เสริมคิดคณิตศาสตร์ม.ต้น 49-50

‡ √¡‘ §‘¥ §≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™«à ß™πÈ— ∑’Ë 3 μ«— Õ¬“à ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥μ‘ »“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ‡Õ° “√  π°.2/2551 ‚§√ß°“√æ—≤π“§ÿ≥¿“æ°“√‡√’¬π√Ÿâ Ÿà “°≈  ”π—°æ—≤π“π«—μ°√√¡°“√®—¥°“√»÷°…“  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√

™◊ËÕÀπ—ß ◊Õ : ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ºŸâ√«∫√«¡‡√’¬∫‡√’¬ß : 𓬪√“‚¡∑¬å ¢®√¿—¬ : π“ßπ‘®«¥’ ‡®√‘≠‡°’¬√μ‘∫«√ : π“ßÕ√πÿ™ ¡—Ëß¡’ ÿ¢»‘√‘ : π“ß√—™π’ π“§π§√ : π“ß«√√≥«‘¿“  ∑ÿ ∏‡°’¬√μ‘ ISBN : 978-974-650-862-9 : ≈‘¢ ‘∑∏‘Ï  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π æ‘¡æå§√—Èß∑’Ë 1 : ¡‘∂ÿπ“¬π æ.». 2551 ®”π«πæ‘¡æå : 4,000 ‡≈à¡ æ‘¡æå∑’Ë : ‚√ßæ‘¡æå™ÿ¡πÿ¡ À°√≥å°“√‡°…μ√·Ààߪ√–‡∑»‰∑¬ ®”°—¥ 79 ∂ππß“¡«ß»å«“π ·¢«ß≈“¥¬“« ‡¢μ®μÿ®—°√ °√ßÿ ‡∑æ¡À“π§√ 10900 ‚∑√. 0-2561-4567 ‚∑√ “√ 0-2579-5101 𓬂™§¥’ ÕÕ ÿ«√√≥ ºâæŸ ‘¡æåºâŸ‚¶…≥“ æ.». 2550 ‚§√ß°“√æ—≤π“§≥ÿ ¿“æ°“√‡√’¬π√âŸ àŸ “°≈  ”π—°æ—≤π“π«—μ°√√¡°“√®—¥°“√»÷°…“  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π ‚∑√. 0 2280 5562 Website : http://www.inno.obec.go.th : http://www.ilg.net E-mail : [email protected]

§”π”  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π ¡’π‚¬∫“¬¬°√–¥—∫§ÿ≥¿“æ¡“μ√∞“π°“√»÷°…“ ¢—Èπæ◊Èπ∞“π ‚¥¬„™â°√–∫«π°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ °√–∫«π°“√«‘®—¬æ—≤π“§ÿ≥¿“æ°“√‡√’¬π√⟠‡ªìπ‡§√◊ËÕß¡◊Õ„π°“√¢—∫‡§≈◊ËÕππ‚¬∫“¬ Ÿà°“√ªØ‘∫—μ‘ ·≈–„π‚Õ°“ ∑’Ë ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“ ¢—Èπæ◊Èπ∞“𠉥â√—∫‡™‘≠®“°°√–∑√«ß Àπ૬ߓπ∑“ß°“√»÷°…“μà“ߪ√–‡∑» „π°“√æ‘®“√≥“ àßπ—°‡√’¬π ‡¢â“√à«¡°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ √–¥—∫π“π“™“μ‘ ®÷߉¥â¥”‡π‘πß“π‚§√ß°“√æ—≤π“§ÿ≥¿“æ°“√‡√’¬π√Ÿâ Ÿà “°≈ °®‘ °√√¡°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ √–¥∫— π“π“™“μ‘ ‡æÕË◊ ‡ª¥î ‚Õ°“ „Àπâ °— ‡√¬’ π‰¥·â ≈°‡ª≈¬Ë’ π‡√¬’ π√ Ÿâ ‡Ÿà «∑«’ ™‘ “°“√ μ≈Õ¥®π‰¥â· ¥ß§«“¡ “¡“√∂„π‡«∑’·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ √–¥—∫π“π“™“μ‘  ”À√—∫°‘®°√√¡°“√·¢àߢ—π ∑“ß«‘™“°“√ ‡ªìπ‡«∑’·Ààߪ√– ∫°“√≥åπÕ°ÀâÕ߇√’¬π ·≈–‡ªìπ°â“«Àπ÷Ëß ”À√—∫π—°‡√’¬π∑’ˉ¥â¡’‚Õ°“  æ—≤𓧫“¡ “¡“√∂‡μÁ¡μ“¡»—°¬¿“æ ‡Õ° “√™ÿ¥‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å·≈–‡ √‘¡§‘¥«‘∑¬“»“ μ√å (μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å ·≈–μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫«‘∑¬“»“ μ√å „π°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ªï æ.». 2549-2550) ‡ªìπº≈º≈‘μ ®“°°“√»÷°…“«‘‡§√“–Àå‡π◊ÈÕÀ“ “√–°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ √–¥—∫π“π“™“μ‘ ‡πâπ¥â“π°√–∫«π°“√∑“ß §≥‘μ»“ μ√å·≈–«‘∑¬“»“ μ√å ´÷Ëß„™â‡ªìπæ‘¡æ凢’¬«„π°“√ √â“ß·∫∫∑¥ Õ∫∑’Ë„™â„π°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ √Õ∫√–¥—∫‡¢μæ◊Èπ∑’Ë°“√»÷°…“·≈–√Õ∫√–¥—∫ª√–‡∑» ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π∑’Ë¡’§«“¡ “¡“√∂ ∑“ߥâ“π§≥‘μ»“ μ√å·≈–«‘∑¬“»“ μ√å ‡ªìπμ—«·∑ππ—°‡√’¬π‰ª·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ √–¥—∫π“π“™“μ‘ ªï æ.». 2549-2550 ‡Õ° “√™ÿ¥π’ȇº¬·æ√à‡ªìπ·π«∑“ßÀπ÷Ëß„π°“√æ—≤π“§ÿ≥¿“æ°“√‡√’¬π√⟷≈– æ—≤π“¢’¥§«“¡ “¡“√∂¥â“π°√–∫«π°“√§‘¥¢Õßπ—°‡√’¬π „Àâ “¡“√∂°â“«∑—π‚≈° °â“«∑—π°“√‡ª≈’ˬπ·ª≈ß μ≈Õ¥®π “¡“√∂π” ‘Ëß∑’ˉ¥â®“°°“√‡√’¬π√⟉ªª√—∫„™â„π™’«‘μª√–®”«—π‰¥âÕ¬à“ß¡’§«“¡ ¢ÿ  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π ¢Õ¢Õ∫§ÿ≥§≥–∑”ß“π∑ÿ°∑à“π∑’ˉ¥â¡’ à«π√à«¡ ®—¥∑”‡Õ° “√™ÿ¥‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å·≈–‡ √‘¡§‘¥«‘∑¬“»“ μ√å ·≈–¢Õ¢Õ∫§ÿ≥Àπ૬ߓπ∑’ˇ°’ˬ«¢âÕß „π°“√√à«¡ √â“ß √√§å‡ªî¥‚Õ°“ „Àâπ—°‡√’¬π‰∑¬‰¥â°â“«‰°≈ àŸ‡«∑’ “°≈  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π ¡‘∂πÿ “¬π 2551

 “√∫—≠ Àπâ“ §”π” 1  “√∫—≠ 3 §”™’È·®ß 9 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫·≈–·π«§‘¥·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 31 „π°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ªï æ.». 2549 37 ë μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 59 61 ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π√–¥—∫‡¢μæ◊Èπ∑’Ë°“√»÷°…“ ªï æ.». 2549 67 89 ë μ—«Õ¬à“ß·π«§‘¥·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 95 119 ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π√–¥—∫‡¢μæ◊Èπ∑’Ë°“√»÷°…“ ªï æ.». 2549 125 ë μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ªï æ.». 2549 ë μ—«Õ¬à“ß·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ªï æ.». 2549 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫·≈–·π«§‘¥·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 „π°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ªï æ.». 2550 ë μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π√–¥—∫‡¢μæ◊Èπ∑’Ë°“√»÷°…“ ªï æ.». 2550 ë μ—«Õ¬à“ß·π«§‘¥·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π√–¥—∫‡¢μæ◊Èπ∑’Ë°“√»÷°…“ ªï æ.». 2550 ë μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 (©∫—∫∑’Ë 1) ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ªï æ.». 2550 ë μ—«Õ¬à“ß·π«§‘¥·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 (©∫—∫∑’Ë 1) ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ªï æ.». 2550 ë μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 (©∫—∫∑’Ë 2) ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ªï æ.». 2550 ë μ—«Õ¬à“ß·π«§‘¥·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 (©∫—∫∑’Ë 2) ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ªï æ.». 2550

§”™’È·®ß  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π‚¥¬ ”π—°æ—≤π“π«—μ°√√¡°“√®—¥°“√»÷°…“ ‰¥â®—¥∑”‡Õ° “√™ÿ¥‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å·≈–‡ √‘¡§‘¥«‘∑¬“»“ μ√å μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å ·≈–μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫«‘∑¬“»“ μ√å ∑’Ë„™â„π°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ªï æ.». 2549-2550 ‡ªìπº≈º≈‘μ ®“°°“√¥”‡π‘πß“π‚§√ß°“√æ—≤π“§≥ÿ ¿“æ°“√‡√’¬π√âŸ àŸ “°≈ °‘®°√√¡°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ √–¥—∫π“π“™“μ‘ ®—¥∑”¢÷Èπ‡æ◊ËÕ‡º¬·æ√à‡ªìπ·π«∑“ßÀπ÷Ëß ”À√—∫§√ŸºŸâ Õπ„™â„π°“√®—¥°‘®°√√¡°“√‡√’¬π√Ÿâ·≈– ”À√—∫ºŸâ‡√’¬π „™â‡ªìπ·∫∫Ωñ°‡ √‘¡∑—°…–‡æ‘Ë¡æŸπª√– ∫°“√≥å æ—≤π“ºâŸ‡√’¬π„Àâ¡’§«“¡ “¡“√∂∑“ߥâ“π§≥‘μ»“ μ√å ·≈–«‘∑¬“»“ μ√å ‡ªìπ°“√‡æ‘Ë¡¢’¥§«“¡ “¡“√∂¥â“π°√–∫«π§‘¥ °“√·°âªí≠À“ μ≈Õ¥®π “¡“√∂π” ‘Ëß∑’Ë ‰¥â®“°°“√‡√’¬π√⟉ªª√—∫„™â„π™’«‘μª√–®”«—π„π∑°ÿ ‚Õ°“ μàÕ‰ª ‡Õ° “√™ÿ¥‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å·≈–‡ √‘¡§‘¥«‘∑¬“»“ μ√å ª√–°Õ∫¥â«¬μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫ §≥‘μ»“ μ√å·≈–μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫«‘∑¬“»“ μ√å ®”π«π 3 ‡≈à¡ ¥—ßμàÕ‰ªπ’È ‡≈à¡∑’Ë 1 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 2 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ‡≈à¡∑’Ë 2 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ‡≈à¡∑’Ë 3 ‡ √‘¡§‘¥«‘∑¬“»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 2 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫«‘∑¬“»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ‡Õ° “√‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ ∑’Ë 3 (ªï æ.». 2549-2550) ‡ªìπ°“√𔇠πÕ«‘∏’°“√ ¬ÿ∑∏»“ μ√å°“√·°â‚®∑¬åªí≠À“§≥‘μ»“ μ√å ‚¥¬„™â‡ªìπ æ‘¡æ凢’¬«„π°“√ √â“ß·∫∫∑¥ Õ∫∑’Ë„™â„π°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√√Õ∫√–¥—∫‡¢μæ◊Èπ∑’Ë°“√»÷°…“·≈– √Õ∫√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2549-2550 ‡æ◊ËÕ§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π∑’Ë¡’§«“¡ “¡“√∂∑“ߧ≥‘μ»“ μ√å√–¥—∫ ‡¢μæ◊Èπ∑’Ë°“√»÷°…“·≈–√–¥—∫ª√–‡∑»  ”π—°æ—≤π“π«—μ°√√¡°“√®—¥°“√»÷°…“ ¡‘∂ÿπ“¬π 2551

