คณิตศาสตร์ ม.ปลาย พค31001

เอกสารสรปุ เน้อื หาทต่ี อ งรู รายวิชาคณติ ศาสตร ระดบั มัธยมศึกษาตอนปลาย รหสั พค31001 หลกั สตู รการศึกษานอกระบบระดบั การศึกษาข้ันพืน้ ฐาน พุทธศกั ราช 2551 สาํ นักงานสง เสริมการศึกษานอกระบบและการศึกษาตามอัธยาศยั สาํ นักงานปลดั กระทรวงศึกษาธกิ าร กระทรวงศกึ ษาธิการ หามจําหนา ย หนังสอื เรียนนีจ้ ดั พมิ พด ว ยเงนิ งบประมาณแผนดินเพื่อการศกึ ษาตลอดชีวิตสาํ หรับประชาชน ลิขสทิ ธเิ์ ปน ของสํานกั งาน กศน.สาํ นกั งานปลัดกระทรวงศึกษาธกิ าร



สารบัญ หนา 1 คําแนะนาํ การใชเอกสารสรปุ เนอื้ หาท่ตี อ งรู 3 โครงสรางรายวิชาคณิตศาสตร 4 แบบทดสอบกอนเรยี น 9 บทที่ 1 จํานวนและการดําเนนิ การ 10 11 เรื่องที่ 1 ความสัมพนั ธของระบบจํานวนจริง 14 เรอ่ื งท่ี 2 สมบตั กิ ารบวก การลบ การคูณ และการหารจาํ นวนจริง 16 เรอื่ งที่ 3 สมบัตกิ ารไมเ ทา กนั 18 เรื่องท่ี 4 คา สมั บรู ณ 19 บทท่ี 2 เลขยกกาํ ลงั ท่มี เี ลขช้ีกําลงั เปน จํานวนตรรกยะ 21 เรื่องท่ี 1 จํานวนตรรกยะ และจาํ นวนอตรรกยะ 23 เรอ่ื งท่ี 2 จํานวนจรงิ ในรปู กรณฑ 23 เรื่องท่ี 3 การบวก การลบ การคูณ การหาร 29 เร่ืองที่ 4 จํานวนทม่ี เี ลขชกี้ าํ ลงั เปนจาํ นวนตรรกยะและจํานวนจริงในรปู กรณฑ 30 บทที่ 3 เซต 35 เรอ่ื งที่ 1 เซต (Sets) 37 เรือ่ งท่ี 2 การดําเนนิ การของเซต 45 เรื่องท่ี 3 แผนภาพเวนน - ออยเลอรและการแกป ญหา 46 บทที่ 4 การใหเ หตผุ ล 50 เรือ่ งที่ 1 การใหเ หตผุ ล 52 เรื่องท่ี 2 การอา งเหตผุ ลโดยใชแผนภาพของเวนน- ออยเลอร 53 บทที่ 5 อัตราสวนตรีโกณมิติและการนําไปใช 58 เรื่องที่ 1 อตั ราสวนตรโี กณมติ ิ 62 เรื่องที่ 2 การหาคาอตั ราสว นตรโี กณมติ ิของมมุ 30, 45 และ 60 องศา เรื่องท่ี 3 การนําอตั ราสว นตรีโกณมิตไิ ปใชแ กปญหาเกี่ยวกับการวดั ระยะทางและความสูง

สารบญั (ตอ ) หนา 67 บทที่ 6 การใชเ ครอื่ งมือและการออกแบบผลิตภัณฑ 68 เรอื่ งที่ 1 การสรางรูปเรขาคณติ โดยใชเครอ่ื งมอื 77 เรื่องที่ 2 การแปลงทางเรขาคณิต 81 82 บทท่ี 7 สถติ ิเบอ้ื งตน 84 เรื่องที่ 1 การวิเคราะหข อ มลู เบอ้ื งตน 95 เรอ่ื งท่ี 2 การหาคา กลางของขอ มลู โดยใชคา เฉลย่ี เลขคณิต มัธยฐาน และฐานนยิ ม 96 101 บทที่ 8 ความนา จะเปน 105 เรอ่ื งที่ 1 กฎเบื้องตนเก่ยี วกบั การนบั และแผนภาพตน ไม 106 เรื่องที่ 2 ความนา จะเปนของเหตกุ ารณ 107 เรื่องที่ 3 การนําความนา จะเปนไปใช 111 115 บทที่ 9 การใชท กั ษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในงานอาชพี 119 เรื่องท่ี 1 ลกั ษณะ ประเภทของงานอาชพี ท่ีใชทกั ษะทางคณติ ศาสตร 120 เรื่องท่ี 2 การนําความรูทางคณิตศาสตรไ ปใชในงานอาชพี ได 120 130 แบบทดสอบหลงั เรียน ภาคผนวก เฉลยแบบทดสอบกอนเรยี น เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น คณะผจู ัดทาํ

1 คาํ แนะนาํ การใชเอกสารสรปุ เน้ือหาทตี่ องรู เอกสารสรุปเน้ือหาที่ตองรู รายวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย รหัส พค 31001 ใชส ําหรบั นักศึกษาหลักสตู รการศึกษานอกระบบระดบั การศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 แบงออกเปน 2 สว น คอื สวนท่ี 1 โครงสรางรายวิชา แบบทดสอบกอนเรียน โครงสรางของแตละบท เนื้อหาสาระ กิจกรรม ทายบท และแบบทดสอบหลังเรยี น สว นท่ี 2 เฉลยกิจกรรมทา ยบท และเฉลยแบบทดสอบกอ นเรียนและหลงั เรยี น วธิ ีใชเอกสารสรุปเน้ือหาท่ีตองรู ใหนกั ศกึ ษาดาํ เนนิ การตามขั้นตอน ดงั น้ี 1. ศกึ ษารายละเอยี ดโครงสรา งรายวชิ าโดยละเอยี ด เพ่อื ใหท ราบวา นักศกึ ษาตอ งเรยี นรเู นือ้ หาในเรอื่ ง ใดบา งในรายวิชานี้ 2. วางแผนเพ่อื กาํ หนดระยะเวลาและจดั เวลาทนี่ ักศกึ ษามคี วามพรอ มทจี่ ะศึกษาเอกสารสรุปเนอ้ื หาท่ี ตองรู เพอื่ ใหส ามารถศกึ ษารายละเอยี ดของเนอ้ื หาไดค รบทกุ บท 3. ทาํ แบบทดสอบกอนเรยี น เพ่ือทราบพื้นฐานความรูเดิมของนักศึกษา โดยตรวจสอบคําตอบจาก เฉลยแบบทดสอบกอ นเรียนทา ยเลม 4. ศึกษาเนื้อหาสาระในแตละบทอยางละเอียดใหเขาใจ และทํากิจกรรมทายบทท่ีกําหนดไวให ครบถวน 5. เมื่อทํากจิ กรรมทายบทเสรจ็ แตละกิจกรรมแลว นักศึกษาสามารถตรวจสอบคําตอบไดจากเฉลย ทา ยเลม หากนกั ศึกษายงั ทาํ กจิ กรรมไมถ กู ตอง ใหนักศึกษากลบั ไปทบทวนเน้ือหาสาระในเรอ่ื งนน้ั ซา้ํ จนกวา จะ เขา ใจ 6. เมอ่ื ศึกษาเน้ือหาสาระครบทกุ บทแลว ใหนกั ศึกษาทาํ แบบทดสอบหลงั เรียนและตรวจคําตอบจาก เฉลยทายเลมวานักศกึ ษาสามารถทาํ แบบทดสอบไดถกู ตองทุกขอหรือไม หากขอใดยังไมถูกตอง ใหนักศึกษา กลับไปทบทวนเนอื้ หาสาระในเรอื่ งนั้นใหเ ขาใจอกี ครั้งหนง่ึ นกั ศกึ ษาควรทําแบบทดสอบหลงั เรยี นใหไดค ะแนน มากกวา แบบทดสอบกอนเรียน และควรไดค ะแนนไมนอยกวา รอ ยละ 60 ของแบบทดสอบท้ังหมด เพอ่ื ใหม ัน่ ใจ วาจะสามารถสอบปลายภาคผาน 7. หากนักศึกษาไดทําการศึกษาเน้ือหาสาระแลวยังไมเขาใจ นักศึกษาสามารถสอบถามและขอ คําแนะนําไดจากครหู รอื แหลงคน ควา เพม่ิ เตมิ อื่นๆ

2 8. เอกสารสรุปเนอื้ หาท่ีตองรูเลม นีม้ ี 7 บท คือ บทท่ี 1 จาํ นวนและการดาํ เนินการ บทท่ี 2 เลขยกกําลงั ท่ีมีเลขชก้ี าํ ลังเปน จํานวนตรรกยะ บทที่ 3 เซต บทท่ี 4 การใหเ หตุผล บทท่ี 5 อตั ราสวนตรโี กณมติ แิ ละการนาํ ไปใช บทท่ี 6 การใชเ ครอื่ งมอื และการออกแบบผลิตภัณฑ บทที่ 7 สถิติเบือ้ งตน บทท่ี 8 ความนา จะเปน บทท่ี 9 การใชทกั ษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในงานอาชีพ หมายเหตุ : ใหครูนํากิจกรรมทายบทในแตละบท มาประเมินนักศึกษา โดยเลือกเร่ืองที่มีความจําเปนและ สําคัญ เพ่อื เปนคะแนนระหวางภาค

