ຄະນິດສາດ ມ ຕົ້ນ ເຫຼັ້ມ 1

1  1  1  ...  1 2 1  2 3 3 4  2 15  16    1 16  2 1  4  12 9 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 7. ຽຩຈັ ເວ຃ໄ ໃ າຂຨຄ x , y ຾຤ະ z ຽຎັຌຉລ຺ ຎໃ ຼຌຈຼລກຌັ ກາໍ ຌຈ຺ ເວໄ x  y  z ຅ະແຈ ໄ x  k , y  2k , z  3k 123 5x2  8y2  7 z2  5k 2  82k 2  7 3k 2  5k 2  32k 2  63k 2  100 k 2  10 k ຾ຉໃ y  2k ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , 10 k  2k5  5y ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 8. ຊາໄ x  0 :  x  6   x  6  x 6 x 6  6  6 ຽຎັຌ຅ຄິ ຉະວຨົ ຈ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , x  0 ຊາໄ 0  x  6 : x  6   x  6 x 6 x 6 2x  12 x 6 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , 0  x  6 ຊາໄ x  6 : x  6  x  6  6   6 ຽຎັຌ຅ຄິ ຉະວົຨຈ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , x  6 ຽມໃ ຨື ຤ລມ຋ຄັ 3 ກ຤ໍ ະຌ຅ີ ະແຈໄ x ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຅ຄິ ເຈໜໃ ຄຶ ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 9. ຍຈ຺ ຽ຤ກກາໍ ຌຈ຺ ເວໄ a1 2 ...  a ຾຤ະ ab  b  a  1 6 ab ab 46

 ab  b    a  1   6  a   b ab  b a  1   1  a  1   6  a b a  a  1 b  1   6  a b 2  b  1   6 ຾຋ຌ຃ໃ າ a1 2  b a b 13 ...  b ຂຌຶໄ ກາໍ ຤ຄັ 3 ຋ຄັ ຦ຨຄຑາກ b  1 3  33  b b3  3.b2 . 1  3.b . 1  1  27 b b2 b3 b3  3b  3  1  27 b b3  b3  1    3b  3   27  b3   b  b3  1   33  27  b3  b3  1  18 b3 ລ຋ິ ຤ີ ຈັ : ຊາໄ b  1  n ຾຤ລໄ ຅ະແຈລໄ ໃ າ b3  1  n3  3n b b3 ຦ະຌຌັໄ , ຽຩາ຺ ຅ະແຈ:ໄ b3  1  33  33 b3 b3  1  27  9 b3 b3  1  18 b3 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 10. ຍຈ຺ ຽ຤ກກາໍ ຌຈ຺ ເວໄ x y  xy x y ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , a  b  ab ab  ab  c abc ab ຋ໍາຌຨຄຈຼລກຌັ a  b c   ab   ab  c a b  ca  b ab ab  abc  a  b a  b a b  ac  bc 47

 abc a b  ac  bc ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຃    11. ຦າໍ ຎະ຦ຈິ ຂຨຄ x3 ຋ໃ ຽີ ກຈີ ຅າກ 5x3  2x2  7x  8 2x3  4x2  10x  6 ຆຨກວາແຈ ໄ ຅າກກາຌ ຽຨາ຺ 5x3 ຃ຌູ ກຍັ 6, ຽຨາ຺ 2x3 ຃ູຌກຍັ  10 x , ຽຨາ຺  7 x ຃ຌູ ກຍັ  4 x2 ຾຤ະ ຽຨາ຺  8 ຃ູຌກຍັ 2 x3 ຽຽ຤ລໄ ຽຨາ຺ ຏຌ຺ ຃ູຌ຋ໃ ແີ ຈ຋ໄ ຄັ ໝຈ຺ ມາ຤ລມກຌັ ຏຌ຺ ຍລກຂຨຄຏຌ຺ ຃ູຌຂຨຄ຦ໍາຎະ຦ຈິ ຂຨຄ x3  30 x3  20 x3  28 x3  16 x3  22x3 ແຈ:ໄ n  22 ຃ໃ າຂຨຄ 2n  4  2  2n n  222  4  2  222  22 2n  2  4 2 222  2  4 2  226  223  11 226  223  23  223  11 226   223 23  1  11 226  223 26 8  1  11  2 37  11  7  11 8  11 7 8 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 12. ຅າກ 1 x x  1 x x 1 x x2  x x2  x 1 1 x 1 x  1 x x2  x 1 1 x  1 x2  x x x 1   1 x2  x  x2 x  1 x x 0 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 48

13. ເຆລໄ ຋ິ ຾ີ ງກ຦ໃ ລຌ຃ູຌ ຅າກ x2010  3 x2009  4 x2008  12 x2007  0  x2007 x3  3 x2  4 x 12  0  x2007 x2x  3  4x  3  0   x2007 x  3 x2  4  0 ຅ະແຈ:ໄ x2007  0 x0 ຅ະແຈ:ໄ x  3  0 x3 ຅ະແຈ:ໄ x2  4  0 x  2 ຦ະຌຌັໄ , ຏຌ຺ ຍລກ຃າໍ ຉຨຍຂຨຄ຦ມ຺ ຏຌ຺ ຾ມໃ ຌ 0  3  2   2  3 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ກ a3  b3 111 14. ຅າກ b3 a3  a2 ab b2  a  b  a  b  1 11  b a  b a  ba  a  b  a2  1  b2  b2  ab  a2 b a b2 a2 a2b2   ab  a  b  a  b  1  b a  b a ab  a  b  a2  1  b2  b2  ab  a2 b a b2 a2 a2b2   ab  a  b  a  b  1  b a  b a ab  a4  a2 b2  b4  a2 b2    a2  b2  a b   a2  ab  b2  ab ab a2 b2 a b       a4  a2 b2  b4  ab  a2  ab  b2 a2 b2 a2  ab  b2 a b a  b       a4  a2 b2  b4  a2 b2  a2 b2  a b a  b ab a2  ab  b2 a2  ab  b2       a4  2 a2 b2  b4  a b2  a b a  b ab a2  ab  b2 a2  ab  b2    a2  b2 2  a b2  a b a  b    ab a2  ab  b2 a2  ab  b2    a2  a b  b2 a2  a b  b2  a b a  b    ab a2  ab  b2 a2  ab  b2 49

 ab ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 15. ຽຌໃ ຨື ຄ຅າກ x  2 , x  3 ຾຤ະ x  4 ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຋ໃ ຤ີ ຼຄກຌັ ຅ໃ ຄິ ຃ລຌເຆຉໄ ລ຺ ຎໃ ຼຌ຾຋ຌ ຅ະ຦ະ ຈລກກລໃ າ ກາໍ ຌຈ຺ ເວໄ A  x  3 ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກ຅ະແຈ຦ໄ ມ຺ ຏຌ຺ ຈໃ ຄັ ຌີໄ A 12  A3  A  14  2 A2  2 A  1  A3  A4  4 A3  6 A2  4A  1 2 A4  5A3  7 A2  2A  0  A A3  5A2  7 A  2  0 ແຈໄ A  0 x3  0 x  3 ... 1 ຅ະແຈ ໄ a   3 ແຈ ໄ A3  5A2  7 A  2  0 A3  2A2  3 A2  6 A  A  2  0 A2A  2  3 AA  2 A  2  0 A  2A2  3 A  1  0 ຑ຅ິ າ຤ະຌາ A  2A2  3 A  1  0  x  5 x  32  3x  3  1  0  x  5 x2  6 x  9  3 x  9  1  0 x  5x2  9 x  19  0 ຅ະແຈ ໄ x  5  0 x  5 ແຈໄ b  5 ... 2 ຅ະແຈ ໄ x2  9 x  19  0 ກາໍ ຌຈ຺ c ຾຤ະ d ຽຎັຌ຃ໍາຉຨຍຂຨຄ຦ມ຺ ຏຌ຺ x2  9 x  19  0 ຅ະແຈໄ c  d   9 ຾຤ະ c d  19 ຽຌໃ ຨື ຄ຅າກ c2  d 2  c  d 2  2c d   92  219  81  38  43 ... 3 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , a2  b2  c2  d 2  32  52  43  77 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 16. ຽຽກ຤ໄ ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ ຋າໍ ມະຈາ 50

຅າກ 1  1  1  ...  1  A ... 1 23 50 ຾຤ະ 1  1  1  ...  1  B ... 2 51 52 53 100 ຽຨາ຺ 1  2 ຅ະແຈໄ 1  1  1  ...  1  A  B 23 100 1  1  1  ...  1    1  1  1  ...  1   A  B  35 99   2 4 6 100  1  1  1  ...  1   1 1  1  1  ...  1   A  B  35 99  2  2 3 50  1  1  1  ...  1   1 A  A  B  35 99  2 1  1  1  ...  1  A  B  A 35 99 2 1  1  1  ...  1  A  B 35 99 2 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 17. ຅າກ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ ຋ໃ ເີ ວມໄ າຽຩາ຺ ຾຋ຌ຃ໃ າ ຅ະແຈໄ  x  1   y  1   2549  1225  z  x x y  1  1  y  1   1225 z x x y z  z  49  1225z z  49  1 1224 z  50 1224 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , x  25  1 z x  25  1224  26 50 50 ຅ໃ ຄິ ແຈ ໄ y  1  50  1224  1224 xz 26 50 26 ຦ະ຾ຈຄລໃ າ z  1  50  26  76  19 y 1224 1224 1224 306 ຽຆໃ ຄິ ຨຸຎະ຃ູຌຩໃ ລມເວງໃ ຦ຸຈຂຨຄ 19 ຾຤ະ 306 ຾ມໃ ຌ 1 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , m  19 , n  306 m  n  19  306  325 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 18. ຅າກ x2  4  x2  x2  4  4  x2  4    4  x2  4  x2  4 51

 2   4 x2  4  x2  4    1 2  1    2 4 x2   2   4 4 4 x2   x2  4  x2   4  x2  1 2  17 ຽຂາ຺ໄ ກຍັ ຩູຍ຾ຍຍ y  ax  h2  c  2 4 ຾ຉໃ  2  x  2 ຅ະແຈ:ໄ 0  x2  4 ຊາໄ x2  0 ຅ະຽຩຈັ ເວໄ x2  4  x2 ມ຃ີ ໃ າໜຨໄ ງ຦ຸຈ ຅ະແຈ:ໄ x2  4  x2   4  0  1 2  17  2 4   9  17 44  8 ຽຎັຌ຃ໃ າໜຨໄ ງ຦ຸຈ ...  4 ຦ະ຾ຈຄລໃ າ x2  4  x2 ມ຃ີ ໃ າໜຨໄ ງເວງໃ ຦ຸຈຽມໃ ຨື  4 x2  1 2 ມ຃ີ ໃ າຽຎັຌ 0  2  ຌຌັໄ ຾ມໃ ຌ x2  4  x2 ຅ະມ຃ີ ໃ າເວງໃ ຦ຸຈ 17 ...  4 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຏຌ຺ ຤ຍ຺ ຤ະວລໃ າຄ຃ໃ າເວງໃ ຦ຸຈກຍັ ຃ໃ າໜຨໄ ງ຦ຸຈ຾ມໃ ຌ: x2  4  x2  17  8  9 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 444 19. ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກຉຨໄ ຄຆຨກວາ rx ລໃ າມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ຾຤ະ ຽຨາ຺ ແຎວາຌ px ຾຤ະ qx ຂາຈ ວົື ຍໃ ໍ ຊາໄ ຂາຈ rx ກ຅ໍ ະຽຎັຌ຦ໃ ລຌ຃ຌູ ຂຨຄ px ວົື qx  ກ຤ໍ ະຌີ 1: ຅າກ 4x4  36x2  17  2x2  9 2  64  2x2  9  82x2  9  8  2x2  172x2  1  2 x  17 2 x  17 2 x  1 2 x  1 ຾ຉໃ rx ຾຋ຌກາໍ ຤ຄັ ຦ຨຄຂຨຄຏຌ຺ ຍລກຂຨຄຑະວຸຑຈ຺ ໜໃ ຄຶ ຋ໃ ຽີ ຎັຌ຦ໃ ລຌ຃ຌູ ຂຨຄ 4x4  36x2  17  rx   2 2 x  17  2 x  17  2 x  1  2 x 1   4 2 x 2  32 x2 ... 1 ກ຤ໍ ະຌີ 2: ຅າກ 4x4  36x2  17  4 x4  9 x2  17   4  4  x2  17  x2  1  2  2  4 x  17  x  17  x  1  x  1  2 2 2  2 52

rx   x  17  x  17  x  1 x 1 2 2 2 2 2  4 x2  16 x2 ... 2 ຽມໃ ຨື ຽຨາ຺ rx ຋ຄັ (1) ຾຤ະ (2) ແຎວາຌ px ຾຤ະ qx ຅ະຽວຌັ ລໃ າວາຌຂາຈ຋ຄັ ໝຈ຺ (຦າມາຈ຋ຈ຺ ຤ຨຄ ວາຌຉລ຺ ຅ຄິ ກແໍ ຈ)ໄ ຌຌັໄ ຾ມໃ ຌ rx ຽຎັຌ຦ໃ ລຌ຃ຌູ ໜໃ ຄຶ ຂຨຄ຋ຄັ px ຾຤ະ qx ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 20. ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກກາໍ ຌຈ຺ ເວໄ 0  x  1 ຊາໄ ເວໄ y  2x  1  x ຅ະຉຨໄ ຄຽຩຈັ y  2x  1  x ຽຎັຌ຦ມ຺ ຏຌ຺ ຎາ຤າ຿ຍຌ ຿ຈງເວໄ u  1  x u2  1  x x  1  u2  ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , y  2 1  u2  u y  2  2u2  u y   2u2  u  2 ຅ະແຈ຃ໄ ໃ າເວງໃ ຦ຸຈຂຨຄ y ມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 4 22  12   16  1  17 4 2 8 8 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຃ໃ າເວງໃ ຦ຸຈຂຨຄ 2x  1 x ມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 17 8 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 21. ຾ກ຤ໄ ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ ຋ໍາມະຈາ ... 1 ກາໍ ຌຈ຺ ເວ ໄ x2  y2  17 ຾຤ະ x  y  5 ... 2 y 5 x ຽຨາ຺ ຃ໃ າຂຨຄ y ເຌ (2) ຾຋ຌເ຦ໃ (1) ຅ະແຈ:ໄ x2  5  x2  17 x2  25  10x  x2  17 x2  5x  4  0 x  1x  4  0 x 1, x 4 ຊາໄ x  1 ຾຤ລໄ ຅ະແຈໄ y  4 ຊາໄ x  4 ຾຤ລໄ ຅ະແຈໄ y  1 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , a  b  c  d  1  4  4  1  10 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 22. ກາໍ ຌຈ຺ x2  2x  k  3  0 ຩູລໄ ໃ າ a  1 , b   2 , c  k  3 53

