เสริมคิดคณิตมัธยม 2557-58

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หน้า 145 การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา (รอบสอง : ระดบั ประเทศ) ตอนท่ี 2 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทยและภาคภาษาองั กฤษ สว่ นที่ 1 ขอ้ ที่ 16 – 20 แบบทดสอบภาษาไทย ข้อละ 5 คะแนน 17. ก�ำ หนดให้ 17! = 355678ab8096000 เมอ่ื a และ b ต่างเป็นเลขโดดต้งั แต่ 0 ถงึ 9 จงหาจำ�นวนสองหลกั ab ใน 17! แนวคิด เนื่องจาก 9 |17! และ 11|17! แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ รอบสอง พ.ศ. 2558 จะได้ 9 |57+ a + b และ 11|(3 – 5 + 5 – 6 + 8 – a – b + 8 + 9 – 6) = 9 + a – b ดงั นน้ั 9 |57 + a + b = 9 |54 + (3 + a + b) 9 |3 + a + b จะได้ a + b = 6, 15 และ a – b = 2, 13, –9 เนอ่ื งจาก a – b = –9 จะได้ a = 0, b = 9 แต่ a + b ไมส่ อดคลอ้ ง เนื่องจาก a เป็นจ�ำ นวนคู่ จะได้ a + b = 6,a – b = 2 หรือ a + b = 15,a – b = 13 ดงั นนั้ (a,b) = (4,2) หรือ (a,b) = (14,1) ไม่สอดคลอ้ ง เพราะ a ไม่เปน็ เลขโดด น่ันคือ ab = 42 ตอบ 42 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรียนร้สู ู่สากล

หน้า 146 สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา (รอบสอง : ระดบั ประเทศ) ตอนท่ี 2 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทยและภาคภาษาองั กฤษ ส่วนที่ 1 ขอ้ ท่ี 16 – 20 แบบทดสอบภาษาไทย ข้อละ 5 คะแนน 18. ถ้า x = 1 3 แลว้ x6–2 3x5–x4+ x3–4x2+2x – 3 มีคา่ เทา่ ใด 2– แนวคดิ x = 1 3. 2+ 3 = 2+ 3 2– 2+ 3 แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ x–2 = 3 รอบสอง พ.ศ. 2558 x2– 4x + 1 = 0 x6–2 3x5–x4+ x3–4x2+2x – 3 = x6–2(x – 2)x5–x4+ x3–4x2+2x – (x – 2) = –x6+4x5–x4+ x3–4x2+ x + 2 = –x4(x2– 4x + 1) + x(x2– 4x + 1) + 2 = –x4(x2– 4x + 1) + x(x2– 4x + 1) + 2 = 2 ตอบ 2 ส�ำ นักพฒั นานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พ้ืนฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 147 การแข่งขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา (รอบสอง : ระดับประเทศ) ตอนท่ี 2 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทยและภาคภาษาองั กฤษ สว่ นที่ 1 ข้อท่ี 16 – 20 แบบทดสอบภาษาไทย ข้อละ 5 คะแนน 19. ถา้ a, cbc,––cbaเป็นเปจน็ �ำ เนทวา่ นใจดริงทส่ี อดคล้องกบั a+ 1 = 1 , b+ 1 = – 1 , c+ 1 = 1 5 15 3 แล้ว bc ac ab แนวคิด 1 51 a + bc = _____(1) b+ 1 = – 1 15 _____(2) ac 1 1 c + = 3 _____(3) ab 1 1 1 1 6 (3) – (2) ; c –b+ – = 3 + 15 = 15 _____(4) แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ab ac รอบสอง พ.ศ. 2558 6 (c – b) + a1 b1 – c1 = 15 (c – b) + a1 cb–cb = 6 15 (c – b) + 1+ 1 = 6 _____(5) 15 abc c – a + b1 a1 – c1 2 = 15 (3) – (1) ; c – a + 1 – 1 = 1 + 1 = 2 3 5 15 ab bc (c – a) + b1 ca–ca 2 = 15 (c – a) + 1+ 1 = 2 _____(6) 15 abc cc ba (5) – 6 15 (6) ; – = 15 x 2 = 3 ตอบ 3 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรู้สู่สากล

