คณิตศาสตร์ ม.ปลาย พค31001

46 เรืองที 1 การให้เหตุผล การใหเ้ หตุผลมคี วามสาํ คญั เพราะการดาํ เนินชีวติ ของคนเราไมว่ ่าจะเป็นความเชือ การโตแ้ ยง้ และการตดั สินใจ เราจาํ เป็นตอ้ งใชเ้ หตุผลประกอบทงั สิน การใหเ้ หตุผล แบ่งเป็น ประเภท ไดแ้ ก่ การใหเ้ หตุผลแบบอปุ นยั และการใหเ้ หตุผลแบบนิรนยั 1.1 การให้เหตผุ ลแบบอปุ นยั ( Inductive Reasoning ) การใหเ้ หตุผลแบบอุปนยั หมายถงึ การสรุปทีไดจ้ ากการใชส้ งั เกต หรือการทดลองมาแลว้ หลายๆ ครัง แลว้ นาํ บทสรุปมาเป็นความรู้แบบทวั ไป หรือการใหเ้ หตุผลแบบอปุ นยั หมายถึง การให้ เหตุผลโดยยดึ ความจริงส่วนยอ่ ยทีพบเห็นไปสู่ความจริงส่วนใหญ่ ตวั อย่างการให้เหตผุ ลแบบอปุ นัย . มนุษยส์ งั เกตพบวา่ : ทุก ๆวนั ดวงอาทิตยข์ ึนทางทิศตะวนั ออก และตกทางทิศตะวนั ตก จึงสรุปว่า : ดวงอาทิตยข์ ึนทางทิศตะวนั ออก และตกทางทิศตะวนั ตกเสมอ 2. สุนทรี พบวา่ ทุกครังทีคณุ แมไ่ ปซือก๋วยเตียวผดั ไทยจะมตี น้ กยุ ช่ายมาดว้ ยทุกครัง จึงสรุปวา่ ก๋วยเตียวผดั ไทยตอ้ งมีตน้ กยุ ช่าย ตวั อย่างการให้เหตผุ ลแบบอปุ นัยทางคณติ ศาสตร์ 1. จงใชก้ ารใหเ้ หตุผลแบบอุปนยั สรุปผลเกียวกบั ผลบวกของจาํ นวนค่สู องจาํ นวน + = 2 (จาํ นวนค่)ู + = 6 (จาํ นวนค่)ู + = 10 (จาํ นวนค่)ู + = 14 (จาํ นวนค่)ู + = 18 (จาํ นวนค่)ู สรุปผลว่า ผลบวกของจาํ นวนคู่สองจาํ นวนเป็นจาํ นวนคู่

47 2. 11 11 = 121 11 111 = 12321 1111 1111 = 1234321 11111 11111 = 123454321 3. (1  9) + 2 = 11 (12  9) + 3 = 111 (123  9) + 4 = 1111 (1234  9) + 5 = 11111 ขอ้ สงั เกต 1) ขอ้ สรุปของการใหเ้ หตุผลแบบอปุ นยั อาจจะไมจ่ ริงเสมอไป 2) การสรุปผลของการใหเ้ หตุผลแบบอปุ นยั อาจขึนอยกู่ บั ประสบการณข์ องผสู้ รุป 3) ขอ้ สรุปทีไดจ้ ากการใหเ้ หตุผลแบบอปุ นยั ไม่จาํ เป็นตอ้ งเหมือนกนั ตวั อยา่ ง 1. กาํ หนด จาํ นวน 2, 4, 6 , a จงหา จาํ นวน a จะได้ a = 8 . กาํ หนด จาํ นวน 2, 4, 6 , a จงหา จาํ นวน a จะได้ a = 10 เพราะวา่ 4 + 6 = 10 3. กาํ หนด จาํ นวน 2, 4, 6, a จงหา จาํ นวน a จะได้ a = 22 เพราะว่า 6 = (2  4) -2 และ 22 = (4  6) -2 4) ขอ้ สรุปของการใหเ้ หตุผลแบบอุปนยั อาจ ผดิ พลาดได้ ตวั อยา่ ง ให้ f(n) = n2 - 79n + 1601 ทดลองแทนค่าจาํ นวนนบั n ใน f(n) n = 1 ได้ f(1) = 1523 เป็นจาํ นวนเฉพาะ n = 2 ได้ f(2) = 1447 เป็นจาํ นวนเฉพาะ n = 3 ได้ f(3) = 1373 เป็นจาํ นวนเฉพาะ  f(n) = n2 - 79n + 1601

48 แทนค่า n ไปเรือยๆ จนกระทงั แทน n = 79 ได้ f(79) เป็นจาํ นวนเฉพาะ จากการทดลองดงั กลา่ ว อาจสรุปไดว้ ่า n2 - 79n + 1601 เป็นจาํ นวนเฉพาะ สาํ หรับทุกจาํ นวนนบั แต่ f(n) = n2 - 79n + 1601 f(80) = 802 - (79)(80) + 1601 = 1681 = (41)(41)  f(80) ไม่เป็นจาํ นวนเฉพาะ 1.2. การให้เหตุผลแบบนิรนยั (Deductive reasoning) เป็น การนาํ ความรู้ ขอ้ ตกลง กฏ หรือบทนิยามทียอมรับวา่ เป็นจริง เพอื หาเหตุผลนาํ ไปสู่ ขอ้ สรุป การใหเ้ หตุผลแบบนิรนยั ไมไ่ ดค้ าํ นึงถงึ ความจริงหรือความเท็จ แต่จะคาํ นึงถงึ เฉพาะขอ้ สรุปที ตอ้ งออกมาไดเ้ ท่านนั พจิ ารณากระบวนการการใหเ้ หตุผลแบบนิรนยั จากแผนภาพดงั นี

49 ตวั อยา่ งการใหเ้ หตุผลแบบนิรนยั 1. เหตุ 1) จาํ นวนคู่หมายถงึ จาํ นวนทีหารดว้ ย 2 ลงตวั 2) 10 หารดว้ ย2 ลงตวั ผล 10 เป็นจาํ นวนคู่ 2. เหตุ 1) คนทีไม่มหี นีสินและมเี งินฝากในธนาคารมากกวา่ 10 ลา้ นบาท เป็นเศรษฐี 2) คุณมานะไมม่ ีหนีสินและมเี งินฝากในธนาคาร 11 ลา้ นบาท ผล คุณมานะเป็นเศรษฐี 3. เหตุ 1) นกั กีฬากลางแจง้ ทุกคนจะตอ้ งมีสุขภาพดี 2) เกียรติศกั ดิเป็นนกั ฟตุ บอลทีมชาติไทย ผล เกียรติศกั ดิมีสุขภาพดี จากตวั อยา่ งจะเห็นวา่ การยอมรับความจริงบางอยา่ งก่อน แลว้ จึงหาขอ้ สรุปจากสิงทียอมรับแลว้ นนั ซึงเรียกวา่ ผล การสรุปผลจะถกู ตอ้ งก็ต่อเมอื เป็นการสรุปผลไดอ้ ยา่ งสมเหตุสมผล(valid) เช่น เหตุ 1) เรือทุกลาํ ลอยนาํ 2) ถงั นาํ พลาสติกลอยนาํ ได้ ผล ถงั นาํ พลาสติกเป็นเรือ การสรุปผลจากขา้ งตน้ ไมส่ มเหตุสมผล แมว้ ่าขอ้ อา้ งหรือเหตุทงั สองขอ้ จะเป็นจริง แต่การทีเรา ทราบ วา่ เรือทุกลาํ ลอยนาํ ไดก้ ็ไมไ่ ดห้ มายความวา่ สิงอนื ๆ ทีลอยนาํ ไดจ้ ะตอ้ งเป็นเรือเสมอไป ขอ้ สรุปใน ตวั อยา่ งขา้ งตน้ จึงเป็นการสรุปทีไมส่ มเหตุสมผล ขอ้ สงั เกต . เหตุเป็นจริง และ ผลเป็นจริง เหตุ ปลาทุกตวั มเี หงือก สตั วม์ ีเหงือกทุกตวั เป็นสตั วน์ าํ ผล ดงั นนั ปลาเป็นสตั วน์ าํ . เหตุเป็นเท็จ และ ผลเป็นเทจ็ เหตุ ชา้ งออกลกู เป็นไข่ สตั วอ์ อกลกู เป็นไข่เป็นสตั วน์ าํ ผล ชา้ งเป็นสตั วน์ าํ . เหตุอาจเป็นจริงและผลอาจเป็นเท็จ . ผลสรุปสมเหตุสมผลไมไ่ ดป้ ระกนั วา่ ขอ้ สรุปจะตอ้ งเป็นจริงเสมอไป

50 เรืองที 2 การอ้างเหตุผลโดยใช้แผนภาพของเวนน์- ออยเลอร์ ออยเลอร์ เป็นนกั คณิตศาสตร์ชาวสวสิ เซอร์แลนด์ มชี ีวติ อยรู่ ะหว่าง ค.ศ. 1707 - 1783 เขาไดค้ น้ พบ วิธีการตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใชร้ ูปปิ ด เช่น วงกลม ซึงเป็นวธิ ีการทีง่าย และรวดเร็ว แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ทีใชใ้ นการใหเ้ หตุผลมี แบบ ดงั นี แบบที เหตุและผล แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ สมาชิกของ A ทุกตวั เป็นสมาชิกของ B B เช่น A แทนเซตของคนไทย A B แทนเซตของคนกลุ่มอาเซียน ไม่มีสมาชิกของ A ใดๆ เป็นสมาชิกของ B เช่น A แทนเซตของคนไทย B แทนเซตของคนยโุ รป AB มีสมาชิกของ A บางส่วน เป็นสมาชิกของ B A B เช่น A แทนเซตของคนไทย B แทนเซตของคนนบั ถือศาสนาพุทธ มสี มาชิกของ A บางส่วน ไมเ่ ป็นสมาชิกของ B A B เช่น A แทนเซตของคนชอบเล่นกีฬา A B B แทนเซตของคนอว้ น a มีสมาชิกของ A หนึงสมาชิก ทีเป็นสมาชิกของ B A เช่น A แทนเซตของจาํ นวนคู่ Aa a B B แทนเซตของจาํ นวนเฉพะ B a =2 มีสมาชิกของ B บางตวั ทีเป็นสมาชิกของ A และ a เป็นสมาชิกของ A เช่น B แทนเซตของคนไทย A แทนเซตของคนนบั ถือศาสนาพทุ ธ a หมวิ นบั ถอื ศาสนาพุทธ

