ma32204

ค32204 คณติ เพ่ิม3 ม. 5 ฟง� ก์ชันตรโี กณมิติ ครูเณรศิ า พรหมวิลยั 0 ======================================================================================================= คณิตศาสตรเ์ พิม่ 3 5ค32204 ช้นั มัธยมศกึ ษาปท� ี่ 1 2561ภาคเรยี นท่ี ป�การศกึ ษา ช่อื ........................................ชั้น ม.5/.......เลขท…่ี …. ครเู ณรศิ า พรหมวิลัย โรงเรยี นสตรีภูเก็ต =======================================================================================================

ค32204 คณิตเพ่ิม3 ม. 5 ฟง� ก์ชันตรโี กณมติ ิ ครูเณรศิ า พรหมวิลัย 1 ======================================================================================================= ฟง� กช์ ันเอกซโ์ พเนนเชียล (Exponential Function) **ให้นกั เรยี นทบทวนเน้อื หาเรอ่ื งเลขยกกําลงั ในคณิตศาสตร์พ้ืนฐานประกอบการเรยี นด้วย** ฟ�งกช์ ันเอกซโ์ พเนนเชยี ล คอื f = { (x, y) ∈ R × R+ / y = ax , a > 0, a ≠ 1 } จากการศกึ ษาในเรือ่ งเลขยกกําลัง ซงึ่ ทา้ ยที่สุดเราได้สนใจเลขยกกําลังที่มฐี านเปน� จาํ นวนจรงิ บวก และ เลขชก้ี าํ ลงั เปน� จาํ นวนจรงิ ใด ๆ แต่ได้มนี ักคณติ ศาสตรไ์ ดส้ ังเกตเห็นวา่ ถ้าเลขยกกําลงั มฐี านเป�น 1 และเลขชี้กําลงั เปน� จํานวนจรงิ ใด ๆ ดงั นี้ ถ้ากาํ หนดให้ a = 1 และ x เปน� จํานวนจรงิ ใดแลว้ จะได้ ax = 1x = 1 ขอ้ ตกลง ในหนังสือคณิตศาสตร์บางเล่มให้ข้อกําหนดของฟ�งก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เป�นฟ�งก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = kax เม่ือ k เป�นค่าคงตัวท่ีไม่ใช่ 0 และ a เป�นจํานวนจริงบวกท่ีไม่เป�น 1 แต่ในหลักสูตร ม.ปลาย จะถือว่าฟ�งก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะอยู่ในรูป f(x) = ax เม่ือ a เป�น จํานวนจริงบวกที่ไม่เป�น 1 เทา่ นนั้ ข้อสังเกต จากขอ้ กาํ หนดฟ�งก์ชนั เอกซโ์ พเนนเชียล 1. f(x) = 1x เป�นฟ�งก์ชนั คงตวั เนอื่ งจาก 1x = 1 ดังนัน้ ในข้อกําหนดฟ�งกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชยี ล จงึ ไมส่ นใจ ฐาน (a) ทเี่ ป�น 1 2. f(x) = 1x ไมเ่ ปน� ฟง� ก์ชันเอก็ ซโ์ พเนนเชยี ล เนื่องจาก f(x) = 1x เปน� ฟง� กช์ ันคงตัว 3. จากเง่อื นไขทว่ี ่า y = ax, a > 0, a ≠ 1 ทําใหเ้ ราทราบได้เลยวา่ ฐาน (a) มีอยู่ 2 ลักษณะ คอื 0 < a < 1 กบั a > 1 4. ฟง� กช์ ันเอกซ์โพเนนเชยี ลจะมีอยู่ 2 ชนดิ โดยขนึ้ อยกู่ บั ลักษณะของฐาน (a) ดงั น้ี ชนดิ ที่ 1 y = ax, 0 < a < 1 ชนิดท่ี 2 y = ax, a > 1 =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพิ่ม3 ม. 5 ฟ�งก์ชันตรโี กณมติ ิ ครูเณริศา พรหมวลิ ยั 2 ======================================================================================================= เขียนกราฟของฟง� ก์ชัน y = ax ลองศกึ ษารูปร่างกราฟของฟง� ก์ชัน y = ax, 0 < a < 1 จากตัวอยา่ งดังต่อไปนี้ ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของฟ�งกช์ ัน y=  1  x 2 x วิธีทํา ฟง� กช์ ัน y=  1  เปน� ฟง� ก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลทม่ี ฐี าน a เปน� จาํ นวนจริงบวกทีม่ คี า่ น้อยกว่า 1 (0<a<1 นัน่ เอง) 2  x เขียนตารางแสดงจดุ ผา่ นบางจดุ ของกราฟ y=  1 ดังนี้ 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y y 8 x 6 246 4 2 -6 -4 -2 0  1  x 2 จากตวั อย่าง ที่แสดงให้เหน็ รปู ร่างกราฟของฟ�งก์ชัน y= จะเห็นได้วา่ 1. ค่าของ y จะเพิม่ ข้ึนอย่างรวดเรว็ เมอื่ x มีค่าเปน� จาํ นวนที่นอ้ ยลงเร่ือย ๆ 2. คา่ ของ y จะคอ่ ย ๆ ลดลงเข้าใกล้ศนู ย์เม่อื x มีคา่ เป�นจาํ นวนบวกมากขึ้น  1  x 2 อ า จ ก ล่ า ว ไ ด้ ว่ า เม่ือ x มีค่าเพ่ิมขึ้นจะทําให้ y มีค่าลดลงตามไปด้วย แ ส ด ง ว่ า ฟ� ง ก์ ชั น ก์ y = จึ งเป� น  1  x 2 ฟ�งก์ชันลดในโดเมนของฟ�งก์ชันซึ่งเป�นเซตของจํานวนจริง ถูกเรียกสั้น ๆ ว่า y = เป�นฟ� งก์ ชัน ลด (Decreasing Function) =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพ่ิม3 ม. 5 ฟ�งก์ชันตรโี กณมิติ ครูเณรศิ า พรหมวลิ ัย 3 ======================================================================================================= =======================================================================================================

ค32204 คณิตเพ่ิม3 ม. 5 ฟง� ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ ครเู ณริศา พรหมวิลัย 4 ======================================================================================================= จงเขียนกราฟของฟ�งกช์ นั ต่อไปนี้ Y 1. y = 2x 8 x 6 y 4 -5 2 5X 5X 2. y =  1  x Y 3 8 x 6 y 4 2 -5 ขอ้ สงั เกต 1. กราฟของ y = ax ,a > 0 และ a ≠ 0 จะผ่านจดุ (0,1) เสมอ เนอ่ื งจาก a0 = 1 2. ถา้ a > 1 แล้ว y = ax เป�นฟ�งก์ชันเพ่มิ ถา้ 0 < a < 1 แล้ว y = ax เปน� ฟ�งก์ชันลด =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพ่ิม3 ม. 5 ฟ�งก์ชันตรโี กณมติ ิ ครเู ณรศิ า พรหมวลิ ยั 5 ======================================================================================================= จงบอกวา่ ฟง� ก์ชันต่อไปนีเ้ ปน� ฟ�งกช์ นั เพิม่ หรือลด  1  x  4  x  4  − x 3 3 3 1. y = 7x 2. y = 3. y = 4. y = 5. y = (2.2) x  a 2  x  a + 1 x + a 6. y = 1 a 2 7. y = ทบทวนกนั หนอ่ ย