ຄະນິດສາດ ມ ຕົ້ນ ເຫຼັ້ມ 1

຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 3. ຍຈ຺ ຽ຤ກຂໍຌໄ ຽີໄ ຍໃ ຄງາກ຾ຉໃ ຾ກ຾ໄ ຤ລໄ ຄໃາງ ລ຋຤ີ ຈັ : ຉລ຺ ຽ຤ກເຈ຋ໃ ມີ ວີ ົກັ ວລ຺ ໜໃ ລງຽຎັຌ 0, 1, 5 ຾຤ະ 6 ຍໃ ໍລໃ າ຅ະຂຌໄ ກາໍ ຤ຄັ ເຈກ຅ໍ ະມວີ ກົັ ວລ຺ ໜໃ ລງຽຎັຌ 0, 1, 5 ຾຤ະ 6 ຉາມ຤າໍ ຈຍັ ຅າກ 6123 ຽມໃ ຨື ຃ຈແ຤ໃ ຉລ຺ ຽ຤ກ຋າໄ ງ຅ະຽຎັຌຽ຤ກ 6  4246  42 123  16123 ຽມໃ ຨື ຃ຈແ຤ໃ ຉລ຺ ຽ຤ກ຋າໄ ງ຅ະຽຎັຌຽ຤ກ 6 ຃ກື ຌັ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ab ຅ະມ຃ີ າໍ ຉຨຍຂຨຄວົກັ ວລ຺ ໜໃ ລງຽຎັຌຽ຤ກ 6 ຉະວົຨຈ  ab 2552 ຅ະມ຃ີ ໃ າວກົັ ວລ຺ ໜໃ ລງຽຎັຌຽ຤ກ 6 ຾ຌໃ ຌຨຌ ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 4. ຾ຉໃ ຤ະລຄ຺ ຽ຤ຍັ ຽຂາ຺ໄ ຩູຍ຾ຍຍກາໍ ຤ຄັ ຦ຨຄແຈໝໄ ຈ຺ ຃ໃ າຂຨຄ 1  1 1  1 1  1 1  1 ... 1  1   4  9  16  25   144   1  1 1  1 1  1 1  1 1  1 1  1 ... 1  1 1  1   2  2  3  3  4  4   12  12   1  1 1  1 1  1  ...1  1 1  1 1  1 1  1 ... 1  1   2  3  4   12  2  3  4   12    1 13  12  2   13 24 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 5. ຅າໍ ຌລຌມຌູ ຋ໃ ມີ ຃ີ ໃ າຌຨໄ ງກລໃ າ 50 ແຈ຾ໄ ກໃ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 ຆຸຈ຋ີ p q r pq r 235 1 235 257 2  11  13 2 257 2  17  19 2  29  31 3 2 11 13 2  41  43 4 2 17 19 5 2 29 31 6 2 41 43 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , p  q  r ຾຤ະ p  q ມີ 6 ຆຸຈ ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 6. ຾ກ຦ໄ ມ຺ ຏຌ຺ ຋າຄ຤ໃ ຸມຂຌໄ ວາ຋າຄຽ຋ຄ ຅າກ຦ມ຺ ຏຌ຺ 1  1 1 1  1  1 1 1 x 146

1 1 1 1 1 x2 1 x 1 1 x 1 1 1 x2 1 1 1 2x  3 x2 1 x  2  1 2x  3 3x  5  1 2x  3 3x  5  2x  3 3x  2x  3  5 x  2 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 7. ຂໍຌໄ ຉີໄ ຨໄ ຄຑະງາງາມ຾ງກ຦ໃ ລຌ຃ູຌຂຨຄ 325 ເວຢໄ ໃ ູເຌຩູຍກາຌ຃ຌູ ຂຨຄ 5 ຅າໍ ຌລຌ ຽຌໃ ຨື ຄ຅າກ 325  25  13  5  5  13   5  5  1  1  13 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , 2009  a   5 ຅ະແຈໄ a  2009  5 2009  b   5 ຅ະແຈໄ b  2009  5 2009  c   1 ຅ະແຈໄ c  2009  1 2009  d  1 ຅ະແຈໄ d  2009  1 2009  e  13 ຅ະແຈໄ e  2009  13 ຦ະຌຌັໄ , a  b  c  d  e  10032 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 8. ເວ ໄ x  y  z  k (ຽຑໃ ຨື ເວ ໄ 5x2  8y2  7z2 ມຉີ ລ຺ ຎໃ ຼຌຉລ຺ ຈຼລ ) 123 x  k , y  2k , z  3k 5x2  8y2  7z2  5k 2  82k 2  73k 2     5k 2  8 4k 2  7 9k 2  5k 2  32k 2  63k 2  100k 2  10 k 147

 5 2k  5y ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ    9. ຅າກ m  1  xa  b 1  1  xb  a 1  1  1  b  1  1  a xa xb  1  1  xa  xb 1 1 xb xa  xb 1  xa 1  xa  xb xb xa  xb  xa xb  xa xa  xb  xb  xa xb  xa m 1 m  1 1 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 10. ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກ 25 x  4  52  x  4 52x  4 ... 1 ... 2 ຾຤ະ 125y  27 ... 3 ... 4  53 y  27 53y  27 ຅າກ (1) 52x  4 52x  22    5 5 52x 2  22 2 55x  25 ຅າກ (2) 53y  27 53y  33    4 4 53y 3  33 3 54 y  34 ຽຨາ຺ (3) ຃ູຌ (4) ຅ະແຈ ໄ 54y  55x  34  25 54y  5x  81  32 148

54y  5x  2592 2592  54y  5x ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 11. ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກກາໍ ຌຈ຺ a2  2a   1 a2  2a  1  0 a  12  0 a 1 ຽຩຈັ ເວໄ 3a3  1  313  1 a3 13 3a3  1  4 ... 1 a3 ... 2 ກາໍ ຌຈ຺ b2  3b  1 b2  1  3b ວາຌເວໄ b ຋ຄັ ຦ຨຄຑາກ ຅ະແຈໄ b 1  3 b ຑ຅າ຤ະຌາ b3 1   b  1 b2 1 1  b3  b  b2    b  1 b  1 2   3  b  b     332  3  36 ວົື ເຆ຦ໄ ູຈ຤ຈັ : ຊາໄ b 1  n b  b3 1 ຅ະແຈ ໄ b3  n n2  3  4 42  3  36 ກາໍ ຌຈ຺ c2  4c  1 c2  1  4c ວາຌເວໄ c ຋ຄັ ຦ຨຄຑາກ ຅ະແຈໄ c 1  4 c c3  3c2. 1  3c . 1  1  43 c c2 c3 c3  3c  1  1  64  c c3 149

