M1-Allens Made Maths Theory + Exercise [I]

JEE-Mathematics DIFFERENTIAL  EQUATION 1 . DIFFERENTIAL  EQUATION  : An  equation  that  involves  independent  and  dependent  variables  and  the  derivatives  of  the  dependent  variables is  called  a  differential  equation. A  differential  equation    is  said  to  be  ordinary,  if    the  differential  coefficients  have  reference  to  a  single  independent variable  only  e.g.  d2y  2dy  cos x  0   and  it  is  said  to  be  partial  if  there  are  two  or  more  independent dx2 dx variables.  e.g.  u  u  u  0   is  a  partial  differential  equation.  We  are  concerned  with  ordinary  differential x y z equations  only. 2 . ORDER  OF  DIFFERENTIAL  EQUATION  : The  order  of  a  differential  equation  is  the  order  of  the  highest  differential  coefficient  occurring  in  it. 3 . DEGREE  OF  DIFFERENTIAL  EQUATION  : The  exponent  of  the  highest  order  differential  coefficient,  when  the  differential  equation  is  expressed  as  a polynomial  in  all  the  differential  coefficient. Thus  the  differential  equation  :  dm p  d m 1 y   q  dx f x, y   y     x, y   dx m 1   ..........  =  0  is  of  order    m    &    degree  p.    m  Note  : (i) The  exponents  of  all  the  differential  coefficient  should  be  free  from  radicals  and  fraction. (ii) The  degree  is  always  positive  natural  number. (iii) The  degree  of  differential  equation  may  or  may  not  exist. Illustration  1  : Find  the  order  and  degree  of  the  following  differential  equation  : d2y dy d2y  dy  dy (i)  3 3 (ii)  dx2   =  sin   dx  (iii)  dx = 3x  5 NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 dx2 dx Solution  : (i) The  given  differential  equation  can  be  re-written  as   d2y 3   =   dy  3 2  dx2  dx       Hence  order  is  2  and  degree  is  3. (ii) The  given  differential  equation  has  the  order  2.  Since  the  given  differential  equation  cannot be  written  as  a  polynomial  in  the  differential  coefficients,  the  degree  of  the  equation  is  not defined. (iii) Its  order  is  1  and  degree  1. Ans. Illustration  2  : The  order  and  degree  of  the  differential  equation   d2s  2  3  ds  3  4  0   are  -  dt2   dt  (A) 2  , 2 (B)  2  ,  3 (C) 3  , 2 (D)  none  of  these Solution  : Clearly  order  is  2  and  degree  is  2    (from  the  definition  of  order  and  degree  of  differential  equations).         Ans.  (A) E 23

JEE-Mathematics Do  yourself  -  1  : Find  the  order  and  degree  of  following  differential  equations ( i ) [1  +  (y')2]1/2  =  x2  +  y ( i i ) (1  +  y')1/2  =  y\" ( i i i ) y'  =  sin  y 4 . FORM ATION  OF  A  DIFFERENTIAL  EQUATION  : In  order  to  obtain  a  differential  equation  whose  solution  is f(x ,  y ,  c ,  c ,  c .........,c )  =  0 11123 n where  c ,  c ,.......c   are  'n'  arbitrary  constants,  we  have  to  eliminate  the  'n'  constants  for  which  we  require  (n+1) 12 n equations. A  differential  equation  is  obtained  as  follows  : (a) Differentiate  the  given  equation  w.r.t    the  independent  variable  (say  x)  as  many  times as  the  number  of independent  arbitrary  constants  in  it. (b) Eliminate  the  arbitrary  constants. (c) The  eliminant  is  the  required  differential  equation. Note  : (i) A  differential  equation  represents  a  family  of  curves  all  satisfying  some  common    properties.  This  can be  considered  as  the  geometrical  interpretation  of  the  differential  equation. (ii) For  there  being  n  differentiation,  the  resulting  equation  must  contain  a  derivative  of  nth  order  i.e.  equal  to number  of  independent  arbitrary  constant. Illustration  3  : Find  the  differential  equation  of  all  parabolas  whose  axes  is  parallel  to  the  x-axis  and  having  latus Solution    : rectum  a. Equation  of  parabola  whose  axes  is  parallel  to  x-axis  and  having  latus  rectum  'a'  is (y  –  )2  =  a  (x  –  ) dy NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 Differentiating  both  sides,  we  get  2(y  –  )  dx   =  a Again  differentiating,  we  get d2 y  dy 2 d2y  dy 3  2(y – )  dx2  + 2   dx   = 0  a   +  2   dx    =  0. Ans. dx2 E Illustration  4  : Find  the  differential  equation  whose  solution  represents  the  family  :  c  (y  +  c)2  =  x3 Solution  : c  (y  +  c)2  =  x3 ...(i) Differentiating,  we  get,  c. 2(y  c )  dy   =  3x2 dx Writing  the  value  of  c  from  (i),  we  have 2x3 (y  +  c) dy   =  3x2 2x3 dy   =  3x2 (y  c)2 dx     y  c dx 24

JEE-Mathematics i.e.  2x dy 2x dy    =  3    3  dx   = y + c y  c dx 2x dy  Hence  c  = 3  dx    –  y Substituting  value  of  c  in  equation  (i),  we  get 2x  dy   y  2x dy 2   =x3, which  is  the  required  differential  equation.  dx    3 dx   3   Ans. Illustration  5  : Find  the  differential  equation  whose  solution  represents  the  family  :  y  =  a  cosx  +  b  sinx,  where Solution  :   =  fixed  constant y  =  a  cosx  +  b  sinx,    =  fixed  constant ....(i) Differentiating,  we  get dy dx =  –  a  sinx  +  b  cosx Again  differentiating,  we  get d2y dx2 =  –2  a  cosx  –  2  b  sinx using  equation  (i),  we  get d2y =  –2 y Ans. dx2 Do  yourself  -  2 Eliminate  the  arbitrary  constants  and  obtain  the  differential  equation  satisfied  by  it. ( i ) y  =  2x  +  cex (ii) y   a   bx (i ii ) y  =  ae2x  +  be–2x  +  c  x2  5.NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 SOLUTION  OF  DIFFERENTIAL  EQUATION  : E The  solution  of  the  differential  equation  is  a  relation  between  the  variables  of  the  equation  not  containing  the derivatives,  but  satisfying  the  given  differential  equation  (i.e.,  from  which  the  given  differential  equation  can  be derived). Thus,  the  solution  of  dy  e x   could  be  obtained  by  simply  integrating  both  sides,  i.e.,  y  =  ex  +  c  and  that  of, dx dy px2 =  px  +  q  is  y  =  +  qx  +  c,  where  c  is  arbitrary  constant. dx 2 ( i ) A  general  solution  or  an  integral    of  a  differential  equation  is  a  relation  between  the  variables  (not involving  the  derivatives)  which  contains  the  same  number  of  the  arbitrary  constants  as  the  order  of  the differential  equation. d2x For  example,  a  general  solution  of  the  differential  equation  dt2 =  –4x  is  x  =  A  cos2t  +  B  sin2t  where A  and  B  are  the  arbitrary  constants. (ii) Particular  solution  or  particular  integral    is  that  solution  of  the  differential  equation  which  is  obtained from  the  general  solution  by  assigning  particular  values  to  the  arbitrary  constant  in  the  general  solution. For  example,  x  =  10  cos2t  +  5  sin2t  is  a  particular  solution  of  differential  equation  d2x  4 x . dt2 25

JEE-Mathematics Note  : ( i ) The  general  solution  of  a  differential  equation  can  be  expressed  in  different  (but  equivalent)  forms.  For example log  x  –  log  (y  +  2)  =  k ....(i) where  k  is  an  arbitrary  constant  is  the  general  solution  of  the  differential  equation  xy'  =  y  +  2.  The solution  given  by  equation  (i)  can  also  be  re-written  as log  y x   k  or  y x  ek  c1 ...(ii)  2  2   or x  =  c (y  +  2) ...(iii) 1 where  c   =  ek  is  another  arbitrary  constant.  The  solution  (iii)  can  also  be  written  as 1 y  +  2=  c x 2 where  c   =  1/c   is  another  arbitrary  constant. 21 ( i i ) All  differential  equations  that  we  come  across  have  unique  solutions  or  a  family  of  solutions.  For example,  the  differential  equation  dy | y| 0   has  only  the  trivial  solution,  i.e.  y  =  0. dx The  differential  equation  dy | y| c  0, c  0   has  no  solution. dx 6 . ELEMENTARY  TYPES  OF  FIRST  ORDER  &  FIRST  DEGREE  DIFFERENTIAL  EQUATIONS  : ( a ) Separation  of  Variables  : Some  differential  equations  can  be  solved  by  the  method  of  separation  of  variables  (or  “variable  separable”). This  method  is  only  possible,  if  we  can  express  the  differential  equation  in  the  form A(x)dx  +  B(y)  dy  =  0 where  A(x)  is  a  function  of  'x'  only  and  B(y)  is  a  function  of  'y'  only. A  general  solution  of  this  is  given  by,   A(x)  dx  +   B(y)dy  =  c where  'c'  is  the  arbitrary  constant. Illustration  6  : Solve  the  differential  equation  xy  dy 1  y2 (1  +  x  +  x2). Solution  : = dx 1  x2 Differential  equation  can  be  rewritten  as NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 xy  dy =  (1  +  y2)  1  1 x      y dy  =  1 1  dx dx  x2  1  y2  x  1  x2  Integrating,  we  get 1 n(1  +  y2)  =  n  x  +  tan–1  x  +  n  c    1  y 2   = cxe tan1 x . Ans. 2 Ans. Illustration  7  : Solve  the  differential  equation  (  x3  –  y2x3  ) dy  y 3  x2 y3  0 . Solution  : dx E The  given  equation  (  x3  –  y2x3  ) dy  y 3  x2 y3  0 dx  1  y2 1  x2  1 1 1 1   y 3 dy  x3 dx  0        y3  y  dy   x3  x  dx 0 x 1  1 1  log  y   2  y2  x2   c 26

JEE-Mathematics Overlooked  solution  : dy Illustr ation  8  :   Solve  :    =  (x  –  3)  (y  +  1)2/3 dx Solution  : dy  (x  3)(y  1)2 / 3 dx dy  (y  1)2 / 3  (x  3)dx 1 Integrate  and  solve  for  y  :    3(y  +  1)1/3  =  (x  –  3)2  +  C 2 (y  +  1)1/3  =  1 (x  –  3)2  +  C    y 1  1 (x  3)2  C0 3    y   1 (x  3)2  C0 3 1 6 0  6   6   All  of  this  looks  routine.  However,  note  that  y  =  –1  is  a  solution  to  the  original  equation dy =  0  and  (x  –  3)  (y  +  1)2/3  =  0 dx However,  we  can  not  obtain  y  =  –1  from  y   1 (x  3)2  C0 3 1   by  setting  constant  C   equal  to  6 0   1 any  number.  (We  need  to  find  a  constant  which  makes  (x  –  3)2  +  C   =  0  for  all  x.) 60 Two  points  emerge  from  this. ( i ) We  may  sometime  miss  solutions  while  performing  certain  algebraic  operations  (in  this  case, division). (ii) We  don’t  always  get  every  solution  to  a  differential  equation  by  assigning  values  to  the arbitrary  constants. Do  yourself  -  3  : (ii) 1  4x2 dy  y3xdx Solve  the  following  differential  equations  : (i) 2dy  y(x 1) dx x dy (i i i ) (tany) =  sin(x  +  y)  +  sin(x  –  y) dx NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 (i) Equation  of  the  form  :  y'  =  ƒ  (ax  +  by  +  c),  b  0 To  solve  this,  substitute  t  =  ax  +  by  +  c.  Then  the  equation  reduces  to  separable  type  in  the variable  t  and  x  which  can  be  solved. Illustration  9  : dy Solution  : Solve  dx   =  cos  (x  +  y)  –  sin  (x  +  y). E dy dx =  cos  (x  +  y)  –  sin  (x  +  y) dy dt Substituting,  x  +  y  =  t,  we  get  dx = dx –  1 dt Therefore  dx –  1  =  cos  t  –  sin  t dt sec2 t dt x  y cos t 2 2    1   sin t   dx   1 tan t    dx     –n 1  tan =  x +  c. Ans. 2  2  27

JEE-Mathematics Illustration  10: Solve  :  y'  =  (x  +  y  +  1)2 Solution  : y'  =  (x  +  y  +  1)2 ....(i) Let    t  =  x  +  y  +  1 dt  1  dy dx dx Substituting  in  equation  (i)  we  get  dt  t2  1       dx dt dx   tan–1 t  = x +  C t =  tan(x +  C) 1  t2  x  +  y  +  1  =  tan(x  +  C)   y  =  tan(x  +  C)  –  x  –1 Ans. ......(ii) Do  yourself  -  4  : Ans. Solve  the  following  differential  equations  : (i ) dy  (y  4x)2 ( i i ) tan2(x  +  y)dx  –  dy  =  0 dx (ii) Equation  of  the  form  :  dy  a1x  b1y  c1 dx a2x  b2y  c2 Case  I  :    If  a1  b1  c1 then a2 b2 c2 Let a1  b1   then a  =  a2 .....(i) ; b  =  b2 a2 b2 1 1 from  (i)  and  (ii),  differential  equation  becomes dy  a2 x  b2 y  c1  dy  (a2x  b2y)  c1 dx a2x  b2y  c2 dx a2x  b2y  c2 or  we  can  say, dy dx  ƒ(a2 x  b2 y ) which  can  be  solved  by  substituting  t  =  a x  +  b y 22 Illustration  11  : Solve  :  (x  +  y)dx  +  (3x  +  3y  –  4)  dy  =  0 Solution  : Let t  =  x  +  y  dy  =  dt  –  dx So  we  get,    tdx  +  (3t  –  4)  (dt  –  dx)  =  0 2dx  +   3t  4  dt =  0   2 NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65  2  t  2dx  –  3dt  +  dt  =  0 2t Integrating  and  replacing  t  by  x  +  y,  we  get 2x  –  3t  –  2[n|(2  –  t)|]  =  c 1  2x  –  3(x  +  y)  –  2[n|(2  –  x  –  y)|]  =  c 1  x  +  3y  +  2n|(2  –  x  –  y)|  =  c Case  II  : If  a   +  b   =  0,  then  a  simple  cross  multiplication  and  substituting  d(xy)  for  xdy  +  ydx  and  integrating 21 term  by  term,  yield  the  results  easily. Illustration  12  : Solve  dy   =  x  2y  1 dx 2x  2y  3 Solution  : dy   =  x  2y  1 dx 2x  2y  3     2xdy  +  2y  dy  +  3dy  =  xdx  –  2y  dx  +  dx E     (2y  +  3)  dy  =  (x  +  1)  dx  –  2(xdy  +  ydx) 28

On  integrating,  we  get JEE-Mathematics   (2y  3)dy   (x  1)dx  2d(xy) Ans. Solving  :  y2  3 y  x2  x  2xy  c 2 Do  yourself  -  5  : Solve  the  following  differential  equations  : (i) dy  2x  y  2 (ii) dy  3x  5y dx 2y  4x 1 dx 5x  y  3 (iii) Equation  of  the  form  :  yf(xy)dx  +  xg(xy)dy  =  0 ...........  (i) The  substitution  xy  =  z,  reduces  differential  equation  of  this  form  to  the  form  in  which  the  variables are  separable. Let xy  =  z   ...........  (ii) xdz  zdx  ...........  (iii) dy  =   x2  using  equation  (ii)  &  (iii),  equation  (i)  becomes    z f(z)dx  xg (z )  x d z z dx   0 x  x2  zz z f ( z )  g ( z ) dx  g(z)dz  0  1 dx  g(z)dz  0   x f(z)dx  g(z)dz  x g(z)dx  0  x x z f(z)  g(z) Illustration  13  : Solve  y(xy  +  1)dx  +  x(1  +  xy  +  x2y2)dy  =  0 Solution  : Let  xy  =  v y  v  dy  xdv  vdx x x2 v (v  1)dx  x(1  v  v 2 )  xdv  vdx  0 x  x2  Now,  differential  equation    becomes      NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 On  solving,  we  get v3dx  –  x(1  +  v  +  v2)  dv  =  0 separating  the  variables  &  integrating  we  get    dx    1 1  1 dv  0  nx  1 1  nv  c x  v3  v2 v 2v2 v   2 v 2 n  v   2v  1  2 cv 2           2x2y2ny  – 2xy  – 1 = Kx2y2                   where  K  =  –2c  x  Do  yourself  -  6  : ( i i ) y(1  +  2xy)dx  +  x(1  –  xy)dy  =  0 Solve  the  following  differential  equations  : ( i ) (y  –  xy2)dx  –  (x  +  x2y)dy  =  0 (iv) Transformation  to  polar-co-ordinates  : Sometimes  conversion  of  cartesian  co-ordinates  into  polar  coordinates  helps  us  in  separating  the variables. 29 E