ใช้ความรเู้ ร่อื งเลขยกกําลงั เรยี งลําดับค่าตอ่ ไปน้จี ากนอ้ ยไปมาก 1) 243 , 234 , 432 , 423 2) 100100 , 101000 , 100010 สมการเอกซ์โพเนนเชียล การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชยี ล หลกั การ กาํ หนดให้ a > 0 , a ≠ 1 และ b > 0 , b ≠ 1 1. a∆ = a ก็ต่อเมอ่ื ∆ =  (พยายามทําฐานใหเ้ หมอื นกัน) 2. ถา้ a∆ = b และ a ≠ b แลว้ ∆ =  = 0 เทา่ น้ัน สงิ่ ทค่ี วรเน้น คําตอบทไี่ ดจ้ ากการแกส้ มการ ไม่ตอ้ งนาํ มาตรวจสอบคําตอบ ยกเว้นในกรณีมกี ารยกกาํ ลงั จํานวนคู่ จะตอ้ งตรวจสอบคาํ ตอบดว้ ย ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาค่า x ของสมการ 3x+2 = 243 ตวั อยา่ งท่ี 2 จงแก้สมการ 5x2 −3x = 1 (2,1) 25 (3) =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพิ่ม3 ม. 5 ฟง� ก์ชันตรโี กณมติ ิ ครเู ณรศิ า พรหมวลิ ยั 6 ======================================================================================================= ตวั อย่าง 3 จงแกส้ มการ 10x – 5x-1 ⋅ 2x-2 = 950 (3) จงแกส้ มการตอ่ ไปน้ี 2. 2x = 1 1. 5x = 625 128 3. 82x+1 = 16x+2  1  x +2 27 x −2 9 4. = *5. 23x−1 ⋅ 6x ⋅ 255x−1 = 75x 6. 22x − 8 ⋅ 2x + 16 = 0 =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพิ่ม3 ม. 5 ฟ�งก์ชันตรโี กณมิติ ครูเณรศิ า พรหมวิลยั 7 ======================================================================================================= อสมการเอกซโ์ พเนนเชยี ล เทคนิคชดุ ท่ี 1 การแกอ้ สมการเอกซโ์ พเนนเชียลท่ที ําฐานใหเ้ หมือนกันได้ หลักการ 1. ถา้ 0 < a < 1 (ฟ�งก์ชนั ลด) แล้ว x1 < x2 1. ax1 > ax2 กต็ อ่ เมื่อ เปล่ียน 2. ax1 < ax2 กต็ ่อเมื่อ x1 > x2 เปลยี่ น ข้อสงั เกต สาํ หรับ 0 < a < 1 เมื่อปลดฐาน หรือเตมิ ฐาน เปลี่ยนเคร่ืองหมายอสมการ 2. ถ้า a > 1 (ฟ�งก์ชันเพม่ิ ) แลว้ x1 > x2 x1 < x2 1. ax1 > ax2 กต็ อ่ เมอ่ื ไมเปล่ียน 2. ax1 < ax2 ก็ต่อเมื่อ ไมเ ปลีย่ น ขอสังเกต สําหรบั a > 1 เมื่อปลดฐาน หรอื เติมฐาน คงเดมิ เครอื่ งหมายอสมการ สิง่ ท่คี วรเนน คําตอบท่ไี ดจ ากการแกอ สมการ ไมต องนาํ มาตรวจสอบคาํ ตอบ ยกเวน ในกรณที ม่ี ีการยกกาํ ลังจาํ นวนคู จะตอ งตรวจสอบคําตอบดว ย ตัวอย่าง จงหาเซตคาํ ตอบของอสมการ ( 1 )x 2 +2 x+8 < ( 41)x+12 2 วิธีทาํ =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพ่ิม3 ม. 5 ฟ�งก์ชันตรโี กณมิติ ครูเณรศิ า พรหมวลิ ัย 8 ======================================================================================================= =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพ่ิม3 ม. 5 ฟ�งก์ชันตรโี กณมติ ิ ครเู ณริศา พรหมวลิ ัย 9 ======================================================================================================= จงหาเซตคําตอบของอสมการต่อไปน้ี  1  x 1 1. 3x ≤ 81 2 4 (−∞,4] 2. < (2, ∞)  2  x 81 5x  1  −1 3 16 125 3. ≥ (−∞,−4] 4. ≤ (−∞,3] จงเปรยี บเทยี บคา่ ตอ่ ไปน้ี (เม่อื กําหนด a > 0) โดยเตมิ เครือ่ งหมาย > หรอื <  a  7  a  8 a+1 a+1 + + 1. a 1 …………………. a 1 2. ( 5) a ………………………….. ( 7) a วธิ ีพจิ ารณา 1. ฐานมากกวา่ 1 หรือไม.่ ........... 2. จากข้อ 1. สรุปได้ว่าเปน� ฟ�งก์ชนั ................ 3. ตอ้ งเปลย่ี นเครื่องหมายอสมการหรอื ไม่ ............ จากโจทย์ 7 ................ 8  a  7  a  8 + + ดงั น้นั a 1 …………………. a 1  a + 1  0.5  a + 1 0.6  a  −2  a −3 a a + + 3. …………………. 4. a 1 ………………………. a 1 =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพ่ิม3 ม. 5 ฟ�งก์ชนั ตรโี กณมติ ิ ครเู ณรศิ า พรหมวลิ ยั 10 ======================================================================================================= ฟ�งกช์ ันลอการิทึม ฟ�งกช์ นั ลอการิทมึ 1.ฟง� กช์ นั อนิ เวอรส์ ของฟง� กช์ นั เอกซโ์ พเนนเชยี ลสามารถเขยี นใหมไ่ ด้เปน� { (x, y) ∈ R+×R / y = logax, a > 0, a ≠ 1 } 2. ฟง� ก์ชนั อินเวอรส์ ของฟง� กช์ ันเอกซโ์ พเนนเชียล ถูกเรียกใหม่วา่ ฟ�งก์ชนั ลอการทิ ึม 3. logax ถกู อ่านออกเสยี งว่า “ลอการิทึมเอกซ์ฐานเอ” หรือ “ลอ็ กเอกซฐ์ านเอ” กราฟของฟง� ก์ชันลอการทิ ึม จากที่เราทราบอยู่แล้วว่าฟ�งก์ชันลอการิทึม กับ ฟ�งก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป�นอินเวอร์สซ่ึงกันและกัน แสดงว่า กราฟของฟง� ก์ชนั ทัง้ สองจะสมมาตรซงึ่ กันและกนั เม่อื เทยี บกับเส้นตรง y = x ดงั นั้น จงึ ได้กราฟของฟง� กช์ ันลอการิทมึ ทั้ง 2 ชนดิ โดยขน้ึ อยกู่ บั ลกั ษณะของฐาน (a) ดงั ตารางตอ่ ไปนี้ y = ax กบั y = logax, เมือ่ 0 < a < 1 y = ax กบั y = logax, เมอ่ื a > 1 expo y=ax expo y=ax12 12 10 10 8 8 6 6 4 4 2 2 -5 -5 5 10 15 -2 5 10 15 -2 -4 -6 log y=log a x -4 -6 -8 log y=log a x =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพ่ิม3 ม. 5 ฟง� ก์ชันตรโี กณมิติ ครูเณรศิ า พรหมวิลัย 11 ======================================================================================================= =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพิ่ม3 ม. 5 ฟง� ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ ครูเณรศิ า พรหมวิลยั 12 ======================================================================================================= สมบตั ิของลอการิทึม ศกึ ษาการพสิ ูจนส์ มบัติ log ไดท้ ่ี กําหนดให้จาํ นวนทกุ จาํ นวนต่อไปน้ีมคี วามหมายและสามารถหาคา่ ได้ ข้อที่ 1 y = logax กต็ ่อเมือ่ x = ay ตัวอย่าง จงเปลี่ยนจาํ นวนต่อไปนีใ้ นรูปลอการทึม หรอื เอกซโ์ ปเนนเชยี ล 1. 