ສົມຜົນຈຸນລະຄະນິດ Differential Equations

1  8 4 2 1 1 d  x  4  23  3 3  33  3  y   x2  x   2  28    x  4 2  3   3   1  8 4 1 1 x 4 3  3 3 33 3 y  x 2  x  2  arcsin  C  28 3 1 y 1  x2  8 x  4 2  1 arcsin 3x  4  C 3  3 3  33 28 ດັງ່ ນ້ນັີ ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜົນແມນ່ : 1 y 1  x2  8 x  4 2  1 arcsin 3x  4  C 3  3 3  33 28 ກດິ ຈະກາ: ຈງ່ັົ ແກ້ສົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລຸ່ມນ:້ີ 1) y '  8x  7 4x2 16x  3 2) y '  x  4 x2  4x  5 3) y '  x  2 x2  2x  2 4) y '  x 1 x2  4x  5 5) y '  5  4x 3x2  2x 1 6) y '  3x  7 2x2  5x 1 7) y '  8x 11 4x2  6x  9 8) y '  4  5x 6  7x  5x2 9) y '  7x  4 x2  2x  3 10) y '  9x  5 2  4x  4x2  ບນັ ດາສດທພ່ີື ວົ ພນັ ກບັ ການແກເ້ ລກ 47

1. dx  ln x  x2  k  C x2  k 2.  du(x) u(x)2  k  C  ln u(x)  u(x)2  k 3. dx  arcsin x  C a a2  x2 4.  du(x)  arcsin u(x)  C a2  u(x)2 a 5. dx  ln x  x2  k  C x2  k 6.   du(x)  ln u(x)  u(x)2  k  C u(x)2  k 7. x2  bx   x  b 2  b2  2  4 8. x2  bx   x  b 2  b2  2  4 2.7 ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂັີນ້ ໜ່ືງໃນຮບຮາ່ ງ y '  yf (x)  ແນະນາວິທີແກ້ ເຮາົ ມີ y '  yf (x) dy  yf (x) dx dy  f (x)dx y  dy   f (x)dx y ln y   f (x)dx ln y  F(x)  ln C ln y  ln C  F(x) ln y  F(x) C y  eF(x) C y  C.eF(x) 48

ຕວົ ຢາູ່ ງ 1. ຈ່ັງົ ແກ້ສມົ ຜນົ ຈຸນລະຄະນດິ y '  y cos x ວິທແີ ກ:້ ເຮາົ ມີ y '  y cos x dy  y cos x dx dy  cos x dx y  dy   cos x dx y ln y  sin x  ln C ln y  ln C  sin x ln y  sin x C y  esin x C y  C.esin x ດ່ງັ ນີ້ັນ ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜນົ ແມນ່ : y  C.esinx.  ຕວົ ຢາູ່ ງ 2. ຈົ່ັງແກ້ສມົ ຜົນຈຸນລະຄະນິດ x2  2x 1 y '  x  3 y ວິທີແກ:້  ເຮົາມີ x2  2x 1 y '  x  3 y x2  2x 1 dy  x  3 y dx dy    x  3 dx y  x2 2x 1  dy     x  3 dx y  x2 2x 1 x  3 ln y   x 12 dx ln y    x 1   2  dx  1   x 12  ln y   x 1 1 dx    2 dx  x 12 49

ln y   x 1 1 d  x 1  2  x 12 d  x  1  ln y  ln x 1  2  ln C x 1 ln y  ln C  ln x 1  2 x 1 ln y  ln x 1  2 C x 1 ln y  ln x 1   2 C x 1 ln y   x 2 1 Cx 1 y  2 Cx 1 e x1 y  C  x  1.e 2 x 1 ດ່ັງນີັ້ນ ໃຈຜົນຂອງສມົ ຜນົ ແມນ່ : y  C  x  1  2 . x 1 .e  ຕວົ ຢາູ່ ງ 3. ຈ່ັົງແກ້ສມົ ຜົນຈຸນລະຄະນິດ x2  2x 1 y '  x3y ວິທແີ ກ້:  ເຮົາມີ x2  2x 1 y '  x3y  x2  2x 1 dy  x3y dx  dy  x3 dx y x2  2x 1  dy    x2 x3 1 dx y  2x ln y    x  2  x 3 1   1  dx    x 12 ln y   xdx  2 dx  3 x 1 dx    1 dx 1 x 12 ln y  x2  2x  3 1 dx 1  x 12d x 1 2 x 1 ln y  x2  2x  3ln x 1  1  ln C 2 x 1 50

ln y  ln C  x2  2x  ln x 13  1 2 x 1 ln y  x2  2x  ln x 13  1 C2 x 1 ln y  ln x 13  x2  2x  1 C 2 x 1 ln y  x2  2x  1 2 x 1 Cx 13 y x2 2x 1 x 1 3  C  e 2 x1  y  Cx1 .e3 x2 2x 1 2 x1 x2 2x 1 2 x1 ດັງ່ ນ້ນັີ ໃຈຜົນຂອງສມົ ຜົນແມ່ນ:  y  Cx 1 .e .3 ກດິ ຈະກາ: ຈັງ່ົ ແກ້ສມົ ຜົນຈນຸ ລະຄະນດິ ລຸ່ມນີ້:  1) ex 1 y'  ex y  2) ex 1 y'  y 3) xy'  y ln2 x 4) y'  yx2 ln x   5) 1 x2 y'  x  1 x2 y  0 2.8 ສົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂີນັ້ ໜງື່ ໃນຮບຮາ່ ງ f (x)dx  g(y)dy  0  ແນະນາວທິ ີແກ້ ເຮາົ ມີ f (x)dx  g(y)dy  0  f (x)dx   g(y)dy  C ຕວົ ຢາູ່ ງ 1. ຈງົ່ັ ແກ້ສົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນິດ xdx  ydy  0 ວິທແີ ກ:້ ເຮາົ ມີ xdx  ydy  0  xdx   ydy  K x2  y2  K 22 x2  y2  2K ວາງ 2K  C 51

x2  y2  C ດ່ັງນ້ນັີ ໃຈຜົນຂອງສົມຜນົ ແມ່ນ: x2  y2  C. ຕວົ ຢາູ່ ງ 2. ຈ່ັົງແກ້ສົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນິດ cos xdx  cos ydy  0 ວິທີແກ້: ເຮົາມີ cos xdx cos ydy 0  cos xdx   cos ydy  C sin x  sin y  C ດັ່ງນ້ັນີ ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜົນແມ່ນ: sin x  sin y  C. ກດິ ຈະກາ: ຈງ່ັົ ແກສ້ ົມຜົນຈນຸ ລະຄະນດິ ລຸ່ມນ້:ີ 1) ln ydy  xdx  0 2) 2ydy  cot xdx  0 3) x2 1 dx  y2 1 dy  0 x4 1 y4 1 4) dx  dy  0 x2  4x  5 3y2  6y 1 5) x 1dx  dy  0 x2  2x  2 y2  2y  3 6) y3eydy  x2e2xdx  0 7) ey sin ydy  ex cos xdx  0 2.9 ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນີັ້ ໜງ່ື ໃນຮບຮາ່ ງ A(y)dx  B(x)dy  0  ແນະນາວທິ ີແກ້ ເຮາົ ມີ A(y)dx  B(x)dy  0 ຫານທງັ ສອງພາກຂອງສມົ ຜົນຈຸນລະຄະນດິ ໃຫ້ A(y).B(x) : A(y)dx B(x)dy  0 A(y) .B(x) A(y). B(x) dx  dy  0 B(x) A(y)  dx   dy  C. B(x) A(y)  ຕວົ ຢາູ່ ງ 1. ຈງົ່ັ ແກ້ສົມຜົນຈຸນລະຄະນດິ x2  x y'  2y 1 52