JEE-Mathematics x = r cos  y = r sin  then x2  +  y2  =  r2 (1) xdx  +  ydy  =  rdr (2) xdy  –  ydx  =  r2d x  =  r  sec    y  =  r  tan   then x2  –  y2  =  r2 xdx  –  ydy  =  rdr xdy  –  ydx  =  r2  sec    d Illustration  14  : Solve  :    x  y dy  x2  2y2  y4 dx x2 y  x dy dx Solution  : The  given  equation  can  be  reduced  to xdx  ydy (x2  y2 )2  ydx  xdy x2 Substituting x = r cos  y  =  r  sin   we  get,    rdr  (r2 )2   dr   sec2 d  1 r2d r2 cos2  r3  2r2   tan   c 1y Ans. Substituting, 2(x2  y2 )  x  K Do  yourself  -  7  : ( i i ) ydx  –  xdy  =  xy  dy  –  x2dx Solve  the  following  differential  equations  : ( i ) xdx  +  ydy  =  xdy  –  ydx (b) Homogeneous  equations  : A  function  ƒ (x,y)  is  said  to  be  a  homogeneous  function  of  degree  n,  if  the  substitution  x  =  x,  y  =  y,   >  0  produces  the  equality ƒ  (x,  y)  =  n  ƒ  (x,y) The  degree  of  homogeneity  'n'  can  be  any  real  number. Illustration  15  : Find  the  degree  of  homogeneity  of  function NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 (i) ƒ (x,y) =  x2  +  y2 (ii) ƒ (x,y) =  (x3/2  +  y3/2)/(x  +  y) (iii) ƒ  (x,y) = sin  x   y    Solution  : (i) ƒ (x, y) =  2x2  +  2y2 =  2  (x2  +  y2) =  2ƒ  (x,y) degree  of  homogeneity    2 3 / 2 x3 / 2  3 / 2 y 3 / 2 (ii) ƒ (x, y) =  x  y ƒ (x, y) =  1/2  ƒ  (x,y) degree  of  homogeneity    1/2 (iii) ƒ (x,y) =  sin  x    sin  x  =  °  ƒ  (x,y)  y   y      degree  of  homogeneity    0 30 E

JEE-Mathematics Illustration  16  : Determine  whether  or  not  each  of  the  following  functions  is  homogeneous. (i)  ƒ  (x,y)  =  x2  –  xy xy (iii)  ƒ  (x,y)  =  sin  xy (ii) ƒ (x,y) =  x  y2   homogeneous. Solution  : (i)  ƒ(x, y ) =  2x2  –  2xy   =  2(x2  –  xy)  =  2  ƒ  (x,y) 2 xy not  homogeneous. (ii) ƒ (x,y) =  x  2 y2 nƒ (x,y) not  homogeneous. (iii)  ƒ  (x,  y)  =  sin  (2xy)     nƒ  (x,y) Do  yourself  -  8  : (i) Find  the  degree  of  homogeneity  of  function    ƒ  (x,y)  =  x3n  xy / x  y    ( i i ) Find  the  degree  of  homogeneity  of  function  ƒ  (x,y)  =  ax2/3  +  hx1/3  y1/3  +  by2/3 (i i i ) Determine  whether  or  not  each  of  the  following  functions  is  homogeneous. (a)  ƒ  (x,y)  =  x2  2 xy  3 y2 (b) ƒ  (x,y) =  x  y cos y (c) ƒ  (x,y) =  x sin  y +  y sin  x. x (i) Homogeneous  first  order  differential  equation dy f(x, y) A  differential  equation  of  the  form  dx  g(x, y) where  ƒ  (x,y)  and  g(x,y)  are  homogeneous  functions  of  x,y  and  of  the  same  degree,  is  said  to  be homogeneous.  Such  equations  can  be  solved  by  substituting y  =  vx, so  that  the  dependent  variable  y  is  changed  to  another  variable  v. Since  ƒ  (x,y)  and  g(x,y)  are  homogeneous  functions  of  the  same  degree  say,  n,  they  can  be  written  as y y ƒ  (x,y)  =  xn  ƒ             and        g(x,y)  =  xn  g   . 1 x 1 x As  y  =  vx,  we  have dy  v  x dv . dx dx NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 The  given  differential  equation,  therefore,  becomes v  +  x  dv  ƒ1 (v ) dx g1 (v)  g1 (v)dv  dx , ƒ1 (v)  vg1 (v) x so  that  the  variables  v  and  x  are  now  separable. Note  :  Sometimes  homogeneous  equation  can  be  solved  by  substituting  x  =  vy  or  by  using  polar coordinate  substitution. Illustration  17  : The  solution  of  the  differential  equation  dy  sin y  x is  - dx sin 2y  x cos y (A)  sin2 y  =  x  sin  y  +  x2  c (B) sin2 y  =  x  sin y  –  x2  c 2 2 (C)  sin2  y  =  x  +  sin  y  +  x2  c (D)  sin2 y  =  x  –  sin  y  +  x2  c 2 2 E 31

JEE-Mathematics Solution  : Here, dy  sin y  x dx sin 2y  x cos y dy sin y  x  cos y   =  , (put  sin  y  =  t) dx 2 sin y  x dt t  x (put  t  = vx)  dx =  2t  x xdv vx  x   =  v 1 +  v  =  dx 2vx  x 2v 1 dv v 1 v 1 2v2  v  x dx   =  2v 1   –  v  =  2v 1 2v 1 dx on  solving,  we  get or 2v2  2v  1 dv  =  x sin2y  =  x  sin  y  +  x2 +  c. Ans.  (A) 2 Illustration  18  : Solve  the  differential  equation  (  1  +  2ex/y)  dx  +  2ex/y  (  1  –  x/y)  dy  =  0. Solution  : The  equation  is  homogeneous  of  degree  0. Put  x  =  vy,  dx  =  v  dy  +  y  dv, Then,  differential  equation  becomes    (  v  +  2ev)  dy  +  y  (  1+  2  ev)  dv  =  0 (1  +  2ev)  (  v  dy  +  y  dv)  +  2ev  (  1–  v)  dy  =  0 dy 1  2ev     Ans. y  v  2ev dv  0 Integrating  and  replacing  v  by  x/y,  we  get n  y  +  n  (  v+  2ev)  =  nc  and  x  +  2  yex/y  =  c Do  yourself  -  9  : ( i i ) (x  –  yny  +  ynx)  dx  +  x(ny  –  nx)  dy  =  0 NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 Solve  the  following  differential  equations  : (i) y '  3x  y xy (i i i ) (3xy  +  y2)dx  +  (x2  +  xy)dy  =  0,  y(1)  =  1 (ii) Equations  reducible  to  homgeneous  form The  equation  of  the  form  dy  a1x  b1y  c1   where  a1  b1 dx a2x  b2y  c2 a2 b2 can  be  reduced  to  homgeneous  form  by  changing  the  variable  x,  y  to  u,v  as x  =  u  +  h  ,  y  =  v  +  k where  h,k  are  the  constants  to  be  chosen  so  as  to  make  the  given  equation  homgeneous.  We  have dy  dv dx du  The  equation  becomes,    dv  a1u  b1v  (a1h  b1k  c1 ) du a2u  b2v  (a2h  b2k  c2 ) 32 E

JEE-Mathematics Let h  and  k  be  chosen  so  as  to  satisfy  the  equation a h  +  b k  +  c   =  0 ...(i) 1 11 ...(ii) a h  +  b k  +  c   =  0 2 22 Solve  for  h  and  k  from  (i)  and  (ii) Now du  a1u  b1v dv a2u  b2v is  a  homgeneous  equation  and  can  be  solved  by  substituting  v  =  ut. Illustration  19  : Solve  dy   =  x  2y  3 dx 2x  3y  4 Solution  : Put  x  =  X  +  h,  y  =  Y  +  k dY X  2Y  (h  2k  3) We  have    =  dX 2X  3Y  (2h  3k  4) To  determine  h  and  k,  we  write h  +  2k  +  3  =  0,  2h  +  3k  +  4  =  0    h  =  1,  k  =  –2 So  that  dY  X  2Y dX 2X  3Y Putting  Y  =  VX,  we  get dV 1  2V     2 3V dX V  +  X    =  dV  =  – dX 2  3V 3V2 1 X   2 3  2– 3  dX   dV  =  – 2( 3V  1) 2( 3V  1)  X  2 3 2– 3 3 V  +  1)  =  (–  log  X  +  c) log  ( 3 V –  1)  –  log  ( 23 23 2 3 log  ( 3 Y  –  X)  –  2– 3 log  ( 3 Y  +  X)  =  A  where  A  is  another  constant  and 23 23 X  =  x  –  1,  Y  =  y  +  2.     Ans. NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 Do  yourself  -  10  : ( i ) Solve  the  differential  equation  :  dy  x  2y  5 dx 2x  y  4 (c) Linear  differential  equations  : A  differential  equation  is  said  to  be  linear  if  the  dependent  variable  &  its  differential  coefficients  occur  in the  first  degree  only  and  are  not  multiplied  together. The nth  order  linear  differential  equation  is  of  the  form  ; a 0  x  dny a1 (x) d n 1 y  ........  an (x) y  =    (x),  where  a0  (x),  a1  (x)  ....  an(x)  are  called  the  coefficients  of dxn dx n 1 the  differential  equation. Note  that  a  linear  differential  equation  is  always  of  the  first  degree  but  every  differential  equation  of  the  first d2 y  dy  3 dx2  dx  degree    need  not  be  linear  .  e.g.  the  differential  equation    y2  0   is  not  linear,  though  its degree  is  1. E 33

JEE-Mathematics Illustration  20: Which  of  the  following  equation  is  linear  ? (A)  dy   +  xy2  =  1 (B)  x2  dy   +  y  =  ex (C)  dy   +  3y  =  xy2 (D)  x dy   +  y2  =  sin  x dx dx dx dx Solution  : Clearly  answer  is  (B) Illustration  21  : Which  of  the  following  equation  is  non-linear  ? dy d2y (C)  dx  +  dy  =  0 (D)  x  dy  +  3    =  y2 (A)  dx   =  cos  x (B)  dx2 +  y  =  0  dx  dy  dx  Solution  : Clearly  answer  is  (D) (i) Linear  differential  equations  of  first  order  : dy The  most  general  form  of  a  linear  differential  equation  of  first  order  is   Py  Q ,  where  P  &  Q dx are  functions  of  x. To  solve  such  an  equation  multiply  both  sides  by  e Pdx . So  that  we  get e Pdx  dy  P y   Qe Pdx ....(i)  dx  d  e  Pdx .y   Qe  Pdx dx   ...(ii) On  integrating  equation  (ii),  we  get yePdx  QePdxdx  c This  is  the  required  general  solution. Note  : (i) The  factor  e Pdx   on  multiplying  by  which    the  left  hand  side  of    the  differential  equation NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 becomes  the  differential  coefficient  of  some  function  of  x  &  y,  is  called  integrating  factor  of the  differential  equation  popularly  abbreviated  as    I.F. (ii) Sometimes  a  given  differential  equation  becomes  linear  if  we  take  y  as  the  independent variable  and  x  as  the  dependent  variable.  e.g.  the  equation  ;  x  y  1 dy  y2  3   can  be dx  written  as    y2  3 dx  x  y  1   which  is  a  linear  differential  equation. dy Illu stration  22  : Solve  (1  +  y2)  +  (x  –  e tan–1 y )  dy =  0. dx Solution  : Differential  equation  can  be  rewritten  as  (1  +  y2)  dx +  x  = e tan–1 y dy dx 1 e tan1 y or     +  .x  =  ...(i) dy 1  y2 1  y2  1 2 dy  e tan1 y y I.  F  =  e 1 so  solution  is  xe tan1 y = e etan1 y tan1 y dy 1  y2 34 E

JEE-Mathematics Let  e tan1 y =  t    e tan1 y dy =  dt [Putting  e tan1 y   =  t] 1  y2 xe tan1 y   =  t dt or x e tan1 y   = t2  c     2x e tan1 y = e2 tan1 y   +  c. Ans. 22 dy 1 Illustration  23  : The  solution  of  differential  equation  (x2  –  1)  dx  2xy  x2  1   is  - (A)  y(x2  1)  1 log x 1 C (B)  y(x2  1)  1 log x  1  C 2 x 1 2 x 1 (C)  y(x2  1)  5 log x  1  C (D)  none  of  these 2 x 1 Solution  : The  given  differential  equation  is (x2  1) dy  2 xy  1 dy 2x 1 dx x2  1 dx  x2 1 y  (x2 1)2   ...(i) This  is  linear  differential  equation  of  the  form dy 2x 1 dx  Py  Q,   where  P  =  x2  1   and  Q  =  (x2  1)2    I.F.  =  e P dx  e  2x /(x2 1)dx  elog( x2 1)  ( x2  1) multiplying  both  sides  of  (i)  by  I.F.  =  (x2  –  1),  we  get (x2  –  1)  dy  2 1 dx xy   = x2  1 integrating  both  sides  we  get y(x2  1)  1 [Using  :  y  (I.F.)  =   Q.(I.F.) dx  C ] x2  1 dx  C     Ans.(A) NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 1 x 1    y (x2 – 1) =  2 log x  1  C . This  is  the  required  solution. Do  yourself  -  11  : dy Solve  the  following  differential  equations  : ( i i ) (x  –  a) +  3y  =  12(x  –  a)3,  x  >  a  >  0 xdy dx ( i ) dx =  2y  +x4  +  6x2  +  2x,  x    0 (i i i ) y n  y dx  + (x  – n  y) dy  =  0 (ii) Equation  reducible  to  linear  form  : The  equation  of  the  form dy  Py  Qy n ,  where  P  and  Q  are  functions  of  x, dx is  called    Bernoulli’s  equation. E 35

JEE-Mathematics On  dividing  by  yn,  we  get    y n dy  Py n1  Q dx Le t y–n+1 =  t,  so  that dy dt (–n  +  1)y–n   dx dx dt then  equation  becomes dx +  P(1–n)t  =  Q(1–n) which  is  linear  with  t  as  a  dependent  variable. Illustration  24: Solve  the  differential  equation  x  dy  y  x3 y6 . dx Solution  : The  given  differential  equation  can  be  written  as 1 dy  1  x2 y6 dx xy 5 Putting  y–5  =  v  so  that –  5  y–6  dy  dv or y 6 dy  1 dv     we  get  dx dx dx 5 dx  1 dv  1 v  x2  dv  5 v  5 x2 ......(i) 5 dx x dx x This  is  the  standard  form  of  the  linear  deferential  equation  having  integrating  factor e   5 dx  e 5 log x  1 x x5 I.F  =  Multiplying  both  sides  of  (i)  by  I.F.  and  integrating  w.r.t.  x 1 5 x2 . 1 dx x5 We get   v  .  x5   v  5 x 2  c x5 2 NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65  y 5 x 5  5 x 2  c     which  is  the  required  solution. Ans. 2 Ans.   Illustration  25  :    Find  the  solution  of  differential  equation  dy  y tan x  y2 sec x . dx E   Solution  : 1 dy 1 y2 dx  y tan x   sec x 1 1 dy dv  dv  v tan x   sec x y  v ; y2  dx dx dx dv  v tan x  sec x , Here  P  =  tan  x,    Q  =  sec  x dx I.F.  =  e  tan xdx  sec x v  |secx|  =  sec2 x dx  c Hence  the  solution  is  y–1  |sec  x|  =  tan  x  +  c 36

