ວິ​ຊາ​ເລ​ຂາ​ວິ​ເຄາະ ພາກ​ຮຽນ​ທີ1

ທິຆາ: ຽຖຂາທຽິ ຃າະ ຍ຺ຈຘບຌ ຘາງ຃ະຌຈິ ຘາຈ ຎີ 4 ຍຈ຺ ຋ີ4(ຉໃ) ປີ຾ຎກ຿ຍຌ ຽທຖາ ຆ຺ໃທ຿ຓຄ ຂຌໄ ຉບຌ຋1ີ ຏຌ຺ ປຍ຋ຉີໃ ບໟ ຄກາຌ - ບະ຋ຍິ າງຌິງາຓຂບຄປີ຾ຎກ຿ຍຌ ເນຌ້ ກປຼຌຘາຓາຈ: - ຂຼຌຘຓ຺ ຏ຺ຌປີ຾ຎກ຿ຍຌແຈ້ - ຾ຉຓ້ ປ຾ີ ຎກ຿ຍຌເຌ຾ຏຌ່ ຑຼຄ ຃າຊາຓນກົ 3. ຅ຄໃ຺ ເນຌ້ ິງາຓຂບຄປີ຾ຎກ຿ຍຌ ຃ທາຓຽຂາ຺ໄ ເ຅ 4. ກາຌຂຼຌຘ຺ຓຏຌ຺ ຾ບຌຖຍິ ຉບໟ ຄປູ້ນງຄ຾ຈ່? ຌກປຼຌຽຂ຺ໄາເ຅: ຋ກຘະ - ທິ຋ກີ າຌ຾ຉຓ້ ຾ບຌຖຍິ ເຌ຾ຏຌ່ ຑຼຄ - ຘາຓາຈ຾ກ້ຍຌນາກໞຼທປີ຾ຎກ຿ຍຌເຌ຾ຏ່ຌຑຼຄແຈ້ - ທິ຋ກີ າຌຂຼຌຘຓ຺ ຏຌ຺ ຾ບຌຖິຍ - ຘາຓາຈຌາເຆ້ເຌກາຌຘຈິ ຘບຌດູ່຿ປຄປຼຌຘາຓຌແຈ້ ຃ທາຓປູ້ - ບະ຋ຍິ າງຌິງາຓຂບຄປີ຾ຎກ຿ຍຌ - ຂຼຌຘຓຏ຺ ຌ຺ ປ຾ີ ຎກ຿ຍຌແຈ້ - ຾ຉຓ້ ປີ຾ຎກ຿ຍຌເຌ຾ຏຌ່ ຑຼຄ ຂຌໄ ຉບຌ຋2ີ ນກົ ຊາຌກາຌຎະຽຓຌີ ທຼກ຋ຌີ ກປຼຌຎະຉິຍຈ ນກົ ຊາຌບືໃຌ - ຏຌ຺ ກາຌຖາງຄາຌ ຾ຖະ ກາຌຘ຺ຌ຋ະຌາຂບຄຌກປຼຌ - ຎະຉຍິ ຈກິຈ຅ະກາ຋ໃີ຃ູກາຌຈ຺ ເນ້ - ຖາງຄາຌຏຌ຺ ກິຈ຅ະກາ ຂໄຌຉບຌ຋3ີ ຾ຏຌກາຌຘບຌ - ຘຌ຺ ຋ະຌາກຍກຓຸ່ ບືຌໃ - ຾ກຍ້ ຺ຈຽຐກິ ນຈ຋ໃີ຃ູຓບຍເນ້ I. ຂຌໄ ຌາ - ຌກປຼຌຽ຃຺າຖ຺ຍ຃ູ - ກທຈກາ຅າຌທຌ຃຺ຌຂາຈ - ຘະຽໜີ຾ຂກ(ຊາໟ ຓ)ີ  ຋ທຌ຃ຌື ຍ຺ຈປຼຌຽກ຺າໃ  ຍາຈຖຼໟ ທຽຂ຺າໄ ຘູ່ຍຈ຺ ປຼຌ

ຉໄຄ຃າຊາຓຘ຺ຌ຋ະຌາກຼໞ ທກຍຖະຍຍ຺ ຽຘຌໄ ຽ຃າໄ຺ II. ຂຌໄ ຘບຌ ຍຈ຺ ຋ີ4(ຉໃ ) ຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ 1. ຌງິ າຠຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ ຌງິ າຠ: ຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ຾ຠຌໃ ກຠຸໃ ຍຌັ ຈາຽຠຈັ ມ຾ໃູ ຏຌໃ ພຼຄ, ຽຆໃ ຄິ ລາຣຍັ ຋ກຸ ໂຽຠຈັ , ຏຌ຺ ຣຍ຺ ຣະ຦຤າໃ ຄແຣງະ ຦າໃ ຄ຅າກ ຽຠຈັ ຌຌັໄ ໂ຦າຽຠຈັ F1 ຾ຣະ F2 ຋ໃ ີເ຦ຠໄ າຽຆໃ ຄິ ຽວຌໄີ ຤າໃ ຅ຈຸ ລຠຸ , ຾ຠຌໃ ຅າຌ຤ຌ຃ຄ຺ ຃າໃ . ລຠ຺ ຠຈຸ M x; y ຾ຠຌໃ ຽຠຈັ ຉາຠເ຅ຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ, ລ຤ໃ ຌ F1  c , 0 ຾ຣະ F2 c,0 ຾ຠຌໃ ຅ຈຸ ລຠຸ (foyer de l’hyperbole). ວຄີ ຉາຠຌງິ າຠ຾ຣ຤ໄ ຽຨ຺າຠີ F1M  F2M  2a (1) ຋ບໞ ຌຆໃື F1M ຾ຖະ F2M  ຽບໄຌີ ທໞາ ຖຈຘະໝຘີ ຓຸ (rayon focal) (ປູຍ຋ີ1) y M( x ; y ) A1(-a ; 0) F2(c ; 0) x A2(a ; 0) F1(-c ; 0) O ຨຍູ ຋ີ 1 ຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌຌ຾ີໄ ຠຌໃ ຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ຋ໃ ີຠຽີ ຠຈັ ຽ຃ໃ ຄິ ຃ມື ຅ໃູ ຈຸ ຽ຃຺ໄາ (0 ; 0). 2. ລຠ຺ ຏຌ຺ ກາ຿ຌຌກິ ຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ x2  y2 1 ຾ຌະຌາຌກຘກຶ ຘາຽຍຄໃິ ຑຘິ ຈູ ດູ່ຏຓໄື ຾ຍຍປຼຌ a2 b2 (2) ລຠ຺ ຏຌ຺ ກາ຿ຌຌກິ ຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ, ຽຆໃ ຄິ ຠຽີ ຠຈັ ຽ຃ໃ ຄິ ຃ື ມຽໃູ ຠຈັ ຽ຃຺ໄາ (0;0). ໝາງ຃຤າຠ຤າໃ ຉ຤຺ ຎະລາຌ ຂວຄຽຠຈັ ຉາຠເ຅ ຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ ຉວຍລະໜວຄລຠ຺ ຏຌ຺ ກາ຿ຌ ຌກິ ຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ. ຈຄໃ ັ ຌຌັໄ ຃຤າຠງາ຤ຂວຄ F1F2 ຽວໄຌີ ຤າໃ ແຣງະ຦າໃ ຄຣະ຦຤າໃ ຄ຅ຈຸ ລຠຸ , ພ຤ກຽຨ຺າລຌັ ງະຣກັ ຈ຤ໄ ງ 2c . F1F2  2c , ຽຠຈັ 0;0 ຽຆໃ ຄິ ຾ຠຌໃ ຽຠຈັ ຽ຃຺ໄາຽວຌໄີ ຤າໃ ຽຠຈັ ຽ຃ໃ ຄິ ຃ຂື ວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ. ຾ກຌຽ຃ໃ ຄິ ຃ຂື ວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ Oy ຋ໃ ີຍໃ ແຈຉໄ ຈັ ຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌຽພໃ ິຌຽວຌໄີ ຤າໃ ຾ກຌລາຌກຶ . ລ຤ໃ ຌ຾ກຌ Ox ຋ໃ ີ ຉຈັ ຽລັໄຌຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌມລໃູ ວຄຽຠຈັ A1  a;0  ຾ຣະ A2  a;0 . ຽພໃ ິຌຽວີໄຌ຾ກຌ຅ຄິ ຂວຄ ຨ຾ີ ຎກ

຿ຍຌ. ຽຠຈັ A1 ຾ຣະ A2 ຽວຌີໄ ຤າໃ ຅ວຠຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ. ຽຂ຺າໄ ຦າ ຅າຌ຤ຌ a ຽວໄີຌ຤າໃ ຽ຃ໃ ິຄ຾ກຌ຅ຄິ (semi-axe réel) ຅າຌ຤ຌ b ຽວີໄຌ຤າໃ ຽ຃ໃ ິຄ຾ກຌລາຌກຶ . ຊາໄ x ຽຎັຌ຅າຌ຤ຌເ຦ງຍໃ ໃ ລຌໄິ ລຈຸ , ເຌຽ຤ຣາຌີໄ ວຄີ ຉາຠລຈູ (8) ຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ຅ະ຦ງຍັ yb x . a ຽລັໄຌຆໃ ື ຋ຄັ ລວຄ຋ໃ ີຏາໃ ຌຽຠຈັ ຽ຃຺ໄາ ຽວໄີຌ຤າໃ ຽລັໄຌ຋ຼຠຂວຄຨີ຾ຎກ຿ຍຌ຿ຈງ ຋ໃ຤຺ ແຎ ຾ຣ຤ໄ ຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌຽຆໃ ຄິ a  b ຅ະຠຨີ ຍູ ຨາໃ ຄຈຄໃ ັ ຨຍູ (ຨຍູ ຋ີ2). y x A1(-a ; 0) A2(a ; 0) x B2(0 ; b) F1 O F2 B1(0 ; -b) ຨຍູ ຋ີ 2 ຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ຋ໃ ີຠຽີ ຃ໃ ຄິ ຾ກຌ຅ຄິ ຾ຣະ ຽ຃ໃ ຄິ ຾ກຌລາຌກຶ ຽ຋ໃ ຺າກຌັ (a = b) ຽວີຌໄ ຤າໃ ຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌຂາໄ ຄຘະຽໝີ (Hyperbole équilatérale ) ຋ໃີຓຘີ ຓ຺ ຏຌ຺ x2  y2  a2 , ຽຘໄຌ຋ຼຓຂບຄປີ຾ຎກ຿ຍຌຂໟາຄຘະຽໝ຅ີ ະຓຘີ ຓ຺ ຏຌ຺ ຃ື: y  x , (ປູຍ຋ີ3) y = y B1(0 ; a) A1(-a A2(a ; 0) ; 0) x O y= »®ø ê3ó -x ກິຈ຅ະກາ1: B2(0 ; a) 1. ຅ຄໃ ຺ ຆວກ຦າພາກລ຤ໃ ຌຉາໃ ຄໂ ຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ຋ໃ ີຠລີ ຠ຺ ຏຌ຺ 25 x2 36 y2  900 ພວໄ ຠ຾ຉຠໄ ຽລັໄຌລະ຾ຈຄຎະກວຍ.

2. ຅ຄໃ ຺ ລາໄ ຄລຠ຺ ຏຌ຺ ຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ຋ໃ ີຠຣີ ຤ຄງາ຤ຂວຄ຾ກຌລາຌກຶ ຽ຋ໃ ຺າ 6, ຠຽີ ຠຈັ ຅ວຠໜໃ ຶຄ ມຽໃູ ຠຈັ 4;0 ພວໄ ຠ຋ຄັ ຆວກ຦າລວຄຽຠຈັ ຅ຈຸ ລຠຸ ຾ຣະ ຾ຉຠໄ ຽລັຌໄ ລະ຾ຈຄ. ຍຈ຺ ຾ກກ້ ຈິ ຅ະກາ1: 1. 25 x2 36 y2  900 ຦າຌ຋ຄັ ລວຄພາກເ຦ໄ 900. 25 x2  36 y2  900  x2  y2 1 900 900 900 36 25  x2  y2  1, ຅າກລຠ຺ ຏຌ຺ ຽຨາ຺ ແຈໄ : 62 52 a6 , b  5 c2  a2  b2  36  25  61 c  61    ຽຨາ຺ ແຈ:ໄ F1  61;0 ຾ຣະ F2 61;0 ຾ຠຌໃ ຅ຈຸ ລຠຸ ຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ ຋ໃ ີເ຦ຠໄ າ. A1 6;0 ຾ຣະ A2 6;0  ຾ຠຌໃ ຅ວຠຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ, y1   b x  y1   5 x ຾ຣະ y2  5 x ຾ຠຌໃ ລຠ຺ ຏຌ຺ ຽລັຌໄ ຋ຼຠຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ, (ຨຍູ ຋ີ 5). a 6 6 y7 6 B2 5 F2 4 F1 3 2 A1 1 A2 x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 --11 2 3 4 5 6 7 1O -82 -3 B1 -4 -5 -6 -7 ຨຍູ ຋ີ 4 2. ຅າກຽຄໃວື ຌແຂຂວຄຍຈ຺ ຽຣກຽຨາ຺ ແຈໄ a4 ; b3 . c2  a2 b2  c2 16  9  c2  25  c  5 c 5  F1  5;0  Áì½ F2 5;0  oy3. . ລຠ຺ ຏຌ຺ ຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ຋ໃ ີຠ຾ີ ກຌ຅ຄິ ມ຾ູໃ ກຌ ຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ຋ໃ ີຠລີ ຠ຺ ຏຌ຺ ກາ຿ຌຌກິ y2  x2  1 ຾ຠຌໃ ລຠ຺ ຏຌ຺ ຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ຋ໃ ີຠ຾ີ ກຌ຅ຄິ ມ຾ູໃ ກຌ Oy . a2 b2

ຽຨ຺າລຄັ ຽກຈຽ຦ັຌ຤າໃ y2 ຽຎັຌຉ຤຺ ຉຄັໄ ຣຍ຺ , ລ຤ໃ ຌ x2 ຽຎັຌຉ຤຺ ຣຍ຺ , ລຠ຺ ຏຌ຺ ຨຍູ ຨາໃ ຄຌ຾ໄີ ຠຌໃ ຠ຾ີ ກຌ a2 b2 ຅ຄິ ມ຾ູໃ ກຌ Oy , ຽຆໃ ຄິ ຍຌັ ຅ຸ ຽຠຈັ ຅ວຠ A1 0; a ; A2 0;a  ຾ຣະ F1 0; c  ; F2 0;c  ຠ຾ີ ກຌລາ ຌກຶ ມ຾ໃູ ກຌ Ox (ຨຍູ ຋ີ 6) . y F2(0 ;c) A2(0 ;a) B2(b ;0) B1(-b ;0) A1(0 ;-a) x F1(0 ;-c) (ຨຍູ ຋ີ 6) 4. ລຠ຺ ຏຌ຺ ຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ຋ໃ ີຠ຾ີ ກຌ຅ຄິ ຍໃ ມໃ຾ູ ກຌຽ຃຺າໄ ຌວກ຅າກລຠ຺ ຏຌ຺ ຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ຋ໃ ີຠຽີ ຠຈັ ເ຅ກາຄມູຽໃ ຠຈັ ຽ຃຺ໄາ (ຽຠຈັ ຽ຃ໃ ິຄ຃ືຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ) ຾ຣ຤ໄ , ຠຌັ ງຄັ ຠຽີ ຠຈັ ເ຅ກາຄມູໃ຅ຈຸ ວໃ ືຌວີກຽຆໃ ິຄຠລີ ຈູ ຠາຈຉະຊາຌຈຄໃ ັ ຌໄີ ລຠ຺ ຏຌ຺ ຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ຋ໃ ີຠ຾ີ ກຌ຅ຄິ ຍໃ ມ຾ໃູ ກຌຽ຃຺ໄາ ຾ຣະ ຠ຾ີ ກຌ຅ຄິ ຂະໜາຌກຍັ ຾ກຌ Ox ເ຦ໄ Ch;k ຾ຠຌໃ ຽຠຈັ ເ຅ກາຄຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ ວີຄຉາຠລຈູ (2) ຽຨາ຺ ຂຼຌແຈ:ໄ x  h2  y  k 2  1 a2 b2 ຽ຤ຣາ h = 0, k = 0  C (0 ; 0)  x2  y2  1 a2 b2 ລຈູ ຆວກ຦າຉ຤຺ ຎະລາຌຂວຄຽຠຈັ ຉາໃ ຄໂ. ເ຦ໄ Ch;k ຾ຠຌໃ ຽຠຈັ ເ຅ກາຄຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ ຽຠຈັ ຅ວຠຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ ຾ຠຌໃ Ah  a ; k ຅ຈຸ ລຠຸ ຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ຾ຠຌໃ F h c ; k ຽຠຈັ ຎາງ຾ກຌລາຌກຶ ຾ຠຌໃ Bh ; k  b