ຩາກຂຨຄ຦ມ຺ ຏຌ຺ ຅ະກາງຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຅ຄິ ຽມໃ ຨື b2  4 a c  0  22  41k  3  0 4 4k  12  0 4 k  16 k 4 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຃ໃ າເວງໃ ຦ຸຈຂຨຄ k  4 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 23. ຉລ຺ ຉຄັໄ ວາຌ  ( ຉລ຺ ວາຌ  ຏຌ຺ ວາຌ )  ຉລ຺ ຽ຦ຈ ຉລ຺ ຉຄັໄ ວາຌ  2x4  7x3  ax2  7x  b ຉລ຺ ວາຌ  x  1 ຏຌ຺ ວາຌ  2x3  9x2  7x  b ຽ຦ຈ  0 (ວາຌຂາຈ)  2x4  7x3  ax2  7x  b  x  1 2x3  9x2  7x  b  0  2x4  9x3  7 x2  bx  2x3  9x2  7x  b  2x4  7x3  2 x2  b  7x  b ຽມໃ ຨື ຎຼຍ຋ຼຍ຦າໍ ຎະ຦ຈິ ຤ະວລໃ າຄ ax2 ກຍັ  2 x2 ຾຤ະ 7 x ກຍັ b  7x ຅ະແຈ:ໄ a   2 ...  b7 7 b0 ...  ຦ະຌຌັໄ , a  b   2  0   2 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 24. ຎ຺ກກະຉິ 100 ຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ ຽຎັຌ 120 ຎ຺ກກະຉິ r ຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ ຽຎັຌ 120  r  6r ...  100 5 ຎ຺ກກະຉິ 100 ຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ ຽຎັຌ 120 ຎ຺ກກະຉິ 2 r ຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ ຽຎັຌ 120  2 r  12 r ...  100 5 ຽຌຨືໄ ຋ຑີ າກ຦ໃ ລຌ຋ໃ ຋ີ າ຦຾ີ ມໃ ຌ ຽຌຨືໄ ຋ລີ ຄ຺ ມຌ຺ ເວງໃ ຤ຍ຺ ຽຌຨືໄ ຋ລີ ຄ຺ ມຌ຺ ຌຨໄ ງ   2 r2   r2  4 r2   r2  3 r2 ຽມໃ ຨື ຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ ຾຤ລໄ ຽຌຨືໄ ຋ຑີ າກ຦ໃ ລຌ຋ໃ ຋ີ າ຦຅ີ ະຽຎັຌ   12 r 2    6 r 2  5  5  54

 144  r2  36  r2 25 25  108  r 25 ຎ຺ກກະຉຽິ ຌຨືໄ ຋ຑີ າກ຦ໃ ລຌ຋ໃ ຋ີ າ຦຾ີ ມໃ ຌ 3 r2 ຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ 108 r2  3 r2  33 r2 25 25 33 r 2  100 ຎ຺ກກະຉຽິ ຌຨືໄ ຋ຑີ າກ຦ໃ ລຌ຋ໃ ຋ີ າ຦຾ີ ມໃ ຌ 100 ຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ 25 3 r2  44 % ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 25. ເວໄ BC  a, XY a , PQ  a 2 4 ຽຌຨືໄ ຋ຂີ ຨຄຩູຍ຃າຄໝູ PQYX  1   a  a   1 h 2 2 4 4  1  3a  1 h 244  3ah 32 ຽຌຨືໄ ຋ຂີ ຨຄຩູຍ຦າມ຾຅ ABC  1ah 2 ຽຌຨືໄ ຋ຂີ ຨຄຩູຍ຦ໃ ຾ີ ຅ PQYX : ຽຌຨືໄ ຋ຂີ ຨຄຩູຍ຦າມ຾຅ ABC  3a h : 1  a  h  3a h  2  3 : 16 32 2 32 a h ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 26. ຅າກຩູຍ຅ະແຈ ໄ ACˆF  30 ຾຤ະ AHˆF  60 , ເຌຩູຍ຦າມ຾຅ ADB ມມີ ຸມ Bˆ ຽຎັຌມຸມ຦າກ DB  AB cot 60  18  1 3  6 3 cm ຾ຉໃ DB  CF  6 3 cm 55

ເຌຩູຍ຦າມ຾຅ ACF AF  CF cot 30  6 3  1  6 cm 3 BF  18  6  12 cm HI  12 cm ເຌຩູຍ຦າມ຾຅ AHF HF  AF cot 60  6  1  2 3 cm 3 ຽຌຨືໄ ຋ຩີ ູຍ຦ໃ ຾ີ ຅ AHIB  1  HF  HI  AB 2 AHIB  1  2 3  12  8 2  3  30  30 3 cm2 ຅າກຩູຍຽຌຨືໄ ຋ຑີ າກ຦ໃ ລຌ຋ໃ ຋ີ າ຦ີ  30 3 cm2 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 27. ຂຈີ OB 1). 1ˆ  2ˆ  90 ( ຤ຈັ ຦ະໝ຅ີ ະຉຄັໄ ຦າກກຍັ ຽ຦ຌັໄ ຉຈິ ) 2). 1ˆ  2ˆ  180 ( ຅າກຂໍໄ 1 ) 3). ຩູຍ຦ໃ ຾ີ ຅ AOBT ມລີ ຄ຺ ມຌ຺ ຨຨໄ ມຩຨຍ ( ຩູຍ຦ໃ ຾ີ ຅຾ຌຍເຌລຄ຺ ມຌ຺ ມຸມກຄ຺ ກຌັ ຂາໄ ຄຍລກກຌັ ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 180 ) 4). 3ˆ  72 ( ເຌຩູຍ຦ໃ ຾ີ ຅ເຈໜໃ ຄຶ ຊາໄ ຉໃ ໍຂາໄ ຄເຈຂາໄ ຄໜໃ ຄຶ ຂຨຄຩູຍ຦ໃ ຾ີ ຅ຨຨກແຎ ມຸມຑາງຌຨກ຋ໃ ຽີ ກຈີ ຂຌຶໄ ຅ະຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ມຸມຑາງເຌ຦ໃ ລຌ຿຃ຄໄ ຋ໃ ຢີ ໃ ູກຄ຺ ກຌັ ຂາໄ ມ ) 5). 4ˆ  1 ຂຨຄມຸມ 3ˆ ( ມຸມ຋ໃ ຩີ ລໃ ມ຋ໃ ຨຌກຄ຺ ກຍັ ມຸມເ຅ກາຄ຅ະຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຽ຃ໃ ຄິ ໜໃ ຄຶ ຂຨຄມຸມເ຅ກາຄ ) 2 4ˆ  1  72  36 2 CBˆD  36 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 28. 56

຦າໄ ຄ CG ຾຤ະ HD ເວຉໄ ຈັ ຋ໃ ຽີ ມຈັ P 1). AEˆD  EDˆ B  DBˆE 160  80  DBˆE DBˆE  80 2). PA  PB 3). PAˆB  PBˆA  80 4). DEˆA  AEˆC  180 160  AEˆC  180 AEˆC  20 PAˆE  AEˆC  ACˆE 80  20  ACˆE ACˆE  60 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 29. ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກ DF // BE ຾຤ະ DE // BC ຾ຎ຃ລາມໝາງແຈໄ ຩູຍ຦າມ຾຅຃າໄ ງ຃ກື ຌັ 2 ຆຸຈ ຅ໃ ຄິ ເຆຑໄ ຼຄ຾ຉໃ ຤ກັ ຦ະຌະຂຨຄຩູຍ຦າມ຾຅຃າໄ ງ຃ກື ຌັ ມາຆໃ ລງ ຅າກຩູຍ຦າມ຾຅ ABC ເວໄ AD : DB  3x : x AE : EC  3y : y ຃ກື ຌັ ຾຤ະ AF : FE  3z : z ຅າກຩູຍ຅ະຽວຌັ ລໃ າ 3z  z  3y 4z  3y z  3y 4 AF : FC  3z zy 3 3y  9 y  4  4 3y  y 7y 44  9y  4  9 4 7y 7 AF : FC  9 : 7 57

຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 30. ຽຌໃ ຨື ຄ຅າກ BC  CA , BCˆD  CAˆE  60 ຾຤ະ CD  AE ຅ະແຈລໄ ໃ າ BCD  CAE ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , BDˆ C  CEˆA ຑ຅ິ າ຤ະຌາ CXD ຾຤ະ CAE CDˆX  CEˆA ຾຤ະ XCˆD  ACˆE ຅ະແຈລໄ ໃ າ CXˆD  CAˆE  60 ຾ຉໃ CXˆD  CXˆB  180 BXˆC  120 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 31. ຦າໄ ຄຽຑໃ ມີ ຽຉມີ ຿ຈງຂຈີ ຽ຦ຌັໄ EC ຾຤ະ PD ຽຑໃ ຨື ເວຽໄ ຂາ຺ໄ ກຍັ ຦ູຈຽ຤ຂາ ຅າກຩູຍ຋ໃແີ ຈ ໄ ADˆ C  20  40  60 AEˆC  180  60  120 ຾ຉໃ AEˆC  ECˆB  EBˆC ຽຌໃ ຨື ຄ຅າກ ECˆB  90 ( ມຸມເຌຽ຃ໃ ຄິ ລຄ຺ ມຌ຺ ) 120  90  EBˆC EBˆC  120  90  30 ຌຌັໄ ຾ມໃ ຌ: OBˆC  30 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 32. ຅າກຩູຍ຋ໃ ລ຺ ແຎຂຨຄຽ຦ຌັໄ ຆໃ ື ຾ມໃ ຌ Ax  By  C  0 ຽມໃ ຨື ຎັຍເວຢໄ ໃ ູເຌຩູຍມາຈຉະຊາຌຂຨຄຽ຦ຌັໄ ຆໃ ຅ື ະແຈ຦ໄ ມ຺ ຏຌ຺ y   Ax C ວົື y  ax b BB ຽມໃ ຨື a   A ຾຤ະ b C B B 58

຅າກຩູຍມາຈຉະຊາຌ y  a x  b ຃ໃ າຂຨຄ a ຅ະຽຎັຌ຃ໃ າ຃ລາມຆຌັ (຤ະຈຍັ ຃ລາມຽຌຄີໄ ) ຽຎັຌຉລ຺ ກາໍ ຌຈ຺ ລໃ າຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄ຅ະຽຌຄີໄ ແຎ຋າຄຆາໄ ງ ວົື ຂລາ ຊາໄ a  0 ຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄ຅ະຽຌຄີໄ ແຎ຋າຄຂລາ(ຏໃ າຌ຦ໃ ລຌ຦ໃ ຋ີ ີ 1 ຾຤ະ 3) ຎະກຨຍກຍັ ຾ກຌ x ຽຎັຌມຸມ຾ວມົ ຊາໄ a  0 ຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄ຅ະຽຌຄີໄ ແຎ຋າຄຆາໄ ງ(ຏໃ າຌ຦ໃ ລຌ຦ໃ ຋ີ ີ 2 ຾຤ະ 4) ຎະກຨຍກຍັ ຾ກຌ x ຽຎັຌມຸມວລາ ຃ໃ າຂຨຄ b ຅ະຽຎັຌຉລ຺ ກາໍ ຌຈ຺ ຅ຈຸ ຉຈັ ຢໃ ູ຾ກຌ y ຊາໄ b  0 ຅ຈຸ ຋ໃ ຽີ ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄ຅ະຉຈັ ຾ກຌ y ຅ະຢໃ ູຽ຋ຄິ ຾ກຌ x ຊາໄ b  0 ຅ຈຸ ຋ໃ ຽີ ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄ຅ະຉຈັ ຾ກຌ y ຅ະຢໃ ູ຤ໃ ຸມ຾ກຌ x ຅າກຂໍມໄ ູມ຋ໃ ຍີ ຈ຺ ຽ຤ກກາໍ ຌຈ຺ ເວ຾ໄ ມໃ ຌ ax  by  c  0 by  ax  c y  ax c bb ວົື y  Ax  B ຽມໃ ຨື A  a ຾຤ະ B   c b b A  0 ຽຑາະ a  0 ຾຤ະ b  0 B  0 ຽຑາະ c  0 ຾຤ະ b  0 A  0 ຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄ຅ະຽຌຄີໄ ແຎ຋າຄຂລາ ຎະກຨຍກຍັ ຾ກຌ x ຽຎັຌມຸມ຾ວົມ B  0 ຅ຈຸ ຋ໃ ຽີ ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄ຅ະຉຈັ ຾ກຌ y ຅ະຢໃ ູ຤ໃ ຸມ຾ກຌ x ຦ະຌຌັໄ , ຩູຍ຋ໃ ຽີ ໝາະ຦ມ຺ ກຍັ ຃ຸຌ຤ກັ ຦ະຌະຈໃ ຄັ ກໃ າລ ຾ມໃ ຌຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄຂໍໄ ຄ ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 33. ຽ຦ຌັໄ ຆໃ ື L ມ຦ີ ມ຺ ຏຌ຺ ຽຎັຌ ax  by  c  0 ຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄຏໃ າຌຽມຈັ A , B ຋ໃ ມີ ຃ີ ໃ ຨູ ຌັ ຈຍັ ຽຎັຌ 2 , 0 , 4 , 6 ຉາມ຤ໍາຈຍັ ກາຌຆຨກວາ຃ລາມຆຌັ ຽມໃ ຨື ຩູຽໄ ມຈັ ຋ໃ ຽີ ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄຏໃ າຌ 2 ຽມຈັ ຆຨກວາແຈ຿ໄ ຈງເຆ຦ໄ ູຈ຤ໃ ຸມຌີໄ ຃ລາມຆຌັ m  y2  y1 ... 1 x2  x2 ເວໄ x1  2 , y1  0 , x2  4 , y2  6 ຾຋ຌ຃ໃ າເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (1) ຅ະແຈ:ໄ m  6 0  6  3 42 2 m 3 ... 2 ຽມຈັ ຋ໃ ຽີ ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄ y  m x  c ຏໃ າຌ຾ມໃ ຌ 2 , 0 ຅ະແຈໄ x  2 , y  0 , m  3 59

຾຋ຌ຃ໃ າ x  2 , y  0 , m  3 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (2) ຅ະແຈ:ໄ 0  32  c c  6 ຾຋ຌ຃ໃ າ m  3 , c   6 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (2) ຅ະແຈ:ໄ y  3x  6 3x  y  6  0 ຽ຦ຌັໄ ຆໃ ື L ຋ໃ ມີ ຦ີ ມ຺ ຏຌ຺ ຽ຦ຌັໄ ຆໃ ຽື ຎັຌ 3x  y  6  0 ຅ະແຈ:ໄ a  3 , b   1 , c   6 ... 1 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 34. ຅າກ y  a x2  b x  16 ຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄຎາຣາ຿ຍຌຌຉີໄ ຈັ ຾ກຌ ຋ໃ ຽີ ມຈັ 4 , 0 ຾຤ະ  2 , 0 ຾຋ຌ຃ໃ າ x  4 , y  0 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (1) ຅ະແຈ:ໄ 0  a 42  b4 16 16a  4b  16  0 ... 2 16a  4b  16 ຾຋ຌ຃ໃ າ x   2 , y  0 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (1) ຅ະແຈ:ໄ 0  a  22  b 2 16 4a  2b  16  0 ... 3 ... 4 4 a  2b  16 ຽຨາ຺ 3  2 ຅ະແຈ:ໄ 8a  4b  32 ຽຨາ຺ 2  4 ຅ະແຈ:ໄ 24a  48 a  48 24 a 2 ຽຨາ຺ a  2 ຾຋ຌເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ 3 ຅ະແຈ:ໄ 42  2b  16 8  2b  16 b  4 ... 5 ... 6 ຽຨາ຺ a  2 , b   4 ຾຋ຌເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ 1 ຅ະແຈ:ໄ y  2 x2  4 x  16 ຍຈ຺ ຽ຤ກກາໍ ຌຈ຺ ເວໄ y  2 x  8 ຽຨາ຺ 5  6 ຅ະແຈ:ໄ 2 x2  4 x  16  2 x  8 2 x2  4 x  16  2 x  8  0 2 x2  6 x 8  0 ວາຌເວໄ 2 ຋ຄັ ຦ຨຄຑາກ x2  3 x  4  0 x  1x  4  0 60