27 = 3x ....................................... 2. 10000 = 104 ....................................... ....................................... 1 ....................................... 4. 8 = ( 1 ) −3 ....................................... ....................................... 2 3. 7 = (49) 2 1 6. 2 = log 4 2 5. 3 = log 5 125 7. 3 = log 5 5 5 ....................................... 8. จงหาจํานวนจริง x ทีส่ อดคลอ้ งกบั สมการ log5 625 = x 9. จงหาจํานวนจริง x ทีส่ อดคล้องกับสมการ log x 8 = 3 ข้อท่ี 2 log a 1 = 0 เชน่ ................................................................... ข้อที่ 3 ขอ้ ที่ 4 log a a = 1 เช่น.................................................................. ข้อท่ี 5 ข้อท่ี 6 log a MN = log a M + log a N เชน่ .................................................................. ข้อท่ี 7 ข้อที่ 8 log a M = log a M − log a N เชน่ .................................................................. ขอ้ ที่ 9 N log a Mp = p log a M เช่น.................................................................. log a M = log b M เช่น.................................................................. log b a เชน่ .................................................................. เชน่ .................................................................. log aP M = 1 log a M p a loga x =x =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพิ่ม3 ม. 5 ฟ�งก์ชนั ตรโี กณมติ ิ ครูเณริศา พรหมวลิ ัย 13 ======================================================================================================= ขอ้ ที่ 10 log a b = 1 เช่น.................................................................. log b a =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพิ่ม3 ม. 5 ฟง� ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ ครูเณรศิ า พรหมวลิ ยั 14 ======================================================================================================= แบบฝ�กหดั จงหาคา่ ของลอการิทึมต่อไปนี้ 1. log 4 1024 (5) 2. log 25 0.008 ( − 3 ) 2 3. log 5 125 5 ( 7 ) 4. log 7 2401 (8) 2 5. log 2 2 325 4 ( 18 ) 6. log 2 5 64 ( 6 ) 5 5 8. log10 35 + log10 6 − log10 7 + log10 10 − log10 3 (2) log ฐาน 10 สามารถเขยี นหรือไมเ่ ขยี น เลขกํากบั ฐานกไ็ ด้ แต่ส่วนใหญ่ ไมน่ ิยมเขยี นกํากับ ศกึ ษาเพิ่มเติมที่ =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพ่ิม3 ม. 5 ฟง� ก์ชันตรโี กณมติ ิ ครูเณรศิ า พรหมวิลัย 15 ======================================================================================================= 9. log 20 + 7 log 15 + 5 log 24 + 3 log 80 (1) 16 25 81 10. 16 log 10 − 4 log 25 − 7 log 80 (log5) 9 24 81 11. log(a − b) + log(a + b) − log(a2 − b2 ) + log a2 − log b2 เม่ือ a=20, b=2 (2) 12. log8 64 + log 4 64 − log3 27 − 5 (-3) 13. log 8 128 × log 4 0.25 ( − 7 ) 3 =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพ่ิม3 ม. 5 ฟง� ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ ครูเณรศิ า พรหมวิลยั 16 ======================================================================================================= จาก log 10 = 1 14. จงเขยี น log45 ในรูปของ a,b ถ้ากาํ หนดให้ จะได้ว่า log(2 × 5) = 1 log2 =a และ log3 = b (2b -a+1) ดังน้ัน log 2 + log 5 = 1 15. 1+1+1 (1) log a abc log b abc log c abc 16. จงพสิ จู น์ ถ้า x = log a (a − by) − log a y แล้ว y = a b ax + ศึกษาโจทยเพิม่ เตมิ ไดที่ 17. จงพสิ จู น์วา่ log a d = log a b × log b c × log c d การหาคา่ ลอการิทึม ลอการทิ ึมสามัญ หมายถงึ ลอการิทึมฐาน 10 ซ่ึงนิยมเขียนโดยไมม่ ีฐานกาํ กับ เชน่ log10 7 เขยี นแทนด้วย log 7 พจิ ารณาคา่ ของลอการทิ มึ ของจํานวนเต็มทส่ี ามารถเขยี นในรูป 10n เมอ่ื n ∈ I log10 = log101 = 1 ดังน้นั log10n = n log100 = log102 = 2 log1000 = log103 = 3 จาํ นวนจริงบวก N ใด ๆ สามารถเขียนในรูป A ×10n ได้เสมอ เม่ือ 1 < A < 10 และ n เป�นจาํ นวนเต็ม =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพ่ิม3 ม. 5 ฟง� ก์ชนั ตรโี กณมิติ ครเู ณรศิ า พรหมวลิ ยั 17 ======================================================================================================= เนอื่ งจาก N = A ×10n ศกึ ษาเพมิ่ เติมท่ี ดังนัน้ log N = log(A ×10n ) = log A + log10n = log A + n เรียก logA ว่า แมนทิสซา (mantissa) เรียก n ซ่งึ เป�นจาํ นวนเต็มวา่ คาแรกเทอริสตกิ (characteristic) =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพิ่ม3 ม. 5 ฟ�งก์ชันตรโี กณมิติ ครูเณรศิ า พรหมวิลยั 18 ======================================================================================================= แบบฝก� หดั