คณิตศาสตร์ ม.ต้น พค21001

95 สูตร ปริมำตรของทรงกลม = 4 r 3 3 เมื่อแทน r รัศมีของทรงกลม ตวั อยำ่ งที่ 7 จงหำปริมำตรและพ้ืนที่ผวิ ของลูกโลกพลำสติก ซ่ึงมีรัศมียำว 7 เซนติเมตร วธิ ีทำ พ้ืนที่ผวิ ทรงกลม = 4 r 2 = 4  22  7  7 7 = 616 ตำรำงเซนติเมตร ปริมำตรทรงกลม = 4 r 3 3 = 4  22  7  7  7 37 = 4,312 3 = 1,437.3 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร พ้ืนท่ีผวิ ของทรงกลม = 616 ตำรำงเซนติเมตร ปริมำตรของทรงกลม = 1,437.3 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร วิดีทัศน์ เรื่อง การหาปริมาตรและพืน้ ที่ผิว ของ พีระมิด กรวย และทรงกลม

96 เรื่องที่ 4 กำรเปรียบเทยี บหน่วยปริมำตร กำรตวง คือ กำรนำสิ่งทตี่ ้องกำรหำปริมำตรใส่ในภำชนะทใ่ี ช้สำหรับตวง หน่วยกำรตวงท่ีนิยมและใช้ กนั มำก คือ ลิตร 1 ลิตร = 1,000 มิลลิลิตร 1,000 ลิตร = 1 กิโลลิตร เม่ือเทยี บกบั หน่วยปริมำตร หน่วยกำรตวงในมำตรำไทย เป็ นหน่วยกำรตวงทน่ี ิยมใช้กันมำก คือ 1 ถงั = 20 ลิตร (ทะนำนหลวง) 1 เกวยี น = 100 ถงั 1 เกวยี น = 2 ลูกบำศกเ์ มตร 1 เกวยี น = 2,000 ลิตร 1 ลิตร = 1,000 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร 1 มิลลิลิตร = 1 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร 1 ลูกบำศกเ์ มตร = 1,000 ลิตร 1 ลูกบำศกเ์ มตร = 1,000,000 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร 1 แกลลอน = 4.546 ลิตร 1 ลูกบำศกน์ ิ้ว = 16.103235 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร 1 ลูกบำศกน์ ิ้ว = 0.0164 ลิตร 1 ลูกบำศกฟ์ ุต = 1.728 ลูกบำศกน์ ิ้ว 1 ลูกบำศกฟ์ ุต = 28.32 ลิตร 1 บำร์เรล = 158.98 ลิตร

97 ตวั อย่ำงท่ี 8 อำ่ งน้ำทรงส่ีเหล่ียมมุมฉำกใบหน่ึง กวำ้ ง 30 เซนติเมตร ยำว 50 เซนติเมตร และสูง 40 เซนติเมตร 1. อำ่ งใบน้ีจุน้ำก่ีลิตร 2. ถำ้ มีน้ำบรรจุเตม็ อ่ำง และน้ำ 1 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร หนกั 1 กรัม จงหำน้ำหนกั ของน้ำในอ่ำงใบน้ี วธิ ีทำ 1. ปริมำตรของอ่ำงน้ำ = ควำมกวำ้ ง  ควำมยำว  ควำมสูง แทนค่ำ ปริมำตรของอ่ำงน้ำ = 30  50  40 = 60,000 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร เม่ือเทยี บกบั หน่วยปริมำตร 1,000 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร = 1 ลิตร 60,000 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร  60,000 = 60 ลิตร 1,000 2. น้ำ 1 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร หนกั 1 กรัม น้ำ 60,000 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร หนกั 60,000 กรัม  60,000 = 60 กิโลกรัม 1,000 ตอบ 60 กิโลกรัม ตวั อย่ำงที่ 9 ถงั เกบ็ น้ำฝนทรงกระบอกเส้นผำ่ นศูนยก์ ลำงภำยใน 3 เมตร สูง 5 เมตร คิดเป็นปริมำตรของน้ำกี่ ลิตร วธิ ีทำ ปริมำตร = r2 h = 22 1.51.5 5 7 = 35.36 ลูกบำศกเ์ มตร = 35.36 × 1,000,000 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร = 35,360,000 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร เน่ืองจำก 1,000 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร = 1 ลิตร ดงั น้นั 35,360,000 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร = 35,360,000 = 35,360 ลิตร 1,000 วิดีทัศน์ เรื่อง การเปรียบเทียบความจุหรือหน่วยปริมาตร

98 เรื่องที่ 5 กำรแก้โจทย์ปัญหำเกย่ี วกบั ปริมำตรและพืน้ ทผ่ี วิ ตวั อย่ำงท่ี 10 ลงั กระดำษบรรจุกล่องซีดี วดั ควำมยำวภำยในไดก้ วำ้ ง 12 เซนติเมตร บรรจุ ยำว 14 เซนติเมตร และสูง 15 เซนติเมตร และบรรจุกล่องซีดีเตม็ ลงั พอดี ลงั กระดำษน้ีมีปริมำตรเท่ำไร และถำ้ หยบิ กล่องซีดีออกมำ 1 กล่อง ซ่ึงมี ปริมำตร 270 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร กล่องซีดีจะหนำเทำ่ ไร วธิ ีทำ ลงั กระดำษมีปริมำตร = พ้ืนที่ฐำน × สูง = (12 x 14) × 15 = 2, 520 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร กล่องซีดี 1 กล่อง มีปริมำตร = พ้ืนที่ฐำน × หนำ 270 = (12 x 15) × หนำ หนำ = 270 กล่องใส่ซีดีมีควำมหนำ = 12 15 1.5 เซนติเมตร ลงั กระดำษมีปริมำตร 2,520 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร ตวั อย่ำงที่ 11 น้ำขนั คร่ึงวงกลมรัศมี 3 นิ้ว ตกั น้ำใส่ถงั ทรงกระบอกที่มีรัศมี 10 นิ้ว และสูง 27 นิ้ว กี่คร้ังน้ำจึงจะ เตม็ ถงั วธิ ีทำ ปริมำตรน้ำ 1 ขนั = 1 ของปริมำตรของทรงกลม 2 = 1  4 r 3 23 = 1  4  333 23 = 18  ลูกบำศกน์ ิ้ว ปริมำตรถงั ทรงกระบอก = r 2 h =  10 2  27 = 2,700  ลูกบำศกน์ ิ้ว จะตอ้ งตกั น้ำ = 2,700 คร้ัง ตอบ = 18 150 คร้ัง 150 คร้ัง วิดที ัศน์ เร่ือง การแก้โจทย์ปัญหาเกีย่ วกับพืน้ ท่ีและปริมาตร

99 เรื่องท่ี 6 กำรคำดคะเนเกยี่ วกบั ปริมำตรและพืน้ ทผ่ี วิ กำรคำดคะเนพ้ืนที่ เป็นกำรประมำณพ้นื ที่อยำ่ งคร่ำวๆ จำกกำรมองโดยอำศยั ประสบกำรณ์และควำมรู้ เก่ียวกบั ขนำดและควำมยำวมำช่วยในกำรเปรียบเทียบและตดั สินใจ เพ่ือใหใ้ กลเ้ คียงกบั พ้ืนที่จริงมำกที่สุด หน่วย พ้นื ท่ีที่นิยมใช้ คือ ตำรำงเซนติเมตร(ซม.2 ) ตำรำงเมตร(ม.2) และตำรำงวำ(วำ2) กำรคำดคะเนพ้ืนที่ของรูปหลำยเหลี่ยม ตวั อยำ่ ง จงคะเนหำพ้ืนท่ีรูปหลำยเหลี่ยมตอ่ ไปน้ี

100 วธิ ีคิด ในบำงคร้ังกำรหำพ้ืนที่รูปหลำยเหล่ียมต่ำงๆ ท่ีไมไ่ ดร้ ะบุหน่วยควำมยำว เรำอำจจะใชว้ ธิ ีกำรสร้ำงหน่วย ตำรำง 1 หน่วย คลุมพ้ืนที่ดงั กล่ำว โดยกำหนด แทนพ้นื ที่ 1 หน่วย หรือ แทนพ้ืนที่ 1 ตำรำงเซนติเมตร หรือ แทนพ้นื ที่ 1 ตำรำงเมตร หรือ แทนพ้นื ท่ี 1 ตำรำงวำ จำกรูปภำพนบั รูป ได้ 22 รูป ซ่ึงแทนพ้นื ที่ 22 ตำรำงหน่วย ดงั น้นั พ้นื ท่ีรูปหลำยเหล่ียม = 22 ตำรำงหน่วย วิดีทัศน์ เรื่อง การคาดคะเนเก่ยี วกบั พืน้ ที่ผิวและปริมาตร

101 กจิ กรรมบทท่ี 6 แบบฝึ กหดั ที่ 1 จงหำพ้นื ท่ีผวิ และปริมำตรของปริซึมต่อไปน้ี แบบฝึ กหัดท่ี 2 1. จงหำปริมำตร และพ้นื ท่ีผวิ ท้งั หมดของทรงกระบอกสูง 10 เซนติเมตร มีเส้นผำ่ นศูนยก์ ลำง 14 เซนติเมตร ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................. 2. จงหำปริมำตรของทรงกระบอกใบหน่ึงที่มีรัศมีของฐำน 3.5 นิ้ว และสูง 5 นิ้ว ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................

