Айдос Ерқара және Балықбаев Тахир - Математика

llleu iyi. Мунда I’, - •. Ч - ~ ~ болгандыктан (1) формул;! I2 бойынша S = ----- — = - аламыз. ! 2-мысал. b = 0,333... = 0,(3) периодты болшекп жай болшек гуршде жазу керек. llleuiyi. Ke.ieci тендштер;и жазып алайык.: 0.3 = - . 10 0.33 = — + — . 10 10- 33 3 ().33...3 = — + — + ; “ ю ю- Ю\" Олай болса, бершген периодты болшекп бiрiнilii мynieci .... .3 1 мен сселил сойкес />, = — . и = — тец акырсыз kcmimcju гсо- 10 10 метриялык, прогрессияныц косындысы репнде ала аламыз: з S = 0,333...= Л, к) 3 1 \\-ч У3 10 Осы мысалды Kevieci жалпы жагдайга коипрешк: 0.11,4,(1,4.11..... =0.(/,(«,<?.,) =— +— +<h cfi +.. 10 1 0 ’ 10' Мунда CKimni косылгыпгган бастаи акырсыз ке.мтме.п гео­ метриялык, прогрессия турганын коруге болады. Сондыктан ( I ) (формула бойынша, (/.а, 0ji.ii,а..и,а.....= —(I| +(1,(1. +-(1^,-(+1,-+... =—(I,+- п|('): ю ю' ю' ... 10 I И)-’ a, (i,(i х 99(i,+(!,(/х \\00(1, +(i,(i, - а, и.а,а. -а. I!) 10- 99 990 990 990 98

Ллынгин те 11ii к — перподты ондык болшект i жай болшекке айналдыру ережесш корсепп турганыма па jap аударыцыз! 3-мысал. Gcne;ii ариф м етикалы к прогрессняныц алгашкы уш Mymeciiiin косындысы 2! тец. Егер осы прогрессняныц алдыцгы ею муш есш ен де б iрдi merepin. ал yniiiniii муш есш е 2 косса, алынган уш сан геометриялык прогрсссняцы курай- ды. Ееометрпялык прогрессняныц алгашкы сепз \\iynieciniк косы нд ы сы н табу керек. 2d +2d Illeiuyi. 41 п. (4') формуласы бойы нш а •'■>: = ------ 3 = 21. а+с!= 7. Есеп шарты бойы нш а с/, -1. a, +<7-1. а, +2/1-2. — гео­ м етр иялы к прогрессняныц алгаш кы уш м уш есг 42п. (2)-iui ф о р м у л а с ы н н а й д а л а н с а к (г/,+с/-1) = (с/. —1)(с/. + 2d - 2) ж о н е a} = l - d е к с n i н е с к е р i п м у н ы ы к ш а .м д а с а к d~ + 3(7 -18 = 0. </,= 3,(7, = - 6 аламыз. Есеп ш арты н </, = 3 кана канагат гандырады, ал оган = 7 - 3 = 4 сойкес келедк Есеп шартын пайдаланып b = a t - I =3: 1\\ = с/, +</-1 = 6: ц - 2 аламыз. Ен:н (42)п. (6 ) формуласын колданамыз V = « ,(^ - П = 3( 2S - D = Ч- 1 2-1 4-мысал. А кы р сы з кемгмел! геометриялык прогрессияныц косындысы 56, ал оны ц м уiLie.iepi11iц кнадраттарыныц к о сы н ­ дысы 448. П рогрессняны ц 6 ipiinni муш есш жоне eceviirin табу керек. Illeiuyi. Е сеп ш ар ты б о й ы н ш а : />,+/>,+.... + Л = 56, />,' ' = 448. Мундагы CKiiiini косы нд ы п ы ц косыл- г ы ш г а р ы б iр i н ш i M ym eci а] , ал ссе л и т с/2 б о л а ты н а к ы р с ы з Ke.Mi.Mevii г е о м е т р и я л ы к п р о гр есси я кур ай ты н - дыктан — 1— = >6 —1—— = 448 аламыз жоне 6 ipiinni тецик- 1~-/ ‘ 1--/; ген i/]= 56( 1-<:/) тауып оны екш пп те ц п к к е копсак — ---— - = 44S. 56(1 —I/) = S( I + (/). ч = ' (1-</)(1 + (/) 4- Демек. н, = 56(I - —) = 14. 99

Ж АТТЫ РУЛАР 1. («,) riзбеri //-ш i м уш еа аркылы: «= 1 0 —3// 6 epi:ircn. (ап) — арифметикалык прогрессия болатынын долелдеу ке­ рек. 2. М ы на 18; 16; 14; ... арифметикалык прогрессияныц канша мушесш алса олардыц косындысы нолге тец болады? 3. М ына 7; 9; 11; ... арифметикалык, прогрессияныц: а) он cem iiniii мушесш: б) алгашкы он сепз Myiuecinin косындысын табу керек. 4. д-тщ кандап мондер1нде i f c сандары, осы корсе ri.iген ретте: а)арифметпкалык прогрессияны; б) 6ip.MC3i i.'ne арифметикалык жоне геометриялык про- гресспяларды кураИды? 5. г = 3.Y ф ункц иясы ньщ аргумент1не арифметикалык прогрессия болатын мондер пзбепн берсе, онда оran сойкес функцияныц MOiuepi геометриялык прогрессия курайтынын долеледеу керек. 6 . /у = 256, (J = 2 гец геометриялык прогрессия берйген. S 7-’ra6 v керек. 7. M yine.’iepi м ы на: /;>,+/;,+/;.,= 6 , h, + /у + /у = -3 тенд1ктер;ц канагаттандыратын геометриялык прогрессияны табу ксрск. 8 . 1 + .Y+ д- + ,y + ...+ л'11\"1 = 0 гендеуш шешу керек. 9. bipnnui жоне тортпшп мушелершщ косындысы 34 тец, ал ек iн иIi жоне yinium i м уш елерш щ косы нды сы 36 тец болатын акы рсы з кем 1мел1 геометриялык прогрессияныц мушелершщ косындысын табу керек. 10. Т ак орындарында турган муш елерш щ косындысы 36 тец, ал жуп орындарында турган мушелершщ косындысы 12 тец болатын акырсыз кемше.й геометриялык прогрессия­ ны табу керек. ЖА> АПТАРЫ 2. // = 19: 3. </, = 41; ,Vj4 = 432 ; 4. а) д; = 0 : .у, = 1; б) д- = 1; 3. 30S: 7. X: -4; 2; -I; ...: 8. 0 ; 9. 96; V i2 10. 32; , ; : ... 11)0

§ II. IIE E I3 II Э Л ЕМ Е Н Т 'А Г Ф У П К Ц И Я Л А Р Непзп j.iCMCinap фупкциялар леп, келеа (|)>нкцияларды айтады: 1. Дореже.нк функция: г = д\" , и е R . 2. Корсегкш гпк функция: у = а\\ а > 0 , а г I . 3. Логарифм;цк функция: у = log ( д. а >0. а Ф I. 4. Тригонометрия.1ы к фупкциялар: у = sin д, у = COS д, у = tg А , у = clg д. 5. Kepi тригонометриялык, фупкциялар: у = arcsin д, у = arccos д, у= arctg ,v, y=arcctg д. Ен лi осы функцняларга жеке-жеке токталайык. 53. Дореже.нк функция у = х \" . а К. Бул ф у н к п п я н ы зерттеп Гиду у ш ш . он ы ц дореже кор- ceTKiininin : I. I/ = 2 т ( т е Л') : II. а = 2 т - 1 ( т е X ) ; III. и = ~ 2 т { т е .X) ; IV. а - - 2 т f I ( т е X ) ; V. tf-6 e K iii.iiей оц (V I. repie ) бутш емес сан болатын жаг- дайларын кдрастырамыз. Е у = д-’\" '. т е X кандай да б iр берiл ге11 нагурал сан. Онда: а) аныктаду аймагы б) 031 еру айм.н ы [0, <*>) ; н) ф ункция томеннен шенелгсн у > (); г) функция д = 0 нуктеспгде ец Kinii у = 0 мошн кабыл- дайды; д) функппя перподты емес: е) (функция жуп; ж) (функппя аныктаду аймагында монотоиды емес, 6 iрак (-со; 0 ) аралыгында кеми;ц, ад [ 0 , °°)а р а л ы гы н д а осе;ц; з) (0; 0) нуктеа-координата ocTcpi.Meii к п ы л ы саты н ж а л ­ гыз нукте. у = д° (ф ункциясы ны ц графпп 44 п. карастырылган е;п. ISiз оны салыстыру у ш iн у = д 4, у = хь ( т = 2. т = 3) функция- л а р ы н ы ц гр аф и ктер 1мен oipre тагы да кел i ip i11 о ты р м ы з ( 6 -сурет). I E у = д ’ \"'н , т е X кандай да 6 ip бе Kiii.лre 11 нагурал сан. 101

(У.) V= л /3) у = .v‘ у) v = .v\" -] X 6-cypc'i 7-сурег Онда: а) аныкталу аймагы (- 00; оо) ; б) озгеру aii.Mai ы (-оо; оо); в) функция жогарыдан да, томсннен де шенелмеген; г) (функцияныц ец улкен мои! де, ен Kimi монi де жок: л) (функция периодты емес; е) <ф\\нкция гак; ж) (функция буки аныкталу аймагында осе/п; (0 ; 0 ) Iiyктесi координата остер1мен киылысатын жалгыз пукте. г = .V, у = .у5, v = .V- функцияларыныц графиктер1 7-сурет- те беинелснген. III. v =.v'\"\", we N кандай да 6 ip 6 еKirijiгеii натурал сан. Онда: а) аныкталу aii.Mai ы (-<»; ( ) ) и ( 0 ; ° ° ) ; б) озгеру аймагы (0; =■=>); в) функция томсннен шенелген у > 0 ; г) функцияныц ец улкен моиi де. ец Kimi монi де жок: д)(функция периодты емес; с) (функция жуй; ж) (функция буки аныкталу аймагында монотонлы емес. т р а к (- со 0 ) аралыгында осели ал ( 0 ; ° ° ) аралыгында кемидц з) коорлинаталар ocTepi.Meii кпылысу нуктелер1 жок. У =д“: , у = д 4 (функцияларыныц графиKTepi Х-суретте корсетп теп. IV. г= .V 1, ///-кандап да 6 ip 6 epi.ii еп натурал сап. Онда: а) аныкталу аймагы (-°°: () ) и ( 0; оо); б) озгеру аймагы ( - оо; ( ) ) и ( 0; ° ° ) ■ is) (функция жогарыдан да, томеннен де шенелмеген; 102

It /)■ \\ 8-сурет 9-сурст г) функцияныц ец улкен де, (0 ; + °°) ец к и т де мош жок; д) функция нериодты емес; е) функция так; ж) функция аныктаду аимагында монотоиды емес, 6 ipaK (- с о ; ()) арадыгында жоне де (0;+оо) аралыгында Ke.Miui; з) координата ocTcpiMeii киылысу нукге.тер: жок. 3’ = д--1, у = х у = х \" (|)ункц иялар ы ны ц граф иктер1 9-суретте корсеттлген. V. г = а \", а - бекгплген оц бут in емес сан. Онда : а) аныктаду аймагы ( - °°; ° ° ) ; б) озгеру аймагы (0 , ° ° ) ; а) функция томеннен шенелген у > 0 ; г) функция а = 0 нукгеслнде ец Kimi г = 0 монш кабыл- да!щы; д) функция перподты емес; е) функция жуп та, та к та емес; ж) функция аныктаду аимагында оседк з) (0 ; 0 ) нукгсст коорлпнаталар остер1мен кпылысатын жалгыз нукте. 10-суретте осындай функциялардыц 6 ipiieineyi бсйнеленген. VI. =л \" . а бек1ттлген оц буттн емес сан. Онда: а) аныктаду аймагы ( 0 ; ° ° ) ; б) o il еру аймагы ( 0; <х>) ; в) функция томеннен шенелген у > 0 ; г) функцияныц ец улкен де, ец Kimi де \\ioni жок: л) функция перподты емес; е) функция жуп та, та к та емес; ж) функция аныктаду аймагында кемп.п: з) коорлпнаталар остер1мен киылысу 11уктe.iepi жок. 103

