15 Θεωρία Μεθοδολογία στη Συνέχεια 2022

Συνέχεια φροντιστήρια ΓρηγόριοςΑρχικές έννοιες Δ. ΚΘαετρικπέςοΣπύουζδαέςς Καθηγητής Μαθηματικών Συνέχεια συνάρτησης Αρχικές έννοιες συναρτήσεων ενότητα 15 Θεωρία - μεθοδολογία https://thetikes-spoydes.ecloud.gr Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 1

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Συνέχεια συνάρτησης Θεωρία ✓ Όταν λέμε ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα εννοούμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία συνεχής γραμμή. ✓ Όταν λέμε ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο εννοούμε ότι η γραφική της παράσταση δεν διακόπτεται στο σημείο αυτό , δηλαδή αν δεν παρουσιάζει κάποιο «κενό» και συνεπώς μπορούμε να χαράξουμε «μονοκοντυλιά» τη γραφική παράσταση (Γεωμετρική ερμηνεία ) . ✓ Τονίζουμε ότι μιλάμε για συνέχεια μιας συνάρτησης στο σημείο xo , μόνο αν το xo ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης , διαφορετικά δεν μιλάμε για συνέχεια σε σημείο που δεν ορίζεται η συνάρτηση ούτε ρωτάμε αν είναι συνεχής . 15.1.Θ. Παραδείγματα μελέτης Σε μία εταιρεία κινητής τηλεφωνίας η χρέωση είναι 0,0035€ ανά δευτερόλεπτο αν ο συνολικός χρόνος ομιλίας είναι μέχρι και 75 sec ,ενώ αν ο συνολικός χρόνος ομιλίας είναι πάνω από 75sec η χρέωση είναι 0,0030€ ανά δευτερόλεπτο. Παρακάτω φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης της χρέωσης . Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση δεν είναι συνεχής γραμμή. Λέμε τότε ότι η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο t = 75 Στις παρακάτω γραφικές παραστάσεις παρατηρούμε ότι : Παρατηρώ καλά τα σχήματα … Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 2

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές o Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο x0 και ισχύει: …και τα lim f(x) = f(x0) . Επίσης η γραφική παράσταση δεν διακό- ερμηνεύω x→x0 πτεται «καθόλου» στον χώρο του πεδίου ορισμού της . o Η συνάρτηση g είναι ορισμένη στο x0 α λλ ά : lim g(x)  g (x0 ) . x→x0 Επίσης η γραφική παράσταση διακόπτεται στο x0 . o Η συνάρτηση h είναι ορισμένη στο x0 αλλά δεν υπάρχει το όριό της. Επίσης η γραφική παράσταση διακόπτεται. 15.2.Θ Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο xo και πότε ότι είναι συνεχής . Ορισμός : Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α το οποίο είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων και xo  A .Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο 0, όταν lim f(x) = f (x0 ) x→x0 Προσοχή : Λέμε ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής , όταν είναι συνεχής Παράδειγμα για κάθε xAf . Η συνάρτηση f (x) = x είναι συνεχής στο 0, αφού limf (x) = lim x = 0 = f (x) . x→0 x→0 Παρατηρήσεις o Για να εξετάσω αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο πρέπει το x0 να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. o Πρέπει επίσης το x0 να είναι πεπερασμένος αριθμός δηλαδή όχι τα +,− . o Η έννοια της συνέχειας στο xo είναι πιο γενική από την έννοια του ορίου στο xo . Προφανώς ισχύει ότι : ➢ Όταν η συνάρτηση είναι συνεχής στο xo , τότε υπάρχει το όριο lim f (x). x→xo Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 3

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές ➢ Όταν η συνάρτηση είναι συνεχής στο xo , τότε το xo ανήκει στο πεδίο ορισμού της , ενώ αν υπάρχει το όριο lim f(x) το xo δεν ανήκει απαραίτητα στο πεδίο x→xo ορισμού της. ➢ Το όριο lim f(x) ορίζεται σε μία περιοχή του xo , x→xo δηλαδή (α,xo)  (xo,β) ενώ η συνέχεια ορίζεται σε συγκεκριμένο σημείο xo . …σε o Αν θέσουμε x − xo = u  x = u + xo , τότε αφού x → xo το συναρτησιακές σχέσεις u→0 και ο ορισμός γράφεται lim f (u + xo ) = f (xo ) u→0 Για μεγαλύτερη κατανόηση μέσω σχημάτων , έχουμε : Ισχύει ισχύει ισχύει lim f (x) = f (x0 ) . Άρα lim g(x)  g (x0 ) lim h(x)  lim h(x) x→x0− x→x0+ x→x0 x→x0 η f συνεχής στο xo Άρα η f δεν είναι Άρα η f δεν είναι συνεχής στο xo συνεχής στο xo Η h είναι συνεχής Η f δεν είναι συνεχής Η f δεν είναι πεδίο ορισμού της αφού ορισμού της αφού στο πεδίο ορισμού lim f(x) = + lim f(x) = − της συνεχής x→0+ x→0+ −xo Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 4

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 15.3.Θ. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής από αριστερά και πότε από δεξιά στο xo ; Ορισμός 1 : Λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής από αριστερά στο xo Ορισμός 2 : αν και μόνο αν lim f ( x ) = f ( xo ) για κάθε x(α ,xo ) Προσοχή : x→xo− …σε Λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής από δεξιά στο xo αν ασκήσεις πολλαπλού και μόνο αν lim f ( x ) = f ( xo ) για κάθε x(xo ,β) τύπου x→xo+ Προφανώς Μία συνάρτηση ορισμένη στο xo Af είναι συνεχής στο xo αν και μόνο αν είναι συνεχής από αριστερά και από δεξιά στο xo δηλαδή αν-ν lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( xo ) x→xo− x→xo+ 15.4.Θ Εφαρμογή: Λύση : Για ποιο α είναι συνεχής η συνάρτηση f (x) = x2 + 2α , x0  ημx , x0  x o Στο διάστημα (−,0) η f έχει τύπο f(x) = x2 +2α και επομένως είναι συνεχής ως πολυωνυμική. o Στο διάστημα (0,+) η f έχει τύπο f(x) = ημx και x επομένως είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. o Για να είναι η f συνεχής, αρκεί να είναι συνεχής και στο x0 =0, δηλαδή αρκεί limf(x) = f(0). x→0 o Έχουμε όμως: lim f(x) = lim(x2 + 2α) = 2α , x→0− x→0 lim f(x) = lim ημx = 1 και f(0) = 2α . x→0+ x→0 x o Επομένως, αρκεί 2α = 1 ή, ισοδύναμα, α = 1 . 2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 5

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 15.5.Θ Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ με Ασυνεχής xo  Δ είναι ασυνεχής στο xo και πότε ότι είναι ασυνεχής στο xo : Λέμε ότι μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ είναι …ζητείτε σε ασυνεχής αν είναι ασυνεχής σε τουλάχιστον ένα σημείο του Δ ασκήσεις Συγκεκριμένα … Λέμε ότι μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ με xo  Δ είναι ασυνεχής στο xo ( ή δεν είναι συνεχής στο xo ) όταν : o lim f (x)  lim f (x) δηλαδή δεν υπάρχει το όριο lim f (x) x→xo− x→xo+ x→xo ή o Υπάρχει το όριο στο xo , αλλά η τιμή της συνάρτησης f (xo ) στο σημείο xo είναι διαφορετική του ορίου. ή o Υπάρχει το όριο, αλλά δεν είναι πραγματικός αριθμός, δηλαδή είναι lim f(x) = + ή lim f(x) = − x→xo x→xo 15.6.Θ Ασυνέχεια στο xo με ύπαρξη του ορίου της στο xo Σχήμα 1 Σχήμα 2 Εμπεδώνω o Παρατηρούμε ότι στις παραπάνω περιπτώσεις το όριο της καλά. συνάρτησης στο xo , υπάρχει . Στη μεν πρώτη περίπτωση του σχήματος 1 υπάρχει το αριστερό πλευρικό όριο στη δε περίπτωση του σχήματος 2 υπάρχει το όριο στο xo και από αριστερά και από δεξιά. o Όμως και στις δύο περιπτώσεις το όριο είναι διαφορετικό από το f(xo ) . Παράδειγμα1 :  x2 −1 , αν x1  x −1 Για τη συνάρτηση f (x) =  έχουμε :  3, αν x = 1 Λύση : o limf(x) = lim (x − 1)(x + 1) = lim(x + 1) = 2 , ενώ f(1) = 3 . x→1 x→1 x − 1 x→1 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 6

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές o Η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο 1, αφού το όριό της στο 1 είναι διαφορετικό της τιμής της συνάρτησης στο 1, δηλαδή ισχύει limf (x)  f (1) . x→1 Παράδειγμα 2:  2x − 1 , αν x1  Για τη συνάρτηση f (x) =  (x − 1)2 έχουμε :  3, αν x = 1 Λύση : o limf(x) = lim 2x − 1  − 1) 1  = 2(+) = + δηλαδή = lim(2x  x→1 x→1 (x − 1)2 (x − 1)2  x→1  υπάρχει το όριο limf (x) , x→1 o προφανώς limf (x)  f (1) οπότε η f δεν είναι συνεχής στο 1. x→1 15.7.Θ Ασυνέχεια στο xo με μη ύπαρξη του ορίου της στο xo Παρατηρούμε ότι στις παραπάνω περιπτώσεις το όριο της συνάρτησης στο xo , δεν υπάρχει. Άρα λέμε ότι η συνάρτηση είναι ασυνεχής στο xo . Παράδειγμα : Για τη συνάρτηση f (x) = x2 + 1, αν x  0 έχουμε :  αν x0  2 − x, Λύση : o lim f(x) = lim(x2 + 1) = 1, ενώ lim f(x) = lim(2 − x) = 2 , x→0− x→0 x→0+ x→0 οπότε δεν υπάρχει το όριο της f στο 0. o Η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο 0, αφού δεν υπάρχει το limf (x) . x→0 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 7

