แบบเรียนจำนวนตรรกยะ

Learn Education หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 1 จำนวนตรรกยะ

แผนผงั มโนทัศน์ Learn Education จำ� นวนตรรกยะ 1. จ�ำนวนเตม็ 2. การบวกจ�ำนวนเตม็ 3. การลบจ�ำนวนเต็ม 4. การคูณจ�ำนวนเตม็ 5. การหารจ�ำนวนเต็ม 6. สมบัตขิ องจ�ำนวนเต็ม 7. ทศนิยม 8. การเปรยี บเทียบทศนยิ ม 9. การบวกและการลบทศนยิ ม 10. การคณู และการหารทศนิยม 11. เศษสว่ น 12. การเปรยี บเทียบเศษส่วน 13. การบวกและการลบเศษส่วน 14. การคูณและการหารเศษสว่ น 15. ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งเศษสว่ นและทศนยิ ม 16. ความหมายของเลขยกกำ� ลงั

แผนผงั มโนทัศน์ จำ� นวนตรรกยะ (ต่อ) 17. การด�ำเนินการของเลขยกกำ� ลัง 18. การน�ำความรูเ้ กย่ี วกบั จ�ำนวนตรรกยะและเลขยกกำ� ลงั ไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา Learn Education 19. การเขยี นจ�ำนวนในรูปสญั กรณ์วิทยาศาสตร์ ตวั ชีว้ ดั เขา้ ใจจ�ำนวนตรรกยะและความสัมพันธ์ของจ�ำนวนตรรกยะ และใชส้ มบัติของ ค 1.1 ม.1/1 จ�ำนวนตรรกยะในการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์และปญั หาในชวี ิตจรงิ เขา้ ใจและใชส้ มบตั ขิ องเลขยกกำ� ลงั ทม่ี เี ลขชกี้ ำ� ลงั เปน็ จำ� นวนเตม็ บวกในการแก ้ ค 1.1 ม.1/2 ปญั หาคณิตศาสตร์และปญั หาในชวี ติ จริง จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ • นกั เรียนสามารถจำ� แนกจำ� นวนเต็ม เศษสว่ น และทศนิยมได้ • นกั เรยี นสามารถใช้สมบัติของจำ� นวนเตม็ และสมบัตขิ องจ�ำนวนตรรกยะในการแก้ปญั หา คณติ ศาสตร์ได้ • นกั เรยี นเขา้ ใจความหมายของเลขยกก�ำลัง และใชส้ มบตั ขิ องเลขยกกำ� ลงั ท่ีมีเลขช้กี ำ� ลังเป็น จ�ำนวนเต็มบวกในการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์

จำ�นวนตรรกยะ จำ�นวนตรรกยะ ในชวี ติ ประจำ�วนั นกั เรยี นพบกบั ตวั เลขและจำ�นวนหลากหลายรปู แบบ นกั เรยี นใชจ้ ำ�นวนนบั ในการนบั จำ�นวนส่งิ ตา่ งๆ รอบตัว เช่น มลี ูกแมวทั้งหมด 3 ตัว หากสง่ิ ทพ่ี บเหน็ คอื ความวา่ งเปลา่ นกั เรยี นจะแทนจำ�นวนสง่ิ นน้ั ดว้ ยจำ�นวนศนู ย์ เชน่ ไมม่ นี ก นน่ั คอื มนี กอยู่ 0 ตวั นอกจากนน้ั ในบางเหตกุ ารณน์ กั เรยี นจะเหน็ การใชจ้ ำ�นวนทม่ี เี ครอ่ื งหมายลบอยดู่ า้ นหนา้ เชน่ การวดั อณุ หภมู โิ ดยใชเ้ ทอรม์ อมเิ ตอร์ รองเทา้ เบกอารร์ 1ใช0เ้ ศ12ษสว่ นเพอ่ื บอกปรมิ าณของจำ�นวนทไ่ี มเ่ ปน็ จำ�นวนเตม็ เชน่ ชอ้ นตวงขนาด 41 ชอ้ นชา หรอื Learn Education รูปท่ี 1 ลกู แมว [1] ° รปู ที่ 2 มาตรวดั อณุ หภมู บิ นเทอรม์ อมเิ ตอร์ จะมีท้งั คา่ ท่เี ป็นบวกและลบ [2] 1021 รูปท่ี 3 เศษส่วนทีป่ รากฏในชีวติ ประจำ�วัน [3] 4

Learn Education การใชท้ ศนยิ มในการบอกราคาสนิ คา้ บางประเภทหรอื ในการบนั ทกึ เวลา เชน่ ปา้ ยราคานำ�้ มนั ระบวุ า่ นำ้� มนั ดีเซลราคาลติ รละ 27.34 บาท ณ วนั ที่ 28 มนี าคม พ.ศ. 2561 สถติ โิ ลกว่งิ ผลดั ชาย 4 × 100 เมตร ในการแขง่ ขันโอลมิ ปิกเกมส์ ณ กรงุ ลอนดอน เมอ่ื ปี พ.ศ. 2555 บันทกึ เวลาได้ 36.84 วนิ าที รูปท่ี 4 จำ�นวนทศนิยมท่ปี รากฏในชีวิตประจำ�วัน [4] การเขยี นจ�ำนวนทีม่ คี ่ามากโดยใชเ้ ลขยกกำ� ลงั เชน่ โลกเปน็ ดาวเคราะหใ์ นระบบสรุ ิยะ มรี ะยะทาง จากดวงอาทติ ยป์ ระมาณ 149,600,000 กิโลเมตร หรอื 1.496 × 108 กิโลเมตร รูปท่ี 5 โลก [5] ·´Êͺ¤ÇÒÁ¾ÃÍŒ Á 3จ15)))งพ0652จิ.5858า46ร.78ณ57าว่าจำ� นวนท่กี ำ� หนดใหเ้ ป็นจำ� นวนนบั 24เ))ศ24ษ,ส6234่วน5,3ห7ร8อื ทศนิยม 5

Learn Education จ�ำ นวนตรรกยะ 1. จำ�นวนเต็ม หากนักเรียนสังเกตปริมาณต่างๆ ในชีวิตประจ�ำวัน จะเห็นว่าไม่สามารถบอกค่าของปริมาณทุกสิ่ง ทกุ อยา่ งดว้ ยจำ� นวนนบั ได้ ตวั อยา่ งเชน่ อณุ หภมู เิ ฉลย่ี ในกรงุ มอสโกประเทศรสั เซยี เปน็ -7 cC หมายความวา่ มีระดับอุณหภูมิต่�ำกว่า 0 cC อยู่ 7 cC ในบทเรียนนี้นักเรียนจะได้รู้จักกับจำ�นวนเต็มบวก จำ�นวนเต็มลบ และศูนย์ ซ่ึงเป็นพ้ืนฐานทาง คณติ ศาสตรท์ ่ีมีประโยชนอ์ ยา่ งมาก 1.1 ประเภทของจำ�นวนเต็ม จ�ำนวนเต็มประกอบไปด้วยจ�ำนวนเต็มบวก จ�ำนวนเต็มลบ และศูนย์ นักเรียนอาจพิจารณา จำ� นวนเตม็ ไดจ้ ากเสน้ จำ� นวนดงั น้ี ศนู ย์ จากเสน้ จำ� นวน จะเห็นว่า 1) จำ� นวนเตม็ บวก คอื จำ� นวนเตม็ ทอี่ ยทู่ างดา้ นขวาของศนู ยบ์ นเสน้ จำ� นวน ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, 5, … 2) ศูนย์ ไดแ้ ก่ 0 3) จำ� นวนเตม็ ลบ คอื จำ� นวนเตม็ ทอ่ี ยทู่ างดา้ นซา้ ยของศนู ยบ์ นเสน้ จำ� นวน ไดแ้ ก่ -1, -2, -3, -4, -5, … เม่อื นำ� มาเรียงใหม่จะได้ ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … เรียกจ�ำนวนทั้งหมดนี้ว่า “จ�ำนวนเตม็ ” ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠จ�ำนวนเตม็ ที่อยทู่ างดา้ นขวาของ 0 บนเสน้ จำ� นวน คือ “จำ� นวนเต็มบวก” หรอื “จ�ำนวนนบั ” จ�ำนวนเตม็ ทอ่ี ย่ทู างดา้ นซา้ ยของ 0 บนเส้นจ�ำนวน คือ “จำ� นวนเต็มลบ” 6

ตัวอย่างที่ 1เปจน็ งจ2พ�ำ)จิน-า9วรนณเตา็มวา่ จำ�3น) ว4น.0ต0่อ5ไปน้ีเป็นจ4ำ� )น0วนเ2ต)็มเหปร็น5ือจ)ไำ�ม17น่ วนเตม็ 6) 30.6 1) 567 ตอบ 1) 3) ไมเ่ ป็นจำ� นวนเตม็ 4) เปน็ จำ� นวนเตม็ 5) ไม่เปน็ จ�ำนวนเตม็ 6) ไม่เป็นจำ� นวนเต็ม ใหน้ ักเรียนพิจารณาว่าจำ�นวนตอ่ ไปนี้เปน็ จำ�นวนเตม็ หรอื ไม่Learn Education4 1 5 3 1) 536 2) -39,489 3) 5.63 4) 5) 6) 9.378 32 oC 28 oC 26 oC 7 oC -2 oC ภาพแสดงอณุ หภมู ิของประเทศต่างๆ [6] จากรปู นกั เรยี นจะเห็นว่าอุณหภูมขิ องประเทศตา่ งๆ จะมีทง้ั ค่าที่เปน็ จำ�นวนเตม็ บวกและจำ�นวนเตม็ ลบ 7

จ�ำ นวนตรรกยะ แบบฝกึ หดั 1.1 1. (*) จงพิจารณาว่าจำ�นวนตอ่ ไปน้เี ป็นจำ�นวนเต็มหรอื ไม่ 1) 25 7) 7111.,36571 2) 6.7841 8) 3) -49128 9) 4) 10) 0 5) 718,750 0 11) 0.5 6) 12) -20 2. (**) จงพจิ ารณาว่าข้อความตอ่ ไปนเ้ี ป็นจริงหรอื เทจ็ Learn Education 1) 1 เป็นจำ�นวนเตม็ ที่มีค่านอ้ ยทส่ี ดุ 2) เราไมส่ ามารถระบุจำ�นวนเต็มลบทม่ี ีค่าน้อยทีส่ ดุ ได้ 3) 0 เปน็ จำ�นวนนบั 4) 3511828...005004เปเ9เปไป็นมน็เน็จป่เจปำจ็น�ำน�ำ็นน�จนวจำวน�วำนน�นเนวตเเตวนต็มนม็ เ็มตเตม็ ็ม 5) 6) 7) 8) 9) จำ�นวนเต็มบวกมีมากมายนบั ไม่ถ้วน 10) จำ�นวนเต็มลบมีมากมายนับไมถ่ ้วน 3. (***) จงพิจารณาจำ� นวนเตม็ ต่อไปน้แี ลว้ ตอบคำ� ถาม (ตอบตัวเลขซำ้� ได้) 1 2 3 4 5 6 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0 1) จำ�นวนเตม็ บวกใดมีค่าน้อยท่สี ดุ 2) จำ�นวนเต็มลบใดมีคา่ มากทสี่ ดุ 3) จำ�นวนเต็มใดมคี ่าอย่รู ะหวา่ ง -4 ถึง 2 4) จำ�นวนเตม็ ลบใดมคี ่าอยรู่ ะหวา่ ง -3 ถึง 9 5) จำ�นวนเตม็ บวกใดมคี ่าอยรู่ ะหว่าง -15 ถงึ 6 8

