แผนการสอน 30000-1404 วิชาแคลคูลัส 1 ภาคเรียน 64.1 (อ.ธีระ)

150 = 3  1  x  3  5  2 x  5  6  3 x  7  2 2  3 3  4 4    =  3 x  3  10 x  5  9 x  7 = 2 2 3 3 4 2 dy 3  10  9 ตอบ dx 3 5 7 2x 2 3x 3 2x 4 7. y = 5x  1 วิธีทํา 7x y= 5x  1 y= 7x dy =  5x 1  7x  1  dx 2 2 =  = = d  5x 1  7x  1  = dx 2 2  =   3 d 5x 1  d 7x  1 dx 2 dx 2 2x 2  3x  4 4 1 5x  1 d 5x    1 7x  3 d 7x  dy = 2 2 dx  2 2 dx dx  = 1 5x  1 5  1 7x  3 7 = 2 2 2 2 = 57 x  32  x  43 25x 1 27x 3 2 2 5 7 ตอบ 2 5x 2 7x3 8. y = วิธีทาํ  d 3 4 dx 2x2  3x  4 d3 4    32x 2 1 2x 2 4  3x  4 dx  3x  4  32x 2  1 4x 3 4 4  3x  4  34x  3 ตอบ  1 4 2x 2  3x  4 4 9. y = วธิ ที าํ dy = d  x  32    dx dx  x  43 

151 x  43 d x  32  x  32 d x  43 dx dx  = x  43 2 = x  432x  3  x  323x  42 x  46 = 2x  3x  43  3x  32x  42 x  46 = x  3x  422x  4  3x  3 x  46 = x  32x  8  3x  9 x  44 = x  3 x 1 x  44 =  x2  x  3x  3 x  44 =  x2  4x  3 ตอบ x  44 10. x3  4xy  y3  16 วิธีทํา d x3  4 d xy  d y3 = d 16 dx dx dx dx 3x 2  4(x dy  y dx )  3y2 dy =0 dx dx dx 3x 2  4x dy  4y  3y 2 dy =0 dx dx (4x  3y 2 ) dy =  3x 2  4y dx dy =  3x2  4y dx  4x  3y2 dy = 4y  3x2 ตอบ dx 3y2  4x เฉลยแบบฝก หัดในหอ งเรยี นหนว ยท่ี 3 จงหาอนุพันธข องฟงกช ันตอ ไปน้ี 1. y   sin 3x 2  4x  5 วธิ ีทํา dy = d sin 3x 2  4x  5 dx dx =    cos 3x2  4x  5 dx 3x2  4x  5

152 ดังนน้ั dy = cos 3x 2  4x  5 6x  4 ตอบ = 6x  4 cos 3x 2  4x  5 dx = d cos 6x 2. y  cos 6x dx วธิ ที าํ dy dx =  sin 6x d 6x 1 dx 2 =  sin 6x  1 6x  1 d 6x  2 2 dx =  sin 6x  1 6x  1 6 2 2 =  3sin 6x ตอบ 6x 3. y = x2  tan4x วิธที ํา dy = d x 2  tan4x  dx dx  = x2d d dx tan4x   tan4x dx x2 = x 2  sec 2 4x d 4x   tan4x  2x dx = 4x 2sex 2 4x  2xtan4x ตอบ sin2x cos2x 4. y = dy วิธที าํ dx = d sin2xcos2x  dx = sin2x d cos2x  cos2x d sin2x dx dx = sin2x  sin2x  d 2x   cos2xcos2x d 2x  dx dx =  sin 2 2x2  cos2 2x2  =  2 sin2 2x  cos2 2x ตอบ 5. y = sin 2x  cos2x วธิ ีทาํ dy dx  = d dx sin 2x  cos2x = d sin 2x  d cos 2x dx dx = 2sinx d sinx  2cosx d cosx dx dx

