เสริมคิดคณิตมัธยม 2557-58

สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพื้นฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 95 การแข่งขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา (รอบแรก : ระดบั เขตพ้นื ที่การศกึ ษา) ตอนท่ี 1 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตรภ์ าคภาษาไทย ส่วนที่ 2 ขอ้ ท่ี 11 – 20 ขอ้ ละ 4 คะแนน 14. จากรูป ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มด้านเทา่ มพี น้ื ท่ี 80 ตารางเซนตเิ มตร ถ้าสร้างรูปสามเหล่ยี ม มมุ ฉาก หนา้ จ่ัวโดยให้ BC เปน็ ดา้ นตรงข้ามมุมฉากและสรา้ งรปู สามเหลี่ยมดา้ นเทา่ บนด้าน BD จากนั้น สร้างรูปสามเหลยี่ มมุมฉากหน้าจั่วและรปู สามเหลีย่ มด้านเท่าสลบั กันต่อเนื่องไปเรอ่ื ย ๆ แลว้ รปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ รปู ท่ี 4 จะมพี ื้นท่กี ่ีตารางเซนตเิ มตร แนวคิด จากรปู ให้ AB = BC = AC = x แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ รอบแรก พ.ศ. 2558 โดยทฤษฎีบทพีธากอรัส จะไดว้ า่ ด้านของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 2 เทา่ กับ BD = 2 x 2 2x ด้านของรูปสามเหล่ียมด้านเทา่ รปู ที่ 3 เทา่ กับ 2 ด้านของรปู สามเหลีย่ มดา้ นเทา่ รปู ที่ 4 เท่ากับ 2 3x 2 2 จรจปูาะกไกดพอ่ ้พ้นืนนื้ ทหที่รนร่ีูป้าปู เสสสามามอมเหเหลลยี่ ย่ีมมAดB้าCนเเททา่ า่ รกปู ับตอ่8ม0าตเปา็นราง21เซนขอตงเิ มพตื้นรที่รปู สามเหลี่ยมด้านเท่า จดะงั นม้นัพี นื้ รทปู ่เีสทา่ามกเบัหลี่ย12มด้า3นxเท8า่0รูป=ท1่ี 04 ตารางเซนติเมตร ตอบ 10 ตารางเซนติเมตร โครงการพัฒนาคุณภาพการเรียนร้สู สู่ ากล

หน้า 96 สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา (รอบแรก : ระดับเขตพนื้ ท่ีการศึกษา) ตอนที่ 1 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ภาคภาษาไทย สว่ นที่ 2 ข้อท่ี 11 – 20 ข้อละ 4 คะแนน 15. โจ้ต้องการใชเ้ งิน 100 บาท ซอ้ื แสตมป์ 18 ดวง ซงึ่ มี 3 ชนดิ คอื ดวงละ 4 บาท ดวงละ 8 บาท และดวงละ 10 บาท ถา้ โจ้ตอ้ งการซอ้ื แสตมปอ์ ย่างนอ้ ยชนดิ ละ 1 ดวง และใช้เงนิ หมด 100 บาท แลว้ เขามวี ธิ ซี ้อื แสตมปท์ ี่เปน็ ไปไดต้ ามเง่ือนไขนีไ้ ดก้ ่ีวธิ ี แนวคดิ แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ให้ x แทนจำ�นวนแสตมป์ ราคาดวงละ 8 บาท รอบแรก พ.ศ. 2558 y แทนจ�ำ นวนแสตมป์ ราคาดวงละ 10 บาท 18 – x – y แทนจ�ำ นวนแสตมป์ ราคาดวงละ 4 บาท จะได้ว่า 8x +10y + 4(18 – x – y) = 100 2x + 3y = 14 ดงั นัน้ ค่า x, y ที่เป็นไปไดม้ ี 2 กรณี คือ x = 1, y = 4 และ x = 4, y = 2 น่ันคือ โจ้มีวิธซี อื้ แสตมปท์ ่เี ป็นไปได้ 2 วิธี แสตมปร์ าคา แสตมปร์ าคา แสตมป์ราคา รวม ดวงละ 4 บาท ดวงละ 8 บาท ดวงละ 10 บาท วธิ ี จ�ำ นวน จ�ำ นวนเงิน จ�ำ นวน จ�ำ นวนเงนิ จ�ำ นวน จำ�นวนเงนิ จ�ำ นวน จำ�นวนเงนิ (ดวง) (บาท) (ดวง) (บาท) (ดวง) (บาท) (ดวง) (บาท) 18 4 40 18 100 4 32 2 20 18 100 1 13 52 2 12 48 ตอบ 2 วิธี สำ�นกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศึกษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พ้ืนฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 97 การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา (รอบแรก : ระดับเขตพื้นท่ีการศึกษา) ตอนที่ 1 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ภาคภาษาไทย ส่วนที่ 2 ข้อท่ี 11 – 20 ข้อละ 4 คะแนน 16. เซกเตอร์ MAB และ MCD อยู่ภายในรูปสเ่ี หล่ียมจัตรุ สั ABCD ท่มี ดี า้ นยาว 10 เซนติเมตร ดังรูป ผลรวมของพน้ื ทีเ่ ซกเตอรเ์ ป็นก่ีตารางเซนติเมตร (ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำ�แหนง่ ก�ำ หนด π = 3.14) แนวคิด แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ รอบแรก พ.ศ. 2558 จากขอ้ มลู ที่กำ�หนด ∆BCM เป็นรูปสามเหลีย่ มด้านเทา่ แลว้ ABM = MCD = 30 ํ 30 พื้นท่ีเซกเตอรท์ งั้ สองรูปเท่ากับ 3.14 x 102 x 360 x 2 52.3 ตารางเซนติเมตร ตอบ 52.3 ตารางเซนติเมตร โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรูส้ ู่สากล

หนา้ 98 สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพื้นฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา (รอบแรก : ระดับเขตพนื้ ทก่ี ารศึกษา) ตอนที่ 1 แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทย ส่วนท่ี 2 ขอ้ ท่ี 11 – 20 ข้อละ 4 คะแนน แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ 17. ถ้า m,n และ p เป็นจำ�นวนเต็มบวกทแ่ี ตกตา่ งกนั และสอดคลอ้ งกับสมการ รอบแรก พ.ศ. 2558 (m–3) (n–3) (p–3) = 4 แล้ว m+n+p มีคา่ เทา่ ใด แนวคดิ จากขอ้ มูลท่กี ำ�หนดให้ m–3,n–3, p–3 เป็นจำ�นวนเต็มตา่ ง ๆ กัน 3 จ�ำ นวน ทม่ี ผี ลคูณเท่ากบั 4 จากการพิจารณาจะได้ 2 กรณี คือ 1) เป็นจำ�นวนบวกท้งั สามจำ�นวน เมอ่ื เป็นจ�ำ นวนเตม็ บวกทงั้ สามจ�ำ นวนผลคูณท่นี อ้ ยที่สุด คือ 1 x 2 x 3 = 6 ซง่ึ ไม่ตรงกบั เงอื่ นไขท่ีโจทยก์ ำ�หนด 2) เป็นบวก 1 จำ�นวน เป็นลบสองจำ�นวน เมอ่ื จำ�นวนหนง่ึ เปน็ จำ�นวนเต็มบวก จำ�นวนเต็มอนื่ อีก 2 จ�ำ นวน ต้องเปน็ จ�ำ นวนลบ สมมตุ ใิ ห้ m x 3< 0,n–3 < 0, p–3 > 0 เนอื่ งจากจ�ำ นวนเตม็ บวกนอ้ ยกวา่ 3 คือ 1 และ 2 เพ่ือว่า m,n ตอ้ งเท่ากบั 1 และ 2 ดังนนั้ p = 5 ผลบวกจำ�นวนเต็มทั้งสามจ�ำ นวน คือ 8 ตอบ 8 ส�ำ นกั พัฒนานวัตกรรมการจัดการศึกษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พ้นื ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หนา้ 99 การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา (รอบแรก : ระดับเขตพ้นื ท่กี ารศกึ ษา) ตอนที่ 1 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตรภ์ าคภาษาไทย สว่ นท่ี 2 ขอ้ ที่ 11 – 20 ขอ้ ละ 4 คะแนน 18. ถ้า x < y < 0 และ x2+ y2 = 4xy แล้ว xx+–yy มีคา่ เทา่ ใด แนวคดิ เน่อื งจาก x < y < 0 ทำ�ให้ทราบวา่ x + y, x – y เป็นจำ�นวนลบ จะได้ xx–+yy > 0 แต่ xx+–yy 2 x2 + y2 + 2xy x2 + y2 – 2xy = แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ รอบแรก พ.ศ. 2558 = 62xxyy = 3 ดงั นน้ั xx–+yy = 3 ตอบ 3 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรู้สสู่ ากล

หนา้ 100 สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา (รอบแรก : ระดบั เขตพนื้ ทก่ี ารศกึ ษา) ตอนที่ 1 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตรภ์ าคภาษาไทย สว่ นท่ี 2 ข้อท่ี 11 – 20 ขอ้ ละ 4 คะแนน 19. จากรปู OAC และ OBD เป็นรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก 2 รูป ถ้าความยาวของสว่ นของเส้นตรง 3 ด้าน จากท้งั หมด 4 ดา้ น คือ AB,AC,CD และ BD เปน็ 12 เซนติเมตร , 6 เซนติเมตร และ 3 เซนติเมตร แล้วจ�ำ นวนความยาวของสว่ นของเส้นตรงเสน้ ท่ี 4 ทเ่ี ป็นไปไดม้ ีทัง้ หมดกค่ี ่า แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ แนวคดิ รอบแรก พ.ศ. 2558 ให้ x เป็นความยาวของสว่ นของเส้นตรงเสน้ ที่ 4 เห็นได้ชดั วา่ AB เปน็ ดา้ นท่ยี าวท่ีสดุ ในบรรดาสว่ นของเสน้ ตรง 4 เส้น ซง่ึ AB = 12 หรอื AB = x 1) AB = 12 จะพิจารณาได้ 3 กรณี ดังน้ี 1.1 CD = x,122 = x2 + (3+ 6)2 , x = 3 7 1.2 CD = 6,122 = 62 + (3+x)2, = 6 6 –3 1.3 CD = 3,122 = 32 + (6 +x)2 , x = 3 15–6 2) ถา้ AB = x จะพิจารณาได้ 3 กรณี ดงั น้ี 2.1 CD = 12, x2 = 122 + (6+3)2, x = 15 2.2 CD = 6, x2 = 62 + (12+3)2, x = 3 29 2.3 CD = 3, x2 = 32 + (12+6)2, x = 3 37 ดังน้ัน X มคี ่าทเี่ ปน็ ไปได้ 6 คา่ ตอบ 6 คา่ ส�ำ นกั พฒั นานวัตกรรมการจดั การศึกษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หน้า 101 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา (รอบแรก : ระดบั เขตพ้นื ที่การศกึ ษา) ตอนที่ 1 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทย ส่วนที่ 2 ขอ้ ที่ 11 – 20 ข้อละ 4 คะแนน 20. ส�ำ หรบั จ�ำ นวนจรงิ x ใด ๆ หมายถึง จ�ำ นวนเตม็ ที่มากทส่ี ุดแตไ่ ม่มากกว่า x เช่น π และ –π = –4 มีจ�ำ นวนเต็มบวก n กีค่ ่าทีท่ ำ�ให้ 1n00 =1 n แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ แนวคดิ 100 = 10 รอบแรก พ.ศ. 2558 เราทราบวา่ เมือ่ ค่า n ท่เี ป็น 11 , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 เราพบว่า 10 , 9 , 8 เทา่ นนั้ ท่ีสอดคลอ้ งกับเง่ือนไขในโจทย์ ตอบ 3 ดงั น้ัน มี n ท่เี ป็นไปได้ 3 คา่ โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรูส้ สู่ ากล