ວທິ ແີ ກ້:  ເຮາົ ມີ x2  x y'  2y 1  x2  x dy  2y 1 dx dy  dx 2y 1 x2  x  dy 1   x dx x 2y  2 1  d 2y 1    1  1 dx 2  x 1 2y 1 x 1  d 2y 1   1 dx   1 dx 2 x 1 2y 1 x 1 ln 2y 1  ln x   x 1d x 1 2 1 1 ln 2y 1  ln x  ln x 1  K 2 ln 2y 1  2ln x  2ln x 1  2K ເຮາົ ວາງໃຫ້ 2K  ln C ເຮາົ ໄດ້ ln 2y 1  ln x2  ln x 12  ln C ln 2y 1  ln C  ln x2  ln x 12 ln 2y  1  ln x2 C  x 12 2y 1  x2 C x 12 2y 1   Cx 2 x 12 2y  Cx 2 1 x 12 y  1   Cx 2  2  1  x 12  ດັ່ງນັ້ີນ ໃຈຜົນຂອງສມົ ຜນົ ແມນ່ : y  1   Cx2  2  1  x 12  53

ຕວົ ຢາູ່ ງ ຈົັງ່ ແກສ້ ົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນິດລມຸ່ ນີ້: 1) x2 y dy  2xy2  0 dx ວທີ ແີ ກ້ ຈັດຢູໃ່ ນຮບແບບ M  xdx  N  ydy  0 ຈາກ x2 y dy  2xy2  0 dx x2 y dy  2xy2 dx y dy  2x dx y2 x2 1 dy  2 dx yx  2 dx   1 dy  0 x y 2ln x  ln y  C ດັ່ງນ້ັນີ , ສົມຜນົ ທືເີ່ ຮົາຕອ້ ງການຊອກແມ່ນ: 2ln x  ln y  C  2) xy4dx  y2  2 e3xdy  0 ວິທີແກ:້ ຈັດຢູ່ໃນຮບແບບ M  xdx  N  ydy  0  ຈາກ xy4dx  y2  2 e3xdy  0  y2  2 xy4dx   e3x dy  y2  2 xe3xdx   y4 dy   xe3xdx  y2  2y4 dy  0 xe3x  e3x  y1  2y3  C 3 9 1 3 xe3x  e3x  1  2 C 3 9 y 3y3 ດັງ່ ນນ້ີັ , ສົມຜນົ ທເື່ີ ຮົາຕອ້ ງການຊອກແມ່ນ: xe3x  e3x  1  2  C 3 9 y 3y3 3) dy  xy2  5x dx x2 y  2 y ວທິ ແີ ກ:້ ຈດັ ໃນຮບແບບ M  xdx  N  ydy  0    ຈະໄດ້ xy2  5x dx  x2 y  2y dy  0 54

   x y2  5 dx  y x2  2 dy  0    x dx  y dy  0 x2  2 y2  5     x d x2  2 y d y2 5  0    x2  2 2x y2 5 2y 1 ln x2 2  1 ln y2 5  C1 2 2 x2  2 C y2 5 ດງ່ັ ນນັ້ີ , ສົມຜນົ ທເືີ່ ຮົາຕອ້ ງການຊອກແມ່ນ: x2  2 C y2 5  4) 3x  xy2 dx  (y  x2 y)dy  0 ເມອ່ື y 1  3  ວທິ ແີ ກ:້ ຈາກ 3x  xy2 dx  (y  x2 y)dy  0  x 3  y2 dx  y(1 x2 )dy  0 xdx  ydy 0 1 x2 3 y2  xdx  ydy  0 1 x2 3 y2 1 ln 1  x2  1 ln 3  y2  C 22 ຈາກ y1  3 ໄດ້ 1 ln 11  1 ln 3  9  C 22 1 ln 2  1 ln 12  C 22 1 ln 1  C 26 ດ່ງັ ນນັ້ີ , ໃຈຜົນຕ້ອງການຊອກແມນ່ : 1 ln 1 x2  1 ln 3  y2  1 ln 1 22 26  5) x2  x y  2y 1 ເຮາົ ມີ:  x2  x y  2y 1 55

 x2  x dy  2y 1 dx  x2  x dy  2y 1 dx  dx x   2 dy x2  y 1  dx x   dy x2  2y 1  x  dx  1  d 2y 1 2 2y 1 x 1   1  x 1 dx  1 ln 2 y 1  x 1 2  1 dx   dx  1 ln  2 y 1 x x 1 2 ln x   d  x 1  1 ln 2y 1 2 x 1 ln x  ln  x 1  1 ln 2 y 1 2 1 ln 2 y 1  ln x  ln  x 1  ln C 2 ln 2y 1  ln C  2 ln x  2 ln  x 1 ln 2 y 1  ln C  ln x2  ln  x 12 ln 2 y 1  ln x2 C  x  12  2 y 1  x2 C  x  12 2 y 1   Cx2 x 12 2y  Cx2 1  y  1   Cx2  2  1  x 12  x 12  ດງັ່ ນນັ້ີ , ສົມຜົນທີືເ່ ຮົາຕ້ອງການຊອກແມ່ນ: y  1   Cx2  2  1  x 12  ກດິ ຈະກາ 1: ຈົັງ່ ແກ້ສົມຜົນຈຸນລະຄະນິດລຸ່ມນີ້:  1) 1 x2 dy  ydx  0  2) 1 x2 dy  ydx  0  3) x2  x y'  3y 1 56

 4) 1 x2 y' 1 y2  0 5) y' cos x  y ຕອບສະໜອງເງືອ່ ນໄຂ y0  1 ln y 6) y'  cos y  sin y 1 cos x  sin x 1 ກດິ ຈະກາ 2: ວຽກບາ້ ນ ຈັົງ່ ແກ້ສົມຜົນຈຸນລະຄະນດິ ລຸ່ມນ້ີ: 1) dy   x3 dx y  12  2) dy  1 y3  0 dx xy2 1  x2 3) dy   x 12 dx 4) dy  2xy2  0 dx 5) dx  e3xdy  0 6) dy   y 12 dx  0 7) dN  N  Ntet2 dt 8) y ln x dx   y 12 dy  x  9) dy  sin 5x dx 10) dy  y2 sin x  0 dx 11) dy  2 x  y2 1 dx x  2 x 1 12) dy  2 x 1 dx y 13) y 1 x2 dy  xdx  0 14) ydy  1 ycos 2xdx  0 16) dy  e2x3y dx 57

