ສົມຜົນຈຸນລະຄະນິດ Differential Equations

ເຮົາມ:ີ y  2xy x2  y2 y  2xy  2y x x2 x2  y2 x2  y2 x x2 x2 2y x y  y 2 x  1    ວາງ u  y x u y x y  ux dy  ux dx dy  ux  u dx dy  du  x  u dx dx ເມື່ອນນັີ້ , ເຮົາໄດ້: du .x  u  1 2u 2 dx u x. du  2u u dx 1u2 xdu  2u u 1 u2 x du     2u  u 1 u2   dx  1 u2  x du   2u  u  u3  dx  1 u2    x du   u3  u  dx  1 u2    97

du  dx  2u  u  u3  x    1 u2  du  dx u  u3  x    1  u2  1 u2  du  dx u  u3 x 1 u2  du  dx u 1 u2  x 1 u2  du  dx u 1 u2  x  2u  1  du  dx  1 u2 u  x 2u du  1 du  dx 1 u2 u x  d u2 1 du  1 du  dx ux  1 u2   d u2  1   1 du   dx u x 1 u2   ln u2 1  ln u  ln x  C1  ln u2 1  ln u  ln x  C1 ຄນ 1 ເຂົ້ີາທງັ ສອງພາກ  ln u2 1  ln x  ln u  C1 ວາງ C1  ln C  ໄດ:້ ln u2 1  ln x  ln u  ln C ..... 1 ຈາກ u  y ແທນໃສ່ 1 x ຈະໄດ້: ln   y 2   ln x  ln y  ln C   x  1 x  y2    ln x  ln y  ln C ln  x2 1 x   98

 ln y2  x2  ln x2  ln x  ln y  ln x  ln C  ln y2  x2  ln x2  ln x  ln y  ln x  ln C  ln y2  x2  2 ln x  2 ln x  ln y  ln C  ln y2  x2  ln C  ln y  ln y2  x2  ln Cy y2  x2  Cy ດ່ັງນນ້ັີ , ສົມຜນົ ທີເື່ ຮົາຕ້ອງການຊອກແມ່ນ: y2  x2  Cy  0  ກດິ ຈະກາ: ຈງົ່ັ ຊອກຫາໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ເອກະພນັ ລມຸ່ ນ:ີ້  1) 2xy dy  x2  y2 dx 2) dy  y  x dx x 3) dy  2xy dx x2  y2 4) dy  3xy dx x2  y2 5)  x   x 1 x   0 1  dx  y  dy 2e y 2e y  6) x dy  y  y2  x2  0 dx ຈ່ັົງຊອກຫາໃຈຜນົ ຂອງສົມຜົນຈນຸ ລະຄະນິດຕາມເງ່ອື ນໄຂທື່ກີ ານົດລຸ່ມນີ້:  7) y 2x2  xy  y2 dx  x2 2x  ydy  0 , y 1  1 2 8) v3x  2vdx  x2dv  0 , v1  2 11) dy  y2  x2 12) dy  x  y dx x2  xy dx x 13) dy  3x  y 14) 2ydx  xdy  0 dx 2x    15) 2xy  3y2 dx  2xy  x2 dy  0 16) dy  y3  2x3 dx xy2  17) 2xydy  y2  x2  18) y2  yx dx  x2dy  0 4. ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອ (Linear Equations) ນຍິ າມ: ເຮາົ ເອີ້ນສມົ ຜນົ ທື່ີຢູ່ໃນຮບຮ່າງ ຫຼ ສາມາດຂຽນໃຫ້ຢູ່ໃນຮບຮ່າງ 99

a  x dy  b x y  g  x,.......1 ເມ່ອື a  x  0 ເອນ້ີ ວາ່ “ ສົມຜົນລເີ ນແອ “. dx ເມອ່ື g  x  0 ສມົ ຜນົ 1 ເອນີ້ ວ່າ ສົມຜນົ ເອກະພນັ ; ນອກນ້ີັນ ບໍ່ເອກະພັນ. ຈາກສົມຜນົ (1) ເມ່ືອ a  x  0 ເຮົາສາມາດເອົາ ເມືອ່ a  x  0 ຫານທັງສອງເບອ້ີ ງ ຈະໄດ້ dy  bx y  g  x ເຊືິງ່ ເຮົາສາມາດຂຽນໃຫ້ຢູ່ໃນຮບຮ່າງໃໝ່ໄດ້ຄ dx ax ax ເມື່ອວາງ p  x  b  x ແລະ q  x  g x ເຊື່ງິ ສົມຜົນ 2 ແມ່ນຮບຮ່າງມາດຕະຖານຄ a  x a x dy  p x y  q  x,........ 2 ຫຼ y  p  x y  q  x dx y 1    e p x dx  e p xdx   ໃຈຜົນຂອງສົມຜນົ ທຕືີ່ ອ້ ງການຊອກແມ່ນ: q x   C ຕວົ ຢາູ່ ງ ຈງັົ່ ແກສ້ ມົ ຜົນຈຸນລະຄະນດິ ລີເນແອລຸ່ມນີ້ 1) y  2xy  2xex2 ວທິ ແີ ກ:້ ເຮົາມີ y  2xy  2xex2 ແກ້ສົມຜົນ y  2xy  0 dy  2xy  0 dx dy  2xdx  0 y  dy   2 xdx  C1 y ln y  x2  C1 ln y  C1  x2 y  eC1 x2 y  eC1x2  eC1  ex2 ວາງ C  eC1 y  C ex2 ວ່າງ C  C  x ໄດ້ y  C  x  ex2 100

y  C xex2  C  x  ex2    y  C x  ex2  C  x  2xex2 y  C xex2  2x C  xex2 ແທນຄາ່ ຂອງ y, y ໃສ່ y  2xy  2xex2 ຈະໄດ:້ C x  ex2  2x C  x  ex2  2x C  x  ex2  2xex2  C x  ex2  2xex2 Cx  2x d C  x  2x dx d C  x  2xdx  d C  x   2xdx C x  x2 C ແທນຄ່າຂອງ C  x ໃສ່ y  C  x  ex2  ດັ່ງນ້ນີັ , ເຮາົ ໄດໃ້ ຈຜົນແມ່ນ: y  x2  C ex2 2) dy  2xy  4x dx ວທິ ແີ ກ:້ ຈາກ dy  2xy  4x 1 dx ຈາກຮບຮ່າງ dy  p x y  q  x ໂດຍ px  2x ແລະ qx  4x dx   x  e pxdx  e 2x dx  ex2 ເອົາ ex2 ຄນໃສ່ (1) ຈະໄດ້: ex2 dy  2xex2 y  4 xe x2 dx  d ex2 y  4xex2 4xex2 dx dx  d ex2 y      d ex2 y  4xex2 d x2 2x ex2 y  2ex2  c1 y 2k 101

ຈາກສົມຜົນເບ້ີອງຕ້ົນີ y  e pxdx  q  xe pxdxdx  c   y  e 2xdx 4xex2 dx  c  y  ex2 2ex2  k  2  k ດງ່ັ ນ້ີນັ , ເຮົາໄດໃ້ ຈຜົນແມນ່ : y  2  k 3) dy  3y  e3x dx ວທິ ແີ ກ:້ ຈາກ dy  3y  e3x dx ເຮາົ ມີ: p(x)  3 ຊອກຫາ   e p(x)dx  e3dx  e3x  dy  3y  e3x dx   y   q(x) dx e3x y  e3xe3x dx e3x y  dx e3x y  x  C y  xC e3x ດ່ັງນນີັ້ , ເຮົາໄດ້ໃຈຜນົ ແມ່ນ: y  xC e3x 4)  x  5 dy  y  2 x  53 dx ວທິ ແີ ກ:້ ຈາກ  x  5 dy  y  2 x  53 dx dy   x 1 5  y  2 x  52 1 dx    ຈດັ ໃນຮບແບບ dy  p x y  q  x ໂດຍ px   1 ແລະ qx  2x  52 dx x5 ຊອກຫາ   x  e pxdx  e  1 dx x5  e ln x5 1 x5 102

ເອາົ 1 ຄນໃຫ້ 1 ທັງສອງເບ້ີອງ ຈະໄດ້: x5 x 1 5 dy  x 1 y  2x  5  dx  52 d  x 1 5 y   2x  5 dx     d  x 1 5 y   2x  5d x  5    1 y   x  52 x5 y   x  52 ຈາກສດ y  e pxdx  q  xe pxdxdx  c  e 1 dx   52 e  1 dx  x5  x5  y  2 x  dx  c  y  elnx5 2 x  52 elnx5dx  c  y   x  5  2 x  5d  x  5  c y   x  53  k ດງ່ັ ນນັ້ີ , ເຮາົ ໄດ້ໃຈຜົນແມນ່ : y   x  53  k 5) dy  2xy  x , y 0 1 dx ບດົ ແກ:້ ສມົ ຜົນຢູ່ໃນຮບຂອງ dy  p x y  f  x ໂດຍ p  x  2x ແລະ q  x  x dx ຊອກຫາຕວົ ຄນສງັ ຄະນດິ   x    2 xdx  e x2 e ເອາົ ໄປຄນ 1 ທງັ ສອງເບອີ້ ງຈະໄດ້ e x2  dy  2xy   xe x2 ແລະ  dx       ex2 dy  2xex2 y  xex2 ຫຼ d ex2 y  xex2 ສະນ້ນີັ , d ex2 y  xex2 dx dx dx ໄດ້ ex2 y   1 ex2  C 2 ດ່ັງນີນ້ັ , y   1 Cex2 ເປນັ ໃຈຜນົ ທວົັ່ ໄປຂອງສົມຜນົ 1 2 ການົດເງືອ່ ນໄຂຄ y 0  1 ດ່ັງນ້ນັີ , ເມ່ອື ແທນຄ່າ x  0 , y 1 103

ຈະໄດ້ 1   1  C ຫຼ C  3 22 ດັ່ງນັີ້ນ, y   1  3 ex2 ເປນັ ໃຈຜນົ ສະເພາະຂອງສົມຜນົ 1 22 dy  1 sin  1 dx x 2x2    6) y2 y2 y cos ວທິ ແີ ກ:້ dy  1 sin  1 dx x 2x2    ຈາກ y2 y2 ........ 1 y cos ວາງ t  sin  y2  ..... 1   dt  2 y cos y2 1 dt ແທນໃສ່ (1)  dy  dy  2 y cos y2 1 1 1 1 dx 2 y cos x 2x2    ຈະໄດ້: y cos y2 y2 dt  v   1 1 1 1 dx 2 y cos x 2x2    y cosy2 y2 dt  t   dt  1 t   1 2dx x 2x2 dt  2 t   1 dx x x2 ທຽບໃສ່ຮບຮ່າງ: y  p  x y  Q  x y 1 Q  x  e pxdxdx e p xdx ເຮົາມີສດ: 1 1 2  1 dx ຈະໄດ:້ t   x2  x dx e e2 1 x dx t  1  1 .e2ln x dx e2ln x x2 t  1  1  e2ln xdx e2ln x x2 t  1  1  x2dx x2 x2 t  1  x C ແທນໃສ່ (1) x2 ຈາກສົມຜນົ (1) t  sin  y2  ..... 1 104

 siny2 1  x C x2  siny2 1  x C  0 x2  ດງັ່ ນີ້ນັ ,y2  1  x  C  0 sin x2 ບດົ ເຝກີ ຫດັ 1. ຈົ່ງັ ແກ້ສົມຜນົ ຈຸນລະຄະນິດລີເນແອຕ່ໄໍ ປນ.ີ້ ຂ. dy  2y  0 ກ. dy  5y dx dx ຄ. dy  y  e3x ງ. 3 dy 12y  4 dx dx ຈ. y ' 3x2 y  x2 ຊ. x2 y ' xy  1 ສ. y ' 2xy  x3 ຍ. y '  2 y  x2  5 ດ. x dy ~ y  x2 sin x ຕ. x dy  2y  3 dx dx ຖ. x dy  4y  x3 ~ x ທ. x2 y ' x  x  2 y  ex dx ບ.  x 1 dy  y  ln x , y 1  10 ນ. xy ' y  ex , y 1  2 dx ປ. y ' tan x y  cos2 x , y 0  1 ຜ. dy  y  f  x , y0  0 ເມື່ອ f x  1, 0  x  1 0, x  1 dx ຝ. dy  2xy  f  x , y0  2 ເມືອ່ f  x   x, 0  x 1 0, x  1 dx 105