11-суретте осыпдай ф уп кц и ял а р л ы к 6 ipnem eyi бейпе- лснгсн. I. \\' = л 0 <и, <((. <1 I. у =л II. V = .V. IV. у л 11 У — >— >1. V. у = л- I. у =.V (О < а, <а , < 1j II. у = .V ' III. y = .v“ (л > 0) IV. у = л 11 V. v =.v (— >— >1). ((, о., 54. К о р се ткш тк функция, у =а ' , а > (I. a t 1 Корссгкпгпчк функция леи, iicri п а > 0 жоис и Ф 1 шар i - тарын к,апагаттаилыратып а сан ы на тец, у = а' ф у к к ц и я с 1>1п апталы. К о р сеткш гп к (ф ункцияныц мынандай касиеттер1 бар: а) аны кталу аймагы (- со; ° ° ) ; б) озгеру аймагы (О,’сю); is) ф ункц ия томеннен шснелген у > 0 ; г) ф ун кц и ян ы ц ец улкен де, ец Kimi де м э ш жок; д) ф ункция периодты емес; с) (функция т а к т а , жуп та емес; ж ) егер а >1 болса, онда (функция аны кталу аймагында оседг егер 0 <й<1 болса, онда (функция аныкталу аймагында кемидц з) (0; I) — ф ун кц и я гра<ф>иr iн iц коорлинаталар ocTcpiMdi ки 1>1л ы с а т ы 11 нуктесд. 104

о 12-суре г 12-суретте n e rn i а> 1 жоне (Кс/<1 болатын у = и1 функ- ц и яеы н ы ц гра<|)иктepi корсеплген. 55. Kepi функция жоне оныц графин Граф иKTepi 13 а,б-еуреттерде Geiiiie.nei11eн r = f(x) пен у = ~g(x) ф уп кц и ял а р ы н салыстыранык.. О н ы ц екеуа де \\а\\ Ь\\ Kecii 1л1с1нде аныкталган жоне CKeyinin де мондер аймагы |е; с!| Kcciiwici. Bipiumi ф ун кц и ян ы ц келеа каспеп бар: [с; с!\\ кесiн/iiciiieн алынган кез келген у 0 yiuin |а; Ь\\ кеспццсшде ./(л0)= уп тец болатын тек 6 ip гана xlt mohi бар. Геом етр иялы к тургыдан бул каеиет мынаны бигиредг у ocin с мен d нуктеле- pinin арасында кцятын кез келген O.v-ке параллель тузу у =J'(x) ф ун кц и ясы н ы ц графипн тек 6 ip гана нуктеде кпяды. Гк п д ш ф ун кц и я бул каеиетке не емес. М ы са л ы . г м оиi у ш ш у = у, 1Узуi у = g(x) ф у н кц и ясы н ы ц rpa([)iirin уш нукт еде кияды. С о н ы м ен . 6 ipi 11in i жагдайда \\с; d\\ Keciim iciiien алынган op6 ip ocp ijire11 rn yiuin j(x)= yn тенд еуш щ 6 ip гана .v, lyoipi бар бол­ са, eк iн liii жагдайда кейбф г yiuin, мы салы , r--r. yiuin g(x)= y f Tenaeyiiiin 6 ipiiciiie ry6 ipi бар. Баскаш а айтканда, y= f(x) ф ун к­ ц и я с ы н ы ц а н ы к т а д у а й м а г ы н а п ал ы н га н д - п ц opmyp.ii м о н д ср ш’ с осы ф у н к ц и я с ы н ы ц озгеру ай м агы нд агы г-тщ onmypjj MOHtk’pi сойкес келедг Мундай жагдайдарда, функция озппц аныктаду аймагын озгеру аймагына озари Снрмондi ocim c.ieiidi дей;и де оны каи- пюрымды (функция деп атайды. 105

Олай болса. 13,а-суретте бейнелеиген у = J{x ) ф ун кц и ясы кайтарымды да, 13,6-суретте бейнелеиген у = g(x) функцпя- сы кайгарымсыз. Егер у —fix ) ф уи кц и ясы кайтарымды болса, онда у = Д х) формуласындагы _v-гi у аркы лы орнектеп (оны д-= / \" '( г ) ар- кылы белплейм п), содан соц х пен у орындарын алмасты- рып, г = / 1(д) Kepi функцинсын аламыз. Сонда у =/(.v) функ- ц п я с ы н ы ц озгеру а й м а п .1 у= f ' ( х ) Kepi ф у н к ц и яс ы н ь щ аныкталу аймагыпа, ал у =/(.v)-Tin аныкталу аймагы у = /\" '(л ) Kepi ф ун кц и ясы н ьщ озгеру аймагына отедг 13-суреттергс на- зар садып карасак, у = Д х) ocne.ii (ягни катан монотонлы) функция болса, у = g(x) ф ункц иясы моиотонды емес ексчин коремгз. Ф у н к ц и я н ы ц кагац моногонды болуы оган Kepi ф ун­ кц и ян ы ц бар болуын камтамасыз ere.ii. 1-теорема: у =./(.v) ф ун кц и ясы X аралыгында ан ы к та л ­ ган жоне о н ы ц мондер ж и ы н ы Y болсын. Е г е р / ф у н к ц и я с ы X аралыгында ociic.ni (KCM iMe.ii) болса, онда он ы ц Y ж и ы ­ нында аны кталган жоне осы ж иында ocnejii ( к е м iме.чi ) керi ф ун кц и ясы бар. М ысал. у=2\\— 1 (ф ункциясы ньщ Kepi (функциясы бар екенш долелдеу керек жоне осы Kepi ф ункцияны табу керек. llJeuiyi: у=2х~ 1 ф ун кц и ясы букьт сан осшде ос пел i, олай болса он ы ц ке-pi (функциясы бар. Kepi ф ун кц и ян ы табу уппн г+ 1 y = 2 v - l формуласынан л-ri орнектейм1з: л = ' . Ен;и ,v пен -v+1 j ’ -Tin. ор ы н д ары н алм асты р ы п у = _ _ Kepi ф у н к ц и ян ы аламыз. О з iIliп. аны кталу айма!'ында Kepi ф ун кц и ясы болмайтып. 106

олай болса аныкталу аймагында катан монотонлы емес ф ун к ­ ция берпсш . К сIiбiр жагдайларда мундай (функцияныц ан ы к­ талу aiiNiaiT.ni, op6 ip eyiiue ф ункц ия катан монотонлы бола- тындай erin, oipnenie аныкталу аймактарына болшектеуге бо­ лады. М ы сал ы , 13, б-суреттеп карастырылган. кайтарым сы з у = у(х) (функциясыньщ аныкталу аймагы \\ci,b| K cciiu icin [а,а{\\, [«!,«,], \\а,,Ь\\ аралыктарга болш ектей отырын. осы арадыктар- дыц оркайсы сы нд а г = &(.v) ф ун кц и ясы калан моногонды ексдйн коруге болады. Олай болса. 1-теорема бойы нш а бул yiu аралы кты ц оркайсысында у = g(x) ф ун кц и ясы н ы ц Kepi ф ункциялары бар. г = .v2(функциясыныц аныкталу ай­ магын, оркайсысында осы (функция катан монотонлы бола- тындай ( - ° ° ; 0 ) жоне ( 0 ; ° ° ) аралыктарына болш ектесек, онда ( - °°; 0 ) аралыгындагы Kepi (функция у = -sfx жоне ( 0 ; ° ° ) ара­ лыгындагы Kepi (функция г = sfx аламыз. Ескерту. Кез келген ф ункцияныц аныкталу аймагын, ор­ кайсы сы нда осы (функция кагац монотонлы болатындай аныкталу аймактарына болшектеуге бола бермсйдк М ысалы, у = 1 (функциясы yiuin кандай айм акгы ал сак та. ол аймакта кагац монотонлы емес. Баска мысал ретшде Дирихле функциясыи ал у га болады. Hi ер (луг) нуктесл г =Дх) (ф ункциясы ны ц i рафигше т ш с п болса, онда ( г ; л ) нуктесл Kepi (ф ункцияныц i ра<ф|i r i i i c n i i c r i болады. Сондыктан, Kepi (функцияныц графин у =Дх) (функ­ цияны ц графипнен (х; у) иуктеслн {у; х) нуктесш с турдещцру комепмен алынады. Бундай r y p .ie im ip y ie у=\\ тузуше катыс- ты симметрия жагады. C o h i.im c h , у = Дх) ф ункциясына ксрi (функциясыныц графипн салу yuiin г =Дх) (функциясыныц графиппе г = .v тузуiне капле i ы с и м ­ \\' = v метрия турлен;цруш жасау керек. М ы салы , v =.v\", \\>(). / ге/V .//> 1 б о л с а , онда л- = tfy . E iu i .у пен у о р ы н ­ дарын адмастырып >■= Vx Kepi (функцияны аламыз. Бул ею (функциялардыц гра- <ф11кте pi 14-суретте корсе- i i.ireii. 107

56. Логарифмдш функция Ж огары ла карастырылган у = а ' , а > 0, а ф 1 корсеткнп- т1к ф у н кц и яс ы K e p i ф у н к ц и ян ы ц бар болуы н кам там асы з ететш барлы к каспеттерге не екенш коруге болады: 1) аныктаду аймагы (- со; ° ° ) ; 2 ) озгеру аймагы (0 ; ° ° ) ; 3) а >1 болса у=а' оседц a;i 0 < «< 1 болса ол кемидг Олай болса, оган Kepi ф ун кц и я бар. К о р се ткш гп к функ- цияга Kepi ф ун кц и ян ы y = lo g \\\\ </>0. а Ф I деп 6 e.iri_ieii.ii (грек, лоуск — кагы нас) („х саныныц а н е г т бойынша .юга- рифм/\" деп окы лалы ). Логарифмдщ ф у н кц и ясы н ы ц к е л е а K acnerrepi бар: а) аныктаду аймагы ( 0 ; ° ° ) ; б) озгеру аймагы в) ф ункция жогарыдап да, томеннен де шенелмеген; г) ф у н кц и ян ы ц ец улкен де, ец Kimi де м ош жок; д) функция перподты емес; е) функция так та, жуп та емес; ж ) егер а>\\ болса. онда у = lo g i( А 'ф ун кц п ясы аныкгалу аимагында оседк егер 0 < д<1 болса — аныктаду аймагында кеми/и; з) (1: 0) — ф ун кц и я графигпнц коорлпнаталар ocTepi.Men кпылысатын жалгыз нуктс. 15-суре гте негiзi а> 1 жоне ()<а<1 болатын логарифм/цк функниялардыц гра())ик repi корсетгпген. 108