3 โครงสรา งรายวชิ าคณิตศาสตร ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนปลาย (พค 31001) สาระสาํ คญั มีความรูค วามเขาใจเก่ียวกบั จาํ นวนและตัวเลข เศษสว น ทศนิยมและรอ ยละ การวัด เรขาคณิต สถิติ และความนา จะเปนเบอ้ื งตน ผลการเรยี นรูทคี่ าดหวงั 1. ระบุหรือยกตัวอยางเกี่ยวกับจํานวนและตัวเลขเศษสวน ทศนิยมและรอยละ การวัด เรขาคณิต สถติ ิ และความนาจะเปน เบอื้ งตน ได 2. สามารถคิดคํานวณและแกโจทยปญหาเก่ียวกับจํานวนนับเศษสวน ทศนิยม รอยละ การวัด เรขาคณติ ได ขอบขายเนอ้ื หา บทท่ี 1 จาํ นวนและการดําเนนิ การ บทที่ 2 เลขยกกาํ ลังทมี่ ีเลขชีก้ าํ ลงั เปนจํานวนตรรกยะ บทที่ 3 เซต บทท่ี 4 การใหเหตผุ ล บทที่ 5 อตั ราสว นตรโี กณมิติและการนาํ ไปใช บทที่ 6 การใชเ คร่ืองมอื และการออกแบบผลติ ภณั ฑ บทที่ 7 สถติ ิเบ้อื งตน บทท่ี 8 ความนา จะเปน บทที่ 9 การใชท ักษะกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ นงานอาชพี สื่อการเรยี นรู เอกสารสรปุ เน้ือหาที่ตอ งรู

4 แบบทดสอบก่อนเรียน 1. ขอ้ ใดไม่ถกู ต้อง . 3 54 3 4 ทาํ ใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งง่าย ก. . ... เป็นจาํ นวนตรรกยะ ตรงกบั ขอ้ ใด ข. . ... เป็นจาํ นวนอตรรกยะ ก. ค. . ... เป็นจาํ นวนตรรกยะ ข. ง. π เป็นจาํ นวนอตรรกยะ ค. ง. . ขอ้ ใดต่อไปนีถกู ตอ้ ง ก. 22 เป็นจาํ นวนตรรกยะ . ขอ้ ใดต่อไปนีถกู ตอ้ ง ก. เซตของสระในภาษาองั กฤษคือ 7 {a, e, i, o, y} ข. เซตของจาํ นวนบวก ตงั แต่ ถงึ คือ ข. π เป็นจาํ นวนตรรกยะ {2, 3, 4, 5} ค. ถา้ x เป็นจาํ นวนอตรรกยะ แลว้ x2 เป็น ค. เซตของจาํ นวนประชากรในประเทศไทย ในขณะนี เป็นเซตจาํ กดั จาํ นวนตรรกยะ ง. เซตของเดือนทีมี วนั เป็นเซตวา่ ง ง. . ... เป็นจาํ นวนอตรรกยะ . จากแผนภาพต่อไปนี ส่วนทีแรงเงา . จงหาค่าของ  8 2 ตรงกบั ขอ้ ใด 18 AB ก. 5 5 ข. 25 2 ค. 25 5 ง. .  9x 2 y2   10  ทาํ ใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งง่าย 2x5 y 18y ตรงกบั ขอ้ ใด U ก. 5 ก. A  B ข. (A  B) 2y ค. A  B ง. (A  B) ข. 5 2x 3 ค. 2 x ง. 2 y2

5 . กาํ หนด A = {1, 2, 3} , B = {2, 4, 6} แลว้ . กาํ หนดเหตุ AB ตรงกบั ขอ้ ใด . สนั ติเป็นนกั ฟตุ บอล ก. {2} . นกั ฟุตบอลทุกคนแขง็ แรง ข. {1, 2, 3} ค. {2, 4, 6} ใชแ้ ผนภาพ เวนน์ – ออยเลอร์ ง. {1, 2, 3, 4, 6} เขียนเหตุทีกาํ หนดไดก้ ีแบบ ก. . พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี ข. อรุณทดลองชงั นาํ หนกั จากเครืองชงั เครือง ค. ผลดงั นี ง. เครืองชงั ที อรุณหนกั . กิโลกรัม เครืองชงั ที อรุณหนกั . กิโลกรัม . จงหาค่าของ sin 45  cos 30 เครืองชงั ที อรุณหนกั . กิโลกรัม cos 45  sin 60  เขาจึงสรุปว่า เขามนี าํ หนกั กิโลกรัม ก. – จากขอ้ ความขา้ งตน้ อรุณสรุปนาํ หนกั ของ ข. ตนเอง เป็นการใชห้ ลกั การใหเ้ หตุผลแบบใด ค. ก. อตั นยั ง. ข. อุปนยั ค. ปรนยั . นุชยนื ห่างจากอาคารแห่งหนึง เมตร ง. นิรนยั เมอื มองขึนไปบนยอดตึก เป็นมมุ เงย องศา ตึกหลงั นีสูงประมาณกีเมตร ก. 100 3 เมตร ข. 50 3 เมตร ค. 100 เมตร 3 ง. 50 เมตร 3

6 . ภาพในขอ้ ใดเป็นการหมุน ๐ 14. ตามเข็มนาฬกิ า ก. ข. จากรูปเรขาคณิตสามมิติทีกาํ หนดให้ ภาพใดต่อไปนีแสดงภาพทีไดจ้ ากการมอง ดา้ นบน ก. ค. ข. ง. ค. ง.

. กาํ หนดขอ้ มลู 7 คะแนนของนกั ศกึ ษา คนดงั นี ,, , , , , , , . กลอ่ งใบหนึงมีลกู บอลขนาดเดียวกนั ค่าเฉลียเลขคณิต ฐานนิยม และ มธั ยฐาน เป็นสีแดง ลกู เป็นสีขาว ลกู สุ่มหยบิ ลกู เท่ากบั ขอ้ ใดตามลาํ ดบั บอล ลกู ขึนมาพร้อมกนั ความน่าจะเป็นที ก. , , จะไดล้ กู บอลสีต่างกนั เท่ากบั เท่าใด ข. , 13, 14 ก. 4 ค. 14, 13, 14 ง. 13, 14, 13 10 . กาํ หนดตารางแจกแจงความถี ข. 5 คะแนน (xi) ความถี (f) 10 5 1 6 5 ค. 6 7 10 8 3 10 9 1 ง. 7 10 18. โยนลกู เต๋า ลกู ครัง ความน่าจะเป็นที ลกู เต๋าหงาย มีผลบวกเท่ากบั เท่ากบั เท่าใด ก. 6 36 ข. 5 36 ค. 4 36 ง. 3 36 ค่าเฉลยี เลขคณิต และฐานนิยมของคะแนน เท่ากบั ขอ้ ใด ตามลาํ ดบั ก. . , 9 ข. . , ค. , . ง. , .

. นายสมชายไดร้ ับเงินเดือนๆละ , บาท 8 สามารถหกั ค่าใชจ้ ่ายไดร้ ้อยละ ของเงิน ไดพ้ งึ ประเมนิ แต่ไม่เกิน , บาท หกั ค่า . นายประสพโชค เป็นตวั แทนขาย ลดหยอ่ นผมู้ ีเงินได้ , บาท หกั ค่า เครืองใชไ้ ฟฟ้ า ซึงมีราคา , บาท ใหก้ บั ลดหยอ่ นสาํ หรับภรรยา , บาท สินปี ผใู้ ชไ้ ฟฟ้ าโดยคิดค่านายหนา้ % อยาก นายสมชายยนื แบบแสดงรายการ ภาษีเงินได้ ทราบว่า นายประสพโชคจะตอ้ งส่งเงินให้ บุคคลธรรมดาจะตอ้ งชาํ ระภาษีหรือไม่ ถา้ บริษทั เท่าไร ตอ้ งชาํ ระภาษีเป็นเงินเท่าไร ก. , (เงินไดพ้ ึงประเมนิ – , บาท ยกเวน้ ข. , การเสียภาษี , – , บาท เสีย ค. , ภาษีในอตั รา %) ง. , ก. ไม่ตอ้ งชาํ ระ ข. ชาํ ระเป็นเงิน , บาท ค. ชาํ ระเป็นเงิน , บาท ง. ชาํ ระเป็นเงิน , บาท ดูเฉลยแบบทดสอบท้ายเล่ม

9 บทที 1 จํานวนและการดําเนินการ สาระสําคญั 1. โครงสร้างของจาํ นวนจริงประกอบไปดว้ ย จาํ นวนตรรกยะ จาํ นวนอตรรกยะ และจาํ นวนเต็ม 2. สมบตั ิของจาํ นวนจริงทีเกียวกบั การบวกและการคณู ประกอบไปดว้ ยสมบตั ิปิด สมบตั ิการ เปลยี นหมู่ สมบตั ิการสลบั ที การมีอนิ เวอร์ส การมเี อกลกั ษณ์และสมบตั ิการแจกแจง 3. การเท่ากนั จะใชเ้ ครืองหมาย “ = ” แทนการมคี ่าเท่ากนั 4. การไม่เท่ากนั จะใชเ้ ครืองหมาย “ ≠ , < , >, ≤ , ≥” 5. ค่าสมั บูรณ์ใชส้ ญั ลกั ษณ์ “ | |” โดย x ถา้ x > 0 x  0 ถา้ x = 0 -x ถา้ x < 0 ผลการเรียนรู้ทีคาดหวงั 1. แสดงความสมั พนั ธข์ องจาํ นวนต่าง ๆ ในระบบจาํ นวนจริงได้ 2. อธิบายความหมายและหาผลลพั ธท์ ีเกิดจากการบวก การลบ การคณู การหารจาํ นวนจริงได้ 3. อธิบายสมบตั ิของจาํ นวนจริงทีเกียวกบั การบวก การคณู การเท่ากนั การไมเ่ ท่ากนั และ นาํ ไปใชไ้ ด้ 4. อธิบายเกียวกบั ค่าสมั บูรณ์ของจาํ นวนจริงและหาค่าสมบรู ณ์ของจาํ นวนจริงได้ ขอบข่ายเนอื หา ความสมั พนั ธข์ องระบบจาํ นวนจริง เรืองที สมบตั ิของการบวก การลบ การคูณ และการหารจาํ นวนจริง เรืองที สมบตั ิการไม่เท่ากนั เรืองที ค่าสมั บรู ณ์ เรืองที

