b)  bc(b  c)  ca(c  a)  2abc 7. จงแยกตวั ประกอบabข(อaง b abc()abbc)(abcb(b c)c) cac(ac(ca)a)  2abc  7. จแงนแวยคกแดิ ตนัววปครaดิ ะbก(a=อบaaabbbข(()อa(aaง+(((abaaabbbc())aab+bccbbcb())b)acabccb(bcc()(bbb))a+b((ccaa)c(b)bbaa)cb2+()bcbcbbcbcacbcc(c()bc))aac()+ccc)acccba)aa2)+((acaccaa)bcbc(c)accaa2(+))ccaaaabb)(ccac)a2)abc  (a b(a c)(ca)b(b(abcc))b(accab)()ccaa)  ตอบ  (a(ac)(ca)b((bac)cab)b(acb)b2)cabc  ca   (a c)(aabc)b(b2  cb)c(acab) ตอบ  (a(ac)c()b(bc)c()a(abb) ) ตอบ (a  c)(b  c)(a  b)

9. ้ถา x เ ็ปนจํานวนจ ิรง ที่ทําใ ้ห y  2( a,b,c,d เ ็ปนจํานวนจริงท่ี a  b  c  แบบทดสอบการแขงขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553-2554 : 43 แล้ว 3 2(ab  cd) มีค่าเท่าใด 888...8. aaa,,,abbb,,,,bccc,,,cddd,dเเเปปปเ็นนน็็ปจจจ็นําาํําจนนนาํ วววนนนนวจจจนรรรจิงิงงิ รทททิงี่ี่ี่ทaaaี่ a bbb b ccc c ddd d 000 0 ถถถา้า้า้ถ้า aaa222a2 ddd222d2111,,,1b,bb,222b2 ccc222c2111 1แแแลลลแะะะละaaacccac bbbdddbd 131133 1 แนว ิคด แดเแแเแaแตดเแแตตแดดเแเแaนนนนนลงัน,ลน,ลงันอลลงังันนออแตดเแ่ือbน่อืb่อื้วือ่่อืaนนนวน้วaว้aว้ว้วบaaวบบ,ลววังนอง,bงน้ังbงงbcbbคน้ั่ือั้นน้ัcคจค้วคคaจบ3จวจจ,33,33งดิbาdิดั้นดิาdดิิดาคาาจcก3ccกccก2กก2ดิd4244า22ddเddเ(cปก((ป((4a232ad2a32aa3322aaaน็abaaaน็aaaaaab(bbbbbbba32bbbbจ2จaaa2b22ําbb(aําbcabc(abc((aabbcca2นccd1นa2ccaad1cccc2d12dd1122bdd(abbc)ddbbวdddd)ว)))acc1d1c211cน11cccนbdd)ddcdddจ0c1จccc20002มd222ม2มd22มมddรddรdd3cdd)คี03)33คี))ิง2คีีคคีงิ21มd3b213b13b1133bb2dท่า22ท่า3า่)่าา่2คี22220เ10เ3b่ี0เ200เเ2่ีท22ท่า22ทททa=2a===0เา่า่า่2cาา่่ทccccใใ=ใ2ใใ2892ด22า่89ด89ด8899ดดcbbใ2489ด444a4cacaaacccccacddbbbbbdddddb002d22222 ถา้ a 2  d2  1, b2  c2  1 3 8. ab  cd2  a2  d2 b2  c2  ac   ถา้ a 2  d2  1, b2  c2  1 และ ac  bd  1     8. 