หน้า 102 สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา (รอบแรก : ระดบั เขตพน้ื ทก่ี ารศึกษา) ตอนท่ี 1 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตรภ์ าคภาษาไทย ส่วนท่ี 3 ข้อที่ 21 – 25 ข้อละ 6 คะแนน 21. จากรูป AH ต้ังฉากกบั BC, AB = BC < AC และ AD แบง่ ครง่ึ มุม BAC ถ้ามุม DAH = 21 ํ แลว้ มมุ BAC มีขนาดกอ่ี งศา แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ รอบแรก พ.ศ. 2558 แนวคิด ก�ำ หนดใหม้ ุม BAC = x องศา เน่ืองจาก AB = BC จะไดม้ มุ BCA = มุม BAC = x เพราะว่า AD เปน็ เสน้ แบ่งคร่งึ มุม BAC x ดังน้นั มมุ DAC = 1 ของมมุ BAC = องศา 2 2 จากรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก ACH มุมแหลม 2 มมุ เป็นมมุ ประกอบหนึง่ มมุ ฉาก ดังน้ัน x + x2 + 21 ํ = 90 ํ จะได้ x = 46 ํ ตอบ 46 องศา ส�ำ นกั พฒั นานวัตกรรมการจัดการศกึ ษา

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 103 การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา (รอบแรก : ระดับเขตพน้ื ทกี่ ารศกึ ษา) ตอนท่ี 1 แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทย สว่ นที่ 3 ขอ้ ที่ 21 – 25 ขอ้ ละ 6 คะแนน 22. มจี �ำ นวนเตม็ บวกสีห่ ลกั กี่จำ�นวนท่ีหารด้วย 2,3,4,5,6,7 และ 8 ลงตัว แนวคดิ ค.ร.น. ของ 2,3,4,5,6,7 และ 8 แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ คือ 3 x 5 x 7 x 8 = 840 รอบแรก พ.ศ. 2558 จะได้ 840 x 2,840 x 3,840 x 4,...,840 x 11 ซ่ึงจะไดจ้ �ำ นวนเต็มบวกสี่หลกั 10 จำ�นวน ท่สี อดคลอ้ งกบั เง่ือนไขท่ใี หม้ า ตอบ 10 จำ�นวน 23. A,B,C และ D แตล่ ะคนมีแอปเปลิ อยู่จ�ำ นวนหนง่ึ ถา้ A มจี �ำ นวนแอปเปิลเท่ากบั จำ�นวนแอปเปิลของสามคนทีเ่ หลือรวมกัน B มีจ�ำ นวนแอปเปิลเป็นคร่งึ หนึ่งของจำ�นวนแอปเปลิ ของสามคนท่เี หลือรวมกัน และ C มีจ�ำ นวนแอปเปิลเปน็ หนึ่งในหกของจำ�นวนแอปเปลิ ของสามคนที่เหลือรวมกนั แลว้ จำ�นวนแอปเปิลของ A,B,C ทง้ั 3 คน รวมกันเปน็ กี่เท่าของจำ�นวนแอปเปลิ ของ D แนวคดิ 1 จากข้อมูลท่ีก�ำ หนดให้ A มี 1 1 1 = 1 แอปเปลิ ของทง้ั สคี่ น + 1 B มี 1 1 2 = 1 แอปเปลิ ของท้ังส่คี น + 3 C มี 1 = 1 แอปเปลิ ของทัง้ สี่คน 1+6 7 ดังนน้ั D มี 1 – 1 + 1 + 1 = 1 แอปเปิลของทัง้ ส่คี น 2 3 7 42 แสดงวา่ จำ�นวนแอปเปิลของทัง้ สามคนรวมกันเป็น 42–1 = 41 เทา่ ของจ�ำ นวนแอปเปลิ ของ D โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรูส้ ่สู ากล

หนา้ 104 ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พื้นฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา (รอบแรก : ระดับเขตพนื้ ทก่ี ารศึกษา) ตอนที่ 1 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ภาคภาษาไทย สว่ นที่ 3 ขอ้ ท่ี 21 – 25 ข้อละ 6 คะแนน แนวคดิ 2 A = B + C + D _____(1) (21162)((AA; B= (3) ; + C + D) _____(2) C= _____(3) จาก + B + D) C + D + C + D) จาก 1 C + D + B + D) B = 16216 (B + + 4D + C + 2D) B = 2C + 2D C = (B + C = 6D แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ = (4C รอบแรก พ.ศ. 2558 ดังนัน้ B = 14D A = 21D A + B + C = (6 + 14 + 21) D ตอบ 41 = 41D ส�ำ นกั พฒั นานวัตกรรมการจัดการศกึ ษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พ้ืนฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 105 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา (รอบแรก : ระดบั เขตพน้ื ทก่ี ารศกึ ษา) ตอนท่ี 1 แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ภาคภาษาไทย ส่วนที่ 3 ขอ้ ท่ี 21 – 25 ขอ้ ละ 6 คะแนน 24. ถา้ a,b,c เปน็ จำ�นวนเฉพาะ โดยที่ a ≤ b ≤ c แลว้ จะเขียน 31 ในรูปของ a+b+c ได้กีแ่ บบ แนวคดิ ให้ a + b + c = 31 (โดยท่ี a ≤ b ≤ c ) แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ และ a,b,c เป็นจำ�นวนเฉพาะ รอบแรก พ.ศ. 2558 เนอ่ื งจาก 3a ≤ 31 จะได้ a ≤ 10 ดงั นัน้ ค่า a ที่เปน็ ไปได้ คือ 2,3,5,7 กรณี a b+c ผล 1 2 29 สมการไม่มีคำ�ตอบเปน็ จำ�นวนเฉพาะ 2 3 28 มคี �ำ ตอบ 2 ค�ำ ตอบ คือ (5,23) (11,17) 3 5 26 มคี ำ�ตอบ 2 คำ�ตอบ คอื (7,19) (13,13) 4 7 24 มีคำ�ตอบ 2 คำ�ตอบ คอื (7,17) (11,13) สรุป คำ�ตอบมที งั้ หมด 2 + 2 + 2 = 6 แบบ ตอบ 6 แบบ โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นรู้สูส่ ากล

หนา้ 106 สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา (รอบแรก : ระดบั เขตพ้ืนท่กี ารศกึ ษา) ตอนท่ี 1 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ภาคภาษาไทย สว่ นท่ี 3 ขอ้ ที่ 21 – 25 ขอ้ ละ 6 คะแนน 25. ทรงส่ีเหลย่ี มมุมฉากมีปริมาตร x ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร มคี วามยาวด้านเปน็ จำ�นวนเต็ม หน่วยเซนติเมตร วางอยบู่ นโตะ๊ ถา้ พ้นื ที่ผิวที่มองเหน็ 5 ดา้ นรวมกนั เปน็ x ตารางเซนตเิ มตร แล้ว x มคี า่ น้อยท่ีสดุ เปน็ เท่าใด แนวคิด แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ใหค้ วามยาว ความกว้าง และความสูง แทนด้วย a,b,c ตามลำ�ดับ รอบแรก พ.ศ. 2558 ปริมาตร = พนื้ ที่ผิวทม่ี องเห็น 5 ดา้ นรวมกัน จะได้ ab+2ac +2ac = abc น�ำ abc หารทัง้ สองขา้ ง c1 + b2 + a2 = 1 จะพิจารณาได้ 2 กรณี ดังน้ี กรณีที่ 1 ถ้า c1 + b2 + a2 = 13 จะได้ a = b = 6 และ c = 3 ท�ำ ให้ x = abc = 108 กรณีที่ 2 ถา้ c1 + b2 + a2 ≠ 13 จะได้ 2.1 c1 > 1 จะได้ c<3 แต่ c1 <1 จะได้ c>1 3 ดงั น้ัน c = 2 ทำ�ให้ 1 + a2 + b2 =1; a1 + b1 + 1 2 4 คา่ ท่เี ปน็ ไปได้คือ (a,b) = (5,20),(6,12),(8,8),(12,6), (20,5) จะได้ x = abc = 200, 144, 128 ส�ำ นกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หน้า 107 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา (รอบแรก : ระดับเขตพื้นทก่ี ารศกึ ษา) ตอนที่ 1 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทย ส่วนที่ 3 ข้อที่ 21 – 25 ข้อละ 6 คะแนน 2.2 b2 > 1 (ทำ�นองเดียวกบั a2 > 1 ) จะได้ b < 6 แต่ b2 < 1 จะได้ b > 2 3 3 ดังนน้ั b = 3,4,5 c1 2 a2 c1 a2 1 3 3 2.2.1 ถา้ b = 3 แลว้ + + =1; + = คา่ ท่เี ป็นไปได้คือ (a,c) = (7,21),(8,12),(9,9),(12,6),(15,5),(24,4) แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ จะได้ x = abc = 441, 288, 243, 216, 225 รอบแรก พ.ศ. 2558 c1 2 a2 c1 a2 1 2.2.2 ถ้า b = 4 แล้ว + 5 + =1 ; + = 2 คา่ ที่เป็นไปได้คือ (a,c) = (5,10),(6,6) จะได้ x = abc = 200, 144 c1 2 a2 c1 3 2.2.3 ถา้ b = 5 แล้ว + 5 + =1 ; + a2 = 5 ค่าทเี่ ป็นไปไดค้ ือ (a,c) = (4,10),(5,5),(20,2) จะได้ x = abc = 200, 125 นนั่ คอื x มคี ่าน้อยที่สดุ เปน็ 108 เม่อื ความยาว 6 เซนติเมตร ความกว้าง 6 เซนตเิ มตร และสูง 3 เซนติเมตร ตอบ 108 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรู้สู่สากล

หน้า 108 ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา (รอบแรก : ระดับเขตพืน้ ท่กี ารศกึ ษา) ตอนท่ี 2 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทยและภาคภาษาองั กฤษ ส่วนท่ี 1 ข้อท่ี 26 – 30 แบบทดสอบภาษาไทย ขอ้ ละ 5 คะแนน 26. กำ�หนดให้ ABCD เปน็ รปู ส่ีเหลี่ยมด้านขนาน ถ้า P,X,Y และ Z เป็นจุดกึ่งกลางของดา้ น AB,BC,CD และ AD ตามล�ำ ดบั แลว้ พนื้ ท่ีของรูปส่ีเหลยี่ ม ABCD เปน็ กีเ่ ท่าของพ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยม PXZ แนวคดิ แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ พ้ืนท่ีรูปสามเหล่ยี ม PXZ เท่ากบั 1 ของพ้ืนทีร่ ปู ส่ีเหลย่ี ม ABCD รอบแรก พ.ศ. 2558 4 ดงั นั้น พ้ืนทรี่ ปู ส่ีเหล่ยี ม ABCD เท่ากบั 4 เทา่ ของพ้นื ที่รูปสามเหลี่ยม PXZ ตอบ 4 เท่า 27. ก�ำ หนดให้ a,b เป็นเลขโดดทีม่ คี า่ ต้ังแต่ 0 ถงึ 9 และ 1a5, 6b9 เป็นจำ�นวนสามหลกั ถา้ 6b9–1a5 = 454 และ 6b9 หารด้วย 9 ลงตัว แล้ว a+b มีคา่ เทา่ ใด แนวคิด 6b9 หารด้วย 9 ลงตวั จะได้ b = 3 639 – 1a5 = 454 จะได้ a = 8 a + b = 11 ตอบ 11 ส�ำ นกั พฒั นานวัตกรรมการจดั การศึกษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พ้ืนฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หน้า 109 การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา (รอบแรก : ระดบั เขตพื้นท่ีการศกึ ษา) ตอนที่ 2 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทยและภาคภาษาองั กฤษ ส่วนท่ี 1 ขอ้ ท่ี 26 – 30 แบบทดสอบภาษาไทย ขอ้ ละ 5 คะแนน 28. ถา้ 32014+42014+72014 = a แลว้ เลขโดดในหลักหนว่ ยของ a เปน็ เท่าใด แนวคิด 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81, 35 = 243,... ดังนัน้ 32014 (34) 503 32 = ...9 41 = 4, 42 = 16, 43 = 64, 44 = 256,... ดงั นน้ั 42014 (42) 1007 = ...6 71 = 7, 72 = 49, 73 = 343, 74 = 2401,75 = 16807,... ดงั นน้ั 72014 (74) 503 72 = ...9 9 + 6 + 9 + 24 แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ รอบแรก พ.ศ. 2558 ดงั นัน้ เลขโดดในหลักหน่วยของ a เปน็ 4 ตอบ 4 29. 50x49–49x48+48x47–47x46+...+4x3-3x2+2x1 มคี า่ เท่าใด แนวคิด 50 x 49 – 49 x 48 + 48 x 47 – 47 x 46 + ... + 4 x 3 – 3 x 2 + 2 x 1 = 49(2) + 47 (2) – 45 (2) + 43 (2) +...+ 3(2) + 2 x 1 = 2 (49 + 47 + 45 + 43 +... + 3+1) = 1250 ตอบ 1250 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรสู้ ู่สากล

