มุมและเส้นขนาน

มมุ และเสน้ ขนาน Angles and Parallel Lines อาจารยร์ ุ่งอรณุ บุญพยุง โครงการสง่ เสริมการวจิ ัยและสร้างสรรคน์ วตั กรรม ประจ�ำปีงบประมาณ 2563 โรงเรียนสาธิต “พบิ ลู บ�ำเพญ็ ” มหาวทิ ยาลัยบรู พา Angles and Parallel Lines 1 แแบบบบฝฝกึกึ เเสรมิ ทกั ษะวิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง “มุมและเส้นขนาน”

โครงการส่งเสรมิ การวิจัยและสรา้ งสรรคน์ วตั กรรม ประจำ� ปีงบประมาณ 2563 มุมและเสน้ ขนาน (Angles and Parallel Lines) ขอ้ มลู ทางบรรณานกุ รมของหอสมดุ แห่งชาติ National Library of Thailand Cataloging in Publication Data รุ่งอรุณ บุญพยงุ . มมุ และเสน้ ขนาน = Angles and Parallel Lines.- ชลบุรี : สาธิตบูรพา, 2563. 114 หน้า. 1. มุม. I. ชื่อเรอ่ื ง. 516.15 ISBN 978-616-577-215-0 จัดท�ำโดย : รุ่งอรุณ บญุ พยงุ โรงเรียนสาธิต “พบิ ูลบำ� เพ็ญ” มหาวทิ ยาลยั บรู พา 73 ถ.บางแสนล่าง ต.แสนสขุ อ.เมืองชลบุรี จ.ชลบรุ ี 20131 ภาพประกอบ : กิตติคณุ หตุ ะมาน , ปราโมทย์ ขวัญกลาง พมิ พค์ ร้ังที่ 1 : ธันวาคม 2563 พิมพ์ท่ี : สาธิตบูรพา 73 ถ.บางแสนล่าง ต.แสนสขุ อ.เมอื งชลบรุ ี จ.ชลบุรี 20131 แบบฝึกเสริมทักษะวชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง “มมุ และเส้นขนาน” 2 Angles and Parallel Lines

คํานํา หนงั สอื เรอื่ ง “มมุ และเส้นขนาน” (Angles and Parallel Lines) เลม่ น้ี ผเู้ ขียน ไดก้ าํ หนดเน้ือหาสาระตรงตามตวั ช้ีวดั และมาตรฐานการเรียนรู้ กล่มุ สาระการเรียนรู้ คณติ ศาสตรห์ ลักสูตรแกนกลางการศกึ ษาขนั้ พ้ืนฐาน พ.ศ.2551 (ฉบบั ปรบั ปรุง พ.ศ. 2560) เพอ่ื นาํ มาใช้ในการเรยี นการสอนในรายวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับชน้ั ประถมศกึ ษา ปีท่ี 5 โดยมีวตั ถปุ ระสงคใ์ หน้ กั เรียนได้ใช้แบบฝกึ หดั ทหี่ ลากหลาย ตรงตามหลกั สูตร สอดคล้องกับแนวข้อสอบแข่งขันและการนําไปใช้ในชีวิตประจําวันซึ่งผู้เขียนได้กําหนด เน้อื หาอันประกอบดว้ ยสาระสําคัญ ตัวอย่างและแบบฝกึ หดั โดยผูเ้ รยี นสามารถทบทวน และศึกษาเพ่มิ เตมิ เพื่อเพมิ่ พนู ความรู้ อกี ทั้งแบบฝกึ เสริมทกั ษะเลม่ นย้ี ังเป็นประโยชน์ ตอ่ ผูป้ กครองท่มี ีความสนใจและตดิ ตามกระบวนการเรียนรู้ของผเู้ รยี นด้วย อาจารย์รุ่งอรณุ บุญพยุง กลุม่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ โรงเรยี นสาธติ “พิบลู บาํ เพญ็ ” มหาวิทยาลัยบรู พา Angles and Parallel Lines 3 แแบบบบฝฝกึกึ เเสริมทักษะวชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง “มุมและเส้นขนาน”

Contents สารบัญ หน้า 3 คํานํา 5 คําช้ีแจง 6 มาตรฐานการเรยี นรู้ / ตวั ชีว้ ัด / ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร ์ 7 จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ 8 สาระการเรียนรู้ 9 แบบทดสอบกอ่ นเรียน 12 บทนำ� 15 มุม (Angles) 15 มุมและสว่ นประกอบของมมุ 19 ชนดิ ของมมุ 22 การวัดขนาดของมมุ 34 การคํานวณหาขนาดของมุมโดยการจาํ แนกชนิดของมุม 49 เส้นขนาน (Parallel Lines) 50 54 เสน้ ขนานและระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ขนาน 58 สัญลักษณ์แสดงการขนาน 58 สมบัตขิ องเส้นขนาน 63 มุมแย้ง 69 มมุ ภายในท่อี ยบู่ นขา้ งเดียวกันของเสน้ ตัด 78 มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่บนขา้ งเดียวกนั ของเสน้ ตัดหรอื มมุ สมนัย การคาํ นวณหาขนาดของมมุ โดยใชส้ มบตั ิของเส้นขนาน การนาํ ไปใช้เร่อื งมมุ และเสน้ ขนาน (Mini Project) 86 แบบทดสอบหลังเรยี น 90 ภาคผนวก 95 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน 96 เฉลยแบบฝึกเสริมทักษะ (แบบฝกึ ที่ 1 - 16) 96 เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น 111 ตัวอย่างการน�ำไปใชเ้ รือ่ งมมุ และเสน้ ขนาน (Mini Project) 112 แบบฝึกเสริมทักษะ วชิ าคณิตศปาสรตะร์วเรัตอ่ื สิง ว่“นมุมตแัวล ะเสน้ ขนา น” 4 Angles 114 and Parallel Lines

ค�ำช้ีแจง หนังสือเล่มนี้สร้างข้ึนเพื่อให้นักเรียนได้ศึกษาและฝึกทักษะกระบวนการทาง คณิตศาสตร์ โดยนกั เรียนจะไดร้ ับประโยชน์จากแบบฝึกเสริมทักษะวิชาคณิตศาสตร์ ตามจุดประสงค์การเรียนร้ทู ่ตี ้งั ไว้ โดยการตงั้ ใจฝกึ ปฏิบตั ดิ ว้ ยตนเองและปฏิบัติตามคํา แนะนํา ดังต่อไปน้ี 1. นกั เรยี นอ่านคําชแี้ จงและศึกษาจุดประสงค์การเรียนรู้ก่อนทําแบบฝึกเสรมิ ทกั ษะ 2. นักเรยี นทําแบบทดสอบกอ่ นเรยี น เพ่ือวดั ความรู้พ้ืนฐานกอ่ นเรยี น 3. นักเรยี นศึกษาเนอ้ื หา ตวั อยา่ งในแบบฝึกเสรมิ ทักษะอยา่ งตัง้ ใจและลงมอื ทาํ ใหค้ รบทกุ ขอ้ 4. หากนักเรียนมีปญั หา หรอื ข้อสงสยั ประการใด ใหซ้ ักถามครูไดท้ นั ที 5. เม่อื ทาํ แบบฝึกทกั ษะจนครบทกุ แบบฝึกแลว้ ให้นกั เรียนทําแบบทดสอบหลัง เรียนเพอื่ วัดความก้าวหนา้ ในการเรียน โดยทําด้วยตนเองอยา่ งตัง้ ใจ 6. ในส่วนทา้ ยของแบบฝึกเสรมิ ทกั ษะจะมกี ิจกรรมการประยกุ ตใ์ ช้เร่ืองมมุ และ เสน้ ขนาน (Mini Project) เพอื่ เป็นตัวอยา่ งใหน้ ักเรยี นไดท้ ราบถงึ ประโยชนแ์ ละการนํา ความรู้เรอ่ื งมุมและเสน้ ขนานไปใชใ้ นชีวิตประจาํ วนั ได้อย่างไรบา้ ง ผเู้ ขยี นหวังเปน็ อย่างยง่ิ ว่า หนงั สอื เล่มนี้ จกั เป็นประโยชนต์ ่อผู้เรียน คุณครู และ ผปู้ กครอง ท่จี ะชว่ ยใหก้ ารเรียนการสอนคณิตศาสตรเ์ ป็นไปอย่างมปี ระสทิ ธภาพมากย่งิ ข้ึน Angles and Parallel Lines 5 แแบบบบฝฝึกึกเเสริมทกั ษะวชิ าคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง “มุมและเสน้ ขนาน”