3  11  1 2  8 และ ac  bd  1 3 9 3 เ ่ืนองจาก a  b  c  d  0 8. ab  cd  0 ัดงน้ัน ab  cd  2 2 3 3 2(ab  cd) = 4 ตอบ 4 999...9. ถแถตตแถถตตแแตด้าน้าน้า้าออนนออถังอตแวนบบวบบา้ววบนอxคxxxั้นคคคบวิดxดิิดดิ1ค11เเเเป2ป22ปดิป414เ็น888น็2็น็นปจ38จจจน็aaxxxxําbbําํําาจน2xนนน=ํา===ว(วววนaccน=นนนbddวจจจจนรร4รร4จc44งิ02ิงิงิงdร43ท)ิงททท2ท่ี ่ีทที่ที่ ทาํทททาํําําท่ี ใ=าํใใใําํําาทหาํหใหหใใใใหาํ้หหห้้้หใ้ ้้้หy้4yyy้y2y222yyy((((424y44(24222(x(((xxx42444))))((x(((4xxxx)xx(xx)x)))(1x(((111xx2xx)222(1))))x21111)22221))))2แแแแ)ลลลลแมมมมว้ ว้้วว้ลีคคีีีคคมyว้า่yyyา่่่าาีคมมมมมyมา่มมาาาาคีมคีีคคีกมกกก่าาา่า่่าทคีทททมกมมม่สี่าี่สาส่ีสี่ทาาามุดกุดดุุดกส่ีกกาททดุททกเสี่เเเ่ีสที่่ีสสททททดุ ดุดดุุเา่ส่ี ่าา่่าทเเกเเทดุกกกทททา่ บัเบั่าบบัักา่่่าาทใใบใใั ด่าดดด1111ใ2ด2221888828 9. 9111.0001...0. ตถตแจจจเเเมเดจแจจเเจแเเเมเดจจแตเเเเเเมมเเดดซแแตตรอรรรา้ซนอรราํซรซซรรรํารราํรรรรรรําังีํานาํําาํํานจงัียีียียียนงงััอี่งึจนนออเนบเเมเยยีีดแ1ตงึ่ยียีียยีนง่ึนบียยีียยียยีีีียยนวงึ่ึ่งนน1นซน11รรรรนนนนนจวํางงงงจวาํบจวงงบบx2ังจจีววงนวงงงองงงงงงงงวคว2ั้นยีียียยีว22่งึววนวจจจจ1ะัน้ววคน้ัั้นนจจะคจจจจะจจจจคจจ0จจนะะคคนนบจว0น1นดิ00งนงงงน1นนําาําําํต2วาําํดิตวําําําาํตั้นําําิดํําาําาํําาํตตเดิทดิิดจจจจะคห2ทนทนนนห2ททป0นหนนอ้จหหนนนนนนนนนนนนนอ้อ้จออ้้จจ-ําําําาํต8ี่สิด-า้่สี8--ววววีส่าํ้าง่สีส่ี็นทา้ววา้า้ววววงหาํววววววววงนนนนาํํางง1อ้11จหอนนนนไนหอหอนไหหออ-นนนนไนจนนนนนนนน1ไไส่ีนนา้ม0วววว100ํา11งมดxมล1มมดหหหหวลดลดดหห3ํลลาหหหหหอวหหหหหหหหววนนนนไน7377่ม33่มค01ักม่น่มม่คักนคา้า้้า้ากัคคนักักนน้า้าด้าา้ล้าา้า้า้าา้้้า้าา้า้หหหหวี7=3ลีทหีหหหวลีีทลหห่มทวลลหหหหททว=หหหหหหหหคววักน=า้า้้าา้==้อิธ่ีไ้อนลลลลอ้จิธ่ไีี้อ้อจจลลธิธิ่ีไ3ลลลลลไ่่ไีีทลลลลลลลลหหหห3ว3ด33ีใดง=ดดดงใีกัักักักาํีใีใงจาาํํงงกกัั4กัักักกัอ้นจิธกัักัักกกัักัักก4ี่ไ4ลตลลล้จ44นนนต้จ3ตน้จตตนน้จ้จท1ทททรด6ททีใาํท1ทททง46ทท11ททททททก6กัักัก66ักาากาา4กกาานงิาาาา0วววตนุกง้ั้งังั้้จ0ุกง้ังั้00กมุกัง้า้ังั้งุุกกั้ง้ังั้งั้ง้ัง้งัท1ทททกมกมา6กกมมาาน7หหหนนกหหาาร7หหหทวหร77หหหหหหรกรขห0รรหรกขหหรรกุก้งััง้้ังขกกขขมาูปมมมนจปูมมปูมมม่ทีููปปรจมมมมมมา้อ7หหหจจรา้อรราอ้รราาห้ออ้รกขดดัดดแอืรดแดทดดัดแือรกดดดดัดัดดดาํแแือรูปจมมมืออืรรกจกกกจรจจา้อทจททเบททจบใทจททเบาํททจจททททเเบบําาํดดรัดดําแาํอืรําาํํารํําาหกรรัดจบ่มีมี่มี่ัดหใดัน6บม่ีม่ีดัดัยหบ่มี่ีม่มี6หบบี่มี่มีี่มม่่่มีีมทจททเน6หหนน66ยีียยีหําเ้าํรเรีีรีร9เนงเเีรรีว9รีรีีรนัดร9รรีีีีรรรีีรน99งวบ่ม่มม่นนงงหววรน6รรียู้ปูปูปต2ปปููนูปปููปยี2ไูปูปปูปูดปปููตy2ตตเนยี22ไดนนียไดียียรีีรีรไไ9ดดนงวดรัวแแแดดแแงดดวัแแแงัววัแแแแแแปูปููปงตงง2นยีไดเ้เบบบ้เเบบ้เเเ้้บบบเเบบบบบบลดแลวัแแแแปลลแงล2ลลแแปลลปyปปบบบบบบบบขตเ้ขบบบบบบเ5ต(ขขต5ขรขขตตขข5ล55รแลรรร4ป่โ่าบบบโ่โา่่โโาขตาาขด5ดรดก2ดด2กก2กก224่โด24า4(ด244ด2ฏ,x363ดด22ฏ36ฏ,363ฏฏ,,3366334ก233)34943334อ49ด24943อ44994433อ(ออฏ,43634243662,442x3262ย3322662,33666622ย,,ยยย64943อx6,6664,,ใู่4,,4ูใ่442ู่ใแ39662ู่่ใูใ,)9ยแน93แแ99,น3น36นน(33,1,,2,ล24ออ2ใู่22,ลxออลลจออ6,ออออแ,9จ2,,จ6จจ66น3ะ,ยย4ะยยําะะ,2)ยย4ยยยยล4ํา44ําเ,ออําาํ,,,เจเ6เเดู่ดู่นป,1ดดูู่่ปน,ู่ดดู่11นป,ดูู่ดู่ดูด่่1ะนนปป,,11ยย4ํา9,6้ว้ว6เ9ว2็น99้้วว6666้ว้วว6็นวว้้้วว้66ว็นดู่ววดู่็นน็นป,19ยย)นยย9ยยน99ยยยยจน9นน6จ้ว้วจ6จจว็น=2ซ=แ=2แน==ซ22าํซซแน9แนาํยยแแนนาําาํํจึง่ลมมนลมมงึ่้ันน่ง่ึึงมม=ลน2มมมมล้นัซนนลลน้ัมันั้น้จแาํอจว้ีีจจะวอีีออะๆีีวะีีีีว่งึะะๆ1ววมมนีคๆะล1ๆๆ้ัน1ย11ะะะน33ยจนยยน33นนอy3323333ตีี9่า2ะว2922ตู่ดๆ9ตต991ท่ดูะูู่ดด่ท0ทยมมทท้อน00ม3300มมอ้ว้ม้้ออ2ตโ9้วไี่้วว้โโู่ดไ่ีโโา2ทไี่2ีง่ี่ไีไท22ดทีย2ท2ีงมคีด22ทท22ี0งงดยมมดดอ้ยยมมมกไว้จไจโ้ังพไไยจีไ่จจง้ั่สา่ยัง้มพย้ังั้ง2ท2ีพพ่สงยยส่มดยสส่่ทมมาํมหาํหาํหแมํําาหหรไ11แอจแม่11แแอร11งั้อนพรรย1111ออม่ม่่มน่ีสส่นมนนต้มอามตมมดําหต้อรีตต้้ดออดแดดวีรรุีีรร11อวม่ดกววว่ลมดนดปู่ลคดด่ลมม่ลล่มมคปูนคต้อูปูปคคนดน==นนกรีทะ==กก==วกะ====ลกกะแกะะดลกก่ลลมแลลแแูปคเ่ีจจี่สน่จีนัจ่ีจจอ้ีจจ่บจจ=นั=ทกอ้ันันะอ้บกออ้้บบลาํแาํดุาํําาําําํํางาําํบี่จงจา่ง66ันงงนบน66บบ้อน66นน6666นตเนนนนตตกาํตตาํทววงมวบวาวว66ววมววนามมนาบัาาตนนา่นนมีนนนนมนนมีจจ3มมีีววจจมจจ3ใาจจจจ33ไขไไขดไไ4าํํานขนขขาํํามม4ําีํา44าาํํํําา1มมจจ3มม(อ้นน(อ้6(1นนอ้((อ้้อนนไเนนนน6่ม1ข66211เ่มเ4ําาํเเ่มม่่มชกชวกวชกชชววกกวว(อ้8ววววเีนน6ีเ1เีน่เีเีเํานนม่ล่นํานนน่หําลน่่นนนําําลนนนนลลชกหหหววหจหขหีเจหหจจขรขขข่นาํนนรลรรหาํนโนาํือาํํานโนนหโจโโอือือืขนด2ดร2นดด2นนดด22ดดาํดดนโ3ดวอื3ด3ดว)33ดดววน)26)))ดน6466ท4น4ทนน44ททท3ด9ว99)999่ซี9699ีซ่ซี่น42ีซซ่่ีท2622669าํ้66ํา้9้าํําํ้า้่ซี ก2กก6กกา้ํ นัันันันันเกเเเเปปปปปันเ็น็นน็น็็นป็น 10. 