10 เรืองที ความสัมพนั ธ์ของระบบจาํ นวนจริง . . โครงสร้างของจาํ นวนจริง จํานวนจริง จํานวนอตรรกยะ จํานวนตรรกยะ จํานวนในรูปกรณฑ์ ทศนิยม จํานวนเตม็ ทศนิยมซํา เศษสว่ น ทีถอดกรณฑ์ไมไ่ ด้ ไมร่ ู้จบแบบไมซ่ ํา จํานวนนบั หรือ ศนู ย์ จํานวน จํานวนเตม็ บวก เต็มลบ จาํ นวนจริง (Real number) ประกอบดว้ ยจาํ นวนตรรกยะและจาํ นวนอตรรกยะ . จาํ นวนตรรกยะ (Rational number) คือ จาํ นวนทีเขียนในรูปเศษส่วนได้ เมือตวั เศษและตวั ส่วนเป็น จาํ นวนเตม็ ทีไมใ่ ช่ศนู ย์ ตวั อยา่ งของจาํ นวนตรรกยะ เช่น จาํ นวนเตม็ ทศนิยมซาํ และเศษส่วน 1. จาํ นวนเตม็ แบ่งเป็น ชนิด คือ . จาํ นวนเตม็ บวกหรือจาํ นวนนบั เช่น , , , ... . ศนู ย์ มีจาํ นวนเดียว คือ . จาํ นวนเต็มลบ เช่น - , - , - , ... 2. เศษส่วน เช่น 3 , 3 3 , - 5 เป็นตน้ 4 47 . ทศนิยมซาํ เช่น 0.6 , 0.12 , 0.532 2. จาํ นวนอตรรกยะ (Irrational Number) คือจาํ นวนทีไมใ่ ช่จาํ นวนตรรกยะ เขียนไดใ้ นรูปทศนิยมไมซ่ าํ เช่น 2 มีค่าเท่ากบั 1.414213… ดงั นนั 2 มีค่าประมาณ . 3 มคี ่าเท่ากบั 1.7320508… ดงั นนั 3 มคี ่าประมาณ . π มคี ่าเท่ากบั 3.14159265… ดงั นนั π มคี ่าประมาณ . 0.1010010001… มีค่าประมาณ 1.101

11 เรืองที สมบตั กิ ารบวก การลบ การคูณ และการหารจาํ นวนจริง สมบตั ิของจาํ นวนจริงทีใชใ้ นการบวก การลบ การคณู และการหาร มีดงั นี 2.1 สมบตั กิ ารเท่ากนั ของจาํ นวนจริง กาํ หนด a, b, c เป็นจาํ นวนจริงใดๆ ตวั อยา่ ง สมบตั ิการสะทอ้ น a= a =2 สมบตั ิการสมมาตร ถา้ a= b แลว้ b= a ถา้ = + แลว้ + = 5 สมบตั ิการถ่ายทอด ถา้ a = b และ b = c แลว้ ถา้ = 22 และ 22 = 2 × 2 แลว้ a= c =2×2 สมบตั ิการบวกดว้ ยจาํ นวนทีเท่ากนั ทงั สองขา้ ง ถา้ a = b แลว้ ถา้ = 2 + 3 แลว้ a + c = b+ c 5+4=( + )+ สมบตั ิการคณู ดว้ ยจาํ นวนทีเท่ากนั ทงั สองขา้ ง ถา้ a = b แลว้ ถา้ = 5 × 2 แลว้ ac  bc 10 × 3 = (5 × 2) × 3 . สมบตั กิ ารบวกและการคณู ในระบบจาํ นวนจริง เมือกาํ หนดให้ a, b และ c เป็นจาํ นวนจริง . . สมบัตกิ ารบวก ตวั อยา่ ง สมบตั ิปิ ด ถา้ a R และ b R แลว้ a  b  R  R และ  R แลว้ + R สมบตั ิการสลบั ที ab= ba 2+3=3+2 สมบตั ิการเปลียนหมู่ a  (b  c) = (a  b)  c 2 + (3 + 5) = (2 + 3) + 5 สมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์ เอกลกั ษณก์ ารบวก คือ 0a  a0  a 0+2=2+0=2 สมบตั ิการมีอนิ เวอร์สการบวก a มอี ินเวอร์สการบวก คือ  a และ อนิ เวอร์สการบวกของ คือ - และ  a มอี นิ เวอร์สการบวก คือ a อินเวอร์สการบวกของ - คือ จะได้ a  (a)  (a)  a  0 + (-5) = (-5) + 5 = 0 นนั คือจาํ นวนจริงa จะมี  a เป็น อินเวอร์สของการบวก

12 . . สมบัตกิ ารคณู ถา้ a R และ b R แลว้ ab  R ตวั อยา่ ง ab= ba  R และ  R แลว้ ( ) R สมบตั ิปิ ด a(bc) = (ab)c ( ) = 3 (2) สมบตั ิการสลบั ที เอกลกั ษณก์ ารคณู คือ 2 × (3 × 5) = (2 × 3) × 5 = 30 สมบตั ิการเปลียนหมู่ 1∙ a= a∙1= a สมบตั ิการมเี อกลกั ษณ์ 1×5=5×1=5 a มีอนิ เวอร์สการคณู คือ 1 และ 5 มีอินเวอร์สการคณู คือ 1 และ 1 สมบตั ิการมอี ินเวอร์สการคูณ (ยกเวน้ เพราะ 1 ไม่มี a 55 0 1 มอี ินเวอร์สการคณู คือ a มีอนิ เวอร์สการคณู คือ อนิ เวอร์สการคณู ของ คือ 1 ความหมาย) a 5 สมบตั ิการแจกแจง จะได้ a  1    1 a  1 ; a  0 หรือ - a a ( + ) = 2 (3) + 2 (5) นนั คือ จาํ นวนจริงa จะมี 1 เป็น (3 + 5) 2 = 3 (2) + 5 (2) a อินเวอร์สการคณู อินเวอร์สการคูณ ของ a เขียนแทนดว้ ย a - a(b  c)  ab  ac (b  c)a  ba  ca จากสมบตั ิของจาํ นวนจริงสามารถใชพ้ ิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนีได้ ตวั อยา่ ง ทฤษฎบี ทที 1 กฎการตดั ออกสําหรับการบวก เมือ a, b, c เป็นจาํ นวนจริงใดๆ ถา้ a + c = b + c แลว้ a = b ถา้ + = 22 + 3 แลว้ = 22 ถา้ a + b = a + c แลว้ b = c ถา้ + = 4 + (2 + 3) แลว้ = 2 + 3 ทฤษฎบี ทที 2 กฎการตดั ออกสําหรับการคณู เมอื a, b, c เป็นจาํ นวนจริงใดๆ ถา้ ac = bc และ c ≠ 0 แลว้ a = b ถา้ ( ) = 22 (3) แลว้ = 22 ถา้ ab = ac และ a ≠ 0 แลว้ b = c ถา้ ( ) = ( + ) แลว้ 5 = 2 + 3 ทฤษฎบี ทที 3 เมอื a เป็ นจาํ นวนจริงใด ๆ a∙0=0 2×0=0 0∙a=0 0×2=0 ตวั อยา่ ง

13 ทฤษฎบี ทที 4 เมอื a เป็ นจาํ นวนจริงใด ๆ (-1) 2 = -2 (-1)a = -a 2 (-1) = 2 a(-1) = -a 2 (-3) = -2 (3) ทฤษฎบี ทที 5 เมอื a, b เป็ นจาํ นวนจริงใด (-2) 3 = -2 (3) ถา้ ab = 0 แลว้ a = 0 หรือ b = 0 (-2) (-3) = 2 (3) ทฤษฎบี ทที 6 เมอื a, b เป็ นจาํ นวนจริงใด ๆ a(-b) = -ab (-a)b = -ab (-a)(-b) = ab การลบและการหารจาํ นวนจริง ตวั อยา่ ง เช่น • การลบจาํ นวนจริง 5 – = 5 + (-3) บทนิยาม เมอื a, b เป็นจาํ นวนจริงใด ๆ นนั คือ – คือผลบวกของ กบั อนิ เวอร์ส a - b = a + (-b) การบวกของ นนั คือ a - b คือ ผลบวกของ a กบั อินเวอร์สการบวกของ b เช่น • การหารจาํ นวนจริง บทนยิ าม เมือ a, b เป็นจาํ นวนจริงใด ๆ เมอื b ≠ 0 5 = 5 × 1 = 5 (2-1) และ b-1 เป็นอนิ เวอร์สการคณู ของ a a = a (b 1 ) 22 b นนั คือ 5 คือผลคณู ของ 5 กบั อนิ เวอร์ส นนั คือ a คือ ผลคณู ของ a กบั อินเวอร์สการคณู ของ b 2 b การคณู ของ เรืองที

14 สมบตั กิ ารไม่เท่ากนั ประโยคคณิตศาสตร์จะใชส้ ญั ลกั ษณ์ > , < , ≥ , ≤ , ≠ แทนการไม่เท่ากนั บทนยิ าม a < b หมายถงึ a นอ้ ยกวา่ b a > b หมายถึง a มากกวา่ b กาํ หนดให้ a, b, c เป็นจาํ นวนจริงใด ๆ 1. สมบตั ิการถา่ ยทอด ถา้ a > b และ b > c แลว้ a > c เช่น > 5 และ > 3 แลว้ > 3 2. สมบตั ิการบวกดว้ ยจาํ นวนทีเท่ากนั ถา้ a > b แลว้ a + c > b+ c เช่น > 0 แลว้ 5 + 3 > 0 + 3 3. จาํ นวนจริงบวกและจาํ นวนจริงลบ a เป็นจาํ นวนจริงบวก กต็ ่อเมือ a > 0 เช่น เป็นจาํ นวนจริงบวกกต็ ่อเมือ > 0 a เป็นจาํ นวนจริงลบ กต็ ่อเมือ a < 0 เช่น - เป็นจาํ นวนจริงลบก็ต่อเมอื - < 0 4. สมบตั ิการคณู ดว้ ยจาํ นวนเท่ากนั ทีไมเ่ ท่ากบั ศนู ย์ กรณีที ถา้ a > b และ c > 0 แลว้ ac > bc เช่น ถา้ > -3 แลว้ ( ) > (-3)(2) หรือ > -6 กรณีที ถา้ a > b และ c < 0 แลว้ ac < bc เช่น ถา้ > -3 แลว้ (- ) < (-3)(-2) หรือ - < 6 5. สมบตั ิการตดั ออกสาํ หรับการบวก ถา้ a + c > b + c แลว้ a > b เช่น ถา้ + > + แลว้ > 3 6. สมบตั ิการตดั ออกสาํ หรับการคูณ กรณีที ถา้ ac > bc และ c > 0 แลว้ a > b เช่น ถา้ ( ) > (-3)(2) แลว้ > -3 กรณีที ถา้ ac > bc และ c < 0 แลว้ a < b เช่น ถา้ (- )( ) > 5(-2) แลว้ -3 < 5 บทนยิ าม a≤b หมายถงึ a นอ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั b a≥b หมายถงึ a มากกวา่ หรือเท่ากบั b a<b<c หมายถงึ a < b และ b < c a≤b≤c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c ช่วง (Interval)