 17) 2xdy  1 y2 dx  0 dx  4 x2 1 ,    dt  4   18) x  1 dy 1 ex  19)  y2 1 dx  0 20) dy  y2 1 , y2  2 dx x2 1 21) x2 dy  y  xy , y 1  1 dx 22) dy  2y 1, y 0  5 dx 2 23) xdx  yexdy  0 , y 0  1 2.10 ສົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ີ ໜ່ືງໃນຮບຮາ່ ງ f1 x g1  ydx  f2 xg2 ydy  0  ແນະນາວິທີແກ້ ເຮາົ ມີ f1 xg1  ydx  f2 xg2 ydy  0 ຫານທັງສອງພາກຂອງສົມຜນົ ຈຸນລະຄະນດິ ໃຫ້ g1(y).f2 (x) : f1 x g1(y)dx  f2 (x)g2  ydy  0 g1(y) .f2 (x) g1(y). f2 (x) f1 xdx  g2  ydy  0 f2 (x) g1(y)  f1 x dx   g2  ydy  C f2 (x) g1(y) ຕວົ ຢາູ່ ງ 1. ຈັົ່ງແກ້ສມົ ຜົນ x 1 y2 dx  y 1 x2 dy  0 ວທິ ແີ ກ້: ເຮາົ ມີ x 1 y2 dx  y 1 x2 dy  0 ຫານທັງສອງພາກຂອງສົມຜົນຈຸນລະຄະນດິ ໃຫ້ 1 y2 . 1 x2 : x 1 y2 dx y 1 x2 g2  y dy  0  1 y2 . 1 x2 1 y2 . 1 x2 xdx  ydy  0 1 x2 1 y2 58

 xdx  ydy  K 1 x2 1 y2          11 1 1 1 x2 1 x2 1 y2 1 y2 K 2d 2d 22  1 1  1 1 2 2     1 .1 x2  1. 1 y2 2 2 K  1 1  1 1 2 2 11    1 . 1 x2 2  1 . 1 y2 2  K 21 21 22 11    1 x2 2  1 y2 2  K ເຮາົ ວາງໃຫ້ K  ln C ເຮົາໄດ້ 1 x2  1 y2  C ດ່ງັ ນ້ີນັ ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜົນແມນ່ : 1 x2  1 y2  C.  ກດິ ຈະກາ: ຈງັົ່ ແກບ້ ັນດາສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂີນ້ັ ໜ່ືງລຸມ່ ນ:້ີ 1)  y dx x  (x dy  0  2)y 1 2) x  xy   y  xy y'  0  3) y' x2  4  2xy 4) xdy  ydy  0 1 y2 1 x2 5) x 1 y2 dx  y 1 x2 dy  0    6) xy  x dx  xy  y dy  0 7) y ln3 y  y' x 1  0 8) y'  1 cos 2x  0 1 sin 2y  9) 2x2y  x y'  3y  2xy2 2.11 ສົມຜົນຈນຸ ລະຄະນດິ ຂີ້ັນໜງ່ື ໃນຮບຮາ່ ງ y'  f  y   x   ແນະນາວິທີແກ້ 59

ເຮາົ ມີ y'  f  y   x  ວາງໃຫ້ u y x y  ux dy  ux' dx dy  u'x  u dx dy  du .x  u dx dx ເມອື່ ນນັີ້ , ເຮົາໄດ້: du .x  u  f x dx x.du  udx  f xdx x.du  f xdx  udx x.du  f x  u dx f du  dx x xu  f du u   dx x x ຕວົ ຢາູ່ ງ 1. ຈ່ົງັ ແກ້ສມົ ຜົນ y'  2xy x2  y2 ວິທແີ ກ:້ y'  2xy ເຮົາມີ x2  y2 ຫານພດ ແລະ ຈານວນພດໃຫ້ x2 : 2xy 2. y y'  x2  x y x2  y2 1   x 2 x2 x2   2. y x y'  y 2 x  1    60

ວາງໃຫ້ u  y x y  ux dy  ux' dx dy  u'x  u dx dy  du .x  u dx dx ເມື່ອນັ້ີນ, ເຮົາໄດ:້ du .x  u  2u dx 1 u2 x.du  udx  2u dx 1 u2 x.du  2u dx  udx 1 u2 x.du   2u  u  dx  1 u2  2u  u 1 u2  x.du  1 u2 dx x.du  2u  u  u3 dx 1 u2 x.du  u  u3 dx 1 u2 du  dx u  u3 x 1 u2 1 u2 du  dx u  u3 x 1 u2 du  dx u 1 u2  x  2u  1  du  dx  1 u2 u  x 2u du  1 du  dx 1 u2 u x 61

 d 1 u2  du  dx ux  1 u2  d 1 u2    du   dx u x 1 u2   ln 1 u2  ln u  ln x  C1   ln 1 u2  ln u  ln x  C1  ln x  ln 1 u2  ln u  C1 ວາງໃຫ້ C1  ln C  ເຮົາໄດ້ ln x  ln 1 u2  ln u  ln C ln x  ln   y2   ln y  ln C 1 x2  x   ln x  ln  x2  y2   ln y  ln C  x2  x    ln x  ln x2  y2  ln x2  ln y  ln x   ln C  ln x  ln x2  y2  ln x2  ln y  ln x  ln C  ln x  ln x2  y2  2 ln x  ln y  ln C  ln x2  y2  ln C  ln y  ln x2  y2  ln Cy x2  y2  Cy x2  y2  Cy  0  ກດິ ຈະກາ: ຈງົ່ັ ແກບ້ ັນດາສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂ້ນັີ ໜງື່ ລມຸ່ ນ:ີ້ 1) x2  y2  2xyy'  0  2) xy  y2  2x2  xy y'  3) xy'  2 y  xy 4) xy'  y  a2 x2y2  5) y' 2x2y  x  y  2xy2 6) 3y sin 3x dx   y  3x sin 3x  dy  0 y  y    62

 7) xy'  4 y  y 8) 2xyy'  2y2  x4  y4 2.12 ສມົ ຜົນຈນຸ ລະຄະນດິ ຂ້ີັນໜ່ືງໃນຮບຮາ່ ງ y'  f ax  by  c ຕວົ ຢາູ່ ງ 1. ຈັ່ງົ ແກ້ສົມຜົນຈຸນລະຄະນິດຂັີ້ນໜ່ງື y'   x  y2 ວທິ ີແກ້: ເຮົາມີ y'   x  y2 ວາງ u  x  y yux dy  u  x' dx dy  u' 1 dx dy  du 1 dx dx y'  du 1 dx ສະນນ້ັີ , ເຮົາໄດ້: du 1  u2 dx du  dx  u2dx du  dx  u2dx  0  du  1 u2 dx  0 du  dx  0 1 u2  du   dx  C 1 u2 arctan u  x  C arctan u  C  x u  tan C  x x  y  tan C  x y  tan C  x  x 63

ດັງ່ ນັີ້ນ ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜົນແມ່ນ: y  tan C  x  x. ຕວົ ຢາູ່ ງ 2. ຈັ່ົງແກ້ສົມຜນົ ຈຸນລະຄະນິດຂັ້ນີ ໜ່ງື y'  1  y 12 2x  ວທິ ແີ ກ້: ເຮົາມີ y'  1  y 12 2x  ວາງ u 1 y 1 2x 2xy  2x  y 1 y  2xu  2x 1 dy  2xu  2x 1' dx dy  2u  2xu'  2 dx y'  2u  2x du  2 dx ສະນນ້ັີ , ເຮາົ ໄດ:້ 2u  2x du  2  u2 dx 2u  2x du  2  u2  0 dx  2xdu  u2  2u  2 dx  0  ຫານທັງສອງຟາກໃຫ້ u2  2u  2 x:  2 x du u2  2u  2 dx  0    u2  2u  2 x u2  2u  2 x u2 2du  2  dx  0  2u x  u2 2du  2   dx  C1  2u x  u 2du 1   dx  C1 x 12 2 d u 1   dx  C1 12 1 x u 64