຅ະແຈໄ x   1 , x  4 ຾຋ຌ຃ໃ າ x   1 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (6) ຅ະແຈໄ y  2 1  8 y   10 ຾຋ຌ຃ໃ າ x  4 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (6) ຅ະແຈໄ y  24  8 y 0 ຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄຎາຣາ຿ຍຌກຍັ ຽ຦ຌັໄ ຆໃ ຅ື ະຉຈັ ກຌັ ຢໃ ູຽມຈັ 1 ,  10 ຾຤ະ 4 , 0 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 35. ລ຋ິ ຤ີ ຈັ : ກ : ຂ  1 : 3 ຂ:຃  2 : 3 ກ:ຂ:຃  2: 6 : 9 ຤ລມ຦ໃ ລຌ  2  6  9  17 ຦ໃ ລຌ 17 ຦ໃ ລຌ ຃ຈິ ຽຎັຌຽຄຌິ 3400 ຍາຈ 1 ຦ໃ ລຌ ຃ຈິ ຽຎັຌຽຄຌິ 3400  200 ຍາຈ 17 ກ ແຈຩໄ ຍັ 2 ຦ໃ ລຌ ຃ຈິ ຽຎັຌຽຄຌິ 400 ຍາຈ ຂ ແຈຩໄ ຍັ 6 ຦ໃ ລຌ ຃ຈິ ຽຎັຌຽຄຌິ 1200 ຍາຈ ຃ ແຈຩໄ ຍັ 9 ຦ໃ ລຌ ຃ຈິ ຽຎັຌຽຄຌິ 1800 ຍາຈ ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 36. ເວຏໄ າໄ ຋ໃ ຑີ ໃ ໍ຃າໄ ຉຈັ ງາລແຎມີ x ຏຌື ຾຤ະ ເວຏໄ າໄ ຋ໃ ຉີ ຈັ ຏຌື ຤ະຽ຋ໃ າ຺ ໂກຌັ 50 ຏຌື ງາລຏຌື ຤ະ y ຾ມຈັ ຦ະ຾ຈຄລໃ າຏາໄ ຋ຄັ ໝຈ຺ ມ຃ີ ລາມງາລ 50 y ຾ມຈັ ຍາຄຏຌື ງາລແຎ 2 y ຾ມຈັ ຃ື ງາລຏຌື ຤ະ y  2 ຾ມຈັ ມີ x ຏຌື ຾຤ະ ຍາຄຏຌື ຦ຌັໄ ແຎ 1 ຾ມຈັ ຃ື ງາລຏຌື ຤ະ y  1 ຾ມຈັ ມີ 50  x ຏຌື 2 2 ຂຼຌຽຎັຌ຦ມ຺ ຏຌ຺ ແຈຈໄ ໃ ຄັ ຌີໄ xy  2   y  1 50  x  10  50 y  2 xy  2 x  50 y  25  xy  x  10  50 y 2 2 x  x  15  0 2 2 x  x  15 2 ຃ຌູ 2 ເ຦ໃ ຅ະແຈໄ 4 x  x  30 61

5 x  30 ແຈໄ x  6 ຏາໄ ຋ໃ ຉີ ຈັ ງາລແຎມີ 6 ຏຌື ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 37. ຦ມ຺ ມຸຈລໃ າ ຽ຃ໃ ຨື ຄ຦ູຍຌາໍໄ ຽ຃ໃ ຨື ຄຌຨໄ ງຍໃ ຨຌຌາໍໄ ຽຂາ຺ໄ ຽຉມັ ຊຄັ ເຌຽລ຤າ x ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຽລ຤າ 1 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ ຽ຃ໃ ຨື ຄ຦ູຍຌາໍໄ ຽ຃ໃ ຨື ຄຌຨໄ ງ຅ໃ າງຌາໍໄ ແຈໄ 1 ຂຨຄຊຄັ x ຽ຃ໃ ຨື ຄ຦ູຍຌາໍໄ ຽ຃ໃ ຨື ຄເວງໃ ຍໃ ຨຌຌາໍໄ ຽຂາ຺ໄ ຽຉມັ ຊຄັ ເຌຽລ຤າ x  10 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຽລ຤າ 1 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ ຽ຃ໃ ຨື ຄ຦ູຍຌາໍໄ ຽ຃ໃ ຨື ຄເວງໃ ຅ໃ າງຌາໍໄ ແຈໄ x 1 ຂຨຄຊຄັ  10 ຊາໄ ຽຎີຈຽ຃ໃ ຨື ຄ຦ູຍຌາໍໄ ຋ຄັ ຦ຨຄຑຨໄ ມກຌັ ເຌຽລ຤າ 1 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ ຅ະ຅ໃ າງຌາໍໄ ແຈໄ 1  x 1 ຂຨຄຊຄັ x  10 ຾ຉໃ ຍຈ຺ ຽ຤ກກາໍ ຌຈ຺ ຽຎີຈຌາໍໄ ຽຉມັ ຊຄັ ເຌຽລ຤າ 93 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ 8 1 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ ຋ຄັ ຦ຨຄຽ຃ໃ ຨື ຄ຅ໃ າງຌາໍໄ ແຈໄ 1  8 ຂຨຄຊຄັ 93 75 8 1 1  8 x x  10 75 x  10  x 8 75 xx  10 150 x  750  8x2  80 x 8x2  230 x  750  0 4x2  115 x  375  0 4x  15x  25  0 x  15 , x  25 4 ຾ຉໃ 15 ເຆຍໄ ໃແໍ ຈໄ ຽຑາະ຅ະຽຩຈັ ເວຽໄ ຃ໃ ຨື ຄ຦ູຍຌາໍໄ ເວງໃ ຅ໃ າງຌາໍໄ ຽຉມັ ຊຄັ ເຌຽລ຤າ 4 15  10   25 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ 4 4 ຽ຃ໃ ຨື ຄ຦ູຍຌາໍໄ ຽ຃ໃ ຨື ຄຌຨໄ ງ຅ໃ າງຌາໍໄ ຽຉມັ ຊຄັ ເຌຽລ຤າ 25 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຃  38. ຌກັ ຩຼຌຉຨໄ ຄຩູລໄ ໃ າ tan 90  A  cot A  ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , cos ec2 A  tan2 90  A  cos ec2 A  cot 2 A sec A sec A 1 A  1 A sin 2 tan2  1 cos A 62

 sin2 A  tan2 A  cos A ... 1 sin2 A . tan2 A cos A  2 ແຈ຅ໄ າກຩູຍ຦າມ຾຅຦າກ(ຉາມກາຌຑລ຺ ຑຌັ ແຉມຸມມຉິ )ິ 3 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , sin A  5 ຾຤ະ tan A  5 3 2  ຾຋ຌ຃ໃ າເ຦ໃ (1) ຅ະແຈໄ cos ec2 A  tan2 90  A  55  2 sec A 94 3 5.5 94  65  2 25 3  26 15 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 39. ເວໄ AB  ຃ລາມກລາໄ ຄຂຨຄຎະຉູ  4 m BC  ຃ລາມກລາໄ ຄຂຨຄວຍີ ຋ໃ ຏີ ໃ າຌຽຂາ຺ໄ ຎະຉູຌແີໄ ຈຑໄ ຈໍ ີ ຾ຉໃ sin 60  BC 4 BC  4sin 60  4  3  3.464 m 2 ຾ຉໃ BC ຎະມາຌ 3.4 m (ຍໃ ໍ຾ມໃ ຌ຃ໃ າ 3.5 ຽຑາະ຅ະຽຂາ຺ໄ ຎະຉູຍໃແໍ ຈ)ໄ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ວຍີ ຂະໜາຈເວງໃ ຋ໃ ຦ີ ຸຈ຋ໃ ຏີ ໃ າຌຎະຉູຌແີໄ ຈຑໄ ຈໍ ມີ ຃ີ ລາມກລາໄ ຄຎະມາຌ 3.4 m ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 40. ເວໄ N ຾຋ຌ຅າໍ ຌລຌຌກັ ຩຼຌວຨໄ ຄຌີໄ ຿ຈງຍໃ ໍ຤ລມກຍັ ຌກັ ຩຼຌ 2 ຃ຌ຺ ຋ໃ ງີ ຄັ ຍໃແໍ ຈກໄ ລຈຂ຦ໍໄ ຨຍ X  53 ຅ະແຈ຃ໄ ະ຾ຌຌ຤ລມ຋ຄັ ວຨໄ ຄ  N X  N 53 ຾ຉໃ ງຄັ ຍໃ ແໍ ຈກໄ ລຈຂ຦ໍໄ ຨຍຂຨຄຌກັ ຩຼຌຨກີ 2 ຃ຌ຺ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຏຌ຺ ຤ລມຂຨຄ຃ະ຾ຌຌເໝໃ N  2X   N 53  180 N  255  53 N  180 55 N  110  53 N  180 2 N  70 N  35 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຌກັ ຩຼຌເຌວຨໄ ຄຌມີໄ ີ 35  2  37 ຃ຌ຺ 63

຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 41. ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ກ຃ະຌຈິ ຤ະວລໃ າຄ a ຾຤ະ b  x x  ab ... 1 2 ... 2 ... 3 a b  2x ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ກ຃ະຌຈິ ຤ະວລໃ າຄ b ຾຤ະ c  y y  bc 2 b c  2y ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ກ຃ະຌຈິ ຤ະວລໃ າຄ a ຾຤ະ c  z z  ac 2 a c  2z ຽຨາ຺ 1  2  3຅ະແຈ:ໄ 2a  2b  2c  2x  2y  2 z ວາຌ 2 ຋ຄັ ຦ຨຄຑາກ abc  x y z ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ກ຃ະຌຈິ ຤ະວລໃ າຄ a , b , c  1 x  y  z 3 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 42. ຅າກ຦ໃ ຄິ ຋ໃ ກີ າໍ ຌຈ຺ ເວໄ ຦າໄ ຄຉາຉະ຤າຄ຾຅ກງາງ຃ລາມຊໃ ແີ ຈຈໄ ໃ ຄັ ຌຌັໄ : ຃ລາມກລາໄ ຄ ຃ລາມຊໃ ີ ຅ຈຸ ຽ຃ໃ ຄິ ກາຄຆຌັໄ 4 10 12 23 8 6 ຽຌໃ ຨື ຄ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກກາໍ ຌຈ຺ ຃ລາມກລາໄ ຄຂຨຄຂຨຄ຾ຉໃ ຤ະຆຌັໄ ຽຎັຌ 5 ຦າມາຈຆຨກວາ຅ຈຸ ຽ຃ໃ ຄິ ກາຄຆຌັໄ ຂຨຄ຾ຉໃ ຤ະຆຌັໄ ແຈໄ ຿ຈງງຈື 23 ຽຎັຌວົກັ , ຆຌັໄ ຋ໃ ຢີ ໃ ູຽ຋ຄິ 23 ຂຌຶໄ ແຎເວວໄ ຸົຈຽ຋ໃ ຨື ຤ະ 5, ຦ໃ ລຌຆຌັໄ ຋ໃ ຢີ ໃ ູ຤ໃ ຸມ 23 ເວຽໄ ຑໃ ມີ ຽ຋ໃ ຨື ຤ະ 5 ຦າໄ ຄຽຎັຌຉາຉະ຤າຄ຾຅ກຢາງ຃ລາມຊໃ ແີ ຈຈໄ ໃ ຄັ ຌ:ີໄ ຃ລາມກລາໄ ຄ ຃ລາມຊໃ ີ  f  ຅ຈຸ ຽ຃ໃ ຄິ ກາຄຆຌັໄ x fx 4 13 52 10 18 180 12 23 276 8 28 224 6 33 198 N  40  fx  930 64

X   fx  930  23.25 N 40 ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ກ຃ະຌຈິ ຂຨຄ຃ະ຾ຌຌຽ຦ຄັ ລຆິ າ຃ະຌຈິ ຦າຈຂຨຄຌກັ ຩຼຌກໃ ຸມຌີໄ  23.25 ຃ະ຾ຌຌ ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 43. ເວໄ A ຽຎັຌຨຈັ ຉາກາຌໝຌູ ຂຨຄກຄ຺ ຤ໍໄ v ຽຎັຌຨຈັ ຉາ຃ລາມແລຂຨຄກະ຾຦຤ມ຺ ຾຤ະ A  v2 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , A  k v2 ຽມໃ ຨື k ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຃ຄ຺ ຃ໃ າ ເວໄ v  20 km / h ຽມໃ ຨື A  5 ຩຨຍຉໃ ໍຌາ຋ີ ຅ະແຈໄ 5  k  202 k 1 80 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , A  1 v2 80 ຊາໄ A  600 ຩຨຍຉໃ ຆໍ ໃ ລ຺ ຿ມຄ ຾຤ະ 1 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ  60 ຌາ຋ີ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , A  600  10 ຩຨຍຉໃ ຌໍ າ຋ີ 60 ຅ະແຈໄ 10  1 v2 80 v2  800 v  800  20 2 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , v  20 2 km/ h ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 44. ຦ະວາົ ກ຋ຄັ 16 ເຍ ຽຎັຌຈໃ ຄັ ຌ:ີໄ S  1 ,  3 ,  5 , 7 ,  9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19 ,  21 ,  25 ,  27 ,  29 ,  31 nS  16 ຽວຈກາຌຌຉີໄ ຨໄ ຄກາຌຆຨກ E ຃ື ຅ຍັ ຦ະວົາກຂຌຶໄ ມາ 1 ເຍ ແຈ຦ໄ ະວົາກ຋ໃ ມີ ຽີ ຤ກ຦ຨຈ຃ໃ ຨຄກຍັ ຃ໍາຉຨຍຂຨຄ຦ມ຺ ຏຌ຺ x3  7x2  7x  15  0 ຆຨກວາ຃ໍາຉຨຍຂຨຄ຦ມ຺ ຏຌ຺ x3  7x2  7x  15  0 ແຈຈໄ ໃ ຄັ ຌີໄ x  1x  3x  5  0 x  1,  3 , 5 nE   3 ,  5  2 pE  2 16 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 65

