ຄະນິດສາດ ມ ຕົ້ນ ເຫຼັ້ມ 1

ຂຼວ ງຄິ ຋ະຌຊູ ກື ຽຎ຺າໄ 5x ຃ຄັໄ 6 ຅າໍ ຌວຌ຃ຄັໄ ຋ໃ ຋ີ ຄັ ສາຠ຃ຌ຺ ງຄິ ຊກື ຽຎ຺າໄ ແຈຽໄ ຎັຌ 897 ຃ຄັໄ 2 x  4 x  5 x  897 3 56 ຃ຌູ 30 ເສໃ ຋ຄັ ສຬຄພາກ 20x  24x  25 x  897  30 69 x  897  30 x  390 ຈໍາ ງຄິ ຋ະຌຊູ ກື ຽຎ຺າໄ 2x  2 390  260 ຃ຄັໄ 3 3 ຾ຈຄ ງຄິ ຋ະຌຊູ ກື ຽຎ຺າໄ 4x  4 390  312 ຃ຄັໄ 5 5 ຂຼວ ງຄິ ຋ະຌຊູ ກື ຽຎ຺າໄ 5x  5 390  325 ຃ຄັໄ 6 6 ຅າໍ ຌວຌ຃ຄັໄ ຋ໃ ຊີ ກື ຽຎ຺າໄ ຂຬຄ຃ຌ຺ ຋ໃ ງີ ຄິ ຊກື ຫົາງ຋ໃ ສີ ຸຈຉໃ າຄກຍັ ຃ຌ຺ ຋ໃ ຊີ ກື ຌຬໄ ງ຋ໃ ສີ ຸຈ  325  260  65 ຃ຄັໄ ຃າໍ ຉຬຍ: ຂໍໄ ຂ 41. ເຫຌໄ ກັ ອຼຌຫຬໄ ຄໜໃ ຄຶ ຠ຅ີ າໍ ຌວຌ 1 ສໃ ວຌ, ຽຎັຌຌກັ ອຼຌງຄິ 4 ຂຬຄຌກັ ອຼຌເຌຫຬໄ ຄ 9 ຽຎັຌຌກັ ອຼຌງຄິ 4 1  4 9 9 ຽຎັຌຌກັ ອຼຌຆາງ 1  4  5 9 9 ຠຌີ ກັ ອຼຌຆາງ຋ໃ ຫີ ຌົິໄ ຍາຌຽຉະຽຎັຌ 2 ຂຬຄຌກັ ອຼຌຆາງ  2 5  1 10 10 9 9 ງຄັ ຽຫົຬື ຌກັ ອຼຌຆາງ 5 1 4 9 9 9 ຠຌີ ກັ ອຼຌຆາງ຋ໃ ຫີ ຌົິໄ ຍາຌສໃ ຄ຺ ຽຎັຌ 1 ຂຬຄຌກັ ອຼຌຆາງ຋ໃ ຫີ ົຌິໄ ຍາຌຽຉະຽຎັຌ 4 ຠຌີ ກັ ອຼຌຆາງ຋ໃ ຫີ ຌົິໄ ຍາຌສໃ ຄ຺ ຽຎັຌ 11  1 49 36 1 ໝາງ຃ວາຠວໃ າ ຾ຍໃ ຄຌກັ ອຼຌ຋ຄັ ຆຌັໄ ຬຬກຽຎັຌ 36 ສໃ ວຌ ຅ະຽຎັຌຌກັ ອຼຌ຋ໃ ຫີ ົຌິໄ ຍາຌສໃ ຄ຺ ຽຎັຌ ຊາໄ 36 ຌກັ ອຼຌເຌຫຬໄ ຄຌຠີໄ ຏີ ູຫໄ ຌົິໄ ຍາຌສໃ ຄ຺ ຽຎັຌພຼຄ຃ຌ຺ ຈຼວ ຌກັ ອຼຌເຌຫຬໄ ຄຌຠີໄ ຅ີ າໍ ຌວຌ 36 ຃ຌ຺ ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຃ 42. ເຫໄ ຋ໃ ໍ A 1 ຌາ຋ີ ຌາໍໄ ແຫຽົ ຂາ຺ໄ x ຋ໃ ໍ B 1 ຌາ຋ີ ຌາໍໄ ແຫົຽຂາ຺ໄ y ຋ໃ ໍ C 1 ຌາ຋ີ ຌາໍໄ ແຫົຽຂາ຺ໄ z ເຫຌໄ າໍໄ 1 ຊຄັ ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ k 96

ຽຎີຈ຋ໃ ໍ A ຾ລະ ຋ໃ ໍ B ພຬໄ ຠກຌັ ຌາໍໄ ຽຉຠັ ຊຄັ ເຌຽວລາ 12 ຌາ຋ີ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ແຈຌໄ າໍໄ 12x  12y  k xy  k ... 1 12 ຽຎີຈ຋ໃ ໍ A ຾ລະ ຋ໃ ໍ C ພຬໄ ຠກຌັ ຌາໍໄ ຽຉຠັ ຊຄັ ເຌຽວລາ 15 ຌາ຋ີ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ແຈຌໄ າໍໄ 15x  15z  k xz  k ... 2 15 ຽຎີຈ຋ໃ ໍ B ຾ລະ ຋ໃ ໍ C ພຬໄ ຠກຌັ ຌາໍໄ ຽຉຠັ ຊຄັ ເຌຽວລາ 20 ຌາ຋ີ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ແຈຌໄ າໍໄ 20y  20z  k yz  k ... 3 20 ຽຬາ຺ 1  2  3 ຅ະແຈໄ 2x  y  z k k  k 12 15 20 xyz  k 10 ຽຎີຈ຋ໃ ໍ A, B ຾ລະ ຋ໃ ໍ C ພຬໄ ຠກຌັ ຌາໍໄ ຽຉຠັ ຊຄັ k ເຌຽວລາ 1 ຌາ຋ີ 10 ຽຎີຈ຋ໃ ໍ A, B ຾ລະ ຋ໃ ໍ C ພຬໄ ຠກຌັ ຌາໍໄ ຽຉຠັ ຊຄັ k ເຌຽວລາ 1 k  k  10 ຌາ຋ີ 10 ຃າໍ ຉຬຍ: ຂໍໄ ກ 43. X  x / X  30 , n  6 n 30   x 6  x  180 ຠຌີ ກັ ອຼຌຠາຽພໃ ຠີ ຬກີ 2 ຃ຌ຺ ເຫ຃ໄ ຌ຺ ຋ໍາຬຈິ ແຈ຃ໄ ະ຾ຌຌ x ຃ະ຾ຌຌ, ຬກີ ຃ຌ຺ ແຈ຃ໄ ະ຾ຌຌ x  4 ຃ະ຾ຌຌ X new  x xx4 old 8 30  2  180  2x  4 8 32  8  184  2x 256  184  2x 2x  72 x  36 ຏູ຋ໄ ໃ ແີ ຈ຃ໄ ະ຾ຌຌຫົາງ  36  4  40 ຃ະ຾ຌຌ ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຃ 44. ຅າກຍຈ຺ ຽລກ ຅ະແຈໄ N  15 X F  10 97

຅າກສູຈ X  x N 10   x 15  xF  150 / F  ຏຈິ ຏຌ຺ ລວຠຂຬຄຂໍຠໄ ຌູ ຽຆໃ ຄິ ຽຎັຌຂໍຠໄ ຌູ ຋ໃ ຏີ ຈິ  150 ຬໃ າຌ 13 ຏຈິ ແຎຽຎັຌ 18 ຬໃ າຌຏຈິ ຽກຌີ  18  13  5 ຏຌ຺ ລວຠຂຬຄຂໍຠໄ ູຌ ຽຆໃ ຄິ ຽຎັຌຂໍຠໄ ຌູ ຋ໃ ຊີ ກື  150  5  145 ຅າກສູຈ X   x  145  9.67 N 15 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຃ໃ າສະຽລໃ ງຽລກ຃ະຌຈິ ຋ໃ ຊີ ກື ຉຬໄ ຄ຾ຠໃ ຌ: 9.67 ຃າໍ ຉຬຍ: ຂໍໄ ຄ 45. ຅າກຍຈ຺ ຽລກ X  6 x1  x2  x3  x4  x5  6 5 x1  x2  x3  x4  x5  30 ... 1 ຾ຉໃ ຍຈ຺ ຽລກກາໍ ຌຈ຺ ເຫໄ x1  42  x2  42  x3  42  x4  42  x5  42  30      x12  8x1  16  x22  8x2  16  x32  8x3  16     x42  8x4  16  x52  8x5  16  30    x12  x22  x32  x42  x52  8 x1  x2  x3  x4  x5  80  30 ... 2 ຾຋ຌ຃ໃ າ (1) ເສໃ (2) ຅ະແຈ:ໄ x12  x22  x32  x42  x52  8 30  80  30 x12  x22  x32  x42  x52  190 ຅າກ S  N  xi2 i 1  X 2 N ຅ະແຈໄ S  190  62  2 5 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ສໃ ວຌຍຼຄຍຼຌຠາຈຉະຊາຌຂຬຄຂໍຠໄ ຌູ ຆຸຈຌີໄ ຾ຠໃ ຌ: 2 ຃າໍ ຉຬຍ: ຂໍໄ ກ 46. ເຫໄ y  A B , A 1 ຾ລະ B  x3 x2 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , y k  mx3 ຽຠໃ ຬື k , m ຽຎັຌ຅າໍ ຌວຌ຃ຄ຺ ຃ໃ າ x2 ຊາໄ y  3 ຽຠໃ ຬື x  1 ຅ະແຈ ໄ 3  k  m13 12 k  m 3 ... 1 98

ຊາໄ y  1 ຽຠໃ ຬື x   1 k  m1 ... 2 ... 1 ຽຬາ຺ 1  2 ຅ະແຈ:ໄ 2k  4 k 2 ຾຋ຌ຃ໃ າ k  2 ເສໃ (1) 2  m 3 m 1 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , y  2  x3 ຊາໄ x  3 x2 y  2  33  27 2 9 32 ຃າໍ ຉຬຍ: ຂໍໄ ຄ 47. ຅າກຍຈ຺ ຽລກ z  x2 y ຅ະແຈ ໄ z  kx2 ຽຠໃ ຬື k ຽຎັຌ຅າໍ ຌວຌ຃ຄ຺ ຃ໃ າ y ສຠ຺ ຠຸຈເຫໄ x  100 , y  100 , z  100 ຾຋ຌ຃ໃ າ x  100 , y  100 , z  100 ເສໃ (1) 100  k1002 100 10000  10000k k1 ຾຋ຌ຃ໃ າ k  1 ເສໃ (1) z  x2 ... 2 y ກາໍ ຌຈ຺ ເຫໄ x ຽພໃ ຠີ ຂຌຶໄ ຽຎັຌ 20 % ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , x ຽກໃ າ຺ ຠ຃ີ ໃ າ 100, x ເໝໃ ຠ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 120 ກາໍ ຌຈ຺ ເຫໄ y ຫຸຈົ ລຄ຺ ຽຎັຌ 20 % ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , y ຽກໃ າ຺ ຠ຃ີ ໃ າ 100, y ເໝໃ ຠ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 80 z  1202  14400  180 80 80 z ເໝໃ  180 z ຽກໃ າ຺ 100, z ເໝໃ ຠ຃ີ ໃ າ 180 z ຽພໃ ຠີ ຂຌຶໄ  180  100  80 % ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ກ 48. ຅ຍັ ໝາກຍາຌ 2 ໜໃ ວງ ຬຬກ຅າກກ໋ຬຄ ຿ຈງ຅ຍັ ຽ຋ໃ ຬື ລະລກູ ກໃ ຬຌ຅ຍັ ໜໃ ວງເໝໃ ເຫຽໄ ຬາ຺ ໜໃ ວງຽກໃ າ຺ ເສໃ ຃ຌື ກໃ ຬຌ ຽຆໃ ຄິ ແຈຈໄ ໃ ຄັ ຌີໄ ເຫໄ W  ສຂີ າວ, R  ສຂີ າວ, Y  ສຽີ ຫົຬື ຄ 99

຅າກ຾ຏຌພາຍ຅ະຽຫຌັ ວໃ າໜໃ ວງ຋ີ 1 ໜໃ ຄຶ ໜໃ ວງ຾ຉກກໃ ຄິ ແຈໄ 6 ວ຋ິ ີ ຾ຉໃ ໜໃ ວງ຋ີ 1 ສາຠາຈ຅ຍັ ໝາກຍາຌຬຬກຠາ ແຈຽໄ ຎັຌ W1 , W2 , W3 , R1 , R2 , Y ຠີ 6 ວ຋ິ ີ ຅າໍ ຌວຌ຋ໃ ຅ີ ະ຅ຍັ ໝາກຍາຌ 2 ໜໃ ວງ ຿ຈງ຅ຍັ ຽ຋ໃ ຬື ລະໜໃ ວງ ຾ລະ ກໃ ຬຌ຋ໃ ຅ີ ະ຅ຍັ ໜໃ ວງເໝໃ ເຫເໄ ສໃ ໜໃ ວງຽກໃ າ຺ ຃ຌື ສາກໃ ຬຌ  6  6  36 ວ຋ິ ີ nS  36 ຽຫຈກາຌ຋ໃ ສີ ຌ຺ ເ຅ E ຃ື ຅ຍັ ໝາກຍາຌແຈສໄ ຈີ ຼວກຌັ E  W1W1 , W1W2 , W1W3 , W2W1 , W2W2 , W2W3 , W3W1 , W3W2 , W3W3 , R1R1 , R1R2 , R2R1 , R2R2 , YY nE  14 PE  nE nS  PE  14 36 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຃ 49. ເຫຬໄ າຫາຌ຃າວ 2 ມໃ າຄ ຃:ື A , B ຾ລະ ຂຠ຺ ຫວາຌ 2 ມໃ າຄ ຃:ື a , b ຃ຌ຺ ຋ີ 1 A , a A , b B , a B , b ຃ຌ຺ ຋ີ 2     A , a A , b B , a B , b ຅ະແຈໄ nS  16 ຾ລະ nE  4 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , PE  nE nS   4 1 16 4 ຃າໍ ຉຬຍ: ຂໍໄ ຂ 50. ເຫໄ a ຾ລະ b ຾຋ຌຎະຉູ 2 ຎະຉູ ຾ລະ x , y ຾຋ຌກາຌຽຂາ຺ໄ ຾ລະ ກາຌຬຬກຂຬຄ຾ຉໃ ລະ຃ຌ຺ 100

ສຠ຺ ຆາງ x , y ສຠ຺ ຈີ x , y ຅າກ຾ຏຌພາຍສຠ຺ ຆາງ ຾ລະ ສຠ຺ ຈີ ຅ະຽຂາ຺ໄ ຎະຉູຈຼວກຌັ ຾ຉໃ ຬຬກ຃ຌ຺ ລະຎະຉູ ຃:ື ສຠ຺ ຆາງ x , y ສຠ຺ ຈີ x , y a , a a , b a , b a , a b , a b , b b , b b , a ຅ະແຈໄ nS   16 ຾ລະ nE  4 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , PE  nE nS   4 1 16 4 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຂ 101

຃ໍາຊາຠຆຸຈ຋ີ 4 ໝາງຽ຦ຈ: ຅່ົ ຄ຺ ຽຣວື ກ຃າໍ ຉວຍ຋ົ່ ຊີ ກື ຉວ້ ຄ຋ລີ ຸຈ 1. ຂໍເ້ ຈຣົ່ ຸຠຌຏີ້ ຈິ ກ. ເ຦້ a ຾ຣະ b ຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌ຅ຄິ ເຈໜົ່ ຄຶ ຅ະແຈ ້ a2b2  ab ຂ. ຊາ້ x  22  y  52  0 ຅ະແຈ້ x  y  3 ຃. 152.2756  12.34 ຄ. ຨາກ຋ລີ າຠຂວຄ 46656 ຾ຠົ່ ຌ 36 2. ຏຌ຺ ຍ຤ກຂວຄ 1  1  3  1  3  5  1  3  5  7 ...  1  3  5  7  ... 23 ຠ຃ີ ່ົ າ ຽ຋່ົ າ຺ ກຍັ ຂໍເ້ ຈ ກ. 480 ຂ. 650 ຃. 980 ຄ. 1050 3. 2020 . 2005 . 2008 . 2011  81  20052 ຠ຃ີ ່ົ າຽ຋ົ່ າ຺ ກຍັ ຂໍເ້ ຈ ກ. 2002 ຂ. 4004 ຃. 6006 ຄ. 8008 4. 2 2 2 2 ...  ຠ຃ີ ົ່ າຽ຋ົ່ າ຺ ກຍັ ຂເໍ້ ຈ ກ. 0 ຂ. 1 ຃. 2 ຄ. 4 5. ຊາ້ ax  b , by  c , cz  a ຽຽຣ຤້ xyz ຠ຃ີ ່ົ າຽ຋່ົ າ຺ ກຍັ ຂໍເ້ ຈ ກ. abc ຂ. a2bc ຃. 1 ຄ. ຏຈິ ຋ຸກຂໍ້ 6. ຅າໍ ຌ຤ຌຊ຤້ ຌ 4 ຅າໍ ຌ຤ຌຉ່ົ າຄກຌັ ຃:ື a , b , c , N ຿ຈງ຋ົ່ ີ N  5a  3b  5c ຽຽຣະ N  4a  5b  4c ຿ຈງ຋່ົ ີ 131  N  150 ຅ົ່ ຄ຺ ຆວກ຦າ຃ົ່ າຂວຄ a  b  c ກ. 11 ຂ. 22 ຃. 33 ຄ. 44 7. ກາໍ ຌຈ຺ ເ຦້ a  1  2 2 ຾ຣ຤້ ຃່ົ າຂວຄ a ກຄ຺ ກຍັ ຂໍເ້ ຈ  1  2 1 1  ... ກ. 1 ,  2 ຂ. 1 , 2 ຃. 1 ,  2 ຄ. 2 8. 1  6 13 2  3  6 ຠ຃ີ ົ່ າຽ຋ົ່ າ຺ ກຍັ ຂເໍ້ ຈ 1 2  2 3  6 102