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 15.8.Θ Προσέξτε τις παρατηρήσεις o Λέμε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ αν και μόνο αν είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του Δ. Για παράδειγμα λέγοντας ότι η f (x) = 2x2 − 1 είναι συνεχής στο διάστημα Δ = −1,2 εννοούμε ότι είναι συνεχής σε κάθε σημείο του Δ = −1,2 o Αν σε μία συνάρτηση δώσουμε τον χαρακτηρισμό συνεχής , χωρίς να καθορίζουμε σημείο ή διάστημα , τότε θα εννοούμε ότι είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της . Για παράδειγμα λέγοντας ότι η συνάρτηση f(x) = 5 x −2 είναι συνεχής , εννοούμε ότι είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της που είναι το A = 2,+) o Είναι λάθος να λέμε ότι μία συνάρτηση είναι ασυνεχής στα xo που δεν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της o Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στα διαστήματα α,β & β,γ τότε η f είναι συνεχής και στο α,ββ,γ = α,γ o Προφανώς αν δύο συναρτήσεις f,g είναι ίσες και η μία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ , τότε και η άλλη θα είναι συνεχής στο Δ. o Αν η f συνεχής στο Α και A1  A , τότε και στο A 1 η f θα είναι συνεχής ( περιορισμός) o Υπάρχει περίπτωση μία συνάρτηση να είναι συνεχής και η γραφική παράσταση να μην είναι συνεχόμενη γραμμή. Για παράδειγμα η συνάρτηση f (x) = x, x άρρητος η οποία 0, x ρητός δεν μπορεί να παρασταθεί γραφικά. 15.9.Θ. Συνέχεια βασικών συναρτήσεων Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 8

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές o Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής, αφού για κάθε x0  ισχύει lim P(x) = P(x0 ) …πολυχρησι- x→x0 μοποιούμενοι κανόνες ➢ Συνεπώς η f(x) = c είναι συνεχής ως πολυωνυμική. ➢ Η f (x) = αxk είναι συνεχής ως πολυωνυμική. o Κάθε ρητή συνάρτηση P(x) είναι συνεχής, αφού για κάθε Q(x) x0 του πεδίου ορισμού της ισχύει lim P(x) = P(x0 ) . x→x0 Q(x) Q(x0 ) o Οι συναρτήσεις f(x) = ημx και g(x) = συνx είναι συνεχείς, αφού για κάθε x0  ισχύει ➢ lim f(x) = lim ημx = ημx0 = f (xo ) και x→xo x→x0 ➢ lim g(x) = lim συνx = συνx0 = g ( xo ) . x→xo x→x0 o Οι συναρτήσεις f (x) = αx και g(x) = logα x , 0  α  1 είναι συνεχείς αφού αποδεικνύεται ότι : ( ) ( )➢ lim f x = lim αx = αxo = f xo και x→x0 x→xo ➢ lim g(x) = lim logα x = logα xo = g ( xo ) x→xo x→x0 15.10.Θ Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις (θεώρημα ) …πολυχρησι- Αν οι συναρτήσεις f , g είναι συνεχείς σε ένα διάστημα που μοποιούμενοι περιέχει το xo και είναι συνεχείς στο xo , τότε αποδεικνύεται ότι : κανόνες o Η συνάρτηση f + g και η f − g είναι συνεχείς στο xo . Οι αποδείξεις παραλείπονται Παράδειγμα : Η συνάρτηση h(x) = x3 + ημx είναι συνεχής στο ως άθροισμα των συνεχών συναρτήσεων f (x) = x3 & g(x) = ημx . o Η συνάρτηση c  f με c , είναι συνεχής στο xo . Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 9

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Παράδειγμα : Η συνάρτηση h(x) = 5συνx είναι συνεχής στο αφού η συνάρτηση f(x) = συνx είναι συνεχής στο . o Η συνάρτηση f  g είναι συνεχής στο xo . Παράδειγμα : Η συνάρτηση h(x) = ex x6 είναι συνεχής στο ως γινόμενο των συνεχών συναρτήσεων f (x) = ex & g(x) = x6 στο . o Η συνάρτηση f συνεχής στο xo , αρκεί g(xo )  0 . g Παράδειγμα : Η συνάρτηση h(x) = εφx = ημx είναι συνεχής συνx στο  \\ kπ + π , k Z ως πηλίκο των συνεχών συναρτήσεων 2 f(x) = ημx & g(x) = συνx . o Η συνάρτηση | f |είναι συνεχής στο xo . Παράδειγμα : Η συνάρτηση h(x) =| x − 1| είναι συνεχής στο αφού η f(x) = x − 1 είναι συνεχής στο . o Η συνάρτηση k f είναι συνεχής στο xo , αρκεί f (x)  0. Παράδειγμα : Η συνάρτηση h(x) = 5 x2 + 2 είναι συνεχής στο αφού η f (x) = x2 + 2 είναι συνεχής στο ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν ισχύουν αντίστροφα οι παραπάνω προτάσεις και επί πλέον ✓ Αν f + g συνεχής δεν σημαίνει ότι και οι f,g θα είναι συνεχείς ✓ Αν f  g συνεχής δεν σημαίνει ότι και οι f,g θα είναι συνεχείς ✓ Αν f,g ασυνεχείς μπορεί οι f + g , f − g , f g να είναι συνεχείς ✓ Αν f συνεχής και g ασυνεχής τότε f + g , f − g , f g ασυνεχής Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 10

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Παράδειγμα 1 Έστω οι συναρτήσεις f (x) = 1, x0 g (x) = −x, x0 x, ,  x0  1, x0 o Η (f + g)(x) = 1 − x, x0 είναι συνεχής στο 0 όπως επίσης και 1 + x, x0 η ( f  g )(x ) = −x , x0  x0  x, o Όμως καμία εκ των f , g δεν είναι συνεχής στο 0, αφού τα πλευρικά τους όρια είναι διαφορετικά Παράδειγμα 2: Η συνάρτηση f (x) =  1, x0 δεν είναι συνεχής στο 0, αφού −1, x0 −1 = lim f (x)  lim f (x) = 1 . x→0− x→0+ Όμως η f (x) = 1 είναι συνεχής στο 0 , ως σταθερή. 15.11.Θ. Συνέχεια σύνθετης συνάρτησης Θεώρημα : Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο xo και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο f(xo ) , τότε η σύνθεσή τους g f είναι συνεχής στο xo . Παράδειγμα : Η συνάρτηση ( )f x = ex2−3x+4 είναι συνεχής συνάρτηση στο , Λύση : αφού : o Η g(x) = x2 − 3x + 4 είναι συνεχής ως πολυωνυμική o Η h(x) = ex είναι συνεχής ως εκθετική o Οπότε και η f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών g,h Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 11

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 5.12.Θ. Πως ορίζουμε τη συνέχεια μιας συνάρτησης σε κλειστό διάστημα; Ορισμός 1 : o Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό Ορισμός 2: διάστημα (α,β), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) . (Σχήμα 1) o Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημαα,β, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) και επιπλέον lim f(x) = f(α) και lim f(x) = f(β) (Σχήμα 2) x→α+ x→β− Σχήμα 1 Σχήμα 2 Ορισμός 3: o Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα διάστη- Ορισμός 4: μα (α,β , όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) και επιπλέον lim f(x) = f(β) x→β− o Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα διάστη- μα α,β) , όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) και επιπλέον lim f(x) = f(α) x→α+ Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 12

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 15.1.Μ. μεθοδολογία Να μπορείς να αποδεικνύεις ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής στο x0 με τη χρήση γραφικής παράστασης. Μέθοδος : Ο έλεγχος γίνεται με τον ορισμό στο xo , δηλαδή ελέγχουμε αν ισχύει ότι : lim f(x) = lim f(x) = f (xo ) ή lim f ( x ) = f ( xo ) = x→xo− x→xo+ x→xo αντιστοίχως. Παράδειγμα: Δίνεται η συνάρτηση με γραφική παράσταση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.Να εξετάσετε αν είναι συνεχής στα σημεία -1,1,2,3 Λύση : o Στο xo = −1 ➢ lim f (x) = 3 , lim f (x) = 1 x→−1− 2 x→−1+ ➢ Άρα δεν υπάρχει το όριο lim f (x) και συνεπώς η συνάρτηση x→−1 δεν είναι συνεχής στο -1. o Στο xo = 1 ➢ lim f (x) = −1 , lim f (x) = −1 x→1− x→1+ ➢ Άρα υπάρχει το όριο limf (x) = −1 x→1 ➢ Όμως f (1) = 1 ,άρα η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο 1. o Στο xo = 2 ➢ lim f (x) = 1 , lim f (x) = 1 x→2− x→2+ ➢ Άρα υπάρχει το όριο limf (x) = 1 x→2 ➢ Είναι f (2) = 1 ,άρα η συνάρτηση είναι συνεχής στο 2. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 13

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές o Στο xo = 3 δεν ορίζεται η συνάρτηση , άρα δεν έχει νόημα η εξέτας της συνέχειας. Παράδειγμα 2: 1, x(1,2) Να μελετήσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = 2, x(2,3) 3, x(3,4) με τη βοήθεια γραφικής παράστασης Λύση : Κάνουμε τη γραφική παράσταση στο πεδίο ορισμού της που είναι το Α = (1,2) (2,3) (3,4) και προκύπτει το σχήμα Άσκηση 1: Παρατηρούμε ότι είναι συνεχής … και τώρα λίγη εξάσκηση Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Να χαρακτηριστούν ως σωστές ή λάθος οι προτάσεις i. Η f είναι ασυνεχής στο -3 ii. limf (x) = 3 x→3 iii. Η f είναι ασυνεχής στο 2 iv. Η f είναι συνεχής στο (−3,2) v. Η f είναι ασυνεχής στο -1 vi. limf (x) = 2 x→2 vii. lim f (x) = 2 x→4+ Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 14

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Άσκηση 2: Να βρεθούν τα σημεία στα οποία η συνάρτηση δεν είναι συνεχής Άσκηση 3: Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f. i. Να χαρακτηριστούν ως σωστές ή λάθος οι προτάσεις a. Η f είναι συνεχής στο 0 b. Η f είναι ασυνεχής στο 1 c. Η f είναι συνεχής στο 1,2 d. Η f είναι ασυνεχής στο 3 ii. Να υπολογιστούν τα όρια ( αν υπάρχουν) f(x) , lim f ( x )ln( x − 3) , lim f 1 , lim f 1 − 2 lim x→3+ x→3 (x) x→+ (x) 2x→+ Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 15

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 15.2.Μ. Να μπορείς να αποδεικνύεις ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής στο x0 με τη χρήση του ορισμού. Μέθοδος : Έστω συνάρτηση f και σημείο xo του πεδίου ορισμού της . o Βήμα 1ο : Βρίσκουμε το όριο lim f (x) . x→xo o Βήμα 2ο : Βρίσκουμε την τιμή της f στο xo , δηλαδή το f (xo ) . o Βήμα 3ο : ➢ Αν lim f ( x ) = f ( xo ) τότε η f είναι συνεχής στο xo x→xo ➢ Αν lim f ( x )  f ( xo ) τότε η f δεν είναι συνεχής στο xo , x→xo δηλαδή ασυνεχής στο xo . ➢ Επίσης η f είναι ασυνεχής στο xo όταν ✓ Δεν υπάρχει το όριο της f στο xo ✓ Το όριο της f στο xo είναι − ή + Προφανώς αν η f είναι πολλαπλού τύπου , όπως f ( x ) = g ( x ) , x  xo ή f (x ) = g (x ), x  xo h(x) , x  xo  x = xo  , ο έλεγχος γίνεται μόνο με τον ορισμό στο xo , δηλαδή ελέγχουμε αν ισχύει ότι : lim f(x) = lim f(x) = f (xo ) ή lim f(x) = f (xo ) = x→xo+ x→xo− x→xo αντιστοίχως. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση Παράδειγμα 1:  x2 +x− 2 , x  −2 αν xo = −2 Βιβλίου Α2 iii)  x+2 f (x) =  −3 , x = −2 Λύση : o Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το : Af = (−,−2) −2(−2,+) = και προφανώς το xo = −2 Af o Για x(−3,−2) (−2,−1) το όριο στο xo = −2 έχει νόημα και είναι o lim f (x) = lim x2 + x − 2 = lim (x − 1)(x + 2) = lim (x − 1) = −3 x→−2 x→−2 x + 2 x→−2 x + 2 x→−2 o Επίσης είναι f (−2) = −3 o Παρατηρώ ότι lim f (x) = f (−2) , άρα η f είναι συνεχής στο xo = −2 x→−2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 16

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές …. και τώρα λίγη εξάσκηση Άσκηση 1: Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση στο xo = 2 Άσκηση 2: Άσκηση 3: i) f ( x ) = x2 + 4 , x2 ii) f ( x ) =  x3 − 4x , x2 Άσκηση 4: x3 , x2  x −2 , x=2  Άσκηση 5:  8 Άσκηση 6: Άσκηση 7: Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση στο xo = 1 f ( x ) = x2 + 1 , x1   3 + x , x  1 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση στο xo = −2  x2 +x− 2 , x  −2  x+2 f ( x ) =   − 3 , x = −2 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση στο xo = 0  ημx , x0  , x=0  2x ημx 1  x i) f (x ) =  1 ii) f (x) =  συν , x0  2 , x=0   0   x+1−1, x0 x Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση στο xo = 1 3x − 1 , x  1  f (x ) =  2 , x=1 x2 − 4x + 2 , x  1 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση στο xo = 2 x2 + 4 , x2 x , x0,1) , x2  i) f ( x ) =  x3 ii) f (x) =  1−x   ln(−x) , x  0 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση στο xo = 0 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 17

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές x(x − 2) , x0  , x=0  x f (x) =  2 −x + 2 , x  0  Άσκηση 8: Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο x0 τις παρακάτω Βιβλίου Α2 συναρτήσεις: Άσκηση 9 : i) f(x) = x2 + 4, x2, αν xo = 2 ii) f(x) = x2 + 1, x1 αν x3 , x2  , Άσκηση 10:  3 + x, x1 xo = 1 Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις  ,  συνεχείς στο xο , : αx2 + (β − 1)x + γ + 1 ,x1  ι) f(x) =  αx3 + (α + β)x2 + βx + 2 , xο = 1 , α,β  , x1 x2 + 1 + γx −1 x2 −ημx , x0  ιι) g(x) =  x2 + ημx , xo = 0  −1 , x=0 Δίνεται η συνάρτηση f : → της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το M(1,2). Αν επί πλέον ισχύει (x − 1) f (x) + x + 3 − 2 = 9 , να δείξετε ότι είναι συνεχής στο 1. −3 16 lim x2 + 2x x→1 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 18

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 15.3.Μ. Να μπορείς να αποδεικνύεις ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής στο x0 με τη χρήση του κριτηρίου παρεμβολής. Μέθοδος : Έστω η συνάρτηση f : Α → με g(x)  f (x)  h(x) (1) , xA . Για να δείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο xo : o Θέτουμε στην (1) όπου x το xo , οπότε g(xο )  f (xο )  h(xο ) και θα προκύπτει g(xο ) = h(xο ) = κ, άρα θα είναι κ  f (xο )  κ  f (xo ) = k o Εφαρμόζοντας το κριτήριο παρεμβολής βρίσκουμε το lim f (x) . x→xo o Αν lim f(x) =κ= f(xo ) προκύπτει ότι η f είναι συνεχής στο xo x→xo Παράδειγμα 1: Δίνεται η συνάρτηση  με την ιδιότητα x2  f (x) − 2  2x4 (1) για κάθε x . Να αποδείξετε ότι η  είναι συνεχής στο xo = 0 Λύση : o Αρκεί να δείξουμε ότι limf (x) = f (0) x→0 o Η (1) για x = 0 μας δίνει 02  f (0) − 2  2 04  0  f (0) − 2  0  2  f (0)  2 , άρα f (0) = 2 o x2  f (x) − 2  2x4  x2 + 2  f (x)  2x4 + 2 ( )➢ lim x2 + 2 = 0 + 2 = 2 x→0 ( )➢ lim 2x4 + 2 = 20 + 2 = 2 x→0 ➢ Επομένως από το κριτήριο της παρεμβολής προκύπτει ότι limf (x) = 2 x→0 o Τελικά limf (x) = f (0) , άρα η f είναι συνεχής στο xo = 0 x→0 Παράδειγμα 2: Δίνεται η συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει ότι f(x) − f(y)  x − y , x,y .Να δείξετε ότι είναι συνεχής σε κάθε xo  Λύση : o Αρκεί να δείξουμε ότι lim f(x) = f (xo ) x→xo o Από την υπόθεση για y = xo έχουμε f (x) − f (xo )  x − xo  − x − xo  f (x) − f (xo )  x − xo  f (xo ) − x − xo  f (x)  x − xo + f (xo ) Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 19

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές ( )o Όμως lim f (xo ) − x − xo = f (xo ) − xo − xo = f (xo ) και x→xo ( )lim = f (xo ) + xo − xo = f (xo ) x→xo f (xo ) + x − xo o Άρα lim f(x) = f (xo ) x→xo Παράδειγμα 3: Αν για τη συνάρτηση f ισχύει f2 (x) + 4f (x) + 4συν2x  0,x να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0. Λύση : o f2 (x) + 4f (x) + 4συν2x  0  f2 (x) + 4f (x) + 4  4 − 4συν2x  ( )f(x) + 22  4 1− συν2x  f (x) + 22  4ημ2x (1) o Οπότε 0  f (x) + 22  4ημ2x  f (x) + 2  2ημx  − 2ημx  f (x) + 2  2ημx  −2 − 2ημx  f (x)  2ημx − 2 o Είναι ➢ lim( 2ημx ) = 2limημx = 20 = 0 x→0 x→0 ➢ lim( − 2 − 2ημx ) = −2 x→0 ➢ lim( 2ημx − 2) =0 − 2 = −2 x→0 o Με εφαρμογή του κριτηρίου της παρεμβολής προκύπτει ότι limf (x) =− 2 (2) x→0 o H (1) για x = 0 μα δίνει f (0) + 22  4ημ20  f (0) + 22  0  f (0) + 22 = 0  f (0) = −2 o Τελικά ισχύει limf (x) = f (0) , άρα η f είναι συνεχής στο 0. x→0 Παράδειγμα 4: Αν οι συναρτήσεις f,g ικανοποιούν τη σχέση 4f2 (x) + g2 (x) + 5  x2 + 4f (x) + 4g (x), x , να δείξετε ότι είναι συνεχείς στο xo = 0 Λύση : Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 20

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές o Για κάθε x , η δοθείσα γράφεται ισοδύναμα : 4f2 (x) + g2 (x) + 5  x2 + 4f (x) + 4g (x)  (2f (x))2 − 4f (x) + 1+ g2 (x) − 4g(x) + 4  x2  2f (x) − 12 + g(x) − 22  x2 (1) o Προφανώς ισχύει ότι 0  2f (x) − 12  2f (x) − 12 + g (x) − 22  x2  και 0  2f (x) − 12  x2 (2) o 0  g(x) − 22  2f (x) − 12 + g (x) − 22  x2  0  g(x) − 22  x2 (3) o Η (2) μας δίνει ➢ για x = 0 0  2f (0) − 1 2  02  2f (0) − 12 = 0  f (0) = 1 2 ➢ 0  2f (x) − 12  x2  2f (x) − 1  x  − x  2f (x) − 1  x  1− x  f(x)  1+ x . 22 ➢ Είναι lim1− x = 1−0 = 1 και lim1+ x = 1+ 0 = 1 x→0 2 22 x→0 2 22 με εφαρμογή του κριτηρίου της παρεμβολής προκύπτει ότι limf (x) = 1 x→0 2 ➢ Συνεπώς limf (x) = f (0) , άρα η f συνεχής στο 0. x→0 o Όμοια χρησιμοποιώντας την (3) βρίσκω limg(x) = 2 = g(0) άρα η x→0 g συνεχής στο 0. Παράδειγμα 5: Δίνεται η συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει f3 (x) + f (x) = 2ex (1) για κάθε x .Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής. Λύση : o Θα δείξουμε ότι lim f(x) = f (xo ) ή ισοδύναμα x→xo ( )lim x→xo f(x) − f(xo ) =0 o Η αρχική σχέση (1) για x = xo δίνει f3 (xο ) + f (xο ) = 2exο (2) o Οπότε Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 21

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές (1) − (2)  f3 (x) − f3 (xo ) + f (x) − f (xo ) = 2ex − 2exo  (f (x) − f (xo ))(f2 (x) + f (x) f (xo ) + f2 (xo )) + f (x) − f (xo ) = 2(ex − exo )  (f(x) − f(xo ))(f2 (x) + f (x) f (xo ) + f2 (xo )) + 1 (= 2 ex −exo ) (3) o Η παράσταση f2 (x) + f (x)  f (xo ) + f2 (xo ) + 1 είναι μία έκφραση ( )τριωνύμου με Δ = f2 (xo ) − 41 f2 (xo ) + 1 = −3f2 (xo ) − 4  0 Οπότε το τριώνυμο είναι θετικό άρα και διάφορο του 0. ( )o Η σχέση (3) γράφεται f(x) − f(xo ) = f2 (x)+ 2 ex − exo f2 (xo ) + 1 f(x) f(xo ) + και ισχύει ( )f (x) − f (xo ) = 2 ex − exo = f2 (x) + f(x) f (xo ) + f2 (xo ) + 1 ( )2 ex − exo = f2 (x) + f (x) f (xo ) + f2 (xo ) + 1  2 ex − exo οπότε f (x) − f (xo )  2 ex − exo  −2 ex − exo  f (x) − f (xo )  2 ex − exo ( )o Όμως lim ex − exo = exo − exo = 0 ,άρα x→xo ( ) ( )lim −2 ex − exo = 0, lim 2 ex − exo = 0 και με τη χρήση του x→xo x→xo κριτηρίου παρεμβολής προκύπτει ότι lim (f(x) − f (xo )) = 0 x→xo o Άρα η f είναι συνεχής στο τυχαίο σημείο xo , άρα και στο Άσκηση 1: … και τώρα λίγη εξάσκηση Άσκηση 2 : Άσκηση 3: Δίνεται η συνάρτηση  με την ιδιότητα x2 − 1  f (x) − 2  x4 − x2 για κάθε x . Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο xo = 1 Δίνεται η συνάρτηση f : → με (0)=1 και x − ημ2x  xf (x)  x + ημ2x για κάθε x . Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο xo = 0 . Αν για τη συνάρτηση f ισχύει : xf (x) − xσυν(2x)  x2 ημ 1 , x  0 και x f (0) = 1 , να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο x = 0. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 22

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Άσκηση 4: Δίνεται η συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει : Άσκηση 5: f2 (x) + 6 f (x) + 9συν2x  0, x . Να δείξετε ότι είναι συνεχής Άσκηση 6: Άσκηση 7: στο 0. Άσκηση 8: Δίνεται η συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει : Άσκηση 9: Άσκηση 10: f2 (x) − 4x  f (x)  −3x2 − 2x + 1 , x . Να δείξετε ότι είναι συνεχής στο 1 και να βρεθεί το lim f (x ) . x→+ x2 Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : → για τις οποίες . Να δείξετε f2 (x) + g2 (x) + συν2x  2xf (x) + 2g (x)συνx για κάθε x ότι f,g είναι συνεχείς στο xo = 0 Οι συναρτήσεις f,g : → έχουν την ιδιότητα f2 (x) + g2 (x) + 2f (x) + 5  4g (x) + συν2x για κάθε x . Να δείξετε ότι οι f,g είναι συνεχείς στο xo = π 2 Δίνεται η συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει f5 (x) + f (x) = x για κάθε x . Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο xo = 0 . Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : → με f2 (x) + g2 (x) = x2 για κάθε x .Να δείξετε ότι οι f,g είναι συνεχείς στο xo = 0 Δίνεται η συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει f3 (x) + 2  f (x) + 1 = ex για κάθε x .Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο xo = 0 . Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 23

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 15.4.Μ. Να ξέρεις να βρίσκεις παραμέτρους ώστε μία συνάρτηση να είναι συνεχής στο xo Μέθοδος : Όταν ο τύπος μιας συνάρτησης f περιέχει παράμετρο της οποίας ζητάμε να βρούμε την τιμή της με την προϋπόθεση ότι η f είναι συνεχής τότε ακολουθούμε τα βήματα : Βήμα 1ο : Βρίσκουμε το όριο lim f (x) ή x→xo τα πλευρικά όρια lim f (x) , lim f (x) αν αυτή ορίζεται με x→x−o x→x+o διαφορετικούς τύπους για x  xo & x  xo Βήμα 2ο : Βρίσκουμε την τιμή της f στο xo , δηλαδή το f (xo ) Βήμα 3ο : Απαιτούμε να ισχύει lim f ( x ) = f ( xo ) οπότε σχηματίζουμε x→xo μία εξίσωση με άγνωστο την παράμετρό μας την οποία και υπολογίζουμε Παράδειγμα 1: Να βρεθούν οι τιμές του κ , ώστε η συνάρτηση ( )f  k3 − 2k2 x2 (x ) =  +k+1 , x1 να είναι συνεχής στο xo = 1 x1 x3 − x − 1+ 2k , Λύση : o Πρέπει lim f (x) = lim f (x) = f (1) x→1− x→1+ (( ) )o lim f (x) = lim k3 − 2k2 + k + 1 x2 = k3 − 2k2 + k + 1 x→1− x→1− ( )o lim f(x) = lim x3 − x − 1+ 2k = 1− 1− 1+ 2k = 2k − 1 x→1+ x→1+ o f (1) = 13 − 1− 1+ 2k = 2k − 1 o Οπότε πρέπει k3 − 2k2 + k + 1 = 2κ − 1  k3 − 2k2 + k + 1− 2κ + 1 = 0  ( )k3 − 2k2 + k + 1− 2κ + 1 = 0  (k − 2) k2 − 1 = 0  k = −1, k = 1,k = 2 Παράδειγμα 2: Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2ημ 1 , xα .Να βρεθεί για  x2 α 4x4 + 2x2 , x  α ποιες τιμές του α, η συνάρτηση είναι συνεχής στο α. Λύση : o Για να είναι συνεχής στο xo = α πρέπει και αρκεί lim f (x) = lim f (x) = f (α) x→α− x→α+ o Αν α  0 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 24

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές ➢ lim f (x) = lim  x2ημ 1  = α2ημ 1  x2  α2 x→α− x→α − ( )➢ lim f (x) = lim 4x4 + 2x2 = 4α4 + 2α2 x→α+ x→α+ ➢ f (α) = 4α4 + 2α2 ➢ Οπότε πρέπει α 2ημ 1 = 4α4 + 2α2  ημ 1 = 4α2 + 2 α2 α2 ➢ Αφού −1  ημ 1  1 −1  4α2 +2  1 −3  4α2  −1 άτοπο α2 o Αν α = 0 ➢ lim f (x) = lim  x2ημ 1   x2  x→0− x→0− x2ημ 1 = x2  ημ 1  x2  −x2  x2ημ 1  x2 x2 x2 x2 ( )limx2 = 0 και lim −x2 = 0, άρα lim f (x) = 0 x→0 x→0 x→0− ( )➢ lim f(x) = lim 4x4 + 2x2 = 0 x→0+ x→0+ ➢ f (0) = 404 + 2 02 = 0 ➢ Οπότε η f για α = 0 είναι συνεχής Να προσδιορίσετε τα α, β ώστε η συνάρτηση Παράδειγμα 3:  x2 + x + α , x2  x − 2 f ( x ) = να είναι συνεχής στο 2  βx + α , x  2 Λύση : Για να είναι συνεχής στο xo = 2 πρέπει και αρκεί lim f (x) = lim f (x) = f (2) x→2− x→2+ lim f (x) = lim x2 + x + α  1  ( )o  −  Είναι x→2− x→2− x − 2 = lim x 2  x2 + x + α x→2− o lim 1 = − x→2− x − 2 εφόσον lim (x − 2) = 0 και x → 2− , x  2  x − 2  0 x→2− ( )o lim x2 + x + α = 22 + 2 + α = α + 6 x→2− Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 25

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές ➢ Αν α  −6  α + 6  0 έχουμε lim f (x) = − δηλαδή όχι συνεχής x→2− ➢ Αν α  −6  α + 6  0 έχουμε lim f (x) = + δηλαδή όχι συνεχής x→2+ ➢ Αν α = −6 το όριο γράφεται lim f (x) = lim x2 +x− 6 = lim  (x − 2)(x + 3)  = lim (x + 3) = 5 x−2   x→2− x→2− x→2−  x−2  x→2− o Είναι lim f (x) = lim (βx + α) = 2β + α x→2+ x→2+ o Είναι f (2) = 2β + α o Για να είναι συνεχής λοιπόν πρέπει α = −6 και 2β + α = 5 .Οπότε α = −6 και β = 11 2 Να προσδιορίσετε τα α, β, γ ώστε η συνάρτηση Παράδειγμα 4: 3αx + 2β , x  −1 f (x) =  x+4 , − 1  x  1 να είναι συνεχής στο -1 και  2αx2 + 2βx − 3 , x  1 ασυνεχής στο 1 Λύση : o Για να είναι συνεχής στο xo = −1 πρέπει και αρκεί lim f (x) = lim f (x) = f (−1) x→−1− x→−1+ ➢ Είναι lim f (x) = lim (3αx + 2β) = −3α + 2β x→−1− x→−1− ➢ lim f (x) = lim (x + 4) = −1+ 4 = 4 x→−1+ x→−1+ ➢ f (−1) = −1+ 4 = 3 ➢ Οπότε lim f (x) = lim f (x) = f (−1)  −3α + 2β = 3  2β = 3α + 3 (1) x→−1− x→−1+ o Για να είναι συνεχής στο xo = 1 πρέπει και αρκεί lim f (x) = lim f (x) = f (1) x→1− x→1+ ➢ Είναι lim f (x) = lim (x + 4) = 1+ 4 = 5 x→1− x→1− ( )➢ lim f (x) = lim 2αx2 + 2βx − 3 = 2α + 2β − 3 x→1+ x→1+ ➢ f (1) = 2α + 2β − 3 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 26

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές ➢ Οπότε για να είναι ασυνεχής στο 1 πρέπει (1) 2α + 2β − 3  52α + 3α + 3 − 3  5  α  1 o Από την (1) προκύπτει 3α = 2β − 3  α = 2β − 3 τελικά 3 α  1  2β − 3  1  2β − 3  3  β  3 3 Παράδειγμα 5: Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) = x − 1 − 3 x − 1 και 3 x2 − 1 f (x) + 4 −α2 , x  1 3 x2 − 1  ( )g(x)=  3 4 α2 −5  2 , x = 1 i. Να βρεθεί το limf (x) x→1 ii. Να βρεθεί το α  ώστε η g να είναι συνεχής στο xo = 1 Λύση : i. Θέτουμε 3 x − 1 = u  x = u6 + 1 .Οπότε αφού x →1 είναι u →0 Επομένως έχουμε ( )limf (x) = limf u6 + 1 = lim u3 − u2 = ... = x→1 u→0 ( )u→0 3 u6 + 1 2 − 1 = lim u2 (u − 1) = lim 3 u−1 = − 1 u→0 u2  u→0 u6 + 2 32 3 u6 + 2 ii. Η g είναι συνεχής στο xo = 1, όταν υπάρχει α  ώστε limg(x) = g(1) (1) x→1 o Είναι lim g ( x ) =  f ( x ) + 4 −α2  (2) και επειδή υπάρχει το lxi→m1  3 x2 − 1  x→1  limf (x) για να υπάρχει το limg (x) και να είναι πραγματικός x→1 x→1 αριθμός πρέπει  4 −α2   ( να είναι πραγματικός lxi→m1  3 x2 − 1   αριθμός). o Όμως lim 3 x2 − 1 = 0 , άρα αναγκαία πρέπει και x→1 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 27

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές ( )lim 4 − α2 = 0  4 − α2 = 0  α = 2 x→1 o Τότε έχουμε limg ( x ) =  f ( x ) + 4 −α2  α=2 1 +0= − 1 lxi→m1  3 x2 − 1 =− 32 32 x→1  − 1 =− 3 22 =− 34 32 3 2  3 22 2 o Επίσης για α = 2 έχουμε g (1) = 3 4 (4 − 5) = − 3 4 22 o Συνεπώς για α = 2 επαληθεύεται η limg(x) = g(1) x→1 … και τώρα λίγη εξάσκηση Άσκηση 1 : Αν f(x) = (x − κ)(x + κ) , x2 Βιβλίου Β1 κx + 5 , x  2, να προσδιορίσετε το κ, ώστε Άσκηση 2 : η f να είναι συνεχής το x0 = 2 . Βιβλίου Β2 α2x2 + βx − 12 , x  1 Άσκηση 3:  Αν f(x) =  5 , x = 1, να βρείτε τις τιμές των α,β Άσκηση 4 :  αx + β , x1 Άσκηση 5:  για τις οποίες η f να είναι συνεχής στο xo = 1. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α , β , γ ώστε η συνάρτηση  με  αx3 + βx2 − γx + 1 , x1  x2 − 2x + 1 f ( x ) =  να είναι συνεχής στο 1.  − 1 , x=1 Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α , β  ώστε η συνάρτηση  x2 − αx + β − 1 , x3  , x3 με f(x) =  x−3 να είναι συνεχής στο 3.  x2 − ( α − 1) x + β  Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α , β  ώστε η συνάρτηση  ( ) = x2 − 8x + 16 , 0x5  2 + β2 ln , x5 ( )με f x  α ( x − 5 + e ) + 2  ( α + 1) e5−x να είναι συνεχής στο xo = 5 . Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 28

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Άσκηση 6: Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε η Άσκηση 7: Άσκηση 8: συνάρτηση f (x) = αxx−+2β , x  2 να είναι συνεχής στο xo = 2 . 2αx + β + 5, x  2 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (x − 1)2  ημ 1 , xλ x−1  (x − 1)(x2 − 2x + 2), x  λ Να βρείτε την τιμή του λ, ώστε η f να είναι συνεχής στο xo = λ . k ( x + 3 ) etx + x− 1 e− tx 2e−tx Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = lim etx + t→− i. Να βρείτε τον τύπο της f ii. Να βρεθεί το k , ώστε η f να είναι συνεχής. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 29

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Μαθαίνω για τη συνέχεια των βασικών συναρτήσεων 15.5.Μ. Η Συνέχεια βασικών συναρτήσεων Θυμάμαι τη θεωρία : o Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής, αφού για κάθε 15.6.Μ. x0  ισχύει lim P(x) = P(x0 ) Θεώρημα : x→x0 ➢ Συνεπώς η f(x) = c είναι συνεχής ως πολυωνυμική ➢ Η f (x) = αxk είναι συνεχής ως πολυωνυμική o Κάθε ρητή συνάρτηση P(x) είναι συνεχής, αφού για κάθε x0 Q(x) του πεδίου ορισμού της ισχύει lim P(x) = P(x0) . x→x0 Q(x) Q(x0) o Οι συναρτήσεις f (x) = ημx και g(x) = συνx είναι συνεχείς, αφού για κάθε x0  ισχύει lim f (x) = lim ημx = ημx0 = f (xo ) x→xo x→x0 και lim g (x) = lim συνx = συνx0 = g (xo ) . x→xo x→x0 o Οι συναρτήσεις f (x) = αx και g(x) = logα x , 0  α  1 είναι συνεχείς αφού αποδεικνύεται ότι : lim f(x) = lim αx = α xo = f (xo ) x→xo x→x0 και lim g(x) = lim logα x = logα xo = g(xo ) x→xo x→x0 Οι Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις Αν οι συναρτήσεις f , g είναι συνεχείς σε ένα διάστημα που περιέχει το xo και είναι συνεχείς στο xo , τότε αποδεικνύεται ότι : o Η συνάρτηση f + g και η f − g είναι συνεχείς στο xo . Παράδειγμα : Η συνάρτηση h(x) = x3 + ημx είναι συνεχής στο ως άθροισμα των συνεχών συναρτήσεων f (x) = x3 & g (x) = ημx o Η συνάρτηση c  f με c , είναι συνεχής στο xo . Παράδειγμα : Η συνάρτηση h(x) = 5συνx είναι συνεχής στο αφού η συνάρτηση f (x) = συνx είναι συνεχής στο Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 30

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές o Η συνάρτηση f  g είναι συνεχής στο xo . Παράδειγμα : Η συνάρτηση h(x) = ex  x6 είναι συνεχής στο ως γινόμενο των συνεχών συναρτήσεων f (x) = ex & g (x) = x6 στο o Η συνάρτηση f συνεχής στο xo , αρκεί g(xo )  0. g Παράδειγμα : Η συνάρτηση h(x) = εφx = ημx είναι συνεχής στο συνx \\ kπ + π , k Z ως πηλίκο των συνεχών συναρτήσεων  2  f (x) = ημx & g(x) = συνx . o Η συνάρτηση | f | είναι συνεχής στο xo . Παράδειγμα : Η συνάρτηση h(x) =| x − 1| είναι συνεχής στο αφού η f (x) = x − 1είναι συνεχής στο . o Η συνάρτηση k f είναι συνεχής στο xo , αρκεί f (x)  0 . Παράδειγμα : Η συνάρτηση h(x) = 5 x2 + 2 είναι συνεχής στο αφού η f (x) = x2 + 2 είναι συνεχής στο . ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν ισχύουν αντίστροφα οι παραπάνω προτάσεις και επί πλέον o Αν f + g συνεχής δεν σημαίνει ότι και οι f,g θα είναι συνεχείς. o Αν f  g συνεχής δεν σημαίνει ότι και οι f,g θα είναι συνεχείς. o Αν f,g ασυνεχείς μπορεί οι f + g , f − g , f g να είναι συνεχείς. o Αν f συνεχής και g ασυνεχής τότε f + g , f − g , f g ασυνεχής. Παράδειγμα Οι συναρτήσεις f ( x) =  x, x1 και g ( x) =  − x, x1 δεν είναι −x, x1  x, x1  συνεχείς στο xo = 1( δεν υπάρχουν τα όρια στο xo = 1) ενώ η f + g με (f + g)(x) = 0, x είναι συνεχής στο , άρα και στο xo = 1. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 31

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 15.7.Μ. Η Συνέχεια σύνθετης συνάρτησης Θεώρημα : Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο xo και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο f (xo ), τότε η σύνθεσή τους g f είναι συνεχής στο xo Παράδειγμα Η συνάρτηση ( )f x = ex2−3x+4 είναι συνεχής συνάρτηση στο , αφού : o Η g (x) = x2 − 3x + 4 είναι συνεχής ως πολυωνυμική στο o Η h(x) = ex είναι συνεχής ως εκθετική στο o Οπότε και η f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών g,h στο 15.8.Μ. Να μπορείς να μελετάς τη συνέχεια μιας συνάρτησης σε διάστημα Μέθοδος : (αφορά κυρίως συναρτήσεις πολλαπλού τύπου). Βήμα 1ο : Μελετάμε τη συνέχεια αυτής στα ανοικτά διαστήματα του πεδίου ορισμού της με τη βοήθεια των πράξεων των συνεχών συναρτήσεων καθώς και των γνωστών προτάσεων σύμφωνα με τις οποίες κάθε πολυωνυμική ρητή , τριγωνομετρική , εκθετική , λογαριθμική συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. Βήμα 2ο : Μελετάμε τη συνέχεια αυτής στα σημεία xo όπου η συνάρτηση αλλάζει τύπο αν είναι συνάρτηση πολλαπλού τύπου. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 32

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Παράδειγμα 1: Να μελετηθεί η συνέχεια της συνάρτησης f(x) = ex +1 , x0 Βιβλίου Α3 ιν) −x2 , x0 Λύση : o Το πεδίο ορισμού είναι το Af = (−,0(0,+) = . o Θα πρέπει να εξετάσουμε τη συνέχεια στο Af = . o Στο ανοικτό διάστημα (−,0) είναι f (x) = ex η οποία είναι συνεχής ως εκθετική. o Στο ανοικτό διάστημα (0,+) είναι f (x) = −x2 + 1 η οποία είναι συνεχής ως πολυωνυμική. o Θα εξετάσουμε και στο σημείο xo = 0 προφανώς με πλευρικά όρια. ( )➢ lim f(x) = lim ex = e0 = 1 x→0− x→0− ➢ lim f (x) = lim (−x2 + 1) = 0 + 1 = 1 x→0+ x→0+ ➢ f (0) = e0 = 1 o Παρατηρούμε ότι lim f (x) = lim f (x) = f (0) άρα η f είναι συνεχής x→0− x→0+ στο xo = 0 Παράδειγμα 2: Να μελετήσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = x2 − 1 Βιβλίου Α5 Λύση : o Παρατηρούμε ότι η f είναι σύνθεση των συναρτήσεων g(x) = x2 − 1 & h(x) = x αφού είναι h(g(x)) = h(x2 − 1) = x2 − 1 = f (x) με  Af = x / xAg =  & g(x)Ah = 0,+) =  . = x / xAg =  & x2 − 1 0 = (−,11,+) o Αυτές είναι συνεχείς στο Af = (−,11,+) . o Άρα και η f θα είναι συνεχής Παράδειγμα 3: Να μελετήσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = ln(lnx) Λύση : o Παρατηρούμε ότι η f είναι σύνθεση των συναρτήσεων g(x) = lnx & h(x) = lnx αφού h(g(x)) =h(lnx) =ln(lnx) = f(x) με Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 33

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές  Af = x / xAg = (0,+) & g (x)Ah = (0,+) = = x / x(0,+) & lnx  0 = = x / x  0 & x  1 = (1,+) Αυτές είναι συνεχείς στο Af =x / x  0 & x  1 = (1,+) . o Άρα και η f θα είναι συνεχής Παράδειγμα 4: Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση ημx + 3 1+ x4 συν2x x2 − 3x x+1 ( )f(x) = 4 + Λύση : ( )o Πρέπει x2 − 3x 4  0, x + 1  0 , άρα x  0, x  3,x  −1 , οπότε Ο τρόπος με Α = (−,−1) (−1,0) (0,3) (3,+) τον οποίο o Για κάθε xA έχουμε : αναπτύσσεται ➢ Η συνάρτηση ημx + 3 είναι συνεχής ως άθροισμα των η λύση είναι συνεχών συναρτήσεων ημx και 3. μεν ο σωστός. ➢ Η συνάρτηση 1+ x4 είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Συνήθως όμως ➢Η συνάρτηση ημx + 3 είναι συνεχής ως πηλίκο των τα 1+ x4 «μαζεύουμε» λίγο για συνεχών συναρτήσεων ημx + 3 και 1+ x4 . συντομία ➢ Η συνάρτηση ημx + 3 είναι συνεχής ως σύνθεση των 1+ x4 συνεχών συναρτήσεων ημx + 3 και x. 1+ x4 ➢ Η συνάρτηση x2 − 3x είναι συνεχής ως πολυωνυμική στο ( )➢ Η συνάρτηση x2 − 3x 4 είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων x2 − 3x και x4 στο . Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 34

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές ημx + 3 1+ x4 x2 − 3x 4 ( )➢ Η συνάρτηση είναι συνεχής ως πηλίκο των ημx + 3 4 1+ x4 ( )συνεχών συναρτήσεων x2 . και − 3x ➢ Η συνάρτηση συν2x είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων συνx και x2 . ➢ Η συνάρτηση x + 1 είναι συνεχής ως πολυωνυμική. ➢ Η συνάρτηση συν2x είναι συνεχής ως πηλίκο των x+1 συνεχών συναρτήσεων συν2x και x + 1. ημx + 3 Η συνάρτηση f(x) = 1+ x4 + συν2x x2 − 3x x+1 ( )o 4 είναι συνεχής ως ημx + 3 1+ x4 συν2x x2 − 3x x+1 ( )άθροισμα των συνεχών συναρτήσεων 4 και Παράδειγμα 5: Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = 2x2 + x − 1 .Να εξετάσετε αν η x2 − x − 2 συνάρτηση είναι συνεχής στο .Στα σημεία στα οποία δεν ορίζεται, να συμπληρώσετε κατάλληλα τον τύπο της συνάρτησης ώστε να γίνει συνεχής( αν είναι δυνατόν) μέσα στο Λύση : o Η f έχει πεδίο ορισμού A = −−1,2 στο οποίο είναι συνεχής. o Είναι f(x) = 2x2 + x − 1 = (2x − 1)(x + 1) = 2x − 1 x2 − x − 2 (x + 1)(x − 2) x−2 ➢ lim f (x) = lim 2x − 1 = 1 x→−1 x→−1 x − 2 ➢ Άρα για να είναι συνεχής στο xo = −1 πρέπει f (−1) = 1 ➢ lim f (x) = lim 2x − 1 = + και προφανώς δεν μπορεί να είναι x→2+ x→2+ x − 2 συνεχής στο xo = 2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 35

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές o Τελικά f(x) =  2x2 + x − 1 , x  −1,2  x2 − x − 2   1 , x = −1 Παράδειγμα 6: Να μελετήσετε τη συνέχεια της συνάρτησης : f (x) = maxx − 1,x2 − 2x + 1 Λύση : Μετατρέπουμε τον τύπο της f σε πολλαπλού τύπου συνάρτηση. o x2 − 2x + 1 x − 1  x2 − 3x + 2  0  x  1 ή x  2 o x2 − 2x + 1 x − 1  x2 − 3x + 2  0  1 x  2 Οπότε f ( x ) = x2 − 2x + 1, x  1 ήx 2  x −1 , 1x2  o lim f(x) = lim(x2 − 2x + 1) = 0 x→1− x→1− o lim f (x) = lim (x − 1) = 0 x→1+ x→1+ o f (1) = 12 − 2 1+ 1 = 0 Επομένως limf (x) = f (1) , άρα η f είναι συνεχής στο 1 x→1 Όμοια αποδεικνύουμε ότι η f είναι συνεχής και στο 2. o Η f είναι συνεχής ως πολυωνυμική σε καθένα από τα διαστήματα (−,1), (1,2), (2,+) o Τελικά η f είναι συνεχής στο … και τώρα λίγη εξάσκηση Άσκηση 1: Να εξηγήσετε γιατί η συνάρτηση f με τύπο Άσκηση 2: ( )f (x) = ln x2 + 1 + ημ(3x + 2) − x − 2 είναι συνεχής στο Βιβλίου Α5 e3x Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς: i) f(x) = ημ(συνx) ii) f(x) = ln(x2 + x + 1) iii) f (x) = ημ  x2 1 1  iv) f(x) = eημx  +  Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 36

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Άσκηση 3: Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις: Άσκηση 4: ημx  συν 1 , x0  4 ( x − 1)2 + x − 1 x1 Βιβλίου Α3 x2 , x0  1 x=1 i) f(x) = συν x ii) f ( x ) =  x− , Άσκηση 5: + π  − 1  1 , Άσκηση 6 : 3  2 Βιβλίου Α4 Άσκηση 7 : Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις Άσκηση 8 : και μετά να χαράξετε τη γραφική τους παράσταση, αν 2x2 , |x| 1  x2 − 5x + 6 , x2 |x| 1  x−2 , x=2 i) f(x) =  2 , ii) f (x) =   x  5 iii) f(x) = x , x1 ln x , x1 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση  ημ ( πx ) , x1  , x=1  1−x f (x ) =  π ( ) x− x , x1 π  x − 1 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις 2x2 − 3 , x  1  ημx , x0.   x i) f(x) =  x−1 , x1 ii) f(x) =  x − 1 συνx , x  0 Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις είναι συνεχείς i) f ( x ) = ημ 1 ii) f (x) = συν(ημx) iii) f (x) = ημ(4x + 2) x6 Να εξετάσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση f : → με ( )fx = lim x2 + x evx 1 + evx v→+ Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 37

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Μαθαίνω να εκμεταλλεύομαι τη γνωστή συνέχεια στο xo 15.9.Μ Να ξέρεις να εκμεταλλεύεσαι τη γνωστή συνέχεια μιας συνάρτησης σε σημείο xo για εύρεση τιμής ή εύρεση τύπου συνάρτησης. Μέθοδος 1: Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι αδύνατη η εύρεση της τιμής μιας συνάρτησης f στο σημείο xo του πεδίου ορισμού της . Αν όμως η συνάρτηση είναι συνεχής στο xo θα βρούμε τη ζητούμενη τιμή με τη βοήθεια του ορίου , δηλαδή : f ( xo ) = lim f ( x ) x→xo Μέθοδος 2: Αν μας δίνουν συναρτησιακή σχέση και ζητάμε τον τύπο της συνάρτησης , τότε o Βρίσκουμε για x  xo τον τύπο o Και για x = xo , όπως παραπάνω βρίσκω το f (xo ) o Τελικά γράφουμε τον τύπο στη μορφή f(x) = ..... , x  xo  x = xo  c , Παράδειγμα 1: Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο xo = 0 . Να βρείτε το f (0) , αν για κάθε x ισχύει 1+ xf (x) = συν2x (1) Λύση : o Η συνάρτηση είναι συνεχής στο xo = 0 . Άρα θα ισχύει f (0) = limf (x) x→0 o Επομένως αρκεί να βρούμε το limf (x) . x→0 Για x  0 η σχέση (1) γράφεται 1+ xf (x) = συν2x  f (x) = συν2x − 1  f (x) = −2ημ2x xx o Οπότε lim f (x) = lim −2ημ2x = −2 lxi→m0  ημx  ημx  (*) x x  x→0 x→0 Είναι lim ημx = 1 και lim(ημx) = ημ0 = 0 x→0 x x→0 o Άρα limf (x) = (−2)10 = 0 . x→0 o Τελικά λοιπόν είναι f (0) = 0 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 38

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Δίνεται f συνεχής στο  για την οποία ισχύει Παράδειγμα 2 xf (x) + 1 = ημ2x + (x + 1)3 . Να βρεθεί το f(0). Λύση : o Λύνω τη σχέση ως προς f (x) και έχω f (x) = ημ(2x) + (x + 1)3 − 1 ,x  0 x o Επειδή η f συνεχής στο x = 0 έχω: f (0) = limf (x) =lim ημ(2x) + x3 + 3x2 + 3x + 1− 1 = x→0 x x→0 lim ημ(2x) +lim x3 + 3x2 + 3x = x→0 x x→0 x ( )1 lim ημ2x +lim x  x2 + 3x + 3 = 1 1+ 3 = 7 2 x→0 2x x→0 x 22 Παράδειγμα 3: o Άρα f (0) = 7 Βιβλίου Β3 2 i) Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο xo = 0 .Να βρείτε το f (0) , αν για κάθε x * ισχύει x f (x) = συνx − 1 . ii) Ομοίως, να βρείτε το g (0) για τη συνάρτηση g που είναι συνεχής στο xo = 0 και για κάθε x ισχύει | x  g(x) - ημx | x2 . Λύση: i. o Η υπόθεση xf(x) = συνx − x0 f (x)= συνx − 1 . x 1 o f συνεχής στο x0 = 0 άρα f (0) = lim f (x) = lim συνx − 1 = 0 xx→0 x→0 ii) x  g (x) − ημx  x2  −x2  x  g (x) − ημx  x2  o −x2 + ημx  x  g (x)  x2 + ημx (1) o Για κάθε x > 0 η (1)  –x + ημx  g (x)  x + ημx xx Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 39

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Αλλά lim  −x + ημx  = – 0 + 1 = 1 και  x  x→0+ lim  x + ημx  = 0 + 1 = 1  x  x→0+ o Από το κριτήριο παρεμβολής θα έχουμε lim g (x) = 1 x→0+ o Επειδή g συνεχής στο x0 = 0 , θα είναι g (0) = lim g (x) = 1 x→0+ Παράδειγμα 4: Αν η συνάρτηση f : A = −1,+) → είναι συνεχής στο ξ = 0 και για κάθε xΑ είναι x f(x) − ημ3x = x + 1 − 1 . να βρείτε τον τύπο της f. Λύση: o Για x  0 έχουμε f (x) = ημ3x + x + 1 − 1 xx o Αφού η f ορίζεται στο A = −1,+), πρέπει να βρούμε και το f (0) . o Η συνάρτηση είναι συνεχής στο ξ = 0, επομένως f (0) = limf (x) x→0 o lim f ( x ) =  ημ3x + x +1 − 1  (*) lim x x  x→0 x→0   ➢ lxi→m0  ημ3x  = 3lxi→m0  ημ3x  3x=t 3lti→m0  ημt  = 3  1 = 3 x  3x  t  = ( )( )lim x + 1 − 1 = lim x + 1 − 1 x+1+1 = ( )x→0 x ➢ x→0 x x + 1 + 1 2 ( )x + 1 − 1 lim = lim ( ) ( )x→0 x x + 1 + 1 x→0 x x =1 x+1+1 2 ➢ Επομένως lim f ( x ) =  ημ3x + x +1 − 1  = 3 + 1 = 7 lim x x  2 2 x→0 x→0   ➢ Άρα f (0) = limf (x) = 7 x→0 2  ημ3x + x + 1 − 1 , x−1,0)  (0,+)  o Η συνάρτηση είναι f(x) =  x x 7 , x=0  2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 40

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Άσκηση 1: … και τώρα λίγη εξάσκηση Αν η συνάρτηση f : → είναι συνεχής στο xo = 1 και ισχύει ότι lim f(x) − 2 = 3 να βρεθεί η τιμή f (1) x→1 x − 1 Άσκηση 2: Αν η συνάρτηση f : → είναι συνεχής στο xo = 1 και ισχύει Άσκηση 3: ότι lim f (1+ h) = α, α . Άσκηση 4: Άσκηση 5: h→0 ημ2h Άσκηση 6: Άσκηση 7: i. Να βρείτε το limf (x) Άσκηση 8: x→1 Άσκηση 9: Άσκηση 10: ii. Να βρείτε το α , ώστε lim f (1+ h) − 7f (1) = 16 h→0 ημ2h Έστω η συνάρτηση f : → με την ιδιότητα (x − 1) f (x)  2x2 − 3x + 1, x −1 . Αν η f είναι συνεχής στο xo = 1, να βρεθεί η τιμή f (1) . Έστω η συνεχής συνάρτηση f : → με την ιδιότητα x6  f (x) − x7  ημ 2  x2014, x * .Να βρείτε το f (0) . x Έστω η συνεχής στο xo = 0 συνάρτηση με την ιδιότητα x ex + ημx  x  f (x) − x ln(x + 1)  1− συν2x + 2x, x  −1 . Να βρείτε το f(0) . Έστω η συνεχής στο xo = 0 συνάρτηση με την ιδιότητα x  f (x) + 1  x + 1 + 1 ημx, x  −1 .Να βρεθεί το f (0) 2 Έστω η συνεχής στο xo = 0 συνάρτηση με την ιδιότητα lim x2  f( x) + ημ3x = 7, x * .Να βρείτε το f(0) . x2  ημ 1 x→0 + x3 x Μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο xo και έχει την ιδιότητα x  f (x) − ημx  x4 ημ2 1 για κάθε x * . Να υπολογισθεί η τιμή x της f για xo = 0 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο xo και lim xf ( x) − ημ3x =2. Να +x x→0 x2 βρείτε την τιμή f (0) Έστω η συνάρτηση f : → συνεχής στο xo = 1 με την ιδιότητα (x − 1) f (x)  2x2 − 3x + 1, x −1 .Να βρείτε το f (1) Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 41

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Άσκηση 11: Εύρεση τιμής στο x Άσκηση 12: Άσκηση 13: Έστω η συνεχής συνάρτηση f : → με την ιδιότητα Άσκηση 14: x  f (x) = ημ5x + x, x . Να βρεθεί ο τύπος της f. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : → με την ιδιότητα (x − 2) f (x) + 3 = 2x2 + 1, x . Να βρεθεί ο τύπος της f. Δίνεται η περιττή συνάρτηση f :  →  για την οποία ισχύει : ( )x2  f (x)  x2 + 4 − 2 ημx , x i. Να δείξετε ότι f(0) = 0 ( )ii. Να δείξετε ότι x2  f (x) = x2 + 4 − 2  ημx iii. Να βρείτε τον τύπο της f και να εξετάσετε αν είναι συνεχής. Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f : → με την ιδιότητα f (x) + x2 + x + 2 = 1+ x (f (x) + 1) για κάθε x . Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 42

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Μαθαίνω τη συνέχεια σε θεωρητικά θέματα 15.10.Μ. Να ξέρεις να χρησιμοποιείς τον ορισμό της συνέχειας σε θεωρητικά θέματα Μέθοδος : o Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής και ικανοποιεί μία συναρτησιακή σχέση που περιέχει το f (x + y) τότε : ➢ Θέτουμε όπου x − xo = u = x = u + xo και ➢ αφού x → xo το u →0 οπότε η συνθήκη γράφεται ➢ ( ) (u ) (1) lim f x + y = lim f + xo = ... x→xo u→0 o Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής και ικανοποιεί μία συναρτησιακή σχέση που περιέχει το f (x − y) τότε : ➢ Θέτουμε όπου x − xo = −u = x = xo − u και ➢ αφού x → xo το u →0 οπότε η συνθήκη γράφεται ➢ ( ) (xo ) (1) lim f x − y = lim f − u = ... x→xo u→0 o Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής και ικανοποιεί μία συναρτησιακή σχέση που περιέχει το f (x  y) τότε : ➢ Θέτουμε όπου x = xo u και ➢ αφού x → xo το u →1 οπότε η συνθήκη γράφεται ➢ ( ) ( ) (1) lim f x = lim f u  xo = ... x→xo u→1 Παράδειγμα1: Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το τέτοια ώστε : f (x + y) = f (x) + f (y) (1) , x,y . Αν η f είναι συνεχής στο xo = 0 , τότε να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο Λύση : o Αν xo το τυχαίο στοιχείο του πεδίου ορισμού , αρκεί να δείξω ότι lim f(x) = f (xo ) (2) x→xo o Η f είναι συνεχής στο x = 0 , οπότε θα ισχύει limf (x) = f (0) (3) x→0 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 43

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές o Για να χρησιμοποιήσω τη συναρτησιακή σχέση που δίνεται αρκεί να δημιουργήσουμε ένα άθροισμα . ➢ Θέτουμε όπου x − xo = u = x = u + xo και ➢ αφού x → xo το u →0 οπότε ( )(1) (3) ➢ lim f ( x ) = lim f (u + xo ) = lim f (xo ) + f (u) = lim f ( xo ) + lim f (u ) = x→xo u→0 u→0 u→0 u→0 = f(xo ) + f(0) o Θα βρούμε το f (0) . Η σχέση (1) για x = y =0 γράφεται f (0 + 0) = f (0) + f (0)  f (0) = 0 και τελικά πλέον προκύπτει lim f ( x ) = f ( xo )  x→xo o Άρα η f είναι συνεχής στο τυχαίο xo , οπότε για όλα τα x Παράδειγμα 2: Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το τέτοια ώστε : f (x + y) = f (x) + f (y)+ xy(x + y) + α (1) , x,y , α . Αν lim f (x) + α = α, (2) να δείξετε ότι x→0 x i. η f είναι συνεχής στο xo = 0 ii. η f είναι συνεχής στο Λύση : i. Έστω g(x) = f (x) + α , οπότε x o limg(x) = α x→0 o xg(x) = f (x) + α , άρα lim(x g(x)) = lim(f (x) + α)  0α = lim(f (x) + α)  x→0 x→0 x→0 lim(f (x) + α) = 0  limf (x) = −α x→0 x→0 o Η (1) για x = y =0 μας δίνει f(0 + 0) = f (0) + f (0)+ 00(0 + 0) + α  f(0) = −α o Άρα τελικά limf (x) = f (0) δηλαδή η f είναι συνεχής στο x→0 ii. Αρκεί να δείξουμε ότι για τυχαίο xo  είναι lim f(x) = f (xo ) x→xo o Θέτουμε όπου x − xo = u = x = u + xo και o αφού x → xo το u →0 οπότε ( )(1) o lim f ( x ) = lim f (u + xo ) = lim f(xo ) + f(u) = x→xo u→0 u→0 lim( f ( xο ) + f (u) + xou ( xo + u ) + α ) = u→0 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 44

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές f (xο ) + f (0) + xo 0(xo + 0) + α = f (xο ) Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το τέτοια ώστε : Παράδειγμα 3: f (x y) = f (x) + f (y) (1) , x,y  * . Αν η f είναι συνεχής στο xo = 1 , τότε να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο Λύση : o Δίνεται ότι η f είναι συνεχής στο xo = 1, δηλαδή limf (x) = f (1) x→1 o Η (1) για x = y = 1 μας δίνει f (11) = f (1) + f (1) f (1) = 0 o Άρα limf (x) = f (1) = 0 x→1 o Αρκεί να δείξουμε ότι για τυχαίο xo  είναι lim f(x) = f (xo ) x→xo ➢ Θέτουμε x = u  x = xo u ( αφού x  0είναι και xo,u  0 ) xo ➢ αφού x → xo το u →1 οπότε από τη συνθήκη προκύπτει (1) ( )➢ lim f ( x ) = lim f (u  xo ) = lim f(xo ) + f(u) = f ( xo ) + lim f (u ) x→xo u→1 u→1 u→1 f (xo ) + f (1) = f (xo ) o Άρα η f είναι συνεχής στο * . Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το τέτοια ώστε : Παράδειγμα 4: f3 (x) + f (x) = x, x (1) . Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο xo = 0 . Λύση : o Για x = 0 η (1) γίνεται f3 (0) + f (0) = 0  f (0)(f2 (0) + 1) = 0  f (0) = 0 αφού f2 (0) + 1  0 o Επομένως θα δείξουμε ότι limf (x) = 0 x→0 o Έχουμε f3 (x) + f(x) = x  f(x)(f2 (x) + 1) = x  f(x) = f2 x + 1 (x) οπότε f(x) = f2 x  f(x) = f2 x + 1  x (x) + 1 (x) δηλαδή f(x)  x  − x  f(x)  x o Είναι lim(− x ) = lim( x ) = 0 , οπότε από το κριτήριο της x→0 x→0 παρεμβολής έχουμε limf (x) = 0 x→0 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 45

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές o Τελικά ισχύει ότι η f είναι συνεχής στο xo = 0 Παράδειγμα 5: Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το τέτοια ώστε : f3 (x) + 3f (x) = x, x (1). Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο . Λύση : o Επομένως θα δείξουμε ότι limf (x) = f (ξ) για τυχαίο ξ στο ή x→ξ ισοδύναμα lim(f(x) − f (ξ)) = 0 x→ξ o Έχουμε f3 (x) + 3f (x) = x και f3 (ξ) + 3f (ξ) = ξ οπότε f3 (x) + 3f (x) − f3 (ξ) − 3f (ξ) = x − ξ  f3 (x) − f3 (ξ) + 3f (x) − 3f (ξ) = x − ξ  (f (x) − f (ξ)) f2 (x) + f (x) f (ξ) + f2 (ξ) + 3(f (x) − f (ξ)) = x − ξ  (f (x) − f (ξ)) f2 (x) + f (x) f (ξ) + f2 (ξ) + 3 = x − ξ o Είναι f2 (x) + f (x) f (ξ) + f2 (ξ) + 3 έκφραση τριωνύμου και γράφεται με συμπλήρωση τετραγώνου f2 ( x) + f (x) f (ξ ) + f2 (ξ) + 3 =  f (x) + f (ξ) 2 + 3f2 (ξ) + 3  3  1    2  4 οπότε f (x) − f (ξ) = x−ξ , άρα f2 (x)+ f(x)f(ξ)+ f2 (ξ)+ 3 o f(x)− f(ξ) = x−ξ  x−ξ f2 (x)+ f(x)f(ξ)+ f2 (ξ)+ 3 δηλαδή f(x) − f(ξ)  x −ξ  − x −ξ  f(x) − f(ξ)  x −ξ o Είναι lim(− x − ξ ) = lim( x − ξ ) = 0 , οπότε από το κριτήριο της x→ξ x→ξ παρεμβολής έχουμε lim(f(x) − f (ξ)) = 0  limf(x) = f (ξ) x→ξ x→ξ o Τελικά ισχύει ότι η f είναι συνεχής στο xo = ξ , αφού ξ τυχαίος αριθμός στο . Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 46

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Άσκηση 1: … και τώρα λίγη εξάσκηση Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο x0 = 0 και για την οποία ισχύει ότι f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy (1), x,y i. Να βρείτε το f (0) ii. Να δείξετε ότι είναι συνεχής στο Άσκηση 2: Δίνεται η συνάρτηση f :  − π , π  → ( −1, 1) , η οποία είναι συνεχής  4 4  στο x1 = 0 και για την οποία ισχύει ότι f (x + y ) = f(x )+ f(y) ( 1) , x, y  − π , π  (x)f(y) 4 4  1− f i. Να βρείτε το f (0) ii. Να δείξετε ότι είναι συνεχής στο  − π , π   4 4  Άσκηση 3: Δίνεται η συνάρτηση f : → , η οποία είναι συνεχής στο x0 = α  * και για την οποία ισχύει ότι f (x + y) = f (x) − f (y), x,y .Να δείξετε ότι είναι συνεχής στο Άσκηση 4: Δίνεται η συνάρτηση f : → , η οποία είναι συνεχής στο x0 = 0 και για την οποία ισχύει ότι f (x + y) = f (x) ey + f (y)ex, x,y  (1) Να δείξετε ότι είναι συνεχής στο Άσκηση 5: Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο x0 = 1 και για την οποία ισχύει ότι f(xy) = f(x) + f(y) + 2(x − 1)(y − 1) (1), x,y i. Να βρείτε το f(1) ii. Να δείξετε ότι είναι συνεχής στο Άσκηση 6: Δίνεται η συνάρτηση f : Α → με A = (0,+) , για την οποία ισχύει ότι f (x  y) = xf (y) + yf (x) (1), x,yA i. Να βρείτε το f(1) ii. είναι συνεχής στο x0 = 1 Να δείξετε ότι είναι συνεχής στο A iii. το όριο lim  ex  f  x2 + 1 + x2 + 1 f  ex   1  ex +  ex + 1  x2 +  x→+  x2 +  1   1  Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 47

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Άσκηση 7: Δίνεται η συνάρτηση f : Α → με A = (0,+) , για την οποία ισχύει ότι f3 (x) + f (x) = lnx, x  0 (1) .Να δείξετε ότι είναι συνεχής στο xo = 1 Άσκηση 8: Δίνεται η συνάρτηση f : Α → με A = (0,+) , για την οποία ισχύει ότι f (xy) = f (x) + f (y), x,y(0,+) είναι συνεχής στο xo = 1 και f(2) 0 i. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής ii. Να δείξετε ότι f  1  = −f(x), x  (0, + )  x  iii. Να δείξετε ότι f (x)  0 κοντά στο 1 2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 48

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Μαθαίνω για τη συνέχεια σε κλειστό διάστημα Προετοιμάζομαι για τα περεταίρω… 15.11.Μ. Πως μελετάμε τη συνέχεια μιας συνάρτησης σε κλειστό διάστημα ; Ορισμοί - o Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό μέθοδοι : διάστημα (α,β), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) (Σχήμα 1) o Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημαα,β , όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) και επιπλέον lim f(x) = f(α) και lim f(x) = f(β) x→α+ x→β− o Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα διάστη- μα (α,β , όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) και επιπλέον lim f(x) = f(β) x→β− o Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα διάστη- μα α,β) , όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) και επιπλέον lim f(x) = f(α) x→α+ Να μελετήσετε τη συνέχεια της συνάρτησης με τύπο Παράδειγμα : f ( x ) = 2 − x , −1  x  1 2x2 − 1, 1 x  2 Λύση : o Μελετάμε τη συνέχεια στο Af = −1,1(1,2 = −1,2 o Στα ανοιχτά διαστήματα έχουμε ➢ Για x(−1,1) έχουμε f (x) = 2 − x η οποία είναι συνεχής ως πολυωνυμική. ➢ Για x(1,2) έχουμε f (x) = 2x2 − 1 η οποία είναι συνεχής ως πολυωνυμική. ➢ lim f (x) = lim(2 − x) = 2 − 1 = 1. x→1− x→1− ( )➢ lim f (x) = lim 2x2 − 1 = 212 − 1 = 1 . x→1+ x→1+ Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 49

Συνέχεια φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές ➢ f (1) = 2 − 1 = 1 ➢ Άρα είναι συνεχής και στο 1 , οπότε σε όλο το (−1,2) o Επίσης έχουμε lim f (x) = lim (2 − x) = 2 − (−1) = 3 = f (−1) x→−1+ x→−1+ ( )o Και lim f (x) = lim 2x2 − 1 = 2 22 − 1 = 7 = f (2) x→2− x→2− o Τελικά λοιπόν η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα −1,2 … και τώρα λίγη εξάσκηση Να μελετήσετε τη συνέχεια της συνάρτησης με τύπο Άσκηση 1 : f ( x ) = 3x − 1 , −1x1 Άσκηση 2 : 2x2 , 1  x  12 Να μελετήσετε τη συνέχεια της συνάρτησης με τύπο f (x) = 1− 2x 1 , 0x4 2x2 + , 4x5 Ασκήσεις που ξεχωρίζουν Παράδειγμα 1: Αν lim f (3 + h) = 6 και η f είναι συνεχής στο 3, να βρεθεί το όριο h→0 h Α = lim f ( x) −f( 3) x→3 x2 −9 Λύση : Θέτουμε f(3 + h) = g(h) , οπότε h o f(3 + h) = hg(h) , άρα limg(h) = 6 h→0 o limf (3 + h) = lim(hg (h)) = 06 = 0 h→0 h→0 o Αφού f συνεχής στο 3 ισχύει limf (3 + h) = f (3)  f (3) = 0 h→0 o Α = lim f (x) − f(3) = lim f(x) = lim  1  f(x)  (*) 3)(x  +  x→3 x2 −9 x→3 ( x − + 3) x→3  x 3 x−3  Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 50