دليل عاشر المعلم-الفصل الأول

‫ورقة المصادر ‪2‬‬ ‫ُأقار ُن بي َن قي ِم ‪َ ،r2 + r1‬و ‪َ r2 ‒ r1‬و ‪ ،AC‬ث َّم أستنت ُج العلاق َة بينَها وبي َن وض ِع الدائرت ْي ِن بالنسب ِة إلى بع ِض ِهما‪.‬‬ ‫الاستنتا ُج‬ ‫‪r1 + r2 r1 ‒ r2 AC‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪r1‬‬ ‫وض ُع الدائرت ْي ِن‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪CA‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪75I‬‬

‫الوحد ُة‬ ‫‪3‬‬ ‫مخطط الوحدة‬ ‫عدد‬ ‫خطوات تنفيذ‬ ‫المصادر والأدوات‬ ‫المصطلحات‬ ‫النتاجات‬ ‫اسم الدرس‬ ‫الحصص‬ ‫مشروع الوحدة‬ ‫النسب المثلثية‪.‬‬ ‫ •يتعرف الوحدة وأهدافها‪.‬‬ ‫تهيئة الوحدة‬ ‫ •كتاب التمارين‪.‬‬ ‫المستوى الإحداثي‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫توزيع الطلبة إلى‬ ‫ •برمجية جيوجبرا‪.‬‬ ‫ •يتحقق من المتطلبات السابقة اللازمة‪.‬‬ ‫مجموعات صغيرة‬ ‫غير متجانسة‪.‬‬ ‫تنفيذ الجزء الأول ‪4‬‬ ‫ضلع الابتداء‪• .‬المسطرة‪.‬‬ ‫ •يتعرف الوضع القياسي للزاوية‪ ،‬والقياس الموجب‪،‬‬ ‫الدرس‪ :1‬النسب‬ ‫والقياس السالب للزوايا‪.‬‬ ‫المثلثية‪.‬‬ ‫من الخطوة الأولى‬ ‫ •المنقلة‪.‬‬ ‫ضلع الانتهاء‪.‬‬ ‫(رسم المستوى‬ ‫ •الفرجار‪.‬‬ ‫الوضع القياسي‪.‬‬ ‫ •يرسم الزاوية ضمن دائرة الوحدة‪.‬‬ ‫القطبي‪ ،‬وتحديد‬ ‫ •الآلة الحاسبة‪.‬‬ ‫ •يحدد الزوايا الربعية‪ ،‬وقياس كل منها‪.‬‬ ‫ •يحسب النسب المثلثية الأساسية لزوايا يقطع ضلعها‬ ‫النقاط عليه)‪.‬‬ ‫دائرة الوحدة‪.‬‬ ‫النهائي دائرة الوحدة عند نقطة محددة‪.‬‬ ‫الزاوية الربعية‪.‬‬ ‫ •يستعمل المتطابقة ‪ sin2x + cos2x = 1‬في إيجاد‬ ‫باقي النسب المثلثية لزاوية إذا ُع ِلمت إحدى هذه النسب‪،‬‬ ‫وموقع ضلع انتهاء الزاوية‪.‬‬ ‫ •يستعمل النسب المثلثية للزوايا الخاصة وزاوية المرجع في الزاوية المرجعية‪• .‬الآلة الحاسبة‪ .‬متابعة تنفيذ ‪3‬‬ ‫الدرس‪:2‬‬ ‫الخطوة الأولى‪،‬‬ ‫ •صندوق‪.‬‬ ‫حساب النسب المثلثية للزوايا ضمن الدورة الواحدة‪.‬‬ ‫النسب المثلثية‬ ‫والبدء بتنفيذ‬ ‫ •بطاقات‪.‬‬ ‫الخطوة الثانية‪.‬‬ ‫معكوس النسبة‬ ‫للزوايا ضمن الدورة •يستعمل الآلة الحاسبة وزاوية المرجع في حساب النسب‬ ‫المثلثية‪.‬‬ ‫المثلثية للزوايا ضمن الدورة الواحدة‪.‬‬ ‫الواحدة‪.‬‬ ‫ •يستعمل معكوس النسبة المثلثية والآلة الحاسبة في إيجاد‬ ‫الزوايا ضمن الدورة الواحدة إذا ُع ِلمت النسبة المثلثية‪.‬‬ ‫ •يوظف النسب المثلثية للزوايا ضمن الدورة الواحدة في‬ ‫نمذجة مواقف حياتية‪.‬‬ ‫ •برمجية جيوجبرا‪ .‬متابعة تنفيذ ‪2‬‬ ‫ •يمثل الاقترانات المثلثية الأساسية التي مجالها‬ ‫الدرس‪:3‬‬ ‫]‪ [0°, 360°‬بيان ًّيا‪.‬‬ ‫الزوايا تمثيل‬ ‫الخطوة الثانية‪،‬‬ ‫ •الآلة الحاسبة‪.‬‬ ‫الاقترانات المثلثية‪.‬‬ ‫ •يحدد خصائص الاقترانات المثلثية الأساسية عن طريق‬ ‫وبدء الاستعداد‬ ‫تمثيلها البياني‪.‬‬ ‫لعرض النتائج‪.‬‬ ‫المعادلة المثلثية‪• .‬الآلة الحاسبة‪ .‬استكمال التحضير ‪3‬‬ ‫ •يحل معادلة مثلثية تتضمن النسب المثلثية الأساسية ح ًّل‬ ‫الدرس‪:4‬‬ ‫لعرض النتائج‪.‬‬ ‫أول ًّيا (مجموعة الحل ضمن الدورة الواحدة)‪.‬‬ ‫حل المعادلات‬ ‫ •يوظف المعادلات المثلثية في نمذجة مواقف حياتية‪.‬‬ ‫المثلثية‪.‬‬ ‫عرض النتائج‪1 .‬‬ ‫ •أوراق‪.‬‬ ‫عرض نتائج المشروع‬ ‫ •لوحة من الكرتون‪.‬‬ ‫ •أدوات هندسية‪.‬‬ ‫ •الآلة الحاسبة‪.‬‬ ‫ •كتاب الطالب‪2 .‬‬ ‫اختبار الوحدة‬ ‫ •دليل المع ِّلم‪.‬‬ ‫ •الآلة الحاسبة‪.‬‬ ‫مجموع الحصص ‪16‬‬ ‫‪76A‬‬

‫ﺣﺴﺎ ُب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎ ِت‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة‬ ‫الوحد ُة‬ ‫‪Trigonometry‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻣﺎ أﻫﻤﻴ ُﺔ ﻫﺬ ِه‬ ‫نظرة عامة على الوحدة‪:‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ِة؟‬ ‫تعلــم الطلبــة فيمــا ســبق النســب المثلثية الأساســية‬ ‫)‪ (sin x, cos x, tan x‬فــي المثلــث قائــم الزاويــة‪،‬‬ ‫ﹸﺗ ﹶﻌ ﱡﺪ دراﺳــ ﹸﺔ اﻟﻌﻼﻗﺎ ﹺت ﺑﻴ ﹶﻦ أﻃﻮا ﹺل أﺿﻼ ﹺع‬ ‫واســتعملوا المتطابقة الأساسية ‪ sin2x + cos2x = 1‬في‬ ‫اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ وﻗﻴﺎﺳــﺎ ﹺت زواﻳﺎ ﹸه )أ ﹾو ﻣﺎ ﹸﻳﺴ ﹼﻤﻰ ﻋﻠ ﹶﻢ‬ ‫إيجاد النســب المثلثية الأساســية لزاوية حادة إذا ُع ِلمت‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﺎ ﹺت( أﺣ ﹶﺪ أﻫ ﱢﻢ ﻓﺮو ﹺع اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎ ﹺت وأﻗﺪ ﹺﻣﻬﺎ؛‬ ‫إحدى هذه النســب‪ ،‬واســتعملوا هذه النسب في نمذجة‬ ‫إ ﹾذ ﺳــﺎﻋ ﹶﺪ ﻫﺬا اﻟﻌﻠــ ﹸﻢ ﻗﺪﻣــﺎ ﹶء اﻟﻤﺼﺮﻳﻴ ﹶﻦ ﻋﻠﻰ‬ ‫مواقف حياتية تتضمن الحسابات المتعلقة بزوايا الارتفاع‬ ‫ﺑﻨﺎ ﹺء اﻷﻫﺮاﻣﺎ ﹺت ودراﺳــ ﹺﺔ اﻟ ﹶﻔﻠ ﹺﻚ‪ ،‬وﻗ ﹺﺪ اﺳﺘﻤ ﱠﺮ‬ ‫والانخفــاض‪ .‬وهذه الوحدة هي امتداد لهذا التعلم‪ ،‬حيث‬ ‫اﻻﻫﺘﻤﺎ ﹸم ﺑ ﹺﻪ ﺣ ﹼﺘﻰ اﻟﻴﻮ ﹺم؛ ﻓﻜﺎ ﹶن أﺳﺎ ﹰﺳــﺎ ﻟﻜﺜﻴ ﹴﺮ‬ ‫يجد الطلبة النســب المثلثية الأساسية‪ ،‬ويح ّلون معادلات‬ ‫مثلثية ضمن دورة واحدة؛ أي عندما تكون الزوايا بين ‪ 0°‬و‬ ‫ﻣ ﹶﻦ اﻟﻌﻠﻮ ﹺم اﻷﹸﺧﺮ￯‪.‬‬ ‫‪ ،360°‬ويدرسون دائرة الوحدة‪ ،‬والوضع القياسي للزاوية‪،‬‬ ‫وزاوية المرجع‪ ،‬وعلاقة هذه المفاهيم بالنســب المثلثية‪،‬‬ ‫ﺳ َﺄﺗﻌ ﱠﻠ ُﻢ ﻓﻲ ﻫﺬ ِه اﻟﻮﺣﺪ ِة‪:‬‬ ‫ﺗﻌ ﱠﻠ ْﻤ ُﺖ ﺳﺎﺑ ًﻘﺎ‪:‬‬ ‫وتمثيل الاقترانات المثلثية في المســتوى الإحداثي يدو ًّيا‪،‬‬ ‫ ﻣﻔﻬﻮ ﹶم ﺟﻴ ﹺﺐ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﺤﺎ ﱠد ﹺة‪ ،‬وﺟﻴ ﹶﺐ ﺗﻤﺎ ﹺﻣﻬﺎ‪ ،‬وﻇ ﱢﻠﻬﺎ‬ ‫وباســتعمال برمجيــة جيوجبرا‪ ،‬وتحديــد خصائص هذه‬ ‫ﻣﺎﻫﻴ ﹶﺔ داﺋﺮ ﹺة اﻟﻮﺣﺪ ﹺة‪ ،‬ووﺿ ﹶﻊ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱠﻲ‪.‬‬ ‫الاقترانات كونهــا دورية ويمكن توظيفها في مجموعة من‬ ‫إﻳﺠﺎ ﹶد اﻟﻨﺴ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ ﻟﻠﺰواﻳﺎ ﺿﻤ ﹶﻦ اﻟﺪور ﹺة اﻟﻮاﺣﺪ ﹺة‪.‬‬ ‫ﺑﻮﺻ ﹺﻔﻬﺎ ﻧﺴ ﹰﺒﺎ ﺑﻴ ﹶﻦ أﺿﻼ ﹺع اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ﻗﺎﺋ ﹺﻢ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺜﻴ ﹶﻞ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺴــﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ‪،‬‬ ‫ اﺳــﺘﺨﺪا ﹶم اﻟﻌﻼﻗ ﹺﺔ ‪ cos2 θ + sin2 θ = 1‬ﻓﻲ ﹶﺣ ﱢﻞ‬ ‫المواقف الحياتية التي تنمذج باستعمالها‪.‬‬ ‫واﺳﺘﻨﺘﺎ ﹶج ﺧﺼﺎ ﹺﺋﺼﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ﹴﺔ ﻋ ﹾﻦ ﻣﺜﻠ ﹴﺚ ﻗﺎﺋ ﹺﻢ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫الترابط الرأسي بين الصفوف‬ ‫ﹶﺣ ﱠﻞ ﻣﻌــﺎدﻻ ﹴت ﻣﺜﻠﺜﻴ ﹴﺔ‪ ،‬ﺑﺤﻴ ﹸﺚ ﺗﻜﻮ ﹸن ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹸﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‬ ‫ ﹶﺣــ ﱠﻞ ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﺧ ﱢﻄﻴــ ﹴﺔ وﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹴﺔ ﺿﻤــ ﹶﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹺﺔ‬ ‫ﺿﻤ ﹶﻦ اﻟﺪور ﹺة اﻟﻮاﺣﺪ ﹺة‪.‬‬ ‫اﻷﻋﺪا ﹺد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫‪76‬‬ ‫لاح ًقا‬ ‫الصف العاشر‬ ‫ساب ًقا‬ ‫ •فهم دائرة الوحدة‪ ،‬وعلاقة إحداثيي نقطة تقاطع‬ ‫الصف الحادي عشر العلمي‬ ‫ضلع الانتهاء لزاوية في الوضع القياسي مع دائرة‬ ‫الصف التاسع‬ ‫ •التحويل بين قياسي الزاوية الدائري والستيني‪.‬‬ ‫ •فهم النســب المثلثية الأساســية (الجيب‪،‬‬ ‫ •تعرف الاقترانات (القاطع ‪ ،sec x‬وقاطع التمام‬ ‫الوحدة بنسبتي الجيب وجيب التمام للزاوية‪.‬‬ ‫وجيب التمــام‪ ،‬والظل) فــي المثلث قائم‬ ‫ •إيجاد النسب المثلثية الأساسية للزوايا ضمن‬ ‫‪ ،cosec x‬وظل تمام ‪.)cot x‬‬ ‫الزاوية‪.‬‬ ‫ •تمثيـل الاقترانـات (القاطـع ‪ ، sec x‬وقاطـع‬ ‫دورة واحدة ‪0° ≤ θ ≤ 360°‬‬ ‫ •إيجاد قياس الزاوية الحادة إذا ُع ِلمت إحدى‬ ‫التمـام ‪ ،cosec x‬وظـل تمـام ‪ )cot x‬فـي‬ ‫ •تمثيل الاقترانات المثلثية الأساسية بيان ًّيا (يدو ًّيا‪،‬‬ ‫نسبها مستعم ًل الآلة الحاسبة‪.‬‬ ‫المسـتوى الإحداثـي‪.‬‬ ‫وباستعمال التكنولوجيا) ضمن دورة واحدة‪.‬‬ ‫ •توظيف النســب المثلثية الأساسية في حل‬ ‫ •دراسـة سـلوك الاقتـران المثلثـي تحـت تأثيـر‬ ‫ •حــل معــادلات مثلثيــة ضمــن دورة واحــدة‬ ‫مثلــث قائم الزاوية ضمــن مواقف رياضية‬ ‫تحويالت هندسـية‪.‬‬ ‫‪0° ≤ θ ≤ 360°‬‬ ‫وحياتية متنوعة‪.‬‬ ‫ •مفهوم المتطابقة المثلثية‪.‬‬ ‫ •اســتنتاج المتطابقــة المثلثيــة الأساســية‬ ‫ •إثبات صحة متطابقة مثلثية‪.‬‬ ‫ •نمذجة مواقف حياتية باستعمال النسب‬ ‫‪ ،sin2x + cos2x = 1‬واستعمالها لإيجاد‬ ‫ •إيجاد الحل العام لمعادلة مثلثية‪.‬‬ ‫والمعادلات المثلثية لإيجاد قياسات لزوايا‬ ‫النسب المثلثية الأساسية‪.‬‬ ‫وأضلاع مجهولة‪.‬‬ ‫‪76‬‬

‫مشروع الوحدة‪ :‬إنشاء نظام إحداثي جديد‬ ‫ﻣﺸﺮو ُع‬ ‫إﻧﺸﺎ ُء ﻧﻈﺎ ٍم إﺣﺪاﺛ ﱟﻲ ﺟﺪﻳ ٍﺪ‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫هــدف المشــروع‪ :‬إثراء معرفــة الطلبة بأنظمــة التمثيل في‬ ‫المســتوى‪ ،‬عن طريق إنشــاء نظام يعتمد ال ُب ْعد عن نقطة مرجعية‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﻤﺸﺮو ِع إﻧﺸﺎ ﹸء ﻧﻈﺎ ﹴم إﺣﺪاﺛ ﱟﻲ ﺟﺪﻳ ﹴﺪ‪ ،‬ﻳﻌﺘﻤ ﹸﺪ اﻟ ﹸﺒ ﹾﻌ ﹶﺪ ﻋ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﻣﺮﺟﻌﻴ ﹴﺔ‪ ،‬وﻗﻴﺎ ﹶس زاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﻴ ﹺﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺨ ﱢﻂ اﻷﻓﻘ ﱢﻲ‪.‬‬ ‫(القطب)‪ ،‬وقياس زاوية الميل عن المحور الأفقي‪ ،‬والتحويل بين‬ ‫اﻟﻤﻮا ﱡد واﻷدوا ُت أورا ﹲق‪ ،‬ﻣﺴﻄﺮ ﹲة‪ ،‬ﻣﻨﻘﻠ ﹲﺔ‪ ،‬ﻓﺮﺟﺎ ﹲر‪ ،‬آﻟ ﹲﺔ ﺣﺎﺳﺒ ﹲﺔ‪.‬‬ ‫الإحداثيات القطبية والإحداثيات الديكارتية‪.‬‬ ‫‪120°‬‬ ‫‪90°‬‬ ‫ﻧﻈــﺎ ﹸم اﻹﺣﺪاﺛﻴﺎ ﹺت اﻟﻘﻄﺒﻴ ﹺﺔ‪ :‬ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﺗﺤﺪﻳ ﹸﺪ ﻣﻮﻗ ﹺﻊ أ ﱢي ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺴــﺘﻮ￯ ﺑﺎﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹺل‬ ‫‪150°‬‬ ‫خطوات تنفيذ المشروع‬ ‫‪60°‬‬ ‫اﻟﺰو ﹺج اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﺗ ﹺﺐ )‪ ،(r, θ‬ﺣﻴ ﹸﺚ‪:‬‬ ‫ •ع ِّرف الطلبة بالمشروع وأهميته في تعلم موضوعات الوحدة‪.‬‬ ‫‪A 30°‬‬ ‫‪ :r‬ﹸﺑ ﹾﻌ ﹸﺪ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ﻋ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﻣﺮﺟﻌﻴ ﹴﺔ ﹸﺗﺴ ﹼﻤﻰ اﻟﻘﻄ ﹶﺐ‪.‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبــة إلــى مجموعــات (رباعية‪ ،‬أو خماســية) غير‬ ‫‪ :θ‬اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺸــﻌﺎ ﹺع اﻟﻤﺎ ﱢر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄــ ﹺﺔ واﻟﻘﻄ ﹺﺐ‪ ،‬واﻟﻤﺤﻮ ﹺر اﻟﻘﻄﺒ ﱢﻲ‪ ،‬وﻫ ﹶﻮ اﻟﺸــﻌﺎ ﹸع‬ ‫متجانسة‪ ،‬ثم اطلب إليهم دراسة نظام الإحداثيات القطبية من‬ ‫‪180°‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 0°‬‬ ‫اﻷﻓﻘــ ﱡﻲ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻘﻄ ﹺﺐ ﺑﺎﺗﺠﺎ ﹺه اﻟﻴﻤﻴ ﹺﻦ‪ .‬ﹸﻳﻼ ﹶﺣ ﹸﻆ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر أ ﱠن إﺣﺪاﺛ ﱠﻴ ﹺﻲ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ‬ ‫‪210°‬‬ ‫‪330°‬‬ ‫‪ A‬ﻫﻤﺎ‪ .(6, 30º) :‬ﹸﺗﺴ ﹼﻤﻰ ﻫﺬ ﹺه اﻟﻄﺮﻳﻘ ﹸﺔ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻹﺣﺪاﺛﻴﺎ ﹺت اﻟﻘﻄﺒﻴ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫مشروع الوحدة في كتاب الطالب‪.‬‬ ‫‪240°‬‬ ‫ •ع ِّيــن ُمق ِّر ًرا لكل مجموعة‪ ،‬واطلب إليــه توزيع الأدوار على‬ ‫‪300°‬‬ ‫ﺗﺤﻮﻳ ﹸﻞ اﻹﺣﺪاﺛﻴﺎ ﹺت اﻟﻘﻄﺒﻴ ﹺﺔ إﻟﻰ إﺣﺪاﺛﻴﺎ ﹴت دﻳﻜﺎرﺗﻴــ ﹴﺔ‪ :‬ﻟﺘﺤﻮﻳ ﹺﻞ اﻹﺣﺪاﺛﻴﺎ ﹺت اﻟﻘﻄﺒﻴ ﹺﺔ‬ ‫‪270°‬‬ ‫أفرد المجموعة‪.‬‬ ‫إﻟﻰ إﺣﺪاﺛﻴﺎ ﹴت دﻳﻜﺎرﺗﻴ ﹴﺔ‪ ،‬أرﺳــ ﹸﻢ ﻋﻤﻮ ﹰدا ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﹸﻳــﺮا ﹸد ﺗﺤﻮﻳ ﹸﻞ إﺣﺪاﺛﻴﱠﻴﹾﻬﺎ إﻟﻰ‬ ‫ •اذكر للطلبة المواد والأدوات اللازمة لتنفيذ المشــروع‪ ،‬مثل‪:‬‬ ‫‪90° y‬‬ ‫)‪P (x,y‬‬ ‫اﻟﻤﺤﻮ ﹺر اﻷﻓﻘ ﱢﻲ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ اﻟﻨﺴ ﹶﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹶﺔ ﻟﺤﺴﺎ ﹺب ﻃﻮ ﹶﻟ ﹾﻲ ﺿﻠ ﹶﻌ ﹺﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ اﻟﻨﺎﺗ ﹺﺞ‪،‬‬ ‫الأدوات الهندســية (المسطرة‪ ،‬والمنقلة‪ ،‬والفرجار)‪ ،‬وجهاز‬ ‫)‪P (r,ϴ‬‬ ‫ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ ،‬ﻟﻠﺤﺼﻮ ﹺل ﻋﻠﻰ اﻹﺣﺪاﺛﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ x‬ﹶو ‪ y‬ﻟﺘﻠ ﹶﻚ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ‪ .‬ﻟﻠﺘﺤﻮﻳ ﹺﻞ‬ ‫الحاســوب‪ ،‬وآلة التصويــر‪ ،‬فض ًل عن بيــان عناصر المنتج‬ ‫‪r‬‬ ‫ﻣــ ﹶﻦ اﻟﻨﻈﺎ ﹺم اﻟﺪﻳﻜﺎرﺗ ﱢﻲ إﻟﻰ اﻟﻨﻈﺎ ﹺم اﻟﻘﻄﺒ ﱢﻲ‪ ،‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ ‪ r‬ﹶو ‪ θ‬ﺑﻄﺮﻳﻘ ﹴﺔ ﻋﻜﺴــﻴ ﹴﺔ‪،‬‬ ‫النهائي المطلوب منهم‪ُ ،‬مؤ ِّك ًدا لهم أهمية توثيق خطوات تنفيذ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ϴ‬‬ ‫وذﻟ ﹶﻚ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﻨﺴ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫المشروع أو ًل بأول وتعزيزه بالصور المناسبة للموضوع‪.‬‬ ‫‪0x‬‬ ‫اﳌﺤﻮ ﹸر اﻟﻘﻄﺒ ﱡﻲ‬ ‫ •ب ِّين للطلبة أن المطلوب من كل مجموعة ما يأتي‪:‬‬ ‫‪x 0°‬‬ ‫ »البحــث فــي مصــادر المعرفــة المتاحة عــن موضوع‬ ‫المشروع‪ ،‬بحيث يشمل تطبيقات عملية له‪ ،‬وإعداد تقرير‬ ‫ﺧﻄﻮا ﹸت ﺗﻨﻔﻴ ﹺﺬ اﻟﻤﺸﺮو ﹺع‪:‬‬ ‫عن نتائج البحث‪ ،‬وتســليمه نهاية الأسبوع الأول من بدء‬ ‫‪ 1‬أﺳــﺘﻌﻤ ﹸﻞ ﻣﺴﻄﺮ ﹰة وﻓﺮﺟﺎ ﹰرا ﻟﺮﺳ ﹺﻢ ﻧﺴﺨ ﹴﺔ ﹸﻣﻜ ﱠﺒﺮ ﹴة ﻟﻠﻤﺴــﺘﻮ￯ اﻟﻘﻄﺒ ﹺﻲ أﻋﻼ ﹸه‪ ،‬ﹸﻣﺤ ﱢﺪ ﹰدا ﻋﻠ ﹾﻴ ﹺﻪ ﻣﻮاﻗ ﹶﻊ ‪ 6‬ﻧﻘﺎ ﹴط ﺗﻤﺜ ﹸﻞ رؤو ﹶس ﹸﺳﺪاﺳ ﱟﻲ‬ ‫دراسة الوحدة‪.‬‬ ‫ﻣﻨﺘﻈ ﹴﻢ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ إﺣﺪاﺛﻴﺎﺗﹺﻬﺎ اﻟﻘﻄﺒﻴ ﹺﺔ )‪ ،(r, θ‬واﻟﺪﻳﻜﺎرﺗﻴ ﹺﺔ )‪.(x, y‬‬ ‫ »تصميم لوحة من الكرتون وفق خطوات تنفيذ المشــروع‬ ‫‪ 2‬ﹶأ ﹺﺻ ﹸﻞ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﺎ ﹺط اﻟﺴﺘ ﹺﺔ ﺑﻠﻮ ﹴن ﻣﺨﺘﻠ ﹴﻒ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ ﻗﺎﻧﻮ ﹶن اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻧﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻣﺤﻴ ﹺﻂ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﺴﺪاﺳ ﱢﻲ‪.‬‬ ‫تتضمن صو ًرا لمراحل التنفيذ‪.‬‬ ‫ »تصميم ُمد َّونة إلكترونية‪ ،‬أو منشور ورقي يتضمن وصف‬ ‫ﻋﺮ ﹸض اﻟﻨﺘﺎﺋ ﹺﺞ‪:‬‬ ‫ما قامــت به المجموعــة ونقاشــاتها المتعلقة بموضوع‬ ‫ﹸأﺻ ﱢﻤ ﹸﻢ ﻣ ﹶﻊ أﻓﺮا ﹺد ﻣﺠﻤﻮﻋﺘﻲ ﻣﺠﻠ ﹰﺔ أ ﹾو ﻟﻮﺣ ﹰﺔ ﺗﺘﻀ ﱠﻤ ﹸﻦ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫المشــروع‪ ،‬وتلخيص النتائج التي تو َّصلت إليها‪ ،‬إضاف ًة‬ ‫إلى تقرير يتضمن خطوات العمل التفصيلية‪ ،‬مثل‪ :‬جدول‬ ‫ﺧﻄﻮا ﹸت ﺗﻨﻔﻴ ﹺﺬ اﻟﻤﺸﺮو ﹺع ﹸﻣﻮ ﱠﺿﺤ ﹰﺔ ﺑﺎﻟﺼﻮ ﹺر واﻟﺮﺳﻮ ﹺم‪.‬‬ ‫للتحويــل بين الإحداثيين‪ ،‬وتعييــن النقاط في الإحداثي‬ ‫وﺻ ﹲﻒ ﻟﺘﻄﺒﻴ ﹴﻖ ﺣﻴﺎﺗ ﱟﻲ ﹸﺗﺴﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ ﻓﻴ ﹺﻪ اﻹﺣﺪاﺛﻴﺎ ﹸت اﻟﻘﻄﺒﻴ ﹸﺔ‪.‬‬ ‫القطبي‪ ،‬والحسابات التي أوجدوها جميعها‪.‬‬ ‫‪77‬‬ ‫ »عرض ما انجزته المجموعة في مشــروع الوحدة (يمكن‬ ‫اســتعمال برمجيــة العــروض التقديميــة ‪(Power‬‬ ‫أداة تقييم المشروع‬ ‫)‪ ،Point‬أو أ ِّي طريقــة ُأخــرى يختارهــا الطلبة) بعد‬ ‫‪321‬‬ ‫المعيار‬ ‫الرقم‬ ‫الانتهاء من دراسة الوحدة‪.‬‬ ‫‪ 1‬اختيار تطبيق علمي أو عملي مناسب لخصائص الدائرة‪.‬‬ ‫عرض النتائج‬ ‫ •الفت انتباه الطلبة إلى ضرورة اســتعمال التكنولوجيا في‬ ‫مشاركة أفراد المجموعة جمي ًعا بفاعلية في المشروع‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫عرض نتائج المشــروع‪ ،‬وإعداد عــرض تقديمي‪ ،‬يحوي‬ ‫التح ُّقق من صحة النموذج والصور والرسومات التوضيحية‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫صــو ًرا لمراحــل التنفيذ‪ ،‬واطلــب إلى جميــع أفراد كل‬ ‫‪4‬‬ ‫مجموعة المشــاركة في عرض جزء من نتائج المشــروع‬ ‫ودقة الحسابات الخاصة بها واكتمالها‪.‬‬ ‫(تكمن أهمية هــذه الخطوات في تعزيز مهــارات الطلبة‬ ‫التكنولوجية‪ ،‬وتعزيز مهاراتهــم الحياتية‪ ،‬مثل‪ :‬التواصل‪،‬‬ ‫التقرير المكتوب كامل ومنظم‬ ‫والتعاون)‪.‬‬ ‫‪ 5‬اتصاف العرض التقديمي بالوضوح والشمول‪.‬‬ ‫ •اطلــب إليهــم تســجيل تقييمهــم الذاتي لمشــروعهم‪،‬‬ ‫عرض معلومة جديــدة تعلمتها المجموعة فــي أثناء بحثها‬ ‫‪6‬‬ ‫والاستعانة بأداة التقييم التالية في ذلك‪.‬‬ ‫وعملها في المشروع‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ •اطلب إلى طلبة الصف التصويت على المشروع الأفضل‪.‬‬ ‫وجود مقترح مناسب لتوسعة المشروع‪.‬‬ ‫‪77‬‬ ‫إنجاز المهمة بوجود أكثر من خطأ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إنجاز المهمة بوجود خطأ بسيط‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫إنجاز المهمة بصورة صحيحة من دون خطأ‪.‬‬

‫ُسلَّم التقدير اللفظي‬ ‫مستوى الأداء‬ ‫رقم المجموعة‬ ‫ممتاز (‪)4‬‬ ‫جيد ج ًّدا (‪)3‬‬ ‫جيد (‪)2‬‬ ‫مقبول (‪)1‬‬ ‫اسم الطالب‪/‬‬ ‫الطالبة‪:‬‬ ‫يصــف التقريــر نظــام‬ ‫يصــف التقريــر نظــام‬ ‫يصف التقرير نظام الإحداثيات‬ ‫يصف التقرير نظام الإحداثيات‬ ‫الإحداثيــات القطبية وص ًفا‬ ‫الإحداثيــات القطبية وص ًفا‬ ‫القطبية وص ًفا شــام ًل‪ ،‬ويوضح‬ ‫القطبيــة بصورة غير شــاملة أو‬ ‫شــام ًل ودقي ًقــا يتضمــن‬ ‫شام ًل يتضمن كيفية حساب‬ ‫التحويــل بينــه وبيــن نظــام‬ ‫كيفية حســاب المسافة بين‬ ‫المسافة بين نقطتين‪ ،‬ولكنه‬ ‫الإحداثيات الديكارتية‪ ،‬ولكنه‬ ‫دقيقة‪.‬‬ ‫نقطتيــن‪ ،‬ويوضح التحويل‬ ‫لا يوضــح كيفيــة التحويل‬ ‫لا يتضمن كيفية حساب المسافة‬ ‫بينه وبيــن نظام الإحداثيات‬ ‫بينه وبيــن نظام الإحداثيات‬ ‫بين نقطتين‪.‬‬ ‫الديكارتية‪.‬‬ ‫الديكارتية‪.‬‬ ‫تصميــم لوحة المســتوى‬ ‫تصميــم لوحة المســتوى‬ ‫تصميــم لوحة المســتوى‬ ‫تصميــم لوحة المســتوى‬ ‫)‪1‬‬ ‫القطبــي متناهــي الدقــة‪،‬‬ ‫القطبــي متناهــي الدقــة‪،‬‬ ‫القطبــي متناهــي الدقــة‪،‬‬ ‫القطبي غير دقيق‪ ،‬ويتضمن‬ ‫)‪2‬‬ ‫ويوضح إحداثيات رؤوس‬ ‫و ُع ِّينــت إحداثيات رؤوس‬ ‫ولكــن بعــض إحداثيات‬ ‫أخطــاء فــي تعييــن معظم‬ ‫)‪3‬‬ ‫السداســي المنتظم وكيفية‬ ‫السداســي المنتظم بصورة‬ ‫رؤوس السداســي المنتظم‬ ‫رؤوس السداسي المنتظم‪.‬‬ ‫)‪4‬‬ ‫إيجــاد محيطــه بصــورة‬ ‫صحيحــة ودقيقــة‪ ،‬ولكن‬ ‫ُع ِّينت بصورة غير صحيحة‪،‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫يوجــد خطــأ في حســاب‬ ‫ويوجــد خطأ في حســاب‬ ‫تصميم ال ُمد َّونة‪ /‬المنشــور‬ ‫صحيحة‪.‬‬ ‫غيــر جــاذب‪ ،‬ولا يقــدم‬ ‫محيطه‪.‬‬ ‫محيطه‪.‬‬ ‫ملخ ًصــا شــام ًل لعمــل‬ ‫تصميم ال ُمد َّونة‪ /‬المنشــور‬ ‫المجموعــة‪ ،‬ويتضمــن‬ ‫جــاذب‪ ،‬ويقــدم ملخ ًصا‬ ‫تصميم ال ُمد َّونة‪ /‬المنشــور‬ ‫تصميم ال ُمد َّونة‪ /‬المنشــور‬ ‫معلومــات رياضيــة فيهــا‬ ‫شــام ًل لعمل المجموعة‪،‬‬ ‫جاذب‪ ،‬ولكنه يقدم ملخ ًصا‬ ‫جــاذب‪ ،‬ويقــدم ملخ ًصا‬ ‫أخطاء عن نظام الإحداثيات‬ ‫ويتضمــن معلومــات‬ ‫شــام ًل لعمل المجموعة‪،‬‬ ‫شــام ًل لعمل المجموعة‪،‬‬ ‫رياضية صحيحــة عن نظام‬ ‫ويتضمــن معلومــات‬ ‫ولكنــه يتضمــن معلومات‬ ‫القطبية‪.‬‬ ‫رياضية صحيحــة عن نظام‬ ‫رياضية فيهــا أخطاء علمية‬ ‫تــم عــرض مــا أنجزتــه‬ ‫الإحداثيات القطبية‪.‬‬ ‫عــن نظــام الإحداثيــات‬ ‫المجموعــة‪ ،‬وقــد تضمن‬ ‫الإحداثيات القطبية‪.‬‬ ‫العــرض تطبيقــات عملية‬ ‫تــم عــرض مــا أنجزتــه‬ ‫القطبية‪.‬‬ ‫وحياتيــة أجريــت خلالها‬ ‫المجموعة بطريقة شــائقة‪،‬‬ ‫تــم عــرض مــا أنجزتــه‬ ‫حسابات شــابتها الكثير من‬ ‫وقــد تضمــن العــرض‬ ‫المجموعــة‪ ،‬وقــد تضمن‬ ‫تــم عــرض مــا أنجزتــه‬ ‫تطبيقــات عمليــة وحياتية‬ ‫العــرض تطبيقــات عملية‬ ‫المجموعــة‪ ،‬وقــد تضمن‬ ‫الأخطاء العلمية‪.‬‬ ‫أجريت خلالها حســابات‬ ‫وحياتيــة أجريــت خلالها‬ ‫العــرض تطبيقــات عملية‬ ‫وحياتيــة أجريــت خلالها‬ ‫صحيحة علم ًّيا‪.‬‬ ‫حسابات صحيحة علم ًّيا‪.‬‬ ‫حســابات شــابتها بعــض‬ ‫الأخطاء العلمية‪.‬‬ ‫شــارك جميــع أفــراد‬ ‫شــارك معظــم أفــراد‬ ‫شــارك معظــم أفــراد‬ ‫شــارك بعــض أفــراد‬ ‫المجموعة فــي إنجاز مهام‬ ‫المجموعة فــي إنجاز مهام‬ ‫المجموعة فــي إنجاز مهام‬ ‫المجموعة فــي إنجاز مهام‬ ‫مشــروع الوحــدة بكفــاءة‬ ‫مشــروع الوحــدة بكفــاءة‬ ‫مشروع الوحدة‪.‬‬ ‫مشروع الوحدة‪.‬‬ ‫عالية‪.‬‬ ‫عالية‪.‬‬ ‫ملحوظــة‪ :‬يمكن تعديل وصف مؤشــرات الأداء بالطريقة التي‬ ‫إنجاز المهمة بوجود أكثر من خطأ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫يراها المع ِّلم مناسبة‪.‬‬ ‫إنجاز المهمة بوجود خطأ بسيط‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫إنجاز المهمة بصورة صحيحة من دون خطأ‪.‬‬ ‫‪77A‬‬