ລຠ຺ ຏຌ຺ ຽລັຌໄ ຋ຼຠ຾ຠຌໃ y  k   b x  h  a ກິຈ຅ະກາ ຅ຄໃ ຺ ຆວກ຦າຽຠຈັ ເ຅ກາຄ, ຽຠຈັ ຅ວຠ, ຽຠຈັ ຅ຈຸ ລຠຸ , ຽຠຈັ ຎາງ຾ກຌລາຌກຶ ຾ຣະລຠ຺ ຏຌ຺ ຽລັໄຌ຋ຼຠຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ຋ໃ ີຠລີ ຠ຺ ຏຌ຺ x 32  y  22  1 14 ຍ຺ຈ຾ກກ້ ຈິ ຅ະກາ ຽຨ຺າຊວຌແຈໄ h = -3, k = 2 ລະຌຌັໄ ຽຠຈັ ເ຅ກາຄ຾ຠຌໃ C(-3;2) a2 1  a  1 ຽພາະ a  0 b2  4  b  2 ຽພາະ b  0 ຆວກ຦າ຃າໃ c ແຈໄ ຅າກລຈູ c2  a2  b2 ຾຋ຌເລລໃ ຈູ ຽຨ຺າແຈໄ c2  1  4  5  c  5 ຽພາະ c  0 ຆວກຽຠຈັ ຉາໃ ຄໂ C(-3;2) A131;2  A1  4 ; 2 A231;2  A2  2 ; 2    F1  3 5;2  F2  3 5 ; 2 B13;22  B1 3 ; 0 B23;22  B2 3 ; 4 ວຄີ ຉາຠລຈູ (11) y k   b x h  ຽຨ຺າ຅ະແຈໄ ລຠ຺ ຏຌ຺ ຽລັຌໄ ຋ຼຠຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ ຾ຠຌໃ a 5. ລຠ຺ ຏຌ຺ ຉ຤຺ ຎໃຼຌ຋ຼຠຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ ຽຨ຺າຠລີ ຠ຺ ຏຌ຺ ກາ຿ຌຌກິ ຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌ x2  y2  1   x  y   x  y   1 a2 b2 a ba b ຽຆໃ ຄິ ຤າໃ x  y  0; x  y 0 ab ab ຅ະແຈໄ t  0 x  y  1 ຤າຄ x  y  t ab abt   a t  1 x 2 t   b t 1   y  2  t  III. ຘະນຍຼຸ - ຃ເູ ນ້ຌກປຼຌຽທ຺ໄາ຃ືຌຍຌຈາຘູຈຉໞາຄໂ - ຃ູບະ຋ິຍາງ຃ຌື ເນຌ້ ກປຼຌຒຄ IV. ຎະຽຓຌີ - ຘຄຽກຈກາຌຽປຈກ຅ິ ະກາ ຾ຖະ ກາຌຖາງຄາຌຘຌ຺ ຋ະຌາຂບຄຌກປຼຌ

- ກາຌ຾ກຍ້ ຈ຺ ຽຐກິ ນຈ຋ໃີ຃ຓູ ບຍເນ້ V. ຍຈ຺ ຽຐກິ ນຈ ຾ຖະ ຉກຽຉບື ຌ  ຍ຺ຈຽຐກິ ນຈ 1. ຅ຄໃ ຺ ຆວກ຦າຽຠຈັ ຉາໃ ຄຂວຄຨ຾ີ ຎກ຿ຍຌຣຠຸໃ ຌ,ີໄ ພວໄ ຠ຾ຉຠໄ ຽລັຌໄ ລະ຾ຈຄເລ຾ໃ ຏຌໃ ພຼຄ. ກ. 25x2 49 y2  1225 ຂ. 25x2 9 y2  225 ຃. x  22  y 12  1 16 9  ຉກຽຉືບຌ - ຘກຶ ຘາ຾ຌທ຃ິຈ, ຾ຌະຌາທຼກຍໟາຌ ທຌ຋ີ 25/10/2022 ທຌ຋ີ 25/10/2022 ນ຺ທໜາໟ ຑາກທຆິ າ຃ະຌິຈຘາຈ-ຒຆິ ກິ ຘາຈ ບ຅ ຎະ຅າທຆິ າ ຎ຋ ຽຓຄິ ຃າ ຾ກ້ທຑທູ ຄ຺

ທຆິ າ: ຽຖຂາທຽິ ຃າະ ຍຈ຺ ຘບຌ ຘາງ຃ະຌິຈຘາຈ ຎີ 4 ຍຈ຺ ຋4ີ (ຉ)ໃ ຎາຖາ຿ຍຌ ຽທຖາ ຆໃ຺ທ຿ຓຄ ຂໄຌຉບຌ຋1ີ ຏຌ຺ ປຍ຋ຉີໃ ບໟ ຄກາຌ - ບະ຋ຍິ າງຌິງາຓຂບຄຎາຖາ຿ຍຌ ເນຌ້ ກປຼຌຘາຓາຈ: - ຂຼຌຘຓ຺ ຏ຺ຌຎາຖາ຿ຍຌແຈ້ - ຾ຉ້ຓຎາຖາ຿ຍຌເຌ຾ຏຌ່ ຑຼຄ ຃າຊາຓນກົ 1. ຅຺ຄໃ ເນຌ້ ິງາຓຂບຄຎາຖາ຿ຍຌ ຃ທາຓຽຂາ຺ໄ ເ຅ 2. ກາຌຂຼຌຘ຺ຓຏ຺ຌ຾ບຌຖຍິ ຉໟບຄປູ້ນງຄ຾ຈ່? ຌກປຼຌຽຂາ຺ໄ ເ຅: ຋ກຘະ - ທິ຋ກີ າຌ຾ຉຓ້ ຎາຖາ຿ຍຌເຌ຾ຏ່ຌຑຼຄ - ຘາຓາຈ຾ກ້ຍຌນາກໞຼທຎາຖາ຿ຍຌເຌ຾ຏຌ່ ຑຼຄແຈ້ - ທິ຋ກີ າຌຂຼຌຘຓ຺ ຏ຺ຌຎາຖາ຿ຍຌ - ຘາຓາຈຌາເຆ້ເຌກາຌຘິຈຘບຌດູ່຿ປຄປຼຌຘາຓຌແຈ້ ຃ທາຓປູ້ - ບະ຋ິຍາງຌິງາຓຂບຄປີ຾ຎກ຿ຍຌ - ຂຼຌຘຓຏ຺ ຌ຺ ຎາຖາ຿ຍຌແຈ້ - ຾ຉ້ຓຎາຖາ຿ຍຌເຌ຾ຏ່ຌຑຼຄ ຂໄຌຉບຌ຋2ີ ນກົ ຊາຌກາຌຎະຽຓຌີ ທຼກ຋ຌີ ກປຼຌຎະຉຍິ ຈ ນກົ ຊາຌບໃືຌ - ຏຌ຺ ກາຌຖາງຄາຌ ຾ຖະ ກາຌຘ຺ຌ຋ະຌາຂບຄຌກປຼຌ - ຎະຉິຍຈກິຈ຅ະກາ຋ໃ຃ີ ູກາຌຈ຺ ເນ້ - ຖາງຄາຌຏຌ຺ ກຈິ ຅ະກາ ຂຌໄ ຉບຌ຋3ີ ຾ຏຌກາຌຘບຌ - ຘ຺ຌ຋ະຌາກຍກຸ່ຓບຌໃື - ຾ກຍ້ ຈ຺ ຽຐິກນຈ຋ໃີ຃ູຓບຍເນ້ I. ຂໄຌຌາ - ຌກປຼຌຽ຃຺າຖ຺ຍ຃ູ - ກທຈກາ຅າຌທຌ຃຺ຌຂາຈ - ຘະຽໜີ຾ຂກ(ຊາໟ ຓີ)  ຋ທຌ຃ຌື ຍ຺ຈປຼຌຽກາ຺ໃ  ຍາຈຖໟຼທຽຂ຺ໄາຘູ່ຍຈ຺ ປຼຌ ຉໄຄ຃າຊາຓຘຌ຺ ຋ະຌາກໞຼທກຍຖະຍ຺ຍຽຘໄຌຽ຃ໄ຺າ

II. ຂຌໄ ຘບຌ ຾ຣະ ຽລັຌໄ ຆໃ ໜື ໃ ຶຄ ຍຈ຺ ຋ີ4(ຉ)ໃ ຎາຕາ຿ຍຌ 1. ຌງິ າຓ ຂບຄຎາຕາ຿ຍຌ ຎາຢາ຿ຍຌ຾ຠຌໃ ກຠຸໃ ຍຌັ ຈາຽຠຈັ ມ຾ໃູ ຏຌໃ ພຼຄ຋ໃ ີ຦າໃ ຄລະຽໝີ຅າກຽຠຈັ ໜໃ ຶຄ຃ຄ຺ ຋ໃ ີເ຦ກໄ ວໃ ຌ ຃ຄ຺ ຋ໃ ີເ຦ກໄ ວໃ ຌ. ຽຠຈັ ຃ຄ຺ ຋ໃ ີເ຦ກໄ ວໃ ຌຽວໄຌີ ຤າໃ ຅ຈຸ ລຠຸ , ຽລັຌໄ ຆໃ ເື ຦ກໄ ວໃ ຌຽວໄີຌ຤າໃ ຽລັຌໄ ຽ຃຺ໄາ. 2 ລຠ຺ ຏຌ຺ ກາ຿ຌຌກິ ຂວຄຎາຢາ຿ຍຌ ເນ້ (x ;y ) ຾ຓຌ່ ຽຓຈຉາຓເ຅ຂບຄຎາຖາ຿ຍຌ F  p ; 0 ຾ຓ່ຌ຅ຈຸ ຘຓູ ຂບຄຓຌ, y  2  N d M(x; y) Q N(- ; y) r D F( ; 0) x O D(- ; 0) ປຍູ ຋ີ1 y2  2 px ຾ຌະຌາຌກປຼຌ ຽຍໃິຄກາຌຑຘິ ຈູ ດຎູ່ ຓືໄ ຾ຍຍປຼຌ ຍາຄຽ຋ໃ ືວຽພໃ ິຌກຂຼຌເຌຨຍູ ຨາໃ ຄ y   2 px ຽ຦ັຌ຤າໃ x  0, ຽ຃ໃ ືວຄໝາງ “  ” ໝາງຽຊຄິ ຋ກຸ ໂ x  0ຽ຋ໃ ຺າກຍັ ລວຄ຃າໃ ຂວຄ y . ລຠ຺ ຏຌ຺ ຂວຄຎາຣາ຿ຍຌ຋ໃ ີຏາໃ ຌຽຠຈັ ຽ຃຺ໄາຠລີ ວຄຨຍູ ຾ຍຍ຃ື y2  2 px ຾ຣະ x2  2 py p  0 ຦ົກັ ຽກຌ : ເຌຣະຍຍ຺ ຽລັໄຌຽ຃຺ໄາ຦຤຺ ໜ຤ໃ ງຉຄັໄ ລາກ Oxy ຽລັໄຌລະ຾ຈຄ  ຋ໃ ີຠລີ ຠ຺ ຏຌ຺ y2  2 px ຾ຠຌໃ ຨຍູ ຎາຣາ ຿ຍຌ຋ໃ ີຠ຅ີ ຈຸ ລຠຸ F  p ; 0  ,ຽລັຌໄ ຋ຼຠ຾ຠຌໃ x p ຾ຣະຎາຣາ຿ຍຌຈຄໃ ັ ກາໃ ຤຅ະຠ຾ີ ກຌມູໃ  2  2 ຽ຋ິຄ຾ກຌ x .  ຊາໄ p  0 ຎາຣາ຿ຍຌຠຎີ າກຽຎີຈແຎ຋າຄຽຍໄືວຄຂ຤າ (ຨຍູ ຋ີ 2)

y x=- DO x F( ) »ø®êó 2  ຊາໄ p  0 ຎາຣາ຿ຍຌຠຎີ າກຽຎີຈແຎ຋າຄຽຍວໄື ຄຆາໄ ງ (ຨຍູ ຋ີ 3) y x=- D x O F( ) »ø®êó 3 ກຈິ ຅ະກາ1 1. ຽພໃ ິຌເ຦ລໄ ຠ຺ ຏຌ຺ ຂວຄຎາຣາ຿ຍຌ y2  16x ຅ຄໃ ຺ ຆວກ຦າ຅ຈຸ ລຠຸ ຾ຣະ ຽລັໄຌຈີ ຽຢັກຉຢຈິ ຂວຄຎາ ຣາ຿ຍຌຈຄໃ ັ ກາໃ ຤, ພວໄ ຠ຋ຄັ ລະ຾ຈຄຎາຣາ຿ຍຌເລ຾ໃ ຏຌໃ ພຼຄ. 2. ຅ຄໃ ຺ ຂຼຌລຠ຺ ຏຌ຺ ກາ຿ຌຌກິ ຂວຄຎາຣາ຿ຍຌ຋ໃ ີຠຽີ ຠຈັ ຅ຈຸ ລຠຸ 2 ; 0 ຾ຣະຽລັຌໄ ຈຽີ ຢັກຉຢຈິ x   2 . ພວໄ ຠ຾ຉຠໄ ຽລັໄຌລະ຾ຈຄຎະກວຍ. ຍຈ຺ ຾ກກ້ ຈິ ຅ະກາ1 1. y2  16x  y2  28x ລະຌຌັໄ ຽຨາ຺ ແຈໄ p 8 , p  0 , F 8 ;0 2  F 4 ; 0 ຾ຠຌໃ ຅ຈຸ ລຠຸ ຂວຄຎາຣາ຿ຍຌ. ຎາຣາ຿ຍຌຠຎີ າກຽຎີຈແຎ຋າຄຽຍວືໄ ຄຂ຤າ ( p  0 ), ຠີ ຽຠຈັ ຅ວຠມຽູໃ ຠຈັ A0 ; 0 ; ຽຠຈັ D  p ; 0 ຽຨາ຺ ແຈໄ D 4 ; 0, ຽຨ຺າຂຈີ ຽລັໄຌຆໃ ຏື າໃ ຌຽຠຈັ D ຾ຣະຉຄັໄ 2 

ລາກກຍັ ຾ກຌຎາຣາ຿ຍຌຽຨ຺າ຅ະແຈຽໄ ລັຌໄ ຈຽີ ຢັກຉຢຈິ ຂວຄຎາຣາ຿ຍຌຽຆໃ ຄິ ຠລີ ຠ຺ ຏຌ຺ ຾ຠຌໃ x   4 (ຨຍູ ຋ີ4). 2. ຽຨ຺າຠີ F 2 ; 0 p  2  p4 ລະຌຌັໄ ຽຨ຺າແຈໄ y2  24x  y2 8x 2 ວີຄຉາຠລຈູ y2  2 px ຽຠຈັ D 2 ; 0 ງວໄ ຌ p  0 , ລະຌຌັໄ ຎາກຂວຄຽລັໄຌລະ຾ຈຄຽຎີຈແຎ຋າຄຂ຤າ (ຨຍູ ຋ີ 5). x = -2 y D(-2; 0) 4 3 2 F(2; 0) 1 2 34 -3 -2 -1 0 1 x -1 -2 -3 -4 ຨຍູ ຋ີ 4 ກິຈ຅ະກາ2 ຅າກລຠ຺ ຏຌ຺ ຂວຄ y2  20x , ຅ຄໃ ຺ ຆວກ຦າ຅ຈຸ ລຠຸ ຾ຣະ ລຠ຺ ຏຌ຺ ຽລັໄຌຈຽີ ຢັກຉຢຈິ ຂວຄຎາຢາ ຿ຍຌຈຄໃ ັ ກາໃ ຤. ພວໄ ຠລະ຾ຈຄຽລັຌໄ ຎາຢາ຿ຍຌ຾ຏຌໃ ພຼຄ. ຍ຺ຈ຾ກ້ກິຈ຅ະກາ2: ຽຨ຺າຠີ y2   20x  y2  210x ລະຌຌັໄ ຽຨ຺າແຈໄ p  10 ຅ຈຸ ລຠຸ ຾ຠຌໃ F  p ; 0   F  10 ; 0  , F 5;0 ຾ຠຌໃ ຅ຈຸ ລຠຸ ຂວຄຎາຢາ຿ຍຌ.ຠຎີ າກຽຎີຈ ແຎຽຍວໄື ຄຆາໄ ງ  2   2 ງວໄ ຌ p  10  0 ຽຠຈັ D  p ; 0 ຽຨາ຺ ແຈໄ D5 ; 0 D5;0, ຽຨາ຺ ຂຈີ ຽລັຌໄ ຆໃ ຏື າໃ ຌຽຠຈັ D ຾ຣະ 2  ຉຄັໄ ລາກກຍັ ຾ກຌ ຎາຣາ຿ຍຌຽຨາ຺ ຅ະແຈຽໄ ລັໄຌຈຽີ ຢັກຉຢຈິ ຂວຄ ຎາຣາ຿ຍຌ ຈຄໃ ັ ກາໃ ຤ ຽຆໃ ຄິ ຠລີ ຠ຺ ຏຌ຺ ຾ຠຌໃ x  5 ຦ົກັ ຽກຌ : ເຌຣະຍຍ຺ ຽລັໄຌຽ຃຺ໄາ຦຤຺ ໜ຤ໃ ງຉຄັໄ ລາກ Oxy ຽລັໄຌລະ຾ຈຄ p ຋ໃ ີຠລີ ຠ຺ ຏຌ຺ x2  2 py ຾ຠຌໃ ຨຍູ ຎາ ຢາ຿ຍຌ຋ໃ ີຠຽີ ຠຈັ ຅ຈຸ ລຠຸ F  0; p  ,ຽລັໄຌ຋ຼຠ຾ຠຌໃ y p ຾ຣະຎາຣາ຿ຍຌຈຄໃ ັ ກາໃ ຤຅ະຠ຾ີ ກຌມຽໃູ ຋ິຄ຾ກຌ  2 2 Oy.  ຊາໄ p  0 ລຠ຺ ຏຌ຺ ຂວຄຎາຢາ຿ຍຌ຾ຠຌໃ x2  2 py ຽວີໄຌ຤າໃ ຎາຢາ຿ຍຌ຦ຄາງ ຊາໄ p  0 ລຠ຺ ຏຌ຺ ຂວຄຎາຢາ຿ຍຌ຾ຠຌໃ x2   2 py ຽວີໄຌ຤າໃ ຎາຢາ຿ຍຌຂ຤າໄ ກຈິ ຅ະກາ3: ຽພໃ ິຌເ຦ລໄ ຠ຺ ຏຌ຺ ຂວຄຎາຣາ຿ຍຌ x2  10 y .຅ຄໃ ຺ ຆວກ຦າຽຠຈັ ລຠຸ ຾ຣະຽລັໄຌຈຽີ ຢັກຉຢຈິ ຂວຄຎາ