Learn Education 1.2 การเปรยี บเทยี บจำ�นวนเต็ม นักเรียนเคยเรียนเก่ียวกับการเปรียบเทียบจ�ำนวนเต็มบวกสองจ�ำนวนมาก่อนแล้ว ถ้าเปรียบเทียบ จำ�นวนเตม็ บวกโดยใชเ้ สน้ จำ�นวน จะเหน็ วา่ จำ�นวนเตม็ บวกทอ่ี ยทู่ างขวาจะมากกวา่ จำ�นวนเตม็ บวกทอ่ี ยู่ ทางซ้ายเสมอ เชน่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 มากกว่า 3 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 7 > 3 5 น้อยกว่า 8 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 5 < 8 ให้นักเรยี นพิจารณาการเปรียบเทียบจำ� นวนเตม็ สองจำ� นวนบนเสน้ จำ� นวน -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 จะเห็นวา่ 4 อย่ทู างขวาของ -3 แสดงวา่ 4 มากกวา่ -3 เขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ 4 > -3 -5 อยู่ทางซ้ายของ -1 แสดงวา่ -5 น้อยกวา่ -1 เขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ -5 < -1 0 อย่ทู างขวาของ -2 แสดงวา่ 0 มากกวา่ -2 เขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ 0 > -2 0 อยทู่ างซ้ายของ 1 แสดงวา่ 0 น้อยกวา่ 1 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 0 < 1 โดยทว่ั ไป ถา้ เปรยี บเทยี บจำ� นวนเตม็ สองจำ� นวนบนเสน้ จำ� นวน จำ� นวนเตม็ ทอี่ ยทู่ างขวาจะมากกวา่ จ�ำนวนเต็มทีอ่ ยทู่ างซ้ายเสมอ ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠ส�ำหรับจ�ำนวนเต็มสองจ�ำนวนใดๆ บนเสน้ จ�ำนวน จำ� นวนเต็มทอี่ ยูท่ างขวาจะมีคา่ มากกวา่ จ�ำนวนเตม็ ที่อย่ทู างซ้ายเสมอ 9

จำ�นวนตรรกยะ ตัวอยา่ งที่ 2 จงเปรียบเทียบจ�ำนวนเต็มต่อไปน้ี 4) 3 และ 0 1) -3 และ 2 2) -5 และ -9 3) -4 และ 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 ตอบ 1) -3 < 2 2) -5 > -9 3) -4 < 0 4) 3 > 0 จงเปรียบเทยี บจ�ำนวนตอ่ ไปน้ี Learn Education 1) 7 และ -9 2) 3 และ -6 3) 5 และ 0 4) 0 และ -3 ตัวอยา่ งที่ 3 จงเรยี งล�ำดับจำ� นวนเตม็ ตอ่ ไปนี้ 1) 13, -5, 8, -31, 0 จากน้อยไปมาก 2) 10, -7, -12, 18, -24 จากมากไปนอ้ ย ตอบ 1) -31, -5, 0, 8, 13 2) 18, 10, -7, -12, -24 จงเรยี งล�ำดับจ�ำนวนเต็มต่อไปน้ี 1) 3, 15, -8, -35, 0 จากนอ้ ยไปมาก 2) 1, 7, 12, 8, -4 จากมากไปนอ้ ย 10

แบบฝกึ หดั 1.2 1. (*) จงเปรียบเทียบจำ�นวนเต็มต่อไปนี้ 6) 12 และ 0 1) 24 และ 17 7) 9 และ -7 2) -6 และ 5 8) -24 และ -42 3) -3 และ -8 9) -5 และ -55 4) 0 และ -14 10) -34 และ 25 5) -19 และ -28 2. (**) จงเรียงลำ�ดับจำ�นวนเตม็ ต่อไปน้ีจากมากไปนอ้ ย 1) 82, 48, -12, -78, 0, 87 2) 3, -7, 47, 71, -124, -42 3) 71, 0, -12, -74, 17, -47 4) 52, 20, -98, 98, 15, 0 5) 58, -71, -17, 65, 25, 0 Learn Education 3. (**) จงเรียงลำ�ดบั จำ�นวนเตม็ ต่อไปนีจ้ ากนอ้ ยไปมาก 1) 14, -72, -41, 27, 36, -63 2) 0, 23, 58, -14, -2, 13 3) 145, 72, -81, -103, -36, 47 4) 251, -478, 230, 451, -750, 145 5) 0, 95, -41, 54, 70, -28 4. (***) จากแบบรปู ที่ก�ำหนดให้ จงพิจารณาวา่ จำ� นวนในช่อง เปน็ จำ� นวนใด 1) -3, -7, , -15, -19, , -27 2) -27, , -15, -9, -3, , 9, 15, 21, 27 3) 18, , 8, 3, , -7, -12, -17 4) -24, -17, , -3, , 11, 18, 25 5. (***) กรงุ เทพมหานครตอนเชา้ มอี ณุ หภมู ิ 25 องศาเซลเซยี ส ตอนบา่ ยมอี ณุ หภมู ิ 40 องศาเซลเซยี ส จงหาว่า อณุ หภมู ใิ นตอนเชา้ สูงกว่าหรือตำ่� กว่าอณุ หภมู ิในตอนบ่ายเท่าใด 11

จ�ำ นวนตรรกยะ 1.3 จำ�นวนตรงขา้ ม พจิ ารณาจำ�นวนเตม็ ตอ่ ไปนบ้ี นเสน้ จำ�นวน จำ�นวน ตรงขา้ ม จากเสน้ จำ�นวน จะเหน็ วา่ -5 และ 5 อยคู่ นละขา้ งของ 0 บนเสน้ จำ�นวนและอยหู่ า่ งจาก 0 เปน็ ระยะ 5 หนว่ ยเทา่ กนั จงึ สรปุ ไดว้ า่ -5 เปน็ จำ�นวนตรงขา้ มของ 5 หรอื 5 เปน็ จำ�นวนตรงขา้ มของ -5 เรยี กวา่ -5 และ 5 เปน็ จำ�นวนตรงขา้ มซง่ึ กนั และกนั ในทำ� นองเดยี วกนั -3 และ 3 อยคู่ นละขา้ งของ 0 บนเสน้ จำ� นวนและอยหู่ า่ งจาก 0 เปน็ ระยะ 3 หนว่ ย เทา่ กนั เรยี กวา่ -3 และ 3 เปน็ จำ�นวนตรงขา้ มซง่ึ กนั และกนั ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠จ�ำนวนตรงข้าม คือ จำ� นวนที่อยูค่ นละขา้ งของ 0 บนเส้นจำ� นวนและอย่หู ่างจาก 0 เปน็ ระยะเทา่ กนั เม่ือ a เปน็ จ�ำนวนเตม็ ใดๆ จ�ำนวนตรงขา้ มของ a คือ -a และจำ� นวนตรงข้ามของ -a คือ a โดยจ�ำนวนตรงข้ามของ 0 คอื 0 Learn Education ตวั อย่างที่ 4 จงหาจำ� นวนตรงข้ามของจำ� นวนตอ่ ไปน้ี 1) 9 2) -20 ตอบ 1) -9 2) 20 จงหาจำ� นวนตรงข้ามของจ�ำนวนตอ่ ไปน้ี 1) -6 2) 18 12

1.4 ค่าสมั บูรณ์ พิจารณาคา่ สัมบูรณข์ องจำ�นวนบนเส้นจำ�นวนต่อไปนี้ 2 หน่วย 2 หนว่ ย -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 จากเสน้ จำ�นวนจะเหน็ ไดว้ า่ 2 อยหู่ า่ งจาก 0 เปน็ ระยะ 2 หนว่ ย กลา่ วคอื คา่ สมั บรู ณข์ อง 2 เทา่ กบั 2 เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ |2| = 2 -2 อยหู่ า่ งจาก 0 เปน็ ระยะ 2 หนว่ ย กลา่ วคอื คา่ สมั บรู ณข์ อง -2 เทา่ กบั 2 เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ |-2| = 2 ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠ค่าสมั บรู ณ์ของจ�ำนวนเต็ม หมายถึง ระยะหา่ งระหวา่ งจ�ำนวนเต็มนัน้ กับ 0 บนเสน้ จ�ำนวน ดงั น้ัน ค่าสัมบรู ณข์ องจำ� นวนเต็มจะมีค่าเป็นบวกหรอื ศูนย์เทา่ น้ัน Learn Education สังเกตว่า จำ� นวนตรงขา้ มซ่งึ กันและกันจะม ี ค่าสัมบูรณ์เทา่ กนั เสมอ ค่าสมั บรู ณข์ อง 0 เท่ากับ 0 ตัวอย่างท่ี 5 จงหาคา่ สัมบรู ณ์ของจ�ำนวนตอ่ ไปน้ี เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ |0| = 0 1) 10 2) -6 ตอบ 1) |10| = 10 2) |-6| = 6 จงหาคา่ สัมบรู ณข์ องจำ� นวนต่อไปนี้ 1) 14 2) -7 13

จำ�นวนตรรกยะ แบบฝกึ หดั 1.3 1. (*) จงหาจ�ำนวนตรงขา้ มของจำ� นวนตอ่ ไปน้ี 4) 37 5) 88 1) 11 2) -95 3) -45 5) -58 2. (*) จงหาคา่ สมั บรู ณข์ องจ�ำนวนต่อไปน้ี 1) 13 2) -27 3) 39 4) 89 3. (*) จำ�นวนตรงข้ามของ a มีค่าเทา่ กบั -8 จงหาค่าของ a Learn Education 4. (*) คา่ สมั บรู ณ์ของจำ�นวนเตม็ ลบ b มีค่าเท่ากับ 5 จงหาค่าของ b 5. (**) จงหาผลลพั ธใ์ นแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้ 1) |15| + |-20| + |-9| 2) |13 - 4| - 2|3| + 2|7| 6. (***) จงหาผลลัพธใ์ นแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ 1) (|10| + |-10| - |5| + |-5|) ÷ (|4| - |-2|) 4 |- 9 | + 15 | 3 | - 6 | 13 - 7 | 2) |- 9 | 7. (***) จงหาจำ� นวนเต็มทงั้ หมดทตี่ รงตามเงอ่ื นไขตอ่ ไปน้ี 1) มคี า่ สัมบรู ณเ์ ท่ากบั 3 2) มคี า่ สัมบูรณน์ อ้ ยกว่า 3 14