57. 11eri3ri тр и го н о м стр и ялы к ф упкциялар A iiyKTeci О/Vocine tilie ri болатындай erin О ХУ координа­ та ж а з ы к г ы г ы н д а OA K c c in ;u c in а л а м ы з (16, а- сур е т). OA Kccin;uciH бастапкы радиус деп атаймыз. О ц бурыш — сагат ri.лiне карама-карсы багытта, ал Topic бурыш — сагат т Ы м с н oip багытта бурылу аркы лы жузеге асырылады деп ке.псемп. а к ез- келген б у р ы ш б о л с ы н . ОЛ б а с т а п к ы радиус О нуктесш айнала а бурьпиына буры лы с жасап O/i раднусдне отсш. В nyKTeciniu ординатасыныц радпуске катынасын а бурышыныц синусы деп атайды жоне sin а аркылы белплеГцн (лат. Sinus — доцеспк, кампию ); а бурышыныц косинус'! деп, В нуктесппц абснпссасы ны н радпуске катынасын айтады жоне опы co sa аркылы белплей;п (лат. cosinus -- спнуске косы м ш а); а бурышыныцтангена деп, В ilyK reciiliн ординатасыныц оныц абсциссасына катынасын айтады жоне опы tg a аркылы белri.ieiizu (лат. Tangens — жапама): и бурышыныц котангесi деп, 15 нуктесппц абсциссасы- ны ц оныц ордппатасына каты насы н айтады жопе опы ctg </. аркылы бел1тлей;й (лат. Cotangens — тангсске косы мш а). у = sin.v, у = cos.v, у = tgv, у = ctgv <))>i Iкцпялары 11 нeгiзri тригономстриялык фупкциялар деп атайды. Ксйбмр бурыпггар yiuin трпгопометрпялык фупкнпялардыц мондерш ке.тттречпз: 109

афругунмкценитяа 0\" 30\" 3-кс с т е sinа 0 1 cosа 1 л-) 45\" 60\" 90\" 180\" 270\" tgа 0 Л Л Л 1 0 -1 л1 1 0 -1 0 ctgа сю Л 1 л ОО 0 сю 1 л 0 сю 0 Бурыш гардыц гана емес, сандардыц да тригонометриялы к ф ункциялары ту рал ы айтуга болады. Ол уш ш буры ш ты ц келеа радиандык олшемш колданады: ISO\" 57\". 1\" = “180т г р ^ = 0,017 px/d. 1 \\чи) = л М ысалы: sin4=sin(4•57\")=sin22S\" n in cos 225\" = cos(225- — ) = cos-- ISO 4 Тригонометриялык; функциялардыд ширектердеп ган- балары ОЛ бастапкы радиус О нуктесш айнала бурылып ,v буры uiка бурылыс жасап O B радиусше отсш . Тригон ом етр иялы к фун- кциялардын ан ы ктам асы нан sin .v тацбасы В нуктесинц ор- д инатасы ны ц тацбасындай, ал cos х тацбасы В н у к ic c i11iц аб сц иссасы ны ц тацбасындай болаты ны шыгады ( 17-сурет). 17-сурет тангенсгпаненбаскыотангенс 1II)

Жуп м опс т а к тригоно­ метрия. 1i> ik функция.шр. ОА бастапкы радиус О нуктесш айнала а бурышка бурылын ОВ ралиусына OTcin. Егер ОА басганкы ра­ диус —а бурышка бурылып O B' радпуеше отсе, онда ОВ жоне ОВ' раднустары абс­ цисса оеммен салыстырганда симметриялы болады <18-су - per). В мен В ' нуктелерш щ абсциссалары тец. ал ординаталары- ныц mo;i>viьдер! тец де, тацбалары карама-карсы. Олай болса: cos( —Y) = COS ,Y . tg( —Y )= —tg -Y, sin( —■Y)= -sin ,Y . Ctg <—A ) ——CtgA. С оны м ен у = sin .y, у = tg .y, у = ctg ,y так ф упкциялар, ал у = cos.y жуп ф ун кц и я (45 п. карацыз). Тригонометрия.ii> ik функция.laptlbiH перио<)ты.1ып>1. ОА бастапкы радиус 0 нуктесш айнала л* буры ш ка буры ­ лы н ОВ ралиусына orcin. Егер бастапкы ОА радиус .y+360\" буры ш ка бурылса, онда ол ОВ ралиусына отедг С ондыктан, sin(.Y + 360 ) = sin .y, cos(.y + 360 ) = cos.y. Кез келген буттн к саны yiuin бул тец-цктер кслезд гурде жазылады: si п(а + 360\" А) = si на , к е / , cos(.y + 3 6 0 4 ) = cos.y, к е / . Ал у = tg .Y пен у = ctg ,y (|)ункциялары yniin: /\"( ,y+ 1SO\" к) = /tf.v, к е / . <•/\"( .v-г 1S I)\" к ) = ( li; y. к е / . Трпгопометриялы к функцпялардыц бас иериолтары: sin.Y, c o s .y (|)ункциялары у ш ш — 7 = 360\" , ал tg д иен ctg .y функ- ниялары \\ mill — 7 = 1SO\". у = sin л функциясыныц Kficuemmepi жоне графиг! а) аныкгалу аймагы: б) оз1еру аймагы: Г 1; 1]: в) ф ункция жогарыдан да, ю м еннен де шенелген; л г) (])ункцня Y; = - — + 2 л к . к е / нуктелерш де ец Kitui л у = — 1 мо11iн кабыддайды да, .v,„ = — + 2 п т . т с У. пуктелершде ец улкен у =1 м он ш кабылдапды: 111

д) функция периодты, бас периоды 2л тец; е) функция — так; ж ) ф ункция ан ы ктау аймагында м онотонлы емес лл бйрак - - г 2лк, -1 , Ink , k e Z а р а л ы к та р ы н д а осе;ц де. 71 >71 1ра.I ы кт ар ы н ы ц о р ка iiс ы с ы ида - - 1г. к , у -г In k . к е / L- КСМИД1. з) координат ocTepi.Nien ки ы лы су нуктелер1 ( п к , 0 ) , к е Z . v=sin.v ф у н к ц и я с ы н ь щ синусоида дсп аталаты н граф ин 19-суретте корсенлген. У —cos.v функциясыньщ Kucuemmepi мен графиei. а) ан ы кталу аймагы: ( - « г 1» ) ; б ) озгеру aii.Mai ы: |-1; 11; и) ф ун кц и я жогарыдан да. томеннен де шенелген; г) (функция .у к + 2 п к . к е Z нуктелерш де ец Kimi У ~ 1 Moniii кабылдайды; ал у = 1 л т . т е Z нуктелершде ец улкен у = I монш кабылдайды; д) ф ун кц и я периодты. бас периоды 2л'- е) функция жуп : ж ) ф ункц ия аны кталу аймагында монотонлы емес, 6 ipaK [ 2 лл\\ ( 2 /с + 1)я ]. к е Z аралыктарында ф ун кц и я кемп;п де. [ ( 2 к - \\)л. 2 лтс], к е /, а р а л ы ю а р ы н ы ц оркайсысында осе/п; ( 71 j з) О ) oci\\ieii (0; I) нуктесш де, ал OX ociMeii 1 + nk А) I , к с '/■ нукчелершде кпы лы сады . Косинусоида леи аталатын у = cos.v (функциясыныц i ра<|>i11i 2 0 -су peTie корсетпген: 112

у = Ig.v функциясыныц Kficuemmepi ж о не грифиг'г и) а н ы к та д уJ ай м агы : л,к ф —^ + кл. к е / : б) озгеру аймагы (- 00, 00); в) функция шенелмеген ; г) (|)ункцияны ц ец улкен де. ец Kim i де мош жок: д) функция периодты, бас периоды л : ж) ф у н к ц и я аныктаду аймагында монотоиды емес. 6 ipaK ля op6 ip ( П К - , я к + ■), к е Z аралыкта (функция оспелк з) координата остер1мен киы лы су нуктелерг (пл. 0 ). л е . у = tg.v (ф ункциясы ны ц тангенсоида деп аталатын графин 2 1-сурет ге к о р с е т г е н : у = е (д л ' ф ункциясыныц Kficuemmepi ж оне грифиг'1. а) аныктаду аймагы: .у„ = тТС. in е Z сандарынан баска кез- келген .v сандары; б) озгеру аймагы: (-с-3, 00) ; в) функция шенелмеген : г) (функцияныц ец улкен де. ец K i m i де M o n i жок; д) функция иериодты, бас периоды л : е) ф ункция так: NW 113

ж ) функция аныкталу аймагында монотонлы смес, 6ipaK op6 ip ( т п . л + m n), т е У. аралыкта ф ун кц и я кем 1мелц з) к о о р д и н а т а о с т с р 1м е н к и ы л ы с у н у к т е л е р 1 — | ~ + п т , 0j , /;/ е Z . у = ctg.v (ф ун кц и ясы н ы ц котангенсоида деп аталатын графин 2 2 -сурстте корсетиген: 22-сурет 58. Herbri Kepi тригонометриялык, функпиялар у = arcsin .V, у = arccos .V, у = arctg .v, у = arcctg .v функ- циялары — nemri Kepi тригонометриялык функпиялар. У = arcsin.v ф■у н к ц и я с ы . y= sm .v . Гя п ф ун кц и ясы - K c c iin ic iiu c оссдц онда —1-ден + 1-ге д еш н п озi11iц барлы к г ,т п 1 .мо иде р i н к а б ы л д а й д ы (1 9 - с у р с т). О л а й б о лса [ ~ 2 ’ 2} кесш/исшде = sin.v ф ун кц и ясы н а Kepi ф ун кц и я бар (52.и). О сы ке pi (ф ун кц и ян ы 1,А_д. у = arcsin.v (\"арксинус х \" леи окылады) аркылы белплей/и. г тт sin д- у = arcsin.v (ф ункция­ с ы н ы ц гр аф и пн у = sin.v, 23-су per лл Tv< — функциясыныц граф ипнен y= v тузуш е к.а- тысты симметриялы турлен- /цру ар кы л ы алуга болады (23-сурет). 114

у = arcsin.v функциясыныц Kficuemmepi: а) аныктаду аймагы [—1;1 ]; б) о 31еру aiiM atы: лл ->' в) (функция шенелген; п г) (функция х = —1 нуктесшде ец Kimi г = - — Monin, ал. А'= 1 нуктесш де ец улкен м о н iн кабыддайды: л) (функция периодты емес; е) (функция так; ж ) (функция аныктаду аимагында оседк з) координата ocrepiMen к и ы л ы су н у к т е а (0; 0). Ж огарыда айтылгандардан (52 п.де карацыз) у = arcsin .v пен .v = sin у жа зудары пара-пар бо:н анлыктап л = sin у гендитн- деп у орнына arcsin.v-Ti койыи ,v = sin (arcsin л) аламыз. Олай болса [—1;1] кееш/цсшен алынган кез-келген .v yinin KCJieei TeimiK орындалады sill(arcsin.v)=-V. -у<агсмпд: ^ ( [) ( ! ) тсцпктерд ен бы лайш а Tyiiiii жасауга болады: arcsin т дегеш.мгз., --Я -лПеи . -.ге л. сиш алынган, синусы /н-ге тец бурыш (немесе сан). Мысал. Есептеу керек: a) arcsin ^ : б) arcsin ; Illeiuyi: а) А ны ктам а бойы нш а у = arcsin-^- дегешмгз v'3 _ л ^ л л болатын бурыш. ягни J siny = жоне „ .Л я Соны мен. arcsin 2 = 3 ’ 1л б) жогарыдагыш а турлешнре оты рыи arcsin-2= —(> аламыз. С одан соц так, (ф ункц ия к а с и е п б о й ы н ш а arcsin ~) •1 л 1) я = — arcsm 2 = — 6 аламыз. Сонымен, arcsin 2~, i = 6, . ' ) у = arccos дг функциясы. у = cos .v (функциясы [0 : я ] к е с in;iici 1i;ie ксмп;ц жоне Т лен t 1-ге д е ш н п барлык, мопдер.и кабыддайды. Олай болса (52 и. ) у = cos д\\ 0 < х <п I 15