45. ຨະ຋ຍິ າງ຿ຈງເຆ຾ໄ ຏຌລາຈຄໃາແມ ໄ ລຌັ ຋ີ 1 ລຌັ ຋ີ 2 ລຌັ ຋ີ 3 nS  8 E ຐ຺ຌຉກ຺ ຑຼຄ 2 ລຌັ   (ຉ, ຉ, ຍ), (ຉ, ຍ, ຉ), (ຍ, ຉ, ຉ)  nE  3 pE  nE nS  3 8 ຿ຈກາຈ຋ໃ ຐີ ຺ຌຉກ຺ ຑຼຄ 2 ລຌັ  3 8 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 46. ຅າກຽຄໃຨື ຌແຂຂຨຄຍຈ຺ ຽ຤ກ ຦ະ຾ຈຄລໃ າ຃ລຌ຦າໄ ຄຉາຉະ຤າຄ຦ະ຾ຈຄ຦າຂາລຆິ າ ຋ໃ ຌີ ກັ ຩຼຌຊະຌຈັ ຈໃ ຄັ ຌ:ີໄ ຅າກຉາຉະ຤າຄ຅ະຽວຌັ ແຈ຋ໄ ຌັ ຋ີ 2 ກ຤ໍ ະຌ຃ີ :ື 1). ຉຨໄ ຄ຅ຈັ ເວ຦ໄ ະມກັ ຩຼຌ຦າຂາລຆິ າຑາ຦າ຤າລ ຽຑາະຍໃ ມໍ ຃ີ ຌ຺ ຨໃ ຌື ຽໝາະ຦ມ຺ 2). ຉຨໄ ຄ຅ຈັ ເວ຦ໄ ະມກັ ຩຼຌ຦າຂາ຦ຄັ ຃ມ຺ ຦ກຶ ຦າ ຽຑາະຍໃ ມໍ ຃ີ ຌ຺ ຨໃ ຌື ຽໝາະ຦ມ຺ ຅າກຌຌັໄ ກ຦ໍ າມາຈ຅ຈັ ເວຌໄ ກັ ຩຼຌ຃ຌ຺ ຨໃ ຌື ຩຼຌ຦າຂາລຆິ າຨໃ ຌື ໂ຋ໃ ຽີ ວົຨື ແຈຈໄ ໃ ຄັ ຌີໄ 3). ຉຨໄ ຄ຅ຈັ ເວ຦ໄ ະມກັ ຩຼຌ຦າຂາລຆິ າລ຋ິ ະງາ຦າຈ ຽຑາະຍໃ ໍມ຃ີ ຌ຺ ຨໃ ຌື ຽໝາະ຦ມ຺ ຌຨກ຅າກ ຋າໄ ລ ຦ະໝຨຌ ຽຆໃ ຄິ ແຈຩໄ ຍັ ຃ຈັ ຽ຤ຨື ກຩຼຌລຆິ າຨໃ ຌື ແຎ຾຤ລໄ 4). ຉຨໄ ຄ຅ຈັ ເວໄ ຋າໄ ລ ຦ຄ຺ ກາຌ ຩຼຌ຦າຂາລຆິ າ຃ະຌຈິ ຦າຈ (ຽວຈຏຌ຺ ຃ຂື ໍໄ 3) 5). ຉຨໄ ຄ຅ຈັ ເວໄ ຋າໄ ລ ມຨຈ ຩຼຌ຦າຂາລຆິ າຑາ຦າຨຄັ ກຈິ (ຽວຈຏຌ຺ ຃ຂື ໍໄ 3) ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 66

47. nS  16 , nE  2 ຅ະແຈ ໄ pE  2  1 16 8 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 48.ຊຄ຺ ຨຌັ ໜໃ ຄຶ ມໝີ າກຍ຦ີ ຾ີ ຈຄ 6 ໜໃ ລງ, ຦ຂີ ຼລ 5 ໜໃ ລງ ຾຤ະ ຦ຂີ າລ 3 ໜໃ ລງ ຤ລມໝາກຍ຋ີ ຄັ ໝຈ຺  6  5  3  14 ຅ຍັ ຂຌຶໄ ມາ 1 ໜໃ ລງ ຅າກ 14 ໜໃ ລງ, ງຄັ ຽວຨົື ຨກີ 13 ໜໃ ລງ ເຌກາຌ຅ຍັ ຃ຄັໄ ຋ີ 2 nS  14  13 nE  6  8 ຃ຄັໄ ຋ໍາຨຈິ ຉຨໄ ຄກາຌໝາກຍ຦ີ ຾ີ ຈຄ (ມ຋ີ ຄັ ໝຈ຺ 6 ໜໃ ລງ) ຃ຄັໄ ຋ີ 2 ຍໃ ຉໍ ຨໄ ຄກາຌ຦຾ີ ຈຄ (ຽຆໃ ຄິ ມຢີ ໃ ູ 8 ໜໃ ລງ) pE  6  8  24 14  13 91 ຃ໃ າກະຉລຄຂຨຄກາຌ຅ຍັ ແຈໝໄ າກຍໜີ ໃ ລງ຋ໍາຨຈິ ຽຎັຌ຦຾ີ ຈຄ ຾຤ະ ຽ຋ໃ ຨື ຋ີ 2 ຍໃ ໍ຾ມໃ ຌ຦຾ີ ຈຄ  24 91 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 49. ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ ຍຈ຺ ຽ຤ກຂຌໍໄ ມີໄ ຅ີ ຈຸ ຎະ຦ຄ຺ ເວຌໄ ກັ ຩຼຌຽຎັຌ຃ຌ຺ ຩູ຦ໄ ຄັ ຽກຈ(ເຌຆລີ ຈິ ຅ຄິ ຌກັ ຩຼຌ຅ະຽວຌັ ຤ລຈ຤າງຌມີໄ າ຾຤ລໄ ຢໃ ູໝາກ ຍາຌ຋ໃ ຂີ າຈຉາມຉະວົາຈ). ຂມໍໄ ູຌ຦ໍາ຃ຌັ ຃ໝື າກຍາຌມ຤ີ ກັ ຦ະຌະຽຎັຌໜໃ ລງມຌ຺ ຽມໃ ຨື ຽຍໃ ຄິ ຈລໄ ງ຦າງຉາຎ຺ກກະຉ຅ິ ະຽວຌັ ຑຼຄຽ຃ໃ ຄິ ໜໃ ລງ (1 ຈາໄ ຌ) ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຊາໄ ຍຈ຺ ຽ຤ກ຤ະຍຸລໃ າ ມຩີ ູຍ 5 ຾຅ 12 ຩູຍ ຦ະ຾ຈຄລໃ າ ຅ະຽຍໃ ຄິ ຽວຌັ ຃ຄັໄ ໜໃ ຄຶ ຑຼຄ 6 ຩູຍຽ຋ໃ າ຺ ຌຌັໄ ຍຌັ ວາ຦ໍາ຃ຌັ ຢໃ ູ຋ໃ ຩີ ຨງ຾ຍໃ ຄ຤ະວລໃ າຄຽ຃ໃ ຄິ ໜໃ ລງ຋ໃ ຽີ ຍໃ ຄິ ຽວຌັ ຾຤ະ ຨກີ ຽ຃ໃ ຄິ ໜໃ ລງ຋ໃ ຽີ ຍໃ ຄິ ຍໃ ໍຽວຌັ ລໃ າ຅ະມຩີ ູຍ 6 ຾຅ ຽຆໃ ຨື ມຉໃ ໍກຌັ ຾ຍຍເຈ ຤ລມກຌັ ຾ຍຍເຈ ຊາໄ ຋ຈ຺ ຤ຨຄ຾ຉມໄ ຩູຍ຃າລໂ ຅ະຆໃ ລງເວຽໄ ວຌັ ຆຈັ ຽ຅ຌວາົ ງຂຌຶໄ ກລໃ າ຅ຈິ ຉະຌາກາຌ 67

ຽ຃ໃ ຄິ ໜໃ ຄຶ ຂຨຄໝາກຍາຌ຋ໃ ຽີ ວຌັ ຊາໄ ຽຍໃ ຄິ ຽ຋ຄິ ຦ຸຈ຅ະຽວຌັ ຆຈັ ຽ຅ຌ 1 ຩູຍ (຃ຩື ູຍ຋ີ 1), ຦ໃ ລຌຨກີ 5 ຩູຍ (ຩູຍ຋ີ 2 - 6) ຅ະຢໃ ູຉາມ຾຃ມ຋ໃ ຿ີ ຃ຄໄ ຽຎັຌຩຨງ຾ຍໃ ຄ ຽຆໃ ຄິ ຨາຈ຅ະຽວຌັ ແຈຍໄ ໃ ຆໍ ຈັ ຽ຅ຌຽ຋ໃ າ຺ ຩູຍ຋ີ 1 ຾ຉໃ ກຽໍ ວຌັ ຽຉມັ ຩູຍ, ຦ໃ ລຌຩູຍ ຅ະຽວຌັ ຽຉມັ ຩູຍຑຼຄ 5 ຩູຍ ຋ໃ ຨີ ຨໄ ມຩູຍ຋ີ 1 ຦ໃ ລຌຨກີ 10 ຩູຍ ຅ະຽວຌັ ຦ໃ ລຌເວງໃ ຂຨຄຩູຍ 5 ຩູຍ ຾຤ະ ຽວຌັ ຦ໃ ລຌຌຨໄ ງຂຨຄຩູຍ 5 ຩູຍ ຌຌັໄ ຾ມໃ ຌ: ຅ະມຩີ ູຍ 6 ຾຅ ຋ຄັ ໝຈ຺ 20 ຩູຍ ຽຎັຌຩູຍ຋ໃ ຽີ ວຌັ ຽຉມັ ຩູຍ ເຌ຾ຉໃ ຤ະກມີໄ ຂຨຄໝາກຍາຌ 5 ຩູຍ ຾຤ະ ຽວຌັ ຑຼຄຍາຄ຦ໃ ລຌ 10 ຩູຍ 68

຃າໍ ຊາຠຆຸຈ຋ີ 3 ໝາງຽຫຈ: ຅ໃ ຄ຺ ຽລຬື ກ຃າໍ ຉຬຍ຋ໃ ຊີ ກື ຉຬໄ ຄ຋ສີ ຸຈ 1. ກາໍ ຌຈ຺ ເຫ຅ໄ າໍ ຌວຌຊວໄ ຌຍວກ a ຾ລະ b ເຈໜໃ ຄຶ a  b  a a  b , a  b  55 ຾ລວໄ ຃ໃ າເຫງໃ ຋ສີ ຸຈ ຂຬຄ b  a ຾ຠໃ ຌຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 2860 ຂ. 2970 ຃. 3860 ຄ. 3970 2. ຃ໃ າຂຬຄ 27783  27782  2777  2778  27772  27773 ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ ກ. 4444 ຂ. 5555 ຃. 6666 ຄ. 7777 11 11 1 1 11 ຾ຠໃ ຌຂໍເໄ ຈ 5 6 78 9 10 498 499 3. ຃ໃ າຂຬຄ 1 1  11  1 1  ...  11  499 500 6 7 8 9 10 11 ກ. 99 ຂ. 100 ຃. 101 ຄ. 102 4. ຽລກ຅າໍ ຌວຌໜໃ ຄຶ ຽຠໃ ຬື ຫາຌຈວໄ ງ 10, 12 ຾ລະ 15 ຅ະຫາຌຂາຈ ຊາໄ ຏຌ຺ ຍວກຂຬຄຏຌ຺ ຬຬກ຅າກກາຌຫາຌ ຈວໄ ງ 3 ຅າໍ ຌວຌຌຽີໄ ຋ໃ າ຺ ກຍັ 1365 ຏຌ຺ ຬຬກ຋ໃ ຽີ ກຈີ ຅າກກາຌຫາຌຽລກ຅າໍ ຌວຌຌຈີໄ ວໄ ງ 10 ຠ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ ກ. 324 ຂ. 364 ຃. 455 ຄ. 546 5. ຊາໄ 12  22  32  ...  10012 ຽຽລະ 12  22  32  ...  10012 ຾ລວໄ ຅າໍ ຌວຌຊວໄ ຌຍວກ຋ໃ ີ 135 2001 357 2003 ຠ຃ີ ໃ າເກ຃ໄ ຼຄກຍັ a  b ຋ໃ ສີ ຸຈ຾ຠໃ ຌຂເໍໄ ຈ ກ. 1001 ຂ. 1002 ຃. 1003 ຄ. 1004 6. ຅ໃ ຄ຺ ຆຬກຫາ຃ໃ າຂຬຄ    5 5  1 5  2 5  3  1 ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ ກ. 6  4 5 ຂ. 6  3 5 ຃. 4  3 5 ຄ. 4  5 7. ຃ໃ າຂຬຄ 6  6  6  ... ຾ຠໃ ຌຂໍເໄ ຈ ກ. 2 ຂ. 3 ຃. 4 ຄ. 6 8. ຊາໄ 2x  3y  4z  2410 ຾ລວໄ 1  1  1 ຠ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ xyz ກ. 1 ຂ. 10 10 69

຃. 1 ຄ. ຆຬກ຃ໍາຉຬຍຍໃ ແໍ ຈໄ 24 9. ກາໍ ຌຈ຺ ເຫໄ 96  140x ຽຽລວໄ x ຠ຃ີ ໃ າ຃ຬຈກຍັ ຃ໃ າຂຬຄອາກຂຬຄສຠ຺ ຏຌ຺ ເຌຂໍເໄ ຈ ກ. x2  5x  6  0 ຂ. x2  x  12  0 ຃. x2  7x  8  0 ຄ. x2  5x  2  0 10. ຏຌ຺ ສສຸຈ຋າໄ ງ຅າກກາຌ຃ໍາຌວຌ 1  1 ກຄ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ 1 1  1 1 1 4 5 ກ. 2 ຂ. 4 5 5 ຃. 8 ຄ. 11 5 5 11. ຏຌ຺ ສາໍ ຽລຈັ ຂຬຄ 1  1 1  2 1 ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ 1 1   1 a aa a ກ. 0 ຂ. 1 ຃. 1 ຄ. 1 a 1 a 1 12. ຊາໄ 2x2  x  3k ຽຎັຌສຠ຺ ຏຌ຺ ຋ໃ ຠີ ເີ ຅ຏຌ຺ ຾ຠໃ ຌ a ຅ໃ ຄ຺ ຆຬກຫາ຃ໃ າຂຬຄ 1  1  1  1 a a2 a3 ກ. 75 ຂ. 80 ຃. 85 ຄ. 90 13. ກາໍ ຌຈ຺ x  y  z  6 ຾ລະ x 1  y 1  z 1 6  1 ຃ໃ າຂຬຄ xyz ກຄ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ 6 6  6 ກ. 543 ຂ. 568 ຃. 602 ຄ. 648 14.  2 x2 z  2xy  1 x2  2z2  4xyz  z   3  1 3 3   3z  6xy  x2  ຽຠໃ ຬື ຃າໍ ຌວຌ຾ລວໄ ຃ໃ າກຄ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ ກ. 2x ຂ. 2 y ຃. 2z ຄ. 2xyz 15. ເຫໄ A  B  C  x2 ຂໍເໄ ຈຊກື ຉຬໄ ຄ x x2 x 1 x2 x  1 ກ. A  2 ຂ. B   1 ຃. C  1 ຄ. A  B  C  2 16. ຅ໃ ຄ຺ ຆຬກຫາ຃ໃ າຂຬຄ x ຅າກສຠ຺ ຏຌ຺ x  a  x  b  x  c  2 1  1  1  ຽຠໃ ຬື a, b, c  0 bc ca ab a b c ກ. a  b  c ຂ.  a  b  c 70