10. ตเรอียบงจาํ นว1น0ห7า้ หจลําักนทวัง้นหมดทีม่ รี ปู แบบ 346 และ 692 อยดู่ ้วยพร้อมกนั มี 1 จํานวน ดงั นัน้ จํานวนวธิ ใี นการจัดเรยี งตัวเลข 2, 3, 4, 6, 9 ซ่ึงจะตอ้ งไม่มรี ปู แบบ 346 หรอื 692 มี 120 - 13 = 107 จาํ นวน ตอบ 107 จาํ นวน

เสรมิ คดิ ...คณิตศาสตร ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนตน (ระดบั ประเทศ ป 2553) : 44 11. เศษส่วนทีก่ าํ หนดให้ มกี จี่ าํ นวนทไี่ ม่เปน็ เศษสว่ นอยา่ งต่ํา 1 , 2 , 3 , , 500 1004 1003 1002 505 แนวคิด 1 , 2 , 3 , , 500 1004 1003 1002 505 เขียนใหมไ่ ด้เปน็ 1 , 2 , 3 ,, 500 1005 1 1005  2 1005  3 1005  500 1005  3 5  67 จงึ ตอ้ งหาวา่ มีจาํ นวนนับ 1 ถึง 500 กจ่ี ํานวนทห่ี ารดว้ ย 3, 5, 67 ไมล่ งตัว  500   166 หารด้วย 3 ลงตวั หารด้วย 5 ลงตัว  3  3 5  500   100  5   500   7 131 33 66  67  0  500   33 21 3 5  4  500   2 3 67   500   1 หารดว้ 6ย767 ลงตัว 5 67  3 หรือ 5 หรอื 67 หาร 500 ลงตวั มีทั้งหมด = 237 จํานวน ดังน้ันมีเศษสว่ นที่ไมเ่ ป็นเศษส่วนอยา่ งตํา่ เท่ากับ 500 – 237 = 263 จาํ นวน ตอบ 263 จาํ นวน 12. กาํ หนด a, b เปน็ จํานวนเตม็ f (x)  x3  x2  4x  a2 โดยท่ี a 5, b 5 x2  bx  4 จํานวนคู่อันดับ (a, b) ทเี่ ปน็ ไปไดท้ ้งั หมด ทีท่ ําให้ f (1) = 0 มีกี่คอู่ นั ดบั แนวคิด 13 12  44 a2 ab254 f (1) 12  b 0 a2 – 4 = 0 a = 2, -2 b = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 จาํ นวนคู่อันดับ (a,b) ทเ่ี ปน็ ไปไดท้ ้ังหมด มี 20 ค่อู นั ดับ ตอบ 20 คู่อนั ดับ

แบบทดสอบการแขงขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2553-2554 : 45 13. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ยี มทม่ี มี ุม BAC เป็นมุมฉาก C รปู วงกลมสัมผสั ดา้ น AB และ ดา้ น AC ท่ี X และ Y ตามลาํ ดับ 111333... แใแใแหแในหนหน้oน้วooX้วoAวXวAXXคXAXคXคrBXค'Bิด'Bิดx'ิดC'ิดxxC'xC''' เเปเYปYปYน็Y'น็ '็น''รรรูปูปูปBสBBสByสา'าามมมเเหเหหลลลี่ยี่ยีย่มมมทถกเรทถกเรทมถกเมี่ถกเรูปม้าี่ตม่ีูปมา้ตี่ม่ี่อื้าตี่ปูมีา้่ีตว่ือาอ่ืีมวื่อามีาวมุงารมุงAรรXกมุงAราAXกXAาXากBางลXBBงลBXงBXBหงลXBมหAหมหAนมAสนนCส6แนC6สว่แ6มัแC6ว่แัมว่ลว่ยัมลผลหยเลยผหะยหเปผะหสัะเนป(ะสันป(นสั(น็นด(Yว่็นดYว่็นดYว่มา้Y่วยมYา้ยย=มYา้นยYมุ=Yน=ุม=นุมฉแ3ฉแใ3Aแฉเ3แใา3ลAพให.