15 ช่วง หมายถึง การเขียนแทนเซตของจาํ นวนจริงทีเป็นส่วนใดส่วนหนึงบนเสน้ จาํ นวน เช่น การ เขียนแทนเซตของจาํ นวนจริงทีอยรู่ ะหวา่ งจาํ นวนจริง a และ b ใดๆ หรือมากกวา่ หรือนอ้ ยกว่าจาํ นวนจริง a ใดๆ 3.1 ช่วงของจาํ นวนจริง กาํ หนดให้ a, b เป็นจาํ นวนจริง และ a < b 1. ช่วงเปิ ด (a, b) (a, b) = { x | a < x < b } 2. ช่วงปิ ด [a, b] [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b } 3. ช่วงครึงเปิ ด (a, b] (a, b] = { x | a < x ≤ b } 4. ช่วงครึงเปิ ด [a, b) [a, b) = { x | a ≤ x < b} 5. ช่วง (a, ∞) (a, ∞) = { x | x > a} 6. ช่วง [a, ∞) [a, ∞) = { x | x ≥ a} 7. ช่วง (-∞, a) (-∞, a) = { x | x < a} 8. ช่วง (-∞, a] (-∞, a] = { x | x ≤ a} เรืองที

16 ค่าสัมบูรณ์ ค่าสมั บรู ณ์ของจาํ นวนจริง หมายถึง ระยะห่างจากจดุ ศนู ยบ์ นเสน้ จาํ นวน พิจารณาค่าสมั บรู ณ์ของ และ – –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 อยหู่ ่างจาก เป็นระยะทาง หน่วย ดงั นนั ค่าสมั บรู ณข์ อง คือ – อยหู่ ่างจาก เป็นระยะทาง หน่วย ดงั นนั ค่าสมั บูรณ์ของ – คือ นันคอื ค่าสัมบูรณ์ของจาํ นวนจริงใด ๆ ต้องมคี ่ามากกว่าหรือเท่ากบั ศูนย์เสมอ สญั ลกั ษณ์แทนค่าสมั บรู ณ์คือ | | เช่น ค่าสมั บรู ณ์ของ คอื |4| ค่าสมั บูรณ์ของ – คือ |– 4| บทนิยาม กาํ หนดให้ a เป็ นจาํ นวนจริง a เมือ a  0 a  0 เมอื a  0  a เมอื a  0 4.1 สมบัตขิ องค่าสัมบูรณ์ กาํ หนดให้ x, y เป็ นจาํ นวนจริงใดๆ ตวั อย่าง 1. | x | = | -x | | 3 | = | -3 | = 3 2. | xy | = | x || y | | 3(-2) | = | 3 || -2 | = 6 3. x = x ;y≠0 10 = 10 =2 y y -5 -5 4. | x - y | = | y - x | | 10 - 3 | = | 3 – 10 | = 7 5. | x |2 = x2 | 5 |2 = 52 = 25 6. | x + y | ≤ | x | +| y | เช่น x = 2 y = 3 แลว้ | + | = | | + | | = 5 6.1 ถา้ xy > 0 แลว้ | x + y | = | x | + | y | 6.2 ถา้ xy < 0 แลว้ | x + y | < | x | + | y | เช่น x = 2 y = – 3 แลว้ | + (– 3) | < | | + |– 3| 1< 5 7. เมือ a เป็นจาํ นวนจริงบวก | x | < 3 หมายถึง – 3 < x < 3 | x | < a หมายถึง – a < x < a | x | ≤ 3 หมายถึง – 3 ≤ x ≤ 3 | x | ≤ a หมายถงึ – a ≤ x ≤ a | x | > 3 หมายถึง x < – 3 หรือ x > 3 8. เมือ a เป็นจาํ นวนจริงบวก | x | > a หมายถึง x < – a หรือ x > a | x | ≥ a หมายถงึ x ≤ – a หรือ x ≥ a | x | ≥ 3 หมายถึง x ≤ – 3 หรือ x ≥ 3 กิจกรรมบทที

17 แบบฝึ ดหัดที ตอบ จงเขียนแสดงช่วงต่างๆ ทีแสดงบนเสน้ จาํ นวนต่อไปนี ตอบ 1) ................................... ตอบ - ตอบ ) ตอบ - ตอบ 3) ตอบ - ................................... ตอบ 4) ................................... - 5) - 6) - 7) - 8) - ---- ดูเฉลยกจิ กรรมท้ายเล่ม บทที

18 เลขยกกําลังทมี เี ลขชีกาํ ลังเป็ นจาํ นวนตรรกยะ สาระสําคญั 1. an อา่ นวา่ a ยกกาํ ลงั n โดยมี a เป็นฐาน และ n เป็นเลขชีกาํ ลงั 2. n a อ่านว่า กรณฑท์ ี n ของ a 3. จาํ นวนจริงทีอยใู่ นรูปเลขยกกาํ ลงั ทีมีเลขชีกาํ ลงั เป็นจาํ นวนตรรกยะจะมคี วามสมั พนั ธก์ บั จาํ นวนจริงทีอยใู่ นรูปของกรณฑห์ รือ ราก (root) ตามความสมั พนั ธด์ งั ต่อไปนี n a = a n1 และ n am = amn 4. การบวก ลบ คณู หาร จาํ นวนทีมเี ลขชีกาํ ลงั เป็นจาํ นวนตรรกยะโดยใชบ้ ทนิยามการบวก ลบ คูณ หาร เลขยกกาํ ลงั ของจาํ นวนเต็ม ผลการเรียนรู้ทคี าดหวงั 1. อธิบายความหมายและบอกความแตกต่างของจาํ นวนตรรกยะและอตรรกยะได้ 2. อธิบายเกียวกบั จาํ นวนจริงทีอยใู่ นรูปเลขยกกาํ ลงั ทีมเี ลขชีกาํ ลงั เป็นจาํ นวนตรรกยะ และ จาํ นวนจริงในรูปกรณฑไ์ ด้ 3. อธิบายความหมายและหาผลลพั ธท์ ีเกิดจากการบวก การลบ การคณู การหาร จาํ นวนจริงทีอยู่ ในรูปเลขยกกาํ ลงั ทีมเี ลขชีกาํ ลงั เป็นจาํ นวนตรรกยะ และจาํ นวนจริงในรูปกรณฑไ์ ด้ ขอบข่ายเนอื หา เรืองที จาํ นวนตรรกยะและอตรรกยะ เรืองที จาํ นวนจริงในรูปกรณฑ์ เรืองที การบวก การลบ การคณู การหาร จาํ นวนทีมเี ลขชีกาํ ลงั เป็นจาํ นวนตรรกยะและ จาํ นวนจริงในรูปกรณฑ์

19 เรืองที 1 จาํ นวนตรรกยะ และจาํ นวนอตรรกยะ 1.1 จาํ นวนตรรกยะ หมายถึง จาํ นวนทีเขียนแทนในรูปเศษส่วน a เมือ a และ b เป็นจาํ นวนเตม็ b ที b  0 จาํ นวนตรรกยะประกอบดว้ ย 1) จาํ นวนเตม็ เช่น , , - , - 1 3 -2 2) เศษส่วน เช่น 2 , 5 , 7 3) ทศนิยมไมร่ ู้จบแบบซาํ เช่น 0.13• , . ... . จาํ นวนอตรรกยะ หมายถึง จาํ นวนทีไม่สามารถเขียนใหอ้ ยใู่ นรูปเศษส่วน a เมือ a และ b b เป็นจาํ นวนเต็ม ที b  0 จาํ นวนอตรรกยะ ประกอบดว้ ย 1) ทศนิยมไมร่ ู้จบแบบไม่ซาํ เช่น . ..., . ... 2) สญั ลกั ษณ์ π , e ( π มคี ่าประมาณ . ...) ) จาํ นวนในรูปกรณ์ทีถอดกรณ์ไม่ได้ เช่น 2 , 3 , 5 , ... 1. เลขยกกาํ ลงั ทมี เี ลขชีกาํ ลงั เป็ นจาํ นวนเตม็ บทนิยาม เมือ a เป็นจาํ นวนใดๆ และ n เป็นจาํ นวนเตม็ บวก an = a × a × a × … × a n ตวั เรียก an ว่าเลขยกกาํ ลงั ทีมี a เป็น ฐาน และ n เป็นเลขชีกาํ ลงั เช่น 54 = 5  5  5  5 = 625 กฎของเลขยกกาํ ลงั ถา้ a,b เป็นจาํ นวนจริงโดยที m และ n เป็นจาํ นวนเต็มบวก กฎขอ้ ที am ∙ bn = am + n เช่น  = + 4