เรอื่ ง การหาค่าลอการทิ มึ 1. กาํ หนด log4.85 = 0.6857 จงหาคา่ ของ 1.1 log485 (2.6857) 1.2 log 0.485 (-0.3143) 2. กําหนด log89.6 = 1.9523 จงหาคา่ ของ 2.1 log 8.96 (0.9523) 2.2 log0.00896 (-2.0477) 3. กาํ หนดให้ log0.00642 = -2.195 คา่ ของ log642 มคี ่าเท่าใด (1.875) ศกึ ษาเพิ่มเติมท่ี แอนติลอการิทมึ 1. ถ้า log N = K แล้ว N จะถกู เรยี กว่า แอนติลอการทิ มึ (antilogarithm) ของ logK 2. ถา้ log N = K แลว้ N จะถูกเขยี นส้ัน ๆ ไดเ้ ปน� antilog (K) แสดงว่า N = antilog (K) = 10k จากข้อกาํ หนดทาํ ใหเ้ ราทราบได้ว่า 1. antilog (K) = 10k 2. ต้องระลึกอยูเ่ สมอวา่ สามารถย้ายข้าง antilog ไปเปน� log ได้ และ สามารถยา้ ยขา้ ง log ไปเปน� antilog ได้ แสดงว่าถา้ เราเจอ N= antilog (K) N = antilog (K) ยา้ ยขา้ ง * จะได้ log N = K หรือถ้าเราเจอ log N = K สามารถย้ายขา้ ง log N = K =======================================================================================================

ค32204 คณิตเพ่ิม3 ม. 5 ฟง� ก์ชันตรโี กณมิติ ครูเณรศิ า พรหมวิลยั 19 ======================================================================================================= ย้ายขา้ ง * จะได้ N = antilog (K) สรุป เรยี ก N ว่า แอนตลิ อการิทมึ ของ logN ซงึ่ เปน� วธิ กี ารหาค่า N เม่อื กําหนด logN ให้ มีสมบตั คิ ือ 1. antiloga=x เมอื่ logx=a 2. antilog(loga)=a แบบฝก� หดั (N=11,530) 1. กําหนด log1.15 = 0.0607 จงหาค่าของ antilog0.0607 ...................................... 2. กาํ หนด antilog0.06184=1.153 จงหาคา่ ของ N เมือ่ logN=4.06184 3. จงหาคา่ ของ antilog(8log2-log129) ( 28 ) 129 4 . ให้ log34.2 = 1.5328 จงหาค่าของ x เมอ่ื logx = -2.4672 ( 3.24 ×10−3 หรอื 0.00324) ลอการทิ ึมธรรมชาติ (Natural logarithm) ขอ้ กําหนด 1. ลอการิทึมธรรมชาติ หมายถึง ลอการิทึมท่ีมีฐานเป�น e โดยท่ี e เป�นสัญลักษณ์แทนจํานวนอตรรกยะจํานวน หนงึ่ ซึ่งมีค่าประมาณ 2.7182818 แสดงว่า logex คอื ลอการิทึมธรรมชาติ น่นั เอง 2. การเขยี นลอการทิ ึมของ x ฐาน e นิยมเขียน lnx แทน logex =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพ่ิม3 ม. 5 ฟ�งก์ชันตรโี กณมิติ ครูเณรศิ า พรหมวลิ ยั 20 ======================================================================================================= 3. ”ลอการิทึมธรรมชาติ (Natural logarithms)” อาจถูกเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า “ลอการิทึมแบบเนเป�ยร์ (Napierian logarithms) ขอ้ ควรเนน้ ถา้ เราเจอ lnx อยากเปล่ียนไปเป�น logex แลว้ คิดทําทกุ อย่างเหมือนที่เคยคดิ ทาํ log ทวั่ ๆ ไป =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพ่ิม3 ม. 5 ฟ�งก์ชนั ตรโี กณมิติ ครเู ณริศา พรหมวลิ ัย 21 ======================================================================================================= ส่งิ ทีค่ วรทราบ 1. เราอาจหาคา่ ลอการิทึมฐาน e โดยอาศยั ลอการิทึมฐานสิบไดด้ งั นี้ จาก lnx = logex lnx = log x log e เราพบวา่ loge = log 2.718 (e ≈ 2.718) ดงั น้นั lnx = 0.4343 = log x 0.4343 ตัวอยา่ ง จงหาคา่ ของ ln25 แบบฝ�กหัด เรอ่ื ง ลอการิทึมธรรมชาติ 1. กาํ หนด log114=2.0569, log0.324=-0.4895 และ loge= 0.4343 จงหา 1.1 ln114 (4.736) 1.2 ln0.324 (-1.1271) 2. จงหาคา่ ของ (0) 2.2 eln10 (10) 2.1 ln3-ln6+ln2 3. จงหาค่าของ ln0.324 เมอื่ กําหนด antilog0.5105=3.24 (-1.1271) =======================================================================================================

ค32204 คณิตเพิ่ม3 ม. 5 ฟง� ก์ชันตรโี กณมิติ ครเู ณริศา พรหมวลิ ัย 22 ======================================================================================================= ตารางคา logx =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพ่ิม3 ม. 5 ฟง� ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ ครเู ณรศิ า พรหมวลิ ยั 23 ======================================================================================================= สมการลอการทิ ึม ศึกษาเพม่ิ เตมิ ที่ การแกส้ มการลอการทิ มึ หลักการ กาํ หนดให้ a > 0, a ≠ 1 และ b > 0, b ≠ 1 1. loga∆ = loga กต็ อ่ เม่ือ ∆ =  (พยายามทาํ ฐานให้เหมือนกัน) 2. loga∆ =  ก็ต่อเม่อื ∆ = a 3. ถ้า loga∆ = logb และ a ≠ b แลว้ ∆ =  = 1 สง่ิ ท่คี วรเน้น คําตอบทไ่ี ด้จากการแกส้ มการ จะตอ้ งนํามาตรวจสอบคําตอบว่า 1. ตัวเลขหลัง log หา้ มเป�นจํานวนลบและศนู ยโ์ ดยเด็ดขาด 2. ตวั เลขหลงั log ตอ้ งเป�นจาํ นวนบวกเท่านนั้ (R+) ตวั อย่าง 1 จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ xlog x = 100x วิธีทํา จาก x log x = 100x Take log ทง้ั สองขา้ ง log xlog x = log100x ดังนัน้ เซตคําตอบของสมการคือ { 10-1 , 102 } แบบฝก� หัด จงหาคา่ x จากสมการ 1. log2 (x − 2) + log2 (x − 3) = 1 (4) 2. log 3 x = log 9 4 (2) 3. log7 49 + log3 (27)x = log1 ( − 2 ) 4. log7 2 + log 49 x = log 1 3 ( 1 ) 3 12 7 =======================================================================================================