หนา้ 110 ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพืน้ ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร การแข่งขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา (รอบแรก : ระดับเขตพ้นื ที่การศึกษา) ตอนท่ี 2 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทยและภาคภาษาองั กฤษ ส่วนท่ี 1 ข้อที่ 26 – 30 แบบทดสอบภาษาไทย ขอ้ ละ 5 คะแนน 30. จากรปู ABCD เป็นรปู สเ่ี หลย่ี มผืนผ้า มี AD = 1 หนว่ ย P เป็นจดุ อยู่บนดา้ น AB โดยที่ DB และ DP แบง่ มุม ADC ออกเป็น 3 สว่ นเท่า ๆ กัน ถ้ารปู สามเหลี่ยม BDP มีความยาวรอบรูปเปน็ หน่วย แลว้ มคี ่าเทา่ ใด (ตอบเปน็ ทศนยิ ม 1 ต�ำ แหนง่ ก�ำ หนดให้ 3 = 1.7) แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ แนวคดิ รอบแรก พ.ศ. 2558 BC = AD = 1 = BC จะได้ BD =2 ΔBCD ; sin30 ํ BD ΔADP ; cos30 ํ = AD จะได้ DP = 2 DP 3 ΔADP ; tan30 ํ = AP จะได้ AP = 1 AD 3 BC ΔBCD ; tan30 ํ = CD จะได้ CD = 3 BP = 3– 1 = 2 3 3 2 2 ความยาวรอบรูป ΔBDP x = BD + DP + BP = 2 + 3 + 3 = 6+4 3 หน่วย 3 3x = 6+4(1.7) = 12.8 ตอบ 12.8 หนว่ ย ส�ำ นกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศึกษา

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หนา้ 111 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา (รอบแรก : ระดับเขตพ้นื ท่กี ารศึกษา) ตอนท่ี 2 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทยและภาคภาษาองั กฤษ ส่วนที่ 2 ข้อที่ 31 – 35 แบบทดสอบภาษาอังกฤษ ขอ้ ละ 3 คะแนน 31. If x and 2x21 are both integers, how many possible values of x. Solution ตxัวแปลระะก2อx2บ1ขเอปง็นจ2ำ�2น1วคนือเต1ม็ ,ท1งั้ 3ค,ู่ แสดงวา่ x จะตอ้ งหาร 221 ลงตวั 17, 221 แตก่ �ำ หนดวา่ x เป็นจำ�นวนเตม็ ดงั นั้น แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ รอบแรก พ.ศ. 2558 x อาจเป็นไปไดท้ ้ังหมด 8 ค่า คอื ±1,±13,±17,± 221 Answer 8 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นรสู้ สู่ ากล

หน้า 112 ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พ้นื ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา (รอบแรก : ระดับเขตพนื้ ท่ีการศกึ ษา) ตอนท่ี 2 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทยและภาคภาษาองั กฤษ สว่ นท่ี 2 ขอ้ ที่ 31 – 35 แบบทดสอบภาษาองั กฤษ ข้อละ 3 คะแนน แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ 32. Suppose a,b,c and d are positive integers satisfying รอบแรก พ.ศ. 2558 ab+cd = 38 ac+bd = 34 ad+bc = 43 What is a+b+c+d ? Solution ab+cd = 38 _____(1) ac+bd = 34 _____(2) ad+bc = 43 _____(3) (2)+(3) a(c+d)+b(c+d) = 77 (a+b) (c+d) = 7x11 กรณีที่ 1 a+b = 1 และ c+d = 77 เปน็ ไปไม่ไดเ้ น่ืองจาก a+b ≥ 2 กรณที ี่ 2 a+b = 7 และ c+d = 11 a+b+c+d = 7 + 11 = 18 กรณที ี่ 3 a+b = 11 และ c+d = 7 a+b+c+d = 11 + 7 = 18 กรณีท่ี 4 a+b = 77 และ c+d = 1 เป็นไปไม่ได้เนอื่ งจาก c+d ≥ 2 Answer 18 ส�ำ นักพัฒนานวตั กรรมการจัดการศึกษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หน้า 113 การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา (รอบแรก : ระดบั เขตพ้นื ทก่ี ารศกึ ษา) ตอนท่ี 2 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทยและภาคภาษาองั กฤษ ส่วนท่ี 2 ขอ้ ที่ 31 – 35 แบบทดสอบภาษาองั กฤษ ขอ้ ละ 3 คะแนน 33. What is the area of the region bounded by the graph of | x + y | + | x–y | = 4 ? แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ รอบแรก พ.ศ. 2558 Solution We can find four possible equations : 1) (x + y) + (x–y) = 4 so x = 2, 2) (x + y) – (x–y) = 4 so y = 2, 3) –(x + y) + (x – y) = 4 so y = –2, 4) –(x + y) – (x–y) = 4 so x = –2, The region bounded by these lines is a 4x4 square units, so the area is 16. Answer 16 square units โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนร้สู สู่ ากล

หน้า 114 สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธิการ แนวคิดแบบทดสอบคณิตศกาาสรตแรข์ ่งรขะันดทับามงธั วยิชมาศกึกาษราร(ะรดอบั บนแาสรนํากนากั:ชงาราตะนดิคปบั ณรเะขะกตจรพำ�รปน้ืมีกทพาก่ี ร.ากศรา.ศร2ศึก5ึกษ5ษา8า)ขั้นพืน้ ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ การแขงขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2558 (รอบแรก ระดับเขตพน้ื ทกี่ ารศกึ ษา) ตอนท่ี 2 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทแนยวคแิดลแบะบภทดาสคอภบคาณษติ ศาาอสตงั รก รฤะดษบั มัธยมศึกษา ส่วนที่ 2 ขอ้ ที่ 31 – 35 แบบทดสอบภ3า4.ษาDองั,กEฤ,ษF ขarอ้ eลpะoi3ntsคoะnแtนhนe sides BC ,CA, AB of tria such that AD , BE,CF are concurrent at a point G . 34. D,E,F are points on the sides BC,CA,AB of triangles ∆ABGCErCes=pe3ctaivnedlyth,e area of ∆GCD = 4 . Find the a such that AD, BE, CF are concurrent at a point G. BD = 2CD the area of ∆GEC = 3 and the area of ∆GCD = 4. Find the area of ∆ABC. แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ แนวคดิ รอบแรก พ.ศ. 2558 Solution A Let area of Let area of ∆AGE = acb ∆AGF = ∆BGF = F ba E c G3 B 84 C พจิ ารณา ∆ABD และ ∆ADC จะได้ b+c+8 = 2(a+27x ) Dx 2a–bพ–จิ cารณ=า–∆6 A BD แล_ะ__∆__A(1D)C จะได b + c + 8= 2(a + 7) พ จิ ารณ า ∆AG E แล ะ ∆CGE และ4∆aA–BbEพ–จิ กa3cาับรณ==∆าC0a∆ B+E A1bG5+Ec 2a − b − c =−6 _ กบั ∆CGE และ ∆ABE กับ ∆CBE (2) – (1) จะได้ a = 3 และ b+c = 12 _____(2) a = a+b+c 3 15 Area of ∆ABC = a+b+c+15 = 3(+21)2−+1(15)=จ3ะ0ได square uแnลiะts 4a − b − c =0 __ c =12 a=3 b + Answer 30 square units ∴ Area of ∆ABC =a + b + c +15 =3 +12 +15 = ตอบ 30 square units สาํ นักพฒั นานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา ส�ำ นกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 115 การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา (รอบแรก : ระดบั เขตพนื้ ทีก่ ารศึกษา) ตอนท่ี 2 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทยและภาคภาษาองั กฤษ ส่วนที่ 2 ขอ้ ท่ี 31 – 35 แบบทดสอบภาษาองั กฤษ ข้อละ 3 คะแนน 35. A student needs 45% marks to pass the exam. If Somchai got 251 marks and he needs 19 marks to pass. What is the total marks of this examination? Solution Somchai ได้ 251+19 คดิ เป็น 45% 100% จะเทา่ กับ 14050 x270 = 600 marks แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ รอบแรก พ.ศ. 2558 Answer 600 marks ******************************* โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นรูส้ ่สู ากล

แแบบทดสอบคณิตศาสตร์ แบกบารทแดขสงอขบันคทณาิตงศวาชิ สาตกรา์รระรดะับดมบั ธันยามนศาึกชษาาติ รอบสอง พ.ศ. 2558 ประจาํ ป พ.ศ. 2555 การแข่งขันทำ�งวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แบบทดสอ(บรอกบารสแอขงงรขะนั ดทับาปงวริชะาเทกศาร) ระดบั ประเทศ (คณติ ศาสตร ระดบั ประถมศกึ ษา)

