ສົມຜົນຈຸນລະຄະນິດ Differential Equations

x  p ດ່ງັ ນນ້ັ ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜົນແມ່ນ:   p' pdp  C y  ຕວົ ຢຳູ່ ງ . ແກສ້ ົມຜນົ x  2 ln y'  y' ວິທແີ ກ້: ວຳງ: y'  p dy  p dx dx  dy p  ແທນຄ່ຳຂອງ y'  p ໃສ່ x  2 ln y'  y' x  2ln p  p dx  d 2ln p  p dx   dp   2 p dp    dy   dp   p 2 p dp    dy  2p  dp  dp   p    dy  2dp  pdp dy  2dp  2pdp  0  dy  2 dp  2 pdp  C y  2p  p2  C y  2p  p2  C ດງ່ັ ນັນ້ ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜນົ ແມນ່ : x  2ln p  p  y  2p  p2  C   ຮູບຮຳ່ ງ y   y'  ແນະນຳວິທີແກ້ ວຳງ: y'  p dy  p dx dy  pdx 197

 ແທນຄ່ຳຂອງ y'  p ໃສ່ y   y' y  p dy  d p pdx  d p dx  1 d p p dx  1 ' pdp p ' p  dx   p dp  C ' p x   p dp  C  ' p x  dp  C p ດັງ່ ນັນ້ ໃຈຜົນຂອງສມົ ຜົນແມນ່ :  y  p  ຕວົ ຢຳູ່ ງ 1. ແກ້ສມົ ຜນົ y  2 y' 1 ey' ວິທີແກ້: ວຳງ: y'  p dy  p dx dy  pdx  ແທນຄ່ຳຂອງ y'  p ໃສ່ y  2 y' 1 ey' y  p 1ep  pdx  d p 1.ep  d ep .p 1 pdx  epdp  p 1 epdp pdx  epdp  pepdp  epdp pdx  pepdp pdx  p epdp dx  epdp  dx   epdp x  ep  C 198

ດ່ັງນັ້ນ ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜນົ ແມນ່ : x  ep  C   y  (p  1)ep  ສມົ ຜນົ ເອກະພນ  ຕວົ ຢຳູ່ ງ x3  y3 dx  3xy2 dy  0  ວທິ ແີ ກ:້ ຈຳກ x3  y3 dx  3xy2 dy  0 ຈດຮູບແບບ dy  x3  y3 dx 3xy2 ກຳນດົ ໃຫ້ y  vx ແລະ dy  v  x dv dx dx ຈະໄດ້ v  x dv  x3  v3x3 dx 3xv2 x2  v  x dv  x3 1 v3  dx x3 3v2 x dv  1 v3  v dx 3v2 x dv  1 2v3 dx 3v2 1 3v2 dv   dx  2v3 x   3v2 d 1 2v3  ln x  C1 1 2v3 6v2  1 ln 1  2v3  ln x  C1 2 ln 1 2v3  2ln x  2C1 2ln x  ln 1 2v3  2C1 ວຳງ 2C1  C2  ln x2 1 2v3  C2  x2 1 2v3  eC ວຳງ C3  eC2  x2 1 2v3  C3 199

ແທນຄ່ຳ v  y x x2   2 y 3   C3 ວຳງ C3  C 1 x   x3  2y3  C  ດງັ່ ນ້ນັ , x3  2y3  C ເປນັ ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜນົ x3  y3 dx  3xy2 dy  0  ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອ ຕວົ ຢຳູ່ ງ ຈງ່ັົ ແກ້ສົມຜົນຈນຸ ລະຄະນດິ ລີເນແອລຸ່ມນີ້ັ 1) y  2xy  2xex2 ວທິ ແີ ກ:້ ເຮຳົ ມີ y  2xy  2xex2 ແກ້ສມົ ຜນົ y  2xy  0 dy  2xy  0 dx dy  2xdx  0 y  dy   2 xdx  C1 y ln y  x2  C1 ln y  C1  x2 y  eC1 x2 y  eC1x2  eC1  ex2 ວຳງ C  eC1 y  C ex2 ວຳ່ ງ C  C  x ໄດ້ y  C  x  ex2 200

ຈະໄດ້: C x  ex2  2x C  x  ex2  2x C  x  ex2  2xex2  C x  ex2  2xex2 Cx  2x d C  x  2x dx d C  x  2xdx  d C  x   2xdx C x  x2 C ແທນຄຳ່ ຂອງ C  x ໃສ່ y  C  x  ex2  ດັ່ງນັນ້ , ເຮົຳໄດໃ້ ຈຜົນແມນ່ : y  x2  C ex2 201

ເອກະສຳນອຳ້ ງອງີ ວິລະເລດີ ສະພງທອງ ພ້ອມຄະນະ. (2016). ປ້ມຶ ແບບຮຽນຄະນິດສຳດຊ້ັນມດທະຍມົ ສກສຳປີທີ 7. ສະຖຳບນ ຄັ້ນົ ຄວ້ຳວທິ ະຍຳສຳດກຳນສກສຳ. ກະຊວງສກສຳທິກຳນ ແລະ ກິລຳ. ໂຮງພິມ: Eastern Printing Public Co Ltd. (ປະເທດໄທ). ວລິ ະເລີດ ສະພງທອງ ພອ້ ມຄະນະ. (2016). ຄູມ່ ຄື ູຄະນິດສຳດຊັ້ນມດທະຍມົ ສກສຳປີທີ 7. ສະຖຳບນຄນົັ້ ຄວ້ຳ ວທິ ະຍຳສຳດກຳນສກສຳ. ກະຊວງສກສຳທິກຳນ ແລະກິລຳ. ໂຮງພິມ: Eastern Printing Public Co. Ltd. (ປະເທດໄທ). ພອນໄຊ ສຳດວຳຫຳ. (2550). ສົມຜົນຈຸນລະຄະນິດ. ໂຮງພິມພິທກກຳນພມິ : ກຸງເທບມະຫຳນະຄອນ ພມິ ຄັ້ງທີ 3 ທິຮະສກ ອຣຸ ດນຳນນົ . (2559). ສົມຜົນຈຸນລະຄະນິດແລະກຳນປະຍຸກເຊີງວສິ ະວະກຳສຳດແບບເຝິກຫດແລະສະ ເຫຍີ . ISBN (e-book):9786160825301. ສນູ ທອນ ພົມມະສອນ, ແສວ່ ມນູ ລະດກົ . (2002). ຄະນິດສຳດ 3 ສຳລບວທິ ະຍຳໄລວທິ ະຍຳສຳດພ້ນືັ ຖຳນ. ມະຫຳວິທະຍຳໄລແຫງ່ ຊຳດ. ຈບ ວງົ ທະວີ. (2016). ສົມຜົນຈຸນລະຄະນດິ . ວິທະຍຳໄລຄູຫວງນໍຳ້ ທຳ. ສມົ ບນູ ຄຳທະວົງສີ. (2018). ສົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ . ວທິ ະຍຳໄລຄູຫວງນ້ຳໍ ທຳ. Jerry Alan Veeh. (2002). Lecture Notes on Ordinary Differential Equations. (https://docplayer.net/20889621-Lecture-notes-on-ordinary-differential equations.html). Wong Yan Loi. (2010). MA3220 Ordinary Differential Equations. (https://blog.nus.edu.sg/matwyl/notes/). Jack K. Hale. (2009). Ordinary Differential Equations. Dover publication, inc. Minneola. New York. (https://books.google.la/books?id=LdTZJ4HwCv4C&printsec=frontcover&source= gbsge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false). 202