دليل عاشر المعلم-الفصل الأول

‫مشروع الوحدة‪:‬‬ ‫ﻣﺸﺮو ُع‬ ‫اﺳﺘﻌﻤﺎﻻ ٌت ﻋﻠﻤﻴ ٌﺔ ﻟﺨﺼﺎﺋ ِﺺ اﻟﺪاﺋﺮ ِة‬ ‫استعمالات علمية لخصائص الدائرة‪.‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫هدف المشــروع‪ :‬يهدف مشــروع الوحدة إلى تنمية معرفة‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﻤﺸﺮو ِع اﻟﺒﺤ ﹸﺚ ﻋ ﹺﻦ اﺳﺘﻌﻤﺎﻻ ﹴت ﻋﻠﻤﻴ ﹴﺔ ﻟﺨﺼﺎﺋ ﹺﺺ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ ،‬ووﺻ ﹺﻔﻬﺎ‪ ،‬وﻧﻤﺬﺟﺘﹺﻬﺎ‪.‬‬ ‫الطلبــة بخصائص الدائــرة‪ ،‬والبحث عن نمــاذج علمية أو‬ ‫اﻟﻤﻮا ﱡد واﻷدوا ُت ﺷﺒﻜ ﹸﺔ اﻹﻧﺘﺮﻧ ﹾﺖ‪ ،‬ﺑﺮﻣﺠﻴ ﹸﺔ ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا‪.‬‬ ‫تطبيقات حياتية تستعمل فيه إحدى هذه الخصائص أو أكثر‪،‬‬ ‫فض ًل عن تنمية مهارات البحث في مصادر المعرفة المتوافرة‪،‬‬ ‫ﺧﻄﻮا ﹸت ﺗﻨﻔﻴ ﹺﺬ اﻟﻤﺸﺮو ﹺع‪:‬‬ ‫‪ 1‬أﺑﺤ ﹸﺚ ﻣ ﹶﻊ أﻓﺮا ﹺد ﻣﺠﻤﻮﻋﺘﻲ ﻓﻲ ﻣﻜﺘﺒ ﹺﺔ اﻟﻤﺪرﺳــ ﹺﺔ )أ ﹾو ﻓﻲ ﺷــﺒﻜ ﹺﺔ اﻹﻧﺘﺮﻧ ﹾﺖ( ﻋ ﹾﻦ ﻧﻤﻮذ ﹴج‬ ‫والمهارات الشخصية‪ ،‬مثل‪ :‬التواصل‪ ،‬وحل المشكلات‪.‬‬ ‫ﻋﻠﻤ ﱟﻲ أ ﹾو ﺣﻴﺎﺗ ﱟﻲ ﹸﺗﺴﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ ﻓﻴ ﹺﻪ إﺣﺪ￯ اﻟﺨﺼﺎﺋ ﹺﺺ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة‪:‬‬ ‫خطوات تنفيذ المشروع‬ ‫اﻟﻌﻼﻗ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﻤﺮﻛﺰﻳ ﹺﺔ واﻟﺰواﻳﺎ اﻟﻤﺤﻴﻄﻴ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫ •ع ِّرف الطلبة بالمشــروع وأهميته فــي تعلم موضوعات‬ ‫اﻟﻌﻼﻗ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﻤﺎ ﱢﺳﻴ ﹺﺔ واﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺤﻴﻄﻴ ﹺﺔ اﻟ ﹸﻤﺸﺘ ﹺﺮﻛ ﹺﺔ ﻣ ﹶﻌﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﻘﻮ ﹺس ﻧﻔ ﹺﺴ ﹺﻪ‪.‬‬ ‫الوحدة‪.‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبــة إلى مجموعــات (ثلاثيــة‪ ،‬أو رباعية) غير‬ ‫اﻟﺪواﺋ ﹸﺮ اﻟ ﹸﻤﺘﻤﺎ ﱠﺳ ﹸﺔ‪.‬‬ ‫متجانســة‪ ،‬ثم اطلب إليهــم أن يوزعــوا الأدوار بينهم‪،‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪.‬‬ ‫ويختاروا ُمق ِّر ًرا لكل مجموعة‪.‬‬ ‫‪ 2‬أﻛﺘ ﹸﺐ ﻓﻲ ﻣﺴــﺘﻨ ﹺﺪ ﻣﻌﺎﻟ ﹺﺞ اﻟﻨﺼﻮ ﹺص )وورد( ﻓﻘﺮ ﹰة ﹶأ ﹺﺻ ﹸﻒ ﻓﻴﻬﺎ اﻟﻨﻤــﻮذ ﹶج اﻟﺤﻴﺎﺗ ﱠﻲ أ ﹺو اﻟﻌﻠﻤ ﱠﻲ اﻟﺬي اﺧﺘﺮ ﹾﺗ ﹸﻪ‪ ،‬ﹸﻣﺤ ﱢﺪ ﹰدا ﺧﺼﺎﺋ ﹶﺺ‬ ‫ •اذكر للطلبة المواد والأدوات اللازمة لتنفيذ المشــروع‪،‬‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﻤﻮﺟﻮد ﹺة ﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﻨﻤﻮذ ﹺج‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﻓ ﱢﺴ ﹸﺮﻫﺎ‪.‬‬ ‫مثل‪ :‬جهــاز الحاســوب‪ ،‬وبرمجيــة جيوجبــرا‪ ،‬وآلة‬ ‫التصوير‪ ،‬فض ًل عن بيان عناصر المنتج النهائي المطلوب‬ ‫‪ 3‬ﹸأﺿﻴ ﹸﻒ إﻟﻰ اﻟﻤﺴﺘﻨ ﹺﺪ ﺻﻮ ﹰرا ﺗﻮﺿﻴﺤﻴ ﹰﺔ ﻟﻠﻨﻤﻮذ ﹺج‪ ،‬ذاﻛ ﹰﺮا ﻣﺼﺪ ﹶر اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎ ﹺت واﻟﺼﻮ ﹺر‪.‬‬ ‫منهم‪ُ ،‬مؤ ِّك ًدا لهم أهمية توثيق خطوات تنفيذ المشــروع‬ ‫‪ 4‬أﺳــﺘﻌﻤ ﹸﻞ ﺑﺮﻣﺠﻴ ﹶﺔ ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا ﻟﺮﺳــ ﹺﻢ ﺷﻜ ﹴﻞ ﹸﻳﻮ ﱢﺿ ﹸﺢ اﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹶل اﻟﺨﺎﺻﻴ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻤﻮذ ﹺج‪ ،‬وأﺿ ﹸﻊ ﻋﻠ ﹾﻴ ﹺﻪ ﻗﻴﺎﺳــﺎ ﹺت اﻟﺰواﻳﺎ وأﻃﻮا ﹶل‬ ‫أو ًل بأول‪ ،‬وتعزيزه بالصور المناسبة للموضوع‪.‬‬ ‫اﻷﺿﻼ ﹺع ﺟﻤﻴ ﹶﻌﻬﺎ‪ .‬وﻫﺬ ﹺه ﺑﻌ ﹸﺾ اﻹرﺷﺎدا ﹺت اﻟﺘﻲ ﻗ ﹾﺪ ﹸﺗﺴﺎ ﹺﻋ ﹸﺪ ﻋﻠﻰ رﺳ ﹺﻢ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﺘﻮﺿﻴﺤ ﱢﻲ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﺑﺮﻣﺠﻴ ﹺﺔ ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا‪:‬‬ ‫ •اطلب إلى أفراد كل مجموعة إعداد مشروع المجموعة‪،‬‬ ‫وكتابــة تقريــر مفصل عــن عملهم‪ ،‬وكيف أســهم ك ٌّل‬ ‫ﻣ ﹾﻦ ﺷﺮﻳ ﹺﻂ اﻷدوا ﹺت‪.‬‬ ‫ﻟﺮﺳ ﹺﻢ داﺋﺮ ﹴة‪ ،‬أﻧﻘ ﹸﺮ ﻋﻠﻰ أﻳﻘﻮﻧ ﹺﺔ‬ ‫منهم في إنجاز المشــروع‪ ،‬وبيان الصور والرســومات‬ ‫التوضيحية الكاملة‪ ،‬وإعداد عــرض تقديمي (‪Power‬‬ ‫‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﻋﻠﻰ ﺿﻠ ﹺﻊ اﺑﺘﺪا ﹺء اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‪ ،‬وﺿﻠ ﹺﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺﺋﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﻴﺎ ﹺس زاوﻳ ﹴﺔ‪ ،‬أﻧﻘ ﹸﺮ ﻋﻠﻰ أﻳﻘﻮﻧ ﹺﺔ‬ ‫‪ )Point‬للمشروع‪.‬‬ ‫‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻄﻌ ﹺﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻃﻮ ﹺل ﻗﻄﻌ ﹴﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤ ﹴﺔ‪ ،‬أﻧﻘ ﹸﺮ ﻋﻠﻰ أﻳﻘﻮﻧ ﹺﺔ‬ ‫ •ب ِّيــن لأفــراد المجموعــات معاييــر تقييم المشــروع‪،‬‬ ‫واعرض عليهم أداة التقييم‪ُ ،‬من ِّو ًها بأ َّنه يمكنهم طرح أي‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﻳﻘﻮﻧ ﹺﺔ‬ ‫ﻟﺮﺳ ﹺﻢ ﻣﻤﺎ ﱟس ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة ﻣ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﺧﺎر ﹶﺟﻬﺎ‪ ،‬ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد أو ﹰﻻ اﻟﻨﻘﻄ ﹶﺔ ﺑﺎﻟﻨﻘ ﹺﺮ ﻋﻠﻰ أﻳﻘﻮﻧ ﹺﺔ‬ ‫استفسارات عن المشروع في أثناء دراستهم هذه الوحدة‪.‬‬ ‫ •ذ ِّكر أفراد المجموعات بأهمية إنجاز المشــروع مع نهاية‬ ‫ﻋﺮ ﹸض اﻟﻨﺘﺎﺋ ﹺﺞ‪:‬‬ ‫ﹸأ ﹺﻋ ﱡﺪ ﻣ ﹶﻊ أﻓﺮا ﹺد ﻣﺠﻤﻮﻋﺘﻲ ﻋﺮ ﹰﺿﺎ ﺗﻘﺪﻳﻤ ﹼﹰﻴﺎ ﹸﻧﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ ﻓﻴ ﹺﻪ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫دراسة هذه الوحدة‪.‬‬ ‫ﺧﻄﻮا ﹸت ﺗﻨﻔﻴ ﹺﺬ اﻟﻤﺸﺮو ﹺع ﹸﻣﻮ ﱠﺿﺤ ﹰﺔ ﺑﺎﻟﺼﻮ ﹺر واﻟﺮﺳﻮ ﹺم‪ ،‬ﺑﻤﺎ ﻓﻲ ذﻟ ﹶﻚ ﺻﻮر ﹸة اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﺬي ﹸر ﹺﺳ ﹶﻢ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﺑﺮﻣﺠﻴ ﹺﺔ ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا‪.‬‬ ‫ﻣﻌﻠﻮﻣ ﹲﺔ ﺟﺪﻳﺪ ﹲة ﺗﻌ ﱠﺮ ﹾﻓﻨﺎﻫﺎ ﻓﻲ أﺛﻨﺎ ﹺء اﻟﻌﻤ ﹺﻞ ﺑﺎﻟﻤﺸﺮو ﹺع‪ ،‬و ﹸﻣﻘﺘ ﹶﺮ ﹲح ﻟﺘﻮﺳﻌ ﹺﺔ اﻟﻤﺸﺮو ﹺع‪.‬‬ ‫عرض النتائج‬ ‫ •الفت انتباه الطلبة إلى ضرورة اســتعمال التكنولوجيا‬ ‫‪37‬‬ ‫في عرض نتائج المشــروع‪ ،‬وإعداد عرض تقديمي‪،‬‬ ‫يحوي صــو ًرا لمراحل التنفيذ‪ - .‬و ِّضح للطلبة أهمية‬ ‫أداة تقييم المشروع‬ ‫اشــتمال التقرير علــى الصعوبات التــي واجهتهم‪،‬‬ ‫وكيفية التغلــب عليها‪ ،‬والمعلومــات الجديدة التي‬ ‫‪321‬‬ ‫المعيار‬ ‫الرقم‬ ‫تع َّرفوهــا‪ ،‬ومقترحاتهم عن كيفية تطوير المشــروع؛‬ ‫‪ 1‬اختيار تطبيق علمي أو عملي مناسب لخصائص الدائرة‪.‬‬ ‫تعزي ًزا لمهارات حل المشكلات لديهم‪.‬‬ ‫ •ن ِّبه الطلبة إلى ضرورة تضمين العرض تقري ًرا يشــمل‬ ‫مشاركة أفراد المجموعة جمي ًعا بفاعلية في المشروع‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وص ًفا للنموذج العلمي أو الحياتي‪ ،‬وتحديد خصائص‬ ‫التح ُّقق من صحة النموذج والصور والرسومات التوضيحية‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الدائــرة الموجودة فــي النموذج باســتعمال برنامج‬ ‫‪4‬‬ ‫معالــج النصــوص (‪ ،)word‬وبيان كيفيــة تطويره‪،‬‬ ‫ودقة الحسابات الخاصة بها واكتمالها‪.‬‬ ‫وتوثيق مصادر الصور التي جمعوها؛ لتعزيز مهاراتهم‬ ‫التقرير المكتوب كامل ومنظم‬ ‫المعلوماتية‪ ،‬وتدريبهم على أهمية توثيق المصادر‪.‬‬ ‫‪ 5‬اتصاف العرض التقديمي بالوضوح والشمول‪.‬‬ ‫‪37‬‬ ‫عرض معلومة جديــدة تعلمتها المجموعة فــي أثناء بحثها‬ ‫‪6‬‬ ‫وعملها في المشروع‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫وجود مقترح مناسب لتوسعة المشروع‪.‬‬ ‫إنجاز المهمة بوجود أكثر من خطأ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إنجاز المهمة بوجود خطأ بسيط‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫إنجاز المهمة بصورة صحيحة من دون خطأ‪.‬‬

‫أﺳﺘﻌ ﱡﺪ ﻟﺪراﺳ ِﺔ اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪ :2‬اﻟﺪاﺋﺮ ُة‬ ‫التقويم القبلي (التشخيصي)‪:‬‬ ‫ •استعمل صفحة (أستعد لدراســة الوحدة) في كتاب‬ ‫أﺧﺘﺒ ﹸﺮ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻲ ﻗﺒ ﹶﻞ اﻟﺒﺪ ﹺء ﺑﺪراﺳ ﹺﺔ اﻟﻮﺣﺪ ﹺة‪ ،‬وﻓﻲ ﺣﺎ ﹺل ﻋﺪ ﹺم ﺗﺄ ﱡﻛﺪي ﻣ ﹶﻦ اﻹﺟﺎﺑ ﹺﺔ أﺳﺘﻌﻴ ﹸﻦ ﺑﺎﻟﻤﺮاﺟﻌ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫التمارين لتســاعد طلبتك على تذ ُّكر المعرفة السابقة‬ ‫أﺧﺘﺒ ﹸﺮ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻲ‬ ‫ﻣﺮاﺟﻌ ﹲﺔ‬ ‫اللازمة لدراسة هذه الوحدة‪.‬‬ ‫‪ 1‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪ ،‬ﹸﻣﻘ ﱢﺮ ﹰﺑﺎ إﺟﺎﺑﺘﻲ إﻟﻰ ﻣﻨﺰﻟ ﹴﺔ‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪ ،‬ﹸﻣﻘ ﱢﺮ ﹰﺑﺎ إﺟﺎﺑﺘﻲ إﻟﻰ ﻣﻨﺰﻟ ﹴﺔ ﻋﺸﺮﻳ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة‪:‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلــى حل الأســئلة في عمــود (أختبر‬ ‫ﻋﺸﺮﻳ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة‪21.2 :‬‬ ‫معلوماتــي)‪ ،‬ثم تجــ َّول بينهم‪ ،‬وحــث الطلبة الذين‬ ‫‪x 17‬‬ ‫يواجهون صعوبة في حل أي سؤال على قراءة المثال‬ ‫‪30‬‬ ‫المقابل له في عمود (المراجعة)‪.‬‬ ‫‪xx‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ •إذا واجه بعض الطلبة صعوبة في حل الأسئلة‪ ،‬فاستعن‬ ‫‪ 2‬ﻧﺠﺎر ﹲة‪ :‬ﺻﻨ ﹶﻊ ﻓﻴﺼ ﹲﻞ ﺑﺎ ﹰﺑﺎ ﻟﻤﺰرﻋﺘﹺ ﹺﻪ ﻣﺴﺘﻄﻴ ﹶﻞ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ‪ ،‬وﻗ ﹾﺪ‬ ‫‪x2 = 172 – 92‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳ ﹸﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس‬ ‫بالمسائل الإضافية الآتية‪:‬‬ ‫ﺑﻠــ ﹶﻎ ﻋﺮ ﹸﺿ ﹸﻪ ‪ 1.2 m‬وارﺗﻔﺎ ﹸﻋــ ﹸﻪ ‪ ،2.5 m‬ﺛ ﱠﻢ أرا ﹶد ﺗﺪﻋﻴ ﹶﻢ‬ ‫اﻟﺒﺎ ﹺب ﺑﻮﺿ ﹺﻊ ﻗﻄﻌ ﹴﺔ ﺧﺸــﺒﻴ ﹴﺔ رﻓﻴﻌ ﹴﺔ ﺗﻤﺘــ ﱡﺪ ﺑﻴ ﹶﻦ زاوﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪= 289 – 81‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪  1‬أجد قيمة ‪ x‬في ك ٍّل من الأشكال المجاورة ُمق َّرب ًة إلى‬ ‫ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻴ ﹺﻪ‪ .‬ﻣﺎ ﻃﻮ ﹸل ﻫﺬ ﹺه اﻟﻘﻄﻌ ﹺﺔ اﻹﺿﺎﻓﻴ ﹺﺔ؟ ‪2.8 m‬‬ ‫منزلة عشرية واحدة‪.‬‬ ‫‪= 208‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪x = √208 = 14.4222‬‬ ‫ﺑﺄﺧ ﹺﺬ اﻟﺠﺬ ﹺر اﻟﺘﺮﺑﻴﻌ ﱢﻲ‬ ‫‪≈ 14.4‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻘﺮﻳ ﹺﺐ إﻟﻰ ﻣﻨﺰﻟ ﹴﺔ ﻋﺸﺮﻳ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة‬ ‫‪ 3‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ‪ ،a :‬ﹶو ‪ ،b‬ﹶو ‪ c‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ، ED // AC‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰواﻳﺎ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫ )‪a‬‬ ‫‪EBD, AEB, DEB‬‬ ‫‪80º‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪17 m‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪120º‬‬ ‫‪32º 64º‬‬ ‫‪115º‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ED‬‬ ‫‪12 m‬‬ ‫‪a = 80°, b = 65°, c = 35°‬‬ ‫‪ 4‬ﻣﺎ ﻧﻮ ﹸع اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ DEF‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪ ،‬ﹸﻣﺒ ﱢﺮ ﹰرا إﺟﺎﺑﺘﻲ؟‬ ‫‪m∠EBD = 180º − 32º − 64º = 84º‬‬ ‫ )‪b‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮ ﹸع اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﻤﺘﺠﺎور ﹺة ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴ ﹴﻢ ﻫ ﹶﻮ ‪180º‬‬ ‫‪19 cm‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪m∠AEB = 180º − 32º − 120º = 28º‬‬ ‫‪105º‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮ ﹸع ﻗﻴﺎ ﹺس زواﻳﺎ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ ABE‬ﻫ ﹶﻮ ‪180º‬‬ ‫‪11 cm‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪30º F‬‬ ‫زاوﻳﺘﺎ ﹺن داﺧﻠﻴﺘﺎ ﹺن ﻣﺘﺒﺎدﻟﺘﺎ ﹺن ‪m∠DEB = m∠ABE = 32º‬‬ ‫; ‪m∠DFE = 30° ; m∠DEF = 75° ; m∠FDE = 75°‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻓﻬﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻄﺎﺑﻖ اﻟﻀﻠﻌﻴﻦ؛ ﻷن ﻓﻴﻪ زاوﻳﺘﻴﻦ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﻴﻦ‪.‬‬ ‫‪  2‬أجد قيمة ك ٍّل من ‪ ،j‬و ‪ ،k‬و‪ l‬في الشكل المجاور‪.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪l‬‬ ‫إجابات المسائل الإضافية‪:‬‬ ‫‪72°‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪1)  a. 20.8 b. 15.5‬‬ ‫‪  3‬أجد قياس الزاوية ‪ AED‬في الشكل المجاور‪.‬‬ ‫‪2)  j = 72°, k = 72°, l = 108°‬‬ ‫‪3)  m∠AED = 66°‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪78°‬‬ ‫‪36°‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪37A‬‬

‫الدرس‬ ‫أوﺗﺎ ُر اﻟﺪاﺋﺮ ِة‪ ،‬وأﻗﻄﺎ ُرﻫﺎ‪ ،‬وﻣﻤﺎ ّﺳﺎﺗُﻬﺎ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪Chords, Diameters and Tangents of a Circle‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫  نتاجات الدرس‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس ﻣﻌﺮﻓ ﹸﺔ اﻟﻮﺗــ ﹺﺮ‪ ،‬واﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ‪ ،‬واﻟﻤﻤــﺎ ﱢس‪ ،‬وﺧﺼﺎﺋ ﹺﺺ ﻛ ﱟﻞ ﻣﻨﹾﻬــﺎ‪ ،‬واﻟﻌﻼﻗﺎ ﹺت اﻟﺘﻲ ﺗﺮﺑــ ﹸﻂ ﺑﻌ ﹶﻀﻬﺎ ﺑﺒﻌ ﹴﺾ‪،‬‬ ‫وﺗﻮﻇﻴ ﹸﻒ ذﻟ ﹶﻚ ﻓﻲ إﻳﺠﺎ ﹺد أﻃﻮا ﹺل وﻗﻴﺎﺳﺎ ﹺت زواﻳﺎ ﻣﺠﻬﻮﻟ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫ •يتعرف الوتر‪ ،‬والقطر‪ ،‬والمماس‪ ،‬والقاطع في الدائرة‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎ ُت اﻟﺪاﺋﺮ ﹸة‪ ،‬اﻟﻤﺮﻛ ﹸﺰ‪ ،‬اﻟﻮﺗ ﹸﺮ‪ ،‬اﻟﻘﻮ ﹸس‪ ،‬اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹸﺮ‪ ،‬ﻧﺼ ﹸﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ‪ ،‬اﻟﻤﻤﺎ ﱡس‪ ،‬ﻧﻘﻄ ﹸﺔ اﻟ ﱠﺘﻤﺎ ﱢس‪ ،‬اﻟﻘﺎﻃ ﹸﻊ‪.‬‬ ‫ •يحــدد العلاقــات التــي تربــط الأقطــار والأوتار‬ ‫والمماسات في الدائرة‪.‬‬ ‫ﻓﻲ ﺣﺪﻳﻘ ﹺﺔ ﻣﻨــﺰ ﹺل ﻋﺒﻴ ﹶﺮ ﻃﺎوﻟــ ﹲﺔ داﺋﺮﻳ ﹲﺔ‪ ،‬وﻫ ﹶﻲ ﺗﺮﻳ ﹸﺪ ﻋﻤــ ﹶﻞ ﻓﺘﺤ ﹴﺔ ﻋﻨ ﹶﺪ‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫ﻣﺮﻛ ﹺﺰﻫﺎ ﻟﺘﺜﺒﻴــ ﹺﺖ ﻋﻤﻮ ﹴد ﻳﺤﻤﻞ ﹺﻣﻈ ﱠﻠ ﹴﺔ ﺑﻬﺎ‪ .‬ﻛﻴــ ﹶﻒ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﻟﻌﺒﻴ ﹶﺮ ﺗﺤﺪﻳ ﹸﺪ‬ ‫ •يوظف العلاقات بين الأقطار والأوتار والمماســات‬ ‫في إيجــاد قياســات زوايا وأطــوال مجهولة‪ ،‬وحل‬ ‫ﻣﺮﻛ ﹺﺰ اﻟﻄﺎوﻟ ﹺﺔ؟‬ ‫مسائل حياتية‪.‬‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮ ﹸة )‪ (circle‬ﻫ ﹶﻲ اﻟﻤﺤ ﱡﻞ اﻟﻬﻨﺪﺳ ﱡﻲ ﻟﻨﻘﻄ ﹴﺔ ﺗﺘﺤ ﱠﺮ ﹸك ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯‪ ،‬ﺑﺤﻴ ﹸﺚ ﺗﻈ ﱡﻞ ﻋﻠﻰ اﻟ ﹸﺒ ﹾﻌ ﹺﺪ ﻧﻔ ﹺﺴ ﹺﻪ‬ ‫ﻋ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﹸﻣﺤ ﱠﺪد ﹴة ﹸﺗﺴــ ﹼﻤﻰ ﻣﺮﻛ ﹶﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة )‪ .(center‬أ ﹼﻣﺎ اﻟﻮﺗ ﹸﺮ )‪ (chord‬ﻓﻬ ﹶﻮ ﻗﻄﻌ ﹲﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤ ﹲﺔ ﺗﺼ ﹸﻞ‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫ﺑﻴ ﹶﻦ ﻧﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ ،‬و ﹸﻳﺴــ ﹼﻤﻰ اﻟﻮﺗ ﹸﺮ اﻟﺬي ﻳﻤ ﱡﺮ ﺑﻤﺮﻛ ﹺﺰ اﻟﺪاﺋــﺮ ﹺة اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹶﺮ )‪ .(diameter‬و ﹸﻳﻄ ﹶﻠ ﹸﻖ‬ ‫ •نظرية فيثاغورس‪.‬‬ ‫ •مجموع قياســات زوايا المثلث‪ ،‬ومجموع قياســات‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻄﻌ ﹺﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺼ ﹸﻞ ﻣﺮﻛ ﹶﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﺑﻨﻘﻄ ﹴﺔ ﻋﻠ ﹾﻴﻬﺎ اﺳ ﹸﻢ ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ )‪.(radius‬‬ ‫زوايا الشكل الرباعي‪.‬‬ ‫ •خصائص ك ٍّل مــن‪ :‬المثلــث المتطابــق الضلعين‪،‬‬ ‫اﻟﻘﺎﻃ ﹸﻊ )‪ (secant‬ﻫ ﹶﻮ ﻣﺴــﺘﻘﻴ ﹲﻢ ﻳﻘﻄ ﹸﻊ اﻟﺪاﺋﺮ ﹶة ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬وﻳﺤﻮي وﺗ ﹰﺮا ﻓﻴﻬﺎ‪ .‬أ ﹼﻣﺎ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹸﻢ اﻟﺬي‬ ‫والمثلث المتطابق الأضلاع‪.‬‬ ‫ﻳﺸﺘﺮ ﹸك ﻣ ﹶﻊ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻓﻲ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة ﻓﻘ ﹾﻂ ﻓ ﹸﻴﺴــ ﹼﻤﻰ اﻟﻤﻤﺎ ﱠس )‪ .(tangent‬و ﹸﻳﻄ ﹶﻠ ﹸﻖ ﻋﻠﻰ ﻧﻘﻄ ﹺﺔ اﻟﺘﻘﺎ ﹺء‬ ‫ •شروط تطابق مثلثين‪.‬‬ ‫اﻟﻤﻤﺎ ﱢس ﺑﺎﻟﺪاﺋﺮ ﹺة اﺳ ﹸﻢ ﻧﻘﻄ ﹺﺔ اﻟ ﱠﺘﻤﺎ ﱢس )‪.(point of tangency‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫رﻣﻮ ٌز رﻳﺎﺿﻴ ٌﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر داﺋﺮ ﹰة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ .O‬ﹸأﺳ ﹼﻤﻲ‪:‬‬ ‫ﺗﺮﻣ ﹸﺰ ‪ LM‬إﻟﻰ اﻟﻤﺴــﺘﻘﻴ ﹺﻢ‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ 1‬ﻣﻤﺎ ﹰﹼﺳﺎ ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة‪.‬‬ ‫‪.LM‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪LM‬‬ ‫ﺗﺮﻣــ ﹸﺰ ‪ LM‬إﻟــﻰ ﻃــﻮ ﹺل‬ ‫اﻟﻘﻄﻌ ﹺﺔ اﻟﻤﺴــﺘﻘﻴﻤ ﹺﺔ‪ .‬أ ﹼﻣﺎ‬ ‫التهيئة‬ ‫‪ 2‬أرﺑﻌ ﹶﺔ أﻧﺼﺎ ﹺف أﻗﻄﺎ ﹴر‪.‬‬ ‫‪ LM‬ﻓﺘﺮﻣ ﹸﺰ إﻟــﻰ اﻟﻘﻄﻌ ﹺﺔ‬ ‫‪OV , OT , OZ , OU‬‬ ‫‪U‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤ ﹺﺔ ﻧﻔ ﹺﺴﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪PL‬‬ ‫ •ارســم المثلث ‪ ABC‬المجاور على اللوح‪ ،‬ثم اطلب‬ ‫‪38‬‬ ‫إلى الطلبة إيجاد ‪ ،AC‬وقياس الزاوية ‪.A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪9m‬‬ ‫ •ارســم مثل ًثا متطابق الضلعين‪ ،‬ثم ارسم العمود ‪ ،AD‬واطلب إلى الطلبة أن‬ ‫‪B 37° C‬‬ ‫‪12 m‬‬ ‫يبينوا سبب تطابق المثلثين ‪ ADC, ADB‬ويكتبوا ما ينتج من هذا التطابق‪.‬‬ ‫ •ارسم الشكلين الرباعيين الآتيين‪ ،‬ثم اطلب إلى الطلبة‬ ‫‪A‬‬ ‫إيجاد الزوايا المجهولة فيهما‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪56° x‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪75°‬‬ ‫‪105°‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪77°‬‬ ‫‪54°‬‬ ‫‪38‬‬

‫ملاحظات المعلم‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة قراءة (مسألة اليوم)‪ ،‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »ما مركز الدائرة؟ نقطة داخل الدائرة تبعد المسافة نفسها عن نقاط الدائرة جميعها‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »ماذا تسمى المسافة بين المركز وأي نقطة على الدائرة؟ تسمى طول نصف قطر الدائرة‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »ماذا تسمى القطعة المستقيمة التي تصل بين نقطتين على الدائرة؟ تسمى وت ًرا للدائرة‪.‬‬ ‫ »إذا رسمت نصفي القطرين المارين بطرفي الوتر‪ ،‬فما نوع المثلث الناتج؟ متطابق الضلعين‪.‬‬ ‫ »إذا رســمت عمو ًدا من مركز الدائرة إلى وتر في الدائرة‪ ،‬فمــا العلاقة بين المثلثين الناتجين؟‬ ‫متطابقان‪.‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫المجــال العاطفي لا يقل أهمية عن المجال المعرفي؛ فلا تقل لأحد الطلبة‪( :‬إجابتك خطأ)‪ ،‬بل‬ ‫قل له‪( :‬لقد اقتربت من الإجابة الصحيحة‪ ،‬فمن يســتطيع إعطاء إجابة أخرى؟)‪ ،‬أو قل له‪( :‬هذه‬ ‫إجابة صحيحة لغير هذا السؤال)‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بعناصر الدائرة (المركز‪ ،‬القطر‪ ،‬نصف القطر‪ ،‬الوتر)‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •ع ِّرف القاطع‪ ،‬ومماس الدائرة‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •ارسم شك ًل‪ ،‬ثم اطلب إلى الطلبة أن ُيس ّموا المركز‪ ،‬وقط ًرا‪ ،‬ونصف قطر‪ ،‬ووت ًرا في الدائرة‪.‬‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‪:‬‬ ‫ك ِّرر المصطلحات الرياضية المســتخدمة في الدرس باللغتين العربية والإنجليزية‪ ،‬وش ِّجع الطلبة على‬ ‫استعمالها‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •نا ِقــش الطلبة في حل المثال‪ُ ،‬مب ِّينًا لهم عناصر الدائرة على الرســم‪ ،‬ثم اطلب إليهم ذكر أكثر من‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫مثال على عناصر الدائرة‪ ،‬مثل‪ :‬الوتر‪ ،‬ونصف القطر‪ ،‬والوتر‪ ،‬والمماس (إن أمكن)‪ُ ،‬مؤ ِّك ًدا ‪ -‬عن‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫طريق المناقشة‪ -‬أن الرسم يحوي قط ًرا واح ًدا‪ ،‬ومما ًّسا واح ًدا فقط‪.‬‬ ‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى حل التدريب في بند (أتحقق من فهمي) بعد كل مثال‪.‬‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحوي أخطاء مفاهيمية‪ ،‬ثم نا ِقشها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اسم الطالب‬ ‫الذي أخطأ في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬ ‫‪38A‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪2‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫ﹸﻗ ﹾﻄ ﹰﺮا ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ZT‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ •ذ ِّكر كل طالب بضرورة إحضار منقلة ومســطرة‬ ‫وفرجــار لرســم الأشــكال وقيــاس الزوايا‬ ‫وﺗ ﹰﺮا ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة‪.‬‬ ‫‪SR , ZT‬‬ ‫والأطوال‪.‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪R‬‬ ‫‪S‬‬ ‫ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر داﺋﺮ ﹰة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ .O‬ﹸأﺳ ﹼﻤﻲ‪:‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪JK‬‬ ‫‪ (a‬ﻗﺎﻃ ﹰﻌﺎ ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة‪.‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪LM‬‬ ‫‪LT ; RN‬‬ ‫‪ (b‬وﺗ ﹰﺮا ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة‪.‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪MN ; MS‬‬ ‫‪ (c‬ﻣﻤﺎ ﹼﹰﺳﺎ ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة‪.‬‬ ‫ •اطلب إلــى الطلبة رســم دائرة ووتر فيها‪ ،‬ثم رســم‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺎ ٌت‬ ‫المنصف العمودي لهذا الوتر باســتعمال المســطرة‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 1‬اﻟﻮﺗﺮا ﹺن اﻟ ﹸﻤﺘﻄﺎﺑﹺﻘﺎ ﹺن ﻳﺒﻌﺪا ﹺن اﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹶﺔ ﻧﻔ ﹶﺴﻬﺎ ﻋ ﹾﻦ ﻣﺮﻛ ﹺﺰ‬ ‫والفرجار‪ ،‬وملاحظة دلالة هذا المنصف للدائرة‪.‬‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ .‬واﻟﻮﺗﺮا ﹺن اﻟﻠﺬا ﹺن ﻳﺒﻌﺪا ﹺن اﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹶﺔ ﻧﻔ ﹶﺴﻬﺎ ﻋ ﹾﻦ‬ ‫ •ارسم دائرة مركزها ‪ ،O‬وارسم الوتر ‪ AB‬فيها‪ ،‬وارسم‬ ‫‪O‬‬ ‫ﻣﺮﻛ ﹺﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﹸﻣﺘﻄﺎﺑﹺﻘﺎ ﹺن‪D .‬‬ ‫القطر ‪ CD‬الذي يعامد ‪ AB‬في النقطة ‪ ،M‬ثم اطلب إلى‬ ‫‪M‬‬ ‫الطلبة تخيل أن نهايتي الوتر ‪ AB‬تتحركان على الدائرة‬ ‫من دون تغيير طول ‪ ، AB‬وأن القطر ‪ CD‬يتحرك أي ًضا‬ ‫ﻣﺜﺎ ﹲل‪ :‬ﺑﻤﺎ أ ﱠن ‪ ،CD = AB‬ﻓﺈ ﱠن ‪N .OM = ON‬‬ ‫وإذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،OM = ON‬ﻓﺈ ﱠن ‪B C .AB = CD‬‬ ‫بحيث يظل متعام ًدا مع الوتر ‪ ، AB‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫ »هل تتغير المسافة بين مركز الدائرة والوتر؟ ‪ ‬لا‪.‬‬ ‫‪ 2‬اﻟ ﹸﻤﻨ ﱢﺼ ﹸﻒ اﻟﻌﻤﻮد ﱡي ﻷ ﱢي وﺗ ﹴﺮ ﻓﻲ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻳﻤ ﱡﺮ ﺑﻤﺮﻛ ﹺﺰﻫﺎ‪.‬‬ ‫ »مــاذا تمثــل النقطــة ‪ M‬بالنســبة إلــى الوتــر؟‬ ‫ﻣﺜﺎ ﹲل‪ :‬ﻓﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ ،‬ﻳﻘ ﹸﻊ ﻣﺮﻛــ ﹸﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺨ ﱢﻂ اﻟ ﹸﻤﺘﻘ ﱢﻄ ﹺﻊ‪A .‬‬ ‫نقطة منتصفه‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 3‬اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄــ ﹸﺮ )أ ﹾو ﻧﺼــ ﹸﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄــ ﹺﺮ( اﻟﻌﻤــﻮد ﱡي ‪C‬‬ ‫رﻣﻮ ٌز رﻳﺎﺿﻴ ٌﺔ‬ ‫ﻋﻠــﻰ وﺗــ ﹴﺮ ﻓــﻲ داﺋــﺮ ﹴة ﹸﻳﻨ ﱢﺼــ ﹸﻒ ذﻟــ ﹶﻚ اﻟﻮﺗ ﹶﺮ‪.‬‬ ‫ﻳــﺪ ﱡل اﻟﺮﻣ ﹸﺰ ⊥ ﻋﻠــﻰ ﺗﻌﺎ ﹸﻣ ﹺﺪ‬ ‫ﻣﺜﺎ ﹲل‪ :‬ﺑﻤﺎ أ ﱠن ‪ ،AB ⊥ CD‬ﻓﺈ ﱠن ‪ .MC = MD‬وإذا ‪A O M B‬‬ ‫ﻗﻄﻌﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬أ ﹾو ﻣﺴﺘﻘﻴﻤ ﹾﻴ ﹺﻦ‪.‬‬ ‫ﻣ ﱠﺮ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹸﺮ ﺑﻤﻨﺘﺼ ﹺﻒ وﺗ ﹴﺮ ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻳﻌﺎﻣ ﹸﺪ ﹸه‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ •ق ِّدم النظريات الثلاث في الصفحة ‪ ،39‬ثم نا ِقشــها مع‬ ‫الطلبة‪.‬‬ ‫إرشــاد‪ :‬و ِّجه الطلبة إلى إمكانية اســتعمال‬ ‫البيكار (الفرجار المدبــب الطرفين) لمقارنة أطوال‬ ‫الأضلاع‪.‬‬ ‫‪39‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪E 2‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ CD ،‬ﹶو ‪ EF‬وﺗﺮا ﹺن ﻓﻲ داﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ .O‬إذا ﻛﺎ ﹶن‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثال‪ُ ،‬مب ِّينًا لهم كيفية استعمال‬ ‫‪O‬‬ ‫نظريــة الأوتار المتطابقة لإيجاد أطــوال مجهولة في‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ ، ON = OX‬ﹶو ‪ ،EF = 8 cm‬ﻓﻤﺎ ﻃﻮ ﹸل ‪NC‬؟‬ ‫الدائرة‪.‬‬ ‫‪CN D‬‬ ‫‪ ON‬ﹶو ‪ OX‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜﻼ ﹺن ﹸﺑ ﹾﻌ ﹶﺪ ﹺي اﻟﻮﺗﺮ ﹾﻳ ﹺﻦ ‪ CD‬ﹶو ‪ EF‬ﻋ ﹾﻦ ﻣﺮﻛ ﹺﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ ،‬وﻫﻤﺎ ﹸﻣﺘﻄﺎﺑﹺﻘﺎ ﹺن‪.‬‬ ‫‪ON = OX‬‬ ‫ﻣ ﹾﻦ ﻣﻌﻄﻴﺎ ﹺت اﻟﺴﺆا ﹺل‬ ‫إذا ﺗﺴﺎو￯ ﹸﺑ ﹾﻌﺪا وﺗﺮ ﹾﻳ ﹺﻦ ﻋ ﹾﻦ ﻣﺮﻛ ﹺﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ ،‬ﻓﻬﻤﺎ ﹸﻣﺘﻄﺎﺑﹺﻘﺎ ﹺن ‪CD = EF‬‬ ‫‪NC‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫ﻧﺼ ﹸﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﻌﻤﻮد ﱢي ﻋﻠﻰ وﺗ ﹴﺮ ﹸﻳﻨ ﱢﺼ ﹸﻔ ﹸﻪ‬ ‫مثال إضافي‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﻮﺗﺮا ﹺن ‪ CD‬ﹶو ‪ EF‬ﹸﻣﺘﻄﺎﺑﹺﻘﺎ ﹺن‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪EF‬‬ ‫إذا كان ‪ OM = ON‬فــي الشــكل المجــاور‪ ،‬وكان‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ،ST = 3x -4‬و ‪ ،PQ = x + 6‬فأجد ‪5.5  .SN‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(8‬‬ ‫=‬ ‫‪4 cm‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪O‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ﻓــﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠــﺎو ﹺر‪ AB ،‬ﹶو ‪ CD‬وﺗﺮا ﹺن ﻓــﻲ داﺋــﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫــﺎ ‪ .O‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪،OM = ON‬‬ ‫‪MB‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ﹶو ‪ ،CN = 12 cm‬ﻓﻤﺎ ﻃﻮ ﹸل ‪AB‬؟ ‪24 cm‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺎ ٌت‬ ‫‪O‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ 1‬ﻣﻤﺎ ﱡس اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻳﻜﻮ ﹸن ﻋﻤﻮد ﹰﹼﻳﺎ ﻋﻠﻰ ﻧﺼ ﹺﻒ‬ ‫‪Q‬‬ ‫اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﻤﺮﺳﻮ ﹺم ﻣ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹺﺔ اﻟ ﱠﺘﻤﺎ ﱢس‪O .‬‬ ‫ﻣﺜﺎ ﹲل‪ :‬ﻧﺼ ﹸﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ‪ OX‬ﻋﻤﻮد ﱞي ﻋﻠﻰ‬ ‫رﻣﻮ ٌز رﻳﺎﺿﻴ ٌﺔ‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة رســم دائرة‪ ،‬ومماسين لها من نقطة‬ ‫اﻟﻤﻤﺎ ﱢس ‪.⟷AB‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻳــﺪ ﱡل ‪ PT‬ﻋﻠــﻰ ﻣﻤــﺎ ﱢس‬ ‫خارجها‪ ،‬ثم رســم نصفي القطريــن المارين بنقطتي‬ ‫‪X‬‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ .‬أ ﹼﻣﺎ ‪ PT‬ﻓﻴﺪ ﱡل ﻋﻠﻰ‬ ‫التماس‪ ،‬ثم وصــل مركز الدائرة بالنقطة التي ُر ِســم‬ ‫⟷‬ ‫اﻟﻘﻄﻌ ﹺﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤ ﹺﺔ اﻟﻮاﺻﻠ ﹺﺔ‬ ‫منها المماســان كما في الشــكل المجاور‪ ،‬ثم قياس‬ ‫‪OX‬‬ ‫⊥‬ ‫‪AB‬‬ ‫ﺑﻴــ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄــ ﹺﺔ ‪ P‬وﻧﻘﻄــ ﹺﺔ‬ ‫اﻟ ﱠﺘﻤﺎ ﱢس‪ ،‬وﻳــﺪ ﱡل اﻟﺮﻣ ﹸﺰ ‪PT‬‬ ‫الزاويتين ‪ ،OAP‬و ‪ ،OBP‬وقياس طولي ‪ ، BP‬و ‪،AP‬‬ ‫‪S‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻃﻮ ﹺل ﻫﺬ ﹺه اﻟﻘﻄﻌ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫ثم تدوين ملاحظاتهم‪.‬‬ ‫‪ 2‬اﻟﻤﻤﺎ ﹼﺳــﺎ ﹺن اﻟﻤﺮﺳــﻮﻣﺎ ﹺن ﻟﻠﺪاﺋــﺮ ﹺة ﻣــ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ‬ ‫ﺧﺎر ﹶﺟﻬﺎ ﻟ ﹸﻬﻤﺎ اﻟﻄﻮ ﹸل ﻧﻔ ﹸﺴ ﹸﻪ‪P .‬‬ ‫ﻣﺜﺎ ﹲل‪ PS :‬ﹶو ‪ PT‬ﻟ ﹸﻬﻤﺎ اﻟﻄﻮ ﹸل ﻧﻔ ﹸﺴ ﹸﻪ‪T . PS = PT:‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪TA‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪S‬‬ ‫ •ق ِّدم النظريتين في الصفحة ‪ ،40‬ثم نا ِقشهما مع الطلبة‪.‬‬ ‫إرشــاد‪ :‬الفت انتباه الطلبة إلــى أ َّنه يمكنهم‬ ‫اســتعمال حافة المســطرة‪ ،‬أو حافة المثلث القائم‬ ‫من أدوات الهندســة أو حافة الدفتــر لتحديد إذا كان‬ ‫المماس عمود ًّيا على نصف القطر أم لا‪.‬‬ ‫‪40‬‬