c3 1  52 ... 3 c3 ວົື ເຆ຦ໄ ູຈ຤ຈັ : ຊາໄ c 1  n c  c3 1 ຅ະແຈ ໄ c3  n n2  3  4 42  3  52 ຽຨາ຺ 1  2  3 ຅ະແຈໄ 3a3  b3  c3 1 11  200  4  36  52  200  220 a3 b3 c3 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 12. a ຾຤ະ 1 ຽຎັຌຩາກຂຨຄ຦ມ຺ ຏຌ຺ a ຅າກ຦ມ຺ ຏຌ຺ ax2  bx  c  0 ຅ະແຈໄ ຏຌ຺ ຍລກ຃ໍາຉຨຍຂຨຄ຦ມ຺ ຏຌ຺   b a a 1 b aa ຾ຉໃ a 1 5 ...  a ຂໍໄ ຂ ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກ x2  5x  1  0 a  1, b  5 , c  1 ຏຌ຺ ຍລກ຃າໍ ຉຨຍຂຨຄ຦ມ຺ ຏຌ຺   b    5 5 ...  a 1 ຦ມ຺ ຏຌ຺ ຋ໃ ຦ີ ຨຈ຃ໃ ຨຄ຾ມໃ ຌຂໍໄ ຂ ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ  13. ຦ໍາຎະ຦ຈຂຨຄຑຈ຺ x2 ຅າກກາຌກະ຅າງ x2  ax  3 2 ຆຨກແຈຈໄ ໃ ຄັ ຌີໄ   x2  ax  3 x2  ax  3 ແຈ຦ໄ າໍ ຎະ຦ຈຂຨຄ x2 ຾ມໃ ຌ 3  a2  3  ຦າໍ ຎະ຦ຈຂຨຄຑຈ຺ x2  3  a2  3 55  6  a2 49  a2 a 7  ຦ໍາຎະ຦ຈຂຨຄຑຈ຺ x ຅າກກາຌກະ຅າງ 2x2  3x  b 2 ຆຨກແຈຈໄ ໃ ຄັ ຌີໄ   2x2  3x  b 2x2  3x  b ແຈ຦ໄ າໍ ຎະ຦ຈຂຨຄ x ຾ມໃ ຌ 3b  3b ຦ໍາຎະ຦ຈຂຨຄຑຈ຺ x  3b  3b 42  6b 150

b 7 ຦ະຌຌັໄ , a  b  7  7  14 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ  14. ຽຌໃ ຨື ຄ຅າກ sin A  cos 90  A sin2 2  sin2 4  sin2 6  ...  sin2 84  sin2 86  sin2 88  sin2 90  sin2 2  sin2 4  sin2 6  ...  sin2 44  cos2 44  cos2 42  cos2 40  ...  cos2 2  sin2 90       sin2 2  cos2 2  sin2 4  cos2 4  ...  sin2 44  cos2 44  sin2 90 ຋ຄັ ໝຈ຺ ມີ 22 ຆຸຈ ຽຌໃ ຨື ຄ຅າກ sin2 A  cos2 A  1      ຦ະຌຌັໄ , sin2 2  cos2 2  sin2 4  cos2 4  ...  sin2 44  cos2 44  sin2 90  22  1  23 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃    15. tan 60 2x  6  cot 30 2x  13 cos ec30    tan 60 2x  6  tan 60 2x  13 cos ec30 / cot 30  tan 60      2x  6 2x 3  3  13 2      2x 3 36  3 2x  26    27 3 2x  3 2x  26  26 2x  26 3  2x 3 1 3x  1 3x  30 x 0 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , x2  3  02  3  3 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 17. ຾ກ຦ໄ ມ຺ ຏຌ຺ ຉາມຍຈ຺ ຽ຤ກກາໍ ຌຈ຺ ເວມໄ າ ກາໍ ຌຈ຺ a2  b2  5 ... 1 c2  d2  5 ... 2 ac  bd  5 ... 3 ac  bd  3 ... 4 ຽຨາ຺ 1  2 ຅ະແຈ ໄ a2  b2  c2  d 2  10 ... 5 ຽຨາ຺ 3  2 ຅ະແຈໄ 2ac  2bd  10 ... 6    ຽຨາ຺ 5  6 ຅ະແຈໄ a2  2ac  c  b2  2bd  d 2  0 151

a  c2  b  d 2  0 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , a  c  0 ຾຤ະ b  d  0 a  c ຾຤ະ b  d ຽຨາ຺ 3  4 ຅ະແຈໄ 2ac  8 ac  4 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , a  2 ຾຤ະ c  2 ຅າກ 3 ຅ະແຈໄ 4  bd  5 bd  1 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , b  1 ຾຤ະ d  1 ຌຌັໄ ຾ມໃ ຌ: a  2 , b  1 , c  2 ຾຤ະ d  1 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 17. ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກກາໍ ຌຈ຺ ຩູຍ຾ຍຍ຋ໃ ຽີ ຩຈັ ຽຎັຌກາໍ ຤ຄັ ຦ຨຄແຈໄ ຅ໃ ຄ຃ລຌຽຩຈັ ຈໃ ຄັ ຌີໄ x  y  xy  8 ... 1 y  z  yz  15 ... 2 z  x  zx  35 ... 3 ຅າກ (1) ຽຨາ຺ 1 ຍລກຽຂາ຺ໄ ຋ຄັ ຦ຨຄຑາກ 1  x  y  xy  9 1  x y1  x  9 1  x1  y  9 ... 4 ຋ໍາຌຨຄຈຼລກຌັ ຅າກ (4) ຅ະແຈໄ 1  y1  z  16 ... 5 ຅າກ (5) ຅ະແຈໄ 1  z1  x  36 ... 6 ຽຨາ຺ 4  5  6 ຅ະແຈໄ 1  x  1  y  1  z2  9  16  36 1  x2 1  y2 1  z2  32  42  62 1  x1  y1  z  3  4  6 ... 7 ຽຽ຋ຌ 4 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (7) ຅ະແຈໄ 91  z  3  4  6 z 7 ຽຽ຋ຌ 5 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (7) ຅ະແຈໄ 161  x  3  4  6 x 7 2 ຽຽ຋ຌ 6 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (7) ຅ະແຈໄ 361  y  3  4  6 y1 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , x  y  z  xyz  7  1  7   7 . 1 . 7  36 2 2  ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 18. ຍຈ຺ ຽ຤ກ຤ກັ ຦ະຌະຌຉີໄ ຨໄ ຄຑະງາງາມຊຨຌຩາກຂຌັໄ ຦ຨຄເວແໄ ຈໄ 152