ຣາ຿ຍຌຈຄໃ ັ ກາໃ ຤, ພວໄ ຠ຋ຄັ ລະ຾ຈຄຎາຣາ຿ຍຌເລ຾ໃ ຏຌໃ ພຼຄ. ຍ຺ຈ຾ກກ້ ຈິ ຅ະກາ3 x2  10 y  x2  25y ລະຌຌັໄ ຽຨາ຺ ແຈໄ p  5, p  0 , F0 ; 5  ຾ຠຌໃ ຽຠຈັ ຅ຈຸ ລຠຸ ຂວຄຎາຣາ຿ຍຌ຦ຄາງ.  2 ຠຽີ ຠຈັ ຅ວຠມຽໃູ ຠຈັ ຽ຃຺ໄາ ຽຠຈັ D 0 ;  p  ຽຨາ຺ ແຈໄ D  0;  5  , ຽຨ຺າຂຈີ ຽລັຌໄ ຆໃ ຏື າໃ ຌຽຠຈັ D ຾ຣະ ຉຄັໄ ລາກ  2  2 ກຍັ ຾ກຌຎາຣາ຿ຍຌຽຨາ຺ ຅ະແຈໄ ຽລັຌໄ ຈຽີ ຢັກຉຢຈິ ຂວຄຎາຣາ຿ຍຌຽຆໃ ຄິ ຠລີ ຠ຺ ຏຌ຺ ຾ຠຌໃ y   5 (ຉາຓປຍູ 5) 2 y F(0; ) 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 2 3 4 5 6 x -2 D(0;- ) -3 ປຍູ 6 III. ຘະນຍຼຸ - ຃ເູ ນ້ຌກປຼຌຽທ຺າໄ ຃ຌື ຍຌຈາຘູຈຉາໞ ຄໂ - ຃ູບະ຋ິຍາງ຃ືຌເນຌ້ ກປຼຌຒຄ IV. ຎະຽຓຌີ - ຘຄຽກຈກາຌຽປຈກ຅ິ ະກາ ຾ຖະ ກາຌຖາງຄາຌຘຌ຺ ຋ະຌາຂບຄຌກປຼຌ - ກາຌ຾ກຍ້ ຈ຺ ຽຐິກນຈ຋ໃີ຃ູຓບຍເນ້ V. ຍຈ຺ ຽຐກິ ນຈ ຾ຖະ ຉກຽຉບື ຌ  ຍຈ຺ ຽຐກິ ນຈ ຾ຌະຌາເນ້ຌກປຼຌ຾ກ້ຍ຺ຈຽຐກິ ນຈດູ່ຎືໄຓ຾ຍຍປຼຌ  ຉກຽຉືບຌ - ຘຶກຘາ຾ຌທ຃ຈິ , ຾ຌະຌາທຼກຍາໟ ຌ ທຌ຋ີ 12/11/2022 ທຌ຋ີ 10/11/2022… ນ຺ທໜາໟ ຑາກທຆິ າ຃ະຌິຈຘາຈ-ຒຆິ ກິ ຘາຈ ບ຅ ຎະ຅າທິຆາ ຎ຋ ຅ຌ຋ບຌ ຾ກທ້ ຓະຌແີ ຆ ຎ຋ ຽຓຄິ ຃າ ຾ກທ້ ຑທູ ຺ຄ

ຍຈ຺ ຘບຌ ຘາງ຃ະຌິຈຘາຈຎີ 4 ຽທຖາ........ຌາ຋ີ ທິຆາ: ຽຖຂາທິຽ຃າະ ຍຈ຺ ຋ີ5 ຖະຍ຺ຍຽຘຌໄ ຽ຃າ຺ໄ ຉໄຄຘາກ, ຽທກຽຉີ, ໜາໟ ກໃຄ຺ ຾ຖະ ຽຘຌໄ ກຄໃ຺ ເຌກາຄນາທ ຂໄຌຉບຌ຋1ີ ຏຌ຺ ປຍ຋ຉໃີ ບໟ ຄກາຌ ເນຌ້ ກປຼຌຘາຓາຈ: - ບະ຋ິຍາງ຃ຸຌຖກຘະຌະຂບຄຖະຍ຺ຍຽຘຌໄ ຽ຃າໄ຺ ຉຄໄ ຘາກເຌກາຄນາທ - ປູ້຅ກບະ຋ຍິ າງ຃ຌູ ຖນກຘະຌະຂບຄຽທກຽຉີເຌກາຄນາທ - ປູ້຅ກກາຌ຃າຌທຌຽທກຽຉີເຌກາຄນາທ ຃ທາຓຽຂາ຺ໄ ເ຅ ຃າຊາຓນກົ ຌກປຼຌຽຂໄາ຺ ເ຅: 1. ຅ໃ຺ຄເນ້຃ຌຸ ຖກຘະຌະຂບຄຖະຍຍ຺ ຽຘຌໄ ຽ຃຺າໄ ເຌກາຄນາທ - ຃ຸຌຖກຘະຌະຂບຄຖະຍຍ຺ ຽຘໄຌຽ຃າ຺ໄ ຉຄໄ ຘາກ 2. ຅ຄໃ຺ ບະ຋ຍິ າງ຃ຌຸ ຖກຘະຆະຂບຄຽທກຽຉີ? ເຌກາຄນາທ - ຃ຌູ ຖກຘະຌະຂບຄຽທກຽຉີເຌກາຄນາທ - ປູ້຅ກກາຌ຃າຌທຌຽທກຽຉີເຌກາຄນາທ ຃ທາຓປູ້ ຋ກຘະ - ບະ຋ຍິ າງຌິ຃ຸຌຖກຘະຌະຂບຄຖະຍ຺ຍຽຘໄຌ - ຘາຓາຈ຾ກ້ຍຌນາກໞຼທຖະຍຍ຺ ຽຘຌໄ ຽ຃າ຺ໄ ຉຄຘາກເຌກາຄນາທແຈ້ - ຘາຓາຈ຃າຌທຌຽທກຽຉີ ຾ຖະ ຃ິຈແຖແຖ່ງະນໞາຄຖະນທາໞ ຄຘບຄຽຓຈເຌ ຽ຃ໄ຺າຉຄໄ ຘາກເຌກາຄນາທ - ນາແຖງະນໞາຄຖະນທໞາຄຘບຄຽຓຈເຌກາຄ ກາຄນາທແຈ້. ນາທ - ປ຅ູ ກ຃າຌທຌຽທກຽຉີເຌກາຄນາທ ຂຌໄ ຉບຌ຋2ີ ນກົ ຊາຌກາຌຎະຽຓຌີ ທຼກ຋ຌີ ກປຼຌຎະຉຍິ ຈ ນກົ ຊາຌບຌໃື - ຏຌ຺ ກາຌຖາງຄາຌ ຾ຖະ ກາຌຘ຺ຌ຋ະຌາຂບຄຌກປຼຌ - ຎະຉຍິ ຈກິຈ຅ະກາ຋ໃ຃ີ ູກາຌຈ຺ ເນ້ - ຖາງຄາຌຏຌ຺ ກຈິ ຅ະກາ ຂຌໄ ຉບຌ຋3ີ ຾ຏຌກາຌຘບຌ - ຘ຺ຌ຋ະຌາກຍກຓຸ່ ບໃຌື - ຾ກຍ້ ຺ຈຽຐິກນຈ຋ໃີ຃ູຓບຍເນ້ I. ຂຌໄ ຌາ

- ຌກປຼຌຽ຃຺າຖ຺ຍ຃ູ - ກທຈກາ຅າຌທຌ຃຺ຌຂາຈ - ຘະຽໜີ຾ຂກ(ຊາໟ ຓ)ີ  ຋ທຌ຃ຌື ຍຈ຺ ປຼຌຽກາໃ຺  ຍາຈຖຼໟ ທຽຂາ຺ໄ ຘູ່ຍຈ຺ ປຼຌ ຉໄຄ຃າຊາຓຘຌ຺ ຋ະຌາກຼໞ ທກຍຖະຍຍ຺ ຽຘໄຌຽ຃າ຺ໄ II. ຂຌໄ ຘບຌ ຍຈ຺ ຋ີ5 ຖະຍຍ຺ ຽຘຌໄ ຽ຃າ຺ໄ ຉຄໄ ຘາກ, ຽທກຽຉ,ີ ໜາໟ ກຄໃ຺ ຾ຖະ ຽຘຌໄ ກຄໃ຺ ເຌກາຄນາທ 1. ຖະຍຍ຺ ຽຘຌໄ ຽ຃າໄ຺ ຉຄໄ ຘາກເຌກາຄນາທ ຖະຍ຺ຍຽຘໄຌຽ຃຺ໄາຉໄຄຘາກ ເຌກາຄນາທຎະກບຍຈໟທງກຸ່ຓຍຌຈາຽຓຈ 3   x, y, z) / x, y, z }, ຽຆິໃຄ x, y, z ໝາງ ຽຊິຄ ຉທ຺ ຎະຘາຌຂບຄຽຓຈຉາຓເ຅ເຌກາຄນາທ. ກຈິ ຅ະກາ1. ຅ໃ຺ຄຘະ຾ຈຄຽຓຈ຋ໃີຓຉີ ທ຺ ຎະຘາຌ M1(2, -1, 3); M2(0, 1, 0) ເຘ່ເຌກາຄນາທ? ປູຍ຾ຉຓ້ ກຈິ ຅ະກາ1 z 3 M1(2,Œ1,3) Œ1 M2(0,1,0) y (ປູຍ1) 2 O z x O 1.2 ແຖງະນໞາຄຖະນທາໞ ຄຘບຄຽຓຈ ເ຦ໄ P1(x1, y1, z1) ຾ຣະ P2 x2 , y2 , z2  ຾ຠຌໃ ລວຄຽຠຈັ ຉາຠເ຅ເຌກາຄ຦າ຤. y x (ຨຍູ 2) ແຣງະ຦າໃ ຄຣະ຦຤າໃ ຄ P1(x1; y1; z1) ຾ຣະ P2  x2; y; z3  ຃ຈິ ແຣຈໃ ຤ໄ ງລຈູ :

d   x2  z1 2   y2  y1 2   z2  z1 2 ກຈິ ຅ະກາ2 1. ຅ຄໃ ຺ ຆວກ຦າແຣງະ຦າໃ ຄຣະ຦຤າໃ ຄລວຄຽຠຈັ P1(4, -3, 2) ຾ຣະ P2(-2, 3, 5) ? 2. ຅ຄໃ ຺ ຆວກ຦າແຣງະ຦າໃ ຄຣະ຦຤າໃ ຄລວຄຽຠຈັ P1(4, -3, 2) ຾ຣະ P2(-2, 3, -5) ? ຍຈ຺ ຾ກກ້ ຈິ ຅ະກາ2 1. ວີຄຉາຠລຈູ d  P1P2  x2  x1 2  y2  y1 2  z2  z1 2 ຽຨາ຺ ແຈໄ d  P1P2   2  42  3  32   5  22  121 ລະຌຌັໄ d  P1P2  11 2. ວຄີ ຉາຠລຈູ d  P1P2  x2  x1 2  y2  y1 2  z2  z1 2 ຽຨາ຺ ແຈໄ d  P1P2   2  42  3  32   5  22 ລະຌຌັໄ d  P1P2  36  81  49 d  P1P2  166 2. ຽ຤ັກຽຉເີ ຌກາຄ຦າ຤ ຌງິ າຠ ຋ວໃ ຌຆໃ ື຋ໃ ີຠ຋ີ ິຈວຌັ ຾ຌຌໃ ວຌຽວີຌໄ ຤າໃ : ຽ຤ັກຽຉີ ຾ຣະ ລຌັ ງະຣກັ ຈ຤ໄ ງ AB ຦ົື  a AB  ຨຍູ ຋ີ 5 ຽ຤ກັ ຽຉີ AB ຦ົື a  A ຽວຌໄີ ຤າໃ ຽຠຈັ ຉຌ຺ໄ , B ຽວໄີຌ຤າໃ ຽຠຈັ ຎາງຂວຄຽ຤ັກຽຉີ AB  ຋ິຈ຾ຠຌໃ ລຄັ ຽກຈຉາຠຎາງຣກູ ລວຌ ຽຆໃ ັຌ ຅າກຽຠຈັ A ຦າ B  ຣ຤ຄງາ຤ຂວຄຽ຤ັກຽຉີ AB ຽວີຌໄ ຤າໃ ຂະໜາຈ, ລຌັ ງະຣກັ ຈ຤ໄ ງ AB ຦ົື a ຃ຌຸ ຣກັ ລະຌະຂວຄຽ຤ັກຽຉີ ກ. ລວຄຽ຤ັກຽຉີຨ຤ໃ ຠຣ຤ຄຈຼ຤ກຌັ ກຉໃ ຽຠໃວື ລວຄຽ຤ັກຽຉຌີ ຌັໄ ຌວຌເຌລວຄຽລັຌໄ ຆໃ ຋ື ໃ ີຂະໜາຌກຌັ ຦ົື ຽລັຌໄ ຆໃ ຈື ຼ຤ກຌັ .   ຂ. u ຾ຣະ v ຨ຤ໃ ຠ຋ິຈຨ຤ໃ ຠຣ຤ຄຈຼ຤ກຌັ ກຉໃ ຽຠໃວື ຽ຤ັກຽຉີ຋ຄັ ລວຄຌວຌເຌລວຄຽລັໄຌຆໃ ຂື ະໜາຌ ກຌັ ຦ົື ຽລັຌໄ ຆໃ ຈື ຼ຤ ກຌັ ຾ຣະ ຠ຋ີ ິຈຈຼ຤ກຌັ ຽພໃ ິຌລຌັ ງະຣກັ ຈ຤ໄ ງ    . u v ຃. ລວຄຽ຤ັກຽຉີ  ຾ຣະ  ຍໃ ຨ຤ໃ ຠຣ຤ຄ ຾ຣະ ຍໃ ຨ຤ໃ ຠ຋ິຈຈຼ຤ກຌັ ກຉໃ ຽຠໃວື ລວຄຽ຤ັກຽຉຠີ ຣີ ຤ຄຉຈັ ກຌັ u v ຄ. ຽ຤ັກຽຉີ຋ໃ ີຠຽີ ຠຈັ ຉຌ຺ໄ ຾ຣະ ຽຠຈັ ຎາງຽຉັຄກຌັ ຽວໄີຌ຤າໃ ຽ຤ັກຽຉີລຌູ ຅. ລວຄຽ຤ັກຽຉຽີ ຋ໃ ຺າກຌັ ກຉໃ ຽຠໃວື ຽ຤ັກຽຉ຋ີ ຄັ ລວຄຠຂີ ະໜາຈຽ຋ໃ ຺າກຌັ ຾ຣະ ຨ຤ໃ ຠ຋ິຈ,ຨ຤ໃ ຠຣ຤ຄຈຼ຤ ກຌັ

2.2 ຽຄາົ ຘາງຂບຄຽທກຽຉຽີ ຋ຄິ ຾ກຌຉທ຺ ຎະຘາຌຉໄຄຘາກ ຦ົກັ ຽກຌ ຽຄາ຺ ຂວຄຽ຤ັກຽຉີ AB ຽ຋ິຄ຾ກຌຉ຤຺ ຎະລາຌ u ຾ຠຌໃ ຣ຤ຄງາ຤ຂວຄຽ຤ັກຽຉີ AB ຃ຌູ ເ຦຿ໄ ກຆິຌຂວຄ ຠຠູ ຣະ຦຤າໃ ຄຽ຤ັກຽຉີ AB ກຍັ ຾ກຌ u Pru AB = AB cos  ຾ຠຌໃ ຠຠູ ຣະ຦຤າໃ ຄ AB ກຍັ ຾ກຌ u B B A A u u »ø®êó 3 »®ø êó 4 ²ò¦ø© (຾ຌະຌາເນ້ຌກປຼຌຽຍິໃດູ່ຎໄຓຶ ຾ຍຍປຼຌ) 2.3 ເ຦ຣໄ ະຍຍ຺ ຽລັຌໄ ຽ຃຺ໄາຉຄັໄ ລາກ Oxyz ຾ຣະ ຽ຤ັກຽຉຉີ າຠເ຅ AB ເຌກາຄ຦າ຤ ຦ົກັ ຽກຌ ລາຣຍັ ຋ກຸ ໂຽຠຈັ Ax1, y1, z1  ຾ຣະ Bx2 , y2 , z2  , ຽ຤ັກຽຉີ AB ຋ໃ ີຠຉີ ຤຺ ຎະລາຌ x, y, z  ກາຌຈ຺ ຈ຤ໄ ງ ລຈູ ຣຠຸໃ ຌໄີ : ໝາງ຃຤າຠ຤າໃ : AB  x2  x1, y2  y1, z2  z1 ກຈິ ຅ະກາ2 ຅ຄໃ ຺ ລະ຾ຈຄຽ຤ັກຽຉີ AB ເຌຣະຍຍ຺ ຾ກຌຽ຃຺ໄາຉຄັໄ ລາກ Oxyz ເຌກາຄ຦າ຤ /3, ພວໄ ຠ຋ຄັ ຆວກ຦າ ຉ຤຺ ຎະລາຌຂວຄຽ຤ັກຽຉຈີ ຄໃ ັ ກາໃ ຤, ຊາໄ ຤າໃ 1) A (0,0,0 ) ຾ຣະ B (1,2,3) 2) A (1,1,-1) ຾ຣະ B (2,3,2) ຤຋ິ ີ຾ກໄ 1. ຉາຠຽຄໃວື ຌແຂຍຈ຺ ຽຣກ຋ໃ ີເ຦ຠໄ າ ຾ຣະ ຌາເຆ຦ໄ ົກັ ຽກຌ຋ີ 2 ຽຨາ຺ ແຈໄ AB  1 0, 2  0, 3  0 ຈຄໃ ັ ຌຌັໄ AB  1, 2,3 (ຨຍູ 12) 2. ຉາຠຽຄໃວື ຌແຂຍຈ຺ ຽຣກ຋ໃ ີເ຦ຠໄ າ ຾ຣະ ຌາເຆ຦ໄ ົກັ ຽກຌ຋ີ 2 ຽຨ຺າແຈໄ AB  2 1, 3 1, 2 1  1, 2,3 ຈຄໃ ັ ຌຌັໄ AB  1, 2,3