ບດົ ທີ 3 ສມົ ຜນົ LAGRANGE: y  x(y')  (y') ແນະນຳວິທແີ ກ້ ວຳງ y'  p dy  p dx dy  pdx ແທນຄ່ຳ y'  p ໃສ່ y  x(y')  (y') ເຮຳົ ໄດ້: y  x(p)  (p) dy  dx(p)  (p) pdx  dx.(p)  x.d(p)  d(p) pdx  dx.(p)  x.d(p)  d(p) pdx  dx.(p)  x.'(p)dp  '(p)dp p  (p)dx  x.'(p)  '(p) dp ຫຳນທງັ ສອງຟຳກໃຫ້ dp p  (p) dx  x.'(p)  '(p) dp p  (p) x'  x.'(p)  '(p) p  (p) x'  x.'(p)  '(p) x'  ' (p) .x  ' (p) ເປັນສມົ ຜົນລີເນແອຮບູ ຮ່ຳງ x'  f (p)x  g(p) p  (p) p  (p) ນຳໃຊ້ສູດ x   g(p)e f ( p)dpdp    f (p )dp   e ແທນຄ່ຳ x   g(p)e f ( p)dpdp  e  f (p )dp ໃສ່ y  x(p)  (p).    ຕວົ ຢຳ່ ງ 1 : ແກສ້ ົມຜົນຈນຸ ລະຄະນິດ y  1 y' x  y'2 ວທິ ແີ ກ້ ວຳງ y'  p dy  p dx dy  pdx 106

 ແທນຄ່ຳ y'  p ໃສ່ y  1 y' x  y'2 ເຮົຳໄດ້: y  (1 p)x  p2 dy  d 1 p x  p2  pdx  d(1 p).x  dx.(1 p)  dp2 pdx  dx.(1 p)  dp.x  2p.dp p  (1 p)dx  (x  2p)dp dx  (x  2p)dp ຫຳນທັງສອງຟຳກໃຫ້ dp dx  x  2p dp x'  x  2p x'  x  2p ເປນັ ສົມຜົນລີເນແອຮບູ ຮ່ຳງ x'  f (p)x  g(p) ນຳໃຊ້ສດູx g(p)ef (p)dpdp ef (p)dp ເຊງີ່ ວຳ່ f (p)  1, g(p)  2p  x  2 pe  dpdp   dp e  x  2 pepdp ep  C ຄດິ ໄລ່ເຄຳົ້ ຕຳລຳພຳກສວ່ ນ pepdp x  2ep (p 1) ep  C x  2(p 1)  C x  2(p 1)  C ແທນຄ່ຳຂອງ x  2(p 1)  C ໃສ່ y  (1 p)x  p2 ເຮຳົ ໄດ້: y  1 p 21 p  C  p2 y  2(1 p)(1 p)  C(1 p)  p2 y  2(1 p2 )  C(1 p)  p2 y  2  2p2  C(1 p)  p2 y  p2  C(1 p)  2 ດັ່ງນັົ້ນ, ໃຈຜົນຂອງສົມຜົນ x  2(1 p)  C  y  p2  C(1  p)  2 ຕວົ ຢຳ່ ງ 2. ຈ່ັງົ ແກ້ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ົ ໜ່ີງ y'  2xy  2xex2 ວທິ ີແກ້ທີ 1: ເຮົຳມີ y'  2xy  2xex2 107

ແກສ້ ົມຜົນ y'  2xy  0 dy  2xdx  0 y  dy   2xdx  C1 y ln y  x2  C1 ln y  C1  x2 y  ex2 C1 y  ex2 C1 y  eC1 .ex2 ວຳງ: eC1  C y  C.ex2 ວຳງ: C  C x y'  C  x  .e x2 '      y'  C' ex2 ' x .ex2  x C  y'  C' x.ex2  x2 ' Cx .ex2 y'  C'  x .ex2  2x.C  x .ex2 ແທນຄ່ຳຂອງ y, y' ໃສ່ y'  2xy  2xex2 C' x.ex2  2x.Cx.ex2  2x.Cx.ex2  2xex2  C' x . ex2  2x ex2 C' x  2x d Cx  2x dx d Cx  2xdx  d Cx   2xdx Cx  x2 C ແທນຄ່ຳຂອງ Cx ໃສ່ y  C x .ex2   y  x2  C ex2 108

 ດັ່ງນນ້ົັ ໃຈຜົນຂອງສມົ ຜົນແມນ່ : y  x2  C ex2 . ວິທແີ ກ້ທີ 2: ແກ້ສມົ ຜນົ y'  2xy  2xex2 ເຮົຳມີ y'  p x y  q x ສະແດງວຳ່ p x  2x, q x   2xex2 ນຳໃຊ້ສດູ y    qx e p x dx dx    p x dx .   e y  e2xdx  2xex2 e2xdxdx   y  ex2 2xex2ex2dx  y  ex2 2 xdx  y  ex2 x2  C  ດັ່ງນັົນ້ ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜົນແມ່ນ: y  ex2 x2  C . ຕວົ ຢຳ່ ງ 3. ຈ່ງັົ ແກ້ສມົ ຜົນຈຸນລະຄະນດິ ຂັນົ້ ໜີ່ງ y'  2y  x 13 ເຊິີ່ງ y0  1 x 1 2 ວທິ ີແກ້: ເຮຳົ ມີ y'  2y  x 13 x 1 ເຮຳົ ມີ y'  p x y  q x ສະແດງວຳ່ px   2 , qx  x 13 x 1 ອງີ ຕຳມສດູ y    qx e p x dx dx  e  p x dx .     y q x e p x dx dx  e p x dx .   e2 1 dx  3 2 2  1 dx  x 1  x 1   y x 1 e  x e dx    x 1 3 eln  x 1 dx   y  elnx12  12     y  e2lnx1 x 1 3 e2lnx1dx   x 1 3 eln  x 1 dx   y  elnx12  12   109

 y  x 12 x 1dx y   x  12  1 x 2  x  C   2  ຈຳກເງ່ອີ ນໄຂ: y0  1 2 ເຮົຳມີ: y   x  12  1 x2  x  C   2  1  0 12  1 02  0  C  2  2  C 1 2 ແທນຄ່ຳຂອງ C 1 ໃສ່ y   x  12  1 x2  x  C  ເຮົຳໄດ້: 2  2  y   1 x 2  x  1   x 12  2 2   x2  2x 1 x 12 y 2 x 12 x 12 y 2 x 14 y 2 x 14 ດງ່ັ ນນົ້ັ ໃຈຜົນຂອງສມົ ຜນົ ແມນ່ : y  2 .  ຕວົ ຢຳ່ ງ 4. ຈົັ່ງແກສ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂ້ນັົ ໜງ່ີ x  y2 dy  ydx ວິທີແກ້: ສງັ ເກດເຫັນວ່ຳ:  - ຖ້ຳວຳ່ y ເປັນຕຳລຳ, x ເປັນຕວົ ປ່ຽນເອກະລຳດ. ສົມຜນົ x  y2 dy  ydx ບ່ໍແມ່ນສົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນ້ັົ ໜງ່ີ .  - ຖຳ້ ວຳ່ x ເປນັ ຕຳລຳ, y ເປັນຕວົ ປ່ຽນເອກະລຳດ. ສົມຜົນ x  y2 dy  ydx ແມ່ນສົມຜົນຈຸນລະຄະນິດຂົ້ັນ ໜີງ່ .  ເຮຳົ ມີ: x  y2 dy  ydx x  y2  y dx dy x  y2  y.x' 110

y.x'  x  y2 x'  1 x  y y ເຮຳົ ມ:ີ py   1, qy  y y ອງີ ຕຳມສດູy    q x e p x dx dx    p x dx .   e e 1 dx    1 dy  y  y  y ye dy  ln 1  ye ydy  y  eln y  yeln y  y. 1dy   y     y  dy  C y y  yy  C. ບດົ ເຝກິ ຫດັ ຈງັ່ົ ແກສ້ ົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລຸ່ມນລົ້ີ ມຸ່ ນົີ້ 1) 2y(y' 1)  xy'2 2) y' cos x  y sin x  sin 2x 3) xy'  y  ln x 1 4) xy'2  xy'  y  0 111

ບດົ ທີ 4 ສມົ ຜນົ CLIRAUT: y  xy'  (y') ແນະນຳວທິ ແີ ກ້ ວຳງ y'  p dy  p dx dy  pdx ແທນຄ່ຳ y'  p ໃສ່ y  xy'  (y') ເຮົຳໄດ້ y  xp  (p) dy  dxp  (p) pdx  dx.p  x.dp  d[(p)] pdx  dx.p  x.dp  ' (p)dp x.dp  ' (p)dp  0 x  ' (p) dp  0 dp  0   x  ' (p)  0 p  C  x  ' (p) ແທນຄ່ຳຂອງ x  '(p) ໃສ່ y  xp  (p) ເຮຳົ ໄດ້ y  (p).p  (p) ດງັ່ ນນົັ້ , ໃຈຜົນທັົວ່ ໄປຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ນ x  '(p)   y  ' (p).p  (p) ຕວົ ຢຳ່ ງ 1: ແກສ້ ມົ ຜົນຈຸນລະຄະນິດ y  xy'  1 y' ວທິ ແີ ກ້ ວຳງ y'  p dy  p dx dy  pdx 112

ແທນຄ່ຳ y'  p ໃສ່ y  xy'  1 ເຮຳົ ໄດ້: y' y  xp  1 p dy  d  xp  1   p    pdx  d(xp)  d  1   p    pdx  dx.p  x.dp  1 dp p2 x.dp  1 dp  0 p2  x  1  dp  0  p2    dp  0  x  1 p2 0 p  C  x  1 p2 0 p  C  x 1  p2 ແທນຄ່ຳຂອງ x  1 ໃສ່ y  xp  1 ເຮົຳໄດ້ p2 p y  p  1 p2 p y 11 pp y 2 p x  1 p2 ດ່ງັ ນ້ັົນ, ໃຈຜົນທັົວ່ ໄປຂອງສມົ ຜົນແມ່ນ  y 2  p ຕວົ ຢຳ່ ງ 2: ແກສ້ ົມຜນົ ຈຸນລະຄະນດິ y  2xy'  1 y' ວທິ ແີ ກ້ 113

ວຳງ y'  p dy  p dx dy  pdx ແທນຄ່ຳ y'  p ໃສ່ y  2xy'  1 ເຮຳົ ໄດ້: y' y  2xp  1 p dy  d  2xp  1   p    pdx  d(2xp)  d  1   p    pdx  2pdx  2x.dp  1 dp p2 pdx  2pdx  2x.dp  1 dp p2 pdx  2x.dp  1 dp p2 pdx  2x.dp  1 dp p2 pdx  2x.dp  1 dp ຫຳນທງັ ສອງຟຳກໃຫ້ dp p2 p dx  2x  1 dp p2 px'  2x  1 p2 px'  2x  1 ຫຳນທັງສອງຟຳກໃຫ້ p p2 x'  2 x  1 ເປນັ ຮບູ ຮຳ່ ງສົມຜນົ x'  f (p)x  g(p) p p3 ນຳໃຊ້ສູດ x g(p)e f ( p)dpdp    f (p )dp   e  1 e 2 dp   2 dp p3 p dp e p x    1 2 1 dp  2 1 dp p3 e p dp e p x   114

x   1 e2 ln pdp  e2ln p  p3    x   1 eln p2 dp  eln p2  p3   x   1 .p 2dp  .p2  p3   x   1 dp  .p2  p  x  ln p.p2  C x  ln p  C p ແທນຄ່ຳຂອງ x  ln p  C ໃສ່ y  2xp  1 ເຮຳົ ໄດ້ pp y  2p  ln p  C   1  p  p   ດັ່ງນນັ້ົ , ໃຈຜົນທວ່ັົ ໄປຂອງສົມຜົນແມ່ນ x  ln p  C  p y  2p  ln p  C   1  p  p   ບົດເຝກິ ຫັດ ຈງ່ົັ ແກສ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລມຸ່ ນລົີ້ ຸ່ມນ້ົີ 1) y  xy'  1 y'2 2) y  2xy'  y'2  x2 2 3) y  xy'  ey' 4) y  xy'  1 2y'2 5) y  xy'  y' ln y' 6) y  xy'  1 2y'2 7) y  xy'  b2  a2y'2 8) y  xy'  a 1 y'2 115

