دليل عاشر المعلم-الفصل الأول

‫مشروع الوحدة‪ :‬صنع كلينومتر واستعماله‪.‬‬ ‫ﻣﺸﺮو ُع‬ ‫ﺻﻨ ُﻊ ﻛﻠﻴﻨﻮﻣﺘ ٍﺮ واﺳﺘﻌﻤﺎﻟُ ُﻪ‬ ‫هدف المشــروع‪ :‬يهدف مشــروع الوحــدة إلى نمذجة‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫مواقــف حياتية علــى المثلثات‪ ،‬والتوســع في معرفــة الطلبة‬ ‫لاستعمالات النسب المثلثية‪ ،‬وتوظيفها في إيجاد قياسات زوايا‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﻤﺸﺮو ِع ﺻﻨ ﹸﻊ ﺟﻬﺎ ﹴز ﺑﺴﻴ ﹴﻂ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﻴﺎﺳﺎ ﹺت زواﻳﺎ اﻻرﺗﻔﺎ ﹺع واﻻﻧﺨﻔﺎ ﹺض‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸﻟ ﹸﻪ‪.‬‬ ‫اﻟﻤﻮا ﱡد واﻷدوا ُت ﻣﺎ ﱠﺻ ﹸﺔ ﺷﺮا ﹴب‪ ،‬ﻣﻨﻘﻠ ﹲﺔ‪ ،‬ﺧﻴ ﹲﻂ‪ ،‬ﻛﺘﻠ ﹲﺔ )ﻣﻔﺘﺎ ﹲح‪ ،‬أ ﹾو ﻣﻤﺤﺎ ﹲة(‪ ،‬ﻻﺻ ﹲﻖ ﺷ ﹼﻔﺎ ﹲف‪ ،‬ﺷﺮﻳ ﹸﻂ ﻗﻴﺎ ﹴس‪.‬‬ ‫الارتفاع والانخفاض باستعمال أدوات بسيطة من بيئتهم‪.‬‬ ‫ﺧﻄﻮا ﹸت ﺗﻨﻔﻴ ﹺﺬ اﻟﻤﺸﺮو ﹺع‪ :‬ﻻﺻ ﹲﻖ‬ ‫خطوات تنفيذ المشروع‬ ‫ •عــ ِّرف الطلبة بالمشــروع وأهميته في تعلــم موضوعات‬ ‫‪180 180‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 1‬ﺻﻨ ﹸﻊ اﻟﻜﻠﻴﻨﻮﻣﺘ ﹺﺮ‪ :‬ﹸأﺛ ﱢﺒ ﹸﺖ ﻣﺎ ﱠﺻ ﹶﺔ اﻟﺸــﺮا ﹺب ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﻓ ﹺﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤ ﹺﺔ ﻟﻠﻤﻨﻘﻠ ﹺﺔ‬ ‫‪0‬‬ ‫الوحدة‪.‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبــة إلــى مجموعــات (ثلاثيــة‪ ،‬أو رباعية) غير‬ ‫‪170‬‬ ‫‪10‬‬ ‫متجانســة‪ ،‬ثــم اطلب إليهــم أن يوزعــوا الأدوار بينهم‪،‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪170‬‬ ‫ويختاروا ُمق ِّر ًرا لكل مجموعة‪.‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪20‬‬ ‫ﺑﺎﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻻﺻ ﹴﻖ ﺷــ ﹼﻔﺎ ﹴف‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﺛ ﱢﺒ ﹸﺖ ﻃﺮ ﹶف اﻟﺨﻴ ﹺﻂ ﻓــﻲ ﻣﺮﻛ ﹺﺰ اﻟﻤﻨﻘﻠ ﹺﺔ‪ ،‬ﻣﺎ ﱠﺻ ﹸﺔ ﴍا ﹴب‬ ‫ •اطلب إلى أفراد كل مجموعة إعداد مشــروع المجموعة‪،‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪160‬‬ ‫وكتابة تقرير مفصل عن عملهم‪ ،‬وكيف اســتعمل كل فرد‬ ‫في المجموعة الأداة التي صنعوها لقياس ارتفاع جسم ما‪،‬‬ ‫‪1404015030‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪6012050130‬‬ ‫‪50130 120‬‬‫‪150 14040‬‬ ‫وبيان الحسابات الوافية‪.‬‬ ‫ •و ِّجه أفراد المجموعات إلى قياس أشياء ِع َّدة‪ ،‬مثل‪ :‬ارتفاع‬ ‫‪110‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪70‬‬ ‫شجرة‪ ،‬وارتفاع مئذنة‪ ،‬وارتفاع منزل‪ ،‬وارتفاع سارية العلم‬ ‫‪70‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪110‬‬ ‫في ساحة المدرسة‪.‬‬ ‫ﺧﻴ ﹲﻂ ﻣﻨﻘﻠ ﹲﺔ‬ ‫وأرﺑ ﹸﻂ ﺑﻄﺮﻓﹺ ﹺﻪ اﻵﺧ ﹺﺮ ﻛﺘﻠ ﹰﺔ ﺻﻐﻴﺮ ﹰة‪ ،‬ﻣﺜ ﹶﻞ‪ :‬اﻟﻤﻔﺘﺎ ﹺح‪ ،‬أ ﹺو اﻟﻤﺸﺎﺑ ﹺﻚ اﻟﻤﻌﺪﻧﻴ ﹺﺔ؛‬ ‫ •ب ِّين لأفراد المجموعات معايير تقييم المشــروع‪ ،‬واعرض‬ ‫عليهم أداة التقييم‪ُ ،‬من ِّو ًها بأ َّنه يمكنهم طرح أي استفسارات‬ ‫ﻋﻠﻰ أ ﹾن ﺗﺘﺪ ﹼﻟﻰ رأﺳ ﹼﹰﻴﺎ إﻟﻰ أﺳﻔ ﹶﻞ ﻣﺜ ﹺﻞ ﺧ ﱢﻂ اﻟﺸﺎﻗﻮ ﹺل‪ .‬ﻛﺘﻠ ﹲﺔ‬ ‫عن المشروع في أثناء دراستهم هذه الوحدة‪.‬‬ ‫‪ 2‬اﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹸل اﻟﻜﻠﻴﻨﻮﻣﺘ ﹺﺮ‪ :‬أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ أﻧﺎ وأﻓﺮا ﹸد ﻣﺠﻤﻮﻋﺘﻲ اﻟﻜﻠﻴﻨﻮﻣﺘ ﹶﺮ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد‬ ‫ •ذ ِّكر أفراد المجموعات بأهمية إنجاز المشــروع مع نهاية‬ ‫ارﺗﻔﺎ ﹺع ﺑﻨﺎﻳ ﹴﺔ أ ﹾو ﺷﺠﺮ ﹴة ﺑﺎ ﱢﺗﺒﺎ ﹺع اﻟﺨﻄﻮا ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫دراسة هذه الوحدة‪.‬‬ ‫أﺧﺘﺎ ﹸر ﺷﻴ ﹰﺌﺎ ﻷﻗﻴ ﹶﺲ ارﺗﻔﺎ ﹶﻋ ﹸﻪ‪ ،‬وﻟﻴﻜ ﹾﻦ ﺷﺠﺮ ﹰة‪.‬‬‫‪180‬‬‫‪0‬‬ ‫عرض النتائج‬ ‫أﻗ ﹸﻒ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺎﻓ ﹴﺔ ﻣ ﹾﻦ ﻗﺎﻋﺪ ﹺة اﻟﺸﺠﺮ ﹺة‪ ،‬ﹸﻣﻤ ﹺﺴ ﹰﻜﺎ ﺑﻤﺎ ﱠﺻ ﹺﺔ اﻟﺸﺮا ﹺب‪x .‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ •الفت انتباه الطلبة إلى ضرورة اســتعمال التكنولوجيا في‬ ‫أﻧﻈ ﹸﺮ ﻣ ﹾﻦ ﻓﺘﺤ ﹺﺔ ﻣﺎ ﱠﺻ ﹺﺔ اﻟﺸﺮا ﹺب إﻟﻰ ﻗ ﱠﻤ ﹺﺔ اﻟﺸﺠﺮ ﹺة‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﻃﻠ ﹸﺐ إﻟﻰ زﻣﻴﻠﻲ‬‫‪170‬‬ ‫عرض نتائج المشــروع‪ ،‬وإعداد عــرض تقديمي‪ ،‬يحوي‬ ‫أ ﹾن ﻳﻘﺮ ﹶأ اﻟﺰاوﻳ ﹶﺔ ‪ x‬اﻟﺘﻲ ﻳﺸﻴ ﹸﺮ إﻟ ﹾﻴﻬﺎ اﻟﺨﻴ ﹸﻂ‪ ،‬ﹸﻣﻼ ﹺﺣ ﹰﻈﺎ أ ﱠن ﻫﺬ ﹺه اﻟﺰاوﻳ ﹶﺔ ﺗﻘ ﹸﻊ‬ ‫ﺑﻴ ﹶﻦ ﺧ ﱢﻂ اﻟﻨﻈ ﹺﺮ واﻟﺨ ﱢﻂ اﻟﺮأﺳــ ﱢﻲ‪ .‬وﺑﺬﻟ ﹶﻚ‪ ،‬ﺗﻜــﻮ ﹸن زاوﻳ ﹸﺔ ارﺗﻔﺎ ﹺع ﻗ ﱠﻤ ﹺﺔ‬‫‪20‬‬ ‫صو ًرا لمراحل التنفيذ‪.‬‬ ‫‪160‬‬ ‫ •اطلــب إلى أفراد كل مجموعة المشــاركة في عرض جزء‬ ‫اﻟﺸﺠﺮ ﹺة‪.(90º – x) :‬‬ ‫من نتائج المشــروع (تكمن أهمية هذه الخطوة في تعزيز‬ ‫‪30‬‬ ‫مهــارات الطلبة التكنولوجية‪ ،‬ومهاراتهــم الحياتية‪ ،‬مثل‪:‬‬ ‫‪150‬‬ ‫التواصل‪ ،‬والتعاون)‪.‬‬ ‫‪40‬‬ ‫ •و ِّضح للطلبة أهمية اشــتمال التقرير على الصعوبات التي‬ ‫‪140‬‬ ‫واجهتهم‪ ،‬وكيفية التغلب عليهــا‪ ،‬والمعلومات الجديدة‬ ‫التــي تع َّرفوها‪ ،‬ومقترحاتهم عن كيفية تطوير المشــروع؛‬ ‫‪50‬‬ ‫‪130‬‬ ‫تعزي ًزا لمهارات حل المشكلات لديهم‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة تدوين تقييمهم الذاتي للمشروع‪ ،‬ون ِّبههم‬ ‫‪180‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪120 11070‬‬ ‫إلى إمكانية الاستعانة بأداة التقييم المجاورة‪.‬‬ ‫‪17010‬‬ ‫‪90‬‬ ‫ •اطلب إلى طلبة الصف التصويت على المشروع الأفضل‪.‬‬ ‫‪3015020160‬‬ ‫‪80100‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪130‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪111‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪80‬‬ ‫أﻗﻴ ﹸﺲ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹶﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻤﻜﺎ ﹺن اﻟﺬي أﻗ ﹸﻒ ﻋﻨ ﹶﺪ ﹸه وﻗﺎﻋﺪ ﹺة اﻟﺸﺠﺮ ﹺة‪h .‬‬ ‫أﺳــﺘﻌﻤ ﹸﻞ اﻟﻘﻴﺎﺳﺎ ﹺت اﻟﺘﻲ د ﱠو ﹾﻧ ﹸﺘﻬﺎ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ارﺗﻔﺎ ﹺع اﻟﺸﺠﺮ ﹺة ﻓﻮ ﹶق ﻣﺴﺘﻮ￯‬ ‫ﻋﻴﻨﻲ‪ ،‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﻌﻼﻗ ﹺﺔ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪d :‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪(90º‬‬ ‫–‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪h‬‬ ‫⇒‬ ‫‪h‬‬ ‫‪=l‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪(90º‬‬ ‫–‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪l‬‬ ‫ﹸأﺿﻴ ﹸﻒ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹶﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻷر ﹺض وﻣﺴﺘﻮ￯ ﻋﻴﻨﻲ إﻟﻰ اﻟﻘﻴﻤ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻮ ﱠﺻ ﹾﻠ ﹸﺖ إﻟ ﹾﻴﻬﺎ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ارﺗﻔﺎ ﹺع اﻟﺸﺠﺮ ﹺة ﻓﻮ ﹶق ﺳﻄ ﹺﺢ اﻷر ﹺض‪.‬‬ ‫ﻋﺮ ﹸض اﻟﻨﺘﺎﺋ ﹺﺞ‪:‬‬ ‫أﻛﺘ ﹸﺐ ﻣ ﹶﻊ أﻓﺮا ﹺد ﻣﺠﻤﻮﻋﺘﻲ ﺗﻘﺮﻳ ﹰﺮا ﻳﺘﻀ ﱠﻤ ﹸﻦ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﺻﻮر ﹲة ﻟﺠﻬﺎ ﹺز اﻟﻜﻠﻴﻨﻮﻣﺘ ﹺﺮ اﻟﻤﺼﻨﻮ ﹺع‪.‬‬ ‫ﺻﻮ ﹲر ﻟﺠﻤﻴ ﹺﻊ اﻷﺷﻴﺎ ﹺء اﻟﺘﻲ ﻗﻴ ﹶﺴ ﹾﺖ ارﺗﻔﺎﻋﺎ ﹸﺗﻬﺎ‪ ،‬وﺗﺪوﻳ ﹸﻦ اﻟﺤﺴﺎﺑﺎ ﹺت اﻟﺘﻲ ﺗ ﱠﻤ ﹾﺖ ﻓﻲ أﺛﻨﺎ ﹺء اﻟﻘﻴﺎ ﹺس ﺑﺠﺎﻧ ﹺﺐ ﻛ ﱟﻞ ﻣﻨﹾﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪111‬‬ ‫أداة تقييم المشروع‬ ‫‪321‬‬ ‫المعيار‬ ‫الرقم‬ ‫‪ 1‬إعداد أداة القياس بصورة صحيحة‪.‬‬ ‫‪ 2‬استعمال قياسات وحسابات صحيحة‪.‬‬ ‫‪ 3‬التح ُّقق مــن صحة النمــوذج والصور والرســومات‬ ‫التوضيحية‪ ،‬ودقة الحسابات الخاصة بها واكتمالها‪.‬‬ ‫‪ 4‬مشاركة أفراد المجموعة جمي ًعا بفاعلية في المشروع‪.‬‬ ‫‪ 5‬التقرير المكتوب كامل ومنظم‪.‬‬ ‫‪ 6‬اتصاف الشرح الشــفوي لأفراد المجموعة بالوضوح‬ ‫والفهم والإقناع‪.‬‬ ‫إنجاز المهمة بوجود أكثر من خطأ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إنجاز المهمة بوجود خطأ بسيط‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫إنجاز المهمة بصورة صحيحة من دون خطأ‪.‬‬

‫أﺳﺘﻌ ﱡﺪ ﻟﺪراﺳ ِﺔ اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪ :4‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎ ُت اﻟﻤﺜﻠﺜﺎ ِت‬ ‫التقويم القبلي (التشخيصي)‪:‬‬ ‫أﺧﺘﺒ ﹸﺮ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻲ ﻗﺒ ﹶﻞ اﻟﺒﺪ ﹺء ﺑﺪراﺳ ﹺﺔ اﻟﻮﺣﺪ ﹺة‪ ،‬وﻓﻲ ﺣﺎ ﹺل ﻋﺪ ﹺم ﺗﺄ ﱡﻛﺪي ﻣ ﹶﻦ اﻹﺟﺎﺑ ﹺﺔ أﺳﺘﻌﻴ ﹸﻦ ﺑﺎﻟﻤﺮاﺟﻌ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫ •استعمل صفحة (أستعد لدراســة الوحدة) في كتاب‬ ‫التمارين لتســاعد طلبتك على تذ ُّكر المعرفة السابقة‬ ‫أﺧﺘﺒ ﹸﺮ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻲ‬ ‫ﻣﺮاﺟﻌ ﹲﺔ‬ ‫اللازمة لدراسة هذه الوحدة‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶﺳﺎ ﹺت اﻟﺰواﻳﺎ وﻃﻮ ﹶل اﻟﻀﻠ ﹺﻊ اﻟﻤﺠﻬﻮ ﹺل ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ اﻵﺗﻲ‪ :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎﺳــﺎ ﹺت اﻟﺰواﻳﺎ وأﻃﻮا ﹶل اﻷﺿــﻼ ﹺع اﻟﻤﺠﻬﻮﻟ ﹺﺔ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلــى حل الأســئلة في عمــود (أختبر‬ ‫معلوماتــي)‪ ،‬ثم تجــ َّول بينهم‪ ،‬وحــث الطلبة الذين‬ ‫ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪x 12‬‬ ‫يواجهون صعوبة في حل أي سؤال على قراءة المثال‬ ‫‪1‬‬ ‫‪17 x = 8 , y ≈ 28.1°‬‬ ‫‪y‬‬ ‫المقابل له في عمود (مراجعة سريعة)‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪19‬‬ ‫ •إذا واجه بعض الطلبة صعوبة في حل الأسئلة‪ ،‬فاستعن‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x2 = 192 – 122‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳ ﹸﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس‬ ‫بالمسائل الإضافية الآتية‪:‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ »جد قيمة ‪ x‬في ك ٍّل من المثلثات الآتية‪:‬‬ ‫‪= 361 – 144 = 217‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫ﺑﺄﺧ ﹺﺬ اﻟﺠﺬ ﹺر اﻟﺘﺮﺑﻴﻌ ﱢﻲ ﻟﻠﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪x = √217 ≈ 14.7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ ﺟﻴ ﹺﺐ اﻟﺘﻤﺎ ﹺم‬ ‫‪x‬‬ ‫‪19‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫‪x ≈ 21.9 , y ≈ 56.8°‬‬ ‫‪y = cos–1(1129)≈ 51º‬‬ ‫‪20‬‬ ‫ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜ ﹺﺔ ﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪9 180º – 90º – 51º = 39º‬‬ ‫‪5‬‬ ‫أ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬و ‪ y‬ﻓﻲ ﻛ ﱢﻞ ﺷﻜ ﹴﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ ‪ x‬ﹶو ‪ y‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪1  x‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3 y 2x‬‬ ‫‪3x + 10º‬‬ ‫ ‪2‬‬ ‫‪4x – 20º‬‬ ‫‪x = 30°, y = 120°‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x + 30º‬‬ ‫‪bc‬‬ ‫‪4x – 20º = 3x + 10º‬‬ ‫زاوﻳﺘﺎ ﹺن ﻣﺘﺒﺎدﻟﺘﺎ ﹺن داﺧﻠﻴﺘﺎ ﹺن‬ ‫‪x‬‬ ‫‪62°‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺑﺈﺿﺎﻓ ﹺﺔ ‪ 20º – 3x‬إﻟﻰ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪70º‬‬ ‫‪x ≈ 38.3°, y ≈ 23.3° x = 30º‬‬ ‫‪y = 4x – 20º‬‬ ‫زاوﻳﺘﺎ ﹺن ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﺎ ﹺن ﺑﺎﻟﺮأ ﹺس‬ ‫‪34‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3x - 5º‬‬ ‫‪= 4(30º) – 20º‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫‪16‬‬ ‫‪3y‬‬ ‫‪= 120º – 20º = 100º‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫ ‪3‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪4   x 39°‬‬ ‫‪11.3  )2‬‬ ‫إجابات المسائل الإضافية‪:‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪39.7  )4‬‬ ‫‪ 67.4°  )1‬‬ ‫‪ 61.9°  )3‬‬ ‫ »جد قياســات الزوايا المشــار إليها بأحرف في ما‬ ‫‪g = 50°, i = h = 130°  )5‬‬ ‫يأتي‪:‬‬ ‫‪j = k = l = 70°  )6‬‬ ‫‪5  i‬‬ ‫‪8.69 m  )7‬‬ ‫‪130°‬‬ ‫‪gh‬‬ ‫‪6   70°‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪  7‬يقف سهيل على ُب ْعد ‪ 15 m‬من قاعدة شجرة‪ ،‬فوجد‬ ‫أن زاوية ارتفاع قمة الشجرة فوق مستوى عينيه ‪.25°‬‬ ‫إذا كان ارتفاع عيني ســهيل عن الأرض ‪ ،1.7 m‬فما‬ ‫ارتفاع الشجرة؟‬ ‫‪111C‬‬

‫الدرس‬ ‫اﻻﺗﺠﺎ ُه ﻣ َﻦ اﻟﺸﻤﺎ ِل‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪Bearing‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫  نتاجات الدرس‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس ﺗﻔﺴــﻴ ﹸﺮ اﻻﺗﺠﺎ ﹺه ﻣ ﹶﻦ اﻟﺸﻤﺎ ﹺل‪ ،‬وإﻳﺠﺎ ﹸد ﹸه ﻟﻨﻘﻄ ﹴﺔ ﻣﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒ ﹺﺔ إﻟﻰ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﹸأﺧﺮ￯ ﺑﺎﻟﺮﺳ ﹺﻢ‪ ،‬واﻟﻘﻴﺎ ﹺس‪ ،‬واﻟﺤﺴﺎ ﹺب‬ ‫ •يتعرف الاتجاه من الشمال‪.‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﻌﻼﻗﺎ ﹺت ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺰواﻳﺎ‪.‬‬ ‫ •يستعمل الاتجاه من الشمال لتحديد الاتجاه‪.‬‬ ‫ •يجد اتجاه نقطة من نقطة معينة‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎ ُت اﻻﺗﺠﺎ ﹸه ﻣ ﹶﻦ اﻟﺸﻤﺎ ﹺل‪.‬‬ ‫ •يجد الاتجاه المعاكس‪.‬‬ ‫ﺣ ﱠﻠ ﹶﻘ ﹾﺖ ﻃﺎﺋﺮ ﹲة ﻣ ﹾﻦ ﻋ ﹼﻤﺎ ﹶن إﻟﻰ اﻟﻌﻘﺒ ﹺﺔ‪ ،‬وﻗ ﹾﺪ ﺻﻨ ﹶﻊ ﻣﺴــﺎ ﹸرﻫﺎ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹸﻢ‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫ •يحل مسائل عن الاتجاه من الشمال‪.‬‬ ‫زاوﻳ ﹰﺔ ﻗﻴﺎ ﹸﺳﻬﺎ ‪ 200º‬ﻣ ﹶﻊ ﺧ ﱢﻂ اﻟﺸﻤﺎ ﹺل اﻟﺠﻐﺮاﻓ ﱢﻲ‪ .‬ﻣﺎ ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫المواد والأدوات‪:‬‬ ‫ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺴﺎ ﹺر ﻋﻮد ﹺة اﻟﻄﺎﺋﺮ ﹺة إﻟﻰ ﻋ ﹼﻤﺎ ﹶن وﺧ ﱢﻂ اﻟﺸﻤﺎ ﹺل اﻟﺠﻐﺮاﻓ ﱢﻲ؟‬ ‫ورقتا العمل‪ ،1 :‬و‪2‬‬ ‫اﻻﺗﺠﺎ ﹸه ﻣ ﹶﻦ اﻟﺸﻤﺎ ﹺل )‪ (bearing‬ﻟﻠﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ B‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ A‬ﻫ ﹸﻮ ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﺿﻠ ﹸﻊ اﺑﺘﺪا ﹺﺋﻬﺎ ﺧ ﱡﻂ‬ ‫اﻟﺸــﻤﺎ ﹺل اﻟﺠﻐﺮاﻓ ﱢﻲ اﻟﻤﺮﺳﻮ ﹺم ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ ،A‬وﺿﻠ ﹸﻊ اﻧﺘﻬﺎ ﹺﺋﻬﺎ اﻟﻤﺴــﺘﻘﻴ ﹸﻢ ‪ ،AB‬وذﻟ ﹶﻚ ﻋﻨ ﹶﺪ ﻗﻴﺎ ﹺس‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﻓﻲ اﺗﺠﺎ ﹺه ﺣﺮﻛ ﹺﺔ ﻋﻘﺎر ﹺب اﻟﺴــﺎﻋ ﹺﺔ‪ .‬ﹸﻳﻜ ﹶﺘ ﹸﺐ اﻻﺗﺠﺎ ﹸه ﻣ ﹶﻦ اﻟﺸــﻤﺎ ﹺل ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻋﺪ ﹴد ﻣ ﹾﻦ ﺛﻼﺛ ﹺﺔ‬ ‫أرﻗﺎ ﹴم )ﻣﻨﺎز ﹸل( ﺑﻴ ﹶﻦ ‪ 000º‬ﹶو ‪ .360º‬اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر أ ﱠن اﻻﺗﺠﺎ ﹶه ﻣ ﹶﻦ اﻟﺸﻤﺎ ﹺل ﻟﻠﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ B‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪60º B A‬‬ ‫ﻫ ﹶﻮ ‪.060º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل ‪H‬‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪110º‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ﹸﻳﺴﺘﺨ ﹶﺪ ﹸم اﻻﺗﺠﺎ ﹸه ﻣ ﹶﻦ اﻟﺸﻤﺎ ﹺل‬ ‫ •استعمال المنقلة لقياس الزوايا ورسمها‪.‬‬ ‫‪330º‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪48º‬‬ ‫ﻛﺜﻴــ ﹰﺮا ﻓــﻲ ﺗﺤﺪﻳــ ﹺﺪ ﺧﻄﻮ ﹺط‬ ‫ •العلاقــات بين الزوايا الناتجة من تقاطع مســتقيم مع‬ ‫اﻻﲡﺎ ﹸه ﻣ ﹶﻦ اﻟﺸﲈ ﹺل ﻟﻠﻨﻘﻄ ﹺﺔ‬ ‫‪F‬‬ ‫‪C‬‬ ‫اﻟﻤﻼﺣ ﹺﺔ اﻟﺒﺤﺮﻳ ﹺﺔ واﻟﺠﻮﻳ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫مستقيمين متوازيين‪.‬‬ ‫‪ H‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪G‬‬ ‫ •مجموع قياسات الزوايا حول نقطة‪.‬‬ ‫اﻻﲡﺎ ﹸه ﻣ ﹶﻦ اﻟﺸﲈ ﹺل ﻟﻠﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪F‬‬ ‫اﻻﲡﺎ ﹸه ﻣ ﹶﻦ اﻟﺸﲈ ﹺل ﻟﻠﻨﻘﻄ ﹺﺔ‬ ‫ﻫ ﹶﻮ ‪.330º‬‬ ‫ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪E‬‬ ‫‪ D‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪C‬‬ ‫ﻫ ﹶﻮ ‪.048º‬‬ ‫ﻫ ﹶﻮ ‪.110º‬‬ ‫‪112‬‬ ‫التهيئة‬ ‫‪1‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بكيفية رســم الزوايا‪ ،‬وإيجاد قياساتها‪ ،‬ثم‬ ‫المجــال العاطفــي لا يقل أهمية عــن المجال المعرفــي؛ فلا تقل‬ ‫اطلب إليهم رسم الزاويتين‪ ،120° :‬و‪ ،255°‬ثم إيجاد‬ ‫لأحــد الطلبة‪( :‬إجابتك خطأ)‪ ،‬بل قل لــه‪( :‬لقد اقتربت من الإجابة‬ ‫قياس الزاوية الثانيــة التي تكمل الدورة في الحالتين‪.‬‬ ‫الصحيحة‪ ،‬فمن يستطيع إعطاء إجابة ُأخرى؟)‪ ،‬أو قل له‪( :‬هذه إجابة‬ ‫‪ ،240°‬و ‪105°‬‬ ‫صحيحة لغير هذا السؤال)‪.‬‬ ‫ •ارسم مستقيمين متوازيين وقاط ًعا لهما‪ ،‬ثم اطلب إلى‬ ‫الطلبة تسمية أزواج الزوايا الخاصة الناتجة والعلاقات‬ ‫بين قياساتها‪ .‬بعد ذلك اكتب قياس إحدى الزوايا‪ ،‬ثم‬ ‫اطلب إلى الطلبة إيجاد قياســات الزوايا الباقية كلها‪.‬‬ ‫أزواج الزوايا الخاصة الناتجة‪ :‬المتناظرة‪ ،‬والمتبادلة‪،‬‬ ‫والمتحالفة‪.‬‬ ‫‪112‬‬

‫ملاحظات المعلم‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المسألة في بند (مسألة اليوم)‪ ،‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »أين تقع مدينة العقبة بالنسبة إلى العاصمة ع ّمان؟ غرب الجنوب من ع ّمان‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »كيف يمكن إيجاد الزاوية بين اتجاه الجنوب واتجاه العقبة؟ بطرح ‪ 180°‬من ‪200°‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »مـا قيـاس الزاويـة بيـن خـط الشـمال المـار بمدينـة العقبة والخـط الواصـل من العقبـة إلى‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫عمان؟ ‪20°‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة من دون تقديم تغذية راجعة لهم‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ك ِّرر المصطلحات الرياضية المســتخدمة في الدرس باللغتين العربية والإنجليزية‪ ،‬وش ِّجع الطلبة على‬ ‫استعمالها‪ ،‬مثل‪ :‬الزاوية ‪ ،angle‬والمستقيم ‪ ،line‬والاتجاه من الشمال ‪.bearing‬‬ ‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫الشمال‬ ‫ •ارســم على اللوح الشكل ‪( 1‬القطعة المســتقيمة ‪ AB‬تصنع زاوية قياسها‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 50°‬مع خط الشــمال)‪ ،‬ثم أخبر الطلبة أن النقطتين ‪ A‬و‪ B‬تمثلان مدينتين‬ ‫على خريطة‪ ،‬وأن المطلوب معرفة اتجاه ‪ B‬من ‪ ،A‬وأن أفضل طريقة لذلك ‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫تمثيل الاتجاه بصورة زاوية تسمى الاتجاه من الشمال‪ ،‬وإيجاد قياسها مع‬ ‫الشمال‬ ‫حركة عقارب الســاعة من خط الشمال‪ ،‬والإشــارة إلى الشمال اختصا ًرا‬ ‫‪2‬‬ ‫بكاالنحلـلـزراوفية‪N‬ر‪،‬ق ُممبا ِّينًنا ُأكنتِه يبم‪0‬كـعـلنىايلتسعـبيـاررعهانلايلاصتبجحاهلبهاعد‪3‬دأمرـقاـمن‪3،‬مثأرلق‪:‬ا‪°‬م؛‪ 0‬ف‪6‬إ‪0‬ذا‪،‬‬ ‫‪50°‬‬ ‫و‪ ،123°‬و ‪075°‬‬ ‫ •اطلب إلى أحد الطلبة قياس هذه الزاوية‪ ،‬ثم كتابة القياس كما في الشكل‪B ،2 ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ُمب ِّينًا أن اتجاه ‪ B‬من ‪ A‬هو ‪050°‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى دراســة الأشــكال في الصفحــة ‪ ،112‬وملاحظة وجود‬ ‫أوضاع مختلفة للاتجاه من الشمال‪.‬‬ ‫ •و ِّضح للطلبة الاتجاهات الثمانية الأساســية‪ ،‬ثم ارسم خطو ًطا أخرى من مركز البوصلة‪ ،‬واطلب‬ ‫إلى بعض الطلبة تقدير الاتجاهات التي رسمتها‪.‬‬ ‫ •ارسم على اللوح أ َّي نقطتين (‪ C, D‬مث ًل)‪ ،‬ثم اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫ »كيف يمكن إيجاد اتجاه النقطة ‪ D‬من النقطة ‪C‬؟‬ ‫ •اختر طال ًبا لإجابة السؤال على اللوح‪ ،‬ثم اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫ » َم ْن ُيؤ ِّيد هذه الإجابة؟‬ ‫ •و ِّزع الطلبة إلى مجموعات‪ ،‬ثم أع ِط كل مجموعة نسخة من ورقة العمل ‪1‬‬ ‫ •تج َّول بين أفراد المجموعات ُمر ِش ًدا و ُمسا ِع ًدا و ُمو ِّج ًها‪ ،‬وق ِّدم لهم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪112A‬‬

‫مثال ‪1‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪4‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة فــي حل المثال ‪ 1‬الذي ُيب ِّين كيف ُيك َتب‬ ‫ﺗﻮﺟ ﹸﺪ أرﺑﻌ ﹸﺔ اﺗﺠﺎﻫﺎ ﹴت رﺋﻴﺴ ﹴﺔ ﻳﺠ ﹸﺐ ﺗﺬ ﱡﻛ ﹸﺮﻫﺎ داﺋ ﹰﻤﺎ‪ ،‬ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫اﻋﺘﻤــ ﹶﺪ اﻹﻧﺴــﺎ ﹸن ﻗﺪﻳ ﹰﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫الاتجاه من شكل ُع ِلمت قياسات بعض زواياه‪.‬‬ ‫اﻟﺸﻤ ﹺﺲ واﻟﻘﻤ ﹺﺮ واﻟﻨﺠﻮ ﹺم ﻓﻲ‬ ‫‪ 1‬اﻟﺸﻤﺎ ﹸل )‪ ،(N‬واﺗﺠﺎ ﹸﻫ ﹸﻪ ﻣ ﹾﻦ ﻣﺮﻛ ﹺﺰ اﻟﺒﻮﺻﻠ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻮ )‪.(000º‬‬ ‫ﻣﻌﺮﻓ ﹺﺔ اﻻﺗﺠﺎﻫــﺎ ﹺت‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﺧ ﹶﺬ‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫‪ 2‬اﻟﺸﺮ ﹸق )‪ ،(E‬واﺗﺠﺎ ﹸﻫ ﹸﻪ ﻣ ﹾﻦ ﻣﺮﻛ ﹺﺰ اﻟﺒﻮﺻﻠ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻮ )‪.(090º‬‬ ‫ﻳﻌﺘﻤــ ﹸﺪ اﻟﻴﻮ ﹶم ﻋﻠــﻰ اﻟﺒﻮﺻﻠ ﹺﺔ‬ ‫‪ 3‬اﻟﺠﻨﻮ ﹸب )‪ ،(S‬واﺗﺠﺎ ﹸﻫ ﹸﻪ ﻣ ﹾﻦ ﻣﺮﻛ ﹺﺰ اﻟﺒﻮﺻﻠ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻮ )‪.(180º‬‬ ‫اﻟﺘــﻲ ﹸﺗﺤ ﱢﺪ ﹸد اﺗﺠﺎ ﹶه اﻟﺸــﻤﺎ ﹺل‪،‬‬ ‫ •قــد يعتقد بعض الطلبة أن اتجــاه المدينة ‪ C‬من‬ ‫‪ 4‬اﻟﻐﺮ ﹸب )‪ ،(W‬واﺗﺠﺎ ﹸﻫ ﹸﻪ ﻣ ﹾﻦ ﻣﺮﻛ ﹺﺰ اﻟﺒﻮﺻﻠ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻮ )‪.(270º‬‬ ‫وﻣﻨﹾ ﹸﻪ ﹸﺗﺤ ﱠﺪ ﹸد ﺑﻘﻴ ﹸﺔ اﻻﺗﺠﺎﻫﺎ ﹺت‪.‬‬ ‫المدينة ‪ A‬هو ‪115°‬؛ لذا ذ ِّكرهم أن الاتجاه يقاس‬ ‫بد ًءا من خط الشــمال مع حركة عقارب الساعة‪،‬‬ ‫‪000º‬‬ ‫َأﺗﻌ ﱠﻠ ُﻢ‬ ‫ثم ارسم قو ًسا يدل على الزاوية التي يجب إيجاد‬ ‫‪315º N‬‬ ‫ﺳﻨﺴــﺘﻌﻤ ﹸﻞ ﻓﻲ ﺑﻘﻴ ﹺﺔ اﻟﺪر ﹺس‬ ‫‪NW NE‬‬ ‫‪045º‬‬ ‫ﻛﻠﻤــ ﹶﺔ )اﺗﺠــﺎ ﹲه( وﺣ ﹶﺪﻫــﺎ‬ ‫قياسها‪.‬‬ ‫ﻟﻠﺪﻻﻟــ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ اﻻﺗﺠــﺎ ﹺه ﻣ ﹶﻦ‬ ‫‪270º W‬‬ ‫‪E 090º‬‬ ‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫اﻟﺸﻤﺎ ﹺل‪.‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلى حــل التدريب في بنــد (أتحقق من‬ ‫‪SW‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪SE‬‬ ‫‪225º‬‬ ‫‪180º‬‬ ‫‪135º‬‬ ‫فهمي) بعد كل مثال‪.‬‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحوي أخطاء مفاهيمية‪ ،‬ثم‬ ‫ﺗﻮﺟ ﹸﺪ أرﺑﻌ ﹸﺔ اﺗﺠﺎﻫﺎ ﹴت ﹸأﺧﺮ￯ ﻣﺸﻬﻮر ﹴة ﺑﺪ ﹰءا ﻣ ﹶﻦ اﻟﺸﻤﺎ ﹺل ﻳﺠ ﹸﺐ ﺗﺬ ﱡﻛ ﹸﺮﻫﺎ داﺋ ﹰﻤﺎ‪ ،‬ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫نا ِقشها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اسم الطالب الذي أخطأ‬ ‫‪ 1‬اﻟﺸﻤﺎ ﹸل اﻟﺸﺮﻗ ﱡﻲ )‪ ،(NE‬واﺗﺠﺎ ﹸﻫ ﹸﻪ ﻣ ﹾﻦ ﻣﺮﻛ ﹺﺰ اﻟﺒﻮﺻﻠ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻮ )‪.(045º‬‬ ‫في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬ ‫‪ 2‬اﻟﺠﻨﻮ ﹸب اﻟﺸﺮﻗ ﱡﻲ )‪ ،(SE‬واﺗﺠﺎ ﹸﻫ ﹸﻪ ﻣ ﹾﻦ ﻣﺮﻛ ﹺﺰ اﻟﺒﻮﺻﻠ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻮ )‪.(135º‬‬ ‫‪ 3‬اﻟﺠﻨﻮ ﹸب اﻟﻐﺮﺑ ﱡﻲ )‪ ،(SW‬واﺗﺠﺎ ﹸﻫ ﹸﻪ ﻣ ﹾﻦ ﻣﺮﻛ ﹺﺰ اﻟﺒﻮﺻﻠ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻮ )‪.(225º‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫‪ 4‬اﻟﺸﻤﺎ ﹸل اﻟﻐﺮﺑ ﱡﻲ )‪ ،(NW‬واﺗﺠﺎ ﹸﻫ ﹸﻪ ﻣ ﹾﻦ ﻣﺮﻛ ﹺﺰ اﻟﺒﻮﺻﻠ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻮ )‪.(315º‬‬ ‫ •اكتــب اتجــاه النقطة ‪ H‬مــن النقطة ‪ G‬في الشــكل‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ 1‬اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫المجاور‪285° .‬‬ ‫‪115º 70º‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﱢﺜـ ﹸﻞ اﻟﺸـﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠـﺎو ﹸر ﻣﻮﻗـ ﹶﻊ ﺛـﻼ ﹺث ﻣـﺪ ﹴن‪ ،‬ﻫـ ﹶﻲ‪B ،A :‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﹶو‪ ،B‬ﹶو‪ .C‬ﹶأﻛﺘــ ﹸﺐ اﺗﺠــﺎ ﹶه اﻟﻤﺪﻳﻨــ ﹺﺔ ‪ B‬ﻣــ ﹶﻦ اﻟﻤﺪﻳﻨــ ﹺﺔ ‪،A‬‬ ‫‪H 75°‬‬ ‫‪C‬‬ ‫واﺗﺠـﺎ ﹶه اﻟﻤﺪﻳﻨـ ﹺﺔ ‪ C‬ﻣـ ﹶﻦ اﻟﻤﺪﻳﻨـ ﹺﺔ ‪.A‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻣﻘﻴﺎ ﹸس اﻟﺮﺳ ﹺﻢ‪ :‬ﻛ ﱡﻞ ‪ 1 cm‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ‪10 km‬‬ ‫اﺗﺠــﺎ ﹸه اﻟﻤﺪﻳﻨ ﹺﺔ ‪ B‬ﻣــ ﹶﻦ اﻟﻤﺪﻳﻨــ ﹺﺔ ‪ A‬ﻫــ ﹶﻮ ‪ ،070º‬واﺗﺠﺎ ﹸه اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫اﻟﻤﺪﻳﻨ ﹺﺔ ‪ C‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺪﻳﻨ ﹺﺔ ‪ A‬ﻫ ﹶﻮ ‪360º – 115º = 245º‬‬ ‫‪75º‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ ‪G‬‬ ‫‪E 100º‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر ﻣﻮﻗ ﹶﻊ ﺛﻼ ﹺث ﺳــﻔ ﹴﻦ‪ ،‬ﻫ ﹶﻲ‪ ،E :‬ﹶو ‪،F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫ﹶو ‪ .G‬ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ اﺗﺠﺎ ﹶه اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ ‪ G‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ ‪ ،E‬واﺗﺠﺎ ﹶه اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ‬ ‫‪ F‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ ‪ .E‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫‪113‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي‪:1‬‬ ‫اتجاه ‪ G‬من ‪ E‬هو ‪ ،075°‬واتجاه ‪ F‬من ‪ E‬هو ‪175°‬‬ ‫‪113‬‬