มาตราฐานการเรยี นรู้ มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะห์รปู เรขาคณติ สมบัติของรูปเรขาคณติ ความสัมพันธ์ระหว่าง รูปเรขาคณิต และทฤษฎบี ททางเรขาคณติ และนาํ ไปใช้ ตวั ชว้ี ัด ค 2.2 ป.5/1 สรา้ งเส้นตรงหรอื สว่ นของเส้นตรงใหข้ นานกับเส้นตรงหรอื สว่ น ของเสน้ ตรงที่กาํ หนดให้ ทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ 1. การแกป้ ญั หา เป็นความสามารถในการทําความเขา้ ใจปัญหา คดิ วเิ คราะห์ วางแผนแกป้ ญั หา และเลอื กใช้วธิ กี ารทีเ่ หมาะสมโดยคาํ นึงถงึ ความสมเหตสุ มผลของ คําตอบพรอ้ มทั้งตรวจสอบความถกู ตอ้ ง 2. การสื่อสารและการส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ เปน็ ความสามารถใน การใช้รปู ภาษาและสญั ลกั ษณทท์ างคณติ ศาสตรในการสอ่ื สาร ส่ือความหมาย สรปุ ผล และนาํ เสนอไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ งชดั เจน 3. การเชื่อมโยง เป็นความสามารถในการใช้ความรูท้ างคณติ ศาสตรเ์ ป็นเคร่ือง มอื ในการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์เนือ้ หาต่างๆ หรอื ศาสตร์อ่ืนๆ และนําไปใชใ้ นชีวติ จรงิ 4. การให้เหตุผล เป็นความสามารถในการใหเ้ หตุผล รับฟังและใหเ้ หตผุ ล สนบั สนนุ หรอื โต้แย้ง เพ่อื นําไปสกู่ ารสรปุ โดยมขี อ้ เทจ็ จริงทางคณิตศาสตร์รองรับ 5. การคิดสรา้ งสรรค์ เป็นความสามารถในการขยายแนวคิดทมี่ อี ยเู่ ดิม หรอื สรา้ งแนวคิดใหม่เพ่ือปรับปรุงพฒั นาองค์ความรู้ แบบฝึกเสริมทักษะวชิ าคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง “มุมและเส้นขนาน” 6 Angles and Parallel Lines

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ ด้านความรู้ นักเรยี นสามารถ 1.บอกชือ่ มมุ สว่ นประกอบของมมุ และสัญลักษณ์แทนมุม 2. วดั มุมทมี่ ีขนาดต่างๆ โดยใชโ้ พรแทรกเตอร์ 3. จาํ แนกชนิดของมมุ 4. คํานวณหาขนาดของมมุ โดยการจาํ แนกชนดิ ของมุม 5. ระบุเสน้ ตรงคู่ทขี่ นานกัน โดยพจิ ารณาจากระยะห่างระหว่างเส้นตรง 6. ตรวจสอบเสน้ ขนาน โดยพิจารณาจากมมุ แยง้ , มมุ ภายในทอี่ ยบู่ นขา้ ง เดียวกนั ของเสน้ ตัด และมมุ ภายนอกและมมุ ภายในท่อี ยู่บนขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั 7. คาํ นวณหาขนาดของมมุ โดยใช้สมบตั ิของเส้นขนาน ด้านทกั ษะและกระบวนการทางคณติศาสตร์ 1. การแกป้ ัญหา 2. การส่อื สารและการส่อื ความหมายทางคณติ ศาสตร์ 3. การเชอื่ มโยง 4. การให้เหตผุ ล 5. การคดิ สร้างสรรค์ ดา้ นคุณลกั ษณะ 1. ซอ่ื สัตยส์ จุ ริต 2. มวี นิ ยั 3. ใฝ่เรยี นรู้ 4. มุ่งมนั่ ในการทํางาน Angles and Parallel Lines 7 แแบบบบฝฝึกกึ เเสรมิ ทักษะวชิ าคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง “มมุ และเสน้ ขนาน”

สาระการเรียนรู้ มมุ • มุม คอื รังสี 2 เส้นท่มี ีจุดปลายเปน็ จดุ เดยี วกัน รังสี 2 เส้นนี้ เรียกว่า แขน ของมุม และจดุ ปลายที่เปน็ จุดเดยี วกันนเี้ รียกวา่ จดุ ยอดมมุ • หรือ เป็นสญั ลกั ษณ์แสดงมุม • การวัดขนาดของมุมโดยใชโ้ พรแทรกเตอร์ทําไดโ้ ดยวางโพรแทรกเตอรใ์ ห้จดุ กึง่ กลางของโพรแทรกเตอรท์ บั จดุ ยอดมมุ ของมุมทต่ี ้องการวดั และให้แนวศูนย์องศา ของโพรแทรกเตอรท์ าบไปบนแขนขา้ งหนึง่ ของมมุ จากนั้นอา่ นขนาดของมมุ โดยนับ จาก 0 องศาทต่ี รงกบั แขนของมุมข้างหน่งึ ไปจนถงึ รอยขดี บอกองศาที่ตรงกับแขนของ มมุ อีกขา้ งหนึง่ รอยขีดนนั้ จะบอกขนาดของมมุ ที่ตอ้ งการวดั • มมุ ต่างๆ จาํ แนกตามขนาดไดด้ งั นี้ มุมแหลมมขี นาดมากกวา่ 0 ํ แต่น้อยกว่า 90 ํ มุมฉาก มขี นาด 90 ํ มุมป้านมขี นาดมากกว่า 90 ํ แตน่ อ้ ยกวา่ 180 ํ มุมตรงมขี นาด 180 ํ มุมกลับมีขนาดมากกวา่ 180 ํ แตน่ ้อยกวา่ 360 ํ มุมรอบจุดศนู ยก์ ลาง/มุมกลม/มมุ ศนู ย์ มขี นาดเทา่ กับ 360 ํ หรือ 0 ํ เสน้ ขนาน • เสน้ ตรง 2 เส้นท่ีอยูบ่ นระนาบเดียวกนั จะขนานกันก็ต่อเม่ือมีระยะหา่ งเทา่ กันเสมอ • เมื่อเส้นตรงเส้นหน่ึงตดั เสน้ ตรงค่หู น่ึง ถ้ามุมแยง้ มีขนาดเท่ากนั แลว้ เสน้ ตรง คู่นนั้ จะขนานกัน • เมือ่ เสน้ ตรงเส้นหนงึ่ ตัดเสน้ ตรงคูห่ นง่ึ ถ้าขนาดของมมุ ภายในทีอ่ ยู่บนขา้ ง เดียวกนั ของเส้นตดั รวมกนั ได้ 180 ํ แล้วเส้นตรงคู่นนั้ จะขนานกัน • เม่ือเสน้ ตรงเส้นหนง่ึ ตัดเสน้ ตรงคู่หนง่ึ ถา้ มุมภายนอกและมมุ ภายในทอ่ี ยบู่ น ขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั มีขนาดเทา่ กนั แล้วเสน้ ตรงคู่นัน้ จะขนานกัน แบบฝึกเสริมทักษะวชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง “มมุ และเสน้ ขนาน” 8 Angles and Parallel Lines