เาปใเลAห.1เลปากห.Bลปห.1้วปก1B้.1น็้ว4กB้้วท็น้ว้4รน็้4น็4รO)เรแOrXรอ้.O)เOส)แเOrX้อO)OเrXอ้สแOrXอ้สลยแสXX้นลยเXOเXยน้XลXยˆ้นเะXOเเXรปปน้เOเˆะเOเผเปˆปทเปˆปYะOผเปเปทผYทO็นผน็YทOา่งดYน็Oน็่าน็่าน็ดY็น่าน็่าา่านดจา่รOYา้า่ขYนจรOYนา้จรขOนจขรOศัุดา้นขศอYศั=ุดนศศัุดอY~ศัศ9ดุนอYrศมศ~อYนู9~ง9มศA~นูม90ศงูนมศAงนู0ีพนูง0ยA0ี1พนูีCยพนูยีพูนCย2ยก์น้ืCrยก์ื้นยก์้ืนCrยก์น้ืrก์ลCrทC์กลCททก์ลทก์ล(ทAลาี่สทAลาAลี่า2่ีสAลางี่สา่ีสBง่วาี่งXBาขงว่B2างว่XBขว่นงขX)งขนวงอนนวอวอทวองแงททงแงงทกงงแแี่วงลกแ่ีวกลีแ่วกี่แวลงลรพะลงรลงะรลกงรเมะก.เมกงเมกทเมลงงYลางลYลามา.Yาเมมเทมเเทตททตา่ตดา่าา่ด่ากดดOกามังกกมงับังัมรังบัลXบัรรับลรูปลําปููปาํูปYําดดดับบั บั CCC Or ท่ีทรพํารพรรพอ้ .ใ้ออ้.ท้อหย.ทยทยย.เ้.เทเ.เแทBทแท่าแร่าAา่รา่ขรเขขเงขอเDงอางออางางง=พง=พ=พ=rพ==rื้น==rื้นื้นCื้น14ท14==ท144ท214==ท14A==124่ีแ==142่ีแี่แ่แีรDร3(รรเ34(32เ34(ง.เ42เ4ง.1ง.2าง.12ถ12า12า42า)2242)4า้4)12=12–12=12=–A–=–2Bพ221พ22212พ121.1=.ท11=.ท14=2ท=4=.24245.2.11ห1ต1.ตต.1น.ตOา.11Oา14าOาร่ว4X4ร4รXรายXาาางYงYงหงAYหหหCนนนนว่ ่ว=ว่่วยยยย6 Y YYYA rr yy'y' ' AAA r 6 C OO rr B CC Ox r BB C y xx ตาราง6ห66นว่ ย B yy 114 x มจี ุด D Ay ร1ปู1111ส144า4มเตหตตาลาารรยี่ ราามางงหงหหนAนนว่Bว่ ่วยCยย บนด้าน BC หน่วย AA ตอบA ตต1ตออ4อบบ.บ 111444... แดแรนดแรดแดแรูปล้าูปวล้าล้าูปลา้นสะนคสะนะนสะาิดาABามABABมABDDมเDDDDเDDหเหหแ=ลแ=แ=ลแ=ลลย่ีลล4ย่ีละ4ี่ย4มะ4ะมะดมหดดหดห้าหน้าAา้นา้นAนนนAน่วBนว่Bว่ว่ยBDCยDยCDยDCCCCCแแแเแมลเมทลเลเมทลีจทว้ทจีว้า่้วจีว้พ่าุดา่พดุ่ากพพุดกก้ืนกับน้ืนื้ับนื้ับDบัทกDททกDทกก่ีร่ตีีร่ี่ตี่รีต่ี่รปูีต่บาูปบูปาปูาบสารนสรนสรสราน่เี ดาเี่าห่เีดาง่เีหดหงา้งหหงล้าหลห้านลหลนนีย่ นน่ยีน่ยีน่ยีม่วมว่ม่วBมว่ยมBยมBยมCยมุมCุมCุมุมฉฉฉทฉาทาาทากที่ ก่ีทกก่ีททาํททําทําใมี่ ใมี่หมี่ใมี่หีขหขีขี้ขีน้ น้BนนBาBาาAาดAดดAดขDขขDขอDอออ=ง=งง=ดงดดดC้าCา้้าC้านนAนนAกAกกDกวDวDวว้า้า้า้างถงงถแงถแ้าแแา้ลา้ลลลAะAะะAะBดBดดBด้าา้=้า้าน=น=นนย5ย5ยย5าาาหาวหววหวเนเนทเเนททว่ทว่่า่วา่ย่าา่ยกกยกกบัAบัAบับัAขCขCขขCนนน=นา=า=าาดด6ดด6ข6ขขขหอหออหองนงนงงน่ว่ว่วยยย