‫إذا ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻢ اﺗﺠﺎ ﹸه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ S‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ ،R‬ﻓ ﹸﻴﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﺣﺴﺎ ﹸب اﺗﺠﺎ ﹺه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ R‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪. S‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪N 2‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حــل المثال ‪ 2‬الذي يبين كيفية إيجاد‬ ‫الاتجــاه المعاكس‪ُ ،‬مو ِّض ًحا لهم أنــه توجد طريقتان‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﺗﺠﺎ ﹶه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ R‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ S‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫لذلك‪ ،‬هما‪ :‬استعمال الرسم‪ ،‬واستعمال الحبر‪.‬‬ ‫اﻟﻄﺮﻳﻘ ﹸﺔ اﻷوﻟﻰ‪ :‬اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸل اﻟﺮﺳ ﹺﻢ‪R .‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫‪240º‬‬ ‫ •إذا كان اتجاه المدينــة ‪ A‬من المدينة ‪ B‬هو ‪ ،150°‬فما‬ ‫أرﺳ ﹸﻢ ﺧ ﹰﹼﻄﺎ رأﺳــ ﹼﹰﻴﺎ ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﺗﺠﺎ ﹶه اﻟﺸﻤﺎ ﹺل اﻟﺠﻐﺮاﻓ ﱢﻲ ‪S‬‬ ‫اتجاه المدينة ‪ B‬من المدينة ‪A‬؟ ‪330°‬‬ ‫ﻋﻨ ﹶﺪ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ ،S‬ﺛ ﱠﻢ أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ ﻣﻨﻘﻠ ﹰﺔ ﻷﻗﻴ ﹶﺲ اﻟﺰاوﻳ ﹶﺔ‬ ‫‪N‬‬ ‫اﻟﺘﻲ رأ ﹸﺳــﻬﺎ ‪ ،S‬وﺿﻠﻌﺎﻫﺎ ﺧ ﱡﻂ اﻟﺸــﻤﺎ ﹺل )‪N (SN‬‬ ‫واﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹸﻢ ‪.SR‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ﺳﺄﺟ ﹸﺪ أ ﱠن ﻗﻴﺎ ﹶس ﻫﺬ ﹺه اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﻫ ﹸﻮ ‪ ،60º‬إذ ﹾن‪ ،‬اﺗﺠﺎ ﹸه‬ ‫‪240º‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ R‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ S‬ﻫ ﹶﻮ ‪S .060º‬‬ ‫اﻟﻄﺮﻳﻘ ﹸﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴ ﹸﺔ‪ :‬اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸل اﻟﺠﺒ ﹺﺮ‪.‬‬ ‫ﻣﺮﻳ ﹸﻢ اﻟﺠﻴﻠ ﱡﻲ اﻟﻤﻌﺮوﻓ ﹸﺔ ﺑﻤﺮﻳ ﹶﻢ‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ إﻳﺠﺎ ﹸد اﺗﺠﺎ ﹺه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ R‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ S‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﻌﻼﻗﺎ ﹺت ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺰواﻳﺎ‪.‬‬ ‫اﻷﺳــﻄﺮﻻﺑﻴ ﹺﺔ ﻫــ ﹶﻲ ﻋﺎﻟﹺﻤــ ﹸﺔ‬ ‫رﻳﺎﺿﻴــﺎ ﹴت و ﹶﻓﻠ ﹴﻚ ﹸﻣ ﹾﺴــ ﹺﻠﻤ ﹲﺔ‪،‬‬ ‫‪m ∠ NRS = 360º – 240º = 120º‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮ ﹸع ﻗﻴﺎ ﹺس اﻟﺰواﻳﺎ ﺣﻮ ﹶل ﻧﻘﻄ ﹴﺔ‬ ‫اﺧﺘﺮ ﹶﻋــ ﹺﺖ اﻷﺳــﻄﺮﻻ ﹶب‬ ‫‪m ∠ NSR = 180º – 120º = 60º‬‬ ‫ﻫ ﹶﻮ ‪360º‬‬ ‫اﻟ ﹸﻤﻌ ﱠﻘ ﹶﺪ؛ وﻫ ﹶﻮ آﻟ ﹲﺔ ﻓﻠﻜﻴ ﹲﺔ ﹸﻣﻬ ﱢﻤ ﹲﺔ‬ ‫ﺧ ﹼﻄﺎ اﻟﺸﻤﺎ ﹺل ﻣﺘﻮازﻳﺎ ﹺن؛ ﻟﺬا‪،‬‬ ‫ﹸﺑﻨﹺ ﹶﻴ ﹾﺖ ﻋﻠ ﹾﻴﻬــﺎ آﻟﻴ ﹸﺔ ﻋﻤ ﹺﻞ أﻧﻈﻤ ﹺﺔ‬ ‫ﻓﺎﻟﺰاوﻳﺘﺎ ﹺن اﻟﺪاﺧﻠﻴﺘﺎ ﹺن‬ ‫اﻟﻤﻼﺣ ﹺﺔ اﻟﺤﺪﻳﺜ ﹺﺔ )‪.(GPS‬‬ ‫‪ ، NRS‬ﹶو ‪ NSR‬ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎ ﹺن‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن اﺗﺠﺎ ﹸه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ X‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ Z‬ﻫ ﹶﻮ ‪ ،295º‬ﻓﻤﺎ اﺗﺠﺎ ﹸه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ Z‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪X‬؟ ‪115°‬‬ ‫‪114‬‬ ‫‪114‬‬

‫مثال ‪3‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪4‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حــل المثال ‪ 3‬الذي يبين كيفية إيجاد‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :3‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫الاتجاه في موقف حياتي‪.‬‬ ‫ﹶأﺳــﺘﻌﻤ ﹸﻞ اﻟﺨﺮﻳﻄ ﹶﺔ اﻟﻤﺠﺎور ﹶة ﻟﺘﺤﺪﻳ ﹺﺪ اﺗﺠﺎ ﹺه اﻟﻌﺎﺻﻤ ﹺﺔ ﻋ ﹼﻤﺎ ﹶن ﻣ ﹾﻦ‬ ‫ •و ِّزع الطلبــة إلى مجموعات‪ ،‬ثم أعــ ِط كل مجموعة‬ ‫ﻣﺪﻳﻨ ﹺﺔ اﻟﻘﺪ ﹺس اﻟﺸﺮﻳ ﹺﻒ‪.‬‬ ‫نسخة من ورقة العمل ‪2‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :1‬أرﺳ ﹸﻢ ﻗﻄﻌ ﹰﺔ ﻣﺴــﺘﻘﻴﻤ ﹰﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺪﻳﻨ ﹶﺘ ﹺﻲ اﻟﻘﺪ ﹺس اﻟﺸﺮﻳ ﹺﻒ‬ ‫ •تجــ َّول بين أفــراد المجموعات ُمر ِشــ ًدا و ُمســا ِع ًدا‬ ‫وﻋ ﹼﻤﺎ ﹶن‪.‬‬ ‫و ُمو ِّج ًها‪ ،‬وق ِّدم لهم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬أرﺳ ﹸﻢ ﺧ ﹰﹼﻄﺎ رأﺳ ﹼﹰﻴﺎ ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﺗﺠﺎ ﹶه اﻟﺸﻤﺎ ﹺل اﻟﺠﻐﺮاﻓ ﱠﻲ ﻋﻨ ﹶﺪ‬ ‫ﹸﺗ ﹶﻌ ﱡﺪ ﻣﺪﻳﻨ ﹸﺔ اﻟﻘﺪ ﹺس واﺣﺪ ﹰة ﻣ ﹾﻦ‬ ‫ •ح ِّدد وق ًتا لإنجاز المهام‪ُ ،‬من ِّب ًها أفراد المجموعات إلى‬ ‫أﻗﺪ ﹺم ﻣﺪ ﹺن اﻟﻌﺎ ﹶﻟــ ﹺﻢ؛ ﻓﺘﺎرﻳ ﹸﺨﻬﺎ‬ ‫انتهاء الوقت باستعمال استراتيجية (إشارة الصمت)‪،‬‬ ‫ﻣﺪﻳﻨ ﹺﺔ اﻟﻘﺪ ﹺس اﻟﺸﺮﻳ ﹺﻒ‪.‬‬ ‫ثــم اطلب إلــى كل مجموعــة عرض إجابتهــا أمام‬ ‫ﻳﺮﺟــ ﹸﻊ إﻟﻰ أﻛﺜ ﹶﺮ ﻣ ﹾﻦ ﺧﻤﺴــ ﹺﺔ اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :3‬ﹶأﺳــﺘﻌﻤ ﹸﻞ اﻟﻤﻨﻘﻠ ﹶﺔ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﻴــﺎ ﹺس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﺧ ﱢﻂ‬ ‫المجموعات الأخرى‪.‬‬ ‫اﻟﺸﻤﺎ ﹺل اﻟﺠﻐﺮاﻓ ﱢﻲ واﻟﻘﻄﻌ ﹺﺔ اﻟﻤﺴــﺘﻘﻴﻤ ﹺﺔ اﻟﻮاﺻﻠ ﹺﺔ‬ ‫آﻻ ﹴف ﺳــﻨ ﹴﺔ‪ .‬وﻟﻠﻘﺪ ﹺس أﺳﻤﺎ ﹲء‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫اﻟﺸﲈل‬ ‫ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻤﺪﻳﻨﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﺎﺗﺠﺎ ﹺه ﺣﺮﻛ ﹺﺔ ﻋﻘﺎر ﹺب اﻟﺴﺎﻋ ﹺﺔ‪ .‬ﺳ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ‬ ‫ﻋﺪﻳﺪ ﹲة‪ ،‬ﻣﻨﹾﻬﺎ‪ :‬ﺑﻴ ﹸﺖ اﻟﻤﻘﺪ ﹺس‪،‬‬ ‫ •قد لا ُيم ِّيــز بعض الطلبة النقطة الأساســية التي‬ ‫ُيح َّدد منها اتجاه النقطة الأخرى؛ لذا ذ ِّكرهم بما‬ ‫أ ﱠن ﻗﻴﺎ ﹶس ﻫﺬ ﹺه اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻮ ‪78º‬‬ ‫و ﹸأوﻟــﻰ اﻟ ﹺﻘﺒﻠﺘ ﹾﻴــ ﹺﻦ‪ ،‬واﻟﻘﺪ ﹸس‬ ‫يأتي‪:‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﺗﺠــﺎ ﹸه اﻟﻌﺎﺻﻤــ ﹺﺔ ﻋ ﹼﻤــﺎ ﹶن ﻣــ ﹾﻦ ﻣﺪﻳﻨ ﹺﺔ اﻟﻘﺪ ﹺس اﻟﺸــﺮﻳ ﹺﻒ‬ ‫اﻟﺸﺮﻳ ﹸﻒ‪.‬‬ ‫ »تحديد الاتجــاه بد ًءا من النقطــة التي تتبع‬ ‫ﻫ ﹶﻮ ‪.078º‬‬ ‫كلمة (من) في السؤال‪ ،‬وبدء عملية القياس‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫دائ ًما من الشمال‪.‬‬ ‫ »البدء أو ًل بإضافة خط الشمال المار بالنقطة‬ ‫أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ اﻟﺨﺮﻳﻄ ﹶﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺎ ﹺل اﻟﺴﺎﺑ ﹺﻖ ﻟﺘﺤﺪﻳ ﹺﺪ اﺗﺠﺎ ﹺه ﻣﺪﻳﻨ ﹺﺔ ﺣﻴﻔﺎ ﻣ ﹾﻦ ﻣﺪﻳﻨ ﹺﺔ اﻟﻘﺪ ﹺس اﻟﺸﺮﻳ ﹺﻒ‪350° .‬‬ ‫التي ُيح َّدد منها الاتجاه‪.‬‬ ‫‪ G‬اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫ »ش ِّجع الطلبة ذوي المستوى دون المتوسط‬ ‫علــى وضع دائرة في الســؤال حول النقطة‬ ‫‪E‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣ ﹶﻦ اﻻﺗﺠﺎﻫﺎ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﻤﻨﻘﻠ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫التي ُيح َّدد منها الاتجاه‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫اﺗﺠﺎ ﹸه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ D‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪250° .E‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪M‬‬ ‫اﺗﺠﺎ ﹸه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ G‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪270° .A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﺗﺠﺎه اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ ‪ M‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪091° .D‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪115‬‬ ‫إرشاد‪:‬‬ ‫عندما ُيح ِّدد الطلبة النقطــة التي يقاس منها الاتجاه‪،‬‬ ‫ويرسموا خط الشــمال المار بها‪ ،‬ن ِّبههم إلى ضرورة‬ ‫وضــع مركــز المنقلة على هــذه النقطــة‪ ،‬وووضع‬ ‫التدريج ‪ 0‬على خط الشــمال الذي هــو ضلع ابتداء‬ ‫الزاوية‪ ،‬ثم اعتماد اتجاه حركة عقارب الساعة لقراءة‬ ‫قيــاس الزاوية التي يشــير إليها الخط المــار بالنقطة‬ ‫الأساسية والنقطة التي نريد تحديد اتجاهها‪.‬‬ ‫‪115‬‬

‫أرﺳ ﹸﻢ ﺷﻜ ﹰﻼ ﹸﻳﻮ ﱢﺿ ﹸﺢ ﻛ ﱠﻞ ﻣﻮﻗ ﹴﻒ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ 4-8 :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫ •اطرح على الطلبة السؤال الآتي‪:‬‬ ‫‪ 5‬اﺗﺠﺎ ﹸه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ B‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ W‬ﻫ ﹶﻮ ‪.310º‬‬ ‫‪ 4‬اﺗﺠﺎ ﹸه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ C‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ H‬ﻫ ﹶﻮ ‪.170º‬‬ ‫ »إذا كان اتجاه ‪ B‬من ‪ A‬هو ‪ ،060°‬فما اتجاه ‪ A‬من‬ ‫أرﺳ ﹸﻢ ﺷﻜ ﹰﻼ ﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋ ﹺﻞ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫‪B‬؟ )‪(240°‬‬ ‫‪ 7‬اﺗﺠﺎ ﹸه ‪ X‬ﻣ ﹾﻦ ‪ Y‬ﻫ ﹶﻮ ‪ .324º‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﺗﺠﺎ ﹶه ‪ Y‬ﻣ ﹾﻦ ‪.X‬‬ ‫‪ 6‬اﺗﺠﺎ ﹸه ‪ A‬ﻣ ﹾﻦ ‪ B‬ﻫ ﹶﻮ ‪ .070º‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﺗﺠﺎ ﹶه ‪ B‬ﻣ ﹾﻦ ‪.A‬‬ ‫ •ارسم مخط ًطا ُيم ِّثل المسألة‪ ،‬ثم ك ِّرر السؤال ُمغ ِّي ًرا‬ ‫الاتجاهات‪ ،‬مثل‪:‬‬ ‫‪ 8‬ﺗﻘ ﹸﻊ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ ‪ A‬ﺷﻤﺎﻟ ﱠﻲ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ ،C‬وﺗﻘ ﹸﻊ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ ‪ B‬ﺷﺮﻗ ﱠﻲ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ ،A‬واﺗﺠﺎ ﹸه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ B‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ C‬ﻫ ﹶﻮ ‪ .045º‬أرﺳ ﹸﻢ ﺷﻜ ﹰﻼ‬ ‫)‪090° (270°), 160° (340°), 290°, (110°‬‬ ‫ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ ﻣﻮاﻗ ﹶﻊ اﻟﻨﻘﺎ ﹺط اﻟﺜﻼ ﹺث‪.‬‬ ‫ •اكتب النتائج في جدول‪ ،‬ثــم اعرضه أمام الطلبة (قد‬ ‫ﻣﻼﺣ ﹲﺔ ﺑﺤﺮﻳ ﹲﺔ‪ :‬أﺑﺤ ﹶﺮ ﻗﺎر ﹲب ﺣﻮ ﹶل اﻷﺿﻼ ﹺع اﻷرﺑﻌ ﹺﺔ ﻟﻤﺮ ﱠﺑ ﹴﻊ ﻣﺴﺎﺣ ﹸﺘ ﹸﻪ ﻛﻴﻠﻮ ﻣﺘ ﹴﺮ ﻣﺮ ﱠﺑ ﹲﻊ واﺣ ﹲﺪ‪ 9-10 :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ُيلا ِحظ الطلبة من ذوي المســتوى فوق المتوسط أن‬ ‫‪ 9‬إذا ﺑﺪ ﹶأ اﻹﺑﺤﺎ ﹶر ﻓﻲ اﺗﺠﺎ ﹺه اﻟﺸــﻤﺎ ﹺل‪ ،‬ﻓﻤﺎ اﻻﺗﺠﺎﻫﺎ ﹸت اﻟﺜﻼﺛ ﹸﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴ ﹸﺔ اﻟﺘﻲ ﺳــﻠ ﹶﻜﻬﺎ ﺣ ﹼﺘﻰ أﻛﻤــ ﹶﻞ رﺣﻠ ﹶﺘ ﹸﻪ ﺣﻮ ﹶل اﻟﻤﺮ ﱠﺑ ﹺﻊ ﺑﺎﺗﺠﺎ ﹺه‬ ‫الفرق بين كل اتجاهين ‪.)180°‬‬ ‫ﺣﺮﻛ ﹺﺔ ﻋﻘﺎر ﹺب اﻟﺴﺎﻋ ﹺﺔ؟‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 10‬إذا ﺑﺪ ﹶأ اﻹﺑﺤﺎ ﹶر ﻓﻲ اﺗﺠﺎ ﹺه ‪ ،090º‬ﻓﻤﺎ اﻻﺗﺠﺎﻫﺎ ﹸت اﻟﺜﻼﺛ ﹸﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴ ﹸﺔ اﻟﺘﻲ ﺳﻠ ﹶﻜﻬﺎ ﺣ ﹼﺘﻰ أﻛﻤ ﹶﻞ رﺣﻠ ﹶﺘ ﹸﻪ ﺣﻮ ﹶل اﻟﻤﺮ ﱠﺑ ﹺﻊ ﺑﻌﻜ ﹺﺲ اﺗﺠﺎ ﹺه‬ ‫ﺣﺮﻛ ﹺﺔ ﻋﻘﺎر ﹺب اﻟﺴﺎﻋ ﹺﺔ؟‬ ‫‪ 11‬ﺧﺮاﺋــ ﹸﻂ‪ :‬ﹸﺗﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﺨﺮﻳﻄ ﹸﺔ اﻵﺗﻴ ﹸﺔ رﺣﻠ ﹶﺔ ﻗﺎر ﹴب ﺣﻮ ﹶل إﺣــﺪ￯ اﻟ ﹸﺠﺰ ﹺر‪ ،‬ﺑﺪ ﹶأ ﹾت ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻮﻗ ﹺﻊ ‪ ، S‬واﻧﺘ ﹶﻬ ﹾﺖ ﻋﻨ ﹶﺪ ﹸه‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻛ ﱡﻞ ‪1 cm‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺨﺮﻳﻄ ﹺﺔ ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ‪ ،20 km‬ﻓﻤﺎ ﻃﻮ ﹸل ﻛ ﱢﻞ ﻣﺮﺣﻠ ﹴﺔ ﻣ ﹾﻦ ﻣﺮاﺣ ﹺﻞ اﻟﺮﺣﻠ ﹺﺔ واﺗﺠﺎ ﹸﻫﻬﺎ؟ أﻧﺴ ﹸﺦ اﻟﺠﺪو ﹶل اﻵﺗ ﹶﻲ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﻛ ﹺﻤ ﹸﻠ ﹸﻪ‪:‬‬ ‫التدريب‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫اﳌﺮﺣﻠ ﹸﺔ ‪3‬‬ ‫اﻻﺗﺠﺎ ﹸه‬ ‫اﻟﻤﺮﺣﻠ ﹸﺔ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ اﻟﺤﻘﻴﻘﻴ ﹸﺔ‬ ‫اﳌﺮﺣﻠ ﹸﺔ ‪4‬‬ ‫اﳌﺮﺣﻠ ﹸﺔ ‪2‬‬ ‫‪060°‬‬ ‫‪50 km‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأســئلة في بند (أتدرب وأحل‬ ‫‪355°‬‬ ‫‪70 km‬‬ ‫‪2‬‬ ‫المســائل)‪ ،‬ثم اطلــب إليهم حلها (يمكــن الطلب‬ ‫اﳌﺮﺣﻠ ﹸﺔ ‪5‬‬ ‫اﳌﺮﺣﻠ ﹸﺔ ‪1‬‬ ‫‪260°‬‬ ‫‪66 km‬‬ ‫‪3‬‬ ‫إليهم حــل الأســئلة ذوات الأرقــام الزوجية ضمن‬ ‫‪204°‬‬ ‫‪46 km‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪130°‬‬ ‫‪60 km‬‬ ‫‪5‬‬ ‫مجموعات)‪.‬‬ ‫ •إذا واجــه بعض الطلبــة صعوبة في حل أي مســألة‪،‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ P‬واﻟﻤﺮﻓﺄﹺءﹾﻳ ﹺﻦ ‪ X‬ﹶو ‪ Y‬ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺎ ﹺءﺣ ﹺﻞ‪:‬‬ ‫ﻣﻮاﻧ ﹸﺊ‪ :‬ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟ ﹸﻤﺨ ﱠﻄ ﹸﻂ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹶء‬ ‫فاختر طال ًبا تم َّكن من حل المسألة‪ ،‬واطلب إليه كتابة‬ ‫إﻟﻰ اﻟﻤﺮﻓﺎ ‪ .X‬ﻣﺎ اﺗﺠــﺎ ﹸه اﻟﻤﺮﻓﺎ ‪ X‬ﻣ ﹶﻦ‬ ‫‪ 12‬أﺑﺤــ ﹶﺮ ﻗﺎر ﹸب ﺻﻴ ﹴﺪ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻴﻨــﺎ ﹺء ‪P‬‬ ‫ﺑﺤ ﹲﺮ‬ ‫حله على اللوح‪.‬‬ ‫‪ P‬ﻳﺎﺑﺴ ﹲﺔ‬ ‫‪P‬؟‬ ‫اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء‬ ‫ﻣ ﹶﻦ‬ ‫‪Y‬‬ ‫ﹺء‬ ‫اﺗﺠﺎ ﹸه‬ ‫ﻣﺎ‬ ‫‪.Y‬‬ ‫ﹺء‬ ‫إﻟﻰ‬ ‫‪P‬‬ ‫‪035°‬‬ ‫اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ‪P‬؟‬ ‫‪13‬‬ ‫ •ن ِّبه الطلبة عند حل السؤال ‪ 8‬أن تحديد موقع النقطة ‪B‬‬ ‫أﺑﺤ ﹶﺮ ﻳﺨ ﹲﺖ‬ ‫يتطلب توافر شرطين‪ ،‬هما‪ :‬وقوعها شرقي النقطة ‪،A‬‬ ‫اﻟﻤﺮﻓﺎ‬ ‫اﻟﻤﺮﻓﺎ‬ ‫ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء‬ ‫ووقوعها على اتجاه ‪ 045°‬من النقطة ‪. C‬‬ ‫‪302°‬‬ ‫‪116‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأسئلة في بند (مهارات التفكير‬ ‫العليا)‪ ،‬ثم اطلــب إليهم حلها ضمن مجموعات ثنائية‬ ‫غير متجانسة‪ ،‬وكتابة ُمب ِّرر للإجابة‪ ،‬وامنحهم وق ًتا كاف ًيا‬ ‫لنقد ُمب ِّررات بعضهم‪.‬‬ ‫ •و ِّجه أفراد المجموعات في أثناء حل الســؤال ‪ 21‬إلى‬ ‫رســم عمود من موقع السفينة إلى امتداد خط الشمال؛‬ ‫لتكوين مثلثين قائمي الزاوية‪ ،‬ما يساعدهم على تطبيق‬ ‫نظرية فيثاغورس عند إيجاد طول ‪ ،SP‬ثم اطلب إليهم‬ ‫استعمال النسب المثلثية لإيجاد اتجاه ‪ S‬من ‪.P‬‬ ‫ •امنح أفراد المجموعات وق ًتا للتفكير في حل السؤالين‪:‬‬ ‫‪ ،21‬و‪22‬‬ ‫‪116‬‬

‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪4‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة أن يحلوا في البيت جميع المســائل‬ ‫ﻣﻘﻴﺎ ﹸس اﻟﺮﺳ ﹺﻢ‪ :‬ﻛ ﱡﻞ ‪ 1 cm‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ‪200 m‬‬ ‫ﻣﻮاﻗ ﹸﻊ ﺟﻐﺮاﻓﻴ ﹲﺔ‪ :‬ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟ ﹸﻤﺨ ﱠﻄ ﹸﻂ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر ﻣﻮﻗ ﹶﻊ ﺑﻴ ﹺﺖ أرﻳ ﹶﺞ ﻋﻨ ﹶﺪ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪H‬‬ ‫الواردة في الصفحة ‪ 23‬من كتــاب التمارين‪ُ ،‬مح ِّد ًدا‬ ‫واﻟﻨﺎد ﹶي اﻟﺮﻳﺎﺿ ﱠﻲ اﻟﺬي ﺗﺮﺗﺎ ﹸد ﹸه ﻋﻨ ﹶﺪ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪:C‬‬ ‫لهم المســائل التي يمكنهم حلهــا في نهاية كل حصة‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 14‬ﹶأﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ ﻣﻘﻴﺎ ﹶس اﻟﺮﺳ ﹺﻢ اﻟﻤﻌﻄﻰ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد اﻟﻣﻤﻘﻴﺎﺴﺎﹸﻓس ﹺﺔاﻟاﻟﺮﺳﺤ ﹺﻘﻢﻴ‪:‬ﻘﻴ ﹺﺔ‪ m‬ﺑﻴ‪00‬ﹶﻦ‪2‬ﺑﻴ=ﹺﺖ‪ 1 cm‬اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫بحسب ما ُيق َّدم من أمثلة الدرس وأفكاره‪.‬‬ ‫أرﻳ ﹶﺞ واﻟﻨﺎدي اﻟﺮﻳﺎﺿ ﱢﻲ‪H 1100m .‬‬ ‫ •يمكن أي ًضا إضافة المسائل التي لم يحلها الطلبة داخل‬ ‫غرفة الصف إلى الواجب البيتي‪.‬‬ ‫‪ 15‬أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ ﻣﻨﻘﻠ ﹰﺔ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد اﺗﺠﺎ ﹺه اﻟﻨﺎدي ﻣ ﹾﻦ ﺑﻴ ﹺﺖ أرﻳ ﹶﺞ‪280° .‬‬ ‫ •في اليوم التالي‪ ،‬ا َّط ِلع على حلول الطلبة‪ ،‬ونا ِقشهم في‬ ‫‪ 16‬ﻳﺒﻌ ﹸﺪ اﻟﺴــﻮ ﹸق اﻟﺘﺠﺎر ﱡي ‪ S‬ﻣﺴــﺎﻓ ﹶﺔ ‪ 600 m‬ﻋ ﹾﻦ ﺑﻴ ﹺﺖ أرﻳ ﹶﺞ‪ ،‬وﺑﺎﺗﺠﺎ ﹺه ‪ 150º‬ﻣ ﹾﻦ ﺑﻴﺘﹺ ﹺﻬﺎ‪ .‬ﹸأﻋ ﱢﻴ ﹸﻦ ﻣﻮﻗ ﹶﻊ اﻟﺴﻮ ﹺق اﻟﺘﺠﺎر ﱢي ‪ S‬ﻋﻠﻰ‬ ‫أي صعوبات واجهوها في أثناء الحل‪.‬‬ ‫ﻧﺴﺨ ﹴﺔ ﻣ ﹶﻦ اﻟ ﹸﻤﺨ ﱠﻄ ﹺﻂ‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ 17‬ﻣﻼﺣــ ﹲﺔ ﺟﻮﻳ ﹲﺔ‪ :‬ﻓﻲ أﺛﻨﺎ ﹺء ﺗﺤﻠﻴ ﹺﻖ ﻃﺎﺋﺮ ﹴة ﺑﺎﺗﺠﺎ ﹺه ‪ ،072º‬ﹸﻃ ﹺﻠ ﹶﺐ إﻟﻰ ﻗﺎﺋ ﹺﺪﻫﺎ اﻟﺘﻮ ﱡﺟ ﹸﻪ إﻟﻰ ﻣﻄﺎ ﹴر ﺻﻮ ﹶب اﻟﺠﻨﻮ ﹺب‪ .‬ﻣﺎ اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ اﻟﺘﻲ‬ ‫ﺳﻴﺴﺘﺪﻳ ﹸﺮ ﺑﻬﺎ؟ ‪108°‬‬ ‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 18‬ﺧﺮاﺋ ﹸﻂ‪ :‬ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ‪ A‬ﹶو ‪ B‬ﹶو ‪ C‬ﺛﻼ ﹶث ﻗ ﹰﺮ￯ ﺗﻘ ﹸﻊ ﻋﻠﻰ رؤو ﹺس ﻣﺮ ﱠﺑ ﹴﻊ ﻓﻲ ﺧﻠﻴ ﹴﺞ ﻣﺎ‪ .‬إذا ‪C‬‬ ‫ﻛﺎ ﹶن اﺗﺠﺎ ﹸه اﻟﻘﺮﻳ ﹺﺔ ‪ B‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻘﺮﻳ ﹺﺔ ‪ A‬ﻫ ﹶﻮ ‪ ،030º‬ﻓﻤﺎ اﺗﺠﺎ ﹸه اﻟﻘﺮﻳ ﹺﺔ ‪ A‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻘﺮﻳ ﹺﺔ ‪C‬؟ ‪A‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى البحث عن خريطة باســتعمال شبكة‬ ‫الإنترنــت‪ ،‬أو تطبيــق الخرائط فــي الهواتف الذكية‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫(‪ ،)Google Map‬أو مصــادر المعرفة المتوافرة في‬ ‫‪ 19‬ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟ ﹶﺔ اﻟﻮارد ﹶة ﻓﻲ ﺑﺪاﻳ ﹺﺔ اﻟﺪر ﹺس‪20° .‬‬ ‫المنزل أو مختبر الحاسوب‪ ،‬ثم تعيين موقعين عليها‪،‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫وإيجاد اتجــاه أحدهما من الآخــر‪ُ ،‬مو ِّثقين الصورة‬ ‫باستعمال خاصية طباعة الشاشة‪ ،‬ثم عرضها مع الحل‬ ‫‪ 20‬ﻣﺴــﺄﻟ ﹲﺔ ﻣﻔﺘﻮﺣ ﹲﺔ‪ :‬أرﺳ ﹸﻢ ﻣﺜﻠ ﹰﺜﺎ ذا ﻗﺎﻋﺪ ﹴة أﻓﻘﻴ ﹴﺔ ﹸأﺳــ ﹼﻤﻴ ﹺﻪ ‪ ،ABC‬ﺛ ﱠﻢ أﻗﻴ ﹸﺲ زواﻳﺎ ﹸه‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﺗﺠﺎ ﹶه ‪ A‬ﻣ ﹾﻦ ‪ ،B‬واﺗﺠﺎ ﹶه ‪ C‬ﻣ ﹾﻦ ‪،A‬‬ ‫واﺗﺠﺎ ﹶه ‪ C‬ﻣ ﹾﻦ ‪ .B‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫أمام المع ِّلم‪ ،‬ثم الاحتفاظ بها في ملف الأعمال‪.‬‬ ‫ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬أﺑﺤ ﹶﺮ ﹾت ﺳــﻔﻴﻨ ﹲﺔ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ‪ P‬ﻣﺴﺎﻓ ﹶﺔ ‪ 57 km‬ﺑﺎﺗﺠﺎ ﹺه اﻟﺸﻤﺎ ﹺل‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﺗﺤ ﱠﻮ ﹶﻟ ﹾﺖ إﻟﻰ اﺗﺠﺎ ﹺه ‪ ،045º‬وﻗﻄ ﹶﻌ ﹾﺖ ﻣﺴﺎﻓ ﹶﺔ ‪ .38 km‬إذا‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫ﻛﺎ ﹶن ﻣﻮﻗ ﹸﻊ اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﻟ ﱡﻲ ﻫ ﹶﻮ ‪ ،S‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ‪:‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبــة إلى بــدء تنفيــذ الخطــوة الأولى من‬ ‫‪ .SP 21‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫المشــروع‪ ،‬وصنــع الكلينومتــر وفــق المواصفات‬ ‫‪ 22‬اﺗﺠﺎ ﹶه ﻣﻮﻗ ﹺﻊ اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ‪ .P‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫المطلوبة‪ ،‬والتح ُّقق من فاعلية الجهاز‪.‬‬ ‫‪117‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بضرورة تضمين المشروع صو ًرا للجهاز‪،‬‬ ‫ومراحل صنعه‪.‬‬ ‫الختام‬ ‫‪6‬‬ ‫المفاهيم العابرة‪:‬‬ ‫ •اطرح على الطلبة السؤالين الآتيين‪:‬‬ ‫ •بعد الانتهاء من حل المثال ‪ ،2‬ع ِّزز لدى الطلبة الوعي بالقضايا الإنســانية‬ ‫(النوع الاجتماعي)‪ ،‬ودور المرأة في تطور العلم‪ ،‬ثم اطلب إليهم البحث‬ ‫ »ما المقصود بالاتجاه من الشمال؟‬ ‫فــي مصادر المعرفة المتوافرة عن عالِمات أســهمن في تطور العلوم‪ ،‬ثم‬ ‫ »كيف يمكن إيجاد اتجاه النقطة ‪ A‬من النقطة ‪B‬؟‬ ‫كتابــة تقرير عن ذلــك‪ ،‬ثم قراءته فــي الإذاعة المدرســية‪ُ ،‬مذ ِّك ًرا إ ّياهم‬ ‫ •اســتمع لإجابات أكبر عــدد ممكن مــن الطلبة‪ ،‬ثم‬ ‫بضرورة توثيق مصدر معلوماتهم‪.‬‬ ‫اسألهم‪:‬‬ ‫ •بعد الانتهاء من حل المثال ‪ ،3‬ع ِّزز لدى الطلبة الوعي بالقضايا السياســية‬ ‫ » َم ْن ُيؤ ِّيد الإجابة؟‬ ‫والوطنية (هوية القدس)‪ ،‬ودور المملكة الأردنية الهاشــمية في الإشراف‬ ‫ » َم ْن لديه إجابة أخرى؟‬ ‫على المقدسات الإســامية والمحافظة عليها‪ ،‬ثم اطلب إليهم كتابة فقرة‬ ‫ »اذكر هذه الإجابة‪.‬‬ ‫من ‪ 60‬كلمة ُتب ِّين هذا الدور‪ ،‬ثم عرضها على مع ِّلم اللغة العربية‪.‬‬ ‫‪117‬‬

‫ﻗﺎﻧﻮ ُن اﻟﺠﻴﻮ ِب‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫الدرس‬ ‫‪Law of Sines‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸل ﻗﺎﻧﻮ ﹺن اﻟﺠﻴﻮ ﹺب ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻃﻮ ﹺل ﺿﻠ ﹴﻊ‪ ،‬أ ﹾو ﻗﻴﺎ ﹺس زاوﻳ ﹴﺔ ﻓﻲ ﻣﺜﻠ ﹴﺚ‪ ،‬ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻢ ﻓﻴ ﹺﻪ ﺿﻠﻌﺎ ﹺن وزاوﻳ ﹲﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠ ﹲﺔ‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس‬ ‫  نتاجات الدرس‬ ‫ﻷﺣ ﹺﺪ ﹺﻫﻤﺎ‪ ،‬أ ﹾو زاوﻳﺘﺎ ﹺن وﺿﻠ ﹲﻊ ﺑﻴﻨﹶ ﹸﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫ •يستنتج قانون الجيوب‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎ ُت‬ ‫ •يحــل مثل ًثا ُع ِلم منه طولا ضلعين وقياس زاوية مقابلة‬ ‫إرﺑ ﹸﺪ‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫لأحدهما‪.‬‬ ‫ﹶﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ‪ ،‬ﻗﺎﻧﻮ ﹸن اﻟﺠﻴﻮ ﹺب‪ .‬إرﺑﺪ‬ ‫ •يحل مثل ًثا ُع ِلم منه طول ضلع وقياس زاويتين‪.‬‬ ‫ •يحل مسائل حياتية باستعمال قانون الجيوب‪.‬‬ ‫ﻋﺠﻠﻮن‬ ‫ﺟﺮش‬ ‫اﳌﻔﺮق‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶﻧــ ﹾﺖ ﺟــﺮ ﹸش واﻟﺰرﻗﺎ ﹸء وﻣﺄدﺑـاﳌـﻔﺎﺮ ﹸﹸﺗقﺸــ ﱢﻜ ﹸﻞ رؤو ﹶس ﻣﺜﻠ ﹴﺚ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺨﺮﻳﻄ ﹺﺔ‪ ،‬واﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺪﻳﻨ ﹶﺘ ﹺﻲ اﻟﺰرﻗﺎ ﹺء وﺟﺮ ﹶش ‪ ،44 km‬وﻗﻴﺎ ﹸس‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫ﻋﺠﻠﻮ ﹸن‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻘ ﹸﻊ ﻋﻨ ﹶﺪ رأ ﹺﺳﻬﺎ ﻣﺪﻳﻨ ﹸﺔ ﺟﺮ ﹶش ‪ ،52º‬وﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ااﻟﻟﺘﺰرﻲﻗﺎ ﹸء‬ ‫ •إيجاد النسب المثلثية الأساســية للزوايا ضمن دورة‬ ‫ﺟﺮ ﹸش‬ ‫ﺗﻘ ﹸﻊ ﻋﻨ ﹶﺪ رأ ﹺﺳــﻬﺎ ﻣﺪﻳﻨ ﹸﺔ اﻟﺰرﻗﺎ ﹺء ‪ ،93º‬ﻓﻬــ ﹾﻞ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﺑﻬﺬ ﹺه اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎ ﹺت‬ ‫واحدة‪.‬‬ ‫اﻟﺴﻠﻂ‬ ‫اﻟﺰرﻗﺎء‬ ‫ﺣﺴﺎ ﹸب اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺪﻳﻨ ﹶﺘ ﹾﻲ ﺟﺮ ﹶش وﻣﺄدﺑﺎ؟‬ ‫ •التطبيق على نظرية فيثاغورس‪.‬‬ ‫ •التطبيق على الاتجاه من الشمال‪.‬‬ ‫اﻟﺒﻠﻘﺎ ﹸء‬ ‫ﻋﲈن‬ ‫ﻣﺎدﺑﺎ‬ ‫ﻋ ﹼﲈ ﹸن ﻣﺄدﺑﺎ‬ ‫ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﻓﻲ أ ﱢي ﻣﺜﻠ ﹴﺚ ﺳــﺘ ﹸﺔ ﻗﻴﺎﺳــﺎ ﹴت‪ ،‬ﻫ ﹶﻲ‪ :‬ﺛﻼﺛ ﹸﺔ أﺿﻼ ﹴع‪ ،‬وﺛﻼ ﹸث زواﻳﺎ‪ .‬وإﻳﺠﺎ ﹸد ﻫﺬ ﹺه اﻟاﻟﻜﻘﺮﻴكﺎﺳﺎ ﹺت‬ ‫اﻟﻜﺮ ﹸك‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﺎ ﹺت‬ ‫اﻟﺰواﻳﺎ‬ ‫ﻗﻴﺎﺳﺎ ﹸت‬ ‫ﺗﺴﺎﻋ ﹸﺪ‬ ‫إ ﹾذ‬ ‫‪(solving‬؛‬ ‫‪a‬‬ ‫)‪triangle‬‬ ‫اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ‬ ‫ﹶﺣ ﱢﻞ‬ ‫ﺑﺎﺳ ﹺﻢ‬ ‫ﹸﻳﻌ ﹶﺮ ﹸف‬ ‫ﻋﻠﻰ ﹶﺣ ﱢﻞ‬ ‫ﻓﻲ ﺣﺎ ﹺل ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ﺑﻌ ﹸﺾ ﻗﻴﺎﺳــﺎﺗﹺﻬﺎ ﻣﻌﺮوﻓ ﹰﺔ‪ ،‬وذﻟﻚ ﺑﺎﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻧﺴــﺒ ﹺﺔ اﻟﺠﻴ ﹺﺐ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻋﻼﻗﺎ اﻟﻄﹴﻔﻴﻠاتﺔﻟﺑﻄﻴﻔﻴ ﹶﻠﻦ ﹸﺔ‬ ‫رﻣﻮ ٌز رﻳﺎﺿﻴ ٌﺔ‬ ‫‪A‬‬ ‫أﻃﻮا ﹺل اﻷﺿﻼ ﹺع‪.‬‬ ‫ﺗﺸــﻴ ﹸﺮ اﻷﺣــﺮ ﹸف اﻟﻜﺒﻴــﺮ ﹸة‬ ‫‪ A, B, C‬إﻟــﻰ رؤو ﹺس‬ ‫ﻣﻌﺎ ﹸن‬ ‫اﻟﻤﺜﻠــ ﹺﺚ وزواﻳــﺎ ﹸه‪ ،‬ﻓــﻲ‬ ‫ﺣﻴ ﹺﻦ ﺗﺸــﻴ ﹸﺮ اﻟﺼﻐﻴــﺮ ﹸة ﻣﻨﹾﻬﺎ‬ ‫‪c‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻓﻔــﻲ اﻟﻤﺜﻠــ ﹺﺚ ‪ ABC‬اﻟﻤﺮﺳــﻮ ﹺم ﺟﺎﻧ ﹰﺒــﺎ‪ ،‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ‪h‬‬ ‫‪ a, b, c‬إﻟــﻰ أﻃــﻮا ﹺل‬ ‫اﻻرﺗﻔــﺎ ﹶع ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄــ ﹺﺔ ‪ A‬؛ ﻟﺬا ﻓﻬ ﹶﻮ ﻋﻤــﻮد ﱞي ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻷﺿــﻼ ﹺع‪ .‬ﻓﻤﺜــ ﹰﻼ‪ ،‬ﻃﻮ ﹸل‬ ‫ﻣﻌﺎن‬ ‫اﻟﻀﻠــ ﹺﻊ اﻟﻤﻘﺎﺑــ ﹺﻞ ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫‪ A‬ﻳﺸــﺎ ﹸر إﻟ ﹾﻴــ ﹺﻪ ﺑﺎﻟﺤﺮ ﹺف ‪،a‬‬ ‫‪B aD C‬‬ ‫اﻟﻘﺎﻋﺪ ﹺة ‪.BC‬‬ ‫وﻫﻜﺬا‪.‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ اﻻﺳﺘﻔﺎد ﹸة ﻣ ﹾﻦ ﺗﻌﺮﻳ ﹺﻒ اﻟﺠﻴ ﹺﺐ ﻓﻲ اﺳﺘﻨﺘﺎ ﹺج ﺑﻌ ﹺﺾ اﻟﻌﻼﻗﺎ ﹺت ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ :‬اﻟﻌﻘﺒ ﹸﺔ‬ ‫‪118‬‬ ‫اﻟﻌﻘﺒﺔ‬ ‫= ‪sin B‬‬ ‫‪h‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ اﻟﺠﻴ ﹺﺐ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪h = csin B‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻀﺮ ﹺب اﻟﺘﺒﺎدﻟ ﱢﻲ‬ ‫التهيئة‬ ‫= ‪sin C‬‬ ‫‪h‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ اﻟﺠﻴ ﹺﺐ‬ ‫ •ارسم المثلث المجاور ‪C‬‬ ‫‪b‬‬ ‫على يمين اللوح‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻀﺮ ﹺب اﻟﺘﺒﺎدﻟ ﱢﻲ‬ ‫‪h = bsin C‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻤﺴﺎوا ﹺة ‪h = h‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋﻠﻰ ‪ ،sin B‬ﺛ ﱠﻢ ﻋﻠﻰ ‪sin C‬‬ ‫‪csin B = bsin C‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪b5‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪65° 50°‬‬ ‫‪A 5B‬‬ ‫ •اطرح على الطلبة الأسئلة الآتية‪:‬‬ ‫ »كيف يمكن إيجاد طول الضلع ‪b‬؟‬ ‫ »هل يمكن اســتعمال نظرية فيثاغورس لإيجاده؟‬ ‫لماذا؟ لا؛ لأ َّن المثلث ليس قائ ًما‪.‬‬ ‫ »ماذا يحدث إذا أسقطت عمو ًدا من الرأس ‪ C‬على‬ ‫‪AB‬؟‬ ‫ »كيف يمكن إيجاد ‪AC‬؟ بتطبيق نظرية فيثاغورس‪.‬‬ ‫‪b sin50° = 5 sin 65°‬‬ ‫ •اســتمع لإجابات أكبر عــدد ممكن مــن الطلبة‪ ،‬ثم‬ ‫اسألهم‪:‬‬ ‫ » َم ْن ُيؤ ِّيد الإجابة؟‬ ‫ » َم ْن لديه إجابة أخرى؟‬ ‫ »اذكر هذه الإجابة‪.‬‬ ‫‪118‬‬