Pre-Test แบบทดสอบกอ่ นเรียน ค�ำชี้แจง : ให้นกั เรียน x ทบั ตัวเลอื กท่ถี ูกต้อง (คะแนนเตม็ 10 คะแนน ใช้เวลา 10 นาที) 1. A จากรูป ขอ้ ใดคือจุดยอดมมุ ก. จุด A ข. จดุ B ค. จดุ C ง. จุด A, จุด B และจดุ C BC 2. มมุ CAT เปน็ มุมชนิดใด เพราะเหตุใด ก. มมุ CAT เป็นมมุ ปา้ นเพราะมีขนาดมากกวา่ 90 ํ C A ข. มุม CAT เป็นมุมกลบั เพราะมขี นาดมากกว่า 180 ํ ค. มมุ CAT เปน็ มุมปา้ นเพราะมขี นาดมากกว่า 0 ํ T แต่น้อยกวา่ 180 ํ ง. มมุ CAT เปน็ มุมกลับเพราะมีขนาดมากกว่า 180 ํ แตน่ ้อยกว่า 360 ํ 3. วัดขนาดของมมุ BUS โดยใช้โพรแทรกเตอร์ B ก. 70 ํ ข. 110 ํ ค. 75 ํ U S ง. 120 ํ 4. จงหาขนาดของมมุ a ก. 90 ํ ข. 83 ํ ค. 77 ํ a 23 ํ ง. 67 ํ Angles and Parallel Lines 9 แแบบบบฝฝกึกึ เเสริมทกั ษะวชิ าคณติ ศาสตร์ เร่อื ง “มุมและเสน้ ขนาน”

5. จงหาค่าของ a + b ก. 41 ํ ข. 49 ํ a ค. 90 ํ b 1 31 ํ ง. 131 ํ 6. ให้เส้นตรงสองเส้นขนานกัน สว่ นของเส้นตรงใดแสดงระยะหา่ งระหว่างเสน้ ขนาน E D C ก. EA ข. DA ค. DB A B ง. CB 7. จากรูป มีสว่ นของเสน้ ตรงคู่ใดขนานกันบ้าง F G HI ก. PH // MK และ NI // MK ข. FM // GL และ OJ // PH ค. NI // MK และ FM // GL P JK ง. PH // NI และ FM // MK O N L M 8. จากรปู AB // CD เพราะเหตใุ ด ก. มุมแยง้ มขี นาดเทา่ กนั A C ข. มมุ ภายในที่อยบู่ นขา้ งเดียวกนั ของเสน้ ตัด 32 ํ 148 ํ รวมกนั ได้ 180 ํ B D ค. มุมภายนอกและมมุ ภายในท่อี ยบู่ นข้างเดยี วกนั ของเส้นตดั มขี นาดเท่ากนั ง. มุมสมนัยมขี นาดเทา่ กัน แบบฝึกเสริมทกั ษะวชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง “มุมและเสน้ ขนาน” 10 Angles and Parallel Lines

9 . จงหาขนาดของมมุ a ก. 118 ํ ข. 68 ํ 118 ํ ค. 112 ํ a ง. 62 ํ 10. จงหาขนาดของมมุ a และมุม b ก. a = 108 ํ , b = 57 ํ ข. a = 72 ํ , b = 123 ํ ค. a = 108 ํ , b = 123 ํ 108 ํ b ง. a = 72 ํ , b = 57 ํ a 57 ํ Pre-Test Angles and Parallel Lines 11 แแบบบบฝฝึกกึ เเสรมิ ทักษะวชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง “มมุ และเสน้ ขนาน”