77B

‫أﺳﺘﻌ ﱡﺪ ﻟﺪراﺳ ِﺔ اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪ :3‬ﺣﺴﺎ ُب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎ ِت‬ ‫التقويم القبلي (التشخيصي)‪:‬‬ ‫ •استعمل صفحة (أستعد لدراســة الوحدة) في كتاب‬ ‫أﺧﺘﺒ ﹸﺮ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻲ ﻗﺒ ﹶﻞ اﻟﺒﺪ ﹺء ﺑﺪراﺳ ﹺﺔ اﻟﻮﺣﺪ ﹺة‪ ،‬وﻓﻲ ﺣﺎ ﹺل ﻋﺪ ﹺم ﺗﺄ ﱡﻛﺪي ﻣ ﹶﻦ اﻹﺟﺎﺑ ﹺﺔ أﺳﺘﻌﻴ ﹸﻦ ﺑﺎﻟﻤﺮاﺟﻌ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫التمارين للتأكد أن الطلبــة أتقنوا المعرفة والمهارات‬ ‫السابقة اللازمة لدراســة هذه الوحدة‪ ،‬مثل‪ :‬استعمال‬ ‫أﺧﺘﺒ ﹸﺮ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻲ‬ ‫ﻣﺮاﺟﻌ ﹲﺔ‬ ‫نظريــة فيثاغورس في المثلث قائم الزاوية وحســاب‬ ‫النســب المثلثية لزوايــاه‪ ،‬وتمثيــل اقترانات خطية‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹶﺔ‬ ‫اﻟﻨﺴ ﹶﺐ‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ‬ ‫ﺛ ﱠﻢ‬ ‫ﻳﺄﺗﻲ‪،‬‬ ‫ﻣ ﹼﻤﺎ‬ ‫‪ x‬ﻓﻲ ﻛ ﱢﻞ ﺷــﻜ ﹴﻞ‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹶﺔ‬ ‫اﻟﻨﺴــ ﹶﺐ‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ‬ ‫ﺛــ ﱠﻢ‬ ‫اﻵﺗﻲ‪،‬‬ ‫اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤــ ﹶﺔ ‪ x‬ﻓﻲ‬ ‫وتربيعية بيان ًّيا‪ ،‬وحل معادلات خطية‪ ،‬وحل معادلات‬ ‫ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪:θ‬‬ ‫اﻷﺳﺎﺳﻴ ﹶﺔ‬ ‫‪:θ‬‬ ‫اﻷﺳﺎﺳﻴ ﹶﺔ ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫تربيعية باستعمال التحليل والقانون العام‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ •اطلب إلــى الطلبة حل الأســئلة في عمــود (أختبر‬ ‫معلوماتي) بوصفه اختبا ًرا تشــخيص ًّيا‪ ،‬وتج َّول بينهم‬ ‫‪AxB‬‬ ‫‪13 x‬‬ ‫في هذه الأثناء‪ ،‬وحث الطلبة الذين يواجهون صعوبة‬ ‫‪1‬‬ ‫في حل أي سؤال على دراسة المثال المقابل للسؤال‬ ‫‪θ‬‬ ‫فــي عمود (مراجعة)‪ .‬إذا لم تســاعد دراســة المثال‬ ‫‪10 6‬‬ ‫المحلول هــؤلاء الطلبة‪ ،‬فاطلب إلى الجميع التوقف‬ ‫‪θº‬‬ ‫‪C 5B‬‬ ‫عن حل الأسئلة‪ ،‬واشرح المثال أو المثال المكافئ له‬ ‫‪C‬‬ ‫على اللوح مع طلبة الصف كافة‪.‬‬ ‫ •اختر ســؤا ًل واجه الطلبة صعوبة فــي حله‪ ،‬ثم اكتب‬ ‫‪2 3θ‬‬ ‫‪(AC)2 = (BC)2 + (AB)2‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳ ﹸﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس‬ ‫على اللــوح أحد حلول الطلبة غيــر الصحيحة ‪-‬من‬ ‫‪132 = 52 + AB2‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫دون ذكر اســم الطالــب‪ ،-‬وأدر نقا ًشــا عنه؛ بهدف‬ ‫‪169 = 25 + AB2‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫معالجة أخطــاء الطلبة‪ ،‬وتهيئتهم قبل البدء بدراســة‬ ‫‪9‬‬ ‫‪169 – 25 = AB2‬‬ ‫ﺑﻄﺮ ﹺح ‪25‬‬ ‫الوحدة‪ ،‬واختر أسئلة ُأخرى إن لزم الأمر‪.‬‬ ‫‪144 = AB2‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبــة بمفهوم حــل المعادلــة‪ ،‬وبطرائق حل‬ ‫ﺑﺄﺧ ﹺﺬ اﻟﺠﺬ ﹺر اﻟﺘﺮﺑﻴﻌ ﱢﻲ ﻟﻠﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫المعادلات الخطية‪ ،‬ثم المعادلات التربيعية عن طريق‬ ‫‪12 = AB‬‬ ‫مناقشة السؤال الآتي‪:‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= ‪cos θ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫ »حل المعادلات الآتية‪:‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1   7x –12= 3x + 5‬‬ ‫ﹸأﻣ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻵﺗ ﹶﻲ‪ y = x2 – 6x + 8 :‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ‪ :‬ﹸأﻣ ﱢﺜ ﹸﻞ ﻛ ﱠﻞ اﻗﺘﺮا ﹴن ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ‪:‬‬ ‫‪2   3(2x+4) = 18‬‬ ‫‪3 y = 2x + 3‬‬ ‫‪4 y = 4 – 3x‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :1‬ﹸأﻧ ﹺﺸﺊﹸ ﺟﺪو ﹶل ﻗﻴ ﹴﻢ ﻛﺎﻵﺗﻲ‪.‬‬ ‫‪3   5x2 -3x = 0‬‬ ‫‪5 y + x = 10‬‬ ‫‪6 y = x2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪234‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4   x2 + 20 = 12x‬‬ ‫‪7 y = 3x – x2‬‬ ‫‪8 y = x2 – 2x – 3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0 –1 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(x, y‬‬ ‫)‪(1, 3‬‬ ‫)‪(2, 0) (3, –1) (4, 0‬‬ ‫)‪(5, 3‬‬ ‫‪5   4x2 + x -1 =0‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹶﺔ‪:‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬ﹸأﻋ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﻨﻘﺎ ﹶط ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺻ ﹸﻞ ﺑ ﹾﻴﻨﹶﻬﺎ‬ ‫‪6   2x2 + 4x - 6 =0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﺑﻤﻨﺤﻨﹰﻰ‪.‬‬ ‫‪9 2x + 3 = 11‬‬ ‫‪10 5x – 4 = 10 – 2x‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪11 3x2 – 12x = 0‬‬ ‫‪12 2x2 – 5x – 3 = 0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 2 3 45 6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪17‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫إذا واجه الطلبة صعوبة في حل السؤالين‪ :‬الأول‪ ،‬والثاني‪:‬‬ ‫ •ذ ِّكرهم بالنسب المثلثية الأساسية للزاوية الحادة‪ ،‬وهي‪:‬‬ ‫المقابل‬ ‫المجاور‬ ‫المقابل‬ ‫ ‪ ,‬الوتر = ‪ , cos x‬الوتر = ‪sin x‬‬ ‫المجاور = ‪tan x‬‬ ‫ •ثم حل معهم السؤال الآتي‪E :‬‬ ‫جد النسب المثلثية الأساسية للزاوية ‪ F‬في الشكل المجاور‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪ D 5 s Fin F = EF3‬‬ ‫‪√34‬‬ ‫‪F‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫= ‪, tan F‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,   cos‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪√34 √34‬‬ ‫‪77C‬‬

‫الدرس‬ ‫اﻟﻨﺴ ُﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ُﺔ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪Trigonometric Ratios‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫  نتاجات الدرس‬ ‫ﺗﻌ ﱡﺮ ﹸف اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳــ ﱢﻲ ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ‪ ،‬ورﺑ ﹸﻂ اﻟﻨﺴــ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ ﺑﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﻮﺣــﺪ ﹺة‪ ،‬وإﻳﺠﺎ ﹸدﻫﺎ ﻟﻠﺰواﻳﺎ اﻟﺮﺑﻌﻴ ﹺﺔ‪،‬‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس‬ ‫ •تعرف الوضع القياسي للزاوية‪.‬‬ ‫وإﻳﺠﺎ ﹸد اﻟﻨﺴــﺒﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﻤﺜﻠﺜﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻷﺳﺎﺳــﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﺒﺎﻗﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ ﺣﺎ ﹺل ﻣﻌﺮﻓ ﹺﺔ إﺣﺪ￯ اﻟﻨﺴــ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴ ﹺﺔ‬ ‫ •تعرف دائرة الوحــدة‪ ،‬وربط النســب المثلثية بدائرة‬ ‫الوحدة‪ ،‬وإيجادها للزوايا الربعية‪.‬‬ ‫ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫ •إيجاد النسبتين الأساسيتين المثلثتين الباقيتين في حال‬ ‫معرفة إحدى النسب المثلثية الأساسية للزاوية‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎ ُت ﺿﻠ ﹸﻊ اﻻﺑﺘــﺪا ﹺء‪ ،‬ﺿﻠ ﹸﻊ اﻻﻧﺘﻬﺎ ﹺء‪ ،‬اﻟﻮﺿ ﹸﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳــ ﱡﻲ‪ ،‬داﺋــﺮ ﹸة اﻟﻮﺣﺪ ﹺة‪،‬‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ اﻟﺮﺑﻌﻴ ﹸﺔ‪120º .‬‬ ‫ •مفهوم الزاوية وعناصرها‪.‬‬ ‫ •استعمال المنقلة لقياس الزوايا‪.‬‬ ‫ﺗﻌ ﱠﻠ ﹾﻤ ﹸﺖ ﺳــﺎﺑ ﹰﻘﺎ إﻳﺠﺎ ﹶد اﻟﻨﺴــ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ ﻟﺰواﻳﺎ ﺣﺎ ﱠد ﹴة‪ ،‬ﻣﺜ ﹺﻞ اﻟﻨﺴ ﹺﺐ ﺑﻴ ﹶﻦ‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫ •النسب المثلثية الأساسية في مثلث قائم الزاوية‪.‬‬ ‫أﻃﻮا ﹺل أﺿــﻼ ﹺع اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ﻗﺎﺋــ ﹺﻢ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‪ .‬وﻟﻜ ﹾﻦ‪ ،‬ﻛﻴــ ﹶﻒ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ إﻳﺠﺎ ﹸد‬ ‫اﻟﻨﺴ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ ﻟﺰاوﻳ ﹴﺔ أﻛﺒ ﹶﺮ ﻣ ﹾﻦ ‪ ،90º‬ﻣﺜ ﹺﻞ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﺷﻔﺮا ﹺت ﻣﺮوﺣ ﹺﺔ‬ ‫ﺗﻮﻟﻴ ﹺﺪ اﻟﻄﺎﻗ ﹺﺔ اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴ ﹺﺔ؟‬ ‫اﻟﺰاوﻳــ ﹸﺔ ﻫ ﹶﻲ اﺗﺤﺎ ﹸد ﺷــﻌﺎﻋ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻟ ﹸﻬﻤــﺎ ﻧﻘﻄ ﹸﺔ اﻟﺒﺪاﻳ ﹺﺔ ﻧﻔ ﹸﺴــﻬﺎ‪ .‬واﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ اﻟﻤﺸــﺘﺮﻛ ﹸﺔ ﹸﺗﻌــ ﹶﺮ ﹸف ﺑﺮأ ﹺس‬ ‫إرﺷﺎ ٌد‬ ‫ا ﱢﺗﺠﺎ ﹸه ﺣﺮﻛ ﹺﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‪ ،‬أ ﹼﻣﺎ اﻟﺸــﻌﺎﻋﺎ ﹺن ﻓ ﹸﻴﺴــ ﹼﻤﻰ أﺣ ﹸﺪ ﹸﻫﻤﺎ ﺿﻠ ﹶﻊ اﻻﺑﺘﺪا ﹺء )‪ ،(initial side‬واﻵﺧ ﹸﺮ ﺿﻠ ﹶﻊ اﻻﻧﺘﻬﺎ ﹺء‬ ‫ﻋﻘﺎر ﹺب اﻟﺴﺎﻋ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫)‪ .(terminal side‬ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎﺳﺎ ﹺن ﻷ ﱢي زاوﻳ ﹴﺔ؛ أﺣ ﹸﺪ ﹸﻫﻤﺎ ﻣﻮﺟ ﹲﺐ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺪو ﹸر ﺿﻠ ﹸﻊ اﻻﺑﺘﺪا ﹺء ﻋﻜ ﹶﺲ‬ ‫اﺗﺠﺎ ﹺه ﺣﺮﻛ ﹺﺔ ﻋﻘﺎر ﹺب اﻟﺴــﺎﻋ ﹺﺔ‪ ،‬واﻵﺧ ﹸﺮ ﺳﺎﻟ ﹲﺐ ﺣﻴ ﹶﻦ ﻳﺪو ﹸر ﺿﻠ ﹸﻊ اﻻﺑﺘﺪا ﹺء ﻣ ﹶﻊ اﺗﺠﺎ ﹺه ﺣﺮﻛ ﹺﺔ ﻋﻘﺎر ﹺب‬ ‫ﻋﻜ ﹸﺲ ﺣﺮﻛ ﹺﺔ‬ ‫ﻋﻘﺎر ﹺب اﻟﺴﺎﻋ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺴﺎﻋ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫التهيئة‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺿﻠ ﹸﻊ اﻻﻧﺘﻬﺎ ﹺء‬ ‫ﺿﻠ ﹸﻊ اﻻﻧﺘﻬﺎ ﹺء‬ ‫ﻗﻴﺎ ﹲس ﺳﺎﻟ ﹲﺐ‬ ‫ﻗﻴﺎ ﹲس ﻣﻮﺟ ﹲﺐ‬ ‫ •ارسم على اللوح مجموعة من الزوايا (حادة‪ ،‬منفرجة‪،‬‬ ‫منعكسة‪ ،‬مستقيمة)‪ ،‬وذ ِّكر الطلبة بمفهوم الزاوية‪.‬‬ ‫ﺿﻠ ﹸﻊ اﻻﺑﺘﺪا ﹺء‬ ‫ﺿﻠ ﹸﻊ اﻻﺑﺘﺪا ﹺء‬ ‫ •اســتعمل المنقلة لقياس كل زاوية‪ُ ،‬مم ِّي ًزا بين القياس‬ ‫ﺗﻜﻮ ﹸن اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ اﻟﻤﺮﺳــﻮﻣ ﹸﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ )‪(standard position‬‬ ‫الموجب والقياس السالب للزاوية‪.‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن رأ ﹸﺳﻬﺎ ﻋﻨ ﹶﺪ ﻧﻘﻄ ﹺﺔ اﻷﺻ ﹺﻞ )‪ ،(0, 0‬وﺿﻠ ﹸﻊ اﺑﺘﺪا ﹺﺋﻬﺎ ﹸﻣﻨﻄﺒﹺ ﹰﻘﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮ ﹺر ‪ x‬اﻟﻤﻮﺟ ﹺﺐ‪.‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بالنسب المثلثية الأساسية للزاوية الحادة‪،‬‬ ‫‪78‬‬ ‫ثم اســألهم‪ :‬ما أكبر قيمة لنسبة جيب الزاوية الحادة؟‬ ‫ما أصغر قيمة؟ ثم ك ِّرر السؤال عن نسبة جيب التمام‪.‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫المجال العاطفي لا يقل أهمية عن المجال المعرفي؛‬ ‫فلا تقل لأحد الطلبة‪( :‬إجابتك خطأ)‪ ،‬بل قل له‪( :‬لقد‬ ‫اقتربت من الإجابة الصحيحة‪ ،‬فمن يســتطيع إعطاء‬ ‫إجابة ُأخرى؟)‪ ،‬أو قل له‪( :‬هذه إجابة صحيحة لغير‬ ‫هذا السؤال)‪.‬‬ ‫‪78‬‬

‫ملاحظات المعلم‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المسألة في بند (مسألة اليوم)‪ ،‬وامنحهم دقيقة لذلك‪.‬‬ ‫ •ارسم على اللوح الزاوية بين شفرات مروحة توليد الطاقة الكهربائية بصورة تقريبية‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •ارسم مثل ًثا يحوي زاوية قياسها ‪ ،120‬ثم اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »كيف يمكن إيجاد النسب المثلثية لهذه الزاوية؟‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »أي ضلع هو الوتر في هذا المثلث؟‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة‪ ،‬ثم اسألهم كل مرة‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »من يؤيد الإجابة؟‬ ‫ »من لديه إجابة ُأخرى؟‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »اذكرها‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫ •ارسم على اللوح مجموعة من الزوايا في المستوى الإحداثي‪ ،‬ووضح للطلبة كيف تكون الزاوية‬ ‫ •قد يخلــط بعض الطلبــة بين ضلع‬ ‫في الوضع القياسي‪.‬‬ ‫الابتداء وضلع الانتهاء للزاوية؛ لذا‬ ‫أ ِّكد لهم أن ضلع الابتداء هو الضلع‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة تدوين الشروط اللازمة لتكون الزاوية في الوضع القياسي في دفاترهم‪.‬‬ ‫الذي نبدأ منه قياس الزاوية‪.‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫ •قد يواجــه بعض الطلبــة صعوبات‬ ‫في قياس الزوايا بالقــراءة الموجبة‬ ‫ •نا ِقــش الطلبة في حل المثال ‪ 1‬الذي يوضح حالة لزاوية في الوضع غير القياســي‪ ،‬وحالة ُأخرى‬ ‫والقراءة السالبة باستعمال المنقلة؛‬ ‫لزاوية في الوضع القياسي‪.‬‬ ‫لذا ر ِّكز علــى مهــارة تثبيت مركز‬ ‫المنقلــة عنــد رأس الزاويــة وخط‬ ‫ •اسأل الطلبة عن الشروط الواجب توافرها لتكون الزاوية في الوضع القياسي‪.‬‬ ‫الصفر علــى ضلع الابتــداء‪ .‬وإذا‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة‪ ،‬ثم اسألهم كل مرة‪:‬‬ ‫تحرك عكس اتجــاه حركة عقارب‬ ‫ »من يؤيد الإجابة؟‬ ‫الســاعة‪ ،‬فإن ضلع الانتهاء سيشير‬ ‫ »من لديه إجابة ُأخرى؟‬ ‫إلى القراءة الموجبــة للزاوية‪ ،‬وإذا‬ ‫ »اذكرها‪.‬‬ ‫تحرك باتجاه حركة عقارب الساعة‪،‬‬ ‫فإن ضلع الانتهاء سيشير إلى القراءة‬ ‫وبذلك تعزز لديهم المهارات الشخصية‪ :‬التواصل‪ ،‬والتعبير عن الرأي‪ ،‬والتفكير الناقد‪.‬‬ ‫ •وضح للطلبة أن الزاوية ‪ angle‬المرسومة في المستوى الإحداثي ‪ coordinates plane‬تكون‬ ‫السالبة للزاوية‪.‬‬ ‫بالوضع القياسي ‪ standard position‬عند تحقق شرطين م ًعا‪ :‬رأس الزاوية ‪ vertex‬في نقطة‬ ‫الأصل ‪ ،origin‬وضلع الابتداء ‪ initial side‬لها منطبق على المحور ‪.(x-axis) x‬‬ ‫ •وضــح للطلبة أنه لا علاقــة لموضع ضلع الانتهــاء ‪ terminal side‬للزاوية بكونها في الوضع‬ ‫القياســي أو غير ذلك‪ ،‬وذ ِّكر بالقياس الموجب (عكس اتجاه حركة عقارب الســاعة)‪ ،‬والقياس‬ ‫السالب (اتجاه حركة عقارب الساعة) للزاوية‪.‬‬ ‫ •اسأل الطلبة عن تقدير قياس الزاوية في كل فرع‪ ،‬وكيف ق َّدروا القياس‪.‬‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‪:‬‬ ‫ك َّرر المصطلحات الرياضية المستخدمة في الدرس باللغتين العربية والإنجليزية‪ ،‬وش ِّجع الطلبة على استعمالها‪.‬‬ ‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى حل التدريب في بند (أتحقق من فهمي) بعد كل مثال‪.‬‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحوي أخطاء مفاهيمية‪ ،‬ثم نا ِقشها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اسم الطالب‬ ‫الذي أخطأ في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬ ‫‪78A‬‬

‫إرشادات للمعلم‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪3‬‬ ‫ •اســتعمل لو ًحا متحر ًكا (إن توافر) مرسوم عليه‬ ‫‪y‬‬ ‫اﻻﻧﺿﺘﻠﻬ ﹸﺎﻊ ﹺء‬ ‫‪y‬‬ ‫نظام المحاور الإحداثيــة المتعامدة عند تقديم‬ ‫‪C‬‬ ‫الزوايا في الوضع القياسي‪.‬‬ ‫‪BA‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ •إذا توافر لديك جهاز حاســوب وجهاز عرض‪،‬‬ ‫اﻻﺑﺿﺘﻠﺪ ﹸاﻊ ﹺء‬ ‫فيمكنك توظيف برمجية جيوجبرا لرســم زوايا‬ ‫زاوﻳ ﹲﺔ ﰲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ ﻏ ﹺﲑ اﻟﻘﻴﺎ ﱢﳼ‪.‬‬ ‫في الوضع القياسي‪ ،‬وتوضيح القراءة الموجبة‬ ‫زاوﻳ ﹲﺔ ﰲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎ ﱢﳼ‪.‬‬ ‫والقراءة السالبة لقياسها‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي‪:1‬‬ ‫ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﺰاوﻳﺘﺎ ﹺن اﻵﺗﻴﺘﺎ ﹺن ﻓﻲ وﺿ ﹴﻊ ﻗﻴﺎﺳ ﱟﻲ أ ﹾم ﻻ‪ ،‬ﹸﻣﺒ ﱢﻴ ﹰﻨﺎ اﻟﺴﺒ ﹶﺐ‪:‬‬ ‫‪ )1‬الزاوية فــي الوضع القياســي؛ لأن رأســها في نقطة‬ ‫‪1y‬‬ ‫الأصل‪ ،‬وضلع الابتداء منطبق على المحور ‪.x‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪Ax‬‬ ‫اﻟﺰاوﻳــ ﹸﺔ ‪ AOB‬ﻟﻴ ﹶﺴــ ﹾﺖ ﻓﻲ وﺿ ﹴﻊ ﻗﻴﺎﺳــ ﱟﻲ؛‬ ‫‪ )2‬الزاوية ليســت في الوضع القياسي؛ لأن ضلع الابتداء‬ ‫‪O‬‬ ‫ﻷ ﱠن ﺿﻠــ ﹶﻊ اﺑﺘﺪا ﹺﺋﻬﺎ ﻻ ﻳﻨﻄﺒــ ﹸﻖ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮ ﹺر ‪x‬‬ ‫غير منطبق على المحور ‪.x‬‬ ‫اﻟﻤﻮﺟ ﹺﺐ‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪x‬‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ ‪ COD‬ﻓﻲ وﺿ ﹴﻊ ﻗﻴﺎﺳــ ﱟﻲ؛ ﻷ ﱠن ﺿﻠ ﹶﻊ‬ ‫اﺑﺘﺪا ﹺﺋﻬــﺎ ﻳﻨﻄﺒ ﹸﻖ ﻋﻠــﻰ ﻣﺤــﻮ ﹺر ‪ x‬اﻟﻤﻮﺟ ﹺﺐ‪،‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ورأ ﹸﺳﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻧﻘﻄ ﹺﺔ اﻷﺻ ﹺﻞ ‪.O‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﺰاوﻳﺘﺎ ﹺن اﻵﺗﻴﺘﺎ ﹺن ﻓﻲ وﺿ ﹴﻊ ﻗﻴﺎﺳ ﱟﻲ أ ﹾم ﻻ‪ ،‬ﹸﻣﺒ ﱢﻴ ﹰﻨﺎ اﻟﺴﺒ ﹶﺐ‪ :‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫‪yy‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪BA‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪79‬‬ ‫‪79‬‬

‫إذا دا ﹶر ﺿﻠ ﹸﻊ زاوﻳ ﹴﺔ ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳــ ﱢﻲ دور ﹰة ﻛﺎﻣﻠ ﹰﺔ ﻋﻜ ﹶﺲ اﺗﺠﺎ ﹺه ﺣﺮﻛ ﹺﺔ ﻋﻘﺎر ﹺب اﻟﺴــﺎﻋ ﹺﺔ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ‬ ‫ •و ِّضح للطلبة مفهوم الدورة الكاملة‪ ،‬وأنه إذا دار ضلع‬ ‫ﻳﺼﻨ ﹸﻊ زواﻳﺎ ﻗﻴﺎﺳــﺎ ﹸﺗﻬﺎ ﺑﻴ ﹶﻦ ‪ 0º‬ﹶو ‪ .360º‬وإذا اﺳﺘﻤ ﱠﺮ ﻓﻲ دوراﻧﹺ ﹺﻪ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻳﺼﻨ ﹸﻊ زواﻳﺎ ﻗﻴﺎﺳﺎ ﹸﺗﻬﺎ أﻛﺒ ﹸﺮ ﻣ ﹾﻦ‬ ‫انتهاء الزاوية عكس اتجاه حركة عقارب الســاعة أكثر‬ ‫من دورة كاملــة‪ ،‬فإنه تنتج زاويــة ذات قراءة موجبة‬ ‫‪.360º‬‬ ‫تكافئ زاوية يقع قياسها بين ‪ 0°‬و ‪.360°‬‬ ‫‪y‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫‪490º‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ •نا ِقش على اللوح المثال ‪ 2‬الذي يبين كيفية رسم زاوية‬ ‫في الوضع القياســي عندما يكون قياسها أقل أو أكبر‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬ ‫من ‪ 360°‬أو أكبر منها‪.‬‬ ‫أرﺳ ﹸﻢ ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ اﻟﺰاوﻳ ﹶﺔ اﻟﻤﻌﻄﻰ ﻗﻴﺎ ﹸﺳﻬﺎ ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ ،‬ﹸﻣﺤ ﱢﺪ ﹰدا ﻣﻜﺎ ﹶﻧﻬﺎ‪:‬‬ ‫ •وضــح للطلبة خطــوات منظمة لرســم زاوية معطى‬ ‫قياســها في المســتوى الإحداثي بالوضع القياســي‬ ‫‪1 130º‬‬ ‫أرﺳ ﹸﻢ اﻟﻤﺤﻮر ﹾﻳ ﹺﻦ اﻹﺣﺪاﺛﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬وﻣ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹺﺔ اﻷﺻ ﹺﻞ أرﺳ ﹸﻢ ﺿﻠ ﹶﻊ اﻻﺑﺘﺪا ﹺء‬ ‫إرﺷﺎ ٌد‬ ‫‪y‬‬ ‫ﹸﻣﻨﻄﺒﹺ ﹰﻘــﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮ ﹺر ‪ x‬اﻟﻤﻮﺟ ﹺﺐ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﺿ ﹸﻊ ﻣﺮﻛــ ﹶﺰ اﻟﻤﻨﻘﻠ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ ﻧﻘﻄ ﹺﺔ‬ ‫اﻟﻤﻨﻘﻠ ﹸﺔ ذا ﹸت ﺷــﻜ ﹺﻞ ﻧﺼ ﹺﻒ‬ ‫للزاوية‪.‬‬ ‫اﻷﺻ ﹺﻞ‪ ،‬وﺗﺪرﻳ ﹶﺞ اﻟﻤﻨﻘﻠ ﹺﺔ ‪ 0º‬ﻋﻠﻰ ﺿﻠ ﹺﻊ اﻻﺑﺘﺪا ﹺء‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﻋ ﱢﻴ ﹸﻦ ﻧﻘﻄ ﹰﺔ ﻣﻘﺎﺑ ﹶﻞ‬ ‫اﻟﺪاﺋــﺮ ﹺة ﻟﻬــﺎ ﺗﺪرﻳﺠــﺎ ﹺن‬ ‫ •أ ِّكــد أنــه إذا كان القيــاس المعطى للزاويــة المراد‬ ‫‪130º‬‬ ‫اﻟﺘﺪرﻳ ﹺﺞ ‪ .130º‬ﺑﻌ ﹶﺪ ذﻟ ﹶﻚ أرﺳــ ﹸﻢ ﺿﻠ ﹶﻊ اﻻﻧﺘﻬﺎ ﹺء ﻣ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹺﺔ اﻷﺻ ﹺﻞ إﻟﻰ‬ ‫ﻣﺘﻌﺎﻛﺴــﺎ ﹺن‪ ،‬ﻳﺒﺪ ﹸأ ﻛ ﱞﻞ ﻣﻨﹾ ﹸﻬﻤﺎ‬ ‫رسمها بالوضع القياســي أكبر من ‪ ،360°‬فإننا نطرح‬ ‫اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﻋ ﱠﻴﻨﹾ ﹸﺘﻬﺎ‪ ،‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ أ ﱠن ﺿﻠ ﹶﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﻳﻘ ﹸﻊ ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪.‬‬ ‫مضاع ًفا مناســ ًبا لقياس الدورة الواحــدة الكاملة من‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻣ ﹾﻦ ‪ ،0º‬وﻳﻨﺘﻬﻲ ﻋﻨ ﹶﺪ ‪180º‬؛‬ ‫القياس المعطى للحصول على قيــاس يقع بين ‪ 0°‬و‬ ‫‪ ،360°‬وعند رســم الزاوية يراعى عدد الدورات وفق‬ ‫‪2 580º‬‬ ‫ﺑﻤــﺎ أ ﱠن ‪ ،580º = 360º + 220º‬ﻓﺈ ﱠن ﺿﻠــ ﹶﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ 580º‬ﻫ ﹶﻮ‬ ‫ﻟــﺬا ﻳﺠــ ﹸﺐ داﺋ ﹰﻤــﺎ وﺿ ﹸﻊ‬ ‫‪y‬‬ ‫ﻧﻔ ﹸﺴ ﹸﻪ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ 220º‬اﻟﺬي ﻳﻘ ﹸﻊ ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻟ ﹺﺚ‪.‬‬ ‫المضاعف ال ُمح َّدد‪.‬‬ ‫اﻟﺘﺪرﻳ ﹺﺞ ﻋﻠﻰ ﺿﻠ ﹺﻊ اﺑﺘﺪا ﹺء‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة في كل مرة تحديد الربع ‪quadrant‬‬ ‫‪580º‬‬ ‫‪x‬‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﻋﻨ ﹶﺪ ﻗﻴﺎ ﹺﺳﻬﺎ‪ ،‬أ ﹾو‬ ‫الذي ُر ِسم فيه ضلع الانتهاء‪.‬‬ ‫رﺳ ﹺﻤﻬﺎ‪.‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ •قد يواجــه بعــض الطلبة من ذوي المســتوى‬ ‫أرﺳ ﹸﻢ زاوﻳ ﹰﺔ ﻗﻴﺎ ﹸﺳﻬﺎ ‪ 460º‬ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ‪ ،‬ﹸﻣﺤ ﱢﺪ ﹰدا ﻣﻜﺎ ﹶﻧﻬﺎ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫المتوســط ودون المتوســط صعوبة في رسم‬ ‫الزوايــا التــي هي أكبــر مــن ‪ ،540‬وأقل من‬ ‫‪80‬‬ ‫‪ ،720‬فيرســمون ضلع انتهائها في الربع الثاني؛‬ ‫لــذا ن ِّبههم على ضرورة وضــع المنقلة بصورة‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي‪:2‬‬ ‫صحيحــة عند رســم الزاوية‪ .‬يمكنــك توزيع‬ ‫الطلبة إلى مجموعات متجانسة‪ ،‬وتوزيع الطلبة‬ ‫‪460° = 360° + 100°‬‬ ‫الذين أتقنوا الرســم على المجموعات ليعينوا‬ ‫وعليه‪ ،‬فإن ضلع الانتهاء سيظهر في الربع الثاني‪.‬‬ ‫زملاءهم‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫‪C‬‬ ‫ •ارسم الزوايا الآتية في الوضع القياسي‪:‬‬ ‫˚‪100‬‬ ‫‪Ax‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪1   490°‬‬ ‫‪2   560°‬‬ ‫‪3   670°‬‬ ‫‪80‬‬

‫مثال ‪3‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪3‬‬ ‫ •ابدأ برســم دائرة في المستوى الإحداثي بحيث يكون‬ ‫داﺋﺮ ﹸة اﻟﻮﺣﺪ ﹺة )‪ (unit circle‬ﻫ ﹶﻲ داﺋﺮ ﹲة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ﻧﻘﻄ ﹸﺔ اﻷﺻ ﹺﻞ‪ ،‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ وﺣﺪ ﹲة واﺣﺪ ﹲة‪.‬‬ ‫مركزها في نقطة الأصل‪ ،‬ثم ع ِّرف دائرة الوحدة ‪unit‬‬ ‫إذا ﹸر ﹺﺳ ﹶﻤ ﹺﺖاﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ ﻓﻲاﻟﻮﺿ ﹺﻊاﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ‪،‬ﻓﺈ ﱠنﺿﻠ ﹶﻊاﻧﺘﻬﺎ ﹺﺋﻬﺎﻳﻘﻄ ﹸﻊداﺋﺮ ﹶةاﻟﻮﺣﺪ ﹺةﻓﻲﻧﻘﻄ ﹴﺔوﺣﻴﺪ ﹴةﻫ ﹶﻲ‬ ‫‪. circle‬‬ ‫)‪ .P(x, y‬وﻣ ﹶﻊ ﺗﻐ ﱡﻴ ﹺﺮ ﻗﻴﺎ ﹺس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﻳﺘﻐ ﱠﻴ ﹸﺮ ﻣﻮﻗ ﹸﻊ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ P‬ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ ،‬وﻳﺘﻐ ﱠﻴ ﹸﺮ إﺣﺪاﺛ ﹼﻴﺎﻫﺎ‪.‬‬ ‫ •ارســم الزاوية ‪ θ‬بالوضع القياســي في الربع الأول‪،‬‬ ‫‪y‬‬ ‫بحيث يقطع ضلع انتهائها دائرة الوحدة في نقطة مثل‬ ‫‪ ،P‬وذ ِّكــر الطلبة بأن الزاوية الحادة تســمى ‪،acute‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(x,y‬‬ ‫وع ِّرف النســب المثلثية الأساســية للزاوية ‪ θ‬بدلالة‬ ‫‪x‬‬ ‫إحداثيي )‪ ،P(x, y‬ليستنتجوا أن )‪.P(cos θ , sine θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثال ‪ ،3‬ثم اطلب إليهم ‪-‬في كل‬ ‫‪O‬‬ ‫فرع‪ -‬تحديد الربع الذي يقع فيــه ضلع انتهاء الزاوية‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ اﻟﻨﺴ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴ ﹺﺔ ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ إﺣﺪاﺛ ﱠﻴ ﹾﻲ ‪ P‬ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫رﻣﻮ ٌز رﻳﺎﺿﻴ ٌﺔ‬ ‫في دائرة الوحدة قبل رسمها‪ ،‬ثم تبرير إجاباتهم‪.‬‬ ‫ﻳﺪ ﱡل اﻟﺮﻣ ﹸﺰ ‪ sin θ‬ﻋﻠﻰ ﻧﺴﺒ ﹺﺔ‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫اﻟ ﹸﻤﻘﺎﺑﹺ ﹶﻞ‬ ‫=‬ ‫‪y‬‬ ‫‪=y‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫اﻟﻤﺠﺎو ﹶر‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪=x‬‬ ‫ﺟﻴــ ﹺﺐ اﻟﺰاوﻳــ ﹺﺔ ‪ ،θ‬واﻟﺮﻣ ﹸﺰ‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫اﻟﻮﺗ ﹺﺮ‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﻮﺗ ﹺﺮ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ cos θ‬ﻋﻠــﻰ ﻧﺴــﺒ ﹺﺔ ﺟﻴ ﹺﺐ‬ ‫قــد يخطىء بعــض الطلبة في الإشــارة الموجبة أو‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫اﻟ ﹸﻤﻘﺎﺑﹺ ﹶﻞ‬ ‫=‬ ‫‪y‬‬ ‫‪,x≠0‬‬ ‫اﻟﺘﻤــﺎ ﹺم‪ ،‬واﻟﺮﻣ ﹸﺰ ‪ tan θ‬ﻋﻠﻰ‬ ‫السالبة عند قســمة ‪ sin x‬على ‪ cos x‬للحصول على‬ ‫اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻧﺴﺒ ﹺﺔ ﻇ ﱢﻞ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪.θ‬‬ ‫‪ tan x‬؛ لذا ذ ِّكــر الطلبة بحقائق الضرب والقســمة‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬ ‫إرﺷﺎ ٌد‬ ‫للأعداد الحقيقية‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻨﺴ ﹶﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹶﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴ ﹶﺔ ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ θ‬اﻟﻤﺮﺳﻮﻣ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ‪ ،‬اﻟﺘﻲ ﻳﻘﻄ ﹸﻊ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎﺋﹺﻬﺎ‬ ‫اﻟﻨﺴــ ﹸﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹸﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴ ﹸﺔ‬ ‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫داﺋﺮ ﹶة اﻟﻮﺣﺪ ﹺة ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ اﻟﻮارد ﹺة ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﻟﻠﺰاوﻳــ ﹺﺔ ﻫــ ﹶﻲ‪،sin :‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى إشــارات الأعداد علــى المحورين‬ ‫)‪1 P )– 0.6, 0.8‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﹶو ‪ ، cos‬ﹶو ‪.tan‬‬ ‫الإحداثييــن؛ لتحديــد إشــارات ‪ sin x‬و ‪ cos x‬في‬ ‫‪sin θ = y = 0.8,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪– 0.6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الأرباع المختلفة‪ ،‬بحيث ترتبط إشــارة ‪ cos x‬بإشارة‬ ‫‪cos θ = x = – 0.6,‬‬ ‫= ‪tan θ‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫الأعداد على المحور الأفقي ‪ ،x‬وترتبط إشارة ‪sin x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫–‬ ‫‪12‬‬ ‫بإشارة الأعداد على المحور الرأسي ‪.y‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبــة من ذوي المســتوى المتوســط وفوق‬ ‫‪sin θ = y = – 1123,‬‬ ‫‪cos θ = x = 153,‬‬ ‫= ‪tan θ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪–12/13‬‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫‪12‬‬ ‫المتوسط إلى حل السؤال الآتي‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5/13‬‬ ‫‪5‬‬ ‫النقطــة ‪ P‬تمثل نقطة تقاطع ضلع انتهــاء الزاوية مع‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫دائرة الوحدة‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻨﺴ ﹶﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹶﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴ ﹶﺔ ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ θ‬اﻟﻤﺮﺳﻮﻣ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ‪ ،‬اﻟﺘﻲ ﻳﻘﻄ ﹸﻊ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎﺋﹺﻬﺎ‬ ‫إذا كان ‪ ،sin θ = -0.8 , cos θ = 0.6‬فجــد‬ ‫إحداثيات النقطة ‪ ،P‬ثم ح ِّدد الربع الذي يقع فيه ضلع‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫‪.P‬‬ ‫–‬ ‫‪√22,‬‬ ‫–‬ ‫‪√2‬‬ ‫داﺋﺮ ﹶة اﻟﻮﺣﺪ ﹺة ﻋﻨ ﹶﺪ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫انتهاء الزاوية‪.‬‬ ‫‪81‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي‪:3‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪√2‬‬ ‫ ‪,‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪√2‬‬ ‫‪, tan θ = 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وضلع الانتهاء للزاوية يقع في الربع الثالث‪.‬‬ ‫‪81‬‬

‫مثال ‪4‬‬ ‫ﻋﻨ ﹶﺪ رﺳــ ﹺﻢ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳــ ﱢﻲ‪ ،‬ﻗ ﹾﺪ ﻳﻘ ﹸﻊ ﺿﻠــ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺﺋﻬﺎ ﻓﻲ أﺣ ﹺﺪ اﻷرﺑــﺎ ﹺع اﻷرﺑﻌ ﹺﺔ‪،‬‬ ‫ •عــ ِّرف الزاوية الربعيــة ‪ quadrantile angle‬بأنها‬ ‫ﻓﻴﻘــﺎ ﹸل ﻋﻨﺪﺋ ﹴﺬ إ ﱠن اﻟﺰاوﻳ ﹶﺔ واﻗﻌ ﹲﺔ ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ ﻛﺬا‪ ،‬وﻗــ ﹾﺪ ﻳﻨﻄﺒ ﹸﻖ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺﺋﻬﺎ ﻋﻠﻰ أﺣ ﹺﺪ اﻟﻤﺤﻮر ﹾﻳ ﹺﻦ‬ ‫الزاوية في الوضع القياســي التي ينطبق ضلع انتهائها‬ ‫على أحد المحورين الإحداثيين‪ ،‬وأنها تحدي ًدا الزوايا‬ ‫اﻹﺣﺪاﺛﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﻓ ﹸﺘﺴ ﹼﻤﻰ اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ ﻓﻲ ﻫﺬ ﹺه اﻟﺤﺎﻟ ﹺﺔ زاوﻳ ﹰﺔ رﺑﻌﻴ ﹰﺔ )‪.(quadrantal angle‬‬ ‫التي قياساتها‪. 0° (360° ), 90°, 180°, 270° :‬‬ ‫ﻣﻔﻬﻮ ٌم أﺳﺎﺳ ﱞﻲ‬ ‫اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﺮﺑﻌﻴ ﹸﺔ ﻓﻲ داﺋﺮ ﹺة اﻟﻮﺣﺪ ﹺة‪:‬‬ ‫ •اربــط كل زاوية ربعية بإحداثيــي النقطة ‪ p‬على دائرة‬ ‫الوحدة‪ ،‬ليسهل على الطلبة تذ ُّكر النسب المثلثية لهذه‬ ‫‪= 0º‬‬ ‫‪= 90º‬‬ ‫‪= 180º‬‬ ‫‪= 270º‬‬ ‫الزوايا‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪yy‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(0, 1‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪Ox‬‬ ‫‪θx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬ ‫)‪(1, 0‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪(-1, 0) O‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪(0, -1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(0, 1‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜــ ﹸﻦ ﺗﺤﺪﻳــ ﹸﺪ اﻟﻨﺴــ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴــ ﹺﺔ ﻟﻠﺰواﻳــﺎ اﻟﺮﺑﻌﻴ ﹺﺔ ﻣــ ﹾﻦ إﺣﺪاﺛﻴــﺎ ﹺت ﻧﻘــﺎ ﹺط ﺗﻘﺎﻃــ ﹺﻊ داﺋﺮ ﹺة‬ ‫)‪(-1, 0‬‬ ‫‪cos sin‬‬ ‫اﻟﻮﺣــﺪ ﹺة ﻣــ ﹶﻊ اﻟﻤﺤﻮر ﹾﻳــ ﹺﻦ اﻹﺣﺪاﺛﻴ ﹾﻴــ ﹺﻦ‪ .‬ﻓﻤﺜــ ﹰﻼ‪ ،‬ﻳﺘﻘﺎﻃــ ﹸﻊ ﺿﻠــ ﹸﻊ اﻧﺘﻬــﺎ ﹺء اﻟﺰاوﻳــ ﹺﺔ ‪ 90º‬ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳــ ﱢﻲ ﻣــ ﹶﻊ داﺋﺮ ﹺة اﻟﻮﺣــﺪ ﹺة ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄــ ﹺﺔ )‪ .P(0, 1‬وﺑﺬﻟــ ﹶﻚ‪ ،‬ﻓــﺈ ﱠن‪،sin 90º = 1 :‬‬ ‫ُأﻓ ﱢﻜ ُﺮ‬ ‫˚‪100‬‬ ‫)‪(1, 0‬‬ ‫‪ ،cos 90º = 0‬وﻳﻜﻮ ﹸن ‪ tan 90º‬ﻏﻴ ﹶﺮ ﹸﻣﻌ ﱠﺮ ﹴف ﻷ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻻ ﺗﺠﻮ ﹸز اﻟﻘﺴﻤ ﹸﺔ ﻋﻠﻰ ﺻﻔ ﹴﺮ‪.‬‬ ‫ﻫــ ﹾﻞ ﺳــﻴﺘﻐ ﱠﻴ ﹸﺮ ‪ sin 90º‬ﻟ ﹾﻮ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﹸر ﹺﺳــ ﹶﻤ ﹺﺖ اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ ﻓــﻲ داﺋﺮ ﹴة‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪4‬‬ ‫ﻃــﻮ ﹸل ﻧﺼــ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫــﺎ ﻻ‬ ‫)‪(0, -1‬‬ ‫أﻳ ﹶﻦ ﻳﻘﻄ ﹸﻊ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﻗﻴﺎ ﹸﺳــﻬﺎ ‪ 180º‬داﺋﺮ ﹶة اﻟﻮﺣﺪ ﹺة إذا ﹸر ﹺﺳ ﹶﻤ ﹾﺖ ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ؟‬ ‫ﻳﺴﺎوي وﺣﺪ ﹰة واﺣﺪ ﹰة؟‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻨﺴ ﹶﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹶﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴ ﹶﺔ ﻟﻬﺎ‪.‬‬ ‫)‪(cos 0°, sin 0°) → P(1, 0‬‬ ‫ﻳﻘﻄ ﹸﻊ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﻗﻴﺎ ﹸﺳﻬﺎ ‪ 180º‬داﺋﺮ ﹶة اﻟﻮﺣﺪ ﹺة ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ )‪ ،C(–1, 0‬إذ ﹾن‪:‬‬ ‫)‪(cos 90°, sin 90°) → P(0, 1‬‬ ‫)‪(cos 180°, sin 180°) → P(-1,0‬‬ ‫‪sin 180º = y = 0,‬‬ ‫‪cos 180º = x = – 1,‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪180º‬‬ ‫=‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪(cos 270°, sin 270°) → P(0, -1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثال ‪ 4‬الذي يبين حساب النسب‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫المثلثية لإحدى الزوايا الربعيــة‪ُ ،‬مب ِّينًا أن الإحداثي ‪x‬‬ ‫لنقطة تقاطع ضلع انتهاء الزاوية الربعية هو جيب تمام‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻨﺴ ﹶﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹶﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴ ﹶﺔ ﻟﻠﺰاوﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﻠﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻗﻴﺎ ﹸس ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻨ ﹸﻬﻤﺎ ‪ ،270º‬ﹶو ‪ 360º‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﻴ ﹺﺐ‪.‬‬ ‫الزاوية‪ ،‬وأن الإحداثي ‪ y‬هو جيب الزاوية‪.‬‬ ‫‪82‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫يخطئ بعض الطلبة في تحديد النسب ‪y‬‬ ‫المثلثية للزوايا الربعية‪ ،‬فيربطون نسبة )‪(0, 1‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫الاختصار ‪ .u.d‬يعني ‪undefined‬؛ أي غير ُمع َّرف‪.‬‬ ‫الجيب مع المحور ‪ ،x‬ونســبة جيب‬ ‫)‪(-1, 0‬‬ ‫التمام مع المحور ‪y‬؛ لــذا ذ ِّكرهم أن )‪θ (1, 0‬‬ ‫المحــور ‪ x‬يرتبط بالضلــع المجاور ‪x‬‬ ‫˚‪100‬‬ ‫للزاوية فــي وضعها القياســي‪ ،‬وأن‬ ‫)‪(0, -1‬‬ ‫المحور ‪ y‬يرتبط بالضلع المقابل لها‪،‬‬ ‫ود ِّربهم على تخيل الرسم في كل مرة‪.‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي‪:4‬‬ ‫‪sin 270° = -1, cos 270° = 0, tan 270° u.d.‬‬ ‫‪sin 360° = 0, cos 360° = 1, tan 360°= 0‬‬ ‫‪82‬‬

‫مثال ‪5‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪3‬‬ ‫ •ارســم الشــكل الآتي (من دون كتابة النسب المثلثية‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ‪ θ‬زاوﻳ ﹰﺔ ﺣﺎ ﱠد ﹰة‪ ،‬ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﹸﻳ ﹾﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ رﺳ ﹸﻢ ﻣﺜﻠ ﹴﺚ ﻗﺎﺋ ﹺﻢ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﺗﻜﻮ ﹸن ‪ θ‬إﺣﺪ￯ زواﻳﺎ ﹸه‪.‬‬ ‫الأساسية عليه) باستعمال أقلام ملونة‪ ،‬ثم اطلب إلى‬ ‫الطلبة تحديدها‪ ،‬ونا ِقشــهم فــي الإجابات‪ .‬إذا توافر‬ ‫‪(AB)2 + (BC)2 = (AC)2‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳ ﹸﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس‬ ‫جهاز حاســوب داخل غرفة الصــف‪ ،‬أو تم َّكنت من‬ ‫تقديم الدرس في مختبر الحاســوب‪ ،‬فارسم الشكل‬ ‫‪(BC)2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(AB)2‬‬ ‫=‬ ‫‪(AC)2‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋﻠﻰ ‪(AC)2‬‬ ‫‪(AC)2‬‬ ‫‪(AC)2‬‬ ‫‪(AC)2‬‬ ‫باستعمال برمجية جيوجبرا‪.‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪2=1‬‬ ‫ﺑﺘﻄﺒﻴ ﹺﻖ ﻗﻮاﻧﻴ ﹺﻦ اﻷﺳ ﹺﺲ‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪(cos θ)2 +(sin θ)2 =1‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫‪y‬‬ ‫اﻟﺮﺑ ﹸﻊ اﻷو ﹸل‬ ‫اﻟ ﹸﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﲏ‬ ‫ﺗﻈ ﱡﻞ ﻫﺬ ﹺه اﻟﻨﺘﻴﺠ ﹸﺔ ﺻﺤﻴﺤ ﹰﺔ ﺑﻘﻄ ﹺﻊ اﻟﻨﻈ ﹺﺮ ﻋ ﹾﻦ ﻗﻴﺎ ﹺس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ ،θ‬وﻫ ﹶﻲ ﹸﺗﺴﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد إﺣﺪ￯ ﻫﺎﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫اﻟﻨﺴﺒﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ إذا ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻤ ﹺﺖ اﻷﹸﺧﺮ￯ وﻟﻜﻦ ﻳﺠ ﹸﺐ ﻣﺮاﻋﺎ ﹸة إﺷﺎرا ﹺت اﻟﻨﺴ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ؛ ﻓﻬ ﹶﻲ ﺗﺨﺘﻠ ﹸﻒ ﺑﺤﺴ ﹺﺐ‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺬي ﻳﻘ ﹸﻊ ﻓﻴ ﹺﻪ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ ﻛﻤﺎ ﻫ ﹶﻮ ﹸﻣﻮ ﱠﺿ ﹲﺢ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪cosθ B‬‬ ‫اﻟ ﹸﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑ ُﻊ اﻟ ﹸﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟ ﹸﺚ‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θ tanθ‬‬ ‫‪1 sinθ‬‬ ‫‪θC‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪5‬‬ ‫˚‪100‬‬ ‫‪0D‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ اﻟﻨﺴﺒﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻷﺳﺎﺳﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﺒﺎﻗﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ إذا ﻛﺎ ﹶن‪:‬‬ ‫– = ‪ ، sin θ‬ووﻗ ﹶﻊ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء ‪ θ‬ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻟ ﹺﺚ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪cos2 θ + sin2 θ = 1‬‬ ‫ﻧﺘﻴﺠ ﹰﺔ ﻟﻨﻈﺮﻳ ﹺﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس‬ ‫‪cos2 θ +‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫=‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪sin θ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ •ح ِّرك موقع النقطة ‪ B‬إلى الربع الثاني‪ ،‬وو ِّضح للطلبة‬ ‫‪cos2‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫–‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪24‬‬ ‫اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫ﻣ ﹶﻦ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑﻄﺮ ﹺح‬ ‫أن الزاوية ‪ θ‬تصبح منفرجة ‪ ،obtuse‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ •ما إشــارة ك ٍّل من الإحداثــي ‪ x‬والإحداثي ‪ y‬للنقطة؟‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪±‬‬ ‫‪√24‬‬ ‫ﺑﺄﺧ ﹺﺬ اﻟﺠﺬ ﹺر اﻟﺘﺮﺑﻴﻌ ﱢﻲ ﻟﻠﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫سالب ‪ ،‬موجب‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ •هل تتوقع أن تكون جميع قيم النسب المثلثية للزاوية‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫‪√24‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻟ ﹺﺚ ﻳﻜﻮ ﹸن ‪ cos θ‬ﺳﺎﻟ ﹰﺒﺎ‬ ‫موجبة؟ لماذا؟ لا‪ ،‬ستتنوع إجابات الطلبة‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ •ما دلالة الإشارة السالبة للإحداثي ‪x‬؟ النسب المثلثية‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪= –1/5 = 1‬‬ ‫‪ cos θ‬و ‪ tan θ‬ستكون سالبة‪ ،‬في حين يكون ‪sin θ‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪–√24 /5 √24‬‬ ‫موج ًبا‪.‬‬ ‫‪83‬‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة‪ ،‬ثم اسألهم كل مرة‪:‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثال ‪ 5‬الذي يوضح استعمال المتطابقة المثلثية الأساسية‬ ‫ »من يؤيد الإجابة؟‬ ‫في إيجاد باقي النسب المثلثية لزاوية ما إذا ُع ِلمت إحدى هذه النسب‪ ،‬ور ِّكز في‬ ‫ »من لديه إجابة ُأخرى؟‬ ‫الفرع ‪ 1‬على خطوة أخذ الجذر التربيعي للطرفين‪ ،‬وأهمية كتابة ‪ ±‬لقيمة النسبة‬ ‫المثلثية‪ُ ،‬مب ِّينًا أن اختيار القيمة الموجبة أو القيمة الســالبة للنسبة المثلثية يعتمد‬ ‫ »اذكرها‪.‬‬ ‫ •ك ِّرر الأسئلة الســابقة بعد تحريك موقع النقطة ‪ B‬إلى‬ ‫على تحديد إشارتها حسب الربع الذي تقع فيه الزاوية‪.‬‬ ‫الربع الثالث‪ ،‬وو ِّضح للطلبــة أن قياس الزاوية ‪ θ‬يقع‬ ‫ •في الفرع ‪ ،2‬ر ِّكز على خطوة اســتبدال ‪ sin x‬بدلالــة ‪( cos x‬أو العكس) قبل‬ ‫بين ‪ 180°‬و ‪ ، 270°‬ثم ح ِّرك موقع النقطة ‪ B‬إلى الربع‬ ‫اســتعمال المتطابقة المثلثية الأساســية‪ ،‬وأ ِّكد وجوب تنفيذ هذه الخطوة عندما‬ ‫الرابع‪ُ ،‬مب ِّينًا أن قياس الزاوية ‪ θ‬يقع بين ‪ 270°‬و ‪.360°‬‬ ‫ •اســتعمل نظرية فيثاغورس للتو ُّصل إلــى المتطابقة‬ ‫يكون المعطى هو ‪.tan x‬‬ ‫‪ Identity‬المثلثية الأساســية ‪،sin2x + cos2x = 1‬‬ ‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫في دائرة الوحدة‪.‬‬ ‫اســتعمل الاختصار ‪ ASTC‬لمســاعدة الطلبة على تذ ُّكر إشــارات النسب المثلثية‬ ‫الأساســية في الأرباع الأربعة؛ إذ ترمز حروف هذا الاختصار إلى النســبة ‪ /‬النسب‬ ‫‪83‬‬ ‫الموجبة في كل ربع على الترتيب‪ ،‬بد ًءا بالربع الأول‪:‬‬ ‫)‪(All, Sine, Tangent, Cosine‬‬

‫‪ ، tan θ = –3.5 2‬ووﻗ ﹶﻊ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء ‪ θ‬ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪.‬‬ ‫إرشــاد‪ :‬و ِّجه الطلبــة إلى اســتعمال الرمز‬ ‫≈ للدلالة على تقريب النواتج عند اســتعمال الآلة‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫الحاسبة‪.‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪= – 3.5‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫تنويع التعليم‬ ‫‪cos‬‬ ‫يمكن الاســتعانة بوســيلة تعليمية ُي ِع ُّدهــا المع ِّلم‪ ،‬وهي‬ ‫ﺑﻀﺮ ﹺب اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ ‪cos θ‬‬ ‫لوح من الكرتون ُر ِســم عليه دائرة الوحدة في المســتوى‬ ‫‪sin θ = – 3.5 cos θ‬‬ ‫ﻧﺘﻴﺠ ﹰﺔ ﻟﻨﻈﺮﻳ ﹺﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس‬ ‫الإحداثي‪ ،‬ومســطرة (تمثل ضلع انتهــاء الزاوية ‪ُ ،)θ‬ث ِّبت‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪sin θ‬‬ ‫على أحــد طرفيها خيط صوف حر‪ ،‬وعلــى طرفها الآخر‬ ‫‪cos2 θ + sin2 θ = 1‬‬ ‫دبوس في نقطــة الأصل (رأس الزاوية)‪ .‬ثــم يبدأ المع ِّلم‬ ‫بتحريك المســطرة بد ًءا من ضلع ابتداء الزاوية‪ ،‬ويســأل‬ ‫‪cos2 θ + (– 3.5 cos θ)2 = 1‬‬ ‫ﺑﺮ ﹶع ﻋﺎﻟﹺ ﹸﻢ اﻟ ﹶﻔﻠ ﹺﻚ واﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎ ﹺت‬ ‫الطلبــة عن أثر ازدياد قياس الزاويــة في كل من الضلعين‪:‬‬ ‫اﻟ ﹸﻤ ﹾﺴ ﹺﻠ ﹸﻢ ﻣﺤﻤ ﹸﺪﺑ ﹸﻦ ﺟﺎﺑ ﹴﺮ اﻟﺒﺘﺎﻧ ﱡﻲ‬ ‫المجاور‪ ،‬والمقابل (خيط الصوف)‪ ،‬لاســتنتاج إشارات‬ ‫‪cos2 θ + 12.25 cos2 θ = 1‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺮﺑﻴ ﹺﻊ‬ ‫ﻓﻲ ﻋﻠ ﹺﻢ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎ ﹺت‪ ،‬واﻛﺘﺸ ﹶﻒ‬ ‫‪13.25 cos2 θ = 1‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫النسب المثلثية الأساسية في الأرباع الأربعة‪.‬‬ ‫اﻟﻌﺪﻳ ﹶﺪ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻌﻼﻗﺎ ﹺت اﻟ ﹸﻤﻬ ﱠﻤ ﹺﺔ‬ ‫‪cos2‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋﻠﻰ ‪13.25‬‬ ‫ﻋ ﹺﻦ اﻟﻨﺴ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ‪ ،‬ﻣﺜ ﹶﻞ‪:‬‬ ‫‪13.25‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪±‬‬ ‫√‬ ‫‪1‬‬ ‫‪≈ ± 0.2747‬‬ ‫ﺑﺄﺧ ﹺﺬ اﻟﺠﺬ ﹺر اﻟﺘﺮﺑﻴﻌ ﱢﻲ ﻟﻠﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‪،‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪13.25‬‬ ‫واﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫‪cos θ = – 0.2747‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻳﻜﻮ ﹸن ‪ cos θ‬ﺳﺎﻟ ﹰﺒﺎ‬ ‫‪sin θ = – 3.5 × – 0.2747‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪cos θ‬‬ ‫‪= 0.96145 ≈ 0.96‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫المفاهيم العابرة‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ ‪ sin θ‬ﹶو ‪ tan θ‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،cos θ = 0.8‬ووﻗ ﹶﻊ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء ‪ θ‬ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ‬ ‫بعــد الانتهاء من حــل المثــال ‪ ،5‬ع ِّزز الوعــي بالقضايا‬ ‫الإنســانية (تقدير العلم والعلماء) عــن طريق حوار تديره‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺮاﺑ ﹺﻊ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫مــع الطلبة عن دور العالِم البتاني في تطوير علم المثلثات‪،‬‬ ‫وتوجيههم إلى البحث في مصادر المعرفة المتاحة‪ ،‬وإعداد‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫تقرير بإسهاماته في تطور هذا العلم‪ ،‬وتضمينه أسماء علماء‬ ‫آخرين كان لهم دور بارز مثله‪ُ ،‬مؤ ِّك ًدا ضرورة توثيق مصدر‬ ‫أرﺳ ﹸﻢ اﻟﺰواﻳﺎ اﻵﺗﻴ ﹶﺔ ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ‪ 1-4 :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫معلوماتهم‪.‬‬ ‫‪1 225º‬‬ ‫‪2 160º‬‬ ‫‪3 330º‬‬ ‫‪4 240º‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ ‪5 285º‬‬ ‫ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد اﻟﺮﺑ ﹶﻊ اﻟﺬي ﻳﻘ ﹸﻊ ﻓﻴ ﹺﻪ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء ﻛ ﱢﻞ زاوﻳ ﹴﺔ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ إذا ﹸر ﹺﺳ ﹶﻤ ﹾﺖ ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 8 265º‬اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 7 100º‬اﻟﺮﺑﻊ اﻷول ‪6 75º‬‬ ‫‪84‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي‪:5‬‬ ‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(sinx)2 + (0.8)2 = 1‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة بند (أتدرب وأحل المســائل)‪،‬‬ ‫‪(sinx)2 = 1-0.64 = 0.36‬‬ ‫ثم اطلــب إليهم حل المســائل فيها‪ .‬يمكــن اختيار‬ ‫‪     sinx = ± 0.6‬‬ ‫الأسئلة ذات الأرقام الزوجية لحلها في الصف ضمن‬ ‫ولأن ضلع انتهاء الزاوية في الربع الرابع؛ فإن‪:‬‬ ‫مجموعات‪.‬‬ ‫ •إذا واجــه بعض الطلبــة صعوبة في حل أي مســألة‪،‬‬ ‫‪sinx = - 0.6‬‬ ‫فاختر طال ًبا تم َّكن من حل المسألة‪ ،‬واطلب إليه كتابة‬ ‫‪tanx‬‬ ‫=‬ ‫‪-0.6‬‬ ‫=‬ ‫‪-0.75‬‬ ‫حله على اللوح‪.‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪84‬‬

‫مهارات التفكير العليا‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪3‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة ‪ -‬ضمن مجموعات ثنائية غير متجانســة‪-‬‬ ‫ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد اﻟﺮﺑ ﹶﻊ )أ ﹺو اﻷرﺑﺎ ﹶع( اﻟﺬي ﻳﻘ ﹸﻊ ﻓﻴ ﹺﻪ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ θ‬ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ إذا ﻛﺎ ﹶن‪:‬‬ ‫إلى حل المسائل في بند (مهارات التفكير العليا)‪ ،‬وذ ِّكر‬ ‫كل مجموعــة بكتابة مبرر للإجابة التــي تو َّصلوا لها‪،‬‬ ‫‪9 sin > 0‬‬ ‫‪10 cos > 0‬‬ ‫‪11 tan < 0‬‬ ‫‪ cos < 0‬و ‪12 sin < 0‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻷول‪ ،‬واﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫وامنح طلبة الصف وق ًتا كاف ًيا لنقد مبررات زملائهم‪.‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ ،‬واﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ اﻟﺮﺑﻊ اﻷول‪ ،‬واﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫‪13 sin = – 0.7‬‬ ‫ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد اﻟﺮﺑ ﹶﻊ )أ ﹺو اﻷرﺑﺎ ﹶع( اﻟﺬي ﻳﻘ ﹸﻊ ﻓﻴ ﹺﻪ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ θ‬ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ إذا ﻛﺎ ﹶن‪:‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ ،‬واﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫‪14 tan = 2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫–=‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ‬ ‫‪16 tan = – 1‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻷول‪ ،‬واﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫واﻟﺮﺑﻊ‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻲ‪،2‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ ،‬واﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫‪17 cos = 0.45‬‬ ‫‪18 sin = 0.55‬‬ ‫‪19 sin = 0.3, cos < 0 20 tan = – 4, sin > 0‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة أن يحلوا في البيت جميع المســائل‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻷول‪ ،‬واﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ اﻟﺮﺑﻊ اﻷول‪ ،‬واﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫الواردة في الصفحة ‪ 18‬من كتــاب التمارين‪ُ ،‬مح ِّد ًدا‬ ‫لهم المســائل التي يمكنهم حلهــا في نهاية كل حصة‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻨﺴ ﹶﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹶﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴ ﹶﺔ ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ إذا ﻗﻄ ﹶﻊ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎﺋﹺﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ داﺋﺮ ﹶة اﻟﻮﺣﺪ ﹺة ﻓﻲ اﻟﻨﻘﺎ ﹺط اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫بحسب ما ُيق َّدم من أمثلة الدرس وأفكاره‪.‬‬ ‫‪ 21-24‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪1–78,‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪–21‬‬ ‫ •يمكن أي ًضا إضافة المسائل التي لم يحلها الطلبة داخل‬ ‫‪17‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪29‬‬ ‫)‪21 P(0, –1‬‬ ‫)‪22 P(0.5, 0.5√3‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪,‬‬ ‫غرفة الصف إلى الواجب البيتي‪.‬‬ ‫ •في اليوم التالي‪ ،‬ا َّط ِلع على حلول الطلبة‪ ،‬ونا ِقشهم في‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻨﺴﺒﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﻤﺜﻠﺜﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻷﺳﺎﺳﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﺒﺎﻗﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪ 25-28 :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫أي صعوبات واجهوها في أثناء الحل‪.‬‬ ‫‪25 sin‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪90º < < 180º‬‬ ‫‪26 tan = 0.78 , –1 < sin < 0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪27 cos = –0.75 , tan < 0‬‬ ‫‪28 sin = – 0.87 , 270º < < 360º‬‬ ‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ ‪ 29-31‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ 29‬ﺗﺒﺮﻳ ﹲﺮ‪ :‬ﻣﺎ أﻛﺒ ﹸﺮ ﻗﻴﻤ ﹴﺔ ﻟﺠﻴ ﹺﺐ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ؟ ﻣﺎ أﺻﻐ ﹸﺮ ﻗﻴﻤ ﹴﺔ ﻟ ﹸﻪ؟ ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪.‬‬ ‫‪ 30‬أﻛﺘﺸــ ﹸﻒ اﻟﺨﻄ ﹶﺄ‪ :‬ﹶﺣ ﱠﻞ ﻛ ﱞﻞ ﻣ ﹾﻦ أﻣﺠ ﹶﺪ وزﻳﻨ ﹴﺔ اﻟﻤﺴــﺄﻟ ﹶﺔ اﻵﺗﻴ ﹶﺔ‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ، tan x = 0.75‬وﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ‪ x‬ﺑﻴ ﹶﻦ ‪ 180º‬ﹶو ‪ ،360º‬ﻓﻤﺎ‬ ‫ﻗﻴﻤ ﹸﺔ ‪sin x + cos x‬؟‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة تبرير إجابتهم للسؤال ‪ 29‬عن طريق‬ ‫زﻳﻨ ﹸﺔ‪:‬‬ ‫أﻣﺠ ﹸﺪ‪:‬‬ ‫الرسم‪ ،‬أو إعداد وسيلة أو نموذج يبين أكبر قيمة لنسبة‬ ‫‪sin x + cos x = – 1.4‬‬ ‫‪sin x + cos x = 0.2‬‬ ‫جيب الزاوية وأصغر قيمة له‪ ،‬ثم اعرضه أمام الزملاء‪.‬‬ ‫ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد أ ﱡﻳ ﹸﻬﻤﺎ ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ إﺟﺎﺑ ﹸﺘ ﹸﻪ ﺻﺤﻴﺤ ﹰﺔ‪ ،‬ﹸﻣﺒ ﱢﺮ ﹰرا إﺟﺎﺑﺘﻲ‪.‬‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبــة إلى بــدء تنفيــذ الخطــوة الأولى من‬ ‫‪ 31‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹶﺔ ﻗﻴ ﹺﻢ ‪ θ‬اﻟﺘﻲ ﺗﺠﻌ ﹸﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨ ﹶﺔ اﻵﺗﻴ ﹶﺔ ﺻﺤﻴﺤ ﹰﺔ‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ‪:90º < < 180º‬‬ ‫المشروع‪ ،‬ورسم نسخة مكبرة للمستوى القطبي على‬ ‫‪cos + sin < 0‬‬ ‫لوحة كرتون‪ ،‬باستعمال المسطرة والفرجار‪ ،‬ثم تعيين‬ ‫‪ 6‬نقاط تمثل رؤوس سداسي منتظم‪ُ ،‬مذ ِّك ًرا إ ّياهم أن‬ ‫‪85‬‬ ‫السداســي المنتظم هو مضلع تســاوت جميع أطوال‬ ‫أضلاعه‪ ،‬وجميع قياسات زواياه‪.‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بأن عليهم تســليم تقرير (نهاية الأســبوع)‬ ‫بحيث يتضمن نتائج بحثهم في شــبكة الإنترنت عن‬ ‫نظــام الإحداثيات القطبيــة وتطبيقاتــه العملية‪ ،‬وأن‬ ‫للتقرير العلمــي مواصفات‪ ،‬أهمهــا‪ :‬وجود صفحة‬ ‫لعنــوان التقرير وأســماء المعديــن‪ ،‬ووجود فهرس‬ ‫للعناوين الفرعيــة‪ ،‬والدقة العلمية‪ ،‬وســامة اللغة‪،‬‬ ‫والإيجاز‪ ،‬والوضوح‪ ،‬وتوثيق المصادر‪.‬‬ ‫الختام‬ ‫‪6‬‬ ‫اطلــب إلى الطلبة فــي نهاية الدرس تلخيــص ما تعلموه‬ ‫بعباراتهم الخاصة‪ ،‬ثم اطلب إلى ك ٍّل منهم اختيار موضوع‬ ‫من الدرس أتقنه‪ ،‬وكتابة ســؤال عنه‪ ،‬وموضوع يحتاج إلى‬ ‫مزيد من التمرين لإتقانه‪ ،‬وكتابة سؤال عنه‪.‬‬ ‫‪85‬‬

‫اﻟﻨﺴ ُﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ُﺔ ﻟﻠﺰواﻳﺎ ﺿﻤ َﻦ اﻟﺪور ِة اﻟﻮاﺣﺪ ِة‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫الدرس‬ ‫‪Trigonometric Ratios for Angles‬‬ ‫‪between 0º and 360º‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس إﻳﺠﺎ ﹸد اﻟﻨﺴــ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ اﻷﺳﺎﺳــﻴ ﹺﺔ ﻷ ﱢي زاوﻳ ﹴﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ‪ 0º‬ﹶو‪ ،360º‬وإﻳﺠﺎ ﹸد اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ إذا ﹸﻋ ﹺﺮ ﹶﻓ ﹾﺖ إﺣﺪ￯ ﻧﺴﺒﹺﻬﺎ‬ ‫  نتاجات الدرس‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫ •إيجاد النسب المثلثية الأساسية لزاوية بين ‪ 0°‬و‪360°‬‬ ‫ •إيجــاد الزاويــة إذا ُع ِلمت إحــدى نســبها المثلثية‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎ ُت اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹸﺔ‪ ،‬ﻣﻌﻜﻮ ﹸس اﻟﻨﺴﺒ ﹺﺔ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫باستعمال الآلة الحاسبة‪ ،‬أو الزوايا الخاصة‪.‬‬ ‫‪–1 150º 60º‬‬ ‫دا ﹶر ﺿﻠــ ﹸﻊ اﻧﺘﻬــﺎ ﹺء زاوﻳ ﹴﺔ ﻗﻴﺎ ﹸﺳــﻬﺎ ‪ 60º‬ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳــ ﱢﻲ‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫ﺑﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ 150º‬ﻋﻜ ﹶﺲ اﺗﺠﺎ ﹺه ﺣﺮﻛ ﹺﺔ ﻋﻘﺎر ﹺب اﻟﺴــﺎﻋ ﹺﺔ‪ .‬ﻛﻴ ﹶﻒ ﻧﺠ ﹸﺪ‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إﺣﺪاﺛ ﱠﻴــ ﹾﻲ ﻧﻘﻄ ﹺﺔ ﺗﻘﺎﻃ ﹺﻊ ﺿﻠــ ﹺﻊ اﻻﻧﺘﻬﺎ ﹺء ﻣ ﹶﻊ داﺋــﺮ ﹺة اﻟﻮﺣﺪ ﹺة ﻓﻲ‬ ‫ •علاقة إحداثيي نقطة تقاطع ضلع انتهاء الزاوية بدائرة‬ ‫‪–1‬‬ ‫ﻣﻮﻗ ﹺﻌ ﹺﻪ اﻟﺠﺪﻳ ﹺﺪ؟‬ ‫الوحدة مع النسب المثلثية للزاوية‪.‬‬ ‫ •اســتعمال الآلة الحاسبة لإيجاد نســبة مثلثية أساسية‬ ‫ﺗﻌ ﱠﺮ ﹾﻓﻨﺎ ﻓﻲ اﻟﺪر ﹺس اﻟﺴــﺎﺑ ﹺﻖ ﻛﻴﻔﻴ ﹶﺔ إﻳﺠﺎ ﹺد اﻟﻨﺴــ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ ﻟﺰاوﻳ ﹴﺔ ﻣﺮﺳــﻮﻣ ﹴﺔ ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل إﺣﺪاﺛ ﱠﻴ ﹾﻲ ﻧﻘﻄ ﹺﺔ ﺗﻘﺎﻃ ﹺﻊ ﺿﻠ ﹺﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺﺋﻬﺎ ﻣ ﹶﻊ داﺋﺮ ﹺة اﻟﻮﺣﺪ ﹺة‪ ،‬وﺳﻨﺘﻌ ﱠﺮ ﹸف ﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﺪر ﹺس ﻛﻴ ﹶﻒ‬ ‫لزاوية حادة‪.‬‬ ‫ﻧﺠ ﹸﺪ اﻟﻨﺴ ﹶﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹶﺔ إذا ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻢ ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﺑﺎﻟﺪرﺟﺎ ﹺت‪.‬‬ ‫إذا وﻗــ ﹶﻊ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ θ‬ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻷو ﹺل )أ ﹾي ﻛﺎ ﹶﻧــ ﹾﺖ ‪ ،(0º < θ < 90º‬ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ إﻳﺠﺎ ﹸد‬ ‫اﻟﻨﺴــ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ ﻟﻬﺬ ﹺه اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳــﺒ ﹺﺔ‪ ،‬أ ﹾو ﺑﻤﺎ ﻧﺤﻔ ﹸﻈ ﹸﻪ ﻣ ﹾﻦ ﻧﺴ ﹴﺐ ﻣﺜﻠﺜﻴ ﹴﺔ ﻟﻠﺰواﻳﺎ‬ ‫اﻟﺨﺎﺻ ﹺﺔ‪.(30º, 45º, 60º) :‬‬ ‫ﻣﺮاﺟﻌ ُﺔ اﻟﻤﻔﺎﻫﻴ ِﻢ‬ ‫التهيئة‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﻨﺴ ﹸﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹸﺔ ﻟﻠﺰواﻳﺎ اﻟﺨﺎﺻ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫‪0º 30º 45º 60º 90º‬‬ ‫ •ارسم دائرة الوحدة‪ ،‬وارسم زاوية ‪ θ‬بالوضع القياسي‪،‬‬ ‫وح ِّدد نقطة تقاطع ضلع انتهاء الزاوية مع دائرة الوحدة‪،‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 √3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪√2 2‬‬ ‫واكتب إحداثيي النقطة بالصورة )‪. (cos θ, sin θ‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بإشارات النسب المثلثية الأساسية في الأرباع‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪√3 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫المختلفة للمســتوى الإحداثي‪ ،‬واســتعمال الاختصار‬ ‫‪2 √2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.ASTC‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻏﻴ ﹸﺮ ﹸﻣﻌ ﱠﺮ ﹴف ‪√3‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبــة إلــى مجموعــات ثنائية‪ ،‬وذ ِّكرهــم بكيفية‬ ‫‪√3‬‬ ‫اســتعمال الآلة الحاســبة لإيجاد جيب زاوية حادة‪ ،‬ثم‬ ‫‪86‬‬ ‫اطلب إليهم إيجاد ‪ ، sin30°‬ثم إيجاد )‪sin-1(0.5‬‬ ‫ •اطلــب إلى الطلبــة إيجــاد ‪ ،sin210°‬ثم اســألهم عن‬ ‫توقعاتهــم بخصوص النتيجــة التي ســتظهر على الآلة‬ ‫الحاسبة‪:‬‬ ‫)‪sin-1(-0.5‬‬ ‫ •اســتمع إلى إجابات أكبر عدد من الطلبة‪ ،‬ثم اطلب إليهم‬ ‫إيجاد القيمة باســتعمال الآلة الحاســبة‪ ،‬ثم اسألهم‪ :‬ما‬ ‫النتيجة؟ ‪-30‬‬ ‫ •و ِّضح للطلبة أن الآلة الحاسبة مبرمجة لحساب قيم جيب‬ ‫الزاوية بين ‪ -90‬و ‪ ، 90‬وأنهم سيتعلمون في هذا الدرس‬ ‫إيجاد الحلول للزوايا من ‪ 0°‬إلى ‪360°‬‬ ‫‪86‬‬

‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪3‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المسألة في بند (مسألة اليوم) ثم‬ ‫أ ﹼﻣﺎإذاوﻗ ﹶﻊﺿﻠ ﹸﻊاﻧﺘﻬﺎ ﹺءاﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‪θ‬اﻟﻤﺮﺳﻮﻣ ﹺﺔﻓﻲاﻟﻮﺿ ﹺﻊاﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲﻓﻲأ ﱟيﻣ ﹶﻦاﻷرﺑﺎ ﹺعاﻟﺜﻼﺛ ﹺﺔاﻷﹸﺧﺮ￯‪،‬‬ ‫اسألهم‪:‬‬ ‫ﻓﺈ ﱠن ﻧﺴــ ﹶﺒﻬﺎ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹶﺔ ﺗﻜﻮ ﹸن ﹸﻣﺮﺗﺒﹺﻄ ﹰﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹺﺔ )‪، θʹ (reference angle‬‬ ‫ »ما قياس الزاوية بعد دوران ضلع الانتهاء؟ ‪210°‬‬ ‫وﻫ ﹶﻲ اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ اﻟﺤﺎ ﱠد ﹸة اﻟﻤﺤﺼﻮر ﹸة ﺑﻴ ﹶﻦ ﺿﻠ ﹺﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ θ‬واﻟﻤﺤﻮ ﹺر ‪.x‬‬ ‫ »في أي ربع تقع هذه الزاوية؟ الربع الثالث‬ ‫اﻟﺮﺑ ﹸﻊ اﻟﺜﺎﲏ‬ ‫ﻣﻔﻬﻮ ٌم أﺳﺎﺳ ٌﻲ‬ ‫ »ما إشــارات النســب المثلثية الأساســية في هذا‬ ‫‪y‬‬ ‫الربع؟ ‪tan > 0 , cos > 0 , sin > 0‬‬ ‫اﻟﺮﺑ ﹸﻊ اﻷو ﹸل‬ ‫‪y‬‬ ‫ •كيف نجد إحدثيي نقطة تقاطع ضلع الانتهاء مع دائرة‬ ‫الوحدة للزاوية التي قياسها ‪210°‬؟‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ʹ‪θ‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪θʹ = θ‬‬ ‫‪θʹ = 180º – θ‬‬ ‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫اﻟﺮﺑ ﹸﻊ اﻟﺜﺎﻟ ﹸﺚ‬ ‫‪x‬‬ ‫اﻟﺮﺑ ﹸﻊ اﻟﺮاﺑ ﹸﻊ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θʹ O‬‬ ‫ʹ‪O θ‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبــة بالنســب المثلثيــة للزوايــا الخاصة‪/‬‬ ‫‪θʹ = θ – 180º‬‬ ‫‪θʹ = 360º – θ‬‬ ‫المشهورة (‪.)0°, 30°, 60°, 45°, 90°‬‬ ‫اﻟﻨﺴــ ﹸﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹸﺔ ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ θ‬ﺗﺴﺎوي اﻟﻨﺴــ ﹶﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹶﺔ ﻟﺰاوﻳﺘﹺﻬﺎ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹺﺔ ʹ‪ θ‬ﻣ ﹶﻊ اﺧﺘﻼ ﹺف اﻹﺷﺎر ﹺة‬ ‫َأﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫ • َأ ِشــ ْر إلى أن الزاوية التي قياسها ‪ 0°‬هي نفسها الزاوية‬ ‫أﺣﻴﺎ ﹰﻧﺎ ﺑﺤﺴ ﹺﺐ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺬي ﻳﻘ ﹸﻊ ﻓﻴ ﹺﻪ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪.θ‬‬ ‫التي قياسها ‪360°‬‬ ‫‪y‬‬ ‫اﻟﺮﺑ ﹸﻊ اﻷو ﹸل‬ ‫ﻹﻳﺠﺎ ﹺد اﻟﻨﺴ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ ﻷ ﱢي زاوﻳ ﹴﺔ ‪ ،θ‬ﻓﺈ ﱠﻧﻨﺎ ﻧ ﱠﺘﺒ ﹸﻊ اﻟﺨﻄﻮا ﹺت اﻟﺜﻼ ﹶث اﻵﺗﻴ ﹶﺔ‪:‬‬ ‫ •و ِّضح للطلبة أن معرفة النسب المثلثية للزوايا الخاصة‬ ‫اﻟ ﹸﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﲏ‬ ‫في الربع الأول تســاعد على تحديد النســب المثلثية‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :1‬إﻳﺠﺎ ﹸد اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹺﺔ ʹ‪.θ‬‬ ‫للعديد من الزوايا التــي هي انعكاس للزاوية الخاصة‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬إﻳﺠﺎ ﹸد اﻟﻨﺴﺒ ﹺﺔ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹺﺔ ʹ‪.θ‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫في أحــد الأرباع (الثاني‪ ،‬أو الثالث‪ ،‬أو الرابع)‪ ،‬حيث‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :3‬ﺗﺤﺪﻳ ﹸﺪ إﺷﺎر ﹺة اﻟﻨﺴﺒ ﹺﺔ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ θ‬ﺑﺤﺴ ﹺﺐ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺬي ﻳﻘ ﹸﻊ ﻓﻴ ﹺﻪ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺﺋﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫إن النســب المثلثيــة للزوايا الناتجة مــن الانعكاس‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫ســتكون نفس النســب المثلثية للزاويــة الخاصة في‬ ‫الربع الأول‪ ،‬مع اختلاف أحيا ًنا في الإشارة (اسألهم‪:‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫لماذا؟)‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫اﻟ ﹸﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟ ﹸﺚ‬ ‫اﻟ ﹸﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊُ‬ ‫‪87‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫المجال العاطفي لا يقل أهمية عن المجال المعرفي؛ فلا تقل لأحد الطلبة‪:‬‬ ‫(إجابتك خطأ)‪ ،‬بل قل له‪( :‬لقد اقتربت من الإجابة الصحيحة‪ ،‬فمن يستطيع‬ ‫إعطاء إجابة أخرى؟)‪ ،‬أو قل له‪( :‬هذه إجابة صحيحة لغير هذا السؤال)‪.‬‬ ‫‪87‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ •ق ِّدم للطلبة مفهوم الزاويــة المرجعية‪ /‬زاوية المرجع‬ ‫‪ ، reference angle‬ثم ارســم على اللوح حالات‬ ‫‪1 sin 150º.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫الزوايــا في باقي الأرباع‪ُ ،‬مب ِّينًا علاقــة ك ٍّل منها بزاوية‬ ‫ﻳﻘ ﹸﻊ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻻﻧﺘﻬﺎ ﹺء ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ 150º‬ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ؛ ﻟﺬا ﹶأﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ زاوﻳ ﹶﺘﻬﺎ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹶﺔ‪:‬‬ ‫المرجع‪ ،‬و ُمذ ِّك ًرا الطلبة بإشــارات النســب المثلثية‬ ‫‪θ = 150º‬‬ ‫الأساســية في ك ٍّل من الأرباع المختلفــة‪ ،‬والمعادلة‬ ‫‪θʹ = 180º – θ‬‬ ‫إﻳﺠﺎ ﹸد ﻗﻴﺎ ﹺس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹺﺔ‬ ‫‪Ox‬‬ ‫التي توضح العلاقــة بين الزاوية ‪ θ‬وزاوية المرجع ‪θ‬‬ ‫‪= 180º – 150º‬‬ ‫‪θ = 150º‬‬ ‫‪θʹ = 30º‬‬ ‫الخاصة بكل ربع‪.‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثال ‪ُ ،1‬مب ِّر ًرا كل خطوة‪.‬‬ ‫‪= 30º‬‬ ‫تنويع التعليم‬ ‫‪sin 150º = sin 30º = 0.5‬‬ ‫اﻟﺠﻴ ﹸﺐ ﻣﻮﺟ ﹲﺐ ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫ذ ِّكر الطلبة بمفهوم الانعكاس ‪ Reflection‬حول مستقيم‬ ‫وحــول نقطة‪ .‬يمكنك مســاعدة الطلبة علــى فهم علاقة‬ ‫‪2 cos 225º.‬‬ ‫الزوايا في الربع الثاني والثالث والرابع بزاوية المرجع عن‬ ‫طريق عمل انعكاس للضلــع النهائي لتلك الزوايا‪ ،‬بحيث‬ ‫ﻳﻘ ﹸﻊ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻻﻧﺘﻬﺎ ﹺء ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ 225º‬ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻟ ﹺﺚ؛ ﻟﺬا ﻧﺴﺘﻌﻤ ﹸﻞ زاوﻳ ﹶﺘﻬﺎ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹶﺔ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫تظهر صورته بعد الانعكاس فــي الربع الأول (الانعكاس‬ ‫‪θ = 225º‬‬ ‫حــول المحور ‪ y‬عندما تقع الزاوية في الربع الثاني‪ ،‬وحول‬ ‫‪θ ʹ = θ – 180º‬‬ ‫إﻳﺠﺎ ﹸد ﻗﻴﺎ ﹺس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹺﺔ‬ ‫نقطة الأصل عندما تقع في الربع الثالث‪ ،‬وحول المحور ‪x‬‬ ‫‪= 225º – 180º‬‬ ‫‪θ = 255º‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪x‬‬ ‫عندما تقع في الربع الرابع)‪.‬‬ ‫‪= 45º‬‬ ‫‪θʹ= 45º‬‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‪:‬‬ ‫ك ِّررالمصطلحاتالرياضيةالمستخدمةفيالدرسباللغتين‬ ‫‪cos 225º = – cos 45º‬‬ ‫ﺟﻴ ﹸﺐ اﻟﺘﻤﺎ ﹺم ﺳﺎﻟ ﹲﺐ ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻟ ﹺﺚ‬ ‫العربية والإنجليزية‪ ،‬وش ِّجع الطلبة على استعمالها‪.‬‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫‪√2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلى حــل التدريب في بنــد (أتحقق من‬ ‫‪3 tan 300º.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﻳﻘ ﹸﻊ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻻﻧﺘﻬﺎ ﹺء ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ 300º‬ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺮاﺑ ﹺﻊ؛ ﻟﺬا ﻧﺴﺘﻌﻤ ﹸﻞ زاوﻳ ﹶﺘﻬﺎ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹶﺔ‪:‬‬ ‫‪θ = 300º‬‬ ‫فهمي) بعد كل مثال‪.‬‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحوي أخطاء مفاهيمية‪ ،‬ثم‬ ‫‪θʹ = 360º – θ‬‬ ‫إﻳﺠﺎ ﹸد ﻗﻴﺎ ﹺس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹺﺔ‬ ‫‪O‬‬ ‫نا ِقشها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اسم الطالب الذي أخطأ‬ ‫‪θʹ = 360º – 300º‬‬ ‫‪θ = 300º‬‬ ‫‪x‬‬ ‫في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬ ‫‪θʹ= 60º‬‬ ‫‪= 60º‬‬ ‫‪tan 300º = – tan 60º‬‬ ‫اﻟﻈ ﱡﻞ ﺳﺎﻟ ﹲﺐ ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺮاﺑ ﹺﻊ‬ ‫‪= – √3‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪88‬‬