функциясына Kepi функция бар. Ол arccos .v (\"арккосинус х \"деп окылады) аркылы бел- пленед1 (y=arccosx ф ункция­ сы ны ц графин 24-суретте корсетЬген). у —arccosx функциясыныц Kjacuemmepi: а) ан ы кта л у a ii м а гы : б) озгеру аймагы: [0 ; л | в) функция шенелген; г) ф ун кц и я х = — 1 нуктесш де ец улкен _у= л м о н ш , ал х = 1 нуктесш де ец к iliii у = 0 м он ш кабылдайды; д) функция периодты емес; е) ф ункция жуп та, так та емес; ж) функция аныкталу аймагында кемидц л з) координата осгерш еп к и ы л ы су нуктелер! ( 0 ; — ) жоне (1 :0 ). у = arccosx жоне x= cos_y, ()<_>’ < л ф ункциялары пара­ пар болгандыктан х = cos у т е ц д т н д е п у орны на arccos х койып, х = cos(arccos х) аламыз. Сондыктаи |~1;1] кесш- д1сш д еп кез-келген х уппн cos(arccos х) = х , (j < arccos<n (2) аламыз. ( 2 ) каты стан arccos т орнепн былайша тусницруге болады: arccosm дегенiMil — косинус! т -ге тец ( 0 , л ) аралыгында жаткди бурыш. 24-суреттеп у = arccos х ф ункциясы ны ц графигшен мына тепе-тецпкттц оры ндалаты ны н кор ем 1з: arccos (-х) = л — arccosx. (3) 72 V2 ) Мысал: Есептеу керек: a) arccos б) arccos llleuiyi: а) А н ы кгам а бойы нш а arccos v2 дегеш м п v'2 2 жоне 0 < у < л болатын сан. Ондай сан у = л / 4 COS l' V2 екен.ип тус п и к п . С о н ы м ен , arccos ~ = л /4 . 116

б) (3) (формула бо йы нш а arccos 2Г * V2 arccos ~ п / 4= 37Г /4. Демек, arccos Л: Зя ? 4 ля ара- у = arctg .V функциясы. у = tg х ф ун кц и ясы >- j . ' j i лыгында осе;и жоне онда озппц барлык мондерш кабылдайды (21 -сурет). Сондыктан, корсетшген аралыкта у = tg.v функ- циясына Kepi ф ункция бар (52 п.). Ол у = arctg х аркылы белплене/ц ( “ арк­ тангенс х \"деп окылады). у = arctg х ф у н кц и я ­ сы н ы ц графин 25-сурет- те бейнелеиген. у = a r c t g .V ф ункциясы ны ц Kficuemmepi: а) ан ы кталу аймагы: (- 00, 00) ; Iля б) озгеру аймагы: | \" у н) (функция шенелген; г) ф у н кц и ян ы ц ец улкен де, ец K i m i де мош жок; д)(функция периодты емес; е) (функция так; ж) функция аныкталу аймагында оседi; з) координата ocrepiMen к и ы л ы су н у к т е а (0: 0). Ж огарыдагы пайымдаулар си якты бул (функция уппн де tg( arctg.v) = .v, 71 Я (4) <arctg.v< 7 ЯЯ катыеын ал у га оолады. Будан, a r c t g т дегсшмгз — -лен -гс я я K i p M c i u i ) i a n r e n c i in-ге leiiiiiri аралыкта жататын — жэне гец бурыш е кен;игi шыгады . Мыса.г. Есеп теу керек: a) arctg 1; б) arctg ( —>/з ); 117

Illeiuyi: а) А н ы ктам а бойы нш а у = arctg 1 дегешмгз Л 71 Л tgу - 1 ж о не — — < у < б о л аты н б у р ы ш , ягн и у = 11 '4 л С о н ы м ен , arctg 1= . 4 б) Алды мен arctg / з есеитейм1з: arctg v'3 = . Содан сон гак болу к а с и е п н е н arctg ( —v'3 ) = arctg >/3 = - ^ . ягни. п arctg ( - / з ) - — аламыз. у у = arcctg х функциясы. п у = ctgx ф ун кц и ясы ( 0 ; л ) y= arcctj^> > аралыгында кемшн жоне онда озппц барлы к мон- »V = C/£.Y дерш кабыддайды ( 2 2 -еу- рег). 0 ,iaii болса, бул ара- 26-сурет лы кта г = ctgx ф ункцнясы- на Kepi (функция бар (52 п.). Од г = arcctg ,v ( \"арккотан­ генс х \"леи о к ы л а д ы )а р к ы ­ лы белпленедг у = arcctg х ф у н к ц и я с ы н ы ц rpa(j) и ri 26-суретте бей нелеп ген. у = arcctg .v функциясыныц Kficuemmepi : а) аныктаду аймагы: б) о з1еру аймагы: (0 ; л ) в) (функция шенелген; г) (ф ункцияныц ец K im i де, ец улкен де м ош жок; д) функция периодты емес; е) ф ун кц и я ж уп та, т а к т а емес; ж) (функция аныктаду аимагында кемидк я з) координата остергмен к и ы л ы су н у к те а ( 0 ; — ). у = arcctg х пен х = ctg у, 0 < у < л жазулары пара-пар. Кез келген х уш ш келес! тец ц к орындалады ctg(arcctg х) = х, 0 < arcctg х < л . (5)

(5) тенд'ктен, arcctg т дегешмп, 0-<)снл -ге deitimi (I) мен л Kip.Mcii.ii) аралыктагы котангенсi т - ге тец бурыш екендп i шыгады. К ел еа тепе-тендж турлен;ирулерде ж ш колданылады: arcctg ( —.v) = л arcctg.v. (6 ) Мысал. Ессп тсу керек: arcctg( —л/з )■ llleuiyi: Алдымем у = arcctg 73 есептеймп. Бул ctgr = >/3 я жоне ()<у< л болатын бурыш. O.iaii болса у = — . E iu i (6 ) (формула бо йы нш а . rz ч г- я arcctg ( - V 3 )= л - arcctg Л = л ~ - = — . hЬ ЖАТТЫ1 N.IAP 1. Орнек'тердщ мон1н табу керек: 1) sin( —30\"); 2) cos(-60\"); 3) tg( 4 5 ) 4) ctg( —30\"); 5) cos(-9()\"); 6 ) sin(—45 ’); 7) sin( 90\") 2. Тацбасы кандай: I) sin 181\"; 2) cos 280\": 3) tg 175 : 4) ctg 358\"; 5)cos (-116\")? 3. Есептеу керек: 1) arcsin 0 ; 2 ) arccos 0 ; 3) arcsin I : 6 ) arccos ( 1); 4) arccos I ; 5) arcsin ( I ): 9) arccos ( - V3 / 2 ); 7) arcsin ( 7 3 / 2 ); 8 ) arcsin ( — ч/З /2 ); 10) arccos (- 1/ 2 ). 4. Есептеу керек: I ) arctg ( I ); 2 ) arcctg ( 1); 3) arctg ( —3); 4) arcctg (- 1/ v 3 ). 119

IV та pay. ТРАНСЦЕНДЕНТ О РН ЕКТ ЕР § 12. Л О ГА РП Ф М Д 1 К 0 Р Н ЕК Т ЕР Д 1 ТУРЛ ЕН Д 1РУ 59. Трансцендент орнсктср тусМп. Логарифмдер А й ны м алд ар трансценденг ф ун кц и я белr ic i11iн астында болатын, ягни к о р с е т ю н т к , логарнфмд1к, тригон ом стрпялы к немесе Kepi тр игон ом стр пялы к ф упкциялар белпсннц асты н ­ да болатын ор не к ri грансцендент орнек деп атайды. М ы салы . lo g 2 а + lo g , b\\ sinof s in /3; a rc s in (.v : - ,y) — трансцендент орнсктср. 1-теорема, а > 0. а Ф 1 жоне b > 0 болатын кез-келген кос пакты а мен b сандары уш in а'= b тегццп орындалатып ,v п а к­ ты саны табылады жоне ол жалгы з болады. /; он саныныц а (а > 0 .а Ф 1) nerhi бойынша логарифм! деп, а саныныц Л-га тец болатындай дэреже корсетKiiuiii айта­ ды жоне он 1.1 logji аркы лы белплей;н: а ,0Ка h - Jy (1) ( I) — neehei логирифмМк тепе-тецдш’ деп аталады. lo g а b = а тецднт а и = b CKeiiin 6 i.rmipe;n. М ы са л ы , log,81=4, oiiTKCiii 3J =S 1; lo g m 0,001 = - 3 , o iiiK c iii 10 ' = 0.001 : lo g 1V2 = - ^ , oiiTKeiii =2’ =y 2 . Логарифм т е к оц сан yiuin жопе оц <Ирге те ц емес неги бойынша гана аныкпииатынына окырманныц назарын аудара- мыз, ягни а < О, а = 1 немесе Ь < 0 болатын кез-келген сан­ дар yiuin логарифм mycinici магынасынан айырылады. Мысалы: “ —8 сан ы н ы ц —2 nern i бойы нш а логарифм! 3 болады” деген сой лем тц магынасы болмайды. 120

Логарифм аиыктамасынаи мына тещиктер шыгады: (2) log , 1 = 0 , log // = 1■ Жалпы алганда мына тещик орын алады: log </ а ' = г , а >0 , а ф I . 60. Логарифмдердщ Kacnerrepi а > 0. а Ф 1 болсын. Егер А \\ .> 0 болса. онда: 1) log ( N .■N J = log LY.j ■+logJ/V,|; 2 ) log / ~ = log J . V J — l o g J A ,|; 3) Егер N > 0, I t e R болса, онда 1од A ' = |.i 1од A : егер ,V Ф 0. /;;= ±1. ± 2 ,... болса, онда log (j N 2'\" = 2/</ log а /V , 4) Е rep .V > 0, се R болса, онда 1о■ц-а С N c = los-i н А '.■ 5) Егер .V > 0, // е R. v е R , v ф 0 болса, онда 1оц ,\\‘п = И- 1оц А': 6) Егер с > 0, />>(). Ь ф 1 болса, онда log с 1оц (' '— log,, и (oepi.iгеи непзден баска н а ш е кош\\ формуласы) Дербес жагдайда, егер с =Ь болса. онда I oe.nici \"наранар\" log />= --- log п cl 7) Егер Л/Х), ,V >0 болса, онда ( о дегеши бгьире.и. 67 п. карацыз) log М = log /V <> А/ = А: 121