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พื้นฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หน้า 117 การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา (รอบสอง : ระดบั ประเทศ) ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ แแบบทดสอบคณิตศาสตร์ การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 รอบสอง พ.ศ. 2558 (รอบสอง ระดบั ประเทศ) แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา สอบวนั ท่ี 14 มีนาคม พ.ศ. 2558 เวลา 09.00 – 11.30 น. ค�ำ ชแ้ี จง 1. แบบทดสอบคณิตศาสตร์ฉบับน้ี เปน็ แบบทดสอบคณิตศาสตรภ์ าคภาษาไทยและภาคภาษาองั กฤษ ประเภทเลือกตอบและประเภทเตมิ ค�ำ ตอบ (ไมต่ อ้ งแสดงวธิ ีทำ�) มจี ำ�นวน 7 หน้า คะแนนเต็ม 140 คะแนน เวลาในการทำ�แบบทดสอบ 2 ช่ัวโมง 30 นาที 2. แบบทดสอบฉบบั นีแ้ บ่งเปน็ 2 ตอน มีจ�ำ นวน 25 ข้อ ดงั น้ี ตอนท่ ี 1 แบบทดสอบคณิตศาสตรภ์ าคภาษาไทย จำ�นวน 15 ข้อ คะแนนเตม็ 100 คะแนน แบง่ เปน็ 3 สว่ น สว่ นท ่ี 1 ขอ้ ที่ 1 – 5 แบบเลือกตอบ 5 ตวั เลือก จำ�นวน 5 ขอ้ ขอ้ ละ 4 คะแนน รวม 20 คะแนน สว่ นท่ี 2 ข้อท่ ี 6 – 13 แบบเตมิ ค�ำ ตอบ จ�ำ นวน 8 ขอ้ ข้อละ 5 คะแนน รวม 40 คะแนน ส่วนท ่ี 3 ขอ้ ท ่ี 14 – 15 แบบแสดงวิธีทำ� จ�ำ นวน 2 ขอ้ ขอ้ ละ 20 คะแนน รวม 40 คะแนน ตอนที ่ 2 แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ภาคภาษาไทยและภาษาอังกฤษ จ�ำ นวน 10 ขอ้ คะแนนเตม็ 40 คะแนน แบง่ เปน็ 2 ส่วน ส่วนท ่ี 1 ขอ้ ท่ี 16 – 20 แบบทดสอบภาคภาษาไทย แบบเติมคำ�ตอบ จำ�นวน 5 ข้อ ขอ้ ละ 5 คะแนน รวม 25 คะแนน ส่วนที่ 2 ขอ้ ที่ 21 – 25 แบบทดสอบภาคภาษาอังกฤษ แบบเตมิ ค�ำ ตอบ จ�ำ นวน 5 ข้อ ข้อละ 3 คะแนน รวม 15 คะแนน 3. กระดาษค�ำ ตอบมี 2 หนา้ ให้นกั เรยี นเขยี น ช่ือ-นามสกุล เลขประจ�ำ ตัวสอบ ห้องสอบ ชอ่ื โรงเรียน สำ�นกั งานเขตพืน้ ท่ีการศึกษา ใหค้ รบทง้ั 2 หนา้ 4. คำ�ตอบแต่ละขอ้ ท่ีนักเรียนตอบ ตอ้ งตอบลงในกระดาษคำ�ตอบและใหต้ รงกบั ข้อคำ�ถาม 5. ไม่อนุญาตใหใ้ ช้เครือ่ งคิดเลข โทรศัพท์ หรอื เครอื่ งมืออเิ ล็กทรอนกิ สใ์ ด ๆ ในการคำ�นวณ 6. นักเรียนจะออกจากหอ้ งสอบไดเ้ มอ่ื หมดเวลาสอบ โดยวางกระดาษคำ�ตอบ กระดาษทด และแบบทดสอบไวบ้ นโตะ๊ 7. การตดั สินของคณะกรรมการถือเปน็ ข้อยตุ ิ แบบทดสอบฉบบั น้ี เป็นลขิ สทิ ธิ์ของ สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร ห้ามเผยแพร่ อา้ งองิ ตดั ต่อ ดดั แปลงหรือเฉลย ก่อนได้รับอนุญาต โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนรูส้ ่สู ากล

หน้า 118 สำ�นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ การแข่งขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา (รอบสอง : ระดบั ประเทศ) สํานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พ้ืนฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หนา 2 ต(กอราอนรบแสทของงขี่ ร1นั ะทดบัาแงปวรบะชิ เาทบกศา)ทร รดะดสับอนาบนาคชาณติ ิตปรศะจาาํ สป ตพ.ศร.์ภ25า5ค8 ภาษาไทย แบบทดสอบคณติ ศาสตร ระดบั มัธยมศกึ ษา   สว่ นที่ 1 ขอ้ ที่ 1 – 5 แบบเลอื กตอบ 5 ตัวเลอื ก จำ�นวน 5 ขอ้ ขอ้ ละ 4 คะแนน ตอนท่ี 1 แบบทดสอบคณติ ศาสตรภาคภาษาไทย จํานวน 15 ขอ แบงเปน 3 สวน 1. (aส+ว 1น)ท(b่ี 1−1)ข+อ(bที่+11)(–c−51แ)+บ(บcเ+ล1อื )ก(aต−อ1บ) ม5คี ต่าัวเทเลา่ อืใดก จาํ นวน 5 ขอ ขอ ละ 4 คะแนน ((คก1)). aaabbb(((กคa+++)) +bbbaa1cccbb)(+++++bbb−ccccc1aaa++)−−++ccaa(232b+a −b+32−+1b)22+(bcc2−c+−1+32)3 c++(c3+1)(a((งข−)) 1a)abbม+คี+((า bขงbเ)ท)ccาa+ใa+ดbbcc++aabbc−c++2cacaa−− (จ) 2b − 2c − 3 2a − 2b − 2c − 3 2. จากรปู (จA)BCaเbป+็นรbูปcส+าcมaเห−ล2ยี่ aม−ม2ี bD−เป2็นcจ+ดุ 3กึ่งกลางของดา้ น BC,E เปน็ จดุ บน ดBตDา้2าน.FราCมงAพีแจแเซาลลืน้ แกนะะทลรรต่ีกะูปปูFิี่ตเสFมาA่ีเเรตเหปปBารลนง็นCยี่เจซจแมุดนุดลเกปกตะAึ่งึง่นิเกรมFกรูลปตลDูปารสาสงCง่ีเขาขหมออมลเงงหดพี่ียดลาืน้มา้ ี่ยนนทมี่ABB8FE0มEDี ถตDCถา้าารรรปูมาเูปปงสีพเสนาซ้ืนามจนมทเดุ ตหเกี่ หิเลมึง่8ล่ียกต0ยี่มลรมาAตงแBาขAลCรอBวางรCมดงปู ีพเา ซสนน้ืมานทพี มBต่ีืน้เ1หิCเท2มลี่0,ต1ย่ี E2มร0เBแปตDลนา้รวจFาดุรงูปบเมซนสพี นดา้นื ตามทิเนเมี่หตCลรA่ียม แแบบทดสอบคณิตศาสตร์ รอบสอง พ.ศ. 2558 กตี่ ารางเซนตเิ มตร A E F B DC (ก) 10(กต)าร1า0งเซตนารตาเิ งมเตซรน ติเมตร (ข) 15 ตา(รขา)งเซ1น5ตตเิ ามรตารงเซนติเมตร (ค) 17(.ค5)ต1าร7า.5งเซตนารตาเิ งมเตซรน ติเมตร (ง) 20 ตาร(งา)งเซ2น0ตติเามรตารงเซนติเมตร (จ) 25(จต)าร2า5งเซตนารตาิเงมเตซรนตเิ มตร 3. ให3้. mใหเป m็นจเำ�ปนน วจนาํ นเตว็มนใเดต็มๆใด ทๆี่มทาี่มกากกวก่าวา11 โดยที่ mm33เทเทาก่าับกับผลผรลวรมวขมอขงอจํางนจำว�นควี่ทนีเ่ครี่ทยง่ีเรตียดิ งกตนั ิดกmันจาํ นวน m จำ�นตวั นอยตาวังอ2ย3า่ ง=233+=53, 3+3 5=,73+3 =9 +71+1 9 แ+ละ114แ3 ล=ะ1343+=151+31+71++1179+19 ถ้า 999 เปน็ จำ�นวนคี่ จำ�นวนถหาน่งึ 9ใ9น9จำ�เนปวนนจคาํ ท่ีน่เีวรนียคงตี่จิดาํ นกวันนหแนล่งึะใมนผี จลาํ รนววมนเคทท่ีากเี่ รับียงmติด3กแันลว้ แmละมีผคล่าเรทวา่มใเดทากบั m3แลว m มคี า เทา ใด (ก) 30( ก) 30 (ข) 31 (ข) 31 (ค) 32 (ค) 32( ง) 33 (จ) 34 (ง) 33 (จ4). 34ความยาวรอบรูปของรูปสามเหลยี่ มดา นเทารปู หนงึ่ เทากบั a เซนติเมตร และ ความยาวรอบรูปของรปู สเ่ี หลยี่ มจัตุรัสรูปหนง่ึ เทากับ b เซนตเิ มตร ถารูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสมพี ้นื ทเี่ ปนครึง่ หน่ึงของพืน้ ทข่ี องรูปสามเหลย่ี มดานเทา แลว a2 มคี าเทา ใด b2 ส�ำ นกั พัฒนานวตั กรรมการจัดการศกึ ษา (ก) 3 3 (ข) 3 3 (ค) 3 3 8 42

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พ้นื ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หน้า 119 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา (รอบสอง : ระดบั ประเทศ) 4. ความยาวรอบรูปของรูปสามเหล่ียมด้านเท่ารูปหน่ึงเท่ากับ a เซนติเมตร และความยาวรอบ ขรูปองขพอืน้ งทรข่ีูปอสงี่เรหปู ลสี่ยามมเจหัตลุร่ียัสมรดูปา้ นหเนท่ึงา่ เทแ่าลก้วับbab22 เซนติเมตร ถ้ารูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสมีพ้ืนที่เป็นครึ่งหน่ึง มคี า่ เทา่ ใด (ก) 3 8 3 (ข) 3 4 3 (ค) 33 2 (ง) 33 (จ) 6 3 3 5. แพรวมีกล่องลูกอม 2 กล่อง กล่องใบหนึ่งมีลูกอม 0 เม็ด กล่องอีกใบหนึ่งมีลูกอม n เม็ด เมื่อ n เป็นจำ�นวนเต็มบวก แพรวใส่ลูกอมเพิ่มลงในกล่อง จำ�นวน 4,3 และ 2 เม็ด ตามลำ�ดับโดยเพ่ิมลงในกล่องที่มีลูกอมจำ�นวนที่น้อยกว่า แต่ถ้ากล่อง 2 กล่องน้ีมีจำ�นวนลูกอมเท่ากัน แพรวจะใส่ลูกอมเพ่ิมลงในกล่องใดก็ได้ ถ้าในครั้งสุดท้ายจำ�นวนลูกอมในกล่องท้ังสองกล่องต่างกัน แแบบทดสอบคณิตศาสตร์ 1 เม็ด แลว้ ค่าของ n ทีเ่ ป็นไปได้มีทัง้ หมดกี่จำ�นวน รอบสอง พ.ศ. 2558 (ก) 2 (ข) 3 (ค) 4 (ง) 5 (จ) 6 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนรสู้ ่สู ากล