‫مثال ‪3‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪2‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثال‪ُ ،‬مب ِّينًا لهم كيفية استعمال‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬ ‫‪P 2x+3 T‬‬ ‫نظريات مماســات الدائــرة لإيجاد أطــوال وزوايا‬ ‫‪70º‬‬ ‫ﺟ ﹾﺒ ﹲﺮ‪ :‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ ⟷TP ،‬ﹶو ‪⟷TQ‬ﻣﻤﺎ ﹼﺳﺎ ﹺن ﻟﺪاﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪:O‬‬ ‫‪4x–6‬‬ ‫مجهولة في الدائرة‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪. x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪TP = TQ‬‬ ‫ﻣﻤﺎ ﹼﺳﺎ ﹺن ﻣﺮﺳﻮﻣﺎ ﹺن ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة ﻣ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﺧﺎر ﹶﺟﻬﺎ‬ ‫رﻣﻮ ٌز رﻳﺎﺿﻴ ٌﺔ‬ ‫‪2x + 3 = 4x – 6‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫ﻳﺮﻣــ ﹸﺰ اﻟﺤــﺮ ﹸف ‪ m‬ﻓــﻲ‬ ‫‪2x +3+ 6 – 2x = 4x – 6 + 6 – 2x‬‬ ‫‪ m∠OQT‬إﻟــﻰ ﻗﻴــﺎ ﹺس‬ ‫ﺑﺈﺿﺎﻓ ﹺﺔ ‪ 6 – 2x‬إﻟﻰ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪9 = 2x‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪.OQT‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪QO‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15 117º‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪.POQ‬‬ ‫‪T‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫ﹶأﻓﺘﺮ ﹸض أ ﱠن ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ POQ‬ﻫ ﹶﻮ ‪:y‬‬ ‫‪3x+2 P‬‬ ‫‪ ، Q→P‬و ‪ Q→R‬مماســان للدائــرة فــي الشــكل المجاور‪.‬‬ ‫‪m∠OQT = m∠OPT = 90º‬‬ ‫ﻣﻤﺎ ﱡس اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻳﺘﻌﺎﻣ ﹸﺪ ﻣ ﹶﻊ ﻧﺼ ﹺﻒ‬ ‫أجد قيمة ‪45°  .x‬‬ ‫‪90º + 70º + 90º + y = 360º‬‬ ‫اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ﻓﻲ ﻧﻘﻄ ﹺﺔ اﻟ ﱠﺘﻤﺎ ﱢس‬ ‫‪P‬‬ ‫‪250º + y = 360º‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮ ﹸع ﻗﻴﺎ ﹺس اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﺪاﺧﻠﻴ ﹺﺔ‬ ‫ﻟﻠﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋ ﱢﻲ ﻫﻮ ‪360º‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪y = 360º – 250º = 110º‬‬ ‫ﺑﻄﺮ ﹺح ‪ 250º‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪O 3x‬‬ ‫‪xQ‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪:O‬‬ ‫ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ‬ ‫ﻟﺪاﺋﺮ ﹴة‬ ‫ﻣﻤﺎ ﹼﺳﺎ ﹺن‬ ‫⟷‬ ‫ﹶو‬ ‫اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪⟷TP ،‬‬ ‫اﻟﺸﻜ ﹺﻞ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪TQ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ (b‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪63° . PTQ‬‬ ‫‪ (a‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪4.33 . x‬‬ ‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫‪T‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :4‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫ •اطلب إلــى الطلبة ذوي المســتوى فوق المتوســط‬ ‫‪0.05 km‬‬ ‫أﺑﺮا ﹲج‪ :‬ﻳﺮﺗﻔ ﹸﻊ ﺑﺮ ﹸج ﻣﺮاﻗﺒ ﹴﺔ ‪ 50 m‬ﻋ ﹾﻦ ﻣﺴﺘﻮ￯ اﻷر ﹺض‪.‬‬ ‫بيــان طريقة رســم مماس لدائــرة من نقطــة عليها‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ﻣــﺎ أﺑﻌ ﹸﺪ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﻋﻠــﻰ اﻷر ﹺض ﹸﻳﻤﻜﹺ ﹸﻦ ﻣﺸــﺎﻫ ﹶﺪ ﹸﺗﻬﺎ ﻣ ﹾﻦ ﻗ ﱠﻤــ ﹺﺔ اﻟﺒﺮ ﹺج‪،‬‬ ‫رســم نصف قطر‪ ،‬ثم إنشاء عمود عليه من طرفه على‬ ‫ﺑﺎﻓﺘﺮا ﹺض أ ﱠن اﻷر ﹶض ﻛﺮ ﹲة ﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪ 6400 km‬ﺗﻘﺮﻳ ﹰﺒﺎ؟‬ ‫‪C‬‬ ‫الدائرة باستعمال الفرجار والمسطرة‪.‬‬ ‫ﹶأرﺳ ﹸﻢ ﹸﻣﺨ ﱠﻄ ﹰﻄﺎ ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟ ﹶﺔ‪.‬‬ ‫‪6400 km‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪41‬‬

‫اﻟﺪاﺋﺮ ﹸة ﹸﺗﻤ ﱢﺜــ ﹸﻞ اﻷر ﹶض‪ ،‬واﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ ‪ T‬ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﻗ ﱠﻤ ﹶﺔ اﻟﺒﺮ ﹺج‪ ،‬واﻟﻤﻤــﺎ ﱡس ‪ ⟷TD‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﺧ ﱠﻂ اﻟﺒﺼ ﹺﺮ‪ ،‬وﻧﻘﻄ ﹸﺔ‬ ‫ مثال ‪ :4‬من الحياة‬ ‫اﻟ ﱠﺘﻤﺎ ﱢس ‪ D‬ﻫ ﹶﻲ أﺑﻌ ﹸﺪ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﻣﺸﺎﻫ ﹶﺪ ﹸﺗﻬﺎ ﻣ ﹾﻦ ﻗ ﱠﻤ ﹺﺔ اﻟﺒﺮ ﹺج‪ .‬ارﺗﻔﺎ ﹸع اﻟﺒﺮ ﹺج ‪50 m = 0.05 km‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثــال‪ُ ،‬مب ِّينًا لهم كيفية توظيف‬ ‫‪m∠TDC = 90º‬‬ ‫اﻟﻤﻤﺎ ﱡس ﻳﺘﻌﺎﻣ ﹸﺪ ﻣ ﹶﻊ ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ﻋﻨ ﹶﺪ ﻧﻘﻄ ﹺﺔ اﻟ ﱠﺘﻤﺎ ﱢس‬ ‫َأﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫خصائص مماسات الدائرة في موقف حياتي‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪(CT)2 = (TD)2 + (CD)2‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳ ﹸﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس‬ ‫‪C‬‬ ‫‪(6400 + 0.05)2 = (TD)2 + (6400)2‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪40960640.0025 = (TD)2 + 40960000‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫ﻧﻈﺮﻳ ﹸﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏــﻮرس‪ :‬إذا ﻛﺎ ﹶن‬ ‫اﻟﻤﺜﻠ ﹸﺚ ‪ ABC‬ﻗﺎﺋ ﹶﻢ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫‪640.0025 = (TD)2‬‬ ‫ﺑﻄﺮ ﹺح ‪ 40960000‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫مثالان إضافيان‬ ‫‪25.3 ≈ TD‬‬ ‫ﺑﺄﺧ ﹺﺬ اﻟﺠﺬ ﹺر اﻟﺘﺮﺑﻴﻌ ﱢﻲ ﻟﻠﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫ﻓﻲ ‪ ،B‬ﻓﺈ ﱠن‪:‬‬ ‫‪(AC )2 = (AB)2 + (BC )2‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹸﺔ اﻟﺘــﻲ ﹸﺗﻤ ﱢﺜــ ﹸﻞ أﺑﻌ ﹶﺪ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﻋﻠــﻰ اﻷر ﹺض ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﻣﺸــﺎﻫ ﹶﺪ ﹸﺗﻬﺎ ﻣ ﹾﻦ ﻗ ﱠﻤــ ﹺﺔ اﻟﺒﺮ ﹺج ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫‪  1‬يقف مسعود عند النقطة ‪ A‬التي تبعد مسافة‪ 9 m‬عن‬ ‫حافة حلبة تزلج دائرية الشــكل‪ ،‬تبعد مسافة ‪15 m‬‬ ‫‪ 25 km‬ﺗﻘﺮﻳ ﹰﺒﺎ‪.‬‬ ‫عــن نقطة التماس ‪ B‬بين خط بصــره وحافة الحلبة‪.‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫أجد طول نصف قطر حلبة التزلج‪8 m  .‬‬ ‫ﺑﺮ ﹸج ﻣﺮاﻗﺒ ﹴﺔ‪ :‬ﺗﺒﻌ ﹸﺪ أﻗﺼﻰ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﹸﻳﻤﻜﹺ ﹸﻦ ﻣﺸﺎﻫ ﹶﺪ ﹸﺗﻬﺎ ﻣ ﹾﻦ ﻗ ﱠﻤ ﹺﺔ ﺑﺮ ﹺج ﻣﺮاﻗﺒ ﹴﺔ ﻣﺴﺎﻓ ﹶﺔ ‪ 32 km‬ﻋ ﹾﻨ ﹸﻪ‪ .‬ﻣﺎ ارﺗﻔﺎ ﹸع‬ ‫ﻗ ﱠﻤ ﹺﺔ اﻟﺒﺮ ﹺج ﻋ ﹾﻦ ﺳﻄ ﹺﺢ اﻷر ﹺض‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ﻃﻮ ﹶل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻷر ﹺض ‪ 6400 km‬ﺗﻘﺮﻳ ﹰﺒﺎ؟ ‪80 m‬‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر داﺋﺮ ﹰة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ .O‬ﹸأﺳ ﹼﻤﻲ‪:‬‬ ‫‪Or‬‬ ‫‪15 m‬‬ ‫‪LR‬‬ ‫‪9m‬‬ ‫‪KO‬‬ ‫‪ 1‬ﻧﺼ ﹶﻔ ﹾﻲ ﹸﻗ ﹾﻄﺮ ﹾﻳ ﹺﻦ‪OR ; OM .‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪M SB‬‬ ‫‪LM ; MR ; RS‬‬ ‫‪ 2‬وﺗﺮ ﹾﻳ ﹺﻦ‪.‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ 3‬ﻣﻤﺎ ﱠﺳ ﹾﻴ ﹺﻦ‪KP ; KT .‬‬ ‫‪AOD‬‬ ‫‪ 4‬ﻗﺎﻃ ﹰﻌﺎ‪PT .‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪ AB‬ﹶو ‪ CD‬وﺗﺮا ﹺن ﻟ ﹸﻬﻤﺎ اﻟﻄﻮ ﹸل ﻧﻔ ﹸﺴ ﹸﻪ ﻓﻲ داﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪:O‬‬ ‫‪  2‬يرتفــع قمر صناعي ‪ 630 km‬عن ســطح الأرض‪،‬‬ ‫‪ 5‬ﻣﺎ ﻧﻮ ﹸع اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪AOB‬؟ ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫ويمكــن منه مشــاهدة المنطقــة المحصــورة بين‬ ‫‪ 6‬ﻫ ﹺﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎ ﹺن ‪ AOB‬ﹶو ‪ COD‬ﹸﻣﺘﻄﺎﺑﹺﻘﺎ ﹺن؟ ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫المماســين ‪ ، SA‬و ‪ SB‬من سطح الأرض‪ .‬إذا كانت‬ ‫‪ 7‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ OAB‬ﻫ ﹶﻮ ‪ ،65º‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪COD‬؟ ‪50°‬‬ ‫الأرض كــرة نصف قطرهــا ‪ 6400 km‬تقري ًبا‪ ،‬فما‬ ‫‪42‬‬ ‫طول المماس ‪ SA‬؟  ‪ 2909 km‬تقري ًبا‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪630 km‬‬ ‫إجابات‪:‬‬ ‫‪6400 km‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪  )5‬متطابق الضلعين؛ لأن ‪ OA‬و ‪ OB‬نصفا قطرين في الدائرة‪ ،‬فهما متطابقان‪.‬‬ ‫‪  )6‬نعم؛ لأن أضلاعهما المتناظرة متطابقة‪.‬‬ ‫‪OA = OC, OB = OD, AB = CD‬‬ ‫‪42‬‬

‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪2‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة بند (أتدرب وأحل المســائل)‪،‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 8‬ﹶﺟ ﹾﺒ ﹲﺮ‪ :‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ AB ،‬ﹶو ‪ CB‬وﺗﺮا ﹺن ﹸﻣﺘﻄﺎﺑﹺﻘﺎ ﹺن ﻓﻲ داﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪.O‬‬ ‫ثم اطلب إليهم حل الأسئلة من ‪ 1‬إلى ‪ ،7‬وتابِعهم في‬ ‫‪E‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ، OE = x + 9‬ﹶو ‪ ،OD = 3x – 7‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤ ﹸﺔ ‪x‬؟ ‪8‬‬ ‫هذه الأثناء‪.‬‬ ‫‪DO‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ •اختر بعض الأخطاء التــي وقع فيها الطلبة ‪ -‬من دون‬ ‫‪A‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ EF ،‬وﺗ ﹲﺮ ﻓﻲ داﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ ،O‬واﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ ‪ M‬ﻫ ﹶﻲ ﻣﻨﺘﺼ ﹸﻒ اﻟﻮﺗ ﹺﺮ ‪:EF‬‬ ‫ذكر أسمائهم؛ تجن ًبا لإحراجهم‪ -‬ثم نا ِقشهم فيها‪.‬‬ ‫‪ 9‬ﻫ ﹺﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎ ﹺن ‪ ،EOM‬ﹶو ‪ FOM‬ﹸﻣﺘﻄﺎﺑﹺﻘﺎ ﹺن؟ ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫‪EO‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ 10‬ﻫ ﹺﻞ اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ ‪ EMO‬ﻗﺎﺋﻤ ﹲﺔ؟ ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ 11‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ MOF‬ﻫ ﹶﻮ ‪ ،72º‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪MEO‬؟ ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ ⟷PX ،‬ﹶو ‪ ⟷PY‬ﻣﻤﺎ ﹼﺳﺎ ﹺن ﻟﺪاﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪X :O‬‬ ‫ •أشــ ِرك الطلبــة كاف ًة في حــل هذه المســائل؛ لتنمية‬ ‫‪ 12‬ﻫ ﹾﻞ ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ PXO‬ﻫ ﹶﻮ ‪90º‬؟ ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ ‪P O‬‬ ‫مهارات التفكير العليا لديهم‪.‬‬ ‫‪ 13‬ﹸأﺑ ﱢﻴ ﹸﻦ أ ﱠن اﻟﻤﺜﻠﺜ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ XPO‬ﹶو ‪ YPO‬ﹸﻣﺘﻄﺎﺑﹺﻘﺎ ﹺن‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪Y .‬‬ ‫ •تذ َّكر أنه ليس شــر ًطا أن يتم َّكــن الطلبة كاف ًة من حل‬ ‫‪ 14‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ XPO‬ﻫ ﹶﻮ ‪ ،17º‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪XOY‬؟ ‪146°‬‬ ‫المســائل جميعها‪ ،‬ولكن يجب عليهــم أن يحاولوا‬ ‫حلها‪ ،‬ويمكن التغلب علــى ذلك بالطلب إلى الطلبة‬ ‫‪A CB‬‬ ‫‪ 15‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ AB ،‬وﺗ ﹲﺮ ﻃﻮ ﹸﻟ ﹸﻪ ‪ 6 cm‬ﻓﻲ داﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ .O‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻗﻴﺎ ﹸس‬ ‫حل هذه الأســئلة ضمن مجموعات غير متجانســة‪،‬‬ ‫‪O‬‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ ACO‬ﻫ ﹶﻮ ‪ ،90º‬ﹶو ‪ ،OC = 4 cm‬ﻓﻤﺎ ﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة؟ ‪5 cm‬‬ ‫وتشجيعهم على تبرير الحلول التي يتو َّصلون إليها‪.‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ 16‬ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟ ﹶﺔ اﻟﻮارد ﹶة ﻓﻲ ﺑﺪاﻳ ﹺﺔ اﻟﺪر ﹺس‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫ •في الســؤال ‪ ،23‬الفت انتباه الطلبة إلى ضرورة رسم‬ ‫‪ 17‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ ⟷ZX ،‬ﹶو ‪⟷ZY‬ﻣﻤﺎ ﹼﺳﺎ ﹺن ﻟﺪاﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ .O‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪40 .a‬‬ ‫شــكل للســؤال‪ ،‬وكتابة المعطيات عليه‪ ،‬واستعمال‬ ‫‪O‬‬ ‫‪80º Z‬‬ ‫‪aº‬‬ ‫رموز للعناصر المطلوب إيجادها‪.‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة أن يحلوا في البيت الأســئلة ذوات‬ ‫‪43‬‬ ‫الأرقــام الزوجية من ‪ 8‬إلى ‪ ،20‬إضاف ًة إلى الأســئلة‬ ‫ذوات الأرقــام الفردية في الصفحة الثانية عشــرة من‬ ‫إجابات‪:‬‬ ‫كتاب التمارين‪ ،‬ون ِّبههم إلى وجوب إكمال الرسم في‬ ‫‪  )9‬نعم‪ ،‬متطابقان؛ لأن أضلاعهما المتناظرة متطابقة‪.‬‬ ‫السؤال التاسع‪.‬‬ ‫ •في اليوم التالي‪ ،‬ا َّط ِلع على حلول الطلبة‪ ،‬ونا ِقشهم في‬ ‫‪EM = MF‬‬ ‫(لأن ‪ M‬منتصف ‪ )EF‬‬ ‫أي صعوبات واجهوها في أثناء الحل‪ .‬نا ِقشــهم أي ًضا‬ ‫في الأســئلة ‪ ،15 ،13 ،9‬ثم اطلب إليهم حل مسائل‬ ‫(لأنهما نصفا قطرين في الدائرة) ‪OE = OF‬‬ ‫مهارات التفكير العليــا (‪ )21-24‬ضمن مجموعات‬ ‫‪OM = OM‬‬ ‫(ضلع مشترك) ‬ ‫غير متجانسة‪.‬‬ ‫‪  )10‬الزاوية ‪ EMO‬قائمة؛ لأن ‪ ، m∠EMO = m∠FMO‬ومجموعهما ‪،180°‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫لأن ‪ EMF‬خط مستقيم‪ ،‬فقياس ك ٌّل منهما يساوي ‪90°‬‬ ‫قد يواجه بعض الطلبة صعوبة في حل مسائل تتعلق‬ ‫بالزوايا في الدائرة‪ ،‬وبخاصة عندما يكون المطلوب‬ ‫‪ 18°  )11‬؛ لأن‪m∠MFO = 90° - 72° = 18° :‬‬ ‫إيجاد أكثر من زاوية واحدة في الشــكل؛ لذا و ِّجههم‬ ‫إلــى كتابة جميع الزوايا التي يعرفونها على الشــكل‬ ‫‪m∠MEO = m∠MFO‬‬ ‫قبل البدء بالحل‪.‬‬ ‫‪  )12‬نعم؛ لأن المماس يعامد نصف القطر المار بنقطة التماس‪.‬‬ ‫‪43‬‬

‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫‪18 78º‬‬ ‫ﹶﻳﻈﻬ ﹸﺮ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺸﻜﻠ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﻤﺎ ﱞس ﻟﺪاﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ .O‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﹶو ‪ y‬ﻓﻲ ﻛ ﱢﻞ ﺣﺎﻟ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة من ذوي المستوى المتوسط وفوق‬ ‫المتوسط حساب محيط المثلث ‪ ABC‬المجاور الذي‬ ‫‪x‬‬ ‫‪19 y‬‬ ‫تمــس أضلاعه الدائرة فــي النقــاط‪ ، E :‬و ‪ ،F‬و ‪.G‬‬ ‫‪yO‬‬ ‫‪x 50º‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪84 cm‬‬ ‫‪x = 12° , y = 156°‬‬ ‫‪x = 80° , y = 40°‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪12 cm‬‬ ‫‪ 20‬ﻓﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪⟷AB ،‬ﻣﻤﺎ ﱞس ﻟﺪاﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫــﺎ ‪ O‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪.C‬‬ ‫‪GE‬‬ ‫ﻟﻤﺎذا ﹸﻳ ﹶﻌ ﱡﺪ اﻟﻤﺜﻠ ﹸﺚ ‪ BCD‬ﹸﻣﺘﻄﺎﺑﹺ ﹶﻖ اﻟﻀﻠﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ؟ ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫‪14 cm‬‬ ‫‪64º‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪32º‬‬ ‫‪CFB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪30 cm‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫‪18 12‬‬ ‫ •اطلــب إلى الطلبــة بدء البحــث عن أحــد النماذج‬ ‫‪OP N‬‬ ‫‪ 21‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ AB :‬وﺗ ﹲﺮ ﻣﺸــﺘﺮ ﹲك ﺑﻴ ﹶﻦ داﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬وﻫ ﹶﻮ ﻋﻤﻮد ﱞي ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻄﻌ ﹺﺔ‬ ‫العلمية أو الحياتية التي تستعمل خصيصة أو أكثر من‬ ‫اﻟﻤﺴــﺘﻘﻴﻤ ﹺﺔ ‪ ON‬اﻟﻮاﺻﻠ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺮﻛﺰ ﹾﻳ ﹺﻬﻤﺎ‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ، AB = 14 cm‬ﻓﻤﺎ ﻃﻮ ﹸل‬ ‫‪B‬‬ ‫خصائص الدائرة‪ ،‬وتحديد هذه الخصيصة‪.‬‬ ‫‪ ON‬؟ ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫‪ 22‬ﺑﺮﻫﺎ ﹲن‪ ، AB :‬ﹶو ‪ CD‬وﺗﺮا ﹺن ﻣﺘﺴﺎوﻳﺎ ﹺن ﻓﻲ داﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ .N‬ﹸأﺛﺒﹺ ﹸﺖ أ ﱠن ﻟ ﹸﻬﻤﺎ اﻟ ﹸﺒ ﹾﻌ ﹶﺪ ﻧﻔ ﹶﺴ ﹸﻪ ﻋ ﹺﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪.N‬‬ ‫الختام‬ ‫‪6‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة تلخيص ما تعلموه عن المماســات‬ ‫‪ 23‬ﺗﺒﺮﻳ ﹲﺮ‪⟷AB :‬ﻣﻤﺎ ﱞس ﻟﺪاﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ N‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ ،A‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪ ،3 cm‬ﹶو‪ .BA = 5 cm‬ﻗﺎ ﹶﻟ ﹾﺖ ﺳﺎر ﹸة‬ ‫والأقطار في هذا الدرس‪ ،‬واســتعماله لإيجاد قيمة ‪x‬‬ ‫إ ﱠن ‪BN = 4 cm‬؛ ﻷ ﱠن ‪ .(BN )2 = (BA)2 – (AN )2 = 16‬ﻫ ﹾﻞ ﻗﻮ ﹸل ﺳﺎر ﹶة ﺻﺤﻴ ﹲﺢ؟ ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪.‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫و‪ y ‬في الشكل المجاور‪x = 54°; y =36°  .‬‬ ‫‪ 24‬ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ‪ :‬ﻛ ﹾﻢ ﻣﻤﺎ ﹰﹼﺳﺎ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ أ ﹾن ﹸﻳﺮ ﹶﺳ ﹶﻢ ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة ﻣ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﻋﻠ ﹾﻴﻬﺎ‪ ،‬وﻣ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﺧﺎر ﹶﺟﻬﺎ‪ ،‬وﻣ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ داﺧ ﹶﻠﻬﺎ؟ ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪.‬‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ رﺳــﻢ ﻣﻤﺎس واﺣﺪ ﻓﻘﻂ ﻟﻠﺪاﺋﺮة ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻴﻬﺎ‪ ،‬وﻳﻤﻜﻦ رﺳﻢ ﻣﻤﺎﺳﻴﻦ ﻟﻠﺪاﺋﺮة ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎرﺟﻬﺎ‪ ،‬وﻻ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫رﺳﻢ أي ﻣﻤﺎس ﻟﻠﺪاﺋﺮة ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ داﺧﻠﻬﺎ؛ ﻷن أي ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ داﺧﻞ اﻟﺪاﺋﺮة ﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‪.‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y 63°‬‬ ‫إجابات‪:‬‬ ‫المفاهيم العابرة‪:‬‬ ‫‪  )20‬المثلث ‪ ODC‬متطابق الضلعين؛ لأن‪:‬‬ ‫ •أ ِّكد للطلبة أهمية المفاهيم العابرة للمواد حيثما وردت‬ ‫في كتاب الطالب‪ ،‬أو كتاب التمارين‪ .‬ففي بند (مسألة‬ ‫نصفا قطرين في الدائر ة ‪OD = OC‬‬ ‫اليوم) ببداية الــدرس‪ ،‬ع ِّزز الوعي بالقضايا الأخلاقية‬ ‫(الجمــال) عن طريق حوار تديره مع الطلبة عن تقدير‬ ‫‪m∠CDO = m∠DCO = (180° - 64°) ÷ 2 = 58°‬‬ ‫الجمــال‪ ،‬وتأثير زراعة الحدائق وتنســيقها في زيادة‬ ‫‪m∠DCB = 90° - 58° = 32°, m∠DCB = m∠DBC = 32°‬‬ ‫درجة السعادة لديهم‪ ،‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫إذن‪ :‬المثلث ‪ BCD‬متطابق الضلعين؛ لأن فيه زاويتين متطابقتين‪.‬‬ ‫ »أ ُّيكم يحب الحدائق؟‬ ‫ »كيف تعتني بها؟‬ ‫ •ثم اسألهم‪:‬‬ ‫ »اذكر حالات أو أشياء تحبها وتراها جميلة‪.‬‬ ‫‪44‬‬

‫الدرس‬ ‫اﻷﻗﻮا ُس واﻟﻘﻄﺎﻋﺎ ُت اﻟﺪاﺋﺮﻳ ُﺔ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪Arcs and Sectors‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫  نتاجات الدرس‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس ﺣﺴﺎ ﹸب ﻃﻮ ﹺل اﻟﻘﻮ ﹺس‪ ،‬وﻣﺴﺎﺣ ﹺﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع اﻟﺪاﺋﺮ ﱢي‪ ،‬و ﹶﺣ ﱡﻞ ﻣﺴﺎﺋ ﹶﻞ ﺗﺘﻌ ﱠﻠ ﹸﻖ ﺑ ﹺﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫ •يحسب طول قوس من دائرة‪.‬‬ ‫ •يحسب مساحة القطاع الدائري‪.‬‬ ‫اﻟﻘﻮ ﹸس‪ ،‬اﻟﻘﻄﺎ ﹸع‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎ ُت‬ ‫ •يحل مســائل على طــول القوس‪ ،‬ومســاحة القطاع‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫ﹶأ ﹶﻋ ﱠﺪ ﹾت ﻋﻔﺎ ﹸف ﻓﻄﻴﺮ ﹶة ﺑﻴﺘﺰا ﻓﻲ وﻋﺎ ﹴء داﺋﺮ ﱟي ﻃﻮ ﹸل ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ ﹺه ‪ .24 cm‬وﺑﻌ ﹶﺪ‬ ‫الدائري‪.‬‬ ‫أ ﹾن ﺧﺒ ﹶﺰ ﹾﺗﻬﺎ أﺣﺪ ﹶﺛ ﹾﺖ ﻓﻴﻬﺎ ﹶﺷ ﱠﻘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺮﻛ ﹺﺰ إﻟﻰ اﻟﻄﺮ ﹺف‪ ،‬ﺑﺤﻴ ﹸﺚ ﻛﺎ ﹶن‬ ‫ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﺑﻴﻨﹶ ﹸﻬﻤﺎ ‪ .45º‬ﻛﻴ ﹶﻒ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ إﻳﺠﺎ ﹸد ﻣﺴــﺎﺣ ﹺﺔ اﻟﺠﺰ ﹺء اﻟﺬي‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫ •حساب محيط الدائرة‪.‬‬ ‫ﻗﻄ ﹶﻌ ﹾﺘ ﹸﻪ ﻋﻔﺎ ﹸف ﻣ ﹶﻦ اﻟﻔﻄﻴﺮ ﹺة؟‬ ‫ •حساب مساحة الدائرة‪.‬‬ ‫اﻟﻘﻮ ﹸس )‪ (arc‬ﻫ ﹶﻮ ﺟﺰ ﹲء ﻣ ﹾﻦ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﹸﻣﺤ ﱠﺪ ﹲد ﺑﻨﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋﻠ ﹾﻴﻬﺎ‪ .‬واﻟﻘﻄﺎ ﹸع )‪ (sector‬ﻫ ﹶﻮ ﺟﺰ ﹲء ﻣ ﹶﻦ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‬ ‫ﻣﺤﺼﻮ ﹲر ﺑﻴ ﹶﻦ ﻗﻮ ﹴس ﻣﻨﹾﻬﺎ وﻧﺼ ﹶﻔ ﹺﻲ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄﺮ ﹾﻳ ﹺﻦ اﻟﻠﺬ ﹾﻳ ﹺﻦ ﻳﻤ ﹼﺮا ﹺن ﺑﻄﺮ ﹶﻓ ﹺﻲ اﻟﻘﻮ ﹺس‪.‬‬ ‫ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ ‪ AOB‬ﻓﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر زاوﻳ ﹶﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع اﻟﺬي ﻗﻮ ﹲس‬ ‫ﻗﻄﺎ ﹲع‬ ‫‪A‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫ﹸﻳ ﹶﻌ ﱡﺪ ﻛﺴــ ﹰﺮا ﻣ ﹶﻦ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ .‬و ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ اﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹸل ﻗﻴﺎ ﹺس زاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع ‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ﻟﻜﺘﺎﺑ ﹺﺔ ﻫﺬا اﻟﻜﺴــ ﹺﺮ‪ ،‬وذﻟ ﹶﻚ ﺑﻘﺴــﻤ ﹺﺔ ﻗﻴﺎ ﹺس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺪور ﹺة‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﻘﻄﺎ ﹺع‪.‬‬ ‫زاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎ ﹸس‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪،‬ﺣﻴ ﹸﺚ‬ ‫‪θ‬‬ ‫أ ﹾي‪:‬‬ ‫اﻟﻜﺎﻣﻠ ﹺﺔ؛‬ ‫‪360º‬‬ ‫التهيئة‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪D 1‬‬ ‫ •ارســم على اللوح دائرتين‪ ،‬نصف قطر ك ٍّل منهما ‪،5 cm‬‬ ‫و ‪10 cm‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر ﻗﻄﺎ ﹰﻋﺎ داﺋﺮ ﹼﹰﻳﺎ‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ‪:‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة حساب محيطيهما‪ ،‬ومساحتيهما‪.‬‬ ‫‪ 1‬ﻃﻮ ﹶل اﻟﻘﻮ ﹺس ) ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ اﻹﺟﺎﺑ ﹶﺔ ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ ‪.(π‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبــة في العلاقة بين نصفي القطرين والمحيطين‬ ‫والمســاحتين؛ لاســتنتاج أ َّنه إذا تضاعــف نصف القطر‬ ‫‪12cm‬‬ ‫ﻃﻮ ﹶل‬ ‫‪ .‬وﺑﻤﺎ أ ﱠن‬ ‫‪60º‬‬ ‫=‬ ‫اﹸﻗﻟﻘﹾﻄ ﹺﺮﻄﺎاﻟﹸعﺪاﻛﺋﺮﺴ ﹺةــ ﹲﺮ‪m‬ﻣ‪ c‬ﹶﻦ‪4‬اﻟ‪،2‬ﺪاﻓﺋﺈﺮ ﱠﹺةن‪،‬ﻃوﻮﻫﹶلﺬاﻣاﻟﺤﻴﻜ ﹺﻄﺴ ﹸﻬﺮﺎ‪:‬ﻫ ﹶﻮ‪c61m‬‬ ‫‪12‬‬ ‫مرتين فإ َّن المحيط سيتضاعف مرتين‪ ،‬في حين تتضاعف‬ ‫‪60º‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫‪12cm‬‬ ‫‪24 × π‬‬ ‫‪= 24π‬‬ ‫‪60º‬‬ ‫المساحة ‪ 4‬مرات‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة؛‬ ‫ﻣﺤﻴ ﹺﻂ‬ ‫ﻃﻮ ﹺل‬ ‫‪1‬‬ ‫أ ﹾي‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻳﺴﺎوي‬ ‫اﻟﻘﻮ ﹺس‬ ‫ﻃﻮ ﹸل‬ ‫إذ ﹾن‪،‬‬ ‫‪24π ÷ 6 = 4π cm‬‬ ‫‪45‬‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المسألة في بند (مسألة اليوم) ثم‬ ‫اسألهم‪:‬‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‪:‬‬ ‫ »ما قياس زاوية الدورة الكاملة؟ ‪360°‬‬ ‫كــ ِّرر المصطلحــات الرياضية المســتخدمة في الــدرس باللغتيــن العربية‬ ‫والإنجليزية‪ ،‬وش ِّجع الطلبة على استعمالها‪.‬‬ ‫ »ما الكســر الذي تمثلــه الزاوية ‪ 45°‬مــن الدورة‬ ‫‪45‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫الكاملة؟‬ ‫‪360‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ »ما مساحة الفطيرة كاملة؟ ‪144π≈452.4cm2‬‬ ‫ »ماذا يمثل الجــزء الذي قطعته عفاف من الفطيرة؟‬ ‫الفطيرة‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪45‬‬

‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2‬ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع‪.‬‬ ‫ •اطلــب إلى الطلبــة كتابة محيط دائــرة بدلالة نصف‬ ‫ﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻫ ﹶﻲ‪π × 122 = 144π cm2 :‬‬ ‫قطرها ‪ ،r‬ثــم كتابة طول الجــزء المنحني من نصف‬ ‫‪144π‬‬ ‫÷‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪24π‬‬ ‫‪cm2‬‬ ‫أ ﹾي‪:‬‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة؛‬ ‫ﻣﺴﺎﺣ ﹺﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﹺﺗﺴﺎوي‬ ‫اﻟﻘﻄﺎع‬ ‫ﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ‬ ‫تلك الدائرة وربعها‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ •ع ِّرف القوس‪ ،‬والقطاع الدائري‪ ،‬ثم خذ قو ًســا يقابل‬ ‫زاوية قياسها ‪ 40°‬عند مركز الدائرة‪ ،‬ثم اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪16.8‬‬ ‫وﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع اﻟﺪاﺋﺮ ﱢي‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل اﻟﻘﻮ ﹺس‪،‬‬ ‫داﺋﺮ ﹼﹰﻳﺎ‪.‬‬ ‫ﻗﻄﺎ ﹰﻋﺎ‬ ‫اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر‬ ‫ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ‬ ‫‪120º‬‬ ‫≈‬ ‫‪67.0‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺗﻌ ﱠﺮ ﹾﻓﻨﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺎ ﹺل اﻟﺴــﺎﺑ ﹺﻖ أ ﱠن اﻟﻘﻄﺎ ﹶع ﻫ ﹶﻮ ﻛﺴ ﹲﺮ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ ،‬وأ ﱠﻧ ﹸﻪ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ داﺋ ﹰﻤﺎ اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸل ﻗﻴﺎ ﹺس زاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫ »ما الكســر الذي يمثلــه هذا القــوس من محيط‬ ‫اﻟﻘﻄﺎ ﹺع ﻟﺤﺴﺎ ﹺب ﻃﻮ ﹺل اﻟﻘﻮ ﹺس وﻣﺴﺎﺣ ﹺﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع اﻟﺪاﺋﺮ ﱢي‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫الدائرة؟‬ ‫‪9‬‬ ‫ »ما طول هذا القوس؟ ‪8.37 cm‬‬ ‫ﻣﻔﻬﻮ ٌم أﺳﺎﺳ ٌﻲ‬ ‫‪l‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ﻗﻴــﺎ ﹸس زاوﻳــ ﹺﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع ‪ ،θº‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄــ ﹺﺮ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ‪،r‬‬ ‫ •اســأل الطلبة عن مســاحة القطاع الذي زاويته ‪.40°‬‬ ‫‪rθ‬‬ ‫وﻃﻮ ﹸل اﻟﻘﻮ ﹺس ‪ ،l‬وﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع ‪ ،A‬ﻓﺈ ﱠن‪:‬‬ ‫‪50.24cm2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪l‬‬ ‫=‬ ‫‪θ‬‬ ‫×‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫ •و ِّضح للطلبة أنــه إذا كان القوس ‪ AB‬يقابل الزاوية ‪θ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪θ‬‬ ‫×‬ ‫‪π‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫عند مركز دائرة نصف قطرها ‪ ،r‬فإن طول القوس ‪AB‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬ ‫الدائري‬ ‫القطاع‬ ‫هذا‬ ‫مساحة‬ ‫وإن‬ ‫‪،‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫×‬ ‫‪2πr‬‬ ‫يساوي‬ ‫‪360‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل اﻟﻘﻮ ﹺس وﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪5 .‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫زاوﻳ ﹸﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع ﻫ ﹶﻲ ‪ ،28º‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ﻫ ﹶﻮ ‪ 5‬وﺣﺪا ﹺت ﻃﻮ ﹴل‪28º :‬‬ ‫‪360‬‬ ‫×‬ ‫‪πr2‬‬ ‫هي‪:‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ﹸن ﻃﻮ ﹺل اﻟﻘﻮ ﹺس‬ ‫ •أ ِّكد للطلبة أن قياس زاوية القطاع هو الذي يحدد الكسر‬ ‫‪360º‬‬ ‫‪l‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪r‬‬ ‫الذي يمثله القوس من محيط الدائرة‪ ،‬وتمثله مســاحة‬ ‫‪l‬‬ ‫=‬ ‫‪28º‬‬ ‫×‬ ‫‪π‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪θ = 28º, r = 5‬‬ ‫القطاع من مساحة الدائرة‪ ،‬وأن القانون أقل أهمية‪.‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫‪≈ 2.4‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﻃﻮ ﹸل ﻫﺬا اﻟﻘﻮ ﹺس ﹸﻣﻘ ﱠﺮ ﹰﺑﺎ إﻟﻰ أﻗﺮ ﹺب ﻣﻨﺰﻟ ﹴﺔ ﻋﺸﺮﻳ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة ﻫ ﹶﻮ‪ 2.4 :‬وﺣﺪ ﹺة ﻃﻮ ﹴل‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪θ‬‬ ‫×‬ ‫‪π‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ﹸن ﻣﺴﺎﺣ ﹺﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع‬ ‫‪360º‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪28º‬‬ ‫×‬ ‫‪π‬‬ ‫×‬ ‫‪52‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪r = 5, θ = 28º‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫ •شــا ِرك الطلبة في حــل المثاليــن ‪ 1‬و‪ 2‬اللذين يبينان‬ ‫كيفية حســاب طول القوس ومساحة القطاع الدائري‬ ‫‪≈ 6.1‬‬ ‫إذا ُع ِلمت زاويته‪.‬‬ ‫‪46‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫‪45°‬‬ ‫أجد طول القوس ومساحة القطاع‬ ‫‪9 cm‬‬ ‫الدائري المجــاور‪ُ ،‬مق ِّر ًبا إجابتي‬ ‫المجال العاطفي لا يقــل أهمية عن المجال المعرفي؛ فــا تقل لأحد الطلبة‪:‬‬ ‫(إجابتــك خطأ)‪ ،‬بل قل له‪( :‬لقد اقتربت من الإجابة الصحيحة‪ ،‬فمن يســتطيع‬ ‫إلى منزلة عشرية واحدة‪.‬‬ ‫إعطاء إجابة أخرى؟)‪ ،‬أو قل له‪( :‬هذه إجابة صحيحة لغير هذا السؤال)‪.‬‬ ‫‪ℓ ≈ 49.5 cm ; A ≈ 222.7 cm2‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫قد يخطئ بعض الطلبــة في حل المثال الإضافي فيعوضــون الزاوية ‪ 45°‬لإيجاد‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلى حــل التدريب في بنــد (أتحقق من‬ ‫طول القوس‪ ،‬أو مساحة القطاع‪ .‬أكد عليهم أن قياس الزاوية يساوي ‪315°‬‬ ‫فهمي) بعد كل مثال‪.‬‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحوي أخطاء مفاهيمية‪ ،‬ثم‬ ‫نا ِقشها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اسم الطالب الذي أخطأ‬ ‫في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬ ‫‪46‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪2‬‬ ‫إرشــاد‪ :‬نبه الطلبة أنه عنــد تعويض قيمة ‪π‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ ﻫﺬا اﻟﻘﻄﺎ ﹺع ﹸﻣﻘ ﱠﺮﺑ ﹰﺔ إﻟﻰ أﻗﺮ ﹺب ﻣﻨﺰﻟ ﹴﺔ ﻋﺸﺮﻳ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة ﻫ ﹶﻲ‪ 6.1 :‬وﺣﺪ ﹴة ﻣﺮﺑﻌ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫فإنهم يحصلون علــى إجابة تقريبية‪ ،‬وتكون الإجابة‬ ‫‪= 17.5 cm‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪125º‬‬ ‫التي تحوي ‪ π‬هي الإجابة الدقيقة‪.‬‬ ‫‪A ≈ 69.8 cm2‬‬ ‫‪8 cm‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل اﻟﻘﻮ ﹺس وﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫رﻣﻮ ٌز رﻳﺎﺿﻴ ٌﺔ‬ ‫ﻣﻔﻬﻮ ٌم أﺳﺎﺳ ٌﻲ‬ ‫ﻳﺮﻣــ ﹸﺰ اﻟﺤــﺮ ﹸف ‪ l‬إﻟﻰ ﻃﻮ ﹺل‬ ‫ •ع ِّرف للطلبة مفهوم محيط القطاع الدائري‪ُ ،‬مب ِّينًا لهم‬ ‫اﻟﻘﻮ ﹺس‪ ،‬وﻳﺮﻣــ ﹸﺰ اﻟﺤﺮ ﹸف ‪L‬‬ ‫كيفية حسابه‪.‬‬ ‫‪l‬‬ ‫ﻣﺤﻴ ﹸﻂ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع اﻟﺪاﺋﺮ ﱢي )‪ (L‬ﻫ ﹶﻮ اﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹸﺔ ﺣﻮ ﹶل اﻟﻘﻄﺎ ﹺع‪ ،‬وﻫ ﹶﻲ ﺗﺴﺎوي‬ ‫‪rθ‬‬ ‫ﻃﻮ ﹶل ﻗﻮ ﹺس اﻟﻘﻄﺎ ﹺع‪ ،‬ﻣﻀﺎ ﹰﻓﺎ إﻟ ﹾﻴ ﹺﻪ ﹺﻣ ﹾﺜﻼ ﻃﻮ ﹺل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪:‬‬ ‫إﻟﻰ ﻣﺤﻴ ﹺﻂ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع‪.‬‬ ‫ •شا ِرك الطلبة في حل المثال ‪ 3‬الذي يبين كيفية حساب‬ ‫محيط قطاع دائري‪.‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪L‬‬ ‫=‬ ‫‪θ‬‬ ‫×‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2r‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬ ‫أجد محيــط القطاع الدائري المجــاور‪ُ ،‬مق ِّر ًبا إجابتي إلى‬ ‫منزلة عشرية واحدة‪86.6 cm  .‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺤﻴ ﹶﻂ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع اﻟﺪاﺋﺮ ﱢي ﻓﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ ،‬ﹸﻣﻘ ﱢﺮ ﹰﺑﺎ إﺟﺎﺑﺘﻲ إﻟﻰ‬ ‫‪120°‬‬ ‫‪140º‬‬ ‫أﻗﺮ ﹺب ﻣﻨﺰﻟ ﹴﺔ ﻋﺸﺮﻳ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة‪.‬‬ ‫‪14 cm‬‬ ‫‪15 15‬‬ ‫زاوﻳ ﹸﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع ﻫ ﹶﻲ ‪ ،140º‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ﻫ ﹶﻮ ‪ 15‬وﺣﺪ ﹶة ﻃﻮ ﹴل‪:‬‬ ‫‪L‬‬ ‫=‬ ‫‪θ‬‬ ‫×‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2r‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ﹸن ﻣﺤﻴ ﹺﻂ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع‬ ‫‪360º‬‬ ‫‪= (316400ºº × 2 × π × 15) + 2 × 15‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪r = 15, θ = 140º‬‬ ‫‪≈ 66.6519‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﻣﺤﻴ ﹸﻂ ﻫﺬا اﻟﻘﻄﺎ ﹺع ﹸﻣﻘ ﱠﺮ ﹰﺑﺎ إﻟﻰ أﻗﺮ ﹺب ﻣﻨﺰﻟ ﹴﺔ ﻋﺸﺮﻳ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة ﻫ ﹶﻮ‪ 66.7 :‬وﺣﺪ ﹺة ﻃﻮ ﹴل‪.‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺤﻴ ﹶﻂ ﻗﻄــﺎ ﹴع داﺋﺮ ﱟي زاوﻳ ﹸﺘ ﹸﻪ ‪ ،225º‬ﻓﻲ داﺋﺮ ﹴة ﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪ ،50 cm‬ﹸﻣﻘ ﱢﺮ ﹰﺑﺎ إﺟﺎﺑﺘﻲ إﻟﻰ‬ ‫أﻗﺮ ﹺب ﻣﻨﺰﻟ ﹴﺔ ﻋﺸﺮﻳ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة‪296.3 cm .‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :4‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫‪135°‬‬ ‫ﺣﺪﻳﻘـ ﹸﺔ ﻣﻨـﺰ ﹴل ﹸو ﹺﺿـ ﹶﻊ ﻓـﻲ أﺣـ ﹺﺪ أﻃﺮاﻓﹺﻬـﺎ ﹺﻣـ ﹶﺮ ﱡش ﻟﻠﻤـﺎ ﹺء‪ ،‬ﻳـﺪو ﹸر ﺣـﻮ ﹶل اﻟـﺮأ ﹺس ﺑﺰاوﻳـ ﹴﺔ‬ ‫‪5m‬‬ ‫ﻣﻘﺪا ﹸرﻫـﺎ ‪ ،135º‬ﻓﻴﺼـ ﹸﻞ اﻟﻤـﺎ ﹸء إﻟـﻰ ﻣﺴـﺎﻓ ﹺﺔ ‪ 5 m‬ﻣـ ﹶﻦ اﻟ ﹺﻤـ ﹶﺮ ﱢش‪ .‬ﹶأ ﹺﺟـ ﹸﺪ ﻣﺴـﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘـ ﹺﺔ‬ ‫اﻟﺘـﻲ ﺳـﻴﺮوﻳﻬﺎ ﻫـﺬا اﻟ ﹺﻤـ ﹶﺮ ﱡش‪ ،‬ﹸﻣﻘ ﱢﺮ ﹰﺑـﺎ إﺟﺎﺑﺘـﻲ إﻟـﻰ أﻗـﺮ ﹺب ﻣﻨﺰﻟـ ﹴﺔ ﻋﺸـﺮﻳ ﹴﺔ واﺣـﺪ ﹴة‪.‬‬ ‫‪47‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫ •قــد يغفل بعض الطلبة عن إضافة مثلي طول نصف قطر الدائرة عند حســاب‬ ‫محيــط القطاع الدائري‪ ،‬وذلك بكتابة طول القــوس فقط إجابة للمحيط؛ لذا‬ ‫ن ِّبههم إلى ذلك‪ ،‬واذكر أمثلة على حســاب محيط نصــف دائرة‪ ،‬وربع دائرة‪،‬‬ ‫وأشكال مركبة تحوي أقوا ًسا من دوائر‪.‬‬ ‫‪8 cm‬‬ ‫ •في المقابل‪ ،‬قد يضيف بعض الطلبة مثلي طول نصف‬ ‫‪8 cm‬‬ ‫القطر عندما لا يلزم ذلك في حال تك َّون المحيط من‬ ‫خطوط منحنية فقط‪ ،‬كما في المثال الآتي‪.‬‬ ‫ »يتكون الشــكل المجاور من ربع دائرة‪ ،‬طول‬ ‫نصف قطرها ‪ ،8 cm‬ومــن نصفي دائرتين‪.‬‬ ‫أجد محيط الشكل‪12 π  .‬‬ ‫ •أخبر الطلبة أنه لا يجوز استعمال قانون محيط القطاع الدائري في هذه الحالة‪،‬‬ ‫وأن المحيط يساوي مجموع أطوال الأقواس الثلاثة‪.‬‬ ‫‪47‬‬

‫ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﻤﻨﻄﻘ ﹸﺔ اﻟﺘﻲ ﺳﻴﺮوﻳﻬﺎ اﻟ ﹺﻤ ﹶﺮ ﱡش ﻗﻄﺎ ﹰﻋﺎ داﺋﺮ ﹼﹰﻳﺎ زاوﻳ ﹸﺘ ﹸﻪ ‪ ،135º‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ ﹺه ‪:5 m‬‬ ‫ مثال ‪ :4‬من الحياة‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪θ‬‬ ‫×‬ ‫‪π r2‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ﹸن ﻣﺴﺎﺣ ﹺﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع‬ ‫ •شــا ِرك الطلبة في حل المثال ‪ 4‬الذي يعرض لمسألة‬ ‫‪360º‬‬ ‫حياتية يراد حساب مساحة قطاع دائري فيها‪.‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪r = 5, θ = 135º‬‬ ‫=‬ ‫‪135º‬‬ ‫×‬ ‫‪π‬‬ ‫×‬ ‫‪52‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫‪360º‬‬ ‫‪≈ 29.5‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ ﻫﺬ ﹺه اﻟﻤﻨﻄﻘ ﹺﺔ ﹸﻣﻘ ﱠﺮﺑ ﹰﺔ إﻟﻰ أﻗﺮ ﹺب ﻣﻨﺰﻟ ﹴﺔ ﻋﺸﺮﻳ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة ﻫ ﹶﻲ‪29.5 m2 :‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫مثال إضافي‬ ‫ﻃﻮ ﹸل ﻋﻘﺮ ﹺب اﻟﺪﻗﺎﺋ ﹺﻖ ﻓﻲ ﺳــﺎﻋ ﹺﺔ ﺣﺎﺋ ﹴﻂ ﻫ ﹶﻮ ‪ .15 cm‬ﻣﺎ اﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹸﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﻘﻄ ﹸﻌﻬﺎ رأ ﹸس اﻟﻌﻘﺮ ﹺب ﻓﻲ‬ ‫ •في محل لبيع البيتزا يوجد نوعان من شــطائر البيتزا‪،‬‬ ‫ﺣﺮﻛﺘﹺ ﹺﻪ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻌﺪ ﹺد ‪ 9‬إﻟﻰ اﻟﻌﺪ ﹺد ‪2‬؟ ‪39.3 cm‬‬ ‫أحدهمــا قطره ‪ ،35 cm‬وهو يقســم إلــى قطاعات‬ ‫زاويتها ‪ ،60°‬والآخر قطره ‪ ،40 cm‬وهو يقســم إلى‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫قطاعات زاويتها ‪ .45°‬ما الفرق بين مساحة قطعة بيتزا‬ ‫من النوع الأول وأخرى من النوع الثاني؟  ‪3.3 cm2‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر ﻗﻄﺎ ﹰﻋﺎ داﺋﺮ ﹼﹰﻳﺎ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﹸأﻋ ﱢﺒ ﹸﺮ ﺑﻜﺴ ﹴﺮ ﻋ ﹺﻦ اﻟﺠﺰ ﹺء اﻟﺬي ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻠ ﹸﻪ ﻫﺬا اﻟﻘﻄﺎ ﹸع ﻣ ﹶﻦ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8.4 8.4‬‬ ‫‪ 2‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل اﻟﻘﻮ ﹺس‪ ،‬ﹸﻣﻘ ﱢﺮ ﹰﺑﺎ إﺟﺎﺑﺘﻲ إﻟﻰ أﻗﺮ ﹺب ﻣﻨﺰﻟ ﹴﺔ ﻋﺸﺮﻳ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة‪10.6 .‬‬ ‫‪72º‬‬ ‫‪ 3‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع‪ ،‬ﹸﻣﻘ ﱢﺮ ﹰﺑﺎ إﺟﺎﺑﺘﻲ إﻟﻰ أﻗﺮ ﹺب ﻣﻨﺰﻟ ﹴﺔ ﻋﺸﺮﻳ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة‪44.3 .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪20‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل اﻟﻘﻮ ﹺس وﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻷﺷﻜﺎ ﹺل اﻵﺗﻴ ﹺﺔ ) ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ اﻹﺟﺎﺑ ﹶﺔ ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ ‪:(π‬‬ ‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= 10π‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪= 5π‬‬ ‫‪A = 50π‬‬ ‫‪A = 25π‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة بند (أتدرب وأحل المســائل)‪،‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ثم اطلب إليهم حل الأســئلة من ‪ 1‬إلى ‪ ،11‬وتابِعهم‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫في هذه الأثناء‪.‬‬ ‫‪45º‬‬ ‫‪= 2.5π‬‬ ‫‪135º‬‬ ‫‪= 5.25π‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪A = 12.5π‬‬ ‫‪A = 18.375π‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪25‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪ 8‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﻤﺠﺎور ﹺة‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺤﻴ ﹶﻄﻬﺎ‪245.4; 64.3 .‬‬ ‫ •أشــ ِرك الطلبــة كاف ًة في حــل هذه المســائل؛ لتنمية‬ ‫مهارات التفكير العليا لديهم‪.‬‬ ‫‪48‬‬ ‫ •تذ َّكر أنه ليس شــر ًطا أن يتم َّكــن الطلبة كاف ًة من حل‬ ‫المســائل جميعها‪ ،‬ولكن يجب عليهــم أن يحاولوا‬ ‫حلها‪ ،‬ويمكن التغلب علــى ذلك بالطلب إلى الطلبة‬ ‫حل هذه الأســئلة ضمن مجموعات غير متجانســة‪،‬‬ ‫وتشجيعهم على تبرير الحلول التي يتو َّصلون إليها‪.‬‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة أن يحلوا في البيت الأســئلة ذوات‬ ‫الأرقام الزوجية من ‪ 12‬إلى ‪ ،22‬إضاف ًة إلى الأســئلة‬ ‫ذوات الأرقــام الفردية في الصفحة الثالثة عشــرة من‬ ‫كتاب التمارين‪.‬‬ ‫ •في اليوم التالي‪ ،‬ا َّط ِلع على حلول الطلبة‪ ،‬ونا ِقشهم في‬ ‫أي صعوبات واجهوها في أثناء الحل‪ .‬نا ِقشــهم أي ًضا‬ ‫في الأسئلة ‪. 13, 17, 19, 21, 23‬‬ ‫‪48‬‬

‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪2‬‬ ‫‪ 9‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﺠﺰ ﹺء اﻟ ﹸﻤﻈ ﱠﻠ ﹺﻞ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر ) ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ اﻹﺟﺎﺑ ﹶﺔ ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ ‪ .(π‬ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪.‬‬ ‫إذا واجه الطلبة من ذوي المســتوى دون المتوسط صعوبة‬ ‫‪40 70º‬‬ ‫‪322.2 π‬‬ ‫في حل الأسئلة في بند (أتدرب وأحل المسائل)‪ ،‬فضع ك ًّل‬ ‫منهم مع طالب آخر من ذوي المســتوى المتوسط وفوق‬ ‫‪10 10‬‬ ‫‪ 10‬ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟ ﹶﺔ اﻟﻮارد ﹶة ﻓﻲ ﺑﺪاﻳ ﹺﺔ اﻟﺪر ﹺس‪ .‬ﺑﻘﺴﻤﺔ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻔﻄﻴﺮة ﻋﻠﻰ ‪8‬‬ ‫المتوسط؛ ليتشاركا في حل الأسئلة‪.‬‬ ‫‪56.5 cm2‬‬ ‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر ‪ 3‬أﻧﺼﺎ ﹺف دواﺋ ﹶﺮ‪:‬‬ ‫‪ 11‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺤﻴ ﹶﻂ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ ) ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ اﻹﺟﺎﺑ ﹶﺔ ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ ‪20π .(π‬‬ ‫‪ 12‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ ) ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ اﻹﺟﺎﺑ ﹶﺔ ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ ‪75π .(π‬‬ ‫ •اطــرح على الطلبة ذوي المســتوى فوق المتوســط‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 13‬ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ ‪ O‬ﻣﺮﻛ ﹶﺰ داﺋﺮ ﹴة‪ ،‬ﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪ 12.5‬وﺣﺪ ﹺة ﻃﻮ ﹴل‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل اﻟﻘﻮ ﹺس ‪43.6 .ACB‬‬ ‫السؤال الآتي‪:‬‬ ‫ »يبين الشــكل الآتي مخرو ًطا من الورق المقوى‪،‬‬ ‫‪12.5‬‬ ‫قطــر قاعدتــه ‪ ،4.8 cm‬وطول راســمه ‪،4 cm‬‬ ‫‪A 160º B‬‬ ‫إذا ُق َّص على طول المســتقيم ‪ ،AV‬و ُب ِس َط ل ُيك ِّون‬ ‫القطــاع الدائــري ال ُمب َّين في الشــكل‪ ،‬فما قياس‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ 14‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜــ ﹸﻞ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠــﺎو ﹸر رﺑ ﹶﻊ داﺋــﺮ ﹴة‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴــﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﺠــﺰ ﹺء اﻟ ﹸﻤﻈ ﱠﻠ ﹺﻞ ﻓﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ‬ ‫الزاوية ‪z‬؟  ‪216°‬‬ ‫) ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ اﻹﺟﺎﺑ ﹶﺔ ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ ‪36π - 72 .(π‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4 cm‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪ 15‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠــﺎو ﹸر اﻟﻤﺮ ﱠﺑ ﹶﻊ ‪ ABCD‬اﻟﺬي ﻃﻮ ﹸل ﺿﻠ ﹺﻌــ ﹺﻪ ‪ ،8 cm‬و ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ‪APC‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ﹶو ‪ AQC‬ﻗﻮﺳــ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣ ﹾﻦ داﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﺮﻛﺰا ﹸﻫﻤﺎ ‪ D‬ﹶو ‪ B‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴــﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﺠﺰ ﹺء‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫اﻟ ﹸﻤﻈ ﱠﻠ ﹺﻞ ) ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ اﻹﺟﺎﺑ ﹶﺔ ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ ‪32π – 64 .(π‬‬ ‫‪4.8 cm‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ 16‬ﺻ ﱠﻤ ﹶﻢ ﻣﻬﻨﺪ ﹲس ﹺﻣ ﹶﺮ ﱠش ﻣﻴﺎ ﹴه ﻟﺮ ﱢي ﻣﻨﻄﻘ ﹴﺔ ﻣﺴﺎﺣ ﹸﺘﻬﺎ ‪ 100 m2‬ﻋﻠﻰ ﻫﻴﺌ ﹺﺔ ﻗﻄﺎ ﹴع داﺋﺮ ﱟي ﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ ﹺه ‪ .15 m‬ﻣﺎ زاوﻳ ﹸﺔ دورا ﹺن‬ ‫ﻫﺬا اﻟ ﹺﻤ ﹶﺮ ﱢش؟ ‪51°‬‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫‪49‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبــة متابعة البحث عــن أحد النماذج‬ ‫العلمية أو الحياتية التي تستعمل خصيصة أو أكثر من‬ ‫المفاهيم العابرة‪:‬‬ ‫خصائص الدائــرة‪ ،‬وتحديد هذه الخصيصة‪ ،‬وكذلك‬ ‫التقاط صــور توضيحية للنموذج‪ ،‬وبــدء كتابة تقرير‬ ‫ •أ ِّكد للطلبة أهمية المفاهيم العابرة للمواد حيثما وردت في كتاب الطالب‪ ،‬أو‬ ‫باستعمال مســتند معالج النصوص (وورد) يتضمن‬ ‫كتاب التمارين‪ .‬ففي المثال‪ 4 ‬من الحياة‪ ،‬ع ِّزز الوعي بالقضايا البيئية (ترشيد‬ ‫اســتهلاك المياه) عن طريق حوار تديره مع الطلبة عن أهمية ترشيد استهلاك‬ ‫وص ًفا للنموذج مع الصور‪.‬‬ ‫الماء في حفظ التوازن البيئي والمحافظة على الموارد المائية‪.‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بضرورة توثيق مصدر معلوماتهم والصور‪.‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلى التحدث عن مقترحاتهم‪ ،‬ودور ك ٍّل منهم في المحافظة على‬ ‫التوازن البيئي وترشيد استهلاك الماء‪.‬‬ ‫ •استمع لمقترحاتهم‪ُ ،‬مع ِّز ًزا الجيد منها‪.‬‬ ‫‪49‬‬

‫الختام‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 17‬ﺳــﻴﺎرا ﹲت‪ :‬ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر ﻣﺎﺳــﺤ ﹶﺔ اﻟﺰﺟﺎ ﹺج اﻷﻣﺎﻣ ﱢﻲ ﻟﺴﻴﺎر ﹴة‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪130º‬‬ ‫ •ارســم قطاعين دائرييــن‪ ،‬زاويــة الأول ‪ ،40°‬وطول‬ ‫ﻃﻮ ﹸل ﺷﻔﺮ ﹺة اﻟﻤﺎﺳــﺤ ﹺﺔ ‪ ،40 cm‬وﻃﻮ ﹸل ﺷﻔﺮ ﹺة اﻟﻤﺎﺳﺤ ﹺﺔ ﻣ ﹶﻊ ذرا ﹺﻋﻬﺎ ‪،66 cm‬‬ ‫نصف قطره ‪ ،4 cm‬وزاوية الثاني ‪ ، 20°‬وطول نصف‬ ‫ﻓﻤﺎ ﻣﺴــﺎﺣ ﹸﺔ اﻟﺰﺟﺎ ﹺج اﻟﺘﻲ ﹸﺗﻨ ﱢﻈ ﹸﻔﻬﺎ اﻟﻤﺎﺳــﺤ ﹸﺔ‪ ،‬ﹸﻣﻘ ﱠﺮﺑ ﹰﺔ إﻟﻰ أﻗﺮ ﹺب ﻣﻨﺰﻟ ﹴﺔ ﻋﺸﺮﻳ ﹴﺔ‬ ‫قطره ‪،8 cm‬‬ ‫واﺣﺪ ﹴة؟ اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫ •ثم اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫ »أي القطاعين قوسه أطول؟‬ ‫‪T‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫ »أيهما محيطه أطول؟‬ ‫ »أيهما مساحته أكبر؟‬ ‫‪99‬‬ ‫ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر داﺋﺮ ﹰة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ ، O‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪.4 cm‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،TP = TQ = 9 cm‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ‪:‬‬ ‫ •امنــح الطلبــة دقيقتيــن أو ثــاث دقائــق للتفكير‬ ‫‪P‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫ضمــن مجموعات ثنائيــة‪ ،‬ثم تقديــم ملاحظاتهم‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪θ4‬‬ ‫‪ 18‬ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ .θ‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫(طولا القوســين متســاويان‪ ،‬محيط الثانــي أطول‪،‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ 19‬ﻃﻮ ﹶل اﻟﻘﻮ ﹺس ‪9.2 cm .PAQ‬‬ ‫مســاحة القطاع الثاني تساوي مثلي مســاحة القطاع‬ ‫‪ 20‬ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘ ﹺﺔ اﻟ ﹸﻤﻈ ﱠﻠﻠ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ‪17.6 cm2 .‬‬ ‫الأول)‪.‬‬ ‫‪ 21‬ﻣﺴــﺄﻟ ﹲﺔ ﻣﻔﺘﻮﺣ ﹲﺔ‪ :‬أرﺳ ﹸﻢ داﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﻧﺼ ﹸﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻷوﻟﻰ ﻣﺨﺘﻠ ﹲﻒ ﻋ ﹾﻦ ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺜﺎﻧﻴ ﹺﺔ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أرﺳ ﹸﻢ ﻗﻄﺎ ﹰﻋﺎ داﺋﺮ ﹼﹰﻳﺎ ﻓﻲ ﻛ ﱢﻞ داﺋﺮ ﹴة‪،‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة ذكر أمثلة على قطاعات دائرية تشبه‬ ‫ﺑﺤﻴ ﹸﺚ ﻳﻜﻮ ﹸن ﻟﻠﻘﻄﺎﻋ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﻤﺴﺎﺣ ﹸﺔ ﻧﻔ ﹸﺴﻬﺎ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫القطاعين السابقين‪ ،‬ولها طول القوس نفسه‪.‬‬ ‫‪ 22‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬اﺷــﺘﺮ￯ ﺳﻌﻴ ﹲﺪ ﻓﻄﻴﺮ ﹶة ﺑﻴﺘﺰا داﺋﺮﻳ ﹶﺔ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ ﻃﻮ ﹸل ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪ ،36 cm‬ﺛ ﱠﻢ ﻗ ﱠﺴ ﹶﻤﻬﺎ إﻟﻰ ﻗﻄ ﹴﻊ ﻣﺘﺴﺎوﻳ ﹴﺔ‪ .‬ﺑﻌ ﹶﺪ ذﻟ ﹶﻚ أﻛ ﹶﻞ ﻣﻨﹾﻬﺎ‬ ‫من الإجابات المحتملة‪:‬‬ ‫ﻗﻄﻌﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﹸﺗﻤ ﱢﺜﻼ ﹺن ﻣ ﹰﻌﺎ ‪ 180 cm2‬ﻣﻨﹾﻬﺎ‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﻟﻘﻄﻌ ﹺﺔ اﻟﺒﻴﺘﺰا اﻟﻮاﺣﺪ ﹺة‪ ،‬ﹸﻣﻘ ﱢﺮ ﹰﺑﺎ إﺟﺎﺑﺘﻲ إﻟﻰ أﻗﺮ ﹺب ﻋﺪ ﹴد ﻛﻠ ﱟﻲ‪.‬‬ ‫‪ 180°‬و ‪2 cm‬؛ ‪ 60°‬و ‪6 cm‬؛ ‪ 120°‬و ‪3 cm‬؛‬ ‫‪32°‬‬ ‫‪ 22.5°‬و ‪16 cm‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 23‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر ﻣﺜﻠ ﹰﺜﺎ ﹸﻣﺘﻄﺎﺑﹺ ﹶﻖ اﻷﺿﻼ ﹺع‪ ،‬ﻃﻮ ﹸل ﺿﻠ ﹺﻌ ﹺﻪ ‪ .6 cm‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ‬ ‫‪P‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺘﺎ ﹺن ‪ P‬ﹶو ‪ Q‬ﹸﺗﻨ ﱢﺼﻔــﺎ ﹺن اﻟﻀﻠﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ AB‬ﹶو‪ AC‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟــﻲ‪ ،‬وﻛﺎ ﹶن ‪ APQ‬ﻗﻄﺎ ﹰﻋﺎ‬ ‫داﺋﺮ ﹼﹰﻳﺎ ﻣ ﹾﻦ داﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ ،A‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﺠﺰ ﹺء اﻟ ﹸﻤﻈ ﱠﻠ ﹺﻞ‪.‬‬ ‫‪AQ C‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫‪50‬‬ ‫إرشــاد‪ :‬ذ ِّكر الطلبة بكيفية إيجــاد قياس زاوية في مثلــث قائم الزاوية‬ ‫باستعمال النسب المثلثية‪.‬‬ ‫إجابات‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪130‬‬ ‫×‬ ‫‪662‬‬ ‫×‬ ‫‪π-‬‬ ‫‪130‬‬ ‫×‬ ‫≈ ‪262 ×π‬‬ ‫‪4175‬‬ ‫ ‪cm2‬‬ ‫‪)17‬‬ ‫‪360‬‬ ‫‪360‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪θ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⇒‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‪θ ≈ 66° ⇒ θ ≈ 132°‬‬ ‫‪)18‬‬ ‫‪  )21‬ستتنوع إجابات الطلبة‪ .‬وهذا مثال على إحدى الإجابات‪:‬‬ ‫دائرة نصف قطرها ‪ ،12 cm‬وزاوية القطاع ‪ 60°‬مع دائرة نصف قطرها ‪ ،6 cm‬وزاوية‬ ‫القطاع ‪ ،240°‬أو نصف القطر ‪ ،24 cm‬والزاوية ‪ 15°‬مســاحة هذه القطاعات الثلاثة‬ ‫هي ‪ 75.4 cm2‬تقري ًبا‪.‬‬ ‫‪50‬‬

‫الدرس‬ ‫اﻟﺰواﻳﺎ ﻓﻲ اﻟﺪاﺋﺮ ِة‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪Angles in a Circle‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫  نتاجات الدرس‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس ﻣﻌﺮﻓ ﹸﺔ اﻟﻌﻼﻗﺎ ﹺت ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺰواﻳﺎ ﻓﻲ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ ،‬وﺗﻮﻇﻴ ﹸﻔﻬﺎ ﻓﻲ إﻳﺠﺎ ﹺد زواﻳﺎ ﻣﺠﻬﻮﻟ ﹴﺔ و ﹶﺣ ﱢﻞ ﻣﺴﺎﺋ ﹶﻞ ﺣﻴﺎﺗﻴ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫ •يتعرف العلاقة بين قياســي الزاوية المحيطية والزاوية‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎ ُت اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﻳ ﹸﺔ‪ ،‬اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ اﻟﻤﺤﻴﻄﻴ ﹸﺔ‪ ،‬اﻟﻘﻮ ﹸس اﻟﻤﻘﺎﺑ ﹸﻞ‪ ،‬اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ اﻟ ﹸﻤﻘﺎﺑﹺﻠ ﹸﺔ ﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ ،‬اﻟﺮﺑﺎﻋ ﱡﻲ اﻟﺪاﺋﺮ ﱡي‪،‬‬ ‫المركزية المرسومتان على القوس نفسه في الدائرة‪.‬‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ اﻟﻤﻤﺎﺳﻴ ﹸﺔ‪.‬‬ ‫ •يتعرف العلاقة بين قياسات الزوايا المحيطية المشتركة‬ ‫ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر ﺗﺼﻤﻴ ﹰﻤﺎ ﹸﻣﻜ ﱠﻮ ﹰﻧﺎ ﻣ ﹾﻦ ﻧﺠﻤ ﹴﺔ ﺧﻤﺎﺳــﻴ ﹴﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤ ﹴﺔ ﻣﺤﺎﻃ ﹴﺔ‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫في القوس نفسه‪.‬‬ ‫ﺑﺪاﺋﺮ ﹴة ﻳﺤﻴ ﹸﻂ ﺑﻬﺎ ﻣﺮ ﱠﺑ ﹲﻊ‪ .‬ﻣﺎذا ﹸﺗﺴــ ﹼﻤﻰ اﻟﺰواﻳﺎ ﻋﻨ ﹺﺪ رؤو ﹺس اﻟﻨﺠﻤ ﹺﺔ؟ ﻛﻴ ﹶﻒ ﻧﺠ ﹸﺪ‬ ‫ •يتعرف العلاقة بين قياســات زوايا الشــكل الرباعي‬ ‫ﻗﻴﺎ ﹶس ﻛ ﱟﻞ ﻣﻨﹾﻬﺎ؟‬ ‫الدائري‪.‬‬ ‫ﹸﺗﺴ ﹼﻤﻰ اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﻜﻮ ﹸن رأ ﹸﺳﻬﺎ ﻓﻲ ﻣﺮﻛ ﹺﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ ،‬وﺿﻠﻌﺎﻫﺎ ﻧﺼ ﹶﻔ ﹾﻲ ﹸﻗ ﹾﻄﺮ ﹾﻳ ﹺﻦ ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة زاوﻳ ﹰﺔ ﻣﺮﻛﺰﻳ ﹰﺔ‬ ‫ﹸﻳﺴ ﹼﻤﻰ ‪ AB‬اﻟﻘﻮ ﹶس اﻷﺻﻐ ﹶﺮ‪،‬‬ ‫ •يتعرف العلاقة بين قياســي الزاوية المماسية والزاوية‬ ‫)‪ .(central angle‬ﻓﻔــﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪ AOB ،‬زاوﻳــ ﹲﺔ ﻣﺮﻛﺰﻳ ﹲﺔ ﻓﻲ اﻟﺪاﺋــﺮ ﹺة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪،O‬‬ ‫و ﹸﻳﺴــ ﹼﻤﻰ ‪ ACB‬اﻟﻘــﻮ ﹶس‬ ‫المحيطية المشتركة معها في القوس‪.‬‬ ‫و ﹸﻳﺴ ﹼﻤﻰ اﻟﻘﻮ ﹸس‪ AB‬اﻟﻘﻮ ﹶس اﻟﻤﻘﺎﺑ ﹶﻞ )‪.(subtended arc‬‬ ‫اﻷﻛﺒ ﹶﺮ‪.‬‬ ‫ •يوظف العلاقات بين قياســات الزوايا في الدائرة في‬ ‫حل مسائل رياضية وحياتية‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ •معرفة المفردات الخاصة بالدائرة (مركز‪ ،‬نصف قطر‪،‬‬ ‫‪A‬‬ ‫قطر‪ ،‬وتر‪ ،‬قاطع‪ ،‬مماس‪ ،‬قوس)‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ •مجموع قياسات ك ٍّل من زوايا المثلث‪ ،‬وزوايا الشكل‬ ‫ﹸﺗﺴــ ﹼﻤﻰ اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﻘ ﹸﻊ رأ ﹸﺳــﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ ،‬وﻳﻜﻮ ﹸن ﺿﻠﻌﺎﻫﺎ وﺗﺮ ﹾﻳ ﹺﻦ ﻓﻲ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة زاوﻳ ﹰﺔ ﻣﺤﻴﻄﻴ ﹰﺔ‬ ‫الرباعي‪ ،‬والزوايا حول نقطة‪.‬‬ ‫)‪ .(inscribed angle‬ﻓﻔﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﺴــﺎﺑ ﹺﻖ‪ ،‬اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ ‪ ACB‬ﻣﺤﻴﻄﻴ ﹲﺔ‪ ،‬واﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ ‪ AOB‬ﻣﺮﻛﺰﻳ ﹲﺔ‪،‬‬ ‫وﻫﻤﺎ ﻣﺮﺳــﻮﻣﺘﺎ ﹺن ﻋﻠﻰ ﻧﻔ ﹺﺲ اﻟﻘﻮ ﹺس ‪ .AB‬وﻋﻨ ﹶﺪ ﻗﻴﺎ ﹺس ﻫﺎﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﺰاوﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺳﻨﺠ ﹸﺪ أ ﱠن ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫ •العلاقــات بين الزوايا الناتجة من تقاطع مســتقيم مع‬ ‫مستقيمين متوازيين‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰﻳ ﹺﺔ ‪ AOB‬ﻳﺴﺎوي ﹺﻣ ﹾﺜ ﹶﻠ ﹾﻲ ﻗﻴﺎ ﹺس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺤﻴﻄﻴ ﹺﺔ ‪.ACB‬‬ ‫ •خصائص ك ٍّل من المثلث المتطابق الضلعين‪ ،‬والمثلث‬ ‫ﻧﻈﺮﻳ ٌﺔ‬ ‫المتطابق الأضلاع‪ ،‬ومتوازي الأضلاع‪.‬‬ ‫ﻧﻗﻴﻔـ ﹺـﺴﺎﹺﻪ‪:‬ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﻳ ﹺﺔ ﻳﺴــﺎوي ﹺﻣ ﹾﺜ ﹶﻠ ﹾﻲ ﻗﻴﺎ ﹺس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺤﻴﻄﻴ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﺳــﻮﻣ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮ ﹺس‬ ‫‪m∠ AOB = 2m∠ ACB‬‬ ‫‪51‬‬ ‫التهيئة‬ ‫‪1‬‬ ‫ •ارسم على اللوح الشكل المجاور‪ ،‬ثم اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ •ارسم على اللوح الشكل ‪B‬‬ ‫‪38°‬‬ ‫المجاور‪ ،‬ثم اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫ »ماذا تسمى ‪OB‬؟‬ ‫‪x‬‬ ‫ »ماذا يســمى هذا الشكل‬ ‫تسمى نصف قطر‪O .‬‬ ‫‪D‬‬ ‫الرباعي؟ ما خصائصه؟‬ ‫ »ماذا تسمى ‪AB‬؟‬ ‫ »ما قيمة ‪x‬؟ ولماذا؟ ‪C 52°‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫تسمى وت ًرا‪.‬‬ ‫ »مــاذا يســمى ‪T→A‬؟‬ ‫‪T‬‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة‪ ،‬ثم اسألهم كل مرة‪:‬‬ ‫يسمى مما ًّسا‪.‬‬ ‫ »من يؤيد الإجابة؟‬ ‫ »ما نوع المثلث ‪OAB‬؟ لمــاذا؟ متطابق الضلعين؛‬ ‫ »من لديه إجابة أخرى؟‬ ‫ »اذكرها‪.‬‬ ‫لأن ‪ OA‬و ‪ OB‬نصفا قطرين متطابقان‪.‬‬ ‫ •وبهذا يشــارك أكبر عدد منهم‪ ،‬وتتعزز لديهم مهارات التواصل‪ ،‬وتق ُّبل الرأي‬ ‫ »إذا كان قيــاس الزاوية ‪ ABO‬هــو ‪ ،65°‬فما قياس‬ ‫الآخر‪.‬‬ ‫الزاوية ‪AOB‬؟ لمــاذا؟ ‪ 50°‬؛ لأن زاويتي القاعدة‬ ‫متطابقتان‪ ،‬ومجموع زوايا المثلث هو ‪180°‬‬ ‫‪51‬‬

‫ملاحظات المعلم‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المسألة في بند (مسألة اليوم)‪ ،‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »ما المضلع المنتظم؟ مضلع لجميع أضلاعه الطول نفسه‪ ،‬ولجميع زواياه القياس نفسه‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »ماذا يسمى الشكل الظاهر في وسط النجمة؟ يسمى مضل ًعا خماس ًّيا منتظ ًما‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »ما قياس كل واحدة من الزوايا الداخلية في هذا المضلع الخماسي المنتظم؟ ‪108°‬‬ ‫ »ما قياس زوايا أحد المثلثات الصغيرة الخمسة الظاهرة في الشكل؟ ‪72°, 72°, 36°‬‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة من دون تقديم تغذية راجعة لهم‪.‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫ذ ِّكر كل طالب بضرورة إحضار منقلة ومسطرة وفرجار لرسم الأشكال وقياس الزوايا والأطوال‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •اطلب إلى كل طالب رسم الشكل المجاور على دفتره‪ ،‬عل ًما بأن ‪ O‬هو مركز الدائرة‪.‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫ •ع ِّرف للطلبة الزاوية المركزية‪ ،‬والزاوية المحيطية‪ ،‬والقوس المقابل ‪C‬‬ ‫المجــال العاطفــي لا يقــل أهمية عن‬ ‫لهما‪.‬‬ ‫المجال المعرفي؛ فلا تقل لأحد الطلبة‪:‬‬ ‫(إجابتك خطأ)‪ ،‬بل قل له‪( :‬لقد اقتربت‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة تلوين الزاويــة ‪ c‬بلون غامق‪ ،‬والزاوية ‪ AOB‬بلون ‪O‬‬ ‫من الإجابــة الصحيحة‪ ،‬فمن يســتطيع‬ ‫إعطاء إجابة أخــرى؟)‪ ،‬أو قل له‪( :‬هذه‬ ‫‪AB‬‬ ‫فاتح‪ ،‬ثم َق َّص الزاويتين‪.‬‬ ‫إجابة صحيحة لغير هذا السؤال)‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة ثني الزاوية ‪ O‬من المنتصف بحيث ينطبق الضلعان‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ OA‬و ‪ ،OB‬ثم وضع الزاوية ‪ C‬فوقها‪ ،‬ثم تدوين ملاحظاتهم‪.‬‬ ‫‪bB‬‬ ‫‪AO‬‬ ‫ •اسأل أحد الطلبة‪:‬‬ ‫‪210°‬‬ ‫ »ما العلاقة بين قياس الزاويتين ‪ ،ACB‬و‪AOB‬؟ قياس الزاوية ‪ AOB‬يساوي مثلي قياس الزاوية‬ ‫‪.ACB‬‬ ‫ »من يوافقه الرأي؟‬ ‫ »من لديه إجابة أخرى؟‬ ‫‪C‬‬ ‫ »اذكرها‪.‬‬ ‫ •و ِّضح للطلبة أن هذا صحيــح دائ ًما‪ ،‬ثم اكتب نص النظرية على‬ ‫‪62°‬‬ ‫اللوح‪ ،‬أو اعرضها أمامهم على لوحة من الكرتون‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ •اذكر أمثلة عددية بسيطة ومباشرة‪ ،‬من مثل السؤالين الآتيين‪B :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ »ما قيمة ك ٍّل من ‪ ،a‬و‪b‬؟‬ ‫ •اســتمع لإجابات الطلبة‪ ،‬وقــ ِّدم لهم التغذيــة الراجعة والدعم‬ ‫اللازم في حينه‪.‬‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‪:‬‬ ‫ك ِّرر المصطلحات الرياضية المســتخدمة في الدرس باللغتين العربية والإنجليزية‪ ،‬وش ِّجع الطلبة على‬ ‫استعمالها‪.‬‬ ‫‪51A‬‬