຿ກຆິຌຍບກ຋ຈິ ຍບຄຽທກຽຉີ  ¦¡ô ¦¾-À®¤… -À¸ñ¡-Àªó   x, y, z -À¸ñ¡- a a z Az Àªó ´-óÀ´ñ©-ª-í -µÈø-À´©ñ -À£¾í - °È¾-À- ´ñ© A ²¸¡ - A À»ö¾¦- ɾ¤Á- °È-²¼¤ª- ˜¤¦¾¡¡- ñ®-Á¡- Ox, Oy, O Oz À¸ì¾­š-À»¾ö -¥½-Ä©É»- ø®-¡ñ®-¦¾¡-ê´†- À-ó ¦­˜ -À­„¤ Ay  ¥º´Á- ´È--츤¨- ¾¸¢- º¤-À¸ñ¡-Àªó a (»®ø 6) Ax x »®ø êó 6  OA  OA  a ວຄີ ຉາຠຽຣຂາ຃ະຌຈິ ພືໄຌຊາຌຽຨາ຺ ຠ:ີ ກາຣຄັ ລວຄຂວຄຽລັໄຌຽຌໃ ຄັ ຅ວຠຂວຄຨຍູ ກຍັ ລາກ ຽ຋ໃ ຺າຏຌ຺ ຍ຤ກກາຣຄັ ລວຄຂວຄລາຠຂະໜາຈ. OA 2  OAx 2 OAy 2 OAz 2  ຾- ຉ຤ໃ າໃ OAx  x, OAy  y , OAz  z ຈຄໃ ັ ຌຌັໄ ພ຤ກຽຨ຺າແຈໄ :  2  x2  y2  z2 Íõ   x2  y2  z2 (1) a a  ຠຠູ ,  ,  ຾ຠຌໃ ຠຠູ ຣະ຦຤າໃ ຄຽ຤ັກຽຉີ a ກຍັ ຾ກຌ Ox, Oy, Oz ຉາຠຣາຈຍັ ຂວຄ ຣະຍຍ຺ ຽລັໄຌ ຽ຃຺ໄາຉຄັໄ ລາກ Oxyz. ວີຄຉາຠລຈູ ເຌ຦ົກັ ຽກຌ 1 ກຼໃ ຤ກຍັ ຽຄ຺າລາງຂວຄຽ຤ັກຽຉຽີ ຋ິຄ຾ກຌ ຽຨ຺າແຈໄ  x a cos  x  z 2  y 2  z 2 cos y  cos   y x2  y 2  z 2 cos  a z  cos z x2  y 2  z 2 cos a  x  cos   x2  y2  z2  ຅າກຌຽໄີ ຨາ຺ ຅ະແຈໄ  cos   y (2)  x2  y2  z2   cos  z  x 2  z 2  z 2  cos, cos  , cos ຾ຠຌໃ ຿ກຆຌິ ຍວກ຋ິຈ຋າຄຂວຄຽ຤ັກຽຉີ a ຅າກ (2) ພ຤ກຽຨ຺າຊວຌແຈໄ cos2   cos2   cos2   1 (3) ກຈິ ຅ະກາ3 ຅ຄໃ ຺ ຆວກ຦າ຿ກຆຌິ ຍວກ຋ິຈຂວຄຽ຤ັກຽຉີ   M1M 2 ຊາໄ ຤າໃ M11, 2, 3຾ຣະ M2 3, 5, 3 a ຤຋ິ ີ຾ກໄ ຽຨ຺າແຈ ໄ   M1M 2  3   1, 5  2, 3 3 a   M1M 2  4, 3, 0 a ຆວກ  42  32  02  25  5 a  M1M 2 

§º¡ À§…¤ cos  x  4  cos  4 x2  y2  z2 5 5 §º¡ À§¤… cos   y  3  cos   3 x2  y2  z2 5 5 §º¡ À§¤… cos  z  0  0    90 x2  y2  z2 5 ກຈິ ຅ະກາ4 ຅ຄໃ ຺ ຆວກ຦າຉ຤຺ ຎະລາຌຂວຄຽ຤ັກຽຉີ຋ໃ ີຠຣີ ຤ຄງາ຤ຽ຋ໃ ຺າ 6 ຎະກວຍກຍັ ຾ກຌຽ຃຺ໄາຽຎັຌຠຠູ ຾຦ົຠ຋ໃ ີຽ຋ໃ ຺າ ກຌັ ? ຤຋ິ ີ຾ກ:ໄ ວຄີ ຉາຠຽຄໃວື ຌແຂຂວຄຍຈ຺ ຽຣກຽຨ຺າຠີ       cos  cos   cos , ຈຄໃ ັ ຌຌັໄ ຌາເຆລໄ ຈູ ຽຨ຺າແຈໄ cos2   cos2   cos2   1  3cos2   1  cos2   1  cos   1 33 ຉາຠຽຄໃ ວື ຌແຂ຋ໃ ີເ຦ໄຠາ຃ືຽຎັຌຠຠູ ຾຦ົຠ, ຽຨ຺າຽວ຺າ຾ຉ຃ໃ ໃາຍ຤ກ cos  1 3  ຈໃຄັ ຌຌັໄ cos  cos   cos  1 . ເ຦ໄ x,y,z ຾ຠຌໃ ຉ຤຺ ຎະລາຌຂວຄຽ຤ັກຽຉີ a ຽ຤ຣາຌຽີໄ ຨາ຺ ຅ະ  3 a ແຈ ໄ x2  y2  z2  ວຄີ ຉາຠລຈູ (2) ຽຨ຺າແຈໄ cos  x  1  x x2  y2  z2 36 cos   y  1  y x2  y2  z2 36 cos  z  1  z x2  y2  z2 36 xyz 6 2 3 3    a  2 3, 2 3, 2 3 ກາຌຂຼຌຽ຤ັກຽຉມີ ເໃູ ຌຣະຍຍ຺ ຽລັຌໄ ຽ຃຺າໄ ຉຄັໄ ລາກ 4.1 ກາຌຂຼຌຽ຤ັກຽຉມີ ເໃູ ຌຣະຍຍ຺ ຠາຈຉະຊາຌ ລຠ຺ ຠຈຸ   1, 0, 0  ,   0, 1, 0  ຾ຣະ  ຾ຠຌໃ ຽ຤ັກຽຉີ຦຤຺ ໜ຤ໃ ງຂວຄຽລັຌໄ ຽ຃຺ໄາ i j  k  0, 0, 1 Ox, Oy, Oz ຉາຠຣາຈຍັ , i  j  k  1 ຽຆໃ ຄິ ຾ຉຣໃ ະຽ຤ັກຽຉີຠ຋ີ ິຈຉາຠ຋ິຈຽລັໄຌຽ຃຺ໄາຂວຄເຏຣາ຤. ຽ຤ຣາ  ຌຽີໄ ພໃ ິຌຽ຤຺າໄ ຤າໃ i , j , k ຾ຠຌໃ ຽ຤ັກຽຉ຦ີ ຤຺ ໜ຤ໃ ງພືໄຌຊາຌ.  ຦ົກັ ຽກຌ ລຠ຺ ຠຈຸ ຽ຤ັກຽຉີ a ຾ຠຌໃ ຽ຤ັກຽຉ຦ີ ຤຺ ໜ຤ໃ ງພືໄຌຊາຌ ຽ຤ຣາຌີໄ       i   j   k a

ຽຆໃ ຄິ ຤າໃ  ,  ,  ຾ຠຌໃ ຅າຌ຤ຌເຈໜໃ ຶຄ ກຈິ ຅ະກາ5: ຅ຄໃ ຺ ຂຼຌຽ຤ັກຽຉີຣຠຸໃ ຌເີໄ ຌຨຍູ ຨາໃ ຄຠາຈຉະຊາຌ ເ຦ໄ i , j , k ຽຎັຌຽ຤ັກຽຉີ຦຤຺ ໜ຤ໃ ງພໄືຌຊາຌ  1. a  3, 4 ,  5  2. b   2, 0, 4   3. ຽ຤ັກຽຉີ c ຠຽີ ຠຈັ ຉຌ຺ໄ ມໃູ M1  1, 2, 3  ຾ຣະ ຠຽີ ຠຈັ ຎາງມຽໃູ ຠຈັ M2 3, 5, 3  ຤຋ິ ີ຾ກໄ ວີຄຉາຠ຦ົກັ ຽກຌ ຾ຣະ ຅າກຽຄໃວື ຌແຂຂວຄຍຈ຺ ຽຣກ຅ະແຈໄ 1.      3i  4 j  5 k  a 2. b  2i  0 j  4 k  3. c  M 1M  3  1 , 5  2, 3  3   4, 3, 0    2 ຈຄໃ ັ ຌຌັໄ c  4i 3 j 0k III. ຘະນຍຼຸ - ຃ູເນ້ຌກປຼຌຽທາ຺ໄ ຃ຌື ຍຌຈາຘູຈຉໞາຄໂ - ຃ູບະ຋ິຍາງ຃ືຌເນຌ້ ກປຼຌຒຄ IV. ຎະຽຓຌີ - ຘຄຽກຈກາຌຽປຈກິ຅ະກາ ຾ຖະ ກາຌຖາງຄາຌຘ຺ຌ຋ະຌາຂບຄຌກປຼຌ - ກາຌ຾ກຍ້ ຺ຈຽຐິກນຈ຋ໃີ຃ຓູ ບຍເນ້ V. ຍຈ຺ ຽຐກິ ນຈ ຾ຖະ ຉກຽຉບື ຌ  ຍຈ຺ ຽຐກິ ນຈ 1. ຅ໃ຺ຄຆບກນາແຖງະນໞາຄຖະນທໞາຄຘບຄຽຓຈຖຓຸ່ ຌີໄ: 1. A2, 4,1; B 0,3,5 2. C 2, 2,0; D 5,0,0 3. E 2,6,7; F 3,1,5 2. ຅ຄໃ຺ ຂບກນາຓຸຓຖະນທາໞ ຄຘບຄຽທກຽຉີຖຸ່ຓຌີໄ: 1. a(2, 4,5), b  1,1, 6   5  2. c 1, 2, 1; e1, 1,0 ຉກຽຉບື ຌ ທຌ຋ີ 14/11/2022………………… - ຘກຶ ຘາ຾ຌທ຃ິຈ, ຾ຌະຌາທຼກຍໟາຌ ທຌ຋ີ 16/11/2022 ນ຺ທໜາໟ ຑາກທຆິ າ຃ະຌິຈຘາຈ-ຒຆິ ກິ ຘາຈ ບ຅ ຎະ຅າທຆິ າ ຎ຋ ຅ຌ຋ບຌ ຾ກທ້ ຓະຌີແຆ ຎ຋ ຽຓຄິ ຃າ ຾ກທ້ ຑທູ ຺ຄ

ຍຈ຺ ຘບຌ ທຆິ າ: ຽຖຂາທິຽ຃າະ ຘາງ຃ະຌຈິ ຘາຈຎີ 4 ຍຈ຺ ຋ີ 5 (ຉໃ) ຖະຍ຺ຍຽຘໄຌຽ຃າ຺ໄ ຉໄຄຘາກເຌກາຄນາທ ຽທຖາ ຆທໃ຺ ຿ຓຄ ຂຌໄ ຉບຌ຋1ີ ຏຌ຺ ປຍ຋ຉີໃ ໟບຄກາຌ ເນຌ້ ກປຼຌຘາຓາຈ: - ບະ຋ິຍາງ຃ຸຌຖກຘະຌະຂບຄຽຘໄຌຆໃືເຌກາຄນາທ - ຂຼຌຘຓ຺ ຏ຺ຌ຾ຏຌ່ ຑຼຄ, ຘ຺ຓຏຌ຺ ຽຘຌໄ ຆໃື, ເຌກາຄນາທແຈ້ - ປູ້຅ກກາຌຑ຺ທຑຌ ຾ຖະ ກາຌ຃ິຈແຖ່ຓູຓຖະນທໞາຄຘບຄຽຘໄຌຆໃື, ຽຘຌໄ ຆືໃກຍ຾ຏຌ່ ຑຼຄເຌກາຄນາທ ຃ທາຓຽຂາໄ຺ ເ຅ ຃າຊາຓນກົ ຌກປຼຌຽຂໄ຺າເ຅: 1. ຅ຄໃ຺ ຂຼຌຘ຺ຓຏຌ຺ ຽຘຌໄ ຆໃືເຌກາຄນາທ? - ທ຋ິ ກີ າຌຂຼຌຘ຺ຓຏ຺ຌຽຘໄຌຆໃືເຌກາຄນາທ 2. ຂຼຌຘ຺ຓຏຌ຺ ຾ຏຌ່ ຑຼຄເຌກາຄນາທ - ທ຋ິ ກີ າຌຂຼຌຘຓ຺ ຏ຺ຌ຾ຏ່ຌຑຼຄເຌກາຄ 3. ຍບກ຋ໃີຉຄໄ ຂບຄຽຘຌຆືໃ ຾ຖະ ຾ຏຌ່ ຑຼຄເຌກາຄນາທ ນາທ ຾ຖະ - ປູ້຅ກ຋ໃີຉໄຄ຋ຼຍຊາຌຂບຄຽຘໄຌຆືໃ ຾ຏຌ່ ຑຼຄເຌກາຄນາທ ຃ທາຓປູ້ ຋ກຘະ - ບະ຋ຍິ າງຌິງາຓຂບຄປີ຾ຎກ຿ຍຌ - ຘາຓາຈ຾ກ້ຍຌນາກໞຼທຽຘຌໄ ຆໃື ຾ຖະ ຾ຏຌ່ ຑຼຄງເຌກາຄນາທແຈ້ - ຂຼຌຘຓຏ຺ ຺ຌຎາຖາ຿ຍຌແຈ້ - ຘາຓາຈຌາເຆ້ເຌກາຌຘຈິ ຘບຌດູ່຿ປຄປຼຌຘາຓຌແຈ້ - ຾ຉຓ້ ຎາຖາ຿ຍຌເຌ຾ຏຌ່ ຑຼຄ ຂໄຌຉບຌ຋2ີ ນກົ ຊາຌກາຌຎະຽຓຌີ ທຼກ຋ຌີ ກປຼຌຎະຉິຍຈ ນກົ ຊາຌບໃືຌ - ຏ຺ຌກາຌຖາງຄາຌ ຾ຖະ ກາຌຘ຺ຌ຋ະຌາຂບຄຌກປຼຌ - ຎະຉິຍຈກຈິ ຅ະກາ຋ໃ຃ີ ູກາຌ຺ຈເນ້ - ຖາງຄາຌຏ຺ຌກຈິ ຅ະກາ ຂໄຌຉບຌ຋3ີ ຾ຏຌກາຌຘບຌ - ຘ຺ຌ຋ະຌາກຍກຸຓ່ ບືໃຌ - ຾ກຍ້ ຈ຺ ຽຐກິ ນຈ຋ໃ຃ີ ູຓບຍເນ້ I. ຂໄຌຌາ - ຌກປຼຌຽ຃າ຺ ຖຍ຺ ຃ູ - ກທຈກາ຅າຌທຌ຃຺ຌຂາຈ

- ຘະຽໜີ຾ຂກ(ຊາໟ ຓ)ີ  ຋ທຌ຃ືຌຍຈ຺ ປຼຌຽກໃາ຺  ຍາຈຖຼໟ ທຽຂໄ຺າຘູ່ຍ຺ຈປຼຌ ຉຄໄ ຃າຊາຓຘຌ຺ ຋ະຌາກຼໞ ທກຍຖະຍຍ຺ ຽຘຌໄ ຽ຃ໄ຺າ II. ຂຌໄ ຘບຌ ຍຈ຺ ຋ີ5(ຉ)ໃ ຖະຍຍ຺ ຽຘຌໄ ຽ຃າ຺ໄ ຉຄໄ ຘາກ, ຽທກຽຉ,ີ ໜາໟ ກຄ຺ໃ ຾ຖະ ຽຘຌໄ ກຄໃ຺ ເຌກາຄນາທ 3. ຘຓ຺ ຏຌ຺ ຾ຏຌ່ ຑຼຄເຌກາຄນາທ 3.1 ຘຓ຺ ຏຌ຺ ຾ຏຌ່ ຑຼຄຏາໞ ຌຽຓຈໜຄໃຶ ຾ຖະ ປຽູ ທກຽຉຉີ ຄໄ ຘາກ ເນ້ຽຓຈ P  x0, y0, z0  ຾ຖະ ຽທກຽຉີ N (A, B,C) ຘຓ຺ ຏຌ຺ ຾ຏ່ຌຑຼຄ຋ໃຏີ າໞ ຌຽຓຈ P ຾ຖະ ຉຄໄ ຘາກກຍຽທກຽຉີ N ຾ຓຌ່ : A(x  x0)  B( y  y0)  C(z  z0)  0 ກຈິ ຅ະກາ1 1. ຅຺ຄໃ ຘໟາຄຘ຺ຓຏຌ຺ ຾ຏ່ຌຑຼຄ຋ໃຏີ າໞ ຌຽຓຈ M(1;1;1) ຾ຖະ ຉຄຘກກຍຽທກຽຉີ N(2, 2,3) 2. ຅຺ໃຄຘາໟ ຄຘ຺ຓຏ຺ຌ຾ຏຌ່ ຑຼຄ຋ໃຏີ ໞາຌຽຓຈ ຽ຃າໄ຺ ຾ຖະ ຉຄຘກກຍຽທກຽຉີ M (3,1, 2) ທ຋ິ ຾ີ ກ້: 1. ບີຄຉາຓຘູຈ ຾ຖະ ຽຄໃືບຌແຂຂບຄຍ຺ຈຽຖກຽປາ຺ ແຈ້ : 2 x 1  2 y 1  3 z 1  0 2x  2  2y  2  3z 3  0 2x  2y  3x  7  0 2. ບຄີ ຉາຓຘູຈ ຾ຖະ ຽຄໃືບຌແຂຂບຄຍຈ຺ ຽຖກຽປ຺າແຈ້: 3x 0  y 0  2z 0  0 3x  y  2z  0 3.2 ຘຓ຺ ຏຌ຺ ຾ຏຌ້ ຑຼຄຏາໞ ຌຘາຓຽຓຈ ຾ຏຌ່ ຑຼຄຏາໞ ຌຘາຓຽຓຈ A x1, y1, z1 ; B  x2, y2, z2 ; C  x3, y3, z3  ກ າຌຈ຺ ຈທໟ ງຘຈູ ຈໃຄຌໄີ : x  x1 y  y1 z  z1 x2  x1 y2  y1 z2  z1  0 x3  x1 y3  y1 z3  z1 ນືົ x x1  y2  y1 z2  z1 y y1  z2  z1 x2  x1 z  z1  x2  x1 y2  y1  0 y3  y1 z3  z1 z3  z1 x3  x1 x3  x1 y3  y1 ກິຈ຅ະກາ2 ຅ຄ຺ໃ ຂຼຌຘຓ຺ ຏ຺ຌ຾ຏ່ຌຑຼຄຏໞາຌ ຘາຓຽຓຈ A2, 1, 4; B 3, 0, 2; C 1, 4, 6 ທິ຋ີ຾ກ້: ບີຄຉາຓຘູຈ ຾ຖະ ຽຄໃືບຌແຂຂບຄຍຈ຺ ຽຖກຽປ຺າແຈ້:

x 2 y 1 z 4 3  2 0 1 2  4  0 1 2 4 1 6  4 x 2 y 1 z 4  5 1 2  0 1 3 2  x  2 1 2   y 1 2 5   z  4 5 1 1 2 0 3 2 1 3  4 x  2 12 y 1 16 z  4  0  x  3y  4z 11  0 3.3 ຋ຉີໃ ໄຄ຋ຼຍຊາຌຂບຄ຾ຏຌ່ ຑຼຄເຌກາຄນາທ 3.3.1 ຠຠູ ຣະ຦຤າໃ ຄລວຄ຾ຏຌໃ ພຼຄ ລຠ຺ ຠຈຸ ເ຦ລໄ ວຄ຾ຏຌໃ ພຼຄ P1 : A1x  B1 y  C1z  D1  0  P2 : A2 x  B2 y  C2 z  D 2  0 ຋ໃ ີຠຽີ ຤ັກຽຉີຌວກຠາຌ N1   A1 , B1 ,C1 ຾ຣະ N2   A2 , B2 ,C2 ຉາຠຣາຈຍັ . ຽ຤ຣາຌໄີ   ໜໃ ຶຄເຌຠຠູ ຣະ຦຤າໃ ຄລວຄ຾ຏຌໃ ພຼຄຈຄໃ ັ ກາໃ ຤ ໝາງ຃຤າຠ຤າໃ  ຾ຠຌໃ ຠຠູ ຣະ຦຤າໃ ຄ N1 Áì½ N 2 . ຅າກ ຏຌ຺ ແຈຨໄ ຍັ ຾ຣະ ວີຄຉາຠຍຈ຺ ຨຼຌກຼໃ ຤ກຍັ ຽ຤ັກຽຉ຾ີ ຠຌໃ ຏຌ຺ ຃ຌູ ຍໃ ຠ຋ີ ິຈຽຨ຺າແຈ:ໄ z P2 P1 y O x  ຨຍູ ຋ີ 8 cos  N 1 . N2  A1 A2  B1B2  C1C2 N1 . N2 A12  B12  C12 . A22  B22  C22 ກຈິ ຅ະກາ3 ຅ຄໃ ຺ ຃ິຈແຣຠໃ ຠູ ຣະ຦຤າໃ ຄລວຄ຾ຏຌໃ ພຼຄ ຤຋ິ ີ຾ກໄ P1 : 4x  4y  7z 1  0 P2 : x  2y  2z  2  0 ວີຄຉາຠຽຄໃວື ຌແຂຂວຄຍຈ຺ ຽຣກ຋ໃ ີເ຦ຠໄ າ ຽຨາ຺ ຠ:ີ  N1  4,  4,7  , N2  1, 2, 2 

຅າກລຈູ cos  A1 A2  B1B2  C1C2 ຾຋ຌ຃າໃ ເລຽໃ ຨາ຺ ແຈໄ A12  B12  C12 . A22  B22  C 2 2 cos  4.1  4.2  7.2 42   42  72 . 12  22  22 cos  4  8  14  10 16  16  49 . 1  4  4 27  cos  0,37037037 ...    69  3.2 ກາຌຂະໜາຌ ຾ຖະ ຉຄໄ ຘາກຂບຄຘບຄ຾ຏຌ່ ຑຼຄ ລວຄ຾ຏຌໃ ພຼຄ P1 : A1x  B1 y  C1z  D1  0 , P2 : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 ຊາໟ : A1  B1  C1  P1 P2 A2 B2 C2 A1A2  B1B2  C1C2  0  P1  P2 ກິຈ຅ະກາ4 ຅ຄໃ ຺ ຍວກ ຾ຣະ ເ຦ຽໄ ຦ຈຏຌ຺ ຤າໃ ເຌລວຄ຃຾ູໃ ຏຌໃ ພຼຄຣຠຸໃ ຌີໄ ຾ຠຌໃ ຃ເູໃ ຈຉຄັໄ ລາກກຌັ ຾ຣະ ຃ເູໃ ຈ ຂະ ໜາຌກຌັ ? ¡. P1 : x  y  2z 1  0 ¢. P1 : 2x  3y  4z  2  0 P2 :  2x  2y  4z  9  0 P2 : 4x  4y  z  4  0 ຤຋ິ ີ຾ກໄ ກ. ວຄີ ຉາຠຽຄໃວື ຌແຂຂວຄຍຈ຺ ຽຣກ ຾ຣະ ວຄີ ຉາຠລຈູ ຃ຈິ ແຣເໃ ຌກຣະຌຉີ ຄັໄ ລາກກຌັ ຾ຣະ ຂະໜາຌກຌັ ຂວຄລວຄ຾ຏຌໃ ພຼຄ ຽຨາ຺ ແຈ:ໄ   A1  B1  C1 ຾຋ຌ຃າໃ ເລລໃ ຈູ ຽຨ຺າແຈ:ໄ A2 B2 C2 1  1  2  0,5 2 2 4 ຈໃຄັ ຌຌັໄ , ຽຨ຺າຽ຤຺ໄາແຈ຤ໄ າໃ P1 ຂະໜາຌກຌັ ກຍັ P2 ຤຋ິ ີ຾ກໄ ຂ. ຅າກຽຄໃວື ຌແຂຂວຄຍຈ຺ ຽຣກ ຽຨາ຺ ແຈÉ A1 A2  B1B2  C1C2  0 ຾຋ຌ຃າໃ ເລແໃ ຈÉ 8  12  4. 0 ຈຄໃ ັ ຌຌັໄ ຾ຏຌໃ ພຼຄ P1, P2 ຉຄັໄ ລາກກຌັ . 4. ຋ຉີໃ ຄໄ ຋ຼຍຊາຌຂບຄຽຘຌໄ ຆເືໃ ຌກາຄນາທ 4.1 ຠຠູ ຣະ຦຤າໃ ຄລວຄຽລັຌໄ ຆໃ ເື ຌກາຄ຦າ຤ ລຠ຺ ຠຈຸ ເ຦ລໄ ວຄຽລັຌໄ ຆໃ ື L1 ຾ຣະ L2 ຋ໃ ີກາຌຈ຺ ຈ຤ໄ ງລຠ຺ ຏຌ຺ ກາ຿ຌຌກິ ຉາຠຣາຈຍັ

L1 : x  x1  y  y1  z  z1 l1 m1 n1 L2 : x  x2  y  y2  z  z2 l2 m2 n2 ພ຤ກຽຨ຺າລາຠາຈຆວກແຈຉໄ າຠລຈູ ວຄີ ຉາຠຍຈ຺ ຨຼຌກຼໃ ຤ກຍັ ຽ຤ັກຽຉ຾ີ ຠຌໃ : a .b cos   a .b ຾ຣະ cos  x1 x2  y1 y2  z1z2 x12  y12  y12 . x 2  y 2  z 2 2 2 2 ຊາໄ ຤າໃ l1l2 + m1m2+ n1n2 = 0 ຈຄໃ ັ ຌຌັໄ ຽຨາ຺ ແຈໄ cos  a1 .a2  l1l2  m1m2  n1n2 (1) a1 . a2 L12  m12  n12 . L22  m22  n22 ລຠ຺ ຏຌ຺ (1) ຾ຠຌໃ ລຠ຺ ຏຌ຺ ຠຠູ ຣະ຦຤າໃ ຄລວຄຽລັຌໄ ຆໃ ື L1 ຾ຣະ L2 ເຌກາຄ຦າ຤. ກຈິ ຅ະກາ5 ຅ຄໃ ຺ ຆວກ຦າຠຠູ ຣະ຦຤າໃ ຄລວຄຽລັຌໄ ຆໃ ເື ຌກາຄ຦າ຤຋ໃ ີກາຌຈ຺ ຈ຤ໄ ງລຠ຺ ຏຌ຺ L1 : x 1  y  2  z 3 2 2 1 L2 : x 1  y 1  z 3 2 6 3 ຤຋ິ ີ຾ກໄ ວຄີ ຉາຠຽຄໃວື ຌແຂຍຈ຺ ຽຣກຽຨ຺າຌາເຆລໄ ຈູ ຣຠຸໃ ຌໄີ  cos  a1 .a2  l1l2  m1m2  n1n2 a1 . a2 l12  m12  n12 . l22  m22  n22 cos  2.2  2.6  1.3 22  22  12 . 22  62  32 cos  4 12  3  11    59 9 . 49 21 4.2 ຽຄບືໃ ຌແຂຂະໜາຌ ຾ຖະ ຽຄບໃື ຌແຂຉຄໄ ຘາກຂບຄຘບຄຽຘຌໄ ຆືໃ ເ຦ລໄ ວຄຽລັຌໄ ຆໃ ື L1 ຾ຣະ L2 ກາຌຈ຺ ຈ຤ໄ ງລຠ຺ ຏຌ຺ : L1 : x  x1  y  y1  z  z1 l1 m1 n1 L2 : x  x2  y  y2  z  z2 l2 m2 n2 ຊາໟ :  l1  m1  n1  ຅ະແຈ້ L1 ຂະໜາຌ L2  l2 m2 n2 ຊາໟ : l1l2  m1m2  n1n2  0 ຅ະແຈ້ L1 ຉໄຄຘາກ L2 ກຈິ ຅ະກາ 1. ລວຄຽລັຌໄ ຆໃ ຣື ຠຸໃ ຌຂີໄ ະໜາຌກຌັ ນືົຍ ?

 L1 : x2  y3  z5  1 2 4 ເ຦ໄ  x  2  y 1  26  L2 : 0,5 1  2  2. ຘບຄຽຘຌໄ ຆືໃຖຓຸ່ ຌໄີຉໄຄຘາກກຌນຍືົ ໃ ? L1 : x 2  y 1  z 2  4 3 1  x 1  y 1  z 1  L2 : 117 ຤຋ິ ີ຾ກໄ 1. ຅າກຽຄໃວື ຌແຂຍຈ຺ ຽຣກ ຾ຣະ ວຄີ ຉາຠລຈູ ຽຨ຺າແຈ:ໄ L1  m1  n1   L2 m2 n2 ຾຋ຌ຃າໃ ເລລໃ ຠ຺ ຏຌ຺ ຽຨ຺າແຈໄ 1  2  4 2 0,5 1  2 ຈຄໃ ັ ຌຌັໄ ລວຄຽລັຌໄ ຆໃ ື L1 ຾ຣະ L2 ຂະໜາຌກຌັ . 2. ຅າກຽຄໃວື ຌແຂຍຈ຺ ຽຣກ ຾ຣະ ວີຄເລລໃ ຈູ ຽຨາ຺ ແຈໄ : l1l2  m1m2  n1n2  0  4.1 3.11.7  7  7  0 ຈຄໃ ັ ຌຌັໄ ຽລັໄຌຆໃ ື L1 ຾ຣະ L2 ຉຄັໄ ລາກກຌັ III. ຘະນຍຼຸ - ຃ູເນຌ້ ກປຼຌຽທາໄ຺ ຃ືຌຍຌຈາຘຈູ ຉໞາຄໂ - ຃ູບະ຋ິຍາງ຃ຌື ເນຌ້ ກປຼຌຒຄ IV. ຎະຽຓຌີ - ຘຄຽກຈກາຌຽປຈກ຅ິ ະກາ ຾ຖະ ກາຌຖາງຄາຌຘຌ຺ ຋ະຌາຂບຄຌກປຼຌ - ກາຌ຾ກຍ້ ຈ຺ ຽຐກິ ນຈ຋ໃີ຃ູຓບຍເນ້ V. ຍຈ຺ ຽຐກິ ນຈ ຾ຖະ ຉກຽຉບື ຌ  ຍຈ຺ ຽຐກິ ນຈ ຾ຌະຌາເນ້ຌກປຼຌ຾ກ້ຍ຺ຈຽຐິກນຈດູ່ຎຓໄື ຾ຍຍປຼຌ  ຉກຽຉບື ຌ - ຘກຶ ຘາ຾ຌທ຃ິຈ, ຾ຌະຌາທຼກຍາໟ ຌ ທຌ຋ີ 22/11/2022 ທຌ຋ີ 22/11/2022 ……………… ນ຺ທໜາໟ ຑາກທຆິ າ຃ະຌິຈຘາຈ-ຒຆິ ກິ ຘາຈ ບ຅ ຎະ຅າທິຆາ ຎ຋ ຅ຌ຋ບຌ ຾ກທ້ ຓະຌີແຆ ຎ຋ ຽຓຄິ ຃າ ຾ກທ້ ຑທູ ຄ຺

ຍ຺ຈຘບຌ ທຆິ າ: ຽຖຂາທິຽ຃າະ ຘາງ຃ະຌຈິ ຘາຈຎີ 4 ຍ຺ຈ຋ີ 5(ຉໃ) ຖະຍ຺ຍຽຘຌໄ ຽ຃າ຺ໄ ຉຄໄ ຘາກເຌກາຄນາທ ຽທຖາ ຆທໃ຺ ຿ຓຄ ຂໄຌຉບຌ຋1ີ ຏຌ຺ ປຍ຋ຉໃີ ໟບຄກາຌ ເນຌ້ ກປຼຌຘາຓາຈ: - ບະ຋ຍິ າງ຋ໃີຉໄຄຂບຄຽຘໄຌຆໃື ຾ຖະ ຾ຏ່ຌຑຼຄເຌກາຄນາທ - ຂຼຌຘຓ຺ ຏ຺ຌໜໟາໜໞທງຓຌ຺ ເຌກາຄນາທ - ຆບກນາຓຓູ ຖະນທາໞ ຄຽຘໄຌຆໃື ຾ຖະ ຾ຏ່ຌຑຼຄ ຃ທາຓຽຂາໄ຺ ເ຅ ຃າຊາຓນກົ ຌກປຼຌຽຂ຺ໄາເ຅: 1. ຅ຄ຺ໃ ຍບກ຋ໃີຉຄຂບຄຽຘໄຌຆືໃ ນົ ຾ຏ່ຌຑຼຄເຌກາຄນາທ - ທິ຋ກີ າຌ຾ຉຓ້ ຽຘໄຌຆືໃ ຾ຖະ ຾ຏ່ຌຑຼຄເຌ 2. ຆບກນາຓຓູ ຎະກບຍຖະນທາໞ ຄຽຘຌໄ ຆໃື ຾ຖະ ຾ຏຌ່ ຑຼຄເຌກາຄນາທ ກາຄນາທ - ທິ຋ກີ າຌຆບກນາຓູຓຖະນທໞາຄຽຘຌໄ ຆໃື ຾ຖະ ຾ຏ່ຌຑຼຄ ຃ທາຓປູ້ ຋ກຘະ - ປູ້຅ກ຋ໃີຉໄຄຂບຄຽຘໄຌຆໃື ຾ຖະ ຾ຏຌ່ ຑຼຄເຌ - ຘາຓາຈ຾ກ້ຍຌນາກໞຼທ຋ຉີໃ ໄຄ຋ຼຍຊາຌຂບຄຽຘໄຌຆືໃ ຾ຖະ ຾ຏ່ຌຑຼຄເຌ ກາຄນາທ ກາຄນາທ - ຆບກນາຓູຓຖະນທາໞ ຄຽຘໄຌຆືໃ ຾ຖະ ຾ຏຌ່ - ຘາຓາຈຌາເຆ້ເຌກາຌຘຈິ ຘບຌດູ່຿ປຄປຼຌຘາຓຌແຈ້ ຑຼຄ ຂຌໄ ຉບຌ຋2ີ ນກົ ຊາຌກາຌຎະຽຓຌີ ທຼກ຋ຌີ ກປຼຌຎະຉຍິ ຈ ນກົ ຊາຌບຌໃື - ຏ຺ຌກາຌຖາງຄາຌ ຾ຖະ ກາຌຘຌ຺ ຋ະຌາຂບຄຌກປຼຌ - ຎະຉິຍຈກິຈ຅ະກາ຋ໃີ຃ູກາຌຈ຺ ເນ້ - ຖາງຄາຌຏ຺ຌກຈິ ຅ະກາ ຂໄຌຉບຌ຋3ີ ຾ຏຌກາຌຘບຌ - ຘ຺ຌ຋ະຌາກຍກຸ່ຓບຌືໃ - ຾ກຍ້ ຺ຈຽຐກິ ນຈ຋ໃີ຃ູຓບຍເນ້ I. ຂໄຌຌາ - ຌກປຼຌຽ຃າ຺ ຖຍ຺ ຃ູ - ກທຈກາ຅າຌທຌ຃຺ຌຂາຈ - ຘະຽໜີ຾ຂກ(ຊາໟ ຓີ)