‫إرشادات للمعلم‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪3‬‬ ‫و ِّجــه الطلبة إلى تذ ُّكر العلاقة بين النســب المثلثية‬ ‫‪a) sin 120º‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫للزاويتين المتتامتين واستعمالها ليسهل عليهم تذ ُّكر‬ ‫‪c) cos 315º‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ :‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫تلك النسب للزوايا الخاصة‪:‬‬ ‫‪b) tan 240º‬‬ ‫)‪sinθ = cos(90° - θ‬‬ ‫‪d) sin 210º‬‬ ‫ﺟﻤﻴ ﹸﻊ اﻟﺰواﻳﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺎ ﹺل اﻟﺴﺎﺑ ﹺﻖ ﹸﻣﺮﺗﺒﹺﻄ ﹲﺔ ﺑﺰواﻳﺎ ﻣﺮﺟﻌﻴ ﹴﺔ ﻣﺄﻟﻮﻓ ﹴﺔ‪ ،‬ﻣﺜ ﹺﻞ‪ ،30º :‬أ ﹾو ‪ ،45º‬أ ﹾو ‪ ،60º‬وﻫ ﹶﻲ‬ ‫اﻧﺘﺒ ْﻪ‬ ‫زواﻳﺎ ﺧﺎﺻ ﹲﺔ ﻋﺮ ﹾﻓﻨﺎ ﻗﻴ ﹶﻢ اﻟﻨﺴ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ ﻟﻬﺎ‪ .‬وﻟﻜ ﹾﻦ‪ ،‬ﻛﻴ ﹶﻒ ﻧﺠ ﹸﺪ اﻟﻨﺴ ﹶﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹶﺔ ﻷ ﱢي زواﻳﺎ ﹸأﺧﺮ￯؟‬ ‫ﻳﺠ ﹸﺐ ﺿﺒ ﹸﻂ اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳــﺒ ﹺﺔ‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ إﻳﺠﺎ ﹸد اﻟﻨﺴــﺒ ﹺﺔ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹺﺔ ﺑﺎﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳــﺒ ﹺﺔ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﺗﺤﺪﻳ ﹺﺪ اﻹﺷﺎر ﹺة‬ ‫ﻋﻠــﻰ ﺧﻴــﺎ ﹺر درﺟــﺎ ﹴت‬ ‫اﻟﻤﻨﺎﺳﺒ ﹺﺔ ﺗﺒ ﹰﻌﺎ ﻟﻠﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺬي ﻳﻘ ﹸﻊ ﻓﻴ ﹺﻪ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫)‪ (DEGREES‬ﻗﺒــ ﹶﻞ‬ ‫اﺳﺘﻌﻤﺎﻟﹺﻬﺎ‪ .‬أﺳﺄ ﹸل ﹸﻣﻌ ﱢﻠﻤﻲ‪.‬‬ ‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى حل السؤال الآتي‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪1 sin 255º‬‬ ‫ »جد قيمة ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫ﻳﻘ ﹸﻊ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻻﻧﺘﻬﺎ ﹺء ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ 255º‬ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻟ ﹺﺚ؛ ﻟﺬا أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ زاوﻳ ﹶﺘﻬﺎ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹶﺔ‪:‬‬ ‫‪θʹ = θ – 180º‬‬ ‫إﻳﺠﺎ ﹸد ﻗﻴﺎ ﹺس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹺﺔ‬ ‫ )‪1  sin2(300°) + cos2(300°‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪θʹ = 255º – 180º‬‬ ‫‪θ = 255º‬‬ ‫ ‪2   2sin210° + 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪= 75º‬‬ ‫اﻟﺠﻴ ﹸﺐ ﺳﺎﻟ ﹲﺐ ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻟ ﹺﺚ‬ ‫‪sin 255º = – sin 75º‬‬ ‫ ‪3   cos135° + sin135°‬‬ ‫‪0‬‬ ‫واﻵ ﹶن‪ ،‬أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ اﻵﻟ ﹶﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹶﺔ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ‪ sin 75º‬ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫أﺿﻐ= ﹸﻂ ﻋﻠ‪5‬ﻰ ﻣﻔﺘﺎ‪ 7‬ﹺح ‪ ، sin‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأد ﹺﺧ ﹸﻞ اﻟﻘﻴﻤ ﹶﺔ ‪ ،75‬ﺛ ﱠﻢ أﺿﻐ ﹸﻂ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﺎ ﹺح = ‪ ،‬ﻓﺘ‪5‬ﻈﻬ ﹸﺮ ا‪7‬ﻟﻨﺘﻴﺠ‪n‬ﹸﺔ‪s:i‬‬ ‫= ‪sin 7 5‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻘﺮﻳ ﹺﺐ إﻟﻰ ﺛﻼ ﹺث ﻣﻨﺎز ﹶل ﻋﺸﺮﻳ ﹴﺔ‪ ،‬ﺗﻜﻮ ﹸن اﻟﻨﺘﻴﺠ ﹸﺔ‪0.966 :‬‬ ‫إذ ﹾن‪sin 255º ≈ – 0.966 ،‬‬ ‫‪89‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:1‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪√3‬‬ ‫)‪ b‬‬ ‫‪√3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪√2‬‬ ‫ ‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪89‬‬

‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ أﻳ ﹰﻀﺎ إﻳﺠﺎ ﹸد ‪ sin 255º‬ﻣﺒﺎﺷــﺮ ﹰة ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ ﻣ ﹾﻦ دو ﹺن إﻳﺠﺎ ﹺد اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹺﺔ‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻨﺤ ﹺﻮ اﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫ •اسأل الطلبة‪ :‬كيف تجد النسب المثلثية لزاوية ليست‬ ‫=أﺿﻐ‪ 5‬ﹸﻂ ﻋﻠ‪5‬ﻰ ﻣﻔﺘﺎ‪ 2‬ﹺح ‪ ، sin‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأد ﹺﺧ ﹸﻞ اﻟﻘﻴﻤ ﹶﺔ ‪ ، 255‬ﺛ ﱠﻢ أﺿﻐ ﹸﻂ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﺎ ﹺح = ‪ ،‬ﻓﺘ‪5‬ﻈﻬ ﹸﺮ ا‪5‬ﻟﻨﺘﻴﺠ‪2‬ﹸﺔ‪sin :‬‬ ‫حادة وزاويتها المرجعية ليســت خاصة‪ ،‬مثل‪،178° :‬‬ ‫= ‪sin 2 5 5‬‬ ‫أو ‪255°‬؟‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻘﺮﻳ ﹺﺐ إﻟﻰ ﺛﻼ ﹺث ﻣﻨﺎز ﹶل ﻋﺸــﺮﻳ ﹴﺔ‪ ،‬ﺗﻜﻮ ﹸن اﻟﻨﺘﻴﺠ ﹸﺔ ‪ ، – 0.966‬وﻫ ﹶﻲ اﻟﻨﺘﻴﺠ ﹸﺔ ﻧﻔ ﹸﺴﻬﺎ اﻟﺘﻲ ﺗﻮ ﱠﺻ ﹾﻠ ﹸﺖ‬ ‫ •استمع لإجابة أحد الطلبة‪ ،‬ثم اسأل زملاءه‪َ :‬م ْن يوافقه‬ ‫إﻟ ﹾﻴﻬﺎ آﻧ ﹰﻔﺎ‪.‬‬ ‫الرأي؟ لماذا؟ َم ْن لديه إجابة ُأخرى؟ اذكرها‪.‬‬ ‫‪2 tan 168º.‬‬ ‫ •أ ِّكد للطلبة أنه يمكن إيجاد النســب المثلثية الأساسية‬ ‫=أﺿﻐ‪ 8‬ﹸﻂ ﻋﻠ‪6‬ﻰ ﻣﻔﺘﺎ‪ 1‬ﹺح ‪ ، tan‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأد ﹺﺧ ﹸﻞ اﻟﻘﻴﻤ ﹶﺔ ‪ ،168‬ﺛ ﱠﻢ أﺿﻐ ﹸﻂ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﺎ ﹺح = ‪ ،‬ﻓﺘ‪5‬ﻈﻬ ﹸﺮ ا‪5‬ﻟﻨﺘﻴﺠ‪2‬ﹸﺔ‪sin :‬‬ ‫لأي زاوية ليســت حادة بالاســتعانة بزاوية المرجع‬ ‫= ‪tan 1 6 8‬‬ ‫والآلة الحاسبة‪.‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبة إلى مجموعات ثنائية‪ ،‬ثم نا ِقش معهم ح َّل‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻘﺮﻳ ﹺﺐ إﻟﻰ ﺛﻼ ﹺث ﻣﻨﺎز ﹶل ﻋﺸﺮﻳ ﹴﺔ‪ ،‬ﺗﻜﻮ ﹸن اﻟﻨﺘﻴﺠ ﹸﺔ‪– 0.213 :‬‬ ‫المثــال ‪ ،2‬ثم اطلب إليهم تطبيق خطوات اســتعمال‬ ‫إذ ﹾن‪tan 168º ≈ – 0.213 ،‬‬ ‫الآلة الحاســبة‪ ،‬وكتابة الناتج النهائــي بالتقريب إلى‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫أقرب جزء من ألف‪ ،‬واستعمال الرمز ≈‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‪ :‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫‪a) sin 320º‬‬ ‫‪b) cos 175º‬‬ ‫‪c) tan 245º‬‬ ‫و ِّجــه الطلبة إلى ضبط الآلات الحاســبة على نظام‬ ‫الدرجــات ‪ DEG‬أو ‪ ،D‬ون ِّبههم إلى أن هذا الضبط‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ اﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹸل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳــﺒ ﹺﺔ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﻴﺎ ﹺس أ ﱢي زاوﻳ ﹴﺔ ﺣﺎ ﱠد ﹴة )ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻷو ﹺل( ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻤ ﹾﺖ إﺣﺪ￯‬ ‫ﻟﻐ ُﺔ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎ ِت‬ ‫يظهــر بصورة ‪ COMP‬أو ‪ NORM1‬على الشاشــة‬ ‫ﻧﺴﺒﹺﻬﺎ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ‪ ،‬وذﻟ ﹶﻚ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻣﻌﻜﻮ ﹺس اﻟﻨﺴﺒ ﹺﺔ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ )‪.(inverse trigonometric ratio‬‬ ‫‪ -‬ﻧﻘﺮ ﹸأ ﻣﻌﻜﻮ ﹶس اﻟﺠﻴ ﹺﺐ‬ ‫ﻓﺈذا ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻢ ﺟﻴ ﹸﺐ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﺳ ﹸﺘﻌ ﹺﻤ ﹶﻞ ﻣﻌﻜﻮ ﹸس اﻟﺠﻴ ﹺﺐ )‪ ،(sin –1‬وإذا ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻢ ﺟﻴ ﹸﺐ ﺗﻤﺎ ﹶم اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﺳ ﹸﺘﻌ ﹺﻤ ﹶﻞ‬ ‫بحسب نوع الآلة التي يستعملونها‪.‬‬ ‫ﻣﻌﻜﻮ ﹸس ﺟﻴ ﹺﺐ اﻟﺘﻤــﺎ ﹺم )‪ ،(cos –1‬وإذا ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻢ ﻇ ﱡﻞ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﺳــ ﹸﺘﻌ ﹺﻤ ﹶﻞ ﻣﻌﻜــﻮ ﹸس اﻟﻈ ﱢﻞ )‪. (tan–1‬‬ ‫‪.sine inverse‬‬ ‫وﺑﺎﻟﻄﺮﻳﻘ ﹺﺔ ﻧﻔ ﹺﺴــﻬﺎ‪ ،‬ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ إﻳﺠﺎ ﹸد ﻗﻴــﺎ ﹺس أ ﱢي زاوﻳ ﹴﺔ ﻓﻲ اﻷرﺑﺎ ﹺع اﻟﺜﻼﺛ ﹺﺔ اﻟﺒﺎﻗﻴ ﹺﺔ ﺑﺎﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻣﻔﻬﻮ ﹺم‬ ‫‪ -‬ﻧﻘﺮ ﹸأ ﻣﻌﻜﻮ ﹶس ﺟﻴ ﹺﺐ اﻟﺘﻤﺎ ﹺم‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹺﺔ وإﺷﺎرا ﹺت اﻟﻨﺴ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻷرﺑﺎ ﹺع اﻷرﺑﻌ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫‪.cosine inverse‬‬ ‫‪ -‬ﻧﻘﺮ ﹸأ ﻣﻌﻜﻮ ﹶس اﻟﻈ ﱢﻞ‬ ‫‪.tan inverse‬‬ ‫‪90‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:2‬‬ ‫‪a) ≈ -0.643‬‬ ‫‪b) ≈ -0.996‬‬ ‫‪c) ≈ 2.145‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫يمكنك التركيز على تطوير مهارات الطلبة لاســتعمال الآلة الحاسبة في‬ ‫دروس هــذه الوحدة‪ ،‬فهي من المهارات الحياتية الأساســية‪ ،‬ويمكنك‬ ‫مساعدة الطلبة ذوي المستوى دون المتوسط على إتقان هذه المهارة عن‬ ‫طريق العمل في مجموعات ثنائية مع زميل من ذوي المستوى المتوسط‬ ‫أو فوق من المتوسط‪.‬‬ ‫‪90‬‬

‫مثال ‪3‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪3‬‬ ‫ •اطرح على الطلبة السؤالين الآتيين‪:‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬ ‫ »كيف يمكنك إيجاد الزاوية إذا ُع ِلمت إحدى نسبها‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ )أ ﹾو ﻗﻴ ﹶﻢ( ‪ θ‬ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ‪:0º ≤ θ ≤ 360º‬‬ ‫المثلثية‪ ،‬مثل‪cosx = 0.5 :‬؟‬ ‫ »ما عدد الزوايا بين ‪ 0°‬و ‪ 360°‬التي ُتح ِّقق العلاقة‪:‬‬ ‫‪1 sin θ = 0.98‬‬ ‫‪ cos = 0.5‬؟ اذكرها‪ُ ،‬مب ِّر ًرا إجابتك‪ 30 .‬و ‪330‬‬ ‫)‪θ = sin –1(0.98‬‬ ‫‪ θ‬ﻫ ﹶﻲ اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ اﻟﺘﻲ ﻧﺴﺒ ﹸﺔ اﻟﺠﻴ ﹺﺐ ﻟﻬﺎ ‪0.98‬‬ ‫ •ك ِّرر السؤالين للعلاقة‪.cosx = 0.7 :‬‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة‪ ،‬ثم َأ ِد ْر نقا ًشا معهم عن مفهوم‬ ‫واﻵ ﹶن‪ ،‬أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ اﻵﻟ ﹶﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹶﺔ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد )‪ sin –1(0.98‬ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫إرﺷﺎ ٌد‬ ‫معكوس النسبة المثلثية ‪Inverse Trigonometric‬‬ ‫ﺑﻌــ ﹸﺾ اﻵﻻ ﹺت اﻟﺤﺎﺳــﺒ ﹺﺔ‬ ‫‪ُ ، Ratio‬مر ِّك ًزا على أن الزوايا التي نجدها باستعمال‬ ‫= ‪SHIFT sin 0 . 9 8‬‬ ‫هذا المفهوم تتــراوح قيمتها بين ‪ -90‬و ‪90‬؛ ما يعني‬ ‫ﺗﺤﻮي اﻟﻤﻔﺘﺎ ﹶح ‪ 2ND‬ﺑﺪ ﹶل‬ ‫توظيف معرفة إشــارات النسب المثلثية الأساسية في‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻘﺮﻳ ﹺﺐ إﻟﻰ ﻣﻨﺰﻟ ﹴﺔ ﻋﺸﺮﻳ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة‪ ،‬ﺗﻜﻮ ﹸن اﻟﻨﺘﻴﺠ ﹸﺔ‪ ،78.5º :‬وﻫ ﹶﻲ زاوﻳ ﹲﺔ ﻣﺮﺟﻌﻴ ﹲﺔ ﻟﺰاوﻳ ﹴﺔ ﹸأﺧﺮ￯؛‬ ‫اﻟﻤﻔﺘﺎ ﹺح ‪. SHIFT‬‬ ‫الأرباع الأُخرى والزاوية المرجعية في تحديد الزاوية‬ ‫ﻷ ﱠﻧﻬﺎ ﺗﻘ ﹸﻊ ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻷو ﹺل‪ .‬وﺑﻤﺎ أ ﱠن اﻟﺠﻴ ﹶﺐ ﻣﻮﺟ ﹲﺐ ﻓﻲ رﺑﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ )اﻷو ﹸل واﻟﺜﺎﻧﻲ ﻓﻘ ﹾﻂ(‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن اﻟﺰاوﻳ ﹶﺔ‬ ‫اﻷﹸﺧﺮ￯ ‪ θ‬ﺗﻜﻮ ﹸن ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ ،‬و ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ إﻳﺠﺎ ﹸدﻫﺎ ﺑﺎﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﻌﻼﻗــ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹺﺔ‬ ‫أو الزوايا المطلوبة بدقة‪.‬‬ ‫ •أ ِّكــد أن الرمــز ‪ sin-1/cos-1/tan-1‬لا يعني رفع‬ ‫واﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﻨﺎﻇﺮ ﹺة ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ اﻟﺘﻲ ﺗﻌ ﱠﺮ ﹾﻓ ﹸﺘﻬﺎ آﻧ ﹰﻔﺎ‪.‬‬ ‫النســبة المثلثية إلى الأس ‪ ،-1‬ولا يعني مقلوب هذه‬ ‫النسبة‪ ،‬وإنما هو رمز متعارف عليه عالم ًّيا للدلالة على‬ ‫‪θʹ = 180º – θ‬‬ ‫اﻟﻌﻼﻗ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹺﺔ واﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫اﻟﻤﻨﺎﻇﺮ ﹺة ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫معكوس النسبة المثلثية‪ ،‬وأنها ُتق َرأ على الترتيب‪:‬‬ ‫‪θʹ = 78.5º‬‬ ‫ﺑ ﹶﺤ ﱢﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫‪sine inverse, cosine inverse, tan inverse‬‬ ‫‪78.5º = 180º – θ‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،θ = 78.5º ،‬أ ﹾو ‪θ = 101.5º‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حــل المثال ‪ ،3‬وأ ِّكد في فرعه الأول‬ ‫‪θ = 101.5º‬‬ ‫أنه يمكن إيجــاد زاويتين في هذه الحالة؛ لأن الجيب‬ ‫موجب في الربعين الأول والثاني‪ ،‬وأن الآلة الحاسبة‬ ‫‪2 tan θ = –1.2‬‬ ‫‪ θ‬ﻫ ﹶﻲ اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ اﻟﺘﻲ ﻧﺴﺒ ﹸﺔ اﻟﻈ ﱢﻞ ﻟﻬﺎ ﺗﺴﺎوي ‪–1.2‬‬ ‫ُتظ ِهر الزاوية التي في الربع الأول فقط‪ ،‬وأنه ُتستع َمل‬ ‫)‪θ = tan –1(–1.2‬‬ ‫زاويــة المرجع لإيجاد الزاوية الأُخــرى‪ .‬وفي الفرع‬ ‫الثانــي أ ِّكد أن الإجابة التي ُتق ِّدمها الآلة الحاســبة لا‬ ‫واﻵ ﹶن‪ ،‬أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ اﻵﻟ ﹶﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹶﺔ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد )‪ tan –1(–1.2‬ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ُأﻓ ﱢﻜ ُﺮ‬ ‫يمكن أن تكون هي الإجابة المطلوبة عند إهمال القيمة‬ ‫أﺗﺠﺎﻫ ﹸﻞ اﻹﺷــﺎر ﹶة اﻟﺴﺎﻟﺒ ﹶﺔ‪.‬‬ ‫الســالبة للزاوية؛ لأنها زاوية فــي الربع الأول‪ ،‬ولأن‬ ‫= ‪SHIFT tan 1 . 2‬‬ ‫الظل يكون ســال ًبا في الربعين الثاني والرابع (افترض‬ ‫ﻟﻤﺎذا؟‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻘﺮﻳ ﹺﺐ إﻟﻰ ﻣﻨﺰﻟ ﹴﺔ ﻋﺸﺮﻳ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة‪ ،‬ﺗﻜﻮ ﹸن اﻟﻨﺘﻴﺠ ﹸﺔ‪50.2º :‬؛ وﻷ ﱠن اﻟﻈ ﱠﻞ ﻳﻜﻮ ﹸن ﺳﺎﻟ ﹰﺒﺎ ﻓﻲ رﺑﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫أن تلك الزاوية مرجع للزاويتين المطلوبتين)‪.‬‬ ‫ﻓﻘ ﹾﻂ )اﻟﺜﺎﻧﻲ واﻟﺮاﺑ ﹸﻊ(؛ ﻓﺈ ﱠن اﻟﺰاوﻳ ﹶﺔ ‪ 50.2º‬ﻟﻴ ﹶﺴ ﹾﺖ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺤﻠﻮ ﹺل‪ ،‬وإ ﱠﻧﻤﺎ زاوﻳ ﹲﺔ ﻣﺮﺟﻌﻴ ﹲﺔ ﻟﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪91‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫ •جد قيمة ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫قد يخطئ بعض الطلبة‪ ،‬فــا يجدون جميع الزوايا التي ُتح ِّقــق الحل إذا ُع ِلمت‬ ‫إحدى النســب المثلثية؛ لذا ذ ِّكرهم أن يبدؤوا الحل بتحديد الأرباع التي يمكن أن‬ ‫‪2   tan 23°‬‬ ‫يقع ضلع انتهاء الزاوية فيها‪ ،‬وأن ذلك يعتمد على إشــارات النســب الأساسية في‬ ‫‪4   tan 58°‬‬ ‫الأرباع الأربعة‪ ،‬ثم يكملوا حل السؤال‪.‬‬ ‫ ‪1   sin 79°‬‬ ‫ ‪3   cos 86°‬‬ ‫ •جد قيمة (قيم) في ما يأتي‪:‬‬ ‫‪5   cos θ = 0.3298   0° ≤ θ ≤ 360°‬‬ ‫‪ θ = 70.7° , 289.3°‬‬ ‫‪6   tan θ = -2.2701   180° ≤ θ ≤ 360°‬‬ ‫‪ θ = 289.3°‬‬ ‫‪91‬‬

‫إذا اﺳــﺘﻌﻤ ﹾﻠﻨﺎ اﻟﻌﻼﻗ ﹶﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹺﺔ واﻟﺰواﻳﺎ اﻟﻤﻨﺎﻇﺮ ﹺة ﻓــﻲ اﻟﺮﺑﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ واﻟﺮاﺑ ﹺﻊ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠﻧﻨﺎ‬ ‫ مثال ‪ :4‬من الحياة‬ ‫ﺳﻨﺠ ﹸﺪ ﻫﺎﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﺰاوﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪:‬‬ ‫ •ارسم شك ًل تقريب ًّيا على اللوح للدولاب الدوار الوارد‬ ‫زاوﻳ ﹸﺔ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪180º – 50.2º = 129.8º :‬‬ ‫في المثال ‪.4‬‬ ‫زاوﻳ ﹸﺔ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺮاﺑ ﹺﻊ‪360º – 50.2º = 309.8º :‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثال ‪ 4‬الذي ينمذج موق ًفا حيات ًّيا‬ ‫ُتط َّبق فيه الحسابات المتعلقة بالنسب المثلثية للزوايا‪،‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ُمب ِّينًــا لهم أن نقطة صعود الراكــب في لعبة الدولاب‬ ‫الدوار ‪ S‬هي أخفض نقطة على الدولاب‪ ،‬وأنه عندما‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ )أ ﹾو ﻗﻴ ﹶﻢ( ‪ θ‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ‪ :0º ≤ θ ≤ 360º‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫يدور الدولاب يرتفع الراكــب وفق العلاقة المعطاة‪،‬‬ ‫ويكون عند أقصى ارتفاع ممكن عندما يصبح في نقطة‬ ‫‪a) cos θ = – 0.4‬‬ ‫‪b) tan θ = 5.653‬‬ ‫‪c) sin θ = – 0.5478‬‬ ‫تقع على اســتقامة واحدة مع مركز الدولاب والنقطة‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :4‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫‪.S‬‬ ‫ﺗﺮﻓﻴ ﹲﻪ‪ :‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻵﺗﻲ دوﻻ ﹰﺑﺎ د ﹼوا ﹰرا ﻓﻲ ﻣﺪﻳﻨ ﹺﺔ أﻟﻌﺎ ﹴب ﻳﺪو ﹸر ﺑﺴﺮﻋ ﹴﺔ ﺛﺎﺑﺘ ﹴﺔ‪ ،‬و ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ‪ S‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄــ ﹶﺔ ﺻﻌﻮ ﹺد اﻟﺮاﻛ ﹺﺐ اﻟﺬي ﻣﻮﻗ ﹸﻌ ﹸﻪ اﻵ ﹶن ﻋﻨ ﹶﺪ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ ،A‬ﻓﻲ ﺣﻴ ﹺﻦ ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ ‪ O‬ﻣﺮﻛ ﹶﺰ اﻟﺪوﻻ ﹺب‪.‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بأن قطر الدائرة هو أطول أوتارها‪ ،‬وأنه يمر‬ ‫إذا دا ﹶر اﻟــﺪوﻻ ﹸب ﺑﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ ،θ‬ﻓــﺈ ﱠن ارﺗﻔﺎ ﹶع اﻟﺮاﻛ ﹺﺐ ﻋــ ﹺﻦ اﻷر ﹺض )‪ (h‬ﺑﺎﻷﻣﺘــﺎ ﹺر ﹸﻳﻌﻄﻰ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫في مركزها‪ ،‬وأن الزاوية ‪ θ‬التي تقيس دوران الدولاب‬ ‫هي زاوية مركزيــة‪ ،‬وأنه عندما يكــون قياس الزاوية‬ ‫‪ .h = 67.5 – 67.5 cos θ‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺪوﻻ ﹺب‪.‬‬ ‫المركزية ‪ ،180°‬فإنها تكون على قطر الدائرة بالتأكيد‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ﹸﺻ ﱢﻤــ ﹶﻢ أو ﹸل دوﻻ ﹴب د ﹼوا ﹴر ﻓﻲ‬ ‫ •أخبــر الطلبة أنه توجد العديد مــن المواقف الحياتية‬ ‫‪θ‬‬ ‫ﻣﺪﻳﻨ ﹺﺔ ﺷﻴﻜﺎﻏﻮ اﻷﻣﺮﻳﻜﻴ ﹺﺔ ﻋﺎ ﹶم‬ ‫التي ُتط َّبق فيها هذه الحسابات‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪1893‬م‪ ،‬وﻗــ ﹾﺪ ﹸﺳــ ﱢﻤ ﹶﻲ ﻋﺠﻠ ﹶﺔ‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:4‬‬ ‫‪S‬‬ ‫ﻓﻴﺮﻳﺲ‪.‬‬ ‫‪h ≈ 106.22 m‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺼ ﹸﻞ اﻟﺮاﻛ ﹸﺐ إﻟﻰ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ اﻟﻮاﻗﻌ ﹺﺔ ﻓﻮ ﹶق ‪ S‬ﻣﺒﺎﺷــﺮ ﹰة‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن ارﺗﻔﺎ ﹶﻋ ﹸﻪ ﻋ ﹺﻦ اﻷر ﹺض ﻳﺴﺎوي ﻃﻮ ﹶل‬ ‫ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺪوﻻ ﹺب‪ ،‬وإ ﱠن ‪ θ‬ﻓﻲ ﺗﻠ ﹶﻚ اﻟﻠﺤﻈ ﹺﺔ ﺗﺴﺎوي ‪:180º‬‬ ‫‪h = 67.5 – 67.5 cos 180º‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪θ‬‬ ‫)‪= 67.5 – 67.5 (–1‬‬ ‫‪cos 180º = –1‬‬ ‫‪= 67.5 + 67.5 = 135‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﻃﻮ ﹸل ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺪوﻻ ﹺب ﻫ ﹶﻮ‪135 m :‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪4‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ارﺗﻔﺎ ﹶع اﻟﺮاﻛ ﹺﺐ ﻋ ﹺﻦ اﻷر ﹺض ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ θ = 235º‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫التدريب‬ ‫‪92‬‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة بند (أتدرب وأحل المســائل)‪،‬‬ ‫واطلب إليهم حل المسائل‪ ،‬وتابع أعمالهم‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة أن يحلوا في البيت جميع المسائل الواردة في الصفحة‪19 ‬‬ ‫مــن كتاب التمارين‪ُ ،‬مح ِّد ًدا لهم المســائل التي يمكنهــم حلها في نهاية كل‬ ‫ •ر ِّكز على معالجــة الأخطاء المفاهيميــة أو الأخطاء‬ ‫المتعلقة بالمهارات الحســابية يدو ًّيا‪ ،‬أو باســتعمال‬ ‫حصة بحسب ما ُيق َّدم من أمثلة الدرس وأفكاره‪.‬‬ ‫ •يمكــن أي ًضا إضافة المســائل التي لم يحلها الطلبة داخــل غرفة الصف إلى‬ ‫الآلة الحاسبة‪ ،‬ثم ناقشها على اللوح‪.‬‬ ‫الواجب البيتي‪.‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫ •في اليوم التالي‪ ،‬ا َّط ِلع على حلول الطلبة‪ ،‬ونا ِقشهم في أي صعوبات واجهوها‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلى حــل المســألتين ‪ ، 21‬و ‪ 22‬ضمن‬ ‫في أثناء الحل‪.‬‬ ‫مجموعات ثنائية؛ على أن تضــم كل مجموعة طال ًبا‬ ‫مــن ذوي التحصيل فوق المتوســط‪ ،‬وآخر من ذوي‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:3‬‬ ‫التحصيل دون المتوسط‪ ،‬وأن يتضمن الحل كتابة ُمب ِّرر‬ ‫للإجابة‪ ،‬وامنحهم وق ًتا كاف ًيا لنقد ُمب ِّررات زملائهم‪.‬‬ ‫‪a) θ ≈ 113.58° / θ ≈ 246.44°‬‬ ‫‪b) θ ≈ 79.97° / θ ≈ 259.97°‬‬ ‫‪c) θ ≈ 213.22° / θ ≈ 326.78°‬‬ ‫‪92‬‬

‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪3‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى الحكم على مدى صحة العبارة الآتية‪،‬‬ ‫‪1 sin 130º ≈ 0.766‬‬ ‫‪2 sin 325º ≈ -0.574‬‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫وتقديم تبريراتهم بالطريقة التي يرونها مناسبة‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ »تزداد قيمة النســبة المثلثية ‪ sin θ‬كلما زادت قيمة‬ ‫‪3 cos 270º 0‬‬ ‫الزاوية ‪ θ‬عندما‪. 0° ≤ θ ≤ 360° :‬‬ ‫‪4 tan 120º -√3‬‬ ‫‪5 cos 250º ≈ -0.342‬‬ ‫‪6 tan 315º -1‬‬ ‫ •يمكنك في المنزل فتح الرابط‪:‬‬ ‫‪7 325º 215°‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ زاوﻳ ﹰﺔ ﺛﺎﻧﻴ ﹰﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ‪ 0º‬ﹶو ‪ ،360º‬ﻟﻬﺎ ﻧﺴﺒ ﹸﺔ اﻟﺠﻴ ﹺﺐ ﻧﻔ ﹸﺴﻬﺎ‪ ،‬ﻣﺜ ﹶﻞ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﻌﻄﺎ ﹺة‪:‬‬ ‫‪https://www.purposegames.com/game/‬‬ ‫‪e6840d5043‬‬ ‫‪8 84º 96°‬‬ ‫‪9 245º 295°‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ زاوﻳ ﹰﺔ ﺛﺎﻧﻴ ﹰﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ‪ 0º‬ﹶو ‪ ،360º‬ﻟﻬﺎ ﻧﺴﺒ ﹸﺔ ﺟﻴ ﹺﺐ اﻟﺘﻤﺎ ﹺم ﻧﻔ ﹸﺴﻬﺎ‪ ،‬ﻣﺜ ﹶﻞ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﻌﻄﺎ ﹺة‪:‬‬ ‫ثم الاســتمتاع باللعبــة التفاعلية الخاصة بالنســبتين‬ ‫‪10 280º 80°‬‬ ‫‪11 150º 210°‬‬ ‫‪12 215º 145°‬‬ ‫المثلثتين‪ :‬الجيب وجيب التمام لزوايا خاصة‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ زاوﻳ ﹰﺔ ﺛﺎﻧﻴ ﹰﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ‪ 0º‬ﹶو ‪ ،360º‬ﻟﻬﺎ ﻧﺴﺒ ﹸﺔ اﻟﻈ ﱢﻞ ﻧﻔ ﹸﺴﻬﺎ‪ ،‬ﻣﺜ ﹶﻞ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﻌﻄﺎ ﹺة‪:‬‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫‪13 75º 255°‬‬ ‫‪14 300º 120°‬‬ ‫‪15 235º 55°‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلى إكمــال تنفيذ الخطــوة الأولى من‬ ‫المشــروع‪ ،‬وإيجاد الإحداثيــات الديكارتية للنقاط‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ )أ ﹾو ﻗﻴ ﹶﻢ( ‪ ،θ‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑـﺄ ﱠن ‪:0º ≤ θ ≤ 360º‬‬ ‫الست التي ع َّينوها على الرسم‪.‬‬ ‫‪16 sin = 0.55‬‬ ‫‪17 cos = – 0.05‬‬ ‫‪18 tan = 0‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى إنشــاء جدول يتضمــن الإحداثيات‬ ‫‪θ ≈ 33.37° / θ ≈ 146.63°‬‬ ‫‪θ ≈ 92.87° / θ ≈ 272.87°‬‬ ‫‪θ = 0° / θ = 180°‬‬ ‫القطبية‪ ،‬والإحداثيات الديكارتية لكل نقطة‪.‬‬ ‫‪ 19‬أﻧﻬﺎ ﹲر‪ :‬ﻳﺘﻐ ﱠﻴ ﹸﺮ ﻋﻤ ﹸﻖ اﻟﻤﺎ ﹺء ‪ y‬ﺑﺎﻷﻣﺘﺎ ﹺر ﻓﻲ ﻧﻬ ﹺﺮ ﺑﺴــﺒ ﹺﺐ اﻟﻤ ﱢﺪ واﻟﺠ ﹾﺰ ﹺر اﻟﺒﺤﺮ ﱢي ﺗﺒ ﹰﻌﺎ ﻟﻠﺴــﺎﻋ ﹺﺔ ‪ x‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻴــﻮ ﹺم‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻌﻼﻗ ﹸﺔ‬ ‫ •ب ِّين للطلبة أنــه يمكنهم البدء بتنفيــذ الخطوة الثانية‪،‬‬ ‫وحساب محيط الشكل السداسي‪.‬‬ ‫‪ y = 3 sin ((x – 4)30º) +8‬ﹸﺗﻤ ﱢﺜــ ﹸﻞ ﻋﻤــ ﹶﻖ اﻟﻤــﺎ ﹺء ﻓﻲ اﻟﻨﻬ ﹺﺮ ﻳﻮ ﹰﻣﺎ ﻣــﺎ‪ ،‬ﺣﻴــ ﹸﺚ‪ ،x = 0,1, 2, 3, ..., 24 :‬و ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﻘﻴﻤ ﹸﺔ‬ ‫ •ذ ِّكــر أفراد المجموعات بتصميــم لوحة من الكرتون‬ ‫‪ x = 0‬اﻟﺴﺎﻋ ﹶﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴ ﹶﺔ ﻋﺸﺮ ﹶة ﻣﻨﺘﺼ ﹶﻒ اﻟﻠﻴ ﹺﻞ‪ ،‬ﹶواﻟﻘﻴﻤ ﹸﺔ ‪ x = 5‬اﻟﺴﺎﻋ ﹶﺔ اﻟﺨﺎﻣﺴ ﹶﺔ ﻓﺠ ﹰﺮا‪ ،‬ﹶواﻟﻘﻴﻤ ﹸﺔ ‪ x = 13‬اﻟﺴﺎﻋ ﹶﺔ اﻟﻮاﺣﺪ ﹶة ﺑﻌ ﹶﺪ‬ ‫تتضمن خطوات تنفيذ مشــروع الوحــدة‪ ،‬ودور كل‬ ‫اﻟﻈﻬ ﹺﺮ‪ ،‬وﻫﻜﺬا‪ ،‬ﻓﻤﺎ أﻗﺼﻰ ﻋﻤ ﹴﻖ ﻟﻠﻨﻬ ﹺﺮ؟ ﻓﻲ أ ﱢي ﺳﺎﻋ ﹴﺔ ﻳﺤﺪ ﹸث ذﻟ ﹶﻚ؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫عضو في المجموعة‪.‬‬ ‫‪ 20‬ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟ ﹶﺔ اﻟﻮارد ﹶة ﻓﻲ ﺑﺪاﻳ ﹺﺔ اﻟﺪر ﹺس‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫الختام‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫‪ 21‬أﻛﺘﺸ ﹸﻒ اﻟﺨﻄ ﹶﺄ‪ :‬ﺣﺴ ﹶﺒ ﹾﺖ ﺳﻨﺪ ﹸس ﻧﺴﺒ ﹶﺔ ﺟﻴ ﹺﺐ إﺣﺪ￯ اﻟﺰواﻳﺎ ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ ،‬ﻓﻜﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ﻗﻴﻤ ﹸﺘﻬﺎ ‪1.4527‬‬ ‫ﻫ ﹾﻞ إﺟﺎﺑ ﹸﺔ ﺳﻨﺪ ﹶس ﺻﺤﻴﺤ ﹲﺔ؟ ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ 22‬ﺗﺒﺮﻳ ﹲﺮ‪ :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ ،‬ﹸﻣﺒ ﱢﺮ ﹰرا إﺟﺎﺑﺘﻲ‪ :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪cos 1º + cos 2º + cos 3º+ …… + cos 357º+ cos 358º + cos 359º‬‬ ‫‪93‬‬ ‫نشاط (مسابقة بين فريقين)‬ ‫المفاهيم العابرة‪:‬‬ ‫المواد والأدوات‪:‬‬ ‫ •بعد الانتهاء من حل المثال‪ ،4‬ع ِّزز الوعي بالقضايا الإنسانية (حق الإنسان في‬ ‫الترفيه)‪ ،‬عن طريق حوار تديره مع الطلبة عن الحدائق‪ ،‬واسألهم‪:‬‬ ‫آلة حاسبة لكل فريق‪ ،‬صندوق‪ ،‬بطاقات‪.‬‬ ‫ »في َم ُيستفاد من وجود حدائق عامة في المدن؟‬ ‫خطوات التنفيذ‪:‬‬ ‫ » َم ْن يذكر بعض الســلوكات السليمة التي يجب اتباعها عند زيارة الحدائق‬ ‫العامة؟‬ ‫ •ج ِّهز البطاقات قبل بدء الحصة‪ ،‬واكتب على ك ٍّل منها‬ ‫سؤا ًل عن إيجاد نسبة مثلثية لزاوية معلومة باستعمال‬ ‫إرشادات‪:‬‬ ‫الآلة الحاسبة‪ ،‬أو إيجاد قياس الزاوية إذا ُع ِلمت نسبتها‬ ‫ •عند حل الأسئلة‪ 1, 2, 5 :‬و ِّجه الطلبة إلى استعمال الآلة الحاسبة‪.‬‬ ‫ •في السؤال ‪ :19‬بعد ‪ 12‬ساعة‪ ،‬تكون الساعة ‪19:00‬؛ أي السابعة مسا ًء‪،‬‬ ‫المثلثية‪.‬‬ ‫ •اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫عندئ ٍذ تكون‪:‬‬ ‫ » َم ْن يرغب في المشاركة؟‬ ‫‪( θ = 450°‬لا ِحظ أن ‪.)sin 450° = 1‬‬ ‫ »أن ِشئ فريقين يتك َّون ك ٌّل منهما من أربعة متسابقين‪.‬‬ ‫ •اطلــب إلــى أفراد كل فريــق ســحب ‪ 4‬بطاقات من‬ ‫الصندوق‪ ،‬ثم حل الأسئلة المكتوبة عليها‪.‬‬ ‫ •الفريق الفائز هو َم ْن يحل أكبر عدد من الأسئلة بصورة‬ ‫صحيحة‪.‬‬ ‫‪93‬‬

‫ﺗﻤﺜﻴ ُﻞ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ِت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ِﺔ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫الدرس‬ ‫‪Graphing Trigonometric Functions‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺗﻤﺜﻴ ﹸﻞ اﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹴت ﻣﺜﻠﺜﻴ ﹴﺔ ﻣﺠﺎ ﹸﻟﻬﺎ اﻟﻔﺘﺮ ﹸة ]‪ [0º, 360º‬ﺑﻴﺎﻧ ﹼﹰﻴﺎ‪.‬‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس‬ ‫  نتاجات الدرس‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫ﻳﺮﺗﺒ ﹸﻂ ﻋﻤ ﹸﻖ اﻟﻤﺎ ﹺء ﻋﻨ ﹶﺪ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﹸﻣﻌ ﱠﻴﻨ ﹴﺔ ﻓﻲ أﺣ ﹺﺪ اﻟﻤﻮاﻧﻰﹺءﺑﺎﻟﺰﻣ ﹺﻦ ﺣﺴ ﹶﺐ اﻟﻌﻼﻗ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫ •تمثيل اقتران الجيب في الفترة ]‪ [0°, 360°‬بيان ًّيا‪.‬‬ ‫ •تمثيل اقتران جيب التمام في الفترة ]‪ [0°, 360°‬بيان ًّيا‪.‬‬ ‫‪y = sin x, x ≥ 0‬‬ ‫ﺣﻴ ﹸﺚ‪ y :‬ﻋﻤ ﹸﻖ اﻟﻤﺎ ﹺء ﺑﺎﻷﻣﺘﺎ ﹺر‪ ،‬ﹶو ‪ x‬اﻟﺰﻣ ﹸﻦ ﺑﺎﻟﺴﺎﻋﺎ ﹺت ﺑﻌ ﹶﺪ ﻣﻨﺘﺼ ﹺﻒ‬ ‫ •تمثيل اقتران الظل في الفترة ]‪ [0°, 360°‬بيان ًّيا‪.‬‬ ‫اﻟﻠﻴ ﹺﻞ‪ .‬ﻫ ﹾﻞ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ رﺳ ﹸﻢ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ ﺗﻐ ﱡﻴ ﹶﺮ ﻋﻤ ﹺﻖ اﻟﻤﺎ ﹺء ﻓﻲ اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ﻣ ﹶﻊ‬ ‫ •تعرف خصائص الاقترانات المثلثية الأساسية‪.‬‬ ‫ﻣﺮو ﹺر اﻟﻮﻗ ﹺﺖ؟‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫ •تمثيل الاقترانات بيان ًّيا‪.‬‬ ‫ﹸﺗﺴــﺘﺨ ﹶﺪ ﹸم اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹸت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹸﺔ ﻓﻲ ﺗﻤﺜﻴ ﹺﻞ ﻣﻮاﻗ ﹶﻒ ﺣﻴﺎﺗﻴ ﹴﺔ ﻣﺮﺗﺒﻄ ﹴﺔ ﺑﺎﻟﺤﺮﻛ ﹺﺔ اﻟﺪورﻳ ﹺﺔ‪ ،‬ﻣﺜ ﹺﻞ‪ :‬ﻣﻮﺟﺎ ﹺت‬ ‫ •النسب المثلثية الأساسية للزوايا الحادة‪.‬‬ ‫اﻟﺼﻮ ﹺت‪ ،‬وﺿﻐ ﹺﻂ اﻟﺪ ﹺم ﻓﻲ ﺟﺴــ ﹺﻢ اﻹﻧﺴﺎ ﹺن‪ ،‬وارﺗﻔﺎ ﹺع ﻣﻘﻌ ﹴﺪ ﻓﻲ دوﻻ ﹴب د ﹼوا ﹴر‪ ،‬وﺗﻐ ﱡﻴ ﹺﺮ ﻋﺪ ﹺد ﺳﺎﻋﺎ ﹺت‬ ‫اﻟﻨﻬﺎ ﹺر ﺧﻼ ﹶل ﻋﺎ ﹴم‪ ،‬وﻏﻴ ﹺﺮ ذﻟ ﹶﻚ‪ .‬وﻟﻜ ﹾﻦ‪ ،‬ﻫ ﹾﻞ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ رﺳــ ﹸﻢ ﻣﻨﺤﻨــﻰ اﻗﺘﺮا ﹴن ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ ﻛﻴ ﹶﻒ ﺗﺒﺪو اﻟﺤﺮﻛ ﹸﺔ‬ ‫التهيئة‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﺪورﻳ ﹸﺔ اﻟﺘﻲ ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻠﻬﺎ ﻫﺬ ﹺه اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹸت؟‬ ‫ﺗﻌ ﱠﻠ ﹾﻤ ﹸﺖ ﺳــﺎﺑ ﹰﻘﺎ ﻛﻴﻔﻴ ﹶﺔ ﺗﻤﺜﻴ ﹺﻞ اﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹴت ﺧ ﱢﻄﻴ ﹴﺔ وﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹴﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ ﺑﺈﻧﺸﺎ ﹺء ﺟﺪو ﹺل ﻗﻴ ﹴﻢ‬ ‫ﻟﻠ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴﺮ ﹾﻳ ﹺﻦ ‪ x‬ﹶو‪ ،y‬وﺗﻤﺜﻴ ﹺﻞ ﻛ ﱢﻞ زو ﹴج )‪ (x, y‬ﺑﻨﻘﻄ ﹴﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺴــﺘﻮ￯‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ رﺳــ ﹺﻢ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺬي ﻳﺼ ﹸﻞ‬ ‫ﻫﺬ ﹺه اﻟﻨﻘﺎ ﹶط ﺑﺒﻌ ﹺﻀﻬﺎ‪ .‬وﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﺴﻴﺎ ﹺق‪ ،‬ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ا ﱢﺗﺒﺎ ﹸع اﻟﻄﺮﻳﻘ ﹺﺔ ﻧﻔ ﹺﺴﻬﺎ ﻟﺘﻤﺜﻴ ﹺﻞ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫ •اطرح على الطلبة الأسئلة الآتية‪:‬‬ ‫ » َم ْن يذكر بعض أنــواع الاقترانات؟ اقتران خطي‪،‬‬ ‫أرﺳ ﹸﻢ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻻﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺛﻢ ﹶأ ﹺﺻ ﹸﻔ ﹸﻪ‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ‪:0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫اقتران تربيعي‪ ،‬اقتران أسي‪.‬‬ ‫‪1 y = sin x.‬‬ ‫ »ماذا يعني التمثيل البياني للاقتران؟ إجابة ُمحت َملة‪:‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :1‬ﹸأﻛ ﱢﻮ ﹸن ﺟﺪو ﹰﻻ أﻛﺘ ﹸﺐ ﻓﻴ ﹺﻪ زواﻳﺎ ﺷﺎﺋﻌ ﹰﺔ‪ ،‬ﻧﺴــ ﹸﺒﻬﺎ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹸﺔ ﻣﻌﺮوﻓ ﹲﺔ‪ ،‬ﻣﺜ ﹶﻞ‪ :‬اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﺮﺑﻌﻴ ﹺﺔ‪،‬‬ ‫رسم منحنى يمثل الاقتران‪.‬‬ ‫واﻟﺰواﻳﺎ اﻟﺘﻲ زاوﻳ ﹸﺘﻬﺎ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹸﺔ ‪.30º‬‬ ‫ »كيف نمثل منحنى الاقتران ‪ y = x2‬بيان ًّيا؟‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ sin x‬ﻟﻜ ﱢﻞ زاوﻳ ﹴﺔ ‪ ، x‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأﻛﺘ ﹸﺒﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﺠﺪو ﹺل‪:‬‬ ‫ •ذ ِّكــر الطلبة بكيفية اســتعمال جــداول القيم لتمثيل‬ ‫‪94‬‬ ‫الاقترانــات الخطية والاقترانــات التربيعية‪ ،‬ثم تعيين‬ ‫النقاط باستعمال أزواج مرتبة في المستوى الإحداثي‪،‬‬ ‫والتوصيل بينها بمستقيم في حالة الاقترانات الخطية‪،‬‬ ‫وبمنحنى متصل في حالة الاقترانات التربيعية‪.‬‬ ‫ •اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫ »ما أصغر قيمة للاقتران ‪y = x2‬؟ ‪y = 0‬‬ ‫ »ما أكبر قيمة له؟ لا توجد‪.‬‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المســألة في بند (مسألة اليوم)‪،‬‬ ‫ثم اسألهم‪:‬‬ ‫ »هل يتغير عمق الماء بمرور الزمن؟ نعم‬ ‫ »ما أكبــر قيمة لجيــب الزاوية؟ ما قيــاس الزاوية‬ ‫عندئ ٍذ؟ ‪1, θ = 90°‬‬ ‫ »ما أصغر قيمــة لجيب الزاوية؟ ما قيــاس الزاوية‬ ‫عندئ ٍذ؟ ‪-1, θ = 270°‬‬ ‫ »هل يمكن رسم منحنى يمثل اقتران الجيب؟‬ ‫ »أ ُّيكم يتوقع شكل هذا المنحنى؟‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة من دون تقديم تغذية راجعة لهم‪.‬‬ ‫‪94‬‬

‫ملاحظات المعلم‬ ‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •ع ِّرف الاقترانات المثلثية بأنها اقترانات تحوي نسبة مثلثية واحدة على الأقل‪ ،‬مثل‪ ،sin :‬أو ‪،cos‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫أو ‪ ،tan‬وأنها تســتعمل لنمذجة العديد من المواقف الحياتيــة‪ ،‬مثل‪ :‬ضغط الدم‪ ،‬وارتفاع مقعد‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫على لعبة دولاب دوار‪ ،‬وجهد الإشارات الإلكترونية‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ • َأ ِش ْر إلى أنه لتمثيل الاقترانات المثلثية يمكن اتباع الإجراءات نفسها المستعملة لتمثيل الاقترانات‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫الخطية أو التربيعية‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثال ‪ ،1‬وب ِّرر لهم ســبب اختيــار الزاوية ‪ 30°‬بوصفها زاوية مرجع في الفرع‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫الأول‪ ،‬واختيار الزاوية ‪ 60°‬بوصفها زاوية مرجع فــي الفرع الثاني‪ُ ،‬مذ ِّك ًرا الطلبة بالخصائص التي‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫يمكن ملاحظتها في كل تمثيل بياني‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •في الفرع الأول‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة تحديد التماثل في منحنى الجيب بدراسة ك ٍّل من المنحنى والجدول‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة توضيح الفرق بين التماثل الحاصل في منحنى الجيب حول ‪ ،90°‬وحول ‪.180°‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •في الفرع الثاني‪:‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة تحديد التماثل في منحنى جيب التمام بدراسة كل من المنحنى والجدول‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة توضيح الفرق بين التماثل الحاصل في منحنى جيب التمام حول ‪.180°‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة وصف منحنى جيب التمام وعلاقته بمنحنى الجيب‪ ،‬إذا أدرك الطلبة هذه العلاقة‬ ‫فسيجيبون بأن منحنى جيب التمام هو منحنى الجيب نفسه مع انسحاب بمقدار ‪ 90°‬نحو اليمين‪.‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫ •أخبــر الطلبة أن معرفة أكبر قيمة وأصغر قيمة للاقتــران المثلثي الذي يتضمن ‪ sin‬أو ‪cos‬‬ ‫تساعد على تمثيل هذا الاقتران‪.‬‬ ‫ •تذ َّكر أن تعزيز قدرة الطلبة على ملاحظــة التماثلات الحاصلة لمنحنى الجيب حول زوايا‬ ‫محددة يســاعدهم على فهم النســب المثلثية للزوايا بين ‪ 0°‬و ‪ ،360°‬فيفهمون ‪ -‬مث ًل‪ -‬أن‬ ‫‪. sin 30° = 0.5 = sin (180 - 30)°‬‬ ‫ •أخبر الطلبة أنه يمكنهم الاستعانة بمضاعفات الزاوية ‪ ،30°‬مثل‪،60°، 90°، 120°، 150° :‬‬ ‫بد ًءا بالزاوية التي قياســها ‪ °0‬عند تمثيــل اقتران الجيب‪ ،‬وأنه عند تمثيــل الزوج المرتب‬ ‫‪0.87‬‬ ‫إلى‬ ‫‪√3‬‬ ‫و ُيق َّرب‬ ‫الحاسبة‪،‬‬ ‫الآلة‬ ‫ُتستع َمل‬ ‫مث ًل‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫(‪)60°,sin60°‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى حل التدريب في بند (أتحقق من فهمي) بعد كل مثال‪.‬‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحوي أخطاء مفاهيمية‪ ،‬ثم نا ِقشها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اسم الطالب‬ ‫الذي أخطأ في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬ ‫‪94A‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪3‬‬ ‫‪x 0º 30º 90º 150º 180º 210º 270º 330º 360º‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫‪y = sin x 0 0.5 1 0.5 0 – 0.5 –1 – 0.5 0‬‬ ‫و ِّجه الطلبة إلى أهمية تقسيم المحور الأفقي أقسا ًما‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :3‬ﹸأﻋ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻷزوا ﹶج اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﺗﺒ ﹶﺔ‪(0º, 0), (30º, 0.5), (90º, 1), ……(360º, 0) :‬‬ ‫متســاوية بالزوايا‪ ،‬وكذلك المحور الرأسي‪ ،‬ولكن‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ‪y .‬‬ ‫ُأﻓ ﱢﻜ ُﺮ‬ ‫بالأعداد‪ ،‬ثم اطلب إليهم تفسير ذلك‪.‬‬ ‫ﻣﺎ اﻟﻌﻼﻗ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻗﺘﺮا ﹺن‬ ‫‪1‬‬ ‫‪180º‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :4‬ﹶأ ﹺﺻــ ﹸﻞ ﺑﻤﻨﺤﻨﹰﻰ أﻣﻠــ ﹶﺲ ﺑﻴ ﹶﻦ‬ ‫اﻟﺠﻴــ ﹺﺐ واﻟﺰواﻳﺎ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹺﺔ‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪90º 150º 210º 270º 330º 360º‬‬ ‫اﻟﻨﻘﺎ ﹺط‪ ،‬ﻓﻴﻨﺘ ﹸﺞ رﺳــ ﹲﻢ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺘــﻲ ﺗﻌ ﱠﻠ ﹾﻤ ﹸﺘﻬﺎ ﻓــﻲ اﻟﺪر ﹺس‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y = sin x‬‬ ‫اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫اﻟﺴﺎﺑ ﹺﻖ؟‬ ‫‪30º‬‬ ‫ﻣ ﹶﻦ اﻟﺘﻤﺜﻴ ﹺﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧ ﱢﻲ ﻻﻗﺘﺮا ﹺن ‪ ،sin x‬ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ‬ ‫إرﺷﺎ ٌد‬ ‫‪–0.5‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜــ ﹸﻦ اﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹸل ﺑﺮﻣﺠﻴ ﹺﺔ‬ ‫‪–1‬‬ ‫ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا ﻟﺘﻤﺜﻴــ ﹺﻞ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‬ ‫‪ ، x cos‬وﻣﻼﺣﻈ ﹺﺔ أﻛﺒ ﹺﺮ ﻗﻴﻤ ﹴﺔ‬ ‫أ ﱠن‪:‬‬ ‫ﻟ ﹸﻪ‪ ،‬وأﺻﻐ ﹺﺮ ﻗﻴﻤ ﹴﺔ ﻟ ﹸﻪ أﻳ ﹰﻀﺎ‪.‬‬ ‫• أﻛﺒ ﹶﺮ ﻗﻴﻤ ﹴﺔ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن ‪ sin x‬ﻫ ﹶﻲ ‪ ،1‬وأﺻﻐ ﹶﺮ ﻗﻴﻤ ﹴﺔ ﻟ ﹸﻪ ﻫ ﹶﻲ ‪–1‬‬ ‫• ‪ sin x‬ﻳﻜــﻮ ﹸن ﻣﻮﺟ ﹰﺒــﺎ إذا ﻛﺎ ﹶﻧــ ﹾﺖ ‪ ،0º < x < 180º‬وﺳــﺎﻟ ﹰﺒﺎ إذا ﻛﺎ ﹶﻧــ ﹾﺖ‬ ‫‪.180º < x < 360º‬‬ ‫‪2 y = cos x.‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :1‬ﹸأﻛ ﱢﻮ ﹸن ﺟﺪو ﹰﻻ ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ ﻓﻴ ﹺﻪ زواﻳﺎ ﺷﺎﺋﻌ ﹰﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ cos x‬ﻟﻜ ﱢﻞ زاوﻳ ﹴﺔ ‪ ، x‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأﻛﺘ ﹸﺒﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﺠﺪو ﹺل‪:‬‬ ‫‪x 0º 60º 90º 120º 180º 240º 270º 300º 360º‬‬ ‫‪y = cos x 1 0.5 0 – 0.5 –1 – 0.5 0 0.5 1‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :3‬ﹸأﻋ ﱢﻴــ ﹸﻦ اﻷزوا ﹶج اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﺗﺒــ ﹶﺔ‪ (0º, 1), (60º, 0.5), (90º, 0),……(360º, 1) :‬ﻓــﻲ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ‪ ،‬و ﹶأ ﹺﺻ ﹸﻞ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﺎ ﹺط ﺑﻤﻨﺤﻨﹰﻰ أﻣﻠ ﹶﺲ‪.‬‬ ‫ﻣــ ﹶﻦ اﻟﺘﻤﺜﻴــ ﹺﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧ ﱢﻲ ﻻﻗﺘــﺮا ﹺن ‪y ،cos x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ أ ﱠن‪:‬‬ ‫‪0.5 270º‬‬ ‫• أﻛﺒــ ﹶﺮ ﻗﻴﻤ ﹴﺔ ﻟﻼﻗﺘــﺮا ﹺن ‪ cos x‬ﻫ ﹶﻲ ‪،1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫وأﺻﻐ ﹶﺮ ﻗﻴﻤ ﹴﺔ ﻟ ﹸﻪ ﻫ ﹶﻲ ‪–1‬‬ ‫‪–0.5‬‬ ‫‪60º 90º 120º 180º 240º 300º 360º‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫‪y = cos x‬‬ ‫‪95‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪180º‬‬ ‫‪90º 150º 210º 270º 330º 360º‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪30º‬‬ ‫‪–0.5‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫‪95‬‬

‫مثال ‪2‬‬ ‫• ‪ cos x‬ﻳﻜــﻮ ﹸن ﻣﻮﺟ ﹰﺒــﺎ إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ‪ ،0º < x < 90º‬ﹶو ‪ ،270º < x < 360º‬وﺳــﺎﻟ ﹰﺒﺎ إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ‬ ‫‪.90º < x < 270º‬‬ ‫ •و ِّضــح للطلبة أنه يمكن تمثيل الاقترانات المثلثية على‬ ‫جميع الأعــداد الحقيقية‪ ،‬ولكن ليــس ‪-‬بالضرورة‪-‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫ضمن فتــرة مغلقة‪ ،‬أو ضمــن دورة واحــدة‪ ،‬حيث‪:‬‬ ‫أرﺳــ ﹸﻢ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ‪ ، y = sin x‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ‪ ،90º ≤ x ≤ 360º‬ﹸﻣﺴــﺘﻌ ﹺﻤ ﹰﻼ زواﻳﺎ ﻣﺨﺘﻠﻔ ﹰﺔ ﻋ ﹾﻦ‬ ‫‪ ، 0° ≤ θ ≤ 360°‬ولذلــك تســمى هــذه الاقترانات‬ ‫الاقترانات الدائرية أو الدورية ‪Cyclic Functions‬؛‬ ‫ﺗﻠ ﹶﻚ اﻟﺘﻲ ﻓﻲ اﻟﺠﺪو ﹺل اﻟﺴﺎﺑ ﹺﻖ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴ ﹶﻢ اﻟﺠﻴ ﹺﺐ ﻟﻬﺬ ﹺه اﻟﺰواﻳﺎ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫إذ يتكــ َّرر المنحنى الــذي يظهر ضمــن دورة واحدة‬ ‫على مجال هــذه الاقترانات‪ ،‬وهو الأعــداد الحقيقية‬ ‫ﺗﻌ ﱠﺮ ﹾﻓ ﹸﺖ أ ﱠﻧ ﹸﻪ ﺗﻮﺟ ﹸﺪ زواﻳﺎ أﻛﺒ ﹸﺮ ﻣ ﹾﻦ ‪ .360º‬ﻓﺈذا دا ﹶر ﺿﻠ ﹸﻊ اﺑﺘﺪا ﹺء اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ )ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳــ ﱢﻲ( أﻛﺜ ﹶﺮ‬ ‫)∞‪ .(-∞,‬يمكنــك اســتعمال برمجيــة جيوجبــرا‬ ‫ﻣــ ﹾﻦ دور ﹴة واﺣﺪ ﹴة ﻋﻜ ﹶﺲ اﺗﺠﺎ ﹺه ﻋﻘﺎر ﹺب اﻟﺴــﺎﻋ ﹺﺔ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﹸﻳﻜ ﱢﻮ ﹸن زواﻳﺎ أﻛﺒــ ﹶﺮ ﻣﻦ ‪ ،360º‬وإذا دا ﹶر ﻣ ﹶﻊ‬ ‫لتوضيح ما ســبق عن اقترنات الجيــب وجيب التمام‪،‬‬ ‫اﺗﺠﺎ ﹺه ﻋﻘﺎر ﹺب اﻟﺴــﺎﻋ ﹺﺔ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﹸﻳﻜ ﱢﻮ ﹸن زواﻳﺎ ﻗﻴﺎ ﹸﺳــﻬﺎ ﺳــﺎﻟ ﹲﺐ؛ وﻟﻬﺬا‪ ،‬ﻓﻘ ﹾﺪ ﻳﻜﻮ ﹸن ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ أ ﱠي‬ ‫وتوظيــف خاصيتــي ‪ ،: Animation On‬و ‪Show‬‬ ‫ﻋﺪ ﹴد ﺣﻘﻴﻘ ﱟﻲ‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠﻧ ﹸﻪ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﺗﻤﺜﻴ ﹸﻞ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ﹺت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ ﻟﻸﻋﺪا ﹺد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴ ﹺﺔ ﺟﻤﻴ ﹺﻌﻬﺎ‪ ،‬وﻟﻴ ﹶﺲ ﻓﻘ ﹾﻂ‬ ‫‪.Trace‬‬ ‫ﻟﻠﺰواﻳﺎ اﻟﻮاﻗﻌ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ‪ 0º‬ﹶو ‪ ،360º‬ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻗﺘﺮا ﹺن اﻟﺠﻴ ﹺﺐ اﻵﺗﻲ‪.‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبــة في حل المثال ‪ُ ،2‬مؤ ِّكــ ًدا أهمية تحديد‬ ‫خطوط التقارب الرأســي ‪Vertical Asymptotes‬‬ ‫‪y‬‬ ‫(خطوط متقطعــة) قبل تعيين النقاط‪ ،‬ورســم منحنى‬ ‫‪- 180º‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪90º 270º‬‬ ‫‪450º‬‬ ‫ﻛﺎﺷ ﹸﻒ اﻻﻫﺘﺰا ﹺز )اﻷوﺳﻴﻠﻴﺴﻜﻮ ﹸب(‬ ‫‪.y = tan x‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪y = sin x‬‬ ‫ﻫ ﹶﻮ ﺟﻬﺎ ﹲز ﻳﺮﺳــ ﹸﻢ ﹸﺟ ﹾﻬ ﹶﺪ اﻹﺷــﺎرا ﹺت‬ ‫ •ب ِّين للطلبــة أن منحنى اقتران الظــل يكون غير متصل‬ ‫‪0‬‬ ‫اﻹﻟﻜﺘﺮوﻧﻴ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜ ﹺﻞ ﹸﻣﺨ ﱠﻄ ﹴﻂ ﹸﻳ ﹾﺸﺒﹺ ﹸﻪ‬ ‫عنــد الزوايا التي ليس له تعريــف عندها؛ أي عند ‪90°‬‬ ‫‪- 90º –0.5‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺜﻴــ ﹶﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧ ﱠﻲ ﻻﻗﺘــﺮا ﹺن اﻟﺠﻴ ﹺﺐ‪،‬‬ ‫و ‪ ،270°‬وأنــه بموازاة خطوط التقارب الرأســية يمتد‬ ‫و ﹸﻳﺴــﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ ﻻﻛﺘﺸــﺎ ﹺف أﻋﻄــﺎ ﹺل‬ ‫منحنى الظــل في الاتجاهين‪ :‬إلــى ∞‪ +‬في الربعين‪:‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫الأول والثالث‪ ،‬وإلى ∞‪ -‬في الربعين‪ :‬الثاني والرابع‪.‬‬ ‫اﻷﺟﻬﺰ ﹺة اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫واﻵ ﹶن‪ ،‬ﺳﺄرﺳ ﹸﻢ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ‪ ،y = tan x‬ﹸﻣﻼ ﹺﺣ ﹰﻈﺎ اﻟﻔﺮ ﹶق ﺑﻴﻨﹶ ﹸﻪ وﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﻨﺤﻨ ﹶﻴ ﹺﻲ اﻻﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪،sin x‬‬ ‫تنويع التعليم‬ ‫ﹶو ‪.cos x‬‬ ‫لتوضيــح مفهــوم الاقتران الدائــري باســتعمال برمجية‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬ ‫جيوجبرا‪ ،‬اتبع الآتي‪:‬‬ ‫ •أدخــل )‪ f(x) = sin (x‬فــي ‪ ،Input bar‬ثم اضبط‬ ‫أرﺳ ﹸﻢ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‪ ، y = tan x‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺻ ﹸﻔ ﹸﻪ ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ‪:0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :1‬ﹸأﻛ ﱢﻮ ﹸن ﺟﺪو ﹰﻻ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ ﻓﻴ ﹺﻪ زواﻳﺎ ﺷﺎﺋﻌ ﹰﺔ‪.‬‬ ‫تدريج المحور ‪ x‬لنظام الزوايا‪.‬‬ ‫ •ضــع نقطة علــى المنحنى الــذي ظهر رســمه‪ .‬ومن‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ tan x‬ﻟﻜ ﱟﻞ زاوﻳ ﹴﺔ ‪ ، x‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأﻛﺘ ﹸﺒﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﺠﺪو ﹺل‪:‬‬ ‫خصائصها‪ ،‬اختر ‪.Show Trace‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0º 45º 90º 135º 180º 225º 270º 315º 360º‬‬ ‫ •اختر من خصائص‪ ،‬النقطة ‪.Animation On‬‬ ‫‪tan x‬‬ ‫‪ –1 0‬ﻏﻴ ﹸﺮ ﹸﻣﻌ ﱠﺮ ﹴف ‪ –1 0 1‬ﻏﻴ ﹸﺮ ﹸﻣﻌ ﱠﺮ ﹴف ‪0 1‬‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‪:‬‬ ‫‪96‬‬ ‫ك ِّررالمصطلحاتالرياضيةالمستخدمةفيالدرسباللغتين‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫العربية والإنجليزية‪ ،‬وش ِّجع الطلبة على استعمالها‪.‬‬ ‫ •يمكنك توظيف برمجية جيوجبرا كما جاء في الإرشــاد الســابق لتوضيح‬ ‫مفهوم الاقتران الدائري على ك ٍّل من جيب التمام والظل‪.‬‬ ‫ •أخبر الطلبــة أن مهارة تحديد خطوط التقارب الرأســي أساســية لتمثيل‬ ‫الاقتران المثلثي الذي يتضمن ‪ ،tan‬وأنها تساعد على تمثيل الاقتران‪.‬‬ ‫‪96‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪3‬‬ ‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :3‬ﹸأﻋ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﻨﻘﺎ ﹶط ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ‪ ،‬ﹸﻣﻼ ﹺﺣ ﹰﻈﺎ ﺻﻌﻮﺑ ﹶﺔ اﻟﺘﻮﺻﻴ ﹺﻞ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﺎ ﹺط ﺑﻤﻨﺤﻨﹰﻰ‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى بند (أتدرب وأحل المسائل)‪ ،‬واطلب‬ ‫واﺣ ﹴﺪ؛ ﻷ ﱠن ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ tan x‬ﻏﻴــ ﹸﺮ ﹸﻣﻌ ﱠﺮﻓ ﹴﺔ ﻟﻠﺰاوﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ 90º‬ﹶو ‪270º‬؛ ﻟــﺬا ﹶأ ﹺﺻ ﹸﻞ اﻟﻨﻘﺎ ﹶط ﻗﺒ ﹶﻞ‬ ‫إليهم حل المسائل‪ ،‬وتابع أعمالهم‪.‬‬ ‫اﻟﺰاوﻳــ ﹺﺔ ‪ 90º‬ﺑﺒﻌ ﹺﻀﻬﺎ‪ ،‬واﻟﻨﻘــﺎ ﹶط ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺰاوﻳﺘ ﹾﻴــ ﹺﻦ ‪ 90º‬ﹶو ‪ 270º‬ﺑﺒﻌ ﹺﻀﻬﺎ‪ ،‬واﻟﻨﻘﺎ ﹶط ﺑﻌ ﹶﺪ‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل الأســئلة‪2، 4، 5، 6، 7، 8، 9، :‬‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ 270º‬ﺑﺒﻌ ﹺﻀﻬﺎ‪ ،‬ﻓﻴﻨﺘ ﹸﺞ رﺳ ﹲﻢ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪.‬‬ ‫‪ 10، 13‬على اللوح (يمكنك رســم تمثيلات تقريبية‬ ‫‪y‬‬ ‫َأﺗﻌ ﱠﻠ ُﻢ‬ ‫‪y = tan x‬‬ ‫حيثما يلزم ذلك)‪.‬‬ ‫ﹸﻳﺴ ﹼﻤﻰ ﻛ ﱞﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫ •تح َّقق من فهم الطلبة للــدرس بتكيفهم صف ًّيا (فرد ًّيا‪،‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ x = 90º‬ﹶو ‪ x = 270º‬ﺧ ﱠﻂ‬ ‫وجماع ًّيــا)‪ ،‬عن طريــق حل بعض الأســئلة التي لم‬ ‫ﺗﻘــﺎر ﹺب رأﺳــ ﱢﻲ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ُتنا ِقشهم في حلها من بند (أتدرب وأحل المسائل) في‬ ‫‪4‬‬ ‫‪tan x‬؛ ﻷ ﱠن اﻟﻤﻨﺤﻨــﻰ‬ ‫ﻳﻘﺘﺮ ﹸب ﻛﺜﻴ ﹰﺮا ﻣﻨﹾ ﹸﻬﻤﺎ‪ ،‬ﻟﻜﻨﱠ ﹸﻪ‬ ‫الصفحات )‪ (97–99‬من كتاب الطالب (اختر لهم ما‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻻ ﻳﻘﻄ ﹸﻌ ﹸﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫تراه مناســ ًبا)‪ ،‬ثم تابع أعمالهم الكتابية‪ ،‬وو ِّجههم إلى‬ ‫‪x‬‬ ‫حل ما تب ّقى من الأســئلة بأنفسهم‪ ،‬ثم مناقشة الحلول‬ ‫‪45º 90º 135º 180º 225º 270º 315º 360º‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫فيما بينهم‪.‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪–6‬‬ ‫ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ أ ﱠن ﻣﻨﺤﻨﻰ ‪ tan x‬ﻏﻴــ ﹸﺮ ﻣﺘﺼ ﹴﻞ؛ ﻓﻬ ﹶﻮ ﹸﻣﻜ ﱠﻮ ﹲن ﻣ ﹾﻦ ﹺﻋ ﱠﺪ ﹺة ﻗﻄــ ﹴﻊ‪ ،‬وأ ﱠن اﻟﻈ ﱠﻞ ﻣﻮﺟ ﹲﺐ ﺑﻴ ﹶﻦ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ 0º‬ﹶو ‪ ،90º‬وﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺰاوﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ 180º‬ﹶو ‪ ،270º‬وأ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻳﻜﻮ ﹸن ﺳﺎﻟ ﹰﺒﺎ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺰاوﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ 90º‬ﹶو ‪،180º‬‬ ‫وﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺰاوﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ 270º‬ﹶو ‪.360º‬‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫أرﺳ ﹸﻢ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ‪ ، y = tan x‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ‪ ،90º < x < 270º‬ﹸﻣﺴﺘﻌ ﹺﻤ ﹰﻼ زواﻳﺎ ﻣﺨﺘﻠﻔ ﹰﺔ ﻋ ﹾﻦ‬ ‫ﺗﻠ ﹶﻚ اﻟﺘﻲ ﻓﻲ اﻟﺠﺪو ﹺل اﻟﺴﺎﺑ ﹺﻖ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴ ﹶﻢ اﻟﻈ ﱢﻞ ﻟﻬﺬ ﹺه اﻟﺰواﻳﺎ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫أرﺳ ﹸﻢ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ﻟﻜ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮ ﹺة اﻟﻤﻌﻄﺎ ﹺة‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺻ ﹸﻔ ﹸﻪ‪ 1-4 :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪1 y = sin x 0º ≤ x ≤ 270º‬‬ ‫‪2 y = cos x 0º ≤ x ≤ 180º‬‬ ‫‪3 y = sin x 0º ≤ x ≤ 180º‬‬ ‫‪4 y = tan x 0º ≤ x ≤180º‬‬ ‫‪97‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪45º 90º 135º 180º 225º 270º 315º 360º‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪97‬‬

‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪y‬‬ ‫ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر ﺟﺰ ﹰءا ﻣ ﹶﻦ اﻟﺘﻤﺜﻴــ ﹺﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧ ﱢﻲ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ .y = cos x‬ﺑﻨﺎ ﹰء ﻋﻠﻰ ﻫﺬا اﻟﺸﻜ ﹺﻞ‪ ،‬ﹸأﻗ ﱢﺪ ﹸر ﻗﻴﻤﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻟﻠ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹺﺮ ‪x‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبــة إلى حــل المســألتين ‪ ، 14‬و ‪ 15‬ضمن‬ ‫‪1‬‬ ‫‪180º‬‬ ‫‪x‬‬ ‫مجموعات ثنائيــة؛ على أن تضــم كل مجموعة طال ًبا‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫ﻳﻜﻮ ﹸن ﻋﻨ ﹶﺪ ﹸﻫﻤﺎ ‪cos x = – 0.5‬‬ ‫مــن ذوي التحصيل فوق المتوســط‪ ،‬وآخــر من ذوي‬ ‫‪y = cos x‬‬ ‫التحصيل دون المتوســط‪ ،‬وامنحهم وق ًتا كاف ًيا لتمثيل‬ ‫‪0‬‬ ‫‪120° , 240°‬‬ ‫المنحنيات في المسألة ‪ 14‬يدو ًّيا‪ ،‬ثم التح ُّقق من صحة‬ ‫‪–0.5‬‬ ‫حلولهم باستعمال برمجية جيوجبرا في المنزل‪.‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫ •نا ِقــش طلبــة الصف جميعهــم في بعــض الإجابات‬ ‫‪y‬‬ ‫ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر ﺟﺰ ﹰءا ﻣ ﹶﻦ اﻟﺘﻤﺜﻴــ ﹺﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧ ﱢﻲ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن‬ ‫‪6‬‬ ‫المتميزة للمسألة ‪.15‬‬ ‫‪ .y = sin x‬ﺑﻨﺎ ﹰء ﻋﻠﻰ ﻫﺬا اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ‪ ،‬ﹸأﻗ ﱢﺪ ﹸر ﻗﻴﻤﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻟﻠ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹺﺮ ‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y = sin x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫ﻳﻜﻮ ﹸن ﻋﻨ ﹶﺪ ﹸﻫﻤﺎ ‪sin x = – 0.5‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة أن يحلوا في البيت جميع المســائل‬ ‫‪180º‬‬ ‫الواردة في الصفحة ‪ 20‬من كتــاب التمارين‪ُ ،‬مح ِّد ًدا‬ ‫‪0‬‬ ‫‪210° , 330°‬‬ ‫لهم المســائل التي يمكنهم حلهــا في نهاية كل حصة‬ ‫‪–0.5‬‬ ‫أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ اﻟﺘﻤﺜﻴﻼ ﹺت اﻟﺒﻴﺎﻧﻴ ﹶﺔ اﻵﺗﻴ ﹶﺔ ﻷﹶ ﹺﺟ ﹶﺪ ﻗﻴ ﹶﻢ‪.a, b, c, d, e, f, g, h :‬‬ ‫بحسب ما ُيق َّدم من أمثلة الدرس وأفكاره‪.‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫ •يمكن أي ًضا إضافة المسائل التي لم يحلها الطلبة داخل‬ ‫‪8y‬‬ ‫‪7y‬‬ ‫غرفة الصف إلى الواجب البيتي‪.‬‬ ‫‪y = sin x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪90º 180º 270º 360º‬‬ ‫‪0º 90º 180º 270º 360º‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪–0.5‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫‪sin 0º = sin aº = sin bº‬‬ ‫‪tan 0º = tan eº = tan f º‬‬ ‫‪sin 30º = sin cº‬‬ ‫‪tan 45º = tan gº‬‬ ‫‪sin 60º = sin d º‬‬ ‫‪tan 60º = tan hº‬‬ ‫‪sin 210º = sin e º‬‬ ‫‪e = 180°, f = 360°, g = 225°, h = 240°‬‬ ‫‪a =180°, b =360°, c =150°, d =120°, e =330°‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر ﺟﺰ ﹰءا ﻣ ﹶﻦ اﻟﺘﻤﺜﻴ ﹺﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧ ﱢﻲ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن ‪ y = cos x‬اﻟﺬي ‪y = cos x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻳﻘﻄ ﹸﻌ ﹸﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹸﻢ ‪ y = – 0.5‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪:B, C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 9‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ إﺣﺪاﺛﻴﺎ ﹺت اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪A( 90° , 0 ) .A‬‬ ‫‪180º‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫‪ 10‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ إﺣﺪﺛﻴﺎ ﹺت اﻟﻨﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ B, C‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫‪B C y = – 0.5‬‬ ‫)‪-1 B(120° , -0.5‬‬ ‫)‪C(240° , -0.5‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪98‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪3‬‬ ‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ إﺣﺪاﺛﻴﺎ ﹺت اﻟﻨﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﻓﻲ ﻛ ﱢﻞ ﺷﻜ ﹴﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة من ذوي المســتوى فوق المتوســط إلى‬ ‫البحث عن صــورة لتطبيق حياتي يمكــن تمثيله في‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y = sin x‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫صورة اقتران الجيب‪ ،‬والتقاط صورة له‪ ،‬ثم استعمال‬ ‫‪B‬‬ ‫برنامــج جيوجبرا وما تعلموه في أثناء تنفيذ مشــروع‬ ‫‪11‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫الوحدة الأولى لإيجاد قاعــدة الاقتران‪ ،‬وتوثيق ذلك‬ ‫‪1A‬‬ ‫‪180º‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪180º 360º‬‬ ‫بالصور‪ ،‬ثم اعرضه أمام زملائهم في الصف‪.‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫)‪A(23.58° , 0.4‬‬ ‫)‪y = cos x A(66.42° , 0.4‬‬ ‫)‪B(156.42° , 0.4‬‬ ‫)‪B(293.58° , 0.4‬‬ ‫‪ 13‬ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻵﺗﻲ ﺟﺰ ﹰءا ﻣ ﹶﻦ اﻟﺘﻤﺜﻴ ﹺﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧ ﱢﻲ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن ‪ ،y = tan x‬ﺣﻴ ﹸﺚ ﻳﻘﻄ ﹸﻊ اﻟﻤﺴــﺘﻘﻴ ﹸﻢ ‪ y = 1‬ﻣﻨﺤﻨﻰ ‪ y = tan x‬ﻓﻲ‬ ‫)‪P(45° , 1‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،P :‬ﹶو‪ .Q‬ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ اﻹﺣﺪاﺛ ﱠﻲ ‪ x‬ﻟﻜ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،P :‬ﹶو‪.Q‬‬ ‫)‪Q(225° , 1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y = tan x‬‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫‪y=1‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى متابعة تنفيذ الخطوة الثانية من خطوات‬ ‫‪0º‬‬ ‫‪90º‬‬ ‫‪180º 270º‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫المشروع‪.‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫ •ذ ِّكر أفــراد كل مجموعة بأنه يتع َّيــن عليهم الانتهاء من‬ ‫إعــداد ال ُمد َّونة (الإلكترونية)‪ ،‬أو (المنشــور الورقي)‬ ‫‪ 14‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬أرﺳــ ﹸﻢ ﻣﻨﺤﻨ ﹶﻴ ﹺﻲ اﻻﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ y = cos x‬ﹶو ‪ f = 2 cos x‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ ﻧﻔ ﹺﺴ ﹺﻪ‪ ،‬ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮ ﹺة ‪،0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫الذي يوضح أعمال المجموعة في أثناء تنفيذ المشروع‪،‬‬ ‫ﺛ ﱠﻢ ﹸأﻗﺎ ﹺر ﹸن ﺑﻴﻨﹶ ﹸﻬﻤﺎ‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ونقاشــاتها عن موضوع مشــروع الوحدة‪ ،‬وتلخيص‬ ‫‪ 15‬أﻛﺘ ﹸﺐ‪ :‬ﻣﺎ اﻟﻔﺮ ﹸق ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﻨﺤﻨ ﹶﻴ ﹺﻲ اﻟﺠﻴ ﹺﺐ وﺟﻴ ﹺﺐ اﻟﺘﻤﺎ ﹺم؟‬ ‫النتائج التي تو َّصلوا إليها‪.‬‬ ‫ﺳﺘﺘﻨﻮع إﺟﺎﺑﺎت اﻟﻄﻠﺒﺔ‪.‬‬ ‫الختام‬ ‫‪6‬‬ ‫‪99‬‬ ‫ •اكتب الســؤالين الآتيين على اللوح‪ ،‬ثــم اطلب إلى‬ ‫كل طالب أ ْن يجيب عنها ‪ -‬فــي ‪ 3‬دقائق‪ -‬في ورقة‪،‬‬ ‫ويكتب عليها اسمه‪:‬‬ ‫ »ما الاقتران المثلثي؟‬ ‫ »قا ِرن بيــن اقتراني الجيــب وجيب التمــام‪ُ ،‬مب ِّينًا‬ ‫خصائص ك ٍّل منهما بعباراتك الخاصة‪.‬‬ ‫ •اجمع الأوراق‪ ،‬ثــم اقرأها خارج غرفة الصف‪ ،‬وق ِّدم‬ ‫التغذية الراجعة ل َم ْن يحتاج في اللقاء التالي‪.‬‬ ‫‪99‬‬

‫الدرس‬ ‫َﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ِت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ِﺔ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪Solving Trigonometric Equations‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫  نتاجات الدرس‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس ﹶﺣ ﱡﻞ ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﺗﺘﻀ ﱠﻤ ﹸﻦ اﻟﻨﺴ ﹶﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹶﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴ ﹶﺔ‪ ،‬وﺗﻜﻮ ﹸن ﻓﻴﻬﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹸﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ ﺿﻤ ﹶﻦ دور ﹴة واﺣﺪ ﹴة‪.‬‬ ‫ •حل معادلات تتضمن النسب المثلثية )‪،(sin , cos , tan‬‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎ ُت اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹸﺔ‪.‬‬ ‫وتكون مجموعة الحل ضمن الدورة الواحدة‪.‬‬ ‫ﺳــﺎﻋ ﹸﺔ ﺣﺎﺋ ﹴﻂ ﻛﺒﻴــﺮ ﹲة ﹸﻣﻌ ﱠﻠﻘ ﹲﺔ ﻋﻠﻰ ﺟﺪا ﹺر ﻏﺮﻓــ ﹴﺔ‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻃﻮ ﹸل ﻋﻘﺮ ﹺب‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫اﻟﺴــﺎﻋﺎ ﹺت ﻓﻴﻬﺎ ‪ ،16 cm‬و ﹸﺑ ﹾﻌ ﹸﺪ رأ ﹺس اﻟﻌﻘﺮ ﹺب ﻋ ﹾﻦ ﺳﻘ ﹺﻒ اﻟﻐﺮﻓ ﹺﺔ ﹸﻳﻤ ﱠﺜ ﹸﻞ‬ ‫ •حل المعادلة الخطية‪.‬‬ ‫داﺋ ﹰﻤــﺎ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗــ ﹺﺔ‪ ، d = – 16 cos (30x) + 110 :‬ﺣﻴ ﹸﺚ‪ d :‬اﻟ ﹸﺒ ﹾﻌ ﹸﺪ‬ ‫ •حل المعادلة التربيعية بالتحليل‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺴــﻨﺘﻴﻤﺘ ﹺﺮ‪ ،‬ﹶو ‪ x‬اﻟﻮﻗ ﹸﺖ ﺑﺎﻟﺴﺎﻋﺎ ﹺت‪ ،‬ﻓﻤﺎ اﻟﻮﻗ ﹸﺖ اﻟﺬي ﻳﺒﻌ ﹸﺪ ﻓﻴ ﹺﻪ رأ ﹸس‬ ‫ •قوانين الأسس‪.‬‬ ‫ﻋﻘﺮ ﹺب اﻟﺴﺎﻋﺎ ﹺت ‪ 118 cm‬ﻋ ﹺﻦ اﻟﺴﻘ ﹺﻒ؟‬ ‫التهيئة‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴــ ﹸﺔ )‪ (trigonometric equation‬ﻫــ ﹶﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹲﺔ ﹸﻣﺘﻐ ﱢﻴﺮا ﹸﺗﻬﺎ ﻧﺴــ ﹲﺐ ﻣﺜﻠﺜﻴ ﹲﺔ ﻟﺰاوﻳ ﹴﺔ‬ ‫ﻣﺠﻬﻮﻟــ ﹴﺔ‪ .‬و ﹶﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴــ ﹺﺔ ﻳﻌﻨﻲ إﻳﺠﺎ ﹶد اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ )أ ﹺو اﻟﺰواﻳﺎ( اﻟﺘــﻲ ﹸﺗﺤ ﱢﻘ ﹸﻖ ﻫﺬ ﹺه اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ‪،‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة تعريف المعادلة‪ ،‬وذكر أمثلة عليها‪،‬‬ ‫ثم نا ِقشهم في ذلك‪.‬‬ ‫وﺗﺠﻌ ﹸﻞ ﻣﻨﹾﻬﺎ ﻋﺒﺎر ﹰة ﺻﺤﻴﺤ ﹰﺔ‪.‬‬ ‫ »اكتب معادلــة خطية ومعادلة تربيعية يمكن حلهما‬ ‫ﻣ ﹶﻦ اﻷﻣﺜﻠ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫بالتحليل‪ ،‬ثم اطلب إلى الطلبة حلهما‪.‬‬ ‫‪sin x = 0.5 , tan x = 2.435 , 2 + cos x = 3 – 2 cos x , 2 sin2x = 3‬‬ ‫ »ذ ِّكر الطلبــة بالمهارات المتعلقــة بتحليل العبارة‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﹶﺣ ﱡﻞ ﺑﻌ ﹺﺾ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت‪ ،‬ﻣﺜ ﹺﻞ‪ ، sin x = a :‬ﹶو ‪ ،cos x = a‬ﺑﺎﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‪ ،‬أ ﹺو‬ ‫التربيعية‪.‬‬ ‫اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻣﺎ ﻧﺘﺬ ﱠﻛ ﹸﺮ ﹸه ﻣ ﹾﻦ ﻧﺴ ﹺﺐ اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﺨﺎﺻ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫ »اكتب علــى اللوح المعادلــة‪ ،4 sin2 θ = 3 :‬ثم‬ ‫اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫ »هل هذه معادلة؟ نعم‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ‪:0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫ »في َم تختلف هــذه المعادلة عن المعادلة التربيعية؟‬ ‫‪1 2 sin x = 1‬‬ ‫َأﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫ستتنوع إجابات الطلبة‬ ‫ﻳﻜﻮ ﹸن ﺟﻴ ﹸﺐ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﻣﻮﺟ ﹰﺒﺎ‬ ‫ »ماذا تتوقعون أن تتعلموا في هذا الدرس؟ ستتنوع‬ ‫= ‪sin x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ ﻃﺮ ﹶﻓ ﹺﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ ‪2‬‬ ‫ﻓــﻲ اﻟﺮﺑﻌ ﹾﻴــ ﹺﻦ‪ :‬اﻷو ﹺل‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إجابات الطلبة‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫واﻟﺜﺎﻧﻲ‪.‬‬ ‫ •امنح الطلبة (‪ )2-3‬دقائق لتقديم إجاباتهم عن السؤال‬ ‫‪x = sin –1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 30º‬‬ ‫الأخير‪ ،‬واستمع لهم من دون تقديم أي تغذية راجعة‪.‬‬ ‫‪100‬‬ ‫وﻷ ﱠن اﻟﺠﻴ ﹶﺐ ﻳﻜﻮ ﹸن أﻳ ﹰﻀﺎ ﻣﻮﺟ ﹰﺒﺎ ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ؛ ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﹶﺣ ﱞﻞ آﺧ ﹸﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫‪180º – 30º = 150º‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﻟﻬﺬ ﹺه اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﹶﺣ ﹼﻼ ﹺن ﺿﻤ ﹶﻦ اﻟﻔﺘﺮ ﹺة اﻟﻤﻌﻄﺎ ﹺة ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺄﻟ ﹺﺔ‪ ،‬ﻫﻤﺎ‪ ،30º :‬ﹶو ‪.150º‬‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المســألة في بند (مسألة اليوم)‪،‬‬ ‫ثم اسألهم‪:‬‬ ‫ »ماذا يمكن أن نسمي العلاقة ‪d‬؟ معادلة مثلثية‬ ‫ »مــا المجهــول (أو المتغيــر المســتقل) في هذه‬ ‫العلاقة؟ قياس الزاوية‬ ‫ »هل تعتقد أن حلها يشبه حل المعادلات التي سبق‬ ‫دراستها؟ نعم‬ ‫ »اقترح طريقة لحلها‪ .‬ستتنوع إجابات الطلبة‪.‬‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة من دون تقديم تغذية راجعة لهم‪.‬‬ ‫‪100‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪3‬‬ ‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 3 cos x – 1 = 2‬‬ ‫‪3 cos x = 3‬‬ ‫ﺑﺈﺿﺎﻓ ﹺﺔ ‪ 1‬إﻟﻰ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫ •ق ِّدم للطلبــة مفهوم المعادلة المثلثيــة ‪Trigonometric‬‬ ‫‪ ، Equation‬ثم اعرض أمامهم مجموعة من الأمثلة عليه‪.‬‬ ‫‪cos x = 1‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ ﻃﺮ ﹶﻓ ﹺﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ ‪3‬‬ ‫ •اعرض أمــام الطلبة أمثلــة متنوعة مــن المعادلات‬ ‫‪x = cos –1 (1) = 0º‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫(خطية‪ ،‬تربيعية‪ ،‬أســية‪ ،‬مثلثية‪ ،)... ،‬ثم اطلب إليهم‬ ‫ﻟﻬﺬ ﹺه اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﹶﺣ ﹼﻼ ﹺن ﺿﻤ ﹶﻦ اﻟﻔﺘﺮ ﹺة اﻟﻤﻌﻄﺎ ﹺة ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺄﻟ ﹺﺔ‪ ،‬ﻫﻤﺎ‪ ،0º :‬ﹶو ‪.360º‬‬ ‫تصنيفها‪.‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ •اعرض أمام الطلبــة المثال ‪ ،1‬ثم نا ِقشــهم في حله‪،‬‬ ‫واسألهم قبل بدء الحل‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ‪ :0º ≤ x ≤ 360º‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫ »كم عدد الحلــول المحتملة للمعادلــة في الفرع‬ ‫‪a) 2 cos x = √3‬‬ ‫‪b) 2 tan x + 3 = 1‬‬ ‫الأول؟ لماذا؟ يوجــد حلان؛ لأن الجيب موجب‬ ‫ﻳﺘﻄ ﱠﻠ ﹸﺐ ﹶﺣ ﱡﻞ ﺑﻌ ﹺﺾ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت ﻣﺰﻳ ﹰﺪا ﻣ ﹶﻦ اﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ واﻟﻤﻌﺎﻟﺠ ﹺﺔ ﻗﺒ ﹶﻞ اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫في الربعين‪ :‬الأول‪ ،‬والثاني‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬ ‫ •ن ِّبــه الطلبة إلــى اســتعمال مفهوم معكوس النســبة‬ ‫المثلثية‪ ،‬مثل‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪:‬‬ ‫ »للمعادلات المثلثية البسيطة‪ ،‬مثل‪،cos θ = 0.5 :‬‬ ‫‪1 2 (tan x – 3) + 4 = 12 , 0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﺨﺎﺻﻴ ﹺﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻌﻴ ﹺﺔ‬ ‫استعمل مفهوم معكوس النسبة المثلثية‪ ،‬واكتب‪:‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪2 tan x – 6 + 4 = 12‬‬ ‫)‪. θ = cos-1 (0.5‬‬ ‫‪2 tan x = 14‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ ﻃﺮ ﹶﻓ ﹺﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ ‪2‬‬ ‫‪tan x = 7‬‬ ‫ •ن ِّبــه الطلبة إلى وجود حلين للمعادلــة المثلثية ضمن‬ ‫الدورة الواحدة ُمب ِّينًا لهم سبب ذلك‪.‬‬ ‫)‪x = tan–1 (7‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ ﻣﻌﻜﻮ ﹺس اﻟﻈ ﱢﻞ‬ ‫َأﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫‪x = 81.9º‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫ •تح َّقق من صحة الحل بتعويــض الحلين (الزاويتين)‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹸﺔ ﻫ ﹶﻲ اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ‬ ‫في المعادلة المثلثية‪.‬‬ ‫وﻷ ﱠن اﻟﻈ ﱠﻞ ﻳﻜﻮ ﹸن أﻳ ﹰﻀﺎ ﻣﻮﺟ ﹰﺒﺎ ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻟ ﹺﺚ؛ ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﹶﺣ ﱞﻞ آﺧ ﹸﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﺤﺼﻮر ﹸة ﺑﻴ ﹶﻦ ﺿﻠ ﹺﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء‬ ‫اﻟﺰاوﻳــ ﹺﺔ ‪ θ‬اﻟﻤﺮﺳــﻮﻣ ﹺﺔ ﻓﻲ‬ ‫‪180º + 81.9º = 261.9º‬‬ ‫اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳــ ﱢﻲ واﻟﻤﺤﻮ ﹺر‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﻟﻬﺬ ﹺه اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﹶﺣ ﹼﻼ ﹺن ﺿﻤ ﹶﻦ اﻟﻔﺘﺮ ﹺة اﻟﻤﻌﻄﺎ ﹺة ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺄﻟ ﹺﺔ‪ ،‬ﻫﻤﺎ‪ ،81.9º :‬ﹶو ‪261.9º‬‬ ‫‪.x‬‬ ‫‪101‬‬ ‫إجابة (أتحقق من فهمي ‪:)1‬‬ ‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلى حــل التدريب في بنــد (أتحقق من‬ ‫فهمي) بعد كل مثال‪.‬‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحوي أخطاء مفاهيمية‪ ،‬ثم‬ ‫نا ِقشها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اسم الطالب الذي أخطأ‬ ‫في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬ ‫‪a) x = 30°, x = 330°‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫‪b) x = 135°, x = 315°‬‬ ‫و ِّجــه الطلبة إلى التحقــق دائ ًما مــن صحة الحل‪،‬‬ ‫وذ ِّكرهم بأن بعــض المعادلات المثلثية يمكن حلها‬ ‫اعتما ًدا على مــا نعرفه من النســب المثلثية للزوايا‬ ‫الخاصة ومفهوم زاوية المرجع‪ ،‬في حين يتطلب حل‬ ‫بعض المعادلات المثلثية تبسيطها قبل استعمال الآلة‬ ‫الحاســبة وتوظيف مفهوم معكوس النسبة المثلثية‬ ‫كما تع َّلموا ساب ًقا‪.‬‬ ‫‪101‬‬

‫مثال ‪2‬‬ ‫‪2 1 + 4 sin (3x) = 2.5 , 0º ≤ x ≤ 90º‬‬ ‫ •نا ِقــش الطلبة في حــل المثال ‪ ،2‬وذ ِّكرهــم بمفهوم‬ ‫‪4 sin (3x) = 2.5 – 1‬‬ ‫ﺑﻄﺮ ﹺح ‪ 1‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫معكوس النسبة المثلثية‪ ،‬ومفهوم زاوية المرجع‪.‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ ﻃﺮ ﹶﻓ ﹺﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ ‪4‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫)‪(3x‬‬ ‫=‬ ‫‪1.5‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﺮﻣ ﹺﺰ ﺑﺪ ﹰﻻ ﻣ ﹾﻦ ‪، 3x‬‬ ‫ •ب ِّرر للطلبة استعمال ‪ θ‬بد ًل من ‪( 3x‬لتسهيل الحل) في‬ ‫‪4‬‬ ‫الفــرع ‪ ،2‬واحرص على التوضيــح للطلبة كيفية تغ ُّير‬ ‫ﺣﻴ ﹸﺚ‪0° ≤ θ ≤ 270° :‬‬ ‫ﻣﻌﻠﻮﻣ ٌﺔ أﺳﺎﺳﻴ ٌﺔ‬ ‫‪sin‬‬ ‫=‬ ‫‪1.5‬‬ ‫=‬ ‫‪0.375‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ‪،0°≤ x ≤90°‬‬ ‫المجال في حالة الاستبدال‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ •تأ َّكد من امتلاك الطلبة المهارات المتعلقة باســتعمال‬ ‫ﻓﺈ ﱠن ‪0°≤ 3x ≤270°‬‬ ‫الآلة الحاسبة لإيجاد معكوس النسبة المثلثية‪.‬‬ ‫)‪= sin–1(0.375‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ ﻣﻌﻜﻮ ﹺس اﻟﺠﻴ ﹺﺐ‬ ‫‪= 22º‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫‪22º = 3x ⇒ x = 7.3º‬‬ ‫قد يخطئ بعــض الطلبة في حــل المعادلات‪ ،‬مثل‬ ‫وﻷ ﱠن اﻟﺠﻴ ﹶﺐ ﻳﻜﻮ ﹸن أﻳ ﹰﻀﺎ ﻣﻮﺟ ﹰﺒﺎ ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ؛ ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﹶﺣ ﱞﻞ آﺧ ﹸﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫‪ ،sin(2x) = 1‬فيقسمون طرفي المعادلة على العدد‬ ‫‪2‬؛ لذا أخبرهم أنه يمكن حلها باســتعمال ‪ θ‬بد ًل من‬ ‫‪180º – 22º = 158º‬‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫‪ ،2x‬وذ ِّكرهم بضرورة التح ُّقق من صحة الحل‪.‬‬ ‫‪= 3x = 158º‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫‪x ≈ 52.7º‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ ﻃﺮ ﹶﻓ ﹺﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ ‪3‬‬ ‫يمكــن تدريب الطلبــة على حل مزيد من الأســئلة‬ ‫بتوجيههم إلى حل المعادلات الآتية‪:‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟــ ﹺﺔ ‪ 1+ 4 sin (3x) = 2.5‬ﹶﺣــ ﹼﻼ ﹺن ﺿﻤــ ﹶﻦ اﻟﻔﺘــﺮ ﹺة اﻟﻤﻌﻄﺎ ﹺة ﻓﻲ اﻟﻤﺴــﺄﻟ ﹺﺔ‪ ،‬ﻫﻤﺎ‪:‬‬ ‫‪ ،7.3º‬ﹶو ‪52.7º‬‬ ‫‪1   cos(2x) = -0.5‬‬ ‫‪2   sin(4x)-1 = 0‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪3   1 + 4cos(3x) = -2‬‬ ‫أ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ :‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫‪a) 3 (sin x + 2) = 3 – sin x , 0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫‪b) 3 cos (2x) – 1 = 0 , 0º ≤ x ≤ 180º‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﹶﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌــﺎدﻻ ﹺت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ ﺑﻄﺮاﺋ ﹶﻖ ﻣﺸــﺎﺑﻬ ﹴﺔ ﻟﻄﺮاﺋ ﹺﻖ ﹶﺣ ﱢﻞ اﻟﻤﻌــﺎدﻻ ﹺت اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ‬ ‫اﻟﺠﺒﺮﻳ ﹺﺔ‪ ،‬أﺑﺮ ﹸزﻫﺎ‪ :‬إﻳﺠﺎ ﹸد اﻟﻌﺎﻣ ﹺﻞ اﻟﻤﺸــﺘﺮ ﹺك‪ ،‬واﻟﺘﺤﻠﻴ ﹸﻞ إﻟﻰ ﻧﺎﺗ ﹺﺞ ﺿﺮ ﹺب ﻗﻮﺳــ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬وﻏﻴ ﹸﺮ ذﻟ ﹶﻚ ﻣ ﹶﻦ‬ ‫اﻟﻄﺮاﺋ ﹺﻖ اﻟﺘﻲ ﺗﻌ ﱠﺮ ﹾﻓﻨﺎﻫﺎ ﺳﺎﺑ ﹰﻘﺎ‪.‬‬ ‫‪102‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫أخبر الطلبة أنه قد ُيط َلب في الســؤال درجة محددة‬ ‫قد لا يهتم الطلبة من ذوي المســتوى دون المتوسط بضبط الآلة الحاسبة على‬ ‫من دقة التقريب يجــب مراعاتها‪ ،‬وأنه في حال عدم‬ ‫نظام الدرجات‪ ،‬أو يعانون صعوبة في ذلك‪ ،‬أو في اســتعمالها لإيجاد معكوس‬ ‫تحديد دقة التقريب في السؤال فس ُتق َّرب الإجابة إلى‬ ‫النسب المثلثية؛ لذا ق ِّدم لهم المساعدة اللازمة فرادى‪ ،‬مراع ًيا اختلاف مسميات‬ ‫أقرب جزء من ألف‪.‬‬ ‫بعض المفاتيح بحسب نوع الآلة الحاسبة‪.‬‬ ‫إجابة التدريب في بند (أتحقق من فهمي ‪:)2‬‬ ‫‪a) x ≈ 228.590°, x ≈ 311.409°‬‬ ‫‪b) x ≈ 35.265°, x ≈ 144.735°‬‬ ‫‪102‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪3‬‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في فرعي المثال ‪ُ ،3‬مذ ِّك ًرا إ ّياهم بطرائق‬ ‫تحليل العبارة التربيعية‪.‬‬ ‫أ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ‪:0º ≤ x < 360º‬‬ ‫ •ر ِّكز في الفرع ‪ 1‬على مهارة إخراج العامل المشــترك‪،‬‬ ‫‪1 3 sin x cos x – 2 sin x = 0‬‬ ‫وخاصية الضرب الصفري لحل المعادلة‪.‬‬ ‫ﺗﺤﻮي ﻫﺬ ﹺه اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ ﻧﺴــﺒﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﺜﻠﺜﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬و ﹸﻳﻼ ﹶﺣ ﹸﻆ أ ﱠن ‪ sin x‬ﺗﻜ ﱠﺮ ﹶر ﻓﻲ ﹶﺣ ﱠﺪ ﹺي اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‪ ،‬ﻣﺎ ﻳﻌﻨﻲ أ ﱠﻧﻬﺎ‬ ‫ •ذ ِّكــر الطلبة بالمميز في الفــرع ‪ُ ،2‬مر ِّك ًزا على تحليل‬ ‫ﹸﺗ ﹾﺸﺒﹺ ﹸﻪ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ ‪3yz – 2y = 0‬؛ ﻟﺬا ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﺗﺤﻠﻴ ﹸﻠﻬﺎ ﺑﺈﺧﺮا ﹺج ﻋﺎﻣ ﹴﻞ ﻣﺸﺘﺮ ﹴك‪:‬‬ ‫العبارة التربيعية إلى حاصل ضرب قوسين‪ ،‬وذ ِّكرهم‬ ‫بإشارتي القوسين اعتما ًدا على إشارتي الحد الأوسط‬ ‫‪sin x (3 cos x – 2) = 0‬‬ ‫ﺑﺈﺧﺮا ﹺج اﻟﻌﺎﻣ ﹺﻞ اﻟﻤﺸﺘﺮ ﹺك ‪sin x‬‬ ‫والحد الأخير‪.‬‬ ‫‪3 cos x – 2 = 0 , sin x = 0‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴ ﹸﺔ اﻟﻀﺮ ﹺب اﻟﺼﻔﺮ ﱢي‬ ‫ •تح َّقــق من صحة الحــل بتعويض الحلــول جميعها‬ ‫وﺑﺬﻟ ﹶﻚ ﹶأﺗﻮ ﱠﺻ ﹸﻞ إﻟﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﺴﻴﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻛ ﱠﻞ ﻣﻌﺎدﻟ ﹴﺔ ﻋﻠﻰ ﹺﺣ ﹶﺪ ﹴة‪:‬‬ ‫بالمعادلة الأصلية‪.‬‬ ‫‪sin x = 0‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‪ ،‬أ ﹾو ﺟﺪو ﹺل اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﺨﺎﺻ ﹺﺔ ‪x = 0°, x = 180°‬‬ ‫أخبــر الطلبــة أنه للتحقــق من صحــة الحل يجب‬ ‫التعويض في المعادلة الأصلية التي بدأنا حلها‪ ،‬وأنه‬ ‫‪3 cos x – 2 = 0‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴ ﹸﺔ‬ ‫لا يجــوز التعويض بصورهــا المكافئة التي نحصل‬ ‫ﺑﺈﺿﺎﻓ ﹺﺔ ‪ 2‬إﻟﻰ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫عليهــا في أثناء الحــل؛ لأن الاختصار قد يؤدي إلى‬ ‫‪3 cos x = 2‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋﻠﻰ ‪3‬‬ ‫إهمال بعض الحلول‪.‬‬ ‫= ‪cos x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ ﻣﻌﻜﻮ ﹺس ﺟﻴ ﹺﺐ اﻟﺘﻤﺎ ﹺم‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x = cos –1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫قد يخطــئ بعض الطلبــة في حــل المعادلة‪ ،‬مثل‪:‬‬ ‫‪ ،sinx cosx + sinx = 0‬فيقســمون على ‪ sinx‬؛‬ ‫‪x = 48.2º‬‬ ‫َأﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫لــذا ن ِّبههم إلى الخطأ الذي وقعوا فيه‪ ،‬وأن ذلك ُيؤ ِّثر‬ ‫ﻳﻜــﻮ ﹸن ﺟﻴ ﹸﺐ ﺗﻤــﺎ ﹺم اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫وﻷ ﱠن ﺟﻴ ﹶﺐ اﻟﺘﻤﺎ ﹺم ﻳﻜﻮ ﹸن أﻳ ﹰﻀﺎ ﻣﻮﺟ ﹰﺒﺎ ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺮاﺑ ﹺﻊ؛ ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﹶﺣ ﱞﻞ آﺧ ﹸﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫ﻣﻮﺟ ﹰﺒﺎ ﻓﻲ اﻟﺮﺑﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ :‬اﻷو ﹺل‪،‬‬ ‫في عدد حلول المعادلة الناتجة‪.‬‬ ‫‪x =360º – 48.2º = 311.8º‬‬ ‫واﻟﺮاﺑ ﹺﻊ‪.‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﺣﻠﻮ ﹸل ﻫﺬ ﹺه اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻲ‪0º, 180º, 48.2º, 311.8º :‬‬ ‫‪2 3 sin2 x = 2 sin x + 1‬‬ ‫أﺟﻌ ﹸﻞ اﻟﻄﺮ ﹶف اﻷﻳﻤ ﹶﻦ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﺻﻔ ﹰﺮا ﺑﻄﺮ ﹺح )‪ (2 sin x +1‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‪:‬‬ ‫‪3 sin2 x – 2 sin x – 1 = 0‬‬ ‫ﻫﺬ ﹺه اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ ﹸﺗ ﹾﺸﺒﹺ ﹸﻪ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻟﺠﺒﺮﻳ ﹶﺔ ‪3y2 – 2y – 1 = 0‬؛ ﻟﺬا ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﹶﺣ ﱡﻠﻬﺎ ﺑﺎﻟﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ إﻟﻰ اﻟﻌﻮاﻣ ﹺﻞ‪:‬‬ ‫‪(3sin x +1)(sin x –1) = 0‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ إﻟﻰ اﻟﻌﻮاﻣ ﹺﻞ‬ ‫‪3 sin x +1 = 0 , sin x – 1 = 0‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴ ﹸﺔ اﻟﻀﺮ ﹺب اﻟﺼﻔﺮ ﱢي‬ ‫‪103‬‬ ‫‪103‬‬

‫ مثال ‪ :4‬من الحياة‬ ‫‪3 sin x + 1 = 0‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫ •نا ِقــش الطلبة في حــل المثال ‪ 4‬الــذي ينمذج موق ًفا‬ ‫‪3 sin x = –1‬‬ ‫ﺑﻄﺮ ﹺح ‪ 1‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫حيات ًّيا ُتط َّبق فيه الحســابات المتعلقة بحل المعادلات‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋﻠﻰ ‪3‬‬ ‫المثلثيــة‪ ،‬مؤ ِّكــ ًدا وجــود العديــد مــن المواقــف‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫‪1‬‬ ‫الحياتيــة التــي ُتط َّبــق فيها مثــل هذه الحســابات‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ ﻣﻌﻜﻮ ﹺس اﻟﺠﻴ ﹺﺐ‬ ‫(يمكنك رسم شكل تقريبي على اللوح لمدفع الماء‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‪ ،‬وﺗﺠﺎﻫ ﹺﻞ اﻹﺷﺎر ﹺة اﻟﺴﺎﻟﺒ ﹺﺔ‬ ‫‪x = sin –1‬‬ ‫–‬ ‫‪3‬‬ ‫ومسار القذيفة)‪.‬‬ ‫‪x = 19.5º‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بأن الهدف من فرض ‪ x = 2θ‬هو تســهيل‬ ‫الحسابات‪.‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﻣﺎ ﺳــﺒ ﹶﻖ اﻟﺰاوﻳ ﹶﺔ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹶﺔ ﻟﻠ ﹶﺤ ﱢﻞ‪ ،‬ﻻ اﻟ ﹶﺤ ﱠﻞ ﻧﻔ ﹶﺴ ﹸﻪ؛ ﻷ ﱠن اﻟﺠﻴ ﹶﺐ ﺳﺎﻟ ﹲﺐ ﻓﻲ اﻟﺮﺑﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ :‬اﻟﺜﺎﻟ ﹺﺚ‪،‬‬ ‫واﻟﺮاﺑ ﹺﻊ‪.‬‬ ‫ •تح َّقق من صحة الحل بالتعويض في المعادلة الأصلية‪.‬‬ ‫ﹶﺣ ﱡﻞ ﻫﺬ ﹺه اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻟ ﹺﺚ ﻫ ﹶﻮ‪180º + 19.5º = 199.5º :‬‬ ‫و ﹶﺣ ﱡﻠﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺮاﺑ ﹺﻊ ﻫ ﹶﻮ‪360º – 19.5º = 340.5º :‬‬ ‫‪sin x = 1‬‬ ‫واﻵ ﹶن‪ ،‬ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ ‪:sin x –1 = 0‬‬ ‫)‪x = sin –1 (1‬‬ ‫ﺑﺈﺿﺎﻓ ﹺﺔ ‪ 1‬إﻟﻰ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪x = 90º‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ ﻣﻌﻜﻮ ﹺس اﻟﺠﻴ ﹺﺐ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‪ ،‬أ ﹾو ﺟﺪو ﹺل اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﺨﺎﺻ ﹺﺔ‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﺣﻠﻮ ﹸل ﻫﺬ ﹺه اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻲ‪90º, 199.5º, 340.5º :‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ‪ :0º ≤ x ≤ 360º‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫‪a) 4 sin x tan x + 3 tan x = 0‬‬ ‫‪b) 2 cos2 x – 3 cos x + 1 = 0‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :4‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫ﹺﻣ ﹾﺪﻓـ ﹸﻊ ﻫـﻮا ﹴء ﻳﻤﻴـ ﹸﻞ ﻋـ ﹺﻦ اﻷر ﹺض ﺑﺰاوﻳـ ﹴﺔ ﻗﻴﺎ ﹸﺳـﻬﺎ ‪ .‬اﻧﻄﻠـ ﹶﻖ ﻣـ ﹾﻦ ﹸﻓ ﱠﻮﻫﺘﹺـ ﹺﻪ ﺑﺎﻟـﻮ ﹲن ﻣﻤﻠـﻮ ﹲء ﺑﺎﻟﻤﺎ ﹺء‬ ‫ﺑﺴـﺮﻋ ﹴﺔ اﺑﺘﺪاﺋﻴـ ﹴﺔ ﻣﻘﺪا ﹸرﻫـﺎ ‪ ،12 m/s‬ﻓﺴـﻘ ﹶﻂ ﻋﻠـﻰ ﹸﺑ ﹾﻌـ ﹺﺪ ‪ 9 m‬ﻣـ ﹶﻦ اﻟ ﹺﻤ ﹾﺪﻓـ ﹺﻊ‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧـ ﹺﺖ اﻟﻌﻼﻗـ ﹸﺔ‬ ‫اﻟﺘﻲ ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹶﺔ اﻷﻓﻘﻴ ﹶﺔ ‪ d‬اﻟﺘﻲ ﻳﻘﻄ ﹸﻌﻬﺎ اﻟﺒﺎﻟﻮ ﹸن ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪v2‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪2θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9m‬‬ ‫ﺣﻴ ﹸﺚ ‪ v‬ﺳﺮﻋ ﹸﺔ اﻟﺒﺎﻟﻮ ﹺن اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴ ﹸﺔ‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤ ﹸﺔ ‪ ،θ‬ﹸﻣﻘ ﱢﺮ ﹰﺑﺎ إﺟﺎﺑﺘﻲ إﻟﻰ أﻗﺮ ﹺب ﹸﻋ ﹾﺸ ﹺﺮ درﺟ ﹴﺔ؟‬ ‫‪104‬‬ ‫إجابة (أتحقق من فهمي ‪:)3‬‬ ‫‪a) x = 0°, x = 180° , x ≈ 228.59° , x ≈ 311.41°‬‬ ‫‪b) x = 0°, x = 360° , x = 60° , x = 300°‬‬ ‫‪104‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪3‬‬ ‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :1‬ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض اﻟﻘﻴ ﹶﻢ اﻟﻤﻌﻄﺎ ﹶة ﻓﻲ اﻟﻤﺴــﺄﻟ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﻤﻌﻄﺎ ﹺة‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻠﻬﺎ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪.θ‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأســئلة في بند (أتدرب وأحل‬ ‫المســائل)‪ ،‬واطلــب إليهم حــل المســائل‪ ،‬وتابع‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(12)2‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪2θ‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫إﻟﻰ‬ ‫أﺗﻮ ﱠﺻ ﹸﻞ‬ ‫اﻟﻤﻌﻄﺎ ﹺة‪،‬‬ ‫اﻟﻘﻴ ﹺﻢ‬ ‫ﺗﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫ﻋﻨ ﹶﺪ‬ ‫‪10‬‬ ‫أعمالهم‪.‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬ﻟﺘﺴﻬﻴ ﹺﻞ اﻟﺤﺴﺎﺑﺎ ﹺت‪ ،‬ﹶأﻓﺘﺮ ﹸض أ ﱠن ‪ ، x = 2θ‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ‪:‬‬ ‫ •ر ِّكز على معالجــة الأخطاء المفاهيميــة أو الأخطاء‬ ‫المتعلقة بالمهارات الحســابية يدو ًّيا‪ ،‬أو باســتعمال‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(12)2‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺑﻀﺮ ﹺب اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ ‪ ،10‬واﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫الآلة الحاسبة‪ ،‬ثم ناقشها على اللوح‪.‬‬ ‫ •ر ِّكــز على معالجة الأخطــاء المفاهيمية‪ ،‬أو الأخطاء‬ ‫‪90 = 144 sin x‬‬ ‫المتعلقة بمهارات حل المعادلات المثلثية‪.‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪90‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋﻠﻰ ‪144‬‬ ‫‪144‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫‪90‬‬ ‫=‬ ‫‪38.7º‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‪ ،‬واﻟﺘﻘﺮﻳ ﹺﺐ إﻟﻰ أﻗﺮ ﹺب ﹸﻋ ﹾﺸ ﹴﺮ‬ ‫‪144‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :3‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟ ﹶﺤ ﱠﻞ اﻵﺧ ﹶﺮ ﻓﻲ اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ ،‬وﻫ ﹶﻮ‪180º – 38.7º = 141.3º :‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :4‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻵ ﹶن ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪:θ‬‬ ‫‪x = 2θ‬‬ ‫اﻟﻌﻼﻗ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ‪ x‬ﹶو ‪θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪38.7º‬‬ ‫=‬ ‫‪19.4º‬‬ ‫أو‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪141.3º‬‬ ‫=‬ ‫‪70.7º‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻘﺴﻤ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ،2‬واﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﻳﺼﻨ ﹸﻊ اﻟ ﹺﻤ ﹾﺪﻓ ﹸﻊ ﻣ ﹶﻊ اﻷر ﹺض زاوﻳ ﹰﺔ ﻗﻴﺎ ﹸﺳﻬﺎ ‪ ،19.4º‬أ ﹾو ‪ 70.7º‬ﺗﻘﺮﻳ ﹰﺒﺎ‪.‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫اﻟﻜﻬﺮﺑﺎ ﹸء ﻣﻮﺟﻮد ﹲة ﻓﻲ ﺟﺴــ ﹺﻢ‬ ‫اﻹﻧﺴــﺎ ﹺن أﻳ ﹰﻀــﺎ؛ ﻓﻌﻀﻼ ﹸت‬ ‫ﻓﻴﺰﻳﺎ ﹸء‪ :‬ﻓــﺮ ﹸق اﻟﺠﻬ ﹺﺪ ‪) E‬ﺑﺎﻟﻔﻮﻟﺖ( ﻓﻲ دار ﹴة ﻛﻬﺮﺑﺎﺋﻴ ﹴﺔ ﹸﻳﻌﻄــﻰ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗ ﹺﺔ‪، E = 20 cos (180t) :‬‬ ‫ﺣﻴ ﹸﺚ ‪ t‬اﻟﺰﻣ ﹸﻦ )ﺑﺎﻟﺜﻮاﻧﻲ(‪ :‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫اﻟﻘﻠ ﹺﺐ ﻣﺜــ ﹰﻼ ﺗﻨﻘﺒــ ﹸﺾ ﺑﺘﺄﺛﻴ ﹺﺮ‬ ‫ﺗﻴﺎرا ﹴت ﻛﻬﺮﺑﺎﺋﻴــ ﹴﺔ ﺗﺼ ﹸﻞ إﻟﻴﻬﺎ‬ ‫‪ (a‬ﹶأﻓﺘــﺮ ﹸض أ ﱠن ‪ ، x = 180 t‬و ﹶأ ﹸﺣــ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟــ ﹶﺔ ‪ ، 12 = 20 cos x‬ﻋﻠ ﹰﻤــﺎ ﺑــﺄ ﱠن‬ ‫ﻋﺒــ ﹶﺮ اﻟ ﹸﻌﻘــ ﹺﺪ واﻟﻮﺻــﻼ ﹺت‬ ‫‪.0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫اﻟﻌﺼﺒﻴ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫‪ (b‬ﹶأ ﹺﺟــ ﹸﺪ اﻟﺰﻣــ ﹶﻦ ‪) t‬ﺣﻴ ﹸﺚ ‪ ( 0 ≤ t ≤ 2‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮ ﹸن ﻓﺮ ﹸق اﻟﺠﻬــ ﹺﺪ ‪ ،12 volt‬ﹸﻣﻘ ﱢﺮ ﹰﺑﺎ إﺟﺎﺑﺘﻲ إﻟﻰ‬ ‫أﻗﺮ ﹺب ﺟﺰ ﹴء ﻣ ﹾﻦ ﻣﺌ ﹴﺔ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺜﺎﻧﻴ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫‪105‬‬ ‫إجابة (أتحقق من فهمي ‪:)4‬‬ ‫‪a) x ≈ 53.13°, x ≈ 306.87°‬‬ ‫‪b) t ≈ 0.30, t ≈ 1.70‬‬ ‫‪105‬‬