153 = 2sinxcosx  2cosx sinx ตอบ = 2sinxcosx  2sinxcosx =0 หรอื y= sin 2x  cos2x y= 1 dy = d 1 dx dx =0 ตอบ 6. y = secx  tanx วิธีทาํ dy = d secx  tanx  dx dx d secx  d tanx = dx dx = secx  tanx  sec 2x = secxtanx  secx ตอบ 7. y =  cot 2 4  3x2 วิธีทํา dy =  dcot 2 4  3x 2 dx dx =    2cot 4  3x2 d dx cot 4  3x 2      = 2cot 4  3x2  cosec2 4  3x2 d 4  3x 2   dx      =  2cot 4  3x 2  cosec 2 4  3x 2  6x     =12x cot 4  3x 2 cosec 2 4  3x 2 ตอบ 8. y = sinx  cosx วธิ ีทํา sinx  cosx dy = d  sinx  cosx  dx dx  sinx  cosx  = sinx  cosx  d sinx  cosx   sinx  cosx  d sinx  cosx  dx  cosx2 dx sinx = sinx  cosx cosx  sinx   sinx  cosx cosx  sinx   cosx2 sinx = sinxcosx  sin2x  cos2x  sinxcosx  sinxcosx  sin2x  cos2x  sinxcosx sinx  cosx2

154 =  2sin2x  2cos2x =   2 sin2x  cos2x =  21 หรอื sinx  cosx2 sinx  cosx2 sinx  cosx2 9. y = วธิ ีทํา dy = 2 ตอบ  dx 10. y = sinx  cosx2 วิธีทาํ dy dy = 2 dx sin 2x  2sinxcosx  cos 2x dx 2 =  2sinxcosx  1 = 2  2sinxcosx  1  dy = 2 ตอบ 2sinxcosx  1 dx tan 15x 2 dy = d tan 15x 2 dx dx =    1 1 2 d 5x 2 5x 2 dx = 1 1 10x 25x 4 = 10x ตอบ 1  25x 4 cot 1 1  x 2 1  x 2 = d cot 1 1  x 2 dx 1  x 2 = 1 d  1  x2  dx 1  x2 1   1  x 2 2 1  x 2           1 x2 2  d d       1 x2 2  1 x2  dx dx  1  x 2 1 x2  1 x2 1 x2  1 x2 2  = 2   1 1  2x 2  x4  1  2x 2  x4     = 1  x2 2x   1  x2  2x 1 2  2x 4  = 2x  2x3  2x  2x3 =  14x  2  2x 4 =  4x 21  x4  =  2x 1 x4

155 เฉลยแบบฝก หดั ในหอ งเรยี นหนวยที่ 4 จงหาอนพุ ันธของฟง กชันตอ ไปนี้ 1. y = x2e5x วธิ ีทาํ จาก y= x 2e5x dy = d x 2e5x dx dx  x2d e5x  e5x d x2 = dx dx = x 2e5x d 5x   e5x 2x  dx = = 5x 2 e5x  2x e5x xe5x 5x  2 ตอบ 2. y = 3 5  e2x วิธที าํ จาก y = 3 5  e2x dy =  d 1 3 dx dx 5  e2x = =    1  2 d = 3 dx 3 = 5  e2x 5  e2x    1  2 d 2x  3 dx 3 5  e2x  e2x     1  2 3 3 5  e2x  e2x 2  2e2x  2 3 5  e2x 3  =  2e2x ตอบ 3  3 5  e2x 2 3. y = x3ln9x จาก y = x3ln9x วธิ ที ํา dy = d x3ln9x dx dx = d x3 d x3 dx ln9x  ln9x dx =  x3 1 d =  9x dx 9x  ln9x 3x 2 =  x3 9  ln9x 3x 2 9x x2  3x 2ln9x = x 2 1  3 ln9x  ตอบ 4. y = ln4x  53 วิธีทํา จาก y = ln4x  53

156 dy = d ln4x  53 dx dx = 1 d 4x  53 dx 4x  53 = 4x 1 53  3 4x  52 d 4x  5  dx = 3 5  4 4x  = 12 ตอบ 4x  5 5. y = sinxcosx วิธที าํ จาก y = sinxcosx ใส ln ท้ัง 2 ขาง lny = ln sinxcosx lny = cosx ln sinx d lny = d cosx ln sinx dx dx 1 dy = cosx d lnsinx  lnsinx d cosx y dx dx dx = cosx 1 d sinx  lnsinx  sinx  sinx dx = cotx cosx  sinx ln sinx dy = y cotxcosx  sinxlnsinx dx = sinxcosxcotx cosx  sinx ln sinx ตอบ  6. y = x4  5x2 lnx3 วิธีทํา จาก y =  x4  5x2 lnx3 ใส ln ทั้ง 2 ขา ง lny =  ln x4  5x2 lnx3 lny =  lnx 3ln x 4  5x 2 d   = d dx lny dx lnx 3ln x 4  5x 2 1 dy lnx3 d ln d lnx3 y dx dx dx    =  x4  5x 2  ln x4  5x 2 1 d 1 d x 4  5x 2 dx x3 dx        = x3 lnx 3 x 4  5x 2  ln x4  5x 2      = lnx3 1 1 x4  5x 2 4x3  10x  ln x 4  5x 2 x3 3x 2 4x3  10x 3 x 4  5x 2 x  = lnx 3  ln x 4  5x 2