2arc tan u 1  ln x  C1 2arc tan u 1  C1  ln x ເຮາົ ວາງ C1  ln C 2arc tan u 1  ln C  ln x 2arc tan u 1  ln Cx arc tan u 1  1 .ln Cx 2 1 arc tan u 1  ln Cx2 arc tan u 1  ln Cx  u 1 tan ln Cx  1  y 1  1  tan ln Cx 2x  y 1  tan ln Cx 2x  y 1  2x tan ln Cx  y  2x tan ln Cx 1  ດງັ່ ນັ້ີນ ໃຈຜົນຂອງສົມຜນົ ແມນ່ : y  2x tan ln Cx 1.  ກດິ ຈະກາ: ຈງ່ັົ ແກບ້ ັນດາສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂ້ນີັ ໜືງ່ ລຸ່ມນ:້ີ 1) y'  x  y 1 2) y'   x  y 12 3) y'  x  y 1 x 4) y'  1  y 12 x  2.13 ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂັນ້ີ ໜງ່ື ໃນຮບຮາ່ ງ f x, ydx  g x, ydy  0  ແນະນາວທິ ີແກ້ f x, y ແລະ g x, y ແມນ່ ໝວດຄານວນຂັນ້ີ ໜ່ືງຕາມ x ແລະ y : f x, y  a1x  b1y  c1 gx, y  a2x  b2y  c2 65

ແກ້ລະບບົ ສມົ ຜົນ aa12xx  b1y  c1  0  b2y  c2  0 ຖ້າວ່າ D a1 b1  a1b2  a2b1  0 ລະບົບສົມຜົນມີໃຈຜນົ ແມ່ນ x0; y0  a2 b2 ວາງ: u  x  x0   x  u  x0 v  y  y0  y  v  y0  ຖ້າວ່າ: D  0  a1b2  a2b1  0 ວາງ z  a1x  b1y ຫຼ z  a2x  b2y ຕວົ ຢາູ່ ງ 1. ຈັົງ່ ແກ້ສມົ ຜົນ 2x  4y  6dx  x  y  3dy  0 ວິທແີ ກ:້ ເຮາົ ມີ 2x  4y  6dx  x  y  3dy  0 ແກ້ລະບົບສົມຜນົ 2x  4y  6  0  x 1 x  y  3  0 y 2 ວາງ: u  x 1  x  u 1 v  y2   v2  y  du  x 1'  dx  y  2'   du  dx  dv dv  dy  dy ເມືອ່ ນ້ນີັ , ເຮົາໄດ້: 2u 1  4v  2  6 du  u 1  v  2  3 dv  0 2u  2  4v  8  6du  u 1 v  2  3dv  0 2u  4vdu  u  vdv  0 ຫານທງັ ສອງຟາກໃຫ້ u du: 2u  4vdu u  vdv  0 u du u du  2  4. v   1  v  dv  0  u  u  du ເຮົາວາງ zv u v  zu 66

dv  zu' du dv  z  uz' du dv  z  u dz du du ເມອ່ື ນ້ນີັ , ເຮົາໄດ້:  2  4z  1 z   z  u. dz   0  du  2  4z  z  u. dz  z2  zu. dz  0 du du 2  3z  z2  1 zu. dz  0 du  2  3z  z2 du  1 z udz  0  ຫານທັງສອງຟາກໃຫ້ 2  3z  z2 u : 2  3z  z2 du 1 z u dz      0 2  3z  z2 u 2  3z  z2 u du  2 z 1 z2 dz  0 u  3z   du   2 z 1 z2 dz  C1 u  3z   du    z 3 2  z 2 1  dz  C1 u      du   z 3 2 dz   z 2 dz  C1 u  1  du  3 d z  2   2 d z 1  C1 u z2 z 1 ln u  3ln z  2  2 ln z 1  C1 ln u  ln z  23  ln z 12  C1 z  23 ln z 12  C1 ln z  23  eC1 z 12 67

ເຮາົ ວາງ eC1  C z  23  ln z 12  C ເມ່ອື ນ້ີັນ, ເຮົາໄດ້:  x  1  y  2  2 3  x  1   C 2 12  y 1   x  x 1  y  2  2x  2 3  x 1   C  y  2  x 12  x 1   x  1  y  2x 3 x 1   C  y  x 12  x 1  x 1 y  2x3 x 13  y  x 12  C x 12 x 13  y  2x3 C x 13  y  x 12  y  2x3  y  x 12  C  y  2x3  C y  x 12 ດງັ່ ນນີ້ັ ໃຈຜົນຂອງສົມຜນົ ແມ່ນ:  y  2x3  C y  x 12 ຕວົ ຢາູ່ ງ 2. ຈົັ່ງແກສ້ ມົ ຜນົ x  y  2dx  2x  2y 1dy  0 ວທິ ີແກ:້ ເຮາົ ມີ x  y  2dx  2x  2y 1dy  0 ແກ້ລະບບົ ສມົ ຜນົ x  y  2  0 D  1 1 2x  2y 1  0 2  1.2  2.1  2  2  0 2 68

ວາງ: x  y  t ytx dy  dt 1 dx dx dy  dt  dx ເມ່ືອນນ້ັີ , ເຮົາໄດ້: t  2dx  2t 1dt  dx  0 t  2 dx  2tdt  2tdx  dt  dx  0 t  2  2t 1 dx  2t 1dt  0 3  tdx  2t 1dt  0 ຫານທງັ ສອງຟາກໃຫ້ 3  t : 3  t 2t 1 3  t dx  3  t dt  0 dx  2t 1dt  0 3t  dx   2t 1dt  C1 3t  dx   2t 1dt  C1 t 3 2t  3  5  dx   t  3 dt  C1  dx  2 dt  5 t 1 3 dt  C1  x  2t  5ln t  3  C1 ເຮາົ ມີ x  y  t x  2x  y  5ln x  y  3  C1 x  2y  5ln x  y  3  C1 x  2y  5ln x  y  3  C1 ວາງ: C1  C x  2y  5ln x  y  3  C ດັງ່ ນັ້ີນ ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜນົ ແມ່ນ: x  2y  5ln x  y  3  C. 69