8 ) Егер а> 1, М>0, N>0 болса, онда log Л/ < log Д,г <=> М < N. ягни логарифм негЫ oipden улкен болса, онда cki он саннын улкен'ше улкен логарифм сойкес келедi жоне керк'ннне, улкен логарифмге улкен сан сойкес келед!; 9) Нгер ( ) < « < ! , Л / >О, Д'>0 болса, онла logиД/ < loguN <=> А/ > уV, ягни логарифм neeiii oipden Kimi болса, онда ек1 он саннын улкен'ше Kimi логарифм сойкес келед/ жоне керкшше, кпш логарифмге улкен сап сойкес келед!. H e m ri 10-га тец логариф\\ин ондык, логарифм деп атайды жоне мысалы, lo g l0 А/ орнына lg А/ деп жазады. Heriai е сан ы па (е = 2,7182818284... иррационал сан) тец логарифм/н нагурал логарифм деп атайды жоне мы салы , log,, N орны на 1п/V деп жазады. I1-мысал. Ьсептеу керек: А = 49 1 Т |о? 7 25 4 Uleuiyi: 49=7- екенш ескерш дорежете ш ыгару касиетш -(I 71°У7 2-i|og725 колданамыз: л = 7 4 =7 - Одан opi 3), 2) к.асиеттер;п жоне 2 = log.49 тенднш к.ол- дансак 2\" ^ _ у 1оу- 49 !оу- S _ у Iog7(49 / 5) _ *^9 5 i--'i(.y7 :5 49 аламыз. Сонымен, 49 4 =— .1 ’ 2-мыеал. lg 2 = а деп алып, lg 25 есентеу керек. Ille iu yi: lg 25 = 2 lg 5 = 2 lg 10/2 = 2 (lg 10 lg 2) =2 (1 ~a). 3-мысал. log, 12 = а деп алып, log, 18 есептеу керек: Uleuiyi: l-roci.i. log, 18 = log,(3--2) = 2 + log,2. iTJ E iw i 2 - J — тенднш пайдаланамыз:

2-TOci.i. log, 2 = .v дсп белплеп. lo g .IS = 2 ■+ log,2— 2+.v аламыз. Одан opi: ] a = log-, 12 = log.(3 •2 \") = log., 3 + log; 2“ = 1- 2 log. 2 = 1+ 2.v. a- I a - 1 a +3 Будан -V= - . демек, log, 18 = 2 + .v = _ + —— - — — . 4-мыеал. loglt28=« деп алып, log4416 есептеу керек. llle u iy i: log4, 16 = i/; 1 6 '‘ = log-4 = 2 log. 2 . log.2 = ,v деп белплесек: ^ log , 28 log .12 -7) 1 2 log 2 + log-7 2.v+l ~■■ log -14 log-(2-7) log 2 + log- 7 .v + 1 a-1 Будан .v-ii тапсак, ,v= ---- болады. Олай болса, 2-и 2(i/ - 1) 1Oil ,,, 16 = 2 v = 2 -а Ж АТТЫ FVJIAP 1) Есептеу керек: 16 ,S 5 4 гг <) ( 25_) , </)!' 27 ) logs log4 log, 16: /> )lglg\\4 10; e )3 6 l , ¥ - 5 + l ( ) 1_lg2 - 3l(’g \" 36: ' + 271о'л'' 36 + 3 lo y ' 9 . 2 ) log, 5= а деп алып lo g HI(l040 есептеу керек. 3) lo g p 27 = а деп алып log,, 16 есептеу керек. 4) lg2 = a, lg 13=b деп алып log.3.38 есептеу керек. 5) log,20 = a. log, 15 = b деп алып log,360 есептеу керек. Тепе-тецд'шпй д аte.idey керек. и\\ 1оЦ С tnvT /)

Ж ауаптары : -(</ + I) 4(3-i/) 4 a +2h-2 За - h + 5 3+a 1- a 5 a - /■>+ | § 13. ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫК, 0 P 11EKTE Р Л I T Y P JIE HД I РУ Тригонометриялык орнек деп .ш ным ал тригонометриялык. функциялар белплерш щ астында болатын орнеюл айтады. 61. Аргумен nep ii косу жэне азайту формулалары Кез-келген пакты ОС мен [3 сандары ymin мына тсчциктер орындалалы: c o s (a + (У) - cos a cos/3 - s in a sin /J, ( 1) c o s (a - /i) = c o s a cosP + s in a sin p (2 ) s in (« + (!) = s in a cos (! + cos a sin /i, (3) sin ( a - p ) = sin a cos /3 - cos a sin p. (4) ri * ^ +n k, P ф Л + n k, (5) « +-p * ^ +7i т . (ke Z jie Z.me Z). (6) (7) 124

ctu(</ —|j) = ctga c tbP + * u ф nf. j) 7JL (8) CtgP-CtttU а - [ } Ф Л 1п. ( к e Z . n e ' / . m e / ) . 1-мысал. Есептеу керек: sin75“ . lllemyi: sin 75' = sin( 30\" + 45\") = sin 30\" cos45\" + cos 30 sin 4511 = I v] ч 3 42 _ J2 +V 6 ii i i ~~ 4 2-мысал. О р н е кп ыкш амдау керек: лл sin ( + а ) - cos ( +а ) Л =--- ^------------ . Si.n (я +а +COS л +« 44 U le u iy i: (3) жоне ( 1) ф ормудадар 6 о ii ы н ш а я л \\2 sin— = cos— = — екенш ескерш 4 42 . л cos а + cos л. (/ —cos л cos« + sm л . a sm —sin sin л = ___ 4____________ 4____________ 4__________ 4_____ = . Л cos a Л. Л c o s a - s in Л . sm + cos —sin « + cos sine/ 4 444 -(cosa + sina - cosa + sina) 2sina = —f=-------------------------= —----= tea v2 2cosa —(cosa + sina + cosa - sin a) аламыз. 5/г 3-мысал. Ессптеу керек: tg~ . . Г>7Г T IT l _ _ .. Illeiuyi: — =т +т болгандыклан. (>) формула ооиынша 12 4 6 мы папы аламыз: лл .1-—п4 •t,i-: п II - х \"1 (, 1 Ш— = tg —+— = -- ----- — = --- 7=-= 12 4 6 ! I. !! я tU я - \"4 \"6 С3 т \\,:3 ) ( 3 + v 3 ) 9 + Ь\\;3 4 3 _ 1 д ” <3 - /з ) ( 3 - ч;3 у ” з 125

62. ke.nipy формулалары гурждеп лп Ke.nipy формулалары деп, — ± a. n e Z аргументтщ тригонометриялык. функцияларыныц мошн « аргу мешан in тригонометриялык ф ункцияларыиа келпрепн формулаларды айтады. я есептеу керек болсын. 58 п. (3) Айталык,, smj y + a j бойынша я .л л sin( ^ + а ) = sin ^ c o s a + cos п s in a = co s a + 0 = c o s a , я ягни sm( ^ + а ) = cos а аламыз. Томенде 4-кестедеп Ke.nipy формулалары осы сиякты есептелген. Кестеде келттрьпген кел п р у ф ормулаларын еске устауды жегцлдету yinin к е л е а м н е м о и и к а л ы к (од1стер ж и ы н ты г ы н ) ережеш колдануга болады: 4-кес те .V n a n ■ (/ л-a n +a 3n 3/r 2/т - и y-\" 2 T\" —2 2 sin.v cos a cos a sin a - sin a -cos a -cos a -sm a cos.v sin a - sin a -cos a -cos и -sin a sin a COS и tg.v ctg a ■ctg a -tg a tg a ctg a -ctg a -tg a ctg.v tg a tg a -ctg a ctg a tg a -tg a -ctg a 1) егер а догасы горизонталь диаметрден бастап салынса {л ±а немесе 2л±а ), онда ф ун кц и я атауы сакталады; егер а догасы вертикаль диаметрден бастап салынса Я Ул ( — ±п немесе ^ ± « ), онда ф ункция аты уйкасына (синус кос ипуска, тангенс когангенске, т.с.с.) озгере/п; 2 ) алынган (ф ункцияныц алдына ке.irip i_ieii11 ф у н к ц и я ­ ныц карастырылып отырган шпректегт тацбасы койылады ( а - cyiiip бурыш деп саналады). 126

63. Hip гана аргументтщ тригономегриялык, функцияларынын, арасындагы кд i ыс rap Егер 58н.(2) формулада а = f) леи алсак, онда neeisei три гоно м стрп ялы к тспе-тсц<)1к леп атад аты н Ke.ieci формуланы аламыз: s in 2 а + cos' а = 1• <1> ( 1) т е ц ;н к т щ е к i ж а гы н л а c o s ~ сх ж оне sin- а болу (2) аркы лы Ktvieci (формулаларды аламыз: 1 л 1 t- tg-« = --- — , а * - +нл, п ■ / . cos и 2 1 + С 1 Ц ' < < = ---- - — , ( ( V- п л , п > / . (3 ) sin а Ke/icci CKi тен,'нк 6 i зге буры ннан (54п. караныз) белri.ii: smu coso lg</ = ----, Clg(C = —— . cos a sina Бул е к е у т мушелеп кобенпп , и z лk .. (4) tg «-ctgcz = 1, -— ke / re иди in аламыз. Зтг l -мысал. sin/ = л < t < — екенднт белплг М ы на функнияларды : c o s / . tg/, ctg/ табу керек. Uleuiyi: ( I ) формуладан: У 16 COS-/ = 1- siir /= 1- ( - 7 )' = 1- — = - : . 44 Бу1дан cos /= -s немесе cos / = - — аламыз. sЬ ipa к есептщ Зл 4 шарты бойынш а n < t < — болганлыктап. c o s / - - — . Деме к. 3 sin/ s3 tg ' -c-o-s-t —4 у =s Т■ E 11дi (4) бо й ы н ш а ctg/ = — = — = т аламыз. lut 3 s 127

2-мысал. etg/ = - — , п- <t <п c K c iu iri белплк situ табу керек. Шешуг. (3) формуладан 1 1 1 144 sin' I = ----- — = ----- -— = ----- =--- U ( - - r u : -l 12 144 ал будан sin / =12/13, немесе, sin/ = —12/13 шыгады. BipaK есептщ шарты бо й ы н ш а ~ < к л . Ал 2-nii ширек- те синус оц монге ие болаты нд ы ктан s in / =12/13 аламьп. 64. К,ос бурыш жоис уш cce.iiK бурыш формулалары 58и. (3), (1). (5), (7) фор.мулаларында (X = /3 деп ал с ак., онда кед ее i мацызды тепе-тенджтерд! аламыз: (I) sin2а = 2 sina cosa , cos2a = cos2 a - sin2 a . (2) (3) t,gl1a = ----- — , a * —71+ kI n, k, e Z-7, a * -Л +nn, n e Z . -tg-a 2 4 ct,g2« = —Ct-g-:-«-~--l . a * —71k , k,e Z (4 ) 2ctga 2 '1 1-мысал. Ы кш ам д ау керек: tg/ - ctg/. Uleutyi: tg/ - ctg/ = s-i-n-/---c-o--s/-= -s-m--T----c-o-s--2/ = --c-o--s-2/----s-in--2-/ = cos/ sin/ sin/cos/ -1- , sm. / cosl 2 = ---c-o-s2-1 = -2clg2/. sin2/ . 3 rt 2-мысал. sm «= _ жоне a e ( ^ , n) деп алып, sin2« мен cos 2 a есептеу керек. Uleutyi: a CKiiiini ш иректе жататы нд ы ктан 60п.(1) (фор­ мула бойынш а