บทน�ำ คณติ ศาสตร์ เปน็ ศาสตร์ทวี่ ่าดว้ ยการค�ำนวณ คนส่วนใหญม่ ักจะเข้าใจและรจู้ กั คณิตศาสตรจ์ ากประสบการณ์ ในการเรยี นรู้ ซ่งึ มักจะเกีย่ วขอ้ งกับตวั เลขอยูเ่ สมอ ความรู้ทางดา้ นคณติ ศาสตรม์ พี ฒั นาการมาอย่างยาวนาน โดยผา่ น การวจิ ัยและการประยกุ ต์ใช้ องค์ความรดู้ า้ นคณติ ศาสตรถ์ กู จดั แบง่ ออกเป็นสาขาวชิ าต่าง ๆ ผา่ นหลักการเบอ้ื งตน้ เรม่ิ ตัง้ แต่เลขคณติ และพัฒนาตามการประยุกตใ์ ช้ ได้แยกสาขาออกเปน็ พชี คณติ เรขาคณติ ตรโี กณมิติ สถิตศิ าสตร์ และ แคลคลู ัส โดยสาระท่ีกล่าวมานี้ ถูกน�ำไปประยกุ ต์ใชใ้ นศาสตร์อ่นื ๆ เพอื่ เปน็ พ้นื ฐานส�ำหรบั การสร้างสรรค์นวัตกรรม และความรู้หนึง่ ทเ่ี ปน็ พน้ื ฐานต่อการเรยี นรู้ คอื เรขาคณติ เรขาคณติ เป็นแขนงหน่งึ ของคณิตศาสตร์ ท่วี ่าดว้ ยความสัมพันธข์ องเสน้ มุม การวัด พนื้ ท่ี และปริมาตร การ ท�ำความเข้าใจและเรยี นรู้เกี่ยวกับพ้นื ฐานทางเรขาคณติ มีความสำ� คัญและสง่ ผลต่อการเรียนรู้ และความเขา้ ใจใน เรขาคณิตมากข้นึ ในบทแรกของหนังสือนี้ ไดก้ ล่าวถงึ ภาพรวมของ จดุ เสน้ ตรง สว่ นของเส้นตรง รงั สี และระนาบ มี ลักษณะเปน็ คำ� อนิยามในทางคณติ ศาสตร์ ทส่ี ามารถใชค้ ำ� อนิยามเหล่านีเ้ พือ่ อธิบาย สอ่ื ความหมาย หรือนิยามค�ำอน่ื ๆ ได้ ตามตัวอยา่ งต่อไปน้ี “จดุ ” ใช้แสดงตำ� แหน่งของส่งิ ต่าง ๆ เช่น ตำ� แหน่งของสถานที่ในแผนที่ ต�ำแหน่งของดวงดาวหรอื ตำ� แหนง่ ซ่ึง อธบิ ายไดโ้ ดยก�ำหนดพิกดั ทีช่ ดั เจน ในทางคณติ ศาสตร์ “จดุ ” เปน็ คำ� อนยิ าม ไมม่ คี วามกว้าง ความยาว หรอื ความหนา ในการเรียกชอื่ “จดุ ” เราจะใช้ตวั อักษรภาษาไทย หรอื ภาษาอังกฤษตวั พิมพ์ใหญ่ เป็นช่ือเรยี กของจุด “เส้นตรง” เปน็ เสน้ ที่มคี วามยาวไมจ่ �ำกดั สามารถต่อขยายออกไปไดท้ ัง้ สองข้าง โดยไมม่ ีท่สี นิ้ สดุ ในทาง คณติ ศาสตร์คำ� ว่า “เส้นตรง” เปน็ ค�ำอนิยาม ถอื วา่ ไมม่ ีความกว้าง สามารถก�ำหนดชื่อของเส้นตรงโดยใช้จดุ 2 จดุ ท่ีอยู่ บนเสน้ ตรงนั้น “ส่วนของเสน้ ตรง” คอื สว่ นหนงึ่ ของเส้นตรงที่ประกอบดว้ ยจดุ ปลายทั้งสองขา้ งและ มีความยาวจำ� กดั สามารถ ก�ำหนดชอื่ ไดจ้ ากจุดปลายทงั้ สองจุดที่อยบู่ นสว่ นของเสน้ ตรงน้ัน “รังส”ี คอื ส่วนหน่งึ ของเสน้ ตรงทีม่ ีจดุ ปลายเพียงจุดเดียว สว่ นอกี ดา้ นหนง่ึ เปน็ หวั ลกู ศร ซ่ึงสามารถลาก ขยาย ออกไปได้ไม่มีทส่ี ิ้นสดุ สามารถก�ำหนดชื่อได้จากจดุ ปลายและจุดใดจุดหน่งึ บนรงั สี “ระนาบ” เป็นพนื้ ผวิ ทแ่ี บนและเรียบทข่ี ยายออกไปไดท้ ุกทศิ ทางโดยไม่มีที่สน้ิ สุด สามารถก�ำหนดชอ่ื ไดจ้ าก จุด 3 จดุ ท่ีไม่อยู่บนเสน้ ตรง จากรายละเอยี ดข้างต้น ที่นำ� เสนอถึงความร้เู บ้ืองตน้ เก่ยี วกบั เรขาคณติ นัน้ จะเป็นพื้นฐานส�ำหรับการเรยี นรู้ เก่ยี วกบั มมุ และเส้นขนานในบทตอ่ ไป “มุม” คำ� นีจ้ ัดเปน็ คำ� นยิ ามแตกต่างจากค�ำอนิยามขา้ งต้น โดยมมุ เกิดจากรงั สี 2 เส้น ทม่ี ีจุดปลายร่วมกนั รงั สี 2 เส้นน้ี เรียกว่า แขนของมุม และจดุ ปลายทเี่ ปน็ จดุ เดียวกนั น้ี เรยี กวา่ จุดยอดมุม ในทางปฏบิ ตั ิอาจไม่เขียน จุด (.) บนรงั สี และไม่เขยี นหวั ลกู ศรทแ่ี ขนของมุม อย่างไรกต็ าม แขนของมุมยังคงเปน็ รงั สีเสมอ เราสามารถตอ่ แขนของมุมให้มีความ ยาวออกไปไดต้ ามทีต่ อ้ งการ ส่วนประกอบของมมุ จะประกอบไปด้วย ชอ่ื มมุ จุดยอดมุม และแขนของมุม แบบฝึกเสริมทักษะวิชาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง “มมุ และเสน้ ขนาน” 12 Angles and Parallel Lines

