อ.พจนีย์ มาสุข ความน่าจะเป็น ฉบับสมบูรณ์

ความนา่ จะเป็น พจนีย์ มาสุข ความ ่นาจะเ ็ปน

ความนา่ จะเป็น PROBAB I L I TY พิมพ์คร้ังที่ 1 ISBN 978-616-582-247-3 พจนยี ์ มาสุข

คPวrาoมbนaา่ bจiะliเtปy็น พจนยี ์ มาสุข โครงการสง่ เสริมการวิจัยและสร้างสรรค์นวัตกรรม ประจ�ำปงี บประมาณ 2563 โรงเรยี นสาธติ “พิบูลบ�ำเพ็ญ” มหาวิทยาลัยบูรพา

โครงการสง่ เสริมการวิจัยและสรา้ งสรรค์นวัตกรรม ประจ�ำปงี บประมาณ 2563 ความน่าจะเป็น Probability ขอ้ มลู ทางบรรณานุกรมของหอสมดุ แหง่ ชาติ National Library of Thailand Cataloging in Publication Data พจนยี ์ มาสขุ . ความนา่ จะเปน็ .-- ชลบุรี : โรงพมิ พ์สาธติ บูรพา, 2564. 109 หนา้ . 1. ความนา่ จะเปน็ . I. ช่อื เร่ือง. 519.2 ISBN 978-616-582-247-3 จัดท�ำโดย : พจนยี ์ มาสขุ โรงเรยี นสาธติ “พิบูลบำ� เพญ็ ” มหาวิทยาลัยบูรพา 73 ถ.บางแสนล่าง ต.แสนสขุ อ.เมอื ง จ.ชลบุรี 20131 ออกแบบรูปเล่ม : ธรณนิ ทร์ ภวภตู านนท์ ณ มหาสารคาม พิมพ์คร้งั ท่ี 1 : พฤษภาคม 2564 พิมพท์ ี่ : สาธติ บูรพา 73 ถ.บางแสนล่าง ต.แสนสุข อ.เมอื ง จ.ชลบุรี 20131

ค�ำน�ำ ในชีวิตประจ�ำวันของเรามักจะต้องใช้การตัดสินใจโดยอาศัยจากหลักการความน่าจะเป็น อยู่บ่อยคร้งั และหลักการความนา่ จะเปน็ นบั ว่ามบี ทบาทสำ� คัญในทางคณติ ศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และสงั คมศาสตร์ เปน็ อย่างมาก โดยเร่ือง สาระสถิติและความนา่ จะเปน็ เปน็ หน่งึ ในสามสาระที่ ส�ำคัญของตัวชวี้ ัดและสาระการเรยี นรู้แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสตู รแกนกลางการศกึ ษาข้ันพ้ืนฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 สำ� หรบั หนงั สือคู่มอื ประกอบการเรยี นวิชาคณติ ศาสตร์เร่อื ง ความนา่ จะเปน็ เล่มน้ี ผเู้ ขียน ได้จัดท�ำข้ึนเพ่อื เปน็ แนวทางในการเตรียมความพร้อมในการเรยี นเร่อื งความนา่ จะเปน็ โดยได้เรยี บ เรียงและก�ำหนดเน้ือหาให้สอดคล้องกับหลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลายที่นักเรียนใช้เรียนใน ปจั จุบนั มตี ัวอยา่ งโจทย์และเฉลยทกุ ขอ้ ฝกึ ท�ำโจทยท์ ่ีหลากหลายมลี �ำดับข้นั ตอนจากง่ายไปยาก ซ่งึ จะช่วยใหน้ กั เรยี นได้เรยี นรู้ ฝกึ ทักษะตามสาระ สามารถประเมนิ และพฒั นาตนเองใหม้ คี วามรู้ ความเขา้ ใจในเร่อื งความนา่ จะเปน็ ได้ดียิ่งข้นึ โดยผเู้ ขียนได้ใชป้ ระสบการณจ์ ากการสอนมาปรบั ใช้ ภาษาท่ีเขา้ ใจง่ายและยกตัวอย่างสถานการณ์ท่ีใกล้เคียงกับชวี ิตประจ�ำวัน เพ่อื ใหน้ กั เรยี นเขา้ ใจได้ รวดเรว็ อีกท้ังได้แทรกเทคนคิ ขอ้ ควรรู้ และแนวข้อสอบในการสอบเขา้ มหาวิทยาลัยไว้ เพ่ือเปน็ แนวทางในการท�ำแบบฝกึ หดั และค้นุ เคยกับการท�ำขอ้ สอบเขา้ มหาวิทยาลัยด้วย หวังเปน็ อย่างยิ่งว่า หนงั สอื เล่มนจี้ ะชว่ ยเสรมิ สร้างความรู้ ความเข้าใจและเปน็ ประโยชน์ สงู สดุ กับนกั เรยี นและผทู้ ี่สนใจ หากพบข้อผดิ พลาดและขอ้ บกพรอ่ งที่ต้องแก้ไข ขอความกรุณา เสนอแนะเพ่อื การปรับปรุงต่อไป จักเปน็ พระคณุ ยิ่ง ด้วยความปรารถนาดี พจนยี ์ มาสุข

สารบญั บทท่ี 1 กฎเกณฑ์เบ้อื งต้นเกยี่ วกับการนับ 1 บทที่ 2 1. ประวัติและพฒั นาการของวิชาความนา่ จะเปน็ 2 บทท่ี 3 2. หลักการบวกและหลักการคณู 3 วิธเี รยี งสบั เปลย่ี นและวิธจี ัดหมู่ 17 1. แฟกทอเรียล 18 2. วิธเี รียงสบั เปลี่ยน 22 2.1 วิธเี รียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น 22 2.1.1 วิธเี รียงสบั เปลี่ยนเชงิ เสน้ ของสิ่งของที่แตกต่างกันท้ังหมด 22 2.1.2 วิธเี รยี งสับเปล่ียนเชงิ เสน้ ของสิง่ ของที่ไมแ่ ตกต่างกันท้ังหมด (ซ้�ำกันบางส่วน) 28 2.2 วิธเี รยี งสับเปล่ียนเชงิ วงกลม 34 2.2.1 วิธเี รยี งสบั เปล่ียนเชิงวงกลมของสิ่งของท่ีแตกต่างกันท้ังหมด 34 2.2.2 วิธเี รียงสับเปลี่ยนเชงิ วงกลมของสิง่ ของที่เหมอื นหรือซ้ำ� กันบางสว่ น 37 3. วิธจี ัดหม ู่ 45 4. การแบ่งส่งิ ของออกเปน็ กลุ่มย่อย 56 ทฤษฎบี ททวินาม 63 บทท่ี 4 ความน่าจะเป็น 73 1. การทดลองสมุ่ และเหตกุ ารณ์ 74 2. ความนา่ จะเปน็ 77 การหาความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์โดยใชส้ มบตั ิของเซต 88 บรรณานกุ รม 98 เฉลยแบบฝกึ หดั 99

บทท่ี “ กฎเกณฑเ์ บ้อื งตน้ เก่ยี วกับการนับ “ ในชีวิตประจำ� วนั เราอาจเคยไดย้ นิ คำ� วา่ “โอกาส” ในสถานการณต์ า่ ง ๆ เช่น โอกาสทว่ี ันนีฝ้ นจะตก โอกาสที่ครอบครวั หนึง่ จะไดบ้ ุตรคนแรกเปน็ เพศ ชาย โอกาสที่นกั เรียนจะสอบผ่านวชิ าคณติ ศาสตร ์ โอกาสท่ที อดลกู เตา๋ หนงึ่ ลกู แลว้ ไดแ้ ตม้ เปน็ จ�ำนวนคู่ เปน็ ตน้ ประเด็นทีน่ า่ สนใจประการหนงึ่ คือ เราจะมีวธิ ี การอยา่ งไรหรอื ใชส้ ่ิงใดเป็นตวั แทนของ “โอกาส” โดยในทางคณติ ศาสตร์ จะใช้ คา่ ๆ หน่งึ เปน็ ตวั แทนของ “โอกาส” โดยคา่ นจี้ ะอยู่ในรปู อตั ราสว่ นระหวา่ งจำ� นวน เหตกุ ารณท์ ี่สนใจวา่ จะเกดิ ข้นึ หรอื ไม่ตอ่ จ�ำนวนผลทเ่ี ป็นไปไดท้ ้ังหมด เราเรยี ก ค่าดังกลา่ วนวี้ ่า ความน่าจะเป็น ในบทนี้เราจะกล่าวถึงประวัติและพัฒนาการของวชิ าความน่าจะเป็น และต่อด้วยความรู้พ้ืนฐานในการหาผลของจ�ำนวนวิธีที่จะนำ� ไปใช้เพื่อการ คำ� นวณค่าความนา่ จะเปน็

2 ความนา่ จะเปน็ 1 ประวัติและพัฒนาการของวิชาความน่าจะเป็น ยอ้ นกลบั ไปในปี ค.ศ. 1654 (พ.ศ. 2197) ณ ประเทศฝรง่ั เศส มนี กั พนนั คนหนง่ึ นามว่า เชอวาลเิ ยร์ เดอ เมเร (Chevalier de mere) ได้ต้ังค�ำถามกับนกั คณิตศาสตร์ผยู้ ิง่ ใหญน่ ามว่า เบลส์ ปาสกาล (Blaise Pascal) เก่ียวกับการทอด ลกู เต๋า ดังน้ี “เม่อื ทอดลูกเต๋าต่างสีกัน 2 ลกู จ�ำนวน 24 คร้งั แล้วฉนั พนนั ว่า จะต้องมอี ยา่ งนอ้ ย 1 คร้งั ที่ลกู เต๋าข้นึ แต้ม 6 ท้ัง 2 ลกู เพราะเหตุใด ฉนั มกั จะแพพ้ นนั มากกว่าชนะพนนั ” ปาสกาลสนใจในปญั หานี้ เขาครุน่ คิดจดจ่อกับปญั หาและได้เขียนจดหมายไปหานกั คณิตศาสตร์ชาวฝร่งั เศส อีกท่านหน่งึ นามว่า ปแี ยร์ เดอ แฟร์มา (Pierre de Fermat) เพ่ือขอค�ำปรกึ ษา ท้ังสองคนได้ช่วยกันคิดค้นวิธกี ารแก้ ปญั หานโ้ี ดยการโต้ตอบผา่ นทางจดหมาย จนในที่สดุ ค�ำตอบของปญั หานก้ี ็สามารถถูกอธบิ ายได้ในเชงิ คณติ ศาสตร์ และเปน็ จุดก�ำเนดิ ของความรูค้ ณติ ศาสตรใ์ นแขนงใหมท่ ่ีช่ือว่า ทฤษฎีความนา่ จะเปน็ เกรด็ ความรเู้ ชิงประวตั ศิ าสตร์ (Historical Note) เบลส์ ปาสกาล (Blaise Pascal : 1623-1662) นกั ปราชญ์ผมู้ คี วามอัจฉริยะชาวฝร่ังเศส มผี ลงานทางคณติ ศาสตร์ ได้แก่ เรขาคณติ โพรเจกทีฟ รูป สามเหลี่ยมปาสกาล ซ่ึงพัฒนามาจากจ�ำนวนเชิงสามเหลี่ยมของจีน และริเริ่มพัฒนาองค์ความรู้ใน ด้านทฤษฎีความนา่ จะเปน็ รว่ มกบั แฟรม์ า นอกจากนน้ั ยงั มผี ลงานทางวิทยาศาสตรเ์ กยี่ วกบั แรงดันของ ของไหล และช่อื ของเขาได้นำ� ไปใช้เปน็ หนว่ ยวัดแรงดันในระบบเอสไออีกด้วย เกร็ดความร้เู ชงิ ประวัตศิ าสตร์ (Historical Note) ปแี ยร์ เดอ แฟร์มา (Pierre de Fermat : 1601-1665) นกั กฎหมายชาวฝร่งั เศส ผสู้ นใจใครร่ ู้ในศาสตร์ต่าง ๆ ท้ังด้านภาษา วรรณกรรม และคณิตศาสตร์ แมว้ า่ จะไมไ่ ดศ้ กึ ษาดา้ นคณติ ศาสตรม์ าโดยตรง แตแ่ ฟรม์ าไดร้ บั การยอมรบั วา่ เปน็ ผทู้ มี่ คี วามคดิ ทเ่ี ฉยี บคม ในดา้ นน้ี ผลงานทางคณติ ศาสตรท์ ส่ี รา้ งช่อื ใหก้ บั แฟรม์ าและเปน็ ทโี่ ดง่ ดงั ระดบั โลก คอื ทฤษฎบี ทสดุ ทา้ ย ของแฟร์มา (Fermat's Last Theorem) ซ่งึ เขาไมไ่ ด้พิสูจนไ์ ว้ และไมม่ ใี ครพสิ ูจนไ์ ด้จนกระท่ังเวลาล่วง เลยมา 300 กว่าปี โดยผทู้ ่ีพิสจู นท์ ฤษฎีบทสดุ ท้ายของแฟร์มาได้คือ แอนดรูว์ ไวล์ส (Andrew Wiles) นกั คณิตศาสตรช์ าวอังกฤษในปี ค.ศ. 1994