‫مهارات التفكير العليا‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى حل المســألة ‪ 24‬ضمــن مجموعات‬ ‫‪x = 45°, x = 135°‬‬ ‫‪x = 30°, x = 210°‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹶﺔ‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ‪:0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫ثنائيــة؛ علــى أن تضــم كل مجموعة طال ًبــا من ذوي‬ ‫‪3 cos x = √3 x = 30°, x = 330°‬‬ ‫التحصيل فوق المتوسط‪ ،‬وآخر من ذوي التحصيل دون‬ ‫‪1 sin x = 1‬‬ ‫‪2 tan x = 1‬‬ ‫المتوسط‪ ،‬وامنحهم وق ًتا كاف ًيا للتو ُّصل إلى أي الحلين‬ ‫‪√2‬‬ ‫‪√3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫كان صائ ًبا مع تبريــر الإجابة‪ ،‬ثم اطلب إلى أحد الطلبة‬ ‫‪4 7 + 9 cos x = 1‬‬ ‫‪5 2 sin x + 1 = 0‬‬ ‫‪6 1 – 2 tan x = 5‬‬ ‫توضيح ما تو َّصل إليه أمام باقي الزملاء‪.‬‬ ‫‪x ≈ 131.81°, x ≈ 228.19°‬‬ ‫‪x = 210°, x = 330°‬‬ ‫‪x ≈ 116.57°, x ≈ 296.57°‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى حل مســألتي التحــدي ‪ 25، 26‬ضمن‬ ‫مجموعات صغيرة غير متجانسة‪ ،‬وع ِّين لكل مجموعة‬ ‫‪7 5 – 2 cos (4x) = 4‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹶﺔ‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ‪:0º ≤ x ≤ 90º‬‬ ‫قائ ًدا ُيو ِّزع المهــام على باقي أفــراد مجموعته‪ ،‬ون ِّظم‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫مســابقة بين أفراد المجموعات لحل المسألتين‪ ،‬وع ِّزز‬ ‫‪8 3 + 4 tan (2x) = 6‬‬ ‫‪9 13 sin (3x) + 1 = 6‬‬ ‫أفراد المجموعــات ذوي الأداء المتميز‪ ،‬ثم اطلب إلى‬ ‫‪x ≈ 18.435°‬‬ ‫‪x ≈ 7.54°, x ≈ 52.46°‬‬ ‫طالبين من كل مجموعة مناقشة الحل أمام الزملاء‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹶﺔ‪ ،‬ﹸﻣﻔﺘ ﹺﺮ ﹰﺿﺎ أ ﱠن ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺠﻬﻮﻟ ﹺﺔ ﻳﻘ ﹸﻊ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮ ﹺة ]‪:[0º, 360º‬‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة أن يحلوا في البيت جميع المســائل‬ ‫‪10 2 (sin x – 2) + 1 = 3 sin x ϕ‬‬ ‫‪11 tan x – 3 (2 tan x – 1) = 10 x ≈ 125.4°, x ≈ 305.54°‬‬ ‫الواردة في الصفحة ‪ 21‬من كتــاب التمارين‪ُ ،‬مح ِّد ًدا‬ ‫لهم المســائل التي يمكنهم حلهــا في نهاية كل حصة‬ ‫‪12 15 tan x – 7 = 5 tan x – 3 x ≈ 21.80°, x ≈ 201.80° 13 5 (cos x –1) = 6 + cos x ϕ‬‬ ‫بحسب ما ُيق َّدم من أمثلة الدرس وأفكاره‪.‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت ‪ 15 2 cos2 x – cos x = 0‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت ‪14 tan2 x – 9 tan x + 20 = 0‬‬ ‫ •يمكن أي ًضا إضافة المسائل التي لم يحلها الطلبة داخل‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت ‪ 17 2 sin2 x – 1 = 0‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت ‪16 4 sin2 x – 3 sin x = 1‬‬ ‫غرفة الصف إلى الواجب البيتي‪.‬‬ ‫‪18 4 cos2 x – 4 = 15 cos x x ≈ 104.48°,‬‬ ‫‪19 cos x = sin x x = 45°, x = 225°‬‬ ‫‪x ≈ 255.52°‬‬ ‫‪ 20‬ﺳﺎﻋﺎ ﹲت‪ :‬ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟ ﹶﺔ اﻟﻮارد ﹶة ﻓﻲ ﺑﺪاﻳ ﹺﺔ اﻟﺪر ﹺس‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪C 90º-θ‬‬ ‫‪ 21‬ﹺﺳﺒﺎﺣ ﹲﺔ‪ :‬ﺳﺒ ﹶﺢ ﺣﺎﻣ ﹲﺪ ﻣﺴﺎﻓ ﹶﺔ ‪ 90 m‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ A‬ﻋﻠﻰ اﻟﻀﻔ ﹺﺔ‬ ‫اﻟﺸــﻤﺎﻟﻴ ﹺﺔ ﻟﻨﻬ ﹴﺮ إﻟﻰ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ B‬ﻋﻠﻰ اﻟﻀﻔ ﹺﺔ اﻟﻤﻘﺎﺑﻠ ﹺﺔ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ دا ﹶر ‪θ A‬‬ ‫ﺑﺰاوﻳ ﹴﺔ ﻗﺎﺋﻤ ﹴﺔ‪ ،‬وﺳــﺒ ﹶﺢ ﻣﺴــﺎﻓ ﹶﺔ ‪ 60 m‬إﻟــﻰ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﹸأﺧﺮ￯ ‪C‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻀﻔ ﹺﺔ اﻟﺸــﻤﺎﻟﻴ ﹺﺔ‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ CAB‬ﻫ ﹶﻮ ‪d ،θ‬‬ ‫وﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ ACB‬ﻫ ﹶﻮ)‪ ، (90º – θ‬وﻃﻮ ﹸل اﻟﻌﻤﻮ ﹺد ﻣ ﹶﻦ ‪B B‬‬ ‫إﻟﻰ ‪ CA‬ﻳﺴﺎوي ﻋﺮ ﹶض اﻟﻨﻬ ﹺﺮ ‪ ،d‬ﻓ ﹸﺄﻋ ﱢﺒ ﹸﺮ ﻋ ﹾﻦ ‪ d‬ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ ‪ θ‬ﻣ ﱠﺮ ﹰة‪،‬‬ ‫وﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ )‪ (90º – θ‬ﻣ ﱠﺮ ﹰة ﹸأﺧــﺮ￯‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ ﻣﻌﺎدﻟ ﹰﺔ و ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻠﻬﺎ‬ ‫ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪ ،θ‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻋﺮ ﹶض اﻟﻨﻬ ﹺﺮ‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪106‬‬ ‫المفاهيم العابرة‪:‬‬ ‫في أثناء حل الســؤال ‪ 24‬في بند (أكتشــف الخطأ)‪ ،‬ع ِّزز الوعي بالقضايا الإنسانية‪،‬‬ ‫وبناء الشــخصية (احترام الآخر‪ ،‬وتق ُّبله‪ ،‬والمرونة) عن طريــق التوضيح للطلبة أن‬ ‫انتقاد حل شخص ما‪ ،‬أو الاختلاف معه في الرأي‪ ،‬لا يجب أن ينعكس على قبول هذا‬ ‫الشخص‪ ،‬وأن النقد هو لسلوكه لا شخصه‪.‬‬ ‫‪106‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪3‬‬ ‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 22‬دوﻻ ﹲب‪ :‬ﹸﻳﻌﻄــﻰ ارﺗﻔــﺎ ﹸع اﻟﺮاﻛ ﹺﺐ ﻋ ﹺﻦ اﻷر ﹺض ﻓــﻲ دوﻻ ﹴب د ﹼوا ﹴر ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟــ ﹺﺔ‪ ، h = 27 - 25cos θ :‬ﺣﻴ ﹸﺚ ‪ h‬اﻻرﺗﻔﺎ ﹸع‬ ‫ •و ِّجه الطلبة من ذوي المستوى فوق المتوسط إلى حل‬ ‫ﺑﺎﻷﻣﺘﺎ ﹺر‪ ،‬ﹶو ‪ θ‬ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ دا ﹶرﻫﺎ اﻟﺪوﻻ ﹸب‪ .‬ﻣﺘﻰ ﻳﻜﻮ ﹸن ارﺗﻔﺎ ﹸع اﻟﺮاﻛ ﹺﺐ ﻋ ﹺﻦ اﻷر ﹺض ‪49 m‬؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫المعادلة ‪ sin(2x) = 1‬بيان ًّيا‪.‬‬ ‫‪ 23‬ﺣﺮﻛ ﹸﺔﻣﻘﺬوﻓﺎ ﹴت‪:‬اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔاﻷﻓﻘﻴ ﹸﺔاﻟﺘﻲﺗﻘﻄ ﹸﻌﻬﺎﻣﻘﺬوﻓ ﹲﺔﻓﻲاﻟﻬﻮا ﹺء)ﻣ ﹾﻦدو ﹺناﻓﺘﺮا ﹺضوﺟﻮ ﹴدﻟﻤﻘﺎوﻣ ﹺﺔاﻟﻬﻮا ﹺء( ﹸﺗﻌﻄﻰﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫اﻷرﺿﻴ ﹺﺔ‬ ‫اﻟﺠﺎذﺑﻴ ﹺﺔ‬ ‫ﺗﺴﺎ ﹸر ﹸع‬ ‫‪g‬‬ ‫ﹶو‬ ‫اﻟﻤﻘﺬوﻓ ﹸﺔ‪،‬‬ ‫ﺑﻬﺎ‬ ‫ﹸﺗﻄ ﹶﻠ ﹸﻖ‬ ‫اﻟﺘﻲ‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ‬ ‫‪θ‬‬ ‫ﹶو‬ ‫اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴ ﹸﺔ‪،‬‬ ‫اﻟﺴــﺮﻋ ﹸﺔ‬ ‫‪v0‬‬ ‫ﺣﻴ ﹸﺚ‪:‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪d‬‬ ‫=‬ ‫‪v02‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫)‪(2θ‬‬ ‫‪g‬‬ ‫)‪ .(9.8 m/s2‬إذا ﹸﻗ ﹺﺬ ﹶﻓ ﹾﺖ ﻛﺮ ﹸة ﺑﻴﺴﺒﻮل ﺑﺴﺮﻋ ﹴﺔ اﺑﺘﺪاﺋﻴ ﹴﺔ ﻣﻘﺪا ﹸرﻫﺎ ‪ ،40 m/s‬ﻓﻤﺎ اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ اﻟﺘﻲ ﹸﺗﻮ ﱠﺟ ﹸﻪ ﺑﻬﺎ اﻟﺮﻣﻴ ﹸﺔ ﻟﻜ ﹾﻲ ﺗﻘﻄ ﹶﻊ اﻟﻜﺮ ﹸة‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بأن موعد عرض نتائج المشــروع قريب‪،‬‬ ‫ﻣﺴــﺎﻓ ﹰﺔ أﻓﻘﻴ ﹰﺔ ﻣﻘﺪا ﹸرﻫﺎ ‪ 110 m‬ﻗﺒ ﹶﻞ ﺳﻘﻮ ﹺﻃﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻷر ﹺض؟ ﻣﺎ أﺑﻌ ﹸﺪ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ أ ﹾن ﺗﺼ ﹶﻠﻬﺎ اﻟﻜﺮ ﹸة إذا ﹸﻗ ﹺﺬ ﹶﻓ ﹾﺖ ﺑﻬﺬ ﹺه اﻟﺴﺮﻋ ﹺﺔ‬ ‫وأنه يتع َّيــن عليهم وضع اللمســات النهائية الخاصة‬ ‫بالمشــروع‪ ،‬والتأ ُّكــد أن جميــع عناصر المشــروع‬ ‫اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴ ﹺﺔ؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫موجودة يوم العرض‪.‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫‪ 24‬أﻛﺘﺸ ﹸﻒ اﻟﺨﻄ ﹶﺄ‪ :‬ﹶﺣ ﱠﻞ ﻛ ﱞﻞ ﻣ ﹾﻦ ﺳﻌﻴ ﹴﺪ وﻋﻠ ﱟﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ‪ ،2sin x cos x = sin x :‬ﺣﻴ ﹸﺚ‪:0º ≤ x < 360º :‬‬ ‫ﻋﻠ ﱞﻲ‪:‬‬ ‫ﺳﻌﻴ ﹲﺪ‪:‬‬ ‫اﻟ ﹶﺤ ﹼﻼ ﹺن ﻫﻤﺎ‪60º, 300º :‬‬ ‫اﻟﺤﻠﻮ ﹸل ﻫ ﹶﻲ‪0º, 60º, 180º, 300º :‬‬ ‫‪2sin x cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻷ ﱠن‪:‬‬ ‫ﻷ ﱠن‪:‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪sin x (2 cos x – 1) = 0‬‬ ‫الختام‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2 cos x = 1‬‬ ‫‪sin x = 0‬‬ ‫= ‪cos x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x = 0° , 180°‬‬ ‫ •في نهاية الدرس و ِّزع على كل طالب ورقتين لاصقتين‬ ‫‪2‬‬ ‫مختلفتــي اللون‪ ،‬ثم اطلب إلى ك ٍّل منهم أن يكتب في‬ ‫= ‪cos x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إحــدى الورقتين (الخضراء مث ًل) مســألة أعجبته في‬ ‫‪x = 60° , 300°‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الدرس‪ ،‬وأتقن حلها‪ ،‬ثم يكتبــوا في الورقة الأُخرى‬ ‫(الصفراء مث ًل) مســألة ُأخرى تحتــاج إلى مزيد من‬ ‫‪x = 60° , 300°‬‬ ‫التدريب‪ ،‬ثم اجمع الأوراق قبل خروجك من الصف‪.‬‬ ‫أ ﱡﻳ ﹸﻬﻤﺎ إﺟﺎﺑ ﹸﺘ ﹸﻪ ﺻﺤﻴﺤ ﹲﺔ؟ ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ 25‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ‪ ،2 sin x cos x + sin x + 2 cos x + 1 = 0 :‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ‪ .0º≤ x ≤ 360º‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ 26‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد ﻋﺪ ﹶد ﺣﻠﻮ ﹺل اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‪ ،cos x – sin x – 1 = 0 :‬ﺣﻴ ﹸﺚ‪ .0º≤ x < 360º :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪107‬‬ ‫‪107‬‬

‫الوحد ُة‬ ‫اﺧﺘﺒﺎ ُر ﻧﻬﺎﻳ ِﺔ اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫‪3‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻨﺴ ﹶﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹶﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴ ﹶﺔ ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ x‬اﻟﻤﺮﺳﻮﻣ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ‬ ‫ﹶأﺿ ﹸﻊ داﺋﺮ ﹰة ﺣﻮ ﹶل رﻣ ﹺﺰ اﻹﺟﺎﺑ ﹺﺔ اﻟﺼﺤﻴﺤ ﹺﺔ ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫التقويم الختامي‪:‬‬ ‫اﻟﻘﻴﺎﺳــ ﱢﻲ‪ ،‬اﻟﺘﻲ ﻳﻘﻄ ﹸﻊ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎﺋﹺﻬﺎ داﺋﺮ ﹶة اﻟﻮﺣﺪ ﹺة ﻋﻨ ﹶﺪ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ‬ ‫‪ 1‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،cos θ = – 0.5‬ﻓــﺈ ﱠن ﺿﻠ ﹶﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ θ‬ﻓﻲ‬ ‫ •راجع الطلبة في الأفكار الأساسية لدروس الوحدة‪.‬‬ ‫اﻟﻨﻘﺎ ﹺط اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪ 7-11 :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ •و ِّزع الطلبة إلى مجموعات غير متجانســة‪ ،‬ثم اطلب‬ ‫اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ ﻳﻘ ﹸﻊ ﻓﻲ‪:‬‬ ‫إلى أفــراد كل مجموعــة حل جزء من الأســئلة‪ ،‬ثم‬ ‫)‪6 (0.6, 0.8‬‬ ‫‪5‬‬‫‪( )7‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪–12‬‬ ‫‪ (b‬اﻟﺮﺑﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ :‬اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ ،‬واﻟﺜﺎﻟ ﹺﺚ‪.‬‬ ‫‪ (a‬اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪.‬‬ ‫عرض إجاباتهم أمام الزملاء‪.‬‬ ‫)‪8 (–1, 0‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫ •ع ِّين بعض الأســئلة ليحلها الطلبة واج ًبــا منزل ًّيا‪ ،‬ثم‬ ‫‪( )9 –1 , –1‬‬ ‫‪ (d‬اﻟﺮﺑﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ :‬اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ ،‬واﻟﺮاﺑ ﹺﻊ‪.‬‬ ‫‪ (c‬اﻟﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﺮاﺑ ﹺﻊ‪.‬‬ ‫نا ِقشهم في إجاباتها في اللقاء التالي‪.‬‬ ‫‪√2 √2‬‬ ‫ •الفت انتباه الطلبة إلى أ َّن الأسئلة‪ 33، 34، 35 :‬وردت‬ ‫ضمن أســئلة الاختبارات الدولية‪ ،‬أو وردت مسائل‬ ‫)‪10 (0, 1‬‬ ‫)‪11 (–0.96, 0.28‬‬ ‫‪ 2‬إذا ﻗﻄ ﹶﻊ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ θ‬ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ داﺋﺮ ﹶة‬ ‫مشابهة لها‪.‬‬ ‫ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ﺟــﺰ ﹰءا ﻣ ﹶﻦ اﻟﺘﻤﺜﻴ ﹺﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧــ ﱢﻲ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن‬ ‫‪ ،P‬ﻓﺈ ﱠن ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ sin θ‬ﻫ ﹶﻲ‪( ):‬‬ ‫–‬ ‫‪40‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪9‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ﹺة ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ‬ ‫‪41‬‬ ‫‪41‬‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜ ﱢﻲ ‪ y = cos x‬اﻟﺬي ﻳﻘﻄ ﹸﻌ ﹸﻪ اﻟﻤﺴــﺘﻘﻴ ﹸﻢ ‪ y = 0.5‬ﻓﻲ‬ ‫)‪a‬‬ ‫–‬ ‫‪40‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪9‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ B‬ﹶو ‪:C‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪ 12‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ إﺣﺪاﺛﻴﺎ ﹺت اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪A(0, 90°) .A‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫–‬ ‫‪9‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪ 13‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ إﺣﺪﺛﻴﺎ ﹺت اﻟﻨﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،B :‬ﹶو ‪.C‬‬ ‫‪ 3‬ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹺﺔ ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ 230º‬ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1 y = cos x‬‬ ‫‪a) 130º‬‬ ‫‪b) 40º‬‬ ‫‪B y = 0.5‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪c) 50º‬‬ ‫‪d) 140º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻓﺈ ﱠن‬ ‫‪،sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫وﻛﺎ ﹶن‬ ‫<‪،90º‬‬ ‫‪x‬‬ ‫<‬ ‫‪180º‬‬ ‫ﻛﺎ ﹶﻧــ ﹾﺖ‬ ‫إذا‬ ‫‪180º‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ tan x‬ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫)‪B(0.5, 60°), C(0.5, 300°‬‬ ‫–‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻨﺴ ﹶﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹶﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴ ﹶﺔ اﻟ ﹸﻤﺘﺒ ﱢﻘﻴ ﹶﺔ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪–1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫≤ ‪270º ≤ x‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪15‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫–‬ ‫‪15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ﻣﻠﺤﻖ‬ ‫‪17‬‬ ‫‪8‬‬ ‫اﻧﻈﺮ‬ ‫‪14-17‬‬ ‫‪ 5‬ﹶﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ )‪ x = sin–1 (-1‬ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫‪15 cos x = 0.4 , 0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫‪16 tan x = 3 , 180º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫‪a) 0º‬‬ ‫‪b) 90º‬‬ ‫‪17 sin x = – cos x , 0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫‪c) 270º‬‬ ‫‪d) 360º‬‬ ‫‪108‬‬ ‫‪108‬‬

‫اﺧﺘﺒﺎ ُر ﻧﻬﺎﻳ ِﺔ اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫تدري ٌب على الاختبارا ِت الدولي ِة‬ ‫‪ 32‬ﺧﺼﺎﺋ ﹸﺺ اﻟﻀﻮ ﹺء‪ :‬ﻓﻲ ﺗﺠﺮﺑ ﹺﺔ ﻋﻠﻮ ﹴم ﻻﻛﺘﺸﺎ ﹺف ﺧﺼﺎﺋ ﹺﺺ‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫يتق َّدم طلبة الصفيــن‪ :‬الرابع والثامن في المدارس الأردنية‬ ‫اﻟﻀﻮ ﹺء‪ ،‬ﹸو ﹺﺿ ﹶﻊ ﻣﺼﺪ ﹲر ﺿﻮﺋــ ﱞﻲ ﻟﻴﺰر ﱞي ﻋﻠﻰ ﹸﺑ ﹾﻌ ﹺﺪ ‪35 cm‬‬ ‫إلــى اختبار )‪ :(TIMMS‬كل أربع ســنوات‪ .‬ويهدف هذا‬ ‫ﻣ ﹾﻦ ﻗﺮ ﹴص داﺋﺮ ﱟي ﻣﺜﻘﻮ ﹴب ﻣ ﹾﻦ ﻣﺮﻛ ﹺﺰ ﹺه‪ ،‬وﻛﺎ ﹶن ﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ‬ ‫‪18 s≈in01.64402º8‬‬ ‫‪19 cos 1≈7-3º0.9925‬‬ ‫الاختبــار إلى قياس مســتوى تق ُّدم الطلبة فــي التحصيل‬ ‫ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ ﹺه ‪ 10 cm‬ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ زاوﻳ ﹶﺔ اﻟﺸﻌﺎ ﹺع‬ ‫الدراســي في مادتي الرياضيات والعلوم‪ .‬ولهذا الاختبار‬ ‫اﻟﺬي ﻳﻤ ﱡﺮ ﺧﻼ ﹶل ﺛﻘ ﹺﺐ ﻣﺮﻛ ﹺﺰ ﻫﺬا اﻟﻘﺮ ﹺص‪θ ≈ 15.95° .‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪tan 219º‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪sin 320º‬‬ ‫أهمية في تقييــم جودة التعليم فــي الأردن مقارن ًة بالدول‬ ‫الأُخرى التي يتق َّدم طلبتها لهذا الاختبار‪ ،‬والمساعدة على‬ ‫‪35cm‬‬ ‫‪≈ 0.8098‬‬ ‫‪≈ -0.6428‬‬ ‫رســم السياسة التربوية على المســتوى الوطني بما يخدم‬ ‫‪22 2sin 150° + tan 135º 0‬‬ ‫تطوير النظام التربوي‪ ،‬والارتقاء بنوعية مخرجاته‪.‬‬ ‫‪10cm‬‬ ‫‪23 sin2 150º + cos2 150º 1‬‬ ‫يتق َّدم أي ًضا طلبة الصف العاشر في الأردن لاختبار البرنامج‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﹶﺣ ﱠﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ‪:0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫الدولي لتقييم أداء الطلبة ‪)PISA‬‬ ‫‪ 24-28‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت ‪24 3 cos2 x – 1 = 0‬‬ ‫‪The Program for International Students‬‬ ‫ﺗﺪرﻳ ﹲﺐ ﻋﻠﻰ اﻻﺧﺘﺒﺎرا ﹺت اﻟﺪوﻟﻴ ﹺﺔ‬ ‫‪25 sin x = –1.3212 cos x‬‬ ‫‪ :Assessment‬فــي مجــالات القــراءة‪ ،‬والرياضيات‪،‬‬ ‫والعلــوم‪ .‬وفــي ما يخــص الرياضيــات‪ ،‬فــإن المعرفة‬ ‫‪ 33‬ﻻﺳــﺘﻐﻼ ﹺل ﻃﺎﻗــ ﹺﺔ اﻟﺮﻳــﺎ ﹺح‪ ،‬وﺧﻔ ﹺﺾ اﺳــﺘﻬﻼ ﹺك وﻗﻮ ﹺد‬ ‫‪26 4 + 5 sin2 x = 9 sin x‬‬ ‫الرياضيــة ‪ -‬وفق هــذا البرنامج‪ُ -‬يع َّبر عنهــا بمدى قدرة‬ ‫اﻟﺪﻳﺰ ﹺل‪ ،‬ﹸﺗﺮ ﹶﺑ ﹸﻂ أﺷــﺮﻋ ﹲﺔ ﻃﺎﺋﺮ ﹲة ﺑﺎﻟﺴــﻔﻴﻨ ﹺﺔ ﺗﺮﺗﻔ ﹸﻊ ‪150 m‬‬ ‫الفرد على صياغة الرياضيات‪ ،‬وتوظيفها‪ ،‬وتفســيرها في‬ ‫ﻓﻮ ﹶق ﻣﺴﺘﻮ￯ ﻇﻬ ﹺﺮ اﻟﺴــﻔﻴﻨ ﹺﺔ‪ .‬ﻳﺠ ﹸﺐ أ ﹾن ﻳﻜﻮ ﹶن ﻃﻮ ﹸل ﺣﺒ ﹺﻞ‬ ‫‪27 tan x = 4 sin x‬‬ ‫أوضاع مختلفــة؛ إذ تتضمن القدرة على التفكير الرياضي‪،‬‬ ‫اﻟﺸــﺮا ﹺع اﻟﻄﺎﺋ ﹺﺮ ﺗﻘﺮﻳ ﹰﺒﺎ ﻟﻜ ﹾﻲ ﻳﺴﺤ ﹶﺐ اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹶﺔ ﺑﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪،58º‬‬ ‫واســتعمال المفاهيم والإجــراءات والحقائق والأدوات‬ ‫‪28 3 tan2 x cos x = 3 tan2 x‬‬ ‫لوصف الظواهر‪ ،‬والتن ُّبؤ بها‪ .‬وهي تسعى لمساعدة صانعي‬ ‫وﻳﻜﻮ ﹶن ﻋﻠﻰ ارﺗﻔﺎ ﹴع رأﺳ ﱟﻲ ﻣﻘﺪا ﹸر ﹸه ‪ 150 m‬ﻛﻤﺎ ﻫ ﹶﻮ ﹸﻣﺒ ﱠﻴ ﹲﻦ‬ ‫القرارات وراسمي السياسات التربوية في الدول المشاركة‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪ 29‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧــ ﹾﺖ ‪ x‬زاوﻳــ ﹰﺔ ﻓــﻲ اﻟﺮﺑــ ﹺﻊ اﻷو ﹺل‪ ،‬وﻛﺎ ﹶن‬ ‫على تحديد معايير حقيقيــة وواقعية لأداء نظمها التربوية‪،‬‬ ‫‪ sin x + sin (180º – x) = 1.4444‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟــ ﹸﺪ ﻗﻴــﺎ ﹶس‬ ‫و ُت ِعينهــم على تقييم النجاحــات أو الإخفاقات‪ ،‬عل ًما بأن‬ ‫الأردن يشارك في دورات هذه الدراسات والبرامج بانتظام‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ .x‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫منذ أوائل تسعينيات القرن العشرين‪.‬‬ ‫‪ 30‬ﻟﻌﺒ ﹸﺔ ﹺﻣﺪﻓ ﹴﻊ‪ :‬ﹸﻳﻄ ﹺﻠ ﹸﻖ ﹺﻣﺪﻓ ﹸﻊ ﻗﺬاﺋ ﹶﻒ ﺑﺎﻟﻮﻧﺎ ﹴت ﻣﺎﺋﻴ ﹰﺔ ﻓﻲ ﻣﺴﺎﺑﻘ ﹴﺔ‬ ‫ﻟﻠﺘﺴﻠﻴ ﹺﺔ‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن اﻟ ﹸﺒ ﹾﻌ ﹸﺪ اﻷﻓﻘ ﱡﻲ ﻟﻘﺬﻳﻔ ﹴﺔ ﹸأﻃ ﹺﻠ ﹶﻘ ﹾﺖ ﻣ ﹶﻦ اﻟ ﹺﻤﺪﻓ ﹺﻊ‬ ‫يتع َّيــن عليــك ‪ -‬عزيزي المع ِّلــم‪ -‬تشــجيع الطلبة على‬ ‫الاهتمام بحل هذه الأســئلة‪ ،‬والمشــاركة في الدراسات‬ ‫اﳊﺒﻞ‬ ‫‪150 m‬‬ ‫ﺑﺰاوﻳ ﹴﺔ ﻗﻴﺎ ﹸﺳﻬﺎ ‪ x‬ﻣ ﹶﻊ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻷﻓﻘ ﱢﻲ‪ ،‬وﺑﺴﺮﻋ ﹴﺔ اﺑﺘﺪاﺋﻴ ﹴﺔ‬ ‫وبرامــج التقييم الدولية بكل جديــة‪ ،‬وتضمين امتحاناتك‬ ‫˚‪58‬‬ ‫ﻣﻘﺪا ﹸرﻫﺎ ‪ ،7 m/s‬ﹸﻳﻌﻄﻰ ﺑﺎﻷﻣﺘﺎ ﹺر ﺣﺴ ﹶﺐ اﻟﻌﻼﻗ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫المدرسية نوعية هذه الأسئلة‪.‬‬ ‫ﻗﻄ ﹶﻌ ﹾﺘﻬﺎ) (‬ ‫‪3x‬‬ ‫تستغرق الإجابة عن أسئلة الاختبار حصتين (‪ 90‬دقيقة)‪.‬‬ ‫اﻷﻓﻘﻴ ﹸﺔ اﻟﺘﻲ‬ ‫‪ ، d = 7 + 2 sin‬ﻓﻤﺎ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪a) 177 m‬‬ ‫ﹸأﻃ ﹺﻠ ﹶﻘ ﹾﺖ ﺑﺰاوﻳ ﹴﺔ ﻣﻘﺪا ﹸرﻫﺎ ‪50º‬؟‬ ‫ﻗﺬﻳﻔ ﹲﺔ‬ ‫‪b) 283 m‬‬ ‫‪8m‬‬ ‫‪c) 160 m‬‬ ‫‪ 31‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ أﺻﻔــﺎ ﹶر اﻻﻗﺘــﺮا ﹺن ‪ ،y = 4(sin x)2 – 3‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن‬ ‫‪d) 244 m‬‬ ‫‪x = 60° , x = 120°,‬‬ ‫‪.0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫‪x = 240° , x = 300°‬‬ ‫‪109‬‬ ‫‪109‬‬