157    y dy = x 4x2 10 lnx3  3 ln x4  5x2  dx =  x3  5x x   x  7. y = lnx วธิ ีทาํ 4  lnx lnx 3  4x2 10 3     x4  5x2 x  ตอบ 8. y = จาก  x3  5x  lnx3  ln x4  5x2  วิธที าํ  loga 5x  2 9. y = จาก y= lnx วิธีทํา dy = 5  e3x 4  lnx 5  e3x dx d  4 lnx  จาก y = dx   lnx  dy = 4  lnx d lnx  lnx d 4  lnx dx = dx dx = 4  lnx2 y= 4  lnx   1  lnx  1 dy = x x 4  lnx2 dx 4  lnx  lnx = = x4  lnx2 4 ตอบ x4  lnx2 loga 5x  2 d log a 5x  2  dx 1 2 log ae d 5x  2 5x  dx 5 2  log a e ตอบ 5x  = 5  e3x 5  e3x = d  5  e3x dx 5  e3x        = 5  e3xd d dx 5  e3x  5  e3x dx 5  e3x  5  e3x 2        =5  e3xe3x d 3x   5  e3x  e3x d 3x  dx dx 5  e3x 2    = 3 e3x 5  e3x  3 e3x 5  e3x  5  e3x 2

= 15 e3x  3 e6x  15 e3x  3 e6x 158 =  5  e3x 2 ตอบ = 30 e3x ตอบ = =  5  e3x 2 10. y  = tan 2 e5x  tan 2 e5x วิธีทํา จาก y  d tan 2 e5x dy dx dx    2 tan e5x d tan e5x dx      = 2 tan d e5x sec2 e5x  dx e5x = e5x   2 tan e5x d 5x   sec2 e5x  dx = =    2tan e5x sec2 e5x  e5x  5      10 e5x tan e5x sec2 e5x เฉลยแบบฝกหัดในหอ งเรียนหนวยท่ี 5 1. จงหาสมการของเสน สมั ผัสเสนโคง y  x3  2x ทีจ่ ุด x   3 , y  1 วธิ ที าํ y = x3  2x y = 3x2  2 ทจี่ ุด  3 , 1 ; y = 3  32  2 = 27  2 y = 25 แลว m = 25 ดวย ; ท่ีจดุ  3 , 1 สมการเสนสัมผัสเสน โคง y  y1 = m x  x1 = 25 x  3 แทนคา y 1 25x  y  75  1 = 0 25x  y  76 = 0 คอื สมการเสน สมั ผัสเสน โคง ตอบ

159 2. จงหาสมการของเสน สมั ผสั เสนโคง y  3 ท่จี ุด  2 , 1 1 x วธิ ที าํ y = 3 1 x y = d  1 3 x  dx    =  3 d 1  x  dx 1  x2 = 3 1 x2 ทจี่ ุด  2 , 1 ; y = 3 และ m = 3= 1 3 1  22 9 สมการเสนสัมผัสเสน โคง y  y1 = m x  x1 =  2 , 1 เม่ือ m  1 , x1 , y1 3 แทนคา y 1 = 1 x  2 3 3y  3 = x2 x  3y  2  3 =0 x  3y  5 = 0 คือสมการเสน สัมผัสเสน โคง ตอบ 3. จงหาคา สงู สดุ และคา ตาํ่ สุดของฟง กช ัน f x  x2  6x  5 วธิ ีทาํ f x = x2  6x  5 f x = 2x  6 ให f x = 0 ดงั นนั้ 2x  6 =0 x = 3 เปนคา วกิ ฤต , x  0 จะไดคา ตาํ่ สดุ จาก f x = x2  6x  5 f 3 = 32  63  5 = 9 18  5 = 4 นน่ั คอื จดุ วกิ ฤตเทา กับ 3 ,  4 คาตาํ่ สุดคือ  4 สว นคา สงู สดุ ไมม ี ตอบ 4. ตอ งการทํากลอ งที่ไมม ีฝาปดใหมีปรมิ าตรมากที่สดุ จากแผนโลหะบางๆรูปส่ีเหลีย่ มจตั รุ ัสยาว ดานละ 30 น้วิ โดยการตดั สีเ่ หลี่ยมจัตุรัสเล็กๆทีม่ ุมทัง้ ส่ี แลว พับสวนทเ่ี หลือเปนกลอง จงหาความยาวของ สีเ่ หลี่ยมจตั ุรสั เลก็ ๆทตี่ ัดออก วธิ ที าํ ให x เปน ดานของส่เี หลี่ยมจัตุรัสตัดออก ซึ่งเปน สว นสูงของกลอง จะได 30  2x เปนความยาวของฐานกลอ ง จาก v = กวาง  ยาว  สูง 30 นิว