3x  2  4x  3  5x  4  6x  5 3x  2  6x  5  5x  4  4x  3 ຂຌໄ ກາໍ ຤ຄັ ຦ຨຄ຋ຄັ ຦ຨຄຑາກ 3x  2  2 3x  26x  5  6x  5 5x  4  2 5x  44x  3  4x  3 9x  7  2 3x  26x  5  9x  7  2 5x  44x  3 3x  26x  5  5x  44x  3 ຂຌໄ ກາໍ ຤ຄັ ຦ຨຄ຋ຄັ ຦ຨຄຑາກ 3x  26x  5  5x  44x  3 18x2  27x  10  20x2  31x  12 2x2  4x  2  0 x2  2x  1  0 x  1x  1  0 x 1  0 x 1 ຅າກຂໍໄ ຂ 4x  5  x  x  3 ຾຋ຌ຃ໃ າ x  1 ຅ະແຈໄ 41  5  1  1  3 9 1  4 31  2 2  2 (ຊກື ) ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 19. xy x  y  3 x3 y3 x  y  3 x3y3 xy ຂຌໄ ກາໍ ຤ຄັ ຦ຨຄ຋ຄັ ຦ຨຄຑາກ x2  2xy  y2  9 x3 y3 x2 y2 x2  2xy  y2  9xy x2  y2  7xy x2  y2  7 xy ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ ...1 20. 3xy  2y2  0 ...2 5xy  3y2   57 ຾຋ຌ຃ໃ າ x   2 ເ຦ໃ (1) ຾຤ະ (2) ...3  6y  2y2  0 ...4 10y  3y2   57 153

຃ຌູ 3 ເ຦ໃ (3) :  18y  6y2  0 ...5 ຃ຌູ 2 ເ຦ໃ (4) :  20y  6y2   114 ...6 ຽຨາ຺ 5  6 ຅ະແຈໄ  38y   114 y   114  38 y3 ຃າໍ ຉຨຍ: 2 , a   2 , 3 ແຈໄ a  3 ຾຋ຌ຃ໃ າ x  2 ເ຦ໃ (1) ຾຤ະ (2) 6y  2y2  0 ...7 10y  3y2   57 ...8 ຃ູຌ 3 ເ຦ໃ (7) : 18y  6y2  0 ...9 ຃ຌູ 2 ເ຦ໃ (8) : 20y  6y2   114 ...10 ຽຨາ຺ 9  10 ຅ະແຈໄ 38y   114 y   114 38 y 3  2 , b   2 ,  3 ແຈໄ b   3 a2  2ab  b2  a  b2  3  32  36 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 21. ຅າກ຦ມ຺ ຏຌ຺ 2x2  6x  5  m ວົື ຂຼຌເຌຩູຍ຾ຍຍ y  2x2  6x  5 m ມ຃ີ ໃ າໜຨໄ ງ຋ໃ ຦ີ ຸຈກ຃ໍ :ື m  4ac  b2  425  36  1 4a 42 2 ຅າກ຦ມ຺ ຏຌ຺ 10  4x  3x2  p ຋າໍ ຌຨຄຈຼລກຍັ m ຾ຉໃ ຽຌໃ ຨື ຄ຅າກຽຎັຌຎາຣາ຿ຍຌຂລາໍໄ ມຽີ ມຈັ ຅ຨມ ຃ໃ າ p ຅ໃ ຄມ຃ີ ໃ າວາົ ງ຦ຸຈ p  4ac  b2  4 310  36  34 4a 4 3 3 ຈໃ ຄັ ຌໜັໄ , 4m2  9 p  4 1 2  9 34  2  3   103 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 22. ຽຽຎຄ຋ຄັ ຦ຨຄຑາກເວຢໄ ໃ ູເຌຩູຍ຾ຍຍຈຼລກຌັ 6  2x  A  B  C x2  3x x2  3x x x  3 154

 A  Bx  3  Cx xx  3  A  Bx  3B  Cx xx  3  Bx  Cx A  3B xx  3 6  2x  B  Cx  A  3B x2  3x x2  3x ຨຄີ ຉາມວກົັ ກາຌຎຼຍ຋ຼຍ຦ໍາຎະ຦ຈ B  C  2 ... 1 ... 2 A  3B  6 ຅າກຉລ຺ ຽ຤ຨື ກຂໍໄ ກ. A  18 , B   4 , C  6 ຾຋ຌ຃ໃ າເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (1) ຾຤ະ (2) ຅ະແຈໄ  4  6  2 ຊກື ... 1 ... 2 18  3 4  6 ຊກື ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , A  18 , B   4 , C  6 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 23. ຅າກ x3  y3  280 x2 y  xy2  240 ຽຨາ຺ 1  2 ຅ະແຈໄ x3  y3  280 x2 y  xy2 240  x  y x2  xy  y2 7 6 xy x  y x2  xy  y2  7 xy 6 6x2  6xy  6y2  7xy 6x2  13xy  6y2  0 2x  3y3x  2y  0 2x  3y  0 ວົື 3x  2y  0 ຊາໄ x3  y3  280 ຾຤ະ x2 y  xy2  240 ຾຤ລໄ 3x  2y ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 0 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 24. ຅າກຩູຍຽຎັຌຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄຂຨຄ຦ມ຺ ຏຌ຺ y  x2  bx  c ... 1 ຏໃ າຌຽມຈັ  2 , 0 ຾຤ະ 0 ,  6 155

຾຋ຌ຃ໃ າ x   2 , y  0 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (1) ... 2 0   22  b 2  c 0  4  2b  c 2b  c  4 ຾຋ຌ຃ໃ າ x 0 , y   6 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (1)  6  02  b0  c 6 c c6 ຾຋ຌ຃ໃ າ c   6 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (2) 2b   6  4 2b  6  4 b  1 ຾຋ຌ຃ໃ າ b   1 , c   6 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (1) ... 3 y  x2  x  6 ກາໍ ຌຈ຺ ຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄຂຨຄ຦ມ຺ ຏຌ຺ x  2 y  1  0 2y  x 1 y  x 1 ... 4 2 ຽຨາ຺ 3  4 ຅ະແຈໄ x2  x  6  x 1 2 ຃ູຌ 2 ເ຦ໃ ຋ຄັ ຦ຨຄຑາກ 2x2  2x  12  x  1 2x2  3x  13  0 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 25. ຅າກຂໍໄ ກ. y  ax  32  4 ຽມໃ ຨື a  0 ຅ະແຈຽໄ ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄຎາຣາ຿ຍຌຄາງ ຽມຈັ ຅ຨມ 3 , 4 ຂຌໍໄ ຊີໄ ກື ຾຤ລໄ ຅າກຂໍໄ ຂ. y  4  x  22 ຅ະແຈຽໄ ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄຎາຣາ຿ຍຌຂລໍາໄ ຽມຈັ ຅ຨມ  2 , 4 ຂໍຌໄ ຊີໄ ກື ຾຤ລໄ ຅າກຂໍໄ ຃. y  6  x  x2 y  x2  x  6   x2  x  6   x2  2x  1    1 2   1 2   6   2   2   2      x  1 2  1   6  2  4     x  1 2  1  24    2  4 4  156