ค32204 คณิตเพิ่ม3 ม. 5 ฟง� ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ ครเู ณรศิ า พรหมวลิ ัย 24 ======================================================================================================= 5. log 5 (x − 3) − log5 (x − 2) = log5 (x + 1) − log5 (2x −1) (5) 6. 3log3 (x2 −7) = 2 (-3,3) 7. กําหนด log2 = 0.3010, log3= 0.4771, log7= 0.8451 จงหาค่า x จากสมการ 7.1 2x = 52x−1 (≈0.64) 7.2 3x = 10 (≈2.096) **7.3 22x − 4 ⋅ 2x + 3 = 0 (0, 1.585) **7.4 (3 − 2) x+2 = (2 − 3)4x+8 (-2) =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพ่ิม3 ม. 5 ฟง� ก์ชันตรโี กณมิติ ครูเณรศิ า พรหมวิลัย 25 ======================================================================================================= =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพ่ิม3 ม. 5 ฟง� ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ ครเู ณรศิ า พรหมวลิ ัย 26 =======================================================================================================  อสมการลอการิทมึ หลกั การ (ดฐู านของ log ถา้ ฐาน 0<a<1 เปล่ยี นเคร่ืองหมายอสมการ , ถ้าฐาน a>1 ไม่เปลีย่ นเครอ่ื งหมายอสมการ) 1. log 24 (x2 − 2x) < 2 2. log5 (2x + 4) > log5 (5x + 3) 3. log 1 (2x − 4) > log 1 (x + 1) 33 =======================================================================================================

ค32204 คณิตเพิ่ม3 ม. 5 ฟ�งก์ชนั ตรโี กณมิติ ครเู ณรศิ า พรหมวลิ ัย 27 ======================================================================================================= แบบฝ�กหดั เพ่ิมเตมิ จงหาคา่ ของ 1. log 3 1 (-2) 2. log 1 3 49 ( − 2 ) 9 3 7 3. log10 (0.0001) (-4) 4. log 10 1 ( − 3 ) 10 10 2 5. log 3 3 1 ( − 1 ) 6. log10 (−100) (หาค่า 3 3 ไมไ่ ด้) 10log3 6 ⋅ 15log 3 2 3 7. (3,000) log3 2 5log3 4 6 9 ⋅ 27 =======================================================================================================

ค32204 คณิตเพิ่ม3 ม. 5 ฟง� ก์ชันตรโี กณมติ ิ ครูเณริศา พรหมวิลยั 28 ======================================================================================================= [ ]8. log a log 2 (log 3 9) (0) 9. log 3 log 2 log 2 log 2 16 (0) 10. 91+log9 2−log3 4 ( 9 ) 8 11. log 5 625⋅ log 7 343 + 2 log 3 900 − 4 log 3 270 (4) 12. log 1 8 + log 1 16 + log 4 1 + log16 8 ( − 23 ) 8 4 24 13. (log 3 81)(log 5 125) + (log 27 81)(log 1 64) (4) 14. 251−log5 2 + 3− log3 2 − 16log4 3 (− 9 ) 4 2 =======================================================================================================

ค32204 คณิตเพิ่ม3 ม. 5 ฟ�งก์ชันตรโี กณมติ ิ ครูเณริศา พรหมวลิ ัย 29 ======================================================================================================= 15. (log 2 3)(log 9 16)(log 4 5)(log 25 36)(log 6 2) (4) 16. 1+1+1 log 2 30 log 3 30 log 5 30 (1) 17. log 2 (log 3 178 ) − log 2 (log 3 173 ) + log 5 5log 2 3 (0) 18. log 35 + log 6 − log 7 + log 10 − log 3 8 (2) จงแกส้ มการ ( 1 ) 2. log x 125 = 3 (5) 1. log 2 3 5 = −6 1600 3. log 6 (x2 − x) = 1 (3,-2) 4. log10 (log10 x) = 0 (10) =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพิ่ม3 ม. 5 ฟง� ก์ชนั ตรโี กณมิติ ครเู ณรศิ า พรหมวลิ ัย 30 ======================================================================================================= 5. log9 log3 log210log(x2 −7x) = 0 (8,-1) 6. loglogx 9 8 = 3 (3) 7. log x = log 5 2x ( 1 ) 8. log 21 x = log 7 3x ( 1 ) 10 21 9. log x 4 + log x 16 + log x 64 = 12 (2) 10. log 3 (x2 − x + 6) + log 3 (x + 1) = 1 + log 3 (x2 − 1) + log 3 2 (3,4) 11. log 4 (log 3 (log 2 (x2 − 2x))) = 0 (4,-2) 12. 3 log 4 x 2 = 4(log 4 x)2 (1,8) =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพ่ิม3 ม. 5 ฟง� ก์ชนั ตรโี กณมิติ ครเู ณริศา พรหมวลิ ยั 31 ======================================================================================================= 13. log(3x + 4) = log(x − 1) + 1 (2) =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพ่ิม3 ม. 5 ฟ�งก์ชนั ตรโี กณมติ ิ ครเู ณรศิ า พรหมวลิ ยั 32 ======================================================================================================= โจทยป์ ระยกุ ต์ ฟง� กช์ นั exponential และ logarithm (ในส่วนนค้ี รจู ะมโี จทย์ O-Net หรอื PAT1 มาให้ทา้ ยคาบเรียนใหน้ ักเรียนจดโจทยแ์ ละแสดงวธิ ทาํ คะ่ ) =======================================================================================================

ค32204 คณิตเพิ่ม3 ม. 5 ฟง� ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ ครเู ณริศา พรหมวิลยั 33 ======================================================================================================= โจทย์ประยกุ ต์ ฟง� กช์ ัน exponential และ logarithm (ในสว่ นนี้ครจู ะมโี จทย์มาใหท้ า้ ยคาบเรียนใหน้ กั เรียนจดโจทย์และแสดงวธิ ทาํ คะ่ ) =======================================================================================================