160 แทนคา v = 30  2x2  x = 900  120x  4x 2  x v= 4x3  120x 2  900x dv = 12x 2  240x  900 dx ให dv = 0 dx  12x2  240x  900 = 0 x 2  20x  75 =0 x 15 x  5= 0 x = 5 และ 15 x = 5 ( x = 15 ใชไ มได ) นน่ั คือ ความยาวของส่ีเหลี่ยมจตั ุรัสเลก็ ๆทต่ี ัดออกเทา กบั 5 น้ิว ตอบ 5. จงหาความเรว็ และความเรงของวตั ถุเคลอื่ นทต่ี ามแนวนอน โดยมีสมการของการเคลื่อนทเ่ี ปน s  4t2  5 เมอื่ เวลา t  3 วินาที ให s เปนระยะทาง (เมตร) และ t เปน เวลา (วนิ าที) วิธีทาํ s = 4t2  5 จะได f t = 4t 2  5 ดวย ft = 8t ที่ t  3 วนิ าที , f 3 = 8 3 = 24 นั่นคอื ความเรว็ v = 24 เมตร / วินาที ตอบ หาความเรง จาก ft = 8t ft = 8 8 เมตร / วินาที 2 ความเรง ; a = ตอบ 6. กําหนดให s  1 จงหาความเรว็ และความเรง เมื่อ t2 วินาที ให s เปน 10  t 4  14t 3  60t 2 ระยะทาง (เมตร) และ t เปน เวลา (วินาที) วิธีทํา  s = 1 10 t4  14t 3  60t 2  ds = 1d 10 dt dt t 4  14t 3  60t 2  = 1 10 4t3  42t 2  120t นัน่ คอื v=  1 10 4t3  42t 2  120t  ที่ t  2 วินาที ; v = 1 10 423  4222  1202 = 1  32  168  240  10

161 = 1  104  10 ความเรว็ v = 10.4 เมตร / วนิ าที ตอบ จาก ds  = 1 dt 10 4t3  42t 2  120t  d2s = 1 10 dt 2 12t 2  84t  120 ที่ t  2 วนิ าที ;  = 1 10 1222  842  120 = 1 48  168  120  10 ความเรง a = 1 0 10 = 0 เมตร / วินาที2 ตอบ 6. ลูกโปงถกู ปลอยใหลอยขนึ้ จากพืน้ ดินดว ยอตั ราเรว็ 9 ฟตุ / วนิ าที ผสู ังเกตการณอยหู า งจา ลูกโปง ทเ่ี ริม่ ลอย 150 ฟตุ จงหาวาลูกโปงอยูหางจากผสู ังเกตการณดว ยความเรว็ เทาใด เม่ือลกู โปงอยูส ูงจาก พน้ื ดิน 100 ฟตุ วิธที ํา ให h เปน ความสูงจากพนื้ ดนิ ของลกู โปง ณ เวลา ใดๆ s เปนระยะทางจากผูสงั เกตการณถงึ ลูกโปง ณ เวลา t ใดๆ h = 100 ฟุต s2 = h2  1502 S s2 = 100 2  1502 = 10,000  22,500 = 32,500 A s = 50 13 150 พจิ ารณาจาก s2 = h2  1502 d s2  =  d dt dt h 2  1502 2s  ds = 2h  dh dt dt ds = h  dh dt s dt = 100  9 ; dh  9 ฟุต / วินาที 50 13 dt น่นั คือ ความเรว็ = 18 ฟุต / วินาที ตอบ 8. กาํ หนดให y 3 วิธที ํา y = x3  3x2  4x  5 จงหา dy dy = x3  3x 2  4x  5  = d x3  3x 2  4x  5 = dx3  d3x 2  d4x   d5