20 กฎขอ้ ที เมือ a  0 กฎขอ้ ที am = 1 ถา้ m  n กฎขอ้ ที an กฎขอ้ ที am an = am- n ถา้ m  n เช่น 25 = 25 - 3 23 am = 1 ถา้ n  m เช่น 32  1 an an-m  am n = amn 35 35  2 เช่น ( ) = x 3 (ab )n = a n bn เช่น (  ) = ×  a n an เมือ b  0 เชน่  2 5 25   3 35      bn   b  บทนยิ าม เมอื a เป็นจาํ นวนจริง ทีไม่เท่ากบั ศนู ย์ และ n เป็นจาํ นวนเต็มบวกแลว้ a0 = 1 เมอื a ≠ 0 a-n = a1n เมอื a ≠ 0

21 เรืองที จาํ นวนจริงในรูปกรณฑ์ การเขียนเลขยกกาํ ลงั เมือเลขชีกาํ ลงั เป็นจาํ นวนตรรกยะสามารถทาํ ไดโ้ ดยอาศยั ความรู้เรือง รากที n ของจาํ นวนจริง a และจาํ นวนจริงในรูปกรณ์ ( กรณ์ที n ของ a เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ n a ) และมบี ทนิยามดงั นี บทนิยาม ให้ n เป็นจาํ นวนเตม็ บวกทีมากกว่า 1 เมือ a และ b เป็นจาํ นวนจริง a เป็นรากที n ของ b กต็ ่อเมอื an  b พิจารณาตวั อยา่ งต่อไปนี ดงั นนั เป็นรากที ของ เนืองจาก = 8 ดงั นนั – เป็นรากที ของ - เนืองจาก (– ) = –32 ดงั นนั และ – เป็นรากที ของ เนืองจาก = 9 และ (– ) = ตวั อย่างที จงหาค่าของ ) 4 16 , ) 3  27 วธิ ีทาํ 1) 4 16  4 2  2  2  2 = 2 (หรือพิจารณา = ดงั นนั 4 16 = 2) ) 3  27  3 (3)  (3)  (3)   3 (หรือพจิ ารณา (– ) = –27 ดงั นนั 3  27 = – ) สมบัตขิ องรากที n ของจาํ นวนจริง เมอื n เป็นจาํ นวนเต็มบวกทีมากกวา่ 1 โดยที a และ b เป็นจาํ นวนจริงทีมรี ากที n  ) n a n  a เมอื n a เป็นจาํ นวนจริง เช่น ( 3)2 = 3 a เมือ a  0 เช่น 4 2  4, 3 53  5 2) n an = a เมือ a  0 และ n เป็ นจาํ นวนคี เช่น 3 (2)3   2 a เมือ a  0 และ n เป็ นจาํ นวนคู่ เช่น (5)2   5  5 3) n ab = n a  n b เช่น 12  4  3  4 3  2 3 3  40  3 (8)(5)  3  8 3 5  2 3 5 4) n a = n a , b0 เช่น 3 2  32  32 b n b 27 3 27 3

22 ตวั อยา่ งที จงเขียนจาํ นวนต่อไปนีใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งง่าย 1) 200 2) 18 3) 3 24 4) 2 6 5) 3 16 3 81 วิธีทาํ 1) 200 = 100  2 = 100 2 = 10 2 2) 18 = 92 = 92 = 32 3) 3 24 = 3 8.3 = 38 33 = 23 3 4) 2 6 = 26 = 223 = 23 = 3 16 81 = 3 24 34 = 63 6 5) 3 16 3 18

23 เรืองที 3 การบวก การลบ การคูณ การหาร จาํ นวนทมี เี ลขชีกาํ ลังเป็ นจาํ นวนตรรกยะและจาํ นวนจริงในรูปกรณฑ์ 3.1 การบวก และการลบจาํ นวนทีอย่ใู นรูปกรณฑ์ สมบตั ิของการบวกจาํ นวนจริง ขอ้ หนึงทีสาํ คญั และมกี ารใชม้ าก คือ สมบตั ิการแจกแจงในการ บวก พจนค์ ลา้ ย ดงั ตวั อยา่ ง 1) 3x  5x  3  5x  8x 2) 6a  2a  6  2a  4a สมบตั ิของการแจกแจง สมบตั ิของการแจกแจง ดว้ ยวิธีการเช่นนีเราสามารถใชส้ มบตั ิการแจกแจงในเรืองการบวก การลบ ของจาํ นวนทีอยใู่ น เครืองหมายกรณฑอ์ นั ดบั เดียวกนั ทีเรียกว่า “พจนค์ ลา้ ย”    ดงั นนั 3 2  5 2  3  2  5  2  3  5 2  8 2 สมบตั ิการแจกแจง ตวั อย่างที จงหาค่าของ 12  27  3 วิธีทาํ 12  27  3 = 4  3  9  3  3 = 2 33 3 3 = 2  3  1 3 = 43 ตวั อย่างที จงหาค่าของ 20  45  125 วธิ ีทาํ 20  45  125 = 4 5  9 5  25 5 = 2 53 55 5 = 2  3  5 5 =0 5 = 3.2 การคูณ และการหารจาํ นวนทอี ย่ใู นรูปกรณฑ์ การคณู จากสมบตั ขิ อ้ ที ของรากที n ทีกลา่ ววา่ n ab  n a  n b เมือ n a และ n b เป็ นจาํ นวนจริง 

24 ตวั อยา่ งที จงหาผลคณู และตอบในรูปอยา่ งง่าย ) 2 3 3 5  = 2  33  5 ) (3 8)(5 2) = 6√15 ) 23 6 53 4  = 3 85 2 = 15 16 = 154 = 60 = 2 53 6 3 4 = 20 √3 4) 3 2 4 3  5 6  = 3 2 4 3  3 2 5 6  = 12 6  15 12 = 12 6  15 4 3 = 12 6  30 3 ( 4 = 22 = 2) การหาร วธิ ีที ใชส้ มบตั ิขอ้ na = n a เมอื b ≠ 0 nb b เช่น 20 = 20 = 4=2 5 5 วิธีที ใชส้ มบตั ิขอ้ n ab = n a  n b เช่น 20 = 5 4 = 4 =2 5 5 วธิ ีที ใชส้ มบตั ิการคณู ตวั เศษและการคณู ตวั ส่วนดว้ ยจาํ นวนเดียวกนั เช่น 20 = 20  5 = 100 = 10 = 2 5 5 5 5 5

25 ตวั อยา่ งที จงเขียนเศษส่วนต่อไปนี โดยใหต้ วั ส่วนไมอ่ ยใู่ นรูปกรณฑ์ ) 5 = 5 = 4 5 = 4 5 2 = 10 32 16 2 2 2 2 8 2) 18 = 9 2 = 3 2 = 2 3 = 6 27 9 3 3 3 3 3 3 ตวั อยา่ งที จงเขียนเศษส่วน 4 2 โดยใหต้ วั ส่วนไมอ่ ยใู่ นรูปกรณฑ์ 5  วธิ ีทาํ4 2= 4 5 2 = 4 5 2 =4 54 2 5 5 2 5 2 52 3 NOTE : ตวั อยา่ งที อาศยั การแยกตวั ประกอบทีเรียกว่า ผลต่างกาํ ลงั สอง (a + b)(a - b) = a2 – b2  5  3 5  3 =  5 2   3 2 = 5 – 3 = 2 เครืองหมายต่างกนั

26 3.3 เลขยกกาํ ลงั ทีมเี ลขชีกาํ ลงั เป็ นจาํ นวนตรรกยะ และ a มรี ากที n บทนยิ าม เมือ a เป็นจาํ นวนจริง n เป็น จาํ นวนเต็มทีมากกว่า จะไดว้ า่ 1 an  n a พจิ ารณาต่อไปนี 1 1 ) 52 = 5 และ ( 52 )2 = 5 1 1 2) 23 = 3 2 และ ( 23 )3 = 2 บทนิยาม ให้ a เป็นจาํ นวนจริง m และ n เป็นจาํ นวนเต็มที n > และ m เป็นเศษส่วนอยา่ งตาํ n m1 จะไดว้ า่ a n = (a n )m = ( n a )m m 1 (a m ) n  n am an  ตวั อยา่ งที จงหาค่าของจาํ นวนต่อไปนี 21 [ 3 8 ]2 = (2) = 4 [ 3 27 ]4 = (3)4 = 81 ) 8 3 = [83 ]2 = [ 3 125 ]2 = (5)2 = 25 () = 8 41 [ 4 ]3 = = 253 25 2) 27 3 = [ 273 ]4 = = 3 254 21 3) 1253 = [1253 ]2 = 31 4) 4 2 = [ 4 2 ]3 = 41 5) 253 = [ 254 ]3

27 กิจกรรมบทที แบบฝึ กหัดที . จงหาว่าจาํ นวนทีกาํ หนดใหต้ ่อไปนี จาํ นวนใดเป็นจาํ นวนตรรกยะ หรือจาํ นวนอตรรกยะ 1) - 6)  5 ) 2 ) . ... 7) 2 8) 2.020020002… ) π 9) ) - . ) ( - )π . จงทาํ ใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งง่ายและเลขชีกาํ ลงั เป็นจาํ นวนเตม็ 1) a3  4a5 ) 23 35 2) 6b6 35 20 3b 1 ) 30  34  310 ) ( a2) (3)8 ) ( ab-1)(ab2)- )( )∙ - 3  ) x  y y2x 4 แบบฝึ กหัดที . จงหาค่าของจาํ นวนจริงต่อไปนี 1) 16 2) 3 27 3) 3 8 4) 3 2 64 8) 3  8 5) 3 82 6) 4 16 27 4) 3 24 7) 3 125 27 . จงเขียนจาํ นวนต่อไปนีใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งง่าย โดยใชส้ มบตั ิของ รากที n 1) 36 2) 8 3) 4 25 3 49 27

28 แบบฝึ กหัดที . จงทาํ จาํ นวนต่อไปนีใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งง่าย ) 2 35 3 ) 4 56 5 ) 33 7  53 7 ) 3 8  32 ) 8  18  2 ) 20  45  80 ) 12  27  4 3 ) 53 54  23 16 . จงหาผลคูณของแต่ละขอ้ ต่อไปนี ) 6  12 ) 4 2  6 5  ) 2  3  2  )  7  2 7  2 . จงทาํ ใหส้ ่วนของจาํ นวนต่อไปนี ไมต่ ิดอยใู่ นรูปกรณฑ์ ) 6 ) 8 ) 27  12 )3 3 3 3 32 3 2 ดูเฉลยกจิ กรรมท้ายเล่ม