(ง) 5 (จ) 6 หน้า 120 ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พนื้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร สว นที่ 2 ขอ ที่ 6 – แ1บ3บทแดบสกบอาบรเตแคขมิณง่ คติขําศนั ตาทสอาตงบรว์ ิชราจะกดําาับนรมวรธั นะยดมบั8ศนึกขาษนอ าา(ชขราออ ตบลิ ปสะอรงะ5จ:ำ�ครปะะี ดแพับน.ศปน.ระ2เ5ท5ศ8) 6. สว่ แในหลทวaี่ 2a,bข+้อbแทล+ี่ ะ62–cc 1ม3เปีคานแเจทบาํ าบนใเดวตนมิ จคร�ำ ิงตอถบา xจ3�ำ +นวaนx28+ขbอ้x +ขc้อลหะาร5ดวคยะแxน2น+ 5x − 3 ลงตัว 6. ให้ a,b และ c ป็นจ�ำ นวนจริง ถ้า x3 + ax2 + bx + c หารด้วย x2 + 5x – 3 ลงตัว แล้ว a+b7+.2c ใมหคี  า่ xเท, yา่ ใ,ดz เปนจํานวนเตม็ จงหาจํานวนของ (x, y, z) ทง้ั หมดทเี่ ปน คาํ ตอบของ xyz = 6 7. ให้ x, y, z เป็นจำ�นวนเตม็ จงหาจ�ำ นวนของ (x, y, z) ทง้ั หมดทเ่ี ปน็ ค�ำ ตอบของ | xyz | = 6 8. จากรูป AB8C. เปจน็ ารกปู รสปู ามAเหBลC่ียมเทปีม่ นี รAปูBส=าม7เหเซลนย่ี ตมิเทมีม่ ตี รAABC==78เซเซนนตตเิ มิเมตตรร AC = 8 เซนตเิ มตร และ BC = 9 เซแนลตะเิ มBตรC = 9 เซนตเิ มตร A เป็นจุดศนู ย์กลAางเปขอนงจวดุ งศกูนลยมกทลี่ตาดั งขAอBงวแงลกะลAมCทตี่ ทัดี่จดุ AFBแแลละะE AตาCมลท�ำ ีจ่ ดดุ บั F และ E ตามลําดบั B และ C เป็นจุดBศูนแลยะ์กลCางขเปอนงวจงดุ กศลูนมยทกีม่ ลีราัศงมขีอBงFวงแกลละมCทEีม่ ีรตัศามีลB�ำ ดFับ และ CE ตามลําดบั ถา้ D เปน็ จดุ บถนา BCDแเลปะนเปจ็นดุ จบุดนสมัBผCัสขแอลงะวเงปกนลจมดุ Bสมั แผลสัะขCองวงกลม B และ C แล้ววงกลมท้ังสแามลววงวมงกพี ล้ืนมทท่ีร้งัวสมากมนั วกงต่ีมาีพรืน้ าทงเี่รซวนมตกิเนัมกตตี่ราร(กางำ�เหซนนดติเπมต=ร 3(.ก14าํ ห) นด π = 3.14 ) แแบบทดสอบคณิตศาสตร์ A รอบสอง พ.ศ. 2558 FE B DC 9. แถวท่ี 1 มี a อยู่ 2 ตัว แตล่ ะแถวถดั ไปจะมี a เพ่ิมขึ้นอกี 1 ตวั เสมอ ถา้ มี a ทัง้ หมด 2015 ตัว แล้วจะมีทั้งหมดก่ีแถว 10. งานสัปดสาาํ นหัก์หพัฒนนังาสนืวอตั แกรหร่มงกหารนจึ่งดั การผศึกู้ดษำ�าเนินการได้แจกหนังสือแก่ผู้เข้าร่วมงโคารนงกทารุกพคฒั นนาคคณุนภลาะพการเรียนรสู ูสากล 1 เล่ม โดยผู้ชายทุกคนที่เข้าร่วมงานจะมีหนังสือของตนเองแจกให้ผู้ชายอื่นทุกคนท่ีเข้า ร่วมงานอีกคนละ 1 เล่ม ในทำ�นองเดียวกัน ผู้หญิงทุกคนที่เข้าร่วมงานจะมีหนังสือของตนเอง แจกให้ผู้หญิงอื่นทุกคนที่เข้า ร่วมงานอีกคนละ 1 เล่ม ถ้าจำ�นวนรวมของหนังสือท่ีผู้เข้าร่วมงาน ท่ีเป็นผู้ชายได้รับมากกว่า จำ�นวนรวม ของหนังสือที่ผู้เข้าร่วมงานท่ีเป็นผู้หญิงได้รับ อยู่ 31 เล่ม แลว้ ผทู้ ่เี ขา้ รว่ มงานทง้ั หมดมีกค่ี น สำ�นกั พัฒนานวตั กรรมการจัดการศกึ ษา

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หน้า 121 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา (รอบสอง : ระดบั ประเทศ) 11. กำ�หนดให้ D เป็นจดุ บนด้าน BC ของรปู สามเหล่ยี ม ABC ท�ำ ให้ BAˆD = 76 ํ จุด C' AไดDˆ้จCากมกขี านราสดะกทอ่ี ้องนศจาุด C ขา้ ม AD ถา้ ABC'D เป็นรปู ส่เี หลี่ยมด้านขนาน C' แลว้ C B D แแบบทดสอบคณิตศาสตร์ รอบสอง พ.ศ. 2558 AC 12. ถา้ มจี ำ�นวนเต็ม k บางตัวที่ k ≠ 0 ทที่ �ำ ให้สมการ มีคำ�ตอบเปน็ จ�ำ นวนเตม็ ทีต่ า่ งกนั 2 จ�ำ นวน แล้วผลตา่ งของคำ�ตอบของสมการทเ่ี ปน็ ไปได้ (เมอ่ื นำ�จำ�นวนท่นี ้อยกวา่ ไปลบออกจากจำ�นวนท่มี ากกว่า) เป็นเท่าใด 13. แบง่ จำ�นวนเต็มตัง้ แต่ 1 ถึง 20 เป็นสองกลุ่ม ถ้ากล่มุ หนึ่งมีผลบวกของจ�ำ นวนเต็มทงั้ หมด เทา่ กับ n และอีกกลุ่มหน่งึ มผี ลคูณของจ�ำ นวนเตม็ ทัง้ หมด เทา่ กบั n ดว้ ย แลว้ n มคี ่ามาก ทสี่ ุดเทา่ ใด โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรสู้ ูส่ ากล

หน้า 122 ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พืน้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ การแข่งขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา (รอบสอง : ระดบั ประเทศ) สว่ นที่ 3 ขอ้ ท่ี 14 – 15 แบบแสดงวธิ ีทำ� จำ�นวน 2 ข้อ ขอ้ ละ 20 คะแนน 14. กำ�หนดให้ E และ F เป็นจดุ บนด้าน BC และ CD ของรูปสเ่ี หลยี่ มจัตรุ ัส ABCD ตามลำ�ดบั ท�ำ ใหร้ ูปสามเหลี่ยม CEF มคี วามยาวรอบรปู เป็นครงึ่ หนง่ึ ของความยาวรอบรปู ของรูป ABCD จดุ G เปน็ จุดบน AE ทำ�ให้ FG ต้งั ฉากกบั AE และ จุด H เป็นจดุ บน FG ทีท่ �ำ ให้ AH = EF จงพิสูจนว์ ่า AH หรือส่วนตอ่ ของ AH ตั้งฉากกับ EF DF C H E G แแบบทดสอบคณิตศาสตร์ AB รอบสอง พ.ศ. 2558 15. จากรปู ดา้ นขวาแสดงการแบง่ แตล่ ะดา้ นของรปู สามเหลย่ี มด้านเท่าออกเปน็ 5 สว่ นเท่า ๆ กนั ดว้ ยจุด 4 จดุ แล้วลากสว่ นของเสน้ ตรงเช่อื มจุดให้ขนานกบั ดา้ นของรปู สามเหล่ียมทำ�ใหเ้ กิด เป็นรูปสามเหล่ยี มดา้ นเท่าเล็ก 25 รปู เตเทรียมอนด์ (Tetriamond) เปน็ ตวั ตอ่ ท่ีได้จากการนำ�รปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ 4 รูปมาประกอบ กนั โดยมีดา้ นติดกนั จากรูปดา้ นซา้ ยแสดงเตเทรยี มอนด์ 3 รปู 15.1. จงแสดงว่าถ้าแรเงารูปสามเหลีย่ มเลก็ 7 รูปใด ๆ แลว้ จะมีกรณที ไ่ี มส่ ามารถน�ำ เตเทรยี มอนดใ์ ด ๆ มาวางปิดทบั บนรปู สามเหลย่ี มใหญ่โดยไม่ทบั ส่วนใด ๆ ของรูปสามเหลีย่ มเลก็ ทแ่ี รเงา (4 คะแนน) 15.2. จงพิสูจน์วา่ ถา้ แรเงารูปสามเหลย่ี มเลก็ 6 รูปใด ๆ แล้วจะมกี รณที น่ี ำ�เตเทรียมอนดร์ ูปใดรปู หน่งึ มาวางปดิ ทับบนรปู สามเหลีย่ มใหญ่โดยไม่ทบั สว่ นใด ๆ ของรูปสามเหลยี่ มเล็กท่ีแรเงาไดเ้ สมอ (16 คะแนน) ส�ำ นักพัฒนานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพ้ืนฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 123 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา (รอบสอง : ระดับประเทศ) ตอนท่ี 2 แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทยและภาคภาษาอังกฤษ ส่วนท่ี 1 ขอ้ ที่ 16 – 20 แบบทดสอบภาคภาษาไทย แบบเตมิ คำ�ตอบ จำ�นวน 5 ขอ้ ขอ้ ละ 4 คะแนน 16. ให้ a, b, c, d และ e เป็นจ�ำ นวนเตม็ ที่ต่างกนั 5 จ�ำ นวน เม่ือนำ�จำ�นวนสองจำ�นวนใด ๆ ใน 5 จ�ำ นวนนมี้ าบวกกันจะไดผ้ ลบวกทีแ่ ตกตา่ งกนั 10 จำ�นวน ถา้ จ�ำ นวน 9 จ�ำ นวนใน 10 จ�ำ นวน คอื 637 , 699 , 794 , 915 , 919 , 981 , 1010 , 1072 , 1197 แล้วจ�ำ นวนทม่ี ากทีส่ ดุ ใน a, b, c, d และ e คือจ�ำ นวนใด 17. กำ�หนดให้ 17! = 355678ab8096000 เมื่อ a และ b ต่างเป็นเลขโดดต้งั แต่ 0 ถึง 9 จงหาจ�ำ นวนสองหลกั ab ใน 17! 18. ถา้ x = 1 3 แล้ว x6–2 3x5–x4+ x3–4x2+2x – 3 มีคา่ เทา่ ใด แแบบทดสอบคณิตศาสตร์ 2– รอบสอง พ.ศ. 2558 1 1 1 1 1 1 2 109.. แถจาลา้ กว้ aร,ูปcbcA,––BcCbaDเปE็นเปเจป็น�ำ น็ เนทรว่าปู นใหจดา้รเิงหทล่ีส่ียอมดคซลง่ึ อ้ มงี กBบัAˆEa=+ = 5 , b+ = – 15 , c+ = 3 bc ac ab และ BCˆD = 90 ํ AB=BC=DE=AE+CD=20 หน่วย ถ้า ∆BCE' ได้จากการหมนุ ∆BAE ตามเข็มนาฬิกา โดยมี B เปน็ จดุ หมุน และมีขนาดของมุมทห่ี มุน เท่ากับ ABC แล้วรูปหา้ เหลี่ยม BE' CDE มีพืน้ ทก่ี ี่ตารางหน่วย D C E' E AB โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนรู้สสู่ ากล

หนา้ 124 ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พื้นฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ การแข่งขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา (รอบสอง : ระดับประเทศ) สว่ นที่ 2 ข้อท่ี 21 – 25 แบบทดสอบภาคภาษาอังกฤษ แบบเตมิ คำ�ตอบ จำ�นวน 5 ขอ้ ขอ้ ละ 3 คะแนน 21. Find the number of positive integers n such that n + 2n2 + 3n + ... + 2015n2015 is divisible by n–1. 22. Let x, y, z are real numbers. If 5 xy = 6 x + y 3 yz = 2 y + z and 4 zx = 3 z + x xy then find the value of yz . แแบบทดสอบคณิตศาสตร์ 23. Find the least positive four-digit number which is equal to the cube of the รอบสอง พ.ศ. 2558 sum of its digits. 24. ABC is a right triangle whose perimeter is 40 cm and its area is 60 cm2 If a, b, c are the sides of a triangle that is the opposite of the angle A, B, C respectively. Find a2 + b2 + c2. 25. How many integers n such that 1≤ n ≤111 are there so that the least common multiple of 1, 2, 3, ..., n is the same as the least common multiple of 1, 2, 3, ..., n+1. ******************************* ส�ำ นักพัฒนานวัตกรรมการจดั การศึกษา

แนวคดิ กแาบรบแทขดง สขอันบทคาณงวติ ชิ ศากสาตรร์ รระะดบั นมาัธนยมาชศากึ ตษิ า แแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ประจาํ ป พ.ศ. 2555 รอบสอง พ.ศ. 2558 การแขง่ ขนั ท�ำ งวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แบบทดสอ(บรอกบารสแอขงงรขะนั ดทบั าปงวริชะาเทกศาร) ระดบั ประเทศ (คณติ ศาสตร ระดับประถมศกึ ษา)