ບດົ ທີ 5 ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເີ ນແອຂນັ້ ສອງທມີ່ ສີ ຳປະສດິ ຄງົ ຄຳ່ 1. ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນິດລເີ ນແອຂນັ້ ສອງທມີ່ ສີ ຳປະສິດຄົງຄ່ຳ ນຍິ ຳມ: ສົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນິດລເີ ນແອຂ້ນັ ສອງທີ່ມີສຳປະສິດຄງົ ຄ່ຳຄື ສມົ ຜົນທີ່ຢູ່ໃນຮບູ ຮຳ່ ງ ຫື ສຳມຳດຂຽນໃຫ້ຢູ່ ໃນຮູບຂອງສົມຜົນ (1) ຕໄໍ່ ປນັ້ີ: ay\"  by'  cy  f (x) ...........................(1) ເມອື່ີ a  0 , b, c ເປັນຈຳນວນຄົງຄ່ຳ ແລະ f (x) ເປັນຕຳລຳຕ່ໍເນ່ີືອງຫວ່ຳງໄຂບຳງຫວ່ຳງເຊ່ນັ : 1. ay\"  2y'  y  x  4 2. y\"  y'  ex 3. y\"  7y'  y  0 2. ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອຂນັ້ ສອງເອກະພນ ນິຍຳມ: ຈະເອ້ນີັ ສມົ ຜົນ ay\"  by'  cy  0 ...........................(2) ເມືອີ່ a  0, b,c  ວ່ຳ “ສົມຜນົ ຂນັ້ ສອງເອກະພນ” ເຊນ່ັ : 1) 2y\"  5y'  2y  0 2) 4y\"  8y  0 ໃນກຳນຊອກຫຳໃຈຜົນຂອງສົມຜນົ ຂັ້ນສອງລເີ ນແອທີ່ມີສຳປະສິດຄົງຄຳ່ , ເພິ່ນີ ສົມມຸດໃຫ້ y  emx ເປັນໃຈຜົນ ຂອງສົມຜົນ (2) ຈຳກ y  emx  y'  memx ແລະ y\"  m2emx ແທນຄ່ຳ y, y' ແລະ y\" ໃສ່ ຜົນ (2) ຈະໄດ:້      a m2emx  b memx  cemx  0 ຫື emx am2  bm  c  0 ເພຳະ emx  0 ດັ່ງນນັ້ , ໄດ້ສົມຜົນຊ່ວຍຄື am2  bm  c  0 (3) ສະນັ້ນ ຈຳກສົມຜນົ (3) ເຮົຳໄດ:້ m1  b  b2  4ac ຫື m2  b  b2  4ac 2a 2a ຈະເຫນວຳ່ ຄ່ຳຂອງ m1 ແລະ m2 ທ່ໄີ ດ້ນ້ັນຂັ້ນຢູ່ກບຄ່ຳຂອງ b2  4ac ວ່ຳມີຄຳ່ ເປັນແນວໃດ ເຊີິ່ງເຮົຳຈະ ພິຈຳລະນຳເປນັ ແຕລ່ ະກລະນີດງ່ັ ຕ່ໍໄປນ້:ັີ ກລະນທີ ີ 1: ຖ້ຳ b2  4ac  0 ຈະໄດ້ m1  b  b2  4ac , m2  b  b2  4ac ເຊິ່ງີ ເປັນຈຳນວນຈງິ 2a 2a ທງສອງ. ດງ່ັ ນັ້ນ ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜນົ (2) ໃນກລະນີນ້ັີຄ:ື y  c1em1x  c2em2x ເມ່ອີື c1, c2 ເປນັ ຈຳນວນຄງົ ຄ່ຳ ຕວົ ຢຳູ່ ງ 1. ຈ່ົັງແກສ້ ົມຜົນຈຸນລະຄະນິດຕໍ່ໄປນ:ັ້ີ 1. 2y\"  5y'  3y  0 2. y\"  9y' 14y  0, y(0)  1, y'(0)  3 ບດົ ແກ້ 1. ຈຳກ 2y\"  5y'  3y  0 116

ມສີ ົມຜົນຊ່ວຍຄື: 2m2  5m  3  0 ຫື (2m 1)(m  3)  0 ໄດ້ m1 1, m2 3 2 ດ່ງັ ນນ້ັ , ໃຈຜົນຂອງສົມຜົນແມນ່ y  1x  c2e3x c1e 2 2. ຈຳກ y\"  9y' 14y  0 ມີສົມຜົນຊວ່ ຍຄ:ື m2  9m 14  0 ຫື (m  7)(m  2)  0 ໄດ້ m1  2, m2  7 ດງັ່ ນນ້ັ , ໃຈຜົນທັວົ່ ໄປແມນ່ y  c1e2x  c2e7x ຈກ y  c1e2x  c2e7x ໄດ້ y'  2c1e2x  7c2e7x ດັງ່ ນ້ນັ , ຈຳກເງ່ືອີ ນໄຂເລີ່ມຕນ້ັົ ທ່ີໃຫ້ມຳຄື: y(0)  1  1  c1  c2 ...................(1) ແລະ y'(0)  3  3  2c1  7c2 ...................(2) ເອຳົ (2)  (2)  (1) ໄດ້ c2  1 ແລະ c1  2 ດັ່ງນ້ນັ , ເຮົຳໄດ້ໃຈຜນົ ສະເພຳະແມ່ນ y  2e2x  e7x ກລະນທີ ີ 2: ຖ້ຳ b2  4ac  0 ຈະໄດ້ m1  m2  b , ດ່ັງນັ້ນ ໃຈຜົນຂອງສົມຜົນ (2) ໃນກລະນີນ້ີັຄື: 2a y  c1em1x  c2em2x  (c1  c2x)em1x ເມອ່ີື c1, c2 ເປນັ ຈຳນວນຄງົ ຄ່ຳ ຕວົ ຢຳູ່ ງ 2. ຈົງ່ັ ແກສ້ ົມຜົນຈນຸ ລະຄະນິດຕໍ່ໄປນ:ີ້ັ 1. y\"  2 3y'  3y  0 2. y\"  4y'  4y  0, y(0)  3, y'(0)  1 ບດົ ແກ້ 1. ຈຳກ y\"  2 3y'  3y  0 ມສີ ົມຜົນຊວ່ ຍຄື: m2  2 2m  3  0 ຫື  2 m  3 ໄດ້ m1  m2  3 ດັງ່ ນນັ້ , ໃຈຜົນທັົ່ວໄປແມນ່ y  c1e 3x  c2xe 3x  c1  c2x  e 3x 2. ຈຳກ y\"  4y'  4y  0 ມສີ ົມຜນົ ຊວ່ ຍຄື: m2  4m  4  0 ຫື (m  2)2  0 ໄດ້ m1  m2  2 ດງ່ັ ນ້ັນ, ໃຈຜົນທວ່ົັ ໄປແມ່ນ y  c1e2x  c2e2x ດງ່ັ ນັນ້ , ຈຳກເງ່ືອີ ນໄຂເລີ່ມຕ້ົັນທ່ີໃຫ້ມຳຄື: y(0)  3  3  c1 ແລະ y'(0) 1  1  c1  c2 ສະນັ້ນ c1  3 ແລະ c2  5 117

ດັງ່ ນັ້ນ, ເຮຳົ ໄດ້ໃຈຜົນສະເພຳະແມນ່ y  3e2x  5xe2x  (3  5x)e2x ກລະນທີ ີ 3: ຖຳ້ b2  4ac  0 ໃນກລະນນີ ີັ້ຮຳກເປນັ ຈຳນວນສົນ ເຮຳົ ຈະໄດ້ m  b  b2  4ac  a   2a ເມ່ີືອ , ເປນັ ຈຳນວນຈງິ . ດ່ງັ ນນ້ັ ໃຈຜົນຂອງສົມຜນົ (2) ໃນກລະນນີ ີັຄ້ ື: y  e c1 cosx  c2 sin x  ເມີອື່ c1, c2 ເປັນຈຳນວນຄງົ ຄ່ຳ ຕວົ ຢຳູ່ ງ 3. ຈ່ັງົ ແກສ້ ົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຕໍ່ໄປນ້ີ:ັ 1. 3y\"  y'  y  0 2. y\"  2y' 10y  0, y(0)  4, y'(0)  1 ບດົ ແກ້ 1. ຈຳກ 3y\"  y'  y  0 ມີສົຜົນຊ່ວຍຄ: 3m2  m 1  0 ເຮົຳຊອກໄດ້ m  1 1 4(3)(1)   1  11 i 2(3) 6 6 ສະນ້ັນ    1 ແລະ   11 66 1x  11 x  c2 sin 11 x  ດັ່ງນ້ັນ, ໃຈຜົນທວັ່ົ ໄປແມນ່ y  e 6  c1 cos 6 6  2. ຈຳກ y\"  2y' 10y  0 ມີສົມຜົນຊວ່ ຍຄື: m2  2m 10  0 ໄດ້ m  (1)  (1)2 10(1)  1 3i ສະນນັ້   1 ແລະ   1 1x ສະນັ້ນ, ໃຈຜົນທວັ່ົ ໄປແມ່ນ y  e 6 (c1 cos 3x  c2 sin 3x) ໄດ້ y'  ex (c1  3c2 ) cos 3x  (c2  3c1) sin 3x ຈຳກເງື່ີອນໄຂເລີ່ມຕ້ນົັ ທີ່ໃຫ້ມຳຄື: y(0)  4  4  c1 ແລະ y'(0)  1  1  c1  3c2 ສະນັ້ນ c1  4 ແລະ c2  1 ດ່ງັ ນ້ັນ, ເຮົຳໄດ້ໃຈຜນົ ສະເພຳະແມ່ນ y  ex (4cos 3x  sin 3x)e2x 3. ສມົ ຜນົ ເອກະພນ ນິຍຳມ: ຈະເອ້ນັີ ສົມຜົນ ay\"  by'  cy  f (x) ...........................(1) ເມື່ີອ a  0, b,c  ວ່ຳ “ສມົ ຜນົ ຂນ້ັ ສອງບເ່ໍ ອກະພນ” ແລະ g(x)  0 ເຊນ່ັ : 1) y\"  5y'  6y  x  ex 2) 3y\"  4y  sin 2x ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜົນ (1) ຈະຢູ່ໃນຮູບຮ່ຳງຜນົ ບວກຂອງສອງໃຈຜົນຄື: ໃຈຜົນທັົ່ວໄປ ແລະ ໃຈຜນົ ສະເພຳະ ນນ້ັ ຄ:ື y  yc (x)  yp (x) ເຊງີ່ິ yc (x) ແມ່ນໃຈຜົນທວ່ັົ ໄປຂອງສົມຜນົ ເອກະພນ ay\"  by'  cy  0 ແລະ yp (x) ແມນ່ ໃຈຜົນສະເພຳະຂອງສົມຜົນບ່ໍເອກະພນ. ກຳນຊອກຫຳໃຈຜົນສະເພຳະ yp (x) ເຊ່ິງີ ເປນັ ຮບູ ຮ່ຳງທວ່ົັ ໄປຂອງ g(x) ທ່ີຍງບ່ໍທນຮູ້ຄຳ່ ສຳປະສິດຄືດ່ັງ 118