หน้า 148 ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พนื้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา (รอบสอง : ระดบั ประเทศ) ตอนท่ี 2 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทยและภาคภาษาองั กฤษ สว่ นที่ 1 ขอ้ ที่ 16 – 20 แบบทดสอบภาษาไทย ข้อละ 5 คะแนน 20. จากรูป ABCDE เป็นรปู หา้ เหล่ียม ซง่ึ มี BAˆE = BCˆD = 90 ํ และ AB=BC=DE=AE+CD=20 หนว่ ย ถ้า ∆BCE' ได้จากการหมนุ ∆BAE ตามเขม็ นาฬกิ า โดยมี B เปน็ จดุ หมุน และมีขนาดของมุมที่หมุน เท่ากับ ABC แลว้ รูปห้าเหลี่ยม BE' CDE มีพืน้ ทก่ี ีต่ ารางหน่วย D C E' แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ E B รอบสอง พ.ศ. 2558 A แนวคิด จากรูป ∆ BCE' ∆ BAE และ ∆ BED ∆ BE'D ดังน้นั พื้นท่ีรปู ห้าเหลี่ยม BE'CDE = พ้ืนท่ี ∆ BED + พืน้ ท่ี ∆ BDE' = 2 พ้นื ท่ี ∆ BDE' = 2 12 x 20 x 20 = 400 ตารางหนว่ ย ตอบ 400 ตารางหน่วย ส�ำ นักพัฒนานวตั กรรมการจัดการศึกษา

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พื้นฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หนา้ 149 การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา (รอบสอง : ระดับประเทศ) ตอนท่ี 2 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทยและภาคภาษาองั กฤษ สว่ นท่ี 2 ขอ้ ที่ 21 – 25 แบบทดสอบภาษาองั กฤษ ขอ้ ละ 3 คะแนน 21. Find the number of positive integers n such that n + 2n2 + 3n + ... + 2015n2015 is divisible by n–1. Solution n + 2n2 +3n3 +...+ 2015n2015 = (n–1) · p(n)+(1+ 2+3+...+ 2015) = (n–1) · p(n)+ 2015×1008 (n–1) (n + 2n2 +3n3 +...+ 2015n2015) then (n–1) 2015×1008 2015×1008 = (5×13×31)×(24 ×32 ×7) number of n is 2×2×2×2×5×3 = 240 Answer 240 แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ รอบสอง พ.ศ. 2558 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นรู้สู่สากล

หน้า 150 สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ การแข่งขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา (รอบสอง : ระดับประเทศ) ตอนท่ี 2 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทยและภาคภาษาองั กฤษ ส่วนที่ 2 ขอ้ ท่ี 21 – 25 แบบทดสอบภาษาองั กฤษ ขอ้ ละ 3 คะแนน 22. Let x, y, z are real numbers. If 5 xy = 6 x + y 3 yz = 2 y + z and 4 zx = 3 z + x xy then find the value of yz . แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ Solution จาก 5 xy = 6 x + y รอบสอง พ.ศ. 2558 3 yz = 2 y + z 4 zx = 3 z + x 1 + 1 = 56 _______(1) x + y = 56 x y xy 1 + 1 = 32 _______(2) y + z = 32 y z yz 1 + 1 = 34 _______(3) z + x = 4 3 z x zx (1) + (2) – (3) ; 2 =1 y y =2 สำ�นกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หน้า 151 การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา (รอบสอง : ระดับประเทศ) ตอนท่ี 2 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทยและภาคภาษาองั กฤษ ส่วนท่ี 2 ข้อที่ 21 – 25 แบบทดสอบภาษาอังกฤษ ขอ้ ละ 3 คะแนน (1) + (3) – (2) ; 2 = 32 x x =3 (2) + (3) – (1) ; 2 =2 z z =1 xy = 9x4 = 18 แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ yz 4x1 รอบสอง พ.ศ. 2558 Answer 18 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรสู้ สู่ ากล