En;u (1) мен (2) формулалардан 4 24 sin 2а = 2 sin a cosa -- 2 • •(- )--- >s 24 4- / cos2a = cos\" a - sin- a - (- ) ' - ( ) ' - s ' 2> шыгады. Тригономегрпндык функниялардын аргументтерш косу формулаларын коддана отырып З а . 4 а . г.с.с. бурыштар уlliiii формуладар алуга болады. Уш есе;пк бурыштар форму- лаларын кедт'ipeiiiK. sin За = 3 sin a - 4 s i n а. cos За —4 cos^ а —3cosa. ^ - tLI I/ (7) '' tu3a = — --- т— . I Меи 3сtiz</ - ctu'a (8) \" ,. ’ I -3clg </. (5) <|юрмулапы долелдешк ( ( 6 )-(8 ) формудалары да осы сиякты долелденедО: sin За - s in (2 a + а ) = s in 2а co sa + cos2а •s in a - = 2 sin a cos a cosa + {cos\" a - sin ' a ) .sina = = 2 sin a cos- a + cos a sin a - s i n a = = 3 s in a cos\" a - sin ' a = 3sin a ( I —sin a ) - sin ' a = = 3sina - 4 sin ' a. Мысал. Долелдеу керек: sinasin(60 ' - a)sin(60 + a ) = I sm3a. 4 lUeuiyi: 5811.(3).(4) жоне 611i (5) формулаларын пайдалан- СЛК,\" sin a sin(60\" - a )s in (6 0 \" + a ) = = sina(sin60\" cosa - cos60\" sina)(sin60\" cosa + cos60\" s in a ) = = sinafsiir 60и1cos” a - c o s ’ 60Пsiir a ) = sina( cos a - I siir a ) = 44 i = - —sin a[3( i - siir a ) - sin- a | - 4 1. 1 .1 = sin(/(3 —4 sin-a ) = (3 s m a - 4 s n v a ) = sin.ia 44 4 аламыз. >> 40 129

65. Дэреже гомеидету формулалары 6 0 ri.(l) жоне 61 п .(2 ) тепе-тещ пктерщ : cos2 а + s in 2 а - 1, cos а - sin\" а = cos2 а , мушелеп коссак жоне мушелеп шегерсек дэрежеш гомеидету деп аталатын формулаларды аламыз: 1 (I) cos - а = —(1 + cos 2 а ), 1 (2) s n r а = (1 - cos2 а ). Бул формулалар l + cos2a, l- co s2 a косындыларын турленд1ру yniin оцнан солга карай да ж ш пайдаланылады. М ы салы , 1 + cos5.v= 2 cos\" — , 1 - cos(a + /3) = 2 sin2 * ^ ^ . 1-мысал. Tene-TeiwiKTi долелдеу керек: a sina a ф n + I_n k., к e Z . П) tg — = -------. кос 2 1 +cosa llleuiyi: Б о л ш ектщ Схш мш (1)-формула, ал алы м ы н б у р ы ш ты к синусы (61 н.( 1)) бо йы нш а турленд1ре.\\п з : ^. а а .а 2 sm — cos— sin — _ 2 2 = ___ 2_ = ( « 1 + cosa 2cos_, a cos —a 2' 2 2 2-мысал. К е з келген a * n k , к e Z болатын бурыш тар yuiiii мына reiuuKii долелдеу керек: a 1 - cosa (4) tg — = -- :---- , a Ф n к , к e Z . О) 2 sina (4)-тщ долелдемесм (З)-тщ долелдемесшдей. 3-мысал. Томенде! i reii/iiki i долелдеу керек: ,а схФп +2пк, k e Z . 1- liT у cosa = ------ — , 1т tg- - 130

Illeiuyi: сх Ф 71 + 2 n k , к G Z болатын кез келген а буры- ш ы уш ш томендеп тенд1ктер x iзбеri орындалады: cos~a cos-—i - sin\" —i COS' ,a a ,a ,a c o s '—i + s i i r — cos' +>iir cc . , a . ,a I - tg' COS' — s n r 92 ^ ,a ,a , ,a cos\" — cos' — 1+ tg' 99 2 тa . , a cos' — snr — ___ 2_+__ __2_ ia ,a COS' — COS' 99 4-мысал. Тепе-тенд1кп долелдеу керек: a « * я + 2nk, к с /. (6 ) sine/ = --2-t-g-Уz— , a 1 + tg ? Illeiuyi: ОСФТС + 2п к, к £ Z б о латы н кез келген « буры ш ы yiuin томендеп тен,гпкгер п soeri орыплалалы: -. а и 2sin cos ^ sina = sum _. а а ,а . ft 2sm 1 cos 1 cos i 2tg i ft , </ , , ft , a . , ft COS' + sin 1+ tg' COS'-- hsin-— 22 \"2 22 , ft 5-мысал. I епе-генд1ктт долелдеу керек: 2^tg -ft n , и Ф я + 2я A’ , к € / , а ф + //я, /; е Z . tgft = - (7) 1- t t r 131

Бул тец/ик кос б у р ы ш т ь щ т а н г е н с ш е н , яг н п 6111.(3) формуладам шыгады. 6-мысал. Teiie-Tei-miKTi долелдеу керек: 'и к е Z. ^> 1 - tg- - c ta « = ------ — , а * я к , а 2 lg у LUeiuyi'. а Фпк. к е Z болатын кез келген а бурыш yiuin томендеп тещ иктер riзбеri орындалалы: , а . -и. COS\" - S ilt' — _____2 _ 2 ctg« = -c-o-s-« = --co-s-\"-, а=i--—-s-i.n-*-, —и-7 = ----c-o-1s-■>а--—----- = , ,а . c o s —a ---1-—-^t-c— sina т2s■in —(<c —a _2__si_.n-2a _2_ _2\"te2—a 2 o s 2 ,a COS\" 2 (5 )- (8 ) (формулаларды — тригонометриялык функцияларды жарты аргументц raiiiciici аркылы ернектейт1и формула.пар деп атайды. Бул формулалар интегралдык. есептеулерде ж ш колдаиылады. Мысал: 1ц— = 2 д еп а л ы п , ■! = табу керек. \" 2 - + cos а + sin и LUeiuyi'. (5) жоне ( 6 ) формулалар бойы нш а: . 2& 3 (у 22 1 1- 4 2tg— С0Ш ~ , + t,g-, « = 1+4 = ' 5 жоне sinft ---1-+--lg-771(7 - 1 7т 4 ~ \"S 1 2 1 4 аламыз. Олай болса: ,1 = 10-3 +4 2+( - 3■) +-4_- 132

6 6 . Тригонометриялык функциялардыц косындысын (1) кобейпн/ше турленд1ру ,[ « + /; = .V '</-/!= г тенджтерш мушелеп коссак жэне мушелеп шегерсек 1 и = -(.Y+ Г). I/J =y1(.v- г) <2> аламыз. 58п.(1)-(4) формулалардагы а мен /3-ны ( I ) мен (2) формулалары бойынш а х пен у-ке ауыстырсак: -V + v -V - у . х+у . X - V ,, COS.Y = c o s -----c o s ---- — - sin --- —sin --- — 22 22 (Г ) COSI' = cos--V-+--у cos-X--- —V +S11. 1 -.V-+-—V si.n --V---—V , (.~_ , )ч 12 22 , . -V+ V X - г A •Г . \\ M) sin.v = s m --- —c o s--- — + c o s--- —s in --- — , 22 22 . . ,v + v ,v - v x +у . x - у (4 t sinv = sm --- —co s--- 1— c o s--- —sm --- — 22 22 reiu iK T ep in аламыз. ( Г ) пен (2 ') тенджтерш мушелеп косу жоне мушелеп шегеру аркылы - -V + V .V - г cos.v + co sy = 2 c o s — y ^ c o s — —- , (3) cos.v - cosr = -2, s.m--V-+- —V s.in -.V---—v = .2s.in-.V-+-—I' s.m -V----X-(4) 2 ф ормулалары н ал у га болады. Сол с п я к т ы ( 3 ') псп (4 ') (5) reiuiK T ep in мушелеп коссак жоне мушелеп шегерсек , .V + I- .v - г sin.v + s m r = 2 s in --- —c o s --- — , 22 , ,v + г . ,v - г (6) озш е sin.v - sin v = 2 c o s ----— s i n --- — . 22 Г о м е н л е п гец .пктер.и rcKccpv.ii о к у ш ы н ы н гапсырамыз: sin / .v ± у ) л tu.v ± tg i- = ----------- , .v Ф — + л 11, n € Z . cos.vcosr 2 у ф n + n к, к e Z. <7> — 133

ctg.v ± c tg j = ---—---— , x * к л , у ф к я , i е Z . (8 ) sin.vsin v Мысаддар. , , - 4а + 6а 4а - 6а 1) co s4 a + co s6 a = 2 c o s --------c o s -------- = 22 = 2 c o s 5 a c o s f - a ) = 2cos5a •c o s a ; 2 ) cosf' — - p ) - cos( — + p ) = 2sin -^=-----P--+- r---+-/-j- 36 2 71 + p - n-+ p ■sin ---- —----- = 2 sin — sinf p - — ) = v 2sinf p - — ); 4 12 12 3 ) sin;/ + - = sin у + sin — = 2 sin ( — + — )c o s ( — - — ). 2 6 2 12 2 12 4 ) sin a - cos ( — - 5a ) = sin a - sin 5a = т . a - 5a a + 5a = 2 sin — ---- c o s — ---- = 2 sin ( - 2 a ) c o s 3 a = = — 2sin 2a cos 3a. 67. Тригонометрия.1ЫК. функиия.шрдьщ KooeiiTiiuicin к,осындыга турлен;мру Жогарыла корссплген (58п.(1),(2)) cos ( а - Р ) = с о sа с о s/J + si n a si n p cos ( a + p ) = c o s a cos/) - sin a sin p TcnaiKiepin мушелеп коссак. жопе мушелсп шегерсек коси нустарлыц кобейтйшюи жопе синустарлын KoGeirrii-uiciH косынлыга турленд1рудщ (}>ормулалары шыгады cosacos/:) = [cosf а - Р ) + cosf a + /] )\\ <| > sinasin/) =- |cos( а - р ) c o s (a + P) \\. (2) Сод сииклы (5 8 11.(3 ).(4 ) карацыз). s in f а + /)) = sinaco s/i + cosasin/i, sinf а - Р ) = sm acos/J - cosasin/i

TciwiKTepiH муше.чеп коссак s in « c o s /У = — [s in ^a + />'; + s in f a - />) ] (3) аламыз. - Мысалдар: ) f 71cos — + — cos: — — = яa a) i 61 cos;1 —71 a яa и— i I6 ? — 2 — — H— 6 21 2 6 9 L “/ Iя a n a cos a + cos — 3 ;+COS — + — H------- 6262 1f 1 2cosa +1 = - cos a + - 2) 2sin ^ - /3 )sin = cos! £ - / < - * - / < ) - c o s— -/)’ + — + fi = c o s ( - lli) - c o s ^ = cos2 /i; 3) 4sin 1+ Icos 1 + - -2 sin 11 + -71 Я 1 +— 3; 6 3 j -я я + sin 1 + - - 1 - - = 2 Sill 2 + — ! + sin I --- fя (-2) = 2cos(-2 ) - 1 = 2cos2 - 1. 2 | sin !I 4-мысал. Долелдеу керск: A = c o s a + cosf' a + P ) + cos( a + 2(1) + ... + cosf a + n(3) = si•n (n+\\)fi + n] ) -i - -cos(Y/ -i p * 2kn, к e Z , s\\n(P/2) |(n + Ucos/3, ft = 2kn, k e Z . Дэлелдеуг. ji = 2kя , к e Z болса, опла коснн усты ц псриолтылыгыи пайлаланып А — cosor + cosa +.. .cosor = (/;-+ l)co s« аламыз. 135