   x  1 2  25    2  4     x  1 2  25  2 4 ຅ະແຈຽໄ ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄຎາຣາ຿ຍຌຂລາໍໄ ຽຑາະລໃ າ a  1 / a  0 ຾຤ະ ມຽີ ມຈັ ຅ຨມຢໃ ູ   1 , 25   2 4 ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກເວມໄ າ y  6  x  x2 ຅ະແຈຽໄ ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄຎາຣາ຿ຍຌຂລາໍໄ ມຽີ ມຈັ ຅ຨມຢໃ ູ 0 , 6 ຂຌໍໄ ຅ີໄ ໃ ຄຏຈ ຅າກຂໍໄ ຄ. ຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄຂຨຄ y  x2 ຅ະຉຈັ ກຍັ ຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄ y  x ຋ໃ ຽີ ມຈັ 0 , 0 ຂຌໍໄ ຊີໄ ກື ຽຑາະຽມໃ ຨື ຽຩາ຺ ຾຋ຌ຃ໃ າ x  0 ຅ະແຈໄ y  0 ຽຆຌັ ກຌັ ຃ໍາຉຨຍ: ຏຈ຾ມໃ ຌ ຂໍໄ ຃ 26. ເວໄ ຤ລຄກລາໄ ຄ  x cm ຤ລຄງາລ  2x cm ຽຌຨືໄ ຋ຩີ ູຍ຦ໃ ຾ີ ຅  ຤ລຄກລາໄ ຄ  ຤ລຄງາລ 200  x  2x 2x2  200 x2  100 x  10 ຤ລຄກລາໄ ຄ  10 ຆຄັ ຉ຾ີ ມຈັ ຾຤ະ ຤ລຄງາລ  20 ຆຄັ ຉ຾ີ ມຈັ ວຸົຈ຤ລຄກລາໄ ຄ຤ຄ຺ 5 % ຽວົຨື ຤ລຄກລາໄ ຄ  95  10  9.5 cm 100 ຽຑໃ ມີ ຂາໄ ຄງາລຂຌໄ 8 % ຅ະແຈ຃ໄ ລາມງາລ  108  20  21.6 cm 100 ຽຌຨືໄ ຋ຩີ ູຍ຦ໃ ຾ີ ຅ເໝໃ  9.5  21.6  205.2 cm2 ຽຌຨືໄ ຋ຩີ ູຍ຦ໃ ຾ີ ຅ເໝໃ ຽຑໃ ມີ ຂຌໄ  205.2  200  5.2 cm2 ຽຌຨືໄ ຋ຽີ ກໃ າ຺ 200 cm2 ຽຌຨືໄ ຋ເີ ໝໃ ຎໃ ຼຌແຎ 5.2 cm2 ຽຌຨືໄ ຋ຽີ ກໃ າ຺ 100 cm 2 ຽຌຨືໄ ຋ເີ ໝໃ ຎໃ ຼຌແຎ 5.2  100  2.6 200 ຽຌຨືໄ ຋ຩີ ູຍ຦ໃ ຾ີ ຅຦າກ຅ະຎໃ ຼຌແຎ 2.6 % ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 27. ເວວໄ ຨໄ ຄ຦ະໝຸຈມໜີ ຄັ ຦ຢື ໃ ູ x ຽວົມັໄ ຽຎັຌໜຄັ ຦ຑື າ຦າ຤າລ 40 % ຂຨຄໜຄັ ຦຋ື ຄັ ໝຈ຺  40  x  2 x ຽວົມັໄ 100 5 ຽຎັຌໜຄັ ຦ຑື າ຦າຨຄັ ກຈ 60 % ຂຨຄໜຄັ ຦຋ື ຄັ ໝຈ຺  60  x  3 x ຽວມົັໄ 100 5 90 % ຂຨຄໜຄັ ຦ຑື າ຦າ຤າລ ຾຤ະ 95 % ຂຨຄໜຄັ ຦ຑື າ຦າຨຄັ ກຈຍໃ ຾ໍ ມໃ ຌໜຄັ ຦຃ື ະຌຈ຦າຈ 157

10 % ຂຨຄໜຄັ ຦ຑື າ຦າ຤າລ ຾຤ະ 5 % ຂຨຄໜຄັ ຦ຑື າ຦າຨຄັ ກຈຽຎັຌໜຄັ ຦຃ື ະຌຈ຦າຈ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ມໜີ ຄັ ຦຃ື ະຌຈ຦າຈ (10 % ຂຨຄ 2 x )  (5 % ຂຨຄ 3 x )  63 5 5  10  2 x   5  3 x  63 100 5  100 5  4x  3x  63 100 100 ຃ູ 100 ເ຦ໃ ຋ຄັ ຦ຨຄຑາກ 4x 3x  6300 7x  6300 x  900 ວຨໄ ຄ຦ະໝຸຈມໜີ ຄັ ຦ື 900 ຽວມົັໄ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ມໜີ ຄັໄ ຦຃ື ະຌຈ຦າຈ຋ໃ ຽີ ຎັຌຑາ຦າຨຄັ ກຈ 5 % ຂຨຄ 3x 5  5  3  900  27 ຽວົມັໄ 100 5 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 28. ເວໄ n ຽຎັຌຽ຤ກຑຌືໄ 10 ຾ຍໃ ຄຽຂາ຺ໄ ໝມ຺ 101 ຨຌັ ເ຦ໃ ກ໋ຨຄ 3 ກ໋ຨຄ ກຨຄ຤ະ 21 ຨຌັ ຽວຨົື ຽຂາ຺ໄ ໜມ຺ ຢໃ ູ 5 ຨຌັ ຌຌັໄ ຾ມໃ ຌ: 101n  21n ຽ຦ຈ 5 3n 101n  3n  21n   5 n2  1  3  2n  1  5 n2  1  6n  3  5 n2  6n  7  0 n  7n  1  0 n  7 , n  1 ຾ຍໃ ຄຽຂາ຺ໄ ໝມ຺ 122 ຨຌັ ຨຨກຽຎັຌ 5 ກ໋ຨຄ ກ໋ຨຄ຤ະ 1 ຦ໃ ລຌຽ຋ໃ າ຺ ກຌັ ຍຌັ ຅ແຸ ຈໄ 5 ກ໋ຨຄຑຈໍ ີ ໝາງ຃ລາມລໃ າ 1227  x ຽ຦ຈ 0 57 x  1  72   2  7  2  1  13 51 ເ຦ໃ ກ໋ຨຄແຈກໄ ໋ຨຄ຤ະ 13 ຨຌັ ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 29. ເຌຎີ 2555 ຿ຩຄຩຼຌ຾ວໃ ຄໜໃ ຄມຨີ ຈັ ຉາ຦ໃ ລຌຂຨຄ຃ູ ຾຤ະ ຌກັ ຩຼຌ ຈໃ ຄັ ຌີໄ ຅າໍ ຌລຌ຃ູ : ຅າໍ ຌລຌຌກັ ຩຼຌ = 2 : 5 ຅າໍ ຌລຌ຃ູ/຅າໍ ຌລຌຌກັ ຩຼຌ  2  2x ... 1 5 15x ເຌຎີ 2556 ຅າໍ ຌລຌ຃ູຽຑໃ ມີ ຂຌໄ 50 ຃ຌ຺ , ຅າໍ ຌລຌຌກັ ຩຼຌຽຑໃ ມີ ຂຌໄ 125 ຃ຌ຺ ຽຩຈັ ເວຨໄ ຈັ ຉາ຦ໃ ລຌຎໃ ຼຌ຾ຎຄຽຎັຌ 158