ສະແດງໃສຕ່ ຳຕະລຳງຕ່ໄໍ ປນ:ັ້ີ g(x) ຮູບຮ່ຳງທວັ່ົ ໄປຂອງ yp (x) anxn  an1xn1  ...  a1x  a0  xs An xn  An1xn1  ...  A1x  A0  an xn  an1xn1  ...  a1x  a0 ekx  xs An xn  An1xn1  ...  A1x  A0 ekx    xs  Anxn ...  A0 cos kx Anxn ...  A0 sin kx xn sin kx ຫື xn cos kx eax sin x ຫື eax cosx xs A cosx  ...  Bsin x eax xneax sin bx ຫື xneax cos bx    xs  Anxn ...  A0 cosx Anxn ...  A0 sin x eax ເຊ່ງີິ s  0,1, 2ແມ່ນຈຳນວນທນ່ີ ້ອຍທີ່ສຸດເມ່ີືອຄູນ xs ເຂັົຳ້ ໄປແລ້ວເຮດໃຫ້ພົດໃນ yp (x) ບໍຊ່ ໍ້ຳກບພົດໃດພົດໜີງ່ ໃນ yc ຕວົ ຢຳູ່ ງ 4: ຈງ່ັົ ແກ້ສມົ ຜນົ y\"  2y'  y  ex ບດົ ແກ:້ ຈຳກ y\"  2y'  y  ex ........................(1)  ຊອກຫຳ yc (x) : ເຊີງິ່ ສົມຜນົ ຊວ່ ຍຄື: m2  2m 1  0 ຫື (m 1)2  0 ແລະ m1  m2  1 ດງ່ັ ນ້ັນ yc (x)  c1ex  c2xex ເມອ່ີື c1, c2 ເປນັ ຈຳນວນຄົງຄ່ຳ  ຊອກຫຳ yp (x) : ເພຳະວ່ຳ g(x)  ex ດງ່ັ ນນັ້ ຈຳກຕຳຕະລຳງໄດ້ yp (x)  xsAex ເຊ່ງີິ ເຮົຳເລອື ກ s  2 ໃນທ່ີນີັ້ຈີງ່ ຈະບໍ່ຊ້ໍຳກບພົດໃດໜີ່ງໃນ yc ນນັ້ ຄື yp (x)  xsAex ແລະ y'p (x)  A(2xex  x2ex ), y\"p (x)  A(2ex  4xex  x2ex ) ແທນຄ່ຳ yp (x), y'p (x) ແລະ y\"p (x) ໃສ່ (1) ໄດ້ y\"p  2y'p  yp  A(2ex  4xex  x2ex )  2A(2xex  x2ex )  Ax2ex  ex 2Aex  ex ຫື 2Aex  ex ໄດ້ A1 ສະນັນ້ yp (x)  1 x2ex 2 2 ດງັ່ ນນັ້ ໃຈຜນົ ທົ່ວັ ໄປຂອງສົມຜນົ (1) ຄື: y  yc (x)  yp (x)  c1ex  c2ex  1 x2ex 2 ຕວົ ຢຳູ່ ງ 5: ຈງັົ່ ແກສ້ ມົ ຜນົ y\"  3y'  4y  4x2 ບດົ ແກ:້ ຈຳກ y\"  3y'  4y  4x2..........................(1)  ຊອກຫຳ yc (x) : ເຊິີ່ງສົມຜົນຊວ່ ຍຄື: m2  3m  4  0 ຫື (m  4)(m 1)  0 ແລະ m1  m2  1 ດ່ັງນ້ນັ yc (x)  c1e4x  c2xex ເມ່ອີື c1, c2 ເປັນຈຳນວນຄົງຄ່ຳ  ຊອກຫຳ yp (x) : ເພຳະວ່ຳ g(x)  4x2 ດັງ່ ນັ້ນ yp (x)  xsAex ເລືອກ s  0 ໄດ້ yp (x)  xsAex ແລ້ວ y'p (x)  2Ax ແລະ y\"p (x)  2A ແທນຄ່ຳ yp (x), y'p (x) ແລະ y\"p (x) ໃສ່ (1) ຈະໄດ້ 119

2A  3(2Ax)  4Ax2  4x2 ຫື 4Ax2  (6A)x  2A  4x2 ປຽບທຽບສຳປະສິດ ຂອງ x ຈະໄດ້ 4A  4  A  1, 6A  0  A  0 ແລະ 2A  0  A  0 ແຕ່ເມອ່ີື ເອົຳ A  1 ແລະ A  0 ໄປແທນໃສ່ yp (x) ເຫນວ່ຳໃຊ້ບ່ໍໄດ້ທງສອງຄຳ່ ສະແດງວ່ຳ yp (x) ບ່ໍຢູ່ໃນ ຮູບຮ່ຳງ yp (x)  Ax2 ເພຳະສະນ້ັນແລ້ວ ມຳພິຈຳລະນຳ yp (x)  xs (Ax2  Bx  C) ເລອື ກ s  0 ໄດ້ yp (x)  Ax2  Bx  C ແລ້ວ y'p (x)  2Ax  B ແລະ y\"p (x)  2A ແທນຄ່ຳ yp (x), y'p (x) ແລະ y\"p (x) ໃສ່ (1) ຈະໄດ້ 2Aex  ex ຫື 2A  3(2Ax  B)  4(Ax2  Bx  C)  4x2 ຫື 4Ax2  (4B  6A)x  (2A  3B  4C)  4x2 ປຽບທຽບສຳປະສິດຂອງ x ຈະໄດ້ 4A  4 ...............(2) 4B  6A  0 ...............(3) 2A  3B  4C  0 ...............(4) ຈຳກສມົ ຜນົ (2), (3) ແລະ (4) ໄດ້ A  1, B  2 , C  13 38 ດງັ່ ນັ້ນ y  yc (x)  yp (x)  c1e4x  c2ex  x2  3 x  13 . 2 8 ຕວົ ຢຳູ່ ງ 6: ຈົງັ່ ແກ້ສົມຜນົ y\"  4y'  4y  4sin x ບດົ ແກ:້ ຈຳກ y\"  4y'  4y  4sin x ...................(1)  ຊອກຫຳ yc (x) : ເຊງ່ີິ ສົມຜົນຊວ່ ຍຄ:ື m2  4m  4  0 ຫື (m  2)2  0 ແລະ m1  m2  2 ດັງ່ ນນ້ັ yc (x)  c1e2x  c2xe2x ເມ່ີອື c1, c2 ເປນັ ຈຳນວນຄົງຄ່ຳ  ຊອກຫຳ yp (x) : ເພຳະວຳ່ g(x)  4sin x ດ່ັງນນັ້ yp (x)  xs (A cos x  Bsin x) ເລືອກ s  0 ໄດ້ yp (x)  A cos x  Bsin x ແລ້ວ y'p (x)  A sin x  Bcos x ແລະ y\"p (x)  A cos x  Bsin x ແທນຄ່ຳ yp (x), y'p (x) ແລະ y\"p (x) ໃສ່ (1) ຈະໄດ້ (A cos x  Bsin x)  4(Asin x  Bcos x)  4(A cos x  Bsin x)  4sin x ຫື (3A  4B) cos x  (4A  3B)sin x  4sin x ປຽບທຽບສຳປະສິດຂອງ sin x, cos x ຈະໄດ້ 4A  3B  4 ...............(2) 3A  4B  0 ...............(3) ຈຳກສົມຜນົ (2) ແລະ (3) ໄດ້ A   16 , B  12 ສະນນັ້ yp (x)   16 cos x  12 sin x 25 25 25 25 ດງ່ັ ນນ້ັ y  yc (x)  yp (x)  c1e2x  c2e2x  16 cos x  12 sin x. 25 25 120

ຕວົ ຢຳູ່ ງ 7: ຈົງ່ັ ແກ້ບນຫຳຄ່ຳເລີ່ມຕນົ້ັ y\"  y  4x 10sin x, y()  0, y'()  2 ບດົ ແກ:້ ຈຳກ y\"  y  4x 10sin x ...................(1)  ຊອກຫຳ yc (x) : ເຊິີ່ງສົມຜົນຊ່ວຍຄ:ື m2 1  0 ຫື m2  1 ແລະ m  i ດງັ່ ນນັ້ yc (x)  c1 cos x  c2 sin x ເມີອ່ື c1, c2 ເປນັ ຈຳນວນຄງົ ຄ່ຳ  ຊອກຫຳ yp (x) : ເພຳະວຳ່ g(x)  4x 10sin x ດ່ັງນັນ້ yp (x)  yp1 (x)  yp2 (x) ຈຳກຕຳຕະລຳງ ໄດ້ yp1 (x)  xs (Ax  B) ເຮຳົ ເລືອກ s  0 ໄດ້ yp2 (x)  xs (E cos x  Fsin x) ເຮົຳເລືອກ s  1 ໃນທນີ່ ັ້ີຈງ່ີ ຈະບ່ໍຊຳໍ້ ກບພົດໃດໜ່ງີ ໃນ yc ນນ້ັ ຄື yp (x)  Ax  B  Ex cos x  Fx sin x ແລະ y'p (x)  A  E cos x  Fsin x  Ex sin x  Fx cos x, y\"p (x)  2E sin x  2Fcos x  Ex cos x  Fx sin x ແທນຄ່ຳ yp (x), y'p (x) ແລະ y\"p (x) ໃສ່ (1) ຈະໄດ້ y\"p (x)  yp (x)  Ax  B  2Fcos x  2E sin x  4x 10sin x ປຽບທຽບສຳປະສິດ ຂອງ A  4, B  0,  2E 10, 2F  0  A  4, B  0, E  5 ແລະ F  0 ສະນັນ້ yp (x)  4x  5x cos x ດ່ງັ ນ້ັນ ໃຈຜົນຂອງສມົ ຜນົ ແມນ່ y  yc (x)  yp (x)  c1 cos x  c2 sin x  4x 5x cos x .............(2) ຈຳກເງີ່ອື ນໄຂເລ່ີມຕັົ້ນທີ່ໃຫ້ມຳຄ:ື y()  0, y'()  2 ແທນຄ່ຳ x  , y  0 ໃນ (2) : y()  c1 cos   c2 sin   4  5cos   0 ໄດ້ c1  9 ຈຳກຜົນຕຳລຳຂອງ (2) y'  9sin x  c2 cos x  4  5x sin x  5cos x ແລະ y'()  9sin   c2 cos   4  5sin   5cos   2 ໄດ້ c2  7 ດງັ່ ນນ້ັ ໃຈຜົນສະເພຳະບນຫຳກຳນເລີມ່ ຕນ້ັົ ແມນ່ y  9cos x  7sin x  4x  5x cos x 4. ເທກນກິ ກຳນແກສ້ ມົ ຜນົ ຈຸນລະຄະນິດລເີ ນແອຂ້ນັ ສອງທມີ່ ສີ ຳປະສຳຄງົ ຄ່ຳ 1. ຈ່ງົັ ຊອກຫຳຜົນສະເລ່ຍທັ່ວົ ໄປຂອງສມົ ຜົນລີແນເອຂ້ັນສອງບເ່ໍ ອກະພນຕໍ່ໄປນ:້ີັ 1) (D2  5D  6) y  x2  2x..............(1) ວທິ ແີ ກ້: ຊອກຫຳ yc ຈຳກສມົ ຜນົ (D2  5D  6) y  0 ເຮົຳມີສົມຜນົ ຊ່ວຍແມ່ນ: r2  5r  6  0 (r  2)(r  3)  0 r1  2, r2  3 ສະນ້ນັ , yc  c1e2x  c2e3x ເມືອີ່ c1 ແລະ c2 ເປັນຈຳນວນຄງົ ຄ່ຳ + ຊອກຫຳ yp ໄດ້ດັງ່ ນ້ີ:ັ ຈຳກ f (x)  x2  2x ເຮຳົ ວ່ຳງ yp  Ax2  Bx  c 121

Dyp  2Ax  B D2 yp  2A ຈຳກບົດເລກ (D2  5D  6) y  x2  2x D2 y  5Dy  6 y  x2  2x ແທນຄ່ຳ D2 y ດ້ວຍ D2 yp  2A ແທນຄ່ຳ Dy ດ້ວຍ Dyp  2Ax  B ແທນຄ່ຳ y ດວ້ ຍ yp  Ax2  Bx  c 2A  5(2Ax  B)  6( Ax2  Bx  C)  x2  2x ຈະໄດ້: 2A 10Ax  5B  6Ax2  6Bx  6C  x2  2x 6Ax2  (10A  6B)  (2A  5B  6C)  x2  2x ທຽບສຳປະສດິ ເຮົຳຈະໄດ້: 6A  1 A  1 6 10A  6B  2  5  6B  2  B  1 3 18 2A  5B  6C  0 C   11 108 ສະນນ້ັ , yp  1 x2 1 x  11 6 18 108 ດ່ັງນ້ັນ, ໃຈຜົນຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ນຂອງສົມຜົນຄືີ່ : y  yc  yp  c1e2 x  c2e3x  1 x2 1 x  11 6 18 108 2) y  2y  y  x  5.............(1) ວທິ ແີ ກ້: ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜົນ y  2y  y  0 ເຮຳົ ມີສົມຜນົ ຊວ່ ບແມນ່ : r2  2r 1  0 (r 1)2  0 r1  r2  r  1 ສະນ້ນັ , yc  c1ex  c2xex ເຊິີ່ງ c1 ແລະ c2 ເປນັ ຈຳນວນຄົງຄ່ຳ ຊອກຫຳ yp ໄດດ້ ງ່ັ ນີັ:້ ຈຳກ f (x)  x  5 ເຮຳົ ວຳງ yp  Ax  B yp  A yp  0 ເອົຳຄ່ຳຂອງ yp , yp ແລະ yp ແທນໃສ່ສມົ ຜນົ y  2y  y  x  5 122