ກ. 3  2 ຂ. 3  2 ຃.  3  2 ຄ.  3  2 9. ຊາ້ 21 x  22  x  23  x  7 . 2 3 ຽຽຣ຤້ x ຠ຃ີ ົ່ າຽ຋ົ່ າ຺ ກຍັ ຂເໍ້ ຈ ກ.  4 ຂ.  3 ຃.  2 ຄ.  1 10. ເ຦້ m ຾ຣະ n ຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌຊ຤້ ຌຍ຤ກ຋່ົ ລີ ວຈ຃່ົ ວຄກຍັ ລຠ຺ ຏຌ຺ 1  1  19 ຅່ົ ຄ຺ ຆວກ຦າ຃ົ່ າ m  n m n 94 ກ. 457 ຂ. 475 ຃. 487 ຄ. 489 11. ຊາ້ a x  a  b y  a ຾ຣະ bx  b  a y  b ຅ະແຈ້ ກ. x  a  b , y  a  b ຂ. x  a  b , y  a  b ຃. x  0 , y  a  b ຄ. x  a  b , y  0  a  1 m  a  1 n  b  b ຠ຃ີ ່ົ າຽ຋ົ່ າ຺ ຂໍເ້ ຈ 12. ຨູຍ຾ຍຍຄ່ົາງ ຾ຣະ ຠກີ າໍ ຣຄັ ຽຎັຌຍ຤ກຂວຄ b  1 m b  1 n  a  a ກ.  a m  n ຂ.  a m b b ຃.  a m  n ຄ. 1 b 13. ກາໍ ຌຈ຺ x ຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌ຅ຄິ ຿ຈງ຋່ົ ີ x2  1  18 ຾ຣ຤້ ຃່ົ າຂວຄ x3  1 ກຄ຺ ກຍັ ຂໍເ້ ຈ x2 x3 ກ.  57 ຂ.  76 ຃.  82 ຄ.  94 14. ເ຦້ a , b ຾ຣະ c ຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌ຃ກິ 3 ຅າໍ ຌ຤ຌ ຽຆົ່ ຄິ ຣຼຌຉຈິ ຉ່ົ ໍກຌັ ຿ຈງ຋ົ່ ີ a  b  c ຊາ້ a2  b2  c2  515 ຅ົ່ ຄ຺ ພ຅ິ າຣະຌາຂໍ຃້ ຤າຠຣ່ົ ຸຠຌີ້ 1. c  19 2. a  7 3. a3  b3  c3  6903 4. a , b ຾ຣະ c ຠແີ ຈ ້ 2 ຆຸຈ ຂໍເ້ ຈຊກື ຉວ້ ຄ ກ. ຂ຃ໍ້ ຤າຠ 1 – 4 ຊກື 1 ຂໍ້ ຂ. ຂໍ຃້ ຤າຠ 1 – 4 ຊກື 2 ຂໍ້ ຃. ຂ຃ໍ້ ຤າຠ 1 – 4 ຊກື 3 ຂໍ້ ຄ. ຂ຃ໍ້ ຤າຠ 1 – 4 ຊກື ຋ຄັ 4 ຂໍ້ 1 11 15. ຊາ້ x , y ຾ຣະ z ຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌ຅ຄິ ຿ຈງ຋ົ່ ີ x3  y3  z 3  0 ຾ຣະ xyz  3 ຅່ົ ຄ຺ ຆວກ຦າ຃ົ່ າຂວຄ 1 x  y  z3 3 ກ. 3 3 ຂ. 3 ຃. 9 ຄ. 27 103

16. ຊາ້ A ຽຎັຌຨາກ຋ີ 3 ຂວຄ x6  6 x5  21x4  44 x3  63 x2  54 x  27 ຽຽຣະ B ຽຎັຌຨາກ຋ີ 3 ຂວຄ 27x6  54 x5  117 x4  116 x3  117 x2  54 x  27 ຅ົ່ ຄ຺ ຆວກ຦າ຃ົ່ າຂວຄ x ຋່ົ ຽີ ຨຈັ ເ຦ ້ AB  0 ກ. x   2 ,  3 ຂ. x   3 , 2 ຃. x   2 , 3 ຄ. x  2 , 3 17. ກາໍ ຌຈ຺ a , b ຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌຊ຤້ ຌຍ຤ກ ຾ຣະ ລຠ຺ ຏຌ຺ x2  a x  b  0 ຠ຃ີ ໍາຉວຍ຋ົ່ ຽີ ຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌ຅ຄິ ຾ຣ຤້ ຃່ົ າຂວຄ a  b ຅ະຌວ້ ງ຋ົ່ ລີ ຸຈ຾ຠົ່ ຌຽ຋ົ່ າ຺ ເຈ ກ. 6 ຂ. 5 ຃. 4 ຄ. 3 18. ຅ົ່ ຄ຺ ຆວກ຦າ຃ົ່ າຂວຄ x ຊາ້ ຃຤າຠງາ຤ຂວຄຂາ້ ຄຨູຍລາຠ຾຅ ຽຎັຌ 2x , x  1 , 5 ຉາຠຣາໍ ຈຍັ ກ. 1  x  3 ຂ. 1  x  2 ຃. 2  x  4 ຄ. 2  x  3 19. ຊາ້ x1  4 x2  9 x3  16 x4  25 x5  36 x6  49 x7  4 4x1  9 x2  16 x3  25 x4  36 x5  49 x6  64 x7  44 9x1  16 x2  25 x3  36 x4  49 x5  64 x6  81x7  444 ຾ຣ຤້ 16x1  25 x2  36 x3  49 x4  64 x5  81x6  100 x7 ຠ຃ີ ່ົ າຽ຋ົ່ າ຺ ກຍັ ຂໍເ້ ຈ ກ. 1001 ຂ. 1103 ຃. 1204 ຄ. 1231 20. ກາໍ ຌຈ຺ ຣະຍຍ຺ ລຠ຺ ຏຌ຺ x2  y2  0 1 ຅່ົ ຄ຺ ຆວກ຦າ຅າໍ ຌ຤ຌ຅ຄິ ຍ຤ກ a ຋ົ່ ຽີ ຨຈັ ເ຦ຣ້ ະຍຍ຺ ລຠ຺ ຏຌ຺ ຌຠີ້ ີ  y2 x  a2 ພຼຄ 2 ຃າໍ ຉວຍຽ຋ົ່ າ຺ ຌຌັ້ ຾ຠ່ົ ຌຂເໍ້ ຈ ກ. 2 ຂ. 2 ຃. 3 ຄ. 3 21. ຅ົ່ ຄ຺ ຆວກ຦າ຃່ົ າຂວຄ m ຋ົ່ ຌີ ວ້ ງ຋ລີ ຸຈຽຨຈັ ເ຦້ 3m  3m  2  3m  3  37 3 ກ.  1 ຂ. 1 ຃.  2 ຄ. 2 22. ຾ຠ່ົ ຃າ້ ຆໝື້ າກຠົ່ ຤ຄກ຿ິ ຣຣະ 4 ຍາຈ, ຂາງແຎ 5 ໜົ່ ຤ງ ແຈ້ 1 ຍາຈ, ກາໍ ແຣ 20 % ຅ົ່ ຄ຺ ຆວກ຦າໝາກຠົ່ ຤ຄ 1 ກ຿ິ ຣຠ຅ີ ກັ ໜົ່ ຤ງ ກ. 24 ໜ່ົ ຤ງ ຂ. 25 ໜ່ົ ຤ງ ຃. 27 ໜົ່ ຤ງ ຄ. 28 ໜ່ົ ຤ງ 23. 104

຅າກຨູຍ຤ຄ຺ ຠຌ຺ 2 ຤ຄ຺ ຠຣີ ຈັ ລະໝີ 2r ຾ຣະ r ຉາຠຣໍາຈຍັ ຊາ້ ຃່ົ າຂວຄ ຽພ່ົ ຠີ ຂຌຶ້ 20 % ຾ຣ຤້ ຽຌວື້ ຋ີ ພາກລ່ົ ຤ຌ຋ົ່ ຋ີ າລ຅ີ ະຽພົ່ ຠີ ຂຌຶ້ ຅ກັ ຽຎີຽຆຌັ ກ. 33 ຂ. 44 ຃. 45 ຄ. 54 24. ຨູຍລາຠ຾຅ລາກ ABC ລາກມ່ົ ູ C , ຂາ້ ຄຽຆ່ົ ຄິ ໜາ້ ຠຸຠລາກງາ຤ 40 cm , ຾ຣະ ລວຄຂາ້ ຄຠຸຠລາກງາ຤ a ຾ຣະ b cm . ຊາ້ ຽຌວື້ ຋ຂີ ວຄຨູຍລາຠ຾຅ ABC ຽ຋່ົ າ຺ ກຍັ 384 cm2 ຅ົ່ ຄ຺ ຆວກ຦າວຈັ ຉາລົ່ ຤ຌ a : b ກ. 3 ຂ. 4 4 3 ຃. ຊກື ຋ຄັ ກ ຾ຣະ ຂ ຄ. ຏຈິ ຋ຸກຂໍ້ 25. ຨູຍລາຠ຾຅຋ຼຄ ABC , A ຾ຠ່ົ ຌ຅ວຠຂວຄຨູຍ ຂາ້ ຄຎະກວຍຠຸຠງາ຤ຂາ້ ຄຣະ 5 cm , ພຌື້ ງາ຤ 6 cm ຉ່ົ ໍ BC ວວກແຎ຋າຄ C ຽຊຄິ ຽຠຈັ D ຅ົ່ ຄ຺ ຆວກ຦າ຤່ົ າ CD ງາ຤ຽ຋ົ່ າ຺ ເຈ ຅່ົ ຄິ ຅ະຽຨຈັ ເ຦ຨ້ ູຍລາຠ຾຅ ABD ຽຎັຌຨູຍລາຠ຾຅ລາກ ກ. 5 cm ຂ. 7 cm 3 3 ຃. 7 cm ຄ. 9 cm 5 5 26. ຅າກຨູຍ AB ຽຎັຌຽລຌັ້ ຣ຤ຈຉາຠ຋າຄຉຄັ້ ຾ຣະ C ຽຎັຌຣກູ ກຠ຺ ຉວກແ຤຦້ ົ່ າຄ຅າກຣ຤ຈ AB 8 ຌ຤ິ້ PCQ ຽຎັຌຽຆວື ກ຋ົ່ ຠີ ຃ີ ຤າຠງາ຤ 3 ຟຸຈ, Q ຽຎັຌກວ້ ຌ຦ຌີ ຋່ົ ມີ ົ່ ູຎາງຽຆວື ກຽຍວື້ ຄໜ່ົ ຄຶ ລ່ົ ຤ຌວກີ ລຌ຺້ ໜົ່ ຄຶ ຠຈັ ແ຤຋້ ່ົ ີ P , CQ ງາ຤ 19 ຌ຤ິ້ , ຾ຉ່ົ ຊາ້ ຈຄຶ Q ຣຄ຺ ຠາວກີ 7 ຌ຤ິ້ ຽຠຈັ P ຅ະຽຣົ່ ວື ຌຂຌຶ້ ແຎ຅ກັ ຌ຤ິ້ ກ. 7 ຌ຤ິ້ ຂ. 8 ຌ຤ິ້ ຃. 9 ຌ຤ິ້ ຄ. 10 ຌ຤ິ້ 27. ກາໍ ຌຈ຺ ເ຦້ AE ຽຎັຌຽລຌັ້ ຾ຍ່ົ ຄຽ຃່ົ ຄິ ຠຸຠ Aˆ ຾ຣະ AE // CD (ຈ່ົ ຄັ ຨູຍ), AB  2x  1 , AC  x , BE ງາ຤ 3 ຆຄັ ຉ຾ີ ຠຈັ , EC ງາ຤ 2 ຆຄັ ຉ຾ີ ຠຈັ ຅ົ່ ຄ຺ ຆວກ຦າ຃ົ່ າຂວຄ x ກ. 2 cm ຂ. 3 cm ຃. 4 cm ຄ. 3 2 cm 105

28. ຨູຍລົ່ ຾ີ ຅ລາກຨູຍໜ່ົ ຄຶ ຠຂີ າ້ ຄໜົ່ ຄຶ ງາ຤ x  2 m, ວກີ ຂາ້ ຄໜ່ົ ຄຶ ງາ຤ 8  x m, ຽຌວື້ ຋ຂີ ວຄຨູຍລ່ົ ຾ີ ຅ລາກ ຨູຍຌ຦ີ້ ົາງ຋ລີ ຸຈ ຽຠ່ົ ວື x ຠ຃ີ ົ່ າຽ຋່ົ າ຺ ເຈ ກ. 1.5 m ຂ. 2 m ຃. 2.5 m ຄ. 3 m 29. ຨູຍລາຠ຾຅຋ຼຄ ABC ຠີ BC  BA ຊາ້ ຽຠຈັ P ຾ຣະ Q ມ່ົ ູ຋່ົ ວຌຆົ່ ື CB , AB ຉາຠຣໍາຈຍັ ຽຨຈັ ເ຦້ AC  AP  PQ  QB ຾ຣ຤້ 180 ຠ຃ີ ົ່ າຽ຋່ົ າ຺ ກຍັ ຂໍເ້ ຈ B ກ. 5 ຂ. 6 ຃. 7 ຄ. 8 30. ຅າກຨູຍ ABC ຽຎັຌຨູຍລາຠ຾຅຋ຼຄ ຠີ A ຽຎັຌຠຸຠ຅ວຠ, EDˆ F ຠຂີ ະໜາຈຽ຋ົ່ າ຺ ຅ກັ ວຄ຺ ລາ ກ. 57 ຂ. 58 ຃. 59 ຄ. 60 31. ຅າກຨູຍ AB ຽຎັຌຽລຌັ້ ຏົ່ າກາຄຂວຄ຤ຄ຺ ຠຌ຺ ຾ຣະ CD ຉຄັ້ ລາກກຍັ AB ຋່ົ ຽີ ຠຈັ D ຈ່ົ ຄັ ຌຌັ້ , ຏຌ຺ ຍ຤ກຂວຄ CD , AD ຾ຣະ DB ຽ຋່ົ າ຺ ກຍັ ຂໍເ້ ຈ ກ. 16 ຦຤຺ ໜ່ົ ຤ງ ຂ. 17 ຦຤຺ ໜົ່ ຤ງ ຃. 18 ຦຤຺ ໜົ່ ຤ງ ຄ. 19 ຦຤຺ ໜ່ົ ຤ງ 32. ຊາ້ ກາໍ ຌຈ຺ ຨູຍລ່ົ ຾ີ ຅ລາກ ABCD ຽຠຈັ P ຾ຣະ Q ຽຎັຌຽຠຈັ ຽ຋ຄິ ຽລຌັ້ ຾ຍ່ົ ຄຠຸຠ BD ຽຆົ່ ຄິ AP  BD ຾ຣະ CQ  BD ຊາ້ BP  PQ  QD  1 ຾ຣ຤້ ຽຌວື້ ຋ຨີ ູຍລົ່ ຾ີ ຅ລາກ ABCD ຠ຃ີ ່ົ າຽ຋ົ່ າ຺ ກຍັ ຂເໍ້ ຈ ກ. 5 3 ຦຤຺ ໜ່ົ ຤ງຽຌວື້ ຋ີ ຂ. 3 6 ຦຤຺ ໜ່ົ ຤ງຽຌວື້ ຋ີ 2 2 ຃. 2 3 ຦຤຺ ໜົ່ ຤ງຽຌວື້ ຋ີ ຄ. 3 2 ຦຤຺ ໜົ່ ຤ງຽຌວື້ ຋ີ 33. ຨູຍລົ່ ຾ີ ຅ ABCD ຾ຌຍເຌ຤ຄ຺ ຠຌ຺ ຋ົ່ ຠີ ີ AC ຽຎັຌຽລຌັ້ ຏົ່ າເ຅ກາຄຂວຄ຤ຄ຺ ຠຌ຺ ຾ຣະ AD  3 BC ລົ່ ຤ຌ ຉົ່ ໍຂວຄຂາ້ ຄ AB ຋າຄຽຠຈັ B ຾ຣະ ລົ່ ຤ຌຉົ່ ໍຂວຄຂາ້ ຄ DC ຋າຄຽຠຈັ C ພຍ຺ ກຌັ ຋ົ່ ຽີ ຠຈັ P ຾ຣະ PB  BA ຾ຣະ PC  2CD ຾ຣ຤້ ຋່ົ ວຌຆ່ົ ື CD ຨວຄຨຍັ ຠຸຠ຋່ົ ຅ີ ຈຸ ເ຅ກາຄຠຂີ ະໜາຈຽ຋່ົ າ຺ ເຈ ກ. 30 ຂ. 60 ຃. 90 ຄ. 120 106

34. ຅່ົ ຄ຺ ຆວກ຦າ຃່ົ າຂວຄ x ຅າກລຠ຺ ຏຌ຺ 2x  11  x 4  2x  9  x 5 x2 x 3 x 1 x 2 ກ. 1 ຂ. 2 2 3 ຃. 3 ຄ. 1 4 4 35. ຊາ້ ຽລຌັ້ ລະ຾ຈຄຂວຄລຠ຺ ຏຌ຺ 4x  3y  9  0 ຾ຣະ x  2y  5  0 ຉຈັ ກຌັ ຋ົ່ ຽີ ຠຈັ P ຾ຣ຤້ ຽຠຈັ P ມ່ົ ູລົ່ ຤ຌລ່ົ ຽີ ຋່ົ າ຺ ເຈ ກ. ມົ່ ູລົ່ ຤ຌລ່ົ ຋ີ ີ 1 ຂ. ມົ່ ູລົ່ ຤ຌລ່ົ ຋ີ ີ 2 ຃. ມົ່ ູລ່ົ ຤ຌລົ່ ຋ີ ີ 3 ຄ. ມົ່ ູລ່ົ ຤ຌລົ່ ຋ີ ີ 4 36. ຅າກຨູຍຽຎັຌຽລຌັ້ ລະ຾ຈຄຂວຄຎາຢາ຿ຍຌ ຽຆົ່ ຄິ ກາໍ ຌຈ຺ ຈ຤້ ງລຠ຺ ຏຌ຺ y  ax2  bx  c ຅່ົ ຄ຺ ພ຅ິ າຣະຌາຂໍເ້ ຈ ຊກື ຉວ້ ຄ ກ. a  0 , b2  4ac ຂ. a  0 , b2  4ac ຃. a  0 , b2  4ac ຄ. a  0 , b2  4ac 37. ຾ກ຤້ 2 ຾ກ຤້ ຍຌັ ຅ຽຸ ຦າົ຺້ ຾ຣະ ຌາໍ້ ຎະລຠ຺ ກຌັ , ຾ກ຤້ ຋ໍາວຈິ ຠຽີ ຦ົາ຺້ ຉ່ົ ໍຌາໍ້ ເຌວຈັ ຉາລົ່ ຤ຌ 8 : 3 ຾ຣະ ຾ກ຤້ ຋ີ 2 ຠຽີ ຦າົ຺້ ຉ່ົ ໍຌາໍ້ ເຌວຈັ ຉາລົ່ ຤ຌ 5 : 1 ຽຠົ່ ວື ຽວາ຺ ຽ຦ົາ຺້ ຾ຣະ ຌາໍ້ ຋ຄັ 2 ຾ກ຤້ ຠາຎະລຠ຺ ກຌັ ຾ຣ຤້ ເລົ່ ເຌຉຸກ 3 ຾ກຣວຌ ຅ະແຈຽ້ ຦າົ຺້ ເຌວຈັ ຉາລ່ົ ຤ຌ 4 : 1 ລ່ົ ຤ຌຎະລຠ຺ ເຌຉຸກຌຠີ້ າ຅າກ຾ກ຤້ ຋າໍ ວຈິ ຅ກັ ຾ກຣວຌ ກ. 7 ຾ກຣວຌ ຂ. 11 ຾ກຣວຌ ຃. 28 ຾ກຣວຌ ຄ. 77 ຾ກຣວຌ 38. ຅າກຨູຍ ຽຎັຌຽລຌັ້ ລະ຾ຈຄຂວຄ y  mx  b ຂໍເ້ ຈຣ່ົ ຸຠຌີ້ 1. m  b  0 2. m  b  0 3. m  b  0 4. m  b  0 ກ. ຊກື ລະຽພາະຂໍ້ 1 ຾ຣະ 2 ຂ. ຊກື ລະຽພາະຂໍ້ 1 ຾ຣະ 3 ຃. ຊກື ລະຽພາະຂໍ້ 1 ຾ຣະ 4 ຄ. ຊກື ລະຽພາະຂໍ້ 2 ຾ຣະ 3 39. ຤ຣິ ະ ຆ່ົ ໝື າກຽຄາະ ຾ຣະ ຋ຸຣຼຌ ຣ຤ຠກຌັ ແຈຍ້ ່ົ ໍຽກຌີ 75 ກ຿ິ ຣ, ແຣ່ົ ຽຎັຌຽຄຌິ 2875 ຍາຈ ຊາ້ ຆໝື້ າກຽຄາະກິ ຿ຣຣະ 35 ຍາຈ ຾ຣະ ຋ຸຣຼຌຣາ຃່ົ າກ຿ິ ຣຣະ 40 ຍາຈ ຾ຣ຤້ ຤ຣິ ະ຅ະຆໝື້ າກຽຄາະແຈ຦້ ົາງລຸຈ຅ກັ ກິ ກ. 25 ຂ. 30 107