102 แบบฝึ กหดั ที่ 3 1. จงหำปริมำตรและพ้ืนที่ผวิ ท้งั หมดของพีระมิดท่ีสูง 6 เซนติเมตร ฐำนเป็ นรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัส ยำวดำ้ นละ 16 เซนติเมตร ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... 2. จงหำพ้ืนท่ีผวิ เอียงของพีระมิดฐำนรูปหกเหล่ียมดำ้ นเท่ำ มุมเทำ่ ยำวดำ้ นละ 4 เซนติเมตร สูงเอียง 7.5 เซนติเมตร ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................

103 แบบฝึ กหดั ที่ 4 1. จงหำปริมำตร และพ้ืนที่ผวิ ท้งั หมดของกรวยกลมท่ีสูง 24 เซนติเมตร มีเส้นผำ่ นศูนยก์ ลำง 14 เซนติเมตร ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................. 2. จงหำปริมำตรและพ้ืนท่ีผวิ ท้งั หมดของกรวยกลมที่สูงเอียง 5 เซนติเมตร มีเส้นผำ่ นศูนยก์ ลำง 8 เซนติเมตร (ตอบในรูป ) ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... แบบฝึ กหดั ท่ี 5 1. จงหำปริมำตรและพ้ืนที่ผวิ ของทรงกลมซ่ึงมีเส้นผำ่ นศูนยก์ ลำง 14 เซนติเมตร ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... 2. ทรงกลมมีปริมำตร 38,808 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร จงหำรัศมีและพ้นื ที่ผวิ ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................

104 3. ทรงกลมมีพ้นื ท่ีผวิ 616 ตำรำงนิ้ว จงหำปริมำตรของทรงกลม ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... 4. โลหะกลมลูกหน่ึง รัศมีภำยนอก 21 เซนติเมตร รัศมีภำยใน 7 เซนติเมตร จงหำปริมำตรเน้ือโลหะ ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................

105 บทที่ 7 คู่อนั ดบั และกรำฟ สำระสำคญั คูอ่ นั ดบั เป็นกำรจบั คู่ระหวำ่ งสมำชิกสองตวั จำกกลุ่ม เพ่อื นำไปจดั ทำกรำฟบนระนำบพกิ ดั หำปริมำณ ควำมเก่ียวขอ้ งของปริมำณสองชุด ผลกำรเรียนรู้ทค่ี ำดหวงั 1. อธิบำยควำมหมำยคูอ่ นั ดบั ได้ 2. แปลควำมหมำยกรำฟบนระนำบพิกดั ฉำกที่กำหนดใหไ้ ด้ 3. เขียนกรำฟแสดงควำมเก่ียวขอ้ งของปริมำณสองชุดที่กำหนดใหไ้ ด้ ขอบข่ำยเนื้อหำ เร่ืองที่ 1 คูอ่ นั ดบั เร่ืองที่ 2 กรำฟของคูอ่ นั ดบั เร่ืองท่ี 3 กำรนำคู่อนั ดบั และกรำฟไปใช้

106 เรื่องที่ 1 คู่อนั ดบั (Ordered pairs) นิยำม คู่อนั ดบั คือ กำรแสดงถึงควำมสัมพนั ธ์ของกำรจบั คู่ระหวำ่ งสมำชิกของกลุ่มสองกลุ่ม ถำ้ a เป็น สมำชิกกลุ่มหนำ้ หรือกลุ่มท่ีหน่ึง และ b เป็นสมำชิกกลุ่มหลงั หรือกลุ่มท่ีสอง เขียนแทนดว้ ย สัญลกั ษณ์ (a, b) อำ่ นวำ่ “คู่อนั ดบั เอบี” ตำรำงแสดงจำนวนกำของผักคะน้ำกบั รำคำขำย จำนวนผกั คะน้ำ (กำ) รำคำขำย (บำท) 1 15 2 30 3 45 4 60 5 75 จำกตำรำงขำ้ งตน้ แสดงถึงควำมสมั พนั ธ์ระหวำ่ งปริมำณสองปริมำณ คือ จำนวนผกั คะนำ้ เป็นกำกบั รำคำ ขำยเป็นบำท ที่เป็นคู่กนั เรำสำมำรถเขียนแผนภำพแสดงกำรจบั คู่ระหวำ่ งปริมำณท้งั สองไดด้ งั น้ี ผกั คะนำ้ รำคำขำย (บำท) 1 15 2 30 3 45 4 60 5 75 a b เรำสำมำรถเขียนแสดงกำรจบั คู่ โดยใชส้ ยั ลกั ษณ์ (a, b) ไดด้ งั น้ี (1, 15) , (2, 30) , (3, 45) , (4,60) , (5, 75) จำกคู่อนั ดบั (2, 30) อ่ำนวำ่ “คู่อนั ดบั สอง – สำมสิบ” มี 2 เป็นสมำชิกกลุ่มหนำ้ หรือกลุ่มท่ีหน่ึง 30 เป็นสมำชิกกลุ่มหลงั หรือกลุ่มท่ีสอง ตวั อย่ำง ถำ้ (x, y) = (-1, 4) จงหำคำ่ 3x + 2y – 4 วธิ ีทำ 3x + 2y – 4 = 3(-1) + 2(4) – 4 = -3 + 8 – 4 =1 วิดีทัศน์ เร่ือง นิยามของคู่อันดบั

107 เร่ืองท่ี 2 กรำฟของคู่อนั ดับ (Graphing Ordered Pairs) กรำฟของคู่อนั ดบั เป็ นแผนภำพที่แสดงควำมสัมพนั ธ์ระหว่ำงสมำชิกของกลุ่มหน่ึงกลบั สมำชิกของอีก กลุ่มหน่ึงโดยใชเ้ ส้นจำนวนในแนวนอนหรือแนวต้งั ใหต้ ดั กนั เป็นมุมฉำก ท่ีตำแหน่งของจุดท่ีแทนศูนย์ (0) ซ่ึงเรำ เรียกวำ่ จุดกำเนิด ดงั ภำพ เส้นจำนวนในแนวนอน หรือแกน X และเส้นจำนวนในแนวต้งั หรือแกน Y อยบู่ นระนำบเดียวกนั และ แบ่งระนำบออกเป็ น 4 ส่วนเรียกวำ่ จตุภำค (Quadrant) กำรอ่ำนและแปลควำมหมำยกรำฟบนระนำบพกิ ดั ฉำกทก่ี ำหนดให้

108 ตำแหน่งของจุด A คือ (1, 2) ตำแหน่งของจุด B คือ (-2, 3) ตำแหน่งของจุด C คือ (-3, 2) ตำแหน่งของจุด D คือ (2, -4) เรียกจุดท่ีแทนตำแหน่งคู่อนั ดบั วำ่ กรำฟของคู่อนั ดบั และเรียกตำแหน่งของคู่อนั ดบั วำ่ พกิ ดั ตวั อยำ่ ง กำหนด A = (-4, 6), B = (3, -5), C = (2, 2), D = (-1, -2) จุด A, B, C, D อยใู่ นจุดภำคใด วธิ ีทำ จุด A = (-4,6) อยใู่ นจตุภำคที่ 2 จุด B = (3,-5) อยใู่ นจตุภำคท่ี 4 จุด C = (2,2) อยใู่ นจตุภำคที่ 1 จุด D = (-1,-2) อยใู่ นจตุภำคท่ี 3 วิดีทัศน์ เร่ือง การอ่านและแปลความหมายกราฟบนระนาบพิกดั ฉาก

109 เร่ืองท่ี 3 กำรนำคู่อนั ดับและกรำฟไปใช้ เรำสำมำรถนำคู่อนั ดบั และกรำฟไปใชใ้ นชีวติ ประจำวนั ได้ ซ่ึงจะกล่ำวในตวั อยำ่ งต่อไปน้ี ตัวอย่ำง กรำฟท่ีแสดงปริมำณน้ำมนั (ลิตร) และรำคำน้ำมนั (บำท) ของวนั ที่ 5 เดือนมีนำคม ปี 2552 ซ่ึงมีรำคำลิตรละ 19 บำท จำกกรำฟ จงตอบคำถำมตอ่ ไปน้ี (1) น้ำมนั 9 ลิตร รำคำเท่ำใด (2) เงิน 209 บำท ซ้ือน้ำมนั ไดก้ ี่ลิตร วธิ ีทำ (1) จำกตำแหน่งแสดงปริมำณน้ำมนั 9 ลิตร ลำกเส้นตรงใหข้ นำนกบั แกนต้งั ไป ตดั กรำฟและจำกจุดที่ตดั กรำฟลำกเส้นตรงขนำนแกนนอนไปตดั แกนที่แสดงรำคำน้ำมนั เป็นเงิน 171 บำท ดงั น้นั น้ำมนั 9 ลิตร เป็นรำคำ 171 บำท (2) จำกตำแหน่งแสดงรำคำน้ำมนั 209 ลิตร ลำกเส้นตรงใหข้ นำนกบั แกนนอนไปตดั กรำฟและจำกจุดที่ตดั กรำฟลำกเส้นตรงขนำนแกนต้งั ไปตดั ที่แกนแสดงจำนวนน้ำมนั เป็นปริมำณ 11 ลิตร ดงั น้นั เงิน 209 ลิตร จะซ้ือน้ำมนั ได้ 11 ลิตร วิดที ัศน์ เรื่อง การนาคู่อันดับและกราฟไปใช้

110 กจิ กรรมบทท่ี 7 แบบฝึ กหดั ท่ี 1 1. จงเขียนคู่อนั ดบั จำกแผนภำพที่กำหนดใหต้ ่อไปน้ี 1) ..................................................................................................................................................................... 2) ..................................................................................................................................................................... 3) .....................................................................................................................................................................