JEE-Mathematics Do  yourself  -  12  : Solve  the  following  differential  equations  : ( i ) y'  +  3y  =  e3x  y2 (ii) xdy  –  {y  +  xy3  (1  +  nx)}dx  =  0       (iii)       dy  y  y2 (cos x  sin x) dx 7. TRAJECTORIES  : A  curve  which  cuts  every  member  of  a  given  family  of  curves  according  to  a  given  law  is  called  a  Trajectory  of  the given  family. The  trajectory  will  be  called  Orthogonal  if  each  trajectory  cuts  every  member  of  given  family  at    right  angle. Working  rule  for  finding  orthogonal  trajectory 1 . Form  the  differential  equation  of  family  of  curves 2. Write  1 for  dy   or  r 2 d for  dr   if  differential  equation  is  in  the  polar  form. dy / dx dx  d dr 3 . Solve  the  new  differential  equation  to  get  the  equation  of  orthogonal  trajectories. Note:    A  family  of  curves  is  self-orthogonal  if  it  is  its  own  orthogonal  family. Illustration  26: Find  the  value  of  k  such  that  the  family  of  parabolas  y  =  cx2  +  k  is    the  orthogonal  trajectory  of  the family  of  ellipses  x2  +  2y2  –  y  =  c. Solution  : Differentiate  both  sides  of  x2  +  2y2  –  y  =  c  w.r.t.  x,  We  get dy dy 2x  +  4y  dx   –  dx   =  0 dy or  2x  +  (4y  –  1)  dx   =  0,  is  the  differential  equation  of  the  given  family  of  curves. dy dx Replacing  dx   by  –  dy   to  obtain  the  differential  equation  of  the  orthogonal  trajectories,  we  get 2x  +  (1  4 y )   =  0    dy   =  4 y  1 dy dx 2x dx NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65    dy   =   dx     1   n  (4y  –  1)  =  1   n  x  +  1 n  a,  where  a  is  any  constant. 4y 1 2x 4 2 2   n(4y  –  1)  =  2  n  x  +  2  n  a  or  ,  4y  –  1  =  a2x2 or,  y  =  1 a2x2  +  1 ,  is  the  required  orthogonal  trajectory,  which  is  of  the  form  y  =  cx2  +  k  where 44 a2 1                 Ans. c =  ,  k  =  . 44 x2 y2  1   are  self  orthogonal  family  of  curves. Illustration  27  : Prove  that   a2   b2  Solution  : x2 y2 ...(i)  1 a2   b2   Differentiating  (i)  with  respect  to  x,  we  have x y dy ...(ii)  0 a2   b2   dx From  (i)  and  (ii),  we  have  to  eliminate  . E 37

JEE-Mathematics Now,  (ii)  gives   b 2 x  a2y dy   dx    dy xy dx  a2    (a2  b2 )x , b2    (a2  b2 )y(dy / dx) x  y(dy / dx) x  y(dy / dx) Substituting  these  values  in  (i),  we  get  x  y dy  x  y dx   a2  b2. ....(iii)  dx   dy    as  the  differential  equation  of  the  given  family. Changing  dy/dx  to  –dx/dy  in  (iii),  we  obtain  x  y dx   x  y dy   a2  b2 . ...(iv)  dy   dx    which  is  the  same  as  (iii).  Thus  we  see  that  the  family  (i)  as  self-orthogonal,  i.e.,  every  member  of the  family  (i)  cuts  every  other  member  of  the  same  family  orthogonally. Do  yourself  -  13  : ( i ) Find  the  orthogonal  trajectories  of  the  following  families  of  curves  : ( a ) x  +  2y  =  C ( b ) y  =  Ce–2x Note  : Following  exact  differentials  must  be  remembered    : (i) xdy  +  y  dx  =  d(xy) (ii) xdy  ydx  d  y  x2  x  ydx  xdy  x  (iv) xdy  ydx  d nxy (iii) y2  d  y  xy (v) dx  dy  d n(x  y) (vi) xdy  ydx  d  n y  NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 xy  x  xy (vii)    ydx  xdy  d  n x (viii) xdy  ydx  d  ta n 1 y xy  y  x2  y2  x  (ix) ydx  xdy  d  ta n 1 x (x) xdx  ydy  d n x2  y2  x2  y2  y  x2  y2   1 xdy  ydx  ex  yexdx  exdy d   xy   x2 y2 (xii) d  y   (xi) y2  ey  xeydy  eydx (xiii) d  x   x2 Illustration  28  : Solve  y  sin x cos2 (xy) dx  +  x  sin y  dy  =  0. cos2 (xy)  cos2 (xy)    38 E

Solution  : The  given  differential  equation  can  be  written  as; JEE-Mathematics y dx  x dy Ans. cos2 (xy)   +  sin  x  dx  +  sin  y  dy  =  0.  sec2  (xy)  d  (xy)  +  sin  x  dx  +  sin  y  dy  =  0  d  (tan  (xy))  +  d  (–  cos  x)  +  d  (–  cos  y)  =  0  tan  (xy)  –  cos  x  –  cos  y  =  c. Do  yourself  -  14  : ( i i ) x  dy  –  ydx  –  (1  –  x2)dx  =  0. Solve  the  following  differential  equations  : ( i ) x  dx  +  y  dy  +  4y3(x2  +  y2)dy  =  0. 8 . APPLICATION  OF  DIFFERENTIAL  EQUATIONS  : (a) Mixing  Problems A  chemical  in  a  liquid  solution  with  given  concentration  c   gm/lit.  (or  dispersed  in  a  gas)  runs  into  a in container  with  a  rate  of  a lit/min.  holding  the  liquid  (or  the  gas)  with,  possibly,  a  specified  amount  of  the in chemical  dissolved  as  well.  The  mixture  is  kept  uniform  by  stirring  and  flows  out  of  the  container  at  a known  rate  (aout litre/min.).  In  this  process  it  is  often  important  to  know  the  concentration  of  the  chemical in  the  container  at  any  given  time.  The  differential  equation  describing  the  process  is  based  on  the formula. Rate of change  rate at which   rate at which      of amount   chemical    chemical  .......(i) in container  arrives   departs  Arrival  rate  =  (conc.  in)  ×    (inflow  rate)  =  c  ×  a                     ain = inflow rate V0= initial volume in in   cin = conc. in If  y(t)  denotes  the  amount  of  substance  in  the aout= outflow rate tank  at  time  t  &  V(t)  denotes  the  amount  of  mixture in  tank  at  that  time NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65  concentration in    Departure  rate  =   container at time t  .  (outflow  rate)       =  y(t) . (a ) out V(t) where  volume  of  mixture  at  time  t,  V(t)  =  initial  volume  +  (inflow  rate  –  outflow  rate)  ×    t       =  V   +  (a   –  a )t 0 in out Accordingly,  Equation  (i)  becomes dy(t) =  (chemical's  given  arrival  rate)  –  y(t) . (out  flow  rate) .......(ii) dt V(t) d ( y ( t )) y(t) dt  c in a in  V0  (a in  a out )t .a out This  leads  to  a  first  order  linear  D.E.  which  can  be  solved  to  obtain  y(t)  i.e.  amount  of  chemical  at  time  't'. Illustration  29  : A  tank  contains  20  kg  of  salt  dissolved  in  5000  L  of  water.  Brine  that  contains  0.03  kg  of  salt  per liter  of  water  enters  the  tank  at  a  rate  of  25  L/min.  The  solution  is  kept  thoroughly  mixed  and drains  from  the  tank  at  the  same  rate.  How  much  salt  remains  in  the  tank  after  half  an  hour  ? E 39

JEE-Mathematics Solution  : Let  y(t)  be  the  amount  of  salt  after  t  min. Given  y(0)  =  20  kg rate  in  =  0.03kg  25L   0.75kg  L   min .  min . As  a   =  a ,  so  the  tank  always  contains  5000  L  of  liquid  so  the  conc.  at  time  ‘t’  is   y(t)  kg in out   5000 L so rate  out  =   y(t) kg  25L   y(t) kg  5000 L   m in  200 min dy(t)  0.75  y(t) dt 200 by  solving  as  linear  D.E.  or  variable  separable  and  using  initial  condition,    we  get y(t)  =  150–  130  e–t/200 The  amount  of  salt  after  30  min  is y(30)  =  150  –  130  e–30/100  =  38.1  kg Do  yourself  -  15  : ( i ) A  tank  initially  holds  10  lit.  of  fresh  water.  At  t  =  0,  a  brine  solution  containing  1 kg of  salt  per  lit.  is 2 poured  into  the  tank  at  a  rate  of  2  lit/min.  while  the  well-stirred  mixture  leaves  the  tank  at  the  same rate.  Find ( a ) the  amount  and ( b ) the  concentration  of  salt  in  the  tank  at  any  time  t. (b) Exponential  Growth  and  Decay  : In  general,  if  y(t)  is  the  value  of  quantity  y  at  time  t  and  if  the  rate  of  change  of  y  with  respect  to  t  is proportional  to  its  value  y(t)  at  that  time,  then dy(t) ....(i) =  ky(t),    where  k  is  a  constant dt  dy(t)   kdt y(t) Solving,  we  get  y(t)  =  Aekt NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 equation  (i)  is  sometimes  called  the  law  of  natural  growth  (if  k  >  0)  or  law  of  natural  decay  (if  k  <  0). In  the  context  of  population  growth,  we  can  write dP  kP or 1 dP  k dt P dt where  k  is  growth  rate  divided  by  the  population  size;  it  is  called  the  relative  growth  rate. Illustration  30  : A  certain  radioactive  material  is  known  to  decay  at  a  rate  proportional  to  the  amount  present.  If initially  there  is  50  kg  of  the  material  present  and  after  two  hours  it  is  observed  that  the  material has  lost  10  percent  of  its  original  mass,  find  (a)    an  expression  for  the  mass  of  the  material remaining  at  any  time  t,  (b)  the  mass  of  the  material  after  four  hours,  and  (c)  the  time  at  which  the material  has  decayed  to  one  half  of  its  initial  mass. Solution  : ( a ) Let  N  denote  the  amount  of  material  present  at  time  t. So, dN  kN  0 dt 40 E

JEE-Mathematics This  differential  equation  is  separable  and  linear,  its  solution  is N  =  cekt ....(i) At  t=0,  we  are  given  that  N  =  50.  Therefore,  from  (i),  50  =  cek(0)  or  c  =  50.  Thus, N  =  50ekt ....(ii) At  t  =  2,  10  percent  of  the  original  mass  of  50kg  or  5kg  has  decayed.  Hence,  at  t  =  2, N  =  50  –  5  =  45.  Substituting  these  values  into  (ii)  and  solving  for  k,  we  have 45  =  50e2k  or  k  =  1 n  45 2 50 Substituting  this  value  into  (ii),  we  obtain  the  amount  of  mass  present  at  any  time  t  as 1 ( n 0.9 ) t .....(iii) N  50e2 where  t  is  measured  in  hours. ( b ) We  require  N  at  t  =  4.  Substituting  t  =  4  into  (iii)  and  then  solving  for  N,  we  find N  =  50e–2  n   (0.9) kg ( c ) We  require  when  N  =  50/2  =  25.  Substituting  N  =  25  into  (iii)  and  solving  for  t,  we  find 25  1 ( n 0.9 ) t     t  n 1  / 1 n (0 .9 )  hours  2   2 50e2 ( c ) Temperature  Problems  : Newton’s  law  of  cooling,  which  is  equally  applicable  to  heating,  states  that  the  time  rate  of  change  of  the temperature  of  body  is  proportional  to  the  temperature  difference  between  the  body  and  its  surrounding medium.  Let  T  denote  the  temperature  of  the  body  and  let  T   denote  the  temperature  of  the  surrounding m dT medium.  Then  the  time  rate  of  change  in  temperature  of  the  body  is  ,  and dt Newton’s  law  of  cooling  can  be  formulated  as dT dT ....(a) dt  k(T  Tm ) ,  or  as  dt +kT  =  kTm where  k  is  a  positive  constant  of  proportionality.  Once  k  is  chosen  positive,  the  minus  sign  is  required  in dT Newton’s  law  to  make  negative  in  a  cooling  process,  when  T  is  greater  than  T   and  positive  in  a dt m heating  process,  when  T  is  less  than  T . m NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 Illustration  31  : A  metal  bar  at  a  temperature  of  100°F  is  placed  in  a  room  at  a  constant  temperature  of  0°  F.  If after  20  minutes  the  temperature  of  the  bar  is  50°F,  find  (a)  the  time  it  will  take  the  bar  to  reach the  temperature  of  25°F  and    (b)  the  temperature  of  the  bar  after  10  minutes. Solution  : Use  equation  (a)  with  T   =0;  the  surrounding  medium  here  is  the  room  which  is  being  held  at  a m constant  temperature  of  0°F.  Thus  we  have dT  kT  0 .....(i) dt whose  solution  is T  =  ce–kt Since  T  =  100°F  at  t  =  0  (the  temperature  of  the  bar  is  initially  100°F),  it  follows  (i)  that 100  =  ce–k(0)  or  100  =  c.  Substituting  this  value  into  (i),  we  obtain T  =  100e–kt .....(ii) At  t  =  20,  we  are  given  that  T  =  50°F;  hence  from  (ii), 50  =  100e–20k    from  which    k   1 n 50 20 100 E 41

JEE-Mathematics Substituting  this  value  into  (ii),  we  obtain  the  temperature  of  the  bar  at  any  time  t  as  1 n 1  t 20 2 T  1 0 0 e  °F .....(iii) ( a ) We  require  t  when  T  =  25°F.  Substituting  T  =  25°F  into  (iii),  we  have  1 n 1  t  20 2 25  1 0 0e Solving,  we  find  that  t  =  39.6  min. ( b ) We  require  T  when  t  =  10.  Substituting  t  =  10  into  (iii)  and  then  solving  for  T,  we  find  that  1 n 1 10 20 2 T  1 0 0 e  °F It  should  be  noted  that  since  Newton’s  law  is  valid  only  for  small  temperature  difference,  the above calculations  represent  only  a  first  approximation  to  the  physical  situation. (d) Geometrical  applications  : Let  P(x ,  y )  be  any  point  on  the  curve  y  =  ƒ  (x),  then  slope  of  the  tangent  at  point  P  is   dy  1 1  dx ( x1 , y1 ) (i) The  equation  of  the  tangent  at  P  is  y  y1  dy (x  x1 ) dx x-intercept  of  the  tangent  =  x1  –  y1  dx   dy    y-intercept  of  the  tangent  =  y  –  x  dy  1 1   dx  y1 1 x1 ) (ii) The  equation  of  normal  at  P  is  y   (x  (dy / dx) x  and  y-intercepts  of  normal  are  ;  x1  y1 dy   and  y1  x1 dx dx dy (iii) Length  of  tangent  = PT | y1 | 1  (dx / dy )2(x1, y1 ) NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 (iv) Length  of  normal  = PN | y1 | 1  (dy / dx)2(x1, y1 ) (v) Length  of  sub-tangent  =  ST  y1  dx     dy ( x1 , y1 ) (vi) Length  of  sub-normal  =  SN  y1  dy   dx ( x1 , y1 ) (vii) Length  of  radius  vector  =  x12  y 2 1 Do  yourself  -  16  : (i) At  each  point  (x,y)  of  a  curve  the  intercept  of  the  tangent  on  the  y-axis  is  equal  to  2xy2.  Find  the  curve. ( i i ) Find  the  equation  of  the  curve  for  which  the  normal  at  any  point  (x,y)  passes  through  the  origin. 42 E

JEE-Mathematics Miscellaneous  Illustrations  : Illustration  32  : Solve  (y  log  x  –  1)  ydx  =  xdy. Solution  : The  given  differential  equation  can  be  written  as x  dy   +  y  =  y2  log  x .....(i) dx Divide  by  xy2  .  Hence  1 dy + 1 1   log  x y2 = dx xy x 11 dy   =  dv   so  that  dv   –  1   v  =  – 1 log  x .....(ii) Let  y   =  v    – y2 dx dx dx x x 11 (ii)  is  the  standard  linear  differential  equation  with  P  =  – ,  Q  =  – log  x xx I.F.  =  e  pdx   =  e  –1 / x dx   =  1/x The  solution  is  given  by v  .  1 =   1   1 log x  dx  =  –  log x dx  =  log x   –   1 . 1 dx  =  log x +  1   +  c x x  x  x2 x x x x x  v  =  1  +  log  x  +  cx  =  log  ex  +  cx 1 Ans. or y   =  log  ex  +  cx  or  y  (log  ex  +  cx)  =  1. d2y Illustration  33: For  a  certain  curve  y  =  f(x)  satisfying  dx2   =  6x  –  4,  f(x)  has  a  local  minimum  value  5  when x  =  1.  Find  the  equation  of  the  curve  and  also  the  global  maximum  and  global  minimum  values  of f(x)  given  that  0    x   2. Solution  : Integrating  d2y =  6x  –  4,  we  get  dy   =  3x2  –  4x  +  A dx2 dx NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 dy When  x  =  1,  dx =  0,  so  that  A  =  1.  Hence dy   =  3x2  –  4x  +  1 ...(i) dx Integrating, we  get  y  =  x3  –  2x2  +  x  +  B When  x  =  1,  y  =  5,  so  that  B  =  5. Thus  we  have  y =  x3  – 2x2  +  x  +  5. From  (i),  we  get  the  critical  points  x  =  1/3,  x  =  1 1 d2y At  the  critical  point  x  =  3 ,  dx2   is  negative. Therefore  at  x  =  1/3,  y  has  a  local  maximum. d2y At  x  =  1,  dx2 is  positive. E 43