หน้า 152 ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พืน้ ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา (รอบสอง : ระดับประเทศ) ตอนที่ 2 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทยและภาคภาษาองั กฤษ สว่ นที่ 2 ข้อท่ี 21 – 25 แบบทดสอบภาษาอังกฤษ ขอ้ ละ 3 คะแนน 23. Find the least positive four–digit number which is equal to the cube of the sum of its digits. Solution ให้ N = Sa3bcd[1แ0ล0ะ0,S9=99a9]+ b+ c [+10d, ,2N1]= S3 N = S S 10 11 12 13 14 15 16 17 แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ S3 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 รอบสอง พ.ศ. 2558 S 18 19 20 21 S3 5832 6859 8000 9261 N = 4913 = (4+9+1+3)3 Answer 4913 สำ�นักพัฒนานวตั กรรมการจดั การศึกษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พืน้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 153 การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา (รอบสอง : ระดับประเทศ) ตอนท่ี 2 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทยและภาคภาษาองั กฤษ สว่ นที่ 2 ข้อท่ี 21 – 25 แบบทดสอบภาษาองั กฤษ ขอ้ ละ 3 คะแนน 24. ABC is a right triangle whose perimeter is 40 cm and its area is 60 cm2 If a, b, c are the sides of a triangle that is the opposite of the angle A, B, C respectively. Find a2 + b2 + c2. Solution Area ∆ ABC = 12 x BC x AB = 21 ac = 60 _____(1) a + b + c = 60 _____(2) (2) ; (c+a) = 40–b แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ (c+a)2 = c2+a2+2ac = b2+240 _____(3) รอบสอง พ.ศ. 2558 (c+a)2 = 1600–80b+b2 _____(4) (3) = (4) ; b2+240 = 1600–80b+b2 80b = 1360 b = 138600 = 17 c+a = 40–17 = 23 c = 23–a _____(5) (1),(5) ; a(23–a) = 120 –a2+23a = 120 a2–23a+120 = 0 (a–15) (a–8) = 0 a = 15,8 c = 8,15 a2 + b2 + c2 = 152+ 172+ 82 = 225+289+64 = 578 Answer 578 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรูส้ ู่สากล

หนา้ 154 ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธิการ การแข่งขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา (รอบสอง : ระดับประเทศ) ตอนท่ี 2 แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตรภ์ าคภาษาไทยและภาคภาษาองั กฤษ สว่ นที่ 2 ข้อท่ี 21 – 25 แบบทดสอบภาษาอังกฤษ ขอ้ ละ 3 คะแนน 25. How many integers n such that 1≤ n ≤111 are there so that the least common multiple of 1, 2, 3, ..., n is the same as the least common multiple of 1, 2, 3, ..., n+1. Solution n + 1 not prime or power of prime numbers of n is = 111–(29+10) = 72 22 ,23,24 ,25 ,26 ,32 ,33,34,52 ,72 Answer 72 แนวคดิ แแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ******************************* รอบสอง พ.ศ. 2558 สำ�นกั พัฒนานวัตกรรมการจดั การศึกษา

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพื้นฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หนา้ 155 การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2558 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา (รอบสอง : ระดับประเทศ) เสริมคิด...คณติ ศาสตร์ แนวคิดแแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา รอบสอง พ.ศ. 2558 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรู้ส่สู ากล