‫ملاحظات المعلم‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المسألة في بند (مسألة اليوم) ثم اسألهم‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »هل يمكن اســتعمال نظرية فيثاغورس لإيجاد المســافة بين مأدبا والزرقاء؟ لا؛ لأ َّن المثلث‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫غير قائم الزاوية‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »كيف يمكن توظيف النسب المثلثية في إيجاد المسافة بين مأدبا والزرقاء؟‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة من دون تقديم تغذية راجعة لهم‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ك ِّرر المصطلحات الرياضية المســتخدمة في الدرس باللغتين العربية والإنجليزية‪ ،‬وش ِّجع الطلبة على‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫اســتعمالها‪ ،‬مثل‪ :‬المثلث ‪ ،triangle‬وحل المثلــث ‪ ،solving triangle‬والزاوية ‪ ،angle‬وقانون‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫الجيوب ‪.Law of Sine‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •و ِّضح للطلبة عناصر المثلث‪ ،‬ومفهوم حل المثلث‪ ،‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫ »كم عنص ًرا يلزم معرفته لحل المثلث؟ لماذا؟‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة‪ُ ،‬مذ ِّك ًرا إ ّياهم بحل المثلث قائم الزاوية‪.‬‬ ‫ •اشرح للطلبة كيفية اشتقاق قانون الجيوب الوارد بداية الدرس في كتاب الطالب‪.‬‬ ‫ •قد يكون اشــتقاق القانــون غير واضح للطلبة من ذوي المســتوى دون المتوســط؛ لذا و ِّضحه‬ ‫لهــم بالرجوع إلى الرســم الموجود على يمين اللــوح (في بند التهيئة)‪ ،‬ثــم اطلب إليهم كتابة‬ ‫النتيجــة ‪ b sin50° = 5 sin 65°‬بالرمــوز بــد ًل من الزوايــا ‪ُ ، 50°، 65°‬مب ِّينًــا لهم العلاقة‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪sin B‬‬ ‫=‬ ‫‪sin A‬‬ ‫ •اكتب على اللوح قانون الجيوب‪ ،‬ثم اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫ »ما الحالات التي يمكن فيها استعمال قانون الجيوب؟‬ ‫ •استمع لإجابات أكبر عدد ممكن من الطلبة‪ ،‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫ » َم ْن ُيؤ ِّيد الإجابة؟‬ ‫ » َم ْن لديه إجابة أخرى؟‬ ‫ »اذكر هذه الإجابة‪.‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫المجــال العاطفي لا يقل أهمية عن المجال المعرفي؛ فلا تقل لأحد الطلبة‪( :‬إجابتك خطأ)‪ ،‬بل‬ ‫قل له‪( :‬لقد اقتربت من الإجابة الصحيحة‪ ،‬فمن يســتطيع إعطاء إجابة أخرى؟)‪ ،‬أو قل له‪( :‬هذه‬ ‫إجابة صحيحة لغير هذا السؤال)‪.‬‬ ‫‪118A‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪4‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫وﺑﺎﻟﻤﺜ ﹺﻞ‪ ،‬ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ اﺳﺘﻨﺘﺎ ﹸج اﻟﻌﻼﻗﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋﻨ ﹶﺪ رﺳ ﹺﻢ ارﺗﻔﺎ ﹺع ‪A‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة فــي حل المثال‪ 1‬اعتما ًدا على الشــكل‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫المرفــق‪ ،‬ود ِّربهــم على اختيــار العلاقة المناســبة‬ ‫΄‪h‬‬ ‫اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ B‬ﺑﺸــﻜ ﹴﻞ ﻋﻤﻮد ﱟي ﻋﻠﻰ ‪ ، AC‬أ ﹾو رﺳــ ﹺﻢ‬ ‫بيــن عناصر المثلــث المعطاة لإيجاد طــول الضلع‬ ‫‪B aC‬‬ ‫ارﺗﻔﺎ ﹺﻋ ﹺﻪ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ C‬ﻋﻤﻮد ﹰﹼﻳﺎ ﻋﻠﻰ ‪.AB‬‬ ‫المطلوب‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلى حــل التدريب في بنــد (أتحقق من‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪B‬‬ ‫فهمي) بعد كل مثال‪.‬‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحوي أخطاء مفاهيمية‪ ،‬ثم‬ ‫ﻋﻨ ﹶﺪ دﻣ ﹺﺞ ﻫﺬ ﹺه اﻟﻌﻼﻗﺎ ﹺت اﻟﺜﻼ ﹺث ﻣ ﹰﻌﺎ‪ ،‬ﻳﻨﺘ ﹸﺞ ﻗﺎﻧﻮ ﹸن اﻟﺠﻴﻮ ﹺب )‪.(law of sines‬‬ ‫إرﺷﺎ ٌد‬ ‫نا ِقشها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اسم الطالب الذي أخطأ‬ ‫ﺗﻮﺟ ﹸﺪ ﺻﻴﻐ ﹲﺔ ﹸأﺧﺮ￯ ﻟﻘﺎﻧﻮ ﹺن‬ ‫في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫اﻟﺠﻴﻮ ﹺب ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﹸﻳﺴــﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ ﻗﺎﻧﻮ ﹸن اﻟﺠﻴﻮ ﹺب ﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ اﻟﺬي ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻤ ﹾﺖ ﺛﻼﺛ ﹲﺔ ﻣﻦ ﻗﻴﺎﺳﺎﺗﹺ ﹺﻪ‪ ،‬وذﻟ ﹶﻚ ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪c‬‬ ‫قــد يخطئ بعض الطلبــة في حل التدريــب في بند‬ ‫(أتحقق من فهمي)‪ ،‬فيســتعملون نظرية فيثاغورس؛‬ ‫ُأﻓ ﱢﻜ ُﺮ‬ ‫اﻵﺗﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪:‬‬ ‫إرﺷﺎ ٌد‬ ‫لذا ذ ِّكرهم أن المثلث ليس قائم الزاوية‪.‬‬ ‫ﻟﻤﺎذا ﻳﺘﻌــ ﱠﺬ ﹸر ﹶﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ‬ ‫‪ 1‬ﺿﻠ ﹲﻊ واﺣ ﹲﺪ وزاوﻳﺘﺎ ﹺن )‪ ،ASA‬أ ﹾو ‪.(SAA‬‬ ‫‪ -‬اﻟﺤــﺮ ﹸف ‪ S‬ﻫــ ﹶﻮ اﺧﺘﺼﺎ ﹲر‬ ‫اﻟﺬي ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻤ ﹾﺖ ﻓﻘ ﹾﻂ ﻗﻴﺎﺳﺎ ﹸت‬ ‫‪ 2‬ﺿﻠﻌﺎ ﹺن وزاوﻳ ﹲﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠ ﹲﺔ ﻷﺣ ﹺﺪ ﹺﻫﻤﺎ )‪.(SSA‬‬ ‫ﻟﻜﻠﻤــ ﹺﺔ ‪ ،Side‬وﺗﻌﻨــﻲ‬ ‫زواﻳﺎ ﹸه ﺟﻤﻴ ﹰﻌﺎ؟‬ ‫ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻵﺗﻲ ﻫﺎﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﺤﺎﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪:‬‬ ‫اﻟﻀﻠ ﹶﻊ‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪SA‬‬ ‫‪ -‬اﻟﺤــﺮ ﹸف ‪ A‬ﻫــ ﹶﻮ اﺧﺘﺼﺎ ﹲر‬ ‫‪AA‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﻟﻜﻠﻤــ ﹺﺔ ‪ ،Angle‬وﺗﻌﻨــﻲ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪S‬‬ ‫اﳊﺎﻟ ﹸﺔ ‪SAA 1‬‬ ‫اﳊﺎﻟ ﹸﺔ ‪ASA 1‬‬ ‫اﻟﺰاوﻳ ﹶﺔ‪.‬‬ ‫اﳊﺎﻟ ﹸﺔ ‪SSA 2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫‪84º‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪.ABC‬‬ ‫‪25 cm‬‬ ‫‪B 47º‬‬ ‫‪x cm‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪25‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ﹸن اﻟﺠﻴﻮ ﹺب‬ ‫‪Rx‬‬ ‫‪sin 84º‬‬ ‫‪sin 47º‬‬ ‫‪75º S‬‬ ‫ﺑﻀﺮ ﹺب اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ ‪sin 84º‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪25 sin 84º‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫‪45‬‬ ‫‪sin 47º‬‬ ‫‪37º‬‬ ‫‪≈ 34 cm‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪T‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ RST‬اﻟ ﹸﻤﺒ ﱠﻴ ﹺﻦ ﺟﺎﻧ ﹰﺒﺎ‪.‬‬ ‫‪119‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:1‬‬ ‫‪x = 28.037‬‬ ‫‪119‬‬

‫مثال ‪2‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ أﻳ ﹰﻀﺎ اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸل ﻗﺎﻧﻮ ﹺن اﻟﺠﻴﻮ ﹺب ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﻴﺎ ﹺس زاوﻳ ﹴﺔ ﻣﺠﻬﻮﻟ ﹴﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ‪.‬‬ ‫ •نا ِقــش الطلبة في حل المثال ‪ 2‬اعتما ًدا على الشــكل‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪A‬‬ ‫المرفــق‪ ،‬ود ِّربهــم على اختيــار العلاقة المناســبة‬ ‫‪40º‬‬ ‫‪6‬‬ ‫بين عناصر المثلــث المعطاة لإيجاد قيــاس الزاوية‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪.ABC‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪C‬‬ ‫المطلوبة‪.‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫=‬ ‫‪sin 40º‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ﹸن اﻟﺠﻴﻮ ﹺب‬ ‫‪B‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺑﻀﺮ ﹺب اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ ‪7‬‬ ‫‪S‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫‪6‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪7sin 40º‬‬ ‫‪65º‬‬ ‫ •جد قياس الزاوية ‪26.3°  .A‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪≈ 0.7499‬‬ ‫‪34‬‬ ‫)‪x = sin–1 (0.7499‬‬ ‫ﻣﻌﻜﻮ ﹸس اﻟﺠﻴ ﹺﺐ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫‪127°‬‬ ‫‪≈ 48.6º‬‬ ‫‪C 18 B‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪12‬‬ ‫إرشادات‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪.RST‬‬ ‫ •يســتعمل الطلبة في المثال ‪ 2‬معكوس الجيب؛‬ ‫‪x‬‬ ‫لذا و ِّجههم إلى اســتعمال الآلة الحاسبة لإيجاد‬ ‫‪R‬‬ ‫الناتج‪ ،‬وذ ِّكرهم بطريقة استعمالها‪.‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﻧﻤﺬﺟ ﹸﺔ ﻛﺜﻴ ﹴﺮ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻮاﻗ ﹺﻒ اﻟﺤﻴﺎﺗﻴ ﹺﺔ ﺑﺎﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﻤﺜﻠﺜﺎ ﹺت‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ إﻳﺠﺎ ﹸد ﻗﻴﺎﺳﺎ ﹴت ﻣﺠﻬﻮﻟ ﹴﺔ ﻓﻴﻬﺎ‬ ‫ •ر ِّكز على تطويــر مهارات الطلبة في اســتعمال‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻗﺎﻧﻮ ﹺن اﻟﺠﻴﻮ ﹺب‪.‬‬ ‫الآلة الحاســبة في دروس هــذه الوحدة؛ فذلك‬ ‫من المهارات الحياتية الأساسية‪ .‬يمكن مساعدة‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :3‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫‪A‬‬ ‫الطلبــة مــن ذوي المســتوى دون المتوســط‬ ‫على إتقان هــذه المهارة عن طريــق العمل في‬ ‫ﻳﻘـ ﹸﻊ ﺑـﺮ ﹲج ارﺗﻔﺎ ﹸﻋـ ﹸﻪ ‪ h‬ﻣﺘـ ﹲﺮ ﻋﻠـﻰ ﺗ ﱠﻠـ ﹴﺔ‪ ،‬وﻗـ ﹾﺪ ﹸر ﹺﺻـ ﹶﺪ ﹾت ﻗ ﱠﻤـ ﹸﺔ اﻟﺒـﺮ ﹺج ‪ A‬ﻣـ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄـ ﹺﺔ ‪ B‬اﻟﺘـﻲ‬ ‫‪B 50º‬‬ ‫‪25 m‬‬ ‫‪C‬‬ ‫مجموعات ثنائية مع زميل من ذوي المســتوى‬ ‫ﺗﺒﻌـ ﹸﺪ ﻋـ ﹾﻦ ﻗﺎﻋـﺪ ﹺة اﻟﺒـﺮ ﹺج ‪ 25 m‬ﻓـﻜﺎ ﹶن ﻗﻴـﺎ ﹸس زاوﻳـ ﹺﺔ ارﺗﻔﺎ ﹺﻋﻬـﺎ ‪ ، 50º‬ﺛـ ﱠﻢ ﹸر ﹺﺻـ ﹶﺪ ﹾت ﻗ ﱠﻤـ ﹸﺔ‬ ‫‪D‬‬ ‫اﻟﺘ ﱠﻠـ ﹺﺔ ﻣـ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄـ ﹺﺔ ‪ B‬ﻧﻔ ﹺﺴـﻬﺎ ﻓـﻜﺎ ﹶن ﻗﻴـﺎ ﹸس زاوﻳـ ﹺﺔ ارﺗﻔﺎ ﹺﻋﻬـﺎ ‪ .20º‬ﻣـﺎ ارﺗﻔـﺎ ﹸع اﻟﺒـﺮ ﹺج ‪h‬؟‬ ‫‪20º‬‬ ‫المتوسط أو فوق المتوسط‪.‬‬ ‫ •أخبــر الطلبــة أن درس (معكــوس الاقترانات‬ ‫‪A‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ أو ﹰﻻ ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪:ABC‬‬ ‫ﻣﻌﻠﻮﻣ ٌﺔ أﺳﺎﺳﻴ ٌﺔ‬ ‫المثلثية) سوف يرد في دروس الفصل الدراسي‬ ‫‪40º‬‬ ‫‪m∠ABC = 50º – 20º = 30º‬‬ ‫ﹸﺗﺴــ ﹼﻤﻰ اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﹸة‬ ‫الثاني‪.‬‬ ‫‪h‬‬ ‫ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪:BAD‬‬ ‫ﺑﻴ ﹶﻦ ﺧــ ﱢﻂ اﻟﺒﺼــ ﹺﺮ واﻟﺨ ﱢﻂ‬ ‫‪25 m C‬‬ ‫اﻷﻓﻘ ﱢﻲ اﻟﻤﺎ ﱢر ﺑﻌﻴــ ﹺﻦ اﻟﻨﺎﻇ ﹺﺮ‬ ‫‪30º‬‬ ‫‪m∠BAC = 180º – 90º – 50º = 40º‬‬ ‫‪B‬‬ ‫زاوﻳ ﹶﺔ اﻻرﺗﻔﺎ ﹺع‪.‬‬ ‫ارﺗﻔــﺎ ﹸع اﻟﺒﺮ ﹺج ﻫ ﹶﻮ ﻃــﻮ ﹸل اﻟﻀﻠ ﹺﻊ ‪ AC‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ .BAC‬ﹶأﺳــﺘﻌﻤ ﹸﻞ ﻗﺎﻧــﻮ ﹶن اﻟﺠﻴﻮ ﹺب ﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ ﻫﺬا‬ ‫اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ‪.‬‬ ‫‪120‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:2‬‬ ‫‪26.95‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫قد يخطئ بعض الطلبة في أثناء الحل باستعمال الآلة‬ ‫الحاسبة؛ لذا د ِّربهم على استعمالها جي ًدا‪ ،‬وتوجيههم‬ ‫إلى الحل ضمن مجموعات‪.‬‬ ‫‪120‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪4‬‬ ‫ مثال ‪ :3‬من الحياة‬ ‫ •و ِّضح للطلبة مفهوم زاويــة الارتفاع‪ ،‬ثم اطلب إليهم‬ ‫ﺑﻌ ﹶﺪ ذﻟ ﹶﻚ ﹶأﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ ﻗﺎﻧﻮ ﹶن اﻟﺠﻴﻮ ﹺب ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ BAC‬ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ارﺗﻔﺎ ﹺع اﻟﺒﺮ ﹺج‪:‬‬ ‫ذكر أمثلة من الحياة على ذلك‪.‬‬ ‫‪h‬‬ ‫=‬ ‫‪25‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ﹸن اﻟﺠﻴﻮ ﹺب‬ ‫ •نا ِقش الطلبــة في حل المثال ‪ 3‬الذي ُيب ِّين اســتخدام‬ ‫‪sin 30º‬‬ ‫‪sin 40º‬‬ ‫ﺑﻀﺮ ﹺب اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ ‪sin30º‬‬ ‫قانون الجيوب في موقف حياتي‪.‬‬ ‫‪h‬‬ ‫=‬ ‫‪25 sin30º‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫‪sin 40º‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:3‬‬ ‫‪h ≈ 19.45 m‬‬ ‫الارتفاع ≈ ‪ 22‬تقري ًبا‪.‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ارﺗﻔﺎ ﹸع اﻟﺒﺮ ﹺج ﻫ ﹶﻮ‪19.45 m :‬‬ ‫‪B‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪37º‬‬ ‫‪h‬‬ ‫قد لا يتم َّكن الطلبة من ذوي المستوى دون المتوسط‬ ‫‪20 m‬‬ ‫‪67º‬‬ ‫من فهم المســألة؛ لذا حاول تطبيــق الموقف عمل ًّيا‬ ‫رﺻ ﹶﺪ ﻟﻴ ﹲﺚ زاوﻳ ﹶﺔ ﻗ ﱠﻤ ﹺﺔ ﺑﻨﺎﻳ ﹴﺔ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ ،A‬ﻓﻜﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ‪ ،37º‬ﺛ ﱠﻢ ﺳــﺎ ﹶر ﻣﺴﺎﻓ ﹶﺔ ‪ 20 m‬ﺑﺎﺗﺠﺎ ﹺه اﻟﺒﻨﺎﻳ ﹺﺔ ﺣ ﹼﺘﻰ‬ ‫‪CD‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ ،C‬ﺛ ﱠﻢ رﺻ ﹶﺪ زاوﻳ ﹶﺔ ﻗ ﱠﻤ ﹺﺔ اﻟﺒﻨﺎﻳ ﹺﺔ‪ ،‬ﻓﻜﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ‪ .67º‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ارﺗﻔﺎ ﹶع اﻟﺒﻨﺎﻳ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫لتسهيل عملية الفهم‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ مثال ‪ :4‬من الحياة‬ ‫ •ذ ِّكــر الطلبة بمفهــوم الاتجاه من الشــمال قبل البدء‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :4‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫بشرح المثال ‪4‬‬ ‫اﻟﺘﻘ ﹶﻄ ﹾﺖ ﻣﺤ ﱠﻄﺘﺎ ﺧﻔ ﹺﺮ اﻟﺴــﻮاﺣ ﹺﻞ ‪ A‬ﹶو ‪ B‬ﻧﺪا ﹶء اﺳــﺘﻐﺎﺛ ﹴﺔ ﻣ ﹾﻦ ﺳــﻔﻴﻨ ﹴﺔ ﻋﻨ ﹶﺪ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ C‬ﻓﻲ اﻟﺒﺤ ﹺﺮ‪ ،‬وﻗ ﹾﺪ‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫‪C‬‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫ •نا ِقش الطلبــة في حل المثال ‪ 4‬الــذي يعرض تطبي ًقا‬ ‫ﺣ ﱠﺪ ﹶد ﹺت اﻟﻤﺤ ﱠﻄ ﹸﺔ ‪ A‬اﺗﺠﺎ ﹶه اﻟﺴــﻔﻴﻨ ﹺﺔ ﻋﻨ ﹶﺪ ‪ ،040º‬وﺣ ﱠﺪ ﹶد ﹺت اﻟﻤﺤ ﱠﻄ ﹸﺔ ‪ B‬اﺗﺠﺎ ﹶه اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ ﻋﻨ ﹶﺪ ‪ .330º‬إذا‬ ‫على قانون الجيوب والاتجاه من الشمال م ًعا‪ ،‬مستعينًا‬ ‫‪40º‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ ‪ B‬ﺷﺮﻗ ﱠﻲ ‪ A‬وﻛﺎﻧ ﹺﺖ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻤﺤ ﱠﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ ،120 km‬ﻓﻜ ﹾﻢ ﺗﺒﻌ ﹸﺪ اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹸﺔ ﻋ ﹺﻦ اﻟﻤﺤ ﱠﻄ ﹺﺔ ‪A‬؟‬ ‫‪330º‬‬ ‫بالرسم المرفق‪.‬‬ ‫ •قد لا يتم َّكن الطلبة من ذوي المستوى دون المتوسط‬ ‫‪ A 120 km‬ﻳﺠ ﹸﺐ أو ﹰﻻ إﻳﺠﺎ ﹸد ﻗﻴﺎ ﹺس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪:C‬‬ ‫من فهم المســألة؛ لذا حاول تطبيــق الموقف عمل ًّيا‬ ‫ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ BAC‬ﻫ ﹶﻮ ‪) 50º‬ﻷ ﱠﻧﻬﺎ ﹸﻣﺘ ﱢﻤﻤ ﹲﺔ ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﻗﻴﺎ ﹸﺳﻬﺎ ‪.(40º‬‬ ‫لتسهيل عملية الفهم‪.‬‬ ‫وﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ ABC‬ﻫ ﹶﻮ ‪) 60º‬ﻷ ﱠن ‪ .(330º – 270º = 60º‬إذ ﹾن‪:‬‬ ‫‪m∠ACB = 180º – 60º – 50º = 70º‬‬ ‫ﺛ ﱠﻢ اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸل ﻗﺎﻧﻮ ﹺن اﻟﺠﻴﻮ ﹺب‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪c‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ﹸن اﻟﺠﻴﻮ ﹺب‬ ‫‪sin B‬‬ ‫‪sin C‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪120‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫‪sin 60º‬‬ ‫‪sin 70º‬‬ ‫ﺑﻀﺮ ﹺب اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ ‪sin 60º‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫× ‪120‬‬ ‫‪sin 60º‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪70º‬‬ ‫‪≈ 110.59 km‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﹸﺑ ﹾﻌ ﹶﺪ اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ ﻋ ﹺﻦ اﻟﻤﺤ ﱠﻄ ﹺﺔ ‪ B‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺎ ﹺل اﻟﺴﺎﺑ ﹺﻖ‪.‬‬ ‫‪121‬‬ ‫إرشــاد‪ :‬قــد لا يتم َّكــن الطلبــة مــن ذوي‬ ‫المســتوى دون المتوســط مــن فهــم المثــال؛ لــذا‬ ‫اســرد لهــم قصــة ُتو ِّضحــه‪.‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:4‬‬ ‫‪97.8‬‬ ‫‪121‬‬

‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأســئلة في بند (أتدرب وأحل‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫المسائل)‪ ،‬ثم اطلب إليهم حلها (يمكن الطلب إليهم‬ ‫حل الأسئلة ذوات الأرقام الفردية ضمن مجموعات)‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫ •إذا واجــه بعض الطلبــة صعوبة في حل أي مســألة‪،‬‬ ‫‪1B‬‬ ‫‪2B‬‬ ‫‪41º C‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Bx‬‬ ‫فاختر طال ًبا تم َّكن من حل المسألة‪ ،‬واطلب إليه كتابة‬ ‫‪85º x‬‬ ‫‪x 102º‬‬ ‫‪45º‬‬ ‫‪65º‬‬ ‫‪C‬‬ ‫حله على اللوح‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪32 37º‬‬ ‫‪x = 19.45‬‬ ‫‪x = 3.639‬‬ ‫‪A x = 8.05‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪4B‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪32º‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪x6‬‬ ‫‪x = 46.63°‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪14 x = 68.03°‬‬ ‫‪17 x‬‬ ‫‪C x = 36.23°‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪43º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪58º‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪A‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪A‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ 7‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﻨﻔﺮﺟ ﹺﺔ ‪ CBA‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪30º‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأسئلة في بند (مهارات التفكير‬ ‫‪B = 180° - 45.58° = 134.42°‬‬ ‫العليا)‪ ،‬ثم اطلب إليهم حلها ضمن مجموعات ثنائية‬ ‫‪G‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫غير متجانســة‪ ،‬وكتابة ُمب ِّرر للإجابــة‪ ،‬وامنحهم وق ًتا‬ ‫‪41.2º‬‬ ‫ﺧﺮاﺋ ﹸﻂ‪ :‬ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟ ﹶﺔ اﻟﻮارد ﹶة ﻓﻲ ﺑﺪاﻳ ﹺﺔ اﻟﺪر ﹺس‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫كاف ًيا لنقد ُمب ِّررات بعضهم‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪76.6 km‬‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة أن يحلوا في البيت جميع المســائل‬ ‫‪29.7º‬‬ ‫ﺑﹺﺤﺎ ﹲر‪ :‬ﺗﺮﺻ ﹸﺪ ﺳــﻔﻴﻨﺘﺎ ﹺن ﻓﻲ اﻟﺒﺤ ﹺﺮ ﻗ ﱠﻤ ﹶﺔ ﺟﺒ ﹴﻞ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫الواردة في الصفحة مــن كتاب التمارين‪ُ ،‬مح ِّد ًدا لهم‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺴــﻔﻴﻨﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ ،1473 m‬ﻓﻤﺎ ارﺗﻔﺎ ﹸع اﻟﺠﺒ ﹺﻞ ﻣ ﹾﻦ‬ ‫المسائل التي يمكنهم حلها في نهاية كل حصة بحسب‬ ‫‪AB‬‬ ‫= ‪BG‬‬ ‫)‪1473 sin (29.7‬‬ ‫‪= 3660.6 m‬‬ ‫ﻣﺴﺘﻮ￯ ﺳﻄ ﹺﺢ اﻟﺒﺤ ﹺﺮ؟‬ ‫ما ُيق َّدم من أمثلة الدرس وأفكاره‪.‬‬ ‫)‪sin (11.5‬‬ ‫ •يمكن أي ًضا إضافة المسائل التي لم يحلها الطلبة داخل‬ ‫‪CG‬‬ ‫=‬ ‫)‪3660.5 sin (41.2‬‬ ‫=‬ ‫‪2411.2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫غرفة الصف إلى الواجب البيتي‪.‬‬ ‫)‪sin (90‬‬ ‫‪15.9º‬‬ ‫‪ 10‬أﺑﺮا ﹸج إرﺳــﺎ ﹴل‪ :‬رﺻ ﹶﺪ ﻣﻌﺎ ﹲذ ارﺗﻔﺎ ﹶع ﻣﺒﻨﹰﻰ‪ ،‬وارﺗﻔﺎ ﹶع ﺑﺮ ﹺج إرﺳﺎ ﹴل ﻓﻮ ﹶﻗ ﹸﻪ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ارﺗﻔﺎ ﹶع ﺑﺮ ﹺج اﻹرﺳﺎ ﹺل‪.‬‬ ‫‪23.6º‬‬ ‫‪77.49 m‬‬ ‫‪200 m‬‬ ‫‪122‬‬ ‫‪122‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪4‬‬ ‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 11‬ﻋﻠ ﹸﻢ اﻟ ﹶﻔﻠ ﹺﻚ‪ :‬رﺻ ﹶﺪ ﻋﺎﻣ ﹲﺮ وﻫﺸﺎ ﹲم ﻣ ﹾﻦ ﻣﻨﺰﻟ ﹾﻴ ﹺﻬﻤﺎ ﻧﺠ ﹰﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺴﻤﺎ ﹺء ﻓﻲ اﻟﻠﺤﻈ ﹺﺔ ﻧﻔ ﹺﺴﻬﺎ‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى البحث في شــبكة الإنترنت أو مكتبة‬ ‫المدرســة عن تطبيقات حياتية لقانون الجيوب‪ ،‬مثل‬ ‫‪49.8974º‬‬ ‫زاوﻳ ﹸﺔ رﺻ ﹺﺪ ﻫﺸــﺎ ﹴم ﻟﻠﻨﺠ ﹺﻢ ‪ ،49.8974º‬وزاوﻳ ﹸﺔ رﺻ ﹺﺪ ﻋﺎﻣ ﹴﺮ ﻟ ﹸﻪ ‪ ،49.9312º‬واﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ‬ ‫استعماله لفرز الأراضي‪ُ ،‬مذ ِّك ًرا إ ّياهم بضرورة توثيق‬ ‫‪300 km 49.9312º‬‬ ‫ﻣﻨﺰﻟ ﹾﻴ ﹺﻬﻤﺎ ‪ ،300 km‬ﻓ ﹸﺄﻗ ﱢﺪ ﹸر ﹸﺑ ﹾﻌ ﹶﺪ اﻟﻨﺠ ﹺﻢ ﻋ ﹺﻦ اﻷر ﹺض‪.‬‬ ‫مصدر معلوماتهم‪.‬‬ ‫ﻋﺎﻣ ﹲﺮ ﻫﺸﺎ ﹲم‬ ‫‪388980.1394 km‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة رســم مثلثين‪ُ ،‬ع ِلم فــي ك ٍّل منهما‬ ‫زاويتان وضلــع؛ أحدهما حاد الزوايا‪ ،‬والآخر منفرج‬ ‫ﺳﻠﻤﻰ‬ ‫‪ 12‬ﻣﺪﻳﻨ ﹸﺔ اﻷﻟﻌﺎ ﹺب‪ :‬ﻓﻲ ﻣﺪﻳﻨ ﹺﺔ اﻷﻟﻌﺎ ﹺب‪ ،‬ﺟﻠ ﹶﺴــ ﹾﺖ ﺳﻠﻤﻰ ورﻫ ﹸﻒ ﻋﻠﻰ ﻣﻘﻌﺪ ﹾﻳ ﹺﻦ ﻣﻨﻔﺼﻠ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫الزاوية‪ ،‬وتطبيق قانون الجيوب لحل المثلث‪ ،‬مراعين‬ ‫ﻓﻲ ﻟﻌﺒ ﹺﺔ اﻟﺪوﻻ ﹺب اﻟﺪ ﹼوا ﹺر ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹶﺔ ‪ x‬ﺑﻴﻨﹶ ﹸﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫خصائص المثلثات التي تعلموها ســاب ًقا للحكم على‬ ‫‪4.8 m x‬‬ ‫رﻫ ﹸﻒ ‪58º‬‬ ‫‪x = 3.79 m‬‬ ‫معقولية السؤال‪.‬‬ ‫‪ 13‬رﻳﺎﺿ ﹸﺔ اﻟﺘﺰ ﱡﻟ ﹺﺞ‪ :‬ﻳﺘﻜ ﱠﻮ ﹸن ﻣﺴﺎ ﹸر ﺗﺰ ﱡﻟ ﹴﺞ ﻣ ﹾﻦ ﺟﺰ ﹴء ﻣﺎﺋ ﹴﻞ‪ ،‬وآﺧ ﹶﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴ ﹴﻢ‪ .‬إذا ﺗﺰ ﱠﻟ ﹶﺞ ﻣﺤﻤﻮ ﹲد ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ Q‬إﻟﻰ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ ،P‬ﺛ ﱠﻢ وﺻ ﹶﻞ‬ ‫ •اطلب الى الطلبة من ذوي المســتوى فوق المتوسط‬ ‫ﺧــ ﱠﻂ اﻟﻨﻬﺎﻳ ﹺﺔ ﻋﻨ ﹶﺪ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ ،R‬وﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ زاوﻳ ﹸﺔ ارﺗﻔﺎ ﹺع ﻣﺴــﺎ ﹺر اﻟﺘﺰ ﱡﻟ ﹺﺞ ﻋ ﹺﻦ اﻷر ﹺض ‪ ،25º‬واﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ P‬ﹶو ‪ R‬ﻫ ﹶﻲ‬ ‫اشــتقاق قانون الجيــوب بطريقة مختلفــة عن تلك‬ ‫‪ ،500 m‬وزاوﻳ ﹸﺔ ر ﹾﺻ ﹺﺪ اﻟ ﹶﺤ ﹶﻜ ﹺﻢ ﻣ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹺﺔ اﻟﻨﻬﺎﻳ ﹺﺔ ﻟﻠ ﹸﻤﺘﺰ ﱢﻟ ﹺﺞ اﻟﺬي ﻳﻘ ﹸﻒ ﻋﻨ ﹶﺪ ﻧﻘﻄ ﹺﺔ اﻟﺒﺪاﻳ ﹺﺔ ‪ ،15º‬ﻓﻤﺎ ﻃﻮ ﹸل ﻣﺴﺎ ﹺر اﻟﺘﺰ ﱡﻟ ﹺﺞ ‪QP‬؟‬ ‫الواردة في بداية الدرس‪.‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪QP = 745.24 m‬‬ ‫‪25º P‬‬ ‫‪15º‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪500 m‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪QP = 500 + 745.25 = 1245.24 m‬‬ ‫‪ 14‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪ ،‬ﹸﻣﻘ ﱢﺮ ﹰﺑﺎ إﺟﺎﺑﺘﻲ إﻟﻰ أﻗﺮ ﹺب ﺟﺰ ﹴء ﻣ ﹾﻦ ﻋﺸﺮ ﹴة‪.‬‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫‪x = 7.848‬‬ ‫‪x 70º‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلــى اســتكمال الخطــوة الأولى من‬ ‫المشروع؛ ل َم ْن لم ُينْ ِه صنع الجهاز الخاص به‪.‬‬ ‫‪15º‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫ •أخبر الطلبة أنه يمكنهم البدء بتنفيذ الخطوة الثانية‪ ،‬وأنه‬ ‫يتع َّين على الذين ط َّبقوا قانون الجيوب على المثلثات‬ ‫‪123‬‬ ‫التأ ُّكد من نتائج حساباتهم جبر ًّيا‪ ،‬وباستعمال برمجية‬ ‫جيوجبرا‪.‬‬ ‫‪123‬‬

‫الختام‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫ •اطلــب إلى بعض الطلبــة كتابة العلاقــات المختلفة‬ ‫‪ 15‬ﺗﺒﺮﻳ ﹲﺮ‪ :‬أﻃﻠ ﹶﻖ ﻗﻨﹼﺎﺻﺎ ﹺن اﻟﻨﺎ ﹶر ﻋﻠﻰ ﻫﺪ ﹴف ﹸﻣﺘﺤ ﱢﺮ ﹴك ﻓﻲ اﻟﺴــﻤﺎ ﹺء ﻓﻲ‬ ‫لقانون الجيوب على اللوح‪.‬‬ ‫ﻟﺤﻈ ﹴﺔ ﻣﺎ‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ زاوﻳ ﹸﺔ إﻃــﻼ ﹺق اﻷو ﹺل ‪ ،40º‬وزاوﻳ ﹸﺔ إﻃﻼ ﹺق‬ ‫ •اطلب إلى كل طالب رسم مثلث على ورقة (أو ألواح‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ ،35º‬واﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴﻨﹶ ﹸﻬﻤﺎ ‪ ،100 m‬ﻓﺄ ﱡﻳ ﹸﻬﻤﺎ ﺳﻴﺼﻴ ﹸﺐ اﻟﻬﺪ ﹶف‬ ‫صغيرة)‪ ،‬ثــم تلوين الزوايا والأضــاع المعلومة فيه‬ ‫بلون أزرق مث ًل‪ ،‬وتلويــن الضلع أو الزاوية المطلوبة‬ ‫‪40º‬‬ ‫‪100 m‬‬ ‫‪35º‬‬ ‫أو ﹰﻻ؟ ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪.‬‬ ‫بلون آخر (أحمر مث ًل)‪ ،‬ثم كتابة الصورة المناسبة من‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫القانون التي ُتم ِّكنهم من حل السؤال‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﻘﻨﺎص اﻷول واﻟﻬﺪف ﻫﻲ ‪ ،59٫38‬واﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﻘﻨﺎص اﻟﺜﺎﻧﻲ واﻟﻬﺪف ﻫﻲ ‪66٫55‬‬ ‫إذن‪ :‬اﻟﻘﻨﺎص اﻷول ﻳﺼﻴﺐ اﻟﻬﺪف؛ ﻷن اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻨﻪ وﺑﻴﻦ اﻟﻬﺪف أﻗﻞ‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة رفع أوراقهم عال ًيا‪ ،‬وتابِعهم في هذه‬ ‫‪250 m‬‬ ‫‪ 16‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﻣ ﱠﺮ ﻗﺎر ﹲب أﺳــﻔ ﹶﻞ ﺟﺴــ ﹴﺮ ﻃﻮ ﹸﻟ ﹸﻪ ‪ 250‬ﻣﺘ ﹰﺮا‪ .‬وﻗ ﹾﺪ رﺻ ﹶﺪ اﻟﺸــﺨ ﹸﺺ اﻟﺬي ﻓﻲ‬ ‫الأثناء‪.‬‬ ‫‪69.2º 65.5º‬‬ ‫اﻟﻘﺎر ﹺب اﻟﺰاوﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﻠﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺗﻘﻌﺎ ﹺن ﻋﻨ ﹶﺪ ﻃﺮ ﹶﻓ ﹺﻲ اﻟﺠﺴ ﹺﺮ‪ ،‬ﻓﻜﺎ ﹶﻧﺘﺎ ‪ 69.2º‬ﹶو ‪ ،65.5º‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ‬ ‫‪h‬‬ ‫ارﺗﻔﺎ ﹶع اﻟﺠﺴ ﹺﺮ ﻋ ﹺﻦ اﻟﻘﺎر ﹺب‪h = 299.19 m .‬‬ ‫زاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﹴء‬ ‫وﺟﻮ ﹶد‬ ‫اﻟﻄ ﹼﻴﺎ ﹸر‬ ‫أدر ﹶك‬ ‫‪50‬‬ ‫‪km‬‬ ‫ﻣﺴــﺎﻓ ﹶﺔ‬ ‫ﻗﻄ ﹶﻌ ﹾﺖ‬ ‫أ ﹾن‬ ‫وﺑﻌ ﹶﺪ‬ ‫‪،Q‬‬ ‫اﻟﻤﺪﻳﻨ ﹺﺔ‬ ‫إﻟﻰ‬ ‫‪P‬‬ ‫اﻟﻤﺪﻳﻨ ﹺﺔ‬ ‫ﻣ ﹶﻦ‬ ‫ﻃﺎﺋﺮ ﹲة‬ ‫ﺗﻮ ﱠﺟ ﹶﻬ ﹾﺖ‬ ‫ﺗﺒﺮﻳ ﹲﺮ‪:‬‬ ‫‪17‬‬ ‫ﺧﻄﺎ‬ ‫اﻻﻧﻄﻼ ﹺق ﻣﻘﺪا ﹸر ﹸه ‪ ،10º‬ﻓﺎﺳــﺘﺪا ﹶر ﻓﻲ اﻟﺤﺎ ﹺل‪ ،‬وﻗﻄ ﹶﻌ ﹺﺖ اﻟﻄﺎﺋﺮ ﹸة ﻣﺴﺎﻓ ﹶﺔ ‪ 70 km‬ﺣ ﹼﺘﻰ وﺻ ﹶﻠ ﹺﺖ اﻟﻤﺪﻳﻨ ﹶﺔ ‪ .Q‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ﺳﺮﻋ ﹸﺔ‬ ‫اﻟﻄﺎﺋﺮ ﹺة ﺑﻤﻘﺪا ﹴر ﺛﺎﺑ ﹴﺖ ﻫ ﹶﻲ ‪ ،250 km/h‬ﻓﻤﺎ اﻟﻮﻗ ﹸﺖ اﻹﺿﺎﻓ ﱡﻲ اﻟﺬي اﺳﺘﻐﺮ ﹶﻗ ﹸﻪ اﻟﻄ ﹼﻴﺎ ﹸر ﺑﺴﺒ ﹺﺐ ﺧﻄ ﹺﺌ ﹺﻪ ﻓﻲ زاوﻳ ﹺﺔ اﻻﻧﻄﻼ ﹺق؟‬ ‫‪10° 70 km Q‬‬ ‫‪P 50 km R‬‬ ‫‪PQ = 54.25 km‬‬ ‫وﻗﺖ ‪ PQ=0.217×60=13.02‬دﻗﻴﻘﺔ ‪ ،‬وﻗﺖ ‪ PR=0.2×60=12‬دﻗﻴﻘﺔ ‪ ،‬وﻗﺖ ‪ RQ=0.28×60=16.8‬دﻗﻴﻘﺔ‪.‬‬ ‫‪124‬‬ ‫‪124‬‬