 ຋ທຌ຃ືຌຍ຺ຈປຼຌຽກ຺າໃ  ຍາຈຖໟຼທຽຂໄາ຺ ຘູ່ຍ຺ຈປຼຌ ຉໄຄ຃າຊາຓຘ຺ຌ຋ະຌາກໞຼທກຍຖະຍຍ຺ ຽຘໄຌຽ຃຺ໄາ II. ຂຌໄ ຘບຌ ຍ຺ຈ຋5ີ (ຉໃ) ຖະຍຍ຺ ຽຘຌໄ ຽ຃າໄ຺ ຉຄໄ ຘາກ, ຽທກຽຉ,ີ ໜາໟ ກຄໃ຺ ຾ຖະ ຽຘຌໄ ກຄໃ຺ ເຌກາຄ຦າ຤ 5. ຋ຉີໃ ຄໄ ຋ຼຍຊາຌຂບຄຽຘຌໄ ຆໃື ຾ຖະ ຾ຏຌຑຼຄເຌກາຄນາທ 5.1 ຽຄບືໃ ຌແຂຂະໜາຌຂບຄຽຘຌໄ ຆໃື ຾ຖະ ຾ຏຌ່ ຑຼຄເຌກາຄນາທ ເ຦ຽໄ ລັຌໄ ຆˆ L : x  x0  y  y0  z  z0 ຾ຣະ ຾ຏຌໃ ພຼຄ P : Ax  By  Cz  D  0  m n z L O »®ø 9 x   , mວ,ີຄnຉາຂຠວຍຄຈ຺ ຽຨລຼັຌໄ ຌຆກໃ ື ຼໃ L຤ກຉຍັ ຄັໄ ຽລລາັຌໄ ກຆກໃ ື ຍັ ຾ຽຣ຤ັກະຽຉ຾ີຌຏວຌໃ ກພຠຼາຄຌຽຨ຺າNຽ຦ັຌ຤Aາໃ , B L // P ເຌກຣະຌ຋ີ ໃ ີ຤າໃ ຽ຤ັກຽຉຍີ ວກ຋ິຈ a ຂວຄ ຾ຏຌໃ ພຼຄ P (ຨຍູ 9) ຅າກຂໄ ,C ລຄັ ຽກຈຈຄໃ ັ ກາໃ ຤ ຾ຣະ ວຄີ ຉາຠຍຈ຺ ຨຼຌກຼໃ ຤ກຍັ ຽ຤ັກຽຉີຽຨາ຺ ແຈ:ໄ A  Bm  Cn  0 ກຈິ ຅ະກາ1 : ຅ຄໃ ຺ ລາໄ ຄລຠ຺ ຏຌ຺ ຂວຄ຾ຏຌໃ ພຼຄຏາໃ ຌຽຠຈັ M0(1,2,1) ຾ຣະ ຂະໜາຌກຍັ ລວຄຽລັຌໄ ຆˆ x 1  y2  z 3 L1 : 1 1 2 ຤ິ຋ີ຾ກ ໄ ເ຦É PLa຾12 :ຠxຌໃ N4຾1ຏ, aຌໃ2ພyຼ2ຄN1຋ໃີຉ, ຽວໄ1zຆຄໃ ຄິ ກາNຌລ຾າໄ ຠຄຌໃລຽຠ຺ ຤ຏັກຌ຺ ຽຉ. ີຌວວີຄກຉຠາາຠຌຽຄຂໃ ວືວຌຄແຂຂວ຾ຄຍຏຌຈໃ຺ ພຽຣຼກຄ ຽPຨ຺າ຅ຠາó ກaຏ1 /ຌ຺ / P ຾ຣະ  ຈຄໃ ັ ຌຌັໄ a2 // P ແຈຨໄ ຍັ , ວຄີ ຉາຠຌງິ າຠຂວຄຏຌ຺ ຃ຌູ ຠ຋ີ ິຈຂວຄຽ຤ັກຽຉີຽຨາ຺ ແຈໄ  N  a1  a2        Y1 Z1 ; Z1 X1 ; X1 Y1  N a1  a2  Y2 Z2 Z2 X2 X2 Y2   

   1 2 ; 2 1 ; 1 1   1  4;8  1; 2  4  N  a1  a2  2 1 1 4 4 2      N   3;7; 2 ວຄີ ຉາຠລຠ຺ ຏຌ຺ ຣ຤ຠຂວຄ຾ຏຌໃ ພຼຄເຌກາຄ຦າ຤ຽຨ຺າແຈÉ Ax  x0  By  y0  C z  z0   0  3x 1  7y  2  2z 1  0  3x  3  7 y 14  2z  2  0  3x  7 y  2z  9  0 ຦ົõ 3x  7 y  2z  9  0 5.2 ຽຄໃວື ຌແຂຉຄັໄ ລາກຂວຄຽລັໄຌຆໃ ື ຾ຣະ ຾ຏຌໃ ພຼຄເຌກາຄ຦າ຤ zL O y »®ø 10  ເ຦É  ຽຎັຌຽ຤ັກຽຉີຍວກx຋ິຈຂວຄ L;  P (ຨຍູ 10). LP ກຉໃ ຽຠໃວື ຤າໃ a  a N ຽຎັຌຽ຤ັກຽຉຌີ ວກຠາຌຂວຄ ຾ຣະ N ຨ຤ໃ ຠຣ຤ຄກຌັ . ຈຄໃ ັ ຌຌັໄ ຅ໃຄຶ ຠó  ຽຆໃ ຄິ ຤າໃ : A B C mn ກຈິ ຅ະກາ2 ຅ຄໃ ຺ ລາໄ ຄລຠ຺ ຏຌ຺ ຂວຄ຾ຏຌໃ ພຼຄ຋ໃ ີຏາໃ ຌຽຠຈັ M0(4,0,Œ2- ) ຾ຣະ ຉຄັໄ ລາກກຍັ ຽລັຌໄ ຆˆ L ຋ໃ ີຏາໃ ຌ ລວຄຽຠຈັ M1(2,1Œ-4) ຾ຣະ M2(0,Œ-2,3). ຤຋ິ ີ຾ກໄ ຽຍືໄວຄຉຌ຺ໄ ພ຤ກຽຨ຺າລາໄ ຄລຠ຺ ຏຌ຺ ຂວຄຽລັໄຌຆˆ L ກວໃ ຌ,ຽຆໃ ຄິ ຅າກຽຄໃວື ຌແຂຂວຄຍຈ຺ ຽຣກ ຾ຣະ ວີຄຉາຠລຈູ : x  x0  y  y0  z  z0 ຽຨາ຺ ແຈ: x1  x0 y1  y0 z1  z0 x  2  y 1  z  4  x  2  y 1  z  4 02 2  1 34  2 3 7 ຅າກຏຌ຺ ແຈຨໄ ຍັ ຽຨາ຺ ຠó a ຠຽີ ຤ັກຽຉຌີ ວກຠາຌ   2,3, 7  N ວີຄຉາຠຍຈ຺ ຨຼຌກຼໃ ຤ກຍັ ຾ຏຌໃ ພຼຄ຋ໃ ີຏາໃ ຌຽຠຈັ ໜໃ ຶຄ ຾ຣະ  A, B, C ຅າກຽຄໃວື ຌ- ແຂຂວຄຍຈ຺ ຽຣກຽຨ຺າຠີ Ax  x0  By  y0  C z  z0   0 Ax  4 By  0 C z  2  0

ຽຆໃ ຄິ ຤າໃ M ຾ຠຌໃ ຽຠຈັ ຉາຠເ຅ຂວຄ຾ຏຌໃ ພຼຄ P ຅າກຽຄໃວື ຌແຂຂວຄຍຈ຺ ຽຣກຽຨ຺າຠó L   P ຈຄໃ ັ ຌຌັໄ   N  a . ຅າກຏຌ຺ ແຈຨໄ ຍັ ຽ຦ັຌ຤າໃ a M0M ໝາງ຃຤າຠ຤າໃ :  2x  4 3y  0 7z  2  0  2x  8  3y  3  7z  14  0  2x  3y  7z  22  0  2x  3y  7z  22  0 5.3 ຠຠູ ຣະ຦຤າໃ ຄຽລັຌໄ ຆໃ ື ຾ຣະ ຾ຏຌໃ ພຼຄເຌກາຄ຦າ຤ ລຈູ ລາຣຍັ ຃ິຈແຣຠໃ ຠູ ຣະ຦຤າໃ ຄຽລັໄຌຆໃ ື ຾ຣະ ຾ຏຌໃ ພຼຄເຌກາຄ຦າ຤ ຈຄໃ ັ ຣຠຸໃ ຌ:ໄີ sin   A  Bm  Cn A2  B2  C2 . 2  m2  n2 ກຈິ ຅ະກາ3 ຅ຄໃ ຺ ຆວກ຦າຆຌິ ຂວຄຠຠູ ຣະ຦຤າໃ ຄຽລັຌໄ ຆໃ ື ເ຦ຽໄ ລັໄຌຆໃ ື L: 4x  y  z  3  0   yz60 ຾ຣະ ຾ຏຌໃ ພຼຄ P: 2x  6 y  9z 1  0 ຤຋ິ ີ຾ກໄ ຽຌໃ ວື ຄ຅າກ຤າໃ ຽລັໄຌຆˆ L ແຈຊໄ ກື ກາຌຈ຺ ຋ໃ຤຺ ແຎ ຦ົື ກາຌຈ຺ ຿ຈງກາຌຉຈັ ກຌັ ຂວຄລວຄ຾ຏຌໃ ພຼຄ: P1 :4x  y  z  3  0 P2 : y z  6  0   0, 1,1 ຉາຠຣາຈຍັ . ຈຄໃ ັ ຌຌັໄ ພ຤ກຽຨ຺າຉວໄ ຄແຈຆໄ ວກ ຽຆໃ ຄິ ຠຽີ ຤ັກຽຉຌີ ວກຠາຌ N2 N1  4,1,1 ຾ຣະ  ຽ຤ັກຽຉຍີ ວກ຋ິຈ a ຂວຄຽລັຌໄ ຆໃ ຈື ຄໃ ັ ກາໃ ຤ກວໃ ຌ. ວຄີ ຉາຠຌງິ າຠຏຌ຺ ຃ຌູ ຠ຋ີ ິຈຽຨາ຺ ແຈ:ໄ   a  N1  N2 ຽຨ຺າແຈÉ    B1 C1 ; C1 A1 ; A1 B1   , m, n  a  B2 C2 C2 A2 A2 B2       1 1 1 4 4 1   2   a   ; 1 ; 0 1  ; 4; 4    1 1 a 0  4 2;4; ຅າກຽຄໃວື ຌແຂຂວຄຍຈ຺ ຽຣກ ຾ຣະ ຅າກຏຌ຺ ແຈຨໄ ຍັ ຾ຣະ ວຄີ ຉາຠລຈູ : A  Bm  Cn sin   A2  B2  C2 . 2  m2  n2

2.2   6.4  9.4 sin   22   62  92 . 22  42  42 ຽຨ຺າແຈ ໄ  4  24  36  16  8 4  36  81. 4 16 16 11.6 33 sin   8  0,2424... 33    14 6. ໜາໄ ໜ຤ໃ ງຠຌ຺ ຌງິ າຠ: ໜາໄ ໜ຤ໃ ງຠຌ຺ ຾ຠຌໃ ໜາໄ ຋ໃ ີລາໄ ຄຂຌໄຶ ຈ຤ໄ ງຽລັໄຌ຤ຄ຺ ຠຌ຺ ໜໃ ຶຄຎໃ ິຌວວໄ ຠຽລັໄຌຏາໃ ກາຄຂວຄຠຌັ ຽວຄແຈໄ ຨວຍໜໃ ຶຄ. 6.1 ລຠ຺ ຏຌ຺ ຂວຄໜາໄ ໜ຤ໃ ງຠຌ຺ ເຌກາຄ຦າ຤ Oxyz, ຽຨາ຺ ລຄັ ຽກຈ຤ຄ຺ ຠຌ຺ ມ຾ໃູ ຏຌໃ ພຼຄ Oxy ຋ໃ ີຠເີ ຅ກາຄ O ຾ຣະ ຣຈັ ລະໝີ ຽ຋ໃ ຺າ R  x2  y2  R2   z0 ຎະຉຍິ ຈັ ກາຌຎໃ ິຌຠຌ຺ ໜໃ ຶຄ (1) ວວໄ ຠ຾ກຌ Ox ຨວຍໜໃ ຶຄຽຨ຺າ຅ະແຈໜໄ າໄ ໜ຤ໃ ງຠຌ຺ ໜໃ ຶຄ຋ໃ ີຠີ ເ຅ກາຄ O ຾ຣະ ຣຈັ ລະໝີຽ຋ໃ ຺າ R, ໝາງ຃຤າຠ຤າໃ ຽຨາ຺ ແຈ:ໄ  y 2  R 2  x 2  z 2  0 ຍ຤ກພາກຉໃ ພາກຂວຄຣະຍຍ຺ ລຠ຺ ຏຌ຺ ຽ຋ິຄຽຨາ຺ ຅ະແຈ:ໄ y2  z2  R2  x2 ຦ົõ x2  y 2  z 2  R2 ລຈູ (2) ຾ຠຌໃ ລຠ຺ ຏຌ຺ ຂວຄໜາໄ ໜ຤ໃ ງຠຌ຺ ຋ໃ ີຠເີ ຅ກາຄ O ຾ຣະ ຠຣີ ຈັ ລະໝຽີ ຋ໃ ຺າກຍັ R ລຠ຺ ຠຈຸ ຤າໃ ໜ຤ໃ ງຠຌ຺ ໜໃ ຶຄຠຽີ ຠຈັ ເ຅ກາຄ I(a, b, c) ຾ຣະ ຣຈັ ລະໝີ R ຽຨາ຺ ຅ະຠລີ ຠ຺ ຏຌ຺ ຂວຄໜ຤ໃ ງຠຌ຺ ຾ຠຌໃ : x  a2  y  b2  z  c2  R2 ກຈິ ຅ະກາ4: ຅ຄໃ ຺ ລາໄ ຄລຠ຺ ຏຌ຺ ຂວຄໜ຤ໃ ງຠຌ຺ ຋ໃ ີຠຽີ ລັຌໄ ຏາໃ ຌກາຄ຾ຠຌໃ M1M2 À§…¤ M1(1,Œ3,2) ຾ຣະ M2(3,1,Œ6) ຤ິ຋ີ຾ກ:ໄ ຽຠັຈເ຅ກາຄ M0(a,b,c) ຂວຄໜ຤ໃ ງຠຌ຺ ຉວໄ ຄ຾ຍຄໃ ຋ວໃ ຌຆˆ M1M 2 ວວກຽຎັຌ ລວຄ ພາກລ຤ໃ ຌຽ຋ໃ ຺າກຌັ , ຽຆໃ ຄິ ຾ຉຣໃ ະລ຤ໃ ຌກ຃ຣື ຈັ ລະໝີຂວຄໜ຤ໃ ງຠຌ຺ . ຅າກຂລໄ ຄັ ຽກຈຈຄໃ ັ ກາໃ ຤ ຾ຣະ ວຄີ ຉາຠ ລຈູ ຃ິຈແຣຽໃ ຠຈັ ຽ຃ໃ ິຄກາຄຂວຄ຋ວໃ ຌຆໃ ື ຽຨາ຺ ແຈ:ໄ a  3 1  2 , b  1 3  1 , c   6  2  2 22 2 ຈໃຄຌໄຌ: M0(2,Œ1,Œ2) ຾ຠຌໃ ຽຠຈັ ເ຅ກາຄຂວຄ຤ຄ຺ ຠຌ຺ . ວຄີ ຉາຠຽຄໃວື ຌແຂຂວຄຍຈ຺ ຽຣກ ຅າກ ຏຌ຺ ແຈຨໄ ຍັ ຾ຣະ ວີຄຉາຠລຈູ ຃ິຈແຣແໃ ຣງະ຦າໃ ຄຣະ຦຤າໃ ຄລວຄຽຠຈັ ຽຨ຺າແຈ:ໄ

R  M0M1  1 22  3 12  2  22  12  22  42  21 ຅າກຏຌ຺ ແຈຨໄ ຍັ ຾ຣະ ວີຄຉາຠລຈູ (3) ຽຨາ຺ ແຈÉ x  22  y 12  z  22  21 x2  2x  2x  4  y 2  y  y  1  z 2  2z  2z  4  21 x2  4x  4  y 2  2 y  1  z 2 4z  4  21 x2  y 2  z 2  4x  2 y  4z  9  21 x2  y2  z2  4x  2y  4z  21  9 x2  y2  z 2  4x  2y  4z  12 III. ຘະນຍຼຸ - ຃ເູ ນ້ຌກປຼຌຽທ຺າໄ ຃ຌື ຍຌຈາຘູຈຉໞາຄໂ - ຃ູບະ຋ິຍາງ຃ືຌເນຌ້ ກປຼຌຒຄ IV. ຎະຽຓຌີ - ຘຄຽກຈກາຌຽປຈກ຅ິ ະກາ ຾ຖະ ກາຌຖາງຄາຌຘຌ຺ ຋ະຌາຂບຄຌກປຼຌ - ກາຌ຾ກຍ້ ຈ຺ ຽຐກິ ນຈ຋ໃີ຃ຓູ ບຍເນ້ V. ຍຈ຺ ຽຐກິ ນຈ ຾ຖະ ຉກຽຉບື ຌ  ຍຈ຺ ຽຐກິ ນຈ ຾ຌະຌາເນ້ຌກປຼຌ຾ກ້ຍຈ຺ ຽຐິກນຈດູ່ຎືຓໄ ຾ຍຍປຼຌ  ຉກຽຉືບຌ - ຘກຶ ຘາ຾ຌທ຃ຈິ , ຾ຌະຌາທຼກຍາໟ ຌ ຏາໞ ຌກາຌຘບຌຍ຺ຈຌຽໄີ ນຌທາໞ ຌກປຼຌຘາຓາຈ - ປູ້຅ກ຋ໃຉີ ໄຄຂບຄຽຘຌໄ ຆືໃ ຾ຖະ ຾ຏຌ່ ຑຼຄເຌກາຄນາທ - ຆບກນາຓູຓຖະນທໞາຄຽຘຌໄ ຆໃື ຾ຖະ ຾ຏຌ່ ຑຼຄ ທຌ຋ີ 25/11/2022 ທຌ຋ີ…25/11/2022…………… ນທ຺ ໜາໟ ຑາກທຆິ າ຃ະຌິຈຘາຈ-ຒຆິ ກິ ຘາຈ ບ຅ ຎະ຅າທຆິ າ ຎ຋ ຅ຌ຋ບຌ ຾ກທ້ ຓະຌແີ ຆ ຎ຋ ຽຓຄິ ຃າ ຾ກທ້ ຑທູ ຺ຄ