A สร้างวงกลมลอ้ มรอบรปู สามเหลย่ี ม ABC ตอ่ AD ออกไปตัดวงกลมที่จุด E ต่อ CE BBBB ต แตEตแตอEแตEนอEนออบ5นอDบว5D5Dบว5บD บวค1คคดิ4ิดิด 4ต441411ำ144ร44ำAงA6cตA6ห6ต6CตตCาCCนาาารรรอ่ ราาายางงงหงหหหนนนนสB่วสBว่Bว่สB่วรยDสรยDAยDรยD้าAAร้าA5BBAงา้DBAำ้งDBADวBA·งDBวง6C5BวงBC5ABC·5วงDC 5AกDงADDA=กDง=C6ก=ลC6=CC6ก=ลC6 ลม4= ลม==ม==ล21มล1A 1ล1 A44อ้+AลA44อ้144D44อ้ 2มD D2อ้ม4D22Bม2Aร+2 มAร2+Aต2+DAรอต+ตEตอรตEEอาBบE·ำCาBบาอDCBDารCBบรCDDรรDรDDบรราDCEDำราูปาEEางปู EรงDงปูงสหDงDหูปสหDAหCสหAาAนCAาCนสนCDมานนDมD่วAADำ่วม่วAAเ่วAA่วAAยเหมBยEยเหยBEยBEหBEเลAลหAลAีย่ADย่ี ลDี่ยมDDAAม2ยี่AAมAA2AA2D2CมDCDACDCA ABBABBBBBCDBCDDCDCAACA ACBตCตCBตDBBตD่อD่อDอ่อ่A AAAAAACACDCCDDD อออAออAAออAอDกDกกDDกไไไปไAปปAปAAตEตตEตEดัEัดัดดั ววววงAงงAกงAAกกDกลDDลDล(ม(ม(Aม(AทAAทDทD่ีจDDีจ่ ี่จดุ ดุดุDE DEDEDEEต EEต)ต)่อ))่อ่อ CCCCEEEE

เสริมคิด...คณติ ศาสตร ระดับมธั ยมศึกษาตอนตน (ระดบั ประเทศ ป 2553) : 46 151. 5. สแตล่วาสแตมน้วล่วาสลขมน้วิบาํอสลขดงเบิทาํอเบั สดงเา่ ทน้เับขส่าBตอน้ขรDงBตอพงรDงื้นพงAยท้นืPาAีส่ยวท่วPากส่ี2วนับว่4กท2สนับ่แีน4ว่ทสร้วิน่แีนเว่ ขงริว้นาถอเขเงา้งปาถอเเสน็า้Bงปน้เกCส็นBต่ีตน้กCรา/ต่ีตรง/ราา/งรAA/งนาPDAAง้วิ น(PDดส้ิว(ัง(ัมดรสผ(ปูงัมั สัร)ผปูวัสง)27วก2งล27ก)2มล)มC Cทม่ี ทรี ่มี ัศรีมัศี 7มี น7้วิ นท้วิ ่ีจทดุ ่ีจดุ P PแลแะละD D P P C C แลลาานลลแแกกวาานนคกกCBววดิ PFคคCBิดดิ PFแขนลขแะานลนะาCกนDบั CกDบั ทPCาํ ทPใCหําใ้ หPˆ้ A B D A B D PˆแลแะละDˆ Dˆเทเ่าทก่าบั กบั 9090BCBCตดั ตเสัด้นเสร้นอรบอวบงวทง่จี ทดุ ่จี ุดE Eทาํ ทใหาํ ใ้ หF้PFP2525 ใหใ้ หAA้ BFAA2B=F2=Xx2Xx24949 แตแ่ ตA่ PAAPBAABDADx2x24949 P x x25252424 x2x24949 P x2x22xx2x21xxx121xx12x4x42822x4x428244994499 25 F 25 7 F 7 C EC 7 E7 7 7 A B 24 D A B 24 D    สแพติบ.ทสแพพ่เตบิท...ทท่พแเ่าท.ขร..เทแ่าเอซงขร.ง็กเาเอซพงเพงต็กา.=ทพน้ือเพต.ท.ร=ทืน้อ2์ส่ี .ทร5Pว่ 2์C9ส่ี น5PAว่Eท–C9นP่ีแAE3ทC–รP38แ่ีB9เ3C6ง.0ร5308า=B9เ6ง.0512014า=1=22,1214421=2729712ส0,24275งู9712ส022745งู2ต92ผ074า2ตล.9Aร5ผ02าาบP5ล.Aรง5ว2ตนาบPก5งาBิว้วดตนร2กC้าาาBว้ิ5ดนรง29Cา้นา5คนง9ิว้ขู่ นคนิ้ว่ขู านนาน ตอตบอบต2อ,22บ0,2520,52ต05าตร ตาารงำนารงำ้ิวนงน้ิว ้ิว

แบบทดสอบการแขงขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553-2554 : 47 16. ถ้า X เปน็ คําตอบของสมการ 2553 x  48  2010 x  2553 x  4  2010 3 2553 x  48  2010 x 2553 x  4  2010 3 ตถแแ้าลนอ้วบวXคเxปดิ 23น็ 4ค54ําxตอบ1256ขจ1.อ1ะ6xง6ไx.ส2.ดxตถแแมม้2า้ลนอ1คีกตถแแ17้ว6บตถแแว3X่าา้ลนอ6xxx1้าลคน4อเรเว้.บxทวxXx6้วปดิบวxX2คา่13.221็นเ4คxใเป4ิดx455489ตถแแป2ดคดิ2ตแแ4355245น็43xา้ล5นอําล็นนอตถแแ433xคต4ตว้บวว้บค5า้ลนวอXX4าํ5อ004อxค้วําxxx1คบ33วเตXxxบxxxxบ22ตป6ดิ42ดิคอ2225เ3 x453ขอ3็นปดิ3จบ44242อ4บ2432ค44885น็ะข5x4455ง44จขx2าํ5ไxค2อจสxx2xด15ตะอx4าํxะงมม22ไ้xxอx2งตสไ2x1ดค0ี0กxส22บด227มx6ม2อ131้่า12ามม55x้x51ข20คxี0บ(ก24เร1จคี7จกx6ท3xอ5่าx7าข63ะxxxะ่าาxจxxxx4เา่งรxx1xxx-2x2อ1ไ4xx4เทรไxxสะใx22422ทด55x24xxx8ด1x9งxxด2่า+-มไx4x1มม5522414้ส่า62232้1xด252ใ21x44117คี335541ก8คี9ใม)ม4ด422x255774้4866927335546ดx(23่าา41xา่555คีx54กxx00xxxxxx33xxx5+44xเ7รxx164เ5533333-่าทาxxxทxx+xx2x6x33x42+xxx004เรx11x่าxx11100ทา่45333x2212211x44x1xx412x4433xใ44x29446ใ425545544x88xxx99า่421846ด2942x5442214ด884442)4535545544ใ44xx45553554x2x448593333ด22=======4444254541884x245448833x2220000033001(x2xx0x2xxxxx1133331102033x2xx42xx62x1226600x44222612x1224xx1133-22452+554433x000045x32624200444404211+441224531144422888814x10044xx00xx220)x24222488221111x2+xx2222233xx10000222222221111115510012000055221112233550055xxxx555533xxxx33xx2222xx445555225555554433334455223300xxxx1212220000xx001144441100330044 3 16. 3223002110001033 3 322002110001033 3 17. ถา้ a, b, c เปน็ คําตอบของสมการ x3  8x2  27x  3  0 แลว้ a  b  c  a  c  b มีค่าเทา่ ใด baacbc 1acเป71.็น17ตacค7.อาํ.ถแตตบตา้นอbอcถแอ1ถแวบบ้าน7บ1า้คน6ข.