51 ตวั อยา่ ง การตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการใหเ้ หตุผลโดยใชแ้ ผนภาพ . เหตุ 1 : คนทุกคนเป็นสิงทีมีสองขา 2 : ตาํ รวจทุกคนเป็นคน ผลสรุป ตาํ รวจทุกคนเป็นสิงทีมสี องขา จากเหตุ 1 จากเหตุ 2 แผนภาพรวม จากแผนภาพจะเห็นว่า วงของ \" ตาํ รวจ \" อยใู่ นวงของ \" สิงมี 2 ขา \" แสดงว่า \" ตาํ รวจทกุ คนเป็นคน มสี องขา \" ซึงสอดคลอ้ งกบั ผลสรุปทีกาํ หนดให้ ดงั นนั การใหเ้ หตุผลนีสมเหตุสมผล 2. เหตุ 1 : สุนขั บางตวั มขี นยาว : มอมเป็นสุนขั ของฉนั ผลสรุป มอมเป็นสุนขั ทีมขี นยาว ดงั นนั ผลสรุปทีวา่ มอมเป็นสุนขั ทีมขี นยาว ไม่สมเหตุสมผล

52 บทที 5 อัตราส่วนตรีโกณมิตแิ ละการนําไปใช้ สาระสําคญั 1. ถา้ รูปสามเหลียมคู่ใดคลา้ ยกนั อตั ราส่วนของดา้ นทีอยตู่ รงขา้ มมมุ ทีเท่ากนั จะเท่ากนั 2. ในรูปสามเหลยี มมมุ ฉากทุกรูป อตั ราส่วนความยาวดา้ น 2 ดา้ น จะถกู กาํ หนดค่าต่างๆไวด้ งั นี 2.1 ค่าไซน์ของมมุ ใด (sine) จะเท่ากบั อตั ราส่วนระหวา่ งความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ กบั ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก 2.2 ค่าโคไซนข์ องมุมใด (cosine) จะเท่ากบั อตั ราส่วนระหวา่ งความยาวดา้ นประชิตมุมกบั ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก 2.3 ค่าแทนเจนตข์ องมุมใด (tangent) จะเท่ากบั อตั ราส่วนระหวา่ งความยาวของดา้ นตรง ขา้ มมุมกบั ความยาวของดา้ นประชิตมมุ นนั ๆ 3. นอกจากอตั ราส่วนตรีโกณมิติหลกั 3 ค่านีแลว้ ส่วนกลบั ของ sine, cosine และ tangent เรียกว่า cosecant, secant และ cotangent ตามลาํ ดบั 4. อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิของมุม 30, 45 และ 60 องศา มคี ่าเฉพาะของแต่ละอตั ราส่วน 5. การแกป้ ัญหาโจทยท์ ีเกยี วขอ้ ง โดยเฉพาะการนาํ ไปใชแ้ กป้ ัญหาเกียวกบั การวดั ระยะทางและ ความสูงจะใชอ้ ตั ราส่วนตรีโกณมิติในการช่วยหาคาํ ตอบ ผลการเรียนรู้ทีคาดหวงั 1. อธิบายการหาค่าอตั ราส่วนตรีโกณมิติได้ 2. หาค่าอตั ราส่วนตรีโกณมติ ิของมุม 300 , 600 และ 450 ได้ 3. นาํ อตั ราส่วนตรีโกณมิติไปใชแ้ กป้ ัญหาเกียวกบั ระยะทาง ความสูง และการวดั ได้ ขอบข่ายเนอื หา อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ เรืองที อตั ราส่วนตรีโกณมิตขิ องมุม 30, 60 และ 45 องศา เรืองที การนาํ อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ ไปใชแ้ กป้ ัญหาเกียวกบั ระยะทาง ความสูง และการวดั เรืองที

53 เรืองที อตั ราส่วนตรีโกณมิติ อตั ราส่วนตรี โกณมิติเป็ นเรื องของการหาความสัมพนั ธ์ระหว่างด้าน มุม และพืนทีของรูป สามเหลียม มีความสาํ คญั ต่อวิชาดาราศาสตร์ การเดินเรือ และงานสาํ รวจใชใ้ นการคาํ นวณส่วนสูงของภูเขา และหาความกวา้ งของแม่นาํ มีประโยชน์มากสาํ หรับวิชาวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และการศึกษา เกียวกบั วตั ถุ ซึงมสี ภาพเป็นคลืน เช่น แสง เสียง แม่เหลก็ ไฟฟ้ าและวทิ ยุ . ความรู้เดมิ ทตี ้องนาํ มาใช้ในบทเรียนนี 1) สมบตั ิสามเหลียมคลา้ ย พิจารณารูปสามเหลยี มสองรูปทีมีขนาดของมุมเท่ากนั 3 คู่ ดงั นี ถา้ รูปสามเหลยี ม รูป มีมุมเท่ากนั มมุ ต่อมมุ ทงั คู่ แลว้ สามเหลยี ม รูปนีจะคลา้ ยกนั ดงั รูป รูปที B รูปที Y a x c z Ab C XyZ จากรูปกาํ หนด Aˆ = Xˆ , Bˆ = Yˆ , Cˆ = Zˆ ดงั นนั รูปสามเห ลยี ม ABC คลา้ ยกบั รูปสามเหลียม XYZ และจากสมบตั ิการคลา้ ยกนั ของ รูป สามเหลยี มจะไดผ้ ลตามมาคือ AB BC AC หรือ abc XY  YZ  XZ xyz เมอื a, b, c เป็นความยาวของดา้ น BC, AC และ AB ตามลาํ ดบั ในสามเหลียม ABC x, y, z เป็นความยาวของดา้ น YZ, XZ และ XY ตามลาํ ดบั ในสามเหลยี ม XYZ จาก a  b หรือจะไดว้ า่ ax หรือจะไดว้ า่ by xy หรือจะไดว้ า่ by bc cz yz ax a c cz xz

54 2) สมบตั ิสามเหลียมมมุ ฉาก ถา้ ให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี มมุมฉาก ทีมี C เป็นมมุ ฉาก c a b ให้ ดา้ นทีอยตู่ รงขา้ มมุมฉากหรือมมุ C ยาว c หน่วย ดา้ นทีอยตู่ รงขา้ มมมุ A ยาว a หน่วย ดา้ นทีอยตู่ รงขา้ มมุม B ยาว b หน่วย จะไดค้ วามสมั พนั ธร์ ะหว่างความยาวของดา้ นทงั สามของรูปสามเหลยี มมุมฉากดงั นี c2  a2  b2 เมือ c แทนความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก คือมมุ C a และ b แทนความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก คือมมุ A และมุม B ตวั อย่าง 1) จงหาความยาว a จากรูปสามเหลียมมุมฉากทีกาํ หนดให้ a 52 = a2 + 32 a2 + 9 = 25 3 5 a2 = 16 ดงั นนั a = 4 2) จงหาความยาว m จากรูปสามเหลียมมมุ ฉากทีกาํ หนดให้ 5 m2 = 52 + 122 = 25 + 144 12 = 169 m ดงั นนั m = 13

55 ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส ปี ทาโกรัสไดศ้ กึ ษาคน้ ควา้ เกยี วกบั ความสมั พนั ธร์ ะหว่างดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากและดา้ นประกอบมมุ ฉากของสามเหลยี มมุมฉาก ซึงมใี จความว่า ในสามเหลยี มมมุ ฉากใดๆ พนื ทีของสีเหลยี มจตั ุรัสบนดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก จะเท่ากบั ผลบวกของพนื ทีสีเหลียมจตั ุรัสบนดา้ นประกอบมมุ ฉาก . อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ เป็นเรืองเกียวกบั อตั ราส่วนของความยาวของดา้ นของรูปสามเหลยี มมุมฉาก ดงั นี . ไซน์ (sine) ของมุมใดๆ เท่ากบั อตั ราส่วนของความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม ต่อความยาวของดา้ น ตรงขา้ มมมุ ฉาก (sine A เรียกยอ่ วา่ sin A) 2. โคไซน์ (cosine) ของมมุ ใดๆเท่ากบั อตั ราส่วนของความยาวของดา้ นประชิดมมุ ต่อความยาวของ ดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก (cosine A เรียกยอ่ ว่า cos A) 3. แทนเจนต์ (tangent) ของมมุ ใดๆ เท่ากบั อตั ราส่วนของความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ต่อความยาว ของดา้ นประชิดมมุ (tangent A เรียกยอ่ ว่า tan A) กาํ หนดรูปสามเหลยี ม ABC มี C เป็นมุมฉาก B ca A C Ab

56 อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิของมมุ A sin A = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A = a c ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก cos A = ความยาวของดา้ นประชิดมมุ A b ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก = c ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A =a tan A = ความยาวของดา้ นประชิดมุม A b ส่วนกลบั ของอตั ราส่วนตรีโกณมติ ิมชี ือเรียก ดงั นี cosec A = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก = c ความยาวของดา้ นประชิดมมุ A a sec A = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก = c ความยาวของดา้ นประชิดมมุ A b cot A = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A =b ความยาวของดา้ นประชิดมุมA a ตวั อย่าง กาํ หนดรูปสามเหลยี มมมุ ฉาก ABC มมี มุ C เป็นมุมฉาก มคี วามยาวดา้ นทงั สาม ดงั รูป B จงหาค่าต่อไปนี 1. sin A, cos A และ tan A 6 หนวย 2. sin B, cos B และ tan B A 8 หนวย C วิธีทาํ กาํ หนด ABC เป็นรูปสามเหลียมมุมฉาก มีมุม C เป็นมุมฉาก จากทฤษฎีบทปี ทาโกรัส จะไดว้ า่ AB2 = AC2 + BC2 แทนค่า AC = 8 , BC = 6 ดงั นนั AB2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100 = 10 × 10 หรือ 102 นนั คือ AB = 10