1 : 5 ຂຼຌຽຎັຌ຦ມ຺ ຏຌ຺ ແຈຈໄ ໃ ຄັ ຌີໄ 2x  50  1 15x  125 5 52x  50  15x  125 10x  250  15x  125 15x  10x  250  125 5x  125 x  25 ຾຋ຌ຃ໃ າ x  25 ເ຦ໃ (1) : ຅າໍ ຌລຌ຃ູ  2x  225  50 ຃ຌ຺ ຅າໍ ຌລຌຌກັ ຩຼຌ  15x  1525  375 ຃ຌ຺ ເຌຎີ 2555 ມຌີ ກັ ຩຼຌ຋ຄັ ໝຈ຺ 375 ຃ຌ຺ ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 30. ຍໃ ຨຌຌໃ ຄັ ຦າໍ ຤ຍັ ຾ຂກຩຍັ ຽຆຌີ ມີ 600 ຍໃ ຨຌຌໃ ຄັ ຍໃ ຨຌຌໃ ຄັ ຦າໍ ຤ຍັ ຏູ຅ໄ ໃ າງ຃ໃ າຎີມໄ ີ 1300 ຍໃ ຨຌຌໃ ຄັ ຾ຂກ຋ໃ ຊີ ກື ຽຆຌີ ຾ຉໃ ຍໃ ມໍ າຽຍໃ ຄ຃ຨຌຽ຦ຈີ 14 1 % ຂຨຄ຅າໍ ຌລຌ຾ຂກ຋ໃ ຊີ ກື ຽຆຌີ 2 14 1 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຾ຂກ຋ໃ ຊີ ກື ຽຆຌີ ຾ຉໃ ຍໃ ມໍ າຽຍໃ ຄ຃ຨຌຽ຦ຈີ 2  600 100  87 ຃ຌ຺ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຾ຂກ຋ໃ ຊີ ກື ຽຆຌີ ຾ຉໃ ມາຽຍໃ ຄ຃ຨຌຽ຦ຈີ 600  87  513 ຃ຌ຺ ມຍີ ໃ ຨຌລໃ າຄ຦ໍາ຤ຍັ ຏູ຅ໄ ໃ າງ຃ໃ າຎີຨໄ ກີ 10  1300  130 ຍໃ ຨຌ 100 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ມຍີ ໃ ຨຌຌໃ ຄັ ຏູ຋ໄ ໃ ມີ າຽຍໃ ຄ຦ໍາ຤ຍັ ຅ໃ າງ຃ໃ າຎີໄ 1300  130  1170 ຍໃ ຨຌ ຽກຍັ ຃ໃ າຏໃ າຌຎະຉູແຈໄ 1170  100  117000 ຍາຈ ຾ຂກ຋ໃແີ ຈຩໄ ຍັ ຽຆຌີ ຍ຤ໍ ຅າກ຃ຌ຺ ຤ະ 500 ຍາຈ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຾ຂກ຋ໃແີ ຈຩໄ ຍັ ຽຆຌີ ມາຽຍໃ ຄ຃ຨຌຽ຦ຈີ ຍໍ຤຅າກຽຄຌ 513  500  256500 ຍາຈ ຤ລມແຈຩໄ ຍັ ຽຄຌ຋ຄັ ໝຈ຺ 117000  156500  373500 ຍາຈ ຅ຈັ ຃ຨຌຽ຦ຈີ ຤ຄ຺ ຋ຌແຎ 300000 ຍາຈ ຋ຌ 300000 ຍາຈ ແຈກໄ າໍ ແ຤ 373500  300000  73500 ຋ຌ 100 ຍາຈ ແຈກໄ າໍ ແ຤ 73500  100  24.50 ຍາຈ 300000 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຏູ຅ໄ ຈັ ຄາຌ຃ຨຌຽ຦ຈີ ແຈກໄ າໍ ແ຤ຩຨໄ ງ຤ະ 24.50 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 31. 159

8x  9y  72  0 , ຅ຈຸ ຉຈັ ຾ກຌຨຍັ ຆຈ 9 , 0  , ຅ຈຸ ຉຈັ ຾ກຌຨຨກຈຨຌຽຌ 0 , 8  4x  3y  24  0 , ຅ຈຸ ຉຈັ ຾ກຌຨຍັ ຆຈ 6 , 0  , ຅ຈຸ ຉຈັ ຾ກຌຨຨກຈຨຌຽຌ 0 , 8  ຽຌຨືໄ ຋ຩີ ູຍ຦າມ຾຅ S ABC  1  3  8  12 cm2 2 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 32. ຅າກຩູຍ cos 60  x 2 1x 22 x 1 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຩູຍ຦າມ຾຅຦ະຽໝງີ າລຂາໄ ຄ຤ະ 1  4  1  6 m ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 33. ເວໄ AP ງາລ x ຌລີໄ , BP ງາລ y ຌລີໄ , CP ງາລ z ຌລີໄ ຾຤ະ DP ງາລ a ຌລີໄ ຅າກຩູຍ຦າມ຾຅ ABP ຅ະແຈ:ໄ x2  y2  32 ... 1 x2  y2  9 ຅າກຩູຍ຦າມ຾຅ BCP ຅ະແຈ:ໄ y2  z2  52 ... 2 y2  z2  25 ... 3 ຽຨາ຺ 2  1 ຅ະແຈ:ໄ z2  x2  25  9 z2  x2  16 ຅າກຩູຍ຦າມ຾຅ CDP ຅ະແຈ:ໄ a2  z2  62 ... 4 a2  z2  36 ຽຨາ຺ 4  3 ຅ະແຈ:ໄ a2  x2  36  16 a2  x2  20 ຅າກຩູຍ຦າມ຾຅ ADP ຅ະແຈ:ໄ a2  x2  AD2 AD2  20 160

ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , AD  2 5 ຌລີໄ ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 34. ຅າກຩູຍ຦າມ຾຅ ABC ~ DBE ຅ະແຈ:ໄ DE  BD AC BA x d r4 x dr 4 ຍ຤ໍ ມາຈຂຨຄຩູຍ຅ລງເວງໃ  1 r2h  1 r2  4  4 r 2 3 3 3 ຍໍ຤ມາຈຂຨຄຩູຍ຅ລງຌຨໄ ງ  1 r2h  1  x2 d 3 3 ຍ຤ໍ ມາຈຂຨຄຩູຍ຅ລງຌຨໄ ງ  1 ຍ຤ໍ ມາຈຂຨຄຩູຍ຅ລງເວງໃ 8 1  x2 d  1  4  x2 3 83 1   d r 2 d  1  4  x2 3 4 83 1  d3 r2  1  4  x2 48 8 3 d3  1 r2  48  8  23 6  r2 d  2 cm ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 35. ຅າກຂໍໄ ກ. PA2  PC 2  PS 2  AS 2  PR2  RC 2     PS 2  RC2  AS 2  PR2     PS 2  SB2  DR2  PR2  PB2  PD2 ຦ະ຾ຈຄລໃ າ PA2  PC 2  PB2  PD2 161