ค32204 คณิตเพิ่ม3 ม. 5 ฟง� ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ ครเู ณริศา พรหมวิลยั 34 ======================================================================================================= โจทย์ประยกุ ต์ ฟง� กช์ ัน exponential และ logarithm (ในสว่ นนี้ครจู ะมโี จทย์มาใหท้ า้ ยคาบเรียนใหน้ กั เรียนจดโจทย์และแสดงวธิ ทาํ คะ่ ) =======================================================================================================

ค32204 คณติ เพิ่ม3 ม. 5 ฟ�งก์ชันตรโี กณมติ ิ ครเู ณรศิ า พรหมวิลยั 35 ======================================================================================================= ฟ�งก์ชนั ตรโี กณมิติ ม. 5 มุมและการวัด QO P OP Q เรยี ก OP ว่าด้านเริ่มตน้ (initial side) ของมุม , เรียก OQ วา่ ดา้ นสน้ิ สุด (terminal side) ของมมุ เรียกจดุ O วา่ จุดยอด (Vertex) ของมุม ถ้าวดั มมุ ในทิศทวนเขม็ นา�กิ า ขนาดของมุมเป�นบวก , ถ้าวดั มุมในทศิ ตามเข็มนา�ิกา ขนาดของมมุ เป�นลบ 1.หนว่ ยของมุม 1.1 หน่วยเป�นองศา แบง่ หน่วยองศาออกเป�นหน่วยยอ่ ย ดังนี้ 1 องศา = 1 = 60 ลิปดา = 60′ , 1 ลิปดา = 1′ = 60′′ ฟล� ิปดา = 60 1.2 หนว่ ยเปน� เรเดยี น (radian) มุมทจี่ ดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมซ่ึงรองรับด้วยเสน้ โคง้ ของวงกลมทยี่ าวเทา่ กบั รศั มขี อง วงกลมนัน้ เป�นมมุ ทมี่ ีขนาด 1 เรเดยี น ra θ ให้ θ เป�นมมุ ทจ่ี ุดศูนยก์ ลาง มีหน่วยเป�นเรเดียน , r เป�นรศั มีของวงกลม , a เปน� ความยาวส่วนโค้งทรี่ องรับมมุ θ จะได้ θ=a r 2. ความสัมพันธ์ของมมุ ในหนว่ ยขององศาและเรเดยี น พจิ ารณาวงกลมทมี่ ีรัศมียาว r หนว่ ย จะมเี สน้ รอบวงยาว 2π r หนว่ ย ดงั นน้ั มมุ รอบจุดศูนย์กลางของวงกลมมขี นาด 2π r = 2π เรเดยี น r 360 = 2π เรเดียน 180 = π เรเดียน 1 เรเดยี น = 180 องศา ≈ 57 18′ π =π 1 องศา 180 เรเดียน = 0.01745 เรเดียน =======================================================================================================

ค32204 คณิตเพิ่ม3 ม. 5 ฟง� ก์ชนั ตรโี กณมิติ ครเู ณรศิ า พรหมวลิ ยั 36 ======================================================================================================= ข้อสงั เกต 1. มุมทม่ี ีหนว่ ยเปน� เรเดยี น มกั จะไมเ่ ขยี นหนว่ ยกํากบั ไว้ π 180 2. ถ้าต้องการเปล่ยี นองศาเป�นเรเดียน ให้คณู จํานวนองศาด้วย 3. เม่ือต้องการเปลีย่ นเรเดียนเปน� องศา ใหค้ ูณจํานวนเรเดียนดว้ ย 180 หรอื สามารถแทน π เปน� 180o π ตวั อย่าง จงเปลยี่ น 36 องศา เปน� เรเดยี น และ เปลย่ี น 9π เรเดียนเปน� องศา 4 การหาคา่ sin cos tan โดยใชม้ ือซา้ ย 3. ให้จนิ ตนาการว่าใส่ ไว้เหนือมือและให้ใส่ /2 ไวใ้ น องุ้ มอื 1. แบมือซา้ ยของเราขึน้ มาใหน้ ิ้วโป้งแทนมุม 0o ,น้วิ ชี้ แทนมุม 30o,นิว้ กลางแทนมมุ 45o, นวิ้ นางแทนมมุ 60o และน้ิวก้อยแทนมมุ 90o 2. เกบ็ น้วิ ท่ตี ้องการหาค่ามมุ ตัวอย่างเช่นตอ้ งการหาค่า 4. ถ้าต้องการหาคา่ sin ใหอ้ ่านค่าซ้ายมือ แต่ถา้ cos30o ให้เก็บนิว้ ชี้ไว้ หาค่า cos ให้อ่าคา่ ขวามือเช่น 3 cos 1 sin 2 จากภาพจะหาคา่ sin30o = 1 = 0.5 และ cos30o = 3 2 2 ในกรณีหาค่า tan ให้อา่ นคา่ ซ้ายหารด้วยขวาได้เลย tan30o = 1 3 =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพิ่ม3 ค32204 ครูเณริศา พรหมวลิ ัย ช่อื ............................................ม.5/............. 24 ================================================================================================ จงเตมิ ค่า sin, cos, tan ของมมุ พน้ื ฐานต่อไปนี้ มมุ (องศา) sin cos tan 0 30 45 60 90 วงกลมหนึ่งหนว่ ย วงกลมหนง่ึ หน่วย (unit circle) หมายถึง วงกลมทมี่ จี ดุ ศูนยก์ ลางอย่ทู ี่จดุ กําเนิด และมรี ศั มียาว 1 หนว่ ย ซ่ึงมสี มการเป�น x2 + y2 =1 ขอ้ ตกลง เมื่อกล่าวถึงจดุ ปลายส่วนโค้งยาว θ หน่วย เมื่อ θ เป�นจาํ นวนจรงิ ใด ๆ หมายถงึ จดุ ปลายของสว่ นโคง้ ที่เรม่ิ วดั จาก จดุ (1,0) ไปตามส่วนโค้งของวงกลมหนงึ่ หนว่ ยไปยาว θ หน่วย โดยคดิ ทศิ ทาง ถ้าวัดสว่ นโค้งจากจดุ (1,0) ในทิศทวนเขม็ นา�ิกา θ เป�นบวก ถ้าวดั สว่ นโคง้ จากจุด (1,0) ในทศิ ตามเขม็ นา�กิ า θ เปน� ลบ Y (x , y) θ 0 (1,0) X จาก a = θ r เมอื่ r = 1 จะได้ a = θ นน่ั คือ คา่ ของความยาวส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วยจะเท่ากบั ขนาดของมมุ ทจี่ ดุ ศนู ย์กลางทม่ี ีหนว่ ยเปน� เรเดยี น =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพมิ่ 3 ค32204 ครเู ณริศา พรหมวลิ ยั ช่ือ............................................ม.5/............. 25 ================================================================================================ ฟง� กช์ ันไซน์และโคไซน์ นิยาม เม่อื (x, y) เป�นจดุ ปลายส่วนโค้งทีย่ าว θ หนว่ ย ฟ�งก์ชันไซน์ {(θ , y)| y = sin θ } ฟง� ก์ชนั โคไซน์ {(θ , x)| x = cosθ } เน่ืองจาก (x, y) เป�นจดุ บนวงกลมหนง่ึ หนว่ ย ซ่ึงมสี มการเปน� x2 + y2 =1 แทนค่า x, y จะได้ cos2 θ + sin2 θ =1 และ −1 ≤ x ≤ 1 จะได้ −1 ≤ cos θ ≤ 1 −1 ≤ y ≤ 1 จะได้ −1 ≤ sin θ ≤ 1 ค่าของฟ�งกช์ นั ไซนแ์ ละโคไซน์บางคา่ ท่สี าํ คัญ cos π 2 1. เม่ือจุดปลายสว่ นโคง้ อยู่บนแกน X หรือแกน Y Y sin π 2 π 2 (0, 1) cos π (-1 , 0) 0 2(1π,0) X sin π π 3π (0,- 1) 2 θ 0 π π 3π 2π 2 2 f(θ ) 0 360 90 180 270 cos θ sin θ =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพ่ิม3 ค32204 ครูเณริศา พรหมวิลยั ช่ือ............................................