57 (1) หาค่า sin A, cos A และ tan A โดยการพจิ ารณาทีมมุ A sin A  ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมA BC 6 3   ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก AB 10 5 cosA  ความยาวของดา้ นประชิดมมุ A AC 8 4   ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก AB 10 5 tan A  ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A BC 6 3   ความยาวของดา้ นประชดิ มมุ A AC 8 4 (2) หาค่า sin B, cos B และ tan B โดยการพิจารณาทีมมุ B sin B  ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมB AC 8 4   ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก AB 10 5 cos B  ความยาวของดา้ นประชิดมมุ B BC 6 3   ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก AB 10 5 tan B  ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมB AC 8 4   ความยาวของดา้ นประชดิ มุมB BC 6 3

58 เรืองที การหาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิตขิ องมุม , 45 และ 60 องศา . การหาค่าอตั ราส่วนตรีโกณมติ ิของมมุ และ 60 องศา พจิ ารณารูปสามเหลียมดา้ นเท่า ABD มดี า้ นยาวดา้ นละ หน่วย ดงั นี AB 300 300 300 22 2 60 60 60 C B D A 1C 1 1 จากรูปสามเหลียมดา้ นเท่า ABD ลาก AC แบ่งครึง มุม A เสน้ แบ่งครึงมุม A จะตงั ฉากกบั BD ทีจุด C โดยใชห้ ลกั ของสมบตั ิของสามเหลยี มคลา้ ย ABC และ ADC จะได้ BC = CD = 1 หน่วย ดงั รูป จากสามเหลียมมมุ ฉาก ABC ใชค้ ุณสมบตั ิของทฤษฎีปี ทาโกรัสไดด้ งั นี B AB2 = AC2 + BC2 300 22 = 12 + BC2 2 4 = 1 + BC2 BC2 = 4 – 1 =3 60 C BC = 3 A 1 อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิของมมุ ๐ พิจารณาทีมมุ A จะไดด้ งั นี B sin ๐ = 3 ; cosec ๐ = 2 2 3 cos 60๐ = 1 ; sec 60๐ = 2 22 3 A tan 60๐ = 3 = 3 ; cot 60๐ = 1 1 3 60 C A 1

59 อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิของมมุ 30๐ พจิ ารณาทีมมุ B จะไดด้ งั นี sin ๐ = 1 ; cosec ๐ = 2 ; 2 sec 30๐ = 2 cos 30๐ = 3 3 2 cot 30๐ = 3 tan 30๐ = 1 ; 3 . การหาค่าอตั ราส่วนตรีโกณมิติของมมุ องศา B 45 ๐ 1 45 C A๐1 พจิ ารณารูปสามเหลียมมมุ ฉาก ABC มีมมุ C เป็นมุมฉาก และมีมุม A = มมุ B = 45๐ จะไดว้ า่ AC  BC = หน่วย จากรูปสามเหลียมมุมฉาก ABC ใชค้ ุณสมบตั ิของทฤษฎีปีทาโกรัสไดด้ งั นี AB2 = AC2 + BC2 AB2 = 12 + 12 =2  AB = 2 อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิของมมุ 45๐ จะไดด้ งั นี 45 sin ๐ = 1 หรือ 2 ; cosec ๐ = 2 2 2 2 2 ; sec ๐ = 2 2 ; cot ๐ = 1 1 cos 45๐ = 1 หรือ 30 tan 45๐ = 2 1 1

60 ตวั อย่าง จงหาค่าต่อไปนี 1) sin 30๐ sin ๐ + cos 30๐ cos ๐ ) (cos 30๐) + (sin 30๐) 3) tan2 30๐ + 2sin 60๐ + tan 45๐ – tan 60๐ + cos2 30๐ ) cos ๐ – tan2 45๐ + 4 tan2 30๐ + cos2 30๐ – sin 30๐ 3 5) sin 45  tan 45 cos 45 วิธีทาํ 1) sin 30๐ sin ๐ + cos 30๐ cos ๐ =  1   3    3   1   3 3  2 3  3  2   2   2   2  44 4 2   2 2  2) (cos 30๐) + (sin 30๐) = 3   1   31  4 1 2  2  44 4   2 2  3    2   3) tan2 30๐ + 2sin 60๐ + tan 45๐ – tan 60๐ + cos2 30๐ = 1  3 1 3 3 2 2 = 1  3 1 3  3 34 = 25 12 4) cos ๐ – tan2 45๐ + 4 tan2 30๐ + cos2 30๐ – sin 30๐ = 1  (1) 2  4  1 2   3 2  1 2 3  3  2  2 3  = 1 1 4  3  1 2 942 =7 36 1 5) sin 45  tan 45 = 2 1  1  2 1  110 cos 45 1 21 2 ตวั อย่าง จงหาค่าของ a และ b จากรูปสามเหลียมทีกาํ หนดใหต้ ่อไปนี B วิธีทาํ sin 30๐ BC  AB 1 10 a แทนค่า sin 30๐ = 2 ; BC = a และ AB = 10 30๐ 1 = a A 2 10 1 b C a  10 2

61 =5 cos 30๐ = AC AB แทนค่า cos 30๐ = 3 ; AC = b และ AB = 10 2 3 = b 2 10 b  10 3 2 =5 3 ตวั อย่างที กาํ หนดรูปสามเหลยี มมมุ ฉาก ABC มีมุม C เป็นมมุ ฉาก และ sec A = 5 จงหา 3 (1) cos A (2) tan A (3) cosec A (4) sin B ( ) cot B และ ( ) sec B วธิ ีทาํ B 5 กาํ หนด sec A = 5 3 เนืองจาก sec A = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก ความยาวของดา้ นประชิดมมุ A จากรูป AB = 5 และ AC = 3 และ จะได้ BC2 + AC2 = AB2 A C BC2 + 32 = 52 3 BC2 = 25 – 9 = 16 BC = 4 จะไดค้ ่าอตั ราส่วนตรีโกณมิติดงั นี (1) cos A = 3 = 5 B (2) tan A = 5 4 5 (3) cosec A = 4 3 4 1 sin A (4) sin B = 3 A C 3 5 (5) cot B = 4 3 (6) sec B = 5 4

62 เรืองที การนําอัตราส่วนตรีโกณมิตไิ ปใช้แก้ปัญหาเกียวกบั การวดั ระยะทางและความสูง อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิมปี ระโยชน์มากในการหาความยาว ระยะทางหรือส่วนสูงโดยทีทราบค่ามมุ ใด มมุ หนึง และความยาวของดา้ นใดดา้ นหนึงของรูปสามเหลยี มมมุ ฉาก แลว้ จะสามารถหาดา้ นทีเหลือได้ คาํ ทเี กยี วข้องกบั การนาํ อตั ราส่วนตรีโกณมติ ไิ ปใช้ เส้นระดบั สายตา คือ เสน้ ทีขนานกบั แนวพนื ราบ มุมก้ม คือ มมุ ทีแขนขา้ งหนึงของมมุ อยตู่ าํ กวา่ ระดบั สายตา มุมเงย คือ มุมทีแขนขา้ งหนึงอยสู่ ูงกวา่ เสน้ ระดบั สายตา ตวั อย่างที 1 สมพรยนื อยหู่ ่างจากบา้ นหลงั หนึงเป็นระยะทาง เมตร เขาเห็นเครืองบิน เครืองหนึง บินอยเู่ หนือหลงั คาบา้ นพอดี และแนวทีเขามองเป็นมุมเงย 0 องศา จงหาวา่ เครืองบิน อยสู่ ูงจากพนื ดินกีเมตร 30๐ 90 m วิธีทาํ tan 0 = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ 30 ความยาวของดา้ นประชิดมุม30 1 = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม30 3 90 ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ๐= 90  90 3  90 3  30 3 3 3 3 3 ดงั นนั ความสูงของเครืองบินอยหู่ ่างจากพนื ดิน 30 3 เมตร

63 ตวั อย่างที 2 บนั ไดยาว 50 ฟุต พาดอยกู่ บั กาํ แพง ปลายบนั ไดถึงขอบกาํ แพงพอดี ถา้ บนั ไดทาํ มุม 600 กบั กาํ แพง จงหาวา่ ระยะทางระหวา่ งเชิงบนั ไดกบั กาํ แพงยาวกฟี ุต 60๐ วธิ ีทาํ sin 600 = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม60 ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก 3 = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม60 2 50 ความยาวของดา้ นประชดิ มมุ 60  50 3 = 25 3 2 ดงั นนั ระยะระหวา่ งบนั ไดกบั กาํ แพงเท่ากบั 25 3 ฟตุ

64 ตวั อย่างที 3 สมพรยนื อยบู่ นหนา้ ผาแห่งหนึง ซึงสูงจากระดบั นาํ ทะเล 50 เมตร เขามองไปยงั เรือลาํ หนึงกลาง ทะเล เป็นมุมกม้ 30 องศา เรือลาํ นีอยหู่ ่างจากฝังโดยประมาณกีเมตร วิธีทาํ ให้ A เป็นตาํ แหน่งทีสมพรยนื อยู่ AC แทนความสูงของหนา้ ผาจากนาํ ทะเล คือ 50 เมตร BC เป็นระยะทีเรืออยหู่ ่างจากฝัง เนืองจาก AD // BC จะได้ CBˆA  DAˆB  300 ABC เป็นรูปสามเหลยี มมมุ ฉาก จะไดว้ า่ tan300  AC BC 1 50 3  BC BC  50 3  50 1.732 BC  86.6 ดงั นนั เรืออยหู่ ่างจากฝังประมาณ เมตร

65 กจิ กรรมบทที แบบฝึ กหัดที 1. จงหาวา่ อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิทกี าํ หนดใหต้ ่อไปนี เป็นค่าไซน์ (sin) หรือโคไซน์ (cos) หรือแทนเจนต์ (tan) ของมุมทีกาํ หนดให้ C 1) ………………. A= b b c a b a 2) ………………. A= B A 3) ………………. B = a c c 4) ………………. B= b c 2. จงหาค่า a และ b จากรูปทีกาํ หนดให้ 50 52 a 00 50 3. จงหาคา่ ของ 1) sin 30 – cos 30 + sin 60 – cos 60 + tan 45 2) tan2 45– sin 30  cosec260 3) sin30 cosec2 30  cos60 sec2 60 tan 2 45 sin 30 4) sin2 60  cos2 60 2cos2 30 tan2 45  sec60