มุมแต่ละชนดิ จะมขี นาดแตกตา่ งกัน แบ่งตามขนาดของมุมได้ 6 ชนิด และหน่วยท่ีใชใ้ นการวดั ขนาดของมุม เรยี กวา่ องศา (°) ไดแ้ ก่ มมุ แหลม มีขนาดไม่เกนิ 90 องศา มมุ ฉากมขี นาดเทา่ กบั 90 องศา มมุ ป้านมีขนาดมากกว่า 90 องศา แต่ไมเ่ กนิ 180 องศา มมุ ตรงมขี นาดเท่ากบั 180 องศา มมุ กลับมขี นาดมากกวา่ 180 องศา แตไ่ มเ่ กิน 360 องศา และมมุ กลมหรือ มุมศนู ยม์ ขี นาดเทา่ กบั 360 องศา นอกจากน้เี รายงั ใช้การวัดขนาดของมมุ เพอื่ เป็นการบอกขนาดของมุมและจ�ำแนกมมุ แต่ละชนดิ ซง่ึ ในการวดั ขนาดของมุม เราจะอาศยั เครอ่ื งมอื ทีใ่ ชใ้ นการวดั เรียกวา่ โพรแทรกเตอร์ ในบทน้เี ราจะประยกุ ตใ์ ชค้ วามรูเ้ ก่ยี วกับชนิดของมุม สำ� หรบั การคำ� นวณหาคำ� ตอบของโจทย์ทีม่ คี วามท้าทาย เกีย่ วกบั มมุ ได้อยา่ งหลากหลาย ล�ำดบั ถดั ไปเปน็ เรอ่ื งราวเก่ยี วกบั “เส้นขนาน” ทีม่ คี วามหมายถงึ เส้นตรง, สว่ นของเสน้ ตรง หรือรังสี สองเส้นที่ อยบู่ นระนาบเดียวกัน และมรี ะยะห่างเทา่ กันตลอด ส่วนของเสน้ ตรงที่แสดงระยะห่างระหวา่ งเส้นขนาน ต้องตั้งฉากกบั เสน้ ขนาน และการวดั ระยะห่างระหวา่ งเส้นขนาน จะต้องวัดด้วยความยาวของเส้นตง้ั ฉากระหว่างเส้นขนานนน้ั ซึ่งบทนี้ เราจะได้ท�ำความเข้าใจและเรียนรเู้ ก่ยี วกับ เสน้ ตรงหรือส่วนของเสน้ ตรงสองเส้นที่มคี วามสมั พนั ธ์กัน โดยอาศัยความรู้ เรือ่ ง มมุ แยง้ มุมภายในทอ่ี ยูบ่ นขา้ งเดียวกันของเส้นตัด และมุมภายนอกหรือมุมภายในท่อี ย่บู นข้างเดยี วกนั ของเสน้ ตัด หรอื มมุ สมนัย เพือ่ เป็นพืน้ ฐานสำ� หรับการใหเ้ หตผุ ลเกยี่ วกับ เส้นขนาน เช่น มมุ แย้ง กลา่ วคือ “ถา้ เสน้ ตรงหรอื ส่วนของเสน้ ตรงสองเส้นขนานกนั แล้ว มุมแยง้ มขี นาดเทา่ กนั ” มมุ ภายในท่ี อยบู่ นข้างเดยี วกันของเส้นตดั กลา่ วคือ “ถ้าเส้นตรงหรือสว่ นของเสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกันแล้ว มมุ ภายในทอ่ี ยบู่ นข้าง เดียวกันของเส้นตดั รวมกันเทา่ กับ 180 องศา” มมุ ภายนอกหรือมุมภายในท่ีอยบู่ นข้างเดยี วกนั ของเส้นตัดหรือมมุ สมนัย กล่าวคอื “ถ้าเสน้ ตรงหรอื ส่วนของเสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั แลว้ มมุ ภายนอกและมมุ ภายในทีอ่ ยู่บนขา้ งเดียวกนั ของเสน้ ตดั หรือมุมสมนยั มีขนาดเทา่ กัน” สำ� หรบั การค�ำนวณหาขนาดของมุมในเร่อื งเสน้ ขนานน้ี จะตอ้ งใช้ความรู้เก่ยี วกับมมุ แย้ง มมุ ภายในทีอ่ ยู่บนขา้ ง เดียวกันของเสน้ ตัด มมุ ภายนอกและมมุ ภายในทอ่ี ยบู่ นข้างเดียวกันของเส้นตดั หรือมุมสมนยั มมุ ตรงข้าม และมมุ ประชดิ มาใชเ้ พอื่ การใหเ้ หตผุ ลประกอบการพิจารณาหาคา่ ของตวั ไมท่ ราบคา่ ในเรือ่ งของการนำ� ไปใชเ้ กีย่ วกับมมุ และเสน้ ขนาน เป็นบทท่ีนำ� เสนอเพ่อื ให้เห็นถึงความสำ� คัญของเรขาคณิต ที่ แทรกอยู่ในสายงายตา่ ง ๆ จะเนน้ ถึงการน�ำความรู้เกย่ี วกับมมุ และเส้นขนานไปประยกุ ตแ์ ละปรบั ใช้ในชวี ติ ประจำ� วัน ถือ ว่าเปน็ เร่ืองใกล้ตัวทเี่ ราสามารถพบเห็นได้เสมอ เพียงแต่เราไม่ไดส้ ังเกตว่าสิ่งเหล่านอี้ ยบู่ นพ้ืนฐานของความร้เู รอื่ งมุมและ เสน้ ขนาน เชน่ การออกแบบลวดลายของเสือ้ ผา้ ทีเ่ ราใช้สวมใสอ่ ยูท่ กุ วัน การออกแบบท่ีจอดรถยนต์ให้เข้า - ออกได้โดย ง่ายและจอดได้สะดวกหรอื แมแ้ ต่เทคนคิ การจอดรถยนต์ให้รวดเรว็ และปลอดภัย รวมถึงการใชม้ ุมและเส้นขนานในงาน สถาปตั ยกรรม งานออกแบบเพื่อการอย่อู าศยั โดยองคค์ วามรเู้ หลา่ น้ี เปน็ สิง่ ทที่ ำ� ให้วิถชี ีวิต และความเป็นอย่ขู องมนุษย์ เป็นปกติสุขและปลอดภยั จากตัวอย่างทย่ี กมาจะเหน็ ไดว้ ่า มุมและเสน้ ขนานมคี วามเก่ยี วข้องกับสิ่งต่าง ๆ รอบตัว และเป็นสง่ิ ทีเ่ ราสามารถ พบเห็นได้ในการใช้ชีวติ ประจำ� วัน การท่ีเรามคี วามรคู้ วามเข้าใจในเรอื่ งมมุ และเสน้ ขนาน จงึ ทำ� ใหเ้ รามคี วามสามารถใน การสงั เกต จดจ�ำ มที ักษะท่ีจะน�ำความรู้ดังกล่าวไปปรับประยกุ ตใ์ ช้ในชีวติ ประจ�ำวนั และแกป้ ญั หาในเรอ่ื งต่าง ๆ ได้ โดย ความรตู้ า่ ง ๆ ทก่ี ล่าวมาทั้งหมด เป็นเพียงขอ้ มลู เบื้องตน้ สำ� หรบั การศึกษาเน้อื หาอยา่ งละเอียด ทปี่ รากฏอยู่ภายในหนงั สือ เล่มนี้ Angles and Parallel Lines 13 แแบบบบฝฝึกกึ เเสรมิ ทักษะวิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง “มมุ และเส้นขนาน”

มมุ เกดิ จากสว่ นของเสน้ ตรง หรือรงั สี 2 เสน้ ท่มี จี ดุ ปลายรว่ มกนั Angles are created by two rays or two line segments that share one endpoint. แบบฝึกเสรมิ ทักษะวชิ าคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง “มุมและเส้นขนาน” 14 Angles and Parallel Lines

มมุ Angles and Parallel Lines 15 แแบบบบฝฝึกกึ เเสริมทกั ษะวชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง “มมุ และเสน้ ขนาน”

มมุ (Angles) มุมเกิดจากสว่ นของเส้นตรงหรอื รงั สี 2 เสน้ ท่ีมจี ุดปลายรว่ มกนั ดังรูป Angles are created by two rays or two line segments that share one endpoint. จดุ ยอดมุม แขนของมมุ มุม แขนของมมุ สว่ นประกอบของมมุ • ชอ่ื มุม (Name) เรียกตามอักษร 3 ตัว ทีอ่ ยู่บนแขนของมมุ ท้ังสองข้างและจดุ ยอดมมุ เรยี งตามลำ� ดับหรอื เรียกตามช่ือของจดุ ยอดมุม • จดุ ยอดมมุ (Vertex) คือจดุ พบกนั ของสว่ นของเส้นตรง หรอื รงั สี • แขนของมมุ (Sides) คอื ส่วนของเส้นตรง หรือรังสที ที่ �ำใหเ้ กดิ มมุ การเขยี นสัญลกั ษณแ์ ทนมมุ • สัญลักษณ์ เขยี นไว้เหนอื ตัวอกั ษรที่เป็นจุดยอดมมุ • สัญลักษณ์ เขยี นไว้หน้าตัวอกั ษรทีเ่ ป็นช่อื มุม • การเขียนสัญลกั ษณแ์ ทนมุมตอ้ งให้อกั ษรทเ่ี ป็นจดุ ยอดมุมอยตู่ รงกลางเสมอ แบบฝึกเสรมิ ทกั ษะวิชาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง “มุมและเสน้ ขนาน” 16 Angles and Parallel Lines

การเรียกชือ่ มุมอาจเรยี กตามจุดยอดมุม ในกรณที ี่จดุ ยอดมุมนั้นเป็นของมมุ เพยี งมุมเดียว เช่น NOK มจี ดุ O เป็นจุดยอดมมุ เขียนแทนด้วย O N O K A ABC มีจดุ B เปน็ จดุ ยอดมมุ เขยี นแทนด้วย B BC ตวั อย่าง ชอื่ มมุ มมุ NOK หรือ มมุ KON N จุดยอดมุม คอื จุด O แขนของมมุ คอื ON และ OK สัญลักษณแ์ ทนมมุ NOK, KON, NOK, O K KON หรอื O ตัวอย่าง A ชื่อมุม มุม ABC หรือ มมุ CBA จดุ ยอดมุม คอื จดุ B แขนของมุม คือ AB และ BC สัญลักษณแ์ ทนมุม ABC, CBA, ABC, CBA B C หรอื B Angles and Parallel Lines 17 แแบบบบฝฝกึึกเเสริมทักษะวิชาคณติ ศาสตร์ เร่อื ง “มมุ และเสน้ ขนาน”