μ—«Õ¬à“ß ·∫∫∑¥ Õ∫·≈–·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫ §≥‘μ»“ μ√å √–¥∫— ™«à ß™—Èπ∑’Ë 3 „π°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ªï æ.». 2549 ‚¥¬  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—ÈπæÈπ◊ ∞“π

2 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

μ—«Õ¬à“ß ·∫∫∑¥ Õ∫§≥μ‘ »“ μ√å √–¥—∫™«à ߙȗπ∑Ë’ 3 ‡æËÕ◊ °“√§—¥‡≈Õ◊ °π—°‡√’¬π√–¥∫— ‡¢μæÈπ◊ ∑°Ë’ “√»÷°…“ ªï æ.». 2549 §”™’È·®ß 1. ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫π’ȇªìπ·∫∫∑¥ Õ∫™π‘¥‡μ‘¡§”μÕ∫ 2. ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫π’È¡’®”π«π 35 ¢âÕ ·∫à߇ªìπ 2 μÕπ §–·ππ‡μÁ¡ 100 §–·ππ μÕπ∑’Ë 1 ¡’®”π«π¢âÕ Õ∫ 20 ¢âÕ §◊Õ ¢âÕ 1-20 ¢âÕ≈– 2 §–·ππ √«¡ 40 §–·ππ μÕπ∑’Ë 2 ¡’®”π«π¢âÕ Õ∫ 15 ¢âÕ §◊Õ ¢âÕ 21-35 ¢âÕ≈– 4 §–·ππ √«¡ 60 §–·ππ 3. ‡«≈“∑’Ë„™â„π°“√ Õ∫ „™â‡«≈“ 2 ™—Ë«‚¡ß ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 3

μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π√–¥—∫‡¢μæ◊Èπ∑’Ë°“√»÷°…“ ªï æ.». 2549 μÕπ∑’Ë 1 ¡’®”π«π 20 ¢âÕ §◊Õ ¢âÕ 1-20 ¢âÕ≈– 2 §–·ππ 7 7 7 1. 77 À“√¥â«¬ 10 ‡À≈◊Õ‡»…‡∑à“„¥ 2. (2 + 3)2 (2 › 3)3 + (2 › 3)2 (2 + 3)3 ¡’§à“‡∑à“„¥ 3. ªí®®ÿ∫—π‰¡μ√’Õ“¬ÿ 42 ªï ∂Ⓣ¡μ√’¡’Õ“¬ÿ‡∑à“°—∫¡πμ√’„πªí®®ÿ∫—π ·≈â«¡πμ√’®–¡’Õ“¬ÿ ‡ªìπ§√÷ËßÀπ÷ËߢÕ߉¡μ√’ ¥—ßπ—Èπ ªí®®∫ÿ —π¡πμ√’¡’Õ“¬°ÿ ’˪ï 4. ¡’π—°‡√’¬π 101 §π §√§Ÿ π∑’Ë 1 ¡’¢Õ߇≈àπ 75 ™‘Èπ ·®°„Àâπ—°‡√’¬π§π≈– 1 ™‘Èπ ‚¥¬·®° ‡√’¬ß≈”¥—∫®“°§π∑’Ë 1 ®“°´â“¬¡◊Õ‰ª¢«“¡◊Õ §√Ÿ§π∑’Ë 2 ¡’¢Õ߇≈àπ 51 ™‘Èπ ·®°„Àâπ—°‡√’¬π§π≈– 1 ™‘Èπ ‚¥¬·®°‡√’¬ß≈”¥—∫®“°§π∑’Ë 101 ®“°¢«“¡◊Õ¡“´â“¬¡◊Õ §√Ÿ§π∑’Ë 3 ¡’¢Õ߇≈àπ 45 ™‘Èπ ·®°„Àâπ—°‡√’¬π§π≈– 1 ™‘Èπ ‚¥¬·®°‡√’¬ß≈”¥—∫‡√‘Ë¡®“°§π∑’Ë 40 ®“°´â“¬¡◊Õ‰ª¢«“¡◊Õ ¡’π—°‡√’¬π°’˧π∑’ˉ¥â√—∫¢Õ߇≈àπ 3 ™‘Èπ 5. ∂â“ a ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡∫«° ·≈â« (a + 4)(a + 2)(a › 2)(a › 4) + 36 ¡’§à“‡∑à“„¥ 6. „ÀâÀ“®”π«π‡μÁ¡∫«° m ∑’Ë∑”„Àâ 7m2 + 7m + 7 ‡ªìπ‡®Á¥¬°°”≈—ß ’Ë 7. ∂â“ (a2 › a)3 + (2a2 › 4)3 = (3a2 › a › 4)3 ·≈⫺≈§Ÿ≥¢Õߧ”μÕ∫∑—ÈßÀ¡¥¢Õß ¡°“√π’ȇªìπ‡∑à“„¥ ( )8.1 1 2 2 + 1 + 3+ 2+ 1 +...+ 1 15 4+ 3 16 + ¡’§à“‡∑à“„¥ 4 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

9. ®”π«π‡μÁ¡∑’Ë¡“°∑’Ë ÿ¥∑’ËπâÕ¬°«à“À√◊Õ‡∑à“°—∫ 1040 ¡’§à“‡∑à“„¥ 1035 + 3 10. ∂â“ a = 5 + 1 ·≈– b = 10 + 5 10 + 1 10 › 1 ·≈â« a + b › 1 ¡’§à“‡∑à“„¥ a›b+1 11. ∂â“ x + 1 = 32 ·≈â« x3 + x›3 ¡’§à“‡∑à“„¥ x 2 A 12. 3 7 ®“°√Ÿª∂â“ AB = 3 Àπ૬ 4 AC = 7 Àπ૬ AD = 4 Àπ૬ ·≈â« BC √ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡ ABC ¡’æ◊Èπ∑’Ë°’Ëμ“√“ßÀπ૬ 13. ∂â“ a Ó b = ab + a + b ·≈â« 1 Ó 1 Ó 1 Ó 1 Ó...Ó 1 ¡’§à“‡∑à“„¥ 2 3 4 2549 14. ∂â“ a4x = 3 › 2 2 ·≈– a›4x = 3 › 1 2 ·≈â« a6x + a›6x ¡’§à“‡∑à“„¥ 2 a2x + a›2x 15. „Àâ m ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡∫«°·≈– p ‡ªìπ®”π«π‡©æ“–∫«° ∂â“ m À“√ 777 ·≈– 910 ·≈⫇À≈◊Õ‡»… p ‡∑à“°—π·≈â« m2 + p2 ¡’§à“‡∑à“„¥ 16. æ“√“‚∫≈“∑’˺à“π®¥ÿ °”‡π‘¥·≈–ºà“π®ÿ¥ (1, 12) ·≈– (3, 6) ¡’®¥ÿ ¬Õ¥§◊Õ®ÿ¥„¥ 17. 35 ‡¡◊ËÕ‡ª≈’ˬπ‡ªìπ‡≈¢∞“πÀ°·≈â« μ—«‡≈¢ ÕßÀ≈—° ¥ÿ ∑⓬‡ªìπ‡∑à“„¥ 18.  —¡ª√– ‘∑∏‘Ï ¢Õß x2 ®“°°“√°√–®“¬ (1 + x + x2)3 ‡ªìπ‡∑à“„¥ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 5

19. ‡≈¢‚¥¥ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 π”¡“ √â“ß®”π«π∑’Ë¡’ ’ËÀ≈—° „Àâ¡’§à“¡“°°«à“ 6,000 ‚¥¬‡≈¢‚¥¥·μà≈–À≈—°Àâ“¡´È” ¬°‡«âπμ—«‡≈¢ 4 ‡∑à“π—Èπ∑’Ë„™â´È”‰¥â ®– √â“߉¥â°’Ë®”π«π 20. ∂â“ m ·≈– n ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡∫«°´÷Ëß m2 › n4 = 19 ·≈â« m2 + n4 ¡’§à“‡∑à“„¥ μÕπ∑’Ë 2 ¡’®”π«π 15 ¢âÕ §◊Õ ¢âÕ 21-35 ¢âÕ≈– 4 §–·ππ 21. ∂â“ a, b ‡ªìπ§”μÕ∫¢Õß ¡°“√ x2 › x › 1 = 0 ·≈â« a9 + b9 ¡’§à“‡∑à“„¥ 22. „ÀâÀ“®”π«π„π·∂«∑’Ë 89 π—∫®“°´â“¬¡◊Õμ—«∑’Ë 3 ·∂«∑’Ë 1 1 ·∂«∑’Ë 2 234 ·∂«∑’Ë 3 56789 ·∂«∑’Ë 4 10 11 12 13 14 15 16 μ—«Õ¬à“ß ‡™àπ ·∂«∑’Ë 4 ®“°´â“¬¡◊Õμ—«∑’Ë 3 §◊Õ 12 ·∂«∑’Ë 3 ®“°´â“¬¡◊Õμ—«∑’Ë 3 §◊Õ 7 23. °”Àπ¥ ABC ‡ªìπ√ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡„¥ Ê ∑’Ë¡’æ◊Èπ∑’Ë 24 3 μ“√“ßÀπ૬ ∂â“ a ‡ªì𧫓¡¬“« ¥â“πμ√ߢⓡ¡ÿ¡ A, b ‡ªì𧫓¡¬“«¥â“πμ√ߢⓡ¡¡ÿ B ·≈– c ‡ªì𧫓¡¬“«¥â“πμ√ߢⓡ¡ÿ¡ C ·≈– a + b = 20 Àπ૬ c = 16 Àπ૬ ·≈â« a › b ¡’§à“‡∑à“„¥ 24. 𑬓¡ n! = 1 Ó 2 Ó 3 Ó 4 Ó ... Ó n ‡¡◊ËÕ n ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡ ∂Ⓡ¢’¬π 20! „π√ªŸ A Ó 10n ‡¡◊ËÕ A ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡·≈â« n ¡’§à“‡∑à“„¥ ¡’ 3 ®”π«π 2,006 μ—« ¡’ 2 ®”π«π 2,006 μ—« 25. º≈√«¡¢Õ߇≈¢‚¥¥ ´÷Ë߇ªìπº≈≈—æ∏å¢Õß (333 ... 333)2 + 222 ... 222 ‡ªìπ‡∑à“‰√ } } 6 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