຃.  abc ຄ. abc 17. ເຫໄ p , q ຽຎັຌອາກຂຬຄສຠ຺ ຏຌ຺ x2  5 x  1  0 ຾ລະ r , s ຽຎັຌອາກຂຬຄສຠ຺ ຏຌ຺ x2  3 x  1  0 ຾ລວໄ p  rq  rp  sq  s ຠ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ.  16 ຂ.  11 ຃. 10 ຄ. 15 18. ຅າກສຠ຺ ຏຌ຺ b  cx2  c  ax  a  b  0 ຿ຈງ຋ໃ ີ a b  0 , b c y2  22xy  23 x2  0 ຾ລະ z2  12xz  28 x2  0 ຃ໃ າຂຬຄ y ຾ລະ z ຾຋ຌ຃ວາຠງາວ ຂຬຄລວຄອຬຍ ຾ລະ ລວຄສູຄຂຬຄອູຍສາຠ຾຅ ABC ຉາຠລາໍ ຈຍັ ຅ໃ ຄ຺ ຆຬກຫາຽຌຬືໄ ຋ຂີ ຬຄອູຍສາຠ຾຅ຌີໄ ກ. 160 cm2 ຂ. 161 cm2 ຃. 162 cm2 ຄ. 163 cm2 a  b  c  d  5 a  b  c  d 19. ກາໍ ຌຈ຺ ເຫລໄ ະຍຍ຺ ສຠ຺ ຏຌ຺ a  b  c  d  7 ຅ໃ ຄ຺ ຆຬກຫາ຃ໃ າຂຬຄ a2  b2  c2  d 2  9 6 a  b  c  d  12 ກ. 12 11 ຂ. 12 12 14 14 ຃. 12 13 ຄ. 12 14 14 14 20. ຊາໄ r1 ຾ລະ r2 ຽຎັຌອາກຂຬຄສຠ຺ ຏຌ຺ ax2  kx  1 ຾ລະ a  0 ຾ລວໄ r1  r2  r1 r2 ຠ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ ກ. k  1 ຂ. k  1 a a ຃. k 1 ຄ.  k 1 a a  21. ຊາໄ k ຽຎັຌ຅າໍ ຌວຌຊວໄ ຌ຋ໃ ຽີ ອຈັ ເຫໄ 3x2  28x  30  k x2  19 ຠ຃ີ າໍ ຉຬຍຂຬຄສຠ຺ ຏຌ຺ ຽ຋ໃ າ຺ ກຌັ ຽຠໃ ຬື k ຠ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 1 ຂ.  1 ຃. 2 ຄ.  2 22. ຅ໃ ຄ຺ ຆຬກຫາ຃ໃ າຂຬຄ x ຋ໃ ຌີ ຬໄ ງ຋ໃ ສີ ຸຈ຋ໃ ຽີ ອຈັ ເຫ ໄ 2x  2x 1  2x  2  7 2 ກ. x   2 ຂ. x   1 ຃. x  1 ຄ. x  2  23. x2  2x 2  4x2  8 x  16 ຠ຃ີ ໃ າຌຬໄ ງສຸຈຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ ກ. 12 ຂ. 13 ຃. 14 ຄ. 15 71

24. ຊາໄ sec A  tan A  2 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຂໍເໄ ຈ຾ຠໃ ຌ຃ໃ າຂຬຄ cos A 7 ກ. 28 ຂ. 14 35 35 ຃. 14 ຄ. 28 53 53 25. ຊາໄ ຉກ຺ ລຄ຺ ກຌັ ວໃ າກາຌວຈັ ຾຋ກຠຸຠລະຫວໃ າຄ຾ກຌ X ກຍັ ຽສຌັໄ ຆໃ ເື ຈໜໃ ຄຶ ຋ໃ ຉີ ຈັ ກຍັ ຾ກຌ X ຾຋ກ຿ຈງເຫໄ ຾ກຌ X ຽຍຬືໄ ຄຂວາຠຂື ຬຄ຅ຈຸ ກາໍ ຽຌຈີ ຾ລະ ຽສຌັໄ ຆໃ ຋ື ໃ ມີ ໃ ູຈາໄ ຌຽ຋ຄິ ຂຬຄ຾ກຌ X ຽຎັຌ຾ຂຌຂຬຄຠຸຠ຾ລວໄ ຽສຌັໄ ສະ຾ຈຄຂຬຄສຠ຺ ຏຌ຺ ເຌຂເໍໄ ຈ຋ໃ ຎີ ະກຬຍກຍັ X ຽຎັຌຠຸຠເຫງໃ ຋ໃ ສີ ຸຈ ກ. 3x  2y  4  0 ຂ. x  3y  2  0 ຃. x  y  5  0 ຄ. 2x  y  1  0 26. ກ, ຂ ຾ລະ ຃ ແຈງໄ ຄິ ຌກ຺ ຌາໍ ກຌັ ຊາໄ ກ ງຄິ ຎືຌ 3 ຌຈັ ແຈຌໄ ກ຺ 2 ຉວ຺ , ຂ ງຄິ ຌກ຺ 4 ຌຈັ ແຈຌໄ ກ຺ 3 ຉວ຺ , ຃ ງຄິ 5 ຌຈັ ແຈຌໄ ກ຺ 4 ຉວ຺ ຋ຄັ ສາຠ຃ຌ຺ ງຄິ ຎືຌ຅າໍ ຌວຌຌຈັ ຽ຋ໃ າ຺ ກຌັ ແຈຌໄ ກ຺ ຋ຄັ ໝຈ຺ 665 ຉວ຺ ຊາຠວໃ າ ຂ ງຄິ ຌກ຺ ແຈ຅ໄ ກັ ຉວ຺ ກ. 200 ຉວ຺ ຂ. 225 ຉວ຺ ຃. 240 ຉວ຺ ຄ. ຂຠໍໄ ຌູ ຍໃ ໍພຼຄພໍ 27. ຾ຬກອໍ ໍ 25 % ຅າໍ ຌວຌ 120 ຆຆີ ີ ຎະກຬຍຈວໄ ງ຾ຬກອໍ ຎໍ ະສຠ຺ ຌາໍໄ ມາ ຊາໄ ຉຬໄ ຄກາຌເຫ຾ໄ ຬກອໍ ໍ຅າຄ ຿ຈງ ຽຉຠີ ຌາໍໄ ມາລຄ຺ ແຎ ຅ະຉຬໄ ຄຽຉຠີ ຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ຅ໃ ຄິ ຅ະຽອຈັ ເຫຌໄ າໍໄ ມາຌຠີໄ ຾ີ ຬກອໍ ໍຍໃ ຽໍ ກຌີ 15 % ກ. ຌຬໄ ງກວໃ າ ຫົື ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 80 ຆຆີ ີ ຂ. ຫາົ ງກວໃ າ ຫົື ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 75 ຆຆີ ີ ຃. ຫາົ ງກວໃ າ ຫົື ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 80 ຆຆີ ີ ຄ. ຌຬໄ ງກວໃ າ ຫົື ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 75 ຆຆີ ີ 28. ພຠິ ໜຄັ ສຂື າງ຅າໍ ຌວຌ x ຽຫົຠັໄ , ລຄ຺ ຋ຌຶ a ກຍີ , ງຄັ ຉຬໄ ຄຽສງ຃ໃ າລຂິ ະສຈິ 20 % ຂຬຄລາ຃າຂາງ ຾ລວໄ ຉຬໄ ຄຫຸຈົ ເຫຏໄ ູຂໄ າງ 20 % ຂຬຄລາ຃າໜາໄ ຎ຺ກ, ຊາໄ ກາໍ ຌຈ຺ ລາ຃າຂາງຽຫຠົັໄ ລະ y ກຍີ ຽພໃ ຬື ເຫແໄ ຈກໄ າໍ ແລ 50 % ຅ະຉຬໄ ຄເຆສໄ ຠ຺ ຏຌ຺ ເຈ ຅ໃ ຄິ ຅ະຆຬກຫາລາ຃າຂາງຎຶຠໄ 1 ຽຫຠົັໄ ແຈຊໄ ກື ຉຬໄ ຄ ກ. xy  3a ຂ. 2xy  3a ຃. xy  5a ຄ. 2xy  5a 29. ຅າກອູຍ ຊາໄ x  11 ຽຽລວໄ y ຠ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ ກ.  8 ຂ. 8 ຃. 6 ຄ.  6 30. ຅າກຽສຌັໄ ສະ຾ຈຄລໃ ຸຠຌຽີໄ ສຌັໄ ຆໃ ຋ື ໃ ວ຺ ແຎ຾ຠໃ ຌ ax  by  c  0 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ສຠ຺ ຏຌ຺ ຽສຌັໄ ຆໃ ື L ເຌອູຍ ຠ຃ີ ໃ າ a , b ຽຽລະ c ຉາຠລໍາຈຍັ ຾ຠໃ ຌຂເໍໄ ຈ 72

ກ. a  3 , b   1 , c   6 ຂ. a  3 , b   1 , c  6 ຃. a   3 , b   1 , c   6 ຄ. a   3 , b   1 , c  6 31. ສຌິ ຃າໄ ຎະຽພຈໜໃ ຄຶ ຠຉີ ຌ຺ໄ ຋ຌຶ ເຌກາຌຏະລຈິ ຾ຉໃ ລະຬຌັ ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 130 ຍາຈ ຾ລະ ງຄັ ຠ຃ີ ໃ າເຆ຅ໄ ໃ າງຬກີ ສໃ ວຌໜໃ ຄຶ ຋ໃ ຉີ ຬໄ ຄເຆເໄ ຌກາຌຏະລຈິ ຽຆໃ ຄິ ຍໃ ວໍ ໃ າ຅ະຏະລຈິ ຅ກັ ຬຌັ ກຽໍ ຎັຌຽຄຌີ ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 10000 ຍາຈ, ຊາໄ ຅ະຂາງສຌິ ຃າໄ ຌລີໄ າ ຃ໃ າຬຌັ ລະ 350 ຍາຈ ຾ລະ ຉຬໄ ຄກາຌແຈກໄ າໍ ແລຫົາງກວໃ າ 20 % ຂຬຄງຬຈຂາງ຋ຄັ ໝຈ຺ ຊາຠວໃ າ຅ະຉຬໄ ຄ ຏະລຈິ ສຌິ ຃າໄ ຌ຋ີໄ ຄັ ໝຈ຺ ຅ກັ ຬຌັ ກ. 67 ຬຌັ ຂຌຶໄ ແຎ ຂ. 70 ຬຌັ ຂຌຶໄ ແຎ ຃. 78 ຬຌັ ຂຌຶໄ ແຎ ຄ. 90 ຬຌັ ຂຌຶໄ ແຎ 32. ຅າກອູຍ຅ະຉຸລຈັ ABCD ຾ຉໃ ລະຂາໄ ຄງາວ 1 ຆຄັ ຉ຾ີ ຠຈັ , ຊາໄ ABE ຽຎັຌອູຍສາຠ຾຅ສະຽໝີ ຾ລະ ຂາໄ ຄ AE ຉຈັ BD ຋ໃ ຽີ ຠຈັ F ຾ລວໄ ອູຍສາຠ຾຅ AFB ຠຽີ ຌຬືໄ ຋ຽີ ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 3  2 cm2 ຂ. 3  3 cm2 4 ຃. 2  3 cm2 ຄ. 3  2 cm2 2 4 33. ລໍວໄ ຄ຺ ຠຌ຺ ຌຬໄ ງ ຾ລະ ລວໍໄ ຄ຺ ຠຌ຺ ເຫງໃ ກຄິໄ ຠາຌາໍ ກຌັ , ລວໍໄ ຄ຺ ຠຌ຺ ຌຬໄ ງຠຽີ ສຌັໄ ຏໃ າເ຅ກາຄງາວ 8 ຆຄັ ຉ຾ີ ຠຈັ ຾ລະ ລໍໄ ວຄ຺ ຠຌ຺ ເຫງໃ ຠຽີ ສຌັໄ ຏໃ າເ຅ກາຄງາວ 12 ຆຄັ ຉ຾ີ ຠຈັ ຽຠໃ ຬື ລໍ຋ໄ ຄັ ສຬຄກຄິໄ ຉາຠກຌັ ແຎ ຿ຈງລໍເໄ ຫງໃ ຉຈິ ລໍຌໄ ຬໄ ງ ຅ໃ ຄ຺ ຆຬກຫາ຅ຈຸ ຋ໃ ລີ ຋ໍໄ ຄັ ໝຈ຺ ຉຈິ ກຍັ ພຌືໄ ຫໃ າຄກຌັ ຅ກັ ຆຄັ ຉ຾ີ ຠຈັ ກ. 4 3 cm ຂ. 6 cm ຃. 4 6 cm ຄ. 10 cm 34. 73

຅າກອູຍວຄ຺ ຠຌ຺ ຾ຉໃ ລະວຄ຺ ຠຂີ ະໜາຈຽ຋ໃ າ຺ ກຌັ ຽສຌັໄ ຏໃ າເ຅ກາຄຂຬຄວຄ຺ ຠຌ຺ ຾ຉໃ ລະອູຍຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 10 ຆຄັ ຉ຾ີ ຠຈັ ຅ໃ ຄ຺ ຆຬກຫາ຃ວາຠງາວຂຬຄ AB ກ. 3 cm ຂ. 5 cm ຃. 7 cm ຄ. 8 cm 35. ອູຍ຅ະຉຸລຈັ WXYZ ຂາໄ ຄງາວ 2a m , R ຾ລະ T ຽຎັຌ຅ຈຸ ຽ຃ໃ ຄິ ກາຄຂຬຄ WX , WZ ຉາຠລໍາຈຍັ S ຾ຍໃ ຄ XY ຽຎັຌຬຈັ ຉາສໃ ວຌ 2 : 1 ຽຌຬືໄ ຋ຂີ ຬຄອູຍສາຠ຾຅ RTS ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ ກ. 1 1 a2 m2 ຂ. 1 1 a2 m2 6 2 ຃. 1 2 a2 m2 ຄ. 1 5 a2 m2 3 6 36. ຅ໃ ຄ຺ ຆຬກຫາຂະໜາຈຂຬຄຠຸຠ BAC ຽຠໃ ຬື BAˆD  DAˆC , ABˆE  EBˆC , ADˆ C  70 , BEˆC  110 ກ. 40 ຂ. 50 ຃. 60 ຄ. 70 37. ຅າກອູຍ ລຈັ ສະໝຂີ ຬຄວຄ຺ ຠຌ຺ ຋ໃ ຠີ ີ A ຽຎັຌ຅ຈຸ ເ຅ກາຄ ຾ລະ B ງາວ 5 cm ຾ລະ 3 cm ຉາຠລໍາຈຍັ ຾ລະ ວຄ຺ ຠຌ຺ ຋ຄັ ສຬຄຉຈິ ກຌັ ຊາໄ ຠຸຠ FAˆ G ຾ລະ DBˆC ຉໃ າຄກຽໍ ຎັຌຠຸຠສາກ ຃ວາຠງາວຂຬຄລວຄອຬຍ ອູຍສາຠ຾຅ CEG ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ 74