຃. 35 ຄ. 40 40. ຋າ້ ຤ ກ ລາ້ ຄ຿ຉະລໍາຽຣຈັ ເຌຽ຤ຣາ 12 ຤ຌັ , ຋າ້ ຤ ຂ ຽຨຈັ ຤ຼກ຾ຍຍຈຼ຤ກຌັ ຾ຣະ ລາໍ ຽຣຈັ ເຌຽ຤ຣາ 15 ຤ຌັ , ເຌກາຌລາ້ ຄ຿ຉະຌີ້ ຊາ້ ຋າ້ ຤ ກ ຽຨຈັ ຤ຼກ຃ຌ຺ ຈຼ຤ແຎຆ຤຺ ແຣງະໜ່ົ ຄຶ ຾ຣ຤້ ເ຦້ ຋າ້ ຤ ຂ ຠາຆ່ົ ຤ງຽຨຈັ ຌາໍ ຋າ້ ຤ ກ ຅ຌ຺ ລາໍ ຽຣຈັ ຎາກຈ຺ ຤ົ່ າເຆຽ້ ຤ຣາ຋ຄັ ໝຈ຺ 8 ຤ຌັ ຉຄັ້ ຾ຉົ່ ຉຌ຺້ ຅ຌ຺ ລໍາຽຣຈັ ມາກຨູ຤້ ່ົ າ຋າ້ ຤ ຂ ຠາຆົ່ ຤ງ ຋າ້ ຤ ກ ຽຨຈັ ຤ຼກ຅ກັ ຤ຌັ ກ. 2 ຤ຌັ ຂ. 3 ຤ຌັ ຃. 4 ຤ຌັ ຄ. 5 ຤ຌັ 41. ຂເໍ້ ຈຣົ່ ຸຠຌຠີ້ ຃ີ ່ົ າຌວ້ ງ຋່ົ ລີ ຸຈ  ຂ. cos2 30  sec60 sin4 45  tan 45  ກ. 2 cos 50 cos 40 1  sin2 50 tan 45  tan 30 cos ec2 45 sec3 60 2 1  tan 45 tan 30 tan 30 4 tan 20 tan 70  ຃. ຄ.  1 42. ຆາງຏູໜ້ ົ່ ຄຶ ມືຌມ່ົ ູຽ຋ຄິ ຽຨວື ຌລູຄ 12 ຾ຠຈັ , ຽຍົ່ ຄິ ຽ຦ຌັ ງວຈຉກຶ ຦ຄົັ ໜົ່ ຄຶ ຽຎັຌຠຸຠຍົ່ ຼຄ 60 ວຄ຺ ລາ, ຾ຣະ ຽຍົ່ ຄິ ຽ຦ຌັ ພຌື້ ຉກຶ ຦ຄົັ ຈຼ຤ກຌັ ຽຎັຌຠຸຠ 30 ວຄ຺ ລາ ຉກຶ ຦ົຄັ ຌລີ້ ູຄຎະຠາຌຽ຋່ົ າ຺ ເຈ ກ. 24 m ຂ. 24 3 m ຃. 48 m ຄ. 48 3 m 43. ຌກັ ຨຼຌຆຌັ້ ໜ່ົ ຄຶ ຠຌີ ກັ ຨຼຌຆາງ 30 ຃ຌ຺ , ຌກັ ຨຼຌງຄິ 20 ຃ຌ຺ , ຃່ົ າລະຽຣົ່ ງຽຣກ຃ະຌຈິ ຂວຄວາງຸຌກັ ຨຼຌ ຆາງຽຎັຌ 16, ຃່ົ າລະຽຣ່ົ ງຽຣກ຃ະຌຈິ ຂວຄວາງຸຌກັ ຨຼຌງຄິ ຽຎັຌ 14, ຊາ້ ຠຌີ ກັ ຨຼຌ 3 ຃ຌ຺ ຍວກວາງຸຽກຌີ ແຎ ຃ຌ຺ ຣະ 3 ຎີ ຾ຣະ ຠຌີ ກັ ຨຼຌວກີ ຃ຌ຺ ໜ່ົ ຄຶ ຍວກວາງຸ຦ຸຈົ ແຎ 1 ຎີ, ຃ົ່ າລະຽຣ່ົ ງຽຣກ຃ະຌຈິ ຂວຄວາງຸ຋ົ່ ຊີ ກື ຉວ້ ຄ ຂວຄຌກັ ຨຼຌ຋ຄັ ຆຌັ້ ຠ຃ີ ົ່ າຽ຋່ົ າ຺ ເຈ ກ. 14.44 ຎີ ຂ. 14.51 ຎີ ຃. 15.10 ຎີ ຄ. 15.20 ຎີ 44. ເຌກາຌ຃າໍ ຌ຤ຌຆວກ຦າ຃່ົ າລະຽຣົ່ ງຽຣກ຃ະຌຈິ ຂວຄຌກັ ຨຼຌກົ່ ຸຠໜົ່ ຄຶ ພຍ຺ ຤ົ່ າແຈ້ 11 ຃ະ຾ຌຌ, ຉົ່ ໍຠາພາງ຦ົຄັ ພຍ຺ ຤ົ່ າວ່ົ າຌ຃ະ຾ຌຌຂວຄຌກັ ຨຼຌຏຈິ ແຎ 1 ຃ຌ຺ , ຌກັ ຨຼຌລວຍຽລຄັ ແຈ້ 18 ຾ຉ່ົ ວ່ົ າຌຽຎັຌ 8 ຃ະ຾ຌຌ, ຃ົ່ າ ລະຽຣົ່ ງ຋່ົ ຊີ ກື ຉວ້ ຄຂວຄຌກັ ຨຼຌກົ່ ຸຠຌ຾ີ້ ຠົ່ ຌຽ຋ົ່ າ຺ ເຈ ຊາ້ ຌກັ ຨຼຌກົ່ ຸຠຌຠີ້ ີ 10 ຃ຌ຺ ກ. 10 ຂ. 11 ຃. 12 ຄ. 13 45. ຽຌວື້ ຋ວີ ວ້ ຠຂາ້ ຄຂວຄ຅຤ງກຠ຺ ຎ່ົ ຼຌ຾ຎຄກົ່ ຼ຤ຽຌ່ົ ວື ຄກຍັ ຽລຌັ້ ເ຦ກ້ າໍ ຽຌຈີ ຾ຣະ ຣຈັ ລະໝຂີ ວຄພຌື້ ຊາ້ ຅຤ງ ກຠ຺ ລູຄ 4 ຾ຠຈັ , ຣຈັ ລະໝພີ ຌື້ ງາ຤ 3 ຾ຠຈັ ຅ະຠຽີ ຌວື້ ຋ວີ ວ້ ຠຂາ້ ຄ 75 ຉາ຾ຠຈັ , ຊາ້ ຣຈັ ລະໝຽີ ຋່ົ າ຺ ຽກົ່ າ຺ ຾ຣະ ຠຽີ ຌວື້ ຋ວີ ວ້ ຠຂາ້ ຄ 225 ຉາ຾ຠຈັ ຅຤ງກຠ຺ ຠຽີ ລຌັ້ ເ຦ກ້ າໍ ຽຌຈີ ຅ກັ ຾ຠຈັ ກ. 13 ຂ. 15 ຃. 17 ຄ. 19 46. ຣາຌແຈຂ້ ວຄຣຈ຺ ຎະ຅າໍ ຋າຄຎ່ົ ຼຌ຾ຎຄ຿ຈງກຄ຺ ກຍັ ວຈັ ຉາ຃຤າຠແ຤ລະຽຣ່ົ ງ຋ົ່ ຽີ ກຌີ ຅າກ 40 km/ h ລົ່ ຤ຌຣາງ ຅ົ່ າງຎົ່ ຼຌ຾ຎຄຉາຠກາໍ ຣຄັ ລວຄຂວຄວຈັ ຉາ຃຤າຠແ຤ລະຽຣົ່ ງ຋ົ່ ຽີ ກຌີ ຅າກ 40 km/ h ຽຆຌັ ກຌັ , ຊາ້ ວຈັ ຉາ 108

຃຤າຠແ຤ລະຽຣົ່ ງ 70 km/ h ຅ະພຈໍ ຋ີ ຌຶ ຊາ້ ຉວ້ ຄກາຌກາໍ ແຣ 50 % ຅ະຉວ້ ຄເຆວ້ ຈັ ຉາ຃຤າຠແ຤ລະຽຣົ່ ງ ຽ຋່ົ າ຺ ເຈ ກ. 50 km/ h ຂ. 60 km/ h ຃. 80 km/ h ຄ. 90 km/ h 47. ຊາ້ A ຏຌັ ຎົ່ ຼຌ຿ຈງກຄ຺ ກຍັ B ຾ຣະ C ຿ຈງ B ຏຌັ ຎ່ົ ຼຌ຿ຈງກຄ຺ ກຍັ D2 ຾ຣະ C ຏຌັ ຎົ່ ຼຌຏກ຺ ຏຌັ ກຍັ A ຾ຣ຤້ ຂ຃ໍ້ ຤າຠເຈຊກື ຉວ້ ຄ ກ. A  D ຂ. A  D2 ຃. A  BA ຄ. A  CA 48. ກ໋ວຄວຌັ ໜ່ົ ຄຶ ຠໝີ າກຍຂີ ະໜາຈຽ຋ົ່ າ຺ ກຌັ ມ່ົ ູ 7 ໜົ່ ຤ງ, ຽຎັຌລ຾ີ ຈຄ 2 ໜ່ົ ຤ງ, ລຂີ ຼ຤ 2 ໜ່ົ ຤ງ ຾ຣະ ລຂີ າ຤ 3 ໜົ່ ຤ງ ລົ່ ຸຠ຅ຍັ ຠາ 2 ໜົ່ ຤ງພວ້ ຠກຌັ ຃ົ່ າກະຉ຤ຄ຋່ົ ຅ີ ະໝາກຍລີ ຾ີ ຈຄ 1 ໜ່ົ ຤ງ ຾ຣະ ລຂີ າ຤ 1 ໜົ່ ຤ງຽ຋ົ່ າ຺ ກຍັ ຂໍເ້ ຈ ກ. 3 ຂ. 2 7 3 ຃. 5 ຄ. 2 21 7 49. ຂເໍ້ ຈຣົ່ ຸຠຌຏີ້ ຈິ ກ. ກາຌ຿ງຌໝາກກະຣ໋ວກ 2 ໜົ່ ຤ງ ເ຦ແ້ ຈ຾້ ຉຠ້ ຃ກື ຌັ ງາກກ຤ົ່ າ຿ງຌເ຦ແ້ ຈ຾້ ຉຠ້ ຉ່ົ າຄກຌັ ຂ. ຃່ົ າກະຉ຤ຄ຋່ົ ຅ີ ະຽຨຈັ ເ຦ຽ້ ກຈີ ຽ຦ຈກາຌເຈໜ່ົ ຄຶ ຽຎັຌ 1 ໝາງຽຊຄິ ຽ຦ຈກາຌຌຌັ້ ຽກຈີ ຂຌຶ້ ຾ຌົ່ ຌວຌ ຃. ຃່ົ າກະຉ຤ຄ຋ົ່ ຅ີ ະຽຨຈັ ເ຦ຽ້ ກຈີ ຽ຦ຈກາຌເຈໜົ່ ຄຶ ຽຎັຌ 0 ໝາງຽຊຄິ ຽ຦ຈກາຌຌຌັ້ ຍ່ົ ໍຽກຈີ ຂຌຶ້ ຽຣງີ ຄ. ຃ົ່ າກະຉ຤ຄ຋ົ່ ຅ີ ະ຿ງຌ຦ົຼຌ 3 ຃ຄັ້ ເ຦ແ້ ຈ຦້ ຤຺ 1 ຃ຄັ້ ຠ຃ີ ົ່ າຽ຋ົ່ າ຺ ກຍັ 1 3 50. ກ໋ວຄວຌັ ໜົ່ ຄຶ ຠໝີ າກຍລີ ຾ີ ຈຄ 5 ໜ່ົ ຤ງ, ລຂີ າ຤ 6 ໜົ່ ຤ງ ຾ຣະ ລຂີ ຼ຤ 4 ໜົ່ ຤ງ ລ່ົ ຸຠ຅ຍັ ຠາ 2 ໜ່ົ ຤ງພວ້ ຠ ກຌັ ຃່ົ າກະຉ຤ຄ຋ົ່ ຅ີ ະແຈໝ້ າກຍລີ ຉີ ົ່ າຄກຌັ ຽ຋ົ່ າ຺ ກຍັ ຂເໍ້ ຈ ກ. 30 ຂ. 31 105 105 ຃. 64 ຄ. 74 105 105 109

ຍຈ຺ ຾ກ຃້ າໍ ຊາຠຆຸຈ຋ີ 4 1. ຂໍ້ ກ ຏຈິ ຽພາະເ຦້ a , b ຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌ຅ຄິ ເຈໜົ່ ຄຶ ຅ະແຈ້ a2b2  a b ຂໍ້ ຂ ຊກື ຽພາະ x  22  y  52  0 ຽຠົ່ ວື x  2  0 x 2 ຽຽຣະ y  5  0 y 5 ຈົ່ ຄັ ຌຌັ້ , x  y   2  5  3 ຂໍ້ ຃ ຊກື ຽພາະ 152.2756  12.34 ເຆ຤້ ຋ິ ຊີ ວຌຨາກ຾ຍຍງາ຤ ຈົ່ ຄັ ຌຌັ້ , 152.2756  12.34 ຂໍ້ ຄ ຊກື ຽພາະ 3 46656  3 36  36  36  36 2. ຉວ້ ຄຨູລ້ ູຈ຅ົ່ ຄິ ຅ະ຃ຈິ ແຣ່ົ ແ຤ ຅າກ 1  1  3  1  3  5  1  3  5  7 ...  1  3  5  7  ... 23  1  4  9  16  ...  144  12  22  32  42  ...  122 ຉາຠລູຈ: 12  22  32  42  ...  n2  nn  12n  1 6 ຽຠ່ົ ວື n  12 ຅ະແຈ້  1212  1212  1 6  121325 6  650 ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ຂ 3. ເ຦້ x  2005 ຽພາະ຤ົ່ າ ຍຈ຺ ຽຣກຠີ 2005 ຋ຄັ ເຌ ຾ຣະ ຌວກຨາກ ຽຨຈັ ເ຦ລ້ ະຈ຤ກເຌກາຌ຾຋ຌ຃່ົ າ 2020 . 2005 . 2008 . 2011  81  20052  x  3xx  3x  6  81  x2 110

 x  3x  6xx  3  81  x2    x2  3x  18 x2  3x  81  x2      x2  3x  18 x2  3x  81  x2     x2  3x 2  18 x2  3x  81  x2   x2  3x  9 2  x2  x2  3x  9  x2  3x  9  32005  9  6006 ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ຃ 4. ເ຦້ 2 2 2 2 ...   x ຂຌຶ້ ກາໍ ຣຄັ ລວຄ຋ຄັ ລວຄພາກ  2 2 2 2 ...  2  x2 2 2 2 2 ...   x2 2 x  x2 / x  0 ຍົ່ ໍຽໝາະລຠ຺ x2  2x  0 xx  2  0 x0 , x2 ຈົ່ ຄັ ຌຌັ້ , 2 2 2 2 ...   2 ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ຃ ... 1 5. ເຆ຤້ ຋ິ ຾ີ ຋ຌ຃່ົ າ຋າໍ ຠະຈາ ax  b ຾ຣະ by  c ... 2 ຾຋ຌ຃ົ່ າ b ຈ຤້ ງ a x ເຌລຠ຺ ຏຌ຺ (1) ... 3  ax y  c axy  c ຾ຉົ່ cz  a ຾຋ຌ຃່ົ າ c ຈ຤້ ງ ax y ເຌລຠ຺ ຏຌ຺ (3)  ax y z  a axyz  a xyz  1 6. ຅າກຍຈ຺ ຽຣກກາໍ ຌຈ຺ 5a  5b  5c ຾ຣະ 4a  5b  4c ຾ຉົ່ ຣະວຌັ ຽ຋່ົ າ຺ ກຍັ N 5a  5b  5c  4a  5b  4c ... 1 a  c  2b 111

ຈົ່ ຄັ ຌຌັ້ , a b  c  3b N  5a 3b  5c ... 2 N  5a  c 3b ຾຋ຌ຃ົ່ າ a  c  2b ຅ະແຈ້ N  52b 3b  13b ຽຌ່ົ ວື ຄ຅າກ N ຾ຣະ b ຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌຊ຤້ ຌຍ຤ກ ຿ຈງ຋ົ່ ີ 131  N  150 N ຅ະຉວ້ ຄຽຎັຌລ່ົ ຤ຌ຃ູຌຂວຄ 13 (຅າກລຠ຺ ຏຌ຺ (2) N  13b ) ຽຆົ່ ຄິ N ຋່ົ ຽີ ຎັຌແຎແຈ຃້ :ື N  143 ຾ຣະ b  11 ຽຽ຋ຌ຃່ົ າ b  11 ເລົ່ ລຠ຺ ຏຌ຺ (1) ຅ະແຈ:້ a  c  22 ຈ່ົ ຄັ ຌຌັ້ , a  b  c  22  11  33 ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ຃ 7. ຽຌ່ົ ວື ຄ຅າກຍຈ຺ ຽຣກຽຎັຌຽຣກລ່ົ ຤ຌຆາໍ້ ກຌັ ຅່ົ ຄິ ຎ່ົ ຼຌຽຎັຌຉ຤຺ ຣຍັ ຅ະຽຍ່ົ ຄິ ຄ່ົາງຂຌຶ້ ກາໍ ຌຈ຺ a  1  2 2  1  2 1 1  ... ຅ະແຈ ້ a 1 2 a a2  a  2  0 a  2a  1  0 a  2 , a  1 /a 1 ຈົ່ ຄັ ຌຌັ້ , a  2 ຃ກື ຌັ ຅ົ່ ຄິ ຈໍາຽຌຌີ ກາຌຉົ່ແໍ ຎແຈ້ ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ຄ 8. ຉວ້ ຄ຾ຎຄເ຦຅້ າໍ ຌ຤ຌເຌ 1 6  13 2  3  6 1 6  1 3. 6  3  6 1 2  2 3  6 1 2  2 . 6  6 1 6   6  1   3. 6 3  6  1  2. 6 2 1 6   6  1  3 6  1  6  1 2 6  1 1 6   6  11  3  6  11  2 1 6  1  3 2  1 2  1 2  1 1 6  6  3  2 1 2 1  3 2 112

຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ກ 9. 21  x  22  x  23  x  7 . 2 3 21 . 2x  22 . 2x  23 . 2x  7 . 2 3  2x 21  22  23  7 . 2 3 2x  2  4  8  7 . 2 3  14 2x 7 23 2x  7  1 8 14 2x  2 4 x  4 ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ກ 10. ຍຈ຺ ຽຣກກາໍ ຌຈ຺ ເ຦ພ້ ຼຄລຠ຺ ຏຌ຺ ຈຼ຤ ຾ຉ່ົ ຠຉີ ຤຺ ຎົ່ ຼຌ 2 ຉ຤຺ ຾ຣະ m , n ຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌຊ຤້ ຌຍ຤ກ ຅ົ່ ຄິ ຅າໍ ຽຎັຌ ຉວ້ ຄ຾ກ຅້ າກ຿຅ຈຽ຋ົ່ າ຺ ຌຌັ້ ກາໍ ຌຈ຺ 1  1  19 m n 94 1  19  1 m 94 n 1  19n  94 m 94 n ຈ່ົ ຄັ ຌຌັ້ , m  94 n 19 n  94 ລະ຾ຈຄ຤ົ່ າ 19 n  94 ຦າຌ 94 n ຂາຈ ຈົ່ ຄັ ຌຌັ້ , 19 n  94  1 n  5 ( n ຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌຊ຤້ ຌຍ຤ກຉາຠຍຈ຺ ຽຣກ) ຅າກ m  94 n  945  470 19 n  94 195  94 ຈ່ົ ຄັ ຌຌັ້ , m  n  470  5  475 ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ຂ 11. ຅າກ a x  a  b y  a a x  a2  b y  ab ... 1 a x  by  a2  ab ຾ຣະ bx  b  a y  b b x  b2  a y  ab ... 2 ... 3 b x  ay  a b  b2 ... 4 ຽວາ຺ 1  b : ab x  b2 y  a2b  ab2 ຽວາ຺ 2  a : ab x  a2 y  a2 b  ab2 113

ຽວາ຺ 3  4 : a2 y  b2 y  0  y a2  b2  0 y 0 ຽຽ຋ຌ຃່ົ າ y  0 ເລົ່ ລຠ຺ ຏຌ຺ (1) : a x  b0  a2  ab a x  a2  ab x  a2  ab a x ab ຈົ່ ຄັ ຌຌັ້ , x  a  b , y  0 ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ຄ 12. ຾ຎຄເ຦ຽ້ ຎັຌຨູຍ຾ຍຍຄ່ົາງ  a  1 m  a  1 n  ab  1m  ab  1n  b  b  b  b  b  1 m b  1 n   ab  1m  ab  1n  a  a  a   a  ab  1m ab  1n  bm bn ab  1m ab  1n am an  ab  1m  ab  1n  am  an bm bn ab  1m ab  1m  am . an bm . bn  am  n bm  n   a m  n b ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ກ 13. ຂຌໍ້ ຊີ້ າ້ ຨູລ້ ູຈຣຈັ ຅ະແຈ຃້ າໍ ຉວຍແ຤ກ຤ົ່ າ  x  1 2  x2  2x 1   1  x x2 x  x2  1 2 x2 ຅ະແຈ ້  x  1 2  18  2  16 ຍຈ຺ ຽຣກກາໍ ຌຈ຺ ເ຦້ x2  1  18  x x2 x  1  16 x 114

 x  1 3  1  3x 1  1  x x x2  x3  ຾ຣະ  x3  3 x2     x3  1  3 x  1  x3  x   x  1 3  3 x  1  ..   x  x ຾຋ຌ຃ົ່ າ  x  1   4 ເລົ່ ..  ຅ະແຈ ້ x3  1  43  34  76  x  x3 ຾຋ຌ຃ົ່ າ  x  1   4 ເລ່ົ ..  ຅ະແຈ ້ x3  1   43  3 4   76  x x3 ຤຋ິ ີ 2: ຅າກລູຈ x2  1 A ຅ະແຈ ້ x3  1   A  1 A2 x2 x3 ຊາ້ x2  1  18 ຅ະແຈ ້ x3  1   18  1 18  2 x2 x3   194   76 ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ຂ 14. ຽຌ່ົ ວື ຄ຅າກ a , b ຾ຣະ c ຽຎັຌຽຣກ຃ກິ 3 ຅າໍ ຌ຤ຌຣຼຌກຌັ , ຽພ່ົ ວື ຃຤າຠລະຈ຤ກ຃຤ຌ຾ຎຄ a , b ຾ຣະ c ເ຦ຽ້ ຎັຌຉ຤຺ ຎ່ົ ຼຌຈຼ຤ກຌັ ຃:ື ຊາ້ b  2n  1 ຿ຈງ຋ົ່ ີ n ຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌຊ຤້ ຌ ຅ະແຈ຤້ ່ົ າ a  2n  1 ຾ຣະ c  2 n  3 ຽຌົ່ ວື ຄ຅າກ a2  b2  c2  515 ຈົ່ ຄັ ຌຌັ້ , 2n  12  2n  12  2n  32  515 n2  n  42  0 n  6n  7  0 n  6 ,n7 ກຣໍ ະຌີ n  6 ຅ະແຈ້ a  11, b  13 ຾ຣະ c  13 ກຣໍ ະຌີ n   7 ຅ະແຈ້ a   15, b   13 ຾ຣະ c   11 1). c ຂວຄ຋ຄັ ລວຄ຃ົ່ າ຾ຉ່ົ ຣະ຃່ົ າຌວ້ ງກ຤ົ່ າ 19 ຈ່ົ ຄັ ຌຌັ້ , ຂໍ້ ກ ຊກື 2). ຽຌ່ົ ວື ຄ຅າກ຃ົ່ າ a   15 ຽຆ່ົ ຄິ ຌວ້ ງກ຤່ົ າ 7 ຈ່ົ ຄັ ຌຌັ້ , ຂໍ້ ຂ ຏຈິ 3). ຆຸຈ a3  b3  c3   6903 ຈ່ົ ຄັ ຌຌັ້ , ຂໍ້ ຃ ຏຈິ 4). ຂໍ້ ຄ ຊກື ຈົ່ ຄັ ຌຌັ້ , ຠຂີ ຊໍ້ ກື 2 ຂໍ້ ຃ຂື ໍ້ ກ ຾ຣະ ຄ ຂໍ້ ຂ ຅ົ່ ຄິ ຊກື ຉວ້ ຄ ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ຂ 1 11 15. ຅າກ x3  y 3  z 3  0 11 1 x3  y3   z3 115

 x 1  y 1 3    1 3 3 3 z3  x 1 3  3 1 2  1   3 1   1 2   1 3   z 3 x3 y3 x3 y3 y3 21 12 x  3x3 y3  3x3 y3  y  z  0 21 12 x  y  z 3 x3 y3  3 x3 y3  0 x  y  z 1 y 1  x 1  y 1   0 3 3 3 3x3 x  y  z 1 y 1   z 1   0 3 3 3x3 1 11 x  y  z  3 x3 y3 z3  0 1 11 x  y  z  3 x3 y3 z3 ຂຌຶ້ ກາໍ ຣຄັ 3 ຋ຄັ ລວຄພາກ x  y  z3  27 x y z ຃ຌູ 1 ເລົ່ ຋ຄັ ລວຄພາກ 1 x  y  z3  9 x y z  9 3  27 33 ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ຄ 16. ຦າກຆວກ຦າຨາກ຋ີ 3 ຂວຄພະ຦ຸພຈ຺ ຊາ້ ຉ຤຺ ຉຄັ້ ຠີ 7 ຦ົື 10 ພຈ຺ ຃າໍ ຉວຍຠີ 3 ພຈ຺ ລູຈຣຈັ : 1. ພຈ຺ ຋ໍາວຈິ ຂວຄ຃ໍາຉວຍ 2. ພຈ຺ ຋ີ 2 ຂວຄ຃າໍ ຉວຍ  3. ພຈ຺ ຋ີ 3 ຂວຄ຃າໍ ຉວຍ ຃າໍ ຉວຍ  ຏຌ຺ ຍ຤ກຂວຄ຃າໍ ຉວຍ຋ຄັ ລາຠພຈ຺ A  3 x6  6 x5  21x4  44 x3  63 x2  54 x  27   3 x6  6x5 2  3 27 3 3 x6  x2  2x  3 B  3 27x6  54 x5  117 x4  116 x3  117 x2  54 x  27 54x5 3 3 27x6   3 27x6  2 3 27  3x2  2x  3 A  B  x2  2x  3  3x2  2x  3 30  4 x2  4x  6 4 x2  4x  24  0 116

x2  x  6  0 x  2x  3  0 ຅ະແຈ ້ x  2  0 x 2 ຅ະແຈ ້ x  3  0 x3 ແຈ ້ x   2 , x  3 ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ຃ 17. ຍຈ຺ ຽຣກຂຌໍ້ ຉີ້ ວ້ ຄພ຅ິ າຣະຌາ຃຤ຍ຃ຸຠ຋ຸກຽຄົ່ວື ຌແຂຂວຄຍຈ຺ ຽຣກ 1. a , b ຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌຊ຤້ ຌຍ຤ກ 2. ຃ໍາຉວຍຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌ຅ຄິ 3. a  b ຌວ້ ງ຋ລີ ຸຈ ຅າກຍຈ຺ ຽຣກ x2  ax  b  0 ຅າກລູຈ x   b  b2  4 a c ຅ະແຈ ້ x   a  a2  4b 2a 2 ຅າກຂກໍ້ າໍ ຌຈ຺ 3 ຂໍ້ ຋ໍາວຈິ a  b ຅ະຠ຃ີ ່ົ າຌວ້ ງ຋ລີ ຸຈ ຽຠົ່ ວື a2  4b  0 ຾຋ຌ຃່ົ າ a  2 , b  1 ( a , b ຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌຊ຤້ ຌຍ຤ກ) 22  41  0 44  0 00 a b  21 3 ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ຄ 18. ເຌຨູຍລາຠ຾຅ເຈໜົ່ ຄຶ ຏຌ຺ ຍ຤ກຂວຄ 2 ຂາ້ ຄ຅ະງາ຤ກ຤່ົ າຂາ້ ຄ຋ີ 3, ເຌຨູຍລາຠ຾຅ ABC ຠຂີ າ້ ຄ AB  5 BC  2 x , AC  x  1 1). AB  AC  BC 5  x  1  2x 4  x  2x x4 2). AB  BC  AC 5  2x  x  1 117

2x  x   6 x  6 3). AC  BC  AB x  1  2x  5 3x  1  5 3x  6 x 2 ຽວາ຺ ຋ຄັ 3 ຃າໍ ຉວຍຂວຄວະລຠ຺ ຏຌ຺ ຠາລະ຾ຈຄເລ່ົ ຾ກຌ຅າໍ ຌ຤ຌແຈຈ້ ົ່ ຄັ ຌີ້ ຃າໍ ຉວຍຂວຄວະລຠ຺ ຏຌ຺ ຃ື ຆົ່ ຤ຄ຋່ົ ຽີ ລຌັ້ ລະ຾ຈຄ຋ຄັ ລາຠຨົ່ ຤ຠກຌັ ຾ຠ່ົ ຌ: 2  x  4 ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ຃ 19. ຾ກຣ້ ະຍຍ຺ ລຠ຺ ຏຌ຺ ຋ໍາຠະຈາ x1  4 x2  9 x3  16 x4  25 x5  36 x6  49 x7  4 ... 1 4x1  9 x2  16 x3  25 x4  36 x5  49 x6  64 x7  44 ... 2 ... 3 9x1  16 x2  25 x3  36 x4  49 x5  64 x6  81x7  444 ... 4 ເ຦ ້ 16x1  25 x2  36 x3  49 x4  64 x5  81x6  100 x7  k ... 5 ... 6 ຽວາ຺ 4  3 ຅ະແຈ:້ ... 7 ... 8 7x1  9 x2  11x3  13 x4  15 x5  17 x6  19 x7  k  444 ... 9 ຽວາ຺ 3  2 ຅ະແຈ:້ ... 1 ... 2 5x1  7 x2  9 x3  11x4  13 x5  15 x6  17 x7  400 ຽວາ຺ 2  1 ຅ະແຈ:້ 3x1  5 x2  7 x3  9 x4  11x5  13 x6  15 x7  40 ຽວາ຺ 5  6 ຅ະແຈ:້ 2x1  2 x2  2 x3  2 x4  2 x5  2 x6  2 x7  k  844 ຽວາ຺ 6  7 ຅ະແຈ:້ 2x1  2 x2  2 x3  2 x4  2 x5  2 x6  2 x7  360 ຽວາ຺ 8  9 ຅ະແຈ:້ k  844  360  0 k  1204 ຈ່ົ ຄັ ຌຌັ້ , 16x1  25 x2  36 x3  49 x4  64 x5  81x6  100 x7  1204 ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ຃ 20. ຾ກລ້ ຠ຺ ຏຌ຺ ຅າກ຿຅ຈ x2  y2  0 x  a2  y2  1 118

ຽວາ຺ 1  2 ຅ະແຈ:້ x2  x  a2  1 x2  x2  2ax  a2  1  0  2 x2  2ax  a2  1  0 x  2a   2a2  42a2  1 22 ຊາ້ x ຠີ 2 ຃່ົ າ ຅ະແຈ້ y ຨວຈ 4 ຃ົ່ າ ຽຆົ່ ຄິ ຍຈ຺ ຽຣກກາໍ ຌຈ຺ ເ຦ຠ້ ພີ ຼຄ຃ໍາຉວຍ 2 ຃າໍ ຉວຍຽ຋ົ່ າ຺ ຌຌັ້ x ຉວ້ ຄຠພີ ຼຄ຃ົ່ າຈຼ຤ຽ຋ົ່ າ຺ ຌຌັ້  ຌຌັ້ ຾ຠ່ົ ຌ  2a2  42 a2  1  0 4a2  8a2  8  0  4a2  8  0 a2  2  0 a  2 ຾ຉ່ົ a ຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌ຅ຄິ ຍ຤ກ ຅່ົ ຄິ ແຈ້ a  2 ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ກ 21. ຍຈ຺ ຽຣກຂໍຌ້ ຉີ້ ວ້ ຄຠ຃ີ ຤າຠຨູຽ້ ຣົ່ ວື ຄຽຣກກາໍ ຣຄັ ຽຆ່ົ ຌັ 3m  2  3m  32  93m 3m  3m  2  3m  3  37 3    3m  3m  32  3m  33  37 3    3m  9 3m  27 3m  37 3 37 3m   37 3 3m  1 3 3m  31 m  1 ຃່ົ າ m ຋່ົ ຌີ ວ້ ງ຋ລີ ຸຈ຾ຠົ່ ຌ  1 kg ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ກ 22. ເ຦຾້ ຠ່ົ ຃າ້ ຆົ່ ໝື າກຠ່ົ ຤ຄຠາ x ເ຦ໝ້ າກຠ່ົ ຤ຄ 1 kg ຠີ y ໜົ່ ຤ງ ໝາກຠ່ົ ຤ຄ x kg ຠີ x y ໝົ່ ຤ງ ຾ຠ່ົ ຃າ້ ຆົ່ ໝື າກຠົ່ ຤ຄຠາກ຿ິ ຣຣະ 4 ຍາຈ ຋ຌຶ ເຌກາຌຆໝື້ າກຠ່ົ ຤ຄຠາຂາງ 4x ຍາຈ ຂາງໝາກຠ່ົ ຤ຄ 5 ໜ່ົ ຤ງ ຣາ຃າ 1 ຍາຈ 119

ຂາງໝາກຠ່ົ ຤ຄ x y ໜົ່ ຤ງ ຣາ຃າ xy ຍາຈ 5 ກາໍ ແຣ  ຣາ຃າຂາງ  ຉຌ຺້ ຋ຌຶ  xy  4x ຍາຈ ... 1 5 ... 2 ກາໍ ແຣ 20 %  20  4x  4x 100 5 ຽວາ຺ 1  2 ຅ະແຈ້ xy  4x  4 x 5 5 ຃ຌູ 5 ເລ່ົ ຋ຄັ ລວຄພາກ xy  20x  4x xy  24x y  24 ໝາກຠ່ົ ຤ຄ 1 ກ຿ິ ຣ ຠີ 24 ໜົ່ ຤ງ ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ກ 23. ເ຦້ r ຂວຄ຤ຄ຺ ຠຌ຺ ຌວ້ ງຽ຋່ົ າ຺ ກຍັ 100 2r ຂວຄ຤ຄ຺ ຠຌ຺ ເ຦ງ່ົ ຽ຋່ົ າ຺ ກຍັ 200    ຽຌວື້ ຋ພີ າກລົ່ ຤ຌ຋ົ່ ຋ີ າລີ   R2  r2   2002  1002   40000  10000  30000 ຊາ້ r ຂວຄ຤ຄ຺ ຠຌ຺ ຌວ້ ງຽພົ່ ຠີ ຂຌຶ້ 20 % , r ເໝົ່ ຽ຋່ົ າ຺ ກຍັ 120 2r ຂວຄ຤ຄ຺ ຠຌ຺ ເ຦ງ່ົ ຅ະຠຣີ ຈັ ລະໝຽີ ຋່ົ າ຺ ກຍັ 240  ຽຌວື້ ຋ພີ າກລົ່ ຤ຌ຋່ົ ຋ີ າລີ   2402  1202   57600  14400  43200 ຽຌວື້ ຋ພີ າກລົ່ ຤ຌ຋ົ່ ຋ີ າລຽີ ພ່ົ ຠີ ຂຌຶ້  43200   30000  13200 ຽຌວື້ ຋ພີ າກລ່ົ ຤ຌ຋່ົ ຋ີ າລຽີ ກ່ົ າ຺  30000 ຂວຄເໝົ່ ຽພົ່ ຠີ ຂຌຶ້  13200 ຽຌວື້ ຋ພີ າກລົ່ ຤ຌ຋່ົ ຋ີ າລຽີ ກ່ົ າ຺  100 ຂວຄເໝົ່ ຽພົ່ ຠີ ຂຌຶ້  13200  100  44 % 30000 ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ຂ 120

24. ຅າກຨູຍ a2  b2  402 a2  b2  1600 ... 1 ... 2 ຽຌວື້ ຋ຂີ ວຄຨູຍລາຠ຾຅ ABC  1 ab 2 384  1 a b 2 a b  768 ຽວາ຺ ລຠ຺ ຏຌ຺ 1  2 ຅ະແຈ ້ a2  b2  1600 ab 768 a2  b2  25 ab 12  12 a2  b2  25 ab 12a2  12b2  25 ab 12a2  25 ab  12b2  0 4a  3b3a  4b  0 ແຈ້ 4a  3b  0 4a  3b a 3 b4 ຦ົື 3a  4b  0 3a  4b a 4 b3 ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ຃ 25. ເ຦້ CD ງາ຤ x cm AD ງາ຤ y cm ຂຈີ AE ຉຄັ້ ລາກກຍັ BC ຋່ົ ຽີ ຠຈັ E ຅າກຨູຍລາຠ຾຅ ABE : AB2  BE2  AE2 52  32  AE 2 121