66 4. มานะยนื ห่างจากตกึ เมตร มองเห็นยอดตกึ เป็นมมุ เงย 45 และเห็นเสาอากาศทีตงั อยบู่ นยอดตึกเป็น มุมเงย 60 จงหาว่าเสาอากาศสูงจากตึกเท่าไร (กาํ หนด 3 = 1.73) D C 60 B A 45 20 3 ม. ดูเฉลยกิจกรรมท้ายเล่ม

67 บทที 6 การใช้เครืองมือและการออกแบบผลิตภณั ฑ์ สาระสําคญั 1. การเลอื กใชเ้ ครืองมอื ต่างๆ ในการสร้างรูปเรขาคณิต 2. การออกแบบวสั ดุหรือครุภณั ฑ์ อาคารทีพกั อาศยั หรืออาคารสาํ นกั งานต่างๆ ในชวี ิตประจาํ วนั จะ เกียวขอ้ งกบั รูปแบบ การเลอื นขนาน การหมุน และการสะทอ้ น 3. การออกแบบบรรจุภณั ฑส์ ินคา้ ทีดี สวยงาม น่าสนใจ จะช่วยในการการเพิมมลู ค่าของสินคา้ นนั ๆ ได้ ผลการเรียนรู้ทีคาดหวงั 1. สร้างรูปเรขาคณิตโดยใชเ้ ครืองมือได้ 2. อธิบายความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งรูปตน้ แบบ และรูปทีไดจ้ ากการเลือนขนาน การสะทอ้ นและการหมุนได้ 3. นาํ สมบตั ิเกียวกบั การเลือนขนาน การหมุน และการสะทอ้ น จากการแปลงทางคณิตศาสตร์และทาง เรขาคณิต ไปใชใ้ นการออกแบบ งานศิลปะได้ ขอบข่ายเนอื หา เรืองที การสร้างรูปทางเรขาคณิตโดยใชเ้ ครืองมอื เรืองที การแปลงทางเรขาคณิต 2.1 การเลือนขนาน (Translation) 2.2 การหมนุ (Rotation) 2.3 การสะทอ้ น (Reflection)

68 เรืองที การสร้างรูปเรขาคณติ โดยใช้เครืองมือ . รูปเรขาคณติ สองมติ ิ สามารถสร้างไดโ้ ดยใชส้ นั ตรง เช่น ไมบ้ รรทดั ฟตุ เหลก็ ไมฉ้ าก ไมท้ ี เพอื วดั ความยาว ใชไ้ มโ้ ปรแทรกเตอร์ เพือวดั มุม หรือขนาดของมุม ใชว้ งเวยี น เพอื ประกอบการ สร้างเสน้ โคง้ ทีแทนความยาวรอบวงกลม หรือช่วยในการสร้างมมุ ทีมีขนาดทีตอ้ งการ สมบตั ติ ่าง ๆ ของรูปเรขาคณติ และความสัมพนั ธ์ระหว่างรูปเรขาคณติ . รูปสีเหลยี มผนื ผ้า D BC ) มีมุมทงั สีเป็นมมุ ฉาก 2) ดา้ นทีอยตู่ รงขา้ มกนั ยาวเท่ากนั และขนานกนั สองคู่ ) เสน้ ทแยงมมุ แบ่งครึงกนั และกนั ) พนื ทีของสีเหลยี มผนื ผา้ = ความยาวของดา้ นกวา้ ง x ความยาวของดา้ นยาว ) ความยาวรอบรูปของสีเหลียมผนื ผา้ = ( × ความยาวของดา้ นกวา้ ง ) + ( × ความยาวของดา้ นยาว) 2. รูปสีเหลยี มจตั รุ ัส ) มุมทงั สีเป็นมุมฉาก ) ดา้ นทงั สียาวเท่ากนั ) เสน้ ทแยงมุมแบ่งครึง และตงั ฉากกนั ซึงกนั และกนั ) พนื ทีของรูปสีเหลียมจตั ุรัส = ความยาวดา้ น × ความยาวดา้ น หรือ 1  ผลคูณของ 2 ความยาวเสน้ ทแยงมุม

69 . รูปสีเหลยี มด้านขนาน ) มีดา้ นตรงกนั ยาวเท่ากนั และขนานกนั สองคู่ ) เสน้ ทแยงมมุ แบ่งครึงกนั และกนั แต่ยาวไม่เท่ากนั ) พนื ทีของรูปสีเหลียมดา้ นขนาน = ความยาวฐาน × ส่วนสูง . รูปสีเหลยี มขนมเปี ยกปนู ) มดี า้ นตรงขา้ มกนั ขนานกนั สองคู่ ) ดา้ นทงั สียาวเท่ากนั ) เสน้ ทแยงมมุ แบ่งครึงซึงกนั และกนั และตงั ฉากกนั ) พนื ทีรูปสามเหลยี มขนมเปี ยกปนู = ความยาวฐาน × ส่วนสูง หรือ 1  ผลคูณของ 2 ความยาวของเสน้ ทแยงมมุ 5. รูปสีเหลยี มรูปว่าว ) มดี า้ นประชิดกนั ยาวเท่ากนั คู่ ) เสน้ ทแยงมุมสองเสน้ ตงั ฉากกนั ) เสน้ ทแยงมุมแบ่งครึงซึงกนั และกนั แต่ยาวไมเ่ ท่ากนั ) พนื ทีของรูปสีเหลยี มรูปว่าว = 1  ผลคูณของความยาวของเสน้ ทแยงมมุ 2

70 6. รูปสีเหลยี มคางหมู ) มีดา้ นขนานกนั คู่ 1 2 ) พนื ทีของรูปสีเหลยี มคางหมู = × ผลบวกของความยาวของดา้ นคู่ขนาน × ส่วนสูง . รูปวงกลม O ) ระยะทางจุดศนู ยก์ ลางไปยงั เสน้ รอบวงเป็นระยะทีเท่ากนั เสมอ เรียกวา่ รัศมีของวงกลม (r) ) เสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางยาวเป็น เท่าของรัศมี (r) ) พนื ทีวงกลม = r2 ) ความยาวเสน้ รอบรูปของวงกลม 2r 1.2 รูปเรขาคณติ สามมติ ิ รูปเรขาคณิตสามมิติสามารถแสดงรูปร่างซึงมที งั ความกวา้ ง ความยาว ความสูง หรือความหนา ตวั อยา่ งรูปทรงเรขาคณิตสามมิติ เช่น ปริซึม เป็นรูปสามมติ ิทีมีหนา้ ตดั หวั ทา้ ยเป็นรูปเหลยี มเท่ากนั ทุกประการและขนานกนั และผวิ ดา้ นขา้ ง เป็นรูปสีเหลยี มผนื ผา้ เช่น ปริซึมสามเหลียม ปริซึมสีเหลยี ม ปริซึมหา้ เหลยี ม

71 พรี ะมดิ เป็นรูปเรขาคณิตสามมติ ิทีมียอดแหลม ผวิ ดา้ นขา้ งเป็นรูปสามเหลียม สูงเอียง พีระมดิ ฐานสีเหลียม พีระมิดฐานสามเหลียม ตวั อยา่ งรูปเรขาคณิตสามมติ ิทีพบเห็นในชีวติ ประจาํ วนั เช่น ตูเ้ ยน็ เป็นรูปทรงสีเหลยี มมมุ ฉาก หรือปริซึมสีเหลียม กระป๋ องของปลากระป๋ อง เป็นรูปทรงกระบอก ไอศกรีม เป็นรูปกรวยกลม เป็นตน้ 1.3 การคลรี ูปเรขาคณติ สามมติ ิ ภาพทไี ด้จะเป็ นภาพของรูปเรขาคณติ สองมติ ิ เช่น การคลรี ูป ปริซึมทรงสีเหลยี มมมุ ฉากรูปทรงปี ระมดิ สีเหลยี มมมุ ฉาก การคลีรูปพรี ะมดิ ฐานสีเหลยี ม

72 . การตดั ขวางรูปเรขาคณติ สามมติ ิ เมือนาํ ระนาบมาตดั ขวางรูปทรงเรขาคณิตสามมิติในแนวตา่ งๆ กนั ภาพทีเกิดขึนจะมีลกั ษณะต่างๆ กนั เช่น กรวยกลม เมอื ตดั ดว้ ยระนาบในแนวขนานกบั ฐานกรวย จะไดภ้ าพสองมิติเป็นรูปวงกลม กรวยกลม เมอื ตดั ดว้ ยระนาบในแนวตงั ฉากกบั ฐานกรวย จะไดภ้ าพเป็นรูปพาลาโบลา กรวยกลม เมือตดั ดว้ ยระนาบทีไมข่ นานกบั ฐานและไมต่ งั ฉากกบั ฐาน จะไดภ้ าพเป็นวงรี 1.5 มมุ มองของรูปเรขาคณติ สามมติ ิ รูปเรขาคณิตทีพบเห็นในชีวติ ประจาํ วนั มรี ูปร่างและสิงทีมองเห็นจากการเปลียนมุมมองแต่ละดา้ น แตกต่างกนั เช่น รูป

73 . รูปเรขาคณติ สามมติ ทิ ีเกดิ จากการหมนุ รูปเรขาคณติ สองมติ ิ ) รูปสามเหลยี มหนา้ จวั ABC มีแกน EF เป็นแกนสมมาตร ถา้ นาํ รูปสามเหลียมหนา้ จวั ABC หมนุ รอบแกนสมมาตร EF จะเห็นเป็นรูปเรขาคณิตสามมติ ิ “กรวยกลม” ) แผน่ กระดาษแข็งรูปวงกลม เป็นรูปเรขาคณิตสองมิติ ถา้ ใชเ้ สน้ ผา่ นศนู ยก์ ลาง yyเป็นแกน หมุนรูปเรขาคณิตสามมิติทีเกิดจากการหมุนจะเห็นเป็นลกั ษณะ “ทรงกลม” 3) กระดาษรูปสีเหลียมผนื ผา้ เป็นรูปเรขาคณิตทีมีแกนสมมาตรสองแกน จะเหน็ เป็น จะเหน็ เป็น