2. การบวกจำ�นวนเต็ม นกั เรยี นทราบแลว้ วา่ จำ� นวนเตม็ ประกอบดว้ ยจำ� นวนเตม็ บวก ศนู ย์ และจำ� นวนเตม็ ลบ นอกจากน้ี นกั เรยี นไดเ้ รยี นรเู้ กย่ี วกบั การบวกจำ� นวนเตม็ บวกมาแลว้ ในระดบั ประถมศกึ ษา ตอ่ ไปนกั เรยี นจะไดเ้ รยี นรกู้ ารบวก จำ� นวนเต็ม 2.1 การบวกจำ�นวนเต็มบวกด้วยจำ�นวนเตม็ บวกและการบวกจำ�นวนเต็มลบดว้ ยจำ�นวนเต็มลบ 1) การบวกจำ�นวนเตม็ บวกดว้ ยจำ�นวนเต็มบวก นักเรียนทุกคนเคยบวกจำ�นวนเต็มบวกด้วยจำ�นวนเต็มบวกมาแล้วหากพิจารณาการบวกบน เสน้ จำ�นวน จะพบว่า การบวกดว้ ยจำ�นวนเตม็ บวกคอื การนับเพิม่ ไปทางขวา เชน่ การหาผลบวกของ 2 กบั 5 ดงั น้ี 2 หน่วย Learn Education -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 หนว่ ย จากเส้นจำ�นวนจะเหน็ วา่ การหาผลบวกของ 2 กับ 5 เริ่มต้นที่ 0 นับไปทางขวา 2 หนว่ ย แล้วนบั เพ่มิ ไปทางขวา อกี 5 หนว่ ย จดุ สุดท้ายท่ีได้คอื 7 แสดงวา่ ผลบวกของ จากประโยคสัญลกั ษณ์ 2 + 5 = 7 2 กบั 5 เท่ากบั 7 เรียก 2 วา่ ตวั ตง้ั ผลบวกของ 2 + 5 เทา่ กับ 7 เขียนแทนด้วย เรียก 5 ว่า ตัวบวก ประโยคสญั ลักษณ์ 2 + 5 = 7 เรียก 7 ว่า ผลบวก 2) การบวกจำ�นวนเตม็ ลบดว้ ยจำ�นวนเตม็ ลบ การบวกจำ�นวนเตม็ ลบดว้ ยจำ�นวนเตม็ ลบ นกั เรยี นสามารถใชเ้ สน้ จำ�นวนไดเ้ ชน่ เดยี วกบั การบวก จำ�นวนเตม็ บวกดว้ ยจำ�นวนเต็มบวกแต่เปล่ยี นเปน็ การนบั ลดลงไปทางซา้ ยเชน่ ผลบวกของ-2กบั -3 หาได้ดังน้ี 2 หนว่ ย -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 5 หนว่ ย 15

จำ�นวนตรรกยะ จากเสน้ จำ�นวนจะเหน็ วา่ การหาผลบวกของ -2 กบั -3 เรม่ิ ตน้ ท่ี 0 นบั ไปทางซา้ ย 2 หนว่ ย แลว้ นบั ลดลงไปทางซ้ายอีก 3 หนว่ ย จดุ สุดท้ายทไ่ี ด้คอื -5 แสดงวา่ ผลบวกของ -2 กับ -3 เทา่ กบั -5 ผลบวกของ -2 กับ -3 เท่ากับ -5 เขียนแทนดว้ ยประโยคสญั ลกั ษณ์ (-2) + (-3) = -5 ให้นักเรยี นพิจารณาการหาผลบวกของ -2 กบั -3 จะเห็นว่า หากนำ�ค่าสมั บูรณ์ของ -2 และ -3 มาบวกกัน จะได้เป็น |-2| + |-3| = 2 + 3 = 5 แต่ผลลัพธ์ที่ได้จากการบวกบนเส้นจำ�นวน เท่ากับ -5 จะเห็นว่า ผลบวกของจำ�นวนเต็มลบกับจำ�นวนเต็มลบหาได้จากการนำ�ค่าสัมบูรณ์ของ จำ�นวนเต็มทั้งสองจำ�นวนมาบวกกัน แล้วตอบเป็นจำ�นวนเต็มลบ ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠การบวกจ�ำนวนเตม็ บวกดว้ ยจ�ำนวนเต็มบวก ทำ� ไดโ้ ดยการนำ� คา่ สมั บรู ณข์ องจ�ำนวนเต็มบวกทง้ั สอง จำ� นวนมาบวกกนั แลว้ ตอบเป็นจ�ำนวนเตม็ บวก การบวกจ�ำนวนเต็มลบด้วยจ�ำนวนเต็มลบ ท�ำได้โดยการน�ำค่าสัมบูรณ์ของจ�ำนวนเต็มลบทั้งสอง จ�ำนวนมาบวกกันแล้วตอบเป็นจ�ำนวนเต็มลบ Learn Education ตัวอย่างท่ี 1 จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปน้ี 1) (-5) + (-8) 2) [(-15) + (-72)] + (-13) วิธีท�ำ 1) |-5| = 5 และ |-8| = 8 จะได้ว่า (-5) + (-8) = -(5 + 8) (นำ� คา่ สมั บรู ณข์ อง -5 กบั -8 มาบวกกนั แล้วตอบเป็นจ�ำนวนเต็มลบ) = -13 ดังน้ัน (-5) + (-8) = -13 ตอบ 2) |-15| = 15, |-72| = 72 และ | -13| = 13 จะได้ว่า [(-15) + (-72)] + (-13) = -(15 + 72) + (-13) = (-87) + (-13) = -(87 + 13) = -100 ดังน้ัน (-15) + (-72) + (-13) = -100 ตอบ 16

จงหาผลบวกของจ�ำนวนเต็มตอ่ ไปนโ้ี ดยใช้คา่ สมั บูรณ์ 1) (-9) + (-11) 2) [(-32) + (-28)] + (-30) แบบฝกึ หดั 2.1 Learn Education6) (-2) + (-18) 7) (-13) + (-19) 1. (*) จงหาผลลพั ธใ์ นแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี 8) (-94) + (-25) 1) 4 + 8 9) (-195) + (-547) 2) 10 + 1 10) (-98) + (-125) 3) (-4) + (-7) 4) (-8) + (-9) 5) (-11) + (-3) 2. (**) จงหาผลลพั ธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) (56 + 32) + 46 2) 12 + (44 + 67) 3) [(-35) + (-98)] + (-47) 4) (-68) + [(-248) + (-41)] 5) [(-246) + (-189)] + (-78) 6) [(-125) + (-78)] + (-54) 3. (***) จงหาจำ�นวนเต็มท่ีแทน x แลว้ ทำ�ใหไ้ ดป้ ระโยคทเ่ี ป็นจริง 1) x + 6 = 15 2) 8 + x = 10 3) x + (-3) = -7 4) (-5) + x = -11 17

Learn Education จำ�นวนตรรกยะ 2.2 การบวกจำ�นวนเตม็ บวกดว้ ยจำ�นวนเต็มลบและการบวกจำ�นวนเต็มลบดว้ ยจำ�นวนเต็มบวก ใหน้ กั เรยี นพจิ ารณาการหาผลบวกของ 6 กับ -3 โดยใช้เสน้ จำ�นวนดังนี้ 6 หน่วย -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 3 หน่วย จากเส้นจำ�นวนจะเหน็ ว่า การหาผลบวกของ 6 กบั -3 เรมิ่ ต้นท่ี 0 นับไปทางขวา 6 หนว่ ย แลว้ นบั ลดลงไปทางซา้ ยอีก 3 หน่วย จดุ สดุ ทา้ ยท่ีได้คอื 3 ซง่ึ กค็ อื ผลบวกของ 6 กับ -3 นัน่ เอง ผลบวกของ 6 กับ -3 เท่ากับ 3 เขียนแทนดว้ ยประโยคสัญลักษณ์ 6 + (-3) = 3 ต่อไป ให้นักเรียนพิจารณาการหาผลบวกของ -3 กบั 6 โดยใช้เสน้ จำ�นวนดังน้ี 3 หนว่ ย -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 3 หน่วย จากเส้นจำ�นวนจะเหน็ ว่า การหาผลบวกของ -3 กับ 6 เรม่ิ ต้นท่ี 0 นับไปทางซ้าย 3 หน่วย แล้วนบั เพมิ่ ไปทางขวาอีก 6 หน่วย จุดสุดท้ายทีไ่ ด้คอื 3 ซ่งึ ก็คือผลบวกของ -3 กบั 6 น่ันเอง ผลบวกของ -3 กับ 6 เท่ากับ 3 เขยี นแทนด้วยประโยคสัญลกั ษณ์ (-3) + 6 = 3 จะเหน็ วา่ 6 + (-3) = 3 = (-3) + 6 เนอ่ื งจากการบวกมสี มบตั กิ ารสลบั ท่ี ดงั นน้ั ไมว่ า่ จะเปน็ การบวกจำ�นวนเตม็ บวกดว้ ยจำ�นวนเตม็ ลบ หรือการบวกจำ�นวนเต็มลบดว้ ยจำ�นวนเต็มบวกกจ็ ะไดผ้ ลบวกท่เี หมือนกัน 18

Learn Education การบวกจำ�นวนเตม็ บนเสน้ จำ�นวนนน้ั อาจจะเปน็ วธิ ที ย่ี งุ่ ยากหากจำ�นวนทก่ี ำ�ลงั พจิ ารณาอยมู่ คี า่ มาก นักเรียนสามารถใชค้ า่ สัมบูรณม์ าใชใ้ นการพจิ ารณาได้ พิจารณาการหาผลบวกของ 4 กับ -2 โดยใช้เส้นจำ�นวนดงั น้ี 4 หน่วย -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 2 หนว่ ย จากเส้นจำ�นวนจะเหน็ วา่ ผลบวกของ 4 กับ -2 เทา่ กบั 2 พิจารณาการหาผลบวกของ 4 กับ -2 โดยใชค้ ่าสัมบูรณ์ |4| = 4 และ |-2| = 2 นำ�คา่ สมั บรู ณข์ อง 4 ลบดว้ ยคา่ สมั บรู ณข์ อง -2 จะได้ |4| - |-2| = 4 - 2 = 2 ซง่ึ เปน็ ผลลพั ธเ์ ดยี วกนั กบั ผลบวกโดยใช้เสน้ จำ�นวน ผลบวกของ 4 กบั -2 เท่ากบั 2 เขียนแทนดว้ ยประโยคสัญลกั ษณ์ 4 + (-2) = 2 พิจารณาการหาผลบวกของ -4 กบั 2 โดยใชเ้ ส้นจำ�นวนดงั นี้ 4 หนว่ ย -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 2 หน่วย จากเสน้ จำ�นวนจะเหน็ วา่ ผลบวกของ -4 กับ 2 เท่ากบั -2 พิจารณาการหาผลบวกของ -4 กบั 2 โดยใชค้ ่าสมั บรู ณ์ |-4| = 4 และ |2| = 2 นำ�คา่ สมั บรู ณข์ อง -4 ลบดว้ ยคา่ สมั บรู ณข์ อง 2 จะได้ |-4| - |2| = 4 - 2 = 2 ซง่ึ เปน็ จำ�นวนตรงขา้ ม กับผลบวกโดยใช้เสน้ จำ�นวน เนื่องจาก |-4| > |2| ผลบวกของ -4 กับ 2 จึงตอ้ งเป็นจำ�นวนเต็มลบเชน่ เดียวกับ -4 ผลบวกของ -4 กับ 2 เท่ากับ -2 เขียนแทนด้วยประโยคสัญลักษณ์ (-4) + 2 = -2 19