ຕວົ ຢາູ່ ງ 3. ຈົັ່ງແກ້ສົມຜນົ x  2y  3dy  2x  y 1dx  0 ວິທແີ ກ້: ເຮົາມີ x  2y  3dy  2x  y 1dx  0 ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ x  2y  3  0  x  1 2x  y 1  0   5 y 7 5 ວາງ: u  x1  x  u1   5   5 v y y7 v 7 5 5  du   x  1 '     5   dx 7 ' du  dx  5   dv  dy  dv  y  dx  ເຮົາມີ: t  2dx  2t 1dt  dx  0 t  2 dx  2tdt  2tdx  dt  dx  0 t  2  2t 1 dx  2t 1dt  0 3  tdx  2t 1dt  0 ຫານທງັ ສອງຟາກໃຫ້ 3  t : 3 t dx  2t 1 dt  0 3 t 3 t dx  2t 1dt  0 3t  dx   2t 1dt  C1 3t  dx   2t 1dt  C1 t 3 2t  3  5  dx   t  3 dt  C1  dx  2 dt  5 t 1 3 dt  C1  70

x  2t  5ln t  3  C1 ເຮາົ ມີ x  2y  3dy  2x  y 1dx  0 u  1  2  v  7   3 dv  2  u  1   v  7 1 du  0 5  5   5  5 5u 110v 14 15dv  10u  2  5v  7  5du  0 5u 10vdv  10u  5vdu  0 ຫານທງັ ສອງຟາກໃຫ້ 5: u  2vdv  2u  vdu  0 ຫານທງັ ສອງຟາກໃຫ້ udu :  u  2v dv  2 u  v du  0 u du u du 1  2. v  dv  2  v  0 u  du u ເຮົາວາງ z  v u v  zu dv  z  u. dz du du 1  2z  z  u. dz   2  z  0  du  z  u dz  2z2  2zu dz  2  z  0 du du 2z  u dz  2z2  2zu dz  2  0 du du 2zdu  udz  2z2du  2zudz  2du  0  2z  2z2  2 du  u  2zu   0  2z2  2z  2 du  1 2z udz  0  2 z2  z 1 du  2z 1 udz  0  ຫານທັງສອງຟາກໃຫ້ z2  z 1 u : 2 z2  z 1 2z 1 u    du  dz  0 z2  z 1 u z2  z 1 u 71

2du  2z 1 dz  0 u z2  z 1  2du   2z 1 dz  C1 u z2  z 1   2 du  d z2  z 1 u z2  z 1 dz  C1 2 ln u  ln z2  z 1  C1 ln u2  ln z2  z 1  C1  ln z2  z 1 u2  C1  z2  z 1 u2  eC1 ວາງ: eC1  C  z2  z 1 u2  C ເຮາົ ມີ z  v u  v2  v   u 2  C  u2 u 1   v2  vu  u2  C ເຮາົ ມີ u  x  1 , v  y  7 55  y  7 2   x  5  x  1    x  1 2  C  5   7   5   5  y2  x2  xy  3y  x  C ດັ່ງນ້ີັນ ໃຈຜົນຂອງສົມຜົນແມນ່ : y2  x2  xy  3y  x  C. ຕວົ ຢາູ່ ງ 4. ຈົັ່ງແກ້ສມົ ຜນົ 2x  ydy  3x  3y 1dx  0 ວທິ ແີ ກ:້ ເຮາົ ມີ 2x  ydy  3x  3y 1dx  0 ແກລ້ ະບົບສມົ ຜົນ 2x  y  0 D  2 2  3  2.3  3.2  6  6  0 3x  3y 1  0 3 ວາງ: t  x  y ytx 72

dy  dt 1 dy  dt  dx dx dx ເຮາົ ມີ: 2x  ydy  3x  3y 1dx  0 2t dt  dx  3t 1dx  0 2tdt  2tdx  3t 1dx  0 2tdt  3t 1 2t dx  0 2tdt  t 1dx  0 ຫານທັງສອງຟາກໃຫ້ t 1 : 2tdt  t 1dx  0 t 1 t 1 2tdt  dx  0 t 1  2tdt   dx  C t 1   2  t 2    dx  C  1  2t  2ln t 1  x  C ເຮາົ ມີ t  x  y 2x  y  2ln x  y 1  x  C 2x  2y  2ln x  y 1  x  C 3x  2y  2ln x  y 1  C ດງ່ັ ນນ້ັີ ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜນົ ແມນ່ : 3x  2y  2 ln  x  y 1  C  ກດິ ຈະກາ: ຈງ່ົັ ແກບ້ ນັ ດາສົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂັີ້ນໜງື່ ລ່ມຸ ນ:້ີ 1) 4x  3y 12dx  y  2dy  0 2) x  y  2dx  2x  y  2dy  0 3) x  y  4dx  x  y  2dy  0 4) 2x  y  2dx  x  y  5dy  0 5) x  y  4dx  x  y  2dy  0 6) 2x  5y  5dx  x  y  2dy  0 73

7) 6x  5y  4dx  23x 18y  30dy  0 8) x  y  7dx  x  y 1dy  0 9) 2x  3y  5dx  4x  6y  7dy  0 10) x  y  2dx  2x  2y  4dy  0 11) x  y 1dx  x  y 1dy  0 12) x  2y  3dx  2x  y  4dy  0 13)  y  x  4dy  x  y 12dx  0  2 x  5   2 2   14)  3y dx 6 2x  2 3y  9 dy  0  5  2 x  1 y 1 5  dx    1 x  y  3  5  dy  0 15)  33 3   2  16) tan y dx  tan x dy  0 cos2 x cos2 y  2 x 1, 5y  0, 5  dx   x  y 2   0 17)  x 3   2  1 dy 2.14 ສົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂັ້ີນໜງື່ ໃນຮບຮາ່ ງ y'  p x y  q x  ແນະນາວທິ ີແກ້ ເຮົາມີ y'  p x y  q x dy  pxdx  0 y  dy   p  x  dx  C1 y ln y   p xdx  C1 ln y  C1   pxdx y  eC1pxdx y  eC1 .epxdx ວາງ: eC1  C  y  C.epxdx ວາງ: C  C x 74

y  C x .epxdx y'  C  x  .e  p x dx '  .epxdx  C e  px dx '    y'  C'x x  y'  C'  x .epxdx  Cx   p  '   p x dx x dx .e y'  C'  x .epxdx  Cx px.epxdx y'  C'  x   p x dx  p x.Cx.epxdx .e ແທນຄ່າຂອງ y, y' ໃສ່ y'  p x y  q x C'  x .epxdx  p x .C x .epxdx  p x  C  x .epxdx   q x   C'  x .epxdx  p x .C x .epxdx  p x  C x .epxdx  q  x C'  x   px dx  qx .e C' x  q x epxdx d Cx  q  x epxdx dx d Cx  q xepxdxdx  d Cx   q xepxdxdx Cx  q xepxdxdx ແທນຄ່າຂອງ Cx ໃສ່ y  Cx.epxdx   y q x e p x dx dx  e px dx .   ຕວົ ຢາູ່ ງ 1. ຈງ່ັົ ແກ້ສມົ ຜົນຈຸນລະຄະນດິ ຂີນ້ັ ໜ່ືງ y'  2xy  2xex2 ວິທີແກ້ທີ 1: ເຮາົ ມີ y'  2xy  2xex2 ແກ້ສົມຜົນ y'  2xy  0 dy  2xdx  0 y 75

 dy   2xdx  C1 y ln y  x2  C1 ln y  C1  x2 y  ex2 C1 y  ex2 C1 y  eC1 .ex2 ວາງ: eC1  C y  C.ex2 ວາງ: C  C x y'  C  x  .e x2 '      y'  C' ex2 ' x .ex2  x C  y'  C' x.ex2  x2 ' Cx .ex2 y'  C'  x .ex2  2x.C  x .ex2 ແທນຄ່າຂອງ y, y' ໃສ່ y'  2xy  2xex2 C' x.ex2  2x.Cx.ex2  2x.Cx.ex2  2xex2  C' x . ex2  2x ex2 C' x  2x d Cx  2x dx d Cx  2xdx  d Cx   2xdx Cx  x2 C ແທນຄ່າຂອງ Cx ໃສ່ y  C x .ex2   y  x2  C ex2  ດງັ່ ນນ້ີັ ໃຈຜົນຂອງສມົ ຜນົ ແມນ່ : y  x2  C ex2 . 76