‫ﻗﺎﻧﻮ ُن ﺟﻴﻮ ِب اﻟﺘﻤﺎ ِم‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫الدرس‬ ‫‪Law of Cosines‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸل ﻗﺎﻧﻮ ﹺن ﺟﻴﻮ ﹺب اﻟﺘﻤﺎ ﹺم ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻃﻮ ﹺل ﺿﻠ ﹴﻊ‪ ،‬أ ﹾو ﻗﻴﺎ ﹺس زاوﻳ ﹴﺔ ﻓﻲ ﻣﺜﻠ ﹴﺚ‪.‬‬ ‫  نتاجات الدرس‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎ ُت ﻗﺎﻧﻮ ﹸن ﺟﻴﻮ ﹺب اﻟﺘﻤﺎ ﹺم‪.‬‬ ‫ •يستنتج قانون جيوب التمام‪.‬‬ ‫ •يحــل مثل ًثا ُع ِلــم منه طــولا ضلعين وقيــاس زاوية‬ ‫اﻧﻄﻠ ﹶﻘ ﹾﺖ ﺣﺎﻓﻠﺘﺎ ﹺن ﻣ ﹾﻦ ﻣﺤ ﱠﻄ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة ﻓﻲ اﻟﻮﻗ ﹺﺖ ﻧﻔ ﹺﺴــ ﹺﻪ‪ ،‬وﻗ ﹺﺪ ا ﱠﺗﺠ ﹶﻬ ﹺﺖ‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫اﻷوﻟﻰ ﺷﺮ ﹰﻗﺎ ﺑﺴــﺮﻋ ﹺﺔ ‪ ، 60 km/h‬واﻧﻄﻠ ﹶﻘ ﹺﺖ اﻟﺜﺎﻧﻴ ﹸﺔ ﻓﻲ ﻣﺴﺎ ﹴر ﹶﻳﺼﻨ ﹸﻊ‬ ‫محصورة بينهما‪.‬‬ ‫زاوﻳ ﹶﺔ ‪ 30º‬ﻣ ﹶﻊ ﻣﺴــﺎ ﹺر اﻟﺤﺎﻓﻠ ﹺﺔ اﻷوﻟﻰ ﺑﺴﺮﻋ ﹺﺔ ‪ .50 km/h‬ﻫ ﹾﻞ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ‬ ‫ •يحل مثل ًثا ُع ِلمت أطوال أضلاعه جمي ًعا‪.‬‬ ‫ﺣﺴﺎ ﹸب اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺤﺎﻓﻠﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﻌ ﹶﺪ ﹸﻣ ﹺﻀ ﱢﻲ ‪ 3‬ﺳﺎﻋﺎ ﹴت ﻋﻠﻰ اﻧﻄﻼ ﹺﻗ ﹺﻬﻤﺎ؟‬ ‫ •يحل مسائل حياتية باستعمال قانوني الجيوب وجيوب‬ ‫ﺗﻌ ﱠﺮ ﹾﻓ ﹸﺖ ﻓﻲ اﻟﺪر ﹺس اﻟﺴــﺎﺑ ﹺﻖ ﻗﺎﻧﻮ ﹶن اﻟﺠﻴﻮ ﹺب‪ ،‬وﻛﻴ ﹶﻒ ﹸﻳﺴﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ ﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ ﻣﺜﻠﺜﺎ ﹴت ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻢ ﻓﻴﻬﺎ ﺿﻠ ﹲﻊ واﺣ ﹲﺪ‬ ‫التمام‪.‬‬ ‫وزاوﻳﺘﺎ ﹺن )‪ ،ASA‬أ ﹾو ‪ ،(SAA‬أ ﹾو ﺿﻠﻌﺎ ﹺن وزاوﻳ ﹲﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠ ﹲﺔ ﻷﺣ ﹺﺪ ﹺﻫﻤﺎ )‪.(SSA‬‬ ‫المواد والأدوات‪:‬‬ ‫ﹸﺗﺴﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ أﻳ ﹰﻀﺎ ﻧﺴﺒ ﹸﺔ ﺟﻴ ﹺﺐ اﻟﺘﻤﺎ ﹺم ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻋﻼﻗﺎ ﹴت ﹸأﺧﺮ￯ ﺑﻴ ﹶﻦ أﻃﻮا ﹺل اﻷﺿﻼ ﹺع وﻗﻴﺎﺳﺎ ﹺت اﻟﺰواﻳﺎ؛‬ ‫صنــدوق يحوي مجموعــة بطاقات ُر ِســم عليها مثلثات‬ ‫ﻣﺎ ﻳﺴﺎﻋ ﹸﺪ ﻋﻠﻰ ﹶﺣ ﱢﻞ ﺑﻌ ﹺﺾ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎ ﹺت اﻟﺘﻲ ﻻ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﹶﺣ ﱡﻠﻬﺎ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻗﺎﻧﻮ ﹺن اﻟﺠﻴﻮ ﹺب‪.‬‬ ‫مختلفة‪.‬‬ ‫ﻓﻔﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ ،‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ‪ h‬اﻻرﺗﻔﺎ ﹶع اﻟﻤﺮﺳﻮ ﹶم ﻣ ﹾﻦ ‪ B‬ﻋﻤﻮد ﹰﹼﻳﺎ ﻋﻠﻰ ‪ .AC‬وﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻧﻈﺮﻳ ﹺﺔ‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس وﺗﻌﺮﻳ ﹺﻒ ﺟﻴ ﹺﺐ اﻟﺘﻤﺎ ﹺم‪ ،‬ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ اﺳﺘﻨﺘﺎ ﹸج ﺑﻌ ﹺﺾ اﻟﻌﻼﻗﺎ ﹺت ﻋﻠﻰ اﻟﻨﺤ ﹺﻮ اﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ha‬‬ ‫‪h2 = c2 – x2‬‬ ‫‪ A‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻧﻈﺮﻳ ﹺﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ADB‬‬ ‫‪xD‬‬ ‫‪b b–x‬‬ ‫‪h2 = a2 – (b – x)2‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻧﻈﺮﻳ ﹺﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪BDC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪c2 – x2 = a2 – (b – x)2‬‬ ‫ﺑﻤﺴﺎوا ﹺة اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪h2 = h2‬‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫‪c2 – x2 = a2 – b2 + 2 xb – x2‬‬ ‫ﺑﻔ ﱢﻚ اﻟﻘﻮ ﹺس‬ ‫ •إيجاد النسب المثلثية الأساســية للزوايا ضمن دورة‬ ‫‪a2 = b2 + c2 – 2 xb‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫واحدة‪.‬‬ ‫ﻹدﺧﺎ ﹺل ﺟﻴ ﹺﺐ اﻟﺘﻤﺎ ﹺم ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‪ ، a2 = b2 + c2 – 2 xb :‬ﻓﺈ ﱠﻧﻨﺎ ﻧﻜﺘ ﹸﺐ ‪ x‬ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ ‪:cos A‬‬ ‫ •التطبيق على نظرية فيثاغورس‪.‬‬ ‫ •التطبيق على الاتجاه من الشمال‪.‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ ﺟﻴ ﹺﺐ اﻟﺘﻤﺎ ﹺم‬ ‫ •استعمال قانون الجيوب لحل المثلث‪.‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪x = c × cos A‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻀﺮ ﹺب اﻟﺘﺒﺎدﻟ ﱢﻲ‬ ‫‪a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫‪125‬‬ ‫التهيئة‬ ‫‪1‬‬ ‫ •اســأل الطلبة عن الحالات التي يمكن فيها استعمال‬ ‫قانون الجيــوب لإيجاد طول ضلــع‪ ،‬أو قياس زاوية‬ ‫مجهولة في مثلث‪ .‬إذا ُع ِلم في المثلث ضلعان وقياس‬ ‫زاويــة مقابلة لأحدهمــا‪ ،‬أو ُع ِلم فيه قياســا زاويتين‬ ‫وضلع بينهما‪.‬‬ ‫ •ارسم مثلثان‪ ،‬أحدهما ُع ِلمت جميع أضلاعه‪ ،‬والآخر‬ ‫ُع ِلــم منه ضلعــان وزاوية محصورة‪ ،‬ثــم اطلب إلى‬ ‫الطلبة إيجاد ضلع أو زاوية مجهولة في ك ٍّل منهما‪.‬‬ ‫ •اســتمع لإجابات أكبر عــدد ممكن مــن الطلبة‪ ،‬ثم‬ ‫اسألهم‪:‬‬ ‫ » َم ْن ُيؤ ِّيد الإجابة؟‬ ‫ » َم ْن لديه إجابة أخرى؟‬ ‫ »اذكر هذه الإجابة‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة تخمين موضوع الدرس‪.‬‬ ‫‪125‬‬

‫ملاحظات المعلم‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المسألة في بند (مسألة اليوم)‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •اطلب إلى أحد الطلبة من ذوي المستوى فوق المتوسط رسم المثلث الذي ُيم ِّثل المسألة‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •اطرح على الطلبة السؤالين الآتيين‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »ما الضلع المجهول في الرسم؟ الضلع الواصل بين موقع الحافلتين بعد ‪ 3‬ساعات‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »هل يمكن استعمال قانون الجيوب لإيجاده؟ لا؛ لأ َّن الزاوية المعلومة محصورة بين الضلعين‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫المعلومين‪ ،‬ولأنه ينتج من تطبيق قانون الجيب معادلة فيها مجهولان‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •استمع لإجابات أكبر عدد ممكن من الطلبة‪ ،‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫ » َم ْن ُيؤ ِّيد الإجابة؟‬ ‫ » َم ْن لديه إجابة أخرى؟‬ ‫ »اذكر هذه الإجابة‪.‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫المجــال العاطفي لا يقل أهمية عن المجال المعرفي؛ فلا تقل لأحد الطلبة‪( :‬إجابتك خطأ)‪ ،‬بل‬ ‫قل له‪( :‬لقد اقتربت من الإجابة الصحيحة‪ ،‬فمن يســتطيع إعطاء إجابة أخرى؟)‪ ،‬أو قل له‪( :‬هذه‬ ‫إجابة صحيحة لغير هذا السؤال)‪.‬‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‪:‬‬ ‫ك ِّرر المصطلحات الرياضية المســتخدمة في الدرس باللغتين العربية والإنجليزية‪ ،‬وش ِّجع الطلبة على‬ ‫اســتعمالها‪ ،‬مثل‪ :‬المثلث ‪ ،triangle‬وحل المثلــث ‪ ،solving triangle‬والزاوية ‪ ،angle‬وقانون‬ ‫الجيوب ‪ ،Law of Sines‬وقانون جيوب التمام ‪.Law of Cosines‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫ •و ِّضح للطلبة كيفية اشــتقاق قانون جيوب التمــام (‪ )Law of Cosines‬الوارد بداية الدرس في‬ ‫كتاب الطالب‪ُ ،‬مب ِّينًا علاقات القانون الثلاث‪ ،‬ثم اكتبها على اللوح‪.‬‬ ‫قد تكون خطوات اشــتقاق القانون غير‬ ‫واضحة للطلبة من ذوي المســتوى دون‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫المتوســط؛ لــذا و ِّضحها لهــم بعرض‬ ‫مثال علــى مثلث ُع ِلمــت جميع أطوال‬ ‫ •نا ِقــش الطلبة في حل المثال ‪ ،1‬ود ِّربهم على اســتعمال القانون لإيجــاد طول الضلع الثالث في‬ ‫أضلاعه وقياســات زواياه‪ُ ،‬مط ِّب ًقا قانون‬ ‫المثلث‪ُ ،‬مر ِّك ًزا على اختيار العلاقة المناسبة بين القياسات المعطاة‪.‬‬ ‫جيوب التمام للتح ُّقق من صحة خطوات‬ ‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫اشتقاق قانون جيوب التمام‪.‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى حل التدريب في بند (أتحقق من فهمي) بعد كل مثال‪.‬‬ ‫ •تابِع الطلبة في هذه الأثناء‪ ،‬وق ِّدم لهم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحوي أخطاء مفاهيمية‪ ،‬ثم نا ِقشها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اسم الطالب‬ ‫الذي أخطأ في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬ ‫‪125A‬‬

‫وﺑﺬﻟ ﹶﻚ‪ ،‬ﻧﺘﻮ ﱠﺻ ﹸﻞ إﻟﻰ اﻟﻌﻼﻗ ﹺﺔ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ أﻃﻮا ﹺل أﺿﻼ ﹺع اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ وﻗﻴﺎﺳﺎ ﹺت زواﻳﺎ ﹸه ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﺟﻴ ﹺﺐ‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺎ ﹺم‪:‬‬ ‫قــد يخطئ بعض الطلبــة في حل التدريــب في بند‬ ‫(أتحقــق من فهمي)‪ ،‬فيســتعملون نظرية فيثاغورس‬ ‫‪a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A‬‬ ‫أو قانون الجيوب؛ لذا ذ ِّكرهــم بخطوات الحل عند‬ ‫وﺑﻄﺮﻳﻘ ﹴﺔ ﻣﺸﺎﺑﻬ ﹴﺔ‪ ،‬ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ اﻟﺘﻮ ﱡﺻ ﹸﻞ إﻟﻰ اﻟﻌﻼﻗﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪:‬‬ ‫استعمال نظرية فيثاغورس‪ ،‬أو قانون الجيوب‪.‬‬ ‫‪b2 = a2 + c2 – 2ac cos B‬‬ ‫‪c2 = a2 + b2 – 2ab cos C‬‬ ‫َأﺗﻌ ﱠﻠ ُﻢ‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﻛﺘﺎﺑــ ﹸﺔ ﻗﺎﻧﻮ ﹺن ﺟﻴﻮ ﹺب‬ ‫ﹸﺗﺴ ﹼﻤﻰ ﻫﺬ ﹺه اﻟﻌﻼﻗﺎ ﹸت اﻟﺜﻼ ﹸث ﻗﺎﻧﻮ ﹶن ﺟﻴﻮ ﹺب اﻟﺘﻤﺎ ﹺم )‪ ،(Law of Cosines‬و ﹸﻳﺴﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ ﻫﺬا اﻟﻘﺎﻧﻮ ﹸن‬ ‫ﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ أ ﱢي ﻣﺜﻠ ﹴﺚ ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻤ ﹾﺖ ﺛﻼﺛ ﹲﺔ ﻣﻦ ﻗﻴﺎﺳﺎﺗﹺ ﹺﻪ ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪:‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺎ ﹺم ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﺿﻠﻌﺎ ﹺن وزاوﻳ ﹲﺔ ﻣﺤﺼﻮر ﹲة ﺑﻴﻨﹶ ﹸﻬﻤﺎ )‪.(SAS‬‬ ‫‪ 2‬ﺛﻼﺛ ﹸﺔ أﺿﻼ ﹴع )‪.(SSS‬‬ ‫‪SS‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪b2‬‬ ‫– ‪+ c2‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫‪2bc‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ •جد ‪ C A‬في الشكل المجاور‪7.82 cm  .‬‬ ‫اﳊﺎﻟ ﹸﺔ ‪2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪a2‬‬ ‫– ‪+ c2‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪SSS‬‬ ‫‪2ac‬‬ ‫اﳊﺎﻟ ﹸﺔ‪1‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫– ‪+ b2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪SAS‬‬ ‫‪2ab‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪8 cm‬‬ ‫‪6 cm 80º‬‬ ‫‪10 cm‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫‪50°‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫‪C 10 cm‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2 = 62 +102 – 2 × 6 × 10 cos 80º‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ﹸن ﺟﻴﻮ ﹺب اﻟﺘﻤﺎ ﹺم‬ ‫‪B‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2 = 115.16‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x = 10.7 cm‬‬ ‫ﺑﺄﺧ ﹺﺬ اﻟﺠﺬ ﹺر اﻟﺘﺮﺑﻴﻌ ﱢﻲ ﻟﻠﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ A 65º 8‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫ﹸﻳﺴﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ ﻗﺎﻧﻮ ﹸن ﺟﻴﻮ ﹺب اﻟﺘﻤﺎ ﹺم أﻳ ﹰﻀﺎ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﻴﺎ ﹺس زاوﻳ ﹴﺔ ﻣﺠﻬﻮﻟ ﹴﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ‪.‬‬ ‫‪126‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:1‬‬ ‫‪8.6‬‬ ‫‪126‬‬

‫مثال ‪2‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪4‬‬ ‫ •ارسم على اللوح مثل ًثا‪ ،‬ثم اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫‪82 = 52 +72 – 2 × 5 × 7 cos x‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ »إذا ُع ِلمت أطوال أضلاع المثلث الثلاثة‪ ،‬فكيف‬ ‫‪x‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ RST‬اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫يمكن إيجاد إحدى زواياه؟‬ ‫ •اطلــب إلى أحد الطلبــة أن يكتب العلاقة المناســبة‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪52‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪72 –82‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ﹸن ﺟﻴﻮ ﹺب اﻟﺘﻤﺎ ﹺم‬ ‫‪R8‬‬ ‫‪T‬‬ ‫لإيجــاد الزاوية المجهولة‪ ،‬ثم اطلــب إلى زملائه أن‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪5×7‬‬ ‫ﺑﻜﺘﺎﺑ ﹺﺔ ‪ cos x‬ﻣﻮﺿﻮ ﹺع اﻟﻘﺎﻧﻮ ﹺن‬ ‫‪C‬‬ ‫يكتبوا على اللوح العلاقة بصورة أخرى؛ بحيث تكون‬ ‫نســبة جيب التمام موضو ًعا للقانون‪ .‬بعد ذلك اطلب‬ ‫‪cos x = 0.1428‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫ﻣﻌﻜﻮ ﹸس ﺟﻴ ﹺﺐ اﻟﺘﻤﺎ ﹺم‬ ‫إلى آخرين كتابة العلاقات الأخرى على اللوح‪.‬‬ ‫‪x = 81.8º‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثــال ‪ُ ،2‬مر ِّك ًزا على تبرير كل‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪Bx‬‬ ‫‪12‬‬ ‫خطوة من خطوات الحل‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ ABC‬اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪16‬‬ ‫تنويع التعليم‬ ‫ •ن ِّبه الطلبة إلى أن تقريب الإجابــة في الخطوات التي‬ ‫‪A‬‬ ‫تســبق الخطوة النهائية قد يجعل الإجابة النهائية غير‬ ‫ﻗ ﹾﺪ ﻧﺤﺘﺎ ﹸج ﻓﻲ ﺑﻌ ﹺﺾ اﻟﻤﺴــﺎﺋ ﹺﻞ إﻟﻰ اﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻗﺎﻧﻮ ﹶﻧــ ﹺﻲ اﻟﺠﻴﻮ ﹺب وﺟﻴﻮ ﹺب اﻟﺘﻤــﺎم ﻣ ﹰﻌﺎ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد‬ ‫دقيقة‪.‬‬ ‫اﻟﻘﻴﺎﺳﺎ ﹺت اﻟﻤﻄﻠﻮﺑ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة من ذوي المســتوى دون المتوسط‬ ‫تقريب إجاباتهم في الخطوات قبل النهائية إلى العدد‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :3‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫المناسب من المنازل بحيث تحوي ‪ 4‬أرقام‪.‬‬ ‫ﺷـﻮ ﹺﻫ ﹶﺪ ﹾت ﻃﺎﺋـﺮ ﹲة ﻣﺮوﺣﻴـ ﹲﺔ ﹸﺗﺤ ﱢﻠـ ﹸﻖ ﻓـﻲ اﻟﺴـﻤﺎ ﹺء ﻣـ ﹶﻦ اﻟﻘﺮﻳﺘ ﹾﻴـ ﹺﻦ ‪ X‬ﹶو ‪ Y‬ﻓـﻲ اﻟﻠﺤﻈـ ﹺﺔ ﻧﻔ ﹺﺴـﻬﺎ‪ .‬إذا‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪8.5‬‬ ‫ﻛﺎ ﹶن ﹸﺑ ﹾﻌـ ﹸﺪ اﻟﻄﺎﺋـﺮ ﹺة ﻋـ ﹺﻦ اﻟﻘﺮﻳـ ﹺﺔ ‪ X‬ﻫـ ﹶﻮ ‪ ،8.5 km‬وﻋـ ﹺﻦ اﻟﻘﺮﻳـ ﹺﺔ ‪ Y‬ﻫـ ﹶﻮ ‪ ،12 km‬وﻛﺎ ﹶﻧـ ﹺﺖ اﻟﻘﺮﻳﺘـﺎ ﹺن‬ ‫‪12‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ مثال ‪ :3‬من الحياة‬ ‫ﻓـﻲ ﻣﺴـﺘ ﹰﻮ￯ أﻓﻘـ ﱟﻲ واﺣـ ﹴﺪ‪ ،‬وزاوﻳـ ﹸﺔ ارﺗﻔـﺎ ﹺع اﻟﻄﺎﺋـﺮ ﹺة ﻣـ ﹶﻦ اﻟﻘﺮﻳـ ﹺﺔ ‪ Y‬ﻫـ ﹶﻲ ‪ ،43º‬ﻓﻤـﺎ اﻟﻤﺴـﺎﻓ ﹸﺔ‬ ‫‪43º‬‬ ‫ •ارســم على اللوح مثل ًثا‪ ،‬ثم ع ِّين عليه ضلعين وزاوية‬ ‫غير محصورة‪ ،‬وأخبر الطلبــة أن المطلوب هو إيجاد‬ ‫ﺑﻴـ ﹶﻦ ﻫﺎﺗ ﹾﻴـ ﹺﻦ اﻟﻘﺮﻳﺘ ﹾﻴـ ﹺﻦ؟‬ ‫الزاوية المحصورة‪ ،‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫ﻹﻳﺠﺎ ﹺد اﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻘﺮﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﻳﺠ ﹸﺐ ﻣﻌﺮﻓ ﹸﺔ ﻗﻴﺎ ﹺس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﺑﻴــ ﹶﻦ اﻟﻀﻠﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﻠﺬ ﹾﻳ ﹺﻦ ﹸﻳﻤ ﱢﺜﻼ ﹺن ﹸﺑ ﹾﻌ ﹶﺪ ﹺي‬ ‫ »كيف يمكــن إيجاد قياس الزاويــة المحصورة؟‬ ‫اﻟﻄﺎﺋﺮ ﹺة ﻋ ﹺﻦ اﻟﻘﺮﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫بتطبيق قانــون الجيوب أو ًل‪ ،‬ثــم قانون جيوب‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :1‬اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸل ﻗﺎﻧﻮ ﹺن اﻟﺠﻴﻮ ﹺب ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﻴﺎ ﹺس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ X‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪.HYX‬‬ ‫التمام‪.‬‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة‪ ،‬وق ِّدم لهم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪sin 43º‬‬ ‫=‬ ‫‪sin X‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ﹸن اﻟﺠﻴﻮ ﹺب‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حــل المثال ‪ُ ،3‬مذ ِّك ًرا إ ّياهم بضرورة‬ ‫‪8.5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫اختيار القوانين ذات الرموز الصحيحة التي تناســب‬ ‫ﺑﻀﺮ ﹺب اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ ‪12‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫‪sin 43º‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫معطيات المسألة ومطلوبها‪.‬‬ ‫‪8.5‬‬ ‫إرشاد‪ :‬قد لا يتم َّكن الطلبة من ذوي المستوى‬ ‫‪sin X ≈ 0.963‬‬ ‫دون المتوسط من فهم المثال؛ لذا اسرد لهم قصة‬ ‫‪X = sin–1 0.963‬‬ ‫ﻣﻌﻜﻮ ﹸس ‪sin‬‬ ‫ُتو ِّضحه‪ ،‬وط ِّبق الموقف عمل ًّيا لتسهيل الحل‪.‬‬ ‫‪≈ 74.3º‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫‪127‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬إﻳﺠﺎ ﹸد ﻗﻴﺎ ﹺس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪.H‬‬ ‫‪127‬‬ ‫إرشاد‪:‬‬ ‫ •يتع َّيــن على الطلبة في المثال ‪ 2‬اســتعمال معكوس جيب التمام؛ لذا‬ ‫و ِّجههم إلى استعمال الآلة الحاسبة لإيجاد الناتج‪.‬‬ ‫ •أخبــر الطلبة أن درس (معكوس الاقترانات المثلثية) ســوف يرد في‬ ‫دروس الفصل الدراسي الثاني‪.‬‬ ‫! تنبيه‪ :‬قد يخطئ بعض الطلبة في أولويات العمليات الحسابية في‬ ‫أثناء الحل؛ لذا ذ ِّكرهم بالأولويات‪ ،‬ثم أرشــدهم إلى التح ُّقق من صحة‬ ‫الحل باستعمال الآلة الحاسبة‪ ،‬ود ِّربهم على استعمالها بصورة صحيحة‪.‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:3‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:2‬‬ ‫‪183.9 km‬‬ ‫‪90‬‬

‫‪.180º – 43º – 74.3º = 62.7º‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮ ﹸع ﻗﻴﺎ ﹺس زواﻳﺎ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪180º‬‬ ‫ مثال ‪ :4‬من الحياة‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :3‬اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸل ﻗﺎﻧﻮ ﹺن ﺟﻴﻮ ﹺب اﻟﺘﻤﺎ ﹺم ﻹﻳﺠﺎ ﹺد اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻘﺮﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪.‬‬ ‫ •را ِجع الطلبة في درس (الاتجاه من الشمال) قبل شرح‬ ‫المثال ‪4‬‬ ‫‪(XY)2 = 122 + 8.52 − 2 (12) (8.5) cos 62.7º‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ﹸن ﺟﻴﻮ ﹺب اﻟﺘﻤﺎ ﹺم‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثال ‪ 4‬الذي ُيب ِّين كيف ُيستع َمل‬ ‫‪(XY)2 = 122.7‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫قانون جيوب التمام والاتجاه من الشــمال في موقف‬ ‫‪XY = √122.7 = 11.1‬‬ ‫ﺑﺤﺴﺎ ﹺب اﻟﺠﺬ ﹺر اﻟﺘﺮﺑﻴﻌ ﱢﻲ ﻟﻠﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫حياتي‪.‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻤﺪﻳﻨﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ 11.1 km‬ﺗﻘﺮﻳ ﹰﺒﺎ‪.‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﺳــﻔ ﹲﻦ‪ :‬أﺑﺤ ﹶﺮ ﹾت ﺳــﻔﻴﻨ ﹲﺔ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ‪ A‬ﺑﺎﺗﺠﺎ ﹺه اﻟﺸﻤﺎ ﹺل‪ ،‬ﻓﻘﻄ ﹶﻌ ﹾﺖ ﻣﺴــﺎﻓ ﹶﺔ ‪ ،240 km‬ﺛ ﱠﻢ اﻧﺤﺮ ﹶﻓ ﹾﺖ‬ ‫ﺑﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ ،50º‬وﻗﻄ ﹶﻌ ﹾﺖ ﻣﺴــﺎﻓ ﹶﺔ ‪ 160 km‬ﺣ ﹼﺘﻰ وﺻ ﹶﻠ ﹾﺖ إﻟﻰ اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ‪ .B‬ﻣﺎ اﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ‪A‬‬ ‫واﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ‪B‬؟‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :4‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫‪N1‬‬ ‫إرشادات‪:‬‬ ‫‪100º N2‬‬ ‫أﻗﻠ ﹶﻌـ ﹾﺖ ﻃﺎﺋـﺮ ﹲة ﺑﺰاوﻳـ ﹺﺔ ‪ 100º‬ﻋـ ﹺﻦ اﻟﺸـﻤﺎ ﹺل ﻣـ ﹶﻦ اﻟﻤﺪﻳﻨـ ﹺﺔ ‪ ،A‬ﻓﻘﻄ ﹶﻌـ ﹾﺖ ﻣﺴـﺎﻓ ﹶﺔ ‪ ،400 km‬ﺛـ ﱠﻢ‬ ‫ •قد يواجه بعض الطلبة من ذوي المســتوى دون‬ ‫اﻧﻌﻄ ﹶﻔــ ﹾﺖ ﻳﻤﻴﻨﹰــﺎ‪ ،‬ﻓﺄﺻﺒ ﹶﺤــ ﹺﺖ اﻟﺰاوﻳــ ﹸﺔ ﺑﻴــ ﹶﻦ ﺧــ ﱢﻂ ﻣﺴــﺎ ﹺرﻫﺎ اﻟﺠﺪﻳــ ﹺﺪ واﻟﺸــﻤﺎ ﹺل ‪ ،170º‬ﺛــ ﱠﻢ‬ ‫‪A 400‬‬ ‫المتوســط صعوبة في إيجاد ناتج الحســابات؛‬ ‫ﻗﻄ ﹶﻌــ ﹾﺖ ﻣﺴــﺎﻓ ﹶﺔ ‪ 500 km‬ﻟﺘﺼــ ﹶﻞ إﻟــﻰ اﻟﻤﺪﻳﻨــ ﹺﺔ ‪ .B‬ﻣــﺎ اﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴــ ﹶﻦ ﻫﺎﺗ ﹾﻴــ ﹺﻦ اﻟﻤﺪﻳﻨﺘ ﹾﻴــ ﹺﻦ؟‬ ‫‪M 170º‬‬ ‫لذا و ِّجههم إلى حل السؤال ضمن مجموعات‪،‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﺣﺴــﺎ ﹸب اﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻤﺪﻳﻨﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ )ﻃﻮ ﹸل اﻟﻘﻄﻌ ﹺﺔ اﻟﻤﺴــﺘﻘﻴﻤ ﹺﺔ ‪ (AB‬ﺑﺈﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﻴﺎ ﹺس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫‪500‬‬ ‫والاســتعانة بأحد الزملاء من ذوي المســتوى‬ ‫‪.AMB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫المتوسط أو فوق المتوسط‪.‬‬ ‫ﻣ ﹶﻦ اﻟ ﹸﻤﻼ ﹶﺣ ﹺﻆ أ ﱠن اﻟﺰاوﻳ ﹶﺔ ‪ AMN2‬ﹸﻣﻜ ﱢﻤﻠ ﹲﺔ ﻟﻠﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ ،MAN1‬وﻫ ﹶﻲ ﺗﺴﺎوي ‪.80º‬‬ ‫ •قد يواجه الطلبــة صعوبة في إيجاد قياس الزاوية‬ ‫التــي ُتم ِّكنهم من حل الســؤال؛ لذا د ِّربهم على‬ ‫‪m∠AMB = 360º − (80º + 170º) = 110º‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮ ﹸع اﻟﺰواﻳﺎ ﺣﻮ ﹶل ﻧﻘﻄ ﹴﺔ‬ ‫مزيد مــن الأمثلة‪ُ ،‬مؤ ِّك ًدا ضرورة رســم الحالة‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ﹸن ﺟﻴﻮ ﹺب اﻟﺘﻤﺎ ﹺم ‪(AB)2 = (400)2 + (500)2 − 2 × 400 × 500 cos 110º‬‬ ‫بنموذج بسيط ُيم ِّثلها‪.‬‬ ‫‪(AB)2 = 546808.0573‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺلاﻵﻟ ﹺﺔاﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫‪AB = √546808.0573 ≈ 739.5‬‬ ‫ﺑﺄﺧ ﹺﺬ اﻟﺠﺬ ﹺر اﻟﺘﺮﺑﻴﻌ ﱢﻲ‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻤﺪﻳﻨﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ 739.5 km‬ﺗﻘﺮﻳ ﹰﺒﺎ‪.‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫مثال إضافي‬ ‫ﺳــﺎ ﹶر ﻗﻄﺎ ﹲر ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺤ ﱠﻄ ﹺﺔ ‪ A‬ﻓﻲ اﺗﺠﺎ ﹺه ‪ 080º‬إﻟﻰ اﻟﻤﺤ ﱠﻄ ﹺﺔ ‪ B‬اﻟﺘﻲ ﺗﺒﻌ ﹸﺪ ﻋﻨﹾﻬﺎ ‪ ،120 km‬ﺛ ﱠﻢ ﹶﺗﺤ ﱠﻮ ﹶل إﻟﻰ‬ ‫ •جد ‪ PS‬في الشكل المجاور‪  .‬‬ ‫اﺗﺠﺎ ﹺه‪ ،070º‬وﺳﺎ ﹶر ﻣﺴﺎﻓ ﹶﺔ‪ 90 km‬إﻟﻰ اﻟﻤﺤ ﱠﻄ ﹺﺔ‪ .C‬ﻣﺎ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻤﺤ ﱠﻄ ﹺﺔ‪ A‬واﻟﻤﺤ ﱠﻄ ﹺﺔ‪C‬؟‬ ‫الشمال‬ ‫‪128‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:4‬‬ ‫الشمال‬ ‫‪T‬‬ ‫‪140°‬‬ ‫‪60°‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪206.88 km‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪128‬‬

‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪4‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأســئلة في بند (أتدرب وأحل‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫المسائل)‪ ،‬ثم اطلب إليهم حلها‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫ •تج َّول بين الطلبة ُمر ِشــ ًدا و ُمسا ِع ًدا و ُمو ِّج ًها‪ ،‬واطلب‬ ‫إليهم مناقشة بعضهم في الإجابات‪.‬‬ ‫‪1B‬‬ ‫‪2 B 15 C‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪102º x = 23.09‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪x = 7.7 6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪22 x‬‬ ‫‪x = 27.37‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪65º‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪32 45‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪37º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ •ر ِّكــز على معالجــة الأخطــاء المفاهيميــة‪ ،‬أو تلك‬ ‫‪4B‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪B x 12‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪6B‬‬ ‫ال ُمتع ِّلقة بالمهارات الحســابية يدو ًّيا‪ ،‬أو باســتعمال‬ ‫‪7 10‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪15‬‬ ‫الآلة الحاسبة‪ ،‬ثم نا ِقش الطلبة فيها على اللوح‪.‬‬ ‫‪Ax 9‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪50 x C‬‬ ‫‪x = 76.23°‬‬ ‫‪40 x = 90°‬‬ ‫‪x = 125.1°‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫‪50‬‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫‪ 7‬ﻣﻼﺣ ﹲﺔ ﺟﻮﻳ ﹲﺔ‪ :‬أﺑﺤ ﹶﺮ ﹾت ﺳــﻔﻴﻨ ﹲﺔ ﻣ ﹾﻦ أﺣ ﹺﺪ اﻟﻤﻮاﻧ ﹺﻰء ﻣﺴــﺎﻓ ﹶﺔ ‪ 50 km‬ﻓﻲ‬ ‫اﺗﺠﺎ ﹺه ‪ ، 050º‬ﺛ ﱠﻢ ﻏ ﱠﻴ ﹶﺮ اﻟﻘﺒﻄﺎ ﹸن ﺧ ﱠﻂ ﺳــﻴ ﹺﺮﻫﺎ إﻟﻰ اﺗﺠﺎ ﹺه ‪ 150º‬وﻗﻄ ﹶﻌ ﹾﺖ‬ ‫ •و ِّزع الطلبة إلى مجموعات ثنائية غير متجانسة‪ ،‬بحيث‬ ‫‪50º‬‬ ‫‪T 150º‬‬ ‫ﻣﺴــﺎﻓ ﹶﺔ ‪ ،40 km‬ﺛ ﱠﻢ ﺗﻮ ﱠﻗ ﹶﻔ ﹾﺖ ﺑﺴــﺒ ﹺﺐ إﺻﺎﺑ ﹺﺔ أﺣ ﹺﺪ أﻓــﺮا ﹺد اﻟﻄﺎﻗ ﹺﻢ‪ .‬ﻣﺎ‬ ‫تضم طلبة من ذوي المســتوى فوق المتوسط‪ ،‬وآخرين‬ ‫‪P‬‬ ‫‪40‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ اﻟﺘﻲ ﺳﺘﻘﻄ ﹸﻌﻬﺎ ﻣﺮوﺣﻴ ﹸﺔ اﻹﻧﻘﺎ ﹺذ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ﻟﺘﺼ ﹶﻞ إﻟﻰ اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ‬ ‫من ذوي المستوى دون المتوسط‪.‬‬ ‫ﻓﻲ أﻗﺼ ﹺﺮ وﻗ ﹴﺖ ﹸﻣﻤ ﹺﻜ ﹴﻦ؟ ‪S 86.97 km‬‬ ‫ •اطلب إلى أفراد المجموعات حل الأسئلة‪ ،‬وكتابة ُمب ِّرر‬ ‫‪ 8‬ﻛﺮ ﹸة ﻗﺪ ﹴم‪ :‬ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر ﻣﻮﻗﻊ ﻻﻋ ﹶﺐ ﻛﺮ ﹺة ﻗﺪ ﹴم ﻳﺮﻛ ﹸﻞ اﻟﻜﺮ ﹶة ﻧﺤ ﹶﻮ ﻣﺮ ﹰﻣﻰ‬ ‫للإجابة‪ ،‬وامنحهم وق ًتا كاف ًيا لنقد ُمب ِّررات بعضهم‪.‬‬ ‫ﻋﺮ ﹸﺿ ﹸﻪ ‪ .5 m‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﺴــﺘﻄﻴ ﹸﻊ ﻣﻨﹾﻬــﺎ اﻟﻼﻋ ﹸﺐ أ ﹾن ﻳﺮﻛ ﹶﻞ اﻟﻜﺮ ﹶة‬ ‫اﳌﺮﻣﻰ‬ ‫زاوﻳ ﹸﺔ اﻟﻨﻈ ﹺﺮ‬ ‫ﻟﺘﺴﺪﻳ ﹺﺪ ﻫﺪ ﹴف‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻳﺒﻌ ﹸﺪ ﻋ ﹾﻦ ﻃﺮ ﹶﻓ ﹺﻲ اﻟﻤﺮﻣﻰ ﻣﺴﺎﻓ ﹶﺔ ‪ 26 m‬ﹶو ‪.23 m‬‬ ‫‪9.38°‬‬ ‫ﻣﻮﻗ ﹸﻊ اﻟﻼﻋ ﹺﺐ‬ ‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫‪129‬‬ ‫إذا واجه الطلبة من ذوي المســتوى دون المتوسط صعوبة‬ ‫في حل أســئلة بند (أتدرب وأحل المسائل)‪ ،‬فاطلب إلى‬ ‫طالب من ذوي المستوى فوق المتوسط مساعدتهم‪.‬‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة أن يحلوا في البيت جميع المســائل‬ ‫الواردة في الصفحة مــن كتاب التمارين‪ُ ،‬مح ِّد ًدا لهم‬ ‫المسائل التي يمكنهم حلها في نهاية كل حصة بحسب‬ ‫ما ُيق َّدم من أمثلة الدرس وأفكاره‪.‬‬ ‫ •يمكن أي ًضا إضافة المسائل التي لم يحلها الطلبة داخل‬ ‫غرفة الصف إلى الواجب البيتي‪.‬‬ ‫‪129‬‬

‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫‪50º‬‬ ‫‪km‬‬ ‫ﺧﺮاﺋ ﹸﻂ ﻃﻴــﺮا ﹴن‪ :‬أﻗﻠ ﹶﻌ ﹾﺖ ﻃﺎﺋﺮ ﹲة ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺪﻳﻨ ﹺﺔ ‪ A‬ﻓﻲ اﺗﺠﺎ ﹺه ‪ 000º‬ﻣﺴــﺎﻓ ﹶﺔ ‪ ،150 km‬ﺛ ﱠﻢ اﳌﺪﻳﻨ ﹸﺔ ‪C‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى البحث في شــبكة الإنترنت أو مكتبة‬ ‫‪100‬‬ ‫المدرســة عن تطبيقات حياتية لقانون جيوب التمام‪،‬‬ ‫اﳌﺪﻳﻨ ﹸﺔ ‪B‬‬ ‫ا ﱠﺗﺠ ﹶﻬ ﹾﺖ إﻟﻰ‪ ،050 º‬وﺳــﺎ ﹶر ﹾت ﻣﺴــﺎﻓ ﹶﺔ ‪ 100 km‬ﺣ ﹼﺘﻰ وﺻ ﹶﻠــ ﹺﺖ اﻟﻤﺪﻳﻨ ﹶﺔ ‪ C‬ﻛﻤﺎ ﻓﻲ‬ ‫مثل استخدامه في فرز الأراضي‪.‬‬ ‫‪150 km‬‬ ‫اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ .‬ﻣﺎ أﻗﺼ ﹸﺮ ﻣﺴــﺎﻓ ﹴﺔ ﻣﻤﻜﻨ ﹴﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻤﺪﻳﻨﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ إذا ﻛﺎ ﹶن ﻣﺴﻤﻮ ﹰﺣﺎ ﻟﻠﻄﺎﺋﺮ ﹺة‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى البحث في شــبكة الإنترنت عن دلالة‬ ‫كلمــة (‪ )BEDMAS‬وعلاقتهــا بأولويات العمليات‬ ‫‪227.56 km‬‬ ‫ا ﱢﺗﺨﺎ ﹸذ اﻟﻤﺴﺎ ﹺر اﻟﺬي ﺗﺮﻳ ﹸﺪ؟‬ ‫الحسابية‪.‬‬ ‫اﳌﺪﻳﻨ ﹸﺔ ‪A‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بضرورة توثيق مصدر معلوماتهم‪.‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫‪ 10‬ﻣﺮوﺣﻴــ ﹸﺔ إﻧﻘﺎ ﹴذ‪ :‬ﹸأر ﹺﺳــ ﹶﻠ ﹾﺖ ﻣﺮوﺣﻴ ﹸﺔ إﻧﻘﺎ ﹴذ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻘﺎﻋﺪ ﹺة ‪ A‬ﻹﺳــﻌﺎ ﹺف رﺟــ ﹴﻞ ﻋﻠﻰ ﺟﺒ ﹴﻞ ﻋﻨ ﹶﺪ‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ M‬إﻟﻰ اﻟﺸــﻤﺎ ﹺل ﻣ ﹾﻦ ﻫﺬ ﹺه اﻟﻘﺎﻋﺪ ﹺة‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أوﺻ ﹶﻠ ﹾﺘ ﹸﻪ إﻟﻰ اﻟﻤﺴﺘﺸــﻔﻰ ‪ H‬اﻟﺬي ﻳﺒﻌ ﹸﺪ ﻋ ﹺﻦ‬ ‫‪M 145º‬‬ ‫اﻟﻘﺎﻋﺪ ﹺة ﻣﺴــﺎﻓ ﹶﺔ ‪ 38 km‬ﻛﻤﺎ ﻳﻈﻬ ﹸﺮ ﻓﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹶﺔ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺠﺒ ﹺﻞ إﻟﻰ‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلــى متابعة تنفيــذ الخطــوة الثانية من‬ ‫المشروع‪.‬‬ ‫‪A 103º‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﺸﻔﻰ ﺑﻄﺮﻳﻘﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪H 64.55 km .‬‬ ‫‪38‬‬ ‫ •اطلب إلــى الطلبة الذين ط َّبقوا قانــون جيوب التمام‬ ‫علــى المثلثات التأ ُّكــد من نتائج حســاباتهم جبر ًّيا‪،‬‬ ‫‪ 11‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس أﺻﻐ ﹺﺮ زاوﻳ ﹴﺔ ﻓﻲ ﻣﺜﻠ ﹴﺚ أﻃﻮا ﹸل أﺿﻼ ﹺﻋ ﹺﻪ ‪ ، 3a, 5a, 7a‬ﺣﻴ ﹸﺚ ‪ a‬ﻋﺪ ﹲد ﺣﻘﻴﻘ ﱞﻲ ﻣﻮﺟ ﹲﺐ‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫وباستعمال برمجية جيوجبرا‪.‬‬ ‫‪D 7.2 A‬‬ ‫‪100º 6.7‬‬ ‫‪ 12‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل اﻟﻀﻠ ﹺﻊ ‪ CD‬ﻓﻲ ﺷﺒ ﹺﻪ اﻟﻤﻨﺤﺮ ﹺف اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫‪C 9.3 B‬‬ ‫‪DB = 10.65 km‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 13‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر ﺣﻘ ﹶﻞ اﻟﻨﺨﻴ ﹺﻞ ‪ ABCD‬اﻟﺬي ﻳﺮﻳ ﹸﺪ ﻣﺎﻟﹺ ﹸﻜ ﹸﻪ إﺣﺎﻃ ﹶﺔ ﺳﻴﺎ ﹴج ﺑ ﹺﻪ‪.‬‬ ‫‪37º‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪AB = 25.68‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل اﻟﺴﻴﺎ ﹺج‪.‬‬ ‫‪25º‬‬ ‫‪AD = 36.57‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪80º‬‬ ‫‪⇒ 25.68 + 36.57 + 30 + 50 = 142.25‬‬ ‫‪D 50 C‬‬ ‫‪ 14‬ﺳﺎﻋﺎ ﹲت‪ :‬ﻃﻮ ﹸل ﻋﻘﺮ ﹶﺑ ﹾﻲ ﺳﺎﻋ ﹴﺔ ‪ ،3 cm‬ﹶو ‪ .4 cm‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹶﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ رأ ﹶﺳ ﹺﻲ اﻟﻌﻘﺮﺑ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫ﻳﺸﻴﺮا ﹺن إﻟﻰ اﻟﺴﺎﻋ ﹺﺔ ‪ 4‬ﺗﻤﺎ ﹰﻣﺎ‪ .‬اﻟﺰاوﻳﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﻌﻘﺮﺑﻴﻦ‪90+30=120 :‬‬ ‫الختام‬ ‫‪6‬‬ ‫إذن‪ :‬اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﻌﻘﺮﺑﻴﻦ ﻫﻲ ‪ 6‬ﺳﻢ‪.‬‬ ‫‪500 m‬‬ ‫‪ 15‬أﺑﺮا ﹲج‪ :‬ﻳﺮﺗﻔ ﹸﻊ ﺑﺮ ﹲج ‪ 500 m‬ﻋﻠﻰ ﺗ ﱠﻠ ﹴﺔ ﺗﻤﻴ ﹸﻞ ﺑﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ 5º‬ﻋ ﹺﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻷﻓﻘ ﱢﻲ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ‬ ‫نشاط‪ :‬كيف أجد الحل؟‬ ‫اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ .‬أرا ﹶد ﹺت اﻟﻤﻬﻨﺪﺳــ ﹸﺔ ﺻﻔﺎ ﹸء ﺗﺜﺒﻴ ﹶﺖ اﻟﺒﺮ ﹺج ﺑﺴــﻠﻜ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣ ﹾﻦ ﻗ ﱠﻤﺘﹺــ ﹺﻪ إﻟﻰ ﻧﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪100 m‬‬ ‫‪100 m‬‬ ‫المواد والأدوات‪:‬‬ ‫‪5º‬‬ ‫اﻷر ﹺض‪ ،‬ﺗﺒﻌ ﹸﺪ ﻛ ﱞﻞ ﻣﻨﹾ ﹸﻬﻤﺎ ﻣﺴﺎﻓ ﹶﺔ ‪ 100 m‬ﻋ ﹾﻦ ﻗﺎﻋﺪ ﹺة اﻟﺒﺮ ﹺج‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل اﻟﺴﻠﻜ ﹾﻴ ﹺﻦ‪.‬‬ ‫ •صندوق يحوي مجموعة بطاقات ُر ِسم عليها مثلثات‬ ‫مختلفة (بعضها ُي َحل باســتعمال قانون الجيوب‪ ،‬أو‬ ‫ﻃﻮل اﻟﺴﻠﻚ اﻷول‪518.38 :‬‬ ‫قانون جيوب التمام‪ ،‬أو القانونين م ًعا)‪.‬‬ ‫ﻃﻮل اﻟﺴﻠﻚ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪501.28 :‬‬ ‫‪130‬‬ ‫خطوات العمل‪:‬‬ ‫المفاهيم العابرة‪:‬‬ ‫ •ق ِّســم اللوح إلى ثلاثة أقسام‪ ،‬ثم اكتب فيها بالترتيب‪:‬‬ ‫بعد الانتهاء من حل الســؤال ‪ ،7‬ع ِّزز لدى الطلبة الوعي بالقضايا الوطنية (الوعي‬ ‫قانون الجيوب‪ ،‬قانون جيوب التمام‪ ،‬القانونان م ًعا‪.‬‬ ‫الوطني)‪ ،‬بتنظيم حوار معهم عن الملاحة البحرية والملاحة الجوية في المملكة‪،‬‬ ‫وســؤالهم عن عدد الموانئ والمطارات فيها‪ ،‬ثم اطلب إليهم كتابة مقالة عن ميناء‬ ‫ •اســتعمل اســتراتيجية الــرؤوس المرقمــة لاختيار‬ ‫مجموعة من طلبة الصف‪.‬‬ ‫العقبة ونشأته وأهميته‪ ،‬أو مطار الملكة علياء ونشأته وأهميته‪.‬‬ ‫ •اطلــب إلى كل فرد في المجموعة ســحب بطاقة من‬ ‫الصندوق‪ ،‬وقراءة الســؤال ال ُمــد َّون عليها‪ ،‬وتحديد‬ ‫القانون المناسب لحل السؤال‪ ،‬ثم لصق البطاقة أسفل‬ ‫القسم الصحيح من اللوح‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى بقية الطلبة تقييم إجابات زملائهم‪.‬‬ ‫ •ك ِّرر الخطوات الســابقة باختيــار مجموعة أخرى من‬ ‫الطلبة (بحسب عدد البطاقات في الصندوق)‪.‬‬ ‫‪130‬‬