จำ�นวนตรรกยะ จากตวั อยา่ งจะเหน็ ไดว้ า่ ผลลพั ธท์ ไ่ี ดจ้ ะเปน็ จำ�นวนเตม็ บวกหรอื จำ�นวนเตม็ ลบเชน่ เดยี วกบั จำ�นวนเตม็ ที่มคี ่าสมั บูรณท์ ่มี ากกวา่ ซึง่ เปน็ ไปตามหลักการโดยท่ัวไปดังนี้ ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠การบวกจ�ำนวนเตม็ บวกดว้ ยจ�ำนวนเตม็ ลบและการบวกจำ� นวนเต็มลบด้วยจำ� นวนเตม็ บวก ให้น�ำค่าสัมบูรณ์ของจำ� นวนทม่ี ากกวา่ ลบดว้ ยค่าสัมบูรณข์ องจำ� นวนท่นี ้อยกว่า แลว้ ตอบเป็น จ�ำนวนเตม็ บวกหรือจ�ำนวนเตม็ ลบตามจำ� นวนท่ีมคี ่าสมั บรู ณ์มากกว่า นอกจากน้ี พจิ ารณาผลบวก 4 + (-4) โดยใช้คา่ สมั บรู ณ์ |4| = 4 และ |-4| = 4 ถา้ นำ�ค่าสัมบูรณ์ของ 4 ลบกบั คา่ สมั บรู ณ์ของ -4 จะได้ |4| - |-4| = 4 - 4 = 0 จะเห็นวา่ การบวกจำ�นวนเตม็ ซึ่งเปน็ จำ�นวนตรงขา้ มซึง่ กนั และกัน จะได้ผลบวกเท่ากับ 0 นักเรียนสามารถหาผลบวกของจำ�นวนเต็มบวกกับจำ�นวนเต็มลบโดยใช้ค่าสัมบูรณ์ได้ ดังตัวอย่าง ตอ่ ไปน้ี Learn Education ตัวอย่างท่ี 2 จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) (-5) + 3 2) 9 + (-3) วิธีท�ำ 1) |-5| = 5 และ |3| = 3 เนื่องจาก |-5| > |3| และ -5 เป็นจ�ำนวนเต็มลบ ค�ำตอบท่ีได้จึงต้องเป็นจ�ำนวนเต็มลบ จะได้ว่า (-5) + 3 = -(5 - 3) = -2 ดังนั้น (-5) + 3 = -2 ตอบ 2) |9| = 9 และ |-3| = 3 ตอบ เนื่องจาก |9| > |-3| และ 9 เป็นจ�ำนวนเต็มบวก ค�ำตอบท่ีได้จึงต้องเป็นจ�ำนวนเต็มบวก จะได้ว่า 9 + (-3) = 9 - 3 = 6 ดังนั้น 9 + (-3) = 6 20

จงหาผลลัพธใ์ นแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี 2) (-19) + 4 1) 19 + (-4) แบบฝกึ หดั 2.2 1. (*) จงหาผลลัพธใ์ นแต่ละขอ้ ต่อไปน้ีLearn Education5) 8 + (-13) 1) (-7) + 5 6) (-5) + 6 2) 5 + (-7) 7) 6 + (-5) 3) (-4) + 1 8) 7 + (-9) 4) 1 + (-4) 10) (-9) + 7 5) (-13) + 8 2. (**) จงหาผลลพั ธใ์ นแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี 1) [(-5) + 9] + (-8) 2) 10 + [(-7) + 4] 3) [(-3) + 5] + (-15) 4) [17 + (-8)] + (-2) 5) 17 + [(-8) + (-2)] 3. (***) จงหาจำ�นวนเต็มทแ่ี ทน a แล้วทำ�ใหไ้ ด้ประโยคท่เี ปน็ จรงิ 1) a + (-6) = -1 2) 4 + a = -3 3) x + 3 = -8 4) (-5) + x = 15 21

จ�ำ นวนตรรกยะ 3. การลบจำ�นวนเต็ม จากการบวกจำ�นวนเต็มบวกกับจำ�นวนเต็มลบที่ผ่านมา นักเรียนทราบแล้วว่า 9 + (-4) = 9 - 4 ซึง่ 9 - 4 คือ การลบกันของจำ�นวนเต็มนั่นเอง การลบสามารถเปลย่ี นใหอ้ ยใู่ นรปู ของการบวกไดโ้ ดยนำ�ตวั ตง้ั บวกดว้ ยจำ�นวนตรงขา้ มของตวั ลบ เชน่ 8 - 3 = 8 + (-3) = 5 15 - 7 = 15 + (-7) = 8 หากตวั ตง้ั นอ้ ยกวา่ ตวั ลบ นกั เรยี นสามารถพจิ ารณาคา่ สมั บรู ณ์ และคำ�นวณแบบเดยี วกนั กบั การบวก จำ�นวนเต็มได้ เชน่ 3 - 9 = 3 + (-9) = - (|-9| - |3|) Learn Education = - (9 - 3) จากประโยคสญั ลักษณ์ 8 - 3 = 5 = -6 เรียก 8 วา่ ตัวตั้ง เรียก 3 วา่ ตวั ลบ เรยี ก 5 วา่ ผลลบ ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠การลบจำ� นวนเตม็ ทำ� ได้โดยการเปลยี่ นเคร่ืองหมายลบเป็นเคร่ืองหมายบวก และเปล่ียนตัวลบเป็นจำ� นวน ตรงข้าม หรือ ตวั ตงั้ - ตวั ลบ = ตัวต้ัง + จ�ำนวนตรงขา้ มของตัวลบ และดำ� เนนิ การดว้ ยวธิ ีการเดียวกบั การบวกจ�ำนวนเตม็ ตัวอย่างท่ี 1 จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปน้ี 3) (-13) - 20 4) (-13) - (-20) 1) 13 - 20 2) 13 - (-20) วิธีท�ำ 1) 13 - 20 = 13 + (-20) 3) (-13) - 20 = (-13) + (-20) = -(20 - 13) = -(13 + 20) = -7 = -33 ดังน้ัน 13 - 20 = -7 ตอบ ดังนั้น (-13) - 20 = -33 ตอบ 2) 1 3 - (-20) = 13 + 20 4) (-13) - (-20) = (-13) + 20 = 33 = 20 - 13 ดังนั้น 13 - (-20) = 33 ตอบ = 7 ดังน้ัน (-13) - (-20) = 7 ตอบ 22

จงหาผลลพั ธใ์ นแต่ละข้อต่อไปน้ี 1) 10 - 23 2) 10 - (-23) 3) (-10) - 23 4) (-10) - (-23) ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปน้ี 1) [53 - (-17)] - (-40) 2) 10 - [(-4) - (-29)] วิธีท�ำ 1) [53 - (-17)] - (-40) = (53 + 17) - (-40) = 70 - (-40) = 70 + 40 = 110 ดังนั้น [53 - (-17)] - (-40) = 110 2) 10 - [(-4) - (-29)] = 10 - [(-4) + 29] = 10 - (29 - 4) = 10 - 25 = 10 + (-25) = -(25 - 10) = -15 ดังน้ัน 10 - [(-4) - (-29)] = -15 Learn Education ตอบ ตอบ จงหาผลลัพธใ์ นแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี 2) [(-15) - (-9)] - (-12) 1) (-35) - [(-13) - (-43)] 23

จ�ำ นวนตรรกยะ แบบฝกึ หดั 3 6) 6 - (-2) 7) (-13) - 5 1. (*) จงหาผลลัพธใ์ นแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ 8) 25 - 89 1) 9 - 12 9) (-6) - 4 2) (-3) - 9 10) (-21) - (-9) 3) (-12) - (-21) 4) 21 - 12 5) 7 - (-8) 2. (**) จงหาผลลพั ธใ์ นแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี Learn Education 1) [8 - (-4)] - 7 2) (-20) - [(-5) - 13] 3) [7 - 16] - (-5) 4) [(-6) - (-10)] - 9 5) (-6) - [(-10) - 9] 3. (***) จงหาจำ�นวนเต็มทีแ่ ทน x แลว้ ทำ�ให้ไดป้ ระโยคที่เปน็ จริง 1) x - 5 = -7 2) (-3) - x = 2 3) x - (-9) = 13 4) 6 - x = 14 24

Learn Education4. การคณู จำ�นวนเต็ม นกั เรยี นไดเ้ รยี นรเู้ กย่ี วกบั การคณู จำ�นวนเตม็ บวกมาแลว้ ในระดบั ชน้ั ประถมศกึ ษา ตอ่ ไปนน้ี กั เรยี นจะ ไดเ้ รียนรู้การคูณจำ�นวนเต็ม 4.1 การคูณจำ�นวนเตม็ บวกด้วยจำ�นวนเตม็ ลบและการคณู จำ�นวนเต็มลบดว้ ยจำ�นวนเต็มบวก ทบทวนหลกั การคณู ของ 3 กับ 5 จะพบว่า 3 × 5 = 5 + 5 + 5 = 15 หรืออาจกล่าวว่า 3 คูณ 5 คือการนำ� 5 มาบวกกัน 3 ตัว 5 หนว่ ย 5 หน่วย 5 หน่วย -10 -5 0 5 10 15 หากพจิ ารณาจากเสน้ จำ�นวนจะเหน็ วา่ 3 คณู 5 คอื การเลอ่ื นจำ�นวนจาก 0 ไปทางขวาครง้ั ละ 5 หนว่ ย จำ�นวน 3 ครัง้ 1) การคูณจำ�นวนเตม็ บวกด้วยจำ�นวนเตม็ ลบ 3 คูณ -5 คอื การนำ� -5 มาบวกกนั 3 ตัว 3 × (-5) = (-5) + (-5) + (-5) = -15 หากพจิ ารณาจากเสน้ จำ�นวน จะเหน็ วา่ 3 คณู -5 คอื การเลอ่ื นจำ�นวนจาก 0 ไปทางซา้ ยครง้ั ละ 5 หน่วย จำ�นวน 3 ครั้ง 5 หนว่ ย 5 หนว่ ย 5 หน่วย -15 -10 -5 0 5 10 จะได้ว่า 3 × (-5) = -15 ซงึ่ คำ�ตอบที่ไดเ้ ป็นจำ�นวนเตม็ ลบ จากประโยคสญั ลกั ษณ์ 3 × (-5) = -15 เรยี ก 3 ว่า ตวั ตงั้ เรียก -5 วา่ ตัวคณู เรียก -15 วา่ ผลคณู 25

Learn Education จ�ำ นวนตรรกยะ 2) การคณู จำ�นวนเต็มลบดว้ ยจำ�นวนเต็มบวก นักเรียนไม่สามารถหาผลคูณโดยใช้การบวกจำ� นวนซ�้ำๆ ได้ เม่ือตัวต้ังเป็นจ�ำนวนเต็มลบ จึงน�ำ สมบัติการคูณมาช่วยในการหาผลคูณ เช่น (-3) × 5 = 5 × (-3) = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -15 หากพิจารณาจากเสน้ จำ�นวนจะเหน็ วา่ 5 คณู -3 คือ การเล่ือนจำ�นวนจาก 0 ไปทางซา้ ยคร้ังละ 3 หน่วย จำ�นวน 5 ครั้ง 3 หนว่ ย 3 หนว่ ย 3 หนว่ ย 3 หน่วย 3 หนว่ ย -15 -12 -9 -6 -3 0 จะได้ว่า (-3) × 5 = -15 ซง่ึ คำ�ตอบท่ีไดเ้ ป็นจำ�นวนเตม็ ลบ จะเห็นว่า 3 × (-5) = -15 = (-3) × 5 นักเรียนหาผลคูณของจำ�นวนเต็มบวกกับจำ�นวนเต็มลบได้โดยนำ�ค่าสัมบูรณ์ของแต่ละจำ�นวน มาคูณกัน แลว้ ตอบเป็นจำ�นวนเตม็ ลบ ดังนี้ 3 × (-5) = -(|3| × |-5|) = -(3 × 5) = -15 (-3) × 5 = -(|-3| × |5|) = -(3 × 5) = -15 ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠การคูณจำ� นวนเต็มบวกดว้ ยจ�ำนวนเต็มลบหรอื การคณู จ�ำนวนเตม็ ลบด้วยจำ� นวนเต็มบวก ทำ� ไดโ้ ดยการนำ� ค่าสมั บูรณ์ของจ�ำนวนเต็มท้ังสองมาคูณกนั แลว้ ตอบเป็นจำ� นวนเตม็ ลบ 26