‫ •اطلب إلى الطلبة رسم الشكل أدناه على دفاترهم‪ ،‬ثم‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C2‬‬ ‫إذا رﺳــ ﹾﻤﻨﺎ زواﻳﺎ ﻣﺤﻴﻄﻴ ﹰﺔ ﹸأﺧﺮ￯ ﹸﻣﻘﺎﺑﹺﻠ ﹰﺔ ﻟﻠﻘﻮ ﹺس ‪ AB‬ﺳﻨﺠ ﹸﺪ أ ﱠن‬ ‫قياس جميع الزوايا المحيطية ال ُمب َّينة في الشكل‪ ،‬ثم‬ ‫ﻟﻬﺎ اﻟﻘﻴﺎ ﹶس ﻧﻔ ﹶﺴ ﹸﻪ‪.‬‬ ‫تدوين ملاحظاتهم عليها‪ .‬سيلاحظ الطلبة أن الزوايا‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x C3‬‬ ‫المحيطية المقابلة للقوس نفسه متطابقة‪.‬‬ ‫‪C1 x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳ ٌﺔ ‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ﺟﻤﻴ ﹸﻊ اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﻤﺤﻴﻄﻴ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﺳﻮﻣ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ ﻗﻮ ﹴس واﺣ ﹴﺪ ﻓﻲ داﺋﺮ ﹴة ﻟﻬﺎ اﻟﻘﻴﺎ ﹸس ﻧﻔ ﹸﺴ ﹸﻪ‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪m∠ ACB = m∠ AC1B = m∠ AC2B = m∠ AC3B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫ •ب ِّين للطلبة أن هذا صحيــح دائ ًما‪ ،‬وأنه يمثل موضوع‬ ‫نظريــة ثانية من نظريــات الدائرة (الزوايــا المحيطية‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ ‪ O‬ﻫ ﹶﻲ ﻣﺮﻛ ﹶﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪،‬‬ ‫المرسومة على القوس نفسه)‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻓﻤﺎ ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﻤﺸﺎ ﹺر إﻟ ﹾﻴ ﹺﻬﻤﺎ ﺑﺎﻟﺤﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ a‬ﹶو ‪b‬؟‬ ‫اﻟﻤﺜﻠ ﹸﺚ ‪ OPQ‬ﹸﻣﺘﻄﺎﺑﹺ ﹸﻖ اﻟﻀﻠﻌ ﹾﻴــ ﹺﻦ؛ ﻷ ﱠن ‪ OQ‬ﹶو ‪ OP‬ﻧﺼﻔﺎ ﹸﻗ ﹾﻄﺮ ﹾﻳ ﹺﻦ‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪25º a‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثال ‪ 1‬الــذي يبين كيفية إيجاد‬ ‫زوايا في الدائرة اعتما ًدا على نظريات الزوايا المحيطية‪،‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة وﻣﺠﻤﻮ ﹸع ﻗﻴﺎﺳﺎ ﹺت زواﻳﺎ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ﻫ ﹶﻮ ‪ .180º‬إذ ﹾن‪Q :‬‬ ‫والزوايا المركزية‪ ،‬والعلاقات السابقة‪.‬‬ ‫‪ m∠POQ + m∠OQP + m∠OPQ = 180º‬ﹸﻧﻌ ﱢﻮ ﹸض ﻗﻴﺎﺳﺎ ﹺت اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫َأﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫زاوﻳﺘﺎ ﻗﺎﻋﺪ ﹺة اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ﹸﻣﺘﻄﺎﺑﹺ ﹺﻖ‬ ‫مثال إضافي‬ ‫‪a + 25º + 25º = 180º‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ﹸﻣﺘﻄﺎﺑﹺ ﹺﻖ اﻟﻀﻠﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺗﺘﻄﺎﺑ ﹸﻖ زاوﻳﺘﺎ اﻟﻘﺎﻋﺪ ﹺة‬ ‫اﻟﻀﻠﻌ ﹾﻴــ ﹺﻦ ﻣﺘﺴــﺎوﻳﺘﺎ ﹺن ﻓﻲ‬ ‫ •مــا قيمة ‪ x‬في الشــكل ‪150°‬‬ ‫‪a + 50º = 180º‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫اﻟﻘﻴﺎ ﹺس‪.‬‬ ‫المجــاور‪ ،‬عل ًما بأن ‪O‬‬ ‫‪a + 50º – 50º = 180º – 50º‬‬ ‫ﺑﻄﺮ ﹺح ‪ 50º‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪57º‬‬ ‫هو مركز الدائرة؟  ‪O 60°‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪a = 130º‬‬ ‫ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﻳ ﹺﺔ ﻳﺴﺎوي ﹺﻣ ﹾﺜ ﹶﻠ ﹾﻲ ﻗﻴﺎ ﹺس‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪b = 130º ÷ 2‬‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺤﻴﻄﻴ ﹺﺔ اﻟﻤﺸﺘﺮﻛ ﹺﺔ ﻣ ﹶﻌﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﻘﻮ ﹺس ﻧﻔ ﹺﺴ ﹺﻪ‬ ‫‪x‬‬ ‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫‪= 65º‬‬ ‫‪52‬‬ ‫ •اطلب إلــى الطلبة حل التدريب فــي بند (أتحقق من‬ ‫فهمي) بعد كل مثال (فرد ًّيا‪ ،‬أو ضمن مجموعات غير‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫متجانسة)‪.‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ ‪ O‬ﻫ ﹶﻲ ﻣﺮﻛ ﹶﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤ ﹸﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ ‪ x‬ﹶو ‪y‬؟‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحــوي أخطاء مفاهيمية‪،‬‬ ‫ثم نا ِقشــها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اســم َم ْن أخطأ في‬ ‫‪x = 33° ; y = 114°‬‬ ‫الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ﻗــ ﹾﺪ ﻳﻜﻮ ﹸن ﻗﻴــﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳــ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﻳ ﹺﺔ أﻛﺒــ ﹶﺮ ﻣ ﹾﻦ ‪ .180º‬ﻓﻔﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪52‬‬ ‫اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ ،‬اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ ‪ AOB‬ﹸﻣﻘﺎﺑﹺﻠ ﹲﺔ ﻟﻠﻘﻮ ﹺس ‪ ،ADB‬وﻗﻴﺎ ﹸﺳــﻬﺎ ‪ ،190º‬وﻫ ﹶﻮ‬ ‫‪O 190º‬‬ ‫ﺿﻌ ﹸﻒ ﻗﻴﺎ ﹺس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺤﻴﻄﻴ ﹺﺔ ‪.ACB‬‬ ‫‪95º‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫ •يمكن توجيــه الطلبة إلى تلوين الزوايا المحيطية المرســومة على القوس‬ ‫نفسه بألوان مختلفة‪ ،‬ثم قصها‪ ،‬ووضعها فوق بعضها؛ لمقارنة قياساتها‪ ،‬ثم‬ ‫تدوين ملاحظاتهم‪ ،‬وذلك لاستكشــاف نظرية الزوايا المحيطية المرسومة‬ ‫على القوس نفسه‪.‬‬ ‫ •اســتعمل برمجية جيوجبرا‪ ،‬وش ِّجع الطلبة على اســتعمالها؛ لاستكشاف‬ ‫العلاقات بين الزوايا المحيطية والزوايا المركزية‪.‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫قــد يخطئ بعــض الطلبة في أثنــاء حلهم مســائل الزوايا المحيطيــة والزوايا‬ ‫المركزية؛ فلا ينتبهون إلى القوس المشــترك؛ لذا أ ِّكد لهــم ضرورة الانتباه إلى‬ ‫ذلك‪ ،‬وأن شــرط تطبيق هذه النظريات هو رســمها على القوس نفسه‪ ،‬أو على‬ ‫أقواس متساوية‪.‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪2‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬ ‫َأﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثال ‪ 2‬الــذي يبين العلاقة بين‬ ‫‪R 72º‬‬ ‫• ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤ ﹺﺔ‬ ‫الزاوية المحيطية المشتركة في القوس مع زاوية مركزية‬ ‫‪ab‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶﻧــ ﹺﺖ اﻟﻨﻘﻄــ ﹸﺔ ‪ O‬ﻫــ ﹶﻲ ﻣﺮﻛــ ﹶﺰ اﻟﺪاﺋــﺮ ﹺة ﻓــﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ‬ ‫‪T‬‬ ‫‪O‬‬ ‫اﻟﻤﺠـﺎو ﹺر‪ ،‬واﻟﻨﻘـﺎ ﹸط ‪ P , Q , R‬ﻋﻠـﻰ اﺳـﺘﻘﺎﻣ ﹴﺔ واﺣـﺪ ﹴة‪ ،‬ﻓﻤـﺎ‬ ‫ﻫ ﹶﻮ‪.180º‬‬ ‫منعكسة (أكبر من ‪.)180°‬‬ ‫• ﻣﺠﻤﻮ ﹸع ﻗﻴﺎﺳﺎ ﹺت اﻟﺰواﻳﺎ‬ ‫ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪a‬؟‬ ‫مثال إضافي‬ ‫ﺣﻮ ﹶلﻧﻘﻄ ﹴﺔﻫ ﹶﻮ‪.360º‬‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺘﺎ ﹺن ‪ PQT, RQT‬ﹸﺗﺸ ﱢﻜﻼ ﹺن زاوﻳ ﹰﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤ ﹰﺔ ‪m∠ PQT = 180º – 72º =108º‬‬ ‫ •ما قيمة ك ٍّل من ‪ ،x‬و ‪ y‬في الشكل أدناه‪ ،‬عل ًما بأن ‪ O‬هو‬ ‫مركز الدائرة؟  ‪x = 10° ; y = 36°‬‬ ‫‪a + b = 360º‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮ ﹸع ﻗﻴﺎﺳﺎ ﹺت اﻟﺰواﻳﺎ ﺣﻮ ﹶل ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﻫ ﹶﻮ ‪360º‬‬ ‫‪44° y‬‬ ‫‪b = 2 × 108º = 216º‬‬ ‫ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﻳ ﹺﺔ ﻳﺴﺎوي ﹺﻣ ﹾﺜ ﹶﻠ ﹾﻲ ﻗﻴﺎ ﹺس‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺤﻴﻄﻴ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﺳﻮﻣ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮ ﹺس ﻧﻔ ﹺﺴ ﹺﻪ‬ ‫‪x O 160°‬‬ ‫‪a + 216º = 360º‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪b‬‬ ‫‪a = 360º – 216º = 144º‬‬ ‫ﺑﻄﺮ ﹺح ‪ 216º‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪OD‬‬ ‫‪140º‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶﻧــ ﹺﺖ اﻟﻨﻘﻄــ ﹸﺔ ‪ O‬ﻫ ﹶﻲ ﻣﺮﻛ ﹶﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻓﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ ،‬واﻟﻨﻘﺎ ﹸط ‪ A,B, C‬ﻋﻠﻰ اﺳــﺘﻘﺎﻣ ﹴﺔ‬ ‫واﺣﺪ ﹴة‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤ ﹸﺔ ‪x‬؟ ‪70°‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫إذا وﻗ ﹶﻌ ﹾﺖ رؤو ﹸس ﹸﻣﻀ ﱠﻠ ﹴﻊ رﺑﺎﻋ ﱟﻲ ﻋﻠﻰ داﺋﺮ ﹴة‪ ،‬ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﹸﻳﺴ ﹼﻤﻰ رﺑﺎﻋ ﹼﹰﻴﺎ داﺋﺮ ﹰﹼﻳﺎ )‪.(cyclic quadrilateral‬‬ ‫وإذا ﺣ ﹶﺴ ﹾﺒﻨﺎ ﻣﺠﻤﻮ ﹶع ﻗﻴﺎ ﹶﺳ ﹾﻲ ﻛ ﱢﻞ زاوﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻴ ﹺﻪ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻳﻜﻮ ﹸن ‪.180º‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳ ٌﺔ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮ ﹸع ﻗﻴﺎ ﹶﺳــ ﹾﻲ ﻛ ﱢﻞ زاوﻳﺘ ﹾﻴــ ﹺﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓــﻲ اﻟ ﹸﻤﻀ ﱠﻠ ﹺﻊ اﻟﺮﺑﺎﻋ ﱢﻲ ‪b‬‬ ‫‪B‬‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮ ﱢي ﻫ ﹶﻮ ‪a :180º‬‬ ‫ •اطلــب إلى الطلبة رســم‬ ‫‪dc‬‬ ‫‪b + d = 180º , a + c = 180º‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬ ‫‪AO‬‬ ‫الشــكل المجــاور على‬ ‫دفاترهــم‪ ،‬عل ًما بأن ‪ O‬هو ‪C‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ ‪ O‬ﻫ ﹶﻲ ﻣﺮﻛ ﹶﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤ ﹸﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ ‪ x‬ﹶو‪y‬؟‬ ‫‪C‬‬ ‫‪Bx y‬‬ ‫مركــز الدائــرة‪ .‬ب ِّين لهم‬ ‫‪m∠ ACO = 43º‬‬ ‫اﻟﻤﺜﻠ ﹸﺚ ‪ ACO‬ﹸﻣﺘﻄﺎﺑﹺ ﹸﻖ اﻟﻀﻠﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪D‬‬ ‫أن الشــكل الرباعي الذي ‪D‬‬ ‫‪y + m∠ ACO = 90º‬‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ ‪ ACD‬ﻣﺤﻴﻄﻴ ﹲﺔ ﻣﺸﺘﺮﻛ ﹲﺔ ﻣ ﹶﻊ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫‪A 43º O‬‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰﻳ ﹺﺔ ‪ AOD‬ﺑﺎﻟﻘﻮ ﹺس ﻧﻔ ﹺﺴ ﹺﻪ‬ ‫تقع رؤوســه على الدائرة يسمى مضل ًعا رباع ًّيا دائر ًّيا‪،‬‬ ‫‪y + 43º = 90º‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫وأن الزاويتين ‪ ،A‬و‪ C‬تســميان زاويتين متقابلتين فيه‪.‬‬ ‫‪53‬‬ ‫وكذلك الزاويتان ‪ ،B‬و ‪C‬؛ فهما متقابلتان‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة تلوين رؤوس الشكل الرباعي الأربعة‬ ‫بألوان مختلفة‪ ،‬ثم قــص الزاويتين ‪ ،A‬و‪ ،C ‬ثم وضع‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫الرأسين بجانب بعضهما‪ ،‬ثم تدوين ملاحظاتهم‪.‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثال ‪ 3‬الذي يبين كيفية إيجاد زوايا في الدائرة ضمن مضلع‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة تكرار الخطوة الســابقة للرأسين ‪،B‬‬ ‫رباعي دائري‪.‬‬ ‫و‪ ،D ‬ثم تدوين ملاحظاتهم‪.‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلى حل التدريب في بند (أتحقق من فهمي‪ )3 ‬ضمن مجموعات ثنائية‪،‬‬ ‫وق ِّدم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫ •اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫ »ما العلاقة بين قياســي الزاويتيــن المتقابلتين في‬ ‫مثال إضافي‬ ‫الشــكل الرباعي الدائري؟ لماذا؟ مجموع قياسي‬ ‫ •ما قيمة ‪ x‬في الشكل الآتي؟  ‪98°‬‬ ‫كل زاويتين متقابلتين يساوي ‪180°‬‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة‪ ،‬ثم اسألهم كل مرة‪:‬‬ ‫ »من يؤيد الإجابة؟‬ ‫‪33°‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ »من لديه إجابة أخرى؟‬ ‫ »اذكرها‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪65°‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ »اكتب نص النظرية على اللوح‪.‬‬ ‫‪53‬‬

‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫‪y = 90º – 43º‬‬ ‫ﺑﻄﺮ ﹺح ‪ 43º‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪C‬‬ ‫اطلب إلى الطلبة ذوي المســتوى فوق المتوسط إثبات أن‬ ‫‪= 47º‬‬ ‫‪O 54º D‬‬ ‫مجموع قياســي كل زاويتين متقابلتين في الشكل الرباعي‬ ‫اﻟﺸﻜ ﹸﻞ ‪ ABCD‬رﺑﺎﻋ ﱞﻲ داﺋﺮ ﱞي‬ ‫‪x + m∠ ADC = 180º‬‬ ‫اﻟﻤﺜﻠ ﹸﺚ ‪ OCD‬ﹸﻣﺘﻄﺎﺑﹺ ﹸﻖ اﻟﻀﻠﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫الدائري يساوي ‪.180°‬‬ ‫‪m∠ ADC = y = 47º‬‬ ‫‪x + 47º = 180º‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪y‬‬ ‫ •ارسم على اللوح دائرة‪ ،‬ثم ارسم مما ًّسا لها‪ ،‬ووت ًرا فيها‬ ‫‪x = 180º – 47º‬‬ ‫ﺑﻄﺮ ﹺح ‪ 47º‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫يمر بنقطة التماس‪ُ ،‬مب ِّينًا للطلبة أن الزاوية المحصورة‬ ‫‪= 133º‬‬ ‫‪Bx‬‬ ‫بين المماس والوتر تسمى زاوية مماسية‪.‬‬ ‫‪Ay‬‬ ‫ •ارســم زاوية محيطية تقابل القــوس المقابل للزاوية‬ ‫‪x = 126° ; y = 36°‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫المماســية‪ ،‬ثم اطلب إلى الطلبة التح ُّقق من أن لهاتين‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ ‪ O‬ﻫ ﹶﻲ ﻣﺮﻛ ﹶﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤ ﹸﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ ‪ x‬ﹶو ‪y‬؟‬ ‫الزاويتين القياس نفسه‪.‬‬ ‫ •و ِّزع علــى الطلبة نســ ًخا مــن ورقة المصــادر ‪ 1‬في‬ ‫ﻓــﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠــﺎو ﹺر‪⟷PQ ،‬ﻫــ ﹶﻮ ﻣﻤــﺎ ﱞس ﻟﻠﺪاﺋــﺮ ﹺة ﻋﻨــ ﹶﺪ اﻟﻨﻘﻄــ ﹺﺔ ‪ ،T‬ﹶو ‪ TA‬ﻫــ ﹶﻮ وﺗــ ﹲﺮ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫الملحق‪ ،‬ثــم اطلب إليهم تحديــد الزاوية المحيطية‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋــﺮ ﹺة‪ .‬ﹸﺗﺴــ ﹼﻤﻰ اﻟﺰاوﻳــ ﹸﺔ اﻟﻤﺤﺼــﻮر ﹸة ﺑﻴــ ﹶﻦ اﻟﻤﻤــﺎ ﱢس واﻟﻮﺗــ ﹺﺮ اﻟﻤــﺎ ﱢر ﺑﻨﻘﻄــ ﹺﺔ اﻟ ﱠﺘﻤــﺎ ﱢس‬ ‫‪P‬‬ ‫‪x‬‬ ‫المشــتركة مع الزاوية المماســية في القوس نفســه‪،‬‬ ‫اﻟﺰاوﻳــ ﹶﺔ اﻟﻤﻤﺎ ﱢﺳــﻴ ﹶﺔ )‪ .(angle between a tangent and a chord‬وﻫــﺬ ﹺه اﻟﺰاوﻳــ ﹸﺔ ﺗﺤﺼ ﹸﺮ‬ ‫والتح ُّقق من تساوي قياســيهما‪ ،‬وكتابة الحرف نفسه‬ ‫اﻟﻘــﻮ ﹶس ‪ ، TA‬و ﹸﻳﻤ ﹺﻜــ ﹸﻦ ﻣﻼﺣﻈ ﹸﺔ أ ﱠن ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﻤﺎ ﱢﺳــﻴ ﹺﺔ ‪ PTA‬ﻳﺴــﺎوي ﻗﻴــﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪TQ‬‬ ‫على الزوايا المتطابقة‪.‬‬ ‫‪ ABT‬اﻟﻤﺤﻴﻄﻴــ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﺳــﻮﻣ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮ ﹺس ‪ TA‬ﻧﻔ ﹺﺴــ ﹺﻪ‪.‬‬ ‫ •تابِع الطلبة في أثناء أدائهم المهمة المطلوبة‪ ،‬ولا سيما‬ ‫ما يتع َّلق منها بالشــكل الثالث‪ ،‬وتأ َّكــد أنه ُكتِب على‬ ‫ﻧﻈﺮﻳ ٌﺔ‬ ‫إحدى الزاويتيــن الحرف ‪ ، p‬و ُكتِــب على الأخرى‬ ‫ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﻤﺎ ﱢﺳﻴ ﹺﺔ ﻳﺴﺎوي ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺤﻴﻄﻴ ﹺﺔ اﻟﻤﺸﺘﺮﻛ ﹺﺔ ﻣ ﹶﻌﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﻘﻮ ﹺس‪:‬‬ ‫الحرف ‪ ، q‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫‪m∠ ATP = m∠ ABT‬‬ ‫ »كيــف ُي ْثبِت الشــكل الثالث أن مجموع قياســي‬ ‫الزاويتين المتقابلتين في الشــكل الرباعي الدائري‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪4‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫هو ‪180°‬؟ ‪ ، p‬و ‪ q‬هما قياسا زاويتين متجاورتين‬ ‫‪T‬‬ ‫ﻓﻲاﻟﺸﻜ ﹺﻞاﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪⟷AB،‬ﻣﻤﺎ ﱞسﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺةﻓﻲ‪ .T‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪﻗﻴﺎ ﹶسﻛ ﱟﻞﻣ ﹶﻦاﻟﺰاوﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ATS‬ﹶو ‪.TSR‬‬ ‫ُتك ِّونان زاوية مستقيمة‪.‬‬ ‫‪70º‬‬ ‫زاوﻳﺘﺎ ﹺن )ﻣﻤﺎ ﱢﺳﻴ ﹲﺔ‪ ،‬وﻣﺤﻴﻄﻴ ﹲﺔ( ﻣﺸﺘﺮﻛﺘﺎ ﹺن ﻓﻲ اﻟﻘﻮ ﹺس ‪m∠ATS = m∠TRS = 80º‬‬ ‫‪80º R‬‬ ‫مثال ‪4‬‬ ‫زاوﻳﺘﺎ ﹺن )ﻣﻤﺎ ﱢﺳﻴ ﹲﺔ‪ ،‬وﻣﺤﻴﻄﻴ ﹲﺔ( ﻣﺸﺘﺮﻛﺘﺎ ﹺن ﻓﻲ اﻟﻘﻮ ﹺس ‪m∠TSR = m∠BTR = 70º‬‬ ‫‪S‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حــل المثال ‪ 4‬الذي يبين كيفية إيجاد‬ ‫‪P‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫قيــاس زوايا في الدائــرة اعتما ًدا علــى نظرية الزاوية‬ ‫‪x‬‬ ‫‪54‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪⟷AB ،‬ﻣﻤﺎ ﱞس ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة ﻓﻲ ‪.T‬‬ ‫المماسية‪.‬‬ ‫‪Qy‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺰواﻳﺎ‪ ،TQP :‬ﹶو ‪ ،TPQ‬ﹶو ‪.QTP‬‬ ‫‪65º 69º‬‬ ‫‪m∠TPQ = 65°‬‬ ‫‪AT‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪m∠TQP = 69°‬‬ ‫‪m∠QTP = 56°‬‬ ‫‪54‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪2‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫‪1x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫ •‪ ، A→B‬و ‪ A→C‬مماسان لدائرة في النقطتين ‪ ،X‬و‪ . Y‬أجد‬ ‫‪50°‬‬ ‫قياس الزاوية ‪ ،XYZ‬مبر ًرا إجابتي‪.‬‬ ‫‪O 105°‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪210º‬‬ ‫‪50º‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪3 60º‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪x 30°‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪E‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ ‪ O‬ﻫ ﹶﻲ ﻣﺮﻛ ﹶﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ ،‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪56°‬‬ ‫‪42°‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪BX‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D 37º‬‬ ‫‪18º F‬‬ ‫‪4 m∠EGF.‬‬ ‫‪5 m∠DEG.‬‬ ‫‪6 m∠EDF.‬‬ ‫‪m∠YXA‬‬ ‫=‬ ‫‪180°‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪42°‬‬ ‫=‬ ‫‪69°‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪72°‬‬ ‫‪37°‬‬ ‫‪72°‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ ‪ O‬ﻫ ﹶﻲ ﻣﺮﻛ ﹶﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ ،‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﻤﺸﺎ ﹺر إﻟ ﹾﻴﻬﺎ ﺑﺎﻟﺤﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ x‬ﹶو ‪ y‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺪواﺋ ﹺﺮ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫(المثلث ‪ AXY‬متطابق الضلعين؛ لأن ‪.)AX = AY‬‬ ‫‪7x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪xO‬‬ ‫‪150º‬‬ ‫‪31º‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪m∠ZXB = 180° - (69° + 56°) = 55°‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪25º‬‬ ‫‪140º O‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(‪ AXB‬خط مستقيم)‪.‬‬ ‫‪y x = 155°; y = 12.5°‬‬ ‫‪m∠XYZ = m∠ZXB = 55°‬‬ ‫‪x = 40°; y = 40°‬‬ ‫‪x = 59°; y = 31°‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر داﺋﺮ ﹲة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ ،O‬وﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ ABO‬ﻫ ﹶﻮ ‪، xº‬‬ ‫(زاوية مماسية وزاوية محيطية مشتركتان في القوس نفسه)‪.‬‬ ‫وﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ CBO‬ﻫ ﹶﻮ ‪:yº‬‬ ‫‪B‬‬ ‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪ 10‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪x .BAO‬‬ ‫‪ 11‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪2x .AOD‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ 12‬ﹸأﺛﺒﹺ ﹸﺖ أ ﱠن ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﻳ ﹺﺔ ﻳﺴﺎوي ﹺﻣ ﹾﺜ ﹶﻠ ﹾﻲ ﻗﻴﺎ ﹺس‬ ‫‪A‬‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺤﻴﻄﻴ ﹺﺔ اﻟﻤﺮﺳﻮﻣ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮ ﹺس ﻧﻔ ﹺﺴ ﹺﻪ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫‪DC‬‬ ‫‪55‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة بند (أتدرب وأحل المسائل)‪ ،‬ثم‬ ‫اطلب إليهم حل المسائل فيها‪.‬‬ ‫إرشاد‪:‬‬ ‫قد يواجه بعض الطلبة صعوبة في حل مســائل تتعلق بالزوايا في الدائرة‪ ،‬وبخاصة‬ ‫ •إذا واجــه بعض الطلبــة صعوبة في حل أي مســألة‪،‬‬ ‫عندما يكــون المطلوب إيجاد أكثر من زاوية واحدة في الشــكل؛ لذا و ِّجههم إلى‬ ‫فاختر طال ًبا تم َّكن من حل المسألة‪ ،‬واطلب إليه كتابة‬ ‫كتابة جميع الزوايا التي يعرفونها على الشكل قبل البدء بالحل‪.‬‬ ‫حله على اللوح‪.‬‬ ‫إجابات‪:‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪m∠AOC = m∠AOD + m∠DOC  )12‬‬ ‫ •أش ِرك الطلبة كاف ًة في حل هذه المسائل؛ لتنمية مهارات‬ ‫التفكير العليا لديهم‪.‬‬ ‫‪ = 2x + 2y‬‬ ‫)‪ = 2(x + y‬‬ ‫ •تذ َّكــر أنه ليس شــر ًطا أن يتم َّكن الطلبــة كاف ًة من حل‬ ‫‪ = 2 m∠AOB‬‬ ‫المسائل جميعها‪ ،‬ولكن يجب عليهم أن يحاولوا حلها‪،‬‬ ‫ويمكن التغلــب على ذلك بالطلب إلى الطلبة حل هذه‬ ‫الأســئلة ضمن مجموعات غير متجانسة‪ ،‬وتشجيعهم‬ ‫على تبرير الحلول التي يتو َّصلون إليها‪.‬‬ ‫‪55‬‬

‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﻤﺸﺎ ﹺر إﻟ ﹾﻴﻬﺎ ﺑﺄﺣﺮ ﹴف ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺪواﺋ ﹺﺮ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة أن يحلوا في البيت جميع المســائل‬ ‫الواردة في صفحة الدرس من كتاب التمارين‪ُ ،‬مح ِّد ًدا‬ ‫‪13 85º‬‬ ‫‪14 d e‬‬ ‫‪15 x‬‬ ‫لهم المســائل التي يمكنهم حلهــا في نهاية كل حصة‬ ‫‪130º‬‬ ‫بحسب ما ُيق َّدم من أمثلة الدرس وأفكاره‪.‬‬ ‫ •يمكن أي ًضا إضافة المسائل التي لم يحلها الطلبة داخل‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪f 70º‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪85º‬‬ ‫‪40º‬‬ ‫غرفة الصف إلى الواجب البيتي‪.‬‬ ‫ •في اليوم التالي‪ ،‬ا َّط ِلع على حلول الطلبة‪ ،‬ونا ِقشهم في‬ ‫‪a = 50°; b = 95°‬‬ ‫‪d =110°; e = 110° , f = 70°‬‬ ‫‪x = 55° ; y =125°‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋ ﱢﻲ اﻟﺪاﺋﺮ ﱢي ‪ ، PQRT‬ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ ROQ‬ﻫ ﹶﻮ ‪ ،38º‬ﺣﻴ ﹸﺚ ‪ O‬ﻣﺮﻛ ﹸﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ ،‬ﹶو‪ POT‬ﹸﻗ ﹾﻄ ﹲﺮ ﻓﻴﻬﺎ ﻳﻮازي ‪ .QR‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ‬ ‫أي صعوبات واجهوها في أثناء الحل‪.‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبة إلى مجموعات غير متجانســة‪ ،‬ثم اطلب‬ ‫ﻗﻴﺎ ﹶس ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺰواﻳﺎ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫إلى أفراد كل مجموعة حل أســئلة مهــارات التفكير‬ ‫العليــا‪ ،‬ثم عــرض حلها أمــام أفــراد المجموعات‬ ‫‪16 ROT.‬‬ ‫‪17 QRT.‬‬ ‫‪18 QPT.‬‬ ‫الأخرى لمناقشته‪.‬‬ ‫‪71°‬‬ ‫‪125.5°‬‬ ‫‪54.5°‬‬ ‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر داﺋﺮ ﹰة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪:O‬‬ ‫إذا واجه الطلبة من ذوي المســتوى دون المتوسط صعوبة‬ ‫‪x‬‬ ‫في حل الأسئلة في بند (أتدرب وأحل المسائل)‪ ،‬فضع ك ًّل‬ ‫‪ 19‬ﻟﻤﺎذا ‪3x – 30º = 180º‬؟ اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫منهم مع طالب آخر من ذوي المســتوى المتوســط وفوق‬ ‫‪Dy‬‬ ‫‪O 30º B‬‬ ‫‪ 20‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ CDO‬اﻟﻤﺸﺎ ﹺر إﻟ ﹾﻴﻬﺎ ﺑﺎﻟﺤﺮ ﹺف ‪ ،y‬ﹸﻣﺒ ﱢﺮ ﹰرا ﻛ ﱠﻞ ﺧﻄﻮ ﹴة ﻓﻲ ﹶﺣ ﹼﻠﻲ‪.‬‬ ‫المتوسط؛ ليتشاركا في حل الأسئلة‪.‬‬ ‫‪2x – 30º‬‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫‪C‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة حل الأسئلة ذوات الأرقام من‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 1‬إلى ‪ ،6‬وتابِعهم بعد الانتهاء من حل التدريب‬ ‫‪ED‬‬ ‫في بند (أتحقق من فهمــي ‪ ،)2‬ثم اطلب إليهم‬ ‫‪ 21‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر ‪ ABCE‬ﻣﺘــﻮاز ﹶي أﺿﻼ ﹴع‪ .‬ﹸأﺑ ﱢﻴ ﹸﻦ أ ﱠن ﻗﻴــﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪AED‬‬ ‫حل الأســئلة (‪ ،)7-12‬والأســئلة (‪ )1-6‬في‬ ‫ﻳﺴﺎوي ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ ،ADE‬ﹸﻣﺒ ﱢﺮ ﹰرا ﻛ ﱠﻞ ﺧﻄﻮ ﹴة ﻓﻲ ﹶﺣ ﹼﻠﻲ‪.‬‬ ‫الصفحة ‪ 14‬مــن كتاب التمارين بوصفها واج ًبا‬ ‫منزل ًّيــا‪ .‬وفي اليــوم التالي‪ ،‬ا َّط ِلــع على حلول‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫الطلبة‪ ،‬ونا ِقشهم في أي صعوبات واجهوها في‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﻤﺸﺎ ﹺر إﻟ ﹾﻴﻬﺎ ﺑﺄﺣﺮ ﹴف ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺪواﺋ ﹺﺮ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪C :‬‬ ‫أثناء الحل‪.‬‬ ‫ •بعد الانتهاء من حل التدريــب في بند (أتحقق‬ ‫‪22‬‬ ‫‪23 y‬‬ ‫من فهمــي ‪ ،)4‬اطلب إلى الطلبة حل الأســئلة‬ ‫ذوات الأرقــام الفردية من ‪ 13‬إلى ‪ ،25‬وتابِعهم‬ ‫‪y‬‬ ‫‪38º‬‬ ‫‪O‬‬ ‫في هــذه الأثناء‪ ،‬ثم اطلب إليهم حل الأســئلة‬ ‫‪O‬‬ ‫ذوات الأرقام الزوجية من ‪ 16‬إلى ‪ ،26‬والأسئلة‬ ‫(‪ )7 - 10‬في الصفحــة ‪ 14‬من كتاب التمارين‬ ‫‪z 32º‬‬ ‫‪42º‬‬ ‫‪x‬‬ ‫بوصفها واج ًبا منزل ًّيا‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪AT‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪AT‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪x =38°; y = 70°; z= 20°‬‬ ‫‪x = 48°; y = 42°‬‬ ‫‪56‬‬ ‫إجابات‪:‬‬ ‫‪  )19‬الزاويتان ‪ ،A‬و ‪ C‬متقابلتان في مضلع رباعي دائري‪ ،‬ومجموع قياسيهما ‪،180°‬‬ ‫‪x + (2x - 30°) = 180°‬‬ ‫إذن‪:‬‬ ‫‪3x - 30° = 180°‬‬ ‫‪3x = 210°  )20‬‬ ‫‪x = 70°‬‬ ‫ ‬ ‫‪m∠DCB = 140° - 30° = 110°, m∠DOB = 2 × 70° = 140°‬‬ ‫بما أن مجموع قياسات زوايا الشكل الرباعي هو ‪ ،360°‬فإن‪:‬‬ ‫‪110° + 140° + 30° + y = 360°    y =360° - 280° = 80°‬‬ ‫‪56‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪2‬‬ ‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺸﻜﻠ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ‪:‬‬ ‫ •إذا كانــت ‪ O‬هي مركز الدائرة في الشــكل المجاور‪،‬‬ ‫‪24 x 2x‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪x-30º‬‬ ‫‪x‬‬ ‫فأجد قيمة ‪ُ ،x‬مب ِّينًا خطوات الحل‪35°  .‬‬ ‫‪45°‬‬ ‫‪70°‬‬ ‫(إرشاد‪ :‬ارسم الوتر ‪.) BC‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪xE‬‬ ‫‪ 26‬ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ ‪ O‬ﻣﺮﻛ ﹶﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻓﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪ ،‬و ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ‪B ⟷XY‬‬ ‫‪120° 50°‬‬ ‫ﻣﻤﺎ ﹼﹰﺳــﺎ ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة ﻋﻨ ﹶﺪ ‪ . A‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻨﻘــﺎ ﹸط ‪ B‬ﹶو ‪ C‬ﹶو ‪ X‬ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ﺧ ﹰﹼﻄﺎ ﻋﻠﻰ اﺳــﺘﻘﺎﻣ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة‪ ،‬ﻓ ﹸﺄﺛﺒﹺ ﹸﺖ أ ﱠن اﻟﻤﺜﻠ ﹶﺚ ‪ ACX‬ﹸﻣﺘﻄﺎﺑﹺ ﹸﻖ ‪O‬‬ ‫‪32º‬‬ ‫اﻟﻀﻠﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﹸﻣﺒ ﱢﺮ ﹰرا إﺟﺎﺑﺘﻲ‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪64º .‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪AY‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة من ذوي المستوى المتوسط وفوق‬ ‫المتوســط إثبات أن قياس الزاوية المماســية يساوي‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫نصــف قياس الزاويــة المركزية المشــتركة معها في‬ ‫‪ 27‬ﺗﺒﺮﻳــ ﹲﺮ‪ :‬ﻗﺎ ﹶﻟــ ﹾﺖ ﻓﺎﺗــ ﹸﻦ إ ﱠن اﻟﺰاوﻳــ ﹶﺔ اﻟﻤﺤﻴﻄﻴ ﹶﺔ اﻟﻤﺮﺳــﻮﻣ ﹶﺔ ﻋﻠﻰ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺪاﺋــﺮ ﹺة زاوﻳ ﹲﺔ ﻗﺎﺋﻤــ ﹲﺔ‪ .‬ﻫ ﹾﻞ ﻗﻮ ﹸل ﻓﺎﺗــ ﹶﻦ ﺻﺤﻴ ﹲﺢ؟‬ ‫القوس نفسه‪.‬‬ ‫ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫ •اطلب إلــى الطلبة ذوي المســتوى دون المتوســط‬ ‫استكشــاف نظرية الزاوية المماســية؛ بتلوين الزوايا‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 28‬ﺗﺒﺮﻳ ﹲﺮ‪ :‬ﻓﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪⟷PT ،‬ﻣﻤﺎ ﱞس ﻟﺪاﺋــﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ .O‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻗﻴﺎ ﹸس ‪A‬‬ ‫المعنية‪ ،‬ثم قصها‪ ،‬ثم وضعها فوق بعضها‪ ،‬ثم تدوين‬ ‫‪x‬‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ PBA‬ﻫ ﹶﻮ ‪ ، xº‬ﻓ ﹸﺄﺛﺒﹺ ﹸﺖ أ ﱠن ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ APT‬ﻳﺴــﺎوي ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ ، ABP‬ﹸﻣﺒ ﱢﺮ ﹰرا ﺧﻄﻮا ﹺت اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‪.‬‬ ‫استنتاجهم‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪T .‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪5x 3x‬‬ ‫‪ 29‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة الذين تناول نموذجهم أضلا ًعا أو زوايا‬ ‫‪57‬‬ ‫في الدائرة تنفيذ الخطوة الثالثة من المشروع‪ ،‬واستعمال‬ ‫برمجية جيوجبرا لرســم النموذج في جهاز الحاسوب‪،‬‬ ‫المفاهيم العابرة‪:‬‬ ‫وإيجاد قياســات زواياه وأطوال أضلاعه‪ُ ،‬مذ ِّك ًرا إ ّياهم‬ ‫أ ِّكد للطلبة أهمية المفاهيم العابرة للمــواد حيثما وردت في كتاب الطالب‪ ،‬أو كتاب‬ ‫بضرورة إكمالهم التقرير الذي بدؤوا إعداده‪ ،‬وتضمينه‬ ‫التمارين‪ .‬ففي أسئلة البرهان الرياضي جميعها‪ ،‬والتبرير تحدي ًدا ضمن السؤالين ‪26،‬‬ ‫‪ ،28‬و ِّجه الطلبة إلى اتباع الخطوات المنطقية المتسلســلة فــي أثناء البرهان‪ ،‬وكتابة‬ ‫تفسي ًرا للخصيصة التي يتمتع بها نموذجهم‪.‬‬ ‫تبريراتهم لــكل خطوة‪ ،‬وكيفية حصولهــم على الإجابة‪ ،‬ما ُيعــ ِّزز لديهم المهارات‬ ‫الحياتية‪ ،‬ومهارات التفكير‪ ،‬مثل‪ :‬التحليل والربط والتفسير‪ ،‬وتقديم الأدلة والبراهين‪.‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة الى الاســتعانة بمع ِّلم الحاسوب‪ ،‬أو ق ِّيم‬ ‫المختبر‪ ،‬أو أحــد الزملاء الذيــن يمتلكون مهارات‬ ‫إرشــاد‪ :‬في السؤال ‪ ،29‬ذ ِّكر الطلبة بنظرية الزاوية الخارجية للمثلث‬ ‫حاســوبية في حال واجهتهم مشــكلة ما في استعمال‬ ‫التي تنص على أن قياس الزاوية الخارجية في المثلث تساوي مجموع قياسي‬ ‫الجهاز أو البرمجية‪.‬‬ ‫الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها‪.‬‬ ‫الختام‬ ‫‪6‬‬ ‫إجابة‪:‬‬ ‫‪  )27‬نعم‪ ،‬هي على صواب؛ لأن الزاوية المقابلة لقطر الدائرة تشترك في القوس‬ ‫ •اطلــب إلــى الطلبة أن يكتبــوا قائمة تحــوي جميع‬ ‫مع زاوية مركزية مستقيمة قياسها ‪ 180°‬؛ لذا يكون قياسها نصف ‪ 180°‬؛ أي ‪.90°‬‬ ‫النظريات التي درسوها في هذه الوحدة‪ ،‬وأن ُيم ِّيز ك ٌّل‬ ‫منهم أكثر نظرية أتقن حل أسئلتها بلون مميز‪ .‬وكذلك‬ ‫تمييز النظرية التي واجــه صعوبة في إتقان حلها بلون‬ ‫أحمــر‪ ،‬فض ًل عن ذكــر مقترحاته بخصــوص كيفية‬ ‫مواجهــة هذا التحدي؛ ما ُيعــ ِّزز لديهم مهارات إدارة‬ ‫الذات وحل المشكلات‪.‬‬ ‫‪57‬‬