AE  4 cm ຅າກຨູຍລາຠ຾຅ AED : AD2  AE2  DE2 ... 1 ... 2 y2  42  x 32 y2  x  32  16 ຅າກຨູຍລາຠ຾຅ ABD : BD2  AB2  AD2 x  62  y2  52 x  62  y2  25 ຽວາ຺ 1  2 ຅ະແຈ້ x  62  x  32  25  16 x2  12x  36  x2 6x  9  41 6 x  14 x  7 cm 3 ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ຂ 26. ຂຈີ PA ຾ຣະ PB ຉຄັ້ ລາກ CQ ຋່ົ ຽີ ຠຈັ A ຾ຣະ B , PCQ ຽຎັຌຽຆວື ກງາ຤ 3 ຟຸຈ  36 ຌ຤ິ້ , ຾ຉົ່ CQ ງາ຤ 19 ຌ຤ິ້ . ຈົ່ ຄັ ຌຌັ້ , PC ງາ຤ 17 ຌ຤ິ້ . ເຌ ACP : CA2  PC 2  PA2 CA2  172  82 CA  15 ຌ຤ິ້ ຽຠ່ົ ວື ຈຄຶ Q ຣຄ຺ ຠາວກີ 7 ຌ຤ິ້ ຋ົ່ ຽີ ຠຈັ Q ຈ່ົ ຄັ ຌຌັ້ , CQ ງາ຤ 26 ຌ຤ິ້ , ຽຨຈັ ເ຦ຽ້ ຠຈັ P ຽ຃ົ່ ວື ຌແຎຽຎັຌຽຠຈັ P ຾ຣະ ຃຤າຠງາ຤ PC  36  26  10 ຌ຤ິ້ . ເຌ BCP : CB2  PC2  PB2 CB2  102  82 CA  6 ຌ຤ິ້ ຽຽຉ່ົ AB  PP  CA  CB  15  6  9 ຌ຤ິ້ ຽຠຈັ P ຽ຃່ົ ວື ຌຂຌຶ້ ແຎວກີ 9 ຌ຤ິ້ ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ຃ 27. 122

1). 1ˆ  2ˆ AB ຾ຍົ່ ຄຽ຃ົ່ ຄິ BAˆC 2). 1ˆ  3ˆ (ຠຸຠຆວ້ ຌຂະໜາຌ) 3). 2ˆ  3ˆ (຅າກຂໍ້ 1 ຾ຣະ 2 ຣກັ ລະຌະ຃ກື ຌັ ) 4). 2ˆ  4ˆ (ຠຸຠຆວ້ ຌຂະໜາຌ) 5). 3ˆ  4ˆ (຅າກຂໍ້ 3 ຾ຣະ 4 ຣກັ ລະຌະ຃ກື ຌັ ) 6). ACD ຽຎັຌຨູຍລາຠ຾຅຋ຼຄ (຅າກຂໍ້ 5) AC  AD  x  7). ABE ~ DBC 1ˆ  3ˆ , ABˆE  DBˆC , AEˆB  DCˆB AB  BE AD BC 2x  1  3 3x  1 5 52x  1  33x  1 10 x  5  9x  3 10 x  9x  5  3 x 2 ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ກ 28. ຉວ້ ຄຆວກ຦າຽຌວື້ ຋ຂີ ວຄຨູຍລົ່ ຾ີ ຅ລາກົ່ ວຌ ຿ຈງເ຦ມ້ ົ່ ູເຌຨູຍຨົ່ າຄລຠ຺ ຏຌ຺ ຎາຢາ຿ຍຌ ຾ຣ຤້ ພ຅ິ າຣະຌາ຃ົ່ າ຦ົາງລຸຈ ເ຦້ ABCD ຽຎັຌຨູຍລ່ົ ຾ີ ຅ລາກຉາຠຍຈ຺ ຽຣກ ຽຌວື້ ຋ຂີ ວຄຨູຍລ່ົ ຾ີ ຅ລາກ ABCD  x  28  x  8x  x2  16  2x   x2  6x  16 ຊາ້ y   x2  6x  16 ຅ະແຈ້ a   1 , b  6 , c  16 , ຽຌວື້ ຋ຂີ ວຄຨູຍລົ່ ຾ີ ຅ລາກ຅ະຠ຃ີ ົ່ າ຦ົາງລຸຈ ຽຠ່ົ ວື x ຠ຃ີ ົ່ າຽ຋ົ່ າ຺ ເຈ ຆວກ຦າ ແຈ຅້ າກລູຈ x   b   6  3 2a 21 ຈ່ົ ຄັ ຌຌັ້ , x ຠ຃ີ ່ົ າ  3 m ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ຃ 29. ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ຃ 123

ເຆຣ້ ກັ ລະຌະຂວຄຍຈ຺ ຽຣກ຋ົ່ ເີ ຦ຠ້ າ, ABC ຽຎັຌຨູຍລາຠ຾຅຋ຼຄ຋ົ່ ຠີ ີ BA  BC ຾ຣະ AC  AP  PQ  QB ABC ຽຎັຌຨູຍລາຠ຾຅຋ຼຄ ຿ຈງ຋່ົ ີ BA  BC ຅ະແຈ ້ BAˆ C  BCˆA  90  Bˆ 2 APC ຽຎັຌຨູຍລາຠ຾຅຋ຼຄ ຿ຈງ຋ົ່ ີ AP  AC ຅ະແຈ ້ APˆC  ACˆP  90  Bˆ 2 CAˆ P  180  290  Bˆ   Bˆ 2 PAˆ C  90  Bˆ  Bˆ  90  3Bˆ ...  22 PQB ຽຎັຌຨູຍລາຠ຾຅຋ຼຄ ຿ຈງ຋່ົ ີ PQ  BQ QPˆB  QBˆP  Bˆ PQˆA  QPˆB  QBˆP  2Bˆ ...  PAQ ຽຎັຌຨູຍລາຠ຾຅຋ຼຄ ຿ຈງ຋່ົ ີ PA  PQ PAˆQ  PQˆA 90  3 Bˆ  2Bˆ 2 90  7 Bˆ 2 180 7 Bˆ ຈົ່ ຄັ ຌຌັ້ , 180 7 Bˆ 30. ຅າກຨູຍລາຠ຾຅຋ຼຄ ABC : AB  AC , ABˆC  ACˆB , ABˆC  ACˆB  BAˆC  180 ABˆC  ACˆB  180  56  124 2ABˆC  124 ABˆC  124  62 2 ABˆC  ACˆB  62 BDF  CFE ຅ະແຈ້ DF  EF FDˆ E  FEˆD  z BDˆ F  CFˆE  y 124

BFˆD  CEˆF  x ເຌ BDF : ຅ະແຈ ້ x  y  62  180 x  y  180  62  118 ເຌຨູຍລົ່ ຾ີ ຅ BCED : ຅ະແຈ້ DBˆC  BCˆE  CEˆD  EDˆB  360 62  62  x  z  z  y  360 124  2z  x  y  360 124  2z  118  360 2z  360  124  118  118 z  118 2 z  59 EDˆ F  59 ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ຃ 31. ຤຋ິ ຣີ ຈັ : ຅າກຨູຍ ຂຈີ AC ຾ຣະ BC ຅ະແຈ້ ຨູຍລາຠ຾຅ ABC ຽຎັຌຨູຍລາຠ຾຅ລາກ ຾ຣະ ຠຸຠເຌຽ຃ົ່ ຄິ ຤ຄ຺ ຠຌ຺ ຽຎັຌຠຸຠລາກ ຅າກຨູຍ ຿ຈງວາເລ່ົ ຣກັ ລະຌະຂວຄຨູຍລາຠ຾຅຋ົ່ ຃ີ າ້ ງ຃ກື ຌັ ຅ະແຈຈ້ ່ົ ຄັ ຌ:ີ້  1 ~  2 : CD2  AD. DB x  22  x x  5 x2  4x  4  x 2  5x 5x  4x  4 x4 AD  4 , CD  4  2  6 , DB  4  5  9 AD  CD  DB  4  6  9  19 ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ຄ 32. ຅າກຍຈ຺ ຽຣກ BP  PQ  QD  1 ຾ຣະ ABCD ຽຎັຌຨູຍລ່ົ ຾ີ ຅ລາກ ເ຦້ AB  CD  x ຾ຣະ AD  BC  y 125

 CDQ : CD2  CQ2  DQ2 x2  CQ2  1 ... 1  BCQ : BC 2  CQ2  QB2 ... 2 y2  CQ2  4 ... 3 ... 4  BCD : CD2  BC 2  BD2 x2  y2  9 ຽວາ຺ 1  2 ຅ະແຈ:້ x2  y2  2CQ2  5 ຽວາ຺ ຃່ົ າ 3 ຾຋ຌເລົ່ (4) ຅ະແຈ:້ 9  2CQ2  5 CQ2  2 CQ  2 ຅າກ ABD  CDQ ຅ະແຈ:້ AP  CQ  2 ຽຌວື້ ຋ຨີ ູຍລ່ົ ຾ີ ຅ ABCD  1  ຽລຌັ້ ຌ່ົ ຄັ ຅ວຠ  ຏຌ຺ ຍ຤ກຂວຄຽລຌັ້ ກ່ົ ຄິ 2   1  3  2  2 2 3 2 ຈົ່ ຄັ ຌຌັ້ , ຽຌວື້ ຋ຨີ ູຍລົ່ ຾ີ ຅ ABCD  3 2 ຦຤຺ ໜ່ົ ຤ງຽຌວື້ ຋ີ ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ຄ 33. ເ຦້O ຽຎັຌຽຠຈັ ເ຅ກາຄຂວຄ຤ຄ຺ ຠຌ຺ , AC ຽຎັຌຽລຌັ້ ຏ່ົ າກາຄ ຠີ AD  3 BC ຾ຣະ PC  2 CD ຅ະແຈ ້ ADˆ C  ABˆC  90 , PBˆC  90 ລະ຦ຸົຍແຈ຤້ ່ົ າ PDA ~ PBC ເ຦້ APˆD    CPˆB ຅ະແຈ ້ PB  BC ຾ຉົ່ PD  3 PC ຾ຣະ AD  3 BC PD DA 2 2PB  BC 3PC 3 BC PB  3 PC 2 126

cos  3 2   30 ຾ຉ່ົ  ABC   PBC ຅ະແຈ້ CAˆP  CPˆA   ຾ຣະ DCˆA  CAˆP  CPˆA  2 DCˆA  90  2  30 ຅ະແຈ້ DOˆC  2DAˆC  60 ຈ່ົ ຄັ ຌຌັ້ , CD ຨວຄຨຍັ ຠຸຠ຋່ົ ຽີ ຠຈັ ເ຅ກາຄຂະໜາຈ 60 ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ຂ 34. ຅າກ 2x  11  x  4  2x  9  x  5 x 2 x 3 x 1 x  2 2x  11  2x  9  x  5  x  4 x 2 x 1 x  2 x 3 2x  4  7  2x  2  7  x  2  7  x  3  7 x2 x 1 x2 x3 2x  4  7  2x  2  7  x  2  7  x  3  7 x 2 x 2 x 1 x 1 x  2 x  2 x 3 x 3 2 7  2 7  1 7 1 7 x2 x 1 x2 x3  7  7  7  7 x 2 x 1 x2 x3 ຃ຌູ 1 ຽຂາ຺້ ຋ຄັ ລວຄພາກ 7 1 1  1 1 x 2 x 1 x  2 x 3 1 1  1  1 x 2 x 3 x  2 x 1 x 3 x  2  x 1 x 2 x  2x  3 x  2x  1 1  1 x  2x  3 x  2x  1 x  2x  3  x  2x  1 x2  5x  6  x2  3x  2 x1 2 ຤຋ິ ຣີ ຈັ : ເ຦້ x  2  x  3  x  1  x  2  0 4x  2  0 127

x1 2 ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ກ 35. ຽລຌັ້ ລະ຾ຈຄຽລຌັ້ ຆົ່ ື 4x  3y  9  0 ຆວກ຅ຈຸ ຉຈັ ຾ກຌ x ຿ຈງກາໍ ຌຈ຺ ເ຦້ y  0 4x  9  0 4x  9 x  9  21 44 ຅ຈຸ ຉຈັ ຾ກຌ x ຾ຠົ່ ຌ  2 1 , 0  4  ຆວກ຅ຈຸ ຉຈັ ຾ກຌ y ຿ຈງກາໍ ຌຈ຺ ເ຦້ x  0 3y  9  0  3y  9 y 9 3 3 ຅ຈຸ ຉຈັ ຾ກຌ y ຾ຠ່ົ ຌ  0 ,  3 ຅າກຽລຌັ້ ຆົ່ ື x  2y  5  0 ຆວກ຅ຈຸ ຉຈັ ຾ກຌ x ຿ຈງກາໍ ຌຈ຺ ເ຦້ y  0 x5 0 x 5 ຅ຈຸ ຉຈັ ຾ກຌ x ຾ຠົ່ ຌ  5 , 0 ຆວກ຅ຈຸ ຉຈັ ຾ກຌ y ຿ຈງກາໍ ຌຈ຺ ເ຦້ x  0 2y  5  0 y 5 2 ຅ຈຸ ຉຈັ ຾ກຌ y ຾ຠ່ົ ຌ 0 ,  5   2 ຾ຉຠ້ ຽລຌັ້ ລະ຾ຈຄຂວຄລຠ຺ ຏຌ຺ ຽລຌັ້ ຆົ່ ຋ື ຄັ ລວຄແຈຈ້ ົ່ ຄັ ຌ:ີ້ ຽລຌັ້ ລະ຾ຈຄ຋ຄັ ລວຄຉຈັ ກຌັ ຋ົ່ ຽີ ຠຈັ P ຽຆົ່ ຄິ ມົ່ ູລົ່ ຤ຌລົ່ ຋ີ ລີ ົ່ ີ ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ຄ 128

36. ຅າກຨູຍ ແຈຽ້ ລຌັ້ ລະ຾ຈຄຎາຢາ຿ຍຌຂ຤ໍາ້ a  0 ຾ຣະ ຽລຌັ້ ລະ຾ຈຄຉຈັ ຾ກຌ x ລວຄ຅ຈຸ ຅ະແຈ຃້ ໍາ຃ວຍຂວຄ ລຠ຺ ຏຌ຺ 2 ຃່ົ າ b2  4ac  0 ຈ່ົ ຄັ ຌຌັ້ , ຃າໍ ຉວຍ຋ົ່ ກີ ຄ຺ ກຍັ ຽຄ່ົວື ຌແຂ຾ຠົ່ ຌ ຂໍ້ ຂ ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ຂ 37. ລຠ຺ ຠຸຈເ຦ລ້ ົ່ ຤ຌຎະລຠ຺ ຂວຄຽ຦າົ຺້ ຾ຣະ ຌາໍ້ ຠາ຅າກ຾ກ຤້ ຋ໍາວຈິ x ຾ກຣວຌ ຈ່ົ ຄັ ຌຌັ້ , ລົ່ ຤ຌຎະລຠ຺ ຂວຄຽ຦າົ຺້ ຾ຣະ ຌາໍ້ ຠາ຅າກ຾ກ຤້ ຋ລີ ວຄ 35  x ຾ກຣວຌ ຾ກ຤້ ຋ໍາວຈິ ຠຽີ ຦ົາ຺້ : ຌາໍ້  8 : 3 ລະ຾ຈຄ຤ົ່ າ ຾ກ຤້ ຋ໍາວຈິ ຠຽີ ຦ົາ຺້ 8x ຠຌີ າໍ້ 3x 11 11 ຾ກ຤້ ຋ີ 2 ຠຽີ ຦າົ຺້ : ຌາໍ້  5 : 1 ລະ຾ຈຄ຤ົ່ າ ຾ກ຤້ ຋ີ 2 ຠຽີ ຦າົ຺້ 5 35  x ຠຌີ າໍ້ 1 35  x 6 6 ຽ຃່ົ ວື ຄຎະລຠ຺ ເຌຊຄັ ຠຽີ ຦າົ຺້ ຾ຣະ ຌາໍ້ ເຌວຈັ ຉາລົ່ ຤ຌ 4 : 1 ຈົ່ ຄັ ຌຌັ້ , ເຌ 35 ຾ກຣວຌ ຠຽີ ຦ົາ຺້ 4  35  28 ຾ກຣວຌ 5 ລຠ຺ ຏຌ຺ ຾ຠ່ົ ຌ 8x  5 35  x  28 11 6 ຃ູຌ 66 ຽຂາ຺້ ຋ຄັ ລວຄພາກ 48x  5535  x  28  66 48x  55x  28  66  55  35  7x   77 x  11 ຈ່ົ ຄັ ຌຌັ້ , ລົ່ ຤ຌຎະລຠ຺ ເຌຊຄັ ຌຠີ້ າ຅າກ຾ກ຤້ ຋າໍ ວຈິ 11 ຾ກຣວຌ ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ຂ 38. ຅າກຨູຍ ຽຎັຌຽລຌັ້ ລະ຾ຈຄຂວຄລຠ຺ ຏຌ຺ y  mx  b ຊາ້ m ຅ະຽຎັຌຉ຤຺ ຍວກ຤ົ່ າຽລຌັ້ ລະ຾ຈຄຍຼຄຆາ້ ງ ຦ົື ຂ຤າ(ລ່ົ ຤ຌລົ່ ຽີ ຋ົ່ າ຺ ເຈ) ຊາ້ m ຽຎັຌຍ຤ກ ຽລຌັ້ ລະ຾ຈຄ຅ະຏົ່ າຌລົ່ ຤ຌລ່ົ ຋ີ ີ 1 ຾ຣະ 3 ຊາ້ m ຽຎັຌຣຍ຺ ຽລຌັ້ ລະ຾ຈຄ຅ະຏ່ົ າຌລົ່ ຤ຌລ່ົ ຋ີ ີ 2 ຾ຣະ 4 ຅າກຨູຍ ຽຎັຌຽລຌັ້ ລະ຾ຈຄຏົ່ າຌລ່ົ ຤ຌລ່ົ ຋ີ ີ 2 ຾ຣະ 4 (ຍຼຄຆາ້ ງ) m ຽຎັຌຣຍ຺ ຃່ົ າ b ຽຎັຌຉ຤຺ ກາໍ ຌຈ຺ ຅ຈຸ ຉຈັ ຾ກຌ y 129