26. ∂â“ x = 2549, x = 2 , x = 3 , x = 4 x x x 1 2 3 4 3 12 x = 5 , x = 6 , x = 7 , x = 8 ·≈⫺≈§≥Ÿ 5x 6 x 7x 8 x 4 56 7 x x x x x x x x ‡ªìπ‡∑à“„¥ 12345678 27. ∂â“ x, y, z ‡ªìπ®”π«π®√‘ß∫«° ´÷Ëß xy + x + y = 11, yz + y + z = 14 zx + z + x = 19 ·≈â« xyz + x + y + z ¡’§à“‡∑à“„¥ 28. ∂â“ x ·≈– y ‡ªìπ®”π«π®√‘ß ´÷Ëß x3 + y3 + (x + y)3 + 30xy = 2,000 ·≈â« x + y ¡’§à“‡∑à“„¥ 29. ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡¡’ AB = 20 Àπ૬ AC = 30 Àπ૬ ¡ÿ¡ BAC = 120 Õß»“ ∂â“ D ‡ªìπ®¥ÿ ∫π BC ∑”„Àâ AD ·∫àߧ√÷Ëß¡¡ÿ BAC ·≈â« AD ¬“«°’ËÀπ૬ 30. ∂â“ x ‡ªìπ®”π«π®√‘ß‚¥¬∑’Ë 2 < x < 3 ·≈â« x + 2 2x › 4 + x › 2 2x › 4 ¡’§à“‡∑à“„¥ 31. ∂â“ ⋅ 1 ⋅ 5 + ⋅ 1 ⋅ 7 + ⋅ 1 ⋅ 9 + ⋅ 1 11 + 9 ⋅ 1 ⋅ 13 + ⋅ 1 ⋅ 15 = a 1 3 3 5 5 7 7 9⋅ 11 11 13 b ‚¥¬∑’Ë a ·≈– b ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡∑’Ë À.√.¡. ¢Õß a °—∫ b ‡∑à“°—∫ 1 ·≈â« a + b ¡’§à“‡∑à“„¥ 32. ®“°√–∫∫ ¡°“√ .............................. ❶ 4y = 12 › x2 .............................. ➋ 4x = 12 › y2 ∂â“ A ·≈– B ‡ªìπ®¥ÿ μ—¥¢Õß°√“ø¢Õß ¡°“√·≈â« √–¬–√–À«à“ß®ÿ¥ A ·≈– B ‡∑à“°—∫°’ËÀπ૬ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 7

33. √ŸªÀ°‡À≈’ˬ¡¡ÿ¡‡∑à“ ´÷Ëß¡’§«“¡¬“« 4 ¥â“π ∑’ˇ√’¬ßμ‘¥μàÕ°—𠇪ìπ 6, 7, 8, 9 Àπ૬ ®–¡’§«“¡¬“«√Õ∫√ªŸ °’ËÀπ૬ 34. °”Àπ¥ ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡Àπâ“®—Ë« ¡’ AB = AC ¡¡ÿ BAC = 80 Ì ∂â“ D ‡ªìπ®ÿ¥¿“¬„π ∑”„Àâ ¡¡ÿ DAB = ¡¡ÿ DBA = 10 Ì ·≈â«¡ÿ¡ ADC ¡’¢π“¥°’ËÕß»“ 35. ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ ¡’ P ‡ªìπ®ÿ¥¿“¬„π ≈“° AP æ∫ BC ∑’Ë D ≈“° BP æ∫ CA ∑’Ë E ≈“° CP æ∫ AB ∑’Ë F ∑”„Àâ PD = PE = PF = 4 Àπ૬ ∂â“ AP + BP + CP = 6 Àπ૬·≈â« (AP) Ó (BP) Ó (CP) ¡’§à“‡∑à“„¥ 8 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

μ—«Õ¬à“ß ·π«§‘¥·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥∫— ™à«ß™È—π∑Ë’ 3 ‡æË◊Õ°“√§¥— ‡≈Õ◊ °π—°‡√¬’ π√–¥—∫‡¢μæπÈ◊ ∑’°Ë “√»°÷ …“ ªï æ.». 2549 §”™’È·®ß 1. ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫π’ȇªìπ·∫∫∑¥ Õ∫™π‘¥‡μ‘¡§”μÕ∫ 2. ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫π’È¡’®”π«π 35 ¢âÕ ·∫à߇ªìπ 2 μÕπ §–·ππ‡μÁ¡ 100 §–·ππ μÕπ∑’Ë 1 ¡’®”π«π¢âÕ Õ∫ 20 ¢âÕ §◊Õ ¢âÕ 1-20 ¢âÕ≈– 2 §–·ππ √«¡ 40 §–·ππ μÕπ∑’Ë 2 ¡’®”π«π¢âÕ Õ∫ 15 ¢âÕ §◊Õ ¢âÕ 21-35 ¢âÕ≈– 4 §–·ππ √«¡ 60 §–·ππ 3. ‡«≈“∑’Ë„™â„π°“√ Õ∫ „™â‡«≈“ 2 ™—Ë«‚¡ß ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 9

μ—«Õ¬à“ß·π«§‘¥·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π√–¥—∫‡¢μæ◊Èπ∑’Ë°“√»÷°…“ ªï æ.». 2549 μÕπ∑’Ë 1 ¡’®”π«π 20 ¢âÕ §◊Õ ¢âÕ 1-20 ¢âÕ≈– 2 §–·ππ 7 7 7 1. 77 À“√¥â«¬ 10 ‡À≈◊Õ‡»…‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ 7 = 4 (1) + 3 7 7 777 = 74n + 3 74n + 3 ‡À≈◊Õ‡»… 3 10 μÕ∫ 3 2. „ÀâÀ“§à“¢Õß (2 + 3)2 (2 › 3)3 + (2 › 3)2 (2 + 3)3 ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ (2 + 3)(2 › 3) = 22 › ( 3)2 4›3 = 1 12 (2 › 3) + 12(2 + 3) = 4 (2 + 3)2(2 › 3)3 + (2 › 3)2 (2 + 3)3= = μÕ∫ 4 10 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

3. ªí®®ÿ∫—π‰¡μ√’Õ“¬ÿ 42 ªï ∂Ⓣ¡μ√’¡’Õ“¬ÿ‡∑à“°—∫¡πμ√’„πªí®®ÿ∫—π ·≈â«¡πμ√’®–¡’Õ“¬ÿ‡ªìπ §√÷ËßÀπ÷ËߢÕ߉¡μ√’ ¥—ßπ—Èπ ªí®®ÿ∫—π¡πμ√’¡’Õ“¬ÿ°’Ëªï ·π«§‘¥ „Àâ ªí®®ÿ∫—π ¡πμ√’ Õ“¬ÿ x ªï ‰¡μ√’ Õ“¬ÿ 42 ªï ‡¡◊ËÕ‰¡μ√’ Õ“¬ÿ x ªï ¡πμ√’Õ“¬ÿ x ªï 2 º≈μà“ߢÕßÕ“¬§ÿ ß∑’Ë 42 › x = x › x 2 42 = 3 x 2 x = 28 μÕ∫ 28 ªï 4. ¡’π—°‡√’¬π 101 §π §√Ÿ§π∑’Ë 1 ¡’¢Õ߇≈àπ 75 ™‘Èπ ·®°„Àâπ—°‡√’¬π§π≈– 1 ™‘Èπ ‚¥¬·®° ‡√’¬ß≈”¥—∫ ®“°§π∑’Ë 1 ®“°´â“¬¡◊Õ‰ª¢«“¡◊Õ §√Ÿ§π∑’Ë 2 ¡’¢Õ߇≈àπ 51 ™‘Èπ ·®°„Àâπ—°‡√’¬π§π≈– 1 ™‘Èπ ‚¥¬·®°‡√’¬ß≈”¥—∫®“°§π∑’Ë 101 ®“°¢«“¡◊Õ¡“´â“¬¡◊Õ §√§Ÿ π∑’Ë 3 ¡’¢Õ߇≈àπ 45 ™‘Èπ ·®°„Àâπ—°‡√’¬π§π≈– 1 ™‘Èπ ‚¥¬·®°‡√’¬ß≈”¥—∫‡√‘Ë¡®“°§π∑’Ë 40 ®“°´â“¬¡◊Õ‰ª¢«“¡◊Õ ¡’π—°‡√’¬π°’˧π∑’ˉ¥â√—∫¢Õ߇≈àπ 3 ™‘Èπ ·π«§‘¥ æ‘®“√≥“®“°μ“√“ß π—°‡√’¬π§π∑’Ë 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 §π∑’Ë 1 > §π∑’Ë 2 §π∑’Ë 3 1 75 < 50 101 40 84 π—°‡√’¬π∑’ˉ¥â√—∫¢Õ߇≈àπ 3 ™‘Èπ §◊Õ§π∑’Ë 50 ∂÷ߧπ∑’Ë 75 √«¡ 26 §π μÕ∫ 26 §π ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 11

5. ∂â“ a ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡∫«°·≈â« (a + 4)(a + 2)(a › 2)(a › 4) + 36 ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ (a + 4)(a + 2)(a › 2)(a › 4) + 36 = (a2 › 16)(a2 › 4) + 36 = a4 › 20a2 + 64 + 36 = (a2 › 102) = a2 › 10 μÕ∫ a2 › 10 6. „ÀâÀ“®”π«π‡μÁ¡∫«° m ∑’Ë∑”„Àâ 7m2 + 7m + 7 ‡ªìπ‡®Á¥¬°°”≈—ß ’Ë ·π«§‘¥ = 7(m2 + m + 1) 7m2 + 7m + 7 = 74 ∴ ®–‰¥â 7(m2 + m + 1) = 73 = 343 m2 + m + 1 m2 + m › 342 =0 (m › 18) (m + 19) =0 m = 18 μÕ∫ 18 7. ∂â“ (a2 › a)3 + (2a2 › 4)3 = (3a2 › a › 4)3 ·≈⫺≈§≥Ÿ ¢Õߧ”μÕ∫∑—ÈßÀ¡¥¢Õß ¡°“√π’ȇªìπ‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ A = a2 › a B = 2a2 › 4 C = 3a2 › a › 4 ®–‰¥â A + B = C ¥—ßπ—Èπ A3 + B3 = C3 = A3 + B3 + 3AB (A + B) ®–‰¥â 3ABC = 0 π—Ëπ§◊Õ A = 0 À√◊Õ B = 0 À√◊Õ C = 0 A = 0 ®–‰¥â a2 › a = 0 ∴ a = 0, 1 B = 0 ®–‰¥â 2a2 › 4 = 0 ∴ a = 2, › 2 C = 0 ®–‰¥â 3a2 › a › 4 = 0 ∴ a = 4 , ›1 3 º≈§≥Ÿ ¢Õߧ”μÕ∫∑—ÈßÀ¡¥‡∑à“°—∫ 0 μÕ∫ 0 12 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

( )8. „ÀâÀ“21 1 + 1 2 + 4 1 3 +... + 16 1 15 2 + 3+ + + ¡’§à“‡∑à“„¥ 2 1 ( )·π«§‘¥ 1 + 1 + 1 +...+ 2 + 1 3 + 2 4 + 3 16 + 15 = ( 2 › 1 + 3 › 2 + 4 › 3 +...+ 16 › 15 )2 = (›1 + 16)2 = (›1 + 4)2 = (3)2 =9 μÕ∫ 9 9. ®”π«π‡μÁ¡∑’Ë¡“°∑’Ë ¥ÿ ∑’ËπâÕ¬°«à“À√◊Õ‡∑à“°—∫ 1040 ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ 1035 + 3 1040 = 105 (1035 + 3) › 105 (3) 1035 + 3 1035 + 3 = 105 (1035 + 3) 105 (3) › 1035 + 3 1035 + 3 3(105) = 105 › 3(105) 1035+ 3 ·μà < 1 1035+ 3 ∴ ®”π«π‡μÁ¡∑’Ë¡“°∑’Ë ÿ¥∑’ËπâÕ¬°«à“À√◊Õ‡∑à“°—∫ 1040 §◊Õ 99999 1035 + 3 μÕ∫ 99999 10. ∂â“ a = 5 + 1 ·≈– b = 10 + 5 10 + 1 10 › 1 ·≈â« a + b › 1 ¡’§à“‡∑à“„¥ a›b+1 «‘∏’∑” a = 5+1 ⋅ 10 › 1 = 50 › 5 + 10 › 1 10 + 1 10 › 1 9 b = 10 + 5 ⋅ 10 + 1 = 10 + 10 + 50 + 5 10 › 1 10 + 1 9 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 13

a + b › 1 = 50 › 5 + 10 › 1 + 10 + 50 + 5 + 10 › 1 99 = 10 2 + 2 10 9 a › b + 1 = 50 › 5 + 10 › 1 › 10 + 50 + 5 + 10 + 1 99 = ›2 5›2 9 ∴ a+b›1 = 10 2+2 10 Ó 9 a›b+1 9 5›2 ›2 = 10(2 5 + 2) ›(2 5 + 2) = › 10 μÕ∫ › 10 11. ∂â“ x + 1 = 3 2 ·≈â« x3 + x›3 ¡’§à“‡∑à“„¥ x2 «‘∏’∑” ®“° x + 1 = 32 x 2 ( ) ( )2 1 x3 (x + 1 )3 = x3 + 3x2 1 + 3x 1 + x x x = ( 3 2)2 (3 2 ) = ( 9(2) ) (3 2 ) 2 4 2 2 x3 + 3( x + 1 ) + 1 = 27 2 x x3 4 x3 + 3 (3 2 ) + 1 = 27 2 x3 4 2 x3 + 1 = 27 2 › 2(9 2) x3 4 4 = 92 4 μÕ∫ 9 2 4 14 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

A ®“°√ªŸ ∂â“ AB = 3 Àπ૬ AC = 7 Àπ૬ AD = 4 Àπ૬ ·≈â« 12. C √ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡ ABC ¡’æ◊Èπ∑’Ë°’Ëμ“√“ßÀπ૬ 7 3 4 BD ·π«§‘¥ μàÕ AD ‰ª∂÷ß®¥ÿ D′ ∑”„Àâ CD′ = AB = 3 Àπ૬ ∇ ∇ ∴ ∇∇ A æ◊Èπ∑’Ë ABC = æ◊Èπ∑’Ë ACD′ 7 a+b+c 3 s= 2 4 C BD 4 ACD′¡’ s 7+3+8 2 3 = =9 D′ = s(s › a)(s › b)(s › c) æ◊Èπ∑’Ë ACD′ = 9(9 › 7)(9 › 3)(9 › 8) = 9(2)(6)(1) = 9Ó2Ó2Ó3 = 6 3 μ“√“ßÀπ૬ μÕ∫ 6 3 13. ∂â“ a Ó b = ab + a + b ·≈â« 1 Ó 1 Ó 1 Ó 1 Ó ... Ó1 ¡’§à“‡∑à“„¥ 2 3 4 2,549 ·π«§‘¥ ( )1 Ó 1 = 1 1 + 1 +1= 2 2 2 2 1Ó 1Ó 1 = 2Ó 1 23 3 ( )= 2 1 + 1 +2 3 3 =3 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 15

1 Ó 1 Ó 1 Ó 1 = 3Ó 1 2 3 4 4 ( )=3 1 +1 +3 4 4 =4 ‚¥¬°“√§“¥‡¥“ 1 Ó 1 1 Ó ... Ó 1 2549 1Ó 2 3 Ó4 2549 = μÕ∫ 2549 14. ∂â“ a4x = 3 › 2 2 ·≈– a›4x =3 1 2 ·≈â« a6x + a›6x ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ a4x ›2 a2x + a›2x = 3›2 2 a›4x = 1 2 Ó 3 + 2 2 3›2 3 + 2 2 3+2 2 = 9›8 a6x + a›6x = 3+2 2 a2x + a›2x (a2x)3 + (a›2x)3 = a2x + a›2x (a2x + a›2x)(a4x › a4x ⋅ a›4x + a›4x) = (a2x + a›2x) = a4x › a4x ⋅ a›4x + a›4x = 3›2 2›1+3+2 2 =5 μÕ∫ 5 16 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

15. „Àâ m ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡∫«°·≈– p ‡ªìπ®”π«π‡©æ“–∫«° ∂â“ m À“√ 777 ·≈– 910 ·≈⫇À≈◊Õ‡»… p ‡∑à“°—π·≈â« m2 + p2 ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ 777 = m(a) + p ‡¡◊ËÕ a ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡∫«° ................... ❶ 910 = m(b) + p ‡¡◊ËÕ b ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡∫«° .................. ➋ ➋›❶ 910 › 777 = m(b) › m(a) 133 = m(b › a) b › a ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡∫«° 7 Ó 19 = m(b › a) æ‘®“√≥“®“°‚®∑¬å m = 19 ‡¡◊ËÕπ” 19 ‰ªÀ“√ 777 ·≈– 910 ·≈â« ®–‡À≈◊Õ‡»…‡∑à“°—π §◊Õ 17 π—Ëπ§◊Õ p = 17 ®–‰¥â m2 + p2 = 192 + 172 = 361 + 289 = 650 μÕ∫ 650 16. æ“√“‚∫≈“∑’˺à“π®ÿ¥°”‡π‘¥·≈–ºà“π®¥ÿ (1, 12) ·≈– (3, 6) ¡’®¥ÿ ¬Õ¥§◊Õ®ÿ¥„¥ ·π«§‘¥ „Àâæ“√“‚∫≈“ π—Ëπ§◊Õ y = ax2 + bx + c.........➊ ºà“π®ÿ¥ (0, 0) §◊Õ 0 = 0 + 0 + c C= 0 ºà“π®¥ÿ (1, 12) 12 = a + b .....................❷ ºà“π®¥ÿ (3, 6) 6= 9a + 3b ❷›❸ 2= 3a + b ...................❸ 10 = a= ›2a ›5 ·∑π„π ❷ 12 = ›5 + b b = 17 ∴ y = ›5x2 + 17x ›17, 0 › 289 17, 289 ›10 ›20 10 20 ( ) ( )®¥ÿ ¬Õ¥§◊Õ = 17, 289 10 20 ( )μÕ∫ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 17

17. 35 ‡¡◊ËÕ‡ª≈’ˬπ‡ªìπ‡≈¢∞“πÀ°·≈â« μ—«‡≈¢ ÕßÀ≈—° ¥ÿ ∑⓬‡ªìπ‡∑à“„¥∴ ·π«§‘¥ 35 = 243 243 = 1.63 + 0.62 + 4.61 + 3.60 = (1,043) 6 ¥—ßπ—Èπ 35 ‡ª≈’ˬπ‡ªìπ‡≈¢∞“πÀ°·≈â« μ—«‡≈¢ ÕßÀ≈—° ÿ¥∑⓬‡ªìπ 43 μÕ∫ 43 18.  —¡ª√– ‘∑∏‘Ï ¢Õß x2 ®“°°“√°√–®“¬ (1 + x + x2)3 ‡ªìπ‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ „Àâ a = 1 + x, b = x2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + 3b3 (1 + x + x2)3 = 1 + 3x + 3x2 + x3 + 3x2 + 3x4 + ... {  .ª. . ¢Õß x2 §◊Õ 3 + 3 = 6 ¡’¥’°√’¡“°°«à“ 2 μÕ∫ 6 19. ‡≈¢‚¥¥ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 π”¡“ √â“ß®”π«π∑’Ë¡’ ’ËÀ≈—° „Àâ¡’§à“¡“°°«à“ 6,000 ‚¥¬‡≈¢‚¥¥·μà≈–À≈—°Àâ“¡´È” ¬°‡«âπ‡≈¢ 4 ‡∑à“π—Èπ∑’Ë„™â´È”‰¥â ®– √â“߉¥â°’Ë®”π«π ·π«§‘¥ 1. ∑°ÿ μ—«μà“ß°—π ___ ___ ___ ___ ®”π«π 4 Ó 8 Ó 7 Ó 6 = 1,344 «‘∏’ 2. ¡’ 4 ´È”°—π 2 μ—« ®”π«π 4 Ó 1 Ó 1 Ó 7 Ó 3 = 84 «‘∏’ 3. ¡’ 4 ´È”°—π 3 μ—« ®”π«π 4 Ó 1 Ó 1 Ó 1 = 4 «‘∏’ ®”π«π∑—ÈßÀ¡¥∑’Ë √â“߉¥â = 1,432 ®”π«π μÕ∫ 1,432 ®”π«π 18 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

20. ∂â“ m ·≈– n ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡∫«°´÷Ëß m2 › n4 = 19 ·≈â« m2 + n4 ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ = (m › n2) (m + n2) = 19 m2 › n4 19 ‡ªìπ®”π«π‡©æ“–®–‰¥â«à“ m › n2 = 1 .............. ❶ m + n2 = 19 ............ ❷ ❶ + ❷;2m = 20 m = 10 ❷ › ❶;2n2 = 18 =9 n2 n =3 m2 + n4 = 100 + 81 = 181 μÕ∫ 181 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 19

μÕπ∑’Ë 2 ¡’®”π«π 15 ¢âÕ §◊Õ ¢âÕ 21-35 ¢âÕ≈– 4 §–·ππ 21. ∂â“ a, b ‡ªìπ§”μÕ∫¢Õß ¡°“√ x2 › x › 1 = 0 ·≈â« a9 + b9 ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ a+b = 1 ab = ›1 a2 + b2 = (a + b)2 › 2ab = 1 › 2(›1) = 3 a3 + b3 = (a + b)3 › 3ab(a + b) = 13 › 3(›1)(1) = 1+3 = 4 7 a4 + b4 = (a2 + b2)2 › 2a2b2 = 32 › 2(›1)2 = ®–‰¥â a + b = 1 a2 + b2 = 3 a3 + b3 = 4 a4 + b4 = 7 a5 + b5 = 11 a6 + b6 = 18 a7 + b7 = 29 a8 + b8 = 47 a9 + b9 = 76 À√◊Õ a9 + b9 = (a3)3 + (b3)3 = (a3 + b3)3 › 3a3b3(a3 + b3) = (43) › 3(›1)3(4) = 64 + 12 = 76 μÕ∫ 76 20 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

22. „ÀâÀ“®”π«π„π·∂«∑’Ë 89 π—∫®“°´â“¬¡◊Õμ—«∑’Ë 3 ·∂«∑’Ë 1 1 ·∂«∑’Ë 2 234 ·∂«∑’Ë 3 56789 ·∂«∑’Ë 4 10 11 12 13 14 15 16 μ—«Õ¬à“ß ‡™àπ ·∂«∑’Ë 4 ®“°´â“¬¡◊Õμ—«∑’Ë 3 §◊Õ 12 ·∂«∑’Ë 3 ®“°´â“¬¡◊Õμ—«∑’Ë 3 §◊Õ 7 ·π«§‘¥ μ—« ¥ÿ ∑⓬¢Õß·∂«∑’Ë 1 §◊Õ 12 = 1 μ—« ¥ÿ ∑⓬¢Õß·∂«∑’Ë 2 §◊Õ 22 = 4 μ—« ¥ÿ ∑⓬¢Õß·∂«∑’Ë 3 §◊Õ 32 = 9 . . . μ—« ÿ¥∑⓬¢Õß·∂«∑’Ë 88 §◊Õ 882 = 7,744 ∴ μ—«∑’Ë “¡¢Õß·∂«∑’Ë 89 §◊Õ 7,744 + 3 = 7,747 μÕ∫ 7,747 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 21

23.°”Àπ¥ ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡„¥ Ê ∑’Ë¡’æ◊Èπ∑’Ë 24 3 μ“√“ßÀπ૬ ∂â“ a ‡ªì𧫓¡¬“« ¥â“πμ√ߢⓡ¡ÿ¡ A, b ‡ªì𧫓¡¬“«¥â“πμ√ߢⓡ¡ÿ¡ B ·≈– c ‡ªì𧫓¡¬“«¥â“πμ√ߢⓡ¡ÿ¡ C ·≈– a + b = 20 Àπ૬ c = 16 Àπ૬ ·≈â« |a › b| ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ ∇æ◊Èπ∑’Ë ABC = s(s › a)(a › b)(s › c) ∇ A a + b + c 20 + 16 36 cb s= = = = 18 2 2 2 BC a æ◊Èπ∑’Ë ABC = 24 3 18(18 › a)(18 › 20 + a)(18 › 16) = 24 3 6 (18 › a)(a › 2) = 24 3 (18 › a)(a › 2) = 43 (18 ›‹ a)(a › 2) = 48 18a › 36 › a2 + 2a = 48 a2 › 20a + 84 =0 (a › 14)(a › 6) =0 ∂â“ a = 14, b = 6, À√◊Õ a = 6, b = 14 ®–‰¥â |a › b| = |14 › 6| = 8 μÕ∫ 8 24.𑬓¡ n! = 1 Ó 2 Ó 3 Ó 4 Ó ... Ó n ‡¡◊ËÕ n ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡ ∂Ⓡ¢’¬π 20! „π√Ÿª A Ó 10n ‡¡◊ËÕ A ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡·≈â« n ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ æ‘®“√≥“ 20! ¡’ 5 §≥Ÿ °—πÕ¬Ÿà∑—ÈßÀ¡¥°’Ëμ—« º≈§≥Ÿ ¢Õß®”π«π‡μÁ¡∫«°μ—Èß·μà 1 ∂÷ß 20 ¡’ 5 „π 5, 10, 15 ·≈– 20 ¥—ßπ—Èπ º≈§≥Ÿ ¢Õß®”π«π‡μÁ¡∫«°μ—Èß·μà 1 ∂÷ß 20 ¡’ 10 §Ÿ≥°—πÕ¬àŸ 4 μ—« ∴n=4 μÕ∫ 4 22 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

¡’ 3 ®”π«π 2,006 μ—« ¡’ 2 ®”π«π 2,006 μ—« 25.º≈√«¡¢Õ߇≈¢‚¥¥ ´÷Ë߇ªìπº≈≈—æ∏å¢Õß (333 ... 333)2 + 222 ... 222 ‡ªìπ‡∑à“‰√ } ·π«§‘¥ } }} } 32 + 2 = 11 332 + 22 = 1111 3332 + 222 = 111111 ¡’ 3 ®”π«π 2,006 μ—« ¡’ 2 ®”π«π 2,006 μ—« ¡’ 1 ®”π«π 4,012 μ—« ∴ (333 ... 333)2 + 222 ... 222 = 111 ... 111 ∴ º≈√«¡¢Õ߇≈¢‚¥¥ §◊Õ 4,012 μÕ∫ 4,012 26.∂â“ x = 2,549, x = 2 , x = 3 , x = 4 1 2x 3x 4 x 12 3 x = 5 , x = 6 , x = 7 , x = 8 ·≈⫺≈§≥Ÿ 5 x6 x7 x8 x 4 5 6 7 x x x x x x x x ‡ªìπ‡∑à“„¥ 12345678 ·π«§‘¥ x x = 2, x x = 4, x x = 6, x x = 8 12 34 56 78 xxxxxxxx = 2Ó4Ó6Ó8 12345678 = 384 μÕ∫ 384 27.∂â“ x, y, z ‡ªìπ®”π«π®√‘ß∫«° ´÷Ëß xy + x + y = 11, yz + y + z = 14 zx + z + x = 19 ·≈â« xyz + x + y + z ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ xy + x + y + 1 = 12 (x + 1)(y + 1) = 12..................... ❶ yz + y + z + 1 = 15 (y + 1)(z + 1) = 15..................... ❷ zx + z + x + 1 = 20..................... ❸ (z + 1)(x + 1) = 20 ❶ Ó ❷; (y + 1)2 = 12 Ó 15 = 9 ❸ 20 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 23

y+1 = 3 y =2 ·∑π§à“„π y = 2 „π ❶ x = 3 ·∑π§à“ y = 2 „π ❷ z = 4 xyz + x + y + z = 24 + 9 = 33 μÕ∫ 33 28.∂â“ x ·≈– y ‡ªìπ®”π«π®√‘ß ´÷Ëß x3 + y3 + (x + y)3 + 30xy = 2,000 ·≈â« x + y ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 + (x + y)3 › 3x2y › 3xy2 + 30xy = 2,000 (x + y)3 + (x + y)3 › 3xy(x + y › 10) › 2,000 = 0 2(x + y)3 › 2(10)3 › 3xy(x + y › 10) = 0 (x + y › 10)[2{(x + y)2 + 10(x + y) + 102} › 3xy] = 0 (x + y › 10)(2x2 + xy + 2y2 + 10x + 10y + 100) = 0 ·μà 2x2 + xy + 2y2 + 10x + 10y + 100 > 0 ¥—ßπ—Èπ x + y › 10 = 0 x + y = 10 μÕ∫ 10 29.ABC ‡ªìπ√ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡ ¡’ AB = 20 Àπ૬ AC = 30 Àπ૬ ¡¡ÿ BAC = 120 Õß»“ ∂â“ D ‡ªìπ®ÿ¥∫π BC ∑”„Àâ AD ·∫àߧ√÷Ëß¡¡ÿ BAC ·≈â« AD ¬“«°’ËÀπ૬ ·π«§‘¥ ≈“° DE // BA ®–‰¥â ¡ÿ¡ BAD = ¡¡ÿ ADE = 60 Ì (¡¡ÿ ·¬âß) ∧ ∴ = 60 Ì ‰¥â AD = DE = EA = x DEA ∇∇ B ABC ∼ EDC AB = CA D DE CE 20 20 = 30 AE C x 30 › x 30 24 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

2(30 › x) = 3x x = 12 AD = 12 Àπ૬ μÕ∫ 12 Àπ૬ 30.∂â“ x ‡ªìπ®”π«π®√‘ß ‚¥¬∑’Ë 2 < x < 3 ·≈â« x + 2 2x › 4 + x › 2 2x › 4 ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ „Àâ P = x + 2 2x › 4 + x › 2 2x › 4 P2 = x + 2 2x › 4 + 2 (x + 2 2x › 4)(x › 2 2x › 4) + x › 2 2x › 4 = 2x + 2 x2 › 4(2x › 4) = 2x + 2 x2 › 8x + 16 = 2x + 2 (x › 4)2 = 2x + 2 x › 4 = 2x + 2(4 › x) ‡æ√“–«à“ x < 4 ®–‰¥â x ‹› 4 = 4 › x = 2x + 8 › 2x P2 = 8 P =22 μÕ∫ 2 2 31.∂â“ 1 ⋅ 1 ⋅ 5+ 3 ⋅ 1 ⋅ 7 + ⋅ 1 ⋅ 9 + 7 ⋅ 1 11 + 9 ⋅ 1 ⋅ 13 + 11 ⋅ 1 ⋅ 15 = a 3 5 5 7 9⋅ 11 13 b ‚¥¬∑’Ë a ·≈– b ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡∑’Ë À.√.¡. ¢Õß a °—∫ b ‡∑à“°—∫ 1 ·≈â« a + b ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ ( ) ( )1 1 1 1 4 ⋅ ⋅ 5a 1⋅3⋅5 = 1 3 ›3 = 1 5›1 = 1 ⋅ 1 ⋅ 5 4 1⋅3⋅5 3 ( )3⋅1 ⋅ 7 = 1 3 1 5 › 5 1 7 5 4 ⋅ ⋅ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 25

¥—ßπ—Èπ ®“°‚®∑¬å 1 Ó 1 Ó 5 + 3 Ó 1 Ó 7 +5 Ó 1 Ó 9 + 7 Ó 1 11 + 9 Ó 1 Ó 13 + 11 Ó 1 Ó 15 3 5 7 9Ó 11 13 (= 1 1 › 3 1 5 + 3 1 5 › 5 1 7 + 5 1 7 › 7 1 9 + 7 1 9 › 1 4 1Ó3 Ó Ó Ó Ó Ó Ó 9 Ó 11 )+ 9 1 › 11 1 13 + 11 1 13 › 13 1 15 Ó 11 Ó Ó Ó ( )= 1 1 › 13 1 15 4 1Ó3 Ó ( )= 1 1 › 1 4 3 195 ( )= 1 65 ›‹ 1 4 195 ( )= 1 64 4 195 = 16 195 À.√.¡. 16 °—∫ 195 §◊Õ 1 ¥—ßπ—Èπ a + b = 16 + 195 = 211 μÕ∫ 211 32.®“°√–∫∫ ¡°“√ 4y = 12 › x2 ................................... ❶ 4x = 12 › y2 ................................... ➋ ∂â“ A ·≈– B ‡ªìπ®ÿ¥μ—¥¢Õß°√“ø¢Õß ¡°“√ ·≈â«√–¬–√–À«à“ß®ÿ¥ A ·≈– B ‡∑à“°—∫°’ËÀπ૬ ·π«§‘¥ 4y = 12 › x2 .............................. ❶ 4x = 12 › y2 .............................. ➋ ®“° ❶ y = 12 › x2 .............................. ➌ 4 π”§à“ y ®“° ➌ ·∑π„π ➋ 26 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

( )2 4x = 12 › 12 › x2 4 ( )4x = 12 › 144 › 24x2 + x4 16 4x = 192 › 144 + 24x2 › x4 16 x4 › 24x2 + 64x › 48 = 0 (x › 2)(x › 2)(x › 2)(x + 6) = 0 x = 2, x = ›6 ∂â“ x = 2, y = 12 › (2)2 = 8 = 2 44 ·≈– x = ›6, y = ›6 ®¥ÿ μ—¥§◊Õ A (2, 2) ·≈– B (›6, ›6) √–¬–∑“ß√–À«à“ß 2 ®¥ÿ §◊Õ (›6 › 2)2 + (›6 › 2)2 = 82 + 82 = 2 (82) = 8 2 Àπ૬ μÕ∫ 8 2 Àπ૬ 33.√ŸªÀ°‡À≈’ˬ¡¡ÿ¡‡∑à“ ´÷Ëß¡’§«“¡¬“« 4 ¥â“π∑’ˇ√’¬ßμ‘¥μàÕ°—𠇪ìπ 6, 7, 8, 9 Àπ૬ ®–¡’§«“¡¬“«√Õ∫√Ÿª°’ËÀπ૬ ·π«§‘¥ A yy 60 Ì 60 Ì 9 120 Ì 120 Ì x 120 Ì 120 Ì 6 8 C 60 Ì 60 Ì120 Ì 60 Ì B 6 87 60 Ì 6 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 27

ABC ‡ªìπ√ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡¥â“π‡∑à“¡’ BC = 21 BA = 21 ∴y = 4 AC = 21, x + y + 6 = 21 x = 11 §«“¡¬“«√Õ∫√ªŸ À°‡À≈’ˬ¡ = 6 + 7 + 8 + 9 + 4 + 11 Àπ૬ = 45 Àπ૬ μÕ∫ 45 Àπ૬ )34.°”Àπ¥ ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡Àπâ“®—Ë« ¡’ AB = AC ¡ÿ¡ BAC = 80 Ì ∂â“ D ‡ªìπ®¥ÿ ¿“¬„π ∑”„Àâ ¡¡ÿ DAB = ¡¡ÿ DBA = 10 Ì ·≈â«¡ÿ¡ ADC ¡’¢π“¥°’ËÕß»“ )·π«§‘¥  √â“ß®ÿ¥ E „π ABC „Àâ¡ÿ¡ EAC = ¡¡ÿ ECA = 10 Ì ≈“° ED ∇ ABD ≅ ACE (¡.¥.¡.) ∇∇ AD = AE ·μà¡ÿ¡ DAE = 60 Ì ∇∴ ADE ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡¥â“π‡∑à“ ¡¡ÿ CED = 140 Ì ·≈– DE = CE ∴ ¡ÿ¡ EDC = 20 Ì ¡ÿ¡ ADC = 80 Ì μÕ∫ 80 Ì A ) ) D B E C 28 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

35.ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ ¡’ P ‡ªìπ®ÿ¥¿“¬„π ≈“° AP æ∫ BC ∑’Ë D ≈“° BP æ∫ CA ∑’Ë E ≈“° CP æ∫ AB ∑’Ë F ∑”„Àâ PD = PE = PF = 4 Àπ૬ ∂â“ AP + BP + CP = 6 ·≈â« (AP) Ó (BP) Ó (CP) ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ „Àâ AP = x, BP = y, CP = z ®–‰¥â x + y + z = 6 ∇ 1 Ó BC Ó PD A ∇ =2 æ.∑. BCP æ.∑. ABC∇ 1 ∇ Ó BC Ó AD x ∇ 2 F ∇ = ......4...........   4 E x+4 P z æ.∑. CAP 1 Ó CA Ó PE B y C æ.∑. ABC =2 4 1 D Ó CA Ó BE 2 = 4 ................. ➋ y+4 æ.∑. ABP 1 Ó AB Ó PF =2 1 æ.∑. ABC 2 Ó AB Ó CF = 4 ................. ➌ z+4 ➊ + ➋ +➌, 1 = 4 + 4 + 4 x+4 y+4 z+4 ‰¥â (x + 4)(y + 4)(z + 4) = 4(x + 4)(y + 4) + 4(y + 4)(z + 4) + 4(z + 4)(x + 4) xyz + 4xy + 4yz + 16x + 16y + 16z + 64 = 4(xy + 4x + 4y + 16 + yz + 4y + 4z + 16 + zx + 4z + 4x + 16) xyz = 16x + 16y + 16z + 128 = 16(x + y + z) + 128 = 96 + 128 = 224 μÕ∫ 224 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 29

μ—«Õ¬à“ß ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™«à ß™—πÈ ∑’Ë 3 ‡æÕ◊Ë °“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ªï æ.». 2549 §”™’È·®ß 1. ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫π’ȇªìπ·∫∫∑¥ Õ∫™π‘¥‡μ‘¡§”μÕ∫ 2. ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫π’È¡’®”π«π 30 ¢âÕ ·∫à߇ªìπ 2 μÕπ §–·ππ‡μÁ¡ 100 §–·ππ μÕπ∑’Ë 1 ¡’®”π«π¢âÕ Õ∫ 20 ¢âÕ §◊Õ ¢âÕ 1-20 ¢âÕ≈– 3 §–·ππ √«¡ 60 §–·ππ μÕπ∑’Ë 2 ¡’®”π«π¢âÕ Õ∫ 10 ¢âÕ §◊Õ ¢âÕ 21-30 ¢âÕ≈– 4 §–·ππ √«¡ 40 §–·ππ 3. ‡«≈“∑’Ë„™â„π°“√ Õ∫ „™â‡«≈“ 2 ™—Ë«‚¡ß ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 31

μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ªï æ.». 2549 ®ßÀ“§”μÕ∫∑ÿ°§”μÕ∫¢Õß ¡°“√ μÕπ∑’Ë 1 ¡’ 20 ¢âÕ ¢âÕ≈– 3 §–·ππ 1. ®”π«π‡μÁ¡∫«° 5 ®”π«π‡√’¬ß°—π ´÷Ëß¡’º≈§Ÿ≥‡ªìπ 6375600 º≈∫«°¢Õß®”π«π ∑’ËÕ¬Ÿà√–À«à“ß®”π«π∑’ËπâÕ¬∑’Ë ¥ÿ °—∫®”π«π∑’Ë¡“°∑’Ë ÿ¥„π 5 ®”π«ππ’ȇªìπ‡∑à“„¥ 2. ®ßÀ“§à“ 2548 Ó 2546 Ó 2544 Ó 2542 + 16 μÕ∫„π√ªŸ ®”π«π‡μÁ¡ 3. ®”π«π‡μÁ¡∫«°μ—Èß·μà 1 ∂÷ß 600 ∑’ËÀ“√¥â«¬ 3 À√◊Õ 5 À√◊Õ 7 ‰¡à≈ßμ—«¡’∑—ÈßÀ¡¥°’Ë®”π«π 4. „Àâ x ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡ ‚¥¬∑’Ë 1 ≤ x ≤ 65 ·≈– À.√.¡. ¢Õß x °—∫ 65 ‡∑à“°—∫ 1 ·≈⫺≈∫«° ¢Õß x ¡’§à“‡∑à“‰√ 5. ∂Ⓡ¢’¬π®”π«π‡μÁ¡μ—Èß·μà 1 ∂÷ß 1000 μâÕ߇¢’¬πμ—«‡≈¢»πŸ ¬å°’˧√—Èß 6. „Àâ A = 3x›1 › 2 Ó 9x ‡¡◊ËÕ x ‡ªìπ®”π«π®√‘ß §à“¡“°∑’Ë ÿ¥¢Õß A ‡ªìπ‡∑à“‰√ 7. ®“°√Ÿª ABCD ‡ªìπ√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡º◊πºâ“ M, N ‡ªìπ®ÿ¥°÷Ëß°≈“ߢÕߥâ“π AD ·≈– AB μ“¡≈”¥—∫ ®ßÀ“§«“¡¬“«¢Õß BC yN y B A x5 M 17 DC 32 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

73 8. ®ßÀ“®”π«π§àŸÕ—π¥—∫ (x, y) ∑—ÈßÀ¡¥∑’ˇªìπ§”μÕ∫¢Õß ¡°“√ › = 1 ‡¡◊ËÕ x, y xy ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡ 9. °”Àπ¥ x, y ‡ªìπ®”π«π®√‘ß ‚¥¬∑’Ë y + 2 17 = 8›x ®ßÀ“§àŸÕ—π¥—∫ (x, y) ∑—ÈßÀ¡¥ + x xy y ∑’Ë Õ¥§≈âÕß°—∫ ¡°“√π’È 10. °”Àπ¥æÀÿπ“¡ P(x) = P(P(x + 23)) ‡¡◊ËÕ x < 2,024 ·≈– P(x) = x › 17 ‡¡◊ËÕ x ≥ 2,024 ·≈â«§à“¢Õß P(2,549) + P(2,006) ‡∑à“°—∫‡∑à“„¥ 11. ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡¡’ AB = 21 BC = 20 D ·≈– E ‡ªìπ®ÿ¥∫π CA ∑”„Àâ CD = 8 DE = 12 ·≈– EA = 9 ¢π“¥¢Õß¡ÿ¡ DBE ‡ªìπ‡∑à“‰√ < < 12. „Àâ ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡„¥ Ê μàÕ¥â“π AB ·≈– AC ÕÕ°‰ª∑“ß B ·≈– C ∂÷ß D ·≈– E μ“¡≈”¥—∫ OB ·≈– OC ‡ªìπ‡ âπ·∫àߧ√÷Ëß¡¡ÿ CBD ·≈–¡¡ÿ BCE μ“¡≈”¥—∫ ∂â“¡ÿ¡ BAE ¡’¢π“¥ 80 Ì®ßÀ“¢π“¥¢Õß BOC (∑’ˇªìπ¡¡ÿ ·À≈¡) 13. ∂â“ a + b + c = 1 ab + bc + ca = 2 abc = 3 ®ßÀ“§à“ a3 + b3 + c3 14. ∂â“ x ‡ªìπ®”π«π®√‘ß∫«° ·≈– x + 1 = 4 2 ·≈â« x3 › 1 ¡’§à“‡∑à“„¥ x x3 15. √Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡√ŸªÀπ÷Ëß≈âÕ¡√Õ∫¥â«¬«ß°≈¡ ¥â“πÀπ÷ËߢÕß√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡π—È𬓫 12 ‡´π쇑 ¡μ√ ·≈–¡¡ÿ μ√ߢ“â ¡¥“â πππÈ— «¥— ‰¥â 30 Ì «ß°≈¡ππÈ— ¡‡’  πâ º“à π»πŸ ¬°å ≈“߬“«‡∑“à „¥ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 33

16. ®“°√Ÿª∂â“√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡¡ÿ¡©“°¡’ MB + MA = BC + AC ∂â“ BC = 8 Àπ૬ ·≈– AC = 10 Àπ૬ ®ßÀ“ MB M B CA 17. ‡ âπμ√ß L ºà“π®ÿ¥ (›2, 0) ·≈– (›1, 2) L ‡ªìπ‡ âπμ√ß∑’˺à“π®¥ÿ °”‡π‘¥·≈–μ—Èß©“°°—∫ L 1 12 ·≈â«æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡∑’Ë≈âÕ¡√Õ∫¥â«¬·°π x ‡ âπμ√ß L ·≈–‡ âπμ√ß L ‡ªìπ‡∑à“„¥ 12 18. ®ßÀ“æ®πå∑’Ë 100 ‡¡◊ËÕ°”Àπ¥æ®πå∑’Ë 90 ¢Õß≈”¥—∫ 1, 2, 4, 7, 11, ... ¡’§à“‡ªìπ 4,006 19. (1 + 3 )(1 + 3 )(1 + . 3. ).(1 + 3 ) ... (1 + 530)(1 + 531) ¡’§à“‡ªìπ‡∑à“‰√ 4 5 6 7 20. „Àâ O ‡ªìπ®¥ÿ °”‡π‘¥≈“° à«π¢Õ߇ âπμ√ß OA ·≈– OB ∑’Ë∑”„Àâ®ÿ¥ A ·≈– B Õ¬Ÿà∫π‡ âπμ√ß 2x + y = 4 ‚¥¬¡’ OA = OB ·≈–¡¡ÿ AOB ‡ªìπ¡ÿ¡©“° ®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ OAB μÕπ∑’Ë 2 ¡’ 10 ¢âÕ ¢âÕ≈– 4 §–·ππ 21. º≈∫«°¢Õߧ”μÕ∫∑—ÈßÀ¡¥¢Õß ¡°“√ (x2 › 3x › 4)3 + (2x2 + x › 1)3 = (32x › 2x › 5)3 ‡ªìπ‡∑à“‰√ 22. °”Àπ¥æÀπÿ “¡ P(x) = x4 › 6x3 › 5x2 › 8x › 6 ∂â“æÀÿπ“¡ P(x) À“√¥â«¬ x › 7 ≈ßμ—« ·≈â« x ¡’§à“‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡∫«°°’Ë®”π«π 23. „Àâ p, g ‡ªìπ√“°¢Õß ¡°“√ x2 + 5x + 1 = 0 ·≈– r, s ‡ªìπ√“°¢Õß ¡°“√ x2 + 3x + 1 = 0 ®ßÀ“§à“ (p › r)(g › r)(p + s)(g + s) ¡’§à“‡∑à“„¥ 34 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

24. ®ß·¬°μ—«ª√–°Õ∫¢Õß (x2 + 5x + 6)(x2 + 20x + 96) › 4x2 25. ¡’®”π«π‡μÁ¡ x, y ∑’Ëμà“ß°—π °’Ë§Ÿà Õ¬àŸ√–À«à“ß 1 ·≈– 100 ∑’Ë 49 ‰ªÀ“√ x2 + y2 ≈ßμ—« ∂â“ (x, y) °—∫ (y, x) ∂◊Õ«à“‡ªìπ§àŸ‡¥’¬«°—π 26. A E B F H M N D U R Q S P T GC ABCD ‡ªìπ√ªŸ  ’ˇÀ≈’ˬ¡¥â“π¢π“𠮥ÿ E, F, G ·≈– H ‡ªìπ®¥ÿ °÷Ëß°≈“ߥâ“π AB, BC, CD ·≈– DA μ“¡≈”¥—∫ ≈“° AG, CE, DF ·≈– BH μ—¥°—π‡°‘¥√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡¥â“π¢π“π MNPQ ´÷Ëß¡’®ÿ¥ R, S, T ·≈– U ‡ªìπ®ÿ¥°÷Ëß°≈“ߥâ“π MN, NP, PQ ·≈– QM μ“¡≈”¥—∫ ∂â“ à«π∑’Ë·√‡ß“¡’æ◊Èπ∑’Ë 15 μ“√“ßÀπ૬ ®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë√ªŸ  ’ˇÀ≈’ˬ¡ ABCD 27. ®“°√Ÿª PA ·≈– QC  —¡º— «ß°≈¡ O ∑’Ë®ÿ¥ A ·≈– C μ“¡≈”¥—∫ AQ B O CP ∂â“ QC = PA 3 ®ßÀ“§à“ QA Ó QB 4 PC Ó PB ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 35

28. „Àâ L ‡ªìπ‡ âπμ√ß∑’Ë¡’§«“¡™—π‡ªìπ › 4 ºà“π®ÿ¥»πŸ ¬å°≈“ߢÕß«ß°≈¡ x2 + y2 › 4x + 2y › 4 = 0 3 ·≈–μ—¥«ß°≈¡∑’Ë®ÿ¥ A ·≈– B ∂â“®ÿ¥ C ¡’æ‘°—¥‡ªìπ (›1, ›2) ·≈â«®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë √Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ ABC 29. „ÀâÀ“®”π«π„π·∂«∑’Ë 89 π—∫®“°´â“¬¡◊Õμ—«∑’Ë 3 ·∂«∑’Ë 1 1 ·∂«∑’Ë 2 234 ·∂«∑’Ë 3 56789 ·∂«∑’Ë 4 10 11 12 13 14 15 16 μ—«Õ¬à“ß ‡™àπ ·∂«∑’Ë 4 ®“°´â“¬¡◊Õμ—«∑’Ë 3 §◊Õ 12 ·∂«∑’Ë 3 ®“°´â“¬¡◊Õμ—«∑’Ë 3 §◊Õ 7 30. √Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ ABC ‡ âπ·∫àߧ√÷Ëß¡ÿ¡ A æ∫ BC ∑’Ë®¥ÿ D ®“°®ÿ¥ B ≈“°‡ âπμ—Èß©“°°—∫ AD ∑’Ë®¥ÿ E ≈“° HG ºà“π®¥ÿ E ·≈–¢π“π°—∫ AC æ∫ BC ∑’Ë®ÿ¥ G ·≈– AB ∑’Ë®¥ÿ H ∂â“ AB = 26, BC = 28, AC = 30 ®ßÀ“§«“¡¬“« DG 36 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

μ—«Õ¬à“ß ·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™πÈ— ∑’Ë 3 ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈◊Õ°π°— ‡√’¬π√–¥∫— ª√–‡∑» ªï æ.». 2549 §”™’È·®ß 1. ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫π’ȇªìπ·∫∫∑¥ Õ∫™π‘¥‡μ‘¡§”μÕ∫ 2. ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫π’È¡’®”π«π 30 ¢âÕ ·∫à߇ªìπ 2 μÕπ §–·ππ‡μÁ¡ 100 §–·ππ μÕπ∑’Ë 1 ¡’®”π«π¢âÕ Õ∫ 20 ¢âÕ §◊Õ ¢âÕ 1-20 ¢âÕ≈– 3 §–·ππ √«¡ 60 §–·ππ μÕπ∑’Ë 2 ¡’®”π«π¢âÕ Õ∫ 10 ¢âÕ §◊Õ ¢âÕ 21-30 ¢âÕ≈– 4 §–·ππ √«¡ 40 §–·ππ 3. ‡«≈“∑’Ë„™â„π°“√ Õ∫ „™â‡«≈“ 2 ™—Ë«‚¡ß ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 37

μ—«Õ¬à“ß·π«§‘¥·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ªï æ.». 2549 ®ßÀ“§”μÕ∫∑ÿ°§”μÕ∫¢Õß ¡°“√ μÕπ∑’Ë 1 ¡’ 20 ¢âÕ ¢âÕ≈– 3 §–·ππ 1. ®”π«π‡μÁ¡∫«° 5 ®”π«π‡√’¬ß°—π ´÷Ëß¡’º≈§Ÿ≥‡ªìπ 6375600 º≈∫«°¢Õß®”π«π ∑’ËÕ¬àŸ√–À«à“ß®”π«π∑’ËπâÕ¬∑’Ë ¥ÿ °—∫®”π«π∑’Ë¡“°∑’Ë ÿ¥„π 5 ®”π«ππ’ȇªìπ‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ 6375600 = 102 Ó 22 Ó 32 Ó 7 Ó 11 Ó 23 = 102 Ó 2 Ó 3 Ó 21 Ó 22 Ó 23 = 52 Ó 22 Ó 2 Ó 3 Ó 21 Ó 22 Ó 23 = 21 Ó 22 Ó 23 Ó 24 Ó 25 º≈∫«°¢Õß 22, 23 ·≈– 24 §◊Õ = 22 + 23 + 24 = 69 μÕ∫ 69 2. ®ßÀ“§à“ 2,548 Ó 2,546 Ó 2,544 Ó 2,542 + 16 μÕ∫„π√ªŸ ®”π«π‡μÁ¡ ·π«§‘¥ „Àâ a = 2,545 (2,548)(2,546)(2,544)(2,542) + 16 = (a + 3)(a + 1)(a › 1)(a › 3) + 16 = (a2 › 9)(a2 › 1) + 16 = a4 › 10a2 + 9 + 16 = a4 › 10a2 + 25 = (a2 › 5)2 = a2 › 5 = 2,5452 › 5 μÕ∫ 6,477,020 38 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

3. ®”π«π‡μÁ¡∫«°μ—Èß·μà 1 ∂÷ß 600 ∑’ËÀ“√¥â«¬ 3 À√◊Õ 5 À√◊Õ 7 ‰¡à≈ßμ—«¡’∑—ÈßÀ¡¥°’Ë®”π«π ·π«§‘¥ = 200 600 = 120 = 85 À“√¥â«¬ 3 ≈ßμ—«¡’ 3 = 40 = 17 À“√¥â«¬ 5 ≈ßμ—«¡’ 600 = 28 5 =5 À“√¥â«¬ 7 ≈ßμ—«¡’ 600 7 À“√¥â«¬ 3 ·≈– 5 ≈ßμ—«¡’ 600 3Ó5 À“√¥â«¬ 5 ·≈– 7 ≈ßμ—«¡’ 600 5Ó7 600 À“√¥â«¬ 7 ·≈– 3 ≈ßμ—«¡’ 7 Ó 3 À“√¥â«¬ 3, 5, 7 ≈ßμ—«¡’ 600 105 ¥—ßπ—Èπ ®”π«π‡μÁ¡μ—Èß·μà 1 ∂÷ß 600 À“√≈ßμ—«¥â«¬ 3 À√◊Õ 5 À√◊Õ 7 §◊Õ 200 + 120 + 85 › 40 › 17 › 28 + 5 = 325 ¥—ßπ—Èπ ®”π«π‡μÁ¡μ—Èß·μà 1 ∂÷ß 600 ∑’ËÀ“√‰¡à≈ßμ—«¥â«¬ 3 À√◊Õ 5 À√◊Õ 7 §◊Õ 600 › 325 = 275 μÕ∫ 275 4. „Àâ x ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡ ‚¥¬∑’Ë 1 ≤ x ≤ 65 ·≈– À.√.¡. ¢Õß x °—∫ 65 ‡∑à“°—∫ 1 ·≈⫺≈∫«° ¢Õß x ¡’§à“‡∑à“‰√ ·π«§‘¥ À.√.¡. ¢Õß x °—∫ 65 ‡∑à“°—∫ 1 · ¥ß«à“ x À“√¥â«¬ 5 À√◊Õ 13 ‰¡à≈ßμ—« ¥—ßπ—Èπ ®”π«π∑’ËÀ“√¥â«¬ 5 ≈ßμ—« §◊Õ 5, 10, 15, ..., 65 º≈∫«°‡ªìπ 5(1 + 2 + 3 + ... + 13) = 5(123)(13 + 1) = 5 Ó 13 Ó 7 = 455 ®”π«π∑’Ë 13 À“√≈ßμ—«§◊Õ 13, 26, 39, 52 ¡’§à“√«¡ 130 ®”π«π∑’ËÀ“√¥â«¬ 5 À√◊Õ 13 ≈ßμ—«√«¡°—π‰¥â 585 º≈∫«°¢Õß 1 + 2 + 3 + ... + 65 = 65(65 + 1) 2 = 65(33) = 2,145 ¥—ßπ—Èπ º≈∫«°¢Õß x ¡’§à“ = 2,145 › 585 = 1,560 μÕ∫ 1,560 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 39