ກ. 33 cm ຂ. 16  16 2 cm ຃. 31 cm ຄ. 16  10 2 cm 38. ວຄ຺ ຠຌ຺ ສຬຄວຄ຺ ຉຈິ ກຌັ ຾ລະ ຾ຌຍເຌອູຍສາຠ຾຅ສະຽໝີ ຈໃ ຄັ ອູຍ ຬຈັ ຉາສໃ ວຌຽຌຬືໄ ຋ຂີ ຬຄວຄ຺ ຠຌ຺ ເຫງໃ ຉໃ ໍຽຌຬືໄ ຋ີ ວຄ຺ ຠຌ຺ ຌຬໄ ງ ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ ກ. 4 ຂ. 8 3 5 ຃. 5 ຄ. 9 2 1 39. ຅າກອູຍ A, B, C, D ຽຎັຌ຅ຬຠຂຬຄອູຍ຋າຈສາຠຫຼົ ຠສະຽໝີ ຃:ື AB  BC  CD  BD  AD  CA ຃ໃ າຂຬຄ cos DAˆE ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 1 ຂ. 3 3 4 ຃. 3 ຄ. 1 2 2 40. ເຌກາຌຆຬໄ ຠງຄິ ຋ະຌູ ຈໍາ, ຾ຈຄ ຾ລະ ຂຼວ ງຄິ ຋ະຌ຅ູ າໍ ຌວຌ຃ຄັໄ ຽ຋ໃ າ຺ ກຌັ ຎາກຈ຺ ວໃ າຈາໍ ງຄິ ຋ະຌູ 3 ຃ຄັໄ ຊກື ຽຎ຺າໄ 2 ຃ຄັໄ , ຾ຈຄງຄິ ຋ະຌູ 5 ຃ຄັໄ ຊກື ຽຎ຺າໄ 4 ຃ຄັໄ ສໃ ວຌຂຼວງຄິ ຋ະຌູ 6 ຃ຄັໄ ຊກື ຽຎ຺າໄ 5 ຃ຄັໄ ຊາໄ ຌຍັ ຅າໍ ຌວຌ຃ຄັໄ ຋ໃ ີ ຋ຄັ ສາຠ຃ຌ຺ ງຄິ ຊກື ຽຎ຺າໄ ແຈຽໄ ຎັຌ 897 ຃ຄັໄ ຾ລວໄ ຅າໍ ຌວຌ຃ຄັໄ ຋ໃ ຊີ ກື ຽຎ຺າໄ ຂຬຄ຃ຌ຺ ງຄິ ຊກື ຫົາງ຋ໃ ສີ ຸຈ ກຍັ ຊກື ໜຬໄ ງ຋ໃ ສີ ຸຈຉໃ າຄກຌັ ຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 50 ຃ຄັໄ ຂ. 55 ຃ຄັໄ ຃. 60 ຃ຄັໄ ຄ. 65 ຃ຄັໄ 41. ຌກັ ອຼຌຫຬໄ ຄໜໃ ຄຶ ຠຌີ ກັ ອຼຌງຄິ ຽຎັຌ 4 ຂຬຄຌກັ ອຼຌເຌຫຬໄ ຄຌຌັໄ ຠຌີ ກັ ອຼຌຆາງ຋ໃ ຫີ ົຌິໄ ຍາຌ຾ຉະຽຎັຌມໃ ູ 9 2 ຂຬຄຌກັ ອຼຌ ຾ລະ ຫົຌິໄ ຍາຌສໃ ຄ຺ ຽຎັຌມໃ ູ 1 ຂຬຄຌກັ ອຼຌຆາງ຋ໃ ຫີ ົຌິໄ ຍາຌ຾ຉະຽຎັຌ ຊາໄ ຌກັ ອຼຌເຌຫຬໄ ຄ 10 4 ຌຌັໄ ຠຏີ ູ຋ໄ ໃ ຫີ ຌົິໄ ຍາຌສໃ ຄ຺ ຽຎັຌພຼຄ຃ຌ຺ ຈຼວ ຅ໃ ຄ຺ ຆຬກວໃ າຠຌີ ກັ ອຼຌເຌຫຬໄ ຄຌຌັໄ ຅ກັ ຃ຌ຺ ກ. 27 ຃ຌ຺ ຂ. 30 ຃ຌ຺ ຃. 36 ຃ຌ຺ ຄ. 45 ຃ຌ຺ 75

42. ຊຄັ ຬຌັ ໜໃ ຄຶ ຠ຋ີ ໃແໍ ວສໄ ໍາລຍັ ຽຎີຈຌາໍໄ ຽຂາ຺ໄ ຊຄັ 3 ຋ໃ ໍ ຃:ື A , B , C ຊາໄ ຽຎີຈ຋ໃ ໍ A ຾ລະ B ພຬໄ ຠກຌັ ຌາໍໄ ຅ະຽຂາ຺ໄ ຽຉຠັ ຊຄັ ພາງເຌ 12 ຌາ຋,ີ ຊາໄ ຽຎີຈ຋ໃ ໍ A ຾ລະ C ພຬໄ ຠກຌັ ຌາໍໄ ຅ະຽຂາ຺ໄ ຽຉຠັ ຊຄັ ພາງເຌ 15 ຌາ຋ີ ຾ຉໃ ຊາໄ ຽຎີຈ ຋ໃ ໍ B ຾ລະ C ພຬໄ ຠກຌັ ຌາໍໄ ຅ະຽຂາ຺ໄ ຽຉຠັ ຊຄັ ພາງເຌ 20 ຌາ຋ີ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຊາໄ ຽຎີຈ຋ຄັ 3 ຋ໃ ພໍ ຬໄ ຠກຌັ ຌາໍໄ ຅ະ ຽຂາ຺ໄ ຽຉຠັ ຊຄັ ເຌຽວລາ຅ກັ ຌາ຋ີ ກ. 10 ຌາ຋ີ ຂ. 9 ຌາ຋ີ ຃. 8 ຌາ຋ີ ຄ. 6 ຌາ຋ີ 43. ຌກັ ອຼຌ 6 ຃ຌ຺ ສຬຍຽສຄັ ວຆິ າ຃ະຌຈິ ສາຈແຈ຃ໄ ະ຾ຌຌສະຽລໃ ງ 30 ຃ະ຾ຌຌ, ຊາໄ ຽຬາ຺ ຃ະ຾ຌຌຂຬຄຌກັ ອຼຌ ຬກີ 2 ຃ຌ຺ ຠາລວຠສະຽລໃ ງ຅ະຽອຈັ ເຫ຃ໄ ະ຾ຌຌສະຽລໃ ງຽພໃ ຠີ ຂຌຶໄ ຬກີ 2 ຃ະ຾ຌຌ, ຊາໄ ຽຈກັ 2 ຃ຌ຺ ຌີໄ ແຈ຃ໄ ະ ຾ຌຌຉໃ າຄກຌັ ມໃ ູ 4 ຃ະ຾ຌຌ ມາກອູວໄ ໃ າ ຽຈກັ 2 ຃ຌ຺ ຌີໄ ຃ຌ຺ ຋ໃ ແີ ຈ຃ໄ ະ຾ຌຌຫາົ ງກວໃ າແຈ຅ໄ ກັ ຃ະ຾ຌຌ ກ. 32 ຂ. 36 ຃. 40 ຄ. 44 44. ຂຠໍໄ ຌູ ຆຸຈໜໃ ຄຶ ຠີ 15 ຅າໍ ຌວຌ ຊາໄ ຽຬາ຺ ແຎຆຬກຫາ຃ໃ າສະຽລໃ ງຽລກ຃ະຌຈິ ຅ະແຈໄ 10, ຉໃ ຠໍ າອູວໄ ໃ າ຅າໍ ຌວຌໜໃ ຄຶ ເຌ 15 ຅າໍ ຌວຌຌຌັໄ ຬໃ າຌຏຈິ ແຎ ຃ວາຠ຅ຄິ ຾ລວໄ ຽຎັຌ 13 ຬໃ າຌຏຈິ ຽຎັຌ 18 ຃ໃ າສະຽລໃ ງຽລກ຃ະຌຈິ ຋ໃ ຊີ ກື ຉຬໄ ຄຽຎັຌ ຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 10.67 ຂ. 10.33 ຃. 9.17 ຄ. 9.67 45. ເຫໄ x1 , x2 , x3 , x4 ຾ລະ x5 ຽຎັຌຂໍຠໄ ູຌຆຸຈໜໃ ຄຶ ຽຆໃ ຄິ ຠ຃ີ ໃ າສະຽລໃ ງຽລກ຃ະຌຈິ ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 6 ຊາໄ x1  42  x2  42  x3  42  x4  42  x5  42  30 ຾ລວໄ ສໃ ວຌຍໃ ຼຄຍຼຌ ຠາຈຉະຊາຌຂຬຄຂຠໍໄ ູຌຆຸຈຌຽີໄ ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ ກ. 2 ຂ. 2 ຃. 6 ຄ. 2 2 46. ສໃ ວຌໜໃ ຄຶ ຂຬຄ y ຏຌັ ຎໃ ຼຌ຾ຍຍຏກ຺ ຏຌັ ກຍັ x2 ຽຽລະ ຬກີ ສໃ ວຌໜໃ ຄຶ ຎໃ ຼຌ຾ຎຄ຿ຈງກຄ຺ ກຍັ x3 ຿ຈງ຋ໃ ີ y  3 ຽຠໃ ຬື x  1 ຾ລະ y  1ຽຠໃ ຬື x  1 ຊາໄ x  3 ຾ລວໄ y ຠ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 87 ຂ. 92 9 9 ຃. 27 7 ຄ. 27 2 9 9 47. ຊາໄ z ຏຌັ ຎໃ ຼຌ຿ຈງກຄ຺ ກຍັ x2 ຾ລະ ຏຌັ ຎໃ ຼຌ຾ຍຍຏກ຺ ຏຌັ ກຍັ y ຊາໄ x ຽພໃ ຠີ ຂຌຶໄ 20 % ຾ລະ y ຫຸົຈ ລຄ຺ 20 % ຂສໍໄ ະຫຸຍົ ກໃ ຼວກຍັ z ຂເໍໄ ຈຊກື ຉຬໄ ຄ ກ. ຽພໃ ຠີ ຂຌຶໄ 80 % ຂ. ຽພໃ ຠີ ຂຌຶໄ 60 % ຃. ຽພໃ ຠີ ຂຌຶໄ 40 % ຄ. ຽພໃ ຠີ ຂຌຶໄ 20 % 48. ຠໝີ າກຍາຌສຂີ າວ 3 ໜໃ ວງ, ສ຾ີ ຈຄ 2 ໜໃ ວງ ຾ລະ ສຽີ ຫົຬື ຄ 1 ໜໃ ວງ ມໃ ູເຌກຍັ ຬຌັ ໜໃ ຄຶ ຅ຍັ ໝາກຍາຌ 2 ໜໃ ວງຬຬກຠາ຅າກກຍັ ຿ຈງ຅ຍັ ຽ຋ໃ ຬື ລະລກູ ກໃ ຬຌ຅ຍັ ໜໃ ວງເໝໃ ເຫເໄ ສໃ ໜໃ ວງຽກໃ າ຺ ສາກໃ ຬຌ ຅ໃ ຄ຺ ຆຬກຫາ຃ໃ າກະ ຉວຄ຋ໃ ຅ີ ະແຈໝໄ າກຍາຌສຈີ ຼວກຌັ ຋ຄັ ສຬຄໜໃ ວງ 76

ກ. 10 ຂ. 12 36 36 ຃. 14 ຄ. 16 36 36 49. ເຌຄາຌລຼໄ ຄ຾ຫໃ ຄໜໃ ຄຶ ຠຬີ າຫາຌ຃າວ 2 ມໃ າຄ ຾ລະ ຂຠ຺ ຫວາຌ 2 ມໃ າຄ ຃ໃ າກະຉວຄ຋ໃ ຆີ າງສຬຄ຃ຌ຺ ຋ໃແີ ຎຄາຌ ລຼໄ ຄຌ຅ີໄ ະຽລຬື ກຬາຫາຌມໃ າຄຈຼວກຌັ ຋ຄັ ຬາຫາຌ຃າວ ຾ລະ ຂຠ຺ ຫວາຌຽຎັຌຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ຊາໄ ຃ຌ຺ ຃ຌ຺ ໜໃ ຄຶ ສາຠາຈ ຽລຬື ກຬາຫາຌ຃າວແຈພໄ ຼຄມໃ າຄຈຼວ ຾ລະ ຽລຬື ກຂຠ຺ ຫວາຌແຈມໄ ໃ າຄຈຼວຽຆຌັ ກຌັ ກ. 1 ຂ. 1 6 4 ຃. 1 ຄ. 1 3 2 50. ຫຬໄ ຄຎະຆຸຠໜໃ ຄຶ ຠຎີ ະຉູມໃ ູ 2 ຎະຉູ ຏູຽໄ ຂາ຺ໄ ຎະຆຸຠ຅ະຽຂາ຺ໄ ຎະຉູເຈ ຾ລະ ຬຬກຎະຉູເຈກແໍ ຈໄ ສຠ຺ ຆາງ ຾ລະ ສຠ຺ ງຄິ ແຈອໄ ຍັ ຽຆຌີ ຽຂາ຺ໄ ອໃ ວຠເຌຫຬໄ ຄຎະຆຸຠຌີໄ ຃ໃ າກະຉວຄ຋ໃ ຽີ ຂາ຺ ຋ຄັ ສຬຄ຃ຌ຺ ຅ະຽຂາ຺ໄ ຫຬໄ ຄຎະຆຸຠ ຿ຈງເຆຎໄ ະຉູ ຈຼວກຌັ ຾ຉໃ ຬຬກ຃ຌ຺ ລະຎະຉູຠ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ ກ. 1 ຂ. 1 2 4 ຃. 1 ຄ. 1 8 16 77

ຍຈ຺ ຾ກ຃ໄ ໍາຊາຠຆຸຈ຋ີ 3 1. ຅າກ a  b  a a  b ຊາໄ a  b  55 a a  b  55 ຋ະວ຃ີ ູຌຂຬຄ 55 ແຈ຾ໄ ກໃ 1 , 5 , 11 , 55 a  b  55 1  b  55 5  b  55 11  b  55 b  a  b b  a 5454  1  54  55  2970 5050  5  50  55  2750 4444  11  544  55  2420 00  55  0  55  0 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຃ໃ າ຋ໃ ຫີ າົ ງ຋ໃ ສີ ຸຈຂຬຄ b  a ຾ຠໃ ຌ 2970 ຃າໍ ຉຬຍ: ຂໍໄ ຂ 2. ຍຈ຺ ຽລກຠີ 4 ພຈ຺ ຽຠໃ ຬື ຅ຍັ ຃ໃ ູ຾ລວໄ ຅ະແຈໄ 2 ຃ໃ ູ ຾ຉໃ ລະ຃ໃ ູຠຉີ ວ຺ ລວຠ ຅ໃ ຄິ ພ຅ິ າລະຌ 27783  27782  2777  2778  27772  27773     27783  27782  2777  2778  27772  27773  277822778  2777  27772 2778  2777  27782  27772  2778  27772778  2777  5555 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຂ 3. ຆຬກຫາ຋ະວ຃ີ ູຌອໃ ວຠ ຾ລະ ລຍ຺ ກຌັ ຽຎັຌຆຸຈໂ 11 11 1 1 11 5 6 7 8 9 10 498 499 ຅າກຍຈ຺ ຽລກ 1 1  1 1  1 1  ...  11   499 500 6 7 8 9 10 11 78

11 1 1  56  7  8  9  10  ...  498  499 1 1 1 1 6  7 8  9 10  11 499  500  6  7  8  9  10  11  ...  499  500 5  6  7  8  9  10 498  499  500 5  100 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຂ 4. ເຫຽໄ ລກ຅າໍ ຌວຌຌຌັໄ ຽຎັຌ n, n  A ,n  B, n C 10 12 15 A  B  C  1365 n  n  n  1365 10 12 15 ຃ຌູ 60 ຽຂາ຺ໄ ຋ຄັ ສຬຄພາກ ຅ະແຈໄ 6n  5n  4n  1365  60 15 n  1365  60 n  5460 ຽລກ຅າໍ ຌວຌຌຌັໄ ຾ຠໃ ຌ: 5460 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຏຌ຺ ຋ໃ ແີ ຈ຅ໄ າກກາຌຫາຌ຅າໍ ຌວຌຌຌັໄ ຈວໄ ງ 10  5460  546 10 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຄ 5. ຍຈ຺ ຽລກຉຬໄ ຄກາຌຆຬກ a  b a b  12   22  12    32  22   ...   10012  10002   10012 1 3 5 2001 2003 a b  1 1 1 ... 1  10012 2003 1001  1001  10012 2003  10011  1001   2003   10011002 2003 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຅າໍ ຌວຌຊວໄ ຌຍວກ຋ໃ ຠີ ຃ີ ໃ າເກ຃ໄ ຼຄກຍັ a  b ຋ໃ ສີ ຸຈ ຾ຠໃ ຌ: 1001 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ກ 6. 5  5  1 5  2 5  3  1  5  5  3 5  1 5  2  1    5  3 5 5  3 5  2  1 79