‫الدرس‬ ‫اﺳﺘﻌﻤﺎ ُل ﺟﻴ ِﺐ اﻟﺰاوﻳ ِﺔ ﻹﻳﺠﺎ ِد ﻣﺴﺎﺣ ِﺔ اﻟﻤﺜﻠ ِﺚ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪Using Sine to Find the Area of a Triangle‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫  نتاجات الدرس‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس إﻳﺠﺎ ﹸد ﻣﺴﺎﺣ ﹺﺔ ﻣﺜﻠ ﹴﺚ ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻢ ﻓﻴ ﹺﻪ ﻃﻮﻻ ﺿﻠﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬وﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﹺة ﺑﻴﻨﹶ ﹸﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫ •يجد مساحة مثلث ُع ٍل ِم من ُه‪ :‬طولا ضلعين وقياس زاوية‬ ‫محصورة بينهما‪ ،‬أو أطوال أضلاعه الثلاثة‪ ،‬أو طول‬ ‫ﻟﺪ￯ ﹸﻣﺰا ﹺر ﹴع ﻗﻄﻌ ﹸﺔ أر ﹴض ﻣﺜﻠﺜ ﹸﺔ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ‪ ،‬ﻃﻮ ﹸل أﺣ ﹺﺪ أﺿﻼ ﹺﻋﻬﺎ ‪،84 m‬‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫ضلع وزاويتان‪ ،‬أو طولا ضلعين وزاوية تقابل أحدهما‪.‬‬ ‫وﻃﻮ ﹸل ﺿﻠ ﹴﻊ آﺧ ﹶﺮ ‪ ،110 m‬وﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﹺة ﺑﻴﻨﹶ ﹸﻬﻤﺎ ‪،145º‬‬ ‫وﻗــ ﹾﺪ أرا ﹶد زراﻋ ﹶﺘﻬﺎ ﺑﺎﻟﺒﻄﺎﻃــﺎ‪ ،‬ﻓ ﹶﻠ ﹺﺰ ﹶﻣ ﹸﻪ ‪ 0.15 kg‬ﻣــ ﹾﻦ درﻧﺎ ﹺت اﻟﺒﻄﺎﻃﺎ‬ ‫ •يحل مسائل رياضية وحياتية عن مساحة المثلث‪.‬‬ ‫ﻟﻜ ﱢﻞ ﻣﺘ ﹴﺮ ﻣﺮ ﱠﺑ ﹴﻊ‪ .‬ﻛﻴ ﹶﻒ ﻳﺴــﺘﻄﻴ ﹸﻊ اﻟ ﹸﻤﺰا ﹺر ﹸع ﺣﺴﺎ ﹶب ﻛﻤﻴ ﹺﺔ درﻧﺎ ﹺت اﻟﺒﻄﺎﻃﺎ‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫اﻟﻼزﻣ ﹺﺔ ﻟﺰراﻋ ﹺﺔ أر ﹺﺿ ﹺﻪ؟‬ ‫ •حساب مساحة المثلث بدلالة طول قاعدته وارتفاعه‪.‬‬ ‫ﺗﻌ ﱠﻠ ﹾﻤ ﹸﺖ ﺳــﺎﺑ ﹰﻘﺎ ﻛﻴﻔﻴ ﹶﺔ ﺣﺴﺎ ﹺب ﻣﺴــﺎﺣﺔ ﹺاﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ﺑﻀﺮ ﹺب ﻧﺼ ﹺﻒ ﻃﻮ ﹺل ﻗﺎﻋﺪﺗ ﹺﻪ ﻓﻲ ارﺗﻔﺎﻋ ﹺﻪ‪ ،‬ﻏﻴ ﹶﺮ أ ﱠﻧ ﹸﻪ‬ ‫ •حل المثلث باســتعمال قانوني الجيــوب‪ ،‬وجيوب‬ ‫ﻳﺘﻌ ﱠﺬ ﹸر اﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹸل ﻫﺬ ﹺه اﻟﻄﺮﻳﻘ ﹺﺔ إذا ﻛﺎ ﹶن اﻻرﺗﻔﺎ ﹸع ﻣﺠﻬﻮ ﹰﻻ؛ ﻟﺬا ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ اﺳــﺘﺨﺪا ﹸم اﻟﻨﺴ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ‬ ‫التمام‪.‬‬ ‫ﻓﻲ إﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﺎﻧﻮ ﹴن آﺧ ﹶﺮ ﻟﺤﺴﺎ ﹺب ﻣﺴﺎﺣ ﹺﺔ اﻟﻤﺜ ﹺﻠﺚ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل أﻃﻮا ﹺل أﺿﻼ ﹺﻋ ﹺﻪ وﻗﻴﺎﺳﺎ ﹺت زواﻳﺎ ﹸه‪ .‬ﻓﻔﻲ‬ ‫اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ ،‬ﹸﻧﻼ ﹺﺣ ﹸﻆ أ ﱠن ‪ BD‬ﻫ ﹶﻮ ارﺗﻔﺎ ﹸع اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ ،ABC‬وأ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻋﻤﻮد ﱞي ﻋﻠﻰ اﻟﻘﺎﻋﺪ ﹺة ‪.AC‬‬ ‫ﻓﺈذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ، AC = b‬ﹶو ‪ ،BD = h‬ﻓﺈ ﱠن ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ ﻫﺬا اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫=‪K‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AC × BD‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪bh‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ha‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫التهيئة‬ ‫ﹸﻧﻼ ﹺﺣ ﹸﻆ أﻳ ﹰﻀﺎ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ BDC‬ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ •اعــرض أمام الطلبة لوحة ُر ِســمت عليهــا المثلثات‬ ‫‪h‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ ﺟﻴ ﹺﺐ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫‪C‬‬ ‫الآتية‪ ،‬ثم اطلب إليهم حساب مساحة ك ٍّل منها‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫= ‪sin C‬‬ ‫‪h = a sin C‬‬ ‫ﺑﻀﺮ ﹺب ﻃﺮ ﹶﻓ ﹺﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻓﻲ ‪a‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪K‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪(a‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫)‪C‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻋ ﹾﻦ ‪ h‬ﻓﻲ ﻗﺎﻧﻮ ﹺن ﻣﺴﺎﺣ ﹺﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ﺑﹺـ ‪a sin C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 cm‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ رﺳــ ﹸﻢ اﻟﻌﻤﻮ ﹺد ﻣ ﹶﻦ اﻟﺮأ ﹺس ‪ A‬إﻟــﻰ اﻟﻀﻠ ﹺﻊ اﻟﺬي ﻳﻘﺎﺑ ﹸﻠ ﹸﻪ ‪ ،BC‬وﻣ ﹶﻦ اﻟــﺮأ ﹺس ‪ C‬إﻟﻰ اﻟﻀﻠ ﹺﻊ‬ ‫‪N‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪M‬‬ ‫أﻳ ﹰﻀﺎ‬ ‫ﺗﺴــﺎوي‬ ‫وأ ﱠﻧﻬﺎ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ac‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﺗﺴــﺎوي‬ ‫اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ‬ ‫ﻣﺴــﺎﺣ ﹶﺔ ﻫﺬا‬ ‫ﻟﺒﻴﺎ ﹺن أ ﹶن‬ ‫ﻳﻘﺎﺑ ﹸﻠ ﹸﻪ ‪،AB‬‬ ‫اﻟﺬي‬ ‫‪13 cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪bc‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪131‬‬ ‫‪8 cm‬‬ ‫‪R 6 cm T‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C 12 cm‬‬ ‫‪5 cm‬‬ ‫‪BD‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة إيجــاد الأطوال والزوايا المجهولة في‬ ‫‪6 cm‬‬ ‫‪C‬‬ ‫المثلث الآتي‪:‬‬ ‫‪B 20°‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪12 cm‬‬ ‫‪zA‬‬ ‫‪x = 6.68 cm; y = 142.2°; z =17.8°‬‬ ‫‪131‬‬

‫ملاحظات المعلم‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المسألة في بند (مسألة اليوم) واسألهم‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »مــاذا يفعل هذا المزارع ليتم َّكن من تحديد كمية درنات البطاطا التي تلزمه؟ إيجاد مســاحة‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫قطعة الأرض‪ ،‬ثم ضرب المساحة في الكمية اللازمة للمتر المربع الواحد‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »ما الذي يجب معرفته لإيجاد مساحة مثلث؟ طول قاعدته‪ ،‬وارتفاعه‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »ما ارتفاع المثلث؟ طول العمود المرسوم من أحد رؤوسه إلى الضلع المقابل أو امتداده‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ » َم ْن يرسم رس ًما توضيح ًّيا ُيم ِّثل المسألة؟‬ ‫ » َم ْن ُيؤ ِّيد الإجابة؟‬ ‫ » َم ْن لديه إجابة أخرى؟‬ ‫ »اذكر هذه الإجابة‪.‬‬ ‫ »كيف يمكن إيجاد الارتفاع في هذا السؤال بطريقة أخرى؟ باستعمال نسبة جيب الزاوية‪.‬‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة من دون تقديم تغذية راجعة لهم‪.‬‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‪:‬‬ ‫ك ِّرر المصطلحات الرياضية المســتخدمة في الدرس باللغتين العربية والإنجليزية‪ ،‬وش ِّجع الطلبة على‬ ‫اســتعمالها‪ ،‬مثل‪ :‬المثلث ‪ ،triangle‬والمســاحة ‪ ،area‬والزاوية ‪ ،angle‬وقانون الجيوب ‪Law of‬‬ ‫‪ ،Sines‬وقانون جيوب التمام ‪.Law of Cosines‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •و ِّضح للطلبة بمثال كيفية التو ُّصل إلى قانون لإيجاد مســاحة المثلث باســتعمال طولي ضلعين‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫وقياس الزاوية المحصورة بينهما‪ ،‬اعتما ًدا على القانون الأساسي لمساحة المثلث الذي يعرفونه‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •و ِّزع الطلبة إلى مجموعات‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫‪8 cm‬‬ ‫‪h‬‬ ‫ •ارســم على اللــوح المثلث المجــاور‪ ،‬ثم‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫‪50°‬‬ ‫‪15 cm‬‬ ‫اطلب إلى أفراد المجموعات إيجاد مساحته‬ ‫في ثلاث دقائق‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫مساحة هذا المثلث‪× 15 × h :‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫‪h‬‬ ‫‪sin 50°‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫إيجاد قيمة ‪ h‬من العلاقة‪:‬‬ ‫‪h = 8 × sin 50°‬‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪× 15 × 8 × sin 50° = 46.0 cm2‬‬ ‫إذن‪ :‬مساحة هذا المثلث هي‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫ •تابِع الطلبة في هذه الأثناء‪ ،‬وق ِّدم لهم التغذية الراجعة‪ ،‬ثم نا ِقشهم في الحل على اللوح‪.‬‬ ‫ •اكتب على اللوح برهان قانون مساحة المثلث باستعمال طولي ضلعين وجيب الزاوية المحصورة‬ ‫بينهما بصوره الثلاث‪.‬‬ ‫‪131A‬‬

‫مثال ‪1‬‬ ‫ﻣﻔﻬﻮ ٌم أﺳﺎﺳ ٌﻲ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ﺗﺴﺎوي ﻧﺼ ﹶﻒ ﻧﺎﺗ ﹺﺞ ﺿﺮ ﹺب ﻃﻮ ﹶﻟ ﹾﻲ أ ﱢي ﺿﻠﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻴ ﹺﻪ ﻣﻀﺮو ﹰﺑﺎ ﻓﻲ ﺟﻴ ﹺﺐ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حــل المثال ‪ 1‬الذي ُيب ِّين كيفية إيجاد‬ ‫مســاحة مثلث‪ُ ،‬ع ِلم منه طولا ضلعين وقياس الزاوية‬ ‫اﻟﻤﺤﺼﻮر ﹺة ﺑﻴﻨﹶ ﹸﻬﻤﺎ‪:‬‬ ‫المحصورة بينهما بالتطبيق المباشر للقانون‪.‬‬ ‫=‪K‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪bc‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪K‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ac sin B‬‬ ‫‪K‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪sin C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلى حــل التدريب في بنــد (أتحقق من‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫‪C‬‬ ‫فهمي) بعد كل مثال‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ ABC‬ﺑﺎﻟﻮﺣﺪا ﹺت اﻟﻤﺮﺑﻌ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫‪30º‬‬ ‫ •تابِع الطلبة في هذه الأثناء‪ ،‬وق ِّدم لهم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحوي أخطاء مفاهيمية‪ ،‬ثم‬ ‫‪K‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ﹸنﻣﺴﺎﺣ ﹺﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ‬ ‫نا ِقشها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اسم الطالب الذي أخطأ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪A‬‬ ‫في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪8‬‬ ‫×‬ ‫‪6‬‬ ‫×‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪30º‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫‪= 12‬‬ ‫ •جد مســاحة المثلث ‪ ABC‬الذي فيــه ‪،AC = 3 cm‬‬ ‫و‪ ،AB = 7 cm‬وقياس الزاويــة ‪  BAC = 112°‬‬ ‫‪B‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9.74 cm2‬‬ ‫‪C 38º 7‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ﺑﺎﻟﻮﺣﺪا ﹺت اﻟﻤﺮﺑﻌ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪A .‬‬ ‫و ِّضح للطلبة أن حل بعض الأسئلة يتطلب استعمال‬ ‫ﺗﻌ ﱠﻠ ﹾﻤ ﹸﺖ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺎ ﹺل اﻟﺴــﺎﺑ ﹺﻖ ﻛﻴ ﹶﻒ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴــﺎﺣ ﹶﺔ ﻣﺜﻠ ﹴﺚ ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻢ ﻓﻴﻪ ﻃﻮﻻ ﺿﻠﻌ ﹾﻴــ ﹺﻦ‪ ،‬وﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫قانون جيوب التمام وقانون الجيوب؛ لإيجاد قياس‬ ‫اﻟﻤﺤﺼﻮر ﹺة ﺑﻴﻨﹶ ﹸﻬﻤﺎ‪ ،‬وﺳﺄﺗﻌ ﱠﻠ ﹸﻢ اﻵ ﹶن ﻛﻴﻔﻴ ﹶﺔ ﺣﺴﺎ ﹺب ﻣﺴﺎﺣ ﹺﺔ ﻣﺜﻠ ﹴﺚ ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻤ ﹾﺖ ﻓﻴ ﹺﻪ أﻃﻮا ﹸل أﺿﻼ ﹺﻋ ﹺﻪ اﻟﺜﻼﺛ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫زاوية بين ضلعين معلومــي الطول‪ ،‬ثم تطبيق قانون‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪13‬‬ ‫إيجاد مساحة المثلث‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ ABC‬ﺑﺎﻟﻮﺣﺪا ﹺت اﻟﻤﺮﺑﻌ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫‪A 19‬‬ ‫‪C‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫ﻳﺘﻌ ﱠﻴ ﹸﻦ أو ﹰﻻ إﻳﺠﺎ ﹸد ﻗﻴﺎ ﹺس إﺣﺪ￯ اﻟﺰواﻳﺎ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻗﺎﻧﻮ ﹺن ﺟﻴﻮ ﹺب اﻟﺘﻤﺎ ﹺم‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﺣﺴﺎ ﹸب اﻟﻤﺴﺎﺣ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حــل المثال ‪ 2‬الذي ُيب ِّين كيفية إيجاد‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﹶأﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ ﻗﺎﻧﻮ ﹶن ﺟﻴﻮ ﹺب اﻟﺘﻤﺎ ﹺم ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﻴﺎ ﹺس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪:C‬‬ ‫مساحة مثلث ُع ِلمت أطوال أضلاعه الثلاثة‪.‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪a2‬‬ ‫– ‪+ b2‬‬ ‫‪c2‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ﹸن ﺟﻴﻮ ﹺب اﻟﺘﻤﺎ ﹺم‬ ‫‪2ab‬‬ ‫=‬ ‫‪132 + 192 – 82‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫‪2 × 13 × 19‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺلاﻵﻟ ﹺﺔاﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫‪= 0.9433‬‬ ‫ﻣﻌﻜﻮ ﹸس ‪ ، cos‬واﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫‪C = cos–1 0.9433 = 19.4º‬‬ ‫‪132‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:1‬‬ ‫‪10.8 cm2‬‬ ‫‪132‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪4‬‬ ‫مثال إضافي‬ ‫‪K‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ab sin‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﹸأﻃ ﱢﺒ ﹸﻖ ﻗﺎﻧﻮ ﹶن اﻟﻤﺴﺎﺣ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫ •ما مســاحة لوحة إعلانــات مثلثة الشــكل‪ ،‬أبعادها‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ﹸنﻣﺴﺎﺣ ﹺﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ‬ ‫‪ ،30 cm‬و‪ ،40 cm‬و‪60 cm‬؟  ‪533.3 cm2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪× 13‬‬ ‫‪× 19 × sin 19.4º‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫ مثال ‪ :3‬من الحياة‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺلاﻵﻟ ﹺﺔاﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثال ‪ 3‬الذي ُيب ِّين كيفية حساب‬ ‫‪= 41.0 cm2‬‬ ‫مساحة مثلث في موقف حياتي‪.‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫مثال إضافي‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ ، DEF‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ‪ ،DE = 10 cm‬ﹶو ‪ ،DF = 12 cm‬ﹶو ‪.EF = 9 cm‬‬ ‫ •إذا كانت المسافة بين إربد وجرش ‪ ،38 km‬والمسافة‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫بين إربد والرمثا ‪ ،28 km‬والمسافة بين الرمثا وجرش‬ ‫‪ ، 40 km‬فما مســاحة المثلث الذي تقع عند رؤوسه‬ ‫اﻟﻤﻔﺮ ﹸق ‪B‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :3‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫هذه المدن الثلاث؟ ‪508.3 km2‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪98‬‬ ‫اﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴــ ﹶﻦ ﻋ ﹼﻤــﺎ ﹶن واﻷزر ﹺق ‪ ،103 km‬وﺑﻴــ ﹶﻦ ﻋ ﹼﻤــﺎ ﹶن‬ ‫اﻟﺘﺨﺰﻳ ُﻦ ﻓﻲ ذاﻛﺮ ِة اﻵﻟ ِﺔ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ C‬اﻷزر ﹸق‬ ‫واﻟﻤﻔــﺮ ﹺق ‪ ،70 km‬وﺑﻴــ ﹶﻦ اﻟﻤﻔــﺮ ﹺق واﻷزر ﹺق ‪.98 km‬‬ ‫اﻟﺤﺎﺳﺒ ِﺔ‬ ‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫ﻋ ﹼﻤﺎ ﹸن‬ ‫ﹶأ ﹺﺟـ ﹸﺪ ﻣﺴـﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻤﺜﻠـ ﹺﺚ اﻟـﺬي ﺗﻘـ ﹸﻊ ﻋﻨـ ﹶﺪ رؤو ﹺﺳـ ﹺﻪ ﻫـﺬ ﹺه‬ ‫ •ن ِّبه الطلبة إلى أن تقريب الإجابــة في الخطوات التي‬ ‫أﺳــﺘﻌﻤ ﹸﻞ اﻵﻟــ ﹶﺔ اﻟﺤﺎﺳــﺒ ﹶﺔ‬ ‫تســبق الخطوة النهائية قد يجعل الإجابة النهائية غير‬ ‫‪103‬‬ ‫اﻟﻤــﺪ ﹸن اﻟﺜــﻼ ﹸث‪.‬‬ ‫ﻹﻳﺠــﺎ ﹺد ﻗﻴــﺎ ﹺس اﻟﺰاوﻳــ ﹺﺔ‬ ‫‪ B‬ﻓــﻲ ﻫــﺬا اﻟﺴــﺆا ﹺل‪ ،‬ﺛــ ﱠﻢ‬ ‫دقيقة‪.‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :1‬إﻳﺠﺎ ﹸد ﻗﻴﺎ ﹺس إﺣﺪ￯ اﻟﺰواﻳﺎ‪ ،‬وﻟﺘﻜ ﹾﻦ ‪ ، B‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻗﺎﻧﻮ ﹺن ﺟﻴﻮ ﹺب اﻟﺘﻤﺎ ﹺم‪.‬‬ ‫أﺿﻐــ ﹸﻂ ﻋﻠــﻰ اﻷزرا ﹺر‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة من ذوي المســتوى دون المتوسط‬ ‫)ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴــ ﹺﺐ ﻣــ ﹶﻦ اﻟﻴﺴــﺎ ﹺر(‪:‬‬ ‫تقريب إجاباتهم في الخطوات قبل النهائية إلى العدد‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪a2‬‬ ‫– ‪+ c2‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ﹸن ﺟﻴﻮ ﹺب اﻟﺘﻤﺎ ﹺم‬ ‫‪2ac‬‬ ‫‪SHIFT→RCL→B‬‬ ‫المناسب من المنازل بحيث تحوي ‪ 4‬أرقام‪.‬‬ ‫ﻓ ﹸﺘﺤ ﹶﻔ ﹸﻆ اﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ ﻓﻲ اﻟﺬاﻛﺮ ﹺة‪.‬‬ ‫ •و ِّضح للطلبة ذوي المســتوى فوق المتوســط كيف‬ ‫=‬ ‫‪982‬‬ ‫‪+‬‬ ‫– ‪702‬‬ ‫‪1032‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫ُتح َفــظ الإجابة في الخطوات قبــل النهائية في ذاكرة‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫× ‪98‬‬ ‫‪70‬‬ ‫وﻻﺳــﺘﻌﻤﺎﻟﹺﻬﺎ ﻓﻲ ﺣﺴــﺎ ﹺب‬ ‫الحاسبة (من دون تقريب)‪ ،‬وكيف ُتستعاد و ُتستع َمل‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺلاﻵﻟ ﹺﺔاﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣ ﹺﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ‪ ،‬ﹸأد ﹺﺧ ﹸﻞ‪:‬‬ ‫‪= 0.2839‬‬ ‫ﻣﻌﻜﻮ ﹸس ﺟﻴ ﹺﺐ اﻟﺘﻤﺎ ﹺم‪ ،‬واﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫في حسابات لاحقة‪.‬‬ ‫ﺛ ﱠﻢ أﺿ×ﻐ ﹸ‪0‬ﻂ‪7‬ﻋﻠ×ﻰ ا‪98‬ﻷز×را ﹺر‪:21‬‬ ‫‪B = cos–1 (0.2839) = 73.5º‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:2‬‬ ‫= →‪، sin→ ALPHA→B‬‬ ‫‪K‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ac‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪B‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬ﺗﻄﺒﻴ ﹸﻖ ﻗﺎﻧﻮ ﹺن اﻟﻤﺴﺎﺣ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫‪44.04 cm2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ﹸنﻣﺴﺎﺣ ﹺﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ‬ ‫ﻓﺘﻈﻬ ﹸﺮ اﻟﻨﺘﻴﺠ ﹸﺔ‪3288.8 :‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪98‬‬ ‫×‬ ‫‪70‬‬ ‫×‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪73.5º‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺلاﻵﻟ ﹺﺔاﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫‪1749.5 cm2‬‬ ‫‪= 3288.8 km2‬‬ ‫‪133‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﻗﻄﻌ ﹸﺔ رﺧﺎ ﹴم ﻣﺜﻠﺜ ﹸﺔ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ‪ ،‬أﺑﻌﺎ ﹸدﻫﺎ‪ ،50 cm :‬ﹶو ‪ ،85 cm‬ﹶو ‪ .70 cm‬ﻣﺎ ﻣﺴﺎﺣ ﹸﺘﻬﺎ؟ اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫‪133‬‬ ‫! أخطاء شائعة‪:‬‬ ‫قد يخطئ بعض الطلبة في اختيار الصيغة الصحيحة لحساب مساحة المثلث‬ ‫عندما يعطى منه طولا ضلعين وقياس زاوية مقابلة لأحدهما كما في السؤال‬ ‫الآتي‪:‬‬ ‫إذا كانت ‪ B‬زاوية منفرجة‪ ،‬فما مساحة المثلث ‪ABC‬؟ ‪15 cm2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪6 cm‬‬ ‫‪32°‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪10 cm‬‬ ‫ذ ِّكر الطلبة بضرورة إيجاد قياس الزاوية ‪ C‬لحساب مساحة هذا المثلث‪.‬‬

‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأســئلة في بند (أتدرب وأحل‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫المســائل)‪ ،‬ثم اطلــب إليهم حلها (يمكــن الطلب‬ ‫إليهم حــل الأســئلة ذوات الأرقــام الزوجية ضمن‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫مجموعات)‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺜﻠ ﹸﺚ ‪ ABC‬اﻟﺬي ﻓﻴ ﹺﻪ ‪ ، BC = 7 cm‬ﹶو ‪ ، AC = 8 cm‬وﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ ACB‬ﻓﻴ ﹺﻪ ‪24.0 cm2 . 59º‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﻤﺜﻠ ﹸﺚ ‪ ABC‬اﻟﺬي ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ BAC‬ﻓﻴ ﹺﻪ ‪ ، 85º‬ﹶو ‪ ، AC = 6.7 cm‬ﹶو ‪26.7 cm2 . AB = 8 cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ •إذا واجــه بعض الطلبــة صعوبة في حل أي مســألة‪،‬‬ ‫اﻟﻤﺜﻠ ﹸﺚ ‪ PQR‬اﻟﺬي ﻓﻴ ﹺﻪ ‪ ، QR = 27 cm‬ﹶو ‪ ، PR = 19 cm‬وﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ QRP‬ﻓﻴ ﹺﻪ ‪242.5 cm2 . 109º‬‬ ‫‪3‬‬ ‫فاختر طال ًبا تم َّكن من حل المسألة‪ ،‬واطلب إليه كتابة‬ ‫اﻟﻤﺜﻠ ﹸﺚ ‪ XYZ‬اﻟﺬي ﻓﻴ ﹺﻪ ‪ ، XY = 231 cm‬ﹶو ‪ ، XZ = 191 cm‬وﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ YXZ‬ﻓﻴ ﹺﻪ ‪21096.6 cm2 . 73º‬‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﻤﺜﻠ ﹸﺚ ‪ LMN‬اﻟﺬي ﻓﻴ ﹺﻪ ‪ ، LN = 63 cm‬ﹶو ‪ ، LM = 39 cm‬وﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ NLM‬ﻓﻴ ﹺﻪ ‪1223.8 cm2 . 85º‬‬ ‫‪5‬‬ ‫حله على اللوح‪.‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ ABC‬ﻫ ﹶﻲ ‪ ، 27 cm2‬ﹶو ‪ ، BC = 14 cm‬وﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ BCA‬ﻓﻴ ﹺﻪ ‪ ،115º‬ﻓﻤﺎ ﻃﻮ ﹸل ‪AC‬؟ ‪4.26 cm‬‬ ‫‪6‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ﻣﺴــﺎﺣ ﹸﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ LMN‬ﻫ ﹶﻲ ‪ ، 133 cm2‬ﹶو ‪ ، LM = 16 cm‬ﹶو ‪ ، MN =21 cm‬واﻟﺰاوﻳ ﹸﺔ ‪ LMN‬ﺣﺎ ﱠد ﹰة‪ ،‬ﻓﻤﺎ‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻗﻴﺎ ﹸس ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺰاوﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ، LMN :‬ﹶو ‪MNL‬؟ ‪52.3°, 48.5°‬‬ ‫‪ 9‬ﻟﻮﺣ ﹲﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜ ﹺﻞ ﻣﺜﻠ ﹴﺚ‪ ،‬أﻃﻮا ﹸل أﺿﻼ ﹺﻋ ﹺﻪ‪ ، 60 cm :‬ﹶو ‪ ،70 cm‬ﹶو ‪ .80 cm‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻠﻮﺣ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫‪2033 cm2‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ 10‬داﺋﺮﺗــﺎ ﹺن‪ ،‬ﻣﺮﻛ ﹸﺰ إﺣﺪا ﹸﻫﻤﺎ ‪ P‬وﻣﺮﻛ ﹸﺰ اﻷﹸﺧــﺮ￯ ‪ ، Q‬وﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ إﺣﺪا ﹸﻫﻤﺎ ‪6 cm‬‬ ‫‪76‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبة إلى مجموعات ثنائية غير متجانسة‪ ،‬بحيث‬ ‫‪Q 9P‬‬ ‫تضم طلبة من ذوي المســتوى فوق المتوسط‪ ،‬وآخرين‬ ‫واﻷﺧﺮ￯ ‪ .7 cm‬إذا ﺗﻘﺎﻃ ﹶﻌﺘﺎ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ X‬ﹶو ‪ ،Y‬وﻛﺎ ﹶن ‪ ،PQ = 9 cm‬ﻓﻤﺎ ﻣﺴــﺎﺣ ﹸﺔ‬ ‫من ذوي المستوى دون المتوسط‪.‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪21.0 cm2‬‬ ‫اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪PXQ‬؟‬ ‫ •اطلب إلى أفراد المجموعات حل الأسئلة‪ ،‬وكتابة ُمب ِّرر‬ ‫‪25‬‬ ‫‪ 11‬ﻃﺎﺋﺮ ﹲة ورﻗﻴ ﹲﺔ‪ :‬ﺻﻨ ﹶﻊ ﺳــﻠﻴ ﹲﻢ ﻃﺎﺋﺮ ﹰة ورﻗﻴ ﹰﺔ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴــﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻤﺎد ﹺة‬ ‫للإجابة‪ ،‬وامنحهم وق ًتا كاف ًيا لنقد ُمب ِّررات بعضهم‪.‬‬ ‫اﻟﻼزﻣ ﹺﺔ ﻟﺼﻨ ﹺﻊ اﻟﻄﺎﺋﺮ ﹺة ﺑﺎﻟﻮﺣﺪا ﹺت اﻟﻤﺮﺑﻌ ﹺﺔ‪726.2 .‬‬ ‫‪60‬‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫‪40‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة أن يحلوا في البيت جميع المســائل‬ ‫الواردة في الصفحة ‪ 26‬من كتــاب التمارين‪ُ ،‬مح ِّد ًدا‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ 12‬ﹸﻣﺘﻨ ﱠﺰ ﹲه وﻃﻨ ﱞﻲ‪ :‬ﻳﺮا ﹸد إﻧﺸــﺎ ﹸء ﹸﻣﺘﻨــ ﱠﺰ ﹴه وﻃﻨ ﱟﻲ ﻋﻠﻰ ﻗﻄﻌ ﹺﺔ أر ﹴض ﻣﺜﻠﺜ ﹺﺔ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ ‪ . ABC‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ‬ ‫لهم المســائل التي يمكنهم حلهــا في نهاية كل حصة‬ ‫‪B‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻄــ ﹸﺔ ‪ B‬ﻓﻲ اﺗﺠﺎ ﹺه ‪ 324º‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ ، A‬واﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ ‪ C‬ﻓــﻲ اﺗﺠﺎ ﹺه ‪ 042º‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ ، A‬ﻓﻤﺎ‬ ‫بحسب ما ُيق َّدم من أمثلة الدرس وأفكاره‪.‬‬ ‫‪21.5‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ اﻟ ﹸﻤﺘﻨ ﱠﺰ ﹺه ﺑﺎﻟﻮﺣﺪا ﹺت اﻟﻤﺮﺑﻌ ﹺﺔ؟ ‪149.3‬‬ ‫ •يمكن أي ًضا إضافة المسائل التي لم يحلها الطلبة داخل‬ ‫‪A‬‬ ‫‪14.2‬‬ ‫غرفة الصف إلى الواجب البيتي‪.‬‬ ‫‪134‬‬ ‫إرشاد‪:‬‬ ‫ •في السؤال ‪ ،11‬و ِّجه الطلبة إلى رســم خط الشمال المار بالنقطة ‪ ،A‬ثم‬ ‫إيجاد جزأي الزاوية ‪ BAC‬وجمعهما؛ لإيجــاد قياس الزاوية ‪ ،BAC‬ثم‬ ‫استعمال قانون إيجاد مساحة المثلث‪.‬‬ ‫ •فــي الســؤال ‪ ،18‬و ِّجه الطلبة إلــى إيجاد طول ضلع آخــر في المثلث‬ ‫باستعمال قانون الجيوب‪.‬‬ ‫‪134‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪4‬‬ ‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫‪B 35 m C‬‬ ‫ﺣﻘﻮ ﹲل‪ :‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر أﺑﻌﺎ ﹶد ﺣﻘ ﹴﻞ رﺑﺎﻋ ﱢﻲ اﻷﺿﻼ ﹺع‪:‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة من ذوي المستوى المتوسط وفوق‬ ‫المتوسط رســم مثلث ُع ِلمت أطوال أضلاعه الثلاثة‪،‬‬ ‫‪25 m‬‬ ‫‪ 13‬ﹸأﺛﺒﹺ ﹸﺖ أ ﱠن ﻃﻮ ﹶل ‪ BD‬ﻫ ﹶﻮ ‪ ، 66 m‬ﹸﻣﻘ ﱢﺮ ﹰﺑﺎ إﺟﺎﺑﺘﻲ إﻟﻰ أﻗﺮ ﹺب ﻣﺘ ﹴﺮ‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت ‪42 m‬‬ ‫‪65º‬‬ ‫ثم إيجاد مساحته‪.‬‬ ‫‪73 m‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪118.9°‬‬ ‫‪ 14‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪.C‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة من ذوي المســتوى فوق المتوســط إلى‬ ‫‪A‬‬ ‫البحــث عن قطعة مثلثة الشــكل مــن بيئتهم (لوحة‪،‬‬ ‫وجزء مــن حائط‪ ،‬وقطعــة قماش مثــ ًا)‪ ،‬ثم إيجاد‬ ‫‪ 15‬أﺣ ﹸﺴ ﹸﺐ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﺤﻘ ﹺﻞ‪1470 cm2 .‬‬ ‫مساحتها التقريبية‪ ،‬ثم كتابة تقرير عن ذلك‪ ،‬وتضمينه‬ ‫‪ 16‬ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟ ﹶﺔ اﻟﻮارد ﹶة ﻓﻲ ﺑﺪاﻳ ﹺﺔ اﻟﺪر ﹺس‪397.5 kg .‬‬ ‫‪ 17‬اﻟﻤﺜﻠ ﹸﺚ ‪ ABC‬ﻗﺎﺋ ﹸﻢ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‪ ،‬واﻟﻤﺜﻠ ﹸﺚ ‪ DEF‬ﹸﻣﺘﻄﺎﺑﹺ ﹸﻖ اﻷﺿﻼ ﹺع وﻟﻠﻤﺜﻠﺜ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﻤﺤﻴ ﹸﻂ ﻧﻔ ﹸﺴ ﹸﻪ‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪.DEF‬‬ ‫صو ًرا للقطعة المثلثة الشكل‪ ،‬والخطوات المتبعة في‬ ‫حل السؤال‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E 43.3 cm2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪B 12‬‬ ‫‪ 18‬ﺟﻐﺮاﻓﻴﺎ‪ :‬ﺑﺮﻣﻮدا ﻣﻨﻄﻘ ﹲﺔ ﻣﺜﻠﺜ ﹸﺔ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ‪ ،‬ﺗﻘ ﹸﻊ ﻓﻲ اﻟﺠﺰ ﹺء اﻟﻐﺮﺑ ﱢﻲ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺤﻴ ﹺﻂ اﻷﻃﻠﺴــ ﱢﻲ‪ ،‬رؤو ﹸﺳﻬﺎ ﻣﺪﻳﻨ ﹸﺔ ﻣﻴﺎﻣﻲ‪ ،‬وﺑﺮﻣﻮدا‪،‬‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫وﺳﺎن ﺧﻮان‪ .‬وﻗ ﹾﺪ ﺷــﻬ ﹶﺪ ﻣﺜﻠ ﹸﺚ ﺑﺮﻣﻮدا وﻗﻮ ﹶع ﻋﺪ ﹴد ﻣ ﹾﻦ ﺣﻮاد ﹺث اﺧﺘﻔﺎ ﹺء اﻟﺴﻔ ﹺﻦ واﻟﻄﺎﺋﺮا ﹺت‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﻴﺎﻣﻲ‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بأن موعد عرض نتائج المشروع قريب؛ لذا‬ ‫وﺳﺎن ﺧﻮان ‪ 1674 km‬ﺗﻘﺮﻳ ﹰﺒﺎ‪ ،‬وﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﻴﺎﻣﻲ وﺑﺮﻣﻮدا ﻧﺤ ﹶﻮ ‪ ،1645 km‬وﺑﻴ ﹶﻦ ﺳﺎن ﺧﻮان وﺑﺮﻣﻮدا ﻗﺮاﺑ ﹶﺔ ‪ ،1544 km‬ﻓﻤﺎ‬ ‫يتع َّين عليهم وضع اللمســات النهائية على المشروع‪،‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ ﻣﺜﻠ ﹺﺚ ﺑﺮﻣﻮدا ﻣ ﹾﻦ دو ﹺن اﻋﺘﺒﺎ ﹴر ﻟﺘﻘ ﱡﻮ ﹺس اﻷر ﹺض؟ ‪1133530 km2‬‬ ‫والتأ ُّكد أن عناصر المشــروع جميعهــا موجودة يوم‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫العرض‪.‬‬ ‫‪ 19‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴــﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ ABC‬اﻟﺬي ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ A‬ﻓﻴ ﹺﻪ ‪ ،70º‬وﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳــ ﹺﺔ ‪ B‬ﻓﻴ ﹺﻪ ‪ ،60º‬وﻃﻮ ﹸل اﻟﻀﻠ ﹺﻊ ‪ AB‬ﻓﻴ ﹺﻪ‬ ‫‪8.5 cm2‬‬ ‫‪.4 cm‬‬ ‫‪ 20‬أﻛﺘﺸــ ﹸﻒ اﻟﺨﻄ ﹶﺄ‪ ABC :‬ﻣﺜﻠ ﹲﺚ ﻓﻴ ﹺﻪ ‪ ،AB = 9cm ،BC = 8cm‬وﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ A‬ﻓﻴ ﹺﻪ ‪ . 30º‬أرا ﹶد ﹾت ﻧﻮ ﹸر إﻳﺠﺎ ﹶد ﻣﺴﺎﺣﺘﹺ ﹺﻪ‬ ‫إﻟﻰ أﻗﺮ ﹺب ﹸﻋ ﹾﺸ ﹴﺮ‪ ،‬ﻓﻜﺎ ﹶن ﹶﺣ ﱡﻠﻬﺎ ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫=‪K‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪× 8 × 9 sin 30º‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪= 18 cm2‬‬ ‫الختام‬ ‫أﻛﺘﺸ ﹸﻒ اﻟﺨﻄ ﹶﺄ ﻓﻲ ﹶﺣ ﱢﻞ ﻧﻮ ﹶر‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﺻ ﱢﺤ ﹸﺤ ﹸﻪ‪.‬‬ ‫‪135‬‬ ‫ •اطلب إلى كل طالب‪ -‬اطلب إلى الطلبة أن يرســموا‬ ‫في ورقــ ٍة مثل ًثا ُع ِلمــت ثلاثة من عناصــره‪ ،‬مراعين‬ ‫خصائص المثلثات التي تعلموها في صفوف ســابقة‬ ‫(لضمان منطقية السؤال)‪.‬‬ ‫ •أن يتبادل ورقته مع زميله في المقعد‪ ،‬ثم يجد مســاحة‬ ‫هذا المثلث في ‪ 5‬دقائق‪.‬‬ ‫ •اجمع أوراق الطلبة‪ ،‬ثم ق ِّدم التغذية الراجعة لهم‪.‬‬ ‫‪135‬‬