ລ຋຤ີ ຈັ : ຂຌໍໄ ຊີໄ າໄ ຌກັ ຩຼຌຩູ຦ໄ ູຈ຅ະແຈຽໄ ຤ງີ ລໃ າ PA2  PC 2  PB2  PD2 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 36. ຂຈີ MD ຏໃ າຌຽ຃ໃ ຄກາຄ AC ຋ໃ ຽີ ມຈັ D ຅ະແຈ ໄ MD // BA ຾຤ະ MD  1 BA 2 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , MD  3 ຌລີໄ ຅າກຩູຍ຦າມ຾຅ AMD ຉາມວກົັ ຽກຌຎີຉາກໍ ຅ະແຈໄ AM 2  52  25 ຾຤ະ AD2  MD2  42  32  25 ຅ະແຈ ໄ AM 2  AD2  MD2 ຦ະ຾ຈຄລໃ າ AMD ຽຎັຌຩູຍ຦າມ຾຅຦າກ SAMC  1  8  3  12 2 ຂຈີ ME ຏໃ າຌຽ຃ໃ ຄກາຄ AB ຋ໃ ຽີ ມຈັ E ຅ະແຈໄ EM  4 ຌລີໄ ຾຤ະ ຩູຍ຦າມ຾຅ AEM ຽຎັຌຩູຍ຦າມ຾຅ ຦າກ, SABM  1  6  4  12 2 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , SABC  SAMC  SABM SABC  12  12 SABC  24 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 37. Aˆ  44 ຾຤ະ Bˆ  Cˆ (ມຸມຂຨຄຩູຍ຦າມ຾຅຋ຼຄ) Bˆ  Cˆ  68 BZ  CX  ຍຈ຺ ຽ຤ກເວມໄ າ BX   CY  BXZ  CYX ຅ະແຈໄ XZ  XY , 1ˆ  2ˆ , 3ˆ  4ˆ ເຌ CXY : 2ˆ  3ˆ  180  68  112 1ˆ  3ˆ  112 ຽຆຌັ ກຌັ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , YXˆZ  180  112  68 162

຦ະ຾ຈຄລໃ າ XYZ ຽຎັຌຩູຍ຦າມ຾຅຋ຼຄ XYˆZ  180  68  56 2 ຅ະແຈ ໄ YXˆZ  XYˆZ  68  56  12 ຽຎັຌ ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 38. DL // AB (ຍຈ຺ ຽ຤ກກາໍ ຌຈ຺ ເວມໄ າ) 1ˆ  2ˆ (ຍຈ຺ ຽ຤ກກາໍ ຌຈ຺ ເວມໄ າ) 1ˆ  3ˆ (ມຸມຆຨໄ ຌຂະໜາຌ) 2ˆ  3ˆ (ຏຌ຺ ຅າກຂາໄ ຄຽ຋ຄ) ຾຤ະ ADL ຽຎັຌຩູຍ຦າມ຾຅຋ຼຄ ເວໄ LA  LD  x CDL ~ CBA : LD  LC AB AC x  9x 69 9 x  69  x 9 x  54  6 x x  3.6 DL  3.6 cm ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 39. ມຸມຨຨໄ ມ຅ຈຸ ເ຅ກາຄຂຨຄລຄ຺ ມຌ຺ ມຂີ ະໜາຈ 360 ຨຄ຺ ຦າ, ABCDE ຽຎັຌຩູຍວາໄ ຾຅຦ະຽໝ,ີ ຦າມາຈ຾ຍໃ ຄຽຎັຌ ຩູຍ຦າມ຾຅຋ຼຄແຈ຋ໄ ຄັ ໝຈ຺ 5 ຩູຍ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ມຸມ AOˆ E  360  72 ... 1 5 ຆຨກວາມຸມ EBˆC ແຈຈໄ ໃ ຄັ ຌີໄ ຅າກມຸມ AOˆ E  OEˆA  180  72  54 2 ຽຌໃ ຨື ຄ຅າກມຸມ EBˆA  2OAˆE  254  108 ຾຤ະ ຩູຍ຦າມ຾຅ ABE ຽຎັຌຩູຍ຦າມ຾຅຋ຼຄ 163

຅ະແຈມໄ ຸມ ABˆE  AEˆB  180  108  36 2 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , EBˆC  ABˆC  ABˆE  108  36  72 ... 2 ຽວຌັ ລໃ າ ຅າກ (1) ຾຤ະ (2) ຋ຄັ ຦ຨຄມຸມຽ຋ໃ າ຺ ກຌັ ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 40. ຂຈີ ຽ຦ຌັໄ OB , ເຌ OCD ມີ Cˆ  90 (຤ຈັ ຦ະໝຉີ ຄັໄ ຦າກກຍັ ຽ຦ຌັໄ ຉຈ) CD2  OD2  OC2 CD2  52  32 / OD  OE  ED  3  2  5 CD  4 ເວໄ AC  x  AB ຾຤ະ BD  BO  OD  3  5  8 ຅າກ ABD : AD2  AB2  BD2 AC  CD2  AB2  BD2 x  42  x2  82 x2  8x  16  x2  64 8x  48 x6 ແຈໄ AB ງາລ 6 ຆຄັ ຉ຾ີ ມຈັ ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 41. ຦ມ຺ ມຸຈລໃ າລຄ຺ ມຌ຺ ຋ຄັ ຦ຨຄມ຅ີ ຈຸ ເ຅ກາຄວໃ າຄກຌັ x ຆຄັ ຉ຾ີ ມຈັ , ຽ຦ຌັໄ ຉຈຈໃ ຄັ ກໃ າລມ຃ີ ລາມງາລ 2 ຂະໜາຈຈໃ ຄັ ຌີໄ ຩູຍ຦າມ຾຅ PAC ຃າໄ ຌ຃ກື ງັ ຩູຍ຦າມ຾຅ QBC ຿ຈງມຨີ ຈັ ຉາ຦ໃ ລຌຂຨຄ຃ລາມງາລ຤ຈັ ຦ະໝຽີ ຎັຌ 2 : 1 PC  2 x 3 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , AB  3 AC  3  2 x2  4 2 2 3   3 4x2  36 29 164