111 2. จงหำค่ำ x และ y จำกเง่ือนไขท่ีกำหนดใหใ้ นแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี 1). (x,y) = (4,3) …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………..……………………………………………………. 2). (x,y) = (y,2) …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………..……………………………………………………. 3). (x,0) = (6,y) …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………..……………………………………………………. 4). (x+1,y) = (5,4) …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………..…………………………………………………….

112 แบบฝึ กหดั ท่ี 2 1. จงหำพกิ ดั ของจุด A, B, C, D ในแตล่ ะขอ้ 1.1 …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………..……………………………………………………. 1.2 …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………..…………………………………………………….

113 2. จงเขียนกรำฟของคู่อนั ดบั ในแต่ละขอ้ 1). (1, 2), (-2, 4), (3, -6), (4, 0) 2). (5, -1), (2, 2), (-4, 3), (-2, 0)

114 แบบฝึ กหัดที่ 3 กรำฟขำ้ งล่ำงแสดงกำรเดินทำงของอนุวฒั น์และอนุพนั ธ์ 1. จงใชก้ รำฟท่ีกำหนดให้ตอบคำถำมต่อไปน้ี 1) อนุวฒั นอ์ อกเดินทำงก่อนอนุพนั ธ์กี่ชว่ั โมง 4) อนุวฒั น์ออกเดินทำงนำนเท่ำไรจึงจะหยดุ พกั ................................................................. ................................................................. 2) อนุพนั ธ์ใชเ้ วลำเดินทำงกี่ชว่ั โมงจึงทนั อนุวฒั น์ 5) ตำแหน่งที่อนุวฒั น์หยดุ พกั ห่ำงจำกตำแหน่งท่ี อนุพนั ธ์ออกเดินทำงกี่กิโลเมตร ................................................................. ................................................................. 3) อนุพนั ธ์เดินทำงทนั อนุวฒั นเ์ ม่ือท้งั สอง เดินทำงไดก้ ี่กิโลเมตร .................................................................

115 บทที่ 8 ควำมสัมพนั ธ์ระหว่ำงรูปเรขำคณติ สองมติ ิและสำมมติ ิ สำระสำคญั รูปเรขำคณิตสองมิติ และสำมมิติ มีควำมสมั พนั ธ์กนั เป็นอยำ่ งมำก เหมำะท่ีจะนำไปใชใ้ นกำรประดิษฐ์ เป็นรูปลูกบำศกแ์ ละใชป้ ระโยชน์ในชีวติ ประจำวนั ผลกำรเรียนรู้ทค่ี ำดหวงั 1. อธิบำยรูปเรขำคณิตสองมิติที่เกิดจำกกำรคลี่รูปเรขำคณิตสำมมิติจำกภำพสองมิติที่กำหนดใหไ้ ด้ 2. บอกภำพสองมิติที่ไดจ้ ำกกำรมองดำ้ นหนำ้ ดำ้ นขำ้ ง ดำ้ นบน ของรูปเรขำคณิตสำมมิติที่กำหนดให้ ได้ 3. บอกรูปเรขำคณิตสำมมิติท่ีไดจ้ ำกรูปเรขำคณิตสองมิติท่ีกำหนดใหไ้ ด้ ขอบข่ำยเนื้อหำ เรื่องที่ 1 ภำพของรูปเรขำคณิตสองมิติที่เกิดจำกกำรคล่ีรูปเรขำคณิตสำมมิติ เรื่องที่ 2 ภำพสองมิติที่ไดจ้ ำกกำรมองดำ้ นหนำ้ ดำ้ นขำ้ ง หรือดำ้ นบนของรูปเรขำคณิตสำมมิติ

116 เรื่องที่ 1 ภำพของรูปเรขำคณติ สองมติ ทิ เ่ี กดิ จำกำรคลร่ี ูปเรขำคณติ สำมมติ ิ รูปเรขำคณิตมีส่วนเก่ียวขอ้ งสัมพนั ธ์กบั ชีวติ ประจำวนั มนุษยต์ ้งั แต่อดีตจนถึงปัจจุบนั ส่ิงแวดลอ้ มต่ำง ๆ ท่ีอยูร่ อบตวั เรำลว้ นเป็ นไปดว้ ยวตั ถุรูปเรขำคณิต นอกจำกน้ีเรำใชเ้ รขำคณิตเพ่ือทำควำมเขำ้ ใจหรืออธิบำยส่ิงต่ำง ๆ รอบตวั เช่น กำรสำรวจพ้ืนที่ สร้ำงผงั เมือง เป็นตน้ ภำพของรูปเรขำคณติ รูปเรขำคณิต เป็นรูปที่ประกอบดว้ ย จุด ระนำบ เส้นตรง เส้นโคง้ ฯลฯ อยำ่ งนอ้ ยหน่ึงอยำ่ ง ตัวอย่ำงรูปเรขำคณติ สองมิติ เช่น รูปสำมเหล่ียม รูปส่ีเหล่ียม รูปหำ้ เหล่ียม รูปวงกลม เป็นตน้ ตวั อย่ำงรูปเรขำคณติ สำมมติ ิ เช่น ทรงกระบอก พีระมิด ทรงกลม กรวย เป็นตน้ จะเห็นวำ่ รูปเรขำคณิตสำมมิติ หรือทรงสำมมิติ มีส่วนประกอบของรูปเรขำคณิตหน่ึงมิติและสองมิติ

117 รูปคลขี่ องรูปเรขำคณติ สำมมิติ รูปคลี่ของรูปเรขำคณิตสำมมิติ หรือทรงสำมมิติใดๆ เป็นรูปเรขำคณิตสองมิติท่ีสำมำรถนำมำประกอบ กนั แลว้ ไดท้ รงสำมมิติ พจิ ำรณำทรงส่ีเหลี่ยมมุมฉำกท่ีมีควำมกวำ้ ง ควำมยำว และควำมสูง 1 หน่วย เท่ำกนั ซ่ึงเรำเรียกทรง ส่ีเหลี่ยมมุมฉำกน้ีวำ่ “ลูกบำศก”์ 1 1 11

รูปเรขำคณิตสำม 118 มิติ รูปคล่ี รูปเรขำคณิตสำม มิติ รูปคลี่ วิดที ัศน์ เร่ือง รูปคลข่ี องรูปเรขาคณิตสามมิติ

119 เรื่องท่ี 2 ภำพสองมติ ิทไ่ี ด้จำกกำรมองด้ำนหน้ำ ด้ำนข้ำง หรือด้ำนบนของรูปเรขำคณิตสำมมติ ิ กำรมองรูปเรขำคณิตสำมมิติในทิศทำงหรือแนวต้งั ฉำกกบั ดำ้ นหนำ้ ดำ้ นขำ้ ง และดำ้ นบน ตำมรูป กำรมองด้ำนบน กำรมอง กำรมอง ด้ำนหน้ำ ด้ำนข้ำง ภำพทไี่ ด้จำกกำรมองรูปเรขำคณติ สำมมิตทิ ำงด้ำนหน้ำ ทิศทำงกำรมองดำ้ นหนำ้ ภำพดำ้ นหนำ้ ภำพทไ่ี ด้จำกกำรมองรูปเรขำคณติ สำมมิติทำงด้ำนข้ำง ทิศทำงกำรมองดำ้ นขำ้ ง ภำพดำ้ นขำ้ ง

120 ภำพทไี่ ด้จำกกำรมองรูปเรขำคณติ สำมมติ ทิ ำงด้ำนบน ทิศทำงกำรมองดำ้ นบน ภำพดำ้ นบน จำกขอ้ มูลขำ้ งตน้ สำมำรถเขียนรูปเรขำคณิตสองมิติ ในกำรอธิบำยลกั ษณะของรูปเรขำคณิตสำมมิติ นิยม เขียน 3 ภำพ ซ่ึงประกอบดว้ ย ภำพที่ไดจ้ ำกกำรมองทำงดำ้ นหนำ้ ดำ้ นขำ้ ง ดำ้ นบน และเขียนภำพท้งั หมดภำยใน กรอบส่ีเหลี่ยม

121 ตวั อย่ำง จงแรเงำพร้อมท้งั เขียนรูปเรขำคณิตสองมิติส่วนท่ีเป็นดำ้ นบน ดำ้ นหนำ้ และดำ้ นขำ้ งของทรงสำมมิติท่ี กำหนดใหต้ ่อไปน้ี วธิ ีทำ