‫الدرس‬ ‫َﺣ ﱡﻞ ﻣﺴﺎﺋ َﻞ ﺛﻼﺛﻴ ِﺔ اﻷﺑﻌﺎ ِد‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪Solving Problems in Three Dimensions‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫  نتاجات الدرس‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس إﻳﺠﺎ ﹸد أﻃﻮا ﹴل وﻗﻴﺎﺳﺎ ﹴت ﻟﺰواﻳﺎ ﻣﺠﻬﻮﻟ ﹴﺔ ﻓﻲ أﺷﻜﺎ ﹴل ﺛﻼﺛﻴ ﹺﺔ اﻷﺑﻌﺎ ﹺد ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻧﻈﺮﻳ ﹺﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس واﻟﻨﺴ ﹺﺐ‬ ‫ •يسـتعمل النسـب المثلثيـة ونظرية فيثاغـورس لإيجاد‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫أطـوال مجهولة في مسـائل ثلاثيـة الأبعاد‪.‬‬ ‫ﹸﺷ ﱢﻴ ﹸﺪ اﻟﻬﺮ ﹸم اﻷﻛﺒ ﹸﺮ ﻓﻲ ﻣﺪﻳﻨ ﹺﺔ اﻟﺠﻴﺰ ﹺة ﺑﻤﺼ ﹶﺮ ﻋﺎ ﹶم ‪ 2500‬ﻗﺒ ﹶﻞ اﻟﻤﻴﻼ ﹺد‪ ،‬و ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫ •يحسب الزاوية بين مستقيم ومستوى‪.‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺪ ﹸﺗــ ﹸﻪ ﻣﺮ ﱠﺑ ﹰﻌﺎ ﻃﻮ ﹸل ﺿﻠ ﹺﻌ ﹺﻪ ‪ ،232.6 m‬وﻃــﻮ ﹸل اﻟﻀﻠ ﹺﻊ اﻟﻮاﺻ ﹺﻞ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻗ ﱠﻤ ﹺﺔ‬ ‫ •يحل مسائل حياتية ثلاثية الأبعاد‪.‬‬ ‫اﻟﻬﺮ ﹺم وأ ﱟي ﻣ ﹾﻦ رؤو ﹺس اﻟﻤﺮ ﱠﺑ ﹺﻊ ‪ .221.2 m‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ارﺗﻔﺎ ﹶع ﻫﺬا اﻟﻬﺮ ﹺم‪.‬‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫ •حل المثلث قائم الزاوية‪.‬‬ ‫ﺗﺸــﺘﻤ ﹸﻞ اﻟﻤﺴــﺎﺋ ﹸﻞ ﺛﻼﺛﻴ ﹸﺔ اﻷﺑﻌﺎ ﹺد )ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎ ﹺء( ﻋﻠﻰ ﺛﻼﺛ ﹺﺔ ﻣﺴــﺘﻮﻳﺎ ﹴت؛ أﻓﻘ ﱟﻲ‪ ،‬ورأﺳ ﱟﻲ‪ ،‬وﻣﺎﺋ ﹴﻞ‪.‬‬ ‫ •اســتعمال النســب المثلثية ونظرية فيثاغورس لحل‬ ‫وﻳﺘﻄ ﱠﻠ ﹸﺐ ﹶﺣ ﱡﻞ ﻫﺬ ﹺه اﻟﻤﺴــﺎﺋ ﹺﻞ رﺳ ﹶﻢ ﹸﻣﺨ ﱠﻄ ﹴﻂ ﹸﻳﻮ ﱢﺿ ﹸﺢ اﻟﻤﺴﺄﻟ ﹶﺔ‪ ،‬و ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎ ﹺت اﻟﻤﻌﻄﺎ ﹶة ﻓﻴﻬﺎ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ‬ ‫مســائل ثنائية الأبعاد تتض َّمن حساب مسافات وزوايا‬ ‫اﻟﺒﺤ ﹶﺚ ﻋ ﹾﻦ ﻣﺜﻠﺜﺎ ﹴت ﻗﺎﺋﻤ ﹺﺔ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﻓﻴﻬﺎ‪ .‬وإذا ﻟ ﹾﻢ ﺗﻮﺟ ﹾﺪ ﻫﺬ ﹺه اﻟﻤﺜﻠﺜﺎ ﹸت‪ ،‬ﻓﺈ ﱠﻧﻨﺎ ﻧﺮﺳــ ﹸﻢ ﺑﻌ ﹶﻀﻬﺎ‪ ،‬ﺑﺤﻴ ﹸﺚ‬ ‫ﺗﻜﻮ ﹸن ﺑﻌ ﹸﺾ ﻋﻨﺎﺻ ﹺﺮﻫﺎ ﻣﻌﻠﻮﻣ ﹰﺔ‪ ،‬ﻓﻀ ﹰﻼ ﻋ ﹾﻦ ﺗﺤﺪﻳ ﹺﺪ اﻟﻌﻨﺼ ﹺﺮ اﻟﻤﻄﻠﻮ ﹺب إﻳﺠﺎ ﹸد ﹸه ﻓﻴﻬﺎ؛ ﻋﻠﻰ أ ﹾن ﻧﺮﺳ ﹶﻢ‬ ‫مجهولة‪.‬‬ ‫ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣﻨﹾﻬﺎ ﺑﻤﻨﺄ￯ ﻋ ﹺﻦ اﻟ ﹸﻤﺨ ﱠﻄ ﹺﻂ اﻟﻤﺬﻛﻮ ﹺر آﻧ ﹰﻔﺎ‪ ،‬ﻟﻴﺴﻬ ﹶﻞ ﻋﻠ ﹾﻴﻨﺎ ﻣﻌﺮﻓ ﹸﺔ اﻟﻌﻼﻗ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﻧﺴﺘﺨﺪ ﹸﻣﻬﺎ ﻓﻲ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﱢﺜــ ﹸﻞ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠــﺎو ﹸر ﻣﺘــﻮازي ﻣﺴــﺘﻄﻴﻼ ﹴت‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟــ ﹸﺪ ﻗﻴــﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳــ ﹺﺔ ‪ ،AHF‬ﹸﻣﻘ ﱢﺮ ﹰﺑــﺎ إﺟﺎﺑﺘــﻲ إﻟــﻰ‬ ‫‪E 12‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪H5‬‬ ‫أﻗــﺮ ﹺب ﻣﻨﺰﻟــ ﹴﺔ ﻋﺸــﺮﻳ ﹴﺔ واﺣــﺪ ﹴة‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺜﻠ ﹸﺚ ‪ AFH‬ﻗﺎﺋ ﹸﻢ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﻓــﻲ ‪ ،F‬وﻣﻌﻠﻮ ﹲم ﻓﻴ ﹺﻪ ﻃﻮ ﹸل ‪AF‬؛ ﻟﺬا ﻳﺠ ﹸﺐ ﻣﻌﺮﻓ ﹸﺔ ﻋﻨﺼ ﹴﺮ آﺧ ﹶﺮ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﻘﻴﺎ ﹺس اﻟﻤﻄﻠﻮ ﹺب‪.‬‬ ‫التهيئة‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :1‬إﻳﺠﺎ ﹸد ﻃﻮ ﹺل ‪ FH‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ﻗﺎﺋ ﹺﻢ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ FEH‬؛ اﻟﻤﺮﺳﻮ ﹺم وﺣ ﹶﺪ ﹸه ﺟﺎﻧ ﹰﺒﺎ‪.‬‬ ‫ •را ِجع الطلبة في حل المثلث قائم الزاوية‪.‬‬ ‫‪(FH)2 = (EF)2 + (EH)2‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳ ﹸﺔﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس‬ ‫‪F‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪= 52 + 122‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ •ارســم المثلــث قائــم الزاوية‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫‪E 12‬‬ ‫‪136‬‬ ‫‪(FH)2 = 169‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪10 cm‬‬ ‫المجاور‪ ،‬ثم اطلــب إلى الطلبة ‪x‬‬ ‫ﺑﺤﺴﺎب اﻟﺠﺬ ﹺر اﻟﺘﺮﺑﻴﻌ ﱢﻲ ﻟﻠﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪FH = √169 = 13‬‬ ‫إيجاد قيمة ك ٍّل من ‪ ،x‬و ‪y . y‬‬ ‫‪7.5 cm‬‬ ‫‪x = 12.5 cm; y ≈ 53.1°‬‬ ‫ •و ِّضــح للطلبة مفهــوم ُق ْطــر المكعــب أو متوازي‬ ‫المفاهيم العابرة‪:‬‬ ‫المستطيلات‪ ،‬ثم اطلب إليهم بيان كيفية إيجاد طوله‪.‬‬ ‫ •أ ِّكد للطلبة أهمية المفاهيم العابــرة حيثما وردت في كتاب الطالب‪ ،‬أو كتاب‬ ‫ •‪ُ AG‬ق ْطــر في متوازي المســتطيلات المجاور‪َ ،‬ســ ِّم‬ ‫التمارين‪ .‬فبعد الانتهاء من حل (مســألة اليوم)‪ ،‬عــ ِّزز لديهم الوعي بالقضايا‬ ‫أقطاره الأخرى‪.‬‬ ‫الإنســانية (الحضارات والإرث العمراني العالمي)‪ ،‬بتنظيم حوار معهم عن‬ ‫ •و ِّضح للطلبة مفهوم الزاوية بين مستقيم ومستوى‪.‬‬ ‫الأهرامات‪ ،‬ثم طرح الأسئلة الآتية عليهم‪:‬‬ ‫ •في الشــكل المجاور‪ ،‬مسقط ‪ AG‬على قاعدة متوازي‬ ‫ »أ ُّيكم يعرف عجائب الدنيا السبع القديمة؟‬ ‫المســتطيلات هو ‪ ، EG‬والزاوية بيــن ‪ AG‬والقاعدة‬ ‫ »ما عجائب الدنيا السبع الحديثة؟‬ ‫‪ EFGH‬هي الزاوية ‪.AGE‬‬ ‫ »هل توجد الأهرامات فقط في مصر؟‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ » َم ْن لديه إجابة أخرى؟‬ ‫‪AD‬‬ ‫ •و ِّجــه مجموعة من الطلبة إلى البحث في شــبكة الإنترنت عن عجائب الدنيا‬ ‫الســبع القديمة والحديثة‪ ،‬ثــم اطلب إلى مجموعة أخــرى البحث عن دول‬ ‫‪FG‬‬ ‫العالم التي فيهــا أهرامات‪ ،‬ثم اطلب إلى كل مجموعــة عرض نتائجها أمام‬ ‫‪E‬‬ ‫الزملاء في الصف‪.‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪136‬‬

‫ملاحظات المعلم‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المسألة في بند (مسألة اليوم) واسألهم‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »ما الهرم؟ الهرم‪ :‬مجســم قاعدته مضلع‪ ،‬وأوجهه الجانبية مثلثات متطابقة الضلعين‪ ،‬تتلاقى‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫في نقطة واحدة‪ ،‬هي رأس الهرم‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »ما ارتفاعه؟ ارتفاع الهرم‪ :‬طول العمود النازل من رأس الهرم إلى قاعدته‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »إذا كانت قاعدة الهرم ُمر َّب ًعا أو مســتطي ًل‪ ،‬و ُر ِســم عمود من رأس الهــرم إلى القاعدة‪ ،‬فأين‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫يلتقــي هذا العمود بالقاعدة؟ يلتقيها في مركزها الذي ُيم ِّثل نقطة تقاطع ُق ْطريها‪ ،‬أو منتصف‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ُق ْطريها‪.‬‬ ‫ »كيــف يمكن إيجاد ارتفاع الهــرم؟ بتطبيق نظرية فيثاغورس على مثلــث قائم الزاوية‪ ،‬أحد‬ ‫أضلاعه ارتفاع الهرم‪.‬‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة من دون تقديم تغذية راجعة لهم‪.‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫ •أح ِضر نماذج لمجســمات‪ ،‬مثل‪ :‬المكعب‪ ،‬ومتوازي المســتطيلات‪ ،‬والمنشور‪ ،‬والهرم‪،‬‬ ‫ونماذج مصنوعة من عيدان خشــبية؛ ليتخ َّيل الطلبة ُق ْطر المكعب ومتوازي المستطيلات‪،‬‬ ‫والزاوية بين مستقيم ومستوى‪.‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بنظرية فيثاغورس‪ ،‬وتعريف النسب المثلثية في المثلث قائم الزاوية‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة التأشــير على المطلوب في المسألة‪ ،‬وش ِّجعهم على رسم مثلث منفصل؛‬ ‫لمساعدتهم على الحل في كل خطوة من خطوات حل المسألة‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •أخبر الطلبة أن هذا الدرس ُيو ِّضح كيفية استعمال حساب المثلثات لإيجاد أطوال وزوايا مجهولة‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫في مسائل حياتية ثلاثية الأبعاد‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثال ‪ 1‬الذي ُيب ِّين كيفية إيجاد زاوية في شــكل ثلاثي الأبعاد‪ُ ،‬مو ِّض ًحا كل‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫خطوة من خطوات الحل‪ُ .‬يف َّضل توفير مجســم لمتوازي مســتطيلات يرجع إليه الطلبة‪ ،‬ويمكن‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫استعمال غرفة الصف بوصفها ُتم ِّثل متوازي مستطيلات‪.‬‬ ‫ •أ ِّكد للطلبة أهمية رسم مخططات واضحة‪ ،‬مكتوب عليها القياسات المعلومة‪ ،‬ورموز القياسات‬ ‫المجهولة‪.‬‬ ‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى حل التدريب في بند (أتحقق من فهمي) بعد كل مثال‪.‬‬ ‫ •تابِع الطلبة في هذه الأثناء‪ ،‬وق ِّدم لهم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحوي أخطاء مفاهيمية‪ ،‬ثم نا ِقشها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اسم الطالب‬ ‫الذي أخطأ في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬ ‫‪136A‬‬

‫مثال إضافي‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪4‬‬ ‫ •جد قياس الزاوية ‪ CAE‬في الشكل الآتي‪14.4° .‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬رﺳ ﹸﻢ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ AFH‬وﺣ ﹶﺪ ﹸه‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸل اﻟﻈ ﱢﻞ )‪ (tan‬ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﻴﺎ ﹺس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪.AHF‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪0.5384‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪F‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻘﺮﻳ ﹺﺐ إﻟﻰ ﻣﻨﺰﻟ ﹴﺔ ﻋﺸﺮﻳ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θ = tan–1 (0.5384) = 28.3º‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪MF‬‬ ‫‪C‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3 cm‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ‪ ،BE‬وﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ EBG‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺎ ﹺل اﻟﺴﺎﺑ ﹺﻖ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‪.‬‬ ‫‪10 cm‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ أﻧﻈ ﹸﺮ إﻟﻰ ﻃﺎﺋﺮ ﹴة ﻓﻲ اﻟﺴﻤﺎ ﹺء‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن اﻟﺰاوﻳ ﹶﺔ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﹶة ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺨ ﱢﻂ اﻟﻮاﺻ ﹺﻞ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻋﻴﻨﻲ واﻟﻄﺎﺋﺮ ﹺة‬ ‫‪6 cm‬‬ ‫وﺧ ﱢﻂ ﻧﻈﺮي أﻓﻘ ﹼﹰﻴﺎ ﹸﺗﺴــ ﹼﻤﻰ زاوﻳ ﹶﺔ اﻻرﺗﻔﺎ ﹺع‪ .‬وإذا وﻗ ﹾﻔ ﹸﺖ ﻋﻠﻰ ﹶﺗ ﱠﻠ ﹴﺔ ﺳــﺎﺣﻠﻴ ﹴﺔ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﻧﻈ ﹾﺮ ﹸت إﻟﻰ ﻗﺎر ﹴب‬ ‫‪D‬‬ ‫ مثال ‪ :2‬من الحياة‬ ‫أﺳــﻔ ﹶﻞ ﻣﻨﹼﻲ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن اﻟﺰاوﻳ ﹶﺔ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﹶة ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺨ ﱢﻂ اﻟﻮاﺻ ﹺﻞ ﺑﻴــ ﹶﻦ ﻋﻴﻨﻲ واﻟﻘﺎر ﹺب وﺧ ﱢﻂ ﻧﻈﺮي أﻓﻘ ﹰﹼﻴﺎ‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثــال ‪ 2‬بالطريقة المفصلة في‬ ‫ﹸﺗﺴــ ﹼﻤﻰ زاوﻳ ﹶﺔ اﻻﻧﺨﻔﺎ ﹺض‪ .‬وﻟﻬﺎﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﺰاوﻳﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ أﻫﻤﻴ ﹲﺔ ﻛﺒﻴﺮ ﹲة ﻋﻨ ﹶﺪ ﹶﺣ ﱢﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋ ﹺﻞ اﻟﺤﻴﺎﺗﻴ ﹺﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل‬ ‫المثال ‪.1‬‬ ‫اﻟﻨﺴ ﹺﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫ﺧ ﱡﻂ اﻟﻨﻈ ﹺﺮ‬ ‫ﹸأﻓ ﹺﻘ ﱞﻲ‬ ‫قد يتع َّذر على بعــض الطلبة تحديــد المثلث قائم‬ ‫زاوﻳ ﹸﺔ اﻻﻧﺨﻔﺎ ﹺض‬ ‫الزاويــة الذي اســتعملوه لبدء الحل؛ لــذا أ ِّكد لهم‬ ‫ضــرورة تحديــد المثلث الــذي يحــوي العنصر‬ ‫زاوﻳ ﹸﺔ اﻻرﺗﻔﺎ ﹺع‬ ‫ﺧ ﱡﻂ اﻟﻨﻈ ﹺﺮ‬ ‫المطلوب أو ًل‪ ،‬ثم الانتقال إلى المثلث ال ُمرتبِط بهذا‬ ‫المثلــث‪ ،‬الذي ُع ِلم منه طولا ضلعين‪ ،‬أو طول ضلع‬ ‫ﹸأﻓ ﹺﻘ ﱞﻲ‬ ‫وقياس إحدى الزاويتين الحادتين؛ ما يساعدهم على‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :2‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫إيجاد عناصر المثلث الذي يحوي العنصر المطلوب‪.‬‬ ‫ﺗﻘـ ﹸﻊ اﻟﻨﻘـﺎ ﹸط ‪ ،A‬ﹶو ‪ ،B‬ﹶو ‪ C‬ﻓـﻲ ﻣﺴـﺘ ﹰﻮ￯ أﻓﻘـ ﱟﻲ واﺣـ ﹴﺪ ﻋﻠـﻰ اﻷر ﹺض‪ ،‬وﺗﻘـ ﹸﻊ اﻟﻨﻘﻄـ ﹸﺔ ‪ C‬ﻋﻠـﻰ‬ ‫ﹸﺑ ﹾﻌـ ﹺﺪ ‪ 50 km‬ﺷـﺮﻗ ﱠﻲ اﻟﻨﻘﻄـ ﹺﺔ ‪ B‬اﻟﺘـﻲ ﺗﻘـ ﹸﻊ ﺷـﻤﺎﻟ ﱠﻲ اﻟﻨﻘﻄـ ﹺﺔ ‪ ،A‬وﺗﻘـ ﹸﻊ اﻟﻨﻘﻄـ ﹸﺔ ‪ C‬ﻓـﻲ اﺗﺠـﺎ ﹺه‬ ‫‪ 050º‬ﻣـ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄـ ﹺﺔ ‪ .A‬ﹸر ﹺﺻـ ﹶﺪ ﹾت ﻣـ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄـ ﹺﺔ ‪ A‬ﺣﺮﻛـ ﹸﺔ ﻃﺎﺋـﺮ ﹴة ﻓـﻲ ﻣﻮﻗﻌ ﹾﻴـ ﹺﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔ ﹾﻴـ ﹺﻦ ﻋﻠـﻰ‬ ‫اﻻرﺗﻔـﺎ ﹺع ﻧﻔﺴـ ﹺﻪ ﻋـ ﹺﻦ اﻷر ﹺض؛ اﻷو ﹺل‪ :‬ﻋﻨﺪﻣـﺎ ﻛﺎ ﹶﻧـ ﹾﺖ ﻓـﻮ ﹶق اﻟﻨﻘﻄـ ﹺﺔ ‪ B‬ﻣﺒﺎﺷـﺮ ﹰة‪ ،‬وﻛﺎ ﹶﻧـ ﹾﺖ زاوﻳ ﹸﺔ‬ ‫ارﺗﻔﺎ ﹺﻋﻬـﺎ ‪ .12º‬واﻟﺜﺎﻧـﻲ‪ :‬ﻋﻨﺪﻣـﺎ ﻛﺎ ﹶﻧـ ﹾﺖ ﻓـﻮ ﹶق اﻟﻨﻘﻄـ ﹺﺔ ‪ .C‬ﹶأ ﹺﺟـ ﹸﺪ زاوﻳـ ﹶﺔ ارﺗﻔـﺎ ﹺع اﻟﻄﺎﺋـﺮ ﹺة ﻋﻨﺪﻣـﺎ‬ ‫ﻛﺎ ﹶﻧـ ﹾﺖ ﻓـﻮ ﹶق اﻟﻨﻘﻄـ ﹺﺔ ‪.C‬‬ ‫‪X‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :1‬أرﺳــ ﹸﻢ ﹸﻣﺨ ﱠﻄ ﹰﻄﺎ ﹸﻳﻤ ﱢﺜــ ﹸﻞ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎ ﹺت ‪Y‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪50 km‬‬ ‫اﻟﻤﻌﻄﺎ ﹶة‪C .‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬أرﺳــ ﹸﻢ اﻟﻤﺜﻠ ﹶﺚ ﻗﺎﺋ ﹶﻢ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪،ABC‬‬ ‫‪12º‬‬ ‫ﺛ ﱠﻢ أﺳﺘﺨﺪ ﹸﻣ ﹸﻪ ﻓﻲ إﻳﺠﺎ ﹺد ‪ ،AB‬ﹶو ‪.AC‬‬ ‫‪50º θ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪137‬‬ ‫إرشادات‪:‬‬ ‫ • ُق ْطر المكعب أو متوازي المســتطيلات هو القطعة المستقيمة التي تصل‬ ‫بين رأسين متقابلين من وجهين متقابلين في المجسم‪.‬‬ ‫ •الزاوية بين مســتقيم ومســتوى هي الزاوية المحصورة بين المســتقيم‬ ‫ومسقطه العمودي على ذلك المستوى‪.‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:1‬‬ ‫‪EB = 14.8 cm ; m∠EBG = 61.7°‬‬ ‫‪137‬‬

‫= ‪tan 50º‬‬ ‫‪50‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ ﻇ ﱢﻞ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫‪B 50 km C‬‬ ‫ مثال ‪ :3‬من الحياة‬ ‫‪AB‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺلاﻵﻟ ﹺﺔاﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫ •نا ِقش الطلبة فــي حل المثال ‪ 3‬الذي ُيب ِّين كيفية إيجاد‬ ‫‪50º‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫=‬ ‫‪50‬‬ ‫‪= 41.95 km‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ ﺟﻴ ﹺﺐ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫‪A‬‬ ‫طول مجهول في مسألة ثلاثية الأبعاد‪.‬‬ ‫‪tan 50º‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺلاﻵﻟ ﹺﺔاﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫مثال إضافي‬ ‫= ‪sin 50º‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫ •يقع برج الإرسال التلفزيوني ‪ XY‬على ُب ْعد ‪ 3 km‬إلى‬ ‫الشــرق من القرية ‪ ،A‬وتقع القرية ‪ B‬على ُب ْعد ‪2 km‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫=‬ ‫‪50‬‬ ‫‪= 65.27 km‬‬ ‫جنوبي القرية ‪ .A‬إذا كان قياس زاوية ارتفاع قمة البرج‬ ‫‪sin 50º‬‬ ‫من ‪ B‬هو ‪ ،6°‬فما ارتفاع البرج؟  ‪379 m‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :3‬أرﺳــ ﹸﻢ اﻟﻤﺜﻠ ﹶﺚ ﻗﺎﺋ ﹶﻢ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ ، ABX‬ﺛ ﱠﻢ أﺳﺘﺨﺪ ﹸﻣ ﹸﻪ ﻓﻲ إﻳﺠﺎ ﹺد ‪ ،BX‬وﻣﻨﹾ ﹸﻪ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ إﻳﺠﺎ ﹸد‬ ‫‪X‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ ،CY‬ﻓﻬﻤﺎ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺎ ﹺن؛ ﻷ ﱠن اﻟﺸﻜ ﹶﻞ ‪ BXYC‬ﻣﺴﺘﻄﻴ ﹲﻞ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪12º‬‬ ‫‪41.95 km‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ ﻇ ﱢﻞ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫= ‪tan 12º‬‬ ‫‪BX‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺلاﻵﻟ ﹺﺔاﻟﺤﺎﺳﺒﺔ‬ ‫‪41.95‬‬ ‫‪BX = 41.95 tan 12º = 8.917 km‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :4‬أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ اﻟﻤﺜﻠ ﹶﺚ ﻗﺎﺋ ﹶﻢ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ ACY‬ﻹﻳﺠﺎ ﹺد زاوﻳ ﹺﺔ اﻻرﺗﻔﺎ ﹺع ‪.‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪ A‬ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ ﻇ ﱢﻞ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫‪65.27 km‬‬ ‫= ‪tan θ‬‬ ‫‪8.917‬‬ ‫‪= 0.1366‬‬ ‫‪8.917 km‬‬ ‫‪65.27‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪θ = tan–1 0.1366 = 7.8º‬‬ ‫ﻣﻌﻜﻮ ﹸساﻟﻈ ﱢﻞ‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬زاوﻳ ﹸﺔ ارﺗﻔﺎ ﹺع اﻟﻄﺎﺋﺮ ﹺة ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ﻓﻮ ﹶق اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ C‬ﻫ ﹶﻲ‪ ،7.8º :‬ﹸﻣﻘ ﱠﺮﺑ ﹰﺔ إﻟﻰ ﻣﻨﺰﻟ ﹴﺔ ﻋﺸﺮﻳ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪67 m‬‬ ‫رﺻ ﹶﺪ أﺣﻤ ﹸﺪ ﻗ ﱠﻤ ﹶﺔ ﻣﺌﺬﻧ ﹴﺔ ﻣ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﻋﻠﻰ اﻷر ﹺض ﺗﻘ ﹸﻊ ﺟﻨﻮ ﹶب اﻟﻤﺌﺬﻧ ﹺﺔ‪ ،‬ﻓﻜﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ زاوﻳ ﹸﺔ ارﺗﻔﺎ ﹺﻋﻬﺎ ‪،38.4º‬‬ ‫‪38.4° B‬‬ ‫ﺛ ﱠﻢ ﺳﺎ ﹶر ﺷﺮ ﹰﻗﺎ ﻣﺴﺎﻓ ﹶﺔ ‪ ،85 m‬ورﺻ ﹶﺪ ﻗ ﱠﻤ ﹶﺔ اﻟﻤﺌﺬﻧ ﹺﺔ ﻣ ﱠﺮ ﹰة ﹸأﺧﺮ￯‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن ارﺗﻔﺎ ﹸع اﻟﻤﺌﺬﻧ ﹺﺔ ‪ ،67 m‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ‬ ‫‪C‬‬ ‫زاوﻳ ﹶﺔ ارﺗﻔﺎ ﹺع ﻗ ﱠﻤ ﹺﺔ اﻟﻤﺌﺬﻧ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﻤ ﱠﺮ ﹺة اﻟﺜﺎﻧﻴ ﹺﺔ‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪85 m‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :3‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫ﹸر ﹺﺻـ ﹶﺪ اﻟﻤﻨـﺰ ﹸل ‪ A‬ﻓـﻲ اﺗﺠـﺎ ﹺه اﻟﺸـﺮ ﹺق ﻣـ ﹾﻦ ﻗ ﱠﻤـ ﹺﺔ ﺑـﺮ ﹴج ﻳﺮﺗﻔـ ﹸﻊ ‪ ،80 m‬وﻛﺬﻟـ ﹶﻚ اﻟﻤﻨـﺰ ﹸل ‪ B‬ﻓـﻲ‬ ‫اﺗﺠــﺎ ﹺه اﻟﺠﻨــﻮ ﹺب‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧــ ﹾﺖ زاوﻳــ ﹸﺔ اﻧﺨﻔــﺎ ﹺض اﻟﻤﻨــﺰ ﹺل ‪ A‬ﻣــ ﹾﻦ ﻗ ﱠﻤــ ﹺﺔ اﻟﺒــﺮ ﹺج ‪ ،37º‬وزاوﻳــ ﹸﺔ‬ ‫‪D‬‬ ‫اﻧﺨﻔﺎ ﹺض اﻟﻤﻨﺰ ﹺل ‪ B‬ﻣ ﹾﻦ ﻗ ﱠﻤﺘﹺ ﹺﻪ ‪ ،25º‬ﻓﻤﺎ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻤﻨﺰﻟ ﹾﻴ ﹺﻦ؟‬ ‫‪37º‬‬ ‫‪25º C‬‬ ‫‪80 m‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :1‬أرﺳــ ﹸﻢ ﹸﻣﺨ ﱠﻄ ﹰﻄﺎ‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن اﻟﺒﺮ ﹶج ‪ DC‬ﹶﻳﺼﻨ ﹸﻊ زاوﻳ ﹰﺔ‬ ‫ﻗﺎﺋﻤــ ﹰﺔ ﻣــ ﹶﻊ اﻷر ﹺض‪ ،‬وأ ﱠن اﺗﺠﺎ ﹶه ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺸــﺮ ﹺق‬ ‫‪37º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪25º‬‬ ‫واﻟﺠﻨﻮ ﹺب ﹶﻳﺼﻨﻌﺎ ﹺن ﻣ ﹰﻌﺎ زاوﻳ ﹰﺔ ﻗﺎﺋﻤ ﹰﺔ‪B .‬‬ ‫‪138‬‬ ‫‪138‬‬

‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪4‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأســئلة في بند (أتدرب وأحل‬ ‫ﺑﻤﺎ أ ﱠن زاوﻳ ﹶﺔ اﻧﺨﻔﺎ ﹺض اﻟﻤﻨﺰ ﹺل ‪ A‬ﻫ ﹶﻲ ‪ ،37º‬ﻓﺈ ﱠن اﻟﺰاوﻳ ﹶﺔ ‪ DAC‬ﻫ ﹶﻲ ‪ ،37º‬وﺑﻤﺎ أ ﱠن زاوﻳ ﹶﺔ اﻧﺨﻔﺎ ﹺض‬ ‫المسائل)‪ ،‬ثم اطلب إليهم حلها‪C .‬‬ ‫اﻟﻤﻨﺰ ﹺل ‪ B‬ﻫ ﹶﻲ ‪ ،25º‬ﻓﺈ ﱠن اﻟﺰاوﻳ ﹶﺔ ‪ DBC‬ﻫ ﹶﻲ ‪. 25º‬‬ ‫ •إذا واجــه بعض الطلبــة صعوبة في حل أي مســألة‪15 cm ،‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ اﻟﻤﺜﻠ ﹶﺚ ﻗﺎﺋ ﹶﻢ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ ABC‬ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ‪ ،AB‬وﻫﺬا ﹸﻳﺤ ﱢﺘ ﹸﻢ ﻣﻌﺮﻓ ﹶﺔ ‪ ،AC‬ﹶو ‪.BC‬‬ ‫فاختر طال ًبا تم َّكن من حل المسألة‪ ،‬واطلب إليه كتابة‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :3‬أرﺳ ﹸﻢ اﻟﻤﺜﻠ ﹶﺚ ‪ . ADC‬وﻹﻳﺠﺎ ﹺد ‪ ،AC‬أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ ﻇ ﱠﻞ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪.37º‬‬ ‫حله على اللوح (يمكنك رسم تمثيلات تقريبية حيث‬ ‫= ‪tan 37º‬‬ ‫‪80‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ ﻇ ﱢﻞ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫‪D‬‬ ‫يلزم ذلك)‪.‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪80 m‬‬ ‫ •ر ِّكز علــى معالجة الأخطــاء المفاهيمية‪ ،‬أو الأخطاء‬ ‫‪AC‬‬ ‫=‬ ‫‪80‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺلاﻵﻟ ﹺﺔاﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪37º A‬‬ ‫ال ُمتع ِّلقة بمهارات حل المعادلات المثلثية‪.‬‬ ‫‪tan 37º‬‬ ‫‪AC = 106.2 m‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :4‬أرﺳ ﹸﻢ اﻟﻤﺜﻠ ﹶﺚ ‪ .BCD‬وﻹﻳﺠﺎ ﹺد ‪ ،BC‬أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ ﻇ ﱠﻞ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪.25º‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪80 m‬‬ ‫= ‪tan 25º‬‬ ‫‪80‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ ﻇ ﱢﻞ اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪BC‬‬ ‫=‬ ‫‪80‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺلاﻵﻟ ﹺﺔاﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪25º‬‬ ‫‪tan 25º‬‬ ‫‪BC = 171.6 m‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :5‬ﹶأﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ ﻧﻈﺮﻳ ﹶﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ ACB‬ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ‪.AB‬‬ ‫‪C 106.2 m‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبة إلى مجموعات ثنائية غير متجانسة‪ ،‬بحيث‬ ‫‪(AB)2 = (AC)2 + (BC)2‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳ ﹸﺔﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس‬ ‫‪171.6 m‬‬ ‫تضم طلبة من ذوي المســتوى فوق المتوسط‪ ،‬وآخرين‬ ‫‪B‬‬ ‫‪= (106.2)2 + (171.6)2 = 40725‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫من ذوي المستوى دون المتوسط‪.‬‬ ‫‪AB = √40725 = 201.8‬‬ ‫ﺑﺄﺧ ﹺﺬ اﻟﺠﺬ ﹺر اﻟﺘﺮﺑﻴﻌ ﱢﻲ‬ ‫ •اطلب إلى أفراد المجموعات حل الأسئلة‪ ،‬وكتابة ُمب ِّرر‬ ‫للإجابة‪ ،‬وامنحهم وق ًتا كاف ًيا لنقد ُمب ِّررات بعضهم‪.‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻤﻨﺰﻟ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻫ ﹶﻲ‪ ،201.8 m :‬ﹸﻣﻘ ﱠﺮﺑ ﹰﺔ إﻟﻰ أﻗﺮ ﹺب ﻣﻨﺰﻟ ﹴﺔ ﻋﺸﺮﻳ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة‪.‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫أﺑﺤ ﹶﺮ ﹺت اﻟﺴــﻔﻴﻨﺘﺎ ﹺن ‪ A‬ﹶو ‪ B‬ﻣــ ﹶﻦ اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ‪ P‬ﻓﻲ اﺗﺠﺎﻫ ﹾﻴ ﹺﻦ ﹸﻣﺘﻌﺎ ﹺﻣﺪ ﹾﻳ ﹺﻦ‪ .‬وﻗــ ﹾﺪ رﺻ ﹶﺪ ﹾت ﻃﺎﺋﺮ ﹲة ﻋﻤﻮدﻳ ﹲﺔ‬ ‫ﹸﺗﺤ ﱢﻠ ﹸﻖ ﻓﻮ ﹶق اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ﻫﺎﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﺴــﻔﻴﻨﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ اﻟﻠﺤﻈ ﹺﺔ ﻧﻔ ﹺﺴــﻬﺎ‪ ،‬ﻓﻜﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ زاوﻳ ﹸﺔ اﻧﺨﻔﺎ ﹺض اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ ‪ A‬ﻫ ﹶﻲ‬ ‫‪ ،40º‬وزاوﻳ ﹸﺔ اﻧﺨﻔﺎ ﹺض اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ ‪ B‬ﻫ ﹶﻲ ‪ .54º‬إذا ﻛﺎ ﹶن ارﺗﻔﺎ ﹸع اﻟﻄﺎﺋﺮ ﹺة ﻋ ﹾﻦ ﺳﻄ ﹺﺢ اﻟﺒﺤ ﹺﺮ ‪ ،600 m‬ﻓﻤﺎ‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺴﻔﻴﻨﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻟﺤﻈ ﹶﺔ رﺻ ﹺﺪ ﹺﻫﻤﺎ؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ ‪P‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة أن يحلوا في البيت جميع المســائل‬ ‫‪6m‬‬ ‫‪10 m‬‬ ‫‪ 1‬ﺳﺎرﻳ ﹸﺔ اﻟ ﹶﻌ ﹶﻠ ﹺﻢ‪ :‬ﹸﻧ ﹺﺼ ﹶﺒ ﹾﺖ ﺳﺎرﻳ ﹸﺔ ﹶﻋ ﹶﻠ ﹴﻢ ﻋﻤﻮد ﹼﹰﻳﺎ ﻋﻨ ﹶﺪ ﹸرﻛ ﹺﻦ ﺳﺎﺣ ﹴﺔ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠ ﹺﺔ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ ‪B‬‬ ‫الواردة في الصفحة ‪ 27‬من كتــاب التمارين‪ُ ،‬مح ِّد ًدا‬ ‫‪A‬‬ ‫لهم المســائل التي يمكنهم حلهــا في نهاية كل حصة‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ .ABCD‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ زاوﻳ ﹶﺔ ارﺗﻔﺎ ﹺع ﻗ ﱠﻤ ﹺﺔ اﻟﺴﺎرﻳ ﹺﺔ ‪ P‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪8 m 25.1° .C‬‬ ‫بحسب ما ُيق َّدم من أمثلة الدرس وأفكاره‪.‬‬ ‫ •يمكن أي ًضا إضافة المسائل التي لم يحلها الطلبة داخل‬ ‫‪139‬‬ ‫غرفة الصف إلى الواجب البيتي‪.‬‬ ‫إرشاد‪:‬‬ ‫ •لإيجاد قياس زاوية مجهولة في مخطط معطى‪ ،‬يجب البحث عن مثلث قائم‬ ‫الزاوية‪ ،‬تكون الزاوية المطلوبة إحدى زاويتيه الحادتين‪ .‬وإذا لم يكن المثلث‬ ‫موجو ًدا‪ ،‬فإنه ُير َســم بإنزال عمود من نقطة معلومــة على أحد الضلعين إلى‬ ‫الضلع الآخر‪A .‬‬ ‫ • ُتســتع َمل النسب المثلثية لحســاب الزاوية‪.‬‬ ‫فمثــ ًا‪ ،‬لإيجاد قياس الزاويــة ‪ B‬في المثلث ‪10 10‬‬ ‫‪B7‬‬ ‫‪ ABC‬المتطابق الضلعين ال ُمب َّين جان ًبا‪ُ ،‬ير َسم ‪C‬‬ ‫‪14‬‬ ‫عمود من الرأس ‪ A‬إلى الضلع ‪ ، BC‬ف ُين ِّصفه‪،‬‬ ‫‪. cos-1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪ B‬هو‪45.6° :‬‬ ‫فيكون قياس‬ ‫‪10‬‬ ‫‪139‬‬