 x2  9 ...  ຂຈີ QC ເວຉໄ ຄັໄ ຦າກກຍັ AP ຋ໃ ຽີ ມຈັ C ...  AC  CP  1 AB  CQ  x2  1 ຾ຉໃ ຍຈ຺ ຽ຤ກກາໍ ຌຈ຺ ຽ຦ຌັໄ ຉຈ຤ລມມ຃ີ ລາມງາລຉໃ າຄກຌັ 2 ຆຄັ ຉ຾ີ ມຈັ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , x2  1  x2  9  2 x2  1  2  x2  9 x2  1  4 x2  1  4  x2  9 3  x2  1 9  x2  1 x  10 ກລຈ຃າໍ ຉຨຍ: ຽມໃ ຨື x  10 x2  1  x2  9  10  1  10  9  9  1 31  2 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ລຄ຺ ມຌ຺ ຋ຄັ ຦ຨຄມ຅ີ ຈຸ ເ຅ກາຄວໃ າຄກຌັ 10 cm ... 1 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ກ ...  41. ເວແໄ ຤ງະ຋າຄ຋ໃ ຤ີ ຈ຺ ຾຤ໃ ຌແຈໄ  S ຅ະແຈລໄ ໃ າ S1 : S2  9 : 16  9x : 16x S1  9x S2  16x ເວຽໄ ລ຤າ຋ໃ ຤ີ ຈ຺ ຾຤ໃ ຌ  t ຅ະແຈລໄ ໃ າ t1 : t2  3 : 4  3y : 4y t1  3y t2  4y ເວ຃ໄ ລາມແລຂຨຄ຤ຈ຺  v ໝາງລໃ າ t  S v ຅ະແຈລໄ ໃ າ t  kS , k ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຃ຄ຺ ຃ໃ າ v ຾຋ຌ຃ໃ າ t1  3y , S1  9x ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (1) 3y  k9x v1 v1  9kx  3kx 3y y ຾຋ຌ຃ໃ າ t2  4y , S2  16x ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (1) 4y  k16x v2 165

v2  16kx  4kx ...  4y y 3kx ແຈ:ໄ v1 y  3kx  y  3  3:4 v2 4kx y 4ky 4 y ຨຈັ ຉາ຦ໃ ລຌ຃ລາມແລຂຨຄ຤ຈ຺ ຃ຌັ ຋ີ 1 ຉໃ ໍ ຃ຌັ ຋ີ 2 ຾ມໃ ຌ 3 : 4 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 42. ຦ມ຺ ມຸຈເວໄ ຆາງ຃ຌ຺ ຌມີໄ ຨີ າງຸ  x ຎີ ຆລີ ຈເຌແລຽຈກັ  x ຎີ 6 ຆລີ ຈເຌແລ຤ຸຌໄ  x ຎີ 12 ຆລີ ຈເຌແລໜໃ ຸມ  x ຎີ 7 ຾຤ລໄ ຾ຉໃ ຄຄາຌຨກີ 5 ຎີ ຅ໃ ຄມ຤ີ ກູ ຆາງ ຆາງ຃ຌ຺ ຌມີໄ ຨີ າງແຸ ຈໄ x  x  x  5 ຎີ 6 12 7 ຤ູກຆາງມຨີ າງຸຑຼຄຽ຃ໃ ຄໜໃ ຄຂຨຄຑໃ ໍ ຤ູກຆາງມຨີ າງຸແຈໄ x ຎີ 2 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຽມໃ ຨື ຤ູກຆາງຉາງຆາງ຃ຌ຺ ຌມີໄ ຨີ າງຸ  x x  x 5  x 6 12 7 2 ຉໃ ມໍ າຨກີ 4 ຎີຆາງ຃ຌ຺ ຌ຅ີໄ ໃ ຄຽ຦ງຆລີ ຈ ຆາງ຃ຌ຺ ຌມີໄ ຨີ າງຸ  x x x 5  x 4 6 12 7 2 ຦າໄ ຄຽຎັຌ຦ມ຺ ຏຌ຺ ແຈ:ໄ x x  x 5  x 4  x 6 12 7 2 14x  7x  12x  42x  x  9 84 75x  84x  756  9x   756 x  84 ຆາງ຃ຌ຺ ຌມີໄ ຨີ າງແຸ ຈໄ 84 ຎີ ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 44. ຅າກຂມໍໄ ຌູ ຋ໃ ກີ າໍ ຌຈ຺ ເວໄ ຽຩາ຺ ຅ຈັ ຤ຼຄຂມໍໄ ູຌ຅າກຌຨໄ ງວາເວງໃແຈຈໄ ໃ ຄັ ຌີໄ 146, 147, 150, 152, 155, 155, 156, 158 ຅າກ຦ູຈ X  x n 166

X  146  147  150  152  155  155  156  158 8 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , A X  1219  152.375 8 B ຃ໃ າມຈັ ຊະງະຊາຌ  152  155  153.5 2 C  ຊາຌຌງມ຺  155 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , A  B  C ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 45. ຂໍມໄ ູຌຆຸຈ຋ີ 1: a  1 , b  2 , c  3 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , c2  32  3  3  9 2b  ab  2  2  12  5  2  10 ຂມໍໄ ູຌຆຸຈ຋ີ 2: a  2 , b  3 , c  5 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , c2  52  5  5  25 2b  ab  2  3  23  8  3  24 ເວໄ x ຽຎັຌຏຌ຺ ຍລກຂຨຄ຃ໃ າ c2 ຋ຸກ຃ໃ າ x  9  25  34 ຾຤ະ y ຽຎັຌຏຌ຺ ຍລກຂຨຄ຃ໃ າ 2b  ab ຋ຸກ຃ໃ າ y  10  24  34 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຃ໃ າຂຨຄ x  y  34  34  68 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 46. ເວຑໄ ະຌກັ ຄາຌງຄມ຅ີ າໍ ຌລຌ m ຃ຌ຺ , ຑະຌກັ ຄາຌຆາງມ຅ີ າໍ ຌລຌ n ຃ຌ຺ ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກ຅ະແຈລໄ ໃ າ X F  35 / F  ຽຑຈງຄ X M  50 / M  ຽຑຈຆາງ XT  40 / T  ຤ລມ ຅າກ຦ູຈ XT  N1 X1  N2 X 2 N1  N2 ຅ະແຈ ໄ 40  m35  n50 mn 40m  40n  35m  50n 5m  10n m  10 n2 m2 n1 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຅າໍ ຌລຌຑະຌກັ ຄາຌຄາຌງຄຉໃ ຅ໍ າໍ ຌລຌຑະຌກັ ຄາຌຆາງ  2 : 1 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 167

47. x  a  b / k ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຃ຄ຺ ຃ໃ າ ... 1 ຅ະແຈລໄ ໃ າ x  k a  b ... 2 a  y2 ... 3 ... 4 ຅ະແຈລໄ ໃ າ a  k1 y2 / k1 ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຃ຄ຺ ຃ໃ າ ... 5 b 1 z ຅ະແຈລໄ ໃ າ b  k2 / k2 ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຃ຄ຺ ຃ໃ າ z ຾຋ຌ຃ໃ າ a  k1 y2 ,b k2 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (1) z x  k  k1 y 2  k2   z x  k k1 y2  kk2 z x  m y2  n ຽມໃ ຨື m  kk1 , n  kk2 z ຾຋ຌ຃ໃ າ x  16 , y  2 , z  1 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (2) 16  m22  n 1 16  4m  n ຾຋ຌ຃ໃ າ x  5 , y  1 , z  2 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (2) 5  m12  n 6  2m m3 2 5  m n 2 10  2m  n ຽຨາ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ 3  4 ຅ະແຈໄ ຾຋ຌ຃ໃ າ m  3 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (4) 10  23  n n4 ຾຋ຌ຃ໃ າ m  3 , n  4 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (2) x  3y2  4 z ຾຋ຌ຃ໃ າ y  3 , x  10 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (5) 10  33  4 z 10  9  4 z 168