122 พิจำรณำรูปเรขำคณิตสำมมิติท่ีประกอบข้ึนจำกลูกบำศกต์ ่อไปน้ี จะเห็นวำ่ เม่ือเขียนรูปเรขำคณิตสองมิติ แสดงภำพที่ไดจ้ ำกกำรมองดำ้ นหนำ้ ดำ้ นขำ้ ง และดำ้ นบนดงั ภำพ จะเห็นวำ่ กำรเขียนรูปเรขำคณิตสองมิติ เพอ่ื แสดงรูปเรขำคณิตสำมมิติที่ประกอบข้ึนจำกลูกบำศก์ เรำ สำมำรถเขียนจำนวนลูกบำศกก์ ำกบั ไวใ้ นตำรำงรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสในดำ้ นที่มองท้งั สำมดำ้ นดงั ภำพต่อไปน้ี

123 ตวั อย่ำง จงเขียนภำพที่ไดจ้ ำกกำรมองทำงดำ้ นหนำ้ ดำ้ นขำ้ ง และดำ้ นบนของรูปสำมมิติท่ีกำหนดให้ พร้อมท้งั เขียนตวั เลขแสดงจำนวนลูกบำศกก์ ำกบั ไวใ้ นตำรำง เขียนแสดงภำพท้งั หมดไดด้ งั น้ี วิดีทัศน์ เร่ือง การมองภาพภาพสองมิติท่ีได้จากการมอง ด้านหน้า ด้านข้าง และด้านบนของรูปเรขาคณิตสามมิติ

124 กจิ กรรมบทที่ 8 แบบฝึ กหัดที่ 1 1. จงบอกชนิดของรูปเรขำคณิตสำมมิติที่มีรูปคลี่ดงั ต่อไปน้ี 1. ……..………………………...…. 2. ….………………………………. 3. …….…………………………….. 4. …..………………………………. 2. จงเขียนรูปคล่ีของรูปเรขำคณิตสำมมิติในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี

125 แบบฝึ กหัดที่ 2 จงเขียนภำพดำ้ นบน ดำ้ นหนำ้ และดำ้ นขำ้ งของรูปเรขำคณิตสำมมิติท่ีกำหนดให้

126 แบบฝึ กหดั ท่ี 3 จงจบั คู่ภำพดำ้ นหนำ้ ดำ้ นขำ้ ง และดำ้ นบน ในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ีกบั รูปเรขำคณิตสำมมิติที่กำหนดให้ ทำงขวำมือ โดยเลือกตวั อกั ษรท่ีกำกบั ไวใ้ นรูปเรขำคณิตสำมมิติ เขียนเติมลงในช่องวำ่ งบนขวำของแต่ละขอ้

127 บทที่ 9 สถติ ิ สำระสำคญั 1. ขอ้ มูลเบ้ืองตน้ ของสถิติ จะช่วยใหท้ รำบขอ้ เทจ็ จริงที่ชดั เจนถูกตอ้ ง ซ่ึงจะเป็ นประโยชน์ สำหรับกำร วำงแผนกำรดำเนินงำน และตดั สินใจปรับปรุงกำรดำเนินงำนตำมผลที่ไดน้ ำเสนอขอ้ มูลไว้ 2. กำรนำเสนอขอ้ มูล มีควำมมุ่งหมำยเพือ่ แสดงให้เห็นรำยละเอียดของขอ้ มูลไดง้ ่ำย ชดั เจน และรวดเร็ว สำมำรถนำขอ้ มูลไปใชป้ ระโยชน์ไดท้ นั ที ฉะน้นั กำรเลือกใชว้ ธิ ีกำรนำเสนอขอ้ มูลตอ้ งใหเ้ หมำะสมกบั ลกั ษณะ ของขอ้ มูลและกำรใชป้ ระโยชน์เป็นสำคญั ผลกำรเรียนรู้ทค่ี ำดหวงั 1. บอกวธิ ีกำรเกบ็ รวบรวมขอ้ มูลที่เหมำะสมได้ 2. นำเสนอขอ้ มูลในรูปแบบที่เหมำะสมได้ 3. หำคำ่ กลำงของขอ้ มูลที่ไมแ่ จกแจงควำมถี่ 4. เลือกใชค้ ำ่ กลำงของขอ้ มูลท่ีกำหนดใหไ้ ดอ้ ยำ่ งเหมำะสม 5. อำ่ น แปลควำมหมำย และวเิ ครำะห์ขอ้ มูล 6. อภิปรำยและใหข้ อ้ คิดเห็นเกี่ยวกบั ขอ้ มูลข่ำวสำรทำงสถิติท่ีสมเหตุสมผล ขอบข่ำยเนื้อหำ เรื่องท่ี 1 กำรรวบรวมขอ้ มูล เร่ืองท่ี 2 กำรนำเสนอขอ้ มูล เร่ืองท่ี 3 กำรหำค่ำกลำงของขอ้ มูล เรื่องท่ี 4 กำรเลือกใชค้ ำ่ กลำงของขอ้ มูล เร่ืองที่ 5 กำรใชส้ ถิติขอ้ มูลและสำรสนเทศ

128 เร่ืองท่ี 1 กำรรวบรวมข้อมูล 1. สถิติ หมำยถึง ศำสตร์ท่ีวำ่ ดว้ ยกำรเกบ็ รวบรวมขอ้ มูล กำรนำเสนอขอ้ มูล และกำรวิเครำะห์ ขอ้ มูล 2. กำรรวบรวมข้อมูล (Data Collection) กำรรวบรวมขอ้ มูล หมำยถึง กำรนำเอำขอ้ มูลต่ำงๆ ที่ผอู้ ่ืนไดเ้ ก็บไวแ้ ลว้ หรือรำยงำนไวใ้ นเอกสำรต่ำงๆ มำทำกำรศึกษำวเิ ครำะห์ต่อ 3. ประเภทของข้อมูล ขอ้ มูล หมำยถึง ขอ้ เทจ็ จริงหรือสิ่งท่ียอมรับวำ่ เป็นขอ้ เท็จจริงของเร่ืองที่สนใจศึกษำ จำแนกไดเ้ ป็น 2 ประเภท คือ 1) ขอ้ มูลเชิงปริมำณ (Quantitative Data) คือ ขอ้ มูลท่ีเป็นตวั เลขหรือนำมำใหร้ หสั เป็นตวั เลข ซ่ึงสำมำรถ นำไปใชว้ เิ ครำะห์ทำงสถิติได้ เช่น อำยุ น้ำหนกั ส่วนสูง 2) ขอ้ มูลเชิงคุณภำพ (Qualitative Data) คือ ขอ้ มูลท่ีไม่ใช่ตวั เลข ไม่ไดม้ ีกำรให้รหสั ตวั เลขที่จะนำไป วเิ ครำะห์ทำงสถิติ แต่เป็นขอ้ ควำมหรือขอ้ สนเทศ เช่น เพศ ระดบั กำรศึกษำ อำชีพ 4 . แหล่งทมี่ ำของข้อมูล แหล่งขอ้ มูลท่ีสำคญั ไดแ้ ก่ บุคคล เช่น ผใู้ หส้ ัมภำษณ์ ผกู้ รอกแบบสอบถำม บุคคลท่ีถูกสังเกต เอกสำรทุก ประเภท และขอ้ มูลสถิติจำกหน่วยงำน รวมไปถึง ภำพถ่ำย แผนที่ แผนภูมิ หรือแมแ้ ตว่ ตั ถุ ส่ิงของ กถ็ ือเป็ น แหล่งขอ้ มูลไดท้ ้งั สิ้น โดยทว่ั ไปสำมำรถจดั ประเภทขอ้ มูลตำมแหล่งท่ีมำได้ 2 ประเภท คือ 1) ขอ้ มูลปฐมภูมิ (Primary Data) คือ ขอ้ มูลที่ผวู้ จิ ยั เกบ็ ข้ึนมำใหม่เพอื่ ตอบสนองวตั ถุประสงคก์ ำรวจิ ยั ใน เรื่องน้นั ๆ 2) ขอ้ มูลทุติยภูมิ (Secondary Data) คือ ขอ้ มูลตำ่ งๆ ที่มีผเู้ กบ็ หรือรวบรวมไวก้ ่อนแลว้ เพยี งแตน่ กั วจิ ยั นำมำศึกษำ