 ເຫໄ 5  3 5  x ຅ະແຈໄ  xx  2  1  x2  2x  1  x  12  x 1 ຽອາ຺ ແຈໄ x  1  5  3 5  1  6  3 5 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຂ 7. ເຫໄ x  6  6  6  ... ຂຌຶໄ ກາໍ ລຄັ ສຬຄ຋ຄັ ສຬຄພາກ x2  6  6  6  ... x2  6  x x2  x 6  0 x  2x  3  0 x   2 , x  3 / x   2 ຍໃ ໍຽໝາະສຠ຺ ຽພາະ x  0 ສະຌຌັໄ , x  3 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຂ 8. ເຫ ໄ 2x  2410    1  10 1 x 2x x 24 2  241x0 ... 1 ຾ລະ 3y  2410    1  10 1 y 3y y 24 3  241y0 ... 2 ຾ລະ 4y  2410    1  10 1 z 4z z 24 4  241z0 ... 3 ຽຬາ຺ 1  2  3 ຅ະແຈໄ 2  3  4  241x0  241y0  241z0 24 10  10  10 xyz  24  10  10  10  1 xyz ຫາຌ 10 ຋ຄັ ສຬຄພາກ ຅ະແຈ:ໄ 1  1  1 1 x y z 10 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ກ 80

9. ຅າກຍຈ຺ ຽລກ 140x  96 ຅ະແຈໄ 1  x2  4  x  96 x2  4x  96  0 x  8x  12  0 ແຈໄ x  8  0 x8 ແຈ ໄ x  12  0 x   12 ຍໃ ຽໍ ໝາະສຠ຺ ສະຌຌັໄ , x  8 ຅າກຂໍໄ ຃. x2  7x  8  0 x  1x  8  0 x  1 , x  8 ຾ຉໃ x  1 ຍໃ ໍຽໝາະສຠ຺ ຃ໃ າຂຬຄ x ສຬຈ຃ໃ ຬຄກຍັ ອາກຂຬຄສຠ຺ ຏຌ຺ ເຌຂໍໄ ຃ ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຃ 10. ຍຈ຺ ຽລກຂໍຌໄ ຠີໄ ຾ີ ຍຍ຃ຈິ ລຈັ ແຈໄ 1  1  3b  a ຿ຈງ຋ໃ ີ a  1  b 1 b 1  1 1 1 a b ຉຬໄ ຄ຅ໃ ຾ື ຍຍຟຬຠຌເີໄ ຫແໄ ຈໄ ສະຌຌັໄ , 1  1  35  4  11 1 1  55 1 1 1 4 5 ຃າໍ ຉຬຍ: ຂໍໄ ຃ 11. ຅າກ 1  1 1  2 1  1  1  2 1 1   a 1 a 1 a2  1 1 a aa aa a a  aa 2a a 1 a 1 a2  1  aa  1  a a  1  2a a  1a  1  a2  a  a2  a  2a a  1a  1 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ກ 0 12. ຅າກ 2x2  x  3k 81

2x2  x  3k  0 ຽຎັຌສຠ຺ ຏຌ຺ ຋ໃ ຠີ ຃ີ າໍ ຉຬຍຽຎັຌ a ສະ຾ຈຄວໃ າສຠ຺ ຏຌ຺ ຌຠີໄ ອີ າກ຋ໃ ຽີ ຋ໃ າ຺ ກຌັ b2  4ac  0 12  423k  0 k 1 24 2x2  x  3k  0 2x2  x  3 1   0  24  16x2  8x  1  0 4x  12  0 x1 4 a  1 ຃ກື ຌັ 4 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , 1 1  1  1  1  4  16  64  85 a a2 a3 ຃າໍ ຉຬຍ: ຂໍໄ ຃ 13. ຆຬກຫາ຋ະວ຃ີ ຌູ ກໃ ຬຌ ກາໍ ຌຈ຺ ເຫໄ 1  1  1 1 x  6 xy  6 z  6 6 ຅ະແຈ:ໄ 6y  6z  6  z  6x 6  x  6y  6  x  6y  6z  6 6xy  yz  zx  12x  12y  12z  108  xyz  6xy  6yz  6xz  36x  36y  36z  216 xyz  36x  y  z  432 ຾຋ຌ຃ໃ າ x  y  z  6 ຅ະແຈໄ xyz  366  432  648 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , xyz  648 ຃າໍ ຉຬຍ: ຂໍໄ ຄ 14.  2 x 2 z  2xy  1 x2  2z2  4xyz  z   3  1 3 3  3z  6xy   x 2     2 1 x2   3  3 x2z  3   2xy  4xyz   2z2  z   6xy  3z  x2   1    1 x 2 2 z  1  2xy1  2z  z2z  1  3  1 3  3z  6xy  x2   2z  1 1 x2  2xy  z   3  1   3z   3 6xy  x 2    1 3  3 2z  1 x2  6xy 3z  6xy  3z  x2   1  82

 2z  1  1  2z ຃າໍ ຉຬຍ: ຂໍໄ ຃ 15. A B  C  Axx  1  Bx  1  Cx2 x x2 x  1 x2 x 1  Ax2  Ax  Bx  B  Cx2 x2x 1  A  Cx2  B  Ax  B x2 x 1  x2 x2 x 1 ຋ຼຍສາໍ ຎະສຈິ ຅ະແຈໄ A  C  0 ... 1 ... 2 B  A1 B2 B 2 ຾຋ຌ B  2 ເສໃ (2) ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , 2  A  1 A 1 ຾຋ຌ A  1 ເສໃ (1) ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , 1  C  0 C  1 ສະ຾ຈຄວໃ າ A  B  C  1  2 1 2 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຄ 16. x  a  x  b  x  c  2 1  1  1  bc ca ab a b c x  a  x  b  x  c  2 bc  ac  ab  bc ca ab  abc  ຃ູຌ abc ຽຂາ຺ໄ ຋ຄັ ສຬຄພາກ ຽພໃ ຬື ເຫສໄ ະຈວກເຌກາຌ຃ຈິ ແລໃ ax  a  bx  b  cx  c  2bc  ac  ab ax  a2  bx  b2  cx  c2  2bc  2ac  2ab ax  bx  cx  a2  b2  c2  2bc  2ac  2ab a  x  cx   a  b  c2 x   a  b  c2 ax c x  ax c ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ກ 17. ກາໍ ຌຈ຺ p , q ຽຎັຌອາກຂຬຄສຠ຺ ຏຌ຺ x2  5 x  1  0 83

ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , p  q   5 /  p  q   b , a  1 , b  5 a  ຾ລະ p q  1 ກາໍ ຌຈ຺ r , s ຽຎັຌອາກຂຬຄສຠ຺ ຏຌ຺ x2  3 x  1  0 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , r  s   3 /  r  s   b , a  1 , b  3 a  ຾ລະ r s  1 ພ຅ິ າລະຌາ p  rq  rp  sq  s  p  rq  sq  rp  s  pq  ps  rq  rsqp  qs  rp  rs  1  ps  rq  11  qs  rp  1  ps  rqqs  rp  pqs2  p2rs  rsq2  r2 pq  s2  p2  q2  r2     r2  s2  p2  q2      r  s2  2rs  p  q2  2 pq      32  21   52  21      32  2   52  2  9  2  25  2   16 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ກ 18. ຍຈ຺ ຽລກກາໍ ຌຈ຺ ab  0 ສະ຾ຈຄວໃ າ ab ຾ລະ bc ຉຬໄ ຄຌາໍ ແຎເຆເໄ ຫຽໄ ກຈີ ຎະ຿ຫງຈ bc b  cx2  c  ax  a  b  0 x  1b  cx  a  b  0 x  1 , x  a b bc ຅າກ y2  22xy  23 x2  0 y2  22y  23  0 / x 1 y  23y  1  0 y  23 ,  1 ຅າກ z2  12xz  28 x2  0 z2  12z  28  0 / x 1 z  14z  2  0 z  14 ,  2 ຽຌຬືໄ ຋ອີ ູຍສາຠ຾຅  1  ພຌືໄ  ລວຄສູຄ 2 84

 1  23  14 2  161 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຂ a  b  c  d  5 1 a  b  c  d 2 19. ຾ກລໄ ະຍຍ຺ ສຠ຺ ຏຌ຺ a  b  c  d 7 3 9 4 a  b  c  d  12 ຽຬາ຺ (1), (2), (3) ຾ລະ (4) ຍວກກຌັ ຅ະແຈໄ 4 a  33 a  33 ...  4 ຽຬາ຺ 1  2 ຅ະແຈໄ 2a  2b  12 a b  6 33  b  6 ...  4 b  9 4 ຽຬາ຺ 1  3 ຅ະແຈໄ 2a  2c  14 a c  7 33  c  7 ...  4 b  5 4 ຽຬາ຺ 1  4 ຅ະແຈໄ 2a  2d  17 2 33   2d  17 4 2d  17  33 2 2d  1 2 d1 ...  4 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຃ໃ າຂຬຄ a2  b2  c2  d 2  33 2    9 2    5 2   1 2   4   4  4 4 66  1196  299  12 11 6 24 24 ຃າໍ ຉຬຍ: ຂໍໄ ກ 20. ຾ກ ໄ 85

ເຆສໄ ູຈວ຾ີ ຬຈັ ຅າກສຠ຺ ຏຌ຺ ax2  k x  1  0 ຾ລວໄ ຅ະແຈ຃ໄ າໍ ຉຬຍ ຅າກສຠ຺ ຏຌ຺ ax2  k x  1  0 a  a , b   k ,c  1 ເຫໄ r1 , r2 ຽຎັຌອາກຂຬຄສຠ຺ ຏຌ຺ ຅ະແຈ ໄ r1  r2  b a r1  r2  k ...  a r1 . r2  c a r1 . r2  1 ...  a ຅າກ  ຽຽລະ  ຽອາ຺ ແຈ:ໄ r1  r2  r1 .r2  k 1  k 1 a a a ຃າໍ ຉຬຍ: ຂໍໄ ຂ 21. ຅າກສຠ຺ ຏຌ຺ ຠາຈຉະຊາຌ ax2  bx  c  0 , x ຅ະຠ຃ີ າໍ ຉຬຍຽ຋ໃ າ຺ ກຌັ ຽຠໃ ຬື b2  4ac  0 ຅າກຍຈ຺ ຽລກຉຬໄ ຄ຾ຎຄເຫຽໄ ຂາ຺ໄ ກຍັ ອູຍອໃ າຄ ax2  bx  c  0 ເຫແໄ ຈ ໄ ຅າກ຿຅ຈ  3x2  28x  30  k x2  19 3x2  28x  30  kx2  19 k 3x2  kx2  28x  30  19 k  0 3  kx2  28x  30  19k  0 ຅າກ ax2  bx  c  0 ອູວໄ ໃ າ a  3  k , b   28 , c  30 19k ຅າກສຠ຺ ຏຌ຺ ຋ໃ ຠີ ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຌັ b2  4ac  0 ຾຋ຌ຃ໃ າ ຅ະແຈໄ  282  43  k30  19k  0 784   12  4k30  19k  0 784  360  228k  120k  76k 2  0  76k 2  348k  424  0 ຫາຌ - 4 ຋ຄັ ສຬຄພາກ ຅ະແຈໄ 19 k 2  87 k  106  0 19k  106k  1  0 k  106 ,  1 / 106 ຍໃ ໍຽໝາະສຠ຺ 19 19 ສະຌຌັໄ , k   1 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຂ 22. ຾ກຬໄ ະສຠ຺ ຏຌ຺ ຋ໍາຠະຈາ ຿ຈງເຆສໄ ູຈຂຬຄຽລກກາໍ ລຄັ ຽຂາ຺ໄ ຆໃ ວງ ກາໍ ຌຈ຺ 2x  2x  1  2x  2  7 2 86

2x  2x . 21  2x . 22  7 2 2x1  2 4  7 2 7.2x  7 2 2x  21 x  1 ສະຌຌັໄ , ຃ໃ າຂຬຄ x ຋ໃ ຌີ ຬໄ ງ຋ສີ ຸຈ຾ຠໃ ຌ x   1 ຃າໍ ຉຬຍ: ຂໍໄ ຂ  23. ເຫໄ y  x2  2x 2  4x2  8x  16    y  x2  2x 2  4x2  8x  16    y  x2  2x 2  4 x2  2x  16 ຊາໄ k  x2  2x ຅ະແຈ ໄ y  k 2  4 k  16 ສະຌຌັໄ , ຃ໃ າໜຬໄ ງສຸຈຂຬຄ y ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 4116  42  12 41  ສະ຾ຈຄວໃ າ, ຃ໃ າໜຬໄ ງສຸຈຂຬຄ x2  2x 2  4x2  8x  16 ຠ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 12 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ກ 24. sec A  tan A  2 ... 1 ຾ຉໃ 7 ... 2 sec2 A  tan2 A  1 ຽຬາ຺ 2  1 ຅ະແຈ ໄ sec2 A  tan2 A  1 sec A  tan A 2 7 sec A  tan Asec A  tan A  7 sec A  tan A 2 sec A  tan A  7 ... 3 2 ຽຬາ຺ 1  3 ຅ະແຈ ໄ sec A  tan A  sec A  tan A  2  7 72 2sec A  53 14 sec A  53 28 ຾ຉໃ cos A  1 sec A ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , cos A  1  28 53 53 28 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຄ 87