ວທິ ີແກ້ທີ 2: ແກ້ສມົ ຜົນ y'  2xy  2xex2 ເຮົາມີ y'  p x y  q x ສະແດງວາ່ p x  2x, q x   2xex2 ນາໃຊ້ສດ y    qx e p x dx dx    p x dx .   e y  e2xdx  2xex2 e2xdxdx   y  ex2 2xex2ex2dx  y  ex2 2 xdx  y  ex2 x2  C  ດັງ່ ນ້ນັີ ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜົນແມ່ນ: y  ex2 x2  C . ຕວົ ຢາູ່ ງ 2. ຈົງ່ັ ແກ້ສົມຜນົ ຈຸນລະຄະນິດຂີ້ັນໜ່ືງ y'  2y  x 13 ເຊ່ງືິ y0  1 x 1 2 ວິທແີ ກ້: ເຮາົ ມີ y'  2y  x 13 x 1 ເຮົາມີ y'  p x y  q x ສະແດງວາ່ px   2 , qx  x 13 x 1 ອງີ ຕາມສດ y    qx e p x dx dx  e  p x dx .     y q x e p x dx dx  e px dx .   2  1 dx  3 2 2  1 dx  x 1  x 1   ye x 1 e  x e dx    x 1 3 eln  x 1  dx  y  elnx12  12     y  e2lnx1 x 1 3 e2lnx1dx   x 1 3 eln  x 1  dx  y  elnx12  12    y  x 12 x 1dx 77

y   x  12  1 x2  x  C   2  ຈາກເງືອ່ ນໄຂ: y0  1 2 ເຮົາມີ: y   x  12  1 x2  x  C   2  1  0 12  1 02  0  C  2  2  C 1 2 ແທນຄ່າຂອງ C 1 ໃສ່ y   x  12  1 x 2  x  C  ເຮາົ ໄດ້: 2  2  y   1 x 2  x  1   x  12  2 2   x2  2x 1 x 12 y 2 x 12 x 12 y 2 x 14 y 2 x 14 ດັງ່ ນັ້ີນ ໃຈຜົນຂອງສົມຜົນແມ່ນ: y  2 .  ຕວົ ຢາູ່ ງ 3. ຈ່ັົງແກ້ສົມຜົນຈຸນລະຄະນດິ ຂັ້ີນໜ່ືງ x  y2 dy  ydx ວທິ ແີ ກ້: ສັງເກດເຫນັ ວ່າ:  - ຖາ້ ວາ່ y ເປນັ ຕາລາ, x ເປັນຕົວປູ່ຽນເອກະລາດ. ສົມຜົນ x  y2 dy  ydx ບແໍ່ ມ່ນສົມຜົນຈນຸ ລະຄະນິດ ຂີັ້ນໜືງ່ .  - ຖາ້ ວາ່ x ເປັນຕາລາ, y ເປນັ ຕົວປູ່ຽນເອກະລາດ. ສົມຜນົ x  y2 dy  ydx ແມນ່ ສົມຜົນຈນຸ ລະຄະນິດຂັີ້ນ ໜ່ືງ.  ເຮົາມີ: x  y2 dy  ydx x  y2  y dx dy x  y2  y.x' 78

y.x'  x  y2 x'  1 x  y y ເຮົາມີ: py   1 , qy  y y ອີງຕາມສດy  q x e p x dx dx  e  p x dx .   e 1 dx   1 dy  y  ye y  y dy  ln 1  ye ydy  y  eln y  yeln y  y. 1dy   y     y  dy  C y y  yy  C.  ກດິ ຈະກາ: ໃຫນ້ ກັ ສກສາແກເ້ ລກເປນັ ກ່ມຸ ຈງ່ັົ ແກບ້ ນັ ດາສົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນ້ີັ ໜງື່ ລຸ່ມນ້:ີ 1) y  cos2 x.y'  tan x  2) dy  x2dx x2  a xy 1dx    3) x  x3 y'  2x2 1 y  x3 4) y' cos x  y  1 sin x 5) y'  cos x.y  xesinx 6) y'  tgx.y  1 cos x 7) y'  y  ex 8) y'  2xy  2xex2  9) x2 1 y'  xy  2 10) y'  y  x ln x, ye  e2 x ln x 2 11) y'  2xy  x 79

12) y'  y  1 , y1  2 x x2 13) y' 1  y tan x 14) x2y'  2xy  cos x, y   0 15) cos2 x.y'  y  tgx, y 0  0    16) 1 x2 y'  2xy  1 x2 2 17) y'  2xy  2xex2 , y 1  0 18) xy'  y' ln y  y  y  0 19) y'  1 y  sin x xx 20) y'  y  sin x xx  ບນັ ດາສດທພີື່ ວົ ພນັ ກບັ ການແກເ້ ລກ 1. dx  ln x  x2  k  C x2  k 2.  du(x) u(x)2  k  C  ln u(x)  u(x)2  k 3. dx  arcsin x  C a a2  x2 4.  du(x)  arcsin u(x)  C a2  u(x)2 a 5. dx  ln x  x2  k  C x2  k 6.   du(x)  ln u(x)  u(x)2  k  C u(x)2  k 7. x2  bx   x  b 2  b2  2  4 8. x2  bx   x  b 2  b2  2  4 80

n n1  ...  a2y'2  a1y'1  a0y  0  an1    2.15 ສົມຜົນຈນຸ ລະຄະນດິ ຂີັ້ນໜງ່ື ໃນຮບຮາ່ ງany'y'  ແນະນາວິທີແກ້ ແກ້ສົມຜົນ ຊອກຫາ y' ສົມມຸດວາ່ n ສົມຜນົ ມີ ໃຈຜນົ : y1'  1 x, y y'2  2  x, y ... y'n  n  x, y ຊອກຫາ y y1  1 x, y y2  2 x, y ... yn  n x, y ໃຈຜົນຂອງສົມຜົນມີຮບຮ່າງ 1 x, y, C.2 x, y, C...n x, y, C  0  ສື່ິງທຄີ່ື ວນເອາົ ໃຈໃສ:່ ເຮົາສາມາດວາງ y'  p ສັງເກດກລະນທີ ືີ່ເຄຍີ ພົບ: a x, y y'2  b x, y y'  c x, y  0 ແນະນາວິທແີ ກ້ ການຊອກຫາຄ່າ y1' , y'2 y1'  1 x, y y'2  2  x, y ຊອກຫາ y1, y2 y1  1 x, y y2  2 x, y ດັງ່ ນນີ້ັ ໃຈຜົນຂອງສມົ ຜນົ ມີຮບຮ່າງ 1 x, y, C.2 x, y, C  0 ຕວົ ຢາູ່ ງ 1. ຈົັງ່ ແກສ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນິດຂັນ້ີ ໜງ່ື yy'2  xy 1 y'  x  0 ວິທີແກ້ທີ 1: ເຮົາມີ yy'2  xy 1 y'  x  0 81