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปน้ี 1) 5 × (-9) 2) (-5) × 9 3) [8 × (-15)] × 10 วิธีท�ำ 1) 5 × (-9) = -(|5| × |-9|) = -(5 × 9) = -45 ดังนั้น 5 × (-9) = -45 ตอบ 2) (-5) × 9 = -(|-5| × |9|) ตอบ = -(5 × 9) = -45 ตอบ ดังนั้น (-5) × 9 = -45 3) [8 × (-15)] × 10 = -(|8| × |-15|) × 10Learn Education = -(8 × 15) × 10 = (-120) × 10 = -(|-120| × |10|) = -(120 × 10) = -1,200 ดังนั้น [8 × (-15)] × 10 = -1,200 จงหาผลลัพธใ์ นแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ ี 2) 12 × (-9) 3) [5 × (-12)] × 2 1) (-7) × 6 27

จ�ำ นวนตรรกยะ 4.2 การคณู จำ�นวนเต็มลบดว้ ยจำ�นวนเตม็ ลบ จากการหาผลคณู ของ 3 กบั -5 จะได้วา่ 3 × (-5) คือการนำ� -5 มาบวกกนั 3 ตัว 3 × (-5) = (-5) + (-5) + (-5) = -15 หากลดตัวตั้งลงคร้ังละ 1 จะได้ผลลพั ธ์ดังน ี้ 2 × (-5) = (-5) + (-5) = -10 1 × (-5) = -5 0 × (-5) = 0 จะเหน็ วา่ เมอ่ื ลดตวั ตง้ั ลงครง้ั ละ 1 ผลลพั ธท์ ไ่ี ดจ้ ะเพม่ิ ขน้ึ ครง้ั ละ 5 หนว่ ย หากลดตวั ตง้ั ตอ่ ไปเรอ่ื ยๆ จะได้ (-1) × (-5) = 5 (-2) × (-5) = 10Learn Education (-3) × (-5) = 15 สงั เกตวา่ ตวั ตง้ั และตวั คณู ตา่ งเปน็ จำ�นวนเตม็ ลบ เมอ่ื คณู กนั แลว้ คำ�ตอบทไ่ี ดเ้ ปน็ จำ�นวนเตม็ บวก โดยหลักการทั่วไป นักเรียนสามารถหาผลคูณของจำ�นวนเต็มลบกับจำ�นวนเต็มลบได้ โดยการนำ� ค่าสัมบูรณ์ของจำ�นวนทัง้ สองมาคณู กัน แล้วตอบเปน็ จำ�นวนเต็มบวก ดงั นี้ (-1) × (-5) = |-1| × |-5| = 5 (-2) × (-5) = |-2| × |-5| = 10 (-3) × (-5) = |-3| × |-5| = 15 ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠การคณู จำ� นวนเตม็ ลบด้วยจ�ำนวนเตม็ ลบท�ำไดโ้ ดยการนำ� คา่ สมั บรู ณ์ของจ�ำนวนเต็มทงั้ สองมา คณู กนั แล้วตอบเปน็ จ�ำนวนเตม็ บวก 28

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปน้ี 1) (-6) × (-9) 2) [(-6) × (-5)] × (-4) วิธีท�ำ 1) (-6) × (-9) = |-6| × |-9| = 6 × 9 = 54 ดังนั้น (-6) × (-9) = 54 ตอบ 2) [(-6) × (-5)] × (-4) = (|-6| × |-5|) × (-4) = (6 × 5) × (-4) = 30 × (-4) = -(|30| × |-4|) Learn Education = -(30 × 4) = -120 ดังนั้น (-6) × (-5) × (-4) = -120 ตอบ จงหาผลลัพธ์ในแตล่ ะข้อต่อไปน ้ี 2) [(-5) × (-10)] × (-9) 1) (-7) × (-6) 29

จำ�นวนตรรกยะ แบบฝกึ หดั 4 1. (*) จงหาผลลัพธใ์ นแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ี 6) 96 × (-5) 1) 9 × 5 7) (-6) × (-49) 2) 10 × 6 8) (-47) × 8 3) (-5) × 3 9) (-12) × 35 4) 7 × (-9) 10) (-75) × (-16) 5) (-4) × (-6) Learn Education2. (**) จงหาผลลัพธ์ในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้ 1) (5 × 3) × (-2) 2) 5 × [3 × (-2)] 3) [(-4) × (-1)] × (-6) 4) (-4) × [(-1) × (-6)] 5) [(-5) × 6] × 3 3. (***) จงหาจำ�นวนเตม็ ท่แี ทน a แลว้ ทำ�ใหไ้ ดป้ ระโยคทเี่ ปน็ จรงิ 1) a × 6 = 24 5) a × (-2) = -24 2) (-5) × a = 40 6) a × 7 = 63 3) a × (-3) = -12 7) (-10) × a = 90 4) 9 × a = -63 8) 8 × a = -64 30

5. การหารจำ�นวนเต็ม สำ�หรบั การหารจำ�นวนเตม็ นน้ั แบง่ ออกเปน็ การหารลงตวั และการหารไมล่ งตวั แตส่ ำ�หรบั บทเรยี นน้ี นกั เรียนจะไดเ้ รียนเฉพาะการหารลงตัวเทา่ น้ัน ผลลพั ธท์ ี่ไดจ้ ะมีเศษเปน็ 0 หรือไม่มีเศษ ในระดบั ชน้ั ประถมศกึ ษานกั เรยี นไดเ้ รยี นรเู้ กย่ี วกบั การหารจำ�นวนเตม็ บวกมาแลว้ ดงั น้ี ตวั ตง้ั ÷ ตวั หาร = ผลหาร นกั เรยี นสามารถนำ�หลกั การคณู มาใชใ้ นการหาผลหารไดด้ งั น้ี ตวั ตง้ั = ตวั หาร × ผลหาร นน่ั คอื เมอ่ื a, b และ c แทนจำ�นวนเตม็ ใดๆ โดยท่ี b ไมเ่ ปน็ ศนู ย์ ถา้ a ÷ b = c แลว้ a = b × c และ Learn Education ถา้ a = b × c แลว้ a ÷ b = c จากความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งการคณู และการหารขา้ งตน้ การหารจำ�นวนเตม็ สามารถแบง่ ได้ 4 กรณี ดงั น้ี กรณที ่ี 1 การหารจำ�นวนเต็มบวกดว้ ยจำ�นวนเตม็ บวก พจิ ารณาการหาผลหารของ 35 ÷ 5 ทำ�ไดโ้ ดยการหาจำ�นวนเต็มทีค่ ณู กับ 5 แลว้ ได้ 35 เนอื่ งจาก 5 × 7 = 35 จำ�นวนเต็มทค่ี ูณกบั 5 แล้วได้ 35 คือ 7 ดงั น้นั 35 ÷ 5 = 7 กรณที ่ี 2 การหารจำ�นวนเตม็ บวกด้วยจำ�นวนเต็มลบ พิจารณาการหาผลหารของ 35 ÷ (-5) ทำ�ได้โดยการหาจำ�นวนเต็มที่คูณกับ -5 แลว้ ได้ 35 เนอ่ื งจาก (-5) × (-7) = 35 จำ�นวนเต็มทค่ี ณู กบั -5 แลว้ ได้ 35 คือ -7 ดงั น้นั 35 ÷ (-5) = -7 กรณที ่ี 3 การหารจำ�นวนเต็มลบด้วยจำ�นวนเตม็ บวก พจิ ารณาการหาผลหารของ (-35) ÷ 5 ทำ�ไดโ้ ดยการหาจำ�นวนเต็มที่คณู กับ 5 แล้วได้ -35 เนื่องจาก 5 × (-7) = -35 จำ�นวนเต็มทคี่ ูณกบั 5 แลว้ ได้ -35 คือ -7 ดังน้ัน (-35) ÷ 5 = -7 31

Learn Education จ�ำ นวนตรรกยะ กรณที ่ี 4 การหารจำ�นวนเต็มลบดว้ ยจำ�นวนเตม็ ลบ พิจารณาการหาผลหารของ (-35) ÷ (-5) ทำ�ไดโ้ ดยการหาจำ�นวนเต็มทีค่ ูณกับ -5 แลว้ ได้ -35 เน่อื งจาก (-5) × 7 = (-35) จำ�นวนเตม็ ทค่ี ณู กับ -5 แลว้ ได้ -35 คอื 7 ดังนัน้ (-35) ÷ (-5) = 7 เนื่องจากการหารมคี วามสัมพันธก์ ับการคูณ และการหาผลคณู สามารถทำ�ได้โดยใช้คา่ สมั บรู ณ์ ดงั นน้ั การหาผลหารของจำ�นวนเต็มจงึ สามารถหาได้โดยใชค้ ่าสัมบูรณ์ดงั น้ี การหาผลหารของจำ�นวนเตม็ บวกกบั จำ�นวนเตม็ บวกและผลหารของจำ�นวนเตม็ ลบกบั จำ�นวนเตม็ ลบ ให้นำ�ค่าสมั บรู ณข์ องตัวต้ังหารดว้ ยคา่ สมั บูรณข์ องตวั หาร แลว้ ตอบเปน็ จำ�นวนเตม็ บวก เช่น 35 ÷ 5 = 7 (-35) ÷ (-5) = |-35| ÷ |-5| = 35 ÷ 5 = 7 การหาผลหารของจำ�นวนเตม็ บวกกับจำ�นวนเต็มลบ ใหน้ ำ�ค่าสมั บรู ณ์ของตัวตั้งหารดว้ ยค่าสมั บูรณ์ ของตัวหาร แล้วตอบเปน็ จำ�นวนเต็มลบ เช่น 35 ÷ (-5) = -(|35| ÷ |-5|) = -(35 ÷ 5) = -7 (-35) ÷ 5 = -(|-35| ÷ |5|) = -(35 ÷ 5) = -7 ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠การหารจำ� นวนเต็ม ให้นำ� ค่าสมั บรู ณ์ของตวั ตง้ั หารดว้ ยคา่ สัมบรู ณข์ องตัวหาร แล้วพจิ ารณาดังนี้ 1) ถา้ ทงั้ ตวั ตงั้ และตวั หารเปน็ จำ� นวนเตม็ บวกทง้ั คหู่ รอื จำ� นวนเตม็ ลบทงั้ คู่ ใหต้ อบผลหารเปน็ จำ� นวนเตม็ บวก 2) ถา้ ตวั ตง้ั หรอื ตวั หารตวั ใดตวั หนงึ่ เปน็ จำ� นวนเตม็ ลบและอกี ตวั หนงึ่ เปน็ จำ� นวนเตม็ บวก ใหต้ อบผลหารเปน็ จำ� นวนเตม็ ลบ 32

ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปน้ี 1) 18 ÷ 3 2) (-78) ÷ (-6) 3) (-56) ÷ 8 4) 45 ÷ (-9) วิธีท�ำ 1) 18 ÷ 3 = 6 ดังน้ัน 18 ÷ 3 = 6 ตอบ 2) (-78) ÷ (-6) = |-78| ÷ |-6| = 78 ÷ 6 = 13 ดังนั้น (-78) ÷ (-6) = 13 ตอบ 3) (-56) ÷ 8 = -(|-56| ÷ |8|) Learn Education = -(56 ÷ 8) = -7 ดังน้ัน (-56) ÷ 8 = -7 ตอบ 4) 45 ÷ (-9) = -(|45| ÷ |-9|) = -(45 ÷ 9) = -5 ดังน้ัน 45 ÷ (-9) = -5 ตอบ จงหาผลลัพธใ์ นแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน ้ี 1) 36 ÷ 4 2) (-55) ÷ (-11) 3) (-81) ÷ 3 4) 42 ÷ (-6) 33

จ�ำ นวนตรรกยะ แบบฝกึ หดั 5 1. (*) จงหาผลลพั ธ์ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี 6) (-700) ÷ 25 1) 21 ÷ 3 7) 330 ÷ (-22) 2) (-45) ÷ (-5) 8) (-485) ÷ 5 3) (-72) ÷ 6 9) (-576) ÷ (-8) 4) 17 ÷ (-17) 10) 737 ÷ (-11) 5) (-46) ÷ (-2) 2. (**) จงหาผลลัพธ์ในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้Learn Education 1) [63 ÷ (-3)] - (-19) 2) (-200) ÷ [(-5) × 4] 3) (-6) + [80 ÷ (-5)] 4) [144 ÷ (-8)] ÷ 2 5) 144 ÷ [(-8) ÷ 2] 3. (***) จงหาจ�ำนวนเตม็ ที่แทน d แล้วทำ� ใหไ้ ด้ประโยคทีเ่ ปน็ จริง 1) 48 ÷ d = 6 6) 24 ÷ d = -6 2) d ÷ 2 = -3 7) (-32) ÷ d = 8 3) d ÷ (-9) = 4 8) d ÷ 7 = -5 4) d ÷ (-3) = -5 9) d ÷ (-4) = 40 5) (-16) ÷ d = -2 10) (-48) ÷ d = 8 34

6. สมบตั ขิ องจำ�นวนเตม็ สมบตั ขิ องจำ�นวนเตม็ ถอื เปน็ อกี หนง่ึ พน้ื ฐานทส่ี ำ�คญั สำ�หรบั การคำ�นวณจำ�นวนเตม็ เพราะจะทำ�ให้ คดิ คำ�นวณไดส้ ะดวกและรวดเรว็ ข้ึน 6.1 สมบตั ิของหนึ่งและศูนย์ 1) สมบัติของหน่ึง การคณู จำ�นวนเตม็ ใดๆ ดว้ ยหนง่ึ หรอื การคณู หนง่ึ ดว้ ยจำ�นวนเตม็ ใดๆ จะไดผ้ ลลพั ธเ์ ทา่ กบั จำ�นวนนน้ั เสมอ เช่น 38 × 1 = 1 × 38 = 38 1 × (-53) = (-53) × 1 = -53 การหารจำ�นวนเตม็ ใดๆ ด้วยหนง่ึ จะได้ผลลัพธ์เทา่ กบั จำ�นวนนั้นเสมอ เชน่ Learn Education 17 ÷ 1 = 17 (-93) ÷ 1 = -93 2) สมบัติของศนู ย์ การบวกจำ�นวนเตม็ ใดๆ ดว้ ยศนู ยห์ รอื การบวกศนู ยด์ ว้ ยจำ�นวนเตม็ ใดๆ จะไดผ้ ลลพั ธเ์ ทา่ กบั จำ�นวนนน้ั เสมอ เช่น 9 + 0 = 0 + 9 = 9 (-3) + 0 = 0 + (-3) = -3 การลบจำ�นวนเตม็ ใดๆ ด้วยศูนยจ์ ะได้ผลลัพธ์เท่ากับจำ�นวนนน้ั เสมอ เช่น 18 - 0 = 18 (-23) - 0 = -23 การคูณจำ�นวนเต็มใดๆด้วยศูนย์หรือการคูณศูนย์ด้วยจำ�นวนเต็มใดๆจะได้ผลลัพธ์เท่ากับศูนย์ เสมอ เช่น 15 × 0 = 0 × 15 = 0 (-54) × 0 = 0 × (-54) = 0 การหารศูนย์ด้วยจำ�นวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ จะได้ผลลัพธ์เท่ากับศนู ย์เสมอ เชน่ 0 ÷ 5 = 0 0 ÷ (-98) = 0 ถา้ ผลคณู ของจำ�นวนเตม็ สองจำ�นวนใดๆ เทา่ กบั ศนู ย์ แสดงวา่ ตอ้ งมจี ำ�นวนเตม็ อยา่ งนอ้ ย หนง่ึ จำ�นวนทเ่ี ปน็ ศนู ย์ เชน่ a และ b เปน็ จำ�นวนเตม็ ใดๆ a × b = 0 แสดงวา่ a หรอื b มคี า่ เทา่ กับ 0 35

จ�ำ นวนตรรกยะ ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠เมอ่ื a, b เป็นจ�ำนวนเตม็ ใดๆ สมบตั ขิ องหนึ่ง a × 1 = 1 × a = a a÷1=a สมบตั ขิ องศนู ย์ a + 0 = 0 + a = a a-0=a a×0=0×a=0 0 ÷ a = 0 (a ไมเ่ ทา่ กบั 0) ถา้ a × b = 0 แล้ว a = 0 หรอื b = 0 ตัวอย่างท่ี 1 จงหาจ�ำนวนเตม็ ท่แี ทนLearn Educationแล้วทำ� ใหไ้ ด้ประโยคท่ีเปน็ จรงิ 1) 96 × 1 = 5) 564,135,146 × = 0 2) (-971) ÷ 1 = 6) 0 ÷ 124 = 3) + 0 = 642 7) ถ้า a × b = 0 และ b = 98 แล้ว a = 4) (-6,843) - = -6,843 ตอบ 1) เน่ืองจากการคูณจำ� นวนเต็มใดๆ ดว้ ยหน่งึ จะไดผ้ ลลพั ธ์เท่ากับจำ� นวนนัน้ เสมอ จะได้ว่า จ�ำนวนเตม็ ทแ่ี ทน คือ 96 นั่นคือ 96 × 1 = 96 2) เนื่องจากการหารจำ� นวนเตม็ ใดๆ ด้วยหนึ่งจะไดผ้ ลลัพธ์เท่ากบั จำ� นวนนัน้ เสมอ จะได้วา่ จ�ำนวนเตม็ ทแ่ี ทน คอื -971 น่ันคอื (-971) ÷ 1 = -971 3) เนื่องจากการบวกจำ� นวนเต็มใดๆ ด้วยศูนยจ์ ะได้ผลลัพธ์เทา่ กบั จำ� นวนนัน้ เสมอ จะไดว้ า่ จ�ำนวนเตม็ ท่ีแทน คอื 642 นนั่ คอื 642 + 0 = 642 4) เนื่องจากการลบจ�ำนวนเตม็ ใดๆ ด้วยศนู ย์จะไดผ้ ลลพั ธ์เท่ากับจ�ำนวนนั้นเสมอ จะได้ว่า จ�ำนวนเตม็ ทแ่ี ทน คือ 0 น่นั คือ (-6,843) - 0 = -6,843 5) เนื่องจากการคณู จำ� นวนเตม็ ใดๆ ดว้ ยศนู ยจ์ ะไดผ้ ลลพั ธ์เท่ากบั ศนู ยเ์ สมอ จะไดว้ ่า จ�ำนวนเต็มที่แทน คอื 0 นน่ั คอื 564,135,146 × 0 = 0 6) เน่ืองจากการหารศนู ยด์ ้วยจำ� นวนเต็มใดๆ ทไี่ ม่ใชศ่ ูนยจ์ ะได้ผลลัพธ์เท่ากับศูนยเ์ สมอ จะได้วา่ จ�ำนวนเต็มท่แี ทน คอื 0 นั่นคือ 0 ÷ 124 = 0 7) เนื่องจาก ถา้ ผลคณู ของจำ� นวนเตม็ สองจำ� นวนใดๆ เทา่ กบั ศนู ย์ แสดงวา่ ตอ้ งมจี ำ� นวนเตม็ อยา่ งนอ้ ยหนง่ึ จำ� นวนทเ่ี ปน็ ศนู ย์ จาก a × b = 0 และ b = 98 แสดงว่า a = 0 จะไดว้ ่า จ�ำนวนเตม็ ทแ่ี ทน คือ 0 นน่ั คือ ถ้า a × b = 0 และ b = 98 แล้ว a = 0 36

จงหาจำ� นวนเตม็ ที่แทน แล้วทำ� ให้ไดป้ ระโยคท่เี ป็นจรงิ 1) 59 × = 59 5) 9,736,435 × = 0 2) ÷ 1 = -98 6) ÷ 691 = 0 3) + 0 = 349 7) ถ้า a × b = 0 และ a = 85 แลว้ b = 4) (-9,413) - = -9,413 Learn Education นักเรียนเคยสงสัยกันหรือไม่ว่าทำ�ไมเมื่อกล่าวถึงการหารจะต้องมีประโยคท้ิงทา้ ยว่า “ตวั หารไม่เท่ากับ 0” ใหพ้ จิ ารณาแยกเป็น 2 กรณี 1) ตัวต้งั ไมเ่ ปน็ 0 แต่ตัวหารเป็น 0 พจิ ารณาการหาผลหารของ 8 ÷ 0 กำ�หนดให้ a เป็นจำ�นวนใดๆ ซึ่ง 8 ÷ 0 = a เขยี นในรปู การคูณไดเ้ ป็น a × 0 = 8 เนื่องจากการคูณจำ�นวนใดๆ ด้วย 0 จะได้ผลคูณเท่ากับ 0 จะได้วา่ ไม่มจี ำ�นวนใดๆ แทน a แลว้ ทำ�ให้ a × 0 = 8 2) ตวั ตง้ั และตวั หารเป็น 0 พิจารณาการหาผลหารของ 0 ÷ 0 กำ�หนดให้ b เปน็ จำ�นวนใดๆ ซึ่ง 0 ÷ 0 = b เขียนในรูปการคณู ไดเ้ ปน็ b × 0 = 0 เน่ืองจากการคูณจำ�นวนใดๆ ด้วย 0 จะได้ผลคูณเท่ากับ 0 จะไดว้ า่ จำ�นวนทกุ จำ�นวนแทน b แลว้ ทำ�ให้ b × 0 = 0 ทำ�ใหไ้ มส่ ามารถหาคา่ b ทแ่ี นน่ อนได้ จากทั้ง 2 กรณี การหารจำ�นวนใดๆ ด้วย 0 จะไม่สามารถหาผลหารเป็นจำ�นวนใดเพยี งจำ�นวนเดียวได้ ในทางคณิตศาสตรจ์ งึ ไมใ่ ช้ 0 เป็นตวั หาร น่นั คือ ถา้ a แทนจำ�นวนใดๆ แลว้ a ÷ 0 ไม่มีความหมายทางคณติ ศาสตร์ 37