129 5. กำรเกบ็ รวบรวมข้อมูล แบ่งเป็ นวธิ ีกำรใหญ่ๆ ได้ 3 วธิ ี คือ 1) กำรสังเกตกำรณ์ (Observation) ท้งั กำรสังเกตกำรณ์แบบมีส่วนร่วม และกำรสงั เกตกำรณ์ แบบไมม่ ีส่วนร่วม 2) กำรสัมภำษณ์ (Interview) นิยมมำกในทำงสังคมศำสตร์ โดยเฉพำะกำรสัมภำษณ์โดยใช้ แบบสอบถำม กำรสมั ภำษณ์แบบเจำะลึก หรืออำจจะจำแนกเป็นกำรสัมภำษณ์เป็นรำยบุคคล และกำรสมั ภำษณ์ เป็ นกลุ่ม 3) กำรรวบรวมขอ้ มูลจำกเอกสำร เช่น หนงั สือ รำยงำนวจิ ยั วทิ ยำนิพนธ์ บทควำม สิ่งพมิ พต์ ่ำงๆ เป็ นตน้ 6. ข้ันตอนกำรเกบ็ รวบรวมข้อมูล 1. กำรสัมภำษณ์บุคคลที่เกี่ยวขอ้ ง 2. กำรบนั ทึกขอ้ มูลจำกบนั ทึกหรือเอกสำรของหน่วยงำนตำ่ งๆ 3. กำรอำ่ นและศึกษำคน้ ควำ้ 4. กำรคน้ หำขอ้ มูลจำกอินเทอร์เน็ต 5. กำรเขำ้ ร่วมในเหตุกำรณ์ต่ำงๆ 6. กำรฟังวทิ ยแุ ละดูโทรทศั น์ วิดที ัศน์ เร่ือง สถิติเบือ้ งต้น

130 เรื่องที่ 2 กำรนำเสนอข้อมูล กำรนำเสนอขอ้ มูลเป็ นกำรนำขอ้ มูลที่เก็บรวบรวมมำจำกแหล่งตำ่ ง ๆ ซ่ึงยงั ไมเ่ ป็นระบบ มำจดั เป็น หมวดหมูใ่ หม้ ีควำมสัมพนั ธ์เกี่ยวขอ้ งกนั ตำมวตั ถุประสงค์ เพ่ือสะดวกแก่กำรอำ่ น ทำควำมเขำ้ ใจ วเิ ครำะห์ และ แปลควำมหมำย กำรนำเสนอขอ้ มูลแบง่ ออกเป็น 2 ประเภท ไดแ้ ก่ 1. กำรนำเสนอขอ้ มูลอยำ่ งไม่มีแบบแผน (informal presentation) หมำยถึง กำรนำเสนอขอ้ มูลท่ีไมม่ ี กฎเกณฑ์ หรือแบบแผนท่ีแน่นอนตำยตวั ที่นิยมใชม้ ีสองวธิ ีคือ กำรนำเสนอขอ้ มูลในรูปบทควำมหรือขอ้ ควำม เรียง และกำรนำเสนอขอ้ มูลในรูปบทควำมก่ึงตำรำง 2. กำรนำเสนอขอ้ มูลอยำ่ งมีแบบแผน เป็ นกำรนำเสนอขอ้ มูลที่มีกฎเกณฑ์ โดยแตล่ ะแบบจะตอ้ ง ประกอบดว้ ยช่ือเรื่อง ส่วนของกำรนำเสนอ และแหล่งท่ีมำของขอ้ มูล กำรนำเสนอขอ้ มูลอยำ่ งมีแบบแผน ประกอบดว้ ย กำรนำเสนอขอ้ มูลในรูปตำรำง แผนภูมิรูปภำพ แผนภูมิวงกลม (แผนภูมิกง) แผนภูมิแทง่ กรำฟเส้น และตำรำงแจกแจงควำมถ่ี 2.1 กำรนำเสนอขอ้ มูลในรูปตำรำง กำรนำเสนอในรูปตำรำง (Tabular presentation) ข้อมูลต่ำงๆ ท่เี ก็บรวบรวมมำได้เม่ือทำกำรประมวลผล แล้วจะอย่ใู นรูปตำรำง เป็นกำรนำเสนอขอ้ มูลท่ีง่ำย และนิยมใชก้ นั อยำ่ งแพร่หลำย เพรำะมีควำมสะดวกและง่ำย แก่กำรนำไปวเิ ครำะห์และแปลควำมหมำยทำงสถิติ เช่น เปรียบเทยี บกำรปรับรำคำนำ้ มนั ปี 2521-2523 (รำคำ : บำท / ลติ ร) ชนิดนำ้ มัน 2521 2522 2523 10 มี.ค. 31 ม.ค. 22 มี.ค. 13 ก.ค. 20 ก.ค. 9 ก.พ. 20 มี.ค. เบนซินพิเศษ 4.98 5.60 - 7.84 - 9.80 - เบนซินธรรมดำ 4.98 5.12 - 7.45. - 9.26 - น้ำมนั กำ๊ ด 2.68 3.06 - 5.12 4.20 6.71 5.70 ดีเซลหมุนเร็ว 2.64 3.03 - 4.88 - 7.39 6.50 ดีเซลหมุนชำ้ 2.50 2.93 - 4.71 - 7.12 6.27 ที่มำ: ภำวะกำรคำ้ ของประเทศไทยปี 2522 สภำหอกำรคำ้ แห่งประเทศไทย

131 2.2 กำรนำเสนอข้อมูลด้วยแผนภูมิรูปภำพ แผนภูมริ ูปภำพ คือ แผนภูมิท่ีใชร้ ูปภำพแทนจำนวนของขอ้ มูลท่ีนำเสนอ เช่น แผนภูมิรูปภำพคน รูปภำพคน 1 คน แสดงประชำกรท่ีนำเสนอ 1 ลำ้ นคน เป็นตน้ กำรเขียนแผนภูมิรูปภำพ อำจกำหนดใหร้ ูปภำพ 1 รูปแทนจำนวนส่ิงของ 1 หน่วย หรือหลำยหน่วยก็ได้ รูปภำพแตล่ ะรูปตอ้ งมีขนำดเท่ำกนั เสมอ แผนภูมิแสดงงำนอดิเรกของนกั เรียนช้นั ป. 6 ของโรงเรียนแห่งหน่ึง (สำรวจเม่ือวนั ที่ 19 มกรำคม 2548) ปลูกตน้ ไม้ อ่ำนหนงั สือ 1 ภำพ แทนจำนวนนกั เรียน 15 คน วำดรูป หมำยเหตุ 2.3 กำรนำเสนอด้วยแผนภูมิแท่ง (Bar chart) ประกอบดว้ ยรูปแทง่ ส่ีเหล่ียมผนื ผำ้ ซ่ึงแต่ละแท่งมีควำม หนำเท่ำๆ กนั โดยจะวำงตำมแนวต้งั หรือแนวนอนของแกนพกิ ดั ฉำกก็ได้ แผนภูมิแท่งแบบทำงเดยี ว เป็นกำรนำขอ้ มูลเพยี งขอ้ มูลเดียวมำนำเสนอในรูปแบบของแท่งส่ีเหลี่ยม ตวั อยำ่ ง แผนภูมิแท่งแสดงกำรส่งออกไก่ไปต่ำงประเทศ ปริมำณ (ตนั ) ประเทศ แผนภูมแิ ท่งแสดงกำรเปรียบเทยี บ เป็นกำรนำขอ้ มูลต้งั แต่ 2 ชุดข้ึนไปท่ีเป็ นเรื่องเดียวกนั นำมำเขียน บนแกนคู่เดียวกนั แลว้ ระบำยสีแทง่ สี่เหล่ียมใหต้ ่ำงกนั เพื่อง่ำยต่อกำรดู แลว้ อธิบำยวำ่ สีใดแทนอะไร

132 ตวั อยำ่ ง แผนภูมิแสดงกำรเปรียบเทียบยอดกำรขำยแตล่ ะเดือนของบริษทั หน่ึง จานวน (ล้านบาท) 2.4 กำรนำเสนอด้วยกรำฟเส้น (Line graph) เป็นแบบท่ีรู้จกั กนั ดีและใชก้ นั มำกท่ีสุดแบบหน่ึง เหมำะ สำหรับขอ้ มูลท่ีอยใู่ นรูปของอนุกรมเวลำ เช่น รำคำขำ้ วเปลือกในเดือนตำ่ งๆ ปริมำณสินคำ้ ส่งออกรำยปี เป็นตน้ จำกตำรำง นำเสนอขอ้ มูลดว้ นกรำฟเส้น ดงั น้ี