JEE-Mathematics Therefore  at  x  =  1,  y  has  a  local  minimum. Also  f(1)  =  5,  f  1  = 139 .  f(0)  =  5,  f(2)  =  7  3  27 Hence  the  global  maximum  value  =  7,  and  the  global  minimum  value  =  5. Ans. dy Ans. Illustration  34  : Solve    dx =  tany  cotx  –  secy  cosx. Ans. Solution  : dy E dx =  tany  cotx  –  secy  cosx. Rearrange  it  : (sin  x  –  siny)cos  x  dx  +  sin  x  cosy  dy  =  0. Put  u  =  sin  y,                So,        du  =  cos  y  dy  : Substituting,  we  get (sin  x  –  u)cos  x  dx  +  sin  x  du  =  0,  du  u cos x   cos x dx sin x The  equation  is  first-order  linear  in  u. The  integrating  factor  is I  exp   cos x dx  exp{ ln(sin x)} 1 . sin x sin x Hence, u1   cos x dx   ln sin x C . sin x sin x Solve  for  u  :  u  =  –sin  x  ln  |sin  x|+  C  sin  x. Put  y  back  :  siny  =  –  sin  x  ln  |sin  x|+  C  sin  x. xx NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 Illustration  35  : Solve  the  equation    x  y(t)dt  (x  1) t y(t)dt, x  0 00 Solution  : Differentiating  the  equation  with  respect  to  x,  we  get xx xy(x)  1. y(t)dt  (x 1)xy(x)  1. ty(t)dt 00 xx i.e.,     y(t)dt  x2 y(x)   ty(t)dt 00 Differentiating  again  with  respect  to  x,  we  get    y(x)  =  x2  y'(x)  +  2xy(x)  +  xy(x) x2 dy (x ) i.e., (1  –  3x)y(x)  =  dx i.e., (1  3x)dx  dy(x) ,    integrating  we  get x2 y(x) i.e., y  c e 1 / x x3 44

JEE-Mathematics 3 1 if 0  x  1 1  1 x  if x  1  2  8 Illustration  36  : (Discontinuous  forcing)  Solve  :  y ' y  g(x) ,  where  g(x)  1 ,  and  y  , and  y(x)  is  continuous  on  [0,).  x Solution  : The  idea  is  to  solve  the  equation  separately  on  0  <  x  <  1  and  on  x  >  1,  then  match  the  pieces  up at  x  =  1  to  get  a  continuous  solution. 0x  1 :y ' 3 y  1 3 dx  e3nx  x3 . x .  The  integrating  factor  is      I  exp x Then yx3  x3 dx  1 x4  C . 4 1C The  solution is    y  4 x  x3 Plug  in  the  initial  condition  1  y  1   1  8C,C  0 8  2  8 The  solution  on  the  interval  0  <  x  <  1  is    y  1 x . 4 1 Note  that  y(1)  =  . 4 3 1 x2dx  1 x3  C . 3 x  >  1  :  y’  +  x y  x .  The  integrating  factor  is  the  same  as  before,  so    yx3  The  solution  is 1C y  3  x3 . 1 In  order,  to  get  value  of  C,  set  y  (1)  = 4 1  y (1 )  1 C ,  C  =  1 4 3  12 1 11 The  solution  on  the  interval  x  >  1  is    y  3  12 x3 The  complete  solution  is      y   1 x if 0  x  1 Ans.  4 1 if x  1 1  3 12x3 NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 Illustration  37  : Let  y  =  ƒ  (x)  be  a  differentiable  function    x    R  and  satisfies  : 11  ƒ  (x)  =  x  +  x2 z  ƒ  (z)dz  + x  z2  ƒ  (z)  dz.  Determine  the  function. 00 11  S o l . We  have  ,  ƒ (x)  =  x  +  x2 z ƒ  (z)  dz  +  x z2 ƒ  (z)dz 00 Let ƒ  (x)  =  x  +  x21  +  x2 1 1 1  2 1 3 4 z ƒ(z)dz ((1  2 )z 0 0  Now1    z21 )z dz    91  –  42  =  4 .....(i) 2  1 z2 ƒ (z)dz  1 ((1  2 )z3  z41 ) dz (1  2 ) 1  also 0 0   4  5  15   –  4   =  5 ....(ii) 21 E 45

JEE-Mathematics from  (i)  and  (ii); 80 61 1  119   and  2  119  ƒ(x)  x  80 x2  61 x  20x (4  9 x) 119 119 119 ANSWERS  FOR  DO  YOURSELF 1 : ( i ) one,  two ( i i ) two,  two (iii) one,  one 2 : ( i ) y'  –  y  =  2(1  –  x) (ii)  x2y\"  +  2xy'  –  2y  =  0 (iii)  y'''    4y' 3 : ( i ) ny2  =  x  +  n|x|  +  k (ii) 11 1  4x2  k (i i i ) sec  y  =  –2  cosx  +  C  2y2 4 4 : (i) y  4 x  2  ce4x ( i i ) 2(x  –  y)  =  c  +  sin2(x  +  y) y 4x 2 5 : ( i ) x  +  2y  +  n|2x  –  y|+  c  =  0 y2 3x2 6 : ( i ) x  =  cyexy (ii)  3y   5xy  0 22 ( i i )  y  =  cx2e–1/xy 7 : (i) n(x2  +  y2)  =  2 tan 1  y   c (ii) x2  y2  sin 1  y   c  x   x  NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 8 : (i) 3 (ii) 2/3 (iii)  (a)  homogeneous (b)  homogeneous (c)  not  homogeneous 9 : ( i ) (3x  +  y)  (x  –  y)  =  c (ii) yn  y   y  xnx  cx  0 (i i i ) x2y(2x  +  y)  =  3 0  x  (i i i ) 2x  n  y  =  n2  y  +  C. 1 0 : ( i ) x  +  y  –  3  =  C(x  –  y  +  1)3 (ii)  y  2(x  a )3  (x c 1 1 : ( i ) y  x4  6 x2n| x| 2x  cx2  a)3 2 1 x2   2 x3  2  nx   c 1 sin x  cex 1 2 : (i) y (ii) y2 3  3  (iii) y  . (c  x)e3x 1 3 : ( i ) ( a ) y  –  2x  =  K (b)  y2  =  x  +  K 1 4 : ( i ) ½   n(x2 + y2) + y4 = C ( i i ) y  +  x2  +  1  =  Cx 1 5 : ( i ) (a)  –  5e–0.2t  +  5  kg     (b)  1 (e0.2t  1) kg/ 2 1 6 : (i) x  x2  C ( i i ) x2  +  y2  =  C y 46 E

EXERCISE - 01 JEE-Mathematics CHECK YOUR GRASP SELECT  THE  CORRECT  ALTERNATIVE  (ONLY  ONE  CORRECT  ANSWER) 2 1. The  order  and  degree  of  the  differential  equation  1  3 dy  3 d3y   are  - dx   4 dx3 2 (B)  3  ,  1 (C)  1,  2 (D)  3,  3 (A)  1  ,  3 2 . The  degree  and  order  of  the  differential  equation  of  the  family  of  all  parabolas  whose  axis  is  x-axis  are  respectively (A) 2  , 1 (B)  1  ,  2 (C) 3  , 2 (D)  2  ,  3 dy d2y 3 . The  order  and  degree  of  the  differential  equation  3 dx  4 dx2  7x  0   are  a  and  b,  then  a  +  b  is  - (A)  3 (B)  4 (C)  5 (D)  6 4 . The  order  of  the  differential  equation  whose  general  solution  is  given  by    y  (C1  C2 ) cos(x  C3 )  C4exc5 where  C1,  C2,  C3,  C4,  C5  are  arbitrary  constants,  is  -             [JEE  98] (A)    5 (B)   4 (C)    3 (D)    2 5 . The  differential  equation  of  the  family  of  curves  represented  by  y  =  a  +  bx  +  ce–x  (where  a,  b,  c  are  arbitrary constants)  is  - (A) y''' = y' (B)  y'''  +  y''  =  0 (C)  y'''  –  y''  +  y'  =  0 (D)  y'''  +  y''  –  y'  =  0 6 . The  differential  equation  for  the  family  of  curves  x2  +  y2  –  2ay  =  0,  where  a  is  an  arbitrary  constant  is  - (A) (x2  –  y2  )  y'  =  2xy (B)  2(x2  +  y2)  y'  =  xy (C)  2(x2–y2)  y'  =  xy (D)  (x2  +  y2)y'  =  2xy 7 . Number  of  values  of  m    N  for  which  y  =  emx  is  a  solution  of  the  differential  equation D3y  –  3D2y  –  4Dy  +  12y  =  0  is  - (A)  0 (B)  1 (C)  2 (D)  more  than  2 8 . If  y  =  e(K + 1)x  is  a  solution  of  differential  equation  d2 y  4 dy  4 y  0 ,  then  k  = dx2 dx (A)  –1 (B)  0 (C)  1 (D)  2 NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 9. The  general  solution  of  the  differential  equation  dy  1x   is  a  family  of  curves  which  looks  most  like  which  of dx y the  following  ? (A)   (B)  (C)  (D)  1 0 . The  solution  to  the  differential  equation  yny  +  xy'  =  0,  where  y(1)  =  e,  is  - (A)  x(ny)  =  1 (B)  xy(ny)  =  1 (C)  (ny)2  =  2 (D)  ny  +  x2  y  =  1  2  dy 1 1 . The  equation  of  the  curve  passing  through  origin  and  satisfying  the  differential  equation    =  sin  (  10x  +  6y) dx is - (A)  y  1 tan 1  4 5 tan 4x   5x (B)  y  1 tan 1  5 tan 4x   5x 3   3 tan 4 x  3 3   3 tan 4 x  3 4 (C)  y  1 tan 1  3  tan 4x   5x (D)  none  of  these 3  4  3 tan 4 x  3 E 47

JEE-Mathematics 1 2 . Which  one  of  the  following  curves  represents  the  solution  of  the  initial  value  problem  Dy  =  100  –  y,  where y(0)  =  50 y y y y 100 100 100 100 (A)   50 (B)   50 (C)   50 (D)   50 Ox Ox O x Ox x 1 3 . A  curve  passing  through  (2,  3)  and  satisfying  the  differential  equation  ty(t)dt  x2 y(x), (x  0)   is  - 0 (A)  x2  +  y2  =  13 (B)  y2  9 x x2 y2 (D)  xy  =  6 2 (C)    1 8 18 14. A curve passes through  the point  1,    &  its  slope  at  any  point  is  given  by  y   –  cos2   y . Then the  curve has 4  x  x  the  equation  - (A)  y  =  xtan–1  n e  (B)  y  =  xtan–1(n  +  2) (C)  y  =  1 tan–1  n e (D)  none  x  x  x  (D)  x  (  y2  +  xy)  =  0 dy 1 5 . The  solution  of  the  differential  equation  (2x  –  10y3)    +  y  =  0  is  - dx (A)  x  +  y  =  ce2x (B)  y2  =  2x3  +  c (C)  xy2  =  2y5  +  c    1 6 . Solution  of  differential  equation  1  y2 dx  x  etan1 y dy  0   is  - (A)  y e tan1 x  tan 1 x  c (B)  x e tan1 y  1 e2 tan1 y  c 2 (C)  2 x  e tan1 y  c (D)  y  x e  tan1 x  c 1 7 . The  general  solution  of  the  differential  equation,  y'  +  y'(x)  –  (x)  .  '(x)  =  0  where  (x)  is  a  known  function  is - (A)  y  =  ce–(x)  +  (x)  –1 (B)  y  =  ce(x)  +  (x)  +K (C)  y  =  ce–(x)  –  (x)  +1 (D)  y  =  ce–(x)  +  (x)  +K 1 8 . The  solution  of  the  differential  equation,  ex(x  +  1)dx  +  (yey  –  xex)dy  =  0  with  initial  condition  f(0)  =  0,  is  - (A)  xex  +  2y2ey  =  0 (B)  2xex  +  y2ey  =  0 (C)  xex  –  2y2ey  =  0 (D)  2xex  –  y2ey  =  0 1 9 . The  solution  of  the  differential  equation  ydx  +  (  x  +  x2  y)  dy  =  0  is  - (A)  1  log y  c (B)  log  y  =  cx (C)   1  c (D)   1  log y  c NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 xy xy xy 2 0 . The solution of y5 x  +  y – x  dy  = 0   is - (B)  x5/5  +  (1/4)  (x/y)4  =  C dx (D)  (xy)4+  x5/5  =  C (A)  x4/4  +  1/5  (x/y)5  =  C (C)  (x/y)5  +  x4/4  =  C xdy  y  2 1 . The  solution  of  x2  y2   x2  y2  1   dx  is  - (A)  y  =  x cot  (  c–  x) (B)  cos–1  y/x  =  –x  +  c (C)  y  =  x  tan  (c  –  x) (D)  y2/x2  =  x  tan  (  c  –  x) SELECT  THE  CORRECT  ALTERNATIVES  (ONE  OR  MORE  THAN  ONE  CORRECT  ANSWERS) 2 2 . The  value  of  the  constant  'm'  and  'c'  for  which  y  =  mx  +  c  is  a  solution  of  the  differential  equation D2y  –  3Dy  –  4y  =  –  4x (A)  is  m  =  –1 (B)  is  c  =  3/4 (C)  is  m  =  1 (D)  is  c  =  –3/4 48 E

JEE-Mathematics 2 3 . If  x dy =  y  (log  y  –  log  x  +  1),  then  the  solution  of  the  equation  is  - dx (A)   x  cy (B)  log  y  cx (C)  y  xecx (D)  x  yecx log  y   x  24. Solutions  of  the  differential  equation  x 2  dy 2  xy  dy   6 y 2  0   -  dx   dx   (A)  y  =  cx2 (B)  x3  y  =  c (C)  xy3  =  c (D)  y  =  cx                 [JEE  99] 25. A  solution  of  the  differential  equation,   dy 2  x dy  y  0 is    -  dx  dx (D)    y  =  2x2  –  4 (A)   y  =  2 (B)    y  =  2x (C)    y  =  2x  –  4 (D)  y  –  ex  =  c  2 6 .  dy 2 dy The  solution  the  differential  equation   dx  dx ex  ex  1  0   is  are    -   (A)  y  +  e–x  =  c (B)  y  –  e–x  =  c (C)  y  +  ex  =  c 27. The  solution  of  dy  ax  h   represent  a  parabola  if  - dx by  k (A)  a  =  –2,  b  =  0 (B)  a  =  –2,  b  =  2 (C)  a  =  0,  b  =  2 (D)  a  =  0,  b  =  0 2 8 . A  normal  is  drawn  at  a  point  P(x,  y)  of  a  curve.  It  meets  the  x-axis  and  the  y-axis  in  point  A  and  B,  respectively, such  that  1  1  1 ,  where  O  is  the  origin,  the  equation  of  such  a  curve    is  a  circle  which  passes  through OA OB (5, 4)  and  has  - (B)  centre  (2,  1) (C)  radius  5 (D)  radius  4 (A)  centre  (1,  1) NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 CHECK  YOUR  GRASP ANSWER  KEY EXERCISE-1 Que. 1 234 5678 9 10 Ans. D BCC BACC BA Que. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Ans. A BDA CBAB DB Que. 21 22 23 24 25 26 27 28 Ans. C C,D B,C,D A,B C A,D A,C A,C E 49

JEE-Mathematics BRAIN TEASERS EXERCISE - 02 SELECT  THE  CORRECT  ALTERNATIVES  (ONE  OR  MORE  THAN  ONE  CORRECT  ANSWERS) 1 . Which  one  of  the  following  is  homogeneous  function ? xy (B)  f(x,  y)= 1 2 tan 1 x (A)  f(x,  y)  =  x2  y2 y x 3 .y 3 (C)  f(x,  y)  =  x (n x2  y2  ny )  ye x / y (D)  f(x,  y)  =  x  n 2x2  y2  n ( x    y2 tan x  2y x y ) 3x  y 2 . The  graph  of  the  function  y  =  f(x)  passing  through  the  point  (0,  1)  and  satisfying  the  differential  equation dy  y cos x  cos x   is such  that  - (B)  it  is  periodic dx (A)  it  is  a  constant  function (C)  it  is  neither  an  even  nor  an  odd  function (D)  it  is  continuous  &  differentiable  for  all  x. 3 . Water  is  drained  from  a  vertical  cylindrical  tank  by  opening  a  valve  at  the  base  of  the  tank.  It  is  known  that the  rate  at  which  the  water  level  drops  is  proportional  to  the  square  root  of  water  depth  y,  where  the  constant of  proportionality  k  >  0  depends  on  the  acceleration due to  gravity  and  the geometry  of the hole.  If  t  is  measured in  minutes  and  k  =  1/15  then  the  time  to  drain  the  tank  if  the  water  is  4  meter  deep  to  start  with  is  - (A)  30  min (B)  45  min (C)  60  min (D)  80  min 4. The  solution  of  the  differential  equation,  x2 dy 1  y sin 1  1 ,  where  y    –1  as  x     is  - .cos x dx x (A)  y  = sin 1  cos 1 (B)  y  =  x  1 11 (D)  y  =  x 1 xx x sin 1 (C)  y  = cos  sin x cos 1 x xx x 5. If  y  x  (where  c is an arbitrary  constant)  is  the general solution of the  differential equation  dy  y    x n| cx| dx x  y  then  the  function    x    is  - NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65  y  x2 x2 y2 y2 (A)  y2 (B)  – y2 (C)  x2 (D)  – x2 x 6 . If  ty(t)dt  x2  y(x)   then  y  as  a  function  of  x  is  - a x2 a2 x2 a2 x2 a2 (D)  none (A)  y  2  2  a2  e 2 (B)  y  1  2  a2  e 2 (C)  y  2  1  a2  e 2 1 7 . A  function  f(x)  satisfying   f(tx)dt  nf(x) ,  where  x  >  0,  is  - 0 1n n 1 (D)  f (x )  c.x (1n ) (A)  f(x)  c.x n (B)  f(x)  c.x n1 (C)  f(x)  c.x n 50 E