ม.5/............. 26 ================================================================================================ 2. เมอื่ θ = π หรือ 30 Y 6 (……..,……) 5π 0 7π (……..,X…… 6 6 ) 11π (……..,……) (……..,……) 7π 6 6 θ π 5π 7π 11π 6 6 66 f(θ ) cos θ sin θ 3. เมือ่ θ =π หรอื 45 Y 4 π (……..,……) (……..,……) 3π 4 4 0X (……..,……) 5π 7π (……..,……) 4 4 θ π 3π 5π 7π 4 4 44 f(θ ) cos θ sin θ =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่ิม3 ค32204 ครูเณริศา พรหมวิลยั ชื่อ............................................ม.5/............. 27 ================================================================================================ 4. เม่อื θ =π หรอื 60 3 Yπ (……..,……) 2π (……..,……) 3 3 0X (……..,……) 4π 5π (……..,……) 3 3 θ π 2π 4π 5π 3 33 3 f(θ ) cos θ sin θ ……….. o,...............เรเดียน, Y ……….. o,...............เรเดียน, ……….. o,...............เรเดียน, ……….. o,...............เรเดียน, 60o ,...............เรเดียน, ……….. o,...............เรเดียน, 45o ,...............เรเดียน, 30o ,...............เรเดียน, ……….. o,...............เรเดียน, ……….. o,...............เรเดียน, 306o0,o...,........................เ.ร..Xเเดรเียดนีย,น, ……….. o,...............เรเดียน, ……….. o,...............เรเดียน, ……….. o,...............เรเดียน, ……….. o,...............เรเดียน, ……….. o,...............เรเดียน, =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพิม่ 3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวลิ ัย ชื่อ............................................ม.5/............. 28 ================================================================================================ ฟง� ก์ชนั ตรีโกณมติ ิอ่ืน ๆ นยิ าม สาํ หรับจาํ นวนจริง θ ใด ๆ tan gentθ หรอื tan θ = sin θ เม่อื cos θ ≠ 0 cos θ sec ant θ หรอื sec θ =1 เม่อื cos θ ≠ 0 cos θ cos ecant θ หรอื cos ec θ = 1 เม่ือ sin θ ≠ 0 sin θ cot angentθ หรือ cot θ = cos θ เมื่อ sin θ ≠ 0 sin θ cot θ =1 เมอ่ื tan θ ≠ 0 tan θ ============================================================================= 1. จงหาคา่ ของ π π π π π π 6 3 6 6 3 1.1 tan 4 cos sin + 2 sin sec cot (ตอบ 1152 ) 1.2 cos π cot π sec π cos ec π − 3sin 0 cos 2π + tan 2 π (ตอบ 2 1 ) 3 6 2 3 3 1.3 sin π cos π − cos π cot π + tan π sin π − cos ec π tan π 2 3 2 6 4 6 3 6 1 (ตอบ 3 ) =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพ่ิม3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวิลัย ช่ือ............................................ม.5/............. 29 ================================================================================================ 2. จงหาค่าของ (ตอบ 1 ) 2.1 sin 270 cos2 45 − sec0 cos ec30 + 6cot 45 cos60 2 2.2 tan2 60 + 4 sin2 45 + 3cos ec2 60 − cot270 sin 60 (ตอบ 3) 2.3 sin 45 − sin 30 + [cos ec45 − sec180 ] (ตอบ 4 − 2 ) cos 45 + cos60 =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่มิ 3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวิลัย ชอ่ื ............................................ม.5/............. 30 ================================================================================================ 3. จงหาคา่ x จากสมการ x cot π + cos ec π  tan2 π − 2 cos π  = 10cot π − 4 sec π (ตอบ 1 ) 6 2 3 6 3 6 3 =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพ่มิ 3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวิลยั ชือ่ ............................................ม.5/............. 31 ================================================================================================ ฟง� กช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมุม θ < 0 (วดั ตามเข็มนา�ิกา) Y คิดแบบวัดตามเขม็ หรือ แบบดึงเครอ่ื งหมายแลว เทยี บกับทวนเข็ม แบบดงึ เครอ่ื งหมายแลว เทียบกบั ทวนเขม็ 0 sin(-θ)= -sinθ tan(-θ) = -tanθ (θx , y) cot(-θ) = -cotθ cosec(-θ) = -cosecθ (1,0) X ยกเวน cos, sec *** cos(-θ) = cosθ sec(-θ) = จงบอกคา่ ของ θ และฟ�งกช์ ันตรโี กณมิตทิ กี่ ําหนดใหจ้ ากแผนภาพตอ่ ไปนี้ (คิดแบบวัดตามเข็ม) (1) Y (2) Y 0 (1,0) X 0 (1,0) X θ= ____เรเดยี น, _______ o θ= ____เรเดยี น, _______ o sinθ = ____ cosθ =____ tanθ=____ sinθ = ____ cosθ =____ tanθ =____ cosecθ =____ secθ =____ cotθ =____ cosecθ =____ secθ =____ cotθ =____ (3) Y (4) Y 0 (1,0) X 0 (1,0) X θ= ____เรเดยี น, _______ o θ= ____เรเดียน, _______ o sinθ = ____ cosθ =____ tanθ=____ sinθ = ____ cosθ =____ tanθ =____ cosecθ =____ secθ =____ cotθ =____ cosecθ =____ secθ =____ cotθ =____ (5) Y (6) Y 0 (1,0) X 0 (1,0) X θ= ____เรเดยี น, _______ o θ= ____เรเดียน, _______ o sinθ = ____ cosθ =____ tanθ=____ cosecθ =____ secθ =____ cotθ =____ sinθ = ____ cosθ =____ tanθ =____ cosecθ =____ secθ =____ cotθ =____ =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพมิ่ 3 ค32204 ครเู ณริศา พรหมวิลยั ชอ่ื ............................................