‫الدرس‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟ ُﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ِة‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪Equation of a Circle‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫  نتاجات الدرس‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس ﻛﺘﺎﺑ ﹸﺔ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ ،‬وإﻳﺠﺎ ﹸد اﻟﻤﺮﻛ ﹺﺰ وﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ﻣ ﹾﻦ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ داﺋﺮ ﹴة ﻣﻌﻠﻮﻣ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫ •يجد معادلة الدائرة بالصورة القياسية‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎ ُت ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ ،‬اﻟﺼﻮر ﹸة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴ ﹸﺔ‪ ،‬اﻟﺼﻮر ﹸة اﻟﻌﺎﻣ ﹸﺔ‪.‬‬ ‫ •يجد معادلة الدائرة بالصورة العامة‪.‬‬ ‫ •يجد مركز الدائرة ونصف قطرها إذا ُأع ِطيت معادلتها‪.‬‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم ﹸﺗﻤ ﱢﺜــ ﹸﻞ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ )‪ (7, 4‬ﻣﻮﻗ ﹶﻊ ﻣﺤﻄ ﹺﺔ إذاﻋ ﹴﺔ ﹸﻳﻠﺘ ﹶﻘــ ﹸﻂ ﺑ ﱡﺜﻬﺎ ﻓﻲ داﺋﺮ ﹴة ﻧﺼ ﹸﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ‬ ‫ •يجد طول القطعة المماسية من نقطة خارجية إلى نقطة‬ ‫‪ .224 km‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻓــ ﹼﻮا ﹲز ﻳﻘﻴ ﹸﻢ ﻓﻲ ﺑﻴ ﹴﺖ ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻠ ﹸﻪ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ )‪ (–75, 95‬ﻋﻠﻰ ﻣﺴــﺘ ﹰﻮ￯ إﺣﺪاﺛ ﱟﻲ وﺣﺪ ﹸﺗ ﹸﻪ‬ ‫التماس على دائرة علمت معادلتها‪.‬‬ ‫‪ ،1 km‬ﻓﻜﻴ ﹶﻒ ﻳﺴﺘﻄﻴ ﹸﻊ ﻣﻌﺮﻓ ﹶﺔ إ ﹾن ﻛﺎ ﹶن ﺑ ﱡﺚ ﻫﺬ ﹺه اﻹذاﻋ ﹺﺔ ﻳﺼ ﹸﻞ ﺑﻴ ﹶﺘ ﹸﻪ أ ﹾم ﻻ؟‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟــ ﹸﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة )‪ (equation of the circle‬ﻫ ﹶﻲ اﻟﻌﻼﻗ ﹸﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺮﺑ ﹸﻂ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ ‪ x‬واﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ‬ ‫ •التطبيق على نظرية فيثاغورس‪.‬‬ ‫ •تعيين النقاط في المستوى الإحداثي‪.‬‬ ‫‪ y‬ﻟــﻜ ﱢﻞ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ واﻗﻌ ﹴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ .‬ﻓﺈذا ﹸﻋ ﱢﻮ ﹶض إﺣﺪاﺛﻴﺎ ﻧﻘﻄــ ﹴﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‪ ،‬وﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻨﺘﻴﺠ ﹸﺔ ﻋﺒﺎر ﹰة‬ ‫ •حساب المسافة بين نقطتين في المستوى‪.‬‬ ‫ •إيجاد إحداثيي نقطة منتصف قطعة مستقيمة‪.‬‬ ‫ﺻﺤﻴﺤ ﹰﺔ‪ ،‬ﻓﻬﺬا ﻳﻌﻨﻲ أ ﱠن ﺗﻠ ﹶﻚ اﻟﻨﻘﻄ ﹶﺔ ﺗﻘ ﹸﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠــﺎو ﹸر داﺋﺮ ﹰة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫــﺎ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ‬ ‫)‪ ،(a, b‬وﻃــﻮ ﹸل ﻧﺼــ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫــﺎ ‪ .r‬واﻟﻨﻘﻄــ ﹸﺔ )‪y (x,y‬‬ ‫)‪ (x, y‬ﺗﻘ ﹸﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ .‬ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ أ ﱠﻧ ﹸﻪ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﺗﻜﻮﻳ ﹸﻦ ‪r y-b‬‬ ‫‪b x-a‬‬ ‫اﻟﻤﺜﻠــ ﹺﺚ ﻗﺎﺋ ﹺﻢ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﺬي ﻃــﻮ ﹸل ﺿﻠ ﹺﻌ ﹺﻪ اﻷﻓﻘ ﱢﻲ‬ ‫‪0a‬‬ ‫)‪ ،(x – a‬وﻃﻮ ﹸل ﺿﻠ ﹺﻌ ﹺﻪ اﻟﺮأﺳ ﱢﻲ )‪ ،(y – b‬وﻃﻮ ﹸل ‪x x‬‬ ‫وﺗ ﹺﺮ ﹺه ‪ .r‬وﺑﺘﻄﺒﻴ ﹺﻖ ﻧﻈﺮﻳ ﹺﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ﺗﻨﺘ ﹸﺞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ‬ ‫‪ (x – a)2 + (y – b)2 = r2‬اﻟﺘﻲ ﹸﺗﺴــ ﹼﻤﻰ اﻟﺼﻮر ﹶة‬ ‫اﻟﻘﻴﺎﺳﻴ ﹶﺔ )‪ (standard form‬ﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪.‬‬ ‫التهيئة‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﻔﻬﻮ ٌم أﺳﺎﺳ ٌﻲ‬ ‫‪ 1‬اﻟﺼﻮر ﹸة اﻟﻘﻴﺎﺳــﻴ ﹸﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ )‪ ،(a, b‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ‬ ‫ •ذ ِّكــر الطلبة بنظرية فيثاغورس‪ ،‬وقانون المســافة بين‬ ‫نقطتين‪.‬‬ ‫‪ ، r‬ﻫ ﹶﻲ‪.(x – a)2 + (y – b)2 = r2 :‬‬ ‫ •اطلب إلــى الطلبة تعيين النقاط الآتية في المســتوى‬ ‫‪ 2‬ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ﻧﻘﻄ ﹸﺔ اﻷﺻ ﹺﻞ )‪ ،(0, 0‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪ ،r‬ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫الإحداثي‪ ،A(-1, 4), B(3,6), C(0, 12):‬ثم إيجاد‬ ‫‪x2 + y2 = r2‬‬ ‫الأطوال‪:‬‬ ‫‪58‬‬ ‫ »‪ ،AB, AC, BC‬وتحديــد نــوع المثلث ‪ ABC‬مع‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫بيان السبب‪ .‬المثلث قائم الزاوية في ‪ B‬لأنه يحقق‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المسألة في بند (مسألة اليوم)‪ ،‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫نظرية فيثاغورس‪.‬‬ ‫ »ماذا تمثل النقطة )‪ (7, 4‬في هذه المسألة؟ موقع المحطة‪ ،‬ومركز الدائرة‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة إيجاد إحداثيي نقطة منتصف ك ٍّل من‬ ‫التي يصلها البث‪.‬‬ ‫‪ ،AB‬و ‪(-0.5, 8), (1, 5)  . AC‬‬ ‫ »مــاذا تمثل النقاط التي يصلها بث هذه المحطة الإذاعية؟ النقاط الواقعة‬ ‫ •اكتب المعادلة الآتية‪ ، x2 + y2=9 :‬ثم اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫على الدائرة‪ ،‬والنقاط الواقعة داخل الدائرة‪.‬‬ ‫ »كيف تعرف إن كانت نقطة ما واقعة على الدائرة‪ ،‬أو داخلها‪ ،‬أو خارجها؟‬ ‫ »ماذا تعرفون عن هذه المعادلة؟‬ ‫بإيجاد ُب ْعدها عن مركز الدائرة‪ ،‬ومقارنتها بطول نصف قطر الدائرة‪.‬‬ ‫ »هل رأيتم مثلها ساب ًقا؟‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة من دون تقديم تغذية راجعة لهم‪.‬‬ ‫ •اســتمع لإجابات أكبر عدد منهم‪ ،‬ثــم أخبرهم أنهم‬ ‫سيتعرفون مثل هذه المعادلات في هذا الدرس‪.‬‬ ‫‪58‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪2‬‬ ‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺤﺎﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫ •ذ ِّكــر الطلبة بمعادلة الخط المســتقيم‪ ،‬ثم ب ِّين لهم أن‬ ‫مفهوم معادلة أي منحنى في المستوى الإحداثي يعني‬ ‫‪ 1‬اﻟﻤﺮﻛ ﹸﺰ ﻫ ﹶﻮ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ )‪ ،(–2, 7‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ‪ 6‬وﺣﺪا ﹴت‪.‬‬ ‫وجود علاقة تربط إحداثيي النقاط الواقعة عليه‪.‬‬ ‫‪(x – a)2 + (y – b)2 = r2‬‬ ‫اﻟﺼﻮر ﹸة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴ ﹸﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‬ ‫ •و ِّضح للطلبة أنه يمكن إيجــاد معادلة الدائرة بفرض‬ ‫‪(x – (–2))2 + (y -7)2 = 62‬‬ ‫‪(a, b) = (–2, 7), r = 6‬‬ ‫نقطة )‪ P(x, y‬علــى محيطها‪ ،‬وإيجــاد العلاقة التي‬ ‫تربط بين ‪ ،x‬و ‪ y‬برسم مثلث قائم الزاوية‪ ،‬أحد رؤوسه‬ ‫‪(x + 2)2 + (y – 7)2 = 36‬‬ ‫النقطــة ‪ ،P‬والــرأس الآخر مركز الدائــرة‪ ،‬ثم تطبيق‬ ‫نظرية فيثاغورس عليه‪ ،‬أو استعمال قانون المسافة بين‬ ‫‪x2 + y2 = r2‬‬ ‫‪ 2‬اﻟﻤﺮﻛ ﹸﺰ ﻫ ﹶﻮ ﻧﻘﻄ ﹸﺔ اﻷﺻ ﹺﻞ‪ ،‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ‪ 5‬وﺣﺪا ﹴت‪.‬‬ ‫اﻟﺼﻮر ﹸة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴ ﹸﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ﻧﻘﻄ ﹸﺔ اﻷﺻ ﹺﻞ‬ ‫نقطتين‪.‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في طريقة التو ُّصل إلى الصيغة القياســية‬ ‫‪x2 + y2 = 52‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪r = 5‬‬ ‫لمعادلة الدائرة‪ ،‬ثم اذكر أمثلة بسيطة عليها‪ُ ،‬مب ِّينًا كيف‬ ‫يمكن إيجــاد إحداثيي المركز وطــول نصف القطر‬ ‫‪x2 + y2 = 25‬‬ ‫لدائرة ُأعطِيت معادلتها بالصورة القياسية‪:‬‬ ‫‪ 3‬اﻟﺪاﺋﺮ ﹸة اﻟﻤﺮﺳﻮﻣ ﹸﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﻋﻨــ ﹶﺪ اﻟﻨﻈ ﹺﺮ إﻟﻰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﹶﻳﺘﺒ ﱠﻴــ ﹸﻦ أ ﱠن ﻣﺮﻛ ﹶﺰﻫﺎ اﻟﻨﻘﻄــ ﹸﺔ )‪ ،(5, –3‬وأ ﱠن ﻃﻮ ﹶل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪4‬‬ ‫ •اكتب المعادلة‪ ،(x-2)2 + (y – 3)2 = 25 :‬ثم اسأل‬ ‫‪2‬‬ ‫الطلبة‪:‬‬ ‫وﺣﺪا ﹴت‪.‬‬ ‫‪-2 0‬‬ ‫‪24 6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ »ما إحداثيا مركز هذه الدائرة؟ )‪.(2, 3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫ »ما طول نصف قطرها؟ ‪ 5‬وحدات طول‪.‬‬ ‫‪(x – a)2 + (y – b)2 = r2‬‬ ‫اﻟﺼﻮر ﹸة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴ ﹸﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‬ ‫‪-4‬‬ ‫ »أي النقاط تقــع على هذه الدائــرة‪، A(-2, 6) :‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫أم )‪ ،B(5, -2‬أم )‪C(-1, 7‬؟ النقطتــان ‪ ،A‬و ‪C‬‬ ‫‪(x – 5)2 + (y – (–3))2 = 42‬‬ ‫‪(a, b) = (5, –3), r = 4‬‬ ‫تقعان عليها‪.‬‬ ‫‪(x – 5)2 + (y + 3)2 = 16‬‬ ‫ »إذا كان الإحداثــي ‪ x‬لنقطة واقعة على هذه الدائرة‬ ‫هو ‪ ،6‬فمــاذا يكون الإحداثــي ‪ y‬لها؟ ‪ ،y = 0‬أو‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪y = 6‬‬ ‫ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ :‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫‪ (a‬اﻟﻤﺮﻛ ﹸﺰ ﻫ ﹶﻮ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ )‪ ،(0, 4‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ‪ 9‬وﺣﺪا ﹴت‪.‬‬ ‫‪ (b‬اﻟﻤﺮﻛ ﹸﺰ ﻫ ﹶﻮ ﻧﻘﻄ ﹸﺔ اﻷﺻ ﹺﻞ‪ ،‬وﻃﻮ ﹸل اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ‪ 8‬وﺣﺪا ﹴت‪.‬‬ ‫إذا ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻢ ﻣﺮﻛ ﹸﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة وﻧﻘﻄ ﹲﺔ واﻗﻌ ﹲﺔ ﻋﻠ ﹾﻴﻬﺎ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ إﻳﺠﺎ ﹸد ﻃﻮ ﹺل ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ﺑﺎﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻗﺎﻧﻮ ﹺن‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻧﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﻛﺘﺎﺑ ﹸﺔ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪.‬‬ ‫ﻣﺮاﺟﻌ ُﺔ اﻟﻤﻔﻬﻮ ِم‬ ‫‪d‬‬ ‫ﻫ ﹶﻮ‬ ‫‪،B(x2,‬‬ ‫)‪y2‬‬ ‫ﹶو‬ ‫‪،A(x1,‬‬ ‫)‪y1‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺘ ﹾﻴــ ﹺﻦ‬ ‫ﺑﻴ ﹶﻦ‬ ‫اﻟﻮاﺻﻠ ﹺﺔ‬ ‫اﻟﻤﺴــﺘﻘﻴﻤ ﹺﺔ‬ ‫اﻟﻘﻄﻌ ﹺﺔ‬ ‫ﻃﻮ ﹸل‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن‬ ‫ﻓﺈ ﱠن‪:‬‬ ‫‪d 2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2‬‬ ‫‪59‬‬ ‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى حل التدريب في بند (أتحقق من فهمي) بعد كل مثال‪.‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثــال ‪ 1‬الذي يبين كيفية كتابة‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحوي أخطاء مفاهيمية‪ ،‬ثم نا ِقشــها على اللوح‪ ،‬ولا‬ ‫معادلة دائرة بالصورة القياسية إذا ُع ِلم مركزها وطول‬ ‫تذكر اسم الطالب الذي أخطأ في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬ ‫نصف قطرها‪.‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫ •اكتــب معادلة دائرة مركزهــا )‪ (4, -2‬وطول قطرها‬ ‫‪ √52‬وحدة‪(x -4)2+ (y + 2)2 = 13 .‬‬ ‫إجابة التدريب في بند (أتحقق من فهمي ‪:)1‬‬ ‫‪a)  x2 + (y-4)2 = 81‬‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‪:‬‬ ‫‪b) x2 + y2 = 16‬‬ ‫ك ِّررالمصطلحاتالرياضيةالمستخدمةفيالدرسباللغتين‬ ‫العربية والإنجليزية‪ ،‬وش ِّجع الطلبة على استعمالها‪.‬‬ ‫‪59‬‬

‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬ ‫قد ُيع ِّوض بعض الطلبة الطول المعطى في الســؤال‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ )‪ ،(–7, 13‬وﺗﻤ ﱡﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ )‪.(5, 4‬‬ ‫بدل نصــف قطر الدائرة في المعادلــة من دون انتباه‬ ‫إلــى أن المعطى طول قطر‪ ،‬أو نصف قطر؛ لذا ن ِّبههم‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻗﺎﻧﻮ ﹺن اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻧﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪:‬‬ ‫على التح ُّقق من الطول المعطى‪ ،‬فإن كان قط ًرا وجب‬ ‫عليهم قسمته على ‪2‬؛ لينتج نصف القطر الذي يجب‬ ‫‪d 2 = (x2 – x1)2 + (y 2 – y1)2‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ﹸن اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴ ﹺﻦ‬ ‫تعويضه في الصورة القياسية لمعادلة الدائرة‪.‬‬ ‫‪r2 = (5 – (–7))2 + (4 – 13)2‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫‪= 144 + 81‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثــال ‪ 2‬الذي يبين كيفية كتابة‬ ‫‪= 225‬‬ ‫ﺑﺄﺧ ﹺﺬ اﻟﺠﺬ ﹺر اﻟﺘﺮﺑﻴﻌ ﱢﻲ‬ ‫معادلة دائرة بالصورة القياسية إذا ُع ِلم مركزها ونقطة‬ ‫‪r = √225 = 15‬‬ ‫واقعة عليها‪.‬‬ ‫واﻵ ﹶن‪ ،‬ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض إﺣﺪاﺛ ﱠﻴ ﹺﻲ اﻟﻤﺮﻛ ﹺﺰ وﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ r2‬ﻓﻲ اﻟﺼﻮر ﹺة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴ ﹺﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ ،‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ أ ﱠن ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺔ‬ ‫ﻫﺬ ﹺه اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫‪.(x + 7)2 + (y – 13)2 = 225‬‬ ‫ •اكتب معادلة دائرة مركزهــا )‪ ،(-1, 3‬وتمر بالنقطة‬ ‫)‪(x + 1)2 + (y - 3)2 = 18  .(-4, 6‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ •نا ِقــش الطلبة في عمليــة تحويل معادلــة الدائرة من‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ )‪ ،(4, –3‬وﺗﻤ ﱡﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ )‪ .(2, 0‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫الصورة القياسية إلى الصورة العامة‪.‬‬ ‫إذا ﻋﻠ ﹾﻤﻨﺎ ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺔ داﺋﺮ ﹴة ﺑﺎﻟﺼﻮر ﹺة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴ ﹺﺔ ‪ ،(x – a)2 + (y – b)2 = r2‬ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﻓ ﱡﻚ اﻷﻗﻮا ﹺس‬ ‫ •اكتــب معادلــة دائــرة بالصــورة القياســية‪ ،‬مثــل‪:‬‬ ‫وإﻋﺎد ﹸة اﻟﺘﺮﺗﻴ ﹺﺐ‪ ،‬ﻓﺘﻨﺘ ﹸﺞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ‪.x 2 + y 2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 :‬‬ ‫‪ ،(x -2)2 + (y -3)2 = 49‬ثــم اطلــب إلى الطلبة‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ أﻳ ﹰﻀﺎ ﻛﺘﺎﺑ ﹸﺔ ﻫﺬ ﹺه اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﺑﺎﻟﺼﻮر ﹺة اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫تحويلها إلى الصورة العامة‪.‬‬ ‫‪x 2 + y 2 + 2fx + 2gy + c = 0‬‬ ‫ •ذ ِّكــر الطلبة بضرورة إكمال المربــع‪ُ ،‬مب ِّينًا لهم طريقة‬ ‫تحويل معادلة دائرة من الصــورة العامة إلى الصورة‬ ‫ﺣﻴ ﹸﺚ‪ ، f = – a , g = – b, c = a2 + b2 – r2 :‬وﻫ ﹶﻲ ﹸﺗﺴــ ﹼﻤﻰ اﻟﺼﻮر ﹶة اﻟﻌﺎﻣ ﹶﺔ )‪(general form‬‬ ‫ﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪.‬‬ ‫القياسية بإكمال المربع عن طريق المثال الآتي‪:‬‬ ‫إذا ﻋﻠ ﹾﻤﻨــﺎ اﻟﺼــﻮر ﹶة اﻟﻌﺎﻣ ﹶﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟــ ﹺﺔ أ ﱢي داﺋــﺮ ﹴة‪ ،‬ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﹸﻳﻤ ﹺﻜــ ﹸﻦ ﺗﺤﻮﻳ ﹸﻠﻬﺎ إﻟﻰ اﻟﺼﻮر ﹺة اﻟﻘﻴﺎﺳــﻴ ﹺﺔ‬ ‫‪x2 + y2 + 4x - 6y – 12= 0‬‬ ‫‪ ،(x – a)2 + (y – b)2 = r2‬وذﻟ ﹶﻚ ﺑﺈﻛﻤﺎ ﹺل اﻟﻤﺮ ﱠﺑ ﹺﻊ‪.‬‬ ‫ﻣﺮاﺟﻌ ُﺔ اﻟﻤﻔﻬﻮ ِم‬ ‫‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹸﻳﻄــ ﹶﺮ ﹸح‪ ،‬ﻓﻴﻨﺘ ﹸﺞ ﻣﺮ ﱠﺑ ﹲﻊ ﻛﺎﻣ ﹲﻞ ﻫ ﹶﻮ) (‬‫‪a‬‬ ‫ﻹﻛﻤﺎ ﹺل اﻟﻤﺮ ﱠﺑــ ﹺﻊ ﻟﻠﺤ ﱠﺪ ﹾﻳ ﹺﻦ ‪ ، x2 + ax‬ﻳﻀﺎ ﹸف ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( ) ( ).‬‬‫‪+‬‬‫‪a‬‬‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إﻟﻰ‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻳﺘﺤ ﱠﻮ ﹸل‬ ‫وﺑﺬﻟ ﹶﻚ‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫–‬ ‫‪ax‬‬ ‫‪60‬‬ ‫إجابة التدريب في بند (أتحقق من فهمي ‪:)2‬‬ ‫‪(x - 4)2+ (y + 3)2 = 13‬‬ ‫‪60‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪2‬‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬ ‫ •نا ِقــش الطلبة فــي حل المثــال ‪ 3‬الذي يبيــن كيفية‬ ‫الانتقال من الصــورة العامة إلى الصورة القياســية‪،‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ إﺣﺪاﺛﻴﺎ ﹺت اﻟﻤﺮﻛ ﹺﺰ‪ ،‬وﻃﻮ ﹶل ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة ‪. x2 + y2 – 8 x + 6y – 56 = 0‬‬ ‫وإيجاد إحداثيي مركز الدائــرة‪ ،‬وطول نصف قطرها‬ ‫ﺑﺈﻛﻤــﺎ ﹺل اﻟﻤﺮ ﱠﺑ ﹺﻊ ﻟﻠﺤﺪو ﹺد اﻟﺘﻲ ﺗﺤــﻮي ‪ x‬ﻳﻨﺘــ ﹸﺞ‪ ، x2 – 8x = (x – 4)2 – 16 :‬وﺑﺈﻛﻤﺎ ﹺل اﻟﻤﺮ ﱠﺑ ﹺﻊ‬ ‫من معادلتها‪.‬‬ ‫ﻟﻠﺤﺪو ﹺد اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻮي ‪ y‬ﻳﻨﺘ ﹸﺞ‪.y2 + 6y = (y + 3)2 – 9 :‬‬ ‫وﺑﺬﻟ ﹶﻚ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﺗﺤﻮﻳ ﹸﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ‪ x2 + y2 – 8 x + 6 y – 56 = 0‬إﻟﻰ‪:‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫‪(x – 4)2 – 16 + (y + 3)2 – 9 – 56 = 0‬‬ ‫ •ح ِّول معادلة الدائرة‪3x2 + 3y2-12x + 18y – 12 = 0 :‬‬ ‫‪.(x – 4)2 + (y + 3)2 = 81‬‬ ‫إلى الصورة القياسية‪ ،‬ثم اكتب إحداثيي مركزها‪ ،‬وطول‬ ‫ﺑﻤﻘﺎرﻧ ﹺﺔ ﻫﺬ ﹺه اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﺑﺎﻟﺼﻮر ﹺة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴ ﹺﺔ ‪ ،(x – a)2 + (y – b)2 = r2‬ﻧﺠ ﹸﺪ أ ﱠن‪:‬‬ ‫نصف قطرها‪.‬‬ ‫‪. a = 4 , b = – 3, r = 9‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﻣﺮﻛ ﹸﺰ ﻫﺬ ﹺه اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻫ ﹶﻮ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ )‪ ،(4, –3‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪ 9‬وﺣﺪا ﹴت‪.‬‬ ‫‪(x - 2)2+ (y + 3)2 = 17; (2, -3) ; r = √17‬‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫إرشـاد‪ :‬ن ِّبـه الطلبة إلى ضرورة قسـمة طرفي‬ ‫المعادلـة علـى معامـل ‪( x2‬الـذي يكـون مطاب ًقـا‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ إﺣﺪاﺛﻴﺎ ﹺت اﻟﻤﺮﻛ ﹺﺰ‪ ،‬وﻃﻮ ﹶل ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة ‪. x2 + y2 + 2 x – 10 y – 10 = 0‬‬ ‫لمعامـل ‪ y2‬فـي معادلـة الدائـرة) إن لـم يكـن ‪ ،1‬قبل‬ ‫ﺗﻌ ﱠﻠ ﹾﻤ ﹸﺖ ﻓﻲ در ﹴس ﺳــﺎﺑ ﹴﻖ أ ﱠن ﻣﻤﺎ ﱠس اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻳﺸﺘﺮ ﹸك ﻣ ﹶﻊ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻓﻲ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة ﻓﻘ ﹾﻂ‪ ،‬وأ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻳﺘﻌﺎﻣ ﹸﺪ‬ ‫إكمـال المربع‪.‬‬ ‫ﻣ ﹶﻊ ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﻤﺎ ﱢر ﺑﻨﻘﻄ ﹺﺔ اﻟ ﱠﺘﻤﺎ ﱢس‪ .‬وﻫﺬا ﻳﻔﻴ ﹸﺪ ﻓﻲ اﻟﺘﺤ ﱡﻘ ﹺﻖ ﻣ ﹾﻦ أ ﱠن ﻣﺴــﺘﻘﻴ ﹰﻤﺎ ﻣﻌ ﹰﻄﻰ ﻫ ﹸﻮ ﻣﻤﺎ ﱞس‬ ‫‪61‬‬ ‫ﻟﺪاﺋﺮ ﹴة ﻣﻌﻄﺎ ﹴة‪ ،‬وﺣﺴﺎ ﹺب ﻃﻮ ﹺل ﻗﻄﻌ ﹴﺔ ﻣﻤﺎ ﱢﺳﻴ ﹴﺔ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺎﻟ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪4‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل اﻟﻤﻤﺎ ﱢس اﻟﻤﺮﺳﻮ ﹺم ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ )‪ ،P (6, –6‬اﻟﺬي ﻳﻤ ﱡﺲ اﻟﺪاﺋﺮ ﹶة اﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺘﻬﺎ‬ ‫‪.(x + 5)2 + (y – 4)2 = 25‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ﹶأرﺳ ﹸﻢ ﹸﻣﺨ ﱠﻄ ﹰﻄﺎ‪ ،‬وﻟﺘﻜ ﹺﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ ‪ X‬ﻣﺮﻛ ﹶﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ ،‬ﹶو‪ T‬ﻧﻘﻄ ﹶﺔ اﻟ ﱠﺘﻤﺎ ﱢس‪.‬‬ ‫‪T‬‬ ‫ﻟﺤﺴﺎ ﹺب ﻃﻮ ﹺل اﻟﻤﻤﺎ ﱢس ‪ ،PT‬ﹸﺛﻢ ﹸأﻃ ﱢﺒ ﹸﻖ ﻧﻈﺮﻳ ﹶﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ اﻟﻘﺎﺋ ﹺﻢ ‪ ،XTP‬اﻟﺬي ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ‬ ‫‪P‬‬ ‫إﻳﺠﺎ ﹸد ﻃﻮ ﹶﻟ ﹾﻲ ﺿﻠﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻴ ﹺﻪ‪ ،‬ﻫﻤﺎ‪ :‬ﻧﺼ ﹸﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ‪ ،XT‬واﻟﻮﺗ ﹸﺮ ‪.XP‬‬ ‫ﻃــﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ‪ XT‬ﻫ ﹶﻮ ‪ .5‬وﻟﺤﺴــﺎ ﹺب ‪ ،XP‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹶﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺮﻛــ ﹺﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة )‪X (– 5, 4‬‬ ‫واﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ )‪ P (6, –6‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻗﺎﻧﻮ ﹺن اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻧﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪:‬‬ ‫‪.(XP)2 = (6- (–5))2 + (–6 – 4)2 = (11)2 + (–10)2 = 221‬‬ ‫وﺑﺘﻄﺒﻴ ﹺﻖ ﻧﻈﺮﻳ ﹺﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ‪: XTP‬‬ ‫‪(PT)2 = (XP)2 – (XT)2‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳ ﹸﺔﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس‬ ‫‪61‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫قد يظــن بعض الطلبة أن مركــز الدائــرة ‪ (x + 6)2 + (y-2)2 = 17‬هو‬ ‫)‪(6 , -2‬؛ لذا ن ِّبههم إلى أن ‪ 6‬تســاوي ‪ ،–a‬وأن ‪ -2‬تساوي ‪ –b‬في الصورة‬ ‫القياسية‪.‬‬ ‫وبذلك‪ ،‬فإن‪ ،a = -6, b = 2 :‬أو تحويلها إلى‪:‬‬ ‫‪ ، (x –(-6))2 + (y -2)2 = 17‬ومقارنتها بـ‪(x – a)2 + (y – b)2 = r2 :‬‬ ‫حيث يسهل استنتاج قيمة ك ٍّل من ‪ ،a‬و ‪ ،b‬و ‪r‬‬ ‫إجابة التدريب في بند (أتحقق من فهمي ‪:)3‬‬ ‫‪(-1, 5); r = 6‬‬

‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫‪= 221 – 25‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة تحديد الشكل الذي تمثله المعادلات‬ ‫‪=196‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪PT = √196 = 14‬‬ ‫ﺑﺄﺧ ﹺﺬاﻟﺠﺬ ﹺراﻟﺘﺮﺑﻴﻌ ﱢﻲﻟﻠﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫الآتية‪:‬‬ ‫ »‪  x2 + y2 - 2x +10y + 10 = 0‬دائرة‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﻃﻮ ﹸل اﻟﻤﻤﺎ ﱢس ‪ 14‬وﺣﺪ ﹰة‪.‬‬ ‫ »‪  x2 + y2 + 4x - 8y + 20 = 0‬نقطة‬ ‫ »‪  x2 + y2 - 4x + 6y + 15 = 0‬لا شيء‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ •اطلــب إليهم ذكر الشــرط الــذي يجعــل المعادلة‪:‬‬ ‫‪ x2 + y2 + 2fx + 2gy + c = 0‬تمثــل دائــرة‪  .‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل اﻟﻤﻤﺎ ﱢس اﻟﻤﺮﺳﻮ ﹺم ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ )‪ ،P (7, 4‬اﻟﺬي ﻳﻤ ﱡﺲ اﻟﺪاﺋﺮ ﹶة اﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺘﻬﺎ‬ ‫‪f2 + g2 – c > 0‬‬ ‫‪ 7 . (x + 4)2 + (y – 1)2 = 81‬وﺣﺪات‪.‬‬ ‫مثال ‪4‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪5‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بخصائص مماس الدائرة‪ ،‬ثم نا ِقشــهم في‬ ‫ﹸأﺛﺒﹺ ﹸﺖ أ ﱠن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹶﻢ ‪ y = 2x + 3‬ﻫ ﹶﻮ ﻣﻤﺎ ﱞس ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺘﻬﺎ‬ ‫حــل المثال ‪ 4‬الذي يبين كيفية حســاب طول القطعة‬ ‫المماسية إذا ُع ِلمت معادلة الدائرة والنقطة التي ُر ِسم‬ ‫‪.(x – 10)2 +(y – 8)2 = 45‬‬ ‫منها المماس‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻨﻈﺎ ﹶم اﻟ ﹸﻤﻜ ﱠﻮ ﹸن ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،y = 2x + 3 :‬ﹶو ‪(x – 10)2 + (y – 8)2 = 45‬؛ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻋﺪ ﹺد‬ ‫ﻧﻘﺎ ﹺط ﺗﻘﺎﻃ ﹺﻊ اﻟﻤﺴــﺘﻘﻴ ﹺﻢ واﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ .‬ﻓﺈذا ﻛﺎ ﹶن ﻋﺪ ﹸد ﻧﻘﺎ ﹺط اﻟﺘﻘﺎﻃ ﹺﻊ واﺣ ﹰﺪا ﻓﻘ ﹾﻂ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹶﻢ ﻳﻜﻮ ﹸن‬ ‫مثال إضافي‬ ‫ﻣﻤﺎ ﹼﹰﺳﺎ ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة‪.‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ y = 2x + 3‬ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ‪(x – 10)2 + (2x + 3 – 8)2 = 45‬‬ ‫ •أجــد طول القطعة المماســية المرســومة من النقطة‬ ‫)‪ (1, 16‬إلــى نقطة التمــاس على دائــرة معادلتها‪:‬‬ ‫‪(x – 10)2 + (2x – 5)2 = 45‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪ 15.3  x2 + y2 - 16x + 2y = 39‬وحدة تقري ًبا‪.‬‬ ‫‪x2 – 20 x + 100 + 4x2 – 20x + 25 = 45‬‬ ‫ﺑﻔ ﱢﻚ اﻷﻗﻮا ﹺس‬ ‫مثال ‪5‬‬ ‫‪5 x2 – 40 x + 80 = 0‬‬ ‫ﺑﺠﻤ ﹺﻊ اﻟﺤﺪو ﹺد اﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬ ﹺﺔ‪،‬‬ ‫وﺟﻌ ﹺﻞ اﻟﻄﺮ ﹺف اﻷﻳﻤ ﹺﻦ ﺻﻔ ﹰﺮا‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثال ‪ 5‬الذي يبين طريقة الحكم‬ ‫‪x2 – 8 x + 16 = 0‬‬ ‫على أن مستقي ًما معلو ًما هو مماس لدائرة أم لا‪.‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋﻠﻰ ‪5‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫‪(x – 4)2 = 0‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ‬ ‫ •هل المســتقيم ‪ x – 7y + 12 = 0‬مماس للدائرة التي‬ ‫‪x=4‬‬ ‫معادلتها‪(x-3)2 + (y+5)2 = 100 :‬؟ أب ِّرر إجابتي‪.‬‬ ‫هذا المستقيم ليس مما ًّســا لهذه الدائرة؛ لأنه يتقاطع‬ ‫‪y = 2(4) + 3 = 11‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪ x‬ﻓﻲ إﺣﺪ￯ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪y‬‬ ‫معها في نقطتين‪ ،‬هما‪ ،(-5, 1) :‬و )‪(9, 3‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أ ﱠن ﻫﺬا اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹶﻢ ﻳﻘﻄ ﹸﻊ اﻟﺪاﺋﺮ ﹶة ﻓﻲ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة ﻓﻘ ﹾﻂ ﻫ ﹶﻲ )‪ ،(4, 11‬ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻣﻤﺎ ﱞس ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة‪.‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﹸأﺛﺒﹺ ﹸﺖ أ ﱠن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹶﻢ ‪ y = 4x - 5‬ﻫ ﹶﻮ ﻣﻤﺎ ﱞس ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺘﻬﺎ‬ ‫‪ .(x + 5)2 +(y – 9)2 = 68‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫‪62‬‬ ‫إجابة التدريب في بند (أتحقق من فهمي ‪:)5‬‬ ‫بتعويــض ‪ y = 4x-5‬في المعادلة‪ ،(x +5)2 + (y – 9)2 = 68 :‬تنتج المعادلة‪:‬‬ ‫‪ 17x2 – 102x + 153 = 0‬وبقسمة هذه المعادلة على ‪ ،17‬تنتج المعادلة‪:‬‬ ‫‪ x2 -6x + 9 = 0‬التــي لهــا حل واحد‪ ،‬هو‪ x = 3 :‬وبتعويض القيمة ‪ x = 3‬في‬ ‫المعادلــة ‪ ،y = 4x – 5‬فإن‪ y = 7 :‬إذن‪ :‬هذا المســتقيم هو مماس للدائرة؛ لأنه‬ ‫يتقاطع معها في نقطة واحدة فقط‪ ،‬هي‪.(3, 7) :‬‬ ‫‪62‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪2‬‬ ‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأســئلة في بند (أتدرب وأحل‬ ‫المسائل)‪ ،‬ثم اطلب إليهم حلها‪.‬‬ ‫ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺤﺎﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫ •إذا واجــه بعــض الطلبة صعوبة في حل أي مســألة‪،‬‬ ‫‪ 1‬اﻟﻤﺮﻛ ﹸﺰ ﻫ ﹶﻮ ﻧﻘﻄ ﹸﺔ اﻷﺻ ﹺﻞ‪ ،‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪ 7‬وﺣﺪا ﹴت‪x2 + y2 = 49 .‬‬ ‫فاختر طال ًبا تم َّكن من حل المسألة‪ ،‬واطلب إليه كتابة‬ ‫‪ 2‬اﻟﻤﺮﻛ ﹸﺰ ﻫ ﹶﻮ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ )‪ ،(–1, 3‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪ 5‬وﺣﺪا ﹴت‪(x +1)2 + (y – 3)2 = 25 .‬‬ ‫‪ 3‬اﻟﻤﺮﻛ ﹸﺰ ﻫ ﹶﻮ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ )‪ ،(–3, –2‬وﻃﻮ ﹸل ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪ 10‬وﺣﺪا ﹴت‪(x +3)2 + (y + 2)2 = 25 .‬‬ ‫حله على اللوح‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟ ﹸﻤﻌﻄﻰ ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ وإﺣﺪاﺛ ﹼﻴﺎ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﺗﻤ ﱡﺮ ﺑﻬﺎ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة حل الأســئلة من ‪ 1‬إلى ‪ 7‬في الصف‬ ‫بعد حــل التدريب في بنــد (أتحقق مــن فهمي ‪،)3‬‬ ‫‪ 4‬اﻟﻤﺮﻛ ﹸﺰ )‪ ،(–1, 2‬وﺗﻤ ﱡﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ )‪(x +1)2 + (y – 2)2 = 25 .(3, 5‬‬ ‫وتابِعهم في هذه الأثناء‪.‬‬ ‫‪x2 + y2 = 97‬‬ ‫‪ 5‬اﻟﻤﺮﻛ ﹸﺰ ﻧﻘﻄ ﹸﺔ اﻷﺻ ﹺﻞ‪ ،‬وﺗﻤ ﱡﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ )‪.(–9, – 4‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة حل الأســئلة ذوات الأرقام الفردية‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ إﺣﺪاﺛ ﱠﻴ ﹺﻲ اﻟﻤﺮﻛ ﹺﺰ‪ ،‬وﻃﻮ ﹶل ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ﻟﻜ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺪواﺋ ﹺﺮ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫من ‪ 8‬إلــى ‪ ،17‬وتابِعهم في هذه الأثنــاء‪ ،‬وق ِّدم لهم‬ ‫)‪6 (x + 5)2 + (y – 8)2 = 36 r = 6 , (-5, 8‬‬ ‫)‪7 (x – 19)2 + (y – 33)2 = 400 r = 20 , (19, 33‬‬ ‫التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫)‪8 x2 + (y + 4)2 = 45 r = 3√5 , (0, -4‬‬ ‫)‪9 (x – 3)2 + (y + 10)2 = 28 r = 2 √7 , (3, -10‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ إﺣﺪاﺛ ﱠﻴ ﹺﻲ اﻟﻤﺮﻛ ﹺﺰ‪ ،‬وﻃﻮ ﹶل ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ﻟﻜ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺪواﺋ ﹺﺮ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫)‪10 x2 + y2 – 18x + 14y = 14 r = 12 , (9, -7‬‬ ‫)‪11 x2 + y2 + 8x = 9 r = 5 , (-4, 0‬‬ ‫‪12 2x2 + 2y2 + 20x + 36y + 158 = 0‬‬ ‫)‪13 4x2 + 4y2 + 120x + 855 = 24y r ≈ 13 , (-15, 3‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫)‪r = 3√3 , (-5, -9‬‬ ‫ •أش ِرك الطلبة كاف ًة في حل هذه المسائل؛ لتنمية مهارات‬ ‫أﻛﺘــ ﹸﺐ ﻣﻌﺎدﻟــ ﹶﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﺑﺎﻟﺼﻮرﺗ ﹾﻴــ ﹺﻦ‪ ، x2 + y2 + 2fx + 2gy + c = 0 , (x – a)2 + (y – b)2 = r2 :‬ﺣﻴ ﹸﺚ‪ ، f :‬ﹶو‪ ، g‬ﹶو ‪c‬‬ ‫التفكير العليا لديهم‪.‬‬ ‫أﻋﺪا ﹲد ﺻﺤﻴﺤ ﹲﺔ ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫ •تذ َّكــر أنه ليس شــر ًطا أن يتم َّكن الطلبــة كاف ًة من حل‬ ‫المسائل جميعها‪ ،‬ولكن يجب عليهم أن يحاولوا حلها‪،‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1 2 3 4 xx‬‬ ‫‪ 14‬اﻟﻤﺮﻛ ﹸﺰ )‪ ،(–11, –1‬وﻃﻮ ﹸل اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ‪ 26‬وﺣﺪ ﹰة‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫ويمكــن التغلب على ذلك بالطلب إلى الطلبة حل هذه‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ 15‬اﻟﻤﺮﻛ ﹸﺰ )‪ ،(3, 0‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ‪ 4√3‬وﺣﺪا ﹴت‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫الأســئلة ضمن مجموعات غير متجانسة‪ ،‬وتشجيعهم‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 16‬اﻟﻤﺮﻛ ﹸﺰ )‪ ،(– 4, 7‬وﺗﻤ ﱡﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ )‪ .(1, 3‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫على تبرير الحلول التي يتو َّصلون إليها‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 17‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟ ﹸﻤﺒ ﱠﻴﻨ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﺮﺳ ﹺﻢ اﻟﺒﻴﺎﻧ ﱢﻲ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 18‬ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟ ﹶﺔ اﻟﻮارد ﹶة ﻓﻲ ﺑﺪاﻳ ﹺﺔ اﻟﺪر ﹺس‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة أن يحلوا في البيت جميع المســائل‬ ‫‪3‬‬ ‫الواردة في الصفحة الثامنة من كتاب التمارين‪ُ ،‬مح ِّد ًدا‬ ‫‪2‬‬ ‫لهم المســائل التي يمكنهم حلها في نهاية كل حصة‬ ‫‪1‬‬ ‫بحسب ما ُيق َّدم من أمثلة الدرس وأفكاره‪.‬‬ ‫‪-6 -5 -4 -3 -2 -1-10‬‬ ‫ •يمكــن أي ًضا إضافة المســائل التي لــم يحلها الطلبة‬ ‫‪63‬‬ ‫داخل غرفة الصف إلى الواجب البيتي‪.‬‬ ‫ •في اليوم التالي‪ ،‬ا َّط ِلع على حلول الطلبة‪ ،‬ونا ِقشهم في‬ ‫إجابات‪:‬‬ ‫أي صعوبات واجهوها في أثناء الحل‪.‬‬ ‫‪(x +11)2 + (y + 1)2 =169  )14‬‬ ‫‪x2 + y2 + 22x + 2y – 47= 0‬‬ ‫‪(x -3)2 + y2 = 48  )15‬‬ ‫‪x2 + y2 - 6x – 39 = 0‬‬ ‫‪(x + 4)2 + (y - 7)2 = 41  )16‬‬ ‫‪x2 + y2 + 8x - 14y + 24 = 0‬‬ ‫‪  )17‬مركز هــذه الدائرة هو )‪ ،(-1, 4‬ومن ال ُملا َحظ أنها تمر بالنقطة )‪(1, 0‬؛ لذا‪،‬‬ ‫فإن مربع طول نصف قطرها‪22 + 42 = 20 :‬‬ ‫إذن‪ :‬معادلتها هي‪(x + 1)2 + (y - 4)2 = 20 :‬‬ ‫أو‪x2 + y2 + 2x - 8y – 3 = 0 :‬‬ ‫‪63‬‬

‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫ •جد مركز الدائرة التي تمر بالنقاط‪:‬‬ ‫‪ 19‬أﺟ ﹸﺪ إﺣﺪاﺛ ﱠﻴ ﹺﻲ اﻟﻤﺮﻛ ﹺﺰ وﻃﻮ ﹶل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺘﻬﺎ‪.(2x – 4)2 + (2y + 6)2 = 100 :‬‬ ‫)‪ ،A(4, 0), B(-6, 0), C(0, 4‬ثم اكتب معادلتها‪.‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫‪ 20‬داﺋــﺮ ﹲة ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺘﻬﺎ ‪ ، x2 + y2 + px + 6y = 96‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪ 11‬وﺣــﺪ ﹰة‪ ،‬ﹶو‪ p‬ﻋﺪ ﹲد ﺛﺎﺑ ﹲﺖ ﻣﻮﺟ ﹲﺐ‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﹸﺑ ﹾﻌ ﹶﺪ ﻣﺮﻛ ﹺﺰ‬ ‫المركز هو )‪ ،(-1, -1‬ومعادلة الدائرة هي‪:‬‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻋ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹺﺔ اﻷﺻ ﹺﻞ‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫‪(x+1)2 + (y+1)2 = 26‬‬ ‫‪ 21‬ﻣﻤــ ﱞﺮ‪ :‬ﻣﻤ ﱞﺮ داﺋﺮ ﱞي ﻣﺤﺼﻮ ﹲر ﺑﻴ ﹶﻦ داﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻟ ﹸﻬﻤﺎ اﻟﻤﺮﻛ ﹸﺰ ﻧﻔ ﹸﺴــ ﹸﻪ‪ ،‬وﻫــ ﹶﻮ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ )‪ .(7, 3‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧــ ﹺﺖ اﻟﺪاﺋﺮ ﹸة اﻟﻜﺒﺮ￯ ﺗﻤ ﱡﺲ‬ ‫اﻟﻤﺤــﻮ ﹶر ‪ ،y‬واﻟﺼﻐﺮ￯ ﺗﻤ ﱡﺲ اﻟﻤﺤﻮ ﹶر ‪ ،x‬ﻓ ﹶﺄﻛﺘ ﹸﺐ ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺘ ﹺﻲ اﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﻠﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﹸﺗﺸــ ﱢﻜﻼ ﹺن اﻟﻤﺤﻴــ ﹶﻂ اﻟﺨﺎرﺟ ﱠﻲ واﻟﻤﺤﻴ ﹶﻂ‬ ‫ •اطلب إلــى الطلبة اســتعمال برمجيــة جيوجبرا في‬ ‫اﻟﺪاﺧﻠ ﱠﻲ ﻟﻠﻤﻤ ﱢﺮ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻤﻤ ﱢﺮ ﺑﺎﻟﻮﺣﺪا ﹺت اﻟﻤﺮ ﱠﺑﻌ ﹺﺔ‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫المنزل لتحديــد أي المعادلات الآتيــة تمثل معادلة‬ ‫ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﻨﻘﻄﺘﺎ ﹺن )‪ ،D (2, 9‬ﹶو )‪ E (14, –7‬ﻧﻬﺎﻳ ﹶﺘ ﹾﻲ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹴﺮ ﻟﺪاﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪:C‬‬ ‫دائرة‪ ،‬ثم اطلب إلى الطلبة ذوي المســتوى المتوسط‬ ‫‪ 22‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ إﺣﺪاﺛ ﱠﻴ ﹺﻲ اﻟﻤﺮﻛ ﹺﺰ ‪C (8, 1) .C‬‬ ‫‪ 23‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ‪r = 10 .‬‬ ‫وفوق المتوسط بيان ذلك جبر ًّيا‪:‬‬ ‫ »‪x2 + y2- 10x +6y = -18‬‬ ‫‪ 24‬ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪(x-8)2 + (y -1)2 = 100 .‬‬ ‫ »‪x2 + y2 - 18x +14y + 14 = 0‬‬ ‫‪ 25‬ﹸأﺛﺒﹺ ﹸﺖ أ ﱠن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹶﻢ ‪ y = 3x – 2‬ﻫ ﹶﻮ ﻣﻤﺎ ﱞس ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺘﻬﺎ‪ .x2 + y2 + 4x – 24y + 108 = 0 :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫ »‪3x2 + 4y2 - 4x + 6y + 15 = 0‬‬ ‫ »‪2x2 +2y2 - 4x +10y - 20 = 0‬‬ ‫‪ 26‬ﹸر ﹺﺳ ﹶﻢ ﻣﻤﺎ ﱞس ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ )‪ P (8, 5‬ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺘﻬﺎ‪ . x2 + y2 + 8x – 6y – 75 = 0 :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل اﻟﻘﻄﻌ ﹺﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤ ﹺﺔ‬ ‫اﻟﺘﻲ ﺗﺼ ﹸﻞ اﻟﻨﻘﻄ ﹶﺔ ‪ P‬ﺑﻨﻘﻄ ﹺﺔ اﻟ ﱠﺘﻤﺎ ﱢس‪4√3 .‬‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة الذين تناول نموذجهم معادلة الدائرة‬ ‫‪ 27‬ﺗﺒﺮﻳ ﹲﺮ‪ :‬ﻗﺎ ﹶل ﻋﺒ ﹸﺪ اﻟﺮﺣﻤ ﹺﻦ إ ﱠن ‪ x2 + y2 – 14x + 6y + 59 = 0‬ﻟﻴ ﹶﺴ ﹾﺖ ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺔ داﺋﺮ ﹴة‪ .‬ﻫ ﹾﻞ ﻗﻮ ﹸل ﻋﺒ ﹺﺪ اﻟﺮﺣﻤ ﹺﻦ ﺻﺤﻴ ﹲﺢ؟‬ ‫تنفيذ الخطوة الثالثة من المشروع‪ ،‬واستعمال برمجية‬ ‫ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪ .‬ﻗﻮﻟﻪ ﺻﺤﻴﺢ ﻷن ‪ r2 = a2 + b2 - c = 49 + 9 - 59 =-1‬وﻫﻲ ﻋﺪد ﻏﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬ ‫جيوجبرا لرسم النموذج في جهاز الحاسوب‪ ،‬وإيجاد‬ ‫‪ 28‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹸر ﹺﺳ ﹶﻢ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ )‪ A (8, 21‬ﻣﻤﺎ ﹼﺳﺎ ﹺن ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ ،C‬ﻓﻤ ﹼﺴﺎﻫﺎ ﻋﻨ ﹶﺪ اﻟﻨﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ ،D‬ﹶو ‪ .B‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺔ‬ ‫قياسات زواياه وأطوال أضلاعه‪ُ ،‬مذ ِّك ًرا إ ّياهم بضرورة‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻫ ﹶﻲ ‪ ،(x – 9)2 + (y + 4)2 = 49‬ﻓﻤﺎ ﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋ ﱢﻲ ‪ABCD‬؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫إكمالهم التقرير الذي بدؤوا إعداده‪ ،‬وتضمينه تفسي ًرا‬ ‫‪ 29‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ اﻟﺼﻮر ﹶة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴ ﹶﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ‪ x2 + y2 + 8x – 10y + 24 = 0‬ﻣ ﹾﻦ دو ﹺن اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻃﺮﻳﻘ ﹺﺔ‬ ‫إﻛﻤﺎ ﹺل اﻟﻤﺮ ﱠﺑ ﹺﻊ‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫للخصيصة التي يتمتع بها نموذجهم‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪64‬‬ ‫الختام‬ ‫ •اطلـب إلـى الطلبـة شـرح طريقة إيجـاد معادلـة دائرة‬ ‫مسابقة (التحديات الثلاثة)‪:‬‬ ‫ُع ِلمـت إحداثيـات طرفـي قطـر فيهـا‪ ،‬ثـم اتبـاع تلك‬ ‫ •أح ِضر ثلاثة صناديق‪ ،‬ثم اكتب علــى الأول عبارة‪( :‬التحدي ‪ ،)1‬واكتب على‬ ‫الطريقــة لإيجــاد معادلــة دائــرة تكــون النقطتــان‪:‬‬ ‫الثاني عبارة‪( :‬التحدي ‪ ،)2‬واكتب على الثالث عبارة‪( :‬التحدي ‪.)3‬‬ ‫ •ضع مجموعة من الأوراق في كل صندوق‪ُ ،‬كتِب في ك ٍّل منها ســؤال مناســب‬ ‫)‪ ،A(5, -6‬و )‪ B(13, 10‬طرفــي قطــر فيهــا‪.‬‬ ‫حسب الآتي‪:‬‬ ‫‪(x-9)2 + (y -2)2 = 80‬‬ ‫ •التحدي ‪ :1‬أسئلة مشابهة للمثال (‪.)1‬‬ ‫ •التحدي ‪ :2‬أسئلة مشابهة للمثال (‪.)2‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫ •التحدي ‪ :3‬أسئلة مشابهة للمثال (‪.)3‬‬ ‫ •ار ِم على أحد الطلبة كرة إسفنجية‪ ،‬ثم اطلب إليه سحب ورقة من أحد الصناديق‬ ‫لتشــجيع الطلبة من ذوي المســتوى دون المتوسط‬ ‫علــى المشــاركة‪ ،‬يمكن اختيــار طلبة مــن ذوي‬ ‫الثلاثة‪ ،‬والإجابة عن السؤال‪ ،‬ويمكنك استعمال استراتيجية الرؤوس المرقمة‬ ‫المستوى المتوســط‪ ،‬وفوق المتوسط للمشاركة في‬ ‫لاختيار الطلبة‪.‬‬ ‫بداية المسابقة‪.‬‬ ‫ •ك ِّرر الخطوة السابقة لأكثر من طالب‪.‬‬ ‫ •يمكن تشجيع الطلبة على المشــاركة بتقديم جوائز رمزية‪ ،‬أو وضع ملصقات‬ ‫جذابة على ورقة الإجابة‪ ،‬والطلب إليهم الاحتفاظ بها في ملف أعمالهم‪.‬‬ ‫‪64‬‬

‫اﺳﺘﻜﺸﺎ ُف اﻟﺪواﺋ ِﺮ اﻟﻤﺘﻤﺎ ﱠﺳ ِﺔ‬ ‫ﻣﻌﻤ ُﻞ‬ ‫معم ُل‬ ‫‪Exploring Tangent Circles‬‬ ‫ﺑﺮﻣﺠﻴ ِﺔ‬ ‫برمجي ِة‬ ‫ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا‬ ‫جيوجبرا‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜﻨﹸﻨﻲ اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸل ﺑﺮﻣﺠﻴ ﹺﺔ ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا )‪ (GeoGebra‬ﻟﺮﺳ ﹺﻢ داﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬أﻧﺼﺎ ﹸف أﻗﻄﺎ ﹺر ﹺﻫﻤﺎ ﹸﻣﺤ ﱠﺪد ﹲة‪ ،‬وإﻳﺠﺎ ﹺد اﻟ ﹸﺒ ﹾﻌ ﹺﺪ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺮﻛﺰﻳﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫  نتاجات الدرس‬ ‫ﻧﺸﺎط ‪ 1‬أرﺳ ﹸﻢ اﻟﺸﻜ ﹶﻞ اﻵﺗ ﹶﻲ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﺑﺮﻣﺠﻴ ﹺﺔ ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ‪.AC‬‬ ‫ •يســتعمل برمجية جيوجبرا لاستكشــاف العلاقة بين‬ ‫‪AC‬‬ ‫نصفي قطري الدائرتين‪ ،‬وموقع ك ٍّل منهما بالنسبة إلى‬ ‫ﻣ ﹾﻦ ﺷﺮﻳ ﹺﻂ اﻷدوا ﹺت‪.‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :1‬أﺧﺘﺎ ﹸر أﻳﻘﻮﻧ ﹶﺔ‬ ‫الأخرى‪.‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬أﻧﻘ ﹸﺮ ز ﱠر اﻟﻔﺄر ﹺة اﻷﻳﺴ ﹶﺮﻣ ﹶﻊ اﻟﺴﺤ ﹺﺐ ﻟﺮﺳ ﹺﻢ داﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ .A‬ﺳﺘﻈﻬ ﹸﺮ ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﺑﺎﻟﺼﻮر ﹺة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴ ﹺﺔ ﻓﻲ ﺷﺮﻳ ﹺﻂ اﻹدﺧﺎ ﹺل‪،‬‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫وﺳﻴﻈﻬ ﹸﺮ ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ﻋﻠﻰ ﺷﻜ ﹺﻞ زو ﹴج ﻣﺮﺗ ﹴﺐ‪.‬‬ ‫ •استعمال نظريات مماس الدائرة ومعادلتها‪.‬‬ ‫ •إيجاد الأطوال والقياسات لزوايا في أشكال ُر ِسمت‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :3‬ﹸأﻛ ﱢﺮ ﹸر اﻟﺨﻄﻮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ )‪ (1‬ﹶو)‪ (2‬ﻟﺮﺳ ﹺﻢ داﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ ،C‬وإﻳﺠﺎ ﹺد ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ‪.‬‬ ‫باستعمال برمجية جيوجبرا‪.‬‬ ‫ﻣ ﹾﻦ ﺷــﺮﻳ ﹺﻂ اﻷدوا ﹺت‪ ،‬ﺛــ ﱠﻢ أﻧﻘ ﹸﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺮﻛ ﹺﺰ‪،A‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :4‬ﻷﹶ ﹺﺟــ ﹶﺪ اﻟ ﹸﺒ ﹾﻌ ﹶﺪ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺮﻛ ﹺﺰ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬أﺧﺘﺎ ﹸر‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺛ ﱠﻢ اﻟﻤﺮﻛ ﹺﺰ ‪ ،C‬وأﻗﺮ ﹸأ اﻟ ﹸﺒ ﹾﻌ ﹶﺪ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻤﺮﻛﺰ ﹾﻳ ﹺﻦ ﻣ ﹾﻦ ﺷﺮﻳ ﹺﻂ اﻹدﺧﺎ ﹺل‪.‬‬ ‫التهيئة‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸل ﺑﺮﻣﺠﻴ ﹺﺔ ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا ﻻﺳﺘﻜﺸﺎ ﹺف اﻟﻌﻼﻗ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻧﺼ ﹶﻔ ﹾﻲ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹶﺮ ﹺي اﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬وﻣﻮﻗ ﹺﻊ ﻛ ﱟﻞ ﻣﻨﹾ ﹸﻬﻤﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒ ﹺﺔ إﻟﻰ اﻷﹸﺧﺮ￯‪.‬‬ ‫ •رافِق الطلبة إلى مختبر الحاسوب في المدرسة‪.‬‬ ‫ﻧﺸﺎط ‪2‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبـة إلـى مجموعـات ثلاثيـة علـى الأكثـر‪،‬‬ ‫وغيــر متجانســة‪ ،‬ثــم اطلــب إلــى أفــراد كل‬ ‫‪ 1‬أرﺳ ﹸﻢ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣﻦ اﻟﺪواﺋ ﹺﺮ اﻟ ﹸﻤﺒ ﱠﻴﻨ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﺠﺪو ﹺل اﻵﺗﻲ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﺑﺮﻣﺠﻴ ﹺﺔ ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا‪.‬‬ ‫مجموعــة فتــح برمجيــة جيوجبــرا مــن الموقــع‪:‬‬ ‫‪ 2‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻃــﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄــ ﹺﺮ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﻜﺒﻴﺮ ﹺة ‪ ، r1‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﺼﻐﻴﺮ ﹺة ‪ ،r2‬ﻓﺄﺳــﺘﻌﻤ ﹸﻞ ﺑﺮﻣﺠﻴ ﹶﺔ ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا ﻷﹸﻛ ﹺﻤ ﹶﻞ‬ ‫‪https://www.geogebra.org/geometry‬‬ ‫اﻟﺠﺪو ﹶل اﻵﺗ ﹶﻲ‪.‬‬ ‫فــي أجهــزة الحاســوب‪.‬‬ ‫‪65‬‬ ‫ •اطلب إلى أفراد كل مجموعة رســم دائرة طول نصف‬ ‫قطرها ‪ 3‬وحدات‪ ،‬ثم رسم دائرة مركزها معلوم‪ ،‬وتمر‬ ‫بنقطة معلومة‪ ،‬ثم إيجاد طول نصف قطرها‪.‬‬ ‫ •تجــ َّول بين أفــراد المجموعات ُمر ِشــ ًدا و ُمســا ِع ًدا‬ ‫و ُمو ِّج ًها‪.‬‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫ •وجه كل طالب إلى رسم دائرتين متباعدتين ودائرتين‬ ‫متماستين في دفتره‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى أحد الطلبة رســم إجابتــه على اللوح‪ ،‬ثم‬ ‫اسأل زملاءه‪:‬‬ ‫ »من لديه إجابة أخرى؟‬ ‫ »ارسمها (يرسم أكثر من طالب إجابته على اللوح)‪.‬‬ ‫ •و ِّضح للطلبة الحالات الممكنة لدائرتين في مستوى‪.‬‬ ‫‪65‬‬

‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫ •و ِّضــح للطلبة كيف ُين َّفذ النشــاط ‪ ،1‬ثم اطلب إليهم‬ ‫‪ 3‬ﹸأﻗﺎر ﹸن ﺑﻴ ﹶﻦ ﻗﻴ ﹺﻢ ‪ ،r2 + r1‬ﹶو ‪ r2 ‒ r1‬ﹶو ‪ ،AC‬ﺛ ﱠﻢ أﺳﺘﻨﺘ ﹸﺞ اﻟﻌﻼﻗ ﹶﺔ ﺑﻴﻨﹶﻬﺎ وﺑﻴ ﹶﻦ وﺿ ﹺﻊ اﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒ ﹺﺔ إﻟﻰ ﺑﻌ ﹺﻀ ﹺﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫تنفيذه ضمن مجموعات‪ ،‬وتأ َّكد أن أفراد كل مجموعة‬ ‫اﻻﺳﺘﻨﺘﺎ ﹸج‬ ‫‪r1 + r2 r1 ‒ r2 AC‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪r1‬‬ ‫وﺿ ﹸﻊ اﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫يمكنهم تنفيذ النشاط‪.‬‬ ‫ •اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫ »بماذا تو َصف هاتان الدائرتان؟ متباعدتان‪.‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫ »ما علاقة المســافة بين مركزيهمــا وطول نصفي‬ ‫قطريهما؟ المسافة بين مركزيهما أكبر من مجموع‬ ‫‪CA‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫طولي نصفي قطريهما‪.‬‬ ‫ »إذا كان طولا نصفي قطري دائرتين ‪،5 cm, 9 cm‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫وكانــت الدائرتان متماســتين من الخــارج‪ ،‬فما‬ ‫أﺗﺪرب‬ ‫المسافة بين مركزيهما؟ ‪14 cm‬‬ ‫ »إذا كان طولا نصفي قطري دائرتين ‪،8 cm, 13 cm‬‬ ‫ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد وﺿ ﹶﻊ اﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒ ﹺﺔ إﻟﻰ ﺑﻌ ﹺﻀ ﹺﻬﻤﺎ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺤﺎﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ دو ﹶن رﺳ ﹺﻤ ﹺﻬﻤﺎ‪:‬‬ ‫وكانتا الدائرتان متماستين من الداخل‪ ،‬فما المسافة‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺳﺘﺎن ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ‪ 2 r1 = 11, r2 = 5 , AC = 6 .‬واﺣﺪة داﺧﻞ اﻷﺧﺮ￯‪1 r1 = 9, r2 = 5 , AC = 3 .‬‬ ‫بين مركزيهما؟ ‪5 cm‬‬ ‫ »إذا كان طولا نصفي قطري دائرتين ‪،7 cm, 15 cm‬‬ ‫ﻣﺘﺒﺎﻋﺪﺗﺎن‪3 r1 = 6, r2 = 3 , AC = 17 .‬‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺳﺘﺎن ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ‪4 r1 = 8, r2 = 5 , AC = 3 .‬‬ ‫وكانتــا الدائرتــان متقاطعتيــن‪ ،‬فما المســافة بين‬ ‫‪66‬‬ ‫مركزيهما؟ أي عدد أكبر من ‪ ،8‬وأقل من ‪22‬‬ ‫ •و ِّزع على الطلبة ورقة المصادر‪ ،2‬ثم اطلب إليهم تنفيذ‬ ‫النشاط ‪ ،2‬وملء الجدول باستعمال برمجية جيوجبرا‪.‬‬ ‫ •اسأل الطلبة عن علاقة المسافة بين المركزين وطولي‬ ‫نصفي القطرين في كل حالة‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة وصف أوضاع الدوائر في الحالات‬ ‫الخمس‪.‬‬ ‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة الإجابة عن الأســئلة من ‪ 1‬إلى ‪ 4‬في‬ ‫الختام‬ ‫‪6‬‬ ‫بند (أتدرب)‪ ،‬وتابِعهم في هذه الأثناء‪ ،‬والفت انتباههم‬ ‫إلى أنه يمكنهم التح ُّقق من إجاباتهم باستعمال برمجية‬ ‫ •اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫ »كيف يمكن تحديد وضع دائرتين في المســتوى الإحداثي بالنســبة إلى بعضهما من‬ ‫جيوجبرا‪.‬‬ ‫دون رسمهما؟‬ ‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة‪ ،‬ثم اسألهم كل مرة‪:‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة كتابة تقرير عن استعمالات برمجية‬ ‫ »من يؤيد الإجابة؟‬ ‫جيوجبرا في الهندســة‪ ،‬وتوثيقها بالصور (اســتعمل‬ ‫ »من لديه إجابة أخرى؟‬ ‫خاصية طباعة الشاشة)‪.‬‬ ‫ »اذكرها‪.‬‬ ‫‪66‬‬

‫اﻟﺪواﺋ ُﺮ اﻟﻤﺘﻤﺎ ﱠﺳ ُﺔ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫الدرس‬ ‫‪Tangent Circles‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫اﺳﺘﻨﺘﺎ ﹸج اﻟﻌﻼﻗ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ داﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬وﺗﻌ ﱡﺮ ﹸف اﻟﻤﻤﺎ ﹼﺳﺎ ﹺت اﻟﻤﺸﺘﺮﻛ ﹺﺔ‪ ،‬وﺗﻮﻇﻴ ﹸﻒ ذﻟ ﹶﻚ ﻓﻲ ﹶﺣ ﱢﻞ ﻣﺴﺎﺋ ﹶﻞ ﺣﻴﺎﺗﻴ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس‬ ‫  نتاجات الدرس‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎ ﹺن اﻟﻤﺘﻤﺎ ﱠﺳﺘﺎ ﹺن‪ ،‬اﻟﻤﻤﺎ ﱡس اﻟﻤﺸﺘﺮ ﹸك اﻟﺨﺎرﺟ ﱡﻲ‪ ،‬اﻟﻤﻤﺎ ﱡس اﻟﻤﺸﺘﺮ ﹸك اﻟﺪاﺧﻠ ﱡﻲ‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎ ُت‬ ‫ •يستنتج العلاقة بين دائرتين‪.‬‬ ‫ •يوظف علاقة المســافة بين المركزين‪ ،‬وطولي نصفي‬ ‫ﻳﺪو ﹸر ﺣﺰا ﹲم ﻣ ﹼﻄﺎﻃ ﱞﻲ ﺣﻮ ﹶل ﺑﻜﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ داﺋﺮﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹶﻔ ﹾﻲ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹶﺮ ﹾﻳ ﹺﻬﻤﺎ‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫القطرين لدائرتين‪ ،‬وطول المماس المشــترك لإيجاد‬ ‫‪ ،8 cm‬ﹶو ‪ 3 cm‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟــﻲ‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻃﻮ ﹸل اﻟﺤﺰا ﹺم ﺑﻴ ﹶﻦ ﻧﻘﻄ ﹶﺘ ﹺﻲ‬ ‫اﻟ ﱠﺘﻤﺎ ﱢس ﻣ ﹶﻊ اﻟﺒﻜﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ ،25 cm‬ﻓﻤﺎ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺮﻛ ﹶﺰ ﹺي اﻟﺒﻜﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ؟‬ ‫أطوال مجهولة‪.‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ أ ﹾن ﺗﺘﻘﺎﻃ ﹶﻊ اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎ ﹺن اﻟﻤﺮﺳــﻮﻣﺘﺎ ﹺن ﻓﻲ ﻣﺴﺘ ﹰﻮ￯ واﺣ ﹴﺪ ﻓﻲ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة‪ ،‬أ ﹾو ﻧﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬وﻗ ﹾﺪ ﻻ ﺗﺘﻘﺎﻃﻌﺎ ﹺن أﺑ ﹰﺪا‪ .‬و ﹸﺗﺴ ﹼﻤﻰ اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎ ﹺن‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫اﻟ ﹸﻤﺘﻘﺎﻃﹺﻌﺘﺎ ﹺن ﻓﻲ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة ﻓﻘ ﹾﻂ داﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﺘﻤﺎ ﱠﺳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ )‪.(tangent circles‬‬ ‫ •معرفة مفهوم مماس الدائرة‪ ،‬وخصائص المماسات‪.‬‬ ‫ﻣﻔﻬﻮ ٌم أﺳﺎﺳ ﱞﻲ‬ ‫ •حساب طول القطعة المماسية‪.‬‬ ‫ •توظيف تشابه المثلثات في حل مسائل رياضية‪.‬‬ ‫اإﻟذاﺤﹸﺎر ﹺﺳﻻـ ﹺـتﹶﻤا ﹾﻵﺖﺗﻴد ﹺاﺔﺋ‪:‬ﺮﺗﺎ ﹺن ﻓﻲ ﻣﺴــﺘ ﹰﻮ￯ واﺣ ﹴﺪ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن وﺿ ﹶﻌ ﹸﻬﻤﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴــﺒ ﹺﺔ إﻟﻰ ﺑﻌ ﹺﻀ ﹺﻬﻤﺎ ﻳﻨﺤﺼ ﹸﺮ ﻓﻲ‬ ‫‪ 4‬إﹸﻣﱠﻧﺻﻬﺸﻮـﻤـرﺎﺘﺗ ﹺﺎﺮﻣﺘﹺنﻛﺘ‪:‬ﻤﺎﺎ ﹺﱠنﺳـﻓـﺘﻲﺎ ﻧﹺنﻘ‪.‬ﻄ ﹴوﺔﻟﻬواﺬاﺣاﺪﻟ ﹴةﻮ؛ أﺿ ﹾ ﹺيﻊ‬ ‫‪ 1‬ﹸﻣﺘﺒﺎ ﹺﻋﺪﺗﺎ ﹺن‪.‬‬ ‫‪MN‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ 2‬ﹸﻣﺘﻘﺎ ﹺﻃﻌﺘﺎ ﹺن ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪.‬‬ ‫التهيئة‬ ‫‪1‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪MN‬‬ ‫ •ذ ِّكــر الطلبة بممــاس الدائرة‪ ،‬وخصائــص المماس‬ ‫ﻣﺘﻤﺎ ﱠﺳﺘﺎ ﹺن ﻣ ﹶﻦ اﻟﺨﺎر ﹺج‪.‬‬ ‫والمماســين المرســومين من نقطة خــارج الدائرة‪،‬‬ ‫ثم ارســم الشــكل المجاور الذي يبين المماس ‪M→B‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ 3‬إﺣﺪا ﹸﻫﻤﺎ داﺧ ﹶﻞ اﻷﹸﺧﺮ￯‪.‬‬ ‫لدائــرة مركزها ‪ ،A‬ثم اطلب إليهم إيجاد طول القطعة‬ ‫‪N‬‬ ‫‪NM‬‬ ‫المماسية ‪ ، MB‬وتبرير خطوات الحل‪.‬‬ ‫ﻣﺘﻤﺎ ﱠﺳﺘﺎ ﹺن ﻣ ﹶﻦ اﻟﺪاﺧ ﹺﻞ‪.‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪A(4, 7‬‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المسألة في بند (مسألة اليوم)‪ ،‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫)‪M(-5, 3‬‬ ‫ »أين يمكن أن تصادف مثل هذا الوضع؟ ستتنوع إجابات الطلبة‪.‬‬ ‫ •اسأل الطلبة عن مفهوم تشابه مثلثين‪ ،‬وشروط ذلك‪.‬‬ ‫ »ما وضع الدائرتين اللتين تمثلان البكرتين؟ متباعدتان‪.‬‬ ‫ »ماذا يمثل جزء الحزام الممتد بين نقطتي التقائه مع البكرتين؟ يمثل مما ًّسا‬ ‫ •ارسم الشكل المجاور‪ ،‬ثم اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫ »لماذا يكون المثلثان ‪ ،NCD‬و ‪ NBA‬متشابهين؟‬ ‫لكلتا الدائرتين‪.‬‬ ‫ »كيف يمكن حســاب المســافة بين مركزي البكرتين؟ باســتعمال نظرية‬ ‫ »ما قيمة ‪x‬؟ ‪7.2‬‬ ‫فيثاغورس؛ لوجود مثلثات قائمة‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ •استمع إلى إجابات الطلبة من دون تقديم تغذية راجعة لهم‪.‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪67‬‬

‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بالأوضاع المختلفة لدائرتين في المستوى‪،‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن اﻟﻤﺴــﺘﻘﻴ ﹸﻢ ﻣﻤﺎ ﹼﹰﺳﺎ ﻟﻜ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ داﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﹸﻳﺴ ﹼﻤﻰ ﻣﻤﺎ ﹼﹰﺳﺎ ﻣﺸﺘﺮ ﹰﻛﺎ )‪.(common tangent‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪CB‬‬ ‫وعلاقة المسافة بين مركزيهما وطولي نصفي قطريهما‪،‬‬ ‫وإذا ﻗﻄ ﹶﻊ اﻟﻤﻤﺎ ﱡس اﻟﻤﺸــﺘﺮ ﹸك اﻟﻘﻄﻌ ﹶﺔ اﻟﻤﺴــﺘﻘﻴﻤ ﹶﺔ اﻟﻮاﺻﻠ ﹶﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺮﻛ ﹶﺰ ﹺي اﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﹸﻳﺴــ ﹼﻤﻰ‬ ‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬ ‫اﻟﻤﻤــﺎ ﱠس اﻟﻤﺸــﺘﺮ ﹶك اﻟﺪاﺧﻠــ ﱠﻲ )‪ ،(common internal tangent‬وإ ﹼﻻ ﻓﺈ ﱠﻧ ﹸﻪ ﹸﻳﺴــ ﹼﻤﻰ اﻟﻤﻤﺎ ﱠس‬ ‫ثم اذكر أمثلة على ذلك‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺸــﺘﺮ ﹶك اﻟﺨﺎرﺟ ﱠﻲ )‪ .(common external tangent‬ﻓﻔﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪⟷AB ،‬ﻣﻤﺎ ﱞس‬ ‫‪D‬‬ ‫ •و ِّضح للطلبة مفهــوم المماس المشــترك لدائرتين‪،‬‬ ‫ﻣﺸﺘﺮ ﹲك ﺧﺎرﺟ ﱞﻲ‪ ،‬ﹶو ‪⟷CD‬ﻣﻤﺎ ﱞس ﻣﺸﺘﺮ ﹲك داﺧﻠ ﱞﻲ‪.‬‬ ‫ثم َأ ِد ْر حوا ًرا يقودهم إلى اســتنتاج نوعيه‪ :‬الداخلي‪،‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ رﺳــ ﹸﻢ ﻣﻤﺎ ﱟس واﺣ ﹴﺪ ﻓﻘ ﹾﻂ ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة ﻋﻨ ﹶﺪ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﻋﻠ ﹾﻴﻬﺎ‪ ،‬و ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ أﻳ ﹰﻀﺎ رﺳ ﹸﻢ ﻣﻤﺎ ﱠﺳ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻟﻠﺪاﺋﺮ ﹺة ﻣ ﹾﻦ‬ ‫والخارجي‪.‬‬ ‫ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﺧﺎر ﹶﺟﻬﺎ‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﻋﺪ ﹸد اﻟﻤﻤﺎ ﹼﺳﺎ ﹺت اﻟﻤﺸــﺘﺮﻛ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ رﺳ ﹸﻤﻬﺎ ﻟﻠﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ؟ﺗﻌﺘﻤ ﹸﺪ إﺟﺎﺑ ﹸﺔ ﻫﺬا‬ ‫ •ارســم دوائر في أوضاع مختلفة‪ ،‬ثم اطلب إلى الطلبة‬ ‫اﻟﺴﺆا ﹺل ﻋﻠﻰ وﺿ ﹺﻊ اﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒ ﹺﺔ إﻟﻰ ﺑﻌ ﹺﻀ ﹺﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫تحديد عدد المماســات المشتركة التي يمكن رسمها‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫لهذه الدوائر‪.‬‬ ‫ﻛــ ﹾﻢ ﻣﻤﺎ ﹰﹼﺳــﺎ ﹸﻣﺸــﺘ ﹶﺮ ﹰﻛﺎ ﹸﻳﻤﻜﹺــ ﹸﻦ رﺳــ ﹸﻤ ﹸﻪ ﻟﻠﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴــ ﹺﻦ ﻓــﻲ‬ ‫اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻵﺗــﻲ؟ أرﺳــ ﹸﻢ اﻟﻤﻤﺎ ﹼﺳــﺎ ﹺت‪ ،‬ﺛــ ﱠﻢ ﹸأﺻﻨﱢ ﹸﻔﻬــﺎ إﻟــﻰ‬ ‫ﺧﺎرﺟﻴــ ﹴﺔ وداﺧﻠﻴــ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫أرﺳــ ﹸﻢ اﻟﻘﻄﻌــ ﹶﺔ اﻟﻤﺴــﺘﻘﻴﻤ ﹶﺔ اﻟﻮاﺻﻠ ﹶﺔ ﺑﻴــ ﹶﻦ ﻣﺮﻛ ﹶﺰ ﹺي‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أرﺳــ ﹸﻢ اﻟﻤﻤﺎ ﹼﺳــﺎ ﹺت اﻟﺘﻲ ﺗﻘﻄ ﹸﻌﻬﺎ ﺑﻠﻮ ﹴن‬ ‫ •نا ِقش الطلبــة في حل المثال ‪ 1‬الذي يبين مماســات‬ ‫مشتركة لدائرتين وعددها‪.‬‬ ‫أﺣﻤ ﹶﺮ‪ ،‬واﻟﻤﻤﺎ ﹼﺳﺎ ﹺت اﻟﺘﻲ ﻻ ﺗﻘﻄ ﹸﻌﻬﺎ ﺑﻠﻮ ﹴن أزر ﹶق‪.‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ أ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﻟﻠﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﻤﺎ ﹼﺳﺎ ﹺن داﺧﻠﻴﺎ ﹺن‪ ،‬وآﺧﺮا ﹺن ﺧﺎرﺟﻴﺎ ﹺن‪.‬‬ ‫ •ما عدد المماســات المشــتركة التي يمكن رســمها‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫لدائرتين غيــر متقاطعتين؟ إذا كانتــا متباعدتين فإنه‬ ‫يمكن رسم ‪ 4‬مماسات مشتركة‪ ،‬وإذا كانت إحداهما‬ ‫ﻛ ﹾﻢ ﻣﻤﺎ ﹼﹰﺳﺎ ﹸﻣﺸﺘ ﹶﺮ ﹰﻛﺎ ﹸﻳﻤﻜﹺ ﹸﻦ رﺳ ﹸﻤ ﹸﻪ ﻟﻠﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ؟ أرﺳ ﹸﻢ اﻟﻤﻤﺎ ﹼﺳﺎ ﹺت‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﺻ ﱢﻨ ﹸﻔﻬﺎ إﻟﻰ‬ ‫ﺧﺎرﺟﻴ ﹴﺔ وداﺧﻠﻴ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫داخل الأخرى فلا يوجد لهما مماسات مشتركة‪.‬‬ ‫)‪a) b‬‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‪:‬‬ ‫ك ِّررالمصطلحاتالرياضيةالمستخدمةفيالدرسباللغتين‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫العربية والإنجليزية‪ ،‬وش ِّجع الطلبة على استعمالها‪.‬‬ ‫‪68‬‬ ‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫إجابة التدريب في بند (أتحقق من فهمي ‪:)1‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلى حــل التدريب في بنــد (أتحقق من‬ ‫ )‪a)  b‬‬ ‫فهمي) بعد كل مثال‪.‬‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحوي أخطاء مفاهيمية‪ ،‬ثم‬ ‫   مماس واحد خارجي‪  .‬مماسان خارجيان‪.‬‬ ‫نا ِقشها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اسم الطالب الذي أخطأ‬ ‫في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬ ‫‪68‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪2‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﺣﺴــﺎ ﹸب ﻃﻮ ﹺل اﻟﻤﻤﺎ ﱢس اﻟﻤﺸﺘﺮ ﹺك )اﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻧﻘﻄ ﹶﺘ ﹺﻲ اﻟ ﱠﺘﻤﺎ ﱢس ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ( ﺑﻄﺮﻳﻘ ﹴﺔ‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثال ‪ 2‬الذي يبين كيفية حساب‬ ‫ﹸﻣﻤﺎﺛﹺﻠ ﹴﺔ ﻟﺤﺴﺎ ﹺب ﻃﻮ ﹺل اﻟﻤﻤﺎ ﱢس اﻟﻤﺮﺳﻮ ﹺم ﻣ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﺧﺎر ﹶج اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة إﻟﻰ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﻋﻠ ﹾﻴﻬﺎ‪.‬‬ ‫طول مماس مشترك داخلي لدائرتين متباعدتين‪.‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في الخطوات المتبعة‪ ،‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬ ‫ »هل توجد طريقة بديلة لإيجاد طول ‪ AB‬؟‬ ‫‪M‬‬ ‫‪10 cm‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل ‪ AB‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪6 cm‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪28 cm‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪10 cm‬‬ ‫أﻣ ﱡﺪ ‪ MA‬ﻋﻠﻰ اﺳــﺘﻘﺎﻣﺘﹺ ﹺﻪ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أرﺳ ﹸﻢ ﻣ ﹾﻦ ‪ N‬ﻋﻤﻮ ﹰدا‬ ‫‪6 cm‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻣﺘﺪا ﹺد ‪ ، MA‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﺳــ ﹼﻤﻲ ﻧﻘﻄ ﹶﺔ ﺗﻘﺎﻃ ﹺﻊ اﻟﻌﻤﻮ ﹺد‬ ‫‪A‬‬ ‫‪28 cm‬‬ ‫ﻣ ﹶﻌﻬﺎ ‪.C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫‪m ∠NBA =m ∠BAC = 90º‬‬ ‫اﻟﻤﻤﺎ ﱡس ﻋﻤﻮد ﱞي ﻋﻠﻰ ﻧﺼ ﹺﻒ‬ ‫ •جد طول ‪ AB‬في الشكل المجاور‪ 40.8  .‬وحدة‪.‬‬ ‫اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﻤﺎ ﱢر ﺑﻨﻘﻄ ﹺﺔ اﻟ ﱠﺘﻤﺎ ﱢس‬ ‫‪m ∠ ACN = 90º‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪m ∠ BNC = 90º‬‬ ‫‪ NC‬ﻋﻤﻮد ﱞي ﻋﻠﻰ ‪MA‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮ ﹸع ﻗﻴﺎﺳﺎ ﹺت زواﻳﺎ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋ ﱢﻲ ‪360º‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪C‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋ ﱡﻲ ‪ ACNB‬ﻣﺴﺘﻄﻴ ﹲﻞ؛ ﻷ ﱠن زواﻳﺎ ﹸه اﻷرﺑ ﹶﻊ ﻗﻮاﺋ ﹸﻢ‪.‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ﺿﻠﻌﺎ ﹺن ﹸﻣﺘﻘﺎﺑﹺﻼ ﹺنﻓﻲاﻟﻤﺴﺘﻄﻴ ﹺﻞ‬ ‫‪AB = NC‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪B‬‬ ‫واﻵ ﹶن‪ ،‬ﹸأﻃ ﱢﺒ ﹸﻖ ﻧﻈﺮﻳ ﹶﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ﻗﺎﺋ ﹺﻢ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ MCN‬ﻷﹶ ﹺﺟ ﹶﺪ ‪:CN‬‬ ‫‪(CN)2 = (MN)2 – (MC)2‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳ ﹸﺔﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس‬ ‫‪= 282 – ( 6 + 10)2‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫‪(CN)2 = 784 – 256 = 528‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫ﺑﺄﺧ ﹺﺬاﻟﺠﺬ ﹺراﻟﺘﺮﺑﻴﻌ ﱢﻲﻟﻠﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫قد يخطئ بعض الطلبة في تطبيق نظرية فيثاغورس‪،‬‬ ‫‪CN = √528 ≈ 23‬‬ ‫وبخاصة عندما يكــون الطول مجهو ًل لأحد ضلعي‬ ‫الزاويــة القائمــة‪ ،‬وذلك بجمــع مربعــي الطولين‬ ‫‪AB = CN ≈ 23 cm‬‬ ‫‪T‬‬ ‫المعلومين بد ًل من طرحهما؛ لــذا أ ِّكد لهم أن مربع‬ ‫‪P‬‬ ‫طول الضلع الأطول (أي الوتــر) في المثلث القائم‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪O‬‬ ‫الزاوية يساوي مجموع مربعي طولي ضلعي القائمة‪،‬‬ ‫‪S‬‬ ‫وأن مربع طول أحد ضلعي القائمة يساوي مربع طول‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل اﻟﻤﻤﺎ ﱢس اﻟﻤﺸﺘﺮ ﹺك ‪ ST‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن‪:‬‬ ‫الوتر ناقص مربع طول ضلع القائمة الثاني‪ ،‬ثم د ِّربهم‬ ‫‪ PT = 12 cm, OS = 4 cm, PO = 34 cm‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫على الاســتعانة برسم مبســط للمثلث توضع عليه‬ ‫‪69‬‬ ‫عناصره المعلومة‪.‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫ب ِّين للطلبة في تدريب بند (أتحقق من فهمي) في المثال ‪ 2‬أنه يمكنهم مد ‪،PT‬‬ ‫ورسم عمود من ‪ O‬إلى امتداد ‪ ، PT‬ثم إكمال الحل بالطريقة نفسها‪.‬‬ ‫إجابة التدريب في بند (أتحقق من فهمي ‪:)2‬‬ ‫‪(PO)2 = (PR)2 + (OR)2‬‬ ‫‪342 = (PR)2 + 162 ⇒ (PR)2 = 900‬‬ ‫‪PR = 30‬‬ ‫إذن‪ :‬طول ‪ ST‬هو ‪ 30‬وحدة‪.‬‬ ‫‪69‬‬