4  10  9 z z4 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 48. ເວໄ x ຽຎັຌ຃ໃ າເຆ຅ໄ ໃ າງເຌກາຌຑມ A ຽຎັຌ຃ໃ າ຤ຂະ຦ຈ຋ໃ ຃ີ ຄ຺ ຋ີ B ຽຎັຌ຦ໃ ລຌ຋ໃ ຏີ ຌັ ຎໃ ຼຌຉາມ຅າໍ ຌລຌຽວມົັໄ ຋ໃ ຑີ ມ x ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌຽວມົັໄ ຋ໃ ຑີ ມ y  A  B ຾຤ະ B  x ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , y  A  kx / k ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຃ຄ຺ ຃ໃ າ ຊາໄ ຑມ 3000 ຽວມົັໄ ຅ະແຈກໄ າໍ ແ຤ 20 % ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຂາງແຈຽໄ ຄຌ຋ຄັ ໝຈ຺  3000  60  180000 ຍາຈ ຂາງແຈໄ 120 ຍາຈ ຅ະຽ຦ງ຃ໃ າເຆ຅ໄ ໃ າງເຌກາຌຑມ 100 ຍາຈ ຂາງແຈໄ 180000 ຍາຈ ຅ະຽ຦ງ຃ໃ າເຆ຅ໄ ໃ າງເຌກາຌຑມ 180000  100  150000 ຍາຈ 120 ຊາໄ x  3000 , y  150000 ... 1 ຅ະແຈໄ 150000  A  3000k ຊາໄ ຑມ 4000 ຽວົມັໄ ຅ະແຈກໄ າໍ ແ຤ 25 % ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຂາງແຈຽໄ ຄຌ຋ຄັ ໝຈ຺  4000  60  240000 ຍາຈ ຂາງແຈໄ 125 ຍາຈ ຅ະຽ຦ງ຃ໃ າເຆ຅ໄ ໃ າງເຌກາຌຑມ 100 ຍາຈ ຂາງແຈໄ 240000 ຍາຈ ຅ະຽ຦ງ຃ໃ າເຆ຅ໄ ໃ າງເຌກາຌຑມ 240000  100  192000 ຍາຈ 125 ຊາໄ x  4000 , y  192000 ... 2 ຅ະແຈໄ 192000  A  4000k ຽຨາ຺ 2  1 ຅ະແຈໄ 42000  1000k k  42 ຾຋ຌ຃ໃ າ k  42 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (1) : 150000  A  300042 A  24000 ຦ະຌຌັໄ , ຃ໃ າ຤ຂະ຦ຈຂຨຄຏູຂໄ ຼຌ 24000 ຍາຈ ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 49. ຆາງ຃ຌ຺ ຋ໍາຨຈຽ຤ຨື ກຨຨກ຅າກ຤ຍແຈໄ  5 ລ຋ີ ຆາງ຃ຌ຺ ຋຦ີ ຨຄຽ຤ຨື ກຨຨກ຅າກ຤ຍແຈໄ  5 ລ຋ີ ຆາງ຃ຌ຺ ຋຦ີ າມຽ຤ຨື ກຨຨກ຅າກ຤ຍແຈໄ  5 ລ຋ີ ຅າໍ ຌລຌລ຋຋ີ ໃ ຆີ າງ຋ຄັ 3 ຃ຌ຺ ຅ະຨຨກ຅າກ຤ຍ  5  5  5  125 ລ຋ີ nS  125 169

ຊາໄ ເວຆໄ າງ຋ຄັ 3 ຃ຌ຺ ຨຨກ຅າ຤ຍ຿ຈງຍໃ ຆໍ ໍາໄ ກຌັ ຆາງ຃ຌ຺ ຋າໍ ຨຈຽ຤ຨື ກຨຨກ຅າກ຤ຍແຈໄ  5 ລ຋ີ ຆາງ຃ຌ຺ ຋຦ີ ຨຄຽ຤ຨື ກຨຨກ຅າກ຤ຍແຈໄ  4 ລ຋ີ ຆາງ຃ຌ຺ ຋຦ີ າມຽ຤ຨື ກຨຨກ຅າກ຤ຍແຈໄ  3 ລ຋ີ ຅າໍ ຌລຌລ຋຋ີ ໃ ຆີ າງ຋ຄັ 3 ຃ຌ຺ ຅ະຨຨກ຅າກ຤ຍ຿ຈງຍໃ ໍຆາໍໄ ກຌັ  5  4  3  60 ລ຋ີ nS   125  60  0.48 125 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 50. ເວໝໄ າກຍາຌ຦຾ີ ຈຄ 3 ໜໃ ລງ ຾຋ຌຈລໄ ງ r1 , r2 , r3 ໝາກຍາຌ຦ຽີ ວຨົື ຄ 2 ໜໃ ລງ ຾຋ຌຈລໄ ງ y1 , y2 ຦ໃ ຸມ຅ຍັ ຨຨກມາ 2 ໜໃ ລງ ຿ຈງ຅ຍັ ຽ຋ໃ ຨື ຤ະໜໃ ລງ ຅ຍັ ໜໃ ລງ຋ໍາຨຈແຈ຾ໄ ຤ລໄ ຍໃ ເໍ ຦ໃ ຃ຌື ຅າກ r1 , r2 , r3 , y1 , y2 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ມ຤ີ າໍ ຈຍັ ເຌກາຌ຅ຍັ ຍໃ ໍຆໍາໄ ກຌັ ຏຌ຺ ຨຨກ຋ໃ ແີ ຈ຾ໄ ມໃ ຌ: r1 r2 , r1 r3 , r1 y1 , r1 y2 , r2 r1 , r2 r3 , r2 y1 , r2 y2 , , r3 r1 , , r3 y2 , , r3 y1 , r3 y2 , y1 r1 , y1 r2 , y1 r3 , y1 y2 , y2 r1 , y2 r2 , y2 r3 , , y2 y1 ຅ະແຈໄ nS  20 ຽວຈກາຌ຋ໃ ຅ີ ຍັ ແຈ຦ໄ ຽີ ວຨົື ຄ຋ຄັ 2 ໜໃ ລງ ຾ມໃ ຌ: y1 y2 , y2 y1 ຅ະແຈໄ nE  2 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , PE  nE  21 nS  20 10 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 170

ເອກະສານອາ້ ຄອຄີ 1. ໂ຅ຈພເິ ສຈ ຃ະນຈິ ສາຈ 500 ຂສ້ ອບງາກ ມ 3 ສອບເຂາ້ ມ 4 ສະບບັ ປັບປຸຄໃໝ່ ໂຈງ ຜຆ້ ່ ວງສາສະຈາ຅ານ ວນິ ຈິ ວຄລຈັ ນະ