วa7ดิวbc9baอตค=ต,.6คง6aอดิbอต9abaaaถแสดิแ,9abบ,บ,อ้านมนbaถแbcbบ1กaว1bา้นว,ba,าคคcbaว66cรaacิดเิดค9ab9abป6,1b1caดิ 9acabน็เb,acเป1axปa,cคbba็นba31ccาํน็ab,acคbaตbacคc1bาํbอc82ําac3เตac7xบacตป1abอcac2bเขbอc็นป1cบbcอบacค=ac็นข811aงc2ขาํbcacคอaaส=7bcตอ=aํางมxbอcabงaabcตส1aก1aa1bbสบ3มbอcาcมb3ข1บกa1bร1กa1bbcอbcา=ข1b=161cc1aางรbc9อ0c=ร=aaสa1b11acxงแ1b1cมaaส31cลab1b11กaa1bxa1bม1cabว้x33า1acc1b1กa1bab3812cรab3bา7xab1acab1a1bb1cb1รc8221bb382b7xc11cb31cac1a17xaxx1aac1a2bba812bb3311ac21cc1a1cbaxbab1c7cb3b1c8a11abac21xb81b11aabacc88222b7311c3b7xx713ba7aac1aacx812aaaabcb22x3bbb3abc7x1bacc11aac31c1bbc2b3c16bc31ac18c11a8cb2231ac930cbca77bc816bccb11ac1a2แa16caxx19a0cab7ab9ล01cb1ba1bแx3c3้วabแ3cbcaccลb1b331bba3ล1bc้วbccbcabb31ca3ว้acม16c1631ca1aacbc9009cีคbcbcba16c1a1aab1aแ9า่0bac1bbcเล1bbแ1bbcทcccab้วcล13b1bab3acา่ac1bbaccว้bใ1cc3aabbac1aดac1aaacbac3cba1c1abccacbac1caabbaabacbcb1b1cbacc3bacbacbacb1cbbcb3aaccac3a1bccb1cabcbaacaabcb1bccacacaacccabbccมcabcaca33คีabaมbbccbbา่3มaีคbเbcbีคbท่าcา่bbccเ่าaเaทใcทbccดa่าม่าใ3ีคbใมbดดา่ีคb3เ3า่ทccเ่าทcใ่าดใ33ด3 17. ถ้า a, b, c แนวคดิ  b  a a b ตอบ 69

เสรมิ คิด...คณติ ศาสตร ระดับมธั ยมศกึ ษาตอนตน (ระดบั ประเทศ ป 2553) : 48  1118188.8... ถแตแถแตแถตแแ้าลนถตแแอา้ลนอา้ลนอว้า้ลนบอวว้บPว้วบวPP้วบคว(Pคค((xPxคดิPx(Pิดดิ)x)(P)(ดิ(11)1(–เ)–1เ–)เป)ป3–ปเ3)+3+ป+น็53็น5น็+P5P็นP0พP50พP0พ(PP((0(1พPห(1หPP(12(หPPP2)PP2PP(1)หPนุPP))((PPPุน2P)ุน((P(P))((((Px(1(นุ(1P2า2x)+((1((12า2x12(1+1(2า2+21(ม))2x11(12า2ม)))+ม)))))21)))P))ทม))+Pท)+Pท+))(Pท+ี่ม=((3ม่ี=่มี=3P3(PPี่ีม=)3ี)ี(P)((2ี0)+2P02+(0+2PP)2212)0+1)P111P211Px11P)1+11PPx11,+Px6511+,1165(P,656(5Px1(16+5((11651,(465111P4111(465P(P)6P51)11)P64P5))6P(5PP)P(x(3)6xP5)x(3ม1P3((ม11(ม41x11x)4311x)4(มคี11x)คี1)คี44)1x)+4)+4่าีค+่า)Pา่4+PเP=า่เ=Pเท(=PPท(Pทเ1(21=P121(PP12ท1า่(P((1า่4)1า่2114P)–14)ใ(–x่าใ5–)xใ14)5ดx)452)ด–4ใ2ด4x25)ด5425=05=,0=,055,5P=,50P,,P,52P,20200,2x1,,1x0x1–,–x1––111แแแ5155ลแลล5–ะล–ะ–ะ–ะ88P8PP080P0012–1212––12–2225255115115115565116565565,=,,P==PP,PP=P(PPPP(((P1P3–((13(–133–133(131333)–133))3)3)13)53)55)0500088888801808101018888888880818888010101880180081188880101880101 011111111113131381838080040444