ม.5/............. 32 ================================================================================================ คา่ ของฟ�งกช์ ันตรีโกณมติ ขิ องมมุ หรือจํานวน คา่ ของฟ�งกช์ นั ไซน์และโคไซน์หาไดจ้ ากพกิ ดั ของจดุ ปลายส่วนโค้งยาว θ หนว่ ยบนวงกลมหนงึ่ หน่วย เคร่อื งหมายของฟ�งก์ชัน ตรีโกณมติ จิ ึงเป�นดังน้ี ฟ�งก์ชนั จุดปลายส่วนโคง้ อยูใ่ นควอดรนั ต์ท่ี หมายเหตุ 12 3 4 cos θ sin θ x = cosθ tan θ y = sin θ cot θ tan θ = sin θ sec θ cos θ cos ecθ cot θ = cos θ sin θ 1 sec θ = cos θ cos ecθ = 1 sin θ ขอ้ ควรจํา Y Q2 Q1 sin θ,cosecθ ทุกฟง� ก์ชัน เปน� บวก เป�นบวก Q3 Q4 X tan θ,cotθ cos θ, sec θ เปน� บวก เปน� บวก =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพม่ิ 3 ค32204 ครเู ณริศา พรหมวลิ ัย ช่ือ............................................ม.5/............. 33 ================================================================================================ ค่าของฟง� ก์ชันตรีโกณมิติ θ > 2π Y P α 0 A(1,0) X Y P α 0 A(1,0) X ถ้าส่วนโค้ง θ ยาวเปน� 2π ไม่ว่าจะวดั ทวนเขม็ หรอื ตามเขม็ นา�กิ าก็ตาม เราสามารถเขียนส่วนโคง้ θ ในรปู θ = 2nπ + α เม่ือ 0 ≤ α < 2π ได้เสมอ (จดุ ปลายส่วนโค้ง θ และ α จะเปน� จดุ เดยี วกัน ดังนน้ั sin(2nπ + α) = sin α , cosec(2nπ + α) = cosecα cos(2nπ + α) = cos α , sec(2nπ + α) = sec α tan(2nπ + α) = tan α , cot(2nπ + α) = cotα เมอ่ื n เป�นจาํ นวนเตม็ ใด ๆ ขอ้ สังเกต สูตรในชุดนใ้ี ช้สาํ หรบั θ ที่มีขนาดมากกวา่ 2π โดยคดั จาํ นวนทค่ี รบรอบ คอื 2π, 4π, 6π,... หรอื −2π, − 4π, − 6π,... ทง้ิ ไป เช่น sin 390o =…………………………………….. cos 840o =……………………………………… sin 17π = ……………………………………… tan(− 241π) =…………………………………….. 6 =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่มิ 3 ค32204 ครเู ณริศา พรหมวลิ ัย ช่อื ............................................ม.5/............. 34 ================================================================================================ จงหาคา่ ของ 1. cos ec405o =………………………………………= ……….. 2. cot 840 o =…………………………………..=…………….. 3. sin 37π =………………………………………= ……….. 4. cos 8π =……………………………………..=…………….. 6 3 29π 31π 5. tan 3 =………………………………………= ……….. 6. cot 6 =……………………………………..=…………….. 7. sin(− 35π =………………………………………= ……….. 8. cos(− 19π ) =………………………………..=…………….. 4 6 9. sin(− 5π ) ⋅ cos(− 7π ) + cos(− 43π ) sin(− 74π ) (ตอบ − 2 ) 6 4 2 10. sin 2 (− 11π ) + cos 2 (− 5π ) + sin(− 5π ) ⋅ cos(− 5π ) (ตอบ 0) 6 3 4 4 11. sin(− 13π ) cos(− 113π ) tan(− 4π ) (ตอบ 3 ) 6 3 4 =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่มิ 3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวิลยั ชื่อ............................................ม.5/............. 35 ================================================================================================ 12. sin 5π + cos 13π + tan(− 11π ) + cos ec(− 11π ) + cot(− 54π ) (ตอบ 6+5 3 −3 2) 4 6 6 6 6 13. กําหนดให้ 0 ≤ θ ≤ π และ sin2θ = 0.36 จงหาคา่ ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ 2 1. cosθ = ……………… 2. sin(π-θ) =……………… 3. cos(π-θ) = ……………… 4. sin(π+θ) =……………… 5. cos(π+θ) =……………… 6. sin(-θ) =……………… 7.cos(-θ) =……………… 8. sin(θ-π) =……………. 9. cos(θ-π) = ……………… 10. sin(θ-2π) =……………… 11. cos(θ-2π) = ……………… 12. sin(2π-θ) =……………… 13. cos(2π-θ) =……………… 14. cos(2π+θ) =……………… 15.sin(3π+θ) =……………… 16. cos(3π+θ)=……………. 17. sin(-π-θ) = ……………… 18. cos(-π-θ) =……………… 19. sin(-59π-θ) = ……………… 20. cos(-100π+θ) =……………… =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่ิม3 ค32204 ครเู ณริศา พรหมวิลยั ชอื่ ............................................ม.5/............. 36 ================================================================================================ 14. กําหนดให้ cos ec A = −1.25 และ tan A < 0 จงหาค่าของ sin A + cos A (ตอบ − 1 ) 5 กราฟของฟ�งกช์ ันตรีโกณมิติ ฟ�งกช์ ันตรโี กณมติ ทิ ุกฟ�งก์ชนั เป�น ฟง� ก์ชันทเ่ี ปน� คาบ (periodie function) 1. คาบ (period) หมายถงึ ความยาวช่วงสั้นท่สี ดุ ทที่ ําให้กราฟซ�ารูปเดิม 2. แอมพลจิ ดู (amplitude) มีคา่ เท่ากับคร่งึ หนึง่ ของค่าสูงสุดลบดว้ ยค่าต�าสุดของฟ�งก์ชนั ที่เปน� คาบ ตัวอย่าง กราฟของ y = sin x โดเมนของฟ�งก์ชัน = R [ ]เรนจ์ของฟง� กช์ ัน = −1,1 1 คาบ = 2π แอมปลจิ ูด =1 แบบฝก� ทกั ษะเร่ืองกราฟของฟง� กช์ ันตรโี กณมติ ิ π 2 x เรเดยี น -π − 3π −π −π 0 π π 3π π 4 24 42 4 π ,3π ,... 0,2π ,4π ,... sinx 3π แอมพลจิ ดู .................. คาบ ................. เรจน์.................. กราฟของ y=sinx 2 =======================================================================================================