‫‪V‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر ﻫﺮ ﹰﻣﺎ ﻗﺎﻋﺪ ﹸﺗ ﹸﻪ ‪ ABCD‬ﻣﺴﺘﻄﻴﻠ ﹸﺔ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ‪ ،‬ﹸﺑ ﹾﻌﺪاﻫﺎ‪،20 cm :‬‬ ‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫‪24 cm‬‬ ‫ﹶو ‪ .15 cm‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻃﻮ ﹸل ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻷﺣﺮ ﹺف اﻟﻮاﺻﻠ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻗ ﱠﻤ ﹺﺔ اﻟﻬﺮ ﹺم ورؤو ﹺس اﻟﻘﺎﻋﺪ ﹺة‬ ‫ •اطلب إلى الطلبــة كتابة فقرة عن المثال الذي وجدوه‬ ‫‪ ،24 cm‬وﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻘ ﱠﻤ ﹸﺔ ‪ V‬ﺗﻘ ﹸﻊ رأﺳ ﹼﹰﻴﺎ ﻓﻮ ﹶق ﻣﺮﻛ ﹺﺰ اﻟﻘﺎﻋﺪ ﹺة اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠ ﹺﺔ‪ ،‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ‪C :‬‬ ‫أكثر صعوبة‪ ،‬وتح ّدى قدراتهــم بدرجة كبيرة‪ ،‬وبيان‬ ‫‪D‬‬ ‫ســبب ذلك‪ ،‬ثم كتابة ما يجول في أذهانهم من أسئلة‬ ‫‪15 cm‬‬ ‫‪ 2‬ﻃﻮ ﹶل اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ‪25 cm .AC‬‬ ‫واستفسارات عن موضوع الدرس‪.‬‬ ‫‪ 3‬ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪58.6° .VAC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪20 cm‬‬ ‫‪B‬‬ ‫إرشاد‪:‬‬ ‫ •لإيجــاد الزاوية بيــن ‪ EM‬والقاعدة ‪ ABCD‬في‬ ‫‪ 4‬ارﺗﻔﺎ ﹶع اﻟﻬﺮ ﹺم‪20.5 cm .‬‬ ‫السؤال ‪ُ ،9‬ين َّزل عمود من النقطة ‪ E‬إلى القاعدة‪،‬‬ ‫فيلتقيها فــي النقطة ‪ ،G‬فتكون الزاوية ‪ EMG‬هي‬ ‫‪ 5‬ﻣﻨﺎر ﹲة‪ :‬ﺷــﺎﻫ ﹶﺪ ﺻ ﹼﻴﺎ ﹲد ﻣ ﹾﻦ ﻗﺎرﺑﹺ ﹺﻪ ﻗﺎﻋﺪ ﹶة ﹶﻣﻨﺎر ﹴة ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺣﺎﻓــ ﹴﺔ ﺻﺨﺮﻳ ﹴﺔ ﺑﺰاوﻳــ ﹴﺔ ارﺗﻔﺎ ﹸع ﻗﻴﺎ ﹺﺳــﻬﺎ ‪50m .34º‬‬ ‫الزاوية المطلوبة‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة كتابــة الخطوات التي يتبعونها‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ارﺗﻔﺎ ﹸع ﻗﺎﻋﺪ ﹺة اﻟ ﹶﻤﻨﺎر ﹺة ﻋ ﹾﻦ ﻣﺴﺘﻮ￯ ﻋﻴﻨﹶ ﹺﻲ‬ ‫في حل مســائل ثلاثية الأبعــاد‪ُ ،‬مب ِّينيــن كيفية‬ ‫اﻟﺼ ﹼﻴــﺎ ﹺد ‪ ،150 m‬ﻓﻜ ﹾﻢ ﻳﺒﻌ ﹸﺪ اﻟﺼ ﹼﻴــﺎ ﹸد ﻋ ﹾﻦ ﻫﺬ ﹺه ‪150m‬‬ ‫اﻟﻘﺎﻋﺪ ﹺة؟ ‪34º 222.4 m‬‬ ‫تطبيقها في حل السؤال ‪14‬‬ ‫‪ 6‬إذا ﻛﺎ ﹶن ارﺗﻔﺎ ﹸع اﻟ ﹶﻤﻨﺎر ﹺة ‪ ،50 m‬ﻓﻤﺎ زاوﻳ ﹸﺔ ارﺗﻔﺎ ﹺع‬ ‫ﻧﻈ ﹺﺮ اﻟﺼ ﹼﻴﺎ ﹺد ﻧﺤ ﹶﻮ ﻗ ﱠﻤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﻤﻨﺎر ﹺة؟ ‪42.0°‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر ﺳﻘ ﹶﻒ ﺑﻨﺎﻳ ﹴﺔ‪ ،‬ﻗﺎﻋﺪ ﹸﺗ ﹸﻪ اﻟﻤﺴــﺘﻄﻴ ﹸﻞ اﻷﻓﻘ ﱡﻲ ‪ ABCD‬اﻟﺬي ﹸﺑ ﹾﻌﺪاه‪ ،7 m :‬ﹶو ‪ .4 m‬و ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﻧﻬﺎﻳﺘﺎ اﻟﺴﻘ ﹺﻒ ﻣﺜﻠﺜ ﹾﻴ ﹺ‪m‬ﻦ‪41.95 k‬‬ ‫ﻣﺘﻄﺎﺑ ﹶﻘ ﹺﻲ اﻷﺿﻼ ﹺع‪ ،‬ﻓﻲ ﺣﻴ ﹺﻦ ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﻛ ﱞﻞ ﻣ ﹾﻦ ﺟﺎﻧ ﹶﺒ ﹺﻲ اﻟﺴــﻘ ﹺﻒ ﺷــﺒ ﹶﻪ ﻣﻨﺤﺮ ﹴف ‪F‬‬ ‫ﻣﺘﻄﺎﺑ ﹶﻖ اﻟﺴﺎﻗ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻃﻮ ﹸل اﻟﺤﺎﻓ ﹺﺔ اﻟﻌﻠﻮﻳ ﹺﺔ ‪ EF‬ﻫ ﹶﻮ ‪ ،5 m‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ‪5 :‬‬ ‫‪ 7‬ﻃﻮ ﹶل ‪ ،EM‬ﺣﻴ ﹸﺚ ‪ M‬ﻧﻘﻄ ﹸﺔ ﻣﻨﺘﺼ ﹺﻒ ‪3.46 m .AB‬‬ ‫‪ED‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 8‬ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ .EBC‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت ‪C‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 9‬ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ‪ EM‬واﻟﻘﺎﻋﺪ ﹺة ‪ .ABCD‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ ABCD‬ﻣﺴــﺘﻄﻴ ﹲﻞ رأﺳــ ﱞﻲ‪ ،‬ﹶو ‪ EDC‬ﻣﺜﻠ ﹲﺚ أﻓﻘــ ﱞﻲ‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪7‬‬ ‫‪ CDE‬ﻫــ ﹶﻮ ‪ ،90º‬ﹶو ‪ ،AB = 10 cm‬ﹶو ‪ ،BC = 4 cm‬ﹶو ‪B ،ED = 9 cm‬‬ ‫‪A 10‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 10‬ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪24.0° .AED‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ 11‬ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪48.0° .DEC‬‬ ‫‪ 12‬ﻃﻮ ﹶل ‪13.5 cm .EC‬‬ ‫‪ 13‬ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪16.6° .BEC‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪140‬‬

‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪4‬‬ ‫ •اســتعمل القياســات المبينة على الشــكل المجاور‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ 14‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر اﻟﻬﺮ ﹶم ‪ XABCD‬اﻟﺬي ﻟ ﹸﻪ ﻗﺎﻋﺪ ﹲة ﻣﺴﺘﻄﻴﻠ ﹸﺔ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ‪.‬‬ ‫لإيجاد كل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪18 A‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺤﺎﻓ ﹺﺔ ‪ XD‬و ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ اﻟﻘﺎﻋﺪ ﹺة ‪44.6° .DB‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D 20‬‬ ‫‪ 15‬ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟ ﹶﺔ اﻟﻮارد ﹶة ﻓﻲ ﺑﺪاﻳ ﹺﺔ اﻟﺪر ﹺس‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت ‪B‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫‪158 m‬‬ ‫‪ 16‬أﻛﺘﺸــ ﹸﻒ اﻟﺨﻄ ﹶﺄ‪ :‬ﻳﻘ ﹸﻒ ﺑﻼ ﹲل ﻋﻠﻰ ﹸﺑ ﹾﻌ ﹺﺪ ‪ 14 m‬ﺷﺮﻗ ﱠﻲ ﺷﺠﺮ ﹴة‪ ،‬زاوﻳ ﹸﺔ ارﺗﻔﺎ ﹺع ﻗ ﱠﻤﺘﹺﻬﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒ ﹺﺔ إﻟ ﹾﻴ ﹺﻪ ‪ ،30º‬وﻳﻘ ﹸﻒ ﺟﻤﺎ ﹲل ﻋﻠﻰ ﹸﺑ ﹾﻌ ﹺﺪ‬ ‫‪ 28 m‬ﻏﺮﺑ ﱠﻲ اﻟﺸــﺠﺮ ﹺة‪ ،‬وﻫ ﹶﻮ ﻳﺮ￯ أ ﱠن زاوﻳ ﹶﺔ ارﺗﻔﺎ ﹺع ﻗ ﱠﻤ ﹺﺔ اﻟﺸــﺠﺮ ﹺة ﺑﺎﻟﻨﺴﺒ ﹺﺔ إﻟ ﹾﻴ ﹺﻪ ﻳﺠ ﹸﺐ أ ﹾن ﺗﻜﻮ ﹶن ‪15º‬؛ ﻷ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻳﺒﻌ ﹸﺪ ﻋ ﹺﻦ اﻟﺸﺠﺮ ﹺة‬ ‫‪25°‬‬ ‫ﹺﻣ ﹾﺜ ﹶﻠ ﹺﻲ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﺒﻌ ﹸﺪﻫﺎ ﺑﻼ ﹲل‪ .‬ﻫ ﹾﻞ رأ ﹸي ﺟﻤﺎ ﹴل ﺻﺤﻴ ﹲﺢ؟ إذا ﻟ ﹾﻢ ﻳﻜ ﹾﻦ رأ ﹸﻳ ﹸﻪ ﺻﺤﻴ ﹰﺤﺎ‪ ،‬ﻓﻤﺎ زاوﻳ ﹸﺔ اﻻرﺗﻔﺎ ﹺع؟‬ ‫‪30°‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1 500 m‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪ 30º‬ﺑﻼ ﹲل‬ ‫?‬ ‫ﲨﺎ ﹲل‬ ‫‪B‬‬ ‫‪14 m‬‬ ‫‪28 m‬‬ ‫»‪338.8 m  AC‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 17‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹸر ﹺﺻ ﹶﺪ اﻟﻘﺎرﺑﺎ ﹺن ‪ A‬ﹶو ‪ B‬ﻓﻲ اﻟﺒﺤ ﹺﺮ ﻣ ﹾﻦ ﻗ ﱠﻤ ﹺﺔ ﹶﻣﻨﺎر ﹴة ﻋﻠﻰ اﻟﺸــﺎﻃ ﹺﻰء‪ ،‬ارﺗﻔﺎ ﹸﻋﻬﺎ ‪ ،44 m‬ﻓﻲ اﻟﻠﺤﻈ ﹺﺔ ﻧﻔ ﹺﺴــﻬﺎ‪ ،‬ﻓﻜﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ زاوﻳ ﹸﺔ‬ ‫»‪1218.4 m  BC‬‬ ‫ ‬ ‫اﻧﺨﻔــﺎ ﹺض اﻟﻘﺎر ﹺب ‪ A‬ﻫ ﹶﻲ ‪ ،53º‬وزاوﻳ ﹸﺔ اﻧﺨﻔﺎ ﹺض اﻟﻘﺎر ﹺب ‪ B‬ﻫ ﹶﻲ ‪ ،37º‬وﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ AMB‬ﻫ ﹶﻮ ‪ ،120º‬ﺣﻴ ﹸﺚ ‪ M‬ﻗﺎﻋﺪ ﹸة‬ ‫»قيمة ‪7.4° .θ‬‬ ‫ ‬ ‫»قياس الزاوية ‪ ADB‬‬ ‫ ‬ ‫اﻟ ﹶﻤﻨﺎر ﹺة‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹶﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻘﺎرﺑ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪130.8°‬‬ ‫‪37º 53º‬‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بأن موعد عرض نتائج المشروع قريب؛ لذا‬ ‫‪120º‬‬ ‫يتع َّين عليهم وضع اللمســات النهائية على المشروع‪،‬‬ ‫والتأ ُّكد أن عناصر المشــروع جميعهــا موجودة يوم‬ ‫‪B‬‬ ‫العرض‪.‬‬ ‫‪141‬‬ ‫الختام‬ ‫‪6‬‬ ‫بطاقة الخروج‪.‬‬ ‫المفاهيم العابرة‪:‬‬ ‫و ِّزع علــى الطلبة أورا ًقــا ملونة‪ ،‬ثم اطلب إلــى ك ٍّل منهم‬ ‫أ ِّكــد للطلبة أهميــة المفاهيم العابــرة حيثما وردت في كتــاب الطالب‪ ،‬أو كتاب‬ ‫أن يكتب في الورقة ذات اللون الأخضر مث ًل أكثر ســؤال‬ ‫التمارين‪ .‬ففي أثناء حل الأسئلة‪ ،‬و ِّجههم إلى اتباع الخطوات المنطقية المتسلسلة‬ ‫أتقــن حله في هذا الدرس‪ ،‬ثم يكتب في الورقة ذات اللون‬ ‫فــي الحل‪ ،‬وكتابة تبريراتهم لــكل خطوة‪ ،‬وكيفية تو ُّصلهم إلــى الإجابة؛ ما ُيع ِّزز‬ ‫لديهــم المهارات الحياتية‪ ،‬ومهــارات التفكير‪ ،‬مثل‪ :‬التحليل والربط والتفســير‪،‬‬ ‫الأزرق مث ًل موضو ًعا يحتاج إلى مزيد من التد ُّرب عليه‪.‬‬ ‫وتقديم الأدلة والبراهين‪.‬‬ ‫‪141‬‬

‫اﺧﺘﺒﺎ ُر ﻧﻬﺎﻳ ِﺔ اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫الوحد ُة‬ ‫‪ 4‬إﺣﺪ￯ اﻟﺼﻴ ﹺﻎ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ ﹸﺗﺴــﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻣﺴﺎﺣ ﹺﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ‬ ‫ﹶأﺿ ﹸﻊ داﺋﺮ ﹰة ﺣﻮ ﹶل رﻣ ﹺﺰ اﻹﺟﺎﺑ ﹺﺔ اﻟﺼﺤﻴﺤ ﹺﺔ ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪:ABC‬‬ ‫‪ 1‬ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﹶﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ إذا ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻤ ﹾﺖ ﺟﻤﻴ ﹸﻊ زواﻳﺎ ﹸه ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل‪:‬‬ ‫‪ (a‬ﻗﺎﻧﻮ ﹺن اﻟﺠﻴﻮ ﹺب ﻓﻘ ﹾﻂ‪ (b .‬ﻗﺎﻧﻮ ﹺن ﺟﻴﻮ ﹺب اﻟﺘﻤﺎ ﹺم‬ ‫التقويم الختامي‪:‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪bc sin C‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ab sin C‬‬ ‫ •راجع الطلبة في الأفكار الأساسية لدروس الوحدة‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻓﻘ ﹾﻂ‪.‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبة إلى مجموعات غير متجانســة‪ ،‬ثم اطلب‬ ‫إلى أفــراد كل مجموعــة حل جزء من الأســئلة‪ ،‬ثم‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ab sin‬‬ ‫‪A‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ab sin B‬‬ ‫‪ (d‬ﻻ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﹶﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫عرض إجاباتهم أمام الزملاء‪.‬‬ ‫‪ (c‬ﻗﺎﻧﻮ ﹶﻧ ﹺﻲ اﻟﺠﻴﻮ ﹺب‬ ‫ •ع ِّين بعض الأســئلة ليحلها الطلبة واج ًبــا منزل ًّيا‪ ،‬ثم‬ ‫‪ 5‬إﹺذا ﻛﺎ ﹶن اﺗﺠــﺎ ﹸه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ R‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄــ ﹺﺔ ‪ Z‬ﻫ ﹶﻮ ‪ ،070º‬ﻓﺈ ﱠن‬ ‫ﻓﻲ ﻫﺬ ﹺه اﻟﺤﺎﻟ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫وﺟﻴﻮ ﹺب اﻟﺘﻤﺎ ﹺم ﻣ ﹰﻌﺎ‪.‬‬ ‫نا ِقشهم في إجاباتها في اللقاء التالي‪.‬‬ ‫اﺗﺠﺎ ﹶه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ Z‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ R‬ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫ •الفت انتباه الطلبة إلى أ َّن الأسئلة‪ 33، 34، 35 :‬وردت‬ ‫‪ 2‬ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﹶﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ إذا ﹸﻋ ﹺﻠ ﹶﻤ ﹾﺖ ﺟﻤﻴ ﹸﻊ أﺿﻼ ﹺﻋ ﹺﻪ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل‪:‬‬ ‫ضمن أســئلة الاختبارات الدولية‪ ،‬أو وردت مسائل‬ ‫‪a) 070º‬‬ ‫‪b) 110º‬‬ ‫‪ (a‬ﻗﺎﻧﻮ ﹺن اﻟﺠﻴﻮ ﹺب ﻓﻘ ﹾﻂ‪ (b .‬ﻗﺎﻧﻮ ﹺن ﺟﻴﻮ ﹺب اﻟﺘﻤﺎ ﹺم‬ ‫مشابهة لها‪.‬‬ ‫‪c) 250º‬‬ ‫‪d) 290º‬‬ ‫ﻓﻘ ﹾﻂ‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫‪ (d‬ﻻ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﹶﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ‬ ‫‪ (c‬ﻗﺎﻧﻮ ﹶﻧ ﹺﻲ اﻟﺠﻴﻮ ﹺب‬ ‫ﻓﻲ ﻫﺬ ﹺه اﻟﺤﺎﻟ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫وﺟﻴﻮ ﹺب اﻟﺘﻤﺎ ﹺم ﻣ ﹰﻌﺎ‪.‬‬ ‫‪6 B 10.5‬‬ ‫‪8x‬‬ ‫‪A 65º‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 3‬إذا ﻛﺎ ﹶن اﺗﺠﺎ ﹸه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ H‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ G‬ﻓﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‬ ‫ﻫ ﹶﻮ ‪ ،045º‬واﺗﺠﺎ ﹸه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ J‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ H‬ﻫ ﹶﻮ ‪ ،164º‬ﻓﺈ ﱠن‬ ‫‪7 B 12‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪90°‬‬ ‫ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ GHJ‬ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪16‬‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫‪20‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪A‬‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫‪8B‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪b) 045º‬‬ ‫‪84º‬‬ ‫‪a) 16º‬‬ ‫‪d) 61º‬‬ ‫‪27.2‬‬ ‫‪c) 29º‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪37º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪142‬‬ ‫‪142‬‬

‫تدري ٌب على الاختبارا ِت الدولي ِة‬ ‫اﺧﺘﺒﺎ ُر ﻧﻬﺎﻳ ِﺔ اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫يتق َّدم طلبة الصفيــن‪ :‬الرابع والثامن في المدارس الأردنية‬ ‫‪ 16‬ﻣﻮاﻧ ﹸﺊ‪ :‬أﺑﺤ ﹶﺮ ﹾت ﺳــﻔﻴﻨ ﹲﺔ ﻣــ ﹶﻦ اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ‪ P‬ﺑﺎﺗﺠــﺎ ﹺه اﻟﻐﺮ ﹺب‬ ‫‪ 9‬ﻳﺒﻌ ﹸﺪ ﻣﻨﺰ ﹸل ﻧﺴــﺮﻳ ﹶﻦ ﻋ ﹺﻦ اﻟﻤﺪرﺳ ﹺﺔ ﻣﺴﺎﻓ ﹶﺔ ‪ ،400 m‬وﻳﺒﻌ ﹸﺪ‬ ‫إلى اختبــار )‪ :(TIMSS‬كل أربع ســنوات‪ .‬ويهدف هذا‬ ‫ﻣﺴــﺎﻓ ﹶﺔ ‪ ،16 km‬ﺛــ ﱠﻢ ﺗﺤ ﱠﻮ ﹶﻟــ ﹾﺖ إﻟﻰ اﺗﺠــﺎ ﹺه اﻟﺠﻨﻮ ﹺب‪،‬‬ ‫ﻣﻨﺰ ﹸل ﻫﺒ ﹶﺔ ﻋ ﹺﻦ اﻟﻤﺪرﺳــ ﹺﺔ ﻧﻔ ﹺﺴﻬﺎ ﻣﺴﺎﻓ ﹶﺔ ‪ ،500 m‬ﻛﻤﺎ ﻓﻲ‬ ‫الاختبــار إلى قياس مســتوى تق ُّدم الطلبة فــي التحصيل‬ ‫الدراســي في مادتي الرياضيات والعلوم‪ .‬ولهذا الاختبار‬ ‫وﻗﻄ ﹶﻌ ﹾﺖ ﻣﺴــﺎﻓ ﹶﺔ ‪ 9 km‬ﺣ ﹼﺘﻰ وﺻ ﹶﻠ ﹺﺖ اﻟﻤﻴﻨــﺎ ﹶء ‪ .S‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ‬ ‫اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹶﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﻨﺰﻟ ﹾﻴ ﹺﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫أهمية في تقييــم جودة التعليم فــي الأردن مقارن ًة بالدول‬ ‫الأُخرى التي يتق َّدم طلبتها لهذا الاختبار‪ ،‬والمساعدة على‬ ‫‪240.6°‬‬ ‫اﺗﺠﺎ ﹶه اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ‪ S‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ‪.P‬‬ ‫‪321.8 m‬‬ ‫ﻣﻨﺰ ﹸل ﻫﺒ ﹶﺔ‬ ‫رســم السياسة التربوية على المســتوى الوطني بما يخدم‬ ‫‪ 17‬رادا ﹲر‪ :‬ﹶرﺻــ ﹶﺪ رادا ﹲر ﺷــﺎﺣﻨ ﹰﺔ ﺑﻌــ ﹶﺪ ﺛﺎﻧﻴ ﹴﺔ ﻣــ ﹾﻦ ﻣﺮو ﹺرﻫﺎ‬ ‫‪500‬‬ ‫تطوير النظام التربوي‪ ،‬والارتقاء بنوعية مخرجاته‪.‬‬ ‫ﺑﻤﺤﺎذاﺗﹺ ﹺﻪ‪ ،‬ﻓﺼﻨ ﹶﻊ اﻟﺨ ﱡﻂ اﻟﻮاﺻ ﹸﻞ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺮادا ﹺر واﻟﺸــﺎﺣﻨ ﹺﺔ‬ ‫‪ 40º‬ﻣﺪرﺳ ﹲﺔ‬ ‫يتق َّدم أي ًضا طلبة الصف العاشر في الأردن لاختبار البرنامج‬ ‫وﺣﺎﻓــ ﹺﺔ اﻟﻄﺮﻳ ﹺﻖ زاوﻳــ ﹰﺔ ﻣﻘﺪا ﹸرﻫﺎ ‪ 15º‬ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ‬ ‫الدولي لتقييم أداء الطلبة ‪)PISA‬‬ ‫اﻵﺗﻲ‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﺳﺮﻋ ﹶﺔ اﻟﺸﺎﺣﻨ ﹺﺔ ﺑﻮﺣﺪ ﹺة ‪120.9 km/h .km/h‬‬ ‫ﻣﻨﺰ ﹸل ﻧﴪﻳ ﹶﻦ ‪400‬‬ ‫‪The Program for International Students‬‬ ‫‪ 10‬ﹶأ ﹺﺟــ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺤﺎﻓــ ﹺﺔ ‪ XD‬وﻗﺎﻋﺪ ﹺة اﻟﻬﺮ ﹺم ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪44.6° .‬‬ ‫‪ :Assessment‬فــي مجــالات القــراءة‪ ،‬والرياضيات‪،‬‬ ‫والعلــوم‪ .‬وفــي ما يخــص الرياضيــات‪ ،‬فــإن المعرفة‬ ‫‪X‬‬ ‫الرياضيــة ‪ -‬وفق هــذا البرنامج‪ُ -‬يع َّبر عنهــا بمدى قدرة‬ ‫الفرد على صياغة الرياضيات‪ ،‬وتوظيفها‪ ،‬وتفســيرها في‬ ‫‪1 15‬ﺛﺎﻧﻴﺔ‬ ‫أوضاع مختلفــة؛ إذ تتضمن القدرة على التفكير الرياضي‪،‬‬ ‫واســتعمال المفاهيم والإجــراءات والحقائق والأدوات‬ ‫‪9m‬‬ ‫‪18 A‬‬ ‫لوصف الظواهر‪ ،‬والتن ُّبؤ بها‪ .‬وهي تسعى لمساعدة صانعي‬ ‫القرارات وراسمي السياسات التربوية في الدول المشاركة‬ ‫‪B‬‬ ‫على تحديد معايير حقيقيــة وواقعية لأداء نظمها التربوية‪،‬‬ ‫و ُت ِعينهــم على تقييم النجاحــات أو الإخفاقات‪ ،‬عل ًما بأن‬ ‫‪16‬‬ ‫الأردن يشارك في دورات هذه الدراسات والبرامج بانتظام‬ ‫‪D 20 C‬‬ ‫منذ أوائل تسعينيات القرن العشرين‪.‬‬ ‫‪ 18‬ﻋﻮاﺻ ﹸﻒ ﺑﺤﺮﻳ ﹲﺔ‪ :‬أﺑﺤ ﹶﺮ ﹾت ﺳــﻔﻴﻨ ﹲﺔ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ‪ A‬ﺑﺴﺮﻋ ﹺﺔ‬ ‫‪ 11‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ﻣﺴــﺎﺣ ﹸﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ PQR‬ﻫ ﹶﻲ ‪ ،68 cm2‬وﻛﺎ ﹶن‬ ‫‪ 28 km/h‬ﹸﻣﺘﻮ ﱢﺟﻬــ ﹰﺔ إﻟﻰ اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ‪ B‬ﻋﻠﻰ ﹸﺑ ﹾﻌ ﹺﺪ ‪1100 km‬‬ ‫‪ ،PQ = 18 cm, RQ = 15 cm‬ﻓﻤــﺎ ﻗﻴــﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ‬ ‫يتع َّيــن عليــك ‪ -‬عزيزي المع ِّلــم‪ -‬تشــجيع الطلبة على‬ ‫ﺷﺮ ﹶق اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ‪ .A‬وﻟﺘﺠﻨﱡ ﹺﺐ اﻟﻌﻮاﺻ ﹺﻒ اﻟﺸﺪﻳﺪ ﹺة اﻟﺘﻲ ﻫ ﱠﺒ ﹾﺖ‬ ‫الاهتمام بحل هذه الأســئلة‪ ،‬والمشــاركة في الدراسات‬ ‫ﻋﻨ ﹶﺪ اﻧﻄﻼ ﹺق اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ؛ ﻓﻘ ﹾﺪ ﺳﻠ ﹶﻚ اﻟﻘﺒﻄﺎ ﹸن ﻣﺴﺎ ﹰرا ﻳﻨﺤﺮ ﹸف‬ ‫اﻟﺤﺎ ﱠد ﹺة ‪PQR‬؟ ‪30.2°‬‬ ‫وبرامــج التقييم الدولية بكل جديــة‪ ،‬وتضمين امتحاناتك‬ ‫‪ 20º‬ﺟﻨﻮ ﹰﺑﺎ ﻋ ﹾﻦ ﺧ ﱢﻂ اﻟﻤﻼﺣ ﹺﺔ اﻟﻤﺒﺎﺷــ ﹺﺮ ﺑﻴــ ﹶﻦ اﻟﻤﻴﻨﺎء ﹾﻳ ﹺﻦ‬ ‫ﺣ ﹼﺘﻰ ﻫﺪ ﹶأ ﹺت اﻟﻌﻮاﺻ ﹸﻒ ﺑﻌ ﹶﺪ إﺑﺤﺎ ﹴر اﺳــﺘﻤ ﱠﺮ ‪ 10‬ﺳﺎﻋﺎ ﹴت‪.‬‬ ‫‪A5‬‬ ‫ﻣﺴﺘﻌﻴﻨﹰﺎ ﺑﺎﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪ ،‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ‪:‬‬ ‫المدرسية نوعية هذه الأسئلة‪.‬‬ ‫ﻛ ﹾﻢ ﺗﺒﻌ ﹸﺪ اﻟﺴــﻔﻴﻨ ﹸﺔ ﻋ ﹺﻦ اﻟﻤﻴﻨــﺎ ﹺء ‪ B‬ﺑﻌ ﹶﺪ ﻫــﺬ ﹺه اﻟﻤ ﱠﺪ ﹺة ﻣ ﹶﻦ‬ ‫‪95º‬‬ ‫اﻹﺑﺤﺎ ﹺر؟ ﻣﺎ ﻗﻴﺎ ﹸس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ اﻟﺬي ﺳﻴﺠﻌ ﹸﻞ اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹶﺔ ﺗﺘﻮ ﱠﺟ ﹸﻪ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻣﺒﺎﺷﺮ ﹰة إﻟﻰ اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ‪B‬؟ ‪842.3 km ; 26.5°‬‬ ‫‪D 32º‬‬ ‫‪48º C‬‬ ‫‪143‬‬ ‫‪100°‬‬ ‫‪ 13‬ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪. DBC‬‬ ‫ﻃﻮ ﹶل ‪.DB‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪6.67 cm‬‬ ‫‪ 14‬ﻃﻮ ﹶل ‪ 15 .CD‬ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋ ﱢﻲ‬ ‫‪25.6 cm2‬‬ ‫‪.ABCD‬‬ ‫‪8.84‬‬ ‫‪143‬‬

‫اﺧﺘﺒﺎ ُر ﻧﻬﺎﻳ ِﺔ اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫‪ 23‬ﻣﻼﺣ ﹲﺔ ﺑﺤﺮﻳــ ﹲﺔ‪ :‬ﺗﺒﻌ ﹸﺪ ﺳــﻔﻴﻨ ﹲﺔ ﻋ ﹾﻦ ﻗﺎﻋﺪ ﹺة ﹶﻣﻨﺎر ﹴة ﻣﺴــﺎﻓ ﹶﺔ‬ ‫ﺑــﺮ ﹸج ﺑﻴﺰا‪ :‬ﻃﻮ ﹸل ﺑﺮ ﹺج ﺑﻴﺰا اﻟﻤﺎﺋ ﹺﻞ ﻧﺤــ ﹶﻮ ‪ ،55 m‬وزاوﻳ ﹸﺔ ارﺗﻔﺎ ﹺع‬ ‫إرشاد‪:‬‬ ‫‪ ،80 km‬وﻗ ﹾﺪ رﺻ ﹶﺪ ﻗﺒﻄﺎ ﹸن اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ ﻗ ﱠﻤ ﹶﺔ اﻟ ﹶﻤﻨﺎر ﹺة‪ ،‬ﻓﻜﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ‬ ‫أﻋﻠﻰ اﻟﺒﺮ ﹺج ﻣ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ ﻋﻠﻰ ﹸﺑ ﹾﻌ ﹺﺪ ‪ 37 m‬ﻫ ﹶﻲ ‪ 60º‬ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ‬ ‫زاوﻳ ﹸﺔ ارﺗﻔﺎ ﹺﻋﻬﺎ ‪ ،60º‬ﺛ ﱠﻢ ﺳــﺎ ﹶر ﹺت اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹸﺔ ﺑﺨ ﱟﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴ ﹴﻢ‬ ‫في الســؤال ‪ ،22‬و ِّجــه الطلبة إلى اســتعمال قانون‬ ‫ﻓﻲ اﺗﺠﺎ ﹺه اﻟﺸﺮ ﹺق‪ ،‬ﻓﻮﺟ ﹶﺪ أ ﱠن زاوﻳ ﹶﺔ ارﺗﻔﺎ ﹺع ﻗ ﱠﻤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﻤﻨﺎر ﹺة ﻫ ﹶﻲ‬ ‫اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ‪:‬‬ ‫جيوب التمام لحساب طول الضلع الثالث في ك ٍّل من‬ ‫‪R‬‬ ‫المثلثين‪ :‬الأول‪ ،‬والثالث‪ ،‬ثم استعماله لإيجاد قياس‬ ‫‪ .45º‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹶﺔ اﻟﺘﻲ ﻗﻄ ﹶﻌ ﹾﺘﻬﺎ اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹸﺔ‪58.6 km .‬‬ ‫‪55 m‬‬ ‫إحدى زوايا المثلث الأوسط‪.‬‬ ‫ﺗﺪرﻳ ﹲﺐ ﻋﻠﻰ اﻻﺧﺘﺒﺎرا ﹺت اﻟﺪوﻟﻴ ﹺﺔ‬ ‫بعد ذلك اطلب إليهم إيجاد مساحة ك ٍّل من المثلثات‬ ‫رﻛﺐ ﺷــﺨ ﹲﺺ ﻃﺎﺋﺮ ﹰة ﻋﻤﻮدﻳ ﹰﺔ ﺗﺮﺗﻔ ﹸﻊ ‪ 700 m‬ﻋ ﹾﻦ ﺳــﻄ ﹺﺢ‬ ‫‪P‬‬ ‫‪37 m‬‬ ‫‪60º‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫الثلاثة‪ ،‬وجمعها؛ لتقدير مساحة الحقل‪.‬‬ ‫اﻟﺒﺤ ﹺﺮ‪ ،‬ﻓﺸﺎﻫ ﹶﺪ اﻟﺴﻔﻴﻨﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ A‬ﹶو ‪ .B‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ زاوﻳ ﹸﺔ اﻧﺨﻔﺎ ﹺض‬ ‫‪ 19‬ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪84.4° .RPQ‬‬ ‫اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ ‪ A‬ﻫ ﹶﻲ ‪ ،45º‬وزاوﻳ ﹸﺔ اﻧﺨﻔﺎ ﹺض اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ ‪ B‬ﻫ ﹶﻲ ‪،40º‬‬ ‫‪ 20‬ارﺗﻔﺎ ﹶع ﻗ ﱠﻤ ﹺﺔ اﻟﺒﺮ ﹺج ‪ R‬ﻋ ﹺﻦ اﻷر ﹺض‪.‬‬ ‫‪54.73 m‬‬ ‫ﻓ ﹸﺄﺟﻴ ﹸﺐ ﻋ ﹺﻦ اﻷﺳﺌﻠ ﹺﺔ‪.26 ،25 ،24 :‬‬ ‫‪ 21‬ﻣﻼﺣ ﹲﺔ ﺑﺤﺮﻳــ ﹲﺔ‪ :‬اﻧﻄﻠ ﹶﻖ ﻗﺎر ﹲب ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄــ ﹺﺔ ‪ A‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء‬ ‫‪ 24‬اﻋﺘﻤﺎ ﹰدا ﻋﻠﻰ زواﻳﺎ اﻻﻧﺨﻔﺎ ﹺض‪ ،‬أﺧﺘﺎ ﹸر اﻟﻌﺒﺎر ﹶة اﻟﺼﺤﻴﺤ ﹶﺔ‪:‬‬ ‫ﻧﺤ ﹶﻮ ﺳﻔﻴﻨ ﹴﺔ ﹸﻣﺘﻮ ﱢﻗﻔ ﹴﺔ ﻓﻲ ﹸﻋ ﹾﺮ ﹺض اﻟﺒﺤ ﹺﺮ ﺑﺎﺗﺠﺎ ﹺه ‪ ،030º‬وﺗﺒﻌ ﹸﺪ‬ ‫‪ (a‬ﻣﻮﻗ ﹸﻊ اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ ‪ A‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒ ﹺﺔ إﻟﻰ اﻟﻄﺎﺋﺮ ﹺة أﺑﻌ ﹸﺪ ﻣﻨﹾ ﹸﻪ ﻣ ﹶﻦ‬ ‫ﻣﺴــﺎﻓ ﹶﺔ ‪ 2 km‬ﻋ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹺﺔ اﻻﻧﻄﻼ ﹺق ‪ ،A‬ﺛ ﱠﻢ ﺗﺤ ﱠﺮ ﹶك اﻟﻘﺎر ﹸب‬ ‫اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ ‪.B‬‬ ‫إﻟﻰ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ B‬اﻟﺘﻲ ﺗﻘ ﹸﻊ ﺑﺎﺗﺠﺎ ﹺه ‪ 000º‬ﻋ ﹾﻦ ﻧﻘﻄ ﹺﺔ اﻻﻧﻄﻼ ﹺق‬ ‫‪ (b‬ﻣﻮﻗ ﹸﻊ اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ ‪ B‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒ ﹺﺔ إﻟﻰ اﻟﻄﺎﺋﺮ ﹺة أﺑﻌ ﹸﺪ ﻣﻨﹾ ﹸﻪ ﻣ ﹶﻦ‬ ‫اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ ‪.A‬‬ ‫‪ ،A‬وﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴﻨﹶ ﹸﻬﻤﺎ ‪ .3 km‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﹸﺑ ﹾﻌ ﹶﺪ اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ ﻋ ﹺﻦ‬ ‫‪ (c‬ﹸﺑ ﹾﻌ ﹸﺪ اﻟﺴﻔﻴﻨﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋ ﹺﻦ اﻟﻄﺎﺋﺮ ﹺة ﻣﺘﺴﺎ ﹴو‪.‬‬ ‫‪1.6 km‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪.B‬‬ ‫‪ (d‬ﻻ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﻣﻌﺮﻓ ﹸﺔ أ ﱡي اﻟﺴﻔﻴﻨﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ أﺑﻌ ﹸﺪ ﻣ ﹾﻦ زواﻳﺎ اﻻﻧﺨﻔﺎ ﹺض‪.‬‬ ‫‪ 22‬زراﻋ ﹲﺔ‪ :‬ﻟﺘﻘﺪﻳ ﹺﺮ ﻣﺴــﺎﺣ ﹺﺔ ﺣﻘ ﹴﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻘﻤ ﹺﺢ‪ ،‬رﺳــ ﹶﻢ ﺧﺎﻟ ﹲﺪ‬ ‫‪ 25‬اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺴﻔﻴﻨﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ A‬ﹶو ‪ B‬ﹸﻣﻘ ﱠﺮﺑ ﹰﺔ إﻟﻰ أﻗﺮ ﹺب ﻣﺘ ﹴﺮ ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫ﹸﻣﻀ ﱠﻠ ﹰﻌﺎ ﺧﻤﺎﺳــ ﹼﹰﻴﺎ ﺣﻮ ﹶﻟ ﹸﻪ‪ ،‬ﺛــ ﱠﻢ ﺣ ﱠﺪ ﹶد ﻗﻴﺎﺳــﺎﺗﹺ ﹺﻪ اﻟ ﹸﻤﺒ ﱠﻴﻨ ﹶﺔ ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪ .‬ﻣﺎ ﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ اﻟﺤﻘ ﹺﻞ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴ ﹸﺔ؟ ‪8675.7 m2‬‬ ‫‪a) 134‬‬ ‫‪b) 700‬‬ ‫‪c) 834‬‬ ‫‪d) 1534‬‬ ‫‪ 26‬ﹸأو ﱢﺿ ﹸﺢ ﻛﻴ ﹶﻒ أﺟ ﹾﺒ ﹸﺖ ﻋ ﹺﻦ اﻟﺴﺆا ﹺل ‪.24‬‬ ‫‪100m‬‬ ‫‪70m 100º‬‬ ‫‪50º‬‬ ‫‪50m‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪125m‬‬ ‫‪50m‬‬ ‫‪144‬‬ ‫‪144‬‬

‫كتاب التمارين‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ُن اﻟﺠﻴﻮ ِب‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫اﻻﺗﺠﺎ ُه ﻣ َﻦ اﻟﺸﻤﺎ ِل‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻘﻴﺎ ﹶس اﻟﻤﺠﻬﻮ ﹶل ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد اﺗﺠﺎ ﹶه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ P‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ O‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪2N‬‬ ‫‪1 aC‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪2C‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :4‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎتﹸ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎتﹺ‬ ‫‪1N‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪15º‬‬ ‫‪35º‬‬ ‫‪a7‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :4‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎتﹸ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎتﹺ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪45º‬‬ ‫‪40º‬‬ ‫‪115º O‬‬ ‫‪C = 130°; a ≈ 3.7; b ≈ 1.7‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪245°‬‬ ‫‪C = 95°; a ≈ 6.4; c ≈ 9.9‬‬ ‫‪57º‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪057°‬‬ ‫‪3 a 125º 10‬‬ ‫‪4C‬‬ ‫‪30º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪a6‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪30º 100º‬‬ ‫‪ 3‬إذا ﻛﺎ ﹶن اﺗﺠﺎ ﹸه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ A‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ B‬ﻫ ﹶﻮ ‪ ،154º‬ﻓﻤﺎ اﺗﺠﺎ ﹸه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ B‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪A‬؟ ‪343°‬‬ ‫‪A = 25°; a ≈ 8.5; c ≈ 16.7‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪C = 50°; a ≈ 11.8; c ≈ 9.2‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻘﻴﺎ ﹶس اﻟﻤﺠﻬﻮ ﹶل ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ ABC‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺤﺎﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫‪ 4‬إذا ﻛﺎ ﹶن اﺗﺠﺎ ﹸه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ P‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ Q‬ﻫ ﹶﻮ ‪ ،235º‬ﻓﻤﺎ اﺗﺠﺎ ﹸه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ Q‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪P‬؟ ‪055°‬‬ ‫‪5 a = 3, b = 2, A = 50º‬‬ ‫‪6 A = 40º, B = 20º, a = 2‬‬ ‫‪ 5‬أرﺳ ﹸﻢ ﺷﻜ ﹰﻼ ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ ﻣﻮاﻗ ﹶﻊ اﻟﻨﻘﺎ ﹺط‪ ،A :‬ﹶو‪ ،B‬ﹶو ‪ C‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ‪ B‬ﺷﺮ ﹶق ‪ ،A‬وﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ‪ C‬ﻋﻠﻰ اﺗﺠﺎ ﹺه ‪ 110º‬ﻣ ﹾﻦ ‪ ،A‬وﻋﻠﻰ اﺗﺠﺎ ﹺه ‪230º‬‬ ‫ﻣ ﹾﻦ ‪ .B‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪B ≈ 30.7°; C ≈ 99.7; c ≈ 3.9‬‬ ‫‪C = 120°; c ≈ 2.7; b ≈ 1.1‬‬ ‫‪ 6‬أرﺳ ﹸﻢ ﺷﻜ ﹰﻼ ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ ﻣﻮاﻗ ﹶﻊ اﻟﻨﻘﺎ ﹺط‪ ،A :‬ﹶو‪ ،B‬ﹶو ‪ C‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ‪ B‬ﺷﺮ ﹶق ‪ ،A‬وﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ‪ C‬ﻋﻠﻰ اﺗﺠﺎ ﹺه ‪ 105º‬ﻣ ﹾﻦ ‪ ،A‬وﻋﻠﻰ اﺗﺠﺎ ﹺه ‪135º‬‬ ‫‪7 a = 2, c = 1, A = 120º‬‬ ‫‪8 A = 70º, B = 60º, c = 4‬‬ ‫ﻣ ﹾﻦ ‪ .B‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪C ≈ 25.7°; B ≈ 34.3; b ≈ 13‬‬ ‫‪C = 50°; a ≈ 4.9; b ≈ 4.5‬‬ ‫‪9 b = 4, c = 6, B = 20º‬‬ ‫‪10 A = 40º, B = 40º, c = 2‬‬ ‫‪C ≈ 30.9°; A ≈ 129.1°; a ≈ 9.1‬‬ ‫‪C = 100°; a = b ≈ 1.3‬‬ ‫‪ 11‬ﻃﺎﺋﺮا ﹲت‪ :‬رﺻ ﹶﺪ ﹾت ﻛ ﱞﻞ ﻣ ﹾﻦ زﻳﻨ ﹶﺔ وﻫﻨﺎ ﹶء ﻃﺎﺋﺮ ﹰة ورﻗﻴ ﹰﺔ ﻋﻨ ﹶﺪ ﻣﺮو ﹺرﻫﺎ ﻓﻮ ﹶق اﻟﺨ ﱢﻂ اﻟﻮاﺻ ﹺﻞ ﺑﻴﻨﹶ ﹸﻬﻤﺎ‪ ،‬ﻓﻜﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ زاوﻳ ﹸﺔ ارﺗﻔﺎ ﹺﻋﻬﺎ ﻣ ﹾﻦ ﻣﻮﻗ ﹺﻊ‬ ‫‪ 7‬أﻗﻠ ﹶﻌ ﹾﺖ ﻃﺎﺋﺮ ﹲة ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻄﺎ ﹺر ﻓﻲ اﺗﺠﺎ ﹺه ‪ ، 050º‬وﺑﻌ ﹶﺪ أ ﹾن ﻗﻄ ﹶﻌ ﹾﺖ ﻣﺴﺎﻓ ﹶﺔ ‪ 16 km‬دا ﹶر ﹾت ﺑﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ 90º‬ﻳﺴﺎ ﹰرا‪ ،‬وﻗﻄ ﹶﻌ ﹾﺖ ﻣﺴﺎﻓ ﹶﺔ ‪.37 km‬‬ ‫زﻳﻨ ﹶﺔ ‪ ،35º‬وﻣ ﹾﻦ ﻣﻮﻗ ﹺﻊ ﻫﻨﺎ ﹶء ‪ .40º‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ زﻳﻨ ﹶﺔ وﻫﻨﺎ ﹶء ‪ ،900 m‬ﻓﻤﺎ ارﺗﻔﺎ ﹸع اﻟﻄﺎﺋﺮ ﹺة؟‬ ‫ﻣﺎ اﺗﺠﺎ ﹸه اﻟﻄﺎﺋﺮ ﹺة اﻵ ﹶن ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻄﺎ ﹺر؟‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ 8‬أﺑﺤ ﹶﺮ ﹾت ﺳــﻔﻴﻨ ﹲﺔ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ‪ P‬ﻓﻲ اﺗﺠﺎ ﹺه ‪ ،120º‬وﺑﻌ ﹶﺪ أ ﹾن ﻗﻄ ﹶﻌ ﹾﺖ ﻣﺴــﺎﻓ ﹶﺔ ‪ 40 km‬دا ﹶر ﹾت ﺑﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪ 90º‬ﻳﺴــﺎ ﹰرا‪ ،‬وﻗﻄ ﹶﻌ ﹾﺖ ﻣﺴﺎﻓ ﹶﺔ‬ ‫‪ 12‬ﻗــﻮار ﹸب‪ :‬رﺻ ﹶﺪ ﻃ ﹼﻴﺎ ﹲر اﻟﻘﺎرﺑ ﹾﻴــ ﹺﻦ ‪ ،A‬ﹶو ‪ B‬ﻓﻲ اﻟﺒﺤ ﹺﺮ ﻋﻨ ﹶﺪﻣﺎ ﻣ ﱠﺮ ﹾت ﻃﺎﺋﺮ ﹸﺗ ﹸﻪ ﻓﻮ ﹶق اﻟﺨ ﱢﻂ اﻟﻮاﺻــ ﹺﻞ ﺑﻴﻨﹶ ﹸﻬﻤﺎ‪ ،‬ﻓﻜﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ زاوﻳ ﹸﺔ اﻧﺨﻔﺎ ﹺض‬ ‫اﻟﻘــﺎر ﹺب اﻷو ﹺل ‪ ،44º‬وزاوﻳ ﹸﺔ اﻧﺨﻔﺎ ﹺض اﻟﻘﺎر ﹺب اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ .37º‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻘﺎرﺑ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ ،7 km‬ﻓﻤﺎ ارﺗﻔﺎ ﹸع اﻟﻄﺎﺋﺮ ﹺة ﻋ ﹾﻦ‬ ‫‪ .100 km‬ﻣﺎ اﺗﺠﺎ ﹸه اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹺﺔ اﻵ ﹶن ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ‪P‬؟‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ﺳﻄ ﹺﺢ اﻟﺒﺤ ﹺﺮ؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ ABC 9‬ﻣﺜﻠ ﹲﺚ ﹸﻣﺘﻄﺎﺑﹺ ﹸﻖ اﻷﺿﻼ ﹺع‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن اﺗﺠﺎ ﹸه ‪ B‬ﻣ ﹾﻦ ‪ A‬ﻫ ﹶﻮ ‪ ،050º‬ﻓﻤﺎ اﺗﺠﺎ ﹸه ‪ C‬ﻣ ﹾﻦ ‪B‬؟‬ ‫اﺗﺠﺎه ‪ C‬ﻣﻦ ‪ B‬ﻫﻮ‪170° :‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪23‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ُن ﺟﻴﻮ ِب اﻟﺘﻤﺎ ِم‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪3‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻘﻴﺎ ﹶس اﻟﻤﺠﻬﻮ ﹶل ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :4‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎتﹸ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎتﹺ‬ ‫‪1 2C b‬‬ ‫‪2 aC‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 2 95º 3‬‬ ‫‪45º A‬‬ ‫‪B 30º‬‬ ‫‪BA‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b ≈ 2.9; A ≈ 29.2°; C ≈ 105.8°‬‬ ‫‪a ≈ 2.1; B ≈ 45.6°; C ≈ 104.4°‬‬ ‫‪c ≈ 3.7; B ≈ 53.9°; A ≈ 31.1°‬‬ ‫‪4 2C‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪5C‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪20º A‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪b ≈ 3.2; A ≈ 12.3°; C ≈ 147.7°‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪BA‬‬ ‫‪A = 125.14°; B ≈ 30.8°; C ≈ 24.1°‬‬ ‫‪C ≈ 92.9°; A ≈ 48.5°; B ≈ 38.6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8C‬‬ ‫‪9C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪BA‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪BA‬‬ ‫‪B ≈ 44°; A= C ≈ 68°‬‬ ‫‪B ≈ 41.8°; A ≈ 51°; C ≈ 87.2°‬‬ ‫‪A ≈ 1274.2°; B ≈ 32.1°; C ≈ 20.7°‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻘﻴﺎﺳﺎ ﹺت اﻟﻤﺠﻬﻮ ﹶﻟ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ ABC‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺤﺎﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫‪10 a = 3, b = 4, C = 40º‬‬ ‫‪11 a = 2, c = 1, B = 10º‬‬ ‫‪c ≈ 2.6; A ≈ 47.9°; B ≈ 92.1°‬‬ ‫‪b ≈ 1.03; C ≈ 9.7°; A ≈ 160.3°‬‬ ‫‪12 b = 1, c = 3, A = 80º‬‬ ‫‪13 a = 4, b = 5, c = 3‬‬ ‫‪a ≈ 2.99; C ≈ 81.2°‬‬ ‫‪B = 90°; A ≈ 53.1°; C ≈ 36.9°‬‬ ‫‪14 a = 5, b = 8, c = 9‬‬ ‫‪15 a = 9, b = 7, c = 10‬‬ ‫‪C ≈ 84.3°; B ≈ 62.1°; A ≈ 33.6°‬‬ ‫‪C ≈ 76.2°; A ≈ 60.9°; B ≈ 42.9°‬‬ ‫‪ 16‬ﻗﻮار ﹸب‪ :‬اﻧﻄﻠ ﹶﻖ ﻗﺎرﺑﺎ ﹺن ﻣ ﹶﻦ اﻟﺮﺻﻴ ﹺﻒ ﻧﻔ ﹺﺴــ ﹺﻪ ﻓﻲ وﻗ ﹴﺖ واﺣ ﹴﺪ‪ .‬وﻗ ﹾﺪ أﺧ ﹶﺬ اﻟﻘﺎر ﹸب اﻷو ﹸل اﺗﺠﺎ ﹶه ‪ ،060º‬وﺳــﺎ ﹶر ﺑﺴﺮﻋ ﹺﺔ ‪،7 km/h‬‬ ‫وأﺧ ﹶﺬ اﻟﺜﺎﻧﻲ اﺗﺠﺎ ﹶه ‪ ،123º‬وﺳﺎ ﹶر ﺑﺴﺮﻋ ﹺﺔ ‪ .29 km/h‬ﻣﺎ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻘﺎرﺑ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﻌ ﹶﺪ ﺳﺎﻋﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣ ﹶﻦ اﻧﻄﻼ ﹺﻗ ﹺﻬﻤﺎ؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ 17‬ﺳﻔ ﹲﻦ‪ :‬أﺑﺤ ﹶﺮ ﹺت اﻟﺴﻔﻴﻨﺘﺎ ﹺن ‪ ،X‬ﹶو ‪ Y‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻴﻨﺎ ﹺء ﻧﻔ ﹺﺴ ﹺﻪ ﻋﻨ ﹶﺪ اﻟﺴﺎﻋ ﹺﺔ اﻟﺘﺎﺳﻌ ﹺﺔ ﺻﺒﺎ ﹰﺣﺎ‪ .‬وﻗ ﹾﺪ أﺧ ﹶﺬ ﹺت اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹸﺔ ‪ X‬اﺗﺠﺎ ﹶه ‪ ،075º‬وﺳﺎ ﹶر ﹾت‬ ‫ﺑﺴــﺮﻋ ﹴﺔ ﻣﺘﻮﺳﻄ ﹴﺔ ﻣﻘﺪا ﹸرﻫﺎ ‪ ، 20 km/h‬وأﺧ ﹶﺬ ﹺت اﻟﺴﻔﻴﻨ ﹸﺔ ‪ Y‬اﺗﺠﺎ ﹶه ‪ ،130º‬وﺳــﺎ ﹶر ﹾت ﺑﺴﺮﻋ ﹴﺔ ﻣﺘﻮﺳﻄ ﹴﺔ ﻣﻘﺪا ﹸرﻫﺎ ‪ .25 km/h‬ﻣﺎ‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺴﻔﻴﻨﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋﻨ ﹶﺪ اﻟﺴﺎﻋ ﹺﺔ اﻟﺤﺎدﻳ ﹶﺔ ﻋﺸﺮ ﹶة ﺻﺒﺎ ﹰﺣﺎ؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪25‬‬ ‫‪144A‬‬

‫كتاب التمارين‬ ‫َﺣ ﱡﻞ ﻣﺴﺎﺋ َﻞ ﺛﻼﺛﻴ ِﺔ اﻷﺑﻌﺎ ِد‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫اﺳﺘﻌﻤﺎ ُل ﺟﻴ ِﺐ اﻟﺰاوﻳ ِﺔ ﻹﻳﺠﺎ ِد ﻣﺴﺎﺣ ِﺔ اﻟﻤﺜﻠ ِﺚ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪H‬‬ ‫أﺗﺄ ﱠﻣ ﹸﻞ اﻟﺸﻜ ﹶﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹶر‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ 1-2 :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺤﺎﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ‪ AG‬ﻓﻲ ﻣﺘﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼ ﹺت اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪G .‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ 2‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪C .GAC‬‬ ‫‪ 1‬اﻟﻤﺜﻠ ﹸﺚ ‪ ABC‬ﻓﻴ ﹺﻪ ‪ ،AB = 8 cm‬ﹶو ‪ ،AC = 11 cm‬ﹶو ‪40.5 cm2 .m∠CAB = 67º‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 2‬اﻟﻤﺜﻠ ﹸﺚ ‪ PQR‬ﻓﻴ ﹺﻪ ‪ ،PQ = 30 cm‬ﹶو ‪ ،PR = 22 cm‬ﹶو ‪285.8 cm2 .m∠QPR = 120º‬‬ ‫‪ 3‬اﻟﻤﺜﻠ ﹸﺚ ‪ XYZ‬ﻓﻴ ﹺﻪ ‪ ،XY = 12 cm‬ﹶو ‪ ،XZ = 15 cm‬ﹶو ‪m∠XYZ ≈ 85.5°; K ≈ 59.8 cm2 .YZ = 10 cm‬‬ ‫‪ 4‬اﻟﻤﺜﻠ ﹸﺚ ‪ LMN‬ﻓﻴ ﹺﻪ ‪ ،LM = 25 cm‬ﹶو ‪ ،LN = 14 cm‬ﹶو ‪m∠MNL ≈ 102.2°; K ≈ 123.2 cm2 .MN = 18 cm‬‬ ‫‪ 5‬ﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ ABC‬ﻫ ﹶﻲ ‪ .84 cm2‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،BC = 15 cm‬ﹶو ‪ ،m∠BCA = 120º‬ﻓﻤﺎ ﻃﻮ ﹸل ‪AC‬؟ ‪AC ≈ 12.9 cm‬‬ ‫‪ 6‬ﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ DEF‬ﻫ ﹶﻲ ‪ .100 cm2‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،DE = 14 cm‬ﹶو ‪ ،m∠DEF = 64º‬ﻓﻤﺎ ﻃﻮ ﹸل ‪EF‬؟ ‪EF ≈ 15.9 cm‬‬ ‫‪ 7‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ PQR‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،m∠QRP = 75º‬ﹶو ‪ ،m∠PQR = 60º‬ﹶو ‪QR ≈ 8.8 cm; K ≈ 45.7 cm2 .PQ = 12 cm‬‬ ‫‪ 8‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ ‪ EFG‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،m∠GEF = 63º‬ﹶو ‪ ،m∠EFG = 45º‬ﹶو ‪.EF = 46 cm‬‬ ‫‪Q GE ≈ 42.2 cm; K ≈ 864.8 cm2‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :4‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎتﹸ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎتﹺ‬‫‪E‬‬‫‪F‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :4‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎتﹸ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎتﹺ‬‫‪3‬‬‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪NM‬‬ ‫أﺗﺄ ﱠﻣ ﹸﻞ اﻟﺸﻜ ﹶﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹶر‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ 3-4 :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪KL‬‬ ‫‪ 3‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ ‪ NP‬ﻓﻲ ﻣﺘﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼ ﹺت اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪.‬‬ ‫‪ 4‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﺎ ﹶس اﻟﺰاوﻳ ﹺﺔ ‪.NPR‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪O3‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ 5‬ﻗﻴﺎﺳــﺎ ﹲت‪ :‬ﹸر ﹺﺻ ﹶﺪ رﺟﻼ ﹺن ﻋﻠﻰ اﻷر ﹺض ﻣ ﹾﻦ ﻗ ﱠﻤ ﹺﺔ ﺑﺮ ﹴج رأﺳ ﱟﻲ ارﺗﻔﺎ ﹸﻋ ﹸﻪ ‪ ،25 m‬ﻓﻜﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ زاوﻳ ﹸﺔ اﻧﺨﻔﺎ ﹺض اﻟﺮﺟ ﹺﻞ اﻷو ﹺل اﻟﺬي ﻳﻘ ﹸﻒ‬ ‫‪24‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ 9‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘ ﹺﺔ اﻟ ﹸﻤﻈ ﱠﻠﻠ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر ﺑﺎﻟﻮﺣﺪا ﹺت اﻟﻤﺮ ﱠﺑﻌ ﹺﺔ‪،‬‬ ‫ﻏﺮ ﹶب اﻟﺒﺮ ﹺج ﻫ ﹶﻲ ‪ ،31º‬وزاوﻳ ﹸﺔ اﻧﺨﻔﺎ ﹺض اﻟﺮﺟ ﹺﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ اﻟﺬي ﻳﻘ ﹸﻒ ﺟﻨﻮ ﹶب اﻟﺒﺮ ﹺج ﻫ ﹶﻲ ‪ .17º‬ﻣﺎ اﻟﻤﺴﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺮﺟﻠﻴ ﹺﻦ؟‬ ‫‪P 26‬‬ ‫ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن اﻟﺸﻜ ﹶﻞ ﻧﺼ ﹸﻒ داﺋﺮ ﹴة‪.‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪35º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 6‬ﺳﺎرﻳ ﹲﺔ‪ :‬ﹸﻳﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ اﻟﺸــﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹸر ﺳﺎرﻳ ﹰﺔ رأﺳﻴ ﹰﺔ ‪ AB‬ارﺗﻔﺎ ﹸﻋﻬﺎ ‪ ،12m‬واﻟﻨﻘﺎ ﹶط‪ ،B :‬ﹶو‪،C‬‬ ‫‪1.6 1.6‬‬ ‫‪ 10‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ اﻟﻨﺎﻓﺬ ﹺة ذا ﹺت اﻷﺑﻌﺎ ﹺد اﻟ ﹸﻤﺒ ﱠﻴﻨ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر ﺑﺎﻟﻮﺣﺪا ﹺت اﻟﻤﺮ ﱠﺑﻌ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﹶو ‪ D‬اﻟﻮاﻗﻌ ﹶﺔ ﻓﻲ ﻣﺴــﺘ ﹰﻮ￯ أﻓﻘ ﱟﻲ واﺣ ﹴﺪ‪ ،‬ﺑﺤﻴ ﹸﺚ ﻛﺎ ﹶﻧــ ﹾﺖ ‪ C‬ﻏﺮ ﹶب ‪ ،B‬ﹶو ‪ D‬ﺟﻨﻮ ﹶب ‪، B‬‬ ‫‪1.2 1.2‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪12‬‬ ‫وﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ زاوﻳ ﹸﺔ ارﺗﻔﺎ ﹺع ﻗ ﱠﻤ ﹺﺔ اﻟﺴﺎرﻳ ﹺﺔ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ D‬ﻫ ﹶﻲ ‪ ،23º‬وﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ C‬ﻫ ﹶﻲ ‪ .35º‬ﻣﺎ ‪23º‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻃﻮ ﹸل ‪CD‬؟ ﻣﺎ اﺗﺠﺎ ﹸه اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ D‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪C‬؟ ‪D‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺜﻠﺜ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﺎﻟﻮﺣﺪا ﹺت اﻟﻤﺮ ﱠﺑﻌ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫‪T‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪11 N‬‬ ‫‪12 A‬‬ ‫‪ 7‬أﺑﺮا ﹲج‪ :‬ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ‪ TC‬ﺑﺮ ﹶج إرﺳــﺎ ﹴل رأﺳ ﱟﻲ ارﺗﻔﺎ ﹸﻋ ﹸﻪ ‪ ،150 m‬وﻫ ﹶﻮ ﹸﻣﺪ ﱠﻋ ﹲﻢ ﺑﺮﺑﺎﻃ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﻌﺪﻧﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ‪،‬‬ ‫‪150m‬‬ ‫ﻫﻤﺎ‪ ،TA :‬ﹶو ‪ ،TB‬وﻛﺎ ﹶن أﺣ ﹸﺪ ﹸﻫﻤﺎ ﹸﻣﺜ ﱠﺒ ﹰﺘﺎ ﻋﻨ ﹶﺪ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ A‬اﻟﻮاﻗﻌ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ اﻷر ﹺض ﺷﺮ ﹶق ﻗﺎﻋﺪ ﹺة‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت ‪25‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت ‪24.1 32.6‬‬ ‫اﻟﺒﺮ ﹺج‪ ،‬وﺗﺒﻌ ﹸﺪ ﻋﻨﹾﻬﺎ ﻣﺴــﺎﻓ ﹶﺔ ‪ ،300 m‬وﻛﺎ ﹶن اﻵﺧ ﹸﺮ ﹸﻣﺜ ﱠﺒ ﹰﺘﺎ ﻋﻨــ ﹶﺪ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ B‬ﺟﻨﻮ ﹶب ﻗﺎﻋﺪ ﹺة‬ ‫‪50º C‬‬ ‫اﻟﺒــﺮ ﹺج‪ ،‬وزاوﻳ ﹸﺔ ﻣﻴ ﹺﻠ ﹺﻪ ﻋ ﹺﻦ اﻷر ﹺض ‪ .50º‬ﻣﺎ اﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘ ﹾﻴــ ﹺﻦ ‪ ،A‬ﹶو‪B‬؟ ﻣﺎ اﺗﺠﺎ ﹸه‬ ‫‪18‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪ A‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻨﻘﻄ ﹺﺔ ‪B‬؟ ‪A‬‬ ‫‪300m‬‬ ‫‪93º‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪B‬‬ ‫‪40º‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪144B‬‬

‫‪ )9‬إذا كانت البداية في اتجاه الشمال‪ ،‬فإنه سيتح َّول إلى اتجاه الشرق‬ ‫الدرس ‪:1‬‬ ‫عند نهاية ضلع المربع‪ ،‬ثم الجنوب‪ ،‬فالغرب؛ أي إن الاتجاهات‬ ‫ )‪4‬‬ ‫التي سلكها هي‪ ، 090° :‬و ‪ ،180°‬و ‪ 270°‬بالترتيب‪.‬‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫‪N‬‬ ‫‪090°‬‬ ‫‪H 170°‬‬ ‫‪ 180°‬البداية‬ ‫‪ C‬‬ ‫ )‪270° 5‬‬ ‫‪ )10‬إذا كانت البداية في اتجاه ‪ ،090°‬فإنه ســيتح َّول إلى اتجاه الشمال‬ ‫‪BN‬‬ ‫عند نهاية ضلع المربع‪ ،‬ثم الغرب‪ ،‬فالجنوب؛ أي إن الاتجاهات‬ ‫التي سلكها هي‪ ، 000°:‬و ‪ ،270°‬و ‪ 180°‬بالترتيب‪.‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪270° 310°‬‬ ‫‪180° 000°‬‬ ‫‪ )6‬قياس الزاوية ‪ NAB‬الداخلية‪:‬‬ ‫‪180° - 70° = 110°‬‬ ‫ ‬ ‫البداية‬ ‫إذن‪ :‬اتجاه النقطة ‪ B‬من النقطة ‪ A‬هو‪:‬‬ ‫ ‬ ‫ )‪16‬‬ ‫‪360° - 110° = 250°‬‬ ‫ ‬ ‫‪N‬‬ ‫‪NN‬‬ ‫‪H 150°‬‬ ‫‪70°‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3 cm = 600 m‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ S‬‬ ‫قياس الزاوية ‪ NYX‬الداخلية‪:‬‬ ‫‪) 7‬‬ ‫‪ )18‬قياس الزاوية ‪ NAB‬هــو ‪ ،30°‬وقياس الزاوية ‪ BAC‬هو ‪45°‬؛ لأن‬ ‫‪360° - 324° = 36°‬‬ ‫ ‬ ‫ُق ْطر ال ُمر َّبع ُين ِّصف زواياه‪.‬‬ ‫إذن‪ :‬اتجاه النقطة ‪ Y‬من النقطة ‪: X‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪180° - 36° = 144°‬‬ ‫ إذن‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫قياس الزاوية ‪ NAC‬هو‪30° + 45° = 75° :‬‬ ‫ ‬ ‫‪X‬‬ ‫ قياس الزاويــة ‪ NCA‬الداخلية هــو‪ 180° - 75° =105°:‬؛ لأن‬ ‫الزاويتين الداخليتين المتحالفتين بين متوازيين متكاملتان‪.‬‬ ‫ اتجاه ‪ A‬من ‪ C‬يســاوي قيــاس الزاوية ‪ NCA‬المنعكســة‪ ،‬وهو‪:‬‬ ‫‪360° - 105° = 255°‬‬ ‫ ‬ ‫‪Y 324°‬‬ ‫‪NN‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪144C‬‬

‫‪ )22‬لإيجاد اتجاه ‪ S‬من ‪ ،P‬يتع َّين إيجــاد قياس الزاوية ‪ ، QPS‬وليكن‬ ‫انظر رسوم الطلبة‪.‬‬ ‫‪) 20‬‬ ‫هذا القياس ‪.x‬‬ ‫في ما يأتي مثال على الإجابة‪:‬‬ ‫ ‬ ‫قياس الزاوية ‪ NBA‬هو‪90°- 43° = 47° :‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫إذن‪ :‬اتجاه ‪ A‬من ‪ B‬هو‪047° :‬‬ ‫ ‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫قياس الزاوية ‪ NCA‬هو‪90°- 53° = 37° :‬‬ ‫ ‬ ‫من المثلث قائم الزاوية ‪ُ ،STP‬يلا َحظ أن‪:‬‬ ‫ ‬ ‫قياس الزاوية ‪ NAC‬هو‪180°- 37° = 143° :‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪19 √2‬‬ ‫=‬ ‫‪0.3204‬‬ ‫ ‬ ‫إذن‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪19 √2 + 57‬‬ ‫ ‬ ‫اتجاه ‪ C‬من ‪ A‬هو‪143° :‬‬ ‫ ‬ ‫اتجاه ‪ C‬من ‪ B‬هو‪090° :‬‬ ‫‪x = tan-1(0.3204) ≈ 18°‬‬ ‫‪N‬‬ ‫إذن‪ :‬اتجاه ‪ S‬من ‪ P‬هو ‪ُ 018°‬مق َّر ًبا إلى أقرب درجة‪.‬‬ ‫ ‬ ‫الدرس ‪:3‬‬ ‫‪ ) 11‬إيجاد الحالات الثلاث بحسب قانون جيوب التمام‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪84° N‬‬ ‫‪ i)  θ = 120‬‬ ‫‪ ii)  θ = 38.2‬‬ ‫‪ iii)  θ = 21.79‬‬ ‫إذن‪ :‬أصغر زاوية هي ‪ 21.79‬المقابلة للضلع ‪.3a‬‬ ‫‪ B 43°‬‬ ‫‪53° C‬‬ ‫الدرس ‪:4‬‬ ‫‪ )21‬بعد أن قطعت الســفينة ‪ 57 km‬في اتجاه الشمال تح َّولت عند ‪Q‬‬ ‫إلى اتجاه ‪ 045°‬حتى وصلت الموقع ‪.S‬‬ ‫‪(BD)2=(25)2+(73)2-2(25×73×cos 65°)= 4411.443‬‬ ‫‪) 13‬‬ ‫ لإيجاد ‪ُ ،PS‬ير َسم عمود من ‪ S‬إلى امتداد ‪ ،PQ‬فينتج مثلثان قائما‬ ‫‪BD = √4411.443 = 66.418‬‬ ‫الزاوية‪ ،‬هما‪ ،STQ :‬و ‪.STP‬‬ ‫إذن‪ :‬طول ‪ُ BD‬مق َّر ًبا إلى أقرب متر هو ‪66 m‬‬ ‫ ‬ ‫ في المثلــث ‪ ،STQ‬الضلعــان ‪ TS, TQ‬متطابقــان‪ ،‬وك ٌّل منهما‬ ‫يساوي‪:‬‬ ‫× ‪SQ × sin 45° = 38‬‬ ‫‪√2‬‬ ‫‪= 19 √2‬‬ ‫‪km‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫‪ )20‬أخطأت نور حيــن جعلت الزاويــة ‪ A‬محصورة بيــن الضلعين‬ ‫بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث ‪ ،STP‬ينتج‪:‬‬ ‫المعلومين‪.‬‬ ‫‪(SP)2 = (ST)2 + (PT)2‬‬ ‫ ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪= (19 √2 )2 + (19 √2 +57)2‬‬ ‫ ‬ ‫‪9 cm‬‬ ‫‪8 cm‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪= 722 + 7034.1866‬‬ ‫ ‬ ‫‪T‬‬ ‫ ‬ ‫‪19 √2 km‬‬ ‫‪19 √2 km‬‬ ‫ ‬ ‫‪30°‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪38 km‬‬ ‫‪S = 7756.1866‬‬ ‫ ‬ ‫‪SP = √7756.1866‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪45° ≈ 88.1 km‬‬ ‫الزاوية المحصورة بين الضلعين المعلومين هي ‪:B‬‬ ‫ ‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪sin C‬‬ ‫=‬ ‫‪sin 30°‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪C = 34.2°‬‬ ‫‪57 km‬‬ ‫‪B = 115.8°‬‬ ‫‪1‬‬ ‫مساحة المثلث‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪× 9 × 8 × sin115.8°‬‬ ‫‪≈ 32.4 cm2‬‬ ‫ ‬ ‫‪P‬‬ ‫تكــون‬ ‫عندئــ ٍذ‬ ‫‪( C = 145.8°‬مكملــة ‪،)34.2°‬‬ ‫ وقــد تكــون‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ،B = 4.2°‬ومساحة المثلث‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪× 9 × 8 × sin4.2° ≈ 2.64 cm2‬‬ ‫ ‬ ‫‪144D‬‬

‫≠ ‪tan 15°‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ليس صحي ًحا؛ لأن ‪tan 30°‬‬ ‫‪ )16‬‬ ‫الدرس ‪:5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫ارتفاع الشجرة فوق مستوى عيني شيماء هو‪14 tan 30° :‬‬ ‫‪) 8‬‬ ‫قياس الزاوية ‪ EBC‬هو‪cos-1 ( 4 ) = 75.5° :‬‬ ‫إذا كانت زاوية ارتفاع الشجرة بالنسبة إلى ليلى هي ‪ ،θ‬فإن‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪E 5m F‬‬ ‫‪ tan θ‬‬ ‫=‬ ‫‪14 tan 30°‬‬ ‫‪4m‬‬ ‫‪28‬‬ ‫ ‬ ‫=‬ ‫‪8.083‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪B 1m 5m 1m C‬‬ ‫‪ θ = tan-1 (8.083 ÷ 28) ≈ 16.1°‬‬ ‫‪17)  MB = 44÷tan 37° = 58.39‬‬ ‫‪ )9‬الزاوية بين ‪ EM‬والقاعــدة ‪ ABCD‬هي الزاوية ‪ ، EMG‬وإذا ُأن ِزل‬ ‫‪  AM = 44÷tan 53° = 33.16‬‬ ‫عمود من ‪ F‬إلى القاعدة تك َّون المســتطيل ‪ EGHF‬ومثلثان‪ ،‬طول‬ ‫‪ (AB)2=(58.39)2+(33.15)2-2×58.39×33.16 cos 120°‬‬ ‫قاعدة ك ٍّل منهما ‪.1 m‬‬ ‫‪    = 6445.1901‬‬ ‫‪   AB ≈ 80.3 m‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪MG‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫إذن‪ :‬جيب تمام الزاوية ‪ EMG‬هو‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪EM‬‬ ‫‪3.46‬‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫وقياسها هو‪cos-1 ( 3.46 ) = 73.2° :‬‬ ‫‪44m‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪1m‬‬ ‫‪5m‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪53°‬‬ ‫‪120°‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ED‬‬ ‫‪5m H‬‬ ‫‪37°‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫‪7m‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪4m‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪1m‬‬ ‫‪15) (AC)2 = 232.62 + 232.62 = 2(232.6)2‬‬ ‫ حل آخر للســؤال ‪ 17‬بعد إيجاد ‪ ،MA‬و‪ ،MB‬يستعمل الطلبة قانون جيوب‬ ‫‪AC = 232.6 √2‬‬ ‫التمام لإيجاد المســافة بين القاربين‪ .‬ويمكن إيجاد هذه المســافة باعتماد‬ ‫‪V‬‬ ‫المثلثات القائمة فقط كما في الشكل الآتي‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪h 221.2 m‬‬ ‫‪16.6 m‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪M 60°‬‬ ‫‪28.8 m‬‬ ‫‪120°‬‬ ‫‪33.2 m‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪58.4 m‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪232.6 m‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪(AB)2 = 752 + 28.82 = 6454.44‬‬ ‫ ‬ ‫النقطة ‪ M‬هي منتصف ‪AC‬؛ أي إن‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪AB ≈ 80.3 m‬‬ ‫ ‬ ‫= ‪AM‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(232.6 √2‬‬ ‫‪) = 116.3 √2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫‪h2 = 221.22 – (116.3 √2 )2‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪= 21878.06‬‬ ‫‪h =147.9 m‬‬ ‫‪144E‬‬

‫إجابات بند (أتحقق من فهمي) الدرس ‪ :5‬مثال ‪3‬‬ ‫من المثلث ‪َ ،HPA‬يتب َّين أن‪:‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫= ‪AP‬‬ ‫‪600‬‬ ‫‪≈ 715.1 m‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫= ‪CB‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪38.4°‬‬‫‪= 84.5 m‬‬ ‫‪tan 40°‬‬ ‫‪tan 38.4°‬‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫ومن المثلث ‪َ ،HPB‬يتب َّين أن‪:‬‬ ‫‪ BD = √852 + 84.52 = 119.9 m‬‬ ‫= ‪BP‬‬ ‫‪600‬‬ ‫‪≈ 435.9 m‬‬ ‫ ‬ ‫لتكن زاوية ارتفاع قمة المئذنة من النقطة ‪ D‬هي ‪ ،x‬فإن‪:‬‬ ‫‪tan 54°‬‬ ‫‪(AB)2 = 715.12 + 435.92‬‬ ‫ ‬ ‫= ‪ tanx‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪≈0.559‬‬ ‫‪119.9‬‬ ‫    ‪= 701376.82‬‬ ‫‪   x = tan-1(0.559) = 29.2°‬‬ ‫‪AB ≈ 837.5 m‬‬ ‫ ‬ ‫إذن‪ :‬المسافة بين السفينتين ‪ 837.5 m‬تقري ًبا‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪54°‬‬ ‫‪67 m‬‬ ‫‪40°‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪600 cm‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪54°‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪40°‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪85 m‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫اختبار نهاية الوحدة‪:‬‬ ‫‪ )26‬الشيء الذي زاوية انخفاضه أكبر هو الأقرب إلى الناظر‪.‬‬ ‫ في الرسم الآتي‪ ،‬النقطة ‪ B‬هي أقرب إلى النقطة ‪ A‬من بين النقاط‪:‬‬ ‫‪ ،B‬و‪ ،C‬و‪ ،D‬و‪ ،E‬وزاوية انخفاضها هي الكبرى‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E B CD‬‬ ‫‪144F‬‬

‫إجابات كتاب التمارين ‪ -‬الدرس ‪:2‬‬ ‫إجابات كتاب التمارين ‪ -‬الدرس ‪:1‬‬ ‫‪11) C = 105°‬‬ ‫تقع النقطة ‪ C‬عند تقاطع الاتجاهين ‪ 110°‬من ‪ ،A‬و‪ 230°‬من ‪.B‬‬ ‫‪ )5‬‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫ ‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪900‬‬ ‫⇒‬ ‫‪b‬‬ ‫≈‬ ‫‪598.9‬‬ ‫‪NN‬‬ ‫‪sin 40°‬‬ ‫‪sin 105°‬‬ ‫ ‬ ‫= ‪sin 35°‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪⇒ h ≈ 343.5‬‬ ‫‪598.9‬‬ ‫‪110°‬‬ ‫‪B 230°‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ A‬زينة‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪h‬‬ ‫هناء ‪40° B‬‬ ‫‪35°‬‬ ‫‪900 m‬‬ ‫إذن‪ :‬ارتفاع الطائرة ‪ 343.5 m‬تقري ًبا‪.‬‬ ‫تقع النقطة ‪ C‬عند تقاطع الاتجاهين ‪ 105°‬من ‪ ،A‬و‪ 135°‬من ‪.B‬‬ ‫‪ )6‬‬ ‫‪NN‬‬ ‫‪12) C = 99°‬‬ ‫ ‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪⇒ b ≈ 4.24‬‬ ‫‪105°‬‬ ‫‪B 135°‬‬ ‫‪sin 37°‬‬ ‫‪sin 99°‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ ‬ ‫= ‪sin 44°‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪⇒ h ≈ 2.97‬‬ ‫‪4.24‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪44° 37°‬‬ ‫‪bh‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪16‬‬ ‫ )‪7‬‬ ‫‪m∠PAT‬‬ ‫=‬ ‫‪tan-1‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫≈‬ ‫‪66.6°‬‬ ‫‪A 44°‬‬ ‫‪37° B‬‬ ‫‪ m∠PAT = 66.6° - 50° =16.6°‬‬ ‫‪7 km‬‬ ‫إذن‪ :‬ارتفاع الطائرة ‪ 2.97 km‬تقري ًبا‪.‬‬ ‫ اتجــاه الطائرة ‪ P‬من المطار ‪ A‬يســاوي قياس الزاوية المنعكســة‬ ‫‪ ،NAP‬وهو‪360° - 16.6° = 343.4° :‬‬ ‫إجابات كتاب التمارين ‪ -‬الدرس ‪:3‬‬ ‫‪ )16‬الزاوية بين خطي سير القاربين‪123° - 60° = 63° :‬‬ ‫‪P‬‬ ‫المسافة التي قطعها الأول‪ 14km :‬المسافة التي قطعها الثاني‪58 km :‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪NA‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪14km‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪60° 123°‬‬ ‫‪50°‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪58km‬‬ ‫‪8) m∠SPT =tan-1 (14000) ≈ 68.2°‬‬ ‫‪ ⇒ m∠NPS =120° - 68.2 = 51.8°‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ ‬ ‫اتجاه السفينة من الميناء الآن هو‪051.8° :‬‬ ‫‪ (AB)2 = 142+ 582-2× 14×58 × cos 63°‬‬ ‫‪NS‬‬ ‫‪ ⇒ AB ≈ 53.1 km‬‬ ‫‪120°‬‬ ‫‪P 100‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪144G‬‬

‫ )‪4‬‬ ‫‪m∠NPR = tan-1‬‬ ‫(‬ ‫‪12‬‬ ‫)‬ ‫≈‬ ‫‪67.4‬‬ ‫‪ ) 17‬الزاوية بين خطي سير السفينتين‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪130°-75° = 55°‬‬ ‫ ‬ ‫ )‪5‬‬ ‫‪BD‬‬ ‫=‬ ‫‪25‬‬ ‫≈‬ ‫‪81.8‬‬ ‫ المســافة التي قطعتها الســفينة الأولى من الســاعة ‪ 9‬صبا ًحا إلى‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫‪tan 17°‬‬ ‫الساعة ‪ 11‬صبا ًحا‪40 km :‬‬ ‫ المسافة التي قطعتها السفينة الثانية من الساعة ‪ 9‬صبا ًحا إلى الساعة‬ ‫ ‬ ‫‪AD‬‬ ‫=‬ ‫‪25‬‬ ‫≈‬ ‫‪41.6‬‬ ‫‪ 11‬صبا ًحا‪50 km :‬‬ ‫‪tan 31°‬‬ ‫لتكن المسافة بين السفينتين عندئ ٍذ ‪:d‬‬ ‫ ‬ ‫‪ AB = √81.82 + 41.62 = 91.8 m‬‬ ‫‪d2 = 402 + 502 - 2×40×50 × cos55° ⇒ d ≈ 42.5 km‬‬ ‫ ‬ ‫‪M‬‬ ‫‪31°‬‬ ‫‪17°‬‬ ‫إجابات كتاب التمارين ‪ -‬الدرس ‪:4‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪9) QR = √262 - 242 = 10‬‬ ‫مساحة المنطقة المظللة= مساحة نصف الدائرة – مساحة المثلث القائم ‪PQR‬‬ ‫‪31°‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪17°‬‬ ‫‪ = 0.5×132× π – 0.5 ×24 ×10 ≈ 145.5‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ ) 10‬قياس زاوية رأس المثلث‪ 77.4° :‬تقري ًبا‪.‬‬ ‫‪tan 35°‬‬ ‫ )‪6‬‬ ‫‪CB‬‬ ‫=‬ ‫≈‬ ‫‪17.1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫;‬ ‫مساحة النافذة = مساحة المثلث ‪ +‬مساحة المستطيل‬ ‫‪12‬‬ ‫‪= 0.5 ×1.6 ×1.6 × sin 77.4° + 2 × 1.2 ≈ 3.65‬‬ ‫ ‬ ‫‪tan 23°‬‬ ‫ ‬ ‫‪DB‬‬ ‫=‬ ‫≈‬ ‫‪28.3‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ CD = √17.12 + 28.32 = 33.1 m‬‬ ‫ )‪11‬‬ ‫‪25‬‬ ‫=‬ ‫‪18‬‬ ‫‪⇒ M ≈ 63.2°‬‬ ‫‪sin M‬‬ ‫‪sin 40°‬‬ ‫اتجاه ‪ D‬من ‪ C‬يســاوي قياس الزاوية بين خط الشــمال ‪ C→D‬والقطعة ‪، CD‬‬ ‫‪ N ≈ 76.8°‬‬ ‫‪ K = 0.5 × 25 × 18 × sin 76.8° ≈ 219‬‬ ‫وهو‪m∠NCB + m∠BCD :‬‬ ‫( ‪= 90° + tan-1‬‬ ‫‪28.3‬‬ ‫‪) ≈ 90° + 58.9° = 148.9°‬‬ ‫ )‪12‬‬ ‫‪32.6‬‬ ‫=‬ ‫‪24.1‬‬ ‫‪⇒ C ≈ 47.6°‬‬ ‫‪17.1‬‬ ‫‪sin 93°‬‬ ‫‪sin C‬‬ ‫‪NA‬‬ ‫‪ A ≈ 39.4°‬‬ ‫‪35° 12‬‬ ‫‪ K = 0.5 × 32.6 × 24.1 × sin 39.4° ≈ 249.3‬‬ ‫‪C B 23°‬‬ ‫‪D‬‬ ‫إجابات كتاب التمارين ‪ -‬الدرس ‪:5‬‬ ‫‪1) AC = √52 + 72 = √74‬‬ ‫‪ AG = √74 + 32 = √83 ≈ 9.1‬‬ ‫ )‪7‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫=‬ ‫‪150‬‬ ‫≈‬ ‫‪125.9‬‬ ‫‪m‬‬ ‫;‬ ‫ )‪2‬‬ ‫‪m∠GAC = tan-1 ( 3 ) ≈ 19.2°‬‬ ‫‪tan 50°‬‬ ‫‪√74‬‬ ‫‪ AB = √125.92 + 3002 ≈ 325.3 m‬‬ ‫اتجاه ‪ A‬من ‪ B‬يســاوي قياس الزاوية ‪CBA‬؛ لأن ‪ BC‬هو خط الشمال المار‬ ‫ )‪3‬‬ ‫‪RP = √32 + 42 = 5‬‬ ‫‪NP = √52 + 122 = √169 = 13‬‬ ‫( ‪tan-1‬‬ ‫‪300‬‬ ‫بـ‪ ،B ‬وهي‪) ≈ 67.2° :‬‬ ‫ ‬ ‫‪125.9‬‬ ‫إذن‪ :‬الاتجاه المطلوب هو ‪067.2°‬‬ ‫‪144H‬‬

‫ورقة العمل ‪1‬‬ ‫الدرس ‪ :1‬الاتجاه من الشمال‪.‬‬ ‫اعتمد النقاط الآتية في الإجابة عن الأسئلة التي تلي‪:‬‬ ‫‪LN‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ )1‬أجد اتجاه النقطة ‪ M‬من النقطة ‪.L‬‬ ‫‪ )2‬أجد اتجاه النقطة ‪ M‬من النقطة ‪.N‬‬ ‫‪ )3‬أجد اتجاه النقطة ‪ N‬من النقطة ‪.M‬‬ ‫‪A1‬‬

‫ورقة العمل ‪2‬‬ ‫الدرس ‪ :1‬الاتجاه من الشمال‪.‬‬ ‫إرﺑ ﹸﺪ‬ ‫إرﺑﺪ‬ ‫اعتما ًدا على الخريطة في الشكل المجاور‪ ،‬أجيب عن الأسئلة الآتية‪:‬‬ ‫ﻋﺠﻠﻮن‬ ‫ﺟﺮش‬ ‫اﳌﻔﺮق‬ ‫ﻋﺠﻠﻮ ﹸن‬ ‫ﺟﺮ ﹸش‬ ‫اﻟﺴﻠﻂ‬ ‫اﻟﺰرﻗﺎء‬ ‫اﻟﺒﻠﻘﺎ ﹸء‬ ‫اﻟﺰرﻗﺎ ﹸء‬ ‫ﻋﲈن‬ ‫ﻣﺎدﺑﺎ‬ ‫ﻋ ﹼﲈ ﹸن ﻣﺄدﺑﺎ‬ ‫‪ )4‬أجد اتجاه مدينة السلط من مدينة ع ّمان‪.‬‬ ‫اﻟﻜﺮك‬ ‫‪ )5‬أجد اتجاه مدينة ع ّمان من مدينة مأدبا‪.‬‬ ‫‪ )6‬أختار أي مدينتين‪ ،A :‬أو ‪ B‬من الخريطة‪ ،‬ثم أجد اتجاه ‪ A‬من ‪ ،B‬واتجاه ‪ B‬من ‪.A‬‬ ‫اﻟﻜﺮ ﹸك‬ ‫‪A2‬‬ ‫اﻟﻄﻔﻴﻠﺔ‬