ຊາ້ m ຽຎັຌຍ຤ກ ຽລຌັ້ ລະ຾ຈຄ຅ະຉຈັ ຾ກຌ y ຽ຋ຄິ ຾ກຌ x ຊາ້ m ຽຎັຌຣຍ຺ ຽລຌັ້ ລະ຾ຈຄ຅ະຉຈັ ຾ກຌ y ຣົ່ ຸຠ຾ກຌ x ຅າກຨູຍ ຽຎັຌຽລຌັ້ ລະ຾ຈຄ຅ະຉຈັ ຾ກຌ y ຣ່ົ ຸຠ຾ກຌ x , ຃ົ່ າ b ຽຎັຌຣຍ຺ m  b  0 ຽພາະຽຎັຌຣຍ຺ ຋ຄັ ລວຄ ຾ຣະ m  b  0 ຽພາະຽຎັຌຣຍ຺ ຋ຄັ ລວຄ ຃ໍາຉວຍ຋ົ່ ຊີ ກື ຉວ້ ຄ຾ຠ່ົ ຌຂໍ້ ຃ ຊກື ລະຽພາະຂໍ້ ກ ຾ຣະ ຂໍ້ ຄ ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ຃ 39. ເ຦້ ຆໝື້ າກຽຄາະເຌຣາ຃າ x ຍາຈ ຆໝື້ າກ຋ຸຣຼຌເຌຣາ຃າ 2875  x ຍາຈ ໝາກຽຄາະກ຿ິ ຣຣະ 35 ຍາຈ ໝາກ຋ຸຣຼຌກ຿ິ ຣຣະ 40 ຍາຈ ຆໝື້ າກຽຄາະແຈ້ x ກ຿ິ ຣ 35 ຆໝື້ າກ຋ຸຣຼຌແຈ້ 2875  x ກ຿ິ ຣ 40 ຆໝື້ າກຽຄາະ ຾ຣະ ຋ຸຣຼຌຣ຤ຠກຌັ ແຈຍ້ ົ່ ຽໍ ກຌີ 75 kg ຂຼຌຽຎັຌຎະ຿຦ງກລຌັ ງາຣກັ ແຈຈ້ ່ົ ຄັ ຌີ້ x  2875  x  75 35 40 ຃ູຌ 280 ຽຂາ຺້ ຋ຄັ ລວຄພາກ 8x  72875  x  21000 8x  20125  7x  21000 x  875 ຈົ່ ຄັ ຌຌັ້ , ຤ຣິ ະ ຆໝື້ າກຽຄາະກ຿ິ ຣຣະ 35 ຍາຈ ແຈ຦້ າົ ງ຋ົ່ ລີ ຸຈ 875  25 kg 35 ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ກ 40. ຋າ້ ຤ ກ ລາ້ ຄ຿ຉະລາໍ ຽຣຈັ ເຌຽ຤ຣາ 12 ຤ຌັ ເຌຽ຤ຣາ 1 ຤ຌັ ຋າ້ ຤ ກ ຽຨຈັ ຤ຼກແຈ້ 1 ຂວຄ຤ຼກ 12 ຋າ້ ຤ ຂ ລາ້ ຄ຿ຉະລໍາຽຣຈັ ເຌຽ຤ຣາ 15 ຤ຌັ ເຌຽ຤ຣາ 1 ຤ຌັ ຋າ້ ຤ ຂ ຽຨຈັ ຤ຼກແຈ້ 1 ຂວຄ຤ຼກ 15 ລຠ຺ ຠຸຈເ຦຋້ າ້ ຤ ກ ຽຨຈັ ຤ຼກແຈ້ x ຤ຌັ ຋າ້ ຤ ຂ ຅ົ່ ຄິ ຠາຆົ່ ຤ງ ຌຌັ້ ຾ຠ່ົ ຌ ຋າ້ ຤ ກ ຽຨຈັ ຤ຼກແຈ້ x ຂວຄ຤ຼກ 12 ຤ຼກ຋ົ່ ຽີ ຦ວົື ຋າ້ ຤ ຂ ຠາຆົ່ ຤ງ 1 x  12  x 12 12 ຋າ້ ຤ ກ ຾ຣະ ຂ ຽຨຈັ ຤ຼກແຈ້ 1 ຤ຌັ ແຈ຤້ ຼກ 1  1 54  9  3 12 15 60 60 20 130

຋າ້ ຤ ກ ຾ຣະ ຂ ຽຨຈັ ຤ຼກ 3 ເຆຽ້ ຤ຣາ 1 ຤ຌັ 20 ຋າ້ ຤ ກ ຾ຣະ ຂ ຽຨຈັ ຤ຼກ 12  x ເຆຽ້ ຤ຣາ 20  12  x  240  20x ຤ຌັ 12 3 12 36 ຽຠົ່ ວື ຋າ້ ຤ ກ ຽຨຈັ ຤ຼກແຈແ້ ຣງະໜ່ົ ຄຶ ຋າ້ ຤ ຂ ກຠໍ າຆົ່ ຤ງ ຽຨຈັ ຤ຼກລໍາຽຣຈັ ເຌຽ຤ຣາ 8 ຤ຌັ ລະ຾ຈຄ຤່ົ າ x  240  20x  8 36 36x  240  20x  288 16x  48 x3 ລະຌຌັ້ , ຋າ້ ຤ ຂ ຠາຆ່ົ ຤ງ ຋າ້ ຤ ກ ຽຨຈັ ຤ຼກ 8  3  5 ຤ຌັ ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ຄ  2 cos 50 cos 40 2   2 cos 50 sin 50 2 sin 50 41. ກ. 1  sin2 50 1  sin2 50   2 cos 50 2 cos2 50 2  ຂ.   3 2  2 1 4  cos2 30  sec 60 sin4 45  tan 45 2  2  1   3  10 44  13 4 tan 45  tan 30 1 1 2 1  tan 45 tan 30 3  ຃. 21  1 1   3  1  1 1  1    3  3  21  1 1  1   3  3  1 2  1  33 21  1   3  42 3 4  1.866 131

 ຄ. 2 cos ec2 45 sec3 60 2 23 tan 30  1  4 tan 20 tan 70  1  4 tan 20 cot 20 1 3 2 38 5  3.464  1.6  1.864 ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ຄ 42. ຅າກຨູຍລາຠ຾຅ ABD : tan 30  BD AB 1  12 3 AB AB  12 3 ຅າກຨູຍລາຠ຾຅ CDE : tan 60  EC CD / AB  CD 3  EC 12 3 EC  36 ຉກຶ ລູຄ 36  12  48 m ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ຃ 43. Xm / m  male Xm  nm X m  15 , nm  30 15   X m 30  Xm  450 X f  Xf / f  female nf X f  14 , nf  20 14   X f 20  X f  280 132

ຏຌ຺ ຣ຤ຠຂວຄວາງຸຌກັ ຨຼຌຆາງ ຾ຣະ ຌກັ ຨຼຌງຄິ ຋ຄັ ໝຈ຺  450  280  730 ຎີ  Xm   X f  450  280  730 ຎີ ຾ຉ່ົ ຎາກຈ຺ ຤່ົ າຠຌີ ກັ ຨຼຌ 3 ຃ຌ຺ ຍວກວາງຸຽກຌີ ແຎ຃ຌ຺ ຣະ 3 ຎີ ຾ຣະ ຠຌີ ກັ ຨຼຌວກີ ຃ຌ຺ ໜ່ົ ຄຶ ຍວກວາງຸຌວ້ ງແຎ 1 ຎີ  Xm   X f ຋່ົ ຊີ ກື ຉວ້ ຄ  730  9  1  722 ຎີ X ຋ົ່ ຊີ ກື ຉວ້ ຄ  722  14.44 ຎີ 50 ຃່ົ າລະຽຣ່ົ ງຽຣກ຃ະຌຈິ ຂວຄວາງຸ຋ົ່ ຊີ ກື ຉວ້ ຄຂວຄຌກັ ຨຼຌ຋ຄັ ໝຈ຺  14.44 ຎີ ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ກ 44. ຅າກລູຈ X  X n 11   X 10  X  110 ຏຌ຺ ຣ຤ຠ຃ະ຾ຌຌຂວຄຌກັ ຨຼຌ 10 ຃ຌ຺ ຽ຋ົ່ າ຺ ກຍັ 110 ຃ະ຾ຌຌ, ຉ່ົ ໍຠາພຍ຺ ຤່ົ າ ວົ່ າຌ຃ະ຾ຌຌຂວຄຌກັ ຨຼຌຏຈິ ແຎ 1 ຃ຌ຺ ຃ື ຌກັ ຨຼຌຽລວຍຽລຄັ ແຈ້ 18 ຾ຉົ່ ວົ່ າຌຽຎັຌ 8. ລະຌຌັ້ , ຃ະ຾ຌຌຂາຈແຎ 10 ຃ະ຾ຌຌ ຏຌ຺ ຣ຤ຠຂວຄ຃ະ຾ຌຌ຋ົ່ ຊີ ກື ຉວ້ ຄ  110  10  120 X ຋ົ່ ຊີ ກື ຉວ້ ຄ  120  12 10 ຃ົ່ າລະຽຣົ່ ງຽຣກ຃ະຌຈິ ຂວຄກ່ົ ຸຠຌ຋ີ້ ົ່ ຊີ ກື ຉວ້ ຄ  12 ຃ະ຾ຌຌ ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ຃ 45. ເ຦້ A ຽຎັຌຽຌວື້ ຋ວີ ວ້ ຠຂາ້ ຄຂວຄຨູຍ຅຤ງ l ຽຎັຌຽລຌັ້ ເ຦ກ້ າໍ ຽຌຈີ ຾ຣະ r ຽຎັຌຣຈັ ລະໜຂີ ວຄພຌື້ ເ຦້ A  l r ຈົ່ ຄັ ຌຌັ້ , A  k l r ຽຠ່ົ ວື k ຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌ຃ຄ຺ ຃່ົ າ ຊາ້ ຨູຍ຅຤ງລູຄ 4 ຾ຠຈັ , ຣຈັ ລະໝງີ າ຤ 3 ຾ຠຈັ ຅ະຠຽີ ຌວື້ ຋ວີ ວ້ ຠຂາ້ ຄ 75 ຉາ຾ຠຈັ ຅າກຨູຍ ຅ະແຈ ້ l2  42  32  25 ຈ່ົ ຄັ ຌຌັ້ , l  5 ຾຋ຌ຃ົ່ າ r  3 , A  75 ຾ຣະ l  5 ເລົ່ ລຠ຺ ຏຌ຺ A  k l r ຅ະແຈ້ 75  k 53 k 3 ຈົ່ ຄັ ຌຌັ້ , A  5l r ຊາ້ r  3 , A  225 133

຅ະແຈ້ 225  5 l 3 l  15 ລະຌຌັ້ , ຨູຍ຅຤ງຠຽີ ລຌັ້ ເ຦ກ້ າໍ ຽຌຈີ 15 ຾ຠຈັ ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ຂ 46. ເ຦້ A  ຣາງແຈຂ້ ວຄຣຈ຺ ຎະ຅າໍ ຋າຄ B  ຣາງ຅່ົ າງຂວຄຣຈ຺ ຎະ຅າໍ ຋າຄ V  ວຈັ ຉາ຃຤າຠແ຤ລະຽຣົ່ ງລົ່ ຤ຌ຋ົ່ ຽີ ກຌີ 40 km/ h A  V ຾ຣະ B  V 2 A  k1 V ຾ຣະ B  k2V 2 ຽຠ່ົ ວື k1 ຾ຣະ k2 ຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌ຃ຄ຺ ຃່ົ າ ຊາ້ V  70  40  30 A  30 k1 ຾ຣະ B  302 k2 ຾ຉົ່ ຊາ້ ຾ຣົ່ ຌຈ຤ງ້ ວຈັ ຉາ຃຤າຠແ຤ຽ຋ົ່ າ຺ ຌີ້ ຣາງແຈ້  ຣາງ຅່ົ າງ(ພໍຈ຋ີ ຌຶ ) 30 k1  302 k2 ... 1 k1  30 k2 ຾຋ຌ຃ົ່ າເລ່ົ ຅ະແຈ ້ A  30 k2 V ຉວ້ ຄກາຌກາໍ ແຣ່ົ 50 % ໝາງ຃຤າຠ຤່ົ າ ຣາງ຅່ົ າງ 100 ຍາຈ ຣາງແຈ້ 150 ຍາຈ ຣາງ຅່ົ າງ k2 V 2 ຍາຈ ຣາງແຈ ້ 150 k2 V 2  3 k2 V 2 ... 2 100 2 ຾ຉ່ົ 1  2 ຅ະແຈ້ 30 k2 V  3 k2 V 2 2 V  30  2  20 km/ h 3 ຅ະຉວ້ ຄ຾ຣ່ົ ຌຈ຤້ ງວຈັ ຉາ຃຤າຠແ຤ 40  20  60 km/ h ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ຂ 47. ຍຈ຺ ຽຣກກາໍ ຌຈ຺ A  BC ... 1 ຅ະແຈ້ A  k BC ຽຠ່ົ ວື k ຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌ຃ຄ຺ ຃ົ່ າ B  D2 ຅ະແຈ ້ B  k1 D2 ຽຠົ່ ວື k1 ຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌ຃ຄ຺ ຃່ົ າ C1 A ຅ະແຈ້ C  k2 ຽຠ່ົ ວື k2 ຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌ຃ຄ຺ ຃່ົ າ A ຾຋ຌ຃ົ່ າ B  k1 D2 ຾ຣະ C  k2 ເລ່ົ ລຠ຺ ຏຌ຺ (1) A  A  k k1 D2  k2   A  134

A  k k1 k2 D2 A A2  k k1 k2 D2 A  k k1 k2 D2 ຽຠ່ົ ວື kk1k2 ຽຎັຌ຅າໍ ຌ຤ຌ຃ຄ຺ ຃ົ່ າ A D ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ກ 48. ຅ຍັ ໝາກຍີ 2 ໜ່ົ ຤ງ ຅າກ຋ຄັ ໝຈ຺ 7 ໜ່ົ ຤ງ ແຈຈ້ ົ່ ຄັ ຌີ້ ເ຦້ ລ຾ີ ຈຄ  R , ລຂີ ຼ຤  G , ລຂີ າ຤  W S  R1R2 , R1G1 , R1G2 , R1W1 , R1W2 R1W3 , R2G1 , R2G2 , R2W1 , R2W2 , R2W3 , G1G2 , G1W1 , G1W2 , G1W3 , G2W1 , G2W2 , G2W3 , W1W2 , W1W3 , W2W3 nS  21 ຽ຦ຈກາຌ຋ົ່ ລີ ຌ຺ ເ຅ E ຃ື ຅ຍັ ຠາ 2 ໜ່ົ ຤ງພວ້ ຠກຌັ ແຈໝ້ າກຍີ ລ຾ີ ຈຄ 1 ໜົ່ ຤ງ ຾ຣະ ລີ ຂາ຤ 1 ໜົ່ ຤ງ  E  R1W1 , R1W2 , R1W3 , R2 W1 , R2 W2 , R2 W3 nE  6 PE  6  2 21 7 ຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ຄ 49. ຂໍ້ ກ. nS   36 ຉວ້ ຄກາຌໝາກກະຣ໋ວກ 2 ໜາ້ ຃ກື ຌັ ແຈ:້ 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 PE  6  1 36 6 ຉວ້ ຄກາຌໝາກກະຣ໋ວກໜາ້ ຉົ່ າຄກຌັ nS  30 PE  30  5 36 6 ກາຌ຿ງຌໝາກກະຣ໋ວກ 2 ໜົ່ ຤ງ ໜາ້ ຃ກື ຌັ ຽຨຈັ ງາກກ຤່ົ າ຿ງຌເ຦ແ້ ຈໜ້ າ້ ຉົ່ າຄກຌັ ຾຋້ ຂໍ້ ຂ. ຊກື ຊາ້ PE  1 ລະ຾ຈຄ຤່ົ າຽ຦ຈກາຌຌຌັ້ ຽກຈີ ຂຌຶ້ ຾ຌົ່ ຌວຌ ຂໍ້ ຃. ຊກື ຊາ້ PE  0 ລະ຾ຈຄ຤ົ່ າຽ຦ຈກາຌຌຌັ້ ຍ່ົ ຽໍ ກຈີ ຂຌຶ້ ຂໍ້ ຄ. ຏຈິ ຊາ້ E  HTT, THT , TTH S  HHH , HHT, HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT PE  3 8 135

຃ໍາຉວຍ: ຂໍ້ ຄ 50. ເ຦ ້ ໝາກຍລີ ຾ີ ຈຄ 5 ໜ່ົ ຤ງ ຾຋ຌຈ຤້ ງ A1 , A2 , A3 , A4 , A5 ໝາກຍລີ ຂີ າ຤ 6 ໜ່ົ ຤ງ ຾຋ຌຈ຤້ ງ B1 , B2 , B3 , B4 , B5 , B6 ໝາກຍລີ ຂີ ຼ຤ 4 ໜົ່ ຤ງ ຾຋ຌຈ຤້ ງ C1 , C2 , C3 , C4 ລົ່ ຸຠ຅ຍັ ວວກຠາ຅າກກ໋ວຄ 2 ໜົ່ ຤ງ ພວ້ ຠກຌັ ຅າກ A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , B1 , B2 , B3 , B4 , B5 , B6 C1 , C2 , C3 , C4 ຈ່ົ ຄັ ຌຌັ້ , ຍ່ົ ຠໍ ຣີ ໍາຈຍັ ເຌກາຌ຅ຍັ ຾ຣະ ຍ່ົ ຆໍ ໍາ້ ຊາ້ ໜົ່ ຤ງ຋ີ 1 ຽຎັຌ A1 ໜົ່ ຤ງ຋ີ 2 ຽຎັຌແຈຉ້ ຄັ້ ຾ຉ່ົ A2 ຽຊຄິ C4 ແຈ ້ 14 ຤຋ິ ີ ໜົ່ ຤ງ຋ີ 1 ຽຎັຌ A2 ໜ່ົ ຤ງ຋ີ 2 ຽຎັຌແຈຉ້ ຄັ້ ຾ຉ່ົ A3 ຽຊຄິ C4 ແຈ ້ 13 ຤຋ິ ີ ໜົ່ ຤ງ຋ີ 1 ຽຎັຌ A3 ໜ່ົ ຤ງ຋ີ 2 ຽຎັຌແຈຉ້ ຄັ້ ຾ຉົ່ A4 ຽຊຄິ C4 ແຈ ້ 12 ຤຋ິ ີ    ໜ່ົ ຤ງ຋ີ 1 ຽຎັຌ C3 ໜ່ົ ຤ງ຋ີ 2 ຽຎັຌແຈ຃້ ື C4 ແຈ ້ 1 ຤຋ິ ີ ຅າໍ ຌ຤ຌ຤຋ິ ຋ີ ຄັ ໝຈ຺  14  13  12 ...  1  105 ຤຋ິ ີ ຅ະແຈ້ nS  105 ຅າໍ ຌ຤ຌ຋່ົ ຋ີ ຄັ ລວຄໜົ່ ຤ງຽຎັຌລຈີ ຼ຤ກຌັ ຃:ື A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1 A5 , A2 A3 , A2 A4 , A2 A5 , A3 A4 , A3 A5 , A4 A5 , B1 B2 , B1 B3 , B1 B4 , B1 B5 , B1 B6 , B2 B3 , B2 B4 , B2 B5 , B2 B6 B3 B4 , B3 B5 , B3 B6 , B4 B5 , B4 B6 , B5 B6 , C1 C2 , C1 C3 , C1 C4 , C2 C3 , C2 C4 , C3 C4 ຅າໍ ຌ຤ຌ຃າໍ ຉວຍ຋່ົ ຋ີ ຄັ 2 ໜ່ົ ຤ງຽຎັຌລຈີ ຼ຤ກຌັ  31 ຅າໍ ຌ຤ຌ຃ໍາຉວຍ຋່ົ ໜີ າກຍວີ ວກລຉີ ່ົ າຄກຌັ  105  31  74 ຅ະແຈ້ nE  74 ຈົ່ ຄັ ຌຌັ້ , PE  74 105 ຃າໍ ຉວຍ: ຂໍ້ ຄ 136