ຍ຺ຈຘບຌ ທິຆາ: ຽຖຂາທິຽ຃າະ ຘາງ຃ະຌຈິ ຘາຈຎີ 4 ຍ຺ຈ຋ີ6 ຖະຍ຺ຍຽຘຌໄ ຽ຃ໄ຺າຂທໟ ຌເຌກາຄນາທ ຽທຖາ ຆ຺ໃທ຿ຓຄ ຂຌໄ ຉບຌ຋1ີ ຏຌ຺ ປຍ຋ຉໃີ ໟບຄກາຌ ເນຌ້ ກປຼຌຘາຓາຈ: - ບະ຋ຍິ າງ຃ຸຌຖກຘະຌະຂບຄຖະຍຍ຺ ຽຘໄຌຽ຃າໄ຺ ຂທໟ ຌເຌກາຄນາທ - ປູ້຅ກກາຌຑ຺ທຑຌຖະນທາໞ ຄຽຘຌໄ ຽ຃຺ໄາຂທໟ ຌ ຾ຖະ ຽຘໄຌຽ຃຺ໄາຉໄຄຘາກເຌາຄນາທ ຃ທາຓຽຂາ຺ໄ ເ຅ ຃າຊາຓນກົ ຌກປຼຌຽຂໄ຺າເ຅: 4. ຅ໃຄ຺ ເນ຃້ ຸຌຖກຘະຌະຂບຄຖະຍ຺ຍຽຘໄຌຽ຃ໄ຺າຂໟທຌເຌກາຄນາທ - ຃ຸຌຖກຘະຌະຂບຄຖະຍຍ຺ ຽຘຌໄ ຽ຃າໄ຺ ຂທໟ ຌ 5. ຅຺ຄໃ ຆບກນາຉທ຺ ຎະຘາຌຂໟທຌຂບຄຽຓຈເຌກາຄນາທ? ເຌກາຄນາທ - ຽຂາໄ຺ ເຌທິ຋ີຆບກນາຉ຺ທຎະຘາຌຂໟທຌເຌ ກາຄນາທ ຃ທາຓປູ້ ຋ກຘະ - ບະ຋ິຍາງຌິ຃ຌຸ ຖກຘະຌະຂບຄຖະຍ຺ຍຽຘໄຌ - ຘາຓາຈ຾ກ້ຍຌນາກໞຼທຖະຍຍ຺ ຽຘຌໄ ຽ຃຺ໄາຂໟທຌເຌກາຄນາທແຈ້ - ຘາຓາຈຌາແຎເຆ້ຽຂໄາ຺ ເຌກາຌຘິຈຘບຌຉ຺ທ຅ິຄເຌທິຆາ຋ໃກີ ຼໞ ທຂໟບຄ. ຽ຃຺ໄາຂໟທຌເຌກາຄນາທ - ຆບກນາຉ຺ທຎະຘາຌຂທໟ ຌຽຓບືໃ ປູ້ຉ຺ທຎະ ຘາຌຉຄໄ ຘາກ - ປູ຅ກກາຌຑທ຺ ຑຌຖະນທາໞ ຄຽຘຌຽຂທ້ ຌ ຾ຖະ ຖະຍຍ຺ ຽຘຌໄ ຽ຃າ຺ ຉຄຘາກເຌກາຄນາທ ຂໄຌຉບຌ຋2ີ ນກົ ຊາຌກາຌຎະຽຓຌີ ທຼກ຋ຌີ ກປຼຌຎະຉິຍຈ ນກົ ຊາຌບໃຌື - ຏຌ຺ ກາຌຖາງຄາຌ ຾ຖະ ກາຌຘ຺ຌ຋ະຌາຂບຄຌກປຼຌ - ຎະຉຍິ ຈກຈິ ຅ະກາ຋ໃີ຃ູກາຌ຺ຈເນ້ - ຖາງຄາຌຏຌ຺ ກິຈ຅ະກາ ຂໄຌຉບຌ຋3ີ ຾ຏຌກາຌຘບຌ - ຘ຺ຌ຋ະຌາກຍກຓຸ່ ບືໃຌ - ຾ກຍ້ ຈ຺ ຽຐິກນຈ຋ໃ຃ີ ູຓບຍເນ້ I. ຂໄຌຌາ - ຌກປຼຌຽ຃຺າຖ຺ຍ຃ູ

- ກທຈກາ຅າຌທຌ຃ຌ຺ ຂາຈ - ຘະຽໜີ຾ຂກ(ຊາໟ ຓ)ີ  ຋ທຌ຃ຌື ຍ຺ຈປຼຌຽກໃາ຺  ຍາຈຖໟຼທຽຂ຺ໄາຘູ່ຍຈ຺ ປຼຌ ຉຄໄ ຃າຊາຓຘ຺ຌ຋ະຌາກໞຼທກຍຖະຍ຺ຍຽຘໄຌຽ຃າໄ຺ II. ຂຌໄ ຘບຌ ຍຈ຺ ຋6ີ ຖະຍຍ຺ ຽຘໄຌຽ຃າ຺ໄ ຂທຌໄ ເຌກາຄນາທ 1. ຃ທາຓຽຂ຺ໄາເ຅ກຼໞ ທກຍຖະຍ຺ຍຽຘຌໄ ຽ຃຺ໄາຂທຌໄ ເຌກາຄນາທ ຘຶກຘາຽຍໃຄິ ຾ຏຌ່ ຑຼຄ P ຋ໃີຓ຋ີ ຈິ ເຌກາຄນາທ, ຘ຺ຓຓຸຈເນ຾້ ກຌ Oz ຉຄໄ ຘາກກຍ຾ຏຌ່ ຑຼຄ P ຾ຖະ ຉຈກຍ຾ຏ່ຌ ຑຼຄຈໃຄກາໞ ທດູ່ຽຓຈ O, ຘໞທຌ Ox ຾ຓຌ່ ຽຘຌໄ ຾ຘຄ (Rayon) ຋ໃດີ ູ່ຽ຋ຄິ ຾ຏຌ່ ຑຼຄ P ຾ຖະ ຏໞາຌຽຓຈ O, ຽທຖາຌີໄຽຑິໃຌຽບໄຌີ ຾ຏ່ຌຑຼຄ P ທໞາ: ຾ຏ່ຌຑຼຄ຾ນຄ່ ຽຘຌໄ ຘຌູ ຘຈູ , ຾ກຌ Oz ຾ຓຌ່ ຾ກຌຽຆຌຈິ (Zénith), ຘທໞ ຌ຾ກຌ Ox ຾ຓຌ່ ຾ກຌຂທໄຌ, ຽຓຈ O ຾ຓ່ຌຽຓຈຂທໄຌ. ກຸຓ່ ຂບຄຍຌຈາບຄ຺ ຃ະຽນໃ຺ົາຌໄີຽບີໄຌທາໞ ຖະຍຍ຺ ຽຘໄຌຽ຃າ຺ໄ ຂທຌໄ z z Q M + P P O O z x x+ N ຨຍູ ຋ີ 1 ຨຍູ ຋ີ 2 ຉ຤຺ ຎະລາຌ຋ໃ ຂວຄຽຠຈັ M ຋ໃ ີຍໃ ມຽໃູ ຋ິຄ຾ກຌຽຆຌຈິ (Zénith) ຾ຠຌໃ ຉຢຍິ ຽຎົ (Triplet) P,, z ຽຆໃ ຄິ ຤າໃ P Áì½  ຾ຠຌໃ ຉ຤຺ ຎະລາຌຂ຤ຌັໄ ຂວຄຽຄາ຺ ລາງລາກ N ຂວຄຽຠຈັ M ຣຄ຺ ເລ຾ໃ ຏຌໃ ພຼຄ ຽລັໄຌລຌູ ລຈູ P, ລ຤ໃ ຌ z ຾ຠຌໃ ຉ຤຺ ຎະລາຌ຅າກ຾ກຌຽຆຌຈິ Oz ຂວຄຽຄາ຺ ລາງລາກ ຂວຄຽຠຈັ M ຣຄ຺ ເລ຾ໃ ກຌຽຆຌຈິ Oz (ຨຍູ ຋ີ7) ລາຣຍັ ຽຠຈັ ຋ໃ ີມຽໃູ ຋ິຄ຾ກຌ Oz, ຽຨ຺າແຈໄ P = 0,  ຾ຠຌໃ ຅າຌ຤ຌຉາຠເ຅. ຉ຤຺ ຎະລາຌກຠ຺ ຂວຄຽຠຈັ M ຋ໃ ີຍໃ ມຽໃູ ຋ິຄ຾ກຌລຌູ ລຈູ ຾ຠຌໃ ຉຢຍິ ຽຎົ (r,, ) ຽຆໃ ຄິ ຤າໃ r ຾ຠຌໃ ຣ຤ຄ ງາ຤ຂວຄ຋ວໃ ຌຆໃ ື OM ,  ຾ຠຌໃ ຠຠູ ຣະ຦຤າໃ ຄ຾ກຌຂ຤ຌັໄ Ox ກຍັ ຽລັຌໄ ຾ລຄ ON (N ຾ຠຌໃ ຽຄາ຺ ຂວຄຽຠຈັ M ຽ຋ິຄ຾ຏຌໃ ພຼຄຽລັໄຌລຌູ ລຈູ ), ລ຤ໃ ຌ  ຾ຠຌໃ ຠຠູ ຣະ຦຤າໃ ຄລວຄຽລັໄຌ ຾ລຄ ON ຾ຣະ OM, ຽຆໃ ຄິ ຤າໃ      ;   ; ເຌຌຊໄີ າໄ ຤າໃ M PM  N ຽຨາ຺ ແຈໄ   0 ຊາໄ ຤າໃ ຽລັຌໄ ລະ຾ຈຄ OM ຎະກວຍກຍັ  2 2 

຾ກຌຽຆຌຈິ Oz ຽຎັຌຠຠູ ຾຦ົຠ ຽ຤ຣາຌີໄ   0 , ຊາໄ ຤າໃ ຽລັໄຌ຾ລຄ OM ຎະກວຍກຍັ ຾ກຌຈຄໃ ັ ກາໃ ຤ຽຎັຌຠຠູ ຦຤າ ຽ຤ຣາຌີໄ   0 (ຨຍູ ຋ີ 8) z M r + O xN ຨຍູ ຋ີ 3 ຊາໄ ຽຠຈັ M ມຽໃູ ຋ິຄ຾ກຌຽຆຌຈິ Oz ຾ຣະ ຍໃ ຽຉັຄກຍັ ຽຠຈັ ຂ຤ຌັໄ O, ຽ຤ຣາຌຽີໄ ພໃ ິຌກາຌຈ຺  ຾ຠຌໃ ຠຠູ ຉາຠເ຅. ລ຤ໃ ຌ຤າໃ ຠຠູ  ຾ຠຌໃ ຠລີ ວຄ຃າໃ :     ຦ົື     ຊາໄ ຤າໃ ຽລັຌໄ ລະ຾ຈຄ OM ຠ຋ີ ິຈຈຼ຤ 22 ກຌັ ຦ົື ຉາໃ ຄກຌັ ກຍັ ຾ກຌຽຆຌຈິ Oz ຉາຠຣາຈຍັ , ຊາໄ ຤າໃ ຽຠັຈ M ຦າກຽຉັຄກຍັ ຽຠັຈຂ຤ຌັໄ O ຽ຤ຣາຌີໄ r  0,  ຾ຣະ  ຾ຠຌໃ ຠຠູ ຉາຠເ຅. 2. ກາຌພ຤຺ ພຌັ ຣະ຦຤າໃ ຄຣະຍຍ຺ ຽລັຌໄ ຽ຃຺ໄາຂ຤ຌັໄ ຾ຣະ ຣະຍຍ຺ ຽລັຌໄ ຽ຃຺ໄາ ຉຄັໄ ລາກ 2.1 ກາຌພ຤຺ ພຌັ ຣະ຦຤າໃ ຄຣະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌ຋ໃ ຾ຣະ ຣະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌຉຄັໄ ລາກ z M(x, y, z) O Z x y N1 N ຨຍູ ຋ີ 4 y x ເຌກາຄ຦າ຤ຽພໃ ິຌເ຦ຣໄ ະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌຂ຤ຌັໄ ພວໄ ຠຈຼ຤ກຌັ ຽພໃ ິຌເ຦ຣໄ ະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌຉຄັໄ ລາກ Oxyz, ຽຆໃ ິຄ຤າໃ ຽວ຺າ຾ກຌຂ຤ຌັໄ Ox ຽຎັຌຽ຃ໃ ິຄ຾ກຌຍ຤ກຂວຄ຾ກຌ Ox ເຌຣະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌ ຉຄັໄ ລາກ, ລ຤ໃ ຌ຾ກຌ Oy ຅ະແຈຨໄ ຍັ ຅າກກາຌໝຌູ ຾ກຌ Ox ວວໄ ຠຽຠຈັ ຂ຤ຌັໄ ຈ຤ໄ ງຠຠູ 90 , ລ຤ໃ ຌ຾ກຌ Oz ຊຽື ວ຺າ຾ກຌຽຆຌຈິ ຽຣີງ (ຨຍູ ຋ີ 9) N ຾ຠຌໃ ຽຄ຺າລາງລາກຂວຄຽຠຈັ M ຽ຋ິຄ຾ຏຌໃ ພຼຄ P ຾ຣະ N1 ຾ຠຌໃ ຽຄ຺າ ລາງລາກ ຂວຄຽຠຈັ N ເລ຾ໃ ກຌ Ox .  ຾ຠຌໃ ຃຤າຠງາ຤ຂວຄ຋ວໃ ຌຆໃ ື ON, ຽ຤ຣາຌີໄ ຅າກຨຍູ ລາຠ ຾຅ລາກ ON1N ຽຨ຺າແຈໄ : x   cos (1)  y   sin  

ວີຄຉາຠຌງິ າຠຂວຄຣະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌ຋ໃ ຽຨ຺າລາຠາຈຂຼຌແຈຈໄ ຄໃ ັ ຌໄີ : x   cos  (2) y   sin   z  Z  ຽຆໃ ຄິ ຤າໃ 0   , 0    2 , z  ,  ລຈູ (2) ຃ືລຈູ ຋ໃ ີລະ຾ຈຄກາຌພ຤຺ ພຌັ ຣະ຦຤າໃ ຄຣະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌ຋ໃ ຾ຣະ ຣະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌຉຄັໄ ລາກຽຆໃ ຄິ ເຆຽໄ ພໃ ືວ຃ຈິ ແຣຉໃ ຤຺ ຎະລາຌຉຄັໄ ລາກ x,y,z ຽຠໃວື ຨຉູໄ ຤຺ ຎະລາຌ຋ໃ  ,, z . ຅າກ (1) ຽຨາ຺ ແຈໄ :  x2  y 2   2 cos2   sin 2  x2  y2  2 (3)   x2  y2 0    ຅າກ (2) ຾ຣະ (3) ຽຨ຺າແຈໄ cos  x x2  y2 sin   y (4) x2  y2 ຉ຤຺ ຎະລາຌຉຄັໄ ລາກຽຆໃ ຄິ ເຌຌຌັໄ ຽຨ຺າລາຠາຈຆວກ຦າຉ຤຺ ຎະລາຌ຋ໃ ( ,, z )ຽຠໃວື ຨຉູໄ ຤຺ ຎະລາຌ ຉຄັໄ ລາກ x, y, z . 2.2 ກາຌພ຤຺ ພຌັ ຣະ຦຤າໃ ຄຣະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌກຠ຺ ຾ຣະ ຉ຤຺ ຎະລາຌຉຄັໄ ລາກ z y ຽຆໃ ັຌຈຼ຤ກຍັ (ລຈູ 1) ຽຨາ຺ ລາຠາຈຂຼຌ ແຈໄ : M x   cos r y   sin  ÁªÈí¡îì½­ñ­,š ¥¾¡»ø®¦¾´Á¥¦¾¡ONM z ຽຨ຺າຠີ : O   r cos NN x »®ø 5 À§¤… ¸¾È  Á´È-´ø´ì½¹¸È¾¤ OM Áì½ ON (»ø®10) ¦¸È - r Á´È-£¸¾´¨¾¸¢º¤ êºÈ ­§ˆ OM. ¥¾¡°-ö Ä©»É ®ñ À»ö¾Ä©É : x  r cos cos (5)  (6) y  r cos sin   ຅າກຨຍູ ລາຠ຾຅ລາກ ONM ຽຨາ຺ ແຈໄ : z  r sin 