หน้า 156 การแข่งขนั ทางวิชาการ ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา เพื่อคดั เลอื กตัวแทนนกั เรียน คณะผ้จู ัดท�ำ ทีป่ รกึ ษา เลขาธกิ ารคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พ้นื ฐาน นายการุณ สกุลประดิษฐ์ รองเลขาธกิ ารคณะกรรมการการศึกษาข้นั พ้นื ฐาน นายพะโยม ชิณวงศ์ รองเลขาธกิ ารคณะกรรมการการศึกษาข้นั พื้นฐาน นายบุญรกั ษ์ ยอดเพชร ทป่ี รึกษาส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพ้นื ฐาน นายพิธาน พืน้ ทอง ผูอ้ �ำ นวยการสำ�นกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศึกษา นางนิจวดี เจรญิ เกยี รตบิ วร คณะทำ�งานคณติ ศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา 1. นางนจิ วดี เจรญิ เกียรติบวร ผู้อ�ำ นวยการส�ำ นักพัฒนานวัตกรรมการจัดการศึกษา 2. ผศ. ดร.ธวิกานต์ ตรยี ะประเสริฐ ภาควิชาคณติ ศาสตรแ์ ละสถติ ิ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์ (ศนู ยร์ งั สิต) 3. นายประเทอื ง วงศ์ประเสริฐ ศกึ ษานเิ ทศก์ ส�ำ นักงานเขตพื้นท่ีการศึกษามัธยมศึกษา เขต 39 4. นายไมตรี ศรีทองแท้ ครูโรงเรียนเตรียมอดุ มศึกษา ส�ำ นักงานเขตพน้ื ท่ีการศึกษามัธยมศกึ ษา เขต 1 5. นางวรรณวภิ า สทุ ธเกยี รติ ครโู รงเรียนสามเสนวทิ ยาลยั ส�ำ นักงานเขตพื้นที่การศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 1 6. นายพงษศ์ ักด์ิ มาเกตุ ครโู รงเรียนพิษณุโลกพิทยาคม สำ�นักงานเขตพนื้ ที่การศึกษามธั ยมศึกษา เขต 39 7. นางสาวภาวดี สุริยพนั ธ์ุ ครูโรงเรยี นพระปฐมวทิ ยาลัย สำ�นกั งานเขตพืน้ ท่กี ารศกึ ษามธั ยมศึกษา เขต 9 8. วา่ ที่ ร.ต.วชั รสนั ต์ อนิ ธสิ าร ครโู รงเรียนสายปัญญา ในพระบรมราชนิ ปู ถมั ภ์ ส�ำ นักงานเขตพ้ืนท่ีการศึกษามัธยมศกึ ษา เขต 1 9. นายมานติ ย์ จริ โกเมศ ข้าราชการบ�ำ นาญ กระทรวงศึกษาธกิ าร 10. นายอุดม แคกระโทก ขา้ ราชการบ�ำ นาญ กระทรวงศึกษาธิการ 11. นายลออ เพม่ิ สมบตั ิ ขา้ ราชการบำ�นาญ กระทรวงศกึ ษาธกิ าร 12. นางรชั นี นาคนคร ขา้ ราชการบ�ำ นาญ กระทรวงศึกษาธิการ สำ�นกั พัฒนานวตั กรรมการจัดการศกึ ษา