74 . การเขยี นภาพของรูปเรขาคณติ สามมติ ิ การเขียนภาพของรูปเรขาคณิตสามมิติอยา่ งง่ายอาจใชข้ นั ตอนดงั ในตวั อยา่ งต่อไปนี . การเขียนภาพของทรงกระบอก ขันที เขียนวงรีแทนหนา้ ตดั ทีเป็นวงกลมและเขียนส่วนของเสน้ ตรงสองเสน้ แสดงส่วนสูงของ ทรงกระบอก ดงั รูป ขันที เขียนวงรีทีมขี นาดเท่ากบั วงรีทีใชใ้ นขนั ที แทนวงกลมซึงเป็นฐานของทรงกระบอก และเขียนเสน้ ประแทนเสน้ ทึบตรงส่วนทีถกู บงั 2. การเขียนภาพของปริซึม ขันที เขียนทรงกระบอกตามวิธีการขา้ งตน้ ขันที กาํ หนดจดุ บนวงรีดา้ นบนเพือใชเ้ ป็นจุดยอดของรูปสีเหลียมทีเป็นฐานของปริซึมตาม ตอ้ งการแลว้ ลากส่วนของเสน้ ตรงเชือมต่อจุดเหล่านนั ขันที เขียนส่วนสูงของปริซึมจากจุดยอดของรูปเหลยี มทีไดใ้ นขนั ที มาตงั ฉากกบั วงรี ดา้ นล่าง ขันที เขียนส่วนของเสน้ ตรงเชือมจุดบนวงรีทีไดใ้ นขนั ที และลบรอยส่วนโคง้ ของวงรี จะ ไดร้ ูปหลายเหลยี มทีเป็นฐานของปริซึม แลว้ เขียนเสน้ ประแทนดา้ นทีถกู บงั

75 3. การเขียนภาพของทรงสีเหลียมมมุ ฉาก ขันที เขียนรูปสีเหลยี มมมุ ฉาก รูป ขันที เขียนรูปสีเหลียมมมุ ฉากขนาดเท่ากนั กบั รูปในขนั ที อีก รูป ใหอ้ ยใู่ นลกั ษณะทขี นาน กนั และเหลอื มกนั ประมาณ องศา ดงั รูป ขันที ลากส่วนของเสน้ ตรงเชือมต่อจุดใหไ้ ดท้ รงสีเหลยี มมุมฉาก ขันที เขียนเสน้ ประแทนดา้ นทีถกู บงั สาํ หรับการเขียนภาพของกรวย ทรงกลม และพีระมิดกส็ ามารถเขียนไดโ้ ดยใชว้ ธิ ีการเดยี วกนั กบั ขา้ งตน้ ซึงมีขนั ตอนดงั นี . การเขียนภาพของกรวย . การเขียนภาพของทรงกลม . การเขียนภาพของพรี ะมิดฐานหกเหลยี ม

76 นอกจากจะใชว้ ธิ ีการดงั กล่าวขา้ งตน้ ในการเขียนภาพของรูปเรขาคณิตสามมติ ิแลว้ อาจใชก้ ระดาษที มีจุดเหมอื นกระดานตะปู (Geoboard) หรือกระดาษจุดไอโซเมตริก (Isometric dot paper) ช่วยในการเขียน ภาพนนั ๆ กระดาษทีมจี ุดเหมือนกระดานตะปู กระดาษจุดไอโซเมตริก การเขียนภาพของรูปเรขาคณิตสองมติ ิบนกระดาษทีมจี ดุ เหมือนกระดานตะปู ดงั ตวั อยา่ ง นอกจากนียงั นิยมเขียนภาพของรูปเรขาคณิตสามมิติบนกระดาษจุดไอโซเมตริก ภาพของรูป เรขาคณิตสามมติ ิทีเขียนอยใู่ นลกั ษณะนีเรียกวา่ ภาพแบบไอโซเมตริก การเขียนภาพแบบไอโซเมตริกบนกระดาษจุดไอโซเมตริกจะเขียนส่วนของเสน้ ตรงทีเป็นดา้ นกวา้ ง ดา้ นยาว ตามแนวของจุดซึงเอียงทาํ มุมขนาด องศา กบั แนวนอนและเขียนส่วนของเสน้ ตรงทีเป็นส่วนสูง ตามแนวของจดุ ในแนวตงั ดงั ตวั อยา่ ง

77 เรืองที 2 การแปลงทางเรขาคณิต เป็นคาํ ศพั ทท์ ีใชเ้ รียกการดาํ เนินการใดๆทางเรขาคณิต ทงั ในสองมิติและสามมิติ เช่น การเลอื น ขนาน การหมุน การสะทอ้ น . การเลอื นขนาน (Translation) การเลือนขนานตอ้ งมรี ูปตน้ แบบ ทิศทางและระยะทางทีตอ้ งการเลือนรูป การเลือนขนานเป็ น การแปลงทีจบั คู่จุดแต่ละจุดของรูปตน้ แบบกบั จุดแต่ละจุดของรูปทีไดจ้ ากการเลือนรูปตน้ แบบไปในทิศทาง ใดทิศทางหนึงดว้ ยระยะทางทีกาํ หนด จุดแต่ละจุดบนรูปทีไดจ้ ากการเลือนขนานจะห่างจากจุดทีสมนยั กนั บนรู ปต้นแบบเป็ นระยะทางเท่ากัน การเลือนในลักษณะนีเรี ยกอีกอย่างหนึงว่า “สไลด์ (slide)” ดงั ตวั อยา่ งในภาพที 1 และภาพที 2 รูปตน้ แบบ ภาพที รูปตน้ แบบ ภาพที

78 .2 การหมนุ (Rotation) การหมุนจะตอ้ งมีรูปตน้ แบบ จุดหมนุ และขนาดของมมุ ทีตอ้ งการในรูปนนั การหมุนเป็ นการแปลง ทีจบั คู่จุดแต่ละจุดของรูปตน้ แบบกบั จุดแต่ละจุดของรูปทีไดจ้ ากการหมุน โดยทีจุดแต่ละจุดบนรูปตน้ แบบ เคลือนทีรอบจุดหมุนดว้ ยขนาดของมมุ ทีกาํ หนด จุดหมนุ จะเป็นจุดทีอยนู่ อกรูปหรือบนรูปกไ็ ด้ การหมุนจะ หมุนทวนเขม็ นาฬกิ าหรือตามเขม็ นาฬิกากไ็ ด้ โดยทวั ไปเมือไม่ระบุไวก้ ารหมนุ รูปจะเป็ นการหมุนทวนเข็ม นาฬกิ า บางครังถา้ การหมนุ ตามเขม็ นาฬกิ า อาจใชส้ ญั ลกั ษณ์ -x๐ หรือ ถา้ การหมนุ ทวนเขม็ นาฬิกา อาจใชส้ ญั ลกั ษณ์ x๐ C B จากรูป เป็นการหมุนรูปสามเหลยี ม ABC ใน รูปตน แบบ ลกั ษณะทวนเขม็ นาฬกิ า โดยมจี ุด O เป็นจุดหมุน ซึง B จุดหมนุ เป็นจดุ ทีอยนู่ อกรูปสามเหลยี ม ABCรูป ABC เป็นรูปทีไดจ้ ากการหมนุ 90๐ และจะได้ A วา่ ขนาดของมุม AOA เท่ากบั 90๐ C A BOB เท่ากบั 90๐ และ COC เท่ากบั 90๐ 2.3 การสะท้อน (Reflection) การสะทอ้ นตอ้ งมีรูปตน้ แบบทีตอ้ งการสะทอ้ นและเส้นสะทอ้ น (Reflection line หรือ Mirror line) การสะทอ้ นรูปขา้ มเสน้ สะทอ้ นเสมือนกบั การพลิกรูปขา้ มเสน้ สะทอ้ นหรือการดูเงาสะทอ้ นบน กระจกเงาทีวางบนเสน้ สะทอ้ น การสะทอ้ นเป็นการแปลงทีมกี ารจบั คู่กนั ระหว่างจดุ แต่ละจุดบนรูปตน้ แบบ กบั จุดแต่ละจุดบนรูปสะทอ้ น โดยที 1. รูปทีเกิดจากการสะทอ้ นมีขนาดและรูปร่างเช่นเดิม หรือกลา่ ววา่ รูปทีเกิดจากการสะทอ้ น เท่ากนั ทุกประการกบั รูปเดิม O 2. เสน้ สะทอ้ นจะแบ่งครึงและตงั ฉากกบั ส่วนของเสน้ ตรงทีเชือมระหวา่ งจุดแต่ละจุดบนรูป ตน้ แบบกบั จุดแต่ละจุดบนรูปสะทอ้ นทีสมนยั กนั นนั คือระยะระหวา่ งจดุ ตน้ แบบและเสน้ สะทอ้ นเท่ากบั ระยะระหวา่ งจุดสะทอ้ นและเสน้ สะทอ้ น

79 ตวั อยา่ ง m AP A B B รูปตน้ แบบ C C จากรูป รูปสามเหลียม ABCเป็ นรูปสะทอ้ นของรูปสามเหลียม ABC ขา้ มเส้นสะทอ้ น m รูปสามเหลียม ABC เท่ากนั ทุกประการกบั รูปสามเหลียม ABC ส่วนของเส้นตรง AAตงั ฉากกบั เสน้ สะทอ้ น m ทีจุด P และระยะจากจุด A ถงึ เสน้ m เท่ากบั ระยะจากเสน้ m ถึงจุด A ( APPA )

80 กจิ กรรมบทที แบบฝึ กหัดที 1. กาํ หนดมุมในรูปสีเหลยี มมุมฉากดงั รูป ก. รูปสีเหลียม ABCD เป็นรูปสีเหลยี มชนิดใด ข. BDˆ E มขี นาดกีองศา ค. รูปสีเหลียม BDEG เกิดจากการใชร้ ะนาบตดั ทรงรูปสีเหลยี มมมุ ฉากตามแนวใด ง. รูปสามเหลียม BDE เกียวขอ้ งกบั รูปสีเหลยี ม BDEG อยา่ งไร 2. จงเขียนรูปคลขี องทรงสามมติ ิต่อไปนี ดูเฉลยกิจกรรมท้ายบท