Егер /)’ ^ 2к я . к е / болса. онда А о рнегiн s i n * о кобейтш жопе бол in. содаи сои (3) (|)ормулапы колдапамыч: А - — ——, м п ~ cds (/ - sin ~ cosf а + р) +-... -t- sin cos ( а + up I 2sin i \" “ 2 i Г •I Р />’ ■ I з/i , . /; = ----------S in И + — ! - SI111 Г/ - — + s in (7 + — - s i n М - — ! + 2sin/j/ 2 2 21 I 2j 12 -+-s■inI « +— I- si■n I «4 --^/-ij it-... +sin• aI +--2/-;-+-1/j 'i-si.n1fa +-2-/-7-—-1 ] 2 2I I 2 1 2 Бул орнскте екпишмен сц соцгысыныц алдындагы крсыл- гыштардан баекдлары к.ос-к,остан ж о й ы л аты н ы н ацгаруга бо- лады. Олай болса, . = ---I 77|Гsi.n ( 2п+1 ) . ( Ii А « t- — ft -Sill и - - 2sin L 1 \") ' “ У-I 2sm■ ft 2 V\\ 2 2 si•n n +_- 1-f»t-cos/(a + n'ft ), P Ф 2кл, к g Z. = ------------ -y-----—— . sin 7 Осы мысалда долелденгеп тепд ж тщ дербес жагдайыпа мысал келпрешк. 2“ 4.т 6я 1 э-мысал. Долелдеу керск: cos — + cos — + cos — = — . Далелдеуг. 4-мысалдагы а,/з,/пиамаларын « = ~ , р - , 77 а = 2 M oiuepiM cn ауы сты р ы п , алынган к о б с й i i н/ii11i (3) ф ор­ мула бойышпа кобептш/иге ryp.ieiijiipccK жогарыдагы tcicu k ti алар е;пк. Дегепмен, 4-мысаллагы теьцпк'п ескс уста уда н ropi, ол TCifiiKTi долелдеу oziiciii сске устау жеш ллеу. 136

О, , р н е к п мn /1—si.n —n ш а м а с ы н а к о о, о и п п ж о п е о^ о л ш 27 4-мысалдагыдай лурлен;нру жасаймыз: 2к 4я бтг 1 . 7 1 2/Т . ,7 4тс CO s — + c o s — + c o s — = ------ <s in — C O S ----- s i l l — C O S --- + Sill 7 7 7 л 6л. 1 . 3л . л . 5- . Зтт - s i l l — C O S ---) = --------( S i l l ----- S i l l — + S i l l - - s i l l --- f 77 rsin 7л ~ s.in 5л ) = ---I --1sum - sin -л ! - —I . 7 7 ' 2si.il л 72 7 6 8 . acosf + Asint opiierin A sin (/ + a ) opueiiiie Ke.nipy acos i t-/)sin/ o p iie rin iH алды на \\4 + /> ко б ей л кш п н шыгарамыз «co s / t Л s in / = \\[a: + Ir j —= J L = c o s z + т=== ---sin/ I. 'J \\ s iСГ + I r J СJ ' + / г fl \\ ( h \\ i + A' J V V<r + /r =1 тепе-тецдп i орындалатын- б/ /; лы клан, координаталары Vгiг~—+ Iг)~ ’ \\Ur + Ь оолатын пукле Gip.iiK шецберде жалады. 0.1 аii болса, иh ! (IJ SlllO = —,—;- -- ., cCoOsSa == ——r-- - siо2 + Ir \\l(r * h i с il i iклс pi орындалатындай a буры ш ы лабылалы. Ы кш ам лы - л ы к у п н н sla2 + Ir = А леи белплеймгз: a cos/ + /;cos/ = A (sine/ cos / 4 co sa (sin /) -=A (s in fa + /). О сы K opccri.iren тур л с 1ш р у ;м комекпп аргумент енпзу ар кы л ы гурленд1ру леи атайды. М ун д а гы ко м е кп п ар гу­ мент - а . Мысалы, г “ т---- т I ^ 4 3sIli 2/ I 4cos2/ - v 3 i-4' I ~— sin 2/ • —=.-cos2 / '• s/2 5 v 25 = V25 / c o s a s in 2i + sin a c o s 2 / ) = 5 sin (2 / • к ) , мундагы suk/ = -S , cos;/ = —s . 137

Ескерту. Комекил а аргумент™ а ^ текд iгiи пайдаланып та табуга болады. Бул тендеудщ туб1рлерйнц шйнен а = f K o s a , b = p s iim , р = yjci: + /г ш ам алары ны ц тацбаларына сойкес келетш ец K iiu i мон;й ал у керек. E tu i жогарыла келлршген тригонометриялык. формула- ларды колданып шыгаруга арналган есептер;й карастырамыз. cos; 2a 1. 1. Тепе-тен;икт1 долелдеу керек: с __ - -sm4a. Дэлелдеу\\. Тец/Йктщ сол жак, б о л ш н турлен/йрешк: cos: 2a cos; 2a cos22а _ cos: 2 acosasina ctga - tga cosa sina sina cosa cos]a - s i i v a cos!a - s iir a sinacosa 61 n . ( 1) мен ( 2 ) формулалар бойы нш а sinacosa = —2 sin2a, cos’ a - s i i r a = cos2a сондыктан, cos’ 2a cos: 2asin2a = -1cos2, asi.n2, a = -1si.n4,a. ctga - tga 2cos2a 2 4 Тепе-тещ ик долелдендй Huai оныц а -ныц кандай мондершде оры нлалатынын кдрастырайык,- Тепе-гегцйктщ CKi жагындагы орнектердщ магынасы болуы уш ш , cosa ф 0 жопе я, sin a ф 0 • ягни а ф - +л к жоне а Ф пп орындалуы керек. ал бул cK cyin A ) a / 71к, к е Z деп 6ipiKTipyre болады (трпго- иометрпялык тецдеулерд1 ш сш у жоне олардыц ry6 ip.iepiitin топтарын 6 ipiKi ipin жазу туралы келесл тарауда карастырыла- ды). С он ы м ен Gipre cos2a - s in 2a ф 0, ягни cos2 a ф 0 орында- луы керек. Ьг улаи 2а ф —^ + пк] немесе Ь1Г)\\ а * —ТС +—71 т , т е /.у 2 4 2 . . ТС шарты шыгады. А ) мен Б) шарттарын 6 ip iK T ip in п ф - к , кеZ 4 аламыз. С оны мен, тепе-тенд'к п Ф — к, k e Z ymin орындалады екен. ^ 138

2. Ы. .кш ам д ау керек: -4-s-in-2-5-1—sin-(-o- . cos40 Uleiuyi: 65\"=90\"—25!) reicurin пайдаланамы i 4sin25\"sin65\" _ 4sin 25\"sin(90\" - 25\") 4sin25\"cos25\" cos40\" cos40\" c(is40\" 2sin50\" _ 2sin(90\" - 4 0 \") _ 2cos40 ^ cos40\" cos401 cos40 Жауабы: 2. 3. Ессптеу керек: cos 15\"— sin 15\" =<r/. I/leiuyi: Алдымен a = cosl 5\"—sin 15\" > 0 icuci i.iirinin орын- дадатынын корсетеш к. Ш ы н ы н д а да, I -ширекте косинус 6 ip;ien нодге деш н кеми;и, ад синус нодден 6 ipie деш н oce;ii жопе sin45\"=cos45\". Одай бодса, c o s l5\" >cos45\" = sin45\" >sin 15\". С онд ы ктан, cos 15°—sin 15\" —a <=>(cos15\" -sin 15\")'= a\\ cos: 15\" —2sin 15 °co sl5 \" 4- sin-’ 15\" -cr. Бул reitiiK T iц сод ж ап.ш 60п.(1) жопе 6 111.(1) формула- дарды кодданып турлеш премп cos’ 15’ - 2sin 15\"cosl 5\" +s iir 15\" = 1- s in 30\" = 1- - = - 2 1' ,1 O.iaii бодса, о - _ ад будан r/=cos 15\"—sin 15\" >0 тецсгзд1пн ескерш а - ~Л аламы s. С оны м ен, а = — . Жауаоы: а = — . 2 4. Tene-renaiKTi додеддеу керек: 2 (sin'’a + cos'V/) - 3 (sinV / + cosV/) = - 1. J(u.ie.i<)eyi: a'' +bl={a+b){a'-ab+h-’) жопе s i i r a + cos2« = 1 формудаларын пайдаданамы з: 2 (sin'Vjf + cos6a ) - 3 (sin 4a + cos4« ) = 2 sin (/ f cos~a —3 (sin'Vz + cos4a ) = 139

= 2 ( s i i r « + cos2a ) ( s i n 4a - s iir a c o s :a + cos4a ) - -3 (s in 4a т cos4a ) = = 2sin4« - 2 s in 'a c o s :« + 2cos4a - 3cos4« - 3sin4a = - f s in 4a 4 2 s in ’a c o s '« + cos4a ) = = - ( s iir a ч cos:a : ) = - 1. 5. Tene-xciuiKTi долелдеу керек: 1+ cosa + cos2a + cos3a 3a a * n +2_к,л , к , Z. ---------------------- = cosa cos— , с 4icos u 1 2 Дэлелдеуг. 1+ cos2a = 2cos2a ж о не cosa + cos3« 2cos2aco sa екешн ескерсек, 1+ cosa + cos2a + cos3a 2cos2a + 2cos2acosa 4cos a- 4. c o s —a т 7 л 3a a 2cosa(cosa + cos2a ) cosa + cos2a = 2cos — cos — 4cos '' 63я. (З)кдраныз , Л 3a a 2cosa ■2cos — cos - 3, a = ----------- =---- — = cosa •cos — . 4cos —2 2 Коп жагдайларда s in a c o s 2 a c o s 4 a •... ■c o s 2 \" a c o s a c o s 2 « c o s 4 a ■... ■c o s 2 ' a тур ш леп кобейпнд пер;й ыщиамдауда к ел еа roci.i тш мдг К о б е й п н ;и л е р ;н со й кес c o s a ж оне s i n a -га ко б ей тш боле;й де 2 s in a c o s a = sin 2 a , 2 sin 2 aco s2 a = s in 4 « ,... формул ал ары н пайдаланады. , А = п 2л 4л cos 8л 16л 32л . о. Ьсептеу керек: cos— cos — cos — — cos — cos— 6 s 65 65 65 65 6s n Uleiuyi: А-иы 2sin^r- ке кобейтш болем1з де. кос бурыш- гын с и н у с ы н ы ц (|)ормуласын (61 п . ( 1)) пазбектей колданамыз 140

1 -2, sm. к л cos —2л cos —4л cos —Хя cos I Ьл 32л — cos — 65 2| я 65 65 65 65 65 65 65 1 —si.n 2л cos 2л 4л 8л 16л 32л —г ——cos — cos — co s --- cos - тмп л 65 65 65 65 65 65 65 Opi карай, sm. —2.t cos —2/7 = -1si.n —47 , 65 65 2 65 4 7 4я 1 . 87 . 87 87 1 . 1 Ьл sin — cos — = - sin — ; sm — cos — ~ - sm --- , 65 65 2 65 6 r> 65 2 65 . I67 I 67 1 , 32/r . 32л 32л 1 . 64я sm —— cos---= - sm ----; sm --- cos--- = - s in ---- 65 65 2 65 65 65 2 65 с кс 11i11 ccKcpin м ы нан ы аламыз . 64,7 : ( Л- I . n Sill - - s l n 71 - , - S ill A = _____6э__ = ___ I_____ 6r>j = ______65_ _ J _ 21’sin T■ 64sin 71 64sin n ^ 65 65 65 Ж ауабы : 64 7 . tg« - - , sin В = -4=, 0 < a < — , 0 < В < дсп a: 7 v'l() 22 . a -4 / 1 лолеллсу керек. + 2/) = — теiu iпн 4 H le iu yi: l g ( a + 2(3) c c cirre jiiK (5<8ii.(5) к а р а ц ы з): \\и( и +2/1) ■ Iga + lu2/>’ 1, tc, r '; 7 1.11дi lg 2/)' мои i н табу ксрск. ();i \\inin sin /i 1 , 0 < l> < — пайдаланамы i: Г /; v . , (j cos/; - V 1 sin 1 ,1 2 la/; - ^ = Ж = 1, m2/; = - r l l ' L . ;= I - tg /J 1 I 84 cos/i 33 l) 9 ,471 141