຃າໍ ຊາມຆຸຈ຋ີ 5 ໝາງຽວຈ: ຅ໃ ຄ຺ ຽ຤ຨື ກ຃ໍາຉຨຍ຋ໃ ຊີ ກື ຉຨໄ ຄ຋຦ີ ຸຈ 1. 11 , 77 , 55 ມ຋ີ ະລ຃ີ ູຌຩໃ ລມໜຨໄ ງ຦ຸຈຽຎັຌ຅ກັ ຽ຋ໃ ຨື ຂຨຄຨຸຎະ຃ູຌຩໃ ລມວາົ ງ຦ຸຈ 24 120 336 ກ. 134750 ຂ. 80 ຃. 28 ຄ. 21 2. ຅າກ຅າໍ ຌລຌ 2125 , 3100 , 475 , 550 ຅າໍ ຌລຌເຈ(ຂເໍໄ ຈ)ມ຃ີ ໃ າວົາງ຦ຸຈ ກ. 2125 ຂ. 3100 ຃. 475 ຄ. 550 3. ຊາໄ a ຽຎັຌ຃ໃ າຉລ຺ ຽ຤ກວົກັ ວລ຺ ໜໃ ລງຂຨຄ 6123 ຾຤ະ b ຾຤ະ ຽຎັຌ຃ໃ າຉລ຺ ຽ຤ກວກົັ ວລ຺ ໜໃ ລງຂຨຄ 4246 ຾຤ລໄ  ab 2552 ຅ະມ຃ີ ໃ າຂຨຄວົກັ ວລ຺ ໜໃ ລງຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ ກ. 2 ຂ. 4 ຃. 6 ຄ. 8 4. ຃ໃ າຂຨຄ 1  1 1  1 1  1 1  1 ... 1  1  ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ  4  9  16  25   144  ກ. 1 ຂ. 13 4 24 ຃. 56 ຄ. 111 119 144 5. ເວໄ p , q ຾຤ະ r ຽຽ຤ະ ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌມຌູ ຾຤ະ ມ຃ີ ໃ າຌຨໄ ງກລໃ າ 50 ຅ະມີ p , q , r ຅ກັ ຆຸຈມໃ ີ ຽຩຈັ ເວໄ p  q  r ຾຤ະ p  q ກ. 3 ຆຸຈ ຂ. 6 ຆຸຈ ຃. 9 ຆຸຈ ຄ. 12 ຆຸຈ 6. ຃າໍ ຉຨຍຂຨຄ຦ມ຺ ຏຌ຺ 1  1 1  1 ກຄ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ  1  1 1 1 x ກ. 2 ຂ. 1 ຃.  1 ຄ.  2 7. ກາໍ ຌຈ຺ a , b , c , d ຾຤ະ e ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌຊລໄ ຌຽຆໃ ຄ຾ຉກຉໃ າຄກຌັ ຋ຄັ ໝຈ຺ ຾຤ະ ຦ຨຈ຃ໃ ຨຄກຍັ ຦ມ຺ ຏຌ຺ 2009  a2009  b2009  c2009  d 2009  e  325 ຾຤ລໄ a  b  c  d  e ກຄ຺ ມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ ກ. 9999 ຂ. 10032 ຃. 10735 ຄ. 11999 137

8. ຊາໄ x  y  z ຾຤ລໄ ຃ໃ າຂຨຄ 5x2  8y2  7z2 ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ 123 ກ. 5x ຂ. 5y ຃. 5z ຄ. 6x    9. ຊາໄ m  1  xa  b 1  1  xb  a 1 ຽຽ຤ລໄ m ມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ ກ. 1 ຂ. 1 2 ຃. 2 ຄ.  1 10. ຊາໄ 25 x  4 ຾຤ະ 125y  27 ຾຤ລໄ 2592 ມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 54 y  5x ຂ. 55 y  3x ຃. 56 y  5x ຄ. 58 y  10x 11. ຊາໄ a2  2a   1 , b2  3b  1 ຾຤ະ c2  4c  1 ຾຤ລໄ 3a3  b3  c3  1  1  1  200 ມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ເຈ a3 b3 c3 ກ. 110 ຂ. 220 ຃. 330 ຄ. 440 12. ເວໄ a ຾຤ະ 1 ຽຎັຌຩາກຂຨຄ຦ມ຺ ຏຌ຺ ໜໃ ຄ ຽຆໃ ຄຑຍ຺ ລໃ າ a 1 5 ຾຤ລໄ ຦ມ຺ ຏຌ຺ ຌຌັໄ ຾ມໃ ຌຂເໍໄ ຈ a a ກ. x2  5x  1  0 ຂ. x2  5x  1  0 ຃. x2  5x  1  0 ຄ. x2  5x  1  0  13. ຊາໄ ຦າໍ ຎະ຦ຈຂຨຄຑຈ຺ x2 ຂຨຄກາຌກະ຅າງ x2  ax  3 2 ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 55 ຾຤ລໄ ຊາໄ ຦າໍ ຎະ຦ຈຂຨຄຑຈ຺ x  ຂຨຄກາຌກະ຅າງ 2x2  3x  b 2 ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 42 ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ຃ໃ າຂຨຄ a  b ຽມໃ ຨື a , b  0 ກ. 7 ຂ. 10 ຃. 13 ຄ. 14 14. ກາໍ ຌຈ຺ sin2 A  cos2 A  1 ຽມໃ ຨື 0  A  90 ຽຽ຤ະ sin 90  1 ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ຃ໃ າຂຨຄ sin2 2  sin2 4  sin2 6  sin2 8  ...  sin2 90 ກ. 45 ຂ. 25 ຃. 23 ຄ. 0    15. ຊາໄ tan 60 2x  6  cot 30 2x  13 cos ec30 ຽມໃ ຨື x ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌຊລໄ ຌ ຾຤ລໄ x2  3 ມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ ກ. 0 ຂ. 1 ຃. 2 ຄ. 3 16. ຅ໃ ຄ຺ ຾ກ຤ໄ ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ ເວໄ a , b , c , d ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຅ຄຍລກ ວົື 0 a2  b2  5 c2  d2  5 138

ac  bd  5 ac  bd  3 ກ. a  1 , b  2 , c  3 , d  4 ຂ. a  1 , b  1 , c  2 , d  2 ຃. a  2 , b  1 , c  2 , d  1 ຄ. a  3 , b  1 , c  3 , d  1 x  y  xy  8 17. ເວໄ x , y , z ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຅ຄຍລກ຋ໃ ຦ີ ຨຈ຃ໃ ຨຄກຍັ y  z  yz  15 ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ຃ໃ າຂຨຄ z  x  zx  35 x  y  z  xyz ກ. 18 ຂ. 36 ຃. 48 ຄ. 72 18. ຃ໃ າຂຨຄ x ຅າກ຦ມ຺ ຏຌ຺ 3x  2  4x  3  5x  4  6x  5 ກຄ຺ ກຍັ x ເຌຂໍເໄ ຈ ກ. x  1  3  x  x  2 ຂ. 4x  5  x  x  3 ຃. x  5  x  11  x  16 ຄ. x  7  x  7 19. ຊາໄ x  0 , y  0 ຾຤ະ xy x  y  3 x3 y3 ຾຤ລໄ ຃ໃ າຂຨຄ x2  y2 ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ xy ກ. 2 ຂ. 4 ຃. 5 ຄ. 7 20. ຊາໄ  2, a ຾຤ະ 2 , b ຽຎັຌ຃າໍ ຉຨຍຂຨຄ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ 3xy  2y2 0 5xy  3y2  57 ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ຃ໃ າຂຨຄ a2  2ab  b2 ກ.  6 ຂ. 6 ຃.  36 ຄ. 36 21. ຅າກ຦ມ຺ ຏຌ຺ 2x2  6x  5  m ຽມໃ ຨື x ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຅ຄເຈໜໃ ຄ ຾຤ະ m ຽຎັຌ຃ໃ າ຋ໃ ຌີ ຨໄ ງ຋ໃ ຦ີ ຸຈຂຨຄ 2x2  6x  5 ຾຤ະ ຅າກ຦ມ຺ ຏຌ຺ 10  4x  3x2  p ຽມໃ ຨື x ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຅ຄເຈໜໃ ຄ ຾຤ະ p ຽຎັຌ ຃ໃ າ຋ໃ ເີ ວງໃ ຋ໃ ຦ີ ຸຈຂຨຄ 10  4x  3x2 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຃ໃ າຂຨຄ 4m2  9 p ກຄ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ ກ. 50 ຂ. 75 ຃. 99 ຄ. 103 22. ກາໍ ຌຈ຺ ເວໄ 6  2x  A B C ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ A , B , C ມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ x2  3x x2  3x x x3 ກ. 18 ,  4 , 6 ຂ. 18 , 4 , 6 ຃. 18 , 4 ,  6 ຄ.  18 , 4 , 6 23. ຊາໄ x3  y3  280 ຾຤ະ x2 y  xy2  240 ຾຤ລໄ 3x  2y ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ ກ. 0 ຂ. 1 ຃. 2 ຄ. 3 139

24. ຅າກຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄຂຨຄ຦ມ຺ ຏຌ຺ y  x2  bx  c ຽມໃ ຨື b , c ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຃ຄ຺ ຃ໃ າ ຊາໄ ຾ຉມໄ ຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄ ຂຨຄ຦ມ຺ ຏຌ຺ x  2y  1  0 ຽ຋ຄ຤ະຍຍ຺ ຽ຦ຌັໄ ຽ຃າ຺ໄ ຈຼລກຌັ ຃ໃ າຂຨຄ x ຋ໃ ຽີ ກຈີ ຅າກ຅ຈຸ ຉຈັ ຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄ຋ຄັ ຦ຨຄກຄ຺ ກຍັ ຦ມ຺ ຏຌ຺ ຂໍເໄ ຈ ກ. 2x2  2x  13  0 ຂ. 2x2  3x  13  0 ຃. 2x2  3x  13  0 ຄ. 2x2  2x  13  0 25. ຅ໃ ຄ຺ ຑ຅າ຤ະຌາລໃ າຂໍເໄ ຈຏຈ ກ. y  ax  32  4 ຽມໃ ຨື a  0 ຅ະແຈຽໄ ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄຎາຣາ຿ຍຌຄາງ ຽມຈັ ຅ຨມ 3 , 4 ຂ. y  4  x  22 ຅ະແຈຽໄ ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄຎາຣາ຿ຍຌຂລາໍໄ ຽມຈັ ຅ຨມ  2 , 4 ຃. y  6  x  x2 ຅ະແຈຽໄ ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄຎາຣາ຿ຍຌຂລໍາໄ ຽມຈັ ຅ຨມ 0 , 6 ຄ. ຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄຂຨຄ y  x2 ຅ະຉຈັ ກຍັ ຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄ y  x ຋ໃ ຽີ ມຈັ 0 , 0 26.ຩູຍ຦ໃ ຾ີ ຅຦າກມຂີ າໄ ຄໜໃ ຄງາລ 2 ຽ຋ໃ າ຺ ຂຨຄຨກີ ຂາໄ ຄໜໃ ຄ ຾຤ະ ມຽີ ຌຨືໄ ຋ີ 200 cm2 ຊາໄ ຂາໄ ຄ຦ຌັໄ ວຸຈົ ຤ຄ຺ 5 % ຾຤ະ ຂາໄ ຄງາລ ຽຑໃ ມີ ຂຌໄ 8 % ຢາກຩູລໄ ໃ າຽຌຨືໄ ຋ຂີ ຨຄຩູຍ຦ໃ ຾ີ ຅຦າກຌ຅ີໄ ະຎໃ ຼຌແຎ຅ກັ % ກ. 2.5 % ຂ. 2.6 % ຃. 2.8 % ຄ. 3.2 % 27. ວຨໄ ຄ຦ະໝຸຈ຾ວໃ ຄໜໃ ຄມຎີ ມໄ ລຆາຑາ຦າ຤າລຢໃ ູ 40 % ຾຤ະ ຎມໄ ລຆາຑາ຦າຨຄັ ກຈ 60 % ຊາໄ ວຨໄ ຄ຦ະໝຸຈ ຌຌັໄ ມຎີ ມໄ ຃ະຌຈ຦າຈຢໃ ູ 63 ຽວມົັໄ ຾ຉໃ 90 % ຂຨຄຎມໄ ລຆາຑາ຦າ຤າລ ຾຤ະ 95 % ຂຨຄຎມໄ ລຆາຑາ຦າ ຨຄັ ກຈຍໃ ໍ຾ມໃ ຌຎມໄ ຃ະຌຈ຦າຈ ຾຤ລໄ ວຨໄ ຄ຦ະໝຸຈຈໃ ຄັ ກໃ າລມຎີ ມໄ ຃ະຌຈ຦າຈຽຎັຌຑາ຦າຨຄັ ກຈ຅ກັ ຽວົມັໄ ກ. 25 ຂ. 27 ຃. 30 ຄ. 35 28. ຾ຍໃ ຄຽຂາ຺ໄ ໝມ຺ 101 ຨຌັ ເ຦ໃ ກ໋ຨຄ 3 ກ໋ຨຄ ກ໋ຨຄ຤ະ 21 ຨຌັ ຅ະຽວຨົື ຽຂາ຺ໄ ໜມ຺ ຢໃ ູ 5 ຨຌັ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຊາໄ ຅ະ຾ຍໃ ຄຽຂາ຺ໄ ໜມ຺ 122 ຨຌັ ຨຨກຽຎັຌ 5 ກ໋ຨຄ ຿ຈງ຾ຉໃ ຤ະກ໋ຨຄມຽີ ຂາ຺ໄ ໜມ຺ ຽ຋ໃ າ຺ ກຌັ ຾຤ະ ຍຌັ ຅ແຸ ຈໄ 5 ກ໋ຨຄຑໍຈີ ຅ະເ຦ໃ ກ໋ຨຄ ແຈກໄ ໋ຨຄ຤ະ຅ກັ ຨຌັ (ຉຨຍຽຎັຌຽ຤ກຊາຌ 10) ກ. 10 ຂ. 12 ຃. 13 ຄ. 14 29. ເຌຎີ 2555 ຿ຩຄຩຼຌ຾ວໃ ຄໜໃ ຄມຨີ ຈັ ຉາ຦ໃ ລຌຂຨຄ຅າໍ ຌລຌ຃ໃ ຉູ ໃ ໍ຅າໍ ຌລຌຌກັ ຩຼຌຽຎັຌ 2 : 15 ຊາໄ ເຌຎີ 2556 ຅າໍ ຌລຌ຃ໃ ູ ຾຤ະ ຌກັ ຩຼຌຽຑໃ ມີ ຂຌໄ 50 ຃ຌ຺ ຾຤ະ 125 ຃ຌ຺ ຉາມ຤ໍາຈຍັ ຽຩຈັ ເວຨໄ ຈັ ຉາ຦ໃ ລຌຈໃ ຄັ ກໃ າລ ຽຍຨືໄ ຄຉຌ຺ໄ ຎໃ ຼຌຽຎັຌ 1 : 5 ຾຤ລໄ ເຌຎີ 2555 ມຌີ ກັ ຩຼຌ຋ຄັ ໝຈ຺ ຅ກັ ກ. 300 ຂ. 350 ຃. 375 ຄ. 450 140

30. ເຌກາຌ຅ຈັ ຃ຨຌຽ຦ຈີ ຂຨຄ຿ຩຄຩຼຌ຾ວໃ ຄໜໃ ຄ ຿ຩຄຩຼຌແຈ຅ໄ ຈັ ຍໃ ຨຌຌໃ ຄັ ຽຍໃ ຄ຃ຨຌຽ຦ຈີ ຦ໍາ຤ຍັ ຾ຂກຩຍັ ຽຆຌີ ແລໄ 600 ຍໃ ຨຌຌໃ ຄັ ຾຤ະ ຅ຈັ ຍໃ ຨຌຌໃ ຄັ ຦ໍາ຤ຍັ ຏູ຅ໄ ໃ າງ຃ໃ າຎີແໄ ລໄ 1300 ຍໃ ຨຌຌໃ ຄັ ຾ຉໃ ຎາກຈ຺ ລໃ າ຾ຂກ຋ໃ ແີ ຈຩໄ ຍັ ຽຆຌີ ຍໃ ມໍ າ ຽຍໃ ຄ຃ຨຌຽ຦ຈີ ຩຨໄ ງ຤ະ 14 1 ຂຨຄ຅າໍ ຌລຌຏູ຋ໄ ໃ ຽີ ຆຌີ ມາ ຾຤ະ ມຍີ ໃ ຨຌລໃ າຄ຦ໍາ຤ຍັ ຏູຽໄ ຦ງ຃ໃ າຎີຩໄ ຨໄ ງ຤ະ 10 ຂຨຄ 2 ຍໃ ຨຌຌໃ ຄັ ຋ໃ ຅ີ ຈັ ແລໄ ຊາໄ ຏູມໄ າຽຍໃ ຄ຃ຨຌຽ຦ຈີ ຽ຦ງ຃ໃ າຎີຏໄ ູ຤ໄ ະ 100 ຍາຈ, ຾ຂກຩຍັ ຽຆຌີ ຍ຤ໍ ຅າກຏູ຤ໄ ະ 500 ຍາຈ, ຅ຈັ ຃ຨຌຽ຦ຈີ ຤ຄ຺ ຋ຌແຎ 300000 ຍາຈ ຽຂາ຺ ແຈກໄ າໍ ແ຤ຩຨໄ ງ຤ະຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. ຩຨໄ ງ຤ະ 22.5 ຂ. ຩຨໄ ງ຤ະ 24.5 ຃. ຩຨໄ ງ຤ະ 35.17 ຄ. ຩຨໄ ງ຤ະ 43.33 31. ຅າກຩູຍ຦າມ຾຅ ABC ມຽີ ຌຨືໄ ຋ຽີ ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ ຂ. 16 ກ. 12 ຄ. 24 ຃. 20 32. ຩູຍ຦າມ຾຅຦ະຽໝີ ຋ໃ ຾ີ ຌຍເຌຩູຍວກ຺ ຾຅຦ະຽໝີ (ຈໃ ຄັ ຩູຍ) ຊາໄ ຩູຍວກ຺ ຾຅ງາລຂາໄ ຄ຤ະ 4 ຾ມຈັ , ຩູຍ຦າມ຾຅ ຂາໄ ຄງາລ຅ກັ ຾ມຈັ ກ. 6 ຂ. 7 ຃. 8 ຄ. 9 33. AC ຉຈັ ຾຤ະ ຉຄັໄ ຦າກກຍັ BD ຋ໃ ຽີ ມຈັ P , ຊາໄ ຽມຈັ A ຢໃ ູວໃ າຄ຅າກຽມຈັ B 3 ຌລີໄ , ຽມຈັ B ຢໃ ູວໃ າຄ ຅າກຽມຈັ C 5 ຌລີໄ ຾຤ະ ຽມຈັ C ຢໃ ູວໃ າຄ຅າກຽມຈັ D 6 ຌລີໄ ຾຤ລໄ ຽມຈັ A ຢໃ ູວໃ າຄ຅າກຽມຈັ D ຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 2 3 ຌລີໄ ຂ. 3 5 ຌລີໄ ຃. 2 5 ຌລີໄ ຄ. 3 2 ຌລີໄ 34. ຩູຍ຅ລງມ຤ີ ລຄ຦ູຄ 4 cm , ມຌີ າໍໄ ຍຌັ ຅ຢຸ ໃ ູ຦ູຄ d cm ຂຨຄຎະ຤ມາຌຌາໍໄ ຋ໃ ຍີ ຌັ ຅ຢຸ ໃ ູເຌຩູຍ຅ລງ຋ຄັ ໝຈ຺ ຽຆໃ ຄຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 1 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , d ຽ຋ໃ າ຺ ຅ກັ ຆຄັ ຉ຾ີ ມຈັ 8 141