81 บทที 7 สถิตเิ บอื งต้น สาระสําคญั 1. ขอ้ มลู สถิติ หมายถึง ตวั เลขหรือขอ้ ความทีแทนขอ้ เทจ็ จริงของลกั ษณะทีเราสนใจ 2. ระเบียบวิธีการทางสถิติ จะประกอบไปดว้ ย การเก็บรวบรวมขอ้ มลู การนาํ เสนอขอ้ มูล การ วิเคราะห์และการตีความของขอ้ มลู 3. การเก็บรวบรวมขอ้ มลู หมายถึง กระบวนการกระทาํ เพือจะใหไ้ ดข้ อ้ มูลทีตอ้ งการศึกษาภายใต้ ขอบเขตทีกาํ หนด 4. การนาํ เสนอขอ้ มลู ทีเก็บรวบรวมมา จะมี 2 แบบ คือ การนาํ เสนออยา่ งเป็ นแบบแผนและการ นาํ เสนออยา่ งไมเ่ ป็นแบบแผน 5. การวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลาง เป็นการหาค่ากลางดว้ ยวิธีต่าง ๆ กนั เพอื ใชเ้ ป็นตวั แทนของขอ้ มลู ทงั ชุด ค่ากลางทีนิยมใชม้ ี 3 วิธี ค่าเฉลียเลขคณิต ค่ามธั ยฐานและค่าฐานนิยม ผลการเรียนรู้ทคี าดหวงั 1. อธิบายขนั ตอนการวิเคราะหข์ อ้ มลู เบืองตน้ และสามารถนาํ ผลการวิเคราะห์ขอ้ มูลเบืองตน้ ไปใชใ้ น การตดั สินใจได้ 2. เลือกใชค้ ่ากลางทีเหมาะสมกบั ขอ้ มลู ทีกาํ หนดและวตั ถุประสงคท์ ีตอ้ งการได้ 3. นาํ เสนอขอ้ มลู ในรูปแบบต่างๆรวมทงั การอ่านและตีความหมายจากการนาํ เสนอขอ้ มลู ได้ ขอบข่ายเนือหา เรืองที การวิเคราะหข์ อ้ มลู เบืองตน้ เรืองที การหาค่ากลางของขอ้ มลู โดยใชค้ ่าเฉลียเลขคณิต มธั ยฐานและฐานนิยม เรืองที การนาํ เสนอขอ้ มลู

82 เรืองที 1 การวเิ คราะห์ข้อมูลเบืองต้น สถติ (Statistics) มีความหมาย อยา่ ง คือ ) สถิต หมายถึง ค่าทีไดจ้ ากการประมวลจากขอ้ มูลเบืองตน้ ในลกั ษณะ สรุปรวบยอด ใชเ้ ป็ น ตวั แทนของชุดขอ้ มลู ) สถติ ิ หมายถึง ระเบียบวธิ ีการทีเกียวขอ้ งกบั การจดั กระทาํ ขอ้ มลู เริมตงั แต่ การเก็บรวบรวมขอ้ มลู การนาํ เสนอขอ้ มลู การวเิ คราะหข์ อ้ มลู และการตีความหรือแปลความหมายขอ้ มลู การจาํ แนกชนดิ ของข้อมลู มดี งั นี ) ขอ้ มูลเชิงคุณภาพ เป็ นขอ้ มลู ทีแสดงถึง คุณสมบตั ิ สภาพ สถานะ หรือความคิดเห็น เช่น ความสวย ระดบั การศกึ ษา เพศ อาชีพ เป็นตน้ ) ขอ้ มลู เชิงปริมาณ เป็น ขอ้ มลู ทีแสดงจาํ นวนมากหรือนอ้ ย เป็นตวั เลข เช่นขอ้ มลู ทีเกิดจากการชงั ตวง วดั ซึงค่าของขอ้ มลู ทีนาํ ปริมาณมาเปรียบเทียบกนั ได้ เช่น ความยาว นาํ หนกั ส่วนสูง ) ขอ้ มลู จาํ แนกตามเวลา เป็นขอ้ มลู ทีแสดงขอ้ เท็จจริงตามช่วงระยะเวลาต่างๆ ) ขอ้ มลู จาํ แนกตามภมู ิศาสตร์ เป็นขอ้ มลู แยกตามสภาพทอ้ งถนิ เช่น แยกตามจงั หวดั การเกบ็ รวบรวมข้อมลู จาํ แนกการเกบ็ จากแหลง่ ทีมาของขอ้ มลู มี ประเภท คือ ) ขอ้ มูลปฐมภูมิ (Primary data) หมายถึง ขอ้ มูลทีรวบรวมมาจากผูใ้ ห้หรือแหล่งทีเป็ นข้อมูล โดยตรง เช่น การสาํ รวจนบั จาํ นวนพนกั งานในบริษทั แห่งหนึง เป็นตน้ มีวธิ ีเก็บรวบรวมดงั นี ( ) การสมั ภาษณ์ ( ) การสอบถามทางไปรษณีย์ ( ) การสอบถามทางโทรศพั ท์ ( ) การสงั เกต ( ) การทดลอง ) ขอ้ มลู ทุติยภูมิ (Secondary data) หมายถึง ขอ้ มลู ทีรวบรวมหรือเก็บมาจากแหล่งขอ้ มูลทีมีการ รวบรวมไวแ้ ลว้ เช่น การคดั ลอกจาํ นวนสินคา้ ส่งออกทีการท่าเรือไดร้ วบรวมไว้ อนึง การเก็บรวบรวมขอ้ มลู ถา้ เราเลอื กมาจากจาํ นวนหรือรายการของขอ้ มลู ที ตอ้ งการเก็บมาทงั หมดทุกหน่วยจะเรียกวา่ “ประชากร” ( Population ) แต่ถา้ เราเลอื กมาเป็นบางหน่วยและ เป็นตวั แทนของประชากรนนั ๆ เราจะเรียกวา่ “กลุ่มตวั อยา่ ง” หรือ “ตวั อยา่ ง” ( Sample )

83 การวเิ คราะห์ข้อมูล มดี งั นี ) สถติ ิเชิงพรรณนา เป็นการวเิ คราะห์ขนั ตน้ มุ่งวเิ คราะห์เพืออธิบายลกั ษณะกวา้ งๆของขอ้ มูลชุด นนั ๆ ) สถิติเชิงอนุมาน เป็ นการวิเตราะห์ขอ้ มูลทีเก็บรวบรวมไดจ้ ากตวั อย่าง เพืออา้ งอิงไปยงั ขอ้ มูล ทงั หมด ตารางแจกแจงความถี ตวั อย่าง จากตารางแจกแจงความถีของคะแนนสอบของนกั เรียน 40 คน ดงั นี อนั ตรภาคชนั ความถี ความถี จุดกลางชนั ขีดจาํ กดั ล่าง ขีดจาํ กดั บน (คะแนน) (f) สะสม (xi) . . 11 – 20 7 15.5 21 – 30 6 25.5 . . 31 – 40 8 35.5 . . 41 – 50 15 45.5 . . 51 - 60 4 55.5 . . ความหมายของค่าต่างๆ ในตารางแจกแจงความถที ีเป็นอนั ตรภาคชนั มีดงั นี ) อนั ตรภาคชนั (Class interval) หมายถึง ขอ้ มลู ทีแบ่งออกเป็นช่วงๆ เช่น อนั ตรภาคชนั - , - , – , - เป็นตน้ ) ความกวา้ งของอนั ตรภาคชนั หมายถึง ความกวา้ ง ช่วงของขอ้ มูลในแต่ละชนั จาก - มี ความกวา้ ง เท่ากบั ) จาํ นวนของอนั ตรภาคชนั หมายถงึ จาํ นวนช่วงชนั ทงั หมดทีไดแ้ จกแจงไวใ้ นทีนี มี ชนั ) ความถี (Frequency) หมายถึง รอยขีดทีซาํ กนั หรือจาํ นวนขอ้ มลู ทีซาํ กนั ในอนั ตรภาคชนั นัน ๆ เช่น อนั ตรภาคชนั - มคี วามถีเท่ากบั หรือมีนกั เรียนทีไดค้ ะแนนในช่วง - มีอยู่ คน ) ความถีสะสม เป็นผลรวมของความถีของอนั ตรภาคชนั นนั กบั ความถีของอนั ตรภาคชนั ทีมีช่วง คะแนนตาํ กวา่ ทงั หมด ) จุดกลางชนั เป็นค่าทีอยรู่ ะหวา่ งกลางของอนั ตรภาคชนั เช่น อนั ตรภาคชนั - มีจุดกลางชนั เท่ากบั 11  20  15.5 2

84 เรืองที 2 การหาค่ากลางของข้อมูล โดยใช้ค่าเฉลยี เลขคณติ มัธยฐาน และฐานนิยม ค่ากลางของขอ้ มูลเป็ นค่าสถิติทีได้จากการวิเคราะห์ข้อมูลแต่ละชุด ค่ากลางของขอ้ มูลจึงเป็ น ตวั แทนของข้อมูลในแต่ละชุด ค่ากลางของข้อมลู ทีสําคญั มี ชนิด คือ ค่าเฉลียเลขคณิต มธั ยฐาน และ ฐานนิยม ข้อมลู ทไี ม่ได้แจกแจงความถี . ค่าเฉลยี เลขคณติ (Arithmetic mean) คือ ผลบวกของขอ้ มลู ทงั หมดหารดว้ ยจาํ นวนขอ้ มลู x1  x2  ...  x n n x i n  i1 x  = เมือ n แทนจาํ นวนขอ้ มลู n 2. มัธยฐาน (Median) คือ ค่าทีมีตําแหน่งอยู่กึงกลางของข้อมูลทังหมด เมือได้เรี ยงข้อมูล ตามลาํ ดบั ขันตอนการหามธั ยฐาน 1) เรียงขอ้ มลู ทีมอี ยทู่ งั หมดจากนอ้ ยไปมาก หรือมากไปนอ้ ยกไ็ ด้ ) ตาํ แหน่งมธั ยฐาน คือ ตาํ แหน่งกึงกลางขอ้ มลู ทงั หมด ดงั นนั ตาํ แหน่งของมธั ยฐาน = n 1 2 เมอื n คือ จาํ นวนขอ้ มลู ทงั หมด 3. ฐานนิยม (Mode) คือ ค่าของขอ้ มลู ทีมีความถสี ูงสุด หรือค่าทีมีจาํ นวนซาํ ๆ กนั มากทีสุด ขยายความ ) กรณีทีขอ้ มลู ทีมีความถีมากทีสุดเท่ากนั ค่า ฐานนิยมคือค่าสงั เกต ค่านนั ) กรณีทีขอ้ มลู มีความถเี ท่ากนั จะไมม่ ีฐานนิยม ตวั อย่าง หาค่าเฉลยี เลขคณิต ฐานนิยม และมธั ยฐานของขอ้ มลู ต่อไปนี , 8 , 6 , 8 , 9 , 9 , 10 , 9 , 15 , 11 วธิ ีทํา ค่าเฉลยี เลขคณติ x  xn i1 i n 5  8  6  8  9  9  10  9  15  11 90 = 10 = 10 =9 ค่าเฉลียเลขคณิต คือ ค่ามธั ยฐาน