29 บทที เซต สาระสําคญั 1. เซต หมายถงึ กลุม่ คน สตั ว์ สิงของ ทีรวมกนั เป็นกลุ่ม โดยมสี มบตั ิบางอยา่ งร่วมกนั และ บรรดาสิงทงั หลายทีอยใู่ นเซตเรียกวา่ “ สมาชกิ ” ในการศกึ ษาเรืองเซตจะประกอบไปดว้ ย ความหมายของเซต ชนิดของเซต สบั เซต และ เอกภพสมั พทั ธ์ 2. การดาํ เนินการของเซต คือ การนาํ เซตต่าง ๆ มากระทาํ ร่วมกนั เพอื ใหเ้ กิดเป็นเซตใหม่ ซึงทาํ ได้ 4 วิธีคือ ยเู นียน อนิ เตอร์เซคชนั ผลต่างระหว่างเซต และคอมพลเี มนต์ 3. แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ จะช่วยใหก้ ารพจิ ารณาเกียวกบั เซตไดง้ ่ายขึนโดยใชห้ ลกั การคือ 3.1 ใชร้ ูปสีเหลยี มผนื ผา้ แทนเอกภพสมั พทั ธ์ “U” 3.2 ใชว้ งกลมหรือวงรีแทนเซตต่าง ๆ ทีเป็นสมาชิกของ “U” และเขียนภายในสีเหลียมผนื ผา้ ผลการเรียนรู้ทีคาดหวงั 1. อธิบายความหมายเกียวกบั เซตได้ 2. สามารถหายเู นียน อินเตอร์เซกชนั ผลต่างของเซต และคอมพลีเมนต์ ได้ 3. เขียนแผนภาพแทนเซตและนาํ ไปใชแ้ กป้ ัญหาทีเกียวกบั การหาสมาชิกของเซตได้ ขอบข่ายเนอื หา เซต เรืองที การดาํ เนินการของเซต เรืองที แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์และการแกป้ ัญหา เรืองที

30 เรืองที เซต (Sets) 1.1 ความหมายของเซต เซต หมายถึง กลุ่มสิงของต่าง ๆ ไมว่ า่ จะเป็น คน สตั ว์ สิงของหรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึงระบุสมาชิกในกล่มุ ได้ เช่น 1) เซตของเดือนในหนึงปี 2) เซตของพยญั ชนะในคาํ ว่า “คุณธรรม” 3) เซตของจาํ นวนเต็ม และเรียกสิงต่าง ๆ ทีอยใู่ นเซตวา่ “สมาชิก” ( Element ) ของเซตนนั เช่น 1) เดือนมนี าคมเป็นสมาชกิ เซตของเดือนในหนึงปี 2) “ร” เป็นสมาชิกเซตของพยญั ชนะในคาํ ว่า “คุณธรรม” 3) 5 เป็นสมาชิกเซตของจาํ นวนเตม็ . วธิ ีการเขยี นเซต การเขียนเซตเขียนได้ แบบ . แบบแจกแจงสมาชิกของเซต โดยเขียนสมาชิกทุกตวั ของเซตลงในเครืองหมายวงเลบ็ ปี ก กาและใชเ้ ครืองหมายจุลภาค (,) คนั ระหวา่ งสมาชิกแต่ละตวั นนั ตวั อยา่ ง A = { , , , , } B = { a, e, i, o, u} C = {มกราคม, กุมภาพนั ธ,์ ..., ธนั วาคม} . แบบบอกเงือนไขของสมาชิกในเซต โดยใชต้ วั แปรแทนสมาชิกของเซต และบอกสมบตั ิ ของสมาชิกในรูปของตวั แปร ตวั อยา่ ง A = { x | x เป็นจาํ นวนเตม็ บวกทีมคี ่านอ้ ยกว่าหรือเท่ากบั } B = { x | x เป็นสระในภาษาองั กฤษ} สญั ลกั ษณ์ | แทนคาํ วา่ “ซึง” C = {x | x เป็นชือเดือนในหนึงปี } การเขยี นชือเซต โดยทวั ๆ ไป การเขียนชือเซตหรือการเรียกชือของเซตจะใชต้ วั อกั ษรภาษาองั กฤษ ตวั พมิ พใ์ หญ่ไดแ้ ก่ A , B , C , . . . , Y , Z ทงั นีเพือความสะดวกในการอา้ งอิงเมือเขียนหรือกลา่ วถึง เซตนนั ๆ ต่อไป สาํ หรับสมาชิกในเซตจะเขียนโดยใชอ้ กั ษรภาษาองั กฤษตวั พมิ พเ์ ลก็ ไดแ้ ก่ a, b, c, …, y, z สญั ลกั ษณ์  ( Epsilon) แทนความหมายวา่ “อยใู่ น” หรือ “ เป็นสมาชิกของ” เช่น A = {2 , 3 , 4 , 8 , 10} 2 เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนดว้ ย 2  A

31 10 เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนดว้ ย 10  A ใชส้ ญั ลกั ษณ์  แทนความหมาย “ไม่อยู่ หรือ “ไม่เป็นสมาชิกของ” เช่น 5 ไม่เป็นสมาชิกของเซต A เขียนแทนดว้ ย 5  A 7 ไม่เป็นสมาชิกของเซต A เขียนแทนดว้ ย  A ขอ้ สงั เกต 1. การเรียงลาํ ดบั ของแต่ละสมาชิกไมถ่ ือเป็นสิงสาํ คญั เช่น A = { a , b , c } B = {b,c,a} ถือว่าเซต A และเซต B เป็นเซตเดียวกนั 2. การนบั จาํ นวนสมาชิกของเซต จาํ นวนสมาชกิ ทีเหมอื นกนั จะนบั เพยี งครังเดียว ถงึ แมจ้ ะเขียนซาํ ๆ กนั หลาย ๆ ครัง เช่น A = { 0 , 1 , 2 , 1 , 3 } มีจาํ นวนสมาชิก 4 ตวั คือ 0 , 1 , 2 , 3 เป็ นตน้ 1.3 ชนิดของเซต 1.3.1 เซตว่าง ( Empty Set or Null Set ) คือ เซตทีไม่มีสมาชิก ใชส้ ญั ลกั ษณ์  (อ่านวา่ phi) หรือ { } แทนเซตว่าง ตวั อยา่ ง A = { x | x เป็นชือทะเลทรายในประเทศไทย } ดงั นนั A เป็นเซตว่าง เนืองจากประเทศไทยไมม่ ที ะเลทราย หรือ A =  หรือ A = { } ข้อสังเกต 1. เซตวา่ งมจี าํ นวนสมาชิก เท่ากบั ศนู ย์ ( ไมม่ ีสมาชิกเลย ) 2. 0  Ø 3. { 0 } ไม่เป็นเซตวา่ ง เพราะมีจาํ นวนสมาชิก 1 ตวั . . เซตจาํ กดั ( Finite Set ) คือ เซตทีสามารถระบุจาํ นวนสมาชิกในเซตได้ จาํ นวนสมาชกิ ของเซต A เขียนแทนดว้ ย n(A) ตวั อยา่ ง A = { 1 , 2 , {3} } มจี าํ นวนสมาชกิ 3 ตวั คือ , 2 และ {3} หรือ n(A) = 3 B = { x | x เป็นจาํ นวนเตม็ และ 1 ≤ x ≤ 10 } มีจาํ นวนสมาชิก 10 ตวั คือ , 2, 3, …, 10 หรือ n(B) = 10

32 C = { x | x เป็นจาํ นวนเต็มทีอยรู่ ะหวา่ ง 0 กบั 1 } ดงั นนั C เป็นเซตวา่ ง มีจาํ นวนสมาชิก 0 ตวั หรือ n(C) = 0 D = { x | x เป็นชือวนั ในหนึงสปั ดาห์ } มจี าํ นวนสมาชิก 7 ตวั หรือ n(E) = 7 . . เซตอนนั ต์ ( Infinite Set ) คือ เซตทีมจี าํ นวนสมาชิกไมจ่ าํ กดั นนั คือไมส่ ามารถบอกจาํ นวนสมาชิกได้ ตวั อยา่ ง A = { -1 , -2 , -3 , … } B = { x | x = 2n เมอื n เป็นจาํ นวนนบั } C = { x | x เป็นจาํ นวนจริง } T = { x | x เป็นจาํ นวนนบั } ตวั อย่าง ใหบ้ อกวา่ เซตต่อไปนี เซตใดเป็นเซตวา่ ง เซตจาํ กดั หรือเซตอนนั ต์ เซต เซตว่าง เซตจาํ กดั เซตอนนั ต์ 1. เซตของผทู้ ีเรียนการศกึ ษานอกโรงเรียน / / / ปี การศึกษา 2. เซตของจาํ นวนเต็มบวกคี 3. เซตของสระในภาษาไทย / 4. เซตของจาํ นวนเต็มทีหารดว้ ย 10 ลงตวั 5. เซตของทะเลทรายในประเทศไทย / / . . เซตทีเท่ากนั ( Equal Set ) เซตสองเซตจะเท่ากนั กต็ ่อเมือทงั สองเซตมีสมาชิกอยา่ ง เดียวกนั และจาํ นวนเท่ากนั เซต A เท่ากบั เซต B เขียนแทน ดว้ ย A = B A = B หมายความว่า สมาชิกทกุ ตวั ของเซต A เป็นสมาชิกทุกตวั ของเซต B และสมาชิก ทุกตวั ของเซต B เป็นสมาชิกทุกตวั ของเซต A ถา้ สมาชิกตวั ใดตวั หนึงของเซต A ไมเ่ ป็นสมาชิกของเซต B หรือสมาชิกตวั ใดตวั หนึงของเซต B ไม่เป็นสมาชิกของเซต A แสดงว่า เซต A ไมเ่ ท่ากบั เซต B เซต A ไมเ่ ท่ากบั เซต B เขียนแทนดว้ ย A ≠ B ตวั อย่างที กาํ หนดให้ A = { 2 , 4 , 6 , 8 } B = { x | x เป็นจาํ นวนเตม็ บวกคู่ทีนอ้ ยกวา่ 10 } วธิ ที ํา A = { 2 , 4 , 6 , 8 } พิจารณา B เป็นจาํ นวนเตม็ บวกคู่ทีนอ้ ยกวา่ 10