หนา้ 126 สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา (รอบสอง : ระดับประเทศ) ตอนที่ 1 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ภาคภาษาไทย ส่วนที่ 1 ขอ้ ที่ 1 – 5 ขอ้ ละ 4 คะแนน 1. (a+1)(b−1)+(b+1)(c−1)+(c+1)(a−1) มคี ่าเท่าใด แนวคิด (a+1)(b−1)+(b+1)(c−1)+(c+1)(a−1) = ab+b−a−1+bc+c−b−1+ca+a−c−1 = ab + bc + ca -3 ตอบ ab + bc + ca – 3 แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ รอบสอง พ.ศ. 2558 ส�ำ นักพัฒนานวตั กรรมการจดั การศึกษา

แบบทดสอบคณติ ศาสตร ระดบั มัธยมศกึ ษา   ตอนสทำ�ี่ น1กั งแาบนบคณทดะกสรอรมบกคาณรกิตารศศาึกสษตาขร้นัภ พาน้ืคฐภาานษากไรทะทยรวจงาํ ศนกึ ษวานธกิ1า5ร ขอ แบง เปน 3 สว น หน้า 127 สวนทแกนา่ี ร1วแคขดิ ข่งแขบอันบททท่ี าดง1สวอชิ –บาคก5ณารแิตบรศะาบดสบัเตลนรือ์านกระาตดชอับาบมตธัิ ปย5รมะศจตึก�ำ ัวษปเาี ลพ(ือร.ศอก.บ2สจ5อํา5งน8:วรนะด5บั ปขรอะเทขศอ) ละ 4 คะแนน 1. ((กa)ต+aอ1b)น(+bทb−c่ี1+1)+caแ(b−น+3ว1)ค(cิด−แ1)บ+บ(cท+ด1)ส(aอ−บ1)คณมีคติ(าขเทศ) าาใaดสb +ตbรcภ์ +าcaคภาษาไทย (ค) ab + bc + ca + 2b ส+ว่ 2นc ท+ี่31 ขอ้ ที่ 1 – 5 ข้อล(งะ) 4abค+ะแbนc น+ ca − 2a − 2b − 2c − 3 (จ) ab + bc + ca − 2a − 2b − 2c + 3 2 .2 . จเปAาF็นกแจแDจราลลูปCุดกะะกรรมAปู่ึงูปFพีBกสCืน้ลA่ีเเหาปทเBงปลน่ี ขC8่ียน็จอ0มรดุ งเปูตกดปAสางึ่้านกรานFรามลDูปงBาเเหสEงซCขลานถมอี่ยตา้มเงมเิหรดพีมปูลาืน้ตมสี่ยนรทีามD่ีมB8แเเ0มEหลปีลว้น็ตDรถยี่าจปูามรดุ รสาเกAูปปงางึ่เBมสน กซCเาจลนหมุดาตมลเกงหเิีพย่ี ขม่งึ ลม้ืนกอตี่ยทลงรBมดา่ีD1า้งแFข2นAล0อBมวBงรพีตCCดปู าน้ื,ารสนทEมาากี่พีงมเBเปีต่น้ืซเหาC็นทนรลจ่ีตา,1่ียดุ งเิE2มมบเซ0ตนเนBปรตตดDนาแเิ้ารจมFลนาุดตะงบรCรเมซปูนAีพนสด้ืนแต่ีเา หลทเินมละี่ ตี่ยCFรมA กต่ี ารางเซนตเิ มตร A E B F C แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ แนวคดิ ( ก) 10 ตารางเซนตเิ มตร D รอบสอง พ.ศ. 2558 (ข) 15 ตารางเซนติเมตร (ค) 17.5 ตารางเซนติเมตร A (ง) 20 ตารางเซนติเมตร (จ) 25 ตารางเซนติเมตร 3. ให m เปนจํานวนเต็มใด ๆ ทีม่ ากกวา 1 โดEยท่ี m3 เทากบั ผลรวมของจํานวนคท่ี ีเ่ รียงติดกัน m จํานวน ตวั อยา ง 23 = 3 + 5 , 33 = 7 + 9 +11 และ 43 = 13 +15 +17 +19 ถา 999 เปนจํานวนค่จี ํานBวน(หขน) ึ่ง3ใFน1จาํ Dนวนคีท่ ีเ่ รียงCติดก(คัน) และมผี ลรวมเทา กับ m3 แลว m มคี าเทาใด (ก) 30 32 (ง) 33 สร้าง ลากเสน้ D(จE) 34 4. คคววาามมยยาาววรรออบบพรรน้ื ูปูปทขขี่ ออ∆งงรรBูปปู EสสFีเ่าหพมลื้นเหย่ีทลม่ีรย่ีจูปมตั ∆ดรุ สัาAนรBปูเทFหานรึง่ปู เหท==นา 4พกึง่ 0ื้นเับททตาb่ีาก∆รับเาซAงนaเBซตDนเเิ ซมต−นเิตมพตรตเินื้ มรทตี่ ร∆ แAลFะDC ถารูปส่เี หลย่ี มพจ้ืนัตทุร่ี สั มีพAน้ื DทEเ่ีFป น คร่งึ หนง่ึ ของพื้นท=ี่ข4(อ10ง.พรตปู้ืนาสรทาา่ี งม∆เเซหBนลAตีย่Fิเมม=ดตารพน ืน้ เททา่ี ∆แAลFว E)ba 2 มีคา เทาใด 2 (ก) 33 พน้ื ที่ ∆ CDE (ข) 33 = 1(22.0พ-้นื (4(ทค0ี่)+∆43B0D2) 3Fตา=ราพงืน้เซทนี่ ต∆ิเมDตEรF) 8 4 (ง) 33 พื้นท่ี ∆ BDE (จ) 6 3 = 40 ตารางเซนตเิ มตร 3 = พ้ืนท่ี ∆ CDE (BD = DC, สูงเทา่ กนั ) พื้นที่ ∆ BDF = 20 ตารางเซนติเมตร (BF = FE สูงเทา่ กนั ) ตอสาํบนักพ2ัฒ0นตานาวรัตากงรเรซมนกาตรเิ จมัดตกรารศึกษา โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นรสู ูสากล โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรู้สู่สากล

หนา้ 128 ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพืน้ ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา (รอบสอง : ระดบั ประเทศ) ตอนที่ 1 แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทย ส่วนท่ี 1 ขอ้ ท่ี 1 – 5 ขอ้ ละ 4 คะแนน 3. ให้ m เป็นจำ�นวนเต็มใด ๆ ที่มากกว่า 1 โดยที่ m3 เท่ากับผลรวมของจำ�นวนค่ีที่เรียงติดกัน m จ�ำ นวน ตัวอย่าง 23 = 3 + 5, 33 = 7 + 9 + 11 และ 43 = 13+1+17+19 ถ้า 999 เปน็ จำ�นวนคี่ จ�ำ นวนหน่งึ ในจ�ำ นวนค่ีท่ีเรยี งติดกัน และมีผลรวมเทา่ กับ m3 แลว้ m มคี ่าเท่าใด แนวคดิ m ตัว m ตัว แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ (999−2(m−1))+...+995+997+999 ≤ m3 ≤ 999+1001+1003+...+(999+2(m−1)) รอบสอง พ.ศ. 2558 m2 (1998−2(m−1)) ≤ m3 ≤ m2 (1998+2(m−1)) 1000−m ≤ m2 ≤ 998+m 1000 ≤ m2+m และ m2−m ≤ 998 m2+m ≥ 1000 และ m2−m ≤ 998 312+31 = 961+31 = 992 322−32 = 1024+32 = 992 322+32 = 1024+32 = 1056 332−33 = 1089+33 = 1056 m ≥ 32 m ≤ 32 ดังนั้น m = 32 ตอบ 32 ส�ำ นักพัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หนา้ 129 การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา (รอบสอง : ระดับประเทศ) ตอนที่ 1 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ภาคภาษาไทย ส่วนท่ี 1 ข้อท่ี 1 – 5 ขอ้ ละ 4 คะแนน 4. ความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่งเท่ากับ a เซนติเมตร และความยาวรอบรูป ขขอองงพรืนู้ปทส่ีข่ีเหองลรี่ยูปมสจาัตมุรเหัสลรยีู่ปมหดนา้ ่ึนงเเทท่าา่ กแับลว้ bbaเ22ซมนีคต่าิเเมทตา่ รใดถ้ารูปสี่เหล่ียมจัตุรัสมีพื้นที่เป็นครึ่งหนึ่ง แนวคดิ คคววาามมยยาาววดดาา้้ นนขขอองงรรปูปู สสี่เาหมลเหี่ยลม่ียจมัตดุรสัา้ นเเทท่าา่ กเับทา่ b4กบั เซa3นตเเิ ซมนตตริเมตร 3 a2 พน้ื ที่ของรปู สามเหลย่ี มดา้ นเท่า เท่ากบั 4 x ตารางเซนตเิ มตร แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ 9 รอบสอง พ.ศ. 2558 พื้นทข่ี องรูปส่ีเหลยี่ มจัตุรัส เท่ากบั b2 ตารางเซนตเิ มตร b2 1 3 x 9a 2 16 2 4 x ดังน้นั 16 = 72 = ba22 16 3 ba22 = 33 2 ตอบ 33 2 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรูส้ ่สู ากล

หน้า 130 สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พื้นฐาน กระทรวงศึกษาธิการ การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา (รอบสอง : ระดบั ประเทศ) ตอนท่ี 1 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ภาคภาษาไทย สว่ นท่ี 1 ข้อที่ 1 – 5 ข้อละ 4 คะแนน 5. แพรวมีกล่องลูกอม 2 กล่อง กล่องใบหน่ึงมีลูกอม 0 เม็ด กล่องอีกใบหน่ึงมีลูกอม n เม็ด เม่ือ n เป็นจำ�นวนเต็มบวก แพรวใส่ลูกอมเพ่ิมลงในกล่อง จำ�นวน 4,3 และ 2 เม็ด ตามล�ำ ดับโดยเพมิ่ ลงในกลอ่ งทีม่ ีลกู อมจำ�นวนทีน่ อ้ ยกวา่ แต่ถา้ กลอ่ ง 2 กล่องนมี้ ีจำ�นวนลกู อมเทา่ กัน แพรวจะใส่ลูกอมเพิ่มลงในกล่องใดก็ได้ ถ้าในคร้ังสุดท้ายจำ�นวนลูกอมในกล่องท้ังสองกล่องต่างกัน 1 เม็ด แลว้ ค่าของ n ทเ่ี ปน็ ไปไดม้ ที ัง้ หมดกีจ่ ำ�นวน แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ แนวคดิ เนื่องจากผลรวมจำ�นวนลกู อมท้งั สองกลอ่ งตา่ งกนั 1 เม็ด รอบสอง พ.ศ. 2558 กล่องหน่ึงมี x เม็ด อกี กล่องหนงึ่ x+1 เม็ด จ�ำ นวนลูกอมท่ีเติมลงไปในกล่องทัง้ หมด 9 เมด็ แสดงวา่ n ตอ้ งเป็นจ�ำ นวนคู่ และ n ที่เปน็ ไปได้ คือ 2,4,6,8,10 n ทีเ่ ปน็ ไปได้มีทง้ั หมด 5 จำ�นวน ตอบ 5 ส�ำ นักพฒั นานวัตกรรมการจัดการศึกษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 131 การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา (รอบสอง : ระดับประเทศ) ตอนท่ี 1 แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทย สว่ นท่ี 2 ข้อท่ี 6 – 13 ข้อละ 5 คะแนน 6. ให้ a,b และ c เป็นจ�ำ นวนจรงิ ถา้ x3 + ax2 + bx + c หารดว้ ย x2 + 5x − 3 ลงตัว แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ แล้ว a + b + 2c มคี ่าเท่าใด รอบสอง พ.ศ. 2558 แนวคิด x3 + ax2 + bx + c หารดว้ ย x2 + 5x − 3 x3 + ax2 + bx + c = (x2 + 5x −3) (dx + e) = dx3 + 5dx2 −3dx + ex2 + 5ex − 3e = dx3 + (5d + e)x2 + (−3d + 5e) x − 3e จากการเปรยี บเทยี บ ส.ป.ส. จะได้ d = 1, 5d + e = a, (−3d + 5e) = b, −3e = c a + b + 2c = (5d + e) + (−3d + 5e) + (−6e) = 2d + 0 = 2(1) =2 ตอบ 2 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรสู้ ูส่ ากล