แบบฝกึ ที่ 1 บอกช่ือมมุ จดุ ยอดมมุ แขนของมมุ และสัญลกั ษณ์แทนมมุ ตอ่ ไปน้ี 1. M ช่ือมมุ .................................................. จดุ ยอดมมุ คือ .................................................. แขนของมมุ คอื .................................................. R สญั ลักษณ์แทนมมุ .................................................. N 2. E H ชื่อมุม .................................................. จุดยอดมมุ คือ .................................................. แขนของมุม คือ .................................................. สัญลกั ษณแ์ ทนมุม .................................................. .................................................. G .................................................. .................................................. 3. V ชื่อมุม .................................................. จดุ ยอดมุม คอื แขนของมมุ คอื L O สญั ลักษณแ์ ทนมุม แบบฝึกเสรมิ ทักษะวชิ าคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง “มุมและเส้นขนาน” 18 Angles and Parallel Lines

ชนิดของมมุ (Types of Angles) มมุ มี 6 ชนดิ แบง่ ตามขนาดของมุม ดังนี้ 1. มุมแหลม (Acute Angle) คือ มุมที่มีขนาดใหญ่กวา่ 0 ํ แต่เล็กกวา่ 90 ํ a 0 ํ < a < 90 ํ 2. มมุ ฉาก (Right Angle) คอื มุมท่มี ีขนาดเทา่ กับ 90 ํ a = 90 ํ a 3. มมุ ป้าน (Obtuse Angle) คอื มมุ ทม่ี ขี นาดใหญก่ วา่ 90 ํ แตเ่ ล็กกวา่ 180 ํ 90 ํ < a < 180 ํ a 4. มุมตรง (Straight Angle) คือ มุมท่มี ีขนาดเทา่ กับ 180 ํ a a = 180 ํ Angles and Parallel Lines 19 แแบบบบฝฝกึกึ เเสรมิ ทักษะวิชาคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง “มมุ และเส้นขนาน”

5. มุมกลับ (Reflex Angle) คือ มุมที่มีขนาดใหญก่ วา่ 180 ํ แตเ่ ล็กกว่า 360 ํ a 180 <ํ a < 360 ํ 6. มมุ รอบจดุ ศนู ยก์ ลาง/มมุ กลม (Round Angle) คือ มุมท่มี ขี นาดเทา่ กับ 360 ํ หรอื มุมศูนย์ (Zero Angle) คอื มุมทมี่ ีขนาด 0 ํ a a = 360 ํ หรอื 0 ํ ตวั อยา่ ง C ABC เปน็ มมุ ปา้ น เพราะ มีขนาดใหญก่ วา่ 90 ํ แต่เลก็ กวา่ 180 ํ AB แบบฝึกที่ 2 บอกชนดิ ของมมุ พร้อมท้งั บอกเหตผุ ล 1. B ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... C A ......................................................................... 2. ......................................................................... C S ......................................................................... แบบฝึกเสริมท ักษะวชิ าคณ ติ ศาสต ร์ เรอ่ื ง “ มุมและ เสน้ ขนาน ”P ......................................................................... 20 Angles and Parallel Lines

3. ......................................................................... X Y Z ......................................................................... B ......................................................................... ......................................................................... 4. ......................................................................... ......................................................................... U ......................................................................... ......................................................................... S ......................................................................... ......................................................................... 5. ......................................................................... G ......................................................................... D O ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... L ......................................................................... 6. A E Angles and Parallel Lines 21 แแบบบบฝฝกึกึ เเสริมทักษะวิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง “มุมและเส้นขนาน”

การวดั ขนาดของมมุ (Measuring Angles) โพรแทรกเตอร์ (Protractor) เป็นเครอ่ื งมือสําหรบั วดั ขนาดของมุมหรอื สรา้ งมมุ มหี ลายแบบ เช่น โพรแทรกเตอร์ชนดิ ครึ่งวงกลม โพรแทรกเตอร์ชนดิ สี่เหล่ยี มผืนผ้า โพรแทรกเตอรช์ นดิ วงกลม แบบฝึกเสรมิ ทกั ษะวชิ าคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง “มมุ และเส้นขนาน” 22 Angles and Parallel Lines

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงวดั ขนาดของมมุ NOK โดยใช้โพรแทรกเตอร์ N O K m(NOK = 58 )ํ การวดั ขนาดของมมุ NOK ทาํ ได้โดยวางโพรแทรกเตอรใ์ หจ้ ดุ กง่ึ กลางทบั จดุ O และให้แนว ศูนย์องศาทับ OK จากนั้นนบั จาํ นวนองศา โดยเร่มิ จาก 0° ไปจนถึงแขนของมุมอีกขา้ งหนงึ่ จะได้ขนาดของมุม NOK = 58 ํ ขนาดของมุม NOK = 58 ํ เขยี นแทนด้วย m(NOK = 58 )ํ ตัวอยา่ งที่ 2 จงวดั ขนาดของมมุ LMN โดยใชโ้ พรแทรกเตอร์ N L M m(LMN = 134 )ํ การวดั ขนาดของมุม LMN ทาํ ได้โดยวางโพรแทรกเตอรใ์ ห้จดุ กึ่งกลางทบั จดุ M และให้แนว ศนู ยอ์ งศาทับ ML จากนัน้ นับจาํ นวนองศา โดยเริ่มจาก 0° ไปจนถึงแขนของมุมอกี ขา้ งหน่งึ จะไดข้ นาดของมุม LMN = 134 ํ ขนาดของมุม LMN = 134 ํ เขยี นแทนดว้ ย m(LMN = 134 ํ) Angles and Parallel Lines 23 แแบบบบฝฝึกึกเเสรมิ ทักษะวิชาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง “มมุ และเส้นขนาน”

ตวั อยา่ งที่ 3 จงวดั ขนาดของมุม TEN โดยใช้โพรแทรกเตอร์ E N m(TEN = 50 ํ) T การวัดขนาดของมมุ TEN ทําได้โดยวางโพรแทรกเตอรใ์ หจ้ ดุ กึง่ กลางทบั จุด E และใหแ้ นวศนู ย์ องศาทับ EN จากนน้ั นับจาํ นวนองศา โดยเริม่ จาก 0 ํ ไปจนถึงแขนของมมุ อีกข้างหนงึ่ จะได ้ ขนาดของมุม TEN = 50 ํ หรือ E m(TEN = 50 )ํ N T การวัดขนาดของมุม TEN ทําได้โดยวางโพรแทรกเตอรใ์ หจ้ ุดกง่ึ กลางทับจดุ E และให้แนวศูนย์ องศาทับ EN จากนนั้ นบั จาํ นวนองศา โดยเรมิ่ จาก 0 ํ ไปจนถงึ แขนของมุมอกี ข้างหนึง่ จะได ้ ขนาดของมุม TEN = 50 ํ ตัวอย่างท่ี 4 จงวัดขนาดของมุมกลับ VAN โดยใช้โพรแทรกเตอร์ V การวัดขนาดของมุมกลบั ทําได้ 2 วธิ ีิ โดยอาศัยขนาดของมุมตรงและมมุ กลม ดังน้ี A N แบบฝกึ เสรมิ ทักษะวิชาคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง “มมุ และเส้นขนาน” 24 Angles and Parallel Lines