yy'2  xyy'  y'  x  0  y y'2  xy'  y'  x  0  y y'2  xy'  y'  x y  y'  x y'2  xy' ວາງ: y'  p dy  p dx dy  pdx ແທນຄ່າຂອງ y'  p ໃສ່ y  y'  x y'2  xy' y  p  x p2  xp dy  d  p  x   p2  xp    pdx  d p  x.p2  xp  d p2  xpp  x p2  xp pdx  dp  dx pp  x  2pdp  pdx  xdpp  x  p2 p  x2 pdx  p  x dp  dx p  2pdp  pdx  xdp  p2 p  x2 pdx  dp  dx  p  2pdp  pdx  xdp p2 p  x p3 p  xdx  dp  dx p  2pdp  pdx  xdp p3 p  xdx  pdp  pdx  2pdp  pdx  xdp p3 p  xdx  pdp  xdp p3 p  xdx   p  xdp p3dx  dp dx  dp p3 82

 dx   dp p3 x   p3dp x   p31  C 3 1 x   1  C 2p2 ແທນຄ່າຂອງ x   1 C ໃສ່ y  p  x 2p2 p2  xp p3 1 2p2C y  2p2 p2  1  pC 2p p3 1 p2C y  p3 p2 1 2p2C 2p  2p p3 1 2p2C y  2p2 p3 1 2p2C y 1 p x  1  C 2p2 ດງ່ັ ນັີນ້ ໃຈຜົນຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ນ:  y 1  p ວທິ ແີ ກ້ທີ 2: ແກ້ສົມຜົນຈຸນລະຄະນິດຂີັນ້ ໜື່ງ yy'2  xy 1 y'  x  0 ຊອກຫາຄ່າຂອງ y' ເຮາົ ມີ   xy 12  4yx   x2y2  2xy 1 4xy   x2y2  2xy 1   xy 12   xy 12  xy 1 83

   xy 1  xy 1  xy  1  xy  1  2y x x y'  2y 2y 2y   xy 1  xy 1 xy 1 xy 1 2 1  2y  2y y  y'  2y    ຊອກຫາຄ່າຂອງ y ສາລັບ: y'  x dy  x dx dy  xdx dy  xdx  0  dy   xdx  C y  x2  C 2 2y  x2  2C 2y  x2  2C  0 x2  2y  2C  0 ສາລັບ: y'  1 y dy  1 dx y ydy  dx ydy  dx  0  ydy   dx  C y2  x  C 2 y2  2x  2C y2  2x  2C  0   ດ່ງັ ນັ້ີນ ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ນ: x2  2y  2C y2  2x  2C  0.  ຕວົ ຢາູ່ ງ 2. ຈງົັ່ ແກ້ສມົ ຜົນຈນຸ ລະຄະນດິ ຂີັ້ນໜືງ່ 2y y' 1  xy'2 84

ວທິ ີແກ້:  ເຮົາມີ 2y y' 1  xy'2  y  xy'2 2 y' 1 ວາງ: y'  p dy  p dx dy  pdx y'  p ໃສ່ y xy'2 2 y' 1  ແທນຄ່າຂອງ y  xp2 2p 1 dy  d  2 xp2 1     p    d xp2 2p 1  d 2p 1 xp2 2p 12 dy  pdx  p2dx  2xpdp 2p 1  2xp2dp 4p 12 pdx   p2dx  2xpdp p 1  xp2dp 2p 12  2pp 12 dx  p2dx  2xpdp p 1  xp2dp 2p p 12 dx  p pdx  2xdpp 1  xpdp 2p 12 dx  pdx  2xdpp 1  xpdp 2p 12 dx  p2dx  pdx  xpdp  2xdp 2p 12  p2  p dx  x p  2dp 2p2  4p  2  p2  p dx  x p  2dp p2  3p  2dx  x p  2dp p 1 p  2dx  x p  2dp 85

p 1dx  xdp dx  dp x p1 dx  dp  0 x p1  dx   dp  ln C x p 1 ln x  ln p 1  ln C ln x  ln C  ln p 1 ln x  ln p 1 C x  p 1 C x  Cp 1 ແທນຄ່າຂອງ x  Cp 1 ໃສ່ y  xp2 2p 1 C p 1p2 y 2 p 1 y  Cp2 2 x  Cp 1 x  C2  ດັງ່ ນນັີ້ ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມນ່ :  Cp2 ຫຼ y . y  2 2C  ກດິ ຈະກາ : ຈົງັ່ ແກສ້ ົມຜນົ ຈຸນລະຄະນດິ ຂນັ້ີ ໜງື່ ລມຸ່ ນ:ີ 1) yy'2  2xy'  y  0 2) y'2  2y y' 1  0 x 3) 4y  x2  y'2 4) y'3  y2  y'2  0  2.16 ສມົ ຜົນຈນຸ ລະຄະນດິ ຂັນ້ີ ໜ່ງື ໃນຮບຮາ່ ງ x   y'  ແນະນາວິທີແກ້ 86

ວາງ: y'  p dy  p dx dx  dy p  ແທນຄ່າຂອງ y'  p ໃສ່ x   y' x  p dx  d p dy  d  p p dy  pd p dy  p' pdp  dy   p' pdp  C y   p' pdp  C ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜນົ ແມ່ນ: x  p ດັງ່ ນັ້ນີ  y  p' pdp  C  ຕວົ ຢາູ່ ງ 1. ແກສ້ ມົ ຜນົ x  2 ln y'  y' ວິທແີ ກ້: ວາງ: y'  p dy  p dx dx  dy p  ແທນຄ່າຂອງ y'  p ໃສ່ x  2 ln y'  y' x  2ln p  p dx  d 2ln p  p dx   dp   2 p dp    dy   dp   p 2 p dp    87

dy  2p  dp  dp   p    dy  2dp  pdp dy  2dp  2pdp  0  dy  2 dp  2 pdp  C y  2p  p2  C y  2p  p2  C ດັງ່ ນັີ້ນ ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜົນແມນ່ : x  2ln p  p  y  2p  p2  C ຕວົ ຢາູ່ ງ 2. ແກ້ສົມຜນົ x  y'  y'2 ວທິ ແີ ກ້: ວາງ: y'  p dy  p dx dx  dy p ແທນຄ່າຂອງ y'  p ໃສ່ x  y'  y'2 x  p  p2 dx  d p  p2  dy  dp  2pdp p dy  pdp  2p2dp  dy   pdp   2p2dp  C y  p2  2p3  C 23 x  p  p2  ດ່ັງນີ້ັນ ໃຈຜົນຂອງສົມຜົນແມ່ນ:  p2  2p3 y  2 3 C 88

 ກດິ ຈະກາ : ຈງ່ັົ ແກ້ບນັ ດາບດົ ເລກລມຸ່ ນີ້ 1. ຈ່ັົງແກສ້ ົມຜົນຈຸນລະຄະນດິ ຂນ້ັີ ໜ່ງື ລ່ມຸ ນີ: 1) x  y'  1 y' 2) x  y'  1 y'2 3) x  ay' 1 y'2 2. ຈົັ່ງແກສ້ ມົ ຜນົ x  sin y'  ln y' x  sin p  ln p A. y  1 sin p p  cos p  C B. x  sin p  ln p y  1 sin p p  cos p  C C. x  sin p  ln p y  1 sin pp  sin p  C 3. ຈົັ່ງແກ້ສມົ ຜົນ x  2y'  3y'2 a) x  2p  3p2  y  p2  2p3  C b) x  2p  3p2  y  p2  2p3  C c) x  2p  3p2  y  p3  2p3  C d) x  2p  3p2  y  p3  2p3  C  4. ຈງ່ັົ ແກສ້ ມົ ຜົນ x  1 ey' y' x  1 ep  p  1.  y  p2  p2  p 1 ep  C 89