การแข่งขันทางวิชาการ สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หน้า 157 แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา เพ่อื คัดเลือกตัวแทนนักเรียน คณะท�ำ งานรวบรวม/เรียบเรยี ง 1. นางนจิ วดี เจรญิ เกยี รติบวร ผ้อู �ำ นวยการสำ�นักพัฒนานวัตกรรมการจัดการศึกษา 2. นางมัลลวีร์ รอชโฟล นักวชิ าการศึกษา สำ�นกั พัฒนานวัตกรรมการจัดการศึกษา 3. นางสาวอลศิ รา สายวาร ี นักวิชาการศกึ ษา สำ�นักพฒั นานวตั กรรมการจัดการศึกษา 4. นางฉันทสิ า พุ่มไสว นกั วิชาการศึกษา ส�ำ นกั งานเขตพนื้ ทกี่ ารศกึ ษาประถมศึกษาเพชรบรุ ี เขต 2 5. นางมะลิ วสยางกรู ขา้ ราชการบำ�นาญ กระทรวงศึกษาธกิ าร 6. นางสาวอไุ รพร ลิ้มประเสรฐิ ข้าราชการบ�ำ นาญ กระทรวงศึกษาธกิ าร 7. นางสาวพไิ ลลกั ษณ์ จ่าเมอื ง ข้าราชการบำ�นาญ กระทรวงศึกษาธิการ 8. นางสาวศิรวิ ลั ย์ อุดมพรวิรตั น ์ ข้าราชการบ�ำ นาญ กระทรวงศึกษาธิการ ปก/รปู เลม่ ข้าราชการบำ�นาญ กระทรวงศกึ ษาธิการ 1. นายทน เขตกัน ข้าราชการบำ�นาญ กระทรวงศึกษาธิการ 2. นายประมุข ปุญสิร ิ ผอู้ ำ�นวยการโรงเรียนวัดทา่ กุ่ม 3. นายสุขวิทย์ ปทู้ อง ส�ำ นักงานเขตพน้ื ที่การศกึ ษาประถมศึกษาสพุ รรณบุรี เขต 2 ครูโรงเรียนชมุ ชนเลศิ พนิ ิจพิทยาคม 4. นายคชกฤต สาสนะสขุ สำ�นกั งานเขตพื้นทก่ี ารศึกษาประถมศกึ ษาปทมุ ธานี เขต 2 ครโู รงเรียนวดั นเิ ทศน์ 5. นายธงไชย สนั ติถาวรยงิ่ ส�ำ นกั งานเขตพ้นื ท่กี ารศกึ ษาประถมศึกษาปทุมธานี เขต 2 ครูโรงเรียนวดั หนองจอก (ภกั ดนี รเศรษฐ) 6. นายจักรพงษ์ พทิ กั ษ์สบื สกุล ส�ำ นักการศึกษาเขตหนองจอก กรงุ เทพมหานคร พนักงานพิมพ์ดีด ส�ำ นักพฒั นานวตั กรรมการจัดการศกึ ษา 7. นายบดนิ ทร์ วรวสุ เจา้ หน้าท่ีบริหารงานทว่ั ไป 8. นายภาณุวิชญ์ สโุ สภา ส�ำ นกั พฒั นานวตั กรรมการจัดการศึกษา ผ้รู ับผิดชอบโครงการพัฒนาคุณภาพการเรียนรู้สู่สากล 1. นายปราโมทย์ ขจรภัย ทป่ี รึกษาโครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรู้สสู่ ากล สำ�นักพฒั นานวัตกรรมการจัดการศกึ ษา 2. นางสาววรนชุ รุ่งเรืองเจริญกุล นักวิชาการศกึ ษา ส�ำ นักพฒั นานวัตกรรมการจัดการศกึ ษา 3. นางสาวมาลี กติ ตอิ ุดมเดช นกั วิชาการศกึ ษา ส�ำ นกั พฒั นานวัตกรรมการจดั การศึกษา 4. นางรัชทติ า เชยกลน่ิ นักวชิ าการศึกษา ส�ำ นกั พฒั นานวัตกรรมการจัดการศกึ ษา 5. นางมัลลวรี ์ รอชโฟล นักวิชาการศกึ ษา สำ�นักพัฒนานวัตกรรมการจัดการศึกษา 6. นางรัดเกล้า น้ยุ แม้น นกั วิชาการศึกษา ส�ำ นกั พฒั นานวัตกรรมการจดั การศึกษา 7. นางสาวอลิศรา สายวาร ี นกั วิชาการศึกษา ส�ำ นกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรู้สสู่ ากล