JEE-Mathematics 8. The  differential  equation  d2 y  dy  sin y  x2  0   is  of  the  following  type  - dx2 dx (A)  linear (B)  homogeneous (C)  order  two (D)  degree  one 9 . A  curve  C  passes  through  origin  and  has  the  property  that  at  each  point  (x,  y)  on  it  the  normal  line  at  that  point passes  through  (1,  0).  The  equation  of  a  common  tangent  to  the  curve  C  and  the  parabola  y2  =  4x  is  - (A)  x  =  0 (B)  y  =  0 (C)  y  =  x  +  1 (D)  x  +  y  +  1  =  0 1 0 . The  function  f(x)  satisfying  the  equation,  f2(x)  +  4f'(x)  .  f(x)  +  [f'(x)]2  =  0  is  - (A)  f(x)  =  c  .  e (2 3 )x (B)  f(x)  =  c  .  e (2 3 )x (C)  f(x)  =  c  .  e ( 3 2)x (D)  f(x)  =  c  .  e (2 3 )x 1 1 . The  equation  of  the  curve  passing  through  (3,  4)  &  satisfying  the  differential  equation, y  dy 2  (x  y) dy  x  0   can  be  -  dx  dx (A)  x  –  y  +  1  =  0 (B)  x2  +  y2  =  25 (C)  x2  +  y2  –  5x –  10  =  0 (D)  x  +  y  –  7  =  0 dy  d y  2 dx  d x  12. Number  of  straight  lines  which  satisfy  the  differential  equation   x  y  0   is  - (A)  1 (B)  2 (C)  3 (D)  4 1 3 . Let  y  =  (A  +  Bx)e3x  be  a  solution  of  the  differential  equation  d2y  m dy  ny  0 ,  m,  n    I,  then  - dx2 dx (A)  m  +  n  =  3 (B)  n2  –  m2  =  64 (C)  m  =  –6 (D)  n  =  9 1 4 . The  differential  equation  2xy  dy  =  (x2  +  y2  +  1)  dx  determines  - (A)  A  family  of  circles  with  centre  on  x-axis (B)  A  family  of  circles  with  centre  on  y-axis (C)  A  family  of  rectangular  hyperbola  with  centre  on  x-axis (D)  A  family  of  rectangular  hyperbola  with  centre  on  y-axis 1 5 . If  ƒ ''(x)  +  ƒ '(x)  +  ƒ 2(x)  =  x2  be  the  differential  equation  of  a  curve  and  let  P  be  the  point  of  maxima  then  number of  tangents  which  can  be  drawn  from  point  P  to  x2  –  y2  =  a2,  a    0  is  - (A)  2 (B)  1 (C)  0 (D)  either  1  or  2 (D)  n x  y  x  c 1 6 . The  solution  of  x2dy  –  y2dx  +  xy2(x  –  y)dy  =  0  is  - xy NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 (A)  n xy y2 c (B)  n xy x2 (C)  n xy x2 c  xy  c  (D)  all  of  these xy 2 xy 2 2 17. The  orthogonal  trajectories  of  the  system  of  curves   dy 2  4   are  -  dx x   (A)  9(y  +  c)2  =  x3 (B)  y  +  c  = x3 / 2 x3/2 3 (C)  y  +  c  = 3 BRAIN  TEASERS ANSWER  KEY EXERCISE-2 Que. 1 2 3 456 7 8 9 10 Ans. A,B,C A,B,D C ADA A C,D A C,D Que. 13 14 15 16 17 Ans. 11 12 A,C,D CAA A,B,C,D A,B B E 51

JEE-Mathematics EXERCISE - 03 MISCELLANEOUS TYPE QUESTIONS TRUE  /  FALSE 1 . f(x,  y)  =  ey/x  +  nx  –  ny  is  a  homogeneous  function  of  degree  zero. 2 . Consider  the  differential  equation  y''  +  2y'  +  y  =  0.  y  =  e–t  is  the  solution  of  this  differential  equation  but y  =  te-t  is  not  the  solution  of  differential  equation. 3 . The  differential  equation  y3dy  +  (x  +  y2)  dx  =  0  becomes  homogeneous  if  we  put  y2  =  t. 4. The  degree  of  the  differential  equation   d2y 2  d3y  dy  sin2 y  sin  dy   0   is  2. 2  dx2  dx3 dx  dx  5 . The  differential  equation  of  the  family  of  parabola  whose  axis  is  parallel  to  y-axis  has  order  3  &  degree  1. MATCH  THE  COLUMN Following question contains statements given in two columns, which have to be matched. The statements in Column-I are labelled as A, B, C and D while the statements in Column-II are labelled as p, q, r and s. Any given s t a t e m e n t  i n  C o l u m n - I  c a n  h a v e  c o r r e c t  m a t c h i n g  w i t h  O N E  O R  M O R E  s t a t e m e n t ( s )  i n  C o l u m n - I I . 1 . Match  the  properties  of  the  curves  given  in  column-I  with  the  corresponding  curve(x)  given  in  the  column-II.                              Column-I           Column-II (A) A  curve  passing  through  (2,  3)  having  the  property  that (p) Straight  line length  of  the  radius  vector  of  any  of  its  point  P  is  equal (q) Circle to  the length  of  the tangent  drawn at  this  point,  can  be (r) Parabola (s) Hyperbola (B) A  curve  passing  through  (1,  1)  having  the  property  that  any tangent  intersects  the  y-axis  at  the  point  which  is  equidistant from  the  point  of  tangency  and  the  origin,  can  be (C) A  curve  passing  through  (1,  0)  for  which  the  length  of normal  is  equal  to  the  radius  vector,  can  be (D) A  curve  passes  through  the  point  (2,  1)  and  having  the property  that  the  segment  of  any  of  its  tangent  between the  point  of  tangency  and  the  x-axis  is  bisected  by  the y-axis,  can  be ASSERTION    &    REASON These  questions  contains,  Statement  I  (assertion)  and  Statement  II  (reason). NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 (A)  Statement-I  is  true,  Statement-II  is  true  ;  Statement-II  is  correct  explanation    for  Statement-I. (B)  Statement-I  is  true,  Statement-II  is  true  ;  Statement-II  is  NOT  a  correct  explanation  for  statement-I. (C)  Statement-I  is  true,  Statement-II  is  false. (D)  Statement-I  is  false,  Statement-II  is  true. 1 . Statement-I  :  The  order  of  the  differential  equation  of  all  the  circles  which  touches  x-axis  is  2. because Statement-II  :  The  order  of  differential  equation  is  same  as  number  of  independent  arbitrary  constant  in  the given  curve. (A)  A (B)  B (C)  C (D)  D 2 . Statement-I  :  The  order  of  the  differential  equation  whose  primitive  is  y  =  A  +  nBx  is  2 because Statement-II  :  If  there  are  'n'  independent  arbitrary  constants  in  a  family  of  curve  then  the  order  of  the corresponding  differential  equation  is  'n'. (A)  A (B)  B (C)  C (D)  D 52 E

JEE-Mathematics 3 . Statement-I  :  The  orthogonal  trajectory  to  the  curve  (x  –  a)2  +  (y  –  b)2  =  r2  is  y  =  mx  +  b  –  am  where  a  and  b are  fixed  numbers  and  r  &  m  are  parameters. because Statement-II  :  In  a  plane,  the  line  that  passes  through  the  centre  of  circle  is  normal  to  the  circle. (A)  A (B)  B (C)  C (D)  D d2y dy 4 . Statement-I  :  sin x dx2  cos x dx  tan x  0   is  not  a  linear  differential  equation. because Statement-II  :  A  differential  equation  is  said  to  be  linear  if  dependent  variable  and  its  differential  coefficients occurs  in  first  degree  and  are  not  multiplied  together. (A)  A (B)  B (C)  C (D)  D 5. Consider  the  differential  equation  (xy  –  1)  dy  y2  0 dx Statement-I  :  The  solution  of  the  equation  is  xy  =  logy  +  c. because Statement-II  :  The  given  differential  equation  can  be  expressed  as  dx  Px  Q ,  whose  integrating  factor  is  ny. dy (A)  A (B)  B (C)  C (D)  D COMPREHENSION  BASED  QUESTIONS Comprehension  #  1 A  &  B  are  two  separate  reservoirs  of  water.  Capacity  of  reservoir  A  is  double  the  capacity  of  reservoir  B  .  Both the  reservoirs  are  filled  completely  with  water ,  their  inlets  are  closed  and  then  the  water  is  released  simultaneously from  both  the  reservoirs.  The  rate  of  flow  of  water  out  of  each  reservoir  at  any  instant  of  time  is  proportional  to the  quantity  of  water  in  the  reservoir  at  that  time.  One  hour  after  the  water  is  released ,  the  quantity  of  water  in reservoir  A  is  1.5  times  the  quantity  of  water  in  reservoir  B. Let  V   &  V   represents  volume  of  reservoir  A  &  B  at  any  time  t,  then  : AB On  the  basis  of  above  information,  answer  the  following  questions  : 1 . If  after  1/2  an  hour  V   =  kV   ,  then  k  is  - AB (A)  3 (B)  3/4 (C)  3 (D)  none  of  these 2 . After  how  many  hours  do  both  the  reservoirs  have  the  same  quantity  of  water  ? NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 (A)  log4 /3 2  hrs (B)  log(4 / 3) 4  hrs (C)  2  hrs 1 (D)  2  log2 3 hrs 3 . If  VA =  f(t),  where  't'  is  time.  Then  f(t)  is  - VB (A)  increasing (B)  decreasing (C)  non-monotonic (D)  data  insufficient. Comprehension  #  2 Let  y  =  f(x)  and  y  =  g(x)  be  the  pair  of  curves  such  that (i) the  tangents  at  point  with  equal  abscissae  intersect  on  y-axis. (ii) the  normals  drawn  at  points  with  equal  abscissae  intersect  on  x-axis  and (iii) curve  f(x)  passes  through  (1,  1)  and  g(x)  passes  through  (2,  3)  then On  the  basis  of  above  information,  answer  the  following  questions  : 1 . The  curve  f(x)  is  given  by  - (A)   2  x (B)  2x2  1 2 (D)  none  of  these x x (C)  x2  x E 53

JEE-Mathematics 2 . The  curve  g(x)  is  given  by  - 1 2 (C)  x2  1 (D)  none  of  these (A)  x  x (B)  x  x x2 (D)  4  n2 2 3 . The  value  of   (g(x)  f(x))dx is  - 1 (A)  2 (B)  3 (C)  4 MISCELLANEOUS  TYPE  QUESTION ANSWER  KEY EXERCISE-3 NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65  True  /  False E 1. T 2. F 3. T 4. F 5. T  Match  the  Column 1 . (A)(p,s),  (B)(q),  (C)(q,s),  (D)(r)  Assertion  &  Reason 1. A 2. D 3. A 4. D 5. C  Comprehension  Based  Questions Comprehension  #  1  : 1.  C 2.  A,D 3.  B Comprehension  #  2  : 1.  A 2.  B 3.  B 54

EXERCISE - 04 [A] JEE-Mathematics CONCEPTUAL SUBJECTIVE EXERCISE 1 . State  the  order  and  degree  of  the  following  differential  equations  :  d2x 3  d x 4 d2 y   d y 2 3 / 2 (a)     d t     xt  =  0 (b)  1    d t2  d x2   d x   2 . Form  a  differential  equation  for  the  family  of  curves  represented  by  ax²  +  by²  =  1  ,  where  a  &  b  are  arbitary constants. 3 . Obtain  the  differential  equation  of  the  family  of  circles  x2 +  y2 +  2gx  +  2fy  +  c  =  0  ;  where  g  ,  f  &  c  are  arbitary constants. 4 . Form  the  differential  equation  of  circles  passing  through  the  points  of  intersection  of  unit  circle  with  centre  at  the origin  and  the  line  bisecting  the  first  quadrant. 5 . Obtain  the  differential  equation  associated  with  the  primitive ,  y  =  c e3x  +  c e2x  +  c ex  ,  where  c ,  c ,  c   are 1  2  3  1  2  3 arbitrary  constants. 6 . Solve  :  n (sec x  tan x) dx  = n (sec y  tan y) dy  7 . Solve  :  (1    x²)  (1    y)  dx  =  xy  (1  +  y)  dy cos x cos y d y x2  1 y2  1 9. Solve  :  yx dy  a  y 2  dy dx  d x  8 . Solve  : d x   + xy   =  0 d y x (2 n x  1) x dx  y dy 1  x2  y2 1 0 . Solve  :    =  1 1 . Solve  :  x dy  y dx   =  x2  y2 d x sin y  y cos y dy xy xy 1 2 . Solve  :  d x   +  sin 2  sin 2 1 3 . Solve  :  e(dy/dx) =  x  +  1  given  that  when  x  =  0  ,  y  =  3 dy 1 4 . Solve  :    =  sin  (x  +  y)  +  cos  (x  +  y) dx 1 5 . A  curve  passing  through  the  point  (1,  1)  has  the  property  that  the  perpendicular  distance  of  the  origin from  the  normal  at  any  point  P  of  the  curve  is  equal  to  the  distance  of  P  from  the  x-axis.  Determine  the equation  of  the  curve. 1 6 . It  is  known  that  the  decay  rate  of  radium  is  directly  proportional  to  its  quantity  at  each  given  instant.  Find  the  law of  variation  of  a  mass  of  radium  as  a  function  of  time  if  at  t  =  0 ,  the  mass  of  the  radius  was  m   and  during  time 0 t    %  of  the  original  mass  of  radium  decay. NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 0 1 7 . Solve  :  sin  x. d y   =  y.  ny  if  y  =  e    ,  when  x  =   dx 2 18. Find the curve y = ƒ  (x) where ƒ (x)  0 , ƒ (0) = 0 , bounding a curvilinear trapezoid with the base [0, x] whose area is  proportional  to  (n  +  1)th  power  of  ƒ (x).  It  is  known  that  ƒ (1)  =  1. 19. 20. Solve  :  x cos y  y sin y    y   y sin y  x cos y    x dy 22. x x  x x  dx 24. Solve  :  d y   =  y  x  1 2 1 . Solve  :  (x    y)  dy  =  (x  +  y  +  1)  dx 25. dx y  x  5 26.   Solve  :  d y   =  x 2 y  3 d y 2 (y  2)2 E d x 2 x y  3 2 3 Solve  :  d x = (x  y  1)2 dy x  y 1 Solve  :    =  dx 2x  2y  3 d y x2  xy (b) (x3   3xy2)  dx  =  (y3    3x2y)  dy Solve  :  (a) d x   =  x2  y2 Find  the  equation  of  a  curve  such  that  the  projection  of  its  ordinate  upon  the  normal  is  equal  to  its  abscissa. 55

JEE-Mathematics 2 7 . The  light  rays  emanating  from  a  point  source  situated  at  origin  when  reflected  from  the  mirror  of  a  search  light are  reflected as  beam  parallel  to  the  x-axis.  Show  that  the  surface  is  parabolic,  by  first  forming  the  differential equation  and  then  solving  it. 2 8 . The  perpendicular  from  the  origin  to  the  tangent  at  any  point  on  a  curve  is  equal  to  the  abscissa  of  the  point  of contact.  Find  the  equation  of  the  curve  satisfying  the  above  condition  and  which  passes  through  (1  ,  1). 2 9 . Find  the  curve  for  which  the  sum  of  the  lengths  of  the  tangent  and  subtangent  at  any  of  its  point  is  proportional to  the  product  of  the  coordinates  of  the  point  of  tangency,  the  proportionality  factor  is  equal  to  k. dy 3 0 . Use  the  substitution  y2  =  a   x    to  reduce  the  equation  y3.   +  x  +  y2  =  0  to  homogeneous  form  and  hence dx solve  it.  (where  a  is  variable) Solve  the  following  differential  equations    (Q.  31  to  45)  : dy x  y =  1 3 1 .  (x + tan y) dy = sin 2y dx 3 2 .  +  d x 1  x2 2 x (1  x2 ) dy dy 3 3 . (1  x²) d x  + 2xy = x (1  x²)1/2 3 4 . x(x  1)  (x  2) y = x3(2x  1) 3 5 . (1 + y + x²y)dx + (x + x3)dy = 0 dx 3 6 . y  x Dy = b(1 + x²Dy) 37. dy + y  ny =  y (n y)2 dx x x2 dy 3 8 . + xy = y²e .x²/2   sin x dx dy dy 3 9 .  2  y sec x = y3 tan x 4 0 . x2 y  x3  = y4 cos x dx dx 4 1 . y (2xy + ex) dx  ex dy = 0 dy 4 2 . sin x  + 3y = cos x dx 4 3 . x(x²  +  1) dy   =  y  (1    x²)  +  x3.  nx dy dx 4 4 . x     y  =  2x²  cosec  2x dx 4 5 . (1  +  y²)  dx  =  (tan1 y    x)dy 4 6 . Find  the  curve  for  which  the  area  of  the  triangle  formed  by  the  xaxis  ,  the  tangent  line  and  radius  vector  of  the point  of  tangency  is  equal  to  a2. Solve  the  following  differential  equations  (Q.  47  to  56)  : 4 7 . (x    y²)  dx  +  2xy  dy  =  0 4 8 . (x3 +  y2 +  2)  dx  +  2y  dy  =  0 NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 4 9 . x d y +  y  ny  =  xyex d y tan y   = (1  + x)  ex sec  y dx 5 0 .   dx 1x dy ey 1 dy 2 dy dx x2 x 51.   =   52.  d x   (x  y)  x y  0 dx d y y2  x 5 4 . (1    xy  +  x2 y2)  dx  =  x2  dy 5 3 . d x   =  2 y (x  1) dy 5 6 . y y' sin x = cos x (sin x  y2) 5 5 . d x   =  exy  (ex   ey) 5 7 . Show  that  the  curve  such  that  the  distance  between  the  origin  and  the  tangent  at  an  arbitrary  point  is  equal  to the  distance  between  the  origin  and  the  normal  at  the  same  point , x2  y2   =  c e  tan1 y x 56 E

JEE-Mathematics 5 8 . A  tank  consists  of  50  liters  of  fresh  water.  Two  liters  of  brine  each  litre  containing  5  gms  of  dissolved  salt  are  run into  tank  per  minute  ;  the  mixture  is  kept  uniform  by  stirring  ,  and  runs  out  at  the  rate  of  one  litre  per  minute. If  ‘m’  grams  of  salt  are  present  in  the  tank  after  t  minute,  express  ‘m’  in  terms  of  t  and  find  the  amount  of  salt present  after  10  minutes. CONCEPTUAL  SUBJECTIVE  EXERCISE ANSWER  KEY EXERCISE-4(A) d2y  d y  2 dy dx2  d x  dx 1 . (a)  order  2  &  degree  3;    (b)  order  2  &  degree  2 2. xy +  x   y =  0 d3y d2y dy 3 . [1 +  (y')²].y'''    3y'(y'')² =  0 4. (y'  –  1)(x2  +  y2  –  1)  +  2(x  +  yy')(x  –  y)  =  0    5.  6 11  6y  0 dx3 dx2 dx 6 . n2 (sec x  +  tan x)    n2 (sec y  +  tan y)  =  c 7 . n x  (1  y)² =  c  1  y²    2y + 1   x² 22 8 . x2  1     sec1 x  + y 2  1   =  c 9 . y  =  c  (1   ay)  (x + a) 1 0 . y  sin y  =  x² n x  +  c c (x  y) 1 2 . n tan y x 1 3 . y  =  (x  + 1).  n  (x  + 1)    x  +  3 11 . x2  y2 + 1  x2  y2   = 4 =  c    2  sin x2  y2 2 1 4 .n  1  tan x  y  =  x  +  c 1 5 . x2  +  y2  –  2x  =  0,    x  =  1 2  1 6 .m  =  m  e  k t  where  k  =   1   n 1   1 7 . y  =  etan(x/2) 1 8 . y  =  x1/n y 0 100  1 9 . xy  cos   =  c t0 x 2 0 .tan 1 y  3   +  n c y  32  x  22  =  0 21 . arctan 2 y  1 = n c x2  y2  x  y  1 2 x  1 2 x2 2 2 .(x+y2)  =  c  (y    x)3 23 2 tan1 y  2   =  c.  (y+2) 4 x  3 2 4 . x+y+ =  ce3(x2y) e 3 2 5 .  (a) 1 tan 1 x  2y (b) y²    x²  =  c  (y²  +  x²)² c(x    y)2/3  (x²  +  xy  +  y²)1/6 =  exp     where  exp  x    ex 3 x 3 y2  y y2  x2  n y y2  x2 c2 ,  where  same  sign  has  to  be  taken. 2 8 . x²  +  y²    2x  =  0 2 6 . x2 x3  2 9 .y  =  1  n c k2 x2  1 30. 1 nx2  +  a2    tan1  a   =  c  ,  where  a  =  x +  y2 31. x cot y =  c  + tan y k 2  x  NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 3 2 . y 1  x2 1 n tan 1 arc tan x   other form is y 1  x2 1 n 1  x2  1 3 3 . y = c (1  x²) +  1  x2 =c + 2  = c + x 2 2 3 4 .y (x  1) = x2 (x2  x + c) 3 5 . xy = c  arc tan x 36 . y(1 + bx) = b + cx    37.   x   =  ny  cx 2  1  2  3 8 .ex²/2 = y (c + cosx)       39. 1 =     1   +  (c  +   x)   c o t  x       40. x3 y3 = 3sinx + c        41. y1 ex = c  x² y2  2 4  1  y  x x     x 4 3 . 4  (x²  +  1)  y  +  x3 (1    2 nx)  =  cx 4 4 . y  =  cx  +  x  n  tan  x 4 2 .  3   tan3   =  c  +  2  tan 2 2 45.  x  =  cearctany  +  arc  tan  y    1 a2 4 8 . y²  =  3x²    6x   x3 + cex +  4 4 6 . x  =  cy  ±  y 4 7 . y²  +  x  n ax=0 4 9 .xny =  ex(x –  1)  +  c 5 0 . sin y  = (ex +  c) (1  +  x) 5 1 . cx²  +  2xey =  1 x2 5 2 . y  =  cex  ;    y  =  c  +  1 5 4 . y  = 2  5 3 .y2  =  1  + (x + 1)  n c     or    x  + (x + 1)  n c n 5 5 . ey  =  c.  exp  (ex)  +  ex  1 x 1 x 1 x tan cx 2c 58. m  =  5t 1  50 t  gm s ; 2 5 6 .y2  = 3 sin x  sin2 x 50   91 gms E 3 57

JEE-Mathematics EXERCISE - 04 [B] BRAIN STORMING SUBJECTIVE EXERCISE dy 1 . Consider  the  differential  equation   P(x)y  Q(x) dx (a) If  two  particular  solutions  of  given  equation  u(x)  and  v(x)  are  known,  find  the  general  solution  of  the same  equation  in  term  of  u(x)  and  v(x). (b) If    and    are  constants  such  that  the  linear  combinations  .u(x)  +.v(x)  is  a  solution  of  the  given  equation, find  the  relation  between    and  . (c) If  w(x)  is  the  third  particular  solution  different  from  u(x)  and  v(x)  then  find  the  ratio  v(x)  u(x) . w(x)  u(x) 2 . Find  the  equation  of  the  curve  passing  through  the  origin  if  the  middle  point  of  the  segment  of  its  normal  from any  point  of  the  curve  to  the  x  axis    lies  on  the  parabola  2y2  =  x. dy 1 y dx dx   =  y  + 0 3 .     given  y  =  1 ,  where  x  =  0 Solve  :  dy 4 . Solve  :  x3 d x   =  y3  +  y2  y 2  x2 5. Find  the  integral  curve  of  the  differential  equation ,  x  (1    x  n y)  . dy +  y  =  0  which  passes  through  1 , 1 .     dx e  6 . Let  the  function  nf(x)  is  defined  where  f(x)  exists  for  x    2  &  k  is  fixed  positive  real  number,  prove  that  if d ( x.f ( x ))  kf(x)   then  f(x)    A  x–1–k   where  A  is  independent  of  x.   dx x x  ,   2 2  Find  the  differentiable  function  which  satifies  the  equation  f(x)  =  f(t) tan tdt tan(t x )dt   7 .   ,  where  x    00 8. Find  all  functions  f(x)  defined  on    ,    with  real  values  and  has  a  primitive  F(x)  such  that  2 2  f(x)  +  cos  x  .  F(x)  = sin 2x .  Find  f(x). (1  sin x)2 9 . A  tank  contains  100  litres  of  fresh  water.  A  solution  containing  1  gm/litre  of  soluble  lawn  fertilizer  runs  into  the tank  at  the  rate  of  1  lit/min  and  the  mixture  in  pumped  out  of  the  tank  at  the  rate  of  3  litres/min.  Find  the  time when  the  amount  of  fertilizer  in  the  tank  is  maximum. x NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 1 0 . Given  two  curves  y  =  f(x),  where  f(x)  >  0,  passing  through  the  points  (0,  1)  &  y  = f(t)dt   passing  through  the  points  (0,  1/2).  The  tangents  drawn  to  both  curves  at  the  points  with  equal  abscissas  intersect  on  the  x-axis.  Find the  curve  f(x). 1 1 . Find  the  orthogonal  trajectories  for  the  given  family  of  curves  when  'a'  is  the  parameter. (a) y  =  ax2 (b) cosy  =  ae–x 1 2 . Let  f(x,  y,  c )  =  0  and  f(x,  y,  c )  =  0  define  two  integral  curves  of  a  homogeneous  first  order  differential  equation. 12 If  P   and  P   are  respectively  the  points  of  intersection  of  these  curves  with  an  arbitrary  line,  y  =  mx  then  prove 12 that  the  slopes  of  these  two  curves  at  P   and  P   are  equal. 12 dy 1 3 . If  y   &  y   be  solutions  of  the  differential  equation  +  Py  =  Q,  where  P  &  Q  are  functions  of  x  alone,  and 12 dx y   =  y z,  then  prove  that  z  =  1  + a   Q dx y1   ,  'a'  being  an  arbitrary  constant. e 2 1  BRAIN  STORMING  SUBJECTIVE  EXERCISE ANSWER  KEY EXERCISE-4(B) 1 . (a)  y  =  u(x)  +  K(u(x)  –  v  (x))  where  K  is  any  constant  ;  (b)   =1  ;  (c)  constant 2 . y²  =  2x  +  1    e2x 3 . y  1 (2ex  e  1) 4 . xy  =  c(y  + y2  x2 ) 5 . x  (ey  +  ny  +  1)  =  1 7 . cosx  –  1 3e 8. 2 cos x  Cesin x .cos x       9. 7 minutes      10.  f(x)  =  e2x        11. (a)    x2  +  2y2  =  c,    (b)  siny  =  ce–x f(x)  =  – (1  sin x)2   27 9 58 E

EXERCISE - 05 [A] JEE-Mathematics JEE-[MAIN] : PREVIOUS YEAR QUESTIONS 1 . The  solution  of  the  differential  equation  (x2  –  y2)dx  +  2xy  dy  =  0  is-             [AIEEE-2002] (1)  x2  +  y2  =  cx (2)  x2 –  y2  +  cx  =  0 (3)  x2  +  2xy  =  y2  +  cx (4)  x2  +  y2  =  2xy  +  cx2 2 . The  differential  equation,  which  represents  the  family  of  plane  curves  y  =  ecx,  is-       [AIEEE-2002] (1)  y'  =  cy (2)  xy'  –  logy  =  0 (3)  xlogy  =  yy' (4)  ylogy  =  xy' y 1               [AIEEE-2002] 3 . The  equation  of  the  curve  through  the  point  (1,  0),  whose  slope  is  x2  x   is- (1)  (y  –  1)  (x  +  1)  +  2x  =  0 (2)  2x(y  –  1)  +  x  +  1  =  0 (3)  x(y  –  1)  (x  +  1)  +  2  =  0 (4)  x(y  +  1)  +  y(x  +  1)  =  0 4 . The  degree  and  order  of  the  differential  equation  of  the  family  of  all  parabolas  whose  axis  is  x-axis,  are respectively-             [AIEEE-2003] (1)  2,  3 (2)  2,  1 (3)  1,  2 (4)  3,  2 5 . The  solution  of  the  differential  equation  (1  +  y2)  +  (x  e tan1 y ) dy =  0,  is  - [AIEEE-2003] dx (1)  xe2 tan1 y = e tan1 y +  k (2)  (x  –  2)  =  ke – tan1 y (3)  2 xe tan1 y = e2 tan1 y +  k (4)  xe tan1 y   =  tan–1y  +  k 6 . The  differential  equation  for  the  family  of  curves  x2 +  y2 –  2ay  =  0,  where  a  is  an  arbitrary  constant  is-                               [AIEEE-2004] (1)  2(x2  –  y2)y'  =  xy (2)  2(x2  +  y2)y'  =  xy (3)  (x2  –  y2)y'  =  2xy (4)  (x2  +  y2)y'  =  2xy 7 . The  solution  of  the  differential  equation  ydx  +  (x  +  x2y)dy  =  0  is-                             [AIEEE-2004] 1 1 1 (4)  log y  =  Cx (1)  –   =  C (2)  – +  logy  =  C (3)    +  logy  =  C xy xy xy 8 . The  differential  representing  the  family  of  curves  y2  =  2c(x  +  c ),  where  c  >  0,  is  a  parameter,  is  of  order  and degree  as  follows- [AIEEE-2005,  IIT-1999] (1)  order  1,  degree  2 (2)  order  1,  degree  1 (3)  order  1,  degree  3 (4)  order  2,  degree  2 9 . If  x dy   =  y(logy  –  logx  +  1),  then  the  solution  of  the  equation  is-                             [AIEEE-2005] dx (1)  y log  x    =  cx (2)  x log  y    =  cy (3)  log  y    =  cx (4)  log x   =  cy  y   x   x    NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65    y  10. The  differential  equation  whose  solution  is  Ax2  +  By2 =  1,  where  A  and  B  are  arbitrary  constants  is  of- 11. 12.                             [AIEEE-2006] 13. (1)  first  order  and  second  degree (2)  first  order  and  first  degree E (3)  second  order  and  first  degree (4)  second  order  and  second  degree The  differential  equation  of  all  circles  passing  through  the  origin  and  having  their  centres  on  the  x-axis  is-                             [AIEEE-2007] dy dy dy dy (1)  x2  =  y2  +  xy dx (2)  x2  =  y2  +  3xy dx (3)  y2  =  x2  +  2xy dx (4)  y2  =  x2  –  2xy dx The  solution  of  the  differential  equation  dy   =  x  y   satisfying  the  condition  y(1)  =  1  is- [AIEEE-2008] dx x (1)  y  =  nx  +  x (2)  y  =  xnx  +  x2 (3)  y  =  xe(x  –  1) (4)  y  =  xnx  +  x The  differential  equation  of  the  family  of  circles  with  fixed  radius  5  units  and  centre  on  the  line y  =  2  is- [AIEEE-2008] (1)  (x  –  2)y'2 =  25  –  (y  –  2)2 (2)  (y  –  2)y'2 =  25  –  (y  –  2)2 (3)  (y  –  2)2y'2 =  25  –  (y  –  2)2 (4)  (x  –  2)2y'2 =  25  –  (y  –  2)2 59

JEE-Mathematics 1 4 . The  differential  equation  which represents the family of  curves  y  c1ec2x ,  where  c1 and  c2 are arbitrary  constants, is  :-             [AIEEE-2009] (1)  yy\"  = y' (2)  yy\"  =  (y')2   (3)  y' = y2 (4)  y\" =  y'y  [AIEEE-2010] 1 5 . Solution  of  the  differential  equation  cos  x  dy  =  y(sin  x  –  y)dx,  0  <  x  <   is  - 2 (1)  sec  x  =  (tan  x  +  c)  y (2)  y  sec  x  =  tan  x  +  c (3)  y  tan  x  =  sec  x  +  c (4)  tan  x  =  (sec  x  +  c)  y dy                       [AIEEE-2011] 1 6 . If  =  y  +  3  >  0  and  y(0)  =  2,  then  y(ln  2)  is  equal  to  :- dx (1)  13 (2)  –2 (3)  7 (4)  5 1 7 . Let  I  be  the  purchase  value  of  an  equipment  and  V(t)  be  the  value  after  it  has  been  used  for  t  years.  The  value V(t)  depreciates  at  a  rate  given  by  differential  equation  dV ( t )   =  –k(T  –  t),  where dt k  >  0  is  a  constant  and  T  is  the  total  life  in  years  of  the  equipment.  Then  the  scrap  value  V(T)  of  the  equipment is  :-   [AIEEE-2011] k(T  t)2 (2)  e–kT I kT 2 (1)  I – (3)  T2  – (4)  I  –  2 k 2 1 8 . The  curve  that  passes  through  the  point  (2,  3),  and  has  the  property  that  the  segment  of  any  tangent  to  it  lying between  the  coordinate  axes  is  bisected  by  the  point  of  contact,  is  given  by  :   [AIEEE-2011] (1)   x 2   y 2  2 (2) 2y  –  3x  =  0 (3)  y  6 (4)  x2  +  y2  =  13  3 x    2   19. Consider  the  differential  equation  y2dx   x  1 dy  0 .  It  y(1)  =1,  then  x  is  given  by  :                    [AIEEE-2011]  y  1 1 1 1 (1)  1  1  ey (2)  4  2  ey (3)  3  1  ey (4)  1  1  ey ye ye ye ye 2 0 . The  population  p(t)  at  time  t  of  a  certain  mouse    species  satisfies  the  differential  equation  dp(t) =  0.5  p(t)  –  450. dt If  p(0)  =  850,  then  the  time  at  which  the  population  becomes  zero  is  : [AIEEE-2012] (1)  ln18 (2)  2  ln18 (3)  ln9 1 (4)  ln18 2 2 1 . At  present  a  firm  is  manufacturing  2000  items.  It  is  estimated  that  the  rate  of  change  of  production  P  w.r.t. additional  number  of  workers  x  is  given  by  dP  100  12 x .  If  the  firm  employs  25  more  workers,  then  the NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 dx new  level  of  production  of  items  is  : [JEE  (Main)-2013] (1)  2500 (2)  3000 (3)  3500 (4)  4500 PREVIOUS  YEARS  QUESTIONS ANSWER  KEY EXERCISE-5  [A] Q ue. 1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15 23 3334321 Ans 1 4 1 3 3 3 60 E Q ue. 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 Ans 3 4 3 4 2 3

EXERCISE - 05 [B] JEE-Mathematics JEE-[ADVANCED] : PREVIOUS YEAR QUESTIONS 1 . A  country  has  a  food  deficit  of  10%  .  Its  population  grows  continuously  at  a  rate  of  3%  per  year  .  Its  annual  food production  every  year  is  4%  more  than  that  of  the  last  year.  Assuming  that  the  average  food  requirement  per person  remains  constant,  prove  that  the  country  will  become  self-sufficient  in  food  after  ‘n’  years,  where  ‘n’  is n10  n9 the  smallest  integer  bigger  than  or  equal  to,  n 1.04   0.03 .                [JEE  2000  (Mains)  10M  out  of  200] x 2 . ( a ) Let    f(x),  x     0,  be  a  nonnegative  continuous  function,  and  let    F(x)  =   f(t)dt, x  0 .  If  for  some  c  >  0, 0 f(x)    cF(x)  for  all  x   0,  then  show  that    f(x)  =  0  for  all  x     0. (b)    A  hemispherical  tank  of  radius  2  meters  is  initially  full  of  water  and  has  an  outlet  of  12  cm2  cross sectional  area  at  the  bottom.  The  outlet  is  opened  at  some  instant.  The  flow  through  the  outlet  is  according to  the  law  V(t)  =0.6  2gh(t) ,  where  V(t)  and  h(t)  are  respectively  the  velocity  of  the  flow  through  the outlet  and  the  height  of  water  level  above  the  outlet  at  time  t,  and  g  is  the  acceleration  due  to  gravity.  Find the  time  it  takes  to  empty  the  tank.                         [JEE  2001  (Mains)  5+10M  out  of  100] dy 3 . If  y(t)  is  a  solution  of  (1  +  t)    –  ty  =  1  and  y(0)  =  –1,  then  y(1)  is  equal  to  - dt (A)    1/2 (B)    e  +  1/2 (C)    e  –  1/2 (D)    –1/2 [JEE  2003,  (Screening)  3M] 4 . Let  p(x)  be  a  polynomial  such  that  p(1)  =  0  and  d (p(x))  p(x)   for  all  x    1  show  that  p(x)  >  0,  for  all  x  >  1. dx [JEE  2003  (mains),  4M  out  of  60] 5 . A  conical  flask  of  height  H  has  pointed  bottom  and  circular  top  of  radius  R.  It  is  completely  filled  with  a  volatile liquid.  The  rate  of  evaporation  of  the  liquid  is  proportional  to  the  surface  area  of  the  liquid  in  contact  with  air, with  the  constant  of  proportionality  K  >  0.  Neglecting  the  thickness  of  the  flask,  find  the  time  it  takes  for  the liquid  to  evaporate  completely.                                       [JEE  2003  (mains),  4M  out  of  60] FHG JKI GHF IKJ6. 2  sin x dy =  –cosx,  y(0)  =  1,  then  y    equals  -                        [JEE  2004,  (Screening)  3M] If  y  =  y  (x)  and  y  1 dx 2 1 2 (C)    1 (D)    1 (A)   (B)   3 3 3 NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 7 . A  curve  passes  through  (2,  0)  and  slope    at  point  P  (x,  y)  is (x  1)2  (y  3) .  Find  equation  of  curve  and  area (x  1) between  curve  and  x-axis  in  4th  quadrant.                                     [JEE  -  2004  (Mains)  4M  out  of  60] 8 . ( a ) The  solution  of  primitive  integral  equation  (x2  +  y2)  dy  =  xy  dx,  is  y  =  y  (x).  If  y  (1)  =  1  and  y  (x0)  =  e, then  x0  is  -                                               [JEE  2005,  (Screening)  3+3M] (A)   2 (e2  1) (B)   2 (e2  1) (C)   3e (D)    none  of  these ( b ) For  the  primitive  integral  equation  ydx  +  y2dy  =  x  dy  ;  x    R,  y  >  0,  y  =  y  (x),  y  (1)  =  1,  then    y  (–3)  is  - (A)    3 (B)   2 (C)    1 (D)    5 9 . If  length  of  tangent  at  any  point  on  the  curve  y  =  f(x)  intercepted  between  the  point  and  the  x-axis  is  of length 1.  Find  the  equation  of  the  curve.                          [JEE  2005  (Mains)  4M  out  of  60] 1 0 . A  tangent  drawn  to  the  curve  y  =  f(x)  at  P(x,  y)  cuts  the  x-axis  and  y-axis  at  A  and  B  respectively  such  that BP:AP  =  3  :  1,  given  that  f(1)  =  1,  then  -                                               [JEE  2006  (5M,  –2M)  out  of  184] (A)    equation  of  the  curve  is  x dy  3y  0 (B)    normal  at  (1,  1)  is  x  +  3y  =  4 dx (C)    curve  passes  through  (2,  1/8) (D)    equation  of  the  curve  is  x dy  3y  0 dx E 61

JEE-Mathematics 1 1 . ( a ) Let  f(x)  be  differentiable  on  the  interval  (0,  )  such  that  f(1)  =  1,  and  lim t2f(x)  x2f(t) =1,  for  each tx t  x x  >  0.  Then  f(x)  is  - [JEE  2007  (3+3M)] (A)  1 2x2 (B)  1  4 x2 (C)  1  2 1  3x 3 x x2 (D)  3x 3 x dy 1  y2 ( b ) The  differential  equation     determines  family  of  circles  with dx y (A)  variable  radii  and  a  fixed  centre  at  (0,  1) (B)  variable  radii  and  a  fixed  centre  at  (0,  –1) (C)  fixed  radius  1  and  variable  centres  along  the  x-axis. (D)  fixed  radius  1  and  varialble  centres  along  the  y-axis. x2  1 dy  –  y y2  1 dx  =  0  satisfy  y(2)  = 2 12. Let  a  solution  y  =  y(x)  of the  differential  equation  x . 3 Statement-1  :  y(x)  =  sec  sec 1 x    [JEE  2008  (3M,  –1M)]  6  and 1 23 1 Statement-2  :  y(x)  is  given  by  y  x  1  x2 ( A )  Statement-1 is Tr ue, Statement-2 is Tr u e ; Statement-2 i s a cor rec t expla nat ion for Statement- 1. (B)  Statement-1  is  True,  Statement-2  is  True  ;  Statement-2  is  NOT  a  correct  explanation  for  Statement-1. (C)  Statement-1  is  True,  Statement-2  is  False. (D)  Statement-1  is  False,  Statement-2  is  True. 1 3 . Match  the  statements/  expressions  in  Column  I  with  the  open  intervals  in  Column  II.                      [JEE  2009,  8M]                         Column I           Column  II (A) Interval  contained  in  the  domain  of  definition  of  non-zero (P)    ,   solutions  of  the  differential  equation  (x  –  3)2  y'  +  y  =  0  2 2  (B) Interval  containing  the  value  of  the  integral (Q)  0,    2  5 (R)   , 5   (x  1)(x  2)(x  3)(x  4)(x  5)dx  8 4  1 (S)  0,   NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65  8  (C) Interval  in  which  at  least  one  of  the  points  of local  maximum  of  cos2x  +  sin  x  lies (T) (–,  ) (D) Interval  in  which  tan–1  (sin  x  +  cos  x)  is  increasing 1 4 . Let  f  be  a  real-valued  differentiable  function  on  R  (the  set  of  all  real  numbers)  such  that  f(1)  =  1.  If  the  y-intercept of  the  tangent  at  any  point  P(x,y)  on  the  curve  y  =  f(x)  is  equal  to  the  cube  of  the  abscissa  of  P,  then  the  value  of f(–3)  is  equal  to [JEE  10,  3M] x 1 5 . ( a ) Let  ƒ  :  [1,)    [2,)  be  a  differentiable  function  such  that  f(1)  =  2.  If  6 ƒ(t)dt  3x ƒ(x)  x3 1 for  all  x  >  1,  then  the  value  of  ƒ(2)  is               [JEE  2011,  4M] ( b ) Let  y'(x)  +  y(x)g'(x)  =  g(x)g'(x),  y(0)  =  0,  x    R,  where  ƒ'(x)  denotes  d ƒ(x)   and  g(x)  is  a  given dx non-constant  differentiable  function  on  R  with  g(0)  =  g(2)  =  0.  Then  the  value  of  y(2)  is [JEE  2011,  4M] 62 E

JEE-Mathematics 1 6 . If  y(x)  satisfies  the  differential  equation  y'  –  ytanx  =  2x  sec  x  and  y(0)  =  0,  then     [JEE  2012,  4M] (A)  y     2 (B)  y '     2 (C)  y     2 (D)  y '     4  2 2  4  82  4  18  4  9 3  3 33 17. Let  ƒ : 1 , 1   R   (the  set  of  all  real  numbers)  be  a  positive,  non-constant  and  differentiable  function  such  2  that  ƒ 1   1 1 the  interval ƒ'(x)  <  2ƒ(x)  and   2  .  Then  the  value  of  1/2 ƒ(x )dx   lies  in  [JEE(Advanced)  2013,  2M] (A)  (2e  –  1,  2e) (B)  (e  –  1,  2e  –  1)  e 1 , e  1   0, e 1   2   2  (C)  (D)  18. A  curve  passes  through  the  point  1,   .  Let  the  slope  of  the  curve  at  each  point  (x,  y)  be  y  se c  y  , x  0 . 6  x  x  Then  the  equation  of  the  curve  is [JEE(Advanced)  2013,  2M] (A)  sin  y   log x  1 (B)  cosec  y   log x  2  x  2  x  (C)  sec  2y   log x  2 (D)  cos  2y   log x  1  x   x  2 Paragraph  for  Question  55  and  56 Let  ƒ  :  [0,1]    IR   (the  set  of  all  real  numbers)  be  a  function.  Suppose  the  function  ƒ  is  twice  differentiable, ƒ(0)  =  ƒ(1)  =  0  and  satisfies  ƒ\"(x)  –  2ƒ'(x)  +  ƒ(x)  >  ex,  x    [0,1]. 1 9 . If  the  function  e–xƒ(x)  assumes  its  minimum  in  the  interval  [0,1]  at  x  1 ,  which  of  the  following  is  true? 4 [JEE(Advanced)  2013,  3,  (–1)] NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#08\\Eng\\02.Differential Equation.p65 (A) ƒ'(x) < ƒ(x),  1  x  3 (B) ƒ'(x) > ƒ(x),  0  x  1 44 4 (C) ƒ'(x) < ƒ(x),  0  x  1 (D) ƒ'(x)  <  ƒ(x),  3  x  1 4 4 [JEE(Advanced)  2013,  3,  (–1)] 2 0 . Which  of  the  following  is  true  for  0  <  x  <  1  ? (A)  0  <  ƒ(x)  <   (B)  1  ƒ( x )  1 (C)  1  ƒ( x ) 1 (D)    ƒ(x)  0   22 4 PREVIOUS  YEARS  QUESTIONS ANSWER  KEY EXERCISE-5  [B] 7x105 sec H4 2 . (b)    3. D 5.   6. A    7.   (x  – 3) (x +  1) = y –  3 ;  3   units 135 g K 8 . (a)  C  (b)  A 9.  1  y 2  ln 1  1  y 2   =  ±  x  +  c 10.    A,B,C,  D 11.  (a)  A (b)  C y 14. 9 1 2 . C 1 3 . (A)  (P, Q, S) ; (B)  (P, T) ; (C)  (P, Q, R, T) ; (D)  (S) 20. D 1 5 . (a)    Bonus; (b)    0 16. A,D 17. D 18. A 19. C E 63



JEE-Mathematics ELLIPSE 1 . STANDARD EQUATION & DEFINITION : x2 y2 Standard equation of an ellipse referred to its principal axes along the co-ordinate axes is + = 1 . where a2 b2 a > b & b2 = a2 (1 – e2 )  a2 – b2 = a2 e2 . Y where e = eccentricity (0 < e < 1). B(0,b) FOCI : S  (ae, 0) & S'  (– ae, 0 ). M' M L1 L (a) Equation of directrices : a x= a e e aa X' X x= e & x e . Z' (–a,0) A' S' (–ae,0) C S A(a,0) Z ( b ) Ver tices : Directrix Directrix L1' L' B'(0,–b) A'  (–a, 0) & A  (a, 0). Y' (c ) Major axis : The line segment A' A in which the foci S' & S lie is of length 2a & is called the major axis (a > b) of the ellipse. Point of intersection of major axis with directrix is called the foot of the directrix (z)   a , 0  .  e  ( d ) Minor Axis : The y-axis intersects the ellipse in the points B’  (0,- b) & B  (0, b). The line segment B’B of length 2b (b < a) is called the Minor Axis of the ellipse. ( e) Principal Axes : The major & minor axis together are called Principal Axes of the ellipse. ( f ) Centre : The point which bisects every chord of the conic drawn through it is called the centre of the x2 y2 1. conic. C  (0,0) the origin is the centre of the ellipse  a2 b2 ( g ) Diameter : A chord of the conic which passes through the centre is called a diameter of the conic. ( h ) Focal Chord : A chord which passes through a focus is called a focal chord. ( i ) Double Ordinate : A chord perpendicular to the major axis is called a double ordinate. ( j ) Latus Rectum : The focal chord perpendicular to the major axis is called the latus rectum. (i) Length of latus rectum (LL') 2b2 (minor axis)2  2a(1  e2 ) =  a major axis (ii) Equation of latus rectum : x = ± ae. NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#09\\Eng\\02 ELLIPSE.p65 L  b2   b2   b2   b2  (iii) Ends of the latus rectum are ae, a  , L ' ae,  a , L1  ae, a  and L1 '  ae,  .        a  ( k ) Focal radii : SP = a –ex & S'P = a + ex          SP + S 'P = 2a = Major axis. b2 (l) Eccentricity : e  1 – a2 Note : (i) The sum of the focal distances of any point on the ellipse is equal to the major Axis. Hence distance of focus from the extremity of a minor axis is equal to semi major axis. i.e BS = CA. x2 y2 (ii) If the equation of the ellipse is given as a2  b2  1 & nothing is mentioned, then the rule is to assume that a > b. 30 E

JEE-Mathematics Illustration 1 : If LR of an ellipse is half of its minor axis, then its eccentricity is - 3 2 3 2 (A) (B) (C) (D) 2 3 2 3 Solution : As given 2b2 b  2b = a  4b2 = a2 Illustration 2 : a  4a2(1 – e2) = a2  1 – e2 = 1/4  e = 3/2 Ans. (C) Find the equation of the ellipse whose foci are (2, 3), (–2, 3) and whose semi minor axis is of length 5 . Solution : Here S is (2, 3) & S' is (–2, 3) and b = 5  SS' = 4 = 2ae  ae = 2 but b2 = a2 (1 – e2)  5 = a2 – 4   a = 3. Illustration 3 : Solution : Hence the equation to major axis is y = 3 Centre of ellipse is midpoint of SS' i.e. (0, 3)  x2 (y  3)2 x2 (y  3)2 Ans. Equation to ellipse is a2  b2  1 or  1 95 Find the equation of the ellipse having centre at (1, 2), one focus at (6, 2) and passing through the point (4, 6). x  12 y  22 With centre at (1, 2), the equation of the ellipse is a2  b2  1 . It passes through the point (4, 6) 9 16 .......... (i)  a2  b2  1 Distance between the focus and the centre = (6 – 1) = 5 = ae  b2 = a2 – a2e2 = a2 – 25 .......... (ii) Solving for a2 and b2 from the equations (i) and (ii), we get a2 = 45 and b2 = 20. Hence the equation of the ellipse is x  12 y  22 1 Ans.  45 20 Do yourself - 1 : (i) If LR of an ellipse x2 y2  1 , (a < b) is half of its major axis, then find its eccentricity.  a2 b2 ( i i ) Find the equation of the ellipse whose foci are (4, 6) & (16, 6) and whose semi-minor axis is 4. (i i i ) Find the eccentricity, foci and the length of the latus-rectum of the ellipse x2 + 4y2 + 8y – 2x + 1 = 0. 2.NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#09\\Eng\\02 ELLIPSE.p65 ANOTHER FORM OF ELLIPSE : x2 y2 Directrix Y ( a) AA' = Minor axis = 2a a 2  b 2  1 , (a <b) Z y = b/e E B(0,b) (b) BB' = Major axis = 2b ( c ) a2 = b2 (1 – e2) ( )–a2be L' S ( )a2 b, (0,be) L b , be (d) Latus rectum LL' = L1L1'  2 a 2 , equation y = ± be X' (–a,0) A' A(a,0) X' b C (0,0) (e) Ends of the latus rectum are : a2   a2  a2   a2  (0,–be) S' L1 L ,be ,L' , be , L1  , be , L1 '  , be  L1'      b b b b (f) Equation of directrix y = ± b/e B'(0,–b) a2 Directrix Z' (g) Eccentricity : e  1 – b 2 y = – b/e Y' 31

JEE-Mathematics Illustration 4 : The equation of the ellipse with respect to coordinate axes whose minor axis is equal to the Solution : distance between its foci and whose LR = 10, will be- (D) none of these (A) 2x2 + y2 = 100 (B) x2 + 2y2 = 100 (C) 2x2 + 3y2 = 80 When a > b As given 2b = 2ae  b = ae ...... (i) Also 2b2  b2 = 5a ...... (ii)  10 a b2 = a2 – b2 ...... (iii) Now since b2 = a2 – a2e2  [From (i)]  2b2 = a2 (ii), (iii)  a2 = 100, b2 = 50 x2 y2  x2 + 2y2 = 100 Hence equation of the ellipse will be  1 100 50 Similarly when a < b then required ellipse is 2x2 + y2 = 100 Ans. (A, B) Do yourself - 2 : 1 ( i ) The foci of an ellipse are (0, ±2) and its eccentricity is . Find its equation 2 ( i i ) Find the centre, the length of the axes, eccentricity and the foci of ellipse 12x2 + 4y2 + 24x – 16y + 25 = 0 x2 y2 (i ii ) The equation   1 , will represent an ellipse if 8t t4 (A) t  (1, 5) (B) t  (2, 8) (C) t  (4, 8) –{6} (D) t  (4, 10) – {6} 3 . GENER AL EQUATION OF AN ELLIPSE P'(x,y) M Let (a, b) be the focus S, and lx + my + n = 0 is the equation of directrix. Let P(x, y) be any point on the ellipse. Then by definition. axis lx + my + n = 0 (lx  my  n)2 S(a,b)  SP = e PM (e is the eccentricity)  (x – a)2 + (y – b)2 = e2 (l2  m2 )  (l2 + m2) {(x – a)2 + (y – b)2} = e2{lx + my + n}2 4 . POSITION OF A POINT W.R.T. AN ELLIPSE : The point P(x , y ) lies outside, inside or on the ellipse according as ; x12  y 12 1 > < or = 0. 11 a2 b2 NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#09\\Eng\\02 ELLIPSE.p65 5. AUXILLIARY CIRCLE/ECCENTRIC ANGLE : Y A circle described on major axis as diameter is called the auxiliary Q circle. Let Q be a point on the auxiliary circle x2 + y2 = a2 such P that QP produced is perpendicular to the x-axis then P & Q are called as the CORRESPONDING POINTS on the ellipse & the  A' S' O N S A(a, 0) auxiliary circle respectively.‘’ is called the ECCENTRIC ANGLE (–a,0) of the point P on the ellipse (0   < 2  ). Note that l(PN)  b = Semi minor axis l(QN) a Semi major axis Hence “If from each point of a circle perpendiculars are drawn upon a fixed diameter then the locus of the points dividing these perpendiculars in a given ratio is an ellipse of which the given circle is the auxiliary circle”. 32 E

JEE-Mathematics 6 . PAR A METRIC REPRESENTATION : x2 y2 The equations x = a cos  & y = b sin  together represent the ellipse  1 a2 b2 where  is a parameter (eccentric angle). Note that if P(  )  (a cos  , b sin  ) is on the ellipse then ; Q(  )  (a cos, a sin) is on the auxiliary circle. 7 . LINE AND AN ELLIPSE : x2 y2 The line y = mx + c meets the ellipse  1 in two points real, coincident or imaginary according as a2 b2 c2 is < = or > a2m2 + b2. Hence y = mx + c is tangent to the ellipse x2 y2 1 if c2 = a2m2 + b2.  a2 b2 The equation to the chord of the ellipse joining two points with eccentric angles  &  is given by x cos     y sin    cos   . a 2b 2 2 Illustration 5 : For what value of  does the line y = x +  touches the ellipse 9x2 + 16y2 = 144. Solution :  Equation of ellipse is 9x2 + 16y2 = 144 or x2 y2  1 16 9 x2 y2 then we get a2 = 16 and b2 = 9 Comparing this with   1 a2 b2 and comparing the line y = x +  with y = mx + c  m = 1 and c =  If the line y = x +  touches the ellipse 9x2 + 16y2 = 144, then c2 = a2m2 + b2  2 = 16 × 12 + 9  2 = 25  =±5 Ans. Illustration 6 : x2 y2 If ,  are eccentric angles of end points of a focal chord of the ellipse a2  b2  1 , then tan /2. tan /2 is equal to - NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#09\\Eng\\02 ELLIPSE.p65 e 1 1e e 1 e 1 (A) (B) (C) (D) e 1 1e e 1 e 1 Solution : Equation of line joining points ‘’ and ‘’ is x cos     y sin     cos    a 2b 2 2 If it is a focal chord, then it passes through focus (ae, 0), so e cos     cos    22  cos     e  cos     cos     e 1 2 2 2 cos    1 cos     cos    e  1 2 22  2 sin  / 2 sin  / 2  e  1  tan  tan   e  1 2 cos  / 2 cos / 2 e  1 2 2 e 1 using (–ae, 0) , we get tan  tan   e  1 Ans. (A,C) 2 2 e 1 E 33

JEE-Mathematics Do yourself - 3 : ( i ) Find the position of the point (4, 3) relative to the ellipse 2x2 + 9y2 = 113. (ii) A tangent to the ellipse x2 y2  1 , (a > b) having slope –1 intersects the axis of x & y in point A & B  a2 b2 respectively. If O is the origin then find the area of triangle OAB. (iii) Find the condition for the line x cos + ysin = P to be a tangent to the ellipse x2 y2 1.  a2 b2 x2 y2 8 . TANGENT TO THE ELLIPSE + =1 : a2 b2 (a) Point form : Equation of tangent to the given ellipse at its point (x , y ) is xx1  yy1  1 11 a2 b2 Note : For general ellipse replace x2 by (xx ), y2 by (yy ), 2x by (x + x ), 2y by (y + y ), 2xy by 11 1 1 (xy + yx ) & c by (c). 11 ( b ) Slope form : Equation of tangent to the given ellipse whose slope is 'm', is y = mx ± a 2 m 2  b 2  a 2m b2   , a 2 m 2  b 2  Point of contact are a2m2  b2 Note that there are two tangents to the ellipse having the same m, i.e. there are two tangents parallel to any given direction. ( c ) Parametric form : Equation of tangent to the given ellipse at its point (a cos  , b sin  ), is x cos   y sin   1 ab Note : (i) The eccentric angles of point of contact of two parallel tangents differ by  . (ii) Point of intersection of the tangents at the point  &  is  cos  , b sin   a cos 2 cos 2      2 2 Illustration 7 : Find the equations of the tangents to the ellipse 3x2 + 4y2 = 12 which are perpendicular to the line NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#09\\Eng\\02 ELLIPSE.p65 Solution : y + 2x = 4. Let m be the slope of the tangent, since the tangent is perpendicular to the line y + 2x = 4. 1  mx – 2 = –1  m = 2 Since 3x2 + 4y2 = 12 or x2 y2  1 43 x2 y2 Comparing this with  1 a2 b2  a2 = 4 and b2 = 3 So the equation of the tangent are y  1 x  4  1  3 24 1 Ans.  y = x ± 2 or x – 2y ± 4 = 0. 2 E 34

JEE-Mathematics Illustration 8 : The tangent at a point P on an ellipse intersects the major axis in T and N is the foot of the Solution : perpendicular from P to the same axis. Show that the circle drawn on NT as diameter intersects the auxiliary circle orthogonally. Let the equation of the ellipse be x2 y2  1 . Let P(acos, bsin) be a point on the ellipse. The  a2 b2 equation of the tangent at P is x cos   y sin  1 . It meets the major axis at T  (a sec, 0). a b The coordinates of N are (a cos, 0). The equation of the circle with NT as its diameter is (x – asec)(x – acos) + y2 = 0.  x2 + y2 – ax(sec + cos) + a2 = 0 It cuts the auxiliary circle x2 + y2 – a2 = 0 orthogonally if 2g . 0 + 2f . 0 = a2 – a2 = 0, which is true. Ans. Do yourself - 4 : (i) Find the equation of the tangents to the ellipse 9x2 + 16y2 = 144 which are parallel to the line x + 3y + k = 0. ( i i ) Find the equation of the tangent to the ellipse 7x2 + 8y2 = 100 at the point (2, –3). 9 . NORMAL TO THE ELLIPSE x 2 + y 2 = 1 : a2 b2 a2x b2y ( a ) Point form : Equation of the normal to the given ellipse at (x , y ) is – = a2 – b2 = a2e2. 11 x1 y1 ( b ) Slope form : Equation of a normal to the given ellipse whose slope is ‘m’ is y = mx  ( a 2 – b 2 ) m . a2  b2m2 (c) Parametric form : Equation of the normal to the given ellipse at the point (acos, bsin) is axsec – bycosec = (a2 – b2). Illustration 9 : Find the condition that the line x + my = n may be a normal to the ellipse x2 y2  1. a2  b2 Solution : Equation of normal to the given ellipse at (a cos , b sin ) is ax  by  a2  b2 ...(i) cos  sin  NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#09\\Eng\\02 ELLIPSE.p65 If the line x + my = n is also normal to the ellipse then there must be a value of  for which line (i) and line x + my = n are identical. For that value of  we have m n  a  b  (a2  b2 ) an  cos     sin  or cos   (a2  b2 ) ...... (iii)  bn ...... (iv) and sin  = m(a2  b2 ) Squaring and adding (iii) and (iv), we get n2  a2 b2  which is the required condition. 1  (a2  b2 )2  2  m2  Illustration 10 : If the normal at an end of a latus-rectum of an ellipse x2 y2 1 passes through one extremity  a2 b2 of the minor axis, show that the eccentricity of the ellipse is given by e  5  1 2 E 35

JEE-Mathematics Solution : The co-ordinates of an end of the latus-rectum are (ae, b2/a).  The equation of normal at P(ae, b2/a) is (0,b) B P(ae, b2/a) a2x  b2 (y)  a2  b2 or ax  ay  a2  b2 ae b2 / a e (–a,0)A' S A(a,0) It passes through one extremity of the minor axis B'(0,–b) whose co-ordinates are (0, –b)  0 + ab = a2 – b2  (a2b2) = (a2 – b2)2  a2.a2(1 – e2) = (a2 e2)2  1 – e2 = e4  e4 + e2 – 1 = 0  (e2)2 + e2 – 1 = 0  e2  1  1  4  e  5  1 (taking positive sign) Ans. 2 2 Illustration 11 : P and Q are corresponding points on the ellipse x2 y2 1 and the auxiliary circles respectively. a2  b2 The normal at P to the ellipse meets CQ in R, where C is the centre of the ellipse. Prove that CR = a + b Solution : Let P  (acos, bsin) Q  Q  (acos, asin) Equation of normal at P is ........... (i) P (asec)x – (bcosec)y = a2 – b2 C equation of CQ is y = tan . x ........... (ii) Solving equation (i) & (ii), we get (a – b)x = (a2 – b2)cos x = (a + b) cos, & y = (a + b) sin  R  ((a + b)cos, (a + b)sin  CR = a + b Ans. Do yourself - 5 : ( i ) Find the equation of the normal to the ellipse 9x2 + 16y2 = 288 at the point (4, 3) x2 y2 1 (ii) Let P be a variable point on the ellipse  with foci F and F . If A is the area of the triangle a2 b2 12 PF1F2, then find maximum value of A. (iii) If the normal at the point P() to the ellipse x2 y2 1 intersects it again at the point Q(2), then find  32 cos ( i v ) Show that for all real values of 't' the line 2tx + y 1  t2 = 1 touches a fixed ellipse. Find the eccentricity of the ellipse. 1 0 . CHORD OF CONTACT : NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#09\\Eng\\02 ELLIPSE.p65 x2 y2 If PA and PB be the tangents from point P(x1,y1) to the ellipse a 2  b 2  1 . The equation of the chord of contact AB is xx1  yy1 1 or T = 0 (at x1,y1). a2 b2 Illustration 12 : If tangents to the parabola y2 = 4ax intersect the ellipse x2 y2 at A and B, the find the locus a2  b2  1 of point of intersection of tangents at A and B. Solution : Let P  (h, k) be the point of intersection of tangents at A & B xh yk 1  equation of chord of contact AB is  .......... (i) a2 b2 which touches the parabola. 36 E

JEE-Mathematics Equation of tangent to parabola y2 = 4ax is y = mx + a m a .......... (ii)  mx – y = – P(h, k) m equation (i) & (ii) as must be same  a  h b2  m  1  m m = – & m  ak k b2 h k 1 a2  a2   b2   hb2 ak locus of P is y2 = – b4 .x Ans. – ka2  b2  a3 Do yourself - 6 : x2 y2 ( i ) Find the equation of chord of contact to the ellipse   1 at the point (1, 3). 16 9 x2 y2 1 (ii) If the chord of contact of tangents from two points (x , y ) and (x , y ) to the ellipse  b2 are at right 11 22 a2 angles, then find x1x2 . y1y2 (iii) If a line 3x – y = 2 intersects ellipse x2 y2 1 at points A & B, then find co-ordinates of point of  84 intersection of tangents at points A & B. 11 . PAIR OF TANGENTS : Y A x2 y2 If P(x1,y1) be any point lies outside the ellipse a 2  b 2  1 , C and a pair of tangents PA, PB can be drawn to it from P. B Then the equation of pair of tangents of PA and PB is SS1= T2 P X' Y' X (x1,y1) where S1  x 2  y 2 1 , T  xx1  yy1 1 1 1 a2 b2 a2 b2 i.e.  x2 y2  1   x 2  y 2  =  xx1  yy1  1 2   b2   1 1 1  a2 b2     a 2 a2 b2  NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Maths\\Unit#09\\Eng\\02 ELLIPSE.p65 12 . DIRECTOR CIRCLE : Locus of the point of intersection of the tangents which meet at right angles is called the Director Circle. The equation to this locus is x2 + y2 = a2 + b2 i.e. a circle whose centre is the centre of the ellipse & whose radius is the length of the line joining the ends of the major & minor axis. Illustration 13 : A tangent to the ellipse x2 + 4y2 = 4 meets the ellipse x2 + 2y2 = 6 at P and Q. Prove that the tangents at P and Q of the ellipse x2 + 2y2 = 6 are at right angles. Solution : x2 y2 ......... (i) Given ellipse are   1 41 x2 y2 .......... (ii) and,   1 63 x cos  y sin  any tangent to (i) is  1 ......... (iii) 21 It cuts (ii) at P and Q, and suppose tangent at P and Q meet at (h, k) Then equation of chord of contact of (h, k) with respect to ellipse (ii) is hx ky 1 ......... (iv)  63 E 37