จำ�นวนตรรกยะ แบบฝกึ หดั 6.1 1. (*) จงหาผลลพั ธใ์ นแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี 7) 0 × 54 1) 35 × 1 8) (-97) × 0 2) 1 × (-12) 9) 0 ÷ (-35) 3) 9 ÷ 1 10) 0 + 0 4) 0 + (-26) 11) 0 - 0 5) (-88) + 0 12) 0 × 0 6) (-7) - 0 Learn Education 2. (*) กำ�หนดให้ a และ b เป็นจำ�นวนใดๆ ซึ่ง a × b = 0 1) จงหาค่าของ a เมอ่ื b = 10 2) จงหาค่าของ b เมือ่ a เปน็ จำ�นวนเตม็ บวก 3. (**) จงหาจำ�นวนเต็มท่แี ทน แล้วทำ�ให้ไดป้ ระโยคที่เปน็ จรงิ 1) 785 × = 785 2) (-48) × 0 = 3) 0 + (-22) = 4) × (-1,548) = 0 5) 0 + = 1,698 6) (-4,701) × = 0 7) 1,487,541 × = 1,487,541 8) 8,048 ÷ = 8,048 9) (-3,548) + = (-3,548) 4. (***) จงหาผลลพั ธ์ในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี 1) [7,547 + (-1,254)] × (-1) 2) [(-5,000) - (-2,470)] × 1 3) 0 × [4,890 + (-1,514)] 4) [(-2,360) - (-6,400)] × 0 38

Learn Education 6.2 สมบัตกิ ารบวกและการคณู จำ�นวนเตม็ สำ�หรบั บทเรยี นนจ้ี ะกลา่ วถงึ สมบตั บิ างประการซง่ึ นกั เรยี นเคยเรยี นมาแลว้ แตไ่ มไ่ ดเ้ รยี กวา่ สมบตั กิ ารบวก และการคณู 1) สมบตั ิการสลับท่ี พจิ ารณาการหาผลลัพธ์ของ 8 + 7 และ 7 + 8 จะเหน็ วา่ 8 + 7 = 15 = 7 + 8 ซง่ึ เปน็ ไปตามสมบตั กิ ารสลบั ทส่ี ำ�หรบั การบวก ทน่ี กั เรยี น ไดเ้ รยี นไปแล้วในระดับประถมศกึ ษา พจิ ารณาการหาผลลัพธข์ อง (-10) + 3 และ 3 + (-10) (-10) + 3 = -(10 - 3) = -7 และ 3 + (-10) = -(10 - 3) = -7 จะเห็นว่า (-10) + 3 = -7 = 3 + (-10) โดยทว่ั ไป จำ�นวนเตม็ มสี มบตั กิ ารสลบั ทส่ี ำ�หรบั การบวกเชน่ เดยี วกับจำ�นวนนบั ดงั น้ี ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠สมบตั กิ ารสลบั ที่ส�ำหรบั การบวก เม่อื a และ b เป็นจำ� นวนเตม็ ใดๆ a+b=b+a พิจารณาการหาผลลพั ธข์ อง 5 × 6 และ 6 × 5 จะเห็นว่า 5 × 6 = 30 = 6 × 5 ซึ่งเปน็ ไปตามสมบตั กิ ารสลับทสี่ ำ�หรบั การคูณ ท่ีนกั เรยี น ได้เรียนไปแล้วในระดับประถมศึกษา พิจารณาการหาผลลพั ธ์ของ 5 × (-4) และ (-4) × 5 5 × (-4) = -(|5| × |-4|) = -(5 × 4) = -20 และ (-4) × 5 = -(|-4| × |5|) = -(4 × 5) = -20 จะเหน็ ว่า 5 × (-4) = -20 = (-4) × 5 โดยท่ัวไป จำ�นวนเต็มมสี มบัติการสลบั ทสี่ ำ�หรับการคณู เชน่ เดยี วกับจำ�นวนนบั ดงั น้ี ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠สมบัตกิ ารสลบั ทีส่ �ำหรับการคูณ เมื่อ a และ b เป็นจ�ำนวนเต็มใดๆ a×b=b×a 39

จำ�นวนตรรกยะ 2) สมบัติการเปล่ยี นหมู่ พิจารณาการหาผลลัพธข์ อง (9 + 16) + 4 และ 9 + (16 + 4) (9 + 16) + 4 = 25 + 4 = 29 และ 9 + (16 + 4) = 9 + 20 = 29 จะเหน็ วา่ (9 + 16) + 4 = 29 = 9 + (16 + 4) ซง่ึ เปน็ ไปตามสมบตั กิ ารเปลย่ี นหมสู่ ำ�หรบั การบวก ทีน่ ักเรียนไดเ้ รียนไปแลว้ ในระดับประถมศกึ ษา พจิ ารณาการหาผลลพั ธข์ อง [8 + (-3)] + (-2) และ 8 + [(-3) + (-2)] [8 + (-3)] + (-2) = 5 + (-2) Learn Education = 3 และ 8 + [(-3) + (-2)] = 8 + (-5) = 3 จะเหน็ ว่า [8 + (-3)] + (-2) = 3 = 8 + [(-3) + (-2)] โดยทว่ั ไป จำ�นวนเตม็ มสี มบตั กิ ารเปลย่ี นหมสู่ ำ�หรบั การบวกเชน่ เดยี วกับจำ�นวนนบั ดงั น้ี ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠สมบตั ิการเปล่ยี นหมสู่ ำ� หรับการบวก เม่ือ a, b และ c เปน็ จ�ำนวนเตม็ ใดๆ (a + b) + c = a + (b + c) พจิ ารณาการหาผลลัพธ์ของ (8 × 4) × 5 และ 8 × (4 × 5) (8 × 4) × 5 = 32 × 5 = 160 และ 8 × (4 × 5) = 8 × 20 = 160 จะเหน็ วา่ (8 × 4) × 5 = 160 = 8 × (4 × 5) ซง่ึ เปน็ ไปตามสมบตั กิ ารเปลย่ี นหมสู่ ำ�หรบั การคณู ทีน่ ักเรยี นไดเ้ รยี นไปแลว้ ในระดับประถมศกึ ษา 40

พิจารณาการหาผลลัพธ์ของ [3 × (-2)] × (-5) และ 3 × [(-2) × (-5)] [3 × (-2)] × (-5) = (-6) × (-5) = 30 และ 3 × [(-2) × (-5)] = 3 × 10 = 30 จะเหน็ วา่ [3 × (-2)] × (-5) = 30 = 3 × [(-2) × (-5)] โดยทว่ั ไป จำ�นวนเตม็ มสี มบตั กิ ารเปลย่ี นหมสู่ ำ�หรบั การคณู เชน่ เดยี วกับจำ�นวนนบั ดังน้ี ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠สมบตั กิ ารเปลย่ี นหมสู่ �ำหรบั การคณู เมอื่ a, b และ c เป็นจำ� นวนเตม็ ใดๆ (a × b) × c = a × (b × c) Learn Education ตัวอย่างที่ 2 จงพิจารณาวา่ ประโยคสญั ลกั ษณ์ในแตล่ ะข้อต่อไปนแี้ สดงสมบัติใด 1) 7 + (-4) = (-4) + 7 2) 8 × (-11) = (-11) × 8 3) (-5) + [12 + (-4)] = [(-5) + 12] + (-4) 4) [18 × (-5)] × 10 = 18 × [(-5) × (10)] ตอบ 1) สมบัตกิ ารสลับท่สี ำ� หรับการบวก 2) สมบัตกิ ารสลับทีส่ ำ� หรบั การคณู 3) สมบัติการเปล่ยี นหม่สู ำ� หรับการบวก 4) สมบตั กิ ารเปลย่ี นหมสู่ ำ� หรับการคูณ จงพจิ ารณาว่าประโยคสัญลกั ษณ์ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้แสดงสมบตั ใิ ด 1) 9 + (-2) = (-2) + 9 2) 32 + [4 + (-3)] = [32 + 4] + (-3) 3) 18 × (-7) = (-7) × 18 4) [(-14) × (-5)] × 6 = (-14) × [(-5) × 6] 41

จ�ำ นวนตรรกยะ 3) สมบตั ิการแจกแจง พจิ ารณาการหาผลลพั ธข์ อง 5 × (6 + 8) และ (5 × 6) + (5 × 8) 5 × (6 + 8) = 5 × 14 = 70 และ (5 × 6) + (5 × 8) = 30 + 40 = 70 จะเหน็ วา่ 5 × (6 + 8) = 70 = (5 × 6) + (5 × 8) ซง่ึ เปน็ ไปตาม สมบตั กิ ารแจกแจง ทน่ี กั เรยี น ไดเ้ รียนไปแลว้ ในระดบั ประถมศกึ ษา พจิ ารณาการหาผลลัพธข์ อง (-4) × (6 + 9) และ [(-4) × 6] + [(-4) × 9] (-4) × (6 + 9) = (-4) × 15 = -60Learn Education และ [(-4) × 6] + [(-4) × 9] = (-24) + (-36) = -60 จะเหน็ ว่า (-4) × (6 + 9) = -60 = [(-4) × 6] + [(-4) × 9] โดยทว่ั ไป จำ�นวนเต็มมีสมบตั กิ ารแจกแจงเชน่ เดยี วกับจำ�นวนนับ ดงั นี้ ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠สมบัตกิ ารแจกแจง เมอื่ a, b และ c เปน็ จำ� นวนเตม็ ใดๆ a × (b + c) = (a × b) + (a × c) (b + c) × a = (b × a) + (c × a) เพ่ือใหเ้ หน็ ถึงประโยชน์ของสมบัติการแจกแจง ให้นกั เรยี นพิจารณาตัวอยา่ งต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลลัพธ์ของ 105 × 40 ใช้สมบัติการแจกแจง วิธีท�ำ ใช้วิธีการคูณแนวต้ัง 105 × 40 = (100 + 5) × 40 4 ,21004 0050+× = (100 × 40) + (5 × 40) = 4,000 + 200 = 4,200 4,200 ดังนั้น 105 × 40 = 4,200 ตอบ 42

จงหาผลลพั ธข์ อง 107 × 50 เน่อื งจากการลบเขยี นอยูใ่ นรูปการบวกได้ แต่เป็นการบวกด้วยจำ�นวนตรงข้ามของตัวลบ ดังนั้นนักเรียนสามารถใช้ สมบัติการแจกแจงได้ เชน่ เมอ่ื A, B และ C เป็นจำ�นวนเตม็ ใดๆ (A - B) × C = (A × C) - (B × C) A × (B - C) = (A × B) - (A × C) Learn Education ตัวอย่างท่ี 4 จงหาผลลัพธ์ของ (96 × 65) - (96 × 55) ตอบ วิธีท�ำ ใช้สมบัติการแจกแจง (96 × 65) - (96 × 55) = 96 × (65 - 55) = 96 × 10 = 960 ดังน้ัน (96 × 65) - (96 × 35) = 960 จงหาผลลพั ธ์ของ (72 × 84) - (72 × 64) 43