85 ) เรียงขอ้ มลู จากนอ้ ยไปมาก ดงั นี , 7 , 8 , 8 , 9 , 9 , 9 , 10 , 11 , 15 2) ตาํ แหน่งมธั ยฐาน = n1 = 10 1 = 5.5 (จาํ นวนขอ้ มลู ทงั หมด n = 10) 2 2 ตาํ แหน่งที . คือ ระหวา่ งขอ้ มลู ตวั ที และตวั ที คือ กบั มธั ยฐาน คือ ฐานนยิ ม คือขอ้ มลู ทีมคี วามถีมากทีสุด = 9 ฐานนิยม คือ ตวั อย่าง คะแนนสอบของนกั เรียนหอ้ งหนึงปรากฏดงั ตาราง คะแนน จาํ นวน จงหาค่าเฉลยี เลขคณติ มธั ยฐาน และฐานนยิ ม วธิ ีทํา จาํ นวนนกั เรียน + + + + = คน ค่าเฉลยี เลขคณติ x = (10)(2) (12)(4) (15)(6) (18)(5) (20)(3) 20 = 15.40 ค่าเฉลยี เลขคณิต คือ 15.40 คะแนน ค่ามธั ยฐาน ) ตาํ แหน่งมธั ยฐาน = n1 = 20  1 = .5 2 2 ) อยรู่ ะหวา่ งคนที กบั = 15คะแนน ค่ามธั ยฐาน คือ 15 คะแนน ฐานนิยม ขอ้ มลู ทีซาํ มากทีสุดคือ คน ฐานนิยม คือ 15 คะแนน

86 ข้อมลู ทมี กี ารแจกแจงความถเี ป็ นอนั ตรภาคชนั . ค่าเฉลยี เลขคณติ เมือ k คือ จาํ นวนอนั ตรภาคชนั คือ จุดกึงกลางของแต่ละอนั ตรภาคชนั x  f xk x1 คือ ความถขี องแต่ละอนั ตรภาคชนั f1 คือ จาํ นวนขอ้ มลู ทงั หมด i1 i 1 N N 2. มธั ยฐาน (Median) ขนั ตอนการหามธั ยฐาน ) สร้างตารางแจกแจงความถีสะสม ) ค่ามธั ยฐานอยตู่ าํ แหน่งที = k fi  i 1 3) หาค่ามธั ยฐานดว้ ยสูตร 2   fk  เมอื L คือ ขอบลา่ งของอนั ตรภาคชนั ทีมีมธั ยฐาน   Me L I  i1 1   fL  I คือ ความกวา้ งของอนั ตรภาค    2 fm fm คือ ความถีของชนั ทีมมี ธั ยฐานอยู่  fL คือ ความถีสะสมของชนั ทีอยตู าํ กว่าชนั ทีมธั ยฐาน  อยู่ ชนั  3. ฐานนยิ ม (Mode) สามารถหาฐานนิยมจากสูตร (ขอ้ มลู ตอ้ งมีความกวา้ งของอนั ตรภาคชนั เท่ากนั ) Mo  L  I  d1 d1 d2  เมอื L คือ ขอบลา่ งของอนั ตรภาคชนั ทีมีความถมี ากสุด  I คือ ความกวา้ งของอนั ตรภาคชนั d1 คือ ผลต่างของความถสี ูงสุดกบั ความถีชนั d2 ทีมีคะแนนตาํ กว่าทีอยตู่ ิดกนั คือ ผลต่างของความถสี ูงสุดกบั ความถีของชนั ทีมีคะแนนสูงกวา่ ทีอยตู่ ิดกนั

87 ตวั อย่าง กาํ หนดตางรางแจกแจงความถขี องขอ้ มลู จงหาค่าเฉลียเลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนิยม คะแนน ความถี – – 40 – – – วธิ ีทํา ค่าเฉลยี เลขคณติ คะแนน ความถี (f1) ความถีสะสม จุดกงึ กลาง (x1) (f1) (x1) , – – 40 – – – x   f xk = 140  114  246  440  94 = 1034 25 25 f 1 i 1 = 41.36 N มธั ยฐาน ตาํ แหน่งของมธั ยฐานคือ =  fk i1 i 25 2 N 8  3  6  10  2 = 2 = = 12.5 ขอ้ มลู ตวั ที . อยใู่ นอนั ตรภาคชนั ทีมคี ะแนน – 2

88 ดงั นนั L = 39.5 , I = 3 , fm = 6 Me L I   fk   fL      i1 1 fm    2   = 39.5 + 3  12.5  7   6    = 39.5 + 2.75 = 42.45 ฐานนยิ ม ตาํ แหน่ของฐานนิยมอยใู่ นอนั ตรภาคชนั ทีมีคะแนน 43 – 45 ดงั นนั L = 42.5 , I = 3 d1 = 10 – 6 = 4 d2 = 10 – 2 = 8 Mo = L + I  d d1 d   1 2 = 42.5 + 3  4 4 8   = 42.5 + 3 4  = 43.5  12   ความสัมพนั ธ์ระหว่างค่าเฉลยี เลขคณติ มธั ยฐาน และฐานนยิ ม นกั สถติ ิพยายามหาความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งค่ากลางทงั สาม ฐานนิยม = ตวั กลางเลขคณิต – (ตวั กลางเลขคณิต – มธั ยฐาน ) หรือ Mo = x  3x  Md  ถา้ แสดงดว้ ยเสน้ โคง้ ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งการแจกแจงความถีค่ากลาง และการกระจายของขอ้ มลู ไดด้ งั นี ขอ้ มลู มีการแจกแจงเป็นโคง้ ปกติ ขอ้ มลู มีการแจกแจงเบข้ วา ขอ้ มลู มกี ารแจกแจงเบซ้ า้ ย

89 เรืองที การนําเสนอข้อมูลสถติ ิ การนาํ เสนอขอ้ มลู สถิติแบ่งเป็น ลกั ษณะใหญ่ๆ คือ การนาํ เสนออยา่ งเป็นและไม่เป็นแบบแผน การนําเสนออย่างไม่เป็ นแบบแผน เป็นการนาํ เสนอขอ้ มลู ทีไม่จาํ เป็ นตอ้ งมีกฎเกณฑ์อะไรมากนัก ประกอบดว้ ย การนาํ เสนอในรูปบทความและการนาํ เสนอในรูปขอ้ ความกึงตาราง การนาํ เสนออย่างเป็ นแบบแผน เป็นการนาํ เสนอขอ้ มลู ทีมกี ฎเกณฑแ์ ละมาตรฐานทีกาํ หนดไว้ เป็นแบบแผน ซึงอยใู่ นลกั ษณะของตาราง แผนภมู ิ แผนภาพ และกราฟต่างๆ ) การนําเสนอโดยใช้ตาราง เป็ นการนาํ เสนอขอ้ มลู ทีเป็ นทีนิยมกนั แพร่หลายเพราะสะดวกและ เขา้ ใจง่าย ใชไ้ ดก้ บั ขอ้ มลู ทีหลากหลาย กะทดั รัดและสะดวกต่อการวิเคราะห์ โดยกานาํ ขอ้ มูลมาจดั เรียงให้ อยใู่ นรูปแถว (row) หรือสดมภ์ (column) แถว หมายถึง การเรียงตามแนวนอน และ สดมภ์ หมายถึง การเรียงตามแนวตงั องคป์ ระกอบตารางสถติ ิโดยทวั ไปประกอบดว้ ยผงั ดงั ต่อไปนี . หมายเลขตาราง (table number) ชือเรือง (title) หมายเหตุ (prefatory note) หัวขัว หัวสดมภ์ (Stub head) (Column head) ตัวขวั ตัวเรือง (stub entries) (body) หมายเหตุล่าง (footnote) หมายเหตุแหล่งทมี า ( source note) ตวั อย่าง ตารางแสดงจาํ นวนประชากรของประเทศไทยปี ต่างๆ จาํ แนกตามเพศ (สํานักงานสถติ แิ ห่งชาติ ) พ.ศ. จํานวนประชากร ชาย หญิง รวม 2503 , , ,, ,, 2513 , , ,, ,, 2523 , , ,, ,, ขยายความ . หมายเลขตาราง เป็นตวั เลขทีแสดงลาํ ดบั ทีของตาราง ใชใ้ นกรณีทีนาํ เสนอมากกวา่ หนึงตาราง 2. ชือเรือง เป็ นขอ้ ความทีอยตู่ ่อจากหมายเลขตาราง ชือเรืองทีใช้ แสดงว่าเป็ นเรืองเกียวกบั อะไร ทีไหน เมือไร . หมายเหตุคาํ นาํ เป็นขอ้ ความทีอยใู่ ตช้ ือเรือง เป็นส่วนทีช่วยใหร้ ายละเอยี ดในตารางมีความชดั เจนยงิ ขึน