ກ. 1 ຂ. 2 ຃. 3 ຄ. 4 35. ຩູຍ຦ໃ ຾ີ ຅຦າກ ABCD ມີ P ຽຎັຌຽມຈັ ເຈໜໃ ຄເຌ຤ະຍຍ຺ ຽ຦ຌັໄ ຽ຃າ຺ໄ ຈຼລກຌັ ຂເໍໄ ຈ຤ໃ ຸມຌຊີໄ ກື ຉຨໄ ຄ ກ. PA2  PC 2  PB2  PD2 ຂ. PA2  PB2  PC 2  PD2 ຃. PA2  PD2  PB2  PC 2 ຄ. PA2  PC 2  PB2  PD2 36. ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາຽຌຨືໄ ຋ຂີ ຨຄຩູຍ຦າມ຾຅ ABC ຽຆໃ ຄມີ AB ງາລ 6 ຆຄັ ຉ຾ີ ມຈັ , AC ງາລ 8 ຆຄັ ຉ຾ີ ມຈັ ຾຤ະ ຽ຦ຌັໄ ຅ຨມກາຄ AM ງາລ 5 ຆຄັ ຉ຾ີ ມຈັ . ກ. 15 cm2 ຂ. 24 cm2 ຃. 25 cm2 ຄ. 48 cm2 37. ABC ຽຎັຌຩູຍ຦າມ຾຅຋ຼຄ ມີ BC ຽຎັຌຑຌືໄ , X , Y , Z ຽຎັຌຽມຈັ ຋ໃ ຢີ ໃ ູ຋ໃ ຨຌຆໃ ື BC , CA , AB ຉາມ຤ໍາຈຍັ ຽຩຈັ ເວໄ BX  CY , BZ  CX , ຂຈີ ຽ຦ຌັໄ XY , YZ , XZ ຊາໄ BAˆ C  44 ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ ຏຌ຺ ຤ຍ຺ ຤ະວລໃ າຄ YXˆZ ກຍັ XYˆZ ກ. 10 ຨຄ຺ ຦າ ຂ. 12 ຨຄ຺ ຦າ ຃. 14 ຨຄ຺ ຦າ ຄ. 16 ຨຄ຺ ຦າ 38. AD ຽຎັຌຽ຦ຌັໄ ຾ຍໃ ຄຽ຃ໃ ຄມຸມ BAˆ C ຂຨຄຩູຍ຦າມ຾຅ ABC ຾຤ະ DL ຂະໜາຌກຍັ AB (ຈໃ ຄັ ຩູຍ), AB  6 cm ຈ, BC  10 cm ຾຤ະ AC  9 cm ຃ໃ າຂຨຄ DL ຾ມໃ ຌຂເໍໄ ຈ ກ. 2.4 cm ຂ. 3 cm ຃. 3.6 cm ຄ. 4.5 cm 39. 142

ABCDE ຽຎັຌຩູຍວາໄ ຾຅຦ະຽໝ຾ີ ຌຍເຌລຄ຺ ມຌ຺ ຋ໃ ມີ ີ O ຽຎັຌ຅ຈຸ ເ຅ກາຄ, ມຸມ AOˆE ຾຤ະ ມຸມ EBˆC ກາໍ ຌຈ຺ ຈໃ ຄັ ຩູຍ ເວຑໄ ຅າ຤ະຌາມຸມ຋ຄັ ຦ຨຄຌລີໄ ໃ າມຸມ຋ໃ ວີ ົາງກລໃ າມ຃ີ ໃ າວົາງກລໃ າມຸມ຋ໃ ຌີ ຨໄ ງກລໃ າ຅ກັ ຨຄ຺ ຦າ ກ. 58 ຂ. 65 ຃. 68 ຄ. ຋ຄັ ຦ຨຄມຸມມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຌັ 40. ຅າກຩູຍ AB ຾຤ະ AC ຽຎັຌຽ຦ຌັໄ ຉຈລຄ຺ ມຌ຺ O ຋ໃ ຽີ ມຈັ B ຾຤ະ C , ຊາໄ ຤ຈັ ຦ະໝຂີ ຨຄລຄ຺ ມຌ຺ ຌງີໄ າລ 3 cm , DE ງາລ 2 cm ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ຃ລາມງາລຂຨຄ AB ກ. 5 cm ຂ. 6 cm ຃. 7 cm ຄ. 8 cm 41. ລຄ຺ ມຌ຺ ຦ຨຄລຄ຺ ມຌ຺ ມ຤ີ ຈັ ຦ະໝງີ າລ 1 ຾຤ະ 2 ຆຄັ ຉ຾ີ ມຈັ ຾຤ະ ມຽີ ຦ຌັໄ ຉຈ຤ລມ 4 ຽ຦ຌັໄ ຊາໄ ຦ໃ ລຌຂຨຄຽ຦ຌັໄ ຆໃ ື ຋ໃ ຽີ ຎັຌຽມຈັ ຉຈຩໃ ລມມ຃ີ ລາມງາລວົາງ຋ໃ ຦ີ ຸຈກຍັ ຃ລາມງາລໜຨໄ ງ຋ໃ ຦ີ ຸຈ ຉໃ າຄກຌັ 2 ຆຄັ ຉ຾ີ ມຈັ , ຾຤ລໄ ລຄ຺ ມຌ຺ ຋ຄັ ຦ຨຄມຽີ ມຈັ ເ຅ກາຄວໃ າຄກຌັ ຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 10 ຂ. 12 ຃. 14 ຄ. 2 42. ຤ຈ຺ ເວງໃ ຦ຨຄ຃ຌັ ຾຤ໃ ຌແຈ຋ໄ າຄຽຎັຌຨຈັ ຉາ຦ໃ ລຌ 9 : 16 ຾຤ະ ຽລ຤າ຋ໃ ຾ີ ຤ໃ ຌຽຎັຌ 3 : 4 ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາຨຈັ ຉາ ຦ໃ ລຌຂຨຄ຃ລາມແລຂຨຄ຤ຈ຺ ຃ຌັ ຋ໍາຨຈຉໃ ຃ໍ ຌັ ຋຦ີ ຨຄ ຊາໄ ຽລ຤າ຋ໃ ຾ີ ຤ໃ ຌຏຌັ ຎໃ ຼຌຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ແ຤ງະ຋າຄ ຾຤ະ ຏຌັ ຎໃ ຼຌ຾ຍຍຏກ຺ ຏຌັ ກຍັ ຃ລາມແລ ກ. 3 : 4 ຂ. 4 : 3 ຃. 4 : 5 ຄ. 5 : 7 43. ຆາງ຃ຌ຺ ໜໃ ຄຽມໃ ຨື ຽຊຄ຾ກໃ ກາໍ ແຎ ຑຌັ ຤ະງາຂຨຄ຤າລແຈ຅ໄ າ຤ກຂໍ຃ໄ ລາມແລຽໄ ຋ຄ຾ຏໃ ຌວຌີ ຋ໃ ຐີ ໃ ັຄ຦ຍ຺ ຂຨຄຆາງ຃ຌ຺ ຌຌັໄ ຽຆໃ ຄມເີ ຅຃ລາມລໃ າ: ຏລ຺ ຂຨຄຂຨໄ ງແຈເໄ ຆຽໄ ລ຤າ 1 ຂຨຄຆລີ ຈຂຨຄ຋ໃ າຌຢໃ ູເຌແລຽຈກັ 1 ຂຨຄຆລີ ຈຂຨຄ 6 12 ຋ໃ າຌຢໃ ູເຌແລ຤ຸຌໄ ຾຤ະ 1 ຂຨຄຆລີ ຈຂຨຄ຋ໃ າຌຢໃ ູເຌແລໝໃ ຸມ ຾຤ລໄ ຋ໃ າຌແຈ຾ໄ ຉໃ ຄຄາຌກຍັ ຂຨໄ ງ, ຑາງວຄົັ ຋ໃ ີ 7 ຾ຉໃ ຄຄາຌແຈໄ 5 ຎີ ຤າລກແໍ ຈມໄ ຤ີ ູກຆາງ 1 ຃ຌ຺ ຾ຉໃ ໜາໄ ຽ຦ງຈາງ຤ູກຆາງ຃ຌ຺ ຌຌັໄ ແຈຽໄ ຊຄ຾ກໃ ກາໍ ກໃ ຨຌ຋ໃ າຌ 4 ຎີ, ຋ຄັ ໂ຋ໃ ຽີ ຂາ຺ ແຈຽໄ ວຌັ ຿຤ກມາເຌແ຤ງະຽລ຤າຑຼຄຽ຃ໃ ຄໜໃ ຄຂຨຄຑໃ ໍຂຨຄ຤າລ. ຢາກຩູລໄ ໃ າ ຆາງ຃ຌ຺ ຌມີໄ ຨີ າງຸຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ຽມໃ ຨື ຤າລຽຊຄ຾ກໃ ກາໍ ກ. 81 ຎີ ຂ. 82 ຎີ ຃. 83 ຎີ ຄ. 84 ຎີ 44. ຌກັ ຩຼຌ 8 ຃ຌ຺ ລຈັ ຾຋ກ຃ລາມ຦ູຄຽຎັຌຆຄັ ຉ຾ີ ມຈັ ແຈຈໄ ໃ ຄັ ຉໃແໍ ຎຌ:ີໄ 147, 152, 155, 146, 150, 155, 156 ຾຤ະ 158 ຊາໄ ຽ຃ໃ ຄກາຄຂຨຄຽ຤ກ຃ະຌຈຂຨຄ຃ລາມ຦ູຄແຈໄ A ຆຄັ ຉ຾ີ ມຈັ , ຃ໃ າມຈັ ຋ະງະຊາຌຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ B ຾຤ະ 143

຃ໃ າຊາຌຌງມ຺ ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ C ຾຤ລໄ ຂເໍໄ ຈ຤ໃ ຸມຌຊີໄ ກື ກ. A  B  C ຂ. B  A  C ຃. C  B  A ຄ. C  A  B 45. ກາໍ ຌຈ຺ ຃ໃ າຂຨຄ a , b ຾຤ະ c ຅າໍ ຌລຌ 2 ຆຸຈ(ຈໃ ຄັ ຉາຉະ຤າຄ) ຾຤ລໄ ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ຃ໃ າຂຨຄ c2 ຾຤ະ 2b  ab ຦ໍາ຤ຍັ ຂໍມໄ ຌູ ຾ຉໃ ຤ະຆຸຈ. ເວໄ x ຽຎັຌຏຌ຺ ຍລກຂຨຄ຃ໃ າ c2 ຋ຸກ຃ໃ າ ຾຤ະ y ຽຎັຌຏຌ຺ ຍລກຂຨຄ ຃ໃ າ 2b  ab ຋ຸກ຃ໃ າ ຃ໃ າ a b c 3 ຆຸຈ຋ີ 1 1 2 5 ຆຸຈ຋ີ 2 2 3 ຃ໃ າຂຨຄ x  y ຾ມໃ ຌຂໍເໄ ຈ ກ. 50 ຂ. 57 ຃. 68 ຄ. 72 46. ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຂຨຄຨາງຸຑະຌກັ ຄາຌຍ຤ໍ ຦ຈັ ຾ວໃ ຄໜໃ ຄຽຎັຌ 40 ຎີ, ຊາໄ ຨາງຸ຿ຈງ຦ະຽ຤ໃ ງຂຨຄຑະຌກັ ຄາຌງຄຽຎັຌ 35 ຎີ ຾຤ະ ຊາໄ ຨາງຸ຿ຈງ຦ະຽ຤ໃ ງຂຨຄຑະຌກັ ຄາຌຆາງຽຎັຌ 50 ຎີ ຨຈັ ຉາ຦ໃ ລຌຂຨຄຑະຌກັ ຄາຌງຄຉໃ ຅ໍ າໍ ຌລຌ ຑະຌກັ ຄາຌຆາງ຾ມໃ ຌຂເໍໄ ຈ ກ. 4 : 3 ຂ. 3 : 2 ຃. 3 : 1 ຄ. 2 : 1 47. ຊາໄ x ຏຌັ ຎໃ ຼຌ຿ຈງກຄ຺ ກຍັ ຏຌ຺ ຍລກຽ຤ກ຦ຨຄ຅າໍ ຌລຌ ຅າໍ ຌລຌໜໃ ຄຏຌັ ຎໃ ຼຌ຿ຈງກຄ຺ ກຍັ y2 , ຨກີ ຅າໍ ຌລຌ ໜໃ ຄຏຌັ ຎໃ ຼຌຏກ຺ ຏຌັ ກຍັ z ຊາໄ y  3 , x  10 ຾຤ລໄ z ມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 4 ຂ. 6 ຃. 8 ຄ. 10 48. ເຌກາຌຑມໜຄັ ຦ໃ ຃ື ຄັໄ ໜໃ ຄ ຃ໃ າເຆ຅ໄ ໃ າງ຾ຍໃ ຄຽຎັຌ 2 ຦ໃ ລຌ ຿ຈງ຦ໃ ລຌໜໃ ຄຽຎັຌ຤ຂະ຦ຈ຅ໃ າງເວຏໄ ູຂໄ ຼຌຽຆໃ ຄ຃ຄ຺ ຋ີ ຾຤ະ ຨກີ ຦ໃ ລຌໜໃ ຄຽຎັຌ຃ໃ າຽ຅ງໄ ຾຤ະ ຃ໃ າຑມ ຽຆໃ ຄຏຌັ ຎໃ ຼຌຉາມ຅າໍ ຌລຌຽວມົັໄ ຋ໃ ຑີ ມ ຊາໄ ຑມ 3000 ຽວົມັໄ ຅ະ ແຈກໄ າໍ ແ຤ 20 %, ຾ຉໃ ຊາໄ ຑມ 4000 ຽວມົັໄ ຅ະແຈກໄ າໍ ແ຤ 25 % ຢາກຩູລໄ ໃ າ຃ໃ າ຤ຂະ຦ຈຂຨຄຏູຂໄ ຼຌຽຎັຌຽຄຌ ຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ຊາໄ ຎມໄ 1 ຽວົມັໄ ມ຤ີ າ຃າ 60 ຍາຈ ກ. 24000 ຍາຈ ຂ. 26000 ຍາຈ ຃. 27000 ຍາຈ ຄ. 28000 ຍາຈ 49. ຆາງ 3 ຃ຌ຺ ຂຌໄ ຉກ 5 ຆຌັໄ ຿ຈງເຆ຤ໄ ຍ ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ຃ໃ າກະຉລຄ຋ໃ ຆີ າງ຋ຄັ 3 ຃ຌ຺ ຌີໄ ຅ະຨຨກ຅າກ຤ຍ຿ຈງ ຍໃ ຆໍ າໍໄ ກຌັ ກ. 0.16 ຂ. 0.32 ຃. 0.48 ຄ. 0.64 50. ກ໋ຨຄຨຌັ ໜໃ ຄມໝີ າກຍາຌ຦຾ີ ຈຄ 3 ໜໃ ລງ ຾຤ະ ຦ຽີ ວຨົື ຄ 2 ໜໃ ລງ ຊາໄ ຅ຍັ ໜໃ ລງ຋າໍ ຨຈ຾຤ລໄ ຍໃ ເໍ ຦ໃ ຃ຌື ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ຃ໃ າກະຉລຄ຋ໃ ຅ີ ະ຅ຍັ ແຈໝໄ າກຍາຌ຦ຽີ ວົຨື ຄ຋ຄັ 2 ໜໃ ລງ ກ. 1 ຂ. 2 ຃. 1 ຄ. 1 4 5 5 10 144

ຍຈ຺ ຾ກ຃ໄ າໍ ຊາມຆຸຈ຋ີ 5 1. ມີ 11 , 77 , 55 ຃ື 25 , 77 , 55 24 120 336 24 120 336 ຅າກ຅າໍ ຌລຌຑູຈ 25  5  5 77  7  11 55  5  11 ຋ະລ຃ີ ູຌຩໃ ລມໜຨໄ ງ຦ຸຈ຾ມໃ ຌ 5  11  5  7  1925 ຾຤ະ ຨຸຎະ຃ູຌຩໃ ລມວາົ ງ຦ຸຈ຾ມໃ ຌ 1 ຅າກຑູຈ 24  2  2  2  3 120  2  2  2  3  5 336  2  2  2  3  7  2 ຋ະລ຃ີ ູຌຩໃ ລມໜຨໄ ງ຦ຸຈ຾ມໃ ຌ 2  2  2  3  5  7  2  1680 ຾຤ະ ຨຸຎະ຃ູຌຩໃ ລມວາົ ງ຦ຸຈ຾ມໃ ຌ 2  2  2  3  24 25 , 77 , 55 ຋ະລ຃ີ ູຌຩໃ ລມໜຨໄ ງ຦ຸຈ  1925 24 120 336 24 ຨຸຎະ຃ຌູ ຩໃ ລມວົາງ຦ຸຈ  1 1680 1925 ຋ະລ຃ີ ຌູ ຩໃ ລມໜຨໄ ງ຦ຸຈວາຌເວຨໄ ຸຎະ຃ູຌຩໃ ລມວົາງ຦ຸຈ  24  134750 1 1680 ຋ະລ຃ີ ຌູ ຩໃ ລມໜຨໄ ງ຦ຸຈຽຎັຌ 134750 ຽ຋ໃ າ຺ ຂຨຄຨຸຎະ຃ູຌຩໃ ລມວົາງ຦ຸຈ ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 2. ຆຨກວາຨຸຎະ຃ຌູ ຩໃ ລມໜຨໄ ງ຦ຸຈຂຨຄກາໍ ຤ຄັ ຾ຉໃ ຤ະຉລ຺ ແຈຈໄ ໃ ຄັ ຌີໄ 5___125 _, __100 _, __ 75 _, __ 50 _ 5___ 25 _, __ 20 _ , __15 _, __10 _ 5 , 4 , 3, 2 ຨຸຎະ຃ູຌຩໃ ລມໜຨໄ ງ຦ຸຈຂຨຄກາໍ ຤ຄັ  5  5  25  1 ຽຨາ຺ ກາໍ ຤ຄັ ຾ຉໃ ຤ະຉລ຺ ວາຌເວ ໄ 25 ຅ະແຈ ໄ 2125 25  25  32  1 3100 25  34  81  1 475 25  43  64  1 550 25  52  25 ຅າໍ ຌລຌ຋ໃ ວີ າົ ງ຋ໃ ຦ີ ຸຈ຾ມໃ ຌ 3100 145