จ�ำ นวนตรรกยะ หลังจากที่นักเรยี นได้ทราบพื้นฐานสำ�คัญต่างๆ ของจำ�นวนเต็มแล้ว การท่จี ะนำ�ความรไู้ ปใช้ได ้ อยา่ งคล่องแคลว่ นัน้ จะต้องหมัน่ ฝกึ ฝนจนชำ�นาญจากตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 5 จงหาผลลัพธ์ของ {[(-3) - (-5)] × (-4)} ÷ 4 วิธีท�ำ {[(-3) - (-5)] × (-4)} ÷ 4 = {[(-3) + 5] × (-4)} ÷ 4 = [2 × (-4)] ÷ 4 = (-8) ÷ 4 = -2 ดังน้ัน {[(-3) - (-5)] × (-4)} ÷ 4 = -2 ตอบ Learn Educationจงหาผลลัพธ์ของ {[(-9) - (-8)] + 15} ÷ (-7) ตัวอย่างที่ 6 จงหาผลลัพธ์ของ (x × y) ÷ (x - z) เมื่อ x = -2, y = 3, z = -4 วิธีท�ำ (x × y) ÷ (x - z) = [(-2) × 3] ÷ [(-2) - (-4)] = (-6) ÷ [(-2) + 4] = (-6) ÷ 2 = -3 ตอบ ดังนั้น (x × y) ÷ (x - z) = -3 จงหาผลลัพธ์ของ (a + b) - (c × d) เมอ่ื a = -2, b = -5, c = 1, d = -3 44

แบบฝกึ หดั 6.2 1. (*) จงพจิ ารณาว่าแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนใ้ี ชส้ มบัตใิ ด 1) (-62) + (-45) = (-45) + (-62) 2) 54 + [(-78) + 45] = [54 + (-78)] + 45 3) 48 × (-22) = (-22) × 48 4) [(-145) × (-40)] × 148 = (-145) × [(-40) × 148] 5) 780 + [34 + (-341)] = [780 + 34] + (-341) 6) 43 × (48 + G) = (43 × 48) + (43 × G) 7) K + [(-74) + (-25)] = [K + (-74)] + (-25) 8) (-41) × [99 × (-78)] = [(-41) × 99] × (-78) 9) [(-46) × A] × (-16) = (-46) × [A × (-16)] 10) (-81) × (-12) = (-12) × (-81) 11) (-178) + (-525) = (-525) + (-178) 12) (15 × 81) + (15 × 29) = 15 × (81 + 29) Learn Education 2. (*) จงหาจำ�นวนเต็มที่แทน a แลว้ ทำ�ให้ได้ประโยคทเ่ี ป็นจรงิ 1) 5 + a = (-7) + 5 5) a × [2 + (-11)] = (7 × 2) + [7 × (-11)] 2) a × (-8) = (-8) × 3 6) (4 × a) + [4 × (-2)] = 4 × [30 + (-2)] 3) [23 + (-9)] + (-4) = 23 + [a + (-4)] 7) (a × 13) + (a × 27) = (-9) × (13 + 27) 4) (-20) × [a × (-5)] = [(-20) × 6] × (-5) 8) (6 × 100) - (6 × 5) = a × (100 - 5) 3. (**) จงหาค่าของ a - [b × (-c)] ด้วยจำ�นวนทีก่ ำ�หนดให้ต่อไปน้ี 1) ให้ a = 220, b = -42, c = 8 2) ให้ a = 98, b = 24, c = 5 3) ให้ a = -150, b = 55, c = 10 4. (***) จงหาผลลพั ธ์ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี โดยใช้สมบัตกิ ารแจกแจง 1) 104 × 15 2) (58 × 84) - (58 × 44) 3) (30 × 49) + (30 × 71) 45

จำ�นวนตรรกยะ 7. ทศนยิ ม ทศนยิ มไดถ้ ูกนำ� มาใช้อยา่ งมากมายในชวี ิตประจ�ำวันของทุกคน เชน่ ป้ายราคานำ้� มนั ระบุวา่ น้�ำมนั ดเี ซล ราคาลิตรละ 27.34 บาท ณ วันท่ี 28 มีนาคม พ.ศ. 2561 สถติ โิ ลกวง่ิ ผลดั ชาย 4 × 100 เมตร ในการแขง่ ขนั กฬี าโอลมิ ปกิ ณ กรงุ ลอนดอน เมอ่ื ปี พ.ศ. 2555 บนั ทึกเวลาได้ 36.84 วนิ าที Learn Educationรูปท่ี 6 จำ�นวนทศนิยมทปี่ รากฏในชวี ิตประจำ�วนั [4] การอ่านทศนิยม สามารถอ่านได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 12.34 อ่านว่า สิบสองจุดสามสี่ 0.5472 อ่านว่า ศูนย์จุดห้าสี่เจ็ดสอง -6.03 อ่านว่า ลบหกจุดศูนย์สาม นักเรียนได้เรียนเรื่องความสัมพันธ์ระหว่างเศษส่วนและทศนิยมมาแล้วในระดับชั้นประถมศึกษา กล่าวคือ เศษส่วนที่ตัวส่วนเป็น 10, 100, 1,000, ... สามารถเขียนเป็นทศนิยมได้ เช่น 11112100,7010 010 เขียนเป็นทศนิยม 0.1 เขียนเป็นทศนิยม 0.27 เขียนเป็นทศนิยม 0.111 นอกจากนี้เศษส่วนที่เป็นจำ�นวนลบก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปทศนิยมได้เช่นเดียวกัน เช่น 1111720,09010 03 0 - เขียนเป็นทศนิยม -0.7 - เขียนเป็นทศนิยม -0.19 - เขียนเป็นทศนิยม -0.213 ในทางกลับกัน เราสามารถเขียนทศนิยมให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ เช่น -11321003,010300 0.3 เขียนเป็นเศษส่วน 0.23 เขียนเป็นเศษส่วน -0.013 เขียนเป็นเศษส่วน 46

นกั เรยี นทราบคา่ ประจำ�หลกั ของจำ�นวนเตม็ และการเขยี นทศนยิ มใหอ้ ยใู่ นรปู เศษสว่ นมาแลว้ เพอ่ื ให้ เชื่อมโยงกับค่าประจำ�หลักของทศนิยม ให้นักเรียนพิจารณาตารางแสดงความสัมพันธ์ของค่าประจำ�หลัก ต่อไปนี้ ตารางท่ี 1 คา่ ประจำ�หลักของจำ�นวนเต็มและทศนยิ ม คา่ ประจำ�หลัก จำ�นวนเต็ม ทศนยิ ม โนต้ เสียง ... หลกั รอ้ ย หลกั สบิ หลกั หนว่ ย หลักสว่ นสบิ หลักส่วนร้อย หลักสว่ นพนั ... Learn Education เศษสว่ น ... 100 10 1 110 1010 1,0100 ... ทศนยิ ม ... 100 10 1 0.1 0.01 0.001 ... จากตารางข้างตน้ สามารถใช้ความสัมพนั ธ์ของค่าประจำ�หลักในการเปลี่ยนเศษส่วนใหอ้ ยู่ในรูปของ ทศนยิ ม หรอื เปลี่ยนทศนยิ มให้อยใู่ นรปู ของเศษส่วนได้ ดังตวั อย่างตอ่ ไปนี้ ตัวอยา่ งที่ 1 จงเขียนจำ�นวนต่อไปนี้ในรปู กระจาย 1) 29.65 2) 0.568 วธิ ที ำ� 1) 29.65 = (2 # 11)0)++`5(9##1110)j++``66##111001j0+j `5 # 1#0110,0j100 m ตอบ 2) 0.568 = (0 # + c8 จงเขียน 902.58 ให้อย่ใู นรูปกระจาย 47

จ�ำ นวนตรรกยะ ตวั อย่างที่ 2 จงเขยี น (3 × 100) + (8 × 1) + `7 # 1010 j + c3 # 1, 0100 m ให้อยู่ในรูปทศนิยม วธิ ที ำ� (3 × 100) + (8 × 1) + `7 # 1010 j c3 # 1,0100 m + = 300 + 8 + 0.07 + 0.003 = 308.073 ตอบ จงเขียน (8 × 105)Learn Education+(8×103)+(1× 1) + `2 # 1 j + `6 # 1, 1 j ใหอ้ ย่ใู นรูปทศนยิ ม 100 000 48

แบบฝกึ หดั 7 1. (*) จงเขียนจำ�นวนต่อไปนใ้ี นรูปกระจาย 5) 102.202 1) 79.23 6) 150.033 2) 256.124 7) 6.004 3) 4,811.3901 8) 104.00 4) 1.85472 2. (*) จงเขยี นรปู กระจายตอ่ ไปนี้ในรูปทศนิยม Learn Education 1) (8 # 100) + (1 # 10) + (7 # 1) + b7 # 110l 110 j#+10`9,10#001l010 2) (2 1,000) + (5 # 100) + (2 # 10) + (5 # 1) + `6 # b9 3) (1 # 10) + b8 # 110l + b1 # 1010l + b6 # 1,0100l + j # 4) (5 # 1,000) + (8 # 1) + b6 # 110l 5) (8 # 1,000) + (1 # 100) + (7 # 10) + b7 # 110l 6) (7 # 1,000) + (9 # 100) + b5 # 110l 7) (6 # 1,000) + (7 # 100) + (1 # 10) + b4 # 110l + b2 # 1010l 49

จำ�นวนตรรกยะ 8. การเปรียบเทียบทศนิยม 8.1 การเปรยี บเทียบทศนิยมท่เี ปน็ จำ�นวนบวก เสน้ จำ�นวนสามารถนำ�มาใชเ้ ปรยี บเทยี บทศนยิ มเหมอื นการเปรยี บเทยี บจำ�นวนเตม็ ได้ โดยทศนยิ มท่ี อยทู่ างขวาจะมากกวา่ ทศนยิ มทอ่ี ยทู่ างซา้ ยเสมอ พิจารณาเสน้ จำ�นวนต่อไปนี้ จากเส้นจำ�นวนจะสามารถสรุปได้ว่า 2.5 > 0.5 3.5 > -1.5 -1.5 > -2 -0.5 > -2.5 โดยทว่ั ไป นกั เรยี นสามารถเปรยี บเทยี บทศนยิ มไดโ้ ดยการเปรยี บเทยี บคา่ ประจำ�หลกั จากซา้ ยไปขวา เหมอื นกบั การเปรยี บเทียบจำ�นวนเตม็ Learn Education ตัวอยา่ งที่ 1 จงเปรียบเทียบจำ�นวนต่อไปนี้ 1) 15.935 และ 16.253 2) 0.23 และ 0.209 วธิ ีทำ� 1) 1 5 . 9 3 5 พจิ ารณาคา่ ประจำ�หลกั ทลี ะคจู่ ากซา้ ยไปขวา 1 6 . 2 5 3 จนถึงหลกั หนว่ ย พบว่า 5 < 6 ดงั นั้น 15.935 < 16.253 ตอบ 2) 0 . 2 3 0 พจิ ารณาคา่ ประจำ�หลกั ทลี ะคจู่ ากซา้ ยไปขวา 0 . 2 0 9 ดงั นั้น 0.23 > 0.209 จนถงึ หลกั ส่วนรอ้ ย พบว่า 3 > 0 ตอบ 50