=  3x 2  6x  4  0 dx 162  dy =  3x 2  6x  4 dx ตอบ 9. กําหนดให y =  cos x2  5x  3 จงหา dy วธิ ีทาํ y =  cos x2  5x  3 ตอบ =  dcos x2  5x  3 dy =     sin x2  5x  3 d x2  5x  3 ตอบ =   sin x2  5x  3 2x  5 dx  dy =   2x  5 sin x2  5x  3 dx 10. กําหนดให y = lnx2  7x จงหา dy วิธที าํ y= lnx2  7x  dy = d ln x2  7x  = x 1  d x 2  7x  dy =  2 7x 2x  7 dx x2  7x 11. จงประมาณคา 533 = 529  4 วธิ ีทํา 533 x  529 , Δx  4 ให ถา y = x = 529  y = 23 จาก y =x dy =1 x  1 dx 2 dy 2 dy = f x  Δx = dx 2x = Δx ; x  dx 2x แทนคา =4 เม่อื 2 529 =2 23 0.0869 และ y  23 = f x  f xdx = y  dy = 23  0.0869 = 23.0869

163 ดงั น้ัน 533 = 23.0869 ตอบ 12. จงประมาณคา ตอบ วิธีทํา 3 64.39 = 3 64  0.39 3 64.39 x  64 , Δx  0.39 ให ถา y = 3 x = 3 64 y =4 จาก y = 3x = x 1 3 dy =1 x  2 dx 3 3 = dx 2 3x 3 = Δx ; x  dx 36432 = 0.39 = 0.39 316 48 dy = 0.008125 และเมื่อ y  4 เมอื่ f x  Δx = f x  f x dx = y  dy ดังนั้น 3 64.39 = 4  0.008125 = 4.008125 เฉลยแบบฝก หดั ในหอ งเรยี นหนว ยที่ 6 จงหาคา ของ  x9dx = +x91 c 1.  x9dx 9 1 ตอบ = x10 + c 10

164 3 2. 8x5dx 3 3  8x 5 dx = 8 x5dx x 3 1 3 5 = 8( ) + c 5 1 8 = 8( x5 ) +c 8 5 8 +c = 5x 5 ตอบ   4x3  5x4 dx =  4x3dx   5x4dx 3.  4x3  5x4 dx = 4 x3dx  5 x4dx = 4 x 31  5 x 4 1 +c 3 4 1 1 = 4 x4 5 x5 +c 4 5 = x4  x5 + c ตอบ 4.  5x 14x  33x  4dx  5x 14x  33x  4dx =  (60x3 137x2  85x 12)dx =  60x3dx  137x2dx  85xdx  12dx = 60 x3dx 137 x2dx  85 xdx  12 dx = 60 x4  137 x3  85 x2  12x +c 4 3 2 = 15x 4  137 x3  85 x2  12x +c 3 2 ตอบ   4x3  5x2  6x  7 dx 5. x   4x3  5x2  6x  7 dx = 1 x  (4x3  5x2  6x  7)x 2dx 531 1 = (4x 2  5x 2  6x 2  7x 2 )dx = 5 3 1 x  1 dx 2 x 2dx  5 x 2dx  6 x 2dx  7    4

165 x 5 1 x 3 1 x 1 1 x 1 1 5 2 3 2 1 2 2 =4 5 6 7 2  2  2  1 2 1 1 1   1 +c 75 3 1 = 4 x2  5 x2  6 x2 7 x2 +c 7 5 3 1 +c 2222 =8 7  5  3 1 7 x2 2x 2 4x 2  14x 2 ตอบ 6.  6x  54dx ให u = 6x  5 = 6dx du du = dx 6  6x  54dx =  u 4 du 6 = 1  u 4du 6 = 1 u5 + c 65 = u5 + c 30 = (6x  6)5 + c 30 ตอบ 3 x2 1  2x3 4 dx  7. ให u = 1  2x3  6x 2dx du = x 2dx du = 6  3  = 3 1  2x3 4 x2dx  x2 1  2x3 4 dx = 3 du u4 6 =  1 3 6 u 4du 1 u3 1 4 =  +c 6 3 4 1