บทท่ี 1 กฎเกณฑ์เบ้อื งต้นเก่ียวกับการนบั 3 หลังจากปญั หาในการพนนั ที่เปน็ ต้นก�ำเนดิ ของวิชาความนา่ จะเปน็ เม่อื พ.ศ. 2197 ก็ไมป่ รากฏหลักฐานว่า ได้มกี ารค้นคิดในเร่อื งนแี้ ต่อย่างใด จนกระท่ังอีก 200 ปตี ่อมา เม่อื พ.ศ. 2397 จอร์ช บูล (George Boole) นกั ปรชั ญา ชาวอังกฤษได้เขียนหนงั สือช่ือ “กฎแหง่ ความคิด” (The laws of Thought) ซ่งึ ถือว่า เปน็ หนงั สือเล่มแรกท่ีเกี่ยวกับ ความนา่ จะเปน็ อีก 51 ปตี ่อมา เม่อื พ.ศ. 2448 ไอนส์ ไตนไ์ ด้เขียนเร่อื ง “The Brownian Motion” ซ่ึงได้ใชร้ ูปแบบของ ความนา่ จะเปน็ ในการอธบิ ายการเคล่ือนไหวของอนภุ าค เร่ืองความนา่ จะเปน็ ได้ปรากฏเปน็ ต�ำราเล่มแรก เม่อื อังเดร นโิ คเลวิช โคลโมโกรอฟ (Andrei Nikolaevich Kolmogorov) ได้เขียนเปน็ ภาษารสั เซยี ใน พ.ศ. 2477 และต่อมามผี แู้ ปลเปน็ ภาษาอังกฤษ ใหช้ ่อื ว่า “The Foundations of Probability” จากน้นั ไมน่ าน ความนา่ จะเปน็ ก็ได้เปน็ ที่รูจ้ ักแพรห่ ลายข้ึนอย่างรวดเรว็ โดยเฉพาะในประเทศ สหภาพโซเวียตและยุโรปตอนเหนอื เม่อื เกิดสงครามโลกคร้ังที่ 2 ท้ังนกั การทหารและนกั คณิตศาสตร์ ได้รว่ มมอื กัน ค้นหาหนทางในการก�ำหนดยุทธวิธที ่ีดีที่สุด ซ่ึงเม่อื สิ้นสงครามแลว้ กไ็ ด้อาศยั หลกั การเหลา่ นน้ั มาใชใ้ นการวางแผนผลติ สนิ คา้ ตา่ ง ๆ แทนอาวุธ และใชใ้ นการตัดสนิ ใจปญั หาท่ัวไปนอกเหนอื จากการรบ ซ่งึ ต้องเผชิญกับการเสีย่ ง และความไม่ แนน่ อนอยูต่ ลอดเวลา แมจ้ ดุ เรมิ่ ตน้ ของทฤษฎคี วามนา่ จะเปน็ จะผา่ นมายาวนานกวา่ 300 ปแี ลว้ แตเ่ พง่ิ จะไดม้ กี ารศกึ ษาโดยละเอยี ด และนำ� ไปใชเ้ ม่อื ประมาณ 50-60 ปมี านเี้ อง ปจั จุบัน เร่อื งราวของความนา่ จะเปน็ มคี วามสำ� คัญอยา่ งมาก การค้นคว้า การวิจัย และการปฏิบัติงานใด ๆ ที่เก่ียวข้องกับการคาดคะเน จะต้องอาศยั เร่ืองของความนา่ จะเปน็ ท้ังสน้ิ เช่น การเกษตร การแพทย์ เศรษฐศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และเทคโนโลยที ุกสาขา ความนา่ จะเปน็ บางเร่ืองใชค้ ณิตศาสตรช์ ้นั สงู หลายวิชามาเก่ียวโยงกัน และยังมเี ร่อื งต้องศกึ ษาค้นคว้าอีกมาก 2 หลักการบวกและหลักการคณู จากสถานการณจ์ ริงในชีวิตประจ�ำวัน เราอาจจะได้พบเหตกุ ารณ์ที่เราอยากจะทราบจ�ำนวนของผลที่เกิดข้ึน จากการท�ำงานอยา่ งหน่งึ ตัวอย่างเช่น เราต้องการเลือกสวมเส้อื สีฟ้าหรือสชี มพูไปงานเลี้ยงรุน่ และเส้ือแต่ละสมี อี ยู่ 3 ย่ีหอ้ ที่แตกต่างกัน เราจะมวี ิธเี ลือกเส้อื ได้แตกต่างกันก่ีวิธี ในข้ันต้น เราอาจใช้แผนภาพดังน้ี ย่ีหอ้ ท่ี 1 เส้อื สีฟ้า ยห่ี อ้ ท่ี 2 ย่ีหอ้ ที่ 3 เส้ือ ยีห่ อ้ ที่ 1 เส้อื สชี มพู ยห่ี อ้ ท่ี 2 ย่ีหอ้ ท่ี 3 จากแผนภาพจะเหน็ ว่า มจี �ำนวนวิธที ี่จะเลือกเส้อื สีฟา้ ได้ 3 วิธี และมจี �ำนวนวิธที ่ีจะเลือกเส้อื สีชมพไู ด้ 3 วิธี ดังน้นั จ�ำนวนวิธที ่ีเราจะเลือกเส้อื 1 ตัวเพ่ือสวมใสไ่ ปงานเลี้ยงรุ่นจะมไี ด้ท้ังหมด 3 + 3 = 6 วิธี สำ� หรับตัวอย่างสถานการณข์ า้ งต้น เราสามารถใช้หลักการบวก (addiion principle) ได้ดังนี้

4 ความนา่ จะเปน็ หลักการบวก ในการท�ำงานอย่างหน่งึ ถ้าสามารถแบง่ วิธกี ารท�ำงานออกเปน็ 2 กรณี โดยที่ กรณีที่ 1 สามารถท�ำได้ n1 วิธี กรณีท่ี 2 สามารถท�ำได้ n2 วิธี ซ่งึ วิธกี ารท�ำงานในท้ังสองกรณไี มซ่ ้ำ� ซอ้ นกนั และการท�ำงานในแต่ละกรณที �ำใหง้ านเสรจ็ สมบูรณแ์ ลว้ จะสามารถท�ำงานนไี้ ด้ท้ังหมด n1 + n2 วิธี ตัวอยา่ งท่ี 1 วิธที �ำ ในการเดนิ ทางจากกรุงเทพฯ ไปอบุ ลราชธานี มวี ธิ เี ดนิ ทางดว้ ยรถประจำ� ทางจาก 4 บรษิ ทั และเคร่อื งบนิ จาก 3 บรษิ ัท จะมวี ิธเี ดินทางจากกรุงเทพฯ ไปอุบลราชธานไี ด้ท้ังหมดกี่วิธี เดินทางจากกรุงเทพฯ ไปอุบลราชธานดี ้วยรถประจ�ำทางท�ำได้ 4 วิธี เดินทางจากกรุงเทพฯ ไปอุบลราชธานดี ้วยเคร่ืองบินท�ำได้ 3 วิธี ดังน้นั มวี ิธเี ดินทางจากกรุงเทพฯ ไปอุบลราชธานไี ด้ 4 + 3 = 7 วิธี เม่อื เขยี นแผนภาพแสดงวิธกี ารเดินทาง จะพบว่า ผลท่ีได้สอดคล้องกับการใช้หลักการบวกดังนี้ เดินทาง รถประจ�ำทาง บริษัทที่ 1 เคร่ืองบิน บริษัทท่ี 2 บริษัทที่ 3 บรษิ ัทที่ 4 บรษิ ัทท่ี 1 บริษัทที่ 2 บริษัทที่ 3 ตัวอยา่ งท่ี 2 จากรูป จงหาวา่ มจี ำ� นวนรูปสเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั ทง้ั หมดกรี่ ูป วิธที �ำ มรี ูปสเ่ี หล่ียมจัตุรสั ท่ีขนาดแตกต่างกัน 2 ขนาดดังนี้ รูปสเี่ หลี่ยมจัตุรสั ที่มคี วามยาวด้านละ 1 หนว่ ย มี 4 รูป รูปสี่เหล่ียมจัตรุ ัสท่ีมคี วามยาวด้านละ 2 หนว่ ย มี 1 รูป ดังน้นั มรี ูปสี่เหล่ียมจัตรุ สั ท้ังหมด 4 + 1 = 5 รูป

บทท่ี 1 กฎเกณฑ์เบ้อื งต้นเก่ียวกับการนบั 5 หลกั การบวก (กรณที ่วั ไป) ในการท�ำงานอย่างหน่งึ ถ้าสามารถแบง่ วิธกี ารท�ำงานออกเปน็ k กรณี โดยท่ี กรณีที่ 1 สามารถท�ำได้ n1 วิธี กรณที ี่ 2 สามารถท�ำได้ n2 วิธี ⁝ กรณีท่ี k สามารถท�ำได้ nk วิธี ซ่งึ วิธกี ารท�ำงานในท้ัง k กรณไี มซ่ ้ำ� ซอ้ นกนั และการท�ำงานในแต่ละกรณที �ำใหง้ านเสรจ็ สมบูรณแ์ ลว้ จะสามารถท�ำงานนไ้ี ด้ท้ังหมด n1 + n2 + ... + nk วิธี ตัวอยา่ งท่ี 3 จากรูป จงหาวา่ มจี ำ� นวนรูปสามเหลยี่ มดา้ นเทา่ ทง้ั หมดกรี่ ูป วิธที �ำ มรี ูปสามเหล่ียมด้านเท่าท่ีขนาดแตกต่างกัน 3 ขนาดดังนี้ รูปสามเหล่ียมด้านเท่าท่ีมคี วามยาวด้านละ 1 หนว่ ย มี 9 รูป รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มคี วามยาวด้านละ 2 หนว่ ย มี 3 รูป รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าท่ีมคี วามยาวด้านละ 3 หนว่ ย มี 1 รูป ดังน้นั มรี ูปสามเหล่ียมด้านเท่าท้ังหมด 9 + 3 + 1 = 13 รูป พิจารณาสถานการณต์ ่อไปนี้ สมมติว่ามถี นน 3 สายจากหมบู่ า้ น A ไปหมบู่ า้ น B และมถี นน 4 สายจากหมบู่ า้ น B ไปหมบู่ า้ น C ดังน้นั ถ้า ต้องการเดินทางจากหมบู่ า้ น A ไปหมบู่ ้าน C จะประกอบด้วย 2 ข้ันตอนที่ต่อเน่อื งกัน ข้ันตอนที่ 1 เดินทางจากหมบู่ า้ น A ไปหมบู่ ้าน B ท�ำได้ 3 วิธี และ ข้ันตอนท่ี 2 เดินทางจากหมบู่ า้ น B ไปหมบู่ า้ น C ท�ำได้ 4 วิธี หมบู่ ้าน A หมบู่ ้าน B หมบู่ ้าน C

6 ความนา่ จะเปน็ เราสามารถเขียนแผนภาพเพ่อื หาจ�ำนวนวิธกี ารเดินทางจากหมบู่ า้ น A ไปหมบู่ า้ น C ได้ดังนี้ หมบู่ ้าน B หมบู่ ้าน C C1 C2 B1 C3 C4 C1 หมบู่ า้ น A B2 C2 C3 C4 C1 C2 B3 C3 C4 โดยท่ี B 1, B 2 และ B 3 แทนเส้นทางจากหมบู่ ้าน A ไปหมบู่ า้ น B เสน้ ทางท่ี 1, 2 และ 3 ตามล�ำดับ และ C 1, C 2, C 3 และ C 4 แทนเส้นทางจากหมบู่ า้ น B ไปหมบู่ า้ น C เสน้ ทางที่ 1, 2, 3 และ 4 ตามล�ำดับ จากแผนภาพจะได้ว่า จ�ำนวนวิธเี ดินทางจากหมบู่ า้ น A ไปหมบู่ ้าน C มที ้ังหมด 3´ 4 = 12 วิธี สำ� หรับตัวอย่างสถานการณข์ ้างต้น เราสามารถใชห้ ลักการคณู (multiple principle) ได้ดังนี้ หลักการคณู ในการท�ำงานอย่างหน่งึ ประกอบไปด้วยงานยอ่ ย ๆ 2 ข้นั ตอนท่ีต่อเน่อื งกัน ถ้าข้นั ตอนแรกเลือก ท�ำได้ n1 วิธี และข้นั ตอนที่ 2 เลือกท�ำได้ n2 วิธี แล้ว จะท�ำงานชิ้นน้นั ได้ n1n2 วิธี ตัวอยา่ งท่ี 4 รา้ นอาหารแหง่ หน่งึ มอี าหารคาว 5 อย่าง ขนมหวาน 4 อย่าง ถ้าลกู ค้าต้องการอาหารคาวหน่งึ อยา่ ง และขนมหวานหน่งึ อยา่ ง แล้วลกู ค้าจะมวี ิธเี ลือกอาหารได้กี่วิธี วิธที �ำ ในการเลือกส่ังอาหารประกอบด้วย 2 ข้ันตอนที่ต่อเน่อื งกัน คือ การเลือกอาหารคาวแล้วเลือก ขนมหวาน การเลือกอาหารคาว สามารถท�ำได้ 5 วิธี และสำ� หรับแต่ละวิธใี นการเลือกส่ังอาหารคาวสามารถเลือกส่ังขนมหวานได้ 4 วิธี จากหลักการคณู จะได้ว่า ลูกค้าสามารถเลือกส่ังอาหารได้ท้ังหมด 5´ 4 = 20 วิธี

บทท่ี 1 กฎเกณฑ์เบ้อื งต้นเก่ียวกับการนบั 7 หลกั การคณู (กรณที ่วั ไป) ในการท�ำงาน k ชนดิ อยา่ งพรอ้ มกันหรอื ต่อเน่อื งกัน โดยวิธกี ารท�ำงานชนดิ ที่ 1 เลือกท�ำได้ n1 วิธี ในแต่ละวิธใี นการท�ำงานชนดิ ท่ี 1 มวี ิธใี นการท�ำงานชนดิ ท่ี 2 ได้อีก n2 วิธี ในแต่ละวิธใี นการท�ำงานชนดิ ที่ 2 มวี ิธใี นการท�ำงานชนดิ ท่ี 3 ได้อีก n3 วิธี ในแต่ละวิธใี นการท�ำงานชนดิ ที่ 3 มวี ิธใี นการท�ำงานชนดิ ท่ี 4 ได้อีก n4 วิธี ⁝ ในแต่ละวิธใี นการท�ำงานชนดิ ท่ี k – 1 มวี ิธใี นการท�ำงานชนดิ ที่ k ได้อีก nk วิธี จ�ำนวนวิธใี นการท�ำงานเท่ากับ n1n2n3…nk วิธี น่ารู้ หลักการบวก ใช้นบั จ�ำนวนวิธกี ารท�ำงานโดยแบ่งกรณี โดยแต่ละกรณงี านต้องเสร็จสมบูรณ์ หลักการคณู ใช้นบั จ�ำนวนวิธกี ารท�ำงานที่แบง่ เปน็ หลายข้ันตอน แต่ละข้นั ตอนงานยงั ไมเ่ สร็จสมบูรณ์ และต้องท�ำจนครบทกุ ข้นั ตอน งานจึงจะเสร็จสิน้ ตัวอยา่ งท่ี 5 วิธที �ำ โยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 คร้งั เหรียญจะหงายหนา้ ได้ผลลัพธแ์ ตกต่างกันท้ังหมดก่ีวิธี เหรียญแต่ละเหรียญสามารถหงายหนา้ ได้ 2 หนา้ คือ หวั (H) และก้อย (T) โยนคร้งั ที่หน่งึ เหรยี ญหงายหนา้ ได้แตกต่างกัน 2 วิธี โยนคร้งั ที่สอง เหรียญหงายหนา้ ได้แตกต่างกัน 2 วิธี โยนคร้งั ที่สาม เหรียญหงายหนา้ ได้แตกต่างกัน 2 วิธี จากหลักการคณู จะได้ว่า เม่อื โยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญ 3 คร้ัง เหรียญจะหงายหนา้ ได้ผลลัพธท์ ่ีแตกต่าง กันท้ังหมด 2´ 2´ 2 = 8 วิธี เม่อื เขยี นแผนภาพ จะได้ผลลัพธส์ อดคล้องกับหลักการคณู ข้างต้น ดังนี้ คร้งั ที่หน่งึ คร้งั ที่สอง คร้ังท่ีสาม น่ารู้ H H T H จ�ำนวนวิธใี นการโยนเหรียญ n เหรยี ญ T H T 1 คร้ัง หรือ 1 เหรียญ n คร้ัง เท่ากับ T H 2n วิธี T H T H T เราสามารถเขยี นแทนผลที่ได้จากการโยนเหรยี ญในรูปของเซตได้ดังนี้ {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

8 ความนา่ จะเปน็ ตัวอยา่ งท่ี 6 ทอยลูกเต๋า 6 หนา้ 2 ลูกพรอ้ มกัน 1 คร้ัง ลกู เต๋าจะหงายแต้มได้แตกต่างกันท้ังหมดก่ีวิธี วิธที �ำ ลูกเต๋าลกู ท่ีหน่งึ หงายแต้มได้แตกต่างกัน 6 วิธี ลูกเต๋าลกู ที่สอง หงายแต้มได้แตกต่างกัน 6 วิธี จากหลักการคณู จะได้ว่า เม่อื ทอยลูกเต๋า 6 หนา้ 2 ลูกพร้อมกัน 1 คร้ัง ลูกเต๋าจะหงายแต้มได้ แตกต่างกัน 6´ 6 = 36 วิธี เม่อื เขยี นแผนภาพ จะได้ผลลัพธส์ อดคล้องกับหลักการคูณขา้ งต้น ดังน้ี ลกู ที่หน่งึ ลกู ที่สอง ลกู ท่ีหน่งึ ลกู ที่สอง ลกู ท่ีหน่งึ ลกู ที่สอง ลูกที่หน่งึ ลูกท่ีสอง ลกู ที่หน่งึ ลูกท่ีสอง ลูกท่ีหน่งึ ลกู ท่ีสอง เราสามารถเขยี นผลลัพธข์ องการทอยลูกเต๋า 6 หนา้ 2 ลกู พรอ้ มกัน 1 คร้ัง สนใจแต้มที่ลกู เต๋าหงาย ในรูปเซตได้ดังนี้ {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} น่ารู้ จ�ำนวนวิธใี นการทอยลูกเต๋า n ลูก 1 คร้ัง หรือ 1 ลกู n คร้งั สนใจแต้มที่ ลกู เต๋าหงาย เท่ากับ 6n วิธี

บทที่ 1 กฎเกณฑ์เบ้อื งต้นเก่ียวกับการนบั 9 ตัวอยา่ งท่ี 7 วิธที �ำ ในการส�ำรวจเพศของบุตรในครอบครัวท่ีมบี ุตรสองคน จะได้ผลการสำ� รวจแตกต่างกันท้ังหมดก่ีแบบ จ�ำนวนเพศของบุตรคนแรกเท่ากับ 2 เพศ คือ เพศชาย (ช) หรอื เพศหญงิ (ญ) จ�ำนวนเพศของบุตรคนที่สองเท่ากับ 2 เพศ คือ เพศชาย (ช) หรือ เพศหญิง (ญ) จากหลักการคูณ จะได้ว่า การสำ� รวจเพศของบุตรในครอบครัวท่ีมบี ุตรสองคนจะได้ผลการสำ� รวจท่ี แตกต่างกันท้ังหมด 2´ 2 = 4 แบบ เม่อื เขียนแผนภาพ จะได้ผลลัพธส์ อดคล้องกับหลักการคูณข้างต้น ดังน้ี บุตรคนแรก บุตรคนที่สอง เพศของบุตร ช ช ญ ญ ช ญ เราสามารถเขยี นผลลัพธใ์ นรูปของเซตได้เปน็ {ชช, ชญ, ญช, ญญ} ตัวอยา่ งท่ี 8 วิธที �ำ กล่องใบหน่งึ มลี ูกบอลสแี ดง สเี ขียว และสฟี า้ ถ้าหยบิ ลูกบอลลกู แรกแล้วใสค่ ืนกล่องก่อนจะหยบิ ลกู ที่สอง จะได้จ�ำนวนวิธหี ยิบลกู บอลท้ังหมดกี่แบบ สุ่มหยิบลกู บอล 1 ลกู คร้ังแรก จะท�ำได้ 3 วิธี คือได้สแี ดง (ด) สีเขียว (ข) หรอื สฟี ้า (ฟ) จากน้นั นำ� ลกู บอลท่ีหยบิ ได้คร้ังแรกคืนใสก่ ล่อง จะได้ว่า ในกล่องจะมลี ูกบอลอยู่ 3 ลกู เหมอื นเดิม เม่อื สมุ่ หยบิ ลกู บอล 1 ลกู คร้งั ที่สอง จะท�ำได้ 3 วิธี คือ ได้สแี ดง สเี ขยี ว หรอื สีฟา้ จากหลักการคูณ จะได้ว่า จ�ำนวนวิธหี ยิบลูกบอลเท่ากับ 3´ 3 = 9 วิธี เม่อื เขยี นแผนภาพ จะได้ผลลัพธส์ อดคล้องกับหลักการคูณขา้ งต้น ดังนี้ หยบิ คร้ังท่ีหน่งึ หยบิ คร้ังที่สอง ด ด ข การหยิบลกู บอล ข ฟ ด ฟ ข ฟ เราสามารถเขยี นผลลัพธข์ องการหยบิ ลกู บอลในรูปของเซตได้ดังน้ี ด {ดด, ดข, ดฟ, ขด, ขข, ขฟ, ฟด, ฟข, ฟฟ} ข ฟ

10 ความนา่ จะเปน็ ตัวอยา่ งท่ี 9 กล่องใบหน่งึ มลี กู บอลสแี ดง สีเขยี ว และสีฟ้า ถ้าหยบิ ลูกบอลลูกแรกแล้วไมใ่ ส่คืนกล่องก่อนจะหยิบ วิธที �ำ ลกู ท่ีสอง จะได้จ�ำนวนวิธหี ยบิ ลกู บอลท้ังหมดก่ีแบบ สมุ่ หยิบลูกบอล 1 ลกู คร้ังแรก จะท�ำได้ 3 วิธี คือได้สีแดง (ด) สเี ขยี ว (ข) หรือสฟี ้า (ฟ) แล้วไมใ่ ส่คืน กล่อง จากน้นั หยบิ ลกู บอล 1 ลูกคร้ังที่สอง จะเหลือเพียง 2 วิธี เพราะเหลือลูกบอลในกล่อง 2 ลูก จากหลักการคูณ จะได้ว่า จ�ำนวนวิธหี ยบิ ลูกบอลเท่ากับ 3´ 2 = 6 วิธี เม่อื เขยี นแผนภาพ จะได้ผลลัพธส์ อดคล้องกับหลักการคูณขา้ งต้น ดังน้ี หยิบคร้ังท่ีหน่งึ หยบิ คร้ังที่สอง ข ดฟ การหยิบลูกบอล ข ด ฟ ด ฟข เราสามารถเขียนผลลัพธข์ องการหยบิ ลูกบอลในรูปของเซตได้ดังน้ี {ดข, ดฟ, ขด, ขฟ, ฟด, ฟข} ตัวอยา่ งท่ี 10 กลอ่ งใบหนง่ึ มลี กู บอลสแี ดง สเี ขยี ว และสฟี า้ ถา้ หยบิ ลกู บอล 2 ลกู พรอ้ มกนั แลว้ จะไดจ้ ำ� นวนวิธหี ยบิ ลกู บอลท้ังหมดก่ีแบบ วิธที �ำ หยิบลกู บอล 2 ลกู พร้อมกัน จะได้ว่าลูกบอลท้ังสองลกู จะมสี ตี ่างกัน ซ่ึงเกิดได้ 3´ 2 = 6 วิธี แต่การหยิบลูกบอล 2 ลกู พร้อมกัน เราจะไมส่ นใจล�ำดับของสีของลูกบอล น่นั คือ การสลับสขี องลูกบอลเราจะถือว่าเปน็ วิธเี ดียวกัน ซ่ึงมที ้ังหมด 3 วิธี ได้แก่ แดง-เขียว กับ เขยี ว-แดง, แดง-ฟา้ กับ ฟา้ -แดง และเขยี ว-ฟา้ กับ ฟ้า-เขียว ดังน้นั จะเหลือจ�ำนวนวิธที ้ังหมด 6 – 3 = 3 วิธี เขยี นแผนภาพหาผลลัพธท์ ี่อาจจะเกิดข้ึนได้ดังน้ี ลกู บอลลกู ท่ีหน่งึ ลูกบอลลูกท่ีสอง การหยิบลูกบอล ด ข ข ฟ ฟ เราสามารถเขยี นผลลัพธข์ องการหยิบลูกบอลในรูปของเซตได้ดังนี้ {ดข, ดฟ, ขฟ} นา่ รู้ จ�ำนวนวิธใี นการหยบิ สง่ิ ของ n สง่ิ ในแต่ละแบบ 1. หยิบทีละคร้งั แล้วใส่คืน จ�ำนวน k คร้งั จะท�ำได้ n×n×n×...×n = nk วิธี k ตัว 2. หยิบทีละคร้ังแล้วไมใ่ ส่คืน จะท�ำได้ n×(n – 1)×(n – 2)×...×(n – k + 1) วิธี 3. หยบิ พรอ้ มกัน จะท�ำได้ (n – 1) + (n – 2) + (n – 3) + ... + 3 + 2 + 1 วิธี     

บทท่ี 1 กฎเกณฑ์เบ้อื งต้นเก่ียวกับการนบั 11 ตัวอยา่ งท่ี 11 บรษิ ทั แหง่ หนง่ึ กำ� หนดรหสั ประจำ� ตวั พนกั งาน 4 หลกั หลกั แรกเปน็ ตวั อกั ษรภาษาองั กฤษตวั พมิ พใ์ หญ่ และอีก 3 หลักท่ีเหลือสรา้ งจากเลขโดด 0 ถึง 9 จงหาว่าบริษัทสามารถสรา้ งรหสั พนกั งานได้แตกต่าง กันท้ังหมดกี่รหสั วิธที �ำ หลักที่หน่งึ หลักที่สอง หลักท่ีสาม หลักที่ส่ี A-Z 0-9 0-9 0-9 หลักที่หน่งึ สามารถสร้างได้ 26 วิธี จากตัวอักษรภาษาอังกฤษ 26 ตัว (A - Z) หลักท่ีสอง สามารถสร้างได้ 10 วิธี จากเลขโดด 0 ถึง 9 หลักที่สาม สามารถสรา้ งได้ 10 วิธี จากเลขโดด 0 ถึง 9 หลักที่ส ่ี สามารถสร้างได้ 10 วิธี จากเลขโดด 0 ถึง 9 จากหลกั การคณู จะได้วา่ บรษิ ทั แหง่ นสี้ ามารถสรา้ งรหสั พนกั งานได้ 26´10´10´10 = 26,000 รหสั ตัวอยา่ งท่ี 12 นำ� ตัวอักษรจากค�ำว่า CABIN มาเรยี งใหม่ โดยไมค่ �ำนงึ ความหมาย และใหต้ ัวอักษรตัวแรกเปน็ สระ เสมอ จะท�ำได้แตกต่างกันท้ังหมดก่ีวิธี วิธที �ำ ตัวท่ีหน่งึ ตัวท่ีสอง ตัวท่ีสาม ตัวท่ีสี่ ตัวท่ีหา้ สระ  (A หรอื I)       พยญั ชนะ ตัวอักษรตัวแรก สามารถวางได้ 2 วิธี คือ ตัวท่ีเปน็ สระ A หรือ I ตัวอักษรตัวท่ีสอง สามารถวางได้ 4 วิธี จากตัวอักษร 4 ตัวที่เหลือ ตัวอักษรตัวท่ีสาม สามารถวางได้ 3 วิธี จากตัวอักษร 3 ตัวท่ีเหลือ ตัวอักษรตัวท่ีสี่ สามารถวางได้ 2 วิธี จากตัวอักษร 2 ตัวที่เหลือ ตัวอักษรตัวสุดท้าย สามารถวางได้ 1 วิธี จากตัวอักษร 1 ตัวท่ีเหลือ จากหลักการคูณ จะได้ว่า มวี ิธเี รยี งตัวอักษรโดยใหต้ ัวแรกเปน็ สระได้ 2´ 4´ 3´ 2´ 1 = 48 วิธี

12 ความนา่ จะเปน็ ตัวอยา่ งท่ี 13 นำ� ตัวเลข 1 – 4 มาสรา้ งเปน็ จ�ำนวนท่ีมสี ามหลัก และมคี ่านอ้ ยกว่า 300 ได้กี่จ�ำนวน เม่อื สามารถใช้ ตัวเลขซ้�ำได้ วิธที �ำ หลักรอ้ ย หลักสิบ หลักหนว่ ย 1, 2 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4 หลักร้อย สามารถสร้างได้ 2 วิธี จากตัวเลข 1 และ 2 หลักสบิ สามารถสร้างได้ 4 วิธี จากตัวเลข 1, 2, 3 และ 4 หลักหนว่ ย สามารถสร้างได้ 4 วิธี จากตัวเลข 1, 2, 3 และ 4 ดังน้นั จ�ำนวนสามหลักที่สามารถสร้างได้ตามเง่ือนไขมที ้ังหมด 2´ 4´ 4 = 32 จ�ำนวน นา่ รู้ ตัวอยา่ งท่ี 14 จ�ำนวนคู่ หลักหนว่ ยลงท้ายด้วย 0, 2, 4, 6, 8 จ�ำนวนค่ี หลักหนว่ ยลงท้ายด้วย 1, 3, 5, 7, 9 มบี ตั ร 10 ใบ ซ่ึงมหี มายเลขต้ังแต่ 0 – 9 บตั รละหมายเลข ถ้านำ� บัตรเหล่านมี้ าวางเรียงคร้ังละ 4 ใบ จงหาว่าจะได้จ�ำนวนคี่ก่ีจ�ำนวน หลักพนั หลักร้อย หลักสิบ หลักหนว่ ย ใช้ 0 ไมไ่ ด้ 1, 3, 5, 7, 9 วิธที �ำ หลักหนว่ ย มบี ตั รหมายเลขท่ีเปน็ ไปได้ 5 บัตร คือบัตรหมายเลข 1 หรือ 3 หรือ 5 หรอื 7 หรือ 9 หลักพนั มบี ัตรหมายเลขที่เปน็ ไปได้ 8 บัตร โดยตัดบัตรหมายเลข 0 และบตั รหมายเลขท่ีเปน็ หลัก หนว่ ยออกไปจากบัตรหมายเลขท้ัง 10 บัตร หลักรอ้ ย มบี ตั รหมายเลขท่ีเปน็ ไปได้ 8 บัตร โดยตัดบตั รหมายเลขท่ีเปน็ หลักหนว่ ยและหลักพนั ออกไป แต่ยังสามารถใช้บัตรหมายเลข 0 ได้ หลักสิบ มบี ตั รหมายเลขท่ีเปน็ ไปได้ 7 บัตร โดยตัดบตั รหมายเลขท่ีเปน็ หลักหนว่ ย หลักร้อย และ หลักพันออกไป จากหลักการคณู จะได้ว่า สามารถเรยี งบัตรหมายเลขเปน็ จ�ำนวนค่ีได้ 5´ 8´ 8´ 7 = 2,240 จ�ำนวน ข้อสงั เกต กรณโี จทยส์ รา้ งจ�ำนวนคู่หรือจ�ำนวนคี่ เราจะคิดจ�ำนวนวิธกี ารสรา้ งจากหลักหนว่ ยก่อนเสมอ

บทท่ี 1 กฎเกณฑ์เบ้อื งต้นเก่ียวกับการนบั 13 แบบฝึกหัดที่ 1 กฎเกณฑเ์ บ้อื งตน้ เกี่ยวกับการนบั 1 ต้องการจัดอักษรในค�ำว่า NUMBERS มาจัดเรียงโดยใหอ้ ักษรตัวหนา้ เปน็ ตัวเดิม แต่ตัวสุดท้ายเปน็ สระเสมอ ได้ก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 2 สมาคมหน่งึ ประกอบด้วยคณะกรรมการ 10 คน ต้องการเลือกกรรมการเหล่านม้ี าเปน็ นายกสมาคม อุปนายก เลขานกุ ารและเหรัญญิก อย่างละคน ถ้ามกี รรมการคนหน่งึ ไมส่ มคั รใจท่ีจะเปน็ นายกสมาคม จงหาจ�ำนวนวิธี ที่จะเลือกกรรมการเหล่านใ้ี นต�ำแหนง่ ดังกล่าว ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 3 นก 3 ตัว บนิ มาเพ่อื เกาะกิ่งไม้ 3 ก่ิง จะมวี ิธเี ลือกเกาะกิ่งไมไ้ ด้ท้ังหมดก่ีวิธี ถ้า (1) ไมม่ เี ง่ือนไขเพมิ่ เติม ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) หา้ มเกาะกิ่งซ้�ำกัน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 4 ในการทอดลูกเต๋า 3 ลูกพรอ้ มกัน จ�ำนวนวิธที ่ีลกู เต๋าจะข้ึนแต้มไมซ่ ้�ำกันเลยมกี ่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

14 ความนา่ จะเปน็ 5 มบี ัตร 10 ใบ แต่ละใบเขยี นหมายเลข 0 – 9 ก�ำกับไว้ นำ� บัตรท้ัง 10 ใบน้ี มาวางเรยี งเปน็ ตัวเลขส่ีหลัก จงหาว่า (1) จะเกิดจ�ำนวนค่กู ี่จ�ำนวน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) จะเกิดจ�ำนวนคี่ก่ีจ�ำนวน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (3) จะเกิดจ�ำนวนคู่ที่มากกว่า 3,000 ก่ีจ�ำนวน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (4) จะเกิดจ�ำนวนท่ีหารด้วย 5 กี่จ�ำนวน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 6 ตึกเรยี นหน่งึ มปี ระตู 3 ประตู มะนาว มะปราง และมะยม เดินเข้าและออกจากตึกเรียนแหง่ นี้ จะมวี ิธเี ข้าตึก เรยี นส�ำหรบั ท้ัง 3 คนได้ท้ังหมดกี่วิธี ถ้า (1) ไมม่ เี ง่ือนไขเพิ่มเติม ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) ท้ัง 3 คนเข้าและออกหา้ มซ้ำ� ประตเู ดิม ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (3) ท้ัง 3 คน เข้าและออกหา้ มซ้�ำกับประตูเดิมและไมซ่ ้�ำกับเพ่อื นอีก 2 คน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทที่ 1 กฎเกณฑ์เบ้อื งต้นเกี่ยวกับการนบั 15 7 พจมานต้องการต้ังรหสั ผา่ นของอีเมล เปน็ รหสั 6 หลัก ที่ประกอบด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพมิ พ์เล็กหน่งึ หลัก และอีกหา้ หลักที่เหลือประกอบด้วยเลขโดดต้ังแต่ 0 ถึง 9 พจมานจะต้ังรหสั ผา่ นได้ท้ังหมดก่ีรหสั ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 8 กล่องใบหน่งึ มลี กู บอลสีแดง สีฟา้ สชี มพู และสีขาว สลี ะ 1 ลกู จงหาจ�ำนวนวิธกี ารหยิบลกู บอล 2 ลกู ตาม เง่ือนไขต่อไปน้ี (1) หยบิ ลูกแรกแล้วใส่คืนกล่องก่อนหยิบลูกท่ีสอง ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) หยบิ ลกู แรกแล้วไมใ่ ส่คืนกล่องก่อนหยบิ ลกู ที่สอง ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (3) หยบิ ลกู บอล 2 ลกู พร้อมกัน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 9 มคี น 4 คนคือ มู๋ มา๋ กา และไก่ นำ� มาจัดเรยี งแถวตรง ถ้ามตู๋ ้องยนื ทางซา้ ยของมา๋ เสมอ จะจัดได้ก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

16 ความนา่ จะเปน็ ลับสมองประลองปญั ญา O-NET ม.ี ค. 2563 1 จุกและปอเปน็ พนกั งานบัญชีประจ�ำสำ� นกั งานใหญข่ องบรษิ ัทแหง่ หน่งึ ซ่ึงมสี าขาอยูท่ ้ังหมด 4 สาขา จุกและ ปอต้องเลอื กสาขา คนละหน่งึ สาขา เพ่อื ไปตรวจสอบบญั ชี โดยท้ังสองคนไมต่ รวจสอบบญั ชขี องสาขาเดียวกนั จ�ำนวนวิธที ี่จุกและปอเลือกสาขาที่แตกต่างกันมไี ด้ท้ังหมดก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 9 วิชาสามญั (คณติ 1) ม.ี ค. 2563 2 จ�ำนวนเต็มท่ีอยู่ระหว่าง 1,000 และ 6,000 ซ่งึ มเี ลขโดดแต่ละหลักเปน็ เลขค่ีท่ีแตกต่างกัน มจี �ำนวนท้ังหมด เท่ากับเท่าใด ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 9 วิชาสามญั (คณติ 2) ม.ี ค. 2563 3 ก�ำหนดให้ S คือเซตของจ�ำนวนนบั ที่มี 4 หลัก ซ่งึ ประกอบข้ึนจากเลขโดด 1, 2, 3, 4 และ A = {n Î S | n มเี ลขโดด 3 ปรากฏอยู่อยา่ งนอ้ ยหน่งึ หลัก} จ�ำนวนสมาชิกของ A มที ้ังหมดเท่ากับเท่าใด ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทท่ี วิธเี รียงสบั เปล่ียนและวธิ จี ดั หมู่ “ ในบทที่แลว้ เราได้รจู้ ักกับการนับจำ� นวนวิธขี องการท�ำงาน 2 แบบ “ คอื การทำ� งานแบบเกดิ ไดห้ ลายกรณี กบั การทำ� งานทต่ี อ้ งทำ� หลายขนั้ ตอนอยา่ ง ตอ่ เนอ่ื ง ซึ่งเราใชห้ ลักการบวกและหลกั การคณู ในการนบั จำ� นวนวธิ ีการท�ำงาน ส�ำหรบั บทนี้ เราจะนับจำ� นวนวิธขี องการทำ� งานทีม่ ลี กั ษณะเฉพาะตวั คอื การน�ำสง่ิ ของหลาย ๆ สง่ิ มาจดั เรยี ง โดยค�ำนงึ ถึงตำ� แหนง่ และล�ำดับของ สิง่ ของ และการทำ� งานอกี ลกั ษณะหนงึ่ คอื การเลอื กส่งิ ของโดยไมค่ ำ� นงึ ถงึ ตำ� แหนง่ และลักษณะของสิง่ ของ สมมตสิ ถานการณ์ดังตอ่ ไปน้ี นกั จดั สวนมตี น้ ไม้ 2 ตน้ และดอกไม้ 2 ตน้ ถา้ พวกเขาตอ้ งการจดั ตน้ ไม้ ลงกระถางสนี �้ำตาล 4 ใบทแ่ี ตกตา่ งกัน และจดั ดอกไม้ลงกระถางสีขาว 2 ใบที่ แตกตา่ งกัน นักจัดสวนจะทราบได้อยา่ งไรวา่ จะมีจ�ำนวนวธิ ีในการจัดตน้ ไมแ้ ละ ดอกไม้ลงกระถางตามเงือ่ นไขเท่ากบั เทา่ ใด หรอื ถา้ ในงานเลย้ี งรนุ่ ครง้ั หนง่ึ มเี พอ่ื นมาจำ� นวนหน่ึงและแตล่ ะคนจบั มอื ทักทายกันรวม 45 ครัง้ จะหาจำ� นวนคนท่มี ารว่ มงานนี้ได้เท่ากบั เท่าใด ซึ่งเราสามารถแก้ปัญหาจากสถานการณ์ที่ก�ำหนดให้ได้โดยใช้วิธีเรยี ง สบั เปล่ยี นและวิธีจดั หมูม่ าช่วยในการหาค�ำตอบ

18 ความนา่ จะเปน็ ในข้นั ต้น จะกล่าวถึงความรู้พ้นื ฐานที่จะนำ� ไปใช้ในการค�ำนวณในหวั ขอ้ ถัดไป ดังน้ี 1 แฟกทอเรยี ล (Factorial) บทนิยาม 1 ถ้า n เปน็ จ�ำนวนเต็มบวก แฟกทอเรยี ล n หมายถึง ผลคณู ของจ�ำนวนเต็มบวกต้ังแต่ 1 ถึง n เขยี น แทนด้วยสัญลักษณ์ n! (n! อ่านว่า แฟกทอเรยี ลเอ็น หรือ เอ็นแฟกทอเรยี ล หรืออ่านส้ัน ๆ ว่า เอ็นแฟก) จากบทนยิ าม 1 จะได้ว่า n! = 1´2´3´4´...´(n – 2)´(n – 1)´n หรอื n! = n´(n – 1)´(n – 2)´...´4´3´2´1 หมายเหต ุ 0! = 1 ตัวอยา่ งท่ี 1 5! = 5´4´3´2´1 = 720 10! = 10´9! 8! = 8´ 7´ 6´ 5´ 4´ 3´2 ´1 = 8´7 = 56 6! 6´ 5´ 4´ 3´ 2´1 50! และเราสามารถเขียน 50´49´48 ในรูปแฟกทอเรียลได้เปน็ 47! ตัวอยา่ งท่ี 2 ขอ้ สงั เกต จงหาค่า n จาก (n n! = 6 จากบทนยิ ามของแฟกทอเรยี ล จะเหน็ ได้ว่า – 2)! n! = n(n – 1)! (n – 1)! = (n – 1)(n – 2)! วิธที �ำ พจิ ารณา n! = n(n - 1)(n - 2)! (n + 2)! = (n + 2)(n + 1)n(n – 1)! - 2)! (n - 2)! (n = n(n – 1) จาก (n n! = 6 - 2)! n(n – 1) = 6 จะได้ว่า n(n – 1) = 3´2 น่นั คือ n = 3

บทท่ี 2 วิธเี รยี งสับเปล่ียนและวิธจี ัดหมู่ 19 ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาค่า n จาก (n + 1)! = 336 (n - 2)! วิธที �ำ พจิ ารณา (n + 1)! = (n + 1)(n)(n - 1)(n - 2)! (n - 2)! (n - 2)! = (n + 1)(n)(n – 1) จาก (n + 1)! = 336 (n - 2)! จะได้ว่า (n + 1)(n)(n – 1) = 336 (n + 1)(n)(n – 1) = 8´7´6 น่นั คือ n = 7 ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาค่า n จาก n! = n! (n - 5)!5! (n - 3)!3! วิธที �ำ จาก (n n! = (n n! - 5)!5! - 3)!3! (n 3)! 5! จะได้ว่า (n - 5)! = 3! - (n - 3)(n - 4)(n - 5)! = 5 ´ 4´ 3! (n - 5)! 3! (n – 3)(n – 4) = 5´4 น่นั คือ n = 8

20 ความนา่ จะเปน็ แบบฝึกหัดท่ี 2.1 แฟกทอเรยี ล 1 จงหาค่าต่อไปนี้ (1) 6! ........................................................................................................................................................... (2) 5! ........................................................................................................................................................... 4! ........................................................................................................................................................... (3) 9! 8! ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... (4) 26!3! ! ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... (5) 3!5! ........................................................................................................................................................... (6) 2(4!) (7) (7 7-!2)! (8) (5 5-!3)! 2 จงหาค่า n จากสมการต่อไปนี้ (1) (n n! = 56 – 2)! ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... (2) (n n! = 24 – 3)! ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................

บทที่ 2 วิธเี รยี งสับเปล่ียนและวิธจี ัดหมู่ 21 (3) (n + 1)! = 72 (n – 1)! ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... (4) (n + 3)! = 30 (n + 1)! ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... 3 ให้ n เปน็ จ�ำนวนเต็มบวกท่ีสอดคล้องกับสมการ (n – n! – 4)! = 168 จงหาค่าของ (n + 1)! 2)(n (n – 1)! ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

22 ความนา่ จะเปน็ 2 วิธเี รยี งสบั เปลย่ี น (Permutation) วิธเี รยี งสบั เปลี่ยน คือ วิธกี ารนำ� ส่งิ ของจ�ำนวนหน่งึ มาจัดเรียงโดยถือล�ำดับท่ีของสง่ิ ของแต่ละสิง่ เปน็ ส�ำคัญ เชน่ การนำ� คนมายืนเรยี งแถว การจัดหนงั สือ การเรยี งตัวอักษร การน่งั ล้อมวงรับประทานอาหาร เปน็ ต้น 2.1 วิธเี รียงสับเปล่ียนเชิงเส้น (Linear Permutation) เปน็ การจดั เรยี งสงิ่ ของในแนวเชงิ เสน้ หรอื แบบเสน้ ตรง ซง่ึ แบง่ ออกไดเ้ ปน็ 2 แบบ คอื วธิ เี รยี งสบั เปลย่ี นเชงิ เสน้ ของสง่ิ ของท่ีแตกต่างกันท้ังหมด และวิธเี รียงสบั เปล่ียนเชิงเส้นของสิง่ ของท่ีไมแ่ ตกต่างกันท้ังหมด (ซ้ำ� กันบางส่วน) 2.1.1 วิธเี รยี งสบั เปล่ียนเชิงเสน้ ของสง่ิ ของทีแ่ ตกตา่ งกนั ท้งั หมด ทฤษฎบี ท 1 ก�ำหนด n และ r เปน็ จ�ำนวนเต็มบวกใด ๆ โดยท่ี r < n แล้ว 1. นำ� ส่ิงของที่แตกต่างกันท้ังหมด n ส่งิ มาจัดเรยี งสบั เปล่ียนคร้ังละ n สิ่งจะท�ำได้ Pn,n = n! วิธ ี n! 2. มขี องท่ีแตกต่างกันท้ังหมด n สิ่ง นำ� มาจัดเรยี งสับเปล่ียนคร้ังละ r สง่ิ จะท�ำได้ Pn,r = (n - r)! วิธี ตัวอยา่ งท่ี 5 น่ารู้ จงหาค่าของ P7,3 1. Pn,0 = 1 2. Pn,1 = n วิธที �ำ จาก Pn,r = (n n! r)! 3. Pn,n = n! – ในท่ีน้ี n = 7 และ r = 3 จะได้ว่า P7,3 = (7 7! – 3)! = 74!! = 7 ´ 6 ´5 ´ 4! 4! = 7´ 6´ 5 = 210 ตัวอยา่ งท่ี 6 วิธที �ำ นำ� หนงั สอื 5 เล่ม ไปจัดเรยี งบนช้ันหนงั สือ จะท�ำได้ก่ีวิธี นำ� หนงั สอื 5 เล่ม ไปจัดเรียงบนช้ันหนงั สอื ท�ำได้ท้ังหมด 5! = 5´ 4´ 3´ 2´ 1 = 120 วิธี

บทที่ 2 วิธเี รยี งสับเปล่ียนและวิธจี ัดหมู่ 23 ตัวอยา่ งท่ี 7 นำ� ตัวอักษรจากค�ำว่า SECONDARY มาจัดเรียงโดยไมค่ �ำนงึ ถึงความหมายได้ก่ีวิธี วิธที �ำ ตัวอักษรจากค�ำว่า SECONDARY มที ้ังหมด 9 ตัวอักษรท่ีแตกต่างกัน เม่อื นำ� ตัวอักษรท้ัง 9 ตัวอักษรมาจัดเรียงโดยไมค่ �ำนงึ ถึงความหมาย จะจัดเรยี งได้ท้ังหมด 9! = 9´ 8´ 7´ 6´ 5´ 4´ 3´ 2´ 1 = 362,880 วิธี ตัวอยา่ งท่ี 8 จงหาจ�ำนวนวิธที ี่จะจัดคน 5 คน เขา้ น่งั เก้าอี้ว่าง 8 ตัว ท่ีวางเรยี งกันเปน็ เส้นตรง วิธที �ำ จาก Pn,r = (n n! – r)! ในที่นี้ n = 8 และ r = 5 จะได้ว่า P8,5 = (8 8! – 5)! = 38!! = 8 ´ 7 ´ 6 ´5 ´ 4 ´ 3! 3! = 8´ 7´ 6´ 5´ 4 = 6,720 ดังน้นั จะจัดคน 5 คน เขา้ น่งั เก้าอี้ว่าง 8 ตัว ที่วางเรียงกันเปน็ เส้นตรงได้ท้ังหมด 6,720 วิธี ตัวอยา่ งท่ี 9 เทคนคิ การจดั เรียงของติดกัน จัดนกั เรยี น 6 คน ซ่งึ มเี พชรและพลอยรวมอยู่ด้วย 1. มดั ของท่ีอยู่ติดกันรวมเปน็ 1 มดั ใหน้ กั เรียนท้ังหมดยนื เปน็ แถวตรง โดยก�ำหนดให้ 2. นำ� มดั ของที่ติดกันไปเรยี งสบั เปล่ียนกับสิ่งท่ีเหลือ เพชรและพลอยตอ้ งยนื ตดิ กนั จะมวี ธิ จี ดั เรยี งนกั เรยี น 3. นบั วิธที ี่ของในมดั สลับท่ีกันเอง ยนื เปน็ แถวตรงได้กี่วิธี 4. หาผลคูณจ�ำนวนวิธใี นข้อ 2 และข้อ 3 วิธที �ำ 1 2345 เพชร พลอย เน่อื งจากเพชรและพลอยต้องยืนติดกัน จึงพจิ ารณามดั เพชรและพลอยติดกันเปน็ ของ 1 มดั ดังน้นั จะมขี องอยู่ 5 มดั จัดเรยี งในแนวเส้นตรงได้ 5! วิธี ในแต่ละวิธนี ี้ เพชรและพลอยสามารถยนื สลับที่กันได้ 2! วิธี ดังน้นั จะจัดเรียงนกั เรยี นยนื เปน็ แถวตรง โดยใหเ้ พชรและพลอยยนื ติดกันได้ 2!5! = 240 วิธี

24 ความนา่ จะเปน็ ตัวอยา่ งท่ี 10 เทคนคิ การจดั เรียงของแยกกัน จัดนกั เรยี น 6 คน ซ่ึงมเี พชรและพลอยรวมอยูด่ ้วย ให้ 1. แยกของที่ต้องการใหแ้ ยกกันออกมาก่อน นกั เรยี นท้ังหมดยนื เปน็ แถวตรง โดยก�ำหนดใหเ้ พชรและ 2. จัดเรยี งสง่ิ ของท่ีเหลือ พลอยตอ้ งยนื แยกกนั เสมอ จะมวี ธิ จี ดั เรยี งนกั เรยี นยนื เปน็ 3. นำ� ของที่แยกไว้ตอนแรกมาจัดเข้าช่องว่าง 4. หาผลคณู ของจ�ำนวนวิธใี นข้อ 2 กับข้อ 3 แถวตรงได้ก่ีวิธี วิธที �ำ เพชร พลอย 123 4 นำ� คน 4 คนที่ไมใ่ ช่เพชรและพลอยมายืนเรียงแถว ท�ำได้ 4! วิธี มชี ่องว่างระหว่าง 4 คนนอ้ี ยู่ 5 ช่อง นำ� เพชรและพลอยยนื แทรกตามช่องว่างได้ P5,2 วิธี ดังน้นั จะจัดนกั เรียนยนื เปน็ แถวตรง โดยเพชรและพลอยต้องยืนแยกกันเสมอได้ 4!×P5,2 = 480 วิธี แบบฝึกหดั ท่ี 2.2 (ก) วธิ เี รยี งสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิง่ ของท่แี ตกตา่ งกนั ทัง้ หมด 1 จงหาจ�ำนวนวิธจี ัดผชู้ าย 3 คน และผหู้ ญิง 4 คน ใหน้ ่งั ในแถว โดยที่ผชู้ ายจะน่งั ในต�ำแหนง่ เลขค่เู สมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 2 ชาย 4 คน หญิง 4 คน น่งั สลับกันเปน็ แถวตรงได้กี่วิธี ถ้าก�ำหนดให้ น่งั สลับกันแบบชายหน่งึ คนหญิงหน่งึ คน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทท่ี 2 วิธเี รียงสบั เปลี่ยนและวิธจี ัดหมู่ 25 3 จัดคน 8 คน ซ่ึงมแี ก้ว ฟา้ ดาว รวมอยูด่ ้วย เขา้ น่งั เรียงกันเปน็ แถวตรง จะจัดได้ก่ีวิธี ถ้า (1) ไมม่ เี ง่ือนไขเพม่ิ เติม ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) แก้ว ฟา้ และดาวน่งั ติดกันเสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (3) แก้ว ฟ้า และดาวน่งั แยกกันเสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (4) แก้วน่งั ตรงกลางติดกับฟา้ และดาวเสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 4 มวี ารสารต่างกัน 4 เล่ม นวนยิ ายต่างกัน 3 เล่ม การ์ตนู ต่างกัน 3 เล่ม และนทิ าน 1 เล่ม ถ้าต้องการจัดเรยี งบน ช้ันหนงั สอื โดยใหช้ นดิ เดียวกันอยู่ติดกัน จะจัดได้ท้ังหมดก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 5 จัดชาย 3 คน และหญิง 3 คน มายืนเรียงกันเปน็ แถวตรงได้กี่วิธี ถ้าเพศเดียวกันต้องยนื ติดกันเสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 6 สามี ภรรยา จ�ำนวน 5 คู่ น่งั พร้อมกันบนมา้ น่งั ยาว ถ้าสามภี รรยาแต่ละค่ตู ้องน่งั ติดกันเสมอ จะน่งั ได้ก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

26 ความนา่ จะเปน็ 7 จงหาจ�ำนวนวิธที ี่จะจัดผชู้ าย 4 คน ผหู้ ญิง 4 คน ซ่ึงมนี ายหมพี ูกับนางสาวหมหู วาน อยูใ่ นกล่มุ นด้ี ้วยมายนื แถวตรงเพ่อื ถ่ายรูป และหมพี กู ับหมหู วานต้องยนื ติดกันเสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 8 ในการจัดพอ่ แม่ ลูกสาว 2 คน ลูกชาย 2 คน น่งั เรียงแถวถ่ายรูป ถ้าต้องการจัดใหพ้ ่อแมน่ ่งั อยูต่ รงกลาง ลกู สาวท้ังหมดอยู่ข้างหน่งึ และลูกชายท้ังหมดอยู่อีกขา้ งหน่งึ จะจัดได้กี่วิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 9 มหี นงั สอื คณติ ศาสตร์ 3 เลม่ ภาษาไทย 2 เลม่ ภาษาองั กฤษ 2 เลม่ หนงั สอื แต่ละเลม่ แตกต่างกนั จงหาจำ� นวนวิธี ที่จะจัดเรยี งหนงั สอื บนช้นั หนงั สอื เม่อื ต้องการให้ หนงั สอื ท่ีเปน็ วิชาเดียวกนั อยูต่ ิดกันและหนงั สอื คณติ ศาสตร์ ต้องอยูด่ ้านซ้ายมอื ของหนงั สือภาษาอังกฤษเสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 10 มนี ้ำ� หอม 3 ขวด กลิ่นต่างกัน ครมี ทาผวิ 4 ขวด ขนาดต่างกัน และแปง้ ฝนุ่ 2 กระปอ๋ ง ย่ีหอ้ ต่างกัน ต้องการจัด เรียงของท้ังหมดบนช้นั โดยใหข้ องชนดิ เดียวกันอยู่ติดกัน และวางน้ำ� หอมไว้ระหว่างครมี ทาผวิ กับแปง้ ฝนุ่ จะ ท�ำได้ก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทที่ 2 วิธเี รยี งสบั เปล่ียนและวิธจี ัดหมู่ 27 11 นำ� ชาย 4 คน หญิง 3 คน มายนื เรียงเปน็ แถวตรงได้ก่ีวิธี ถ้าก�ำหนดว่าไมใ่ หผ้ หู้ ญงิ ยนื ติดกัน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 12 ในการสอบคร้งั หน่งึ มวี ิชาที่ต้องสอบ 6 รายวิชา มวี ิชาคณิตศาสตรพ์ ้นื ฐานและคณติ ศาสตร์เพิม่ เติมที่จะต้อง สอบด้วย ถ้าต้องการจัดตารางสอบ โดยไมใ่ ห้ 2 รายวิชานตี้ ิดกัน จะจัดได้ท้ังหมดก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 13 จงหาจ�ำนวนวิธใี นการจัดเรยี งตัวอักษรจากค�ำว่า DESKTOP โดยไมค่ �ำนงึ ถึงความหมาย โดยการเรียงแต่ละ คร้ัง จะต้องข้นึ ต้นด้วยสระ และลงท้ายด้วยพยัญชนะเสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 14 จงหาจ�ำนวนวิธใี นการจัดเรยี งตัวอักษรจากค�ำว่า ANGLES โดยไมค่ �ำนงึ ถึงความหมาย โดยการเรยี งแต่ละครง้ั (1) จะต้องไมข่ ้นึ ต้นและลงท้ายด้วยสระ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) จะต้องข้ึนต้นด้วยสระ หรือลงท้ายด้วยสระเสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

28 ความนา่ จะเปน็ 2.1.2 วิธเี รยี งสบั เปลย่ี นเชิงเสน้ ของส่ิงของที่ไมแ่ ตกตา่ งกนั ทงั้ หมด (ซำ้� กนั บางสว่ น) ในบางกรณี สง่ิ ของที่เรานำ� มาเรียงสบั เปล่ียนจะเปน็ สิง่ ที่ของท่ีซ้ำ� กัน โดยอาจจะซ้ำ� กันท้ังหมด เชน่ จัดเรียง ตัวอักษร AAA พบว่า ไมว่ ่าจะเลือกมาคร้งั ละกี่ตัวก็ตาม จะได้เพยี ง 1 วิธเี ท่าน้นั และเม่อื นำ� ตัวอักษรมาสลับท่ีกันจะไม่ เกิดวิธใี หม่ หรืออาจจะซ้ำ� กันบางส่วนเช่น จัดเรียงตัวอักษร ABB จะได้มากกว่า 1 วิธี น่นั คือ ABB, BAB และ BBA ข้อสงั เกต ลักษณะสงิ่ ของที่เหมอื นกัน แบ่งเปน็ 3 ประเภท คือ โจทย์ก�ำหนด ตัวเลขหรอื ตัวอักษรท่ีซ้ำ� กัน และเหมอื นกันในลักษณะแบ่งเปน็ กล่มุ ๆ เชน่ เหรียญ ธนบัตร ต้นไม้ ผลไม้ กลุ่มอาชีพ เปน็ ต้น ทฤษฎบี ท 2 ถ้ามสี ่งิ ของ k กล่มุ ซ่งึ ในกล่มุ ท่ี 1 มขี อง n1 สง่ิ เหมอื นกัน ในกล่มุ ที่ 2 มขี อง n2 สงิ่ เหมอื นกัน ⁝ ในกล่มุ ท่ี k มขี อง nk ส่งิ เหมอื นกัน โดยท่ี n1 + n2 + ... + nk = n n! วิธี จ�ำนวนวิธเี รียงสบั เปล่ียนเชิงเส้นของสิง่ ของ n ส่ิง เท่ากับ n1! n2!...nk! ตัวอยา่ งท่ี 11 นำ� ตัวอักษรจากค�ำว่า BANANA มาจัดเรยี งโดยไมค่ �ำนงึ ถึงความหมายได้กี่วิธี วิธที �ำ ตัวอักษรท่ีก�ำหนดมี 6 ตัว โดยเปน็ กลุ่มที่ซ้ำ� กัน 2 กล่มุ คือ A ซ้�ำกัน 3 ตัว และ N ซ้�ำกัน 2 ตัว ดังน้นั 6! 6×5×4×3! = 6×5×4 = 60 วิธี วิธเี รยี งสับเปลี่ยนตัวอักษรจะจัดเรียงได้ 3!2! = 3!2! 2! ตัวอยา่ งท่ี 12 นำ� ตัวอักษรจากค�ำว่า FOOTBALL มาจัดเรยี งโดยไมค่ �ำนงึ ถึงความหมายได้กี่วิธี วิธที �ำ ตัวอักษรที่ก�ำหนดมี 8 ตัว โดยเปน็ กลุ่มท่ีซ้�ำกัน 2 กลุ่ม คือ O ซ้�ำกัน 2 ตัว และ L ซ้ำ� กัน 2 ตัว ดังน้นั วิธเี รยี งสับเปล่ียนตัวอักษรจะจัดเรียงได้ 8! = 8×7×6×5×4×3×2! = 10,080 วิธี 2!2! 2!2! ตัวอยา่ งท่ี 13 มเี ลขโดด 1, 4, 4, 6, 8, 8, 8 มาสรา้ งเปน็ จ�ำนวน 7 หลักได้ก่ีจ�ำนวน วิธที �ำ เลขโดดที่ก�ำหนดมี 7 ตัว โดยเปน็ กลุ่มท่ีซ้�ำกัน 2 กล่มุ คือ 4 ซ้ำ� กัน 2 ตัว และ 8 ซ้�ำกัน 3 ตัว ดังน้นั สามารถสร้างจ�ำนวนได้ 7! = 7×6×5×4×3! = 420 จ�ำนวน 2!3! 2!3!

บทท่ี 2 วิธเี รยี งสบั เปล่ียนและวิธจี ัดหมู่ 29 ตัวอยา่ งท่ี 14 มตี ้นดาวเรือง 2 ต้น ต้นมะลิ 4 ต้น นำ� ไปจัดเรยี งใหเ้ ปน็ แนวตรง จะท�ำได้ก่ีวิธี วิธที �ำ มตี ้นไมท้ ้ังหมด 6 ต้น โดยเปน็ กลุ่มที่เหมอื นกัน 2 กลุ่ม คือ ต้นดาวเรอื งเหมอื นกัน 2 ต้น และต้นมะลิเหมอื นกัน 4 ต้น ดังน้นั สามารถจัดเรียงต้นไมใ้ นแนวตรงได้ 6! = 6×5×4! = 15 วิธี 2!4! 2!4! ตัวอยา่ งท่ี 15 มหี นงั สอื คณิตศาสตรเ์ หมอื นกัน 3 เล่ม หนงั สอื วิทยาศาสตร์เหมอื นกัน 2 เล่ม และหนงั สอื ภาษาไทย เหมอื นกัน 4 เล่ม ถ้านำ� หนงั สือท้ังหมดนไี้ ปจัดเรียงบนช้ันหนงั สอื จะจัดเรียงได้ก่ีวิธี วิธที �ำ มหี นงั สือท้ังหมด 9 เล่ม โดยเปน็ กลุ่มที่เหมอื นกัน 3 กล่มุ คือ หนงั สอื คณติ ศาสตรเ์ หมอื นกัน 3 เล่ม หนงั สอื วิทยาศาสตรเ์ หมอื นกัน 2 เล่ม และหนงั สอื ภาษาไทยเหมอื นกัน 4 เล่ม ดังน้นั สามารถจัดเรียงหนงั สือบนช้ันหนงั สือได้ 9! = 1,260 วิธี 3!2!4! ตัวอยา่ งท่ี 16 B จากรูป ชายคนหน่งึ ต้องการเดินทางจากจุด A ไปจุด B โดย ก�ำหนดว่าต้องเดินทางไปทางทิศเหนือหรือทิศตะวันออก เท่าน้นั จะได้กี่วิธถี ้า C 1. ไมม่ เี ง่ือนไข 2. ผา่ นจุด C เสมอ A วิธที �ำ ให้ N แทนการเดินไปทางทิศเหนอื 1 ช่อง และ E แทนการเดินไปทางทิศตะวันออก 1 ชอ่ ง 1. เม่อื เดินทางจากจุด A ไป B จะต้องเดินไปทางทิศเหนอื 4 ชอ่ ง และไปทางทิศตะวันออก 4 ช่อง ดังน้นั จ�ำนวนวิธเี ดินทางจากจุด A ไป B จะเท่ากับ การเรียงสบั เปลี่ยนตัวอักษร N ที่ซ้ำ� กัน 4 ตัว และตัวอักษร E ท่ีซ้�ำกัน 4 ตัว ซ่งึ มคี ่าเท่ากับ 8! = 70 วิธี 4!4! 2. การเดินทางจากจุด A ไป B โดยผา่ นจุด C จะประกอบด้วยการท�ำงาน 2 ข้นั ตอน ข้ันตอนท่ี 1 เดินทางจากจุด A ไป C จะต้องเดินไปทางทิศเหนอื 2 ช่อง และไปทางทิศตะวันออก 3 ชอ่ ง ซ่ึงจะมจี �ำนวนวิธเี ดินทางได้เท่ากับการเรยี งสับเปล่ียนตัวอักษร N ท่ีซ้�ำกัน 2 ตัว และตัวอักษร E ท่ีซ้ำ� กัน 3 ตัว โดยมคี ่าเท่ากับ 5! = 10 วิธี 2!3! ข้นั ตอนที่ 2 เดินทางจากจุด C ไป B จะต้องเดินไปทางทิศเหนอื 2 ช่อง และไปทางทิศตะวันออก 1 ช่อง ซ่ึงจะมจี �ำนวนวิธเี ดินทางได้เท่ากับการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร N ที่ซ้�ำกัน 2 ตัว และตัวอักษร E 1 ตัว โดยมคี ่าเท่ากับ 3! = 3 วิธี 2! จากหลักการคณู จะได้ว่า จ�ำนวนวิธเี ดินทางจากจุด A ไป B โดยผา่ นจุด C เท่ากับ 10×3 = 30 วิธี

30 ความนา่ จะเปน็ แบบฝึกหัดท่ี 2.2 (ข) วธิ ีเรยี งสบั เปลี่ยนเชิงเส้นของสงิ่ ของท่ีไม่แตกตา่ งกนั ท้งั หมด 1 ต้องการสร้างจ�ำนวนท่ีมี 7 หลัก จากเลขโดด 7 ตัวคือ 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 โดยใหเ้ ลข 3 สองตัวอยู่ติดกันเสมอ จะสร้างได้ก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 2 ถ้านำ� ตัวเลข 0, 2, 2, 3, 3, 3, 4 มาสรา้ งเปน็ จ�ำนวนท่ีมากกว่าหน่งึ ล้าน จะได้กี่จ�ำนวน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 3 นำ� เลขโดด 0, 7, 7, 8, 8, 9 มาจัดเรยี ง ใหเ้ ปน็ จ�ำนวนที่มคี ่ามากกว่าแปดแสนได้ท้ังหมดกจ่ี �ำนวน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 4 นำ� ตัวเลข 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3 มาสรา้ งเปน็ จ�ำนวนท่ีมากกว่า 3,000,000 ได้กี่จ�ำนวน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 5 มลี กู บอล 6 ลูก เปน็ สีแดง 1 ลูก สีขาว 1 ลกู สีเหลือง 1 ลูก และสีด�ำ 3 ลูก ลูกบอลทุกลกู มขี นาดเท่ากัน เลือก ลกู บอล 4 ลกู มาจัดเรียงเปน็ แถวตรงได้ท้ังหมดกี่วิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทท่ี 2 วิธเี รยี งสับเปลี่ยนและวิธจี ัดหมู่ 31 6 มปี ากกา 9 ด้าม เปน็ สีแดงเหมอื นกัน 4 ด้าม สีน้ำ� เงินเหมอื นกัน 3 ด้าม และสดี �ำเหมอื นกัน 2 ด้าม ต้องการจัด เรียงปากกาเปน็ แนวเส้นตรง โดยใหป้ ากกาสีน้ำ� เงินท้ังหมดอยูต่ รงกลางเสมอ จะจัดได้ก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 7 หลอดไฟ 9 หลอดทม่ี ขี นาดเท่ากนั และหลอดสเี ดยี วกนั เหมอื นกนั ถ้ามสี ขี าว 2 หลอด สแี ดง 4 หลอดและสมี ว่ ง 3 หลอด นำ� มาจดั เรยี งเปน็ แนวตรง ถ้าตอ้ งการใหห้ ลอดไฟสขี าวอยรู่ มิ สดุ ท้ังสองดา้ น จะจดั เรยี งไดท้ ้ังหมดกวี่ ิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 8 มผี า้ เชด็ หนา้ 9 ผนื เปน็ สฟี ้า 4 ผนื สีชมพู 2 ผนื และสขี าว 3 ผนื โดยที่ผา้ เชด็ หนา้ สเี ดียวกันเหมอื นกัน นำ� ผา้ เช็ดหนา้ ท้ัง 9 ผนื มาตากบนราวตากผา้ แนวยาว จะท�ำได้กี่วิธี ถ้า (1) ไมม่ เี ง่ือนไขเพ่มิ เติม ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) สีเดียวกันเรยี งอยูต่ ิดกัน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (3) สชี มพูอยู่แยกกันเสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 9 นำ� ขวดหมกึ สแี ดงเหมอื นกัน 6 ขวด ขวดหมกึ สดี �ำเหมอื นกนั 4 ขวด นำ� ขวดหมกึ ท้ังหมดมาจัดเรยี งใหเ้ ปน็ แถว เพ่อื วางขายบนชน้ั จะท�ำได้กีว่ ิธี ถ้า (1) ขวดหมกึ ที่อยูร่ มิ ท้ังสองด้านเปน็ สเี ดียวกนั ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) ขวดหมกึ ที่อยู่ริมท้ังสองด้านเปน็ สตี ่างกัน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

32 ความนา่ จะเปน็ 10 มหี นงั สอื คณติ ศาสตรเ์ หมอื นกนั 2 เลม่ หนงั สอื ภาษาไทยเหมอื นกนั 2 เลม่ และหนงั สอื วทิ ยาศาสตรเ์ หมอื นกนั 3 เล่ม ต้องการนำ� หนงั สอื ท้ังหมดมาจัดเรยี งใหม่ จะท�ำได้กี่วิธี ถ้า (1) หวั แถวและท้ายแถวเปน็ หนงั สอื วิชาเดียวกัน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) หวั แถวและท้ายแถวเปน็ หนงั สอื คนละวิชากัน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 11 มธี นบตั รใบละหา้ สบิ บาท 2 ใบ ใบละหน่งึ ร้อยบาท 3 ใบ และใบละหา้ รอ้ ยบาท 3 ใบ ต้องการแจกธนบัตรให้ เด็ก 8 คน คนละ 1 ใบ จะได้ท้ังหมดกี่วิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 12 ต้องการจัดเรยี งตัวอักษรจากค�ำว่า PIBOONBUMPEN โดยไมค่ �ำนงึ ถึงความหมายที่ได้ ถ้าต้องการใหส้ ระทกุ ตัวอยูต่ ิดกัน และพยัญชนะทุกตัวอยูต่ ิดกัน จะท�ำได้กี่วิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 13 นำ� ตวั อกั ษรจากค�ำวา่ TELEPHONE มาจดั เรยี งใหม่ โดยไมส่ นใจความหมาย และใหอ้ กั ษรตวั แรกกบั ตวั สดุ ทา้ ย เปน็ สระเสมอ จะท�ำได้ก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทท่ี 2 วิธเี รียงสับเปล่ียนและวิธจี ัดหมู่ 33 14 นำ� ตัวอักษรจากค�ำว่า WINNER มาจัดเรยี งใหม่ โดยไมใ่ หอ้ ักษร N อยูต่ ิดกัน จะท�ำได้ก่วี ิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 15 นำ� ตัวอักษรจากค�ำว่า PARALLEL มาเรยี งสบั เปลี่ยนในแนวเสน้ ตรง จะท�ำได้กว่ี ิธี ถ้า (1) ไมม่ เี ง่อื นไขเพมิ่ เติม ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) ใหต้ ัวอักษร A ทกุ ตัวต้องเรยี งติดกับตัวอักษร L เสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (3) ข้นึ ต้นและลงท้ายด้วยสระเสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (4) ตัวอักษร P, R, E ต้องอยูแ่ ยกกนั เสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

34 ความนา่ จะเปน็ 2.2 วธิ ีเรยี งสับเปล่ียนเชิงวงกลม (Circular Permutation) การจดั เรยี งสบั เปลย่ี นเชงิ วงกลม มลี กั ษณะของการจดั เรยี งทีไ่ มม่ จี ดุ เรม่ิ ตน้ หรอื จดุ สดุ ทา้ ย หรอื การนำ� สง่ิ ของ มาจัดเรียงใหเ้ ปน็ แนวรูปปดิ เชน่ การน่งั ประชุมรอบโต๊ะกลม การน่งั ล้อมวงรบั ประทานอาหาร การจับมอื กันล้อมรอบ กองไฟ เปน็ ต้น ข้อตกลงเกี่ยวกับการจัดเรยี งสบั เปล่ียนเชิงวงกลม จะได้ว่า ถ้าสิ่งของไมม่ กี ารเปล่ียนต�ำแหนง่ และเรานบั ไป ในทิศทางเดียวกันตลอด (ในรูปทวนเข็มนาฬิกาหรอื ตามเข็มนาฬิกา) โดยเม่อื เร่ิมนบั จากสิ่งของชิ้นใดก็ได้ จ�ำนวนวิธที ่ี ได้ท้ังหมด จะถือว่าเปน็ วิธเี ดียวกัน พิจารณาตัวอย่างการจัดตัวอักษร A, B, C, D, E เปน็ วงกลมต่อไปน้ี A D A EB CE BC DC BA DE วิธที ่ี 1 วิธที ี่ 2 วิธที ี่ 3 จะเหน็ ว่า วิธที ่ี 1 และวิธที ่ี 2 เปน็ วิธเี ดียวกัน แต่จะต่างจากวิธที ่ี 3 2.2.1 วิธีเรียงสับเปล่ยี นเชงิ วงกลมของส่งิ ของทแ่ี ตกตา่ งกันท้ังหมด แนวคิดในการหาจ�ำนวนวิธเี รียงสบั เปล่ียนเชิงวงกลมของสิ่งของที่แตกต่างกัน n สง่ิ อาจจะเริม่ โดยใหส้ ง่ิ ของ สิง่ หน่งึ อยู่คงท่ี ณ ต�ำแหนง่ ใดต�ำแหนง่ หน่งึ แล้วจัดเรยี งสบั เปล่ียนสิง่ ของที่เหลือ อยู่ n – 1 สงิ่ เปน็ แบบเสน้ ตรง ทฤษฎบี ท 3 1. มสี ิง่ ของ n ส่ิงต่างกันท้ังหมด เม่อื นำ� มาเรยี งสบั เปล่ียนเปน็ วงกลม มวี ิธที ้ังหมด (n – 1)! วิธี 2. มสี ิ่งของ n ส่งิ ต่างกันท้ังหมด นำ� มาจัดเรยี งสบั เปลี่ยนเปน็ วงกลม r ส่งิ โดยมขี ้นั ตอนคือ 2.1 จากส่งิ ของต่างกัน n สง่ิ เลือกมา r สง่ิ ท�ำได้ Pn,r = (n n! วิธี r! – r)!r! 2.2 นำ� ของ r ส่ิง มาเรียงสบั เปลี่ยนแบบวงกลม ท�ำได้ (r – 1)! วิธี ดังน้นั มสี ิง่ ของ n สง่ิ ต่างกันท้ังหมด นำ� มาจัดเรียงสบั เปล่ียนเปน็ วงกลม r สงิ่ จะได้ (n –n!r)!r!×(r – 1)! = (n n! วิธี – r)!r (n 1)! 3. มสี ง่ิ ของ n สง่ิ ตา่ งกนั ท้ังหมด เม่อื นำ� มาเรยี งสบั เปลยี่ นเปน็ วงกลมสามมติ ิ มวี ธิ ที ้ังหมด – วิธี 2

บทท่ี 2 วิธเี รยี งสบั เปลี่ยนและวิธจี ัดหมู่ 35 ตัวอยา่ งท่ี 17 จัดคน 8 คน ได้แก่ A, B, C, D, E, F, G และ H น่งั รอบโต๊ะเปน็ วงกลมเพ่ือรับประทานอาหารได้กี่วิธี วิธที �ำ A แนวคิดในการจัดคนท้ัง 8 คนเปน็ ดังนี้ HB ข้ันตอนแรก สมมติว่าจัดให้ A (หรอื ใครก็ได้) 1 คนน่งั เปน็ หลักไว้ก่อน ข้ันตอนที่สอง นำ� คนอีก 7 คนที่เหลือมาน่งั เรียงสลับที่กันอยา่ งอิสระ GC ในแนวเชิงเส้น ซ่ึงจะได้ 7! วิธี FD โดยหลักการคูณ จะได้จ�ำนวนวิธจี ัดคนเท่ากับ 1×7! = 7! = 5,040 วิธี E หรือใช้ทฤษฎีบท 3 จะได้ (8 – 1)! = 7! = 5,040 วิธี เชน่ กัน ตัวอยา่ งท่ี 18 วิธที �ำ จัดผชู้ าย 4 คน กับผหู้ ญิง 4 คน น่งั สลับกันรอบโต๊ะกลมได้ก่ีวิธี ช ข้ันตอนที่ 1 ใหผ้ ชู้ าย 4 คน น่งั ล้อมรอบโต๊ะกลม จะจัดได้ (4 - 1)! = 3! วิธี ช ช ข้ันตอนท่ี 2 ใหผ้ หู้ ญงิ 4 คน น่งั แทรกในช่องว่างจ�ำนวน 4 ชอ่ ง จะท�ำได้ P4,4 = 4! วิธี จากหลักการคณู จะได้ว่า จ�ำนวนวิธกี ารจัดเท่ากับ 3!4! = 144 วิธี ช ขอ้ สังเกต หากเราจัดใหผ้ หู้ ญิงน่งั ก่อนแล้วจัดผชู้ ายน่งั แทรก จ�ำนวนวิธที ี่ได้จะเท่ากัน แนวคิดอีกวิธหี น่งึ คือ จัดผชู้ าย 1 คน เปน็ จุดเรม่ิ ต้น แล้วจัดชายอีก 3 คน น่งั ช เก้าอ้ีตามต�ำแหนง่ ของผชู้ าย จะจัดได้ P3,3 วิธี จากน้นั จัดผหู้ ญิง 4 คน น่งั ญญ เก้าอี้ตามต�ำแหนง่ ของผหู้ ญงิ จะจัดได้ P4,4 วิธี ดังน้นั จ�ำนวนวิธใี นการจัด จะเท่ากับ P3,3×P4,4 = 3!4! = 144 วิธี ชช ในท�ำนองเดียวกัน เราสามารถจัดผหู้ ญงิ ก่อนได้ ญญ ช ตัวอยา่ งท่ี 19 นำ� กระถางต้นไม้ 7 กระถางที่แตกต่างกัน นำ� ไปวางรอบโคนเสาธงเปน็ วงกลมคร้ังละ 5 กระถาง จะ ท�ำได้ก่ีวิธี วิธที �ำ เลือกกระถางต้นไม้ 5 กระถางจาก 7 กระถางมาจัดเรียงได้ P7,5 = 21 วิธี 5! นำ� กระถาง 5 กระถางท่ีเลือกมาเรียงเปน็ วงกลม จัดเรยี งได้ (5 – 1)! = 4! = 24 วิธี จากหลักการคูณ จะได้ว่า จ�ำนวนวิธจี ัดเรียงกระถางต้นไมเ้ ท่ากับ P7,5 ×4! = 21×24 = 504 วิธี 5!

36 ความนา่ จะเปน็ ตัวอยา่ งท่ี 20 จัดคน 7 คน น่งั รบั ประทานอาหารรอบโต๊ะกลม โดยมนี างจันทรแ์ ละนายอังคารอยูใ่ นกล่มุ ด้วย ถ้าท้ัง ค่ตู ้องการน่งั ติดกัน จะจัดใหน้ ่งั ได้กี่วิธี วิธที �ำ จันทร์ อังคาร เน่อื งจากนางจันทรแ์ ละนายอังคารต้องน่งั ติดกัน จะพิจารณามดั ท้ังสองคนติดกันเปน็ 1 มดั ดังน้นั จะมขี องอยู่ 6 มดั จัดเรียงเปน็ วงกลมได้ (6 – 1)! = 5! วิธี ในแต่ละวิธนี ้ี นางจันทร์และนายอังคารน่งั สลับที่กันได้ 2! วิธี ดังน้นั จะจัดคนท้ัง 7 คนโดยใหน้ างจันทร์และนายอังคารน่งั ติดกัน ได้ 5!2! = 240 วิธี ตัวอยา่ งท่ี 21 สามี ภรรยา 5 คู่ น่งั รบั ประทานอาหารรอบโต๊ะกลม ถ้านายแดงและนางชมพู เปน็ คู่สามภี รรยากันใน กล่มุ น้ี จะต้องน่งั ตรงขา้ มกันเสมอ จะจัดได้กี่วิธี วิธที �ำ แดง จัดใหน้ ายแดงและนางชมพนู ่งั ตรงข้ามกันได้ 1 วิธี ดังน้นั จัดคนอีก 8 คนที่เหลือเรยี งสับเปล่ียนกันแบบเชิงเสน้ ได้ 8! = 40,320 วิธี น่นั คือ จะจัดสามภี รรยา 5 คู่ โดยใหน้ ายแดงและนางชมพูซ่ึงเปน็ ชมพู คู่สามภี รรยาน่งั ตรงขา้ มกันได้ 1×8! = 40,320 วิธี ตัวอยา่ งท่ี 22 จัดชาย 4 คน หญงิ 3 คน ยืนล้อมวงเปน็ วงกลม โดยใหช้ ายคนหน่งึ อยูก่ ลางวงเสมอ ส่วนคนท่ีเหลือให้ ยนื สลับที่ชาย 1 คน หญงิ 1 คน จะจัดได้กี่วิธี วิธที �ำ ชญ เลือกผชู้ าย 1 คนจาก 4 คนมายืนตรงกลางได้ P4,1 = 4 วิธี 1! ญช จากนน้ั นำ� ชาย 3 คนที่เหลอื กบั หญงิ 3 คน มายนื สลบั กนั ทีละคน ช จะจัดได้ 2!3! = 12 วิธี ชญ ดังน้นั จ�ำนวนวิธกี ารคนท้ัง 7 คนตามเง่ือนไขจะเท่ากับ ญช P4,1 ×2!3! = 4×12 = 48 วิธี 1!

บทท่ี 2 วิธเี รยี งสับเปล่ียนและวิธจี ัดหมู่ 37 นา่ รู้ การเรยี งสบั เปลี่ยนเชิงวงกลมที่มกี ารกลับหนา้ หลังได้ เรยี กว่า การเรยี งสับเปล่ียนเชิงวงกลม 3 มติ ิ เช่น พวงมาลัย พวงกุญแจ สร้อยคอลกู ปดั หลากสี เน่อื งจาก การเรียงสบั เปล่ียนเชิงวงกลม 3 มติ ิ เม่อื การพลิกกลับหนา้ -หลัง ผลลัพธจ์ ะยังคงเหมอื นเดิม ดังน้นั สตู รการหาวิธเี รียงสบั เปลี่ยนเชงิ วงกลม 3 มติ ิ จึงเท่ากับการเรยี งสับเปล่ียนเชิงวงกลมปกติหาร ด้วย 2 ตัวอยา่ งท่ี 23 ต้องการร้อยลูกปดั จ�ำนวน 9 เมด็ ที่ต่างสีกันเปน็ สรอ้ ยขอ้ มอื จะมวี ิธรี อ้ ยได้ท้ังหมดก่ีวิธี (วงกลม 3 มติ ิ) วิธที �ำ จ�ำนวนวิธกี ารร้อยลกู ปดั เท่ากับ (9 – 1)! = 8! = 20,160 วธิ ี 2 2 2.2.2 วธิ เี รยี งสับเปลยี่ นเชงิ วงกลมของส่ิงของทเ่ี หมอื นหรอื ซำ�้ กันบางส่วน ส�ำหรับการน�ำสิ่งของท่ีซ้�ำกันบางส่วนมาเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมจะมีแนวคิดคล้ายกับการเรียงสับเปลี่ยน เชิงเสน้ คือ หารด้วยจ�ำนวนกลุ่มของท่ีซ้�ำกัน ดังน้ี ทฤษฎบี ท 4 ถ้ามสี ิ่งของ k กลุ่ม ซ่ึงในกลุ่มท่ี 1 มขี อง n1 สง่ิ เหมอื นกัน ในกลุ่มท่ี 2 มขี อง n2 สิ่งเหมอื นกัน ⁝ ในกลุ่มท่ี k มขี อง nk ส่งิ เหมอื นกัน โดยท่ี ห.ร.ม. ของ n1, n2, ..., nk เท่ากับ 1 และ n1 + n2 + ... + nk = n จ�ำนวนวิธเี รียงสบั เปล่ียนเชงิ วงกลมของสิง่ ของ n สิ่ง เท่ากับ (n – 1)! วิธี n1!n2!...nk! ขอ้ ควรระวัง การใชท้ ฤษฎีบท 4 จะต้องตรวจสอบก่อนว่า ห.ร.ม. ของ n1, n2, ..., nk เท่ากับ 1 หรอื ไม่ ถ้า ห.ร.ม. ไมเ่ ทา่ กบั 1 จะไมส่ ามารถ ใชท้ ฤษฎบี ท 4 ได้ แต่จะต้องใช้วิธกี ารนบั แบบแจงกรณี

38 ความนา่ จะเปน็ ตัวอยา่ งท่ี 24 นำ� ลูกบอลสแี ดงเหมอื นกัน 2 ลกู ลกู บอลสีขาวเหมอื นกัน 3 ลกู มาเรยี งเปน็ วงกลม จะท�ำได้กี่วิธี วิธที �ำ มลี กู บอลท้ังหมด 5 ลกู โดยเปน็ กลุ่มท่ีเหมอื นกัน 2 กล่มุ คือ ลกู บอลสแี ดงเหมอื นกัน 2 ลูก และ ลูกบอลสขี าวเหมอื นกัน 3 ลกู เน่อื งจาก ห.ร.ม. ของ 2 และ 3 เท่ากับ 1 (5 – 1)! 4! 2!3! 2!3! ดังน้นั จ�ำนวนวิธเี รียงลกู บอลเปน็ วงกลมเท่ากับ = = 2 วิธี เราอาจแจงผลลัพธไ์ ด้ดังรูปภาพต่อไปนี้ ขอ้ สังเกต วิธที ี่ 1 วิธที ี่ 2 ถ้าเรานำ� ลกู บอลสีแดงไว้ต�ำแหนง่ 3 1 52 43 จะได้ผลลัพธเ์ ดียวกับวิธที ่ี 2 ตัวอยา่ งท่ี 25 มหี ลอดไฟ 10 หลอด เปน็ หลอดสีแดงเหมอื นกัน 3 หลอด สีเขียวเหมอื นกัน 5 หลอด และสขี าว เหมอื นกัน 2 หลอด นำ� หลอดไฟมาจัดเรียงประดับรอบกระถางวงกลมได้ท้ังส้นิ ก่ีวิธี วิธที �ำ มหี ลอดไฟท้ังหมด 10 หลอด โดยเปน็ กลุ่มที่เหมอื นกัน 3 กล่มุ คือ หลอดสีแดงเหมอื นกัน 3 หลอด หลอดสเี ขียวเหมอื นกัน 5 หลอด และหลอดสขี าวเหมอื นกัน 2 หลอด เน่อื งจาก ห.ร.ม. ของ 3, 5 และ 2 เท่ากับ 1 (10 – 1)! 9! 3!5!2! 3!5!2! ดังน้นั จ�ำนวนวิธเี รยี งหลอดไฟเปน็ วงกลมเท่ากับ = = 252 วิธี ตัวอยา่ งท่ี 26 นำ� ตัวอักษร A, A, B, B, B, C, C มาจัดเรยี งเปน็ วงกลมโดยใหอ้ ักษร A เรยี งติดกันท้ังสองตัวเสมอ จะ วิธที �ำ ท�ำได้ก่ีวิธี AA เน่อื งจากต้องการให้ A ท้ังสองตัวติดกัน จึงพิจารณามดั A ใหเ้ ปน็ ของ 1 มดั ดังน้นั จะมขี อง 6 มดั ใหน้ ำ� มาเรียงเปน็ วงกลม โดยในของกล่มุ นมี้ กี ลุ่มที่ เหมอื นกัน 2 กลุ่ม คือ B เหมอื นกัน 3 ตัว และ C เหมอื นกัน 2 ตัว เน่อื งจาก ห.ร.ม. ของ 3 และ 2 เท่ากับ 1 (6 – 1)! 5! 3!2! 3!2! ดังน้นั จ�ำนวนวิธเี รียงตัวอักษรเปน็ วงกลมเท่ากับ = = 10 วิธี ข้อสังเกต จากตัวอย่างที่ 26 เราไมต่ ้องคิดข้ันตอนที่ A ท้ัง 2 ตัวในมดั เดียวกันสลับท่ีกันได้ เน่อื งจาก A ท้ัง 2 ตัวน้นั เหมอื นกัน การสลับที่ของ A จึงไมท่ �ำใหเ้ กิดผลลัพธใ์ หม่

บทท่ี 2 วิธเี รียงสับเปล่ียนและวิธจี ัดหมู่ 39 ตัวอยา่ งท่ี 27 นำ� ตัวอักษร A, A, B, B, B, C, C มาจัดเรยี งเปน็ วงกลมโดยใหต้ ัวอักษร C อยู่ติดกัน และใหต้ ัวอักษร A อยูแ่ ยกกันเสมอ จะท�ำได้ก่ีวิธี วิธที �ำ การหาจ�ำนวนวิธเี รยี งสบั เปลี่ยนในตัวอยา่ งน้ี จะหาโดยนำ� จ�ำนวนวิธเี รยี งสับเปลี่ยนในกรณที ่ี C อยู่ ติดกัน ลบด้วยจ�ำนวนวิธเี รยี งสบั เปลี่ยนในกรณีที่ C อยูต่ ิดกัน และ A อยู่ติดกัน จ�ำนวนวิธเี รยี งสบั เปล่ียนเปน็ วงกลมท่ี C อยู่ติดกัน เท่ากับ (6 – 1)! = 5! = 10 วิธี 3!2! 3!2! จ�ำนวนวิธเี รียงสับเปล่ียนเปน็ วงกลมท่ี C อยูต่ ิดกัน และ A อยู่ติดกัน เท่ากับ (5 – 1)! = 4! = 4 วิธี 3! 3! ดังน้นั จ�ำนวนวิธเี รยี งตัวอักษรเปน็ วงกลมโดยใหต้ ัวอักษร C อยู่ติดกัน และใหต้ ัวอักษร A อยู่ติดกัน เท่ากับ 10 – 4 = 6 วิธี แนวคิดอีกวิธหี น่งึ คือ แยกตัวอักษร A ท้ัง 2 ตัวออกมาก่อน และมดั ตัวอักษร C ท้ัง 2 ตัว ใหเ้ ปน็ 1 มดั เม่อื รวมกับตัวอักษร B อีก 3 ตัว จะได้ว่า มสี ิ่งของท่ีจะนำ� มาเรียงสบั เปล่ียน CC BB เชงิ วงกลม 4 มดั แต่มขี องซ้�ำ 1 กล่มุ คือ มี B ซ้ำ� กัน 3 ตัว จะได้จ�ำนวนวิธเี รียงสบั เปลี่ยน B เท่ากับ (4 -1)! = 1 วิธี (ไมต่ ้องคิดวิธสี ลับท่ีได้ของ C เพราะ C ซ้ำ� กัน) 3! จากน้นั นำ� A ท้ังสองตัวแทรกในช่องว่างท้ัง 4 ช่อง จะได้ P4,2 วิธี แต่เน่อื งจาก A ท้ังสองตัวซ้�ำกัน ดังน้นั จะจัดได้ P4,2 วิธี 2! จากหลักการคูณ จะได้ว่า จ�ำนวนวิธจี ัดเรยี งตัวอักษรเปน็ วงกลม โดยใหต้ ัวอักษร C อยู่ ติดกัน และใหต้ ัวอักษร A อยู่แยกกันเท่ากับ 1´=P24,!2 (4 -42!=)!2! 4! = 6 วิธี 2!2! ตัวอยา่ งท่ี 28 วิธที �ำ นำ� ลูกบอลสีขาวเหมอื นกัน 2 ลกู และลกู บอลสีฟ้าเหมอื นกัน 4 ลูก มาเรยี งเปน็ วงกลม จะท�ำได้ก่ีวิธี เน่อื งจาก ห.ร.ม. ของ 2 และ 4 ไมเ่ ท่ากับ 1 จึงใช้ทฤษฎีบท 4 ไมไ่ ด้ เราจึงใชก้ ารแจงกรณดี ังนี้ ข้อสังเกต ถ้าเรานำ� ลกู บอลสีขาวไว้ต�ำแหนง่ 4 วิธที ่ี 1 วิธที ี่ 2 วิธที ่ี 3 61 52 ดังน้นั จะสามารถเรียงลกู บอลเปน็ วงกลมได้ 3 วิธี 43 จะได้ผลลัพธเ์ ดียวกับวิธที ่ี 2

40 ความนา่ จะเปน็ แบบฝึกหัดท่ี 2.2 (ค) วิธีเรียงสับเปลย่ี นเชิงวงกลม 1 มเี ด็ก 10 คน ในจ�ำนวนนมี้ ี จีจี้ กับจีจ้า รวมอยูด่ ้วย ถ้านำ� เด็กท้ังหมดมาน่งั เล่นรอบโต๊ะกลมตัวหน่งึ จะท�ำได้ก่ี วิธี โดยที่ (1) ไมม่ เี ง่ือนไขใด ๆ เพมิ่ เติม ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) จีจี้กับจีจ้าต้องน่งั ติดกันเสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (3) จีจ้ีกับจีจ้าต้องน่งั แยกกันเสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (4) จีจี้กับจีจ้าต้องน่งั ตรงขา้ มกันเสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 2 ในการจัดประชุมของคณะกรรมการนกั เรยี น จ�ำนวน 7 คน น่งั รอบโต๊ะกลม ถ้าต้องการใหป้ ระธานนกั เรียน รองประธาน และเลขานกุ าร ต้องน่งั ติดกันเสมอ จะจัดได้กี่วิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 3 จัดงานวันเด็กใหน้ กั เรียนจ�ำนวน 6 คน โดยมพี น่ี อ้ ง 2 คน อยูใ่ นนดี้ ้วย ถ้าต้องการจัดเด็กท้ังหมดน่งั รอบโต๊ะ วงกลมโดยที่ไมใ่ หพ้ ี่นอ้ งท้ังค่นู ่งั ติดกัน จะจัดได้กี่วิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทที่ 2 วิธเี รยี งสับเปลี่ยนและวิธจี ัดหมู่ 41 4 มธี งชาติของประเทศต่าง ๆ กัน 5 ประเทศ ประเทศละ 1 ผนื และธงไตรรงค์ของไทยต่างขนาดกัน 2 ผนื นำ� มา จัดประดับรอบวงเวียน โดยไมใ่ หธ้ งไตรรงค์ของไทยอยู่ติดกัน จะจัดได้ก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 5 ครอบครวั หนง่ึ มพี อ่ แม่ และลกู สาว 3 คน นง่ั รบั ประทานอาหารรอบโตะ๊ กลม ถา้ ลกู สาวคนเลก็ ตอ้ งนง่ั ระหวา่ ง พอ่ กับแมเ่ สมอ จะจัดได้กี่วิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 6 มผี ชู้ าย 5 คน ผหู้ ญงิ 5 คน ต้องการเลือกผชู้ าย 3 คน ผหู้ ญงิ 3 คน มายนื เปน็ วงกลม จะท�ำได้กี่วิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 7 ปติ ิและมานพี ร้อมด้วยเพ่ือนผชู้ าย 3 คน และเพ่อื นผหู้ ญงิ 3 คน น่งั รอบโต๊ะกลม โดยใหป้ ติ ิและมานนี ่งั ตรง ขา้ มกัน และมเี พ่อื นผหู้ ญงิ 2 คน น่งั ติดกันกับมานเี สมอ จะจัดใหน้ ่งั ได้ก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

42 ความนา่ จะเปน็ 8 นกั เรียนกล่มุ หน่งึ มี 7 คน ซ่ึงในกลุ่มน้นั มนี ้ำ� พุ น้ำ� ฝน และน้ำ� ใจรวมอยู่ด้วย จงหาจ�ำนวนวิธจี ัดคน 7 คน น่งั รอบโต๊ะกลมโดยน้ำ� พนุ ่งั ติดกับน้ำ� ฝนเสมอ แต่น้ำ� ใจไมน่ ่งั ติดกับน้ำ� ฝน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 9 คณุ ลงุ คณุ ปา้ ลกู ชายและลกู สาว มาเยยี่ มครอบครวั เราซ่งึ มี 4 คนคือคุณพอ่ คุณแม่ ตัวฉนั และนอ้ งชาย ใน การจัดท่ีน่งั รอบโต๊ะกลมท่ีมี 8 ที่น่งั โดยคุณลุงน่งั ติดกับคุณปา้ คุณพ่อน่งั ติดกับคุณแม่ ลกู ชายคณุ ลุงน่งั ติดกับ นอ้ งชายฉนั และลกู สาวของคุณลงุ น่งั ติดกับฉนั จะมวี ิธจี ัดที่น่งั ได้ท้ังหมดก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 10 มหี นงั สอื คณิตศาสตร์เหมอื นกัน 4 เล่ม ภาษาไทยเหมอื นกัน 3 เล่ม นำ� หนงั สอื มาจัดเรียงเปน็ วงกลมจะท�ำได้ กี่วิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 11 มลี กู บอลสีเขยี วเหมอื นกัน 3 ลกู สีด�ำเหมอื นกัน 2 ลกู และสีฟา้ เหมอื นกัน 4 ลกู จะมวี ิธกี ารเรยี งสบั เปลี่ยน ลกู บอลเปน็ วงกลมได้ท้ังหมดก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทที่ 2 วิธเี รยี งสบั เปล่ียนและวิธจี ัดหมู่ 43 12 มลี กู ปงิ ปองสขี าวเหมอื นกัน 3 ลกู และลกู ปงิ ปองสสี ม้ เหมอื นกัน 3 ลูก นำ� มาจัดเรยี งเปน็ วงกลม จ�ำนวนวิธี เรยี งสับเปลี่ยนท่ีแตกต่างกันมที ้ังหมดก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 13 นำ� ตัวอักษรจากค�ำว่า DELETE มาจัดเรยี งเปน็ วงกลม โดยใหต้ ัวอักษร E อยูแ่ ยกกันเสมอ จะท�ำได้กี่วิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 14 มหี นงั สอื นยิ าย 1 เล่ม หนงั สือนทิ านเหมอื นกัน 3 เล่ม หนงั สอื การต์ นู เหมอื นกัน 4 เล่ม นำ� ไปจัดเรยี งใหเ้ ปน็ วงกลม โดยใหห้ นงั สือชนดิ เดียวกันอยูต่ ิดกัน จะท�ำได้กี่วิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

44 ความนา่ จะเปน็ ลับสมองประลองปัญญา 1 ถ้า Pn,3 = 3×P5,2 แล้ว n มคี ่าเท่ากับเท่าใด ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 2 ถ้า P6,r = 30 แล้ว r มคี ่าเท่ากับเท่าใด ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 3 เลือกคน 4 คนจากคนกลุ่มหน่งึ มายนื เรยี งหนา้ กระดาน จะท�ำได้ 840 วิธี จงหาว่าคนกลุ่มนมี้ ที ้ังหมดก่ีคน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 4 ปอ๋ งแปง๋ เลือกดินสอจ�ำนวนหน่งึ จากดินสอที่แตกต่างกันท้ังหมด 6 แท่งมาเรียงใส่กล่องดินสอในแนวตรง พบ ว่า มวี ิธเี รยี งสบั เปล่ียนได้ 120 วิธี จงหาว่าปอ๋ งแปง๋ เลือกดินสอมาเรียงใส่กล่องดินสอก่ีแท่ง ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................