ຈະໄດ:້ 0  A  Ax  B  x  5 Ax  (A  B)  x  5 ເຮຳົ ທຽບສຳປະສິດຈະໄດ:້ A 1 AB 5 B4 ສະນ້ນັ , yp  x  4 ດງັ່ ນນັ້ , ໃຈຜົນທັວ່ົ ໄປຂອງສົມຜົນແມ່ນ: y  c1ex  c2xex  x  4 3) (D2  D  2) y  e3x.............(1) ວທິ ແີ ກ:້ + ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜົນ (D2  D  2) y  0 ເຮົຳມສີ ົມຜົນຊ່ວຍແມ່ນ: r2  r  2  0 (r 1)(r  2)  0 r1  1; r2  2 ສະນນັ້ , yc  c1ex  c2e2x + ຊອກຫຳ yp ຈຳກ f (x)  e3x ວຳງໃຫ້ yp  Ae3x Dyp  3Ae3x D2 yp  9Ae3x ເອົຳຄ່ຳຂອງ D2 yp , Dyp ແລະ yp ແທນໃສ່ສົມຜນົ (D2  D  2) y  e3x ຫື D2 y  Dy  2 y  e3x ຈະໄດ້: 9Ae3x  3Ae3x  2Ae3x  e3x  4Ae3x  e3x  4A  1 A  1 4 ສະນ້ັນ, yp  1 e3x 4 ດ່ັງນນັ້ ,ຜົນສະເລຍ່ ທົວ່ັ ໄປຂອງສົມຜນົ ແມ່ນ: y  c1e x  c2e2 x  1 e3x 4 4) y  y  6y  2x3  5x2  7x  2 ວທິ ແີ ກ້: + ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜນົ y  y  6y  0 ເຮົຳມສີ ົມຜນົ ຊວ່ ຍແມນ່ : r2  r  6  0 (r  3)(r  2)  0 r1  3; r2  2 ສະນ້ັນ, yc  c1e3x  c2e2x + ຊອກຫຳ yp ໄດ້ດງັ່ ນີ້ັ: ຈຳກ f (x)  2x3  5x2  7x  2 123

ເຮົຳວຳງ yp  xs ( Ax3  Bx2  Cx  D) ເລອື ກໃຫ້ s  0 ໄດ:້ yp  Ax3  Bx2  Cx  D yp  3Ax2  2Bx  C yp  6Ax  2B ເອົຳຄ່ຳຂອງ yp , yp ແລະ yp ແທນໃສ່ສົມຜົນ y  y  6 y  2x3  5x2  7x  2 ຈະໄດ້: 6Ax  2B  3Ax2  2Bx  C  6( Ax3  Bx2  Cx  D)  2x3  5x2  7x  2 6Ax3  (3A  6B)x2  (6A  6C  2B)x  (2B  C  6D)  2x3  5x2  7x  2  A   1  3 6A  2  3A B  1 ທຽບສຳປະສດິ ເຮ່ຈົັ ະໄດ້: 6 A  6B  5  C  2B  6C  2B  7   1  C  6D  2 D 2 7 12 ສະນັນ້ , yp  1 x3  x2  1 x 7 3 2 12 ດ່ັງນ້ັນ, ຜນົ ສະເລ່ຍທັົ່ວໄປແມນ່ : y  c1e3x  c2e2 x   1 x3  x2  1 x  7 3 2 12 5) (9D2 1) y  x sin x ວທິ ແີ ກ:້ + ຊອກ yc ຈຳກສົມຜົນ (9D2 1) y  0 ຫື 9D2 y  y  0 ເຮົຳມີສົມຜນົ ຊວ່ ຍແມ່ນ: r2 1  0  r1  r2  r 1 ສະນ້ນັ , yc  c1ex  c2xex + ຊອກຫຳ yp ໄດ້ດງັ່ ນ:້ັີ ຈຳກ f (x)  x sin x ເຮົຳວຳງ yp  (Ax  B) cos x  (Cx  D)sin x yp  B cos x  Dsin x  Ax cos x  Cx sin x Dyp  Acos x  (Ax  B)sin x  C sin x  (Cx  D) cos x D2 yp   Asin x [Asin x  ( Ax  B) cos x]  C cos x  C cos x  (Cx  D)sin x D2 yp  (2A  D)sin x  (B  2C) cos x  Ax cos x  Cx sin x ເອົຳຄ່ຳຂອງ D2 yp ແລະ yp ແທນໃສ່ສມົ ຜນົ (9D2 1) y  x sin x ຫື 9D2 y  y  0 ຈະໄດ:້ 9{(2A  D)sin x  (B  2C) cos x  Ax cos x  Cxsin x} (B cos x  Dsin x  Ax cos x  Cx sin x) 124

(18A  9D  D)sin x 10Cxsin x  (9B 18C  B) cos x 10Ax cos x  x sin x (18A 10D)sin x 10Cxsin x  (10B 18C) cos x 10Ax cos x  x sin x A 0  ເມອ່ືີ ທຽບສຳປະສິດຈະໄດ:້ 18 A 10D  0  B   9 10C 1  0   50 10B  18C C  0 1 10 A 0 D  10 ສະນັນ້ , yp  9 cos x 1 x sin x 50 10 ດງັ່ ນ້ັນ,ຜນົ ສະເລຍ່ ທວັົ່ ໄປແມ່ນ: y  c1ex  c2 xe x   9 cos x  1 x sin x 50 10 6) y  y  2y  2x  40cos 2x ວທິ ແີ ກ້: + ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜນົ y  y  2y  0 ເຮຳົ ມສີ ົມຜນົ ຊວ່ ຍແມ່ນ: r2  r  2  0 (r  2)(r 1)  0 r1  2; r2  1 ສະນ້ັນ, yc  c1e2x  c2ex + ຊອກຫຳ yp ໄດ້ດ່ັງນ້:ັີ ຈຳກ f (x)  2x  40cos 2x ເຮຳົ ວຳງ yp  Ax  B  D cos 2x  E sin 2x yp  A  2D sin 2x  2E cos 2x yp  4 cos 4x  4E sin 2x ເອົຳຄ່ຳຂອງ yp , yp ແລະ yp ແທນໃສ່ສົມຜນົ y  y  2y  2x  40cos 2x ເຮົຳຈະໄດ້: 4 cos 2x  4E sin 2x  A  2D sin 2x  2E cos 2x  2( Ax  B  D cos 2x  E sin 2x)  2x  40 cos 2x  2Ax  ( A  2B)  (4  2E  2D) cos 2x  (4E  2D  2E)sin 2x  2x  40 cos 2x ເມອ່ືີ ທຽບສຳປະສິດເຮຳົ ຈະໄດ້: 2A  2  40  A  1 A  2B  0   4  2E  2D B  1 4E  2D  2E  0  2 D 6  E  2 ສະນັນ້ , yp  x  1  6 cos 2x  2 sin 2x 2 125

ດ່ງັ ນນັ້ , ຜນົ ສະເລ່ຍທົ່ັວໄປແມ່ນ: y  c1e2 x  c2ex  x  1  6 cos 2x  2 sin 2x 2 7) (D2 1) y  sin x ວທິ ີແກ້: + ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜນົ (D2 1) y  0 ຫື D2 y  y  0 ເຮຳົ ມີສມົ ຜນົ ຊວ່ ຍແມນ່ : r2 1  0  r  i ສະນນັ້ , yc  c1 cos x  c2 sin x + ຊອກຫຳ yp ໄດດ້ ່ງັ ນ:ີັ້ ຈຳກ f (x)  sin x ເຮົຳວຳງ yp  xs ( Acos x  B sin x) ເພື່ອີ ບໍ່ໃຫ້ພົດຂອງ yp ຊຳັ້ ຄືນພົດໃດພດົ ໜງ່ີ ຂອງ yc ເລອື ກ s  1 ຈະໄດ້: yp  x(Acos x  Bsin x) Dyp  Acos x  B sin x  x(Asin x  B cos x) D2 yp  Asin x  B cos x  (Asin x  B cos x)  x(Acos x  B sin x) ເອົຳຄ່ຳຂອງ D2 yp , yp ແທນໃສ່ສົມຜນົ (D2 1) y  sin x ຫື D2 y  y  0 ຈະໄດ:້  Asin x  B cos x  ( Asin x  B cos x)  x( Acos x  B sin x)  x( Acos x  B sin x)  sin x  2Asin x  2B cos x  Ax cos x  Bx sin x  Ax cos x  Bx sin x  sin x  2Asin x  2B cos x  sin x ເມືີອ່ ທຽບສຳປະສິດຈະໄດ້: 2A  1   A   1 ສະນ້ັນ, yp   1 x cos x 2B  0   0 2 2 B ດັ່ງນັ້ນ, ຜນົ ສະເລ່ຍທ່ັວົ ໄປແມນ່ : y  c1 cos x  c2 sin x   1 x cos x 2 8) (D2  5d  6) y  ex sin x ວທິ ແີ ກ:້ + ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜົນ (D2  5d  6) y  o ຫື D2 y  5Dy  6y  0 ເຮຳົ ມສີ ົມຜົນຊ່ວຍແມນ່ : r2  5r  6  0 (r  2)(r  3)  0 r1  2; r2  3 ສະນັນ້ , yc  c1e2x  c2e3x 126

+ ຊອກຫຳ yp ໄດ້ດ່ັງນີ້:ັ ຈຳກ f (x)  ex sin x ເຮົຳວຳງ yp  xs ( Acos x  B sin x)ex ເຮຳົ ເລືອກ s  0 ເຮຳົ ຈະໄດ:້ yp  ( Acos x  B sin x)ex Dyp  ( Asin x  B cos x)ex  ( Acos x  B sin x)ex Dyp  [( A  B) cos x  (B  A) sin x]ex D2 yp  [( A  B) sin x  (B  A) cos x]ex  [( A  B) cos x  (B  A) sin x]ex D2 yp  [( A  B  B  A) sin x  (B  A  A  B) cos x]ex D2 yp  2Asin x  2B cos x ເອົຳຄ່ຳຂອງ D2 yp , Dyp ແລະ yp ແທນໃສ່ສມົ ຜນົ (D2  5d  6) y  ex sin x ຫື D2 y  5Dy  6y  0 ຈະໄດ້: (2Asin x  2B cos x)ex  5[( A  B) cos x  (B  A)sin x]ex  6[( Acos x  B sin x)ex ]  ex sin x [2A  5(B  A)  6B]ex sin x [2B  5( A  B)  6A]ex cos x  ex sin x (3A  B)ex sin x  ( A  3B)ex cos x  ex sin x ເມອີື່ ທຽບສຳປະສິດຈະໄດ:້ 3A  B  1.......(1)   A  3B  0.......(2) ເອົຳ 3(1)+(2) ຈະໄດ:້ 10A  3  A  3 ແທນໃສ່ສົມຜົນ (1) ໄດ:້ 3 3  B  1 B  1 10 10 10 ສະນນັ້ , yp  (3 cos x 1 sin x)ex 10 10 ດັງ່ ນນັ້ , ຜົນສະເລຍ່ ທ່ວົັ ໄປແມ່ນ: y  c1e2 x  c2e3x  (3 cos x  1 sin x)ex 10 10 9) (D3  D) y  x ວທິ ແີ ກ້: + ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜນົ (D3  D) y  o ຫື D3 y  Dy  0 ເຮຳົ ມີສມົ ຜົນຊ່ວຍແມນ່ : r3  r  0 r(r 1)(r 1)  0 r  0; r  1; r  1 ສະນນັ້ , yc  c1er1x  c2er2x  c3er3x  c1e0x  c2ex  c3ex  c1  c2ex  c3ex + ຊອກຫຳ yp ໄດ້ດ່ັງນ:້ີັ ຈຳກ f (x)  x ເຮົຳວຳງ yp  xs ( Ax  B) ເພືອ່ີ ບ່ໍໃຫ້ພົດຂອງ yp ຊຳຄນື ພົດໃດພດົ ໜ່ີງຂອງ yc ເລອື ກ s  1 127