90 . ตน้ ขวั ประกอบดว้ ย หวั ขวั และตน้ ขวั ซึงหวั ขวั จะอธิบายเกียวกบั ตวั ขวั ส่วนตวั ขวั จะแสดงขอ้ มูลทีอยู่ ในแนวนอน ในทีนีหวั ขอั คือ พ.ศ. . หวั เรือง ประกอบดว้ ย หวั สดมภ์ และตวั เรือง ซึงหวั สดมภใ์ ชอ้ ธิบายขอ้ มลู แต่ละสดมภ์ ตามแนวตงั ตวั เรือง ประกอบดว้ ย ขอ้ มลู ทีเป็นตวั เลขโดยส่วนใหญ่ ในทีนีหวั สดมภ์ คือชาย , หญิง , รวม . หมายเหตุแหลง่ ทีมา บอกใหท้ ราบว่าขอ้ มลู ในตารางมาจากทีใด ช่วยใหผ้ อู้ ่านไดค้ น้ ควา้ เพมิ เติม ) แผนภูมริ ูปภาพ (Pictogram) เป็นแผนภมู ทิ ีใชร้ ูปภาพแทนจาํ นวนของขอ้ มลู รูปการนาํ เสนอขอ้ มลู ในรูปภาพทาํ ใหด้ ึงดดู ความสนใจมากขึน ดงั ตวั อยา่ ง แผนภมู ิรูปภาพ ซึงแสดงปริมาณทีไทยส่งสินค้าออกไปขายยงั ประเทศบรูไนระหว่างปี - 2527 234 2528 360 2529 360 = 100 ล้านบาท 2530 450 550 ทมี า : กรมศ25ุล3ก1 ากร ) แผนภูมริ ูปวงกลม คือ แผนภมู ทิ ีแสดงเป็นรูปวงกลม โดยใชพ้ นื ทีวงกลมบอกปริมาณของขอ้ มลู โดยแบ่งรูปวงกลมออกเป็นส่วนๆ จากจุดศนู ยก์ ลางของรูปวงกลมตามชนิดของขอ้ มลู และเขียนปริมาณของ ขอ้ มลู คิดเป็นเปอร์เซน็ ต์ ซึงใหพ้ นื ทีวงกลมเปป็นปริมาณ เปอร์เซน็ ต์ ดงั ตวั อยา่ ง แผนภูมริ ูปวงกลมแสดงการเปรียบเทียบงบประมาณด้านต่าง ๆ ทใี ช้ในสถานศึกษา ( ยกเว้นเงินเดือน – ค่าจ้าง ) . แผนภูมแิ ท่ง (Bar chart) เป็นรูปแท่งสีเหลียมผนื ผา้ ทีมีความยาวแท่งแปรตามปริมาณขอ้ มลู ซึง แผนภูมิแท่งมีหลายประเภท คือ แผนภูมิแท่งเชิงเดียว แผนภูมิแท่งเชิงซอ้ น และแผนภูมิแท่งส่วนประกอบ ดงั นี ตวั อยา่ ง

91 . ) แผนภูมแิ ท่งเชิงเดียว (Simple bar chart) แผนภมู แิ สดงจํานวนทอี ย่อู าศัยเปิ ดตัวใหม่ในเขตกทม. และปริมณฑล จํานวนทีอย่อู าศยั 253,159 300000 250000 200000 150000 142,053 46,909 41,300 100000 81,657 113,150 2536 2537 2538 2539 2540 50000 58,497 2535 0 2534 . ) แผนภูมแิ ท่งเชิงซ้อน (Multiple bar chart) เป็นแผนภูมิแท่งทีใชเ้ ปรียบเทียบขอ้ มลู ตงั แต่ ชุดขึนไป แผนภมู ิแท่งแสดงสินทรัพย์ หนีสินและทนุ ของสหกรณ์ออมทรัพย์มหาวทิ ยาลัยเกษตรศาสตร์ . การนาํ เสนอข้อมูลโดยใช้กราฟเส้น ขอ้ มลู ทีนาํ เสนอดว้ ยกราฟ ใชก้ บั ขอ้ มลู ทีมีการเปลยี นแปลงไปตามกาลเวลา การนาํ เสนอขอ้ มลู ดว้ ยกราฟช่วยให้เกิดการเปรียบเทียบได้ง่ายกว่า และถา้ กราฟในรูปเดียวกนั มีหลายเส้น ต้องใชส้ ีหรือ ลวดลายของเสน้ ทีต่างกนั พร้อมกบั เขียนชือกาํ กบั แต่ละเสน้ ดว้ ย 5.1 กราฟเชิงเดียว คือ กราฟทีแสดงลกั ษณะของขอ้ มลู เพียงชุดเดียว กราฟแสดงปริมาณสินค้าทนี ําเข้าจากประเทศสิงคโปร์ ปี พ.ศ. – 40000( ้ลานบาท) 30000 20000 10000 0 2526 2527 2528 2529 2530 2531 ปี พ.ศ.

92 5.2 กราฟเชิงซ้อน เป็ นการนําเสนอขอ้ มูลในลกั ษณะเดียวกบั กราฟเชิงเดียว แต่กราฟ เชิงซอ้ นเป็นการนาํ เสนอเพอื เปรียบเทียบความแตกต่างระหว่างขอ้ มลู ตงั แต่ ชุดขึนไป กราฟแสดงราคาข้าวสาลี และราคาแป้ งข้าวสาลที ีประเทศไทยสังเข้ามาตงั แต่ปี – สถติ กิ บั การตดั สินใจ การตดั สินใจบางเรือง ไม่สามารถนาํ ขอ้ มลู มาประกอบการตดั สินใจไดท้ นั ที ซึงอาจเป็นเพราะขอ้ มลู มีจาํ นวนมาก ทาํ ใหม้ องเห็นภาพไม่ชดั เจน ดงั นนั จึงจาํ เป็ นตอ้ งนาํ ขอ้ มูลมาวิเคราะห์ก่อน ขอ้ มูลทีผ่านการ วิเคราะหเ์ รียกวา่ “ สารสนเทศหรือข่าวสาร” (Information) จะช่วยใหก้ ารตดั สินใจดียงิ ขึน หลกั ในการเลอื กขอ้ มลู มาใชป้ ระกอบการตดั สินใจ จะตอ้ ง ) เชือถอื ได้ ) ครบถว้ น ) ทนั สมยั

93 กจิ กรรมบทที 7 แบบฝึ กหัดที คน ซึงมนี าํ หนกั เป็นกิโลกรัม ดงั นี 141 1. จงหาค่าเฉลยี เลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนิยมของนาํ หนกั เดก็ 2 4 13 1432432 2223222 . ตารางแสดงคะแนนสอบของนกั เรียน ดงั นี ความถี (f) 2 คะแนน 8 18 – 22 15 23 – 27 11 28 – 32 3 33 – 37 1 38 – 42 43 – 47 จงหาค่าเฉลยี เลขคณิต มธั ยฐาน ฐานนิยม จาก

94 แบบฝึ กหัดที . กราฟเสน้ แสดงรายรับ – รายจ่ายของบริษทั แห่งหนึงในรอบ เดือนแรกของปี พ.ศ. จํานวนเงนิ (ล้านบาท) รายจ่าย รายรับ ม.ค ก.พ. มี.ค. เม.ย. พ.ค. ม.ิ ย. เดือน จากกราฟจงตอบคาํ ถามต่อไปนี ) ในแต่ละเดือนบริษทั มกี าํ ไรหรือขาดทุนเท่าไร . ) มกราคม . ) กุมภาพนั ธ์ . ) มนี าคม . ) เมษายน . ) พฤษภาคม . ) มิถนุ ายน ) เดือนอะไรบริษทั มกี าํ ไรมากทีสุดเป็นเท่าไร ) เดือนอะไรบริษทั มีกาํ ไรนอ้ ยทีสุดเป็นเท่าไร ) เดือนใดบา้ งทีบริษทั มกี าํ ไรเท่ากนั ) มีเดือนอะไรบา้ งทีบริษทั ขาดทุน . การเลอื กขอ้ มลู มาใชป้ ระกอบการตดั สินใจตอ้ งอาศยั หลกั การใดบา้ ง . ขอ้ มลู ต่างกบั สารสนเทศ อยา่ งไร จงอธิบายพร้อมยกตวั อยา่ งประกอบดว้ ย ดูเฉลยกิจกรรมท้ายเล่ม

95 บทที 8 ความน่าจะเป็ น สาระสําคญั 1. การนบั จาํ นวนผลลพั ธท์ งั หมดทีเกิดจากการกระทาํ หรือการทดลองใดๆ ตอ้ งอาศยั กฎเกณฑก์ ารนบั จึงจะทาํ ใหง้ ่ายและสะดวก รวดเร็ว 2. ความน่าจะเป็น คือ จาํ นวนทีแสดงใหท้ ราบวา่ เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึง มีโอกาสเกิดขึนมากหรือ นอ้ ยเพยี งใด สิงทีจาํ เป็นตอ้ งทราบทาํ ความเขา้ ใจ คือ - การทดลองสุ่ม (Random Experiment) - แซมเปิ ลสเปซ (Sample Space) - เหตุการณ์ (Event) 3. ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ใดๆ เป็ นการเปรียบเทียบจาํ นวนสมาชิกของเหตุการณ์นันๆ กับ จาํ นวนสมาชิกของแซมเปิ ลสเปซ ซึงเป็นค่าทีจะช่วยในการพยากรณ์หรือการตดั สินใจได้ ผลการเรียนรู้ทคี าดหวงั 1. หาจาํ นวนผลลพั ธ์ทีอาจเกิดขึนของเหตุการณ์ โดยใช้กฎเกณฑ์เบืองต้นเกียวกับการนับและ แผนภาพตน้ ไมอ้ ยา่ งง่ายได้ 2. อธิบายการทดลองสุ่ม เหตุการณ์ ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์และหาความน่าจะเป็ นของ เหตุการณ์ทีกาํ หนดใหไ้ ด้ 3. นาํ ความรู้เกียวกบั ความน่าจะเป็นไปใชใ้ นการคาดการณ์และช่วยในการตดั สินใจ ขอบข่ายเนอื หา เรืองที กฎเบืองตน้ เกียวกบั การนบั และแผนภาพตน้ ไม้ เรืองที ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ เรืองที การนาํ ความน่าจะเป็นไปใช้