33 จะได้ B = {2,4,6,8} ดงั นนั A=B ตวั อย่างที 2 A = { 0 , { 1,2 } } B = { 0, 1, 2} ดงั นนั A≠B เพราะ A มสี มาชิก ตวั คือ และ { , } B มีสมาชิก 3 ตวั คือ , 1 และ ตวั อย่างที กาํ หนดให้ A = { 2 , 3 , 5 } , B = { 5 , 2 , 3 , 5 } และ C = { x | x2 – 8x + 15 = 0 } วธิ ที ํา พจิ ารณา x2 - 8x + 15 = 0 ดงั นนั ( x – 3 ) (x – 5 ) = 0 แต่ x = 3,5 C = {3,5} A = B เพราะ A และ B มสี มาชิก ตวั คือ , , เหมือนกนั A ≠ C เพราะ 2  A แต่ 2  C B  C เพราะ 2  B แต่ 2  C . สับเซต เซต A เป็นสบั เซตของเซต B กต็ ่อเมอื สมาชิกทุกตวั ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B ใชส้ ญั ลกั ษณ์  แทนคาํ ว่า “เป็นสบั เซตของ” ใชส้ ญั ลกั ษณ์  แทนคาํ ว่า “ไมเ่ ป็นสบั เซตของ” ตวั อย่าง A = {0, , } B = {0, , , , , } A  B เพราะสมาชิกทุกตวั ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B B  A เพราะสมาชิกทุกตวั ของเซต B ไมเ่ ป็นสมาชิกของเซต A ข้อสังเกต . เซตทุกเซตเป็นสบั เซตของตวั มนั เอง นนั คือถา้ เซต A เป็นเซตใดๆแลว้ A  A . เซตวา่ งเป็นสบั เซตของทุกเซต นนั คือถา้ เซต A เป็นเซตใดๆแลว้ { }  A

34 . เอกภพสัมพนั ธ์ คือ เซตทีกาํ หนดขึนโดยมขี อ้ ตกลงกนั ว่าจะไมก่ ล่าวถงึ สิงอืนใด นอกเหนือไปจากสมาชกิ ของเซตทีกาํ หนด ใชส้ ญั ลกั ษณ์ U แทน เอกภพสมั พทั ธ์ ตวั อยา่ งที กาํ หนดให้ U เป็นเซตของจาํ นวนจริง และ A = x | x2 = 4 จงเขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิก ตอบ A = 2, -  ตวั อยา่ งที กาํ หนดให้ U เป็นเซตของจาํ นวนนบั และ A x | x2 = 4 จงเขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิก ตอบ A = 2 ข้อสังเกต ถา้ ไมม่ กี ารกาํ หนดเอกภพสมั พทั ธ์ ใหถ้ ือว่าเอกภพสมั พทั ธน์ นั เป็นเซตของจาํ นวนจริง

35 เรืองที การดาํ เนินการของเซต . การยเู นยี นของเซต ใชส้ ญั ลกั ษณ์ “ ” A  B = { x | x  A  x  B } อ่านว่า A ยเู นียน B เท่ากบั เชตของ x ซึง x อยใู่ น A หรือ x อยใู่ น B สัญลกั ษณ์  แทนคาํ ว่า “หรือ” ตวั อย่างที 1 ถา้ A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7} จะได้ A  B = {0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7} ตวั อย่างที 2 ถา้ W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b} จะได้ W  Z = {a , s , d , f , p , k , b} ตวั อย่างที 3 ถา้ M = {x | x เป็นจาํ นวนเต็มบวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4} จะได้ M  L = M .2 การอนิ เตอร์เซคชัน ใชส้ ญั ลกั ษณ์ “ ” A  B = { x|x A  xB } อ่านวา่ A อนิ เตอร์เซค B เท่ากบั เซตของ x ซึง x อยู่ ใน A และ x อยใู่ น B สัญลกั ษณ์  หมายถึง “และ” ตวั อย่างที 1 ถา้ A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7} ตวั อย่างที 2 ตวั อย่างที 3 จะได้ A  B = {1 , 3} ถา้ W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b} จะได้ WZ= { } ถา้ M = {x | x เป็นจาํ นวนเตม็ บวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4} จะได้ M  L = L

36 .3 คอมพลเี ม้นต์ของเซต ใชส้ ญั ลกั ษณ์ “ / ” ถา้ U เป็นเอกภพสมั พทั ธ์ คอมพลเี มนตข์ อง A คือ เซตทีประกอบดว้ ยสมาชิกทีอยใู่ น U แต่ ไม่อยใู่ น A เขียน A แทนคอมพลเี มน้ ทข์ องเซต A ดงั นนั A = { x | x  A } ตวั อย่าง 1. ถา้ U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และ A = {0 ,2} จะได้ = {1, 3,4, 5} ตวั อย่าง 2. ถา้ U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เป็นจาํ นวนค่}ู จะได้ = { x |x U และ x เป็นจาํ นวนคี } . ผลต่างของเซต ใชส้ ญั ลกั ษณ์ “ – ” ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B คือ เซตทีประกอบดว้ ยสมาชิกของเซต A ซึงไมเ่ ป็น สมาชิกของเซต B ผลต่างระหว่างเซต A และ B เขียนแทนดว้ ย A – B ดงั นนั A - B = { x | x  A  x  B } จะเห็นว่า A - B ≠ B - A ตวั อย่าง 1. ถา้ A = {0, 1, 2, 3, 4} และ B = {3 , 4 , 5 , 6 , 7} จะได้ A - B = {0, 1, 2} และ B - A = {5 , 6 , 7} ตวั อย่าง 2. ถา้ U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เป็นจาํ นวนคู่บวก} จะได้ U – C = {x|x เป็นจาํ นวนคีบวก}

37 เรืองที แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์และการแก้ปัญหา 3.1 แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ การเขียนแผนภาพแทนเซตชว่ ยใหเ้ ขา้ ใจเกียวกบั ความสมั พนั ธร์ ะหว่างเซตชดั เจนยงิ ขึน การเขียนแผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์ (Venn-Euler) เพอื แสดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งเซต นิยมเขียนรูป สีเหลยี มมมุ ฉากแทนเอกภพสมั พทั ธ์ (U) และใชร้ ูปวงกลม วงรี หรือรูปปิ ดใด ๆ แทนเซต A, B, C,… ซึง เป็นสบั เซตของ U UA U แผนภาพเอกภพสมั พนั ธ U แผนภาพแสดงเซต A เปนสบั เซตของ A BU เองภพสัมพันธ U A BU แผนภาพแสดงเซต A และเซต B ซึ่งเปน สับ แผนภาพแสดงเซต A และเซต B ซึ่งเปน สับ เซตของ U โดยเซต A และเซต B ไมม สี มาชิก เซตของ U โดยเซต A และ เซต B มี ซํา้ กันเลย สมาชิกบางตวั ซา้ํ กัน U A BU B A แผนภาพแสดงเซต A และเซต B ซง่ึ เปน สบั แผนภาพแสดงเซต A และเซต B เซตของ U และ A B ซึ่งปนสบั เซตของ U และ A = B

38 ตวั อย่าง A a de i BU จากแผนภาพ c U = {a, b, c, …, n} b f ghl j m A = {a, b, c, d, e, f, g, h} B = {d, e, g, h, i, j, l} kC n C = {f, g, h, k, l} ในทีนี เซต A และ B มสี มาชิกร่วมกนั คือ {d, e, g, h} เซต B และ C มสี มาชิกร่วมกนั คือ {g, h, l} เซต A และ C มสี มาชิกร่วมกนั คือ {f, g, h} เซต A, B และ C มีสมาชิกร่วมกนั คือ {g, h} . . ยูเนียน (Union) ยเู นียนของเซต A และ B คือเซตทีประกอบดว้ ย สมาชิกของเซต A หรือสมาชิกของเซต B หรือทงั สองเซต เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A B เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ แสดง A  B ไดด้ งั นี U U BU A AB AB (ส่วนทีแรเงาคือ A  B ) . . อนิ เตอร์เซกชนั (intersection) อนิ เตอร์เชกชนั ของเซต A และ เซต B คือเซตทีประกอบดว้ ยสมาชิกทีอยรู่ ่วมกนั ทงั เซต A และ เซต B เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A B เขียนแผนภาพของแวนน์ – ออยเลอร์ แสดง A B ไดด้ งั นี UU U AB A AB B (ส่วนทีแรเงาคือ A  B )

39 . . คอมพลเี มนต์ (Complement) คอมพลเี มนตข์ องเซต A คือ เซตทีประกอบดว้ ยสมาชิกของเอกภพสมั พทั ธ์ (U) แต่ไม่เป็นสมาชิก ของ A เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A (อา่ นวา่ เอไพรม)์ เขียนแผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์แสดง A ได้ ดงั นี U A (ส่วนทีแรเงา คือ A) . . ผลต่าง (Relative Complement or Difference) ผลต่างของเซต A และ เซต B คือเซตทีประกอบดว้ ยสมาชิกทีอยใู่ นเซต A แต่ไม่ไดอ้ ยใู่ นเซต B เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A – B ไดด้ งั นี เขียนแผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์แสดง A – B ได้ ดงั นี U B A U UA A BB (ส่วนทีแรเงา คือ A – B) . การหาจาํ นวนสมาชิกของเซตจาํ กดั ใหพ้ จิ ารณา สมาชิกของ U เซต A และเซต B ในภาพ Am U U = {p, q, d, m} pd B A = {p, d} B = {d, q} q A  B = {d} A  B = {p, d, q} จะได้ 1) n (A) =2 2) n (B) =2 2) n (A  B) = 1 4) n (A  B) = 3