yp  Ax2  Bx Dyp  2 Ax  B D2 yp  2A D3 yp  0 ເອຳົ ຄ່ຳຂອງ D3 yp , Dyp ແທນໃສ່ສມົ ຜົນ (D3  D) y  x ຫື D3 y  Dy  0 ຈະໄດ້: 0  (2Ax  B)  x  2Ax  B  x ເມືີ່ອທຽບສຳປະສິດຈະໄດ້: 2A  1   A   1 ສະນັນ້ , yp   1 x2 B  0   0 2 2 B ດັ່ງນນັ້ , ຜນົ ສະເລ່ຍທັວ່ົ ໄປແມນ່ : y  c1  c2e x  c3ex  1 x2 2 10) (D3  D) y  4ex  3e2x ວທິ ແີ ກ້: + ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜົນ (D3  D) y  o ຫື D3 y  Dy  0 ເຮຳົ ມີສມົ ຜນົ ຊວ່ ຍແມນ່ : r3  r  0 r(r 1)(r 1)  0 r  0; r  1; r  1 ສະນ້ນັ , yc  c1er1x  c2er2xc3er3x  c1e0x  c2exc3ex  c1  c2ex  c3ex + ຊອກຫຳ yp ໄດ້ດງ່ັ ນີ:ັ້ ຈຳກ f (x)  4ex  3e2x ວຳງ yp  Aex  Be2x ເພື່ອີ ບໍ່ໃຫ້ພດົ ຂອງ yp ( Aex ) ຊຳ້ັ ຄືນພົດໃດພົດໜ່ີງຂອງ yc ເຮົຳວຳງອີກ yp  Axex  Be2x Dyp  Aex  Axex  2Be2x D2 yp   Aex  ( Aex  Axex )  4Be2x D2 yp  ( Ax  2A)ex  4Be2x D3 yp  Aex  ( Ax  2A)ex  8Be2x D3 yp  3Aex  Axex  8Be2x ເອຳົ ຄ່ຳຂອງ D3 yp , Dyp ແທນໃສ່ສມົ ຜົນ (D3  D) y  4ex  3e2x ຫື D3 y  Dy  4ex  3e2x ຈະໄດ້: 3Aex  Axex  8Be2x  ( Aex  Axex  2Be2x )  4ex  3e2x 128

2Aex  6Be2x  4ex  3e2x ເມີ່ອື ທຽບສຳປະສິດເຮົຳຈະໄດ້: 2A  4   A  2 ສະນ້ນັ ,ເຮົຳຈະໄດ້ yp  2 xe x  1 e2x 6B  3 B  1 2 2 ດັ່ງນັ້ນ, ຜົນສະເລຍ່ ທັົວ່ ໄປແມນ່ : y  c1  c2e x  c3ex  2xe x  1 e2x 2 2. ຈງ່ົັ ຫຳໃຈຜນົ ສະເພຳະສະເພຳະຂອງສມົ ຜົນຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ ສອງລຸ່ມນ້ີ:ັ 11) y  y  x  2ex , y(0)  1, y(0)  2 ວທິ ແີ ກ:້ + ຊອກຫຳ yc ຈຳກສມົ ຜົນ y  y  0 ສມົ ຜນົ ຊວ່ ຍແມ່ນ: r2 1  0 (r  i)(r  i)  0 r  i ສະນນ້ັ ; yc  e0x (c1 cos x  c2 sin x)  c1 cos x  c2 sin x + ຊອກຫຳ yp ໄດ້ດັ່ງນີັ້: ຈຳກ f (x)  x  2ex ວຳງ yp  Ax  B  Cex yp  A  Cex  yp  Cex ເອຳົ ຄ່ຳຂອງ yp  Cex ; yp  Ax  B  Cex ແທນໃສ່ສົມຜົນ y  y  x  2ex ຈະໄດ:້ Cex  Ax  B  Cex  x  2ex 2Cex  Ax  B  x  2ex 2C  2 A  C 1  B  0 ເມື່ອີ ທຽບສຳປະສິດຈະໄດ້:  A  1  B  0 ຈະໄດ:້ yp  x  ex ດ່ງັ ນັ້ນ, ຜນົ ສະເລ່ຍທວ່ົັ ໄປແມ່ນ: y  c1 cos x  c2 sin x  x  ex............(1) ຈຳກ y(0)  1 ຈະໄດ:້ 1  c1 cos 0  c2 sin 0  0  e0 1  c1 1  c1  0 129

ຈຳກສົມຜນົ (1) : y  c1 cos x  c2 sin x  x  ex y  c1 sin x  c2 cos x 1 ex ຈຳກ y(0)  2 ຈະໄດ:້ 2  c1 sin 0  c2 cos 0 1 e0 2  c2 11 c2  2 ດ່ັງນັ້ນ, ຜົນສະເລ່ຍສະເພຳະແມ່ນ: y  2sin x  x  ex 12) (D2 1) y  sin 3x , y(0)  0, y(0)  0 ວທິ ແີ ກ້: + ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜົນ (D2 1) y  0 ຫື D2 y  y  0 ສມົ ຜນົ ຊ່ວຍແມ່ນ: r2 1  0 (r  i)(r  i)  0 r  i ສະນນ້ັ ; yc  e0x (c1 cos x  c2 sin x)  c1 cos x  c2 sin x + ຊອກຫຳ yp ໄດ້ດ່ັງນ້ັີ:ຈຳກ f (x)  sin 3x ເຮຳົ ວຳງ yp  Acos3x  Bsin 3x Dyp  3Asin 3x  3B cos3x D2 yp  9Acos 3x  9B sin 3x ແທນຄ່ຳ D2 yp  9Acos 3x  9B sin 3x , yp  Acos3x  B sin 3x ແທນໃສ່ສົມຜນົ (D2 1) y  sin 3x ຫື D2 y  y  sin 3x ຈະໄດ້: 9Acos3x  9Bsin 3x  Acos3x  Bsin 3x  sin 3x (9A  A) cos3x  (9B  B)sin 3x  sin 3x ເມີ່ືທຽບສຳປະສິດເຮົຳຈະໄດ:້ 9 A  A  0   A  0 1 9B  B  1 B   8 ຈະໄດ້: yp   1 sin 3x 8 ດງັ່ ນນັ້ , ຜົນສະເລຍ່ ທັົ່ວໄປແມນ່ : y  c1 cos x  c2 sin x  1 sin 3x 8 ຈຳກ y(0)  0 ຈະໄດ:້ 0  c1 cos 0  c2 sin 0  1 sin(3 0)  c1  0 8 ຈຳກ y  c1 cos x  c2 sin x  1 sin 3x ຈະໄດ:້ y  c1 sin x  c2 cos x  3 cos 3x 8 8 130

ຈຳກ y(0)  0 ຈະໄດ້ 0  c1 sin 0  c2 cos 0  3 cos(3 0)  c2  3 8 8 ດງັ່ ນ້ນັ , ຜົນສະເລຍ່ ສະເພຳະແມນ່ : y  3 sin x  1 sin 3x 88 13) y  4y  4y  e2x , y(0)  0 , y(0)  0 ວທິ ແີ ກ້: + ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜນົ y  4y  4y  0 ສມົ ຜນົ ຊ່ວຍແມນ່ : r2  4r  4  0 (r  2)2  0  r  2 ສະນ້ັນ, yc  c1erx  c2xerx  c1e2x  c2xe2x + ຊອກຫຳ yp ໄດ້ດັ່ງນັ້:ີ ຈຳກ f (x)  e2x ວຳງ yp  Ae2x ( Ae2x ຊຳ້ໍ ກບພົດຂອງ yc ) ຈງ່ິີ ວຳງໃໝ່ອກີ yp  Ax2e2x yp  2Axe2x  2Ax2e2x yp  2Ae2x  4Axe2x  2(2Axe2x  2Ax2e2x ) yp  2Ae2x  8Axe2x  4Ax2e2x ເອົຳຄ່ຳຂອງ yp , yp ແລະ yp ແທນໃສ່ສມົ ຜົນ y  4y  4y  e2x ຈະໄດ້: 2Ae2x  8Axe2x  4Ax2e2x  4(2Axe2x  2Ax2e2x )  4Ax2e2x  e2x 2Ae2x  e2x ເມອ່ີື ທຽບສຳປະສິດເຮົຳຈະໄດ:້ 2A  1 A  1 2 ຈະໄດ:້ yp  1 x2e2x 2 ດ່ັງນັນ້ , ຜນົ ສະເລຍ່ ທັ່ວົ ໄປແມນ່ : y  c1e2 x  c2 xe2 x  1 x2e2x 2 ຈຳກ y(0)  0 ຈະໄດ້: 0  c1e20  c2  0  e20  1  02  e20  c1  0 2 ຈຳກ y  c1e2 x  c2 xe2 x  1 x2e2x ຈະໄດ້ y  2c1e2x  c2e2x  2c2xe2x  xe2x  x2e2x 2 ຈຳກ y(0)  0 ຈະໄດ້ 0  2c1e20  c2e20  2c2  0 e20  0 e20  02  e20 c2  0 ດງ່ັ ນ້ນັ , ຜົນສະເລ່ຍສະເພຳະແມ່ນ: y  1 x2e2x 2 14) (D2  4) y  x2  3ex ; y(0)  0; y(0)  2 ວທິ ແີ ກ:້ +ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜນົ (D2  4) y  0 ຫື D2 y  4 y  0 131

ສມົ ຜົນຊ່ວຍແມນ່ : r2  4  0  r  2i ຈະໄດ:້ yc  e0x (c1 cos 2x  c2 sin 2x)  c1 cos 2x  c2 sin 2x + ຊອກຫຳ yp ໄດ້ດ່ງັ ນັີ້: ຈຳກ f (x)  x2  3ex ເຮົຳວຳງໃຫ້ yp  Ax2  Bx  C  Dex ຈະໄດ:້ Dyp  2Ax  B  Dex D2 yp  2A  Dex ຈຳກບົດເລກ (D2  4) y  x2  3ex ໄດ້: D2 y  4 y  x2  3ex ແທນຄ່ຳ D2 y ດ້ວຍ D2 yp  2A  Dex ແທນຄ່ຳ y ດ້ວຍ yp  Ax2  Bx  C  Dex ຈະໄດ້ 2A  Dex  4(Ax2  Bx  C  Dex )  x2  3ex 4Ax2  4Bx  4C  2A  5Dex  x2  3ex  A  1   4 4A  1   0 4B  0 B ເມອື່ີ ທຽບສຳປະສິດຈະໄດ້: 4C  2A  C   1 5D  3  0 8 3  5 D ຈະໄດ້: yp  1 x2  1  3 ex 4 8 5 ດັ່ງນັນ້ , ຜນົ ສະເລ່ຍທັວ່ົ ໄປແມນ່ : y  yc  yp  c1 cos 2x  c2 sin 2x  1 x2  1  3 ex..........(1) 4 8 5 ຈຳກ y(0)  0 ຈະໄດ້: 0  c1 cos 2  0  c2 sin 2  0  1  02  1  3 e0 4 8 5  c1   19 40 ຈຳກສົມຜົນ (1) : y  c1 cos 2x  c2 sin 2x  1 x2  1  3 ex 4 8 5 y  2c1 sin 2 x  2c2 cos 2x  1 x  3 ex 2 5 ຈຳກ y(0)  2 ຈະໄດ້: 2  2c1 sin 2  0  2c2 cos 2  0  1  0  3 e0 2 5  c2  7 10 132

ດ່ັງນ້ັນ, ຜົນສະເລຍ່ ສະເພຳະແມນ່ : y   19 cos 2x  7 sin 2x  1 x2  1  3 ex 40 10 4 8 5 3. ຈງົັ່ ຊອກຫຳຜນົ ສະເລຍ່ ທວ່ັົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ ລແີ ນເອຕໄ່ໍ ປນ:້ີັ 1. (D 1) y  e3x ວທິ ແີ ກ້: ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜົນ (D 1) y  0 ເຮົຳມີສົມຜນົ ຊ່ວຍແມນ່ : r 1  0  r  1 ຈະໄດ້: yc  c1erx  c1ex ຈຳກ (D 1) y  e3x ຈະໄດ:້ yp  1 e3x  1 e3x D 1 D  (1) 1 f (x)  emx emx f (x)dx Dm ຕຳມສູດ: ຈະໄດ້ yp  ex ex  e3xdx (m  1)  ex e4xdx  1 ex e4xd (4x ) 4  1 e3x 4 ດງັ່ ນ້ນັ ,ຜນົ ສະເລ່ຍທວ່ັົ ໄປແມ່ນ: y  yc  yp  c1e x  1 e3x 4 2. 2y 10y  1 ວທິ ແີ ກ້: 2y 10y  1 ຈດໃຫ້ຢູ່ໃນຮບູ (2D 10) y  1 (D  5) y  1 2 + ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜົນ (D  5) y  0 ສົມຜນົ ຊ່ວຍແມນ່ r  5  0  r  5 ສະນນັ້ , yc  c1e5x + ຊອກຫຳ yp ຈຳກ (D  5) y  1 2 ຈະໄດ:້ yp  1 1   D 1  1  D  5  2   (5)  2  ຕຳມສູດ: 1 f (x)  emx emx f (x)dx Dm yp  e5x e5 x  1  ຈະໄດ:້  2  dx  1 e5x e5xd (5x) 10 1 10 ດ່ງັ ນັ້ນ, ຜົນສະເລ່ຍທົວັ່ ໄປແມນ່ : y  yc  yp  c1e5 x 1 10 133