166 7 =  1 u4 +c 6 7 4 =  2 7 +c 21 u4 =  2 (1  7 + c 21 2x 3 ) 4 ตอบ 8.  4dx 5x  33 ให u = 5x  3 = 5dx du = dx du 5  4dx =  4(5x  3)3dx 5x  33 = 4 u3 du 5 = 4 u 3du 5 = 4 ( u2 ) + c 5 2 = 4u 2 +c  10 =  2 u2 + c 5 =  2 (5x  3)  2 +c 5 = 2 +c  5(5x  3)2 ตอบ 9.  x6 5 9 dx 4x7  ให u = 4x7  5 28x 6dx du = x 6dx du = 28   x65 9 dx = (4x7  5)9 x6dx 4x7  = u 9 du 28

167 = 1 u 9du 28 = 1 ( u8 ) + c 28  8 =  u 8 +c 224 =  1 u 8 +c 224 =  1 (4x 7  5)8 + c 224 =  1  5)8 +c 224(4x 7 ตอบ 10.  x 3  27 dx x3  x3  27 dx =  x3  33dx x  3 x3 =  (x  3)(x 2  3x  32 )dx x3 =  (x  3)(x 2  3x  9)dx x 3 =  (x2  3x  9)dx =  x2dx  3 xdx  9 dx = x3  3 x2  9x +c 3 2 = 1 x3  3 x2  9x +c 3 2 ตอบ เฉลยแบบฝก หดั ในหอ งเรียนหนว ยท่ี 7 จงหาคาของ 1.  sin5x  cos4xdx ให u = 5x du = 5dx du = dx 5 และ ให u = 4x du = 4dx

168 du = dx 4  sin5x  cos4xdx =  sin5xdx   cos4xdx =  sinu du   cosu du 5 4 = 1  sinudu  1  cosudu 5 4 =  1 cos5x  1 sin4x  c 5 4 ตอบ 2.   4sec2x  tan2x  9x dx ให u = x du = dx และ ให u = 2x du = 2dx du = dx 2   4sec2x  tan2x  9x dx = 4 sec2xdx   tan2xdx  9 xdx = 4 sec 2 udu   tanu du  9 udu 2 = 4tanu  1 ln secu  9 u2  c 2 2 = 4tanx  1 ln sec2x  9 x2 c 2 2 ตอบ 3.  cos4x dx ให u = 3  sin4x 3  sin4x du = 4cos4xdx du = cos4xdx 4  cos4x dx = (3  sin4x)  1 cos4xdx 3  sin4x 2 = u  1 du 2 4 = 1 u  1 du 2 4 1 = 1  u2 c 4 1 2 1 = u2 c 2

169 = 3  sin4x c 2 ตอบ 4.  5  sin2 4xcos4x dx ให u = 4x du = 4dx du = dx 4 และ ให u = sin4x du = 4cos4xdx du = cos4xdx 4   5  sin2 4x cos4x dx = 5 cos4xdx   sin2 4xcos4xdx = 5 cosu du   u2  du 4 4 = 5  cosudu  1  u 2du 4 4 = 5 sinu  1  u3  c 4 4 3 = 5 sinu  u3  c 4 12 = 5 sin4x  sin3 4x  c 4 12 ตอบ 5.  2sinxcosx dx u= sinx du = ให cosxdx  2sinxcosx dx = 2 sinxcosx dx = 2 udu = 2 u2  c 2 = u2  c = sin 2x  c ตอบ u = sin2x 6.  sin8 2xcos2xdx ให

170 du = 2cos2xdx  u8  du du = cos2xdx 2 2 =  sin8 2xcos2xdx = 1  u 8du 2 = 1  u 81  c 2 8 1 = 1  u9 c 2 9 = 1 u9  c 18 = 1 sin 9 2x  c 18 ตอบ 7.  cosx dx sin 8x ให u = sinx = cosxdx du =  cosx dx  sin 8xcosxdx sin 8x =  u8du = u 81  c 81 = u 7  c 7 =  1  c 7u 7 =  1  c 7sin 7x ตอบ 8.  cosec24x  3dx ให u = 4x  3 4dx du = dx du = = 4  cosec2 4x  3dx  cosec 2u du 4 = 1  cosec 2 udu 4 = 1 (cotu)  c 4