‫ مثال ‪ :3‬من الحياة‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :3‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫ •نا ﹸأ ِقأﺣﺗ ﱢﺪﺪ ﹸردشإباذالوأﻛﺎطﺣ ﹶلنﻞبااﻟﻟةﻤﻤﻤفﺎﺴ ﱡﺎيﺋسﻞداحﺧﻠلﹼﹰﻴﺎاألﹾممﺧثﺎارلﺟ ﹰﹼﻴﺎ‪3‬ﻓ اﻲلﻛ ﱟذﻞ ﻣي ﹼﻤﺎيﻳبﺄيﺗﻲن‪ :‬طريقة إيجاد‬ ‫‪12‬‬ ‫د ﹼراﺟﺎ ﹲت‪ :‬ﺗﻠﺘــ ﱡﻒ ﻓﻲ د ﹼراﺟ ﹴﺔ ﻫﻮاﺋﻴ ﹴﺔ ﺳﻠﺴــﻠ ﹲﺔ ﻣﻌﺪﻧﻴ ﹲﺔ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻋﺠﻠﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﹸﻣﺴ ﱠﻨﻨﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ داﺋﺮﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﻧﺼ ﹸﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺼﻐﺮ￯‬ ‫طول مماس خارجي لدائرتين متباعدتين‪.‬‬ ‫‪M 55‬‬ ‫‪ ،4 cm‬وﻧﺼ ﹸﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﻜﺒﺮ￯ ‪ ،12 cm‬واﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ‬ ‫ﻣﺮﻛﺰ ﹾﻳ ﹺﻬﻤﺎ ‪ .55 cm‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل اﻟﺴﻠﺴــﻠ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻧﻘﻄ ﹶﺘ ﹾﻲ‬ ‫‪23‬‬ ‫ﺗﻤﺎ ﱢﺳﻬﺎ ﻣ ﹶﻊ اﻟ ﹸﻤﺴﻨﱠﻨﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪.‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في الخطوات المتبعة‪.‬‬ ‫اﻟﻤﻄﻠﻮ ﹸب ﻫ ﹶﻮ ﺣﺴﺎ ﹸب ﻃﻮ ﹺل ‪.DE‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫أرﺳــ ﹸﻢ ﻣ ﹾﻦ ‪ M‬ﻋﻤﻮ ﹰدا ﻋﻠــﻰ ‪ ،NE‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﺳــ ﹼﻤﻲ ﻧﻘﻄ ﹶﺔ‬ ‫ﻟﺮﻛﻮ ﹺب اﻟﺪ ﹼراﺟــ ﹺﺔ اﻟﻬﻮاﺋﻴ ﹺﺔ ﻓﻮاﺋ ﹸﺪ‬ ‫‪F12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ﺗﻘﺎﻃ ﹺﻌ ﹺﻪ ﻣ ﹶﻌﻬﺎ ‪ F‬ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫ﺻﺤﻴ ﹲﺔ وﺑﻴﺌﻴ ﹲﺔ ﻛﺜﻴــﺮ ﹲة‪ ،‬ﻣﻨﹾﻬﺎ‪ :‬ﺗﻘﻮﻳ ﹸﺔ‬ ‫‪M 55‬‬ ‫ﻋﻀﻼ ﹺت اﻟﺠﺴــ ﹺﻢ‪ ،‬واﻟﺘﻘﻠﻴ ﹸﻞ ﻣ ﹶﻦ‬ ‫اﻟﻤﻤﺎ ﱡس ﻳﺘﻌﺎﻣ ﹸﺪ ﻣ ﹶﻊ ﻧﺼ ﹺﻒ‬ ‫اﻟﺘﻠــ ﱡﻮ ﹺث اﻟﻨﺎﺟ ﹺﻢ ﻋ ﹺﻦ اﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹺل‬ ‫مثا ﻛل ﹾﻢإﻣﻤضﺎاﹼﹰﺳﺎفﻣﺸﺘيﺮ ﹰﻛﺎ ﹸﻳﻤﻜﹺ ﹸﻦ رﺳ ﹸﻤ ﹸﻪ ﻟﻜ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ أزوا ﹺج اﻟﺪواﺋ ﹺﺮ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ؟ أرﺳ ﹸﻤﻬﺎ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﺻ ﱢﻨ ﹸﻔﻬﺎ إﻟﻰ ﺧﺎرﺟﻴ‬ ‫اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﻤﺎ ﱢر ﺑﻨﻘﻄ ﹺﺔ اﻟ ﱠﺘﻤﺎ ﱢس‬ ‫وﺳﺎﺋ ﹺﻞ اﻟﻨﻘ ﹺﻞ اﻟﺘﻘﻠﻴﺪﻳ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪ MF‬ﻋﻤﻮد ﱞي ﻋﻠﻰ ‪NE‬‬ ‫‪m ∠NED =m ∠MDE = 90º‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮ ﹸع ﻗﻴﺎﺳﺎ ﹺت زواﻳﺎ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋ ﱢﻲ ‪360º‬‬ ‫ •في الشــكل المجاور‪ FG ،‬مماس مشــترك لدائرتين‬ ‫متماســتين مــن الخــارج‪ .‬إذا كان ‪،FG = 60 cm‬‬ ‫‪m ∠ MFE = 90º‬‬ ‫‪m ∠ DMF = 90º‬‬ ‫و‪ ،AC = 65 cm ‬فما طول ‪ GC‬؟  ‪45 cm‬‬ ‫‪G‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋ ﱡﻲ ‪ MDEF‬ﻣﺴﺘﻄﻴ ﹲﻞ؛ ﻷ ﱠن زواﻳﺎ ﹸه اﻷرﺑ ﹶﻊ ﻗﻮاﺋ ﹸﻢ‪.‬‬ ‫‪ 7‬ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر ﻣﻤﺎ ﱠﺳــ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣــ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄــ ﹺﺔ‪ AF‬ﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪E‬‬ ‫واﻵ ﹶن‪ ،‬ﹸأﻃ ﱢﺒ ﹸﻖ ﻧﻈﺮﻳ ﹶﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ﻗﺎﺋ ﹺﻢ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ MFN‬ﻷﹶ ﹺﺟ ﹶﺪ ﻃﻮ ﹶل ‪:MF‬‬ ‫ﻣﺘﻤﺎ ﱠﺳــﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺨﺎر ﹺج‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل ‪ CB‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﻘﻴﺎﺳﺎ ﹺت‬ ‫‪(MF)2 = (MN)2 – (FN)2‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳ ﹸﺔﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس‬ ‫‪A‬‬ ‫اﻟ ﹸﻤﺒ ﱠﻴﻨ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟ‪C‬ﺸﻜ ﹺﻞ‪.‬‬ ‫‪= 552 – ( 12 – 4)2‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫‪(MF)2 = 3025 – 64 = 2961‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪A‬‬ ‫ﺑﺄﺧ ﹺﺬاﻟﺠﺬ ﹺراﻟﺘﺮﺑﻴﻌ ﱢﻲﻟﻠﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪MF = √2961 = 54.4‬‬ ‫‪DE = MF = 54.4 cm‬‬ ‫‪ 8‬ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر داﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﺘﻤﺎ ﱠﺳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺨﺎر ﹺج‪ ،‬واﻟﻤﻤﺎ ﹼﺳﺎ ﹺت‪ ،AB :‬ﹶو ‪،AC‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﹶو ‪ .AD‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ، AC = 2 x + 5‬ﹶو ‪ ،AB = 3 x – 2‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤ ﹸﺔ ‪x‬؟‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﻌﺠﻠ ﹺﺔ اﻟ ﹸﻤﺴــ ﱠﻨﻨ ﹺﺔ اﻟﻜﺒﺮ￯ ﻓﻲ د ﹼراﺟ ﹴﺔ‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ﻃﻮ ﹶل اﻟﺴﻠﺴــﻠ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻧﻘﻄ ﹶﺘ ﹾﻲ‬ ‫ﺗﻤﺎ ﱢﺳﻬﺎ ﻣ ﹶﻊ اﻟ ﹸﻤﺴــ ﱠﻨﻨﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ ،40 cm‬وﻃﻮ ﹶل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﻌﺠﻠ ﹺﺔ اﻟ ﹸﻤﺴﻨﱠﻨ ﹺﺔ اﻟﺼﻐﺮ￯ ‪ ،5 cm‬واﻟﻤﺴﺎﻓ ﹶﺔ‬ ‫ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺮﻛ ﹶﺰ ﹺي اﻟﻌﺠﻠﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟ ﹸﻤﺴ ﱠﻨﻨﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ .41 cm‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫‪70‬‬ ‫إجابة التدريب في بند (أتحقق من فهمي ‪:)3‬‬ ‫‪D 40‬‬ ‫افترض أن ‪ ،NE = x cm‬فيكون ‪E FN = (x-5) cm‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪5‬‬ ‫بتطبيق نظرية فيثاغورس‪ ،‬فإن‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪M 41‬‬ ‫‪ (x-5)2 = 412 -402 = 81‬‬ ‫‪ x - 5 = 9‬‬ ‫‪ x = 14‬‬ ‫إذن‪ :‬طول نصف قطر العجلة الكبرى هو ‪. 14 cm‬‬ ‫‪70‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪2‬‬ ‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة بند (أتدرب وأحل المسائل)‪ ،‬ثم‬ ‫اطلب إليهم حل المسائل فيها‪.‬‬ ‫ﺧﺎرﺟﻲ‪.‬‬ ‫ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد إذا ﻛﺎ ﹶن اﻟﻤﻤﺎ ﱡس داﺧﻠ ﹰﹼﻴﺎ أ ﹾم ﺧﺎرﺟ ﹼﹰﻴﺎ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ •إذا واجــه بعض الطلبــة صعوبة في حل أي مســألة‪،‬‬ ‫‪23‬‬ ‫فاختر طال ًبا تم َّكن من حل المسألة‪ ،‬واطلب إليه كتابة‬ ‫داﺧﻠﻲ‪.‬‬ ‫حله على اللوح‪.‬‬ ‫داﺧﻠﻲ‪.‬‬ ‫ﻛ ﹾﻢ ﻣﻤﺎ ﹼﹰﺳﺎ ﻣﺸﺘﺮ ﹰﻛﺎ ﹸﻳﻤﻜﹺ ﹸﻦ رﺳ ﹸﻤ ﹸﻪ ﻟﻜ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ أزوا ﹺج اﻟﺪواﺋ ﹺﺮ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ؟ أرﺳ ﹸﻤﻬﺎ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﺻﻨﱢ ﹸﻔﻬﺎ إﻟﻰ ﺧﺎرﺟﻴ ﹴﺔ وداﺧﻠﻴ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪456‬‬ ‫ •أش ِرك الطلبة كاف ًة في حل هذه المسائل؛ لتنمية مهارات‬ ‫التفكير العليا لديهم‪.‬‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫ •تذ َّكــر أنه ليس شــر ًطا أن يتم َّكن الطلبــة كاف ًة من حل‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ 7‬ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر ﻣﻤﺎ ﱠﺳــ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣــ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄــ ﹺﺔ ‪ A‬ﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫المسائل جميعها‪ ،‬ولكن يجب عليهم أن يحاولوا حلها‪،‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ﻣﺘﻤﺎ ﱠﺳــﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺨﺎر ﹺج‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل ‪ CB‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﻘﻴﺎﺳﺎ ﹺت‬ ‫ويمكن التغلــب على ذلك بالطلب إلى الطلبة حل هذه‬ ‫‪13‬‬ ‫‪9‬‬ ‫اﻟ ﹸﻤﺒ ﱠﻴﻨ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪A .‬‬ ‫الأســئلة ضمن مجموعات غير متجانسة‪ ،‬وتشجيعهم‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫على تبرير الحلول التي يتو َّصلون إليها‪.‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪ 8‬ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر داﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﺘﻤﺎ ﱠﺳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺨﺎر ﹺج‪ ،‬واﻟﻤﻤﺎ ﹼﺳﺎ ﹺت‪ ،AB :‬ﹶو ‪،AC‬‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫ﹶو ‪ .AD‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ، AC = 2 x + 5‬ﹶو ‪ ،AB = 3 x – 2‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤ ﹸﺔ ‪x‬؟ اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫‪T‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة أن يحلوا في البيت الأسئلة من ‪ 9‬إلى‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ ،12‬إضافــ ًة إلى الأســئلة ذوات الأرقــام الفردية في‬ ‫‪CS‬‬ ‫الصفحة السادسة عشرة من كتاب التمارين‪.‬‬ ‫‪71‬‬ ‫ •في اليوم التالي‪ ،‬ا َّط ِلع على حلول الطلبة‪ ،‬ونا ِقشهم في‬ ‫أي صعوبات واجهوها في أثناء الحل‪ ،‬ثم اطلب إليهم‬ ‫حل مســائل مهارات التفكير العليا ضمن مجموعات‬ ‫غير متجانسة‪.‬‬ ‫مماس خارجي‬ ‫إجابات‪:‬‬ ‫‪  )4‬مماسان خارجيان‪ ،‬ومماس داخلي‪.‬‬ ‫مماس خارجي‬ ‫‪  )5‬مماس خارجي‪.‬‬ ‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫مماس داخلي‬ ‫مماس خارجي‬ ‫للتوسع في السؤال ‪ ،7‬اطلب إلى الطلبة إيجاد طول ‪. AB‬‬ ‫ســيبحث الطلبة عن مثلثين متشابهين‪ ،‬ثم يكتبون التناسب‬ ‫بيــن أطوال الأضــاع المتناظرة‪ ،‬ثم يجــدون طول ‪. AB‬‬ ‫‪AB = 48.6‬‬ ‫‪AB = AD‬‬ ‫‪  )8‬‬ ‫‪AC = AD‬‬ ‫مماسان مرسومان من النقطة ‪ A‬للدائرة التي مركزها ‪T‬‬ ‫‪AB = AC‬‬ ‫مماسان مرسومان من النقطة ‪ A‬للدائرة التي مركزها ‪S‬‬ ‫‪3x - 2 = 2x + 5‬‬ ‫‪    x = 7‬‬ ‫‪71‬‬

‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫ •إذا كان طــول مماس مشــترك داخلــي لدائرتين هو‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 9‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل ‪ AB‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﻘﻴﺎﺳﺎ ﹺت اﻟ ﹸﻤﺒ ﱠﻴﻨ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫‪ 45‬وحدة‪ ،‬والمسافة بين مركزيهما ‪ 51‬وحدة‪ ،‬وطول‬ ‫‪12‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫قطر إحدى الدائرتين ‪ 18‬وحدة‪ ،‬فما طول قطر الدائرة‬ ‫‪7‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪M 17‬‬ ‫الأخرى؟ ‪ 30‬وحدة‪.‬‬ ‫‪ 10‬ﺣــﺰا ﹲم ﻧﺎﻗ ﹲﻞ‪ :‬ﻳﻤ ﱡﺮ ﺣﺰا ﹲم ﺣﻮ ﹶل دوﻻﺑ ﹾﻴ ﹺﻦ داﺋﺮﻳ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﻧﺼ ﹸﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺼﻐﻴ ﹺﺮ ﻣﻨﹾ ﹸﻬﻤﺎ ‪ ،15 cm‬وﻧﺼ ﹸﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﻜﺒﻴ ﹺﺮ ‪ .25 cm‬إذا ﻛﺎ ﹶن‬ ‫ﻃﻮ ﹸل اﻟﺤﺰا ﹺم ﺑﻴ ﹶﻦ ﻧﻘﻄ ﹶﺘ ﹺﻲ اﻟ ﱠﺘﻤﺎ ﱢس ﻣ ﹶﻊ اﻟﺪوﻻﺑ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ ،2 m‬ﻓﻤﺎ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺮﻛ ﹶﺰ ﹺي اﻟﺪوﻻﺑ ﹾﻴ ﹺﻦ؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫‪ 11‬ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد وﺿ ﹶﻊ اﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒ ﹺﺔ إﻟﻰ ﺑﻌ ﹺﻀ ﹺﻬﻤﺎ إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎ ﹸﻫﻤﺎ‪. x2 + y2 – 6x + 8y – 11 =0, x2 + y2 = 25 :‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بأن موعد عرض نتائج المشروع قريب؛ لذا‬ ‫‪E y –1‬‬ ‫‪D‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫يتع َّين عليهم وضع اللمســات النهائية على المشروع‪،‬‬ ‫والتأ ُّكد أن عناصر المشــروع جميعهــا موجودة يوم‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫العرض‪.‬‬ ‫‪15 – x‬‬ ‫‪ 12‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ ‪ x‬ﹶو ‪ y‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C 3y – 17‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫‪ 13‬ﺗﺤــ ﱟﺪ‪ :‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸــﻜﻼ ﹺن اﻵﺗﻴﺎ ﹺن ﻃﺮﻳﻘﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻟﺮﺳــ ﹺﻢ داﺋﺮ ﹴة ﹸﺗﻼ ﹺﻣــ ﹸﺲ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺪاﺋــﺮ ﹺة اﻟﺰرﻗﺎ ﹺء‪ ،‬واﻟﺨﻀــﺮا ﹺء‪ ،‬واﻟﺤﻤﺮا ﹺء‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ‪ 6‬ﻃﺮاﺋ ﹶﻖ ﹸأﺧﺮ￯ ﻟﺮﺳ ﹺﻢ ﻫﺬ ﹺه اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫الختام‬ ‫‪6‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة رسم دائرتين متماستين من الخارج‪،‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ 14‬ﺑﺮﻫــﺎ ﹲن‪ :‬ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ‪ RS‬ﻓﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر ﻣﻤﺎ ﹼﹰﺳــﺎ‬ ‫طولا نصفي قطريهما ‪ ،4 cm‬و ‪ ،2 cm‬وهما تمســان‬ ‫‪A‬‬ ‫دائرة ثالثة من الداخل‪ ،‬طول قطرها ‪ 12‬وحدة‪.‬‬ ‫داﺧﻠ ﹼﹰﻴﺎ ﻣﺸــﺘﺮ ﹰﻛﺎ ﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﺮﻛﺰا ﹸﻫﻤﺎ ‪ ،A‬ﹶو ‪ B‬ﻋﻠﻰ ‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪RC‬‬ ‫=‬ ‫‪AC‬‬ ‫اﻟﺘﻮاﻟﻲ‪ .‬ﹸأﺛﺒﹺ ﹸﺖ أ ﱠن‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪SC‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫‪72‬‬ ‫إرشاد‪:‬‬ ‫لحل سؤال ‪ ،14‬و ِّجه الطلبة إلى ترتيب رؤوس المثلثين المتشابهين بصورة‬ ‫صحيحة؛ لأهمية ذلك عند كتابة تناسب أطوال الأضلاع‪ .‬ففي المثلثين‬ ‫المتشابهين المجاورين نكتب الجملة ‪E‬‬ ‫الآتية‪:‬‬ ‫‪F‬‬ ‫ •المثلث ‪ ABC‬يشابه المثلث ‪FGE‬؛‬ ‫‪A‬‬ ‫لأن الزاويــة ‪ A‬تطابــق الزاوية ‪،F‬‬ ‫والزاويــة ‪ B‬تطابــق الزاويــة ‪G ،G‬‬ ‫والزاوية ‪ C‬تطابق الزاوية ‪.E‬‬ ‫ •ونكتب تناسب أطوال الأضلاع وفق‬ ‫‪B‬‬ ‫الترتيب الصحيح‪C :‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫=‬ ‫‪AC‬‬ ‫=‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪FG‬‬ ‫‪FE‬‬ ‫‪GE‬‬ ‫‪72‬‬

‫‪ 4‬ﻃﻮ ﹸل اﻟﻘﻮ ﹺس اﻷﺻﻐ ﹺﺮ ‪ AB‬ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ ‪ π‬ﻓﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‬ ‫اﺧﺘﺒﺎ ُر ﻧﻬﺎﻳ ِﺔ اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫الوحد ُة‬ ‫ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫ﹶأﺿ ﹸﻊ داﺋﺮ ﹰة ﺣﻮ ﹶل رﻣ ﹺﺰ اﻹﺟﺎﺑ ﹺﺔ اﻟﺼﺤﻴﺤ ﹺﺔ ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ AB 1‬ﹶو ‪ CB‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ وﺗﺮا ﹺن ﻓﻲ داﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪.O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،AS = 4 cm‬ﹶو ‪ ،OT = 3 cm‬ﻓــﺈ ﱠن ﻃﻮ ﹶل ‪BC‬‬ ‫التقويم الختامي‪:‬‬ ‫ •را ِجع الطلبة في الأفكار الأساسية لدروس الوحدة‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺮا ﹺت ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبة إلى مجموعات غير متجانســة‪ ،‬ثم اطلب‬ ‫‪45º‬‬ ‫إلــى أفراد كل مجموعــة حل جزء من الأســئلة‪ ،‬ثم‬ ‫‪O‬‬ ‫عرض إجابتهم أمام أفراد المجموعات الأخرى‪.‬‬ ‫ •اختر جز ًءا من الأســئلة ليحلها الطلبــة واج ًبا منزل ًّيا‪،‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ونا ِقشهم فيها في اليوم التالي‪.‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪9π‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪ST‬‬ ‫ملحوظــة‪ُ :‬تخ َّصــص حصتان (‪ 90‬دقيقــة) للإجابة عن‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أسئلة الاختبار‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪9π‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪a) 6 b) 7‬‬ ‫‪c) 8 d) 10‬‬ ‫‪ 5‬ﻗﻴﻤ ﹸﺔ ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫‪ 2‬اﻋﺘﻤﺎ ﹰدا ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن ﻃﻮ ﹶل ‪ LM‬ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪95º‬‬ ‫‪D2 3 C‬‬ ‫‪61º‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪a) 61º‬‬ ‫‪b) 24º‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪c) 34º‬‬ ‫‪d) 95º‬‬ ‫‪ 6‬ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ DCA‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫‪a) 5 b) 8‬‬ ‫‪c) 10‬‬ ‫‪d) 13‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 3‬اﻋﺘﻤﺎ ﹰدا ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن ﻃﻮ ﹶل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‬ ‫‪O 58º B‬‬ ‫ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪T 16‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪23º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪x8‬‬ ‫‪Ox‬‬ ‫‪a) 41º‬‬ ‫‪a) 55º‬‬ ‫‪c) 45º‬‬ ‫‪b) 35º‬‬ ‫‪a) 5.75‬‬ ‫‪b) 12‬‬ ‫‪c) 4‬‬ ‫‪d) 8‬‬ ‫‪73‬‬ ‫‪73‬‬

‫ملاحظات المعلم‬ ‫اﺧﺘﺒﺎ ُر ﻧﻬﺎﻳ ِﺔ اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫‪ 7‬اﻟﻨﻘﻄــ ﹸﺔ اﻟﺘﻲ ﻻ ﺗﻘــ ﹸﻊ ﻋﻠــﻰ اﻟﺪاﺋــﺮ ﹺة اﻟﺘــﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺘﻬﺎ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻤﺴﺎﺣ ﹶﺔ واﻟﻤﺤﻴ ﹶﻂ ﻟﻜ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻘﻄﺎﻋ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫‪12 13‬‬ ‫)‪a) (–2, –1‬‬ ‫‪ (x + 2)2 + (y – 4)2 = 25‬ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫‪11 8‬‬ ‫)‪b) (1, 8‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫)‪50º c) (3, 4) d) (0, 5‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫‪A =285.1 ; L = 73.8‬‬ ‫‪A =173.1 ; L = 59.3‬‬ ‫‪ 8‬ﻋﺪ ﹸد اﻟﻤﻤﺎ ﹼﺳﺎ ﹺت اﻟﻤﺸﺘﺮﻛ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ رﺳ ﹸﻤﻬﺎ ﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ﻣﺘﻤﺎ ﱠﺳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺪاﺧ ﹺﻞ ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫‪ 14‬أﻗﻤﺎ ﹲر ﺻﻨﺎﻋﻴــ ﹲﺔ‪ :‬ﻳﺮﺗﻔ ﹸﻊ ﻗﻤ ﹲﺮ ﺻﻨﺎﻋ ﱞﻲ ﻣﺴــﺎﻓ ﹶﺔ ‪640 km‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ﻋ ﹾﻦ ﺳــﻄ ﹺﺢ اﻷر ﹺض اﻟﺘــﻲ ﻧﺼ ﹸﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫــﺎ ‪،6360 km‬‬ ‫‪a) 3 b) 2‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫و ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﻣﻨﹾ ﹸﻪ ﻣﺸﺎﻫﺪ ﹸة اﻟﻤﻨﻄﻘ ﹺﺔ اﻟﻮاﻗﻌ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻤﻤﺎ ﱠﺳ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪⟷SB‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ﹶو ‪⟷SA‬ﻣ ﹾﻦ ﺳﻄ ﹺﺢ اﻷر ﹺض‪ .‬ﻣﺎ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻘﻤ ﹺﺮ اﻟﺼﻨﺎﻋ ﱢﻲ‬ ‫‪c) 1 d) 0‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫وأﺑﻌ ﹺﺪ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﻣﺸﺎﻫﺪ ﹸﺗﻬﺎ ﻣﻨﹾ ﹸﻪ ﻋﻠﻰ ﺳﻄ ﹺﺢ اﻷر ﹺض؟‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫أﻛﺘ ﹸﺐ ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﺘــﻲ ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﻨﻘﻄﺘﺎ ﹺن )‪،A( 4, – 3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫‪ S‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ﹶو )‪ B( 6, 9‬ﻃﺮﻓﺎ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹴﺮ ﻓﻴﻬﺎ‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫‪640‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫‪(x -5)2 + (y – 3)2 = 37‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪74‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ﻗﻄﺎﻋ ﹾﻴ ﹺﻦ داﺋﺮﻳ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣ ﹾﻦ داﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻟ ﹸﻬﻤﺎ اﻟﻤﺮﻛ ﹸﺰ‬ ‫‪6360‬‬ ‫ﻧﻔ ﹸﺴــ ﹸﻪ ‪ .O‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻧﺼ ﹸﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺪاﺋــﺮ ﹺة اﻟﺼﻐﺮ￯ ‪ ،2x‬وﻧﺼ ﹸﻒ‬ ‫ﹸﻗ ﹾﻄــ ﹺﺮ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﻜﺒــﺮ￯ ‪ ،3x‬وﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳــ ﹺﺔ ‪ AOB‬ﻫ ﹶﻮ ‪،43º‬‬ ‫وﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘ ﹺﺔ ‪ ABCD‬ﻫ ﹶﻲ ‪ ،30 cm2‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ‪:‬‬ ‫‪ 15‬ﺣــﺰا ﹲم ﻣ ﹼﻄﺎﻃ ﱞﻲ‪ :‬ﻳــﺪو ﹸر ﺣــﺰا ﹲم ﻣ ﹼﻄﺎﻃ ﱞﻲ ﺣــﻮ ﹶل ﺑﻜﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪ 10‬ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ .x‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫داﺋﺮﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹶﻔــ ﹾﻲ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹶﺮ ﹾﻳ ﹺﻬﻤﺎ ‪ ،8 cm‬ﹶو ‪ 3 cm‬ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ 11‬اﻟﻔﺮ ﹶق ﺑﻴ ﹶﻦ ﻃﻮ ﹶﻟ ﹺﻲ اﻟﻘﻮﺳ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ ،CD‬ﹶو‪.AB‬‬ ‫اﻟﺘﻮاﻟــﻲ‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻃﻮ ﹸل اﻟﺤﺰا ﹺم ﺑﻴــ ﹶﻦ ﻧﻘﻄ ﹶﺘ ﹺﻲ اﻟ ﱠﺘﻤﺎ ﱢس ﻣ ﹶﻊ‬ ‫اﻟﺒﻜﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ ،25 cm‬ﻓﻤﺎ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺮﻛ ﹶﺰ ﹺي اﻟﺒﻜﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ؟‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪2x A‬‬ ‫‪O 43º‬‬ ‫‪3x B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪74‬‬ ‫إجابات‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪43‬‬ ‫×‬ ‫× ‪9x2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪43‬‬ ‫×‬ ‫‪4x2 ×π‬‬ ‫=‬ ‫ ‪30‬‬ ‫‪)10‬‬ ‫‪360‬‬ ‫‪360‬‬ ‫‪43‬‬ ‫×‬ ‫‪x2‬‬ ‫)‪×π(9-4‬‬ ‫=‬ ‫‪30‬‬ ‫‪360‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪30 × 360‬‬ ‫‪43 × 5π‬‬ ‫‪x2≈ 16⇒ x ≈ 4 cm‬‬ ‫‪  )11‬الفرق بين طولي القوسين ‪ ، CD‬و ‪ AB‬هو‪:‬‬ ‫‪43‬‬ ‫×‬ ‫× ‪6x‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪43‬‬ ‫×‬ ‫= ‪4x ×π‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪× 2x ×π‬‬ ‫‪360‬‬ ‫‪360‬‬ ‫‪360‬‬ ‫‪43‬‬ ‫≈‬ ‫‪360‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫‪×4‬‬ ‫≈‪×π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪cm‬‬ ‫‪  )14‬المســافة بين القمر الصناعي وأبعد نقطة يمكن مشــاهدتها منه على ســطح‬ ‫الأرض هي ‪: SA‬‬ ‫‪ (SA)2 = (640 + 6360)2 - 63602‬‬ ‫‪ = 70002 – 63602‬‬ ‫‪ =8550400‬‬ ‫‪ SA ≈ 2924 km‬‬

‫اﺧﺘﺒﺎ ُر ﻧﻬﺎﻳ ِﺔ اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫تدري ٌب على الاختبارا ِت الدولي ِة‬ ‫‪ 18‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻵﺗﻲ داﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﺘﻤﺎ ﱠﺳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺨﺎر ﹺج‪ ،‬ﹸر ﹺﺳ ﹶﻢ‬ ‫ﺗﺪرﻳ ﹲﺐ ﻋﻠﻰ اﻻﺧﺘﺒﺎرا ﹺت اﻟﺪوﻟﻴ ﹺﺔ‬ ‫هي أسئلة ُق ِّدمت في اختبارات وطنية‪ ،‬أو ُتحاكيها‪.‬‬ ‫ﻟ ﹸﻬﻤﺎ ﻣﻤﺎ ﱞس ﻣﺸﺘﺮ ﹲك ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ A‬اﻟﻮاﻗﻌ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹺﻢ‬ ‫في الســؤال ‪ ،18‬ذ ِّكر الطلبــة بحالات تشــابه المثلثات‪،‬‬ ‫‪ 16‬ﺗﺘﻘﺎﻃــ ﹸﻊ داﺋﺮﺗــﺎ ﹺن ﻣﺮﻛﺰا ﹸﻫﻤــﺎ ‪ A, D‬ﻓــﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘ ﹾﻴــ ﹺﻦ‬ ‫اﻟﻤﺎ ﱢر ﺑﺎﻟﻤﺮﻛﺰ ﹾﻳ ﹺﻦ ‪ N‬ﹶو ‪ .M‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻧﺼﻔﺎ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹶﺮ ﹺي اﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪ E‬ﹶو ‪ .C‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،AB = EC = 10 cm‬ﻓﻤــﺎ ﻃﻮ ﹸل ‪AD‬‬ ‫وعلاقة أضلاع ك ٍّل من المثلثين الناتجة من حالة التشابه‪.‬‬ ‫‪ 4‬وﺣﺪا ﹴت ﹶو ‪ 9‬وﺣﺪا ﹴت‪ ،‬ﻓﺄ ﱡي اﻟﻌﺒﺎرا ﹺت اﻟﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ ﺻﺤﻴﺤ ﹲﺔ‪:‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺮا ﹺت؟‬ ‫مشروع الوحدة‪:‬‬ ‫‪MN‬‬ ‫اطلب إلى الطلبة عرض نتائج مشروعهم‪ ،‬ثم نا ِقشهم فيها‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ (a‬ﻃﻮ ﹸل ‪ AN‬ﻳﺴﺎوي ﻃﻮ ﹶل ‪. AC‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ (b‬ﻃﻮ ﹸل ‪ BC‬ﻳﺴﺎوي ‪ 13‬وﺣﺪ ﹰة‪.‬‬ ‫‪a) 5√2‬‬ ‫‪c) 10√2‬‬ ‫‪b) 10√3‬‬ ‫= ‪. AC‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪(c‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪d) 5√3‬‬ ‫= ‪.AC‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪(d‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ 17‬اﻟﻨﻘﻄﺘﺎ ﹺن ‪ N‬ﹶو ‪ M‬ﻫﻤﺎ ﻣﺮﻛﺰا اﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪.‬‬ ‫‪ 19‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل ‪ AM‬ﻓﻲ اﻟﺴﺆا ﹺل اﻟﺴﺎﺑ ﹺﻖ ﹸﻣﺒ ﱢﻴﻨﹰﺎ ﺧﻄﻮا ﹺت اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‪.‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ﻣﺴــﺎﺣ ﹸﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘ ﹺﺔ اﻟ ﹸﻤﻈ ﱠﻠﻠ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﻜﺒﺮ￯‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫‪ 9‬وﺣﺪا ﹴت ﻣﺮ ﱠﺑﻌ ﹴﺔ‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﻣﺴــﺎﺣ ﹸﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘــ ﹺﺔ اﻟ ﹸﻤﻈ ﱠﻠﻠ ﹺﺔ ﻓﻲ‬ ‫‪ 20‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻵﺗﻲ ﻣﻀﻤﺎ ﹰرا ﻟﻠﺠﺮ ﹺي ﻣ ﹾﻦ ﺛﻤﺎﻧﻴ ﹺﺔ ﻣﺴﺎر ﹶب‪،‬‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﺼﻐﺮ￯ ﺑﺎﻟﻮﺣﺪا ﹺت اﻟﻤﺮ ﱠﺑﻌ ﹺﺔ؟‬ ‫ﻛ ﱞﻞ ﻣﻨﹾﻬﺎ ﻳﺘﻜ ﱠﻮ ﹸن ﻣ ﹾﻦ ﺟﺰأ ﹾﻳ ﹺﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﺘﻮازﻳ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬وﻧﺼ ﹶﻔ ﹾﻲ‬ ‫‪M aº‬‬ ‫‪N aº‬‬ ‫داﺋﺮﺗ ﹾﻴــ ﹺﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘ ﹾﻴــ ﹺﻦ ﺑ ﹺﻬﻤﺎ‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻋﺮ ﹸض ﻛ ﱢﻞ ﻣﺴــﺮ ﹴب‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ،1 m‬ﻓﺒﻜ ﹾﻢ ﻳﺰﻳــ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹸل اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﺪاﺧﻠ ﱢﻲ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺴــﺮ ﹺب‬ ‫اﻟﺜﺎﻟ ﹺﺚ ﻋﻠﻰ ﻃﻮ ﹺل اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﺪاﺧﻠ ﱢﻲ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺴﺮ ﹺب اﻷو ﹺل؟‬ ‫‪a) 3 b) 4‬‬ ‫‪c) 5 d) 7‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪75‬‬