x  1 ep  p   2.  y  1 p2  p2  p 1 ep  C 2 x  1 ep  p  3.  y  p2  p2  p 1 ep  C x  1 ep  p   4.  y  1 p2  p2  p 1 ep  C 2  5. ຈັ່ງົ ແກ້ສົມຜົນ x  2y'  2y' 1 ey'  x  2p2  2p 1 e2p  i.  y   2p3  3p2   3  e2p    3p 2  C  x  2p2  2p 1 e2p  ii.  y   2p3  3p2   3  e2p    3p 2  C  x  2p2  2p 1 e2p  iii.  y   2p3  3p2   3  e2p    3p 2  C  x  2p2  2p 1 e2p  iv.  y   2p3  3p2   3  e2p    3p 2  C  2.17 ສມົ ຜົນຈນຸ ລະຄະນດິ ຂີນັ້ ໜ່ືງໃນຮບຮາ່ ງ y   y'  ແນະນາວິທີແກ້ ວາງ: y'  p dy  p dx dy  pdx  ແທນຄ່າຂອງ y'  p ໃສ່ y   y' y  p 90

dy  d p pdx  d p dx  1 d p p dx  1 ' pdp p  dx   ' p  dp  C p x   ' p  dp  C p  ' p x  dp  C p ດ່ງັ ນັ້ນີ ໃຈຜົນຂອງສົມຜົນແມ່ນ:  y  p  ຕວົ ຢາູ່ ງ 1. ແກ້ສມົ ຜົນ y  2 y' 1 ey' ວທິ ແີ ກ້: ວາງ: y'  p dy  p dx dy  pdx  ແທນຄ່າຂອງ y'  p ໃສ່ y  2 y' 1 ey' y  p 1ep  pdx  d p 1.ep  d ep .p 1 pdx  epdp  p 1 epdp pdx  epdp  pepdp  epdp pdx  pepdp pdx  p epdp dx  epdp  dx   epdp 91

x  ep  C ດັ່ງນີ້ນັ ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜນົ ແມ່ນ: x  ep  C   y  (p  1)ep  ກດິ ຈະກາ : ຈັງົ່ ແກບ້ ນັ ດາບດົ ເລກລມຸ່ ນີ້ 1. ຈງ່ັົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ຈຸນລະຄະນິດຂັນ້ີ ໜື່ງລມຸ່ ນີ: 1) y  y'  y'2 2) y  y'2  y'3 3) y  y'  1 y' 4) y  y'  1 y'2 5) y  y' 1 y'2 6) y 1 y'2  y' 7) ex  y2  y'2 2y' 8) yy'  y2  cos x 2. ຈັ່ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ y  y'2  ey' x  1 pep  C A.  y  p2ep B. x  pep  C  y  p2ep x  1 pep  C C.  y  p2ep 3. ຈງ່ັົ ແກສ້ ມົ ຜົນ y  y'2  2 ln y' x  2p  2  C  p a) y  p2  2ln p 92

b) x  2p  2  C  p y  p2  2 ln p c) x  p  1  C  p y  p2  2 ln p x  p  1  C  p d) y  p2  2 ln p 4. ຈົັ່ງແກ້ສມົ ຜົນ y  y'2  y'3 1. x  p  p2  C   y  p2  p3 2. x  2p  3 p2  C  2 y  p2  p3 3. x  p  p2  C   y  p2  p3 4. x  2p  3 p2  C  2 y  p2  p3 3. ສມົ ຜນົ ເອກະພນັ (Homogeneous Equations) ນຍິ າມ: ສົມຜນົ ໃນຮບຮ່າງ M  x, y  N  x, y dy  0 ເປັນສມົ ຜນົ ເອກະພັນ ຖ້າສາມາດ dx ຂຽນໃນຮບຮ່າງ dy  f  y ຫຼ dy  f  x ແລະ ສົມຜົນ dy  f  x, y ເອນີ້ ວ່າ ສົມຜົນເອກະ dx  x  dx   dx  y  ພນັ .  ຕວົ ຢາູ່ ງ 1 x3  y3 dx  3xy2 dy  0  ວທິ ແີ ກ:້ ຈາກ x3  y3 dx  3xy2 dy  0 ຈັດຮບແບບ dy  x3  y3 ການົດໃຫ້ dx 3xy2 y  vx ແລະ dy  v  x dv dx dx 93

ຈະໄດ້ v  x dv  x3  v3x3 dx 3xv2 x2  v  x dv  x3 1 v3  dx x3 3v2 x dv  1 v3  v dx 3v2 x dv  1 2v3 dx 3v2 1 3v2 dv   dx  2v3 x   3v2 d 1 2v3  ln x  C1 1 2v3 6v2  1 ln 1  2v3  ln x  C1 2 ln 1 2v3  2ln x  2C1 2ln x  ln 1 2v3  2C1 ວາງ 2C1  C2  ln x2 1 2v3  C2  x2 1 2v3  eC ວາງ C3  eC2  x2 1 2v3  C3 ແທນຄາ່ v  y x x2   2 y 3   C3 ວາງ C3  C 1 x   x3  2y3  C  ດງັ່ ນ້ນີັ , x3  2y3  C ເປັນໃຈຜົນຂອງສົມຜົນ x3  y3 dx  3xy2 dy  0  ຕວົ ຢາູ່ ງ 2 ຈັ່ງົ ແກ້ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ y2  x2 dx  2xy dy  0  ວທິ ແີ ກ:້ ຈາກ y2  x2 dx  2xy dy  0 ຈດັ ຮບແບບ dy  y2  x2 ການດົ ໃຫ້ dx 2xy y  vx ແລະ dy  v  x dv dx dx 94

ຈະໄດ້ v  x dv  v2x2  x2 dx 2xvx  v  x dv  dx x2 v2 1 x2 2v x dv  v2 1  v dx 2v x dv  v2 1 dx 2v  2v 1 dv   dx v2  x   d v2 1 dx 2v 2v   x v2 1 ln v2 1  ln x  C1 ln x  ln v2 1  C1  ln x v2 1  C2  x v2 1  C3 ແທນຄາ່ ໃສ່ v  y x   y 2   C3 x   x   1 x2  y2  C3  ດງ່ັ ນນີ້ັ , x2  y2  C ເປນັ ໃຈຜົນຂອງ y2  x2 dx  2xy dy  0 ຕວົ ຢາູ່ ງ 3: ຈົັງ່ ແກສ້ ົມຜົນ y  y x  xy ວທິ ແີ ກ:້ ຈດັ ໃນຮບແບບ dy  y dx x  xy ການດົ ໃຫ້ y  vx ແລະ dy  v  x dv dx dx 95

ຈະໄດ້ v  x dv  vx dx x  xvx  v  x dv  xv dx x 1 v v v  x dv  dx 1 v x dv  v v dx 1 v  1 v dv    dx v v x 3 dv   1 dv    dx v x v 2 2  ln v   ln x  C1 v ln xv  2  C2 v ແທນຄາ່ v  y x ln x  y  2  C2 x y x ln x  2 x  C y ດັງ່ ນີັ້ນ, ln x  2 x  C ເປັນໃຈຜນົ ຂອງ y  y y x  xy ຕວົ ຢາູ່ ງ 4: ຈງົັ່ ແກ້ສມົ ຜນົ ຈຸນລະຄະນິດ y  2xy x2  y2 96