171 =  1 cot(4x  3)  c 4 =  cot(4x  3)  c 4 ตอบ 9.  dx 9  x2  dx =  dx 9  x2 32  x2 จะได u =x a =3   dx = sin 1 x  c 9  x2 3 ตอบ 10.  3dx 25 16x2  3dx = 3 dx 25 16x2 52  (4x)2 จะได u = 4x , a =3 du = 4dx du = dx 4  3dx = 3 d(4x)  4 52  (4x)2 25 16x2 = 3 d(4x) 4 52  (4x)2 = 3 sin 1 4x  c 4 5 ตอบ เฉลยแบบฝก หดั ในหอ งเรยี นหนว ยท่ี 8 จงหาคาของ 1.  dx 3 5x  ให u = 5x  3 = 5dx du du = dx 5

172  dx 3 =  1  du 5x  = u 5 = = 1  du 5 u 1 ln u +c 5 +c 1 ln 5x  3 5 ตอบ 2.  2dx xlnx ให u = lnx du = 1 dx x  2dx = 2 1  1 dx xlnx lnx x = 2 1  du u = 2 du u = 2lnu + c = 2ln lnx +c ตอบ 3.  x3dx 9  2x 4 ให u = 9  2x4 =  8x 3dx du = x3dx du 8 = 9 1  x 3dx  2x 4  x3dx 9  2x 4 =  1  du u 8 =  1  du 8 u =  1 ln u +c 8 +c =  1 ln 9  2x 4 8 ตอบ 2 x 4.  4x  x2 dx  ให u = 4x  x2 = (4  2x)dx du

173 = 2(2  x)dx du = (2  x)dx 2 2 x   dx =  4x 1 x2  (2  x)dx 4x  x2  =  1  du u 2 = 1  du 2 u = 1 ln u +c 2 = 1 ln 4x  x 2 +c 2 ตอบ 5.   x2  2x  2   dx x 2   x2  2x  2   dx =  (x  2 )  dx x 2  x 2 =  xdx   x 2 2 dx  ให u = x2 = dx du =  xdx   2 du u =  xdx  2 du u = x2  2ln u +c 2 = x2  2ln x  2 +c 2 ตอบ 6.   ex 1 3exdx = ex 1 = exdx ให u du   ex 1 3exdx =  u3du = u31 + c 31 = u4 + c 4 = (ex  1)4 + c 4 ตอบ

174 7. ecos3xsin3xdx ให u = cos3x du =  3sin3xdx du = sin3xdx 3  ecos3xsin3xdx =  eu du 3 =  1  e u du 3 =  1 eu +c 3 = 1 ecos3x +c 3 ตอบ  8. e4x  a4x dx ให u = 4x du = 4dx du = dx 4   e4x  a4x dx  = e4xdx  a4xdx =  eu du   au du 4 4 = 1  eudu  1  a u du 4 4 = 1 eu  1  au + c 4 4 lna c = e4x  a 4x + 4lna 4 ตอบ 9.  ex dx ให u = x 2 du 2du = 1 dx 2 = dx  ex dx 1 = (ex )2 dx x =  e2dx =  eu 2du = 2 eudu = 2eu + c

175 x = 2e2 + c = 2 ex + c ตอบ 10. e2x 1 e2x dx = 1  e2x =  2e2xdx ให u = e2xdx du du 2  e2x 1 e2x dx = 1  (1  e2x )2 e2xdx = 1 du u2 2 =  1 1 2 u 2 du 1 u1 1 2 =   +c 2 1 2 1 3 = 1 u2 +c 2 3 2 =  1 u 3 +c 3 2 =  1 (1  e 2x ) 3 +c 3 2 ตอบ 11. x2e2x3 dx ให u =  2x3 จะได du =  6x2dx และ du = x2dx 6  x2e2x3 dx =  e2x3 x2dx =  eu du 6 =  1  eudu 6 =  1 e u +c 6 =  1 e2x 3 +c 6 = e2x3 +c 6 ตอบ