1. วิธีบวก V A 180 ํ N m(VAN = 180 ํ + 50 ํ = 230 )ํ การวดั ขนาดของมุมกลบั VAN โดยวธิ บี วกทาํ ไดโ้ ดยลากเส้นประต่อจาก AN เพ่อื แสดงขนาด ของมมุ ตรง วางโพรแทรกเตอร์ใหจ้ ดุ กงึ่ กลางทบั จดุ A และให้แนวศูนยอ์ งศาทับเสน้ ประ จากนั้นนับจํานวนองศาโดยเรม่ิ จาก 0 ํ ไปจนถงึ แขนของมุม VA วดั ได้ 50 ํ จะไดข้ นาดของ มุมกลับ VAN เทา่ กบั 180 ํ + 50 ํ = 230 ํ 2. วิธีลบ V A m(VAN = 360 ํ - 130 ํ = 230 )ํ N การวัดขนาดของมุมกลับ VAN โดยวิธีลบ เน่อื งจากมมุ กลมมีขนาด 360 ํ การหาขนาดของ มมุ กลบั ท�ำไดโ้ ดยวดั ขนาดของมมุ ท่ีเหลอื ซงึ่ จากในรูปเปน็ มมุ ปา้ นวดั ขนาดได้ 130 ํ แล้วนําไป ลบออกจาก 360 ํ จะไดข้ นาดของมุมกลบั VAN เท่ากบั 360 ํ - 130 ํ = 230 ํ Angles and Parallel Lines 25 แแบบบบฝฝึกึกเเสรมิ ทักษะวชิ าคณิตศาสตร์ เรือ่ ง “มมุ และเส้นขนาน”

แบบฝึกท่ี 3 จงวัดขนาดของมุมตอ่ ไปน้ี 3.1 วดั ขนาดของมุมตอ่ ไปน้ี โดยใชโ้ พรแทรกเตอร์ 1. 2. C D AT OG Answer...................................................... Answer...................................................... 4. X 3. T BA FO Answer...................................................... Answer...................................................... 5. C 6. C AB AB Answer...................................................... Answer...................................................... แบบฝึกเสริมทักษะวชิ าคณิตศาสตร์ เรอื่ ง “มมุ และเส้นขนาน” 26 Angles and Parallel Lines

7. O L 8. J K T A Answer...................................................... Answer...................................................... 9. A N D 10. U T S Answer...................................................... Answer...................................................... 11. A 12. T SN N A Answer...................................................... Answer...................................................... Angles and Parallel Lines 27 แแบบบบฝฝึกึกเเสรมิ ทกั ษะวชิ าคณติ ศาสตร์ เร่อื ง “มุมและเสน้ ขนาน”

13. R 14. D U A B Answer...................................................... T A Answer...................................................... 16. E 15. N N D B Answer...................................................... Answer...................................................... 17. 18. A AY N M T Answer...................................................... Answer...................................................... แบบฝกึ เสริมทักษะวิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง “มมุ และเสน้ ขนาน” 28 Angles and Parallel Lines

3.2 วดั ขนาดของมุมตอ่ ไปนี้ โดยใชโ้ พรแทรกเตอร์ E M K L A D J 97 ํ BC GF I H Answer ABC = 97 ํ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... Angles and Parallel Lines 29 แแบบบบฝฝกึกึ เเสริมทกั ษะวชิ าคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง “มมุ และเส้นขนาน”

3.3 วดั ขนาดของมุมกลับตอ่ ไปน้ี โดยใช้โพรแทรกเตอร์ 1. 2. C ZA AB R Answer...................................................... Answer...................................................... 3. 4. LA OD HT Answer...................................................... Answer...................................................... 6. S 5. GP A T Answer...................................................... R Answer...................................................... 30 Angles and Parallel Lines แบบฝกึ เสริมทกั ษะวชิ าคณิตศาสตร์ เร่อื ง “มุมและเส้นขนาน”

7. X 8. X BO YZ Answer...................................................... Answer...................................................... 9. 10. R o AB C W Answer...................................................... Answer...................................................... 11. P N 12. R I WA Answer...................................................... Answer...................................................... Angles and Parallel Lines 31 แแบบบบฝฝึกกึ เเสรมิ ทักษะวชิ าคณิตศาสตร์ เรือ่ ง “มมุ และเสน้ ขนาน”

13. 14. G C D F B E Answer...................................................... Answer...................................................... 15. A 16. M B AC C Answer...................................................... Answer...................................................... 18. E 17. B U US B Answer...................................................... Answer...................................................... แบบฝึกเสรมิ ทกั ษะวิชาคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง “มมุ และเสน้ ขนาน” 32 Angles and Parallel Lines

3.4 วดั ขนาดของมมุ กลบั ตอ่ ไปน้ี โดยใช้โพรแทรกเตอร์ L A M B DK N 241 ํ J CG H I O P Answer ABC= 241 ํ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... Angles and Parallel Lines 33 แแบบบบฝฝกึึกเเสริมทกั ษะวิชาคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง “มุมและเสน้ ขนาน”

การคาํ นวณหาขนาดของมมุ โดยการจาํ แนกชนิดของมมุ ตวั อยา่ ง จงหาขนาดของมุม a เนอื่ งจาก a + 54 = 90 a จะได้ a + 54 - 54 = 90 - 54 54 ํ ดงั นั้น a = 36 ํ เนือ่ งจาก a + 78 = 180 จะได้ a + 78 - 78 = 180 - 78 a 78 ํ ดังนน้ั a = 102 ํ a เนอ่ื งจาก a + 32 = 360 32 ํ จะได้ a + 32 - 32 = 360 - 32 ดังน้นั a = 328 ํ แบบฝึกเสรมิ ทักษะวชิ าคณิตศาสตร์ เรอื่ ง “มุมและเสน้ ขนาน” 34 Angles and Parallel Lines

แบบฝึกท่ี 4 จงแสดงวิธีการคาํ นวณหาขนาดของมมุ 4.1 แสดงวิธกี ารคาํ นวณหาขนาดของมมุ 1. . .................................................................... a . .................................................................... 58 ํ .................................................................... . .................................................................... 2. . .................................................................... . .................................................................... a .................................................................... 29 ํ . .................................................................... 3. . .................................................................... . .................................................................... 62 ํ .................................................................... a . .................................................................... Angles and Parallel Lines 35 แแบบบบฝฝึกึกเเสรมิ ทกั ษะวชิ าคณิตศาสตร์ เร่อื ง “มมุ และเสน้ ขนาน”

4. . .................................................................... 43 ํ . .................................................................... a .................................................................... . .................................................................... 5. . .................................................................... a 108 ํ . .................................................................... .................................................................... . .................................................................... 6. . .................................................................... a 79 ํ . .................................................................... .................................................................... . .................................................................... แบบฝึกเสรมิ ทกั ษะวชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง “มุมและเส้นขนาน” 36 Angles and Parallel Lines

7. . .................................................................... . .................................................................... a 141 ํ .................................................................... 8. . .................................................................... a 45 ํ . .................................................................... . .................................................................... .................................................................... . .................................................................... 9. . .................................................................... a . .................................................................... .................................................................... 300 ํ . .................................................................... Angles and Parallel Lines 37 แแบบบบฝฝึกกึ เเสรมิ ทักษะวิชาคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง “มมุ และเส้นขนาน”

10. . .................................................................... . .................................................................... a .................................................................... 322 ํ . .................................................................... 11. . .................................................................... . .................................................................... 125 ํ .................................................................... a . .................................................................... 12. . .................................................................... . .................................................................... 140 ํ .................................................................... a . .................................................................... แบบฝกึ เสริมทักษะวชิ าคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง “มุมและเสน้ ขนาน” 38 Angles and Parallel Lines