25. ຅າກຠາຈຉະຊາຌຂຬຄຽສຌັໄ ຆໃ ື y  ax  b ຫົື y  mx  b ຊາໄ ຃ໃ າ຃ວາຠຆຌັ a  0 ຽຠໃ ຬື ຾ຉຠໄ ຽສຌັໄ ສະ຾ຈຄ຾ລວໄ ແຈຽໄ ສຌັໄ ສະ຾ຈຄຽຌຄີໄ ຋າຄຂວາ ຾ລະ ຎະກຬຍກຍັ ຾ກຌ x ຽຎັຌຠຸຠ຾ຫຠົ , ຾ຉໃ ຊາໄ ຃ວາຠຆຌັ a  0 ຽຠໃ ຬື ຾ຉຠໄ ຽສຌັໄ ສະ຾ຈຄ຾ລວໄ ແຈຽໄ ສຌັໄ ສະ຾ຈຄຽຌຄີໄ ຋າຄຆາໄ ງ ຾ລະ ຎະກຬຍກຍັ ຾ກຌ x ຽຎັຌຠຸຠຫວາ ຽສຌັໄ ສະ຾ຈຄຂຬຄສຠ຺ ຏຌ຺ ຎະກຬຍກຍັ ຾ກຌ x ຽຎັຌຠຸຠເຫງໃ ຋ໃ ສີ ຸຈກຉໍ ໃ ຽໍ ຠໃ ຬື a  0 ຅າກຂໍໄ ຂ x  3y  2  0 3y   x  2 y  1x  2 33 ຅ະແຈ຃ໄ ໃ າ຃ວາຠຆຌັ a  1  0 3 ຽສຌັໄ ສະ຾ຈຄເຌຂໍໄ ຂ ແຈຠໄ ຸຠເຫງໃ ຋ໃ ສີ ຸຈຽຠໃ ຬື ຎະກຬຍກຍັ ຾ກຌ x ຃າໍ ຉຬຍ: ຂໍໄ ຂ 26. ກ, ຂ ຾ລະ ຃ ງຄິ ຅າໍ ຌວຌຌຈັ ຽ຋ໃ າ຺ ກຌັ ຃:ື ຋ະວ຃ີ ູຌອໃ ວຠໜຬໄ ງສຸຈຂຬຄ 3, 4, 5  60 ຽຠໃ ຬື ງຄິ ຃ຌ຺ ລະ 60 ຌຈັ ກ ງຄິ ແຈຌໄ ກ຺  2  60  40 ຉວ຺ 3 ຂ ງຄິ ແຈຌໄ ກ຺  3  60  45 ຉວ຺ 4 ຃ ງຄິ ແຈຌໄ ກ຺  4  60  48 ຉວ຺ 5 ລວຠຌກ຺ ແຈ ໄ  40  45  48  133 ຉວ຺ ຂ ງຄິ ແຈຌໄ ກ຺ ຋ຄັ ໝຈ຺  665  45  225 ຉວ຺ 133 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຂ 27. ຌາໍໄ ມາ 120 ຆຆີ ີ ຠ຾ີ ຬກອໍ ໍ 25 % ສະ຾ຈຄວໃ າ ຌາໍໄ ມາ 100 ຆຆີ ີ ຠ຾ີ ຬກອໍ ໍ 25 ຆຆີ ີ ຌາໍໄ ມາ 120 ຆຆີ ີ ຠ຾ີ ຬກອໍ ໍ  25  120  30 ຆຆີ ີ 100 ແຈຽໄ ຉຠີ ຌາໍໄ ມາ x ຆຆີ ີ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຌາໍໄ ມາ຋ຄັ ໝຈ຺ 120  x ຆຆີ ີ ຾ຬກອໍ ໍຍໃ ຽໍ ກຌີ 15 % ສະ຾ຈຄວໃ າ ຠ຾ີ ຬກອໍ ໍໜຬໄ ງກວໃ າ ຫົື ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 15 % ຽຌໃ ຬື ຄ຅າກ 120  x  0 ຽຬາ຺ 100120  x  ຃ຌູ ຋ຄັ ສຬຄພາກ 30100  15120  x 120  x  200 x  80 ຃າໍ ຉຬຍ: ຂໍໄ ຃ 28. ລາ຃າ຋ຌຶ ຽຫົຠັໄ ລະ a ຍາຈ ຾ລະ ລາ຃າຂາງຽຫົຠັໄ ລະ y ຍາຈ x 88

1 ຽຫຠົັໄ ແຈກໄ າໍ ແລ  y a  xy  a ຍາຈ x x ຽສງ຃ໃ າລຂິ ະສຈິ 20 y  y ຍາຈ 100 5 ຫຸົຈເຫຏໄ ູ຅ໄ າໍ ໜໃ າງຽຫຠົັໄ ລະ 20 y  y ຍາຈ 100 5 ຉຬໄ ຄກາຌກາໍ ແລຬກີ ຽຫຠົັໄ ລະ 50  a  a ຍາຈ 100 x 2x ຅ະແຈ ໄ y y a  xy  a 5 5 2x x ຃ຌູ 10 x ຽຂາ຺ໄ ຋ຄັ ສຬຄພາກ ແຈໄ 2xy  2xy  5a  10xy  10a 6xy  15a 2xy  5a ເຆສໄ ຠ຺ ຏຌ຺ 2xy  5a ຅ໃ ຄິ ສາຠາຈຆຬກຫາລາ຃າຎຶຠໄ 1 ຽຫົຠັໄ ແຈຊໄ ກື ຉຬໄ ຄ ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຄ 29. ຅າກອູຍ ຽສຌັໄ ສະ຾ຈຄຏໃ າຌ຅ຈຸ 3 , 0 ຾ລະ 0 , 3 ຆຬກຫາ຃ວາຠຆຌັ ຂຬຄຽສຌັໄ ຆໃ ື ຽຠໃ ຬື ອູຽໄ ສຌັໄ ຆໃ ຏື ໃ າຌສຬຄຽຠຈັ ແຈຈໄ ໃ ຄັ ຉໃແໍ ຎຌີໄ m  y2  y1 / x1  3 , y1  0 , x2  0 , y2  3 x2  x1 m  30  1 03 ຅າກອູຍຠາຈຉະຊາຌຂຬຄຽສຌັໄ ຆໃ ື y  mx  b ... 1 ຾຋ຌ຃ໃ າ x  3 , y  0 , m  1 ເສໃ (1) 0  13  b b3 ... 2 ຾຋ຌ຃ໃ າ m  1 , b  3 ເສໃ ສຠ຺ ຏຌ຺ (1) ຅ະແຈໄ y   x  3 ຾຋ຌ຃ໃ າ x  11 ເສໃ ສຠ຺ ຏຌ຺ (2) y   11  3 b  8 ຃າໍ ຉຬຍ: ຂໍໄ ກ 30. 89

ຽສຌັໄ ຆໃ ື L ຏໃ າຌຽຠຈັ 2 , 0 ຾ລະ 4 , 6 ຽອຈັ ເຫອໄ ູ຃ໄ ວາຠຆຌັ ຂຬຄ L ຾ລະ ງຄັ ສາຠາຈອູວໄ ໃ າ຅ຈຸ ຉຈັ ຾ກຌ Y ຍໃ ຬຌເຈ ສາຠາຈຆຬກຫາສຠ຺ ຏຌ຺ ແຈໄ ຾ລະ ຋ຼຍ຃ໃ າ a , b , c ແຈຬໄ ກີ ຽສຌັໄ ຆໃ ື L ຠສີ ຠ຺ ຏຌ຺ ax  by  c  0 ຽສຌັໄ ສະ຾ຈຄຏໃ າຌຽຠຈັ 2 , 0 , 4 , 6 ຉາຠລາໍ ຈຍັ . ກາຌຆຬກ ຫາ຃ວາຠຆຌັ ຽຠໃ ຬື ອູຽໄ ຠຈັ ຋ໃ ຏີ ໃ າຌ 2 ຽຠຈັ ສາຠາຈຆຬກແຈເໄ ຆສໄ ູຈລໃ ຸຠຌີໄ m  y2  y1 ... 1 x2  x1 ເຫ ໄ x1  2 , y1  0 , x2  4 , y2  6 ຾຋ຌ຃ໃ າເສໃ (1) ຅ະແຈ ໄ m  60  3 42 m3 ... 2 ຅າກສຠ຺ ຏຌ຺ ຽສຌັໄ ຆໃ ື y  mx  c ເຫຽໄ ຠຈັ ຋ໃ ຽີ ສຌັໄ ສະ຾ຈຄ y  mx  c ຏໃ າຌ຃ື 2 , 0 ຅ະແຈໄ x  2 , y  0 , m  3 ຾຋ຌ຃ໃ າເສໃ (2) 0  32  c c  6 ຾຋ຌ຃ໃ າ c   6 , m  3ເສໃ (2) y  3x  6 3x  y  6  0 ຽສຌັໄ ຆໃ ື L ຠສີ ຠ຺ ຏຌ຺ ຽສຌັໄ ຆໃ ຾ື ຠໃ ຌ 3x  y  6  0 ຅ະແຈໄ a  3 , b  1 , c   6 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ກ 31. ສຠ຺ ຠຸຈ຃ໍາຉຬຍ຋ໃ ຉີ ຬໄ ຄຏະລຈິ X ຬຌັ ຽອາ຺ ກ຅ໍ ະຫາຉຌ຺ໄ ຋ຌຶ ຋ໃ ຉີ ຬໄ ຄເຆເໄ ຌກາຌຏະລຈິ ຋ຄັ ໝຈ຺  10000  130 X ຍາຈ ... 1 ຾ລະ ຽຌໃ ຬື ຄ຅າກຂາງເຌລາ຃າຬຌັ ລະ 350 ຍາຈ ຌຌັໄ ກ຃ໍ ຅ື ະຠງີ ຬຈຂາງ຋ຄັ ໝຈ຺  350 X ຍາຈ ... 2 ກ຅ໍ ະຆຬກຫາກາໍ ແລ຋ຄັ ໝຈ຺ ຅າກສຠ຺ ຏຌ຺ (2) – (1) ຽຆໃ ຄິ ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ  350 X  130 X  10000 ຍາຈ ... 3 ຍຈ຺ ຽລກຍຬກວໃ າມາກແຈກໄ າໍ ແລຫົາງກວໃ າ 20 % ຂຬຄງຬຈຂາງ ຌຌັໄ ຾ຠໃ ຌ: 350 X  130 X  10000  20  350 X 100 220 X  10000  70 X 150 X  10000 X  10000 150 X  66 2 3 90

ສະ຾ຈຄວໃ າ X ຉຬໄ ຄຫາົ ງກວໃ າ 67 ຬຌັ ຂຌຶໄ ແຎ ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ກ 32. ABE ຽຎັຌອູຍສາຠ຾຅ສະຽໝີ EAˆ B  60 , ຂຈີ FG ຉຄັໄ ສາກກຍັ AB ຋ໃ ຽີ ຠຈັ G ຅ະແຈໄ GFˆB  GBˆF  45 , AG  1  x ເຌ AFG : tan 60  FG AG 3 x 1 x 3 1  x  x 3x  x  3  3  1x  3 x  3  3  3 1 3 1 3 1 3 1  3 3  3 3 31 2 ຽຌຬືໄ ຋ີ AFB  1  ພຌືໄ  ລວຄສູຄ 2   1  1  3  3 22  3 3 4 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຂ 33. ເຫໄ AB ຽຎັຌ຅ຈຸ ຋ໃ ລີ ຋ໍໄ ຄັ ສຬຄ຾ຉະກຍັ ພຌືໄ , OA ຽຎັຌລຈັ ສະໝຂີ ຬຄວຄ຺ ຠຌ຺ ຌຬໄ ງ  4 cm , PB ຽຎັຌລຈັ ສະ ໝຂີ ຬຄວຄ຺ ຠຌ຺ ເຫງໃ  6 cm , PC  PB  CB  6  4  2 cm OP  4  6  10 cm ອູຍສາຠ຾຅ສາກ POC 91

OP2  PC 2  OC2 102  22  OC2 OC2  102  22 OC2  100  4 OC2  96 OC  4 6 ຾ຉໃ AB  OC AB  4 6 cm ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຃ 34. ຂຈີ OC ຉຄັໄ ສາກກຍັ GC , QD ຉຄັໄ ສາກກຍັ AB , ຂຈີ QA  1). DGQ  CGO Dˆ  Cˆ , Gˆ  Gˆ , GQˆD  GOˆC 2). DQ  GQ CO GO DQ  15 5 25 DQ  15  5  3 cm 25 3). ເຌອູຍສາຠ຾຅ສາກ ADQ QA2  AD2  DQ2 52  AD2  32 AD2  52  32 AD2  42 AD  4 cm 4). AB  2 AD  24  8 cm ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຄ 35. 92

ຂາໄ ຄຂຬຄອູຍສໃ ຾ີ ຅ງາວຂາໄ ຄລະ 2a S ຾ຍໃ ຄ XY ຽຎັຌຬຈັ ຉາສໃ ວຌ 2 : 1 ຽຽຉໃ XY  2a ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , XS  4a 3 SY  2 a ... 1 3 ... 2 ... 3 ຽຌຬືໄ ຋ອີ ູຍສາຠ຾຅ WRT  1  a  a  a2 22 ... 4 ຽຌຬືໄ ຋ອີ ູຍສາຠ຾຅ RXS  1 a 4a  2a2 23 3 ຽຌຬືໄ ຋ອີ ູຍ຃າຄໝູ TSYZ  1  2a  5 a  5a2 23 3 ຏຌ຺ ຍວກຽຌຬືໄ ຋ີ 1  2  3  a2  2a2  5a2 23 3  3a2  4a2  10a2 6  17 a2 6 ຽຌຬື ຋ຂີ ຬຄອູຍສາຠ຾຅ RST  ຽຌຬືໄ ຋ອີ ູຍ຅ະຉຸລຈັ  4  4a2  17a2 6  11 a2 ຫວ຺ ໜໃ ວງຽຌຬືໄ ຋ີ 6 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ກ 36. BAˆD  DAˆC  x ຬຄ຺ ສາ ... 1 ABˆE  EBˆC  y ຬຄ຺ ສາ BEˆC  ABˆE  BAˆE ... 2 ... 3 110  y  2x ADˆ C  BAˆD  ADˆ B 70  x  2y ຽຬາ຺ 2  2 ຅ະແຈໄ 140  2x  4y ຽຬາ຺ 3  1 ຅ະແຈໄ 30  3y 93

y  10 ຽຬາ຺ y  10 ຾຋ຌເສໃ (1) ຅ະແຈ ໄ 110  10  2x 2x  100 x  50 ເຌ ABC : BAˆC  ABˆC  BCˆA  180 2x  2y  z  180    2 50  2 10  z  180 z  60 BCˆA  60 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຃ 37. ຅າກອູຍ AG  AF ຾ລະ BD  BC ອູຍສາຠ຾຅ AGF ຾ລະ ອູຍສາຠ຾຅ BCD ຽຎັຌອູຍສາຠ຾຅ສາກ AGˆF  BCˆD  45 GEˆC  90 ອູຍສາຠ຾຅ CEG ຽຎັຌອູຍສາຠ຾຅ສາກ຋ຼຄ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , GE  CE  x ເຌອູຍສາຠ຾຅ສາກ CEG : CG2  GE2  CE2 162  x2  x2 2x2  256 x2  128 x 8 2 ລວຄອຬຍຂຬຄອູຍສາຠ຾຅ສາກ CEG  16  8 2  8 2  16  16 2 cm ຃າໍ ຉຬຍ: ຂໍໄ ຂ 38. 94

຅າກອູຍ BD  BQ  QO  OD BD  r  r  R  R sin 30 BD  2r  r  R  R BD  3r  2 R ຅າກ຃ຸຌລກັ ສະຌະຽອາ຺ ແຈໄ BO  2 DO  2R BD  2R  R  3R ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , 3R  3r  2R R  3r  ຽຌຬືໄ ຋ວີ ຄ຺ ຠຌ຺ ເຫງໃ ຽຌຬືໄ ຋ວີ ຄ຺ ຠຌ຺ ຌຬໄ ງ   R2   3r 2  9  r2  r2 1 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຄ 39. ຅າກອູຍເຫໄ BC  x cm ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , EC  x cm 2 ຅າກອູຍສາຠ຾຅ສາກ AEC AE 2  x2   x 2  3x2 2 4 AE  3 x cm 2 ຂຈີ DF  AE ມໃ ູ F ຈໃ ຄັ ອູຍ ຅ະແຈ ໄ AF  FE  3x 4 cos DAˆ E  AF AD cos DAˆ E  3 x  x  3 44 ຃ໍາຉຬຍ: ຂໍໄ ຂ 40. ເຫ຾ໄ ຉໃ ລະ຃ຌ຺ ງຄິ ຋ະຌູ x ຃ຄັໄ ຈໍາ ງຄິ ຋ະຌຊູ ກື ຽຎ຺າໄ 2x ຃ຄັໄ 3 ຾ຈຄ ງຄິ ຋ະຌຊູ ກື ຽຎ຺າໄ 4x ຃ຄັໄ 5 95