หน้า 132 ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา (รอบสอง : ระดบั ประเทศ) ตอนที่ 1 แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ภาคภาษาไทย ส่วนท่ี 2 ข้อที่ 6 – 13 ขอ้ ละ 5 คะแนน 7. ให้ x, y, z เป็นจำ�นวนเตม็ จงหาจำ�นวนของ (x, y, z) ทั้งหมดที่เปน็ คำ�ตอบของ | xyz | = 6 แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ แนวคดิ จ�ำ นวนเตม็ x, y, z ซ่ึง | xyz | = 6 รอบสอง พ.ศ. 2558 จ�ำ นวน 1,2,3 ม ี 6 วธิ ี จ�ำ นวน −1,2,3 มี 6 วธิ ี จำ�นวน 1,−2,3 ม ี 6 วธิ ี จำ�นวน 1,2,−3 ม ี 6 วิธี จ�ำ นวน −1,−2,3 ม ี 6 วิธี จำ�นวน −1,2,−3 ม ี 6 วธิ ี จำ�นวน 1,−2,−3 ม ี 6 วิธี จ�ำ นวน −1,−2,−3 มี 6 วธิ ี จ�ำ นวน −1,−1,− 6 มี 3 วิธี จำ�นวน −1,−1,− 6 ม ี 6 วธิ ี จ�ำ นวน −1,−1,− 6 ม ี 3 วิธี จ�ำ นวน −1,−1,− 6 ม ี 3 วธิ ี จำ�นวน 1,−1,−6 ม ี 6 วธิ ี จ�ำ นวน 1,1,−6 ม ี 3 วิธี จำ�นวนของ (x, y, z) ทงั้ หมดเท่ากับ 72 ตอบ 72 ส�ำ นักพฒั นานวตั กรรมการจดั การศึกษา

สว นที่ 2 ขอท่ี 6 – 13 แบบเติมคําตอบ จาํ นวน 8 ขอ ขอละ 5 คะแนน ส�ำ นกั ง6า.นคณใะหก รaรม,กbารแกาลระศกึ cษาขเน้ัปพนืน้ จฐาํ านนวนกจระรทิงรวถงศากึ ษx3าธ+กิ าaรx2 + bx + c หารดว ย x2 + 5x − 3 หลนง้าตัว133 กแนารวแคขดิ ่งแขบันบททแาดงลสวอวชิ บาaคกณา+ริตbรศะา+ดสับต2นรc์านระมาดชีคับาามตเัธิ ทปยารมใะศดจกึ ำ�ษปาี พ(ร.ศอ.บ2ส5อ5ง8: ระดับประเทศ) ต7อ. นใทหี่ x1, yแ, นz วเปคนจิดํานแวบนเบตม็ ทจดงสหาอจําบนควนณขอติง ศ(xา,สy,ตzร) ์ภทง้ัาหคมดภทาีเ่ ปษนคาาํ ไตทอบยของ xyz = 6 สว่ นท่ี 2 ขอ้ ท่ี 6 – 13 ขอ้ ละ 5 คะแนน 8. ถจแาล้าก ะรDBBAูปCเ8แเAปป.=ลBน็น็ ะC9จจCดุจถแุดเเปซาลาบศเน็กนปะูนนรรต็นยDBูปAูปBBเิจ์กมCสCุดลตแเAเาศาปปแรมล=BงูนนลนะเขหCย9ะจจอ์กเลCดุดุ งปลเี่ยศบวเซ็นาปมงูนเนนจงปกทนยขตดุลน่มีกรBอเิสมจปูมลี งCมัAทุดสตาวผBศงีต่างรัสขแกมนูดั =ขอลลเยหAองะม7กวลBเงทลปงวเีย่ ซมี่ากแนงมงนรีกลลจทขศัตลมะุดอ่ีมมิเมทสมงAีี ต่ีมัวBตBCAงดัผFรBกแทัสแAลลAขี่จ=ลมCะอุดBะท7ง=CFว่ีมCเแงซีร8แEลกนศั ละลเตมตซะมาีิเนAมมEBตตBCลFเิตร�ำมาดแตทมแAับลรี่จลลCะดุ�ำะดC=บัFC8E เซนติเมตร และ E ตามลําดับ ตามลําดบั แล้ววงกลมทั้งแสลาว มววงงกมลพี มน้ืทท้ังสี่รวามมกวงนั มกพี ตี่ นื้ าทราีร่ งวเมซกนันตกิเมตี่ ตารราง(กเซ�ำ นหตนิเดมตπร=(ก3าํ.1ห4น)ด π = 3.14 ) A E F แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ B DC รอบสอง พ.ศ. 2558 แนวคดิ จากรปู กำ�หนดใหว้ งกลม A มรี ศั มเี ท่ากับ a จะได้ว่าวงกลม B มีรัศมีเทา่ กบั 7 − a สาํ นักพัฒนานวัตกวรงรมกกล(า7มร2−จ aัดaก)า=ร+ศ1ึก(58ษ−า−a9C) ม==รี ศั 96มเี ท่ากบั 8 − a โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรสู ูสากล a = 3 วงกลม A มีรัศมี เท่ากบั 3 เซนติเมตร B มรี ัศมี เทา่ กับ 4 เซนตเิ มตร C มีรศั มี เทา่ กับ 5 เซนตเิ มตร ผลรวมของพ้นื ทว่ี งกลมท้ังสามวงเท่ากับ 9π + 16π + 25π ตารางเซนติเมตร = 50 π ตารางเซนติเมตร = 50 (3.14) ตารางเซนติเมตร = 157 ตารางเซนตเิ มตร ตอบ 157 ตารางเซนติเมตร โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรูส้ สู่ ากล

หน้า 134 ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพื้นฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา (รอบสอง : ระดับประเทศ) ตอนท่ี 1 แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ภาคภาษาไทย ส่วนท่ี 2 ขอ้ ที่ 6 – 13 ขอ้ ละ 5 คะแนน 9. แถวที่ 1 มี a อยู่ 2 ตัว แต่ละแถวถัดไปจะมี a เพม่ิ ขึ้นอกี 1 ตวั เสมอ ถ้ามี a ทง้ั หมด 2015 ตวั แล้วจะมที ัง้ หมดกี่แถว แนวคดิ 1 + 2+ ... + n =n( nn(n+21+) 1) = 2015 + 1 = 2016×2 = 4032 แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ = 0 รอบสอง พ.ศ. 2558 n2 + n − 4032 = 0 (n + 64) (n − 63) = −64,63 n = 63 n = 62 แถว มที ้งั หมด 63−1 ตอบ 62 แถว สำ�นักพฒั นานวตั กรรมการจัดการศึกษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพ้ืนฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 135 การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา (รอบสอง : ระดับประเทศ) ตอนที่ 1 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทย สว่ นท่ี 2 ขอ้ ที่ 6 – 13 ขอ้ ละ 5 คะแนน 10. งานสัปดาห์หนังสือแห่งหน่ึง ผู้ดำ�เนินการได้แจกหนังสือแก่ผู้เข้าร่วมงานทุกคนคนละ แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ 1 เล่ม โดยผู้ชายทุกคนที่เข้าร่วมงานจะมีหนังสือของตนเองแจกให้ผู้ชายอื่นทุกคนที่เข้า รอบสอง พ.ศ. 2558 ร่วมงานอีกคนละ 1 เล่ม ในทำ�นองเดียวกัน ผู้หญิงทุกคนท่ีเข้าร่วมงานจะมีหนังสือของตนเอง แจกให้ผู้หญิงอื่นทุกคนที่เข้า ร่วมงานอีกคนละ 1 เล่ม ถ้าจำ�นวนรวมของหนังสือท่ีผู้เข้าร่วมงาน ที่เป็นผู้ชายได้รับมากกว่า จำ�นวนรวม ของหนังสือท่ีผู้เข้าร่วมงานที่เป็นผู้หญิงได้รับ อยู่ 31 เล่ม แล้วผู้ที่เขา้ ร่วมงานท้ังหมดมีกคี่ น แนวคิด ใหผ้ ้เู ขา้ ร่วมงานเป็นผชู้ าย x คน ให้ผู้เขา้ รว่ มงานเปน็ ผหู้ ญิง y คน จำ�นวนหนังสอื ท่ีผ้ชู ายได้รับ = (x − 1) + x = x2 เลม่ จ�ำ นวนหนังสอื ทผี่ ูห้ ญิงได้รับ = y (y − 1) + y = y2 เล่ม x2 − y2 = 31 (x − y) (x + y) = 31 x −y = 1 x + y = 31 ตอบ 31 คน โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นรู้สสู่ ากล

หนา้ 136 ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา (รอบสอง : ระดบั ประเทศ) ตอนที่ 1 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ภาคภาษาไทย ส่วนที่ 2 ขอ้ ที่ 6 – 13 ข้อละ 5 คะแนน 11. ก�ำ หนดให้ D เป็นจุดบนด้าน BC ของรปู สามเหลี่ยม ABC ทำ�ให้ BAˆD = 76 ํ จดุ C' ไAดDˆ้จCากมกขี านราสดะกท่อี ้องนศจาดุ C ขา้ ม AD ถ้า ABC'D เป็นรูปส่ีเหลย่ี มด้านขนาน C' แลว้ C B แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ D รอบสอง พ.ศ. 2558 AC แนวคดิ ∆ ADC' ∆ ADC (AC' = AC,มมุ C'AD = มุม CAD, AD = AD) มุม AADDˆCC' = 104° (180° = 76° = 104°) มุม = 104° ตอบ 104 องศา ส�ำ นกั พัฒนานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 137 การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา (รอบสอง : ระดบั ประเทศ) ตอนท่ี 1 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทย ส่วนท่ี 2 ขอ้ ที่ 6 – 13 ขอ้ ละ 5 คะแนน 12. ถมา้คี มำ�ีจต�ำอนบวเนปเน็ ตจ็มำ�นkวบนาเตงตม็ ัวทท่ตี ่ีา่ kงก≠ัน02ทจท่ี ำ�ำ�นใวหน้สมแกลา้วรผลxตา่+งข9อkง2คx−�ำ ต8อ1บ=ขอ1ง0สkมการทเ่ี ปน็ ไปได้ (เมอื่ น�ำ จ�ำ นวนทีน่ อ้ ยกว่าไปลบออกจากจ�ำ นวนที่มากกวา่ ) เปน็ เท่าใด แนวคดิ x2 + 10kx + (9k2 − 81) = 0 ∆ = (−10k)2 − 4(9k2 − 81) ∆ = 64k2 + 324 เนือ่ งจากค�ำ ตอบเป็นจำ�นวนเตม็ ท่ตี ่างกนั จะมี m I, 64k2+ 324 = m2 แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ m2 − 64k2 = 324 รอบสอง พ.ศ. 2558 (m+8k ) (m−8k ) = 324 = 34 × 22 (m+8k ) (m−8k ) =162×2 , 54×6 , 6×54 , 2×162 กรณีท่ี 1 ; m+8k =162 , m−8k = 2 m = 82 , k =10 ถา้ k =10 จะไดค้ ำ�ตอบคอื 91 , 9 ผลต่างของคำ�ตอบคอื 91 – 9 = 82 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรสู้ สู่ ากล