ความรพู้ ื้นฐานเกี่ยวกบั มุมทค่ี วรทราบ มมุ สองมุมทมี่ แี ขนร่วมกันเรยี กวา่ มมุ ประชดิ เส้นตรงเสน้ หนง่ึ ตงั้ อยบู่ นเสน้ ตรงอกี เสน้ หน่ึง มมุ ประชิดรวมกันเท่ากับสองมมุ ฉาก เสน้ ตรงสองเสน้ ตัดกัน มุมตรงขา้ มย่อมเทา่ กนั b a+b ถา้ ตอ่ ด้านใดดา้ นหนึง่ ของรปู สามเหลีย่ มออกไป a ขนาดของมมุ ภายนอกยอ่ มเท่ากับผลบวก ของมมุ ภายในทีไ่ ม่ใช่มุมประชิด Angles and Parallel Lines 39 แแบบบบฝฝึกึกเเสรมิ ทกั ษะวิชาคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง “มมุ และเสน้ ขนาน”

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาขนาดของมุม a และมมุ b ba เนือ่ งจาก b เป็นมุมตรงขา้ มกบั 35 ํ 35 ํ จะไดว้ ่า b = 35 ํ และ a+b = 90 จะได้ a+35 = 90 a = 90 - 35 = 55 ดังนัน้ a = 55 ํ , b = 35 ํ ตวั อย่างที่ 2 จงหาขนาดของมมุ a และมมุ b เนอ่ื งจาก a มีขนาดเท่ากบั 70 ํ จะได้วา่ b+b+a+70 = 180 ํ 2b+140 = 180 2b = 180 - 140 2b = 40 b = 40 2 a b = 20 70 ํ b ดงั นนั้ a = 70 ํ , b = 20 ํ b แบบฝึกเสริมทกั ษะวชิ าคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง “มมุ และเส้นขนาน” 40 Angles and Parallel Lines

4.2 หาขนาดของมมุ ตอ่ ไปนี้ 2. 1. a 76 ํ 30 ํ a Answer...................................................... Answer...................................................... 3. 4. a 130 ํ a 68 ํ Answer...................................................... Answer...................................................... 5. 6. 45 ํ 125 ํ a a Answer...................................................... Answer...................................................... 41 แแบบบบฝฝกึกึ เเสริมทักษะวิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง “มมุ และเส้นขนาน” Angles and Parallel Lines

7. 8. a 140 ํ 30 ํ a 60 ํ 20 ํ Answer...................................................... 10. Answer...................................................... 34 ํ 9 a 105 ํ a 16 ํ Answer...................................................... Answer...................................................... 11. 12. 60 ํ abc a Answer...................................................... b 30 ํ Answer...................................................... แบบฝึกเสริมทักษะวิชาคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง “มุมและเส้นขนาน” 42 Angles and Parallel Lines

13. 14. 83 ํ a 63 ํ a Answer...................................................... 15. 165 ํ Answer...................................................... 16. a 75 ํ ab 130 ํ Answer...................................................... Answer...................................................... 17. 18. 65 ํ a b a b 220 ํ a Answer...................................................... Answer...................................................... Angles and Parallel Lines 43 แแบบบบฝฝกึกึ เเสรมิ ทักษะวิชาคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง “มุมและเสน้ ขนาน”

19. 20. a 100 ํ a 74 ํ b Answer...................................................... Answer...................................................... 21. 22. a 50 ํ a 40 ํ b 35 ํ Answer...................................................... Answer...................................................... 23 24. a ba 53 ํ b 35 ํ Answer...................................................... Answer...................................................... แบบฝกึ เสรมิ ทักษะวชิ าคณิตศาสตร์ เร่อื ง “มมุ และเสน้ ขนาน” 44 Angles and Parallel Lines

25. 26. 37 ํ a 50 ํ a 60 ํ Answer...................................................... 27. Answer...................................................... a 28. 41 ํ b a c 50 ํ Answer...................................................... Answer...................................................... 29. 30. ba 110 ํ 45 ํ 110 ํ 27 ํ a Answer...................................................... 20 ํ Answer...................................................... Angles and Parallel Lines 45 แแบบบบฝฝึกึกเเสรมิ ทกั ษะวิชาคณติ ศาสตร์ เร่ือง “มมุ และเสน้ ขนาน”

31. 32. 85 ํ 67 ํ b 62 ํ a a Answer...................................................... Answer...................................................... 33. Find CAD, BAE C 34. Find BFC, AFE, EFD B D A 152 ํ C F 66 ํ 127 ํ 51 ํ E A E D B Answer...................................................... Answer...................................................... 35. ABC is a triangle. ACD is a straight 36. ABC is a isosceles triangle. line. Find BCD. DAC is a straight line. Find BCA. B DA C 74 ํ 82 ํ A 39 ํ CD Answer...................................................... B Answer...................................................... แบบฝึกเสริมทักษะวิชาคณิตศาสตร์ เร่อื ง “มมุ และเสน้ ขนาน” 46 Angles and Parallel Lines

37. ABC is an equilateral triangle and 38. Find m n and r. AED is a right-angled triangle. Find DEAB. E 68 ํ nํ 38 ํ C D 116 ํ m ํ rํ A Answer...................................................... Answer...................................................... 39. Find A B and C. 40. Find A B C D and E. Aํ Aํ Bํ Bํ Cํ 47 ํ 112 ํ 65 ํ D ํ 100 ํ E ํ 133 ํ 31 ํ Cํ Answer...................................................... Answer...................................................... Angles and Parallel Lines 47 แแบบบบฝฝกึึกเเสรมิ ทกั ษะวิชาคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง “มมุ และเส้นขนาน”

เส้นขนาน หมายถึง เส้นตรง, สว่ นของเสน้ ตรง หรือรังสี สองเสน้ ที่อยู่บนระนาบเดยี วกนั และมรี ะยะห่างเท่ากนั ตลอด Parallel lines are two straight lines, two line segments or two rays on the same plane and the distances between them are always equal. แบบฝกึ เสรมิ ทกั ษะวิชาคณิตศาสตร์ เรอื่ ง “มุมและเสน้ ขนาน” 48 Angles and Parallel Lines

เสน้ ขนาน Angles and Parallel Lines 49 แแบบบบฝฝกึกึ เเสริมทกั ษะวิชาคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง “มุมและเสน้ ขนาน”

เส้นขนาน (Parallel Lines) เสน้ ขนาน หมายถึง เสน้ ตรง, สว่ นของเสน้ ตรง หรอื รังสีสองเส้นทอี่ ยูบ่ นระนาบเดียวกันและ มรี ะยะหา่ งเทา่ กันตลอด Parallel lines are two straight lines, two line segments or two rays on the same plane and the distances between them are always equal. ระยะห่างระหวา่ งเสน้ ขนาน (The distance between two parallel lines) สว่ นของเส้นตรงที่แสดงระยะห่างระหวา่ งเสน้ ขนาน ตอ้ งตัง้ ฉากกับเสน้ ขนาน และการวดั ระยะหา่ ง ระหวา่ งเสน้ ขนาน จะต้องวัดดว้ ยความยาวของเส้นต้งั ฉากระหวา่ งเส้นขนานน้ัน AE HIB CFG JD จากรปู EF และ IJ แสดงระยะหา่ งระหว่างเส้นขนาน แบบฝึกเสริมทักษะวิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง “มุมและเสน้ ขนาน” 50 Angles and Parallel Lines