5. ∂Ⓡ¢’¬π®”π«π‡μÁ¡∫«°μ—Èß·μà 1 ∂÷ß 1,000 μâÕ߇¢’¬πμ—«‡≈¢»πŸ ¬å°’˧√—Èß ·π«§‘¥ ®”π«π 1 À≈—° ‰¡à¡’μ—«‡≈¢ 0 ‡¢’¬π 0 ‰¥â 0 §√—Èß ®”π«π 2 À≈—° μ—«‡≈¢ 0 Õ¬ŸàÀ≈—°Àπ૬ ‡¢’¬π 0 ‰¥â 9 Ó 1 = 9 §√—Èß ®”π«π 3 À≈—° μ—«‡≈¢ 0 Õ¬àŸÀ≈—°Àπ૬ 9 Ó 10 Ó 1 = 90 §√—Èß μ—«‡≈¢ 0 Õ¬ŸàÀ≈—° ‘∫ 9 Ó 1 Ó 10 = 90 §√—Èß ®”π«π 4 À≈—° ¡’μ—«‡≈¢»πŸ ¬å 3 μ—« §◊Õ ®”π«π 1,000 ‡¢’¬π 0 ‰¥â 3 §√—Èß ¥—ßπ—Èπμ—«‡≈¢ 0 ®–∂Ÿ°‡¢’¬π∑—ÈßÀ¡¥ 90 + 90 + 9 + 3 = 189 + 3 = 192 μÕ∫ 192 6. „Àâ A = 3x›1 › 2 Ó 9x ‡¡◊ËÕ x ‡ªìπ®”π«π®√‘ß §à“¡“°∑’Ë ÿ¥¢Õß A ‡ªìπ‡∑à“‰√ ·π«§‘¥ 3x›1 › 2 ⋅ 9x = 3x › 2 ⋅ 32x 3x 3 = ›2 ⋅ 32x + ( )3 = ›2 32x › 3x + (112)2› ( 1 )2 6 12 = ›2(3x › 1 )2 + 2 12 144 ¥—ßπ—Èπ §à“¡“°∑’Ë ¥ÿ §◊Õ 2 = 1 144 72 μÕ∫ 1 72 40 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

7. ®“°√Ÿª ABCD ‡ªìπ√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡º◊πºâ“ M, N ‡ªìπ®ÿ¥°÷Ëß°≈“ߢÕߥâ“π AD ·≈– AB μ“¡≈”¥—∫ ®ßÀ“§«“¡¬“«¢Õß BC B y Ny A x5 M 17 DC ·π«§‘¥ ∇ x2 + y2 = ( 5)2 „π AMN;∇ x2 + y2 = 5 ...................... ➊ x2 + (2y)2 = ( 17)2 „π MDC; x2 + 4y2 = 17 ...................... ➋ ➋›➊ 3y2 = 12 y2 = 4 „™â§à“ y ‡©æ“–§à“∫«° y = 2 ·∑π„π ➊ x2 + 4 = 5 x =1 ¥—ßπ—Èπ BC = 2x = 2(1) = 2 μÕ∫ 2 Àπ૬ 73 8. ®ßÀ“®”π«π§ŸàÕ—π¥—∫ (x, y) ∑—ÈßÀ¡¥∑’ˇªìπ§”μÕ∫¢Õß ¡°“√ › = 1 ‡¡◊ËÕ x, y xy ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡ ·π«§‘¥ 73 › = 1 ........................... xy ‡Õ“ xy §≥Ÿ ®–‰¥â 7y › 3x = xy xy › 7y + 3x = 0 xy › 7y + 3x › 21 = ›21 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 41

(x › 7)(y + 3) = ›21 ‡¡◊ËÕ x ≠ 0 ·≈– y ≠ 0 (x › 7, y + 3) = (›1, 21), (›3, 7), (›7, 3), (›21, 1), (1, ›21), (3, ›7), (7, ›3), (21, ›1) ‰¥â∑—ÈßÀ¡¥ 8 §ŸàÕ—π¥—∫ ·μà (x, y) = (0, 0) 1 §ŸàÕ—π¥—∫ §◊Õ (x › 7, y + 3) = (›7, 3) ∑”„Àâ§à“ x = 0, y = 0 ®÷ß„™â‰¡à‰¥â ¥—ßπ—Èπ ®÷ß¡’§”μÕ∫ 7 §àŸÕ—π¥—∫ μÕ∫ 7 9. °”Àπ¥ x, y ‡ªìπ®”π«π®√‘ß ‚¥¬∑’Ë y + 2 17 = 8›x ®ßÀ“§ŸàÕ—π¥—∫ (x, y) ∑—ÈßÀ¡¥ + x xy y ∑’Ë Õ¥§≈âÕß°—∫ ¡°“√π’È ·π«§‘¥ ‡Õ“ xy §≥Ÿ ∑—Èß Õߢâ“ß y(y + 2) + 17 = x (8 › x) y2 + 2y + 17 = 8x › x2 (y2 + 2y + 1) + (x2 › 8x + 16) = 0 (y +1)2 + (x › 4)2 = 0 y = › 1, x = 4 μÕ∫ 4, ›1 10. °”Àπ¥æÀÿπ“¡ P(x) = P(P(x + 23)) ‡¡◊ËÕ x < 2,024 ·≈– P(x) = x › 17 ‡¡◊ËÕ x ≥ 2,024 ·≈â«§à“¢Õß P(2,549) + P(2,006) ‡∑à“°—∫‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ P(x) = P(P(x + 23)) ‡¡◊ËÕ x < 2,024 P(x) = x › 17 ‡¡◊ËÕ x ≥ 2,024 x = 2,549; P(2,549) = 2,549 › 17 = 2,532 x = 2,006; P(2,006) = P(P(2,006 + 23)) = P(P(2,029)) = (P(2,029 › 17)) = (P(,2012)) 42 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

= P(P(2,012 + 23)) = P(P(2,035)) = P(2,035 › 17) = P(2,018) = P(P(2,018 + 23)) = P(P(2,041)) = P(2,041 › 17) = P(2,024) = 2,024 › 17 = 2,007 P(2,549) + P(2,006) = 2,532 + 2,007 = 4,539 μÕ∫ 4,539 11. ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ ¡’ AB = 21, BC = 20, D ·≈– E ‡ªìπ®¥ÿ ∫π CA ∑”„Àâ CD = 8, DE = 12 ·≈– EA = 9 ¢π“¥¢Õß¡ÿ¡ DBE ‡ªìπ‡∑à“‰√ ·π«§‘¥ C ‡π◊ËÕß®“° ∇ 8 AB2 + BC2 = (AC)2 ®–‰¥â ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡¡¡ÿ ©“° D ¡’ B = 90 Ì 20 12 AD = AB << E ∴ ADB = ABD = 90 Ì › A< << << 9 2< A << x CE = BC B 21 ∴ CEB = CBE = 90 Ì › C 2 (90 Ì › A ) + (90 Ì › C ) + x = 180 Ì 2 2 < < x = ( A + C ) 2 = 90 Ì 2 μÕ∫ 45 Ì ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 43

12. „Àâ ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡„¥ Ê μàÕ¥â“π AB ·≈– AC ÕÕ°‰ª∑“ß .B ·≈– .C ∂÷ß .D ·≈– .E μ“¡≈”¥—∫ OB ·≈– OC ‡ªìπ‡ âπ·∫àߧ√÷Ëß¡¡ÿ CBD ·≈–¡ÿ¡ BCE μ“¡≈”¥—∫ ) < ∂â“¡ÿ¡ BAE ¡’¢π“¥ 80 Ì®ßÀ“¢π“¥¢Õß BOC (∑’ˇªìπ¡ÿ¡·À≈¡) ·π«§‘¥ A x + y = 100 Ì 80 Ì x + 2a = y + 2b = 180 Ì x + y + 2(a + b) = 360 Ì 2(a + b) = 260 Ì Bx yC = 130 Ì a+b = 50 Ì aa b ∴m b μÕ∫ 50 Ì DE ) m O 13. ∂â“ a + b + c = 1 ab + bc + ca = 2 abc = 3 ®ßÀ“§à“ a3 + b3 + c3 ·π«§‘¥ = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ›‹ ab › bc › ca) a3 + b3 + c3 › 3abc = (1)((a2 + b2 + c2) › (ab + bc + ca)) a3 + b3 + c3 › 3(3) = a2 + b2 + c2 › 2 a3 + b3 + c3 › 9 = a2 + b2 + c2 + 7 ..................... ➊ a3 + b3 + c3 ®“° a + b + c = 1 =1 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac =1 a2 + b2 + c2 + 2(2) = ›3 ·∑π„π ➊ a2 + b2 + c2 = ›3 + 7 = 4 a3 + b3 + c3 μÕ∫ 4 44 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

14. ∂â“ x ‡ªìπ®”π«π®√‘ß∫«° ·≈– x + 1 =4 2 ·≈â« x3 › 1 ¡’§à“‡∑à“„¥ x x3 ·π«§‘¥ (x + 1 )2 = (4 2)2 x x2 + 2 + 1 = 32 x2 = 30 = 28 x2 + 1 = 28 x2 x2 › 2 + 1 x2 (x › 1 )2 x x› 1 = ±2 7 x x3 › 1 = (x › 1 )(x2 + 1 + x12) x3 x x3 › 1 = ± 2 7 (31) x3 = 62 7 μÕ∫ 62 7 15. √Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡√ŸªÀπ÷Ëß≈âÕ¡√Õ∫¥â«¬«ß°≈¡ ¥â“πÀπ÷ËߢÕß√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡π—È𬓫 12 ‡´π쑇¡μ√ ·≈–¡¡ÿ μ√ߢⓡ¥â“ππ—Èπ«—¥‰¥â 30 Ì«ß°≈¡π—Èπ¡’‡ âπºà“π»πŸ ¬å°≈“߬“«‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ ∇ „π ABC; Sin 30 Ì = 6 x A D 6 x =1 60 Ì 30 Ì 2 x) ( = 12 B6 C ‡ âπºà“π»Ÿπ¬å°≈“߬“« 24 ‡´π쑇¡μ√ μÕ∫ 24 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 45