40 ถา้ เซต A และ B ไมม่ ีสมาชิกร่วมกนั จะได้ n (A  B) = n (A) + n (B) ถา้ เซต A และ B มสี มาชิกบางตวั ร่วมกนั จะได้ n (A  B) = n (A) + n (B) – n (A  B) ตวั อย่าง กาํ หนดให้ A มีสมาชิก 15 ตวั B มสี มาชิก 12 ตวั A  B วธิ ที ํา มีสมาชิก 7 ตวั จงหาจาํ นวนสมาชิกของ A  B n (A) = 15 , n (B) = 12 , n (A  B ) = 7 จากสูตร n ( A  B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A  B) = 15 + 12 – 7 = 20 ดงั นนั จาํ นวนสมาชิกของ A  B เท่ากบั 20 ตวั กรณีใน U มี เซต คือ เซต A เซต B และเซต C จาํ นวนสมาชิกใน A หรือ B หรือ C คือ n(A  B  C) หาไดจ้ ากสูตร n (A  B  C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A  B) – n (B  C) - n (A  C) + n (A  B  C) ตวั อย่าง พิจารณาจากรูป ตวั เลขในภาพแสดงจาํ นวนสมาชิกของเซต จะได้ 1) n (U) = 60 2) n (A) = 26 3) n (B  C) =7 4) n (A  C) =8 5) n (A  B  C ) = 3

41 . การแก้ปัญหาเกยี วกบั จาํ นวนสมาชิกของเซต ตวั อย่างที 1 บริษทั แห่งหนึงมีพนกั งาน 80 คน พบว่า พนกั งาน 18 คนมรี ถยนต์ พนกั งาน 23 คน มีบา้ นเป็นของตวั เอง และพนกั งาน 9 คน มีบา้ นและรถยนตข์ องตวั เอง จงหา 1) จาํ นวนพนกั งานทงั หมดทีมรี ถยนตห์ รือมีบา้ นเป็นของตวั เอง 2) จาํ นวนพนกั งานทีไมม่ ีรถยนตห์ รือบา้ นของตวั เอง วธิ ีทํา ให้ U แทนเซตของพนกั งานทงั หมด A แทนเซตของพนกั งานทีมีรถยนต์ B แทนเซตของพนกั งานทีมีบา้ นเป็นของตวั เอง เขียนจาํ นวนพนกั งานทีสอดคลอ้ งกบั ขอ้ มลู ลงในแผนภาพ เวนท์ – ออยเลอร์ จากแผนภาพจะไดว้ า่ 1) n (A) = 18 , n (B) = 23 , n (A  B) = 9 โดยใชส้ ูตร n (A  B) = n(A) + n(B) - n (A  B) = 18 + 23 – 9 = 32 ดงั นนั จาํ วนพนกั งานทีมรี ถยนตห์ รือมีบา้ นของตวั เองเป็น 32 คน 2) เนืองจากพนกั งานทงั หมด 80 คน นนั คือ พนกั งานทีไม่มรี ถยนตห์ รือบา้ นของตวั เอง = 80 - 32 = 48 คน ตวั อย่างที 2 ในการสาํ รวจเกยี วกบั ความชอบของนกั ศกึ ษา 100 คน พบว่านกั ศกึ ษาทีชอบเรียน คณิตศาสตร์ 52 คน นกั ศกึ ษาทีชอบเรียนภาษาไทย 60 คน นกั ศึกษาทีไมช่ อบเรียน คณิตศาสตร์และไม่ชอบเรียนภาษาไทยมี 14 คน จงหานกั ศกึ ษาทีชอบเรียนคณิตศาสตร์ และภาษาไทย

42 วธิ ีทาํ เขียนแผนภาพ เวนท์ – ออยเลอร์ ให้ U แทนเซตของนกั ศกึ ษาทงั หมด A แทนเซตของนกั ศกึ ษาทีชอบเรียนคณิตศาสตร์ B แทนเซตของนกั ศึกษาทีชอบเรียนภาษาไทย ให้ x แทนจาํ นวนนกั ศกึ ษาทีชอบเรียนคณิตศาสตร์และภาษาไทย หรือ n (A B) = x ดงั นนั จาํ นวนนกั ศกึ ษาทีชอบคณิตศาสตร์อยา่ งเดียว หรือ n (A) = 52 – x จาํ นวนนกั ศกึ ษาทีชอบภาษาไทยอยา่ งเดียว หรือ n (B) = 60 – x จากแผนภาพเขียนสมการไดด้ งั นี ( 52 - x ) + x + ( 60 - x ) = 100 - 14 112 - x = 86 x = 112 - 86 = 26 ดงั นนั จาํ นวนนกั ศกึ ษาทีชอบเรียนคณิตศาสตร์และภาษาไทย มี 26 คน ตวั อย่างที ในการสาํ รวจผใู้ ชส้ บู่ 3 ชนิด คือ ก , ข , ค พบวา่ มผี ใู้ ชช้ นิด ก. 113 คน, ชนิด ข. 180 คน, ชนิด ค. 190 คน, ใชช้ นิด ก . และ ข. 45 คน, ชนิด ก. และ ค. 25 คน, ชนิด ข. และ ค. 20 คน, ใชท้ งั 3 ชนิด 15 คน, ไม่ใชท้ งั 3 ชนิด 72 คน จงหาจาํ นวนของผเู้ ขา้ รับการสาํ รวจทงั หมด วธิ ที าํ ให้ U แทนจาํ นวนผสู้ าํ รวจทงั หมด A แทนผใู้ ชส้ บ่ชู นิด ก. B แทนผใู้ ชส้ บู่ชนิด ข. C แทนผใู้ ชส้ บู่ชนิด ค.

43 เขียนจาํ นวนผใู้ ชส้ บ่ทู ีสอดคลอ้ งกบั ขอ้ มลู ลงในแผนภาพตามลาํ ดบั คือ 1) ใส่จาํ นวนผใู้ ชส้ บู่ทงั ชนิด หรือ n (A  B C) = 15 2) ใส่จาํ นวนผใู้ ชส้ บู่ ชนิด ทีลบดว้ ยจาํ นวนผใู้ ชส้ บ่ทู งั ชนิด หรือ n (A B) = 45 – 15 = 30 n (A C) = 25 – 15 = 10 n (B  C) = 20 – 15 = 5 3) ใส่จาํ นวนผใู้ ชส้ บู่ชนิดเดียว n (A) = 113 – 30 – 15 – 10 = 58 n (B) = 180 – 30 – 15 – 5 = 130 n (C) = 190 – 10 – 15 – 5 = 160 จาํ นวนผทู้ ีใชส้ บู่ ก. หรือ ข. หรือ ค. หรือ n(A  B  C) = 58 + 30 + 10 + 15 + 160 + 5 + 130 = 408 คน จาํ นวนผทู้ ีไมใ่ ชท้ งั 3 ชนิด = 72 คน ดงั นนั จาํ นวนของผเู้ ขา้ รับการสาํ รวจทงั หมด 408 + 72 = 480 คน

44 กจิ กรรมบทที แบบฝึ กหัดที 1. จงเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก 1) A เป็นเซตชือของปี นกั ษตั ร 2) M = {x | x N และ 5 ≤ x ≤ 10} 3) P = {x | x เป็นพยญั ชนะในคาํ วา่ Philippine} 2. จงเขียนเซตแบบบอกเงือนไข 1) N = {มกราคม, มีนาคม, พฤษภาคม, กรกฎาคม, สิงหาคม, ตุลาคม, ธนั วาคม} 2) B = {2, 4, 6, 8, 10} 3) D = เป็นเซตของจาํ นวนเตม็ ตงั แต่ ถงึ และ หารลงตวั 3. กาํ หนดให้ U = {x | xN และ x ≤ 15} A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} C = {3, 6, 9, 12, 15} จงหา 1) A  B 2) A  C 3) B – C 4) B 5) (A  B)  C 6) (A B)  - C 4. จากการสอบถามเดก็ ผชู้ าย คน ชอบของเลน่ ทีเป็นรถสีแดง คน สีฟ้ า คน สีเขียว คน ชอบทงั สีแดงและสีเขียว คน ชอบทงั สีฟ้ าและสีเขียว คน ชอบสีแดงและสีฟ้ า คน ชอบทงั สามสี คน จงหาว่าเด็กทีชอบของเล่นทีเป็นรถเพียงสีเดียวมีกคี น ดูเฉลยกจิ กรรมท้ายเล่ม

45 บทที การให้เหตผุ ล สาระสําคญั 1. การใหเ้ หตุผลแบบอปุ นยั เป็นการสรุปผลภายหลงั จากคน้ พบความจริงทีไดจ้ ากการสงั เกตหรือ การทดลองหลาย ๆ ครังจากทุก ๆ กรณียอ่ ยแลว้ นาํ บทสรุปมาเป็นความรู้แบบทวั ไปเราเรียก ขอ้ สรุปแบบนีว่า “ ขอ้ ความคาดการณ์” 2. การใหเ้ หตุผลแบบนิรนยั ไมไ่ ดค้ าํ นึงถึงความจริงหรือความเทจ็ แต่จะคาํ นึงเฉพาะขอ้ สรุปทีตอ้ ง สรุปออกมาไดเ้ ท่านนั ผลการเรียนรู้ทีคาดหวงั 1. อธิบายและใชก้ ารใหเ้ หตุผลแบบอปุ นยั และนิรนยั ได้ 2. บอกไดว้ ่าการอา้ งเหตุผลสมเหตุสมผลหรือไม่ โดยใชแ้ ผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ได้ ขอบข่ายเนอื หา เรืองที การใหเ้ หตุผล เรืองที การอา้ งเหตุผลโดยใชแ้ ผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์