‫كتاب التمارين‬ ‫اﻷﻗﻮا ُس واﻟﻘﻄﺎﻋﺎ ُت اﻟﺪاﺋﺮﻳ ُﺔ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫أوﺗﺎ ُر اﻟﺪاﺋﺮ ِة‪ ،‬وأﻗﻄﺎ ُرﻫﺎ‪ ،‬وﻣﻤﺎ ّﺳﺎﺗُﻬﺎ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :2‬اﻟﺪاﺋﺮةﹸ‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل اﻟﻘﻮ ﹺس وﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع إذا ﻛﺎ ﹶن ﻗﻴﺎ ﹸس زاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع ‪ ،120º‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ‪.21 cm‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪K‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﱢﺜــ ﹸﻞ ‪ N‬ﻣﺮﻛــ ﹶﺰ اﻟﺪاﺋــﺮ ﹺة ﻓــﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠــﺎو ﹺر‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪، JK = LM = 24 cm‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :2‬اﻟﺪاﺋﺮةﹸ‬ ‫‪= 14π ≈ 44.0 cm ; A = 147π ≈ 461.8 cm2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪P‬‬ ‫وﻛﺎ ﹶن ‪ ، NP = 9 cm‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل اﻟﻘﻮ ﹺس وﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع إذا ﻛﺎ ﹶن ﻗﻴﺎ ﹸس زاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع ‪ ،135º‬وﻃﻮ ﹸل ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ‪.14 cm‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ 1‬ﻃﻮ ﹶل ‪) . NQ‬اﻟﻮﺗﺮان اﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎن ﻳﺒﻌﺪان اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻧﻔﺴﻬﺎ ﻋﻦ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة( ‪9 cm‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ ﻗﻄﺎ ﹴع داﺋﺮ ﱟي ‪ ،35 cm2‬وﻛﺎ ﹶن ﻗﻴﺎ ﹸس‪2‬زا‪m‬وﻳ‪ c‬ﹺﺔ ا‪7‬ﻟ‪.‬ﻘ‪7‬ﻄﺎ‪ 5‬ﹺع ‪5،π72≈º‬ﻓﻤ‪7‬ﺎ‪.3‬ﻃﻮ‪ 8‬ﹸل‪ 1‬ﻧ=ﺼ ﹺ‪A‬ﻒ ;ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ‪m‬ا‪c‬ﻟﺪا‪5‬ﺋ‪.‬ﺮ ﹺ‪6‬ة؟‪= 5.25π ≈ 1‬‬ ‫‪ 2‬ﻃﻮ ﹶل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪15 cm .‬‬ ‫‪LQ M‬‬ ‫‪r ≈ 7.5 cm‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ ﻗﻄﺎ ﹴع داﺋﺮ ﱟي ‪ ،60 cm2‬وﻛﺎ ﹶن ﻗﻴﺎ ﹸس زاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع ‪ ،45º‬ﻓﻤﺎ ﻃﻮ ﹸل ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة؟ ‪d ≈ 24.7 cm‬‬ ‫‪ 6‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺤﻴ ﹶﻂ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع اﻟﺪاﺋﺮ ﱢي اﻵﺗﻲ‪.‬‬ ‫‪ 5‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺤﻴ ﹶﻂ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع اﻟﺪاﺋﺮ ﱢي اﻵﺗﻲ‪.‬‬ ‫)‪B (3x+12‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ ، SB‬ﹶو ‪ SA‬ﻣﻤﺎ ﹼﺳﺎ ﹺن ﻟﺪاﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ .Q‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ‪ ،10 cm‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ‪:‬‬ ‫‪L ≈ 188.3 cm‬‬ ‫‪ 3‬ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪x = 4 cm . x‬‬ ‫‪L ≈ 96.4 cm‬‬ ‫)‪Q (7x – 4‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 4‬ﻃﻮ ﹶل ‪QS = √102 + 242 = √676 = 26 cm .QS‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O 80º‬‬ ‫‪115º‬‬ ‫‪14cm B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪20cm B‬‬ ‫‪ 7‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع اﻟﺪاﺋﺮ ﱢي اﻟﻤﺠﺎو ﹺر ‪ ،200 cm2‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤ ﹸﺔ ‪θ‬؟‬ ‫)‪(5x – 25‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ ، MB‬ﹶو‪ MA‬ﻣﻤﺎ ﹼﺳﺎ ﹺن ﻟﺪاﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ .N‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ، MN = 34 cm‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ‪:‬‬ ‫‪θ ≈ 101.9°‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ 5‬ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪x = 11 cm . x‬‬ ‫)‪(2x + 8‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 6‬ﻃﻮ ﹶل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪r = √342 - 302 = √256 = 16 .‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪θº‬‬ ‫‪52º‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ 7‬ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر ﻣﻤﺎ ﹰﹼﺳﺎ ﻟﺪاﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ .O‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ ‪ ،x‬ﹶو ‪.y‬‬ ‫‪x = 38°; y = 64°‬‬ ‫‪135º 6cm‬‬ ‫‪ 8‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘ ﹺﺔ اﻟ ﹸﻤﻈ ﱠﻠﻠ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫ﻧﺎﻓﺬ ﹲة ﻋﻠﻰ ﺷﻜ ﹺﻞ ﻣﺴﺘﻄﻴ ﹴﻞ ﻃﻮ ﹸﻟﻬﺎ ‪ ،240 cm‬ﻳﻌﻠﻮ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴ ﹶﻞ ﻗﻮ ﹲس ﻣ ﹾﻦ داﺋﺮ ﹴة ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫‪11cm‬‬ ‫‪100.1 cm2‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ارﺗﻔﺎ ﹸع ﻣﻨﺘﺼ ﹺﻒ اﻟﻘﻮ ﹺس ﻋ ﹾﻦ ﻣﻨﺘﺼ ﹺﻒ اﻟﻀﻠ ﹺﻊ اﻟﻌﻠﻮ ﱢي ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴ ﹺﻞ ‪ ،45 cm‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ‪C :‬‬ ‫‪45cm‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻃﻮ ﹶل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﺘﻲ ﻛﺎ ﹶن اﻟﻘﻮ ﹸس ﺟﺰ ﹰءا ﻣﻨﹾﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪A D 120‬‬ ‫اﻟﻌﻤﻮد ‪ CD‬اﻟﻤﺎر ﺑﻤﻨﺘﺼﻒ اﻟﻮﺗﺮ ‪ AB‬ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻤﺮﻛﺰ ‪.O‬‬ ‫ﻋﻠﻮ ﹲم‪ :‬ﹸو ﹺﺿ ﹶﻌ ﹾﺖ ﻛﺮ ﹲة ﻃﻮ ﹸل ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪ 15cm‬ﻋﻠﻰ ﹸﺑ ﹾﻌ ﹴﺪ أﻓﻘ ﱟﻲ ﻳﺴﺎوي ‪ x‬ﻣ ﹾﻦ ﻋﻴ ﹺﻦ آﻻ ﹶء‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻃﻮ ﹸل ﺧ ﱢﻂ اﻟﺒﺼ ﹺﺮ اﻟﻮاﺻ ﹺﻞ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺮﻛ ﹺﺰ‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ ﻳﺴﺎوي ‪ r‬ﻓﺈن ﺑﻌﺪ اﻟﻤﺮﻛﺰ ﻋﻦ اﻟﻮﺗﺮ ‪ AB‬ﻳﺴﺎوي ‪r -45‬‬ ‫اﻟﻌﻴ ﹺﻦ وأﺑﻌ ﹺﺪ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻜﺮ ﹺة ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ أ ﹾن ﺗﺮاﻫﺎ آﻻ ﹸء ﻫ ﹶﻮ ‪ ،40cm‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤ ﹸﺔ ‪x‬؟‬ ‫‪r-45 240cm r‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ﻣﻦ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ﻳﻨﺘﺞ أن‪:‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪r2 = 1202 +(r – 45)2‬‬ ‫‪90r = 1202+ 452 = 16425‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪⇒ r = 182.5 cm 12‬‬ ‫اﻟﺰواﻳﺎ ﻓﻲ اﻟﺪاﺋﺮ ِة‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪3‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ ‪ O‬ﻫ ﹶﻲ ﻣﺮﻛ ﹶﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤ ﹸﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺸﻜﻠ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ؟‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x = 45°‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :2‬اﻟﺪاﺋﺮةﹸ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x = 30°‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪xO‬‬ ‫‪x = 134°; y = 23°‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﻤﺸﺎ ﹺر إﻟ ﹾﻴﻬﺎ ﺑﺄﺣﺮ ﹴف ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ )أﻓﺘﺮ ﹸض أ ﱠن ‪ O‬ﻫ ﹶﻲ ﻣﺮﻛ ﹸﺰ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة(‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪44º 23º‬‬ ‫‪59º‬‬ ‫‪76º‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪yO‬‬ ‫‪51º‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪38º y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪14º‬‬ ‫‪78º x‬‬ ‫‪x = 52°; y = 52°‬‬ ‫‪x = 32°; y = 19°‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪cb‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪42º O‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪x = 48°; y = 45°‬‬ ‫‪75º a‬‬ ‫‪106º‬‬ ‫‪a = b = c = 75°; d = 30°‬‬ ‫‪a = 53°; b = 53°‬‬ ‫‪ 9‬ﺗﻘــ ﹸﻊ اﻟﻨﻘــﺎ ﹸط‪ ،A :‬ﹶو‪ ،B‬ﹶو‪ ،C‬ﹶو ‪ D‬ﻋﻠﻰ داﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ .O‬اﻋﺘﻤﺎ ﹰدا ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻴﺎﺳــﺎ ﹺت اﻟ ﹸﻤﺒ ﱠﻴﻨ ﹺﺔ ﻓﻲ ‪C‬‬ ‫‪O 75º B‬‬ ‫اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ ،‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺰاوﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ ،OCA‬ﹶو ‪. DCA‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪31º m∠OCA = 15°; m∠DCA = 44°‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D O 18º‬‬ ‫‪ 10‬ﺗﻘ ﹸﻊ اﻟﻨﻘــﺎ ﹸط‪ ،A :‬ﹶو‪ ،B‬ﹶو‪ ،C‬ﹶو ‪ D‬ﻋﻠﻰ داﺋﺮ ﹴة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ .O‬اﻋﺘﻤﺎ ﹰدا ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻴﺎﺳــﺎ ﹺت اﻟ ﹸﻤﺒ ﱠﻴﻨ ﹺﺔ ﻓﻲ ‪C‬‬ ‫اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ ،‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺰاوﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ ،OAC‬ﹶو ‪. BCA‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪31º‬‬ ‫‪m∠BCA = 41°; m∠OAC = 18°‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪75A‬‬

‫كتاب التمارين‬ ‫اﻟﺪواﺋ ُﺮ اﻟﻤﺘﻤﺎ ﱠﺳ ُﺔ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟ ُﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ِة‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 1‬ﻛ ﹾﻢ ﻣﻤﺎ ﹼﹰﺳﺎ ﻣﺸﺘﺮ ﹰﻛﺎ داﺧﻠ ﹰﹼﻴﺎ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ أ ﹾن أرﺳ ﹶﻢ ﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﺘﻤﺎ ﱠﺳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺪاﺧ ﹺﻞ؟ ﺻﻔﺮ‬ ‫أﻛﺘ ﹸﺐ ﺑﺎﻟﺼﻮر ﹺة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴ ﹺﺔ ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺤﺎﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫‪ 1‬داﺋﺮ ﹲة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ )‪ ،(2, – 4‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪ 6‬وﺣﺪا ﹴت‪(x – 2)2 + (y +4)2 = 36 .‬‬ ‫‪ 2‬ﻛ ﹾﻢ ﻣﻤﺎ ﹼﹰﺳﺎ ﻣﺸﺘﺮ ﹰﻛﺎ ﺧﺎرﺟ ﹰﹼﻴﺎ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ أ ﹾن أرﺳ ﹶﻢ ﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ؟ ‪2‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :2‬اﻟﺪاﺋﺮةﹸ‬ ‫‪ 2‬داﺋﺮ ﹲة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ )‪ ،(–3, –1‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪ 4‬وﺣﺪا ﹴت‪(x + 3)2 + (y +1)2 = 16 .‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :2‬اﻟﺪاﺋﺮةﹸ‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ 3‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪⟷AB‬ﻣﻤﺎ ﹰﹼﺳــﺎ ﻣﺸﺘﺮ ﹰﻛﺎ ﻟﻠﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ ،‬ﻓﻤﺎ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ‬ ‫‪ 3‬داﺋﺮ ﹲة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ )‪ ،(2, 0‬وﺗﻤ ﱡﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ )‪(x – 2)2 + y2 = 109 .(5, 10‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ 4‬داﺋﺮ ﹲة ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ )‪ ،(7, 3‬وﺗﻤ ﱡﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ )‪(x – 7)2 + (y -3)2 = 32 .(3, –1‬‬ ‫ﻣﺮﻛ ﹶﺰ ﹺي اﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﻘﻴﺎﺳﺎ ﹺت اﻟ ﹸﻤﺒ ﱠﻴﻨ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ؟‬ ‫‪ 5‬داﺋﺮ ﹲة ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﻨﻘﻄﺘﺎ ﹺن )‪ A(11, -4), B(5, 6‬ﻧﻬﺎﻳ ﹶﺘ ﹾﻲ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹴﺮ ﻓﻴﻬﺎ‪(x – 8)2 + (y -1)2 = 34 .‬‬ ‫‪18 14‬‬ ‫‪(MN)2 = 202 + 42 = 416‬‬ ‫‪ 6‬داﺋﺮ ﹲة ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﻨﻘﻄﺘﺎ ﹺن )‪ S(4,12), T(6 , -8‬ﻧﻬﺎﻳ ﹶﺘ ﹾﻲ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹴﺮ ﻓﻴﻬﺎ‪(x – 5)2 + (y -2)2 = 101 .‬‬ ‫‪MN ≈ 20.4‬‬ ‫‪A 20 B‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ إﺣﺪاﺛ ﱠﻴ ﹺﻲ اﻟﻤﺮﻛ ﹺﺰ‪ ،‬وﻃﻮ ﹶل ﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ﻟﻜ ﱟﻞ داﺋﺮ ﹴة ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪7 (x + 6)2 + (y – 3)2 = 169 (-6, 3); r = 13‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪ 4‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪⟷AB‬ﻣﻤﺎ ﹼﹰﺳﺎ ﻣﺸــﺘﺮ ﹰﻛﺎ ﻟﻠﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ ،‬ﻓﻤﺎ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ‬ ‫‪8 3x2 + 3y2 + 12x – 36y – 72 = 0 (-2, 6); r = 8‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪9 x2 + (y – 7)2 = 225 (0, 7); r= 15‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ﻣﺮﻛ ﹶﺰ ﹺي اﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﻘﻴﺎﺳﺎ ﹺت اﻟ ﹸﻤﺒ ﱠﻴﻨ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ؟‬ ‫‪10 2x2 + 2y2 – 20x – 16y + 10 = 0 (5, 4); r = 6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪(MN)2 = 152 + 42 = 241‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪MN ≈ 15.5‬‬ ‫‪ 5‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪⟷ST‬ﻣﻤﺎ ﹼﹰﺳــﺎ ﻣﺸــﺘﺮ ﹰﻛﺎ ﻟﻠﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴــ ﹺﻦ ﻓــﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠــﺎو ﹺر‪S ،‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪P‬‬ ‫وﻛﺎ ﹶن ‪ ،PQ = 34 cm‬ﻓﻤﺎ ﻃﻮ ﹸل ‪⟷ST‬؟ ‪11 (ST )2 = 342 - 162 = 900‬‬ ‫‪T ST = 30 cm‬‬ ‫‪ 6‬ﹸر ﹺﺳــ ﹶﻤ ﹾﺖ داﺋﺮﺗﺎ ﹺن‪ ،‬اﻷوﻟﻰ ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫﺎ ‪ ،M‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪ ،25 cm‬واﻟﺜﺎﻧﻴ ﹸﺔ ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫــﺎ ‪ ، N‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪،36 cm‬‬ ‫واﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺮﻛﺰ ﹾﻳ ﹺﻬﻤﺎ ‪ ،61 cm‬و ﹸر ﹺﺳ ﹶﻢ ﻟ ﹸﻬﻤﺎ ﻣﻤﺎ ﱞس ﻣﺸﺘﺮ ﹲك‪ ،‬ﹶﻣ ﱠﺲ اﻟﺼﻐﺮ￯ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ ،A‬و ﹶﻣ ﱠﺲ اﻟﻜﺒﺮ￯ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ .B‬ﻣﺎ‬ ‫ﻧﻮ ﹸع اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋ ﱢﻲ ‪AMNB‬؟ ﻣﺎ أﻃﻮا ﹸل أﺿﻼ ﹺﻋ ﹺﻪ؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ 7‬ﹸر ﹺﺳــ ﹶﻤ ﹾﺖ داﺋﺮﺗﺎ ﹺن‪ ،‬اﻷوﻟﻰ ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫــﺎ ‪ ،P‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪ ،12 cm‬واﻟﺜﺎﻧﻴ ﹸﺔ ﻣﺮﻛ ﹸﺰﻫــﺎ ‪ ، Q‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪،27 cm‬‬ ‫‪ 11‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل اﻟﻤﻤﺎ ﱢس اﻟﻤﺮﺳﻮ ﹺم ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ )‪ ،T(8,7‬اﻟﺬي ﻳﻤ ﱡﺲ اﻟﺪاﺋﺮ ﹶة اﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺘﻬﺎ ‪.(x +5)2 + (y – 3)2 = 41‬‬ ‫واﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺮﻛﺰ ﹾﻳ ﹺﻬﻤﺎ ‪ ،39 cm‬و ﹸر ﹺﺳ ﹶﻢ ﻟ ﹸﻬﻤﺎ ﻣﻤﺎ ﱞس ﻣﺸﺘﺮ ﹲك‪ ،‬ﹶﻣ ﱠﺲ اﻟﺼﻐﺮ￯ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ ،R‬و ﹶﻣ ﱠﺲ اﻟﻜﺒﺮ￯ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ .S‬ﻣﺎ‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ﻧﻮ ﹸع اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋ ﱢﻲ ‪RPQS‬؟ ﻣﺎ أﻃﻮا ﹸل أﺿﻼ ﹺﻋ ﹺﻪ؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ 12‬ﹸﺗﻤ ﱢﺜــ ﹸﻞ اﻟﻨﻘــﺎ ﹸط‪ ،A(–5, –2) :‬ﹶو )‪ ،B(7, –8‬ﹶو )‪ C( 3, –16‬ﻣﻮاﻗ ﹶﻊ ‪ 3‬أﺑﺮا ﹺج اﺗﺼﺎﻻ ﹴت‪ .‬ﹶأ ﹺﺟــ ﹸﺪ ﻣﻮﻗ ﹶﻊ اﻟﺒﺮ ﹺج اﻟﺮاﺑ ﹺﻊ اﻟﺬي ﻳﺒﻌ ﹸﺪ‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹶﺔ ﻧﻔ ﹶﺴﻬﺎ ﻋ ﹺﻦ اﻷﺑﺮا ﹺج اﻟﺜﻼﺛ ﹺﺔ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﻛﺘ ﹸﺐ ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة اﻟﺘﻲ ﺗﻘ ﹸﻊ ﻋﻠ ﹾﻴﻬﺎ اﻷﺑﺮا ﹸج اﻟﺜﻼﺛ ﹸﺔ‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪16‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪75B‬‬

‫ملحق الإجابات‬ ‫‪   )23‬رسم شكل‪ ،‬وافتراض أن ‪BN = x‬‬ ‫الدرس ‪:1‬‬ ‫قول ســارة غير صحيح؛ لأن ‪ BN‬هو وتر فــي المثلث القائم ‪ ABN‬وعليه‪،‬‬ ‫‪( OX = OY   )13‬نصفا قطرين في الدائرة)‪.‬‬ ‫فإن‪:‬‬ ‫‪( PO = PO‬ضلع مشترك)‪.‬‬ ‫‪(BN)2 = (AB)2 + (AN)2‬‬ ‫‪( m∠PXO = m∠PYO = 90°‬المماس يعامد نصف القطر)‪.‬‬ ‫‪x2 = 25 + 9 = 34‬‬ ‫يتطابق المثلثان القائمان بضلع ووتر‪.‬‬ ‫‪x = √34 ≈ 5.8 cm‬‬ ‫‪Nx‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ُ   )16‬تع َّين نقطتان على حافة الطاولة‪ ،‬ويو َصل بينهما بقطعة مســتقيمة‪ ،‬ثم‬ ‫ُيستع َمل فرجار ومسطرة لرسم المنصف العمودي لهذه القطعة المستقيمة‪،‬‬ ‫‪3 cm‬‬ ‫‪5 cm‬‬ ‫و ُي َم ُّد هذا العمود من الجهتين حتى يقطع حافة الطاولة في نقطتين تســميان‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ ،C, D‬ثم ُير َســم المنصف العمودي للقطعة المستقيمة ‪ ، CD‬فتكون نقطة‬ ‫الدرس ‪:2‬‬ ‫تقاطع هذا المنصف مع ‪ CD‬هي مركز الطاولة‪.‬‬ ‫‪  )23‬مســاحة الجزء المظلل تساوي مســاحة المثلث ‪ ABC‬مطرو ًحا منها‬ ‫‪ NP  )21‬يعامد الوتر ‪ AB‬؛ فهو ينصفه؛ أي إن‪AP = 7 cm :‬‬ ‫مساحة القطاع الدائري ‪APQ‬‬ ‫بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم ‪ ،APN‬فإن‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪× 6 × 3√3‬‬ ‫‪= 9√3‬‬ ‫مساحة المثلث تساوي ‪:cm2‬‬ ‫‪ (PN)2 = (AN)2 – (AP)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ = 122 – 72 = 95‬‬ ‫(لأن قاعدته ‪ ،6‬وارتفاعه ‪.) √36 - 9 = √27 = 3√3‬‬ ‫‪ PN = √95 ≈ 9.75 cm‬‬ ‫مســاحة القطاع الدائري ‪ APQ‬تســاوي ‪36600× 32 × π = 1.5π :cm2‬‬ ‫وبتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم ‪ ،APO‬فإن‪:‬‬ ‫(لأن نصف قطر الدائرة ‪ ،3‬وزاوية القطاع ‪.)60°‬‬ ‫‪OP ≈ 16.58 cm‬‬ ‫‪ON = OP + PN ≈ 26.33 cm‬‬ ‫مساحة الجزء المظلل تساوي ‪9√3 -1.5π ≈ 10.9 cm2:‬‬ ‫الدرس ‪:3‬‬ ‫‪  )22‬وصل ‪ O‬مع ‪ ،A, D‬فينتج مثلثان قائمي الزاوية ‪ OMA, OND‬فيهما‪:‬‬ ‫‪  )21‬بافتــراض أن ‪ ، m∠AED = x‬فإن ‪ m∠ABC = x‬؛ لأنهما زاويتان‬ ‫‪( OA = OD‬نصفا قطرين في الدائرة)‪.‬‬ ‫متقابلتــان في متوازي أضــاع‪ ،‬ولكــن ‪ m∠ADC = 180°‬؛ لأن ‪،ABC‬‬ ‫‪m∠OND = m∠OMA = 90°‬‬ ‫و‪ ADC ‬زاويتان متقابلتان في رباعي دائري‪.‬‬ ‫وأي ًضا ‪ m∠ADE + m∠ADC = 180°‬؛ لأنهما ُتك ِّونان زاوية مستقيمة‪.‬‬ ‫= ‪( ND‬العمود المرسوم من مركز الدائرة إلى وتر فيها ينصفه)‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪DC‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذن‪m∠ADE + 180° - x = 180° :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أي إن‪m∠ADE = x :‬‬ ‫(العمود المرسوم من مركز الدائرة إلى وتر فيها ينصفه)‪.‬‬ ‫= ‪AM‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫إذن‪m∠ADE = m∠AED :‬‬ ‫‪( ND= AM‬لأن ‪.)CD = AB‬‬ ‫فيتطابق المثلثان القائمان بضلع ووتر‪ ،‬وتكون عناصرهما المتناظرة متطابقة‪.‬‬ ‫‪m∠ACB = m∠BAY = 64°  )26‬‬ ‫إذن‪ON = OM :‬؛ أي إن الوتريــن ‪ AB, CD‬يبعدان المســافة نفســها عن‬ ‫المركز ‪.O‬‬ ‫‪m∠ACX = 180° - m∠ACB = 180° - 64° = 116°‬‬ ‫‪m∠CAX = 180° - (32° + 116°) = 32°‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪m∠AXC = m∠CAX = 32°‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪M‬‬ ‫إذن‪ :‬المثلث ‪ ACX‬متطابق الضلعين؛ لأن فيه زاويتين متطابقتين‪.‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪m∠AOP = 2x  )28‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪m∠APO‬‬ ‫=‬ ‫‪180° -‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫=‬ ‫‪90°‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪m∠APT = 90° - (90°-x) = 90° - 90° + x = x‬‬ ‫‪m∠APT = m∠APB = x‬‬ ‫‪75C‬‬

‫‪  )21‬بمــا أن الدائرة الصغــرى تمس المحور ‪ ،x‬فإن طــول نصف قطرها‬ ‫‪a = 5x + 2x = 7x  )29‬‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫‪ 3‬وحدات‪ ،‬ومعادلتها هي‪:‬‬ ‫(زاوية خارجية بالنسبة إلى المثلث الكبير الأيسر)‪.‬‬ ‫‪(x – 7)2 + (y - 3)2 = 9‬‬ ‫‪( b = a + 3x‬زاوية خارجية بالنسبة إلى المثلث الأيمن)‪.‬‬ ‫وبما أن الدائرة الكبرى تمس المحور ‪ ،y‬فإن طول نصف قطرها ‪ 7‬وحدات‪،‬‬ ‫‪= 7x + 3x = 10x‬‬ ‫ومعادلتها هي‪:‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪(x – 7)2 + (y - 3)2 = 49‬‬ ‫‪b‬‬ ‫مســاحة الممر يساوي الفرق بين مســاحة الدائرة الكبرى ومساحة الدائرة‬ ‫الصغرى‪.‬‬ ‫‪5x a 3x‬‬ ‫‪A = 72 × π - 32 × π = 40π‬‬ ‫الزاويتان اللتــان قياس ك ٍّل منهما ‪ b, 5x‬هما زاويتــان متقابلتان في مضلع‬ ‫رباعي دائري‪ ،‬إذن‪ :‬مجموع قياسيهما هو ‪180°‬‬ ‫‪y‬‬ ‫وعليه‪ ،‬فإن‪5x + b = 180° :‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5x + b = 180°‬‬ ‫)‪5 (7, 3‬‬ ‫‪5x + 10x = 180°‬‬ ‫‪73‬‬ ‫‪15x = 180°‬‬ ‫‪0 5 10 15 x‬‬ ‫‪x = 12°‬‬ ‫‪  )25‬بتعويض ‪ y = 3x – 2‬في معادلة الدائرة‪ ،‬ينتج‪:‬‬ ‫الدرس ‪:4‬‬ ‫‪x2 + (3x – 2)2 + 4x - 24(3x-2) + 108 = 0‬‬ ‫‪x2 + 9x2 -12x + 4 + 4x – 72x + 48 + 108 = 0‬‬ ‫‪  )18‬معادلة الدائرة التي تمثل حدود المنطقة التي يصلها البث هي‪:‬‬ ‫‪10x2 - 80x + 160 = 0 ⇒ x2- 8x + 16 = 0‬‬ ‫‪(x -7)2 + (y - 4)2 = 2242‬‬ ‫‪(x - 4)2 = 0 ⇒ x = 4‬‬ ‫‪y = 3(4) - 2 = 10‬‬ ‫بتعويض إحداثيات النقطة التي تمثل موقع بيت عمر في المعادلة‪ ،‬ينتج‪:‬‬ ‫إذن‪ :‬هــذا المســتقيم مماس للدائرة؛ لأنــه يقطعها في نقطــة واحدة فقط‬ ‫‪(-75 -7)2 + (95 - 4)2 = 2242‬‬ ‫هي‪. (4, 10) :‬‬ ‫‪42928704 = 50176‬‬ ‫وهي عبارة غير صحيحة‪.‬‬ ‫وبما أن الطرف الأيســر أكبر من الطرف الأيمــن‪ ،‬فإن بيت عمر يقع خارج‬ ‫المنطقة التي يصلها البث‪.‬‬ ‫‪  )27‬نعم‪ ،‬قولــه صحيح؛ فإذا ُح ِّولت المعادلة إلى الصورة القياســية فإن‬ ‫‪(2(x – 2))2 + (2(y + 3))2 = 100  )19‬‬ ‫طرفها الأيمن يكون سال ًبا‪ ،‬ولا يوجد عدد حقيقي مربعه سالب‪.‬‬ ‫‪4(x-2)2 + 4(y +3)2 = 100‬‬ ‫‪(x-7)2 +(y + 3)2 = -59 +49 + 9 ⇒ (x-7)2 +(y + 3)2 = -1‬‬ ‫بالقسمة على ‪ 4‬ينتج‪(x-2)2 + (y +3)2 = 25 :‬‬ ‫المركز هو )‪ ،(2, -3‬وطول نصف القطر ‪ 5‬وحدات‪.‬‬ ‫‪  )20‬بإكمال المربع ينتج أن‪:‬‬ ‫‪(x +‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(y+‬‬ ‫‪3)2‬‬ ‫=‬ ‫‪96‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪P‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫=‬ ‫‪96‬‬ ‫(‪+‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪112 = 105 +‬‬ ‫‪P 2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪121-‬‬ ‫‪105‬‬ ‫=‬ ‫‪P 2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪p2‬‬ ‫=‬ ‫‪64‬‬ ‫⇒‬ ‫‪p‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫إذن‪:‬‬ ‫مركــز الدائــرة‪ ،(-4, -3) :‬و ُب ْعده عــن نقطة الأصــل‪ √16+9 :‬؛ أي‬ ‫‪ 5‬وحدات‪.‬‬ ‫‪75D‬‬

‫‪ُ   )9‬ير َســم العمود ‪ MC‬على ‪ ، NB‬فينتج المســتطيل ‪ ، ABCM‬والمثلث‬ ‫‪(AB)2 = (8-9)2 + (21 – (-4))2 – 49 = 577  )28‬‬ ‫القائم ‪.MCN‬‬ ‫‪AB = √577 ≈ 24‬‬ ‫بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث ‪ ،MCN‬فإن‪:‬‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫مساحة الشكل ‪ ABCD‬تساوي مثلي مساحة المثلث القائم ‪:ABC‬‬ ‫‪172 = (MC)2 + 52‬‬ ‫‪(MC)2 = 264‬‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪× 24 ×7) = 168‬‬ ‫‪MC ≈ 16.2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AB = MC ≈ 16.2‬‬ ‫إذن‪ :‬مساحة الشكل ‪ ABCD‬هي ‪ 168‬وحدة مربعة تقري ًبا‪.‬‬ ‫)‪A (8, 21‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪M 17‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪B7 7‬‬ ‫)‪C(9, -4‬‬ ‫‪ُ   )10‬ير َسم شكل ُيو ِّضح المسألة‪.‬‬ ‫‪  )29‬لتكن الصورة القياسية لهذه المعادلة هي‪(x – h)2 + (y- k)2 = j 2 :‬‬ ‫لتكــن النقطتــان ‪ ،S‬و ‪ T‬مركزي الدولابين‪ ،‬ولتكــن ‪ ،A‬و ‪ B‬نقطتي تماس‬ ‫بفك الأقواس‪ ،‬ينتج‪:‬‬ ‫الحزام مع الدولابين‪.‬‬ ‫‪x2-2hx + h2 + y2 -2ky + k2 = j 2‬‬ ‫‪x2 + y2 - 2hx -2ky + h2 + k2 - j 2 = 0‬‬ ‫ُير َسم العمود ‪ SR‬على ‪ ، TB‬فينتج المستطيل ‪ ،ABRS‬والمثلث القائم ‪.SRT‬‬ ‫بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث ‪ ، SRT‬فإن‪:‬‬ ‫وبمقارنة هذه المعادلة مع المعطاة في السؤال‪ ،‬وهي‪:‬‬ ‫‪(ST)2 = (SR)2 + 102‬‬ ‫‪x2 + y2 + 8x -10y + 24 = 0‬‬ ‫‪(ST)2 = 2002 + 102 = 40100‬‬ ‫ينتج أن‪8 = -2h ; - 10 = - 2k ; 24 = h2 + k2 – j 2 :‬‬ ‫‪ST ≈ 200.2 cm‬‬ ‫أي إن‪24 = (-4)2 + 52 -j2 ⇒ j2 = 17 ; h = -4; k =5 :‬‬ ‫إذن‪ :‬الصورة القياسية لهذه المعادلة هي‪. (x + 4)2 + (y - 5)2 = 17 :‬‬ ‫‪2 m = 200 cm‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪R‬‬ ‫الدرس ‪:5‬‬ ‫‪15 cm‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪25 cm‬‬ ‫‪ُ   )7‬ير َســم العمود ‪ OP‬علــى ‪ ، QC‬فينتج المســتطيل ‪ ، OPCB‬والمثلث‬ ‫القائم ‪.OPQ‬‬ ‫‪x2 + y2 – 6x + 8y -11 = 0   )11‬‬ ‫بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث ‪ ،OPQ‬فإن‪:‬‬ ‫‪(x -3)2 -9 + (y + 4)2 -16 -11 = 0‬‬ ‫ ‬ ‫‪222 = 42 + (OP)2‬‬ ‫‪(x -3)2 + (y + 4)2 = 36‬‬ ‫ ‬ ‫‪(OP)2 = 222 – 42 =468‬‬ ‫مركز هذه الدائرة هو )‪ ،(3, -4‬وطول نصف قطرها ‪ 6‬وحدات‪،‬‬ ‫‪OP ≈ 21.6‬‬ ‫‪CB = OP ≈ 21.6‬‬ ‫ومركز الدائرة الثانية هو )‪ ،(0, 0‬وطول نصف قطرها ‪ 5‬وحدات‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫المسافة بين مركزيهما هي‪√32 + (-4)2 = √25 = 5 :‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪E‬‬ ‫مجموع نصفي القطرين هو ‪ ،11‬والفرق بينهما ‪1‬‬ ‫‪13 4‬‬ ‫‪O‬‬ ‫بما أن ‪ ،1 < 5 < 11‬فإن الدائرتين متقاطعتان في نقطتين‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪CB‬‬ ‫‪75E‬‬

‫نتيجة لهذا التشابه؛ فإن الأضلاع المتناظرة في المثلثين ‪ ARC‬تكون متناسبة؛‬ ‫‪ AB = AD  )12‬مماسان للدائرة الصغرى‪ ،‬مرسومان من النقطة ‪:A‬‬ ‫أي إن‪:‬‬ ‫‪3x = 15 – x‬‬ ‫‪4x = 15 ⇒ x = 3.75‬‬ ‫‪AR‬‬ ‫=‬ ‫‪RC‬‬ ‫=‬ ‫‪AC‬‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫‪BS‬‬ ‫‪SC‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪ AE = AC‬مماسان للدائرة الكبرى‪ ،‬مرسومان من النقطة ‪:A‬‬ ‫‪RC‬‬ ‫=‬ ‫‪AC‬‬ ‫إذن‪:‬‬ ‫‪ 3x + y -1 = 15 – x +3y -17‬‬ ‫‪SC‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪ 2y = 4x + 1‬‬ ‫‪ 2y = 15 + 1 =16‬‬ ‫اختبار نهاية الوحدة‬ ‫‪ y = 8‬‬ ‫‪  )15‬بافتــراض أن مركــزي البكرتين همــا‪ ،M :‬و ‪ ،N‬وأن نقطتي تماس‬ ‫‪  )13‬في ما يأتي الطرائق الســت الأخرى لرســم دائرة تمس ثلاث دوائر‬ ‫الحــزام مع البكرتين هما‪ ،A :‬و ‪ُ ،B‬ير َســم عمود مــن ‪ N‬إلى ‪ AM‬كما في‬ ‫متباعدة معطاة‪:‬‬ ‫الشكل المجاور‪.‬‬ ‫بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم ‪ ، MLN‬فإن‪:‬‬ ‫‪(MN)2 = (NL)2 + (ML)2‬‬ ‫‪= 252 + (8-3)2 = 650‬‬ ‫‪MN = √650 ≈ 25.5 cm‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫  ‬ ‫‪L‬‬ ‫‪MN‬‬ ‫‪  )19‬المثلثان ‪ ،AMB‬و ‪ ANC‬متشابهان؛ لأن‪:‬‬ ‫‪( m∠ABN = m∠ACM = 90°‬المماس يعامد نصف القطر المار بنقطة‬ ‫  ‬ ‫التماس)‪.‬‬ ‫  ‬ ‫‪( m∠BAM = m∠CAN‬زاوية مشتركة في المثلثين)‪.‬‬ ‫إذن‪ :‬يتشابه المثلثان؛ لوجود زاويتين في المثلث الأول مطابقتين لنظيرتيهما‬ ‫في المثلث الثاني‪.‬‬ ‫نتيجة لذلك؛ فإن الأضلاع المتناظرة في المثلثين تكون متناسبة؛ أي إن‪:‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫=‬ ‫‪AM‬‬ ‫=‬ ‫‪BM‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪AN‬‬ ‫‪CN‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫=‬ ‫‪BM‬‬ ‫إذن‪:‬‬ ‫‪AN‬‬ ‫‪CN‬‬ ‫ولكن‪، AN = AM + MN = AM + 13 :‬‬ ‫‪   )14‬المثلثان ‪ ، BSC‬و ‪ ARC‬متشابهان؛ لأن‪:‬‬ ‫‪( m∠RCA = m∠SCB‬زاويتان متقابلتان بالرأس)‪.‬‬ ‫بافتراض أن ‪AM = x‬‬ ‫‪( m∠ARC = m∠BSC = 90°‬الممــاس يعامد نصف القطر المار بنقطة‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫إذن‪:‬‬ ‫التماس)‪.‬‬ ‫‪x + 13‬‬ ‫‪9‬‬ ‫إذن‪ :‬يتشابه المثلثان ‪ ،ARC‬و ‪BSC‬؛ لأن زاويتين في المثلث الأول مطابقتان‬ ‫)‪9x = 4x + 4(13‬‬ ‫لزاويتين مناظرتين لهما في المثلث الثاني‪.‬‬ ‫‪5x = 52 ⇒ x = 10.4‬‬ ‫‪75F‬‬

‫‪)12‬‬ ‫‪  )20‬طول الحد الداخلي للمســرب الأول يســاوي محيــط نصفي دائرة‬ ‫أفرض أن موقع البرج الرابع هو )‪(x, y‬‬ ‫إذن‪(x-3)2 + (y +16)2 = (x-7)2 + (y + 8)2 ،‬‬ ‫قطرها ‪ 73 m‬مضا ًفا إليه طولي الجزأين المستقيمين من المسرب‪:‬‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫‪x2 – 6x +9 + y2 +32y + 256 = x2 – 14x + 49 + y2 +16y + 64‬‬ ‫(‪L1 = 2‬‬ ‫‪73π‬‬ ‫‪) + 2(120) = 240 +73π ≈ 469.3 m‬‬ ‫)‪8x + 16y = -152 ⇒ x + 2y = -19 ……………...…… (1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وبتبسيطها ينتج أن‪(x-3)2 + (y +16)2 = (x+5)2 + (y +2)2 :‬‬ ‫طول الحد الداخلي للمســرب الثالث يســاوي محيط نصفي دائرة قطرها‬ ‫وكذلك‪،‬‬ ‫‪ 77 m‬مضا ًفا إليه طولي الجزأين المستقيمين من المسرب‪:‬‬ ‫)‪-16x + 28y = -236 ⇒ -4x +7y = -59 ………..…… (2‬‬ ‫(‪L3 = 2‬‬ ‫‪77π‬‬ ‫‪) + 2(120) = 240 +77π ≈ 481.9 m‬‬ ‫وبحل المعادلتين ‪ 1‬و ‪ 2‬نجد أن ‪ x = -1; y = -9‬موقع البرج الرابع هو‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ (-1, -9‬وهو مركز الدائرة‪ ،‬ومعادلتها هي‪(x+1)2 + (y + 9)2 = 65 :‬‬ ‫‪L3 - L1 = 481.9 - 469.3 = 12.6 m‬‬ ‫كتاب التمارين‪ :‬الدرس ‪:5‬‬ ‫إذن‪ :‬يزيد الحد الداخلي للمسرب الثالث بنحو ‪ 12.6 m‬على الحد الداخلي‬ ‫‪ )6‬الدائرتان متماســتان من الخارج لأن المســافة بين مركزيهما تســاوي‬ ‫للمسرب الأول‪.‬‬ ‫مجموع طولي نصفي قطريهما‪.‬‬ ‫كتاب التمارين‪ :‬الدرس ‪:2‬‬ ‫الشكل ‪ AMNB‬شبه منحرف فيه‪AM = 25 cm; BN = 36 cm :‬‬ ‫‪ )9‬خط بصر آلاء ‪ A→B‬يمثل مما ًسا للكرة‪ ،‬وتمثل الدائرة مقط ًعا من الكرة يمر‬ ‫و ‪ MN = 61 cm‬ونحسب طول الضلع الرابع كما يلي‪:‬‬ ‫بمركزها‪.‬‬ ‫‪(AB)2 = 612 – 112 = 3600 ⇒ AB = 60 cm‬‬ ‫نصف قطر الدائرة يساوي نصف قطر الكرة وهو ‪7.5 cm‬‬ ‫من نظرية فيثاغورس ينتج أن‪:‬‬ ‫‪(x +7.5)2 = 402 +7.52 = 1656.25‬‬ ‫‪x + 7.5 ≈ 40.7‬‬ ‫‪x ≈ 48.2 cm‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪40 cm‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪7.5‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪7.5 cm‬‬ ‫كتاب التمارين‪ :‬الدرس ‪:4‬‬ ‫‪ )7‬الدائرتان متماســتان من الخارج لأن المســافة بين مركزيهما تســاوي‬ ‫‪)11‬‬ ‫مجموع طولي نصفي قطريهما‪.‬‬ ‫‪(TA)2 = ((8 –(-5))2 + (7-3)2) - 41 = 144‬‬ ‫الشكل ‪ RPQS‬شبه منحرف فيه‪RP =12cm :‬‬ ‫‪ PQ = 39 cm‬و ‪QS = 27 cm‬‬ ‫‪⇒ TA = 12‬‬ ‫ونحسب طول الضلع الرابع كما يلي‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪(SR)2 = 392 – 152 = 1256 ⇒ SR = 36 cm‬‬ ‫)‪T (8, 7‬‬ ‫)‪C (-5, 3‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪SR‬‬ ‫‪75G‬‬

‫ورقة المصادر ‪1‬‬ ‫الشكل (‪x .)1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫الشكل (‪.)2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫الشكل (‪.)3‬‬ ‫‪75H‬‬