หนา้ 138 สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พ้นื ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา (รอบสอง : ระดับประเทศ) ตอนที่ 1 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ภาคภาษาไทย สว่ นท่ี 2 ข้อที่ 6 – 13 ขอ้ ละ 5 คะแนน แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ กรณีท่ี 2 ; m+8k = 2 , m−8k =162 รอบสอง พ.ศ. 2558 กรณีท่ี 3 ; m = 82 , k = −10 กรณีที่ 4 ; ถา้ k = −10 จะได้คำ�ตอบคอื −91,−9 ผลต่างของค�ำ ตอบคือ −9 + 91 = 82 m+8k = 54 , m−8k = 6 m = 30 , k = 3 ถ้า k = 3 จะไดค้ ำ�ตอบคือ 30, 0 แต่ x ≠ 0 m+8k = 6 , m−8k = 54 m = 30 , k = −3 ถา้ k = −3 จะไดค้ �ำ ตอบคือ -30, 0 ตอบ 82 แต่ x ≠ 0 ผลตา่ งของค�ำ ตอบของสมการทีเ่ ป็นไปได้เท่ากับ 82 ซง่ึ x ≠ 0 สำ�นกั พัฒนานวัตกรรมการจดั การศึกษา

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พนื้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 139 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา (รอบสอง : ระดบั ประเทศ) ตอนที่ 1 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตรภ์ าคภาษาไทย สว่ นท่ี 2 ขอ้ ที่ 6 – 13 ข้อละ 5 คะแนน 13. แบ่งจำ�นวนเต็มตง้ั แต่ 1 ถงึ 20 เป็นสองกลมุ่ ถา้ กลมุ่ หนึ่งมผี ลบวกของจ�ำ นวนเต็มทงั้ หมด เทา่ กับ n และอกี กลุ่มหนึ่งมผี ลคูณของจ�ำ นวนเตม็ ท้งั หมด เทา่ กบั n ด้วย แล้ว n มีคา่ มาก ที่สดุ เทา่ ใด แนวคิด ผลรวม 1 ถึง 20 = 210 กรณที ี่ 1 210 − (a+b) = ab 21 = ab+a+b 211 = ab+a+b+1 211 = (a+1) (b+1) แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ 211 เป็นจ�ำ นวนเฉพาะทำ�ให้ a หรือ b ตวั ใดตัวหนึ่งเป็น 0 รอบสอง พ.ศ. 2558 กรณที ี่ 2 210 − (a+b+c) = ab a = 1; 210 = bc+b+c+1 210 = (b+1) (c+1) 2x3x5x7 = (b+1) (c+1) 14x15 = (b+1) (c+1) b = 13 c = 14 210−(1+13+14) = 1x13x14 n = 182 a = 4; 210 = 4bc+b+c+4 840 = 16bc+4b+4c+16 825 = 16bc+4b+4c+1 825 = 4b(4c+1)+(4c+1) 25x33 = (4b+1)+(4c+1) โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนรู้สสู่ ากล

หน้า 140 ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา (รอบสอง : ระดับประเทศ) ตอนท่ี 1 แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ภาคภาษาไทย สว่ นท่ี 2 ข้อที่ 6 – 13 ข้อละ 5 คะแนน แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ 4b+1 = 25 รอบสอง พ.ศ. 2558 b =6 4c+1 = 33 c =8 210−(4+6+8) = 4x6x8 = 192 n = 192 a = 9; 210 = 9bc+b+c+9 1890 = 81bc+9b+9c+81 1890−80 = 81bc+9b+9c+81 1810 = 9b(9c+1)+(9c+1) 10x181 = (9b+1)+(9c+1) b = 1, c = 20 210−(9+1+20) = 9x1x20 = 180 n = 180 a = 16; 210 = 16bc+b+c+16 3360 = 162bc+16b+16c+256 3360−255 = 162bc+16b+16c+1 3105 = 16b(16c+1)+(16c+1) 33x5x23 = (16b+1)+(16c+1) ไม่สามารถหา b ท่เี ป็นจำ�นวนเต็มได้ n ที่มากทสี่ ดุ คอื 192 ตัวอย่าง 1+2+3+...+20−(4+6+8) = 4x6x8 210−18 = 192 191 = 192 ตอบ 192 ส�ำ นกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หนา้ 141 การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา (รอบสอง : ระดับประเทศ) ตอนที่ 1 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตรภ์ าคภาษาไทย สว่ นท่ี 3 ขอ้ ที่ 14 – 15 ข้อละ 20 คะแนน 14. กำ�หนดให้ E และ F เป็นจุดบนด้าน BC และ CD ของรปู ส่ีเหลี่ยมจตั รุ สั ABCD ตามลำ�ดบั ทำ�ใหร้ ูปสามเหล่ียม CEF มคี วามยาวรอบรูปเป็นคร่ึงหนงึ่ ของความยาวรอบรูปของรปู ABCD จุด G เป็นจดุ บน AE ท�ำ ให้ FG ตง้ั ฉากกบั AE และ จดุ H เป็นจุดบน FG ท่ีท�ำ ให้ AH = EF จงพิสูจนว์ ่า AH หรือส่วนต่อของ AH ตั้งฉากกบั EF DF C H E G แนวคิด AB แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ถ้า D' เป็นจุดท่ีไดจ้ ากการตอ่ CB ไปทาง B รอบสอง พ.ศ. 2558 โดยให้ BD' = DF ทำ�ให้ ∆ ADF ∆ ABD' D F C L FแAลˆDะ'A=FF=AˆBA+DB'AˆD' = FAˆB+DAˆF = DAˆB = 90 ํ E EF = 2AB–(CE+CF) = BE+DF = BE+BD' = ED' H ∆ AFFAˆEE = E∆AˆDA'D='E45 ํ B G D' จาก FG AE A ท�ำ ให้ ∆ AFG เป็นรูปสามเหล่ียมมมุ ฉากหน้าจ่วั ดงั นนั้ AG = FG โจทย์กำ�หนดให้ AH = EF ∆ AGH ∆ FGE (ฉ.ด.ด.) L เปน็ จดุ ท่ไี ด้จากการตอ่ AH ไปทาง H FตLดัˆHEF= ที่จดุ L 180 ํ– HFˆL – FHˆL = 180 ํ – GAˆH – AHˆG = 90 ํ ดังนั้น AH EF ตอบ AH ตง้ั ฉาก EF โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรู้ส่สู ากล

หนา้ 142 สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา (รอบสอง : ระดับประเทศ) ตอนที่ 1 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ภาคภาษาไทย สว่ นท่ี 3 ขอ้ ท่ี 14 – 15 ข้อละ 20 คะแนน 15. จากรปู ดา้ นขวาแสดงการแบง่ แต่ละดา้ นของรูปสามเหล่ยี มด้านเท่าออกเปน็ 5 สว่ นเทา่ ๆ กนั ดว้ ยจดุ 4 จุด แล้วลากสว่ นของเสน้ ตรงเชื่อมจุดใหข้ นานกบั ด้านของรูปสามเหลี่ยมทำ�ให้เกดิ เปน็ รปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ เล็ก 25 รปู เตเทรยี มอนด์ (Tetriamond) เป็นตัวต่อทไี่ ด้จากการน�ำ รปู สามเหลย่ี มด้านเทา่ 4 รปู มาประกอบ กันโดยมีดา้ นติดกัน จากรูปด้านซา้ ยแสดงเตเทรยี มอนด์ 3 รูป แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ รอบสอง พ.ศ. 2558 15.1 จงแสดงวา่ ถา้ แรเงารูปสามเหล่ยี มเล็ก 7 รปู ใด ๆ แล้วจะมกี รณที ไ่ี ม่สามารถน�ำ เตเทรยี มอนด์ใด ๆ มาวางปิดทับบนรูปสามเหล่ียมใหญ่โดยไมท่ บั ส่วนใด ๆ ของรูปสามเหลย่ี มเลก็ ทแ่ี รเงา แนวคิด จากรูปจะเหน็ วา่ ในรูปสามเหลยี่ มเลก็ ทีไ่ มแ่ รเงาจะตดิ กนั 3 รปู ไมส่ ามารถมีรปู สามเหล่ียมเลก็ ที่ไมแ่ รเงาอย่ตู ดิ กนั 4 รูป สำ�นกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศึกษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พื้นฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หนา้ 143 การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา (รอบสอง : ระดบั ประเทศ) ตอนที่ 1 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ภาคภาษาไทย ส่วนท่ี 3 ขอ้ ท่ี 14 – 15 ข้อละ 20 คะแนน 15.2 จงพิสูจนว์ า่ ถา้ แรเงารูปสามเหล่ียมเลก็ 6 รปู ใด ๆ แล้วจะมกี รณีทนี่ ำ�เตเทรยี มอนดร์ ปู ใดรปู หนง่ึ มาวางปิดทบั บนรปู สามเหล่ยี มใหญ่โดยไมท่ บั ส่วนใด ๆ ของรูปสามเหล่ยี มเลก็ ทแี่ รเงาไดเ้ สมอ แนวคดิ จากรปู ขา้ งบนแรเงา 7 ช่อง จะไม่สามารถน�ำ เตเทรยี มอนด์รูปใดๆ มาวางปิดใน แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ช่องว่างได้ ถ้าลบช่องท่ีแรเงาออกไป 1 ชอ่ ง เหลอื แรเงา 6 ชอ่ ง จะท�ำ ใหส้ ามารถ รอบสอง พ.ศ. 2558 น�ำ เตเทรยี มอนดร์ ปู ใดรปู หนง่ึ มาวางในชอ่ งวา่ งไดเ้ สมอ พจิ ารณา จะต้องแรเงา นอ้ ยท่สี ดุ 2 ชอ่ ง จึงจะไม่สามารถน�ำ เตเทรียมอนดร์ ูปใดๆ มาวางได้ เช่น หรือ จากรปู มีรปู ที่ไมร่ ่วมกัน 3 รปู จะเลอื กแรเงาลง เฉพาะรปู ได้ 6 ช่อง แต่จะท�ำ ให้ ที่แรเงา อกี 7 รูป กับสว่ นของ ทีไ่ ม่ได้แรเงาเรยี งตอ่ กัน ท�ำ ให้สามารถวางเตเทรียมอนด์ รปู ใดรปู หน่งึ ไดเ้ สมอ โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรูส้ สู่ ากล

หน้า 144 ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พ้นื ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา (รอบสอง : ระดับประเทศ) ตอนท่ี 2 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทยและภาคภาษาองั กฤษ สว่ นที่ 1 ขอ้ ที่ 16 – 20 แบบทดสอบภาษาไทย ขอ้ ละ 5 คะแนน 16. ให้ a, b, c, d และ e เป็นจ�ำ นวนเต็มท่ีตา่ งกนั 5 จ�ำ นวน เมอื่ นำ�จ�ำ นวนสองจ�ำ นวนใด ๆ ใน 5 จำ�นวนนีม้ าบวกกันจะไดผ้ ลบวกทแ่ี ตกตา่ งกัน 10 จำ�นวน ถ้าจ�ำ นวน 9 จ�ำ นวนใน 10 จำ�นวน คือ 637 , 699 , 794 , 915 , 919 , 981 , 1010 , 1072 , 1197 แลว้ จำ�นวนที่มากท่ีสดุ ใน a, b, c, d และ e คอื จำ�นวนใด แนวคดิ แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ให ้ a<b<c<d<e รอบสอง พ.ศ. 2558 ให้ a+b = 637 _____(1) a+c = 699 _____(2) b+c = 794 _____(3) a+b+c = 1065 _____(4) a = 271 , b = 366 , c = 428 c+e = 1072 จะได้ e = 1072 – 428 = 644 d+e = 1197 จะได้ d = 1197 – 644 = 553 ดังน้นั จ�ำ นวนที่มากทส่ี ดุ เท่ากบั 644 ตอบ 644 ส�ำ นักพัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา