คณิตศาสตร์ ม.ปลาย พค31001

96 เรืองที กฎเบอื งต้นเกียวกับการนับและแผนภาพต้นไม้ ในชีวติ ประจาํ วนั ของคนเรามกี ารกระทาํ หรือการทดลองหลายอยา่ งทีจะเกิดผลลพั ธไ์ ดห้ ลายวิธี การหาจาํ นวนรูปแบบหรือจาํ นวนวิธีทีอาจเกิดขึนไดจ้ ากการนบั ทงั หมด โดยมกี ฎเบืองตน้ เกียวกบั การนบั จากการทาํ งานดงั นี . การทาํ งานทมี ี 2 อย่างหรือสองขนั ตอน ถา้ งานอยา่ งแรกมีวธิ ีทาํ ได้ n1 วธิ ี และในแต่ละวิธีทาํ งานอยา่ งแรกมวี ธิ ีทีจะทาํ งานอยา่ งทีสอง ได้ n2 วธิ ี สามารถเขียนแผนผงั การทาํ งานไดด้ งั นี งานอยา่ งที 2 งานอยา่ งที 1 n1 วธิ ี n2 วธิ ี จาํ นวนวิธีทาํ งานทงั สองอยา่ ง = n1 × n2 วิธี ตวั อย่างที โยนเหรียญ อนั พร้อมกนั ครัง เกิดผลลพั ธไ์ ดท้ งั หมดกวี ธิ ี กาํ หนดให้ H แทนผลทีเกิดขึนเป็นหวั และ T แทนผลทีเกิดขึนเป็นกอ้ ย วธิ ีทาํ การโยนเหรียญ เหรียญพร้อมกนั เป็นการทาํ งานทีมี ขนั ตอน สามารถแสดง เหตุการณ์ทีเกิด โดยใชแ้ ผนภาพตน้ ไมไ้ ด้ ดงั นี เหรียญที 1 เหรียญที 2 เหตุการณ์ทีเกิดขนึ นนั คือ โยนเหรียญ 2 เหรียญพร้อมกนั 1 ครัง เกิดได้ 4 วิธี คือ HH, HT, TH, TT ตอบ

97 ตวั อย่างที ชายคนหนึงมเี สือเชิตต่างกนั ตวั และกางเกงขายาวต่างกนั ตวั วธิ ที าํ เราสามารถใชแ้ ผนภาพตน้ ไมช้ ่วยในการหาวธิ ีทงั หมดทีเป็นไปไดแ้ สดงไดด้ งั แผนภาพขา้ งล่างนี จากแผนภาพตน้ ไมจ้ ะพบวา่ การแต่งกายของชายคนนีทีแตกต่างกนั นบั ไดท้ งั หมด วธิ ี ตวั อย่างที 3 โยนลกู เต๋า 2 ลกู พร้อมกนั 1 ครัง เกิดไดท้ งั หมดกีวิธี วธิ ที าํ โยนลกู เต๋า 2 ลกู พร้อมกนั ครัง เป็นการทาํ งาน อยา่ ง ลกู ที 1 ลกู ที จดั ได้ 6 × 6 งานอยา่ งแรก เกิดจากลกู เต๋าลกู ที 1 ซึงมี 6 หนา้ เกิดได้ 6 วธิ ี งานที เกิดจากลกู เต๋าลกู ที ซึงมี หนา้ เกิดได้ วิธี  โยนลกู เต๋า 2 ลกู พร้อมกนั 1 ครัง เกิดได้ = 6 ×6 = 36 วิธี สามารถแจกแจงผลลพั ธ์ ไดด้ งั นี (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) ตอบ 36 วิธี

98 . การทาํ งานทมี ี 3 อย่างหรือสามขันตอน การนบั จะมแี นวคิดในทาํ นองเดียวกนั แต่จาํ นวนขนั ตอนในการเขยี นแผนภาพตน้ ไม้ หรือการ หาผลคูณคาร์ทีเซียน จะมี 3 งานหรือ ขนั ตอนทีตอ้ งทาํ ต่อเนืองกนั ดงั ตวั อยา่ งต่อไปนี ตวั อย่างที 4 บริษทั รถยนตแ์ ห่งหนึงผลติ ตวั ถงั รถยนตอ์ อกมา 2 แบบ มเี ครืองยนต์ 2 ขนาด และสีต่างๆ กนั 3 สี ถา้ ตอ้ งการแสดงรถยนตใ์ หค้ รบทุกแบบ ทกุ ขนาด และทุกสี จะตอ้ งใชร้ ถยนตอ์ ยา่ ง นอ้ ยทีสุดกีคนั วธิ ีทํา โดยใชแ้ ผนภาพตน้ ไม้ (Tree Diagram ) จะไดผ้ ลดงั นี การทาํ งานมี ขนั คือ ขนั ที 1 ขนั ที ขนั ที ตวั ถงั เครือง สี ผลงาน ค ดงั นนั จะตอ้ งมรี ถยนตแ์ สดงอยา่ งนอ้ ย 12 คนั จึงจะครบทุกแบบทุกสีทุกขนาด ตวั อย่างที ในการเลือกตงั กรรมการชุดหนึงจะประกอบไปดว้ ย ประธาน รองประธาน เหรัญญิก และ เลขา โดยกรรมการแต่ละคนจะดาํ รงตาํ แหน่งไดเ้ พียงตาํ แหน่งเดียวเท่านนั ถา้ มีผสู้ มคั รทงั หมด 6 คน เป็นชาย 2 คน เป็นหญิง 4 คน ผลการเลือกตงั กรรมการชุดนีจะมีไดท้ งั หมดกีแบบต่างกนั โดยที 1. ไมม่ ีเงือนไขเพมิ เติม 2. กาํ หนดใหป้ ระธานเป็นชาย และเลขาตอ้ งเป็นหญิง 3. กรรมการตอ้ งเป็นหญิงลว้ นๆ

99 วธิ ีทาํ มผี สู้ มคั ร 6 คน เป็นชาย 2 คน เป็นหญิง 4 คน ใหเ้ ลอื กกรรมการ 4 ตาํ แหน่ง ประธาน รองประธาน เหรัญญกิ เลขา 1) ไม่มเี งือนไขเพมิ เติม แต่ละคนเป็นไดต้ าํ แหน่งเดียว ตาํ แหน่งประธาน เลอื กได้ 6 วธิ ี ตาํ แหน่งรองประธาน เลอื กได้ 5 วิธี ตาํ แหน่งเหรัญญิก เลือกได้ 4 วธิ ี ตาํ แหน่งเลขา เลอื กได้ 3 วิธี ดงั นนั จาํ นวนวธิ ีในการเลือกกรรมการมี = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 วธิ ี 2) กาํ หนดประธานเป็นชาย และเลขาตอ้ งเป็นหญิง ตาํ แหน่งประธานเป็นชาย เลอื กได้ 2 วธิ ี ตาํ แหน่งเลขาทีเป็นหญิง เลอื กได้ 4 วิธี ตาํ แหน่งเหรัญญิก (คนทีเหลือ) เลอื กได้ 4 วธิ ี ตาํ แหน่งรองประธาน เลอื กได้ 3 วธิ ี (คนทีเหลอื สุดทา้ ย ) ดงั นนั จาํ นวนวธิ ีในการเลือกกรรมการมี = 2 × 4 × 3 × 4 = 96 วธิ ี 3) กรรมการตอ้ งเป็นผหู้ ญิงลว้ น ๆ ตาํ แหน่งประธานเป็นหญิง เลือกได้ วิธี ตาํ แหน่งเลขาเป็นหญิง เลือกได้ วธิ ี ตาํ แหน่งรองประธาน เลอื กได้ วิธี (เฉพาะหญิงทีเหลือ) ตาํ แหน่งเหรัญญิก เลอื กได้ วิธี (เฉพาะหญิงทีเหลอื ) ดงั นนั จาํ นวนวธิ ีในการเลอื กกรรมการมี = × × × = วธิ ี ตวั อย่างที หอ้ งประชุมแห่งหนึงมี 3 ประตู จงหาวธิ ีในการเดินเขา้ - ออกหอ้ งประชุม โดยมเี งือนไข ต่างกนั ดงั นี จาํ นวนวิธีในการเดินเขา้ 1. จาํ นวนวธิ ีในการเดนิ เขา้ - ออก 2. จาํ นวนวิธีในการเดนิ เขา้ - ออก โดยไม่ซาํ ประตกู นั 3. จาํ นวนวธิ ีในการเดินเขา้ - ออก โดยใชป้ ระตเู ดิม

100 วธิ ที ํา ประตหู อ้ งประชุมมี 3 ประตู หมายเลข 1 2 และ 3 การเดิน 1. จาํ นวนวธิ ีการเดนิ เขา้ - ออก = 3 × 3 = 9 วธิ ี (ใชป้ ระตซู าํ ได)้ 2. จาํ นวนวิธีการเดินเขา้ - ออก โดยไม่ซาํ ประตูกนั = 3 × 2 = 6 วิธี 3. จาํ นวนวิธีการเดินเขา้ - ออก โดยใชป้ ระตูเดิม = 3 × 1 = 3 วธิ ี ตวั อย่างที 7 ครูมีหนงั สือ 5 เล่มแตกต่างกนั ตอ้ งการแจกใหน้ กั เรียน คน จงหาจาํ นวนวีธีแจกหนงั สือโดยที 1. ไม่มีเงือนไขเพมิ เติม 2. ไมม่ ีใครไดห้ นงั สือเกิน 1 เล่ม วธิ ีทาํ การแจกหนงั สือตอ้ งพิจารณาการแจกทีละเลม่ หนงั สือเลม่ ที 1. ไม่มเี งือนไข (แจกซาํ ได้ ) ดงั นนั แจกได้ = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 วธิ ี 2. ไมม่ ีใครไดเ้ กิน 1 เล่ม แปลวา่ ไมม่ ีใครไดซ้ าํ ไดแ้ ลว้ จะไมแ่ จกใหอ้ ีก ดงั นนั จะมวี ธิ ีแจกหนงั สือ = 5 × 4 × 3 ×2 = 120 วิธี

101 เรืองที ความน่าจะเป็ นของเหตกุ ารณ์ ในชีวิตประจาํ วนั มกั พบกบั การคาดคะเน หรือการประมาณเหตุการณ์ เพือใชใ้ นการตัดสินใจ โอกาสทีเหตุการณ์นนั จะเกิดไดม้ มี ากนอ้ ยเพยี งใด ขึนอยกู่ บั อตั ราส่วนระหว่างจาํ นวนสมาชิกของเหตุการณ์ นนั กบั จาํ นวนครังของการทาํ งานผเู้ รียนจึงตอ้ งทราบ และทาํ ความเขา้ ใจ กบั คาํ เหลา่ นี 1. การทดลองสุ่ม (Random Experiment) คือ การทดลองทีไมส่ ามารถระบุผลลพั ธไ์ ดอ้ ยา่ งแน่นอน แต่บอก ไดว้ ่าผลลพั ธข์ องการทดลองนนั มีโอกาสเกิดอะไรขึนไดบ้ า้ ง ตัวอย่างที 1 การทดลองโยนลกู เต๋า ลูก ครัง แตม้ ทีจะเกิดขึนได้ คือ แตม้ , , , , หรือ ซึงไม่สามารถบอกไดว้ า่ จะเป็นแตม้ อะไรใน แตม้ นี ตวั อย่างที ดงั นนั ผลลพั ธท์ งั หมดทีจะเกดิ ขึนคือแตม้ , , , , , จงเขียนผลทีอาจจะเกดิ ขึนไดท้ งั หมดในการโยนเหรียญบาท เหรียญ ครัง วธิ ีทํา ในการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ ผลทีอาจเกิดขึนคือหวั หรือกอ้ ย ถา้ ให้ H แทน หวั และให้ T แทน กอ้ ย ในการหาผลทีอาจเกิดขึนไดท้ งั หมดจากการโยนเหรียญบาท เหรียญ ครัง ใช้ แผนภาพช่วยไดด้ งั นี ผลทีอาจจะเกดิ จากการ ผลทอี าจจะเกดิ จากการ ผลทอี าจจะเกดิ จากการโยน โยนเหรียญบาทครังที โยนเหรียญครังที เหรียญทัง ครัง H H, H H T H, T H T, H T T T, T ผลทงั หมดทีอาจจะเกิดขึนได้ คือ (H, H), (H, T), (T, H) และ (T, T)

102 2. แซมเปิ ลสเปซ (Sample Space) เป็นเซตทีมสี มาชิกประกอบดว้ ยสิงทีตอ้ งการ ทงั หมด จากการทดลอง อยา่ งใดอยา่ งหนึง เขียนแทนดว้ ย S เช่น ตวั อย่างที ในการโยนลกู เต๋าถา้ ตอ้ งการดวู า่ แตม้ ลกู เต๋าคืออะไร ผลลพั ธท์ ีอาจจะเกิดขึนไดค้ ือ ลกู เต๋าขึนแตม้ 1 หรือ 2 หรือ 3 หรือ 4 หรือ 5 หรือ 6 ดงั นนั แซมเปิ ลสเปซทีได้ คือ S =  1, 2, 3, 4, 5, 6  ตวั อย่างที จากการทดลองสุ่มโดยการทดลองทอดลกู เต๋า 2 ลกู จงหาแซมเปิ ลสเปซของแตม้ ของลกู เต๋าทีหงายขึน วธิ ที าํ เนืองจากโจทยส์ นใจแตม้ ของลกู เต๋าทีหงายขนึ ดงั นนั เราตอ้ งเขียนแตม้ ของลกู เต๋าทีมี โอกาสทีจะหงายขึนมาทงั หมด และเพือความสะดวกให้ (a , b) แทนผลลพั ธท์ ีอาจจะ เกิดขนึ โดยที a แทนแตม้ ทีหงายขึนของลกู เต๋าลกู แรก b แทนแตม้ ทีหงายขึนของลกู เต๋าลกู ทีสอง ดงั นนั แซมเปิ ลสเปซของการทดลองสุ่มคือ S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} 3. เหตุการณ์ (event) คือ เซตทีเป็นสบั เซตของ Sample Space หรือเหตุการณ์ทีเราสนใจ จากการทดลองสุ่ม ตวั อย่างที ในการโยนลกู เต๋า 1 ลกู 1 ครัง ถา้ ผลลพั ธท์ ีสนใจคือ จาํ นวนแตม้ ทีได้ จะได้ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ถา้ ให้ E1 เป็นเหตุการณ์ทีไดแ้ ตม้ ซึงหารดว้ ย 3 ลงตวั จะได้ E1 = {3, 6} E2 เป็นเหตุการณ์ทีไดแ้ ตม้ มากกว่า 2 จะได้ E2 = {3, 4, 5, 6}

103 ตวั อย่างที โยนเหรียญบาท เหรียญ ครัง จงหาผลลพั ธข์ องเหตุการณ์ทีจะออกหวั อยา่ งนอ้ ย ครัง การหาผลลพั ธท์ งั หมดทีอาจจะเกิดขนึ จากการโยนเหรียญบาท เหรียญ ครัง โดยใชแ้ ผนภาพตน้ ไม้ ดงั นี ผลลพั ธท์ งั หมดทีอาจจะเกิดขึนจากการทดลองสุ่ม มี แบบ คือ HH, HT, TH และ TT นนั คือผลลพั ธข์ อง เหตุการณ์ทจี ะออกหวั อยา่ งนอ้ ย ครัง มี แบบ คือ HH, HT และ TH . ความน่าจะเป็ นของเหตกุ ารณ์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ จาํ นวนทีแสดงใหท้ ราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึงมโี อกาส เกิดขนึ มากหรือนอ้ ยเพยี งใด ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ใด ๆ เท่ากบั อตั ราส่วนของจาํ นวนเหตุการณ์ทีเราสนใจ (จะใหเ้ กิดขนึ หรือไม่เกิดขึนก็ได)้ ต่อจาํ นวนผลลพั ธท์ งั หมดทีอาจจะเกิดขึนได้ ซึงมีสูตรในการคิดคาํ นวณดงั นี ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์  จาํ นวนผลลพั ธ์ของเหตกุ ารณท์ ีเราสนใจ จาํ นวนผลลพั ธท์ งั หมดท◌◌ี ่อาจจดะขเกนึ ิ เมือผลทงั หมดทีอาจจะเกิดขนึ จากทดลองสุ่มแต่ละตวั มีโอกาสเกิดขึนไดเ้ ท่าๆ กนั กาํ หนดให้ E แทน เหตุการณ์ทีเราสนใจ P(E) แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ n(E) แทน จาํ นวนสมาชิกของเหตกุ ารณ์ n(S) แทน จาํ นวนสมาชิกของผลลพั ธท์ งั หมดทีอาจจะเกดิ ขนึ ได้ ดงั นนั P( E ) = n(E) n(S)

104 ตวั อย่างที มีลกู ปิ งปอง 4 ลกู เขียนหมายเลขกาํ กบั ไวด้ งั นีคือ 0, 1, 2, 3 ถา้ สุ่มหยบิ มา 2 ลกู จงหาความ น่าจะเป็นทีจะไดผ้ ลรวมของตวั เลขมากกวา่ 3 วธิ ีทาํ ให้ S เป็นแซมเปิ ลสเปซ S = {(0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3)} จะได้ n(S) = 6 E เป็นเหตุการณ์หรือสิงทีโจทยอ์ ยากทราบ E = {(1, 3), (2, 3)} จะได้ n (E) = 2 จากสูตร p(E)  nE แทนค่าได้ PE  2  1 nS 6 3 ความน่าจะเป็นทีจะไดผ้ ลรวมของตวั เลขมากกวา่ 3 เท่ากบั 1 3 ข้อสังเกต 1. สมาชิกทุกตวั ในเหตุการณ์ E ตอ้ งเป็นสมาชิกในอยใู่ นแซมเปิ ลสเปซ S ดงั นนั 0 ≤ n(E) ≤ n(S) 2. ถา้ E เป็นเหตุการณใด ๆ ในแซมเปิ ลสเปซ S จะไดว้ ่า 2.1 0 ≤ P(E) ≤ 1 2.2 ถา้ P(E) = 1 หมายถงึ เหตุการณ์นนั ตอ้ งเกิดขนึ แน่นอน ถา้ P(E) = 0 หมายถึงเหตุการณ์นนั ตอ้ งไมเ่ กิด 2.3 ถา้ S เป็นแซมเปิ ลสเปซ จะไดว้ า่ P(S) = 1

105 เรืองที การนําความน่าจะเป็ นไปใช้ การนาํ ความน่าจะเป็นไปใช้ ตอ้ งการใหผ้ ทู้ ีศกึ ษาทราบวา่ เหตุการณ์ต่างๆ นนั มโี อกาสจะเกิดขึน มากหรือนอ้ ยเพียงใด เพือช่วยในการประกอบการตดั สินใจ เช่น ตวั อย่างที 1 ไพ่สาํ รับหนึงมี 52 ใบ แบ่งเป็น 2 สี คือ สีแดง ไดแ้ ก่โพแดงกบั ขา้ วหลามตดั สีดาํ ไดแ้ ก่ โพดาํ กบั ดอกจิก แต่ละชนิดมี 13 ใบ จงหาความน่าจะเป็นทีหยบิ มา 1 ใบแลว้ ไดโ้ พดาํ หรือสีแดง วธิ ที ํา ให้ S แทน แซมเปิ ลสเปซ ไพ่ทงั หมดมี 52 ใบ หยบิ มาทีละ 1 ใบจะได้ 52 วิธี ดงั นนั n(S) = 52 E แทน เหตุการณ์ ไพ่โพดาํ มี 13 ใบ และไพ่สีแดงมี 26 ใบ ดงั นนั n(E) = 13 + 26 = 39 จากสูตร P(E)  n(E) แทนค่าได้ P(E)  39  3 n(S) 52 4 ความน่าจะเป็นทีหยบิ ไพ่ 1 ใบแลว้ ไดโ้ พดาํ หรือสีแดง เท่ากบั 3 4 ตวั อย่างที 2 ในการหยบิ สลาก 1 ใบจากสลาก 10 ใบ ซึงมีเลข 0 - 9 กาํ กบั อยู่ จงหาความน่าจะเป็นทีจะ หยบิ ไดเ้ ป็นจาํ นวนเฉพาะสลากมีเลข เลข เลข เลข วธิ ีทํา S แทน แซมเปิ ลสเปซ สลากมี 10 ใบ หยบิ มาทีละ 1 ใบ จึงหยบิ ได้ 10 วธิ ี S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} n(S)=10 E แทน เหตุการณ์ สลากทีเป็นจาํ นวนเฉพาะ E = {2, 3, 5, 7} n(E) = 4 จากสูตร P(E)  n(E) แทนค่าได้ PE  4  2 n(S) 10 5  ความน่าจะเป็นทจี ะหยบิ ไดเ้ ป็นจาํ นวนจาํ เพาะ เท่ากบั 2 5

106 บทที การใช้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในงานอาชีพ สาระสําคญั การประกอบอาชีพในสงั คมและในกลมุ่ ประชาคมอาเซียนนนั มีหลากหลายสาขาอาชีพทงั ในดา้ น อตุ สาหกรรม เกษตรกรรม พณิชยกรรม ความคิดสร้างสรรค์ และการบริหารจดั การ อาชีพในวงการดงั กล่าว ลว้ นมีการใชท้ กั ษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์เขา้ ไปเกียวขอ้ งเกือบทุกกลมุ่ อาชีพ ซึงผเู้ รียนสามารถนาํ ความรู้และทกั ษะทีไดเ้ รียนคณิตศาสตร์ในระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนปลายมาประยกุ ตใ์ ช้ ผลการเรียนรู้ทีคาดหวงั 1. บอกประเภทของงานอาชีพทีใชท้ กั ษะทางคณิตศาสตร์ได้ 2. นาํ ความรู้ทางคณิตศาสตร์ไปใชใ้ นงานอาชีพได้ ขอบข่ายเนอื หา ลกั ษณะ ประเภทของงานอาชีพทีใชท้ กั ษะทางคณิตศาสตร์ เรืองที การนาํ ความรู้ทางคณิตศาสตร์ไปเชือมโยงกบั งานอาชีพในสงั คมและประชาคมอาเซียน เรืองที

107 เรืองที ลกั ษณะ ประเภทของงานอาชีพทีใช้ทกั ษะทางคณิตศาสตร์ . กล่มุ อาชีพเกษตรกรรม ไดแ้ ก่ อาชีพ การทาํ นา ทาํ ไร่ การปลกู ผกั การเลยี งสตั ว์ ประมง ฯลฯ ลกั ษณะงานเบอื งต้นทใี ช้ทกั ษะทางคณติ ศาสตร์ . การสาํ รวจของตลาดทีจะปลกู พชื เกษตรกรรม 2. การเตรียมพนื ทีดิน ซึงขึนอยกู่ บั ความกวา้ ง ความยาวของพนื ทีว่าผปู้ ระกอบการใชพ้ นื ที กีไร่ กีงาน กีตารางวา ในการทาํ แปลง ขดุ ร่อง เพือใชเ้ ป็นพืนทีนา ส่วน พนื ทีปลกู ผกั ส่วน บ่อนาํ ส่วน การเลยี งสตั ว์ ส่วน พนื ทีอยอู่ าศยั ส่วน เป็นตน้ . การเตรียมป๋ ุยวา่ ใชข้ นาดกกี ิโลกรัมต่อไร่ . การฉีดยาฆ่าแมลงโดยใชส้ ารกาํ จดั ศตั รูพชื ทางชวี ภาพ เช่น สะเดา และสมุนไพรอืน ๆ เป็นตน้ ใชค้ วามรู้เรืองอตั ราส่วน สดั ส่วน เพอื ผสมยากาํ จดั ศตั รูพชื กบั นาํ ก่อนฉีดพ่น . การเก็บเกียวผลผลติ ซึงตอ้ งใชท้ กั ษะการคาํ นวณระยะเวลาตงั แต่การปลกู จนถึงระยะ การเก็บเกียวผลผลิต . การจาํ หน่ายผลผลติ ซึงตอ้ งใชท้ กั ษะการจดั ทาํ บญั ชีรับ – จ่าย การจดบนั ทึกจาํ นวน ผลผลติ ทีได้

108 . กล่มุ อาชีพอตุ สาหกรรม ไดแ้ ก่ อาชีพพนกั งานในโรงงานอตุ สาหกรรมต่างๆ ไดแ้ ก่ อุตสาหกรรม หอ้ งเยน็ ถว้ ยชามอุปกรณ์เซรามคิ ผา้ ขนหนู กระดาษและสิงพิมพ์ สแตนเลส เหลก็ พลาสติก ปูนซีเมนต์ ฯลฯ ลกั ษณะงานเบอื งต้นทใี ช้ทกั ษะคณติ ศาสตร์ . การคาํ นวณเงนิ รายไดป้ ระจาํ วนั 2. การคาํ นวณเงนิ ค่าทาํ งานลว่ งเวลา . การคาํ นวณเงนิ กแู้ ละดอกเบียคงทีหรือดอกเบียทบตน้ 4. การทาํ บญั ชีรายรับ – รายจ่ายประจาํ วนั . การจดั ทาํ บญั ชีพสั ดุ (การจดั ซือ การเบิกจ่ายพสั ดุ) . การสาํ รวจและวิจยั การตลาด . การคาํ นวณภาษีเงนิ ไดบ้ คุ คลธรรมดา . กล่มุ อาชีพพาณชิ ยกรรม ไดแ้ ก่ อาชีพคา้ ขาย ผปู้ ระกอบการร้านอาหารและเครืองดืม ผปู้ ระกอบการขายปลกี และขายส่ง ธุรกิจการซือขายอสงั หาริมทรัพย์ ธุรกิจการซือขายหุน้ ในตลาด หลกั ทรัพย์ อาชีพการทาํ บญั ชี การตลาด เป็นตน้

109 ลกั ษณะงานเบอื งต้นทใี ช้ทกั ษะคณติ ศาสตร์ . การจดั ซือวตั ถดุ ิบในการคา้ ขายปลกี หรือขายส่ง . การจาํ หน่ายสินคา้ การคาํ นวณราคาสินคา้ ต่อหน่วย การทอนเงิน . การจดั ทาํ บญั ชีพสั ดุ (การจดั ซือ การเบิกจ่ายพสั ดุ) . การจดั ทาํ บญั ชีรับ – จ่ายประจาํ วนั . การประชาสมั พนั ธใ์ นงานธุรกิจคา้ ขายหรือพาณิชยกรรม ซึงตอ้ งใชท้ กั ษะใน การคาํ นวณขนาดของป้ ายโฆษณา ขนาดตวั อกั ษร ขนาดและจาํ นวนแผน่ พบั หรือใบปลิวโฆษณา . การคาํ นวณภาษีเงินไดบ้ คุ คลธรรมดา . กล่มุ อาชีพด้านความคดิ สร้างสรรค์ ไดแ้ ก่ ธุรกจิ โฆษณา ธุรกิจการออกแบบตกแตง่ ทีอยอู่ าศยั สํานกั งานและสวนหยอ่ ม การจดั ดอกไมแ้ ละแจกนั ประดบั ธุรกิจการทาํ พวงหรีด การจดั กระเชา้ ของขวญั เป็นตน้ ลกั ษณะงานเบอื งต้นทใี ช้ทกั ษะคณติ ศาสตร์ . การจดั เตรียมขนาด ปริมาตร รูปทรงของพนื ทีหรือชินงานในการจดั ทาํ ธุรกจิ ซึงตอ้ งใช้ การวดั ความกวา้ ง ความยาว ความสูงของพนื ทีหรือชินงาน การออกแบบรูปทรงโดยใช้ รูปเรขาคณิตสามมิติ . การคาํ นวณปริมาณของวสั ดุอปุ กรณ์ในการใชป้ ระดิษฐส์ ร้างสรรคช์ ินงานหรือการจดั ตกแต่งสวนหยอ่ ม . การคาํ นวณเพือกาํ หนดราคาขายสินคา้ . การจดั ทาํ บญั ชีพสั ดุ (การจดั ซือ การเบิกจ่ายพสั ดุ) . การจดั ทาํ บญั ชีรับ – จ่าย ประจาํ วนั . การประชาสมั พนั ธใ์ นอาชีพธุรกิจทุกประเภท ซึงตอ้ งใชท้ กั ษะในการคาํ นวณ เป็นพืนฐานในการจดั ทาํ แผน่ ป้ ายประชาสมั พนั ธห์ รือแผน่ พบั แผน่ ปลวิ 7. การคาํ นวณภาษีเงนิ ไดบ้ คุ คลธรรมดา

110 . กล่มุ อาชีพบริหารจดั การและการบริการ ไดแ้ ก่ อาชีพกล่มุ งานบริการและการท่องเทียว งานบริการรักษาความปลอดภยั บริการดแู ลทารกและเด็ก บริการดแู ลผสู้ ูงอายุ บริการสนั ทนาการและการ กีฬา เป็นตน้ ลกั ษณะงานเบอื งต้นทใี ช้ทกั ษะคณติ ศาสตร์ . การสาํ รวจพนื ทีในการใหบ้ ริการ การคาํ นวณระยะทางในการใหบ้ ริการ . การจดั ซือวสั ดุ อปุ กรณ์ในการใหบ้ ริการ . การรับสมคั รและกาํ หนดเงินเดือนตามตาํ แหน่งงานของเจา้ หนา้ ทีในการใหบ้ ริการ . การจดั ทาํ ตารางเวลา การอยเู่ วร – ยามของเจา้ หนา้ ทีประจาํ สาํ นกั งาน . การจดั ทาํ กาํ หนดการท่องเทียวและการใหบ้ ริการ รวมทงั กาํ หนดราคาขาย บริการในแต่ละพนื ที . การคาํ นวณการใชน้ าํ มนั เชือเพลิงของยานพาหนะทีใหบ้ ริการ . การจดั ทาํ บญั ชีพสั ดุ และการเบิกจ่ายพสั ดุ . การจดั ทาํ บญั ชีรับ – จ่ายประจาํ วนั . การจดั ทาํ แผน่ ป้ ายโฆษณา ประชาสมั พนั ธก์ ารใหบ้ ริการ . การจดั ทาํ สรุปรายงานและการนาํ เสนอขอ้ มลู . การคาํ นวณภาษีเงนิ ไดบ้ คุ คลธรรมดา

111 เรืองที การนําความรู้ทางคณติ ศาสตร์ไปใช้ในงานอาชีพได้ ในการนาํ ความรูค้ ณิตศาสตร์ไปเชือมโยงกบั งานอาชีพทงั กลมุ่ งานอาชีพทงั กล่มุ งานอาชีพ เกษตรกรรม กลมุ่ งานอาชีพอตุ สาหกรรม กลุม่ งานอาชีพพาณิชยกรรม กลุ่มงานอาชีพความคดิ สร้างสรรค์ และกล่มุ งานอาชีพดา้ นบริหารจดั การและบริการจะตอ้ งนาํ ทกั ษะความรู้ทางคณิตศาสตร์มาใชท้ ุกกล่มุ อาชีพ เช่น การจดั ทาํ บญั ชีรายรับ – รายจ่ายประจาํ วนั ประจาํ เดือน การคาํ นวณเงินค่าจา้ ง การคาํ นวณภาษีเงินได้ บุคคลธรรมดา เป็นตน้ กลมุ่ อาชีพทุกกลุม่ อาชีพอาจจะใชท้ กั ษะความรูค้ ณิตศาสตร์ต่างกนั ออกไป ดงั นนั ใน บทนีจะนาํ เสนอตวั อยา่ งทีเป็นทกั ษะทางคณิตศาสตร์ทีใชก้ นั มากเท่านนั . ทักษะการจดั ทําบญั ชีรับ - จ่ายประจาํ วนั ตวั อย่างที การจดั ทาํ บญั ชีรายรับ – รายจ่ายประจาํ วนั ของเกษตรกรเลยี งปลา วนั ที มกราคม จ่ายค่าอาหารปลา , บาท ค่าไฟ บาท จ่ายค่าจา้ งขดุ ลอกบ่อ บาท ขายปลาได้ , บาท วนั ที มกราคม จ่ายค่าอาหาร บาท จ่ายค่าโทรศพั ท์ บาท ไดร้ ับเงินจากการขายปลาอกี , บาท วนั ที มกราคม จ่ายค่าตาข่าย บาท จ่ายค่าเสือผา้ , บาท ไดร้ ับเงินจากการขายปลา , บาท วนั เดือน ปี รายการรับ จาํ นวนเงนิ วนั เดือน ปี รายการจ่าย จาํ นวนเงิน ม.ค. รับเงินจากการขายปลา บาท สต. บาท สต. ,000 - ม.ค. รับเงินจากการขายปลา , - ม.ค. ค่าอาหารปลา ม.ค. รับเงินจากการขายปลา 0- ค่าไฟ 00 - รวม ค่าจา้ งขดุ ลอกบ่อ - - , - ม.ค. ค่าอาหาร 00 - , 00 - ค่าโทรศพั ท์ ,- ,- , - ม.ค. ค่าตาข่าย ค่าเสือผา้ ,- รวม ยอดคงเหลือยกไป

112 . ทกั ษะการคาํ นวณเงนิ ค่าจ้าง ตวั อย่างที วิไลเป็นพนกั งานของบริษทั แห่งหนึง ซึงกาํ หนดเวลาทาํ งานวนั จนั ทร์ถงึ วนั เสาร์ ไดร้ ับค่าจา้ งเป็นรายวนั ๆ ละ บาท มีสิทธิไดร้ ับค่าจา้ งในวนั หยดุ ตามประเพณี และวนั หยดุ พกั ผอ่ นประจาํ ปี โดยไม่ตอ้ งทาํ งาน ในเดือนตลุ าคม วไิ ลมาทาํ งานทุก วนั ในวนั ทาํ งานตามเวลาทาํ งานปกติ และวนั ที ตุลาคมตรงกบั วนั จนั ทร์ในเดือน นีมวี นั หยดุ ตามประเพณี วนั คือ วนั ที ตุลาคม อยากทราบว่าในเดือนนีวิไล ไดร้ ับค่าจา้ งเท่าไร วธิ ีทาํ เดอื นตุลาคม อาทิตย์ จันทร์ องั คาร พุธ พฤหสั ศุกร์ เสาร์ เดือนตุลาคม วไิ ลไดร้ ับค่าจา้ งในวนั ทาํ งาน วนั และมีสิทธิไดร้ ับค่าจา้ งใน วนั หยดุ ตามประเพณี วนั และไดร้ ับค่าจา้ งวนั ละ บาท ดงั นนั วไิ ลไดร้ ับค่าจา้ งในเดือนตุลาคม = (26 + 1)  3 0 = , บาท . ทักษะการคาํ นวณเงนิ ค่านายหน้าและเงนิ ปันผล ตวั อย่างที นายวุฒิชยั เป็นตวั แทนขายโทรศพั ท์ ซึงมรี าคา , บาทใหก้ บั บริษทั แห่งหนึง บริษทั คดิ ค่านายหนา้ % อยากทราบว่า วฒุ ิชยั ตอ้ งส่งเงินใหบ้ ริษทั เท่าไร วธิ ีทํา ค่านายหนา้ ในการขาย = 10  10,500  1,050 บาท 100 ดงั นนั วฒุ ิชยั ตอ้ งส่งเงินใหบ้ ริษทั = ,500 – , 50 = , 50 บาท ตวั อย่างที จินตนาลงทุนหุน้ กบั บริษทั หนึงจาํ นวน หุน้ มลู ค่าหุน้ ละ บาท อตั ราปัน ผล % สินปี เขาจะไดเ้ งินปันผลเท่าไร วธิ ีทํา เงินปันผลต่อ = อตั ราเงินปันผล  มลู ค่าหุน้ =1% 10 = 12  100 = 1 บาท จินตนามีหุน้ หุน้  จะไดร้ ับเงินปันผล = 1  = , 00 บาท

113 . ทกั ษะการคาํ นวณภาษเี งนิ ได้บุคคลธรรมดา ตวั อย่าง นายโชคดีไดร้ ับเงินเดือนๆ ละ , บาท สินปี สามารถหกั ค่าใชจ้ ่ายไดร้ ้อยละ ของเงินไดพ้ งึ ประเมนิ แต่ไม่เกิน , บาท หกั ค่าลดหยอ่ นผมู้ เี งินได้ , บาท หกั ค่าเบียประกนั ชีวิต , บาท หกั ดอกเบียเงินกยู้ มื เพอื ซือบา้ น , บาท สินปี นายโชคดียนื แบบแสดงรายการภาษีเงินไดบ้ ุคคลธรรมตอ้ งชาํ ระภาษีหรือไม่ ถา้ ชาํ ระ ตอ้ งชาํ ระภาษีเป็นเงินเท่าไร วธิ ที าํ เงินไดพ้ งึ ประเมนิ ของนายโชคดี = 8,000  = 6, บาท หกั ค่าใชจ้ ่าย ร้อยละ ของเงินไดพ้ ึงประเมิน แต่ไมเ่ กนิ , บาท ค่าใชจ้ ่าย 40  456,000 = , บาท 100 แต่ค่าใชจ้ ่ายของนายโชคดีคาํ นวณได้ , บาท แต่สามารถหกั ไดแ้ ค่ , บาท เท่านนั หัก ค่าลดหยอ่ นผมู้ ีเงินได้ , บาท ค่าเบียประกนั ชีวติ , บาท ดอกเบียเงินกยู้ มื เพือซือบา้ น , บาท รวม หกั ค่าลดหยอ่ นได้ = , + , + , = , บาท เงินไดส้ ุทธิของนายโชคดี = เงินไดพ้ ึงประเมิน – (ค่าใชจ้ ่าย + หกั ค่าลดหยอ่ น) = , –( , + , ) = , บาท ตามตารางอตั ราการเสียภาษีเงินไดบ้ คุ คลธรรมดา เงินไดส้ ุทธิ – , บาท ไมต่ อ้ งเสียภาษี ส่วนทีเกิน , – , บาท เสียภาษี % นายโชคดีมเี งินไดส้ ุทธิทีตอ้ งเสียภาษี = , – , = , บาท =, 5 = , . บาท  นายโชคดีเสียภาษี , . บาท  100

114 ตารางอตั ราภาษีเงนิ ได้บคุ คลธรรมดา เงินได้สุทธิ ช่วงเงนิ ได้สุทธิ อตั ราภาษี (%) - 5 , บาทแรก , ไดร้ ับยกเวน้ % , - , บาทแรก , 10% 15% , - , บาทแรก , 20% 25% , - , บาทแรก , 30% 35% 750,001 – , , บาทแรก , 1,000,001 – , , บาทแรก ,, 2,000,001 – , , บาทแรก ,, ตงั แต่ , , บาทขึนไป ขอ้ มลู ณ วนั ที ธนั วาคม กิจกรรมบทที แบบฝึ กหัดที . นางสมหมายเป็นตวั แทนขายเครืองกรองนาํ ทีมรี าคา , บาท ใหก้ บั บริษทั แห่งหนึง บริษทั คิดค่า นายหนา้ % อยากทราบว่านางสมหมายไดเ้ งินค่านายหนา้ เท่าไร . สมใจถือหุน้ ปุริมสิทธิของบริษทั ผลติ ปลากระป๋ องแห่งหนึง จาํ นวน หุน้ มลู ค่าหุน้ ละ บาท อตั ราเงินปันผล % เมอื สินปี สมใจนจะไดเ้ งินปันผลทงั หมดเท่าไร ดูเฉลยกจิ กรรมท้ายเล่ม

115 แบบทดสอบหลงั เรียน . ขอ้ ใดเป็นจาํ นวนตรรกยะ . กาํ หนดให้ A = {2, 4} ก. 3 ขอ้ ใดต่อไปนีไม่ถูกต้อง ข. 5 ก. {2}  A ค. 7 ข. {2, 4}  A ง. 9 ค. เซตวา่ งเป็นสบั เซตของ A ง. จาํ นวนสบั เซตทงั หมดของ A เท่ากบั 2. ขอ้ ใดต่อไปนีไม่ถกู ตอ้ ง . ขอ้ ใดถูกต้อง B ก. 22 เป็นจาํ นวนตรรกยะ ก. A แทน (A  B) 7 ข. . ... เป็นจาํ นวนตรรกยะ ค. . ... เป็นจาํ นวนอตรรกยะ ง. . ... เป็นจาํ นวนอตรรกยะ . จงหาค่าของ 48  108 ก. 10 3 ข. 10 5 ข. A B ค. 24 3 แทน A ง. 24 5 . 12x 2 เมอื x > 0 ทาํ ใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งง่าย ค. A B ตรงกบั ขอ้ ใด ง. A แทน A  B ก. 3x 2 ข. 2x 2 B ค. 2x 3 แทน A  B ง. 2x 5 5. 3 2a2  3 4a ทาํ ใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งง่าย ตรงกบั ขอ้ ใด ก. 2a ข. 4a ค. 2a2 ง. a

8. ถา้ A = {1, 2, 3, 4….} 116 และ B = {{1}, {2}, 6, 7, 8….} แลว้ A – B มีสมาชิกกีตวั . จงหาค่าของ cos 45  sin 60 ก. ตวั ข. ตวั sin 45  cos30 ค. ตวั ง. ตวั ก. ข. . พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี ค. วนั จนั ทร์ สุดาทานขา้ วกบั ไข่ตม้ ง. – วนั องั คาร สุดาทานขา้ วกบั ไข่เจียว วนั พุธ สุดาทานขา้ วกบั ไข่ตุ๋น . แดงยนื บนหนา้ ผาแห่งหนึง จากจดุ ทีเขา สงั เกตสูงกวา่ ระดบั นาํ ทะเล เมตร สรุปวา่ สุดาทานขา้ วกบั ไข่ทุกวนั เมือมองลงไปทีเรือลาํ หนึงซึงจอดอยกู่ ลาง จากขอ้ ความขา้ งตน้ เป็นการใหเ้ หตุผลแบบใด ทะเล โดยมมุ มแี นวสายตาเท่ากบั แนวระดบั ก. อุปนยั เป็นมุมกม้ องศา จงหาวา่ เรือลาํ นีจอดอยู่ ข. นิรนยั ห่างจากหนา้ ผาประมาณกีเมตร ค. ปรนยั ก. 60 เมตร ง. อตั นยั 3 . กาํ หนดเหตุ . สร้อยสุดาเป็นนกั กีฬาวอลเลยบ์ อล ข. 60 3 เมตร . นกั กีฬาวอลเลยบ์ อลบางคนอารมณ์ดี ค. 20 เมตร ใชแ้ ผนภาพ เวนน์ – ออยเลอร์ เขียนเหตุที 3 กาํ หนดไดก้ ีแบบ ก. ง. 20 3 เมตร ข. ค. ง.

. ภาพในขอ้ ใดเป็นการสะทอ้ นตามแกน y 117 ก. 14. จากภาพไอโซเมตริก ขอ้ ใดเป็นภาพดา้ นบน ทีถกู ตอ้ ง ข. ก. ค. ข. ง. ค. ง.

15. ตารางแจกแจงความถี แสดงจาํ นวนนกั เรียน 118 ในช่วงอายตุ ่างๆ ของนกั เรียนกลุม่ หนึงเป็น ดงั นี . โยนลกู เต๋า ลกู ครัง ความน่าจะเป็นที ลกู เต๋าหงาย มผี ลบวกนอ้ ยกว่า ช่วงอายุ (ปี ) ความถี (f) เท่ากบั เท่าใด 1–5 4 ก. 1 6 – 10 9 3 11 – 15 2 ข. 1 16 – 20 5 4 อายเุ ฉลียของนกั เรียนกลมุ่ นี ค. 1 เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี ก. ปี 6 ข. . ปี ค. ปี ง. 1 ง. . ปี 8 . กาํ หนดใหข้ อ้ มลู ชุดหนึง คือ 10, 3, x, 6, 6 ถา้ ค่าเฉลยี เลขคณิตของขอ้ มลู ชุดนี มคี ่า . นายวมิ ลเป็นตวั แทนขายเครืองอปุ กรณ์ เท่ากบั แลว้ x มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี เกียวกบั การเกษตรราคา , บาท ใหก้ บั ก. เกษตรกร บริษทั ไดค้ ่านายหนา้ % อยาก ข. ทราบว่า นายวิมลไดค้ ่านายหนา้ เท่าไร ค. ก. , ง. ข. , ค. , . กล่องใบหนึงมีลกู บอลขนาดเดียวกนั ง. , เป็นสีแดง ลกู เป็นสีขาว ลกู สุ่มหยบิ ลกู บอล ลกู ขึนมาพร้อมกนั ความน่าจะเป็นที . นรินทร์เป็นพนกั งานขายอปุ กรณก์ ารกีฬาได้ จะไดล้ กู บอลสีเดียวกนั เท่ากบั เท่าใด ค่าตอบแทนเดือนละ , บาท ไมม่ ี ครอบครัว สินปี หกั ค่าใชจ้ ่าย ร้อยละ ของ ก. 1 เงินไดพ้ ึงประเมนิ แต่ไมเ่ กิน , บาท หกั ลดหยอ่ นผมู้ ีเงินได้ , บาท สินปี ยนื 2 แบบแสดงรายการภาษีเงินไดบ้ ุคคลธรรมดา ตอ้ งชาํ ระภาษีหรือไม่ ถา้ ชาํ ระตอ้ งชาํ ระ ข. 2 เท่าไร (เงินไดพ้ ึงประเมนิ – , บาท ยกเวน้ การเสียภาษี , – , บาท 3 เสียภาษีในอตั รา %) ก. ชาํ ระภาษี , บาท ค. 3 ข. ชาํ ระภาษี , บาท ค. จ่ายเพมิ อีก บาท 4 ง. ไม่ตอ้ งชาํ ระภาษี ง. 2 5 ดูเฉลยแบบทดสอบท้ายเล่ม

119 ภาคผนวก

120 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน ขอ้ ข ขอ้ ก ขอ้ ง ขอ้ ข ขอ้ ข ขอ้ ค ขอ้ ง ขอ้ ก ขอ้ ข ขอ้ ก ขอ้ ค ขอ้ ก ขอ้ ก ขอ้ ค ขอ้ ก ขอ้ ข ขอ้ ค ขอ้ ข ขอ้ ง ขอ้ ก เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน ขอ้ ง ขอ้ ค ขอ้ ก ขอ้ ค ขอ้ ก ขอ้ ง ขอ้ ค ขอ้ ค ขอ้ ก ขอ้ ข ขอ้ ข ขอ้ ข ขอ้ ข ขอ้ ง ขอ้ ค ขอ้ ค ขอ้ ง ขอ้ ค ขอ้ ข ขอ้ ข

121 เฉลยกิจกรรมบทที เฉลยแบบฝึ กหัดที 2) [2, 7] 3) [-1, 4) ) (1, 6) 5) (3,  ) 6) (-  , 5) 4) (-1, 6] 8) (-  , -2] 7) [-1,  ) เฉลยแบบฝึ กหัดที เฉลยกจิ กรรมบทที 2 . ) จาํ นวนตรรกยะ 6) จาํ นวนตรรกยะ ) จาํ นวนตรรกยะ 7) จาํ นวนอตรรกยะ ) จาํ นวนตรรกยะ 8) จาํ นวนอตรรกยะ ) จาํ นวนอตรรกยะ 9) จาํ นวนตรรกยะ ) จาํ นวนตรรกยะ ) จาํ นวนตรรกยะ 2. 1) a8 6) 1 ) b7 23 ) a12 )2 7) 1 ab 5 9 ) x7 y5 ) เฉลยแบบฝึ กหัดที 2) 3 3) 2 4) 2 6) 2 . 1) 4 3 5) 4 7) 5 8) -2

122 2. 1) 6 2)  2 3) 2 4) 23 3 5 3 7 3 เฉลยแบบฝึ กหัดที . )7 3 ) 10 5 ) 83 7 )2 2 5) 4 2 )3 . )6 2 )9 5 ) 62 ) 113 2 . )2 3 )  24 10 ) ) ) 1 )3 2 3 2 3 เฉลยกจิ กรรมบทที 3 เฉลยแบบฝึ กหัดที 1. จงเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก 1) A เป็นเซตชือของปี นกั ษตั ร A = {ชวด, ฉล,ู ขาล, เถาะ, มะโรง, มะเส็ง, มะเมีย, มะแม, วอก, ระกา, จอ, กนุ } 2) M = {x | x N และ 5 ≤ x ≤ 10} M = {5, 6, 7, 8, 9, 10} 3) P = {x | x เป็นพยญั ชนะในคาํ วา่ philippine} P = {p, h, i, l, n, e} 2. จงเขียนเซตแบบบอกเงือนไข 1) N = {มกราคม, มีนาคม, พฤษภาคม, กรกฎาคม, สิงหาคม, ตุลาคม, ธนั วาคม} N = {x | x เป็นเดือนทีลงทา้ ยดว้ ยคม} 2) B = {2, 4, 6, 8, 10} B = {x | xN และ ≤ x ≤ 10} 3) D = เป็นเซตของจาํ นวนเตม็ ตงั แต่ – และ หารลงตวั D = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} 3. กาํ หนดให้ U = {x | xN และ x ≤ 15} A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} C = {3, 6, 9, 12, 15}

123 จงหา = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14} 1) A  B = {3} 2) A  C = {2, 4, 8, 10, 14} 3) B – C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} 4) B = {3, 6, 12} 5) (A  B)  C = {1, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15} 6) (A B)  - C 4. จากการสอบถามเดก็ ผชู้ าย คน ชอบของเล่นทีเป็นรถสีแดง คน สีฟ้ า คน สีเขียว คน ชอบ ทงั สีแดงและสีเขียว คน ชอบทงั สีฟ้ าและสีเขียว คน ชอบสีแดงและสีฟ้ า คน ชอบทงั สามสี คน จงหาวา่ เดก็ ทีชอบของเล่นทีเป็นรถเพยี งสีเดียวมกี ีคน วธี ีทาํ A = ชอบสีเขียว คน B = ชอบสีฟ้ า คน C = ชอบสีแดง คน สเี ขยี ว A B สฟี ้ า U 23 1 73 1 สแี ดง C จาํ นวนเดก็ ผชู้ ายทีชอบของเลน่ ทีเป็นรถเพยี งสีเดียว = 23 + 1 + 1 = 52 คน เฉลยกิจกรรมบทที 5 เฉลยแบบฝึ กหัดที 1. จงหาว่าอตั ราส่วนตรีโกณมิติทกี าํ หนดใหต้ ่อไปนี เป็นค่าไซน์ (sin) หรือโคไซน์ (cos) หรือแทนเจนต์ (tan) ของมุมทีกาํ หนดให้ C 1) sin As= b b c b a 2) tan A = a B A c

124 3) sin Bs= a c b 4) cos Bc = c 2. จงหาค่า a และ b จากรูปทกี าํ หนดให้ AA 4504  ABC เป็นสามเหลียมมมุ ฉาก a 52 cos BAˆC = cos 45 = AB BB AC DD 630๐0 4504 1 = 5a2 CC 2 bb  a =5 เนืองจาก  ABC เป็น  หนา้ จวั  AB = BC = 5  ABD เป็นสามเหลียมมุมฉาก tan ADˆB = tan 300 = AB BD 1 5 3 = b b =5 3 3. จงหาค่าของ 1) sin 30 – cos 30 + sin 60 – cos 60 + tan 45 1 3 3  1  1 1 2 2 2 2 2) tan2 45– sin 30  cosec260 = 12   1   2 2  2     3  = 1   1   4   2   3 

125 = 1 3 3) sin30 cosec2 30  cos60 sec2 60 tan2 45 sin 30 = 1  2 2  1 2 2 8 2 2 1  2 12  4) sin2 60 cos2 60 2cos2 30 tan2 45  sec 60 =  3 2 1 2  2 3  2 2 2 2         12 3 7 3 = 1 4  4 1 4 4. มานะยนื ห่างจากตกึ เมตร มองเห็นยอดตกึ เป็นมมุ เงย 45 และเห็นเสาอากาศทีตงั อยบู่ นยอดตึก เป็นมมุ เงย 60 จงหาว่าเสาอากาศสูงจากตึกเท่าไร (กาํ หนด 3 = 1.73) D ABC เป็น หนา้ จวั BC = AB = 20 3 .ให้ DC สูง x เมตร C DB = 20 3 + x เมตร tan A = DB AB 60 B tan 60 = 20 3  x A 45 20 3 20 3 ม. 3 = 20 3  x 20 3 20  3 = 20 3  x

126 x = 20  3 - 20 3 = 20 (3 – 1.73) = 20  1.27 = 25.40 เสาอากาศสูงจากตกึ ประมาณ . เมตร เฉลยกจิ กรรมบทที เฉลยแบบฝึ กหัดที 1. กาํ หนดมมุ สีเหลยี มมุมฉากดงั รูป ก. (ตอบ สีเหลยี มผนื ผา้ ) BDEG) ข. (ตอบ องศา) ค. (ตอบ แนวทแยง) ง. (ตอบ BDE รูป ประกอบกนั เป็น 2. จงเขียนรูปคลีของทรงสามมติ ิต่อไปนี ตอบ รูปคลีของทรงสามมติ ิต่อไปนี

รูปต้นแบบ 127 รูปคลี รูปต้นแบบ รูปคลี รูปต้นแบบ รูปคลี เฉลยกจิ กรรมบทที

128 เฉลยแบบฝึ กหัดที . ค่าเฉลีย x  560 . = 28 20 มธั ยฐาน i) เรียงขอ้ มลู x) ตาํ แหน่งของมธั ยฐาน = n 1 = 10.5 2 28  28 มธั ยฐาน = 2 = 28 ฐานนิยม และ . ตารางแสดงคะแนนของนกั เรียน คะแนน ความถี (f1) จดุ กงึ กลาง (xi) fi xi ความถีสะสม 18 – 23 – 28 – 33 – 38 – 43 – f  n   fx 1240 . ค่าเฉลยี เลขคณิต (x ) = fx = 1240 = 31 f 40 ค่าเฉลยี เลขคณิต คือ 31 2. มธั ยฐาน : N  80  20  มธั ยฐานอยใู่ นขนั 28 – 32 2 2 อนั ตรภาคชนั ทีมมี ธั ยฐานอยคู่ ือ 28 – 32 มี i = 5 , Lo = 27.5 ,  f =

129 N   fi   จากสูตร Md Lo  i  2    fm    Md 27.5  5 20  10 27.5 3.33  30.83    15   มธั ยฐานเท่ากบั . . ฐานนิยม : ฐานนิยมอยใู่ นชนั 28 – 32 (ชนั ทีมีความถีสูงสุด) จากสูตร Mo  Lo  i  d d1 d     1  2  เมือ Lo = . , d1 = 15 – = , d2 = 15 – =4 , i=5 Mo  27.5  5 7 7 4   30.68     ฐานนิยมเท่ากบั .68 เฉลยแบบฝึ กหัดที . ) กาํ ไร ลา้ นบาท . ) กาํ ไร ลา้ นบาท . ) กาํ ไร ลา้ นบาท . ) กาํ ไร ลา้ นบาท 1. 1) . ) กาํ ไร ลา้ นบาท . ) กาํ ไร ลา้ นบาท ) เดือน เม.ย. ) เดือน ม.ค. ) เดือน ก.พ. เดือน ม.ี ค. เดือน พ.ค. ) ไม่มี . การเลอื กขอ้ มลู มาใชป้ ระกอบการตดั สินใจตอ้ งอาศยั หลกั การใดบา้ ง . เชือถอื ได้ . ครบถว้ น . ทนั สมยั . ขอ้ มลู ต่างกบั สารสนเทศ อยา่ งไร จงอธิบายพร้อมยกตวั อยา่ งประกอบดว้ ย

130 ขอ้ มลู หมายถงึ ขอ้ เท็จจริง หรือเหตุการณ์ทีกียวขอ้ งกบั สิงต่างๆ เช่น บุคคล สิงของ สถานที ฯลฯ ขอ้ มลู เป็นเรืองเกียวกบั เหตุการณ์ทีเกดิ ขึนอยา่ งต่อเนือง ขอ้ มลู ถกู ตอ้ งแมน่ ยาํ ครบถว้ นขึนอยู่ กบั ผดู้ าํ เนินการทีใหค้ วามสาํ คญั ของความรวดเร็วของการเก็บขอ้ มลู สารสนเทศ เกิดจากการนาํ ขอ้ มลู ผา่ นระบบการประมวล คาํ นวณ วิเคราะหแ์ ละแปล ความหมายเป็นขอ้ ความทีสามารถนาํ ไปใชป้ ระโยชน์ได้ เฉลยกจิ กรรมบทที เฉลยแบบฝึ กหัดที . นางสมหมายเป็นตวั แทนขายเครืองกรองนาํ ทีมรี าคา , บาท ใหก้ บั บริษทั แห่งหนึง บริษทั คดิ ค่า นายหนา้ % อยากทราบว่านางสมหมายไดเ้ งินค่านายหนา้ เท่าไร แนวคิด 35,000 × 30 = 10,500 บาท 100 . สมใจถือหุน้ ปุริมสิทธิของบริษทั ผลิตปลากระป๋ องแห่งหนึง จาํ นวน หุน้ มลู ค่าหุน้ ละ บาท อตั ราเงินปันผล % เมอื สินปี สมใจจะไดเ้ งินปันผลทงั หมดเท่าไร แนวคิด 8 × 180 × 200 = 2,880 100 บาท

131

132

133 คณะผ้จู ดั ทาํ ทีปรึกษา จาํ จด เลขาธิการ กศน. นายสุรพงษ์ รัตนฉายา รองเลขาธิการ กศน. นายกิตติศกั ดิ หอมดี รองเลขาธิการ กศน. นายประเสริฐ คณะผ้เู ขยี นสรุปเนอื หา ผอู้ าํ นวยการกลมุ่ พฒั นาระบบการทดสอบ นางพรรณทิพา ชินชชั วาล ขา้ ราชการบาํ นาญ นางพรทิพย์ กลา้ รบ ขา้ ราชการบาํ นาญ นางกนกวลี อุษณกรกลุ ขา้ ราชการบาํ นาญ นายวฒุ ิชยั ศรีวสุธากุล โรงเรียนสายนาํ ผงึ ในพระอุปถมั ภฯ์ นายรณชยั มาเจริญทรัพย์ คณะทํางาน ผอู้ าํ นวยการสถาบนั การศึกษาทางไกล นายคมกฤช จนั ทร์ขจร รองผอู้ าํ นวยการสถาบนั การศึกษาทางไกล นางกิตติยา รัศมีพงศ์ สถาบนั การศึกษาทางไกล นางพชิ ญา นยั นิตย์ สถาบนั การศกึ ษาทางไกล นางสาวสวรรค์ พลฉกรรณ์ สถาบนั การศึกษาทางไกล นางสาวประภารัช ทิพยส์ งเคราะห์ สถาบนั การศึกษาทางไกล นายเกรียงไกร มหาโชคดิลก ผ้พู มิ พ์ต้นฉบบั สถาบนั การศึกษาทางไกล นางสาวประภารัช ทิพยส์ งเคราะห์ สถาบนั การศกึ ษาทางไกล นายเกรียงไกร มหาโชคดิลก ผ้อู อกแบบปก กลุ่มพฒั นาการศึกษานอกระบบและ นายศภุ โชค ศรีรัตนศลิ ป์ การศึกษาตามอธั ยาศยั

134