3. (D2  D  2) y  4ex ວທິ ແີ ກ້: + ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜົນ (D2  D  2) y  0 ສມົ ຜົນຊວ່ ຍແມນ່ : r2  r  2  0 (r 1)(r  2)  0 r1  1; r2  2 ຈະໄດ້ yc  c1ex  c2e2x + ຊອກຫຳ yp ຈຳກ (D2  D  2) y  4ex  ຈະໄດ້yp 1 4ex D2 D  2  1 4ex  (D 1)(D  2) 1 f (x)  em1x e(m2 m1 ) x em2x f (x)(dx)2 (D  m1)(D  m2 )  ຕຳມສູດ:    ຈະໄດ້ yp  ex e(21)x e2x 4ex (dx)2      ex e3x e2x 4ex dx dx    ex e3x 4 exdx dx    ex e3x 4ex dx  4ex e2xdx  4e x  1 e2 x   2   2ex ດງ່ັ ນ້ັນ, ຜນົ ສະເລ່ຍທວັ່ົ ໄປແມນ່ : y  c1ex  c2e2x  2ex 4. y  3y  8e3x ວທິ ແີ ກ:້ ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜນົ y  3y  0 ສົມຜົນຊວ່ ຍແມ່ນ: r2  3r  0 r(r  3)  0 r1  0; r2  3 134

ຈະໄດ:້ yc  c1  c2e3x + ຊອກຫຳ yp ຈຳກ y  3y  8e3x ຫື (D2  3D) y  8e3x ຈະໄດ້: yp  D2 1 8e3x  3D yp  1 8e3x D(D  3) 1 f (x)  em1x e(m2 m1 ) x em2x f (x)(dx)2 (D  m1)(D  m2 )  ອງິ ຕຳມສດູ :  ຈະໄດ:້ yp  e0x e(30)x e3x 8e3x (dx)2   yp  (e3x 8dx)dx  8xe3xdx + ຊອກຫຳ 8xe3xdx  ? ໄດ້ດ່ັງນ້ັີ: u dv + 8x e3x _8 1 e3x 3 +0 1 e3x 9 ຈະໄດ້: 8xe3xdx  8 xe3x  8 e3x  c ສະນ້ັນ, yp  8 xe3x  8 e3x c 39 3 9 ດງັ່ ນັ້ນ,ຜົນສະເລຍ່ ທົັວ່ ໄປແມ່ນ: y  c1  c2e3x  8 xe3x  8 e3x 3 9 5. y  9y  54 ວທິ ແີ ກ້: ຊອກຫຳ yc ຈຳກສມົ ຜົນ y  9y  0 ສົມຜົນຊ່ວຍແມນ່ : r2  9  0 (r  3)(r  3)  0 r1  3; r2  3 ຈະໄດ:້ yc  c1e3x  c2e3x + ຊອກຫຳ yp ຈຳກ y  9y  54 ຫື (D2  9) y  54 ໄດ້ yp  54  (D 1  3) (54) D2  9  3)(D 1 f (x)  em1x e(m2 m1 ) x em2x f (x)(dx)2 (D  m1)(D  m2 )  ອິງຕຳມສດູ :  ຈະໄດ:້ yp  e3x e(3(3))x e3x (54)(dx)2 135

   yp  e3x e6x 54 e3xdx dx   e3x e6 x   54 e3 x d (3x)  dx  3   e3x e6 x   54 e3x  dx  3    54 e3x e3xdx 3   54 e3x  1 e3x  3  3    54 9  6 ດ່ັງນັ້ນ,ຜົນສະເລ່ຍທວ່ັົ ໄປແມນ່ : y  c1e3x  c2e3x  6 6. y  3y  4sin x ວທິ ແີ ກ:້ ຊອກຫຳ yc ຈຳກສມົ ຜົນ y  3y  0 ສມົ ຜນົ ຊ່ວຍແມນ່ : r2  3r  0 r(r  3)  0 r1  0; r2  3 ຈະໄດ:້ yc  c1  c2e3x + ຊອກຫຳ yp ຈຳກ y  3y  4sin x ຫື (D2  3D) y  4sin x ໄດ້ yp  D2 1 4 sin x  1 4 sin x  3D D(D  3) 1 f (x)  em1x e(m2 m1 ) x em2x f (x)(dx)2 (D  m1)(D  m2 )  ອີງຕຳມສູດ:    ຈະໄດ້: yp  e0x e(30)x e3x 4 sin x (dx)2   yp  e3x 4e3x sin xdx dx...........(1) + ຊອກຫຳ 4e3x sin xdx  ? ອີງຕຳມສູດ:  udv  uv   vdu u  4e3x du  d (4e3x ) du  12e3 x dx sin xdx   ວຳງໃຫ້   sin      dv xdx v v cos x    ຈະໄດ:້ 4e3x sin xdx  4e3x cos x  ( cos x) 12e3x dx  4e3x cos x 12 e3x cos xdx 136

u  e3x du  3e3 x dx ວຳງໃຫ້   cos xdx    sin x dv v    ຈະໄດ້: 4e3x sin xdx  4e3x cos x 12[e3x sin x  3e3x sin xdx]  4e3x sin xdx  4e3x cos x 12e3x sin x  36 e3x sin xdx  4e3x sin xdx  4e3x cos x 12e3x sin x  9 4e3x sin xdx 10 4e3x sin xdx  4e3x cos x 12e3x sin x  4e3x sin xdx   2 e3x cos x  6 e3x sin x  c 55 ເອຳົ ຄ່ຳຂອງ 4e3x sin xdx   2 e3x cos x  6 e3x sin x  c ແທນໃສ່ (1) 55 ຈະໄດ:້ e3 x  2 e3 x 6 e3 x  yp    5 cos x  5 sin x  dx     2 cos x  6 sin x dx  5 5   2 sin x  6 cos x 55 ດງ່ັ ນັ້ນ,ຜນົ ສະເລ່ຍທວັ່ົ ໄປແມ່ນ: y  c1  c2e3x  2 sin x  6 cos x 5 5 4. ຈງັົ່ ຫຳຄຳ່ ສະເລຍ່ ທວົ່ັ ໄປຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລ່ມຸ ນ:ີັ້ 1. (D  3) y  2e4x ວທິ ແີ ກ:້ ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜນົ (D  3) y  0 ສົມຜນົ ຊວ່ ຍແມ່ນ: r  3  0  r  3 ຈະໄດ້ yc  c1e3x ຈຳກ (D  3) y  2e4x 1 D3  ຈະໄດ້ yp  2e4 x ອງີ ຕຳມສດູ : 1 eax  1 eax ເມ່ືອີ Q(a)  0 Q(D) Q(a)  ສະນັນ້ 1 yp  43 2e4 x  2e4x (ໂດຍທີ a  4 ) ດ່ັງນນັ້ , ຜົນສະເລ່ຍທັວ່ົ ໄປແມ່ນ: y  yc  yp  c1e3x  2e4x 137

2. y  6y  8y  3ex ວທິ ແີ ກ້: ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜົນ y  6y  8y  0 ສົມຜົນຊວ່ ຍແມນ່ : r2  6r  8  0 (r  2)(r  4)  0 r1  2; r2  4 ຈະໄດ້ yc  c1e2x  c2e4x ຈຳກ y  6 y  8y  3ex ຫື (D2  D  8) y  3ex 1 D2  D  8  ຈະໄດ້yp 3ex 1 (D  2)(D  yp 3ex  4) ອງີ ຕຳມສດູ : : 1 eax  1 eax ເມ່ີືອ Q(a)  0 Q(D) Q(a) 1 2)(1 yp ສະນ້ນັ 3ex  ex (ໂດຍທີ a 1) (1 4) ດັ່ງນນ້ັ , ຜົນສະເລຍ່ ທວົັ່ ໄປແມ່ນ: y  c1e2x  c2e4x  ex 3. (D2 13D  36) y  3e2x ວທິ ແີ ກ:້ ຊອກຫຳ yc ຈຳກສມົ ຜົນ (D2 13D  36) y  0 ສມົ ຜົນຊ່ວຍແມ່ນ: r2 13r  36  0 (r  4)(r  9)  0 r1  4; r2  9 ຈະໄດ້: yc  c1e4x  c2e9x ຈຳກ (D2 13D  36) y  3e2x 1 D2 13D  36  yp 3e2 x  yp 1  (D  4)(D  9) 3e2 x ອງີ ຕຳມສູດ: : 1 eax  1 eax ເມ່ອືີ Q(a)  0 Q(D) Q(a) 1 (2  4)(2  9)  ສະນ້ນັ , yp  3e2 x (ໂດຍ a  2 )  yp 1  3 e2x  14 3e2x 14 138

ດ່ັງນ້ັນ, ຜນົ ສະເລຍ່ ທົວັ່ ໄປແມນ່ : y  c1e4 x  c2e9 x  3 e2x 14 4. (D2  2D 1) y  2e2x ວທິ ແີ ກ:້ ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜົນ (D2  2D 1) y  0 ສົມຜົນຊ່ວຍແມນ່ : r2  2r 1  0 (r 1)2  0  r  1 ຈະໄດ້ yc  c1ex  c2xex ຈຳກ (D2  2D 1) y  2e2x 1 D2  2D 1  ຈະໄດ້ yp 2e2 x 1 1)(D  yp  (D 1) 2e2 x ອີງຕຳມສູດ: : 1 eax  1 eax ເມ່ອືີ Q(a)  0 Q(D) Q(a) 1 1)(2  ສະນ້ນັ yp  (2 1) 2e2 x (ໂດຍທີ a  2 ) yp  2 e2x 9 ດງ່ັ ນນັ້ ,ຜນົ ສະເລ່ຍທັວົ່ ໄປແມນ່ y  yc  yp y  c1ex  c2 xe x  2 e2 x 9 5. y  3y  2y  10sin x ວທິ ແີ ກ:້ ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜນົ y  3y  2y  0 ສົມຜນົ ຊ່ວຍແມ່ນ: r2  3r  2  0 (r 1)(r  2)  0 r1  1; r2  2 ຈະໄດ້: yc  c1ex  c2e2x ຈຳກ y  3y  2y  10sin x ຫື (D2  3D  2) y  10sin x 139

ຈະໄດ້ yp  D2 1  2 10sin x  3D  10 D2  1  2 sin x  3D  10 1 sin x (D 1)(D  2) ອິງຕຳມສດູ : 1 sin ax  Im  1 eiax  ແລະ 1 eax  1 eax ເມ່ອີື Q(a)  0 Q(D)  Q(D)  Q(D) Q(a)   ສະນ້ັນ yp  10 Im  (i 1  2) eix  (ໂດຍທີ a 1)  1)(i     10 Im  1 1 eix    3i   10 Im  1  1 3i 3i  eix    3i  1   10 Im  1 3i eix   10   10 Im  1 3i cos x  i sin x  ( ຈຳກ eiax  cos ax  i sin ax )  10   10 Im  1 cos x  i sin x  3i cos x  3sin x   10   10 Im  1 cos x  3 sin x  i 3 cos x  sin x   10   10  1 3cos x  sin x   10   3cos x  sin x ດັງ່ ນ້ນັ ,ຜົນສະເລ່ຍທ່ົວັ ໄປແມນ່ : y  yc  yp y  c1ex  c2e2x  3cos x  sin x 6. (D2  36) y  2sin 3x ວທິ ແີ ກ:້ ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜນົ (D2  36) y  0 ສົມຜົນຊວ່ ຍແມ່ນ: r2  36  0  r  6i ຈະໄດ້ yc  c1 cos 6x  c2 sin 6x ຈຳກ (D2  36) y  2sin 3x ຈະໄດ້ yp  1 2sin 3x D2  36 140