133 2.5 กำรนำเสนอด้วยรูปแผนภูมิวงกลม (Pie chart) เป็นกำรแบ่งวงกลมออกเป็นส่วนต่ำงๆ ตำมจำนวน ชนิดของขอ้ มูลที่จะนำเสนอ ตัวอย่ำง แผนภูมวิ งกลมแสดงกำรใช้ทด่ี นิ ทค่ี รอบครอง เพื่อกำรเกษตร พ.ศ. 2518 2.6 กำรนำเสนอข้อมูลในรูปตำรำงแจกแจงควำมถี่ ขอ้ มูลที่เก็บรวบรวมมำไดน้ ้นั ถำ้ มีจำนวนมำกหรือซ้ำกนั อยมู่ ำก เม่ือมำเรียงกนั หรือจดั ใหอ้ ยเู่ ป็น หมวดหมู่แลว้ จะช่วยบอกรำยละเอียดต่ำงๆ หรือสรุปผลเกี่ยวกบั ขอ้ มูลไดส้ ะดวกและรวดเร็วข้ึน เช่น ในกำรชงั่ น้ำหนกั ของนกั เรียน 40 คน หน่วยเป็นกิโลกรัม ปรำกฏผลดงั น้ี 57 44 46 41 48 50 51 42 43 45 45 43 42 40 50 41 47 60 50 52 46 42 42 53 46 55 45 41 50 42 44 41 40 45 59 44 49 50 39 42 ในทำงสถิติเรียกวำ่ ขอ้ มูลดิบ หรือคะแนนดิบ หรือค่ำจำกสังเกต เม่ือนำมำจดั เรียงใหม่ใหเ้ ป็นระบบโดย อำจเรียงจำกมำกไปหำนอ้ ยหรือจำกนอ้ ยไปหำมำก แลว้ บนั ทึกรอยขีด แสดงจำนวนคร้ังของขอ้ มูลที่เกิดข้ึนซ้ำกนั ในตำรำง จำนวนรอยขีดที่นบั ไดเ้ รียกวำ่ ควำมถี่ของแต่ละขอ้ มูล ตำรำงที่นำเสนอขอ้ มูลในรูปแบบน้ีเรียกวำ่ ตำรำงแจกแจงควำมถี่ และวธิ ีกำรจำแนกขอ้ มูลโดยกำร บนั ทึกรอยขีดเพอ่ื หำคำ่ ควำมถ่ีเรียกวำ่ กำรแจกแจงควำมถี่

134 กำรสร้ำงตำรำงแจกแจงควำมถี่ ในกรณีท่ีขอ้ มูลท่ีเกบ็ รวบรวมมำมีจำนวนมำกๆ และไมค่ อ่ ยซ้ำกนั ถำ้ จะเรียงลำดบั จะเป็นกำรเสียเวลำ และสิ้นเปลืองมำก จึงกำหนดขอ้ มูลเป็นช่วงๆ และหำควำมถ่ีของช่วงขอ้ มูลน้นั ๆ วธิ ีกำรสร้ำงตำรำงแจกแจงควำมถี่ โดยจดั เป็ นอนั ตรภำคช้นั ใหท้ ุกๆ ช้นั มีควำมกวำ้ งเท่ำกนั มีวธิ ีกำร ดงั น้ี 1. หำพิสัยของขอ้ มูล พสิ ยั = ขอ้ มูลที่มีค่ำสูงสุด – ขอ้ มูลที่มีคำ่ ต่ำสุด 2. กำหนดจำนวนช้นั หรือกำหนดควำมกวำ้ งของอนั ตรภำคช้นั ข้ึนมำ - ถำ้ กำหนดจำนวนช้นั ก็ใหห้ ำควำมกวำ้ งของอนั ตรภำคช้นั ควำมกวำ้ งของอนั ตรภำคช้นั = พิสยั (เศษเท่ำไรปัดข้ึนเสมอ) จำนวนอนั ตรภำคช้นั - ถำ้ กำหนดควำมกวำ้ งของอนั ตรภำคช้นั ก็หำจำนวนช้นั ไดจ้ ำก จำนวนอนั ตรภำคช้นั = พสิ ยั ควำมกวำ้ งของอนั ตรภำคช้นั (เศษเท่ำไรปัดข้ึนเสมอ) 3. เขียนอนั ตรภำคช้นั โดยเรียงคำ่ จำกนอ้ ยไปมำกหรือจำกมำกไปนอ้ ย ถำ้ เรียงคำ่ จำกนอ้ ยไปมำก ตอ้ งใหข้ อ้ มูลท่ีมี ค่ำต่ำสุดในอนั ตรภำคช้นั แรก และขอ้ มูลท่ีมีค่ำสูงสุดอยใู่ นอนั ตรภำคช้นั สุดทำ้ ย 4. นำขอ้ มูลดิบมำใส่ในตำรำงโดยใชร้ อยขีด 5. รวมควำมถ่ีตำมรอยขีด

135 เร่ืองท่ี 3 กำรหำค่ำกลำงของข้อมูล กำรหำคำ่ กลำงของขอ้ มูลที่เป็ นตวั แทนของขอ้ มูลท้งั หมดเพ่อื ควำมสะดวกในกำรสรุปเรื่องรำวเกี่ยวกบั ขอ้ มูลน้นั ๆ จะช่วยทำใหเ้ กิดกำรวเิ ครำะห์ขอ้ มูลถูกตอ้ งดีข้ึน กำรหำค่ำกลำงของขอ้ มูลมีวธิ ีหำหลำยวธิ ี แตล่ ะวธิ ีมี ขอ้ ดีและขอ้ เสีย และมีควำมเหมำะสมในกำรนำไปใชไ้ มเ่ หมือนกนั ข้ึนอยกู่ บั ลกั ษณะขอ้ มูลและวตั ถุประสงคข์ อง ผใู้ ชข้ อ้ มูลน้นั ๆ ค่ำกลำงของขอ้ มูลที่สำคญั มี 3 ชนิด คือ 1. ค่ำเฉลยี่ เลขคณติ (Arithmetic mean) คือ ค่ำที่ไดจ้ ำกผลรวมของขอ้ มูลท้งั หมด หำรดว้ ยจำนวน ขอ้ มูล ท้งั หมด ใชส้ ญั ลกั ษณ์ คือ x x  x1  x2  x3  ...xn N X แทน ขอ้ มูล N แทน จำนวนขอ้ มูล ตวั อยำ่ ง จำกกำรสอบถำมอำยขุ องนกั เรียนกลุ่มหน่ึงเป็นดงั น้ี 14 , 16 , 20 , 25 , 30 วธิ ีทำ คำ่ เฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มูลชุดน้ี คือ 14 16  20  25  30 5 = 105 5 = 21 2. มัธยฐำน (Median) คือ คำ่ กลำงของขอ้ มูลซ่ึงเมื่อเรียงขอ้ มูลจำกนอ้ ยไปมำก หรือจำกมำกไปนอ้ ยแลว้ จำนวนขอ้ มูลท่ีนอ้ ย กวำ่ ค่ำน้นั จะเทำ่ กบั จำนวนขอ้ มูลที่มำกกวำ่ คำ่ น้นั หลกั กำรคิด 1) เรียงขอ้ มูลที่มีอยทู่ ้งั หมดจำกนอ้ ยไปมำก หรือมำกไปนอ้ ยกไ็ ด้ 2) ตำแหน่งมธั ยฐำน คือ ตำแหน่งก่ึงกลำงขอ้ มูล ดงั น้นั ตำแหน่งของมธั ยฐำน = N  1 2 เม่ือ N คือ จำนวนขอ้ มูลท้งั หมด

136 ตวั อยำ่ ง จงหำมธั ยฐำนจำกขอ้ มูลตอ่ ไปน้ี 3, 10, 4, 15, 1,24, 28, 8, 30, 40, 23 วธิ ีทำ 1. เรียงขอ้ มูลจำกนอ้ ยไปหำมำก หรือมำกไปหำนอ้ ย จะได้ 1, 3, 4, 8, 10, 15, 23, 24, 28, 30, 40 2. หำตำแหน่งของขอ้ มูล จำก N 1 2 จะได้ 11 1  6 2 ดงั น้นั มธั ยฐำนอยตู่ ำแหน่งที่ 6 มีค่ำเป็น 15 ถำ้ ขอ้ มูลชุดน้นั เป็ นจำนวนคู่ จะใชค้ ่ำเฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มูลคูท่ ี่อยตู่ รงกลำงเป็นมธั ยฐำน ตวั อยำ่ ง จงหำมธั ยฐำนจำกขอ้ มูลตอ่ ไปน้ี 25, 3, 2, 10, 14, 6, 19, 22, 30, 8, 45, 36, 50, 17 วธิ ีทำ 1. เรียงขอ้ มูลจำกนอ้ ยไปหำมำก หรือมำกไปหำนอ้ ย จะได้ 2, 3, 6, 8, 10, 14, 17, 19, 22, 25, 30, 36, 45, 50 2. หำตำแหน่งของขอ้ มูล จำก N  1 2 จะได้ 14 1  7.5 2 มธั ยฐำนอยรู่ ะหวำ่ งตำแหน่งท่ี 7 และ 8 ดงั น้นั มธั ยฐำน คือ 17 19 18 2 3. ฐำนนิยม (Mode) ฐำนนิยมของขอ้ มูลชุดหน่ึง คือ ขอ้ มูลที่มีควำมถ่ีสูงสุดในขอ้ มูลชุดน้นั หรืออำจกล่ำววำ่ ขอ้ มูลใดกำรซ้ำ กนั มำกที่สุด(ควำมถี่สูงสุด) ฐำนนิยมอำจจะไมม่ ี หรือ มีมำกกวำ่ 1 คำ่ กไ็ ด้ ตวั อยำ่ ง จำกขอ้ มูล 2, 3, 4, 3, 4, 5, 6, 8, 6, 4, 6, 7 จงหำฐำนนิยม วธิ ีทำ จำกขอ้ มูลจะเห็นวำ่ มี 2 อยหู่ น่ึงตวั มี 3 อยสู่ องตวั มี 4 อยสู่ ำมตวั มี 5 อยหู่ น่ึงตวั มี 6 อยสู่ ำมตวั มี 7 อยหู่ น่ึงตวั มี 8 อยหู่ น่ึงตวั ขอ้ มูลท่ีมีควำมถี่สูงสุดในท่ีน้ีมี 2 ตวั คือ 4 และ 6 ซ่ึงตำ่ งก็มีควำมถ่ีเป็น 3 ดงั น้นั ฐำนนิยมของขอ้ มูลชุดน้ี คือ 4 และ 6 วิดีทัศน์ เร่ือง การหาค่ากลางของข้อมลู