ວຄີ ຉາຠຌງິ າຠຂວຄຣະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌກຠ຺ ຽຨາ຺ ລາຠາຈຂຼຌແຈໄ : x  r cos cos  (7) y  r cos sin   z  r sin   ຽຆໃ ຄິ ຤າໃ : 0  r  , 0    2 ,       22 ລຈູ (7) ຃ລື ຈູ ຋ໃ ີລະ຾ຈຄກາຌພ຤຺ ພຌັ ຣະ຦຤າໃ ຄຣະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌກຠ຺ ຾ຣະ ຣະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌ ຉຄໄັ ລາກ ຽຆໃ ິຄເຆລໄ າຣຍັ ຆວກ຦າຉ຤຺ ຎະລາຌຉຄັໄ ລາກ x, y, z ຽຠໃວື ຨຉູໄ ຤຺ ຎະລາຌກຠ຺ . ຅າກ (7) ຽຨ຺າແຈໄ :  x2  y 2  z 2  r 2 cos2  cos2   cos2  sin 2   sin 2      r 2 cos2  cos2   sin 2   sin 2    r 2 cos2   sin 2   x2  y2  z2  r2 0  r   (8)  r  x2  y2  z2 ຅າກ(5) ຽຨ຺າແຈໄ (9)  x2  y 2  r 2 cos2  cos2   sin 2   x2  y 2  r 2 cos2  r cos  x2  y 2 ຅າກ (7), (8) ຾ຣະ (9) ຽຨ຺າແຈໄ : r  x2  y2  z2   cos  x  x2  y2   sin   y  (10) x2  y2    sin   z  x 2  y 2  z 2  ຉ຤຺ ຎະລາຌຉຄັໄ ລາກຽຆໃ ຄິ ເຆ຃ໄ ິຈແຣຉໃ ຤຺ ຎະລາຌກຠ຺ r,, ຽຠໃວື ຨຉູໄ ຤຺ ຎະລາຌຉຄັໄ ລາກ x, y, z . 3. ຘ຺ຓຏຌ຺ ຾ຖະ ຽຘໄຌຘະ຾ຈຄຂບຄຘຓ຺ ຏຌ຺ ຂທຌໄ ຂບຄໜາໟ ກຄ຺ໃ ເຌກາຄນາທ 3.1 ຓະ຿ຌຑາຍກຼໞ ທກຍຘຓ຺ ຏ຺ຌຂທຌໄ ຂບຄໜາໟ ກຄ຺ໃ ເຌກາຄນາທ ລຠ຺ ຏຌ຺ ໜາໄ ກຄໃ ຺ ເຌຣະຍຍ຺ ຽລັໄຌຽ຃຺ໄາຉຄັ ລາກເຌກາຄ຦າ຤ ຋ໃ ີພ຤ກຽຨ຺າຨຼຌຠາຎະກວຍຈ຤ໄ ງ ລາຠຉ຤຺ ຎໃຼຌ x, y, z ຋ໃ ີມຽໃູ ຋ິຄ຾ກຌຽ຃຺ໄາ Ox, Oy, Oz ຉາຠຣາຈຍັ . ຉ຤຺ ມາໃ ຄ 1 x2  y2  z 2  R2 ລຠ຺ ຏຌ຺ ໜ຤ໃ ງຠຌ຺ ຠຽີ ຠຈັ ເ຅ກາຄມຽໃູ ຠຈັ ຽ຃຺ໄາ ຾ຣະ ຣຈັ ລະໝີ R

x 2  y 2  z 2  1 ລຠ຺ ຏຌ຺ ຂວຄ຾ວຌຣິຍ຿ຆວຈິ ຎໃ ິຌຠຌ຺ ຾ຣະ ວໃ ືຌໂ. a2 b2 c2 ຅າກຂໄລຄັ ຽກຈຂາໄ ຄຽ຋ິຄ ຾ຣະ ຅າກຉ຤຺ ມໃາຄ ພ຤ກຽຨ຺າລາຠາຈຂຼຌລຠ຺ ຏຌ຺ ຂວຄໜາໄ ກໃຄ຺ ຉາຠ ຣະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌຉຄັໄ ລາກເຌຨຍູ ຨາໃ ຄຣ຤ຠແຈຈໄ ຄໃ ັ ຌີໄ : Fx, y, z  0 ຉ຤຺ ຎະລາຌຉຄັໄ ລາກ (x, y, z) ຂວຄຽຠຈັ ຉາຠເ຅ເຌກາຄ຦າ຤຋ໃ ີມຽູໃ ຋ິຄໜາໄ ກຄໃ ຺ ຽຆໃ ຄິ ກາຌຈ຺ ຈ຤ໄ ງ ລຠ຺ ຏຌ຺ ຣ຤ໄ ຌ຾ຣ຤ໄ ຾ຉຉໃ ວຍລະໜວຄລຠ຺ ຏຌ຺ ຈຄໃ ັ ກາໃ ຤. ຽຨ຺າລາຠາຈ ຂຼຌລຠ຺ ຏຌ຺ ໜາໄ ກຄໃ ຺ ເຌກາຄ຦າ຤ ຉາຠຣະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌຂ຤ຌັໄ ມເູໃ ຌຨຍູ ຨາໃ ຄຣ຤ຠ ຽໝວື ຌກຌັ ຽຆໃ ັຌ F,, z  0 ຾ຠຌໃ ລຠ຺ ຏຌ຺ ໜາໄ ກຄໃ ຺ ເຌກາຄ຦າ຤ຉາຠຣະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌ຋ໃ Fr,,   0 ລຠ຺ ຏຌ຺ ໜາໄ ກຄໃ ຺ ເຌກາຄ຦າ຤ຉາຠຣະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌກຠ຺ ຉ຤຺ ມາໃ ຄ ຽຨ຺າລາຠາຈຂຼຌລຠ຺ ຏຌ຺ ໜາໄ ກໃຄ຺ ເຌຉ຤຺ ມໃາຄ 1 ຉາຠຣະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌຂ຤ຌັໄ ແຈໄ ຈຄໃ ັ ຣຸໃຠຌ.ີໄ x  R cos sin   y  R sin  sin   z  R cos  ຽຆໃ ຄິ 0    2 , 0     ລຠ຺ ຏຌ຺ ຾ຣະ ຽລັໄຌລະ຾ຈຄຂວຄລຠ຺ ຏຌ຺ ຂ຤ຌັໄ ຋ໃ ີລາ຃ຌັ ເຌກາຄ຦າ຤ ກ. ກາຌລາໄ ຄລຠ຺ ຏຌ຺ ຾ຣະ ຽລັໄຌລະ຾ຈຄຂວຄໜ຤ໃ ງກຠ຺ ຉາຠຣະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌຂ຤ຌັໄ ລຠ຺ ຠຈຸ ເຌກາຄ຦າ຤ເ຦ຣໄ ະຍຍ຺ ຽລັໄຌຽ຃຺ໄາຉຄັໄ ລາກ Oxyz ຽຆໃ ຄິ ຽວ຺າຽ຃ໃ ິຄ຾ກຌຍ຤ກຂວຄ຾ກຌ Oxຽຎັຌ ຾ກຌຂ຤ຌັໄ , ຽວ຺າ຾ຏຌໃ ພຼຄ Oxy ຽຎັຌ຾ຏຌໃ ພຼຄຽລັໄຌລຌູ ລຈູ P, ເ຦ໜໄ ຤ໃ ງຠຌ຺ S ເຌກາຄ຦າ຤຋ໃ ີຠເີ ຅ກາຄ ຾ຠຌໃ ຽຠຈັ ຽ຃຺ໄາ ຾ຣະ ຣຈັ ລະໝີ຾ຠຌໃ a ຽຆໃ ຄິ ກາຌຈ຺ ຈ຤ໄ ງລຠ຺ ຏຌ຺ ເຌຣະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌຉຄັໄ ລາກ x2  y2  z2  a2 (13) z M Àº¾ö À´©ñ M x, y, z ª¾´Ã¥Àêò¤Î¸È ¨ Na ´ö- S ê´† ñªö¸¯½¦¾­ x, y, z Ͼ¨©É¸¨ u 1 v Á´È-´´ø ì½¹¸¾È ¤ ON1 Áì½ ON, Áì½ v Á´È-´ø´ì½¹¸¾È ¤ ON Áì½ OM §º¡©¸É ¨ uO y N ¸òê©ó ¼¸¡-ñ ¡®ñ Ã-ª¸ö µ¾È ¤2, À»ö¾¥½Ä©É¦ö´ °ö- êÀ† ºš­¸¾È ¦ö´°ö-ª¸ö ¯¼È -ê¼´¢º¤Îȸ¨´ö-Ã- x ì½®®ö ªö¸¯½¦¾-¡ö´ ຨຍູ ຋ີ 6 ຽຆໃ ຄິ ຤າໃ x  a cosvcosu y  a cos v sin u z  a sin v

ຽຆໃ ຄິ ຤າໃ : 0  u  2 ,    v   22 ລຠ຺ ຏຌ຺ ຂາໄ ຄຽ຋ິຄຌີໄ ຾ຠຌໃ ລຠ຺ ຏຌ຺ ຂວຄໜ຤ໃ ງຠຌ຺ ເຌຣະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌຂ຤ຌັໄ . ຂ. ກາຌລາໄ ຄລຠ຺ ຏຌ຺ ຾ຣະ ຽລັຌໄ ລະ຾ຈຄຂວຄຎາຣາ຿ຍ຿ຣວິຈ຅຤ງ z ຘຓ຺ ຓຸຈເຌກາຄນາທ ເຌຖະຍຍ຺ ຽຘຌໄ ຽ຃ໄາ຺ ຉໄຄ Q ຘາກ Oxyz ເນ້ຎາຖາ຿ຍ຿ຖບິຈ຅ທງ K ຋ໃີຓີ຅ບຓດູ່ M ຽຓຈຽ຃຺ໄາ O, ໝາງຈໟທງ  ຾ຓ່ຌຓຓູ ຾ນຓົ ຖະນທໞາຄ ຽຘຌໄ ກາຽຌຈີ ຂບຄຎາຖາ຿ຍ຿ຖບຈິ ຾ຖະ ຾ກຌ Oz ; ຽບາ຺ ຽຓຈ M x, y, z ຉາຓເ຅ຽ຋ິຄ K , ຽທຖາຌີໄແຖງະ a M’ ນໞາຄຖະນທໞາຄຽຓຈ Q ( Ox) ນາຽຓຈ M ຽ຋຺າໃ ແຖງະ O y ນາໞ ຄຖະນທໞາຄ ຽຄາົ ຘາງຂບຄຽຓຈ M ຃ຽື ຓຈ v M x, y,0 ຽ຋ຄິ ຾ຏ່ຌຑຼຄ Oxy ນາຽຓຈຽ຃຺ໄາ O (ປຍູ 12). x ໝາງ຃ທາຓທໞາ MQ  M O  x2  y2 ຨຍູ ຋ີ 7 ວກີ ຈາໄ ຌໜໃ ຶຄ຅າກຨຍູ ລາຠ຾຅ OQM ຽຨ຺າຠີ MQ  OQ tg ຾ຣະ ງວໄ ຌ຤າໃ OQ  z ຈຄໃ ັ ຌຌັໄ ຽຨາ຺ ແຈໄ x2  y2  z tg  x2  y2  z 2tg 2  0 (14) ຅າກຏຌ຺ ແຈຨໄ ຍັ ກໝາງ຃຤າຠ຤າໃ ຋ກຸ ຽຠຈັ M x, y, z ຋ໃ ີມເູໃ ຌ K ຣ຤ໄ ຌ຾ຉຠໃ ຉີ ຤຺ ຎະລາຌ ຋ໃ ີຉວຍ ລະໜວຄລຠ຺ ຏຌ຺ (14) ຾ຣະ ຎໄີຌ຃ືຌຊາໄ ຽຠຈັ M x, y, z ຉາຠເ຅຋ໃ ີຠຉີ ຤຺ ຎະລາຌ ຉວຍລະໜວຄ (14) ຾ຣ຤ໄ ຽຠຈັ ຈຄໃ ັ ກາໃ ຤ຉວໄ ຄຌວຌເຌ K ພ຤ກຽຨ຺າໝາງຈ຤ໄ ງ a ແຣງະ຦າໃ ຄ ຾ຉຽໃ ຠຈັ M ຦າຽຠຈັ ຽ຃຺ໄາ O, v ຾ຠຌໃ ຠຠູ ຣະ຦຤າໃ ຄ ຋ິຈຍ຤ກຂວຄ຾ກຌ Ox ຾ຣະ OM  ຽຆໃ ຄິ ຾ຠຌໃ ຽຄ຺າລາງຂວຄ QM ຣຄ຺ ເລ຾ໃ ຏຌໃ ພຼຄ Oxy , ຽ຤ຣາຌຽໄີ ຆໃ ັຌຈຼ຤ກຌັ ກຍັ ຂາໄ ຄຽ຋ິຄຽຨາ຺ ຅ະແຈ:ໄ x  acosvcos y  a cos v sin  z  asin  ຽຆໃ ຄິ 0  v  2 ,    a   ຾ຣະ        2 ໝາງຽ຦ຈ ຠຠູ  ຅ະຠຽີ ຃ໃ ືວຄໝາງຍ຤ກຊາໄ ຤າໃ ຽຠຈັ M ຦າກມຽູໃ ຍໄືວຄຽ຋ິຄຂວຄ K ຾ຣະ ຠຽີ ຃ໃ ວື ຄໝາງ

ຣຍ຺ ຊາໄ ຽຠຈັ M ຌວຌມຽູໃ ຍືວໄ ຄຣຠຸໃ ຂວຄ K . ກາຌ຃ິຈແຣໃ ຽພໃ ືວຆວກ຦າຉ຤຺ ຎະລາຌຉຄັໄ ລາກ, ຃ິຈແຣຠໃ ຠູ  ຾ຣະ ຃າໃ ຂວຄ  , ຂຼຌລຈູ ກາຌພ຤຺ ພຌັ ຣະ຦຤າໃ ຄຣະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌກຠ຺ ຾ຣະ ຉ຤຺ ຎະລາຌຉຄັໄ ລາກ. 1. ຅ຄໃ ຺ ຃ຈິ ແຣຉໃ ຤຺ ຎະລາຌຉຄັໄ ລາກຂວຄ M x, y, z ຽຠໃວື ຨ຃ູໄ າໃ ຂວຄ ,, z 2. ຅ຄໃ ຺ ຃ິຈແຣຠໃ ຠູ  ຾ຣະ ຃າໃ ຂວຄ  ຽຠໃວື ຨ຤ູໄ າໃ M4,3,1? 3. ຅ຄໃ ຺ ຂຼຌລຈູ ກາຌພ຤຺ ພຌັ ຣະ຦຤າໃ ຄຣະຍຍ຺ ຉ຤຺ ຎະລາຌຉຄັໄ ລາກ M a,b,c , r ,  ຾ຣະ  ຉ຤຺ ຎະ ລາຌກຠ຺ ຋ໃ ີຠີ ຾ຣະ ຃ຨື ຍູ ຣຠຸໃ ຌ:ີໄ z r Oy x »ø®êó 8 III. ຘະນຍຼຸ - ຃ເູ ນ້ຌກປຼຌຽທໄາ຺ ຃ຌື ຍຌຈາຘຈູ ຉາໞ ຄໂ - ຃ູບະ຋ິຍາງ຃ຌື ເນຌ້ ກປຼຌຒຄ IV. ຎະຽຓຌີ - ຘຄຽກຈກາຌຽປຈກ຅ິ ະກາ ຾ຖະ ກາຌຖາງຄາຌຘຌ຺ ຋ະຌາຂບຄຌກປຼຌ V. ຍຈ຺ ຽຐກິ ນຈ ຾ຖະ ຉກຽຉບື ຌ  ຍ຺ຈຽຐກິ ນຈ ຾ຌະຌາເນ້ຌກປຼຌ຾ກ້ຍ຺ຈຽຐກິ ນຈດູ່ຎຓືໄ ຾ຍຍປຼຌ  ຉກຽຉືບຌ - ຘຶກຘາ຾ຌທ຃ຈິ , ຾ຌະຌາທຼກຍາໟ ຌ ຏາໞ ຌກາຌຘບຌຍຈ຺ ຌຽໄີ ນຌທາໞ ຌກປຼຌຘາຓາຈ - ບະ຋ິຍາງຌິ຃ຌຸ ຖກຘະຌະຂບຄຖະຍ຺ຍຽຘຌໄ ຽ຃ໄາ຺ ຂທໟ ຌເຌກາຄນາທ - ຆບກນາຉ຺ທຎະຘາຌຂທໟ ຌຽຓືບໃ ປູ້ຉທ຺ ຎະຘາຌຉໄຄຘາກ - ປູ຅ກກາຌຑ຺ທຑຌຖະນທໞາຄຽຘຌຽຂທ້ ຌ ຾ຖະ ຖະຍຍ຺ ຽຘຌໄ ຽ຃າ຺ ຉຄຘາກເຌກາຄນາທ ທຌ຋ີ 10/12/2022 ທຌ຋ີ 10/12/2022………………… ປ ນ຺ທໜາໟ ຑາກທຆິ າ຃ະຌິຈຘາຈ-ຒຆິ ກິ ຘາຈ ບ຅ ຎະ຅າທິຆາ ຎ຋ ຽຓຄິ ຃າ ຾ກ້ທຑູທ຺ຄ ຎ຋ ຅ຌ຋ບຌ ຾ກທ້ ຓະຌີແຆ

1. ຽມັຈຉ​ ວ຺ ປ​ ະສານຽ​ທຄີ ​ຽສນ້ັ ຆ​ ່ື. ນິ​ງາມ ຽສ້ນັ ​ຆ​ືທ່ ມ່​ີື ​຾ີ ຉລ​່ ະຽ​ມັຈ​ຂຬຄ​ມັນ຅​ ັບ຃​ ກ່​ູ ັບ຅​ ານວນ຅​ ຄິ ​ໜ ຆື່​຅ານວນ຅​ ຄິ . ຉ຺ວ​ຢາ່ ຄ: ຅່ື຺ຄ຾​ ຉ້ມ຾​ ກນ​຅າ​ນວນ ຾ລະ ໝາງຽ​ ມັຈ A ໃສ່ໃ​ ນ຾​ ກນ​຅ານ​ ວນ

ໜຄຶ່ື ພ​ ຼຄ​຾ຉ​່ຉ຺ວ​ຈຼວ​ຽທື່າ຺ ​ນັນ້ ຽ​ຬ້ນັີ ​ວາໞ ​຾ກນ​຅ານວນ຅ຄິ ​​ຫືົ ຽສັ້ນ  2; B 3; C 5; D 2 ; E  

1.2. ໄລງະ​ຫາໞ ຄ​ລະຫວາໞ ຄສ​ ຬຄ​ຽມຈັ ຽ​ທຄິ ​຾ກນ຅​ ານວ ນິ​ງາມ: ໄລງະ​ຫໞາຄ​ລະຫວາໞ ຄ​ສຬຄ​ຽມັຈຽ​ທຄິ ​຾ກນ຅​ ານວ

ວນ ວນ຾​ ມ່ນ​຃າໞ ​ສາ​ບນູ ຂ​ ຬຄ​ຜ຺ນລ​ ບ຺ ​ລະຫວາໞ ຄຽ​ມັຈປ​ າງລ​ ຺ບໃ​ ຫ​້ຽມັຈ​ຉັ຺້ນ.

A x1; B  x2  C  x







1. ຅່ຄື຺ ຆຬກຫາໄລງະຫາໞ ຄລະຫວາໞ ຄສຬຄຽມຈັ ລູ່ມນີັ້ 1. A3; B 4 2. C 3; D 4 3. C 10; D 3 2. ຅ຄ຺່ື ຆ​ ຬກຫ​ າ ຾ຉ່​ລະ​ກ​ລະນ​ ີ​ລມຸ່ ນ:ັ້ີ 1. A3; B 4; C 0 2. C 3; D 4; C 1 3. C 10; D 3; C 5

1 5