ອິງຕຳມສດູ : M 1 sin ax  M 1 sin ax ເມອື່ີ M (a2 )  0 (D2 ) (a2 ) ສະນນັ້ yp  1 36 sin 3x  1 sin 3x 32  27 ດງ່ັ ນັ້ນ, ຜນົ ສະເລຍ່ ທວ່ັົ ໄປແມນ່ : y  yc  yp y  c1 cos 6x  c2 sin 6x  1 sin 3x 27 7. y  y  cos x ວທິ ແີ ກ້: ຊອກຫຳ yc ຈຳກສມົ ຜນົ y  y  0 ສົມຜົນຊ່ວຍແມນ່ r2 1  0  r  i ຈະໄດ້ yc  c1 cos x  c2 sin x ຈຳກ y  y  cos x ຫື (D2 1) y  cos x ຈະໄດ້ yp  1 1 cos x D2  ອິງຕຳມສດູ 1 f (x) cos ax  Re  1 f ( x)eiax  Q(D)  Q(D)    ດງ່ັ ນນ້ັ yp  Re  D 1 1 eix  ( ໂດຍທີ a 1)  2  1  1  Q(D)  Q(D    ອິງຕຳມສດູ   eax g(x)  eax a) g(x) ຈະໄດ້ yp   D 1   Re  eix D2  1  i2  1 1  Re  eix  2Di  i2  1 1   Re  eix D2  1 1 1 1   Re  eix D2 1 1   2Di    2Di   Re  eix 1 2i) 1   Re  eix  1  D 1 2i (1)   D(D    D     1 Q(D)  ຕຳມສູດ f (x)  A0  A1D  A2D2  .....  AmDm f (x) ເມືອີ່ f (x) ເປັນຕຳລຳພະຫຸພົດ ກຳນຫຳຄ່ຳຂອງ 1 ໂດຍກຳນຕັງ້ ຫຳນຈນົ ກວ່ ຳໄດກ້ ຳລງສູງສຸດຂອງ D ເທ່ຳົັ ກບລະດບຂນ້ັ ຂອງພະຫພຸ ດົ Q(D) f (x) ໃນທນີ ີ້ັ f (x)  1 ດັ່ງນ້ັນລະດບຂນັ້ ເທ່ົັີຳກບ 0 ໃນທນີ ີັ້ 1 1 ຈີງ່ ພິຈຳລະນຳຄຳ່ ຂອງ 1 ໄດດ້ ງ່ັ ນັ້ີ: Q(D) D  2i x  2i 141

2i  x) 1 1 1 1 x  2i 2i 1x 2i ດ່ງັ ນັ້ນ 1 1 ແລະຈະໄດ້ວ່ຳ 1 1 x  2i 2i D  2i 2i ນັນ້ ຄືີ່ yp  Re  eix  1  1 (1)   Re  eix  1  1   D 2i   D  2i    ຈຳກ 1  f (x)   f (x)dx ຈະໄດ້ 1  1    1 dx  x D D  2i  2i 2i ຈະໄດ້ yp  Re  eix  x   Re  eix  x  i   2i   2i i   Re  eix  xi   Re   cos x  i sin x   xi    2    2    Re    x cos x  i  x sin x   1 x sin x   2  2  2 ດງ່ັ ນັ້ນ,ຜນົ ສະເລ່ຍທົັ່ວໄປແມ່ນ: y  yc  yp y  c1 cos x  c2 sin x  1 x sin x 2 8. y 12y  3cos3x  sin 2x ວທິ ແີ ກ້: ຊອກຫຳ yc ຈຳກສມົ ຜົນ y 12y  0 ສົມຜົນຊວ່ ຍແມນ່ : r2 12r  0 r(r 12)  0 r1  0; r2  12 ສະນັນ້ yc  c1e0x  c2e12x  c1  c2e12x ຈຳກ y 12y  3cos3x  sin 2x ຫື (D2 12D) y  3cos 3x  sin 2x ຈະໄດ້ yp  D2 1  3 cos 3x  sin 2x 12D yp  3 D2 1 cos 3x   D2 1 sin 2x  12 D   12 D ອງິ ຕຳມສດູ 1 cos ax  Re  1 eiax  ແລະ 1 sin ax  Im  1 eiax  Q(D)  Q(D)  Q(D)  Q(D)      ສະນັນ້ yp  3 Re  D2 1 e3ix   Im  D2 1 e2ix   12D   12D  142

 3 Re  3i 2 1 3i  e3ix   Im  2i 2 1 2i e2ix   12   12   3 Re  9i2 1 36i e3ix   Im  4i2 1 24i e2ix         3 Re  9 1 36i e3ix   Im  4 1 24i e2ix         3 Re  9 1 36i  9  36i  e3ix   Im  4 1 24i  4  24i  e2ix    9  36i    4  24i   3 Re  9  36i  e3ix   Im  4  24i  e2ix   1377   592    3 Re9  36icos3x  i sin 3x  1 Im 4  24icos 2x  i sin 2x 1377 592   3 Re  9 cos 3x  36 sin 3x   36 cos 3x  9 sin 3x  i  1377  1 Im  4 cos 2x  24 sin 2x    24 cos 2x  4 sin 2 x  i  592   1 9 cos 3x  36sin 3x  1 24cos 2x  4sin 2x 459 592  1 cos 3x  4 sin 3x  3 cos 2x  1 sin 2x 59 51 74 148 ດັງ່ ນັນ້ , ຜນົ ສະເລ່ຍທວັ່ົ ໄປແມ່ນ: y  yc  yp  c1  c2e12 x  1 cos 3x  4 sin 3x  3 cos 2x  1 sin 2x 59 51 74 148 9. (D2  D  2) y  2x2  5 ວທິ ແີ ກ:້ ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜົນ (D2  D  2) y  0 ສະນນ້ັ ສົມຜນົ ຊ່ວຍແມ່ນ r2  r  2  0 (r 1)(r  2)  0 r1  1; r2  2 yc  c1ex  c2e2x ຈຳກ (D2  D  2) y  2x2  5 1 D2  ຈະໄດ້ y  D2 2x2  5 1 Q(D)  ຕຳມສູດ f (x)  A0  A1D  A2D2  .....  AmDm f (x) ເມ່ອືີ f (x) ເປນັ ຕຳລຳພະຫພຸ ດົ ກຳນຫຳຄ່ຳຂອງ 1 ໂດຍກຳນຕງ້ັ ຫຳນຈນົ ກວ່ ຳໄດກ້ ຳລງສູງສຸດຂອງ D ເທົັຳ່ ກບລະດບຂນັ້ ຂອງພະຫຸພົດ Q(D) f (x) ໃນທີນັ້ີ f (x)  2x2  5 ດ່ງັ ນ້ນັ , ລະດບຂນັ້ ເທັ່ີົຳກບ 2 143

ໃນນ້ີັ 1 1 ຈງ່ີ ພິຈຳລະນຳຄ່ຳຂອງ 1 ໄດ້ດັງ່ ນ:້ີັ Q(D) D2  D  2 x2  x  2 2  x  x2 ) 1   1  1 x  3 x2  2 4 8 1 1 x  1 x2 22  1 x  1 x2 22  1 x  1 x2 24 3 x2 4 3 x2  3 x3  3 x4 488 ດ່ັງນນ້ັ x2 1  2   1  1 x  3 x2 ຈະໄດ້ວ່ຳ D2 1  2   1  1 D  3 D2 x 2 4 8 D 2 4 8  ສະນ້ັນ  1 1 3 D2  yp    2  4 D  8  2x2  5        1 2x2  5  1 D 2x2  5  3 D2 2x2  5 24 8  x2  5  1 4x 34 24 8  x2  5  x  3 22  x2  x  4 ດັງ່ ນ້ນັ ,ຜນົ ສະເລ່ຍທ່ວົັ ໄປແມນ່ : y  yc  yp y  c1ex  c2e2x  x2  x  4 10. (D2  2D 1) y  x  5 ວທິ ແີ ກ້: ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜນົ (D2  2D 1) y  0 ສມົ ຜນົ ຊ່ວຍແມ່ນ: r2  2r 1  0 (r 1)(r 1)  0 r  1; 1 ສະນ້ນັ yc  c1ex  c2xex ຈຳກ (D2  2D 1) y  x  5 ຈະໄດ້ yp  D2 1 x  5  2D 1 144

 ຕຳມສູດ 1 f (x)  Q(D) A0  A1D  A2D2  .....  AmDm f (x) ເມອື່ີ f (x) ເປນັ ຕຳລຳພະຫຸພົດ ກຳນຫຳຄ່ຳຂອງ 1 ໂດຍກຳນຕັ້ງຫຳນຈົນກວ່ ຳໄດ້ກຳລງສງູ ສຸດຂອງ D ເທ່ຳັົ ກບລະດບຂ້ັນຂອງພະຫພຸ ດົ Q(D) f (x) ໃນທີນີ້ັ f (x)  x  5 ດັ່ງນັນ້ ລະດບຂ້ັນເທີ່ັົຳກບ 1 ໃນທີ່ນີັ້ 1 1 ຈິງພິຈຳລະນຳຄຳ່ ຂອງ 1 ໄດດ້ ງັ່ ນ:້ີັ x2  2x 1 Q(D) D2  2D 1 1 2x  x2)1 1 2x 1 2x  x2  2x  x2 2x  4x2  2x3 ດ່ງັ ນນ້ັ x2  1  1  1  2 x ແລະຈະໄດວ້ ່ຳ D2  1  1  1  2D 2x 2D ນ້ນັ ຄ່ີື yp  1 2D x  5  x  5 2Dx  5  x52  x3 ດັ່ງນນັ້ , ຜນົ ສະເລຍ່ ທັົ່ວໄປແມ່ນ: y  yc  yp y  c1ex  c2xex  x  3 11. y  6y 10y  80exsinx ວທິ ແີ ກ້: ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜນົ y  6y 10y  0 ສົມຜນົ ຊ່ວຍແມນ່ r2  6r 10  0 ນຳໃຊ້ສູດ ar2  br  c  0 ຈະໄດ້ r  b  b2  4ac 2a ຈຳກສມົ ຜົນ r2  6r 10  0 ຈະໄດ້ 6  62  4110  6  4 r 21 2  6  2i  3  i 2 ສະນ້ນັ yc  e3x c1 cos x  c2 sin x ຈຳກ y  6y 10 y  80ex sin x ຫື (D2  6D 10) y  80ex sin x    ຈະໄດ້ 1 1 yp  D2  6D 10 80ex sin x  80 D2  6D 10 ex sin x 1  1  Q(D)  Q(D    ອິງຕຳມສດູ   eax g(x)  eax a) g (x) 145

ຈະໄດ້ yp  80ex  D 12  1 1 10 sin   x  6D  80ex  D2  1  17 sin x   8D  ອງິ ຕຳມສດູ M 1 ) sin ax  M 1 ) sin ax ເມີືອ່ M (a2 )  0 (D2 (a2 yp  80ex  12 1  17 sin x    8D   80e x  1 sin x   8D   16 ຈຳກສູດ 1 sin ax  Q(D)  1 sin ax  Q(D)  Q(D)Q(D)    ຈະໄດ້ yp  80ex   8D 16 8D 1 16 sin x     16 8D  80ex   8D  16 64 1  256 sin x   D2    1  sin x   80ex  8D 16  64 12  256   80ex   8D  16 1 sin x   320   1 ex 8D 16sin x 4  1 ex 8D sin x 16sin x 4  1 ex 8cos x 16sin x 4  2ex cos x  4ex sin x ດງັ່ ນນ້ັ ,ຜົນສະເລຍ່ ທົັ່ວໄປແມນ່ y  yc  yp  e3x c1 cos x  c2 sin x  2ex cos x  4ex sin x 12. (D2 1) y  x sin 2x ວິທີແກ້: ຊອກຫຳ yc ຈຳກສົມຜົນ (D2 1) y  0 ສມົ ຜນົ ຊ່ວຍແມ່ນ r2 1 0 ສະນ້ັນ yc  c1ex  c2ex (r 1)(r 1)  0 r1  1; r2  1 ຈຳກ (D2 1) y  x sin 2x 146