‫كتاب التمارين‬ ‫اﻟﻨﺴ ُﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ُﺔ ﻟﻠﺰواﻳﺎ ﺿﻤ َﻦ اﻟﺪور ِة اﻟﻮاﺣﺪ ِة‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫اﻟﻨﺴ ُﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ُﺔ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺰاوﻳ ﹶﺔ اﻟﻤﺮﺟﻌﻴ ﹶﺔ ﻟﻜ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺰواﻳﺎ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫أرﺳ ﹸﻢ اﻟﺰواﻳﺎ اﻵﺗﻴ ﹶﺔ ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ‪ 1-4 :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :3‬ﺣﺴﺎبﹸ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎتﹺ‬ ‫‪1 117º 63°‬‬ ‫‪2 250º 70°‬‬ ‫‪3 215º 35°‬‬ ‫‪4 300º 60°‬‬ ‫‪1 170º‬‬ ‫‪2 240º‬‬ ‫‪3 315º‬‬ ‫‪4 85º‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :3‬ﺣﺴﺎبﹸ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎتﹺ‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد اﻟﺮﺑ ﹶﻊ اﻟﺬي ﻳﻘ ﹸﻊ ﻓﻴ ﹺﻪ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء ﻛ ﱢﻞ زاوﻳ ﹴﺔ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ إذا ﹸر ﹺﺳ ﹶﻤ ﹾﺖ ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ‪:‬‬ ‫‪5 sin 170º‬‬ ‫‪6 tan 230º‬‬ ‫‪7 cos 250º‬‬ ‫‪8 tan 310º‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪5 245º‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ ‪6 275º‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪7 130º‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻷول ‪8 26º‬‬ ‫‪≈ 0.1736‬‬ ‫‪≈ 1.1918‬‬ ‫‪≈ -0.3420‬‬ ‫‪≈ -1.1918‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻘﻴﻤ ﹶﺔ اﻟﺪﻗﻴﻘ ﹶﺔ ﻟﻜ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ )ﻣ ﹾﻦ دو ﹺن اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ(‪:‬‬ ‫‪9 cos 135º‬‬ ‫‪10 sin 240º‬‬ ‫‪11 tan 315º‬‬ ‫‪12 sin 210º‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻨﺴ ﹶﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹶﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴ ﹶﺔ ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ θ‬إذا ﹶﻗﻄ ﹶﻊ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎﺋﹺﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ داﺋﺮ ﹶة اﻟﻮﺣﺪ ﹺة ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ‪ 9-12 :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-√3‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪√2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫)‪9 P(0, –1‬‬ ‫)‪10 P(1, 0‬‬ ‫‪( )11‬‬‫‪P‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪,‬‬ ‫–‬ ‫‪15‬‬ ‫‪( )12‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪–60‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪–11‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪13 sin 40º + sin 130º + sin 220º+ sin 310º 0‬‬ ‫ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد اﻟﺮﺑ ﹶﻊ )أ ﹺو اﻷرﺑﺎ ﹶع( اﻟﺬي ﻳﻘ ﹸﻊ ﻓﻴ ﹺﻪ ﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺء اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ θ‬ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳ ﱢﻲ إذا ﻛﺎ ﹶن‪:‬‬ ‫‪14 sin 60º – sin 120º + sin 180º – sin 240º + sin 300º – sin 360º 0‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ ،‬أو اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ ‪13 sin θ < 0‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ ،‬أو اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪14 cos θ < 0‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ زاوﻳ ﹰﺔ ﹸأﺧﺮ￯ ﺑﻴ ﹶﻦ ‪ 0º‬ﹶو ‪ ،360º‬ﻟﻬﺎ ﻧﺴﺒ ﹸﺔ اﻟﺠﻴ ﹺﺐ ﻧﻔ ﹸﺴﻬﺎ‪ ،‬ﻣﺜ ﹶﻞ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﻌﻄﺎ ﹺة‪:‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪15 cos θ < 0 , tan θ > 0‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪16 tan θ < 0 , cos θ < 0‬‬ ‫‪15 80º 100°‬‬ ‫‪16 146º 34°‬‬ ‫‪17 215º 325°‬‬ ‫‪18 306º 234°‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻨﺴﺒﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﻤﺜﻠﺜﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻷﺳﺎﺳﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﺒﺎﻗﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺤﺎﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪ 17-20 :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ زاوﻳ ﹰﺔ ﹸأﺧﺮ￯ ﺑﻴ ﹶﻦ ‪ 0º‬ﹶو ‪ ،360º‬ﻟﻬﺎ ﻧﺴﺒ ﹸﺔ ﺟﻴﺐ اﻟﺘﻤﺎم ﻧﻔ ﹸﺴﻬﺎ‪ ،‬ﻣﺜ ﹶﻞ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﻌﻄﺎ ﹺة‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪19 10º 350°‬‬ ‫‪20 125º 235°‬‬ ‫‪21 208º 152°‬‬ ‫‪22 311º 49°‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫‪,‬‬ ‫‪90º‬‬ ‫<‬ ‫‪θ‬‬ ‫<‬ ‫‪180º‬‬ ‫‪18 tan θ = – 2 , –1 < sin θ < 0‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ )أ ﹾو ﻗﻴ ﹶﻢ( ‪ ،θ‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ‪ 23-30 :0º ≤ θ ≤ 360º‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪19 sin θ = 0.6 , tan θ < 0‬‬ ‫‪20 cos θ = 0.45 , 270º < θ < 360º‬‬ ‫‪23 sin θ = 0.75‬‬ ‫‪24 cos θ = 0.65‬‬ ‫‪25 tan θ = –1‬‬ ‫‪26 sin θ = – 0.87‬‬ ‫ﺟﻠــ ﹶﺲ زﻳ ﹲﺪ ﻓﻲ ﻟﻌﺒ ﹺﺔ اﻟﺪوﻻ ﹺب ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻘﻌــ ﹺﺪ اﻟﺬي ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻠ ﹸﻪ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ )‪ (0, 1‬ﻋﻠﻰ داﺋﺮ ﹺة اﻟﻮﺣــﺪ ﹺة‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن اﻟﺪوﻻ ﹸب ﻳﺪو ﹸر ﻋﻜ ﹶﺲ ﺣﺮﻛ ﹺﺔ‬ ‫ﻋﻘﺎر ﹺب اﻟﺴﺎﻋ ﹺﺔ‪ ،‬و ﹸﻳﻜ ﹺﻤ ﹸﻞ دور ﹰة واﺣﺪ ﹰة ﻓﻲ دﻗﻴﻘﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ 21-22 :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪27 sin θ = 0.812‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫‪2‬‬ ‫‪29 cos θ = – 0.25‬‬ ‫‪30 tan θ = 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 21‬ﻓﻤﺎ إﺣﺪاﺛﻴﺎ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ داﺋﺮ ﹺة اﻟﻮﺣﺪ ﹺة اﻟﺘﻲ ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﻣﻘﻌ ﹶﺪ زﻳ ﹴﺪ ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ 60‬ﺛﺎﻧﻴ ﹰﺔ؟‬ ‫‪ 31‬أﻟﻌــﺎ ﹲب‪ :‬ﻓــﻲ دوﻻ ﹺب ﻣﺪﻳﻨــ ﹺﺔ اﻷﻟﻌﺎ ﹺب ﹸﻳﻌﻄــﻰ ارﺗﻔﺎ ﹸع اﻟﺮاﻛ ﹺﺐ ﻋــ ﹺﻦ اﻷر ﹺض ﺑﻌــ ﹶﺪ ‪ x‬دﻗﻴﻘ ﹴﺔ ﻣ ﹾﻦ ﺑــﺪ ﹺء اﻟــﺪورا ﹺن ﺑﺎﻟﻌﻼﻗ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫‪ 22‬ﻓﻤﺎ إﺣﺪاﺛﻴﺎ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ داﺋﺮ ﹺة اﻟﻮﺣﺪ ﹺة اﻟﺘﻲ ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﻣﻘﻌ ﹶﺪ زﻳ ﹴﺪ ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ 90‬ﺛﺎﻧﻴ ﹰﺔ؟‬ ‫)‪ ،h = 14.5 – 12.5 cos (36 x‬ﺣﻴ ﹸﺚ ‪ h‬اﻻرﺗﻔﺎ ﹸع ﻋ ﹾﻦ ﺳــﻄ ﹺﺢ اﻷر ﹺض ﺑﺎﻷﻣﺘــﺎ ﹺر‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ارﺗﻔﺎ ﹶع اﻟﺮاﻛ ﹺﺐ ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ 7.5‬دﻗﺎﺋ ﹶﻖ ﻣ ﹾﻦ‬ ‫ﺑﺪ ﹺء اﻟﺪورا ﹺن‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ 32‬ﺣﺴﺎ ﹲب ﹶﻓﻠﻜ ﱞﻲ‪ :‬ﹸﻳﻘ ﱠﺪ ﹸر ﻓﻲ إﺣﺪ￯ اﻟﻤﺪ ﹺن ﻋﺪ ﹸد ﺳﺎﻋﺎ ﹺت اﻟﻨﻬﺎ ﹺر ‪ y‬ﻓﻲ ﻛ ﱢﻞ ﻳﻮ ﹴم ﻣ ﹾﻦ أﻳﺎ ﹺم اﻟﺴﻨ ﹺﺔ ﺣﺴ ﹶﺐ رﻗ ﹺﻢ اﻟﻴﻮ ﹺم ‪ d‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﺴﻨ ﹺﺔ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪ .y = 3sin(d – 81) + 12‬ﻣﺎ ﻋﺪ ﹸد ﺳﺎﻋﺎ ﹺت اﻟﻨﻬﺎ ﹺر ﻓﻲ ﻫﺬ ﹺه اﻟﻤﺪﻳﻨ ﹺﺔ ﻳﻮ ﹶم اﻷو ﹺل ﻣ ﹾﻦ ﺷﻬ ﹺﺮ آ ﹶب )اﻟﻴﻮ ﹸم رﻗ ﹸﻢ ‪(213‬؟‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت ‪19‬‬ ‫َﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ِت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ِﺔ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫ﺗﻤﺜﻴ ُﻞ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ِت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ِﺔ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮ ﹺة ]‪ 1-24 :[0º, 360º‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫أرﺳ ﹸﻢ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮ ﹺة اﻟﻤﻌﻄﺎ ﹺة‪ ،‬ﹸﻣﺤ ﱢﺪ ﹰدا اﻟﻔﺘﺮ ﹶة اﻟﺘﻲ ﻳﻜﻮ ﹸن ﻓﻴﻬﺎ اﻻﻗﺘﺮا ﹸن ﻣﻮﺟ ﹰﺒﺎ‪ ،‬واﻟﻔﺘﺮ ﹶة اﻟﺘﻲ ﻳﻜﻮ ﹸن ﻓﻴﻬﺎ ﺳﺎﻟ ﹰﺒﺎ‪:‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :3‬ﺣﺴﺎبﹸ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎتﹺ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪√3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1-3‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :3‬ﺣﺴﺎبﹸ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎتﹺ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪sin x‬‬ ‫‪2 tan x = √3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫‪4‬‬ ‫– = ‪cos x‬‬ ‫‪1 y = sin x, 90º ≤ x ≤ 180º‬‬ ‫‪2 y = cos x, 0º ≤ x ≤ 180º‬‬ ‫‪6 2sin x + 3 = 1‬‬ ‫‪5 tan x = – 1‬‬ ‫‪7 √2 cos x + 1 = 2 8 √3 tan x + 4 = 1‬‬ ‫‪3 y = tan x, 0º ≤ x ≤ 180º‬‬ ‫‪√3‬‬ ‫‪9 3 tan x + 2 = 7 – 2tan x‬‬ ‫‪10 5 – 3sin x = sin x + 1‬‬ ‫‪ 4‬أرﺳــ ﹸﻢ اﻻﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴــ ﹺﻦ ‪ ،y = sin x‬ﹶو ‪ y = cos x‬ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮ ﹺة ]‪ [0º, 360º‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴــﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ ﻧﻔ ﹺﺴــ ﹺﻪ‪ .‬ﻣﺎذا ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪11 2(3 sin x + 1) + 2 = 4sin x + 5‬‬ ‫‪12 3( 2 – cos x) + 4 = 5cos x + 2‬‬ ‫‪ 5‬أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ اﻟﺘﻤﺜﻴ ﹶﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧ ﱠﻲ اﻵﺗ ﹶﻲ ﻷﹶ ﹺﺟ ﹶﺪ ﻗﻴ ﹶﻢ‪ ،a :‬ﹶو ‪ ،b‬ﹶو ‪ ،c‬ﹶو ‪ :d‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪13 3 + 2cos(3x) = 1 , 0º < x < 120º‬‬ ‫‪14 5 + 2tan(4x) = 7 , 0º < x < 90º‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪15 4sin x cos x + 3 sin x = 0‬‬ ‫‪16 2 cos x sin x = cos x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪cos 0º = cos aº‬‬ ‫‪17 4sin2 x = 1‬‬ ‫‪18 tan2 x – 9 = 0‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫‪cos 30º = cos bº‬‬ ‫‪cos 45º = cos cº‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪cos 90º = cos d º‬‬ ‫‪180º‬‬ ‫‪–0.5‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫‪y = cosx‬‬ ‫‪19 2cos2 x – 3 cos x + 1 = 0‬‬ ‫‪20 3sin2 x + 5sin x + 2 = 0‬‬ ‫ﻳﻈﻬ ﹸﺮ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ اﻟﺘﻤﺜﻴ ﹸﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧ ﱡﻲ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن ‪ y = tan x‬ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮ ﹺة ]‪ .[0º, 360º‬أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ اﻟﺸﻜ ﹶﻞ ﻷﹶ ﹺﺟ ﹶﺪ‪:‬‬ ‫‪21 2tan2 θ – 5tan θ – 3 = 0‬‬ ‫‪22 6sin2 x + 7sin x – 3 = 0‬‬ ‫ﻗﻴ ﹶﻢ اﻟ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹺﺮ ‪ x‬اﻟﺘﻲ ﻳﻜﻮ ﹸن ﻋﻨ ﹶﺪﻫﺎ ‪.tan x = 0‬‬ ‫‪ 6‬ﻗﻴﻤﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻟﻠ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹺﺮ ‪ x‬ﻳﻜﻮ ﹸن ﻋﻨ ﹶﺪ ﹸﻫﻤﺎ ‪.tan x = –1‬‬ ‫‪x = 0° , x = 180° , x = 360° y‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪x = 135° , x = 315°‬‬ ‫‪23 9cos2 x – 9cos x + 2 = 0‬‬ ‫‪24 tan2 θ + 4tan θ – 12 = 0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 25‬ﻗﻴﺎﺳﺎ ﹲت‪ :‬ﻳﺮﺗﻜ ﹸﺰ ﹸﺳ ﱠﻠ ﹲﻢ ﻃﻮ ﹸﻟ ﹸﻪ ‪ 5 m‬ﻋﻠﻰ أر ﹴض أﻓﻘﻴ ﹴﺔ وﺣﺎﺋ ﹴﻂ رأﺳ ﱟﻲ‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن أﺳﻔ ﹸﻞ اﻟ ﱡﺴ ﱠﻠ ﹺﻢ ﻳﺒﻌ ﹸﺪ ‪ 1.5 m‬ﻋ ﹺﻦ اﻟﺤﺎﺋ ﹺﻂ‪ ،‬ﻓﻤﺎ ارﺗﻔﺎ ﹸع‬ ‫‪2‬‬ ‫رأ ﹺس اﻟ ﱡﺴ ﱠﻠ ﹺﻢ ﻋ ﹺﻦ اﻷر ﹺض؟ ﻣﺎ ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﺼﻨ ﹸﻌﻬﺎ اﻟ ﱡﺴ ﱠﻠ ﹸﻢ ﻣ ﹶﻊ اﻷر ﹺض؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪0x‬‬ ‫‪ 26‬ﺳــﺎرﻳ ﹲﺔ‪ :‬رﺻ ﹶﺪ ﺳﺎﻣ ﹲﺮ ﻗ ﱠﻤ ﹶﺔ ﺳﺎرﻳ ﹺﺔ ﻋﻠ ﹴﻢ ارﺗﻔﺎ ﹸﻋﻬﺎ ﻋ ﹺﻦ اﻷر ﹺض ‪ 12 m‬ﻣ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﻋﻠﻰ اﻷر ﹺض ﺗﺒﻌ ﹸﺪ ‪ 30 m‬ﻋ ﹾﻦ ﻗﺎﻋﺪ ﹺة اﻟﺴﺎرﻳ ﹺﺔ‪ .‬إذا‬ ‫ﻛﺎ ﹶن ﻃﻮ ﹸل ﺳﺎﻣ ﹴﺮ ‪ ،1.75 m‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﻨﻈ ﹸﺮ ﻓﻴﻬﺎ ﺳﺎﻣ ﹲﺮ إﻟﻰ ﻗ ﱠﻤ ﹺﺔ اﻟﺴﺎرﻳ ﹺﺔ؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪45º 90º 135º 180º 225º 270º 315º 360º‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪109A‬‬

25) ( 3 )2 + (cos θ)2 = 1 :1 ‫الدرس‬ 4 9 16 + (cos θ)2 = 1 1)  ‫ملحق الإجابات‬ (cos θ)2 = 1 - 9 = 7 y 16 16 225° cos θ = √7 x 4 cos θ = - √7 , 90° < θ < 180° 4 tan θ = sin θ = - 3 cos θ √7 2)  26) sin θ = 0.78 ⇒ sin θ = 0.78 cos θ y cos θ 160° (0.78 cos θ)2 + (cos θ)2 = 1 x (1.6084 cos θ)2 = 1 ⇒ cos θ ≈ 0.62 sin θ < 0, tan θ > 0 ⇒ cos θ ≈ - 0.62 sin θ = 0.78 × (-0.62) ≈ -0.48 27) (sin θ)2 + (-0.75)2 = 1 3)  (sin θ)2 + 0.5625 = 1 y x 330° (sin θ)2 = 1 - 0.5625 = 0.4375 sin θ ≈ 0.66 cos θ < 0, tan θ < 0 ⇒ sin θ > 0 4)  ⇒ sin θ ≈ 0.66 y tan θ = - 0.66 = 0.88 240° 0.75 x 28) (-0.87)2 + (cos θ)2 = 1 (cos θ)2 = 1 - 0.7569 = 0.2431 cos θ ≈ 0.49 , 270° < θ < 360° ⇒ cos θ = 0.49 21)  cos θ = 0, sin θ = -1 , tan θ u.d tan θ = - 0.87 ≈ -1.76 22)  cos θ = 0.5, sin θ = 0.5 √3 , tan θ = √3 0.49 23)  cos θ = -8 , sin θ = 15 , tan θ = -15 17 17 8 20 -21 -21 24)  cos θ = 29 , sin θ = 29 , tan θ = 20 109B

‫الدرس ‪:3‬‬ ‫‪  )29‬أكبر قيمــة لجيب الزاوية هي ‪ ،1‬وعندئ ٍذ يكون قياس الزاوية هو ‪،90°‬‬ ‫وأصغر قيمة هــي ‪ ،-1‬وعندئ ٍذ يكون قيــاس الزاوية هو ‪270°‬؛ لأن‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫ )‪1‬‬ ‫ضلع انتهاء الزاوية ‪ 90°‬يقطع دائرة الوحدة عند النقطة )‪ ،(0,1‬وضلع‬ ‫‪y‬‬ ‫انتهاء الزاوية ‪ 270°‬يقطع دائرة الوحدة عند النقطة )‪.(0,-1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ sin θ + cos θ = -1.4  )30‬؛ لأن ‪ ، tan θ> 0‬وهــذا يعنــي أن الزاوية‬ ‫‪1‬‬ ‫تقع في الربع الثالث‪ ،‬حيث تكــون قيمة كل من جيب الزاوية وجيب‬ ‫‪45º 90º 135º 180º 225º 270º 315º 360º x‬‬ ‫تمام الزاوية سالبة‪.‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪  )31‬في الربع الثاني يكون‪:‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪ sin θ > 0 , cos θ < 0‬‬ ‫ )‪2‬‬ ‫|‪ ⇒ sin θ < |cos θ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ sin θ = |cos θ | ⇒ θ = 135°‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫= ‪sin 120° + cos 120°‬‬ ‫‪√3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪>0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫= ‪sin 150° + cos 150°‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-√3‬‬ ‫‪<0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ⇒ sin θ + cos θ < 0 , 135° < θ < 180°‬‬ ‫‪1‬‬ ‫الدرس ‪:2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪  )19‬بما أن أكبر قيمة لجيب الزاوية هي ‪ 1‬عندما يكون قياسها ‪ ،90°‬فإن‪:‬‬ ‫‪45º 90º 135º 180º 225º 270º 315º 360º‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪ (x - 4) (30) = 90‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪ ⇒ x - 4 = 3 ⇒ x = 7‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪ ∴ y = 3sin(7-4)(30°) + 8 = 11 m‬‬ ‫ )‪3‬‬ ‫أقصى عمق للنهر هو ‪ ،11 m‬ويحدث عند الســاعة السابعة صبا ًحا‪ ،‬ويتك َّرر‬ ‫‪y‬‬ ‫ذلك بعد كل ‪ 12‬ساعة لاحقة‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ )‪20‬‬ ‫‪sin 210° = -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫‪sin 210° = -‬‬ ‫‪√3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ⇒ P (-‬‬ ‫‪√3‬‬ ‫‪,-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪45º 90º 135º 180º 225º 270º 315º 360º x‬‬ ‫‪  )21‬إجابة ســندس غير صحيحة؛ لأنه لا يمكن أن تكون قيمة الجيب لأي‬ ‫‪-1‬‬ ‫زاوية أكبر من ‪1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪0  )22‬؛ لأنه يقابل القيم الموجبة لجيــوب تمام الزوايا في الربعين‪ :‬الأول‬ ‫والرابع قيمة سالبة لجيوب تمام الزوايا المنعكسة في الربعين‪ :‬الثالث‬ ‫‪-3‬‬ ‫والثاني على الترتيب‪.‬‬ ‫‪109C‬‬

7) 5-2 cos(4x) = 4, 0° ≤ x ≤ 90° :4 ‫ الدرس‬4)  ‫ملحق الإجابات‬ -2cos(4x) = -1 y 3 cos(4x) = 1 2 2 1 cos θ = 1 , 0° ≤ θ ≤ 360° 45º 90º 135º 180º 225º 270º 315º 360º x 2 -1 -2 ⇒ θ = 60° , θ = 300° -3 ⇒ x = 15° , x = 75° 7)  a =180°, b =360°, c =150°, d =120°, e =330° 14) (tan x -4)(tan x-5) = 0 tan x = 4 ⇒ x ≈ 75.96° , x ≈ 255.96° tan x = 5 ⇒ x ≈ 78.69° , x ≈ 258.69° 15) cos x (2cos x -1) = 0 8)  e =180°, f =360°, g =225°, h =240° cos x = 0 ⇒ x = 90° , x = 270° 14)  cos x = 0.5 ⇒ x = 60° , x = 300° y 16) (sin x -1)(4sin x + 1) = 0 3 2 sin x = 1 ⇒ x = 90° 1 sin x = -0.25 ⇒ x ≈ 194.48° , x ≈ 345.52° x 17) x = 45° , x = 135° 45º 90º 135º 180º 225º 270º 315º 360º -1 x = 225° , x = 315° -2 -3 20) 118 = -60 cos(30x) + 110 ⇒ -60 cos(30x) = 8 ⇒ cos(θ) = -2 ⇒ θ ≈ 97.66° or 262.34° 15 ⇒ x ≈ 3.26° , x ≈ 8.74° 21) d = 90 cos θ , d = 60 cos (90°-θ) .‫ وأصغر قيمة‬،‫الفرق بينهما في أكبر قيمة‬ ⇒ 90 cos θ = 60 cos (90°-θ) ⇒ 90 cos θ = 60 sin θ ⇒ tan θ = 3 2 ⇒ θ ≈ 56.31° d = 90 cos 56.31° ≈ 50 m 22) 49 = 27 - 25 cos θ ⇒ cos θ = -0.88 ⇒ θ ≈ 151.64° or θ ≈ 208.36° 109D

14) cos x = √3 , tan x = -1 23) 110 = (40)2 sin(2θ) 9.8 2 √3 ⇒ sin(2θ) ≈ 0.674 √0.84 ‫ملحق الإجابات‬ 15) sin x = √0.84 , tan x = ⇒ sin(x) ≈ 0.674 0.4 ⇒ x ≈ 42.38° or x ≈ 137.62° 16) cos x = -1 , sin x = -3 √10 √10 ⇒ θ ≈ 21.19° or θ ≈ 68.81° 17) sin x = 1 , cos x = ∓ 1 , tan x = -1 :‫ عندئ ٍذ‬، θ = 45° ‫يصل المقذوف أبعد نقطة عندما‬ √2 √2 d = (40)2 sin(90°) = 1600 × 1 ≈ 163.27 m 9.8 9.8 24) x ≈ 54.74° , x ≈ 305.26° 25) x ≈ 127.12° , x ≈ 307.12° ‫ أ ّما سعيد‬،‫ من طرفي المعادلة الأصلية‬sin x ‫)  أخطأ علي عندما اختصر‬24 .‫فإجابته صحيحة‬ 26) (sin x - 1)(5 sin x -4) = 0 25) 2 sin x cos x + sin x + 2 cos x + 1 = 0 sin x = 1 ⇒ x = 90° sin x (2 cos x + 1) + 2 cos x + 1 = 0 sin x = 0.8 ⇒ x ≈ 53.13° , x ≈ 126.87° (2 cos x + 1) (sin x + 1) = 0 27) sin x = 4sin x ⇒ sin x = 4 sin x cos x cos x = -1 ⇒ x = 120° , x = 240° cos x 2 ⇒ sin x - 4sin x cos x = 0 ⇒ sin x (1-4 cos x) = 0 sin x = 0 ⇒ x = 0° , x = 180° sin x = -1 ⇒ x = 270° cos x = 0.25 ⇒ x ≈ 75.52° , x ≈ 284.48° 26) cos x - sin x = 1 28) 3tan2 x cos x -3tan2 x =0 ⇒ 3tan2 x (cos x -1) =0 cos x = 1 , sin x = 0 tan2 x =0 ⇒ x = 0° , x = 180° ⇒ x = 0° , x = 360° cos x = 1 ⇒ x = 0° cos x = 0 , sin x = -1 ⇒ x = 270° 29) 2sin x = 1.4444 ⇒ sin x = 0.7222 .‫ يوجد ثلاثة حلول للمعادلة‬:‫إذن‬ ⇒ x ≈ 46.24° :‫اختبار نهاية الوحدة‬ 6) sin x = 0.8 , cos x = 0.6 , tan x = 4 3 7) sin x = -12 , cos x = 5 , tan x = -12 13 13 13 8) sin x = 0 , cos x = -1 , tan x = 0 9) sin x = -1 , cos x = -1 , tan x =1 √2 √2 10) sin x = 1 , cos x = 0 , tan x = u.d. ‫غير مع ّرف‬ 11) sin x = 0.28 , cos x = -0.96 , tan x ≈ -0.29 109E

17) sin θ = √143 , tan θ = - √143 :1 ‫ الدرس‬- ‫إجابات كتاب التمارين‬ 12 1)  y 170° 18) sin θ = -2 , cos θ = 1 ‫ملحق الإجابات‬ √5 √5 x 19) cos θ = -0.8 , tan θ = -0.75 y 20) sin θ ≈ -0.89 , tan θ ≈ -1.98 21) θ = 135° , P( -1 , 1 ) 2)  √2 √2 22) θ = 270° , P(0 , -1) :2 ‫ الدرس‬- ‫إجابات كتاب التمارين‬ 23) θ ≈ 48.59° , θ ≈ 131.41° 240° 24) θ ≈ 49.46° , θ ≈ 310.54° x 25) θ = 135° , θ = 315° 3)  x 26) θ ≈ 240° , θ ≈ 300° 27) θ ≈ 54.29° , θ ≈ 125.71° y 28) θ ≈ 146.31° , θ ≈ 326.31° 315° 29) θ ≈ 104.48° , θ ≈ 255.52° 30) θ ≈ 78.69° , θ ≈ 258.69° 4)  :3 ‫ الدرس‬- ‫إجابات كتاب التمارين‬ y 1)  85° x y 3 2 1 9)  sin x = -1, cos x = 0 , tan x u.d 45º 90º 135º 180º 225º 270º 315º 360º x 10)  sin x = 0, cos x = 1 , tan x = 0 -1 -2 11)  sin x = -15 , cos x = 8 , tan x = -15 -3 17 17 8 -11 -60 11 12)  sin x = 61 , cos x = 61 , tan x = 60 109F

‫ملحق الإجابات‬ 5) a = 360° 2)  b = 330° y c = 315° d = 270° 3 :4 ‫ الدرس‬- ‫إجابات كتاب التمارين‬ 2 1) x ≈ 19.47°, x ≈ 160.53° 1 2) x = 60°, x = 240° x 3) x ≈ 125.26°, x ≈ 234.74° 45º 90º 135º 180º 225º 270º 315º 360º 4) x = 120°, x = 240° -1 5) x = 150°, x = 330° 6) x = 270° -2 -3 7) x = 45°, x = 315° 3)  8) x = 120°, x = 300° 9) x = 45°, x = 225° y 3 10) x = 90° 2 11) ϕ 1 12) x = 0° 13) x = 60° x 14) x = 11.25°, x = 56.25° 45º 90º 135º 180º 225º 270º 315º 360º -1 15) x = 0°, x = 180° , x ≈ 138.59° , x ≈ 221.41° -2 16) x = 90°, x = 270° , x = 30° , x = 150° -3 17) x = 30°, x = 150° , x = 210° , x = 330° 18) x ≈ 71.57°, x ≈ 251.57° , x ≈ 108.43° , x ≈ 288.43° 4)  19) x = 0°, x = 360° , x = 60° , x = 300° y 20) x = 270°, x ≈ 221.81° , x ≈ 318.19° 3 21) θ ≈ 71.57°, θ ≈ 251.57° , θ ≈ 153.43° , θ ≈ 333.43° 2 22) x ≈ 19.47°, x ≈ 160.53° 23) x ≈ 70.53°, x ≈ 289.47° , x ≈ 48.19° , x ≈ 311.81° y = cos x 24) θ ≈ 63.43°, θ ≈ 243.43° , θ ≈ 260.54° , θ ≈ 279.46° 1 y = sin x x 45º 90º 135º 180º 225º 270º 315º 360º -1 25) y2 = 52 - 1.52 = 22.75 ⇒ y ≈ 4.77 m -2 sin θ = 4.77 ⇒ θ = sin-1 ( 4.77 ) ⇒ θ ≈ 72.55° -3 5 5 . (0,1) ‫ من‬cos x ‫ في حين يبدأ‬، (0,0) ‫ من‬sin x ‫ •يبدأ منحنى‬ 26) tan θ = 12-1.75 = 10.25 360°‫ و‬،180°‫ و‬،0° :‫ عند‬x ‫ يقطع المحور‬sin x ‫ •منحنى‬ 30 30 270°‫ و‬،90° :‫ عند‬x ‫ يقطع المحور‬cos x ‫ •منحنى‬ -1 :‫ وأصغر قيمة لكليهما‬،1 ‫ •أكبر قيمة لكليهما‬ ⇒ θ = tan-1 10.25 ⇒ θ ≈ 18.86° 30 109G

‫الوحد ُة‬ ‫‪4‬‬ ‫مخطط الوحدة‬ ‫عدد‬ ‫المصادر والأدوات‬ ‫المصطلحات‬ ‫النتاجات‬ ‫اسم الدرس‬ ‫الحصص‬ ‫ •المسطرة‪.‬‬ ‫الاتجاه من الشمال‪.‬‬ ‫ •يتعرف الوحدة وأهدافها‪.‬‬ ‫أستعد لدراسة الوحدة‬ ‫‪1‬‬ ‫ •المنقلة‪.‬‬ ‫ •يحل أسئلة لها تع ُّلق بأهم المعارف والمهارات السابقة‬ ‫الدرس‪ :1‬الاتجاه من‬ ‫‪2‬‬ ‫ •جهاز الحاسوب‪ .‬جهاز عرض‬ ‫للوحدة‪ :‬المثلث قائم الزاوية‪ ،‬علاقات الزوايا‪.‬‬ ‫الشمال‪.‬‬ ‫البيانات‪.‬‬ ‫ •يستعمل الاتجاه من الشمال لتحديد الاتجاه‪.‬‬ ‫ •ورقتا العمل‪ ،1 :‬و‪2‬‬ ‫ •يجد اتجاه نقطة من نقطة معينة‪.‬‬ ‫ •يجد الاتجاه المعاكس‪.‬‬ ‫ •يحل مسائل عن الاتجاه من الشمال‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ •جهاز الحاسوب‪ .‬جهاز عرض‬ ‫قانون الجيوب‪.‬‬ ‫ •يستنتج قانون الجيوب‪.‬‬ ‫الدرس‪:2‬‬ ‫البيانات‪.‬‬ ‫حل المثلث‪.‬‬ ‫ •يحل المثلث إذا علم منه طولا ضلعين وقياس زاوية‬ ‫قانون الجيوب‪.‬‬ ‫ •الآلة الحاسبة‪.‬‬ ‫زاوية الارتفاع‪.‬‬ ‫مقابلة لأحدهما‪.‬‬ ‫ •أوراق‪ ،‬أو ألواح صغيرة‪.‬‬ ‫ •يحل المثلث إذا علم منه طول ضلع وقياس زاويتين‪.‬‬ ‫زاوية الانخفاض‪.‬‬ ‫ •يحل مسائل حياتية باستعمال قانون الجيوب‪.‬‬ ‫قانون جيوب التمام‪• .‬جهاز الحاسوب‪ .‬جهاز عرض ‪3‬‬ ‫ •يستنتج قانون جيوب التمام‪.‬‬ ‫الدرس‪:3‬‬ ‫البيانات‪.‬‬ ‫ •يحل المثلث إذا علم منه طولا ضلعين وقياس زاوية‬ ‫قانون جيوب التمام‪.‬‬ ‫ •الآلة الحاسبة‪.‬‬ ‫محصورة بينهما‪.‬‬ ‫ •صندوق يحوي مجموعة بطاقات‬ ‫ُر ِسم عليها مثلثات مختلفة‪.‬‬ ‫ •يحل مثل ًثا ُع ِلمت أطوال جميع أضلاعه‪.‬‬ ‫ •يحل مسائل حياتية باستعمال قانوني الجيوب وجيوب‬ ‫التمام‪.‬‬ ‫ •جهاز الحاسوب‪ .‬لوحة ُر ِسم ‪2‬‬ ‫يجد مساحة مثلث ُع ِلم منه‪:‬‬ ‫الدرس‪:4‬‬ ‫عليها المثلثات المبينة في بند‬ ‫ •طولا ضلعين‪ ،‬وقياس زاوية محصورة بينهما‪.‬‬ ‫استعمال جيب الزاوية‬ ‫لإيجاد مساحة المثلث‪.‬‬ ‫(التهيئة)‪.‬‬ ‫ •أطوال أضلاعه الثلاثة‪.‬‬ ‫ •جهاز عرض البيانات‪.‬‬ ‫ •طول ضلع‪ ،‬وزاويتان‪.‬‬ ‫ •طولا ضلعين‪ ،‬وزاوية تقابل أحدهما‪.‬‬ ‫ •الآلة الحاسبة‪.‬‬ ‫ •جهاز الحاسوب‪ .‬جهاز عرض ‪3‬‬ ‫ •يستعمل النسب المثلثية ونظرية فيثاغورس لإيجاد‬ ‫الدرس‪:5‬‬ ‫أطوال مجهولة في مسائل ثلاثية الأبعاد‪.‬‬ ‫حل مسائل ثلاثية‬ ‫البيانات‪.‬‬ ‫ •يحسب الزاوية بين مستقيم ومستوى‪.‬‬ ‫ •نماذج مجسمات متنوعة‪.‬‬ ‫ •يحل مسائل حياتية ثلاثية الأبعاد‪.‬‬ ‫الأبعاد‪.‬‬ ‫ •الآلة الحاسبة‪.‬‬ ‫ •جهاز الحاسوب‪2 .‬‬ ‫عرض نتائج المشروع‬ ‫اختبار الوحدة ‪2‬‬ ‫مجموع الحصص ‪18‬‬ ‫‪110A‬‬

‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎ ُت اﻟﻤﺜﻠﺜﺎ ِت‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة‬ ‫الوحد ُة‬ ‫‪Triangle Applications‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻣﺎ أﻫﻤﻴ ُﺔ‬ ‫نظرة عامة على الوحدة‪:‬‬ ‫درس الطلبة ساب ًقا النسب المثلثية‪ ،‬والدوال المثلثية‪ ،‬وحل‬ ‫ﻫﺬ ِه اﻟﻮﺣﺪ ِة؟‬ ‫المثلث قائم الزاوية‪ ،‬واستعملوها لحل مسائل حياتية ثنائية‬ ‫الأبعاد‪ ،‬وســوف يبنون على ذلك في هــذه الوحدة لتعلم‬ ‫ﻟﻠﻨﺴــ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ اﺳﺘﻌﻤﺎﻻ ﹲت‬ ‫حــل المثلث غير قائم الزاوية باســتعمال قانوني الجيوب‬ ‫ﻛﺜﻴــﺮ ﹲة ﻓــﻲ اﻟﻌﻠﻮ ﹺم‪ ،‬واﻟﻬﻨﺪﺳــ ﹺﺔ‪،‬‬ ‫وجيوب التمام‪ ،‬وحل مســائل حياتية ثنائية الأبعاد وثلاثية‬ ‫واﻹﻟﻜﺘﺮوﻧﻴــﺎ ﹺت‪ ،‬ﻣﺜــ ﹸﻞ ﺣﺴــﺎ ﹺب‬ ‫الأبعاد‪ ،‬وإيجاد مساحة المثلث الذي ُع ِلم فيه طولا ضلعين‬ ‫ارﺗﻔﺎﻋﺎ ﹺت ﻗﻤ ﹺﻢ اﻟﺠﺒــﺎ ﹺل واﻟﻤﺒﺎﻧﻲ‪،‬‬ ‫وقياس الزاويــة المحصورة بينهما‪ ،‬وتفســير الاتجاه من‬ ‫وﺗﺤﺪﻳــ ﹺﺪ اﺗﺠﺎﻫــﺎ ﹺت ﺗﺤﻠﻴــ ﹺﻖ‬ ‫اﻟﻄﺎﺋﺮا ﹺت ﻋﻠﻰ اﻟﺨﺮﻳﻄ ﹺﺔ وﻏﻴ ﹺﺮﻫﺎ‪.‬‬ ‫الشمال‪ ،‬وإيجاده‪.‬‬ ‫ﺳ َﺄﺗﻌ ﱠﻠ ُﻢ ﻓﻲ ﻫﺬ ِه اﻟﻮﺣﺪ ِة‪:‬‬ ‫ﺗﻌ ﱠﻠ ْﻤ ُﺖ ﺳﺎﺑ ًﻘﺎ‪:‬‬ ‫ إﻳﺠﺎ ﹶد اﻟﻨﺴــ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ )اﻟﺠﻴ ﹸﺐ‪ ،‬ﺟﻴ ﹸﺐ اﻟﺘﻤﺎ ﹺم‪ ،‬اﻟﻈ ﱡﻞ(‬ ‫ﺗﻔﺴــﻴ ﹶﺮ اﻻﺗﺠﺎ ﹺه ﻣ ﹶﻦ اﻟﺸــﻤﺎ ﹺل‪ ،‬وإﻳﺠﺎ ﹶد ﹸه ﻟﻨﻘﻄ ﹴﺔ ﻣﺎ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒ ﹺﺔ إﻟﻰ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﹸﻣﻌ ﱠﻴﻨ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫ﻓﻲ اﻷرﺑﺎ ﹺع اﻷرﺑﻌ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫ اﺳــﺘﺨﺪا ﹶم اﻟﻌﻼﻗ ﹺﺔ‪ cos2 θ + sin2 θ = 1 :‬ﻓﻲ ﹶﺣ ﱢﻞ‬ ‫ﹶﺣ ﱠﻞ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪا ﹺم ﻗﺎﻧﻮ ﹶﻧ ﹺﻲ اﻟﺠﻴﻮ ﹺب‪ ،‬وﺟﻴﻮ ﹺب‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ﹴﺔ ﻋ ﹾﻦ ﻣﺜﻠ ﹴﺚ ﻗﺎﺋ ﹺﻢ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺎ ﹺم‪.‬‬ ‫ ﻧﻤﺬﺟ ﹶﺔ ﻣﺴﺎﺋ ﹶﻞ ﺣﻴﺎﺗﻴ ﹴﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻣﺜﻠﺜﺎ ﹴت ﻗﺎﺋﻤ ﹺﺔ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‪،‬‬ ‫اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹶل ﺟﻴ ﹺﺐ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻣﺴﺎﺣ ﹺﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ‪.‬‬ ‫ﺗﺘﻀ ﱠﻤ ﹸﻦ ﻗﻴﺎﺳﺎ ﹺت اﻟﺰواﻳﺎ واﻷﻃﻮا ﹺل ﻷﺿﻼ ﹴع ﻣﺠﻬﻮﻟ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫إﻳﺠﺎ ﹶد أﻃﻮا ﹴل وزواﻳﺎ ﻣﺠﻬﻮﻟ ﹴﺔ ﻓﻲ أﺷــﻜﺎ ﹴل ﺛﻼﺛﻴ ﹺﺔ‬ ‫‪110‬‬ ‫اﻷﺑﻌﺎ ﹺد‪.‬‬ ‫الترابط الرأسي بين الصفوف‬ ‫لاح ًقا‬ ‫الصف العاشر‬ ‫ساب ًقا‬ ‫ •تفسير الاتجاه من الشمال‪.‬‬ ‫الصف الحادي عشر العلمي‬ ‫الصف التاسع‬ ‫ •نمذجة مواقف حياتية على‪:‬‬ ‫ •إيجاد اتجاه نقطة ما بالنسبة إلى نقطة معينة‪.‬‬ ‫ •إيجــاد النســب المثلثية الأساســية للزوايا‬ ‫ •تعرف قانوني الجيوب‪ ،‬وجيوب التمام‪.‬‬ ‫ ̵قياسي الزاوية‪ :‬الدائري‪ ،‬والستيني‪.‬‬ ‫الحادة‪.‬‬ ‫ ̵الاقترانـات‪ :‬القاطـع ‪ ،sec x‬وقاطـع‬ ‫ •حل مسائل رياضية وحياتية باستعمال قانوني‬ ‫ •إيجاد قيــاس زاوية في مثلــث قائم الزاوية‬ ‫التمـام ‪ ،cosec x‬وظـل التمـام ‪.cot x‬‬ ‫الجيوب‪ ،‬وجيوب التمام‪.‬‬ ‫إذا ُع ِلمت إحدى النســب الأساسية للزاوية‬ ‫ ̵تمثيل الاقترانات (القاطع ‪ ،sec x‬وقاطع‬ ‫التمام ‪ ،cosec x‬وظل التمام ‪ )cot x‬في‬ ‫ •حل المثلث باستعمال قانوني الجيوب‪ ،‬وجيوب‬ ‫وضلع من أضلاع المثلث‪.‬‬ ‫التمام‪.‬‬ ‫ •توظيف النســب المثلثية الأساسية في حل‬ ‫المستوى الإحداثي‪.‬‬ ‫مثلــث قائم الزاوية ضمــن مواقف رياضية‬ ‫ •توظيف الاقترانات الدائرية في نمذجة‬ ‫ •نمذجة مواقف حياتية باستعمال قانوني الجيوب‬ ‫ظواهر تحدث دور ًّيا بسعة وتردد محددين‪.‬‬ ‫وجيوب التمام لإيجاد قياسات لزوايا وأضلاع‬ ‫وحياتية متنوعة‪.‬‬ ‫ •اســتنتاج المتطابقــة المثلثيــة الأساســية‬ ‫مجهولة‪.‬‬ ‫‪ ،sin2x + cos2x = 1‬واستعمالها لإيجاد‬ ‫ •استعمال جيب الزاوية لإيجاد مساحة المثلث‪.‬‬ ‫ •إيجاد أطوال وزوايا مجهولة في أشكال ثلاثية الأبعاد‪.‬‬ ‫النسب المثلثية الأساسية‪.‬‬ ‫‪110‬‬