Олаи болса. 13 25 щ2В ■ +- 7 1и_ 7 4 _ 28 = =l t = L — =r f T 7^ 74 * Шарт бойышпа О < а < л /2 жоне 0< (3 <л /2 . (*) Мундагы екпш п кос тецс1зд1кт1 2-ге кобейтш {)<2(3<л аламыз. Сонымен 6iprc tg2/3 = — > 0 тенслздшнен (**) 4 0<2А<я/2 болатынын корс\\йз. Енд1 (*) кдтыстары ньщ 6ipiHш i кос тец- а з д ш мен (**) кос те ц а зд М н мушелеп коссак 0< а +2(3 <л . Ал (0: п ) аралыгыпда tgx -Tin 1-ге тец м э ш я /4 нуктесшде. Олай болса а + 2(3= я /4. ТЛПСЫРМАЛАР Ke.ueci генд1ктерд1 долелдеу керек: S1.11-л V2-V2 2) tK—= л/2 - 1. S ---2--- X л л ч 5 —1 . . л л/б —2 3) sm— = ----- . 4) sm — = ----- . ID 4 12 4 5) sin —71 sin 2л s in 4л 7з . о л ^л 7л гг — — =— 6) bcos — cos — cos— - v3. 99 9 ,s 1S 9 9 _ n 11л 7л . л 1 7 cos — cos — cos — sin — = — . 30 30 30 15 16 л 2п Зл 4л 5л 6л 7л 1 N) cos — cos — cos — cos---C O S --- C O S --- COS — = ---- . 15 15 15 15 15 15 15 12,X n. n 2л 1 . Зл . я 1 9 cos — - cos — = - . 10 sin --- sin — = —. 5 52 10 10 2 , , , 2n 4л 6л 1 11 cos — + cos-- + C O S ----= --- . 7 7 72 142

12 cos —2л + cos-4-л--cos-7-л-- cos —л = -I 15 15 15 15 2 л 2л 4тг 13) tii— + tu— + tg — ■Ssin — =V3. 99 9 1. 4,,) cos—л + cos-3-л- иcos—5л + cos—7л + cos-П-л-- 11 9 9 9 9 ,o-). sin j —л + SI1.1л -3/-г+ S1.11I-5-л-+S111 j-7-л- = -з. 16 16 16 16 2 16) s i n \" + cos\"v'7 + —siir2 v7 = 1. 4 [7) 1- s i n \" ! - cos1’ ! 3 1 - 2siir 2 - V3sin4 2 18) (cos2 •ftl - sin4)(cos4 •ctg2 + sin4) = -1. ~) C O S1 ----- 6, 1 =1 !2 19) sin ( ~ - 6) + sin(7T - 6) + 20) 2(sin\"5 + cos\"5) - 3(sin45 +sin45) t 1= 0. ЫК,Ш ЛМДАУ К EPF. К 21) s iir (л - 9) + tg: (тг - 9) tgM^y- + 9) + sin +9) cos (9 - 2л ). 1 Зя 1 1я 4~ 2 2 2 ) ~ 4 C° S> 2 ~ 4 tu (Я - 1) c o s l\" + * ) c o s l3* + S 4 24 24 23) 2sinVl9 sin27i9 +2cos4N/T9 COS10У 19 cos3 + V3sin3 a (/. 24) cteb i + tuc i 25) (/ a cos3 - V3sin3 cte^ i - tgc i 26) ■- ctg2i/.. 27) siim. + sin3(/. t sin5oc si n 4 a соs(/.+соs.I1(/^ соs5 a 28) cos4«+ 4cos2«+ 3. 29) si n4</. cos2(/. l+ c o s 4 a l+cos2</. ,„ . r■, —n + —a - . , -n----a 30 sn sin -( 82 82 143

_я 31) ctg.v - - 2 , — <л*< л 6epi.ii ен. sin.v, cos.v, tg.v табу керек. _3 3л 32) cos л- я <х< --- бер i;i ген. si пл\\ tg_v, ctg.v табу керек. 12 Зя 33) sniv = . — <х<2л берпген. cosy, tg,v, ctgxтабу керек. 5 .7 34) cos.v - — , 0 < .v < — берпген. sin2.v. cos2.v, tg2.v. ctg2.v табу керек. Ke.ieei тепе-тен/иктер/и долелдеу керек: I 2 | 2 ) 2JЗ-э-,) c,t|g -З-л- a i]sm. I—Зя -t и I)sm. ! (а — я )+ +tg(7 +к ) cos (л + «)co s(2 л - а ) = 0. siп 3^ cos; 3а 3 6 ) —;— ;---------------- -— = bco.sla. s u ra cose/ 37) l - sinNf/ = 2cos: (45 • 4(0. 3 S ) s i l l V r co s ! — - (( ! c o s I -- + (/ 1 - :4 39) cosa t-cos(120 - a ) f cosd2() ' + a ) = 0. 40) 3 —4 cos 2a 4-cos 4 a = 8 sin’1a. ЖЛУА11ТАРЫ 1 26) t<>2«. 27) tu3«. 35) : 29)tg2a; Л cosa 30) — ■- s in a : 28) 8cosJa : .Л 2Л 1 31) м и л - — . c o s . v — —------- , i g a . 2 5 5\" ,, 44 3 32) sin.v = t£.Y = - , CtiZ X ——. 54 33) cos.v = — , tua = --1--, ctua = ---5- 13 5' 12 Л, sin 21.v - 120 , c o s 2.v = ---1-1,9tu 2 v - ---1-20 eta „ v - - 119 34) — 2 — 169 169 119 \" 120' 144

§ 14. К У Р Л М Ы Н Д Л K E P I ТРП Г01 l()M I I Р11Я. 1ЫК, Ф У И К Ц И Я Л Л Р Ы ЬЛР OPH I K I I P. LI TYPJILHZUPy МЫСЛЛДЛРЫ 1-мысал. Ы к ш ам л ау керек: cos(arcsin.v). 1<.v< 1. /Ileutyi: r=arcsin.v леи белп.тесек. сила (55-п. (1 )-карацыз) оган парапар ~п < г < — жопе s m r = v аламы i. h iu i c o s v ra o v yniiii cos v - 1—sin2V’ кагысын iкп'ца.ланммыл: cos’ г = 1- s iir v = = 1~.v:. Ьулаи косинус ~^< у Kcciii.iiciiue icpic смес екешн ecKcpin cosr = V 1 .v , ягни, cos(arcsin.v)= \\ I r , —I < ,v < 1 аламы s. 2-мысал. Ы кш ам л ау керек: sin(arctg.v). Ulemyi. v =arctg.vлеи белп.тесек. сила (55 u. (4)-караны з) лп < — . tg.r— .v, я н ш . берпген болш екп ы кш амлау yiiiiii синус гы тангенс аркы.ты орнектеу керек екенш коремi з. Ол уинн аллымеп cosv-ri табапык. 1 I’ - ' 1 + tg ■' = со77 ф о р м у л а с ы н а н cos’ г = т —— ал а м ы з. ,- л л I Ьулан екенш есксрсек со м 7— _ шыгалы. X1: ty Г Eii.ai siпг таба.мьгз: I tgr sm r = tgv •cosv = tgv •—= = = —= - ____. yj\\ + tg г ч/1 ! tg г tu l' v Сонымеи, sm(arclg v) = --- = —----- . ч , 1 r tg'.i' Vl + . v 1 3-мысал. Есептеу керек: tg (-a rcco s(-- )). Illeuiyi: и. = a r c c o s ( - —) леи алсак. онла (55 п.(2) 5 карацыз) - т < Отснсч з:иr iпен \"<(/•■ л, c o s </= ' ата м ы з 5 25 ni-'W 145

5 i н е tg — е с е п т е у к с р с к . О л у и п н tg^- (| )у н к ц и я с ы и с о s (( = - \" аркылы орнсктеу керек екешип гус ini KTi: :а _ ] __ I _ 2 _ 2■5 _ + tir т , </ 1 - cosa 3 5-3 cos- —--- \\ +(- . ) 2 2 -1 Будан t g’'—и = 4, ягни, tg—и = 2, нсмеее t, gиy - 1 я пал Егер 0 < « < л тецаз;йпн 2-ге болсек, онда 4 < 2 < 9 лл шыгады. Ал | 4 ’ о ) аралыгында тангенс он гацбалы. Олан а. (1 ( болса, tg— = 2 , ягни tg arccos - - 2. 4-мысал. Есептеу керек: arccos I cos I я H 17 ]] деп алaiiык. -5' ( 2 ) -ге суненш 0 < у < я , cosy = cos - 17 я 1 аламыз. Оа рине, будан 013 У = - —17 я т е в д•т•н жаза алмаимыз!! пU h tkch i, О < у < я , ал 17 б. ул аралыкта жатпаи■■тындыгы тусп•пкп. Жалпы алганда, егер Т кдндай да oip тригонометриялык, функция болса, Т( а ) = Т ((5) тецдпшен а = /3 т е ц л т шыкнауы MyMKiii. Мысалы, sin30°=sin 150° reiutiri дурыс, ал 30'-150\" Tcm iri дурыс емес. Т (а ) = Т ( Р ) тендтнен а = /3 тендт шыгуы yiiiin а мен /3 cKeyi де 7 функциясыныц берьшен монотонды аралыгында жатуы ruic. М ыеалымызга орал а 111,1к. Косинусты ц нериодтылыгын пайдаланып гомендеп турлен;ирулерд1 жасаймыз: I 17 | I . 3 ,_ 3 cosy = COS - ^ 71J = COS I ~a,n + 5 71j — COS . я . 146

М ун да - я 6 [ 0 ; я ] , у е |()/я| бо лгаид ы ю .ш г= -я . ягни. -1 5 arccos f cos ( - —17 я ii = ' я . 1 5 )) s 5-мыеал. Келесл лcue-rcicuiK ri дэлелдеу керек: arcsin.v 4 arccos.v = — , .v е [-1; 1]. (*) Teiie-reiyurin долелдсу керек. llleutyi. Алдымен arcsin.v жопе — -arccos.v бурыпггарыиыц син\\с ларын есеитешк: sin (arcsin ,v) = ,v; sin -9-- a r c c o s v = cos a rc c o s .v = .v. Бул бурыш тардыц синусгары теп екеи. 1лiл i жогарыдагы (4-мысалдагы) ескерту;н ескер ем п. я т и бул е к i буры иi с и н у с ф у н к ц и я с ы н ы ц берц1ген м о н о то и д ы ар ал ы гы н д а жататынын гексеремп. А п ы к та м а л а р ы б о й ы п ш а (55 п.) келесл каты стар д ы жачуга болады ЯЛ - — < arcsin.v < — , 0 < arccos.v < п. Ь у л а р д ы ц е к i н ini к а г ы с ы н а н -л < arccos.v < 0, ал ля я булан — - я < — - arccos.v < — аламыз. Сопы.мен, arcsin.v жопе я — -arccos.v б у р ы ш та р ы н ы ц еке\\ч де синус (^ ун к ц н яс ы н ы ц яя монотоиды аралыгында жатыр. O.iaii бергчген ! болса, бергчген тепе-тец/нк дурыс. О сы СИЯК.ТЫ келесл тепе-тец/ик'п де долелдеуге болады: л (**) arctgx 4 arcctg.v = . 6-мысал. Теи д !ктщ л ур ы сты гы н гексеру керек: arccos-1+ arccos I — И = arccos I - -I 2 '7 1 14 ) 147