137 เร่ืองที่ 4 กำรเลือกใช้ค่ำกลำงของข้อมูล ในกำรท่ีจะเลือกใชค้ ำ่ กลำงค่ำใดน้นั ข้ึนอยกู่ บั จุดประสงคข์ องผใู้ ช้ ซ่ึงค่ำกลำงท้งั สำมมสี มบตั ิท่ีแตกต่ำง กนั ดงั น้ี ค่ำเฉลยี่ เลขคณติ ข้อเสีย 1. ถำ้ ขอ้ มูลมีบำงค่ำต่ำเกินไปหรือสูงเกินไป จะมีผลต่อคำ่ เฉล่ียเลขคณิต จึงไม่เหมำะสมที่จะใช้ เช่น รำยไดข้ องพนกั งำน 5 คน เป็ นดงั น้ี 7,000 บำท 9,000 บำท 13,500 บำท 18,000 บำท 80,000 บำท 2. ถำ้ ขอ้ มูลแจกแจงควำมถ่ีชนิดปลำยเปิ ด เช่น นอ้ ยกวำ่ หรือเท่ำกบั มำกกวำ่ หรือเท่ำกบั จะคำนวณหำ คำ่ เฉล่ียเลขคณิตไม่ได้ 3. ใชไ้ ดก้ บั ขอ้ มูลเชิงปริมำณเท่ำน้นั ข้อดี 1. มีประโยชน์ในกำรใชข้ อ้ มูลจำกตวั อยำ่ งอำ้ งอิงไปสู่ประชำกร 2. สำมำรถคำนวณไดง้ ่ำยโดยใชค้ ำ่ ท่ีไดม้ ำทุกจำนวน 3. มีกำรนำไปใชใ้ นสถิติช้นั สูงมำกกวำ่ คำ่ เฉล่ียแบบอื่น ๆ 4. สำมำรถเปรียบเทียบกบั ขอ้ มูลชุดอื่นไดง้ ่ำย ฐำนนิยม ข้อเสีย 1. บำงคร้ังหำฐำนนิยมไม่ได้ 2. กำรคำนวณฐำนนิยมไม่ไดใ้ ชค้ ำ่ ของขอ้ มูลทุกตวั จึงไมเ่ ป็นตวั แทนที่ดีนกั 3. คำ่ ฐำนนิยมไมค่ อ่ ยนิยมใชใ้ นสถิติช้นั สูง ข้อดี 1. เขำ้ ใจง่ำยและคำนวณง่ำย 2. สำมำรถคำนวณจำกกรำฟได้ 3. เป็นค่ำกลำงท่ีใชไ้ ดก้ บั ขอ้ มูลเชิงคุณภำพ 4. เม่ือมีขอ้ มูลบำงตวั เลก็ หรือใหญผ่ ดิ ปกติจะไม่กระทบฐำนนิยม 5. ใชไ้ ดด้ ีเม่ือจุดประสงคม์ ุง่ ท่ีจะศึกษำส่ิงที่เกิดข้ึนบอ่ ย หรือลกั ษณะที่คนชอบมำกหรือมีคะแนนส่วน ใหญ่รวมกนั อยู่ ณ ค่ำใดคำ่ หน่ึง 6. กรณีท่ีขอ้ มูลแจกแจงควำมถี่ชนิดปลำยเปิ ดสำมำรถหำฐำนนิยมได้

138 มธั ยฐำน ข้อเสีย 1. ใชไ้ ดก้ บั ขอ้ มูลเชิงปริมำณเท่ำน้นั 2. สำหรับขอ้ มูลที่แจกแจงควำมถ่ีหรือขอ้ มูลที่จดั กลุ่มมธั ยฐำนที่คำนวณไดจ้ ะไมใ่ ช่ค่ำขอ้ มูลจริง ข้อดี 1. คำนวณไดง้ ่ำยสำหรับขอ้ มูลไมจ่ ดั กลุ่ม 2. ขอ้ มูลบำงค่ำมีคำ่ สูงหรือต่ำเกินไป ไมก่ ระทบกระเทือนตอ่ มธั ยฐำน จึงเหมำะท่ีจะใชม้ ธั ยฐำนมำกท่ีสุด 3. กรณีท่ีขอ้ มูลแจกแจงควำมถ่ีชนิดปลำยเปิ ดกส็ ำมำรถหำมธั ยฐำนได้ วิดที ัศน์ เรื่อง การเลือกใช้ค่ากลางของข้อมลู

139 เร่ืองที่ 5 กำรใช้สถิติ ข้อมูลสำรสนเทศ 5.1 สถิติในชีวติ ประจำวนั ในชีวติ ประจำวนั ของคนเรำน้นั สถิติมีส่วนเก่ียวขอ้ งอยเู่ สมอ เช่น - เกี่ยวกบั ตวั นกั เรียน อำจจะมีกำรหำควำมสูงหรือหำน้ำหนกั โดยเฉล่ียหรือหำคะแนนเฉล่ีย เป็นตน้ - เก่ียวกบั ครู-อำจำรย์ เช่น สถิติเก่ียวกบั จำนวนครู-อำจำรย์ จำนวนนกั เรียนท่ีสอบเขำ้ มหำวทิ ยำลยั ไดใ้ นแต่ละรุ่น แตล่ ะปี - เก่ียวกบั ขำ่ วสำร สำรสนเทศ ซ่ึงเห็นในหนงั สือพิมพ์ หรือโทรทศั น์ เช่น สถิติเกี่ยวกบั กำรเปล่ียนแปลง รำคำหุน้ แผนภูมิวงกลม หรือกรำฟเส้น เป็นตน้ - ในเร่ืองของแรงงำน เปอร์เซ็นตข์ องคนวำ่ งงำน รำยไดห้ รือสวสั ดิกำรท่ีไดร้ ับ - ในเร่ืองเก่ียวกบั กำรกสิกรรม มีกำรศึกษำทดลองใหมๆ่ เช่น กำรทดลองปลูกจริงในท่ีดินลกั ษณะ ต่ำงๆ กำรปลูกหมอ่ นเล้ียงไหม พนั ธุ์ไหนจะดีกวำ่ กนั - ในเร่ืองเก่ียวกบั ธุรกิจกำรคำ้ บริษทั หำ้ งร้ำนมีสถิติเกี่ยวกบั ยอดขำยสินคำ้ ในแผนกตำ่ งๆ สถิติ ยอดขำยของพนกั งำนแตล่ ะคน สถิติช่วยในกำรกำหนดวธิ ีเกบ็ รวบรวมขอ้ มูลและกำรวเิ ครำะห์ขอ้ มูล นอกจำกน้ี สถิติยงั ไปเก่ียวขอ้ งกบั ชีวติ ประจำวนั อีกมำกมำย เช่น กำรสำรวจควำมคิดเห็นหรือโพล กำรร่วมแสดงควำมคิดเห็นโดยกำรส่ง sms เป็นตน้

140 5.2 กำรใช้ข้อมูลสำรสนเทศ กำรเลือกใชข้ อ้ มูลในกำรตดั สินใจ เป็นส่ิงที่มีประโยชนม์ ำก เพรำะในกำรดำรงชีวิตของคนเรำมกั เก่ียวขอ้ งกบั เหตุกำรณ์ตำ่ งๆ มำกมำย จึงจำเป็นตอ้ งอำศยั กำรตดั สินใจอยำ่ งมีระบบระเบียบ มีหลกั มีเกณฑ์ และมี เหตุผล โดยนำปัจจยั ตำ่ งๆ มำพิจำรณำก่อนท่ีจะตดั สินใจ เพือ่ ใหไ้ ดท้ ำงเลือกที่ดีที่สุด ซ่ึงตอ้ งอำศยั ท้งั ควำมรู้ ประสบกำรณ์ ขอ้ มูล ขำ่ วสำรตำ่ งๆ เป็นส่วนประกอบ เพื่อไมใ่ หเ้ กิดควำมผดิ พลำดหรือโอกำสท่ีจะผดิ พลำดมีนอ้ ย ท่ีสุด เช่น กำรเลือกสิ่งต่ำง ๆ กำรตัดสินใจ กำรเลือกซ้ือสินคำ้ อยำ่ งหน่ึง 1. คุณภำพดี 2. รำคำไม่แพงเกินไป 3. มีคนนิยมมำก 4. จำเป็นตอ้ งใช้ 5. ชอบเป็นชีวติ จิตใจ กำรเลือกธนำคำรเพอ่ื กำรออม 1. ธนำคำรของรัฐบำล 2. ธนำคำรใกลบ้ ำ้ น 3. ธนำคำรใกลท้ ี่ทำงำน 4. ใหผ้ ลประโยชน์มำก 5. กำรไปมำสะดวก 6. ธนำคำรท่ีมีควำมมนั่ คงไม่ ส่นั คลอน หรือ ไมม่ ีขำ่ วออกมำ ในทำงไม่สู้ดีอยเู่ สมอๆ กำรลงทุนในกิจกำรอยำ่ งใดอยำ่ งหน่ึง 1. เงินลงทุน 2. ผลผลิตที่ได้ 3. คุม้ ค่ำแรงงำนหรือไม่ 4. เป็นที่นิยมหรือเปล่ำ กำรเลือกชมรำยกำรโทรทศั น์ช่องต่ำงๆ 1. รำยกำรโปรด 2. เน้ือหำสำระดี 3. ใหค้ วำมบนั เทิง 4. กำรนำเสนอทนั สมยั 5. มีประโยชน์สำมำรถนำไป ประยกุ ตใ์ ชไ้ ด้ 6. เพ่อื กำรลงทุน เช่น หุ้น