176 เฉลยแบบฝก หดั ในหองเรียนหนว ยท่ี 9 จงหาคา ของ 0 0 1.  (x  1)(x  2)(x  3)dx =  (x3  6x2  11x  6)dx 2 2 0 วธิ ที าํ  (x  1)(x  2)(x  3)dx 2 x4 x3 x2  0 3 2  =  4  6  11  6x  2 = 0  4 16  22 12 =2 ตอบ ตอบ 3 2.  f(x)dx กําหนดให f(x)  x  1 เม่ือ x  1 และ f(x)  (x  1) เม่ือ x  1 2 3 1 3 วิธที ํา  f(x)dx =   (x 1)dx  (x 1)dx 2 2 1 x2  1 x2  3   =  2  x   2  x   2  1 = [ (1)2 ( 2) 2  (2)] [ (3)2 (1)2  (1)]  2 2   2 2    ( 1)]  [   3]  [ =   1   8 2  = 1  8 2 = 17 2 3.2 (x  1)2  (x 1 dx 1  1)2 วิธที ํา 2 (x  1)2  (x 1 dx = 2 (x  1)2  (x 1 dx  1)2 1  1)2  1 22 =  (x  1)2 d(x 1)  (x  1)2 d(x  1) 11 =  (x  1)3 2   (x  1)1 2  3   1   1  1 = [ 13  0]  [ 1  1 ] 3 2 = 1  5 3 6

177 =  3 6 =  1 2 ตอบ 4. 8 x dx 4 x2  15 วธิ ีทาํ 8 x dx = 1 8 (x 2  15)  1 d(x 2  15) x2  15 4 2  2 4 = 1 (2)(x 2  15) 1 8 2  2  4 = (x 2 1 8   15)2  4 11 = (64 15) 2  (16 15) 2 11 = (49) 2  (1) 2 = 71 =6 ตอบ 5. จงหาพนื้ ทที่ ่ีปด ลอมดวยเสนโคง x  8  2y  y2 และตดั กบั แกน y และเสน ตรงในแนวแกน x ที่ y  1 และ y  3 วิธีทํา ให x  0 จาก x  8  2y  y2 จะได 8  2y  y2  0 (4  y)(2  y)  0  y  2,4 ดงั นั้น จุดตดั ของเสนโคง คอื y  (0,2),(0,4) ให A  พืน้ ทที่ ี่ตองการหา 3  A   x dy -1

178  3 2y  y2 )dy  (8  -1    2 y2  y3 3 8y 2 3   - 1  24  9  9   8  1  1  = 92 ตารางหนวย ตอบ 3  3 6. จงหาปรมิ าตรที่เกิดจากการหมุนของพ้นื ทท่ี ี่ปดลอมดวยเสนโคง y  4x2 และเสนตรง ในแนวแกน x ท่ี y  16 ในบรเิ วณ x  0 และ y  16 วิธีทํา จาก y  4x2 ……………(1) และ y  16 ……………(2) (1 ) = (2 ) จะได 4x2  16 x2  4   2,2 ดงั นัน้ จุดตดั ของเสนโคง คือ (2,16),(2,16) ภาพกอนการหมนุ ภาพหลังการหมนุ ให V  ปรมิ าตรของรปู ทรงตนั ท่ตี อ งการหา  V 2  4x2)dx  π (16 0  2  128x 2  16x4)dx π (256 0    128 x3  16 x5 2 π256x 3 5  0   π512  1024  512  3 5  = 4096 π ลูกบาศกห นวย ตอบ 15

179 ภาคผนวก ภาพตวั อยางการใชส ื่ออเิ ลก็ ทรอนกิ สในการเรียนการสอน รปู แบบ (On Demand) และ (On line) แทน รปู แบบ (On site) -การใชสตรีมสอนสดดว ย Google Meet บันทึกการเขา ชนั้ เรียนดวย Meet Attendance Collector -การใช Google Classroom ใหนักศึกษาไดศกึ ษาดวยตนเองภายในหองเรยี น -การใช Google Classroom ชว ยประเมนิ ผลการเรยี น -การอัดวดี โี อแบบออฟไลนเผยแพรบน You tube เพ่ือใหนกั ศกึ ษาสามารถศกึ ษายอนหลังไดเนอื้ หาทีส่ ําคญั

180

181

182