141 กำรเดินทำง รำยงำนข่ำวบอกวำ่ มีรถติดท่ีถนนใดบำ้ ง 1. อำจหลีกเล่ียงเส้นทำงดงั กล่ำว 2. รอจนกวำ่ จะเดินรถสะดวกก่อน เทศกำลตำ่ งๆ รถจะแน่น เม่ือเดินทำง 1. อำจไม่กลบั ในช่วงเทศกำล ไปต่ำงจงั หวดั 2. อำจเลือกกลบั หลงั เทศกำล 1 – 2 วนั เป็ นตน้ นอกจำกน้ีกำรตดั สินใจยงั มีควำมสำคญั ในกำรประกอบธุรกิจต่ำงๆ ท้งั ธุรกิจขนำดเล็กและธุรกิจขนำด ใหญ่ นกั ธุรกิจอำจพบปัญหำในดำ้ นต่ำงๆ มำกมำยที่จะตอ้ งตดั สินใจอยูเ่ สมอ เช่น ปัญหำดำ้ นกำรตลำด ปัญหำ ดำ้ นกำรขยำยกำรลงทุน ปัญหำแรงงำน ปัญหำในดำ้ นกำรกำหนดรำคำ ปัญหำพนกั งำน ค่ำครองชีพ ปัญหำดำ้ น กำรเงิน ซ่ึงนกั ธุรกิจจะใชป้ ระสบกำรณ์หรือคำส่ังสอนอบรมจำกพ่อแม่ บรรพบุรุษมำแกป้ ัญหำอยำ่ งเดียวไม่ได้ อำจจะเกิดควำมผดิ พลำดได้ ดงั น้นั นกั ธุรกิจควรใชข้ อ้ มูลและวธิ ีกำรทำงสถิติมำช่วยในกำรตดั สินใจ สำหรับในระดบั น้ีกำรเลือกใช้ขอ้ มูลในกำรตดั สินใจอำจจะเกี่ยวกับค่ำกลำงที่กล่ำวมำแล้วด้วย เช่น ถ้ำ ตอ้ งกำรกะประมำณรำยได้ของประชำกรท้งั ประเทศ ควรใช้ค่ำกลำง คือ ค่ำเฉลี่ยเลขคณิต หรือประมำณจำนวน พลเมืองท่ีชอบดูทีวีสีช่อง 7 ควรเลือกใช้ค่ำกลำงฐำนนิยม หรือถ้ำขอ้ มูลมีค่ำต่ำและค่ำสูงแตกต่ำงกนั มำกควร ตดั สินใจเลือกใชค้ ำ่ กลำงมธั ยฐำน เป็นตน้ ในเร่ืองน้ีผูเ้ รียนจะไดเ้ รียนละเอียดในช้นั สูงตอ่ ไป วิดที ัศน์ เร่ือง การใช้สถิติ และข้อมลู สารสนเทศ

142 กจิ กรรมบทที่ 9 แบบฝึ กหัดท่ี 1 1. ใหผ้ เู้ รียนพิจำรณำขอ้ ควำมต่อไปน้ีแลว้ เขียนเคร่ืองหมำย  ลงในช่องที่ตรงกบั ควำมคิดเห็นของผูเ้ รียน ขอ้ ที่ ขอ้ ควำม ขอ้ มูลสถิติ เป็น ไมเ่ ป็น 1 น้ำหนกั ของนกั เรียนทุกคนที่เรียนชุดกำรเรียนทำงไกล 2 สมศรีไดค้ ะแนน 15 คะแนน ในกำรโยนเหรียญ 10 คร้ัง เกิดหวั 6 คร้ัง เกิดกอ้ ย 4 คร้ัง ได้ 36 อตั รำส่วนท่ีจะเกิดหวั 10 4 คน 6 คน เป็ นชำย 4 คน เป็นหญิง 2 คน ท่ีอยใู่ นบำ้ นวชิ ยั 5 จำนวนคดีอำชญำกรรมในปี 2551 ซ่ึงรวบรวมมำจำกบนั ทึกคดี อำชญำกรรมแตล่ ะวนั ในแต่ละสถำนีตำรวจ 2. ใหผ้ เู้ รียนพิจำรณำขอ้ มูลในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี แลว้ เขียนเครื่องหมำย  ลงในช่องที่ตรงกบั ควำมคิดเห็น ขอ้ มูลสถิติ ขอ้ ที่ ขอ้ ควำม ขอ้ มูล ขอ้ มูล คุณภำพ ปริมำณ 1 สถิติคนไขแ้ ยกตำมเช้ือโรคของโรงพยำบำลแห่งหน่ึง 2 จำนวนคร้ังของกำรโทรศพั ทท์ ำงไกลจำกแต่ละเครื่องใน สำนกั งำน 10 เคร่ือง ในวนั หน่ึง 3 ผจู้ ดั กำรถูกสมั ภำษณ์ถึงจำนวนเปอร์เซ็นตข์ องเวลำทำงำนที่ใชใ้ น กำรประชุม 4 เครื่องสำอำงโดยเฉพำะสีของสีทำปำก ซ่ึงแต่ละบริษทั ใน 10 บริษทั ไดร้ ะบุวำ่ มียอดขำยมำกที่สุด

143 3. ใหผ้ เู้ รียนพิจำรณำขอ้ ควำมต่อไปน้ี แลว้ เติมคำตอบลงในช่องวำ่ งตำมควำมคิดเห็นของผเู้ รียนวำ่ เป็ นขอ้ มูล ปฐมภูมิ หรือทุติยภูมิ 1) รำยงำนประจำปี ของหน่วยงำนต่ำงๆ …………………………………………………………………………………………………………….……… 2) สำนกั งำนสถิติแห่งชำติ ตอ้ งกำรเก็บสถิติผลผลิตขำ้ วทวั่ ประเทศ โดยกำรไปสมั ภำษณ์ชำวนำ …………………………………………………………………………………………………………………… 3) ศิรินภำไปขอขอ้ มูลเกี่ยวกบั จำนวนคนเกิด ตำย และยำ้ ย ซ่ึงสำนกั งำนเทศบำลแห่งหน่ึงไดร้ วบรวมไว้ …………………………………………………………………………………………………………………… 4) บรรณำรักษห์ ้องสมุดโรงเรียนแห่งหน่ึง ไดส้ ังเกตและบนั ทึกกำรใชห้ อ้ งสมุดของนกั เรียน แต่ละวนั …………………………………………………………………………………………………….……………… 5) ครูคนหน่ึงตอ้ งกำรทรำบวำ่ หอ้ งสมุดของโรงเรียนมีนกั เรียนใชม้ ำกหรือนอ้ ยเพียงใดในแต่ละวนั จึง ไปขอลอกขอ้ มูลจำกบรรณำรักษ์ ………………………………………………………………………………………….…………………………

144 แบบฝึ กหดั ท่ี 2 1. แผนภูมิรูปวงกลมแสดงรำยไดข้ องหำ้ งสรรพสินคำ้ แห่งหน่ึงโดยเฉลี่ยตอ่ วนั จำแนกตำมแผนกต่ำงๆ จำกแผนภูมิจงตอบคำถำมตอ่ ไปน้ี 1) รำยไดจ้ ำกแผนกเส้ือผำ้ บุรุษ และแผนกเส้ือผำ้ สตรีรวมกนั มำกกวำ่ หรือนอ้ ยกวำ่ รำยไดจ้ ำกแผนกเครื่องเขียน แบบเรียนอยกู่ ี่เปอร์เซ็นต์ …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………..……………………………………………………. 2) รำยไดจ้ ำกแผนกใดนอ้ ยท่ีสุด และคิดเป็นร้อยละเทำ่ ไรของรำยไดจ้ ำกแผนกที่รำยไดม้ ำกที่สุด …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………..……………………………………………………. 3) รำยไดจ้ ำกแผนกเส้ือผำ้ สตรีคิดเป็ นร้อยละเทำ่ ไรของรำยไดจ้ ำกแผนกเครื่องเขียน แบบเรียน …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………..……………………………………………………. 4) แผนกใดท่ีมีรำยไดม้ ำกเป็ นอนั ดบั สอง และรำยไดน้ ้นั คิดเป็นร้อยละเทำ่ ไรของรำยไดท้ ้งั หมด …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………..…………………………………………………….